2018年高考数学浙江专版三维二轮专题复习 阶段滚动检测四 专题一-专题五 含答案 精品

开篇先学“审题”——开启专题复习之旅[编者按] 开篇先学审题技法，旨在用通法引领复习，在复习中实践通法．著名数学家波利亚总结了解决数学问题的四个步骤：弄清问题、拟订计划、实现计划、代入回顾．其中“弄清问题”即审题．审题是解题的基础和关键，一切解题的思路、方法、技巧都来源于认真审题．审题是解题者对题目提供信息的发现、辨认和转译，并对信息作有序提炼，明确题目的条件、问题和相互间的关系．审题就是“让题目会说话”，其具体内容是：已知什么，隐含什么，需作什么，注意什么，等等．下面从审条件和审结论两个方面谈一下如何审题．图象等几方面有的数学题条件并不明显，而寓于概念、存于性质或含于图中，审题时，就要注意深入挖掘这些隐含条件和信息，解题时，可避免因忽视隐含条件而出现的错误.[例1] (2017·衢州模拟)已知两条直线l1：4x－3y－1＝0和l2：4x－3y＋4＝0，圆C过点P(1,1)且与两直线都相切，则圆C的方程为____________________．[审题指导][解析] 由已知可得直线l 1与l 2平行，且直线l 1与l 2间的距离d ＝|－1－4|42＋－2＝1，又圆C 与l 1，l 2都相切，所以圆C 的半径r ＝12.故可设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝14，又P (1,1)在直线4x －3y －1＝0上，即直线l 1与圆C 相切于点P (1,1)，故⎩⎪⎨⎪⎧b －1a －1＝－34，|4a －3b －1|5＝|4a －3b ＋4|5，化简得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋4b ＝7，8a －6b ＝－3，解得a ＝35，b ＝1310.故所求圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －13102＝14.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －13102＝141.(2017·杭州模拟)如图，在△OMN 中，A ，B 分别是OM ，ON 的中点，若OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→(x ，y ∈R)，且点P 落在四边形ABNM 内(含边界)，则y ＋1x ＋y ＋2的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，34D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23 解析：选C 由题意不妨设△OMN 为等腰直角三角形，OM ＝ON ＝2，则OA ＝OB ＝1，以OA ，OB 为x ，y 轴建立直角坐标系，则x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2，1≤x ＋y ≤2，对应的平面区域是以点B (0,1)，N (0,2)，M (2,0)，A (1,0)为顶点的等腰梯形(含边界)，当(x ，y )取点(2,0)时，y ＋1x ＋1取得最小值13；当(x ，y )取点(0,2)时，y ＋1x ＋1取得最大值3，所以13≤y ＋1x ＋1≤3，13≤x ＋1y ＋1≤3，则y ＋1x ＋y ＋2＝1x ＋1y ＋1＋1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，34，故选C.数学问题中的条件和结论，在这些问题的数式结构中，往往都隐含着某种特殊关系，认真审视数式的结构特征，对数式结构进行深入分析，加工转化，可以寻找到突破问题的方案．[例2] (2017·绍兴模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足ba ＋c ＋ca ＋b≥1，则角A 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，πD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π [审题指导]由条件中不等式结构――→去分母化简b 2＋c 2－a 2≥bc ――→联想余弦定理结构变形cos A ――→求范围得结论 [解析] 由ba ＋c ＋ca ＋b≥1，得b (a ＋b )＋c (a ＋c )≥(a ＋c )(a ＋b )，化简得b 2＋c 2－a 2≥bc ，即b 2＋c 2－a 22bc ≥12，即cos A ≥12.又因为0＜A ＜π，所以0＜A ≤π3，故选A. [答案] A2．(2017·金华中学模拟)已知向量a ≠e ，|e |＝1，对任意t ∈R ，恒有|a －te |≥|a －e |，则( )A ．a ⊥eB ．a ⊥(a －e )C ．e ⊥(a －e )D ．(a ＋e )⊥(a －e )解析：选C 法一：由题意，得a 2－2te ·a ＋t 2e 2≥a 2－2e ·a ＋e 2，即t 2－2e ·at ＋2e ·a －e 2≥0，因为该不等式对任意t ∈R 恒成立，则Δ＝4(e ·a )2－8e ·a ＋4e 2≤0， 因而(e ·a －e 2)2≤0.于是e ·a －e 2＝0. 所以e ·(a －e )＝0，e ⊥(a －e )．故选C.法二：如图，OA ―→＝e ，OC ―→＝a ，OB ―→＝te ，则|AC ―→|＝|a －e |，|BC ―→|＝|a －te |，由已知|AC ―→|≤|BC ―→|.因为点B 是直线OA 上的任意点，点C 与直线AB 上的点的连线中线段AC 的长度最短，故AC ⊥OB ，也就是e ⊥(a －e )．此在审题时，要善于观察图形，洞悉图形所隐含的特殊的关系、数值的特点、变化的趋势，抓住图形的特征，利用图形所提供的信息解决问题.[例3] (2017·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A.π2＋1 B.π2＋3 C.3π2＋1D.3π2＋3 [审题指导][解析] 由几何体的三视图可得，该几何体是一个底面半径为1，高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边长为2的等腰直角三角形，高为3的三棱锥的组合体，故该几何体的体积V ＝12×13×π×12×3＋13×12×2×2×3＝π2＋1.[答案] A3.(2017·台州模拟)如图，M (xM ，y M )，N (x N ，y N )分别是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象与两条直线l 1：y ＝m ，l 2：y ＝－m (A ≥m ≥0)的两个交点，记S ＝|x N －x M |，则S (m )的图象大致是( )解析：选C 由题意可得sin(ωx M ＋φ)＝sin(－ωx N －φ)，则结合图象可得|(ωx M ＋φ)＋(－ωx N －φ)|＝π，所以S (m )＝|x M －x N |＝πω是一个与m 无关的常数函数，故选C.结论是解题的最终目标，解决问题的思维在很多情形下都是在目标意识下启动和定向的.审视结论是要探索已知条件和结论间的联系与转化规律，可以从结论中捕捉解题信息，确定解题方向.而解题的思维过程大多都是围绕着结论这个目标进行定向思考的.有些问题的结论看似不明确或不利于解决，可以转换角度，达到解决问题的目的.盯着未知数，这是个不错的解题途径.[例4] (2017·宁波模拟)已知函数f (x )＝ln x ＋1x.(1)求函数f (x )的极值和单调区间； (2)求证：ln n ＋12＜12＋13＋14＋ (1)(n ≥2，n ∈N *)． [审题指导] (1)求f x →判断f x 的符号→得结论(2)lnn ＋12＜12＋13＋14＋…＋1n ――→将不等式左边化成和式ln 32＋ln 43＋…＋ln n ＋1n ＜12＋13＋…＋1n ―→ 证明ln n ＋1n ＜1nn →证明ln x ＞1－1x，x ∈，――→与相结合利用fx 的极值证明[解] (1)因为f (x )＝ln x ＋1x， 所以f (x )的定义域为(0，＋∞)， 所以f ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x2.令f ′(x )＝0，得x ＝1.所以f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：故f (x )f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)．(2)证明：由(1)知f (x )＝ln x ＋1x在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，且f (1)＝1，所以对于x ∈(0,1)，ln x ＋1x ＞1即ln x ＞1－1x.令x ＝nn ＋1(n ≥2，n ∈N *)，则nn ＋1∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1， 所以lnnn ＋1＞1－1n n ＋1＝1－n ＋1n ＝－1n， 即lnn ＋1n ＜1n. 则有ln 32＜12，ln 43＜13，ln 54＜14，…，ln n ＋1n ＜1n .将以上各式不等号两边分别相加，得ln 32＋ln 43＋ln 54＋…＋ln n ＋1n ＜12＋13＋14＋…＋1n ， 即lnn ＋12＜12＋13＋14＋ (1)(n ≥2，n ∈N *)．4．(2017·嘉兴模拟)设椭圆x 2a 2＋y 23＝1(a ＞3)的右焦点为F ，右顶点为A .已知1|OF |＋1|OA |＝3e|FA |，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率． (1)求椭圆的方程；(2)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H .若BF ⊥HF ，且∠MOA ≤∠MAO ，求直线l 的斜率的取值范围．解：(1)设F (c,0)，由1|OF |＋1|OA |＝3e |FA |， 即1c ＋1a ＝3c aa －c，可得a 2－c 2＝3c 2.又a 2－c 2＝b 2＝3，所以c 2＝1.因此a 2＝4. 所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线l 的斜率为k (k ≠0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －2)，设B (x B ，y B )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k x －消去y ，整理得(4k 2＋3)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0.解得x ＝2或x ＝8k 2－64k 2＋3.由题意得x B ＝8k 2－64k 2＋3，从而y B ＝－12k4k 2＋3.由(1)知F (1,0)，设H (0，y H )，有FH ―→＝(－1，y H )，BF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9－4k24k 2＋3，12k 4k 2＋3.由BF ⊥HF ，得BF ―→·FH ―→＝0，所以4k 2－94k 2＋3＋12ky H 4k 2＋3＝0，解得y H ＝9－4k 212k .因此直线MH 的方程为y ＝－1k x ＋9－4k 212k.设M (x M ，y M )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，y ＝－1k x ＋9－4k212k 消去y ，解得x M ＝20k 2＋9k 2＋.在△MAO 中，∠MOA ≤∠MAO ⇔|MA |≤|MO |， 即(x M －2)2＋y 2M ≤x 2M ＋y 2M ， 化简，得x M ≥1，即20k 2＋91k 2＋≥1，解得k ≤－64或k ≥64. 所以直线l 的斜率的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－64∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫64，＋∞.一些题目从已知到结论不易证明，可采用逆向分析法，即从要证明的结论出发，逐步寻求使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为一个明显成立的条件或已知定理为止.[例5] (2017·温州模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a 2＝6，a 3＝11，且(5n －8)S n ＋1－(5n ＋2)S n ＝An ＋B ，n ＝1,2，3，…，其中A ，B 为常数．(1)证明：数列{a n }为等差数列；(2)证明：不等式 5a mn －a m a n ＞1对任何正整数m ，n 都成立． [审题指导][证明] (1)由已知，得S 1＝a 1＝1，S 2＝a 1＋a 2＝7，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝18.由(5n －8)S n ＋1－(5n ＋2)S n ＝An ＋B ，知⎩⎪⎨⎪⎧－3S 2－7S 1＝A ＋B ，2S 3－12S 2＝2A ＋B ，即⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝－28，2A ＋B ＝－48，解得A ＝－20，B ＝－8.故(5n －8)S n ＋1－(5n ＋2)S n ＝－20n －8，① 所以(5n －3)S n ＋2－(5n ＋7)S n ＋1＝－20n －28.②②－①，得(5n －3)S n ＋2－(10n －1)S n ＋1＋(5n ＋2)S n ＝－20，③ 所以(5n ＋2)S n ＋3－(10n ＋9)S n ＋2＋(5n ＋7)S n ＋1＝－20.④④－③，得(5n ＋2)S n ＋3－(15n ＋6)S n ＋2＋(15n ＋6)·S n ＋1－(5n ＋2)S n ＝0. 因为a n ＋1＝S n ＋1－S n ，所以(5n ＋2)a n ＋3－(10n ＋4)a n ＋2＋(5n ＋2)a n ＋1＝0. 因为5n ＋2≠0，所以a n ＋3－2a n ＋2＋a n ＋1＝0. 所以a n ＋3－a n ＋2＝a n ＋2－a n ＋1，n ≥1. 又因为a 3－a 2＝a 2－a 1＝5， 所以数列{a n }为等差数列．(2)由(1)可知，a n ＝1＋5(n －1)＝5n －4，要证 5a mn －a m a n ＞1， 只要证5a mn ＞1＋a m a n ＋2a m a n . 因为a mn ＝5mn －4，a m a n ＝(5m －4)(5n －4)＝25mn －20(m ＋n )＋16，故只要证5(5mn －4)＞1＋25mn －20(m ＋n )＋16＋2a m a n ， 即只要证20m ＋20n －37＞2a m a n .因为2a m a n ≤a m ＋a n ＝5m ＋5n －8＜5m ＋5n －8＋(15m ＋15n －29)＝20m ＋20n －37， 所以命题得证．5．(2017·宁波模拟)过抛物线E ：x 2＝2py (p >0)的焦点F 作斜率分别为k 1，k 2的两条不同直线l 1，l 2，且k 1＋k 2＝2，l 1与E 相交于点A ，B ，l 2与E 相交于点C ，D ，以AB ，CD 为直径的圆M ，圆N (M ，N 为圆心)的公共弦所在直线记为l .若k 1>0，k 2>0，证明：FM ―→·FN ―→<2p 2.证明：由题意知，抛物线E 的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，直线l 1的方程为y ＝k 1x ＋p2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋p 2，x 2＝2py ，得x 2－2pk 1x －p 2＝0.设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实数根，从而x 1＋x 2＝2pk 1，y 1＋y 2＝k 1(x 1＋x 2)＋p ＝2pk 21＋p .所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫pk 1，pk 21＋p 2，FM ―→＝(pk 1，pk 21)．同理可得点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫pk 2，pk 22＋p 2，FN ―→＝(pk 2，pk 22)，于是FM ―→·FN ―→＝p 2(k 1k 2＋k 21k 22)． 法一：要证FM ―→·FN ―→<2p 2， 只要证k 1k 2＋k 21k 22<2， 再证－2<k 1k 2<1. 由k 1>0，k 2>0，k 1≠k 2， 即证0<k 1k 2<1.因为k 1＋k 2＝2>2k 1k 2，所以0<k 1k 2<1成立． 故FM ―→·FN ―→<2p 2成立．法二：因为k 1＋k 2＝2，k 1>0，k 2>0，k 1≠k 2， 所以0<k 1k 2<⎝⎛⎭⎪⎫k 1＋k 222＝1.故FM ―→·FN ―→<p 2(1＋12)＝2p 2.。

