导数解公切线专题
1． (2009 年江西文 12)若存在过点 (1,0) 的直线与曲线
y
x 3
和 y ax 2
15
x 9 都相切，
4
则 a 等于
A ．
1 或 -
25
B ． 或
21
C ．
7 或 - 25
D ．
7 或 7 64
4 64
4
4
2.（ 2016 年全国 II 理 16）若直线
y kx b 是曲线 y ln x 2 的切线，也是曲线
y ln( x
1) 的切线，则 b
．
3.求曲线 y=x 3+x 2－ 2x 在点 A(1,0) 处的切线方程 .
变式：求曲线 y=x 3+x 2－ 2x 过点 A(1,0)的切线方程 .
． (2009年江西文
若存在过点 (1,0) 的直线与曲线
y
x 3 和
y ax 2
15
9 都相切，
1
12)
x
则 a 等于
4
． 或
21
或 -
25
7 或
A ． 1或 - 25
B
C ． 7
D ． 7
64
1
4
4
64
4
1. 设过 (1,0) 的直线与
3
3
3 2 y x
相切于点
0 0
，所以切线方程为 y x 0 3x 0 ( x x 0 )
( x , x )
即 y 3x 0 2
x 2x 0 3 ，又 (1,0) 在切线上，则 x 0 0 或 x 0 3 ，
2
当 x 0
0 时，由 y 0与 y ax 2 15 x 9 相切可得 a
25 ，
3
27
27
4
15 64
当
x 0
时，由 y x
与 y ax 2 x 9 相切可得 a 1 ，所以选 A .
2
4
4
4
2.（ 2016 年全国 II
理 16）若直线
y
kx b 是曲线 y ln x
2 的切线，也是曲线
y ln( x 1) 的切线，则 b
．
【答案】
1 ln2
考点： 导数的几何意义 .
3.求曲线 y=x 3+x 2－ 2x 在点 A(1,0) 处的切线方程 .
解：∵ y ′=3x 2+2x － 2,
∴切线斜率
k= y ′|=3.
x=1
∴切线方程为 y=3( x － 1)， 即 3x － y － 3=0.
变式：求曲线 y=x 3+x 2－ 2x 过点 A(1,0)的切线方程 . 解
设切点 P （ x 0, x 03+x 02－2x 0），
∵ y ′ =3x 2+2x －2，
y
·
O
A
x
∴切线斜率k=3 x02+2x0－2.
∴切线方程为
y－（ x03+x02－2x0）=(3 x02+2x0－ 2)(x－ x0) .
∵点 A 在切线上，
∴0－（ x03+x02－2x0）=(3x02+2x0－ 2)(1－ x0)．即x03－ x02－ x0+1=0 ．
故(x0－ 1)2 ( x0+1 ）
=0．解得 x0=－ 1 或 x0= 1 ．
∴当 x0=－ 1 时，切线方程为x+y－ 1=0；
当x0=1 时，切线方程为３ x－y－３
=0．综上，曲线过点 A（ 1， 0）的切线方程
为
3x－ y－ 3=0 ，或 x+y－ 1=0.
绝密★启用前 2015-2016学年度学校1月月考卷 试卷副标题 题 号 一 二 三 总 分 得 分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人 得 分 一、选择题（题型注 释） 1．曲线31 23y x =-在点 51,3?? - ??? 处切线的斜率为( ) A ．3 B ．1 C ．1- D ．3- 2．曲线31 23y x =-在点(1，－5 3)处切线的倾斜角为( ) A ．30° B．45° C ．135° D ．150° 3．已知函数ln y x x =，则这个函数在点)0,1(处的切线方程是（ ） A ．22y x =- B ．22y x =+ C ．1y x =- D ．1+=x y 4．直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A(1,3)，则2a ＋b 的值为（ ） A ．2 B ．－1 C ．1 D ．－2 5．若曲线在点处的切线平行于x 轴，则k= ( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2 6．过点)1,1(-且与曲线x x y 23-=相切的直线方程为（ ） A ． 20x y --=或5410x y +-= B ．02=--y x C ．20x y --=或4510x y ++= D ．02=+-y x
7．已知点P 在曲线41 x y e = +上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（ ） A.3[ ,)4ππ B.[,)42ππ C.3(,]24ππ D.[0,4 π) 8．若曲线321()3 f x x x mx =++的所有切线中，只有一条与直线30x y +-=垂直，则实数m 的值等于（ ） A ．0 B ．2 C ．0或2 D ．3 9．曲线e x y =在点A 处的切线与直线30x y -+=平行，则点A 的坐标为( ) （A ）()11,e -- （B ）()0,1 （C ）()1,e （D ）()0,2 10．设曲线11 x y x +=-在点(3,2)处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a 等于 （ ） A. 2 B. 12 C. 12 - D. 2- 11．曲线323y x x =-+在点(1，2)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －1 B ．y ＝－3x ＋5 C ．y ＝3x ＋5 D ．y ＝2x 12．已知曲线421y x ax =++在点()-12a +，处切线的斜率为8，=a （ ） （A ）9 （B ）6 （C ）-9 （D ）-6 13．已知点P 在曲线y= 41x e +上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( ) A.[0, 4π) B.[,)42ππ C. 3(,]24ππ D. 3[,)4 ππ
