山东省文登市2014届高三第三次统考 数学理 含答案

山东省2014届理科数学一轮复习试题选编25：空间几何体的三视图、表面积与体积一、选择题 1 ．（山东省临沂市2013届高三第三次模拟考试 理科数学）一个空间几何体的三视图如图,则该几何体的体积为（ ）A．B．CD【答案】D2 ．（2013年山东临沂市高三教学质量检测考试理科数学）具有如图所示的正视图和俯视图的几何体中,体积最大的几何体的表面积为（ ）A ．13B ．C ．72πD ．14【答案】D 由正视图和俯视图可知,该几何体可能是四棱柱或者是水平放置的三棱柱,或水平放置的圆柱.由图象可知四棱柱的体积最大.四棱柱的高为1,底面边长分别为1,3,所以表面积为2(131131)14⨯+⨯+⨯=,选D ． 3 ．（山东省莱芜五中2013届高三4月模拟数学（理）试题）已知四面体S ABC -的所有棱长都相等,它的俯视图如下图所示,的正方形;则四面体S ABC -外接球的表面积为（ ）A ． 6πB ．4πC ．8πD ．3π【答案】A4 ．（山东省临沂市2013届高三5月高考模拟理科数学）某几何体的三视图如图(其中侧视图中的圆弧是半圆),第7题图（ ）A ．9214+πB ．8214+πC ．9224+πD ．8224+π【答案】A 由几何体的三视图,知该几何体的下半部分是长方体,上半部分是半径为2,高为5的圆柱的一半. 长方体的中445EH HG GK ===，，,所以长方体的表面积为(去掉一个上底面)2(4445)45=92⨯+⨯+⨯.半圆柱的两个底面积为22=4ππ⨯,半圆柱的侧面积为25=10ππ⨯⨯,所以整个组合体的表面积为92+410=92+14πππ+,选（ ）A ．.5 ．（山东省菏泽市2013届高三5月份模拟考试数学（理）试题）如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积、体积分别是 （ ）A ．12832,3ππ B ．3216,3ππ C ．1612,3ππ D ．168,3ππ【答案】C 6 ．（山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试理科数学）有一平行六面体的三视图如图所示,其中俯视图和左视图均为矩形,则这个平行六面体的表面积为（ ）A ．B ．6+C ．30+D ．42【答案】C 由三视图可知该平行六面体的底面是个矩形,两个侧面和底面垂直.其中侧棱12AA =.底面第7题图边长3AD =,平行六面体的高为3.2BE =,又2222112(3)1AE AA A E =-=-=,所以123AB =+=.所以平行六面体的表面积为2(333332)=3063⨯+⨯+⨯+,选C ．7 ．（山东省兖州市2013高三9月入学诊断检测数学(理)试题）如右图所示是某一容器的三视图,现向容器中匀速注水,容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是【答案】 B ． 8 ．（山东省2013届高三高考模拟卷（一）理科数学）一个几何体的三视图如图所示,其正视图和侧视图都是底边长分别为2和4,腰长为4的等腰梯形,则该几何体的侧面积是（ ）A ．π6B ．π12C ．π18D ．π24【答案】B 【解析】结合三视图可知该几何体是一个圆台,其上,下底面的半径分别为2,1,其直观图如图所示.则该几何的侧面积⨯=2(πS π12)414=⨯+.9 ．（山东省泰安市2013届高三上学期期末考试数学理）如图,若一个空间几何体的三视图中,正视图和侧视图都是直角三角形,其直角边均为1,则该几何体的体积为（ ）A ．13B ．12 C ．16D ．1【答案】A【解析】由三视图可知,该几何体是四棱锥,底面为边长为1的正方形,高为1的四棱锥,所以体积为1111133⨯⨯⨯=,选A ． 10．（山东省莱芜市莱芜十七中2013届高三4月模拟数学（理）试题）一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,则这个几何体的（ ）AB1 CD ．外接球的表面积为4π【答案】B11．（山东省济南市2013届高三3月高考模拟理科数学）一个几何体的三视图如右图所示,则它的体积为（ ）A ．203 B ．403C ．20D ．40【答案】B由三视图可知,该几何体是一个放到的四棱锥,其中四棱锥的底面是主视图,为直角梯形,直角梯形的上第11题图图图底为1,下底为4,高为 4.棱锥的高位4,所以四棱锥的体积为1144044323+⨯⨯⨯=,选B ．12．（山东省滨州市2013届高三第一次（3月）模拟考试数学（理）试题）一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）A ．1B ．13 C．12D．32 【答案】B 由三视图可知,该几何体是四棱锥,以俯视图为底,高为1,俯视图的面积为11=1⨯,使用四棱锥的体积为111133⨯⨯=,选 B ．13．（山东省枣庄三中2013届高三上学期1月阶段测试理科数学）如图所示是以建筑物的三视图,现需将其外壁用油漆刷一遍,若每平方米用漆0.2k g,则共需油漆大约公斤数为(尺寸如图所示,单位:米 π取3)（ ）A ．20B ．22.2C ．111D ．110【答案】B【解析】由三视图可知,该几何体上面是个圆锥,下面是个长方体.长方体的底面是边长为3的正方形,高为4,所以长方体的表面积(去掉上下两个底面)为24(34)=48()m ⨯⨯.圆锥的底面半径为3,母线为5,所以圆锥的侧面积为2351545()m ππ⨯⨯==,底面积(去掉一个正方形)为29339918()m ππ-⨯=-=,所以该几何体的总面积为2484518111()m ++=,所以共需油漆0.211122.2⨯=公斤,选 B ．14．（山东省济宁市2013届高三4月联考理科数学）已知某几何体的三视图如图所示,其中俯视图中圆的直径为4,该几何体的体积为1V ,直径为4的球的体积为2V ,则12:V V =（ ）A ．1:2B ．2:1C ．1:1D ．1:4【答案】A15．（2013届山东省高考压轴卷理科数学）右图是一个几何体的正(主)视图和侧(左)视图,其俯视图是面积为的矩形.则该几何体的表面积是（ ）A．20+B．24+C ．8D ．16【答案】（ ）A ．【解析】由已知俯视图是矩形,则该几何体为一个三棱柱,根据三视图的性质,俯视图的矩形宽为由面积4,则1+2=24+2S S S =⨯⨯⨯⨯侧底（）2 =2820+. 16．（山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试理科数学）一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图与左视图均为半径是2的圆,则这个几何体的表面积是（ ）A ．16πB ．14πC ．12πD ．8π【答案】A 由三视图可知,该几何体是一挖去12半球的球.其中两个半圆的面积为224ππ⨯=.34个球的表面积为2342124ππ⨯⨯=,所以这个几何体的表面积是12416πππ+=,选A． 17．（山东省枣庄市2013届高三3月模拟考试数学（理）试题）一个几何体的三视图如图所示,其中的长度单位为cm,则该几何体的体积为( )cm 3.（ ）正视图 俯视图左视图A ．18B ．48C ．45D ．54【答案】D由三视图可知,该几何体时底面是矩形的四棱柱,以俯视图为底,底面直角梯形的上底为4,下底为5,高为3.棱柱的高为4,所以四棱柱的体积为34534542cm +⨯⨯=,选 D ．18．（山东省莱芜市第一中学2013届高三12月阶段性测试数学（理）试题）一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）A ．2B ．1C ．23D ．13【答案】C 19．（2011年高考（山东理））右图是长和宽分别相等的两个矩形.给定下列三个命题:① 存在三棱柱,其正(主)视图、俯视图如右图;② 存在四棱柱,其正(主)视图、俯视图如右图; ③ 存在圆柱,其正(主)视图、俯视图如右图.其中真命题的个数是 （ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0【答案】解析:①②③均是正确的,只需①底面是等腰直角三角形的直四棱柱, 让其直角三角形直角边对应的一个侧面平卧;②直四棱柱的两个侧面 是正方形或一正四棱柱平躺;③圆柱平躺即可使得三个命题为真, 答案选A ． 20．（山东省济南市2013届高三上学期期末考试理科数学）一个锥体的主视图和左视图如图所示,下面选项中,不可能是该锥体的俯视图的是【答案】C【 解析】若俯视图为C,则俯视图的宽和左视图的宽长度不同,所以俯视图不可能是C ．21．（山东省潍坊市2013届高三上学期期末考试数学理 （ ）A ．）一个几何体的三视图如图所示,其中主视图和左视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形,若该几何体的所有顶点在同一球面上,则该球的表面积是 （ ） A ．π12 B ．π24 C ．π32 D ．π48 【答案】D【解析】该几何体的直观图如图1所示,它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥.其中底面ABCD 是边长为4的正方形,高为CC 1=4,该几何体的所有顶点在同一球面上,则球的直径为12AC R ==,所以球的半径为R =,,所以球的表面积是224448R πππ=⨯=,选D ．22．（山东省威海市2013届高三上学期期末考试理科数学）某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积不可能是（ ）A ．1B ．1.5C ．2D ．3【答案】D 由三视图可知,该几何体时一个侧面和底面垂直的的三棱锥,,其中底面三角形BAC为直径三角形,PA ABC ⊥,2AB =,4PC =,设,04AC x x =<<,则PA ==,所以三棱锥的体积为111168232363x ⨯⨯=≤==,当且仅当x =即28,x x ===,此时体积有最大值82233=,所以该三棱锥的体积不可能是3,选D ．23．（山东省烟台市莱州一中2013届高三第三次质量检测数学(理)试题）如图是某一几何体的三视图,则这个几何体的体积为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．20【答案】C 【解析】由三视图可知,该几何体是一个四棱锥,四棱锥的高为4,底面为俯视图对应的矩形,俯视图的面积为2612⨯=,所以四棱锥的体积为1124163⨯⨯=,选C ．24．（山东省烟台市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）一个几何体的三视图如下所示,则该几何体的表面积是 （ ）A ．6+B ．12+C ．12+D ．18+【答案】C【解析】由三视图可知,该几何体是一个直三棱柱,三棱柱的底面是一个腰长为2,底面上的高是1的等腰三角形,侧棱长是3,所以该几何体的表面积为1213(22122⨯⨯+++=+,选 C ． 25．（山东师大附中2013届高三第四次模拟测试1月理科数学）已知某几何体的三视图如图,其中正(主)视图中半圆的半径为1,则该几何体的体积为（ ）A ．3242π-B ．243π-C ．24π-D ．242π-【答案】A 【解析】由三视图可知该几何体是一个长方体去掉一个半圆柱.长方体的长宽高分别为3,2,4.所以长方体的体积为32424⨯⨯=.半圆柱的高为3,所以半圆柱的体积为13322ππ⨯⨯=,所以几何体的体积为3242π-,选 （ ）A ．26．（山东省泰安市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）如右图,一个由两个圆锥组合而成的空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1、一个内角为60°的菱形,俯视图是圆及其圆心,那么这个几何体的体积为（ ）A．12B ．6ππC．12π D．6【答案】A27．（山东省济南市2012届高三3月高考模拟题理科数学（2012济南二模））如图,正三棱柱ABC -111A B C 的各棱长均为2,其正(主)视图如图所示,则此三棱柱侧(左)视图的面积为（ ）A ．22B ．4C ．3D ．32【答案】D【解析】由正视图可知,此三棱柱的侧视图为,高为2,宽为3的矩形,所以面积为32,选 D ． 28．（2009高考(山东理)）一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）A ．2ππ D ．4π+1,高为2,体积为2π,四棱2=所以该几何体的体积为2π.答案:C29．（山东省日照市2013届高三12月份阶段训练数学(理)试题）如右图,某几何体的主视图与左视图都是边长正(主)视图为1的正方形,且体积为12,则该几何体的俯视图可以是【答案】C 【解析】若俯视图为A,则该几何体为边长为1的正方体,体积为1,不成立.若俯视图为B,则该几何体为圆柱,体积为21()124ππ⨯=,不成立.若俯视图为C,则该几何体为三棱柱,体积为1111122⨯⨯⨯=,成立.若俯视图为D,则该几何体为14圆柱,体积为211144ππ⨯⨯=,不成立.所以只有C 成立,所以选 C ．30．（山东省烟台市2013届高三3月诊断性测试数学理试题）如右图,某几何体的三视图均为边长为l 的正方形,则该几何体的体积是（ ） A ．65 B ．32 C ．1 D ．21 【答案】A 由题意三视图对应的几何体如图所示,所以几何体的体积为正方体的体积减去一个三棱锥的体积,即31151111326-⨯⨯⨯⨯=,选 （ ）A ．31．（山东省淄博市2013届高三复习阶段性检测（二模）数学（理）试题）一个四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示,则这个四棱锥的体积是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 由题设及图知,此几何体为一个四棱锥,其底面为一个对角线长为2的正方形,故其底面积为141122⨯⨯⨯=.由三视图知其中一个侧棱为棱锥的高,其相对的侧棱与高及底面正方形的对角线组成一个直角三角形由于此侧棱长为13,对角线长为2,故棱锥的高为22(13)293-==.此棱锥的体积为12323⨯⨯=,选B ． 32．（山东省枣庄市2013届高三4月（二模）模拟考试数学(理)试题）如图所示是一几何体的三视图,则该几何体外接球的表面积为（ ） A ．3π B ．4π C ．8π D ．9π【答案】D二、填空题33．（山东省凤城高中2013届高三4月模拟检测数学理试题 ）已知某几何体的三视图如图所示,其中正视图中半圆的直径为2,则该几何体的体积为____.【答案】3242π- 34．（山东省文登市2013届高三3月二轮模拟考试数学（理））如图,已知球O 的面上有四点,,,A B C D ,DA ⊥平面ABC ,AB BC ⊥,2DA AB BC ===,则球O 的体积与表面积的比为__________.【答案】35．（山东省泰安市2013届高三第一轮复习质量检测数学（理）试题）已知矩形ABCD 的顶点都在半径为5的球O 的球面上,且8,AB BC ==则棱锥O ABCD -的体积为______.【答案】球心在矩形的射影为矩形对角线的交点上.所以对角线长为=,所以棱锥的高为=,所以棱锥的体积为183⨯=. 36．（2012年山东理）(14)如图,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,E,F 分别为线段AA 1,B 1C 上的点,则三棱锥D 1-EDF 的体积为____________.【答案】解析:61112113111=⨯⨯⨯⨯==--DE D F EDF D V V . 37．（山东省莱钢高中2013届高三4月模拟检测数学理试题 ）从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x,y),则点M 取自阴影部分的概率为 ____________;【答案】31 38．（山东省济南市2013届高三4月巩固性训练数学（理）试题）已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为_________.【答案】 4163π+ 39．（山东省德州市2013届高三3月模拟检测理科数学）一空间几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为16π,则图中x 的值为_______________.【答案】3由三视图可知,该几何体下面是个圆柱,上面是个四棱锥.圆柱的体积为4416ππ⨯=,四棱锥的底面积为14482⨯⨯=,所以四棱锥的体积为18833h h ⨯⨯=,所以816163h ππ=+,所以四棱锥的高h =所以2222549x h =+=+=,即3x =. 40．（山东省菏泽市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的表面积与其外接球面积之比为________.【答案】π3 41．（山东省烟台市莱州一中2013届高三第二次质量检测数学(理)试题）一个几何体的三视图如右图所示,则正视图 侧视图俯视图该几何体的表面积为__________.【答案】242π+ 【解析】由三视图可知,该组合体下部是底面边长为2,高为3的正四棱柱,上部是半径为2的半球,所以它的表面积为224322221224πππ⨯⨯+⨯+⨯=+. 42．（山东济南外国语学校2012—2013学年度第一学期高三质量检测数学试题（理科））一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为__________________3m .【答案】4 【解析】由三视图可知,该组合体是由两个边长分别为2,1,1和1,1,2的两个长方体,所以体积之和为2111124⨯⨯+⨯⨯=。

山东省文登市2014届下学期高三年级第三次统考文综试卷2014.4.10注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

共16页，满分300分。

考试用时150分钟。

答题前，考生务必在将自己的姓名、座号、准考证号填写在答题卡上。

2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

4. 考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷本卷共35小题。

每小题4分，共140分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

读某地1月等压线分布图（左图）（单位：hpa）和东非高原基塔莱和多多马的降水资料及两地之间游牧路线示意图（右图），完成1—2题。

1．P地此时的盛行风没有给沿岸带来大量降水的主要原因是A．P地沿岸此时的风向主要由大陆吹向海洋，空气干燥B．P地沿海地势低平，没有迎风坡C．P地沿海有寒流经过，对该气流有降温减湿作用D．P地沿岸此时为冬季，空气中所含水汽少2.此时往返于基塔莱和多多马的牧民最可能位于A.基塔莱B.多多马C.甲地D.乙地我国准备有条件放开二胎生育，某大学生根据调查数据（政策改变后生育率为原生育率的1.4倍左右）设计了人口政策变化前后的人口增长数学模型。

完成3—4题某年龄段人口比重变化图某年龄段人口数量变化图（单位：人）3. 上图中正确表达了政策改变后劳动力（15---60岁）增长（比重或人口数）的是A.模型1B.模型2C.模型3D. 模型4下图模型一、模型二分别是政策改变前、后的人口抚养比(非劳动力人口数/劳动力人口数)变化模型4. 说明人口政策改变后A.劳动力数量变化最快B.劳动力负担一直增加C.低龄人口增长较快，导致前期负担加重D.劳动力人数增加，抚养比立即减小图示意某市某区的昼夜人口变化，读图完成5—6题。

