2018学年上海高三数学二模分类汇编——三角

1（2018杨浦二模）. 函数lg 1y x =-的零点是2（2018金山二模）. 函数lg y x =的反函数是2（2018普陀二模）. 若函数1()21f x x m =-+是奇函数，则实数m =3（2018静安二模）. 函数y =的定义域为3（2018普陀二模）. 若函数()f x =的反函数为()g x ，则函数()g x 的零点为 3（2018徐汇二模）. 函数()lg(32)x x f x =-的定义域为3（2018黄浦二模）. 若函数()f x 是偶函数，则该函数的定义域是 4（2018浦东二模）. 已知1()f x -是函数2()log (1)f x x =+的反函数，则1(2)f -=4（2018松江二模）. 定义在R 上的函数()21x f x =-的反函数为1()y f x -=，则1(3)f -= 4（2018金山二模）. 函数9y x x =+，(0,)x ∈+∞的最小值是 4（2018崇明二模）. 若2log 1042x -=-，则x = 5（2018虹口二模）. 已知函数20()210x x x f x x -⎧-≥=⎨-<⎩，则11[(9)]f f ---= 6（2018黄浦二模）. 方程33log (325)log (41)0x x ⋅+-+=的解x =9（2018崇明二模）. 设()f x 是定义在R 上以2为周期的偶函数，当[0,1]x ∈时，2()log (1)f x x =+，则函数()f x 在[1,2]上的解析式是9（2018奉贤二模）. 给出下列函数：①1y x x=+；②2y x x =+；③||2x y =；④23y x =；⑤tan y x =；⑥sin(arccos )y x =；⑦lg(lg2y x =-. 从这7个函数中任取两个函数，则其中一个是奇函数另一个是偶函数的概率是10（2018长嘉二模）. 已知函数())f x ax =的定义域为R ，则实数a 的取值范围是10（2018松江二模）. 若函数2()log (1)a f x x ax =-+（0a >且1a ≠）没有最小值，则a 的取值范围是10（2018宝山二模）. 奇函数()f x 定义域为R ，当0x >时，2()1m f x x x=+-（这里m 为正常数），若()2f x m ≤-对一切0x ≤成立，则m 的取值范围是10（2018青浦二模）. 已知()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，当(0,2]x ∈时，()21x f x =-，函数2()2g x x x m =-+，如果对于任意的1[2,2]x ∈-，总存在2[2,2]x ∈-，使得12()()f x g x ≤，则实数m 的取值范围是11（2018浦东二模）. 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[0,)+∞上是增函数，如果对于任意[1,2]x ∈，(1)(3)f ax f x +≤-恒成立，则实数a 的取值范围是11. 设1{|(),2x M y y x ==∈R }，1{|(1)(1)(||1)(2),12}1N y y x m x x m ==+-+--≤≤-，若N M ⊆，则实数m 的取值范围是 （普陀二模）11（2018虹口二模）. []x 是不超过x 的最大整数，则方程271(2)[2]044x x -⋅-=满足1x <的所有实数解是 11（2018徐汇二模）. 若函数222(1)sin ()1x x f x x ++=+的最大值和最小值分别为M 、m ，则函数()()sin[()1]g x M m x M m x =+++-图像的一个对称中心是12（2018浦东二模）. 已知函数2()57f x x x =-+，若对于任意的正整数n ，在区间5[1,]n n +上存在1m +个实数0a 、1a 、2a 、⋅⋅⋅、m a ，使得012()()()()m f a f a f a f a >++⋅⋅⋅+成立，则m 的最大值为12（2018黄浦二模）. 已知函数2()(02)f x ax bx c a b =++<<对任意R x ∈恒有()0f x ≥成立，则代数式(1)(0)(1)f f f --的最小值是 13（2018虹口二模）. 下列函数是奇函数的是（ ）A. ()1f x x =+B. ()sin cos f x x x =⋅C. ()arccos f x x =D. 0()0x x f x x x >⎧=⎨-<⎩ 15（2018宝山二模）. 若函数()f x （x ∈R ）满足(1)f x -+、(1)f x +均为奇函数，则下列四个结论正确的是（ ） A. ()f x -为奇函数 B. ()f x -为偶函数C. (3)f x +为奇函数D. (3)f x +为偶函数15（2018长嘉二模）. 点P 在边长为1的正方形ABCD 的边上运动，M是CD 中点，则当P 沿A B C M ---运动时，点P 经过的路程x 与APM ∆的面积y 的函数()y f x =的图像的形状大致是下图中的（ ）A. B. C. D.15（2018青浦二模）. 已知函数()f x 是R 上的偶函数，对于任意x ∈R 都有(6)()(3)f x f x f +=+成立，当12,[0,3]x x ∈，且12x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x ->-，给出以下三个命题：① 直线6x =-是函数()f x 图像的一条对称轴；② 函数()f x 在区间[9,6]--上为增函数；③ 函数()f x 在区间[9,9]-上有五个零点；问：以上命题中正确的个数是（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个 16（2018静安二模）. 已知函数3()10f x x x =++，实数1x 、2x 、3x 满足120x x +<，230x x +<，310x x +<，则123()()()f x f x f x ++的值（ ）A. 一定大于30B. 一定小于30C. 等于30D. 大于30、小于30都有可能16（2018松江二模）. 给出下列三个命题：命题1：存在奇函数()f x （1x D ∈）和偶函数()g x （2x D ∈），使得函数()()f x g x （12x D D ∈）是偶函数；命题2：存在函数()f x 、()g x 及区间D ，使得()f x 、()g x 在D 上均是增函数，但()()f x g x 在D 上是减函数；命题3：存在函数()f x 、()g x （定义域均为D ），使得()f x 、()g x 在0x x =（0x D ∈）处均取到最大值，但()()f x g x 在0x x =处取到最小值；那么真命题的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 316（2018浦东二模）. 设P 、Q 是R 上的两个非空子集，如果存在一个从P 到Q 的函数()y f x =满足：（1）{()|}Q f x x P =∈；（2）对任意12,x x P ∈，当12x x <时，恒有12()()f x f x <，那么称这两个集合构成“P Q →恒等态射”，以下集合可以构成“P Q →恒等态射”的是（ ）A. R →ZB. Z →QC. [1,2](0,1)→D. (1,2)→R 17（2018杨浦二模）. 共享单车给市民出行带来了诸多便利，某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用，据市场分析，每辆单车的营运累计利润y （单位：元）与营运天数x ()x ∈*N 满足函数关系式21608002y x x =-+-. （1）要使营运累计利润高于800元，求营运天数的取值范围； （2）每辆单车营运多少天时，才能使每天的平均营运利润y x 的值最大？18（2018黄浦二模）. 某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成的）. 已知10OA =米，OB x =米，010x <<，线段BA 、线段CD 与弧BC 、弧AD 的长度之和为30米，圆心角为θ弧度.（1）求θ关于x 的函数解析式；（2）记铭牌的截面面积为y ，试问x 取何值时，y 的值最大？并求出最大值18（2018奉贤二模）. 已知函数21()12x xf x k =+-，0k ≠，k ∈R . （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）已知()f x 在(,0]-∞上单调递减，求实数k 的取值范围.19（2018宝山二模）. 某渔业公司最近开发的一种新型淡水养虾技术具有方法简便且经济效益好的特点，研究表明：用该技术进行淡水养虾时，在一定的条件下，每尾虾的平均生长速度为()g x （单位：千克/年）养殖密度为x ，0x >（单位：尾/立方分米），当x 不超过4时，()g x 的值恒为2；当420x ≤≤，()g x 是x 的一次函数，且当x 达到20时，因养殖空间受限等原因，()g x 的值为0.（1）当020x <≤时，求函数()g x 的表达式；（2）在（1）的条件下，求函数()()f x x g x =⋅的最大值.19（2018徐汇二模）. 已知函数2()31f x x tx =-+，其定义域为[0,3][12,15]U .（1）当2t =时，求函数()y f x =的反函数；（2）如果函数()y f x =在其定义域内有反函数，求实数t 的取值范围.19（2018长嘉二模）. 某创新团队拟开发一种新产品，根据市场调查估计能获得10万元到1000万元的收益，先准备制定一个奖励方案：奖金y （单位：万元）随收益x （单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过收益的20%.（1）若建立函数()y f x =模型制定奖励方案，试用数学语言表示该团队对奖励函数()f x 模 型的基本要求，并分析2150x y =+是否符合团队要求的奖励函数模型，并说明原因； （2）若该团队采用模型函数103()2x a f x x -=+作为奖励函数模型，试确定最小正整数a 的值. 19（2018松江二模）. 某公司利用APP 线上、实体店线下销售产品A ，产品A 在上市20天内全部售完，据统计，线上日销售量()f t 、线下日销售量()g t （单位：件）与上市时间t （*t N ∈）天的关系满足：10110()102001020t t f t t t ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩，2()20g t t t =-+（120t ≤≤），产品A 每件的 销售利润为40115()201520t h t t ≤≤⎧=⎨<≤⎩（单位：元）（日销售量=线上日销售量+线下日销售量）.（1）设该公司产品A 的日销售利润为()F t ，写出()F t 的函数解析式；（2）产品A 上市的哪几天给该公司带来的日销售利润不低于5000元？20（2018青浦二模）. 设函数2()|5|f x ax x =-+（a ∈R ）. （1）求函数的零点；（2）当3a =时，求证：()f x 在区间(,1)-∞-上单调递减；（3）若对任意的正实数a ，总存在0[1,2]x ∈，使得0()f x m ≥，求实数m 的取值范围. 20（2018普陀二模）. 定义在R 上的函数()f x 满足：对任意的实数x ，存在非零常数t ，都有()()f x t tf x +=-成立.（1）若函数()3f x kx =+，求实数k 和t 的值；（2）当2t =时，若[0,2]x ∈，()(2)f x x x =-，求函数()f x 在闭区间[2,6]-上的值域；（3）设函数()f x 的值域为[,]a a -，证明：函数()f x 为周期函数.20（2018黄浦二模）. 已知函数22, 10,()1, 0 1.x x f x x x --≤<⎧=⎨-≤≤⎩ （1）求函数()f x 的反函数1()f x -；（2）试问：函数()f x 的图像上是否存在关于坐标原点对称的点，若存在，求出这些点的坐标；若不存在，说明理由；（3）若方程()|()240f x f x ax +---=的三个实数根123x x x 、、满足123x x x <<，且32212()x x x x -=-，求实数a 的值.20（2018浦东二模）. 已知函数()y f x =定义域为R ，对于任意x ∈R 恒有(2)2()f x f x =-.（1）若(1)3f =-，求(16)f 的值；（2）若(1,2]x ∈时，2()22f x x x =-+，求函数()y f x =，(1,8]x ∈的解析式及值域；（3）若(1,2]x ∈时，3()||2f x x =--，求()y f x =在区间(1,2]n ，*n N ∈上的最大值与最小值. 20（2018崇明二模）. 已知函数2()21x x a f x +=+，x ∈R . （1）证明：当1a >时，函数()y f x =是减函数；（2）根据a 的不同取值，讨论函数()y f x =的奇偶性，并说明理由；（3）当2a =，且b c <时，证明：对任意[(),()]d f c f b ∈，存在唯一的0x ∈R ，使得0()f x d =，且0[,]x b c ∈.21（2018杨浦二模）. 记函数()f x 的定义域为D . 如果存在实数a 、b 使得()()f a x f a x b-++=对任意满 足a x D -∈且a x D +∈的x 恒成立，则称()f x 为ψ函数.（1）设函数1()1f x x=-，试判断()f x 是否为ψ函数，并说明理由； （2）设函数1()2x g x t =+，其中常数0t ≠，证明：()g x 是ψ函数； （3）若()h x 是定义在R 上的ψ函数，且函数()h x 的图象关于直线x m =（m 为常数）对称，试判断()h x 是否为周期函数？并证明你的结论.21（2018金山二模）. 若函数()y f x =对定义域内的每一个值1x ，在其定义域内都存在唯一的2x ，使12()()1f x f x =成立，则称该函数为“依赖函数”.（1）判断函数()2x g x =是否为“依赖函数”，并说明理由；（2）若函数2()(1)f x x =-在定义域[,]m n （1m >）上为“依赖函数”，求实数m 、n 乘积mn 的取值范围；（3）已知函数2()()f x x a =-（43a <）在定义域4[,4]3上为“依赖函数”，若存在实数 4[,4]3x ∈，使得对任意的t ∈R ，有不等式2()()4f x t s t x ≥-+-+都成立，求实数s 的最 大值.21（2018虹口二模）. 已知函数3()f x ax x a =+-（a ∈R ，x ∈R ），3()1x g x x=-（x ∈R ）.（1）如果2x =是关于x 的不等式()0f x ≤的解，求实数a 的取值范围；（2）判断()g x 在(1,2-和[2的单调性，并说明理由； （3）证明：函数()f x 存在零点q ，使得4732n a q q q q-=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅成立的充要条件是3a ≥21（2018静安二模）. 设函数()|27|1f x x ax =-++（a 为实数）.（1）若1a =-，解不等式()0f x ≥；（2）若当01x x>-时，关于x 的不等式()1f x ≥成立，求a 的取值范围；（3）设21()1x g x a x +=--，若存在x 使不等式()()f x g x ≤成立，求a 的取值范围.。

