2019年港澳台联考数学真题 (每题详细解析版含答案)

16．空间解析几何试卷（1）1. 已知(1,2,1)a =-，(0,2,3)b =，计算a b ，a b ⨯，以及以,a b 为邻边的平行四边形的面积2.求过三点(2,1,4)A -，(1,3,2)B --，(0,2,3)C 的平面方程3.过点(1,1,1)，且垂直于平面7x y z -+=和321250x y z +-+=的平面方程为_______________.4.设平面过原点及点(6,-3,2), 且与平面428x y z -+=垂直，则此平面方程为______________.5.经过原点且垂直与两平面2530x y z -++=及370x y z +--=的平面方程是___________6.过M(-2,7,3)且平行与平面x -4y +5z -1=0平面方程是_____________7.已知一平面通过x 轴及点M(4,-3,1),则该平面方程是____________8.已知平面通过M （8，-3，1），N （4，7，2）且垂直于平面3x +5y -7z +21=0,则该平面的方程是__________9. 用对称式方程及参数方程表示直线102340x y z x y z +++=⎧⎨-++=⎩为___________________10. 一直线过点(2,3,4),A -且和y 轴垂直相交, 求其方程.11.过M(-1,2,1)且于直线210210x y z x y z +--=⎧⎨+-+=⎩平行的直线方程是________ 12.通过M(2,1,3)且与直线L ：11321x y z +-==-垂直相交的直线方程是_______________ 13.求通过点M(-1,-4,3)且与下面两条直线24135x y z x y -+=⎧⎨+=-⎩，24132x t y t z t =+⎧⎪=--⎨⎪=-+⎩都垂直的直线方程.试卷（2）1.空间直角坐标系O xyz -中，经过点(2,1,1)P 且与直线310,32210x y z x y z -++=⎧⎨--+=⎩垂直的平面方程为________．2.设直线l :221126--=-+=-z y x 与平面π：2x －2y ＋z ＝ 4相交于点P .在平面π内，过点P 作直线 1l ⊥l ，则点P 的坐标___________直线1l 的方程__________________3. 经过点（1，2，3），且与直线213221-=-=+z y x 垂直的平面之方程为 4.在空间直角坐标系中，经过点(1,1,2)P -且垂直于平面2x －2y ＋3z ＝1的直线之方程为5.在空间直角坐标中，经过坐标原点作直线垂直于平面x ＋2y －2z ＝3，则垂足的坐标为6.在空间垂直角坐标系O －xyz 中，若平面ax ＋2y ＋3z ＝1 与平面2x ＋y －az ＝2互相垂直，则a 的值7.在空间直角坐标系O —xyz 中，若原点到平面3x －2y ＋az ＝1的距离等于71，则a 的值为 8.在空间直角坐标系O －xyz 中，经过点P (3，1，0)，且与直线⎩⎨⎧=+-=+4222z y x y x 垂直的平面的方程为9.在空间直角坐标系O －xyz 中，经过A(1，0，2)，B(1，1，－1)，和C(2，－1，1)，三个点的平面方程为____________________10.把直线L 的一般方程2220260x y z x y z -++=⎧⎨+-+=⎩化为直线的点向式方程是____________________ 11.两平面2702110x y z x y z -+-=++-=与之间的夹角___________12.通过点A(2,-1,3)作平面22110x y z --+=,的垂线，求平面上的垂足是 ______________13.过点A （1，2，-2）且通过直线L ： 21131x z y --=+=-的平面方程____ _____________ 14.在空间直坐标系O －xyz 中，给出点A(1， 0， 2)和平面π：2x ＋ y － z ＝ 3.过点A 作平面π的垂线l ，点B 是垂足．求直线l 的方程和点B 的坐标．15.在空间直角坐标系中，给定两点A （0，1，0）、B （1，0，1）和平面π：2x －3y ＋z ＋5＝ 0。

2019年港澳、华侨、台联考高考数学试卷一、选择题：1．设集合P＝{x|x2﹣2＞0}，Q＝{1，2，3，4}，则P∩Q的非空子集的个数为（）A．8 B．7 C．4 D．32．复数z＝在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．若直线x＝5与圆x2+y2﹣6x+a＝0相切，则a＝（）A．13 B．5 C．﹣5 D．﹣134．经过点（1，﹣1，3）且与平面2x+y﹣z+4＝0平行的平面方程为（）A．2x+y﹣z+2＝0 B．2x+y+z﹣6＝0 C．2x+y+z﹣4＝0 D．2x+y﹣z﹣3＝0 5．下列函数中，为偶函数的是（）A．y＝（x+1）2B．y＝2﹣xC．y＝|sin x| D．y＝lg（x+1）+lg（x﹣1）6．（2+1）6的展开式中x的系数是（）A．120 B．60 C．30 D．157．若x2+2除x4+3x3+a的余式为﹣6x，则a＝（）A．16 B．8 C．4 D．﹣48．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0），过C的左焦点且垂直于x轴的直线交C 于M，N两点，若以MN为直径的圆经过C的右焦点，则C的离心率为（）A．+1 B．2 C．D．9．3+33+35+…+32n+1＝（）A．（9n﹣1）B．（9n+1﹣1）C．（9n﹣1）D．（9n+1﹣1）10．已知tan A＝2，则＝（）A．B．C．3 D．511．在Rt△ABC中，AB＝BC，在BC边上随机取点P，则∠BAP＜30°的概率为（）A．B．C．D．12．正三棱锥P﹣ABC的侧面都是直角三角形，E，F分别是AB，BC的中点，则PB与平面PEF所成角的正弦为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

