2020年湖北省高考数学(文科)模拟试卷(3)

2020年高考文科数学模拟试卷（三）时间：120分钟分值：150分注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A.B.C.D.2.设命题，则为（）A.B.C.D.3.已知向量满足，则与的夹角为（）A. B.C. D.4.椭圆C：的右焦点为F，过F作轴的垂线交椭圆C于A，B两点，若△OAB是直角三角形(O为坐标原点)，则C的离心率为（）A. B.C. D.5.下列函数中，既是奇函数，又在区间(0，1)内是增函数的是（）A. B.C. D.6.如图1，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M，N，Q分别是线段AD1，B1C，C1D1上的动点，当三棱锥Q—BMN的正视图如图2所示时，此三棱锥俯视图的面积为（）A. 1B. 2C.D.7.执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A. －2B.C. 3D.8.以正方体各面中心为顶点构成一个几何体，从正方体内任取一点P，则P落在该几何体内的概率为（）A. B.C. D.9.函数在上的值域为（）A. B.C. D.10.双曲线左、右焦点为F1，F2，直线与C的右支相交于P，若，则双曲线C渐近线方程为（）A. B. C.D.11.电子计算机诞生于20世纪中叶，是人类最伟大的技术发明之一．计算机利用二进制存储信息，其中最基本单位是“位(bit)”，1位只能存放2种不同的信息：0或l ，分别通过电路的断或通实现．“字节(Byte)”是更大的存储单位，1Byte=8bit ，因此1字节可存放从00000000(2)至11111111(2)共256种不同的信息．将这256个二进制数中，所有恰有相邻两位数是1其余各位数均是0的所有数相加，则计算结果用十进制表示为 （ ） A. 254 B. 381C. 510D. 76512.函数的零点个数是 （ ）A. 0B. 1C. 2D. 与a 有关 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13.若,x y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则43z x y =+的最大值为__________．14.平均数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2019，则该数列的首项为__________． 15.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.现有抛物线22(0)y px p =>，如图一平行于x 轴的光线射向抛物线，经两次反射后沿平行x 轴方向射出，若两平行光线间的最小距离为4，则该抛物线的方程为__________．16.连接正方体每个面的中心构成一个正八面体，则该八面体的外接球与内切球体积之比为______．三、解答题：共70分。

湖北省2020年高考文科数学模拟试题及答案（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．集合A ＝{1，2，3}，B ＝{2，4，5}，则A ∪B ＝( )A ．{2}B ．{6}C ．{1，3，4，5，6}D ．{1，2，3，4，5} 2．设p ：log 2x 2>2，q ：x >2，则p 是q 成立的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3. 下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是（ ） A. 3y x =B. y x 1=-C. y x 1=-D. xy 2=4. 已知{a n }为递增的等差数列，a 4+a 7=2，a 5•a 6=-8，则公差d=（ ） A. 6B. 6-C. 2-D. 45. 根据新高考改革方案，某地高考由文理分科考试变为“3+3”模式考试．某学校为了解高一年425名学生选课情况，在高一年下学期进行模拟选课，统计得到选课组合排名前4种如下表所示，其中物理、化学、生物为理科，政治、历史、地理为文科，“√”表示选择该科，“×”表示未选择该科，根据统计数据，下列判断错误．．的是A. 前4种组合中，选择生物学科的学生更倾向选择两理一文组合B. 前4种组合中，选择两理一文的人数多于选择两文一理的人数C. 整个高一年段，选择地理学科的人数多于选择其他任一学科的人数D. 整个高一年段，选择物理学科的人数多于选择生物学科的人数6. 已知函数，且，则以下结论正确的是 A.B.C.D.7. 1927年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，对它乘3再加1，如果它是偶数，对它除以2，这样循环，最终结果都能得到1．如图是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图，则①处应填写的条件及输出的结果分别为A. 是奇数？；B. 是偶数？；C. 是奇数？；D. 是偶数？；8. 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的()(),2x R f x f x ∈+=，当01x ≤≤，()2f x x =，若直线y x a =+与函数()f x 的图像在[]0,2内恰有两个不同的公共点，则实数的值是（ ）A. 0B. 0或12-C.14-或12-D. 0或14- 9. 据中国古代数学名著《九章算术》中记载，公元前344年，先秦法家代表人物商鞅督造一种标准量器一商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），其体积为12.6立方寸.若取圆周率3π=，则图中x 值为（ ）A. 1.5B. 2C. 3D. 3.110. 若tan()34πα+=-，则2sin 2cos αα-=（ ）A.35 B. 25-C. -1D. 311.已知双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ,过2F 作垂直于实轴的弦PQ ,若12PF Q π∠=,则C 的离心率e 为( )112 12. 已知()f x 是定义域为R 的偶函数,且在()0,+∞单调递增,设21log 3m f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,()0.17n f -=, ()4log 25p f =,则,,m n p 的大小关系为( )A.m p n >>B.p n m >>C.p m n >>D.n p m >> 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（文史类）本试题卷共5页，22题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用统一提供的2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试题卷、草稿纸上无效。

3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试题卷、草稿纸上无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2}A =，{2,3,4}B =，则U B A =I ðA ．{2}B ．{3,4}C ．{1,4,5}D ．{2,3,4,5}2．已知π04θ<<，则双曲线1C ：22221sin cos x y θθ-=与2C ：22221cos sin y x θθ-=的 A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．离心率相等 D ．焦距相等3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为A ．()p ⌝∨()q ⌝B ．p ∨()q ⌝C ．()p ⌝∧()q ⌝D ．p ∨q4．四名同学根据各自的样本数据研究变量,x y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分 别得到以下四个结论：① y 与x 负相关且$2.347 6.423y x =-； ② y 与x 负相关且$3.476 5.648y x =-+；③ y 与x 正相关且$5.4378.493y x =+； ④ y 与x 正相关且$ 4.326 4.578y x =--. 其中一定不正确．．．的结论的序号是 A ．①② B ．②③ C ．③④ D ． ①④5．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是6．将函数3sin ()y x x x =+∈R 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图距学校的距离 距学校的距离 距学校的距离 时间 时间 时间 时间O O OO 距学校的距离象关于y 轴对称，则m 的最小值是A ．π12B ．π6C ．π3D ．5π67．已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ，则向量AB u u u r 在CD u u u r 方向上的投影为 A 32B 315 C ．32D ．3158．x为实数，[]x表示不超过x的最大整数，则函数()[]=-在R上为f x x xA．奇函数B．偶函数C．增函数D．周期函数9．某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆．则租金最少为A．31200元B．36000元C．36800元D．38400元10．已知函数()(ln)f x x x ax=-有两个极值点，则实数a的取值范围是A．(,0)-∞B．1(0,)2C．(0,1)D．(0,)+∞二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11．i 为虚数单位，设复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于原点对称，若123i z =-，则2z = .12．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4则（Ⅰ）平均命中环数为 ； （Ⅱ）命中环数的标准差为 .13．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序. 若输入m 的值为2，则输出的结果i = .否A A m =⨯1i i =+输入m1, 1, 0A B i ===开始结束是?A B <输出i 第13题图 B B i =⨯14．已知圆O ：225x y +=，直线l ：cos sin 1x y θθ+=（π02θ<<）.设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k = .15．在区间[2,4]-上随机地取一个数x ，若x 满足||x m ≤的概率为56， 则m = .16．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸，则平地降雨量是 寸.（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）17．在平面直角坐标系中，若点(,)P x y的坐标x，y均为整数，则称点P为格点. 若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形. 格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L. 例如图中△ABC是格点三角形，对应的1S=，0N=，4L=.（Ⅰ）图中格点四边形DEFG对应的,,S N L分别是；（Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为S aN bL c=++，其中a，b，c为常数.若某格点多边形对应的71N=，18L=，则S=（用数值作答）.第17题图三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c. 已知cos23cos()1-+=.A B C（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积53S=，5B C的值.b=，求sin sin19．（本小题满分13分）已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，4S ，2S ，3S 成等差数列，且23418a a a ++=-. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数n ，使得2013n S ≥？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．20．（本小题满分13分）如图，某地质队自水平地面A ，B ，C 三处垂直向地下钻探，自A 点向下钻到A 1处发现矿藏，再继续下钻到A 2处后下面已无矿，从而得到在A 处正下方的矿层厚度为121A A d =．同样可得在B ，C 处正下方的矿层厚度分别为122B B d =，123C C d =，且123d d d <<. 过AB ，AC 的中点M ，N 且与直线2AA 平行的平面截多面体111222A B C A B C -所得的截面DEFG 为该多面体的一个中截面，其面积记为S 中． （Ⅰ）证明：中截面DEFG 是梯形；（Ⅱ）在△ABC 中，记BC a =，BC 边上的高为h ，面积为S . 在估测三角形ABC 区域内正下方的矿藏储量（即多面体111222A B C A B C -的体积V ）时，可用近似公式V S h =⋅估中来估算. 已知1231()3V d d d S =++，试判断V 估与V 的大小关系，并加以证明.第20题图21．（本小题满分13分）设0a >，0b >，已知函数()1ax bf x x +=+. （Ⅰ）当a b ≠时，讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）当0x >时，称()f x 为a 、b 关于x 的加权平均数.（i ）判断(1)f , ()b f a ,()bf a是否成等比数列，并证明()()b b f f a a ≤； （ii ）a 、b 的几何平均数记为G . 称2aba b+为a 、b 的调和平均数，记为H . 若()H f x G ≤≤，求x 的取值范围.22．（本小题满分14分）如图，已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ，长轴均为MN 且在x 轴上，短轴长分别为2m ，2()n m n >，过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ，2C 的四个交点按纵坐标从 大到小依次为A ，B ，C ，D ．记mnλ=，△BDM 和△ABN 的面积分别为1S 和2S . （Ⅰ）当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，求λ的值；（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=？并说明理由．O x yBA 第22题图CDMN。

