2020年百校联盟TOP20高考数学模拟试卷(理科)(3月份)(有解析)

2020全国100所名校高考模拟金典卷理科数学试卷理科数学试卷（120分钟 150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合2|01x A x x +⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，[]{}2|log (2)(1)B x y x x ==-+，则A B =I （ ） A.[-2,2) B.(-1,1) C.(-1,1] D.(-1,2) 2.复数21iz i=-，则z 在复平面内的对应点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若242, 16a S ==，则5a =（ ） A.10 B .12 C .13 D .144.给出下列说法： ①“tan 1x =”是“4x π=”的充分不必要条件;②定义在[a, b]上的偶函数2()(5)f x x a x b =+++的最大值为30； ③命题“0001,2x x x ∃∈+R …”的否定形式是“1,2x x x∀∈+>R ”. 其中错误说法的个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.35.已知点()2,3A ，且点B 为不等式组00260y x y x y ⎧⎪-⎨⎪+-⎩…„„，所表示平面区域内的任意一点，则||AB 的最小值为（ ）A.12D.1 6.函数2()sin f x x x x =-的图象大致为（ ）A. B. C. D.7.3ax ⎛ ⎝⎭的展开式中，第三项的系数为1，则11a dx x =⎰（ ）A.2ln2B.ln2C.2D.18.执行如图所示的程序框图，若输出的120S =，则判断框内可以填入的条件是（ ） A.4?k > B .5?k > C.6?k > D.7?k >9.河图是上古时代神话传说中伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案，与自己的观察而画出的“八卦”，而龙马身上的图案就叫做“河图”，把一到十分为五组，如图所示，其口诀：一六共宗，为水居北；二七同道，为火居南；三八为朋，为木居东；四九为友，为金居西；五十同途，为土居中.现从这十个数中随机抽取4个数，则能成为两组的概率是（ ）A.13 B .110C.121D.125210.如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有（ ） A.2对B.3对C.4对D.5对11.已知直线:2l y x b =+被抛物线2:2(0)C y px p =>截得的弦长为5，直线l 经过C 的焦点，M 为C 上的一个动点，设点N 的坐标为()4,0，则MN 的最小值为（ ） A.C.12.已知数列{}n a 满足：()()2*112,10n n n a a S S n +=+-=∈N ，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和. 设()()()12111()1n S S S f n n +++=+L ，若对任意的n 均有(1)()f n kf n +<成立，则k 的最小整数值为（ ）A.2B.3C.4D.5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13.已知A B C ，，为圆O 上三点，且2CO BA BC =-u u u r u u u r u u u r ，则BA BC ⋅=u u u r u u u r_____________.14.已知函数()2sin()0,,2f x x πωϕωϕπ⎛⎫⎡⎤=+>∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的部分图象如图所示,其中()01f =，5||2MN =，则点M 的坐标为_____________.15.如图，点A 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点，右焦点为()2,0F ，点P 为双曲线上一点，作PB x ⊥轴，垂足为B ，若A 为线段OB 的中点，且以A 为圆心，AP 为半径的圆与双曲线C 恰有三个公共点，则双曲线C 的方程为____________.16.已知在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，4BC CD BC CD AB AD ⊥====，，，则三棱锥A BCD -的外接球的体积为____________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第2、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，sin ()sin sin a A a b B c C ++=，ABC △的面积S abc =. （1）求角C 的大小；（2）求ABC △周长的取值范围.18.如图，在多面体ABCGDEF 中，AB AC AD ，，两两垂直，四边形ABED 是边长为2的正方形，AC DG EF ∥∥，且12AC EF DG ===，.（1）证明：CF ⊥平面BDG . （2）求二面角F BC A --的余弦值.19.某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推岀两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次，每次收取维修费2000元； 方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次，每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器，现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，如下表：以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率.记X 表示准备购买的2台机器超过质保期后延保两年内共需维修的次数. （1）求X 的分布列；（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更划算？20.已知O 为坐标原点，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为()1,0F ，，过点F 的直线l 与C 相交于A B 、两点，点M 为线段AB 的中点.（1）当l 的倾斜角为45︒时，求直线OM 的方程；（2）试探究在x 轴上是否存在定点Q ，使得QA QB ⋅u u u r u u u r为定值？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.21.已知函数2()2(1)ln(1)2f x x x x x =++--. （1）判断函数()f x 的单调性； （2）已知数列{}n a ，()*123ln(1),1n n n n a T a a a a n n +==∈+N L L ，求证：[]ln (2)12n nn T +<-. （二）选考题:共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为24sin 5ρρθ=+. （1）写出曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程； （2）若P Q ，分别为曲线12C C ，上的动点，求PQ 的最大值. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()|2||36|f x x x =-++. （1）解不等式()34f x x ≥-+；（2）若函数()f x 的最小值为a ，且2(0,0)m n a m n +=>>，求11m n+的最小值.1.答案 B命题意图 本题考查解不等式与集合的运算. 解题分析 不等式201x x +≤-，等价于()()210x x +-≤且10x -≠，解得21x -≤<，即集合{}|21A x x =-<„ ，函数2log [(2)(1)]y x x =-+的定义域为(2)(1)0x x -+>，解得12x -<<，即集合{|12}B x x =-<<，所以()1,1A B =-I .2答案B命题意图 本题考查复数的运算及几何意义. 解题分析 由222(1)111i i i z i i i +===-+--，知对应点的坐标为()1,1-，所以对应点在第二象限. 3.答案D命题意图 本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式.解题分 由题意得211412246164a a d a S a d d =+=⎧=-⎧⎪⇒⎨⎨=+==⎪⎩⎩，则524414a =-+⨯=.4.答案 C命题意图 本题考查命题及充分、必要条件. 解题分析 对于①，当4x π=时，一定有tan 1x =但是当tan 1x =时，,4x k k ππ=+∈Z ，所以“tan 1x =”是“4x π=”的必要不充分条件，所以①不正确；对于②，因为()f x 为偶函数，所以5a =-.因为定义域为[],a b ，所以5b =， 所以函数2()5,[5,5]f x x x =+∈-的最大值为(5)(5)30f f -==，所以②正确； 对于③，命题“0001,2x x x ∃∈+R …”的否定形式是“1,2x x x∀∈+<R ”，所以③是错误的； 故错误说法的个数为2. 5.答案 C命题意图 本题考查线性规划及点到直线的距离公式.解题分析 结合不等式，绘制可行域，如图.由0260x y x y -=⎧⎨+-=⎩，得22x y =⎧⎨=⎩，即()2,2C ，点A 的位置如图所示，计算A 点到该区域的最小值，即计算点A 到直线260x y +-=的距离，所以min ||AB ==6.答案 A命题意图 本题考查函数的奇偶性与单调性，函数导数的应用.解题分析()f x 为偶函数，排除选项B ；2()sin (sin )f x x x x x x x =-=-，设()sin g x x x =-， 则()1cos 0g x x '=-≥恒成立，所以()g x 单调递增，所以当0x >时，()()00g x g >=， 所以当0x >时，()()0f x xg x =>，且()f x 单调递增，故选A 项. 7.答案 A命题意图 本题考查二项式定理及定积分.解题分析根据二项式3ax ⎛ ⎝⎭的展开式的通项公式得221213()4a T C ax x +⎛== ⎝⎭. Q 第三项的系数为1，1,44aa ∴=∴=，则4111111d d ln 2ln 2ax x x xx ===⎰⎰.8.答案 B命题意图 本题考查程序框图.解题分析 模拟执行如图所示的程序框图如下：1,1k S ==； 2,4k S ==； 3,11k S ==； 4,26k S ==； 5,57k S ==；6,120k S ==，此时满足条件5k >，输出120S =. 所以判断框内可以填入的条件是5?k >. 9.答案 C命题意图 本题考查古典概型.解题分析 现从这十个数中随机抽取4个数,基本事件总数140n C =，能成为两组包含的基本事件个数52m C =，则能成为两组的概率25410121C m P n C ===.10.答案 C命题意图 本题考查三视图，线面垂直和面面垂直的判定.解题分析 该几何体是一个四棱锥，其直观图如图所示，易知平面PAD ⊥平面ABCD ，作PO AD ⊥于O ，则PO ⊥平面ABCD ，PO CD ⊥，又AD CD ⊥，所以CD ⊥平面PAD ，所以平面PCD ⊥平面PAD ，同理可证平面PAB ⊥平面PAD ，由三视图可知PO AO OD ==，所以AP PD ⊥，又AP CD ⊥，所以AP ⊥平面PCD ，所以平面PAB ⊥平面PCD ，所以该多面体各表面所在平面互相垂直的有4对.11.答案 C命题意图 本题考查抛物线方程及过焦点的弦.解题分析 由题意得22224(42)02y x bx b p x b y px=+⎧⇒+-+=⎨=⎩， 则()22222512424b p b ⎡⎤-⎛⎫=+-⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，又直线l 经过C 的焦点，则22b p-=，b p ∴=-. 由此解得2p =，所以抛物线方程为24y x =.设()00,M x y ，则204y x =， ()()()2222200000||444212MN x y x x x ∴=-+=-+=-+，故当02x =时，||MN取得最小值.12.答案 A命题意图 本题考查数列的综合应用. 解题分析 当1n ≥时，有条件可得()211n n n nS S S S +--=-，从而111n n nS S S +--=，故111111111n n n n n S S S S S +-=-=----，又1111121S ==--，11n S ⎧⎫∴⎨⎬-⎩⎭是首项、公差均为1的等差数列， 11n n S ∴=-，1n n S n +=，由()()()12111()1n S S S f n n +++=+L ， 得()1(1)1(1)23152,2()2223n n S f n n f n n n n +++++⎡⎫===-∈⎪⎢+++⎣⎭， 依题意知(1)()f n k f n +>， min 2k ∴=.13.答案0命题意图 本题考查平面向量的数量积.解题分析 11()22CO BA BC CA =-=u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，∴圆心O 为线段AC 的中点，因而90ABC ∠=︒，故0BA BC ⋅=u u u r u u u r .14.答案 ()1,2-命题意图 本题考查三角函数的图象及解析式.解题分析 函数()2sin()0,,2f x x πωϕωϕπ⎛⎫⎡⎤=+>∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的部分图象如图所示.(0)2sin 1f ϕ==Q ，56πϕ=Q .又5||2MN ==3πω∴=，即函数5()2sin 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 令52sin 236x ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，结合图象得5362x πππ+=，解得1x =-，故点M 的坐标为()1,2-. 五步导解 解↔答15.答案 221x y -=命题意图 本题考查双曲线的标准方程、离心率和渐近线方程.解题分析 由题意可得(),0A a ，又A 为线段OB 的中点，所以(2,0)B a ，令2x a =，代入双曲线的方程可得y =，可设()2,3P a b -，由题意和结合图形可得圆A 经过双曲线的左顶点(),0a -，即||2AP a =，即2a =a b =，又c =222a b c +=，得1a b ==，故双曲线C 的方程为221x y -=.16.答案 36π命题意图 本题考查多面体与球.解题分析 如图取BD 的中点E ，连接AE CE ，，则AE BD CE BD ⊥⊥，. Q 平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD I 平面BCD BD =，AE ∴⊥平面BCD .又CEC Q 平面BCD ，AE CE ∴⊥.设ABD △的外接圆的圆心为O ，半径为r .AB AD ∴=， ∴圆心O 在AE 所在的直线上，22222()r BE OE BE r AE ∴=+=+-. Q在Rt BCD △中，BD =BE EC ∴==在Rt ABE △中，2AE ，()2282r r ∴=+-，解得，3,1r OE =∴=. Q在Rt OEC △中，3OC ==，3OA OB OC OD ∴====，∴点O 是三棱锥A BCD -的外接球的球心，且球的半径3R =，∴球的体积34363V R ππ==.17.命题意图 本题考查正、余弦定理及三角恒等变换.解题分析（1）由sin ()sin sin a A a b B c C ++=及正弦定理得222a b ab c ++=，又由余弦定理得1cos 2C =-，23C π∴=. （2）由1sin 2S abc ab C ==，可知2sin c C =，2sin ,2sin a A b B ∴==，ABC △的周长为1(sin sin sin )2a b c A B C ++=++1sin sin 23A A π⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦11sin sin 22A A A ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭11sin 22A A ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭1sin 23A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ，2,333A πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，sin 3A π⎤⎛⎫∴+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，ABC ∴△周长的取值范围为⎝⎦.18.