13．若函数f（x）＝e ax+ln（x+1），f'（0）＝4，则a＝．14．已知向量＝（1，m），＝（3，1），若⊥，则m＝．15．若5个男生和2个女生随机排成一行，则两端都是女生的概率为．16．若log（4x﹣1）＞﹣2，则x的取值范围是．17．已知平面α截球O的球面所得圆的面积为π，O到α的距离为3，则球O的表面积为．18．已知f（x）＝，若f（a）+f（﹣2）＝0，则a＝三、解答题：本大题共4小题，每小题15分，共60分。

数列综合题1．已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =，且2a ，3a ，41a +成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()22n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．2．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()...,2,112=-=n a S n n .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()2,...,2,111==+=+b n b a b n n n ，求数列{}n b 的通项公式.3．已知等差数列{}n a 的公差0> d ，其前n 项和为n S , 11=a ,3632=S S ；（1）求出数列{}n a 的通项公式n a 及前n 项和公式nS （2）若数列{}n b 满足)2(,211≥=-=-n d b b b nn n ，求数列{}n b 的通项公式nb4．等差数列{}n a 中，11-=a ，公差0≠d 且632,,a a a 成等比数列，前n 项的和为n S .（1）求n a 及n S ;（2）设11+=n n n a a b ，n n b b b T +++= 21，求n T .5．已知数列{}n a 满足22a =，n S 为其前n 项和，且(1)(1,2,3,)2n n a n S n +== .（1）求1a 的值；（2）求证：1(2)1n n na a n n -=≥-；（3）判断数列{}n a 是否为等差数列，并说明理由.6．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()122n n S p n N +*=+∈.（I ）求p 的值及数列{}n a 的通项公式；（II ）若数列{}n b 满足()132n n a bn a p +=+，求数列{}n b 的前n 项和n T .7．在数列}{n a 中，c c a a a n n (,111+==+为常数，)*∈N n ，521,,a a a 构成公比不等于1的等比数列.记11+=n n n a a b （)*∈N n ．（Ⅰ）求c 的值；（Ⅱ）设}{n b 的前n 项和为n R ，是否存在正整数k ，使得kk R 2≥成立？若存在，找出一个正整数k ；若不存在，请说明理由.8．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()()*31N n a S n n ∈-=．（Ⅰ）求21,a a ；（Ⅱ）求证：数列{}n a 是等比数列．9．设数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，数列{}n b 满足21(1)log n nb n a =+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和n T ．10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n n S n +=2.（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若*)(,1211N n a b n n n n ∈-+=+求数列}{n b 的前n 项和n S .11．在数列{}n a 中，,31=a )n n 2,n 2-n 21*-∈≥+=且（n n a a （1）求32,a a 的值；（2）证明：数列{}n a n +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（3）求数列{}n a 的前n 项和n S .12．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n 都有612n n S a =-，记12log n n b a =．（1）求1a ,2a 的值；（2）求数列{}n b 的通项公式；（3）若11,0,n n n c c b c +-==求证：对任意*2311132,4n n n N c c c ≥∈+++< 都有．13．设数列{a n }是等差数列，数列{b n }的前n 项和S n 满足3(1)2n n S b =-且2152,.a b a b ==（Ⅰ）求数列{a n }和{b n }的通项公式：（Ⅱ）设T n 为数列{S n }的前n 项和，求T n ．14．在数列}{n a 和等比数列}{n b 中，01=a ，23=a ，1*2()n a n b n N +=∈．（Ⅰ）求数列{}n b 及}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若n n n b a c ⋅=，求数列{}n c 的前n 项和n S ．15．设等比数列{n a }的前n 项和为n S ，已知对任意的+∈N n ，点(,)n n S ，均在函数r y x+=2的图像上.（Ⅰ）求r 的值；（Ⅱ）记n na a ab 2log 2log 2log 22212+++= 求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1的前n 项和n T .16．设数列{}n a 满足：11,a =()121*n n a a n N +=+∈.（I ）证明数列{1}n a +为等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式;（II ）若2log (1)n n b a =+,求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .17．已知数列{}n a 是一个递增的等比数列，前n 项和为n S ，且42=a ，143=S ，①求{}n a 的通项公式；②若n n a C 2log =，求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n 的前n 项和nT 18．数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +-=（c 是常数，123n = ，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列．（Ⅰ）求c 的值；（Ⅱ）求{}n a 的通项公式．19．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n n S a =-，等差数列{}n b 满足11b a =，47b =．（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）设11n n n c b b +=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证12n T <．20．已知数列{}n a 的各项都是正数，前n 项和是n S ，且点(),2n n a S 在函数2y x x =+的图像上．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设121,2n n n nb T b b b S ==+++ ，求n T ．21．已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ．（Ⅰ）求n a 及n S ；（Ⅱ）令b n =211n a -(n ∈N *)，求数列{}n b 的前n 项和n T ．22．已知数列{}n a 中，13a =，满足)2(1221≥-+=-n a a nn n 。

2019 年华侨港澳台联考数学真题分析深圳城院教育港澳台联考中心：陈军经过一年紧张有序、有效的复习备考，2019 港澳台侨联考顺利结束！从同学们反馈的消息来看，会大概率出现高分，且占比较高！平常数学基础比较弱的同学，对数学预测还比较满意。