2020年湖北省黄冈八模高考数学模拟试卷(文科)(三)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.满足{−1,0，1}⊊M⊆{−1，0，1，2，3，4}的集合M的个数是()A. 4个B. 6个C. 7个D. 8个2.已知复数z=1+3i，则下列说法正确的是()1−iA. z的共轭复数为−1−2iB. z的虚部为2iC. |z|=5D. z在复平面内对应的点在第三象限3.关于x的不等式−x2+2x−m<0在R上恒成立的一个充要条件是()A. m>−1B. 1<m<2C. m>2D. m>14.函数y=sinx+1的大致图象是()xA. B.C. D.5.在等差数列{a n}中，S10=120，那么a1+a10的值是()A. 12B. 24C. 36D. 486.已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3，则()A. a<b<cB. a<c<bC. c<a<bD. b<c<a7.若点(1,−3)在圆(x−2)2+(y+1)2=m的内部，则实数m的取值范围是()A. 0<m<10B. 0<m<5C. m>5D. m<58.如果给出的是计算2+4+6+⋯+2014的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是()A. i≤1007B. i>1007C. i≤1008D. i>10089.如图1为某省2018年1～4月快递义务量统计图，图2是该省2018年1～4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是()A. 2018年1～4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B. 2018年1～4月的业务量同比增长率超过50%，在3月最高C. 从两图来看，2018年1～4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D. 从1～4月来看，该省在2018年快递业务收入同比增长率逐月增长10.设双曲线x2a2−y216=1(a>0)的一条渐进线方程为2x−y=0，则a的值为()A. 4B. 3C. 2D. 111.中国折叠扇有着深厚的文化底蕴．如图(2)，在半圆O中作出两个扇形OAB和OCD，用扇环形ABDC(图中阴影部分)制作折叠扇的扇面．记扇环形ABDC的面积为S1，扇形OAB的面积为S2，当S1与S2的比值为√5−12时，扇面的形状较为美观，则此时扇形OCD的半径与半圆O的半径之比为()A. √5+14B. √5−12C. 3−√5D. √5−212.如图，在棱长为4的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E为AA1的中点，在对角面BDD1B1上取一点M，使AM+ME最小，其最小值为()A. 4+2√2B. 6C. 4+2√5D. 4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若a⃗=(1,−1)，b⃗ =(2,x)且a⃗在(a⃗−b⃗ )上的投影为−1，则x=______ ．14.江苏高考新方案计入高考总分的考试科目为“3+1+2”，不分文理，共6门．其中“2”为从思想政治、地理、化学、生物4门选择性考试科目中选择2门．现有某学生从4门选择性考试科目中任意选择2门，则其中一门为化学的概率是．15.在△ABC中，已知a=√5，b=√15，A=30°，则角B=______ ．16.若函数的最小值为1，则实数a的值为________．e三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等比数列{a n}的前n项和S n=2n+r．(Ⅰ)求实数r的值和{a n}的通项公式；(Ⅱ)若数列{b n}满足b1=1，b n+1−b n=log2a n+1，求b n．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB=BC=CD=DA=2，PA=1，∠BAD=120°，E为BC的中点．(1)求证：AE⊥平面PAD；(2)若F为CD的中点，求点D到平面PEF的距离．19.某医院对治疗支气管肺炎的两种方案A，B进行比较研究，将志愿者分为两组，分别采用方案A和方案B进行治疗，统计结果如下：有效无效合计使用方案A组96120使用方案B组72合计32(Ⅰ)完成上述列联表，并比较两种治疗方案有效的频率；(Ⅱ)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为治疗是否有效与方案选择有关？，其中n=a+b+c+d附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K20.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001≥k0)k00.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82820.已知椭圆C：x2a +y2b=1(a>b>0)的离心率为45，左、右焦点分别为F1，F2，焦距为8．(1)求该椭圆的标准方程；(2)若点M(x0,2)是该椭圆上的一点，且它位于第一象限，点N是椭圆的下顶点，求四边形F1MF2N的面积．21.已知函数f(x)=2x3−ax2+1(a∈R)．(1)若a=−3，求f(x)的极值；(2)若f(x)在(0,+∞)内有且仅有一个零点，求f(x)在区间[−2,2]上的最大值、最小值．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=√3cosαy=sinα(α为参数)，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=2√2．(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．23.设函数f(x)=|x+a|+|x−a|．(1)当a=1时，解不等式f(x)≥4；(2)若f(x)≥6在x∈R上恒成立，求实数a的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：由{−1,0，1}⊊M⊆{−1，0，1，2，3，4}，知集合M中必有元素−1，0，1，并且还有元素2，3，4中的1个或2个或3个，由此能求出满足条件的集合M的个数．本题考查集合的包含关系的判断及其应用，解题时要认真审题，仔细解答．解：∵{−1,0，1}⊊M⊆{−1，0，1，2，3，4}，∴M={−1,0，1，2}或M={−1,0，1，3}或M={−1,0，1，4}或M={−1,0，1，2，3}或M={−1,0，1，2，4}或M={−1,0，1，3，4}或M={−1,0，1，2，3，4}，故有7个，故选：C．2.答案：A解析：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了复数的概念、复数的模与几何意义，属于基础题．利用复数的运算法则化简得z，再逐一判断即可得出．解：复数z=1+3i1−i =(1+3i)(1+i)(1−i)(1+i)=−2+4i2=−1+2i，∴z=−1−2i，z的虚部为2，|z|=√5，z在复平面内对应的点在第二象限．故选：A．3.答案：D解析：本题考查不等式恒成立问题以及充要条件，属基础题．根据不等式恒成立可得Δ<0，进而求出答案．解：不等式−x2+2x−m<0在R上恒成立，可以得到Δ=4−4m<0，∴m>1，即关于x的不等式−x2+2x−m<0在R上恒成立的一个充要条件是1"" title="latexImg" />，故选D．4.答案：A解析：解：函数y=sinx+1x是定义域(−∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数，其图象关于原点对称，排除选项D；当x∈(0,π)时，sinx>0，∴sinx+1x>0，f(x)的图象在x轴上方，排除选项B；当x=3π2时，sin3π2+23π=−1+23π<0，f(x)的图象在x轴下方，排除选项C；∴函数y=sinx+1x的大致图象为选项A．故选：A．根据函数的奇偶性，单调性和最值，利用排除法，对选项中的函数y=sinx+1x的图象分析、判断即可．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是中档题．5.答案：B解析：解：S10=12×10(a1+a10)=120，所以a1+a10=24故选：B．根据等差数列的求和公式，即可求出a1+a10的值．本题考查了等差数列的求和公式，属于基础题．6.答案：B解析：本题考查利用对数函数与指数函数的性质比较大小，属于基础题．由指数函数和对数函数的单调性易得log20.2<0，20.2>1，0<0.20.3<1，从而得出a，b，c的大小关系．解：因为a=log20.2<log21=0，b=20.2>20=1，0<c=0.20.3<0.20=1，所以a<c<b．故选B．7.答案：C解析：此题考查点与圆的位置关系的应用，是一道基础题．根据点P在圆的内部，得到点P到圆心的距离小于半径，利用两点间的距离公式列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的取值范围．解：∵(1,−3)在圆(x−2)2+(y+1)2=m的内部，∴√(1−2)2+(−3+1)2<√m，解得m>5．故选C．8.答案：A解析：解：∵算法的功能是计算2+4+6+⋯+2014的值，∴跳出循环的i值为1008，∴判断框内的条件应是i≤1007或i<1008．故选：A．根据算法的功能是计算2+4+6+⋯+2014的值，确定跳出循环的i值为1008，由此可得判断框内的条件．本题考查了循环结构的程序框图，根据算法的功能确定跳出循环的i值是关键．9.答案：D解析：本题主要考查合情推理的应用，结合统计数据进行判断是解决本题的关键，属于基础题．根据统计图，结合对应数据分别进行判断即可．解：选项A，B显然正确；对于选项C，2月份业务量同比增长率为53%，而收入的同比增长率为30%，所以C是正确的；对于选项D，1，2，3，4月收入的同比增长率分别为55%，30%，60%，42%，并不是逐月增长，D错误，故选D．10.答案：C解析：解：双曲线x2a2−y216=1(a>0)的一条渐进线方程为2x−y=0，可得4a=2，解得a=2．故选：C．利用双曲线的渐近线方程，列出方程求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．11.答案：B解析：本题考查扇形的面积公式的运用，属于基础题．由题意，设∠AOB=θ，半圆O的半径为r，扇形OCD的半径为r1，得到S1S2=12θr2−12θr1212θr2=√5−12，计算即可得到r1r的比值．解：由题意，设∠AOB=θ，半圆O的半径为r，扇形OCD的半径为r1，依题意有：S1S2=12θr2−12θr1212θr2=√5−12，即r2−r12r2=√5−12，所以r12r2=3−√52=6−2√54=(√5−12)2，即r1r =√5−12，故选B．12.答案：B 解析：本题主要考查棱柱的结构特征，以及数学中转化与化归的思想．设棱CC1的中点为F，由正方体的对称性，则可知ME=MF，因为两点之间线段最短，连接AF求解即可．解：取CC1的中点F，由正方体的对称性可知，ME=MF，∴AM+ME=AM+MF⩾AF=√42+42+22=6，故选B．13.答案：−1解析：解：∵a⃗=(1,−1)，b⃗ =(2,x)，∴a⃗−b⃗ =(−1,−1−x)，|a⃗−b⃗ |=√x2+2x+2，a⃗⋅(a⃗−b⃗ )=−1+x+1=x，=1，∴a⃗在(a⃗−b⃗ )上的投影为√x2+2x+2即x2=x2+2x+2，x=−1，故答案为：−1．，求解即可．根据坐标得出a⃗−b⃗ =(−1,−1−x)，利用公式：a⃗在(a⃗−b⃗ )上的投影=a⃗ ⋅(a⃗ −b⃗)|a⃗ −b⃗|本题简单的考查了平面向量的坐标运算，投影的概念，运算，转化为方程求解，属于基础题．14.答案：12解析：本题考查古典概型的计算与应用，属于基础题．由题意，得出所有基本事件总数及学生选择2门，其中一门为化学的所有可能，然后利用古典概型求解即可．解：由已知所有的选科组合有C42=6种，学生选择2门，其中一门为化学，则只需要在生物，地理，政治中选1门即可，所以共有C31=3种方法，所以某学生选择2门，其中一门为化学的概率是P=36=12．故答案为12．15.答案：60°或120°解析：解：∵a=√5，b=√15，A=30°由正弦定理可得，asinA =bsinB∴sinB=√15×1 2√5=√32∵a<b∴A<B∴B=60°或120°故答案为：60°或120°由正弦定理可得，asinA =bsinB可求sin B，然后结合a<b可得A<B，可求本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的简单应用，属于基础试题16.答案：1−1e或e解析：本题考查了利用导数研究闭区间上函数的最值，分类讨论思想，属于中档题．对a的取值分情况讨论，进而得出实数a的值．解：当a≤1时，，，故函数f(x)在[1,e]上单调递增，则函数最小值为f(1)=1−a=1e，则a=1−1e，满足条件；当a≥e时，f(x)=a−x+lnxx,x∈[1,e]，f′(x)=1−lnx−x2x2≤0,x∈[1,e]，故函数在[1,e]上单调递减，则函数最小值为f(e)=a −e +1e =1e ， 则a =e ，满足条件；当1<a <e 时，f(x)={a −x +lnxx ,x ∈[1,a)x −a +lnxx ,x ∈[a,e], 则函数f(x)在[1,a)上单调递减，在[a,e]上单调递增， 则函数最小值为f(a)=a −a +lna a=1e =lne e，令g (x )=lnx x，则g′(x )=1−lnx x 2，则函数g (x )=lnx x在(1,e)上单调递增，故1<a <e 时，g (a )=lna a<g (e )=lne e，不存在a 满足条件；综上可知，a 的值为1−1e 或e ． 故答案为1−1e 或e ．17.答案：解：(Ⅰ)∵S n =2n +r ，∴a 1=S 1=2+r ，a 2=S 2−S 1=2，a 3=S 3−S 2=4． ∵数列{a n }是等比数列，∴a 22=a 1a 3，即22=4(2+r)，∴r =−1．∴数列{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列， ∴a n =2n−1(n ∈N ∗). (Ⅱ)∵a n+1=2n ，∴b n+1−b n =log 2a n+1=n ．当n ≥2时，b n =(b n −b n−1)+(b n−1−b n−2)+⋯+(b 2−b 1)+b 1 =(n −1)+(n −2)+⋯+(2−1)+1 =(n−1)(n−1+1)2+1=12n 2−12n +1． 又n =1符合上式，∴b n =12n 2−12n +1．解析：(I)利用递推式与等比数列的通项公式即可得出；(II)b n+1−b n =log 2a n+1=n.利用“累加求和”可得b n ，再利用等比数列的前n 项和公式即可得出． 本题主要考查了递推式、等比数列与等差数列的通项公式及其前n 项和公式、“累加求和”等基础知识；考查推理论证与运算求解能力，属于中档题． 18.答案：证明：(1)∵在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ， AB =BC =CD =DA =2，PA =1，∠BAD =120°，E 为BC 的中点．∴AE ⊥PA ，AE ⊥AD ，∵PA ∩AD =A ，∴AE ⊥平面PAD ．解：(2)以A 为原点，AE 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系， F 为CD 的中点，D(0,2，0)，P(0,0，1)，E(√3,0，0)，C(√3,1，0)，F(√32,32,0)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，−1)，PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0，−1)，PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,32,−1)， 设平面PEF 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x −z =0n⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =√32x +32y −z =0，取x =1，得n ⃗ =(1,√33,√3)， ∴点D 到平面PEF 的距离： d =|PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√33√133=√1313．解析：(1)推导出AE ⊥PA ，AE ⊥AD ，由此能证明AE ⊥平面PAD ．(2)以A 为原点，AE 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点D 到平面PEF 的距离．本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.答案：解：(Ⅰ)根据题意，填写列联表如下；有效无效合计使用方案A组9624120使用方案B组72880合计16832200使用方案A有效的频率是96120=0.8，使用方案B有效的频率是7280=0.9，使用使用方案B治疗有效的频率更高些；(Ⅱ)计算观测值K2=200×(96×8−72×24)2120×80×168×32≈3.571<3.841；所以不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为治疗是否有效与方案选择有关．解析：(Ⅰ)根据题意，填写列联表，计算使用方案A、B有效的频率值，比较即可；(Ⅱ)计算观测值K2，对照数表即可得出结论．本题考查了列联表与对立性检验的应用问题，是基础题目．20.答案：解：(1)由题意{ca=452c=8，解得{a=5c=4，∴b2=a2−c2=25−16=9，则该椭圆的标准方程为x225+y29=1；(2)∵点M的坐标为(x0,2)，∴S△MF1F2=12×8×2=8，又∵点N的坐标轴为(0,−3)，∴S△NF1F2=12×8×3=12，∴S F1MF2N =S△F1MF2+S△NF1F2=20．解析：(1)由已知可得关于a，c的方程组，求解a，c的值，进一步得到b，则椭圆方程可求；(2)由已知直接利用S F1MF2N =S△F1MF2+S△F1NF2求解．本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，是中档题．21.答案：解：(1)若a=−3，则f(x)=2x3+3x2+1，则f′(x)=6x2+6x=6x(x+1)，令f′(x)>0，得x<−1或x>0；令f′(x)<0，得−1<x<0，所以f(x)在(−∞,−1),(0,+∞)递增，在(−1,0)递减，故；(2)f′(x)=6x2−2ax=6x(x−a3)，1°当a=0时，f(x)=2x3+1在(0,+∞)上无零点，与题意不符，舍去；2°当a>0时，令f′(x)>0，得，x>a3或x<0；所以f(x)在(−∞,0)和(a3,+∞)上单调递增．令f(x)<0，解得0<x<a3，所以f(x)在(0,a3)上单调递减，故若f(x)在(0,+∞)上有且只有一个零点，此时，即1−a327=0．∴a=3，∴f(x)=2x3−3x2+1当x∈[−2,2]时，，．又f(−2)=−27<0，f(2)=5>f(0)=1，∴f(x)max=f(2)=5，f(x)min=f(−2)=−27;3°当a<0时，令f′(x)>0得x>0或x<a3，∴f(x)在(−∞,a3)和(0,+∞)上单调递增；令f(x)<0得a3<x<0，f(x)在(a3,0)上单调递减，，∴f(x)在(0,+∞)上无零点，与题意不符，综上f(x)max=f(2)=5，f(x)min=f(−2)=−27．解析：本题考查导数的综合应用，涉及到利用导数研究函数的单调性、极值和最值，以及零点问题的考查，考查推理能力和计算能力，属于难题．(1)求导分析函数的单调性即可得到f(x)的极值；(2)对a进行分类讨论，利用导数研究函数的单调性、极值和最值即可求解．22.答案：解：(1)消去参数可得曲线C1的普通方程为：x23+y2=1，C2的极坐标方程即：√22ρ(cosθ+sinθ)=2√2，转化为直角坐标方程即：x+y−4=0．(2)由题意设点P的坐标为P(√3cosα,sinα)，曲线C2是直线，则|PQ|的最小值即点P到C2的距离的最小值，距离函数为：d(α)=√3cosα+sinα−4|2=√2|sin(α+π3)−2|，当且仅当α=2kπ+π6(k∈Z)时，距离有最小值，最小值为√2，此时点P的坐标为P(32,12 )．解析：本题考查直角坐标方程与极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，点到直线距离公式及其应用等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．(1)由题意消去参数即可求得C1的普通方程，利用极坐标与直角坐标的关系可得曲线C2的直角坐标方程；(2)结合(1)的结论得到距离函数，然后结合三角函数的性质整理计算即可求得最终结果．23.答案：解：(1)函数f(x)=|x+1|+|x−1|，由f(x)≥4，可得x≥1，2x≥4，解得x≥2；x≤−1，−x−1+1−x≥4，解得x≤−2；−1<x<1时，x+1+1−x≥4即2≥4不成立，综上可得原不等式的解集为(−∞,−2]∪[2,+∞)；(2)若f(x)≥6在x∈R上恒成立，即为6≤f(x)的最小值，由|x+a|+|x−a|≥|x+a−x+a|=2|a|，则f(x)的最小值为2|a|，可得2|a|≥6，解得a≥3或a≤−3则a的范围是(−∞,−3]∪[3,+∞)．解析：(1)由绝对值的意义，去绝对值，讨论x≥1，x≤−1，−1<x<1，解不等式可得解集；(2)由题意可得6≤f(x)的最小值，运用绝对值不等式的性质可得最小值，即可得到所求a的范围．本题考查绝对值不等式的解法和不等式成立问题解法，注意运用转化思想和绝对值不等式的性质，考查运算能力，属于中档题．。