2018年上海市黄浦区高考数学二模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.1．（4分）已知集合A={1，2，3}，B={1，m}，若3﹣m∈A，则非零实数m的数值是．2．（4分）不等式|1﹣x|＞1的解集是．3．（4分）若函数是偶函数，则该函数的定义域是．4．（4分）已知△ABC的三内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，若a2=b2+c2﹣2bcsinA，则内角A的大小是．5．（4分）已知向量在向量方向上的投影为﹣2，且，则=．（结果用数值表示）6．（4分）方程的解x= ．7．（5分）已知函数，则函数f（x）的单调递增区间是．8．（5分）已知α是实系数一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2+1=0的一个虚数根，且|α|≤2，则实数m的取值范围是．9．（5分）已知某市A社区35岁至45岁的居民有450人，46岁至55岁的居民有750人，56岁至65岁的居民有900人．为了解该社区35岁至65岁居民的身体健康状况，社区负责人采用分层抽样技术抽取若干人进行体检调查，若从46岁至55岁的居民中随机抽取了50人，试问这次抽样调查抽取的人数是人．10．（5分）将一枚质地均匀的硬币连续抛掷5次，则恰好有3次出现正面向上的概率是．（结果用数值表示）11．（5分）已知数列{a n}是共有k个项的有限数列，且满足，若a1=24，a2=51，a k=0，则k=．12．（5分）已知函数f（x）=ax2+bx+c（0＜2a＜b）对任意x∈R恒有f（x）≥0成立，则代数式的最小值是．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．（5分）在空间中，“直线m⊥平面α”是“直线m与平面α内无穷多条直线都垂直”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件14．（5分）二项式的展开式中，其中是有理项的项数共有（）A．4项B．7项C．5项D．6项15．（5分）实数x、y满足线性约束条件，则目标函数w=2x+y﹣3的最大值是（）A．0B．1C．﹣2D．316．（5分）在给出的下列命题中，是假命题的是（）A．设O、A、B、C是同一平面上的四个不同的点，若（m ∈R），则点A、B、C必共线B．若向量是平面α上的两个不平行的向量，则平面α上的任一向量都可以表示为，且表示方法是唯一的C．已知平面向量满足||=r（r＞0），且=，则△ABC是等边三角形D．在平面α上的所有向量中，不存在这样的四个互不相等的非零向量，使得其中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．17．（14分）在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，BC=1，CD=．（1）画出四棱锥P﹣ABCD的主视图；（2）若PA=BC，求直线PB与平面PCD所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）18．（14分）某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的）．已知OA=10米，OB=x 米（0＜x＜10），线段BA、线段CD与弧、弧的长度之和为30米，圆心角为θ弧度．（1）求θ关于x的函数解析式；（2）记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值．19．（14分）已知动点M（x，y）到点F（2，0）的距离为d1，动点M（x，y）到直线x=3的距离为d2，且．（1）求动点M（x，y）的轨迹C的方程；（2）过点F作直线l：y=k（x﹣2）（k≠0）交曲线C于P、Q两点，若△OPQ的面积（O是坐标系原点），求直线l的方程．20．（16分）已知函数（1）求函数f（x）的反函数f﹣1（x）；（2）试问：函数f（x）的图象上是否存在关于坐标原点对称的点，若存在，求出这些点的坐标；若不存在，说明理由；（3）若方程的三个实数根x1、x2、x3满足：x1＜x2＜x3，且x3﹣x2=2（x2﹣x1），求实数a的值．21．（18分）定义：若数列{c n}和{d n}满足，则称数列{d n}是数列{c n}的“伴随数列”．已知数列{b n}是数列{a n}的伴随数列，试解答下列问题：（1）若，，求数列{a n}的通项公式a n；（2）若，为常数，求证：数列是等差数列；（3）若，数列{a n}是等比数列，求a1、b1的数值．2018年上海市黄浦区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.1．（4分）已知集合A={1，2，3}，B={1，m}，若3﹣m∈A，则非零实数m的数值是2．【考点】12：元素与集合关系的判断．【专题】11：计算题；32：分类讨论；4O：定义法；5J：集合．【分析】利用元素与集合的关系及集合中元素的互异性能求出非零实数m的数值．【解答】解：∵集合A={1，2，3}，B={1，m}，3﹣m∈A，∴或或，解得m=2．∴非零实数m的数值是2．故答案为：2．【点评】本题考查实数值的求法，考查元素与集合的关系及集合中元素的互异性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2．（4分）不等式|1﹣x|＞1的解集是（﹣∞，0）∪（2，+∞）．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】38：对应思想；4R：转化法；59：不等式的解法及应用．【分析】去掉绝对值，求出不等式的解集即可．【解答】解：∵|1﹣x|＞1，∴1﹣x＞1或1﹣x＜﹣1，∴x＜0或x＞2，故答案为：（﹣∞，0）∪（2，+∞）．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查转化思想，是一道基础题．3．（4分）若函数是偶函数，则该函数的定义域是[﹣2，2] ．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；51：函数的性质及应用．【分析】根据题意，由函数奇偶性的定义可得=，分析可得a的值，即可得f（x）=，据此分析函数的定义域即可得答案．【解答】解：函数，则f（﹣x）=f（x），则有=，解可得a=0，则函数f（x）=，有8﹣2x2≥0，解可得﹣2≤x≤2，则函数f（x）的定义域为[﹣2，2]；故答案为：[﹣2，2]．【点评】本题考查函数的奇偶性的性质，注意函数的奇偶性的定义．4．（4分）已知△ABC的三内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，若a2=b2+c2﹣2bcsinA，则内角A的大小是．【考点】HR：余弦定理．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．【分析】利用余弦定理，化简已知条件，然后求解即可．【解答】解：△ABC的三内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，a2=b2+c2﹣2bcsinA，又a2=b2+c2﹣2bccosA，可得sinA=cosA，所以A=．故答案为：．【点评】本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，考查计算能力．5．（4分）已知向量在向量方向上的投影为﹣2，且，则=﹣6．（结果用数值表示）【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】38：对应思想；49：综合法；5A：平面向量及应用．【分析】根据向量的投影公式计算．【解答】解：设的夹角为θ，则向量在向量方向上的投影为||•cosθ=||•==﹣2，∴=﹣2||=﹣6．故答案为：﹣6．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．6．（4分）方程的解x= 2．【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【专题】33：函数思想；34：方程思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】利用对数运算法则以及指数运算法则求解即可．【解答】解：方程，化为：3•2x+5=4x+1，解得（2x+1）（2x﹣4）=0，即2x﹣4=0，解得x=2，故答案为：2．【点评】本题考查对数运算法则的应用，指数运算法则的应用，方程的解法，考查计算能力．7．（5分）已知函数，则函数f（x）的单调递增区间是．【考点】H5：正弦函数的单调性．【专题】35：转化思想；57：三角函数的图像与性质．【分析】根据矩阵的运算可得f（x）=2sinxcosx+cos2x，利用二倍角辅助角化简即可求解f（x）的单调递增区间．【解答】解：由题意，f（x）=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x=sin（2x+），令≤2x+≤，k∈Z．可得：≤x≤．函数f（x）的单调递增区间为．故答案为：．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，二倍角辅助角化简能力．属于基础题．8．（5分）已知α是实系数一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2+1=0的一个虚数根，且|α|≤2，则实数m的取值范围是．【考点】&S：实系数多项式虚根成对定理．【专题】34：方程思想；59：不等式的解法及应用；5N：数系的扩充和复数．【分析】α是实系数一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2+1=0的一个虚数根，可得也是实系数一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2+1=0的一个虚数根，由△＜0，=|α|2=m2+1≤4，解得m范围．【解答】解：α是实系数一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2+1=0的一个虚数根，则也是实系数一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2+1=0的一个虚数根，∴△=[﹣（2m﹣1）]2﹣4（m2+1）＜0，解得m．=|α|2=m2+1≤4，解得．则．则实数m的取值范围是．故答案为：．【点评】本题考查了实系数一元二次方程虚数根成对原理及其与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（5分）已知某市A社区35岁至45岁的居民有450人，46岁至55岁的居民有750人，56岁至65岁的居民有900人．为了解该社区35岁至65岁居民的身体健康状况，社区负责人采用分层抽样技术抽取若干人进行体检调查，若从46岁至55岁的居民中随机抽取了50人，试问这次抽样调查抽取的人数是140人．【考点】B3：分层抽样方法．【专题】36：整体思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】根据条件求出抽取比例，结合比例关系进行求解即可．【解答】解：抽取比例为750÷50=15，则抽取总人数为（450+750+900）÷15=2100÷15=140人，故答案为：140．【点评】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件求出抽取比例是解决本题的关键．10．（5分）将一枚质地均匀的硬币连续抛掷5次，则恰好有3次出现正面向上的概率是．（结果用数值表示）【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率计算公式直接求解．【解答】解：将一枚质地均匀的硬币连续抛掷5次，则恰好有3次出现正面向上的概率是：p==．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查n次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．11．（5分）已知数列{a n}是共有k个项的有限数列，且满足，若a1=24，a2=51，a k=0，则k=50．【考点】8H：数列递推式．【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；54：等差数列与等比数列．=a n﹣1﹣变形可得a n+1a n﹣a n﹣1a n=﹣n，据此可得（a3a2【分析】根据题意，将a n+1﹣a2a1）=﹣2，（a4a3﹣a3a2）=﹣3，……a k a k﹣1﹣a k﹣1a k﹣2=﹣（k﹣1），用累加法分析可得a k a k﹣1﹣a1a2=﹣[1+2+3+……（k﹣1）]，代入数据变形可得k2﹣k﹣2450=0，解可得k的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，数列{a n}满足a n+1=a n﹣1﹣，变形可得：a na n﹣a n﹣1a n=﹣n，+1则有（a3a2﹣a2a1）=﹣2，（a4a3﹣a3a2）=﹣3，（a5a4﹣a4a3）=﹣4，……a k a k﹣1﹣a k﹣1a k﹣2=﹣（k﹣1），相加可得：a k a k﹣1﹣a1a2=﹣[1+2+3+……（k﹣1）]，又由a1=24，a2=51，a k=0，则有k2﹣k﹣2450=0，解可得：k=50或﹣49（舍）；故k=50；故答案为：50．=a n﹣1﹣的变形．【点评】本题考查数列的递推公式的应用，关键是对a n+112．（5分）已知函数f（x）=ax2+bx+c（0＜2a＜b）对任意x∈R恒有f（x）≥0成立，则代数式的最小值是3．【考点】3V：二次函数的性质与图象．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】由二次函数的性质得，代入化简得：≥，设t=，由0＜2a＜b得t＞2，利用基本不等式的性质就能求得最小值．【解答】解：因为∀x∈R，f（x）=ax2+bx+c≥0恒成立，0＜2a＜b，所以，得b2≤4ac，又0＜2a＜b，所以，所以=≥===，设t=，由0＜2a＜b得，t＞2，则≥==[（t﹣1）++6]≥=3，当且仅当时取等号，此时t=4，取最小值是3，故答案为：3．【点评】本题主要考查二次函数的性质，基本不等式的应用，以及换元法，式子的变形是解题的关键和难点，属于难题．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．（5分）在空间中，“直线m⊥平面α”是“直线m与平面α内无穷多条直线都垂直”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】36：整体思想；4O：定义法；5L：简易逻辑．【分析】根据线面垂直的定义，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：直线m⊥平面α，则直线m与平面α内所有直线，即直线m与平面α内无穷多条直线都垂直成立，若平面α内无穷多条直线都是平行的，则当直线m与平面α内无穷多条直线都垂直时，直线m⊥平面α也不一定成立，即“直线m⊥平面α”是“直线m与平面α内无穷多条直线都垂直”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面垂直的定义是解决本题的关键．14．（5分）二项式的展开式中，其中是有理项的项数共有（）A．4项B．7项C．5项D．6项【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；34：方程思想；4A：数学模型法；5P：二项式定理．【分析】写出二项展开式的通项，由为整数求得r值，可得有理项的项数．【解答】解：二项式的展开式的通项为=．∵0≤r≤40，且r∈N，∴当r=0、6、12、18、24、30、36时，∈Z．∴二项式的展开式中，其中是有理项的项数共有7项．故选：B．【点评】本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．15．（5分）实数x、y满足线性约束条件，则目标函数w=2x+y﹣3的最大值是（）A．0B．1C．﹣2D．3【考点】7C：简单线性规划．【专题】38：对应思想；4R：转化法；59：不等式的解法及应用．【分析】先画出可行域；将目标函数变形；画出目标函数对应的直线；将直线平移由图求出w的最大值即可．【解答】解：画出命题条件的平面区域，如图示：，将w=2x+y﹣3转化为y=﹣2x+w+3，平移直线y=﹣2x，结合图象直线过（3，0）时，w最大，故w max=3，故选：D．【点评】不等式组表示的平面区域、利用图形求二元函数的最值．16．（5分）在给出的下列命题中，是假命题的是（）A．设O、A、B、C是同一平面上的四个不同的点，若（m ∈R），则点A、B、C必共线B．若向量是平面α上的两个不平行的向量，则平面α上的任一向量都可以表示为，且表示方法是唯一的C．已知平面向量满足||=r（r＞0），且=，则△ABC是等边三角形D．在平面α上的所有向量中，不存在这样的四个互不相等的非零向量，使得其中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直【考点】2K：命题的真假判断与应用．【专题】38：对应思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用．【分析】对于A，根据共线定理判断A、B、C三点共线即可；对于B，根据平面向量的基本定理，判断命题正确；对于C，根据平面向量的线性表示与数量积运算得出命题正确；对于D，举例说明命题错误．【解答】解：对于命题A，（m∈R），∴﹣=m（﹣），∴=m，且有公共点C，∴则点A、B、C共线，命题A正确；对于B，根据平面向量的基本定理知，向量是一组基底，则平面α上的任一向量，都可表示为，且表示方法唯一，B正确；对于C，平面向量满足||=r（r＞0），且=，∴+=﹣，即+=，∴+2•+=，即r2+2r2•cos＜，＞+r2=r2，∴cos＜，＞=﹣，∴、的夹角为120°，同理、的夹角也为120°，∴△ABC是等边三角形，C正确；对于D，如=（0，1），=（1，1），=（﹣1，1），=（﹣1，0），满足（+）•（+）=1×（﹣2）+2×1=0，∴（+）⊥（+），D错误．故选：D．【点评】本题利用命题真假的判断考查了平面向量的综合应用问题，是中档题．三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．17．（14分）在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，BC=1，CD=．（1）画出四棱锥P﹣ABCD的主视图；（2）若PA=BC，求直线PB与平面PCD所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）【考点】L7：简单空间图形的三视图；MI：直线与平面所成的角．【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（1）由题意能作出主视图．（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PB与平面PCD所成角的大小．【解答】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分（4分），第2小题满分（10分）．解（1）在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，BC=1，CD=．作出主视图如下：（2）根据题意，可算得AB=1，AD=2．又PA=BC=1，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，可得，A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1）．于是，有．设平面PCD的法向量为，则即令z=2，可得y=1，x=1，故平面PCD的一个法向量为．设直线PB与平面PCD所成角的大小为θ，则．所以直线PB与平面PCD所成角的大小为．【点评】本题考查主视图的作法，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18．（14分）某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的）．已知OA=10米，OB=x 米（0＜x＜10），线段BA、线段CD与弧、弧的长度之和为30米，圆心角为θ弧度．（1）求θ关于x的函数解析式；（2）记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值．【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．【专题】33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】（1）根据弧长公式和周长列方程得出θ关于x的函数解析式；（2）根据面积公式求出y关于x的函数值，从而得出y的最大值．【解答】解：（1）根据题意，可算得弧BC=x•θ（m），弧AD=10θ（m）．∴2（10﹣x）+x•θ+10θ=30，∴．（2）依据题意，可知，化简得：y=﹣x2+5x+50=．∴当，（m2）．答：当米时铭牌的面积最大，且最大面积为平方米．【点评】本题考查了函数解析式的求解，函数最值的计算，属于中档题．19．（14分）已知动点M（x，y）到点F（2，0）的距离为d1，动点M（x，y）到直线x=3的距离为d2，且．（1）求动点M（x，y）的轨迹C的方程；（2）过点F作直线l：y=k（x﹣2）（k≠0）交曲线C于P、Q两点，若△OPQ的面积（O是坐标系原点），求直线l的方程．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合；KK：圆锥曲线的轨迹问题．【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）结合题意求出．通过，求动点M（x，y）的轨迹C的方程．（2）联立方程组，设点P（x1，y1）、Q（x2，y2），利用韦达定理以及弦长公式，结合点O到直线l的距离．求解三角形的面积，推出结果即可．【解答】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分（6分），第2小题满分（8分）．解：（1）结合题意，动点M（x，y）到点F（2，0）的距离为d1，动点M（x，y）到直线x=3的距离为d2，可得．又，于是，，化简得．因此，所求动点M（x，y）的轨迹C的方程是．（2）联立方程组得（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0．设点P（x1，y1）、Q（x2，y2），则于是，弦，点O到直线l的距离．由，得=，化简得k4﹣2k2+1=0，解得k=±1，且满足△＞0，即k=±1都符合题意．因此，所求直线的方程为x﹣y﹣2=0或x+y﹣2=0．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法．考查转化思想以及计算能力．20．（16分）已知函数（1）求函数f（x）的反函数f﹣1（x）；（2）试问：函数f（x）的图象上是否存在关于坐标原点对称的点，若存在，求出这些点的坐标；若不存在，说明理由；（3）若方程的三个实数根x1、x2、x3满足：x1＜x2＜x3，且x3﹣x2=2（x2﹣x1），求实数a的值．【考点】4R：反函数；53：函数的零点与方程根的关系；57：函数与方程的综合运用．【专题】33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】（1）用y表示出x，即可得出反函数；（2）设出对称的两点横坐标坐标，令函数值的和为0求出点的横坐标，从而得出两点坐标；（3）判断f（x）与2的大小，求出x1、x2、x3的值，根据得x3﹣x2=2（x2﹣x1）得出a的值．【解答】解：（1）∵∴当﹣1≤x＜0时，f（x）=﹣2x，且0＜f（x）≤2．由y=﹣2x，得，互换x与y，可得．当0≤x≤1时，f（x）=x2﹣1，且﹣1≤f（x）≤0．由y=x2﹣1，得，互换x与y，可得．∴（2）函数图象上存在两点关于原点对称．设点A（x0，y0）（0＜x0≤1）、B（﹣x0，﹣y0）是函数图象上关于原点对称的点，则f（x0）+f（﹣x0）=0，即，解得，且满足0＜x≤1．因此，函数图象上存在点关于原点对称．（3）令f（x）=2，解得x=﹣，①当时，有，原方程可化为﹣4x﹣2ax﹣4=0，解得，令，解得：．②当时，，原方程可化为，化简得（a2+4）x2+4ax=0，解得，又，∴．∴．由x3﹣x2=2（x2﹣x1），得，解得a=﹣（舍）或a=．因此，所求实数．【点评】本题考查了反函数的求解，考查函数的对称性，函数零点的计算，属于中档题．21．（18分）定义：若数列{c n}和{d n}满足，则称数列{d n}是数列{c n}的“伴随数列”．已知数列{b n}是数列{a n}的伴随数列，试解答下列问题：（1）若，，求数列{a n}的通项公式a n；（2）若，为常数，求证：数列是等差数列；（3）若，数列{a n}是等比数列，求a1、b1的数值．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【专题】32：分类讨论；49：综合法；55：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（1）根据题意，有．由，，即可求解数列{a n}的通项公式．（2）通过逐项递推关系，可得，n∈N*．，n∈N*．即可正数列是首项为、公差为1的等差数列．（3）由题意，求解：．{a n}是等比数列，且a n＞0，设公比为r（r ＞0），则．对其进行讨论，从而求解满足题意的a1、b1的数值．【解答】解：（1）根据题意，有．由，，得，n∈N*．所以，n∈N*．证明：（2）∵，，∴，，n∈N*．∴，n∈N*．∴数列是首项为、公差为1的等差数列．解：（3）由，，由，得．∵{a n}是等比数列，且a n＞0，设公比为r（r＞0），则．∴当r＞1，即，与矛盾．因此，r＞1不成立．当0＜r＜1，即，与矛盾．因此，0＜r＜1不成立．∴r=1，即数列{a n}是常数列，于是，a n=a1（）．∴．∵b n＞0，∴b1＞0，数列{b n}也是等比数列，设公比为q（q＞0），有．∴，可化为，n∈N*．∵，∴关于x的一元二次方程有且仅有两个非负实数根．一方面，q n（n∈N*）是方程的根；另一方面，若q≠1（q＞0），则无穷多个互不相等的q，q2，q3，q4，…，q n，…都是该二次方程的根．这与该二次方程有且仅有两个非负实数根矛盾！∴q=1，即数列{b n}也是常数列，于是，b n=b1，n∈N*．∴由，得．把，代入，解得．∴．【点评】本题考查等差、等比数列的通项公式和综合能力的运用，考查运算能力，属于中档偏难的题．。

专题10 三角函数综合【母题原题1】【2018上海卷，18】设常数a R ∈，函数f x （）22?asin x cos x =+ （1）若f x （）为偶函数，求a 的值；（2）若4f π〔〕1=，求方程1f x =（）ππ-［，］上的解。

【答案】(1);(2)或或.【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出， （2）先求出a 的值，再根据三角形函数的性质即可求出． 【详解】∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，或，∴，或，∵，∴或或【点睛】本题考查了三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础题．【母题原题2】【2017上海卷，18】已知函数，.（1）求的单调递增区间；（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边，角B所对边，若，求△ABC的面积. 【答案】（1）;（2）若，即有解得，即由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bc cos A，化为c2﹣5c+6=0，解得c =2或3， 若c =2，则即有B 为钝角，c =2不成立， 则c =3，△ABC 的面积为【母题原题3】【2017上海卷，11】设、，且，则的最小值等于________ 【答案】【命题意图】 高考对本部分内容的考查以能力为主，重点考查三角函数的性质（周期性、奇偶性、对称性、单调性、最值等），体现数形结合的思想，函数与方程的思想等的应用，均可能出现填空题与解答题中，难度中低档为主，主要有两种考查题型：（1）根据三角函数的解析式确定其性质；（2）根据三角函数的性质求相关的参数值（或取值范围）．【命题规律】1. 高考对三角函数的图象与性质的考查往往集中于正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质；函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及性质，主要考查三角函数图象的识别及其简单的性质(周期、单调性、奇偶性、最值、对称性、图象平移及变换等)．2. 高考中主要涉及如下题型：(1) 考查周期、单调性、极值等简单性质；(2) 考查与三角函数有关的零点问题；(3) 考查图象的识别． 【方法总结】1.根据函数的图象确定函数()sin()(0,0)f x A x B A ωϕω=++>>中的参数主要方法：（1）A ，B 主要是根据图象的最高点或最低点的纵坐标确定，即2A -=最大值最小值，2B +=最大值最小值；（2）ω的值主要由周期T 的值确定，而T 的值的确定主要是根据图象的零点与最值点的横坐标确定；（3）ϕ值的确定主要是由图象的特殊点（通常优先取非零点）的坐标确定．2.在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少．“先平移，后伸缩”主要体现为由函数sin y x =平移得到函数()sin y x ϕ=+的图象时，平移ϕ个长度单位；“先伸缩，后平移” 主要体现为由函数()sin y x ω=平移得到函数()sin y x ωϕ=+的图象时，平移ϕω个长度单位． 3. 利用函数图象处理函数的零点（方程根）主要有两种策略：（1）确定函数零点的个数：利用图象研究与x 轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数定性判断；（2）已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围：通常也转化为两个新函数的交点，即在同一坐标系中作出两个函数的图象，通过观察它们交点的位置特征建立关于参数的不等式来求解． 4. 求解三角函数的周期性的方法：（1）求三角函数的周期，通常应将函数式化为只有一个函数名，且角度唯一，最高次数为一次的形式，然后借助于常见三角函数的周期来求解．（2）三角函数的最小正周期的求法有：①由定义出发去探求；②公式法：化成sin()y A x ωϕ=+，或tan()y A x ωϕ=＋等类型后，用基本结论2||T πω=或||T πω=来确定；③根据图象来判断． 5. 求解三角函数的单调性的方法：（1）三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数标准式，然后通过同解变形或利用数形结合方法求解．（2）已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法：①子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解；[ ②反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解．6. 求解三角函数的奇偶性的策略：（1）判断函数的奇偶性，应先判定函数定义域的对称性，注意偶函数的和、差、积、商仍为偶函数；复合函数在复合过程中，对每个函数而言，“同奇才奇、一偶则偶”．一般情况下，需先对函数式进行化简，再判断其奇偶性；（2）两个常见结论：①若函数()()sin f x A x ωϕ=+为奇函数，则()k k Z ϕπ=∈；若函数()()sin f x A x ωϕ=+为偶函数，则()2k k Z πϕπ=+∈；②若函数()()cos f x A x ωϕ=+为奇函数，则()2k k Z πϕπ=+∈；若函数()()cos f x A x ωϕ=+为偶函数，则()k k Z ϕπ=∈．7. 求解三角函数对称性的方法：（1）求函数sin()y A x ωϕ=+的对称中心、对称轴问题往往转化为解方程问题：①由sin y x =的对称中心是(0)k π，，k ∈Z ，所以sin()y A x ωϕ=+的中心，由方程x k ωϕπ+=解出x 即可；②因为sin y x =的对称轴是2x k ππ=+，k ∈Z ，所以可由2x k πωϕπ+=+解出x ，即为函数sin()y A x ωϕ=+的对称轴；注意tan y x =的对称中心为1(,0)()2k k Z π∈；（2）对于函数sin()y A x ωϕ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验()0f x 的值进行判断． 8. 求解三角函数的值域(最值)常见的题目类型及求解策略：（1）形如sin cos y a x b x k =++的三角函数化为sin()y A x k ωϕ=++的形式，再利用正弦曲线的知识求最值(值域)；（2）形如2sin sin y a x b x k =++的三角函数，可先设sin x t =，化为关于t 的二次函数求值域(最值)； （3）形如()sin cos sin cos y a x x b x x c =+±+的三角函数，可先设sin cos t x x =±，化为关于t 的二次函数求值域(最值).1．【上海市浦东新区2018届三模】设函数的图象为，下面结论中正确的是（ ）A ． 函数的最小正周期是B ． 图象关于点对称C ． 图象可由函数的图象向右平移个单位得到D ． 函数在区间上是增函数【答案】B 【解析】 试题分析：的最小正周期，∵，∴图象关于点对称，∴图象可由函数的图象向右平移个单位得到，函数的单调递增区间是，当时，，∴函数在区间上是先增后减.考点：三角函数图象、周期性、单调性、图象平移、对称性.2．【上海市十二校2018届高三联考】已知函数()sincos 212cos2x x f x xωωω=(0)ω>， x R ∈，若函数()f x 在区间(),2ππ内没有零点，则ω的取值范围为（ ）A ． 10,8⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ． 50,8⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ． ][150,,148⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭ D ． ][1150,,848⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦【答案】D本题选择D 选项.点睛：重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形． 3．【上海市浦东新区2018届高三三模】已知的三边成等比数列,所对的角分别为,则的取值范围是_________.【答案】.【解析】 【分析】【点睛】本题考查等比中项的定义和余弦定理、基本不等式和正弦函数的图象和性质，考查运算能力，属于中档题．4．【上海市大同中学2018届高三三模】若，，，满足：，，则的值为__________．【答案】【解析】【分析】首先对所给的方程进行恒等变形，然后结合函数的单调性和角度的范围求得的值，然后求解三角函数值即可.【详解】∵，∴(−2β)3−2sinβcosβ−2λ=0，即(−2β)3+sin(−2β)−2λ=0.由可得.故−2β和是方程x3+sinx−2λ=0的两个实数解.再由，，，所以和的范围都是，由于函数x3+sinx在上单调递增，故方程x3+sinx−2λ=0在上只有一个解，所以，，∴，则的值为.【点睛】本题主要考查函数的单调性，三角函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．【上海市2018年5月高考模拟】已知为常数），若对于任意都有，则方程在区间内的解为__________【答案】或【解析】【分析】由，可知是函数的最小值，利用辅助的角公式求出的关系，然后利用三角函数的图象和性质进行求解即可.【详解】则，由，解得，即，，当时，，当时，，故或，故答案为或.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，以及辅助角公式的应用，属于难题.利用该公式() 可以求出:①的周期;②单调区间（利用正弦函数的单调区间可通过解不等式求得）；③值域（）；④对称轴及对称中心（由可得对称轴方程，由可得对称中心横坐标.6．【上海市浦东新区2018届高三三模】若的图像的最高点都在直线上，并且任意相邻两个最高点之间的距离为.(1)求和的值：(2)在中，分别是的对边,若点是函数图像的一个对称中心,且,求外接圆的面积.【答案】(1) .(2) .【解析】【分析】【点睛】本题考查了二倍角的正弦函数公式，以及正弦定理的应用，熟练掌握公式是解本题的关键，是中档题．7．【上海市大同中学2018届高三三模】如图一块长方形区域，，，在边的中点处有一个可转动的探照灯，其照射角始终为，设，探照灯照射在长方形内部区域的面积为.（1）当时，求关于的函数关系式；（2）当时，求的最大值；（3）若探照灯每9分钟旋转“一个来回”（自转到，再回到，称“一个来回”，忽略在及处所用的时间），且转动的角速度大小一定，设边上有一点，且，求点在“一个来回”中被照到的时间.【答案】(1)见解析;(2);(3)2分钟.【解析】【分析】（1）由题意结合三角函数的性质可得：当时，，当时，；（2）结合(1)中函数的解析式和三角函数的性质可得当时，；（3）结合实际问题和三角函数的性质计算可得点被照到的时间为分钟.【详解】【点睛】本题主要考查三角函数的实际应用，三角函数的性质，三角函数最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．【上海市2018年5月高考模拟】钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土，如图:点分别表示钓鱼岛、南小岛、黄尾屿，点在点的北偏东方向，点在点的南偏西方向，点在点的南偏东方向，且两点的距离约为3海里.(1)求两点间的距离；(精确到0.01)(2)某一时刻，我国一渔船在点处因故障抛锚发出求教信号.一艘国舰艇正从点正东10海里的点处以18海里/小时的速度接近渔船，其航线为 (直线行进)，而我东海某渔政船正位于点南偏西方向20海里的点处，收到信号后赶往救助，其航线为先向正北航行8海里至点处，再折向点直线航行，航速为22海里/小时.渔政船能否先于国舰艇赶到进行救助?说明理由.【答案】（1）14.25（2）渔政船能先于国舰艇赶到进行救助.【解析】【分析】（1）由题意，,，在中，由正弦定理可求两点间的距离；（2）结合（1）【点睛】本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及正弦定理与余弦定理的应用，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.9．【上海市虹口区2018届高三下学期教学质量监控（二模）】已知中，角所对应的边分别为，（是虚数单位）是方程的根，.（1）若，求边长的值；（2）求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）解得，所以，，，由正弦定理得；（2）由余弦定理得，根据基本不等式，得，所以面积的最大值等于。