一是今年联考基础题出现的比较多，二是同学们害怕的立体几何解答题没考！对今年联考数学的备考反思了两天，我觉得有必要对过往一年的全国港澳台联考数学复习备考教学有所总结，更重要的是想和即将迎接联考的同学们谈一谈，聊一聊数学学习问题！很遗憾还没能看到真题，只能通过对学生的回访，尽量来还原真题.整套试卷依然分为三部分（第一部分：选择题12 道，每题 5 分共60 分；第二部分：填空题 6 道，每道 5 分共30 分；第三部分：解答题 4 道，每题15 分共60 分），考试时间120 分钟.难易平稳过渡，考点整体向高考指导思想靠拢！和我们之前的备考设想保持一致，重点考查的题型和我们冲刺训练及模拟考试题型基本一致！很多同学考试出来，听到最多的就是“数学好简单”，“”比我们平常练习的还简单”，“应该不错！”“130 多应该没问题！”我想这是每一位送考老师最愿意听到的！第一部分：（选择题）基础题型，考点对应高中数学基本知识点.主要考查运算、公式、公理等。

一般同学基本零失误，这和我们考前冲刺基础训练有很大的相关关系.这里我对文理不同层次的学生采用分段训练（选填专项训练，文科一节考两节讲，理科一节考一节讲），文科强运算，强公式.理科强方法，强效率。

从最开始45分钟不能完成选填，到最后文理差不多都能40分钟完成，5分钟对答案。

第二部分：（填空题）基础题型，考点主要强运用。

例如：第14题考查向量坐标运算，第15题解对数不等式，运用对数函数定义域及单调性。

和我们考前冲刺《选填专项训练6》的第14题基本一样，第16题概率题对应城院教育港澳台中心《港澳台侨联考4月份第二次模拟考试》第15题，主要考查排列组合的基本运用，第17题分段函数求值题对应我们的复习资料《城院教育：联考教材第十一章11.2》，第18题考查球的表面积，比我们预想的要简单得多。

2019年华侨、港澳、台联考高考数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）（2019•全国）设集合P ＝{x |x 2﹣2＞0}，Q ＝{1，2，3，4}，则P ∩Q 的非空子集的个数为（ ） A ．8B ．7C ．4D ．32．（5分）（2019•全国）复数z 在复平面内对应的点在（ ）=1‒i 2i A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）（2019•全国）若直线x ＝5与圆x 2+y 2﹣6x +a ＝0相切，则a ＝（ ） A ．13B ．5C ．﹣5D ．﹣134．（5分）（2019•全国）经过点（1，﹣1，3）且与平面2x +y ﹣z +4＝0平行的平面方程为（ ） A ．2x +y ﹣z +2＝0B ．2x +y +z ﹣6＝0C ．2x +y +z ﹣4＝0D ．2x +y ﹣z ﹣3＝05．（5分）（2019•全国）下列函数中，为偶函数的是（ ） A ．y ＝（x +1）2 B ．y ＝2﹣xC ．y ＝|sin x |D ．y ＝lg （x +1）+lg （x ﹣1）6．（5分）（2019•全国）（21）6的展开式中x 的系数是（ ） x +A ．120B ．60C ．30D ．157．（5分）（2019•全国）若x 2+2除x 4+3x 3+a 的余式为﹣6x ，则a ＝（ ） A ．16B ．8C ．4D ．﹣48．（5分）（2019•全国）已知双曲线C ：1（a ＞0，b ＞0），过C 的左焦点且垂直x 2a 2‒y 2b 2=于x 轴的直线交C 于M ，N 两点，若以MN 为直径的圆经过C 的右焦点，则C 的离心率为（ ） A ．1B ．2C ．D ．2+329．（5分）（2019•全国）3+33+35+…+32n +1＝（ ）A ．（9n ﹣1）B ．（9n +1﹣1）C ．（9n ﹣1）D ．（9n +1﹣1）3232383810．（5分）（2019•全国）已知tan A ＝2，则（ ） sin2A +cos 2A1+cos2A=A ．B ．C ．3D ．5325211．（5分）（2019•全国）在Rt △ABC 中，AB ＝BC ，在BC 边上随机取点P ，则∠BAP ＜30°的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．1233233212．（5分）（2019•全国）正三棱锥P ﹣ABC 的侧面都是直角三角形，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，则PB 与平面PEF 所成角的正弦为（ ）A ．B ．C ．D ．36663363二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2019年华侨、港澳、台联考高考数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设集合＝，＝，则的非空子集的个数为（）A. B. C. D.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】可求出集合，从而进行交集的运算求出＝，从而得出的非空子集的个数为：个．【解答】；∴＝；∴的非空子集的个数为：个．2. 复数在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【考点】复数的代数表示法及其几何意义【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出的坐标得答案．【解答】∵，∴在复平面内对应的点的坐标为，在第三象限．3. 若直线＝与圆＝相切，则＝（）A. B. C. D.【答案】B【考点】圆的切线方程【解析】根据题意，分析圆的圆心与半径，结合直线与圆的位置关系可得圆的半径＝＝，即可得，解可得的值，即可得答案．【解答】根据题意，圆＝即＝，其圆心为，半径，若直线＝与圆＝相切，则圆的半径＝＝，则有，解可得：＝；4. 经过点且与平面＝平行的平面方程为（）A.＝B.＝C.＝D.＝【答案】A【考点】空间点、线、面的位置【解析】设与平面＝平行的平面方程为＝，代入点的坐标求出的值即可．【解答】设与平面＝平行的平面方程为＝，代入点，得＝，解得＝，则所求的平面方程为＝．5. 下列函数中，为偶函数的是（）A.＝B.＝C.＝D.＝【答案】C【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】根据函数奇偶性的定义分别进行判断即可．【解答】．函数关于＝对称，函数为非奇非偶函数，．函数的减函数，不具备对称性，不是偶函数，，＝＝＝＝，则函数是偶函数，满足条件．．由得得，函数的定义为，定义域关于原点不对称，为非奇非偶函数，6. 的展开式中的系数是（）A. B. C. D.【答案】B【考点】二项式定理及相关概念【解析】由二项式定理及展开式的通项得：＝，令，解得＝，则的展开式中的系数是，得解．【解答】由二项式的展开式的通项为＝，令，解得＝，则的展开式中的系数是，7. 若除的余式为，则＝（）A. B. C. D.【答案】D【考点】多项式的除法定理【解析】＝，根据条件可得＝，解出即可．【解答】＝，∵除的余式为，∴＝，∴＝．8. 已知双曲线，过的左焦点且垂直于轴的直线交于，两点，若以为直径的圆经过的右焦点，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【考点】双曲线的离心率【解析】设双曲线的左焦点为，右焦点为，利用以为直径的圆恰好过双曲线的右焦点，可得＝，从而可建立方程，即可求得双曲线的离心率．【解答】设双曲线的左焦点为，右焦点为，∵以为直径的圆恰好过双曲线的右焦点，∴＝，∴，∴＝，∴＝，∴，∵，∴，9. ＝（）A.B.C.D.【答案】D【考点】等比数列的前n项和【解析】可看出，数列，，，…，是首项为，公比为的等比数列，并且是第项，从而根据等比数列的前项和公式求该等比数列的前项的和即可．【解答】数列，，，…，是首项为，公比为的等比数列；且是第项；∴．10. 已知＝，则A. B. C. D.【答案】B【考点】三角函数的恒等变换及化简求值二倍角的三角函数【解析】利用二倍角公式以及同角三角函数基本关系式化简所求表达式为正切函数的形式，代入求解即可．【解答】＝，则．11. 在中，＝，在边上随机取点，则的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】我们要根据已知条件，动点到定点的距离对应线段的长度，代入几何概型计算公式即可求出答案．在中，＝，为等腰直角三角形，令＝＝，则：；在边上随机取点，当＝时，＝，在边上随机取点，则的概率为：，12. 正三棱锥的侧面都是直角三角形，，分别是，的中点，则与平面所成角的正弦为（）A. B. C. D.【答案】C【考点】直线与平面所成的角【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出与平面所成角的正弦值．【解答】∵正三棱锥的侧面都是直角三角形，，分别是，的中点，∴以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设＝＝＝，则，，，，，，，，设平面的法向量，则，取＝，得，设与平面所成角为，则．∴与平面所成角的正弦值为．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

