第十九章_四边形【专题训练：找规律题、动点题】

四边形动点问题解题技巧引言四边形动点问题是数学中常见的一个问题，也称为四边形运动几何问题。

它涉及到一个四边形，其中三个顶点是固定不动的，而第四个顶点在运动当中。

本文将介绍四边形动点问题的基本概念和解题技巧，以帮助读者更好地理解和解决这类问题。

基本概念在开始讨论四边形动点问题之前，我们先来了解一些基本概念：1.四边形：四边形是由四个线段连接在一起形成的几何图形。

它有四个顶点和四条边。

2.动点：动点是指在一定时间内位置发生改变的点。

在四边形动点问题中，通常涉及到一个顶点作为动点，其位置会随着时间的变化而变化。

解题技巧解决四边形动点问题的关键是要能够分析和利用几何图形的性质。

以下是一些常用的解题技巧：折线法折线法是解决四边形动点问题的常用方法之一。

具体步骤如下：1.根据题目所给条件，确定四边形的固定顶点和动点。

2.假设动点在某一时刻位于四边形的某个位置，通过分析几何性质，确定其他顶点和边的位置。

3.根据动点随时间的变化，得出四边形其他顶点和边的变化规律。

4.利用求解几何图形的方法，求出动点的运动轨迹。

5.根据题目要求，确定动点的最终位置或特性。

共线关系在解决四边形动点问题时，有时可以利用共线关系来简化求解过程。

当四边形的三个固定顶点及其对应的边共线时，可以利用相似三角形的性质来求解动点的位置。

各种特殊情况的考虑在解决四边形动点问题时，有时需要考虑一些特殊情况，如四边形退化为三角形的情况、四边形退化为直线的情况等。

针对不同的特殊情况，需要采取相应的分析方法和解题技巧。

解题示例下面通过一个具体的例子来演示如何应用解题技巧解决四边形动点问题。

例题：一个矩形的两个对角线交于点O，其中一个顶点A固定不动，另一个顶点B在矩形的一侧边上以一定速度向下移动。

求矩形的另外两个顶点C和D的运动轨迹。

解答： 1. 设矩形的高为h，宽为w，动点B的初始位置为(0, h)。

2.假设动点B的坐标为(x, y)，根据矩形的性质，可以确定顶点C和D的坐标：–顶点C的坐标为(x+w, y)；–顶点D的坐标为(x+w, y-h)。

动态几何问题--------动点问题（四边形动点专题）【动态几何问题的特点】动态几何是以几何知识和几何图形为背景，渗透运动变化观点的一类试题；用运动的观点研究几何图形中图形的位置、角与角、线段与线段之间的位置及大小关系。

几何图形按一定的条件进行运动，有的几何量是随之而有规律地变化的，形成了轨迹和极值；而有的量是始终保持不变，也就是我们常说的定值。

动态几何就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的 “变”与“不变”性；动态几何问题常常集几何、代数知识于一体，数形结合，有较强的综合性，题目灵活、多变，动中有静，动静结合，能够在运动变化中发展空间想象能力，综合分析能力，是近几年中命题的热点。

【动态几何问题的解决方法】解决动态几何题，通过观察，对几何图形运动变化规律的探索，发现其中的“变量”和“定量”。

动中求静，即在运动变化中探索问题中的不变性；动静互化，抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从而找到“动与静”的关系；这需要有极敏锐的观察力和多种情况的分析能力，加以想象、结合推理，得出结论。

解决这类问题，要善于探索图形的运动特点和规律，抓住变化中图形的性质与特征，化动为静，以静制动。

解决运动型试题需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变量和不变关系或特殊关系.【动态几何问题的分类】动态几何问题是以几何图形为背景的，几何图形有直线型和曲线型两种，那么动态几何也有直线型的和曲线型的两类，即全等三角形、相似三角形中的动态几何问题，也有圆中的动态问题。

有点动、线动、面动，就其运动形式而言，有平移、旋转、翻折、滚动等。

根据其运动的特点，又可分为：（1）动点类（点在线段或弧线上运动）也包括一个动点或两个动点；（2）动直线类；（3）动图形问题。

【典型例题】例1.如图，在梯形中，ABCD 动点从点出发沿线段3545AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，，∠．M B 以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段BC C N C 以每秒1个单位长度的速度向终点运动．设运动的时间为秒．CD D t （1）求的长；BC （2）当时，求的值；MN AB ∥t （3）试探究：为何值时，t MNC △CB例2. 已知：等边三角形的边长为4厘米，长为1厘米的线段在ABC MN 的边上沿方向以1厘米/秒的速度向点运动（运动开始时，点ABC △AB AB B 与点重合，点到达点时运动终止），过点分别作边的垂线，M A N B M N 、AB 与的其它边交于两点，线段运动的时间为秒．ABC △P Q 、MN t （1）线段在运动的过程中，为何值时，四边形恰为矩形？并求出MN t MNQP 该矩形的面积；（2）线段在运动的过程中，四边形的面积为，运动的时间MN MNQP S 为．求四边形的面积随运动时间变化的函数关系式，并写出自变量t MNQP S t 的取值范围．t 例3.如图，在等腰梯形中，∥，,AB =12 ABCD AB DC cm BC AD 5==cm,CD =6cm , 点从开始沿边向以每秒3cm 的速度移动，点从开P A AB B Q C 始沿CD 边向D 以每秒1cm 的速度移动，如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当其中一点到达终点时运动停止。