专题一善用数学思想高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合；二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想等．数学思想与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得，与此同时，它们又直接对知识的形成起到指导作用．因此，在平时的学习中，我们应对数学思想方法进行认真的梳理与总结，逐个认识它们的本质特征，逐步做到自觉地、灵活地将其运用于所需要解决的问题之中．第一讲函数与方程思想__数形结合思想一、函数与方程思想函数与方程思想的含义函数与方程思想在解题中的应用———————[典例示范]————— 应用一 解决数列、不等式问题[例1] 已知数列{a n }是各项均为正数的等差数列．(1)若a 1＝2，且a 2，a 3，a 4＋1成等比数列，求数列{a n }的通项公式a n ； (2)在(1)的条件下，数列{a n }的前n 项和为S n ，设b n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n，若对任意的n ∈N *，不等式b n ≤k 恒成立，求实数k 的最小值．[解] (1)因为a 1＝2，a 23＝a 2·(a 4＋1)， 又因为{a n }是正项等差数列，故d ≥0， 所以(2＋2d )2＝(2＋d )(3＋3d )，(列出方程) 解得d ＝2或d ＝－1(舍去)， 所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n . (2)因为S n ＝n (n ＋1)， 所以b n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n＝1n ＋1n ＋2＋1n ＋2n ＋3＋…＋12n2n ＋1＝1n ＋1－1n ＋2＋1n ＋2－1n ＋3＋…＋12n －12n ＋1＝1n ＋1－12n ＋1＝n 2n 2＋3n ＋1＝12n ＋1n＋3， 令f (x )＝2x ＋1x(x ≥1)，(构造函数)则f ′(x )＝2－1x2，当x ≥1时，f ′(x )>0恒成立，所以f (x )在[1，＋∞)上是增函数， 故当x ＝1时，f (x )min ＝f (1)＝3， 即当n ＝1时，(b n )max ＝16，要使对任意的正整数n ，不等式b n ≤k 恒成立， 则须使k ≥(b n )max ＝16，所以实数k 的最小值为16.———[即时应用]—————————— 1.(1)设a ＞0，b ＞0.( ) A ．若2a ＋2a ＝2b＋3b ，则a ＞b B ．若2a ＋2a ＝2b＋3b ，则a ＜b C ．若2a －2a ＝2b－3b ，则a ＞b D ．若2a －2a ＝2b－3b ，则a ＜b(2)f (x )＝ax 3－3x ＋1对于x ∈[－1,1]总有f (x )≥0成立，则a ＝________. 解析：(1)由2a＋2a ＝2b＋3b ， 整理得，(2a＋2a )－(2b＋2b )＝b >0， 令f (x )＝2x ＋2x ，显然f (x )是单调递增函数， 由f (a )－f (b )>0可得a >b ，选A.(2)若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成立；当x ＞0即x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x3.设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝－2xx 4，所以g (x )在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增，在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1上单调递减，因此g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4，从而a ≥4；当x ＜0即x ∈[－1,0)时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≤3x 2－1x3，设g (x )＝3x 2－1x3，且g (x )在区间[－1,0)上单调递增，因为g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4，综上a ＝4.答案：(1)A (2)4——————————[典例示范]————————— 应用二 解决解析几何、立体几何问题[例2] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1,0)，如图所示，设左顶点为A ，上顶点为B ，且OF ―→·FB ―→＝AB ―→·BF ―→.(1)求椭圆C 的方程；(2)若过F 的直线l 交椭圆于M ，N 两点，试确定FM ―→·FN ―→的取值范围． [解] (1)由已知，A (－a,0)，B (0，b )，F (1,0)， 则由OF ―→·FB ―→＝AB ―→·BF ―→，得b 2－a －1＝0. ∵b 2＝a 2－1，∴a 2－a －2＝0，(列出方程) 解得a ＝2. ∴a 2＝4，b 2＝3，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)①若直线l 斜率不存在，则l ：x ＝1， 此时M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，N ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32，FM ―→·FN ―→＝－94. ②若直线l 斜率存在，设l ：y ＝k (x －1)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，x 24＋y23＝1消去y 得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，(列出方程) ∴x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3.∴FM ―→·FN ―→＝(x 1－1，y 1)·(x 2－1，y 2) ＝(1＋k 2)[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1] ＝－94－11＋k2.(转化为函数) ∵k 2≥0，∴0<11＋k2≤1，∴3≤4－11＋k 2<4，∴－3≤FM ―→·FN ―→<－94.综上所述，FM ―→·FN ―→的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，－94. ——————————[即时应用]——————————2.(1)已知正四棱锥S ­ABCD 中，SA ＝23，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为( ) A ．1B. 3 C ．2 D ．3(2)(2016·浙江高考)如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD ＝DA ，PB ＝BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是________．解析：(1)设正四棱锥S ­ABCD 的底面边长为a (a ＞0)，则高h ＝ SA 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22＝12－a 22，所以体积V ＝13a 2h ＝1312a 4－12a 6.设y ＝12a 4－12a 6(a ＞0)，则y ′＝48a 3－3a 5.令y ′＞0，得0＜a ＜4；令y ′＜0，得a ＞4.故函数y 在(0,4]上单调递增，在[4，＋∞)上单调递减．可知当a ＝4时，y 取得最大值，即体积V 取得最大值，此时h ＝12－a 22＝2，故选C.(2)在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°， ∴AC ＝22＋22－2×2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2 3.设CD ＝x ，则AD ＝23－x ， ∴PD ＝23－x ， ∴V P ­BCD ＝13S △BCD ·h≤13×12BC ·CD ·sin 30°·PD ＝16x (23－x )≤16⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋23－x 22 ＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＝12， 当且仅当x ＝23－x ，即x ＝3时取“＝”， 此时PD ＝3，BD ＝1，PB ＝2，满足题意． 故四面体PBCD 的体积的最大值为12.答案：(1)C (2)12二、数形结合思想应用一 处理方程根、函数零点问题[例3] (1)(2017·杭州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 12，x ≤0，log 5x ，x >0，函数g (x )是周期为2的偶函数且当x ∈[0,1]时，g (x )＝2x－1，则函数y ＝f (x )－g (x)的零点个数是( )A ．5B ．6C ．7D ．8(2)已知定义在R 上的奇函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当0＜x ≤1时，f (x )＝log12x ，则方程f (x )－1＝0在(0,6)内的所有根之和为( )A ．8B ．10C ．12D ．16[解析] (1)在同一坐标系中作出y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象如图所示，由图象可知当x >0时，有4个零点，当x ≤0时，有2个零点，所以一共有6个零点，故选B.(2)∵奇函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴f (x )＝f (2－x )＝－f (－x )，即f (x )＝－f (x ＋2)＝f (x ＋4)，∴f (x )是周期函数，其周期T ＝4.当0＜x ≤1时，f (x )＝log 12x ，故f (x )在(0,6)上的函数图象如图所示．由图可知方程f (x )－1＝0在(0,6)内的根共有4个，其和为x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝2＋10＝12，故选C.[答案] (1)B (2)C———————————[即时应用]——————————3.(1)已知函数f (x )＝2mx 2－2(4－m )x ＋1，g (x )＝mx ，若对于任一实数x ，f (x )与g (x )至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,2)B ．(0,8)C ．(2,8)D ．(－∞，0)(2)(2018届高三·温州五校联考)已知直线(1－m )x ＋(3m ＋1)y －4＝0所过定点恰好落在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log a x ，0＜x ≤3，|x －4|，x ＞3的图象上，若函数h (x )＝f (x )－mx ＋2有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1C.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1 D ．(1，＋∞)解析：(1)m ＝0时结论显然不成立；当m <0时，二次函数的对称轴－b 2a ＝4－m2m <0，如图①，x >0时显然不成立；当0<m ≤4时，－b 2a ＝4－m2m >0，如图②，此时结论显然成立；当m >4时，如图③，－b 2a ＝4－m 2m<0时，只要Δ＝4(4－m )2－8m ＝4(m －8)(m －2)<0即可，即4<m <8，故有0<m <8，选B.(2)由(1－m )x ＋(3m ＋1)y －4＝0，得x ＋y －4－m (x －3y )＝0，∴由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4＝0，x －3y ＝0，可得直线过定点(3,1)，∴log a 3＝1，∴a ＝3.令f (x )－mx ＋2＝0，得f (x )＝mx －2，在同一坐标系上作出y 1＝f (x )与y 2＝mx －2的图象，易得12＜m ＜1.答案：(1)B (2)B——————————[典例示范]———————— 应用二 求解参数的范围及最值问题[例4] (1)若存在实数a ，对任意的x ∈[0，m ]，都有(sin x －a )(cos x －a )≤0恒成立，则实数m 的最大值为( )A.π4 B.π2 C.3π4D.5π4(2)若不等式|x －2a |≥12x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．[解析] (1)在同一坐标系中，作出y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象， 当m ＝π4时，要使不等式恒成立，只有a ＝22，当m >π4时，在x ∈[0，m ]上，必须要求y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象不在y ＝a ＝22的同一侧．所以m 的最大值是3π4，选C.(2)作出y ＝|x －2a |和y ＝12x ＋a －1的简图，依题意及图象知应有2a ≤2－2a ，故a ≤12.[答案] (1)C (2)⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12 ———————————[即时应用]—————————— 4.(1)对实数a和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1. 设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x－x 2)，x ∈R.若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32B ．(－∞，－2]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－34C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，14∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞(2)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ，0)，B (m ，0) (m >0)．若圆C 上存在点P ，使得 ∠APB ＝90°，则 m 的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4解析：(1)∵f (x )＝(x 2－2)⊗(x －x 2) ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，－1≤x ≤32，x －x 2，x <－1或x >32.作出其图象，从图象可以看出；c ≤－2时，y ＝f (x )与y ＝c 有两个公共点，即函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点；同样的，－1<c <－34也满足要求，故选B.(2)根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3,4)，半径r ＝1，且|AB |＝2m ，因为∠APB ＝90°，连接OP ，易知|OP |＝12|AB |＝m .要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O的最大距离．因为|OC |＝ 32＋42＝5，所以|OP |max ＝|OC |＋r ＝6，即m 的最大值为6.答案：(1)B (2)B[数学思想专练(一)]一、选择题1．(2018届高三·浙江五校联考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝4，S 10＝110，则S n ＋64a n的最小值为( )A ．7B ．8 C.152D.172解析：选D 设等差数列{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝a 1＋d ＝4，S 10＝10a 1＋10×92d ＝110，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2，所以a n ＝2＋2(n －1)＝2n ，S n ＝2n ＋n n －2×2＝n 2＋n ，所以S n ＋64a n ＝n 2＋n ＋642n ＝n 2＋32n ＋12≥2n 2·32n ＋12＝172，当且仅当n 2＝32n，即n ＝8时取等号，故选D. 2．若关于x 的方程x 2＋2kx －1＝0的两根x 1，x 2满足－1≤x 1<0<x 2<2，则k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－34，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34 解析：选B 构造函数f (x )＝x 2＋2kx －1，∵关于x 的方程x 2＋2kx －1＝0的两根x 1，x 2满足－1≤x 1<0<x 2<2，∴⎩⎪⎨⎪⎧f －，f ，f，即⎩⎪⎨⎪⎧－2k ≥0，－1<0，4k ＋3>0，∴－34<k ≤0.3．设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R)，又函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧gx ＋x ＋4，x <g x ，g x －x ，x ≥g x则f (x )的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(1，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．[－94，＋∞)D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(2，＋∞)解析：选D 依题意知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2＋x ＋4，x <x 2－2，x 2－2－x ，x ≥x 2－2，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x <－1或x >2，x 2－x －2，－1≤x ≤2.画出f (x )的图象，如图所示，从图中可以看出f (x )的值域为(2，＋∞)∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0.4．已知f (x )＝e x －e －x＋1，若f (a )＋f (a －2)<2，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1) B ．(－∞，2) C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：选A 设g (x )＝e x－e －x，显然有f (x )＝g (x )＋1，且g (x )为奇函数，在R 上是增函数， 因为f (a )＋f (a －2)<2，所以g (a )＋g (a －2)<0，所以g (a )<－g (a －2)＝g (2－a )，所以a <2－a ，所以a <1，选A.5．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)的定义域为D ，若所有点(s ，f (t ))(s ，t ∈D )构成一个正方形区域，则a 的值为( )A ．－2B ．－4C ．－8D ．不能确定解析：选B 根据二次函数性质及复合函数的性质，如示意图，设g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)的两个零点为x 1，x 2，则一定有|x 1－x 2|＝f max (x )，故b 2－4aca 2＝ 4ac －b 24a，a 2＝－4a ，a ＝－4，选B. 6．定义域为R 的偶函数f (x )满足对任意x ∈R ，有f (x ＋2)＝f (x )－f (1)，且当x ∈[2,3]时，f (x )＝－2x 2＋12x －18，若函数y ＝f (x )－log a (x ＋1)在(0，＋∞)上至少有三个零点，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22C.⎝⎛⎭⎪⎫0，55 D.⎝⎛⎭⎪⎫0，66 解析：选A ∵f (x ＋2)＝f (x )－f (1)，令x ＝－1，则f (1)＝f (－1)－f (1)， ∵f (x )是定义在R 上的偶函数，∴f (1)＝f (－1)，∴f (1)＝0. ∴f (x )＝f (x ＋2)，即函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数， 又∵当x ∈[2,3]时，f (x )＝－2x 2＋12x －18，令g (x )＝log a (x ＋1) ，则f (x )与g (x )在[0，＋∞)的部分图象如图所示．y ＝f (x )－log a (x ＋1)在(0，＋∞)上至少有三个零点，可化为f (x )与g (x )的图象在(0，＋∞)上至少有三个交点，g (x )在(0，＋∞)上单调递减，则⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，log a 3>－2，解得0＜a ＜33，故选A. 二、填空题7．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，y ≤3，x －y ≤1，若z ＝kx ＋y 的最大值为5，且k 为负整数，则k ＝________.解析：利用线性规划的知识画出不等式组表示的可行域如图所示： 其中点A (－2,3)，B (4,3)，C (1,0)，根据线性规划知识可得，目标函数的最优解必在交点处取得，则－2k ＋3＝5或4k ＋3＝5或k ＋0＝5，又k 为负整数，所以k ＝－1.答案：－18．(2017·泰州模拟)在直角△ABC 中，AB ＝2，AC ＝23，斜边BC 上有异于端点的两点E ，F ，且EF ＝1，则AE ―→·AF ―→的取值范围是________．解析：建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设E (x,23－3x )，Fx ＋12，332－3x ，其中0<x <32，所以AE ―→·AF ―→＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋()23－3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫332－3x ＝4x 2－10x ＋9.设f (x )＝4x 2－10x ＋9⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <32，则其图象的对称轴为x ＝54，其值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫114，9，所以AE ―→·AF ―→的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫114，9.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫114，99.如图，设直线m ，n 相交于点O ，且夹角为30°，点P 是直线m 上的动点，点A ，B 是直线n 上的定点．若|OA ―→|＝|AB ―→|＝2，则PA ―→·PB ―→的最小值是________．解析：以OB 所在直线为x 轴，过O 且垂直于AB 的直线为y 轴，建立如图的坐标系，则A (2,0)，B (4,0)，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，33a ，则PA ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫2－a ，－33a ，PB ―→＝4－a ，－33a ，所以PA ―→·PB ―→＝(2－a )(4－a )＋13a 2＝43a 2－6a ＋8＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫a －942＋54≥54，所以PA ―→·PB ―→的最小值为54. 答案：54三、解答题10．已知函数f (x )＝|4x －x 2|－a ，当函数有4个零点时，求a 的取值范围． 解：∵函数f (x )＝|4x －x 2|－a 有4个零点， ∴方程|4x －x 2|＝a 有4个不同的解． 令g (x )＝|4x －x 2|＝⎩⎪⎨⎪⎧4－x －2， 0≤x ≤4，x －2－4，x <0或x >4.作出g (x )的图象，如图所示，由图象可以看出， 当h (x )＝a 与g (x )有4个交点时，0<a <4， ∴a 的取值范围为(0,4)．11．已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n >60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，依题意得，2,2＋d,2＋4d 成等比数列，故有(2＋d )2＝2(2＋4d )，化简得d 2－4d ＝0， 解得d ＝0或d ＝4. 当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2.从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2. (2)当a n ＝2时，S n ＝2n ， 显然2n <60n ＋800，此时不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立． 当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋n －2＝2n 2.令2n 2>60n ＋800，即n 2－30n －400>0， 解得n >40或n <－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的正整数n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的正整数n ，其最小值为41.12.已知椭圆C 的离心率为32，点A ，B ，F 分别为椭圆的右顶点、上顶点和右焦点，且S △ABF＝1－32. (1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线l ：y ＝kx ＋m 被圆O ：x 2＋y 2＝4所截得的弦长为23，若直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，求△OMN 面积的最大值．解：(1)由题意，知椭圆C 的焦点在x 轴上，设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由已知得e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，所以a 2＝4b 2，即a ＝2b ，① 可得c ＝3b .②S △ABF ＝12|AF ||OB |＝12(a －c )b ＝1－32.③ 联立①②③，解得b ＝1，a ＝2， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意，知圆心O 到直线l 的距离d ＝22－32＝1，即|m |1＋k2＝1，故有m 2＝1＋k 2，④由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ＋m消去y 并整理，得⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋k 2x 2＋2kmx ＋m 2－1＝0. 因为Δ＝4k 2－m 2＋1＝3k 2>0，所以k ≠0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1， x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1，所以|x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 4k 2＋12－4×4m 2－44k 2＋1＝k 2－m 2＋k 2＋2，⑤将④代入⑤，得|x 1－x 2|2＝48k 2k 2＋2，故|x 1－x 2|＝43|k |4k 2＋1，|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝43k 2k 2＋4k 2＋1，故△OMN 的面积S ＝12|MN |×d ＝23k 2k 2＋4k 2＋1.令t ＝4k 2＋1>1，则S ＝23×t －14×⎝⎛⎭⎪⎫t －14＋1t 2＝32－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －132＋49. 所以当t ＝3，即k ＝±22时，S max ＝32×49＝1. 第二讲分类讨论、转化与化归思想 一、分类讨论思想类型一 由参数引起的分类讨论 [例1] 已知函数f (x )＝x ＋ax(x >0)．(1)若a <0，试用定义证明：f (x )在(0，＋∞)上单调递增；(2)若a >0，当x ∈[1,3]时，不等式f (x )≥2恒成立，求a 的取值范围． [解] (1)证明：若a <0，设0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫1－a x 1x 2. 因为x 1－x 2<0,1－ax 1x 2>0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．(2)若a >0，则f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增． ①若0<a ≤1，则f (x )在[1,3]上单调递增，f (x )min ＝f (1)＝1＋a . 所以1＋a ≥2，即a ≥1，所以a ＝1.②若1<a <9，则f (x )在[1，a ]上单调递减，在[a ，3]上单调递增，f (x )min ＝f (a )＝2a .所以2a ≥2，即a ≥1，所以1<a <9.③若a ≥9，则f (x )在[1,3]上单调递减，f (x )min ＝f (3)＝3＋a3.所以3＋a3≥2，即a ≥－3，所以a ≥9.综合①②③得a 的取值范围为[1，＋∞)．——————————[即时应用]————————— 1.已知函数f (x )＝sin x ，g (x )＝mx －x 36(m ∈R)．(1)求曲线y ＝f (x )在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4处的切线方程；(2)求函数g (x )的单调递减区间．解：(1)由题意得所求切线的斜率k ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝cos π4＝22，切点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，22，则切线方程为y －22＝22⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，即x －2y ＋1－π4＝0. (2)g ′(x )＝m －12x 2.①当m ≤0时，g ′(x )≤0，则g (x )的单调递减区间是(－∞，＋∞)； ②当m ＞0时，令g ′(x )＜0， 解得x ＜－2m 或x ＞2m ，则g (x )的单调递减区间是(－∞，－2m ) ，(2m ，＋∞)． 综上所述，m ≤0时，g (x )的单调递减区间是(－∞，＋∞)；m ＞0时，g (x )的单调递减区间是(－∞，－2m )，(2m ，＋∞)．——————————[典例示范]———————— 类型二 由概念、法则、公式引起的分类讨论[例2] 已知数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和为S n ，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为2的等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(－1)na n ，求数列{b n }的前n 项和T n . [解] (1)由已知条件可得S n n＝1＋(n －1)×2＝2n －1， ∴S n ＝2n 2－n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－n －[2(n －1)2－(n －1)]＝4n －3， 当n ＝1时，a 1＝1，而4×1－3＝1，∴a n ＝4n －3. (2)由(1)可得b n ＝(－1)na n ＝(－1)n(4n －3)， 当n 为偶数时，T n ＝－1＋5－9＋13－17＋…＋(4n －3)＝4×n2＝2n ，当n 为奇数时，n ＋1为偶数，T n ＝T n ＋1－b n ＋1＝2(n ＋1)－(4n ＋1)＝－2n ＋1.综上，T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ，n ＝2k ，k ∈N *，－2n ＋1，n ＝2k －1，k ∈N *.————————————[即时应用]—————————2.(1)若函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________.(2)设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和S n >0(n ＝1,2，3，…)，则q 的取值范围为________． 解析：(1)若a >1，有a 2＝4，a －1＝m ，故a ＝2，m ＝12，此时g (x )＝－x 为减函数，不合题意，若0<a <1，有a －1＝4，a 2＝m ，故a ＝14，m ＝116，检验知符合题意．(2)因为{a n }是等比数列，S n >0，可得a 1＝S 1>0，q ≠0. 当q ＝1时，S n ＝na 1>0； 当q ≠1时，S n ＝a 1－qn1－q>0，即1－q n1－q >0(n ∈N *)，则有⎩⎪⎨⎪⎧1－q >0，1－q n>0，或⎩⎪⎨⎪⎧1－q <0，1－q n<0，即－1<q <1或q >1，故q 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)． 答案：(1)14(2)(－1,0)∪(0，＋∞)二、转化与化归思想—————————[典例示范]———————— 类型一 形与数的转化[例3] (2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .(1)求|OH ||ON |； (2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．[解] (1)如图，由已知得M (0，t )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t .又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ， 故直线ON 的方程为y ＝p tx ，将其代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t2p .因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2p ，2t .所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点． 理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p2t x ，即x ＝2tp(y －t )．代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0， 解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外，直线MH 与C 没有其他公共点．———————————[即时应用]———————————3.(1)(2016·全国卷Ⅲ)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.34(2)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，点E 为AD 的中点，现分别沿BE ，CE 将△ABE ，△DCE 翻折，使得点A ，D 重合于F ，此时二面角E ­BC ­F 的余弦值为________．解析：(1)如图所示，由题意得A (－a,0)，B (a,0)，F (－c,0)．设E (0，m )，由PF ∥OE ，得|MF ||OE |＝|AF ||AO |，则|MF |＝ma －ca.① 又由OE ∥MF ，得12|OE ||MF |＝|BO ||BF |，则|MF |＝m a ＋c2a.②由①②得a －c ＝12(a ＋c )，即a ＝3c ，∴e ＝c a ＝13.故选A.(2)如图所示，取BC 的中点P ，连接EP ，FP ，由题意得BF ＝CF ＝2，∴PF ⊥BC ，又EB ＝EC ，∴EP ⊥BC ，∴∠EPF 为二面角E ­BC ­F 的平面角，而FP ＝FB 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC 2＝72，在△EPF 中，cos ∠EPF ＝EP 2＋FP 2－EF 22EP ·FP ＝4＋74－942×2×72＝74. 答案：(1)A (2)74—————————[典例示范]————————— 类型二 常量与变量的转化[例4] 设y ＝(log 2x )2＋(t －2)log 2x －t ＋1，若t 在[－2,2]上变化时，y 恒取正值，求x 的取值范围．[解] 设y ＝f (t )＝(log 2x －1)t ＋(log 2x )2－2log 2x ＋1， 当x ＝2时，f (t )＝0，所以x ≠2， 故f (t )是一次函数，当t ∈[－2,2]时，f (t )>0恒成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧f －，f ，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－4log 2x ＋3>0，2x2－1>0，解得log 2x <－1或log 2x >3. ∴0<x <12或x >8，∴x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(8，＋∞)． ———————————[即时应用]——————————4.(1)对于满足0≤p ≤4的所有实数p ，使不等式x 2＋px >4x ＋p －3成立的x 的取值范围是________．(2)设f (x )是定义在R 上的单调递增函数，若f (1－ax －x 2)≤f (2－a )对任意a ∈[－1,1]恒成立，则x 的取值范围为________．解析：(1)设f (p )＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3， 当x ＝1时，f (p )＝0，所以x ≠1. 要使f (p )在0≤p ≤4上恒正，等价于⎩⎪⎨⎪⎧f ，f，即⎩⎪⎨⎪⎧x －x －，x 2－1>0，解得x >3或x <－1.(2)∵f (x )是R 上的增函数． ∴1－ax －x 2≤2－a ，a ∈[－1,1]．即(x －1)a ＋x 2＋1≥0，对a ∈[－1,1]恒成立． 令g (a )＝(x －1)a ＋x 2＋1.则⎩⎪⎨⎪⎧g －＝x 2－x ＋2≥0，g ＝x 2＋x ≥0，解得x ≥0或x ≤－1.即实数x 的取值范围是(－∞，－1]∪[0，＋∞)．答案：(1)(－∞，－1)∪(3，＋∞) (2)(－∞，－1]∪[0，＋∞)[数学思想专练(二)]一、选择题1．设常数a ∈R ，集合A ＝{x |(x －1)(x －a )≥0}，B ＝{x |x ≥a －1}，若A ∪B ＝R ，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选B 当a >1时，则集合A ＝{x |x ≤1或x ≥a }，则A ∪B ＝R ，可知a －1≤1，即a ≤2，故1<a ≤2；当a ＝1时，则集合A ＝R ，显然A ∪B ＝R ，故a ＝1； 当a <1时，则集合A ＝{x |x ≥1或x ≤a }， 由A ∪B ＝R ，可知a －1≤a ，显然成立，故a <1； 综上可知，a 的取值范围是a ≤2.故选B 项．2．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解析：选B ∵b cos C ＋c cos B ＝b ·b 2＋a 2－c 22ab ＋c ·c 2＋a 2－b 22ac ＝b 2＋a 2－c 2＋c 2＋a 2－b 22a＝2a22a ＝a ＝a sin A ，∴sin A ＝1. ∵A ∈(0，π)，∴A ＝π2，即△ABC 是直角三角形．3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则f (x )≤2时x 的取值范围是( )A ．[0，＋∞) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 解析：选A 当x ≤1时，21－x≤2⇒x ≥0；当x >1时，1－log 2x ≤2⇒log 2x ≥－1＝log 2 2－1⇒x ≥2－1＝12.综上得，x 的取值范围为[0，＋∞)．4．设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线C 的离心率等于( )A.12或32 B.23或2C.12或2 D.23或32解析：选A 不妨设|PF 1|＝4t ，|F 1F 2|＝3t ，|PF 2|＝2t ，其中t ≠0，若该曲线为椭圆，则有|PF 1|＋|PF 2|＝6t ＝2a ，|F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 6t ＝12；若该曲线为双曲线，则有|PF 1|－|PF 2|＝2t ＝2a ，|F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 2t ＝32. 5．如果正整数a 的各位数字之和等于6，那么称a 为“好数”(如：6,24,2 013等均为“好数”)，将所有“好数”从小到大排成一列a 1，a 2，a 3，…，若a n ＝2 013，则n ＝( )A ．50B ．51C ．52D ．53解析：选B 本题可以把数归为“四位数”(含0 006等)，因此比2 013小的“好数”为0×××，1×××，2 004，共三类数，其中第一类可分为：00××，01××，…，0 600，共7类，共有7＋6＋…＋2＋1＝28个数；第二类可分为：10××，11××，…，1 500，共6类，共有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21个数，第三类：2 004,2 013，…，故2 013为第51个数，故n ＝51，选B.6．(2017·南昌模拟)点P 是底边长为23，高为2的正三棱柱表面上的动点，MN 是该棱柱内切球的一条直径，则PM ―→·PN ―→的取值范围是( )A ．[0,2]B ．[0,3]C ．[0,4]D ．[－2,2]解析：选C 由题意知内切球的半径为1，设球心为O ，则PM ―→·PN ―→＝(PO ―→＋OM ―→)·(PO ―→＋ON ―→)＝PO ―→2＋PO ―→·(OM ―→＋ON ―→)＋OM ―→·ON ―→＝|PO ―→|2－1，且1≤|OP |≤5，∴PM ―→·PN ―→∈[0,4]．二、填空题7．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一个值c ，使得f (c )>0，则实数p 的取值范围为________．解析：如果在[－1,1]内没有值满足f (c )>0，则⎩⎪⎨⎪⎧f－，f ，即⎩⎪⎨⎪⎧p ≤－12或p ≥1，p ≤－3或p ≥32，解得p ≤－3或p ≥32，取补集为－3<p <32，即为满足条件的p 的取值范围．答案：⎝⎛⎭⎪⎫－3，328．(2017·丽水模拟)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≤0，x ＋y －2≥0，y ≥0所表示的区域上一动点，则|OM |的最小值是________．解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，因此|OM |的最小值为点O 到直线x ＋y －2＝0的距离，所以|OM |min ＝|－2|2＝ 2.答案： 29．(2017·郑州质检)过点M (2，－2p )作抛物线x 2＝2py (p >0)的两条切线，切点分别为A ，B ，若线段AB 的中点的纵坐标为6，则p 的值是________．解析：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，依题意得，y ′＝x p ，切线MA 的方程是y －y 1＝x 1p(x －x 1)，即y ＝x 1p x －x 212p.又点M (2，－2p )位于直线MA 上，于是有－2p ＝x 1p ×2－x 212p，即x 21－4x 1－4p 2＝0； 同理有x 22－4x 2－4p 2＝0，因此x 1，x 2是方程x 2－4x －4p 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝－4p 2. 由线段AB 的中点的纵坐标是6，得y 1＋y 2＝12，即x 21＋x 222p ＝x 1＋x 22－2x 1x 22p ＝12，16＋8p 22p＝12，解得p ＝1或p ＝2. 答案：1或2 三、解答题10．已知a ∈R ，函数f (x )＝23x ＋12，h (x )＝x ，解关于x 的方程log 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤32fx －－34＝log 2h (a －x )－log 2h (4－x )．解：原方程可化为log 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤32⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －16－34＝log 2a －x －log 24－x ，即log 4(x －1)＝log 2a －x －log 24－x ＝log 2a －x4－x， ①当1<a ≤4时，1<x <a ，则x －1＝a －x4－x，即x 2－6x ＋a ＋4＝0，Δ＝36－4(a ＋4)＝20－4a >0， 此时x ＝6±20－4a2＝3±5－a ， ∵1<x <a ，此时方程仅有一解x ＝3－5－a . ②当a >4时，1<x <4，由x －1＝a －x 4－x，得x 2－6x ＋a ＋4＝0，Δ＝36－4(a ＋4)＝20－4a ，若4<a <5，则Δ>0，方程有两解x ＝3±5－a ； 若a ＝5时，则Δ＝0，方程有一解x ＝3；③由函数有意义及②知，若a ≤1或a >5，原方程无解． 综合以上讨论，当1<a ≤4时，方程仅有一解x ＝3－5－a ； 当4<a <5，方程有两解x ＝3±5－a ； 当a ＝5时，方程有一解x ＝3； 当a ≤1或a >5时，原方程无解．11．(2017·嘉兴模拟)在正项数列{a n }中，a 1＝3，a 2n ＝a n －1＋2(n ≥2，n ∈N *)． (1)求a 2，a 3的值，判断a n 与2的大小关系并证明； (2)求证：|a n －2|<14|a n －1－2|(n ≥2)；(3)求证：|a 1－2|＋|a 2－2|＋…＋|a n －2|<43.解：(1)a 2＝a 1＋2＝5，a 3＝a 2＋2＝5＋2.由题设，a 2n －4＝a n －1－2，(a n －2)(a n ＋2)＝a n －1－2. 因为a n ＋2>0，所以a n －2与a n －1－2同号． 又a 1－2＝1>0，所以a n －2>0(n ≥2)，即a n >2. (2)证明：由题设，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n －2a n －1－2＝1a n ＋2，由(1)知，a n >2，所以1a n ＋2<14，因此⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n －2a n －1－2<14， 即|a n －2|<14|a n －1－2|(n ≥2)．(3)证明：由(2)知，|a n －2|<14|a n －1－2|，因此|a n －2|<14n －1|a 1－2|＝14n －1(n ≥2)．因此|a 1－2|＋|a 2－2|＋…＋|a n －2|<1＋14＋142＋…＋14n －1＝1－14n1－14＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n <43.12．已知椭圆G ：x 24＋y 2＝1，过点(m,0)作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点．(1)求椭圆G 的焦点坐标和离心率；(2)将|AB |表示为m 的函数，并求|AB |的最大值．解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧3x 21＋y 21＝λ，3x 22＋y 22＝λ，两式相减得3(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0.由题意，知x 1≠x 2，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 2y 1＋y 2.因为N (1,3)是弦AB 的中点， 所以x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝6， 所以k AB ＝－1.所以弦AB 所在直线的方程为y －3＝－(x －1)，即x ＋y －4＝0. 又N (1,3)在椭圆内， 所以λ>3×12＋32＝12.所以λ的取值范围是(12，＋∞)．(2)因为弦CD 垂直平分弦AB ，所以弦CD 所在直线的方程为y －3＝x －1，即x －y ＋2＝0， 将其代入椭圆的方程， 整理得4x 2＋4x ＋4－λ＝0.①设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，弦CD 的中点为M (x 0，y 0)， 则x 3，x 4是方程①的两个根．所以x 3＋x 4＝－1，x 0＝12(x 3＋x 4)＝－12，y 0＝x 0＋2＝32，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32. 所以点M 到直线AB 的距离d ＝－12＋32－412＋12＝322.所以以弦CD 的中点M 为圆心且与直线AB 相切的圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝92.。

压轴大题抢分专练（四）1．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)右焦点F (1,0)的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，自A ，B 向直线x ＝5作垂线，垂足分别为A 1，B 1，且|AA 1||AF |＝ 5. (1)求椭圆C 的方程；(2)记△AFA 1，△FA 1B 1，△BFB 1的面积分别为S 1，S 2，S 3，证明：S 1·S 3S 22是定值，并求出该定值．解：(1)设A (x ，y )，则|AA 1|＝|5－x |，|AF |＝x －2＋y 2，由|AA 1||AF |＝5，得x 25＋y24＝1，而A 是椭圆C 上的任一点，∴椭圆C 的方程为x 25＋y 24＝1.(2)证明：由题意知，直线AB 的斜率不可以为0，而可以不存在，∴可设直线AB 的方程为x ＝my ＋1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 25＋y24＝1，得(4m 2＋5)y 2＋8my －16＝0，∴y 1＋y 2＝－8m 4m ＋5，y 1y 2＝－164m ＋5.①由题意，S 1＝12|AA 1||y 1|＝12|5－x 1||y 1|，S 3＝12|BB 1||y 2|＝12|5－x 2||y 2|， S 2＝12|A 1B 1|·4＝2|y 1－y 2|，∴S 1S 3S 22＝116·－x 1－x 2－y 1y 2y 1－y 22＝116·－my 1－my 2－y 1y 2y 1－y 22＝－116·y 1y 2[16－4m y 1＋y 2＋m 2y 1y 2]y 1＋y 22－4y 1y 2，将①代入，化简并计算可得S 1S 3S 22＝14， ∴S 1·S 3S 22是定值，且该定值为14.2．设a n ＝x n ，b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1n 2，S n 为数列{a n ·b n }的前n 项和，令f n (x )＝S n －1，x ∈R ，n ∈N *.(1)若x ＝2，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2n －1a n 的前n 项和T n ； (2)求证：对任意n ∈N *，方程f n (x )＝0在x n ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1上有且仅有一个根；(3)求证：对任意p ∈N *，由(2)中x n 构成的数列{x n }满足0<x n －x n ＋p <1n.解：(1)∵x ＝2，∴a n ＝2n，令c n ＝2n －12n ， T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝12＋322＋…＋2n －12n ， ① 12T n ＝122＋323＋…＋2n －12n ＋1， ② ①－②得12T n ＝12＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋123＋…＋12n －2n －12n ＋1＝12＋2×122⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12－2n －12n ＋1＝32－2n ＋32n ＋1， ∴T n ＝3－2n ＋32n .(2)证明：对任意n ∈N *，当x >0时，由函数f n (x )＝－1＋x ＋x 222＋x 332＋…＋x n n2(x ∈R ，n ∈N *)，可得f ′(x )＝1＋x 2＋x 23＋…＋x n －1n>0，∴函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数．令f n (x n )＝0，当n ≥2时，f n (1)＝122＋132＋…＋1n2>0，即f n (1)>0.又f n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－1＋23＋⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫23222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23332＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23442＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23n n 2≤－13＋14·∑i ＝2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23i ＝－13＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －11－23＝－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1<0，根据函数的零点判定定理，可得存在唯一的x n ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1，满足f n (x n )＝0. 当n ＝1时，显然存在唯一的x 1＝1满足f 1(x 1)＝0.综上所述，对任意n ∈N *，方程f n (x )＝0在x n ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1上有且仅有一个根．(3)证明：当x >0时，∵f n ＋1(x )＝f n (x )＋x n ＋1n ＋2>f n (x )，∴f n ＋1(x n )>f n (x n )＝f n ＋1(x n ＋1)＝0.由f n ＋1(x )在(0，＋∞)上单调递增， 可得x n ＋1<x n ，即x n －x n ＋1>0， 故数列{x n }为递减数列，即对任意的n ，p ∈N *，x n －x n ＋p >0.由于f n (x n )＝－1＋x n ＋x 2n 22＋x 3n32＋…＋x n nn2＝0，①f n ＋p (x n ＋p )＝－1＋x n ＋p ＋x 2n ＋p 2＋x 3n ＋p3＋…＋x nn ＋p n ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤x n ＋1n ＋p n ＋2＋x n ＋2n ＋pn ＋2＋…＋x n ＋p n ＋pn ＋p2＝0，②用①减去②并移项，利用0<x n ＋p ≤1，可得x n －x n ＋p ＝∑k ＝2nx k n ＋p －x k n k 2＋∑k ＝n ＋1n ＋px k n ＋pk 2 ≤∑k ＝n ＋1n ＋p x kn ＋pk 2<∑k ＝n ＋1n ＋p 1k 2<∑k ＝n ＋1n ＋p1k k－＝1n －1n ＋p <1n. 综上可得，对于任意p ∈N *，由(2)中x n 构成的数列{x n } 满足0<x n －x n ＋p <1n.。

重难增分训练（四）立体几何的创新问题1．(2017·江西模拟)如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD ＝90°，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，构成四面体A­BCD，则在四面体A­BCD 中，下列说法正确的是( )A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BCDC．平面ABC⊥平面BCDD．平面ADC⊥平面ABC解析：选D ∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，∴BD⊥CD.又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，故CD⊥平面ABD，则CD⊥AB，又AD⊥AB，AD∩CD＝D，∴AB⊥平面ADC，又AB⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC.故选D.2．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，点P是平面AA1D1D的中心，点Q是上底面A1B1C1D1上一点，且PQ∥平面AA1B1B，则线段PQ的长的最小值为( )A．1 B. 2C.22D.32解析：选A 由PQ∥平面AA1B1B知Q在过点P且平行于平面AA1B1B 的平面上，易知点Q在A1D1，B1C1中点的连线MN上，故PQ的最小值为PM＝12AA1＝1.3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是( ) A．线段B1CB．线段BC1C．线段BB1的中点与CC1的中点连成的线段D．线段BC的中点与B1C1的中点连成的线段解析：选A 设点P是侧面BCC1B1或其边界上的任意一点，连接AP，AB1，因为在正方体ABCD­A1B1C1D1中，BD1⊥AB1，又AP⊥BD1，所以，BD1⊥平面AB1P，同理，BD1⊥平面ACP.所以，平面AB1P与平面ACP重合，所以P点的轨迹是B1C，故选A.4．(2018届高三·温州十校联考)如图，点E为正方形ABCD边CD上异于点C，D的动点，将△ADE沿AE翻折成△SAE，使得平面SAE⊥平面ABCE，则下列说法中正确的个数是( )①存在点E，使得直线SA⊥平面SBC;②平面SBC内存在直线与SA平行；③平面ABCE内存在直线与平面SAE平行．A．0 B．1 C．2 D．3解析：选B 由题意，得SA⊥SE，若存在点E，使得直线SA⊥平面SBC，则SA⊥SB，SA⊥SC，则SC，SB，SE三线共面，则点E与点C重合，与题设矛盾，故①错误；因为SA与平面SBC相交，所以在平面SBC内不存在直线与SA平行，故②错误；显然，在平面ABCE内，存在直线与AE平行，由线面平行的判定定理得平面ABCE内存在直线与平面SAE平行，故③正确．故选B.5.如图，△PAD是正三角形，四边形ABCD为正方形，且平面PAD⊥平面ABCD，点M为平面ABCD内的一个动点，MP＝MC，则点M在正方形内的轨迹是( )解析：选A 以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，设M(x，y)，作PG⊥AD于G，MQ ⊥AD 于Q ，连接GM ，设AB ＝1，则PM ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＋x 2＋34，MC ＝－x2＋－y2.所以，由MP ＝MC 得⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＋x 2＋34＝－x2＋－y2，化简得y ＝－2x ＋1，故选A.6.(2018届高三·浙江名校联考)棱长为2的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1的中点，点P ，Q 分别为平面A 1B 1C 1D 1和线段B 1C 上的动点，则△PEQ 周长的最小值为( )A ．2 2 B.10 C.11D ．2 3解析：选B 在CC 1的延长线上取一点M ，使MC 1＝C 1E ，记BC 的中点为N ，连接PM ，MN ，QN (如图所示)，则PE ＝PM ，QE ＝QN ，所以△PEQ 的周长L ＝PQ ＋PE ＋QE ＝PQ ＋PM ＋QN ≥MN ＝12＋32＝10，故选B.7．(2017·湖北荆州中学月考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝1，将△ACD 沿AC 折起，记折起后的D 为D 1，且D 1在平面ABC 内的射影恰好落在AB 上，在四面体D 1­ABC 的四个面中，有n 对平面相互垂直，则n 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B 如图，设D1在平面ABC 内的射影为E ，连接D 1E ，则D 1E ⊥平面ABC ，∵D 1E ⊂平面ABD 1，∴平面ABD 1⊥平面ABC .∵D 1E ⊥平面ABC ，BC⊂平面ABC ，∴D 1E ⊥BC ，又AB ⊥BC ，D 1E ∩AB ＝E ，∴BC ⊥平面ABD 1，又BC ⊂平面BCD 1，∴平面BCD 1⊥平面ABD 1.∵BC ⊥平面ABD 1，AD 1⊂平面ABD 1，∴BC ⊥AD 1，又CD 1⊥AD 1，BC ∩CD 1＝C ，∴AD 1⊥平面BCD 1，又AD 1⊂平面ACD 1，∴平面ACD 1⊥平面BCD 1.∴共有3对平面互相垂直．故选B.8．如图表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB ，CD ，EF 和GH 在原正方体中相互异面的有________对．解析：平面图形的翻折应注意翻折前后各元素相对位置的变化，AB，CD，EF和GH在原正方体中如图，有AB与CD，EF与GH，AB和GH三对异面直线．答案：39．(2017·河北质检)在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是AC1，A1B1的中点，点P在正方体的表面上运动，则总能使MP与BN垂直的点P所构成的轨迹的周长等于________．CC1的中点E，F，连接AE，EF，FD，则解析：如图，分别取BBBN⊥平面AEFD.设M在平面ABB1A1中的射影为O，连接MO，过MO与平面AEFD平行的平面为α，所以能使MP与BN垂直的点P所构成的轨迹为矩形，其周长与矩形AEFD的周长相等．又矩形AEFD的周长为2＋5，所以所求轨迹的周长为2＋ 5.答案：2＋ 510．如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点，现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC，在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足，设AK＝t，则t的取值范围是________．解析：极端位置法．当F位于DC的中点时(如图1)，△ADF≌△AFK，这时t＝1；图1 图2当F 点与C 点重合时(如图2)，∵CB ⊥AB ，CB ⊥DK ，∴CB ⊥平面ADB ，即有CB ⊥BD ，对于CD ＝2，BC ＝1，∴BD ＝3，又AD ＝1，AB ＝2，因此有AD ⊥BD ，则有t ＝12，因此t 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，111．正四面体OABC ，其棱长为1，若OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→＋z OC ―→(0≤x ，y ，z ≤1)，且满足x ＋y ＋z ≥1，则正四面体的体积为________，动点P 的轨迹所形成的空间区域的体积为________．解析：先确定动点P 的轨迹，再求解对应的空间区域体积．当x ＝1时，点P 对应的轨迹是过点A 且与平面OBC 平行的平面；当y ＝1时，点P 对应的轨迹是过点B 且与平面OAC 平行的平面；当z ＝1时，点P 对应的轨迹是过点C 且与平面OAB 平行的平面．又x ＋y ＋z ≥1，则点P 对应的轨迹在平面ABC 的外面，所以满足0≤x ，y ，z ≤1，x ＋y ＋z ≥1的点P 的轨迹所形成的空间区域为平行六面体除去正四面体OABC 的部分．易求得棱长为1的正四面体的高为63，体积为212，故所求的体积为32×63－212＝5212.答案：212 521212．如图所示的一块长方体木料中，已知AB ＝BC ＝4，AA 1＝1，设E 为底面ABCD 的中心，且AF ―→＝λAD ―→⎝⎛⎭⎪⎫0≤λ≤12，则该长方体中经过点A 1，E ，F 的截面面积的最小值为________．解析：如图所示，延长FE 交BC 于点R ，过点A 1作A 1H ∥EF ，则由面面平行的性质知四边形A 1HRF 为平行四边形，过点A 作AG 垂直EF 的延长线于点G ，连接A 1G ，则FG ⊥A 1G .因为AF ＝4λ，所以DF ＝4－4λ，则FR ＝42＋－8λ2，sin ∠DFR ＝442＋－8λ2＝sin ∠AFG ＝AGAF，所以AG ＝4λ1＋－2λ2，A 1G 2＝1＋16λ21＋－2λ2，所以SA HRF21边四形＝A 1G 2·FR 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋16λ21＋－2λ2[42＋(4－8λ)2]＝42＋(4－8λ)2＋256λ2＝32(10λ2－2λ＋1)，当λ＝110时，(S A HRF 21边四形)min ＝1445，(S 四边形A 1HRF ) min ＝1255.答案：125513．(2017·嘉兴模拟)如图，在等腰梯形PDCB 中，PB ＝3，DC ＝1，PD ＝BC ＝ 2.AD ⊥PB ，将△PAD 沿AD 折起，使平面PAD ⊥平面ABCD .(1)若M 是侧棱PB 的中点，求证：CM ∥平面PAD ； (2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值． 解：(1)证明：取PA 的中点N ，连接MN ，DN . ∵M ，N 为PB ，PA 的中点，∴MN 綊12AB .在等腰梯形PDCB 中，PB ＝3，DC ＝1， ∵AD ⊥PB ，∴CD 綊12AB ，∴MN 綊DC ，四边形MNDC 为平行四边形，故CM ∥DN .∵CM⊄平面PAD，DN⊂平面PAD，∴CM∥平面PAD.(2)作BE∥AD交DC的延长线于E点．∵AD⊥AB且平面PAD⊥平面ABCD，∴AB⊥平面PAD.如图将几何体补成直三棱柱PAD­KBE.过点B作BH⊥KE，∵PK⊥平面BEK，∴PK⊥BH，∴BH⊥平面PCD，则PB在平面PCD上的射影为PH，故∠BPH就是直线PB与平面PCD所成角．在Rt△PBH中，BH＝12KE＝22，且PB＝5，∴sin∠BPH＝BHPB＝1010，故直线PB与平面PCD所成角的正弦值为10 10.14．已知四边形ABCD是矩形，BC＝kAB(k∈R)，将△ABC沿着对角线AC翻折，得到△AB1C，设顶点B1在平面ABCD上的射影为O.(1)若点O恰好落在边AD上，①求证：AB1⊥平面B1CD；②若B1O＝1，AB>1，当BC取到最小值时，求k的值；(2)当k＝3时，若点O恰好落在△ACD的内部(不包括边界)，求二面角B1­AC­D的余弦值的取值范围．解：(1)①证明：因为点B1在平面ABCD上的射影为点O.所以平面AB1D⊥平面ACD，又CD⊥AD，所以CD ⊥平面AB 1D ，所以AB 1⊥CD ，又因为AB 1⊥CB 1，CB 1∩CD ＝C ，所以AB 1⊥平面B 1CD . ②点O 在AD 边上且B 1O ＝1，设AB ＝x ，BC ＝y ， 则AO ＝x 2－1，由于AB 1⊥B 1D ，所以△AOB 1∽△AB 1D ，所以B 1D ＝AB 1AO ×B 1O ＝xx 2－1， 所以y ＝B 1C ＝CD 2＋B 1D 2＝x 2＋x 2x 2－1＝x 2－1＋1x 2－1＋2 ≥ 2x 2－1x 2－1＋2＝2. 当且仅当x 2－1＝1x 2－1，即x ＝2时取得等号． 故当x ＝2时，y 有最小值2，所以k ＝ 2. (2)作BF ⊥AC 交AC 于点E ，交AD 于点F ，若点O 恰好落在△ACD 的内部，即点O 恰好落在线段EF 上， 由于B 1E ⊥AC ，EF ⊥AC ，所以∠B 1EF 为二面角B 1­AC ­D 的平面角，cos ∠B 1EF ＝EO B 1E ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13. 即二面角B 1­AC ­D 的余弦值的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13.。