命题意图 本题考查空间点线、面关系及线面垂直、二面角.解题分析（1）证明：因为AB AC AD ，，两两垂直，AC DG AB DE ∥，∥， 所以DG AD DG DE ⊥⊥，，所以DG ⊥平面ABED ，因为AE ⊂平面ABED ，所以DG AE ⊥，因为四边形ABED 为正方形，所以AE BD ⊥，因为BD DG D =I ，所以AE ⊥平面BDG ，因为AC EF ∥所以四边形AEFC 为平行四边形，所以AE CF ∥，所以CF ⊥平面BDG .（2）由（1）知DE DG DA ，，互相垂直，故以D 为坐标原点，以DE DG DA ，，所在直线分别为x y z ，，轴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -， 则(0,0,0),(0,0,2),(2,0,2),(0,1,2),(2,1,0)D A B C F ， 所以(0,1,2),(2,1,0)FB CB =-=-u u u r u u u r.设(),,m a b c =u r 为平面BCF 的法向量，则2020m FB b c m CB a b ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u r u u u r u r u u u r ， 令1a =，则21b c ==，，所以()1,2,1m =u r.又因为AD ⊥平面ABC ，所以()0,0,2DA =u u u r为平面ABC 的一个法向量，所以()cos ,m DA ==u r u u u r 由图可知二面角F BC A --是钝角，所以二面角F BC A --的余弦值为. 19.命题意图 本题考查离散型随机变量的期望和方差以及方案的确定. 解题分析 （1）X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6111(0)1010100P X ==⨯=，111(1)210525P X ==⨯⨯=，11213(2)25551025P X ==⨯+⨯⨯=， 131211(3)2210105550P X ==⨯⨯+⨯⨯=，22317(4)25510525P X ==⨯+⨯⨯=， 236(5)251025P X ==⨯⨯=，339(6)1010100P X ==⨯=，X ∴的分布列为（2）所选延保方案一，所需费用1Y 元的分布列为()117117697000900011000130001500010720100502525100E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元） 选择延保方案二，所需费用2Y 元的分布列为()267691000011000120001042010025100E Y =⨯+⨯+⨯=（元）()()12E Y E Y >Q ，∴该医院选择延保方案二较划算.20.命题意图 本题考查椭圆有关的定值、定点问题.解题分析由题得1c e c a ===，解得a =222a b c =+，得1b =，故椭圆方程为2212x y +=. 设()()1122,,,A x y B x y ，易知直线l 的方程为1x y =+，由22112x y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得23210y y +-=， 于是12122313y y y y ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩， 从而1212423x x y y +=++=，故211,,332CM M k ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 所以直线OM 的方程为12y x =-. （2）①当直线l 的斜率不为0时，设()0,0Q x ，直线l 的方程为1x my =+，由22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 得()222210m y my ++-=，所以1221222212m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩， 所以()()()()()210201************OA QB x x x x y y my my x my my x y y =⋅=--+=++-++++u u u r u u u r ()()()()()2222121200000022121121112122m m y y m y y x x x m m x x x m m --=+⋅++-+-+=+⋅+⋅-+-+=++ ()202002231212x m x x m --+-++， 由023112x --=，得054x =， 故此时点57,0,416Q QA QB ⎛⎫⋅=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ； ②当直线l 的斜率为0时，2257416QA QB ⎛⎫⋅=-=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r . 综上，在x 轴上存在定点5,04Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得QA QB ⋅u u u r u u u r 为定值. 21.命题意图 本题考查导数综合.解题分析 （1）()f x 的定义域为()1,-+∞，()2ln(1)2f x x x '=+-.设()()212g x ln x x =+-. ∵2()1x g x x -'=+，∴当()1,0x ∈-时，()0g x '>；当,()0x ∈+∞时，()0g x '<， ∴()g x 在()1,0-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减，∴()g x 在0x =处取得最大值.又∵()00g =，∴对任意的1,()x ∈-+∞，()()00g x g ≤=恒成立，即对任意的1,()x ∈-+∞，都有()f x ' ()2120ln x x =+-≤恒成立，故()f x 在定义域()1,-+∞上是减函数.（2）由()f x 是减函数，且()00f =可得，当0x >时，()0f x <，∴()0f n <，即22(1)ln(1)2n n n n ++<+，两边同除以22(1)n +得ln(1)121211n n n n n n ++<⋅⋅+++，即12211n n n a n n +<⋅⋅++， 从而1231112334521222341234121n n n n n n n T a a a a n n n +++⎛⎫⎛⎫=⋅<⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⋅L L L ， 所以[]21(2)ln (2)ln 2ln(2)ln(1)(1)ln 22(1)n n n n T n n n n +⎡⎤++<=+-+-+⎢⎥+⎣⎦. ① 下面证2ln(2)ln(1)(1)ln 2102n n n n +-+-++-<. 记()2ln(2)ln(1)(1)ln 212x h x x x x =+-+-++-，[1,)x ∈+∞， ∴2211111()ln 2ln 2ln 2221232223x h x x x x x x x'=--+=-+=-+++++++. ∵2y x x=+在[2,)+∞上单调递减，而1111(2)ln 2(23ln 2)(2ln8)06233h '=-+=-=-<， ∴当[2,)x ∈+∞时，()0h x '<恒成立，∴()h x 在[2,)+∞上单调递减，即[2,)x ∈+∞，()(2)2ln 4ln33ln 2ln 2ln30h x h =--=-<„，∴当2n …时，()0h n <.∵19(1)2ln3ln 22ln 2ln 028h =---=-， ∴当*n ∈N 时，()0h n <，即2ln(2)ln(1)(1)ln 212n n n n +-+-+<-. ② 综合①②可得，[]ln (2)12n n n T +<-. 22.命题意图 本题考查参数方程、极坐标方程的应用及两点间距离的求法.解题分析 （1）曲线1C 的普通方程为22149x y +=， 曲线2C 的直角坐标方程为2245x y y +=+，即22(2)9x y +-=.（2）设P 点的坐标为(2cos ,3sin )θθ.2||333PQ PC +„，当sin 1θ=-时，max ||538PQ =+=.23.命题意图 本题考查绝对值不等式的解法及基本不等式.解题分析 （1）44,2()|2||36|28,22,44,2x x f x x x x x x x --<-⎧⎪=-++=+-⎨⎪+>⎩剟当2x <-时，4434x x -≥-+，即8x ≤-；当22x -≤≤时，2834x x +≥-+，即45x ≥-，可得425x -≤≤； 当2x >时，4434x x +≥-+，即0x ≥，可得2x >， ∴不等式的解集为4|8 5x x x ⎧⎫≤-≥-⎨⎬⎩⎭或 . （2）根据函数44,2()28,22,44,2x x f x x x x x --<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪+>⎩可知当2x =-时，函数取得最小值(2)4f -=，可知4a =， 8,0,0m n m n ∴+=>>,11111111()11(22)8882n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫∴+=⋅++=⋅++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…> 当且仅当n m m n =，即4m n ==时，取“=”，∴11m n +的最小值为12.。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{|1}A x x =<，2{|log 1}B x x =<，则（ ）A ．{|1}AB x x =<U B ．{|2}A B x x =<UC ．{|1}A B x x =<ID ．{|2}A B x x =<I 【答案】B {|1}A x x =<，{|02}B x x =<<，{|01}A B x x =<<I ，{|2}A B x x =<U ． 2．i 是虚数单位，4i1iz =-，则||z =（ ） A ．2 B ．22 C ．4 D ．42 【答案】B 由题意得4i 4i(1i)2i(1i)22i 1i (1i)(1i)z +===+=-+--+，∴22||(2)222z =-+=．故选B ． 3．已知某公司按照工作年限发放年终奖金并且进行年终表彰．若该公司有工作10年以上的员工100人，工作510:年的员工400人，工作05:年的员工200人，现按照工作年限进行分层抽样，在公司的所有员工中抽取28人作为员工代表上台接受表彰，则工作510:年的员工代表有（ ） A ．8人 B ．16人 C ．4人 D ．24人【答案】B 依题意知，该公司的所有员工中工作10年以上、工作510:年、工作05:年的员工人数比例为1:4:2， 所以工作510:年的员工代表有428167⨯=． 4．已知向量||2=a ，||1=b ，(2)2⋅-=a a b ，则a 与b 的夹角为（ ） A ．30︒ B ．60︒ C ．90︒ D ．150︒【答案】B ∵2(2)2422⋅-=-⋅=-⋅=a a b a a b a b ，∴1⋅=a b ．设a 与b 的夹角为θ，则1cos ||||2θ⋅==a b a b ，又0180θ︒≤≤︒，∴60θ=︒，即a 与b 的夹角为60︒．5．长方体1111ABCD A B C D -，1AB =，2AD =，13AA =，则异面直线11A B 与1AC 所成角的余弦值为（ ） A ．1414 B ．8314 C ．1313D ．13【答案】A【解析】∵1111C D A B ∥，∴异面直线11A B 与1AC 所成的角即为11C D 与1AC 所成的角11AC D ∠， 在11AC D Rt △中，111C D =，222112314AC =++=，∴11111114cos 1414C D AC D AC ∠===，故选A ． 6．执行下图的程序框图，若输出的结果为10，则判断框中的条件是（ ）A ．4?i <B ．5?i <C ．6?i <D ．7?i < 【答案】B【解析】由程序框图可知，该程序框图的功能是计算(1)1232i i S i +=++++=L 的值， 又10S =，所以4i =，当15i +=时退出循环，结合选项可知，应填5?i <．6题 7题7．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>）的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象 向左平移π6个单位长度，得到()y g x =的图象，则下列说法不正确的是（ ） A ．函数()g x 为奇函数 B ．函数()g x 的最大值为3 C ．函数()g x 的最小正周期为π D ．函数()g x 在π(0,)3上单调递增【答案】D 由图可知3A =，35ππ3π()41234T =--=，∴πT =，2ω=， 将点5π(,3)12代入3sin(2)y x ϕ=+，得π2π3k ϕ=-+()k ∈Z ，故π()3sin(2)3f x x =-，向左平移π6个单位长度得ππ()3sin[2()]3sin 263y g x x x ==+-=，故A ，B ，C 正确，故选D ．8．随机设置某交通路口亮红绿灯的时间，通过对路口交通情况的调查，确定相邻两次亮红灯与亮绿灯的时间之和为90秒，且一次亮红灯的时间不超过60秒，一次亮绿灯的时间不超过50秒，则亮绿灯的时间不小于亮红灯的时间的概率为（ ）A ．14 B ．19 C ．59 D ．511【答案】A 设亮绿灯的时间随机设置为t 秒，则50t ≤，亮红灯的时间为9060t -≤，所以3050t ≤≤， 亮绿灯的时间不小于亮红灯的时间即为45t ≥，由几何概型的概率公式知：P =50−4550−30=14． 9．已知函数1()1ln f x x x=--，则()y f x =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A ∵1()1ln f x x x=--，∴1ln 0x x --≠，令()1ln g x x x =--，∵(1)0g =，∴函数的定义域为(0,1)(1,)+∞U ，可得211()(1ln )x f x x x x -'=-⋅--， 当(0,1)x ∈时，()0f x '>，函数单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，函数单调递减，∴A 选项图象符合题意10．已知圆222x y r +=(0)r >与抛物线22y x =交于A ，B 两点，与抛物线的准线交C ，D 两点，若四边形ABCD 是矩形，则r 等于（ ） A ．22B ．2C ．52 D ．5 【答案】C 由题意可得，抛物线的准线方程为12x =-，画出图形如图所示：在222x y r +=(0)r >中，当12x =-时，则有2214y r =-．① 由22y x =，得22y x =，代入222x y r +=，消去x 整理得422440y y r +-=．②结合题意可得点A ，D 的纵坐标相等，故①②中的y 相等， 由①②两式消去2y ，得222211()4()4044r r r -+--=， 整理得42168150r r --=，解得254r =或234r =-（舍去），∴52r =，故选C ． 11．在ABC △中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知5a =，2534ABC S =△，且2222cos cos b c a ac C c A +-=⋅+⋅，则sin sin B C +=（ ）A ．3B ． 9√32C ．3D ．33【答案】C 在ABC △中，由余弦定理得22222222cos cos 22a b c b c a ac C c A ac c bc ab bc+-+-⋅+⋅=⋅+⋅=，∵2222cos cos b c a ac C c A +-=⋅+⋅，∴222b c a bc +-=，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，∵0πA <<，∴π3A =，∵2534ABC S =△，∴13253sin 244bc A bc ==，∴25bc =，即22225b c a +-=， ∵5a =，∴2250b c +=，由222550bc b c =⎧⎨+=⎩，解得5b c ==，∴a b c ==，∴π3B C A ===， ∴π3sin sin 2sin2332B C +==⨯=．12．已知函数24,0(),0x x x x f x e x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，()()g x f x ax =-，若()g x 有4个零点，则a 的取值范围为（ ）A ．2(,4)4eB ．(,4)4eC ．(,)4e +∞D ．