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第8讲函数与方程【2014年高考会这样考】1．考查具体函数的零点的取值范围和零点个数．2．利用函数零点求解参数的取值范围．3．利用二分法求方程的近似解．4．考查函数零点、方程的根和两函数图象交点横坐标之间的等价转化思想和数形结合思想.对应学生31考点梳理1．函数的零点(1)函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)几个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)零点的分布3.(1)二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．(2)给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：①确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε：②求区间(a，b)的中点c；③计算f(c)；(i)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；(ii)若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；(iii)若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．④判断是否达到精确度ε.即：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复②③④.【助学·微博】一个口诀用二分法求函数零点近似值的口诀为：定区间，找中点，中值计算两边看．同号去，异号算，零点落在异号间．周而复始怎么办？精确度上来判断．两个防范(1)函数y＝f(x)的零点即方程f(x)＝0的实根，是数不是点．(2)若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续不间断的，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，满足这些条件一定有零点，不满足这些条件也不能说就没有零点．如图，f(a)·f(b)>0，f(x)在区间(a，b)上照样存在零点，而且有两个．所以说零点存在性定理的条件是充分条件，但并不必要．三种方法函数零点个数的判断方法．(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．考点自测1．(人教A版教材习题改编)如图所示的函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是()．A．①②B．①③C．①④D．③④答案 B2．(2012·湖北)函数f(x)＝x cos x2在区间[0,4]上的零点个数为()．A．4 B．5 C．6 D．7解析 ∵x ∈[0,4]，∴x 2∈[0,16]，∴x 2＝0，π2，3π2，5π2，7π2，9π2，都是f (x )的零点，此时x 有6个值．∴f (x )的零点个数为6，故选C. 答案 C3．(2011·新课标全国)在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34 解析 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝e 14＋4×14－3＝e 14－2<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e 12＋4×12－3＝e 12－1>0，所以f (x )＝e x＋4x －3的零点所在的区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12.答案 C4．(2013·咸阳二模)若x 0是函数f (x )＝3x －1x －2，x ∈(2，＋∞)的一个零点，x 1∈(2，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则( )． A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0 B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0 C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0 D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0 解析 函数f (x )＝3x －1x －2在(2，＋∞)上为增函数，由已知x 1∈(2，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)得x 1<x 2，故f (x 1)<f (x 2)，又f (x 1)·f (x 2)<0，故f (x 1)<0，f (x 2)>0. 答案 B5．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋a 在区间(0,1)上有零点，则实数a 的取值范围是________．解析 函数f (x )＝x 2＋x ＋a 在(0,1)上递增．由已知条件f (0)f (1)<0，即a (a ＋2)<0，解得－2<a <0. 答案(－2,0)对应学生32考向一 函数零点与零点个数的判断【例1】►(2012·天津)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是()．A．0 B．1 C．2 D．3[审题视点] 函数零点的个数⇔f(x)＝0解的个数⇔函数图象与x轴交点的个数．解析法一∵函数y＝2x与y＝x3－2在R上都是增函数，故f(x)＝2x＋x3－2在R上是增函数，又f(0)＝－1，f(1)＝1，即f(0)·f(1)<0，故f(x)在(0,1)内有唯一零点．法二令f(x)＝0，即2x＋x3－2＝0，则2x－2＝－x3.在同一坐标系中分别画出y＝2x－2和y＝－x3的图象，由图可知两个图象在区间(0,1)内只有一个交点，∴函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内有一个零点，故选B.答案 B对函数零点个数的判断可从以下几个方面考虑：(1)结合函数图象；(2)根据零点存在定理求某些点的函数值；(3)利用函数的单调性判断函数的零点是否唯一．【训练1】求函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点个数．解法一∵函数y＝ln x与y＝2x－6均是增函数，故函数f(x)＝ln x＋2x－6在(0，＋∞)上是增函数，又f(2)＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3>0，即f(2)·f(3)<0，所以f(x)＝ln x＋2x－6在(2,3)有唯一零点．法二在同一坐标系中画出函数y＝ln x与y＝6－2x的图象，如图所示，由图可知两图象只有一个交点，故函数f(x)＝ln x＋2x－6只有一个零点．考向二有关二次函数的零点问题【例2】►(1)m 为何值时，f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4. ①有且仅有一个零点？ ②有两个零点且均比－1大？(2)若函数f (x )＝|4x －x 2|＋a 有4个零点，求实数a 的取值范围．[审题视点] 设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制．解 (1)①若函数f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4有且仅有一个零点，则Δ＝4m 2－4(3m ＋4)＝0，即m 2－3m －4＝0，解得m ＝4或m ＝－1. ②若f (x )有两个零点且均比－1大，设两零点分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－2m ，x 1·x 2＝3m ＋4，故只需⎩⎨⎧Δ＝4m 2－4(3m ＋4)>0，(x 1＋1)＋(x 2＋1)>0，(x 1＋1)(x 2＋1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －4>0，－2m ＋2>0，3m ＋4＋(－2m )＋1>0，即⎩⎨⎧m >4或m <－1，m <1，m >－5，故m 的取值范围是{m |－5<m <－1}． (2)若f (x )＝|4x －x 2|＋a 有4个零点， 即|4x －x 2|＋a ＝0有四个根， 即|4x －x 2|＝－a 有四个根， 令g (x )＝|4x －x 2|，h (x )＝－a . 作出g (x )，h (x )的图象，如图所示．由图象可知要使|4x －x 2|＝－a 有四个根，则g (x )与h (x )的图象应有4个交点． 故需满足0<－a <4，即－4<a <0. ∴a 的取值范围是(－4,0)．本题重点考查方程的根的分布问题，熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义是正确解此题的关键．用二次函数的性质对方程的根进行限制时，条件不严谨是解答本题的易错点．【训练2】 已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的范围；(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m 的范围． 解(1)由条件，抛物线f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，如图(1)所示，得⎩⎨⎧f (0)＝2m ＋1<0，f (－1)＝2>0，f (1)＝4m ＋2<0，f (2)＝6m ＋5>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m <－12，m ∈R ，m <－12，m >－56.即－56<m <－12.(2)抛物线与x 轴交点均落在区间(0,1)内，如图(2)所示，列不等式组⎩⎨⎧f (0)＝2m ＋1>0，f (1)＝4m ＋2>0，Δ＝4m 2－4(2m ＋1)≥0，0<－m <1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m >－12，m >－12，m ≥1＋2或m ≤1－2，－1<m <0.即－12<m ≤1－ 2. 考向三 函数零点性质的应用【例3】►已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2x (x >0)． (1)若y ＝g (x )－m 有零点，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．[审题视点] (1)y ＝g (x )－m 有零点即y ＝g (x )与y ＝m 的图象有交点，所以可以结合图象求解．(2)g (x )－f (x )＝0有两个相异实根⇔y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象有两个不同交点，所以可利用它们的图象求解． 解(1)法一 ∵g (x )＝x ＋e 2x ≥2e 2＝2e ，等号成立的条件是x ＝e ，故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，因而只需m ≥2e ，则y ＝g (x )－m 就有零点． 法二作出g (x )＝x ＋e 2x (x >0)的大致图象如图： 可知若使y ＝g (x )－m 有零点，则只需m ≥2e.(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异的实根，即g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点，作出g (x )＝x ＋e 2x (x >0)的大致图象．∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2.∴其图象的对称轴为x ＝e ，开口向下，最大值为m －1＋e 2.故当m －1＋e 2>2e ，即m >－e 2＋2e ＋1时，g (x )与f (x )有两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．∴m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．求函数零点的值，判断函数零点的范围及零点的个数以及已知函数零点求参数范围等问题，都可利用方程来求解，但当方程不易甚至不可能解出时，可构造两个函数、利用数形结合的方法进行求解．【训练3】 已知函数f (x )＝ax 3－2ax ＋3a －4在区间(－1,1)上有一个零点． (1)求实数a 的取值范围；(2)若a ＝3217，用二分法求方程f (x )＝0在区间(－1,1)上的根． 解 (1)若a ＝0，则f (x )＝－4与题意不符，∴a ≠0. ∴f (－1)·f (1)＝8(a －1)(a －2)<0，∴1<a <2. (2)若a ＝3217，则f (x )＝3217x 3－6417x ＋2817， ∴f (－1)>0，f (1)<0，f (0)＝2817>0， ∴零点在(0,1)上，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0.