专题四立体几何与空间向量第一讲空间几何体的三视图、表面积及体积考点一空间几何体的三视图一、基础知识要记牢三视图的排列规则是：“长对正、高平齐、宽相等”．二、经典例题领悟好[例1] (1)(2017·惠州调研)如图所示，将图①中的正方体截去两个三棱锥，得到图②中的几何体，则该几何体的侧视图为( )(2)(2016·天津高考)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧(左)视图为( )[解析] (1)从几何体的左面看，棱AD1是原正方形ADD1A1的对角线，在视线范围内，画实线；棱C1F不在视线范围内，画虚线．故选B.(2)先根据正视图和俯视图还原出几何体，再作其侧(左)视图．由几何体的正视图和俯视图可知该几何体如图①所示，故其侧(左)视图如图②所示．故选B.[答案] (1)B (2)B分析空间几何体的三视图的要点(1)根据俯视图确定几何体的底面．(2)根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置．(3)确定几何体的形状，即可得到结果．比较复杂的三视图问题常常借助于长方体确定空间几何体的形状. 三、预测押题不能少1．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为( )A ．3 2B ．2 3C ．2 2D ．2解析：选B 在正方体中还原该四棱锥如图所示， 从图中易得最长的棱为AC 1＝AC 2＋CC 21＝22＋22＋22＝2 3.考点二 空间几何体的表面积与体积 一、基础知识要记牢常见的一些简单几何体的表面积和体积公式圆柱的表面积公式：S ＝2πr 2＋2πrl ＝2πr (r ＋l )(其中r 为底面半径，l 为圆柱的高)； 圆锥的表面积公式：S ＝πr 2＋πrl ＝πr (r ＋l )(其中r 为底面半径，l 为母线长)； 圆台的表面积公式：S ＝π(r ′2＋r 2＋r ′l ＋rl )(其中r 和r ′分别为圆台的上、下底面半径，l 为母线长)；柱体的体积公式：V ＝Sh (S 为底面面积，h 为高)； 锥体的体积公式：V ＝13Sh (S 为底面面积，h 为高)；台体的体积公式：V ＝13(S ′＋S ′S ＋S )h (S ′，S 分别为上、下底面面积，h 为高)；球的表面积和体积公式：S ＝4πR 2，V ＝43πR 3(R 为球的半径)．二、经典例题领悟好[例2] (1)(2016·全国卷Ⅱ)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．20πB ．24π C．28π D ．32π(2)(2017·全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )A ．90πB ．63π C．42π D ．36π[解析] (1)由三视图知该几何体是圆锥与圆柱的组合体， 设圆柱底面圆半径为r ，周长为c ，圆锥母线长为l ，圆柱高为h . 由图得r ＝2，c ＝2πr ＝4π，h ＝4， 由勾股定理得：l ＝22＋232＝4，S 表＝πr 2＋ch ＋12cl ＝4π＋16π＋8π＝28π.(2)法一：由题意知，该几何体由底面半径为3，高为10的圆柱截去底面半径为3，高为6的圆柱的一半所得，故其体积V ＝π×32×10－12×π×32×6＝63π.法二：由题意知，该几何体由底面半径为3，高为10的圆柱截去底面半径为3，高为6的圆柱的一半所得，其体积等价于底面半径为3，高为7的圆柱的体积，所以它的体积V ＝π×32×7＝63π.[答案] (1)C (2)B1求几何体的表面积及体积问题，关键是空间想象能力，能想出、画出空间几何体，高往往易求，底面放在已知几何体的某一面上.2求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解.三、预测押题不能少2.(1)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选 B 如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r ，圆柱的底面半径为r ，高为2r ，则表面积S ＝12×4πr 2＋πr2＋4r 2＋πr ·2r ＝(5π＋4)r 2.又S ＝16＋20π，∴(5π＋4)r 2＝16＋20π， ∴r 2＝4，r ＝2，故选B.(2)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为_______．解析：该几何体由一个长、宽、高分别为2,1,1的长方体和两个底面半径为1，高为1的四分之一圆柱体构成，∴V ＝2×1×1＋2×14×π×12×1＝2＋π2.答案：2＋π2考点三 球与多面体的切接问题 一、基础知识要记牢(1)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段PA ，PB ，PC 两两互相垂直，可采用“补形法”成为一个球内接长方体．(2)正四面体的内切球与外接球半径之比为1∶3. 二、经典例题领悟好[例3] (1)(2016·全国卷Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( )A．4π B.9π2C．6π D.32π3(2)(2018届高三·湖北七市(州)联考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为( )A．36π B.112π3C．32π D．28π[解析] (1)设球的半径为R，∵△ABC的内切圆半径为6＋8－102＝2，∴R≤2.又2R≤3，∴R≤32，∴V max＝43×π×⎝⎛⎭⎪⎫323＝9π2.故选B.(2)根据三视图，可知该几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为4的正方形，高是2 3.将该四棱锥还原成一个三棱柱，如图所示，该三棱柱的底面是边长为4的正三角形，高是4，其中心到三棱柱的6个顶点的距离即为该四棱锥外接球的半径．∵三棱柱的底面是边长为4的正三角形，∴底面三角形的中心到三角形三个顶点的距离为23×23＝433，∴其外接球的半径R＝⎝⎛⎭⎪⎫4332＋22＝28 3，则外接球的表面积S＝4πR2＝4π×283＝112π3，故选B.[答案] (1)B (2)B处理球与棱柱、棱锥切、接问题的思路(1)过球及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，化空间问题为平面问题．(2)利用平面几何知识寻找几何体中元素间关系，确定球心位置．(3)建立几何量间关系求半径r.三、预测押题不能少3．(1)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A ．π B.3π4C.π2D.π4解析：选B 设圆柱的底面半径为r ，则r 2＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝34，所以圆柱的体积V ＝34π×1＝3π4. (2)如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．解析：设球O 的半径为R ，因为球O 与圆柱O 1O 2的上、下底面及母线均相切，所以圆柱的底面半径为R 、高为2R ，所以V 1V 2＝πR 2·2R 43πR3＝32.答案：32[知能专练(十三)]一、选择题1．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )解析：选C 注意到在三视图中，俯视图的宽度应与侧视图的宽度相等，而在选项C 中，其宽度为32，与题中所给的侧视图的宽度1不相等，因此选C. 2．一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 该几何体为直三棱柱，底面是边长分别为6,8,10的直角三角形，侧棱长为12，故能得到的最大球的半径等于底面直角三角形内切圆的半径，其半径为r ＝2S a ＋b ＋c＝2×12×6×86＋8＋10＝2，故选B. 3．将边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为( )A ．4πB ．3πC ．2πD ．π解析：选C 由几何体的形成过程知所得几何体为圆柱，底面半径为1，高为1，其侧面积S ＝2πrh ＝2π×1×1＝2π.4．一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图如图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是( )A ．45，8B ．45，83C ．4(5＋1)，83D ．8,8解析：选B 由题意可知该四棱锥为正四棱锥，底面边长为2，高为2，侧面上的斜高为 22＋12＝5，所以S 侧＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×5＝45，V ＝13×22×2＝83.5.(2017·全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )A ．10B ．12C ．14D ．16解析：选B 由三视图可知该多面体是一个组合体，如图所示，其下面是一个底面为等腰直角三角形的直三棱柱，上面是一个底面为等腰直角三角形的三棱锥，等腰直角三角形的腰长为2，直三棱柱的高为2，三棱锥的高为2，易知该多面体有2个面是梯形，这些梯形的面积之和为2＋4×22×2＝12，故选B.6．如图，三棱锥V ­ABC 的底面为正三角形，侧面VAC 与底面垂直且VA ＝VC ，已知其正视图的面积为23，则其侧视图的面积为( )A.32 B.33 C.34D.36解析：选B 由题意知，该三棱锥的正视图为△VAC ，作VO ⊥AC 于O ，连接OB (图略)，设底面边长为2a ，高VO ＝h ，则△VAC 的面积为12×2a ×h ＝ah ＝23.又三棱锥的侧视图为Rt△VOB ，在正三角形ABC 中，高OB ＝3a ，所以侧视图的面积为12OB ·VO ＝12×3a ×h ＝32ah＝32×23＝33. 7．《九章算术》的商功章中有一道题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺313寸，容纳米2 000斛(1丈＝10尺，1尺＝10寸，斛为容积单位，1斛≈1.62立方尺，π≈3)，则圆柱底圆周长约为( )A ．1丈3尺B ．5丈4尺C ．9丈2尺D ．48丈6尺解析：选B 设圆柱底面圆的半径为r ，若以尺为单位，则2 000×1.62＝3r 2⎝ ⎛⎭⎪⎫10＋3＋13，解得r ＝9(尺)，∴底面圆周长约为2×3×9＝54(尺)，换算单位后为5丈4尺，故选B.8．(2017·丽水模拟)已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是正三角形，则该几何体的体积为( )A. 3 B ．2 3 C ．3 3D ．4 3解析：选 B 分析题意可知，该几何体是由如图所示的三棱柱ABC ­A 1B 1C 1截去四棱锥A ­BEDC 得到的，故其体积V ＝34×22×3－13×1＋22×2×3＝23，故选B.9．(2017·贵阳质检)三棱锥P ­ABC 的四个顶点都在体积为500π3的球的表面上，底面ABC 所在的小圆面积为16π，则该三棱锥的高的最大值为( )A ．4B ．6C ．8D ．10解析：选C 依题意，设题中球的球心为O ，半径为R ，△ABC 的外接圆半径为r ，则4πR33＝500π3，解得R ＝5，由πr 2＝16π，解得r ＝4，又球心O 到平面ABC 的距离为R 2－r 2＝3，因此三棱锥P ­ABC 的高的最大值为5＋3＝8，故选C.10．(2017·洛阳模拟)已知三棱锥P ­ABC 的四个顶点均在某球面上，PC 为该球的直径，△ABC 是边长为4的等边三角形，三棱锥P ­ABC 的体积为163，则此三棱锥的外接球的表面积为( )A.16π3B.40π3 C.64π3D.80π3解析：选D 依题意，记三棱锥P ­ABC 的外接球的球心为O ，半径为R ，点P 到平面ABC的距离为h ，则由V P ­ABC ＝13S △ABC h ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫34×42×h ＝163得h ＝433.又PC 为球O 的直径，因此球心O 到平面ABC 的距离等于12h ＝233.又正△ABC 的外接圆半径为r ＝AB 2sin 60°＝433，因此R 2＝r 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＝203，所以三棱锥P ­ABC 的外接球的表面积为4πR 2＝80π3，故选D.二、填空题11．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________，体积为________．解析：由三视图得该几何体为如图所示的三棱锥，其中底面ABC 为直角三角形，∠B ＝90°，AB ＝1，BC ＝2，PA ⊥底面ABC ，PA ＝2，所以AC ＝PB ＝5，PC ＝3，PC 2＝PB 2＋BC 2，∴∠PBC ＝90°，则该三棱锥的表面积为12×1×2＋12×1×2＋12×2×5＋12×2×5＝2＋25，体积为13×12×1×2×2＝23.答案：2＋2 5 2312．(2017·诸暨质检)某几何体的三视图如图所示，则该几何体最长的一条棱的长度为________，体积为________．解析：根据三视图，可以看出该几何体是一个底面为正三角形，一条侧棱垂直底面的三棱锥，如图所示，其中底面△BCD 是正三角形，各边长为2，侧棱AD ⊥底面BCD ，且AD ＝2，底面△BCD 的中垂线长DE ＝3，∴AC ＝AB ＝22，V 三棱锥A ­BCD ＝13×S △BCD ×AD ＝13×12×2×3×2＝233，即该几何体最长的棱长为22，体积为233. 答案：2 2 23313．一个直棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)被一个平面截去一部分后，所剩几何体的三视图如图所示，则截去的几何体为________(从备选项中选择一个填上：三棱锥、四棱锥、三棱柱、四棱柱)，截去的几何体的体积为________．解析：作出直观图可得截去的几何体为底面为直角边长分别为1和2的直角三角形，高为4的三棱锥，其体积V ＝13×1×22×4＝43. 答案：三棱锥 4314．(2018届高三·浙江名校联考)某简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________，其外接球的表面积为________．解析：由三视图得该几何体是一个底面为对角线为4的正方形，高为3的直四棱柱，则其体积为4×4×12×3＝24.又直四棱柱的外接球的半径R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22＝52，所以四棱柱的外接球的表面积为4πR 2＝25π.答案：24 25π15．(2017·洛阳模拟)一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与侧视图均为半径是2的圆，则该几何体的表面积为________．解析：由三视图可知该几何体为一个球体的34，故该几何体的表面积等于球的表面积的34，加上以球的半径为半径的圆的面积，即S ＝34×4πR 2＋πR 2＝16π. 答案：16π16．(2016·四川高考)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．解析：由正视图知三棱锥的形状如图所示，且AB ＝AD ＝BC ＝CD ＝2，BD ＝23，设O 为BD 的中点，连接OA ，OC ，则OA ⊥BD ，OC ⊥BD ，结合正视图可知AO ⊥平面BCD .又OC ＝CD 2－OD 2＝1，∴V 三棱锥A ­BCD ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×23×1×1＝33. 答案：33 17．如图是某三棱柱被削去一个底面后的直观图、侧视图与俯视图．已知CF ＝2AD ，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图是直角梯形，有关数据如图所示，则该几何体的体积为________．解析：取CF 中点P ，过P 作PQ ∥CB 交BE 于Q ，连接PD ，QD ，则AD ∥CP ，且AD ＝CP .所以四边形ACPD 为平行四边形，所以AC ∥PD .所以平面PDQ ∥平面ABC .该几何体可分割成三棱柱PDQ ­CAB 和四棱锥D ­PQEF ，所以V ＝V PDQ ­CAB ＋V D ­PQEF ＝12×22sin 60°×2＋13×1＋2×22×3＝3 3.答案：3 3[选做题]1．(2017·石家庄质检)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A ．16B ．20C ．52D ．60解析：选B 由三视图知，该几何体由一个底面为直角三角形(直角边分别为3,4)，高为6的三棱柱截去两个等体积的四棱锥所得，且四棱锥的底面是矩形(边长分别为2,4)，高为3，如图所示，所以该几何体的体积V ＝12×3×4×6－2×13×2×4×3＝20，故选B. 2．四棱锥P ­ABCD 的底面ABCD 是边长为6的正方形，且PA ＝PB ＝PC ＝PD ，若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高为( )A ．6B ．5 C.92 D.94解析：选D 过点P 作PH ⊥平面ABCD 于点H .由题知，四棱锥P ­ABCD是正四棱锥，内切球的球心O 应在四棱锥的高PH 上．过正四棱锥的高作组合体的轴截面如图，其中PE ，PF 是斜高，M 为球面与侧面的一个切点．设PH ＝h ，易知Rt △PMO ∽Rt △PHF ，所以OM FH ＝PO PF ，即13＝h －1h 2＋32，解得h ＝94，故选D.3．(2017·兰州模拟)已知球O 的半径为13，其球面上有三点A ，B ，C ，若AB ＝123，AC ＝BC ＝12，则四面体OABC 的体积为________．解析：如图，过点A ，B 分别作BC ，AC 的平行线，两线相交于点D ，连接CD ，∵AC ＝BC ＝12，AB ＝123，在△ABC 中，cos ∠ACB ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝－12，∴∠ACB ＝120°，∴在菱形ACBD 中，DA ＝DB ＝DC ＝12，∴点D 是△ABC 的外接圆圆心，连接DO ，在△ODA 中，OA 2＝DA 2＋DO 2，即DO 2＝OA 2－DA 2＝132－122＝25，∴DO ＝5，又DO ⊥平面ABC ，∴V O ­ABC ＝13×12×12×12×32×5＝60 3. 答案：60 3 第二讲点、直线、平面之间的位置关系考点一 空间线面位置关系的判断一、基础知识要记牢 空间线线、线面、面面的位置关系的认识和判定是学习立体几何的基础，要在空间几何体和空间图形中理解、表述位置关系，发展空间想象能力．二、经典例题领悟好[例1] (1)(2017·全国卷Ⅲ)在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CD 的中点，则( )A ．A 1E ⊥DC 1B ．A 1E ⊥BDC ．A 1E ⊥BC 1D ．A 1E ⊥AC(2)(2016·全国卷Ⅱ)α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题：①如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β.②如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n .③如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β.④如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等．其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)[解析] (1)法一：由正方体的性质，得A 1B 1⊥BC 1，B 1C ⊥BC 1，A 1B 1∩B 1C ＝B 1，所以BC 1⊥平面A 1B 1CD .又A 1E ⊂平面A 1B 1CD ，所以A 1E ⊥BC 1.法二：∵A 1E 在平面ABCD 上的投影为AE ，而AE 不与AC ，BD 垂直，∴B 、D 错；∵A 1E 在平面BCC 1B 1上的投影为B 1C ，且B 1C ⊥BC 1，∴A 1E ⊥BC 1，故C 正确；∵A 1E 在平面DCC 1D 1上的投影为D 1E ，而D 1E 不与DC 1垂直，故A 错．(2)对于①，α，β可以平行，也可以相交但不垂直，故错误．对于②，由线面平行的性质定理知存在直线l⊂α，n∥l，又m⊥α，所以m⊥l，所以m⊥n，故正确．对于③，因为α∥β，所以α，β没有公共点．又m⊂α，所以m，β没有公共点，由线面平行的定义可知m∥β，故正确．对于④，因为m∥n，所以m与α所成的角和n与α所成的角相等．因为α∥β，所以n与α所成的角和n与β所成的角相等，所以m与α所成的角和n与β所成的角相等，故正确．[答案] (1)C (2)②③④解决空间线面位置关系的判断问题的常用方法(1)根据空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理逐一判断来解决问题；(2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断.三、预测押题不能少1．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是( )解析：选A 法一：对于选项B，如图所示，连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ.又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.同理可证选项C、D中均有AB∥平面MNQ.故选A.法二：对于选项A，设正方体的底面对角线的交点为O(如图所示)，连接OQ，则OQ∥AB.因为OQ与平面MNQ有交点，所以AB与平面MNQ有交点，即AB与平面MNQ不平行，根据直线与平面平行的判定定理及三角形的中位线性质知，选项B、C、D中AB∥平面MNQ.故选A.考点二空间线面平行、垂直关系的证明一、基础知识要记牢(1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.(2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.(3)线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α.(4)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.(5)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β.(6)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.(7)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β.(8)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.(9)三垂线定理及逆定理：①在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直；②在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直．二、经典例题领悟好[例2] 如图，在四棱锥P­ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.[证明] (1)∵平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，∴PA⊥底面ABCD.(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，∴AB∥DE，且AB＝DE.∴四边形ABED为平行四边形．∴BE∥AD.又∵BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，∴BE∥平面PAD.(3)∵AB⊥AD，而且四边形ABED为平行四边形．∴BE⊥CD，AD⊥CD，由(1)知PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD.∴CD⊥平面PAD.∴CD⊥PD.∵E和F分别是CD和PC的中点，∴PD∥EF.∴CD⊥EF.又BE∩EF＝E，∴CD⊥平面BEF.又CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.(1)正确并熟练掌握空间中平行与垂直的判定定理与性质定理，是进行判断和证明的基础；在证明线面关系时，应注意几何体的结构特征的应用，尤其是一些线面平行与垂直关系，这些都可以作为条件直接应用．(2)证明面面平行依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证明面面平行转化为证明线面平行，再转化为证明线线平行．(3)证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中线、高线或添加辅助线解决．(4)证明的核心是转化，即空间向平面的转化：面面⇔线面⇔线线.三、预测押题不能少2．由四棱柱ABCD­A1B1C1D1截去三棱锥C1­B1CD1后得到的几何体如图所示．四边形ABCD 为正方形，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E⊥平面ABCD.(1)证明：A1O∥平面B1CD1；(2)设M是OD的中点，证明：平面A1EM⊥平面B1CD1.证明：(1)取B1D1的中点O1，连接CO1，A1O1，因为ABCD­A1B1C1D1是四棱柱，所以A1O1∥OC，A1O1＝OC，因此四边形A1OCO1为平行四边形，所以A1O∥O1C，因为O1C⊂平面B1CD1，A1O⊄平面B1CD1，所以A1O∥平面B1CD1.(2)因为E，M分别为AD，OD的中点，所以EM∥AO.因为AO⊥BD，所以EM⊥BD，又A1E⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以A1E⊥BD，因为B1D1∥BD，所以EM⊥B1D1，A1E⊥B1D1，又A1E⊂平面A1EM，EM⊂平面A1EM，A1E∩EM＝E，所以B1D1⊥平面A1EM，又B1D1⊂平面B1CD1，所以平面A1EM⊥平面B1CD1.[知能专练(十四)]一、选择题1．下列四个命题中，正确命题的个数是( )①若平面α∥平面β，直线m∥平面α，则m∥β；②若平面α⊥平面γ，且平面β⊥平面γ，则α∥β；③平面α⊥平面β，且α∩β＝l，点A∈α，A∉l，若直线AB⊥l，则AB⊥β；④直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，若m⊥n，则α⊥β.A．0 B．1C．2 D．3解析：选B ①若平面α∥平面β，直线m∥平面α，则m∥β或m⊂β，故①不正确；②若平面α⊥平面γ，且平面β⊥平面γ，则α∥β或相交，故②不正确；③平面α⊥平面β，且α∩β＝l，点A∈α，A∉l，若直线AB⊥l，则AB⊥β；此命题中，若B∈β，且AB与l异面，同时AB⊥l，此时AB与β相交，故③不正确；命题④是正确的．2．(2017·泉州模拟)设a，b是互不垂直的两条异面直线，则下列命题成立的是( ) A．存在唯一直线l，使得l⊥a，且l⊥bB．存在唯一直线l，使得l∥a，且l⊥bC．存在唯一平面α，使得a⊂α，且b∥αD．存在唯一平面α，使得a⊂α，且b⊥α解析：选C a，b是互不垂直的两条异面直线，把它放入正方体中如图，由图可知A不正确；由l∥a，且l⊥b，可得a⊥b，与题设矛盾，故B不正确；由a⊂α，且b⊥α，可得a⊥b，与题设矛盾，故D不正确，故选C.3.如图所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．其中正确的是( )A．①② B．①②③C．① D．②③解析：选B 对于①，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，又∵PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC.对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM∥PA，∵PA⊂平面PAC，OM⊄平面PAC，∴OM∥平面PAC.对于③，由①知BC⊥平面PAC，∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离．故①②③都正确．4．设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是( )A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β解析：选B 画出一个长方体ABCD­A1B1C1D1.对于A，C1D1∥平面ABB1A1，C1D1∥平面ABCD，但平面ABB1A1与平面ABCD相交；对于C，BB1⊥平面ABCD，BB1∥平面ADD1A1，但平面ABCD与平面ADD1A1相交；对于D，平面ABB1A1⊥平面ABCD，CD∥平面ABB1A1，但CD⊂平面ABCD.5.(2017·成都模拟)把平面图形M上的所有点在一个平面上的射影构成的图形M′称为图形M在这个平面上的射影．如图，在长方体ABCD­EFGH中，AB＝5，AD＝4，AE＝3，则△EBD在平面EBC上的射影的面积是( )A．234 B.25 2C．10 D．30解析：选A 连接HC，过D作DM⊥HC，交HC于M，连接ME，MB，因为BC⊥平面HCD，又DM⊂平面HCD，所以BC⊥DM，因为BC∩HC＝C，所以DM ⊥平面HCBE ，即D 在平面HCBE 内的射影为M ，所以△EBD 在平面HCBE 内的射影为△EBM ，在长方体中，HC ∥BE ，所以△MBE 的面积等于△CBE 的面积，所以△EBD 在平面EBC 上的射影的面积为12×52＋32×4＝234，故选A. 6．已知E ，F 分别为正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱AB ，AA 1上的点，且AE ＝12AB ，AF ＝13AA 1，M ，N 分别为线段D 1E 和线段C 1F 上的点，则与平面ABCD 平行的直线MN 有( )A ．1条B ．3条C ．6条D ．无数条解析：选D 取BH ＝13BB 1，连接FH ，则FH ∥C 1D 1，连接HE ，D 1H ，在D 1E 上任取一点M ，过M 在平面D 1HE 中作MG ∥HO ，交D 1H 于点G ，其中OE ＝13D 1E ，过O 作OK ⊥平面ABCD 于点K ，连接KB ，则四边形OHBK 为矩形，再过G 作GN ∥FH ，交C 1F 于点N ，连接MN ，由于MG ∥HO ，HO ∥KB ，KB ⊂平面ABCD ，GM ⊄平面ABCD ，所以GM ∥平面ABCD ，同理，GN ∥FH ，可得GN ∥平面ABCD ，由面面平行的判定定理得，平面GMN ∥平面ABCD ，则MN ∥平面ABCD ，由于M 为D 1E 上任一点，故这样的直线MN 有无数条．二、填空题7．已知α，β，γ是三个不重合的平面，a ，b 是两条不重合的直线，有下列三个条件：①a ∥γ，b ⊂β；②a ∥γ，b ∥β；③b ∥β，a ⊂γ.如果命题“α∩β＝a ，b ⊂γ，且________，则a ∥b ”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(填可能条件的序号)．解析：由定理“一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面和此平面的交线与该直线平行”可得，横线处可填入条件①或③.答案：①或③8.(2018届高三·江南十校联考)如图，正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M ∈AB 1，N ∈BC 1，且AM ＝BN ≠2，有以下四个结论：①AA 1⊥MN ；②A 1C 1∥MN ；③MN ∥平面A 1B 1C 1D 1；④MN 与A 1C 1是异面直线．其中正确结论的序号是________．解析：过N 作NP ⊥BB 1于点P ，连接MP ，可证AA 1⊥平面MNP ，∴AA 1⊥MN ，①正确．过M ，N 分别作MR ⊥A 1B 1，NS ⊥B 1C 1于点R ，S ，连接RS ，当则M 不是AB 1的中点，N 不是BC 1的中点时，直线A 1C 1与直线RS 相交；当M ，N 分别是AB 1，BC 1的中点时，A 1C 1∥RS ，∴A 1C 1与MN 可以异面，也可以平行，故②④错误．由①正确知，AA 1⊥平面MNP ，而AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，∴平面MNP ∥平面A 1B 1C 1D 1，故③正确．综上所述，正确结论的序号是①③.答案：①③9．(2017·温州模拟)如图，在四面体ABCD 中，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，过EF 任作一个平面α分别与直线BC ，AD 相交于点G ，H ，则下列结论正确的是________．①对于任意的平面α，都有直线GF ，EH ，BD 相交于同一点； ②存在一个平面α0，使得点G 在线段BC 上，点H 在线段AD 的延长线上；③对于任意的平面α，都有S △EFG ＝S △EFH ；④对于任意的平面α，当G ，H 在线段BC ，AD 上时，几何体AC ­EGFH 的体积是一个定值．解析：对①，G ，H 分别为相应线段中点时，三线平行，故①错．对②，三线相交时，交点会在BD 上，作图可知②错．对③，如图1，取BD ，AC 的中点I ，J ，则BC ，AD 都与平面EIFJ 平行，故A ，H 到平面EIFJ 的距离相等，B ，G 到平面EIFJ 的距离相等，而E 为AB 的中点，故A ，B 到平面EIFJ 的距离相等，从而G ，H 到平面EIFJ 的距离相等．连接GH 交EF 于K ，则K 为GH 的中点，从而G ，H 到EF 的距离相等，故两三角形的面积相等．③正确．对④，如图2，当H 为D 时，G 为C ，此时几何体的体积为三棱锥A ­CDE 的体积，为四面体体积的一半．当如图2所示时，只需证V C ­EFG ＝V D ­EFH ，由③可得，只需证C ，D 到截面的距离相等，因为F 为CD 的中点，所以C ，D 到截面的距离相等．故④正确．答案：③④ 三、解答题10．(2016·山东高考)在如图所示的几何体中，D 是AC 的中点，EF ∥DB.(1)已知AB ＝BC ，AE ＝EC ，求证：AC ⊥FB ；(2)已知G ，H 分别是EC 和FB 的中点，求证：GH ∥平面ABC . 证明：(1)因为EF ∥DB ，图1图2所以EF与DB确定平面BDEF.如图，连接DE.因为AE＝EC，D为AC的中点，所以DE⊥AC.同理可得BD⊥AC.又BD∩DE＝D，所以AC⊥平面BDEF.因为FB⊂平面BDEF，所以AC⊥FB.(2)如图，设FC的中点为I，连接GI，HI.在△CEF中，因为G是CE的中点，所以GI∥EF.又EF∥DB，所以GI∥DB.在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI∥BC.又HI∩GI＝I，BC∩DB＝B，所以平面GHI∥平面ABC.因为GH⊂平面GHI，所以GH∥平面ABC.11．(2017·嘉兴模拟)如图，矩形ABCD所在平面与三角形ECD所在平面相交于CD，AE ⊥平面ECD.(1)求证：AB⊥平面ADE；(2)若点M在线段AE上，AM＝2ME，N为线段CD中点，求证：EN∥平面BDM.证明：(1)因为AE⊥平面ECD，CD⊂平面ECD，所以AE⊥CD.又因为AB∥CD，所以AB⊥AE.在矩形ABCD中，AB⊥AD，因为AD∩AE＝A，AD⊂平面ADE，AE⊂平面ADE，所以AB⊥平面ADE.(2)连接AN交BD于F点，连接FM，因为AB∥CD且AB＝2DN，所以AF＝2FN，又AM＝2ME，所以EN∥FM，又EN⊄平面BDM，FM⊂平面BDM，所以EN∥平面BDM.12.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E，G，F分别为MB，PB，PC的中点．(1)求证：平面EFG∥平面PMA；(2)求证：平面EFG⊥平面PDC.证明：(1)∵E，G，F分别为MB，PB，PC的中点，∴EG∥PM，GF∥BC.又∵四边形ABCD是正方形，∴BC∥AD，∴GF∥AD.∵EG，GF在平面PMA外，PM，AD在平面PMA内，∴EG∥平面PMA，GF∥平面PMA.又∵EG，GF都在平面EFG内且相交，∴平面EFG∥平面PMA.(2)由已知MA⊥平面ABCD，PD∥MA，∴PD⊥平面ABCD.又BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC.∵四边形ABCD为正方形，∴BC⊥DC.又PD∩DC＝D，∴BC⊥平面PDC.由(1)知GF∥BC，∴GF⊥平面PDC.又GF⊂平面EFG，∴平面EFG⊥平面PDC.第三讲空间角与空间向量考点一空间角考查类型(一) 异面直线所成的角一、基础知识要记牢过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角(或直角)就是异面直线所成的角．二、经典例题领悟好[例1] (1)(2017·全国卷Ⅱ)已知直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC ＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( )A.32B.155C.105D.33(2)(2016·浙江高考)如图，已知平面四边形ABCD，AB＝BC＝3，CD＝1，AD＝5，∠ADC＝90°，沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′，直线AC与BD′。