圆锥曲线的切线问题 圆锥曲线的切线问题有两种处理思路：思路 1，导数法，将圆锥曲线方程化为函数 y =f (x) ，利用导数法求出函数y =f (x) 在点(x 0 , y ) 处的切线方程，特别是焦点在y 轴 上常用此法求切线；思路 2，根据题中条件设出切线方程，将切线方程代入圆锥切线方程，化为关于x（或y）的一元二次方程，利用切线与圆锥曲线相切的充要条件为判别式?= 0 ，即可解出切线方程，注意关于x （或y）的一元二次方程的二次项系数不为 0 这一条件，圆锥曲线的切线问题要根据曲线不同，选择不同的方法. 类型一 导数法求抛物线切线 例1 【2017 课表1，文 20】设A，B为曲线C：y= x 4 （1）求直线A B的斜率； 上两点，A与B的横坐标之和为 4． （2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线A B平行，且A M⊥B M，求直线A B的方程． 类型二椭圆的切线问题 2
5 + = > > 例 2（2014 广东 20）（14 分）已知椭圆C : x a 2 y 2 + = 1(a > b > 0) 的一个焦点为( 5, 0) ， b 2 离心率为 . 3 （1） 求椭圆 C 的标准方程； （2） 若动点 P (x 0 , y 0 ) 为椭圆外一点，且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直，求点 P 的轨 迹方程. 类型三 直线与椭圆的一个交点 例 3.【2013 年高考安徽卷】已知椭圆 C : x a 2 y 2 b 2 1(a b 0) 的焦距为 4 ， 且过点 （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）设Q (x 0 , y 0 )(x 0 y 0 ≠ 0) 为椭圆C 上一点，过点Q 作 x 轴的垂线，垂足为 E .取点 A (0, 2 2) ,连接 AE ，过点 A 作 AE 的垂线交 x 轴于点 D .点G 是点 D 关于 y 轴的对称点， 作直 线QG ，问这样作出的直线QG 是否与椭圆 C 一定有唯一的公共点？并说明理由. 【解析】（1）因为椭圆过点 P ( 2，3) ∴ 2 + 3 = 1 a 2 b 2 且a 2 = b 2 + c 2 P ( 2，3) . 2 2
导数解公切线专题 1． (2009 年江西文 12)若存在过点 (1,0) 的直线与曲线 y x 3 和 y ax 2 15 x 9 都相切， 4 则 a 等于 A ． 1 或 - 25 B ． 或 21 C ． 7 或 - 25 D ． 7 或 7 64 4 64 4 4 2.（ 2016 年全国 II 理 16）若直线 y kx b 是曲线 y ln x 2 的切线，也是曲线 y ln( x 1) 的切线，则 b ． 3.求曲线 y=x 3+x 2－ 2x 在点 A(1,0) 处的切线方程 . 变式：求曲线 y=x 3+x 2－ 2x 过点 A(1,0)的切线方程 .
． (2009年江西文 若存在过点 (1,0) 的直线与曲线 y x 3 和 y ax 2 15 9 都相切， 1 12) x 则 a 等于 4 ． 或 21 或 - 25 7 或 A ． 1或 - 25 B C ． 7 D ． 7 64 1 4 4 64 4 1. 设过 (1,0) 的直线与 3 3 3 2 y x 相切于点 0 0 ，所以切线方程为 y x 0 3x 0 ( x x 0 ) ( x , x ) 即 y 3x 0 2 x 2x 0 3 ，又 (1,0) 在切线上，则 x 0 0 或 x 0 3 ， 2 当 x 0 0 时，由 y 0与 y ax 2 15 x 9 相切可得 a 25 ， 3 27 27 4 15 64 当 x 0 时，由 y x 与 y ax 2 x 9 相切可得 a 1 ，所以选 A . 2 4 4 4 2.（ 2016 年全国 II 理 16）若直线 y kx b 是曲线 y ln x 2 的切线，也是曲线 y ln( x 1) 的切线，则 b ． 【答案】 1 ln2 考点： 导数的几何意义 . 3.求曲线 y=x 3+x 2－ 2x 在点 A(1,0) 处的切线方程 . 解：∵ y ′=3x 2+2x － 2, ∴切线斜率 k= y ′|=3. x=1 ∴切线方程为 y=3( x － 1)， 即 3x － y － 3=0. 变式：求曲线 y=x 3+x 2－ 2x 过点 A(1,0)的切线方程 . 解 设切点 P （ x 0, x 03+x 02－2x 0）， ∵ y ′ =3x 2+2x －2， y · O A x
用导数求切线方程的四种类型 浙江 曾安雄 求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，及斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线 方程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =． 下面例析四种常见的类型及解法． 类型一：已知切点，求曲线的切线方程 此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可． 例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（ ） Ａ．34y x =- Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+ Ｄ．45y x =- 解：由2 ()36f x x x '=-则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-，故所求的切线方程为 (1)3(1)y x --=--，即32y x =-+，因而选Ｂ． 类型二：已知斜率，求曲线的切线方程 此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决． 例2 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ） Ａ．230x y -+= Ｂ．230x y --= Ｃ．210x y -+= Ｄ．210x y --= 解：设00()P x y ，为切点，则切点的斜率为0022x x y x ='==|． 