∴f (x )＝的根为12.对应学生33方法优化3——如何解决有关函数零点的问题【命题研究】 通过近三年的高考题分析，重点考查函数的零点、方程的根和两函数图象交点横坐标之间的等价转化思想和数形结合思想．题型为选择题或填空题，若求函数零点的问题，难度较易；若利用零点的存在求相关参数的值的问题，难度稍大．【真题探究】► (2011·山东)已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a >0，且a ≠1)．当2<a <3<b <4时，函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n ＝________. [教你审题] f (x )＝log a x ＋x －b 在(0，＋∞)上单调递增且值域为R ，则f (x )必有唯一零点x＝x0，根据x0∈(n，n＋1)，利用零点存在的判定条件来推算n的取值．[一般解法] 设f(x0)＝0，因为f(x)＝log a x＋x－b，又3<b<4，所以f(1)＝log a1＋1－b＝1－b<0，因为2<a<3<b<4，所以f(2)＝log a2＋2－b<log a a＋2－b＝3－b<0，f(3)＝log a3＋3－b>log a a＋3－b＝4－b>0.综上，x0∈(2,3)，又因为x0∈(n，n＋1)，故n＝2.[优美解法] 如图所示，在直角坐标系下分别作出y＝log2x，y＝log3x及y＝3－x，y＝4－x的图象，显然所有可能的交点构成图中的阴影区域(不含边界)，其中各点的横坐标均落于(2,3)之内，又因为x0∈(n，n＋1)，n∈N*，故n＝2.[答案] 2[反思] (1)要强化训练零点求法，函数与方程的转化技巧；(2)会结合图象利用数形结合判断零点个数、零点所在区间．考查函数性质与方程根与系数关系的综合应用题，一般难度较大，在复习中要有所准备，但题量不必太大．【试一试】(2012·沈阳四校联考，8)已知函数f(x)＝a x＋x－b的零点x0∈(n，n＋1)(n∈Z)，其中常数a，b满足2a＝3，3b＝2，则n的值是()．A．－2 B．－1 C．0 D．1解析依题意得，a>1,0<b<1，则f(x)为R上的单调递增函数．又f(－1)＝1 a－1－b<0，f(0)＝1－b>0，f(－1)·f(0)<0，因此x0∈(－1,0)，n＝－1，选B.答案 B对应学生239A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．函数f(x)＝sin x－x零点的个数是()．A．0 B．1 C．2 D．3解析f′(x)＝cos x－1≤0，∴f(x)单调递减，又f(0)＝0，∴则f(x)＝sin x－x 的零点是唯一的．答案 B2．(2013·泰州模拟)设f(x)＝e x＋x－4，则函数f(x)的零点位于区间()．A．(－1,0) B．(0,1)C．(1,2) D．(2,3)解析∵f(x)＝e x＋x－4，∴f′(x)＝e x＋1>0，∴函数f(x)在R上单调递增．对于A项，f(－1)＝e－1＋(－1)－4＝－5＋e－1<0，f(0)＝－3<0，f(－1)f(0)>0，A 不正确，同理可验证B、D不正确．对于C项，∵f(1)＝e＋1－4＝e－3<0，f(2)＝e2＋2－4＝e2－2>0，f(1)f(2)<0，故选C.答案 C3．(2013·石家庄期末)函数f(x)＝2x－2x－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()．A．(1,3) B．(1,2)C．(0,3) D．(0,2)解析由条件可知f(1)f(2)<0，即(2－2－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，解之得0<a<3.答案 C4．(2011·山东)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为()．A．6 B．7 C．8 D．9解析当0≤x<2时，令f(x)＝x3－x＝0，得x＝0或x＝1.根据周期函数的性质，由f(x)的最小正周期为2，可知y＝f(x)在[0,6)上有6个零点，又f(6)＝f(3×2)＝f(0)＝0，∴f (x )在[0,6]上与x 轴的交点个数为7. 答案 B二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x ≤0，f (x －1)，x >0，g (x )＝f (x )－x －a ，若函数g (x )有两个零点，则实数a 的取值范围为________．解析 设n 为自然数，则当n <x ≤n ＋1时，f (x )＝(x －n －1)2，则当x >0时，函数f (x )的图象是以1为周期重复出现．而函数y ＝x ＋a 是一族平行直线，当它过点(0,1)(此时a ＝1)时与函数f (x )的图象交于一点，向左移总是一个交点，向右移总是两个交点，故实数a 的取值范围为a <1. 答案 (－∞，1)6．函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f [f (x )]＋1的所有零点所构成的集合为________．解析 本题即求方程f [f (x )]＝－1的所有根的集合，先解方程f (t )＝－1，即⎩⎨⎧ t ≤0，t ＋1＝－1或⎩⎨⎧t >0，log 2t ＝－1，得t ＝－2或t ＝12.再解方程f (x )＝－2和f (x )＝12. 即⎩⎨⎧ x ≤0，x ＋1＝－2或⎩⎨⎧x >0，log 2x ＝－2和⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋1＝12或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，log 2x ＝12. 得x ＝－3或x ＝14和x ＝－12或x ＝ 2. 答案⎩⎨⎧⎭⎬⎫－3，－12，14，2 三、解答题(共25分)7．(12分)设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x (x >0)．(1)作出函数f (x )的图象；(2)当0<a <b ，且f (a )＝f (b )时，求1a ＋1b 的值；(3)若方程f (x )＝m 有两个不相等的正根，求m 的取值范围． ] 解 (1)如图所示．(2)∵f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x＝⎩⎪⎨⎪⎧1x －1，x ∈(0，1]，1－1x ，x ∈(1，＋∞)，故f (x )在(0,1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数， 由0<a <b 且f (a )＝f (b )，得0<a <1<b ，且1a －1＝1－1b ，∴1a ＋1b ＝2.(3)由函数f (x )的图象可知，当0<m <1时，方程f (x )＝m 有两个不相等的正根． 8．(13分)已知函数f (x )＝x 3＋2x 2－ax ＋1.(1)若函数f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为4，求实数a 的值；(2)若函数g (x )＝f ′(x )在区间(－1,1)上存在零点，求实数a 的取值范围． 解 由题意得g (x )＝f ′(x )＝3x 2＋4x －a . (1)f ′(1)＝3＋4－a ＝4，∴a ＝3.(2)法一 ①当g (－1)＝－a －1＝0，a ＝－1时，g (x )＝f ′(x )的零点x ＝－13∈(－1,1)；②当g (1)＝7－a ＝0，a ＝7时，f ′(x )的零点x ＝－73∉(－1,1)，不合题意； ③当g (1)g (－1)<0时，－1<a <7；④当⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4×(4＋3a )≥0，－1<－23<1，g (1)>0，g (－1)>0时，－43≤a <－1.综上所述，a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－43，7.法二 g (x )＝f ′(x )在区间(－1,1)上存在零点，等价于3x 2＋4x ＝a 在区间(－1,1)上有解，也等价于直线y ＝a 与曲线y ＝3x 2＋4x 在(－1,1)有公共点．作图可得a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－43，7. 或者又等价于当x ∈(－1,1)时，求值域．a ＝3x 2＋4x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋232－43∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－43，7.B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2011·陕西)函数f (x )＝x －cos x 在[0，＋∞)内 ( )．A ．没有零点B ．有且仅有一个零点C ．有且仅有两个零点D ．有无穷多个零点 解析 令f (x )＝0，得x ＝cos x ，在同一坐标系内画出两个函数y ＝x 与y ＝cos x 的图象如图所示，由图象知，两个函数只有一个交点，从而方程x ＝cos x 只有一个解． ∴函数f (x )只有一个零点． 答案 B2．(2012·辽宁)设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 3.又函数g (x )＝|x cos(πx )|，则函数h (x )＝g (x )－f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32上的零点个数为 ( )．A ．5B ．6C ．7D ．8解析 由题意知函数y ＝f (x )是周期为2的偶函数且0≤x ≤1时，f (x )＝x 3，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x 3，且g (x )＝|x cos(πx )|，所以当x ＝0时，f (x )＝g (x )．当x ≠0时，若0<x ≤12，则x 3＝x cos(πx )，即x 2＝|cos πx |.同理可以得到在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0，⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，⎝ ⎛⎦⎥⎤1，32上的关系式都是上式，在同一个坐标系中作出所得关系式等号两边函数的图象，如图所示，有5个根．所以总共有6个．答案 B二、填空题(每小题5分，共10分)3．已知函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且f (x )是偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2.若在区间[－1,3]内，函数g (x )＝f (x )－kx －k 有4个零点，则实数k 的取值范围为________．解析 依题意得f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，即函数f (x )是以2为周期的函数．g (x )＝f (x )－kx －k 在区间[－1,3]内有4个零点，即函数y ＝f (x )与y ＝k (x ＋1)的图象在区间[－1,3]内有4个不同的交点．在坐标平面内画出函数y ＝f (x )的图象(如图所示)，注意到直线y ＝k (x ＋1)恒过点(－1,0)，由题及图象可知，当k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14时，相应的直线与函数y＝f (x )在区间[－1,3]内有4个不同的交点，故实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，144．若直角坐标平面内两点P ，Q 满足条件：①P 、Q 都在函数f (x )的图象上；②P 、Q 关于原点对称，则称点对(P 、Q )是函数f (x )的一个“友好点对”(点对(P 、Q )与点对(Q ，P )看作同一个“友好点对”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋4x ＋1，x <0，2ex ，x ≥0，则f (x )的“友好点对”的个数是________．解析 设P (x ，y )、Q (－x ，－y )(x >0)为函数f (x )的“友好点对”，则y ＝2e x ，－y ＝2(－x )2＋4(－x )＋1＝2x 2－4x ＋1，∴2e x ＋2x 2－4x ＋1＝0，在同一坐标系中作函数y 1＝2e x 、y 2＝－2x 2＋4x －1的图象，y 1、y 2的图象有两个交点，所以f (x )有2个“友好点对”，故填2. 答案 2三、解答题(共25分)5．(12分)设函数f (x )＝3ax 2－2(a ＋c )x ＋c (a >0，a ，c ∈R )．(1)设a >c >0.若f (x )>c 2－2c ＋a 对x ∈[1，＋∞)恒成立，求c 的取值范围；(2)函数f (x )在区间(0,1)内是否有零点，有几个零点？为什么？