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【讲评】 组合问题常有以下两类题型:
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”,则先将这 些元素取出,再由另外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再 从剩下的元素中去选取.
(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型:解这类题必须十 分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解,用 直接法和间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂时,考虑逆向思维, 用间接法处理.
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9.按照下列要求,分别求有多少种不同的方法? (1)6 个不同的小球放入 4 个不同的盒子; (2)6 个不同的小球放入 4 个不同的盒子,每个盒子至少一个小球; (3)6 个相同的小球放入 4 个不同的盒子,每个盒子至少一个小球.
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【解】 (1)每个小球都有 4 种方法,根据分步计数原理共有 46=4 096 种不 同放法.
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(5)先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与 其余的 5 个元素(同学)一起进行全排列有 A66种方法;再将甲、 乙两个同学“松绑”进行排列有 A22种方法,所以这样的排法 一共有 A66A22=1 440 种.
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(6)甲、乙两同学必须相邻,而且丙不能站在排头和排尾 的排法有:
方法一:将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素, 此时一共有 6 个元素,因为丙不能站在排头和排尾,所以可 以从其余的 5 个元素中选取 2 个元素放在排头和排尾,有 A25 种方法;将剩下的 4 个元素进行全排列有 A44种方法;最后将 甲、乙两个同学“松绑”进行排列有 A22种方法,所以这样的 排法一共有 A25A44A22=960 种方法.
种不同的方法,故共有 120×2=240 种方法.
【答案】 B
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4.从乒乓球运动员男 5 名、女 6 名中组织一场混合双打比赛,不同的组合
方法有( )种.
A.C25C26
B.C52A26
C.C52A22C26A22
D.A52A26
【解析】 分两步进行:第一步:选出两名男选手,有 C25种方法;第 2 步,
【解析】 若用三种颜色,有 C15A43种染法,若用四种颜色,有 5·A44种染法, 则不同的染色方法有 C15A43+5·A44=240(种).
【答案】 240
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【解析】 (1)站成两排(前 3 后 4),共有 A77种不同的排 法;
(2)其中甲站在中间的位置,共有 A66种不同的排法; (3)甲、乙只能站在两端的排法共有 A22A55种;
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(4)甲不排头、乙不排尾的排法共有: 方法一:甲站排尾;共有 A66种不同的排法; 甲不站排尾,共有 A15A15A55种不同的排法; 故共有 A66+A15A15A55=3 720 种不同的排法; 方法二:7 位同学站成一排,共有 A77种不同的排法; 甲排头,共有 A66种不同的排法; 乙排尾,共有 A66种不同的排法; 甲排头且乙排尾,共有 A55种不同的排法; 故共有 A77-2A66+A55=3 720 种不同的排法.
排列应用题
7位同学站成一排: (1)站成两排(前3后4),共有多少种不同的排法? (2)其中甲站在中间的位置,共有多少种不同的排法? (3)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种? (4)甲不排头、乙不排尾的排法共有多少种? (5)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种? (6)甲、乙两同学必须相邻,而且丙不能站在排头和排尾的排法有多 少种?
(2)分两类:第 1 类,6 个小球分 3,1,1,1 放入盒中;第 2 类,6 个小球分 2,2,1,1 放入盒中,共有 C36·C14·A33+C26·C42·A24=1 500(种)不同放法.
(3)法一 按 3,1,1,1 放入有 C41种方法,按 2,2,1,1,放入有 C42种方法,共有 C14+C24=10(种)不同放法.
法二 (挡板法)在 6 个球之间的 5 个空中插入三个挡板,将 6 个球分成四位, 共有 C35=10(种)不同放法.
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3.(2015·孝感高级中学期中)正五边形 ABCDE 中,若把顶点 A、B、C、D、 E 染上红、黄、绿、黑四种颜色中的一种,使得相邻顶点所染颜色不相同,则不 同的染色方法共有________种.
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(10)甲、乙相邻且与丙不相邻的排法:先排甲、乙、丙之 外的 4 人,共有 A44种排法,产生 5 个“空”再将甲乙(视为一 个元素)与丙排入有 A25种,再将甲、乙全排,有 A22,∴共有 A22A44A25=960 种.
(11)(消序法)共有A277种. 【答案】 (1)A77 (2)A66 (3)A25A55 (4)3 720 (5)1 440 (6)960 (7)3 600 (8)1 440 (9)4 320 (10)960 (11)12A77
从 6 名女生中选出 2 名且与已选好的男生配对,有 A62种.故有 C52A26种.
【答案】 B
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8.课外活动小组共 13 人,其中男生 8 人,女生 5 人,并且男、女生各指定 一名队长,现从中选 5 人主持某种活动,依下列条件各有多少种选法?
(1)只有 1 名女生当选; (2)两名队长当选; (3)至少有 1 名队长当选; (4)至多有 2 名女生当选; (5)既要有队长,又要有女生当选.
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3.(2015·青岛高二检测)将标号为 1,2,…,10 的 10 个球放入标号为 1,2,…,
10 的 10 个盒子里,每个盒内放一个球,恰好 3 个球的标号与其在盒子的标号不
一致的放入方法种数为( )
A.120
B.240
C.360
D.720
【解析】 先选出 3 个球有 C310=120 种方法,不妨设为 1,2,3 号球,则 1,2,3 号盒中能放的球为 2,3,1 或 3,1,2 两种.这 3 个号码放入标号不一致的盒子中有 2
C.1,3,5
D.3,5
【解析】 依题意,有 x2-x=5x-5 或 x2-x+5x-5=16.解得 x=1 或 x=5;x =-7 或 x=3,经检验知,只有 x=1 或 x=3 符合题意.