四边形之动点问题（习题）➢例题示范例1：如图，直线y = 3x +6 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，与直线y =- 3x 交于点C．动点E 从点B 出发，以每秒1 个单位长3度的速度沿BO 方向向终点O 运动，动点F 从原点O 同时出发，以每秒1 个单位长度的速度沿折线OC-CB 向终点B 运动，当其中一点停止时，另一点也随之停止．设点F 运动的时间为t（秒）．（1）求点C 的坐标；（2）当3 ≤t ≤6 时，若△BEF 是等腰三角形，求t 的值．13 ⎪ 【思路分析】 1.研究背景图形 由直线表达式 y =3x + 6 ， y = - 3x ，可知两直线垂直，3且 OA = 2 3，OB = 6，∠ABO = 30 o ， 得到∠COB = 60o ，OC = 3，BC = 3 ；C ⎛ - 3 3 3 ⎫ 同时，联立直线表达式可知， ⎝ 如图，， ． 2 2 ⎭2.分析运动过程，分段，定范围①分析运动过程：动点 E 和 F 运动的起点，终点，速度；状态转折点；时间范围；所求目标．根据状态转折点 C 对运动过程进行分段，确定每段对应的时间范围分别为0 ≤ t < 3 和 3 ≤ t ≤ 6 ．如图，②分段之后可知，当3 ≤ t ≤ 6 时，点 F 在线段 BC 上；分析 △BEF ，B 是定点，E ，F 是动点．若使△BEF 是等腰三角形， 需要分三种情况考虑：BE =BF ，BE =EF ，BF =EF ．3 3 2 2 ⎭⎝ 3 ⎫ 3 3 ⎛ ∴ C - ， ⎪3（1）∵直线 y = 3x + 6 与直线 y = -3x 交于点 C 3.分析几何特征、表达、设计方案求解 ①当 BE =BF 时，画出符合题意的图形从动点的运动开始表达，可得 BE =t ， BF = 3 + 3 到 t 值． - t ，根据 BE =BF 即可得 此时， t =3 + 3 32②当 BE =EF 时，画出符合题意的图形；从动点的运动开始表达，可得 BE =t ，BF = 3 + 3 - t ，根据 BE =EF 且∠OBA =30°，利用等腰三角形三线合一，过点 E 作 EN ⊥BC 于点 N ，在Rt △BEN 中建立等式即可得到 t 值． 此时，t =3③当 BF =EF 时，画出符合题意的图形；从动点的运动开始表达，可 得 BE =t ， BF = 3 + 3 - t ， 根据 BF =EF ，且∠OBA =30°，利用等腰三角形三线合一，过点 F 作 FM ⊥ BO 于点 M ，在 Rt △BFM 中建立等式即可得到 t 值． 此时， t = 3【过程书写】3 3（2）当3 ≤t ≤6 时，点F 在线段BC 上，若使△BEF 是等腰三角形，分三种情况考虑：①当BE=BF 时，如图，由题意得，BE=t，BF = 3 + 3 3 -t∴t = 3 + 3 3 -t∴t =3 + 323，符合题意②当BE=EF 时，如图，过点E 作EN⊥BC 于点N ∴BN=NF∵BF = 3 + 3 3 -t∴BN =3 + 3∵BE =t3 + 3 3 -t 3 -t2∴ 2 =t32解得，t=3，符合题意③当BF=EF 时，如图，过点F 作FM⊥BE 于点M ∴BM=ME∵BE=t∴ BM =t2∵BF = 3 + 3 3 -tt∴ 23=3 + 3 3 -t2解得，t = 3 3 ，符合题意综上，若△BEF 是等腰三角形，则t 的值为3 + 3 3，3 或3 3 2➢巩固练习1.如图，在直角梯形ABCD 中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=4，DC=6，BC=7，梯形的高为3 3 ．动点M 从点B 出发，沿BC 以每秒1 个单位长度的速度向终点C 运动，动点N 从点C 出发，沿C—D—A 以每秒2 个单位长度的速度向终点A 运动．M，N 两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t 秒（t >0）．（1）用t 表示△CMN 的面积S；（2）当t 为何值时，四边形ABMN 为矩形？（3）当t 为何值时，四边形CDNM 为平行四边形？2.如图，在直角梯形ABCD 中，∠B=90°，AD∥BC，AD=4 cm，BC=9 cm，CD=10 cm．动点P 从点A 出发，以2 cm/s 的速度沿折线AD-DC 向点C 运动；动点Q 从点C 同时出发，以1 cm/s 的速度沿CB 向点B 运动．当点P 到达点C 时，动点Q 随之停止，设运动的时间为t 秒．（1）当t 为何值时，四边形PQCD 是平行四边形？（2）当t 为何值时，PQ⊥DC？3. 如图1，在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，AB=12cm．点P 从点A 出发，沿AB 以2cm/s 的速度向点B 运动，点Q 从点C 同时出发，沿CA 以1cm/s 的速度向点A 运动．设运动的时间为t 秒（0 <t < 6 ）．（1）直接写出线段AP，AQ 的长（用含t 的代数式表示）：AP= ，AQ= ；（2）如图2，连接PC，把△PQC 沿QC 翻折，得到四边形PQP'C，则四边形PQP'C 能否成为菱形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．（3）当t 为何值时，△APQ 是等腰三角形？图1图2备用图➢思考小结1.什么是动点问题？由速度已知的点的运动产生的几何问题称为动点问题．2.我们一般怎样处理动点问题？首先，研究背景图形．把函数信息（坐标或解析式）转化为背景图形的信息其次，分析运动过程，分段、定范围．分析运动过程常借助运动状态分析图：①起点、终点、速度——确定时间范围②状态转折点——决定分段③所求目标——明确方向最后，分析几何特征、表达、设计方案求解．分段画图、表达相关线段长，列方程求解，回归范围进行验证．3.线段长的表达，需要注意的两点是什么？①路程即线段长，可根据s=vt 直接表达已走路程或未走路程；②根据研究几何特征的需求进行表达，既要利用动点的运动情况，又要结合基本图形信息．【参考答案】⎧- 3t 2 + 7 3 t （0 < t ≤ 3） 1⎪ 2 2 ．（1） S = ⎨⎪- 3 3 t + 21 3（3 < t ≤ 5） ⎪⎩ 2 2 （2） t = 103 （3） t = 133 2．（1） t = 43 （2） t = 2853．（1）2t ，6-t （2）能，相应的 t 值为 4 （3）t =2。