01x =∴． 由此得到切点(11)，．故切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，故选Ｄ． 评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用?法加以解决，即设切线方程为2y x b =+，代入2y x =，得220x x b --=，又因为0?=，得1b =-，故选Ｄ． 类型三：已知过曲线上一点，求切线方程 过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法． 例3 求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程． 解：设想00()P x y ，为切点，则切线的斜率为02032x x y x ='=-|． ∴切线方程为2000(32)()y y x x x -=--．
导数解曲线公切线问题 Prepared on 24 November 2020
导数解公切线专题 1．(2009年江西文12)若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和21594 y ax x =+-都相切，则a 等于 A ．1-或25-64 B ．1-或214 C ．74-或25-64 D ．74-或7 2.（2016年全国II 理16）若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b = ． 3.求曲线y =x 3+x 2－2x 在点A (1,0)处的切线方程. 变式：求曲线y =x 3+x 2－2x 过点A (1,0)的切线方程. 1．(2009年江西文12)若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和21594 y ax x =+-都相切，则a 等于 A ．1-或25-64 B ．1-或214 C ．74-或25-64 D ．74-或7 1.设过(1,0)的直线与3y x =相切于点300(,)x x ，所以切线方程为 320003()y x x x x -=- 即230032y x x x =-，又(1,0)在切线上，则00x =或032 x =-， 当00x =时，由0y =与21594y ax x =+-相切可得2564 a =-， 当032x =-时，由272744y x =-与21594 y ax x =+-相切可得1a =-，所以选A . 2.（2016年全国II 理16）若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b = ． 【答案】1ln2-
导数复习专题——切线问题 例一： 求曲线32 31y x x =-+在点(11)-，处的切线方程 变式一：已知函数33y x x =-，过点(016)A ，作曲线()y f x =的切线，求此切线方程． 变式二：已知函数33y x x =-，过点(2,2)A 作曲线()y f x =的切线，求此切线方程． 例二：已知函数f(x)=x 3+3ax 2-3b ，g(x)=-2x 2+2x+3(a≠0) (1) 若f(x)的图象与g(x)的图象在x=2处的切线互相平行，求a 的值； (2)若函数y=f(x)的两个极值点x=x 1,x=x 2恰是方程f(x)=g(x)的两个根，求a 、b 的值；并求此时函数y=f(x)的单调区间． 变式二：设函数()32910y x ax x a =+--<， 若曲线y =f (x )的斜率最小的切线与直线126x y +=平行，求： （Ⅰ）a 的值; （Ⅱ）函数()f x 的单调区间.
例三：已知函数()3,y x ax b a b R =++∈ （Ⅰ）若()f x 的图像在22x -≤≤部分在x 轴的上方，且在点()(2,2)f 处的切线与直线950x y -+=平行，求b 的取值范围； （Ⅱ）当123,0,3x x ??∈ ? ??? ，且12x x ≠时，不等式()()1212f x f x x x -<-恒成立，求的取值范围。 变式三： 已知函数f(x)=，在x=1处取得极值为2. （1）求函数f(x)的解析式； （2）若函数f(x)在区间（m ，2m ＋1）上为增函数，求实数m 的取值范围； （3）若P （x 0，y 0）为f(x)=图象上的任意一点，直线l 与f(x)=的图象相切于点P ，求直线l 的斜率的取值范围. b x ax +2b x ax +2b x ax +2
高二下学期期中复习 一、导数 1．导数的概念：f ′（x ）= 0 lim →?x x x f x x f ?-?+) ()(，导函数也简称导数. 2．导数的几何意义和物理意义 几何意义：曲线f （x ）在某一点（x 0，y 0）处的导数是过点（x 0，y 0）的切线斜率. ⑴函数f(x)在点x 0处有导数，则函数f(x)的曲线在该点处必有切线，且导数值是该切线的斜率；但函数f(x)的曲线在点x 0处有切线，函数f(x)在该点处不一定可导。如f(x)=x 在x=0有切线，但不可导。 ⑵函数y=f(x)在点x 0处的导数的几何意义是指：曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处切线的斜率,即曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处的切线的斜率是f ′(x 0),切线方程为y －f(x 0)=f ′(x 0)(x －x 0) 如：①（2004年湖南，13）过点P （－1，2）且与曲线y =3x 2－4x +2在点M （1，1）处的切线平行的直线方程是______.（2x －y +4=0） .②点P 在曲线y =x 3－x + 3 2 上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，求α的范围. 解：∵tan α=3x 2－1， ∴tan α∈［－1，+∞）. 当tan α∈［0，+∞）时，α∈［0，2 π）； 当tan α∈［－1，0）时，α∈［ 43π，π）.∴α∈［0，2π）∪［4 3π，π）. 