阶段滚动检测(四）专题一~专题五(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A＝｛x|x2－2x－3≥0｝，B＝｛x｜y＝log2(x－1）}，则（∁R A）∩B＝( )A．(1,3）B．(－1，3）C．(3，5）D．(－1，5)解析：选A A＝｛x|x2－2x－3≥0}＝{x|x≥3或x≤－1},B＝{x|y＝log2（x－1)}＝｛x｜x－1〉0}＝｛x｜x>1}，所以∁R A＝｛x｜－1<x〈3｝，则（∁R A）∩B＝{x｜1〈x〈3｝．故选A.2。

在平行四边形ABCD中,已知AB＝2，AD＝1,∠BAD＝60°,若E，F分别是BC,CD的中点，则错误!·错误!＝（）A．2 B．－2C.54D．－错误!＝AD―→－错误!解析：选D 如图，错误!＝错误!＋错误!错误!错误!,错误!＝错误!＋错误!错误!＝错误!－错误!错误!.∵AB＝2,AD＝1，∠BAD＝60°，∴错误!·错误!＝错误!·错误!＝－错误!错误!2－错误!错误!2＋错误!错误!·错误!＝－2－错误!＋错误!×1×2×错误!＝－错误!.故选D。

3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第九日所织尺数为（) A．8 B．9C．10 D．11解析：选B 问题转化为已知等差数列{a n｝中S7＝28，a2＋a5＋a8＝15,求a9。

由a2＋a5＋a8＝15⇒3a5＝15⇒a5＝5.由S7＝28⇒错误!＝28⇒a4＝4，所以d＝a5－a4＝1,a9＝a4＋(9－4）d＝9。

故选B.4．（2017·山东济宁模拟)一个由半圆锥和平放的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）组成的几何体,其三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．1＋错误!B．1＋错误!C.错误!＋错误!D。

课时跟踪检测（三十二） 等差数列及其前n 项和一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·杭州模拟)已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝a 22－4.则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝2n －1B ．a n ＝－2n ＋3C ．a n ＝2n －1或－2n ＋3D ．a n ＝2n解析：选A 设数列{a n }的公差为d ，由a 3＝a 22－4可得1＋2d ＝(1＋d )2－4，解得d ＝±2. 因为数列{a n }是递增数列，所以d >0，故d ＝2. 所以a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 5＝6，则S 9为( ) A ．45 B ．54 C ．63D ．27解析：选B 法一：∵S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5＝9×6＝54.故选B.法二：由a 5＝6，得a 1＋4d ＝6，∴S 9＝9a 1＋9×82d ＝9(a 1＋4d )＝9×6＝54，故选B.3．(2018·温州十校联考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 5等于( ) A ．8 B ．10 C ．12D ．14解析：选B 设数列{a n }的公差为d ，因为a 1＝2，S 3＝12， 所以S 3＝3a 1＋3d ＝6＋3d ＝12，解得d ＝2. 所以a 5＝2＋4d ＝10.4．(2015·全国卷Ⅱ)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________.解析：∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝S n S n ＋1， ∴S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1.∵S n ≠0，∴1S n －1S n ＋1＝1，即1S n ＋1－1S n ＝－1.又1S 1＝－1， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为－1，公差为－1的等差数列． ∴1S n＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，∴S n ＝－1n .答案：－1n5．等差数列{a n }中，已知a 5>0，a 4＋a 7<0，则{a n }的前n 项和S n 的最大值为________．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝a 5＋a 6<0，a 5>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 5>0，a 6<0，∴S n 的最大值为S 5. 答案：S 5二保高考，全练题型做到高考达标1．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝12，S 4＝20，则S 6＝( )A ．16B ．24C ．36D ．48解析：选D 设数列{a n }的公差为d ， 由S 4＝4a 1＋6d ＝2＋6d ＝20，解得d ＝3， 所以S 6＝6a 1＋15d ＝3＋45＝48.2．(2018·浙江五校联考)等差数列{a n }中，a 1＝0，等差d ≠0，若a k ＝a 1＋a 2＋…＋a 7，则实数k ＝( )A ．22B ．23C ．24D ．25 解析：选A 因为a 1＝0，且a k ＝a 1＋a 2＋…＋a 7， 即(k －1)d ＝21d ，又因为d ≠0，所以k ＝22.3．(2018·河南六市一联)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，若{a n }和{S n }都是等差数列，且公差相等，则a 6＝( )A.114B.32C.72D ．1解析：选A 设{a n }的公差为d ， 由题意得，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ， 又{a n }和{S n }都是等差数列，且公差相同， ∴⎩⎨⎧d ＝ d 2，a 1－d2＝0，解得⎩⎨⎧d ＝12，a 1＝14，a 6＝a 1＋5d ＝14＋52＝114.4．(2018·东阳模拟)已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且 A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a n b n为整数的正整数的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选D 由A n B n ＝7n ＋45n ＋3，可得a n b n ＝A 2n －1B 2n －1＝7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1，所以要使a n b n 为整数，则需12n ＋1为整数，所以n ＝1,2,3,5,11，共5个．5．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S nS 2n为常数，则称数列{a n }为“吉祥数列”．已知等差数列{b n }的首项为1，公差不为0，若数列{b n }为“吉祥数列”，则数列{b n }的通项公式为( )A ．b n ＝n －1B ．b n ＝2n －1C ．b n ＝n ＋1D ．b n ＝2n ＋1解析：选B 设等差数列{b n }的公差为d (d ≠0)，S nS 2n ＝k ，因为b 1＝1，则n ＋12n (n －1)d ＝k ⎣⎡⎦⎤2n ＋12×2n (2n －1)d ， 即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ， 整理得(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0. 因为对任意的正整数n 上式均成立， 所以(4k －1)d ＝0，(2k －1)(2－d )＝0， 解得d ＝2，k ＝14.所以数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.6．(2018·金华十校联考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 2＝a 3，则a 2＝________；S n ＝________.解析：设公差为d ，则2＋d ＝1＋2d ， 所以d ＝1.所以a 2＝1＋1＝2；S n ＝n ＋n (n －1)2＝n (n ＋1)2. 答案：2n (n ＋1)27．在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前 n 项和为S n ，当且仅当n ＝8 时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．解析：由题意，当且仅当n ＝8时S n 有最大值， 可得⎩⎪⎨⎪⎧d <0，a 8>0，a 9<0，即⎩⎪⎨⎪⎧d <0，7＋7d >0，7＋8d <0，解得－1<d <－78.答案：⎝⎛⎭⎫－1，－78 8．(2018·湖州模拟)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －25，则其前10项和S 10的值为________，数列{|a n |}的前n 项和T n 为________．解析：因为a n ＝4n －25，所以S 10＝10(－21＋40－25)2＝－30；因为|a n |＝|4n －25|，所以当n ≤6时，T n ＝－a 1－a 2－…－a n ＝－n (－21＋4n －25)2＝n (23－2n )；当n >6时，T n ＝－a 1－a 2－…－a 6＋a 7＋…＋a n ＝n (－21＋4n －25)2－2S 6＝n (2n －23)＋132.所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n (23－2n )，n ≤6，n (2n －23)＋132，n >6.答案：－30 T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n (23－2n )，n ≤6，n (2n －23)＋132，n >69．已知等差数列的前三项依次为a,4,3a ，前n 项和为S n ，且S k ＝110. (1)求a 及k 的值；(2)设数列{b n }的通项b n ＝S nn ，证明：数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n .解：(1)设该等差数列为{a n }，则a 1＝a ，a 2＝4，a 3＝3a ， 由已知有a ＋3a ＝8，得a 1＝a ＝2，公差d ＝4－2＝2， 所以S k ＝ka 1＋k (k －1)2·d ＝2k ＋k (k －1)2×2＝k 2＋k . 由S k ＝110，得k 2＋k －110＝0，解得k ＝10或k ＝－11(舍去)，故a ＝2，k ＝10. (2)证明：由(1)得S n ＝n (2＋2n )2＝n (n ＋1)， 则b n ＝S nn ＝n ＋1，故b n ＋1－b n ＝(n ＋2)－(n ＋1)＝1，即数列{b n }是首项为2，公差为1的等差数列， 所以T n ＝n (2＋n ＋1)2＝n (n ＋3)2.10．(2018·南昌调研)设数列{a n }的前n 项和为S n,4S n ＝a 2n ＋2a n －3，且a 1，a 2，a 3，a 4，a 5成等比数列，当n ≥5时，a n >0.(1)求证：当n ≥5时，{a n }成等差数列； (2)求{a n }的前n 项和S n .解：(1)证明：由4S n ＝a 2n ＋2a n －3,4S n ＋1＝a 2n ＋1＋2a n ＋1－3， 得4a n ＋1＝a 2n ＋1－a 2n ＋2a n ＋1－2a n ，即(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －2)＝0.当n ≥5时，a n >0，所以a n ＋1－a n ＝2， 所以当n ≥5时，{a n }成等差数列．(2)由4a 1＝a 21＋2a 1－3，得a 1＝3或a 1＝－1， 又a 1，a 2，a 3，a 4，a 5成等比数列， 所以由(1)得a n ＋1＋a n ＝0(n ≤5)，q ＝－1， 而a 5>0，所以a 1>0，从而a 1＝3，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3(－1)n －1，1≤n ≤4，2n －7，n ≥5，所以S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧32[1－(－1)n ]，1≤n ≤4，n 2－6n ＋8，n ≥5.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·浙江五校联考)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，则2S n ＋16a n ＋3的最小值为________．解析：设公差为d .因为a 1，a 3，a 13成等比数列， 所以(1＋2d )2＝1＋12d ，解得d ＝2. 所以a n ＝2n －1，S n ＝n 2. 所以2S n ＋16a n ＋3＝2n 2＋162n ＋2＝n 2＋8n ＋1.令t ＝n ＋1，则原式＝t 2＋9－2t t ＝t ＋9t －2.因为t ≥2，t ∈N *，所以当t ＝3，即n ＝2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫2S n ＋16a n ＋3min＝4. 答案：42．已知数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝4n －3(n ∈N *)． (1)若数列{a n }是等差数列，求a 1的值； (2)当a 1＝2时，求数列{a n }的前n 项和S n .解：(1)法一：∵数列{a n }是等差数列， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ，a n ＋1＝a 1＋nd . 由a n ＋1＋a n ＝4n －3，得(a 1＋nd )＋[a 1＋(n －1)d ]＝4n －3， ∴2dn ＋(2a 1－d )＝4n －3， 即2d ＝4,2a 1－d ＝－3， 解得d ＝2，a 1＝－12.法二：在等差数列{a n }中，由a n ＋1＋a n ＝4n －3， 得a n ＋2＋a n ＋1＝4(n ＋1)－3＝4n ＋1， ∴2d ＝a n ＋2－a n ＝(a n ＋2＋a n ＋1)－(a n ＋1＋a n ) ＝4n ＋1－(4n －3)＝4， ∴d ＝2.又∵a 1＋a 2＝2a 1＋d ＝2a 1＋2＝4×1－3＝1， ∴a 1＝－12.(2)由题意，①当n 为奇数时， S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a n －1＋a n ) ＝2＋4[2＋4＋…＋(n －1)]－3×n －12＝2n 2－3n ＋52.②当n 为偶数时，S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a n －1＋a n ) ＝1＋9＋…＋(4n －7) ＝2n 2－3n 2.。