四边形动点专项练习15题（有答案）1．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=，∠C=30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向A点匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．（1）AC的长是，AB的长是．（2）在D、E的运动过程中，线段EF与AD的关系是否发生变化？若不变化，那么线段EF与AD是何关系，并给予证明；若变化，请说明理由．（3）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．（4）当t为何值，△BEF的面积是？2．如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠B=60°，点P、Q分别是边BC、CD上的动点（不与端点重合），且BP=CQ．（1）图中除了△ABC与△ADC外，还有哪些三角形全等，请写出来；（2）点P、Q在运动过程中，四边形APCQ的面积是否变化，如果变化，请说明理由；如果不变，请求出面积；（3）当点P在什么位置时，△PCQ的面积最大，并请说明理由．3．如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q．（1）求证：四边形PBQD是平行四边形；（2）若AD=8cm，AB=6cm，P从点A出发，以1cm/秒的速度向D运动（不与D重合），设点P运动时间为t秒．①请用t表示PD的长；②求t为何值时，四边形PBQD是菱形．4．如图，矩形ABCD中，AB=16cm，AD=4cm，点P、Q分别从A、B同时出发，点P在边AB上沿AB 方向以2cm/s的速度匀速运动，点Q在边BC上沿BC方向以1cm/s的速度匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为x秒，△PBQ的面积为y（cm2）．（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）求△PBQ的面积的最大值．5．将矩形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点C的坐标为（m，0）（m＞0），点D （m，1）在BC上，将矩形OABC沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E．（1）当m=3时，求点B的坐标和点E的坐标；（自己重新画图）（2）随着m的变化，试探索：点E能否恰好落在x轴上？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．6．如图，在长方形ABCD中，AB=3，线段BC上有动点M，过M作直线MN交AB边于点N，并使得BM=2BN．（1）当N与A重合时，求BM的长；（2）在直线AD上是否存在一点P，使得△PMN是等腰直角三角形？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由．7．如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E．（1）试说明EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论．8．如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F，另一边交CB的延长线于点G．（1）求证：EF=EG；（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变．（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．9．已知：如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，P是边BC上的一个动点，AP交对角线BD于点E，BQ⊥AP，交对角线AC于点F、边CD于点Q，联结EF．（1）求证：OE=OF；（2）联结PF，如果PF∥BD，求BP：PC的值；（3）联结DP，当DP经过点F时，试猜想点P的位置，并证明你给猜想．10．已知：在正方形ABCD中，E、G分别是射线CB、DA上的两个动点，点F是CD边上，满足EG⊥BF，（1）如图1，当E、G在CB、DA边上运动时（不与正方形顶点重合），求证：GE=BF．（2）如图2，在（1）的情况下，连结GF，求证：FG+BE＞BF．（3）如图3，当E、G运动到BC、AD的反向延长线时，请你直接写出FG、BE、BF三者的数量关系（不必写出证明过程）．11．如图，点D是△ABC是的BC边上的一个动点，过点D作直线l∥AB交∠ABC的平分线于点E，交∠ABC 的外角平分线于点F，连接AE，CE，CF．（1）试探索ED与DF之间的数量关系，并予以证明；（2）当点D在边BC上运动时，四边形ABEF是否是菱形，说明理由；（3）在点D运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形BFCE是正方形，请给出证明．12．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=8cm，AB=6cm，BC=10cm，点Q从点A出发以1cm/s 的速度向点D运动，点P从点B出发以2cm/s的速度在线段BC间往返运动，P、Q两点同时出发，当点Q 到达点D时，两点同时停止运动．（1）当t=s时，四边形PCDQ的面积为36cm2；（2）若以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求t的值；（3）当0＜t＜5时，若DQ≠DP，当t为何值时，△DPQ是等腰三角形？13．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=12，BC=32，E是BC的中点，点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以，每秒4个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P停止运动时，点Q随之停止运动，当运动时间t为多少秒时，以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形？14．如图，在矩形ABCD中，AD=18cm，AB=7cm，动点P、Q分别同时从A、C出发，点P以3cm/s的速度向D移动，直到D为止，点Q以2cm/s的速度向B移动，点P停止时，点Q也随之停止．（1）P、Q两点从出发开始几秒时，四边形PQCD的面积是矩形面积的？（2）P、Q从开始出发几秒时，cm？15．已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC与点E、F，垂足为O．（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点P自A→F→B→A 停止，点Q自C→D→E→C停止，在运动过程中，已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．四边形图形动点专项练习15题参考答案：1．（1）解：∵在Rt△ABC中，∠C=30°，∴AC=2AB，根据勾股定理得：AC2﹣AB2=BC2，∴3AB2=75，∴AB=5，AC=10；（2）EF与AD平行且相等．证明：在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，∴DF=t．又∵AE=t，∴AE=DF，∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF．∴四边形AEFD为平行四边形．∴EF与AD平行且相等．（3）解：能；理由如下：∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF．又∵AE=DF，∴四边形AEFD为平行四边形．∵AB=BC•tan30°=5×=5，∴AC=2AB=10．∴AD=AC﹣DC=10﹣2t．若使▱AEFD为菱形，则需AE=AD，即t=10﹣2t，t=．即当t=时，四边形AEFD为菱形．（4）解：∵在Rt△CDF中，∠A=30°，∴DF=CD，∴CF=t，又∵BE=AB﹣AE=5﹣t，BF=BC﹣CF=5﹣t，∴，即：，解得：t=3，t=7（不合题意舍去），∴t=3．故当t=3时，△BEF的面积为2．故答案为：5，10；平行且相等；；32．解：（1）△ABP≌△ACQ，△APC≌△AQD，在菱形ABCD中，∵∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∴AC=CD，∵∠PAQ=60°，∴∠CAP=∠DAQ，∴△ACP≌△ADQ，同理：△ABP≌△ACQ；（2）四边形的面积不变为定值，理由如下：∵△ACP≌△ADQ，∴S△ACP=S△ADQ，即S四边形APCQ=S△ACD=×2×=；（3）∵△PAQ是等边三角形，∴当AP⊥BC时，三角形APQ的面积最小，则三角形PCQ的面积最大．此时BP=1，即点P在点B右边距离为1时，三角形PCQ的面积最大．3．证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠PDO=∠QBO，∵O为BD中点，∴OB=OD，在△PDO和△QBO中，，∴△PDO≌△BQO（ASA），∴OP=OQ．又∵OB=OD，∴四边形PBQD是平行四边形；（2）①∵AP+PD=AD，AP=t，AD=8cm，∴PD=8﹣AP=8﹣t（cm）．②当t=s时，四边形PBQD是菱形，理由是：∵四边形PBQD是菱形，∴BP=DP=8﹣t（cm）．在Rt△ABP中，由勾股定理得：AB2+AP2=BP2，即62+t2=（8﹣t）2解得t=．∴当t=s时，四边形PBQD是菱形．4．（1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD=4，根据题意，AP=2x，BQ=x，∴PB=16﹣2x，∵S△PBQ=PB•QB，∴y=﹣x2+8x，∵点P的速度是2cm/s，点Q的速度是1cm/s，∴点P到达终点的时间是16÷2=8秒，点Q到达终点的时间是4÷1=4秒，∵一点到达终点时，另一点也随之停止运动，∴自变量取值范围：0＜x≤4；（2）∵y=﹣x2+8x=﹣（x﹣4）2+16，∴当x=4时，y有最大值，最大值为16，∴△PBQ的面积的最大值为16cm2．5．解：（1）点B的坐标为（3，4），∵AB=BD=3，∴△ABD是等腰直角三角形，∴∠BAD=45°，则∠DAE=∠BAD=45°，则E在y轴上．AE=AB=BD=3，∴四边形ABDE是正方形，OE=1，则点E的坐标为（0，1）；（2）点E能恰好落在x轴上．理由如下：∵四边形OABC为矩形，∴BC=OA=4，∠AOC=∠DCE=90°，由折叠的性质可得：DE=BD=OA﹣CD=4﹣1=3，AE=AB=OC=m，假设点E恰好落在x轴上，在Rt△CDE中，由勾股定理可得EC===2则有OE=OC﹣CE=m﹣2在Rt△AOE中，OA2+OE2=AE2即42+（m﹣2）2=m2解得m=36．解：（1）N与A重合时，BN=AB=3，∴BM=2BN=2×3=6；（2）①∠PNM=90°时，如图1，易得∠ANP=∠BMN，在△APN和△BNM中，，∴△APN≌△BNM（AAS），∴AN=BM，AP=BN，∵BM=2BN，∴AB=AN+BN=2BN+BN=3，解得BN=1，∴AP=1；②∠PMN=90°时，如图2，过点P作PE⊥BC于E，易得∠BMN=∠MPE，在△PME和△MNB中，，∴△PME≌△MNB（AAS），∴PE=BM=3，BN=ME=BM=，∴BE=BM+ME=3+=；③∠MPN=90°时，如图3，过点M作MF⊥AD于F，易得∠APN=∠PMF，在△APN和△FMP中，，∴△APN≌△FMP（AAS），∴AP=MF=3，综上所述，AP=1或或3时，△PMN是等腰直角三角形．7．解：（1）∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE，∵MN∥BC，∴∠OEC=∠ECB，∴∠OEC=∠OCE，∴OE=OC，同理，OC=OF，∴OE=OF．（2）当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形．如图AO=CO，EO=FO，∴四边形AECF为平行四边形，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠ACB，同理，∠ACF=∠ACG，∴∠ECF=∠ACE+∠ACF=（∠ACB+∠ACG）=×180°=90°，∴四边形AECF是矩形．（3）△ABC是直角三角形∵四边形AECF是正方形，∴AC⊥EN，故∠AOM=90°，∵MN∥BC，∴∠BCA=∠AOM，∴∠BCA=90°，∴△ABC是直角三角形8．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，点E与点A重合，∴ED=EB，∠D=∠EBG=90°，∵∠GEF=90°，∴∠BEG+∠BEF=∠BEF+∠DEF=90°，∴∠BEG=∠DEF，在△BEG和△DEF中，，∴△BEG≌△DEF（ASA），∴EF=EG；（2）成立．理由：解：过点E作EH⊥CD于H，作EK⊥BC于K，∴∠EHC=∠EKC=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，∠HCE=45°，∴四边形EKCH是矩形，∠HEC=∠HCE=45°，∴EH=CH，∴四边形EKCH是正方形，∴EH=EK，∠EHF=∠EKG=90°，∵∠GEF=90°，∴∠GEK+∠KEF=∠KEF+∠FEH=90°，∴∠GEK=∠FEH，在△GEK和△FEH中，，∴△GEK≌△FEH（ASA），∴EF=EG．9．（1）证明：∵BQ⊥AP，∴∠EBF+∠BEP=90°，∵∠OAE+∠OEA=90°，∠BEP=∠OEA，∴∠EBF=∠OAE，在△OAE和△OBF中，∴△OAE≌△OBF（ASA），∴OE=OF．（2）解：∵OE=OF∠EOF=90°，∴∠OEF=∠OFE=45°，同理∠OBC=∠OCB=45°∴∠OEF=∠OBC，∴EF∥BC，∵PF∥BD，∴四边形BPFE是平行四边形，∵BQ⊥AP，∴平行四边形BPFE是菱形，∴BP=PF=PC，即BP：PC=（3）证明：∵△OAE≌△OBF，∴∠1=∠2，∵AC⊥BD，OB=OD，∴BF=DF，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，在△APF和△DPE中，，∴△APF≌△DPE（AAS），∴AP=DP，∵∠ABP=∠DCP=90°，AB=DC，在Rt△ABP和Rt△DCP中，，∴Rt△ABP≌Rt△DCP（HL），∴BP=CP，∴点P在BC中点．10．（1）证明：如图，过点G作GH⊥BC于H，则四边形ABHG是矩形，∴AB=GH，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∴BC=GH，∵EG⊥BF，∴∠CBF+∠BEG=∠HGE+∠BEG=90°，∴∠CBF=∠HGE，在△BCF和△GHE中，，∴△BCF≌△GHE（ASA），∴GE=BF；（2）证明：如图，把△BCF绕点B逆时针旋转90°得到△BAH，连接HF，则△BFH是等腰直角三角形，∴HF=BF，由旋转的性质得，BH=BF，∵BF=GE，∴BH=GE，∵EG⊥BF，∠HBF=90°，∴BH∥GE，∴四边形BEGH是平行四边形，∴GH=BE，在△GHF中，FG+GH＞HF，∴FG+BE＞BF；（3）解：如图，同（2）可得GH=BE，HF=BF，在△GHF中，HF+GH＞FG，∴BF+BE＞FG．11．解：（1）ED=DF；证明：∵BE平分∠ABC，∴∠1=∠2，∵l∥AB，∴∠1=∠3，则∠2=∠3，∴ED=DB，同理可证：DB=DF，∴ED=DF；（2）四边形ABFE不可能是菱形．理由：连接AF，若四边形ABFE是菱形，则AF⊥BE，∵BE平分∠ABC，BF平分∠CBH，∴∠1=∠2，∠4=∠5，则∠2+∠4=（∠1+∠2+∠3+∠4）=90°，即BE⊥BE，在同一平面内，过同一点不可能有两条直线同时垂直于同一直线．（3）当点D运动到BC的中点，且△ABC是以∠ABC为直角的直角三角形时，四边形BFCE是正方形．证明：∵D是BC的中点，∴CD=DB，由（1）知：ED=DF，∴四边形BFCE是平行四边形，由（2）知∠FBE=90°，∴四边形BFCE是矩形，又∵∠ABC=90°，∴BC⊥AB，∵EF∥AB，∴BC⊥EF，∴四边形BFCE是正方形．12．解：（1）∵AD=8cm，BC=10cm，点Q的速度是1cm/s，点P的速度是2cm/s，∴QD=AD﹣AQ=8﹣t，CP=BC﹣BP=10﹣2t，∴当点P未到达点C时，四边形PCDQ的面积=（8﹣t+10﹣2t）×6=36，解得t=2；当点P到达点C返回时，四边形PCDQ的面积=（8﹣t+2t﹣10）×6=36，解得t=14秒（不符合题意，舍去）；所以，t=2s时，四边形PCDQ的面积为36cm2；（2）①P未到达C点时，∵四边形PCDQ是平行四边形，∴8﹣t=10﹣2t，解得t=2；②P到达C点并返回时，∵四边形PCDQ是平行四边形，∴8﹣t=2t﹣10，解得t=6，综上所述，以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，t的值是2或6；（3）①如图，若PQ=PD，过P作PE⊥AD于E，则QD=8﹣t，QE=QD=（8﹣t），AE=AQ+QE=t+（8﹣t）=（8+t），∵AE=BP，∴（8+t）=2t，解得t=；②如图，若QD=QP，过Q作QF⊥BC于F，则QF=6，FP=2t﹣t=t，在Rt△QPF中，由勾股定理得：QF2+FP2=QP2，即62+t2=（8﹣t）2，解得t=，综上所述，当t=或时，△DPQ是等腰三角形．13．解：由题意得，AP=2t，CQ=4t，∴PD=AD﹣AP=12﹣2t，∵E是BC的中点，∴CE=BC=×32=16，∵AD∥BC，点P在AD上，点Q在BC上，①点Q在线段CE上时，EQ=16﹣4t，∴12﹣2t=16﹣4t，解得t=2，②点Q在线段BE上时，EQ=4t﹣16，∴12﹣2t=4t﹣16，解得t=，∴点P停止运动时，t==6，∴0≤t≤6，∴当运动时间为2秒或秒时，以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形．14．解：（1）设出发x秒，则AP=3x，CQ=2x，∴PD=18﹣3x，根据题意，得：×[2x+（18﹣3x）]×7=×18×7，解得x=6（秒）．（2）过点P作PM⊥BC于点M，PM=7，|MQ|=18﹣5x，∴（18﹣5x）2+72=，解得x1=（秒），x2=（秒），∴P、Q出发或秒时，cm．15．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，∵AC的垂直平分线EF，∴OA=OC，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE=OF，∴四边形AFCE是平行四边形，∵EF⊥AC，∴四边形AFCE是菱形．∴AF=FC，设AF=xcm，则CF=xcm，BF=（8﹣x）cm，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，∴在Rt△ABF中，由勾股定理得：42+（8﹣x）2=x2，解得x=5，即AF=5cm；（2）显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形；同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上或P在BF，Q在CD时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形．因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA，∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，∴PC=5t，QA=12﹣4t，∴5t=12﹣4t，解得t=．∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t=秒．。

