2017-2018学年黑龙江省大庆市第一中学高二数学上期末(第四次月考)考试(文)试题(附答案)

黑龙江省大庆实验中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学（理）试题1. 向量，若，则的值为（）A. -3B. 1C. -1D. 3【答案】D【解析】由，则，解得，故选D．2. 已知函数，则的值为（）A. 1B. 2C. ﹣1D. ﹣2【答案】B【解析】由，则，所以，故选B．3. 某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在按的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为( )A. 8B. 11C. 16D. 10【答案】A【解析】若设高三学生数为x，则高一学生数为，高二学生数为＋300，所以有x＋＋＋300＝3 500，解得x＝1 600.故高一学生数为800，因此应抽取高一学生数为＝8.故答案为：A4. 某公司在2016年上半年的收入(单位：万元)与月支出(单位：万元)的统计资料如下表所示：根据统计资料，则( )A. 月收入的中位数是15.0，与有正线性相关关系B. 月收入的中位数是17.0，与有负线性相关关系C. 月收入的中位数是16.0，与有正线性相关关系D. 月收入的中位数是16.0，与有负线性相关关系【答案】C【解析】月收入的中位数是=16，收入增加，支出增加，故x与y有正线性相关关系，故选：C．5. 齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设齐王的三匹马分别记为a1,a2,a3,田忌的三匹马分别记为b1,b2,b3，齐王与田忌赛马，其情况有：(a1, b1)、(a1, b2)、(a1, b3)、(a2, b1)、(a2, b2)、(a2, b3)、(a3, b1)、(a3, b2) 、(a3, b3)，共9种；其中田忌的马获胜的有(a2, b1)、(a3, b1)、(a3, b2)共3种,则田忌获胜的概率为，故选：A.6. 点集，，在点集中任取一个元素，则的概率为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】如图所示，阴影部分为满足题意的部分，其面积为，概率空间为正方形的面积，，利用几何概型计算公式可得满足题意的概型为.本题选择B选项.点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，据此即可求得概率.7. 下列说法错误的是（）A. “函数为奇函数”是“”的充分不必要条件B. 已知三点不共线，若则点是△的重心C. 命题“，”的否定是：“，”D. 命题“若，则”的逆否命题是：“若，则”【答案】A【解析】对于函数为定义域上的奇函数，但当时，函数无意义，所以“函数为奇函数”是“的充分不必要条件”是不正确的，故选A．8. 过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，为虚轴上的一个端点，且为直角三角形，则此双曲线离心率的值为（）A. B. C. 或 D. 或【答案】D【解析】由双曲线，可得右焦点，则，若表示以为直角顶点的直角三角形时，则，所以；若表示以为直角顶点的直角三角形时，则，即，则，即，又，整理得，则，解得，综上所述或，故选D．9. 若双曲线的焦距4，则该双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】D........................∴，，又∴，∴∴该双曲线的渐近线方程为故选：D10. 已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦等于( )．A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：如下图所示，取中点，连结，，则可知面，∴即为直线与平面所成的角，不妨设正三棱柱的棱长为，∴在中，，故选A．考点：直线与平面所成的角．11. 设函数在区间上单调递减,则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，则，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增，又函数在区间上单调递减，所以，解得，故选A．点睛：本题主要考查了函数的单调性的应用，利用函数的单调性求解参数的取值范围问题，其中导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查都非常突出，从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下两个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系. (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．12. 设函数．若存在的极值点满足，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意知：的极值为，所以，因为，所以，所以即，所以，即3，而已知，所以3，故，解得或，故选C.考点：本小题主要考查利用导数研究的极值，考查三角函数，考查一元二次不等式的解法，考查分析问题与解决问题的能力.视频13. 已知命题“”为假命题，则实数的取值范围是_______【答案】【解析】命题“”为假命题，则“”为真命题.所以，解得.答案为：.14. 由动点向圆引两条切线、切点分别为、，若，则动点的轨迹方程为__________．【答案】【解析】∵，，，∵，∴是等边三角形，为定值，∴点轨迹方程为．点睛：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．②定义法：根据圆、直线等定义列方程．③几何法：利用圆的几何性质列方程．④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．15. 执行如图所示的程序框图，输出的值是__________．【答案】【解析】由框图可知其功能为，因为每相邻6个值的为0，所以=,填。

大庆一中高二年级下学期第三次月考数学试卷(文科) 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}2540A x N x x =∈+->，{}3B x x =<，则A B =( )A.()1,3-B.{}0,1,2C.[)0,3D.{}1,22.复数2a iz i+=-(i 为虚数单位)的共轭复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数a 的取值范围是( ) A.(),2-∞-B.1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭C.12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D.1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭3.在梯形ABCD 中，3AB DC =，则BC 等于( )A.1233AB AD -+B.2433AB AD -+C.23AB AD -D.23AB AD -+4.函数()f x 的定义域为开区间(),a b ，导函数()'f x 在(),a b 内的图象如图所示，则函数()f x 在开区间(),a b 内有极小值点( )A.1个B.2个C.3个D.4个5.已知,x y 满足约束条件20626x x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则目标函数442y z x +=+的最大值为( )A.2B.6C.5D.1－6.在ABC △中，60A =∠°，1b =，ABC S =△2sin 2sin sin a b cA B C-+-+的值等于( )D. 7.若n ∏为等比数列{}n a 的前n 项积，则“212a >”是31∏>”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.3B.4D.5D.69.我国古代名著《九章算术》用“辗转相除法”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举，其程序框图如图，当输入1995a =，228b =时，输出的a =( )A.17B.57C.27D.1910.在极坐标系中，曲线1C 的方程为2sin 3πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，曲线2C 的方程为sin 43πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，以极点O 为原点，极轴方向为x 轴正方向建立直角坐标系xOy 。

2017-2018学年黑龙江省大庆一中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 下列命题正确的是（ ）A. 单位向量都相等B. 模为0的向量与任意向量共线C. 平行向量不一定是共线向量D. 任一向量与它的相反向量不相等2. 设集合A ={x |2x≤4}，集合B ={x |y =lg （x -1）}，则A ∩B 等于（ ）A. (1,2)B. [1,2]C. [1,2)D. (1,2]3. 已知函数f （x ）=2x+x +1，g （x ）=log 2x +x +1，h （x ）=log 2x -1的零点依次为a ，b ，c ，则（ ） A. a <b <c B. a <c <b C. b <c <a D. b <a <c4. 如图，在△ABC 中，AD =23AC ，BP =13BD ，若AP =λAB +μAC ，则λμ的值为（ ）A. −3B. 3C. 2D. −25. 函数f （x ）=1+log 2x 与g （x ）=21-x在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）A.B.C.D.6. 已知函数y =log a （x -1）+3（a ＞0且a ≠1）的图象恒过定点P ，若角α的终边经过点P ，则sin 2α-sin2α的值等于（ ）A. 313B. 513C. −313D. −5137. 若 3sinα+cosα=12，则cos （2α+4π3）等于（ ）A. −1516B. 1516C. −78D. 788. 已知函数f （x ）=1-sin x +log 51−x1+x ，则f (12)+f (−12)的值为（ ）A. 0B. −2C. 2D. 2log 5139.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象如图所示，若将函数f（x）的图象向左平移π2个单位，则所得图象对应的函数可以为（）A. y=−2sin(2x+3π4)B. y=2sin(2x+3π4)C. y=−2sin(2x+5π4)D. y=2sin(2x+5π4)10.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若任意的x∈R，都有f(x+2)=f(x-2)，当x∈[0,2]时，f(x)=2x−1，则f(-2017)+f(2018)=（）.A. 4B. 3C. 2D. 111.已知函数f(x)=4sin2x+43sinxcosx+5，若不等式f（x）≤m在[0，π2]上有解，则实数m的最小值为（）A. 5B. −5C. 11D. −1112.已知函数f（x）的定义域为R，对任意x1＜x2，有f(x1)−f(x2)x1−x2＞-1，且f（1）=1，则不等式f（log2|3x-1|）＜2-log2|3x-1|的解集为（）A. (−∞,0)B. (−∞,1)C. (−1,0)∪(0,3)D. (−∞,0)∪(0,1)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.向量a=（x，1），b=（9，x），若a与b共线且方向相反，则x=______．14.设α∈（0，π2），β∈（0，π2），且tanα=17，tanβ=13，则α+2β=______．15.如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形中较小的内角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是125，则sin2θ-cos2θ的值是______．16.已知函数f（x）=log12（x2-ax-a）的值域为R，且f（x）在（-3，1-3）上是增函数，则a的取值范围为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设A，B，C，D为平面内的四点，且A（1，3），B（2，-2），C（4，1）．