3.求导公式：C ′=0（C 为常数）；（x n ）′=nx n － 1;（sin x ）′=cos x ;（cos x ）′=－sin x ; （e x ）′=e x ; （a x ）′=a x ln a ;（ln x ）′= x 1;（log a x ）′=x 1 log a e.. 4.运算法则 如果f （x ）、g （x ）有导数，那么［f （x ）±g （x ）]'=f '（x ）±g ′（x ）， ［c ·f （x ）]'=c f '（x ）. ;（uv ）′=u ′v +uv ′;（ v u ）′=2v v u v u ' -' （v ≠0）. 5．导数的应用： （一）.用导数求函数单调区间的一般步骤. ⑴确定函数f(x)的定义区间； ⑵求函数f(x)的导数f ′(x)； ⑶令f ′(x)>0，或者“0≥”所得x 的范围（区间）为函数f(x)的单调增区间； 令f ′(x)<0，或者“0≤”得单调减区间. 特别注意：已知函数式求其单调性与已知单调区间求参数的范围的区别。 如：1.已知a >0，函数f （x ）=x 3－ax 在［1，+∞）上是单调增函数，则a 的最大值是 A.0 B.1 C.2 D.3 解析：f '（x ）=3x 2－a 在［1，+∞ ）上，f '（x ）≥0恒成立， 即a ≤3x 2在［1，+∞）上恒成立，∴a ≤3. 答案：D ， 评述：f （x ）在该区间上为增（减）函数?f '（x ）≥0（≤0）在该区间上恒成立，. 2．.若函数y =－ 3 4x 3 +bx 有三个单调区间，则b 的取值范围是________.
圆锥曲线，导数，复数 1．已知中心在原点的椭圆的右焦点为 ，离心率等于，则的方程是 B ． C ． D ． 2．若椭圆2 2 14x y m +=上一点到两焦点的距离之和为3m -，则此椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 37或59 3．双曲线2 214 x y -=的渐近线方程为( ) A. 12y x =± B. y x = C. 2y x =± D. y x = 4．抛物线x 2 ＝4y 上一点P 到焦点的距离为3，则点P 到y 轴的距离为( ) A. B. 1 C. 2 D. 3 5．若 ，则 等于（ ） A. B. C. D. 6．已知函数 ，其导函数 的图象如图，则对于函数 的描述正确的 是（ ） A. 在 上为减函数 B. 在处取得最大值 C. 在 上为减函数 D. 在处取得最小值 7．函数 的单调增区间为____________. 8．设复数满足 ，其中为虚数单位，则（ ） A. B. 2 C. D. 9．复数的共轭复数是( ) A. B. C. D. 10．若复数满足，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 11．已知（i 是虚数单位， ），则
A. B. 3 C. 1 D. 12．已知复数满足，则对应点所在的象限是（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 13．已知函数有两个极值点，则的取值范围是（） A. B. C. D. 14．已知复数z满足 2 1 z i z = - （i为虚数单位），则复数z的共轭复数z在复平面内 对应的点在（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 15．若复数，则的共轭复数的虚部为（） A. B. C. D. 16．抛物线的准线方程是________． 17．曲线在点处的切线方程为__________．18．曲线在处的切线方程是__________．19．函数的最大值是__________．20．已知，则复数__________．21．已知函数f(x)＝ （Ⅰ）求函数f(x)的导函数f ′(x)； （Ⅱ）证明：f(x)＜（e为自然对数的底数）． 22．已知函数()2 1 4ln5 2 f x x x x =+-． ()1求() f x的极值； ()2若() f x在区间() 21 m m+ ，上单调递减，求实数m的取值范围．
绝密★启用前 2015-2016学年度???学校1月月考卷 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 请点击修改第I卷的文字说明 一、选择题（题型注释） 1处切线的斜率为( ) A 2(1处切线的倾斜角为( ) A．30° B．45° C．135° D．150° 3） A D 4．直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b的值为（）A．2 B．－1 C．1 D．－2 5．若曲线在点处的切线平行于x轴，则k= ( ) A．－1 B．1 C．－2 D．2 6） A． C 7．已知点P P
是（） 8 ） A．0 B．2 C．0或2 D．3 9( ) （A（B（C（D 10．（） 11(1，2)处的切线方程为( ) A．y＝3x－1 B．y＝－3x＋5 C．y＝3x＋5 D．y＝2x 128） （A（B（C（D P 13．已知点P在曲线 是( )
第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明 二、填空题（题型注释） 141，2）处切线的斜率为__________。 151，3）处的切线方程为． 16s 加速度为． 17．已知直线l过点，且与曲线相切，则直线的方程为 . 18．____________. 19处的切线方程是 . 20, 三、解答题（题型注释）
参考答案 1．B 【解析】 (145°. 考点：导数的几何意义.特殊角的三角函数值. 2．B 【解析】 (145°. 考点：导数的几何意义.特殊角的三角函数值. 3．C 【解析】 ，∴函数在点（1，0）处的 考点：导数的几何意义． 4．C 【解析】 试题分析：由题意得，y′=3x2+a，∴k=3+a …… ①∵切点为A（1，3），∴3=k+1……②3=1+a+b ……③,由①②③解得，a=-1，b=3，∴2a+b=1，故选C． 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程． 5．A 【解析】求导得，依题意， ∵ 曲线在点处的切线平行于x轴， ∴k+1=0，即k=－1． 6．A 【解析】 试题分析：设切点为，因为，所以切线的斜率为 又因为切线过