四边形中的动点问题（带答案）四边形中的动点问题1、如图，把矩形ABCD沿 EF翻折，点B恰好落在AD边的B'处，若AE= 2, DE= 6,Z EFB= 60°, 则矩形ABCD勺面积是 _____________________2、如图，在四边形ABCD中对角线ACL BD 垂足为0,点E, F, G, H分别为边AD AB, BC CD 的中点•若AC= 8, BD= 6,则四边形EFGH的面积为3、如图，正方形ABCD勺边长为4,点P在DC 边上，且DP= 1,点Q是AC上一动点，则D® PQ 的最小值为 _____________________4、如图，在Rt△ ABC中，/ B= 90°,AC= 60 cm Z A= 60°，点D从点C出发沿CA方向以4 cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D, E 运动的时间是t s(0 < t < 15) •过点D作DF 丄BC于点F,连接DE EF.(1)求证：AE= DF;(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；(3)当t为何值时，△ DEF为直角三角形？请说明理由5、如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm射线AG// BC,点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t. (1)连接EF当EF经过AC边的中点D时，(1)求证：△ ADE^A CDF：6、在菱形ABCD中，/ B=60°,点E在射线BC上运动，/ EAF=60，点F在射线CD上(1)当点E在线段BC上时(如图1)( 1)求证：EC+CF=A； (2) 当点E在BC的延长线上时(如图2),线段EC CFAB有怎样的相等关系？写出你的猜想，不需证明图1 027、如图，在菱形ABC［中, AB=2 / DAB=60 , 点E 是AD边的中点.点M是AB边上一动点（不与点A重合）,延长ME交射线CD于点N 连接MD AN（1）求证：四边形AMDI是平行四边形；（2）填空：①当AM的值为时，四边形AMD是矩形；②当AM的值为时，四边形AMD是菱形.D8 如图，△ ABC中，点0是边AC上一个动点，过0作直线MN BC 设MN交/ BCA的平分线于点E, 交/ BCA 的外角平分线于点F.(1)探究：线段0E与OF的数量关系并加以证明；(2)当点0运动到何处，且△ ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？(3)当点0在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由.9、如图，已知菱形ABC［中, / ABC=60 , AB=8 过线段BD上的一个动点P (不与B、D重合)分别向直线AB AD作垂线，垂足分别为E、F.(1)BD的长是______ ;(2)连接PC当PE+PF+P(取得最小值时，此时PB的长是_______10、如图，/ MON=9°,矩形ABCD勺顶点A B 分别在边OM ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OMk运动，矩形ABCD勺形状保持不变，其中AB=2 BC=1运动过程中，点D到点O的最大距离为 __________________ .11、如图，已知矩形ABCD AD=4 CD=10 P是AB上一动点，M N E分别是PD PC CD的中点.(1)求证：四边形PMEI是平行四边形；(2)请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN 是菱形；(3)四边形PMEf有可能是矩形吗？若有可能,求出AP的长；若不可能，请说明理由.12、如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD=12cm AC=16cm AC BD相交于点0,若E, F 是AC上两动点，分别从A, C两点以相同的速度向C、A 运动，其速度为0.5cm/s。