2020年湖北省黄冈中学高考数学三模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={−1,0，1，3，5}，B ={x|x >3或x <1}，则(∁R B)∩A =( )A. {−1,0，5}B. {1,2，3}C. {2,3}D. {1,3}2. 复数z =3+i1−2i (其中i 为虚数单位)，则|z −|=( )A. 2B. 43C. √2D. √53. 已知直线l 1：mx +y −1=0，l 2：(2m +3)x +my −1=0，m ∈R ，则“m =−2”是“l 1⊥l 2”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 如图所示，在边长为4的正三角形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正三角形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为34，则阴影区域的面积为( )A. √3B. 2√3C. 3√3D. 4√35. 设x ，y 满足约束条件{x +3y ≥3x −y ≥1y ≥0，则z =x +y 的最小值为( )A. 0B. 1C. 2D. 36. 在△ABC 中AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =5AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,E 是直线BD 上一点，且BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +n AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则m +n =( )A. 25B. −25C. 35D. −357. 中国气象局规定：24小时内降雨的深度称为日降雨量，表示降雨量的单位通常用毫米．例如：1毫米的降雨量是指单位面积上水深1毫米．在连续几天的暴雨天气中，某同学用一个长方体容器来测量降雨量，已知该长方体的底面是边长为20mm 的正方形，高为40mm ，该容器的容器口为上底面正方形的内切圆，将该容器放在雨中，雨水从圆形容器口进入容器中，24小时后，测得容器中水深10mm ，则该同学测得的降水量约为( )(π取3.14)A. 127毫米B. 12.7毫米C. 509毫米D. 100毫米8. 已知圆C ：x 2+(y +2)2=2，则在x 轴和y 轴上的截距相等且与圆C 相切的直线有几条( )A. 3条B. 2条C. 1条D. 4条9.若函数f(x)=√3sinx+cosx在区间[a,b]上是增函数，且f(a)=−2，f(b)=2，则函数g(x)=√3cosx−sinx在区间[a,b]上()A. 是增函数B. 是减函数C. 可以取得最大值2D. 可以取得最小值−210.棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中P为正方体表面上的一个动点，且总有PC⊥BD1，则动点P的轨迹的长度为()A. 34π B. 4π C. 3√2 D. 4√211.已知F1(−c,0)、F2(c,0)是双曲线C：x2a2−y2b2=1的左、右焦点，F1关于双曲线的一条渐近线的对称点为P，且点P在抛物线y2=4cx上，则双曲线的离心率为()A. √2+1B. 2C. √5D. √5+1212.已知等腰三角形一腰上的中线长为2，则该三角形面积的最大值是()A. 4√33B. 83C. 4√23D. 9二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若lna=1e，则a e−log a e=______．14.设x=θ是函数f(x)=3sinx−cosx的一个极值点，则sin2θ+2cos2θ=______．15.已知直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=BC=2，CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为______．16.已知一族双曲线E n：x2−y2=n2020(n∈N∗，且n≤2020)，设直线x=2与E n在第一象限内的交点为A n，点A n在E n，的两条渐近线上的射影分别为B n，C n，记△A nB nC n的面积为a n，则a1+a2+a3+⋯…+a2020=______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.如图，正三棱柱ABC−A1B1C1(侧棱垂直于底面，且底面是正三角形的棱柱)的底面边长为6，点M在边BC上，△AMC1是以点M为直角顶点的等腰直角三角形．(1)求证：点M为BC边的中点；(2)求点C到平面AMC1的距离．18.已知数列{a n}，{b n}满足a1=12，b1=1，2a n+1=a n，b1+12b2+13b3+⋯ (1)nb n=b n+1−1(n∈N∗)．(1)求a n与b n；(2)记数列{a n b n}的前n项和为T n，求T n．19.随着经济的快速增长、规模的迅速扩张以及人民生活水平的逐渐提高，日益剧增的垃圾给城市的绿色发展带来了巨大的压力，相关部门在有5万居民的光明社区采用分层抽样方法得到年内家庭人均GDP与人均垃圾清运量的统计数据如表：(1)已知变量y与x之间存在线性相关关系，求出其回归直线方程；(2)随着垃圾分类的推进，燃烧垃圾发电的热值大幅上升，平均每吨垃圾可折算成上网电量200干瓦时，右图是光明社区年内家庭人均GDP的频率分布直方图，请补全[15,18]的缺失部分，并利用(1)的结果，估计整个光明社区年内垃圾可折算成的总上网量．[参考公式]回归方程y ̂=b ̂x +a ̂中，b ̂=∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2=∑x i n i=1y i −nxy−∑x i 2n i=1−nx−2．20. 已知点F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0))的左、右焦点，椭圆上一点P 满足PF 1⊥x 轴，|PF 2|=5|PF 1|，|F 1F 2|=2√2． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过F 2的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，当△ABF 1的内切圆面积最大时，求直线l 的方程．21.已知函数f(x)=2(x−1)x+a−lnx，其中a>0．(1)求f(x)的单调区间；(2)设x1，x2是f(x)的两个极值点，判断1f(x1)+1f(x2)的正负，并说明理由．22.在平面直角坐标系中，已知曲线C1：{x=2√3+√10cosαy=√10sinα(α为参数)，P(√3,3).以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为θ=π6(ρ∈R)．(1)求曲线C1的极坐标方程及点P的极坐标；(2)设直线l1与曲线C1交于A、B两点，记△POA的面积为S，△BOC1的面积为S′，求SS′+S′S的值．23.已知函数f(x)=m−|x−2|，m∈R，且f(x+2)≥1的解集A满足[−1,1]⊆A．(1)求实数m的取值范围B；(2)若a，b，c∈(0,+∞)，m0为B中的最小元素且1a +12b+13c=m0，求证：a+2b+3c≥92．答案和解析1.【答案】D【解析】解：集合A ={−1,0，1，3，5}，B ={x|x >3或x <1}， 则∁R B ={x|1≤x ≤3}， 所以(∁R B)∩A ={1,3}． 故选：D ．根据补集和交集的定义，计算即可．本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．2.【答案】C【解析】解：设复数z =3+i1−2i ， 则|z −|=|z|=|3+i1−2i |=|3+i||1−2i| =√32+12√12+(−2)2=√10√5=√2．故选：C ．根据|z −|=|z|，计算即可．本题考查了复数的定义与运算问题，是基础题．3.【答案】A【解析】解：直线l 1：mx +y −1=0，l 2：(2m +3)x +my −1=0，m ∈R ， l 1⊥l 2⇔m(2m +3)+m =0，即m =−2或m =0． ∴由“m =−2”⇒“l 1⊥l 2”，反之不成立． ∴“m =−2”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件． 故选：A ．由两直线垂直与系数的关系列式求得m 值，可得“m =−2”⇒“l 1⊥l 2”，反之不成立．再由充分必要条件的判定方法得答案．本题考查两直线垂直与系数的关系，考查充分必要条件的判定方法，是基础题．4.【答案】C【解析】解：设阴影部分的面积为S ，结合几何概型公式可得：S12×4×4×√32=34； 解得S =3√3： 故选：C ．由题意结合几何概型计算公式得到关于面积的方程，解方程即可求得最终结果． 本题考查几何概型及其应用，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．5.【答案】C【解析】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示的阴影部分： 由z =x +y 可得y =−x +z ，则z 表示直线y =−x +z 在y 轴上的截距，截距越小，z 越小，由题意可得，{x +3y =3x −y =1，解得A(32,12)，当y =−x +z 经过点A 时，z 最小，由可得A(32,12)，此时z =x +y =2． 故选：C ．作出不等式组表示的平面区域，由z =x +y 可得y =−x +z ，则z 表示直线y =−x +z 在y 轴上的截距，截距越小，z 越小，结合图象可求z 的最小值．本题主要考查了线性目标函数在线性约束条件下的最值的求解，解题的关键是明确z 的几何意义．6.【答案】D【解析】 【分析】本题考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用，属基础题． 根据题意，画出图象，可知AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2(15AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +25AC⃗⃗⃗⃗⃗ .进而求得m 和n 的值，算出m +n 的值． 【解答】 解：如图所示：AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2(15AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +25AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ．∵AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +n AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴m =−1，n =25． m +n =−35． 故选：D ．7.【答案】B【解析】解：由题意，水的体积V =20×20×10=4000mm 3， 容器口的面积S =π×102=100πmm 2， ∴降雨量=4000100π≈12.7mm ．∴该同学测得的降水量约为12.7毫米． 故选：B ．由题意求出容器中水的容积，除以圆的面积得答案．本题考查数学在实际生活中的应用，考查棱柱体积与圆面积的求法，是基础题．8.【答案】A【解析】解：若直线不过原点，其斜率=−1，设其方程为y =−x +m ， 则d =2=√2，解得m =0或−1，当m =0时，直线过原点；若过原点，把(0,0)代入02+(0+2)2=4>2， 即原点在圆外，所以过原点有2条切线， 综上，一共有3条，故选：A．先看直线不过原点的情况，设出直线的方程，斜率为−1，则可知这样的直线有2条，再看直线过原点的情况，把原点代入即可知原点在圆外，则这样的直线也应该有2条，最后验证以上4条中有一条是重复，最后综合得到结论．本题主要考查了直线与圆的位置关系．考查了学生数形结合的思想和对基本知识的理解．9.【答案】C【解析】解：∵函数f(x)=√3sinx+cosx=2sin(x+π6)在区间[a,b]上是增函数，且f(a)=−2，f(b)=2，∴f(a)=2sin(a+π6)为最小值，f(b)=2sin(b+π6)为最大值，则函数g(x)=√3cosx−sinx=2cos(x+π6)=2sin(x+π6+π2)，即g(x)的图象由f(x)的图象向左平移π2个单位(即14个周期)得到的．令x+π6=t，取t∈[−π2,π2]，则t+π2∈[0,π]，故g(x)在区间[a,b]上能取得最大值2，故选：C．由题意利用两角和差的三角公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．本题主要考查两角和差的三角公式，正弦函数的图象和性质，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：P点的轨迹为过点C与直线BD1垂直的截面与正方体的交线，就是图形中点三角形ACB1，它的周长为：3√2．故选：C．画出正方体，利用已知条件，判断P的轨迹，然后求解轨迹长度．本题考查直线与平面垂直的位置关系的应用，平面的基本性质，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．11.【答案】D【解析】解：如图：F1P垂直直线bx−ay=0，交点为H，F1到双曲线的一条渐近线bx−ay= 0的距离为：d=bc√a2+b2=b，△F1PF2中，PF1=2d=2b，抛物线y2=4cx的焦点坐标(c,0)，PF2=2a，tan∠F1OH=ba ，∴cos∠F1OH=ac，sin∠F1OH=bc，可得cos∠OF1P=bc ，sin∠OF1P=ac，P(2b2c−c,2abc)，点P在抛物线y2=4cx上，可得：4a2b2c2=4c⋅(2b2c−c)=8b2−4c2，∴e4−3e2+1=0，e>1，∴e=√5+12．故选：D．利用已知条件画出图形，求出P的坐标，代入抛物线方程，然后转化求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质以及抛物线的简单性质的应用，考查数形结合以及计算能力，是中档题．12.【答案】B【解析】解：建立如图所示的直角坐标系，设C(m,0)则B(−m,0)，A(0,n)，D(12m,12n)，由题意可得BD2=(3m2)2+(n2)2=4，故S=mn=43⋅3m2⋅n2≤43⋅(3m2)2+(n2)22=83，当且仅当3m2=n2即n=3m时取等号故选：B．结合已知三角形考虑建立直角坐标系，结合点的坐标表示三角形的面积，然后结合基本不等式即可求解．本题主要考查了利用基本不等式求解三角形面积的最值，属于基础试题．13.【答案】0【解析】解：因为lna=1e，所以a=e1e，则a e−log a e=e e×1e−1lna=e−e=0故答案为：0由已知结合指数与对数的相互转化及对数的运算性质即可求解．本题主要考查了指数与对数的互化及对数运算性质的应用，属于基础试题．14.【答案】−25【解析】解：f′(x)=3cosx+sinx，∴f′(θ)=3cosθ+sinθ=0，∴tanθ=−3．∴sin2θ+2cos2θ=2sinθcosθ+2cos2θcos2θ+sin2θ=2tanθ+21+tan2θ=−25．故答案为：−25．根据极值点处的导数为零，求出tanθ的值，然后再借助于三角恒等变换求出结论．本题考查极值点处的性质、三角恒等变换等基础知识与方法．属于中档题．15.【答案】35【解析】解：连接B1C，交BC1于点O，则点O为B1C的中点，取AC的中点D，连接BD、OD，∴OD//AB1，∴∠BOD即为异面直线AB1与BC1所成角．∵∠ABC=120°，AB=BC=2，CC1=1，∴BD=1，OD=12AB1=√52，OB=12BC1=√52，在△BOD中，由余弦定理知，cos∠BOD=OB2+OD2−BD22⋅OB⋅OD=54+54−12×√52×√52=35．