2(,)4e +∞【答案】A 因为()()g x f x ax =-有4个零点，即函数()y f x =与y ax =有4个交点，当0x >时，2(1)()xx ef x x-'=， 所以(0,1)x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增， 画出()f x 的图象如图所示，求出()f x 的过原点的切线，()f x 在0x =处的切线1l 的斜率为2100(4)|(24)|4x x k x x x =='=+=+=， 设()f x 的过原点的切线2l 的切点为000(,)x e P x x 0(0)x ≠，切线2l 的斜率为2k ，又2(1)()x x e x e x x -'=，故000220020(1)x x x e k x e x k x ⎧-=⎪⎪⎪⎨⎪⎪=⎪⎩，解得02x =，224e k =， 由图可知()y f x =与y ax =有4个交点，则21k a k <<，所以244ea <<．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．若5(2)()ax x x+-展开式的常数项等于80，则a = ． 【答案】2【解析】5()a x x -的通项公式为55525155C (1)(1)C r r r r r r r r r r T a x x a x ----+=⋅⋅⋅-⋅=-⋅，∴5(2)()a x x x+-展开式中的常数项为235C 80a =，∴2a =．14．设x ，y 满足约束条件10103x y x y x -+≥⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =-的最小值是 ．【答案】-6【解析】根据题意，画出可行域与目标函数线如图所示，由103x y x -+=⎧⎨=⎩，得34x y =⎧⎨=⎩，由图可知目标函数在点(3,4)A 取最小值23346z =⨯-⨯=-．15．已知双曲线22:13y C x -=的左右焦点分别为1F 、2F ，点A 在双曲线上，点M 的坐标为2(,0)3，且M 到直线1AF ，2AF 的距离相等，则1||AF = ．【答案】4【解析】由题意得1(2,0)F -，2(2,0)F ，点A 在双曲线的右支上，又点M 的坐标为2(,0)3， ∴128||233F M =+=，224||233MF =-=． 画出图形如图所示，1MP AF ⊥，2MQ AF ⊥，垂足分别为P ，Q ，由题意得||||MP MQ =，∴AM 为12F AF ∠的平分线，∴1122||||2||||AF F M AF MF ==，即12||2||AF AF =， 又12||||2AF AF -=，∴1||4AF =，2||2AF =．故答案为4．16．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:1O x y +=，直线:l y x a =+，过直线l 上点P 作圆O 的切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，若存在点P 使得32PA PB PO +=u u u r u u u r u u u r，则实数a 的取值范围是 ．【答案】[−2√2，2√2]【解析】取AB 中点H ，OH AB ⊥，∵PA PB =，H 为AB 中点，∴90AHP ∠=︒，∴O ，H ，P 三点在一条直线上，2PA PB PH +=u u u r u u u r u u u r，322PH PO =u u u r u u u r ，34PH PO =u u u r u u u r ，设||3PH x =u u u r ，∴||4PO x =uuu r，∴OH x =，在AHO Rt △中，得222r OH AH -=，221AH x =-，①，在OAP 中运用射影定理得2AH OH PH =⋅，2233AH x x x =⋅=，②， 联立①②，2231x x =-，214x =，12x =，||42OP x ==， ∴P 点以O 为圆心，2r =的圆上，P 轨迹224x y +=， 又∵P 在y x a =+上，直线与圆有交点，∴||211a d =≤+，∴2222a -≤≤． 三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知数列{}n a 满足132********n n n a a a a +-++++=-L ()n ∈*N ，4log n n b a =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列11{}n n b b +⋅的前n 项和n T ．【解析】（1）∵132********n n n a a a a +-++++=-L ，∴31212222222nn n a a a a --++++=-L (2)n ≥， 两式相减得112222n n n nn a +-=-=，∴212n n a -=(2)n ≥． 又当1n =时，12a =满足上式，∴212n n a -=()n ∈*N ． ∴数列{}n a 的通项公式212n n a -=． （2）由（1）得21421log 22n n n b --==， ∴114112()(21)(21)2121n n b b n n n n +==-⋅-+-+， ∴12231111111112[(1)()()]3352121n n n T b b b b b b n n +=+++=-+-++-⋅⋅-+L L 142(1)2121nn n =-=++．18．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，22AD BC ==，90BAD ABC ∠=∠=︒．（1）证明：PC BC ⊥；（2）若直线PC 与平面PAD 所成角为30︒，求二面角B PC D --的余弦值． 【解析】（1）取AD 的中点为O ，连接PO ，CO ， ∵PAD △为等边三角形，∴PO AD ⊥．底面ABCD 中，可得四边形ABCO 为矩形，∴CO AD ⊥，∵0PO CO =I ，∴AD ⊥平面POC ，PC ⊂平面POC ，AD PC ⊥． 又AD BC ∥，所以PC BC ⊥．（2）由面PAD ⊥面ABCD ，PO AD ⊥知，∴PO ⊥平面ABCD ，OP ，OD ，OC 两两垂直，直线PC 与平面PAD 所成角为30︒， 即30CPO ∠=︒，由2AD =，知3PO =，得1CO =．分别以OC u u u r ，OD u u u r ，OP uuu r的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz -，则(0,0,3)P ，(0,1,0)D ，(1,0,0)C ，(1,1,0)B -，(0,1,0)BC =u u u r ，(1,0,3)PC =-u u u r ，(1,1,0)CD =-u u u r，设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =n ，∴030y x z =⎧⎪⎨-=⎪⎩，则(3,0,1)=n ．设平面PDC 的法向量为(,,)x y z =m ，∴030x y x z -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，则(3,3,1)=m ．427|cos ,|||||727⋅<>===m n m n m n ， ∴二面角B PC D --的余弦值为277-．19．（12分）某学校共有1000名学生，其中男生400人，为了解该校学生在学校的月消费情况， 采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，月消费金额分布在450~950之间．根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图如图所示：将月消费金额不低于元的学生称为“高消费群”．（1）求a 的值，并估计该校学生月消费金额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）现采用分层抽样的方式从月消费金额落在[550,650)，[750,850)内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高消费群”的学生人数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望；（3）若样本中属于“高消费群”的女生有10人，完成下列22⨯列联表，并判断是否有97.5%的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关？（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）解：（1）由题意知100(0.00150.00250.00150.001)1a ++++=，解得0.0035a =，样本的平均数为：5000.156000.357000.258000.159000.10670x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）， 所以估计该校学生月消费金额的平均数为670元．（2）由题意，从[550,650)中抽取7人，从[750,850)中抽取3人．随机变量X 的所有可能取值有0，1，2，3，337310C C ()C k k P X k -==(0,1,2,3)k =，所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望35632119()012312012012012010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． （3）由题可知，样本中男生40人，女生60人，属于“高消费群”的25人，其中女生10人； 得出以下22⨯列联表：750222()100(10251550)505.556 5.024()()()()406025759n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈>++++⨯⨯⨯，所以有97.5%的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关．20．（12分）已知椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的右焦点F 与抛物线28y x =的焦点重合，且椭圆的离心率为63，过x 轴正半轴一点(,0)m 且斜率为33-的直线l 交椭圆于A ，B 两点．（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在实数m 使以线段AB 为直径的圆经过点F ，若存在，求出实数m 的值；若不存在说明理由． 解：（1）∵抛物线28y x =的焦点是(2,0)，∴(2,0)F ，∴2c =，又∵椭圆的离心率为63，即63c a =，∴6a =，26a =，则2222b a c =-=，故椭圆的方程为22162x y +=．（2）由题意得直线l 的方程为3()3y x m =--(0)m >， 由221623()3x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，消去y 得222260x mx m -+-=， 由2248(6)0Δm m =-->，解得2323m -<<，又0m >，∴023m <<，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12x x m +=，21262m x x -=，∴212121212331[()][()]()33333m m y y x m x m x x x x =--⋅--=-++． ∵11(2,)FA x y =-u u u r ，22(2,)FB x y =-u u u r，∴212121212462(3)(2)(2)()43333m m m m FA FB x x y y x x x x +-⋅=--+=-+++=u u u r u u u r ， 若存在m 使以线段AB 为直径的圆经过点F ，则必有0FA FB ⋅=u u u r u u u r， 即2(3)03m m -=，解得0m =或3m =． 又023m <<，∴3m =，即存在3m =使以线段AB 为直径的圆经过点．21．（12分）已知函数1()ln 12m f x x x =+-()m ∈R 的两个零点为1x ，2x 12()x x <．（1）求实数m 的取值范围；（2）求证：12112x x e+>． 解：（1）2212()22m x mf x x x x -'=-+=， 当0m ≤时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，不可能有两个零点； 当0m >时，由()0f x '>，可解得2x m >；由()0f x '<，可解得02x m <<， ∴()f x 在(0,2)m 上单调递减，在(2,)m +∞上单调递增，∴min 1()(2)ln 2122m f x f m m m ==+-， 要使得()f x 在(0,)+∞上有两个零点，则11ln 21022m +-<，解得02e m <<，则m 的取值范围为(0,)2e ． （2）令1t x=，则1111()ln()1ln 122f x m mt t x x =--=--，由题意知方程1ln 102mt t --=有两个根，即方程ln 22t m t+=有两个根，不妨设111t x =，221t x =，令ln 2()2t h t t+=，则当1(0,)t e ∈时，()h t 单调递增，1(,)t e∈+∞时，()h t 单调递减，综上可知，1210t t e >>>， 令2()()()x h x h x e ϕ=--，下面证()0x ϕ<对任意的1(0,)x e∈恒成立，2221ln()21ln ()()()222()x x e x h x h x e x x eϕ-----'''=+-=+-， ∵1(0,)x e ∈，∴ln 10x -->，222()x x e<-，∴222221ln()2ln ()1ln ()2222()2()2()x x x x e e x x x x e e eϕ--------'>+=---， 又∵1(0,)x e∈，∴22221()()2x xe x x e e +--≤=， ∴()0x ϕ'>，则()x ϕ在1(0,)e 单调递增，∴1()()0x eϕϕ<=，∵2222()()()0t h t h t e ϕ=--<，∴222()()h t h t e<-，又∵12()()h t h t =，∴122()()h t h t e<-，∴122t t e >-，∴122t t e +>，即12112x x e +>．2020届尼尔基一中高三理科数学模拟试卷7(教师版）请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为131x t y t =+⎧⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为 极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 1cos θρθ=-． （1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）已知与直线l 平行的直线l '过点(2,0)M ，且与曲线C 交于A ，B 两点，试求||||MA MB ⋅．【解析】（1）把直线l 的参数方程化为普通方程为3(1)1y x =-+，即3130x y -+-=． 由22cos 1cos θρθ=-，可得22(1cos )2cos ρθρθ-=，∴曲线C 的直角坐标方程为22y x =． （2）直线l 的倾斜角为π3，∴直线l '的倾斜角也为π3， 又直线l '过点(2,0)M ，∴直线l '的参数方程为12232x t y t ⎧'=+⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩（t '为参数），将其代入曲线C 的直角坐标方程可得234160t t ''--=，设点A ，B 对应的参数分别为1t '，2t '， 由一元二次方程的根与系数的关系知12163t t ''=-，1243t t ''+=，∴16||||3MA MB ⋅=． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】设函数()|||2|([0,2])f x x a x a a =+---∈．（1）当1a =时，解不等式()1f x ≥；（2）求证：()2f x ≤．【解析】（1）当1a =时，解不等式()1f x ≥等价于|1||1|1x x +--≥，①当1x ≤-时，不等式化为111x x --+-≥，原不等式无实数解；②当11x -<<时，不等式化为111x x ++-≥，解得112x ≤<； ③当1x ≥时，不等式化为111x x +-+≥，解得1x ≥，综上所述，不等式()1f x ≥的解集为1[,)2+∞．（2）()|()(2)|2f x x a x a a a ≤+---=+-，∵[0,2]a ∈，∴(2)2(2)a a a a +-≥-，∴22[(2)](2)a a a a +-≥+-， ∴2(2)4a a +-≤，22a a +-≤，∴()2f x ≤．。