《四边形》——动 点 问 题学习目标：加深对特殊四边形有关知识的理解及应用。

复习重点：化“动”为“静”复习难点：确定运动变化过程中的数量关系、图形位置关系一、热身：1.如图1，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AB=14cm ，AD=15cm ，BC=21cm ，点M 从点A 开始，沿边AD 向点D 运动，（1）当AM 、CN 满足关系式 时，四边形MNCD 是平行四边形？（2）当AM 、CN 满足关系式 时，四边形MNCD 是等腰梯形？（3）当AM 、CN 满足关系式 时，四边形MNCD 是直角梯形？2.如图2：已知正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM=2，N 是AC 上的一动点， DN+MN 的最小值3.. 如图3，在四边形ABCD 中，AD ∥BC,且AD>BC ，BC=6cm ，P 、Q 分别从A,C 同时出发，P 以1cm/s 的速度由A 向D 运动，Q 以2cm/s 的速度由C 向B 运动， 秒后四边形ABQP 是平行四边形。

如图1 如图2 如图3 二典型例题如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AD=24cm ，AB=8cm ，BC=26cm ，动点P 从A 开始沿AD 边向D 以1cm/s 的速度运动；动点Q 从点C 开始沿CB 边向B 以3cm/s 的速度运动．P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为ts ．（1）当t 为何值时，四边形PQCD 为平行四边形？（2）当t 为何值时，四边形PQCD 为等腰梯形？（3）当t 为何值时，四边形PQCD 为直角梯形？在解这类问题时，要充分发挥空间想象的能力，不要被“动”所迷惑，而是要在“动”中求“静”，化“动”为“静”，抓住它运动中的某一瞬间，寻找确定的关系式，就能找到解决问题的途径。

三、实践新知.练习运用1．如图所示，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =900，AB =14厘米，AD =18厘米，BC =21厘米，动点P 从A 开始沿AD边向点D 以1厘米/秒的速度移动，动点Q 从点C 开始沿CB 边向点B 以2厘米/秒的速度移动，如果P ，Q 分别从A ，C 同时出发，设移动的时间为t 秒， ⑴当t 为何值时，四边形ABQP 为矩形？⑵当t 为何值时，四边形PQCD 为等腰梯形？2.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°, ∠B =60°，BC =2．点0是AC 的中点，过点0的直线l 从与AC 重合的A B C MND A B DC P QA P D位置开始，绕点0作逆时针旋转，交AB 边于点D .过点C 作CE ∥AB 交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α.(1)①当α=________度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为_________；②当α=________度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时AD 的长为_________；(2)当α=90°时,判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由．3.如图，O 为△ABC 的边AC 上一动点,过点O 的直线MN ∥BC ，设MN 分别交∠ACB 的内、外角平分线于点E 、F 。

四边形动点专题练习1、（宁夏回族自治区）已知：等边三角形ABC 的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN 在ABC △的边AB 上沿AB 方向以1厘米/秒的速度向B 点运动（运动开始时，点M 与点A 重合，点N 到达点B 时运动终止），过点M N 、分别作AB 边的垂线，与ABC △的其它边交于P Q 、两点，线段MN 运动的时间为t 秒． 1、线段MN 在运动的过程中，t 为何值时，四边形MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积；（2）线段MN 在运动的过程中，四边形MNQP 的面积为S ，运动的时间为t ．求四边形MNQP 的面积S 随运动时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．6、（金华）如图1，在平面直角坐标系中，已知点(0A ，点B 在x 正半轴上，且30ABO∠．动点P 在线段AB 上从点A 向点Bt 秒．在x 轴上取两点M N ，作等边PMN △． （1）求直线AB 的解析式；（2）求等边PMN △的边长（用t 的代数式表示），并求出当等边PMN △的顶点M 运动到与原点O 重合时t 的值； （3）如果取OB 的中点D ，以OD 为边在Rt AOB △内部作如图2所示的矩形ODCE ，点C 在线段AB 上．设等边PMN △和矩形ODCE 重叠部分的面积为S ，请求出当02t ≤≤秒时S 与t 的函数关系式，并求出S 的最大值．7、两块完全相同的直角三角板ABC 和DEF 如图1所示放置，点C 、F 重合，且BC 、DF 在一条直线上，其中AC =DF =4，BC =EF =3．固定Rt △ABC 不动，让Rt △DEF 沿CB 向左平移，直到点F 和点B 重合为止．设FC =x ，两个三角形重叠阴影部分的面积为y ． （1）如图2，求当x =21时，y 的值是多少？ （2）如图3，当点E 移动到AB 上时，求x 、y 的值； （3）求y 与x 之间的函数关系式；CPQBA M N（图1） （图2）6.（2010年河南中考模拟题1）如图，在ABC ∆中，∠A 90=°，10=BC , ABC ∆的面积为25，点D 为AB 边上的任意一点(D 不与A 、B 重合)，过点D 作DE ∥BC ，交AC 于点E ．设x DE =以DE 为折线将△ADE 翻折，所得的DE A'∆与梯形DBCE 重叠部分的面积记为y. （1）用x 表示∆ADE 的面积;（2）求出0﹤x ≤5时y 与x 的函数关系式； （3）求出5﹤x ﹤10时y 与x 的函数关系式； （4）当x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？26．已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD//BC ，∠B=90°,AD=2,BC=6,AB=3。