台湾省2019年中考数学试题(解析版)一、选择题（本大题共26小题）1．（2019•台湾）算式（﹣2）×|﹣5|﹣|﹣3|之值为何（）A．13 B．7 C．﹣13 D．﹣7【分析】原式先计算绝对值运算，再计算乘法运算，最后算加减运算即可得到结果．【解答】解：原式=﹣2×5﹣3=﹣10﹣3=﹣13，故选C【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．（2019•台湾）下列哪一个选项中的等式成立（）A．=2 B．=3 C．=4 D．=5【分析】根据二次根式的性质和化简方法，逐项判断即可．【解答】解：∵=2，∴选项A符合题意；∵=3，∴选项B不符合题意；∵=16，∴选项C不符合题意；∵=25，∴选项D不符合题意．故选：A．【点评】此题主要考查了二次根式的性质和化简，要熟练掌握，化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．3．（2019•台湾）计算6x•（3﹣2x）的结果，与下列哪一个式子相同（）A．﹣12x2+18x B．﹣12x2+3 C．16x D．6x【分析】根据单项式乘以多项式法则可得．【解答】解：6x•（3﹣2x）=18x﹣12x2，故选：A．【点评】本题主要考查整式的乘法，熟练掌握单项式乘以多项式的法则是解题的关键．4．（2019•台湾）若阿光以四种不同的方式连接正六边形ABCDEF的两条对角线，连接后的情形如下列选项中的图形所示，则下列哪一个图形不是轴对称图形（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项正确；故选：D．【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念．5．（2019•台湾）已知坐标平面上有两直线相交于一点（2，a），且两直线的方程式分别为2x+3y=7，3x﹣2y=b，其中a，b为两数，求a+b之值为何（）A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5【分析】把问题转化为关于a、b的方程组即可解决问题．【解答】解：由题意，解得，∴a+b=5，故选C．【点评】本题考查两条直线相交或平行的性质，二元一次方程组等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题．6．（2019•台湾）阿信、小怡两人打算搭乘同一班次电车上学，若此班次电车共有5节车厢，且阿信从任意一节车厢上车的机会相等，小怡从任意一节车厢上车的机会相等，则两人从同一节车厢上车的概率为何（）A．B．C．D．【分析】根据阿信、小怡各有5节车厢可选择，共有25种，两人在不同车厢的情况数是20种，得出在同一节车厢上车的情况数是5种，根据概率公式即可得出答案．【解答】解：二人上5节车厢的情况数是：5×5=25，两人在不同车厢的情况数是5×4=20，则两人从同一节车厢上车的概率是=；故选B．【点评】此题主要考查了概率的求法．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．7．（2019•台湾）平面上有A、B、C三点，其中AB=3，BC=4，AC=5，若分别以A、B、C为圆心，半径长为2画圆，画出圆A，圆B，圆C，则下列叙述何者正确（）A．圆A与圆C外切，圆B与圆C外切B．圆A与圆C外切，圆B与圆C外离C．圆A与圆C外离，圆B与圆C外切D．圆A与圆C外离，圆B与圆C外离【分析】根据圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系，即可判定．【解答】解：∵AC=5＞2+2，即AC＞R A+R B，∴⊙A与⊙C外离，∵BC=4=2+2，即BC=R B+R C，∴⊙B与⊙C相切．故选C．【点评】本题考查圆与圆的位置关系，记住：①两圆外离⇔d＞R+r；②两圆外切⇔d=R+r；③两圆相交⇔R﹣r＜d＜R+r（R≥r）；④两圆内切⇔d=R﹣r（R＞r）；⑤两圆内含⇔d＜R﹣r（R＞r）是解题的关键．8．（2019•台湾）下列选项中所表示的数，哪一个与252的最大公因数为42（）A．2×3×52×72B．2×32×5×72C．22×3×52×7 D．22×32×5×7【分析】先将42与252分别分解质因数，再找到与252的最大公因数为42的数即可．【解答】解：∵42=2×3×7，252=22×32×7，∴2×3×52×72与252的最大公因数为42．故选：A．【点评】考查了有理数的乘方，有理数的乘法，关键是将42与252分解质因数．9．（2019•台湾）某高中的篮球队球员中，一、二年级的成员共有8人，三年级的成员有3人，一、二年级的成员身高（单位：公分）如下：172，172，174，174，176，176，178，178若队中所有成员的平均身高为178公分，则队中三年级成员的平均身高为几公分（）A．178 B．181 C．183 D．186【分析】先求出一、二年级的成员的总共身高，再根据总数=平均数×数量可求一、二、三年级的成员的总共身高，依此可求三年级成员的总共身高，再除以3即可求解．【解答】解：172+172+174+174+176+176+178+178=1400（公分），（178×11﹣1400）÷3=（1958﹣1400）÷3=186（公分）．答：队中三年级成员的平均身高为186公分．