2018届上海市高三年级检测试卷（二模模拟）数学（理）一、填空题（本题满分56分）本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1.若2sin 2cos 2θθ+=-，则cos θ=2.若bi ia-=-11，其中b a ,都是实数，i 是虚数单位，则bi a += 3.现在某类病毒记作n m Y X ，其中正整数m ，n （7≤m ，9≤n ）可以任意选取，则n m ，都取到奇数的概率为4.抛物线22y x =的焦点为F ，点00(,)M x y 在此抛物线上，且52MF =，则0x =______5.某市连续5天测得空气中PM2.5（直径小于或等于2.5微米的颗粒物）的数据（单位：3/g m m ）分别为115，125，132，128，125，则该组数据的方差为6.平行四边形ABCD 中，AB =（1，0），AC =（2，2），则AD BD ⋅ 等于7.已知关于x 的二项式n xa x )(3+展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a 的值为8.在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2a =，3c =，60B =︒，则b =9.用半径为210cm ，面积为π2100cm 2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（衔接部分忽略不计）， 则该容器盛满水时的体积是10.已知椭圆12222=+by a x （0>>b a1-，短轴长为椭圆方程为 11.设a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()97a f x x x=++若“对于任意[)+∞∈,0x ，()1f x a <+”是假ss ，则a 的取值范围为12.已知,66⎛⎫∈- ⎪⎝⎭p p q ，等比数列{}n a 中，11a =，343a =q ，数列{}n a 的前2018项的和为0，则q 的值为 13.][x 表示不超过x 的最大整数，若函数a xx x f -=][)(，当0>x 时，)(x f 有且仅有3个零点，则a 的取值范围为 .14.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：2216x y +=，点(1,2)P ，M ，N 为圆O 上不同的两点，且满足0PM PN ⋅= ．若PQ PM PN =+ ，则PQ的最小值为二． 选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 5分，否则一律得零分．15.如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 点是A ．A B.BC ．C 16.“lim,lim n n n n a A b B →∞→∞==”是“lim nn na b →∞存在”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件.C.充分条件.D.既不充分也不必要条件. 17.已知函数()sin 2x f x x =∈R ，，将函数()y f x =图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍（纵坐不变），得到函数()g x 的图象，则关于()()f x g x ⋅有下列ss ，其中真ss 的个数是 ①函数()()y f x g x =⋅是奇函数； ②函数()()y f x g x =⋅不是周期函数；③函数()()y f x g x =⋅的图像关于点(π，0)中心对称； ④函数()()y f x g x =⋅A.1B.2C.3D.418.如图，E 、F 分别为棱长为1的正方体的棱11A B 、11B C 的中点，点G 、H 分别为面对角线AC 和棱1DD 上的动点（包括端点），则下列关于四面体E FGH -的体积正确的是A 此四面体体积既存在最大值，也存在最小值；B 此四面体的体积为定值；C 此四面体体积只存在最小值；D 此四面体体积只存在最大值。

上海2018届高三二模数学卷——三角函数汇编1.（2018宝山二模4）函数()x x x f 4cos 4sin 2=()x x x f 4cos 4sin 2=的最小正周期为.2.（2018宝山二模12）将实数z y x 、、中的最小值记为{}z y x ,,min ，在锐角︒=∆60POQ ，1=PQ ，点T 在POQ ∆的边上或内部运动，且=TO {}TQ TO TP ,,min ，由T 所组成的图形为M .设M POQ 、∆的面积为M POQ S S 、∆，若()2:1-=∆M POQ M S S S ：，则=M S .3.（2018虹口二模3）已知(0,)απ∈，3cos 5α=-，则tan(4πα+=4.（2018虹口二模12）函数()sin f x x =，对于123n x x x x <<<⋅⋅⋅<且12,,,[0,8]n x x x π⋅⋅⋅∈（10n ≥），记1223341|()()||()()||()()||()()|n n M f x f x f x f x f x f x f x f x -=-+-+-+⋅⋅⋅+-，则M的最大值等于5.（2018虹口二模）已知ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，cos sin z A i A =+⋅（i 是虚数单位）是方程210z z -+=的根，3a =.（1）若4B π=，求边长c 的值；（2）求ABC ∆面积的最大值.6.（2018杨浦二模9）若53sin )cos(cos )sin(=---x y x x y x ，则y 2tan 的值为．7.（2018杨浦二模13）已知函数()sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><的图象如图所示，则ϕ的值为（）)(A 4π)(B 2π)(C 2π-)(D 3π-8.（2018静安二模15）函数()sin()(0,0)f x A x A ωθω=+>>的部分图像如图所示，则)3(πf 的值为（）．A．22B．32C．26D．09.（2018闵行二模18）已知函数()3sin cos f x x x ωω=+.（1）当()03f π-=，且||1ω<，求ω的值；（2）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，3a =3b c +=，当2ω=，()1f A =时，求bc 的值.10.（2018青浦二模18）（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知向量(cos ,1)2x m =- ，23,cos 22x x n = ，设函数()1f x m n =⋅+ ．（1）若[0,2x π∈，11()10f x =，求x 的值；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是c b a ,,且满足2cos 23,b A c a ≤求()f B 的取值范围．11.（2018金山二模12）若sin 2018α–(2–cosβ)1009≥(3–cosβ–cos 2α)(1–cosβ+cos 2α)，则sin(α+2β)=__________．12.（2018浦东二模8）.函数23()cos 2,R f x x x x =∈的单调递增区间为____________.13.（2018普陀二模5）在锐角三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若222()tan b c a A bc +-=，则角A 的大小为________.14.（2018普陀二模18）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分已知函数2(=sin cos sin f x x x x -），R x ∈.（1）若函数()f x 在区间[,]16a π上递增，求实数a 的取值范围；（2）若函数()f x 的图像关于点11(,)Q x y 对称，且1[,]44x ππ∈-，求点Q 的坐标.15.（2018徐汇二模7）函数()2sin cos 1()11x x f x +-=的最小正周期是___________．16.（2018徐汇二模18）(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)如图：某快递小哥从A 地出发，沿小路AB BC →以平均时速20公里/小时，送快件到C 处，已知10BD =（公里），045,30DCB CDB ∠=∠=，ABD ∆是等腰三角形，0120ABD ∠=．（1）试问，快递小哥能否在50分钟内将快件送到C 处？（2）快递小哥出发15分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路AD DC →追赶，若汽车平均时速60公里/小时，问，汽车能否先到达C 处？1、4π2、3123、4tan 3α=-，∴1tan(47πα+=-4、在[0,8]π有4个周期，最大值为4416⨯=5、（1）解为122±，∴3A π=，由正弦定理b =，2c +=；（2）画出△ABC 的外接圆可知，3AB AC ==时，面积最大，为934.6、2424.77-或7、C 8、CAB CD9、（1）()2sin()6f x x πω=+，(0336f k πωπππ-=⇒-+=，||1ω<，∴12ω=（2）()1f A =⇒3A π=，由余弦定理，2bc =10、解：（1）21cos ()cos cos 1sin 122222x x x x f x x +=-+=-+3111sin cos sin()22262x x x π=-+=-+∵113() sin(; [0,]10652f x x x ππ=∴-=∈ 又∴33arcsin arcsin 6565x x ππ-=⇒=+（2）由AC A B a c A b sin 3sin 2cos sin 232cos 2-≤-≤得2sin cos 2sin()B A A B A⇒≤+-2sin cos 2[sin cos cos sin )B A A B A B A ⇒≤+-32sin cos cos (0,]26A B A B B π⇒≥⇒≥∈∴111sin((,0],()sin()()(0,62622B f B B f B ππ-∈-=-+⇒∈即11、答案：±112、,,36Zk k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎣⎦13、6π14、（1）21cos 21(=sin cos sin sin 222x f x x x x x --=+），…………………………2分1sin(2)242x π=+-，…………………………4分当16x π=时，则322416482x πππππ+=⨯+=<，又函数()f x 在[,16a π上递增，则242a ππ+≥-，即38a π≥-，………………………7分则实数a 的取值范围为3[,816a ππ∈-.…………………………………………………8分（2）若函数()f x 的图像关于点11(,)Q x y 对称，则1sin(204x π+=，………………2分即124x k ππ+=（Z k ∈），则128k x ππ=-[,]44ππ∈-，………………………………4分由Z k ∈得0k =，则点Q 的坐标为1(,)82π--.…………………………………………6分15、π16、（1）10AB =（公里），BCD ∆中，由00sin 45sin 30BD BC=，得BC =（公里）-------------------2分于是，由10526051.215020+⨯≈>知，快递小哥不能在50分钟内将快件送到C 处．---------------------------------------6分（2）在ABD ∆中，由22211010210103002AD ⎛⎫=+-⋅⋅⋅-= ⎪⎝⎭，得AD =（公里），------------------------------------------------------------8分在BCD ∆中，0105CBD ∠=，由00sin105sin 30CD =，得(51CD =+（公里），-----------------------------------------------------10分由(5160152045.9851.2160++⨯+=+<（分钟）知，汽车能先到达C 处．-----------------------------------------------------------14分。

2018届高中数学·二模汇编 解析几何一、填空题：1、抛物线212x y =的准线方程为_______.2、点1F ，2F 分别是椭圆22:12x C y +=的左、右两焦点，点N 为椭圆C 的上顶点，若动点M 满足： 2122MN MF MF =⋅，则122MF MF +的最大值为________3、设抛物线的焦点坐标为(10)，，则此抛物线的标准方程为 ．4、已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽为8米。

当水面下降1米后，水面的宽为_____米。

5、已知平面直角坐标系xOy 中动点),(y x P 到定点)0,1(的距离等于P 到定直线1-=x 的距离，则点P 的轨迹方程为____________6、抛物线2y x =的焦点坐标是7、已知椭圆2221(0)x y a a+=>的焦点1F 、2F ，抛物线22y x =的焦点为F ，若123F F FF =，则a =8、角α的始边是x 轴正半轴，顶点是曲线2522=+y x 的中心，角α的终边与曲线2522=+y x 的交点A 的横坐标是3-，角α2的终边与曲线2522=+y x 的交点是B ，则过B 点的曲线2522=+y x 的切线方程是 ．（用一般式表示） 9、已知向量a 在向量b 方向上的投影为2-，且3b =，则a b ⋅= ．(结果用数值表示) 10、若双曲线222161(0)3x y p p-=>的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p =11、平面上三条直线x –2y +1=0，x –1=0，x+ky =0，如果这三条直线将平面划分为六个部分，则实数k 的取值组成的集合A =12、已知双曲线C ：22198x y -=，左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 2作一直线与双曲线C 的右半支交于P 、Q 两点，使得∠F 1PQ=90°，则△F 1PQ 的内切圆的半径r =________．13、已知非零向量OP 、OQ 不共线，设OQ m m OP m OM 111+++=，定义点集}|||||{FQ FM FQ FP FM FP F A ⋅=⋅=. 若对于任意的3m ≥，当1F ，2F A ∈且不在直线PQ 上时，不等式||||21PQ k F F ≤恒成立，则实数k 的最小值为14、直线(1)10ax a y +-+=与直线420x ay +-=互相平行，则实数a = 15、椭圆的长轴长等于m ，短轴长等于n ，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为_______.16、已知抛物线2x ay =的准线方程是14y =-，则a = 17、已知向量,a b 的夹角为锐角，且满足8||15a =、4||15b =，若对任意的{}(,)(,)||1,0x y x y xa yb xy ∈+=>，都有||1x y +≤成立，则a b ⋅的最小值为 .18、已知直线12:0,:20l mx y l x my m -=+--=.当m 在实数范围内变化时，1l 与2l 的交点P 恒在一个定圆上，则定圆方程是 .19、双曲线22219x y a -=(0)a >的渐近线方程为320x y ±=，则a = 20、已知向量a 、b 的夹角为60，1a =，2b =，若(2)()a b xa b +⊥-，则实数x 的值为 .21、若平面区域的点(,)x y 满足不等式14x yk +≤(0)k >，且z x y =+的最小值为5-，则常数k = . 22、已知两个不同向量(1,)OA m =，(1,2)OB m =-，若OA AB ⊥，则实数m =_________23、已知曲线29C y x =--：，直线2l y =：，若对于点(0,)A m ，存在C 上的点P 和l 上的点Q ，使得0AP AQ +=，则m 取值范围是二、填空题：24、在Rt ABC ∆中，AB AC =，点M 、N 是线段AC 的三等分点，点P 在线段BC 上运动且满足PC k BC =⋅，当PM PN ⋅取得最小值时，实数k 的值为（ ）.A 12 .B 13 .C 14.D 1825、直线:10l kx y k -++=与圆228x y +=交于A ，B 两点，且42AB =，过点A ，B 分别作l 的垂线与y 轴交于点M ，N ，则MN 等于（ ）.A 22 .B 4 .C 42 .D 826、如图，圆C 分别与x 轴正半轴，y 轴正半轴相切于点,A B ，过劣弧AB 上一点T 作圆C 的切线，分别交x 轴正半轴，y 轴正半轴于点,M N ，若点(2,1)Q 是切线上一点，则MON ∆周长的最小值为 ( ) （A ）10 （B ）8 （C ）45 （D ）1227、已知曲线的参数方程为)50(12322≤≤⎪⎩⎪⎨⎧-=+=t t y t x ，则曲线为 （ ） A ．线段 B ．双曲线的一支 C ．圆弧 D ．射线28、设直线l 的一个方向向量()3,2,6=d ，平面α的一个法向量()0,3,1-=n ，则直线l 与平面α的位置关系是 （ ）A ．垂直B ．平行C ．直线l 在平面α内D ．直线l 在平面α内或平行 29、在给出的下列命题中，是假命题的是(A )设O A B C 、、、是同一平面上的四个不同的点，若(1)(R)OA m OB m OC m =⋅+-⋅∈，则点A B C 、、必共线 (B )若向量a b 和是平面α上的两个不平行的向量，则平面α上的任一向量c 都可以表示为(R)c a b λμμλ=+∈、，且表示方法是唯一的(C )已知平面向量OA OB OC 、、满足||||(0)OA OB OC r r ==>|=|，且0OA OB OC ++=，则ABC ∆是等边三角形(D )在平面α上的所有向量中，不存在这样的四个互不相等的非零向量ab c d 、、、，使得其中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直30、在平面直角坐标系中，定义{}1212(,)max ,d A B x x y y =--为两点11(,)A x y 、22(,)B x y 的“切比雪夫距离”， 又设点P 及l 上任意一点Q ，称(,)d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作(,)d P l ，给出下列三个命题：①对任意三点A 、B 、C ，都有(,)(,)(,)d C A d C B d A B +≥；②已知点(3,1)P 和直线:210l x y --=，则4(,)3d P l =； ③定点1(,0)F c -、2(,0)F c ，动点(,)P x y 满足12(,)(,)2d P F d P F a -=(220)c a >>，则点P 的轨迹与直线y k =（k 为常数）有且仅有2个公共点其中真命题的个数是A ．0B ．1C ．2D ．3OF 2F 1BAxy三、解答题：31、如果直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的“切线”.已知椭圆22:12x C y +=，点(,)M m n 是椭圆C 上的任意一点，直线l 过点M 且是椭圆C 的“切线”.（1）证明：过椭圆C 上的点(,)M m n 的“切线”方程是12mxny +=； （2）设A ，B 是椭圆C 长轴上的两个端点，点(,)M m n 不在坐标轴上，直线MA ，M B 分别交y 轴于点P ，Q ，过M 的椭圆C 的“切线”l 交y 轴于点D ，证明：点D 是线段PQ 的中点；（3）点(,)M mn 不在x 轴上，记椭圆C 的两个焦点分别为1F 和2F ，判断过M 的椭圆C 的“切线”l 与直线1MF ，2MF 所成夹角是否相等？并说明理由．32、已知椭圆2222C 1(0)x y a b a b+=>>：的一个顶点坐标为(2,0)A ，且长轴长是短轴长的两倍．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(1,0)D 且斜率存在的直线交椭圆于G H 、，G 关于x 轴的对称点为G '，求证：直线G H '恒过定点()4,0．33、已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b+=>>，其左、右焦点分别为12F F 、，上顶点为B ，O 为坐标原点，过2F 的直线l 交椭圆Γ于P Q 、两点，13sin 3BFO ∠=. （1）若直线l 垂直于x 轴，求12PF PF 的值；（2）若2b =，直线l 的斜率为12，则椭圆Γ上是否存在一点E ，使得1F E 、关于直线l 成轴对称？如果存在，求出点E 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）设直线1l :6y =上总存在点M 满足2OP OQ OM +=，当b 的取值最小时，求直线l 的倾斜角α.34、已知椭圆Γ：22143x y +=的右焦点为F ，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆Γ交于A (x 1, y 1)、B (x 2, y 2)两点(点A 在x 轴上方)，点A 关于坐标原点的对称点为P ，直线PA 、PB 分别交直线l ：x =4于M 、N 两点，记M 、N 两点的纵坐标分别为y M 、y N ．(1) 求直线PB 的斜率(用k 表示)；(2) 求点M 、N 的纵坐标y M 、y N (用x 1, y 1表示) ，并判断y M ⋅y N 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．1234-1 -2-3-4-1 12 yOPA B MNxF第19题图35、如图，,A B 是椭圆22:12x C y +=长轴的两个端点，,M N 是椭圆上与,A B 均不重合的相异两点，设直线,,AM BN AN 的斜率分别是123,,k k k .(1)求23k k ⋅的值；(2)若直线MN 过点2,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，求证：1316k k ⋅=-； (3)设直线MN 与x 轴的交点为(,0)t (t 为常数且0t ≠)，试探究直线AM 与直线BN 的交点Q 是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．36、已知点1F 、2F 依次为双曲线2222:1x y C a b-=(,0)a b >的左右焦点，126F F =，1(0,)B b -，2(0,)B b ．（1）若5a =，以(3,4)d =-为方向向量的直线l 经过1B ，求2F 到l 的距离； （2）若双曲线C 上存在点P ，使得122PB PB ⋅=-，求实数b 的取值范围．37、已知椭圆222:9(0)x y m m Ω+=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与Ω有两 个交点A 、B ，线段AB 的中点为M ．（1）若3m =，点K 在椭圆Ω上，12,F F 分别为椭圆的两个焦点，求12KF KF ⋅的范围； （2）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （3）若l 过点(,)3mm ，射线OM 与Ω交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．38、已知双曲线22:1C x y -=；(1)求以右焦点为圆心，与双曲线C 的渐近线相切的圆的方程；(2)若经过点(0,1)P -的直线与双曲线C 的右支交于不同两点,M N ，求线段MN 的中垂线l 在y 轴上截距t 的取值范围.39、设复平面上点Z 对应的复数yi x z +=()R y R x ∈∈,（i 为虚数单位）满足622=-++z z ，点Z 的轨迹方程为曲线1C .双曲线2C :122=-ny x 与曲线1C 有共同焦点，倾斜角为4π的直线l 与双曲线2C 的两条渐近线的交点是A 、B ，2=⋅OB OA ，O 为坐标原点. （1）求点Z 的轨迹方程1C ； （2）求直线l 的方程；（3）设PQR ∆的三个顶点在曲线1C 上，求证：当O 是PQR ∆的重心时，PQR ∆的面积是定值．40、在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x y 2212723+=的右焦点为双曲线C ：x y a b22221-= （0a >，0b >）的右顶点，直线x y 210++=与C 的一条渐近线平行． （1）求C 的方程；（2）如图，1F 、2F 为C 的左、右焦点，动点P x y 00()，（y 01≥）在C 的右支上，且F PF 12∠的平分线与x 轴、y 轴分别交于点(0)M m ，（m 55-<<）、N ，试比较m 与2的大小，并说明理由； （3）在（2）的条件下，设过点1F 、N 的直线l 与C 交于D 、E 两点，求ΔF DE 2面积的 最大值．41、 已知椭圆Γ：12222=+by a x （0>>b a ）的焦距为32，点)2,0(P 关于直线x y -=的对称点在椭圆Γ上．（1）求椭圆Γ的方程；（2）如图，过点P 的直线l 与椭圆Γ交于两个不同的点C 、D （点C 在点D 的上方），试求△COD 面积的最大值；（3）若直线m 经过点)0,1(M ，且与椭圆Γ交于两个不同的点A 、B ，是否存在直线0l ：0x x =（其中20>x ），使得A 、B 到直线0l 的距离A d 、B d 满足||||MB MA d d B A =恒成立？若存在 ，求出0x 的值；若不存在，请说明理由．42、已知动点(,)M x y 到点(2,0)F 的距离为1d ，动点(,)M x y 到直线3x =的距离为2d ，且1263d d =. (1)求动点(,)M x y 的轨迹C 的方程； (2)过点F 作直线:(2)(0)l y k x k =-≠交曲线C 于P Q 、两点，若OPQ ∆的面积3OPQ S ∆=(O 是坐标系原点)，求直线l 的方程.MO xy lP CD·M N是东43、某市为改善市民出行，大力发展轨道交通建设.规划中的轨道交通s号线线路示意图如图所示.已知,西方向主干道边两个景点，,P Q是南北方向主干道边两个景点，四个景点距离城市中心O 均为52km，线路AB 段上的任意一点到景点N的距离比到景点M的距离都多10km，线路BC段上的任意一点到O的距离都相等，线路CD段上的任意一点到景点Q的距离比到景点P的距离都多10km，以O为原点建立平面直角坐标系xOy. （1）求轨道交通s号线线路示意图所在曲线的方程；（2）规划中的线路AB段上需建一站点G到景点Q的距离最近，问如何设置站点G的位置？第19题图。

