2015-2016学年上海市复旦大学附中高二(上)数学期中试卷带解析答案

B复旦大学附属中学2015学年第一学期高二数学期中考试试卷 2015.11考试时间：100分钟满分：120分请将所有答案写在答题纸上．．．．．．．．．．．．一、填空题（每题4分，共48分）1. 线性方程组21202x z x y y z -=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩的增广矩阵是________________2. 计算矩阵乘积：1001x y u v -⎛⎫⎛⎫=⎪⎪⎝⎭⎝⎭________________3. 直线410x y ++=的倾斜角α=________________4. 直线1:4360l x y ++=与直线2:8610l x y +-=的距离是______________5. 已知4a =，e 为单位向量，当a 与e 的夹角为120︒时，a 在e 方向上的投影是_________6. 已知向量()()()2,1,1,,1,2a b m c =-=-=-，若()a bc +，则实数m =___________7. 已知等比数列{}n a 的首项11a =，公比为()0x x >，其前n 项和为记为n S ，则函数()1limnn n S f x S →∞+=的解析式为_______________8. 已知,a b 是平面内两个相互垂直的单位向量，若向量c 满足()()0a c b c -⋅-=，则c 的最大值为____________9. 若光线经过点()2,3P 射到直线10x y ++=上，反射后经过点()1,1Q ，则反射光线所在的直线方程为________________ 10. 如图，在ABC 中，13AM AB =，14AN AC =，BN 与CM 交于点E ，若AE xAB y AC =+，则x y +=____________ 11. 作边长为1的正三角形的内切圆，在这个圆内做新的内接正三角形，在新的正三角形内再作内切圆，如此继续下去，所有这些圆的面积之和为____________12. 已知(),2R k k Z πααπ∈≠+∈，设直线:tan l y x m α=+，其中0m ≠，给出下列结论：①直线l 的方向向量与向量()cos ,sin a αα=共线；②若04πα<<，则直线l 与直线y x=的夹角为4πα-；③直线l 与直线sin cos 0x y n αα-+=（n m ≠）一定平行；写出所有真命题的序号____________ 二、选择题（每题4分，共16分）13. “1a =”是“直线1y ax =+与直线()21y a x =--垂直”的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件14. 设()f x 是定义在正整数集上的函数，且满足：对于定义域内任意的k ，若()2f kk ≥成立，则()()211f k k +≥+成立。

第Ⅰ卷（共60分）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1.直线230x y --= 关于x 轴对称的直线方程为________． 【答案】230x y +-=考点：直线关于点，直线对称的直线方程.【方法点睛】直线关于x 轴对称直线方程求法有多种（1）可利用函数的观点，直线)(x f y =关于x 对称的直线方程为)(x f y -=；（2）可设关于x 轴对称的直线的点为),(y x ，其关于x 轴对称的点),(y x -在原直线上；（3）可在原直线上任找两点，找出其与x 轴对称点的坐标，利用两点式写出直线方程. 2.向量(3,4)a =在向量(1,0)b =方向上的投影为____ __. 【答案】3 【解析】试题分析：由数量积的定义||||=⋅，所以.3010413||||22=+⨯+⨯==b考点：向量的数量积.3.已知向量(1,2),(,2)a b x =-=，若a b ⊥，则b ＝________．【答案】【解析】试题分析：因为a b ⊥，所以0=⋅，所以04=-x 解得4=x ， b ＝522422=+考点：向量模的运算.4.已知一个关于y x ,的二元一次方程组的增广矩阵为112012-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y -=_______．【答案】2考点：二元线性方程组的增广矩阵的含义.5.若2021310x y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则x y += ．【答案】2 【解析】试题分析：因为2021310x y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以⎩⎨⎧=+--=10322y x x 解得⎩⎨⎧=-=31y x ，所以x y +=2考点：矩阵的含义.6.若a 、b 、c 是两两不等的三个实数，则经过(,)P b b c +、(,)Q a c a +两点的直线的倾斜角为 __ ____．(用弧度制表示) 【答案】4π 【解析】试题分析：设经过(,)P b b c +、(,)Q a c a +两点的直线的倾斜角为α,由题意经过(,)P b b c +、(,)Q a c a +两点的直线的斜率为1=---+=a b a c c b k ，即角α正切值为1， πα<≤0 ，4πα=∴考点：直线的倾斜角及斜率. 7. 若行列式212410139x x =-，则=x．【答案】2或3- 【解析】试题分析：由题意得0|311|4|911|2|93|22=-⨯+⨯+-xx x x ，所以062=+-x x ，解得=x 2或3-.考点：三阶行列式的应用.8.直线Ax ＋3y ＋C ＝0与直线2x －3y ＋4＝0的交点在y 轴上，则C 的值为________. 【答案】-4 【解析】试题分析：直线2x －3y ＋4＝0与y 轴的交点是)34,0(，由题意得点)34,0(也在直线Ax ＋3y ＋C ＝0上，所以0343=+⨯c ，解得4-=c . 考点：两直线的交点.9.已知平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，AM mAB =，AN nAD = (0m n ⋅≠), 若//MN BE ，则nm=______________. 【答案】2 【解析】试题分析：由题意()(n m -=+==+-=+=λλλ,所以,21,λλ==m n 所以n m =2考点：向量的加法运算10.已知直线022=-+y x 和01=+-y mx 的夹角为4π，则m 的值为 .【答案】31-或3考点：两直线的夹角.11.下面结论中，正确命题的个数为_____________． ①当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2. ②如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.③已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1、B 1、C 1、A 2、B 2、C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.④点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b.⑤直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.⑥若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于1k-，且线段AB 的中点在直线l 上.【答案】3考点：命题的真假判断.12.直线023cos =++y x θ的倾斜角的取值范围是_____________．【答案】50,[,)66πππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【解析】试题分析：直线023cos =++y x θ的斜率为3cos θ-，所以333cos 33≤-≤-θ，直线023cos =++y x θ的倾斜角的取值范围是50,[,)66πππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 考点：直线的倾斜角及斜率.13.如图，△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB ＝2，AC ＝3，BC =AO BC ⋅=________.【答案】52考点：向量在几何中的应用.【方法点睛】本题主要考查向量的几何运算、向量的数量积.运用向量的几何运算求BC AO ⋅，体现了数形结合的基本思想，再运用向量数量积几何意义计算A A ⋅-⋅，体现了数学几何意义的运用，.是思维能力与计算能力的综合体现.14.设A 是平面向量的集合，a 是定向量，对A x ∈ ，定义a x a x x f⋅⋅-=)(2)(．现给出如下四个向量：①)0,0(=a ，②⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=42,42a ，③⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22,22a ，④⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23,21a ． 那么对于任意x 、A y ∈ ，使y x y f x f ⋅=⋅)()(恒成立的向量a的序号是_______（写出满足条件的所有 向量a的序号）． 【答案】①③④ 【解析】考点：向量的数量积的运算律.二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须用2B 铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分15.“2a =”是“直线210x ay +-=与直线220ax y +-=平行”的【 】 （A ）充要条件（B ）充分不必要条件（C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】试题分析：若“a=2”成立，则两直线2x+2y-1=0与直线2x+2y=-2平行；反之，当“直线210x ay +-=与直线220ax y +-=平行，可得2±=a ，所以““2a =”是“直线210x ay +-=与直线220ax y +-=平行”的充分不必要条件. 考点：两直线平行的条件和性质.【方法点睛】判定p 是q 的什么条件，需要从两方面去理解：一是由条件P 能否推得q ；二是由条件q 能否推得p .对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可以利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；16.已知关于x y 、的二元一次线性方程组的增广矩阵为111222a b c a b c ⎛⎫⎪⎝⎭，记121212(,),(,),(,)a a a b b b c c c ===，则此线性方程组有无穷多组解的充要条件是【 】(A) 0a b c ++= (B) a b c 、、两两平行 (C) a b // (D) a b c 、、方向都相同【答案】B 【解析】试题分析：由题意，二元一次线性方程组有无穷多组解等价于方程组中未知数的系数与常数项对应成比例121212(,),(,),(,)a a a b b b c c c ===，所以a b c 、、两两平行，答案为B.考点：二元线性方程组的增广矩阵的涵义.17.如图所示是一个循环结构的算法，下列说法不正确的是【 】（A ）①是循环变量初始化，循环就要开始 （B ）②为循环体（C ）③是判断是否继续循环的终止条件（D ）输出的S 值为2，4，6，8，10，12，14，16，18. 【答案】D考点：程序框图，循环结构，循环语句，程序功能的判断 .【名师点睛】本题是已知程序框图问题，对此类问题，按程序框图逐次计算，输出结果，主要考查已知输入、输出，不全框图或考查程序框图的意义.识别运行算法流程图和完善流程图是高考的热点．解答这一类问题，第一，要明确流程图的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别运行流程图，理解框图所解决的实际问题；第三，按照题目的要求完成解答．对流程图的考查常与数列和函数等知识相结合，进一步强化框图问题的实际背景．18.如图，由四个边长为1的等边三角形拼成一个边长为2的等边三角形，各顶点依次为6321,,,,A A A A ，则j i A A A A ⋅21，（}6,,3,2,1{, ∈j i ）的值组成的集合为【 】)(A {}21012、、、、-- )(B ⎭⎬⎫⎩⎨⎧---212102112、、、、、、)(C ⎭⎬⎫⎩⎨⎧---23121021123、、、、、、)(D ⎭⎬⎫⎩⎨⎧----2231210211232、、、、、、、、【答案】D考点：相等向量，相反向量的概念，向量数量积的计算公式，等边三角形中线的特点.三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务必写在答题纸上规定位置．19.（本题满分12分）中秋节前几天，小毛所在的班级筹划组织一次中秋班会，热心的小毛受班级同学委托，去一家小礼品店为班级的三个小组分别采购三种小礼物：中国结、记事本和笔袋（每种礼物的品种和单价都相同）． 三个小组给他的采购计划各不相同，各种礼物的采购数量及价格如下表所示：为了结账，小毛特意计算了各小组的采购总价（见上表合计栏），可是粗心的小毛却不慎抄错了其中一个数字．第二天，当他按照自己的记录去向各小组报销的时候，有同学很快发现其中有错．发现错误的同学并不知道三种小礼物的单价，那么他是如何作出判断的呢？请你用所学的行列式的知识对此加以说明． 【答案】见解析.考点：行列式知识的应用.20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分已知ABC ∆的顶点(1,3)A ，AB 边上的中线所在的直线方程是1y =，AC 边上的高所在的直线方程是210x y -+=．求：（1）AC 边所在的直线方程； （2）AB 边所在的直线方程．【答案】(1)2x+y －5=0;(2)20x y -+=.考点：直线方程的求法.【方法点睛】在求直线方程时，应先选择恰当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直的直线或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况21.在直角坐标系中，已知两点),(11y x A ，),(22y x B ；1x ，2x 是一元二次方程042222=-+-a ax x 两个不等实根，且A 、B 两点都在直线a x y +-=上． （1）求OA OB ；（2）a 为何值时与夹角为3π． 【答案】(1) 42-a ;(2) 6± 【解析】考点：一元二次方程的根与系数关系及平面向量的数量积运算.【方法点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.主体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积的运算律.22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第,3小题满分6分. 已知O 为ABC ∆的外心，以线段OB OA 、为邻边作平行四边形，第四个顶点为D ，再以OD OC 、为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为H ．(1) 若,,,OA a OB b OC c OH h ====，试用a 、b 、c 表示h ；(2) 证明：AH BC ⊥；(3) 若ABC ∆的60A ∠=，45B ∠=，外接圆的半径为R ，用R 表示h ．【答案】(1) h a b c =++;(2)证明见解析；（3）(2h ==-考点：向量的加法的平行四边形法则，两向量垂直的证明方法及向量数量积的定义. 【方法点睛】（1)当向量与是坐标形式给出时，若证明⊥，则只需证明02121=+=⋅y y x x b a ；（2）当,是非坐标形式时，要把,用已知的不共线的向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行证明0=⋅；（3）利用向量垂直于平行的条件进行构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧.23.（本题满分18分）本题共有3个小题，每小题满分6分.如图，射线OA 、OB 所在的直线的方向向量分别为),1(1k d =、),1(2k d -=（0>k ），点P 在AOB∠内，OA PM ⊥于M ，OB PN ⊥于N .（1）若1=k ，⎪⎭⎫ ⎝⎛21,23P ，求||OM 的值； （2）若()1,2P ，△OMP 的面积为56，求k 的值； （3）已知k 为常数，M 、N 的中点为T ，且k S MON 1Δ=，当P 变化时，求||OT 的取值范围． 【答案】x（3）设),(y x T ，),(ka a M 、),(kb b N -（0>a ，0>b ，0>k ）， 根据题意可知：21||k a OM +=，21||k b ON +=其中212sin kk MON +=∠ k MON ON OM S MON 1sin ||||21Δ=∠⋅=，即21kab =……（*） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=2)(2b a k y b a x ， =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222)(2b a k b a OT ()()()222212121k ab k b a -+++考点：三角形面积公式与基本不等式 .：。

2015-2016学年上海市复旦大学附中高二（上）期中数学试卷一、填空题（每题4分，共48分）1．（4分）线性方程组的增广矩阵是．2．（4分）计算矩阵的乘积=．3．（4分）直线4x+y+1=0的倾斜角α=．4．（4分）直线l1：4x+3y+6=0与直线l2：8x+6y﹣1=0的距离是．5．（4分）已知，为单位向量，当与之间的夹角为120°时，在方向上的投影为．6．（4分）已知向量，若，则实数m=．7．（4分）已知等比数列{a n}的首项a1=1，公比为x（x＞0），其前n项和为记为S n，则函数的解析式为．8．（4分）已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则最大值是．9．（4分）一条光线经过点P（2，3）射在直线x+y+1=0上，反射后，经过点A （1，1），则光线的反射线所在的直线方程为．10．（4分）如图，在△ABC中，，，BN与CM交于点E，若，则x+y=．11．（4分）作边长为1的正三角形的内切圆，在这个圆内做新的内接正三角形，在新的正三角形内再作内切圆，如此继续下去，所有这些圆的面积之和为．12．（4分）已知，设直线l：y=xtanα+m，其中m≠0，给出下列结论：①直线l的方向向量与向量共线；②若，则直线l与直线y=x的夹角为；③直线l与直线xsinα﹣ycosα+n=0（n≠m）一定平行；写出所有真命题的序号．二、选择题（每题4分，共16分）13．（4分）“a=1”是直线y=ax+1和直线y=（a﹣2）x﹣1垂直的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．（4分）设f（x）是定义在正整数集上的函数，且满足：对于定义域内任意的k，若f（k）≥k2成立，则f（k+1）≥（k+1）2成立．则下列命题正确的是（）A．若f（3）≥9成立，则对于任意k∈N*，均有f（k）≥k2成立B．若f（3）≥9成立，则对于任意k≥3，k∈N*，均有f（k）＜k2成立C．若f（3）≥9成立，则对于任意k＜3，k∈N*，均有f（k）＜k2成立D．若f（3）=9成立，则对于任意k≥3，k∈N*，均有f（k）≥k2成立15．（4分）以下向量中，可以作为直线的一个方向向量是（）A．B．C．D．16．（4分）已知点A（0，2），B（2，0）．若点C在函数y=x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1三、解答题（共5题，共计56分）17．（10分）用行列式讨论下列关于x，y，z的方程组的解的情况，并求出相应的解．18．（10分）已知直线l：（a2﹣a+1）x﹣（a2+a+1）y﹣a2+3a﹣1=0，a∈R（1）求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；（2）求当a=1和a=﹣1时对应的两条直线的夹角．19．（12分）已知向量，且向量满足关系式：，其中k＞0．（1）求证：；（2）试用k表示，求的最大值，并求此时向量的夹角．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴正半轴上，点P n在x轴上，其横坐标为x n，且{x n}是首项为1、公比为2的等比数列，记∠P n AP n+1=θn，n ∈N*．（1）若，求点A的坐标；（2）若点A的坐标为（0，8），求θn的最大值及相应n的值．21．（12分）如图，数轴x，y的交点为O，夹角为θ，与x轴、y轴正向同向的单位向量分别是．由平面向量基本定理，对于平面内的任一向量，存在唯一的有序实数对（x，y），使得，我们把（x，y）叫做点P在斜坐标系xOy中的坐标（以下各点的坐标都指在斜坐标系xOy中的坐标）．（1）若θ=90°，为单位向量，且与的夹角为120°，求点P的坐标；（2）若θ=45°，点P的坐标为，求向量与的夹角；（3）若θ=60°，求过点A（2，1）的直线l的方程，使得原点O到直线l的距离最大．2015-2016学年上海市复旦大学附中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题4分，共48分）1．（4分）线性方程组的增广矩阵是．【解答】解：线性方程组即为，故所求增广矩阵是，故答案为．2．（4分）计算矩阵的乘积=．【解答】解：=故答案为：3．（4分）直线4x+y+1=0的倾斜角α=π﹣arctan4．【解答】解：由4x+y+1=0，得：y=﹣4x﹣1，∴k=﹣4，∴的倾斜角α=π﹣arctan4，故答案为：π﹣arctan4．4．（4分）直线l1：4x+3y+6=0与直线l2：8x+6y﹣1=0的距离是．【解答】解：直线l1：4x+3y+6=0，即直线l1：8x+6y+12=0，它与直线l2：8x+6y ﹣1=0的距离是d==，故答案为：．5．（4分）已知，为单位向量，当与之间的夹角为120°时，在方向上的投影为﹣2．【解答】解：当与之间的夹角为120°时，在方向上的投影为||×cos120°=4×（﹣）=﹣2，故答案为﹣2．6．（4分）已知向量，若，则实数m=﹣1．【解答】解：向量，=（1，m﹣1），，可得：m﹣1=﹣2，解得m=﹣1．故答案为：﹣1．7．（4分）已知等比数列{a n}的首项a1=1，公比为x（x＞0），其前n项和为记为S n，则函数的解析式为．【解答】解：当x=1时，S n=n，∴函数==1．当0＜x＜1时，S n=，∴函数==1．当1＜x时，S n=，∴函数===．综上可得：．故答案为：．8．（4分）已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则最大值是．【解答】解：已知是平面内两个互相垂直的单位向量，不妨设，令=（x，y），则，它表示以（）为圆心，为半径的圆，可知最大值是．故答案为：．9．（4分）一条光线经过点P（2，3）射在直线x+y+1=0上，反射后，经过点A （1，1），则光线的反射线所在的直线方程为4x﹣5y+1=0．【解答】解：设点P关于直线x+y+1=0的对称点的坐标为Q（x0，y0），则PQ的中点M（，），∵直线x+y+1=0的斜率k=﹣1，依题意，PQ的中点在直线x+y+1=0上，且PQ所在直线与直线x+y+1=0垂直，所以，解得Q（﹣4，﹣3），∵反射光线经过A、Q两点，∴反射光线所在直线的方程为4x﹣5y+1=0．10．（4分）如图，在△ABC中，，，BN与CM交于点E，若，则x+y=．【解答】解：B，E，N三点共线；∴；∴；∴①；同理由C，E，M三点共线可得：②；∴由①②得，；解得；∴；又；∴．故答案为：．11．（4分）作边长为1的正三角形的内切圆，在这个圆内做新的内接正三角形，在新的正三角形内再作内切圆，如此继续下去，所有这些圆的面积之和为．【解答】解：如图所示，设第n正三角形的内切圆的边角为r n，则r1==，r2==，…．∴数列为等比数列，首项为，公比为，∴所有这些圆的面积之和==．故答案为：．12．（4分）已知，设直线l：y=xtanα+m，其中m≠0，给出下列结论：①直线l的方向向量与向量共线；②若，则直线l与直线y=x的夹角为；③直线l与直线xsinα﹣ycosα+n=0（n≠m）一定平行；写出所有真命题的序号①②．【解答】解：对于①，直线l的方向向量是（1，tanα），它与向量共线，是真命题；对于②，当时，直线l的斜率是tanα，倾斜角是α，直线y=x的斜率是1，倾斜角是，∴两直线的夹角为，是真命题；对于③，直线l的斜率是k=tanα，在y轴上的截距是m，直线xsinα﹣ycosα+n=0的斜率是k=tanα，且在y轴上的截距是，当m=时，两直线重合，不平行，∴是假命题；综上，是真命题的序号是①②．故答案为：①②．二、选择题（每题4分，共16分）13．（4分）“a=1”是直线y=ax+1和直线y=（a﹣2）x﹣1垂直的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当a=1时直线y=ax+1的斜率是1，直线y=（a﹣2）x﹣1的斜率是﹣1满足k1•k2=﹣1∴“a=1”是直线y=ax+1和直线y=（a﹣2）x﹣1垂直的充要条件．故选：C．14．（4分）设f（x）是定义在正整数集上的函数，且满足：对于定义域内任意的k，若f（k）≥k2成立，则f（k+1）≥（k+1）2成立．则下列命题正确的是（）A．若f（3）≥9成立，则对于任意k∈N*，均有f（k）≥k2成立B．若f（3）≥9成立，则对于任意k≥3，k∈N*，均有f（k）＜k2成立C．若f（3）≥9成立，则对于任意k＜3，k∈N*，均有f（k）＜k2成立D．若f（3）=9成立，则对于任意k≥3，k∈N*，均有f（k）≥k2成立【解答】解：A．若f（3）≥9成立，则f（4）≥16成立，则f（k）≥k2成立，（k≥3成立），则无法判断当k=1，2时是否成立，故A错误，B．若f（3）≥9成立，则f（4）≥16成立，则f（k）≥k2成立，（k≥3成立），故B错误，C．若f（3）≥9成立，则f（4）≥16成立，则f（k）≥k2成立，（k≥3成立），故C错误，D．若f（3）=9，满足f（3）≥9成立，则f（4）≥16成立，则f（k）≥k2成立，（k≥3成立），故D正确，故选：D．15．（4分）以下向量中，可以作为直线的一个方向向量是（）A．B．C．D．【解答】解：由得，x﹣2y+1=0，则l的一个方向向量是=（2，1）．故选：D．16．（4分）已知点A（0，2），B（2，0）．若点C在函数y=x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：设C（a，a2），由已知得直线AB的方程为，即：x+y﹣2=0点C到直线AB的距离为：d=，有三角形ABC的面积为2可得：=|a+a2﹣2|=2得：a2+a=0或a2+a﹣4=0，显然方程共有四个根，可知函数y=x2的图象上存在四个点（如上面图中四个点C1，C2，C3，C4）使得△ABC的面积为2（即图中的三角形△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4）．故选：A．三、解答题（共5题，共计56分）17．（10分）用行列式讨论下列关于x，y，z的方程组的解的情况，并求出相应的解．【解答】解：方程组可转化为：=，D==1﹣a2=﹣（a+1）（a﹣1），D x==0，D y==a2﹣3a+2=（a﹣1）（a﹣2）；D z==3a﹣3=3（a﹣1）①当系数行列式丨A丨≠0时，方程组有唯一解，当a≠±1时，有唯一解②当a=﹣1时，无解③当a=1时，有无穷多解，通解为．18．（10分）已知直线l：（a2﹣a+1）x﹣（a2+a+1）y﹣a2+3a﹣1=0，a∈R（1）求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；（2）求当a=1和a=﹣1时对应的两条直线的夹角．【解答】（1）证明：∵l：（a2﹣a+1）x﹣（a2+a+1）y﹣a2+3a﹣1=0，∴（x﹣y﹣1）a2+（﹣x﹣y+3）a+（x﹣y﹣1）=0，∴，∴x=2，y=1，∴直线l恒过定点，定点坐标为（2，1）；（2）解：a=1和a=﹣1时，直线的方程分别为x﹣3y+1=0，3x﹣y﹣5=0，∴tanθ=||=，∴．19．（12分）已知向量，且向量满足关系式：，其中k＞0．（1）求证：；（2）试用k表示，求的最大值，并求此时向量的夹角．【解答】（1）证明：∵，∴，，∴=（cosα+cosβ）（cosα﹣cosβ）+（sinα+sinβ）（sinα﹣sinβ）=cos2α﹣cos2β+sin2α﹣sin2β=0．∴：；（2）∵，∴，即=，整理得，∴的最大值为，此时k=1，设向量的夹角为θ，则cosθ=，夹角．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴正半轴上，点P n在x轴上，其横坐标为x n，且{x n}是首项为1、公比为2的等比数列，记∠P n AP n+1=θn，n ∈N*．（1）若，求点A的坐标；（2）若点A的坐标为（0，8），求θn的最大值及相应n的值．【解答】解：（1）设A（0，t）（t＞0），根据题意，x n=2n﹣1．由，知，而tanθ3=tan（∠OAP4﹣∠OAP3）==，所以，解得t=4或t=8．故点A的坐标为（0，4）或（0，8）．（2）由题意，点P n的坐标为（2n﹣1，0），tan∠OAP n=．∴tanθn=tan（∠OAP n+1﹣∠OAP n）==．因为≥，所以tanθn≤=，当且仅当，即n=4时等号成立．∵0＜θn＜，y=tanx在（0，）上为增函数，∴当n=4时，θn最大，其最大值为．21．（12分）如图，数轴x，y的交点为O，夹角为θ，与x轴、y轴正向同向的单位向量分别是．由平面向量基本定理，对于平面内的任一向量，存在唯一的有序实数对（x，y），使得，我们把（x，y）叫做点P在斜坐标系xOy中的坐标（以下各点的坐标都指在斜坐标系xOy中的坐标）．（1）若θ=90°，为单位向量，且与的夹角为120°，求点P的坐标；（2）若θ=45°，点P的坐标为，求向量与的夹角；（3）若θ=60°，求过点A（2，1）的直线l的方程，使得原点O到直线l的距离最大．【解答】解：（1）若θ=90°，为单位向量，且与的夹角为120°，设P（x，y），则x2+y2=1，且cos120°=（）=x，∴x=﹣，代入x2+y2=1，得y=．可得P；（2）若θ=45°，点P的坐标为，则，∴=，∴，又=，设向量与的夹角为α，则=．∴α=；（3）若θ=60°，且点A（2，1），由，可得A在直角坐标系下的坐标为（），∴过点A（）且使得原点O到直线l的距离最大的直线方程为，代入，整理得5x′+4y′﹣14=0．∴过点A（2，1），使得原点O到直线l的距离最大的直线方程为5x+4y﹣14=0．。