故选：D．【点评】考查了平均数问题，关键是熟练掌握平均数的计算公式．10．（2019•台湾）已知在卡乐芙超市内购物总金额超过190元时，购物总金额有打八折的优惠，安妮带200元到卡乐芙超市买棒棒糖．若棒棒糖每根9元，则她最多可买多少根棒棒糖（）A．22 B．23 C．27 D．28【分析】设买x根棒棒糖，根据题意列出不等式，解不等式即可．【解答】解：设买x根棒棒糖，由题意得，9x×0.8≤200，解得，x≤，∴她最多可买27根棒棒糖，故选：C．【点评】本题考查的是一元一次不等式的应用，根据题意正确列出不等式、并正确解出不等式是解题的关键．11．（2019•台湾）如图，△ABC中，D，E两点分别在AB，BC上，若AD：DB=CE：EB=2：3，则△DBE与△ADC的面积比为（）A．3：5 B．4：5 C．9：10 D．15：16【分析】根据三角形面积求法进而得出S△BDC ：S△ADC=3：2，S△BDE：S△DCE=3：2，即可得出答案．【解答】解：∵AD：DB=CE：EB=2：3，∴S△BDC ：S△ADC=3：2，S△BDE：S△DCE=3：2，∴设S△BDC =3x，则S△ADC=2x，S△BED=1.8x，S△DCE=1.2x，故△DBE与△ADC的面积比为：1.8x：2x=9：10．故选：C．【点评】此题主要考查了三角形面积求法，正确利用三角形边长关系得出面积比是解题关键．12．（2019•台湾）一元二次方程式x2﹣8x=48可表示成（x﹣a）2=48+b的形式，其中a、b为整数，求a+b之值为何（）A．20 B．12 C．﹣12 D．﹣20【分析】将一元二次方程式x2﹣8x=48配方，可求a、b，再代入代数式即可求解．【解答】解：x2﹣8x=48，x2﹣8x+16=48+16，（x﹣4）2=48+16，a=4，b=16，a+b=20．故选：A．【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．13．（2019•台湾）已知坐标平面上有一长方形ABCD，其坐标分别为A（0，0），B（2，0），C（2，1），D（0，1），今固定B点并将此长方形依顺时针方向旋转，如图所示．若旋转后C点的坐标为（3，0），则旋转后D点的坐标为何（）A．（2，2） B．（2，3） C．（3，3） D．（3，2）【分析】先根据旋转后C点的坐标为（3，0），得出点C落在x轴上，再根据AC=3，DC=2，即可得到点D的坐标为（3，2）．【解答】解：∵旋转后C点的坐标为（3，0），∴点C落在x轴上，∴此时AC=3，DC=2，∴点D的坐标为（3，2），故选：D．【点评】本题主要考查了旋转的性质以及矩形的性质的运用，解题时注意：矩形的四个角都是直角，对边相等．14．（2019•台湾）如图为平面上五条直线L1，L2，L3，L4，L5相交的情形，根据图中标示的角度，判断下列叙述何者正确（）A．L1和L3平行，L2和L3平行B．L1和L3平行，L2和L3不平行C．L1和L3不平行，L2和L3平行D．L1和L3不平行，L2和L3不平行【分析】根据同旁内角不互补，可得两直线不平行；根据内错角相等，可得两直线平行．【解答】解：∵92°+92°≠180°，∴L1和L3不平行，∵88°=88°，∴L2和L3平行，故选：C．【点评】本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行．15．（2019•台湾）威立到小吃店买水饺，他身上带的钱恰好等于15粒虾仁水饺或20粒韭菜水饺的价钱，若威立先买了9粒虾仁水饺，则他身上剩下的钱恰好可买多少粒韭菜水饺（）A．6 B．8 C．9 D．12【分析】可设1粒虾仁水饺为x元，1粒韭菜水饺为y元，由题意可得到y与x 之间的关系式，再利用整体思想可求得答案．【解答】解：设1粒虾仁水饺为x元，1粒韭菜水饺为y元，则由题意可得15x=20y，∴3x=4y，∴15x﹣9x=6x=2×3x=2×4y=8y，∴他身上剩下的钱恰好可买8粒韭菜水饺，故选B．【点评】本题主要考查方程的应用，利用条件找到1粒虾仁水饺和1粒韭菜水饺的价钱之间的关系是解题的关键，注意整体思想的应用．16．（2019•台湾）将图1中五边形纸片ABCDE的A点以BE为折线往下折，A点恰好落在CD上，如图2所示，再分别以图2的AB，AE为折线，将C，D两点往上折，使得A、B、C、D、E五点均在同一平面上，如图3所示，若图1中∠A=124°，则图3中∠CAD的度数为何（）A．56 B．60 C．62 D．68【分析】根据三角形内角和定理和折叠的性质来解答即可．【解答】解：由图（2）知，∠BAC+∠EAD=180°﹣124°=56°，所以图（3）中∠CAD=180°﹣56°×2=68°．故选：D．【点评】本题考查了多边形内角与外角，结合图形解答，需要学生具备一定的读图能力和空间想象能力．17．（2019•台湾）若a，b为两质数且相差2，则ab+1之值可能为下列何者（）A．392B．402C．412D．422【分析】根据选项的数值，得到ab+1的值，进一步根据平方差公式得到ab的乘积形式，再根据质数的定义即可求解．【解答】解：A、当ab+1=392时，ab=392﹣1=40×38，与a，b为两质数且相差2不符合，故本选项错误；B、当ab+1=402时，ab=402﹣1=41×39，与a，b为两质数且相差2不符合，故本选项错误；C、当ab+1=412时，ab=412﹣1=42×40，与a，b为两质数且相差2不符合，故本选项错误；D、当ab+1=422时，ab=422﹣1=43×41，正好与a，b为两质数且相差2符合，故本选项正确，故选：D．