（1）若AB=CD，求D点的坐标；（2）设向量a=AB，b=BC，若k a-b与a+3b平行，求实数k的值．18.已知函数f（x）=tan（2x+π4），（1）求f（x）的定义域与最小正周期；（2）设α∈（0，π4），若f（α2）=2cos 2α，求α的大小．19.已知函数f（x）=x2+2x+ax，x∈[1，+∞），（1）当a=12时，求函数f（x）的最小值；（2）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围．20.“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v（单位：千克/年）是养殖密度x（单位：尾/立方米）的函数．当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4＜x≤20时，v是x的一次函数，当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年．（1）当0＜x≤20时，求v关于x的函数表达式；（2）当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值．21.已知函数f（x）=3sin（ωx+φ）+2sin2ωx+φ2-1（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为π2．（1）当x∈（-π2，π4）时，求f（x）的单调递减区间；（2）将函数y=f（x）的图象沿x轴方向向右平移π6个单位长度，再把横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象．当x∈[-π12，π6]时，求函数g（x）的值域．（3）已知x=π6是函数h（x）=f（x）+λcos2x的一条对称轴，求λ的值．22.已知a，b∈R，a≠0，函数f（x）=-2（sin x+cos x）+b，g（x）=a sin x•cos x+a2+1a+2．（1）若x∈（0，π），f（x）=-255+b，求sin x-cos x的值；（2）若不等式f（x）≤g（x）对任意x∈R恒成立，求b的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：在A中，单位向量大小相等都是1，但方向不同，故单位向量不一定相等，故A错误；在B中，零向量与任意向量共线，故B正确；在C中，平行向量一定是共线向量，故C错误；在D中，零向量与它的相反向量相等，故D错误．故选：B．利用单位向量、零向量、共线向量的定义和性质直接求解．本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意单位向量、零向量、共线向量的定义和的性质的合理运用．2.【答案】D【解析】解：A={x|2x≤4}={x|x≤2}，由x-1＞0得x＞1∴B={x|y=lg（x-1）}={x|x＞1}∴A∩B={x|1＜x≤2}故选D．解指数不等式求出集合A，求出对数函数的定义域即求出集合B，然后求解它们的交集．本题考查指数不等式的解法，交集及其运算，对数函数的定义域，考查计算能力．3.【答案】A【解析】A解：令函数f（x）=2x+x+1=0，可知x＜0，即a＜0；令g（x）=log2x+x+1=0，则0＜x＜1，即0＜b＜1；令h（x）=log2x-1=0，可知x=2，即c=2．显然a＜b＜c．故选A．分别求三个函数的零点，判断零点的范围，从而得到结果．函数的零点问题，关键是能够确定零点或判断零点的范围．本题是基础题目，难度不大．4.【答案】B【解析】解：∵=+，==（-）=-=×-=-，∴=+（-）=+；又=λ+μ，∴λ=，μ=；∴=×=3．故选：B．根据平面向量的基本定理，结合向量加法与减法的三角形法则，进行化简运算即可．本题考查了平面向量基本定理的应用问题，解题时应根据向量的加法与减法运算将向量进行分解，是基础题目．5.【答案】C【解析】解：函数f（x）=1+log2x的图象是增函数，过（1，1）点；排除A，g（x）=21-x=2•（）x，是减函数经过（0，2）点，排除B，D，故选：C．结合函数的解析式，判断函数f（x）=1+log2x的图象，然后判断g（x）=21-x的形状即可．本题考查函数的图象的判断，注意常见函数的性质的应用，是基础题．6.【答案】C【解析】解：∵函数y=log a（x-1）+3（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，∴P（2，3）．若角α的终边经过点P，则x=2，y=3，r=|OP|=，∴sinα==，cosα==，∴sin2α-sin2α=-2•=-，故选C．根据对数函数的单调性和特殊点求得P（2，3），再由任意角的三角函数的定义求出sinα和cosα的值，再利用二倍角的余弦公式求出sin2α-sin2α的值．本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，任意角的三角函数的定义，二倍角的余弦公式的应用，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：∵sinα+cosα=，∴．∴cos（2α+）=，∴cos（2α+）=．故选：C．直接利用两角和的正弦函数及二倍角的余弦函数化简求解即可得答案．本题考查两角和的正弦函数及二倍角的余弦函数的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力，是基础题．8.【答案】C【解析】解：∵函数f（x）=1-sinx+，∴=1-sin+log5+1-sin（-）+log5=1-sin+log5+1+sin-log5=2．故选：C．由函数f（x）=1-sinx+，其中g（x）=-sinx+是奇函数，能求出结果．本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．9.【答案】A【解析】解：根据余弦函数的图象的对称性求得：A=2，根据余弦函数图象：，解得：T=π．利用周期公式：，解得：ω=2．根据函数的图象，当x=时，，则：2•（k∈z），解得：（k∈z）．由于，解得，则：，将函数f（x）的图象向左平移个单位，得到：，整理得：．故选：A．首先利用函数的图象求出A的值，进一步利用余弦型三角函数得公式确定ω的值，再根据函数的图象，当x=时，，建立等量关系：2•（k∈z）确定∅，最后利用三角函数的平移变换求出结果．本题考查的知识要点：利用三角函数得图象确定三角函数得解析式，余弦型三角函数得周期公式的应用，三角函数图象的平移公式的应用，属于中档题型．10.【答案】A【解析】解：由题意知f(x+2)=f(x-2)，可得f(x+4)=f(x)，所以函数f（x）是周期为4的偶函数,又当时，故：f(2018)=f（2）=22-1=3，f(-2017)=f（2017）=f（1）=21-1=1，则f（-2017）+f（2018）=1+3=4故选：A．首先确定函数的周期性和奇偶性，然后利用函数的性质将自变量转化到给定区间上，最后求解函数值即可．本题考查函数的周期性，函数的奇偶性等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于基础题．11.【答案】A【解析】解：函数=4•+2sin2x+5=2sin2x-2cos2x+7=4（sin2x-cos2x）+7=4sin（2x-）+7，若不等式f（x）≤m在上有解，则2x-∈[-，]，sin（2x-）∈[-，1]，f （x）∈[5，11]，则实数m的最小值为5，故选：A．利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得m的最小值．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：∵函数f（x）的定义域为R，对任意x1＜x2，有＞-1，即＞0，故函数R（x）=f（x）+x是R上的增函数，由不等式f（log2|3x-1|）＜2-log2|3x-1|，可得f（log2|3x-1|）+log2|3x-1|＜2=f（1）+1，∴log2|3x-1|＜1，故-2＜3x-1＜2，且3x-1≠0，求得3x＜3，且x≠0，解得x＜1，且x≠0，故选：D．由题意可得函数R（x）=f（x）+x是R上的增函数，f（log2|3x-1|）+log2|3x-1|＜f（1）+1，可得-2＜3x-1＜2，且3x-1≠0，由此求得x的范围．本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，判断函数R（x）=f（x）+x是R上的增函数，是解题的关键，属于中档题．13.【答案】-3【解析】解：∵，∴x2=9，解得x=±3．又∵与方向相反，∴x=-3．故答案为-3．利用向量共线定理及其方向相反即可得出．熟练掌握向量共线定理及其方向相反是解题的关键．14.【答案】π4【解析】【分析】根据题意求出α+2β的取值范围，再利用二倍角和两角和的正切公式求出α+2β的值．本题考查了三角函数求值的应用问题，也考查了三角恒等变换的应用问题，是基础题．【解答】解：∵α∈（0，），β∈（0，），且tanα=＜1，tanβ=＜1，∴α∈（0，），β∈（0，），∴α+2β∈（0，），又tan2β===，∴tan（α+2β）===1，∴α+2β=．故答案为：．15.【答案】−725【解析】解：依题意可知拼图中的每个直角三角形的长直角边为cosθ，短直角边为sinθ，小正方形的边长为cosθ-sinθ，∵小正方形的面积是，∴（cosθ-sinθ）2=，又θ为直角三角形中较小的锐角，∴cosθ＞sinθ．∴cosθ-sinθ=．又∵（cosθ-sinθ）2=1-2sinθcosθ=，∴2cosθsinθ=．∴1+2sinθcosθ=，即（cosθ+sinθ）2=．∴cosθ+sinθ=．∴sin2θ-cos2θ=（cosθ+sinθ）（sinθ-cosθ）=-．故答案为：．求出每个直角三角形的长直角边，短直角边的长，推出小正方形的边长，先利用小正方形的面积求得（cosθ-sinθ）2的值，判断出cosθ＞sinθ，求得cosθ-sinθ的值，然后求得2cosθsinθ利用配方法求得（cosθ+sinθ）2的值，进而求得cosθ+sinθ，利用平方差公式把sin2θ-cos2θ展开后，把cosθ+sinθ和cosθ-sinθ的值代入即可求得答案．本题主要考查了三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系．考查了学生综合分析推理和基本的运算能力，是中档题．16.【答案】[0，2]【解析】解：由函数f（x）=（x2-ax-a）的值域为R，可得函数y=x2-ax-a能够取遍所有的正数，故有△=a2+4a≥0，求得a≤-4，或a≥0 ①．再根据f（x）在（-3，1-）上是增函数，可得函数y=x2-ax-a在（-3，1-）上是减函数且为正值，故≥1-，且当x=1-时y≥0．即a≥2-2，且4-2-a（1-）-a≥0．求得2-2≤a≤2 ②．结合①②求得0≤a≤2，故答案为：[0，2]．由题意可得，函数y=x2-ax-a能够取遍所有的正数，由△=a2+4a≥0，求得a的范围①．再根据函数y=x2-ax-a在（-3，1-）上是减函数且为正值，故≥1-，且当x=1-时y≥0，由此求得a的范围②．结合①②求得a的范围．本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．17.【答案】解：（1）设D （x ，y ），∵A ，B ，C ，D 为平面内的四点，且A （1，3），B （2，-2），C （4，1）． ∴AB =CD ，即（2，-2）-（1，3）=（x ，y ）-（4，1），即（1，-5）=（x -4，y -1）， ∴ y −1=−5x−4=1，解得x =5，y =-4， ∴D （5，-4）．（2）∵a =AB =（1，-5），b =BC=（2，3）， ∴k a −b =（k -2，-5k -3）， a +3b =（7，4）， ∵k a -b 与a +3b 平行，∴7（-5k -3）-4（k -2）=0， 解得k =-13． ∴实数k 的值为-13． 【解析】（1）设D （x ，y ），由，能求出D 点坐标．（2）由==（1，-5），==（2，3），求出=（k-2，-5k-3），=（7，4），由k -与+3平行，能求出实数k 的值．本题考查D 点坐标的求法，考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量坐标运算法则、向量平行的性质的合理运用． 18.【答案】解：（1）对于函数f （x ）=tan （2x +π4），由2x +π4≠π2+k π，k ∈Z ，得x ≠π8+kπ2，k ∈Z ，所以f （x ）的定义域为{x ∈R |x ≠π8+kπ2，k ∈Z }． f （x ）的最小正周期为π2．（2）由f （α2）=2cos 2α，得tan （α+π4）=2cos 2α，即sin (α+π4)cos (α+π)=2（cos 2α-sin 2α），整理得sinα+cosαcosα−sinα=2（cos α+sin α）（cos α-sin α）． 