高二数学试题（圆锥曲线与导数） 一、选择题 1．若点12,F F 为椭圆2 214 x y +=的焦点，P 为椭圆上的点，当12F PF ?的面积为1时，12PF PF ?u u u r u u u u r 的值是（ ） A ．0 B ．1 C ．3 D ．6 2．设23)(23++=x ax x f ,若4)1(=-'f ,则a 的值等于（）A ．319 B.316 C ．313 D ．3 10 3．已知直线)2(+=x k y (k ＞0)与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若 ||2||FA FB =，则k 的值为( ) A ．13 B ．3 C ．3 D ．23 4．已知抛物线22y px =（p ＞0）的准线与圆22450x y y +--=相切，则p 的值为( ) A ．10 B ．6 C ． 18 D ．124 5．若曲线21:20C y px p =>()的焦点F 恰好是曲线22 222:100x y C a b a b -=>>(，)的右焦点，且1C 与2C 交点的连线过点F ，则曲线2C 的离心率为（ ） A 1 B 1 C D 6．已知点P 在曲线y ＝ 41x e +上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围( ) A.[0,4π) B.[,)42ππ C. 3(,]24ππ D. 3[,)4 ππ 7．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线 离心率的取值范围是( )A.1] B.)+∞ C. D.1,)+∞ 8．如果22 1||21x y k k +=---表示焦点在y 轴上的双曲线，那么它的半焦距C 的取值范围是（ ）A ．(1,＋∞) B ．（0，2） C ．(2,＋∞) D ．（1，2） 9．设斜率为1的直线l 与椭圆12 4:2 2=+y x C 相交于不同的两点A 、B ，则使||AB 为整数的直线l 共有（ ） A ．4条 B ．5条 C ．6条 D ．7条 10．已知定义域为R 的奇函数f(x)的导函数为)(x f '，当0≠x 时，0)()(>+'x x f x f ，若)2(ln 21ln ),2(2),21(21f c f b f a =--==,则下列关于a ,b ,c 的大小关系正确的是（ ） A. a ＞b ＞c B . a ＞c ＞b C . c ＞b ＞a D . b ＞a ＞c 二、填空题 11．在平面直角坐标系xOy 中，直线y x b =+是曲线ln y a x =的切线，则当a ＞0时，实数b 的最
导数解公切线专题 3 215 1. (2009年江西文12)若存在过点(1,0)的直线与曲线y X和y ax x 9都相切, 4 则a等于25亠217亠257亠A. 1或B. 1或C. 或-D.—或7 6444644 2.(2016年全国II理16)若直线y kx b是曲线y ln x2的切线，也是曲线y In (x1)的切线，则b . 3?求曲线y=x3+x2- 2X在点A(1,0)处的切线方程? 变式：求曲线y=x3+x2—2x过点A(1,0)的切线方程
【答案】1 In2 【解析】 试题分析；对因数y=lnx+2求导得y （=-f 对＞ =ln （x+l ）求导得#=丄，设直线y = 与圉数 X x+1 y=}nx+2相切于点号口小）,与函埶y = ln （x +1）相切于点占（花jJ :则时=Ln 珂+ 2= In 任+1）, 则点的g'J 在切线上得$-（1口珂+2）=丄（工-珂）,由Eg/J 在切线上得 3?求曲线y=x 3+x 2— 2x 在点A(1,0)处的切线方程? 解：T y ' =x 2+2x — 2, ???切线斜率 k= y'x =1=3. ???切线方程为y=3(x — 1), 即 3x — y — 3=0. 变式：求曲线y=x 3+x 2— 2x 过点A(1,0)的切线方程. y-ln （^ + 1） = —-—（x-x,），这两芳立绫表示同一牛世戈,所以 “ ja + 1 ln(x n +1) =1口 叫 ’解之得 X ； 叼+1 3 1. （2009年江西文12）若存在过点（1,0）的直线与曲线y x 和y ax 2 15 x 4 9都相切, 则a 等于 A . 1 或-64 B . 1 或 21 4 C .-或-24 4 64 1.设过（1,0）的直线与y 3 3 x 相切于点（x 0 , x 0 ），所以切线方程为 x o 3x o 2(x X o ) 2 3x 0 x 2x 0 ，又（1,0）在切线上，则X 。 0或X 。 2 15 25 当X 0时，由y 0与y ax x 9相切可得 a 4 64 3」丄 27 27 一 2 15 当X ） —时，由 y x 与y ax X 9相切可得a 2 4 4 4 2. ( 2016 年全国II 理16) 若直线y kx b 是曲线 y In x y In (x 1）的切 线， 则b 所以选A . 考点：导数的几何意义? 1 , 2的切线，也是曲线
两条曲线的公切线问题 ?方法导读 在近几年高考导数大题的命制过程中,求曲线的公切线问题成为高考中的热点题型之一.学生在做题过程中,解决单一曲线的切线问题相对比较熟练,对于单一曲线的切线问题,求解过程中常用的数学思想主要是转化与化归思想,函数与方程思想,数形结合思想,求解方法也较容易理解: (1)判断切点是否可直接找到,若可以直接找到则直接求导即可;若不能直接找到则需设出切点; (2)利用导数的几何意义,即曲线在处的导数为切线的斜率; (3)根据切点既在曲线上又在切线上进行求解. 但是对于两条曲线的公切线问题的求解,显然就比单一曲线的切线问题要复杂得多,灵活得多,难度也大得多.具体的求解方法: 设曲线在点处的切线为,整理得到: . 设曲线在点处的切线为,整理得到:. 由于与是相同直线(即与的公切线), 故有且(即斜率相等,纵截距相等), 从而求解出与公切线有关的一些问题.