中考数学动点专题所谓“动点型问题〞是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动〞等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。

选择根本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。

在变化中找到不变的性质是解决数学“动点〞探究题的根本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向开展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：〔1〕运动观点；〔2〕方程思想；〔3〕数形结合思想；〔4〕分类思想；〔5〕转化思想等．1、：等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动〔运动开始时，点M与点A重合，点N到达点B时运动终止〕，过点M、N分别作AB边的垂线，与△ABC的其它边交于P、Q两点，线段MN运动的时间为t秒．、线段MN在运动的过程中，t为何值时，四边形MNQP恰为矩形？并求出该矩形的面积；(2〕线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的面积为S，运动的时间为t．求四边形MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．CQPA M N B2.梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从点A开始，沿AD边，以1厘米/秒的速度向点D运动；动点Q从点C开始，沿CB边，以3厘米/秒的速度向B点运动。

2023年中考九年级数学高频考点提升练习--四边形的动点1．如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠C=90°，BC=16，DC= 12，AD=21，动点P从点D出发，沿线段DA的方向以每秒2个单位长的速度运动；动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动；点P，Q分别从点D，C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动，设运动的时间为t秒）.（1）当t=2时，求△BPQ的面积；（2）若四边形ABQP为平行四边形，求运动时间t.（3）当t为何值时，以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？2．已知：正方形ABCD，点P是对角线AC所在直线上的动点，点E在DC边所在的直线上，且随着点P的运动而运动，PE=PD总成立．（1）如图1，当点P在对角线AC上时，请你猜想PE与PB有怎样的数量关系，并加以证明；（2）如图2，当点P运动到CA的延长线上时，（1）中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图2，当点P运动到CA的反向延长线上时，请你利用图3画出满足条件的图形，并判断此时PE与PB有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）3．如图1，在矩形ABCD中，AD=4,CD=2，点M从点A出发向点D移动，速度为每秒1个单位长度，点N从点C出发向点D移动，速度为每秒2个单位长度.两点同时出发，且其中的任何一点到达终点后，另一点的移动同时停止.（1）若两点的运动时间为t，当t为何值时，ΔAMB∼ΔDNA？（2）在（1）的情况下，猜想AN与BM的位置关系并证明你的结论.（3）①如图2，当AB=CD=2时，其他条件不变，若（2）中的结论仍成立，则t=.2）中的结论仍成立，则②当ADAB=n(n>1)，AB=2时，其他条件不变，若（t=（用含n的代数式表示）.4．如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O，延长OD到点G，延长OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，以OG，OE为临边做正方形OEFG，连接AG，DE．（1）探究AG与DE的位置关系与数量关系，并证明；（2）固定正方形ABCD，以点O为旋转中心，将图1中的方形OEFG逆时针转n°（0<n<180）得到正方形OE1F1G1，如图2，①在旋转过程中，当∠OAG1=90°时，求n的值；②在旋转过程中，设点E1到直线AG1的距离为d，若正方形ABCD的边长为1，请直接写出d的最大值与最小值，不必说明理由．5．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝AD，BC＝7cm，点P，Q同时从点B出发，点P以2cm/s的速度沿B→A→D运动，到点D停止，点Q以3cm/s的速度沿B→C→D运动，到点D停止．设点P的运动时间为t（s），∠PBQ的面积为S（cm2）．当点Q到达点C时，点P在AD上，此时S＝14（cm2）．（1）求CD的长；（2）求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围．6．如图（1）（问题发现）如图①，正方形AEFG的两边分别在正方形ABCD的边AB和AD上，连接CF．填空：①线段CF与DG的数量关系为；②直线CF与DG所夹锐角的度数为．（2）（拓展探究）如图②，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利用图②进行说明．（3）（解决问题）如图③，∠ABC和∠ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝4，O为AC的中点．若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D的运动过程中，线段OE长的最小值为（直接写出结果）．7．在矩形ABCD中，AB = 6，AD = 4，点M为AB边上一个动点，连接DM，过点M作MN∠DM，且MN = 32DM，连接DN.（1）如图①，连接BD与BN，BD交MN于点E.①求证：∠ABD∠∠MND；②求证：∠CBN=∠DNM；（2）如图②，当AM=4BM时，求证：A，C，N三点在同一条直线上.8．正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，AD//BC//x轴，AD与y轴交于点E，OE=1，且AE，DE的长满足√AE−3+|DE−1|=0．（1）求点A的坐标；（2）若P(−4，−1)，求△EPC的面积；（3）在（2）的条件下，正方形ABCD的边上是否存在点M，使S△EPC=2S△CEM？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．9．已知，如图1，在四边形ABCD中，AD//BC，∠BCD=90°，AD=CD=6，tanB=3，动点P从B出发，以每秒1个单位长度的速度沿BC方向运动，过点P作PE∠BC，交折线BA-AD于点E，以PE为斜边向右作等腰直角三角形PEF，设点P的运动时间为t 秒（t＞0）（1）当t为何值时，点F恰好落在CD上？（2）若P与C重合时运动结束，在整个运动过程中，设等腰直角三角形PEF与四边形ABCD重叠部分的面积为S，请求S关于t之间的函数关系式；（3）当F在CD右侧时，是否存在某一时刻，使得重叠部分的面积S与四边形ABCD重叠部分的面积比为1：8？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）如图2，在点P开始运动时，BC上另一点Q同时从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿CB方向运动，当Q到达B点时停止运动，同时点P也停止运动，过点Q作QM∠BC，交射线CA于点M，以QM为斜边向左作等腰直角三角形QMN，若两个等腰直角三角形分别有一条边恰好在一条直线上，请直接写出t的值．10．如图，在四边形ABCD中,AB// DC,CB∠AB.AB=16cm，BC=6cm，CD=8cm，动点P从点D开始沿DA边匀速运动，动点Q从点A开始沿AB边匀速运动，它们的运动速度均为2cm/s。