①山东省文登市2014届高三第二次统考数学（理）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 共 4页.满分150分，考试时间120分钟. 考试结束，将本试卷答题纸和答题卡一并交回.第Ⅰ卷 选择题（共60分）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.3.答第Ⅱ卷前将答题卡密封线内的项目填写清楚.4.第Ⅱ卷试题解答要作在答题卡各题规定的矩形区域内，超出该区域的答案无效.一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合{11}A x x =-<<，2{log 0}B x x =≤，则A B =A.{}|1x x -<<1B.{}|01x x <<C.{}|1x x -<≤1D.{}|1x x -∞<≤ 2.已知三条直线,,a b c 和平面β，则下列推论中正确的是A.若ββ//,,//a b b a 则⊂B.若//a β，//b β，则//a b 或a 与b 相交C.若b a c b c a //,,则⊥⊥ D.若,//,,a b a b ββ⊂ 共面，则//a b 3.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且sin sin sin sin a A c C C b B +=．则B ∠ A.6πB.4πC.3πD.34π4.如果执行右侧的程序框图，那么输A.1740B.1800C.1860D.19845.a 是函数12()2log x f x x =-的零点，若00x a <<，则0()f x 的值满足A.0()0f x =B.0()0f x >C.0()0f x <D.0()f x 的值正负不定6.如图，设D 是图中边长为2的正方形区域，E 是函数3y x = 的图象与x 轴及1x =±围成的阴影区域．向D 中随机投一点， 则该点落入E 中的概率为Oy xy =x 3-1-111A.116 B.18 C.14D.127.若不等式2230x x a -+-<成立的一个充分条件是40<<x ， 则实数a 的取值范围应为 A.11a ≥B.11a >C.9a >D.9a ≥8.已知变量x y ，满足约束条件2203x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，，，若目标函数，z y ax =+仅在点(5,3)处取得最小值, 则实数a 的取值范围为A.(,1)-∞-B.(0,)+∞C.3(,)7+∞ D. (1,)+∞9.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如右图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为A.192π B.π319 C.173π D.133π 10.已知点(,)P x y 在直线23x y +=上移动，当24xy+取最小值时，过P 点(,)x y 引圆C ：2215()()124x y -++=的切线，则此切线长等于A.1D.2二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上.11.复平面内有,,A B C 三点，点A 对应的复数为2i +，向量BA对应的复数为23i +，向量BC 对应的复数为3i -，则点C 对应的复数 .12.设常数R ∈a ，若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中4x 项的系数为20，则___a = .13.抛物线C 的顶点在坐标原点，对称轴为y 轴，若过点(0,1)M 任作一直线交抛物线C 于11(,)A x y ,22(,)B x y 两点，且124x x ⋅=-，则抛物线C 的方程为 ． 14.若等边ABC ∆的边长为1，平面内一点M 满足1132CM CB CA =+，则MA MB ⋅=.15.若函数()f x 的图象如图所示，()f x '是函数()f x 的导函数，且(1)y f x =+是奇函数，则下列结论中第9题图①(1)(1)0f x f x -++= ②'()(1)0f x x -≥③()(1)0f x x -≥ 正确的序号是 .三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知(sin ,cos ),(cos ,cos )m b x a x n x x ==- ，()f x m n a =⋅+，其中,,a b x R ∈.且满足()2,(0)6f f π'==(Ⅰ)求,a b 的值；(Ⅱ)若关于x 的方程13()log 0f x k -=在区间2[0,]3π上总有实数解，求实数k 的取值范围. 17.（本小题满分12分）袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是黑球的概率为27现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……，取球后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数.（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列及数学期望； （Ⅱ）求乙取到白球的概率. 18．（本小题满分12分）如图，已知PA ⊥平面ABC ，等腰直角三角形ABC 中，2AB BC ==，,AB BC AD PB ⊥⊥于D ，AE PC ⊥于E .（Ⅰ）求证：PC DE ⊥ ；（Ⅱ）若直线AB 与平面ADE 所成角的正弦值为23，求PA 的值. 19．（本题满分13分）各项均为正数的数列}{n a ,其前n 项和为n S ，满足1121n nn n a a a a ++-=（*N n ∈），且562S a +=. （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式;（Ⅱ）证明：127()31n a n ->+(*)n N ∈；（Ⅲ）若*N n ∈，令2n n a b =，设数列}{n b 的前n 项和为n T （*N n ∈），试比较nn T T 4121++与4641n n +-的大小. 20.(本小题满分12分）已知函数21()(21)2ln (0)2f x ax a x x a =-++>． (Ⅰ) 若12a ≠，求函数)(x f 的单调区间； （Ⅱ）当112a <<时，判断函数)(x f 在区间[1,2] 上有无零点？写出推理过程. 21.(本小题满分14分)已知直线:1l x my =+过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点F ，抛物线：2x =的焦点为椭圆C 的上顶点，且直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，点A 、F 、B 在直线:3g x =上的射影依次为点D 、K 、E . （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线l 交y 轴于点M ，且12,MA AF MB BF λλ==.证明：12λλ+的值定值；（Ⅲ）连接AE 、BD ，直线AE 与BD 是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由.201403理科数学 参考答案及评分标准三．解答题16解：(Ⅰ)由题意知，2()sin cos cos f x m n a b x x a x a=⋅+=-+(1cos 2)sin 222a bx x =-+由()26f π=得，8a =， ……………………………………3分∵()sin 2cos 2f x a x b x '=+，又(0)f '=，∴b=，∴2a = ……… 6分(Ⅱ)由(Ⅰ)得()1cos 22f x x x =-2sin(2)16x π=-+ ……………… 7分∵203x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，72666x πππ-≤-≤， ∴12sin(2)26x π-≤-≤，[]()03f x ∈，. ………… 9分 又∵13()log 0f x k -=有解，即3()log f x k =-有解，∴33log 0k -≤≤，解得1127k ≤≤，所以实数k 的取值范围为1[,1]27. …12分 17解: （Ⅰ）设袋中原有n 个黑球,由题意知22717nC C = ……………1分(1)(1)276762n n n n --==⨯⨯ ， 可得4n =或3n =- (舍去) ……………3分所以黑球有4个，白球有3个.由题意,ξ的可能取值为1,2,3,4,5 ……………4分3432(1);(2)7767P P ξξ⨯=====⨯4336(3)76535P ξ⨯⨯===⨯⨯ 43233(4)765435P ξ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯ 432131(5)7654335P ξ⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯ ……………7分（错一个扣一分，最多扣3分） 所以ξ的分布列为……………8分所以数学期望为:326312345277353535E ξ=+⨯+⨯+⨯+⨯= ……………9分 （Ⅱ）因为乙后取,所以乙只有可能在第二次,第四次取球,记乙取到白球为事件A,则2313()(2)(4)73535P A P P ξξ==+==+=……………11分 答：乙取到白球的概率为1335. ……………12分 18．解：（Ⅰ）证明：因为ABC PA 平面⊥，所以BC PA ⊥,又BC AB ⊥, 所以PAB BC 平面⊥,从而AD BC ⊥．……2分 又PB AD ⊥, ,所以PBC AD 平面⊥,得AD PC ⊥，……4分 又AE PC ⊥,所以ADE PC 平面⊥，∴PC DE ⊥ ……6分 （Ⅱ）过点B 作BE ∥AP ,则BZ ⊥平面ABC ,，分别以,,BA BC BZ 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴 建立空间直角坐标系． ……7分设PA a =，则(2,0,0),(0,2,0),(2,0,)A C P a ,因为ADE PC 平面⊥，(1,1,)PC a ∴=--是平面ADE 的一个法向量，∴向量AB PC 与所成的角的余弦值的绝对值为23， ……9分 又(2,0,0)AB =-则2|cos ,|||||3PC ABPC AB PC AB ⋅<>===⋅，解得1a = ∴1PA = ……12分 19．解:（Ⅰ）由1121n n n n a a a a ++-=得，221120n n n n a a a a ++--=,即11()(2)0n n n n a a a a +++-=又0>n a ,所以有021=-+n n a a ,所以∴12+=n n a a 所以数列}{n a 是公比为2的等比数列. …………………………2分由562S a += 得5511(12)2212a a -+=-,解得21=a .故数列}{n a 的通项公式为*)(2N n a n n ∈=……………………………4分（Ⅱ）由题意即证17431n n -⋅>+①当1=n 时，41137470=+⨯>=⋅,不等式显然成立；………………………5分②假设当k n =时，不等式17431k k -⋅>+成立………6分 当1+=k n 时，1)1(343412)13(4474471++=+>+=+>⨯⨯=⨯-k k k k k k20解：(Ⅰ)∵2()(21)f x ax a x'=-++(0)x >． 即 (1)(2)()ax x f x x--'=(0)x >．…………………2分∵1122a a a --=，∵10,2a a >≠∴102a <<时，12a > 12a >时，12a < ，由()0f x '>得1x a>或2x <由()0f x '<得12x a<< …………………4分所以当102a <<，()f x 的单调递增区间是(0,2]和1[,)a +∞，单调递减区间是1[2,]a 5分同理当12a >，()f x 的单调递增区间是1(0,]a 和[2,)+∞，单调递减区间是1[,2]a…6分（Ⅱ）由(Ⅰ)可知，当112a <<时，()f x 在1[1,]a 上单调递增，在1[,2]a上单调递减， 故max 11()()22ln 2f x f a a a==---．……………8分由112a <<可知22ln 0a --<，max ()0f x <， 故在区间[1,2] ()0f x <．恒成立 …………………11分 故当12a >时，函数)(x f 在区间[1,2] 上没有零点.…………………12分 （注意：仅证明(1)0,(2)0f f <<就说明无零点不得分） 21解：（Ⅰ）易知椭圆右焦点),0,1(F ∴1=c ，抛物线2x =的焦点坐标( ………1分22b b ∴==2223a b c ∴=+=∴椭圆C 的方程22132x y +=. ……………3分 （Ⅱ）易知0≠m ，且l 与y 轴交于10,M m ⎛⎫-⎪⎝⎭，设直线l 交椭圆于()()1122,,,A x y B x y由()2222123440132x my m y my x y =+⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩∴12122244,2323m y y y y m m --+=⋅=++……………5分又由()1111111,1,MA AF x y x y m λλ⎛⎫=∴+=-- ⎪⎝⎭1111my λ∴=--，同理2211my λ=--∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--=+21211112y y m λλ …………7分 ∵ 2122121211423234y y m m m y y y y m ⎛⎫+-++==⋅= ⎪+-⎝⎭……………8分 ∴12121111223m m y y mλλ⎛⎫+=--+=--⋅=- ⎪⎝⎭ 所以，当m 变化时， 12λλ+的值是定值，定值为3-.……………9分（Ⅲ）先探索，当0=m 时，直线l x ⊥轴，则ABED 为矩形，由对称性知，AE 与BD 相交FK 的中点N ，且()2,0N ，。

2014年第三次大联考（山东卷）数学（理）卷（解析版）考试范围：高考全部内容；考试时间：120分钟；注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。

满分150分，考试时间120分钟.2．答题前考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔填写好自己的姓名、班级、考号等信息. 3．考试作答时，请将答案正确填写在答题卡上。

第一卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用直径0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．稿纸上作答无效．．．．．．．. 第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数()f x =的定义域为（ ）A ．(][)1,23,+∞B ．()1,2C ．()()1,23,+∞D ．()[)1,23,+∞2．已知i 是虚数单位，且复数312bii--是纯虚数，则实数b 的值为（ ） A ．6B ．6-C ．32D ． 32-3．已知数列{}na 各项均为正数，如图的程序框图中，若输入的11,6a k ==，则输出s 的值是（ ）A ．1124 B ．613 C ．1213 D ．11124．A ，B ，C 为ABC ∆三内角，则“cos sin cos sin A A B B +=+”是“90C ∠=︒”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件5．已知,m n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，,l α⊄,l β⊄则（ ）A ．α∥β且l ∥αB.α⊥β且l ⊥βC.α与β相交，且交线垂直于lD.α与β相交，且交线平行于l6.设0,0.a b >>若3a与3b的等比中项，则11a b+的最小值为 ( ) A . 8 B . 4 C . 1 D . 147．抛掷两枚骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中，成功次数ξ的期望是（ ） A ．103 B ．509 C ．559D ．8098．已知等差数列765)1()1()1(53}{x x x n a a n n +++++-=，则，的展开式中4x 项的系数是数列}{n a 中的（ ）A ．第9项B ．第10项C ．第19项D ．第20项9．已知点)02(，P ，正方形ABCD 内接于22:2O x y +=，M ，N 分别为AB ，BC 中点，当正方形绕圆心O 旋转时，PM ON ⋅的取值范围为（ ）A ．[]11-， B．⎡⎣ C ．[]22-，D．⎡⎢⎣⎦10．给出下列命题：①在区间(0,)+∞上，函数1y x -=,12y x =,2(1)y x =-,3y x =中有三个是增函数；②若log 3log 30m n <<，则01n m <<<；③若函数()f x 是奇函数，则(1)f x -的图象关于点(1,0)A 对称；④已知函数211,(0)()22,(0)xx f x x x x ⎧-≤⎪=⎨⎪-+>⎩（），则方程1()2f x =有3个实数根，其中正确命题的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填写在答题卷的相应位置上．11．若实数,x y满足20,2360,6100.x kyx yx y--≤⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩其中0k>，若使得1yx+取得最小值的解(),x y有无穷多个，则k等于．12．已知三棱锥S—ABC的三视图如图所示，其中正视图中2,4SA AD==，侧视图中2AB=，则这个几何体的体积为．3 324S SA（C） BBS（A） C正视图侧视图俯视图13．函数()sin()(0,0|)f x A x A ωφω=+>>的图象如图 所示，则()()()()1232014f f f f ++++= .14．设斜率为22的直线与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 交于不同的两点P 、Q ，若点P 、Q在x 轴上的投影恰好为椭圆的两焦点，则椭圆的离心率为________．15．设函数()f x 在R 上是可导的偶函数，且满足()()11f x f x -=-+，则曲线()y f x =在点10x =处的切线的斜率为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16.（本题满分12分）已知231(,2cos ),(sin 2,)22m x n x ==，()21f x m n =⋅⋅-． （1）求()f x 的最大值及取得最大值时x 的值；（2）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,若()1f C =，c =sin 2sin A B =，求ABC ∆的面积．17．（本小题满分12分）如图所示，直线CD ⊥平面BCEF ，且四边形ABCD 为矩形，四边形BCEF 为直角梯形，//BF CE ，090BCE ∠=，4DC CE ==，2BC BF ==．（1）求证：//AF平面CDE；（2）求平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的余弦值.18．（本小题满分12分）“一站到底”是某电视台推出的大型游戏益智节目．为了统计某市观众节目播出当日收视情况，随机抽查了该市60名市民的收视情况，得到如下数据统计表（如图（1））：若收看时间超过2小时的观众定义为“智趣观众”，收看时间不超过2小时的观众定义为“非智趣观众”，已知“非智趣观众”与“智趣观众”人数比恰好为3:2．（1）试确定x，y，p，q的值，并补全频率分布直方图（如图 (2)）．（2）节目组为了进一步了解这60名观众的收视观感，从“非智趣观众”与“智趣观众”中用分层抽样的方法确定10人，若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查．设ξ为选取的3人中“智趣观众”的人数，求ξ的分布列和数学期望．19. （本题满分12分）已知数列{}n a 为等比数列，其前n 项和为n S ，已知35532a a +=-，且对于任意的n N +∈有132,,S S S 成等差数列； （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）已知nb n =（n N +∈），记312123nn nb b b b T a a a a =++++，若2(1)(1)n n mT n -≤--对于2n ≥恒成立，求实数m 的范围.20. （本小题满分13分）已知函数3221()(1)ln(1)3f x x ax a x a =-+-++（其中a 为常数）. （1）若()f x 在区间(1,1)-上不单调，求a 的取值范围；（2）记函数()y f x =的极大值点为m ，极小值点为n ，若251m n +≥恒成立，试求a 的取值范围；（3）若存在一条与y 轴垂直的直线和函数2()()(1)ln F x f x a x x =--+的图象相切，且切点的横坐标0x 满足02x >，求实数a 的取值范围.21. （本题满分14分）设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F 、，上顶点为A ，在x 轴负半轴上有一点B ，满足2112BF BF =，且20BA AF ⋅=. (1)求椭圆C 的离心率；（2）若过2A B F 、、三点的圆与直线30x -=相切，求椭圆C 的方程；（3）在（2）的条件下，过右焦点2F 作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M N 、两点，线段MN 的中垂线与x 轴相交于()0P m ，，求实数m 的取值范围.。

2014届高三第三次调研考试数 学(理科）本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

参考公式：如果事件A B 、互斥，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件A B 、相互独立，那么()()()P AB P A P B =一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1． 若复数2(32)(1)a a a i -++-是纯虚数，则实数a 的值为（ ）A .1B .2C .1或2D .1-2．已知集合{|2}xS y y ==，集合{|ln(1)0}T x x =-<，则S T ⋂=（ ） A .φ B .(0,2)C .(0,1)D . (1,2)3．设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则=24a S（A .2B .4C .152D .1724. 执行右边的程序框图，若0.8p =，则输出的n =（ ）A .3B .4C .5D .65. 设椭圆22221(0,0)x y m n m n+=>>的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为（ ）A ．2211612x y += B ．2211216x y += C ．2214864x y += D ．2216448x y +=6．某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时到12时的销售额为（ ）A . 6万元B ．8万元C ．10万元D ．12万元7. 右图是一个几何体的三视图，根据图中数据可得该几何体的表面积是（ ）A ．9πB ．10πC ．11πD ．12π8．已知函数3()),f x x x =-则对于任意实数,(0)a b a b +≠, 则()()f a f b a b++的值为（ ）A ．恒正 B.恒等于0 C ．恒负 D. 不确定二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分） （一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．9．设随机变量ξ服从正态分布(3,4)N ，若(23)(2)P a P a ξξ<-=>+，则a 的值为 ．10. 已知向量(0,1,1)a =- ，(4,1,0)b =，||a b λ+=0λ>，则λ= ．11. 某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为 ．（用数字作答）12. 若0,0a b ≥≥，且当001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，，时，恒有1ax by +≤，则以a ,b 为坐标点(,)P a b 所形成的平面区域的面积等于 ．13. 对于*n N ∈，将n 表示为1101102222kk k k n a a a a --=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯，当i k =时，1i a =；当01i k ≤≤-时，i a 为0或1. 定义n b 如下：在n 的上述表示中，当012,,,,ka a a a ⋅⋅⋅中等于1的个数为奇数时，1nb =；否则0n b =.则3456b b b b +++= ．俯视图正(主)视图 侧(左)视图FADBC（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。

高三质量检测理科综合2014.4本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非为选择题)两部分，共16页，满分300分，考试用时150分钟。

考试结束后，将答题卡交回。

答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡规定的地方。

第Ⅰ卷(必做，共107分)注意事项：1．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

不涂答题卡，只答在试题卷上不得分。

2．以下数据可供答题时参考：相对原子质量(原子量)：H：1 C：12 O：16 Na：23 Cl：35.5 Ba：1371．正常人体内的激素、酶、抗体和神经递质均具有特定的生物活性，这四类物质都是A．由活细胞产生的，成分都是蛋白质B．在细胞内发挥作用C．在发挥作用后还能保持活性D．与特定分子结合后起作用2．如图所示为部分人体细胞的生命历程。

Ⅰ---Ⅳ代表细胞的生命现象，细胞1具有水分减少、代谢减慢的特征，细胞2可以无限增殖。

下列叙述错误的是A．Ⅰ--Ⅳ过程中，遗传物质没有发生改变B．成体干细胞分化成浆细胞、肝细胞等不能体现细胞的全能性C．细胞2与正常肝细胞相比，细胞膜表面糖蛋白含量减少D．效应T细胞作用于细胞1和细胞2的过程属于细胞免疫3．氨基丁酸(GABA)作为哺乳动物中枢神经系统中广泛分布的神经递质，在控制疼痛方面起着不容忽视的作用，其作用机理如图所示。

下列分析错误的是A．当兴奋到达突触小体时，突触前膜释放GABA，该过程依赖于突触前膜的流动性B．突触前膜释放GABA的过程说明，某些小分子物质可以通过胞吐方式分泌出细胞C．GABA受体实际上也是横跨突触后膜的Cl－通道，能与GABA特异性结合D．GABA与受体结合后，导致Cl－内流，进而导致突触后膜产生动作电位4．生物实验包括科研方法、试剂使用、现象观察、实验条件等，各选项题目与内容不相符合的是5择Array若干大小相似、开放的大豆田，在边界上每隔一定距离设置适宜高度的模拟树桩，为肉食性猛禽提供栖息场所。