?高考真题 【2020·全国II卷理·20】已知函数. (1)讨论的单调性,并证明有且仅有两个零点; (2)设是的一个零点,证明曲线在点处的切线也是曲线 的切线. ?解题策略 【过程分析】 本题第一问首先函数问题定义域优先原则,故得到的定义域为 ,进而对函数求导得到,因为函数的定义域为,从而判断出,因此函数在和 上是单调增函数(注意函数的单调区间不可用“”符号连接,可用“,”或者“和”连接); 然后利用极限法分析当时,,而(此处利用极限法的分析过程建议在平时的做题中多多训练,在很多题型中都
有所涉及),从而根据零点存在性定理判断当,函数有零点,又根据函数在上单调递增,故当时,函数有唯一的零点; 当时,,,因为 ,所以根据零点存在性定理判断函数在必有零点,根据函数在上也是单调递增,故当时,函数有唯一的零点. 于是得到第一问的全部结论,函数在和上是单调增函数并且函数在定义域内有个零点; 第二问要证明两条曲线的公切线问题,就可以用到我们前面提到的方法,首先因为是的一个零点,所以必然满足函数解析式,即 (注意一定要合理应用题中所给条件),然后我们分别求出两条曲线的切线,在求解切线的过程中要注意切点是否可以直 接找到,对于而言,切点已经给出,所以直接求导,从而得到曲线在处的切线的斜率,进而表示出曲线在处的切线的方程为:,然后应用题中所给条件 ,所以的方程整理后为,它的斜率,在纵轴的截距为. 紧接着我们继续研究曲线,由于曲线的切点不能直接找到,所以我们设曲线的切点为,然后利用导数求出曲线过切点
第二轮解答题复习——函数和导数（1） （求导和切线） 令狐采学 一、过往八年高考题型汇总： 二、知识点： 1．导数的几何意义是 2．默写以下的求导公式： 3．写出求导的四则运算公式： 4．如何求复合函数的导数？例如求)2 ln( (2x ) =的导数。 f- x x 5、函数)(x f y=在0x处的切线方程是
6、基础题型说明——切线： （1）直接求函数在0x 处的切线方程或者切线斜率； （2）已知函数),(a x f 在0x 处的切线求a 值； （3）已知函数),,(b a x f 在0x 处的切线求b a ，值 三、强化训练： 1、请对下列函数进行求导，并写出其定义域： （1）)1ln()(+=x x x f （2）)ln()(2x x x f -= （3）1 ()ln(1)f x x x = +- （4） ()f x =2x x e e x ---. （5） 22 ()(ln )x e f x k x x x =-+ （6） x x e x f x sin ln )(2= 2、曲线 y=x(3lnx+1)在点（1,1）处的切线方程为________ 3、若曲线y ＝kx ＋ln x 在点(1，k)处的切线平行于x 轴，则k ＝________ 4、曲线y= sin x 1M(,0)sin x cos x 24 π -+在点处的切线的斜率为 5．若点P 是曲线y ＝x2－lnx 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为
6、已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切,则a=． 7、过原点与x y ln =相切的直线方程是 8、（15年21）已知函数f （x ）=31,()ln 4 x ax g x x ++=-. (Ⅰ)当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线； 9、（14年21）设函数 x be x ae x f x x 1 ln )(-+=曲线 y=f （x ）在点（1， f （1））处得切线方程为y=e （x ﹣1）+2．（Ⅰ）求a 、b ； 10、（13 年21）已知函数f(x)＝x2＋ax ＋b ，g(x)＝ex(cx ＋d)，若 曲线y ＝f(x)和曲线y ＝g(x)都过点 P(0，2)，且在点P 处有相同的切线y ＝4x+2 （Ⅰ）求a ，b ，c ，d 的值 11、已知函数ln ()1 a x b f x x x =++，曲线()y f x =在点(1，(1)f )处的切线方 程为230x y +-=. (I)求a ，b 的值； 12、设()()256ln f x a x x =-+,其中a R ∈,曲线()y f x =在点()()1,1f 处的 切线与y 轴相交于点()0,6.（1）确定a 的值; 13、已知函数f （x ） g （x ）=alnx ，a ∈R 。
导数及其应用、圆锥曲线测试题 一、选择题 1、双曲线13 22 =-y x 的离心率为 ( ) A ． 552 B ．2 3 C ．332 D ．2 2、已知23)(23++=x ax x f 且4)1('=-f ，则实数a 的值等于 ( ) A ． 193 B ．163 C ．133 D ．103 3、抛物线281 x y -=的准线方程是( ). A. 321=x B. 2=y C. 32 1 =y D. 2-=y 4、函数x x x f +=3)(的单调递增区间是 ( ) A ．),0(∞+ B ．)