故答案为：35．连接B1C，交BC1于点O，取AC的中点D，连接BD、OD，则OD//AB1，故∠BOD即为所求；得出BD、OD和OB的长度后，由余弦定理求得cos∠BOD即可．本题考查异面直线的夹角问题，通过平移的思想，找出异面直线的平面角是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．16.【答案】20218．【解析】解：双曲线E n：x2−y2=n2020(n∈N∗，且n≤2020)的两条渐近线为y=x，y=−x，互相垂直，直线x=2与E n在第一象限内的交点为A n，A n(2,√4−n2020)，点A n在E n的两条渐近线上的射影分别为B n，C n，则|An B n|=2−√4−n2020√2,|A n C n|=2+√4−n2020√2，∴a n=12|A n B n||A n C n|=n20204=n8080，∴a1+a2+a3+⋯…+a2020=18080+28080+⋯…+20208080=1+20202×20208080=20218．故答案为：20218．一族双曲线由有共同的渐近线且互相垂直，可得△A n B n C n为直角三角形，通过计算可求出A n的坐标，|A n B n|和|A n C n|，进而求出a n和a1+a2+a3+⋯…+a2020．本题考查了双曲线的几何性质、点到直线的距离、三角形的面积公式等基本知识，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，转化的数学思想，属于难题．17.【答案】解：(1)证明：∵△AMC1为以点M为直角顶点的等腰直角三角形，∴AM⊥C1M且AM=C1M∵三棱柱ABC−A1B1C1，∴CC1⊥底面ABC∴C1M在底面内射影为CM，∴AM⊥CM．∵底面ABC为正三角形，∴点M为BC边的中点(2)过点C作CH⊥MC1，由(1)知AM⊥C1M且AM⊥CM，∴AM⊥平面C1CM，∵CH在平面C1CM内，∴CH⊥AM，∴CH⊥平面C1AM由(1)知，AM =C 1M =3√3，CM =12BC =3，CC 1⊥BC ， ∴CC 1=√(3√3)2−32=3√2， ∴CH =CC 1×CM C 1M=√2×333=√6，∴点C 到平面AMC 1的距离为底面边长为√6．【解析】(1)根据等腰直角三角形，可得AM ⊥C 1M 且AM =C 1M ，根据三垂线定理可知AM ⊥CM ，而底面ABC 为边长为a 的正三角形，进一步得到点M 为BC 边的中点； (2)过点C 作CH ⊥MC 1，根据线面垂直的判定定理可知AM ⊥平面C 1CM ，CH ⊥平面C 1AM ，则CH 即为点C 到平面AMC 1的距离，根据等面积法可求出CH 的长．本题主要考查了点线的位置关系，以及点到平面的距离，同时考查了空间想象能力和计算能力，以及转化与划归的思想，属于中档题．18.【答案】解：(1)数列{a n }满足a 1=12，b 1=1，2a n+1=a n ，所以a n+1a n=12(常数)，所以数列{a n }是以12为首项12为公比的等比数列． 所以a n =12×12n−1=12n ．数列{b n }满足b 1+12b 2+13b 3+⋯+1n b n =b n+1−1(n ∈N ∗)① 当n ≥2时，b 1+12b 2+13b 3+⋯+1n−1b n−1=b n −1(n ∈N ∗)②， ①−②得1n b n =b n+1−b n ， 所以b n+1b n=n+1n，所以b 2b 1⋅b3b 2…b nbn−1=2×32×43×…n−1n−2×nn−1，整理得bnb 1=n ，所以b n =n(首项符合通项) 故b n =n ．(2)由(1)得：c n =a n b n =n ⋅12n ， 所以T n =1×12+2×12+⋯+n ⋅12①.12T n=1×122+2×123+⋯+n ⋅12n+1②，①−②得：12T n =(12+12+⋯+12)−n ⋅12=12(1−12n )1−12−n ⋅12=1−12−n ⋅12．故T n =2−12n−1−n2n ．【解析】(1)直接利用数列的递推关系式和叠乘法的应用求出数列的通项公式． (2)利用(1)的结论，进一步利用乘公比错位相减法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式，乘公比错位相减法在数列中的求和，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．19.【答案】解：(1)由表格可得，x −=5×(3+15)2×5=9，y −=0.13+0.23+0.31+0.41+0.525=0.32，∑(5i=1x i −x −)2=36+9+0+9+36=90，∑(5i=1x i −x −)(y i −y −)=(−6)×(−0.19)+(−3)×(−0.09)+0×(−0.01)+3×0.09+6×0.2=6×(0.19+0.09+0.20)=6×0.48=2.88， 所以b ̂=∑(5i=1x i −x −)(y i −y −)∑(5i=1x i −x −)2=2.8890=0.032，于是a ̂=y −−b ̂x −=0.32−0.032×9=0.032，故变量y 与x 之间的回归直线方程为y ̂=0.032(x +1)．(2)由频率分布直方图各小矩形的面积之和为1，得160×(1+2+4+6+5+a)×3=1， 解得a =2，故最右边小矩形的高度为260=130， 由频率分布直方图可知，光明社区的人均GDP 为 x −=360(1×1.5+2×4.5+4×7.5+6×10.5+5×13.5+2×16.5)=10.2(万元/人)，由(1)可知，光明社区的人均垃圾清运量约为0.032×(10.2+1)(吨/人)． 于是光明社区年内垃圾清运总量为5×0.032×(10.2+1)=1.792(万吨)． 由题意，整个光明社区年内垃圾可折算成的总上网量估计为： 17920×200=3.584×106(千瓦时)即为所求．【解析】(1)由最小二乘法，算出b ^，a ^，进而可得回归直线方程．(2)由频率分布直方图各小矩形的面积之和为1，得a =2，最右边小矩形的高度，人均GDP ，进而得光明社区的人均垃圾清运量约为0.032×(10.2+1)(吨/人).于是光明社区年内垃圾清运总量，进而得出答案．本题考查统计，及回归直线方程，属于中档题．20.【答案】解：(1)由题意可得|PF 2|=5|PF 1|，|F 1F 2|=2√2，|PF 1|2+|F 1F 2|2=|PF 2|2，解得|PF 2|=5√33，|PF 1|=√33， 由椭圆的定义可得2a =5√33+√33=2√3，所以a =√3，c =√2，b =1，所以椭圆的方程为x 23+y 2=1；(2)要使△ABF 1的内切圆面积最大，只需△ABF 1的内切圆的半径r 最大． 因为F 1(−√2,0)，F 2(√2,0)，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 显然直线l 的斜率不为0，设直线l ：x =ty +√2，联立{x =ty +√2x 2+3y 2=3，可得(3+t 2)y 2+2√2ty −1=0，则y 1+y 2=−2√2t3+t ，y 1y 2=−13+t 2，则S △ABF 1=S △F 1F 2A +S △F 1F 2B =12|F 1F 2|⋅|y 1−y 2|=√2⋅√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√2⋅2√2t3+t 2)43+t 2=2√6√t 2+13+t 2， 又S △ABF 1=12(|AF 1|+|BF 1|+|AB|)⋅r =12⋅4√3⋅r =2√3r ，故2√6√t 2+13+t2=2√3r ，即r =√2√t 2+13+t 2=√2√t 2+1+22≤12，当且仅当√t 2+1=√t 2+1t =±1时等号成立． 所以直线l 的方程为y =x −√2或y =−x +√2．【解析】(1)由条件和勾股定理、椭圆的定义，解方程可得a ，b ，然后求出椭圆的方程； (2)设直线l ：x =ty +√2，△ABF 1的内切圆的半径为r ，由等积法可得r 关于t 的函数，利用基本不等式计算r 的最大值，进而得到直线的方程．本题考查椭圆的定义、方程和性质，直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和等积法，考查化简运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)f′(x)=2(a+1)(x+a)−1x =−x 2+2x−a 2x(x+a)，其中a >0，①当a ≥1时，f′(x)≤−x 2+2x−1x(x+a)2=−(x−1)2x(x+a)≤0恒成立，所以函数f(x)在区间(0,+∞)内单调递减，无的单调增区间；②当0<a<1时，由−x2+2x−a2>0，解得1−√1−a2<x<1+√1−a2；由−x2+2x−a2<0，解得0<x<1−√1−a2或x>1+√1−a2，所以函数f(x)在区间(0,1−√1−a2)和(1+√1−a2,+∞)内单调递减，在区间(1−√1−a2,1+√1−a2)内单调递增；(2)因为f(x)的两个极值点x1，x2，由(1)知，0<a<1且x1+x2=2，x1x2=a2，∴f(x1)+f(x2)=[2(x1−1)x1+a+2(x2−1)x2+a]−(lnx1+lnx2)=2[(x1−1)(x2+a)+(x2−1)(x1+a)](x1+a)(x2+a)−ln(x1x2)=2[2x1x2+(a−1)(x1+x2)−2a]x1x2+a(x1+x2)+a2−ln(x1x2)=2[2a2+2(a−1)−2a]a2+2a+a2−ln(a2)=2(a2−1)a(a+1)−2lna=2(1−1a−lna)，设函数g(a)=1−1a −lna(0<a<1)，则g′(a)=1a−1a=1−aa>0，∴函数g(a)在区间(0,1)上单调递增，∴g(a)<g(1)=0，即1−1a−lna<0，∴f(x1)+f(x2)<0，不妨设x1<x2，则0<x1<1<x2，结合(1)中函数f(x)的单调性可知：f(x1)<f(1)< f(x2)，又f(1)=0，所以f(x1)f(x2)<0，∴1f(x1)+1f(x2)=f(x1)+f(x2)f(x1)f(x2)>0(为正)．【解析】(1)先求出导函数f′(x)，对a的值分情况讨论，利用导函数f′(x)的正负，即可得到函数f(x)的单调性；(2)因为f(x)的两个极值点x1，x2，由(1)知0<a<1且x1+x2=2，x1x2=a2，化简f(x1)+f(x2)=2(1−1a −lna)设函数g(a)=1−1a−lna(0<a<1)，利用导数得到g(a)<g(1)=0，即1−1a−lna<0，所以f(x1)+f(x2)<0，又f(x1)f(x2)<0，所以1f(x1)+1f(x2)=f(x1)+f(x2)f(x1)f(x2)>0．本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数以及函数的极值，是中档题．22.【答案】解：(1)由C1：{x=2√3+√10cosαy=√10sinα(α为参数)，消去参数α，可得(x−2√3)2+y2=10，即x2+y2−4√3x+2=0，又ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，∴曲线C1的极坐标方程为ρ2−4√3ρcosθ+2=0．∵P(√3,3)，∴ρ=√3+9=2√3，tanθ=yx =√3=√3，则θ=π3．∴点P的极坐标为(2√3,π3)；(2)曲线C1的极坐标方程为ρ2−4√3ρcosθ+2=0，圆心C1的直角坐标为(2√3,0)，直线11的极坐标方程为θ=π6(ρ∈R)，设点A(ρ1,π6)，B(ρ2,π6)，代入ρ2−4√3ρcosθ+2=0，整理得ρ2−6ρ+2=0，∴ρ1+ρ2=6，ρ1ρ2=2．∴S=12ρ1⋅ρP⋅sin(π3−π6)=√32ρ1，S′=12|OC1|⋅ρ2⋅sinπ6=√32ρ2，∴SS′+S′S=(ρ1+ρ2)2−2ρ1ρ2ρ1ρ2=62−2×22=16．【解析】(1)把曲线的参数方程中的参数消去，可得直角坐标方程，结合极坐标与直角坐标的转换关系，可得曲线C1的极坐标方程，并求得点P的极坐标；(2)由(1)中求得的点C1的坐标，得到C1到直线l1的距离，把直线l1代入曲线C1的极坐标方程，得到关于ρ的一元二次方程，利用三角形面积公式及根与系数的关系，即可求得SS′+S′S的值．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，关键是曲线极坐标方程中极径的应用，考查学生的运算求解能力，是中档题．23.【答案】解：(1)因为f(x)=m−|x−2|，所以f(x+2)≥1等价于|x|≤m−1，由[−1,1]⊆A知A是非空集合，所以1−m≤x≤m−1，结合[−1,1]⊆A可得m−1≥1⇒m≥2，即实数m的取值范围是B=[2,+∞)．(2)由(1)知m0=2，所以1a +12b+13c=2，∴a+2b+3c=12(a+2b+3c)(1a+12b+13c)≥12(√a√a√2b⋅√2b√3c⋅√3c)2=92．【解析】(1)因为f(x)=m−|x−2|，所以f(x+2)≥1等价于|x|≤m−1，解此不等式，结合[−1,1]⊆A知A是非空集合，得到端点的不等式得到m范围；(2)由(1)知m0=2，所以1a +12b+13c=2，即12×(1a+12b+13c)=1，利用乘1法，将要证不等式左边变形为满足基本不等式的形式．本题考查了绝对值不等式的解法以及利用乘1法，结合基本不等式证明不等式；属于中档题．。

2020高考数学（文科）全国三卷高考模拟试卷（3）一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）1．（3分）已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x （x ﹣2）≤0}，B ＝{﹣1，0，1，2，3}，则（∁U A ）∩B 的子集个数为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．162．（3分）m •n ＞0是方程x 2m−y 2n=1表示双曲线的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．（3分）为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针指向位置P （x ，y ），若初如位置为P 0(√32，12)，秒针从P 0（注：此时t ＝0）开始沿顺时针方向走动，则点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系为（ ）A ．y =sin(π30t +π6) B ．y =sin(−π60t −π6) C ．y =sin(−π30t +π6) D ．y =sin(−π30t −π6) 4．（3分）已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为（ ） A ．2B ．sin2C ．2sin1D ．2sin15．（3分）执行如图所示的程序框图，则输出的a 的值为（ ）A ．﹣1B ．12C ．1D ．26．（3分）若x ，y 满足约束条件{x +y ≥1x −y ≥−13x +y ≤3，则z ＝4x +3y 的最小值为（ ）A ．9B ．6.5C ．4D ．37．（3分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与原正方体体积的比值为（ ）A ．18B ．17C ．16D ．158．（3分）如图，已知三棱锥P ﹣ABC ，P A ⊥平面ABC ，D 是棱BC 上的动点，记PD 与平面ABC 所成的角为α，与直线BC 所成的角为β，则α与β的大小关系为（ ）A ．α＞βB ．α＝βC ．α＜βD ．不能确定9．（3分）已知函数f （x ）是定义在R 上的增函数，且函数y ＝f （x ﹣2）的图象关于点（2，0）对称．若不等式f （mx 2+2m ）+f （4x ）＜0对任意x ∈[1，2]恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（−√2，√2）B ．（﹣∞，−√2）C ．（√2，+∞）D ．（﹣∞，√2）10．（3分）已知向量a →，b →夹角为π3，|b →|＝2，对任意x ∈R ，有|b →+x a →|≥|a →−b →|，则|t b →−a →|+|t b →−a→2|（t ∈R ）的最小值是（ ） A ．√132B ．32C ．1+√32D ．√7211．（3分）已知f （x ）为偶函数，当x ≥0时，f （x ）={cosπx ，x ∈[0，12]2x −1，x ∈(12，+∞)，则不等式f （x ）≤12的解集为（ ） A ．[−34，−23]∪[23，34] B ．[−34，−13]∪[13，34] C ．[−74，−13]∪[13，74]D ．[14，23]∪[43，74]12．（3分）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，P 是C 上一点，过P 点作C 的切线l 交x 轴于Q 点，且Q 在C 的准线上，则△PFQ 一定是（ ） A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形但不是等腰三角形D ．等腰三角形但不是直角三角形二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分） 13．（3分）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 23−y 2b 2=1的两条渐近线与直线x =√3围成正三角形，则双曲线的离心率为 ．14．（3分）已知复数z满足z+2z=6+i，则z的实部为．15．（3分）对任意正实数x，y，f（xy）＝f（x）+f（y），f（9）＝4，则f(√3)=．