解 (1)因为二次函数f (x )＝3ax 2－2(a ＋c )x ＋c 的图象的对称轴为x ＝a ＋c3a ，由条件a >c >0，得2a >a ＋c ，故a ＋c 3a <2a 3a ＝23<1，即二次函数f (x )的对称轴在区间[1，＋∞)的左边，且抛物线开口向上，故f (x )在[1，＋∞)内是增函数． 若f (x )>c 2－2c ＋a 对x ∈[1，＋∞)恒成立，则f (x )min ＝f (1)>c 2－2c ＋a ，即a －c >c 2－2c ＋a ，得c 2－c <0， 所以0<c <1.(2)①若f (0)·f (1)＝c ·(a －c )<0，则c <0，或a <c ，二次函数f (x )在(0,1)内只有一个零点． ] ②若f (0)＝c >0，f (1)＝a －c >0，则a >c >0.因为二次函数f (x )＝3ax 2－2(a ＋c )x ＋c 的图象的对称轴是x ＝a ＋c 3a .而f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 3a ＝－a 2＋c 2－ac3a<0，所以函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a ＋c 3a 和⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 3a ，1内各有一个零点，故函数f (x )在区间(0,1)内有两个零点．6．(13分)已知二次函数f (x )＝x 2－16x ＋q ＋3.(1)若函数在区间[－1,1]上存在零点，求实数q 的取值范围；(2)是否存在常数t (t ≥0)，当x ∈[t,10]时，f (x )的值域为区间D ，且区间D 的长度为12－t (视区间[a ，b ]的长度为b －a )．解 (1)∵函数f (x )＝x 2－16x ＋q ＋3的对称轴是x ＝8，∴f (x )在区间[－1,1]上是减函数．∵函数在区间[－1,1]上存在零点，则必有⎩⎨⎧f (1)≤0，f (－1)≥0，即⎩⎨⎧1－16＋q ＋3≤0，1＋16＋q ＋3≥0，∴－20≤q ≤12. (2)∵0≤t <10，f (x )在区间[0,8]上是减函数，在区间[8,10]上是增函数，且对称轴是x ＝8.①当0≤t ≤6时，在区间[t,10]上，f (t )最大，f (8)最小，∴f(t)－f(8)＝12－t，即t2－15t＋52＝0，解得t＝15±172，∴t＝15－172；②当6<t≤8时，在区间[t,10]上，f(10)最大，f(8)最小，∴f(10)－f(8)＝12－t，解得t＝8；③当8<t<10时，在区间[t,10]上，f(10)最大，f(t)最小，∴f(10)－f(t)＝12－t，即t2－17t＋72＝0，解得t＝8,9，∴t＝9.综上可知，存在常数t＝15－172，8,9满足条件.。
山东省2014届理科数学一轮复习试题选编6：方程的解与函数的零点及二分法一、选择题1 ．（山东省枣庄市2013届高三3月模拟考试数学（理）试题）设函数4()(0)f x x ax a =->的零点都在区间[0,5]上,则函数1()g x x=与函数3()h x x a =- 的图象的交点的横坐标为正整数时实数a 的取值个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．无穷个2 ．（山东省德州市乐陵一中2013届高三十月月考数学(理)试题）设函数)0(ln 31)(>-=x x x x f ,则)(x f y =（ ）A ．在区间),1(),1,1(e e 内均有零点B ．在区间),1(),1,1(e e 内均无零点C ．在区间)1,1(e 内有零点,在区间),1(e 内无零点D ．在区间)1,1(e内无零点,在区间),1(e 内有零点3 ．（山东省莱芜市第一中学2013届高三12月阶段性测试数学（理）试题）已知函数21(0)(),()(1)(0)x x f x f x x a f x x -⎧-≤==+⎨->⎩若方程有且只有两个不相等的实数根,则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,0]-∞B ．[0,1)C ．(,1)-∞D ．[0,)+∞4 ．（山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试理科数学）已知函数2, 0(), 0x x f x x x x ≤⎧=⎨->⎩,若函数()()g x f x m =-有三个不同的零点,则实数m 的取值范围为（ ） A ．1[,1]2- B ．1[,1)2- C ．1(,0)4- D ．1(,0]4-5 ．（山东省济南市2012届高三3月高考模拟题理科数学（2012济南二模））偶函数f (x )满足f (x -1)=f (x +1),且在x ∈[0,1]时,f (x )=x ,则关于x 的方程f (x )= 110x⎛⎫⎪⎝⎭,在x ∈[0,4]上解的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46 ．（山东省曲阜市2013届高三11月月考数学（理）试题）如果若干个函数图象经过平移后能够重合,则称这些函数为“同族函数”.给出下列函数:①()sin cos f x x x =; ②()2sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭;③()sin f x x x =; ④()21f x x =+其中“同族函数”的是 （ ）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④ 7 ．（山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试理科数学）函数x x x f ln )1()(+=的零点有 （ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个8 ．（2013年山东临沂市高三教学质量检测考试理科数学）函数1f (x )lg x x=-的零点所在的区间是（ ）A ．(3,4)B ．(2,3)C ．(1,2)D ．(0,1)9 ．（山东省烟台市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）设()338x f x x =+-,用二分法求方程3380x x +-=在(1,2)x ∈内近似解的过程中得(1)0,(1.5)0,(1.25)0f f f <><,则方程的根落在区间（ ）A ．(1,1.25)B ．(1.25,1.5)C ．(1.5,2)D ．不能确定10．（山东省寿光市2013届高三10月阶段性检测数学（理）试题）函数223,0()2ln ,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨-+⎩ 的零点个数为 （ ）A ．3B ．2C ．1D ．011．（山东省凤城高中2013届高三4月模拟检测数学理试题 ）若定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=,且当[0,1]x ∈时,()f x x =,则方程3()log ||f x x =的解个数是（ ）A ．0个B ．2个C ．4个D ．6个 12．（山东济南外国语学校2012—2013学年度第一学期高三质量检测数学试题（理科））函数23)(3+-=x x x f 的零点为 （ ）A ．1,2B ．±1,-2C ．1,-2D ．±1, 2 13．（山东省青岛市2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）若函数a ax x f 213)(-+=在区间)1,1(-上存在一个零点,则a 的取值范围是 （ ）A ．51>a B ．51>a 或1-<a C ．511<<-a D ．1a <-14．（山东省曲阜市2013届高三11月月考数学（理）试题）函数223,0()2ln ,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩的零点个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．315．（山东省滨州市2013届高三第一次（3月）模拟考试数学（理）试题）定义在R 上的奇函数()f x ,当x ≥0时, ))12log (1),0,1,()1|3|,1,,x x f x x x ⎧+∈⎡⎣⎪=⎨⎪--∈+∞⎡⎣⎩则关于x 的函数()()F x f x a =-(0<a <1)的所有零点之和为（ ）A ．1-2aB ．21a-C ．12a--D ．21a--16．（山东省潍坊市2013届高三上学期期末考试数学理（ ）A ．）已知函数⎩⎨⎧>≤+=0,10,2)(x nx x kx x f ()k R ∈,若函数()y f x k =+有三个零点,则实数k 的取值范围是（ ）A ．2k ≤B ．10k -<<C ．21k -≤<-D ．2k ≤-17．（山东省菏泽市2013届高三5月份模拟考试数学（理）试题）已知定义在R 上的函数()f x 的对称轴为3x =-,且当3x ≥-时,()23xf x =-,若函数()f x 在区间(1,)()k k k Z -∈上有零点,则K 的值为 （ ）A ．2或-7B ．2或-8C ．1或-7D ．1或-818．（山东省日照市2013届高三12月份阶段训练数学(理)试题）设函数()f x 的零点为1x ,函数()422x g x x =+-的零点为2x ,若1214x x ->,则()f x 可以是 （ ）A ．()122f x x =-B ．()214f x x x =-+- C．()110xf x =-D ．()()ln 82f x x =-19．（山东省潍坊市四县一校2013届高三11月期中联考(数学理)）已知0x 是xx f x1)21()(+=的一个零点,)0,(),,(0201x x x x ∈-∞∈,则 （ ）A ．0)(,0)(21<<x f x fB ．0)(,0)(21>>x f x fC ．0)(,0)(21<>x f x fD ．0)(,0)(21><x f x f 20．（山东省临沂市2013届高三5月高考模拟理科数学）已知定义在R 上的函数()y f x =对任意的x 都满足(1)()f x f x +=-,当11x -≤＜ 时,3()f x x =,若函数()()log a g x f x x =-至少6个零点,则a 取值范围是（ ）A ．10,5,5+∞ （]（）B ．10,[5,5+∞ （））C ．11,]5,775（（）D ．11,[5,775（））21．（山东省莱芜市莱芜十七中2013届高三4月模拟数学（理）试题）已知()f x 是定义在R 上的奇函数,满足33()()22f x f x -+=+,当3(0,)2x ∈时, 2()ln(1)f x x x =-+,则函数()f x 在区间[0,6]上的零点个数是 （ ）A ．3B ．5C ．7D ．922．（山东省莱芜市莱芜十七中2013届高三4月模拟数学（理）试题）已知函数x x f x 21log 2)(-=,且实数a >b >c >0满足0)()()(<⋅⋅c f b f a f ,若实数0x 是函数y =)(x f 的一个零点,那么下列不等式中不可．．能．成立的是 （ ）A ．a x <0B ．a x >0C ．b x <0 D ．c x <0二、填空题 23．（山东省文登市2013届高三3月二轮模拟考试数学（理））函数12()3sin log f x x x π=-的零点的个数是__________.24．（2011年高考（山东理））已知函数()log a f x x x b =+-(0a >,且1a ≠).当234a b <<<<时,函数()f x 的零点()0,1x n n ∈+,*n N ∈,则n =_________.25．（2013届山东省高考压轴卷理科数学）给定方程:1()sin 102x x +-=,下列命题中:①该方程没有小于0的实数解;②该方程有无数个实数解;③该方程在(–∞,0)内有且只有一个实数解;④若0x 是该方程的实数解,则0x >–1.则正确命题是___________.26．（山东省烟台市2013届高三上学期期中考试数学试题(理科)）函数2221()431x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩， ， 的图象和函数()()ln 1g x x =-的图象的交点个数是 ____________.27．（山东省烟台市莱州一中2013届高三第二次质量检测数学(理)试题）若函数()33f x x x a =-+有三个不同的零点,则实数a 的取值范围是__________.28．（山东省济南市2013届高三3月高考模拟理科数学）()()()()()()()121116()|21|,(),,,n n f x x f x f x f x f f x f x f f x -=-=== ．则函数()4y f x =的零点个数为______________.29．（2009高考(山东理)）若函数f(x)=a x-x-a(a>0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是 . 30．（山东省威海市2013届高三上学期期末考试理科数学）已知|||lg |,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩,则函数22()3()1y f x f x =-+的零点的个数为_______个.31．（山东省寿光市2013届高三10月阶段性检测数学（理）试题）若函数()(01)xf x a x a a a =--≠ 且有两个零点,则实数a 的取值范围是________.