6.关于x，y的二元线性方程组nx−3y=2的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为22tanθ−sinθ=0有两个不等实根a和b，那么过点A a,a2，B b,b2的直线与圆2016年上海中学高二上学期数学期中考试试卷一、填空题（共12小题；共60分）1.已知A4,6，B−3,−1，C5,−5三点，则经过点A且与BC平行的直线l的点斜式方程为．2.已知a=1，b=2，且λa+b⊥2a−λb，a与b的夹角为60∘，则实数λ=3.直线x+3y+2=0与直线x+1=0的夹角为．y≥0,4.设变量x，y满足约束条件x−y+1≥0,则z=2x+y的最大值为．x+y−3≤0,5.圆心为1,2且与直线5x−12y−7=0相切的圆的方程为．．2x+my=5,103011则m=．n7.对任意实数m，圆x2+y2−2mx−4my+6m−2=0恒过定点，则其坐标为．，2x74x8.在行列式4−34中，第3行第2列的元素的代数余子式记作f x，则y=1+f x的零65−1点是．9.已知定点A0,−5，P是圆x−22+y+32=2上的动点，则当PA取到最大值时，P点的坐标为．10.已知P是△ABC内的一点，且满足PA+3PB+5PC=0，记△ABP，△BCP，△ACP的面积依次为S1，S2，S3，则S1:S2:S3=．11.若直线y=x+b与曲线y=3−4x−x2有公共点，则实数b的取值范围是．12.已知a>1，x≥1，y≥1，且loga x+logay=logaa4x4+logaa4y4，则logaxy的取值范围是．二、选择题（共4小题；共20分）x y113.已知直线方程为351=0，则下列各点不在这条直线上的是 −231A.−2,3B.4,7C.3,5D.0.5,414.直线2x+3y−6=0关于点1,−1对称的直线方程是 A.2x+3y+7=0 C.2x+3y+8=0B.3x−2y+2=0 D.3x−2y−12=015.若O为△ABC的内心，且满足OB−OC⋅OB+OC−2OA=0，则△ABC的形状为 A.等腰三角形B.正三角形C.直角三角形D.以上都不对16.已知方程x2+x1x2+y2=1的位置关系是 A.相交B.相切C.相离D.随θ值的变化而变化三、解答题（共5小题；共65分）mx+y=−1,17.利用行列式解关于x，y的二元一次方程组3mx−my=2m+3.18.设两个向量a，b满足a=2，b=1，a，b的夹角为60∘，若向量2t a+7b与向量a+t b的夹角为钝角，求实数t的取值范围．19.已知直线l过点1,3，且与x轴、y轴都交于正半轴，求：（1）直线l与两坐标轴围成的图形的面积的最小值及此时直线l的方程；（2）直线l与两坐标轴截距之和的最小值及此时直线l的方程．20.已知A0,2是定圆C:x2+y2=16内的一个定点，D是圆上的动点，P是线段AD的中点，求：（1）P点所在的曲线方程E；（2）过点A且斜率为−3的直线与曲线E交于M，N两点，求线段MN的长度．421.在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，r（r>0）为半径的定圆C，与过原点且斜率为k1（k≠0）的动直线交于P，Q两点，在x轴正半轴上有一个定点R m,0，P，Q，R三点构成三角形，求：（1△）PQR的面积S1的表达式，并求出S1的取值范围；（2△）PQR的外接圆C2的面积S2的表达式，并求出S2的取值范围．3− 2 2【解析】关于 x ，y 的二元线性方程组 nx − 3y = 2 的增广矩阵经过变换可化为：2x + my = 5, x = 3, 6 + m = 5,答案第一部分1. y − 6 = − 1 x − 42【解析】k BC = −1+5 = − 1，利用点斜式可得：y − 6 = − 1 x − 4 ．2. −1 ± 3【解析】因为 λa + b ⊥ 2a − λb ， 所以 λa + b ⋅ 2a − λb = 0，所以：2λa 2 + 2 − λ2 a ⋅ b − λb 2 = 0，所以 2λ × 1 + 2 − λ2 × 1 × 2 × 1 − λ × 22 = 0， 2所以 λ2 + 2λ − 2 = 0，解得 λ = −1 ± 3． 3. 60∘【解析】因为直线 x + 3y + 2 = 0 的斜率为 − 13= − 3 ，故它的倾斜角为 150∘，3因为直线 x + 1 = 0 的斜率不存在，故它的倾斜角为 90∘，故直线 x + 3y + 2 = 0 与直线 x + 1 = 0 的夹角为 150∘ − 90∘ = 60∘．4. 6y ≥ 0,【解析】由约束条件 x − y + 1 ≥ 0, 得如图所示的三角形区域，x + y − 3 ≤ 0三个顶点坐标为 A 1,2 ，B −1,0 ，C 3,0 ，由 z = 2x + y 可得 y = −2x + z ，则 z 表示直线 y = −2x + z 在 y 轴上的截距，截距越大，z 越大，直线 z = 2x + y 过点 C 3,0 时，z 取得最大值为 6． 5. x − 1 2 + y − 2 2 =4【解析】所求圆的半径就是圆心 1,2 到直线 5x − 12y − 7 = 0 的距离：d = 所以圆的方程： x − 1 2 + y − 2 2 = 4． 5×1−12×2−7 52+ −12 2= 2，6. − 352x + my = 5, 1 0 3 0 1 1m = −1,故 y = 1 是方程组 nx − 3y = 2 的解，即 3n − 3 = 2, 解得： n = 5 ,3，A 32 = − 2 93所以 m = − 3．n57. 1,1 或 1 , 75 5【解析】x 2 + y 2 − 2mx − 4my + 6m − 2 = 0，所以 x 2 + y 2 − 2 = 2x + 4y − 6 m ，所以x 2 + y 2 − 2 = 0,2x + 4y − 6 = 0,解得 x = 1，y = 1 或 x = 1，y = 7．55所以定点的坐标是 1,1 或1 , 7 5 5．8. −1【解析】第 3 行第 2 列的元素的代数余子式x 4x4 4= −4 × 2x + 4 × 4x = −2x +2 1 − 2x . 所以 f x = −2x +2 1 − 2x ，y = 1 + f x= 1 − 2x +2 1 − 2x .令 y = 0，即 2x +2 1 − 2x = 1，解得：x = −1．9. 3, −2【解析】由题意，当 PA 取到最大值时，直线 PA 过圆心 2, −3 ，则直线 PA 的斜率为 1，直线方程为 y = x − 5，与圆的方程联立，可得 x − 2 2 + x − 2 2 = 2，所以 x = 3 或 1，根据题意，当 PA 取到最大值时，P 点的坐标为 3, −2 ．10. 5: 1: 3【解析】记 △ ABC 的面积为 S ，因为 PA + 3PB + 5PC = 0，所以 − 1 PA = 3 PB + 5 PC = PD ，888则 D 在 BC 上，且 BD : CD = 5: 3，故 PD : AD = 1: 9，即当以 BC 为底时，△ BCP 的高是 △ ABC 的 1，9所以 S 2 = 1 S ，9同理：S 1 = 5 S ，S 3 = 1 S ， 所以 S 1: S 2: S 3 = 5: 1: 3． 11. 1 − 2 2, 3【解析】在同一平面直角坐标系中画出曲线 y = 3 − 4x − x 2（注：该曲线是以点 C 2,3 为圆心、 2 为半径的圆不在直线 y = 3 上方的部分）与直线 y = x 的图象如图所示，2=2，b=1−22．2222平移该直线，结合图形分析可知，当直线沿y轴正方向平移到点0,3的过程中的任何位置，相应的直线与曲线y=3−4x−x2都有公共点；注意到与y=x平行且过点0,3的直线的方程是y=x+3；当直线y=x+b与以点C2,3为圆心、2为半径的圆（圆不在直线y=3上方的部分）相切时，有2−3+b结合图形可知，b的取值范围是1−22,3．12.23+2,4+42【解析】由题意：logax+logay=logaa4x4+logaa4y4，化简可得：logax−4logax+logay−4logay=8，令m=log a x，n=log a y，则有：n2+m2−4m−4n=8，且log a xy=n+m．因为a>1，x≥1，y≥1，所以n≥0，m≥0，因为n2+m2−4m−4n=8⇒n−22+m−22=42表示为2,2为圆心，半径为4的圆．令m+n=Z Z≥0，则n+m−Z=0．数形结合法：如图：当直线m+n−Z=0过B点或A点时最小．当直线m+n−Z=0过C点时最大．可知：A23+2,0，故得Z min=23+2，即为log a xymin=23+2．当过C点时，直线与圆相切，d=r=4=4−Z2，解得：Zmax=4+42，即为logaxymax=4+42．所以：logaxy的取值范围是23+2,4+42．第二部分22+32 ．化简得： c − 1 = 7．即 c = −6 或 c = 8． sin θ = 0的两个不等的实根，得到 a + b = −tan θ −tan θ，sin θ ，所以直线 l AB : y = b + a x − a +b + a +b ．x y 113. B 【解析】 3 5 1 = 5x − 2y + 9 + 10 − 3y − 3x = 0，整理得：2x − 5y + 19 = 0．−2 3 1由当 x = −2，y = 3 时，2x − 5y + 19 = −2 × 2 − 5 × 3 + 19 = 0，故 −2,3 在直线上，当 x = 4，y = 7 时，2x − 5y + 19 = 8 − 35 + 19 = 8 ≠ 0， 所以 4,7 不在直线上，当 x = 3，y = 5 时，2x − 5y + 19 = 6 − 25 + 19 = 0， 所以 3,5 在直线上，当 x = 0.5，y = 4 时，2x − 5y + 19 = 1 − 20 + 19 = 0， 所以 0.5,4 在直线上． 14. C 【解析】解法一：因为直线 2x + 3y − 6 = 0 关于点 1, −1 对称的直线斜率不变， 故设对称后的直线方程 l ʹ 为 2x + 3y + c = 0， 又因为点 1, −1 到两直线距离相等．所以 2−3+c 22+32= 2−3−6所以 l ʹ 方程为 2x + 3y − 6 = 0（舍）或2x + 3y + 8 = 0， 直线 2x + 3y − 6 = 0 关于点 1, −1 对称的直线方程是 2x + 3y + 8 = 0． 解法二：在直线 2x + 3y − 6 = 0 上任选两点，比如 A 0,2 ，B 3,0 ， 所以点 A ，B 关于点 1, −1 对称的点 Aʹ，Bʹ 在所求直线上． 因为 A 与 Aʹ 的中点为点 1, −1 ，所以点 Aʹ 2, −4 ，同理可得 Bʹ −1, −2 ． 由两点式得直线 AʹBʹ 方程为：2x + 3y + 8 = 0．15. A【解析】由已知得 CB ⋅ AC + AB = 0，即 BC 边的中线即为高，所以 AB = AC ．16. B 【解析】由 a 和 b 为方程 x 2 + x 1 1ab = −1又 A a , a 2，B b , b 2 ， 得到直线 AB 的斜率 k = a2−b 2a−b= a + b ，线段 AB 的中点坐标为a +b , a 2+b 2 2 2，2 22 2由圆 x 2 + y 2 = 1，得到圆心坐标为 0,0 ，半径 r = 1，则圆心到直线 AB 的距离a 2+b 2 − −3m −m = −m 2 − 3m = −m m + 3 ，= −m − 3，D y = 1 设 2t a + 7b ≠ −k ⋅ a + t b （k > 0），则 7 ≠ −kt , 得 t ≠ ± 14，d==a +b 2 2 2 12 + a + b 2a +b 2−2ab a +b 22 2 12 + a + b 2===1 = r .ab12 + a + b1 sin θ1 1+tan 2θ2所以直线 AB 与圆的位置关系是相切．第三部分17. 由题意得，D = m 1则 D x = −1 1 m −1 2m + 3 −m 3m 2m + 3= 2m 2 + 6m = 2m m + 3 ，（1）当 m ≠ 0 且 m ≠ −3 时，D ≠ 0，原方程组有唯一组解，所以 x =1 D × D x = m ，y =1 D× D y = −2，（2）当 m = 0 时，D = 0，D x = −3 ≠ 0，原方程组无解；（3）当 m = −3 时，D = 0，D x = 0，D y = 0，原方程组有无穷组解．综上，当 m = 0 时，无解；当 m = −3 时，无穷解；当 m ≠ 0 且 m ≠ −3 时，有唯一解，x = 1 ， my = −2．18. 由题意可得 a ⋅ b = 2 × 1 × cos60∘ = 1，设向量 2t a + 7b 与向量 a + t b 的夹角为 θ，则 θ ∈ 90∘, 180∘ ，则有 cos θ < 0，且 cos θ ≠ −1．即 2t a + 7b 与向量 a + t b 的不能反向共线，且向量数量积 2t a + 7b ⋅ a + t b < 0，2t ≠ −k , 2由 2t a + 7b ⋅ a + t b < 0，得 2t a 2 + 7t b 2 + 2t 2 + 7 a ⋅ b < 0， 所以 2t 2 + 15t + 7 < 0，解得 −7 < t < − 1 且 t ≠ ±14， 22故实数 t 的取值范围为 t− 7 < t < − 1 , 且t ≠ −214 2．19. （1） 设直线 l 的方程为：y − 3 = k x − 1 k < 0 ，可得与坐标轴的交点分别为 A 0,3 − k ，B 1 − 3 , 0 ．k所以第7页（共9页）−k ≥4+2−k−k=3+3=1．，2所以△PQR的外接圆C2的半径的平方=m+4k2，4k2=m2π1+k2>1，所以S2>mπ．13△??ABO=3−k1−2k19=−k++62−k19≥2−k×+62−k=6,当且仅当−k=3即k=−3时取等号．所以直线l与两坐标轴围成的图形的面积的最小值为6，此时直线l的方程为：y−3=−3x−1，化为3x+y−6=0．（2）由（Ⅰ）知直线l与两坐标轴截距之和=3−k+1−3=4+−k+k4+23，当且仅当−k=3即k=−3时取等号．所以直线l与两坐标轴截距之和的最小值为4+23，所以此时直线l的方程为：x+y1+33⋅320.（1）设AD中点为P x,y，由中点坐标公式可知，D点坐标为2x,2y−2，因为D点在圆x2+y2=16上，所以2x2+2y−22=16．故线段AD中点的轨迹方程为x2+y−12=4．（2）过点A且斜率为−3的直线方程为3x+4y−8=0，由（1）知，曲线E是以0,1为圆心，42为半径的圆，所以圆心到直线3x+4y−8=0的距离d=所以线段MN的长度为24−16=421．2554−832+42=4，521.（1）由题意，设tanα=k，则sinα=kk2+1所以△PQR的面积S1=2×1×因为0<k<1，1+k2kk2+1rm=k rm，k2+1所以0<S1<mr．（2）由题意得，PQ的垂直平分线方程为y=−1x，OR的垂直平分线方程为x=m，k2联立可得△PQR的外接圆C2的圆心坐标为m2,−m，2k24m2所以S2=π⋅m2+m21．4第8页（共9页）第9页（共9页）。