因为α∈（0，π4），所以sin α+cos α≠0．因此（cos α-sin α）2=12，即sin 2α=12．由α∈（0，π4），得2α∈（0，π2），∴2α=π6，即α=π12． 【解析】（1）利用正切函数的定义域和周期性，得出结论．（2）利用同角三角函数的基本关系、两角差的三角公式，求得sin 2α的值，可得2α的值．本题主要考查正切函数的定义域和周期性，同角三角函数的基本关系，两角差的三角公式，属于基础题．19.【答案】解：（1）因为f (x )=x +12x +2，f （x ）在[1，+∞）上为增函数，所以f （x ）在[1，+∞）上的最小值为f （1）=72．…（6分）（2）问题等价于f （x ）=x 2+2x +a ＞0，在[1，+∞）上恒成立．即a ＞-（x +1）2+1在[1，+∞）上恒成立．令g （x ）=-（x +1）2+1，则g （x ）在[1，+∞）上递减，当x =1时，g （x ）max =-3，所以a ＞-3，即实数a 的取值范围是（-3，+∞）．…（6分）【解析】（1）a=时，函数为，f 在[1，+∞）上为增函数，故可求得函数f （x ）的最小值（2）问题等价于f （x ）=x 2+2x+a ＞0，在[1，+∞）上恒成立，利用分类参数法，通过求函数的最值，从而可确定a 的取值范围本题以函数为载体，考查对勾函数门课程二次函数的最值，考查恒成立问题的处理，注意解题策略．20.【答案】解 （1）由题意得当0＜x ≤4时，v =2；当4＜x ≤20时，设v =ax +b ， 由已知得： 4a +b =220a +b =0，解得：a =−18b =52，所以v =-18x +52，故函数v = 2，0＜x ≤4−18x +52，4＜x ≤20； （2）设年生长量为f （x ）千克/立方米，依题意并由（1）可得f （x ）= 2x ，0＜x ≤4−18x 2+52x ，4＜x ≤20当0＜x ≤4时，f （x ）为增函数，故f （x ）max =f （4）=4×2=8； 当4＜x ≤20时，f （x ）=-18x 2+52x =-18（x 2-20x ）=-18（x -10）2+1008，f（x）max=f（10）=12.5．所以当0＜x≤20时，f（x）的最大值为12.5．即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米．【解析】（1）当4＜x≤20时，设v=ax+b，根据待定系数法求出a，b的值，从而求出函数的解析式即可；（2）根据f（x）的表达式，结合二次函数的性质求出f（x）的最大值即可．本题考查了求函数的解析式问题，考查二次函数的性质，是一道中档题．21.【答案】解（1）由题意可得：函数f（x）=3sin（ωx+φ）+2sin2ωx+φ2-1=3sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）=2sin（ωx+φ-π6），因为相邻量对称轴间的距离为π2，所以T=π，ω=2，因为函数为奇函数，∴φ-π6=kπ，k∈Z，∴φ=π6，f（x）=2sin2x．令2kπ+π2≤2x≤2kπ+3π2，求得kπ+π4≤x≤kπ+3π4，可得函数f（x）的减区间为[kπ+π4，kπ+3π4]，k∈Z．再结合x∈（-π2，π4），可得函数的减区间为（-π2，-π4]．（2）将函数y=f（x）的图象沿x轴方向向右平移π6个单位长度，可得y=2sin（2x-π3）的图象，再把横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），得到函数y=g（x）=2sin（4x-π3）的图象．当x∈[-π12，π6]时，4x-π3∈[-2π3，π3]，故当4x-π3=-π2时，函数g（x）取得最小值为-2；当4x-π3=π3时，函数g（x）取得最大值为3，故函数g（x）的值域为[-2，3]．（3）已知x=π6是函数h（x）=f（x）+λcos2x=2sin2x+λcos2x=4+λ2（4+λ2sin2x+4+λ2cos2x）=4+λ2sin（2x+θ）的一条对称轴，求λ的值∴sinπ3=32=4+λ2，cosπ3=12=2，求得λ2=43，且λ＞0，∴λ=233．【解析】（1）由题意利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性、奇偶性，图象的对称性，进一步确定f（x）的解析式，再根据正弦函数的单调性，求得f（x）的单调递减区间．（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，求得函数g（x）的值域．（3）利用辅助角公式，正弦函数图象的对称性，求得λ的值．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、奇偶性、单调性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，以及正弦函数图象的对称性，辅助角公式，属于中档题．22.【答案】解：（1）依题意得sin x+cos x=105，∴sin2x+cos2x+2sin x cosx=25，即2sin x cosx=-35，…（1分）∴1-2sin x cosx=85，即sin2x+cos2x-2sin x cosx=（sin x-cos x）2=85，…（2分）由2sin x cosx=-35＜0，x∈（0，π），得x∈（π2，π），…（3分）∴sin x＞0，cos x＜0，∴sin x-cos x＞0，∴sin x-cos x=2105．…（4分）（2）不等式f（x）≤g（x）对任意x∈R恒成立，即不等式b≤a sin x•cos x+2（sin x+cos x）+a2+1a+2对任意x∈R恒成立，即b≤[a sin x cosx+2（sin x+cos x）+a2+1a+2]min，…（5分）下求函数y=a sin x•cos x+2(sinx+cosx)+a2+1a+2的最小值，令t=sin x+cos x，则t=2sin(x+π4)∈[−2，2]，且sin x cosx=t2−12，…（6分）令m（t）=y=a sin x cosx+2(sinx+cosx)+a2+1a+2，=a(t2−1)2+2t+a2+1a+2=a2t2+2t+1a+2，=a 2(t2+22at)+1a+2=a2(t+2a)2+2，（a≠0），…（7分）1°当-2a＜−2，即0＜a＜1时，m（t）在区间[-2，2]上单调递增，∴m（t）min=m（-2）=a+1a．…（8分）2°当-2≤−2a ＜0，即a≥1时，m（t）min=m（-2a）=2．…（9分）3°当0＜-2a ≤2，即a≤-1时，m（t）min=m（-2）=a+1a．…（10分）4°当-2a ＞2，即-1＜a＜0时，m（t）min=m（-2）=a+1a．…（11分）∴y min=2，a≥1a+1a，a＜1，a≠0，所以当a≥1时，b≤2；当a＜0或0＜a＜1时，b≤a+1a．…（12分）【解析】（1）推导出sinx+cosx=，从而2sinxcosx=-，进而sin2x+cos2x-2sinxcosx=（sinx-cosx）2=，由此能求出sinx-cosx．（2）推导出b≤[asinxcosx+（sinx+cosx）+]min，再求出函数y=asinx•cosx+的最小值，令t=sinx+cosx，令m（t）=y=，（a≠0），由此进行分类讨论经，能求出b的取值范围．本题考查三角函数求值，考查实数值的范围的求法，考查三角函数恒等式、构造法、配方法、换元法等基础知识，考查推理论能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．。

2017-2018学年度上学期期末考试高二数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．向量(2,4,4),(2,,2)a b x=-=-，若a b⊥，则x的值为（）A. -3B. 1C.-1D. 32．已知函数()lnf x x x=+，则'(1)f的值为（）A.1B.2C.﹣1D.﹣23．某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在按1100的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为()A. 8B. 11C. 16D. 104．某公司在2016年上半年的收入x(单位：万元)与月支出y(单位：万元)的统计资料如下表所示：根据统计资料，则()A. 月收入的中位数是15.0，x与y有正线性相关关系B. 月收入的中位数是17.0，x与y有负线性相关关系C. 月收入的中位数是16.0，x与y有正线性相关关系D. 月收入的中位数是16.0，x与y有负线性相关关系5．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为（）A. 13 B.49 C.59 D.236．点集(){},|0,0x y x e y eΩ=≤≤≤≤，()(){},|,,xA x y y e x y=≥∈Ω，在点集Ω中任取一个元素a，则a A∈的概率为( )A. 1eB. 21e C. 1e e - D. 221e e -7．下列说法错误的是（） A. “函数()f x 为奇函数”是“()00f =”的充分不必要条件B. 已知AB C 、、三点不共线，若0PA PB PC ++=则点P 是△ABC 的重心 C. 命题“0x R∃∈，0sin 1x ≥”的否定是：“x R ∀∈，sin 1x <”D. 命题“若3πα=，则1cos 2α=”的逆否命题是：“若1cos 2α≠，则3πα≠” 8．过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，D 为虚轴上的一个端点，且ABD ∆为直角三角形，则此双曲线离心率的值为（）9．若双曲线()22x my m m R +=∈的焦距4，则该双曲线的渐近线方程为（）A. y =B. y =C.13y x=±D. y x = 10．已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦等于( )．A. 4B. 4C. 2D. 211．设函数()219ln 2f x x x=-在区间[]1,1a a -+上单调递减,则实数a 的取值范围是（） A.(]1,2 B. ()1,3 C. ()1,2 D. (]1,312．设函数()x f x m π=．若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是（） A .()(),66,-∞-⋃∞ B. ()(),44,-∞-⋃∞C.()(),22,-∞-⋃∞ D. ()(),11,-∞-⋃∞二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知命题“2,10x R x ax ∃∈-+<”为假命题，则实数a 的取值范围是_______ 14．由动点P 向圆221x y +=引两条切线PA 、PB 切点分别为A 、B ，若120APB ∠=︒，则动点P 的轨迹方程为__________．15．执行如图所示的程序框图，输出的S 值是__________．16．已知函数()1x x f x e e -=-+（e 为自然对数的底数），若()()22142f x f x -+->，则实数x 的取值范围是___________．三、解答题（本大题共6个小题，17题10分，其余各题各12分，共70分）17．（本小题满分10分）已知过抛物线28y x =的焦点，斜率为 ()()112212,,,()A x yB x y x x <两点.(1)求线段AB 的长度；(2) O 为坐标原点, C 为抛物线上一点，若+OC OA OB λ=，求λ的值．18．（本小题满分12分）已知关于x 的二次函数2()4 1.f x ax bx =-+（Ⅰ）设集合{1,1,2}A =-和{2,1,1}B =--，分别从集合A ，B 中随机取一个数作为a 和b ，求函数)(x f y =在区间),1[+∞上是增函数的概率．（Ⅱ）设点(,)a b 是区域80,0,0,x y x y +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩内的随机点，求函数()f x 在区间[1,)+∞上是增函数的概率．19．（本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 是边长为2的菱形，=60ABC ∠，E 为AB 的中点，PA ABCD ⊥平面，且2PA =(1)在棱PD 上求一点F ，使//AF 平面PEC ； (2)求二面角D PE A --的余弦值.20．（本小题满分12分）已知函数()()24x f x e ax b x x=+--，曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为44y x =+ (1)求,a b 的值； (2)求()f x 的极大值.21．