山东省2014届理科数学一轮复习试题选编6：方程的解与函数的零点及二分法参考答案一、选择题1. 【答案】B43()()0f x x ax x x a =-=-=,解得0x =或x =即函数的零点有两个,要使零点都在区间[0,5]上,则有05<≤,解得0125a <≤.由()()h x g x =得31x a x-=,即41x ax -=有正整数解.设4()m x x ax =-,当1x =时,(1)11m a =-=,解得0a =,不成立.当2x =时,4(2)221621m a a =-=-=,解得151252a =<成立.当3x =时,4(3)338131m a a =-=-=,解得2551254a =<成立.当5x =时,4(5)5562551m a a =-=-=,解得6241255a =<成立.当6x =时,4(6)66129661m a a =-=-=,解得12951256a =>,不成立.所以满足条件的实数a 的取值为2,3,4,5,共有4个.选B.2. D 【解析】111()10(1)=0()10333e f e f f e e =->>=+>，，,根据根的存在定理可知,选D.3. C 【解析】做出函数)(x f 的图象如图,,由图象可知当直线为1+=x y 时,直线与函数)(x f 只要一个交点,要使直线与函数有两个交点,则需要把直线1+=x y 向下平移,此时直线恒和函数)(x f 有两个交点,所以1<a ,选C.4. 【答案】 C 由()()=0g x f x m =-得()f x m =,作出函数()y f x =的图象,,当0x >时,2211()()024f x x x x =-=--≥,所以要使函数()()g x f x m =-有三个不同的零点,则104m <<,即1(,0)4-,选C.5. 【答案】D【解析】由)1()1(+=-x f x f ,知)()2(x f x f =+,周期为2,又函数为偶函数,所以)1()1()1(x f x f x f -=+=-,函数关于1=x 对称,在同一坐标内做出函数x y x f y )101(),(==的图象,由图象知在]4,0[内交点个数为个.选D.6. C7. B 【解析】由()(1)ln 0f x x x =+=得1ln 1x x =+,做出函数1ln ,1y x y x ==+的图象,如图由图象中可知交点个数为1个,即函数的零点个数为1个,选B.8. 【答案】B 因为1(2)lg 202f =-<,1(3)lg 303f =->, 所以函数的零点在区间(2,3)上,选B. 9. 【答案】B【解析】因为(1.5)0,(1.25)0f f ><,所以根据根的存在定理可知方程的根落在区间(1.25,1.5)上,所以选B. 10. B 11. C12. C 【解析】由3()320f x x x =-+=得3(22)0x x x ---=,即2(1)(2)0x x -+=,解得1x =或2x =-,选C. 13. B 14. C15. 【答案】A当01x ≤<时,()0f x ≤.当1x ≥时,函数()1|3|f x x =--,关于3x =对称,当1x ≤-时,函数关于3x =-对称,由()()0F x f x a =-=,得(),y f x y a ==.所以函数()()F x f x a =-有5个零点.当10x -≤<,时,01x <-≤,所以122()log (1)log (1)f x x x -=-+=--,即2()log (1)f x x =-,10x -≤<.由2()log (1)f x x a =-=,解得12a x =-,因为函数()f x 为奇函数,所以函数()()F x f x a =-(0<a <1)的所有零点之和为12a x =-,选A. 16. 【答案】D【解析】由()0y f x k =+=,得()f x k =-,所以0k ≤.做出函数()y f x =的图象如图,要使函数()y f x k =+有三个零点,则由2k -≥,即2k ≤-,选D. 17. A18. C 【解析】113()2220422g =+-=-<,1()212102g =+-=>,则11()()024g g ⋅<,所以 21142x <<.若为 A.()122f x x =-,则()122f x x =-的零点为114x =,所以211044x <-<,所以121||4x x -<,不满足题意.如为 B.()214f x x x =-+-的零点为112x =,211024x <-<,所以121||4x x -<,不满足题意.若为 C.()110x f x =-的零点为10x =,所以211042x <-<,所以满足121||4x x ->.若为D.()()ln 82f x x =-的零点为138x =,23133182884x -<-<-,即2131888x -<-<,所以121||8x x -<,不满足题意,所以选C.19. C 【解析】在同一坐标系下做出函数11()(),()2x f x f x x==-的图象由图象可知当0(,)x x ∈-∞时,11()2x x >-,0(,0)x x ∈时,11()2x x<-,所以当)0,(),,(0201x x x x ∈-∞∈,有0)(,0)(21<>x f x f ,选C20. 【答案】A 由(1)()f x f x +=-得,(2)()f x f x +=,所以函数的周期是2. 由()()log =0a g x f x x =-.得()=log a f x x ,分别作出函数(),()=log a y f x y m x x ==的图象,因为(5)=log 5(5)a m m =-.所以若1a >,由图象可知要使函数()()log a g x f x x =-至少6个零点,则满足(5)=log 51a m <.此时5a >.若01a <<,由图象可知要使函数()()log a g x f x x =-至少6个零点,则满足(5)=log 51a m -≥-,此时105a <≤.所以a 取值范围是10,5,5+∞ （]（）,选A.21. D22. D二、填空题 23. 924.解析:根据(2)log 22log 230a a f b a =+-<+-=,(3)log 32log 340a a f b a =+->+-=,而函数()f x 在(0,)+∞上连续,单调递增,故函数()f x 的零点在区间(2,3)内,故2n =.答案应填:2.25. ②③④【解析】由1()sin 102x x +-=得1sin 1()2x x =-,令()f x =sin x ,()g x =11()2x-,在同一坐标系中画出两函数的图像如右,由图像知:①错,③、④对,而由于()g x =11()2x-递增,小于1,且以直线1=y 为渐近线,()f x =sin x 在-1到1之间振荡,故在区间(0,+∞)上,两者图像有无穷多个交点,所以②对,故选填②③④.26. 2 【解析】画出图象知交点个数为2.27. (2,2)- 【解析】函数的导数为()22'333(1)f x x x =-=-,所以1x =和1x =-是函数的两个极值,由题意知,极大值为(1)2f a -=+,极小值为(1)2f a =-+,所以要使函数()f x 有三个不同的零点,则有20a +>且20a -+<,解得22a -<<,即实数a 的取值范围是(2,2)-. 28. 【答案】8由43()(())0f x f f x ==,即32()10f x -=,解得31()2f x =.又3221()(())2()12f x f f x f x ==-=,解得23()4f x =或21()4f x =.当23()4f x =时,2113()(())2()14f x f f x f x ==-=,解得17()8f x =或11()8f x =,当21()4f x =时,2111()(())2()14f x f f x f x ==-=,解得15()8f x =或13()8f x =,由17()()218f x f x x ==-=,所以1511616x =或.由13()()218f x f x x ==-=,所以1151616x =或.由15()()218f x f x x ==-=,所以1331616x =或.由13()()218f x f x x ==-=,所以1151616x =或.所以共有8个零点.29. 【解析】: 设函数(0,x y a a =>且1}a ≠和函数y x a =+,则函数f(x)=a x-x-a(a>0且a ≠1)有两个零点,就是函数(0,xy a a =>且1}a ≠与函数y x a =+有两个交点,由图象可知当10<<a 时两函数只有一个交点,不符合,当1>a 时,因为函数(1)xy a a =>的图象过点(0,1),而直线y x a =+所过的点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a 的取值范围是1>a 答案: 1>a30. 【答案】5 由22()3()10y f x f x =-+=解得()1f x =或1()2f x =.若()1f x =,当0x >时,由lg 1x =,得lg 1x =±,解得10x =或110x =.当0x ≤时,由21x =得0x =.若1()2f x =,当0x >时,由1lg 2x =,得1lg 2x =±,解得x =或x =.当0x ≤时,由122x=得1x =-,此时无解.综上共有5个零点.31. {|1}a a。
新课标高三第一轮复习单元讲座第讲函数与方程TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】普通高中课程标准实验教科书—数学[人教版]高三新数学第一轮复习教案（讲座6）—函数与方程一．课标要求：1．结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；2．根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。
二．命题走向函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点，特别是“二分法”求方程的近似解也一定会是高考的考点。
从近几年高考的形势来看，十分注重对三个“二次”（即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的考察力度，同时也研究了它的许多重要的结论，并付诸应用。
高考试题中有近一半的试题与这三个“二次”问题有关。
预计2008年高考对本讲的要求是：以二分法为重点、以二次函数为载体、以考察函数与方程的关系为目标来考察学生的能力。
（1）题型可为选择、填空和解答；（2）高考试题中可能出现复合了函数性质与函数零点的综合题，同时考察函数方程的思想。
三．要点精讲1．方程的根与函数的零点（1）函数零点概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。
函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。
即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点。
二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的零点：１）△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点；２）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；３）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点。