2015-2016学年上海市华师大二附中高二（上）期中数学试卷一、填空题1．计算： = ．2．关于x，y的方程组的增广矩阵是．3．方程的解为．4．已知M（2，5），N（3，﹣2），点P在直线上，且满足=3．则点P的坐标为．5．已知数列{log2（a n﹣1）}（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a2=5，则= ．6．已知无穷等比数列{a n}的所有项的和为3，则a1的取值范围为．7．直线过（﹣1，3）且在x，y轴上的截距的绝对值相等，则直线方程为．8．在△ABC中，A（2，4），B（1，﹣3），C（﹣2，1），则边BC上的高AD所在的直线的点斜式方程为．9．设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB|的最大值是．10．已知，α∈（0，π），β∈（π，2π），与的夹角为θ1，与的夹角为θ2，且= ．二、选择题11．如图给出了一个算法流程图，该算法流程图的功能是（）A．求三个数中最大的数B．求三个数中最小的数C．按从小到大排列D．按从大到小排列12．下列有关平面向量分解定理的四个命题中：①一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基；②一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基；③平面向量的基向量可能互相垂直；④一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合．正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．413．对于向量（i=1，2，…n），把能够使得||+||+…+||取到最小值的点P称为A i（i=1，2，…n）的“平衡点”．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，延长BC至E，使得BC=CE，联结AE，分别交BD、CD于F、G两点．下列结论中，正确的是（）A．A、C的“平衡点”必为OB．D、C、E的“平衡点”为D、E的中点C．A、F、G、E的“平衡点”存在且唯一D．A、B、E、D的“平衡点”必为F14．在平面直角坐标系中定义两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的交通距离为d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．若C（x，y）到点A（1，3），B（6，9）的交通距离相等，其中实数x，y 满足0≤x≤10，0≤y≤10，则所有满足条件的点C的轨迹的长之和为（）A．1 B． C．4 D．5（+1）三、解答题（共5题，满分44分）15．用在矩阵行列式中所学的知识和方法，解方程组：．16．已知命题P：，其中c为常数，命题Q：把三阶行列式中第一行、第二列元素的代数余子式记为f（x），且函数f（x）在上单调递增．若命题P是真命题，而命题Q是假命题，求实数c的取值范围．17．已知0＜k＜4，直线l1：kx﹣2y﹣2k+8=0和直线与两坐标轴围成一个四边形，求使这个四边形面积取最小时的k的值及最小面积的值．18．M为△ABC的中线AD的中点，过点M的直线分别交两边AB，AC于点P，Q，设，记y=f（x）．（1）求函数y=f（x）的表达式；（2）求的取值范围．19．对于任意的n∈N*，若数列{a n}同时满足下列两个条件，则称数列{a n}具有“性质m”：①；②存在实数M，使得a n≤M成立．（1）数列{a n}、{b n}中，a n=n（n∈N*）、（n∈N*），判断{a n}、{b n}是否具有“性质m”；（2）若各项为正数的等比数列{c n}的前n项和为S n，且，，证明：数列{S n}具有“性质m”，并指出M的取值范围；（3）若数列{d n}的通项公式（n∈N*）．对于任意的n≥3（n∈N*），数列{d n}具有“性质m”，且对满足条件的M的最小值M0=9，求整数t的值．2015-2016学年上海市华师大二附中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．计算： = ．【考点】极限及其运算．【专题】计算题．【分析】先分子分母同除以n2，再利用极限的运算性质可求．【解答】解：由题意，，故答案为．【点评】本题主要考查极限的运算及性质，属于基础题．2．关于x，y的方程组的增广矩阵是．【考点】矩阵的应用．【专题】计算题；规律型；矩阵和变换．【分析】先把方程组方程组改写为，再由增广矩阵的概念进行求解．【解答】解：二元一次方程组，即，∴二元一次方程组的增广矩阵是，故答案为：【点评】本题考查二元一次方程组的矩阵形式，是基础题，解题时要认真审题，注意熟练掌握增广矩阵的概念．3．方程的解为x1=2，x2=log25 ．【考点】三阶矩阵．【专题】计算题．【分析】可以用三阶矩阵的化简方法把方程左边化简，得到一个关于2x的一元二次方程，解出x即可【解答】解：由，化简得：方程﹣20×2x+4x+11×2x+20=0则方程同解于（2x）2﹣9×2x+20=0得2x=4或2x=5，x1=2，x2=log25故方程的解为x1=2，x2=log25．故答案为：x1=2，x2=log25【点评】考查学生转化三阶矩阵的方法，掌握三阶矩阵的计算方法．4．已知M（2，5），N（3，﹣2），点P在直线上，且满足=3．则点P的坐标为（，）．【考点】线段的定比分点．【专题】计算题．【分析】由题意可得点P分成的比为λ==3，由定比分点坐标公式求出点P的坐标．【解答】解：由题意可得点P分成的比为λ==3，由定比分点坐标公式可得x==，y==﹣，故点P的坐标为（，）．故答案为：（，）．【点评】本题主要考查线段的定比分点分有向线段成的比的定义，线段的定比分点坐标公式的应用，属于基础题．5．已知数列{log2（a n﹣1）}（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a2=5，则= 1 ．【考点】数列的极限；等差数列的通项公式．【专题】综合题；方程思想．【分析】由题意，可先由数列{log2（a n﹣1）}（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a2=5得出数列{log2（a n﹣1）}的首项为1，公差为1，由此解出log2（a n﹣1）=1+（n﹣1）×1=n，从而求出a n=1+2n，再研究a n+1﹣a n=2n+1+1﹣2n﹣1=2n即可得出=，结合等比数列的求和公式计算出所求的极限即可【解答】解：数列{log2（a n﹣1）}（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a2=5数列的公差为log24﹣log22=1，故log2（a n﹣1）=1+（n﹣1）×1=n，即a n﹣1=2n，a n=1+2n，∴a n+1﹣a n=2n+1+1﹣2n﹣1=2n∴=故答案为1【点评】本题考查数列与极限的综合，考查了等差数列的性质，通项公式，对数的运算，等比数列的求和等，涉及到的知识点多，综合性强，解题的关键是由题设条件求出a n=1+2n，难度较高6．已知无穷等比数列{a n}的所有项的和为3，则a1的取值范围为{x|0＜x＜6，且x≠3}．【考点】等比数列的通项公式．【专题】分类讨论；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由题意可得： =3，0＜|q|＜1，解出即可得出．【解答】解：由题意可得： =3，0＜|q|＜1，∴a1=3（1﹣q）∈（0，6），且a1≠3．∴a1的取值范围为{x|0＜x＜6，且x≠3}．故答案为：{x|0＜x＜6，且x≠3}．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式性质、极限的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．直线过（﹣1，3）且在x，y轴上的截距的绝对值相等，则直线方程为3x+y=0、x﹣y+4=0，或x+y﹣2=0 ．【考点】直线的截距式方程．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】当直线经过原点时，斜率为﹣3，可得要求的直线方程．当直线不经过原点时，设要求的直线方程为x±y=k，再把点（﹣1，3）代入求得k的值，可得要求的直线方程，综合可得结论．【解答】解：当直线经过原点时，斜率为=﹣3，要求的直线方程为y=﹣3x，即3x+y=0．当直线不经过原点时，设要求的直线方程为x±y=k，再把点（﹣1，3）代入可得﹣1﹣3=k，或﹣1+3=k，求得k=﹣4，或k=2，故要求的直线方程为x﹣y+4=0，或x+y﹣2=0．综上可得，要求的直线方程为 3x+y=0、x﹣y+4=0，或x+y﹣2=0，故答案为：3x+y=0、x﹣y+4=0，或x+y﹣2=0．【点评】本题主要考查求直线的方程，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．8．在△ABC中，A（2，4），B（1，﹣3），C（﹣2，1），则边BC上的高AD所在的直线的点斜式方程为y=x+．【考点】直线的点斜式方程．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】先求出BC所在直线的斜率，根据垂直得出BC边上的高所在直线的斜率，由点斜式写出直线方程，并化为一般式．【解答】解：BC边上的高所在直线过点A（2，4），斜率为=﹣=，由点斜式写出BC边上的高所在直线方程为y﹣4=（x﹣2），即y=x+故答案为：y=x+．【点评】本题考查两直线垂直时，斜率间的关系，用点斜式求直线方程的方法．9．设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB|的最大值是 5 ．【考点】点到直线的距离公式．【专题】直线与圆．【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA|•|PB|的最大值．【解答】解：有题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．故|PA|•|PB|≤=5（当且仅当时取“=”）故答案为：5【点评】本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|PA|2+|PB|2是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．10．已知，α∈（0，π），β∈（π，2π），与的夹角为θ1，与的夹角为θ2，且= ﹣．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】转化思想；向量法；三角函数的求值；平面向量及应用．【分析】由α∈（0，π），可得的范围．利用向量的夹角公式化简可得θ1=，同理可得θ2=﹣，再利用θ1﹣θ2=，即可得出sin的值．【解答】解：α∈（0，π），∴∈（0，）．∵•=1+cosα，||==，||=1，∴cosθ1=====cos，∴θ1=．∵β∈（π，2π），∴∈（，π），∴∈（0，）．∵•=1﹣cosβ，||==，∴cosθ2====sin=cos（﹣），∴θ2=﹣，∵θ1﹣θ2=，∴﹣（﹣）=，化为=﹣，sin=sin（﹣）=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了向量的夹角公式、数量积运算、倍角公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．二、选择题11．如图给出了一个算法流程图，该算法流程图的功能是（）A．求三个数中最大的数B．求三个数中最小的数C．按从小到大排列D．按从大到小排列【考点】程序框图．【专题】图表型；分类讨论；分析法；算法和程序框图．【分析】本题主要考查了条件结构叠加，程序执行时需依次对“条件1”、“条件2”、“条件3”…都进行判断，只有遇到能满足的条件才执行该条件对应的操作，结合流程图进行判断即可．【解答】解：条件结构叠加，程序执行时需依次对“条件1”、“条件2”、“条件3”…都进行判断，只有遇到能满足的条件才执行该条件对应的操作．根据流程图可知当a＞b时取b，当b＞c时取c可知求三个数中最小的数故选：B．【点评】本题主要考查了选择结构，根据流程图计算运行结果是算法这一模块的重要题型，算法和流程图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题．12．下列有关平面向量分解定理的四个命题中：①一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基；②一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基；③平面向量的基向量可能互相垂直；④一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合．正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】向量的物理背景与概念．【专题】对应思想；定义法；平面向量及应用．【分析】根据平面向量的基本定理，作为平面内所有向量的一组基底是两个向量不共线，由此对四个选项作出判断即可．【解答】解：一个平面内有无数多对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基，∴①错误，②正确；平面向量的基向量可能互相垂直，如正交基，∴③正确；平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内两个互不平行向量的线性组合，如果是三个不共线的向量，表示法不唯一，∴④错误．综上，正确的命题是②③．故选：B．【点评】本题考查了平面向量基本定理的应用问题，解题的关键是理解作为基底的两个向量不共线，是基础题目．13．对于向量（i=1，2，…n），把能够使得||+||+…+||取到最小值的点P称为A i（i=1，2，…n）的“平衡点”．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，延长BC至E，使得BC=CE，联结AE，分别交BD、CD于F、G两点．下列结论中，正确的是（）A．A、C的“平衡点”必为OB．D、C、E的“平衡点”为D、E的中点C．A、F、G、E的“平衡点”存在且唯一D．A、B、E、D的“平衡点”必为F【考点】向量在几何中的应用；平面向量的基本定理及其意义．【专题】平面向量及应用．【分析】利用平面向量知识求解．【解答】解：A、C的“平衡点”为线段上的任意一点，故A错误；D、C、E的“平衡点”为三角形内部对3边张角均为120°的点，故B错误；A、F、G、E的“平衡点”是线段FG上的任意一点，故C错误；∵矩形ABCD的两条对角线相交于点O，延长BC至E，使得BC=CE，联结AE，分别交BD、CD于F、G两点，∴A、B、E、D的“平衡点”必为F，故D正确．故选：D．【点评】本题考查“平衡点”的求法，是中档题，解题时要注意平面向量知识的合理运用．14．在平面直角坐标系中定义两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的交通距离为d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．若C（x，y）到点A（1，3），B（6，9）的交通距离相等，其中实数x，y 满足0≤x≤10，0≤y≤10，则所有满足条件的点C的轨迹的长之和为（）A．1 B． C．4 D．5（+1）【考点】轨迹方程．【专题】新定义．【分析】根据已知条件可推断出|x﹣1|+|y﹣3|=|x﹣6|+|y﹣9|，对y≥9，y≤3和3≤y≤9时分类讨论求得x和y的关系式，进而根据x的范围确定线段的长度，最后相加即可．【解答】解：由题意得，C（x，y）到点A（1，3），B（6，9）的交通距离相等，所以|x﹣1|+|y﹣3|=|x﹣6|+|y﹣9| (1)当y≥9时，（1）化为|x﹣1|+6=|x﹣6|，无解；当y≤3时，（1）化为|x﹣1|=6+|x﹣6|，无解；当3≤y≤9时，（1）化为2y﹣12=|x﹣6|﹣|x﹣1|．若x≤1，则y=8.5，线段长度为1；若1≤x≤6，则x+y=9.5，则线段长度为5；若x≥6，则y=3.5，线段长度为4．综上可知，点C的轨迹构成的线段长度之和为1+5+4=5（1+），故选：D．【点评】本题主要考查了新定义，两点间的距离公式的应用，以及分类讨论思想化简绝对值方程，考查了学生分析问、解决问题的能力．三、解答题（共5题，满分44分）15．用在矩阵行列式中所学的知识和方法，解方程组：．【考点】二元一次方程组的矩阵形式．【专题】计算题；方程思想；综合法；矩阵和变换．【分析】先求出D==﹣m2﹣3m，当D≠0时，原方程组有唯一的解；当D=0时，原方程组无解或有无数个解．【解答】解：∵，∴D==﹣m2﹣3m，当D=﹣m2﹣3m≠0，即m≠0且m≠﹣3时，方程组有唯一的解=，y==﹣2．当D=﹣m2﹣3m=0，即m=0或m=﹣3时，原方程无解或有无数个解．【点评】本题考查二元一次方程组的矩阵形式的解法及应用，是基础题，解题时要注意系数矩阵的性质的合理运用．16．已知命题P：，其中c为常数，命题Q：把三阶行列式中第一行、第二列元素的代数余子式记为f（x），且函数f（x）在上单调递增．若命题P是真命题，而命题Q是假命题，求实数c的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】综合题；转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】先由已知命题P是真命题，得：c为常数，根据三阶行列式中第一行、第二列元素的代数余子式写出f（x）=﹣x2+cx﹣4，结合函数f（x）在上单调递增．求得c的取值范围，最后即可解决问题．【解答】解：由已知命题P：，其中c为常数，是真命题，得：c为常数三阶行列式中第一行、第二列元素的代数余子式记为f（x），则f（x）=﹣x2+cx﹣4，且函数f（x）在上单调递增．∴函数f（x）在上单调递增，≥⇒c≥，∵命题Q是假命题，∴c＜．∴命题P是真命题，而命题Q是假命题，实数c的取值范围是﹣1＜c＜．【点评】本题主要考查了极限及其运算、三阶矩阵等，解答的关键是条件：“复合命题的真假判断”的应用．17．已知0＜k＜4，直线l1：kx﹣2y﹣2k+8=0和直线与两坐标轴围成一个四边形，求使这个四边形面积取最小时的k的值及最小面积的值．【考点】直线的一般式方程．【专题】综合题；函数思想；数形结合法；直线与圆．【分析】求出两直线经过的定点坐标，再求出直线与x 轴的交点，与y 轴的交点，得到所求的四边形，求出四边形的面积表达式，应用二次函数的知识求面积最小时的k值与最小面积值．【解答】解：如图所示：直线L：kx﹣2y﹣2k+8=0 即k（x﹣2）﹣2y+8=0，过定点B（2，4），与y轴的交点C（0，4﹣k），直线M：2x+k2y﹣4k2﹣4=0，即 2x+k2（y﹣4）﹣4=0，过定点（2，4 ），与x轴的交点A（2k2+2，0），由题意，四边形的面积等于三角形ABD的面积和梯形 OCBD的面积之和，∴所求四边形的面积为×4×（2 k2+2﹣2）+×（4﹣k+4）×2=4k2﹣k+8，∴当k=时，所求四边形的面积最小，最小面积的值为．【点评】本题考查了直线过定点问题，以及二次函数的最值问题，考查了数形结合思想的应用问题，是基础题．18．M为△ABC的中线AD的中点，过点M的直线分别交两边AB，AC于点P，Q，设，记y=f（x）．（1）求函数y=f（x）的表达式；（2）求的取值范围．【考点】函数解析式的求解及常用方法；向量的线性运算性质及几何意义．【专题】转化思想；函数的性质及应用；导数的概念及应用；平面向量及应用．【分析】（1）由D为BC的中点，M为AD的中点，，结合平面向量的基本定理及三点共线的充要条件，可得关于xy的方程，进而可得函数y=f（x）的表达式；（2）设△ABC的面积为1，则△APQ的面积S=xy=，（≤x≤1），利用导数法，求出函数的值域，可得答案．【解答】解：（1）如图所示：∵D为BC的中点，M为AD的中点，∴==（）=，又∵PQM三点共线，故=λ+（1﹣λ）=，故，故=1，即y=f（x）=，（≤x≤1）（2）设△ABC的面积为1，则△APQ的面积S=xy=，（≤x≤1）故S′=，当≤x时，S′＜0，函数为减函数，当＜x≤1时，S′＞0，函数为增函数，故当x=时，S取最小值，当x=，或x=1时，S取最大值，故∈[，]．【点评】本题考查的知识点是函数的解析式的求解，向量的线性运算，向量共线的充要条件，三角形面积公式，难度中档．19．对于任意的n∈N*，若数列{a n}同时满足下列两个条件，则称数列{a n}具有“性质m”：①；②存在实数M，使得a n≤M成立．（1）数列{a n}、{b n}中，a n=n（n∈N*）、（n∈N*），判断{a n}、{b n}是否具有“性质m”；（2）若各项为正数的等比数列{c n}的前n项和为S n，且，，证明：数列{S n}具有“性质m”，并指出M的取值范围；（3）若数列{d n}的通项公式（n∈N*）．对于任意的n≥3（n∈N*），数列{d n}具有“性质m”，且对满足条件的M的最小值M0=9，求整数t的值．【考点】数列的求和；数列的应用．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】（1）由于=a n+1，不满足条件①，因此 {a n}不具有“性质m”；由于=1﹣＜1﹣＜1﹣=b n+1，又＜1（n∈N*），即可判断出；（2）等比数列{c n}的公比为q＞0且q≠1，由，，可得，解得c1，q．可得S n=2．进而验证即可证明．（3）对于任意的n≥3（n∈N*），数列{d n}具有“性质m”，利用＜d n+1，化为：t＞，可得t＞1．另一方面：≤9，可得t≤3，即可得出．【解答】（1）解： ==n+1=a n+1，不满足条件①，因此 {a n}不具有“性质m”；==1﹣=1﹣＜1﹣＜1﹣=b n+1，因此{b n}满足条件①，又＜1（n∈N*），因此存在M=1，使得b n＜M，综上可得{b n}是否具有“性质m”．（2）证明：等比数列{c n}的公比为q＞0且q≠1，∵，，∴，解得c1=1，q=．∴S n==2．∵==2=2﹣＜2﹣=S n+1，∴数列{S n}满足条件①．又S n=2＜2，∴存在M=2，使得S n＜M，数列{S n}满足条件②．综上可得：数列{S n}具有“性质m”，M的取值范围是[2，+∞）．（3）对于任意的n≥3（n∈N*），数列{d n}具有“性质m”，∴＜d n+1，化为：t＞，∴t＞1．另一方面：≤9，∴=3+，∴t≤3，∴1＜t≤3，∴整数t=2，3．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、不等式的性质、新定义、有界数列，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