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5.C03+C14+C25+…+C1281的值等于________. 【解析】 原式=C04+C14+C25+…+C1281=C15+C52+…+C1281=C1271+C1281=C1282 =C422=7 315. 【答案】 7 315
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2.2C11 000067的值为( ) A.1 006 B.1 007 C.2 012 D.2 014 【解析】 利用组合数的性质得 2C11 000067=2C11 007=2 014. 【答案】 D
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4.满足方程 Cx2-x16=C51x6-5的 x 值为( )
A.1,3,5,-7
B.1,3
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1.已知圆上有 9 个点,每两点连一线段,若任意两条线的交点不同,则所
有线段在圆内的交点有( )
A.36 个
B.72 个
C.63 个
D.126 个
【解析】 此题可化归为圆上 9 个点可组成多少个四边形,所有四边形的对
角线交点个数即为所求,所以交点为 C49=126 个. 【答案】 D
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2.从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台,其中至少有甲型和乙型
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(8)甲、乙、丙三个同学都不能相邻的排法共有: 先将其余四个同学排好有 A44种方法,此时他们留下五个 “空”,再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空”有 A35种方法,所以一共有 A44A35=1 440 种. (9)甲、乙、丙三个同学不都相邻的排法共有: 7 位同学站成一排,共有 A77种不同的排法; 甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有 A55A33=720 种. 故共有 A77-A55A33=4 320 种不同的排法.
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(7)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种? (8)甲、乙、丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种? (9)甲、乙、丙三个同学不都相邻的排法共有多少种? (10)甲、乙相邻且与丙不相邻的排法共有多少种? (11)甲必须站在乙的左边的不同排法共有多少种? 【思路】 本题是有关排列的一道综合题目,小题比较多,包括排 列中的各种方法和技巧,请同学们认真思考.
再将其余的 5 个元素进行全排列共有 A55种方法,最后将 甲、乙两同学“松绑”,所以这样的排法一共有 A14A55A22=960 种方法.
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(7)甲、乙两同学不能相邻的排法共有: 方法一:(排除法)A77-A66·A22=3 600 种. 方法二:(插空法)先将其余五个同学排好有 A55种方法, 此时他们留下六个位置(就称为“空”吧),再将甲、乙同学分 别插入这六个位置(空)有 A26种方法,所以一共有 A55A26=3 600 种方法.
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【解】 (1)1 名女生,4 名男生,故共有 C51·C48=350(种). (2)将两名队长作为一类,其他 11 人作为一类,故共有 C22·C311=165(种). (3)方法一:至少有 1 名队长含有两类:只有 1 名队长;2 名队长,故共有选 法 C12·C411+C22·C131=825(种). 方法二:采用间接法共有 C513-C511=825(种). (4)至多有 2 名女生含有三类:有 2 名女生;只有 1 名女生;没有女生. 故选法共有 C25·C38+C15·C84+C85=966(种). (5)分类:第 1 类,女队长当选:C142种;第 2 类,女队长不当选:C14·C37+C24·C72 +C34·C17+C44种.故选法共有 C412+C41·C37+C24·C27+C43·C17+C44=790(种).
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【讲评】 涉及有限制条件的排列问题时,首先考虑特殊元素的排 法或特殊位置上元素的选法,再考虑其他元素或其他位置(这种方法称为 元素分析法或位置分析法).
源自文库
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题型三 组合应用题
例3 某市工商局对35件商品进行抽样调查,已知其中有15件假 货.现从35件商品中选取3件.
(1)其中某一件假货必须在内,不同的取法有多少种? (2)其中某一件假货不能在内,不同的取法有多少种? (3)恰有2件假货在内,不同的取法有多少种? (4)至少有2件假货在内,不同的取法有多少种? (5)至多有2件假货在内,不同的取法有多少种?
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方法二:将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素, 此时一共有 6 个元素.
若丙站在排头或排尾有 2A55种方法,所以丙不能站在排头 和排尾的排法有(A66-2A55)·A22=960 种方法.
方法三:将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素, 此时一共有 6 个元素,因为丙不能站在排头和排尾,所以可 以从其余的四个位置选择共有 A14种方法.
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(3)从 20 件真货中选取 1 件,从 15 件假货中选取 2 件有 C120C215=2 100 种.
∴恰有 2 件假货在内的不同的取法有 2 100 种. (4)选取 2 件假货有 C120C215种,选取 3 件假货有 C315种,共 有选取方式 C120C215+C315=2 100+455=2 555 种. ∴至少有 2 种假货在内的不同的取法有 2 555 种. (5)选取 3 件的总数有 C335种,因此共有选取方式 C335-C315=6 545-455=6 090 种. ∴至多有 2 种假货在内的不同的取法有 6 090 种.
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【解析】 (1)从余下的 34 件商品中,选取 2 件有 C234= 561 种,
∴某一件假货必须在内的不同取法有 561 种. (2)从 34 件可选商品中,选取 3 件,有 C334种或者 C335- C234=C334=5 984 种. ∴某一件假货不能在内的不同取法有 5 984 种.
电视机各 1 台,则不同的取法共有( )
A.140 种
B.84 种
C.70 种
D.35 种
【解析】 可分两类:第一类甲型 1 台、乙型 2 台,有 C14·C25=4×10=40(种) 取法,第二类甲型 2 台、乙型 1 台,有 C24·C15=6×5=30(种)取法,共有 70 种不 同的取法.
【答案】 C