一．基础题组 1. 【江苏省诚贤中学2014届高三数学月考试题】在用二分法．．．求方程3210x x --=的一个近似解时,现在已经将一根锁定在区间(1,2)，则下一步可断定该根所在的区间为 ．2. 【江苏省扬州中学2013—2014学年第一学期月考】已知⎩⎨⎧>+-≤=0,1)1(0,cos )(x x f x x x f π，则4()3f 的值为 ．3. 【苏北四市2014届高三第一次质量检测】 函数()lg(23)x x f x =-的定义域为 ．4. 【苏北四市2014届高三第一次质量检测】 已知函数()2f x x x =-，则不等式)(1)f x f -≤的解集为 ．5. 【南京市、盐城市2014届高三第一次模拟考试】若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0.)+∞上是单调增函数.如果实数t 满足1(ln )(ln )2(1)f t f f t+<时，那么t 的取值范围是.6. 【江苏省通州高级中学2013-2014学年度秋学期期中考试】已知x ，y 都在区间(0，1]内，且xy ＝13，若关于x ，y 的方程44－x ＋33－y －t ＝0有两组不同的解(x ，y )，则实数t 的取值范围是_ ▲__ . 【答案】1259524t <≤【解析】 试题分析：由13xy =得13y x =，代入方程得431433t x x+=--,化简22222494(91)9(4)97249374353535t 11491(4)(91)937493749374937x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x-+--+--+-+=+====-=----⨯--+--+--++-其中当01x <≤时，min 24,(9)123x x x =+=;41,913x x x =+=;max 40,(9)x x x→+→+∞,故412913x x <+≤时，得411112592593724,42425524937x t x x x-<+-≤-≤<-<≤+-，- 考点：1.函数与方程;2.基本不等式7. 【江苏省通州高级中学2013-2014学年度秋学期期中考试】 提高大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当车流密度不超过50辆/千米时，车流速度为30千米/小时．研究表明：当50＜x ≤200时，车流速度v 与车流密度x 满足xkx v --=25040)(．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时． （Ⅰ）当0<x ≤200时，求函数v (x )的表达式；（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上观测点的车辆数，单位： 辆/小时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到个位，参考数据236.25≈）试题解析：(1) 由题意：当050x ≤＜时，()30v x ＝;当50200x <≤ 时，由于kkx v --=25040)(，再由已知可知，当200x ＝ 时，()00v ＝ ，代入解得2000k ＝ .故函数()v x 的表达式为⎪⎩⎪⎨⎧≤<--≤<=20050,250200040500,30)(x x x x v ．考点：1.分段函数;2.函数的最值;3.基本不等式8. 【苏北四市2014届高三第一次质量检测】 某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O 的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x 米，圆心角为θ（弧度）． （1）求θ关于x 的函数关系式；（2）已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，求y 关于x 的函数关系式，并求出x 为何值时，y 取得最大值？【答案】（1）10210xxθ+=+；（2）1. 【解析】试题分析：（1）将扇环面的两段弧长和直线段长分别用θ与x 表示后，利用其和为30列式，再解出θ即可；（2）将花坛的面积和装饰总费用分别用θ与x 表示，再利用第（1）问的结果消去x ，从而可得到y 关于x 函数，然后可利用导数或基本等式求其最小值，并确定y 取最小值时x 的值.二．能力题组1. 【江苏省扬州中学2013—2014学年第一学期月考】 函数32()f x x bx cx d =+++在区间[]1,2-上是减函数,则c b +的最大值为 ．2. 【江苏省诚贤中学2014届高三数学月考试题】已知函数⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈=]3,1(,2329]1,0[,3)(x x x x f x ，当]1,0[∈t 时，]1,0[))((∈t f f ，则实数t 的取值范围是 ．3. 【江苏省灌云高级中学2013-2014学年度高三第一学期期中考试】函数213()l o g (56)f x x x =-+的单调递增区间为 ．4. 【江苏省兴化市安丰高级中学2014届高三12月月考】函数1()ln f x x x=-的零点个数为 ．5. 【江苏省兴化市安丰高级中学2014届高三12月月考】 设1233,2()((2))log (1) 2.x e x f x f f x x -⎧⎪=⎨-≥⎪⎩＜，则的值为， ． 【答案】3 【解析】试题分析：3(2)log (41)1f =-=，0((2))(1)33f f f e ===. 考点：分段函数，指数与对数的运算.6. 【江苏省兴化市安丰高级中学2014届高三12月月考】 设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()f x =2(1)x x -，则5()2f -= ．7. 【江苏省扬州中学2013—2014学年第一学期月考】某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到．x 元．公司拟投入21(600)6x -万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入．．．与总投入．．．之和？并求出此时商品的每件定价．试题解析：（1）设每件定价为x 元，依题意，有25(80.2)2581x x --⨯≥⨯， 整理得26510000x x -+≤，解得2540x ≤≤． ∴ 要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．………7′8. 【苏州市2014届高三调研测试】 甲、乙两地相距1000km ，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80km/h ，已知货车每小时的运输成本（单位：元）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的14倍，固定成本为a 元． （1）将全程运输成本y （元）表示为速度v （km/h ）的函数，并指出这个函数的定义域； （2）为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？试题解析：（1）可变成本为214v ，固定成本为a 元，所用时间为1000v .210001()4y v a v ∴=+，即11000()4ay v v=+ ………………4分 定义域为 (0,80] ………………5分 （2）222141000()250.4a v ay v v -'=-=⋅令0y '=得v =………………7分9. 【苏州市2014届高三调研测试】 已知a ，b 为常数，a ≠ 0，函数()()e x b f x a x=+．（1）若a = 2，b = 1，求()f x 在（0，+∞）内的极值；（2）① 若a > 0，b > 0，求证：()f x 在区间[1，2]上是增函数；② 若(2)0f <，2(2)e f --<，且()f x 在区间[1，2]上是增函数，求由所有点(,)a b 形成的平面区域的面积．②中条件“()f x 在区间[1，2]上是增函数”与①不同，它是要求()0f x '≥在区间[1，2]上恒成立，结合二次函数图像可得关于,a b 不等关系，再考虑(2)0f <，2(2)e f --<，可得可行域.)(x f 在区间]2,1[上是增函数 0)(≥'∴x f 对)2,1(∈x 恒成立.10. 【江苏省兴化市安丰高级中学2014届高三12月月考】 已知函数2()ln ,af x x a x=+∈R ． （1）若函数()f x 在[2,)+∞上是增函数，求实数a 的取值范围； （2）若函数()f x 在[1,]e 上的最小值为3，求实数a 的值．试题解析：（1）∵2()ln a f x x x =+，∴212()af x x x'=-． ∵()f x 在[2,)+∞上是增函数，三．拔高题组1. 【江苏省诚贤中学2014届高三数学月考试题】已知函数2233()[(log )(log )](log )(log )a x a x f x k x a x a =+--，2()(3)(log log )a x g x k x a =-+，(其中1a >)，设log log a x t x a =+.（Ⅰ）当(1,)(,)x a a ∈⋃+∞时,试将()f x 表示成t 的函数()h t ,并探究函数()h t 是否有极值；（Ⅱ）当(1,)x ∈+∞时，若存在0(1,)x ∈+∞，使00()()f x g x >成立，试求k 的范围. 【答案】（Ⅰ）当94k >时()h t 在定义域内有且仅有一个极值，当94k ≤时()h t 在定义域内无极值;（Ⅱ）12k <或12k >… 【解析】当60k -≤<时，max ()(2)0m t m =>得162k -≤<； 当6k <-时，max ()()03k m t m =->得6k <-；综上得：12k <或12k >…………………………………… (16分) 考点：1.代数式的化简;2.函数的极值;3.导数在函数中的运用2.【江苏省灌云高级中学2013-2014学年度高三第一学期期中考试】若函数1()()n f x x n N +*=∈的图像与直线1x =交于点P ，且在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为n x ，则20131201322013320132012log log log log x x x x ++++ 的值为 ．3. 【江苏省灌云高级中学2013-2014学年度高三第一学期期中考试】对于函数()y f x =,若其定义域内存在两个实数,m n ()m n <，使得[],x m n ∈时，()f x 的值域也是[,]m n ,则称函数()f x 为“和谐函数”，若函数()f x k =，则实数k 的取值范围是 ． 【答案】9<24k -≤- 【解析】试题分析：因为函数的定义域得2x ≥-,又()f x k =+在定义域内为单调增函数,则[],x m n ∈时,6. 19．【苏北四市2014届高三第一次质量检测】已知函数325()2f x x x ax b =+++（,a b为常数），其图象是曲线C ．（1）当2a =-时，求函数()f x 的单调减区间；（2）设函数()f x 的导函数为()f x '，若存在唯一的实数0x ，使得00()f x x =与0()0f x ='同时成立，求实数b 的取值范围；（3）已知点A 为曲线C 上的动点，在点A 处作曲线C 的切线1l 与曲线C 交于另一点B ，在点B 处作曲线C 的切线2l ，设切线12,l l 的斜率分别为12,k k ．问：是否存在常数λ，使得21k k λ=？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．4. 【江苏省扬州中学2013—2014学年第一学期月考】设0a >，两个函数()axf x e =，g()ln x b x =的图像关于直线y x =对称.（1）求实数b a ,满足的关系式；（2）当a 取何值时，函数()()()h x f x g x =-有且只有一个零点； （3）当1=a 时，在),21(+∞上解不等式2)()1(x x g x f <+-．（3）当1a =时，设 ()2()(1)+g r x f x x x =--1x e -=2ln x x +-，则()r x ，112x e x x -=-－＋，当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，112211,1x x e x --<-=<-－，()0r x ，＜，当[)1,+x ∈∞时，112121,0x x e x--≤-=<－－，()0r x ，＜． ()r x ∴在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是减函数.又(1)r ＝0，∴不等式()2(1)+g f x x x -<解集是()1,+∞．考点：（1）两个函数图象的对称问题；（2）函数的零点与切线问题；（3）解函数不等式．5. 【江苏省灌云高级中学2013-2014学年度高三第一学期期中考试】设函数2()ln f x x bx a x =+-(1)若2x =是函数()f x 的极值点，1和0x 是函数()f x 的两个不同零点，且()0,1,x n n n N ∈+∈，求n ；(2)若对任意[]2,1b ∈--，都存在()1,x e ∈（e 为自然对数的底数），使得()0f x <成立，求实数a 的取值范围.①当10a -≥，即1a ≤时，()0x ϕ>，即()0h x '>，()h x 在(1，e)上单调递增，∴()(1)0h x h >=，不符合题意. ………………………………12分6. 【南京市、盐城市2014届高三第一次模拟考试】 已知函数()x f x e =，2()1(,)g x ax bx a b R =++∈. （1）若0a ≠，则a ，b 满足什么条件时，曲线()y f x =与()y g x =在0x =处总有相同的切线？（2）当1a =时，求函数()()()g x h x f x =的单调减区间； （3）当0a =时，若()()f x g x ≥对任意的x R ∈恒成立，求b 的取值的集合.试题解析：（1） ()xf x e '=，∴(0)1f '=，又(0)1f =， ∴()y f x =在0x =处的切线方程为1y x =+， ……………2分又 ()2g x ax b '=+，∴(0)g b '=，又(0)1g =，∴()y g x =在0x =处的切线方程为1y bx =+，所以当0,a a R ≠∈且1b =时，曲线()y f x =与()y g x =在0x =处总有相同的切线 ………4分7. 【江苏省通州高级中学2013-2014学年度秋学期期中考试】 函数()(,0)1b f x ax a a a x =+-∈≠-R 在3x =处的切线方程与直线(21)230a x y --+=平行； （1）若()g x =(1)f x +，求证：曲线()g x 上的任意一点处的切线与直线0x =和直线y ax =围成的三角形面积为定值；（2）是否存在实数,m k ，使得()()f x f m x k +-=对于定义域内的任意x 都成立； （3）若(3)3f =，方程2()(23)f x t x x x =-+有三个解，求实数t 的取值范围．（2）由(3)3f =得1a =，2()11f x x x =+--，。