内蒙古百校联盟2020届高考数学模拟（理科）试卷（3月份）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|（x﹣2）（x+3）＜0}，B={x|y=}，则A∩（∁R B）=（）A． B．（﹣3，﹣1] C．（﹣3，﹣1） D．2．已知复数z满足z（+3i）=16i（i为虚数单位），则复数z的模为（）A．B．2 C．4 D．83．已知两个随机变量x，y之间的相关关系如表所示：x ﹣4 ﹣2 1 2 4y ﹣5 ﹣3 ﹣1 ﹣0.5 1根据上述数据得到的回归方程为=x+，则大致可以判断（）A．＞0，＞0 B．＞0，＜0 C．＜0，＞0 D．＜0，＜04．已知向量=（2，﹣4），=（﹣3，x），=（1，﹣1），若（2+）⊥，则||=（）A．9 B．3 C．D．35．已知等比数列{a n}的前n项积为T n，若log2a2+log2a8=2，则T9的值为（）A．±512 B．512 C．±1024 D．10246．执行如图所示的程序框图，则输出的i的值为（）A．5 B．6 C．7 D．87．已知三棱锥A﹣BCD的四个顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别为A（2，0，2），B（2，1，2），C（0，2，2），D（1，2，0），画该三棱锥的三视图中的俯视图时，以xOy平面为投影面，则得到的俯视图可以为（）A．B．C．D．8．已知过点（﹣2，0）的直线与圆O：x2+y2﹣4x=0相切与点P（P在第一象限内），则过点P且与直线x ﹣y=0垂直的直线l的方程为（）A．x+y﹣2=0 B．x+y﹣4=0 C． x+y﹣2=0 D．x+y﹣6=09．函数f（x）=（﹣1）•sinx的图象大致形状为（）A．B．C．D．10．已知函数f（x）=sinωx﹣cosωx（ω＜0），若y=f（x+）的图象与y=f（x﹣）的图象重合，记ω的最大值为ω0，函数g（x）=cos（ω0x﹣）的单调递增区间为（）A．（k∈Z） B．（k∈Z）C．（k∈Z） D．（k∈Z）11．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点F2关于双曲线C的一条渐近线的对称点A在该双曲线的左支上，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．12．定义在R上的函数f（x）的图象关于y轴对称，且f（x）在上恒成立，则实数m的取值范围为（）A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]二、填空题（1+x﹣30x2）（2x﹣1）5的展开式中，含x3项的系数为（用数字填写答案）14．已知实数x，y满足则z=的取值范围为．15．已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且S n满足n（n+1）S n2+（n2+n﹣1）S n﹣1=0（n∈N*），则S1+S2+…+S2017= ．16．如图所示，三棱锥P﹣ABC中，△ABC是边长为3的等边三角形，D是线段AB的中点，DE∩PB=E，且DE⊥AB，若∠EDC=120°，PA=，PB=，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a、b、c成等比数列，c=bsinC ﹣ccosB．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若b=2，求△ABC的周长和面积．18．（12分）每年的4月23日为世界读书日，为调查某高校学生（学生很多）的读书情况，随机抽取了男生，女生各20人组成的一个样本，对他们的年阅读量（单位：本）进行了统计，分析得到了男生年阅读量的频数分布表和女生年阅读量的频率分布直方图．男生年阅读量的频数分布表（年阅读量均在区间内）本/年[0，10）[10，20）[20，30）[30，40）[40，50）频数 3 1 8 4 2 2（Ⅰ）根据女生年阅读量的频率分布直方图估计该校女生年阅读量的中位数；（Ⅱ）若年不小于40本为阅读丰富，否则为阅读不丰富，依据上述样本研究年阅读量与性别的关系，完成下列2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为阅读丰富与性别有关；性别阅读丰富不丰富合计量男女合计（Ⅲ）在样本中，从年阅读量在的学生中，随机抽取2人参加全市的征文比赛，记这2人中男生人数为ξ，求ξ的分布列和期望．附：，其中n=a+b+c+dP（K2≥k0）0.025 0.010 0.005k0 5.024 6.635 7.87919．（12分）已知矩形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，BE=CF=1，BC=2，AB=CD=3，P、Q分别为DE、CF的中点，现沿着EF翻折，使得二面角A﹣EF﹣B大小为．（Ⅰ）求证：PQ∥平面BCD；（Ⅱ）求二面角A﹣DB﹣E的余弦值．20．（12分）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，点B是椭圆C的上顶点，点Q在椭圆C上（异于B点）．（Ⅰ）若椭圆V过点（﹣，），求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+b与椭圆C交于B、P两点，若以PQ为直径的圆过点B，证明：存在k∈R， =．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣ax+，其中a＞0．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：（1+）（1+）（1+）…（1+）＜e（n∈N*，n≥2）．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．（10分）已知平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ．（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程与曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线θ=（ρ∈R）与曲线C1交于P，Q两点，求|PQ|的长度．23．已知函数f（x）=|3x﹣4|．（Ⅰ）记函数g（x）=f（x）+|x+2|﹣4，在下列坐标系中作出函数g（x）的图象，并根据图象求出函数g （x）的最小值；（Ⅱ）记不等式f（x）＜5的解集为M，若p，q∈M，且|p+q+pq|＜λ，求实数λ的取值范围．内蒙古百校联盟2020届高考数学模拟（理科）试卷（3月份）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|（x﹣2）（x+3）＜0}，B={x|y=}，则A∩（∁R B）=（）A． B．（﹣3，﹣1] C．（﹣3，﹣1） D．【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】求出A，B中不等式的解集确定出B，找出B的补集，求出A与B补集的交集即可．【解答】解：A={x|（x﹣2）（x+3）＜0}=（﹣3，2），B={x|y=}=（﹣1，+∞），∴∁R B=（﹣∞，﹣1]∴A∩（∁R B）=（﹣3，﹣1]．故选：B．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．已知复数z满足z（+3i）=16i（i为虚数单位），则复数z的模为（）A．B．2 C．4 D．8【考点】A8：复数求模；A7：复数代数形式的混合运算．【分析】利用复数运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式即可得出．【解答】解：z（+3i）=16i（i为虚数单位），∴z（+3i）（﹣3i）=16i（﹣3i），∴16z=16i （﹣3i），∴z=3+i．则复数|z|==4．故选：C．【点评】本题考查了复数运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．已知两个随机变量x，y之间的相关关系如表所示：x ﹣4 ﹣2 1 2 4y ﹣5 ﹣3 ﹣1 ﹣0.5 1根据上述数据得到的回归方程为=x+，则大致可以判断（）A．＞0，＞0 B．＞0，＜0 C．＜0，＞0 D．＜0，＜0【考点】BK：线性回归方程．【分析】利用公式求出，，即可得出结论．【解答】解：样本平均数=0.2， =﹣1.7，∴==＞0，∴=﹣1.7﹣×0.2＜0，故选：C．【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，属于基础题．4．已知向量=（2，﹣4），=（﹣3，x），=（1，﹣1），若（2+）⊥，则||=（）A．9 B．3 C．D．3【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】利用向量垂直关系推出等式，求出x，然后求解向量的模．【解答】既然：向量=（2，﹣4），=（﹣3，x），=（1，﹣1），2+=（1，x﹣8），（2+）⊥，可得：1+8﹣x=0，解得x=9．则||==3．故选：D．【点评】本题考查平面向量的数量积的运算，向量的模的求法，考查计算能力．5．已知等比数列{a n}的前n项积为T n，若log2a2+log2a8=2，则T9的值为（）A．±512 B．512 C．±1024 D．1024【考点】8G：等比数列的性质．【分析】利用已知条件求出a2a8的值，然后利用等比数列的性质求解T9的值．【解答】解：log2a2+log2a8=2，可得log2（a2a8）=2，可得：a2a8=4，则a5=±2，等比数列{a n}的前9项积为T9=a1a2…a8a9=（a5）9=±512．故选：A．【点评】本题考查的等比数列的性质，数列的应用，考查计算能力．6．执行如图所示的程序框图，则输出的i的值为（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】EF：程序框图．【分析】模拟执行程序的运行过程，即可得出程序运行后输出的i值．【解答】解：模拟执行程序的运行过程，如下；S=1，i=1，S＜30；S=2，i=2，S＜30；S=4，i=3，S＜30；S=8，i=4，S＜30；S=16，i=5，S＜30；S=32，i=6，S≥30；终止循环，输出i=6．故选：B【点评】本题主要考查了程序框图的应用问题，模拟程序的运行过程是解题的常用方法．7．已知三棱锥A﹣BCD的四个顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别为A（2，0，2），B（2，1，2），C（0，2，2），D（1，2，0），画该三棱锥的三视图中的俯视图时，以xOy平面为投影面，则得到的俯视图可以为（）A．B．C．D．【考点】L7：简单空间图形的三视图．【分析】找出各点在xoy平面内的投影得出俯视图．【解答】解：由题意，A（2，0，2），B（2，1，2），C（0，2，2），D（1，2，0）在xOy平面上投影坐标分别为A（2，0，0），B（2，1，0），C（0，2，0），D（1，2，0）．故选：C．【点评】本题考查了三视图的定义，简单几何体的三视图，属于基础题．8．已知过点（﹣2，0）的直线与圆O：x2+y2﹣4x=0相切与点P（P在第一象限内），则过点P且与直线x ﹣y=0垂直的直线l的方程为（）A．x+y﹣2=0 B．x+y﹣4=0 C． x+y﹣2=0 D．x+y﹣6=0【考点】J7：圆的切线方程．【分析】求出P的坐标，设直线l的方程为x+y+c=0，代入P，求出c，即可求出直线l的方程．【解答】解：由题意，切线的倾斜角为30°，∴P（1，）．设直线l的方程为x+y+c=0，代入P，可得c=﹣4，∴直线l的方程为x+y﹣4=0，故选B．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线方程，考查学生的计算能力，属于中档题．9．函数f（x）=（﹣1）•sinx的图象大致形状为（）A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】先判断函数的奇偶性，再取特殊值验证．【解答】解：∵f（x）=（﹣1）•sinx，∴f（﹣x）=（﹣1）•sin（﹣x）=﹣（﹣1）sinx=（﹣1）•sinx=f（x），∴函数f（x）为偶函数，故排除C，D，当x=2时，f（2）=（﹣1）•sin2＜0，故排除B，故选：A【点评】本题考查了函数图象的识别，关键掌握函数的奇偶性和函数值的特点，属于基础题．10．已知函数f（x）=sinωx﹣cosωx（ω＜0），若y=f（x+）的图象与y=f（x﹣）的图象重合，记ω的最大值为ω0，函数g（x）=cos（ω0x﹣）的单调递增区间为（）A．（k∈Z） B．（k∈Z）C．（k∈Z） D．（k∈Z）【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；HA：余弦函数的单调性．【分析】利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，利用正弦函数的周期性求得ω的值，再利用余弦函数的单调性，求得函数g（x）的增区间．【解答】解：函数f（x）=sinωx﹣cosωx（ω＜0）=2sin（ωx﹣），若y=f（x+）的图象与y=f（x﹣）的图象重合，则为函数f（x）的周期，即=k•||，∴ω=±4k，k∈Z．记ω的最大值为ω0，则ω0=﹣4，函数g（x）=cos（ω0x﹣）=cos（﹣4x﹣）=cos（4k+）．令2kπ﹣π≤4x+≤2kπ，求得﹣≤x≤﹣，故函数g（x）的增区间为[﹣，﹣]，k∈Z．故选：A．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，余弦函数的单调性，属于中档题．11．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点F2关于双曲线C的一条渐近线的对称点A在该双曲线的左支上，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】设F（﹣c，0），渐近线方程为y=x，对称点为F'（m，n），运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求出对称点的坐标，代入双曲线的方程，由离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：设F（﹣c，0），渐近线方程为y=x，对称点为F'（m，n），即有=﹣，且•n=•，解得m=，n=﹣，将F'（，﹣），即（，﹣），代入双曲线的方程可得﹣=1，化简可得﹣4=1，即有e2=5，解得e=．故选：D．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，以及点满足双曲线的方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．12．定义在R上的函数f（x）的图象关于y轴对称，且f（x）在上恒成立，则实数m的取值范围为（）A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】由条件利用函数的奇偶性和单调性，可得0≤2mx﹣lnx≤6对x∈恒成立，2m≥且2m≤对x∈恒成立．求得相应的最大值和最小值，从而求得m的范围．【解答】解：∴定义在R上的函数f（x）的图象关于y轴对称，∴函数f（x）为偶函数，∵函数数f（x）在恒成立，即f（2mx﹣lnx﹣3）≥f（3）对x∈恒成立．∴﹣3≤2mx﹣lnx﹣3≤3对x∈恒成立，即0≤2mx﹣lnx≤6对x∈恒成立，即2m≥且2m≤对x∈恒成立．令g（x）=，则 g′（x）=，在上递减，∴g（x）max=．令h（x）=，h′（x）=＜0，在上递减，∴h（x）min=．综上所述，m∈[，]．故选D．【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．