排列组合典型例题
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典型例题一
例1 用0到9这10 个数字.可组成多少个没有重复数字的四位偶数
解法1:当个位数上排“0”时,千位,百位,十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列,故有3
9A 个;
当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排,则千位上从余下的八个非零数字中任选一
个,百位,十位上再从余下的八个数字中任选两个来排,按乘法原理有281814A A A ⋅⋅(个). ∴ 没有重复数字的四位偶数有
2296179250428181439=+=⋅⋅+A A A A 个.
典型例题二
例2 三个女生和五个男生排成一排
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(1)如果女生必须全排在一起,可有多少种不同的排法
(2)如果女生必须全分开,可有多少种不同的排法
(3)如果两端都不能排女生,可有多少种不同的排法
(4)如果两端不能都排女生,可有多少种不同的排法
解:(1)(捆绑法)因为三个女生必须排在一起,所以可以先把她们看成一个整体,这样同五个男生合一起共有六个元素,然成一排有6
6A 种不同排法.对于其中的每一种排法,
三个女生之间又都有33A 对种不同的排法,因此共有43203366=⋅A A 种不同的排法. (2)(插空法)要保证女生全分开,可先把五个男生排好,每两个相邻的男生之间留出一个空档.这样共有4个空档,加上两边两个男生外侧的两个位置,共有六个位置,再把三个女生插入这六个位置中,只要保证每个位置至多插入一个女生,就能保证任意两个女生都不相邻.由于五个男生排成一排有5
5A 种不同排法,对于其中任意一种排法,从上述六个位
置中选出三个来让三个女生插入都有36A 种方法,因此共有144003655=⋅A A 种不同的排法. (3)解法1:(位置分析法)因为两端不能排女生,所以两端只能挑选5个男生中的2个,有25A 种不同的排法,对于其中的任意一种排法,其余六位都有6
6A 种排法,所以共有
144006625=⋅A A 种不同的排法. (4)解法1:因为只要求两端不都排女生,所以如果首位排了男生,则未位就不再受
条件限制了,这样可有7715A A ⋅种不同的排法;如果首位排女生,有13A 种排法,这时末位就
只能排男生,有15A 种排法,首末两端任意排定一种情况后,其余6位都有6
6A 种不同的排法,
这样可有661513A A A ⋅⋅种不同排法.因此共有360006615137715=⋅⋅+⋅A A A A A 种不同的排法.
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解法2:3个女生和5个男生排成一排有88A 种排法,从中扣去两端都是女生排法66
23A A ⋅种,就能得到两端不都是女生的排法种数.
因此共有36000662388=⋅-A A A 种不同的排法.
典型例题三
例3 排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。
(1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种
(2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种
解:(1)先排歌唱节目有5
5A 种,歌唱节目之间以及两端共有6个位子,从中选4个放
入舞蹈节目,共有46A 中方法,所以任两个舞蹈节目不相邻排法有:55A 46A =43200. (2)先排舞蹈节目有44A 中方法,在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位,恰好供5
个歌唱节目放入。所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有:44A 55A =2880种方法。
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典型例题四
例4 某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课,如果第一节不排体育,最后一节不排数学,那么共有多少种不同的排课程表的方法.
分析与解法1:6六门课总的排法是6
6A ,其中不符合要求的可分
为:体育排在第一书有55A 种排法,如图中Ⅰ;数学排在最后一节有55A 种排法,如图中Ⅱ;但这两种排法,都包括体育排在第一书数学排在最后一节,如图中Ⅲ,这种情况有4
4A 种排法,因此符合条件的排法应是:
5042445566=+-A A A (种). 典型例题五
例5 现有3辆公交车、3位司机和3位售票员,
每辆车上需配1位司机和1位售票员.问车辆、司机、售票员搭配方案一共有多少种
分析:可以把3辆车看成排了顺序的三个空:,然后把3名司机和3名售票员分别填入.因此可认为事件分两步完成,每一步都是一个排列问题.
¥
解:分两步完成.第一步,把3名司机安排到3辆车中,有633=A 种安排方法;第二步
把3名售票员安排到3辆车中,有633=A 种安排方法.故搭配方案共有
363333=⋅A A 种.
典型例题六
例6 下是表是高考第一批录取的一份志愿表.如果有4所重点院校,每所院校有3个专业是你较为满意的选择.若表格填满且规定学校没有重复,同一学校的专业也没有重复的话,你将有多少种不同的填表方法
解:填表过程可分两步.第一步,确定填报学校及其顺序,则在4所学校中选出3所并加排列,共有3
4A 种不同的排法;第二步,从每所院校的3个专业中选出2个专业并确定其
顺序,其中又包含三小步,因此总的排列数有232323A A A ⋅⋅种.综合以上两步,由分步计数
原理得不同的填表方法有:518423232334=⋅⋅⋅A A A A 种. 典型例题七
)
例5 7名同学排队照相.
(1)若分成两排照,前排3人,后排4人,有多少种不同的排法
(2)若排成两排照,前排3人,后排4人,但其中甲必须在前排,乙必须在后排,有多少种不同的排法
(3)若排成一排照,甲、乙、丙三人必须相邻,有多少种不同的排法
(4)若排成一排照,7人中有4名男生,3名女生,女生不能相邻,有多少种不面的排法
解:(1) 5040774437==⋅A A A 种.
(2)第一步安排甲,有13A 种排法;第二步安排乙,有1
4A 种排法;第三步余下的5人排
在剩下的5个位置上,有55A 种排法,由分步计数原理得,符合要求的排法共有
1440551413=⋅⋅A A A 种. (3)第一步,将甲、乙、丙视为一个元素,有其余4个元素排成一排,即看成5个元素的全排列问题,有55A 种排法;第二步,甲、乙、丙三人内部全排列,有3
3A 种排法.由分步
计数原理得,共有7203355=⋅A A 种排法.