专题五 解 析 几 何第一讲直_线_与_圆考点一 直线方程与两条直线的位置关系 一、基础知识要记牢直线与直线的位置关系的判定方法(1)给定两条直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1和l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则有下列结论：l 1∥l 2⇔k 1＝k 2且b 1≠b 2；l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.(2)若给定的方程是一般式，即l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则有下列结论：l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0； l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.二、经典例题领悟好[例1] (1)设直线l 1：2x －my －1＝0，l 2：(m －1)x －y ＋1＝0.则“m ＝2”是“l 1∥l 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且到点P (0,4)距离为2的直线方程为_____________________________________________________________________.[解析] (1)m ＝2⇒A 1B 1＝2－m ＝－1，A 2B 2＝1－m ＝－1⇒A 1B 1＝A 2B 2，且C 1B 1≠C 2B 2⇒l 1∥l 2；l 1∥l 2⇒A 1B 2＝A 2B 1⇒2·(－1)＝(－m )·(m －1)且B 1C 2≠B 2C 1⇒m ＝2.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.∴l 1与l 2的交点为(1,2)．当所求直线斜率不存在，即直线方程为x ＝1时，显然不满足题意．当所求直线斜率存在时，设所求直线方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0， ∵点P (0,4)到直线的距离为2，∴2＝|－2－k |1＋k2，∴k ＝0或k ＝43.∴直线方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0.[答案] (1)C (2)y ＝2或4x －3y ＋2＝0(1)处理两条直线平行的问题时，在利用A 1B 2－A 2B 1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．(2)要注意每种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x 轴垂直(用两点式也不能与y 轴垂直)．而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．(3)在解决问题的过程中，要注意选择直线方程的形式，用待定系数法求直线的方程，是最基本最常用的方法.三、预测押题不能少1．(1)已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0.若直线l 2与l 1关于l 对称，则l 2的方程是( )A ．x －2y ＋1＝0B ．x －2y －1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：选B 因为l 1与l 2关于l 对称， 所以l 1上任一点关于l 的对称点都在l 2上， 故l 与l 1的交点(1,0)在l 2上． 又易知(0，－2)为l 1上一点， 设它关于l 的对称点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋02－y －22－1＝0，y ＋2x ×1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，即(1,0)，(－1，－1)为l 2上两点， 可得l 2的方程为x －2y －1＝0.(2)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．解析：易求定点A (0,0)，B (1,3)．当P 与A 和B 均不重合时，因为P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点，且两直线垂直，则PA ⊥PB ，所以|PA |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，所以|PA |·|PB |≤|PA |2＋|PB |22＝5(当且仅当|PA |＝|PB |＝5时，等号成立)，当P 与A 或B重合时，|PA |·|PB |＝0，故|PA |·|PB |的最大值是5.答案：5 考点二 圆的方程 一、基础知识要记牢(1)标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，圆心坐标为(a ，b )，半径为r .(2)一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2，半径r＝D 2＋E 2－4F2.二、经典例题领悟好[例2] (1)(2016·浙江高考)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．(2)(2016·天津高考)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________．[解析] (1)由二元二次方程表示圆的条件可得a 2＝a ＋2，解得a ＝2或－1.当a ＝2时，方程为4x 2＋4y 2＋4x ＋8y ＋10＝0，即x 2＋y 2＋x ＋2y ＋52＝0，配方得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝－54＜0，不表示圆；当a ＝－1时，方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，配方得(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，则圆心坐标为(－2，－4)，半径是5.(2)因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a ＞0，所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a 5＝455，解得a ＝2， 所以圆C 的半径r ＝|CM |＝4＋5＝3， 所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.[答案] (1)(－2，－4) 5 (2)(x －2)2＋y 2＝9圆的方程的求法(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程．(2)代数法，用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程，一般采用待定系数法．[提醒] 圆心到切线的距离等于半径，该结论在解题过程中经常用到，需牢记. 三、预测押题不能少2．(1)圆心在直线x ＋y ＝0上且过两圆x 2＋y 2－2x ＝0，x 2＋y 2＋2y ＝0的交点的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－x ＋y －12＝0B ．x 2＋y 2＋x －y －12＝0C ．x 2＋y 2－x ＋y ＝0 D ．x 2＋y 2＋x －y ＝0解析：选C 由已知圆的方程可设所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋λ(x 2＋y 2＋2y )＝0(λ≠－1)，即x 2＋y 2－21＋λx ＋2λ1＋λy ＝0 ，∴圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋λ，－λ1＋λ.又∵圆心在直线x ＋y ＝0上，∴11＋λ－λ1＋λ＝0，∴λ＝1，∴所求圆的方程为x 2＋y 2－x ＋y ＝0. (2)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．解析：设圆心坐标为(a ，b )，半径为r .由已知⎩⎪⎨⎪⎧a －2b ＝0，b >0，又圆心(a ，b )到y 轴、x轴的距离分别为|a |，|b |，所以|a |＝r ，|b |2＋3＝r 2.综上，解得a ＝2，b ＝1，r ＝2，所以圆心坐标为(2,1)，圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.答案：(x －2)2＋(y －1)2＝4考点三 直线与圆、圆与圆的位置关系 一、基础知识要记牢解答直线与圆的位置关系问题的方法(1)代数法．将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离．(2)几何法．把圆心到直线的距离d 和半径R 的大小加以比较：d <R ⇔相交；d ＝R ⇔相切；d >R ⇔相离．二、经典例题领悟好[例3] (1)(2017·昆明模拟)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离(2)(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB |＝23，则|CD |＝________.[解析] (1)由题知圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2(a ＞0)，圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a2，所以2a 2－a 22＝22，解得a ＝2，即圆M 的圆心为(0,2)，半径为2.又圆N 的圆心为(1,1)，半径为1，则圆M ，圆N 的圆心距|MN |＝2，两圆半径之差为1，半径之和为3,1<2<3，故两圆相交．(2)由直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0知其过定点(－3，3)，圆心O 到直线l 的距离为d ＝|3m －3|m 2＋1. 由|AB |＝23得⎝ ⎛⎭⎪⎫3m －3m 2＋12＋(3)2＝12，解得m ＝－33.又直线l 的斜率为－m ＝33，所以直线l 的倾斜角α＝π6.画出符合题意的图形如图所示，过点C 作CE ⊥BD ，则∠DCE ＝π6.在Rt △CDE 中，可得|CD |＝|AB |cos π6＝23×23＝4. [答案] (1)B (2)41研究直线与圆的位置关系最基本的解题方法为代数法，将几何问题代数化，利用函数与方程思想解题.2与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d ，及半弦长l2，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理. 三、预测押题不能少3．(1)已知点P (x 0，y 0)，圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)，直线l ：x 0x ＋y 0y ＝r 2，有以下几个结论：①若点P 在圆O 上，则直线l 与圆O 相切； ②若点P 在圆O 外，则直线l 与圆O 相离； ③若点P 在圆O 内，则直线l 与圆O 相交； ④无论点P 在何处，直线l 与圆O 恒相切． 其中正确的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A 根据点到直线的距离公式有d ＝r 2x 20＋y 2.若点P 在圆O 上，则x 20＋y 20＝r 2，d ＝r ，相切；若点P 在圆O 外，则x 20＋y 20>r 2，d <r ，相交；若点P 在圆O 内，则x 20＋y 20<r 2，d >r ，相离，故只有①正确．(2)已知P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k >0)上一动点，PA ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k ＝________.解析：如图，把圆的方程化成标准形式得x 2＋(y －1)2＝1，所以圆心为C (0,1)，半径为r ＝1，四边形PACB 的面积S ＝2S △PBC ，所以若四边形PACB 的最小面积是2，则S △PBC 的最小值为1.而S △PBC ＝12r ·|PB |，即|PB |的最小值为2，此时|PC |最小，|PC |为圆心到直线kx ＋y ＋4＝0的距离d ，则d ＝|5|k 2＋1＝12＋22＝5，化简得k 2＝4，因为k >0，所以k ＝2. 答案：2[知能专练(十六)]一、选择题1．已知直线l 的倾斜角为π4，直线l 1经过点A (3,2)，B (－a,1)，且l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b ＝( )A ．－4B ．－2C ．0D ．2解析：选B 由题知，直线l 的斜率为1，则直线l 1的斜率为－1，所以2－13＋a ＝－1，所以a ＝－4.又l 1∥l 2，所以－2b＝－1，b ＝2，所以a ＋b ＝－4＋2＝－2，故选B.2．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为( ) A. 2 B.823 C. 3D.833解析：选B 由l 1∥l 2，得(a －2)a ＝1×3，且a ×2a ≠3×6，解得a ＝－1，所以l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，所以l 1与l 2间的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－2312＋－12＝823. 3．(2018届高三·深圳五校联考)已知直线l ：x ＋my ＋4＝0，若曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，则m 的值为( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1解析：选D 因为曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0是圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，若圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝9上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，则直线l ：x ＋my ＋4＝0过圆心(－1,3)，所以－1＋3m ＋4＝0，解得m ＝－1.4．(2017·嘉兴模拟)在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )A.45π B.3π4 C ．(6－25)πD.5π4解析：选A 法一：设A (a,0)，B (0，b )，圆C 的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b 2，2r ＝a 2＋b 2，由题知圆心到直线2x ＋y －4＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋b 2－45＝r ，即|2a ＋b －8|＝25r ，2a ＋b ＝8±25r ，由(2a ＋b )2≤5(a 2＋b 2)，得8±25r ≤25r ⇒r ≥25，即圆C 的面积S ＝πr 2≥4π5.法二：由题意可知以线段AB 为直径的圆C 过原点O ，要使圆C 的面积最小，只需圆C 的半径或直径最小．又圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，所以由平面几何知识，知圆的直径的最小值为点O 到直线2x ＋y －4＝0的距离，此时2r ＝45，得r ＝25，圆C 的面积的最小值为S ＝πr 2＝4π5.5．已知直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，且有|OA ―→＋OB ―→|≥33|AB ―→|，那么k 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．[2，22)D ．[3，22)解析：选C 当|OA ―→＋OB ―→|＝33|AB ―→|时，O ，A ，B 三点为等腰三角形的三个顶点，其中OA ＝OB ，∠AOB ＝120°，从而圆心O 到直线x ＋y －k ＝0(k >0)的距离为1，此时k ＝2；当k >2时，|OA ―→＋OB ―→|>33|AB ―→|，又直线与圆x 2＋y 2＝4存在两交点，故k <2 2.综上，k 的取值范围为[2，22)．6．(2017·成都模拟)圆心在曲线y ＝2x(x >0)上，且与直线2x ＋y ＋1＝0相切的面积最小的圆的方程为( )A ．(x －1)2＋(y －2)2＝5 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝5 C ．(x －1)2＋(y －2)2＝25 D ．(x －2)2＋(y －1)2＝25解析：选A 由圆心在曲线y ＝2x(x >0)上，设圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，2a (a >0)，又圆与直线2x＋y ＋1＝0相切，所以圆心到直线的距离d 等于圆的半径r ，而d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a ＋2a ＋122＋12＝2a ＋2a ＋15≥22a ·2a＋15＝5，当且仅当2a ＝2a，即a ＝1时取等号，此时圆的面积最小，圆心坐标为(1,2)，圆的半径的最小值为5，则所求圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5.7．若三条直线l 1：4x ＋y ＝3，l 2：mx ＋y ＝0，l 3：x －my ＝2不能围成三角形，则实数m 的取值最多有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．6个解析：选C 三条直线不能围成三角形，则至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点．若l 1∥l 2，则m ＝4；若l 1∥l 3，则m ＝－14；若l 2∥l 3，则m 的值不存在；若三条直线相交于同一点，则m ＝1或－53.故实数m 的取值最多有4个，故选C.8．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则半径r 的取值范围是( )A ．(4,6)B ．[4,6]C ．(4,5)D ．(4,5]解析：选A 设直线4x －3y ＋m ＝0与直线4x －3y －2＝0之间的距离为1，则有|m ＋2|5＝1，m ＝3或m ＝－7.圆心(3，－5)到直线4x －3y ＋3＝0的距离等于6，圆心(3，－5)到直线4x －3y －7＝0的距离等于4，因此所求圆半径的取值范围是(4,6)，故选A.9．(2017·合肥质检)设圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的圆心为C ，直线l 过(0,3)且与圆C 交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y －12＝0或4x －3y ＋9＝0B ．3x ＋4y －12＝0或x ＝0C ．4x －3y ＋9＝0或x ＝0D ．3x －4y ＋12＝0或4x ＋3y ＋9＝0解析：选B 由题可知，圆心C (1,1)，半径r ＝2.当直线l 的斜率不存在时，直线方程为x ＝0，计算出弦长为23，符合题意；当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y ＝kx ＋3，由弦长为23可知，圆心到该直线的距离为1，从而有|k ＋2|k 2＋1＝1，解得k ＝－34，所以直线l 的方程为y ＝－34x ＋3，即3x ＋4y －12＝0.综上，直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y －12＝0，故选B.10．已知圆C 关于x 轴对称，经过点(0,1)，且被y 轴分成两段弧，弧长之比为2∶1，则圆的方程为( )A ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝43 B ．x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y ±332＝13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ±332＋y 2＝43 D.⎝⎛⎭⎪⎫x ±332＋y 2＝13 解析：选C 设圆的方程为(x ±a )2＋y 2＝r 2(a >0)，圆C 与y 轴交于A (0,1)，B (0，－1)，由弧长之比为2∶1，易知∠OCA ＝12∠ACB ＝12×120°＝60°，则tan 60°＝|OA ||OC |＝1|OC |＝3，所以a ＝|OC |＝33，即圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫±33，0，r 2＝|AC |2＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫±332＝43.所以圆的方程为⎝⎛⎭⎪⎫x ±332＋y 2＝43，故选C.二、填空题11．设直线l 1：(m ＋1)x －(m －3)y －8＝0(m ∈R)，则直线l 1恒过定点________；若过原点作直线l 2∥l 1，则当直线l 2与l 1的距离最大时，直线l 2的方程为________．解析：由(m ＋1)x －(m －3)y －8＝0，得m (x －y )＋x ＋3y －8＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋3y －8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，所以l 1恒过定点A (2,2)．当l 2⊥AO (O 为坐标原点)时，直线l 1与l 2的距离最大，此时k AO ＝1，k 2＝－1，所以直线l 2的方程为y ＝－x .答案：(2,2) y ＝－x12．(2017·温州模拟)圆x 2＋y 2－2y －3＝0的圆心坐标是________，半径是________． 解析：化圆的一般式方程为标准方程，得x 2＋(y －1)2＝4，由此知该圆的圆心坐标为(0,1)，半径为2.答案：(0,1) 213．已知点P (a ，b )关于直线l 的对称点为P ′(b ＋1，a －1)，则圆C ：x 2＋y 2－6x －2y ＝0关于直线l 对称的圆C ′的方程为________________；圆C 与圆C ′的公共弦的长度为________．解析：因为圆C 的方程为x 2＋y 2－6x －2y ＝0，即(x －3)2＋(y －1)2＝10，其圆心为(3,1)，半径为10，又因为点P (a ，b )关于直线l 的对称点为P ′(b ＋1，a －1)，所以令a ＝3，b ＝1可得，其关于直线l 的对称点(2,2)，所以圆C ：x 2＋y 2－6x －2y ＝0关于直线l 对称的圆C ′的圆心为(2,2)，半径为10，即圆C ′：(x －2)2＋(y －2)2＝10；圆C 与圆C ′的圆心的距离为d ＝2－32＋2－12＝2，所以两圆公共弦的长度为2102－⎝⎛⎭⎪⎫222＝38. 答案：(x －2)2＋(y －2)2＝103814．已知圆O ：x 2＋y 2＝r 2与圆C ：(x －2)2＋y 2＝r 2(r >0)在第一象限的一个公共点为P ，过点P 作与x 轴平行的直线分别交两圆于不同两点A ，B (异于P 点)，且OA ⊥OB ，则直线OP 的斜率是________，r ＝________.解析：两圆的方程相减得，4x －4＝0，则点P 的横坐标x ＝1.易知P 为AB 的中点，因为OA ⊥OB ，所以|OP |＝|AP |＝|PB |，所以△OAP 为等边三角形，所以∠APO ＝60°，因为AB ∥x 轴，所以∠POC ＝60°，所以直线OP 的斜率为 3.设P (1，y 1)，则y 1＝3，所以P (1，3)，代入圆O ，解得r ＝2.答案： 3 215．已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________.解析：依题意，圆C 的半径是2，圆心C (1，a )到直线ax ＋y －2＝0的距离等于32×2＝3，于是有|1·a ＋a －2|a 2＋1＝3，即a 2－8a ＋1＝0，解得a ＝4±15. 答案：4±1516．(2018届高三·浙江省名校联考)设圆C ：(x －3)2＋(y －5)2＝5，过圆心C 作直线l 交圆于A ，B 两点，交y 轴于点P ，若A 恰好为线段BP 的中点，则直线l 的方程为________．解析：如图，A 为PB 的中点，而C 为AB 的中点，因此，C 为PB 的四等分点．而C (3,5)，P 点的横坐标为0，因此，A ，B 的横坐标分别为2,4，将A 的横坐标代入圆的方程中，可得A (2,3)或A (2,7)，根据直线的两点式得到直线l 的方程为2x －y －1＝0或2x ＋y －11＝0.答案：2x －y －1＝0或2x ＋y －11＝017．在平面直角坐标系内，到点A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．解析：取四边形ABCD对角线的交点，这个交点到四点的距离之和就是最小值．可证明如下：假设在四边形ABCD中任取一点P，在△APC中，有AP＋PC＞AC，在△BPD中，有PB＋PD＞BD，而如果P在线段AC上，那么AP＋PC＝AC；同理，如果P在线段BD上，那么BP＋PD＝BD.如果同时取等号，那么意味着距离之和最小，此时P就只能是AC与BD的交点．易求得P(2,4)．答案：(2,4)[选做题]1．(2018届高三·湖北七市(州)联考)已知圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r>0)．设条件p：0<r<3，条件q：圆C上至多有2个点到直线x－3y＋3＝0的距离为1，则p是q的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选 C 圆C：(x－1)2＋y2＝r2的圆心(1,0)到直线x－3y＋3＝0的距离d＝|1－3×0＋3|12＋32＝2.当2－r>1，即0<r<1时，直线在圆外，圆上没有点到直线的距离为1；当2－r＝1，即r＝1时，直线在圆外，圆上只有1个点到直线的距离为1；当0<2－r<1，即1<r<2时，直线在圆外，此时圆上有2个点到直线的距离为1；当2－r＝0，即r＝2时，直线与圆相切，此时圆上有2个点到直线的距离为1；当0<r－2<1，即2<r<3时，直线与圆相交，此时圆上有2个点到直线的距离为1；当r－2＝1，即r＝3时，直线与圆相交，此时圆上有3个点到直线的距离为1；当r－2>1，即r>3时，直线与圆相交，此时圆上有4个点到直线的距离为1.综上，当0<r<3时，圆C上至多有2个点到直线x－3y＋3＝0的距离为1；由圆C上至多有2个点到直线x－3y＋3＝0的距离为1可得0<r<3.故p是q的充要条件，故选C.2．(2017·石家庄模拟)若a，b是正数，直线2ax＋by－2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长为23，则t＝a1＋2b2取得最大值时a的值为( )A.12B.32C.34D.34解析：选D 因为圆心到直线的距离d ＝24a 2＋b2，则直线被圆截得的弦长L ＝2r 2－d2＝24－44a 2＋b 2＝23，所以4a 2＋b 2＝4.则t ＝a 1＋2b 2＝122·(22a )·1＋2b 2≤122×12×[]22a 2＋1＋2b22＝142·[8a 2＋1＋2(4－4a 2)]＝942，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧8a 2＝1＋2b 2，4a 2＋b 2＝4时等号成立，此时a ＝34，故选D.3．已知点A (3,0)，若圆C ：(x －t )2＋(y －2t ＋4)2＝1上存在点P ，使|PA |＝2|PO |，其中O 为坐标原点，则圆心C 的横坐标t 的取值范围为________．解析：设点P (x ，y )，因为|PA |＝2|PO |，所以x －32＋y 2＝2x 2＋y 2，化简得(x＋1)2＋y 2＝4，所以点P 在以M (－1,0)为圆心，2为半径的圆上．由题意知，点P (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆M 有公共点，则1≤|CM |≤3，即1≤t ＋12＋2t －42≤3,1≤5t2－14t ＋17≤9.不等式5t 2－14t ＋16≥0的解集为R ；由5t 2－14t ＋8≤0，得45≤t ≤2.所以圆心C 的横坐标t 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，2. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，2 第二讲圆锥曲线的概念与性质考点一 圆锥曲线的定义与标准方程 一、基础知识要记牢 1．圆锥曲线的定义：在同一平面上，F 1，F 2(F )是定点，P 是动点． (1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)； (2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)；(3)抛物线：|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M . 2．圆锥曲线的标准方程(以焦点在x 轴上为例)：椭圆：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)；双曲线：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)；抛物线：y 2＝±2px (p >0)． 二、经典例题领悟好[例1] (1)(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1(2)(2016·浙江高考)若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是________．[解析] (1)根据双曲线C 的渐近线方程为y ＝52x ， 可知b a ＝52.① 又椭圆x 212＋y 23＝1的焦点坐标为(3,0)和(－3,0)，所以a 2＋b 2＝9.②根据①②可知a 2＝4，b 2＝5，所以C 的方程为x 24－y 25＝1.(2)设点M 的横坐标为x ，则点M 到准线x ＝－1的距离为x ＋1， 由抛物线的定义知x ＋1＝10，∴x ＝9， ∴点M 到y 轴的距离为9. [答案] (1)B (2)91.求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”.所谓“定型”，就是指确定类型，也就是确定椭圆、双曲线、抛物线的焦点所在的坐标轴，从而设出相应的标准方程的形式；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值，最后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程.2.利用定义解题是这一部分的一个重要方法.面对一个数学对象，回顾它的定义常常能找到最简捷的途径，如果题目涉及焦点、准线、离心率、圆锥曲线上的点等条件时，首先要联想相应定义.三、预测押题不能少1．(1)已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |＝( )A ．2 2B ．2 3C ．4D ．2 5解析：选B 依题意，设抛物线方程是y 2＝2px (p >0)，则有2＋p2＝3，得p ＝2，故抛物线方程是y 2＝4x ，点M 的坐标是(2，±22)，|OM |＝ 22＋8＝2 3.(2)(2017·长沙模拟)已知椭圆的中心在原点，离心率e ＝12，且它的一个焦点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，则此椭圆方程为( )A.x 24＋y 23＝1B.x 28＋y 26＝1C.x 22＋y 2＝1 D.x 24＋y 2＝1解析：选 A 由题可知椭圆的焦点在x 轴上，所以设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，而抛物线y 2＝－4x 的焦点为(－1,0)，所以c ＝1，又离心率e ＝c a ＝12，解得a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.故选A.考点二 圆锥曲线的几何性质 一、基础知识要记牢(1)椭圆、双曲线中，a ，b ，c 之间的关系 ①在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝c a； ②在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝c a.(2)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax .二、经典例题领悟好[例2] (1)(2017·浙江高考)椭圆x 29＋y 24＝1的离心率是( )A.133B.53 C.23 D.59(2)(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为________．[解析] (1)根据题意知，a ＝3，b ＝2，则c ＝a 2－b 2＝5，∴椭圆的离心率e ＝ca ＝53. (2)双曲线的右顶点为A (a,0)，一条渐近线的方程为y ＝b ax ，即bx －ay ＝0，则圆心A到此渐近线的距离d＝|ba －a ×0|b 2＋a 2＝abc .又因为∠MAN ＝60°，圆的半径为b ，所以b ·sin60°＝abc，即3b 2＝ab c ，所以e ＝23＝233. [答案] (1)B (2)233(1)椭圆的方程、双曲线的方程、渐近线的方程以及抛物线的方程、准线都是高考的热点．在解题时，要充分利用条件，构造方程，运用待定系数法求解．(2)求椭圆、双曲线的离心率，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系，然后把b 用a ，c 代换，求c a 的值；在双曲线中由于e 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2，故双曲线的渐近线与离心率密切相关.三、预测押题不能少2．(1)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D .若D 到直线BC 的距离小于a ＋a 2＋b 2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－2，0)∪(0，2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 解析：选A 由题作出图象如图所示．由x 2a 2－y 2b2＝1，可知A (a,0)，F (c,0)． 易得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，C ⎝⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a . ∵k AB ＝b 2ac －a ＝b 2a c －a ，∴k CD ＝a a －cb 2.∵k AC ＝b 2aa －c ＝b 2a a －c ，∴k BD ＝－a a －c b 2.∴l BD ：y －b 2a ＝－a a －cb 2(x －c )，即y ＝－a a －c b 2x ＋ac a －c b 2＋b 2a ，l CD ：y ＋b 2a ＝a a －cb 2(x －c )，即y ＝a a －c b 2x －ac a －c b 2－b 2a.∴x D ＝c ＋b 4a 2a －c.∴点D 到BC 的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 4a 2a －c .∴b 4a 2c －a<a ＋a 2＋b 2＝a ＋c ，∴b 4<a 2(c 2－a 2)＝a 2b 2，∴a 2>b 2，∴0<b 2a 2<1.∴0<b a <1或－1<b a<0.(2)(2017·全国卷Ⅰ)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[9，＋∞)B ．(0， 3 ]∪[9，＋∞)C ．(0,1]∪[4，＋∞)D ．(0， 3 ]∪[4，＋∞)解析：选A 当0＜m ＜3时，焦点在x 轴上， 要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b≥tan 60°＝3，即3m≥3，解得0＜m ≤1.当m ＞3时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b≥tan 60°＝3，即m3≥3，解得m ≥9.故m 的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)． 考点三 直线与圆锥曲线的位置关系 一、经典例题领悟好[例3] (2017·浙江高考)如图，已知抛物线x 2＝y ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，94，抛物线上的点P (x ，y )⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<x <32.过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围；(2)求|PA|·|PQ|的最大值．[解] (1)设直线AP的斜率为k，k ＝x2－14x＋12＝x－12，因为－12<x<32，所以直线AP斜率的取值范围是(－1,1)．(2)设直线AP的斜率为k，则直线AP的方程为y－14＝k⎝⎛⎭⎪⎫x＋12，即kx－y＋12k＋14＝0，因为直线BQ与直线AP垂直，所以直线BQ的方程为，x＋ky－94k－32＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧kx－y＋12k＋14＝0，x＋ky－94k－32＝0，解得点Q的横坐标x Q＝－k2＋4k＋32k2＋1.因为|PA|＝1＋k2⎝⎛⎭⎪⎫x＋12＝1＋k2(k＋1)，|PQ|＝1＋k2(x Q－x)＝－k－1k＋12k2＋1，所以|PA|·|PQ|＝－(k－1)(k＋1)3.令f(k)＝－(k－1)(k＋1)3，因为f′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2，所以f(k)在区间⎝⎛⎭⎪⎫－1，12上单调递增，⎝⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减，因此当k＝12时，|PA|·|PQ|取得最大值2716.数形结合是研究直线与圆锥曲线位置关系的根本方法，即把位置关系转化成方程或方程组解的问题，其中设而不求、整体运算是常用手段，对根与系数的关系、点差法等方法的应用条件、注意事项、操作程序等要理解、熟练.二、预测押题不能少3.(2016·浙江高考)如图，设椭圆x 2a2＋y 2＝1(a ＞1)．(1)求直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段长(用a ，k 表示)； (2)若任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围．解：(1)设直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段为AP ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2a2＋y 2＝1得(1＋a 2k 2)x 2＋2a 2kx ＝0，故x 1＝0，x 2＝－2a 2k 1＋a 2k2.因此|AP |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2a 2|k |1＋k21＋a 2k2. (2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足|AP |＝|AQ |.记直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1，k 2＞0，k 1≠k 2. 由(1)知，|AP |＝2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21， |AQ |＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22， 故2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22， 所以(k 21－k 22)[1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22]＝0. 由k 1≠k 2，k 1，k 2＞0得 1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22＝0，因此⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 21＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 22＋1＝1＋a 2(a 2－2)．①因为①式关于k 1，k 2的方程有解的充要条件是 1＋a 2(a 2－2)＞1， 所以a ＞ 2.因此，任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1＜a ≤ 2.由e ＝c a ＝a 2－1a ，得0＜e ≤22.所求离心率的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22. [知能专练(十七)]一、选择题1．(2017·惠州调研)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝132，则它的渐近线方程为( )A ．y ＝±32xB ．y ＝±23xC ．y ＝±94xD ．y ＝±49x解析：选A 由双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝132，可得c 2a 2＝134，∴b 2a2＋1＝134，可得b a ＝32，故双曲线的渐近线方程为y ＝±32x .2．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )A.63B.33 C.23 D.13解析：选A 以线段A 1A 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝a 2，由原点到直线bx －ay ＋2ab ＝0的距离d ＝2abb 2＋a 2＝a ，得a 2＝3b 2，所以C 的离心率e ＝1－b 2a 2＝63. 3．(2017·全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( )A.13B.12C.23D.32解析：选D 由题可知，双曲线的右焦点为F (2,0)，当x ＝2时，代入双曲线C 的方程，得4－y 23＝1，解得y ＝±3，不妨取点P (2,3)，因为点A (1,3)，所以AP ∥x 轴，又PF ⊥x轴，所以AP ⊥PF ，所以S △APF ＝12|PF |·|AP |＝12×3×1＝32.4．设AB 是椭圆的长轴，点C 在椭圆上，且∠CBA ＝π4，若AB ＝4，BC ＝2，则椭圆的两个焦点之间的距离为( )A.463B.263 C.433 D.233解析：选A 不妨设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，如图，由题意知，2a ＝4，a ＝2，∵∠CBA ＝π4，BC ＝2，∴点C 的坐标为(－1,1)，∵点C 在椭圆上，∴122＋1b 2＝1，∴b 2＝43， ∴c 2＝a 2－b 2＝4－43＝83，c ＝263，则椭圆的两个焦点之间的距离为2c ＝463.5．(2017·全国卷Ⅱ)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为( )A. 5B ．2 2C ．2 3D ．3 3解析：选C 法一：由题意，得F (1,0)， 则直线FM 的方程是y ＝3(x －1)． 由⎩⎨⎧y ＝3x －1，y 2＝4x ，得x ＝13或x ＝3.由M 在x 轴的上方，得M (3,23)， 由MN ⊥l ，得|MN |＝|MF |＝3＋1＝4.又∠NMF 等于直线FM 的倾斜角，即∠NMF ＝60°， 因此△MNF 是边长为4的等边三角形， 所以点M 到直线NF 的距离为4×32＝2 3. 法二：依题意，得直线FM 的倾斜角为60°， 则|MN |＝|MF |＝21－cos 60°＝4.又∠NMF 等于直线FM 的倾斜角， 即∠NMF ＝60°，因此△MNF 是边长为4的等边三角形， 所以点M 到直线NF 的距离为4×32＝2 3. 6．(2018届高三·湘中名校联考)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，与双曲线的渐近线交于C ，D 两点，若|AB |≥35|CD |，则双曲线离心率e 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，＋∞C.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，54解析：选B 将x ＝c 代入x 2a 2－y 2b 2＝1得y ＝±b 2a ，不妨取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ，所以|AB |＝2b2a.将x ＝c 代入双曲线的渐近线方程y ＝±ba x ，得y ＝±bc a，不妨取C ⎝⎛⎭⎪⎫c ，bc a ，D ⎝⎛⎭⎪⎫c ，－bc a，所以|CD |＝2bca.因为|AB |≥35|CD |，所以2b 2a ≥35×2bc a ，即b ≥35c ，则b 2≥925c 2，即c 2－a 2≥925c 2，即1625c 2≥a 2，所以e 2≥2516，所以e ≥54，故选B. 二、填空题7．设F 1，F 2为双曲线C ：x 2a 2－y 216＝1(a >0)的左、右焦点，点P 为双曲线C 右支上一点，如果|PF 1|－|PF 2|＝6，那么双曲线C 的方程为________，离心率为________．解析：由双曲线定义可得2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝6，a ＝3，所以曲线C 的方程为x 29－y 216＝1.又b ＝4，所以c ＝a 2＋b 2＝5，则离心率e ＝c a ＝53.答案：x 29－y 216＝1 538．已知抛物线x 2＝4y ，则其焦点F 的坐标为________，若M 是抛物线上一点，|MF |＝4，O 为坐标原点，则∠MFO ＝________.解析：抛物线x 2＝4y 的焦点坐标F (0,1)．设M (x ，y )，由抛物线定义可得|MF |＝y ＋1＝4，则y ＝3，代入抛物线方程解得一个M (23，3)，则FM ―→＝(23，2)，FO ―→＝(0，－1)，所以cos ∠MFO ＝FM ―→·FO ―→|FM ―→||FO ―→|＝－12，所以∠MFO ＝2π3.答案：(0,1)2π39．(2018届高三·广东五校联考)已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的两焦点为F 1，F 2，点P (x 0，y 0)满足0<x 202＋y 20<1，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________．解析：由点P (x 0，y 0)满足0<x 202＋y 20<1，可知P (x 0，y 0)一定在椭圆内(不包括原点)，因为a ＝2，b ＝1，所以由椭圆的定义可知|PF 1|＋|PF 2|<2a ＝22，又|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|＝2，故|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是[2,22)．答案：[2,22) 三、解答题10．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(0,4)，离心率为35.(1)求C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．解：(1)将(0,4)代入C 的方程得16b 2＝1，解得b ＝4.又e ＝c a ＝35，得a 2－b 2a 2＝925，即1－16a 2＝925，则a ＝5.所以C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)．设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋x －3225＝1，即x 2－3x －8＝0，所以x 1＋x 2＝3.设AB 的中点坐标为(x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝32，y 0＝y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65，即中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－65.11．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，抛物线C 与直线l 1：y ＝－x 的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C 的方程；(2)不过原点的直线l 2与l 1垂直，且与抛物线交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点为P ，且|OP |＝|PB |，求△FAB 的面积．解：(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)，∴(－8)2＝2p ×8，∴2p ＝8，∴抛物线方程为y 2＝8x .(2)直线l 2与l 1垂直，故可设l 2：x ＝y ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且直线l 2与x 轴的交点为M .由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，x ＝y ＋m ，得y 2－8y －8m ＝0，Δ＝64＋32m >0，∴m >－2.y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8m ，∴ x 1x 2＝y 1y 2264＝m 2.由题意可知OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－8m ＝0，∴m ＝8或m＝0(舍去)，∴l 2：x ＝y ＋8，M (8,0)．故S △FAB ＝S △FMB ＋S △FMA ＝12·|FM |·|y 1－y 2|＝3y 1＋y 22－4y 1y 2＝24 5.12．(2018届高三·浙江名校联考)椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的长轴长等于圆C 2：x2＋y 2＝4的直径，且C 1的离心率等于12.直线l 1和l 2是过点M (1,0)，且互相垂直的两条直线，l 1交C 1于A ，B 两点，l 2交C 2于C ，D 两点．(1)求C 1的标准方程； (2)当四边形ACBD 的面积为12714时，求直线l 1的斜率k (k >0)． 解：(1)由题意得2a ＝4，即a ＝2.∵c a ＝12，∴c ＝1，∴b ＝3，∴椭圆C 1的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)直线AB ：y ＝k (x －1)，则直线CD ：y ＝－1k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，3x 2＋4y 2＝12，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8k 23＋4k2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝12k 2＋13＋4k2.∵圆心(0,0)到直线CD ：x ＋ky －1＝0的距离d ＝1k 2＋1，又|CD |24＋d 2＝4，∴|CD |＝24k 2＋3k 2＋1，∵AB ⊥CD ，∴S 四边形ACBD ＝12|AB |·|CD |＝12k 2＋14k 2＋3，由12k 2＋14k 2＋3＝12147，解得k ＝1或k ＝－1，由k >0，得k ＝1.第三讲圆锥曲线中的热点问题考点一 轨迹方程问题 一、基础知识要记牢在直角坐标系中，如果某曲线C 上点的坐标都是二元方程f (x ，y )＝0的实数解，且以这个二元方程f (x ，y )＝0的实数解为坐标的点都是曲线上的点，则方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．二、经典例题领悟好[例1] (2017·全国卷Ⅱ)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过M 作x轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP ―→＝2NM ―→.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP ―→·PQ ―→＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .[解] (1)设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则N (x 0,0)，NP ―→＝(x －x 0，y )，NM ―→＝(0，y 0)，由NP ―→＝2NM ―→，得x 0＝x ，y 0＝22y .因为M (x 0，y 0)在椭圆C 上，所以x 22＋y 22＝1.因此点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2.(2)证明：由题意知F (－1,0)．设Q (－3，t )，P (m ，n )，则OQ ―→＝(－3，t )，PF ―→＝(－1－m ，－n )，OQ ―→·PF ―→＝3＋3m －tn ，OP ―→＝(m ，n )，PQ ―→＝(－3－m ，t －n )，由OP ―→·PQ ―→＝1，得－3m －m 2＋tn －n 2＝1，又由(1)知m 2＋n 2＝2，故3＋3m －tn ＝0.所以OQ ―→·PF ―→＝0，即OQ ―→⊥PF ―→.又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .求动点轨迹方程的一般步骤(1)建：建立合适的直角坐标系； (2)设：设曲线上任意一点的坐标(x ，y )； (3)限：考虑满足的条件； (4)代：把点的坐标代入关系式；(5)化：化简，并证明所求方程为符合条件的动点的轨迹方程(一般省略). 三、预测押题不能少1．已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，中心在原点，左焦点为F (－3，0)，且过点D (2,0)．(1)求该椭圆的标准方程；(2)设点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，若P 是椭圆上的动点，求线段PA 的中点M 的轨迹方程． 解：(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意，c ＝3，a ＝2，所以b ＝1.故椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)设线段PA 的中点为M (x ，y )，点P 的坐标为(x 0，y 0)，由⎩⎨⎧x ＝x 0＋12，y ＝y 0＋122，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －1，y 0＝2y －12，由点P 在椭圆上，得2x －124＋⎝⎛⎭⎪⎫2y －122＝1.所以线段PA 的中点M 的轨迹方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －142＝1.考点二 最值、范围问题 一、经典例题领悟好[例2] (2017·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，椭圆C 截直线y ＝1所得线段的长度为2 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)动直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于点M ，点N 是M 关于O 的对称点，⊙N 的半径为|NO |.设D 为AB 的中点，DE ，DF 与⊙N 分别相切于点E ，F ，求∠EDF 的最小值．[解] (1)由椭圆的离心率为22，得a 2＝2(a 2－b 2)． 又当y ＝1时，x 2＝a 2－a 2b 2，得a 2－a 2b2＝2，所以a 2＝4，b 2＝2，因此椭圆方程为x 24＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋2y 2＝4消去y ，。

寒假作业(四) 导数的运算及几何意义(注意解题的速度)一、选择题1．已知函数f (x )＝1xcos x ，则f ′(x )等于( )A.cos xx2B.－sin x x2C.cos x －x sin xx2D ．－cos x ＋x sin xx2解析：选D f ′(x )＝－1x 2cos x －sin x x ＝－cos x ＋x sin xx2. 2．已知f (x )＝x 33＋ax 2＋x 是奇函数，则f (3)＋f ′(1)＝( )A ．14B ．12C ．10D ．－8解析：选A 由题意得，f (－x )＝－f (x )，所以a ＝0，f (x )＝x 33＋x ，f ′(x )＝x 2＋1，故f (3)＋f ′(1)＝14.3．已知某个车轮旋转的角度α(rad)与时间t (s)的函数关系是α＝π0.32t 2(t ≥0)，则车轮启动后第1.6 s 时的瞬时角速度是( )A ．20π rad/sB ．10π rad/sC ．8π rad/sD ．5π rad/s解析：选B 由题意可得α′＝πt0.16，车轮启动后第1.6 s 时的瞬时角速度为π×1.60.16＝10πrad/s.4．(2018届高三·广州五校联考)曲线y ＝e 12x 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.92e 2 B ．4e 2 C ．2e 2D ．e 2解析：选D ∵y ′＝12e 12x ，∴k ＝12e 142⨯＝12e 2，∴切线方程为y －e 2＝12e 2(x －4)，令x ＝0，得y ＝－e 2，令y ＝0，得x ＝2，∴所求面积为S ＝12×2×|－e 2|＝e 2.5．若⎠⎜⎛12(x －a )d x ＝⎠⎜⎜⎛0π4cos 2x d x ，则a 等于( )A ．－1B ．1C ．2D ．4解析：选B⎠⎜⎛12(x －a )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－ax | 21＝32－a ，⎠⎜⎜⎛0π4cos 2x d x ＝12sin 2x ＝12.由32－a ＝12，得a ＝1. 6．若f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(3)等于( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B ∵f (x )＝2xf ′(1)＋x 2， ∴f ′(x )＝2f ′(1)＋2x .∴f ′(1)＝2f ′(1)＋2，∴f ′(1)＝－2， ∴f ′(x )＝－4＋2x . ∴f ′(3)＝－4＋6＝2.7．(2018届高三·湖南名校联考)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 2，x ∈[－1，1，x 2－1，x ∈[1，2]，则21-⎰f (x )dx的值为( )A.π2＋43B.π2＋3 C.π4＋43 D.π4＋3 解析：选A 21-⎰f (x )d x ＝11-⎰1－x 2d x ＋21⎰(x 2－1)d x ＝12π×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x | 21＝π2＋43. 8.如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析：选B 结合图象及题意可知直线l 与曲线f (x )相切的切点为(3,1)，将其代入直线方程得k ＝－13，所以f ′(3)＝－13，且g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，所以g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.9．(2017·成都一诊)已知曲线C 1：y 2＝tx (y >0，t >0)在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4t ，2处的切线与曲线C 2：y ＝e x ＋1＋1也相切，则t 的值为( )A ．4e 2B ．4e C.e 24D.e4 解析：选A 由y ＝tx ，得y ′＝t2tx，则切线斜率为k ＝t 4，所以切线方程为y －2＝t4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4t ，即y ＝t4x ＋1.设切线与曲线y ＝e x ＋1＋1的切点为(x 0，y 0)．由y ＝e x ＋1＋1，得y ′＝e x ＋1，则由e x 0＋1＝t4，得切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫ln t 4－1，t 4＋1，故切线方程又可表示为y －t4－1＝t 4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －ln t4＋1，即y ＝t 4x －t 4ln t 4＋t 2＋1，所以由题意，得－t 4ln t 4＋t 2＋1＝1，即ln t4＝2，解得t ＝4e 2.10.函数y ＝f (x )的图象如图所示，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(1)，f ′(2)，f (2)－f (1)的大小关系是( )A ．f ′(1)<f ′(2)<f (2)－f (1)B ．f ′(2)<f (2)－f (1)<f ′(1)C ．f ′(2)<f ′(1)<f (2)－f (1)D ．f ′(1)<f (2)－f (1)<f ′(2)解析：选D 由题意得(1，f (1))，(2，f (2))两点连线的斜率为f 2－f 12－1＝f (2)－f (1)，而f ′(1)，f ′(2)分别表示函数f (x )在点(1，f (1))，(2，f (2))处的切线的斜率，结合图象可知f ′(1)<f 2－f 12－1<f ′(2)，即f ′(1)<f (2)－f (1)<f ′(2)．11．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2解析：选D ∵f ′(x )＝1x ，∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1， 又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m <0，解得m ＝－2. 12．给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，f ″(x )是函数f ′(x )的导函数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．已知函数f (x )＝3x ＋4sin x －cos x 的拐点是M (x 0，f (x 0))，则点M ( )A ．在直线y ＝－3x 上B ．在直线y ＝3x 上C ．在直线y ＝－4x 上D ．在直线y ＝4x 上解析：选B f ′(x )＝3＋4cos x ＋sin x ，f ″(x )＝－4sin x ＋cos x ，由题意知4sin x 0－cos x 0＝0，所以f(x 0)＝3x 0，故M(x 0，f(x 0))在直线y ＝3x 上． 二、填空题13．已知直线y ＝－x ＋m 是曲线y ＝x 2－3ln x 的一条切线，则m 的值为________． 解析：因为直线y ＝－x ＋m 是曲线y ＝x 2－3ln x的切线，所以令y ′＝2x －3x＝－1，得x ＝1或x ＝－32(舍去)，即切点为(1,1)，又切点(1,1)在直线y ＝－x ＋m 上，所以m ＝2.答案：214．若m >1，则f (m )＝⎠⎜⎛1m⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4x 2d x 的最小值为________．解析：f (m )＝⎠⎜⎛1m⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4x 2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x | m 1＝m ＋4m －5≥4－5＝－1，当且仅当m ＝2时等号成立，故f (m )的最小值为－1.答案：－115．已知曲线f (x )＝2x 3－3x ，过点M (0,32)作曲线f (x )的切线，则切线方程是________． 解析：设切点坐标为N (x 0,2x 30－3x 0)，则切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝6x 20－3， 故切线方程为y ＝(6x 20－3)x ＋32，又点N 在切线上，∴2x 30－3x 0＝(6x 20－3)x 0＋32， 解得x 0＝－2，∴切线方程为y ＝21x ＋32. 答案：y ＝21x ＋3216．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是________．解析：根据题意得f ′(x )＝－4e x e 2x ＋2e x ＋1，∴k ＝－4e x ＋1ex ＋2≥－42＋2＝－1，当且仅当e x ＝1e x 时等号成立，且k <0，则曲线y ＝f (x )在切点处的切线的斜率－1≤k <0，又k ＝tan α，结合正切函数的图象，可得α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π。