2015年上海市复旦大学附中高二上学期数学期末试卷一、填空题（共12小题；共60分）1. 抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上，且过点，则的方程是．2. 若过点可以向圆作两条切线，则实数的取值范围是．3. 参数方程（）化为普通方程是．4. 是椭圆上动点，，是椭圆的两焦点，则的最大值为．5. 圆与椭圆有公共点，则实数的取值范围是．6. 与圆外切，且与轴相切的动圆圆心的轨迹方程是．7. 双曲线的焦点坐标是（用表示）．8. 已知是圆上一点，则的最大值为．9. 直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，则实数的取值范围是．10. 椭圆：的右顶点为，过的右焦点作斜率为的直线与交于，两点，则的面积为．11. 设实数，满足，则的最小值是．12. 椭圆向右平移一个单位、向上平移两个单位可以得到椭圆．设直线，当实数变化时，被截得的最大弦长是．二、选择题（共4小题；共20分）13. 圆上到直线的距离为的点共有A. 个B. 个C. 个D. 个14. “”是“方程表示双曲线”的A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不必要也不充分条件15. 过点和双曲线仅有一交点的直线有A. 条B. 条C. 条D. 不确定16. 双曲线的左、右焦点为，，为的右支上动点（非顶点），为的内心．当变化时，的轨迹为A. 双曲线的一部分B. 椭圆的一部分C. 直线的一部分D. 无法确定三、解答题（共5小题；共65分）17. 已知抛物线和直线，为坐标原点．（1）求证：与必有两交点；（2）设与交于，两点，且直线和斜率之和为，求的值．18. 斜率为的动直线与椭圆交于，两点，是上的点，且满足，求点的轨迹方程．19. 已知椭圆上存在两点，关于直线对称，求实数的取值范围．20. 已知双曲线的渐近线方程为，且点到双曲线上动点的最小距离为，求的方程．21. 设定点，常数，动点，设，，且．（1）求动点的轨迹方程；（2）设直线与点的轨迹交于，两点，问是否存在实数使得?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．答案第一部分1. 或【解析】（）抛物线的顶点在坐标原点，对称轴是轴，并且经过点，设它的标准方程为，所以，解得：，所以；（）对称轴是轴，并且经过点，抛物线的方程为，所以，得：，所以抛物线的方程为：．所以所求抛物线的标准方程为：或．2.【解析】圆，可化为．因为方程表示圆，所以，解之得．又因为过点可以向圆作两条切线，所以点在圆外，可得，解之得或，综上所述，可得的取值范围是．3.【解析】由题意，消去参数，可得普通方程是．4.【解析】椭圆的，，，由椭圆的焦点三角形中，焦距所对角最大，可得最大，此时为短轴端点．则可得的最大值为．5.【解析】因为椭圆焦点在轴上，，，，，圆的圆心坐标，半径．所以若椭圆与圆有公共点，则实数的取值范围是．6. 或【解析】若动圆在轴右侧，则动圆圆心到定点与到定直线的距离相等，其轨迹是抛物线；若动圆在轴左侧，则动圆圆心轨迹是轴的负半轴．7.【解析】双曲线，化为，根据双曲线方程可知，所以双曲线焦点坐标为．8.【解析】圆的标准方程为，设，则，所以的最大值为：．9.【解析】提示：结合图形，求出直线与圆在第一象限相切时的值为，求出直线过点时的值为，进而得出的取值范围．10.【解析】由题意可知：椭圆：右焦点，右顶点，设直线的方程为，，，由整理得：，由韦达定理可知：，，则到直线的距离，的面积，所以的面积为．11.【解析】抛物线的准线方程为，最小值是与焦点的距离减去，即的最小值是．12.【解析】直线，化为：，令解得，，因此直线经过定点，为椭圆的中心．因此当实数变化时，被截得的最大弦长是．第二部分13. C 14. C 【解析】若，，，则不能表示双曲线，不是充分条件，反之，若方程表示双曲线，则，异号，是必要条件，故是方程表示双曲线的必要不充分条件．15. B【解析】直线斜率不存在时，不满足条件；直线斜率存在时，与渐近线平行的直线，满足题意，所以过点和双曲线仅有一交点的直线有条．16. C 【解析】如图设切点分别为，，，则的内切圆的圆心的横坐标与横坐标相同．由双曲线的定义，．由圆的切线性质，因为，所以，，所以，所以内切圆与轴的切点坐标为，所以当变化时，的轨迹为直线的一部分．第三部分17. （1）联立抛物线和直线，可得，所以，所以与必有两交点；（2）设，，则因为，，代入，得因为，，代入得．18. 设直线的方程为：，，，．则，，．联立化为：，，解得：，所以，．，同理可得：，因为，所以，所以或．所以点的轨迹为椭圆，其方程为或．19. 因为椭圆，焦点在轴上，设椭圆上两点，关于直线对称，中点为，直线的斜率为，则得：，由中点坐标公式可知：，，即，所以．所以，代入直线方程得，；因为在椭圆内部，所以，即，解得．实数的取值范围是．20. 因为双曲线的一条渐近线的方程为，所以设双曲线方程为，，设，则，点到双曲线上动点的距离为：当时，上式取得最小值由题意可得解得．则双曲线的方程为．21. （1）由题意，，所以动点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，方程为．（2）由直线与点的轨迹方程，联立可得，设，，则，．因为，所以，所以，所以，，因为，所以，检验时，，所以不存在．。

中学部2015-2016学年第一学期高二年级期中测试数 学 学 科 试 题 参 考 答 案（第一部分 满分100分） 一、填空题 (本大题共8小题，每小题5分，共40分)1. 10x y --=2.2y x =3.28y x = 4.相离5.2e +6.47. 55(2,)(,3)228.{0}二、解答题 (本大题共4小题，共计60分) 9. （本小题满分14分）解（1）53BC k =-，BC 边所在直线在y 轴上的截距为2， BC 边所在直线方程为52,53603y x x y =-++-=（2）25AC k =，AC 边上的高的斜率为52k =-，AC 边上的高的直线的方程为53(3)2y x +=--，即5290x y +-=10. （本小题满分14分）解（1）右焦点2(3,0)F ，对应右准线253x =.右焦点到对应准线的距离为163. （2）椭圆的离心率为35e =,根据第二定义, 231616535PF ed ==⋅=, 根据第一定义12163421055PF a PF =-=-=,点P 到左焦点1F 的距离为345. 11. （本小题满分16分）解（1）17 (2)能切点坐标(2(2,)33k k k Z ππππ+-∈或 12. （本小题满分16分）解：（1）设圆C 方程为,022=++++F Ey Dx y x则0443206480F D E F D F ⎧=⎪+++=⎨⎪+++=⎩ 解得D= —8，E=F=0.所以圆C ：2280.x y x +-= （2）圆C ：22(4)16.x y -+=圆心C(4,0),半径4当斜率不存在时，:0l x =符合题意；当斜率存在时，设直线:0,l y kx kx y =+-+=即因为直线l 与圆C 相切，所以圆心到直线距离为4，4,k ==解得所以直线:120.l y x x =++-=即故所求直线0,120.l x x =-=为或（第二部分满分60分）三、填空题 (本大题共6小题，每小题5分，共30分)13.20x y -= 14. 22(1)(3)25x y -+-= 15.4259()122f x x x =-+ 16. 25/2. 17.011x -≤≤ 18．.6 四、解答题 (本大题共2小题，共计30分) 19. (本题满分14分)解：（1）由抛物线2:C y x =得x y 2='，02|0x y x x ='∴= 切线l 的方程为)(2000x x x y y -=- 其中200x y = 令,0=x 得20x y -=；令,0=y 得20x x =；所以)0,2(0x A ，),0(20x B - 22400174x AB x =+=得到2004,2x x ==±,点P 的坐标为(2,4)±（2）设圆心E 的坐标为),0(b ，由题知1-=⋅l PE k k ，即12000-=⋅-x x by ，所以210-=-b y ；由||||PA PE =得20202020)2()(y x b y x +=-+整理得0134020=--y y解得10=y 或410-=y （舍去） 所以23=b ，圆E 的圆心E 的坐标为)23,0(，半径=r =||PE 25)(2020=-+b y x 圆E 的方程为45)23(22=-+y x20. (本题满分16分)解(1)①由已知得c a =，22411a b +=，222a b c =+，联立解得228,2a b ==. 椭圆M 的方程为22182x y +=. ②直线AB 的斜率为定值12由已知直线1:1(2)PA y k x -=-代入椭圆M 的方程消去y 并整理得22111(2)[(14)(288)]0x k x k k -+++-=所以2112188214A k k x k --=+,从而2112144114A k k y k --+=+同理2222288214B k k x k --=+,2222244114B k k y k --+=+因为120k k +=所以121222124()(41)(14)(14)A B k k k k y y k k ---==++121222128()(41)(14)(14)A B k k k k x x k k ---=++12A B ABA B y y k x x -==-为定值 (2) 解法一：12TBC S BC t =⋅=△直线TB 方程为：11y x t =+，联立221411x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得E x 22284,44t t E t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭到:TC 30x ty t --=的距离d ==直线TC 方程为：31y x t =-，联立221431x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得22436F t x t =+，所以=所以S 所以k 令21212t m +=>，则2213k m m m ==+-≤，当且仅当24m =，即t =±=”， 所以k 的最大值为43．解法二：直线TB 方程为11y x t =+，联立221411x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得E x直线TC 方程为：31y x t =-，联立221431x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得F x =1sin 21sin 2TBC TEFTB TC BTCS TB TC k S TE TF TE TF ETF ⋅⋅∠⋅===⋅⋅⋅∠△△T CT B T E T F x x x x TB TC TE TF x x x x --=⋅=⋅-- 22824436t tt t t t t t =⋅=+-++令21212t m +=>，则22192413k m m ==+-≤，当且仅当24m =，即t =±=”，所以k 的最大值为43．18解。

2015-2016学年上海中学高二（上）期中数学试卷一.填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）1．在平面直角坐标系中，经过原点和点的直线的倾斜角α=__________．2．设=（1，2），=（1，1），=+k．若⊥，则实数k的值等于__________．3．直线（m+3）x+my﹣2=0与直线mx﹣6y+5=0互相垂直，则实数m=__________．4．三阶行列式第2行第1列元素的代数余子式为10，则k=__________．5．直线l的一个方向向量，则l与直线x﹣y+2=0的夹角为__________．（结果用反三角函数值表示）6．增广矩阵的二元一次方程组的实数解为，则m+n=__________．7．过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M、N两点，则|MN|=__________．8．规定矩阵A3=A•A•A，若矩阵，则x的值是__________．9．手表的表面在一平面上，整点1，2，…，12这12个数字等间隔地分布在半径为的圆周上，从整点i到整点（i+1）的向量记作，则=__________．10．设关于x、y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0﹣2y0=2，求得m的取值范围是__________．11．平面向量，，满足||=1，•=1，•=2，|﹣|=2，则•的最小值为__________．12．在如图所示的平面中，点C为半圆的直径AB延长线上的一点，AB=BC=2，过动点P作半圆的切线PQ，若PC=PQ，则△PAC的面积的最大值为__________．二.选择题（本大题共4题，每题4分，共16分）13．关于x、y的二元一次方程组的系数行列式D=0是该方程组有解的( )A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分且必要条件D．既非充分也非必要条件14．如果命题“曲线C上的点的坐标都是方程f（x，y）=0的解”是正确的，则下列命题中正确的是( )A．曲线C是方程f（x，y）=0的曲线B．方程f（x，y）=0的每一组解对应的点都在曲线C上C．不满足方程f（x，y）=0的点（x，y）不在曲线C上D．方程f（x，y）=0是曲线C的方程15．若对任意的实数x，都有acosx﹣bsinx=1，则( )A．≥1B．≤1C．a2+b2≥1D．a2+b2≤116．△ABC中，AB=5，AC=7，△ABC的外接圆圆心为O，对于的值，下列选项正确的是( )A．12 B．10 C．8 D．不是定值三.解答题（本大题共5题，共8+8+10+10+12=48分）17．已知点A（1，2）、B（5，﹣1），且A，B两点到直线l的距离都为2，求直线l的方程．18．已知||=，||=1，与的夹角为45°，求使向量与的夹角是锐角的实数λ的取值范围．19．已知x，y满足条件：，求：（1）4x﹣3y的最小值；（2）的取值范围．20．在平面直角坐标系中，设点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），称d（P1，P2）=max{|x1﹣x2|，|y1﹣y2|}（其中max{a，b}表示a、b中的较大数）为P1、P2两点的“切比雪夫距离”；（1）若P（3，1）、Q为直线y=2x﹣1上的动点，求P，Q两点的“切比雪夫距离”的最小值；（2）定点C（x0，y0），动点P（x，y）满足d（C，P）=r（r＞0），请求出P点所在的曲线所围成图形的面积．21．定义：圆心到直线的距离与圆的半径之比为直线关于圆的距离比λ；（1）设圆C0：x2+y2=1，求过P（2，0）的直线关于圆C0的距离比λ=的直线方程；（2）若圆C与y轴相切于点A（0，3），且直线y=x关于圆C的距离比λ=，求此圆C的方程；（3）是否存在点P，使过P的任意两条互相垂直的直线分别关于相应两圆C1：（x+1）2+y2=1与C2：（x﹣3）2+（y﹣3）2=4的距离比始终相等？若存在，求出相应的P点坐标；若不存在，请说明理由．2015-2016学年上海中学高二（上）期中数学试卷一.填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）1．在平面直角坐标系中，经过原点和点的直线的倾斜角α=．【考点】直线的倾斜角．【专题】计算题；方程思想；分析法；直线与圆．【分析】设此直线的倾斜角为α，则k=tanα==﹣，即可得出．【解答】解：设此直线的倾斜角为α，则k=tanα==﹣，∵α∈∴﹣=10，∴k=6．故答案为：6．【点评】本题考查了行列式的代数余子式，本题难度不大，属于基础题．5．直线l的一个方向向量，则l与直线x﹣y+2=0的夹角为arccos．（结果用反三角函数值表示）【考点】直线的方向向量．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】先求出直线x﹣y+2=0的方向向量是（1，1），又直线l的一个方向向量，从而能求出直线l与x﹣y+2=0的夹角的余弦值，由此能求出直线l与x﹣y+2=0的夹角大小．【解答】解：∵直线x﹣y+2=0的方向向量是（1，1），又直线l的一个方向向量，∴直线l与x﹣y+2=0的夹角的余弦值是=，∴直线l与x﹣y+2=0的夹角大小为arccos．故答案为：arccos．【点评】本题考查两直线夹角大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线的方向向量的概念的合理运用．6．增广矩阵的二元一次方程组的实数解为，则m+n=﹣4．【考点】不定方程和方程组．【专题】计算题；方程思想；综合法；矩阵和变换．【分析】由已知得到，由此能求出m+n的值．【解答】解：∵增广矩阵的二元一次方程组的实数解为，∴，解得m=﹣2，n=﹣2，∴m+n=﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题考查代数式的值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意增广矩阵解方程组的性质的合理运用．7．过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M、N两点，则|MN|=4．【考点】圆的一般方程．【专题】计算题；直线与圆．【分析】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，代入点的坐标，求出D，E，F，令x=0，即可得出结论．【解答】解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，∴D=﹣2，E=4，F=﹣20，∴x2+y2﹣2x+4y﹣20=0，令x=0，可得y2+4y﹣20=0，∴y=﹣2±2，∴|MN|=4．故答案为：4．【点评】本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，确定圆的方程是关键．8．规定矩阵A3=A•A•A，若矩阵，则x的值是．【考点】二阶行列式的定义．【专题】计算题．【分析】按照规定的矩阵运算，进行化简，利用矩阵相等的概念，列出关于x的方程，并解出x即可．【解答】解：==，∴3x=1，x=故答案为：【点评】本题考查矩阵的运算，方程思想，属于基础题．9．手表的表面在一平面上，整点1，2，…，12这12个数字等间隔地分布在半径为的圆周上，从整点i到整点（i+1）的向量记作，则=．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题．【分析】把圆分成12份，每一份所对应的圆心角是30度，用余弦定理计算出每个向量的模的平方都是，而所求向量的夹角都是30度，求出其中一个数量积，乘以12个即得可到结果．【解答】解：∵整点把圆分成12份，∴每一份所对应的圆心角是30度，连接相邻的两点组成等腰三角形底边平方为，每对向量的夹角为30°，∴每对向量的数量积为cos30°=，∴最后结果为12×=6﹣9，故答案为：6﹣9．【点评】本题是向量数量积的运算，条件中没有直接给出两个向量的模和两向量的夹角，只是题目所要的向量要应用圆的性质来运算，把向量的数量积同解析几何问题结合在一起．10．设关于x、y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0﹣2y0=2，求得m的取值范围是（﹣∞，﹣）．【考点】简单线性规划．【专题】计算题；作图题；不等式的解法及应用．【分析】由题意作出其平面区域，则由图可知，点（﹣m，m）在直线x=2y+2的下方，故﹣m ﹣2m＞2，从而解得．【解答】解：由题意作出其平面区域，则由图可知，点（﹣m，m）在直线x=2y+2的下方，故﹣m﹣2m＞2，解得，m＜﹣；故答案为：（﹣∞，﹣）．【点评】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．11．平面向量，，满足||=1，•=1，•=2，|﹣|=2，则•的最小值为．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】如图所示，建立直角坐标系．由||=1，不妨设=（1，0）．由•=1，•=2，可设=（1，m），=（2，n）．利用|﹣|=2，可得，（m+n）2=3+4mn≥0，再利用数量积运算=2+mn即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．∵||=1，∴不妨设=（1，0）．∵•=1，•=2，∴可设=（1，m），=（2，n）．∴=（﹣1，m﹣n）．∵|﹣|=2，∴，化为（m﹣n）2=3，∴（m+n）2=3+4mn≥0，∴，当且仅当m=﹣n=时取等号．∴=2+mn．故答案为：．【点评】本题考查了通过建立直角坐标系解决向量有关问题、数量积运算及其性质、不等式的性质，考查了推理能力和解决问题的能力，属于难题．12．在如图所示的平面中，点C为半圆的直径AB延长线上的一点，AB=BC=2，过动点P作半圆的切线PQ，若PC=PQ，则△PAC的面积的最大值为4．【考点】圆的切线方程．【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】以AB所在直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，利用两点间距离公式推导出点P的轨迹方程是以（﹣3，0）为圆心，以r=2为半径的圆，由此能求出△PAC的面积的最大值．【解答】解：以AB所在直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，∵AB=BC=2，∴C（3，0），设P（x，y），∵过动点P作半圆的切线PQ，PC=PQ，∴=•，整理，得x2+y2+6x﹣11=0，∴点P的轨迹方程是以（﹣3，0）为圆心，以r=2为半径的圆，∴当点P在直线x=﹣3上时，△PAC的面积的最大，∴（S△PAC）max==4．故答案为：4．【点评】本题考查三角形面积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．二.选择题（本大题共4题，每题4分，共16分）13．关于x、y的二元一次方程组的系数行列式D=0是该方程组有解的( ) A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分且必要条件D．既非充分也非必要条件【考点】二元一次方程组的矩阵形式．【分析】将原方程组写成矩阵形式为Ax=b，其中A为2×2方阵，x为2个变量构成列向量，b为2个常数项构成列向量．而当它的系数矩阵可逆，或者说对应的行列式D不等于0的时候，它有唯一解．并不是说有解．【解答】解：系数矩阵D非奇异时，或者说行列式D≠0时，方程组有唯一的解；系数矩阵D奇异时，或者说行列式D=0时，方程组有无数个解或无解．∴系数行列式D=0，方程可能有无数个解，也有可能无解，反之，若方程组有解，可能有唯一解，也可能有无数解，则行列式D可能不为0，也可能为0．总之，两者之间互相推出的问题．故选D．【点评】本题主要考查克莱姆法则，克莱姆法则不仅仅适用于实数域，它在任何域上面都可以成立．14．如果命题“曲线C上的点的坐标都是方程f（x，y）=0的解”是正确的，则下列命题中正确的是( )A．曲线C是方程f（x，y）=0的曲线B．方程f（x，y）=0的每一组解对应的点都在曲线C上C．不满足方程f（x，y）=0的点（x，y）不在曲线C上D．方程f（x，y）=0是曲线C的方程【考点】曲线与方程．【专题】计算题．【分析】利用曲线的方程、方程的曲线的定义的两个方面，进行判断．【解答】解：由曲线与方程的对应关系，可知：由于不能判断以方程f（x，y）=0的解为坐标的点是否都在曲线C上，故方程f（x，y）=0的曲线不一定是C，所以曲线C是方程f（x，y）=0的曲线不正确；方程f（x，y）=0的每一组解对应的点都在曲线C上也不正确；不能推出曲线C是方程f（x，y）=0的轨迹，从而得到A，B，D均不正确，不满足方程f（x，y）=0的点（x，y）不在曲线C上是正确的．故选 C．【点评】本题考查曲线与方程的关系，只有曲线C上的点的坐标都是方程f（x，y）=0的解，而且以方程f（x，y）=0的解为坐标的点是否都在曲线C上，才能得出方程f（x，y）=0的曲线是C，曲线C的方程是f（x，y）=0．15．若对任意的实数x，都有acosx﹣bsinx=1，则( )A．≥1B．≤1C．a2+b2≥1D．a2+b2≤1【考点】基本不等式．【专题】转化思想；三角函数的求值；不等式的解法及应用．【分析】由题意和三角函数辅助角公式可得．【解答】解：∵对任意的实数x，都有acosx﹣bsinx=1，∴1=acosx﹣bsinx=sin（φ﹣x），其中tanφ=，∴1≤，平方可得a2+b2≥1故选：C【点评】本题考查不等式，涉及三角函数的最值，属基础题．16．△ABC中，AB=5，AC=7，△ABC的外接圆圆心为O，对于的值，下列选项正确的是( )A．12 B．10 C．8 D．不是定值【考点】向量在几何中的应用．【专题】数形结合；向量法；平面向量及应用．【分析】O为△ABC外接圆圆心，可取AB边中点E，AC边中点F，连接OD，OE，AO，从而有OD⊥AB，OE⊥AC，而，从而进行数量积的计算，便可得出该数量积的值．【解答】解：如图，取AB中点D，AC中点E，连接OD，OE，则：OD⊥AB，OE⊥AC；∴===．故选A．【点评】考查三角形外接圆及外接圆圆心的概念，向量减法的几何意义，以及向量数量积的运算及其计算公式，直角三角形边角的关系．三.解答题（本大题共5题，共8+8+10+10+12=48分）17．已知点A（1，2）、B（5，﹣1），且A，B两点到直线l的距离都为2，求直线l的方程．【考点】点到直线的距离公式．【专题】分类讨论；综合法；直线与圆．【分析】此题需要分为两类来研究，一类是直线L与点A（1，2）和点B（5，﹣1）两点的连线平行，一类是线L过两点A（1，2）和点B（5，﹣1）中点，分类解出直线的方程即可．【解答】解：∵|AB|==5，|AB|＞2，∴A与B可能在直线l的同侧，也可能直线l过线段AB中点，①当直线l平行直线AB时：k AB==﹣，可设直线l的方程为y=﹣x+b依题意得：=2，解得：b=或b=，故直线l的方程为：3x+4y﹣1=0或3+4y﹣21=0②当直线l过线段AB中点时：AB的中点为（3，），可设直线l的方程为y﹣=k（x﹣3）依题意得：=2，解得：k=，故直线l的方程为：x﹣2y﹣=0．【点评】本题考查点到直线的距离公式，求解本题关键是掌握好点到直线的距离公式与中点坐标公式，对空间想像能力要求较高，考查了对题目条件分析转化的能力．18．已知||=，||=1，与的夹角为45°，求使向量与的夹角是锐角的实数λ的取值范围．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】根据题意便知，从而根据条件进行数量积的运算便可得出λ2﹣7λ+6＜0，这样解该不等式便可得出λ的取值范围．【解答】解：与夹角为锐角时，==4λ﹣（6+λ2）+3λ＞0；解得1＜λ＜6；∴实数λ的取值范围为（1，6）．【点评】考查数量积的运算及其计算公式，以及向量夹角的概念，解一元二次不等式．19．已知x，y满足条件：，求：（1）4x﹣3y的最小值；（2）的取值范围．【考点】简单线性规划．【专题】运动思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解答】解：（1）不等式组表示的公共区域如图所示：其中A（4，1）、B（﹣1，﹣6）、C（﹣3，2），设z=4x﹣3y，则y=x﹣，平移直线y=x﹣，由图象可知当直线y=x﹣过C点时，直线的截距最大，此时z取得最小值，将C（﹣3，2），代入z=4x﹣3y得最小值，即z的最小值z=4×（﹣3）﹣3×2=﹣18．（2）==1﹣，设k=，则k的几何意义是动点（x，y）到定点D（﹣4，﹣5）的斜率，而K CD==7，K BD==﹣，∴﹣≤k≤7，∴﹣6≤1﹣k≤，即的取值范围是．【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．20．在平面直角坐标系中，设点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），称d（P1，P2）=max{|x1﹣x2|，|y1﹣y2|}（其中max{a，b}表示a、b中的较大数）为P1、P2两点的“切比雪夫距离”；（1）若P（3，1）、Q为直线y=2x﹣1上的动点，求P，Q两点的“切比雪夫距离”的最小值；（2）定点C（x0，y0），动点P（x，y）满足d（C，P）=r（r＞0），请求出P点所在的曲线所围成图形的面积．【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】新定义；分类讨论；分析法；函数的性质及应用．【分析】（1）设Q（x，2x﹣1），可得d（P，Q）=max{|x﹣3|，|2﹣2x|}，讨论|x﹣3|，|2﹣2x|的大小，可得距离d，再由函数的性质，可得最小值；（2）运用分段函数的形式求得d（C，P），分析各段与不等式表示的区域的图形，即可得到面积．【解答】解：（1）设Q（x，2x﹣1），可得d（P，Q）=max{|x﹣3|，|2﹣2x|}，由|x﹣3|≥|2﹣2x|，解得﹣1≤x≤，即有d（P，Q）=|x﹣3|，当x=时，取得最小值；由|x﹣3|＜|2﹣2x|，解得x＞或x＜﹣1，即有d（P，Q）=|2x﹣2|，d（P，Q）的范围是（3，+∞）∪（，+∞）=（，+∞）．综上可得，P，Q两点的“切比雪夫距离”的最小值为；（2）由题意可得，d（C，P）=r=，当|x0﹣x|≥|y0﹣y|，|x0﹣x|=r，即有x=x0±r，围成的图形为关于点（x0，y0）对称的三角形区域；当|x0﹣x|＜|y0﹣y|，|y0﹣y|=r，即有y=y0±r，围成的图形为关于点（x0，y0）对称的三角形区域．综上可得P点所在的曲线所围成图形为边长为2r的正方形区域，其面积为4r2．【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查不等式的解法和平面区域的面积求法，注意运用分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．21．定义：圆心到直线的距离与圆的半径之比为直线关于圆的距离比λ；（1）设圆C0：x2+y2=1，求过P（2，0）的直线关于圆C0的距离比λ=的直线方程；（2）若圆C与y轴相切于点A（0，3），且直线y=x关于圆C的距离比λ=，求此圆C的方程；（3）是否存在点P，使过P的任意两条互相垂直的直线分别关于相应两圆C1：（x+1）2+y2=1与C2：（x﹣3）2+（y﹣3）2=4的距离比始终相等？若存在，求出相应的P点坐标；若不存在，请说明理由．【考点】圆方程的综合应用．【专题】新定义；转化思想；待定系数法；直线与圆．【分析】（1）设过P（2，0）的直线方程为y=k（x﹣2），求得已知圆的圆心和半径，由新定义，可得方程，求得k，即可得到所求直线方程；（2）设圆C的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，由题意可得a2+（3﹣b）2=r2，①|a|=r②，=r③，解方程可得a，b，r，进而得到所求圆的方程；（3）假设存在点P（m，n），设过P的两直线为y﹣n=k（x﹣m）和y﹣n=﹣（x﹣m），求得两圆的圆心和半径，由新定义可得方程，化简整理可得k（2m+n﹣1）+（m﹣2n﹣3）=0，或k（2m ﹣n+5）+（3﹣m﹣2n）=0，再由恒成立思想可得m，n的方程，解方程可得P的坐标．【解答】解：（1）设过P（2，0）的直线方程为y=k（x﹣2），圆C0：x2+y2=1的圆心为（0，0），半径为1，由题意可得=，解得k=±，即有所求直线为y=±（x﹣2）；（2）设圆C的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，由题意可得a2+（3﹣b）2=r2，①|a|=r②，=r③解方程可得a=﹣3，b=3，r=3，或a=1，b=3，r=1．则有圆C的方程为（x+3）2+（y﹣3）2=9或（x﹣1）2+（y﹣3）2=1；（3）假设存在点P（m，n），设过P的两直线为y﹣n=k（x﹣m）和y﹣n=﹣（x﹣m），又C1：（x+1）2+y2=1的圆心为（﹣1，0），半径为1，C2：（x﹣3）2+（y﹣3）2=4的圆心为（3，3），半径为2，由题意可得=，化简可得k（2m+n﹣1）+（m﹣2n﹣3）=0，或k（2m﹣n+5）+（3﹣m﹣2n）=0，即有或，解得或．则存在这样的点P（1，﹣1）和（﹣，），使得使过P的任意两条互相垂直的直线分别关于相应两圆的距离比始终相等．【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查直线和圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，考查恒成立问题的解法，属于中档题．。