上海市虹口区2018届高三二模数学试卷2018.04一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知(,]A a =-∞，[1,2]B =，且AB ≠∅，则实数a 的范围是2. 直线(1)10ax a y +-+=与直线420x ay +-=互相平行，则实数a =3. 已知(0,)απ∈，3cos 5α=-，则tan()4πα+=4. 长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为α、β、γ，则222cos cos cos αβγ++=5. 已知函数20()210x x x f x x -⎧-≥=⎨-<⎩，则11[(9)]f f ---=6. 从集合{1,1,2,3}-随机取一个为m ，从集合{2,1,1,2}--随机取一个为n ，则方程221x y m n+=表示双曲线的概率为 7. 已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且2a 、4a 、3a 成等差数列，则q = 8. 若将函数6()f x x =表示成23601236()(1)(1)(1)(1)f x a a x a x a x a x =+-+-+-+⋅⋅⋅+-，则3a 的值等于9. 如图，长方体1111ABCD A B C D -的边长11AB AA ==，AD =O ，则A 、1A 这两点的球面距离等于10. 椭圆的长轴长等于m ，短轴长等于n ，则此椭圆的 内接矩形的面积的最大值为11. []x 是不超过x 的最大整数，则方程271(2)[2]044x x -⋅-=满足1x <的所有实数解是 12. 函数()sin f x x =，对于123n x x x x <<<⋅⋅⋅<且12,,,[0,8]n x x x π⋅⋅⋅∈（10n ≥），记1223341|()()||()()||()()||()()|n n M f x f x f x f x f x f x f x f x -=-+-+-+⋅⋅⋅+-，则M的最大值等于二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 下列函数是奇函数的是（ ）A. ()1f x x =+B. ()sin cos f x x x =⋅C. ()arccos f x x =D. 0()0x x f x x x >⎧=⎨-<⎩14. 在Rt ABC ∆中，AB AC =，点M 、N 是线段AC 的三等分点，点P 在线段BC 上运 动且满足PC k BC =⋅，当PM PN ⋅取得最小值时，实数k 的值为（ ） A.12 B. 13 C. 14D. 1815. 直线:10l kx y k -++=与圆228x y +=交于A 、B 两点，且||AB =，过点A 、B 分别作l 的垂线与y 轴交于点M 、N ，则||MN 等于（ ）A.16. 已知数列{}n a 的首项1a a =，且04a <≤，14464n n n n n a a a a a +->⎧=⎨-≤⎩，n S 是此数列的前n项和，则以下结论正确的是（ ）A. 不存在a 和n 使得2015n S =B. 不存在a 和n 使得2016n S =C. 不存在a 和n 使得2017n S =D. 不存在a 和n 使得2018n S =三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，1AB AC ==，2BAC π∠=，高等于3，点1M 、2M 、1N 、2N 为所在线段的三等分点. （1）求此三棱柱的体积和三棱锥112A AM N -的体积； （2）求异面直线12A N 、1AM 所成的角的大小.18. 已知ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，cos sin z A i A =+⋅（i 是 虚数单位）是方程210z z -+=的根，3a =. （1）若4B π=，求边长c 的值；（2）求ABC ∆面积的最大值.19. 平面内的“向量列” {}n a ，如果对于任意的正整数n ，均有1n n a a d +-=，则称此“向量列”为“等差向量列”， d 称为“公差向量”，平面内的“向量列” {}n b ，如果对于任意的正整数n ，均有1n n b q b +=⋅（0q ≠），则称此“向量列”为“等比向量列”，常数q 称为“公比”.（1）如果“向量列” {}n a 是“等差向量列”，用1a 和“公差向量” d 表示12n a a a ++⋅⋅⋅+； （2）已知{}n a 是“等差向量列”，“公差向量” (3,0)d =，1(1,1)a =，(,)n n n a x y =，{}n b 是“等比向量列”，“公比” 2q =，1(1,3)b =，(,)n n n b m k =，求1122n n a b a b a b ⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅.20. 如果直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的“切线”，已知椭圆22:12x C y +=，点(,)M m n 是椭圆C 上的任意一点，直线l 过点M 且是椭圆C 的“切线”. （1）证明：过椭圆C 上的点(,)M m n 的“切线”方程是12mxny +=； （2）设A 、B 是椭圆C 长轴上的两个端点，点(,)M m n 不在坐标轴上，直线MA 、MB 分别交y 轴于点P 、Q ，过M 的椭圆C 的“切线” l 交y 轴于点D ，证明：点D 是线段PQ 的中点；（3）点(,)M mn 不在x 轴上，记椭圆C 的两个焦点分别为1F 和2F ，判断过M 的椭圆C 的“切线” l 与直线1MF 、2MF 所成夹角是否相等？并说明理由.21. 已知函数3()f x ax x a =+-（a ∈R ，x ∈R ），3()1xg x x=-（x ∈R ）.（1）如果2x =x 的不等式()0f x ≤的解，求实数a 的取值范围；（2）判断()g x 在(-和的单调性，并说明理由； （3）证明：函数()f x 存在零点q ，使得4732n a q q q q -=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅成立的充要条件是3a ≥.上海市虹口区2018届高三二模数学试卷2018.04一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知(,]A a =-∞，[1,2]B =，且A B ≠∅，则实数a 的范围是【解析】画数轴，1a ≥2. 直线(1)10ax a y +-+=与直线420x ay +-=互相平行，则实数a = 【解析】由24(1)02a a a --=⇒=3. 已知(0,)απ∈，3cos 5α=-，则tan()4πα+=【解析】4tan 3α=-，∴1tan()47πα+=- 4. 长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为α、β、γ，则222cos cos cos αβγ++=【解析】设三边为a 、b 、c ，对角线为d ，∴2222a b c d ++=2222cos a b d α+=，2222cos b c d β+=，2222cos c a dγ+=，∴222cos cos cos 2αβγ++= 也可取正方体的特殊情况去求5. 已知函数20()210x x x f x x -⎧-≥=⎨-<⎩，则11[(9)]f f ---=【解析】120()log (1),0x f x x x -≤=-+>⎪⎩，1(9)3f --=，111[(9)](3)2f f f ----==-6. 从集合{1,1,2,3}-随机取一个为m ，从集合{2,1,1,2}--随机取一个为n ，则方程221x y m n+=表示双曲线的概率为 【解析】32121442⨯+⨯=⨯7. 已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且2a 、4a 、3a 成等差数列，则q = 【解析】22342210a a a q q +=⇒--=，∴1q =或12q =-8. 若将函数6()f x x =表示成23601236()(1)(1)(1)(1)f x a a x a x a x a x =+-+-+-+⋅⋅⋅+-，则3a 的值等于【解析】66[(1)1]x x =-+，33620a C == 9. 如图，长方体1111ABCD A B C D -的边长11AB AA ==，AD =O ，则A 、1A 这两点的球面距离等于【解析】外接球半径为1，3πα=，球面距离为3π10. 椭圆的长轴长等于m ，短轴长等于n ，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为 【解析】根据本公众号“上海初高中数学”2018年3月28日推文中的性质，最大值为2mn11. []x 是不超过x 的最大整数，则方程271(2)[2]044x x -⋅-=满足1x <的所有实数解是 【解析】当01x ≤<，[2]1x =，∴21(2)22x x =⇒=；当0x <，[2]0x =，21(2)4x =， ∴1x =-，∴满足条件的所有实数解为0.5x =或1x =-12. 函数()sin f x x =，对于123n x x x x <<<⋅⋅⋅<且12,,,[0,8]n x x x π⋅⋅⋅∈（10n ≥），记1223341|()()||()()||()()||()()|n n M f x f x f x f x f x f x f x f x -=-+-+-+⋅⋅⋅+-，则M的最大值等于【解析】在[0,8]π有4个周期，最大值为4416⨯=二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 下列函数是奇函数的是（ ）A. ()1f x x =+B. ()sin cos f x x x =⋅C. ()arccos f x x =D. 0()0x x f x x x >⎧=⎨-<⎩【解析】由()()f x f x -=-，选B14. 在Rt ABC ∆中，AB AC =，点M 、N 是线段AC 的三等分点，点P 在线段BC 上运 动且满足PC k BC =⋅，当PM PN ⋅取得最小值时，实数k 的值为（ ） A.12 B. 13 C. 14D. 18【解析】建系，设(,3)P x x -，(1,0)M ，(2,0)N ，22911PM PN x x ⋅=-+，[0,3]x ∈，∴94x =时取到最小值，此时14PC k BC ==，选C15. 直线:10l kx y k -++=与圆228x y +=交于A 、B 两点，且||AB =，过点A 、B 分别作l 的垂线与y 轴交于点M 、N ，则||MN 等于（ ）A.【解析】AB 长为直径，∴:10l kx y k -++=经过原点，1k =-，8MN ==，选D 16. 已知数列{}n a 的首项1a a =，且04a <≤，14464n n n n n a a a a a +->⎧=⎨-≤⎩，n S 是此数列的前n项和，则以下结论正确的是（ ）A. 不存在a 和n 使得2015n S =B. 不存在a 和n 使得2016n S =C. 不存在a 和n 使得2017n S =D. 不存在a 和n 使得2018n S =【解析】令11a =，则所有奇数项都为1，偶数项都为5，排除B 、C ；令12a =，则所有奇数项都为2，偶数项都为4，排除D ，故选A.三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，1AB AC ==，2BAC π∠=，高等于3，点1M 、2M 、1N 、2N 为所在线段的三等分点. （1）求此三棱柱的体积和三棱锥112A AM N -的体积； （2）求异面直线12A N 、1AM 所成的角的大小. 【解析】（1）13322V =⨯=；1121121311322A AM N M A AN V V --==⨯⨯=（2）相当于正方体同一顶点的面对角线所成的角，为3π18. 已知ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，cos sin z A i A =+⋅（i 是 虚数单位）是方程210z z -+=的根，3a =. （1）若4B π=，求边长c 的值；（2）求ABC ∆面积的最大值.【解析】（1）解为12，∴3A π=，由正弦定理b =c =（2）画出△ABC 的外接圆可知，3AB AC ==.19. 平面内的“向量列” {}n a ，如果对于任意的正整数n ，均有1n n a a d +-=，则称此“向量列”为“等差向量列”， d 称为“公差向量”，平面内的“向量列” {}n b ，如果对于任意的正整数n ，均有1n n b q b +=⋅（0q ≠），则称此“向量列”为“等比向量列”，常数q 称为“公比”.（1）如果“向量列” {}n a 是“等差向量列”，用1a 和“公差向量” d 表示12n a a a ++⋅⋅⋅+； （2）已知{}n a 是“等差向量列”，“公差向量” (3,0)d =，1(1,1)a =，(,)n n n a x y =，{}n b 是“等比向量列”，“公比” 2q =，1(1,3)b =，(,)n n n b m k =，求1122n n a b a b a b ⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅. 【解析】（1）121(1)2n n n a a a na d -++⋅⋅⋅+=+； （2）111(32,1)(2,32)(31)2n n n n n a b n n ---⋅=-⋅⋅=+⋅u u r u r，错位相减求和为(32)22n n -⋅+20. 如果直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的“切线”，已知椭圆22:12x C y +=，点(,)M m n 是椭圆C 上的任意一点，直线l 过点M 且是椭圆C 的“切线”. （1）证明：过椭圆C 上的点(,)M m n 的“切线”方程是12mxny +=； （2）设A 、B 是椭圆C 长轴上的两个端点，点(,)M m n 不在坐标轴上，直线MA 、MB 分别交y 轴于点P 、Q ，过M 的椭圆C 的“切线” l 交y 轴于点D ，证明：点D 是线段PQ 的中点；（3）点(,)M mn 不在x 轴上，记椭圆C 的两个焦点分别为1F 和2F ，判断过M 的椭圆C 的“切线” l 与直线1MF 、2MF 所成夹角是否相等？并说明理由. 【解析】（1）设直线()y k x m n =-+， 联立椭圆，0∆=，可证结论； （2）:MA l y x =+，∴P y =，同理Q y =，1D y n =24222P Q D n y y y m n-+===-，即点D 是线段PQ 的中点（3）相等，11MF n k m =+，21MF n k m =-，2mk n-=切，由夹角公式 1111tan ||1MF MF k k k k n θ-==+切切，2221tan ||1MF MF k k k k nθ-==+切切，所以所成夹角相等.21. 已知函数3()f x ax x a =+-（a ∈R ，x ∈R ），3()1xg x x=-（x ∈R ）. （1）如果2x =x 的不等式()0f x ≤的解，求实数a 的取值范围；（2）判断()g x在(1,2-和[2的单调性，并说明理由； （3）证明：函数()f x 存在零点q ，使得4732n a q q q q -=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅成立的充要条件是3a ≥.【解析】（1）(023f a ≤⇒≥； （2）根据单调性定义分析，在(1,2-上递减，在[2上递增； （3）“函数()f x 存在零点q ，使得4732n a q q q q-=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅成立”说明 473231n qa q q q q q-==+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅-成立，根据无穷等比数列相关性质，(1,1)q ∈-， 结合第（2）问，31qa q =-在(-上递减，在上递增，∴min 3()1q a g q ≥==-，反之亦然.。

2018年二模汇编——函数专题一、知识梳理【知识点1】函数的概念与函数三要素【例1】若函数()f x 的定义域是[]1,4，求函数()2f x +的定义域 .【答案】[]12,-.【解析】124x ≤+≤，12x -≤≤.【点评】考察抽象函数的定义域.【例2】对于函数bx ax x f +=2)(，其中0>b ，若)(x f 的定义域与值域相同，则非零实数a 的值为_____________．【答案】4-. 【解析】由题意可求定义域为0b ,a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，所以值域也是0b ,a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，即2y ax bx =+在0b ,a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为0b ,a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，所以2224b b a a -=，解得4a =-. 【点评】考察函数三要素.【知识点2】函数的奇偶性【例1】已知椭圆191622=+y x 及以下3个函数：①x x f =)(；②x x f sin )(=；③x x x f sin )(=，其中函数图像能等分该椭圆面积的函数个数有 （ ）．A .0个.B 1个 C .2个 D .3个【答案】C . 【点评】考察函数的奇偶性.【例2】已知函数[)22sin(),0(),0,23cos(),0x x x f x x x x παπα⎧++>⎪=∈⎨⎪-++<⎩是奇函数，则α= ． 【答案】76π.【解析】当0x >时，0x -<，此时()()2f x x cos x α-=-+-+，因为函数是奇函数，所以可得，()223x cos x x sin x πα⎛⎫-+-+=--+ ⎪⎝⎭，由诱导公式易得，76πα=. 【点评】函数的奇偶性，已知函数为奇函数求参数的值.【知识点3】函数的单调性【例1】已知函数())2017201720172x x f x log x -=+-+，则关于x 的不等式()()314f x f x ++>的解集为 . 【答案】14,⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 【解析】由题意可得函数为R 上的单调递增函数且()()4f x f x +-=，可得()()31f x f x +>-，即31x x +>-，14x >-. 【点评】根据函数单调性解不等式.【例2】若函数3 (0),() 1 (0)x x a x f x a x -+<⎧=⎨+≥⎩(a >0,且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范围是 ． 【答案】2[ 1)3，.【解析】由0132a a <<⎧⎨≥⎩解得213a ≤<. 【点评】考察函数单调性的定义.【知识点4】函数的最值与恒成立有解问题【例1】 设0>a ，若对于任意的0>x ，都有x xa 211≤-，则a 的取值范围是________． 【答案】⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,42. 【解析】112x a x <+，即112min x a x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，所以1a<，a >. 【点评】不等式恒成立问题.【例2】设0<a ，若不等式01cos )1(sin 22≥-+-+a x a x 对于任意的R ∈x 恒成立，则a 的取值范围 是 .【答案】2-≤a .【解析】令[]11cos x t,t ,=∈-，可得()2210t a t a ---≤，即()221y t a t a =---在[]11,-上的最大值小于等于0，对称轴为102a t -=<，所以()211max y a a =---，即()2110a a ---≤，2-≤a . 【点评】二次函数的最值问题.【知识点5】函数的零点【例1】函数21()(2)1x x f x x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，如果方程()f x b =有四个不同的实数解1x 、2x 、3x 、4x ，则1234x x x x +++= ．【答案】4.【解析】由函数的图像特征可得：120x x +=，344x x +=，所以12344x x x x +++=.【点评】从图像角度解决零点问题.【例2】若函数()2()1xf x x a =+-在区间[]0,1上有零点，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【解析】令()0f x =，可得12x x a =+，函数有零点即两个函数图像有交点，从图上即可得出112a -≤≤. 【点评】考察函数零点的存在性问题.【知识点6】函数的对称性和周期性【例1】若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且满足()()2f x f x +=-，则=)2016(f .【答案】0.【解析】由()()2f x f x +=-可得函数周期为4，所以()()20160f f =.【点评】考察周期对函数值的影响.【例2】已知定义在R 上的函数()f x 满足：①()()20f x f x +-=；②()()20f x f x ---=；③在[]1,1-上的表达式为()[](]1,01,0,1x f x x x ∈-=-∈⎪⎩，则函数()f x 与函数()122,0log ,0x x g x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩的图像在区间[]3,3-上的交点的个数为____________．【答案】6.【解析】由()()20f x f x +-=可得，函数图像关于()10,；由()()20f x f x ---=可得，函数图像关于直线1x =-对称，根据函数在[]11,-上的图像可将函数图像补充完整，从图像的交点个数得出答案.【点评】考察函数的对称性对图像的影响.【知识点7】反函数【例1】若函数1()42x x f x +=+的图像与函数()y g x =的图像关于直线y x =对称，则(3)g = ．【答案】0.【解析】令()3f x =，可得21x =，0x =，即()30g =.【点评】考察求函数的反函数.【例2】已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意x R ∈，都有(4)()f x f x +=，当[]4,6x ∈的时候，()21x f x =+，()f x 在区间[]2,0-上的反函数为1()f x -，则1(19)f -= ． 【答案】28log 9.【解析】当[]02x ,∈时，()()4421x f x f x +=+=+；当[]20x ,∈-时，根据偶函数的性质，()()421x f x f x -+=-=+；根据反函数相关性质，即42119x -++=，解得2323x log =-，所以()1219323f log -=-.【点评】考察反函数与原函数的关系.【知识点8】幂指对方程【例1】方程()3log 212x +=的解是 ．【答案】4x =.【解析】219x +=，4x =.【点评】考察解指对数方程.【例2】方程22log (97)2log (31)x x +=++的解为 .【答案】{}0,1.【解析】()()4497434x x log log +=⨯+，97434x x +=⨯+，解得31x =或33x =，即0x =或1x =.【点评】考察解指对数方程.【知识点9】新定义【例1】设R ∈x ，用][x 表示不超过x 的最大整数（如2]32.2[=，5]76.4[-=-），对于给定的*N ∈n ，定义)1][()1()1][()1(+--+--=x x x x x n n n C x n ，其中),1[∞+∈x ，则当⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈3,23x 时，函数x C x f 10)(=的值域是____________________． 【答案】(]45,15320,5 ⎥⎦⎤ ⎝⎛. 【解析】看到取整函数可分段讨论： 1当⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈2,23x 时，[]1=x ，故()xx f 10=在定义域内单调递减，故值域为⎥⎦⎤ ⎝⎛320,5，； 2当[)3,2∈x 时，[]2=x ，故()()1910-⨯=x x x f 在定义域内单调递减，故值域为(]45,15。