二、填空题（2017•内蒙古模拟）（1+x﹣30x2）（2x﹣1）5的展开式中，含x3项的系数为﹣260 （用数字填写答案）【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】分析x3得到所有可能情况，然后得到所求．【解答】解：（1+x﹣30x2）（2x﹣1）5的展开式中，含x3项为﹣30x2=80x3﹣40x3﹣300x3=﹣260x3，所以x3的系数为﹣260；故答案为：﹣260．【点评】本题考查了二项式定理；注意各种可能．14．已知实数x，y满足则z=的取值范围为[] ．【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，再由z=的几何意义，即可行域内的动点与定点P（﹣2，﹣1）连线的斜率求解．【解答】解：由约束条件作出可行域如图：A（2，0），联立，解得B（5，6），z=的几何意义为可行域内的动点与定点P（﹣2，﹣1）连线的斜率，∵，∴z=的取值范围为[]．故答案为：[]．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15．已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且S n满足n（n+1）S n2+（n2+n﹣1）S n﹣1=0（n∈N*），则S1+S2+…+S2017= ．【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和．【分析】n（n+1）S n2+（n2+n﹣1）S n﹣1=0（n∈N*），可得（S n+1）=0，S n＞0．可得S n==﹣．利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：∵n（n+1）S n2+（n2+n﹣1）S n﹣1=0（n∈N*），∴（S n+1）=0，S n＞0．∴n（n+1）S n﹣1=0，∴S n==﹣．∴S1+S2+…+S2017=+…+=．故答案为：．【点评】本题考查了数列递推关系、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．如图所示，三棱锥P﹣ABC中，△ABC是边长为3的等边三角形，D是线段AB的中点，DE∩PB=E，且DE ⊥AB，若∠EDC=120°，PA=，PB=，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为13π．【考点】LR：球内接多面体；LG：球的体积和表面积．【分析】由题意得PA2+PB2=AB2，即可得D为△PAB的外心，在CD上取点O1，使O1为等边三角形ABC的中心，在△DEC中，过D作直线与DE垂直，过O1作直线与DC垂直，两条垂线交于点O，则O为球心，在△DEC中求解OC，即可得到球半径，【解答】解：由题意，PA2+PB2=AB2，因为，∴AD⊥面DEC，∵AD⊂PAB，AD⊂ABC，∴面APB⊥面DEC，面ABC⊥面DEC，在CD上取点O1，使O1为等边三角形ABC的中心，∵D为△PAB斜边中点，∴在△DEC中，过D作直线与DE垂直，过O1作直线与DC垂直，两条垂线交于点O，则O为球心．∵∠EDC=90°，∴，又∵，∴OO1=，三棱锥P﹣ABC的外接球的半径R=，三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为4πR2=13π，故答案为：13π．【点评】本题考查了几何体的外接球的表面积，解题关键是要找到球心，求出半径，属于难题．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2017•内蒙古模拟）已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a、b、c成等比数列，c=bsinC﹣ccosB．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若b=2，求△ABC的周长和面积．【考点】HP：正弦定理；HT：三角形中的几何计算．【分析】（Ⅰ）根据题意，由正弦定理可得sinC=sinBsinC﹣sinCcosB，进而变形可得1=sinC﹣cosB，由正弦的和差公式可得1=2sin（B﹣），即可得B﹣的值，计算可得B的值，即可得答案；（Ⅱ）由余弦定理可得（a+c）2﹣3ac=12，又由a、b、c成等比数列，进而可以变形为12=（a+c）2﹣36，解可得a+c=4，进而计算可得△ABC的周长l=a+b+c，由面积公式S△ABC=acsinB=b2sinB计算可得△ABC 的面积．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，若c=bsinC﹣ccosB，由正弦定理可得sinC=sinBsinC﹣sinCcosB，又由sinC≠0，则有1=sinC﹣cosB，即1=2sin（B﹣），则有B﹣=或B﹣=，即B=或π（舍）故B=；（Ⅱ）已知b=2，则b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac=12，又由a、b、c成等比数列，即b2=ac，则有12=（a+c）2﹣36，解可得a+c=4，所以△ABC的周长l=a+b+c=2+4=6，面积S△ABC=acsinB=b2sinB=3．【点评】本题考查正弦、余弦定理的应用，关键利用三角函数的恒等变形正确求出B的值．18．（12分）（2017•内蒙古模拟）每年的4月23日为世界读书日，为调查某高校学生（学生很多）的读书情况，随机抽取了男生，女生各20人组成的一个样本，对他们的年阅读量（单位：本）进行了统计，分析得到了男生年阅读量的频数分布表和女生年阅读量的频率分布直方图．男生年阅读量的频数分布表（年阅读量均在区间内）本/年[0，10）[10，20）[20，30）[30，40）[40，50）频数 3 1 8 4 2 2（Ⅰ）根据女生年阅读量的频率分布直方图估计该校女生年阅读量的中位数；（Ⅱ）若年不小于40本为阅读丰富，否则为阅读不丰富，依据上述样本研究年阅读量与性别的关系，完成下列2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为阅读丰富与性别有关；性别阅读丰富不丰富合计量男女合计（Ⅲ）在样本中，从年阅读量在的学生中，随机抽取2人参加全市的征文比赛，记这2人中男生人数为ξ，求ξ的分布列和期望．附：，其中n=a+b+c+dP（K2≥k0）0.025 0.010 0.005k0 5.024 6.6357.879【考点】BO：独立性检验的应用．【分析】（Ⅰ）求出前三组频率之和，即可根据女生的频率分布直方图估计该校女生年阅读量的中位数；（Ⅱ）根据所给数据得出2×2列联表，求出K2，即可判断是否有99%的把握认为月底丰富与性别有关；（Ⅲ）由题意得ξ的可能取值为0，1，2，求出相应的概率，即可求ξ的分布列和期望．【解答】解：（Ⅰ）前三组频率之和为：0.1+0.2+0.25=0.55，∴中位数位于第三组，设中位数为a，由题可知：，解得a=38．∴该校女生年阅读量的中位数约为38．（Ⅱ）性别阅读量丰富不丰富合计男 4 16 20女 9 11 20合计 13 27 40≈2.849＜6.635，∴没有99%的把握认为阅读丰富与性别有关．（Ⅲ）年阅读量在的学生中，男生2人，女生4人．由题意得ξ的可能取值为0，1，2.，，．所以的分布列为ξ 0 1 2p．【点评】本题考查频率分布直方图，考查概率的计算，考查ξ的分布列和期望，考查独立性检验知识的运用，属于中档题．19．（12分）（2017•内蒙古模拟）已知矩形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，BE=CF=1，BC=2，AB=CD=3，P、Q分别为DE、CF的中点，现沿着EF翻折，使得二面角A﹣EF﹣B大小为．（Ⅰ）求证：PQ∥平面BCD；（Ⅱ）求二面角A﹣DB﹣E的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取EB的中点M，连接PM，QM，证明：平面PMQ∥平面BCD，即可证明PQ∥平面BCD；（Ⅱ）建立坐标系，利用向量方法，即可求二面角A﹣DB﹣E的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取EB的中点M，连接PM，QM，∵P为DE的中点，∴PM∥BD，∵PM⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，∴PM∥平面BCD，同理MQ∥平面BCD，∵PM∩MQ=M，∴平面PMQ∥平面BCD，∵PQ⊂平面PQM，∴PQ∥平面BCD；（Ⅱ）解：在平面DFC内，过F作FC的垂线，则∠DFC=，建立坐标系，则E（2，0，0），C（0，1，0），B（2，1，0），D（0，﹣1，﹣），A（2，﹣1，），∴=（﹣2，﹣2，），=（0，2，﹣），=（0，1，0），设平面DAB的一个法向量为=（x，y，z），则，取=（0，，），同理平面DBE的一个法向量为=（，0，），∴cos＜，＞==，∴二面角A﹣DB﹣E的余弦值为．【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的大小的求法，考查向量方法的运用，是中档题．20．（12分）（2017•内蒙古模拟）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，点B是椭圆C的上顶点，点Q在椭圆C上（异于B点）．（Ⅰ）若椭圆V过点（﹣，），求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+b与椭圆C交于B、P两点，若以PQ为直径的圆过点B，证明：存在k∈R， =．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率公式求得a和b的关系，将（﹣，）代入椭圆方程，即可求得a和b 的值，求得椭圆方程；（Ⅱ）将直线方程代入椭圆方程，求得P的横坐标，求得丨BP丨，利用直线垂直的斜率关系求得丨BQ丨，由=，根据函数零点的判断即可存在k∈R， =．【解答】解：（Ⅰ）椭圆的离心率e===，则a2=2b2，将点（﹣，）代入椭圆方程，解得：a2=4，b2=2，∴椭圆的标准方程为：，（Ⅱ）由题意的对称性可知：设存在存在k＞0，使得=，由a2=2b2，椭圆方程为：，将直线方程代入椭圆方程，整理得：（1+2k2）x2+4kbx=0，解得：x P=﹣，则丨BP丨=×，由BP⊥BQ，则丨BQ丨=×丨丨=•，由=．，则2×=•，整理得：2k3﹣2k2+4k﹣1=0，设f（x）=2k3﹣2k2+4k﹣1，由f（）＜0，f（）＞0，∴函数f（x）存在零点，∴存在k∈R， =．【点评】本题考查椭圆的标准方程及椭圆的离心率，考查直线与椭圆的位置关系，弦长公式，考查函数零点的判断，考查计算能力，属于中档题．21．（12分）（2017•内蒙古模拟）已知函数f（x）=lnx﹣ax+，其中a＞0．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：（1+）（1+）（1+）…（1+）＜e（n∈N*，n≥2）．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出lnx＜x﹣，令x=1+（n≥2），得到ln（1+）＜（﹣），累加即可证明结论．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=，令h（x）=﹣ax2+x﹣a，记△=1﹣4a2，当△≤0时，得a≥，若a≥，则﹣ax2+x﹣a≤0，f′（x）≤0，此时函数f（x）在（0，+∞）递减，当0＜a＜时，由﹣ax2+x﹣a=0，解得：x1=，x2=，显然x1＞x2＞0，故此时函数f（x）在（，）递增，在（0，）和（，+∞）递减；综上，0＜a＜时，函数f（x）在（，）递增，在（0，）和（，+∞）递减，a≥时，函数f（x）在（0，+∞）递减；（Ⅱ）证明：令a=，由（Ⅰ）中讨论可得函数f（x）在区间（0，+∞）递减，又f（1）=0，从而当x∈（1，+∞）时，有f（x）＜0，即lnx＜x﹣，令x=1+（n≥2），则ln（1+）＜（1+）﹣==（+）＜=（﹣），从而：ln（1+）+ln（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）＜（1﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣+﹣）=（1+﹣﹣）＜（1+）=，则有ln（1+）+ln（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）＜，可得（1+）（1+）（1+）…（1+）＜e（n∈N*，n≥2）．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查不等式的证明以及导数的应用，是一道中档题．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．（10分）（2017•东莞市二模）已知平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ．（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程与曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线θ=（ρ∈R）与曲线C1交于P，Q两点，求|PQ|的长度．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（I）曲线C1的参数方程为（φ为参数），利用平方关系消去φ可得普通方程，展开利用互化公式可得极坐标方程．曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ，即ρ2=2ρcosθ，利用互化公式可得直角坐标方程．（II）把直线θ=（ρ∈R）代入ρcosθ+2ρsinθ﹣5=0，整理可得：ρ2﹣2ρ﹣5=0，利用|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=即可得出．【解答】解：（I）曲线C1的参数方程为（φ为参数），利用平方关系消去φ可得：+（y+1）2=9，展开为：x2+y2﹣2x+2y﹣5=0，可得极坐标方程：ρcosθ+2ρsinθ﹣5=0．曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ，即ρ2=2ρcosθ，可得直角坐标方程：x2+y2=2x．（II）把直线θ=（ρ∈R）代入ρcosθ+2ρsinθ﹣5=0，整理可得：ρ2﹣2ρ﹣5=0，∴ρ1+ρ2=2，ρ1•ρ2=﹣5，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|===2．【点评】本题考查了直角坐标方程化为极坐标方程及其应用、参数方程化为普通方程、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23．（2017•内蒙古模拟）已知函数f（x）=|3x﹣4|．（Ⅰ）记函数g（x）=f（x）+|x+2|﹣4，在下列坐标系中作出函数g（x）的图象，并根据图象求出函数g （x）的最小值；（Ⅱ）记不等式f（x）＜5的解集为M，若p，q∈M，且|p+q+pq|＜λ，求实数λ的取值范围．【考点】3O：函数的图象．【分析】（Ⅰ）根据函数解析式作出函数g（x）的图象，并根据图象求出函数g（x）的最小值；（Ⅱ）记不等式f（x）＜5的解集为M，可得p，q∈（﹣，3），若p，q∈M，且|p+q+pq|＜λ，利用绝对值不等式，即可求实数λ的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数g（x）=f（x）+|x+2|﹣4=|3x﹣4|+|x+2|﹣4，图象如图所示，由图象可得，x=，g（x）有最小值﹣；（Ⅱ）由题意，|3x﹣4|＜5，可得﹣＜x＜3，∴p，q∈（﹣，3），∴|p+q+pq|≤|p|+|q|+|pq|＜3+3+3×3=15，∴λ≥15．【点评】本题考查函数的图象，考查绝对值不等式的运用，考查数形结合的数学思想，属于中档题．。