（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的两个焦点分别为()1F，)2F ，点()1,0M 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.(1)求椭圆C 的方程； (2)过点()1,0M 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，设点()3,2N ，记直线,AN BN 的斜率分别为12,k k ，求证：12k k +为定值.22．（本小题满分12分）设函数()2ln 2a f x x x x =-（1）当()0,x ∈+∞，()02af x x +≤恒成立，求实数a 的取值范围.（2）设()()g x f x x=-在21,e ⎡⎤⎣⎦上有两个极值点12,x x . （A ）求实数a 的取值范围；（B ）求证：12112ln ln ae x x +>.2017高二上学期期末数学参考答案（理） 1-12 DBACA BADDA AC13．[]2,2- 14．2243x y += 15．()1,3- 17．解：(1)直线AB 的方程是y ＝x-2），与y2＝8x 联立，消去y 得x2－5x ＋4＝0， 由根与系数的关系得x1＋x2＝5.由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p ＝9， (2)由x2－5x ＋4＝0，得x1＝1，x2＝4，从而A(1，－)，B(4，)． 设OC ＝(x3，y3)＝(1，－)＋λ(4，＝(4λ＋1，λ－，又y ＝8x3，即λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2. 18．解：要使函数)(x f y =在区间),1[+∞上是增函数，需0>a 且124≤--a b，即0>a 且a b ≤2．（Ⅰ）所有),(b a 的取法总数为339⨯=个．满足条件的),(b a 有)2,1(-，)1,1(-，)2,2(-，)1,2(-，)1,2(共5个，所以所求概率59p =．（Ⅱ）如图，求得区域⎪⎩⎪⎨⎧>>≤-+0，0，08y x y x 的面积为328821=⨯⨯．由⎩⎨⎧=-=-+02，08y x y x ，求得)38,316(P ．所以区域内满足0>a 且a b ≤2的面积为33238821=⨯⨯． 所以所求概率3132332==p 19．解:(1)以BD 为x 轴，CA 为y 轴，AC 与BD 的交点为O ，过O 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系.其中：()0,1,0A，()B ，()0,1,0C -，)D ，()0,1,2P ，1,02E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭设=PF PD λ，()=0,0,2AP ，()=3,-1,-2PD则：()==3,,22AF AP PF λλλ+--.设平面PEC 的法向量为()=,,m x y z ，31=,22EP ⎛⎫⎪⎪⎝⎭，()=0-2-2PC ，，所以120, 2220x y z y z ++=--=故()=3-11m -，，.=0m AF ⋅，所以322=0λλλ-++-，因此1=2λ，所以F 为PD 中点.(2)平面PEA 的法向量()1=3,3,0n -，平面PED 的法向量()2=3,9,3n-，12cos ,=n n由二面角D PEA --为锐二面角，因此，二面角D PE A --.20．解：（1）由已知得()()044,04f a b f b =+-===' ,据此可知：4a b ==.（2）由（1）知()()2414xf x e x x x=+--()()()14224422x x f x e x x x e ⎛⎫=+--=+- ⎝'⎪⎭令()0f x '=，则2ln2x x =-=-或令()0,f x '>得递增区间为()(),2,ln2,-∞--+∞令()0,f x '<得递减区间为()2,ln2--所以2x =-时，()f x 取得极大值，()()2241f e --=-21．解：（1）依题意，c =，222a b-=.∵点()1,0M 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直， ∴1b OM ==，∴a =∴椭圆C 的方程为2213x y +=.（2）①当直线l 的斜率不存在时，由221{13x x y =+=解得1x =，y =设A ⎛ ⎝⎭，1,B ⎛ ⎝⎭，则122233222k k -+=+=为定值.②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：()1y k x =-.将()1y k x =-代入2213x y +=整理化简，得()2222316330k x k x k +-+-=.依题意，直线l 与椭圆C 必相交于两点，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122631k x x k +=+，21223331k x x k -=+.又()111y k x =-，()221y k x =-，所以1212122233y y k k x x --+=+--()()()()()()122112232333y x y x x x --+--=--()()()()()1221121221321393k x x k x x x x x x ⎡⎤⎡⎤---+---⎣⎦⎣⎦=-++()()()121212121212224693x x k x x x x x x x x ⎡⎤-++-++⎣⎦=-++()22122222223361222463131633933131k k x x k k k k k k k ⎡⎤--++⨯-⨯+⎢⎥++⎣⎦=--⨯+++()()2212212621k k+==+.综上得12k k +为常数2.22．解：（1）∵2ln 022a a x x x x -+≤，且0x >，∴ln 022a ax x -+≤.令()()ln 022a aU x x x x =-+>，则()12a U x x ='-. ①当0a ≤时，()0U x '>，()U x 在()1,+∞上为单调递增函数，∴1x >时，()()10U x U >=，不合题意.②当02a <<时，21,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0U x '>，()U x 在21,a ⎛⎫⎪⎝⎭上为单调递增函数，∴21,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()10U x U >=，不合题意.③当2a >时，2,1x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0U x '<，()U x 在2,1a ⎛⎫⎪⎝⎭上为单调递减函数.∴2,1x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()10U x U >=，不合题意.④当2a =时，()0,1x ∈，()0U x '>，()U x 在()0,1上为单调递增函数.()1,x ∈+∞，()0U x '<，()U x 在()1,+∞上为单调递减函数.∴()0U x ≤，符合题意.综上，2a =.（2）()2ln 2a g x x x x x =--，21,e x ⎡⎤∈⎣⎦. ()ln g x x ax ='-. 令()()h x g x ='，则()1h x a x '=-由已知()0h x =在()21,e 上有两个不等的实根. （A ）①当21e a ≤时，()0h x '≥，()h x 在()21,e 上为单调递增函数，不合题意.②当1a ≥时，()0h x '≤，()h x 在()21,e 上为单调递减函数，不合题意.③当211e a <<时，11,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0h x '>，21,e x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0h x '<，所以，()10h <，10h a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，()2e 0h <，解得221,e e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. （B ）由已知11ln 0x ax -=，22ln 0x ax -=，∴()1212ln ln x x a x x -=-.不妨设12x x <，则1201x x <<，则121212112x x a x x x x ++-=-()22121212121212ln ln 122ln ln x x x x x x x x x x x x ⎡⎤--=--⎢⎥--⎣⎦1212121212ln 2x x xx x x x x x x -=---. 令()12ln G x x x x =--，()01x <<.则()()2210x G x x='->，∴()G x 在()0,1上为单调递增函数，∴()1210x G G x ⎛⎫<= ⎪⎝⎭即121212ln 0x x x x x x --<，∴121120a x x +->，∴12112ax ax +>，∴12112ln ln x x +>，由（A ）1e a <，∴e 1a <，2e 2a <∴12112e ln ln a x x +>.。

2018-2019学年黑龙江省大庆第一中学高二上学期期末考试数学（理）试题一、单选题1．抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现任意一种点数的概率都是，记事件A为“向上的点数是奇数”，事件B为“向上的点数不超过3”，则概率（）A．B．C．D．【答案】B【解析】记事件A为“向上的点数是奇数”，事件B为“向上的点数不超过3”，求得，，再利用概率的计算公式，即可求解.【详解】抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现任意一种点数的概率都是，记事件A为“向上的点数是奇数”，事件B为“向上的点数不超过3”，所以，所以，故选B.【点睛】本题主要考查了概率的求法问题，其中解答中要认真审题，注意等可能事件的概率的计算公式的合理运用是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 2．总体由编号为01，02，03，，49，50的50个个体组成，利用随机数表（以下选取了随机数表中的第1行和第2行）选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取，则选出来的第4个个体的编号为（）78 16 65 72 08 02 63 14 07 02 43 69 69 38 7432 04 94 23 49 55 80 20 36 35 48 69 97 28 01A．05 B．09 C．07 D．20【答案】C【解析】从随机数表第1行第9列和第10列数字开始，由左到右依次选取两个数字，且小于或等于50的编号，注意重复数值要舍去，由此求出答案.【详解】根据题意，从随机数表第1行第9列和第10列数字开始，由左到右依次选取两个数字，其中小于或等于50的编号依次是，可知选出的第4个值为，故选C.【点睛】本题主要考查了简单的随机抽样中的随机数表法的应用，其中解答中熟记随机数表法的抽取方法，依次抽取是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.3．已知空间中三点A（0，1，0），B（2，2，0），C（－1，3，1），则（）A．与是共线向量B．的单位向量是C．与夹角的余弦值是D．平面ABC的一个法向量是【答案】D【解析】分别根据两个向量的坐标运算，单位向量的定义和两向量的夹角公式，及法向量的求法，逐一判定，即可得到答案.【详解】由题意，对于A中，，所以，则与不是共线向量，所以不正确；对于B中，因为，所以的单位向量为或，所以是错误的；对于C中，向量，所以，所以是错误的；对于D中，设平面ABC的一个法向量是，因为，所以，令，所以平面ABC的一个法向量为，所以是正确的，故选D.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，两个向量的夹角公式以及共线向量的定义和平面法向量的求解，其中解答中熟记向量的基本概念和向量的运算公式是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4．用秦九韶算法计算多项式在x=-4时的值，的值为（）A．-845 B．220 C．-57 D．34【答案】D【解析】由于函数f（x）=3x4+5x3+6x2+79x–8=（（（3x+5）x+6）x+79）x–8，当x=–4时，分别算出v0=3，v1=–4×3+5=–7，v2═–4×（–7）+6=34，故选D．