2014年山东省某校高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 设集合M={x|x2−x<0}，N={x||x|<2}，则（）A M∩N=⌀B M∩N=MC M∪N=MD M∪N=R2. 复数z=2+4i1−i（i为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是（）A (3, 3)B (−1, 3)C (3, −1)D (2, 4)3. 下列函数中，既是偶函数，又在区间(1, 2)内是增函数的为（）A y=log2|x|B y=cos2xC y=2x−2−x2 D y=log22−x2+x4. 如图，程序框图所进行的求和运算是（）A 12+14+16+⋯+120B 1+13+15+⋯+119C 1+12+14+⋯+118D 12+122+123+⋯+12105. 有一几何体的三视图如下，则该几何体体积为（）A 4+5π2 B 4+3π2C 4+π2D 4+π6. 函数f(x)=sin(ωx+φ)（其中|φ|<π2）的图象如图所示，为了得到y=sinωx的图象，只需把y=f(x)的图象上所有点( )A 向右平移π6个单位长度 B 向右平移π12个单位长度 C 向左平移π6个单位长度 D 向左平移π12个单位长度7. 下列四个图中，函数y =10ln|x+1|x+1的图象可能是（ ）A B C D8. 两名学生参加考试，随机变量x 代表通过的学生数，其分布列为那么这两人通过考试的概率最小值为（ ） A 16 B 13 C 12 D 239. 设△ABC 中，AD 为内角A 的平分线，交BC 边于点D ，|AB →|=3，|AC →|=2，∠BAC =60∘，则AD →⋅BC →=( )A −85 B 95 C −95 D 8510. 定义在R 上的函数f(x)满足：f(x)+f′(x)>1，f(0)=4，则不等式e x f(x)>e x +3（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ）A (0, +∞)B (−∞, 0)∪(3, +∞)C (−∞, 0)∪(0, +∞)D (3, +∞)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11. 对某种电子元件的使用寿命进行跟踪调查，所得样本的频率分布直方图如图所示，由图可知，这一批电子元件中使用寿命在100∼300ℎ的电子元件的数量与使用寿命在300∼600ℎ的电子元件的数量的比是________． 12. (x 2−1x )n 的展开式中，常数项为15，则n =________．13. 椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2．若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为________．14. 若实数x ，y 满足{y ≥1，y ≤2x −1，x +y ≤m.如果目标函数z =x −y 的最小值为−1，则实数m =________．15. 已知a ∈R ，若关于x 的方程x 2+x +|a −14|+|a|=0有实根，则a 的取值范围是________．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2c −a)cosB −bcosA =0． (1)求角B 的大小；(2)求√3sinA +sin(C −π6)的取值范围．17. 力综合治理交通拥堵状况，缓解机动车过快增长势头，一些大城市出台了“机动车摇号上牌”的新规．某大城市2014年初机动车的保有量为600万辆，预计此后每年将报废本年度机动车保有量的5%，且报废后机动车的牌照不再使用，同时每年投放10万辆的机动车牌号，只有摇号获得指标的机动车才能上牌，经调研，获得摇号指标的市民通常都会在当年购买机动车上牌．（1）问：到2018年初，该城市的机动车保有量为多少万辆；（2）根据该城市交通建设规划要求，预计机动车的保有量少于500万辆时，该城市交通拥堵状况才真正得到缓解．问：至少需要多少年可以实现这一目标．（参考数据：0.954=0.81，0.955=0.77，lg0.75=−0.13，lg0.95=−0.02）18.在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，已知AB =AC =AA 1=√5，BC =4，点A 1在底面ABC 的投影是线段BC 的中点O ．（1）证明在侧棱AA 1上存在一点E ，使得OE ⊥平面BB 1C 1C ，并求出AE 的长； （2）求平面A 1B 1C 与平面BB 1C 1C 夹角的余弦值．19. 从集合{1, 2, 4, 8, 16, 32, 64}的所有非空真子集中等可能地取出一个． （1）求所取的子集中元素从小到大排列成等比数列的概率；（2）记所取出的子集的元素个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 20. 已知函数f(x)=ln(ax +1)+x 3−x 2−ax ． （1）若x =23为f(x)的极值点，求实数a 的值；（2）若y =f(x)在[1, +∞)上为增函数，求实数a 的取值范围；（3）若a =−1使，方程f(1−x)−(1−x)3=bx 有实根，求实数b 的取值范围．21.已知点H(−3, 0)，点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M在直线PQ 上，且满足HP →⋅PM →=0，PM →=−32MQ →． （1）当点P 在y 轴上移动时，求点M 的轨迹C ；（2）过定点D(m, 0)(m>0)作直线l交轨迹C于A、B两点，E是D点关于坐标原点O的对称点，求证：∠AED=∠BED；（3）在（2）中，是否存在垂直于x轴的直线l′被以AD为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在求出l′的方程；若不存在，请说明理由．2014年山东省某校高考数学三模试卷（理科）答案1. B2. B3. A4. A5. A6. A7. C8. B9. C10. A11. 1412. 613. √5514. 515. [0,14]16. 解：(1)在△ABC中，∵ (2c−a)cosB−bcosA=0，∴ 2sinCcosB−sinAcosB−sinBcosA=0，即2sinCcosB−sin(A+B)=0，即sinC(2cosB−1)=0，∴ cosB=12，∴ B=π3．(2)由(1)可得√3sinA+sin(C−π6)=√3sinA+cosA=2sin(A+π6)，∵ A∈(0, 2π3)，∴ A+π6∈(π6, 5π6)，sin(A+π6)∈(12, 1]，∴ 2sin(A+π6)∈(1, 2]，即√3sinA+sin(C−π6)的取值范围是(1, 2]．17. 解：（1）设2012年年初机动车保有量为a 1万辆，以后各年年初机动车保有量依次为a 2万辆，a 3万辆，…，每年新增机动车10万辆， 则a 1=600，a n +1=0.95a 1+10， 又a n+1−200=0.95(a n −200)， 且a 1−200=600−200=400，∴ 数列{a n −200}是以400为首项，0.95为公比的等比数列， ∴ a n −200=400⋅0.95n−1，即a n =400⋅0.95n−1+200，∴ 2018年初机动车保有量为a 5=400⋅0.954+200=524万辆． （2）由题意知，a n =400⋅0.95n−1+200<500， 即0.95n−1<0.75， ∴ n >lg0.75lg0.95+1=7.5．故至少需要8年时间才能实现目标．18.（1）证明：连接AO ，在△AOA 1中，作OE ⊥AA 1于点E ，因为AA 1 // BB 1，所以OE ⊥BB 1，因为A 1O ⊥平面ABC ，所以BC ⊥平面AA 1O ，所以BC ⊥OE ， 所以OE ⊥平面BB 1C 1C ，又AO =√AB 2−BO 2=1，AA 1=√5， 得OE =AO⋅A 1O AA 1=2√5=2√55， 则AE =AO 2AA 1=√55（2）解：如图，分别以OA ，OB ，OA 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 则A(1, 0, 0)，B(0, 2, 0)，C(0, −2, 0)，A 1(0, 0, 2) 由AE →=15AA 1→，得点E 得坐标是(45,0,25)，设平面A 1B 1C 的法向量是n →=(x, y, z)，由{n →⋅A 1→C =0˙得{x −2y =0y +z =0令y =1，得x =2，z =−1，所以n →=(2, 1, −1)， 所以cos <OE →，n →>=|OE →|⋅|n →|˙=√3010即平面A 1B 1C 与平面BB 1C 1C 夹角的余弦值为√3010．19. 解：（1）集合{1, 2, 4, 8, 16, 32, 64}的所有非空真子集，共有n =27−2=126， 符合条件的子集有：三元集9个，四元集5个，五元集3个，六元集2个，共有m =9+5+3+2=19个，∴ 所求概率为P =m n=19126；（2）ξ的可能取值是1、2、3、4、5、6，P(ξ=1)=C 71126=7126，P(ξ=2)=C 72126=21126，P(ξ=3)=C 73126=35126， P(ξ=4)=C 74126=35126，P(ξ=5)=C 75126=21126，P(ξ=6)=C 76126=7126，数学期望Eξ=1×7126+2×21126+3×35126+4×35126+5×21126+6×7126=441126=72．20. 解：（1）f′(x)=aax+1+3x 2−2x −a =x[3ax 2+(3−2a)x−(a 2+2)]ax+1∵ x =23为f(x)的极值点，∴ f′(23)=0，∴ 3a(23)2+23(3−2a)−(a 2+2)=0且23a +1≠0，解得a =0 又当a =0时，f ′(x)=x(3x −2)，从而x =23为f(x)的极值点成立．（2）因为f(x)在[1, +∞)上为增函数， 所以x[3ax 2+(3−2a)x−(a 2+2)]ax+1≥0在[1,+∞)上恒成立．若a =0，则f ′(x)=x(3x −2)，此时f(x)在[1, +∞)上为增函数成立，故a =0符合题意 若a ≠0，由ax +1>0对x >1恒成立知a >0．所以3ax 2+(3−2a)x −(a 2+2)≥0对x ∈[1, +∞)上恒成立． 令g(x)=3ax 2+(3−2a)x −(a 2+2)，其对称轴为x =13−12a，因为a >0，所以13−12a<13，从而g(x)在[1, +∞)上为增函数．所以只要g(1)≥0即可，即−a 2+a +1≥0成立 解得1−√52≤a ≤1+√52又因为a >0，所以0<a ≤1+√52．综上可得0≤a ≤1+√52即为所求（3）若a =−1时，方程f(1−x)−(1−x)3=bx 可得lnx −(1−x)2+(1−x)=bx即b =xlnx −x(1−x)2+x(1−x)=xlnx +x 2−x 3在x >0上有解 即求函数g(x)=xlnx +x 2−x 3的值域．法一：b =x(lnx +x −x 2)令ℎ(x)=lnx +x −x 2由ℎ′(x)=1x +1−2x =(2x+1)(1−x)x∵ x >0∴ 当0<x <1时，ℎ′(x)>0，从而ℎ(x)在(0, 1)上为增函数；当x >1时，ℎ′(x)<0，从而ℎ(x)在(1, +∞)上为减函数．∴ ℎ(x)≤ℎ(1)=0，而ℎ(x)可以无穷小．∴ b 的取值范围为(−∞, 0] 法二：g ′(x)=lnx +1+2x −3x 2g″(x)=1x +2−6x =−6x 2−2x−1x当0<x <1+√76时，g″(x)>0，所以g′(x)在0<x <1+√76上递增；当x >1+√76时，g″(x)<0，所以g′(x)在c >1+√76上递减；又g ′(1)=0，∴ 令g′(x 0)=0，0<x 0<1+√76∴ 当0<x <x 0时，g ′(x)<0，所以g(x)在0<x <x 0上递减；当x 0<x <1时，g ′(x)>0，所以g(x)在x 0<x <1上递增；当x >0时，g(x)<0，所以g(x)在x >1上递减； 又当x →+∞时，g(x)→−∞，g(x)=xlnx +x 2−x 3=x(lnx +x −x 2)≤x(lnx +14)当x →0时，lnx +14<0，则g(x)<0，且g(1)=0所以b 的取值范围为(−∞, 0] 21. 解：（1）设M(x, y)，P(0, y ′)，Q(x ′, 0)(x ′>0)∵ PM →=−32MQ →，HP →⋅PM →=0．∴ (x,y −y′)=−32(x′−x,−y)且(3, y ′)⋅(x, y −y ′)=0…∴ x′=13x ，y′=−12y ，3x +yy′−y′2=0．…∴ y 2=4x(x >0)…∴ 动点M 的轨迹C 是以O(0, 0)为顶点，以(1, 0)为焦点的抛物线（除去原点）．… （2）：①当直线l 垂直于x 轴时，根据抛物线的对称性，有∠AED =∠BED ；…②当直线l 与x 轴不垂直时，依题意，可设直线l 的方程为y =k(x −m)(k ≠0, m >0)，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则A ，B 两点的坐标满足方程组{y =k(x −m)y 2=4x(x >0)消去x 并整理，得ky 2−4y −4km =0∴ y 1+y 2=4k ，y 1y 2=−4m…设直线AE 和BE 的斜率分别为k 1、k 2，则k 1+k 2=y 1x 1+m+y 2x 2+m=y 1(x 2+m)+y 2(x 1+m)(x 1+m)(x 2+m)=14y 1y 22+14y 2y 12+m(y 1+y 2)(x 1+m)(x 2+m)=14y 1y 2(y 1+y 2)+m(y 1+y 2)(x 1+m)(x 2+m)=14(−4m)(4k )+4m k(x 1+m)(x 2+m)=0…∴ tan∠AED +tan(180∘−∠BED)=0∴ tan∠AED =tan∠BED∵ 0<∠AED <π2，0<∠BED <π2∴ ∠AED =∠BED ．综合①、②可知∠AED =∠BED ．…（3）假设存在满足条件的直线l ′，其方程为x =a ，AD 的中点为O ′，l ′与AD 为直径的圆相交于点F 、G ，FG 的中点为H ，则O ′H ⊥FG ，O ′点的坐标为(x 1+m 2，y12 )．∵ |O′F|=12|AD|=12√(x1−m)2+y12=12√(x1−m)2+4x1，|O′H|=|a−x1+m2|=12|2a−x1−m|，∴ |FH|2=|O′F|2−|O′H|2=14[(x1−m)2+4x1]−14(2a−x1−m)2=(a−m+1)x1+a(m−a)…∴ |FG|2=(2|FH|)2=4[(a−m+1)x1+a(m−a)]令a−m+1=0，得a=m−1此时，|FG|2=4(m−1)∴ 当m−1>0，即m>1时，|FG|=2√m−1（定值）∴ 当m>1时，满足条件的直线l′存在，其方程为x=m−1；当0<m≤1时，满足条件的直线l′不存在．…。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，满分150分。

考试用时120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1、答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2、第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。

3、第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

4、填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()+()P A B P A P B +=； 如果事件A 、B 独立，那么()()()=∙P AB P A P B 。

第Ⅰ卷（共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，选择符合题目要求的选项。

1.已知i R b a ,,∈是虚数单位，若i a -与bi +2互为共轭复数，则=+2）（bi a （A ）i 45- (B) i 45+ (C) i 43- (D) i 43+ 答案：D解析：a i -与2bi +互为共轭复数，()()2222,124434a b a bi i i i i∴==∴+=+=++=+2.设集合},]2,0[,2{},21{∈==<-=x y y B x x A x 则=B A (A) [0,2] (B) (1,3) (C) [1,3) (D) (1,4) 答案：C 解析：[][][)12212132,0,21,41,3x x x x y x y A B -<∴-<-<∴-<<=∈∴∈∴⋂=Q Q3.函数1)(log 1)(22-=x x f 的定义域为(A))210(， (B) )2(∞+，(C) ),2()210(+∞ ， (D) )2[]210(∞+，， 答案：C 解析：()22log 10x ->2log 1x ∴>或2log 1x ∴<-2x ∴> 或102x ∴<>。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{1,2},{1,,}A B a b ==,则“2a =”是“A B ⊆”的( ) （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件2.1i z i ⋅=-（i 为虚数单位），则z =( )（A ）1i + （B ）1i - （C ）1i -+ （D ）1i --3.若a b >，则下列不等式成立的是( ) （A ）ln ln a b > （B ）0.30.3a b >（C ）1122a b > （D >【答案】D 【解析】试题分析：因为a b >，而对数函数要求真数为正数，所以ln ln a b >不成立；因为0.3x y =是减函数，又a b >，则0.30.3a b <，故B 错； 因为12y x =在(0,)+∞是增函数，又a b >，则1122a b <，故C 错；13y x =在(,)-∞+∞是增函数，又a b >，则1133a b >>D .考点：指数函数、对数函数、幂函数的性质.4.根据给出的算法框图，计算(1)(2)f f -+=( )（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）45.某班级统计一次数学测试后的成绩，并制成了如下的频率分布表，根据该表估计该班级的数学测试平均分为( )（A ）80 （B ）81 （C ）82 （D ）83第4题图【答案】C 【解析】试题分析：∵要估计两个班的平均分，∴可以认为分数是均匀分布的. ∴650.1750.3850.4950.282⨯+⨯+⨯+⨯=， 故选C .考点：频率分布表6.已知,l m 是两条不同的直线，α是一个平面，且l ∥α，则下列命题正确的是( ) （A ）若l ∥m ，则m ∥α （B ）若m ∥α，则l ∥m （C ）若l m ⊥，则m α⊥ （D ）若m α⊥，则l m ⊥7.已知函数()sin 2f x x =向左平移6π个单位后，得到函数()y g x =，下列关于()y g x =的说法正确的是( )（A ）图象关于点(,0)3π-中心对称 （B ）图象关于6x π=-轴对称（C ）在区间5[,]126ππ--单调递增 （D ）在[,]63ππ-单调递减 【答案】C 【解析】试题分析：函数()sin 2f x x =向左平移6π个单位后，得到函数()sin 2(),6f x x π=+即()sin(2),3f x x π=+令3x π=-，得()sin033f ππ-=-≠，A 不正确；令6x π=-，得()sin 0016f π-==≠±，B 不正确；由222,232k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，得5,,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 即函数的增区间为5[,],,1212k k k Z ππππ-++∈减区间为7[,],,1212k k k Z ππππ++∈ 故选C .考点：三角函数图象的平移，三角函数的图象和性质.8.任取三个整数，至少有一个数为偶数的概率为( ) （A ）0.125 （B ）0.25 （C ）0.5 （D ）0.8759.二项式n的展开式中第4项为常数项，则常数项为( ) （A ）10 （B ）10- （C ）20 （D ）20-10..函数()(2)()f x x ax b =-+为偶函数，且在(0,)+∞单调递增，则(2)0f x ->的解集为( ) （A ）{|22}x x x ><-或 （B ）{|22}x x -<< （C ）{|04}x x x <>或 （D ）{|04}x x <<11.双曲线221x y m-=的离心率2e =，则以双曲线的两条渐近线与抛物线2y mx =的交点为顶点的三角形的面积为( )（A （B ）（C ）（D ）故选C .考点：双曲线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，三角形面积公式.12. 已知1a >，设函数()4x f x a x =+-的零点为m ，()log 4a g x x x =+-的零点为n ，则mn 的最大值为( )（A ）8 （B ）4 （C ）2 （D ）1第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）13. 若函数cos22y x x a =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为_________________. 【答案】(21]-，- 【解析】14.已知圆O过椭圆22162x y+=的两焦点且关于直线10x y-+=对称，则圆O的方程为__________.15. 设,x y满足约束条件2202xx ye yx+≥⎧⎪-≥⎨⎪≤≤⎩，则(,)M x y所在平面区域的面积为___________.【答案】22e-【解析】试题分析：画出22002x x y e y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤≤⎩对应的平面区域，如图所示.(,)M x y 所在平面区域的面积为22202001|21122x x AOB e dx S e e e e ∆-=-⨯⨯=--=-⎰. 考点：不等式组表示的平面区域，定积分的应用.16. 函数()y f x =的定义域为(,1)(1,)-∞-+∞，其图象上任一点(,)P x y 满足221x y -=，则给出以下四个命题：①函数()y f x =一定是偶函数； ②函数()y f x =可能是奇函数；③函数()y f x =在(1,)+∞单调递增； ④若()y f x =是偶函数，其值域为(0,)+∞ 其中正确的序号为_______________.（把所有正确的序号都填上）① ②③ ④从以上情况可以看出：①④表示偶函数，②③表示奇函数，②对；由图②④可知函数()y f x =在(1,)+∞单调递减，故③错；由图④可知函数是偶函数时，其值域也为(0,)+∞，故④错. 综上知正确的序号为②.考点：函数的定义，函数的奇偶性、单调性，双曲线.三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）已知向量(cos ,sin )a αα=，(1+cos ,sin )b ββ=-. （Ⅰ）若3πα=，(0,)βπ∈，且a b ⊥，求β；（Ⅱ）若=βα，求a b ⋅的取值范围.（Ⅱ）222cos cossin cos 2cos 1a b ααααα⋅=+-=+- --------------8分令[]cos ,1,1t t α=∈- 2219212()48a b t t t ⋅=+-=+-------------------9分 ∴当1t =时，max 2a b ⋅=，当14t =-时，98mina b ⋅=- -----------------11分 ∴a b ⋅的取值范围为9[,2]8-. ----------------------12分考点：，平面向量垂直的充要条件，平面向量的数量积，和差倍半的三角函数，二次函数的图象和性质.18. （本小题满分12分）一个袋子中装有7个小球，其中红球4个，编号分别为1,2,3,4，黄球3个，编号分别为2,4,6，从袋子中任取4个小球（假设取到任一小球的可能性相等）. （Ⅰ）求取出的小球中有相同编号的概率；（Ⅱ）记取出的小球的最大编号为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望. 【答案】(Ⅰ)1935； (Ⅱ)随机变量X 的分布列为：随机变量X 的数学期望35.(Ⅱ) 随机变量X 的可能取值为：3，4，6 --------------------6分4711(3)35P X C === ， ----------------------7分 132244472(4)5C C C P X C +===， ----------------------8分 36474(6)7C P X C === ----------------------9分所以随机变量X 的分布列为：所以随机变量X 的数学期望124179346355735EX =⨯+⨯+⨯= .--- ----------12分 考点：古典概型，互斥事件，离散型随机变量的分布列及数学期望.19. （本小题满分12分） 如图，矩形ABCD 所在的平面和平面ABEF 互相垂直，等腰梯形ABEF 中，AB ∥EF ，AB =2，1AD AF==，60BAF ∠=，O ，P 分别为AB ，CB 的中点，M 为底面OBF ∆的重心.（Ⅰ）求证：PM ∥平面AFC ；（Ⅱ）求直线AC 与平面CBF 所成角的正弦值.试题解析：（Ⅰ）连结OM 延长交BF 于H ，则H 为BF 的中点，又P 为CB 的中点， ∴PH ∥CF ，又∵AF ⊂平面AFC ，∴PH ∥平面AFC -------------------2分 连结PO ，则PO ∥AC ，AC ⊂平面AFC ，PO ∥平面AFC -----------------4分1PO PO P =∴平面1POO ∥平面AFC ， ----------------5分PM ⊂平面AFC ，//PM 平面AFC ----------------------6分法二：以O 为原点建立如图所示空间直角坐标系，1(1,0,0),(1,0,0),(1,0,1),(,0),2A B C F -- -----------------7分设平面CBF 的法向量为(,,)n x y z =，()33(,,1),0,0,12FC CB =--=-， -------------------8分由0,0,n CBn FC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 所以0,0,z y=⎧+=令1x =，则10x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩ ，所以(1,3,0)n =-，-----------------10分()2,0,1AC =-∴ cos ,n AC <>==分∴直线AC 与平面CBF 所成角的正弦值为5-------------------12分 考点：平行关系，空间的角，空间向量的应用.20. （本小题满分12分）已知正项数列{}n a ，其前n 项和n S 满足2843,n n n S a a =++且2a 是1a 和7a 的等比中项. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ) 符号[]x 表示不超过实数x 的最大整数，记23[log ()]4n n a b +=，求1232n b b b b +++.试题解析：(Ⅰ) 由2843n n n S a a =++①知2111843(2,)n n n S a a n n N ---=++≥∈② ----------------------1分 由①-②得1118()()44n n n n n n n a a a a a a a ---=-++-整理得11(4)()0(2,)n n n n a a a a n n N ----+=≥∈----------------------2分 ∵{}n a 为正项数列∴10,n n a a -+>，∴14(2,)n n a a n n N --=≥∈ ---------3分 所以{}n a 为公差为4的等差数列，由2111843,a a a =++得13a =或11a =----------4分 当13a =时，277,27a a ==，不满足2a 是1a 和7a 的等比中项. 当11a =时，275,25a a ==，满足2a 是1a 和7a 的等比中项. 所以1(1)443n a n n =+-=-. ----------------------6分21. （本小题满分13分）过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点A 作斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为B ，与y 轴的交点为C ，已知613AB BC =. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设动直线y kx m =+与椭圆有且只有一个公共点P ，且与直线4x =相交于点Q ，若x 轴上存在一定点(1,0)M ，使得PM QM ⊥，求椭圆的方程.【答案】（Ⅰ）12e =；（Ⅱ）22143x y +=.试题解析：（Ⅰ）∵A (,0)a -,设直线方程为2()y x a =+,11(,)B x y 令0x =,则2y a =,∴(0,2)C a , ----------------------2分 ∴1111(,),(,2)AB x a y BC x a y =+=-- ----------------------3分∵613AB BC =，∴1x a +=11166(),(2)1313x y a y -=-,整理得111312,1919x a y a =-=--------------------4分 ∵B 点在椭圆上,∴22221312()()11919a b +⋅=,∴223,4b a = ----------------------5分∴2223,4a c a -=即2314e -=,∴12e = ----------------------6分考点：椭圆的几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，共线向量，平面向量垂直的充要条件.22.（本小题满分13分）设函数()(1)x f x ae x =+（其中 2.71828....e =），2()2gx x b x =++，已知它们在0x =处有相同的切线.(Ⅰ)求函数()f x ，()g x 的解析式；(Ⅱ)求函数()f x 在[,1](3)t t t +>-上的最小值；（Ⅲ）若对2,()()x kf x g x ∀≥-≥恒成立，求实数k 的取值范围. 【答案】(Ⅰ) 2()2(1),()42x f x e x g x x x =+=++.(Ⅱ) 22(32)()2(1)(2)t e t f x e t t -⎧--<<-⎪=⎨+≥-⎪⎩；（Ⅲ）满足题意的k 的取值范围为2[1,]e.试题解析：(Ⅰ) ()(2)xf x ae x '=+， ()2g x x b '=+ ----------------------1分 由题意，两函数在0x =处有相同的切线.(0)2,(0),2,(0)(0)2,2,4f a g b a b f a g a b ''∴==∴====∴==，2()2(1),()42x f x e x g x x x ∴=+=++. ----------------------3分（Ⅲ）令2()()()2(1)42x F x kf x g x ke x x x =-=+---，由题意当min 2,()0x F x ≥-≥ ----------------------7分∵2,()()x kf x g x ∀≥-≥恒成立，(0)220,1F k k ∴=-≥∴≥ ----------------------8分 ()2(1)2242(2)(1)x x x F x ke x ke x x ke '=++--=+-， ----------------------9分2x ≥-，由()0F x '>得11,ln x e x k k >∴>；由()0F x '<得1ln x k< ∴()F x 在1(,ln ]k -∞单调递减，在1[ln ,)k+∞单调递增 ----------------------10分 ①当1ln 2k<-，即2k e >时，()F x 在[2,)-+∞单调递增， 22min 22()(2)22()0F x F ke e k e-=-=-+=-<，不满足min ()0F x ≥. ----------------11分 ② 当1ln 2k =-，即2k e =时，由①知，2min 22()(2)()0F x F e k e =-=-=，满足 min ()0F x ≥. ---------------12分 ③当1ln 2k >-，即21k e ≤<时，()F x 在1[2,ln ]k -单调递减，在1[ln ,)k+∞单调递增min 1()(ln )ln (2ln )0F x F k k k==->，满足min ()0F x ≥. 综上所述，满足题意的k 的取值范围为2[1,]e . ----------------------13分 考点：应用导数研究函数的单调性、最值、证明不等式，转化与划归思想.。