【点评】本题考查的是因式分解的应用，质数的定义，解答此类题目的关键是得到ab是哪两个相差为2的数的积．18．（2019•台湾）如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，判断下列叙述何者正确（）A．O是△AEB的外心，O是△AED的外心B．O是△AEB的外心，O不是△AED的外心C．O不是△AEB的外心，O是△AED的外心D．O不是△AEB的外心，O不是△AED的外心【分析】根据三角形的外心的性质，可以证明O是△ABE的外心，不是△AED的外心．【解答】解：如图，连接OA、OB、OD．∵O是△ABC的外心，∴OA=OB=OC，∵四边形OCDE是正方形，∴OA=OB=OE，∴O是△ABE的外心，∵OA=OE≠OD，∴O表示△AED的外心，故选B．【点评】本题考查三角形的外心的性质．正方形的性质等知识，解本题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．19．（2019•台湾）如图为互相垂直的两直线将四边形ABCD分成四个区域的情形，若∠A=100°，∠B=∠D=85°，∠C=90°，则根据图中标示的角，判断下列∠1，∠2，∠3的大小关系，何者正确（）A．∠1=∠2＞∠3 B．∠1=∠3＞∠2 C．∠2＞∠1=∠3 D．∠3＞∠1=∠2【分析】根据多边形的内角和与外角和即可判断．【解答】解：∵（180°﹣∠1）+∠2=360°﹣90°﹣90°=180°∴∠1=∠2∵（180°﹣∠2）+∠3=360°﹣85°﹣90°=185°∴∠3﹣∠2=5°，∴∠3＞∠2∴∠3＞∠1=∠2故选（D）【点评】本题考查多边形的内角与外角，解题的关键是熟练运用多边形的内角和与外角和，本题属于基础题型．20．（2019•台湾）如图的数轴上有O、A、B三点，其中O为原点，A点所表示的数为106，根据图中数轴上这三点之间的实际距离进行估计，下列何者最接近B点所表示的数（）A．2×106B．4×106C．2×107D．4×108【分析】根据数轴上的数据求出OA的长度，从而估算出OB的长度，即可估算出点B表示的数，从而得解．【解答】解：由数轴的信息知：OA=106；∴B点表示的实数为：20=2×107；故选C．【点评】本题考查了数轴与有理数的加法运算，求出点D表示的数是解题的关键．21．（2019•台湾）如图，△ABC、△ADE中，C、E两点分别在AD、AB上，且BC 与DE相交于F点，若∠A=90°，∠B=∠D=30°，AC=AE=1，则四边形AEFC的周长为何（）A．2 B．2 C．2+D．2+【分析】根据三角形的内角和得到∠AED=∠ACB=60°，根据三角形的外角的性质得到∠B=∠EFB=∠CFD=∠D，根据等腰三角形的判定得到BE=EF=CF=CD，于是得到四边形AEFC的周长=AB+AC．【解答】解：∵∠A=90°，∠B=∠D=30°，∴∠AED=∠ACB=60°，∵∠AED=∠B+∠EFB=∠ACB=∠CFD+∠D=60°，∴∠EFB=∠CFD=30°，∴∠B=∠EFB=∠CFD=∠D，∴BE=EF=CF=CD，∴四边形AEFC的周长=AB+AC，∵∠A=90°，AE=AC=1，∴AB=AD=，∴四边形AEFC的周长=2．故选B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，三角形的外角的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．22．（2019•台湾）已知坐标平面上有两个二次函数y=a（x+1）（x﹣7），y=b（x+1）（x﹣15）的图形，其中a、b为整数．判断将二次函数y=b（x+1）（x﹣15）的图形依下列哪一种方式平移后，会使得此两图形的对称轴重叠（）A．向左平移4单位 B．向右平移4单位C．向左平移8单位 D．向右平移8单位【分析】将二次函数解析式展开，结合二次函数的性质找出两二次函数的对称轴，二者做差后即可得出平移方向及距离．【解答】解：∵y=a（x+1）（x﹣7）=ax2﹣6ax﹣7a，y=b（x+1）（x﹣15）=bx2﹣14bx ﹣15b，∴二次函数y=a（x+1）（x﹣7）的对称轴为直线x=3，二次函数y=b（x+1）（x﹣15）的对称轴为直线x=7，∵3﹣7=﹣4，∴将二次函数y=b（x+1）（x﹣15）的图形向左平移4个单位，两图形的对称轴重叠．故选A．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换以及二次函数的性质，根据二次函数的性质找出两个二次函数的对称轴是解题的关键．23．（2019•台湾）如图为阿辉，小燕一起到商店分别买了数杯饮料与在家分饮料的经过．若每杯饮料的价格均相同，则根据图中的对话，判断阿辉买了多少杯饮料（）A．22 B．25 C．47 D．50【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果．【解答】解：根据题意得：[（1000+120）﹣（2000﹣1120）]÷6=40，880÷40=22（杯），则阿辉买了22杯饮料，故选A【点评】此题考查了有理数的混合运算，列出正确的算式是解本题的关键．24．