2010年高考数学一轮复习精品学案（人教版A 版）---函数与方程一．【课标要求】1．结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；2．根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。
二．【命题走向】函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点，特别是“二分法”求方程的近似解也一定会是高考的考点。
从近几年高考的形势来看，十分注重对三个“二次”（即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的考察力度，同时也研究了它的许多重要的结论，并付诸应用。
高考试题中有近一半的试题与这三个“二次”问题有关预计2010年高考对本讲的要求是：以二分法为重点、以二次函数为载体、以考察函数与方程的关系为目标来考察学生的能力（1）题型可为选择、填空和解答；（2）高考试题中可能出现复合了函数性质与函数零点的综合题，同时考察函数方程的思想。
三．【要点精讲】1．方程的根与函数的零点（1）函数零点概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。
函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。
即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点。
二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的零点：１）△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点；２）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；３）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点。
[第15讲 导数研究函数的最值、优化问题、方程与不等式](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．[2013·韶关调研] 函数y ＝x e x的最小值是( )A ．－1B ．－eC ．－1eD ．不存在2．f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1，1]上的最大值是( ) A ．－2 B ．0 C ．2 D ．43．某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y (分钟)与车辆进入该路段的时刻t 之间关系可近似地用如下函数给出：y ＝－18t 3－34t 2＋36t －6294.则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是( )A ．6时B ．7时C ．8时D ．9时4．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件能力提升5．一矩形铁皮的长为8 cm ，宽为5 cm ，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，盒子容积的最大值是( )A ．12 cm 3B ．15 cm 3C ．18 cm 3D ．16 cm 36．[2013·湖南卷] 设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( )A ．1 B.12 C.52 D.227．[2013·全国卷] 已知函数y ＝x 3－3x ＋c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则c ＝( ) A ．－2或2 B ．－9或3 C ．－1或1 D ．－3或18．已知正四棱锥S －ABCD 中，SA ＝23，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为( ) A ．1 B. 3 C ．2 D ．39．[2013·辽宁卷] 若x ∈[0，＋∞)，则下列不等式恒成立的是( )A ．e x ≤1＋x ＋x 2B.11＋x≤1－12x ＋14x 2C ．cos x ≥1－12x 2D ．ln(1＋x )≥x －18x 210．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面边长为________．11．[2013·厦门质检] 设函数f (x )＝e 2x 2＋1x ，g (x )＝e 2xex ，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，不等式g （x 1）k ≤f （x 2）k ＋1恒成立，则正数k 的取值范围是________．12．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为P 元，则销售量Q (单位：件)与零售价P (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170P －P 2.则该商品零售价定为________时，毛利润L 最大，最大毛利润是________(毛利润＝销售收入－进货支出)．13．将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S ＝（梯形的周长）2梯形的面积，则S 的最小值是________．14．(10分)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位： cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值．15．(13分)[2013·河北重点中学联考] 已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －2. (1)求函数f (x )在[t ，t ＋2](t ＞0)上的最小值；(2)若函数y ＝f (x )＋g (x )有两个不同的极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)且x 2－x 1＞ln2，求实数a 的取值范围．难点突破16．(12分)已知函数f (x )＝ln x －a x.(1)当a >0时，判断f (x )在定义域上的单调性；(2)若f (x )在[1，e]上的最小值为32，求实数a 的值；(3)试求实数a 的取值范围，使得在区间(1，＋∞)上，函数y ＝x 2的图象恒在函数f (x )的图象的上方．课时作业(十五)【基础热身】1．C [解析] y ′＝(x ＋1)e x，令y ′＝0，得x ＝－1.因为x <－1时y ′<0；x >－1时y ′>0，所以x ＝－1时，y min ＝－1e.2．C [解析] f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，令f ′(x )＝0可得x ＝0或2(舍去)，当－1≤x <0时，f ′(x )>0，当0<x ≤1时，f ′(x )<0，所以当x ＝0时，f (x )取得最大值2.3．C [解析] y ′＝－38t 2－32t ＋36＝－38(t ＋12)(t －8)，令y ′＝0得t ＝－12(舍去)或t ＝8，当6≤t <8时，y ′>0，当8<t <9时，y ′<0，∴当t ＝8时，y 有最大值．4．C [解析] 因为y ′＝－x 2＋81，所以当x >9时，y ′<0；当0<x <9时，y ′>0，所以函数y ＝－13x 3＋81x －234在(9，＋∞)上单调递减，在(0，9)上单调递增，所以x ＝9是函数的极大值点．又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，所以函数在x ＝9处取得最大值．【能力提升】5．C [解析] 设小正方形的边长为x cm ，则盒子底面长为8－2x ，宽为5－2x .V ＝(8－2x )(5－2x )x ＝4x 3－26x 2＋40x ⎝⎛⎭⎪⎫0<x <52，V ′＝12x 2－52x ＋40，由V ′＝0得x ＝1或x ＝103(舍去)，则V 极大值＝V (1)＝18，且在定义域内仅有一个极大值，∴V 最大值＝18.6．D [解析] 用转化的思想：直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 图象分别交于M ，N ，而||MN 的最小值，实际是函数F (t )＝t 2－ln t (t >0)时的最小值．令F ′(t )＝2t －1t ＝0，得t ＝22或t ＝－22(舍去)．故t ＝22时，F (t )＝t 2－ln t 有最小值，即||MN 达到最小值，故选D. 7．A [解析] 由f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)＝0⇒x ＝±1，结合f (x )的图象可知只要f (－1)＝0或f (1)＝0即可，故解得c ＝－2或2，故选A.8．C [解析] 设底面边长为a ，则高h ＝SA 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2＝12－12a 2，所以体积V＝13a 2h ＝1312a 4－12a 6.设y ＝12a 4－12a 6，则y ′＝48a 3－3a 5，当y 取最值时，y ′＝48a 3－3a 5＝0，解得a ＝0(舍去)或a ＝4，故a ＝4时体积最大，此时h ＝12－12a 2＝2.9．C [解析] 验证A ，当x ＝3时，e 3>2.73＝19.68>1＋3＋32＝13，故排除A ；验证B ，当x ＝12时，11＋12＝63，而1－12×12＋14×14＝1316＝3948＝ 1 52148< 1 53648＝16648，故排除B ；验证C ，令g (x )＝cos x －1＋12x 2，g ′(x )＝－sin x ＋x ，g ″(x )＝1－cos x ，显然g ″(x )>0恒成立，所以当x ∈[0，＋∞)时，g ′(x )≥g ′(0)＝0，所以x ∈[0，＋∞)时，g (x )＝cos x －1＋12x 2为增函数，所以g (x )≥g (0)＝0恒成立，即cos x ≥1－12x 2恒成立；验证D ，令h (x )＝ln(1＋x )－x ＋18x 2，h ′(x )＝1x ＋1－1＋x 4＝x （x －3）4（x ＋1），令h ′(x )<0，解得0<x <3，所以当0<x <3时，h (x )<h (0)＝0，显然不恒成立．故选C.10.34V [解析] 设底面边长为x ，则高为h ＝4V 3x 2，∴S ＝3×4V 3x 2·x ＋2×34x 2＝43V x ＋32x 2， ∴S ′＝－43V x2＋3x ，令S ′＝0，得x ＝34V .当0<x <34V 时，S ′<0，当x >34V 时，S ′>0，故当x ＝34V 时，S 取得最小值． 11．k ≥1 [解析] ∵k 为正数，∴对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，不等式g （x 1）k ≤f （x 2）k ＋1恒成立⇒⎣⎢⎡⎦⎥⎤g （x ）k max ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）k ＋1min. 由g ′(x )＝e x ＋2（1－x ）e2x＝0得x ＝1. x ∈(0，1)，g ′(x )>0，x ∈(1，＋∞)，g ′(x )<0， ∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤g （x ）k max＝g （1）k ＝e k . 同理f ′(x )＝e 2x 2－1x 2＝0⇒x ＝1e， x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ，f ′(x )<0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞，f ′(x )>0， ∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）k ＋1min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e k ＋1＝2e k ＋1，∴e k ≤2e k ＋1，k >0⇒k ≥1. 12．30 23 000 [解析] 由题意知L (P )＝P ·Q －20Q ＝Q (P －20)＝(8 300－170P －P 2)(P －20)＝－P 3－150P 2＋11 700P －166 000，∴L ′(P )＝－3P 2－300P ＋11 700.令L ′(P )＝0，得P ＝30或P ＝－130(舍)．因为在P ＝30附近的左侧L ′(P )>0，右侧L ′(P )<0， ∴L (30)是极大值．根据实际意义知，L (30)是最大值，此时L (30)＝23 000.即零售价定为每件30元时，有最大毛利润为23 000元．13.3233[解析] 设DE ＝x ，由ED ∥BC ，△ABC 为正三角形，AD ＝DE ＝AE ＝x ，BD ＝EC＝1－x .过D 作DF ⊥BC ，DF ＝32(1－x )，梯形的周长为BD ＋DE ＋EC ＋BC ＝3－x ，梯形的面积为12(x ＋1)×32(1－x )＝34(1－x 2)．