16．（3分）已知函数f（x）={x−1x，x＜0lnx+ex，x＞0，若g（x）＝f（x）﹣kx有两个不等的零点，则实数k的取值范围为．三．解答题（共5小题）17．在数列{a n}中，已知a1＝1+√3，且a n+1﹣a n=2a n+1+a n−2，n∈N*．（1）记b n＝（a n﹣1）2，n∈N*，求证：数列{b n}是等差数列；（2）设{b n}的前n项和为S n，求证：1S1+1S2+1S3+⋯+1S n＜34．18．在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=PC=2，AC=√3，BC=1，AC⊥BC．D是AB的中点．（I）求证：PD⊥平面ABC．（Ⅱ）求点B到平面P AC的距离；（文科学生做）（Ⅱ）求异面直线P A与BC所成角的余弦值．（理科学生做）19．2019年中央电视台在周日晚上推出的一档新的综艺节目，为了解节目效果，一次节目结束后，现随机抽取了500名观众（含200名女性）的评分（百分制）进行分析，分别得到如图所示的两个频率分布直方图．（Ⅰ）计算女性观众评分的中位数与男性观众评分的平均分；（Ⅱ）若把评分低于70分定为“不满意”，评分不低于70分定为“满意”． （i ）试比较男观众与女观众不满意的概率，并说明理由；（ii ）完成下列2×2列联表，并回答是否有95%的把握认为性别和对该综艺节目是否满意有关．女性观众男性观众合计 “满意” “不满意”合计参考数据：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P （K 2≥k ）0.05 0.010 0.001 k3.8416.63510.82820．已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√22，上顶点为B ．点P 在E 上，点D （0，﹣2b ），△PBD 的最大面积等于3√22． （Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）若直线DP 与E 交于另一点Q ，直线BP ，BQ 分别与x 轴交于点M ，N ，试判断|OM |•|ON |是否为定值． 21．已知函数f(x)=a+lnxx（a ∈R ）． （1）求函数f （x ）的单调区间；（2）当函数f （x ）与函数g （x ）＝lnx 图象的公切线l 经过坐标原点时，求实数a 的取值集合；（3）证明：当a ∈（0，12）时，函数h （x ）＝f （x ）﹣ax 有两个零点x 1，x 2，且满足1x 1+1x 2＜1a．四．解答题（共2小题）22．在直角坐标系xOy 中，参数方程{x =cosθy =sinθ（其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换φ：{x′=2x y′=y得到曲线C ，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√102．（Ⅰ）求曲线C的普通方程及曲线D的直角坐标方程；（Ⅱ）设M、N分别为曲线C和曲线D上的动点，求|MN|的最小值．23．设f（x）＝|x|+2|x﹣a|，（a＞0）．（1）当a＝1时，解不等式f（x）≤4；（2）若f（x）≥4，求实数a的取值范围．2020高考数学（文科）全国三卷高考模拟试卷（3）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）1．（3分）已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x （x ﹣2）≤0}，B ＝{﹣1，0，1，2，3}，则（∁U A ）∩B 的子集个数为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．16【解答】解：A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{﹣1，0，1，2，3}， ∴∁U A ＝{x |x ＜0或x ＞2}，（∁U A ）∩B ＝{﹣1，3}， ∴（∁U A ）∩B 的子集个数为22＝4． 故选：B ．2．（3分）m •n ＞0是方程x 2m−y 2n=1表示双曲线的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：∵方程x 2m−y 2n=1表示双曲线，∴m •n ＞0，则“m •n ＞0”是“方程x 2m−y 2n=1表示双曲线”的充分必要条件，故选：C ．3．（3分）为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针指向位置P （x ，y ），若初如位置为P 0(√32，12)，秒针从P 0（注：此时t ＝0）开始沿顺时针方向走动，则点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系为（ ）A ．y =sin(π30t +π6) B ．y =sin(−π60t −π6) C ．y =sin(−π30t +π6)D ．y =sin(−π30t −π6)【解答】解：∵秒针是顺时针旋转，∴角速度ω＜0．又由每60秒转一周， ∴ω=−2π60=−π30（弧度/秒）， 由P 0（√32，12），得，cos φ=√32，sin φ=12． 解得φ=π6， 故选：C ．4．（3分）已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为（ ） A ．2B ．sin2C ．2sin1D ．2sin1【解答】解：连接圆心与弦的中点，则由弦心距，弦长的一半，半径构成一个直角三角形，半弦长为1，其所对的圆心角也为1 故半径为1sin1这个圆心角所对的弧长为2×1sin1=2sin1 故选：C ．5．（3分）执行如图所示的程序框图，则输出的a 的值为（ ）A ．﹣1B ．12C ．1D ．2【解答】解：依题意，设进入判断框时的a 为a i （i 为计数变量）， 则a 1＝2． a 2=12， a 3＝﹣1，a 4＝2， ……∴a n 以3为周期， 输出值为a 2019＝a 3＝﹣1， 故选：A ．6．（3分）若x ，y 满足约束条件{x +y ≥1x −y ≥−13x +y ≤3，则z ＝4x +3y 的最小值为（ ）A ．9B ．6.5C ．4D ．3【解答】解：x ，y 满足约束条件{x +y ≥1x −y ≥−13x +y ≤3所表示的可行域为下图中的△ABC ，当目标函数对应的直线z ＝4x +3y 经过点B （0，1）时，z 取得最小值3．故选：D ．7．（3分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与原正方体体积的比值为（ ）A ．18B ．17C ．16D ．15【解答】解：由三视图得，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，截去四面体A ﹣A 1B 1D 1，如图所示，设正方体棱长为a ，则V 三棱锥=13×12a 3=16a 3， 故正方体的体积为：a 3，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为：16． 故选：C ．8．（3分）如图，已知三棱锥P ﹣ABC ，P A ⊥平面ABC ，D 是棱BC 上的动点，记PD 与平面ABC 所成的角为α，与直线BC 所成的角为β，则α与β的大小关系为（ ）A ．α＞βB ．α＝βC ．α＜βD ．不能确定【解答】解：∵P A ⊥平面ABC ，∴∠PDA 为直线PD 与平面ABC 所成的角， 故sin α=PAPD ，过P 向直线BC 作垂线，垂足为E ，则∠PDE 为直线PD 与直线BC 所成的角， 故sin ∠β=PEPD ， 又P A ＜PE ，故sin α＜sin β，于是α＜β． 故选：C ．9．（3分）已知函数f （x ）是定义在R 上的增函数，且函数y ＝f （x ﹣2）的图象关于点（2，0）对称．若不等式f （mx 2+2m ）+f （4x ）＜0对任意x ∈[1，2]恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（−√2，√2）B ．（﹣∞，−√2）C ．（√2，+∞）D ．（﹣∞，√2）【解答】解：函数y ＝f （x ﹣2）的图象关于点（2，0）对称， 由y ＝f （x ）的图象可由y ＝f （x ﹣2）的图象向左平移2个单位可得，则f （x ）的图象关于原点对称，即f （x ）为奇函数，且f （x ）是定义在R 上的增函数， f （mx 2+2m ）+f （4x ）＜0即为f （mx 2+2m ）＜﹣f （4x ）＝f （﹣4x ）， 由f （x ）为R 上的增函数，可得mx 2+2m ＜﹣4x ， 即有m ＜−4xx 2+2对任意x ∈[1，2]恒成立， 又2√2≤x +2x≤3，有2√2≤2+x 2x ≤3，即13≤x 2+x 2≤√24， 即−√2≤−4xx 2+2≤−43，则m ＜−√2，故选：B ．10．（3分）已知向量a →，b →夹角为π3，|b →|＝2，对任意x ∈R ，有|b →+x a →|≥|a →−b →|，则|t b →−a →|+|t b →−a→2|（t ∈R ）的最小值是（ ） A ．√132B ．32C ．1+√32D ．√72【解答】解：向量a →，b →夹角为π3，|b →|=2，对任意x ∈R ，有|b →+xa →|≥|a →−b →|， 两边平方整理可得x 2a →2+2x a →•b →−（a →2﹣2a →•b →）≥0， 则△＝4（a →•b →）2+4a →2（a →2﹣2a →•b →）≤0， 即有（a →2−a →•b →）2≤0，即为a →2=a →•b →， 则（a →−b →）⊥a →，由向量a →，b →夹角为π3，|b →|＝2，由a →2=a →•b →=|a →|•|b →|•cos π3，即有|a →|＝1，则|a →−b →|=√a →2+b →2−2a →⋅b →=√3， 画出AO →=a →，AB →=b →，建立平面直角坐标系，如图所示； 则A （1，0），B （0，√3）， ∴a →=（﹣1，0），b →=（﹣1，√3）；∴|tb →−a →|+|tb →−a →2|=√(1−t)2+(√3t)2+√(12−t)2+(√3t)2 =√4t 2−2t +1+√4t 2−t +14=2（(t −14)2+(0−√34)2+(t −18)2+(0+√38)2 表示P （t ，0）与M （14，√34），N （18，−√38）的距离之和的2倍， 当M ，P ，N 共线时，取得最小值2|MN |．即有2|MN |＝2(14−18)2+(√34+√38)2=√72．故选：D ．11．（3分）已知f （x ）为偶函数，当x ≥0时，f （x ）={cosπx ，x ∈[0，12]2x −1，x ∈(12，+∞)，则不等式f （x ）≤12的解集为（ ） A ．[−34，−23]∪[23，34] B ．[−34，−13]∪[13，34] C ．[−74，−13]∪[13，74]D ．[14，23]∪[43，74]【解答】解：当x ≥0时，若x ∈[0，12]，则πx ∈[0，π2]由不等式f （x ）≤12，可得cos πx ≤12，可得π3≤πx ≤π2，∴13≤x ≤12，它的解集为[13，12]．若x ＞12，不等式f （x ）≤12，即2x ﹣1≤12，它的解集为{x |12＜x ≤34}． 综上可得，当x ≥0时，不等式的解集为{x |13＜x ≤34}，再根据f （x ）为偶函数，可得在R 上，不等式的解集为{x |13＜x ≤34，或−34≤x ＜−13}，故选：B ．12．（3分）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，P 是C 上一点，过P 点作C 的切线l 交x 轴于Q 点，且Q 在C 的准线上，则△PFQ 一定是（ ） A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形但不是等腰三角形D ．等腰三角形但不是直角三角形 【解答】解：设P （m 22p，m ），过点P 的切线方程为：my ＝p （x +m 22p），点Q （−P 2，0）在my ＝p （x +m 22p ）上，0＝（−p 2+m 22p ）⇒m ＝p∴P （p2，p ）．故PF ⊥x 轴，且QF ＝PF ＝p ，则△PFQ 一定是等腰直角三角形， 故选：B ．二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分） 13．（3分）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 23−y 2b 2=1的两条渐近线与直线x =√3围成正三角形，则双曲线的离心率为 2√33． 【解答】解：双曲线x 23−y 2b 2=1的两条渐近线与直线x =√3围成正三角形，所以双曲线的渐近线的倾斜角为30°和150°， 所以√3=√33，所以b ＝1， 所以双曲线的离心率为：e =ca =√3=2√33． 故答案为：2√33． 14．（3分）已知复数z 满足z +2z =6+i ，则z 的实部为 2 ．【解答】解：设z ＝a +bi ，（a ，b ∈R ）． ∵复数z 满足z +2z =6+i ， ∴3a ﹣bi ＝6+i ，可得：3a ＝6，﹣b ＝1，解得a ＝2，b ＝1． 则z 的实部为2． 故答案为：2．15．（3分）对任意正实数x ，y ，f （xy ）＝f （x ）+f （y ），f （9）＝4，则f(√3)= 1 ． 【解答】解：令x ＝y ＝3，则f （9）＝2f （3）＝4， ∴f （3）＝2，令x =y =√3，则f(3)=2f(√3)=2， ∴f(√3)=1． 故答案为：1．16．（3分）已知函数f （x ）={x −1x，x ＜0lnx +ex ，x ＞0，若g （x ）＝f （x ）﹣kx 有两个不等的零点，则实数k 的取值范围为 （﹣∞，1）∪（e ，e +1e ） ．【解答】函数g （x ）＝f （x ）﹣kx 有两个不等的零点，即方程f （x ）＝kx 有2个不等根， 因为x ≠0，所以也等价于f(x)x=k 有2个不等实根，根据条件令h （x ）=f(x)x={1−1x 2，x ＜0lnxx +e ，x ＞0， 因为x ＜0时，h （x ）＝1−1x 2＜1， x ＞0时，h ′（x ）=1−lnxx 2，当0＜x ＜e 时，h （x ）单调递增，当x ＞e 时，h （x ）单调递减，且当x →+∞时，h （x ）→e ， 作出函数f （x ）的图象如图：根据图象可知，k∈（﹣∞，1）∪（e，e+1 e），故答案为：（﹣∞，1）∪（e，e+1 e）．三．解答题（共5小题）17．在数列{a n}中，已知a1＝1+√3，且a n+1﹣a n=2a n+1+a n−2，n∈N*．（1）记b n＝（a n﹣1）2，n∈N*，求证：数列{b n}是等差数列；（2）设{b n}的前n项和为S n，求证：1S1+1S2+1S3+⋯+1S n＜34．【解答】证明：（1）∵a n+1﹣a n=2a n+1+a n−2，∴a n+12﹣a n2﹣2a n+1+2a n＝2，∵b n＝（a n﹣1）2，n∈N，∴b n+1﹣b n＝（a n+1﹣1）2﹣（a n﹣1）2＝a n+12﹣a n2﹣2a n+1+2a n＝2，∵a1＝1+√3，∴b1＝（a1﹣1）2＝3，∴数列{b n}是以3为首项，2为公差的等差数列，（2）由（1）可得b n＝3+2（n﹣1）＝2n+1，∴S n=n(3+2n+1)2=n（n+2），∴1s n =12（1n−1n+2），∴1S1+1S2+1S3+⋯+1S n=12[（1−13）+（12−14）+（13−15）+…+（1n−1−1n+1）+（1n−1n+2）]=12（1+12−1n+1−1n+2）=34−12（1n+1+1n+2）＜3418．在三棱锥P ﹣ABC 中，PA =PB =PC =2，AC =√3，BC =1，AC ⊥BC ．D 是AB 的中点．（I ）求证：PD ⊥平面ABC ．（Ⅱ）求点B 到平面P AC 的距离；（文科学生做）（Ⅱ）求异面直线P A 与BC 所成角的余弦值．（理科学生做）【解答】证明：（Ⅰ）连CD ，PD ． 由AC =√3，BC ＝1，AC ⊥BC ， 得AB =2，CD =12AB =1又PA =PB =2，PD ⊥AB ，PD =√3， ∴PC 2＝PD 2+CD 2，∴PD ⊥CD ，又AB ⊂平面ABC ，CD ⊂平面ABC ，AB ∩CD ＝D ， ∴PD ⊥平面ABC ．解：（2）（文科做）三棱锥P ﹣ABC 的体积V =13×PD ×12×AC ×BC =12， P A ＝PC ＝2，AC =√3， ∴P 到AC 的距离为√132， ∴S △PAC =√394，设点B 到平面P AC 距离为d ，则13×d ×S △PAC =V =12，解得点B 到平面P AC 距离d =2√3913．（2）（理科做）延长CD 至E 使CD ＝DE ，则AE 平行于BC ， ∴∠P AE 或其补角为异面直线P A 与BC 所成的角，AE ＝BC ＝1 由PD ⊥平面ABC 得PD ⊥DE ，PE ＝2，∴cos ∠PAE =PA 2+AE 2−PE 22PE⋅AE =14，∴异面直线P A 与BC 所成角的余弦值为14．19．2019年中央电视台在周日晚上推出的一档新的综艺节目，为了解节目效果，一次节目结束后，现随机抽取了500名观众（含200名女性）的评分（百分制）进行分析，分别得到如图所示的两个频率分布直方图．（Ⅰ）计算女性观众评分的中位数与男性观众评分的平均分；（Ⅱ）若把评分低于70分定为“不满意”，评分不低于70分定为“满意”． （i ）试比较男观众与女观众不满意的概率，并说明理由；（ii ）完成下列2×2列联表，并回答是否有95%的把握认为性别和对该综艺节目是否满意有关．