2014年山东省威海市文登市高考数学三模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.设全集U=R，集合A={x||x-1|≤1}，B={x|y=2x，y＞1}，则A∩（∁U B）=（）A.∅B.{0}C.{x|0≤x≤2}D.{x|x≤2}【答案】B【解析】解：A={x||x-1|≤1}={x|0≤x≤2}，B={x|y=2x，y＞1}={x|x＞0}，∴（∁U B）={x|x≤0}，即A∩（∁U B）═{x|x=0}={0}，故选：B求出集合A，B，利用集合的基本运算即可得到结论本题主要考查集合的基本运算，利用条件求出集合A，B是解决本题的关键，比较基础．2.袋中有40个小球，其中红色球16个、蓝色球12个，白色球8个，黄色球4个，从中随机抽取10个球作成一个样本，则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：∵这个样本要恰好是按分层抽样方法得到的概率依题意各层次数量之比为4：3：2：1，即红球抽4个，蓝球抽3个，白球抽2个，黄球抽一个，根据古典概型公式得到结果为；故选A因为这个样本要恰好是按分层抽样方法得到的概率，依题意各层次数量之比为4：3：2：1，即红球抽4个，蓝球抽3个，白球抽2个，黄球抽一个，所以红球抽4个，蓝球抽3个，白球抽2个，黄球抽一个是按分层抽样得到的概率．本题考查分层抽样和古典概型，分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比与这层个体数量与总体容量的比相等．3.空间几何体的三视图如图所示，则此空间几何体的直观图为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由已知中三视图的上部分是锥体，是三棱锥，满足条件的正视图的选项是A与D，由左视图可知，选项D不正确，由三视图可知该几何体下部分是一个四棱柱选项都正确，故选A．根据已知中的三视图，结合三视图几何体由两部分组成，上部是锥体，下部为柱体，将几何体分解为简单的几何体分析后，即可得到答案．本题考查的知识点是由三视图还原实物图，如果三视图均为三角形，则该几何体必为三棱锥；如果三视图中有两个三角形和一个多边形，则该几何体为N棱锥（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为矩形和一个多边形，则该几何体为N棱柱（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为梯形和一个多边形，则该几何体为N棱柱（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个三角形和一个圆，则几何体为圆锥．如果三视图中有两个矩形和一个圆，则几何体为圆柱．如果三视图中有两个梯形和一个圆，则几何体为圆台．4.已知随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2）．则“P（-2≤ξ≤2）=0.9”是“P（ξ＞2）＞0.04”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：由随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2）可知正态密度曲线关于y轴对称，∵P（-2≤ξ≤2）=0.9，∴P（ξ＞2）==0.05＞0.04∴“P（-2≤ξ≤2）=0.9”是“P（ξ＞2）＞0.04”的充分不必要条件．故选：A．由正态分布N（0，σ2），得其正态密度曲线关于y轴对称，再结合正态曲线的对称性即可得解．本题主要考查正态分布的概率求法，结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解．5.按照如图的程序运行，已知输入x的值为1+log23，则输出y的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：根据框图的流程，输入x=1+log23＜4，则x=2+log23，∴输出y=×=×=．故选：A．当输入x=1+log23＜4，则x=2+log23，再利用对数公式及指数的运算法则计算可得答案．本题考查了选择结构的程序框图，根据框图的流程代入x值计算是解答此类问题的基本方法．6.某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出8名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的平均分是86，乙班学生成绩的中位数是83，则x+y的值为（）A.9B.10C.11D.13【答案】D【解析】解：∵班学生成绩的平均分是86，∴-8-7-4-6+x-1+0+8+10=0，即x=8．∵乙班学生成绩的中位数是83，∴若y≤1，则中位数为81，不成立．如y＞1，则中位数为，解得y=5．∴x+y=5+8=13，故选：D．根据平均数和中位数的定义和公式，分别进行计算即可得到结论．本题主要考查茎叶图是应用，要求熟练掌握平均数和中位数的概念和计算公式，比较基础．7.在△ABC中，角A、B均为锐角，且cos A＜sin B，则△ABC的形状是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形【答案】B【解析】解：因为cos A＜sin B，所以cos A＜cos（），又因为角A，B均为锐角，所以-B为锐角，又因为余弦函数在（0，π）上单调递减，所以A＞，所以A+B＞△ABC中，A+B+C=π，所以C＜，即三角形的三个内角全为锐角．故选B．利用诱导公式cos（-α）=sinα及余弦函数的单调性可得答案．本题考查诱导公式及正弦函数的单调性及三角形的基本知识，属中档题．8.设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象过区域M的a的取值范围是（）A.[1，3]B.[2，]C.[2，9]D.[，9]【答案】C【解析】解析：平面区域M如如图所示．求得A（2，10），C（3，8），B（1，9）．由图可知，欲满足条件必有a＞1且图象在过B、C两点的图象之间．当图象过B点时，a1=9，∴a=9．当图象过C点时，a3=8，∴a=2．故a的取值范围为[2，9=．故选C．先依据不等式组，结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象特征，结合区域的角上的点即可解决问题．本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组、指数函数的图象与性质，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础，纵观目标函数包括线性的与非线性，非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得规划问题得以深化．9.抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积为36π，则p=（）A.2B.4C.6D.8【答案】D【解析】解：∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径∵圆面积为36π，∴圆的半径为6，又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|=，∴+=6，∴p=8，故选：D．根据△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，可得△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，由此可求p的值．本题考查圆与圆锥曲线的综合，考查学生的计算能力，属于基础题．10.函数y=的图象与函数y=sin x（-4≤x≤8）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A.16B.12C.8D.4【答案】A【解析】解：作出函数y=的图象，则函数关于点（2，0）对称，同时点（2，0）也是函数y=sin x（-4≤x≤8）的对称点，由图象可知，两个函数在[-4，8]上共有8个交点，两两关于点（2，0）对称，设对称的两个点的横坐标分别为x1，x2，则x1+x2=2×2=4，∴8个交点的横坐标之和为4×4=16．故选：A．分别作出两个函数的图象，根据图象的对称性即可得到交点坐标问题．本题主要考查函数交点个数以及数值的计算，根据函数图象的性质，利用数形结合是解决此类问题的关键，综合性较强．二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.已知复数z满足（+3i）z=3i，则z的虚部= ______ ．【答案】【解析】解：由（+3i）z=3i，得：=，∴z的虚部为：．故答案为：．直接由复数代数形式的除法运算化简（+3i）z=3i，则z的虚部可求．本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数虚部的求法，是基础题．12.设函数f（x）=3|x+1|+|x-1|-a，则使f（x）≥恒成立的a的取值范围为______ ．【答案】（-∞，]【解析】解：∵f（x）=3|x+1|+|x-1|-a≥=恒成立，y=3x为增函数，∴|x+1|+|x-1|-a≥恒成立．∴a+≤|x+1|+|x-1|恒成立．令g（x）=|x+1|+|x-1|，则a+≤g（x）min，∵g（x）=|x+1|+|x-1|≥|x+1+1-x|=2，∴g（x）min=2，∴a+≤2，解得：a≤，即a的取值范围为（-∞，]．故答案为：（-∞，]．依题意，利用指数函数y=3x的单调性可得|x+1|+|x-1|-a≥恒成立．令g（x）=|x+1|+|x-1|，易求g（x）min=2，从而可得a的取值范围．本题考查绝对值不等式的解法，考查构造函数思想、等价转化思想与恒成立问题，求得g（x）=|x+1|+|x-1|的最小值是关键，考查运算求解能力，属于中档题．13.已知（1-2x）n展开式中，奇数项的二项式系数之和为64，则（1-2x）n（1+x）展开式中含x2项的系数= ______ ．【答案】70【解析】解：∵（1-2x）n展开式中，奇数项的二项式系数之和为64，∴所有项的二项式系数和为2n=128，解得n=7，根据（1-2x）n（1+x）=（1+x）[1+++…+]，可得展开式中含x2项的系数为+（-2）=84-14=70，故答案为：70．由题意可得，所有项的二项式系数和为2n=128，解得n=7，根据（1-2x）n（1+x）=（1+x）[1+++…+]，可得展开式中含x2项的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．14.如图矩形ORTM内放置5个大小相同的正方形，其中A，B，C，D都在矩形的边上，若向量=x-y，则x-2y= ______ ．【答案】-1【解析】解：根据图及向量的加法：；∴x=3，y=2，∴x-2y=-1．故答案为-1．根据图很容易用向量，来表示向量，对比条件中的向量，便可以求出x，y，从而求出x-2y．根据图及向量的加法不难做出本题，要注意的是向量的方向．15.已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意实数a、b∈R满足：f（a•b）=af（b）+bf（a），f（2）=2，a n=（n∈N*），b n=（n∈N*），考察下列结论：①f（0）=f（1）；②f（x）为偶函数；③数列{b n}为等差数列；④数列{a n}为等比数列，其中正确的是______ ．（填序号）【答案】①③④【解析】解：∵f（0）=f（0•0）=0，f（1）=f（1•1）=2f（1），∴f（1）=0，①正确；f（1）=f[（-1）•（-1）]=-2f（-1），∴f（-1）=0，f（-2）=f（-1×2）=-f（2）+2f（-1）=-2≠f（2），故f（x）不是偶函数，故②错；则f（2n）=f（2•2n-1）=2f（2n-1）+2n-1f（2）=2f（2n-1）+2n，∴b n=b n-1+1，∴{b n}是等差数列，④正确；b1═1，b n=1+（n-1）×1=n，f（2n）=2n b n=n2n，a n═2n，故数列{a n}是等比数列，③正确．故答案为：①③④令x=y=0，得f（0）=f（0•0）=0，令x=y=1得f（1）=f（1•1）=2f（1），∴f（1）=0，可知正确；用特例，f（-2）=f（-1×2）=-f（2）+2f（-1）=-2≠f（2），故f（x）不是偶函数，f（2n）=f（2•2n-1）=2f（2n-1）+2n-1f（2）=2f（2n-1）+2n，有b n=b n-1+1，符合等差数列定义；b1═1，b n=1+（n-1）×1=n，f（2n）=2n b n=n2n，a n═2n，故数列{a n}是等比数列．本题主要考查数列与函数的综合运用，主要涉及了函数的奇偶性，赋值法，等差数列，等比数列的定义及通项．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.将函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象向右平移后得到g（x）图象，已知g（x）的部分图象如图所示，该图象与y轴相交于点F（0，1），与x轴相交于点B、C，点M为最高点，且S△MBC=．（Ⅰ）求函数g（x）的解析式，并判断（-，0）是否是g（x）的一个对称中心；（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，g（A）=1，且a=，求S△ABC 的最大值．【答案】解：（Ⅰ）由题意，函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象向右平移后得到g（x）图象，∴g（x）=2sin[（ω（x-）+φ]，∵S△MBC=，∴|BC|==，∴T=π，即ω=2，∵g（0）=2sin（φ-）=1，且-＜φ-＜，∴φ-=，∴φ=，∴g（x）=2sin[（2（x-）+]=2sin（2x+），∵g（-）=2sin[2•（-）+]=-2≠0，∴（-，0）不是g（x）的一个对称中心；（Ⅱ）∵g（A）=2sin（2A+）=1，2A+∈（，），∴2A+=，∴A=，由余弦定理可得5=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc≥bc，∴S△ABC=bcsin A≤，∴S△ABC的最大值为．【解析】（Ⅰ）利用S△MBC=，确定周期，可得ω，利用g（0）=2sin（φ-）=1，可求φ的值，尽快求函数g（x）的解析式，代入（-，0），即可判断（-，0）是否是g（x）的一个对称中心；（Ⅱ）先求出A，再由余弦定理可得5=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc≥bc，即可求S△ABC的最大值．本题考查函数解析式的确定，考查余弦定理的运用，考查基本不等式，确定函数的解析式，正确运用基本不等式是关键．17.已知正项数列{a n}的前n项和为S n，a1=，且满足2S n+1=4S n+1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）当1≤i≤n，1≤j≤n（i，j，n均为正整数）时，求a i和a j的所有可能的乘积a i a j 之和．【答案】解：（Ⅰ）∵，∴，，（1分）两式相减得a n+1=2a n，∴，，（2分）由2S2=4S1+1得2（a1+a2）=4a1+1，又，∴，．（3分）∴数列{a n}是首项为，公比为2的等比数列，∴．（5分）（Ⅱ）由a i和a j的所有可能乘积（1≤i≤n，1≤j≤n）（6分）可构成下表：21+1-4，21+2-4，21+3-4，…，21+n-4，22+1-4，22+2-4，…，22+n-4，2n+1-4，2n+2-4，2n+3，…，2n+n-4，（8分）设上表第一行的和为T1，则（10分）于是…+2n-1）==（12分）【解析】（Ⅰ）由2S n+1=4S n+1，再写一式，两式相减，确定数列{a n}是首项为，公比为2的等比数列，即可求出a n．（Ⅱ）由a i和a j的所有可能乘积a i•a j=2i+j（1≤i≤j≤n）可构成下表：21+1-4，21+2-4，21+3-4，…，21+n-4，22+1-4，22+2-4，…，22+n-4，2n+1-4，2n+2-4，2n+3，…，2n+n-4，即可求a i和a j的所有可能的乘积a i a j之和T n．考查等差数列、等比数列、不等式的证明、数列的求和等知识，考查推理论证能力和运算求解能力和化归转化数学思想．18.如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC=2，EA⊥EB．（Ⅰ）求直线EC与平面ABE所成角的正切值；（Ⅱ）线段EA上是否存在点F，使EC∥平面FBD？存在请确定具体位置，不存在说明理由．【答案】解：（Ⅰ）∵平面ABCD⊥平面ABE，且交线AB，BC⊥AB，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥平面ABE，则∠CEB是直线EC与平面ABE所成角，∵在等腰三角形ABE中，AB=2，∴EB=EA=，在直角三角形CBE中，tan∠，∴直线EC与平面ABE所成角的正切值为．（Ⅱ）设O为AB的中点，连接OD，OE，则OE⊥AB，∵平面ABCD⊥平面ABE，∴OE⊥平面ABE，OE⊥OD，在直角梯形ABCD，由CD=OB，CD∥OB，可得OD⊥AB，由OB，OD，OE两两垂直，建立空间直角坐标系O-xyz，假设线段EA上存在点F，使EC∥平面FBD，设=（x，y，z）是平面PBD的一个法向量，则必需使⊥．∵E（0，0，1），C（1，-1，0），B（0，-1，0），D（1，0，0）则，，，，，，设F（0，a，1-a），，，∴，得令x=1，则，，．要使⊥，则有，∴．此时，，，，，，，，，∴则线段EA上存在点F，且是靠近点E的一个三等分点．【解析】（Ⅰ）根据线面所成角的定义，即可求直线EC与平面ABE所成角的正切值；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量法结合EC∥平面FBD，即可得到结论．本题主要考查直线和平面所成角的计算，以及线面平行的判断，建立空间坐标系是解决本题的关键．19.现有正整数1，2，3，4，5，…n，一质点从第一个数1出发顺次跳动，质点的跳动步数通过抛掷骰子来决定：骰子的点数小于等于4时，质点向前跳一步；骰子的点数大于4时，质点向前跳两步．（Ⅰ）若抛掷骰子二次，质点到达的正整数记为ξ，求Eξ和Dξ；（Ⅱ）求质点恰好到达正整数6的概率．【答案】解：（Ⅰ）ξ的可能取值为3，4，5…（1分），P（ξ=4）=，…（4分）ξ的分布列为…（7分）（Ⅱ）质点恰好到达6有三种情形①抛掷骰子五次，出现点数全部小于等于4，概率；…（8分）②抛掷骰子四次，出现点数三次小于等于4，一次大于4，概率为；（9分）③抛掷骰子三次，出现点数一次小于等于4，二次大于4，概率…（10分）所以即质点恰好到达正整数6的概率为．…（12分）【解析】（I）由于ξ表示抛掷骰子二次，质点到达的正整数，由题意则ξ的取值有3，4，5，并利用随机变量得到定义求出每一个值下对应的事件的概率，有分布列定义求出其分布列，并根据期望定义求出期望．（II）由题意质点恰好到达正整数6有三种情形，①抛掷骰子五次，出现点数全部小于等于4；②抛掷骰子四次，出现点数三次小于等于4，一次大于4；③抛掷骰子三次，出现点数一次小于等于4，二次大于4．利用独立事件的概率公式各自的概率，最后相加即可；此题重在准确理解题意，主要考查了独立事件同时发生的概率公式，随机变量的定义及其分布列，并利用随机变量的分布列求其期望．20.已知圆M：（x-）2+y2=，椭圆C：=1（a＞b＞0）的右顶点为圆M的圆心，左焦点与双曲线x2-y2=1的左顶点重合．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知直线l：y=kx与椭圆C分别交于两点A，B，与圆M分别交于两点G，H（其中点G在线段AB上）且|AG|=|BH|，求k的值．【答案】解：（Ⅰ）由题意，圆心，，双曲线的左顶点（-1，0），（1分）所以，，，椭圆方程为：：（3分）（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由直线l与椭圆相交于两点A，B，则所以（1+2k2）x2-2=0，则，，（5分）所以（7分）点，到直线l的距离，则（9分）显然，若点H也在线段AB上，则由于对称性知，直线y=kx就是y轴，矛盾．因为|AG|=|BH|，所以|AB|=|GH|，（10分）即整理得4k4-3k2-1=0（12分）解得k2=1，即k=±1（13分）【解析】（Ⅰ）求出圆心，，双曲线的左顶点（-1，0），可得椭圆的几何量，即可求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线l与椭圆联立，求出|AB|，|GH|，利用|AG|=|BH|，可得|AB|=|GH|，建立方程，即可求k的值．本题考查圆锥曲线的综合，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，考查学生分析解决问题的能力，正确计算|AB|，|GH|是关键．21.设x=3是函数f（x）=（x2+ax+b）e3-x，（x∈R）的一个极值点．（Ⅰ）求a与b的关系式（用a表示b），并求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设a＞0，g（x）=（a2+）e x，若存在ξ1，ξ2∈[0，4]，使得|f（ξ1）-g（ξ2）|＜成立，求实数a的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）=（x2+ax+b）e3-x∴f′（x）=（2x+a）e3-x-（x2+ax+b）e3-x=-[x2+（a-2）x+b-a]e3-x，由题意得：f′（3）=0，即32+3（a-2）+b-a=0，b=-2a-3，∴f（x）=（x2+ax-2a-3）e3-x且f′（x）=-（x-3）（x+a+1）e3-x令f′（x）=0得x1=3，x2=-a-1．∵x=3是函数f（x）=（x2+ax+b）e3-x，（x∈R）的一个极值点∴x1≠x2，即a≠-4故a与b的关系式b=-2a-3，（a≠-4）．（1）当a＜-4时，x2=-a-1＞3，由f′（x）＞0得单增区间为：（3，-a-1）；由f′（x）＜0得单减区间为：（-∞，3），（-a-1，+∞）；（2）当a＞-4时，x2=-a-1＜3，由f′（x）＞0得单增区间为：（-a-1，3）；由f′（x）＜0得单减区间为：（-∞，-a-1），（3，+∞）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当a＞0时，x2=-a-1＜0，f（x）在[0，3]上单调递增，在[3，4]上单调递减，∴，，f（x）max=f（3）=a+6．∴f（x）在[0，4]上的值域为[-2（a+3）e3，a+6]．又g（x）=（a2+）e x，在x∈[0，4]上单调递增，∴g（x）在x∈[0，4]上的值域为，．由于≥0，∴若存在ξ1，ξ2∈[0，4]，使得|f（ξ1）-g（ξ2）|＜成立，必需＞＜，解得0＜a＜3．∴a的取值范围是（0，3）．【解析】（I）利用函数导数与极值的关系即可得出a与b的关系，对a分类讨论即可得出函数f （x）的单调性；（II）利用单调性分别求出函数f（x），g（x）的值域，f（x）在[0，4]上的值域为[-2（a+3）e3，a+6]．g（x）在x∈[0，4]上的值域为，．由于≥0，可知：若存在ξ1，ξ2∈[0，4]，使得|f（ξ1）-g（ξ2）|＜成立，必需＞，解得即可．＜本题考查了利用函数导数研究函数的单调性极值与最值，考查了分类讨论的思想方法，考查了恒成立问题的等价转化方法，属于难题．。