S ＝（3－x ）234（1－x 2）(0<x <1)．S ′＝43（2x －6）（1－x 2）－（3（1－x 2）2＝43（2x －6）（1－3x ）（1－x 2）2， 令S ′＝0，解得x ＝13或3(舍去)，0<x <13，S ′<0，13<x <1，S ′>0，∴x ＝13时，S min ＝3233.14．解：(1)设隔热层厚度为x cm ，由题设，每年能源消耗费用为C (x )＝k3x ＋5.再由C (0)＝8，得k ＝40，因此C (x )＝403x ＋5.而建造费用为C 1(x )＝6x .所以隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x ＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)．(2)f ′(x )＝6－ 2 400（3x ＋5）2，令f ′(x )＝0，即 2 400（3x ＋5）2＝6.解得x ＝5或x ＝－253(舍去)．当0<x <5时，f ′(x )<0，当5<x <10时，f ′(x )>0，故x ＝5是f (x )的最小值点，对应的最小值为f (5)＝6×5＋80015＋5＝70.故当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值为70万元．15．解：(1)由题意f ′(x )＝ln x ＋1＝0，得x ＝1e.①当0<t <1e 时，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，t ＋2上单调递增， 此时函数f (x )在[t ，t ＋2]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e . ②当t ≥1e时，函数f (x )在[t ，t ＋2]上单调递增，此时函数f (x )在[t ，t ＋2]上的最小值为f (t )＝t ln t .(2)由题意y ＝f (x )＋g (x )＝x ln x －x 2＋ax ＋2，则y ′＝ln x －2x ＋a ＋1， 知y ′＝ln x －2x ＋a ＋1＝0有两个不同的实根x 1，x 2， 等价于a ＝－ln x ＋2x －1有两个不同的实根x 1，x 2，等价于直线y ＝a 与函数G (x )＝－ln x ＋2x －1的图象有两个不同的交点．由G ′(x )＝－1x ＋2，知G (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增， 画出函数G (x )图象的大致形状如图，由图易知，当a >G (x )min ＝G ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln2时， x 1，x 2存在，且x 2－x 1的值随a 的增大而增大． 而当x 2－x 1＝ln2时，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ln x 1－2x 1＋a ＋1＝0，ln x 2－2x 2＋a ＋1＝0.两式相减可得ln x 2x 1＝2(x 2－x 1)＝2ln2，得x 2＝4x 1， 代入x 2－x 1＝ln2得x 2＝4x 1＝43ln2，此时实数a ＝23ln2－ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln23－1， 所以实数a 的取值范围为a >23ln2－ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln23－1. 【难点突破】16．解：(1)f ′(x )＝1x ＋a x 2＝x ＋ax2(x >0)．当a >0时，f ′(x )>0恒成立，故f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数． (2)由f ′(x )＝0得x ＝－a .①当a ≥－1时，f ′(x )≥0在[1，e]上恒成立，f (x )在[1，e]上为增函数，f (x )min ＝f (1)＝－a ＝32，得a ＝－32(舍)．②当a ≤－e 时，f ′(x )≤0在[1，e]上恒成立，f (x )在[1，e]上为减函数，则f (x )min ＝f (e)＝1－a e ＝32，得a ＝－e2(舍)．③当－e<a <－1时，由f ′(x )＝0得x 0＝－a ，当1<x <x 0时，f ′(x )<0，f (x )在(1，x 0)上为减函数； 当x 0<x <e 时，f ′(x )>0，f (x )在(x 0，e)上为增函数．∴f (x )min ＝f (－a )＝ln(－a )＋1＝32，得a ＝－e ，综上知，a ＝－ e.(3)由题意得x 2>ln x －a x在(1，＋∞)上恒成立， 即a >x ln x －x 3在(1，＋∞)上恒成立．设g (x )＝x ln x －x 3(x >1)，则g ′(x )＝ln x －3x 2＋1.令h (x )＝ln x －3x 2＋1，则h ′(x )＝1x－6x ，当x >1时，h ′(x )<0恒成立．∴h (x )＝g ′(x )＝ln x －3x 2＋1在(1，＋∞)上为减函数， 则g ′(x )<g ′(1)＝－2<0，所以g (x )在(1，＋∞)上为减函数， ∴g (x )<g (1)＝－1，故a ≥－1。
第九节函数与方程[知识能否忆起]1．函数的零点(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．[小题能否全取]1．(教材习题改编)下列图象表示的函数中能用二分法求零点的是()答案：C2．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是()A ．0,2B ．0，12C ．0，－12D ．2，－12解析：选C ∵2a ＋b ＝0，∴g (x )＝－2ax 2－ax ＝－ax (2x ＋1)． ∴零点为0和－12.3．(教材习题改编)根据表格中的数据，可以判定方程e x －x －2＝0的一个根所在的区间为( )A.(－1,0) C ．(1,2)D ．(2,3)解析：选C 设函数f (x )＝e x －x －2，从表中可以看出f (1)·f (2)<0，因此方程e x －x －2＝0的一个根所在的区间为(1,2)．4．用二分法求函数y ＝f (x )在区间(2,4)上的近似解，验证f (2)·f (4)<0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2,4)的中点x 1＝2＋42＝3，计算得f (2)·f (x 1)<0，则此时零点x 0∈________(填区间)．解析：由f (2)·f (3)<0可知x 0∈(2,3)． 答案：(2,3)5．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋a 在区间(0,1)上有零点，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵函数f (x )＝x 2＋x ＋a 在(0,1)上有零点． ∴f (0)f (1)<0.即a (a ＋2)<0，解得－2<a <0. 答案：(－2,0)1.函数的零点不是点：函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的实数根，也就是函数y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点．在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标．2．对函数零点存在的判断中，必须强调： (1)f (x )在[a ，b ]上连续； (2)f (a )·f (b )<0；(3)在(a ，b )内存在零点．这是零点存在的一个充分条件，但不必要．3．对于定义域内连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．典题导入[例1] (2012·唐山统考)设f (x )＝e x ＋x －4，则函数f (x )的零点位于区间( ) A ．(－1,0) B ．(0,1) C ．(1,2)D ．(2,3)[自主解答] ∵f (x )＝e x ＋x －4，∴f ′(x )＝e x ＋1>0.∴函数f (x )在R 上单调递增．f (－1)＝e －1＋(－1)－4＝－5＋e －1<0，f (0)＝－3<0，f (1)＝e ＋1－4＝e －3<0，f (2)＝e 2＋2－4＝e 2－2>0，f (1)f (2)<0，故零点x 0∈(1,2)．[答案] C由题悟法利用函数零点的存在性定理判断零点所在的区间时，首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续不断，再看是否有f (a )·f (b )<0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．以题试法1．(2013·衡水模拟)设函数y ＝x 3与y ＝⎝⎛⎭⎫12x －2的图象交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)解析：选B 设函数f (x )＝x 3－⎝⎛⎭⎫12x －2，f (1)·f (2)<0，且f (x )为单调函数，则x 0∈(1,2)．典题导入[例2] (1)(2012·北京高考)函数f (x )＝x 12－⎝⎛⎭⎫12x 的零点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)(2012·北京东城区模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))＋1的零点个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1[自主解答] (1)在同一平面直角坐标系内作出y1＝x 12与y 2＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象如图所示，易知，两函数图象只有一个交点，因此函数f (x )＝x 12－⎝⎛⎭⎫12x只有1个零点．(2)由f (f (x ))＋1＝0可得f (f (x ))＝－1， 又由f (－2)＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－1. 可得f (x )＝－2或f (x )＝12.若f (x )＝－2，则x ＝－3或x ＝14；若f (x )＝12，则x ＝－12或x ＝2，综上可得函数y ＝f (f (x ))＋1有4个零点． [答案] (1)B (2)A由题悟法判断函数零点个数的常用方法(1)解方程法：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要判断函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．以题试法2．(2012·湖北高考)函数f (x )＝x cos x 2在区间[0,4]上的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析：选C 令x cos x 2＝0，则x ＝0，或x 2＝k π＋π2，又x ∈[0,4]，因此x k ＝k π＋π2(k＝0,1,2,3,4)，共有6个零点．典题导入[例3] (2011·辽宁高考改编)已知函数f (x )＝e x －x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________．[自主解答] ∵f (x )＝e x －x ＋a ， ∴f ′(x )＝e x －1.令f ′(x )＝0，得x ＝0.当x <0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－∞，0)上是减函数； 当x >0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数． 故f (x )min ＝f (0)＝1＋a .若函数f (x )有零点，则f (x )min ≤0， 即1＋a ≤0，得a ≤－1. [答案] (－∞，－1]若函数变为f (x )＝ln x －2x ＋a ，其他条件不变，求a 的取值范围． 解：∵f (x )＝ln x －2x ＋a ，∴f ′(x )＝1x －2.令f ′(x )＝0，得x ＝12.当0<x ≤12时f ′(x )≥0，∴f (x )为增函数；当x >12时，f ′(x )<0，∴f (x )为减函数．∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝ln 12－1＋a . 若f (x )有零点，则f (x )max ≥0，即ln 12－1＋a ≥0.解得a ≥1－ln 12，a 的取值范围为[)1＋ln 2，＋∞.由题悟法已知函数有零点(方程有根)求参数取值常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．以题试法3．已知函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (x －1)，且f (x )是偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，若在区间[－1,3]上函数g (x )＝f (x )－kx －k 有4个零点，则实数k 的取值范围是______．