（2019•台湾）如图，水平桌面上有个内部装水的长方体箱子，箱内有一个与底面垂直的隔板，且隔板左右两侧的水面高度为别为40公分，50公分，今将隔板抽出，若过程中箱内的水量未改变，且不计箱子及隔板厚度，则根据图中的数据，求隔板抽出后水面静止时，箱内的水面高度为多少公分（）A．43 B．44 C．45 D．46【分析】设长方形的宽为x公分，抽出隔板后之水面高度为h公分，根据题意列出方程，求出方程的解即可．【解答】解：设长方形的宽为x公分，抽出隔板后之水面高度为h公分，长方形的长为130+70=200（公分）×40+×50=200•x•h，解得：h=44，故选B．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，能根据题意列出方程是解此题的关键．25．（2019•台湾）如图，某计算机中有、、三个按键，以下是这三个按键的功能．1．：将荧幕显示的数变成它的正平方根，例如：荧幕显示的数为49时，按下后会变成7．2．：将荧幕显示的数变成它的倒数，例如：荧幕显示的数为25时，按下后会变成0.04．3．：将荧幕显示的数变成它的平方，例如：荧幕显示的数为6时，按下后会变成36．若荧幕显示的数为100时，小刘第一下按，第二下按，第三下按，之后以、、的顺序轮流按，则当他按了第100下后荧幕显示的数是多少（）A．0.01 B．0.1 C．10 D．100【分析】根据题中的按键顺序确定出显示的数即可．【解答】解：根据题意得：=10，=0.1，0.12=0.01，=0.1，=10，102=100，100÷6=16…4，则第100次为0.1．故选B【点评】此题考查了计算器﹣数的平方，弄清按键顺序是解本题的关键．26．（2019•台湾）如图为两正方形ABCD，BPQR重叠的情形，其中R点在AD上，CD与QR相交于S点．若两正方形ABCD、BPQR的面积分别为16、25，则四边形RBCS的面积为何（）A．8 B．C．D．【分析】根据正方形的边长，根据勾股定理求出AR ，求出△ABR ∽△DRS ，求出DS ，根据面积公式求出即可．【解答】解：∵正方形ABCD 的面积为16，正方形BPQR 面积为25， ∴正方形ABCD 的边长为4，正方形BPQR 的边长为5， 在Rt △ABR 中，AB=4，BR=5，由勾股定理得：AR=3， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠A=∠D=∠BRQ=90°，∴∠ABR +∠ARB=90°，∠ARB +∠DRS=90°， ∴∠ABR=∠DRS ， ∵∠A=∠D ， ∴△ABR ∽△DRS ， ∴=， ∴=，∴DS=，∴阴影部分的面积S=S 正方形ABCD ﹣S △ABR ﹣S △RDS =4×4﹣﹣1××=，故选D ．【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，能求出△ABR 和△RDS 的面积是解此题的关键．二、解答题（本大题共2小题）27．（2019•台湾）今有甲、乙、丙三名候选人参与某村村长选举，共发出1800张选票，得票数最高者为当选人，且废票不计入任何一位候选人之得票数内，全村设有四个投开票所，目前第一、第二、第三投开票所已开完所有选票，剩下第四投开票所尚未开票，结果如表所示：投开票所候选人废票合计甲乙丙一20021114712570二2868524415630三97412057350四250（单位：票）请回答下列问题：（1）请分别写出目前甲、乙、丙三名候选人的得票数；（2）承（1），请分别判断甲、乙两名候选人是否还有机会当选村长，并详细解释或完整写出你的解题过程．【分析】（1）直接根据题意将三个投票所得所有票数相加得出答案；（2）利用（1）中所求，进而分别分析得票的张数得出答案．【解答】解：（1）由图表可得：甲得票数为：200+286+97=583；乙得票数为：211+85+41=337；丙得票数为：147+244+205=596；（2）由（1）得：596﹣583=13，即丙目前领先甲13票，所以第四投票所甲赢丙14票以上，则甲当选，故甲可能当选；596﹣337=259＞250，若第四投票所250票皆给乙，乙的总票数仍然比丙低，故乙不可能当选．【点评】此题主要考查了推理与论证，正确利用表格中数据分析得票情况是解题关键．28．（2019•台湾）如图，在坐标平面上，O为原点，另有A（0，3），B（﹣5，0），C（6，0）三点，直线L通过C点且与y轴相交于D点，请回答下列问题：（1）已知直线L的方程为5x﹣3y=k，求k的值．（2）承（1），请完整说明△AOB与△COD相似的理由．【分析】（1）利用函数图象上的点的特点，即可求出k的值；（2）先求出OA，OB，OC，OD，即可得出，即可得出结论．【解答】解：（1）∵直线L：5x﹣3y=k过点C（6，0），∴5×6﹣3×0=k，∴k=30，（2）由（1）知，直线L：5x﹣3y=30，∵直线L与y轴的交点为D，令x=0，∴﹣3y=30，∴y=﹣10，∴D（0，﹣10），∴OD=10，∵A（0，3），B（﹣5，0），C（6，0），∴OA=3，OB=5，OC=6，∴=，=，∴，∵∠AOB=∠COD=90°，∴△AOB∽△COD．【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了函数图象上点的特点，相似三角形的判定，解本题的根据是求出点D的坐标．。