2018年上海市普陀区高考数学二模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）抛物线x2＝12y的准线方程为2．（4分）若函数f（x）＝是奇函数，则实数m＝3．（4分）若函数f（x）＝的反函数为g（x），则函数g（x）的零点为4．（4分）书架上有上、中、下三册的《白话史记》和上、下两册的《古诗文鉴赏辞典》，现将这五本书从左到右摆放在一起，则中间位置摆放中册《白话史记》的不同摆放种数为（结果用数值表示）5．（4分）在锐角三角形△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（b2+c2﹣a2）tan A ＝bc，则角A的大小为6．（4分）若（x3﹣）n的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为7．（5分）某单位有两辆车参加某种事故保险，对在当年内发生此种事故的每辆车，单位均可获赔（每辆车最多只获一次赔偿），设这两辆车在一年内发生此种事故的概率分别为和，且各车是否发生事故相互独立，则一年内该单位在此种保险中获赔的概率为（结果用最简分数表示）8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），椭圆C的参数方程为（θ为参数），则直线l与椭圆C的公共点坐标为9．（5分）设函数f（x）＝log m x（m＞0且m≠1），若m是等比数列{a n}（n∈N*）的公比，且f（a2a4a6..a2018）＝7，则f（）+f（）+f（）+…f（）的值为10．（5分）设变量x、y满足条件，若该条件表示的平面区域是三角形，则实数m的取值范围是11．（5分）设M＝{y|y＝（）x，x∈R}，N＝{y|y＝（+1）（x﹣1）+（|m|﹣1）（x﹣2），1≤x≤2}，若N⊆M，则实数m的取值范围是12．（5分）点F1、F2分别是椭圆C：的左、右焦点，点N为椭圆C的上顶点，若动点M满足：||2＝2，则||的最大值为二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）已知i为虚数单位，若复数（a+i）2i为正实数，则实数a的值为（）A．2B．1C．0D．﹣114．（5分）如图所示的几何体，其表面积为（5+）π，下部圆柱的底面直径与该圆柱的高相等，上部圆锥的母线长为，则该几何体的主视图的面积为（）A．4B．6C．8D．1015．（5分）设S n是无穷等差数列{a n}前n项和（n∈N*），则“S n存在”是“该数列公差d＝0”的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．充分必要D．既非充分也非必要16．（5分）已知k∈N*，x，y，z∈R+，若k（xy+yz+zx）＞5（x2+y2+z2），则对此不等式描述正确的是（）A．若k＝5，则至少存在一个以x、y、z为边长的等边三角形B．若k＝6，则对任意满足不等式的x、y、z，都存在以x、y、z为边长的三角形C．若k＝7，则对任意满足不等式的x、y、z，都存在以x、y、z为边长的三角形D．若k＝8，则对满足不等式的x、y、z，不存在以x、y、z为边长的直角三角形三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）如图所示的正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，侧棱AA1＝2，点E 在棱CC1上，且＝（λ＞0）．（1）当时，求三棱锥D1＝EBC的体积；（2）当异面直线BE与D1C所成角的大小为arccos时，求λ的值．18．（14分）已知函数f（x）＝sin x cos x+sin2x，x∈R．（1）若函数f（x）在区间[a，]上递增，求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）的图象关于点Q（x1，y1）对称，且x1∈[﹣]，求点Q的坐标．19．（14分）某市为改善市民出行，大力发展轨道交通建设，规划中的轨道交通s号线线路示意图如图所示，已知M、N是东西方向主干道边两个景点，P、Q是南北方向主干道边两个景点，四个景点距离城市中心O均为5，线路AB段上的任意一点到景点N的距离比到景点M的距离都多10km，线路BC段上的任意一点到O的距离都相等，线路CD段上的任意一点到景点Q的距离比到景点P的距离都多10km，以O为原点建立平面直角坐标系xOy．（1）求轨道交通s号线线路示意图所在曲线的方程；（2）规划中的线路AB段上需建一站点G到景点Q的距离最近，问如何设置站点G的位置？20．（16分）定义在R上的函数f（x）满足：对任意的实数x，存在非零常数t，都有f（x+t）＝﹣tf（x）成立．（1）若函数f（x）＝kx+3，求实数k和t的值；（2）当t＝2时，若x∈[0，2]，f（x）＝x（2﹣x），求函数f（x）在闭区间[﹣2，6]上的值域；（3）设函数f（x）的值域为[﹣a，a]，证明：函数f（x）为周期函数．21．（18分）若数列{a n}同时满足条件：①存在互异的p，q∈N*使得a p＝a q＝c（c为常数）；②当n≠p且n≠q时，对任意n∈N*都有a n＞c，则称数列{a n}为双底数列．（1）判断以下数列{a n}是否为双底数列（只需写出结论不必证明）：①a n＝n；②a n＝sin；③a n＝|（n﹣3）（n﹣5）|；（2）设a n＝，若数列{a n}是双底数列，求实数m的值以及数列{a n}的前n项和S n；（3）设a n＝（kn+3）（）n，是否存在整数k，使得数列{a n}为双底数列？若存在，求出所有的k的值，若不存在，请说明理由．2018年上海市普陀区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）抛物线x2＝12y的准线方程为y＝﹣3【解答】解：抛物线x2＝12y的准线方程为：y＝﹣3．故答案为：y＝﹣3．2．（4分）若函数f（x）＝是奇函数，则实数m＝【解答】解：f（x）是奇函数；∴f（﹣x）＝﹣f（x）；即；∴﹣x﹣2m+1＝﹣x+2m﹣1；∴﹣2m+1＝2m﹣1；∴．故答案为：．3．（4分）若函数f（x）＝的反函数为g（x），则函数g（x）的零点为【解答】解：根据题意，函数f（x）＝，则f（0）＝，若函数f（x）＝的反函数为g（x），则g（）＝0，则函数g（x）的零点为；故答案为：．4．（4分）书架上有上、中、下三册的《白话史记》和上、下两册的《古诗文鉴赏辞典》，现将这五本书从左到右摆放在一起，则中间位置摆放中册《白话史记》的不同摆放种数为24（结果用数值表示）【解答】解：根据题意，在中间位置摆放中册《白话史记》，将上、下册的《白话史记》和上、下两册的《古诗文鉴赏辞典》全排列，安排在两边的4个位置，有A44＝24种排法；故答案为：24．5．（4分）在锐角三角形△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（b2+c2﹣a2）tan A＝bc，则角A的大小为【解答】解：∵（b2+c2﹣a2）tan A＝bc，∴由余弦定理可得：2bc cos A•tan A＝bc，可得：sin A＝，∵A为锐角，∴A＝．故答案为：．6．（4分）若（x3﹣）n的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为5【解答】解：（x3﹣）n的展开式的通项为＝．取3n﹣5r＝0，得n＝，∴当r＝3时，n为最小正整数5．故答案为：5．7．（5分）某单位有两辆车参加某种事故保险，对在当年内发生此种事故的每辆车，单位均可获赔（每辆车最多只获一次赔偿），设这两辆车在一年内发生此种事故的概率分别为和，且各车是否发生事故相互独立，则一年内该单位在此种保险中获赔的概率为（结果用最简分数表示）【解答】解：某单位有两辆车参加某种事故保险，对在当年内发生此种事故的每辆车，单位均可获赔（每辆车最多只获一次赔偿），设这两辆车在一年内发生此种事故的概率分别为和，且各车是否发生事故相互独立，则一年内该单位在此种保险中获赔的概率为p＝1﹣＝．故答案为：．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），椭圆C的参数方程为（θ为参数），则直线l与椭圆C的公共点坐标为【解答】解：直线l的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为：x＝2y﹣．椭圆C的参数方程为（θ为参数），转换为直角坐标方程为：x2+4y2＝1，则：，解得：，故公共点的坐标为：，故答案为：．9．（5分）设函数f（x）＝log m x（m＞0且m≠1），若m是等比数列{a n}（n∈N*）的公比，且f（a2a4a6..a2018）＝7，则f（）+f（）+f（）+…f（）的值为﹣1990【解答】解：函数f（x）＝log m x（m＞0且m≠1），若m是等比数列{a n}（n∈N*）的公比，且f（a2a4a6..a2018）＝7，则f（）+f（）+f（）+…f（）＝log m（）+log m（）+log m（）+…+log m（）＝2log m（a1a3...a2017）+2log m（a2a4 (2018)＝2log m+2×7＝2（7﹣1009）+14＝﹣1990．故答案为：﹣1990．10．（5分）设变量x、y满足条件，若该条件表示的平面区域是三角形，则实数m的取值范围是（0，1]∪[，+∞）【解答】解：画出不等式组表示的平面区域，如图所示；显然当0＜m≤1时，不等式组表示的区域为三角形；当直线x+y＝m经过可行域的B时，可行域是三角形OAB，由可得：B（，）．则m＝x+y＝，∴满足条件的点P（x，y）表示的平面区域为一个三角形，m的取值范围是：（0，1]∪[，+∞）．故答案为：（0，1]∪[，+∞）．11．（5分）设M＝{y|y＝（）x，x∈R}，N＝{y|y＝（+1）（x﹣1）+（|m|﹣1）（x﹣2），1≤x≤2}，若N⊆M，则实数m的取值范围是（﹣1，0）【解答】解：∵M＝{y|y＝（）x，x∈R}＝{y|y＞0}，N＝{y|y＝（+1）（x﹣1）+（|m|﹣1）（x﹣2），1≤x≤2}，N⊆M，∴，解得﹣1＜m＜0，∴实数m的取值范围为（﹣1，0）．故答案为：（﹣1，0）．12．（5分）点F1、F2分别是椭圆C：的左、右焦点，点N为椭圆C的上顶点，若动点M满足：||2＝2，则||的最大值为6+【解答】解：由题意可知：F1（﹣1，0），F2（1，0），N（0，1），设M（x0，y0），由||2＝2，则x02+（y0﹣1）2＝2x02﹣2+2y02，整理得：x02+（y0+1）2＝4，设，|＝（2cosα﹣1，2sinα﹣1），＝（2cosα+1，2sinα﹣1），则＝（6cosα+1，6sinα﹣3），则||＝＝＝≤＝6+，∴||的最大值为6+，故答案为：6+．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）已知i为虚数单位，若复数（a+i）2i为正实数，则实数a的值为（）A．2B．1C．0D．﹣1【解答】解：∵（a+i）2i＝（a2﹣1+2ai）i＝﹣2a+（a2﹣1）i为正实数，∴，解得a＝﹣1．故选：D．14．（5分）如图所示的几何体，其表面积为（5+）π，下部圆柱的底面直径与该圆柱的高相等，上部圆锥的母线长为，则该几何体的主视图的面积为（）A．4B．6C．8D．10【解答】解：由题意设圆锥的底面半径为R，则：几何体，其表面积为（5+）π，上部圆锥的母线长为，可得：＝（5+）π，解得：R＝1．则该几何体的主视图的面积为：2×2+＝6．故选：B．15．（5分）设S n是无穷等差数列{a n}前n项和（n∈N*），则“S n存在”是“该数列公差d＝0”的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．充分必要D．既非充分也非必要【解答】解：等差数列的前n项和公式为S n＝na1+d＝n2+（a1+）n，若S n存在，则＝0且a1+＝0，即d＝0，a1＝0，则充分性成立，若d＝0，a 1≠0，则S n＝na1，则S n不存在，即“S n存在”是“该数列公差d＝0”的充分不必要条件，故选：A．16．（5分）已知k∈N*，x，y，z∈R+，若k（xy+yz+zx）＞5（x2+y2+z2），则对此不等式描述正确的是（）A．若k＝5，则至少存在一个以x、y、z为边长的等边三角形B．若k＝6，则对任意满足不等式的x、y、z，都存在以x、y、z为边长的三角形C．若k＝7，则对任意满足不等式的x、y、z，都存在以x、y、z为边长的三角形D．若k＝8，则对满足不等式的x、y、z，不存在以x、y、z为边长的直角三角形【解答】解：对于A，由不等式：x，y，z∈R，x2+y2+z2≥xy+yz+zx，排除A；对于C，对x＝1，y＝2，z＝3，得：7（2+3+6）＞5（12+22+32），不等式成立，但是不能构成三角形，排除C；对于D，k＝8时，取x＝3，y＝4，z＝5，8（12+15+20）＝376＞5（32+42+52）＝250，不等式成立，且存在以3，4，5为边长的直角三角形，排除D．故选：B．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）如图所示的正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，侧棱AA1＝2，点E 在棱CC1上，且＝（λ＞0）．（1）当时，求三棱锥D1＝EBC的体积；（2）当异面直线BE与D1C所成角的大小为arccos时，求λ的值．【解答】解：（1）∵AA1＝2，＝，∴当时，CE＝1．∴三棱锥D1﹣EBC的体积V＝；（2）以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则C（0，1，0），D1（0，0，2），B（1，1，0），C1＝（0，1，2），则，＝（﹣1，0，0）+（0，0，2λ）＝（﹣1，0，2λ），∵异面直线BE与D1C所成角的大小为arccos，∴|cos＜，＞|＝||＝||＝．解得：λ＝（λ＞0）．18．（14分）已知函数f（x）＝sin x cos x+sin2x，x∈R．（1）若函数f（x）在区间[a，]上递增，求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）的图象关于点Q（x1，y1）对称，且x1∈[﹣]，求点Q的坐标．【解答】解：函数f（x）＝sin x cos x+sin2x＝sin2x﹣cos2x+＝sin（2x﹣）令，得上是单调递增；∵函数f（x）在区间[a，]上递增，∴即实数a的取值范围是[，）；（2）函数f（x）的图象关于点Q（x1，y1）对称，且x1∈[﹣]，则2x﹣∈[，]Q在函数图象上，且是一个零点．可得2x﹣＝0，即x＝∴点Q的坐标为（，）．19．（14分）某市为改善市民出行，大力发展轨道交通建设，规划中的轨道交通s号线线路示意图如图所示，已知M、N是东西方向主干道边两个景点，P、Q是南北方向主干道边两个景点，四个景点距离城市中心O均为5，线路AB段上的任意一点到景点N的距离比到景点M的距离都多10km，线路BC段上的任意一点到O的距离都相等，线路CD段上的任意一点到景点Q的距离比到景点P的距离都多10km，以O为原点建立平面直角坐标系xOy．（1）求轨道交通s号线线路示意图所在曲线的方程；（2）规划中的线路AB段上需建一站点G到景点Q的距离最近，问如何设置站点G的位置？【解答】解：（1）∵线路AB段上的任意一点到景点N的距离比到景点M的距离都多10km，∴线路AB的轨迹为以MN为焦点的双曲线的一部分，设双曲线方程为＝1，则，∴a＝5，b＝5．∴线路AB的方程是：﹣＝1（x≤﹣5，y≥0），同理可得线路CD的方程为：﹣＝1（x≥0，y≤﹣5）．故而B（﹣5，0），∵线路BC段上的任意一点到O的距离都相等，∴线路BC的方程为：x2+y2＝25（﹣5≤x≤0，﹣5≤y≤0）．（2）Q（0，5），设G（x，y），则x2﹣y2＝25，∴GQ2＝x2+（y﹣5）2＝2y2﹣10y+75＝2（y﹣）2﹣25，∴当y＝时，GQ最小，代入双曲线方程可得x＝﹣，∴G（﹣，）．20．（16分）定义在R上的函数f（x）满足：对任意的实数x，存在非零常数t，都有f（x+t）＝﹣tf（x）成立．（1）若函数f（x）＝kx+3，求实数k和t的值；（2）当t＝2时，若x∈[0，2]，f（x）＝x（2﹣x），求函数f（x）在闭区间[﹣2，6]上的值域；（3）设函数f（x）的值域为[﹣a，a]，证明：函数f（x）为周期函数．【解答】解：（1）对任意的实数x，存在非零常数t，都有f（x+t）＝﹣tf（x）成立，可得k（x+t）+3＝﹣t（kx+3），即有kt+k＝0，kt+3t+3＝0，解得k＝0，t＝﹣1；（2）f（x+2）＝﹣2f（x），若x∈[0，2]，f（x）＝x（2﹣x）＝﹣（x﹣1）2+1，作出函数f（x）在闭区间[﹣2，6]上的图象，由图象可知f（3）＝﹣2最小，f（5）＝4最大，可得值域[﹣2，4]；（3）证明：定义在R上的函数f（x）满足对任意的实数x，存在非零常数t，都有f（x+t）＝﹣tf（x）成立，当t＝﹣1时，f（x﹣1）＝f（x），即f（x+1）＝f（x），f（x）为最小正周期是1的函数，且满足函数f（x）的值域为[﹣a，a]；当t＝1时，f（x+1）＝﹣f（x），可得f（x+2）＝﹣f（x+1）＝f（x），f（x）为最小正周期是2的函数，且满足函数f（x）的值域为[﹣a，a]；当t≠1且t≠﹣1时，由f（x+t）＝﹣tf（x），可得f（x）的值域不满足数f（x）的值域为[﹣a，a]，当函数f（x）的值域为[﹣a，a]，函数f（x）为周期函数．21．（18分）若数列{a n}同时满足条件：①存在互异的p，q∈N*使得a p＝a q＝c（c为常数）；②当n≠p且n≠q时，对任意n∈N*都有a n＞c，则称数列{a n}为双底数列．（1）判断以下数列{a n}是否为双底数列（只需写出结论不必证明）：①a n＝n；②a n＝sin；③a n＝|（n﹣3）（n﹣5）|；（2）设a n＝，若数列{a n}是双底数列，求实数m的值以及数列{a n}的前n项和S n；（3）设a n＝（kn+3）（）n，是否存在整数k，使得数列{a n}为双底数列？若存在，求出所有的k的值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）在①中，a n＝n是双底数列；在②中，a n＝sin不是双底数列；在③中，a n＝|（n﹣3）（n﹣5）|是双底数列．（2）∵a n＝，数列{a n}是双底数列，∴a50＝a51，即101﹣100＝251﹣5+m＝2+m，解得m＝﹣1，当1≤n≤50时，a n＝101﹣2n，{a n}是首项为a1＝99，公差d＝2的等差数列，∴S n＝99n+＝100n﹣n2；当n≥51时，，S n＝2n﹣49﹣n+2548．（3）a n＝（kn+3）（）n，假设存在整数k，使得数列{a n}为双底数列，根据题意，k＜0，由a n＝a n+1，得（kn+3）•（）n＝[k（n+1）+3]•（）n+1，整理，得n＝9﹣，∵k∈Z，∴k＝﹣1或k＝﹣3．。