上海市2018-2019学年复旦附中高二上学期期中考试数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1.直线的倾斜角是____________.【答案】【解析】【分析】先求直线2x+3y﹣1＝0的斜率，进而转化为倾斜角，【详解】解：直线2x+3y﹣1＝0的斜率为k＝﹣，倾斜角为α，所以tanα＝﹣，则α＝π﹣arctan，故答案为：π﹣arctan．【点睛】本题关键是倾斜角以及反三角函数的问题，考查计算能力．2.若矩阵，，则__________．【答案】【解析】【分析】根据矩阵的乘法运算法则，计算积矩阵中的每一项即可．【详解】解：矩阵，B＝（1 2 1），则AB＝．故答案为：．【点睛】本题考查了矩阵的乘法运算问题，是基础题．3.行列式的元素的代数余子式的值为，则______．【答案】3【解析】【分析】根据余子式的定义可知，M12＝﹣ ,求出其表达式列出关于x的方程解之即可．【详解】解：由题意得M12＝﹣＝﹣（﹣4﹣k）＝7，解得：k＝3．故答案为：3．【点睛】此题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义，会进行行列式的运算，是一道基础题．4.已知是增广矩阵为的二元一次方程组的解，则________【答案】10【解析】【分析】首先根据二元一次方程组的增广矩阵，写出二元线性方程组的表达式，然后根据方程求解m，t即可；【详解】解：是增广矩阵为的二元一次方程组的解，则 ,解得m＝8，t＝2，则m+t＝10，故答案为：10．【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的矩阵形式，计算量小，解答的关键是理解二元线性方程组的增广矩阵的含义，并由此写出二元线性方程组的表达式．5.直线的一个单位方向向量．．．．．．是________.【答案】【解析】【分析】取直线的方向向量：＝±（1,）．利用该直线的单位方向向量＝即可得出．【详解】解：取直线的方向向量：＝±（1,）.∴该直线的单位方向向量＝= ,故答案为：.【点睛】本题考查了直线的方向向量、单位向量，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.已知直线，若，则.【答案】1或-3【解析】【分析】利用l1⊥l2，得出k•（k﹣1）+（1﹣k）•（2k+3）＝0，求出k的值即可．【详解】解：因为l1⊥l2，所以k•（k﹣1）+（1﹣k）•（2k+3）＝0，解得k＝1或k＝﹣3故答案为：1或﹣3【点睛】本题考查直线的垂直条件的应用，考查计算能力．7.已知点在直线上，且点到、两点的距离相等，则点的坐标是__________.【答案】（1,2）【解析】【分析】由二项展开式性质得点P在直线4x+y﹣6＝0，设P（a，﹣4a+6），由点P到A（2，5）、B（4，3）两点的距离相等，能求出点P的坐标．【详解】解：∵点P在直线=0上，∴点P在直线4x+y﹣6＝0，设P（a，﹣4a+6），∵点P到A（2，5）、B（4，3）两点的距离相等，∴，解得a＝1，∴点P的坐标是（1，2）．故答案为：（1，2）．【点睛】本题考查点的坐标的求法，考查行列式、直线方程、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.若，则实数t的取值范围是_____________.【答案】【解析】【分析】利用数列的极限的运算法则，转化求解即可．【详解】解：当|t|≥2时，，可得，可得t＝﹣2．当|t|＜2时，可得：，综上可得：实数t的取值范围是：[﹣2，2）．故答案为：[﹣2，2）．【点睛】本题考查数列的极限的运算法则的应用，考查计算能力．9.已知，则“”是“两直线与平行”的___________条件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）. 【答案】_充分非必要【解析】【分析】由两直线l1：x+2ay﹣1＝0与l2：（3a﹣1）x﹣ay﹣1＝0平行列式求得a值，再由充分必要条件的判定得答案．【详解】解：由两直线l1：x+2ay﹣1＝0与l2：（3a﹣1）x﹣ay﹣1＝0平行，可得，即a＝0或a＝ .∴“a＝”是“两直线l1：x+2ay﹣1＝0与l2：（3a﹣1）x﹣ay﹣1＝0平行”的充分非必要条件．故答案为：充分非必要．【点睛】本题考查充分必要条件的判定，考查两直线平行与系数的关系，是基础题．10.过点且与直线的夹角为的直线的一般式方程．．．．．是____________. 【答案】【解析】【分析】由题意，设夹角为为θ，可得tanθ＝，利用夹角公式求解k可得方程；【详解】解：由题意，设夹角为为θ，可得tanθ＝当k存在时，设过点P（3，﹣2）直线斜率为k，直线2x+y+1＝0的斜率为-由tanθ＝＝ ,解得：k＝；当k不存在时，x＝3．此时两直线夹角tanθ＝，∴所求的直线方程为：x﹣3＝0或3x+4y﹣1＝0；故答案为：x﹣3＝0或3x+4y﹣1＝0；【点睛】本题主要考查直线方程的求解，结合直线夹角公式利用待定系数法是解决本题的关键11.已知实数满足：，且其中，则以向量为法向量的直线的倾斜角的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】由已知可得，向量＝（a1，b1）的终点在直线x﹣y+1＝0上，向量＝（a2，b2）的终点在直线x﹣y+1＝0上，把已知等式变形求得,,的夹角为，再由a1＞a2可得A的位置，数形结合可得以向量（a1，b1）为法向量的直线的倾斜角的取值范围．【详解】解：向量＝（a1，b1）的终点在直线x﹣y+1＝0上，向量＝（a2，b2）的终点在直线x﹣y+1＝0上，由得 ,即向量与向量的夹角为，又a1＞a2，可得点A在曲线x﹣y+1＝0（x＞﹣1）上，如图，则OA所在直线的斜率为（﹣∞，0）∪（1，+∞），∴以向量（a1，b1）为法向量的直线的斜率为（0，+∞）∪（﹣1，0），倾斜角的范围为（0，）∪（，π），当A为（0，1）时，以向量（a1，b1）为法向量的直线的倾斜角为0．∴以向量（a1，b1）为法向量的直线的倾斜角的范围为[0，）∪（，π），故答案为： [0，）∪（，π）.【点睛】本题考查由数量积求向量的夹角，考查数形结合的解题思想方法．12.如图，边长为4的正方形中，半径为1的动圆Q的圆心Q在边CD和DA上移动（包含端点A,C,D），P是圆Q上及其内部的动点，设，则的取值范围是_____________.【答案】【解析】【分析】建立如图所示平面直角坐标系，可得,＝（ 4，0），.由图可知，当动圆Q的圆心经过点D时，P.此时m+n取得最大值：4m+4n＝8+，可得m+n＝2+．当动圆Q的圆心为点C或点A时，利用三角函数求m+n的最小值．【详解】解：如图所示，边长为4的长方形ABCD中，动圆Q的半径为1，圆心Q在边CD和DA上移动（包含端点A，C，D），P是圆Q上及内部的动点，向量（m，n为实数），=（0，4），＝（ 4，0），可得＝（ 4m，4n）．当动圆Q的圆心经过点D时，如图：P.此时m+n取得最大值：4m+4n＝8+，可得m+n＝2+．当动圆Q的圆心为点C时，BP与⊙C相切且点P在x轴的下方时，＝（4+cosθ，sinθ），此时，4m+4n＝4﹣ sin（θ+），m+n取得最小值为：1﹣，此时P（ 4﹣，﹣）．同理可得，当动圆Q的圆心为点A时，BP与⊙A相切且点P在y轴的左方时，m+n取得最小值为：1﹣，此时P（-，4﹣）．∴则m+n的取值范围为故答案为：.【点睛】本题考查了向量的坐标运算、点与圆的位置关系，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.函数的图像如图所示，在区间上可找到个不同的数，使得则n的取值范围为( )A. {3,4}B. {2,3,4}C. {3,4,5}D. {2,3}【答案】B【解析】【分析】由表示（x，f（x））点与原点连线的斜率，结合函数y＝f（x）的图象，数形结合分析可得答案．【详解】解：令y＝f（x），y＝kx，作直线y＝kx，可以得出2，3，4个交点，故k＝（x＞0）可分别有2，3，4个解．故n的取值范围为2，3，4．故选：B．【点睛】本题考查的知识点是斜率公式，正确理解表示（x，f（x））点与原点连线的斜率是解答的关键．14.给出下列命题:①非零向量满足，则和的夹角为30°；②将函数的图像按向量平移，得到函数的图像；③在三角形ABC中，若，则三角形ABC为等腰三角形；其中正确命题的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】【分析】①由加法的平行四边形法则可知为菱形，又菱形对角线平分对角可得结论；②根据图象平移的口诀左加右减，得到的是函数y＝|x﹣2|的图象；③由加法的平行四边形法则可知为菱形，可得结论．【详解】解：①∵，∴所对应的平行四边形是菱形，∴与+的夹角为30°；②将函数y＝|x﹣1|的图象按向量＝（1，0）平移，得到函数y＝|x﹣2|的图象；③在△ABC中，若，则以AB、AC为邻边所作的平行四边形是菱形，∴△ABC为等腰三角形；故选：C．【点睛】本题以命题的真假判断为载体，考查了向量的基本运算，图象的平移，难度不大，属于基础题．15.在平面直角坐标系中，经过原点的直线l将△ABC分成左、右两部分，记左、右两部分的面积分别为，则取得最小值时，直线l的斜率（）A. 等于1B. 等于-1C. 等于D. 不存在【答案】D【解析】【分析】分别计算k＝1，k＝﹣1，k＝，和k不存在时，原式的值，比较大小可知选D．【详解】解：当k＝1时，l：y＝x，此时S2＝S△ABC＝，S1＝，∴=，当k=﹣1时，l：y＝﹣x，此时，S1＝，S2＝，∴＝，当k＝时，l：y＝x，此时，S2＝，S1＝，∴=，当k不存在时，l：x＝0，此时，S1＝S2＝，∴＝3，比较可知，当k不存在时，原式值最小．故选：D．【点睛】本题考查了正弦定理．属中档题．16.如图所示，已知，对任何，点按照如下方式生成：，且按逆时针排列，记点的坐标为，则为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量的定义，推导知的向量坐标，然后求出a n，b n的表达式，然后进行计算即可．【详解】由题意可知，（k 0）都是在上一个点的基础上横坐标发生变化，纵坐标不变.（k 0）都是在上一个点的基础上横坐标减小，纵坐标增加.（k 0）都是在上一个点的基础上横坐标减小，纵坐标也减小.又，所以=4-===3-=+=所以选A.【点睛】本题是新定义题目，首先读懂新定义的实质，转化成我们已有的知识并解决．本题实质考查向量的坐标运算，几何运算，难度较大．三、解答题（本大题共5题，共76分）17.已知，直线的方程为，直线的方程为.当m变化时，（1）分别求直线和经过的定点坐标；（2）讨论直线和的位置关系.【答案】(1) 直线过定点；同理，直线过定点（3,1）；(2)见解析.【解析】【分析】（1）将直线l1的方程改写为m（x﹣2y﹣3）+（x+y）＝0，令，求解x，y的值，可得答案；同理，直线l2一样求法；（2）联立方程，得求解交点D，讨论即可；【详解】（1）将直线的方程改写为，令得直线过定点(1,-1)；同理，直线过定点（3,1）；（2）联立方程，得D=2m(m-2),D x=-2(m-1)(m-2),D y=-2(2m+1)(m-2)当m和2时，D，两直线相交；当m=0时，D=0,，两直线平行；当m=2时，，两直线重合。

