第六章 全同粒子体系习题解
1．求在自旋态)(2
1z S χ中，x
S ˆ和y S ˆ的不确定关系：?)()(2
2
=y x S S ∆∆ 解：在z S ˆ表象中)(2
1z S χ、x
S ˆ、y S ˆ的矩阵表示分别为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01)(2
1z S χ 01ˆ102x S ⎛⎫= ⎪⎝⎭h ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=002ˆi i S y η ∴ 在)(2
1z S χ态中
00101102)0 1(2
12
1
=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫
⎝⎛==
+ηχχx x S S 4
010*********)0 1(ˆ2222
121ηηη=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==+
χχx x
S S 4
)(22
22
η=-=∆x
x
x S S S 001002)0 1(ˆ2
121=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==+
i i S S y y ηχχ 401002002)0 1(ˆ2222
121ηηη=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==+
i i i i S S y
y
χχ 4
)(22
22
η=-=∆y
y
y S S S 16
)()(4
2
2
η=∆∆y x S S
讨论：由x
S ˆ、y S ˆ的对易关系 [x S ˆ，y S ˆ]z
S i ˆη= 要求4
)()(2
2
2
2z y x S S S η≥∆∆ 16)()(422η=∆∆y x S S ①
在)(2
1z S χ态中，2
η
=
z S ∴ 16
)()(4
2
2
η≥y x S S ∆∆
可见①式符合上式的要求。
2．求⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=002ˆ01102ˆi i S S y x
ηη及的本征值和所属的本征函数。 解：x
S ˆ的久期方程为
02
2=--λ
λ
ηη
20)2(22ηη±=⇒=-λλ
∴ x
S ˆ的本征值为2
η±。 设对应于本征值的本征函数为 ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=112/1b a χ
由本征方程 2/12
/12
ˆχχη
=x S ，得 ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111201102b a b a ηη 111111 a b b a a b =⇒⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒ 由归一化条件 12/12/1=+χχ，得 1),(11*
1*1=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛a a a a 即 122
1
=a ∴ 2
1 2
111=
=
b a
对应于本征值
2η的本征函数为 ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=11212/1χ 设对应于本征值2η
-
的本征函数为 ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=-222/1b a χ 由本征方程 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-
=--222/12/12ˆb a S x χχη
222222 a b b a a b -=⇒⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒ 由归一化条件，得 1),(22*
2*
2=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--a a a a 即 122
2=a ∴ 2
1 2
122-
==
b a
对应于本征值2η-
的本征函数为 ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-11212/1χ
同理可求得y
S ˆ的本征值为2
η
±。其相应的本征函数分别为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=
i 1212
1χ ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-i 12121χ 3．求自旋角动量)cos ,cos ,(cos γβα方向的投影
γβαcos ˆcos ˆcos ˆˆz
y x n S S S S ++= 本征值和所属的本征函数。 在这些本征态中，测量有哪些可能值？这些可能值各以多大的几率出现？的平均值是多少？
解：在z S ˆ 表象，n
S ˆ的矩阵元为 γβαcos 10012cos 002cos 01102ˆ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ηηηi i S n ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛
-+-=γβ
αβαγcos cos cos cos cos cos 2i i S n η 其相应的久期方程为
0cos 2
)cos (cos 2)cos (cos 2cos 2=--+--λγβαβαλγηηηηi i 即0)cos (cos 4
cos 42222
22
=+--βαγληη
04
2
2
=-ηλ )1cos cos cos (222=++γβα利用
⇒ 2
η
±=λ
所以n
S ˆ的本征值为2
η±。 设对应于2η
=n S 的本征函数的矩阵表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a S n )(21χ，则 ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛
-+-b a b a i i 2cos cos cos cos cos cos 2ηηγβ
αβαγ