三角比与三角函数(2017春4)若1cos 3α=，则sin 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________答案：3π-（2015年理16）已知点A 的坐标为()，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为（ ）AB C 、112 D 、132答案：D（2013理11）若1c o s c o ss i n s i n 2x y x y +=，2sin 2sin 23x y +=，则s i n (x y += . 答案：23（2013文9）若1cos cos sin sin 3x y x y +=，则cos(22)x y -= ． 答案：7-答案：（1）,2ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭；（2）（2016理9）已知ABC ∆的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_______答案：3（2013理4）已知ABC ∆的内角A B C 、、所对的边分别是a b c 、、．若22232330a ab b c ++-=，则角C 的大小是 .（结果用反三角函数值表示）． 答案：1arccos 3π-（2017秋18）已知),0(,21sin cos )(22π∈+-=x x x x f ； （1）求)(x f 的单调递增区间；（2）锐角三角形ABC ∆中，5,19,0)(===b a A f ，求ABC ∆的面积ABC S ∆；（2010理18）某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为111,,13115，则此人能（ ）A ．不能作出这样的三角形.B ．做出一个锐角三角形.C ．作出一个直角三角形.D ．做出一个钝角三角形.答案：D（2014年高考21如图，某公司要在A B 、两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D 为顶端，AC 长35米，CB 长80米，设A B 、在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为βα和.（1）设计中CD 是铅垂方向，若要求βα2≥，问CD 的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后.CD 与铅垂方向有偏差，现在实测得，， 45.1812.38==βα求CD 的长（结果精确到0.01米）？答案：（1）记CD h =．根据已知得tan tan 20αβ≥>，tan 35h α=，tan 80hβ=， 所以2280035180hh h ⨯≥>⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得28.28h ≤≈．因此，CD 的长至多约为28.28米． （2）在ABD ∆中，由已知，56.57αβ+=，115AB =，由正弦定理得()sin sin BD ABααβ=+ ，解得85.064BD ≈． 在BCD ∆中，有余弦定理得2222cos CD BC BD BC BDβ=+-⋅⋅， 解得26.93CD ≈．所以，CD 的长约为26.93米．（2018春17）已知cos y x =． （1）若3(1)f α=，且[0,]απ∈，求()3f πα-的值；（2）求函数(2)2()y f x f x =-的最小值．答案：（1；（2）3-（2009年）已知函数x x x f tan sin )(+=．项数为27的等差数列{}n a 满足⎪⎭⎫⎝⎛-∈22ππ，n a ，且公差0≠d ．若()()()12170f a f a f a +++=，则当k =____________时0)(=k a f ．答案：14（2015年上海理23题）对于定义域为R 的函数()g x ，若存在正常数T ，使得()cos g x 是以T 为周期的函数，则称()gx 为余弦周期函数，且称T 为其余弦周期，已知()f x 是以T为周期的余弦周期函数，其值域为R ，设()f x 单调递增，()00f =，()4f T π=.1）验证()sin3xg x x =+是余弦周期函数； 2）设a b <，证明对任意()(),c f a f b ∈⎡⎤⎣⎦，存在[]0,x a b ∈，使得()0f x c =；3）证明：“0u 是方程()cos1f x =在[]0,T 上的解，”的充分条件是“0u T +为方程()cos 1f x =在区间[],2T T 上的解”，并证明对任意[]0,x T ∈都有()()()f x T f x fT+=+. 解析：3）证明对任意[]0,x T ∈都有()()()f x T f x f T +=+.①当0x =时，()00f =，等式显然成立；②当x T =时，()()cos 2cos 1f T f T ==，()122,f T k k Z π=∈()4f T π=，∴12k >，1）若1=3k ，则()26f T π=，存在[]00,x T ∈，()02f x π=；()()00cos cos 1f x T f x +==，∴()02=2f x T k π+，∵02Tx T T <+<，∴2426k πππ<<，∴223k <<，无解；2）若15k ≥，则()210f T π≥，存在[]12,,2x x T T ∈，使得()()126,8f x f x ππ==，则12,,,2T x x T 是()cos 1f x =在[],2T T 上的四个解，但()cos 1f x =在[]0,T 上只有()0,2,4f x ππ=三个解，矛盾；3）若1=4k ，则()()()28f T f T f T π==+；③当()0,x T ∈时，()()0,4f x π∈，考查方程()cos f x c =在()0,T 上的解，设其解为()1212,,,n n x x x x x x <<<，则()()()1204n f x f x f x π<<<<<；则()()()12,,,n f x T f x T f x T +++为方程cos t c =在()4,8t ππ∈上的解； 又()()()()124,4,,44,8n f x f x f x πππππ+++∈也是方程cos t c =在()4,8t ππ∈上的解 ∴()()()()4i i i f x T f x f x f T π+=+=+；综述：对对任意[]0,x T ∈都有()()()f x T f x f T +=+.（2015理13）已知函数()sin f x x =．若存在12,,,m x x x 满足1206m x x x π≤<<<≤，且()()()()()()()12231122,m m f x f x f x f x f x f x m m N *--+-++-=≥∈，则m 的最小值为 ． 答案：8（2012理18）设，，在中，正数的个数是（ ）A ．25B ．50C ．75D ．100答案：D（2012文18）若（），则在中，正数的个数是（ ）A ．16B ．72C ．86D ．100．25sin1πn n a n =n n a a a S +++= 2110021,,,S S S 2sin sin (i)777n n S πππ=+++n N *∈12100,,...,S S S12M M 、（宽度忽略不计），如图所示，已知,60AB AC AB AC AD ⊥===（单位：米），要求圆1M 与AB AD 、分别相切于点B D 、，圆2M 与AC AD 、分别相切于点C D 、.（1）若60BAD ∠=，求圆12M M 、的半径（结果精确到0.1米）（2）若观景步道1M 与2M 的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，如何设计圆12M M 、的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到0.1千元）答案：（1）34.6；16.1；（2）1230,20,r r == 最低造价最低263.8千元 关键点：（1）01260tan3034.6,60tan1516.1r r =≈=≈； （2）设2BAD α∠=，则总造价0.8260tan 0.9260tan 41tan 128tan 91tan y ππαπααπαα⎛⎫=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅- ⎪⎝⎭-⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭设1tan x α+=，则181281784y x x ππ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭，当且仅当31,tan 22x α==，取等号，此时 1260tan 30,60tan 204r r παα⎛⎫===-= ⎪⎝⎭，84263.8y π=≈千元（2018秋18）设常数a ∈R ，函数()2sin 22cos f x a x x =+．（1）若()f x 为偶函数，求a 的值；（2）若14f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，求方程()1f x =[],ππ-上的解．答案：（1）0a =；（2）115131924242424x ππππ=--、、、．（2017秋11）已知22sin 21sin 2121=+++αα，其中R∈21,αα，则|10|21ααπ--的最小值为____答案：4π （2016理7）方程3sin 1cos2x x =+在区间[]0,2π上的解为_______答案：6π或56π （2014理12）设常数a使方程sin x x a =在闭区间[]0,2π上恰有三个解123,,x x x ，则123x x x ++= .答案：73π（2018春11）设0a >，函数()2(1)sin()f x x x ax =+-，(0,1)x ∈，若函数21y x =-与()y f x = 的图象有且仅有两个不同的公共点，则a 的取值范围是__________． 答案：1119,66ππ⎛⎤⎥⎝⎦ 关键点：将函数图像的交点问题转化为方程的根（2013理21）已知函数()2sin()f x x ω=，其中常数0ω>； （1）若()y f x =在2[,]43ππ-上单调递增，求ω的取值范围；（2）令2ω=，将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，区间[,]a b （,a b R ∈且a b <）满足：()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[,]a b 中，求b a -的最小值． 解：(1)因为0ω>，根据题意有34202432ππωωππω⎧-≥-⎪⎪⇒<≤⎨⎪≤⎪⎩ (2)()2sin(2)f x x =，()2sin(2())12sin(2)163g x x x ππ=++=++1()0sin(2)324g x x x k πππ=⇒+=-⇒=-或7,12x k k Z ππ=-∈，即()g x 的零点相离间隔依次为3π和23π，故若()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点，则b a -的最小值 为2431415333πππ⨯+⨯=． （2016理13）设[),,0,2a b R c π∈∈，若对于任意实数x都有()2s i n 3s i n 3x ab xc π⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则满足条件的有序实数组(),,a b c 的组数为_____________答案：4题型：三角函数恒成立问题（2016理12）在平面直角坐标系中，已知A （1,0），B （0，-1），P 是曲线21x y -=上一个动点，则BP BA ⋅的取值范围是___________________.答案：0,1⎡+⎣（2015年理14）在锐角三角形ABC 中，1tan 2A =，D 为边BC 上的点，ABD ∆与ACD ∆的面积分别为2和4．过D 作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，则DE DF ⋅= ．答案：1615-（2012春23）定义向量(),O M a b =的“相伴函数”为()sin cos ;f x a x b x =+函数()s i n c o s f x a x b x =+的“相伴向量”为(),OM a b =（其中O 为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为.S （1）设()3sin()4sin ,2g x x x π=++求证：();g x S ∈（2）已知()cos()2cos ,h x x x α=++且(),h x S ∈求其“相伴向量”的模；（3）已知(,)(0)M a b b ≠为圆22:(2)1C x y -+=上一点，向量OM 的“相伴函数”()f x在0x x =处取得最大值．当点M 在圆C 上运动时，求0tan 2x 的取值范围． 答案：（1）证明： x x x x x g cos 3sin 4sin 4)2sin(3)(+=++=π其中“相伴向量”()4,3OM =，S x g ∈∴)(．（2）x x x x x x h cos 2)sin sin cos (cos cos 2)cos()(+-=++=αααx x cos )2(cos sin sin ++-=αα函数)(x h 的“相伴向量”，)2cos ,sin (+-=→ααOM则αααcos 45)2(cos )sin (||22+=++-=→OM ．（3）OM 的相伴函数)sin(cos sin )(22ϕ++=+=x b a x b x a x f其中22cos ba a +=ϕ，22sin ba b +=ϕ当Z k k x ∈+=+,22ππϕ时，)(x f 取到最大值，故Z k k x ∈-+=,220ϕππba k x ==-+=∴ϕϕππcot )22tan(tan 0 ba ab b a b ax x x -=-⋅=-=∴2)(12tan 1tan 22tan 20200ab 为直线OM 的斜率，由几何意义知，]33,0()0,33[⋃-∈a b 令abm =，则mm x 122tan 0-=所以]33,0()0,33[⋃-∈m ．（2009春20）设函数40,cos )1(sin )(πθθθθ≤≤-+=n n n n f ，其中n 为正整数．（1）判断函数)()(31θθf f 、的单调性，并就)(1θf 的情形证明你的结论； （2）证明：()()θθθθθθ224446sin cos sin cos )()(2--=-f f ；（3）对于任意给定的正整数n ，求函数)(θn f 的最大值和最小值．解：（1）)()(31θθf f 、在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π上均为单调递增的函数． 对于函数θθθcos sin )(1-=f ，设⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈<4,0,2121πθθθθ、，则 )()(2111θθf f -()()1221cos cos sin sin θθθθ-+-=，1221cos cos ,sin sin θθθθ<<，()()∴<∴,2111θθf f 函数)(1θf 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π上单调递增． （2） 原式左边()()θθθθ4466cos sin cos sin 2+-+=()()()θθθθθθθθ44422422cos sin cos cos sin sincos sin2+-+⋅-+=θθ2cos 2sin 122=-=．又原式右边()θθθ2cos sin cos2222=-=．∴()()θθθθθθ224446sin cos sin cos )()(2--=-f f ．（3）当1=n 时，函数)(1θf 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π上单调递增， ∴)(1θf 的最大值为041=⎪⎭⎫ ⎝⎛πf ，最小值为()101-=f ．当2=n 时，()12=θf ，∴函数)(2θf 的最大、最小值均为1．当3=n 时，函数)(3θf 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π上为单调递增． ∴)(3θf 的最大值为043=⎪⎭⎫ ⎝⎛πf ，最小值为()103-=f ．当4=n 时，函数θθ2sin 211)(24-=f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π上单调递减， ∴)(4θf 的最大值为()104=f ，最小值为2144=⎪⎭⎫ ⎝⎛πf ．下面讨论正整数5≥n 的情形：当n 为奇数时，对任意⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,021πθθ、且,21θθ<∵()()122121cos cos sin sin )()(θθθθθθn n n n n n f f -+-=-，以及1cos cos 0,1sin sin 01221≤<<<<≤θθθθ， ∴1221cos cos ,sin sinθθθθn n n n<<，从而)()(21θθn n f f <．∴)(θn f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π上为单调递增，则 )(θn f 的最大值为04=⎪⎭⎫⎝⎛πn f ，最小值为()104-=f ．当n 为偶数时，一方面有)0(1cos sin cos sin )(22n n n n f f ==+≤+=θθθθθ．另一方面，由于对任意正整数2≥l ，有()()0sin cos sin cos )()(2222222222≥--=----θθθθθθl l l l f f ，⎪⎭⎫ ⎝⎛==≥≥≥∴---421)(21)(21)(122122πθθθn n n n n f f f f ．∴函数)(θn f 的最大值为1)0(=n f ，最小值为nn f ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛2124π． 综上所述，当n 为奇数时，函数)(θn f 的最大值为0，最小值为1-． 当n 为偶数时，函数)(θn f 的最大值为1，最小值为n⎪⎭⎫⎝⎛212．。

主视图 左视图俯视图（第7题图）2018届高中数学·二模汇编 立体几何一、填空题：1、将圆心角为23，面积为3的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为____________． 2、三棱锥P ABC 及其三视图中的主视图和左视图如下所示，则棱PB 的长为____________．3、已知半径为2R 和R 的两个球，则大球和小球的体积比为4、已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则此圆锥的体积为 （结果保留π）．5、若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为3,3,2的三角形，则该圆锥的体积是 ．6、已知长方体的表面积为452，棱长的总和为24. 则长方体的体对角线与棱所成角的最大值为 7、长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为α、β、γ，则222cos cos cos αβγ++=8、如图，长方体1111ABCD A B C D -的边长11AB AA ==，2AD =O ，则A 、1A 这两点的球面距离等于9、记球O 1和O 2的半径、体积分别为r 1、V 1和r 2、V 2，若12827V V =，则12r r = 10、若一个球的体积为323π，则该球的表面积为_______ 11、若一圆锥的底面半径为3，体积是12π，则该圆锥的侧面积等于 12、若球的表面积为100π，平面α与球心的距离为3，则平面α截球所得的圆面面积为13、一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(0,0,0)、(1,0,1)、(0,1,1)、(1,1,0)，则该四面体的体积为23314、如图所示，一个圆柱的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个圆柱的体积为__________．二、选择题：15、如图所示的几何体，其表面积为(5π+，下部圆柱的底面直径与该圆柱的高相等，则该几何体的主视图的面积为 （ ）)A (4 ()B 6 ()C 8 ()D 1016、如图，点A 、B 、C 分别在空间直角坐标系O xyz -的三条坐标轴上，(0,0,2)OC =，平面ABC 的法向量为(2,1,2)n =，设二面角C AB O --的大小为θ，则cos θ=（ ） A. 43B. C. 23 D. 23- 17、在空间中，“直线m ⊥平面α”是“直线m 与平面α内无穷多条直线都垂直 ”的 ( )(A )充分非必要条件 (B )必要非充分条件(C )充要条件 (D )非充分非必要条件三、解答题：18、已知圆锥AO 的底面半径为2，母线长为C 为圆锥底面圆周上的一点，O 为圆心，D 是AB 的中点，且2BOC π∠=.（1）求圆锥的全面积；（2）求直线CD 与平面AOB 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）N M D 1C 1B 1A 1DC BA 19、如图在长方体1111D CB A ABCD -中，2AB =，4AD =，1AC ，点M 为AB 的中点，点N 为BC 的中点．（1）求长方体1111D C B A ABCD -的体积；（2）求异面直线M A 1与N B 1所成角的大小（用反三角函数表示）．20、如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱AB 上的动点.（1）求证：11DA ED ⊥；（2）若直线1DA 与平面1CED 所成的角是45，请你确定点E 的位置，并证明你的结论.A B C DA 1B 1C 1D 1E21、如图，在正四棱锥P ABCD -中，PA AB ==E ，F 分别为PB ，PD 的中点．（1）求正四棱锥P ABCD -的全面积；（2）若平面AEF 与棱PC 交于点M ，求平面AEM F 与平面ABCD 所成锐二面角的大小（用反三角函数值表示）．22、在四棱锥P –ABCD 中，底面ABCD 是边长为6的正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD =8．(1) 求PB 与平面ABCD 所成角的大小；(2) 求异面直线PB 与DC 所成角的大小．23、如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是AB 、1CC 的中点.（1）求三棱锥E DFC -的体积；（2）求异面直线1A E 与1D F 所成的角的大小.P AB C D第17题图24、如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，1AB AC ==，2BAC π∠=，高等于3，点1M 、2M 、1N 、2N 为所在线段的三等分点.（1）求此三棱柱的体积和三棱锥112A AM N -的体积；（2）求异面直线12A N 、1AM 所成的角的大小.25、在四棱锥P ABCD -中，PA ABCD ⊥平面，,,1,AB AD BC AD BC ⊥=02,45CD CDA =∠=．(1)画出四棱锥P ABCD -的主视图；(2)若PA BC =，求直线PB 与平面PCD 所成角的大小．(结果用反三角函数值表示)26、如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，90,//,2BAD AD BC AB ，1AD ，4PA BC，PA 平面ABCD ．（1）求异面直线BD 与PC 所成角的大小；（2）求二面角A PC D 的余弦值．27、已知几何体BCED A -的三视图如图所示，其中左视图和俯视图都是腰长为4的等腰直角三角形，主视图为直角梯形．（1）求几何体BCED A -的体积；（2）求直线CE 与平面AED 所成角的大小．28、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，BC AD ∥，AB BC ⊥， 45ADC ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，1AB AP ==，3AD =．（1）求异面直线PB 与CD 所成角的大小；（2）求点D 到平面PBC 的距离．A BCDP。

宝山2018届高三二模数学卷一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1. 设全集R U =，若集合{}2,1,0=A ，{}21|<<-=x x B ，()B C A U ⋂= .2. 设抛物线的焦点坐标为()01，，则此抛物线的标准方程为 . 3. 某次体检，8位同学的身高（单位：米）分别为68.1，71.1，73.1，63.1，81.1，74.1，66.1，78.1，则这组数据的中位数是 (米）.4. 函数()x x x f 4cos 4sin 2=的最小正周期为 .5. 已知球的俯视图面积为π，则该球的表面积为 .6. 若线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛210221c c 的解为⎩⎨⎧==31y x ，则=+21c c . 7. 在报名的8名男生和5名女生中，选取6人参加志愿者活动，要求男、女都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）8. 设无穷数列{}n a 的公比为q ，则2a ()n n a a a +⋅⋅⋅++=∞→54lim ，则=q .9. 若B A 、满足()()()525421===AB P B P A P ，，，则()()P AB P AB -= . 10. 设奇函数()f x 定义为R ，且当0x >时，2()1m f x x x=+-（这里m 为正常数）． 若()2f x m ≤-对一切0x ≤成立，则m 的取值范围是 .11. 如图，已知O 为矩形4321P P P P 内的一点，满足7,543131===P P OP OP ，，则24OP OP ⋅u u u r u u u r 的值为 .12. 将实数z y x 、、中的最小值记为{}z y x ,,m in ，在锐角︒=∆60POQ ，1=PQ ，点T 在POQ ∆的边上或内部运动，且=TO {}TQ TO TP ,,m in ，由T 所组成的图形为M .设M POQ 、∆的面积为M POQ S S 、∆，若()2:1-=∆M POQ M S S S ：，则=M S . 二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上将代表答案的小方格涂黑，选对得 5分，否则一律得零分.13. “1sin 2x =”是“6x π=”的 （ ） )(A 充分不必要条件． )(B 必要不充分条件． )(C 充要条件． )(D 既不充分也不必要条件．14.在62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项等于 （ ）)(A 160- )(B 160 )(C 150- )(D 15015.若函数()()f x x R ∈满足()1f x -+、()1f x +均为奇函数，则下列四个结论正确的是（ ）)(A ()f x -为奇函数 )(B ()f x -为偶函数 )(C ()3f x +为奇函数 )(D ()3f x +为偶函数16. 对于数列12,,,x x L 若使得0n m x ->对一切n N *∈成立的m 的最小值存在，则称该最小值为此数列的“准最大项”。

2（2018奉贤二模）. 已知半径为2R 和R 的两个球，则大球和小球的体积比为 4（2018虹口二模）. 长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为α、β、γ，则222cos cos cos αβγ++=5（2018宝山二模）. 已知球的俯视图面积为π，则该球的表面积为5（2018徐汇二模）. 若一个球的体积为323π，则该球的表面积为 5（2018静安二模）. 下图中的三个直角三角形是一个体积为20 cm 3的几何体的三视图，则h =6（2018静安二模）. 如上右图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB uuu r 的坐标为(4,3,2)，则1BD uuu r 的坐标为 6（2018崇明二模）. 已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则此圆锥的体积为 （结果保留π）6（2018金山二模）. 记球1O 和2O 的半径、体积分别为1r 、1V 和2r 、2V ，若12827V V =，则12r r = 7（2018长嘉二模）. 将圆心角为23π，面积为3π的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为7（2018杨浦二模）. 若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为3、3、2的三角形， 则该圆锥的体积是 7（2018青浦二模）.图是一个直径为1的圆，那么这个圆柱的体积为8（2018徐汇二模）. 若一圆锥的底面半径为3，体积是12π，则该圆锥的侧面积等于8（2018闵行松江二模）. 若球的表面积为100π，平面α与球心的距离为3，则平面α截球所得的圆面面积为8（2018长嘉二模）. 三棱锥P ABC -及其三视图中的主视图和左视图如下所示，则棱PB 的长为9（2018虹口二模）. 如图，长方体1111ABCD A B C D -的边长11AB AA ==，2AD =，它的外接球是球O ，则A 、1A 这两点的球面距离等于10（2018浦东二模）. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(0,0,0)、(1,0,1)、(0,1,1)、(1,1,0)，则该四面体的体积为12（2018宝山二模）. 将实数x 、y 、z 中的最小值记为min{,,}x y z ，在锐角60POQ ∆=︒，1PQ =，点T 在POQ ∆的边上或内部运动，且min{,,}TO TP TO TQ =，由T 所组成的图形为M ，设POQ ∆、M 的面积为POQ S ∆、M S ，若:()1:2M POQ M S S S ∆-=，则M S = 13（2018黄浦区黄浦二模）. 空间中，“直线m ⊥平面α”是“直线m 与平面α内无穷多条直线都垂直”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要14（2018闵行松江二模）. 如图，点A 、B 、C 分别在空间直角坐标系O xyz -的三条坐标轴上，(0,0,2)OC =，平面ABC 的法向量为(2,1,2)n =，设二面角C AB O --的大小为θ，则cos θ=（ ）A. 43B.C. 23D. 23-14（2018普陀二模）. 如图所示的几何体，其表面积为(5π，下部圆柱的底面直径与该圆柱的高相等，，则该几何体的主视图的面积为（ ）A. 4B. 6C. 8D. 1015（2018金山二模）. 如图几何体是由五个相同正方体叠成的，其三视图中的左视图序号是（ ）A. （1）B. （2）C. （3）D. （4）16（2018杨浦二模）. 已知长方体的表面积为452，棱长的总和为24. 则长方体的体对角线与棱所成角的最大值为（ ）A. 1arccos 3B. arccos 3C. arccos 9D. 9 17（2018宝山二模）. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，3AD =，4PA AB ==，点E 在侧棱PA 上，且1AE =，F 为侧棱PC 的中点.（1）求三棱锥E ABD -的体积；（2）求异面直线CE 与DF 所成角的大小.17（2018青浦二模）. 如图，在正四棱锥P ABCD -中，PA AB ==E 、F 分别为PB 、PD 的中点.（1）求正四棱锥P ABCD -的全面积；（2）若平面AEF 与棱PC 交于点M ，求平面AEMF 与平面ABCD 所成锐二面角的大小（用反三角函数值表示）.17（2018徐汇二模）. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，4AD =，1AC =，点M 为AB 的中点，点N 为BC 的中点.（1）求长方体1111ABCD A B C D -的体积；（2）求异面直线1A M 与1B N 所成角的大小.（用反三角函数值表示）.17（2018金山二模）. 四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为6的正方形，PD ⊥平面ABCD ，8PD =.（1）求PB 与平面ABCD 所成角的大小；（2）求异面直线PB 与DC 所成角的大小.17（2018黄浦二模）. 在四棱锥P -ABCD 中，PA ABCD ⊥平面，AB ⊥AD ，BC ∥AD ，1BC =，CD =45CDA ︒∠=.（1）画出四棱锥P -ABCD 的主视图；（2）若PA BC =，求直线PB 与平面PCD所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）17（2018普陀二模）. 如图所示的正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1，侧棱12AA =，点E 在棱1CC上，且1CE CC λ=（0λ>）.（1）当12λ=时，求三棱锥1D EBC -的体积； （2）当异面直线BE 与1D C 所成角的大小为 2arccos 3时，求λ的值.17（2018奉贤二模）. 已知几何体A BCED -的三视图如图所示，其中左视图和俯视图都是腰长为4的等腰直角三角形，主视图为直角梯形.（1）求几何体A BCED -的体积；（2）求直线CE 与平面AED 所成角的大小.17（2018崇明二模）. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，BC ∥AD ，AB BC ⊥，45ADC ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，1AB AP ==，3AD =.（1）求异面直线PB 与CD 所成角的大小；（2）求点D 到平面PBC 的距离.17（2018浦东二模）AO 的底面半径为2，母线长为点C 为圆锥底面圆周上的一点，O 为圆心，D 是AB 的中点，且2BOC π∠=. （1）求圆锥的全面积；（2）求直线CD 与平面AOB 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）17（2018虹口二模）. 如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，1AB AC ==，2BAC π∠=，高等于3，点1M 、2M 、1N 、2N 为所在线段的三等分点.（1）求此三棱柱的体积和三棱锥112A AM N -的体积；（2）求异面直线12A N 、1AM 所成的角的大小.17（2018闵松二模）. 如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是AB 、1CC 的中点.（1）求三棱锥E DFC -的体积；（2）求异面直线1A E 与1D F 所成的角的大小.18（2018长嘉二模）. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，90BAD ∠=︒，AD ∥BC ，2AB =，1AD =，4PA BC ==，PA ⊥平面ABCD .（1）求异面直线BD 与PC 所成角的大小；（2）求二面角A PC D --的余弦值.18（2018杨浦二模）. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱AB 上的动点.（1）求证：11DA ED ⊥；（2）若直线1DA 与平面1CED 所成的角是45，请你确定点E 的位置，并证明你的结论.19（2018静安二模）. 如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，AC 与BD 交于点O ，OP ⊥底面ABCD ，点M 为PC 中点，2AC =，1BD =，2OP =.（1）求异面直线AP 与BM 所成角的余弦值；（2）求平面ABM 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值.。