复旦附中2016学年第一学期高二期中考试试卷一、填空题1.已知向量()()1,,9,6a k b k ==-，若//a b ，则实数k = .2.方程组32521x y x y +=⎧⎨+=-⎩的增广矩阵为 .3.已知23014x x +<，则实数x 的取值范围是 . 4.计算：1111393lim 1111242n n n →∞++++=++++ . 5.若实数,x y 满足1000x y x y --≤⎧⎪≥⎨⎪≤⎩，则z x y =+的最大值是 .6.已知直线l 经过点()3,2，且在量坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程是 .7.直线1l 与2l 的斜率分别是方程2610x x +-=的两根，则直线1l 与2l 的夹角为 .8.已知()()1,12,3A B -、，直线1y ax =-与线段AB 相交，则实数a 的取值范围是 .9.直线l 过点()3,3P ，点()1,1Q -到它的距离等于4，则直线l 方程是 .10.已知ABC ∆为等边三角形，2AB =，设点,P Q 满足(),1AP AB AQ AC λλ==-，R λ∈，若32B QC P ⋅=-，则λ= .11.直线2360x y +-=分别交,x y 轴于,A B 两点，点P 在直线1y x =--上，则PA PB +，的最小值是 .12.已知两个不相等的非零向量a ，b ，两组向量12345,,,,x x x x x 和12345,,,,y y y y y 均由2个a 和3个b 排列而成，记1122334455S x y x y x y x y x y =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅，min S 表示S 所以可能取值中的最小值，则下列命题中真命题的序号是 （写出所有真命题的序号）①S 有5个不同的值；②若a ⊥b ，则min S 与a 无关；③若a //b ，则min S 与b 无关； ④若4b a >，则min 0S >；⑤若2b a =，min 8S =2a 则a 与b 夹角为4π 二、选择题13.有下列四个命题：①若22lim n n a A →∞=，则lim n n a A →∞=，②若0,lim n n n a a A →∞>=，则0A >；③若lim n n a A →∞=，则22lim n n a A →∞=，④若()lim 0n n n a b →∞-=，则lim lim n n n n a b →∞→∞=.其中正确结论的个数是（ ）.A 1个 .B 2个 .C 3个 .D 4个 14.对于任意实数m ，直线130mx y m -+-=必经过的定点坐标是（ ） .A ()3,1 .B ()1,3 .C 1,3m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭.D 无法确定15.记{},min ,,y x yx y x x y ≥⎧=⎨<⎩，设,a b 为平面内的非零向量，则（ ）16. 已知()111,b a P 与()222,b a P 是直线2+=kx y （k 是常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组⎩⎨⎧=+=+112211y b x a y b x a 的解得情况是（ ） A.无论21,,p p k 如何，总是无解 B 无论21,,p p k 如何，总有唯一解 C.存在21,,p p k 如何，使之恰有两解 D 存在21,,p p k 如何，使之有无穷多解 三、解答题17.已知a 与b 所成的角为56π，且2,3a b ==，求32a b +，并求32a b +与a 的夹角. 18.已知直线()()1:2350l m x m y +++-=和()2:62150l x m y +--=，问当m 为何值时，分别有：（1）1l 与2l 相交？（2）12l l ：（3）1l 与2l 重合. 19.在直角坐标系xoy 中，已知点()()()1,1,2,3,3,2A B C ,点(),P x y 在ABC ∆三边围成的区域（含边界）上. （1）若0PA PB PC ++=,求OP ；（2）设(),OP mAB nAC m n R =+∈，用,x y 表示m n -，并求m n -的最大值.20.已知直线12:2,:2l y x l y x ==-，过点()2,0M -的直线l 分别与直线12,l l 交于,A B ,其中点A 在第三象限，点B 在第二象限，点()1,0N .（1）若NAB ∆的面积为16，求直线l 的方程；（2）直线AN 交2l 于点P ，直线BN 交1l 于点Q ，若直线l ，PQ 的斜率都存在，分别设为12,k k ，判断12k k 是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由？21. 在直角坐标平面xOy 上的一列点()()11221,,2,,,A a A a (,),n n A n a ，简记为{}n A .若由1n n n b A A j +=⋅构成的数列{}n b 满足1,1,2,n n b b n +>=，其中j 为方向与y 轴正方向相同的单位向量，则称{}n A 为T 点列. （1） 判断()123111,1,2,,3,,,23A A A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1,,n A n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，是否为T 点列，并说明理由；（2）若{}n A 为T 点列，且点2A 在点1A 的右上方. 任取其中连续三点1k k A A +、、2k A +，判断△12k k k A A A ++的形状 （锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），并证明；（3）（附加题）若{}n A 是T 点列，正整数1m n p q ≤<<<满足m q n p +=+， 求证：n q m p A A j A A j ⋅>⋅.。

复旦大学附属中学2016学年第二学期高二年级数学期中考试试卷（考试时间100分钟，满分120分）所有答案均做在答题纸上2017.4.17 试题中的i 均为虚数单位一、填空题（本大题共有12题，满分48分）每空填对得4分，否则一律得零分．1．设a ÎR ，若复数()()1i a i ++在复平面内对应的点位于实轴上，则a =________． 2．设32i z i+=，则Im z =________． 3．6个男生，3个女生排成一排，则两端为女生的排法有________种（请用数字作答）．4．设()11i x yi +=+，其中x ，y 是实数，则x yi +=________．5．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则点1B 到平面11AAC C 的距离是________．6．在水平放置的平面α内有一个四边形，当用斜二测画法画出它的直观图时，它被画成边长为a 的正方形（如图所示，图中的x 轴表示水平方向），则这个四边形周长为________．7．关于x 的系数方程240x x m ++=的两个复数根为α、β，且2αβ-=，则m =________．8．在矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，PA ^平面ABCD ，若1PA =，则点P 到对角线BD 的距离是________．9．定义复数的一种运算12122z z z z +?（等式右边为通常的加法运算），若复数()i ,z a b a b =+?R 满足3a b +=，则z z Ä的最小值为________．10．已知直线l ，m 与平面α，β，下列命题？：①若l 垂直α内的两条相交直线，则l α^；②若l 平行α，则l 平行于α内的所有直线；③若m αÜ，l βÜ且l m ^，则αβ^；④若l βÜ且l α^，则αβ^；⑤若m αÜ，l βÜ且αβ∥，则m l ∥；其中正确的命题为________（填写所有正确命题的编号）．11．设集合{},,M αβγ=，其中α、β、γ是复数，若集合M 中任意两数之积及任意一个数的平方仍是M 中的元素，则集合M =________．12．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，点P 为线段1BC 上一点，Q 是平面ABCD 上一点，则1D P PQ +的最小值是________．二、选择题（本大题共有4题，每题满分16分）每题有且只有一个正确答案，选对得4分，否则一律得零分．13．对于实系数一元二次方程20ax bx c ++=，在复数范围内其解是1x ，2x ，下列结论中不正确的是（ ）．A ．若240b ac -=，则12x x =?RB ．若240b ac -<，则1x ÏR ，2x ÏR 且12x x =C ．一定有122b x x +=-，12c x x a =D ．一定有()221224b acx x a --=14．下列命题中错误的是（ ）．A ．如果平面α^平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC ．如果平面α^平面γ，平面β^平面γ，l αβ=，那么l ^平面γD ．如果平面α^平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β15．若a ，b 为非零实数，则以下四个命题都成立：①10a a +?；②()2222a b a ab b +=++；③若a b =，则a b =?；④若2a ab =，则a b =．则对于任意非零复数a ，b ，上述命题中仍为真命题的个数为（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．416．空间中，过点A 作平面π的垂线，垂足为B ，记()πB f A =，设α、β是两个不同的平面，对空间任意一点P ，()1Q f f P βα轾=臌，()2Q f f P αβ轾=臌恒有12PQ PQ =，则（ ） A ．平面α与平面β垂直B ．平面α与平面β所成的（锐）二面角为45°C ．平面α与平面β平行D ．平面α与平面β所成的（锐）二面角为60°三、解答题：（本大题共有5题，满分56分）如图：在长方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是棱1AA 、AB 的中点．4AB BC ==，13AA =求：（1）EF 与11AC 所成的角；（2）1A C 与平面ABCD 所成的角．18．（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分．复数1z 所对应的点在以点()1,1及()1,1-为端点的线段上运动，复数2z 满足21z =．求：（1）复数12z z ×模的取值范围；（2）复数21z 对应的点的轨迹方程．19．（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分．如图，空间四边形ABCD ，AB BC ^，AB BD ^，BC CD ^，且1AB BC ==（1）求证：平面CBD ^平面ABD（2）是否存在这样的空间四边形，使得二面角C AD B --的平面角为30°?如果存在，求出线段CD 的长；如果不存在，请说明理由．如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，90ADC PAB ???，12BC CD AD ==，E 为棱AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90°．（1）在平面PAB 内找一点，使得直线CM ∥平面PBE ，并说明理由；（2）若二面角P CD A --的大小为45°，求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值．21．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分5分．已知α、β为方程24230x ix +--=的两根，其中αÎR ．定义数列{}n a ：1a β=，2a β=+，且当2n ³时，()()21121n n n n a ia a i a i -++-=++．（1）求1a ，2a ；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）求222201620172018a a a ++的值．。

2015-2016学年上海市华师大二附中高二（上）期中数学试卷一、填空题1．计算： = ．2．关于x，y的方程组的增广矩阵是．3．方程的解为．4．已知M（2，5），N（3，﹣2），点P在直线上，且满足=3．则点P的坐标为．5．已知数列{log2（a n﹣1）}（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a2=5，则= ．6．已知无穷等比数列{a n}的所有项的和为3，则a1的取值范围为．7．直线过（﹣1，3）且在x，y轴上的截距的绝对值相等，则直线方程为．8．在△ABC中，A（2，4），B（1，﹣3），C（﹣2，1），则边BC上的高AD所在的直线的点斜式方程为．9．设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB|的最大值是．10．已知，α∈（0，π），β∈（π，2π），与的夹角为θ1，与的夹角为θ2，且= ．二、选择题11．如图给出了一个算法流程图，该算法流程图的功能是（）A．求三个数中最大的数B．求三个数中最小的数C．按从小到大排列D．按从大到小排列12．下列有关平面向量分解定理的四个命题中：①一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基；②一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基；③平面向量的基向量可能互相垂直；④一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合．正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．413．对于向量（i=1，2，…n），把能够使得||+||+…+||取到最小值的点P称为A i（i=1，2，…n）的“平衡点”．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，延长BC至E，使得BC=CE，联结AE，分别交BD、CD于F、G两点．下列结论中，正确的是（）A．A、C的“平衡点”必为OB．D、C、E的“平衡点”为D、E的中点C．A、F、G、E的“平衡点”存在且唯一D．A、B、E、D的“平衡点”必为F14．在平面直角坐标系中定义两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的交通距离为d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．若C（x，y）到点A（1，3），B（6，9）的交通距离相等，其中实数x，y 满足0≤x≤10，0≤y≤10，则所有满足条件的点C的轨迹的长之和为（）A．1 B． C．4 D．5（+1）三、解答题（共5题，满分44分）15．用在矩阵行列式中所学的知识和方法，解方程组：．16．已知命题P：，其中c为常数，命题Q：把三阶行列式中第一行、第二列元素的代数余子式记为f（x），且函数f（x）在上单调递增．若命题P是真命题，而命题Q是假命题，求实数c的取值范围．17．已知0＜k＜4，直线l1：kx﹣2y﹣2k+8=0和直线与两坐标轴围成一个四边形，求使这个四边形面积取最小时的k的值及最小面积的值．18．M为△ABC的中线AD的中点，过点M的直线分别交两边AB，AC于点P，Q，设，记y=f（x）．（1）求函数y=f（x）的表达式；（2）求的取值范围．19．对于任意的n∈N*，若数列{a n}同时满足下列两个条件，则称数列{a n}具有“性质m”：①；②存在实数M，使得a n≤M成立．（1）数列{a n}、{b n}中，a n=n（n∈N*）、（n∈N*），判断{a n}、{b n}是否具有“性质m”；（2）若各项为正数的等比数列{c n}的前n项和为S n，且，，证明：数列{S n}具有“性质m”，并指出M的取值范围；（3）若数列{d n}的通项公式（n∈N*）．对于任意的n≥3（n∈N*），数列{d n}具有“性质m”，且对满足条件的M的最小值M0=9，求整数t的值．2015-2016学年上海市华师大二附中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．计算： = ．【考点】极限及其运算．【专题】计算题．【分析】先分子分母同除以n2，再利用极限的运算性质可求．【解答】解：由题意，，故答案为．【点评】本题主要考查极限的运算及性质，属于基础题．2．关于x，y的方程组的增广矩阵是．【考点】矩阵的应用．【专题】计算题；规律型；矩阵和变换．【分析】先把方程组方程组改写为，再由增广矩阵的概念进行求解．【解答】解：二元一次方程组，即，∴二元一次方程组的增广矩阵是，故答案为：【点评】本题考查二元一次方程组的矩阵形式，是基础题，解题时要认真审题，注意熟练掌握增广矩阵的概念．3．方程的解为x1=2，x2=log25 ．【考点】三阶矩阵．【专题】计算题．【分析】可以用三阶矩阵的化简方法把方程左边化简，得到一个关于2x的一元二次方程，解出x即可【解答】解：由，化简得：方程﹣20×2x+4x+11×2x+20=0则方程同解于（2x）2﹣9×2x+20=0得2x=4或2x=5，x1=2，x2=log25故方程的解为x1=2，x2=log25．故答案为：x1=2，x2=log25【点评】考查学生转化三阶矩阵的方法，掌握三阶矩阵的计算方法．4．已知M（2，5），N（3，﹣2），点P在直线上，且满足=3．则点P的坐标为（，）．【考点】线段的定比分点．【专题】计算题．【分析】由题意可得点P分成的比为λ==3，由定比分点坐标公式求出点P的坐标．【解答】解：由题意可得点P分成的比为λ==3，由定比分点坐标公式可得x==，y==﹣，故点P的坐标为（，）．故答案为：（，）．【点评】本题主要考查线段的定比分点分有向线段成的比的定义，线段的定比分点坐标公式的应用，属于基础题．5．已知数列{log2（a n﹣1）}（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a2=5，则= 1 ．【考点】数列的极限；等差数列的通项公式．【专题】综合题；方程思想．【分析】由题意，可先由数列{log2（a n﹣1）}（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a2=5得出数列{log2（a n﹣1）}的首项为1，公差为1，由此解出log2（a n﹣1）=1+（n﹣1）×1=n，从而求出a n=1+2n，再研究a n+1﹣a n=2n+1+1﹣2n﹣1=2n即可得出=，结合等比数列的求和公式计算出所求的极限即可【解答】解：数列{log2（a n﹣1）}（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a2=5数列的公差为log24﹣log22=1，故log2（a n﹣1）=1+（n﹣1）×1=n，即a n﹣1=2n，a n=1+2n，∴a n+1﹣a n=2n+1+1﹣2n﹣1=2n∴=故答案为1【点评】本题考查数列与极限的综合，考查了等差数列的性质，通项公式，对数的运算，等比数列的求和等，涉及到的知识点多，综合性强，解题的关键是由题设条件求出a n=1+2n，难度较高6．已知无穷等比数列{a n}的所有项的和为3，则a1的取值范围为{x|0＜x＜6，且x≠3}．【考点】等比数列的通项公式．【专题】分类讨论；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由题意可得： =3，0＜|q|＜1，解出即可得出．【解答】解：由题意可得： =3，0＜|q|＜1，∴a1=3（1﹣q）∈（0，6），且a1≠3．∴a1的取值范围为{x|0＜x＜6，且x≠3}．故答案为：{x|0＜x＜6，且x≠3}．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式性质、极限的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．直线过（﹣1，3）且在x，y轴上的截距的绝对值相等，则直线方程为3x+y=0、x﹣y+4=0，或x+y﹣2=0 ．【考点】直线的截距式方程．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】当直线经过原点时，斜率为﹣3，可得要求的直线方程．当直线不经过原点时，设要求的直线方程为x±y=k，再把点（﹣1，3）代入求得k的值，可得要求的直线方程，综合可得结论．【解答】解：当直线经过原点时，斜率为=﹣3，要求的直线方程为y=﹣3x，即3x+y=0．当直线不经过原点时，设要求的直线方程为x±y=k，再把点（﹣1，3）代入可得﹣1﹣3=k，或﹣1+3=k，求得k=﹣4，或k=2，故要求的直线方程为x﹣y+4=0，或x+y﹣2=0．综上可得，要求的直线方程为 3x+y=0、x﹣y+4=0，或x+y﹣2=0，故答案为：3x+y=0、x﹣y+4=0，或x+y﹣2=0．【点评】本题主要考查求直线的方程，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．8．在△ABC中，A（2，4），B（1，﹣3），C（﹣2，1），则边BC上的高AD所在的直线的点斜式方程为y=x+．【考点】直线的点斜式方程．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】先求出BC所在直线的斜率，根据垂直得出BC边上的高所在直线的斜率，由点斜式写出直线方程，并化为一般式．【解答】解：BC边上的高所在直线过点A（2，4），斜率为=﹣=，由点斜式写出BC边上的高所在直线方程为y﹣4=（x﹣2），即y=x+故答案为：y=x+．【点评】本题考查两直线垂直时，斜率间的关系，用点斜式求直线方程的方法．9．设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB|的最大值是 5 ．【考点】点到直线的距离公式．【专题】直线与圆．【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA|•|PB|的最大值．【解答】解：有题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．故|PA|•|PB|≤=5（当且仅当时取“=”）故答案为：5【点评】本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|PA|2+|PB|2是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．10．已知，α∈（0，π），β∈（π，2π），与的夹角为θ1，与的夹角为θ2，且= ﹣．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】转化思想；向量法；三角函数的求值；平面向量及应用．【分析】由α∈（0，π），可得的范围．利用向量的夹角公式化简可得θ1=，同理可得θ2=﹣，再利用θ1﹣θ2=，即可得出sin的值．【解答】解：α∈（0，π），∴∈（0，）．∵•=1+cosα，||==，||=1，∴cosθ1=====cos，∴θ1=．∵β∈（π，2π），∴∈（，π），∴∈（0，）．∵•=1﹣cosβ，||==，∴cosθ2====sin=cos（﹣），∴θ2=﹣，∵θ1﹣θ2=，∴﹣（﹣）=，化为=﹣，sin=sin（﹣）=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了向量的夹角公式、数量积运算、倍角公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．二、选择题11．如图给出了一个算法流程图，该算法流程图的功能是（）A．求三个数中最大的数B．求三个数中最小的数C．按从小到大排列D．按从大到小排列【考点】程序框图．【专题】图表型；分类讨论；分析法；算法和程序框图．【分析】本题主要考查了条件结构叠加，程序执行时需依次对“条件1”、“条件2”、“条件3”…都进行判断，只有遇到能满足的条件才执行该条件对应的操作，结合流程图进行判断即可．【解答】解：条件结构叠加，程序执行时需依次对“条件1”、“条件2”、“条件3”…都进行判断，只有遇到能满足的条件才执行该条件对应的操作．根据流程图可知当a＞b时取b，当b＞c时取c可知求三个数中最小的数故选：B．【点评】本题主要考查了选择结构，根据流程图计算运行结果是算法这一模块的重要题型，算法和流程图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题．12．下列有关平面向量分解定理的四个命题中：①一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基；②一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基；③平面向量的基向量可能互相垂直；④一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合．正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】向量的物理背景与概念．【专题】对应思想；定义法；平面向量及应用．【分析】根据平面向量的基本定理，作为平面内所有向量的一组基底是两个向量不共线，由此对四个选项作出判断即可．【解答】解：一个平面内有无数多对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基，∴①错误，②正确；平面向量的基向量可能互相垂直，如正交基，∴③正确；平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内两个互不平行向量的线性组合，如果是三个不共线的向量，表示法不唯一，∴④错误．综上，正确的命题是②③．故选：B．【点评】本题考查了平面向量基本定理的应用问题，解题的关键是理解作为基底的两个向量不共线，是基础题目．13．对于向量（i=1，2，…n），把能够使得||+||+…+||取到最小值的点P称为A i（i=1，2，…n）的“平衡点”．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，延长BC至E，使得BC=CE，联结AE，分别交BD、CD于F、G两点．下列结论中，正确的是（）A．A、C的“平衡点”必为OB．D、C、E的“平衡点”为D、E的中点C．A、F、G、E的“平衡点”存在且唯一D．A、B、E、D的“平衡点”必为F【考点】向量在几何中的应用；平面向量的基本定理及其意义．【专题】平面向量及应用．【分析】利用平面向量知识求解．【解答】解：A、C的“平衡点”为线段上的任意一点，故A错误；D、C、E的“平衡点”为三角形内部对3边张角均为120°的点，故B错误；A、F、G、E的“平衡点”是线段FG上的任意一点，故C错误；∵矩形ABCD的两条对角线相交于点O，延长BC至E，使得BC=CE，联结AE，分别交BD、CD于F、G两点，∴A、B、E、D的“平衡点”必为F，故D正确．故选：D．【点评】本题考查“平衡点”的求法，是中档题，解题时要注意平面向量知识的合理运用．14．在平面直角坐标系中定义两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的交通距离为d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．若C（x，y）到点A（1，3），B（6，9）的交通距离相等，其中实数x，y 满足0≤x≤10，0≤y≤10，则所有满足条件的点C的轨迹的长之和为（）A．1 B． C．4 D．5（+1）【考点】轨迹方程．【专题】新定义．【分析】根据已知条件可推断出|x﹣1|+|y﹣3|=|x﹣6|+|y﹣9|，对y≥9，y≤3和3≤y≤9时分类讨论求得x和y的关系式，进而根据x的范围确定线段的长度，最后相加即可．【解答】解：由题意得，C（x，y）到点A（1，3），B（6，9）的交通距离相等，所以|x﹣1|+|y﹣3|=|x﹣6|+|y﹣9| (1)当y≥9时，（1）化为|x﹣1|+6=|x﹣6|，无解；当y≤3时，（1）化为|x﹣1|=6+|x﹣6|，无解；当3≤y≤9时，（1）化为2y﹣12=|x﹣6|﹣|x﹣1|．若x≤1，则y=8.5，线段长度为1；若1≤x≤6，则x+y=9.5，则线段长度为5；若x≥6，则y=3.5，线段长度为4．综上可知，点C的轨迹构成的线段长度之和为1+5+4=5（1+），故选：D．【点评】本题主要考查了新定义，两点间的距离公式的应用，以及分类讨论思想化简绝对值方程，考查了学生分析问、解决问题的能力．三、解答题（共5题，满分44分）15．用在矩阵行列式中所学的知识和方法，解方程组：．【考点】二元一次方程组的矩阵形式．【专题】计算题；方程思想；综合法；矩阵和变换．【分析】先求出D==﹣m2﹣3m，当D≠0时，原方程组有唯一的解；当D=0时，原方程组无解或有无数个解．【解答】解：∵，∴D==﹣m2﹣3m，当D=﹣m2﹣3m≠0，即m≠0且m≠﹣3时，方程组有唯一的解=，y==﹣2．当D=﹣m2﹣3m=0，即m=0或m=﹣3时，原方程无解或有无数个解．【点评】本题考查二元一次方程组的矩阵形式的解法及应用，是基础题，解题时要注意系数矩阵的性质的合理运用．16．已知命题P：，其中c为常数，命题Q：把三阶行列式中第一行、第二列元素的代数余子式记为f（x），且函数f（x）在上单调递增．若命题P是真命题，而命题Q是假命题，求实数c的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】综合题；转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】先由已知命题P是真命题，得：c为常数，根据三阶行列式中第一行、第二列元素的代数余子式写出f（x）=﹣x2+cx﹣4，结合函数f（x）在上单调递增．求得c的取值范围，最后即可解决问题．【解答】解：由已知命题P：，其中c为常数，是真命题，得：c为常数三阶行列式中第一行、第二列元素的代数余子式记为f（x），则f（x）=﹣x2+cx﹣4，且函数f（x）在上单调递增．∴函数f（x）在上单调递增，≥⇒c≥，∵命题Q是假命题，∴c＜．∴命题P是真命题，而命题Q是假命题，实数c的取值范围是﹣1＜c＜．【点评】本题主要考查了极限及其运算、三阶矩阵等，解答的关键是条件：“复合命题的真假判断”的应用．17．已知0＜k＜4，直线l1：kx﹣2y﹣2k+8=0和直线与两坐标轴围成一个四边形，求使这个四边形面积取最小时的k的值及最小面积的值．【考点】直线的一般式方程．【专题】综合题；函数思想；数形结合法；直线与圆．【分析】求出两直线经过的定点坐标，再求出直线与x 轴的交点，与y 轴的交点，得到所求的四边形，求出四边形的面积表达式，应用二次函数的知识求面积最小时的k值与最小面积值．【解答】解：如图所示：直线L：kx﹣2y﹣2k+8=0 即k（x﹣2）﹣2y+8=0，过定点B（2，4），与y轴的交点C（0，4﹣k），直线M：2x+k2y﹣4k2﹣4=0，即 2x+k2（y﹣4）﹣4=0，过定点（2，4 ），与x轴的交点A（2k2+2，0），由题意，四边形的面积等于三角形ABD的面积和梯形 OCBD的面积之和，∴所求四边形的面积为×4×（2 k2+2﹣2）+×（4﹣k+4）×2=4k2﹣k+8，∴当k=时，所求四边形的面积最小，最小面积的值为．【点评】本题考查了直线过定点问题，以及二次函数的最值问题，考查了数形结合思想的应用问题，是基础题．18．M为△ABC的中线AD的中点，过点M的直线分别交两边AB，AC于点P，Q，设，记y=f（x）．（1）求函数y=f（x）的表达式；（2）求的取值范围．【考点】函数解析式的求解及常用方法；向量的线性运算性质及几何意义．【专题】转化思想；函数的性质及应用；导数的概念及应用；平面向量及应用．【分析】（1）由D为BC的中点，M为AD的中点，，结合平面向量的基本定理及三点共线的充要条件，可得关于xy的方程，进而可得函数y=f（x）的表达式；（2）设△ABC的面积为1，则△APQ的面积S=xy=，（≤x≤1），利用导数法，求出函数的值域，可得答案．【解答】解：（1）如图所示：∵D为BC的中点，M为AD的中点，∴==（）=，又∵PQM三点共线，故=λ+（1﹣λ）=，故，故=1，即y=f（x）=，（≤x≤1）（2）设△ABC的面积为1，则△APQ的面积S=xy=，（≤x≤1）故S′=，当≤x时，S′＜0，函数为减函数，当＜x≤1时，S′＞0，函数为增函数，故当x=时，S取最小值，当x=，或x=1时，S取最大值，故∈[，]．【点评】本题考查的知识点是函数的解析式的求解，向量的线性运算，向量共线的充要条件，三角形面积公式，难度中档．19．对于任意的n∈N*，若数列{a n}同时满足下列两个条件，则称数列{a n}具有“性质m”：①；②存在实数M，使得a n≤M成立．（1）数列{a n}、{b n}中，a n=n（n∈N*）、（n∈N*），判断{a n}、{b n}是否具有“性质m”；（2）若各项为正数的等比数列{c n}的前n项和为S n，且，，证明：数列{S n}具有“性质m”，并指出M的取值范围；（3）若数列{d n}的通项公式（n∈N*）．对于任意的n≥3（n∈N*），数列{d n}具有“性质m”，且对满足条件的M的最小值M0=9，求整数t的值．【考点】数列的求和；数列的应用．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】（1）由于=a n+1，不满足条件①，因此 {a n}不具有“性质m”；由于=1﹣＜1﹣＜1﹣=b n+1，又＜1（n∈N*），即可判断出；（2）等比数列{c n}的公比为q＞0且q≠1，由，，可得，解得c1，q．可得S n=2．进而验证即可证明．（3）对于任意的n≥3（n∈N*），数列{d n}具有“性质m”，利用＜d n+1，化为：t＞，可得t＞1．另一方面：≤9，可得t≤3，即可得出．【解答】（1）解： ==n+1=a n+1，不满足条件①，因此 {a n}不具有“性质m”；==1﹣=1﹣＜1﹣＜1﹣=b n+1，因此{b n}满足条件①，又＜1（n∈N*），因此存在M=1，使得b n＜M，综上可得{b n}是否具有“性质m”．（2）证明：等比数列{c n}的公比为q＞0且q≠1，∵，，∴，解得c1=1，q=．∴S n==2．∵==2=2﹣＜2﹣=S n+1，∴数列{S n}满足条件①．又S n=2＜2，∴存在M=2，使得S n＜M，数列{S n}满足条件②．综上可得：数列{S n}具有“性质m”，M的取值范围是[2，+∞）．（3）对于任意的n≥3（n∈N*），数列{d n}具有“性质m”，∴＜d n+1，化为：t＞，∴t＞1．另一方面：≤9，∴=3+，∴t≤3，∴1＜t≤3，∴整数t=2，3．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、不等式的性质、新定义、有界数列，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