女性观众男性观众合计 “满意” “不满意”合计参考数据：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P （K 2≥k ）0.05 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828【解答】解：（I ）根据题意，设女性观众评分的中位数为x ， ∴10×0.01+10×0.02+（x ﹣70）×0.04＝0.5， ∴x ＝75，男性观众评分的平均数为55×0.15+65×0.25+75×0.3+85×0.2+95×0.1＝73.5； （II ）（i ）男性观众不满意的概率大，记∁A 表示事件：“女性观众不满意”；∁B 表示事件：“男性观众不满意”，由直方图得P （∁A ）的估计值为（0.01+0.02）×10＝0.3，P （∁B ）的估计值为（0.015+0.025）×10＝0.4，所以男性观众不满意的概率大； （ii ）列联表如下图：女性观众 男性观众 合计 “满意” 140 180 320 “不满意”60 120 180 合计200300500所以K 2=500×(140×120−180×60)2200×300×320×180≈5.208＞3.841， 故有95%的把握认为性别和对该综艺节目是否满意有关． 20．已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√22，上顶点为B ．点P 在E 上，点D （0，﹣2b ），△PBD 的最大面积等于3√22． （Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）若直线DP 与E 交于另一点Q ，直线BP ，BQ 分别与x 轴交于点M ，N ，试判断|OM |•|ON |是否为定值．【解答】解法一：（Ⅰ）由题意，可得△PBD 的最大面积为12×3b ×a =3√22，即ab =√2．…①1分又e =c a =√22⋯②2分a 2＝b 2+c 2…③3分 联立①②③，解得a =√2，b ＝1， 故E 的方程x 22+y 2=1．…4分（Ⅱ）设直线DP 的方程为y ＝kx ﹣2，P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）．…5分联立方程组{y =kx −2x 22+y 2=1消去y ，得x 2+2（kx ﹣2）2＝2，…6分整理，得（2k 2+1）x 2﹣8kx +6＝0，…7分 由韦达定理，得x 1+x 2=8k 2k 2+1，x 1x 2=62k 2+1，…8分又直线BP 的方程为y =y 1−1x 1x +1，所以M(x11−y 1，0)，…9分 直线BQ 的方程为y =y 2−1x 2x +1，所以N(x21−y 2，0)，…10分 所以|OM|⋅|ON|=|x 1y 1−1⋅x 2y 2−1|11分=|x 1x 2(kx 1−3)(kx 2−3)|=|x 1x 2k 2x 1x 2−3k(x 1+x 2)+9|=|66k 2−24k 2+9(2k 2+1)|=23，即|OM |•|ON |为定值23．…12分（直接写出“|OM |•|ON |为定值23”给1分）解法二：（Ⅰ）同解法一； …4分（Ⅱ）设直线DP 的方程为y ＝kx ﹣2，P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）．…5分联立方程组{y =kx −2x 22+y 2=1消去y ，得x 2+2（kx ﹣2）2＝2，…6分 整理，得（2k 2+1）x 2﹣8kx +6＝0，…7分 由韦达定理，得x 1+x 2=8k 2k 2+1，x 1x 2=62k 2+1，…8分所以k BP ⋅k BQ =y 1−1x 1⋅y 2−1x 29分 =(kx 1−3)(kx 2−3)x 1x 2=k 2x 1x 2−3k(x 1+x 2)+9x 1x 2=6k 2−24k 2+9(2k 2+1)6=32，…10分 又k BP ⋅k BQ =k BM ⋅k BN =|OB||OM|⋅|OB||ON|=32，故|OM|⋅|ON|=23， 即|OM |•|ON |为定值23．…12分（直接写出“|OM |•|ON |为定值23”给1分）21．已知函数f(x)=a+lnxx（a ∈R ）． （1）求函数f （x ）的单调区间；（2）当函数f （x ）与函数g （x ）＝lnx 图象的公切线l 经过坐标原点时，求实数a 的取值集合；（3）证明：当a ∈（0，12）时，函数h （x ）＝f （x ）﹣ax 有两个零点x 1，x 2，且满足1x 1+1x 2＜1a．【解答】解：（1）对f(x)=a+lnx x 求导，得f ′(x)=1−a−lnxx 2， 令f ′（x ）＝0，解得x ＝e 1﹣a ，当x ∈（0，e 1﹣a ）时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增．当x ∈（e 1﹣a ，+∞）时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减．（2）设公切线l 与函数g （x ）＝lnx 的切点为（x 0，y 0），则公切线l 的斜率k ＝g ′（x 0）=1x 0， 公切线l 的方程为：y −y 0=1x 0(x −x 0)，将原点坐标（0，0）代入，得y 0＝1，解得x 0＝e ．公切线l 的方程为：y =1e x ，将它与f(x)=a+lnx x 联立，整理得a =1ex 2−lnx ． 令m(x)=1e x 2−lnx ，对之求导得：m ′(x)=2x 2−e ex ，令m ′（x ）＝0，解得√e2．当x ∈(0，√e 2)时，m ′（x ）＜0，m （x ）单调递减，值域为(ln22，+∞)， 当x ∈(√e 2，+∞)时，m ′（x ）＞0，m （x ）单调递增，值域为(ln22，+∞)， 由于直线l 与函数f （x ）相切，即只有一个公共点，因此． 故实数a 的取值集合为{ln22}．（3）证明：ℎ(x)=a+lnx−ax 2x，要证h （x ）有两个零点，只要证k （x ）＝ax 2﹣lnx ﹣a有两个零点即可．k （1）＝0， 即x ＝1时函数k （x ）的一个零点．对k （x ）求导得：k ′(x)=2ax −1x ，令k ′（x ）＝0，解得 x =√2a ．当x √2a时，k ′（x ）＞0，k （x ）单调递增； 当0＜x √2a 时，k ′（x ）＜0，k （x ）单调递减．当x =√2a 时，k （x ）取最小值，k(√2a)＜k(1)=0，k （x ）＝ax 2﹣lnx ﹣a ＞ax 2﹣（x ﹣1）﹣a ＝ax 2﹣x +1﹣a ＞ax 2﹣x +12，必定存x 0√2a在使得二次函数u(x)=ax 02−x 0+12＞0， 即k （x 0）＞u （x 0）＞0．因此在区间上(√2ax 0)必定存在k （x ）的一个零点． 综上所述，h （x ）有两个零点，一个是x ＝1，另一个在区间(√2a +∞)上． 下面证明1x 1+1x 2＜1a． 由上面步骤知h （x ）有两个零点，一个是x ＝1，另一个在区间(1√2a+∞)上． 不妨设x 1＝1，x 21√2a 则1x 1+1x 2=1+1x 2＜1+√2a ，下面证明1+√2a ＜1a 即可． 令v(a)=1a −√2a −1，对之求导得v ′(a)=−1a2−√2a 0， 故v （a ）在定义域内单调递减，v(a)=1a −√2a −1＞v(12)=0，即1+√2a ＜1a ．证明完毕．四．解答题（共2小题）22．在直角坐标系xOy 中，参数方程{x =cosθy =sinθ（其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换φ：{x′=2x y′=y得到曲线C ，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√102． （Ⅰ）求曲线C 的普通方程及曲线D 的直角坐标方程；（Ⅱ）设M 、N 分别为曲线C 和曲线D 上的动点，求|MN |的最小值．【解答】解：（Ⅰ）参数方程{x =cosθy =sinθ（其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换φ：{x′=2x y′=y得到曲线C ：x 24+y 2=1；曲线D 的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√102．转化为直角坐标方程为：x +y −3√5=0； （Ⅱ）设点P （2cos θ，sin θ）到直线x +y ﹣3√5=0的距离d =|2cosθ+sinθ−3√5|√2=|√5sin(θ+α)−3√5|√2， 当sin （θ+α）＝1时，d min =√10．23．设f （x ）＝|x |+2|x ﹣a |，（a ＞0）．（1）当a ＝1时，解不等式f （x ）≤4；（2）若f （x ）≥4，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）当a＝1时，不等式f（x）≤4可化为：|x|+2|x﹣1|≤4，当x＜0时，原不等式可化为：2﹣3x≤4，解得：x≥−2 3，∴−23≤x＜0，当0≤x≤1时，原不等式可化为：2﹣x≤4，解得：x≥﹣2，∴0≤x≤1，当x＞1时，原不等式可化为：3x﹣2≤4，解得：x≤2，∴0＜x≤2，综上所述不等式f（x）≤8的解集为[−2 3，2]（2）∵f（x）＝|x|+2|x﹣a|={2a−3x，x＜02a−x，0≤x≤a −2a+3x，x＞a则f（x）在（﹣∞，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，∴当x＝a时，f（x）取最小值a，若f（x）≥4，则a≥4．。

2020年湖北高三一模数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合，，则（ ）．A. B. C. D.2.已知复数满足，则（ ）．A. B. C. D.3.若抛物线的准线方程为，则抛物线的标准方程为（ ）．A. B. C. D.4.已知函数，那么的值为（ ）．，A.B.C.D.5.已知平面向量，的夹角为，且，，则（ ）．A.B.C.D.6.已知，则下列不等式不成立的是（ ）．A.B.C.D.7.直线与圆相交于、两点，则“”是 “”的（ ）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.对任意，函数的导数都存在，若恒成立，且，则下列结论正确的是（ ）．A.B.C.D.9.已知函数：①，②，，，从中任取两个函数，则这两个函数奇偶性相同的概率为（ ）．A.B.C.D.10.函数且的图象可能为（ ）．A.B.C.D.11.设为双曲线的右焦点，过的右顶点作轴的垂线与的渐近线相交于、两点，为坐标原点，四边形为菱形，圆与在第一象限的交点是，且，则双曲线的方程是（ ）．A.B.C.D.12.己知从开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为，第二行为，，第三行为，，，第四行为，，，，如图所示，在宝塔形数表中位于第行，第列的数记为，例如，，，若，则 （ ）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知数列为等差数列，其前项和为，，则 ．14.已知长方体各个顶点都在球面上，，，过棱作该球的截面，则当截面面积最小时，球心到截面的距离为 ．15.已知，，则．16.设函数的两个零点分别为，，且在区间上恰好有两个正整数，则实数的取值范围 ．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）（1）（2）17.函数部分图象如图所示．求的最小正周期及解析式；设，求函数在区间上的最大值和最小值．（1）（2）18.如图，三棱锥中，是正三角形，．证明：．若，，求点到平面的距离．19.某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕成本为元，每个蛋糕的售价为元，如果当天卖不完，剩余的蛋糕作垃圾处理．现搜集并整理了天生日蛋糕的日需求量（单位：个），得到如图所示的柱状图．天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率．（1）12（2）（3）频数日需求量若该蛋糕店某一天制作生日蛋糕个，设当天的需求量为（），则当天的利润（单位：元）是多少？若蛋糕店一天制作个生日蛋糕．求当天的利润（单位：元）关于当天需求量的函数解析式．求当天的利润不低于元的概率．若蛋糕店计划一天制作个或个生日蛋糕，请你以蛋糕店一天利润的平均值作为决策依据，应该制作个还是个生日蛋糕？（1）（2）20.已知椭圆的左、右两个焦点分别为，，离心率，短轴长为．求椭圆的方程．如图，点为椭圆上的一动点（非长轴端点），的延长线与椭圆交于点，的延长线与椭圆交于点，求面积的最大值．（1）（2）21.已知函数．若函数在上单调递增，求实数的取值范围．若函数在处的切线平行于轴，，是否存在整数，使不等式在时恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由．【答案】解析:∵，，∴．解析:因为，所以．故选．解析:∵准线方程为，∴，，∴抛物线方程为．故选．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）（1）（2）22.在平面直角坐标系中，已知曲线（为参数）与曲线（为参数），且曲线与交于，两点，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．求曲线，的极坐标方程．直线绕点旋转后，与曲线，分别交于，两点，求．（1）（2）23.已知函数．求不等式的解集．若不等式恒成立，求的取值范围．A1.A2.D3.∵，∴．解析:由，，且与夹角为，得．故选．解析:取，，，对于选项，，选项成立；对于选项，，选项不成立；对于选项，，，，选项成立；对于选项，，，，选项成立．解析:若，则直线，圆心到直线的距离，可得，但是，若，由对称性可知直线或均满足要求，因此“”是“” 充分不必要条件．，D 5.，B 6.A 7.令，则，所以为上单调递增函数，因为，所以，即．解析:①是非奇非偶函数，②是偶函数，奇函数，是偶函数，从中任取两个函数，基本事件总数，这两函数奇偶性相同包含的基本事件个数，所以这两函数奇偶性相同的概率为．解析:对于函数且，它的定义域关于原点对称，且，故函数，所以的奇函数，故它的图象关于原点对称，排除、，又当时，，排除．故选．解析:双曲线的渐近线方程为，由过的右顶点作轴的垂线与的渐近线相交于，两点，且四边形为菱形，则对角线互相平分，∴，，D 9.D 10.D 11.∴结合选项可知，只有满足，由，解得，，∵，∴，解得，则，故双曲线方程为，故选．解析:由图表可知：数表为从开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第组个奇数，第组个奇数，，第组个奇数，则前组共个奇数．设在第组中，又是从开始的连续奇数的第个奇数，则有，解得，即在第组中，则前组共个数．又第组中的奇数从右到左，从小到大，则为第组从右到左的第个数，即为第组从左到右的第个数，即，，故．解析:，．解析:∵长方体各个顶点都在球面上，C 12.13.14.∴球的半径为：，取中点，则当截面与垂直时，截面面积最小，此时球心到截面的距离为：，故答案为：．15.解析:因为，两边同时平方得，即，等式左边上下同时除以，得，解方程可得，，当时，由二倍角公式得；当时，由二倍角公式得，所以．16.解析:令，可得，即，由题意可得方程有个解，，且在区间上恰有两个正整数，故函数的图象和直线有两个交点，且这个交点的横坐标分别为，，再令，则，即的图象和直线有两个交点，且这个交点的横坐标分别为，，在区间上恰有两个正整数，而这两个正整数应为和．令，则，令，则，（1）（2）（1）∴，求得．故符合条件的的范围是：．解析:由图可得，，所以． 所以．当时，，可得，因为，所以．所以的解析式为．．因为，所以．当，即时，有最大值，最大值为；当，即时，有最小值，最小值为．解析:取中点，连，，为正三角形，∴，中，，（1），．（2）最大值为；最小值为．17.（1）证明见解析．（2）．18.（2）（1）∴，∴平面，∴．正中，，中，∴， ，，∴ ，∴中，，∴，∴，由（）证：平面，又为中点∴，，，，设到平面的距离为，，，，∴，．解析:当时，，当时，．（1）当时，，当时，．12（2），（）．当天的利润不低于元的概率为．（3）蛋糕店一天应该制作个生日蛋糕，证明见解析．19.12（2）（3）（1）（2）由（）得当天的利润 关于当天需求量的函数解析式为：，（）．设“当天利润不低于”为事件，由①知，“当天利润不低于”等价于“需求量不低于个”，∴,所以当天的利润不低于元的概率为．若一天制作个蛋糕，则平均利润为：，若一天制作个蛋糕，则平均利润为：，∵﹐∴蛋糕店一天应该制作个生日蛋糕．解析:由题意得，解得，∵，，∴，，故椭圆的标准方程为．①当直线的斜率不存在时，不妨取，，，故；②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立方程组，化简得，设，，，，（1）．（2）．20.（1）（2），点到直线的距离，因为是线段的中点，所以点到直线的距离为，∴．综上，面积的最大值为．解析:由，得，∵函数在上单调递增，∴对于任意恒成立，即对于任意恒成立．∵，∴可变形为，即对任意恒成立．设，则，令，得，当时，，则在区间上单调递减；当时，，则在区间上单调递增，∴函数的最小值为，∴．∴实数的取值范围为．∵ 函数在处的切线平行于轴，根据函数的导数的几何意义得，即，∴．∴，则不等式可化为，即，由于当时，不等式左边，不等式右边，即无论为任何实数，不等式对于都不成立．（1）．（2）不存在整数，使不等式在时恒成立．21.（1）（2）（1）所以不存在整数，使不等式在时恒成立．解析:由，得，∴，即曲线的极坐标方程为，由曲线，得，∴，即曲线的极坐标方程为．由，得，即直线的斜率为，从而，，由已知，设，，将代入，得，同理，将代入，得，∴．解析:，∵，∴时，符合，得，时，，解得．时，不符合，舍去，（1），．（2）．22.（1）．（2）．23.（2）综上，的解集为．由得恒成立，令，，，①时，，在单减，，②时，，，③时，，∴在单减，，综上，，∴．∴的取值范围．。