①2013~2014学年文登市高三第二次质量测试数学（理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 共 4页.满分150分，考试时间120分钟. 考试结束，将本试卷答题纸和答题卡一并交回.第Ⅰ卷 选择题（共60分）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.3.答第Ⅱ卷前将答题卡密封线内的项目填写清楚.4.第Ⅱ卷试题解答要作在答题卡各题规定的矩形区域内，超出该区域的答案无效.一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.，则A B =A.{}|1x x -<<1B.{}|01x x <<C.{}|1x x -<≤1D.{}|1x x -∞<≤ 2.已知三条直线,,a b c 和平面β，则下列推论中正确的是 A.若ββ//,,//a b b a 则⊂B.若//a β，//b β，则//a b 或a 与b 相交C.若b a cb c a //,,则⊥⊥ D.若,//,,a b a b ββ⊂ 共面，则//a b 3.ABC ∆的内角,,AB C 的对边分别为,,a b c ,且4.如果执行右侧的程序框图，那么输 出的S 的值为A.1740B.1800 的零点，若00x a <<，则0()f x 的值满足C.0()0f x <D.0()f x 的值正负不定 的正方形区域，E 是函数3y x = 围成的阴影区域．向D 中随机投一点， 第6题图7.若不等式2230x x a -+-<成立的一个充分条件是40<<x ， 则实数a 的取值范围应为A.11a ≥B.11a >C.9a >D.9a ≥8.已知变量x y ，满足约束条件2203x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，，，若目标函数，z y ax =+仅在点(5,3)处取得最小值, 则实数a 的取值范围为A.(,1)-∞-B.(0,)+∞C.D.(1,)+∞9.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如右图所示，其顶点都在一个球面10.已知点(,)P x y 在直线23x y +=上移动，当24xy+取最小值时，过P点(,)x y 引圆CA.1B. D.2二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上.11.复平面内有,,A B C 三点，点A 对应的复数为2i +，向量BA对应的复数为23i +，向量BC对应的复数为3i -，则点C 对应的复数 .12.设常数R ∈a ，若的二项展开式中4x 项的系数为20，则13.抛物线C 的顶点在坐标原点，对称轴为y 轴，若过点(0,1)M 任作一直线交抛物线C 于11(,)A x y ,22(,)B x y 两点，且124x x ⋅=-，则抛物线C 的方程为 ． 14.若等边ABC ∆的边长为1，平面内一点M 满足MA MB ⋅=.15.若函数()f x 的图象如图所示，()f x '是函数()f x 的导函数，且(1)y f x =+是奇函数，则下列结论中①(1)(1)0f xf x -++= ②'()(1)0f x x -≥③()(1)0f x x -≥ 正确的序号是 .第9题图三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分），其中,,a b x R ∈.((上总有实数解，求实数k 的取值范围17.（本小题满分12分）袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是黑球的概率为现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……，取球后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数.（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列及数学期望；（Ⅱ）求乙取到白球的概率. 18．（本小题满分12分）如图，已知PA ⊥平面ABC，等腰直角三角形ABC 中，2AB BC ==，,AB BC AD PB ⊥⊥于D ，AE PC ⊥于E .（Ⅰ）求证：PC DE ⊥ ；（Ⅱ）若直线AB 与平面ADE 所成角的正弦值为，求PA 的值. 19．（本题满分13分）各项均为正数的数列}{n a ,其前n 项和为n S *N n ∈），且562S a +=.（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式;（Ⅱ）证明：127()31n a n ->+(*)n N ∈；（Ⅲ）若*N n ∈，令2n n a b =，设数列}{n b 的前n 项和为n T （*N n ∈），试比较. 20.(本小题满分12分）(Ⅰ) 上有无零点？写出推理过程. 21.(本小题满分14分)已知直线:1l x my =+F ，抛物线：的焦点为椭圆C 的上顶点，且直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，点A 、F 、B 在直线:3g x =上的射影依次为点D 、K 、E . （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线l 交y 轴于点M ，且12,MA AF MB BF λλ==.证明：12λλ+的值定值；（Ⅲ）连接AE 、BD ，直线AE 与BD 是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由.201403理科数学参考答案及评分标准三．解答题得，分分分17解: （Ⅰ）设袋中原有n个黑球,……………1分，可得4n=或3n=- (舍去) ……………3分所以黑球有4个，白球有3个.由题意,ξ的可能取值为1,2,3,4,5……………4分3分）所以ξ的分布列为……………8分所以数学期望为……………9分（Ⅱ）因为乙后取,所以乙只有可能在第二次,第四次取球,记乙取到白球为事件A,则……………11分……………12分18．解：（Ⅰ）证明：因为ABCPA平面⊥，所以BCPA⊥,又BCAB⊥, 所以PABBC平面⊥,从而ADBC⊥．……2分又PBAD⊥, ,所以PBCAD平面⊥,得ADPC⊥，……4分又AEPC⊥,所以ADEPC平面⊥，∴PC DE⊥……6分（Ⅱ）过点B作BE∥AP,则BZ⊥平面ABC,，分别以,,BA BC BZ所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．……7分设PA a=，则(2,0,0),(0,2,0),(2,0,)A C P a,因为ADEPC平面⊥，(1,1,)PC a∴=--是平面ADE的一个法向量，∴向量ABPC与所成的角的余弦值的绝对值为……9分又(2,0,0)AB=-，解得1a=∴1PA=……12分19．解:得，221120n n n na a a a++--=,即11()(2)0n n n na a a a+++-=又0>na,所以有021=-+nnaa,所以∴12+=nnaa所以数列}{na是公比为2的等比数列. …………………………2分由562S a += 解得21=a .故数列}{n a 的通项公式为*)(2N n a n n ∈=……………………………4分（Ⅱ）由题意即证17431n n -⋅>+①当1=n 时，41137470=+⨯>=⋅,不等式显然成立；………………………5分②假设当k n =时，不等式17431k k -⋅>+成立………6分 当1+=k n 时，1)1(343412)13(4474471++=+>+=+>⨯⨯=⨯-k k k k k k2分的单调递增区间是(0,2]和分 和[2,)+∞，单调递减区间是分（Ⅱ）由(Ⅰ)可知，故在区间[1,2] ()0f x <．恒成立…………………11分时，函数)(x f 在区间[1,2] 上没有零点.…………………12分 （注意：仅证明(1)0,(2)0f f <<就说明无零点不得分） 21解：（Ⅰ）易知椭圆右焦点),0,1(F ∴1=c ，………1分2223a b c ∴=+=∴椭圆C 的方程……………3分 （Ⅱ）易知0≠m ，且l 与y轴交于设直线l 交椭圆于()()1122,,,A x y Bx y5分…………7分8分所以，当m 变化时， 12λλ+的值是定值，定值为3-.……………9分（Ⅲ）先探索，当0=m 时，直线l x ⊥轴，则ABED 为矩形，由对称性知，AE 与BD 相交FK 的中点N ，且()2,0N ，。

文登市2014届高三第三次统考数学（文）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 共 4页.满分150分，考试时间120分钟. 考试结束，将本试卷答题纸和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 选择题（共60分） 注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.3.答第Ⅱ卷前将答题卡密封线内的项目填写清楚.4.第Ⅱ卷试题解答要作在答题卡各题规定的矩形区域内，超出该区域的答案无效.一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U R =，集合{||1|1},A x x =-≤{|2,1},xB x y y ==>则()U A C B =A.∅B.{0}C.{|02}x x ≤≤D.{|2}x x ≤2.“函数22()cos sin f x ax ax =-的最小正周期为2π ”是“12a =-”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 3.—空间几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图为4.从221x y m n -=（其中{},2,5,4m n ∈--）所表示的圆锥曲线方程中任取一个，则此方程是焦点在y 轴上的双曲线方程的概率为 A.47 B.49 C.45 D.7115.按照如图的程序运行，已知输入x 的值为21log 3+，则输出y 的值为A.112B. 38C.712D.1124 6.某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出8名学生 参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如右图，其中甲班学生成绩的平均分是86， 乙班学生成绩的中位数是83，则x +y 的值为 A.9 B.10 C.11 D.137.在ABC ∆中，角,A B 均为锐角，且cos sin A B <， 则ABC ∆的形状是A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不能判断8.设二元一次不等式组219080,2140x y x y x y +->⎧⎪-+>⎨⎪+-<⎩，所表示的平面区域为M ，使函数(0,1)x y a a a =>≠的图象过区域M 的a 的取值范围是A.[2,9]B. C.(2,9)D.9.抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，若OFM ∆的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆面积为36π，则p =A.2B.4C.6D.810.函数12y x =-的图像与函数sin (48)2y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于A.4B.8C.12D.16二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上. 11.已知复数z满足3)3i z i =，则z 的虚部＝ .12.函数1ln (0)()1(0)x xf x x x ⎧>⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩,则()2f x >-的解集为.13.定义在实数集R 上的函数()f x 满足()(1)f x f x =-+，当[]2,3x ∈时，()f x x =，则[]3,2x ∈--时，()f x = .14.如图矩形ORTM 内放置5个大小相同的正方形，其中,,,A B C D 都在矩形的边上，若向量 BD xAE yAF =-,则2x y -= . 15.已知)(x f 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的,,R b a ∈满足)()()(a bf b af b a f +=⋅，)(2)2(),()2(,2)2(**∈=∈==N n f b N n n f a f n n n n n ，考查下列结论：①)1()0(f f =；②)(x f 为偶函数；③数列{}n a 为等比数列；④数列{}n b 为等差数列.其中正确的是 .三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分） 将函数()f x xωϕ=+(ωϕπ><<的图象向右平移4π后得到()g x 图象，已知()g x 的部分图象如右图所示，该图象与y 轴相交于点(0,1)F ，与x 轴相交于点B 、C ，点M 为最高点，且2MBC S π∆=．（Ⅰ）求函数()g x 的解析式，并判断5(,0)6π-是否是()g x 的一个对称中心；（Ⅱ）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C的对边，()1g A =,且a =ABC S ∆的最大值．17.（本小题满分12分） 已知(1,2),(,)a b x y =-=.（Ⅰ）若x 是从2,0,1,2-四个数中任取的一个数，y 是从1,0,1-三个数中任取的一个数，求a b ⊥的概率．（Ⅱ）若x 是从区间]2,1[-中任取的一个数，y是从区间]1,1[-中任取的一个数，求,a b 的yx夹角是钝角的概率．18.(本小题满分12分)在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，112AB DC ==，2BP BC PC ===,AB ⊥平面PBC ，F PC 为中点．(Ⅰ) 求证：//BF 平面PAD ； (Ⅱ）求证：平面ADP ⊥平面PDC ； （Ⅲ）求P ABCD V -.19．（本小题满分12分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为11,,2n S a =且满足1241()n n S S n N *+=+∈．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）当1i n ≤≤，1j n ≤≤（,,i j n 均为正整数）时，求i a 和j a 的所有可能的乘积i j a a 之和.20.(本小题满分13分）已知圆227:(3M x y +=，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右顶点为圆M 的圆心，左焦点与双曲线221x y -=的左顶点重合. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知直线:l y kx =与椭圆C 分别交于两点,A B ，与圆M 分别交于两点,G H （其中点G 在线段AB 上）且||||AG BH =，求k 的值.21．（本小题满分14分）已知函数2()1ax bf x x -=+在点(1,(1))f 的切线方程为10x y --=.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）设x x g ln )(=，求证：)()(x f x g ≥在),1[+∞∈x 上恒成立；（Ⅲ）已知b a <<0，求证：222ln ln b a aab a b +>--201404文科数学 参考答案及评分标准三．解答题17解：（Ⅰ）设“a b ⊥”为事件A ，由a b ⊥，得02=-y x 1分{(2,1),(2,0),(2,1),(0,1),(0,0),(0,1),(1,1),(1,0),(1,1),(2,1),(2,0),(2,1)}Ω=-------共包含12个基本事件； 3分,其中{(2,1),(0,0),(2,1)}A =--，包含3个基本事件. 4分则31()124P A ==5分（Ⅱ）设“,a b 的夹角是钝角”为事件B ，由,a b 的夹角是钝角，可得0a b ⋅<，即20x y -<且2,0y x x ≠-<（注明：后面的条件没有也不扣分，一条直线不影响面积） 7分{(,)|12,11}x y x y Ω=-≤≤-≤≤{(,)12,11,20}B x y x y x y =-≤≤-≤≤-< 9分则133322()328B S P B S Ω⨯⨯===⨯ 11分答：（Ⅰ） a b ⊥的概率是16；（Ⅱ）,a b 的夹角是钝角的概率是38. 12分18.解：(Ⅰ)取PD 的中点为E ，连接EF ， ∵F PC 为中点∴EF 为PDC ∆的中位线，即EF ∥DC 且12EF DC =．……………2分又∵AB ∥CD ，12AB CD=, ∴AB ∥EF 且AB EF =，∴四边形ABFE 为平行四边形,∴BF ∥AE . …………3分 又∵AE ⊂平面PAD ．BF ⊄平面PAD ∴BF ∥平面PAD ．……………4分(Ⅱ）∵BP BC =，F 为PC 的中点，∴BF PC ⊥ ．…………5分 又AB ⊥平面PBC ,AB ∥CD ,∴CD ⊥平面PBC ,………6分DC BF ⊥,又DC PC C =,∴BF ⊥平面PDC .……………7分由(Ⅰ)知，AE ∥BF ,∴,,AE PDC AE ADP ADP PDC ⊥⊂∴⊥平面又平面平面平面．…………8分 （Ⅲ）AB ⊥平面,PBC AB ⊂平面ABCD ,∴平面ABCD ⊥平面PBC 且交线为BC …………9分又2,,BP BC PC PB BC PB ==∴⊥∴⊥平面,A B C D P B ∴是四棱锥的高, ………10分111(12)1332P ABCD ABCD V S PB -∴=⋅=⨯+=………12分19解：（Ⅰ）∵11241(),241(2,)n n n n S S n N S S n n N **+-=+∈∴=+≥∈， 1分 两式相减得112,2(2,)n n n na a a n n N a *++=∴=≥∈， 2分由21241S S =+得1212()41a a a +=+，又21211,1,22a a a a =∴==. 3分∴ 数列{}n a 是首项为12，公比为2的等比数列，∴ 22n n a -= . 5分（Ⅱ）由i a 和j a 的所有可能乘积42i j i j a a +-⋅=（1i n ≤≤，1j n ≤≤） 6分可构成下表11412413414214224234243143243343414243442,2,2,,22,2,2,,22,2,2,,22,2,2,,2n n n n n n n n +-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-8分设上表第一行的和为1T ，则11(12)14(21)124n n T -==-- 10分于是21(122n T T =+++…＋12)n -＝112(21)412nn --=- 21(21)4n - 12分20解：（Ⅰ）由题意，圆心M ,双曲线的左顶点(1,0)-， 1分所以1,1a c b ===，椭圆方程为：22:12x C y += 3分（Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ，由直线l 与椭圆相较于两点,A B ，则22220y kxx y =⎧⎨+-=⎩ 所以22(12)20k x +-=，则1212220,12x x x x k +==-+， 5分所以||AB ==分点M 到直线l的距离d =，则||GH ==分显然，若点H 也在线段AB 上，则由于对称性知，直线y kx =就是y 轴，矛盾. 因为||||AG BH =,所以||||AB GH =, 10分即22228(1)724()1231k k k k +=-++整理得424310k k --= 12分 解得21k =即1k =± 13分21．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）将1x =代入切线方程得0y =∴(1)011a bf -==+，化简得0a b -= ………………2分222(1)()2()(1)a x ax b xf x x +--⋅'=+由题意，切线的斜率为1，即22()(1)14a a b f --'==解得：2,2b a ==.∴122)(2+-=x x x f . ………………4分。

7 8 99 4 4 6 4 7 32014年高考理科数学总复习试卷第3卷题目及其答案其答案本试卷共本试卷共44页，页，212121小题，满分小题，满分小题，满分150150150分。

考试用时分。

考试用时分。

考试用时l20l20l20分钟。

分钟。

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参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．是锥体的高． 如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+． 如果事件A 、B 相互独立，那么)()()(B P A P AB P =．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的。

1．已知命题p ：1sin ,£Î"x R x ，则，则A ．1sin ,:³Î$Øx R x pB ．1sin ,:³Î"Øx R x pC ．1sin ,:>Î$Øx R x pD ．1sin ,:>Î"Øx R x p2．若复数i a i z 3)1(+=- (i 是虚数单位，a 是实数是实数))，且z z =（的共轭复数）为z z ，则=aA ． 2B ． 31 C.3 D ．-33．若函数)(4sin 2sin 2cos )(22R x x x x x f Î+-=，则()f x A ．最小正周期为2p，最大值为1 B. 最小正周期为p ，最大值为2 C ．最小正周期为2p，最小值为2- D. 最小正周期为p ，最小值为1-4．下图是2009年举行的某次民族运动会上，七位评委为某民族舞蹈打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）. A ．84，4.84 B ．84，1.6 C ．85，1.6 D ．85，45．等差数列{}n a 中，11a =，5998a a +=，n S 为其前n 项和，则9S 等于等于A ．297B ．294C ．291D ．300A6．在平面直角坐标系中．在平面直角坐标系中, , 不等式组îïíïìx ＋y ≥0x －y ＋4≥0x ≤a(a 为常数为常数))表示的平面区域面积是9, 那么实数a 的值为的值为 A ． 32＋2 B ．－．－332＋2 C ．－．－5 D 5 D．1 7．设S ＝2221111+++2231211+++2241311+++ …+2220091200811++，则不大于S 的最大整数的最大整数[S][S][S]等于等于等于 A ．2007 B ．2008 C ．2009 D ．3000 8．已知二面角α—l —β的平面角为θ，PA PA⊥⊥α，PB PB⊥⊥β，A 、B 为垂足，且PA=4PA=4，，PB=5PB=5，，点A 、B 到棱l 的距离分别为x ，y ，当θ变化时，点（x ，y ）的轨迹是下列图形中的 （ ）A B C二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13～15题是选做题，考生只能选做两题，三题全答的，只计算前两题得分． 9. 已知函数2()24(3)5f x ax a x =+-+是在区间(,3)-¥上的减函数，则a 的取值范围的取值范围 是10.10.已知曲线已知曲线:ln 4C y x x =-与直线1=x 交于一点P ，那么曲线C 在点P 处的切线方程是 .1111．．抛物线y x 22-=中斜率为2的平行弦（动弦）的中点的轨迹方程是的中点的轨迹方程是 ． 1212．如图的三角形数阵中，满足：．如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（2）第n （n ≥2)2)行首尾两数均为行首尾两数均为n ，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第n 行(n (n≥≥2)2)中第中第2个数是个数是________________（用n 表示）. 12234347745111411561625251661313．．(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系xoy 中，定点),2(p A ，动点B 在直线22)4s in (=+pqr 上运动，则线段AB 的最短长度为的最短长度为 1414．．(不等式选讲选做题)设函数x x x f -+-=2413)(,则当=x时，)(x f取最大值取最大值 1515．．(几何证明选讲选做题) 如图所示，等腰三角形ABC 的底边AC 长 为6 , 其外接圆的半径长为其外接圆的半径长为5, 则三角形ABC 的面积是的面积是________________________．．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 1616．．(本小题满分本小题满分121212分分)在△在△ABC ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.c.已知已知a+b=5a+b=5，，c=7， 且272cos 2sin 42=-+C B A .（1）求角C 的大小；（2）求△）求△ABC ABC 的面积．的面积．1717．．(本小题满分本小题满分121212分分) 一厂家向用户提供的一箱产品共一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有2件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收．抽检规则是这样的：一次取一件产品检查（取出的产品不放回箱子），若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品；则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且并且用户拒绝接收这箱产品用户拒绝接收这箱产品. .（1）求这箱产品被用户接收的概率；）求这箱产品被用户接收的概率； （2）记抽检的产品件数为x ，求x 的分布列和数学期望．的分布列和数学期望．1818．． (本小题满分本小题满分本小题满分141414分分)已知A 、B 、C 是椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x m 上的三点，其中点A 的坐标为)0,32(，BC 过椭圆m 的中心，且||2||,0AC BC BC AC ==·． （1）求椭圆m 的方程；的方程；（2）过点),0(t M 的直线l （斜率存在时）与椭圆m交于两点P ，Q ，设D 为椭圆m 与y 轴负半轴的交点，且||||DQ DP =.求实数t 的取值范围的取值范围1919．．(本小题满分本小题满分141414分分)在三棱锥V ABC -中,底面ABC D 是以ABC Ð为直角的等腰三角形为直角的等腰三角形..又V 在底面ABC 上的射影H 在线段AC 上且靠近点C ,4AC =,14VA =,VB 和底面ABC 所成的角为45°. V(Ⅰ)求点V 到底面ABC 的距离；的距离； (Ⅱ)求二面角V AB C --的大小的正切值的大小的正切值. . 2020．．(本小题满分本小题满分141414分分)已知函数2()2ln f x x x a x =++.(Ⅰ)若4a =-,求函数()f x 的极值；的极值； (Ⅱ)当1t ³时,不等式(21)2()3f t f t -³-恒成立恒成立,,求实数a 的取值范围的取值范围. .2121．．(本小题满分本小题满分l4l4l4分分) 已知数列{}n a 中，11a =，)(2211n n a a a na+++=+（Ⅰ）求234,,a a a ；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项n a ；（Ⅲ）设数列{}nb 满足,)(,2121211n n nn b a b b b +==++证明：证明：(1)(1),)1(11121+->-+nb b nn (2)1<nb参考答案一．选择题一．选择题 1．选（．选（C C ）命题意图：本题是针对全称命题的否定而设置的。