5．在一次数学竞赛中，高一•1班30名学生的成绩茎叶图如图所示：若将学生按成绩由低到高编为1-30号，再用系统抽样的方法从中抽取6人，则其中成绩在区间[73，90]上的学生人数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】根据茎叶图的数据，结合系统抽样的方法的特征，即可求解所要抽取的人数，得到答案.【详解】根据茎叶图可得，成绩在区间[73，90]上的数据由15和，所以用系统抽样的方法从所有的30人中抽取6人，成绩在区间[73，90]上的学生人数为人故选A.【点睛】本题主要考查了系统抽样的方法，以及茎叶图的应用问题，其中解答中系统抽样的方法，以及茎叶图的数据的读取是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.6．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A．14B．8πC．12D．4π【答案】B【解析】设正方形边长为a，则圆的半径为2a，正方形的面积为2a，圆的面积为24aπ.由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是221248aaππ⋅=，选B.点睛:对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A 区域的几何度量，最后计算()P A.7．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，则直线OM( )A．与AC，MN均垂直相交B．与AC垂直，与MN不垂直C．与MN垂直，与AC不垂直D．与AC，MN均不垂直【答案】A【解析】试题分析：因为平面，所以，又因为，所以平面，所以；易知，在中，因为，所以；故选A．【考点】1.空间中垂直关系的转化；2.勾股定理．【方法点睛】本题考查空间中线线垂直的证明，属于中档题；证明或判定线线垂直时，若证明相交直线的垂直，可考虑矩形的邻边垂直、菱形的对角线垂直、等腰三角形的三线合一、勾股定理等平面几何知识的应用，若证明异面直线的垂直，一般考虑线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化关系进行证明，要注意“立体几何问题平面化”思想的运用.8．下列有关命题的说法错误的是（）A．若“”为假命题，则p，q均为假命题B．“ ”是“”的充分不必要条件C．“”的必要不充分条件是“”D．若命题p：，，则命题：，【答案】C【解析】根据复合命题的之间判定的真值表，可判定A；根据充要条件的定义，可判定B、C，根据存在性命题的否定，可得判定D，得到答案.【详解】由题意，对于A中，若“”为假命题，根据复合命题的真值表，可得p，q均为假命题，所以A是正确的；对于B中，“”是“”是成立的，但当“”时，“”不一定是成立的，所以“”是“”是的充分不必要条件，所以B是正确的；对于C中，“”时，“”不一定成立，而“”时，“”是成立的，所以“”的充分不必要条件是“”是错误的；对于D中，根据存在性命题的否定可知，命题p：，，则命题：，正确的，所以D是正确的；综上可知，错误的为C，故选C.【点睛】本题主要考查了命题的真假判定及应用，复合命题的真假判定，充要条件以及含由量词的否定等知识点的应用，其中解答中熟记简易逻辑的相关知识点，合理应用是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.9．如图，过抛物线焦点的直线依次交抛物线与圆于点A、B、C、D，则的值是（）A．8 B．4 C．2 D．1【答案】D【解析】设过抛物线的焦点F的直线方程为，与抛物线的方程联立，即可求解的值，得到答案.【详解】由题意，可得抛物线的焦点坐标为，设直线的方程为，联立，得，因为，所以，故选D.【点睛】本题主要考查了直线与抛物线位置关系的应用，其中解答中设出直线的方程，与抛物线的方程联立，合理应用根与系数的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10．已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（）A．求首项为1，公差为2的等差数列前2017项和B．求首项为1，公差为2的等差数列前2018项和C．求首项为1，公差为4的等差数列前1009项和D．求首项为1，公差为4的等差数列前1010项和【答案】C【解析】由题意可知，为求首项为1，公差为4的等差数列的前1009项和.故选C.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项. 11．如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABC⊥平面BCD，△BAC与△BCD均为等腰直角三角形，且∠BAC=∠BCD=90°，BC=2，点P是线段AB上的动点，若线段CD上存在点Q，使得异面直线PQ与AC成30°的角，则线段PA长的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】以C为原点，CD为轴，CB为轴，过C作平面BCD的垂线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求出线段PA长的取值范围.【详解】以C为原点，CD为轴，CB为轴，过C作平面BCD的垂线为轴，建立空间直角坐标系，则，设，则，因为异面直线PQ与AC所成的角为，所以，即，所以，所以，解得，所以，即线段PA的长的取值范围是，故选B.【点睛】本题主要考查了利用向量法求解线段的取值范围问题，其中解答中认真审题，建立适当的空间直角坐标系，利用向量法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.12．如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，将的离心率分别记为，点是在第一象限的公共点，若的一条渐近线是线段的中垂线，则（）A．2 B．C．D．4【答案】A【解析】由题设中的条件，设焦距为，椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，根据椭圆与双曲线的性质以及勾股定理建立方程，联立可得的等式，整理即可得到结论.【详解】由题设中的条件，设焦距为，椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，由双曲线的定义可知， (1)由椭圆的定义可得， (2)因为的一条渐近线是线段的中垂线，所以，所以， (3)联立(1)(2)得， (4)将(4)代入(3)得，即，故选A.【点睛】本题主要考查了椭圆与双曲线的定义的应用，以及圆锥曲线的离心率问题，其中解答中通过椭圆与双曲线的定义和焦点三角形中利用勾股定理建立三个方程求解椭圆的离心率和双曲线的离心率满足的关系式是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.二、填空题13．已知某运动员每次投篮命中的概率都为50%，现采用随机模拟的方法估计该运动员四次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，2，3，4表示命中，5，6，7，8 9表示不命中；再以每四个随机数为一组，代表四次投篮的结果．经随机模拟产生了20组随机数：9075 9660 1918 9257 2716 9325 8121 4589 5690 6832 4315 2573 3937 9279 5563 4882 7358 1135 1587 4989据此估计，该运动员四次投篮恰有两次命中的概率为____．【答案】0.35【解析】由题意得20组随机数中，该运动员四次投篮恰有两次命中的有7个，据此能求出该运动员四次投篮恰有两次命中的概率.【详解】由题意可得20组随机数中，该运动员四次投篮恰有两次命中的有：，共7个，据此估计，该运动员四次投篮恰有两次命中的概率为.【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，其中解答中认真审题，利用列举法求得该运动员四次投篮恰有两次命中的此数是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14．已知椭圆的左右焦点为，，离心率为，若为椭圆上一点，且，则的面积等于____．【答案】4.【解析】分析：根据椭圆可得意，由离心率，可得c值，因为，结合椭圆的定义和勾股定理形成方程组可求得的值，再求面积即可.详解：由题意，，得，，，∵为椭圆上一点，且，∴，，∴，即，得，故的面积．点睛：考查椭圆的定义和基本性质，对直角的条件通常可选择勾股定理建立等式关系求解，属于中档题.15．在棱长为2的正方体△ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、CD的中点，则点B到截面AMC1N的距离为_____.【答案】【解析】建立空间直角坐标系，利用香炉峰能求出点B到截面的距离，得到答案.【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，因为棱长为2的正方体中，分别是的中点，所以，则，设平面的法向量为，则，取，得，所以点B到截面的距离为.【点睛】本题主要考查了利用空间向量求解点到平面的距离问题，其中解答中建立适当的空间直角坐标系，正确求解平面的法向量，利用向量法准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于中档试题.16．以下五个关于圆锥曲线的命题中：①平面内与定点A（-3，0）和B（3，0）的距离之差等于4的点的轨迹为；②点P是抛物线上的动点，点P在y轴上的射影是M点A的坐标是A（3，6），则的最小值是6；③平面内到两定点距离之比等于常数的点的轨迹是圆；④若过点C（1，1）的直线交椭圆于不同的两点A，B，且C是AB的中点，则直线的方程是．⑤已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，那么点P到点Q 的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是其中真命题的序号是______．（写出所有真命题的序号）【答案】②④⑤【解析】由双曲线的定理可判定①；由抛物线的定义和三点共线取得最小值，可判定②；由时为两个定点连线的垂直平分线，可判定③；由点差法和直线的斜率公式，中点坐标公式判定④；由抛物线的定义和三点共线取得最小值，可判定⑤，得到答案.【详解】由题意，①中，平面内与定点和的距离之差等于4，根据双曲线的定义可得轨迹为双曲线的右支，且，即方程为，所以是错误的；②中，点P是抛物线上的动点，点P在y轴上的射影为M点，且，由于点A在抛物线开口之外，抛物线的焦点F坐标为，则，由点A、P、F三点共线可得取得最小值，所以是正确的；③中，平面内到两定点距离之比等于的点的轨迹不一定是圆，若，此时为两个定点的垂直平分线，所以是错误的；④中，若过点的直线角椭圆于不同的两点A、B，且C是AB的中点，可得C在椭圆的内部，设，可得，两式相减可得，由于，所以，则直线的方程为，所以是正确的；⑤已知P为抛物线上一动点，Q为圆上的一个动点，由抛物线的定义可得P到准线的距离即为P到焦点的距离，又由的最小值即为到圆心的距离减半径1，即有最小值为，则点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值为，所以是正确的，所以正确命题的序号为②④⑤.【点睛】本题主要考查了圆锥曲线的定义、标准方程及其简单的几何性质的应用，着重考查了转化思想和方程思想的应用，以及推理与计算能力，试题综合性较强，属于中档试题.三、解答题17．某中学组织了一次高二文科学生数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图．（Ⅰ）若所得分数大于等于80分认定为优秀，求男、女生优秀人数各有多少人？（Ⅱ）在（Ⅰ）中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中任意选取2人，求至少有一名男生的概率．【答案】（I）,；（II）.【解析】试题分析：（Ⅰ）由频率分布直方图可分别得到男生，女生优秀的频率，再乘以总人数，即可得到男、女生优秀人数；（Ⅱ）构建有序实数对，用枚举法列举所有可能的情形和满足题意的情形，再利用古典概型的计算公式求解即可.试题解析：解：（Ⅰ）由题可得，男生优秀人数为人，女生优秀人数为人．（Ⅱ）因为样本容量与总体中的个体数的比是，所以样本中包含男生人数为人，女生人数为人．设两名男生为，，三名女生为，，．则从5人中任意选取2人构成的所有基本事件为：，，，，，，，，，共10个，每个样本被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记事件：“选取的2人中至少有一名男生”，则事件包含的基本事件有：，，，，，，共7个．