2020年百校大联考高考数学模拟试题（理科）百校大联考2020届高三上学期联考(一)理科数学试题及答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知全集，集合，则A． B． C． D．2、已知，则的大小关系为A． B． C． D．3、A． B． C． D．4、命题，则是A． B． C． D．5、函数的零点包含于区间A． B． C． D．6、曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为A． B． C．2 D．7、函数，若矩形ABCD的顶点A、D在x轴上，B、C在函数的图象上，且，则点D的坐标为A． B． C． D．8、已知二次函数，若，则在A．上是增函数 B．上是增函数C．上是增函数 D．上是增函数9、已知定义在R上的函数的导函数，若的极大值为，极小值为，则函数的图象有可能是10、已知，命题若；命题若，则，在命题（1）；（2）；（3）；（4）中，证明题的个数为A．1 B．2 C．3 D．411、函数的定义域和值域都是,则A．1 B．2 C．3 D．412、设，其中，若对任意的非零实数，存有的非零实数成立，则k的取值范围为A． B． C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

.13、设函数的图象关于直线对称，则a的值为14、设函数，则15、函数是周期为2的奇函数，当，则16、已知函数在区间内单调递减，则实数a的取值范围三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17、（本小题满分10分）已知全集，集合。

（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围。

18、（本小题满分12分）已知函数（1）求的定义域和值域；（2）若，求实数的取值范围。

19、（本小题满分12分）已知函数在上是单调函数；是的充分不必要条件，若为真，为假，求实数m的取值范围。

20、（本小题满分12分）已知函数，其中为常数（1）根据的不同值，判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）若，判断函数在上的单调性，并说明理由。

百校联盟2020届高三TOP20三月联考（全国II 卷）数学(理)试题一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)已知集合A={x|2x-3≥0}.B={x|x(x -2)<0}.则A∩B= 3()|2A x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭… (B)3{|2}2x x <„ (C){r|0≤x<2} (D)3|02x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭„ (2)设复数z 满足21i i z+=-.则|z |等于 (A 3)2 (B)10 (C 2) (D)2(3)下列函数中,既是偶函数,又在(0,+∞)上单调递增的是(A)f(x)=1-x 2 (B)1()f x x x =- (C)12)()log ||f x x = (D)f(x)=2|x|(4)已知双曲线22:13y C x -=，F 为双曲线C 的右焦点,过点F 作与渐近线垂直的直线与另一条渐近线交点M.则|FM|=()23A ()3B ()22C (D)4(5)如图所示。

某几何体的三视图均为直角三角形。

则围成该几何体的各面中。

直角三角形的个数为(A)1 (B)2 (C)3 (D)4(6)如图，在平面直角坐标系xOy 中.扇形AOB 的圆心角为34π.半径为1.Р是¶AB 上一点,其横坐标为223则sin ∠BOP=(2)3A(B)33(C42)6+(D)326+(7)正六面体有6个面，8个顶点:正八面体有8个面，6个顶点.我们称它们互相对偶.如图.连接正六面体各面的中心，就会得到对偶的正八面体.在正六面体内随机取一点,则此点取自正八面体内的概率是(1)6A(B)15(C1)4(D)13(8)执行如图所示的程序框图,若输入a的值为2019,则输出S的值为(A)4 (B)10 (C)79 (D)93(9)设x,y 满足不等式组 2..0.x y y x a y +⎧⎪⎪⎪+⎨⎪⎪≈⎪⎩„„且4y x +的最大值为12则实数a 的值为 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4(10)设0<1,tan()tan 2cos a πβαβββ<<-+=.则 ()22A παβ+= (B)22παβ-= ()22C a πβ+= (D)22παβ-=(11)已知椭圆C 2222:1(0x y a b a b+=>>的右焦点为F.点A.B 是椭圆C 上关于原点O 对称的两个点.且||||,0.AO AF FA FB =⋅=u u u r u u u r 则椭圆C 的离心率为(1A()2B(C)2(D)3(12)若函数f(x)=alnx-e x 有极值点,则实数a 的取值范围是(A)(-e,+∞)(B)(1,e) (C)(1,+∞) (D)(0,+∞)第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题～第23题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分. (13)261()x x +的展开式中含x 3项的系数是____(用数字作答).(14)甲、乙,丙、丁4人站在一栋房子前·甲说:"我没进过房子":乙说:"丙进去过":丙说:"丁进去过":丁说:"我没进过房子".这四人中只有一人进过房子，且只有一人说了真话.则进过这栋房子的人是__. (15)在△ABC 中,∠A=60∘,AB=3.24, 33BD BC AD BC =⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r ,则AC=______. (I6)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,且b+c=a(cosB+cosC).若△ABC 的周长的最大值为4+则a=___.三,解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,12111,,21(2)3n n n a a a a n a +===+∈且*N … (I)证明:1{}na 为等差数列: (II)求数列3{}nna 的前n 项和T n .(18)(本小题满分12分)如图，四棱锥A-BCDE 中,底面BCDE 为直角梯形,ED ∥BC,∠EDC=90°，22EB EC ==，AB=AE=ED=2,F 为AB 的中点.(Ⅰ)证明:EF ∥平面ACD;(Ⅱ)若23AC =，求直线BC 与平面ACD 所成角的正弦值.（19）（本小题满分12分）近几年。

2020届百校联盟高三TOP20三月联考（全国II卷）理科数学试题一、单选题(★) 1 . 已知集合，，则（）A．B．C．D．(★) 2 . 设复数满足，则等于（）A．B．C．D．2(★★) 3 . 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（）A．B．C．D．(★) 4 . 已知双曲线：，为双曲线的右焦点，过点作与渐近线垂直的直线与另一条渐近线交点.则（）A．B．C．D．4(★★) 5 . 如图所示，某几何体的三视图均为直角三角形，则围成该几何体的各面中，直角三角形的个数为（）A．1B．2C．3D．4(★★) 6 . 如图，在平面直角坐标系中，扇形的圆心角为，半径为1. 是上一点，其横坐标为，则（）A．B．C．D．(★★) 7 . 正六面体有6个面，8个顶点；正八面体有8个面，6个顶点，我们称它们互相对偶.如图，连接正六面体各面的中心，就会得到对偶的正八面体.在正六面体内随机取一点，则此点取自正八面体内的概率是（）A．B．C．D．(★★) 8 . 执行如图所示的程序框图，若输出的值为，则输入的值可能为（）A．4B．10C．79D．93(★★) 9 . 设满足不等式组，且的最大值为，则实数的值为（）A．1B．2C．3D．4(★★) 10 . 设，，则（）A．B．C．D．(★★) 11 . 已知椭圆的右焦点为，点，是椭圆上关于原点对称的两个点，且，，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．(★★★★) 12 . 若函数有极值点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题(★) 13 . 在的展开式中，含项的系数为 _________ .（用数字填写答案）(★★)14 . 甲、乙、丙、丁4人站在一栋房子前，甲说：“我没进过房子”；乙说：“丙进去过”；丙说：“丁进去过”；丁说：“我没进过房子”，这四人中只有一人进过房子，且只有一人说了真话，则进过这栋房子的人是_______.(★★) 15 . 在中，，，，，则_______.(★★) 16 . 的内角的对边分别为，且，若的周长的最大值为，则_______.三、解答题(★★) 17 . 已知数列的前项和为，，，（且）. （Ⅰ）证明：为等差数列；（Ⅱ）求数列的前项和.(★★) 18 . 如图，四棱锥中，底面为直角梯形，∥ ，，，，为的中点.（Ⅰ）证明： ∥平面 ； （Ⅱ）若，求直线与平面所成角的正弦值.(★★) 19 . 近几年，我国鲜切花产业得到了快速发展，相关部门制定了鲜切花产品行业等级标准，统一使用综合指标值 进行衡量，如下表所示.某花卉生产基地准备购进一套新型的生产线，现进行设备试用，分别从新旧两条生产线加工的产品中选取30个样品进行等级评定，整理成如图所示的茎叶图.综合指标质量等级三级二级一级（Ⅰ）根据茎叶图比较两条生产线加工的产品的综合指标值的平均值及分散程度（直接给出结论即可）； （Ⅱ）若从等级为三级的样品中随机选取3个进行生产流程调查，其中来自新型生产线的样品个数为，求的分布列；（Ⅲ）根据该花卉生产基地的生产记录，原有生产线加工的产品的单件平均利润为4元，产品的销售率（某等级产品的销量与产量的比值）及产品售价如下表：三级花二级花一级花销售率单件售价12元16元20元预计该新型生产线加工的鲜切花单件产品的成本为10元，日产量3000件.因为鲜切花产品的保鲜特点，未售出的产品统一按原售价的50%全部处理完.如果仅从单件产品利润的角度考虑，该生产基地是否需要引进该新型生产线？(★★★★) 20 . 已知抛物线，直线与抛物线交于两点.（Ⅰ）若，求以为直径的圆被轴所截得的弦长；（Ⅱ）分别过点作抛物线的切线，两条切线交于点，求面积的最小值.(★★★★) 21 . 已知函数.（Ⅰ）若，讨论函数的单调性；（Ⅱ）若方程没有实数解，求实数的取值范围.(★★) 22 . 在平面直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线与轴的正、负半轴分别交于两点.（Ⅰ）为上的动点，求线段中点的轨迹的直角坐标方程；（Ⅱ）直线与分别交于点，且在的左侧，的面积是面积的2倍，求的值.(★★) 23 . 已知函数.（Ⅰ）若，求不等式的解集；（Ⅱ）若不等式至少有一个负数解，求实数的取值范围.。