2014-2015学年山东省威海市文登市高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．已知集合A={x|a﹣2＜x＜a+2}，B={x|x≤﹣2或x≥4}，则A∩B=∅的充要条件是（）A．0≤a≤2 B．﹣2＜a＜2 C．0＜a≤2 D．0＜a＜22．设S n是公差为d（d≠0）的无穷等差数列{a n}的前n项和，则下列命题错误的是（）A．若d＜0，则数列{S n}有最大项B．若数列{S n}有最大项，则d＜0C．若数列{S n}是递增数列，则对任意n∈N*，均有S n＞0D．若对任意n∈N*，均有S n＞0，则数列{S n}是递增数列3．给出下面四个命题：p1：∃x∈（0，+∞），；p2：∃x∈（0，1），，p3：∀x∈（0，+∞），；p4：∀x∈（0，），x，其中的真命题是（）A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p44．将函数y=sin（2x﹣）图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．x=B．x=C．x=D．x=﹣5．若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（）A．B．C．6 D．56．x，y满足约束条件，若z=y﹣2ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A．或﹣1 B．1或﹣C．2或1 D．2或﹣17．已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是增函数C．f（x）是周期函数 D．f（x）的值域为[0，+∞）8．已知函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=a x（a＞0，a≠1），且f（log4）=﹣，则a的值为（）A．B．3 C．9 D．9．△ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=1，设点P，Q满足=λ，=（1﹣λ），λ∈R．若•=﹣2，则λ=（）A．B．C．D．210．对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n=m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n=mn．则在此定义下，集合M={（a，b）|a※b=16}中的元素个数是（）A．18 B．17 C．16 D．15二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中相应题的横线上．11．对于x∈R，不等式|2x﹣3|﹣x≥3的解集为．12．设，则= ．13．已知sin（+x）=，则sin2x的值为．14．若等比数列{a n}的各项均为正数，且a7a11+a8a10=2e4，lna1+lna2+lna3+…+lna17= ．15．已知函数f（x）=|x+2|+1，g（x）=kx，若f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共75分.把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．17．有一种新型的洗衣液，去污速度特别快．已知每投放k（1≤k≤4）且k∈R个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（分钟）变化的函数关系式近似为y=k•f（x），其中y=．根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效去污的作用．（Ⅰ）若投放k个单位的洗衣液，3分钟时水中洗衣液的浓度为4（克/升），求k的值；（Ⅱ）若投放4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？18．已知=（sin（π+ωx），cosωx），=（sin（π﹣ωx），﹣cosωx），ω＞0，设f （x）=•的最小正周期为π．（Ⅰ）求f（x）的单调增区间；（Ⅱ）当x∈（﹣，）时，求f（x）的值域；（Ⅲ）求满足f（α）=0且﹣1＜α＜π的角α的值．19．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c满足f（0）=1，对任意x∈R，都有1﹣x≤f（x），且f （x）=f（1﹣x）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若∃x∈[﹣2，2]，使方程f（x）+2x=f（m）成立，求实数m的取值范围．20．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=10，a2为整数，且在前n项和中S4最大．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，n∈N*．（1）求证：b n+1＜b n；（2）求数列{b2n}的前n项和T n．21．已知函数f（x）=lnx+（a+1）x2+1．（Ⅰ）当时，求f（x）在区间上的最小值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）当﹣1＜a＜0时，有f（x）＞1+ln（﹣a）恒成立，求a的取值范围．2014-2015学年山东省威海市文登市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．已知集合A={x|a﹣2＜x＜a+2}，B={x|x≤﹣2或x≥4}，则A∩B=∅的充要条件是（）A．0≤a≤2 B．﹣2＜a＜2 C．0＜a≤2 D．0＜a＜2考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；空集的定义、性质及运算；交集及其运算．专题：计算题．分析：法一：特殊值验证法：a=0，a=2都符合，所以选A．法二：一般法，数轴上作出集合，可得条件，从而解得，选A．解答：解：法一：当a=0时，符合，所以排除C．D，再令a=2，符合，排除B，故选A；法二：根据题意，分析可得，，解可得，0≤a≤2；故选A．点评：本题考查含参数集合交集的运算．可以用多种方法，如：特殊值，数形结合法等．但要注意端点等号的取得．2．设S n是公差为d（d≠0）的无穷等差数列{a n}的前n项和，则下列命题错误的是（）A．若d＜0，则数列{S n}有最大项B．若数列{S n}有最大项，则d＜0C．若数列{S n}是递增数列，则对任意n∈N*，均有S n＞0D．若对任意n∈N*，均有S n＞0，则数列{S n}是递增数列考点：命题的真假判断与应用；数列的函数特性．专题：等差数列与等比数列；简易逻辑．分析：由题意，可根据数列的类型对数列首项的符号与公差的正负进行讨论，判断出错误选项．解答：解：A、当d＜0时，如果首项小于等于0，则S1即为最大项，若首项为正，则所有正项的和即为最大项，故A正确；B、若d＞0，数列{S n}为递增数列，数列{S n}不可能有最大项，要使前n项和有最大项，则必有公差小于0，故B正确；C、若首项为负，则有S1＜0，故C错误；D、若数列{S n}为递减数列，即公差小于0，则一定存在某个实数k，当n＞k时，以后所有项均为负项，不能保证对任意n∈N*，均有S n＞0，因此，若要使任意n∈N*，均有S n＞0，则数列{S n}必须是递增数列，故D正确．故选C．点评：本题以数列的函数特性为背景考查命题真假的判断，考查了分析判断推理的能力，有一定的探究性．3．给出下面四个命题：p1：∃x∈（0，+∞），；p2：∃x∈（0，1），，p3：∀x∈（0，+∞），；p4：∀x∈（0，），x，其中的真命题是（）A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4考点：命题的真假判断与应用．专题：探究型；数形结合．分析：分别根据全称命题和特称命题判断真假的方法去判断四个命题．p1可利用两个指数函数的图象进行判断．p2可以利用对数的图象来判断．p3可以利用对数和指数函数的图象来判断．p4：利用指数函数和对数函数的图象来判断．解答：解：对应命题p1可，分别作出函数的图象如图：由图象可知：∀x∈（0，+∞），，所以命题p1错误．p2：作出对数函数的图象，由图象知：∃x∈（0，1），使命题p2正确．p3：作出函数的图象，由图象知命题p3不正确．P4：当x∈（0，）时，，所以恒有成立，所以命题P4正确．故选D．点评：本题考查了全称命题和特称命题的真假判断，解决本题可以考虑使用数形结合的思想．4．将函数y=sin（2x﹣）图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．x=B．x=C．x=D．x=﹣考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．分析：根据本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得所得函数的解析式为y=sin（2x+），再根据正弦函数的图象的对称性，求得所得函数图象的一条对称轴的方程．解答：解：将函数y=sin（2x﹣）图象向左平移个单位，所得函数图象对应的解析式为y=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+）．令2x+=kπ+，k∈z，求得 x=+，故函数的一条对称轴的方程是x=，故选：A．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．5．若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（）A．B．C．6 D．5考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：已知式子可化为=1，进而可得3x+4y=（3x+4y）（）++，由基本不等式可得．解答：解：∵正数x，y满足x+3y=5xy，∴=1，即=1，∴3x+4y=（3x+4y）（）=++≥+2=5当且仅当=即x=1且y=时取等号，∴3x+4y的最小值为：5故选：D点评：本题考查基本不等式，得出=1是解决问题的关键，属基础题．6．x，y满足约束条件，若z=y﹣2ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A．或﹣1 B．1或﹣C．2或1 D．2或﹣1考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=2ax+z斜率的变化，从而求出a的取值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=y﹣2ax得y=2ax+z，即直线的截距最大，z也最大．若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，若a＞0，目标函数y=2ax+z的斜率k=2a＞0，要使z=y﹣2ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=2ax+z与直线2x﹣y+2=0平行，此时2a=2，即a=1．若a＜0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y﹣2ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=2ax+z与直线x+y﹣2=0，平行，此时2a=﹣1，解得a=﹣综上a=1或a=﹣，故选：B点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．注意要对a进行分类讨论．7．已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是增函数C．f（x）是周期函数 D．f（x）的值域为[0，+∞）考点：函数奇偶性的判断．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由三角函数和二次函数的性质，分别对各个选项判断即可．解答：解：由解析式可知当x≤0时，f（x）=cosx+1为周期函数，当x＞0时，f（x）=x2+2，为二次函数的一部分，故f（x）不是单调函数，不是周期函数，也不具备奇偶性，故可排除A、B、C，对于D，当x≤0时，函数的值域为[0，2]，当x＞0时，函数的值域为值域为（2，+∞），故函数f（x）的值域为[0，+∞），故正确．故选：D点评：本题考查分段函数的性质，涉及三角函数的性质，属中档题和易错题．8．已知函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=a x（a＞0，a≠1），且f（log4）=﹣，则a的值为（）A．B．3 C．9 D．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由于函数f（x）是奇函数，可得=f（log4）=f（﹣2）=﹣f（2），再利用当x＞0时，f（x）=a x（a＞0，a≠1），可得，解得a即可．解答：解：∵函数f（x）是奇函数，∴=f（log4）=f（﹣2）=﹣f（2），∴．∵当x＞0时，f（x）=a x（a＞0，a≠1），∴，解得a=．故选：D．点评：本题考查了函数奇偶性、对数的运算性质，属于基础题．9．△ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=1，设点P，Q满足=λ，=（1﹣λ），λ∈R．若•=﹣2，则λ=（）A．B．C．D．2考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：据平面向量的线性运算，得到=（1﹣λ）﹣，=﹣，代入•=﹣2，并化简整理即可解得λ值．解答：解：由题意可得=0，因为=λ，=（1﹣λ），所以=（1﹣λ）﹣，=﹣，代入•=﹣2，并化简整理得：﹣（1﹣λ）+[λ（1﹣λ）+1]﹣λ=﹣2，即﹣（1﹣λ）﹣4λ=﹣2，解得λ=，故选：A．点评：本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的运算．10．对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n=m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n=mn．则在此定义下，集合M={（a，b）|a※b=16}中的元素个数是（）A．18 B．17 C．16 D．15考点：元素与集合关系的判断．专题：集合．分析：根据已知条件，当a，b都为正偶数或正奇数时：需满足a+b=16，a从1到16这16个数字取一个有16种取法，a一旦确定，b也唯一确定，即b有一种取法，所以（a，b）有16种取法，即构成集合M16个元素；当a=1，b=16，或1=16，b=1时则满足ab=16，即构成集合M2个元素，所以集合M有18个元素．解答：解：（1）a，b都是正偶数时：a从2，4，6，8，10，12，14，16任取一个有8种取法，而对应的b有一种取法；∴（a，b）有7种取法，即这种情况下集合M有8个元素；（2）a，b都为正奇数时：a从1，3，5，7，9，11，13，15任取一个有8种取法，而对应的b有一种取法；∴（a，b）有8种取法，即这种情况下集合M有8个元素；（3）当m=16，n=1，和m=1，n=16，即这种情况下集合M有两个元素；∴集合M的元素个数是7+8+2=17．故选B．点评：考查描述法表示集合，元素与集合的关系，以及对新概念的运用能力．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中相应题的横线上．11．对于x∈R，不等式|2x﹣3|﹣x≥3的解集为（﹣∞，0]∪[6，+∞）．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：通过对自变量x的取值范围的分类讨论，去掉绝对值符号后解相应的不等式，最后取其并集即可．解答：解：当2x≥3，即x≥时，2x﹣3﹣x≥3，解得x≥6；当2x＜3，即x＜时，3﹣2x﹣x≥3，解得x≤0；所以原不等式的解集为（﹣∞，0]∪[6，+∞）．故答案为：（﹣∞，0]∪[6，+∞）．点评：本题考查绝对值不等式的解法，分类讨论后去掉绝对值符号是关键，属于基础题．12．设，则= ．考点：微积分基本定理．专题：计算题．分析：由于函数f（x）为分段函数，则=，再根据微积分基本定理，即可得到定积分的值．解答：解：由于，定义当x∈[1，e]时，f（x）=，则====，故答案为．点评：本题考查微积分基本定理，要注意被积函数为分段函数时，在每段的端点处，都应使函数有意义．13．已知sin（+x）=，则sin2x的值为﹣．考点：两角和与差的正弦函数；同角三角函数间的基本关系；二倍角的正弦．专题：三角函数的求值．分析：已知等式左边利用两角和与差的正弦函数公式化简，求出sinx+cosx的值，两边平方并利用二倍角的正弦函数公式化简即可求出sin2x值．解答：解：∵sin（+x）=sin cosx+cos sinx=（sinx+cosx）=，∴sinx+cosx=，两边平方得：（sinx+cosx）2=1+sin2x=，解得：sin2x=﹣．故答案为：﹣点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的正弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．14．若等比数列{a n}的各项均为正数，且a7a11+a8a10=2e4，lna1+lna2+lna3+…+lna17= 34 ．考点：等比数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：接由等比数列的性质结合已知得到a8a10=e4，然后利用对数的运算性质化简后得答案．解答：解：∵数列{a n}为等比数列，且a7a11+a8a10=2e4，∴a7a11+a8a10=2a8a10=2e4，则a8a10=e4，∴lna1+lna2+…lna17=ln（a1a2…a17）=34，故答案为：34．点评：本题考查了等比数列的运算性质，考查对数的运算性质，考查了计算能力，是基础题．15．已知函数f（x）=|x+2|+1，g（x）=kx，若f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；数形结合法；函数的性质及应用．分析：画出函数f（x）、g（x）的图象，由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）和函数g（x）的图象（红线）有两个交点，数形结合求得k的范围．解答：解：由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）和函数g（x）的图象（红线）有两个交点，如图所示：K OA=﹣，数形结合可得﹣1＜k＜﹣，故答案为：．点评：本题主要考查根的存在性及根的个数判断、考查函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共75分.把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）由正弦定理和已知可先求得，a=2c，从而由余弦定理即可求得cosA的值；（Ⅱ）由（I）可求得sinA的值，进而可求cos2A，sin2A的值，进而由两角差的余弦公式可求cos（2A﹣）的值．解答：解：（Ⅰ）在△ABC中，由，及，可得，又由，有a=2c，所以，．（Ⅱ）在△ABC中，由，可得，∴，所以，cos（2A﹣）=cos2Acos+sin2Asin=．点评：本题主要考察了两角差的余弦公式、正弦公式、余弦公式的综合应用，属于基础题．17．有一种新型的洗衣液，去污速度特别快．已知每投放k（1≤k≤4）且k∈R个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（分钟）变化的函数关系式近似为y=k•f（x），其中y=．根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效去污的作用．（Ⅰ）若投放k个单位的洗衣液，3分钟时水中洗衣液的浓度为4（克/升），求k的值；（Ⅱ）若投放4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）若投放k个单位的洗衣液，3分钟时水中洗衣液的浓度为4（克/升），则，解得k值；（II）由已知中y=．对x进行分类讨论求出满足条件的范围，最后综合讨论结果，可得答案．解答：解：（Ⅰ）由题意知，，解得；…（3分）（Ⅱ）当k=4，所以y=…（5分）当0≤x≤5时，由解得x≥1，所以1≤x≤5．…（8分）当5＜x＜16时，由解得：﹣15≤x≤15所以5＜x≤15综上，1≤x≤15 …（11分）故若投放4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达14分钟…（12分）点评：本题考查的知识点是分段函数的应用，难度不大，属于基础题，熟练掌握分段函数分段处理的原则，是解答的关键．18．已知=（sin（π+ωx），cosωx），=（sin（π﹣ωx），﹣cosωx），ω＞0，设f （x）=•的最小正周期为π．（Ⅰ）求f（x）的单调增区间；（Ⅱ）当x∈（﹣，）时，求f（x）的值域；（Ⅲ）求满足f（α）=0且﹣1＜α＜π的角α的值．考点：平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）利用向量数量积运算公式及两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简函数的表达式，通过正弦函数的单调递增间直接求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）通过x∈（﹣，），求出相位角的范围，利用三角函数的值域直接求f（x）的值域．（Ⅲ）由f（α）=0且﹣1＜α＜π得，即可得出结论．解答：解：（Ⅰ）===sin2ωx﹣cos2ωx=sin（2）﹣…（1分）∴y=f（x）的最小正周期为T=π，ω＞0，即：=π，∴ω=1，∴f（x）=sin（2x﹣）﹣．…（2分）由，得所以f（x）的单调递增区间为…（4分）（Ⅱ）∵∴∴…（6分）∴∴…（8分）（Ⅲ）∵f（α）=0，∴，∴∵0＜α＜π，∴，…（10分）∴∴…（12分）点评：本题考查向量的数量积运算及两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，三角函数的性质的应用，考查计算能力．19．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c满足f（0）=1，对任意x∈R，都有1﹣x≤f（x），且f （x）=f（1﹣x）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若∃x∈[﹣2，2]，使方程f（x）+2x=f（m）成立，求实数m的取值范围．考点：函数解析式的求解及常用方法；抽象函数及其应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）由f（0）=1，得c=1，又对任意x∈R，f（x）=f（1﹣x）得f（x）图象的对称轴为直线，即a=﹣b，又对任意x∈R都有1﹣x≤f（x），则a＞0，判别式不大于0，即可得到a，b，进而得到解析式；（Ⅱ）由∃x∈[﹣2，2]，使方程f（x）+2x=f（m）成立即方程x2+x=m2﹣m在x∈[﹣2，2]有解．令g（x）=x2+x，求出g（x）在[﹣2，2]的最值，再解不等式，即可得到m的范围．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=ax2+bx+c（a≠0），f（0）=1，∴c=1，又对任意x∈R，f（x）=f（1﹣x）∴f（x）图象的对称轴为直线，则，∴a=﹣b，又对任意x∈R都有1﹣x≤f（x），即ax2﹣（a﹣1）x≥0对任意x∈R都成立，∴，故a=1，b=﹣1∴f（x）=x2﹣x+1；（Ⅱ）由f（x）+2x=f（m）得x2+x=m2﹣m，由题意知方程x2+x=m2﹣m在x∈[﹣2，2]有解．令，∴g（x）min=g（﹣）=﹣，g（x）max=g（2）=6，∴≤m2﹣m≤6，∴，所以满足题意的实数m取值范围[﹣2，3]．点评：本题考查函数的解析式的求法：待定系数法，考查二次函数的性质，考查二次不等式的解法，属于中档题．20．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=10，a2为整数，且在前n项和中S4最大．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，n∈N*．（1）求证：b n+1＜b n；（2）求数列{b2n}的前n项和T n．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由题意先求得d=﹣3，即可写出通项公式；（Ⅱ）（1）因为，且{b n}的最大项为，即可证明：b n+1＜b n；（2），则可得=+++…+，从而由等比数列的求和公式可得数列{b2n}的前n项和T n．解答：解：（Ⅰ）由a1=10，a2为整数知，等差数列{a n}的公差d为整数，又S n≤S4，故a4≥0，a5≤0，即10+3d≥0，10+4d≤0，解得，因此d=﹣3，数列{a n}的通项公式为a n=13﹣3n．（Ⅱ）（1）由题意知，∴，∴数列{b n}是单调递减数列，{b n}的最大项为，所以b n+1＜b n．（2），T n=+++…+，两式相减得：=+++…+，=∴．点评：本题主要考查数列通项公式及数列和的求法，考查学生对裂项相消求和的能力及运算能力，属中档题．21．已知函数f（x）=lnx+（a+1）x2+1．（Ⅰ）当时，求f（x）在区间上的最小值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）当﹣1＜a＜0时，有f（x）＞1+ln（﹣a）恒成立，求a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）当时，f（x）=﹣+1，可得．分别由f′（x）≥0；由f′（x）≤0解出，即可得出函数的单调性极值与最值．（Ⅱ），x∈（0，+∞）．对a分类讨论：当a+1≤0，即a≤﹣1时；当a≥0时；当﹣1＜a＜0时，利用导数与函数单调性的关系即可得出．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当﹣1＜a＜0时，f min（x）=，f（x）＞1+ln（﹣a）恒成立等价于，化为ln（4a+4）＞﹣1，解出即可．解答：解：（Ⅰ）当时，f（x）=﹣+1，∴．∵f（x）的定义域为（0，+∞），∴由f′（x）≥0 得；由f′（x）≤0 得．∴f（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增，∴f′（x）min==．（Ⅱ），x∈（0，+∞）．①当a+1≤0，即a≤﹣1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减；②当a≥0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）单调递增；③当﹣1＜a＜0时，由f′（x）＞0，得，解得．∴f（x）在单调递增，在上单调递减；综上可得：当a≥0时，f（x）在（0，+∞）单调递增；当﹣1＜a＜0时，f（x）在单调递增，在上单调递减；当a≤﹣1时，f（x）在（0，+∞）上单调递减．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当﹣1＜a＜0时，f min（x）=，f（x）＞1+ln（﹣a）恒成立等价于，化为ln（4a+4）＞﹣1，∴，又∵﹣1＜a＜0，∴a的取值范围为．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了分类讨论的思想方法与恒成立问题等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