所以，即选取的2人中至少有一名男生的概率为．18．移动公司为提升其文化品牌，特地从国外进口了某种音响设备，该设备的使用年限(年)与所支出的维修费(万元)的数据如下表：1 2 3 4 511 13 14 15 17(Ⅰ)求所支出的维修费y对使用年限的线性回归方程；(Ⅱ)当使用年限为8年时，试估计支出的维修费是多少？(附：在线性回归方程中，，；其中，为样本平均值．)【答案】（1）（2）万元【解析】（Ⅰ）根据表格中的公式，利用公式，求得，，进而求解回归直线的方程；（Ⅱ）由（1）代入，求得的值，即可作出预测.【详解】（Ⅰ）经计算，，又，故线性回归方程为．（Ⅱ）当使用年限为8年时，支出的维修费估计为万元．【点睛】本题主要考查了回归直线方程的求解及其应用，其中解答中根据表格中的数据，利用公式准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.19．已知动圆在运动过程中，其圆心M到点（0，1）与到直线y=-1的距离始终保持相等．（1）求圆心M的轨迹方程；（2）若直线与点M的轨迹交于A、B两点，且，求k的值．【答案】(1) 圆心的轨迹方程为;(2) .【解析】试题分析：（1）根据题意及抛物线的定义可得圆心的轨迹方程为．（2）将直线方程与抛物线方程联立消元后得到一二次方程，根据二次方程根据系数的关系和弦长公式可得．试题解析：（1）∵圆心到点与到直线的距离相等，∴圆心的轨迹是以点为焦点，以为准线的抛物线，设其方程为，则，解得．∴圆心的轨迹方程为．（2）由消去整理得，∵直线与抛物线交于两点，∴，解得．设，则，由题意得，解得，又，∴．20．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC和△AA1C均是边长为2的等边三角形，点O为AC中点，平面AA1C1C⊥平面ABC．（1）证明：A1O⊥平面ABC；（2）求直线AB与平面A1BC1所成角的正弦值．【答案】（1）见证明；（2）【解析】（1）由AA1=A1C，且O为AC的中点，得A1O⊥AC，根据面面垂直的性质定理，即可证得A1O⊥平面ABC；（2）以O为原点，OB，OC，OA1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求得平面A1BC1的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）证明：∵AA1=A1C，且O为AC的中点，∴A1O⊥AC，又∵平面AA1C1C⊥平面ABC，且交线为AC，又A1O⊂平面AA1C1C，∴A1O⊥平面ABC；（2）如图，以O为原点，OB，OC，OA1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．由已知可得O（0，0，0）A（0，-1，0），，平面A1BC1的法向量为，则有，所以的一组解为，设直线AB与平面A1BC1所成角为，则又∵，所以直线AB与平面A1BC1所成角的正弦值：．【点睛】本题考查了立体几何中的线面平行判定和直线与平面所成的角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.21．如图所示，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，点E为AD的中点，，平面ABCD，且（1）求证：；（2）线段PC上是否存在一点F，使二面角的余弦值是？若存在，请找出点F的位置；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见证明；（2）见解析【解析】（1）由题意，证得，再由线面垂直的性质，证得，利用线面垂直的判定定理，即可证得平面PEC，进而得到．（2）由（1）建立以H为坐标原点，HB、HC、HP所在直线分别为x，y，z轴的坐标系，由与共线，得，再求得平面CPD和平面CPD的一个法向量，利用向量的夹角公式即可求解.【详解】证明：（1）∵，，∴，，E为AD的中点，，≌，，，，，平面ABCD，平面ABCD，，又，且PH，平面PEC，平面PEC，又平面PEC，．解：(2)由(1)可知∽，由题意得，，，，，，，、EC、BD两两垂直，建立以H为坐标原点，HB、HC、HP所在直线分别为x，y，z 轴的坐标系，，，，，，假设线段PC上存在一点F满足题意，与共线，∴存在唯一实数，，满足，解得，设向量为平面CPD的一个法向量，且，，∴，取，得，同理得平面CPD的一个法向量，∵二面角的余弦值是，∴，由，解得【点睛】本题考查了立体几何中的线面平行判定和利用向量法求解二面角的应用问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.22．设椭圆的离心率为，左顶点到直线的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆C相交于A、B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点O，试探究：点O到直线AB的距离是否为定值？若是，求出这个定值；否则，请说明理由；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试求△AOB面积S的最小值．【答案】（1）（2）见解析；（3）【解析】（Ⅰ）由已知，根据点到直线的距离公式，求解，再由椭圆的离心率，求得，进而可求得椭圆的方程；（Ⅱ）法一：设，，①当直线l的斜率不存在时，求得点O到直线AB的距离为定值；②当直线l的斜率存在时，设其方程为联立方程组，根据根与系数的关系和题设条件，化简得，进而求得点O到直线AB的距离为定值.法二：设直线方程为，联立方程组，利用根与系数的关系和题设条件，化简得，进而得到点O到直线AB的距离为定值；（Ⅲ）法一：当直线OA、直线OB斜率存在且不为0时，设直线OA的斜率为k，联立方程组，进而求得面积的表达式，利用基本不等式，即可求解面积的最小值；法二：由（Ⅱ），①当直线l 的斜率不存在时，，②当直线l的斜率存在时，得出面积的表示，利用基本不等式求得最小值，即可得到答案.【详解】（Ⅰ）由已知，）因为故所求椭圆的方程为;（Ⅱ）法一：设，，①当直线l 的斜率不存在时，由椭圆对称性知，，因为以AB为直径的圆经过坐标原点O ，故，即又因为点在椭圆上，故，解得，此时点O到直线AB 的距离为②当直线l 的斜率存在时，设其方程为．联立得：所以，且由已知，以AB为直径的圆经过坐标原点O，则，化简得，故点O到直线AB 的距离为综上，点O到直线AB 的距离为定值法二：（若设直线方程为，也要对直线斜率为0进行讨论）设，第 21 页共 23 页①当直线l的斜率为0时，由椭圆对称性知x1=-x2，y1=y2，因为以AB为直径的圆经过坐标原点O ，故，即又因为点在椭圆上，故，解得，此时点O到直线AB 的距离为②当直线l的斜率不为0，或斜率不存在时，设其方程为．联立得：所以，故，即,所以,所以,化简得，故点O到直线AB 的距离为综上，点O到直线AB 的距离为定值（Ⅲ）法一：当直线OA、直线OB中有一条斜率不存在，另一条斜率为0时，易知S=1;当直线OA、直线OB斜率存在且不为0时，设直线OA的斜率为k，则直线OB 的斜率为，由得，同理故令，则第 22 页共 23 页故综上，△AOB面积S 的最小值为．法二：由（Ⅱ），①当直线l 的斜率不存在时，，②当直线l 的斜率存在时，，且点O到直线AB 的距离为，故，令，则，因为，故．综上，△AOB面积S 的最小值为．【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目时，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.第 23 页共 23 页。

大庆一中高二年级上学期第二月考数学试卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知是直线的倾斜角，则的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由可得，直线的斜率为，即，故选B.2. 用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（）A. 3B. 9C. 17D. 51【答案】D【解析】试题分析：因为，，，所以459和357的最大公约数是51；故选D．考点：算法的应用．3. 若直线与直线平行，则（）A. 2或-1B. 2C. -1D. 以上都不对【答案】C【解析】试题分析：由题意，，当时，方程为，即，方程为，两直线重合，不合题意，舍去，时，直线的方程分别为，，符合题意．所以．故选C．考点：两直线平行．4. 某校为了解1000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法（按等距的规则）抽取40名同学进行检查，将学生从11000进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为（）A. 16B. 17C. 18D. 19【答案】C【解析】试题分析：第一组用简单随机抽样抽取的号码为，选C．考点：系统抽样法5. 在中，角所对的边分别为，且满足，则一定是（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形【答案】A【解析】，，即，是三角形内角，，三角形为等腰三角形，故选A.6. 已知正四面体中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：如图，取中点，连接，因为是中点，则，或其补角就是异面直线所成的角，设正四面体棱长为1，则，，．故选B．考点：异面直线所成的角．.....................7. 若曲线与直线有公共点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】点睛：本题解答时充分借助题设条件，运用数形结合的数学思想及等价转化的数学思想将问题进行等价转化，然后数形结合从而使得问题简捷巧妙获解。

2017-2018学年数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.全集U R =，集合2{|20}A x x x =-->，{|128}x B x =<<，则()U C A B 等于（ ） A ．[1,3)- B ．(1,2] C ．(0,2] D ．(2,3)2.设1232,2()log (1),2x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则((2))f f 的值为（ ） A ．0 B ．2 C ．1 D ．33.等差数列{}n a 中，若20180S =，则6101115a a a a +++=（ ） A ．36 B ．45 C ．54 D ．634.设3log 6a =，5log 10b =，7log 14c =，则（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．c b a >> 5.设θ为第二象限角，若1tan()42πθ+=，则sin cos θθ+=（ ） A． B． CD6.设l 、m 、n 为三条直线，α为一个平面，给出下列： ①若l α⊥，则l 与α相交；②若m α⊂，n α⊂，l m ⊥，l n ⊥，则l α⊥； ③若//l m ，//m n ，l α⊥，则n α⊥； ④若//l m ，m α⊥，n α⊥，则//l n . 其中正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．47.一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（ ） A ．21 B．18．21 D ．188.将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（ ）A ．cos 2y x =B ．22cos y x = C ．1sin(2)4y x π=++D ．22sin y x =9.等腰三角形ABC 中，5AB AC ==，30B ∠=°，P 为BC 边中线上任意一点，则CP BC的值为（ ） A ．5 B ．252-C ．752-D ．75210.若(,)M x y 在直线210x y ++=上移动，则24xy+的最小值是（ ）A ．2B ．C ． D11.如图所示，三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，PA AC ==，则三棱锥P ABC -外接球的体积是（ ）A B ．83π C ．43π D ．2π12.已知函数()f x 对任意x R ∈都有(6)()2(3)f x f x f ++=，(1)y f x =-的图象关于点(1,0)对称，且(4)4f =，则(2012)f =（ ）A ．0B ．-16C ．-8D ．