2020年高考数学模拟试卷(理科)(3月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若z(1+i)=i−2(i为虚数单位)，则z.等于()A. −12+32i B. −12−32i C. −1+3i D. −1−3i2.设集合M={x|x2<36}，N={2,4，6，8}，则M∩N=()A. {2,4}B. {4,6}C. {2,6}D. {2,4，6}3.设S n为等差数列{a n}的前n项和，若2a4+a10+a12=22，则S14=()A. 56B. 66C. 77D. 784.“勾股圆方图”是我国古代数学家赵爽设计的一幅用来证明勾股定理的图案，如图所示.在“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形.若直角三角形中较小的锐角满足，则从图中随机取一点，此点落在阴影部分的概率是A. B. C. D.5.函数f(x)=ln|x|+|sinx|(−π⩽x⩽π且x≠0)的图象大致是()．A. B.C. D.6.要从10名男生和5名女生中选出6人组成啦啦队，若按性别依此比例分层抽样且某男生担任队长，则不同的抽样方法数是()A. C93C52B. C103C52C. A103A52D. C104C527. 如图是一个三棱锥的三视图，其俯视图是正三角形，主视图与左视图都是直角三角形．则这个三棱锥的外接球的表面积是( )A. 19πB. 28πC. 67πD. 76π8. 已知F 1，F 2是椭圆x 216+y 212=1的左、右焦点，直线l 过点F 2与椭圆交于A 、B 两点，且|AB|=7，则△ABF 1的周长为( )A. 10B. 12C. 16D. 39. 已知函数f(x)=|x 2−4|−3x +m 恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A. (−6,6)∪(254,+∞) B. (254,+∞) C. (−∞,−254)∪(−6,6)D. (−254,+∞)10. 已知A 、M 、B 三点共线，m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −3OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数t 的值为( )．A. １２B. １３C. −１２D. −１３11. 已知双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦点为F 1、F 2，渐近线为l 1，l 2，过点F 2且与l 1平行的直线交l 2于M ，若M 在以线段F 1 F 2为直径的圆上，则双曲线的离心率为( )A. 2B. √2C. √3D. √512. f(x)是定义在R 上的偶函数，当x <0时f(x)+x ⋅f′(x)<0，且f(−4)=0，则不等式xf(x)>0的解集为( )A. (−4,0)∪(4,+∞)B. (−4,0)∪(0,4)C. (−∞,−4)∪(4,+∞)D. (−∞,−4)∪(0,4)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设x ，y 满足约束条件{y −1≤0x −y −1≤0x +2y −2≥0，则z =x −2y 的最小值是______．14. 等比数列{a n }中，a 1+a 2=20，a 3+a 4=40，则a 5+a 6等于______ ． 15. (1)观察下列式子：1+122<32，1+122+132<53，，…，根据以上式子可以猜想：1+122+132+⋯+120162<______．(2)甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b ，且a 、b ∈{0,1,2,…,9}.若|a −b|=1，则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则二人“心有灵犀”的概率为______．(3)古代埃及数学中发现有一个独特现象：除23用一个单独的符号表示以外，其它分数都要写成若干个单分数和的形式.例如25=13+115，可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，如果每人12，不够，每人13，余13，再将这13分成5份，每人得115，这样每人分得13+115.形如22n+1(n =2,3,4，…)的分数的分解：25=13+115，27=14+128，29=15+145，按此规律，22n+1=______(n =2,3,4，…)． (4)定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足x 2f’(x)+1>0，f(1)=5，则不等式f(x)<1x +4的解集为______．16. 直线y =2x +1被圆x 2+y 2=1截得的弦长为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. △ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若a−c b−c =sinBsinA+sinC ．(1)求角A ；(Ⅱ)设m ⃗⃗⃗ =(sinB,cos2B)，n ⃗ =(2,1)，求m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ 的最大值．18. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB =45°，PD ⊥平面ABCD ，AP ⊥BD ． (1)证明：BC ⊥平面PDB ；(2)若AB =√2,PB 与平面APD 所成角为45°，求二面角A −PC −B 的大小．19. 动点P 到定点F(0,1)的距离比它到直线y =−2的距离小1，设动点P 的轨迹为曲线C ，过点F的直线交曲线C 于A 、B 两个不同的点，过点A 、B 分别作曲线C 的切线，且二者相交于点M ． (Ⅰ)求曲线C 的方程； (Ⅱ)求证：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0；20. 某企业根据供销合同生产某种型号零件10万件，规定：零件长度(单位：毫米)在区间(99,101]内，则为一等品；若长度在(97,99]或(101,103]内，则为二等品；否则为不合格产品．现从生产出的零件中随机抽取100件作样本，其长度数据的频率分布直方图如图所示． (Ⅰ)试估计该样本的平均数；(Ⅱ)根据合同，企业生产的每件一等品可获利10元，每件二等品可获利8元，每件不合格产品亏损6元，若用样本估计总体，试估算该企业生产这批零件所获得的利润．21.已知函数f(x)=e x−ax，其中a∈R，e为自然对数的底数．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a>0时，求函数f(x)在[0,a]上的最大值．22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =1+√22ty =2+√22t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sinθ． (I)写出直线l 的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程； (II)直线l 与曲线C 2交于A 、B 两点，求|AB|．23. 已知函数f(x)=|x −3|+|x −a|，a ∈R ．(1)当a =0时，解不等式f(x)>4；(2)若∃x ∈R ，使不等式|x −3|+|x −a|<4成立，求a 的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：解：由z(1+i)=i −2， 得z =i−21+i =(i−2)(1−i)(1+i)(1−i)=−1+3i 2=−12+32i ，则z .=−12−32i ． 故选：B ．由z(1+i)=i −2，得z =i−21+i ，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z 得答案． 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的求法，是基础题．2.答案：A解析：解：M ={x|−6<x <6}； ∴M ∩N ={2,4}． 故选：A ．可求出集合M ，然后进行交集的运算即可． 考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．3.答案：C解析：本题考查了等差数列的通项公式、求和公式及等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用等差数列的通项公式、求和公式及等差数列的性质即可得出． 解：∵2a 4+a 10+a 12=22，∴4a 1+26d =22， ∴2a 1+13d =11，∴a 7+a 8=2a 1+13d =11， 则S 14=14(a 1+a 14)2=7(a 7+a 8)=77．故选C ．4.答案：D解析：本题主要考查几何概型与数学文化的考查，根据几何概型的概率公式求出对应区域的面积是解决本题的关键；设出大正方形的边长，结合cosα=45，分别求出小直角三角形的边长，得到小正方形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可；属于基础题．解：设大正方形边长为5，由cosα=45知α对边等于3，邻边等于4，∴小正方形的边长为1，面积等于S=1，则对应的概率P=125．故选D．5.答案：D解析：本题考查函数的奇偶性以及函数的导数的应用，函数的极值，考查转化思想以及计算能力．利用函数的奇偶性排除选项，通过函数的导数求解函数的极值点的个数，求出f(π)的值，推出结果即可．解：函数f(x)=ln|x|+|sinx|(−π≤x≤π且x≠0)是偶函数排除A．当x>0时，f(x)=lnx+sinx，可得：f′(x)=1x+cosx，令1x +cosx=0，作出y=1x与y=−cosx图象如图：可知两个函数有一个交点，就是函数有一个极值点．f(π)=lnπ>1，故选D．6.答案：A解析：解：∵从10名男生和5名女生中选出6人组成啦啦队，∴每个学生被抽到的概率是615=25，∵按性别依此比例分层抽样∴应抽男生25× 10=4，应抽女生25× 5=2，∵某男生担任队长，∴不同的抽样方法数是C93C52，故选A．由题意知从10名男生和5名女生中选出6人组成啦啦队，得到每个学生被抽到的概率是615，因为按性别依此比例分层抽样，做出男女各需抽的人数，某男生担任队长，所以只抽三个男生即可，写出结果．本题是一个分层抽样与排列组合问题的综合题，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素．7.答案：B解析：解：三视图可知几何体是底面为正三角形，边长为：3，一条侧棱垂直底面正三角形的一个顶点的三棱锥，三棱锥的高为4，三棱锥补充为三棱柱，三棱柱与三棱锥的外接球是同一个外接球，由棱柱的底面边长为3，则底面半径为r=3×√33=√3，由棱柱的高为4，则球心距d=2，外接球的半径R=√r2+d2=√7，故这个三棱锥的外接球的表面积S=4πR2=28π，故选：B由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，求出其外接球的半径，代入球的表面积公式，可得答案．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．8.答案：C解析：本题考查椭圆的定义．椭圆的简单性质的应用，考查计算能力，属于基础题．利用椭圆的定义可得：|AF1|+|AF2|=2a，|BF1|+|BF2|=2a，并且|AF2|+|BF2|=|AB|，进而得到答案．解：椭圆x216+y212=1，可得a=4，根据题意结合椭圆的定义可得：|AF1|+|AF2|=2a=8，并且|BF1|+|BF2|=2a=8，又因为|AF2|+|BF2|=|AB|，所以△ABF1的周长为：|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=16．故选：C．9.答案：C解析：本题主要考查根的存在性的应用，利用一元二次函数的图象和性质，以及数形结合是解决本题的关键．由f(x)=0，得m=3x−|x2−4|，作出函数y=g(x)=3x−|x2−4|图象，利用数形结合即可得到结论．解：由f(x)=0，得m=3x−|x2−4|，设g(x)=3x−|x2−4|，当x≥2或x≤−2时，g(x)=3x−|x2−4|，g(x)=3x −x 2+4=−(x −32)2+254，当−2<x <2时，g(x)=3x −|x 2−4|，g(x)=3x +x 2−4=(x +32)2−254，作出y =g(x)=3x −|x 2−4|图象如图：要使函数f(x)=|x 2−4|−3x +m 恰有两个不同的零点，则m <−254或−6<m <6，即m ∈(−∞,−254)∪(−6,6)，故选：C10.答案：D解析：解：∵AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =t(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )， 化为3(t +1)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −3OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −3t OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， 与m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −3OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 比较可得：{3(t +1)=m −3t =1，解得t=−13．故答案为：−13．利用向量的三角形法则和平面向量的基本定理即可得出．本题考查了向量的三角形法则和平面向量的基本定理，属于基础题．11.答案：A解析：解：不妨设过点F2与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=ba(x−c)，与y=−ba x联立，可得交点M(c2,−bc2a)，∵点M在以线段F1F2为直径的圆上，∴c24+b2c24a2=c2，∴b=√3a，∴c=√a2+b2=2a，∴e=ca=2．故选：A．已知得出过F且与双曲线C的一条渐近线平行的直线方程，与另一条渐近线方程联立即可解得交点M的坐标，代入以线段F1F2为直径的圆的方程，即可得出离心率e．本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，熟练掌握双曲线的渐近线及离心率、直线的点斜式、圆的方程是解题的关键．12.答案：D解析：本题考查了由条件构造函数和用导函数的符号判断函数的单调性，利用函数的单调性的关系对不等式进行判断．解：因为f(x)是定义在R上的偶函数，当x<0时f(x)+x⋅f′(x)<0，且f(−4)=0，所以ℎ(x)=xf(x)在x<0时单调递减，在x>0时递增，且ℎ(−4)=ℎ(4)=0，故选D.13.答案：−2解析：解：由x ，y 满足约束条件{y −1≤0x −y −1≤0x +2y −2≥0作出可行域如图，化目标函数z =x −2y 为y =12x −z 2．联立{y =1x +2y −2=0，解得：C(0,1)． 由图可知，当直线y =12x −z 2过C(0,1)时直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值，等于0−2×1=−2．故答案为：−2．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 14.答案：80解析：解：设等比数列{a n }的公比为q ，则a 3+a 4=(a 1+a 2)⋅q 2，即40=20q 2,解得q 2=2，故a 5+a 6=(a 3+a 4)⋅q 2=40×2=80,故答案为：80．设等比数列{a n }的公比为q ，由a 3+a 4=(a 1+a 2)⋅q 2，可得q 2=2，而a 5+a 6=(a 3+a 4)⋅q 2，代入可得．本题考查等比数列的通项公式和公比的定义，属基础题．15.答案：(1)40312016；(2)950；(3)1n+1+1(n+1)(2n+1)；(4)(0,1)．解析：(1)本题考查归纳推理的应用，根据已知不等式得到规律即可求解．)解：，，，则，故答案为40312016．(2)本题考查古典概型的概率计算，列出基本事件，代入古典概型的公式即可求解．解：总的基本事件共有10×10=100种，满足|a−b|=1，即取相邻的两个数共有9×2=18种，则概率为18100=950，故答案为950．(3)本题考查归纳推理的应用，根据所给的等式找出规律即可求解．解：25=13+13×5，3=5+12；2 7=14+14×7，4=7+12；2 9=15+15×9，5=9+12按此规律，22n+1=1n+1+1(n+1)(2n+1)(n=2,3,4，…)，故答案为1n+1+1(n+1)(2n+1)．(4)本题考查导数在函数单调性中的应用，根据不等式函数得到单调性即可求解．解：设g(x)=f(x)−1x ，则g′(x)=f′(x)+1x2=x2f′(x)+1x2>0，所以g(x)在单调递增，又g(1)=4，不等式可化为g(x)<g(1)，则0<x<1，故答案为(0,1)．16.答案：4√55 解析：解：如图，圆x 2+y 2=1的圆心O(0,0)，半径r =1，∵圆心O 到直线y =2x +1的距离：OD =|2×0−0+1|√5=√55， ∴BD =(√55)=2√55， ∴直线y =2x +1被圆x 2+y 2=1截得的弦长：|AB|=2|BD|=4√55． 故答案为：4√55． 利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再由勾股定理求出弦长．本题考查圆的弦长的求法，是基础题，解题时要注意点到直线的距离公式的合理运用．17.答案：解：(1)由a−c b−c =sinB sinA+sinC则a−c b−c =b a+c ，即a 2=b 2+c 2−bc ，由余弦定理，a 2=b 2+c 2−2bccosA ，得cosA =12， 由于A 为锐角，则A =π3；(II)m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =2sinB +cos2B ，=2sinB +1−2sin 2B=−2sin 2B +2sinB +1，B ∈(0,2π3)，令t =sinB ，则t ∈(0,1]．则m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−2t 2+2t +1=−2(t −12)2+32，t ∈(0,1]． ∴t =12时，m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ 取得最大值32．解析：(1)由正弦定理将角化为边，再由余弦定理即可求得角A ；(II)由向量的数量积的坐标表示，结合二倍角公式及三角换元，由二次函数的最值求法，即可得到最大值．本题考查正弦定理和余弦定理的运用，考查平面向量的数量积的坐标表示，考查三角函数的求值，考查二次函数的值域问题，考查运算能力，属于中档题．18.答案：(1)证明：由PD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，得PD ⊥BD ，又AP ⊥BD ，AP ∩PD =P ，AP ，PD ⊂平面APD ，所以BD ⊥平面APD ，又∵AD ⊂平面APD ，所以BD ⊥AD ，又AD//BC ，所以BC ⊥BD ，因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥BC ，又BD ∩PD =D ，BD ，PD ⊂平面PDB ，所以BC ⊥平面PDB ；(2)解：由(1)可知BD ⊥AD ，又AB =√2，∠DAB =45°，所以AD =BD =1，又BD ⊥平面APD ，所以DP 为BP 在平面APD 内的射影，故∠BPD =45°，所以PD =BD =1，以D 为坐标原点，DA ，DB ，DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则P(0,0，1)，A(1,0，0)，B(0,1，0)，C(−1,1，0)，所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−1),PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,−1)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−1)，设m⃗⃗⃗ =(x,y,z)为平面APC 的法向量， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +y −z =0m⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =x −z =0，故m ⃗⃗⃗ =(1,2,1)， 设平面PCB 的法向量n⃗ =(a,b,c)， 则{n ⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−a +b −c =0n ⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b −c =0，得n ⃗ =(0,1,1)， 故cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=2√3=√32， 因为二面角A −PC −B 为锐二面角，所以二面角A −PC −B 的大小为π6．解析：本题考查线面垂直的判定定理与性质定理，考查空间想象能力和运算能力，是中档题．(1)根据题意，先判断BD ⊥平面APD ，得到PD ⊥BC ，根据线面垂直的判定定理得出结论；(2)根据题意，以D 为坐标原点，DA ，DB ，DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面APC 和平面PCB 的法向量，进行求解即可．19.答案：解：(Ⅰ)由已知，动点P 在直线y =−2上方，条件可转化为动点P 到定点F(0,1)的距离等于它到直线y =−1的距离，∴动点P 的轨迹是以F(0,1)为焦点，直线y =−1为准线的抛物线故其方程为x 2=4y ；(Ⅱ)证明：设直线AB 的方程为y =kx +1，由{x 2=4y y =kx +1得：x 2−4kx −4=0， 设A(x A ,y A )，B(x B ,y B )，则x A +x B =4k ，x A x B =−4，由x 2=4y 得：y =14x 2，∴y′=12x ，∴直线AM 的方程为：y −14x A2=12x A (x −x A )① 直线BM 的方程为：y −14x B2=12x B (x −x B )② ①−②得：14(x B 2−x A 2)=12(x B 2−x A 2)，即x =x A +x B2=2k ， 将x =x A +x B2代入①得：y −14x A 2=12x A x B −x A 2=14x A x B −14x A 2， ∴y =14x A x B =−1，故M(2k,−1)，∴MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2k,−2)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x B −x A ,k(x B −x A ))，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2k(x B −x A )−2k(x B −x A )=0．解析：(Ⅰ)由题意可得条件可转化为动点P 到定点F(0,1)的距离等于它到直线y =−1距离，由抛物线的定义即可得到所求曲线方程；(Ⅱ)设直线AB 的方程为y =kx +1，代入抛物线的方程，运用韦达定理，求得y =14x 2的导数，可得切线的斜率和方程．联立方程组，求得交点M 的坐标，再由向量数量积的坐标表示，即可得证． 本题考查曲线方程的求法，注意运用抛物线的定义和方程，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理和导数的几何意义，考查运算能力，属于中档题．20.答案：解：(Ⅰ)由频率分布直方图可得各组的频率分别为0.02，0.18，0.38，0.30，0.10，0.02．平均数估计值是96×0.02+98×0.18+100×0.38+102×0.30+104×0.10+106×0.02=100.68．(Ⅱ)由题意知，一等品的频率为0.38，二等品的频率为0.48，不合格产品的频率为0.14． 用样本估计总体，一等品约有3.8万件，二等品约有4.8万件，不合格产品约有1.4万件．故该企业生产这批零件预计可获利润3.8×10+4.8×8−1.4×6=68万元．解析：本题主要考查了频率分布直方图，着重考查了频率分布直方图的理解和频率计算公式等知识，属于基础题．(Ⅰ)平均数为频率分布直方图各个小矩形的面积乘底边中点的横坐标之和，计算即可；(Ⅱ)算出一等品、二等品、不合格产品的频率，进而求出产品的数量，即可算该企业生产这批零件所获得的利润；21.答案：解：f(x)的定义域是R ，(1)f′(x)=e x −a ，①a >0时，令f′(x)>0，解得：x >lna ，令f′(x)<0，解得：x <lna ，故f(x)在(−∞,lna)递减，在(lna,+∞)递增；②a ≤0时，f′(x)>0，f(x)在R 递增；综上所述，当a >0时，f(x)在(−∞,lna)递减，在(lna,+∞)递增；当a ≤0时，f(x)在R 递增；(2)由(1)知当a>0时，f(x)在(−∞,lna)递减，在(lna,+∞)递增；先比较a与ln a的大小，构造函数y=x−lnx，则y′=1−1x =x−1x，易得当x∈(0,1)时，y=x−lnx单调递减，当x∈(1,+∞)时，y=x−lnx单调递增，所以当x=1时，y=x−lnx有最小值，即y min=1，即x−lnx>0，所以a>lna，①lna≤0即0<a≤1时，f(x)在[0,a]递增，f(x)max=f(a)=e a−a2，②当a>1时，0<lna<a恒成立，f(x)在[0,lna)递减，在(lna,a]递增，f(0)=1，f(a)=e a−a2，令ℎ(x)=e x−x2−1(x>1)，则ℎ′(x)=e x−2x，令m(x)=e x−2x(x>1)，则m′(x)=e x−2>0，即ℎ′(x)=e x−2x在(1,+∞)上是单调递增的，所以ℎ′(x)>e−2>0，即ℎ(x)=e x−x2−1在(1,+∞)上是单调递增的，所以ℎ(x)>e−1−1=e−2>0，所以当a>1时，e a−a2>1，即f(x)max=f(a)=e a−a2，综上所述，当a>0时，函数f(x)在[0,a]上的最大值e a−a2．解析：本题考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，属于中档题．(1)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；(2)通过讨论a的范围，构造函数，结合函数的单调性比较大小即可求出函数的最值即可．22.答案：解：(I)直线l的参数方程可化为普通方程为x−y+1=0，曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sinθ，即ρ2=4ρsinθ．曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2−4y =0，即x 2+(y −2)2=4；(II)设A 、B 两点所对应的参数分别为t A ，t B,将{x =1+√22t y =2+√22t(t 为参数)代入x 2+y 2−4y =0， 化简整理可得t 2+√2t −3=0，从而{t A +t B =−√2t A t B =−3, 故|AB|=√(t A +t B )2−4t A t B =√14．解析：本题考查参数方程和极坐标方程与普通方程的互化，考查参数方程的运用，属于中档题． (I)利用坐标互化的方法即可写出直线l 的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(II)利用参数的几何意义，即可求得|AB|．23.答案：(本小题满分10分)解：(1)由a =0，原不等式为|x −3|+|x|>4由绝对值的几何意义可得{x|x <−12或x >72} …(5分)(2)由∃x ∈R ，|x −3|+|x −a|<4成立，得(|x −3|+|x −a|)min <4，又|x −3|+|x −a|≥|x −3−(x −a)|=|a −3|∴|a −3|<4，解得−1<a <7…(10分)解析：(1)利用绝对值的几何意义，转化求解即可．(2)利用绝对值的几何意义，求出不等式的最小值，列出不等式，转化求解即可．本题考查绝对值不等式的解法，不等式恒成立条件的转化，考查计算能力．。