1,(-∞ C ．),(∞+-∞ D ． ),1(∞+ 5、已知曲线24x y =的一条切线的斜率为1 2 ，则切点的横坐标为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6、双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝5e 5x (e 为双曲线离心率)，则有( ) A ． a ＝2b B ．a ＝5b C ． b ＝2a D ．b ＝5a 7、函数)22(9323<<---=x x x x y 有（ ） A ． 极大值5，极小值27- B ． 极大值5，极小值11- C ． 极大值5，无极小值 D ． 极小值27-，无极大值 8、设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是 9、已知动点M 的坐标满足方程|12-4y 3x |522+=+y x ，则动点M 的轨迹是（ ） A ． 椭圆 B ．抛物线 C ． 双曲线 D ． 以上都不对 10、函数5123223+--=x x x y 在[0,3]上的最大值与最小值分别是（ ） A ．5 , —15 B ．18 , —15 C ．5 , —4 D ．5 , —16 11、已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则 (1) '(0) f f 的最小值为（ ）
圆锥曲线的几大大题特征公式：焦半径、准线、弦长、切线方程、弦中点公式、极线方程 /*另外，针对“计算不好”的同学，本人提供“硬解定理”供大家无脑使用。具体的请参考本目录下的【硬解定理的推导和使用】文章。*/ 圆锥 曲线 的切 线 方程 在 历年高考题中出现，但是在高中教材及资料都涉及较少。本文主要探索圆锥曲线的切线方程及其应用。从而为解这一类题提供统一、清晰、简捷的解法。 【基础知识1：切线方程、极线方程】 【1-0】公式小结：x 2换成xx 0，y 2换成yy 0，x 换成(x+x 0)/2,y 换成(y+y 0)/2. 【1-1】 椭圆的切线方程 ： ①椭圆 12222=+b y a x 上一点),(00y x P 处的切线方程是 12020=+b yy a xx 。 ②过椭圆 12222=+b y a x 外一点),(00y x P 所引两条切线的切点弦方程是 12020=+b yy a xx 。 ③椭圆122 22=+b y a x 与直线0=++C Bx Ax 相切的条件是02 2222=-+C b B a A (也就是下篇文档所讲的硬解定理公式△=0的充要条件) 【1-2】双曲线的切线方程： ①双曲线12222=-b y a x 上一点),(00y x P 处的切线方程是 12020=-b yy a xx 。 ②过椭圆 12222=-b y a x 外一点),(00y x P 所引两条切线的切点弦方程是 12020=-b yy a xx 。 ③椭圆122 22=-b y a x 与直线0=++C Bx Ax 相切的条件是022222=--C b B a A 【1-3】抛物线的切线方程： ② 物线 px y 22 = 上一点),(00y x P 处的切线方程是 )(200x x p yy += ②过抛物线 px y 22 =外一点 处所引两条切线是)(200x x p yy += ③抛物线 px y 22=与直线0=++C Bx Ax 相切的条件是AC pB 22 = 【1-4】 基础知识的证明： 【公式一：曲线C 上切点公式证明】 1、第1种证明思路：过曲线上一点的切线方程 设曲线C 上某一点处 ),(00y x P 的 切 线 方 程 为)(00x x k y y -=-, 联立方程，令 0=?,得到k 的表达式，再代入原始式，最后得切线方程式1)()(22 02202020=+= +b y a x b yy a xx （注: k 的表达式可以在草稿中巧用点差法求,具体见下） 2、第2种证明思路：点差法(求斜率，其余跟第一种方法一样) 证明：设某直线与曲线C 交于M 、N 两点坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，中点P ),(00y x
利用导数求曲线的切线和公切线 一.求切线方程 【例1】.已知曲线f(x)=x3-2x2+1. (1)求在点P（1,0）处的切线l 1 的方程； (2)求过点Q（2,1）与已知曲线f(x)相切的直线l 2 的方程. 提醒：注意是在某个点处还是过某个点！ 二.有关切线的条数 【例2】．（2014?北京）已知函数f（x）=2x3﹣3x． （Ⅰ）求f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值； （Ⅱ）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，求t的取值范围；（Ⅲ）问过点A（﹣1，2），B（2，10），C（0，2）分别存在几条直线与曲线y=f（x）相切？