解析：由f (x ＋1)＝f (x －1)得，f (x ＋2)＝f (x )，则f (x )是周期为2的函数．∵f (x )是偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，∴当x ∈[－1,0]时，f (x )＝－x ，易得当x ∈[1,2]时，f (x )＝－x ＋2，当x ∈[2,3]时，f (x )＝x －2.在区间[－1,3]上函数g (x )＝f (x )－kx －k 有4个零点，即函数y ＝f (x )与y ＝kx ＋k 的图象在区间[－1,3]上有4个不同的交点．作出函数y ＝f (x )与y ＝kx ＋k 的图象如图所示，结合图形易知，k ∈⎝⎛⎦⎤0，14. 答案：⎝⎛⎦⎤0，141．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )A.12，0 B ．－2,0 C.12D ．0解析：选D 当x ≤1时，由f (x )＝2x －1＝0，解得x ＝0；当x >1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12，又因为x >1，所以此时方程无解．综上函数f (x )的零点只有0.2．设f (x )＝x 3＋bx ＋c 是[－1,1]上的增函数，且f ⎝⎛⎭⎫－12·f ⎝⎛⎭⎫12<0，则方程f (x )＝0在[－1,1]内( )A ．可能有3个实数根B ．可能有2个实数根C ．有唯一的实数根D ．没有实数根解析：选C 由f (x )在[－1,1]上是增函数，且f ⎝⎛⎭⎫－12·f ⎝⎛⎭⎫12<0，知f (x )在⎣⎡⎦⎤－12，12上有唯一零点，所以方程f (x )＝0在[－1,1]上有唯一实数根．3．(2012·长沙模拟)已知函数f (x )的图象是连续不断的，x 、f (x )的对应关系如下表：A ．区间[1,2]和[2,3]B ．区间[2,3]和[3,4]C ．区间[2,3]、[3,4]和[4,5]D ．区间[3,4]、[4,5]和[5,6]解析：选C 因为f (2)>0，f (3)<0，f (4)>0，f (5)<0，所以在区间[2,3]，[3,4]，[4,5]内有零点．4．(2013·北京西城二模)执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数： ①y ＝2x ； ②y ＝－2x ； ③f (x )＝x ＋x －1；④f (x )＝x －x －1.则输出函数的序号为( )A ．①B ．②C ．③D ．④解析：选D 由图可知输出结果为存在零点的函数，因2x >0，所以y ＝2x 没有零点，同样y ＝－2x 也没有零点；f (x )＝x ＋x －1，当x >0时，f (x )≥2，当x <0时，f (x )≤－2，故f (x )没有零点；令f (x )＝x －x －1＝0得x ＝±1，故选D.5．(2012·北京朝阳统考)函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)解析：选C 由条件可知f (1)f (2)<0，即(2－2－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0，解之得0<a <3.6．(2013·哈师大模拟)若定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈[－1,1]时，f (x )＝1－x 2，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，0，x ＝0，－1x ，x <0，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]内的零点个数是( )A ．5B ．7C ．8D ．10解析：选C 依题意得，函数f (x )是以2为周期的函数，在同一坐标系下画出函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图象，结合图象得，当x ∈[－5,5]时，它们的图象的公共点共有8个，即函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]内的零点个数是8.7．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算f (0)<0，f (0.5)>0可得其中一个零点x 0∈______，第二次应计算________．解析：因为f (x )＝x 3＋3x －1是R 上的连续函数，且f (0)<0，f (0.5)>0，则f (x )在x ∈(0,0.5)上存在零点，且第二次验证时需验证f (0.25)的符号．答案：(0,0.5) f (0.25)8．若函数f (x )＝a x －x －a (a >0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________． 解析：函数f (x )的零点个数就是函数y ＝a x 与函数y ＝x ＋a 的图象交点的个数，易知当a >1时，两图象有两个交点；当0<a <1时，两图象有一个交点．答案：(1，＋∞)9．(2013·南通质检)已知函数f (x )＝x 2＋(1－k )x －k 的一个零点在(2,3)内，则实数k 的取值范围是________．解析：因为Δ＝(1－k )2＋4k ＝(1＋k )2≥0对一切k ∈R 恒成立，又k ＝－1时，f (x )的零点x ＝－1∉(2,3)，故要使函数f (x )＝x 2＋(1－k )x －k 的一个零点在(2,3)内，则必有f (2)·f (3)<0，即2<k <3.答案：(2,3)10．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14.证明：存在x 0∈⎝⎛⎭⎫0，12，使f (x 0)＝x 0. 证明：令g (x )＝f (x )－x .∵g (0)＝14，g ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫12－12＝－18，∴g (0)·g ⎝⎛⎭⎫12<0.又函数g (x )在⎣⎡⎦⎤0，12上连续， ∴存在x 0∈⎝⎛⎭⎫0，12，使g (x 0)＝0，即f (x 0)＝x 0.11．关于x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m 的取值范围． 解：设f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋1，x ∈[0,2]， ①若f (x )＝0在区间[0,2]上有一解， ∵f (0)＝1>0，则应有f (2)<0，又∵f (2)＝22＋(m －1)×2＋1，∴m <－32.②若f (x )＝0在区间[0,2]上有两解，则 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，0<－m －12<2，f (2)≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧(m －1)2－4≥0，－3<m <1，4＋(m －1)×2＋1≥0.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≥3或m ≤－1，－3<m <1，m ≥－32.∴－32≤m ≤－1.由①②可知m 的取值范围(－∞，－1]．12．若函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝0时，函数f (x )＝－x －1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点．(2)当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2－x －1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax 2－x －1＝0有两个相等实根．则Δ＝1＋4a ＝0，解得a ＝－14.综上，当a ＝0或a ＝－14时，函数仅有一个零点．1．(2012·“江南十校”联考)已知关于x 的方程|x 2－6x |＝a (a >0)的解集为P ，则P 中所有元素的和可能是( )A ．3,6,9B ．6,9,12C ．9,12,15D ．6,12,15解析：选B 如图，函数y ＝|x 2－6x |的图象关于直线x ＝3对称，将直线y ＝a 从下往上移动可知：P 中所有元素的和可能是6,9,12.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x >0，－x 2＋bx ＋c ，x ≤0满足f (0)＝1，且f (0)＋2f (－1)＝0，那么函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为________．解析：∵f (0)＝1，∴c ＝1.又∵f (0)＋2f (－1)＝0，∴f (－1)＝－1－b ＋1＝－12，得b ＝12.∴当x >0时，g (x )＝2x －2＝0有唯一解x ＝1；当x ≤0时，g (x )＝－x 2＋32x ＋1，令g (x )＝0，得x ＝2(舍去)或x ＝－12，即g (x )＝0有唯一解．综上可知，g (x )＝f (x )＋x 有2个零点．答案：23．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .(1)若a >b >c ，且f (1)＝0，试证明f (x )必有两个零点；(2)若对x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，f (x 1)≠f (x 2)，方程f (x )＝12[f (x 1)＋f (x 2)]有两个不等实根，证明必有一个实根属于(x 1，x 2)．证明：(1)∵f (1)＝0，∴a ＋b ＋c ＝0，又∵a >b >c ，∴a >0，c <0，即ac <0.又∵Δ＝b 2－4ac ≥－4ac >0，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不等实根，∴函数f (x )有两个零点．(2)令g (x )＝f (x )－12[f (x 1)＋f (x 2)]，则g (x 1)＝f (x 1)－12[f (x 1)＋f (x 2)]＝f (x 1)－f (x 2)2，g (x 2)＝f (x 2)－12[f (x 1)＋f (x 2)]＝f (x 2)－f (x 1)2，∴g (x 1)·g (x 2)＝f (x 1)－f (x 2)2·f (x 2)－f (x 1)2＝－14[f (x 1)－f (x 2)]2. ∵f (x 1)≠f (x 2)，∴g (x 1)·g (x 2)<0. ∴g (x )＝0在(x 1，x 2)内必有一实根．即f (x )＝12[f (x 1)＋f (x 2)]在(x 1，x 2)内必有一实根．1．对于定义域为D 的函数f (x )，若存在区间M ＝[a ，b ]⊆D (a <b )，使得{y |y ＝f (x )，x ∈M }＝M ，则称区间M 为函数f (x )的“等值区间”．给出下列四个函数：①f (x )＝2x ；②f (x )＝x 3；③f (x )＝sin x ；④f (x )＝log 2x ＋1. 则存在“等值区间”的函数是________．(把正确的序号都填上)解析：问题等价于方程f (x )＝x 在函数的定义域内是否存在至少两个不相等的实根，由于2x >x ，故函数f (x )＝2x 不存在等值区间；由于x 3＝x 有三个不相等的实根x 1＝－1，x 2＝0，x 3＝1，故函数f (x )＝x 3存在三个等值区间[－1,0]，[0,1]，[－1,1]；由于sin x ＝x 只有唯一的实根x ＝0，结合函数图象，可知函数f (x )＝sin x 不存在等值区间；由于log 2x ＋1＝x 有实根x 1＝1，x 2＝2，故函数f (x )＝log 2x ＋1存在等值区间[1,2]．答案：②④2．m 为何值时，f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4.京翰教育高考辅导——专业对高中学生开设高三数学辅导补习班京翰教育北京家教辅导-开设全国中小学一对一课外辅导班 (1)有且仅有一个零点；(2)有两个零点且均比－1大．解：(1)若函数f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4有且仅有一个零点， 则等价于Δ＝4m 2－4(3m ＋4)＝0，即m 2－3m －4＝0，解得m ＝4或m ＝－1.(2)设两零点分别为x 1，x 2，且x 1>－1，x 2>－1，x 1≠x 2.则x 1＋x 2＝－2m ，x 1·x 2＝3m ＋4，故只需⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4m 2－4(3m ＋4)>0，(x 1＋1)＋(x 2＋1)>0，(x 1＋1)(x 2＋1)>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－3m －4>0，－2m ＋2>0，3m ＋4＋(－2m )＋1>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ m <－1或m >4，m <1，m >－5.故m 的取值范围是{m |－5<m <－1}．。