复旦附中2016学年第一学期高二期中考试试卷一、填空题()()1,,9,6a k b k ==-，假设//a b ，那么实数k = . 32521x y x y +=⎧⎨+=-⎩的增广矩阵为 . 23014x x +<，那么实数x 的取值范围是 .4.计算：1111393lim 1111242n n n →∞++++=++++ . ,x y 知足1000x y x y --≤⎧⎪≥⎨⎪≤⎩，那么z x y =+的最大值是 . l 通过点()3,2，且在量坐标轴上的截距相等，那么直线l 的方程是 .1l 与2l 的斜率别离是方程2610x x +-=的两根，那么直线1l 与2l 的夹角为 .()()1,12,3A B -、，直线1y ax =-与线段AB 相交，那么实数a 的取值范围是 .l 过点()3,3P ，点()1,1Q -到它的距离等于4，那么直线l 方程是 .ABC ∆为等边三角形，2AB =，设点,P Q 知足(),1AP AB AQ AC λλ==-，R λ∈，假设32BQ CP ⋅=-，那么λ= .2360x y +-=别离交,x y 轴于,A B 两点，点P 在直线1y x =--上，那么PA PB +，的最小值是 .a ，b ，两组向量12345,,,,x x x x x 和12345,,,,y y y y y 均由2个a 和3个b 排列而成，记1122334455S x y x y x y x y x y =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅，min S 表示S 因此可能取值中的最小值，那么以下命题中真命题的序号是 （写出所有真命题的序号）①S 有5个不同的值；②若a ⊥b ，那么min S 与a 无关；③若a //b ，那么min S 与b 无关； ④若4b a >，那么min 0S >；⑤若2b a =，min 8S =2a 则a 与b 夹角为4π二、选择题13.有以下四个命题：①若22lim n n a A →∞=，那么lim n n a A →∞=，②若0,lim n n n a a A →∞>=，那么0A >；③若lim n n a A →∞=，那么22lim n n a A →∞=，④若()lim 0n n n a b →∞-=，那么lim lim n n n n a b →∞→∞=.其中正确结论的个数是（ ）.A 1个 .B 2个 .C 3个 .D 4个 m ，直线130mx y m -+-=必通过的定点坐标是（ ）.A ()3,1 .B ()1,3 .C 1,3m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭.D 无法确信{},min ,,y x yx y x x y ≥⎧=⎨<⎩，设,a b 为平面内的非零向量，那么（ ） .A {}{}min ,min ,a b a b a b +-≤ .B {}{}min ,min ,a b a b a b +-≥ .C {}22min ,a b a b a b +-≥+ .D {}22min ,a b a b a b +-≤+16. 已知()111,b a P 与()222,b a P 是直线2+=kx y （k 是常数）上两个不同的点，那么关于x 和y 的方程组⎩⎨⎧=+=+112211y b x a y b x a 的解得情形是（ ） A.不管21,,p p k 如何，老是无解 B 不管21,,p p k 如何，总有唯一解21,,p p k 如何，使之恰有两解 D 存在21,,p p k 如何，使之有无穷多解三、解答题a 与b 所成的角为56π，且2,3a b ==，求32a b +，并求32a b +与a 的夹角.()()1:2350l m x m y +++-=和()2:62150l x m y +--=，问当m 为何值时，别离有：（1）1l 与2l 相交？（2）12l l ：（3）1l 与2l 重合.xoy 中，已知点()()()1,1,2,3,3,2A B C ,点(),P x y 在ABC ∆三边围成的区域（含边界）上.（1）假设0PA PB PC ++=,求OP ；（2）设(),OP mAB nAC m n R =+∈，用,x y 表示m n -，并求m n -的最大值.12:2,:2l y x l y x ==-，过点()2,0M -的直线l 别离与直线12,l l 交于,A B ,其中点A 在第三象限，点B 在第二象限，点()1,0N .（1）假设NAB ∆的面积为16，求直线l 的方程；（2）直线AN 交2l 于点P ，直线BN 交1l 于点Q ，假设直线l ，PQ 的斜率都存在，别离设为12,k k ，判定12k k 是不是为定值？假设为定值，求出该定值；假设不为定值，请说明理由？21. 在直角坐标平面xOy 上的一列点()()11221,,2,,,A a A a (,),n n A n a ，简记为{}n A .假设由1n n n b A A j +=⋅组成的数列{}n b 知足1,1,2,n n b b n +>=，其中j 为方向与y 轴正方向相同的单位向量，那么称{}n A 为T 点列. （1） 判定()123111,1,2,,3,,,23A A A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1,,n A n n ⎛⎫⎪⎝⎭，是不是为T 点列，并说明理由；（2）假设{}n A 为T 点列，且点2A 在点1A 的右上方. 任取其中持续三点1k k A A +、、2k A +，判定△12k k k A A A ++的形状 （锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），并证明；（3）（附加题）若{}n A 是T 点列，正整数1m n p q ≤<<<知足m q n p +=+， 求证：n q m p A A j A A j ⋅>⋅.。