(2018虹口二模5) 已知函数f (x)2xx2 1x 0，则f1[f1( 9)]—2018上海高三数学二模——函数汇编2(2018宝山二模)10.设奇函数f(x)定义为R，且当x 0时，f(x) x m 1 (这里xm为正常数).若f(x) m 2对一切x 0成立，则m的取值范围是答案：2,(2018宝山二模)15.若函数f x x R满足f 1 x、f 1 x均为奇函数，则下列四个结论正确的是( ) (A) f x为奇函数(B) f x为偶函数(C) f x 3为奇函数(D) f x 3为偶函数答案：C(2018宝山二模)19.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)某渔业公司最近开发的一种新型淡水养虾技术具有方法简便且经济效益好的特点，研究表明: 用该技术进行淡水养虾时，在一定的条件下，每尾虾的平均生长速度为g(x)(单位：千克/年)养殖密度为x,x 0 (单位：尾/立方分米)。

当x不超过4时，g(x)的值恒为2 ;当4 x 20 , g(x)是x的一次函数，且当x达到20时，因养殖空间受限等原因，g(x)的值为0.(1 )当0 x 20时，求函数g(x)的表达式。

(2)在(1)的条件下，求函数f (x) x g(x)的最大值。

2,x 0,41 5 , x N ； (2) 12.5千克/立方分米x ,x 4,208 2答案：(1) g x【解析】f 1(x) 、X, x 0, f 1( 9)3, f 1[f 1( 9)] f 1 (3) 2log 2(x 1), x 07 1(2018虹口二模11) [x]是不超过x 的最大整数，贝U 方程(2X )2 - [2X ] - 0满足x 14 4的所有实数解是 _________ 【解析】当 0x1 , [2x ] 1(2x )2 2 x 1 ；当 x 0 , [2x ] 0 , (2x )2 -,2 4••• x 1，二满足条件的所有实数解为x 0.5或x 1 (2018 虹口二模 21)已知函数 f(x) ax 3 x a (a R , x R ), g(x) 二(x R ).1 x(3)证明：函数f (x)存在零点q ，使得a q q 4q -q 3n 2成立的充要条件是34a.3I 解析】(1) f(二)02aq q 4 q - q 3n 2成立，根据无穷等比数列相关性质，q ( 1,1),1 qqV4 ^4结合第(2)问，a 茲 在(1,-］上递减，在［ ----------------------- ,1)上递增，1 q 32 2 q 诉V4 、、、二 a ( ------ )min g( ^ )-，反之亦然. 1 q 23(1) 如果x 4是关于x 的不等式2f (x) 0的解，求实数a 的取值范围;(2) (2)根据单调性定义分析，在(3) “函数 f (x)存在零点q ，使得a q q 4 q -3n 2q成立”说明判断g(x)在(1,,1)的单调性，并说明理由;和,1)上递增;(1,丁上递减，在（2018杨浦二模1）函数y Igx 1的零点是________________答案：x 10（2018杨浦二模17）（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）共享单车给市民出行带来了诸多便利，某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用•据市场分析，每辆单车的营运累计利润y（单位：元）与营运天数x x N*满足1 2y x 60x 800.2（1）要使营运累计利润高于800元，求营运天数的取值范围;（2）每辆单车营运多少天时，才能使每天的平均营运利润—的值最大?x【解】（1）要使营运累计收入高于800元，人 1 2令—x260x 800 800 , ............................................ 2 分2解得40 x 80. ........................................ 5分所以营运天数的取值范围为40到80天之间. ........................ 7分(2018杨浦二模21)(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小 题满分8分)记函数f(x)的定义域为D.如果存在实数a 、b 使得f(a x) f (a x) b 对任意满足a x D 且a x D 的x 恒成立，则称f (x)为 函数•1(1) 设函数f(x) 1，试判断f(x)是否为 函数，并说明理由；x1(2) 设函数g(x) 2—t ，其中常数t 0,证明：g(x)是 函数；(3) 若h(x)是定义在R 上的 函数，且函数h(x)的图象关于直线x m ( m 为常数)对称，试判断h(x)是否为周期函数？并证明你的结论•【解】1(1)f (x)1 是 函数... 1分x理由如下：f (x)1 1的定义域为｛ x |x 0｝，x只需证明存在实数 a ， b 使得 f (a x) f (a x)b 对任意x a 恒成立•1 1a x a x（2） 丫x1 800 x 60 ..........2 x.................................. 9 分2、400 60 20当且仅当 1 800 —x 时等号成立，解得x 400…2 x................ 1分 所以每辆单车营运 400天时，才能使每天的平均营运利润最大，最大为 20元每天.…14分由f(a x) f (a x)b，得——2b，即b 2a x a x(a x)(a x)所以(b 2)(a2x2)2a对任意x a恒成立即b 2,a 0.从而存在a 0,b 2，使f (a x) f (a x) b 对任意x a 恒成立.所以f(x) 11是函数.x(取 t x 2m 2a 由(3)得)(2)记g(x)的定义域为D ，只需证明存在实数a ，b 使得当a x D 且a x D 时，g(a x) g(a x)b 恒成立，即1 2ax t1 2ax tb 恒成立.所以 2a x t 2a x t b(2a x t)(2a x t)，化简得，(1 bt)(2a x 2a x)2ab(2 2t ) 2t .所以 1 bt 0,b(22a t 2) 2t 0•因为 tlOg 2 | t | ,1即存在实数a ，b 满足条件，从而g(x) 一—是函数•2x t10分所以h(m x) h(m x)(1),又因为h(a x) h(a x) b(2),h(x 2m 2a) h[m (x m 2a)]由(1 )h[m (x m 2a)] h(2a 由(2)b h[a (a x)] b h(x)......... 12分所以当m a 时，x) h[a (a x)](3)所以 h(x 4m 4a)h[(x 2m 2a) 2m 2a] b h(x 2m 2a)(3)函数h(x)的图象关于直线x m ( m 为常数)对称,(x 4再利用(3)式，h(x 4m 4a) b [b h(x)] h(x).所以f(x)为周期函数，其一个周期为 4m 4a. .............. 15分当 m a 时，即 h(a x) h(a x)，又 h(a x) b h(a x),b所以h(a x)-为常数.2所以函数h(x)为常数函数，bh(x 1) h(x) - , h(x)是一个周期函数......... 17分综上，函数h(x)为周期函数。

上海市静安区2018届高三二模数学试卷2018.05一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知集合{1,3,5,7,9}A =，{0,1,2,3,4,5}B =，则图中阴影部 分集合用列举法表示的结果是2. 若复数z 满足(1)2z i i -=（i 是虚数单位），则||z =3. 函数lg 2y x =+（）的定义域为 4. 在从4个字母a 、b 、c 、d 中任意选出2个不同字母的试验中，其中含有字母d 事件的概率是5. 下图中的三个直角三角形是一个体积为20 cm 3的几何体的三视图，则h =6. 如上右图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB uuu r 的坐标为(4,3,2)，则1BD uuu r的坐标为7. 方程3cos22x =-的解集为 8. 已知抛物线顶点在坐标原点，焦点在y 轴上，抛物线上 一点(,4)M a -(0)a >到焦点F 的距离为5，则该抛物线的 标准方程为9. 秦九韶是我国南宋时期数学家，他在所着的《数书九章》 中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算 法，右边的流程图是秦九韶算法的一个实例. 若输入n 、x 的值分别为4、2，则输出q 的值为（在算法语言中用“*”表示乘法运算符号，例如5210*=） 10. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S （n ∈*N ），且63198S S =-，42158a a =--，则3a 的值为11. 在直角三角形ABC 中，2A π∠=，3AB =，4AC =，E 为三角形ABC 内一点，且2AE =，若AE AB AC λμ=+uu u r uu u r uuu r ，则34λμ+的最大值等于12. 已知集合2{(,)|()20}A x y x y x y =+++-≤，222{(,)|(2)(1)}2aB x y x a y a a =-+--≤-，若A B ≠∅I ，则实数a 取值范围为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 能反映一组数据的离散程度的是（ ）A. 众数B. 平均数C. 中位数D. 方差 14. 若实系数一元二次方程20z z m ++=有两虚数根α，β，且||3αβ-=，那么实数m的值是（ ）A. 52B. 1C. 1-D. 52- 15. 函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0)A ω>>的部分 图像如图所示，则()3f π的值为（ ）A.2 B.3 C. 6 D. 0 16. 已知函数3()10f x x x =++，实数1x 、2x 、3x 满足120x x +<，230x x +<，310x x +<，则123()()()f x f x f x ++的值（ ）A. 一定大于30B. 一定小于30C. 等于30D. 大于30、小于30都有可能 三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 某峡谷中一种昆虫的密度是时间t 的连续函数（即函数图像不间断）. 昆虫密度C 是指每平方米的昆虫数量，已知函数21000(cos(4)2)990,816()2,081624t t C t m t t ππ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪≤<<≤⎩或， 这里的t 是从午夜开始的小时数，m 是实常数，(8)m C =.（1）求m 的值；（2）求出昆虫密度的最小值并指出出现最小值的时刻. 18. 已知椭圆Γ的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍，两焦点分别为1F 和2F ，椭圆Γ上一点到1F 和2F 的距离之和为12.圆22:24210()k A x y kx y k ++--=∈R 的圆心为k A . （1）求△12k A F F 的面积；（2）若椭圆上所有点都在一个圆内，则称圆包围这个椭圆. 问：是否存在实数k 使得圆k A 包围椭圆Γ？请说明理由.19. 如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，AC 与BD 交于点O ，OP ⊥底面ABCD ，点M 为PC 中点，2AC =，1BD =，2OP =.（1）求异面直线AP 与BM 所成角的余弦值；（2）求平面ABM 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值. 20. 已知数列{}n a 中，1a a =1(,)2a R a ∈≠-，1112(1)n n a a n n n -=+++，2n ≥，*n ∈N . 又数列{}n b 满足：11n n b a n =++，*n ∈N . （1）求证：数列{}n b 是等比数列；（2）若数列{}n a 是单调递增数列，求实数a 的取值范围；（3）若数列{}n b 的各项皆为正数，12log n n c b =，设n T 是数列{}n c 的前n 和，问：是否存在整数a ，使得数列{}n T 是单调递减数列？若存在，求出整数a ；若不存在，请说明理由.21. 设函数()|27|1f x x ax =-++（a 为实数）. （1）若1a =-，解不等式()0f x ≥；（2）若当01xx>-时，关于x 的不等式()1f x ≥成立，求a 的取值范围； （3）设21()1x g x a x +=--，若存在x 使不等式()()f x g x ≤成立，求a 的取值范围.参考答案一. 填空题1. {0,2,4}2. 23. [1,)-+∞4. 125. 46. (4,3,2)--7. 5{|,}12x x k k ππ=±∈Z 8. 24x y =- 9. 50 10. 9411. 1 12. 19109[,0]14+-二. 选择题13. D 14. A 15. C 16. B 三. 解答题17. 解（1）2(8)=1000(cos0+2)9908010m C =-=； ……4分 （2）当cos((8))12t π⋅-=-时，C 达到最小值，得(8)(2+1),2t k k Z ππ⋅-=∈，……8分又[8,16]t ∈，解得10t =或14.所以在10：00或者14：00时，昆虫密度达到最小值10. ……14分18. 解：（1）设椭圆方程为：22221(0)x y a b a b+=>>，……1分由已知有212,2a a b ==， ……2分 所以椭圆方程为：221369x y +=， …… 3分圆心(,2)k A k - ……5分所以，△12k A F F 的面积1212116326322k K A F F A S F F y =⋅=⨯⨯= ……6分 （2）当0k ≥时，将椭圆椭圆顶点（6，0）代入圆方程得：22601202115120k k ++--=+>，可知椭圆顶点（6，0）在圆外；……10分当0k <时，22(6)01202115120k k -+---=->，可知椭圆顶点（-6，0）在圆外； 所以，不论k 取何值，圆k A 都不可能包围椭圆Γ．……14分19. 解：（1）因为ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥．又OP ⊥底面ABCD ，以O 为原点， 直线,,OA OB OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系． ……1分则(1,0,0)A ,1(0,,0)2B ,(0,0,2)P ,(1,0,0)C -,1(,0,1)2M -．所以(1,0,2)AP =-u u u r ，11(,,1)22BM =--u u u u r ，52AP BM ⋅=u u u r u u u u r ，||5AP =u u u r，6||BM =u u u u r ． ……3分 则30cos ,||||56AP BM AP BM AP BM ⋅<>===⨯u u u r u u u u ru u u r u u u u r u u u r u u u u r ． 故异面直线AP 与BM 所成角的余弦值为306……6分（2）1(1,,0)2AB =-u u u r ，11(,,1)22BM =--u u u u r ．设平面ABM 的一个法向量为(,,)n x y z =r ，则00n AB n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u u r ，得10211022x y x y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩，令2x =，得4y =，3z =．得平面ABM 的一个法向量为(2,4,3)n =r ． ……9分 又平面PAC 的一个法向量为1(0,,0)2OB =u u u r ， ……10分所以n r 2OB ⋅=u u u r，||n =r 1||2OB =u u u r．则cos ,||||n OB n OB n OB ⋅<>===r u u u rr u u u r r u u ur . 故平面ABM 与平面PAC……14分20. 解：（1）1111111111221(1)111n n n a a a n n n n n n n n n --+=+++=++-++++++ 112122()n n a a n n--=+=+ ……2分 即12n n b b -= ……3分又111122b a a =+=+，由12a ≠-，则10b ≠所以{}n b 是以112b a =+为首项，2为公比的等比数列． ……4分（2）11()22n n b a -=+⋅，所以111221n n a a n -⎛⎫=+⋅- ⎪+⎝⎭……6分若{}n a 是单调递增数列，则对于*n N ∈，10n n a a +->恒成立 ……7分1111=2212n a n n -⎛⎫+⋅+- ⎪++⎝⎭111=22(1)(2)n a n n -⎛⎫+⋅+ ⎪++⎝⎭ ……8分由111202(1)(2)n a n n -⎛⎫+⋅+> ⎪++⎝⎭，得11122(1)(2)n a n n -+>-++对于*n N ∈恒成立， ∵112(1)(2)n n n --++递增，且1102(1)(2)n n n --<++，11lim[]02(1)(2)n n n n -→∞-=++， 所以102a +≥，又12a ≠-，则12a >-． ……10分（3）因为数列{}n b 的各项皆为正数，所以102a +>，则12a >-．112211log [()2]1log ()22n n c a n a -=+=-+-+， ……13分若数列{}n T 是单调递减数列，则21T T >，即2221112log ()1log (),log ()1222a a a -+->-++<-，即1122a +<，所以102a -<<．不存在整数a ，使得数列{}n T 是单调递减数列． ……16分 21. 解：（1）由()0f x ≥得271x x -≥-， ……1分 解不等式得8|63x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或 ……4分 （利用图像求解也可） （2）由01xx>-解得01x <<．由()1f x ≥得|27|0x ax -+≥， 当01x <<时，该不等式即为(2)70a x -+≥； ……5分 当=2a 时，符合题设条件； ……6分 下面讨论2a ≠的情形，当2a >时，符合题设要求； ……7分 当2a <时，72x a ≤-，由题意得712a≥-，解得25a >≥-； 综上讨论，得实数a 的取值范围为{}|5a a ≥- ……10分 （3）由21()=21(1)1x g x x a x a x +=-++--， ……12分代入()()f x g x ≤得|27|2|1|1x x a ---+≤，令()|27|2|1|1h x x x =---+，则6,17()410,1274,2x h x x x x ⎧⎪≤⎪⎪=-+<≤⎨⎪⎪->⎪⎩， 74()()(1)62h h x h -=≤≤=，∴min ()4h x =- ……15分若存在x 使不等式()()f x g x ≤成立，则min (),4h x a a ≤≥-即． ……18分。