四边形之动点问题（习题）➢例题示范例1：如图，直线y = 3x +6 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，与直线y =- 3x 交于点C．动点E 从点B 出发，以每秒1 个单位长3度的速度沿BO 方向向终点O 运动，动点F 从原点O 同时出发，以每秒1 个单位长度的速度沿折线OC-CB 向终点B 运动，当其中一点停止时，另一点也随之停止．设点F 运动的时间为t（秒）．（1）求点C 的坐标；（2）当3 ≤t ≤6 时，若△BEF 是等腰三角形，求t 的值．13 3 3 【思路分析】 1. 研究背景图形如图 1 所示．2. 分析运动过程，分段，定范围如下图，图 1① 0 ≤ t < 3 ② 3 ≤ t ≤ 63.分析几何特征、表达、设计方案求解分段之后可知，当3 ≤ t ≤ 6 时，点 F 在线段 BC 上；分析△BEF ， B 是定点，E ，F 是动点．若使△BEF 是等腰三角形，需要分三种情况考虑：BE =BF ，BE =EF ，BF =EF ．①当 BE =BF 时，画出符合题意的图形，如图 2；从动点的运 动开始表达，可得 BE =t ，BF = 3 + 3 得到 t 值．此时， t = 3 + 3 32- t ，根据 BE =BF 即可 ②当 BE =EF 时，画出符合题意的图形，如图 3；从动点的运 动开始表达，可得 BE =t ， BF = 3 + 3 - t ，根据 BE =EF ，且 ∠OBA =30°，利用等腰三角形三线合一，过点 E 作 EN ⊥BC 于点 N ，在 Rt △BEN 中建立等式即可得到 t 值． 此时，t =3③当 BF =EF 时，画出符合题意的图形，如图 4；从动点的运 动开始表达，可得 BE =t ， BF = 3 + 3 - t ，根据 BF =EF ，且 ∠OBA =30°，利用等腰三角形三线合一，过点 F 作 FM ⊥BO 于点 M ，在 Rt △BFM 中建立等式即可得到 t 值． 此时， t = 33 图 2图 3解得， t = 3 3 ，符合题意综上，若△BEF 是等腰三角形，则 t 的值为3 + 3 3 ，3 或3 322 =3 + 3 3 - t∴ 2 3 解得，t =3，符合题意③当 BF =EF 时，如图，过点 F 作 FM ⊥BE 于点 M ∴BM =ME ∵BE =t ∴ BM = t2 ∵ BF =3 + 3 3 - t t2 3 ∴ 2 = t23 - t∴ BN = 3 + 3 ∵ BE = t 3 + 3 3 - t②当 BE =EF 时，如图， 过点 E 作 EN ⊥BC 于点 N ∴BN =NF ∵ BF = 3 + 3 3 - t 3 ，符合题意 2 ∴ t =3 + 3 （2）当3 ≤ t ≤ 6 时，点 F 在线段 BC 上，若使△BEF 是等腰三角 形，分三种情况考虑： ①当 BE =BF 时，如图， 由题意得，BE =t ， BF = 3 + 3 3 - t ∴ t = 3 + 3 3 - t2 2 ⎭ ⎝3 ⎫ 3 3 ⎛ ∴ C - ， ⎪ 3（1）∵直线 y = 3x + 6 与直线 y = -3x 交于点 C 【过程书写】➢巩固练习1.如图，在直角梯形ABCD 中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=4，DC=6，BC=7，梯形的高为3 3 ．动点M 从点B 出发，沿BC 以每秒1 个单位长度的速度向终点C 运动，动点N 从点C 出发，沿C—D—A 以每秒2 个单位长度的速度向终点A 运动．M，N 两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t 秒（t >0）．（1）用t 表示△CMN 的面积S；（2）当t 为何值时，四边形ABMN 为矩形？（3）当t 为何值时，四边形CDNM 为平行四边形？2.如图，在直角梯形ABCD 中，∠B=90°，AD∥BC，AD=4 cm，BC=9 cm，CD=10 cm．动点P 从点A 出发，以2 cm/s 的速度沿射线AD 运动；同时动点Q 从点C 出发，以1 cm/s 的速度沿CB 向点B 运动．当点Q 到达点B 时，动点P 随之停止，设运动的时间为t 秒．（1）当t 为何值时，以P，Q，C，D 为顶点的四边形是平行四边形？（2）当t 为何值时，PQ⊥DC？3. 如图1，在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，AB=12cm．点P 从点A 出发，沿AB 以2cm/s 的速度向点B 运动，同时点Q 从点C 出发，沿CA 以1cm/s 的速度向点A 运动．设运动的时间为t 秒（0 <t < 6 ）．（1）直接写出线段AP，AQ 的长（用含t 的代数式表示）：AP= ，AQ= ；（2）如图2，连接PC，把△PQC 沿QC 翻折，得到四边形PQP'C，则四边形PQP'C 能否成为菱形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．图1图24. 如图1，直线y =- 3x + 2 与直线y =33x 交于点A，与x 轴交于点B，∠AOB 的平分线OC 交AB 于点C．动点P 从点B 出发沿折线BC-CO 以每秒1 个单位长度的速度向终点O 运动；同时动点Q 从点C 出发沿折线CO-y 轴正半轴以相同的速度运动．当点P 到达点O 时，P，Q 同时停止运动，设运动的时间为t 秒．（1）AC= ，BC= ；（2）当t 为何值时，PQ∥OB？（3）当P 在OC 上，Q 在y 轴上运动时，如图2，设PQ 与OA 交于点M，当t 为何值时，△OPM 为等腰三角形？求出所有满足条件的t 值．图1图2➢思考小结1.什么是动点问题？由速度已知的点的运动产生的几何问题称为动点问题．2.我们一般怎样处理动点问题？首先，研究背景图形．研究背景图形需要研究边、角、特殊图形．其次，分析运动过程，分段、定范围．分析运动过程常借助运动状态分析图：①起点、终点、速度——确定时间范围②状态转折点——确定分段，拐点为常见的状态转折点③所求目标——明确方向最后，分析几何特征、表达、设计方案求解．分段画图、表达相关线段长，根据几何特征列方程求解，回归范围进行验证．3.线段长的表达，需要注意的两点是什么？①路程即线段长，可根据s=vt 直接表达已走路程或未走路程；②根据研究几何特征的需求进行表达，既要利用动点的运动情况，又要结合基本图形信息．【参考答案】⎧- 3t 2 + 7 3 t （0 < t ≤ 3） 1⎪ 2 2 ．（1） S = ⎨⎪- 3 3 t + 21 3（3 < t ≤ 5） ⎪⎩ 2 2 （2） t = 103 （3） t = 133 2．（1） t = 4或 43（2） t = 8 3．（1）2t ，6-t（2）能，相应的 t 值为 4 4．（1）AC =1，BC =2（2） t = 1或83（3） t = 8 或 6+2 33 3。

动点四边形问题解题思路及要点动点四边形问题题型特点分析：四个顶点中，有三个是定点；或者有两个是定点，两个是动点。

解题的突破口：根据确定的点的位置，判断出另外两个顶点的位置。

①如果是三定+一动，我们可以取任意两个定点所在的线段，当做四边形的边或者对角线来进行讨论。

当这个线段是边时，另外一个定点和动点所在的线段一定是它的对边，根据特殊四边形对边平行且相等的性质，可以得出另外一个定点和动点之间的距离。

因为只确定定点和动点的距离，不确定定点和动点左右或上下位置，此时要分两种情况讨论。

然后再把两个定点所在的线段当对角线，利用平行四边形对角线互相平分的性质，另外一个定点和动点的中点，一定经过对角线的中点。

②如果是两定+两动，基本思路也是把两个定点所在的线段当做边或对角线进行讨论。

区别在于，另外两个点都是动点讨论的情况会更多。

如果把两个定点所在的线段当做边，另外两个动点所在的是边时，不仅要确保对边平行且相等，而且另外两个动点的位置还要互相交换，此时一共有四种不同的情况；当两个动点所在的线段是对角线时，这两个动点交换位置会存在两种情况。