（只需写出结论） 【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=2x3﹣3x得f′（x）=6x2﹣3， 令f′（x）=0得，x=﹣或x=， ∵f（﹣2）=﹣10，f（﹣）=，f（）=﹣，f（1）=﹣1， ∴f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值为． （Ⅱ）设过点P（1，t）的直线与曲线y=f（x）相切于点（x 0，y ）， 则y 0=2﹣3x ，且切线斜率为k=6﹣3， ∴切线方程为y﹣y 0=（6﹣3）（x﹣x ）， ∴t﹣y 0=（6﹣3）（1﹣x ），即4﹣6+t+3=0，设g（x）=4x3﹣6x2+t+3， 则“过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切”，等价于“g（x）有3个不同的零点”．∵g′（x）=12x2﹣12x=12x（x﹣1）， ∴g（0）=t+3是g（x）的极大值，g（1）=t+1是g（x）的极小值． ∴g（0）＞0且g（1）＜0，即﹣3＜t＜﹣1， ∴当过点过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切时，t的取值范围是（﹣3，﹣1）． （Ⅲ）过点A（﹣1，2）存在3条直线与曲线y=f（x）相切； 过点B（2，10）存在2条直线与曲线y=f（x）相切； 过点C（0，2）存在1条直线与曲线y=f（x）相切．
荣县一中高2017级第11周周六练习题（圆锥曲线，极坐标参数方程，导数的定义及求导）一．选择题（每小题4分，共40分） 1. 椭圆（为参数）的离心率为（） A. B. C. D. 2. 极坐标方程所表示的曲线是（） A.双曲线 B.椭圆 C.抛物线 D.圆 3. 下列参数方程（为参数）中，与方程表示同一曲线的是（） A. B. C. D. 4. 若，则等于（） A. B. C. D. 5. 设为可导函数，，则在点（）处的切线斜率为（） A. B. C. D. 6. 设是三角形的一个内角，且，则方程表示的曲线是（） A.焦点在轴上的双曲线 B.焦点在轴上的椭圆 C.焦点在轴上的双曲线 D.焦点在轴上的椭圆 7. 双曲线的离心率为，则的最小值为（） A. B.C. D. 8 已知函数的图象在点（）处的切线方程是，则的值等于（） A. B. C. D. 9. 已知两点，，点是椭圆上的动点，则面积的最大值为（） A. B. C. D. 10. 已知两个点和，若直线上存在点，使，则称该直线为“型直线”，给出下列直线是“型直线”的是（） A. B. C. D. 二、填空题（本题共计4 小题，每题4 分，共计16分，） 11. 已知函数，则________． 12.已知直线与函数的图象相切于点，则________. 13. 点，为抛物线的焦点，点在抛物线上运动，当取最小值时的点的坐标是________．
14. 如图，是椭圆的一个焦点，，是椭圆的两个顶点，椭圆的离 心率为．点在轴上，，，，三点确定的圆恰好与直线相切．则椭圆的方程为________． 三、 解答题 （共 4 大题，共计44分 ， ） 15.（6分） 解下列各题： （1）求椭圆369422=+y x 的焦点和顶点的坐标； （2）求抛物线 的焦点坐标，准线方程和对称轴； （3）求焦点在轴上，两顶点间的距离是， 的 双曲线的标准方程． 16.（6分） 求下列函数的导数： （1） （2） （3） 17.（6分）如果曲线的某一切线与直线平行，求切点坐标与切线方程．
导数的切线问题 导数的几何意义：导数)(0/x f 表示曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率。 热身练手： 1．曲线24223+--=x x x y 在点)3,1(-处的切线方程是 。 2．曲线x y 1=和2x y =在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形面积是 。 例1．求曲线2:3+-=x x y C 过点)2,1(A 的切线方程。 变式1：若曲线上一点P 处的切线恰好平行于直线111-=x y ，则P 点坐标为 ， 切线方程为 。 变式2：函数12+=ax y 的图象与直线x y =相切，则a = 。 例2．)(/x f 是)(x f y =的导函数，)(/x f 的图象如图所示，则) (x f y =的图象只可能是 。 变式：函数)(x f y =的定义域是R ，若对于任意的正数a ，函数)()()(x f a x f x g -+=都 是其定义域上的增函数，则函数)(x f y =的图象可能是 。
引申： 函数)(x f y =在某开区间的图象上任意两点),(),,(2211y x Q y x P 连线的斜率 )(212 121x x x x y y k ≠--=的取值范围就是曲线在该区间上任意一点切线的斜率（假设存在）的范围（导数的值域问题）。 例3．已知集合D M 是满足下列性质函数)(x f 的全体：若函数)(x f 的定义域为D ，对任 意的)(,2121x x D x x ≠∈有|||)()(|2121x x x f x f -<- （1）当),0(+∞=D 时，x x f ln )(=是否属于D M ？若属于，请给予证明，否则说明理由； （2）当)3 3, 0(=D ，函数b ax x x f ++=3)(时，求实数a 的取值范围，使得D M x f ∈)(。 例4．已知抛物线a x y C x x y C +-=+=2221:,2:，如果直线l 同时是1C 和2C 的切线， 就称l 是1C ，2C 的公切线。问：当a 取什么值时，1C 和2C 有且仅有一条公切线？写出公切线的方程。