2019华侨港澳台联考高考数学试卷附答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）设集合P＝{x|x2﹣2＞0}，Q＝{1，2，3，4}，则P∩Q的非空子集的个数为（）A．8B．7C．4D．32．（5分）复数z ＝在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）若直线x＝5与圆x2+y2﹣6x+a＝0相切，则a＝（）A．13B．5C．﹣5D．﹣134．（5分）经过点（1，﹣1，3）且与平面2x+y﹣z+4＝0平行的平面方程为（）A．2x+y﹣z+2＝0B．2x+y+z﹣6＝0C．2x+y+z﹣4＝0D．2x+y﹣z﹣3＝0 5．（5分）下列函数中，为偶函数的是（）A．y＝（x+1）2B．y＝2﹣xC．y＝|sin x|D．y＝lg（x+1）+lg（x﹣1）6．（5分）（2+1）6的展开式中x的系数是（）A．120B．60C．30D．157．（5分）若x2+2除x4+3x3+a的余式为﹣6x，则a＝（）A．16B．8C．4D．﹣48．（5分）已知双曲线C ：﹣＝1（a＞0，b＞0），过C的左焦点且垂直于x轴的直线交C于M，N两点，若以MN为直径的圆经过C的右焦点，则C的离心率为（）A ．+1B．2C ．D ．9．（5分）3+33+35+…+32n+1＝（）A ．（9n﹣1）B ．（9n+1﹣1）C ．（9n﹣1）D ．（9n+1﹣1）10．（5分）已知tan A＝2，则＝（）A ．B ．C．3D．511．（5分）在Rt△ABC中，AB＝BC，在BC边上随机取点P，则∠BAP＜30°的概率为（）1 / 10。

2019年中国香港数学奥林匹克竞赛试卷
1、两个数列定义如下：
a1=1，a2=10，a n+1=2a n+3a n-1，n=2，3，4，…
b1=1，b2=8，b n+1=3b n+4b n-1，n＝2，3，4，…
请证明：除1之外，两个数列没有相同的数字。

2、集合S＝1，2，…，100。

对于正整数n，将S划分为非空且互不相交的集合S1，S2，…，S n，此时S＝。

设a i表示S i的元素的平均值。

求
的最小值。

3、等腰ABC中，AB＝AC，ABC内心为I，内切圆Γ与AB和AC分别切于点F和E，设Ω为AFE的外接圆，Γ与Ω的两条外公切线交于点P。

若其中一条外公切线与AC平行，求证：∠PBI＝90
4、某国有n3个城市，对任意两个城市A和B，要么存在一条从A 往B的单向道路，要么存在一条从B往A的单向道路，但不会两条道路都存在。

假设从任意一个城市都可以经过若干条道路到达任意另一个城市，设d(A,B)表示从A到达B最少要经过的道路个数，考虑所有满足条件的设置道路的方法，求的最小值。

参考答案。