③当题中的定点或者动点处在特殊的位置时，讨论的情况会相应的减少。

比如，四个点所在的两个线段互相平行，那此时只需要确保对边相等即可。

若题中明确指出，其中两个点所在的线段为边时，就不需要把它当对角线进行讨论。

④在确定具体的点的坐标时，我们可以利用平行四边形对边平行且相等、对角线互相平分的性质，直接计算动点坐标、也可以列方程解方程求出动点坐标；也可以根据特殊四边形平移的方式，求出平移之后的对应的点的坐标。

⑤在解决正方形的存在性问题时，要把正方形问题转化为等腰直角三角形的问题；解决矩形的存在型问题时，要把矩形问题转化为直角三角形的问题。

这两种类型题中都存在直角三角形，那么在解题方法上有共同点：第一种可以用一线三垂直来求点坐标；可以利用直角三角相似来求点坐标；若题中存在特殊角，也可以用特殊角三角函数值求动点坐标；可以用同角三角函数值列方程；也可以利用斜率成绩为负一求点坐标；还可以利用直角三角形勾股定理来列方程解方程，但这种情况计算量比较大，必须是动点有一个坐标已经确定时或横纵坐标之间的关系非常确定时，可列方程，具体列方程时，直接用勾股定理避免出现开方。

1如图，E, F,分别是正方形ABCD的边AB、BC的中点，M为BC的延长线上一点, CH平分ZDCM交AD延长线于H , FG1AF交CH于G.(1)求证：△ABFMADAE, AF1DE(2)求证：△AEFMAFCG(3)求证：四辿形EFGD是平行四边形。

2如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC, BD交于点、O, E是BD延长线上的点, 且AACE 是等边三角形.(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若ZAED = 2ZEAD ,求证：四边形ABCD是正方形.3如图，Z\ABC中，AB=AC, AD是AABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E,使OE=OD,连接AE, BE(1)求证：四边形AEBD是矩形；(2)当AABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形, 并说明理由.B4①如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O, E、F、G、H分别是AD, BD, BC, AC的中点.(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；(2)当四边形ABCD满足一个什么条件时，四边形EFGH是菱形？并证明你的结论;5 .已知：如图，在QABCD中，如'是步边上的高，将△A BE沿8C方向平移，使点万与点。

重合，得(1)求证：BE = DG ： (2)若ZB = 60°,当朋与砂满足什么数量关系时，四边形ABFG是菱形？证明你的结论.6己知：如图在AABC中，AB=AC, AD1BC,垂足为D, AN是Z\ABC的外角ZCAM 的平分线，CE_LAN于E,连结DE交AC于F.(1)求证：DF//AB, DF= - AB ；2(2)当AABC是什么三角形时，四边形ADCE是一个正方形？简述你的理由./M AZ E1如图，AABC中，点。

为AC边上的一个动点，过点0作直线MN〃BC,设MN交匕BCA的外角平分线CF于点F,交ZACB内角平分线CE于E.（1）试说明EO=FO；（2）当点0运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；M（3）若AC边上存在点0,使四边形AECF是正方形，猜想AABC的形状并证明你的结论.2如图，在平行四边形ABCD中,对角线BD=12cm, AC-16cm, AC, BD相交于点0,若E, F 是AC上两动点，分别从A, C两点以相同的速度向C、A运动，其速度为0.5cm/s.（1）当E与F不重合时，四边形DEBF是平行四边形吗？说明理由；（2）点E, F在AC上运动过程中，以D、E、B、F为顶点的四边形是否可能为矩形？如能, 求出此时的运动时间t的值；如不能，请说明理由.D --------------------------- C3如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm, BC=8cm、点P从点D出发向点A运动,同时点Q 从点B出发向点C运动，点P、Q的速度都是lcm/s.（1）在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP是菱形？（2）分别求出菱形AQCP的周长、面积.B 04、如图所示，在直角梯形ABCD 中，AD//BC, ZA=90° , AB=12, BC=21, AD二16。

四边形动点题目专项练习1、（本小题满分9分）如图，在ABC △中，90ACB =o ∠，2AC =，3BC =．D 是BC边上一点，直线DE BC ⊥于D ，交AB 于E ，CF AB ∥交直线DE 于F ．设CD x =． （1）当x 取何值时，四边形EACF 是菱形？请说明理由； （2）当x 取何值时，四边形EACD 的面积等于2？2、（9分）如图， 四边形OABC 为直角梯形，A （4，0），B （3，4），C （0，4）． 点M 从O出发以每 秒2个单位长度的速度向A 运动；点N 从B 同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C 运动．其中一个 动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N 作NP 垂直x 轴于点P ，连结AC 交NP 于Q ，连结MQ ． （1）点（填M或N）能到达终点；（2）求△AQM 的面积S 与运动时间t的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围，当t 为何值时，S 的值最大；（3）是否存在点M ，使得△AQM 为直角三角形？若存在，求出点M 的坐标，若不存在，说明理由．y x P Q BC N M O A3．如图，所示的直角坐标系中，若ABC△是等腰直角三角形，82AB AC==，D为斜边BC的中点．点P由点A 出发沿线段AB作匀速运动，P'是P关于AD的对称点；点Q由点D出发沿射线DC方向作匀速运动，且满足四边形QDPP'是平行四边形．设平行四边形QDPP'的面积为y，DQ x=．（1）求出y关于x的函数解析式；（5分）（2）求当y取最大值时，过点P A P'，，的二次函数解析式；（4分）（3）能否在（2）中所求的二次函数图象上找一点E使EPP'△的面积为20，若存在，求出E点坐标；若不存在，说明理由．（4分）4．（本小题满分9分）如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上，点C在y轴上，将边BC折叠，使点B落在边OA的点D处．已知折叠55CE=，且3tan4EDA∠=．（1）判断OCD△与ADE△是否相似？请说明理由；（2）求直线CE与x轴交点P的坐标；（3）是否存在过点D的直线l，使直线l、直线CE与x轴所围成的三角形和直线l、直线CE与y轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由．23题O xyC BED5．（9分）如图，在直角坐标系中，O 是原点，AB C ，，三点的坐标分别为(180)(186)(86)A B C ，，，，，，四边形OABC 是梯形，点P Q ，同时从原点出发，分别作匀速运动，其中点P 沿OA 向终点A 运动，速度为每秒1个单位，点Q 沿OC CB ，向终点B 运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．（1）求直线OC 的解析式．（2）设从出发起，运动了t 秒．如果点Q 的速度为每秒2个单位，试写出点Q 的坐标，并写出此时t 的取值范围．（3）设从出发起，运动了t 秒．当P ，Q 两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC 的周长的一半，这时，直线PQ 能否把梯形的面积也分成相等的两部分，如有可能，请求出t 的值；如不可能，请说明理由．6．（9分）如图，四边形OABC 是等腰梯形，BC OA ∥，7460OA AB COA ===o，，∠，点P 为平面直角坐标系x 轴上的一个动点，点P 不与点O 、点A 重合．连结CP ，过点P 作PD 交AB 于点D ． （1）求B 点坐标；（2）当点P 运动什么位置时，OCP △为等腰三角形，求此时P 点坐标；（3）当点P 运动什么位置时，使得CPD OAB =∠∠且58BDAB=，求此时P点坐标．。