阶段滚动检测（一） 专题一~专题二(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．集合A ＝{x ∈N|x ≤6}，B ＝{x ∈R|x 2－3x ＞0}，则A ∩B ＝( ) A ．{3,4,5} B ．{4,5,6} C ．{x |3＜x ≤6}D ．{x |3≤x ＜6}解析：选B 由题意知A ＝{0,1,2,3,4,5,6}，B ＝{x |x ＞3或x ＜0}，所以A ∩B ＝{4,5,6}．故选B.2．若a ∈R ，则“a <－2”是“|a |>2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由a <－2可以推出|a |>2，即充分性成立；但由|a |>2得到a <－2或a >2，即必要性不成立．所以“a <－2”是“|a |>2”的充分不必要条件．故选A.3．定义在R 上的偶函数f (x )，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( )A ．f (π)>f (－3)>f (－2)B ．f (π)>f (－2)>f (－3)C ．f (π)<f (－3)<f (－2)D ．f (π)<f (－2)<f (－3)解析：选A 因为函数是偶函数，所以f (－2)＝f (2)，f (－3)＝f (3)，又函数在[0，＋∞)上是增函数，所以f (2)<f (3)<f (π)，即f (－2)<f (－3)<f (π)，故选A.4．函数f (x )＝2|x |－x 2的图象为( )解析：选D 由f (－x )＝f (x )知函数f (x )是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除选项A 、C ；当x ＝0时，f (x )＝1，排除选项B ，故选D.5．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，x ≤3，则z ＝2x －3y 的最小值是( )A ．－7B ．－6C ．－5D ．－3解析：选B 由约束条件作出可行域如图中阴影区域所示．将z ＝2x －3y 化为y ＝23x －z 3，作出直线y ＝23x 并平移使之经过可行域，易知直线经过点C (3,4)时，z 取得最小值，故z min ＝2³3－3³4＝－6.6．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23，则b ＝( ) A ．14 B ．6 C.14D. 6解析：选 D b sin A ＝3c sin B ⇒ab ＝3bc ⇒a ＝3c ⇒c ＝1，∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋1－2³3³1³23＝6，b ＝6，故选D.7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ，x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)解析：选D 因为f (π)＝π2＋1，f (－π)＝－1，所以f (－π)≠f (π)，所以函数f (x )不是偶函数，排除A ；因为函数f (x )在(－2π，－π)上单调递减，排除B ；函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )不是周期函数，排除C ；因为x >0时，f (x )>1，x ≤0时，－1≤f (x )≤1，所以函数f (x )的值域为[－1，＋∞)，故选D.8．将函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω>0)的图象向左平移π3ω个单位，得到函数y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上为增函数，则ω的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 将函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω>0)的图象向左平移π3ω个单位，得g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3ω－π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3－π3＝2sin ωx ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，ωx ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，ωπ4，要使y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上为增函数，需满足ωπ4≤π2，即ω≤2，故ω的最大值为2.9．设D ，E 分别为线段AB ，AC 的中点，且BE ―→²CD ―→＝0，记α为AB ―→与AC ―→的夹角，则下列判断正确的是( )A ．cos α的最小值为22B ．cos α的最小值为13C ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2的最小值为825D ．sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2α的最小值为725 解析：选D 依题意得CD ―→＝12(CA ―→＋CB ―→)＝12[－AC ―→＋(AB ―→－AC ―→)]＝12(AB ―→－2AC ―→)，BE―→＝12(BA ―→＋BC ―→)＝12[－AB ―→＋(AC ―→－AB ―→)]＝12(AC ―→－2AB ―→)．由CD ―→²BE ―→＝0，得14(AB ―→－2AC ―→)²(AC ―→－2AB ―→)＝0，即－2AB ―→2－2AC ―→2＋5AB ―→²AC ―→＝0，|AB ―→|2＋|AC ―→|2＝52|AB―→|²|AC ―→|cos α≥2|AB ―→|²|AC ―→|，所以cos α≥45，sin π2－2α＝cos 2α＝2cos 2α－1≥2³⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝725，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α的最小值是725.故选D.10．函数f (x )＝a (3x 2－2x )＋b (1－2x )(0≤x ≤1)，其中a >0，b 为任意常数，当|f (0)|≤2，|f (1)|≤2时，|f (x )|的最大值为( )A ．1B ．32C ．2D ．3解析：选C f (x )＝3ax 2－(2a ＋2b )x ＋b ，设|f (x )|的最大值为M . ①当a ＋b3a≥1，即b ≥2a 时，函数f (x )在[0,1]上单调递减，M ＝max{|f (0)|，|f (1)|}≤2. ②当a ＋b3a≤0，即b ≤－a 时，函数f (x )在[0,1]上单调递增，M ＝max{|f (0)|，|f (1)|}≤2. ③当0<a ＋b 3a <1，即－a <b <2a 时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 3a ＝a 2＋b 2－ab 3a ，(ⅰ)当0<a ＋b 3a ≤12，即－a <b ≤a 2时，则0<a ＋b ≤3a 2，f (1)＝a －b >0，则|f (1)|－⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 3a ＝2a 2－b 2－2ab 3a ＝3a 2－ a ＋b 23a ≥a 4>0，所以M ＝f (1)≤2；(ⅱ)当12<a ＋b 3a <1，即a 2<b <2a 时，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫b －a 2(b －2a )<0，即a 2＋b 2－5ab 2<0，f (0)＝b >0，则|f (0)|－⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 3a ＝4ab －a 2－b 23a >5ab 2－a 2－b23a >0，所以M ＝f (0)≤2. 综上所述，|f (x )|的最大值M ＝2，故选C.二、填空题(本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分．把答案填在题中的横线上)11．已知a ＝2x，b ＝423，则log 2b ＝_____，满足log a b ≤1的实数x 的取值范围是_____． 解析：b ＝423＝243，所以log 2b ＝43；由log 2x b ≤1，得log 2x 243＝43x ≤1，即3x －43x ≥0，解得x ≥43或x <0，即x 的取值范围为(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞. 答案：43 (－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞12．(2017²宁波期末)若正数x ，y 满足x 2＋4y 2＋x ＋2y ＝1，则xy 的最大值为________． 解析：1＝x 2＋4y 2＋x ＋2y ≥4xy ＋22xy ，则xy ≤6－24，则xy ≤2－34. 答案：2－3413．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，记S 为△ABC 的面积．若A ＝60°，b ＝1，S ＝334，则c ＝________，cos B ＝________. 解析：因为S ＝12bc sin A ＝12³1³c ³32＝334，所以c ＝3；由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cosA ＝1＋9－6³12＝7，所以cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝7＋9－12³7³3＝5714.答案：3571414．已知函数f (x )＝x 3－3x ，函数f (x )的图象在x ＝0处的切线方程是________；函数f (x )在[0,2]内的值域是________．解析：∵f (x )＝x 3－3x ，∴f ′(x )＝3x 2－3，又∵f (0)＝0，∴函数f (x )在x ＝0处的切线的斜率为f ′(0)＝－3，∴f (x )＝x 3－3x 在点(0,0)处的切线的方程为y ＝－3x .令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，当x 变化时，f (x )与f ′(x )的变化情况如下表.)是增函数，其最小值为f (1)＝－2，最大值为f (2)＝2.综上，在[0,2]上，f (x )的值域为[－2,2]．答案：y ＝－3x [－2,2]15．在△ABC 中，A ＝π3，AB ＝2，AC ＝3，CM ―→＝2MB ―→，则AM ―→²BC ―→＝________.解析：因为AM ―→＝AC ―→＋CM ―→＝AC ―→＋23CB ―→＝AC ―→＋23(AB ―→－AC ―→)＝13AC ―→＋23AB ―→，所以AM ―→²BC ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13AC ―→＋23AB ―→²(AC ―→－AB ―→)＝13³32－23³22＋13AB ―→²AC ―→＝13＋13³3³2cos π3＝43.答案：4316．已知函数f (x )＝e x，g (x )＝ln x 2＋12的图象分别与直线y ＝m 交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为________．解析：显然m ＞0，由e x＝m 得x ＝ln m ，由ln x 2＋12＝m 得x ＝2em 12-，则|AB |＝2em 12-－ln m ．令h (m )＝2em 12-－ln m ，由h ′(m )＝2em 12-－1m ＝0，求得m ＝12.当0＜m ＜12时，h ′(m )＜0，函数h (m )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递减；当m ＞12时，h ′(m )＞0，函数h (m )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增．所以h (m )min＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2＋ln 2，因此|AB |的最小值为2＋ln 2.答案：2＋ln 217．已知f (x )＝x －2，g (x )＝2x －5，则不等式|f (x )|＋|g (x )|≤2的解集为________；|f (2x )|＋|g (x )|的最小值为________．解析：由题意得|f (x )|＋|g (x )|＝|x －2|＋|2x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧7－3x ，x <2，－x ＋3，2≤x ≤52，3x －7，x >52，所以|f (x )|＋|g (x )|≤2等价于⎩⎪⎨⎪⎧7－3x ≤2，x <2或⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3≤2，2≤x ≤52或⎩⎪⎨⎪⎧3x －7≤2，x >52，解得53≤x ≤3.|f (2x )|＋|g (x )|＝|2x －2|＋|2x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧7－4x ，x <1，3，1≤x ≤52，4x －7，x >52，|f (2x )|＋|g (x )|的图象如图，则由图象易得|f (2x )|＋|g (x )|的最小值为3.。

寒假作业(五) 导数的应用(注意命题点的区分度)一、选择题1．函数f (x )＝3＋x ln x 的单调递增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e B ．(e ，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e 解析：选C f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x )>0，得x >1e，故f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞.2．函数f (x )＝(x 2－1)2＋2的极值点是( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1C ．x ＝1或－1或0D ．x ＝0 解析：选C ∵f (x )＝x 4－2x 2＋3， ∴由f ′(x )＝4x 3－4x ＝4x (x ＋1)(x －1)＝0， 得x ＝0或x ＝1或x ＝－1，又当x <－1时f ′(x )<0，当－1<x <0时，f ′(x )>0， 当0<x <1时，f ′(x )<0，当x >1时，f ′(x )>0， ∴x ＝0,1，－1都是f (x )的极值点．3．(2017·长春三模)定义在R 上的函数f (x )满足：f ′(x )＞f (x )恒成立，若x 1＜x 2，则e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小关系为( )A ．e x 1f (x 2)＞e x 2f (x 1)B ．e x 1f (x 2)＜e x 2f (x 1)C ．e x 1f (x 2)＝e x 2f (x 1)D ．e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小关系不确定解析：选A 设g (x )＝f xe x，则g ′(x )＝f ′x e x －f x e x e x2＝f ′x －f xe x，由题意知g ′(x )＞0，所以g (x )在R 上单调递增，当x 1＜x 2时，g (x 1)＜g (x 2)，即f x 1e x 1＜f x 2e x 2，所以e x 1f (x 2)＞e x 2f (x 1)．4．已知x ＝2是函数f (x )＝x 3－3ax ＋2的极小值点，那么函数f (x )的极大值为( ) A ．15 B ．16 C ．17 D ．18解析：选D f ′(x )＝3x 2－3a ，因为x ＝2是函数f (x )＝x 3－3ax ＋2的极小值点，所以f ′(2)＝12－3a ＝0，解得a ＝4，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝x 3－12x ＋2，f ′(x )＝3x 2－12.由3x 2－12＝0，得x ＝±2，故函数f (x )在(－2,2)上是减函数，在(－∞，－2)，(2，＋∞)上是增函数，由此可知当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值f (－2)＝18.5．若函数f (x )＝13x 3＋x 2－23在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－5,0) B ．(－5,0) C ．[－3,0)D ．(－3,0)解析：选C 由题意，f ′(x )＝x 2＋2x ＝x (x ＋2)，故f (x )在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2，0)上是减函数，作出其图象如图所示，令13x 3＋x 2－23＝－23得，x ＝0或x ＝－3，则结合图象可知⎩⎪⎨⎪⎧－3≤a ＜0，a ＋5＞0，解得a ∈[－3,0) .6．(2017·浙江高考)函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )解析：选D 由f ′(x )的图象知，f ′(x )的图象有三个零点，故f (x )在这三个零点处取得极值，排除A 、B ；记导函数f ′(x )的零点从左到右分别为x 1，x 2，x 3，又在(－∞，x 1)上f ′(x )<0，在(x 1，x 2)上f ′(x )>0，所以函数f (x )在(－∞，x 1)上单调递减，排除C ，故选D.7．若函数f (x )＝cos x ＋2xf ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的大小关系是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6D ．不确定解析：选C 因为f ′(x )＝－sin x ＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－sin π6＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝12.因为f ′(x )＝－sin x ＋1≥0恒成立， 所以f (x )＝cos x ＋x 是R 上的增函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6.8．(2018届高三·黄冈调研)定义在区间(0，＋∞)上的函数y ＝f (x )使不等式2f (x )<xf ′(x )<3f (x )恒成立，其中y ＝f ′(x )为y ＝f (x )的导函数，则( )A ．8<f 2f 1<16 B ．4<f 2f 1<8C ．3<f 2f 1<4 D ．2<f 2f 1<3解析：选B ∵xf ′(x )－2f (x )>0，x >0，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x x 2′＝f ′x ·x 2－2xf x x 4＝xf ′x －2f x x 3>0， ∴y ＝f x x 2在(0，＋∞)上单调递增，∴f 222>f 112，即f 2f 1>4.∵xf ′(x )－3f (x )<0，x >0，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x x 3′＝f ′x ·x 3－3x 2f x x 6＝xf ′x －3f x x 4<0， ∴y ＝f x x 3在(0，＋∞)上单调递减，∴f 223<f 113，即f 2f 1<8.综上，4<f 2f 1<8.9．(2017·张掖一诊)定义在R 上的可导函数f (x )满足f (1)＝1，且2f ′(x )>1，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，3π2时，不等式f (2cos x )>32－2sin 2x2的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，4π3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，4π3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π3 解析：选D 令g (x )＝f (x )－x 2－12，则g ′(x )＝f ′(x )－12>0，∴g (x )在R 上单调递增，且g (1)＝f (1)－12－12＝0，∵f (2cos x )－32＋2sin 2x 2＝f (2cos x )－2cos x 2－12＝g (2cos x )，∴f (2cos x )>32－2sin 2x2，即g (2cos x )>0，∴2cos x >1，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，3π2，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π3.10．已知函数f (x )＝e xx2－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋ln x ，若x ＝2是函数f (x )的唯一一个极值点，则实数k的取值范围为( )A ．(－∞，e]B ．[0，e]C ．(－∞，e)D ．[0，e)解析：选A f ′(x )＝x 2e x －2x e xx 4－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2＋1x ＝x －2⎝ ⎛⎭⎪⎫e x x －k x 2(x >0)．设g (x )＝e xx(x >0)，则g ′(x )＝x －1e x x 2，∴g (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．∴g (x )在(0，＋∞)上有最小值，为g (1)＝e ，结合g (x )＝e xx与y ＝k 的图象可知，要满足题意，只需k ≤e ，选A.11．已知函数f (x )＝x 3－2x 2－4x －7，其导函数为f ′(x )，给出以下命题：①f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，2；②f (x )的极小值是－15；③当a >2时，对任意的x >2且x ≠a ，恒有f (x )>f (a )＋f ′(a )(x －a )； ④函数f (x )有且只有一个零点． 其中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 易得f ′(x )＝3x 2－4x －4＝(x －2)(3x ＋2)，①令f ′(x )<0，得－23<x <2，所以f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，2；②令f ′(x )>0，得x <－23或x >2，结合①可知f (x )的极小值是f (2)＝－15；③显然当a >2时，对任意的x >2且x ≠a ，恒有f (x )>f (a )＋f ′(a )(x －a )不成立；④f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－14927<0，f (2)＝－15<0，并结合①②易知f (x )有且只有一个零点．故选C.12．(2018届高三·湘中名校联考)已知函数g (x )＝a －x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ≤x ≤e ，e 为自然对数的底数与h (x )＝2ln x 的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，e 2－2]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1e 2＋2 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e 2＋2，e 2－2 D ．[e 2－2，＋∞)解析：选A 由题意，知a －x 2＝－2ln x ，即－a ＝2ln x －x 2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有解．设f (x )＝2ln x －x 2，则f ′(x )＝2x－2x ＝－2x ＋1x －1x.易知x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，1时，f ′(x )>0，x ∈[1，e]时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，1上单调递增，在[1，e]上单调递减，所以f (x )极大值＝f (1)＝－1，又f (e)＝2－e 2，f⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－2－1e 2，即f (e)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，所以方程－a ＝2ln x －x 2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有解等价于2－e 2≤－a ≤－1，所以a 的取值范围为[1，e 2－2]．二、填空题13．若函数h (x )＝2x －k x ＋k3在(1，＋∞)上是增函数，在(0,1)上是减函数，则实数k ＝________.解析：h ′(x )＝2＋kx2，根据题意，知h ′(1)＝0， 即2＋k ＝0，解得k ＝－2，经验证，符合题意． 答案：－214．若函数f (x )＝－13x 3＋x 在(a,10－a 2)上有最大值，则实数a 的取值范围是________．解析：由于f ′(x )＝－x 2＋1.易知f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递减，在[－1，1]上单调递增．故函数f (x )在(a,10－a 2)上存在最大值的条件为⎩⎪⎨⎪⎧a <1，10－a 2>1，f 1≥f a.即－2≤a <1.答案：[－2,1)15．圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S ，要使它的容积最大，它的高h 与底面半径R 的比应为________．解析：因为S ＝2πRh ＋2πR 2，所以h ＝S －2πR 22πR，所以V (R )＝S －2πR 22πRπR 2，＝12(S －2πR 2)R ＝12SR －πR 3. 由V ′(R )＝12S －3πR 2＝0，得S ＝6πR 2，结合函数的单调性知当S ＝6πR 2时，容积最大，此时6πR 2＝2πRh ＋2πR 2.即h ∶R ＝2∶1. 答案：2∶116．(2017·兰州诊断)已知函数f (x )＝e x ＋m ln x (m ∈R ，e 为自然对数的底数)，若对任意正数x 1，x 2，当x 1>x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)>x 1－x 2成立，则实数m 的取值范围是________．解析：依题意得，对于任意的正数x 1，x 2，当x 1>x 2时，都有f (x 1)－x 1>f (x 2)－x 2，因此函数g (x )＝f (x )－x 在区间(0，＋∞)上是增函数，于是当x >0时，g ′(x )＝f ′(x )－1＝e x ＋m x－1≥0，即x (e x －1)≥－m 恒成立．记h (x )＝x (e x －1)，x >0，则有h ′(x )＝(x ＋1)e x －1>(0＋1)e 0－1＝0，x >0，即h (x )在区间(0，＋∞)上是增函数，h (x )的值域是(0，＋∞)，因此－m ≤0，m ≥0.故所求实数m 的取值范围是[0，＋∞)．答案：[0，＋∞) 三、解答题17．已知函数f (x )＝12x 2－a ln x ＋b (a ∈R)．(1)若曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为3x －y －3＝0，求实数a ，b 的值； (2)若x ＝1是函数f (x )的极值点，求实数a 的值． 解：(1)因为f (x )＝12x 2－a ln x ＋b ，所以f ′(x )＝x －a x(x >0)，因为曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线的方程为3x －y －3＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′1＝3，f 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＝3，12＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－12.(2)因为x ＝1是函数f (x )的极值点， 所以f ′(1)＝1－a ＝0，所以a ＝1.当a ＝1时，f (x )＝12x 2－ln x ＋b ，定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x＝x －1x ＋1x，当0<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x >1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以x ＝1是f (x )的极值点，所以a ＝1符合题意． 18．设函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R)(e 为自然对数的底数)． (1)判断f (x )的单调性；(2)当f (x )<0在(0，＋∞)上恒成立时，求a 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝1x－a (x >0)，当a ≤0时，f ′(x )>0，此时f (x )在(0，＋∞)上是增函数，当a >0时，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0，此时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上是增函数，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0，此时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上是减函数．综上，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上是增函数，当a >0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上是减函数． (2)f (x )<0在(0，＋∞)上恒成立，即a >ln x x在(0，＋∞)上恒成立，设g (x )＝ln x x ，则g ′(x )＝1－ln x x2， 当x ∈(0，e)时，g ′(x )>0，g (x )为增函数，当x ∈(e ，＋∞)时，g ′(x )<0，g (x )为减函数， 故当x ＝e 时，g (x )取得最大值1e ，即a >1e，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞.19．(2017·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝(1－x2)e x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当x≥0时，f(x)≤ax＋1，求a的取值范围．解：(1)f′(x)＝(1－2x－x2)e x.令f′(x)＝0，得x＝－1－2或x＝－1＋ 2.当x∈(－∞，－1－2)时，f′(x)＜0；当x∈(－1－2，－1＋2)时，f′(x)＞0；当x∈(－1＋2，＋∞)时，f′(x)＜0.所以f(x)在(－∞，－1－2)，(－1＋2，＋∞)上单调递减，在(－1－2，－1＋2)上单调递增．(2)f(x)＝(1＋x)(1－x)e x.①当a≥1时，设函数h(x)＝(1－x)e x，则h′(x)＝－x e x＜0(x＞0)．因此h(x)在[0，＋∞)上单调递减，又h(0)＝1，故h(x)≤1，所以f(x)＝(x＋1)h(x)≤x＋1≤ax＋1.②当0＜a＜1时，设函数g(x)＝e x－x－1，则g′(x)＝e x－1＞0(x＞0)，所以g(x)在[0，＋∞)上单调递增，而g(0)＝0，故e x≥x＋1.当0＜x＜1时，f(x)＞(1－x)(1＋x)2，(1－x)(1＋x)2－ax－1＝x(1－a－x－x2)，取x0＝5－4a－12，则x0∈(0,1)，(1－x0)(1＋x0)2－ax0－1＝0，故f(x0)＞ax0＋1.当a ≤0时，取x 0＝5－12，则x 0∈(0,1)，f (x 0)＞(1－x 0)(1＋x 0)2＝1≥ax 0＋1.综上，a 的取值范围是[1，＋∞)．20．(2017·长春质检)已知函数f (x )＝12x 2＋(1－a )x －a ln x ，a ∈R. (1)若f (x )存在极值点1，求a 的值；(2)若f (x )存在两个不同的零点x 1，x 2，求证：x 1＋x 2>2.解：(1)由已知得f ′(x )＝x ＋1－a －ax， 因为f (x )存在极值点1，所以f ′(1)＝0，即2－2a ＝0，a ＝1，经检验符合题意，所以a ＝1.(2)证明：f ′(x )＝x ＋1－a －ax ＝(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a x (x >0)， ①当a ≤0时，f ′(x )>0恒成立，所以f (x )在(0，＋∞)上为增函数，不符合题意； ②当a >0时，由f ′(x )＝0得x ＝a ，当x >a 时，f ′(x )>0，所以f (x )单调递增，当0<x <a 时，f ′(x )<0，所以f (x )单调递减，所以当x ＝a 时，f (x )取得极小值f (a )．又f (x )存在两个不同的零点x 1，x 2，所以f (a )<0，即12a 2＋(1－a )a －a ln a <0，整理得ln a >1－12a ， 作y ＝f (x )关于直线x ＝a 的对称曲线g (x )＝f (2a －x )，令h (x )＝g (x )－f (x )＝f (2a －x )－f (x )＝2a －2x －a ln 2a －x x，则h ′(x )＝－2＋2a 22a －x x ＝－2＋2a 2－x －a 2＋a 2， 因为在(0,2a )上，h ′(x )≥0， 所以h (x )在(0,2a )上单调递增， 不妨设x 1<a <x 2，则h (x 2)>h (a )＝0， 即g (x 2)＝f (2a －x 2)>f (x 2)＝f (x 1)， 又2a －x 2∈(0，a )，x 1∈(0，a )，且f (x )在(0，a )上为减函数， 所以2a －x 2<x 1，即x 1＋x 2>2a ，又ln a >1－12a ，易知a >1成立， 故x 1＋x 2>2.。