2015-2016学年上海市复旦大学附中高三（上）期中数学试卷（文科）一、填空题：1．若集合A={x|x2﹣2x＞0，x∈R}，B={x||x+1|＜2，x∈R}，则A∩B=．2．函数f（x）=log2x+1（x≥4）的反函数f﹣1（x）的定义域是．3．满足等式=0的复数z为．4．甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生．为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为90人的样本，则应在甲校抽取的学生数是．5．（x2﹣）9的二项展开式中，含x3项的系数是．6．直线l1：（a+3）x+y﹣3=0与直线l2：5x+（a﹣3）y+4=0，若l1的方向向量是l2的法向量，则实数a=．7．阅读程序框图，如果输出的函数值y在区间内，则输入的实数x的取值范围是．8．已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为20πcm2，则此圆锥的体积为cm3．9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为．10．数列{a n}中，若a1=1，（n∈N*），则=．11．甲、乙两人参加法律知识竞赛，共有10道不同的题目，其中选择题有6道，判断题4道，甲、乙两人依次各抽一题（不能抽同一题）．则甲、乙中至少有一人抽到选择题的概率等于．（用数字作答）12．已知等差数列{a n}满足：，且它的前n项和S n有最大值，则当S n取到最小正值时，n=．13．已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是．14．已知抛物线C：y2=2x，过抛物线C上一点P（1，）作倾斜角互补的两条直线PA、PB，分别交抛物线C于A、B两点，则直线AB的斜率为．二、选择题15．若f（x）和g（x）都是定义在R上的函数，则“f（x）与g（x）同是奇函数或同是偶函数”是“f（x）•g（x）是偶函数”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件16．已知数列{a n}前n项和满足S n﹣S n﹣1=+（n≥2），a1=1，则a n=（）A．n B．2n﹣1 C．n2D．2n2﹣117．若对任意x∈R，都有f（x）＜f（x+1），那么f（x）在R上（）A．一定单调递增B．一定没有单调减区间C．可能没有单调增区间D．一定没有单调增区间18．设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f（x）满足：（i）T={f（x）|x∈S}；（ii）对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（）A．A=N*，B=NB．A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x=﹣8或0＜x≤10}C．A={x|0＜x＜1}，B=RD．A=Z，B=Q三、解答题19．（12分）已知函数f（x）=|x﹣1|，g（x）=﹣x2+6x﹣5．（1）若g（x）≥f（x），求实数x的取值范围；（2）求g（x）﹣f（x）的最大值．20．（14分）已知向量（m∈R），且．设y=f（x）．（1）求f（x）的表达式，并求函数f（x）在上图象最低点M的坐标．（2）若对任意，f（x）＞t﹣9x+1恒成立，求实数t的范围．21．（14分）如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体．开始输液时，滴管内匀速滴下球状液体，其中球状液体的半径毫米，滴管内液体忽略不计．（1）如果瓶内的药液恰好156分钟滴完，问每分钟应滴下多少滴？（2）在条件（1）下，设输液开始后x（单位：分钟），瓶内液面与进气管的距离为h（单位：厘米），已知当x=0时，h=13．试将h表示为x的函数．（注：1cm3=1000mm3）22．（16分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点M（0，2）是椭圆的一个顶点，△F1MF2是等腰直角三角形．（1）求椭圆C的方程；（2）设点P是椭圆C上一动点，求线段PM的中点Q的轨迹方程；（3）过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=8，探究：直线AB是否过定点，并说明理由．23．（18分）已知数列{a n}满足：a1=1，|a n+1﹣a n|=p n，n∈N*，S n为数列{a n}的前n项和．（1）若{a n}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p的值；}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{a n}的通项公式；（2）若p=，且{a2n﹣1（3）若p=1，对于给定的正整数n，是否存在一个满足条件的数列{a n}，使得S n=n，如果存在，给出一个满足条件的数列，如果不存在，请说明理由．2015-2016学年上海市复旦大学附中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：1．（2015秋•杨浦区校级期中）若集合A={x|x2﹣2x＞0，x∈R}，B={x||x+1|＜2，x∈R}，则A∩B=（﹣3，0）．【考点】1E：交集及其运算．【专题】37 ：集合思想；4O：定义法；5J ：集合．【分析】化简集合A、B，根据交集的定义写出A∩B即可．【解答】解：集合A={x|x2﹣2x＞0，x∈R}={x|x＜0或x＞2}，B={x||x+1|＜2，x∈R}={x|﹣2＜x+1＜2}={x|﹣3＜x＜1}，∴A∩B={x|﹣3＜x＜0}=（﹣3，0）．故选：（﹣3，0）．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2．（2008•嘉定区校级模拟）函数f（x）=log2x+1（x≥4）的反函数f﹣1（x）的定义域是[3，+∞）．【考点】4R：反函数．【专题】11 ：计算题．【分析】先根据函数单调性求出函数f（x）=log2x+1（x≥4）的值域，然后根据互为反函数图象的关系可知原函数的值域即为反函数的值域．【解答】解：函数f（x）=log2x+1（x≥4）的值域为[3，+∞），∴f﹣1（x）的定义域是[3，+∞），故答案为：[3，+∞）．【点评】本题主要考查了反函数，以及互为反函数图象的关系，属于基础题．3．（2015秋•杨浦区校级期中）满足等式=0的复数z为﹣1．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【专题】34 ：方程思想；35 ：转化思想；5N ：数系的扩充和复数．【分析】利用行列式的性质、复数的运算法则即可得出．【解答】解：∵等式=0，∴z（1+i）+i（1﹣i）=0，∴z（1+i）（1﹣i）+i（1﹣i）（1﹣i）=0，∴2z+2=0，解得z=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了行列式的性质、复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．（2014•浦东新区一模）甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生．为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为90人的样本，则应在甲校抽取的学生数是30．【考点】B3：分层抽样方法．【专题】5I ：概率与统计．【分析】根据分层抽样的定义，即可确定甲校抽取的人数．【解答】解：∵甲校，乙校，丙校的学生的人数之比为：3600：5400：1800=2：3：1，∴抽取一个样本容量为90人的样本，则应在甲校抽取的学生数为：，故答案为：30．【点评】本题主要考查分层抽样的定义和应用，根据分层抽样的定义确定对应的抽取比例是解决本题的关键，比较基础．5．（2015秋•杨浦区校级期中）（x2﹣）9的二项展开式中，含x3项的系数是﹣126．【考点】DB：二项式系数的性质．【专题】38 ：对应思想；4O：定义法；5P ：二项式定理．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的指数等于3，求出r的值，即可求得展开式中含x3项的系数．【解答】解：（x2﹣）9的二项展开式中，通项公式为T r+1=•（﹣1）r•x18﹣3r，令18﹣3r=3，求得r=5，故展开式中含x3项的系数为﹣=﹣126．故答案为：﹣126．【点评】本题主要考查了二项式定理的应用问题，利用展开式的通项公式求二项式系数，是基础题．6．（2014•徐汇区一模）直线l1：（a+3）x+y﹣3=0与直线l2：5x+（a﹣3）y+4=0，若l1的方向向量是l2的法向量，则实数a=﹣2．【考点】IA：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．【专题】5B ：直线与圆．【分析】先分别求出两直线的方向向量，然后根据l1的方向向量是l2的法向量，则两直线的方向向量垂直，最后根据互相垂直的向量的数量积为0，从而求出所求．【解答】解：∵直线l1：（a+3）x+y﹣3=0与直线l2：5x+（a﹣3）y+4=0，∴直线l1的方向向量为=（1，﹣（a+3）），直线l2的方向向量为=（1，），∵l1的方向向量是l2的法向量，∴两直线的方向向量垂直，即•=1×1+（﹣a﹣3）×=0，解得a=﹣2，∴实数a=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查了直线的方向向量与法向量，以及利用空间向量数量积的运算，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．7．（2014•松江区三模）阅读程序框图，如果输出的函数值y在区间内，则输入的实数x的取值范围是[﹣2，0] ．【考点】EF：程序框图．【专题】5K ：算法和程序框图．【分析】由程序框图得出分段函数，根据函数的值域，求出实数x的取值范围．【解答】解：由程序框图可得分段函数：y=，∴令2x∈[，1]，则x∈[﹣2，0]，满足题意；∴输入的实数x的取值范围是[﹣2，0]．故答案为：[﹣2，0]．【点评】本题考查了程序框图的运行过程的问题，解题时应读懂框图，得出分段函数，从而做出正确解答，是基础题．8．（2014•嘉定区一模）已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为20πcm2，则此圆锥的体积为16πcm3．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】11 ：计算题．【分析】根据圆锥的侧面积和圆锥的母线长，代入圆锥的侧面积公式求得圆锥的底面半径，再求得圆锥的高，代入体积公式计算．【解答】解：∵圆锥的母线长是5cm，侧面积是20πcm2，设圆锥的半径为r，∴有πr×5=20π⇒r=4，∴圆锥的高为=3，∴圆锥的体积为×π×r2×3=16πcm3．故答案：16πcm3．【点评】本题考查了圆锥的侧面积公式、体积公式，解题的关键是求得圆锥的半径．9．（2014•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b ﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为﹣．【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【专题】58 ：解三角形．【分析】由条件利用正弦定理求得a=2c，b=，再由余弦定理求得cosA=的值．【解答】解：在△ABC中，∵b﹣c= a ①，2sinB=3sinC，∴2b=3c ②，∴由①②可得a=2c，b=．再由余弦定理可得cosA===﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．10．（2014•普陀区一模）数列{a n}中，若a1=1，（n∈N*），则=．【考点】8E：数列的求和．【专题】11 ：计算题．【分析】由，求出a1+a2+a3+a4+…+a2n﹣1+a2n，然后求得极限．【解答】解：由，得（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2n﹣1+a2n）===，∴==，故答案为：．【点评】本题考查数列求和、数列极限，属基础题，准确求出数列的和是解题关键．11．（2015秋•杨浦区校级期中）甲、乙两人参加法律知识竞赛，共有10道不同的题目，其中选择题有6道，判断题4道，甲、乙两人依次各抽一题（不能抽同一题）．则甲、乙中至少有一人抽到选择题的概率等于．（用数字作答）【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4R：转化法；5I ：概率与统计．【分析】先求出基本事件总数和甲、乙都抽到判断题包含的基本事件个数，由此利用对立事件概率计算公式能求出甲、乙中至少有一人抽到选择题的概率．【解答】解：甲、乙两人参加法律知识竞赛，共有10道不同的题目，其中选择题有6道，判断题4道，甲、乙两人依次各抽一题（不能抽同一题）．基本事件总数n=10×9=90，甲、乙都抽到判断题包含的基本事件个数m=4×3=12，∴甲、乙中至少有一人抽到选择题的概率：p=1﹣=1﹣=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．12．（2017春•泉山区校级期中）已知等差数列{a n}满足：，且它的前n项和S n有最大值，则当S n取到最小正值时，n=19．【考点】8F：等差数列的性质；82：数列的函数特性．【专题】35 ：转化思想；48 ：分析法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】根据题意判断出d＜0、a10＞0＞a11、a10+a11＜0，利用前n项和公式和性质判断出S20＜0、S19＞0，再利用数列的单调性判断出当S n取的最小正值时n 的值．【解答】解：由题意知，S n有最大值，所以d＜0，由，所以a10＞0＞a11，且a10+a11＜0，所以S20=10（a1+a20）=10（a10+a11）＜0，则S19=19a10＞0，又a1＞a2＞…＞a10＞0＞a11＞a12所以S10＞S9＞…＞S2＞S1＞0，S10＞S11＞…＞S19＞0＞S20＞S21又S19﹣S1=a2+a3+…+a19=9（a10+a11）＜0，所以S19为最小正值．故答案为：10．【点评】本题考查了等差数列的性质、前n项和公式以及S n最值问题，要求S n小于0且a n大于0．取得最小正值时n的值，关键是要找出什么时候a n+113．（2014•江苏）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是（0，）．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【专题】51 ：函数的性质及应用．【分析】在同一坐标系中画出函数的图象与直线y=a的图象，利用数形结合判断a的范围即可．【解答】解：f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），在同一坐标系中画出函数f（x）与y=a的图象如图：由图象可知．故答案为：（0，）．【点评】本题考查函数的图象以函数的零点的求法，数形结合的应用．14．（2015秋•杨浦区校级期中）已知抛物线C：y2=2x，过抛物线C上一点P（1，）作倾斜角互补的两条直线PA、PB，分别交抛物线C于A、B两点，则直线AB的斜率为．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题；KG：直线与圆锥曲线的关系．【专题】11 ：计算题；33 ：函数思想；34 ：方程思想；35 ：转化思想；49 ：综合法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设出直线pA、pB的方程，与抛物线方程联立，求出A，B的坐标，利用斜率公式，即可证明直线AB的斜率为定值；【解答】解：∵点P坐标为（1，），设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意可知MA的斜率存在且不为0，设PA：y﹣=k（x﹣1），即y=kx﹣k+，代入抛物线的方程得：y2﹣y﹣k+2=0，则：y1+=，故：y1=，设PB：y﹣=﹣k（x﹣1），即y=﹣kx+k+，代入抛物线的方程得：y2+y﹣k﹣2=0，则：y2+=﹣，故y2=﹣，∴y2﹣y1=﹣=．y2+y1=4﹣2．y1=kx1﹣k+，y2=﹣kx2+k+，y2+y1=﹣kx2+kx1+2=4﹣2，x2﹣x1=直线AB的斜率k AB===﹣2﹣2．∴直线BC的斜率为定值；故答案为：．【点评】本题考查的知识点是抛物线的性质，考查直线的斜率公式，考查学生的计算能力，正确运用韦达定理是关键，属于中档题．二、选择题15．（2015秋•杨浦区校级期中）若f（x）和g（x）都是定义在R上的函数，则“f （x）与g（x）同是奇函数或同是偶函数”是“f（x）•g（x）是偶函数”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】38 ：对应思想；4R：转化法；5L ：简易逻辑．【分析】利用偶函数的判定方法、简易逻辑的判定方法即可得出．【解答】解：由“f（x）与g（x）同是奇函数”可得“f（x）•g（x）是偶函数”；反之不成立，例如可能f（x）与g（x）同是偶函数．因此“f（x）与g（x）同是奇函数”是“f（x）•g（x）是偶函数”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了偶函数的判定方法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16．（2015秋•杨浦区校级期中）已知数列{a n}前n项和满足S n﹣S n﹣1=+（n≥2），a1=1，则a n=（）A．n B．2n﹣1 C．n2D．2n2﹣1【考点】8H：数列递推式．【专题】15 ：综合题；33 ：函数思想；4R：转化法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】利用平方差公式对已知数列递推式化简整理，求得=1，根据等差数列的定义判断出数列{}是一个首项为1公差为1的等差数列．求得数列{}的通项公式，再由a n=S n﹣S n﹣1求得a n ．【解答】解：由S n﹣S n﹣1=+，得=+，∴，∴数列{}是一个首项为1公差为1的等差数列．∴=1+（n﹣1）×1=n，∴S n=n2．当n≥2，a n=S n﹣S n﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1；a1=1适合上式，∴a n=2n﹣1，故选：B．【点评】本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了由数列的前n 项和求数列的通项公式，是中档题．17．（2015秋•杨浦区校级期中）若对任意x∈R，都有f（x）＜f（x+1），那么f（x）在R上（）A．一定单调递增B．一定没有单调减区间C．可能没有单调增区间D．一定没有单调增区间【考点】3F：函数单调性的性质．【专题】33 ：函数思想；4D ：反证法；4O：定义法；51 ：函数的性质及应用．【分析】根据对任意x∈R，都有f（x）＜f（x+1），根据函数的单调性的定义可得结论．【解答】解：若f（x）是增函数，则由x＜x+1可知f（x）＜f（x+1）一定成立，但F（x）＜F（x+1）并不能保证f（x）＜f（x+0.5），比如令f（x）=x+sin2πx则f（x+1）=x+1+sin2πx=f（x）+1＞f（x）但显然它不单调，因此，无法证明f（x）是增函数，同理，函数f（x）可能没有单调增区间，可能没有单调减区间．故选C．【点评】本题考查了对函数单调性的定义的理解和运用能力．比较基础．18．（2013•福建）设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f（x）满足：（i）T={f（x）|x∈S}；（ii）对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（）A．A=N*，B=NB．A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x=﹣8或0＜x≤10}C．A={x|0＜x＜1}，B=RD．A=Z，B=Q【考点】3E：函数单调性的判断与证明．【专题】16 ：压轴题；23 ：新定义．【分析】利用题目给出的“保序同构”的概念，对每一个选项中给出的两个集合，利用所学知识，找出能够使两个集合满足题目所给出的条件的函数，即B是函数的值域，且函数为定义域上的增函数．排除掉是“保序同构”的，即可得到要选择的答案．【解答】解：对于A=N*，B=N，存在函数f（x）=x﹣1，x∈N*，满足：（i）B={f （x）|x∈A}；（ii）对任意x1，x2∈A，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），所以选项A是“保序同构”；对于A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x=﹣8或0＜x≤10}，存在函数，满足：（i）B={f（x）|x∈A}；（ii）对任意x1，x2∈A，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），所以选项B是“保序同构”；对于A={x|0＜x＜1}，B=R，存在函数f（x）=tan（），满足：（i）B={f（x）|x∈A}；（ii）对任意x1，x2∈A，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），所以选项C是“保序同构”；前三个选项中的集合对是“保序同构”，由排除法可知，不是“保序同构”的只有D．故选D．【点评】本题是新定义题，考查了函数的定义域和值域，考查了函数的单调性，综合考查了不同类型函数的基本性质，是基础题．三、解答题19．（12分）（2014•徐汇区一模）已知函数f（x）=|x﹣1|，g（x）=﹣x2+6x﹣5．（1）若g（x）≥f（x），求实数x的取值范围；（2）求g（x）﹣f（x）的最大值．【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【专题】51 ：函数的性质及应用．【分析】（1）去掉f（x）的绝对值，由g（x）≥f（x），求出x的取值范围；（2）由（1）知g（x）﹣f（x）的最大值在[1，4]上取得，求出即可．【解答】解：（1）当x≥1时，f（x）=x﹣1；∵g（x）≥f（x），∴﹣x2+6x﹣5≥x﹣1；整理，得（x﹣1）（x﹣4）≤0，解得x∈[1，4]；当x＜1时，f（x）=1﹣x；∵g（x）≥f（x），∴﹣x2+6x﹣5≥1﹣x，整理，得（x﹣1）（x﹣6）≤0，解得x∈[1，6]，又，∴x∈∅；综上，x的取值范围是[1，4]．（2）由（1）知，g（x）﹣f（x）的最大值在[1，4]上取得，∴g（x）﹣f（x）=（﹣x2+6x+5）﹣（x﹣1）=﹣+≤，∴当x=时，g（x）﹣f（x）取到最大值是．【点评】本题考查了含有绝对值的函数的应用问题，解题时应先去掉绝对值，再进行讨论解答．20．（14分）（2010•浦东新区二模）已知向量（m∈R），且．设y=f（x）．（1）求f（x）的表达式，并求函数f（x）在上图象最低点M的坐标．（2）若对任意，f（x）＞t﹣9x+1恒成立，求实数t的范围．【考点】98：向量的加法及其几何意义；3R：函数恒成立问题；HW：三角函数的最值．【专题】11 ：计算题；14 ：证明题．【分析】（1）根据所给的向量之间的关系，写出关于三角函数的关系式，消元得到函数式，整理成可以解决三角函数性质的形式，根据所给的变量的范围得到三角函数的范围．（2）本题是一个函数的恒成立问题，写出关系式，分离参数，要证一个变量恒小于一个函数式时，要用一种函数思想，即只要这个变量小于函数的最小值即可．【解答】解：（1）∵，即，消去m，得，即，时，，，即f（x）的最小值为1，此时∴函数f（x）的图象上最低点M的坐标是（2）∵f（x）＞t﹣9x+1，即，当时，函数单调递增，y=9x单调递增，∴在上单调递增，∴的最小值为1，为要恒成立，只要t+1＜1，∴t＜0为所求．【点评】本题是一个三角函数同向量结合的问题，是以向量平行的充要条件为条件，得到三角函数的关系式，是一道综合题，在高考时可以以选择和填空形式出现．21．（14分）（2014•普陀区一模）如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体．开始输液时，滴管内匀速滴下球状液体，其中球状液体的半径毫米，滴管内液体忽略不计．（1）如果瓶内的药液恰好156分钟滴完，问每分钟应滴下多少滴？（2）在条件（1）下，设输液开始后x（单位：分钟），瓶内液面与进气管的距离为h（单位：厘米），已知当x=0时，h=13．试将h表示为x的函数．（注：1cm3=1000mm3）【考点】5D：函数模型的选择与应用．【专题】12 ：应用题．【分析】（1）设每分钟滴下k（k∈N*）滴，由圆柱的体积公式求出瓶内液体的体积，再求出k滴球状液体的体积，得到156分钟所滴液体体积，由体积相等得到k的值．（2）由（1）知，每分钟滴下πcm3药液，当液面高度离进气管4至13cm时，x 分钟滴下液体的体积等于大圆柱的底面积乘以（13﹣h），当液面高度离进气管1至4cm时，x分钟滴下液体的体积等于大圆柱的体积与小圆柱底面积乘以（4﹣h）的和，由此即可得到瓶内液面与进气管的距离为h与输液时间x的函数关系．【解答】解：（1）设每分钟滴下k（k∈N*）滴，则瓶内液体的体积cm3，k滴球状液体的体积cm3，∴，解得k=75，故每分钟应滴下75滴．（2）由（1）知，每分钟滴下πcm3药液，当4≤h≤13时，xπ=π•42•（13﹣h），即，此时0≤x≤144；当1≤h＜4时，xπ=π•42•9+π•22•（4﹣h），即，此时144＜x≤156．综上可得．【点评】本题考查了函数模型的选择及应用，考查了简单的数学建模思想方法，解答的关键是对题意的理解，然后正确列出体积相等的关系式，属中档题．22．（16分）（2012•杨浦区模拟）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点M（0，2）是椭圆的一个顶点，△F1MF2是等腰直角三角形．（1）求椭圆C的方程；（2）设点P是椭圆C上一动点，求线段PM的中点Q的轨迹方程；（3）过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=8，探究：直线AB是否过定点，并说明理由．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题；K3：椭圆的标准方程．【专题】15 ：综合题；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由已知点M（0，2）是椭圆的一个顶点，△F1MF2是等腰直角三角形，可求几何量，从而可求椭圆方程；（2）确定点P、PM的中点坐标之间的关系，利用点P是椭圆C上一动点，即可求得线段PM的中点Q的轨迹方程；（3）若直线AB的斜率存在，设AB方程代入椭圆方程，利用韦达定理及k1+k2=8，可得直线AB的方程，从而可得直线AB过定点；若直线AB的斜率不存在，设AB方程为x=x0，求出直线AB的方程，即可得到结论．【解答】解：（1）由已知可得b=2，，…（2分）∴所求椭圆方程为．…（4分）（2）设点P（x1，y1），PM的中点坐标为Q（x，y），则…（6分）由，得x1=2x，y1=2y﹣2代入上式得…（10分）（3）若直线AB的斜率存在，设AB方程为y=kx+m，依题意m≠±2．设A（x3，y3），B（x2，y2），则将直线方程代入椭圆方程可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0．…（11分）则，．∵k1+k2=8，∴+=8，∴2k+（m﹣2）×=8．…（12分）∴k﹣=4，整理得m=．故直线AB的方程为y=kx+，即y=k（x+）﹣2．所以直线AB过定点（，﹣2）．…（14分）若直线AB的斜率不存在，设AB方程为x=x0，设A（x0，y0），B（x0，﹣y0），由已知+=8，得x0=﹣．此时AB方程为x=﹣，显然过点（，﹣2）．综上，直线AB过定点（，﹣2）．…（16分）【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线方程，正确运用韦达定理是关键．23．（18分）（2015秋•杨浦区校级期中）已知数列{a n}满足：a1=1，|a n+1﹣a n|=p n，n∈N*，S n为数列{a n}的前n项和．（1）若{a n}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p的值；（2）若p=，且{a2n}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{a n}的通项公式；﹣1（3）若p=1，对于给定的正整数n，是否存在一个满足条件的数列{a n}，使得S n=n，如果存在，给出一个满足条件的数列，如果不存在，请说明理由．【考点】8E：数列的求和；8B：数列的应用．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】（1）利用）{a n}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，得到关于p 的方程解之；（2）将p代入，利用累加法得到数列{a n}的通项公式；﹣a n|=1，而a1=1，得到后面的各项，观察分析规律，找到（3）由p=1得到|a n+1满足满足S n=n的各项．【解答】解：（1）{a n}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，4a2=a1+3a3，又a2﹣a1=p，a3﹣a2=p2，所以3p2﹣p=0，解得p=或者p=0（舍去）（2）p=，且{a2n}是递增数列，{a2n}是递减数列，所以a2n﹣a2n﹣1＞0，a2n+1﹣1﹣a2n＜0，，，所以a n=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…（a n﹣a n﹣1）=1﹣+…+=；﹣a n|=1，而a1=1，（3）由题意得|a n+1所以a2=2，0；a3=3，1，﹣1；a4=4，2，0，﹣2…所以S1=1，S2=3，1；S3=6，4，2，0；S4=10，8，6，4，0，﹣2…为奇数；S4k﹣2为偶数；S4k为偶数；因此只有S4k﹣3，S4k满足S n=n．即S4k﹣3【点评】本题考查了数列求和以及数列递推关系的运用；属于难题．。

复旦大学附属中学2015学年第一学期高二年级数学期末考试试卷一、填空题（共48分，每空4分）1．抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上，且C 过点()2,3-，则C 的方程是__________．2．若过点()2,2P 可以向圆222220x y kx y k k +--+-=作两条切线，则实数k 的取值范围是 ____________________．3．参数方程cos 1cos x y θθ=⎧⎨=+⎩（R θ∈）化为普通方程是____________________． 4．M 是椭圆2219x y +=上动点，1F ，2F 是椭圆的两焦点，则12F MF ∠的最大值为__________． 5．圆()229x y a +-=与椭圆221259x y +=有公共点，则实数a 的取值范围是__________． 6．与圆2240x y x +-=外切且与y 轴相切的动圆的圆心的轨迹方程是__________．7．双曲线()22230x y k k -=<的焦点坐标是（用k 表示）__________．8．已知(),P x y 是圆()2211x y ++=上一点，则23x y +的最大值为__________．9．若直线x a =与圆221x y +=在第一象限有两个不同的交点，则实数a 的取值范围是__________． 10．椭圆E ：22143x y +=的右顶点为B ，过E 的右焦点作斜率为1的直线L 与E 交于M ，N 两点，则MBN △的面积为____________________．11．设实数x ，y 满足24x y =y 的最小值是__________． 12．椭圆C ：221168x y +=向右平移一个单位、向上平移两个单位可以得到椭圆C '： ()()22121168x y --+=．设直线l ：()()21130a x a y ++--=，当实数a 变化时，l 被C '截得的最大弦长是______________________________．二、选择题（共20分，每题5分）13．圆222430x y x y +++-=上到直线10x y ++= ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个14．“0ab <”是“方程22ax by c +=表示双曲线”的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不必要也不充分条件15．过点()3,0和双曲线()2210x ay a -=>仅有一交点的直线有（ ）A ．1条B ．2条C ．4条D ．不确定16．双曲线C 的左、右焦点为1F ，2F ，P 为C 的右支上动点（非顶点），I 为12F PF △的内心．当P 变化时，I 的轨迹为（ ）A ．双曲线的一部分B ．椭圆的一部分C ．直线的一部分D ．无法确定三、解答题（共52分，8+10+10+12+12）17．已知抛物线C ：22y x =和直线l ：1y kx =+，O 为坐标原点．（1）求证：l 与C 必有两交点；（2）设l 与C 交于A ，B 两点，且直线OA 和OB 斜率之和为1，求k 的值．18．斜率为1的动直线L 与椭圆22142x y +=交于P ，Q 两点，M 是L 上的点，且满足2MP MQ ⋅=，求点M 的轨迹方程．19．已知椭圆2221x y +=上存在两点A ，B 关于直线L ：4y x b =+对称，求实数b 的取值范围．20．已知双曲线C 的渐近线方程为20x y ±=，且点()5,0A 到双曲线上动点P C 的方程．21．设定点()0,1A ，常数2m >，动点(),M x y ，设(),p x m y =+，(),q x m y =-，且4p q -=．（1）求动点M 的轨迹方程； （2）设直线L ：132y x =-与点M 的轨迹交于B ，C 两点，问是否存在实数m 使得92AB AC ⋅=？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．参考答案 1.292y x =-或243x y = 2.()()1,14,-⋃+∞ 3.()2211x y +-= 4. 7arccos 9π-5. []6,6-6.()280y x x =>或()00y x =<7.0,⎛ ⎝和0,⎛ ⎝2 9.)2 10.711.2 12.8 BC17. （1）证明略；（2）1k =18.轨迹为椭圆，2221m n +=或2227m n +=19.⎛ ⎝⎭ 20.2214x y -=21.（1）()2221244x y x m -=≥-；（2）不存在。