-4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量a ，b 满足0a b = ，||1a = ，||2b = ，则|2|a b -=______.14.若变量x ，y 满足约束条件211y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2x y +的最大值是________.15.平面上有相异两点2(cos ,sin )A θθ，(0,1)B ，直线AB 的倾斜角的取值范围是__________.16.已知数列{}n a 中，11a =，且*1(,)()n n P a a n N +∈在直线10x y -+=上，若函数1231111()nf n n a a a n a n a =++++++++ ，*(n N ∈且2)n ≥，则函数()f n 的最小值是________.三、解答题 ：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题满分10分） 直线l 过点(2,1)P -.（1）若直线l 与直线10x y +-=平行，求直线l 的方程； （2）若点(1,2)A --到直线l 的距离为1，求直线l 的方程. 18. （本题满分12分）已知函数2()cos 12sin f x x x x =+-，x R ∈. （1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）将函数()y f x =的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标先缩短到原来的12，把所得到的图象再向左平移6π单位，得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =在区间[0,]8π上的最小值.19. （本题满分12分）已知单调递增的等比数列{}n a 满足：23428a a a ++=，且32a +是2a ，4a 的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设12log n n n b a a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .20. （本题满分12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，且sin )sin )sin A c B b C =-+-.（1）求角A 的大小； （2）若a =cos 5B =，D 为AC 的中点，求BD 的长. 21. （本题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，12AA AC ==，1BC =，E ，F 分别是11AC ，BC 的中点. （1）求证：1AB C F ⊥； （2）求证：1//C F 平面ABE ； （3）求三棱锥E ABC -的体积.22. （本题满分10分）已知21()(0,0)ax bx f x x a x c++=≠>+是奇函数，且当0x >时，()f x有最小值（1）求()f x 的表达式；（2）设数列{}n a 满足12a =，*12()()n n n a f a a n N +=-∈.令11n n n a b a -=+，求证21n n b b +=； （3）求数列{}n b 的通项公式.大庆一中高二年级暑假作业检测数学试题参考答案1.C2.B3.A4.A5.B6.C7.C8.B9.C 10.D 11C 12.D13. 14.53； 15. 3(0,][,)44πππ ； 16. 712．17.解：（1）设直线方程为0x y c ++=，将(2,1)P -代入得1c =，即所求直线方程是10x y ++=. ………………5分（2）若直线l 的斜率不存在，则过P 的直线为2x =-，到A 的距离为1，满足题意； ………………6分若直线l 的斜率存在，设为k ，则l 的方程为210kx y k -++=.由A 到直线l 的距离为1，可得18.解：（1）因为2()cos 12sin 2cos 22sin(2)6f x x x x x x x π=+-=+=+，所以函数()f x 的最小正周期为T π=. ………………3分由222262k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，得()f x 的单调递增区间为[,]36k k ππππ-+，k Z ∈. ………………6分（2）根据条件得5()2sin(4)6g x x π=+. ………………8分 当[0,]8x π∈时，5544[,]663x πππ+∈. ……………10分 所以当8x π=时，min ()g x =. ……………12分19.解：（1）设数列{}n a 的首项是1a ，公比为q ，依题意有3242(2)a a a +=+， 代入23428a a a ++=，得38a =，∴2420a a +=，∴31121208a q a q a q ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得122a q =⎧⎨=⎩或13212a q =⎧⎪⎨=⎪⎩. 又数列{}n a 单调递增，∴122a q =⎧⎨=⎩，∴2n n a =. ………………6分（2）122log 22n n n n b n ==- , ………………7分1231222322n n S n -=+++ （1） 234121222322n n S n +-=+++ （2）∴（1）-（2）得231122222(1)22n n n n S n n ++=+++-=-- . ………………12分 20.解：（1）由正弦定理sin sin sin a b cA B C==，以及sin )sin )sin A c B b C =-⨯+-，))a c b b c ⨯=-⨯+-⨯.2222bc =-，222b c a =+-.所以222cos 22b c a A bc +-==. 又(0,)A π∈，所以4A π=. ………………6分（2）由cos B =，可得sin B ==所以cos cos[()]cos()(cos cos sin sin )C A B A B A B A B π=-+=-+=--=-=由正弦定理sin sin a bA B =，可得sin 2sin a B b A===.所以112CD AC ==.故在BCD ∆中，由余弦定理得，222222cos 121(1310BD BC CD BC CD C =+-⨯=+-⨯-=.所以BD =………………12分21.证明：（1）由1BB ⊥平面ABC 得1AB BB ⊥.又AB BC ⊥，并且1BB BC B ⋂=，故AB ⊥平面11B BCC .因为1C F ⊂平面11B BCC ，所以1AB C F ⊥. ………………4分（2）证明:取AB 的中点G ，连接EG ，FG .因为E ，F ，G 分别是11AC ，BC ，AB 的中点，所以//FG AC ， 且12FG AC =，11112EC AC =. 因为11//AC AC ，且11AC AC =， 所以1//FG EC ，且1FG EC =，所以四边形1FGEC为平行四边形，所以1//C F EG.又因为EG⊂平面ABE，1C F⊄平面ABE，所以1//C F平面ABE. ………………8分（3）因为12AA AC==，1BC=，AB BC⊥，所以AB=所以三棱锥E ABC-的体积1111123323ABCV S AA∆=∙=⨯⨯=. ………………12分22.解：（1）∵()f x是奇函数，∴有()()f x f x-=-，即有2211ax bx ax bxx c x c-+++=--++. 整理得2()b ac x c-=对0x≠恒成立. ∴有b acc=⎧⎨=⎩，∴0b c==.∴21()axf xx+=.∵0a>，∴当0x>时，，∴1()f x axx=+≥=∴2a=.∴221()xf xx+=．…………4分（2）2121112()2nn n n n n n nn n naa f a a a a a aa a a++=-=-=+-=+.∵11nnnaba-=+，∴211121112122212112212nn n n n nnn n n nnnaa a a a aba a a aaa++++++----+====++++++2222(1)1()(1)1n n n n n a a b a a --===++. ………………8分（3）∵120a =>，∴2211()01n n n n a b b a +-==>+.取对数得21lg lg 2lg n n n b b b +==. 由11n n n a b a -=+得1n b ≠，∴lg 0n b ≠. ∴有1lg 2lg n n b b +=为常数. ∴数列1lg {}lg n nb b +为等比数列. ∵11112111213a b a --===++，∴1121111lg (lg )22lg lg()333n n n n b ---=== .∴11()23n n b -=. ………………12分。

2017-2018学年黑龙江省大庆中学高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5.00分）已知集合A={x|2x﹣1＜0}，B={x|0≤x≤1}，那么A∩B等于（）A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{x|0＜x＜}D．{x|0≤x＜}2．（5.00分）若cosx=，且x为第四象限的角，则tanx的值等于（）A．B．﹣C．D．﹣3．（5.00分）函数y=x|x|的图象的形状大致是（）A． B．C．D．4．（5.00分）已知，则m等于（）A．B．C．D．5．（5.00分）已知f（x）=atanx﹣bx5+cx﹣3，f（﹣3）=7，则f（3）的值为（）A．﹣13 B．13 C．7 D．﹣76．（5.00分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且有f（3）＞f（1）．则下列各式中一定成立的是（）A．f（﹣1）＜f（3）B．f（0）＜f（5）C．f（3）＞f（2）D．f（2）＞f（0）7．（5.00分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=5x+m（m 为常数），则f（﹣log57）的值为（）A．4 B．﹣4 C．6 D．﹣68．（5.00分）函数y=的图象与函数y=2sinπx，（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A．8 B．6 C．4 D．29．（5.00分）已知tanα，是关于x的方程x2﹣kx+k2﹣3=0的两个实根，且3π＜α＜π，则cosα+sinα=（）A．B．C．﹣D．﹣10．（5.00分）已知函数，函数相邻两个零点之差的绝对值为，则函数f（x）图象的对称轴方程可以是（）A．B．C．D．11．（5.00分）已知的最大值为A，若存在实数x1，x2使得对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A|x1﹣x2|的最小值为（）A．B．C．D．12．（5.00分）已知f（x）是定义在[﹣4，4]上的奇函数，当x＞0时，f（x）=﹣x2+4x，则不等式f[f（x）]＜f（x）的解集为（）A．（﹣3，0）∪（3，4]B．（﹣4，﹣3）∪（1，2）∪（2，3）C．（﹣1，0）∪（1，2）∪（2，3）D．（﹣4，﹣3）∪（﹣1，0）∪（1，3）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5.00分）已知f（x）=4x﹣2x+1﹣3，则f（x）＜0的解集为．14．（5.00分）已知sin（﹣x）=﹣，且x为第二象限角，则cos（x+）=．15．（5.00分）已知，x是第二、三象限角，则a的取值范围是．16．（5.00分）关于x的方程4cosx﹣cos2x+m﹣3=0恒有实数解，则实数m的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10.00分）已知角α的终边经过点P（，﹣）．（1）求sinα的值；（2）求﹣的值．18．（12.00分）已知sinα+cosα=，且0＜α＜π．（1）求tanα的值；（2）求的值．19．（12.00分），已知函数（x∈R）．（1）求f（x）的最小正周期及对称点；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值，并分别写出相应的x的值．20．（12.00分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=x2﹣2x．（1）求f（0）及f（f（1））的值；（2）求函数f（x）在（﹣∞，0）上的解析式；（3）若关于x的方程f（x）﹣m=0有四个不同的实数解，求实数m的取值范围．21．（12.00分）已知函数f（x）=Asin（wx+φ）（x∈R，w＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数g（x）=f（x﹣）﹣f（x+）的单调递增区间．