2014-2015学年山东省威海市文登市高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．已知集合A={x|a﹣2＜x＜a+2}，B={x|x≤﹣2或x≥4}，则A∩B=∅的充要条件是（）A．0≤a≤2 B．﹣2＜a＜2 C．0＜a≤2 D．0＜a＜22．设S n是公差为d（d≠0）的无穷等差数列{a n}的前n项和，则下列命题错误的是（）A．若d＜0，则数列{S n}有最大项B．若数列{S n}有最大项，则d＜0C．若数列{S n}是递增数列，则对任意n∈N*，均有S n＞0D．若对任意n∈N*，均有S n＞0，则数列{S n}是递增数列3．给出下面四个命题：p1：∃x∈（0，+∞），；p2：∃x∈（0，1），，p3：∀x∈（0，+∞），；p4：∀x∈（0，），x，其中的真命题是（）A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p44．将函数y=sin（2x﹣）图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．x=B．x=C．x=D．x=﹣5．若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（）A．B．C．6 D．56．x，y满足约束条件，若z=y﹣2ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A．或﹣1 B．1或﹣C．2或1 D．2或﹣17．已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是增函数C．f（x）是周期函数 D．f（x）的值域为[0，+∞）8．已知函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=a x（a＞0，a≠1），且f（log4）=﹣，则a的值为（）A．B．3 C．9 D．9．△ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=1，设点P，Q满足=λ，=（1﹣λ），λ∈R．若•=﹣2，则λ=（）A．B．C．D．210．对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n=m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n=mn．则在此定义下，集合M={（a，b）|a※b=16}中的元素个数是（）A．18 B．17 C．16 D．15二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中相应题的横线上．11．对于x∈R，不等式|2x﹣3|﹣x≥3的解集为．12．设，则= ．13．已知sin（+x）=，则sin2x的值为．14．若等比数列{a n}的各项均为正数，且a7a11+a8a10=2e4，lna1+lna2+lna3+…+lna17= ．15．已知函数f（x）=|x+2|+1，g（x）=kx，若f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共75分.把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．17．有一种新型的洗衣液，去污速度特别快．已知每投放k（1≤k≤4）且k∈R个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（分钟）变化的函数关系式近似为y=k•f（x），其中y=．根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效去污的作用．（Ⅰ）若投放k个单位的洗衣液，3分钟时水中洗衣液的浓度为4（克/升），求k的值；（Ⅱ）若投放4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？18．已知=（sin（π+ωx），cosωx），=（sin（π﹣ωx），﹣cosωx），ω＞0，设f（x）=•的最小正周期为π．（Ⅰ）求f（x）的单调增区间；（Ⅱ）当x∈（﹣，）时，求f（x）的值域；（Ⅲ）求满足f（α）=0且﹣1＜α＜π的角α的值．19．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c满足f（0）=1，对任意x∈R，都有1﹣x≤f（x），且f （x）=f（1﹣x）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若∃x∈[﹣2，2]，使方程f（x）+2x=f（m）成立，求实数m的取值范围．20．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=10，a2为整数，且在前n项和中S4最大．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，n∈N*．（1）求证：b n+1＜b n；（2）求数列{b2n}的前n项和T n．21．已知函数f（x）=lnx+（a+1）x2+1．（Ⅰ）当时，求f（x）在区间上的最小值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）当﹣1＜a＜0时，有f（x）＞1+ln（﹣a）恒成立，求a的取值范围．2014-2015学年山东省威海市文登市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．已知集合A={x|a﹣2＜x＜a+2}，B={x|x≤﹣2或x≥4}，则A∩B=∅的充要条件是（）A．0≤a≤2 B．﹣2＜a＜2 C．0＜a≤2 D．0＜a＜2考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；空集的定义、性质及运算；交集及其运算．专题：计算题．分析：法一：特殊值验证法：a=0，a=2都符合，所以选A．法二：一般法，数轴上作出集合，可得条件，从而解得，选A．解答：解：法一：当a=0时，符合，所以排除C．D，再令a=2，符合，排除B，故选A；法二：根据题意，分析可得，，解可得，0≤a≤2；故选A．点评：本题考查含参数集合交集的运算．可以用多种方法，如：特殊值，数形结合法等．但要注意端点等号的取得．2．设S n是公差为d（d≠0）的无穷等差数列{a n}的前n项和，则下列命题错误的是（）A．若d＜0，则数列{S n}有最大项B．若数列{S n}有最大项，则d＜0C．若数列{S n}是递增数列，则对任意n∈N*，均有S n＞0D．若对任意n∈N*，均有S n＞0，则数列{S n}是递增数列考点：命题的真假判断与应用；数列的函数特性．专题：等差数列与等比数列；简易逻辑．分析：由题意，可根据数列的类型对数列首项的符号与公差的正负进行讨论，判断出错误选项．解答：解：A、当d＜0时，如果首项小于等于0，则S1即为最大项，若首项为正，则所有正项的和即为最大项，故A正确；B、若d＞0，数列{S n}为递增数列，数列{S n}不可能有最大项，要使前n项和有最大项，则必有公差小于0，故B正确；C、若首项为负，则有S1＜0，故C错误；D、若数列{S n}为递减数列，即公差小于0，则一定存在某个实数k，当n＞k时，以后所有项均为负项，不能保证对任意n∈N*，均有S n＞0，因此，若要使任意n∈N*，均有S n＞0，则数列{S n}必须是递增数列，故D正确．故选C．点评：本题以数列的函数特性为背景考查命题真假的判断，考查了分析判断推理的能力，有一定的探究性．3．给出下面四个命题：p1：∃x∈（0，+∞），；p2：∃x∈（0，1），，p3：∀x∈（0，+∞），；p4：∀x∈（0，），x，其中的真命题是（）A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4考点：命题的真假判断与应用．专题：探究型；数形结合．分析：分别根据全称命题和特称命题判断真假的方法去判断四个命题．p1可利用两个指数函数的图象进行判断．p2可以利用对数的图象来判断．p3可以利用对数和指数函数的图象来判断．p4：利用指数函数和对数函数的图象来判断．解答：解：对应命题p1可，分别作出函数的图象如图：由图象可知：∀x∈（0，+∞），，所以命题p1错误．p2：作出对数函数的图象，由图象知：∃x∈（0，1），使命题p2正确．p3：作出函数的图象，由图象知命题p3不正确．P4：当x∈（0，）时，，所以恒有成立，所以命题P4正确．故选D．点评：本题考查了全称命题和特称命题的真假判断，解决本题可以考虑使用数形结合的思想．4．将函数y=sin（2x﹣）图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．x=B．x=C．x=D．x=﹣考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．分析：根据本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得所得函数的解析式为y=sin（2x+），再根据正弦函数的图象的对称性，求得所得函数图象的一条对称轴的方程．解答：解：将函数y=sin（2x﹣）图象向左平移个单位，所得函数图象对应的解析式为y=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+）．令2x+=kπ+，k∈z，求得 x=+，故函数的一条对称轴的方程是x=，故选：A．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．5．若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（）A．B．C．6 D．5考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：已知式子可化为=1，进而可得3x+4y=（3x+4y）（）++，由基本不等式可得．解答：解：∵正数x，y满足x+3y=5xy，∴=1，即=1，∴3x+4y=（3x+4y）（）=++≥+2=5当且仅当=即x=1且y=时取等号，∴3x+4y的最小值为：5故选：D点评：本题考查基本不等式，得出=1是解决问题的关键，属基础题．6．x，y满足约束条件，若z=y﹣2ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A．或﹣1 B．1或﹣C．2或1 D．2或﹣1考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=2ax+z斜率的变化，从而求出a的取值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=y﹣2ax得y=2ax+z，即直线的截距最大，z也最大．若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，若a＞0，目标函数y=2ax+z的斜率k=2a＞0，要使z=y﹣2ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=2ax+z与直线2x﹣y+2=0平行，此时2a=2，即a=1．若a＜0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y﹣2ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=2ax+z与直线x+y﹣2=0，平行，此时2a=﹣1，解得a=﹣综上a=1或a=﹣，故选：B点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．注意要对a进行分类讨论．7．已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是增函数C．f（x）是周期函数 D．f（x）的值域为[0，+∞）考点：函数奇偶性的判断．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由三角函数和二次函数的性质，分别对各个选项判断即可．解答：解：由解析式可知当x≤0时，f（x）=cosx+1为周期函数，当x＞0时，f（x）=x2+2，为二次函数的一部分，故f（x）不是单调函数，不是周期函数，也不具备奇偶性，故可排除A、B、C，对于D，当x≤0时，函数的值域为[0，2]，当x＞0时，函数的值域为值域为（2，+∞），故函数f（x）的值域为[0，+∞），故正确．故选：D点评：本题考查分段函数的性质，涉及三角函数的性质，属中档题和易错题．8．已知函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=a x（a＞0，a≠1），且f（log4）=﹣，则a的值为（）A．B．3 C．9 D．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由于函数f（x）是奇函数，可得=f（log4）=f（﹣2）=﹣f（2），再利用当x＞0时，f（x）=a x（a＞0，a≠1），可得，解得a即可．解答：解：∵函数f（x）是奇函数，∴=f（log4）=f（﹣2）=﹣f（2），∴．∵当x＞0时，f（x）=a x（a＞0，a≠1），∴，解得a=．故选：D．点评：本题考查了函数奇偶性、对数的运算性质，属于基础题．9．△ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=1，设点P，Q满足=λ，=（1﹣λ），λ∈R．若•=﹣2，则λ=（）A．B．C．D．2考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：据平面向量的线性运算，得到=（1﹣λ）﹣，=﹣，代入•=﹣2，并化简整理即可解得λ值．解答：解：由题意可得=0，因为=λ，=（1﹣λ），所以=（1﹣λ）﹣，=﹣，代入•=﹣2，并化简整理得：﹣（1﹣λ）+[λ（1﹣λ）+1]﹣λ=﹣2，即﹣（1﹣λ）﹣4λ=﹣2，解得λ=，故选：A．点评：本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的运算．10．对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n=m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n=mn．则在此定义下，集合M={（a，b）|a※b=16}中的元素个数是（）A．18 B．17 C．16 D．15考点：元素与集合关系的判断．专题：集合．分析：根据已知条件，当a，b都为正偶数或正奇数时：需满足a+b=16，a从1到16这16个数字取一个有16种取法，a一旦确定，b也唯一确定，即b有一种取法，所以（a，b）有16种取法，即构成集合M16个元素；当a=1，b=16，或1=16，b=1时则满足ab=16，即构成集合M2个元素，所以集合M有18个元素．解答：解：（1）a，b都是正偶数时：a从2，4，6，8，10，12，14，16任取一个有8种取法，而对应的b有一种取法；∴（a，b）有7种取法，即这种情况下集合M有8个元素；（2）a，b都为正奇数时：a从1，3，5，7，9，11，13，15任取一个有8种取法，而对应的b有一种取法；∴（a，b）有8种取法，即这种情况下集合M有8个元素；（3）当m=16，n=1，和m=1，n=16，即这种情况下集合M有两个元素；∴集合M的元素个数是7+8+2=17．故选B．点评：考查描述法表示集合，元素与集合的关系，以及对新概念的运用能力．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中相应题的横线上．11．对于x∈R，不等式|2x﹣3|﹣x≥3的解集为（﹣∞，0]∪[6，+∞）．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：通过对自变量x的取值范围的分类讨论，去掉绝对值符号后解相应的不等式，最后取其并集即可．解答：解：当2x≥3，即x≥时，2x﹣3﹣x≥3，解得x≥6；当2x＜3，即x＜时，3﹣2x﹣x≥3，解得x≤0；所以原不等式的解集为（﹣∞，0]∪[6，+∞）．故答案为：（﹣∞，0]∪[6，+∞）．点评：本题考查绝对值不等式的解法，分类讨论后去掉绝对值符号是关键，属于基础题．12．设，则= ．考点：微积分基本定理．专题：计算题．分析：由于函数f（x）为分段函数，则=，再根据微积分基本定理，即可得到定积分的值．解答：解：由于，定义当x∈[1，e]时，f（x）=，则====，故答案为．点评：本题考查微积分基本定理，要注意被积函数为分段函数时，在每段的端点处，都应使函数有意义．13．已知sin（+x）=，则sin2x的值为﹣．考点：两角和与差的正弦函数；同角三角函数间的基本关系；二倍角的正弦．专题：三角函数的求值．分析：已知等式左边利用两角和与差的正弦函数公式化简，求出sinx+cosx的值，两边平方并利用二倍角的正弦函数公式化简即可求出sin2x值．解答：解：∵sin（+x）=sin cosx+cos sinx=（sinx+cosx）=，∴sinx+cosx=，两边平方得：（sinx+cosx）2=1+sin2x=，解得：sin2x=﹣．故答案为：﹣点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的正弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．14．若等比数列{a n}的各项均为正数，且a7a11+a8a10=2e4，lna1+lna2+lna3+…+lna17= 34 ．考点：等比数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：接由等比数列的性质结合已知得到a8a10=e4，然后利用对数的运算性质化简后得答案．解答：解：∵数列{a n}为等比数列，且a7a11+a8a10=2e4，∴a7a11+a8a10=2a8a10=2e4，则a8a10=e4，∴lna1+lna2+…lna17=ln（a1a2…a17）=34，故答案为：34．点评：本题考查了等比数列的运算性质，考查对数的运算性质，考查了计算能力，是基础题．15．已知函数f（x）=|x+2|+1，g（x）=kx，若f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；数形结合法；函数的性质及应用．分析：画出函数f（x）、g（x）的图象，由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）和函数g（x）的图象（红线）有两个交点，数形结合求得k的范围．解答：解：由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）和函数g（x）的图象（红线）有两个交点，如图所示：K OA=﹣，数形结合可得﹣1＜k＜﹣，故答案为：．点评：本题主要考查根的存在性及根的个数判断、考查函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共75分.把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）由正弦定理和已知可先求得，a=2c，从而由余弦定理即可求得cosA的值；（Ⅱ）由（I）可求得sinA的值，进而可求cos2A，sin2A的值，进而由两角差的余弦公式可求cos（2A﹣）的值．解答：解：（Ⅰ）在△ABC中，由，及，可得，又由，有a=2c，所以，．（Ⅱ）在△ABC中，由，可得，∴，所以，cos（2A﹣）=cos2Acos+sin2Asin=．点评：本题主要考察了两角差的余弦公式、正弦公式、余弦公式的综合应用，属于基础题．17．有一种新型的洗衣液，去污速度特别快．已知每投放k（1≤k≤4）且k∈R个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（分钟）变化的函数关系式近似为y=k•f（x），其中y=．根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效去污的作用．（Ⅰ）若投放k个单位的洗衣液，3分钟时水中洗衣液的浓度为4（克/升），求k的值；（Ⅱ）若投放4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）若投放k个单位的洗衣液，3分钟时水中洗衣液的浓度为4（克/升），则，解得k值；（II）由已知中y=．对x进行分类讨论求出满足条件的范围，最后综合讨论结果，可得答案．解答：解：（Ⅰ）由题意知，，解得；…（3分）（Ⅱ）当k=4，所以y=…（5分）当0≤x≤5时，由解得x≥1，所以1≤x≤5．…（8分）当5＜x＜16时，由解得：﹣15≤x≤15所以5＜x≤15综上，1≤x≤15 …（11分）故若投放4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达14分钟…（12分）点评：本题考查的知识点是分段函数的应用，难度不大，属于基础题，熟练掌握分段函数分段处理的原则，是解答的关键．18．已知=（sin（π+ωx），cosωx），=（sin（π﹣ωx），﹣cosωx），ω＞0，设f（x）=•的最小正周期为π．（Ⅰ）求f（x）的单调增区间；（Ⅱ）当x∈（﹣，）时，求f（x）的值域；（Ⅲ）求满足f（α）=0且﹣1＜α＜π的角α的值．考点：平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）利用向量数量积运算公式及两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简函数的表达式，通过正弦函数的单调递增间直接求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）通过x∈（﹣，），求出相位角的范围，利用三角函数的值域直接求f（x）的值域．（Ⅲ）由f（α）=0且﹣1＜α＜π得，即可得出结论．解答：解：（Ⅰ）===sin2ωx﹣cos2ωx=sin（2）﹣…（1分）∴y=f（x）的最小正周期为T=π，ω＞0，即：=π，∴ω=1，∴f（x）=sin（2x﹣）﹣．…（2分）由，得所以f（x）的单调递增区间为…（4分）（Ⅱ）∵∴∴…（6分）∴∴…（8分）（Ⅲ）∵f（α）=0，∴，∴∵0＜α＜π，∴，…（10分）∴∴…（12分）点评：本题考查向量的数量积运算及两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，三角函数的性质的应用，考查计算能力．19．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c满足f（0）=1，对任意x∈R，都有1﹣x≤f（x），且f （x）=f（1﹣x）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若∃x∈[﹣2，2]，使方程f（x）+2x=f（m）成立，求实数m的取值范围．考点：函数解析式的求解及常用方法；抽象函数及其应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）由f（0）=1，得c=1，又对任意x∈R，f（x）=f（1﹣x）得f（x）图象的对称轴为直线，即a=﹣b，又对任意x∈R都有1﹣x≤f（x），则a＞0，判别式不大于0，即可得到a，b，进而得到解析式；（Ⅱ）由∃x∈[﹣2，2]，使方程f（x）+2x=f（m）成立即方程x2+x=m2﹣m在x∈[﹣2，2]有解．令g（x）=x2+x，求出g（x）在[﹣2，2]的最值，再解不等式，即可得到m的范围．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=ax2+bx+c（a≠0），f（0）=1，∴c=1，又对任意x∈R，f（x）=f（1﹣x）∴f（x）图象的对称轴为直线，则，∴a=﹣b，又对任意x∈R都有1﹣x≤f（x），即ax2﹣（a﹣1）x≥0对任意x∈R都成立，∴，故a=1，b=﹣1∴f（x）=x2﹣x+1；（Ⅱ）由f（x）+2x=f（m）得x2+x=m2﹣m，由题意知方程x2+x=m2﹣m在x∈[﹣2，2]有解．令，∴g（x）min=g（﹣）=﹣，g（x）max=g（2）=6，∴≤m2﹣m≤6，∴，所以满足题意的实数m取值范围[﹣2，3]．点评：本题考查函数的解析式的求法：待定系数法，考查二次函数的性质，考查二次不等式的解法，属于中档题．20．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=10，a2为整数，且在前n项和中S4最大．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，n∈N*．（1）求证：b n+1＜b n；（2）求数列{b2n}的前n项和T n．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由题意先求得d=﹣3，即可写出通项公式；（Ⅱ）（1）因为，且{b n}的最大项为，即可证明：b n+1＜b n；（2），则可得=+++…+，从而由等比数列的求和公式可得数列{b2n}的前n项和T n．解答：解：（Ⅰ）由a1=10，a2为整数知，等差数列{a n}的公差d为整数，又S n≤S4，故a4≥0，a5≤0，即10+3d≥0，10+4d≤0，解得，因此d=﹣3，数列{a n}的通项公式为a n=13﹣3n．（Ⅱ）（1）由题意知，∴，∴数列{b n}是单调递减数列，{b n}的最大项为，所以b n+1＜b n．（2），T n=+++…+，两式相减得：=+++…+，=∴．点评：本题主要考查数列通项公式及数列和的求法，考查学生对裂项相消求和的能力及运算能力，属中档题．21．已知函数f（x）=lnx+（a+1）x2+1．（Ⅰ）当时，求f（x）在区间上的最小值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）当﹣1＜a＜0时，有f（x）＞1+ln（﹣a）恒成立，求a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）当时，f（x）=﹣+1，可得．分别由f′（x）≥0；由f′（x）≤0解出，即可得出函数的单调性极值与最值．（Ⅱ），x∈（0，+∞）．对a分类讨论：当a+1≤0，即a≤﹣1时；当a≥0时；当﹣1＜a＜0时，利用导数与函数单调性的关系即可得出．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当﹣1＜a＜0时，f min（x）=，f（x）＞1+ln（﹣a）恒成立等价于，化为ln（4a+4）＞﹣1，解出即可．解答：解：（Ⅰ）当时，f（x）=﹣+1，∴．∵f（x）的定义域为（0，+∞），∴由f′（x）≥0 得；由f′（x）≤0 得．∴f（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增，∴f′（x）min==．（Ⅱ），x∈（0，+∞）．①当a+1≤0，即a≤﹣1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减；②当a≥0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）单调递增；③当﹣1＜a＜0时，由f′（x）＞0，得，解得．∴f（x）在单调递增，在上单调递减；综上可得：当a≥0时，f（x）在（0，+∞）单调递增；当﹣1＜a＜0时，f（x）在单调递增，在上单调递减；当a≤﹣1时，f（x）在（0，+∞）上单调递减．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当﹣1＜a＜0时，f min（x）=，f（x）＞1+ln（﹣a）恒成立等价于，化为ln（4a+4）＞﹣1，∴，又∵﹣1＜a＜0，∴a的取值范围为．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了分类讨论的思想方法与恒成立问题等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