2020年全国普通高等学校招生高考数学模拟试卷(理科)(3月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合A ={1,2，3，4}，B ={x|0<x <3}，则A ∩B =( )A. {1,2，3}B. {2,3}C. {1,2}D. {2,3，4}2. 已知函数f(x)={x 2+1,x ≤1ln(x −1),x >1，则f(f(e +1))=( )A. −2B. 2C. −4D. 43. 已知a ∈R ，i 是虚数单位，命题p ：在复平面内，复数z 1=a +21−i 对应的点位于第二象限；命题q ：复数z 2=a −i 的模等于2，若p ∧q 是真命题，则实数a 的值等于( )A. −1或1B. −√3或√3C. −√5D. −√34. 点M(2,1)到抛物线y =ax 2准线的距离为2，则a 的值为( )A. 14B. 112C. 14或−112D. −14或1125. 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(a >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式是( )A. f(x)=sin(3x +π3) B. f(x)=sin(2x +π3) C. f(x)=sin(x +π3) D. f(x)=sin(2x +π6)6. 四边形ABCD 中，∠ABC =∠ADC =90°，AB =2，AD =3，则AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 5B. −5C. 1D. −17. 如图是计算11×2+12×3+13×4+⋯+1n(n+1)的程序框图，若输出的S 的值为99100，则判断框中应填入的条件是( )A. n >98？B. n >99？C. n >100？D. n >101？8. 如图，在边长为1的正方形网格中，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的最长棱的长度为( )A. 4√2B. 6C. 4√3D. 2√59. AB 是圆O 内的一条弦，圆O 半径是5，且圆心到AB 的距离为3，则弦AB 的长度为( )A. 3B. 4C. 6D. 810. 已知f(x)为奇函数，且当x ≤0时，f(z)=−e −x +1，则当x >0时，f(x)=( )A. e −x −1B. e −x +1C. −e −x −1D. e x −111. 在三棱锥D −ABC 中，已知DB ⊥平面ABC ，DB =2√3，∠ABC =60°，AC =√3，则此三棱锥外接球的体积为( )A.16π3B. 4πC.32π3D. 16π12. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与双曲线C 的右支相交于P ，Q 两点，若PQ ⊥PF 1，且|PF 1|=|PQ|，则双曲线的离心率e =( )A. √2+1B. 2√2+1C. √5+2√2D. √5−2√2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 盒子里装有大小质量完全相同且分别标有数字1、2、3、4的四个小球，从盒子里随机摸出两个小球，那么事件“摸出的小球上标有的数字之和大于数字之积”的概率是______． 14. 已知实数x ，y 满足{y ≤xx −4y −3≤02x +y −6≤0，则目标函数z =x +2y 的最大值为______．15. 设a =∫(π0sinx +cosx)dx ，则二项式(a √x −1√x )6展开式中含x 2项的系数是______ 16. 函数f(x)=e x −ln(x +1)的单调递增区间是______ ． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知S n为公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，且a1=1，S1，S2，S4成等比数列．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)设b n=1，求数列{b n}的前n项和．a n a n+118.如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为3的菱形，∠ABC=60°.PA⊥面ABCD，且PA=3.F在棱PA上，且AF=1，E在棱PD上．(Ⅰ)若CE//面BDF，求PE：ED的值；(Ⅱ)求二面角B−DF−A的大小．19.某校高三共有1000位学生，为了分析某次的数学考试成绩，采取随机抽样的方法抽取了50位高三学生的成绩进行统计分析，得到如图所示频数分布表：分组[50,70)[70,90)[90,110)[110,130)[130,150]频数31118126(1)根据频数分布表计算成绩在[90,110)的频率并计算这组数据的平均值x(同组的数据用该组区间的中点值代替)；(2)用分层抽样的方法从成绩在[90,110)和[110,130)的学生中共抽取5人，从这5人中任取2人，求成绩在[90,110)和[110,130)中各有1人的概率．20.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知F(1,0)为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点，A，B为左右顶点．过点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点，其中点P在第一象限，且点P到两个焦点的距离之和为4．(1)求椭圆C的标准方程；(2)记△AFP与△BFQ的面积分别为S1，S2，若S1S2=32，求直线l的方程．21.已知函数f(x)=13x3−x2−8x+83．(1)求f(x)的极值；(2)求曲线在点(0,f(0))处的切线方程．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=1+tcosα,y=tsinα(t为参数).以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ2=4ρcosθ+5．(1)求证：直线l与圆C必有两个公共点；(2)已知点M的直角坐标为(1,0)，直线l与圆C交于A，B两点，若||MA|−|MB||=1，求cosα的值．23.已知f(x)=|x−a|(a>0)．(Ⅰ)若函数F(x)=f(x)+f(2x)的最小值为3，求实数a的值；(Ⅱ)若a=2时，函数g(x)=f(x)−f(−x)的最大值为k，且2m+3n=k(m>0,n>0).求1m +23n的最小值．【答案与解析】1.答案：C解析：解：∵集合A ={1,2，3，4}， B ={x|0<x <3}， ∴A ∩B ={1,2}． 故选：C ．利用交集的定义能求出A ∩B ．本题考查交集的求法，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.答案：B解析：根据题意，由函数的解析式可得f(e +1)的值，进而计算可得答案． 本题考查函数值的计算，涉及分段函数的解析式，属于基础题． 解：根据题意，函数f(x)={x 2+1,x ≤1ln(x −1),x >1，则f(e +1)=lne =1，则f(f(e +1))=f(1)=1+1=2； 故选：B ．3.答案：D解析：解：命题p ：在复平面内，复数z 1=a +21−i =a +2(1+i)(1−i)(1+i)=a +1+i 对应的点位于第二象限，∴a +1<0，解得a <−1．命题q ：复数z 2=a −i 的模等于2，∴√a 2+(−1)2=2，解得a =±√3． 若p ∧q 是真命题，∴{a <−1a =±√3，解得a =−√3．故选：D ．命题p ：利用复数的运算法则、几何意义可得a +1<0.命题q ：利用模的计算公式可得：√a 2+(−1)2=2，解得a.若p ∧q 是真命题，则p 与q 都为真命题，即可得出．本题考查了复数的运算法则、几何意义、模的计算公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.答案：C解析：解：抛物线y=ax2的标准方程为：x2=1a y，a>0时，准线方程为：y=−14a，a<0时准线方程为：y=14a点M(2,1)到抛物线y=ax2准线的距离为2，可得1+14a =2，解得a=14，−14a−1=2，解得a=−112．故选：C．求出抛物线的准线方程，利用已知条件列出方程求解即可．本题考查抛物线方程的简单性质的应用，注意抛物线方程的标准方程的应用，是易错题．5.答案：D解析：本题主要考查函数解析式的求解，根据条件确定A，ω和φ的值是解决本题的关键．要求熟练掌握五点对应法．根据图象确定A，ω和φ的值即可求函数的解析式．解：由图象知函数的最大值为1，即A=1，函数的周期T=4(5π12−π6)=4×3π12=π=2πω，解得ω=2，即f(x)=2sin(2x+φ)，由五点对应法知2×π6+φ=π2，解得φ=π6，故，故选D．6.答案：A解析：解：根据题意，不妨假设四边形ABCD 为矩形，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=9−4=5， 故选：A ．不妨假设四边形ABCD 为矩形，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2，结合条件求得结果．本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的运算，注意特殊化的解题思想，属于基础题．7.答案：B解析：由题意解得n 的值，结合程序框图即可得解判断框内的条件．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．解：由题意可得：11×2+12×3+13×4+⋯+1n(n+1)=(1−12)+(12−13)+⋯+(1n −1n +1)=1−1n +1=n n +1=99100，解得：n =99，可得n =99时不满足判断框内的条件，执行循环体，当n =100时满足判断框内的条件，退出循环，输出S 的值为99100， 故判断框内的条件为：n >99？ 故选：B ．8.答案：B解析：本题主要考查的是几何体的三视图，基础题型．可先由三视图还原几何体，再求解即可．解：由三视图可知该几何体的直观图是如图所示的四棱锥A−BCDE，在边长为4的正方体中，四边形BCDE是边长为2的正方形，最长的棱是AB，且AB=√22+(4√2)2=6，故选B．9.答案：D解析：解：由题意利用弦长公式可得AB=2√r2−d2=2√52−32=8，故选：D．由条件利用直线和圆相交的性质、弦长公式求得弦AB的长度．本题主要考查直线和圆相交的性质、弦长公式的应用，属于基础题．10.答案：D解析：本题考查利用函数的奇偶性求解析式，是简单题．x>0时，有−x<0，所以f(x)=−f(−x)=−[−e−(−x)+1]=e x−1，得答案．解：∵f(x)是奇函数，当x≤0时，f(x)=−e−x+1．当x>0时，有−x<0，所以f(x)=−f(−x)=−[−e−(−x)+1]=e x−1，即f(x)=e x−1．故选D..11.答案：C解析：本题考查的是三棱锥的外接球的体积，求出外接圆半径和外接球半径是解此题的关键，属于基础题．解：因为△ABC的外接圆半径，DB)2+r2=√3+1=2，所以外接球半径R=√(12所以此三棱锥外接球的体积为，故选C．12.答案：D解析：【试题解析】解：由题意，∠PQF1=45°，|QF1|=4a，|QF2|=2a，|F1F2|=2c，，由余弦定理，可得4c2=16a2+4a2−2×4a×2a×√22∴e=√5−2√2．故选：D．由题意，∠PQF1=45°，|QF1|=4a，|QF2|=2a，|F1F2|=2c，由余弦定理，可得4c2=16a2+4a2−2×4a×2a×√2，即可求出双曲线的离心率．2本题考查双曲线的离心率，考查余弦定理的运用，属于中档题．13.答案：12解析：本题考查概率的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．从盒子里随机摸出两个小球，基本事件总数n=C42=6，利用列举法求出事件“摸出的小球上标有的数字之和大于数字之积”包含的基本事件有3个，由此能求出事件“摸出的小球上标有的数字之和大于数字之积”的概率．解：盒子里装有大小质量完全相同且分别标有数字1、2、3、4的四个小球，从盒子里随机摸出两个小球，基本事件总数n =C 42=6，事件“摸出的小球上标有的数字之和大于数字之积”包含的基本事件有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，共3个，∴事件“摸出的小球上标有的数字之和大于数字之积”的概率P =36=12． 故答案为：12． 14.答案：6解析：解：作出实数x ，y 满足{y ≤xx −4y −3≤02x +y −6≤0，对应的平面区域；由z =x +2y ，得y =−12x +z2，平移直线y =−12x +z 2，由图象可知当直线y =−12x +z 2经过点B 时，直线y =−12x +z 2的截距最大，此时z 最大．由{y =x 2x +y −6=0，得B(2,2)，此时z 的最小值为z =2+2×2=6，故答案为：6．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法． 15.答案：−192解析：解：根据题意，a =∫(π0sinx +cosx)dx =∫s π0inxdx +∫c π0osxdx =(−cosx)|0π+sinx|0π=2，二项式(a √x −1√x )6即(2√x −1√x )6，其展开式的通项为T r+1=C 6r (2√x)6−r (−1√x )r =(−1)r ×C 6r ×26−r x 3−r ，当r =1时，有T 2=(−1)×C 61×25x 2=−192；故答案为：−192．根据题意，由定积分计算公式可得a =∫(π0sinx +cosx)dx =∫s π0inxdx +∫c π0osxdx =(−cosx)|0π+sinx|0π=2，即可得a的值，由二项式定理分析可得该二项式展开式的通项，据此分析可得答案．本题考查二项式定理的应用，涉及定积分的计算，属于基础题．16.答案：(0,∞)解析：解：函数f(x)=e x−ln(x+1)的定义域为(−1,+∞)，∴f′(x)=e x−1x+1=(x+1)e x−1x+1，当f′(x)=0时，解得x=0，当f′(x)>0时，解得x>0，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增，故答案为：(0,∞)．根据导数和函数的单调性的关系即可判断．本题考查了导数和函数的单调性的关系，属于基础题．17.答案：解：(Ⅰ)∵S n为公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，且a1=1，S1，S2，S4成等比数列，∴由已知，得S22=S1⋅S4，即a1(4a1+6d)=(2a1+d)2，整理得2a1d=d2，又由a1=1，d≠0，解得d=2，故a n=1+(n−1)×2=2n−1.n∈N∗．(Ⅱ)∵b n=1a n a n+1，a n=2n−1，∴b n=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，∴数列{b n}的前n项和：T n=11×3+13×5+15×7+⋯+1(2n−1)(2n+1)=12[(1−13)+(13−15)+(15−17)+⋯+(12n−1−12n+1)]=1(1−1)=n2n+1，n∈N∗．解析：(Ⅰ)由已知，得S 22=S 1⋅S 4，利用等差数列前n 项和公式求出首项和公差，由此能求出a n ．(Ⅱ)b n =1a n a n+1=12(12n−1−12n+1)，由此利用裂项法能求出数列{b n }的前n 项． 本题考查数列的通项公式和前n 项和公式的求法，考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．18.答案：证明：(Ⅰ)过E 作EG//FD 交AP 于G ，连接CG ，连接AC 交BD 于O ，连接FO ．∵EG//FD ，EG ⊄面BDF ，FD ⊂面BDF ，∴EG//面BDF ，又EG ∩CE =E ，CE//面BDF ，EG ，CE ⊂面CGE ，∴面CGE//面BDF ，…(3分)又CG ⊂面CGE ，∴CG//面BDF ，又面BDF ∩面PAC =FO ，CG ⊂面PAC ，∴FO//CG ．又O 为AC 中点，∴F 为AG 中点，且AF =1，∴AF =FG =1，∵PA =3，∴FG =GP =1，∴E 为PD 中点，PE ：ED =1：1.…(6分)(Ⅱ)过点B 作BH ⊥直线DA 交DA 延长线于H ，过点H 作HI ⊥直线DF 交DF 于I ，…(8分)∵PA ⊥面ABCD ，∴面PAD ⊥面ABCD ，∴BH ⊥面PAD ，由三垂线定理可得DI ⊥IB ，∴∠BIH 是二面角B −DF −A 的平面角．由题易得AH =32，BH =3√32，HD =92， 且HI HD =AF DF =√10，∴HI =9√1020， ∴tan∠BIH =3√32×209√10=√303，…(10分)∴二面角B−DF−A的大小为arcran√303.…(12分)解析：(Ⅰ)根据线面平行的性质定理进行推理得到E为PD中点即可求PE：ED的值；(Ⅱ)根据二面角的定义作出二面角的平面角，即可求二面角B−DF−A的大小．本题主要考查空间线面平行的性质的应用以及二面角的求解，利用相应的性质定理以及作出二面角的平面角是解决本题的关键．19.答案：(1)根据频率分布表知成绩在[90,100)内的概率为1850=0.36，x−=0.06×60+0.22×80+ 0.36×100+0.24×120+0.12×140=102.8，故答案为：0.36102.8．(2)根据分层抽样得应在[90,110)和[110,130)中分别抽取3人和2人，将[90,110)中的3人编号为1，2，3，将[110,130)中的2人编号为a，b，则此事件中的所有基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,a)，(1,b)，(2,3)，(2,a)，(2,b)，(3,a)，(3,b)，(a,b)，共10个，记成绩在[90,110)和[110,130)中各有1人为事件A，事件A包含的基本事件有(1,a)，(1,b)，(2,a)，(2,b)，(3,a)，(3,b)共6个，则P(A)=35，故答案为：35．解析：(1)由平均数的求法得：x−=0.06×60+0.22×80+0.36×100+0.24×120+0.12×140=102.8，成绩在[90,100)内的概率为1850=0.36，(2)由古典概型的求法得：列举出基本事件的个数，再计算即可得解．本题考查了平均数的求法及古典概型，属中档题．20.答案：解：(1)由F(1,0)，得c=1，由点P到两个焦点的距离之和为4，得2a=4，即a=2，∴b2=a2−c2=3，∴椭圆C的标准方程为x24+y23=1；(2)可得S 1=12|AF|⋅|PF|sin∠AFP =32|PF|sin∠AFP ，S 2=12|BF|⋅|QF|sin∠BFQ =12|QF|sin∠BFQ 由S 1S 2=32，得|QF|=2|PF|，即y Q =−2y P (y P >0) 设直线PQ 为：x =my +1，由{x =my +1x 24+y 23=1，得(3m 2+4)y 2+6my −9=0， ∴y P +y Q =−6m 3m 2+4①，y P ⋅y Q =−93m 2+4②，又y Q =−2y P ③由①和③求得：{y P =6m 3m 2+4y Q =−12m 3m 2+4，代入②求得m 2=45， 由y P >0可知m >0，∴m =2√55， 所以直线PQ 的方程：x =2√55y +1，化为一般式为：√5x −2y −√5=0．解析：(1)由椭圆方程求出a ，b ，c ，即可得椭圆C 的标准方程．(2)由S 1S 2=32，得|QF|=2|PF|，即y Q =−2y P (y P >0)，设直线l 的方程为x =my +1，代入椭圆方程，求得P ，Q 的纵坐标，进而可得m 的方程，解方程可得m ，进而得到直线l 的方程．本题考查直线的方程的求法，注意运用直线和椭圆方程联立，解方程求交点，考查存在性问题的解法，注意运用韦达定理和直线的斜率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21.答案：解：(1)由题意得，f′(x)=x 2−2x −8=(x +2)(x −4)，由f′(x)=0，解得x =−2或x =4， 当x ∈(−2,4)时，f′(x)<0，当x ∈(−∞,−2)，(4,+∞)时，f′(x)>0，∴函数f(x)在(−2,4)上单调递减，在(−∞,−2)，(4,+∞)上单调递增，∴当x =−2时取到极大值为f(−2)=12，当x =4取到极小值为f(4)=−24．(2)∵f′(0)=−8，f(0)=83，∴曲线在点(0,f(0))处的切线方程是y −83=−8x即24x +3y −8=0．解析：(1)由求导公式和法则求出f′(x)，求出方程f′(x)=0的根，根据二次函数的图象求出f′(x)<0、f′(x)>0的解集，由导数与函数单调性关系求出f(x)的单调区间即可求得极值；(2)由导数的几何意义求出f′(0)，即切线的斜率，由解析式求出f(0)的值，根据点斜式求出曲线在点(0,f(0))处的切线方程，再化为一般式方程．本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，以及导数几何意义的应用，属于基础题．22.答案：解：(1)圆C 的极坐标方程为ρ2=4ρcosθ+5．由ρ2=x 2+y 2，ρcosθ=x ，得曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2−4x −5=0．法一：将直线l 的参数方程为{x =1+tcosαy =tsinα(t 为参数).代入x 2+y 2−4x −5=0， 得t 2−2tcosα−8=0，(∗)∴Δ=4cos 2α+32>0，∴方程(∗)有两个不等的实数解．∴直线l 与圆C 必有两个公共点．法二：直线l 过定点(1,0)，(1,0)在圆C 内，∴直线l 与圆C 必有两个公共点．(2)记A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，由(1)可知t 1+t 2=2cosα，t 1t 2=−8<0，∴||MA|−|MB||=|t 1+t 2|=2|cosα|=1， ∴cosα=±12．解析：(1)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：(Ⅰ).∵a >0，∴a 2<a ，∴函数F(x)=|x −a|+|2x −a|={3x −2a(x >a)x(a 2≤x ≤a)2a −3x(x <a 2)，∴当x =a 2时，函数F(x)的最小值为F(a 2)=a 2=3，∴a =6．(Ⅱ).当a =2时，g(x)=|x −2|−|x +2|，∵|x −2|−|x +2|≤|(x −2)−(x +2)|=4，∴k =4，∴2m +3n =4，∵1m +23n=14(1m+23n)(2m+3n)=14(4+3nm+4m3n)≥14(4+2√3nm⋅4m3n)=2，∴当3nm =4m3n，即m=1，n=23，1m+23n最小值为2．解析：(Ⅰ)去绝对值，化为分段函数，即可求函数的最小值，即可求a的值；(Ⅱ)代入a的值，求出k=4，根据基本不等式的性质求出1m +23n的最小值即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及基本不等式的性质，是一道常规题．。