22．（12.00分）设函数y=f（x）的定义域为R，并且满足f（x+y）=f（x）+f（y），f（）=1，当x＞0时，f（x）＞0．（1）求f（0）的值；（2）判断函数的奇偶性；（3）如果f（x）+f（2+x）＜2，求x的取值范围．2017-2018学年黑龙江省大庆中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5.00分）已知集合A={x|2x﹣1＜0}，B={x|0≤x≤1}，那么A∩B等于（）A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{x|0＜x＜}D．{x|0≤x＜}【解答】解：∵集合A={x|2x﹣1＜0}={x|x＜}，B={x|0≤x≤1}，∴A∩B={0}．故选：D．2．（5.00分）若cosx=，且x为第四象限的角，则tanx的值等于（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：∵x为第四象限的角，cosx=，∴sinx=﹣=﹣，于是tanx==﹣，故选：D．3．（5.00分）函数y=x|x|的图象的形状大致是（）A． B．C．D．【解答】解：当x＞0时，y=x|x|=x2＞0，故此时函数图象在第一象限，当x＜0时，y=x|x|=﹣x2＜0，故此时函数图象在第三象限，故函数的图象过一，三象限，故选：A．4．（5.00分）已知，则m等于（）A．B．C．D．【解答】解：设，则x=2t+2，∴f（t）=4t+7，∴f（m）=4m+7=6，解得m=﹣．故选：A．5．（5.00分）已知f（x）=atanx﹣bx5+cx﹣3，f（﹣3）=7，则f（3）的值为（）A．﹣13 B．13 C．7 D．﹣7【解答】解：根据题意，设g（x）=f（x）+3=atanx﹣bx5+cx，则g（﹣x）=atan（﹣x）﹣b（﹣x）5+c（﹣x）=﹣（atanx﹣bx5+cx）=﹣g（x），则函数g（x）为奇函数，又由f（﹣3）=7，则g（﹣3）=f（﹣3）+3=10，则g（3）=f（3）+3=﹣g（﹣3）=﹣10，则f（3）=﹣13，故选：A．6．（5.00分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且有f（3）＞f（1）．则下列各式中一定成立的是（）A．f（﹣1）＜f（3）B．f（0）＜f（5）C．f（3）＞f（2）D．f（2）＞f（0）【解答】解：∵函数f（x）是偶函数，∴由f（3）＞f（1）．得f（3）＞f（﹣1）．故选：A．7．（5.00分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=5x+m（m 为常数），则f（﹣log57）的值为（）A．4 B．﹣4 C．6 D．﹣6【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0，∵当x≥0时，f（x）=5x+m，∴f（0）=1+m=0，解得：m=﹣1，故f（x）=5x﹣1，∴f（﹣log57）=﹣f（log57）=﹣（7﹣1）=﹣6，故选：D．8．（5.00分）函数y=的图象与函数y=2sinπx，（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A．8 B．6 C．4 D．2【解答】解：函数y1=，y2=2sinπx的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象，如图，当1＜x≤4时，y1＜0而函数y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在（1，）和（，）上是减函数；在（，）和（，4）上是增函数．∴函数y1在（1，4）上函数值为负数，且与y2的图象有四个交点E、F、G、H相应地，y1在（﹣2，1）上函数值为正数，且与y2的图象有四个交点A、B、C、D且：x A+x H=x B+x G=x C+x F=x D+x E=2，故所求的横坐标之和为8．故选：A．9．（5.00分）已知tanα，是关于x的方程x2﹣kx+k2﹣3=0的两个实根，且3π＜α＜π，则cosα+sinα=（）A．B．C．﹣D．﹣【解答】解：∵已知是关于x的方程x2﹣kx+k2﹣3=0的两个实根，∴tanα+=k，tanα•=k2﹣3=1．∵，∴k＞0，∵k2 =4，∴k=2，∴tanα=1，∴α=3π+，则cosα=﹣，sinα=﹣，则cosα+sinα=﹣，故选：C．10．（5.00分）已知函数，函数相邻两个零点之差的绝对值为，则函数f（x）图象的对称轴方程可以是（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数相邻两个零点之差的绝对值为，∴f（x）的周期T=π，∴ω==2．∴f（x）=3sin（2x﹣）．令2x﹣=．解得x=，∴当x=﹣1时，f（x）的对称轴为x=﹣．故选：B．11．（5.00分）已知的最大值为A，若存在实数x1，x2使得对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A|x1﹣x2|的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：=sin2017xcos+cos2017xsin+cos2017xcos+sin2017xsin=sin2017x+cos2017x+cos2017x+sin2017x=sin2017x+cos2017x=2sin（2017x+）．或==2sin（2017x+）．∴f（x）的最大值为A=2；由题意得，|x1﹣x2|的最小值为=，∴A|x1﹣x2|的最小值为．故选：B．12．（5.00分）已知f（x）是定义在[﹣4，4]上的奇函数，当x＞0时，f（x）=﹣x2+4x，则不等式f[f（x）]＜f（x）的解集为（）A．（﹣3，0）∪（3，4]B．（﹣4，﹣3）∪（1，2）∪（2，3）C．（﹣1，0）∪（1，2）∪（2，3）D．（﹣4，﹣3）∪（﹣1，0）∪（1，3）【解答】解：∵f（x）是定义在[﹣4，4]上的奇函数，∴当x=0时，f（0）=0，下面求x∈[﹣4，0）时的f（x）的表达式，设x∈[﹣4，0），则﹣x∈（0，4]，又∵当x＞0时，f（x）=﹣x2+4x，∴f（﹣x）=﹣（﹣x）2+4（﹣x）=﹣x2﹣4x，又f（x）是定义在[﹣4，4]上的奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=x2+4x，∴f（x）=，令f（x）=0，解得x=﹣4或0或4，当x∈[﹣4，0]时，不等式f[f（x）]＜f（x），即（x2+4x）2+4（x2+4x）＜x2+4x，化简得（x2+4x）2+3（x2+4x）＜0，解得x∈（﹣4，﹣3）∪（﹣1，0）；当x∈（0，4]时，不等式f[f（x）]＜f（x），即﹣（﹣x2+4x）2+4（﹣x2+4x）＜﹣x2+4x，化简得﹣（﹣x2+4x）2+3（﹣x2+4x）＜0，解得x∈（1，3）；综上所述，x∈（﹣4，﹣3）∪（﹣1，0）∪（1，3），故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5.00分）已知f（x）=4x﹣2x+1﹣3，则f（x）＜0的解集为{x|x＜log23} ．【解答】解：由题意，4x﹣2x+1﹣3＜0，∴（2x﹣3）（2x+1）＜0，∴2x＜3，∴x＜log23，∴f（x）＜0的解集为{x|x＜log23}．故答案为：{x|x＜log23}．14．（5.00分）已知sin（﹣x）=﹣，且x为第二象限角，则cos（x+）=﹣．【解答】解：设﹣x=θ，则x=﹣θ，则sin（﹣x）==sinθ，则cos（x+）=cos（﹣θ+）=cos（﹣θ）=sinθ=﹣，故答案为：﹣15．（5.00分）已知，x是第二、三象限角，则a的取值范围是（﹣1，）．【解答】解：∵x是第二、三象限角，∴﹣1＜＜0，∴，即，∴﹣1＜a＜，故a的取值范围是（﹣1，），故答案为：（﹣1，）．16．（5.00分）关于x的方程4cosx﹣cos2x+m﹣3=0恒有实数解，则实数m的取值范围是[0，8] ．【解答】解：设t=cosx，则﹣1≤t≤1；∴原方程等价为﹣t2+4t+m﹣3=0，即m=t2﹣4t+3；∵y=t2﹣4t+3=（t﹣2）2﹣1，∴当﹣1≤t≤1时，函数y=t2﹣4t+3=（t﹣2）2﹣1单调递减，∴0≤y≤8，∴要使方程有解，则必有0≤m≤8．∴实数m的取值范围是[0，8]．故答案为：[0，8]．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10.00分）已知角α的终边经过点P（，﹣）．（1）求sinα的值；（2）求﹣的值．【解答】解：（1）∵角α的终边经过点P（，﹣），∴x=，y=﹣，r=|OP|=1，由正弦函数的定义得sinα==﹣．（2）由（1）可得cosα==，tanα==﹣，﹣=﹣=﹣=﹣=．18．（12.00分）已知sinα+cosα=，且0＜α＜π．（1）求tanα的值；（2）求的值．【解答】解：（1）∵sinα+cosα=，且0＜α＜π，sin2α+cos2α=1，∴sinα=，cosα=﹣，∴tanα==﹣3；（2）== =﹣．19．（12.00分），已知函数（x∈R）．（1）求f（x）的最小正周期及对称点；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值，并分别写出相应的x的值．【解答】（满分12分）（1）解：原式=====，…（5分）所以f（x）的最小正周期为．当时，，…（6分）（2）∵，∴，当，即时，；当，即时，．…（12分）20．（12.00分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=x2﹣2x．（1）求f（0）及f（f（1））的值；（2）求函数f（x）在（﹣∞，0）上的解析式；（3）若关于x的方程f（x）﹣m=0有四个不同的实数解，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）根据题意，当x≥0时，f（x）=x2﹣2x；则f（0）=0，f（1）=1﹣2=﹣1，又由函数f（x）为偶函数，则f（1）=f（﹣1）=﹣1，则f（f（1））=f（﹣1）=﹣1；（2）设x＜0，则﹣x＞0，则有f（﹣x）=（﹣x）2﹣2（﹣x）=x2+2x，又由函数f（x）为偶函数，则f（x）=f（﹣x）=x2+2x，则当x＜0时，f（x）=x2+2x，（3）若方程f（x）﹣m=0有四个不同的实数解，则函数y=f（x）与直线y=m有4个交点，而y=f（x）的图象如图：分析可得﹣1＜m＜0；故m的取值范围是（﹣1，0）．21．（12.00分）已知函数f（x）=Asin（wx+φ）（x∈R，w＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数g（x）=f（x﹣）﹣f（x+）的单调递增区间．【解答】解：（1）由图可知，可得T=π，则，则ω=2，又图象经过（，0），故有2×+φ=kπ，k∈Z，得φ=﹣+kπ，又0＜φ＜，取φ=．过（0，1）点，所以Asinφ=1，可得A=2．得f（x）=2sin（2x+）．（2）g（x）=f（x﹣）﹣f（x+）=2sin[2（x﹣）+]﹣2sin[2（x+）+]=2sin2x﹣2sin（2x+）=2sin2x﹣2sin2xcos﹣2cos2xsin=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣），由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，所以g（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．22．（12.00分）设函数y=f（x）的定义域为R，并且满足f（x+y）=f（x）+f（y），f（）=1，当x＞0时，f（x）＞0．（1）求f（0）的值；（2）判断函数的奇偶性；（3）如果f（x）+f（2+x）＜2，求x的取值范围．【解答】解：（1）∵函数y=f（x）的定义域为R，令x=y=0，则f（0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0；（2）令y=﹣x，得f（0）=f（x）+f（﹣x）=0，∴f（﹣x）=﹣f（x），故函数f（x）是R上的奇函数；（3）f（x）是R上的增函数，证明如下：任取x1，x2∈R，x1＜x2，则x2﹣x1＞0∴f（x2）﹣f（x1）=f（x2﹣x1+x1）﹣f（x1）=f（x2﹣x1）+f（x1）﹣f（x1）=f（x2﹣x1）＞0∴f（x1）＜f（x2）故f（x）是R上的增函数．由f（）=1，∴f（）=f（）=f（）+f（）=2那么f（x）+f（2+x）＜2，可得f（2+2x）＜f（）∵f（x）是R上的增函数．∴2+2x解得：x故得x的取值范围是（﹣∞，）。