2014-2015学年山东省威海市文登市高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．已知集合A={x|a﹣2＜x＜a+2}，B={x|x≤﹣2或x≥4}，则A∩B=∅的充要条件是（）A．0≤a≤2 B．﹣2＜a＜2 C．0＜a≤2 D．0＜a＜22．设S n是公差为d（d≠0）的无穷等差数列{a n}的前n项和，则下列命题错误的是（）A．若d＜0，则数列{S n}有最大项B．若数列{S n}有最大项，则d＜0C．若数列{S n}是递增数列，则对任意n∈N*，均有S n＞0D．若对任意n∈N*，均有S n＞0，则数列{S n}是递增数列3．给出下面四个命题：p1：∃x∈（0，+∞），；p2：∃x∈（0，1），，p3：∀x∈（0，+∞），；p4：∀x∈（0，），x，其中的真命题是（）A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p44．将函数y=sin（2x﹣）图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．x=B．x=C．x=D．x=﹣5．若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（）A．B．C．6 D．56．x，y满足约束条件，若z=y﹣2ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A．或﹣1 B．1或﹣C．2或1 D．2或﹣17．已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是增函数C．f（x）是周期函数 D．f（x）的值域为[0，+∞）8．已知函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=a x（a＞0，a≠1），且f（log4）=﹣，则a的值为（）A．B．3 C．9 D．9．△ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=1，设点P，Q满足=λ，=（1﹣λ），λ∈R．若•=﹣2，则λ=（）A．B．C．D．210．对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n=m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n=mn．则在此定义下，集合M={（a，b）|a※b=16}中的元素个数是（）A．18 B．17 C．16 D．15二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中相应题的横线上．11．对于x∈R，不等式|2x﹣3|﹣x≥3的解集为．12．设，则= ．13．已知sin（+x）=，则sin2x的值为．14．若等比数列{a n}的各项均为正数，且a7a11+a8a10=2e4，lna1+lna2+lna3+…+lna17= ．15．已知函数f（x）=|x+2|+1，g（x）=kx，若f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共75分.把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．17．有一种新型的洗衣液，去污速度特别快．已知每投放k（1≤k≤4）且k∈R个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（分钟）变化的函数关系式近似为y=k•f（x），其中y=．根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效去污的作用．（Ⅰ）若投放k个单位的洗衣液，3分钟时水中洗衣液的浓度为4（克/升），求k的值；（Ⅱ）若投放4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？18．已知=（sin（π+ωx），cosωx），=（sin（π﹣ωx），﹣cosωx），ω＞0，设f（x）=•的最小正周期为π．（Ⅰ）求f（x）的单调增区间；（Ⅱ）当x∈（﹣，）时，求f（x）的值域；（Ⅲ）求满足f（α）=0且﹣1＜α＜π的角α的值．19．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c满足f（0）=1，对任意x∈R，都有1﹣x≤f（x），且f （x）=f（1﹣x）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若∃x∈[﹣2，2]，使方程f（x）+2x=f（m）成立，求实数m的取值范围．20．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=10，a2为整数，且在前n项和中S4最大．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，n∈N*．（1）求证：b n+1＜b n；（2）求数列{b2n}的前n项和T n．21．已知函数f（x）=lnx+（a+1）x2+1．（Ⅰ）当时，求f（x）在区间上的最小值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）当﹣1＜a＜0时，有f（x）＞1+ln（﹣a）恒成立，求a的取值范围．2014-2015学年山东省威海市文登市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．已知集合A={x|a﹣2＜x＜a+2}，B={x|x≤﹣2或x≥4}，则A∩B=∅的充要条件是（）A．0≤a≤2 B．﹣2＜a＜2 C．0＜a≤2 D．0＜a＜2考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；空集的定义、性质及运算；交集及其运算．专题：计算题．分析：法一：特殊值验证法：a=0，a=2都符合，所以选A．法二：一般法，数轴上作出集合，可得条件，从而解得，选A．解答：解：法一：当a=0时，符合，所以排除C．D，再令a=2，符合，排除B，故选A；法二：根据题意，分析可得，，解可得，0≤a≤2；故选A．点评：本题考查含参数集合交集的运算．可以用多种方法，如：特殊值，数形结合法等．但要注意端点等号的取得．2．设S n是公差为d（d≠0）的无穷等差数列{a n}的前n项和，则下列命题错误的是（）A．若d＜0，则数列{S n}有最大项B．若数列{S n}有最大项，则d＜0C．若数列{S n}是递增数列，则对任意n∈N*，均有S n＞0D．若对任意n∈N*，均有S n＞0，则数列{S n}是递增数列考点：命题的真假判断与应用；数列的函数特性．专题：等差数列与等比数列；简易逻辑．分析：由题意，可根据数列的类型对数列首项的符号与公差的正负进行讨论，判断出错误选项．解答：解：A、当d＜0时，如果首项小于等于0，则S1即为最大项，若首项为正，则所有正项的和即为最大项，故A正确；B、若d＞0，数列{S n}为递增数列，数列{S n}不可能有最大项，要使前n项和有最大项，则必有公差小于0，故B正确；C、若首项为负，则有S1＜0，故C错误；D、若数列{S n}为递减数列，即公差小于0，则一定存在某个实数k，当n＞k时，以后所有项均为负项，不能保证对任意n∈N*，均有S n＞0，因此，若要使任意n∈N*，均有S n＞0，则数列{S n}必须是递增数列，故D正确．故选C．点评：本题以数列的函数特性为背景考查命题真假的判断，考查了分析判断推理的能力，有一定的探究性．3．给出下面四个命题：p1：∃x∈（0，+∞），；p2：∃x∈（0，1），，p3：∀x∈（0，+∞），；p4：∀x∈（0，），x，其中的真命题是（）A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4考点：命题的真假判断与应用．专题：探究型；数形结合．分析：分别根据全称命题和特称命题判断真假的方法去判断四个命题．p1可利用两个指数函数的图象进行判断．p2可以利用对数的图象来判断．p3可以利用对数和指数函数的图象来判断．p4：利用指数函数和对数函数的图象来判断．解答：解：对应命题p1可，分别作出函数的图象如图：由图象可知：∀x∈（0，+∞），，所以命题p1错误．p2：作出对数函数的图象，由图象知：∃x∈（0，1），使命题p2正确．p3：作出函数的图象，由图象知命题p3不正确．P4：当x∈（0，）时，，所以恒有成立，所以命题P4正确．故选D．点评：本题考查了全称命题和特称命题的真假判断，解决本题可以考虑使用数形结合的思想．4．将函数y=sin（2x﹣）图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．x=B．x=C．x=D．x=﹣考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．分析：根据本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得所得函数的解析式为y=sin（2x+），再根据正弦函数的图象的对称性，求得所得函数图象的一条对称轴的方程．解答：解：将函数y=sin（2x﹣）图象向左平移个单位，所得函数图象对应的解析式为y=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+）．令2x+=kπ+，k∈z，求得 x=+，故函数的一条对称轴的方程是x=，故选：A．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．5．若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（）A．B．C．6 D．5考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：已知式子可化为=1，进而可得3x+4y=（3x+4y）（）++，由基本不等式可得．解答：解：∵正数x，y满足x+3y=5xy，∴=1，即=1，∴3x+4y=（3x+4y）（）=++≥+2=5当且仅当=即x=1且y=时取等号，∴3x+4y的最小值为：5故选：D点评：本题考查基本不等式，得出=1是解决问题的关键，属基础题．6．x，y满足约束条件，若z=y﹣2ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A．或﹣1 B．1或﹣C．2或1 D．2或﹣1考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=2ax+z斜率的变化，从而求出a的取值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=y﹣2ax得y=2ax+z，即直线的截距最大，z也最大．若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，若a＞0，目标函数y=2ax+z的斜率k=2a＞0，要使z=y﹣2ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=2ax+z与直线2x﹣y+2=0平行，此时2a=2，即a=1．若a＜0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y﹣2ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=2ax+z与直线x+y﹣2=0，平行，此时2a=﹣1，解得a=﹣综上a=1或a=﹣，故选：B点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．注意要对a进行分类讨论．7．已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是增函数C．f（x）是周期函数 D．f（x）的值域为[0，+∞）考点：函数奇偶性的判断．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由三角函数和二次函数的性质，分别对各个选项判断即可．解答：解：由解析式可知当x≤0时，f（x）=cosx+1为周期函数，当x＞0时，f（x）=x2+2，为二次函数的一部分，故f（x）不是单调函数，不是周期函数，也不具备奇偶性，故可排除A、B、C，对于D，当x≤0时，函数的值域为[0，2]，当x＞0时，函数的值域为值域为（2，+∞），故函数f（x）的值域为[0，+∞），故正确．故选：D点评：本题考查分段函数的性质，涉及三角函数的性质，属中档题和易错题．8．已知函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=a x（a＞0，a≠1），且f（log4）=﹣，则a的值为（）A．B．3 C．9 D．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由于函数f（x）是奇函数，可得=f（log4）=f（﹣2）=﹣f（2），再利用当x＞0时，f（x）=a x（a＞0，a≠1），可得，解得a即可．解答：解：∵函数f（x）是奇函数，∴=f（log4）=f（﹣2）=﹣f（2），∴．∵当x＞0时，f（x）=a x（a＞0，a≠1），∴，解得a=．故选：D．点评：本题考查了函数奇偶性、对数的运算性质，属于基础题．9．△ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=1，设点P，Q满足=λ，=（1﹣λ），λ∈R．若•=﹣2，则λ=（）A．B．C．D．2考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：据平面向量的线性运算，得到=（1﹣λ）﹣，=﹣，代入•=﹣2，并化简整理即可解得λ值．解答：解：由题意可得=0，因为=λ，=（1﹣λ），所以=（1﹣λ）﹣，=﹣，代入•=﹣2，并化简整理得：﹣（1﹣λ）+[λ（1﹣λ）+1]﹣λ=﹣2，即﹣（1﹣λ）﹣4λ=﹣2，解得λ=，故选：A．点评：本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的运算．10．对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n=m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n=mn．则在此定义下，集合M={（a，b）|a※b=16}中的元素个数是（）A．18 B．17 C．16 D．15考点：元素与集合关系的判断．专题：集合．分析：根据已知条件，当a，b都为正偶数或正奇数时：需满足a+b=16，a从1到16这16个数字取一个有16种取法，a一旦确定，b也唯一确定，即b有一种取法，所以（a，b）有16种取法，即构成集合M16个元素；当a=1，b=16，或1=16，b=1时则满足ab=16，即构成集合M2个元素，所以集合M有18个元素．解答：解：（1）a，b都是正偶数时：a从2，4，6，8，10，12，14，16任取一个有8种取法，而对应的b有一种取法；∴（a，b）有7种取法，即这种情况下集合M有8个元素；（2）a，b都为正奇数时：a从1，3，5，7，9，11，13，15任取一个有8种取法，而对应的b有一种取法；∴（a，b）有8种取法，即这种情况下集合M有8个元素；（3）当m=16，n=1，和m=1，n=16，即这种情况下集合M有两个元素；∴集合M的元素个数是7+8+2=17．故选B．点评：考查描述法表示集合，元素与集合的关系，以及对新概念的运用能力．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中相应题的横线上．11．对于x∈R，不等式|2x﹣3|﹣x≥3的解集为（﹣∞，0]∪[6，+∞）．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：通过对自变量x的取值范围的分类讨论，去掉绝对值符号后解相应的不等式，最后取其并集即可．解答：解：当2x≥3，即x≥时，2x﹣3﹣x≥3，解得x≥6；当2x＜3，即x＜时，3﹣2x﹣x≥3，解得x≤0；所以原不等式的解集为（﹣∞，0]∪[6，+∞）．故答案为：（﹣∞，0]∪[6，+∞）．点评：本题考查绝对值不等式的解法，分类讨论后去掉绝对值符号是关键，属于基础题．12．设，则= ．考点：微积分基本定理．专题：计算题．分析：由于函数f（x）为分段函数，则=，再根据微积分基本定理，即可得到定积分的值．解答：解：由于，定义当x∈[1，e]时，f（x）=，则====，故答案为．点评：本题考查微积分基本定理，要注意被积函数为分段函数时，在每段的端点处，都应使函数有意义．13．已知sin（+x）=，则sin2x的值为﹣．考点：两角和与差的正弦函数；同角三角函数间的基本关系；二倍角的正弦．专题：三角函数的求值．分析：已知等式左边利用两角和与差的正弦函数公式化简，求出sinx+cosx的值，两边平方并利用二倍角的正弦函数公式化简即可求出sin2x值．解答：解：∵sin（+x）=sin cosx+cos sinx=（sinx+cosx）=，∴sinx+cosx=，两边平方得：（sinx+cosx）2=1+sin2x=，解得：sin2x=﹣．故答案为：﹣点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的正弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．14．若等比数列{a n}的各项均为正数，且a7a11+a8a10=2e4，lna1+lna2+lna3+…+lna17= 34 ．考点：等比数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：接由等比数列的性质结合已知得到a8a10=e4，然后利用对数的运算性质化简后得答案．解答：解：∵数列{a n}为等比数列，且a7a11+a8a10=2e4，∴a7a11+a8a10=2a8a10=2e4，则a8a10=e4，∴lna1+lna2+…lna17=ln（a1a2…a17）=34，故答案为：34．点评：本题考查了等比数列的运算性质，考查对数的运算性质，考查了计算能力，是基础题．15．已知函数f（x）=|x+2|+1，g（x）=kx，若f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；数形结合法；函数的性质及应用．分析：画出函数f（x）、g（x）的图象，由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）和函数g（x）的图象（红线）有两个交点，数形结合求得k的范围．解答：解：由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）和函数g（x）的图象（红线）有两个交点，如图所示：K OA=﹣，数形结合可得﹣1＜k＜﹣，故答案为：．点评：本题主要考查根的存在性及根的个数判断、考查函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共75分.把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）由正弦定理和已知可先求得，a=2c，从而由余弦定理即可求得cosA的值；（Ⅱ）由（I）可求得sinA的值，进而可求cos2A，sin2A的值，进而由两角差的余弦公式可求cos（2A﹣）的值．解答：解：（Ⅰ）在△ABC中，由，及，可得，又由，有a=2c，所以，．（Ⅱ）在△ABC中，由，可得，∴，所以，cos（2A﹣）=cos2Acos+sin2Asin=．点评：本题主要考察了两角差的余弦公式、正弦公式、余弦公式的综合应用，属于基础题．17．有一种新型的洗衣液，去污速度特别快．已知每投放k（1≤k≤4）且k∈R个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（分钟）变化的函数关系式近似为y=k•f（x），其中y=．根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效去污的作用．（Ⅰ）若投放k个单位的洗衣液，3分钟时水中洗衣液的浓度为4（克/升），求k的值；（Ⅱ）若投放4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）若投放k个单位的洗衣液，3分钟时水中洗衣液的浓度为4（克/升），则，解得k值；（II）由已知中y=．对x进行分类讨论求出满足条件的范围，最后综合讨论结果，可得答案．解答：解：（Ⅰ）由题意知，，解得；…（3分）（Ⅱ）当k=4，所以y=…（5分）当0≤x≤5时，由解得x≥1，所以1≤x≤5．…（8分）当5＜x＜16时，由解得：﹣15≤x≤15所以5＜x≤15综上，1≤x≤15 …（11分）故若投放4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达14分钟…（12分）点评：本题考查的知识点是分段函数的应用，难度不大，属于基础题，熟练掌握分段函数分段处理的原则，是解答的关键．18．已知=（sin（π+ωx），cosωx），=（sin（π﹣ωx），﹣cosωx），ω＞0，设f（x）=•的最小正周期为π．（Ⅰ）求f（x）的单调增区间；（Ⅱ）当x∈（﹣，）时，求f（x）的值域；（Ⅲ）求满足f（α）=0且﹣1＜α＜π的角α的值．考点：平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）利用向量数量积运算公式及两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简函数的表达式，通过正弦函数的单调递增间直接求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）通过x∈（﹣，），求出相位角的范围，利用三角函数的值域直接求f（x）的值域．（Ⅲ）由f（α）=0且﹣1＜α＜π得，即可得出结论．解答：解：（Ⅰ）===sin2ωx﹣cos2ωx=sin（2）﹣…（1分）∴y=f（x）的最小正周期为T=π，ω＞0，即：=π，∴ω=1，∴f（x）=sin（2x﹣）﹣．…（2分）由，得所以f（x）的单调递增区间为…（4分）（Ⅱ）∵∴∴…（6分）∴∴…（8分）（Ⅲ）∵f（α）=0，∴，∴∵0＜α＜π，∴，…（10分）∴∴…（12分）点评：本题考查向量的数量积运算及两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，三角函数的性质的应用，考查计算能力．19．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c满足f（0）=1，对任意x∈R，都有1﹣x≤f（x），且f （x）=f（1﹣x）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若∃x∈[﹣2，2]，使方程f（x）+2x=f（m）成立，求实数m的取值范围．考点：函数解析式的求解及常用方法；抽象函数及其应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）由f（0）=1，得c=1，又对任意x∈R，f（x）=f（1﹣x）得f（x）图象的对称轴为直线，即a=﹣b，又对任意x∈R都有1﹣x≤f（x），则a＞0，判别式不大于0，即可得到a，b，进而得到解析式；（Ⅱ）由∃x∈[﹣2，2]，使方程f（x）+2x=f（m）成立即方程x2+x=m2﹣m在x∈[﹣2，2]有解．令g（x）=x2+x，求出g（x）在[﹣2，2]的最值，再解不等式，即可得到m的范围．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=ax2+bx+c（a≠0），f（0）=1，∴c=1，又对任意x∈R，f（x）=f（1﹣x）∴f（x）图象的对称轴为直线，则，∴a=﹣b，又对任意x∈R都有1﹣x≤f（x），即ax2﹣（a﹣1）x≥0对任意x∈R都成立，∴，故a=1，b=﹣1∴f（x）=x2﹣x+1；（Ⅱ）由f（x）+2x=f（m）得x2+x=m2﹣m，由题意知方程x2+x=m2﹣m在x∈[﹣2，2]有解．令，∴g（x）min=g（﹣）=﹣，g（x）max=g（2）=6，∴≤m2﹣m≤6，∴，所以满足题意的实数m取值范围[﹣2，3]．点评：本题考查函数的解析式的求法：待定系数法，考查二次函数的性质，考查二次不等式的解法，属于中档题．20．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=10，a2为整数，且在前n项和中S4最大．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，n∈N*．（1）求证：b n+1＜b n；（2）求数列{b2n}的前n项和T n．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由题意先求得d=﹣3，即可写出通项公式；（Ⅱ）（1）因为，且{b n}的最大项为，即可证明：b n+1＜b n；（2），则可得=+++…+，从而由等比数列的求和公式可得数列{b2n}的前n项和T n．解答：解：（Ⅰ）由a1=10，a2为整数知，等差数列{a n}的公差d为整数，又S n≤S4，故a4≥0，a5≤0，即10+3d≥0，10+4d≤0，解得，因此d=﹣3，数列{a n}的通项公式为a n=13﹣3n．（Ⅱ）（1）由题意知，∴，∴数列{b n}是单调递减数列，{b n}的最大项为，所以b n+1＜b n．（2），T n=+++…+，两式相减得：=+++…+，=∴．点评：本题主要考查数列通项公式及数列和的求法，考查学生对裂项相消求和的能力及运算能力，属中档题．21．已知函数f（x）=lnx+（a+1）x2+1．（Ⅰ）当时，求f（x）在区间上的最小值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）当﹣1＜a＜0时，有f（x）＞1+ln（﹣a）恒成立，求a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）当时，f（x）=﹣+1，可得．分别由f′（x）≥0；由f′（x）≤0解出，即可得出函数的单调性极值与最值．（Ⅱ），x∈（0，+∞）．对a分类讨论：当a+1≤0，即a≤﹣1时；当a≥0时；当﹣1＜a＜0时，利用导数与函数单调性的关系即可得出．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当﹣1＜a＜0时，f min（x）=，f（x）＞1+ln（﹣a）恒成立等价于，化为ln（4a+4）＞﹣1，解出即可．解答：解：（Ⅰ）当时，f（x）=﹣+1，∴．∵f（x）的定义域为（0，+∞），∴由f′（x）≥0 得；由f′（x）≤0 得．∴f（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增，∴f′（x）min==．（Ⅱ），x∈（0，+∞）．①当a+1≤0，即a≤﹣1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减；②当a≥0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）单调递增；③当﹣1＜a＜0时，由f′（x）＞0，得，解得．∴f（x）在单调递增，在上单调递减；综上可得：当a≥0时，f（x）在（0，+∞）单调递增；当﹣1＜a＜0时，f（x）在单调递增，在上单调递减；当a≤﹣1时，f（x）在（0，+∞）上单调递减．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当﹣1＜a＜0时，f min（x）=，f（x）＞1+ln（﹣a）恒成立等价于，化为ln（4a+4）＞﹣1，∴，又∵﹣1＜a＜0，∴a的取值范围为．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了分类讨论的思想方法与恒成立问题等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

理科数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．考试时间120分钟．满分150分．答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在答题纸规定的位置．第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．2．第Ⅰ卷只有选择题一道大题．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 300=3||1,||2,,60a b a b ==<>=，则|2|a b -=2 （B ）4 （C ）22 5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，111a =-，564a a +=-，n S 取得最小值时n 的值为（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）96.已知函数()y f x x =+是偶函数，且(2)1,f =则(2)f -=（A ）1- （B ）1 （C ）5- （D ）5(sin10,cos10)-，则α的可能取值为10 80 10 （D 80（A ） （B ） （C ） （D ）第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：1． 请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在答题纸的指定位置．书写的答案如需改动，要先划掉原来的答案，然后再写上新答案．2． 不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效．在试题卷上答题无效．3． 第Ⅱ卷共包括填空题和解答题两道大题．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13.0(sin )x x dx π-=⎰ ____________.14.公比为2的等比数列前4项和为15，前8项和为 .15.不等式534x x --+≥的解集为_______________.16.将函数[]sin(),0,23y x x ππ=-∈的图象上各点的纵坐标不变横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移6π个单位，所得函数的单调递增区间为 .三、解答题（本大题共６小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）18.（本小题满分12分）19.（本小题满分12分）已知{}n a 为等差数列，且3745,21a a a ==-.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式及其前n 项和n S ；（Ⅱ）若数列{}n b 满足212349n n b b b n b a ++++=求数列{}n b 的通项公式. 20.（本小题满分12分）21.（本小题满分12分）22.（本小题满分14分） 已知()xf x e =，()g x 为其反函数.（Ⅰ）说明函数()f x 与()g x 图象的关系（只写出结论即可）；（Ⅱ）证明()f x 的图象恒在()g x 的图象的上方；（Ⅲ）设直线l 与()f x 、()g x 均相切，切点分别为（11,()x f x ）、（22,()x g x ），且120x x >>，求证：11x >.高三理科数学参考答案一、选择题B AC A A,D D B D A, B C二、填空题 13.222π- 14. 25515.{|1}x x ≤- 16. 3723,,,6226ππππ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 三、解答题17.（本小题满分12分）（Ⅰ）113 ------------------------------------6分 （Ⅱ）sin α- ------------------------------------12分18.（本小题满分12分）解：（1）根据正弦定理sin sin sin a b c A B C==，原等式可转化为： 222a b c ab +-= ------------------------------------2分2221cos 22a b c C ab +-== ------------------------------------4分 ∴60C = ------------------------------------6分(Ⅱ)11sin 22ABC S ab C ab ∆===∴6ab = ------------------------------------8分22222cos ()325187c a b ab C a b ab =+-⋅=+-=-= ------------10分∴c = ------------------------------------12分2n n b ++=1n ++-（）21.（本小题满分12分）22.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）()f x 与()g x 的图象关于直线y x =对称 --------------------------------2分 （Ⅱ）()ln g x x =，设()h x x = ------------------------------------4分 令()()x y f x h x e x =-=-，1x y e '=-令0y '=，解得0x =当0x <时0y '<，当0x >时0y '>∴当0x =时，0min 010y e =-=>∴x e x > ------------------------------------6分。