2018年上海市青浦区高考数学二模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1. 不等式|x −3|<2的解集为________． 【答案】 (1, 5) 【考点】其他不等式的解法 【解析】由题意利用绝对值不等式的基本性质，求得不等式|x −3|<2的解集． 【解答】不等式|x −3|<2，即−2<x −3<2，求得1<x <5，2. 若复数z 满足2z −3=1+5i （i 是虚数单位），则z =________． 【答案】 2−52i【考点】 复数的运算 【解析】由已知求得z ，再由共轭复数的概念求得z ． 【解答】由2z −3=1+5i ，得2z =4+5i ， ∴ z =2+52i ，则z =2−52i ．3. 若sinα=13，则cos(α−π2)=________． 【答案】13【考点】三角函数的恒等变换及化简求值 【解析】由题意利用利用诱导公式化简要求的式子，可的结果． 【解答】若sinα=13，则cos(α−π2)=cos(π2−α)=sinα=13，4. 已知两个不同向量OA →=(1,m)，OB →=(m −1,2)，若OA →⊥AB →，则实数m =________． 【答案】 1【考点】平面向量数量积的性质及其运算律 【解析】根据题意，由向量垂直与向量数量积的关系，分析可得若OA →⊥AB →，则有OA →∗AB →=1×(m −1)+2m =3m −1=0，解可得m 的值，即可得答案． 【解答】根据题意，向量OA →=(1,m)，OB →=(m −1,2)， 则AB →=OB →−OA →=(m −2, 2−m)若OA →⊥AB →，则有OA →∗AB →=1×(m −2)+m(2−m)=(m −2)(1−m)=0， 解可得m =1或2； 又由m =2时，OB →=OA →，则m =1；5. 在等比数列{a n }中，公比q =2，前n 项和为S n ，若S 5=1，则S 10=________． 【答案】 33【考点】等比数列的前n 项和 【解析】运用求和公式，解方程可得首项，计算可得所求和． 【解答】在等比数列{a n }中，公比q =2，前n 项和为S n ，若S 5=1， 则S 5=a 1(1−25)1−2=1，可得a 1=131， S 10=a 1(1−q 10)1−q=1−21031×(1−2)=33．6. 若x ，y 满足{x ≤2x −y +1≥0x +y −2≥0 ．则z =2x −y 的最小值为________．【答案】−12【考点】 简单线性规划 【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 【解答】由约束条件{x ≤2x −y +1≥0x +y −2≥0 作出可行域，联立{x +y −2=0x −y +1=0 ，解得A(12, 32)， 化目标函数z =2x −y 为y =2x −z ，由图可知，当直线y =2x −z 过A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值为−12．7. 如图所示，一个圆柱的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个圆柱的体积为________．【答案】 π4【考点】由三视图求体积 【解析】利用已知条件，直接求解几何体的体积即可． 【解答】一个圆柱的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个圆柱的体积为 ：(12)2π∗1=π4．8. (1+1x 2)(1+x)6展开式中x 2的系数为________．30【考点】二项式定理的应用 【解析】分析展开式中x 2的项的两种可能的来由，结合二项式定理求系数． 【解答】当(1+1x 2)选择1时，(1+x)6展开式选择x 2的项为C 62x 2；当(1+1x 2)选择1x 2时，(1+x)6展开式选择为C64x 4，所以(1+1x 2)(1+x)6展开式C 62+C 64=30；9. 高三某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考，已知这位同学在物理、化学、政治科目考试中达A +的概率分别为78、34、512，这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得2个A +的概率是________． 【答案】 151192【考点】相互独立事件的概率乘法公式 相互独立事件 【解析】设这位同学在物理、化学、政治科目考试中达A +的事件分别为A ，B ，C ，则P(A)=78，P(B)=34，P(C)=512，这位考生至少得2个A +的概率：P =P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)．【解答】设这位同学在物理、化学、政治科目考试中达A +的事件分别为A ，B ，C ， ∵ 这位同学在物理、化学、政治科目考试中达A +的概率分别为78、34、512，∴ P(A)=78，P(B)=34，P(C)=512，这三门科目考试成绩的结果互不影响， 则这位考生至少得2个A +的概率：P =P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=78×34×712+78×14×512+18×34×512+78×34×512=151192．10. 已知f(x)是定义在[−2, 2]上的奇函数，当x ∈(0, 2]时，f(x)=2x −1，函数g(x)=x 2−2x +m ．如果对于任意的x 1∈[−2, 2]，总存在x 2∈[−2, 2]，使得f(x 1)≤g(x 2)，则实数m 的取值范围是________． 【答案】【考点】全称命题与特称命题全称量词与存在量词【解析】求出函数f(x)的值域，根据条件，确定两个函数的最值之间的关系即可得到结论．【解答】∵f(x)是定义在[−2, 2]上的奇函数，∴f(0)=0，当x∈(0, 2]时，f(x)=2x−1∈(0, 3]，则当x∈[−2, 2]时，f(x)∈[−3, 3]，若对于∀x1∈[−2, 2]，∀x2∈[−2, 2]，使得g(x2)≥f(x1)，则等价为g(x)max≥3，∵g(x)=x2−2x+m=(x−1)2+m−1，x∈[−2, 2]，∴g(x)max=g(−2)=8+m，则满足8+m≥3解得m≥−511. 已知曲线C:y=−√9−x2，直线l:y=2，若对于点A(0, m)，存在C上的点P和l上的点Q，使得AP→+AQ→=0→，则m取值范围是________．【答案】[−12, 1]【考点】直线与圆的位置关系【解析】通过曲线方程判断曲线特征，通过AP→+AQ→=0→，说明A是PQ的中点，结合y的范围，求出m的范围即可．【解答】曲线C:y=−√9−x2，是以原点为圆心，3为半径的圆，并且y P∈[−3, 0]，对于点A(0, m)，存在C上的点P和l上的Q使得AP→+AQ→=0→，说明A是PQ的中点，Q的纵坐标y=2，∴m=2+y p2∈[−12, 1]．12. 已知M=a2−asinθ+1a2−acosθ+1(a,θ∈R,a≠0)，则M的取值范围是________．【答案】[4−√7, 4+√7]【考点】函数的值域及其求法【解析】化M=a2−asinθ+1a2−acosθ+1为aMcosθ−asinθ−(M−1)(a2+1)=0，可得直线aMx−ay−(M−1)(a2+1)=0与圆x2+y2=1有公共点，即2|a|√M2+1≤1，得到√M2+1≤|a| a2+1≤12，转化为关于M的不等式求解．【解答】化M=a2−asinθ+1a2−acosθ+1为aMcosθ−asinθ−(M−1)(a2+1)=0，可得直线aMx−ay−(M−1)(a2+1)=0与圆x2+y2=1有公共点，∴22≤1，得到√M2+1≤|a|a2+1≤12（当且仅当|a|=1时，等号成立）．故3M2−8M+3≤0．解得：4−√73≤M≤4+√73．∴M的取值范围是[4−√73, 4+√73]．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．设α，β是两个不同的平面，b是直线且b⊊β．则“b⊥α”是“α⊥β”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】根据线面垂直和面面垂直的定义和性质进行判断即可．【解答】由线面垂直的定义得若⊊β．则b⊥α时，α⊥β成立，即充分性成立，反之若α⊥β，则b⊥α不一定成立，即必要性不成立，故“b⊥α”是“α⊥β”的充分不必要条件，若已知极限limn→∞sinnn=0，则limn→∞n−3sinnsinn−2n的值为()A.−3B.−32C.−1 D.−12【答案】D【考点】极限及其运算【解析】根据limn→∞sinnn=0，对n−3sinnsinn−2n分子分母同除以n，再求极限即可．【解答】解：∵limn→∞sinnn=0，∴ limn→∞n−3sinn sinn−2n=lim n→∞1−3sinnn sinnn−2=1−00−2=−12．故选D .已知函数f(x)是R 上的偶函数，对于任意x ∈R 都有f(x +6)=f(x)+f(3)成立，当x 1，x 2∈[0, 3]，且x 1≠x 2时，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0．给出以下三个命题：①直线x =−6是函数f(x)图象的一条对称轴； ②函数f(x)在区间[−9, −6]上为增函数； ③函数f(x)在区间[−9, 9]上有五个零点． 问：以上命题中正确的个数有（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【答案】 B【考点】抽象函数及其应用 【解析】根据题意，利用特殊值法分析可得f(−3+6)=f(−3)+f (3)，结合函数的奇偶性可得f(3)=0，进而可得f (x +6)=f (x)，所以f(x)的周期为6；据此分析三个命题，综合即可得答案． 【解答】根据题意，对于任意x ∈R ，都有f (x +6)=f (x)+f (3)成立， 令x =−3，则f(−3+6)=f(−3)+f (3)，又因为f(x)是R 上的偶函数，所以f(3)=0，则有f (x +6)=f (x)，所以f(x)的周期为6；据此分析三个命题：对于①，函数为偶函数，则函数的一条对称轴为y 轴，又由函数的周期为6， 则直线x =−6是函数f(x)图象的一条对称轴，①正确； 对于②，当x 1，x 2∈[0, 3]，且x 1≠x 2时，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0，则函数y =f(x)在[0, 3]上为增函数，因为f(x)是R 上的偶函数，所以函数y =f(x)在[−3, 0]上为减函数， 而f(x)的周期为6，所以函数y =f(x)在[−9, −6]上为减函数；②错误； 对于③，f(3)=0，f(x)的周期为6， 所以f(−9)=f(−3)=f(3)=f(9)=0，函数y =f(x)在[−9, 9]上有四个零点；③错误； 三个命题中只有①是正确的；如图所示，将一圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形．去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一正八角星．设正八角星的中心为O ，并且OA →=e 1→,OB →=e 2→．若将点O 到正八角星16个顶点的向量都写成λe 1→+μe 2→,λμ∈R 的形式，则λ+μ的取值范围为（ ）A.[−2√2,2brackB.[−2√2,1+√2brackC.[−1−√2,1+√2brackD.[−1−√2,2brack【答案】C【考点】平面向量的基本定理【解析】根据平面向量加法的平行四边形法则求出λ+μ的最大值和最小值即可．【解答】以O为原点，以OA为x轴建立平面直角坐标系，如图所示：设圆O的半径为1，则OM=1，过M作MN // OB，交x轴于N，则△OMN为等腰直角三角形，∴ON=√2OM=√2，∴OM→=√2OA→+OB→，此时λ+μ=1+√2．同理可得：OP→=−√2OA→−OB→，此时λ+μ=−1−√2．∴λ+μ的最大值为1+√2，最小值为−1−√2．故选：C．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．如图，在正四棱锥P−ABCD中，PA=AB=2√2，E，F分别为PB，PD的中点．（1）求正四棱锥P−ABCD的全面积；（2）若平面AEF与棱PC交于点M，求平面AEMF与平面ABCD所成锐二面角的大小（用反三角函数值表示）．【答案】∵ 取AB 的中点G ，连接PG ，∵ PA =AB =2√2，∴ PG =√6，∴ S 全=S 底+S 侧=(2√2)2+4×12×2√2×√6=8+8√3；连接AC ，BD ，记AC ∩BD =O ，∵ OA ，OB ，OP 两两互相垂直，建立如图所示空间直角坐标系O −xyz ， ∵ PB =AB =2√2，∴ Rt △POB ≅Rt △AOB ， ∴ OA =OP =2，∴ A(2, 0, 0)，B(0, 2, 0)，C(−2, 0, 0)，D(0, −2, 0)，P(0, 0, 2)，E(0, 1, 1)，F(0, −1, 1)，∴ AE →=(−2,1,1)，AF →=(−2,−1,1)． 设平面AEMF 的一个法向量为n →=(x,y,z)，由{n →∗AE →=−2x +y +z =0n →∗AF →=−2x −y +z =0 ，取x =1，得n →=(1,0,2)， ∵ 平面ABCD 的一个法向量为m →=(0,0,1)， ∴ cos <m →,n →>=m →∗n→|m →|∗|n →|=1×√5=2√55，∴ 平面AEMF 与平面ABCD 所成锐二面角的大小为arccos 2√55．【考点】二面角的平面角及求法 【解析】（1）取AB 的中点G ，连接PG ，由已知可得PG =√6，由全面积等于底面积+侧面积求解；（2）连接AC ，BD ，记AC ∩BD =O ，由OA ，OB ，OP 两两互相垂直，建立空间直角坐标系O −xyz ，由已知求得OA =OP =2，再求出所用点的坐标，然后分别求出平面AEMF 与平面ABCD 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面AEMF 与平面ABCD 所成锐二面角的大小． 【解答】∵ 取AB 的中点G ，连接PG ，∵ PA =AB =2√2，∴ PG =√6，∴ S 全=S 底+S 侧=(2√2)2+4×12×2√2×√6=8+8√3；连接AC ，BD ，记AC ∩BD =O ，∵ OA ，OB ，OP 两两互相垂直，建立如图所示空间直角坐标系O −xyz ， ∵ PB =AB =2√2，∴ Rt △POB ≅Rt △AOB ， ∴ OA =OP =2，∴ A(2, 0, 0)，B(0, 2, 0)，C(−2, 0, 0)，D(0, −2, 0)，P(0, 0, 2)，E(0, 1, 1)，F(0, −1, 1)，∴ AE →=(−2,1,1)，AF →=(−2,−1,1)． 设平面AEMF 的一个法向量为n →=(x,y,z)，由{n →∗AE →=−2x +y +z =0n →∗AF →=−2x −y +z =0 ，取x =1，得n →=(1,0,2)， ∵ 平面ABCD 的一个法向量为m →=(0,0,1)， ∴ cos <m →,n →>=m →∗n→|m →|∗|n →|=1×5=2√55，∴ 平面AEMF 与平面ABCD 所成锐二面角的大小为arccos 2√55．已知向量m →=(cos x2,−1)，n →=(√3sin x2,cos 2x2)，设函数f(x)=m →∗n →+1．（1）若x ∈[0,π2brack ，f(x)=1110，求x 的值；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 且满足2bcosA ≤2c −√3a ，求f(B)的取值范围． 【答案】函数f(x)=m →∗n →+1=√3sin x2cos x2−cos 2x2+1=√32sinx −1+cosx 2+1=sin(x −π6)+12．∵ f(x)=1110，∴ sin(x −π6)=35． 又∵ x ∈[0, π2]， ∴ x −π6=arcsin 35即x=π6+arcsin35．在△ABC中，由2bcosA≤2c−√3a，可得2sinBcosA≤2sinC−√3sinA，∴2sinBcosA≤2sin(A+B)−√3sinA，∴2sinBcosA≤2(sinAcosB+cosAsinB)−√3sinA，2sinAcosB≥√3sinA，∴cosB≥√32，∴B∈(0, π6]．∴sin(B−π6)∈(−12, 0]，即f(B)=sin(B−π6)+12，∴f(B)∈(0, 12]．【考点】平面向量数量积三角函数中的恒等变换应用【解析】（1）利用两个向量的数量积公式以及三角函数的恒等变换化简函数f(x)的解析式为sin(x−π6)+1，由f(x)=1110，求得sin(x−π6)=35，可得x−π6=arcsin35，求得x结果．（2）在△ABC中，由条件2bcosA≤2c−√3a可得2sinAcosB≥√3sinA，故cosB≥√32，B∈(0, π6]，由此求得f(B)的取值范围．【解答】函数f(x)=m→∗n→+1=√3sin x2cos x2−cos2x2+1=√32sinx−1+cosx2+1=sin(x−π6)+12．∵f(x)=1110，∴sin(x−π6)=35．又∵x∈[0, π2]，∴x−π6=arcsin35即x=π6+arcsin35．在△ABC中，由2bcosA≤2c−√3a，可得2sinBcosA≤2sinC−√3sinA，∴2sinBcosA≤2sin(A+B)−√3sinA，∴2sinBcosA≤2(sinAcosB+cosAsinB)−√3sinA，2sinAcosB≥√3sinA，∴cosB≥√32，∴B∈(0, π6]．∴sin(B−π6)∈(−12, 0]，即f(B)=sin(B−π6)+12，∴f(B)∈(0, 12]．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个顶点坐标为A(2, 0)，且长轴长是短轴长的两倍．（1）求椭圆C的方程；（2）过点D(1, 0)且斜率存在的直线交椭圆于G、H，G关于x轴的对称点为G′，求证：直线G ′H 恒过定点(4, 0)． 【答案】∵ 椭圆的焦点在x 轴上，且A(2, 0)为椭圆的顶点，∴ a =2， 又长轴长是短轴长的两倍，∴ b =1． ∴ 椭圆的方程为：x 24+y 2=1．证明：设GH 的直线方程为y =k(x −1)，G(x 1, y 1)，H(x 2, y 2)，则G′(x 1, −y 1)， 联立方程组{y =k(x −1)x 24+y 2=1，消元得：(1+4k 2)x 2−8k 2x +4k 2−4=0， ∴ x 1+x 2=8k 21+4k 2，x 1x 2=4k 2−41+4k 2，直线G′H 的方程为：y +y 1=y 2+y1x 2−x 1(x −x 1)，∴ 当x =4时，y =−y 1+y 2+y1x 2−x 1(4−x 1)=−y 1x 2−x 1y 2+4(y 1+y 2)x 2−x 1=k[5(x 1+x 2)−2x 1x 2−8]x 2−x 1=k(5⋅8k 21+4k 2−2⋅4k 2−41+4k 2−8)x 2−x 1=0，∴ 直线G ′H 恒过定点(4, 0)．【考点】 椭圆的离心率 【解析】（1）根据椭圆长短轴得出a ，b 的值即可；（2）设直线GH 的斜率为k ，求出G′H 的方程，把(4, 0)代入方程验证即可． 【解答】∵ 椭圆的焦点在x 轴上，且A(2, 0)为椭圆的顶点，∴ a =2， 又长轴长是短轴长的两倍，∴ b =1． ∴ 椭圆的方程为：x 24+y 2=1．证明：设GH 的直线方程为y =k(x −1)，G(x 1, y 1)，H(x 2, y 2)，则G′(x 1, −y 1)， 联立方程组{y =k(x −1)x 24+y 2=1 ，消元得：(1+4k 2)x 2−8k 2x +4k 2−4=0， ∴ x 1+x 2=8k 21+4k 2，x 1x 2=4k 2−41+4k 2，直线G′H 的方程为：y +y 1=y 2+y1x 2−x 1(x −x 1)，∴ 当x =4时，y =−y 1+y 2+y1x 2−x 1(4−x 1)=−y 1x 2−x 1y 2+4(y 1+y 2)21=k[5(x 1+x 2)−2x 1x 2−8]21=k(5⋅8k 21+4k 2−2⋅4k 2−41+4k 2−8)x 2−x 1=0，∴ 直线G ′H 恒过定点(4, 0)．设函数f(x)=|2x−ax+5|(a∈R)．（1）求函数的零点；（2）当a=3时，求证：f(x)在区间(−∞, −1)上单调递减；（3）若对任意的正实数a，总存在x0∈[1, 2]，使得f(x0)≥m，求实数m的取值范围．【答案】当a=0时，f(x)=|2x +5|的零点为x=−25；当a≥−258且a≠0，f(x)的零点为x=5±√25+8a2a；当a<−258，f(x)无零点；证明：当a=3时，f(x)=|2x −3x+5|，可令g(x)=2x−3x+5，任取x1<x2<−1，g(x1)−g(x2)=2x1−3x1+5−2x2+3x2−5=(x2−x1)(2+3x1x2)x1x2，由x1<x2<−1，可得x2−x1>0，x1x2>0，进而(x2−x1)(2+3x1x2)x1x2>0，即g(x1)−g(x2)>0，可得g(x)在(−∞, −1)上递减，可得x<−1时，g(x)>g(−1)=6，则f(x)=|2x−3x+5|=g(x)，即f(x)在区间(−∞, −1)上单调递减；对任意的正实数a，总存在x0∈[1, 2]，使得f(x0)≥m，即f(x0)max≥m，当x>0时，f(x)={2x −ax+5,0<x<5+√25+8a2a−2x +ax−5,x≥5+√25+8a2a，则f(x)在(0, 5+√25+8a2a)递减，在(5+√25+8a2a, +∞)递增，可得f(x)max=max{f(1), f(2)}=max{|7−a|, |6−2a|}，由于a>0，设t=max{|7−a|, |6−2a|}，可得|7−a|≤t，|6−2a|≤2t，可得|14−2t|+|6−2a|≤3t，即有|14−2t|+|6−2a|≥|14−2t−6+2t|=8，可得t≥83，则m≤83．【考点】分段函数的应用【解析】（1）讨论a =0，a ≥−258且a ≠0，a <−258，解方程可得零点；（2）可令g(x)=2x −3x +5，运用单调性的定义，证得g(x)在x <−1递减，可得g(x)>6，即可得到证明；（3）由题意可得f(x 0)max ≥m ，由绝对值的含义，化简f(x)，得到在x >0的单调性，即有f(x)max =max{f(1), f(2)}，运用绝对值不等式的性质，可得f(x)的最大值，即可得到m 的范围． 【解答】当a =0时，f(x)=|2x +5|的零点为x =−25； 当a ≥−258且a ≠0，f(x)的零点为x =5±√25+8a2a； 当a <−258，f(x)无零点；证明：当a =3时，f(x)=|2x −3x +5|，可令g(x)=2x −3x +5， 任取x 1<x 2<−1，g(x 1)−g(x 2)=2x 1−3x 1+5−2x 2+3x 2−5=(x 2−x 1)(2+3x 1x 2)x 1x 2，由x 1<x 2<−1，可得x 2−x 1>0，x 1x 2>0，进而(x 2−x 1)(2+3x 1x 2)x 1x 2>0，即g(x 1)−g(x 2)>0，可得g(x)在(−∞, −1)上递减， 可得x <−1时，g(x)>g(−1)=6， 则f(x)=|2x −3x +5|=g(x)，即f(x)在区间(−∞, −1)上单调递减；对任意的正实数a ，总存在x 0∈[1, 2]，使得f(x 0)≥m ， 即f(x 0)max ≥m ，当x >0时，f(x)={2x−ax +5,0<x <5+√25+8a2a−2x +ax −5,x ≥5+√25+8a 2a， 则f(x)在(0, 5+√25+8a2a)递减，在(5+√25+8a2a, +∞)递增， 可得f(x)max =max{f(1), f(2)}=max{|7−a|, |6−2a|}， 由于a >0，设t =max{|7−a|, |6−2a|}， 可得|7−a|≤t ，|6−2a|≤2t ，可得|14−2t|+|6−2a|≤3t ，即有|14−2t|+|6−2a|≥|14−2t −6+2t|=8， 可得t ≥83， 则m ≤83．给定数列{a n }，若数列{a n }中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．（1）已知数列{a n }的通项公式为a n =3n ，试判断{a n }是否为封闭数列，并说明理由；（2）已知数列{a n }满足a n+2+a n =2a n+1且a 2−a 1=2，设S n 是该数列{a n }的前n 项和，试问：是否存在这样的“封闭数列”{a n }，使得对任意n ∈N ∗都有S n ≠0，且18<1S 1+1S 2+⋯+1S n<1118，若存在，求数列{a n }的首项a 1的所有取值；若不存在，说明理由；（3）证明等差数列{a n }成为“封闭数列”的充要条件是：存在整数m ≥−1，使a 1=md ． 【答案】数列{a n }不为封闭数列．∵ n =1，2时，a 1+a 2=3+9=12，32<12<33，可得a 1+a 2≠3m ，m ∈N ∗，∴ a 1+a 2∉{a n }，因此{a n }不是封闭数列．数列{a n }满足a n+2+a n =2a n+1且a 2−a 1=2，∴ 数列{a n }为等差数列，公差为2． ∴ a n =a 1+2(n −1)．又{a n }是“封闭数列”，得：对任意m ，n ∈N ∗，必存在p ∈N ∗使a 1+2(n −1)+a 1+2(m −1)=a 1+2(p −1)，得a 1=2(p −m −n +1)，故a 1是偶数， 又由已知，18<1S 1+1S 2+⋯+1S n<1118，故18<1S 1<118，可得：811<S 1<8， 可得a 1=4或a 1=6或a 1=2，经过验证可得：a 1=4或a 1=6． 证明：（必要性）若存在整数m ≥−1，使a 1=md ，则任取等差数列的两项a s ，a t (s ≠t)，于是a s +a t =a 1+(s −1)d +md +(t −1)d =a 1+(s +m +t −2)d =a s+m+t−1， 由于s +t ≥3，m ≥−1，∴ s +t +m −1∈N ∗为正整数， ∴ a s+m+t−1∈{a n }，∴ {a n }是封闭数列．（充分性）任取等差数列的两项a s ，a t (s ≠t)，若存在a k 使a s +a t =a k ， 则2a 1+(s +t −2)d =a 1+(k −1)d ⇒a 1=(k −s −t +1)d ， 故存在m =k −s −t +1∈Z ，使a 1=md ， 下面证明m ≥−1． 当d =0时，显然成立．对d ≠0，若m <−1，则取p =−m ≥2，对不同的两项a 1和a p ，存在a q 使a 1+a p =a q ，即2md +(−m −1)d =md +(q −1)d ⇒qd =0，这与q >0，d ≠0矛盾， 故存在整数m ≥−1，使a 1=md ． 【考点】数列与不等式的综合 【解析】（1）数列{a n }不为封闭数列．由n =1，2时，a 1+a 2=3+9=12，可得a 1+a 2≠3m ，m ∈N ∗，可得a 1+a 2∉{a n }，即可得出结论．（2）数列{a n }满足a n+2+a n =2a n+1且a 2−a 1=2，可得数列{a n }为等差数列，公差为2．a n =a 1+2(n −1)．又{a n }是“封闭数列”，得：对任意m ，n ∈N ∗，必存在p ∈N ∗使a 1+2(n −1)+a 1+2(m −1)=a 1+2(p −1)，得a 1=2(p −m −n +1)，故a 1是偶数，又由已知，18<1S 1+1S 2+⋯+1S n<1118，故18<1S 1<118，可得a 1．（3）要证明充分必要条件的问题，本题需要从两个方面来证明，一是证明充分性，二是证明必要性，证明时注意所取得数列的项来验证时，项要具有一般性． 【解答】数列{a n }不为封闭数列．∵ n =1，2时，a 1+a 2=3+9=12，32<12<33，可得a 1+a 2≠3m ，m ∈N ∗，∴ a 1+a 2∉{a n }，因此{a n }不是封闭数列．数列{a n }满足a n+2+a n =2a n+1且a 2−a 1=2，∴ 数列{a n }为等差数列，公差为2． ∴ a n =a 1+2(n −1)．又{a n }是“封闭数列”，得：对任意m ，n ∈N ∗，必存在p ∈N ∗使a 1+2(n −1)+a 1+2(m −1)=a 1+2(p −1)，得a 1=2(p −m −n +1)，故a 1是偶数， 又由已知，18<1S 1+1S 2+⋯+1S n<1118，故18<1S 1<118，可得：811<S 1<8， 可得a 1=4或a 1=6或a 1=2，经过验证可得：a 1=4或a 1=6． 证明：（必要性）若存在整数m ≥−1，使a 1=md ，则任取等差数列的两项a s ，a t (s ≠t)，于是a s +a t =a 1+(s −1)d +md +(t −1)d =a 1+(s +m +t −2)d =a s+m+t−1， 由于s +t ≥3，m ≥−1，∴ s +t +m −1∈N ∗为正整数， ∴ a s+m+t−1∈{a n }，∴ {a n }是封闭数列．（充分性）任取等差数列的两项a s ，a t (s ≠t)，若存在a k 使a s +a t =a k ， 则2a 1+(s +t −2)d =a 1+(k −1)d ⇒a 1=(k −s −t +1)d ， 故存在m =k −s −t +1∈Z ，使a 1=md ， 下面证明m ≥−1． 当d =0时，显然成立．对d ≠0，若m <−1，则取p =−m ≥2，对不同的两项a 1和a p ，存在a q 使a 1+a p =a q ，即2md +(−m −1)d =md +(q −1)d ⇒qd =0，这与q >0，d ≠0矛盾， 故存在整数m ≥−1，使a 1=md ．。