知能专练（十八） 圆锥曲线中的热点问题一、选择题1．(2017·河北衡水中学模拟)已知点Q 在椭圆C ：x 216＋y 210＝1上，点P 满足OP ―→＝12(OF 1―→＋OQ ―→)(其中O 为坐标原点，F 1为椭圆C 的左焦点)，则点P 的轨迹为( )A ．圆B ．抛物线C ．双曲线D ．椭圆解析：选D 因为点P 满足OP ―→＝12(OF 1―→＋OQ ―→)，所以点P 是线段QF 1的中点．设P (x ，y )，由F 1为椭圆C ：x 216＋y 210＝1的左焦点，得F 1(－6，0)，故Q (2x ＋6，2y )，又点Q 在椭圆C ：x 216＋y210＝1上，所以(2x ＋6)216＋(2y )210＝1，即⎝⎛⎭⎫x ＋6224＋y 252＝1，所以点P 的轨迹是椭圆，故选D.2.(2017·安徽六安一中模拟)如图，已知F 1，F 2是椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 是椭圆Γ上任意一点，过F 2作∠F 1PF 2的外角的角平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹为( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线解析：选B 延长F2Q ，与F 1P 的延长线交于点M ，连接OQ .因为PQ 是∠F 1PF 2的外角的角平分线，且PQ ⊥F 2M ，所以在△PF 2M 中，|PF 2|＝|PM |，且Q 为线段F 2M 的中点．又O 为线段F 1F 2的中点，由三角形的中位线定理，得|OQ |＝12|F 1M |＝12(|PF 1|＋|PF 2|)．根据椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|OQ |＝a ，所以点Q 的轨迹为以原点为圆心，半径为a 的圆，故选B.3．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 为双曲线右支上的一点．若|PF 1|2|PF 2|＝8a ，则双曲线的离心率的取值范围是( ) A ．(1,2]B ．[2，＋∞)C ．(1,3]D ．[3，＋∞)解析：选C 设|PF 2|＝y ，则(y ＋2a )2＝8ay ⇒(y －2a )2＝0⇒y ＝2a ≥c －a ⇒e ＝ca ≤3，又因为e >1，可得e 的取值范围为(1,3]．4．已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( )A.34B.32C ．1D ．2解析：选D 由题意知，抛物线的准线l ：y ＝－1，过A 作AA 1⊥l 于A 1，过B 作BB 1⊥l 于B 1，设弦AB 的中点为M ，过M 作MM 1⊥l 于M 1.则|MM 1|＝|AA 1|＋|BB 1|2.|AB |≤|AF |＋|BF |(F 为抛物线的焦点)，即|AF |＋|BF |≥6，|AA 1|＋|BB 1|≥6,2|MM 1|≥6，|MM 1|≥3，故M 到x 轴的最短距离|MM 1|min ＝3－1＝2.二、填空题5．已知点A (－2，0)，点B (2，0)，且动点P 满足|PA |－|PB |＝2，则动点P 的轨迹与直线y ＝k (x －2)有两个交点的充要条件为k ∈________.解析：由已知得动点P 的轨迹为一双曲线的右支且2a ＝2，c ＝2，则b ＝c 2－a 2＝1，所以P 点的轨迹方程为x 2－y 2＝1(x >1)，其一条渐近线方程为y ＝x .若P 点的轨迹与直线y ＝k (x －2)有两个交点，则需k ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)6．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 29－y 24＝1的左、右焦点，P ，Q 为C 上的点，且满足条件：①线段PQ 的长度是虚轴长的2倍；②线段PQ 经过F 2，则△PQF 1的周长为________．若只满足条件②，则△PQF 1的周长的最小值为________．解析：由题意得a ＝3，b ＝2，c ＝13，|PQ |＝4b ＝8.由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝6，|QF 1|－|QF 2|＝6，△PQF 1的周长为|PF 1|＋|QF 1|＋|PF 2|＋|QF 2|＝(|PF 1|－|PF 2|)＋(|QF 1|－|QF 2|)＋2(|PF 2|＋|QF 2|)＝(|PF 1|－|PF 2|)＋(|QF 1|－|QF 2|)＋2|PQ |＝6＋6＋2×8＝28.若只满足条件②，△PQF 1的周长为|PF 1|＋|QF 1|＋|PF 2|＋|QF 2|＝(|PF 1|－|PF 2|)＋(|QF 1|－|QF 2|)＋2(|PF 2|＋|QF 2|)＝12＋2|PQ |，当PQ ⊥x 轴时弦|PQ |最短，令x ＝13，则有y 2＝4×⎝⎛⎭⎫139－1＝169，解得y ＝±43，此时|PQ |＝83，所以△PQF 1的周长的最小值为12＋2×83＝523. 答案：28523三、解答题7．(2017·浙东北三校模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，右焦点到直线x a ＋y b ＝1的距离为217. (1)求椭圆C 的方程；(2)若O 为坐标原点，过点O 作两条相互垂直的射线，与椭圆C 分别交于A ，B 两点，证明：点O 到直线AB 的距离为定值，并求|AB |的最小值．解：(1)由题意得椭圆的离心率e ＝c a ＝12，右焦点为(c,0)，又右焦点到直线x a ＋yb ＝1的距离为217，所以|bc －ab |a 2＋b 2＝217，又a 2＝b 2＋c 2，故a ＝2，b ＝3，c ＝1. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当直线AB 的斜率不存在时，x 2＝x 1，y 1＝－y 2，且y 21＝x 21，又x 214＋y 213＝1，解得|x 1|＝127＝2217，即点O 到直线AB 的距离为2217.当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆的方程联立消去y 得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，所以x 1＋x 2＝－8km3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2.因为OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0，所以x 1x 2＋(kx 1＋m )·(kx 2＋m )＝0，即(k 2＋1)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0，所以(k 2＋1)·4m 2－123＋4k 2－8k 2m 23＋4k2＋m 2＝0，整理得7m 2＝12(k 2＋1)， 所以点O 到直线AB 的距离为|m |k 2＋1＝127＝2217. 因为OA ⊥OB ，所以|OA |2＋|OB |2＝|AB |2≥2|OA |·|OB |，当且仅当|OA |＝|OB |时取等号． 由2217·|AB |＝|OA |·|OB |≤|AB |22得|AB |≥2×2217＝4217，即|AB |的最小值为4217.8．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－2，0)，B (2，0)，E 为动点，且直线EA 与直线EB 的斜率之积为－12.(1)求动点E 的轨迹C 的方程；(2)设过点F (1,0)的直线l 与曲线C 相交于不同的两点M ，N .若点P 在y 轴上，且|PM |＝|PN |，求点P 的纵坐标的取值范围．解：(1)设动点E 的坐标为(x ，y )，依题意可知y x ＋2·y x －2＝－12，整理得x 22＋y 2＝1(x ≠±2)．所以动点E 的轨迹C 的方程为x 22＋y 2＝1(x ≠±2)．(2)当直线l 的斜率不存在时，满足条件的点P的纵坐标为0.当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，将y ＝k (x －1)代入x 22＋y 2＝1并整理得，(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，Δ＝8k 2＋8>0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1.设MN 的中点为Q ，则x Q ＝2k 22k 2＋1，y Q ＝k (x Q －1)＝－k2k 2＋1，所以点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫2k 22k 2＋1，－k 2k 2＋1.由题意可知k ≠0，又直线MN 的垂直平分线的方程为y ＋k 2k 2＋1＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －2k 22k 2＋1.令x ＝0，解得y P ＝k 2k 2＋1＝12k ＋1k.当k >0时，因为2k ＋1k ≥22，所以0<y P≤122＝24，当且仅当k ＝22时等号成立；当k <0时，因为2k ＋1k ≤－22，所以0>y P ≥－122＝－24，当且仅当k ＝－22时等号成立．综上所述，点P 的纵坐标的取值范围是⎣⎡⎦⎤－24，24. 9.(2017·杭州模拟)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，直线l ：y ＝x ＋1与抛物线C 交于A ，B 两点，设直线OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2(其中O 为坐标原点)，且k 1·k 2＝－14.(1)求p 的值；(2)如图，已知点M (x 0，y 0)为圆：x 2＋y 2－y ＝0上异于O 点的动点，过点M 的直线m 交抛物线C 于E ，F 两点．若M 为线段EF 的中点，求|EF |的最大值．解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将y ＝x ＋1代入抛物线C ：x 2＝2py ，得x 2－2px －2p ＝0，则x 1x 2＝－2p .所以k 1·k 2＝y 1x 1·y 2x 2＝x 1x 24p 2＝－12p ＝－14，所以p ＝2.(2)设E (x 3，y 3)，F (x 4，y 4)，直线m ：y ＝k (x －x 0)＋y 0，与抛物线C ：x 2＝4y 联立，得x 2－4kx ＋4kx 0－4y 0＝0，(*)则x 3＋x 4＝4k ＝2x 0，所以k ＝12x 0.此时(*)式为x 2－2x 0x ＋2x 20－4y 0＝0，所以x 3·x 4＝2x 20－4y 0.所以|EF |＝1＋k 2·|x 3－x 4|＝1＋k 2·(x 3＋x 4)2－4x 3x 4＝1＋x 204·16y 0－4x 20＝(4＋x 20)·(4y 0－x 20).又x 20＋y 20－y 0＝0，所以|EF |＝(4＋y 0－y 20)·(3y 0＋y 20)≤(4＋y 0－y 20)＋(3y 0＋y 20)2＝2＋2y 0≤4(y 0≤1)，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧4＋y 0－y 20＝3y 0＋y 20，y 0＝1，即y 0＝1时取等号．所以|EF |的最大值为4.三、解答题10．(2017·宁波模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点P (－2,0)与点(1,1)．(1)求椭圆的方程；(2)过P 点作两条互相垂直的直线PA ，PB ，交椭圆于A ，B . ①证明：直线AB 经过定点； ②求△ABP 面积的最大值．解：(1)由题意得⎝ ⎛4a 2＋0b 2＝1，1a 2＋1b 2＝1，解得a 2＝4，b 2＝43，椭圆的方程为x 24＋3y 24＝1.(2)①证明：由对称性知，若存在定点，则必在x 轴上，当k PA ＝1时，l PA ：y ＝x ＋2，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 2＋3y 2＝4， ∴x 2＋3(x 2＋4x ＋4)＝4⇒x ＝－1. 以下验证：定点为(－1,0)，由题意知，直线PA ，PB 的斜率均存在，设直线PA 的方程为y ＝k (x ＋2)，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )．则x 2＋3k 2(x 2＋4x ＋4)＝4⇒x A ＝2－6k 21＋3k 2，y A ＝4k 1＋3k 2，同理x B ＝2k 2－6k 2＋3，y B ＝－4kk 2＋3， 则y A x A ＋1＝4k 3－3k 2＝y Bx B ＋1，得证． ②由于直线不与x 轴平行，设直线AB 方程为x ＝ty －1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋3y 24＝1，x ＝ty －1，∴(t 2＋3)y 2－2ty －3＝0， ∴y A ＋y B ＝2tt 2＋3，y A y B ＝－3t 2＋3，S △PAB ＝12×1×|y A －y B |＝12×(y A ＋y B )2－4y A y B＝12×4t 2＋12t 2＋36t 2＋3＝4t 2＋9t 2＋3， 令4t 2＋9＝λ∈[3，＋∞)，则t 2＝λ2－94，∴S △PAB ＝λλ2－94＋3＝4λλ2＋3＝4λ＋3≤44＝1，当且仅当λ＝3，即t ＝0时取等号．11.(2017·杭州模拟)设椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点为A (－2,0)，离心率e ＝32，过点P (1,0)的直线交椭圆E 于B ，C 两点，直线AB ，AC 分别交直线x ＝3于M ，N 两点．(1)求椭圆E 的方程；(2)以线段MN 为直径的圆是否过定点，若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由． 解：(1)由题意，a ＝2，e ＝c a ＝32，则c ＝3，故b ＝1，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)过定点．设直线BC 的方程为x ＝ty ＋1(t ∈R)，点B ，C 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1，x 2＋4y 2＝4得(t 2＋4)y 2＋2ty －3＝0， 由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2tt 2＋4，y 1·y 2＝－3t 2＋4，所以x 1x 2＝(ty 1＋1)(ty 2＋1) ＝t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＋1＝4－4t 2t 2＋4，x 1＋x 2＝(ty 1＋1)＋(ty 2＋1)＝t (y 1＋y 2)＋2＝8t 2＋4，又k AB ＝y 1x 1＋2，直线AB 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)， 点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫3，5y 1x 1＋2，同理，N ⎝⎛⎭⎫3，5y 2x 2＋2，假设过定点Q (m,0)，则QM ―→·QN ―→＝⎝⎛⎭⎫3－m ，5y 1x 1＋2·⎝⎛⎭⎫3－m ，5y 2x 2＋2＝(3－m )2＋25y 1y 2(x 1＋2)(x 2＋2)＝(3－m )2＋25y 1y 2x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝(3－m )2－7536＝0，m ＝3－536或m ＝3＋536， 即定点为⎝⎛⎭⎫3－536，0或⎝⎛⎭⎫3＋536，0.12．(2017·台州模拟)如图，已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，过点P (1,0)作斜率为k 的直线l ，且直线l 与椭圆C 交于两个不同的点M ，N .(1)设点A (0,2)，k ＝1，求△AMN 的面积；(2)设点B (t,0)，记直线BM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2.问是否存在实数t ，使得对于任意非零实数k ，(k 1＋k 2)·k 为定值？若存在，求出实数t 的值及该定值；若不存在，请说明理由．解：(1)当k ＝1时，直线l 的方程为y ＝x －1. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝x －1，得x ＝0或x ＝85，当x ＝0时，y ＝－1，当x ＝85时，y ＝35，不妨设N (0，－1)，M ⎝⎛⎭⎫85，35.所以|AN |＝3.所以S △AMN ＝12×3×85＝125.(2)由题意知，直线MN 的方程为y ＝k (x －1)， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k (x －1)，得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0. 所以x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－41＋4k 2.由k 1＝y 1x 1－t ，k 2＝y 2x 2－t ，得(k 1＋k 2)·k ＝k ⎝⎛⎭⎫y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－1x 1－t ＋x 2－1x 2－t＝k 2[(x 1－t )(x 2－1)＋(x 2－t )(x 1－1)](x 1－t )(x 2－t )＝k 2[2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ]x 1x 2－t (x 1＋x 2)＋t 2＝k 2(2t －8)k 2(4－8t ＋4t 2)＋t 2－4. 若2t －8＝0，则t ＝4，(k 1＋k 2)·k ＝0为定值． 若2t －8≠0，则当t 2－4＝0，即t ＝±2时，(k 1＋k 2)·k ＝2t －84－8t ＋4t 2为定值．所以当t ＝4时，(k 1＋k 2)·k ＝0； 当t ＝2时，(k 1＋k 2)·k ＝－1； 当t ＝－2时，(k 1＋k 2)·k ＝－13.。

知能专练（七） 三角恒等变换与解三角形一、选择题1．(2017·山东高考)已知cos x ＝34，则cos 2x ＝( ) A ．－14B.14 C ．－18 D.18解析：选D ∵cos x ＝34，∴cos 2x ＝2cos 2x －1＝18. 2．在△ABC 中，若0<tan A ·tan B <1，那么△ABC 一定是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．形状不确定解析：选B 由0<tan A ·tan B <1，可知tan A >0，tan B >0，即A ，B 为锐角．tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A ·tan B>0，即tan(π－C )＝－tan C >0，所以tan C <0，所以C 为钝角．所以△ABC 为钝角三角形．3．(2016·全国卷Ⅱ)若cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，则sin 2α＝( ) A.725B.15 C ．－15D ．－725解析：选D 因为cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35， 所以sin 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－α ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1＝2×925－1＝－725. 4．(2018届高三·湖南省五市十校联考)在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的值为( )A.π4B.π3C.π2D.3π4 解析：选A 由题意知，sin A ＝－2cos B ·cos C ＝sin(B ＋C )＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ， 在等式－2cos B ·cos C ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C 两边除以cos B ·cos C 得tan B ＋tan C ＝－2，tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C＝－1＝－tan A ， 所以角A ＝π4. 5．(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝( ) A.31010B.1010 C ．－1010 D ．－31010 解析：选C 设△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则由题意得S △ABC ＝12a ·13a ＝12ac sin B ，∴c ＝23a . 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋29a 2－2×a ×23a ×22＝59a 2，∴b ＝53a .∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝59a 2＋29a 2－a 22×53a ×23a ＝－1010.故选C. 6．已知△ABC 的内角A ，B ，C 满足sin 2A ＋sin(A －B ＋C )＝sin(C －A －B )＋12，面积S 满足1≤S ≤2，记a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的边，则下列不等式一定成立的是( )A ．bc (b ＋c )>8B ．ab (a ＋b )>16 2C ．6≤abc ≤12D ．12≤abc ≤24解析：选A 因为A ＋B ＋C ＝π，由sin 2A ＋sin(A －B ＋C )＝sin(C －A －B )＋12得sin 2A ＋sin 2B ＋sin 2C ＝12，即sin[(A ＋B )＋(A －B )]＋sin [(A ＋B )－(A －B )]＋sin 2C ＝12，整理得2sin C cos(A －B )＋2sin C cos C ＝2sin C [cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝12，整理得4sin A ·sin B sin C ＝12，即sin A sin B sin C ＝18.又S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ca sin B ，因此S 3＝18a 2b 2c 2sin A sin B ·sin C ＝164a 2b 2c 2.由1≤S ≤2得1≤164a 2b 2c 2≤23，即8≤abc ≤162，因此选项C ，D 不一定成立．又b ＋c >a >0，因此bc (b ＋c )>bc ·a ≥8，即bc (b ＋c )>8，选项A 一定成立．又a ＋b >c >0，因此ab (a ＋b )>ab ·c ≥8，即ab (a ＋b )>8，显然不能得出ab (a ＋b )>162，选项B 不一定成立．综上所述，选A.二、填空题7．(2017·全国卷Ⅰ)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________. 解析：∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝2，∴sin α＝255，cos α＝55，∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝22×⎝⎛⎭⎫255＋55＝31010. 答案：310108．(2017·杭州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A sin B ＋sin B sinC ＋cos 2B ＝1.若C ＝2π3，则a b ＝________. 解析：∵sin A sin B ＋sin B sin C ＋cos 2B ＝1，∴sin A sin B ＋sin B sin C ＝2sin 2B .由正弦定理可得ab ＋bc ＝2b 2，即a ＋c ＝2b ，∴c ＝2b －a ，∵C ＝2π3，由余弦定理可得(2b －a )2＝a 2＋b 2－2ab cos2π3，可得5a ＝3b ，∴a b ＝35. 答案：359．(2017·浙江高考)已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是________，cos ∠BDC ＝________.解析：在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，BC ＝2，由余弦定理得cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝42＋22－422×4×2＝14， 则sin ∠ABC ＝sin ∠CBD ＝154， 所以S △BDC ＝12BD ·BC sin ∠CBD ＝12×2×2×154＝152. 因为BD ＝BC ＝2，所以∠CDB ＝12∠ABC ， 则cos ∠CDB ＝cos ∠ABC ＋12＝104. 答案：152 104 三、解答题10．(2017·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a >b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35. (1)求b 和sin A 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π4的值． 解：(1)在△ABC 中，因为a >b ，故由sin B ＝35，可得cos B ＝45.由已知及余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，所以b ＝13.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝a sin B b ＝31313.所以b 的值为13，sin A 的值为31313.(2)由(1)及a <c ，得cos A ＝21313，所以sin 2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos 2A ＝1－2sin 2A ＝－513.故sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π4＝sin 2A cos π4＋cos 2A sin π4＝22×⎝⎛⎭⎫1213－513＝7226.11.(2017·福建质检)在△ABC 中，B ＝π3，点D 在边AB 上，BD ＝1，且DA ＝DC .(1)若△BCD 的面积为3，求CD ；(2)若AC ＝3，求∠DCA .解：(1)因为S △BCD ＝3，即12BC ·BD ·sin B ＝3，又B ＝π3，BD ＝1，所以BC ＝4.在△BDC 中，由余弦定理得CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD ·cos B ，即CD 2＝16＋1－2×4×1×12＝13，解得CD ＝13.(2)在△ACD 中，DA ＝DC ，可设∠A ＝∠DCA ＝θ，则∠ADC ＝π－2θ，又AC ＝3，由正弦定理，得ACsin 2θ＝CDsin θ，所以CD ＝32cos θ.在△BDC 中，∠BDC ＝2θ，∠BCD ＝2π3－2θ，由正弦定理，得CDsin B ＝BD sin ∠BCD ，即32cos θsin π3＝1sin ⎝⎛⎭⎫2π3－2θ， 化简得cos θ＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3－2θ，于是sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3－2θ. 因为0＜θ＜π2， 所以0＜π2－θ＜π2，－π3＜2π3－2θ＜2π3， 所以π2－θ＝2π3－2θ或π2－θ＋2π3－2θ＝π， 解得θ＝π6或θ＝π18， 故∠DCA ＝π6或∠DCA ＝π18. 12.如图，在等腰直角△OPQ 中，∠POQ ＝90°，OP ＝22，点M 在线段PQ 上．(1)若OM ＝5，求PM 的长；(2)若点N 在线段MQ 上，且∠MON ＝30°，问：当∠POM 取何值时，△OMN 的面积最小？并求出面积的最小值．解：(1)在△OMP 中，∠OPM ＝45°，OM ＝5，OP ＝22，由余弦定理，得OM 2＝OP 2＋MP 2－2×OP ×MP ×cos 45°，即MP 2－4MP ＋3＝0，解得MP ＝1或MP ＝3.(2)设∠POM ＝α，0°≤α≤60°.在△OMP 中，由正弦定理，得OM sin ∠OPM ＝OP sin ∠OMP， 所以OM ＝OP sin 45°sin (45°＋α)，同理ON ＝OP sin 45°sin (75°＋α). 故S △OMN ＝12×OM ×ON ×sin ∠MON ＝14×OP 2sin 2 45°sin (45°＋α)sin (75°＋α)＝1sin (45°＋α)sin (45°＋α＋30°)＝1sin (45°＋α)⎣⎡⎦⎤32sin (45°＋α)＋12cos (45°＋α) ＝132sin 2(45°＋α)＋12sin (45°＋α)cos (45°＋α) ＝134[1－cos (90°＋2α)]＋14sin (90°＋2α) ＝134＋34sin 2α＋14cos 2α ＝134＋12sin (2α＋30°). 因为0°≤α≤60°，则30°≤2α＋30°≤150°，所以当α＝30°时，sin(2α＋30°)的最大值为1，此时△OMN 的面积取到最小值．即∠POM ＝30°时，△OMN 的面积的最小值为8－4 3.。

选择填空提速专练（五）一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈Z x ＋1x －3≤0，B ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈A }，则集合B 中含有元素1的子集个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：选B 由于A ＝{x ∈Z|－1≤x <3}＝{－1,0,1,2}，则B ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈A }＝{1,2,5}，则集合B 中含有元素1的子集为{1}，{1,2}，{1,5}，{1,2,5}，共4个，故选B.2．设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，若(1＋i)2＋|2i|＝z －，则直线bx －ay ＋a ＝0的斜率为( )A ．－1B ．1 C. 3 D.33解析：选A 由于z －＝(1＋i)2＋|2i|＝2i ＋2，则z ＝2－2i ，可得a ＝2，b ＝－2，即直线的方程为－2x －2y ＋2＝0，亦即y ＝－x ＋1，故斜率k ＝－1，故选A.3．若直线y ＝x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )A ．－1B ．1C.32D ．2解析：选 D 由于不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，所表示的平面区域是由点A ⎝⎛⎭⎪⎫m ，m －32，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫113，13，C (m,4－m )围成的三角形区域(含边界，如图所示)，若直线y ＝x 上存在点(x ，y )满足约束条件，则有m ≤4－m ，解得m ≤2，即实数m 的最大值为2，故选D.4．已知a ∈R ，“关于x 的不等式x 2－2ax ＋a ≥0的解集为R”是“0≤a ≤1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 若关于x 的不等式x 2－2ax ＋a ≥0的解集为R ，则有Δ＝4a 2－4a ≤0，解得0≤a ≤1，故“关于x 的不等式x 2－2ax ＋a ≥0的解集为R”是“0≤a ≤1”的充要条件，故选C.5．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的外接球的体积为()A.833π B.163π C.16327π D.32327π 解析：选D 由三视图知该几何体是以俯视图中的等腰直角三角形为底面，高为3的三棱锥，且过底面斜边的侧面垂直于底面，则该几何体的外接球球心在侧视图的高上，设其外接球的半径为R ，则有R 2＝12＋(3－R )2，解得R ＝233，故其体积V ＝43πR 3＝32327π，故选D.6．已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos 2αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4的值为( )A ．－142B ．－144C.142D.144解析：选A 由sin α＝12＋cos α可得sin α－cos α＝12，即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝12，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝24，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则α－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4，可得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝144，则cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－142，故选A. 7．要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，可将函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象( )A ．向左平移π2个单位长度B ．向左平移π4个单位长度C ．向右平移π2个单位长度D ．向右平移π4个单位长度解析：选D 由于y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，而y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋π2＝sin2x ＋π6＝sin2x ＋π12，则将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象向右平移π12＋π6＝π4个单位长度即可得到函数y ＝sin2x －π3的图象，故选D. 8．已知方程|ln x |＝kx ＋1在(0，e 3)上有三个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2e 3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫3e 3，2e 2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2e 3，1e 2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2e 3，3e 2 解析：选C 令f (x )＝kx ＋1，g (x )＝ln x ，而f (x )＝kx ＋1与g (x )＝|ln x |的图象在(0,1)上一定有1个交点，那么根据题目条件只需f (x )＝kx ＋1，g (x )＝ln x 在(1，e 3)上有2个交点即可，函数f (x )＝kx ＋1，g (x )＝ln x 的图象如图所示，设两者相切于点(a ，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1a，b ＝ln a ，b ＝ka ＋1，解得k ＝1e2，且对数函数g (x )＝ln x 的增长速度越来越慢，直线f (x )＝kx ＋1过定点(0,1)，方程|ln x |＝kx ＋1中取x ＝e 3得k ＝2e 3，则2e 3<k <1e 2，故实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫2e 3，1e 2，故选C.9．如图，已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别是棱AD ，B 1C 1上的动点，设AE ＝λ，B 1F ＝μ.若平面BEF 与正方体的截面是五边形，则λ＋μ的取值范围是()A ．(1,2)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 解析：选A 通过特殊位置来分析，当AE ＝λ→1时(此时，E 与D 接近重合)，若B 1F ＝μ→0(此时，B 1与F 接近重合)，此时截面是四边形，即随着B 1F ＝μ的变大，平面BEF 与正方体的截面是五边形，由此知λ＋μ>1；随着B 1F ＝μ→1，平面BEF 与正方体的截面仍是五边形，当两者均为1时，截面是三角形，由此知λ＋μ<2，故1<λ＋μ<2，故选A.10．已知函数f (x )＝a sin x ＋b cos x ，a ，b ∈R ，若y ＝|f (x )|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x 的最大值为4，则a ，b 的值可以是( )A ．3,5B.3， 5C ．4,3D ．2， 3解析：选 B 由选项知，a ，b 均不为0.由于f (x )＝a sin x ＋b cos x ，那么y ＝|f (x )|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＝|a sin x ＋b cos x |＋|a cos x －b sin x |＝a 2＋b 2|sin(x ＋φ)|＋a 2＋b 2|cos(x ＋φ)|＝2×a 2＋b 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋φ±π4⎝ ⎛⎭⎪⎫tan φ＝b a ，结合题中条件可得2×a 2＋b 2＝4，即a 2＋b 2＝8，只有选项B 中的值可以满足条件，故选B.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分，把答案填在题中横线上)11．双曲线x 2－y 2＝2的焦距为________，离心率为________．解析：双曲线的方程化为标准形式为x 22－y 22＝1，则a ＝b ＝2，所以c ＝2＋2＝2，则焦距为2c ＝4，离心率为e ＝c a＝ 2.答案：4 212．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x >0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________，方程f (f (x ))＝1的解集为________．解析：由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln 12，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 12＝＝12.由f (f (x ))＝1可得f (x )＝0或f (x )＝e ，由f (x )＝0可得ln x ＝0，解得x ＝1；由f (x )＝e 可得ln x ＝e ，解得x ＝e e，故对应方程的解集为{1，e e}．答案：12{1，e e}13．数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋n ＋1，b n ＝(－1)n ·(a n －2)(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________，数列{b n }的前50项和为________．解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝3; 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n ＋1－[(n －1)2＋(n －1)＋1]＝2n ，当n ＝1时不满足上式，则其通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2.当n ＝1时，b 1＝－1；当n ≥2时，b n ＝(－1)n·(a n －2)＝(－1)n·2(n －1)，则数列{b n }的前50项和为－1＋2×1－2×2＋2×3－…＋2×49＝－1＋2×(1－2＋3－…＋49)＝－1＋2×25＝49.答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥24914．高一(1)班的假期义工活动小组由10人组成，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4，现要从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会，则选出的2人参加义工活动次数之和为4的概率为________；若设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，则随机变量X 的数学期望为________．解析：根据等可能事件的概率，选出的2人参加义工活动次数之和为4的概率为P ＝C 13C 14＋C 23C 210＝13.由题可得X 的所有可能取值是0,1,2，则P (X ＝0)＝2C 23＋C 24C 210＝415，P (X ＝1)＝C 13C 13＋C 13C 14C 210＝715，P (X ＝2)＝C 13C 14C 210＝415，则数学期望E (X )＝0×415＋1×715＋2×415＝1.答案：13115．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B .设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫72p ，0，AF 与BC 相交于点E .若|CF |＝2|AF |，且△ACE 的面积为32，则p 的值为________．解析：由抛物线y 2＝2px 可得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，则|CF |＝7p 2－p 2＝3p ，又|CF |＝2|AF |，则|AF |＝3p 2，由抛物线的定义得|AB |＝|AF |＝3p2，所以x A ＝p ，则|y A |＝2p .由CF ∥AB 得△ABE ∽△FCE ，从而得|EF ||EA |＝|CF ||BA |＝2，所以S △CEF ＝2S △CEA ＝62，S △ACF ＝S △AEC ＋S △CFE ＝92，所以12×3p ×2p ＝92，解得p ＝ 6.答案： 616．已知平面向量a ，b ，满足 |a |＝|b |＝a·b ＝2，且(a －c )·(b －c )＝0，则|b ＋2c |的最大值是________．解析：设平面向量a ，b 的夹角为θ(θ∈[0，π])，则a·b ＝2×2×cos θ＝2，可得cos θ＝12，即θ＝π3.在平面直角坐标系中，设a ＝OA ―→＝(2,0)，b ＝OB ―→＝(1，3)，c ＝OC ―→，由于(a －c )·(b －c )＝0，则CA ―→⊥CB ―→，即点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，则其轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝1，可设c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋cos α，32＋sin α，则有b ＋2c ＝(4＋2cos α，23＋2sin α)，故|b ＋2c |＝＋2cos α2＋3＋2sin α2＝32＋83sin α＋16cos α＝32＋87α＋φ⎝⎛⎭⎪⎫其中φ是锐角，tan φ＝233，则其最大值为32＋87＝27＋2.答案：27＋217．已知x >0，y >0，且x 3＋y 3＝x －y ，则1－x2y 2的最小值是________．解析：由x >0，y >0，且x 3＋y 3＝x －y 可得x 3＋y 3x －y ＝1，则x >y ，令f (x ，y )＝1－x 2y 2＝x 3＋y 3x －y －x 2y 2＝y 2＋x 2xy －y 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 2x y－1，令t ＝x y >1，则f (t )＝1＋t 2t －1，由于f ′(t )＝t 2－2t －1t －2，令f ′(t )＝0可得t ＝1＋2(舍负)，易知当t ＝1＋2时，f (t )取得最小值f (1＋2)＝1＋＋221＋2－1＝2＋22，所以1－x2y2的最小值是2＋2 2.答案：2＋2 2。