2020年湖北省黄冈中学高考数学三模试卷（文科）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={−1,0，1，3，5}，B ={x|x >3或x <1}，则(∁R B)∩A =( )A. {−1,0，5}B. {1,2，3}C. {2,3}D. {1,3}2. 复数z =3+i1−2i (其中i 为虚数单位)，则|z −|=( )A. 2B. 43C. √2D. √53. 已知直线l 1：mx +y −1=0，l 2：(2m +3)x +my −1=0，m ∈R ，则“m =−2”是“l 1⊥l 2”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 如图所示，在边长为4的正三角形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正三角形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为34，则阴影区域的面积为( )A. √3B. 2√3C. 3√3D. 4√35. 设x ，y 满足约束条件{x +3y ≥3x −y ≥1y ≥0，则z =x +y 的最小值为( )A. 0B. 1C. 2D. 36. 在△ABC 中AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =5AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,E 是直线BD 上一点，且BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +n AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则m +n =( ) A. 25B. −25C. 35D. −357. 中国气象局规定：24小时内降雨的深度称为日降雨量，表示降雨量的单位通常用毫米．例如：1毫米的降雨量是指单位面积上水深1毫米．在连续几天的暴雨天气中，某同学用一个长方体容器来测量降雨量，已知该长方体的底面是边长为20mm 的正方形，高为40mm ，该容器的容器口为上底面正方形的内切圆，将该容器放在雨中，雨水从圆形容器口进入容器中，24小时后，测得容器中水深10mm ，则该同学测得的降水量约为( )(π取3.14)A. 127毫米B. 12.7毫米C. 509毫米D. 100毫米8. 已知圆C ：x 2+(y +2)2=2，则在x 轴和y 轴上的截距相等且与圆C 相切的直线有几条( )A. 3条B. 2条C. 1条D. 4条9. 若函数f(x)=√3sinx +cosx 在区间[a,b]上是增函数，且f(a)=−2，f(b)=2，则函数g(x)=√3cosx −sinx在区间[a,b]上( )A. 是增函数B. 是减函数C. 可以取得最大值2D. 可以取得最小值−210.棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中P为正方体表面上的一个动点，且总有PC⊥BD1，则动点P的轨迹的长度为()A. 34π B. 4π C. 3√2 D. 4√211.已知F1(−c,0)、F2(c,0)是双曲线C：x2a2−y2b2=1的左、右焦点，F1关于双曲线的一条渐近线的对称点为P，且点P在抛物线y2=4cx上，则双曲线的离心率为()A. √2+1B. 2C. √5D. √5+12 12.已知等腰三角形一腰上的中线长为2，则该三角形面积的最大值是()A. 4√33B. 83C. 4√23D. 9二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若lna=1e，则a e−log a e=______．14.设x=θ是函数f(x)=3sinx−cosx的一个极值点，则sin2θ+2cos2θ=______．15.已知直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=BC=2，CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为______．16.已知一族双曲线E n：x2−y2=n2020(n∈N∗，且n≤2020)，设直线x=2与E n在第一象限内的交点为A n，点A n 在E n，的两条渐近线上的射影分别为B n，C n，记△A n B n C n的面积为a n，则a1+a2+a3+⋯…+a2020=______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.如图，正三棱柱ABC−A1B1C1(侧棱垂直于底面，且底面是正三角形的棱柱)的底面边长为6，点M在边BC上，△AMC1是以点M为直角顶点的等腰直角三角形．(1)求证：点M为BC边的中点；(2)求点C到平面AMC1的距离．18. 已知数列{a n }，{b n }满足a 1=12，b 1=1，2a n+1=a n ，b 1+12b 2+13b 3+⋯ (1)n b n =b n+1−1(n ∈N ∗)．(1)求a n 与b n ；(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，求T n ．19. 随着经济的快速增长、规模的迅速扩张以及人民生活水平的逐渐提高，日益剧增的垃圾给城市的绿色发展带来了巨大的压力，相关部门在有5万居民的光明社区采用分层抽样方法得到年内家庭人均GDP 与人均垃圾清运量的统计数据如表：(1)已知变量y 与x 之间存在线性相关关系，求出其回归直线方程；(2)随着垃圾分类的推进，燃烧垃圾发电的热值大幅上升，平均每吨垃圾可折算成上网电量200干瓦时，右图是光明社区年内家庭人均GDP 的频率分布直方图，请补全[15,18]的缺失部分，并利用(1)的结果，估计整个光明社区年内垃圾可折算成的总上网量． [参考公式]回归方程y ̂=b ̂x +a ̂中，b ̂=∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2=∑x i n i=1y i −nxy−∑x i 2n i=1−nx−2．20.已知点F1，F2是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0))的左、右焦点，椭圆上一点P满足PF1⊥x轴，|PF2|=5|PF1|，|F1F2|=2√2．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过F2的直线l交椭圆C于A，B两点，当△ABF1的内切圆面积最大时，求直线l的方程．21.已知函数f(x)=2(x−1)x+a−lnx，其中a>0．(1)求f(x)的单调区间；(2)设x1，x2是f(x)的两个极值点，判断1f(x1)+1f(x2)的正负，并说明理由．22.在平面直角坐标系中，已知曲线C1：{x=2√3+√10cosαy=√10sinα(α为参数)，P(√3,3).以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为θ=π6(ρ∈R)．(1)求曲线C1的极坐标方程及点P的极坐标；(2)设直线l1与曲线C1交于A、B两点，记△POA的面积为S，△BOC1的面积为S′，求SS′+S′S的值．23.已知函数f(x)=m−|x−2|，m∈R，且f(x+2)≥1的解集A满足[−1,1]⊆A．(1)求实数m的取值范围B；(2)若a，b，c∈(0,+∞)，m0为B中的最小元素且1a +12b+13c=m0，求证：a+2b+3c≥92．答案和解析1.【答案】D【解析】解：集合A ={−1,0，1，3，5}，B ={x|x >3或x <1}， 则∁R B ={x|1≤x ≤3}， 所以(∁R B)∩A ={1,3}． 故选：D ．根据补集和交集的定义，计算即可．本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．2.【答案】C【解析】解：设复数z =3+i1−2i ， 则|z −|=|z|=|3+i1−2i |=|3+i||1−2i| =√32+1222=√105=√2．故选：C ．根据|z −|=|z|，计算即可．本题考查了共轭复数与复数的模运算问题，是基础题．3.【答案】A【解析】解：直线l 1：mx +y −1=0，l 2：(2m +3)x +my −1=0，m ∈R ， l 1⊥l 2⇔m(2m +3)+m =0，即m =−2或m =0． ∴由“m =−2”⇒“l 1⊥l 2”，反之不成立． ∴“m =−2”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件． 故选：A ．由两直线垂直与系数的关系列式求得m 值，可得“m =−2”⇒“l 1⊥l 2”，反之不成立．再由充分必要条件的判定方法得答案．本题考查两直线垂直与系数的关系，考查充分必要条件的判定方法，是基础题．4.【答案】C【解析】解：设阴影部分的面积为S ，结合几何概型公式可得：12×4×4×√32=34；解得S =3√3：故选：C ．由题意结合几何概型计算公式得到关于面积的方程，解方程即可求得最终结果． 本题考查几何概型及其应用，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．5.【答案】C【解析】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示的阴影部分：由z =x +y 可得y =−x +z ，则z 表示直线y =−x +z 在y 轴上的截距，截距越小，z 越小， 由题意可得，{x +3y =3x −y =1，解得A(32,12)，当y =−x +z 经过点A 时，z 最小， 由可得A(32,12)，此时z =x +y =2． 故选：C ．作出不等式组表示的平面区域，由z =x +y 可得y =−x +z ，则z 表示直线y =−x +z 在y 轴上的截距，截距越小，z 越小，结合图象可求z 的最小值．本题主要考查了线性目标函数在线性约束条件下的最值的求解，解题的关键是明确z 的几何意义．6.【答案】D【解析】 【分析】本题考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用，属基础题．根据题意，画出图象，可知AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2(15AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +25AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .进而求得m 和n 的值，算出m +n 的值． 【解答】 解：如图所示：AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2(15AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +25AC⃗⃗⃗⃗⃗ ． ∵AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +n AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴m =−1，n =25． m +n =−35． 故选：D ．7.【答案】B【解析】解：由题意，水的体积V =20×20×10=4000mm 3， 容器口的面积S =π×102=100πmm 2， ∴降雨量=4000100π≈12.7mm ．∴该同学测得的降水量约为12.7毫米． 故选：B ．由题意求出容器中水的容积，除以圆的面积得答案．本题考查数学在实际生活中的应用，考查棱柱体积与圆面积的求法，是基础题．8.【答案】A【解析】解：若直线不过原点，其斜率=−1，设其方程为y =−x +m ， 则d =√2=√2，解得m =0或−1，当m =0时，直线过原点；若过原点，把(0,0)代入02+(0+2)2=4>2， 即原点在圆外，所以过原点有2条切线， 综上，一共有3条， 故选：A ．先看直线不过原点的情况，设出直线的方程，斜率为−1，则可知这样的直线有2条，再看直线过原点的情况，把原点代入即可知原点在圆外，则这样的直线也应该有2条，最后验证以上4条中有一条是重复，最后综合得到结论． 本题主要考查了直线与圆的位置关系．考查了学生数形结合的思想和对基本知识的理解．9.【答案】C【解析】解：∵函数f(x)=√3sinx +cosx =2sin(x +π6)在区间[a,b]上是增函数， 且f(a)=−2，f(b)=2，∴f(a)=2sin(a +π6)为最小值，f(b)=2sin(b +π6)为最大值，则函数g(x)=√3cosx−sinx=2cos(x+π6)=2sin(x+π6+π2)，即g(x)的图象由f(x)的图象向左平移π2个单位(即14个周期)得到的．令x+π6=t，取t∈[−π2,π2]，则t+π2∈[0,π]，故g(x)在区间[a,b]上能取得最大值2，故选：C．由题意利用两角和差的三角公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．本题主要考查两角和差的三角公式，正弦函数的图象和性质，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：P点的轨迹为过点C与直线BD1垂直的截面与正方体的交线，就是图形中点三角形ACB1，它的周长为：3√2．故选：C．画出正方体，利用已知条件，判断P的轨迹，然后求解轨迹长度．本题考查直线与平面垂直的位置关系的应用，平面的基本性质，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．11.【答案】D【解析】解：不妨设a>0，b>0，设F1P垂直直线bx−ay=0，垂足为H，F1到双曲线的一条渐近线bx−ay=0的距离为：d=√a2+b2=b，PF1=2d=2b，抛物线y2=4cx的焦点坐标(c,0)，因为H为PF1的中点，O为F1F2的中点，则OH//PF2，又OH⊥PF1，所以PF2⊥PF1，则PF2=2a，a<b，故可得x P=2b2c −c，y P=−2abc，点P在抛物线y2=4cx上，可得：4a2b2c2=4c⋅(2b2c−c)=8b2−4c2，∴e4−3e2+1=0，e>1，∴e=√5+12．故选：D．利用已知条件画出图形，求出P的坐标，代入抛物线方程，然后转化求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质以及抛物线的方程的应用，是中档题．12.【答案】B【解析】解：建立如图所示的直角坐标系，设C(m,0)则B(−m,0)，A(0,n)，D(12m,12n)，由题意可得BD2=(3m2)2+(n2)2=4，故S=mn=43⋅3m2⋅n2≤43⋅(3m2)2+(n2)22=83，当且仅当3m2=n2即n=3m时取等号故选：B．结合已知三角形考虑建立直角坐标系，结合点的坐标表示三角形的面积，然后结合基本不等式即可求解．本题主要考查了利用基本不等式求解三角形面积的最值，属于基础试题．13.【答案】0【解析】解：因为lna=1e，所以a=e1e，则a e−log a e=e e×1e−1lna=e−e=0故答案为：0由已知结合指数与对数的相互转化及对数的运算性质即可求解．本题主要考查了指数与对数的互化及对数运算性质的应用，属于基础试题．14.【答案】−25【解析】解：f′(x)=3cosx+sinx，∴f′(θ)=3cosθ+sinθ=0，∴tanθ=−3．∴sin2θ+2cos2θ=2sinθcosθ+2cos2θcos2θ+sin2θ=2tanθ+21+tan2θ=−25．故答案为：−25．根据极值点处的导数为零，求出tanθ的值，然后再借助于三角恒等变换求出结论．本题考查利用导数研究函数的极值、三角恒等变换等基础知识与方法．属于基础题．15.【答案】35【解析】解：连接B1C，交BC1于点O，则点O为B1C的中点，取AC的中点D，连接BD、OD，∴OD//AB1，∴∠BOD即为异面直线AB1与BC1所成角．∵∠ABC=120°，AB=BC=2，CC1=1，∴BD=1，OD=12AB1=√52，OB=12BC1=√52，在△BOD中，由余弦定理知，cos∠BOD=OB2+OD2−BD22⋅OB⋅OD=54+54−12×√52×√52=35．故答案为：35．连接B1C，交BC1于点O，取AC的中点D，连接BD、OD，则OD//AB1，故∠BOD即为所求；得出BD、OD和OB 的长度后，由余弦定理求得cos∠BOD即可．本题考查异面直线的夹角问题，通过平移的思想，找出异面直线的平面角是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．16.【答案】20218．【解析】解：双曲线E n：x2−y2=n2020(n∈N∗，且n≤2020)的两条渐近线为y=x，y=−x，互相垂直，直线x=2与E n在第一象限内的交点为A n，A n(2,√4−n2020)，点A n在E n的两条渐近线上的射影分别为B n，C n，则|An B n|=2−√4−n20202|A n C n|=2+√4−n20202，∴a n=12|A n B n||A n C n|=n20204=n8080，∴a 1+a 2+a 3+⋯…+a 2020=18080+28080+⋯…+20208080=1+20202×20208080=20218．故答案为：20218．一族双曲线由有共同的渐近线且互相垂直，可得△A n B n C n 为直角三角形，通过计算可求出A n 的坐标，|A n B n |和|A n C n |，进而求出a n 和a 1+a 2+a 3+⋯…+a 2020．本题考查了双曲线的几何性质、点到直线的距离、三角形的面积公式等基本知识，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，转化的数学思想，属于难题．17.