专题验收评估(四) 立体几何与空间向量(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是( )A．球 B．三棱锥C．正方体 D．圆柱解析：选D 球的三视图都是圆；三棱锥的三视图可以都是全等的三角形；正方体的三视图都是正方形；圆柱的底面放置在水平面上，则其俯视图是圆，正视图是矩形．2．(2016·浙江高考)已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n ⊥β，则( )A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥n解析：选C ∵α∩β＝l，∴l⊂β.∵n⊥β，∴n⊥l，故选C.3．设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是( )A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直解析：选B 可以通过观察正方体ABCD­A1B1C1D1进行判断，取BC1为直线m，平面ABCD为平面α，由AB，CD均与m垂直知，选项A错；由D1C1与m垂直且与α平行知，选项C错；由平面ADD1A1与m平行且与α垂直知，选项D错．4．(2018届高三·浙江名校联考)一个简单几何体的正视图、俯视图如图所示，则其侧视图不可能为( )A ．正方形B ．圆C ．等腰三角形D ．直角梯形解析：选D 当几何体是一个长方体，其中一个侧面为正方形时，A 可能；当几何体是横放的一个圆柱时，B 可能；当几何体是横放的三棱柱时，C 可能．于是只有D 不可能．5．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，有以下四个命题①⎭⎪⎬⎪⎫α∥βα∥γ⇒β∥γ ②⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βm ∥α⇒m ⊥β③⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αm ∥β⇒α⊥β ④⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n n ⊂α⇒m ∥α其中正确的命题是( ) A ．①④ B ．②③ C ．①③D ．②④解析：选C 对于②，直线m 与平面β可能平行或相交；对于④，直线m 可能也在平面α内．而①③都是正确的命题．6．(2016·山东高考)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋23π B.13＋23πC.13＋26π D．1＋26π解析：选C 由三视图知，四棱锥是底面边长为1，高为1的正四棱锥，结合三视图可得半球半径为22，从而该几何体的体积为13×12×1＋12×4π3×⎝⎛⎭⎪⎫223＝13＋26π.故选C.7．已知四棱柱ABCD­A1B1C1D1的三视图如图所示，则异面直线D1C与AC1所成的角为( )A．30° B．45°C．60° D．90°解析：选D 由三视图可知该几何体为直四棱柱，底面为直角梯形且两边长分别为1,2，高为1，四棱柱ABCD­A1B1C1D1的高为2.∵AD⊥D1C，DC1⊥D1C，AD∩DC1＝D，∴D1C⊥平面ADC1，∴D1C ⊥AC1，∴异面直线D1C与AC1所成的角为90°.8．已知三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为( )A.5π12B.π3C.π4D.π6解析：选B 设三棱柱的高为h，则34×(3)2×h＝94，解得h＝ 3.设三棱柱的底面ABC的中心为Q，则PQ＝3，AQ＝23×32×3＝1.在Rt△APQ中，∠PAQ即为直线PA与平面ABC所成的角，且tan∠PAQ＝3，所以∠PAQ ＝π3. 9．在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，平面α与棱AB ，AC ，A 1C 1，A 1B 1分别交于点E ，F ，G ，H ，且直线AA 1∥平面α.有下列三个命题：①四边形EFGH 为平行四边形； ②平面α∥平面BCC 1B 1； ③平面α⊥平面BCFE . 其中正确的命题有( ) A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③解析：选C 如图，因为在直三棱柱ABC ­A1B 1C 1中，平面α与棱AB ，AC ，A 1C 1，A 1B 1分别交于点E ，F ，G ，H ，且直线AA 1∥平面α，所以AA 1∥EH ∥GF ，AA 1＝EH ＝GF ，所以四边形EFGH 为平行四边形，故①正确；因为EF 与BC 不一定平行，所以平面α与平面BCC 1B 1平行或相交，故②不正确；因为AA 1∥EH ∥GF ，AA 1＝EH ＝GF ，且AA 1⊥平面BCFE ，所以EH ⊥平面BCFE ，因为EH ⊂平面α，所以平面α⊥平面BCEF ，故③正确．10．已知正四面体S ­ABC 的棱长为1，如果一个高为36的长方体能在该正四面体内任意转动，则该长方体的长和宽形成的长方形的面积的最大值为( )A.13B.16C.112D.124解析：选D 易知正四面体S ­ABC 的内切球的球心O 必在高线SH 上，延长AH 交BC 于点D ，则D 为BC 的中点，连接SD ，设内切球切SD 于点E ，连接AO .因为H 是正三角形ABC 的中心，所以AH ∶HD ＝2∶1，因为Rt△OAH ∽Rt △DSH ，所以OA OH ＝DSDH＝3，可得OA ＝3OH ＝SO ，因此SH ＝4OH ，可得内切球的半径R ＝OH ＝14SH .因为正四面体S ­ABC 的棱长为1，所以在Rt △DSH 中，DS ＝SH 2＋HD 2＝R2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13×322＝32，解得R 2＝124.要满足一个高为36的长方体能在该正四面体内任意转动，则长方体的体对角线长不能超过正四面体内切球的直径，设该长方体的长和宽分别为x ，y ，该长方体的长和宽形成的长方形的面积为S ，所以4R 2≥⎝⎛⎭⎪⎫362＋x 2＋y 2，所以x 2＋y 2≤112，所以S ＝xy ＝x 2＋y 22≤124，当且仅当x ＝y ＝612时等号成立，即该长方体的长和宽形成的长方形的面积的最大值为124.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分，把答案填在题中横线上)11．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________，表面积为________．解析：由空间几何体的三视图，得其直观图为底面半径为1，高为3的圆锥的一半，所以该几何体的体积V ＝12×13π×12×3＝3π6，表面积为S ＝12×π×1×32＋12＋12×π×12＋12×2×3＝3π2＋ 3. 答案：3π6 3π2＋ 312.如图，在四棱锥P ­ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AB ∥CD ，AD ⊥CD ，PD ＝AD ＝DC ＝2AB ，则异面直线PC 与AB 所成角的大小为________；直线PB与平面PDC 所成角的正弦值为________．解析：由于AB ∥CD ，所以∠PCD 为异面直线PC 与AB 所成的角．因为PD ⊥平面ABCD ，所以∠PDC ＝π2，又因为PD ＝DC ，所以∠PCD ＝π4.过点B 作BE 垂直CD 于点E ，连接PE ，易证BE ⊥平面PCD ，所以∠BPE 为直线PB 与平面PDC 所成的角，因为 PD ＝AD ＝DC ＝2AB ，设AD ＝1，则PB ＝PD 2＋DB 2＝12＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32，BE ＝AD ＝1，所以sin ∠BPE ＝BE PB ＝23.4313．某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体侧视图的面积为______ cm 2，此几何体的体积为______ cm 3.解析：由三视图性质可知，俯视图为等边三角形，该三角形的高为23，故侧视图中直角三角形的一边长为4，另一边长为23，故侧视图面积S ＝12×4×23＝4 3.作出该几何体的直观图如图所示，可知该几何体的体积V A ­BCDE ＝13×23×⎣⎢⎡⎦⎥⎤＋2＝8 3. 答案：4 3 8 314．把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，形成的三棱锥A ­BCD 的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为________，二面角B ­AC ­D 的余弦值为________．解析：由三视图还原出原几何体如图所示，其侧视图面积为12×22×22＝14.取AC 的中点E ，连接BE ，DE ，则AC ⊥BE ，AC ⊥DE ，所以∠BED 就是二面角B ­AC ­D 的平面角．因为AC ＝1，所以BE ＝DE ＝32，所以cos ∠BED ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322－222×⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝－13.4315．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．解析：在正四面体中取CD的中点为G，连接FG，EG，作FH⊥平面CDE于点H.因为正四面体的高FH在平面EFG内，且FH平行于正方体的高，所以可证得平面EFG平行于正方体的左、右两个侧面，故直线EF仅与正方体的六个面中的上、下两个平面及前、后两个平面相交，共有4个．答案：416．(2017·温州模拟)如图，已知六棱锥P­ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④∠PDA＝45°.其中正确的结论有________(把所有正确的序号都填上)．解析：由PA⊥平面ABC，AE⊂平面ABC，得PA⊥AE.又由正六边形的性质得AE⊥AB，PA∩AB ＝A，得AE⊥平面PAB.又PB⊂平面PAB，∴AE⊥PB，①正确；又平面PAD⊥平面ABC，∴平面ABC ⊥平面PBC不成立，②错；由正六边形的性质得BC∥AD.又AD⊂平面PAD，∴BC∥平面PAD，∴直线BC∥平面PAE也不成立，③错；在Rt△PAD中，PA＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°，∴④正确．答案：①④17．(2017·全国卷Ⅲ)a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；③直线AB与a所成角的最小值为45°；④直线AB 与a 所成角的最大值为60°.其中正确的是________．(填写所有正确结论的编号)解析：法一：依题意建立如图所示的空间直角坐标系．设等腰直角三角形ABC 的直角边长为1.由题意知点B 在平面xOy 中形成的轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆．设直线a 的方向向量为a ＝(0,1,0)，直线b 的方向向量为b ＝(1,0,0)，CB ―→以Ox 轴为始边沿逆时针方向旋转的旋转角为θ，θ∈[0,2π)，则B (cos θ，sin θ，0)，又A (0,0,1)，∴AB ―→＝(cos θ，sin θ，－1)，|AB ―→|＝ 2. 设直线AB 与a 所成夹角为α，则cos α＝|AB ―→·a ||a ||AB ―→|＝22|sin θ|∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，22，∴45°≤α≤90°，∴③正确，④错误． 设直线AB 与b 所成夹角为β， 则cos β＝|AB ―→·b ||b ||AB ―→|＝22|cos θ|.当直线AB 与a 的夹角为60°，即α＝60°时，则|sin θ|＝2cos α＝2cos 60°＝22， ∴|cos θ|＝22.∴cos β＝22|cos θ|＝12. ∵0°≤β≤90°，∴β＝60°，即直线AB 与b 的夹角为60°. ∴②正确，①错误．法二：由题意，AB 是以AC 为轴，BC 为底面半径的圆锥的母线，又AC ⊥a ，AC ⊥b ，AC ⊥圆锥底面，∴在底面内可以过点B ，作BD ∥a ，交底面圆C于点D，如图所示，连接DE，则DE⊥BD，∴DE∥b，连接AD，设BC＝1，在等腰△ABD 中，AB＝AD＝2，当直线AB与a成60°角时，∠ABD＝60°，故BD＝2，又在Rt△BDE中，BE ＝2，∴DE＝2，过点B作BF∥DE，交圆C于点F，连接AF，EF，∴BF＝DE＝2，∴△ABF为等边三角形，∴∠ABF＝60°，即AB与b成60°角，故②正确，①错误．由最小角定理可知③正确；很明显，可以满足平面ABC⊥直线a，∴直线AB与a所成角的最大值为90°，④错误．∴正确的说法为②③.答案：②③三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)18．(本小题满分14分)如图，直三棱柱ABC­A′B′C′的侧棱长为3，AB⊥BC，且AB＝BC＝3，点E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF.(1)求证：无论E在何处，总有B′C⊥C′E；(2)当三棱锥B­EB′F的体积取得最大值时，求异面直线A′F与AC所成角的余弦值．解：(1)证明：由题意知，四边形BB′C′C是正方形，连接AC′，BC′，则B′C⊥BC′.又AB⊥BC，BB′⊥AB，BC∩BB′＝B，∴AB⊥平面BB′C′C.∴B′C⊥AB，又AB ∩BC ′＝B ，∴B ′C ⊥平面ABC ′. ∵C ′E ⊂平面ABC ′，∴B ′C ⊥C ′E . (2)连接EF ，B ′E ，B ′F ，A ′E ，AF ，设AE ＝BF ＝m ，则三棱锥B ­EB ′F 的体积为V ＝12m (3－m )≤m ＋3－m28＝98， 当且仅当m ＝32时取等号． 故当m ＝32，即点E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点时，三棱锥B ­EB ′F 的体积最大，则|cos ∠A ′FE |为所求．∵EF ＝322，AF ＝A ′E ＝352，A ′F ＝92， ∴|cos ∠A ′FE |＝22，即异面直线A ′F 与AC 所成角的余弦值为22.19．(本小题满分15分)(2017·绍兴模拟)如图，四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥底面ABCD ，AC ＝22，PA ＝2，E 是PC 上的一点，PE ＝2EC .(1)证明：PC ⊥平面BED ；(2)设二面角A ­PB ­C 为90°，求PD 与平面PBC 所成角的大小．解：(1)证明：因为底面ABCD 为菱形，所以BD ⊥AC ，又PA ⊥底面ABCD ，所以PA ⊥BD .因为AC ∩PA ＝A ，所以BD ⊥平面PAC ，所以BD ⊥PC .如图，设AC ∩BD ＝F ，连接EF . 因为AC ＝22，PA ＝2，PE ＝2EC ，故PC ＝23，EC ＝233，FC ＝2， 从而PC FC ＝6，ACEC＝ 6.所以PCFC＝ACEC，又∠FCE＝∠PCA，所以△FCE∽△PCA，∠FEC＝∠PAC＝90°，由此知PC⊥EF. 又BD∩EF＝F，所以PC⊥平面BED.(2)在平面PAB内过点A作AG⊥PB，G为垂足．因为二面角A­PB­C为90°，所以平面PAB⊥平面PBC.又平面PAB∩平面PBC＝PB，故AG⊥平面PBC，AG⊥BC.因为BC与平面PAB内两条相交直线PA，AG都垂直，故BC⊥平面PAB，于是BC⊥AB，所以底面ABCD是正方形，AD＝2，PD＝PA2＋AD2＝2 2.设D到平面PBC的距离为d.因为AD∥BC，且AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，故AD∥平面PBC，A，D两点到平面PBC的距离相等，即d＝AG＝ 2.设PD与平面PBC所成的角为α，则sin α＝dPD＝12.所以PD与平面PBC所成的角为30°.20．(本小题满分15分)已知四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是梯形，BC ∥AD，AB⊥AD，且AB＝BC＝1，AD＝2，顶点P在平面ABCD内的射影H在AD上，PA⊥PD.(1)求证：平面PAB⊥平面PAD；(2)若直线AC 与PD 所成角为60°，求二面角A ­PC ­D 的余弦值．解：(1)证明：∵PH ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴PH ⊥AB .∵AB ⊥AD ，AD ∩PH ＝H ，AD ⊂平面PAD ，PH ⊂平面PAD ，∴AB ⊥平面PAD .又AB ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PAD .(2)以A 为原点，建立空间直角坐标系A ­xyz ，如图所示，∵PH ⊥平面ABCD ，∴z 轴∥PH .则A (0,0,0)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，则AC ―→＝(1,1,0)，DC ―→＝(1，－1,0)．设AH ＝a ，PH ＝h (0<a <2，h >0)．则P (0，a ，h )．∴AP ―→＝(0，a ，h )，DP ―→＝(0，a －2，h )，AC ―→＝(1,1,0)．∵PA ⊥PD ，∴AP ―→·DP ―→＝a (a －2)＋h 2＝0.∵AC 与PD 所成角为60°，∴|cos 〈AC ―→，DP ―→〉|＝|a －2|2·a －2＋h 2＝12，∴(a －2)2＝h 2，∴(a －2)(a －1)＝0，∵0<a <2，∴a ＝1，∵h >0，∴h ＝1，∴P (0,1,1)．∴AP ―→＝(0,1,1)，PC ―→＝(1,0，－1)．设平面APC 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AP ―→＝0，n ·AC ―→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ y 1＋z 1＝0，x 1＋y 1＝0，取x 1＝1，得平面APC 的一个法向量为n ＝(1，－1,1)．设平面DPC 的法向量为m ＝(x 2，y 2，z 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ m ·PC ―→＝0，m ·DC ―→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－z 2＝0，x 2－y 2＝0，取x 2＝1，得平面DPC 的一个法向量为m ＝(1,1,1)．∴cos 〈m ，n 〉＝m·n |m ||n |＝13. 由图可知二面角A ­PC ­D 的平面角为钝角，∴二面角A ­PC ­D 的余弦值为－13. 21．(本小题满分15分)(2017·绍兴调研)如图1，四面体PABC 中，BC ＝BP ＝1，AC ＝AP ＝3，AB ＝2.将△PAB 沿直线AB 翻折至△P 1AB ，使点A ，P 1，B ，C 在同一平面内(如图2)，点M 为PC 的中点．(1)求证：直线PP 1∥平面MAB ；(2)求证：PC ⊥AB ；(3)求直线PA 与平面P 1PC 所成角的大小．解：(1)证明：连接CP1交直线AB 于点E ，连接ME .∵AC ＝AP 1，BC ＝BP 1，∴△ABC ≌△ABP 1，∴CE ＝EP 1，∴点E 为CP 1的中点．又点M 为PC 的中点，∴ME ∥PP 1.又ME ⊂平面MAB ，PP 1⊄平面MAB ，∴PP 1∥平面MAB .(2)证明：∵BC ＝BP ，AC ＝AP ，M 为PC 的中点，∴BM ⊥PC ，AM ⊥PC .又BM ∩AM ＝M ，∴PC ⊥平面ABM ，∴PC ⊥AB .(3)∵BC ＝BP 1＝1，AC ＝AP 1＝3，∴P 1C ⊥AB .又PC ⊥AB ，∴AB ⊥平面PCP 1，∴∠APE 为直线PA 与平面PCP 1所成的角．∵AB ＝2，∴AE ＝32，∴sin ∠APE ＝32，故∠APE ＝60°. ∴直线PA 与平面P 1PC 所成的角为60°.22.(本小题满分15分)(2017·台山一中模拟)如图，在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，每个侧面均为正方形，D 为底边AB 的中点，E 为侧棱CC 1的中点．(1)求证：CD ∥平面A 1EB ；(2)求证：AB 1⊥平面A 1EB ；(3)求直线B 1E 与平面AA 1C 1C 所成角的正弦值．解：(1)证明：设AB1和A 1B 的交点为O ，连接EO ，OD .因为O 为AB 1的中点，D 为AB 的中点，所以OD ∥BB 1，且OD ＝12BB 1. 又因为E 是CC 1的中点，所以EC ∥BB 1，且EC ＝12BB 1. 所以EC ∥OD 且EC ＝OD .所以四边形ECDO 为平行四边形，故EO ∥CD .又因为CD⊄平面A1BE，EO⊂平面A1BE，所以CD∥平面A1BE.(2)证明：因为三棱柱的各侧面都是正方形，所以BB1⊥AB，BB1⊥BC.所以BB1⊥平面ABC.因为CD⊂平面ABC，所以BB1⊥CD.由已知得AB＝BC＝AC，所以CD⊥AB.所以CD⊥平面A1ABB1.由(1)可知EO∥CD，所以EO⊥平面A1ABB1.所以EO⊥AB1.因为侧面ABB1A1是正方形，所以AB1⊥A1B.又EO∩A1B＝O，所以AB1⊥平面A1BE.(3)取A1C1的中点F，连接B1F，EF.在三棱柱ABC­A1B1C1中，因为BB1⊥平面ABC，所以侧面ACC1A1⊥底面A1B1C1.因为底面A1B1C1是正三角形，且F是A1C1的中点，所以B1F⊥A1C1，所以B1F⊥侧面ACC1A1.所以∠FEB1即为B1E与平面AA1C1C所成的角．设棱长为1，则B1F＝32，B1E＝52，在Rt△B1FE中，sin∠B1EF＝B1FB1E＝155.15 5.故直线B1E与平面AA1C1C所成角的正弦值为。

阶段滚动检测(二) 专题一~专题三(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合A ＝{x |log 2x <0}，B ＝{m |m 2－2m <0}，则A ∪B ＝( ) A ．(－∞，2) B ．(0,1) C ．(0,2)D ．(1,2)解析：选C 由题意可得A ＝(0,1)，B ＝(0,2)，所以A ∪B ＝(0,2)．2．在数列{a n }中，“a n ＝2a n －1，n ≥2，n ∈N *”是“{a n }是公比为2的等比数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 当a n ＝0时，也有a n ＝2a n －1，n ≥2，n ∈N *，但{a n }不是等比数列，因此充分性不成立；当{a n }是公比为2的等比数列时，有a n a n －1＝2，n ≥2，n ∈N *，即a n ＝2a n －1，n ≥2，n ∈N *，所以必要性成立．故选B.3．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且当x ∈[－1,0)时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，则f (log 28)＝( )A ．3 B.18C ．－2D ．2解析：选D ∵f (x ＋1)＝－f (x )，∴f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，∴函数f (x )是周期为2的周期函数，∴f (log 28)＝f (3)＝f (3－4)＝f (－1)．又当x ∈[－1,0)时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，∴f (log 28)＝f (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2.4．(2018届高三·江西九校联考)已知数列{a n }是等比数列，数列{b n }是等差数列，若a 1·a 6·a 11＝33，b 1＋b 6＋b 11＝7π，则tanb 3＋b 91－a 4·a 8的值是( )A ．1 B.22C ．－22D ．－ 3解析：选D ∵{a n }是等比数列，{b n }是等差数列， 且a 1·a 6·a 11＝33，b 1＋b 6＋b 11＝7π，∴a 36＝(3)3,3b 6＝7π，∴a 6＝3，b 6＝7π3，∴tan b 3＋b 91－a 4·a 8＝tan 2b 61－a 26＝tan2×7π31－32＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π3＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫－2π－π3＝－tan π3＝－ 3. 5．(2017·全国卷Ⅲ)函数y ＝1＋x ＋sin xx2的部分图象大致为( )解析：选D 法一：易知函数g (x )＝x ＋sin xx2是奇函数，其函数图象关于原点对称，所以函数y ＝1＋x ＋sin xx2的图象只需把g (x )的图象向上平移一个单位长度，结合选项知选D.法二：当x →＋∞时，sin x x 2→0,1＋x →＋∞，y ＝1＋x ＋sin xx2→＋∞，故排除选项B.当0＜x ＜π2时，y ＝1＋x ＋sin xx2＞0，故排除选项A 、C.选D.6．若△ABC 的三个内角满足sin B －sin A sin B －sin C ＝ca ＋b，则A ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.π3或2π3解析：选B 由sin B －sin A sin B －sin C ＝c a ＋b ，结合正弦定理，得b －a b －c ＝c a ＋b，整理得b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，由A 为三角形的内角，知A ＝π3，故选B.7．(2017·全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( )A ．－15B ．－9C ．1D ．9解析：选A 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．易求得可行域的顶点A (0，1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，当直线z ＝2x ＋y 过点B (－6，－3)时，z 取得最小值，z min ＝2×(－6)－3＝－15.8．已知菱形ABCD 的边长为6，∠ABD ＝30°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝2BE ，CD ＝λCF .若AE ―→·BF ―→＝－9，则λ的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B 依题意得AE ―→＝AB ―→＋BE ―→＝12BC ―→－BA ―→，BF ―→＝BC ―→＋1λBA ―→，因此AE ―→·BF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ―→－BA ―→·⎝ ⎛⎭⎪⎫BC ―→＋1λBA ―→＝12BC ―→2－1λBA ―→2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ－1BC ―→·BA ―→，于是有⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1λ×62＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ－1×62×cos 60°＝－9，由此解得λ＝3，故选B. 9.已知函数f (x )＝e xx2－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋ln x ，若x ＝2是函数f (x )的唯一一个极值点，则实数k 的取值范围为( )A ．(－∞，e]B ．[0，e]C ．(－∞，e)D ．[0，e)解析：选A f ′(x )＝x 2e x －2x e x x 4－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2＋1x ＝x －⎝ ⎛⎭⎪⎫e xx －k x 2(x >0)．设g (x )＝exx，则g ′(x )＝x －xx 2，则g (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．∴g (x )在(0，＋∞)上有最小值，为g (1)＝e ，结合g (x )＝exx与y ＝k 的图象可知，要满足题意，只需k ≤e，故选A.10．(2017·沈阳二中模拟)已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，g (x )≠0，f ′(x )g (x )>f (x )g ′(x )，且f (x )＝a xg (x )(a >0且a ≠1)，f g＋f －g －＝52.若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f n g n (n ∈N *)的前n 项和大于62，则n 的最小值为( )A ．8B ．7C ．6D ．5解析：选C 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝fx g x －f x gxg 2x>0，知f xg x在R 上是增函数，即f xg x ＝a x为增函数，所以a >1.又由f g＋f －g －＝a ＋1a ＝52，得a ＝2或a ＝12(舍)．所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫fn gn 的前n 项和S n ＝21＋22＋…＋2n ＝－2n1－2＝2n ＋1－2>62，即2n>32，得n >5，所以n 的最小值为6.故选C.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分，把答案填在题中横线上)11．(2017·杭州模拟)若2sin α－cos α＝5，则sin α＝________，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________.解析：由已知条件，2sin α＝5＋cos α，将两边平方，结合sin 2α＋cos 2α＝1，可求得sin α＝255，cos α＝－55，∴tan α＝－2，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝－2－11＋－＝3.答案：255312．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2， x ≤－1，x －x |－，x >－1，则f (f (－2))＝________，若f (x )≥2，则x 的取值范围为________．解析：f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2－2＝2，f (f (－2))＝f (2)＝0.当x ≤－1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－2≥2，解得x ≤－2；当x >－1时，f (x )＝(x －2)(|x |－1)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －－x －，－1<x ≤0，x －x －，x >0.当－1<x ≤0时，由(x －2)(－x －1)≥2，解得x ＝0，当x >0时，由(x －2)·(x －1)≥2，解得x ≥3.综上，x 的取值范围为(－∞，－2]∪{0}∪[3，＋∞)．答案：0 (－∞，－2]∪{0}∪[3，＋∞)13．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知A ＝π4，b ＝6，△ABC 的面积为3＋32，则c ＝_______，B ＝________.解析：由题意得△ABC 的面积等于12bc sin A ＝62c ×22＝3＋32，解得c ＝3＋1，则由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(6)2＋(1＋3)2－2×6×(1＋3)×22＝4，解得a ＝2，则由正弦定理得b sin B ＝asin A，即sin B ＝b sin A a ＝32，又因为b <c ，所以B ＝π3. 答案：3＋1π314．(2017·萧山中学模拟)设等比数列{a n }的首项a 1＝1，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，则公比q ＝________；数列{a n }的前n 项和S n ＝________.解析：因为a 1＝1，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，所以4a 2＝4a 1＋a 3，即4q ＝4＋q 2，解得q ＝2，所以S n ＝1－2n1－2＝2n－1.答案：2 2n －115．已知△ABC 的面积是4，∠BAC ＝120°.点P 满足BP ―→＝3PC ―→，过点P 作边AB ，AC 所在直线的垂线，垂足分别是M ，N ，则PM ―→·PN ―→＝________.解析：不妨设△ABC 是等腰三角形，因为∠BAC ＝120°，则B ＝C ＝30°，b ＝c ，S △ABC ＝12bc sinA ＝34b 2＝4，b 2＝1633，由余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝16 3.又BP ―→＝3PC ―→，则|BP ―→|＝3a 4，|PC ―→|＝a 4，则|PM ―→|＝|BP ―→|sin B ＝3a 8，|PN ―→|＝|PC ―→|sin C ＝a 8，∠MPN ＝60°，所以PM ―→·PN ―→＝|PM ―→||PN ―→|·cos 60°＝3a 8×a 8×12＝3a 2128＝3128×163＝338.答案：33816．(2017·嘉兴中学模拟)已知a >0，b >0，且满足3a ＋b ＝a 2＋ab ，则2a ＋b 的最小值为________．解析：由3a ＋b ＝a 2＋ab 得显然a ≠1，所以b ＝3a －a2a －1，又因为a >0，b >0，所以(a －1)(3a－a 2)>0，即a (a －1)·(a －3)<0,1<a <3，所以a －1>0，则2a ＋b ＝2a ＋3a －a 2a －1＝2a 2－2a ＋3a －a2a －1＝a 2＋a a －1＝a －1＋2a －1＋3≥2a －2a －1＋3＝22＋3，当且仅当a －1＝2a －1，即a ＝1＋2时，等号成立，所以2a ＋b 的最小值为22＋3.答案：22＋317．(2017·湖南岳阳一中模拟)对于数列{a n }，定义H n ＝a 1＋2a 2＋…＋2n －1a nn为{a n }的“优值”，现在已知某数列{a n }的“优值”H n ＝2n ＋1，记数列{a n －kn }的前n 项和为S n ，若S n ≤S 5对任意的n ∈N *恒成立，则实数k 的取值范围是________．解析：由题意知H n ＝a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n n＝2n ＋1，所以a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n ＝n ×2n ＋1，①当n ≥2时，a 1＋2a 2＋…＋2n －2a n －1＝(n －1)×2n ，②①－②得2n －1a n ＝n ×2n ＋1－(n －1)×2n ，解得a n ＝2n ＋2，n ≥2，当n ＝1时，a 1＝4也满足上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2，且数列{a n }为等差数列，其公差为2.令b n ＝a n －kn ＝(2－k )n ＋2，则数列{b n }也是等差数列，由S n ≤S 5对任意的n ∈N *恒成立，知2－k <0，且b 5＝12－5k ≥0，b 6＝14－6k ≤0，解得73≤k ≤125.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤73，125三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 18．(本小题满分14分)(2017·杭州质检)设函数f (x )＝2cos x (cos x ＋3sin x )(x ∈R)． (1)求函数y ＝f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时，求函数f (x )的最大值．解：(1)∵f (x )＝2cos x (cos x ＋3sin x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1，∴最小正周期T ＝2π2＝π，令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，∴k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z)，∴函数y ＝f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z)．(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1的最大值是3. 19．(本小题满分15分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且满足⎝ ⎛⎭⎪⎫54c －a cosB ＝b cos A .(1)若sin A ＝25，a ＋b ＝10，求a ；(2)若b ＝35，a ＝5，求△ABC 的面积S .解：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫54c －a cos B ＝b cos A ， ∴由正弦定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫54sin C －sin A ·cos B ＝sin B cos A ，即54sin C cos B ＝sin A cos B ＋cos A sinB ＝sinC ，∵sin C ≠0，∴54cos B ＝1，即cos B ＝45.(1)由cos B ＝45，得sin B ＝35，∵sin A ＝25，∴a b ＝sin A sin B ＝23，又a ＋b ＝10，解得a ＝4.(2)∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，b ＝35，a ＝5， ∴45＝25＋c 2－8c ，即c 2－8c －20＝0， 解得c ＝10或c ＝－2(舍去)， ∴S ＝12ac sin B ＝12×5×10×35＝15.20．(本小题满分15分)已知f (x )＝x －ln x ，x ∈(0，e]，g (x )＝ln x x，其中e 是自然对数的底数．(1)判断f (x )的单调性并求其极值； (2)求证：f (x )>g (x )＋12.解：(1)∵f ′(x )＝1－1x ＝x －1x，x ∈(0，e]，∴当0<x <1时，f ′(x )<0，此时f (x )单调递减； 当1<x ≤e 时，f ′(x )>0，此时f (x )单调递增． ∴f (x )的极小值为f (1)＝1，无极大值．(2)证明：∵f (x )的极小值为1，即f (x )在(0，e]上的最小值为1，令h (x )＝g (x )＋12＝ln x x ＋12，则h ′(x )＝1－ln xx 2，当0<x ≤e 时，h ′(x )≥0，h (x )在(0，e]上单调递增， ∴h (x )max ＝h (e)＝1e ＋12<1＝f (x )min .∴f (x )>g (x )＋12.21．(本小题满分15分)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足a n ＝1－2S n . (1)求证：数列{a n }为等比数列；(2)设函数f (x )＝log 13x ，b n ＝f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a n )，求T n ＝1b 1＋1b 2＋1b 3＋…＋1b n.解：(1)证明：∵数列{a n }的前n 项和S n 满足a n ＝1－2S n .∴a 1＝1－2a 1，解得a 1＝13.n ≥2时，a n －1＝1－2S n －1，可得a n －a n －1＝－2a n .∴a n ＝13a n －1.∴数列{a n }是首项和公比均为13的等比数列．(2)由(1)可知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n，则f (a n )＝log 13a n ＝n .∴b n ＝1＋2＋…＋n ＝n n ＋2.∴1b n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1. ∴T n ＝1b 1＋1b 2＋1b 3＋…＋1b n＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2nn ＋1. 22．(本小题满分15分)已知数列{a n }满足：a 1＝12，a n ＋1＝a 2n 2 017＋a n (n ∈N *)．(1)求证：a n ＋1>a n; (2)求证：a 2 018<1；(3)若a k >1，求正整数k 的最小值． 解：(1)由a n ＋1－a n ＝a 2n2 017≥0，得a n ＋1≥a n ，因为a 1＝12，所以a n ≥12，因此a n ＋1－a n ＝a 2n2 017>0，所以a n ＋1>a n .(2)由已知得1a n ＋1＝2 017a na n ＋2 017＝1a n －1a n ＋2 017，所以1a n ＋2 017＝1a n －1a n ＋1，由1a 1＋2 017＝1a 1－1a 2，1a 2＋2 017＝1a 2－1a 3，…，1a n －1＋2 017＝1a n －1－1a n ，累加可得1a 1－1a n＝1a 1＋2 017＋1a 2＋2 017＋…＋1a n －1＋2 017.当n ＝2 018时，由(1)得12＝a 1<a 2<a 3<…<a 2 017，所以1a 1－1a 2 017＋1a 1＋2 017＋1a 2＋2 017＋…＋1a 2 017＋2 017<2 017×1a 1＋2 017<1.所以a 2 018<1.(3)由(2)得12＝a 1<a 2<a 3<…<a 2 018<1，所以1a 1－1a 2 019＝1a 1＋2 017＋1a 2＋2 017＋…＋1a 2 018＋2 017>2 018×11＋2 017＝1.所以a 2 018<1<a 2 019，又因为a n ＋1>a n ， 所以k 的最小值为2 019.。

专题验收评估(二）三角函数、解三角形、平面向量(时间：120分钟满分：150分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分,共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2017·杭州模拟)已知cos错误!＝错误!，则sin 2α＝（）A。

错误!B。

错误!C．±错误!D．±错误!解析：选B 因为sin 2α＝cos错误!＝cos错误!＝2cos2错误!－1＝2×错误!2－1＝725,所以应选B。

2．已知向量a＝（1，2），b＝（－2,m）,若a∥b，则|2a＋3b｜＝( )A。

错误!B．4错误!C．3错误!D．2错误!解析：选B 依题意得，错误!＝错误!，故m＝－4,2a＋3b＝2（1,2)＋3（－2，－4）＝（－4，－8），故｜2a＋3b｜＝错误!＝4错误!.3．(2017·山东高考)在△ABC中,角A，B，C的对边分别为a，b,c。

若△ABC为锐角三角形,且满足sin B（1＋2cos C）＝2sin A cos C ＋cos A sin C，则下列等式成立的是( )A．a＝2b B．b＝2a C．A＝2B D．B＝2A解析:选A 由题意可知sin B ＋2sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin （A ＋C )，即2sin B cos C ＝sin A cos C ，又cos C ≠0，故2sin B ＝sin A ，由正弦定理可知a ＝2b .4.已知函数f (x ）＝A cos （ωx ＋θ）的图象如图所示,f 错误!＝－错误!，则f 错误!等于( ）A ．－23B ．－错误! C.错误! D.错误! 解析：选A 由题图知，T ＝2错误!＝错误!,∴f 错误!＝f 错误!＝f 错误!＝－错误!.5．已知锐角△ABC 的内角A ，B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6,则b ＝（ )A ．10B ．9C ．8D ．5 解析：选D 化简23cos 2A ＋cos 2A ＝0，得23cos 2A ＋2cos 2 A －1＝0,解得cos A ＝错误!错误!。