【答案】解：(1)证明：∵△AMC 1为以点M 为直角顶点的等腰直角三角形，∴AM ⊥C 1M 且AM =C 1M∵三棱柱ABC −A 1B 1C 1，∴CC 1⊥底面ABC ∴C 1M 在底面内射影为CM ，∴AM ⊥CM ． ∵底面ABC 为正三角形，∴点M 为BC 边的中点(2)过点C 作CH ⊥MC 1，由(1)知AM ⊥C 1M 且AM ⊥CM ， ∴AM ⊥平面C 1CM ，∵CH 在平面C 1CM 内，∴CH ⊥AM ， ∴CH ⊥平面C 1AM由(1)知，AM =C 1M =3√3，CM =12BC =3，CC 1⊥BC ， ∴CC 1=√(3√3)2−32=3√2， ∴CH =CC 1×CM C 1M=√2×33√3=√6，∴点C 到平面AMC 1的距离为底面边长为√6．【解析】(1)根据等腰直角三角形，可得AM ⊥C 1M 且AM =C 1M ，根据三垂线定理可知AM ⊥CM ，而底面ABC 为边长为a 的正三角形，进一步得到点M 为BC 边的中点；(2)过点C 作CH ⊥MC 1，根据线面垂直的判定定理可知AM ⊥平面C 1CM ，CH ⊥平面C 1AM ，则CH 即为点C 到平面AMC 1的距离，根据等面积法可求出CH 的长．本题主要考查了点线的位置关系，以及点到平面的距离，同时考查了空间想象能力和计算能力，以及转化与划归的思想，属于中档题．18.【答案】解：(1)数列{a n }满足a 1=12，b 1=1，2a n+1=a n ，所以a n+1a n=12(常数)，所以数列{a n }是以12为首项12为公比的等比数列． 所以a n =12×12n−1=12n ．数列{b n }满足b 1+12b 2+13b 3+⋯+1n b n =b n+1−1(n ∈N ∗)① 当n ≥2时，b 1+12b 2+13b 3+⋯+1n−1b n−1=b n −1(n ∈N ∗)②， ①−②得1n b n =b n+1−b n ， 所以b n+1b n=n+1n，所以b 2b 1⋅b3b 2…b nbn−1=2×32×43×…n−1n−2×nn−1，整理得bnb 1=n ，所以b n =n(首项符合通项) 故b n =n ．(2)由(1)得：c n =a n b n =n ⋅12n ， 所以T n =1×12+2×12+⋯+n ⋅12①.12T n =1×122+2×123+⋯+n ⋅12n+1②，①−②得：12T n =(12+122+⋯+12n )−n ⋅12n+1=12(1−12n )1−12−n ⋅12n+1=1−12n −n ⋅12n+1．故T n =2−12n−1−n2n ．【解析】(1)直接利用数列的递推关系式和叠乘法的应用求出数列的通项公式． (2)利用(1)的结论，进一步利用乘公比错位相减法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式，乘公比错位相减法在数列中的求和，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．19.【答案】解：(1)由表格可得，x −=3+6+9+12+155=9，y −=0.13+0.23+0.31+0.41+0.525=0.32，∑(5i=1x i −x −)2=36+9+0+9+36=90，∑(5i=1x i −x −)(y i −y −)=(−6)×(−0.19)+(−3)×(−0.09)+0×(−0.01)+3×0.09+6×0.2=6×(0.19+0.09+0.20)=6×0.48=2.88， 所以b ̂=∑(5i=1x i −x −)(y i −y −)∑(5i=1x i −x −)2=2.8890=0.032，于是a ̂=y −−b ̂x −=0.32−0.032×9=0.032，故变量y 与x 之间的回归直线方程为y ̂=0.032(x +1)．(2)由频率分布直方图各小矩形的面积之和为1，得160×(1+2+4+6+5+a)×3=1，解得a=2，故最右边小矩形的高度为260=130(图略)，由频率分布直方图可知，光明社区的人均GDP为x−=360(1×1.5+2×4.5+4×7.5+6×10.5+5×13.5+2×16.5)=10.2(万元/人)，由(1)可知，光明社区的人均垃圾清运量约为0.032×(10.2+1)(吨/人)．于是光明社区年内垃圾清运总量为5×0.032×(10.2+1)=1.792(万吨)．由题意，整个光明社区年内垃圾可折算成的总上网量估计为：17920×200=3.584×106(千瓦时)即为所求．【解析】本题考查统计，及回归直线方程，属于中档题．(1)由最小二乘法，算出b̂，â，进而可得回归直线方程．(2)由频率分布直方图各小矩形的面积之和为1，得a=2，最右边小矩形的高度，人均GDP，进而得光明社区的人均垃圾清运量约为0.032×(10.2+1)(吨/人).于是光明社区年内垃圾清运总量，进而得出答案．20.【答案】解：(1)由题意可得|PF2|=5|PF1|，|F1F2|=2√2，|PF1|2+|F1F2|2=|PF2|2，解得|PF2|=5√33，|PF1|=√33，由椭圆的定义可得2a=5√33+√33=2√3，所以a=√3，c=√2，b=1，所以椭圆的方程为x23+y2=1；(2)要使△ABF1的内切圆面积最大，只需△ABF1的内切圆的半径r最大．因为F1(−√2,0)，F2(√2,0)，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，显然直线l的斜率不为0，设直线l：x=ty+√2，联立{x=ty+√2x2+3y2=3，可得(3+t2)y2+2√2ty−1=0，则y1+y2=−2√2t3+t2，y1y2=−13+t2，则S△ABF1=S△F1F2A+S △F1F2B=12|F1F2|⋅|y1−y2|=√2⋅√(y1+y2)2−4y1y2=√2⋅√(−2√2t3+t2)2+43+t2=2√6√t2+13+t，又S△ABF1=12(|AF1|+|BF1|+|AB|)⋅r=12⋅4√3⋅r=2√3r，故2√6√t2+13+t2=2√3r，即r=√2√t2+13+t2=√2√t2+1+22≤12，当且仅当√t2+1=√t2+1，即t=±1时等号成立．所以直线l的方程为y=x−√2或y=−x+√2．【解析】(1)由条件和勾股定理、椭圆的定义，解方程可得a，b，然后求出椭圆的方程；(2)设直线l：x=ty+√2，△ABF1的内切圆的半径为r，由等积法可得r关于t的函数，利用基本不等式计算r的最大值，进而得到直线的方程．本题考查椭圆的定义、方程和性质，直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和等积法，考查化简运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)f′(x)=2(a+1)(x+a)2−1x=−x2+2x−a2x(x+a)2，其中a>0，①当a≥1时，f′(x)≤−x2+2x−1x(x+a)2=−(x−1)2x(x+a)≤0恒成立，所以函数f(x)在区间(0,+∞)内单调递减，无的单调增区间；②当0<a<1时，由−x2+2x−a2>0，解得1−√1−a2<x<1+√1−a2；由−x2+2x−a2<0，解得0<x<1−√1−a2或x>1+√1−a2，所以函数f(x)在区间(0,1−√1−a2)和(1+√1−a2,+∞)内单调递减，在区间(1−√1−a2,1+√1−a2)内单调递增；(2)因为f(x)的两个极值点x1，x2，由(1)知，0<a<1且x1+x2=2，x1x2=a2，∴f(x1)+f(x2)=[2(x1−1)x1+a+2(x2−1)x2+a]−(lnx1+lnx2)=2[(x1−1)(x2+a)+(x2−1)(x1+a)](x1+a)(x2+a)−ln(x1x2)=2[2x1x2+(a−1)(x1+x2)−2a]x1x2+a(x1+x2)+a2−ln(x1x2)=2[2a2+2(a−1)−2a]a2+2a+a2−ln(a2)=2(a2−1)a(a+1)−2lna=2(1−1a−lna)，设函数g(a)=1−1a −lna(0<a<1)，则g′(a)=1a2−1a=1−aa2>0，∴函数g(a)在区间(0,1)上单调递增，∴g(a)<g(1)=0，即1−1a−lna<0，∴f(x1)+f(x2)<0，不妨设x1<x2，则0<x1<1<x2，结合(1)中函数f(x)的单调性可知：f(x1)<f(1)<f(x2)，又f(1)=0，所以f(x1)f(x2)<0，∴1f(x1)+1f(x2)=f(x1)+f(x2)f(x1)f(x2)>0(为正)．【解析】(1)先求出导函数f′(x)，对a的值分情况讨论，利用导函数f′(x)的正负，即可得到函数f(x)的单调性；(2)因为f(x)的两个极值点x1，x2，由(1)知0<a<1且x1+x2=2，x1x2=a2，化简f(x1)+f(x2)=2(1−1a−lna)设函数g(a)=1−1a −lna(0<a<1)，利用导数得到g(a)<g(1)=0，即1−1a−lna<0，所以f(x1)+f(x2)<0，又f(x1)f(x2)<0，所以1f(x1)+1f(x2)=f(x1)+f(x2)f(x1)f(x2)>0．本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数以及函数的极值，是中档题．22.【答案】解：(1)由C1：{x=2√3+√10cosαy=√10sinα(α为参数)，消去参数α，可得(x−2√3)2+y2=10，即x2+y2−4√3x+2=0，又ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，∴曲线C1的极坐标方程为ρ2−4√3ρcosθ+2=0．∵P(√3,3)，∴ρ=√3+9=2√3，tanθ=yx =√3=√3，则θ=π3．∴点P的极坐标为(2√3,π3)；(2)曲线C1的极坐标方程为ρ2−4√3ρcosθ+2=0，圆心C1的直角坐标为(2√3,0)，直线11的极坐标方程为θ=π6(ρ∈R)，设点A(ρ1,π6)，B(ρ2,π6)，代入ρ2−4√3ρcosθ+2=0，整理得ρ2−6ρ+2=0，∴ρ1+ρ2=6，ρ1ρ2=2．∴S=12ρ1⋅ρP⋅sin(π3−π6)=√32ρ1，S′=12|OC1|⋅ρ2⋅sinπ6=√32ρ2，∴SS′+S′S=(ρ1+ρ2)2−2ρ1ρ2ρ1ρ2=62−2×22=16．【解析】(1)把曲线的参数方程中的参数消去，可得直角坐标方程，结合极坐标与直角坐标的转换关系，可得曲线C1的极坐标方程，并求得点P的极坐标；(2)由(1)中求得的点C1的坐标，得到C1到直线l1的距离，把直线l1代入曲线C1的极坐标方程，得到关于ρ的一元二次方程，利用三角形面积公式及根与系数的关系，即可求得SS′+S′S的值．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，关键是曲线极坐标方程中极径的应用，考查学生的运算求解能力，是中档题．23.【答案】解：(1)因为f(x)=m−|x−2|，所以f(x+2)≥1等价于|x|≤m−1，由[−1,1]⊆A知A是非空集合，所以1−m≤x≤m−1，结合[−1,1]⊆A可得m−1≥1⇒m≥2，即实数m的取值范围是B=[2,+∞)．(2)由(1)知m0=2，所以1a +12b+13c=2，∴a+2b+3c=12(a+2b+3c)(1a+12b+13c)≥12(√a√a+√2b2b+√3c√3c)2=92．【解析】(1)因为f(x)=m−|x−2|，所以f(x+2)≥1等价于|x|≤m−1，解此不等式，结合[−1,1]⊆A知A是非空集合，得到端点的不等式得到m范围；(2)由(1)知m0=2，所以1a +12b+13c=2，即12×(1a+12b+13c)=1，利用乘1法，将要证不等式左边变形为满足基本不等式的形式．本题考查了绝对值不等式的解法以及利用乘1法，结合基本不等式证明不等式；属于中档题．。

湖北省荆州市笔架中学2020年高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知，则( )A. B. C.D.参考答案：A略2. 某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【分析】设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A，“第二次闭合出现红灯”为事件B，则由题意可得P（A）=，P（AB）=，由此利用条件概率计算公式求得P（B/A）的值．【解答】解：设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A，“第二次闭合出现红灯”为事件B，则由题意可得P（A）=，P（AB）=，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次出现红灯的概率是：P（B/A）===．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意条件概率计算公式的灵活运用．3. 已知向量，，则（）A． B. 2 C.D.参考答案：B略4. 将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个奇函数的图象，则的值是( )A. -B. -C.D.参考答案：B【分析】利用倍角公式变形，再由函数图象的平移求得平移后的函数解析式，结合奇函数g（0）=0求解φ的取值．【详解】y＝sin（x）cos（x），沿x轴向左平移个单位，得g（x）．由g（0），得φ，即φ，k∈Z．当k＝0时，φ；∴φ的取值是．故选：B．【点睛】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，考查正弦函数的性质，属于基础题．5. 设的整数部分用表示，则的值是A、8204B、8192C、9218D、以上都不对参考答案：A6. 已知a>0,b>0,a,b的等差中项是的最小值是（）A．3 B．4C．5 D．6参考答案：答案：C7. 函数的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为该等比数列的公比的数是A． B．C．D．参考答案：D略8. 已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于A、B两点，若|AB|=6，则线段AB的中点M的横坐标为（）A．2 B．4 C．5 D．6参考答案：A【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】先根据抛物线方程求出p的值，再由抛物线的性质可得到答案．【解答】解：∵抛物线y2=4x，∴p=2，设经过点F的直线与抛物线相交于A、B两点，其横坐标分别为x1，x2，利用抛物线定义，AB中点横坐标为x0=（x1+x2）=（|AB|﹣p）=2，故选A．9. 执行如图所示的程序框图，若输入的a，b分别为36，28，则输出的a=（）A．4 B．8 C．12 D．20参考答案：A【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b的值，当a=4，b=4时，不满足条件a≠b，退出循环，输出a的值．【解答】解：第一次循环，a=36，b=28，a＞b，a=8；第二次循环，a=8，b=28，a＜b，b=20；第三次循环，a=8，b=20，a＜b，b=12；第四次循环，a=8，b=12，a＜b，b=4，第五次循环，a=8，b=4，a＞b，a=4，第六次循环，a=4，b=4，a=b，不满足条件a≠b，退出循环，输出a=4，故选：A．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的a，b的值是解题的关键，属于基本知识的考查．3.已知向量, ，如果向量与垂直，则的值为A. B. C. D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若直线与曲线恰有四个公共点，则的取值集合是____参考答案：12. 设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，则的值为参考答案：-113. 函数的定义域为D，若对于任意，当时，都有，则称函数在D上为非减函数。

绝密★启用前湖北省武汉市普通高中2020届高三毕业班下学期高考模拟质量检测数学(文)试题(解析版)2020年5月25日本试卷共5页，23题（含选考题）.★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，先将自已的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡指定的位置用2B 铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足，12z i i i +=++，则复数z =（ ）. A. 2i +B. 12i +C. 3i +D. 32i -【答案】B【解析】【分析】首先根据题意得到(1)(2)z i i i =++-，再化简即可得到答案.【详解】2(1)(2)2312z i i i i i i i =++-=++-=+.故选：B【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，属于简单题.2.已知集合103x A x x ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，{}2B x x =<，则A B =（ ）. A . {}21x x -<< B. {}32x x -<< C. {}21x x -<≤ D. {}21x x -≤≤ 【答案】C【解析】【分析】 首先分别解不等式103x x -≤+和2x <，再求交集即可. 【详解】因为(1)(3)01031303x x x x x x -+≤⎧-≤⇒⇒-<≤⎨+≠+⎩， 所以{}31A x x =-<≤. 因为222x x <⇒-<<，所以{}22B x x =-<<.{}21A B x x ⋂=-<≤. 故选：C【点睛】本题主要考查集合交集运算，同时考查了分式不等式和绝对值不等式的解法，属于简单题.3.某单位有职工160人，其中业务人员96人，管理人员40人，后勤服务人员24人，为了了解职工基本情况，要从中抽取一个容量为20的样本，如果采取分层抽样方式，那么抽到管理人员的人数为（ ）.A. 3B. 5C. 10D. 15【答案】B。