上海市复旦大学附属中学2019-2020学年第二学期高一在线教学测验(一)数学试卷及答案2020.4.1

2019-2020学年上海市长宁区复旦中学高一(下)第一次月考数学试卷一、单项选择题（本大题共5小题，共20.0分） 1. sin15°cos165°的值是( )A. −14B. −12C. 14D. 122. 若tan 2°cos 6°=sin 6°+asin 2°，则实数a =( )A. 2B. −2C. √3D. −√33. 设tan(π+α)=2，则sin(α−π)+cos(π−α)sin(π+α)−cos(π−α)=( )A. 13B. 1C. 3D. −14. θ为第三象限角，tan(θ−π4)=13，则sinθ−cosθ=( )A. −35√5B. −15√5C. 35√5D. 15√55. 已知，则的值为( )．A. −√22B. √22C. −1D. 1二、填空题（本大题共9小题，共36.0分） 6. cos 2π12−sin 2π12= ______ ．7. 角α的终边经过点P(x,4)且cosα=x5，则sinα=______．8. 已知α∈(−π2,0)，sinα=−√1010，则tanα的值为______ ．9. 已知cosθ=√33，则cos2θ= ______ ．10. 若tan (π4−α)=−2，则tan2α=___________． 11. 若sinα+cosα=12，则sin2α=______________． 12. 若sin α=35，α∈(0,π2)，则cos (α+π3)=____.13. 已知sinα=√32，则cos(π2+α)的值为______．14. 已知tanθ=2，则sin 2θ−sinθcosθ+cos 2θ= ______ ． 三、解答题（本大题共7小题，共94.0分）15.已知sinα+cosαsinα−2cosα=2.(1)求tanα；(2)求cos(π2−α)⋅cos(−π+α)的值．16.已知0<α<π，sinα+cosα=15．(1)求tanα的值；(2)求sin2α−3sinαcosα−4cos2α的值．17.已知cosα=513,cos(α−β)=45,且0<β<α<π2,，(1)求tan2α的值；(2)求cosβ的值．18.若α，β均为锐角，且sinα−sinβ=−12,cosα−cosβ=12，求tan(α−β)．19.阅读下面的材料：根据两角和与差的正弦公式，有sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ①sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ②由①+②得：sin(α+β)+sin(α−β)=2sinαcosβ③令α+β=A，α−β=B，则α=A+B2，β=A−B2.代入式③得sinA+sinB=2sin A+B2cos A−B2(1)类比上述推理方法，根据两角和差的余弦公式，证明cosA−cosB=−2sin A+B2sin A−B2(2)若△ABC的三个内角A，B，C满足cos2A−cos2B=1−cos2C，试判断△ABC的形状．20. 已知A 为锐角，sinA =35，tan(A −B)=−12，求cos2A 及tanB 的值．21. 在△ABC 中，已知b =asinC ，c =asinB ，试判断△ABC 的形状．【答案与解析】1.答案：A解析：本题考查诱导公式与二倍角的正弦，着重考查二倍角公式的应用，属于较易题．用诱导公式将cos165°转化为−cos15°，再运用二倍角的正弦即可求得答案．解：∵cos165°=−cos15°，∴sin15°cos165°=sin15°(−cos15°)=−12sin30°=−14．故选A．2.答案：B解析：本题考查了两角和与差的三角函数公式，属于基础题．由两角和与差的三角函数公式得sin (−4∘)=12asin 4∘，即可得出a．解：由已知可得sin2°cos6°=sin6°cos2°+asin2°cos2°，即sin (−4∘)=12asin 4∘，解得a=−2．故选B．3.答案：C解析：解：∵tan(π+α)=tanα=2，则sin(α−π)+cos(π−α) sin(π+α)−cos(π−α)=−sinα−cosα−sinα+cosα=sinα+cosαsinα−cosα=tanα+1tanα−1=3，故选：C．由条件利用诱导公式求得tanα的值，再利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，化简要求的式子，可得结果．本题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．4.答案：B解析：本题考查同角三角函数基本关系及两角和与差的三角函数公式，属于基础题目．先求出，再求出得出即可．解：∵θ为第三象限角，，，由，，，．故选B．5.答案：A解析：本题考查了二倍角的三角函数公式和两角和与差的三角函数公式等知识，属于基础题．解：故选A．6.答案：√32解析：解：由二倍角的余弦公式可得，cos2π12−sin2π12=cosπ6=√32，故答案为：√32．利用二倍角的余弦公式即可求得．该题考查二倍角的余弦公式，属基础题，准确记忆公式内容是解题关键．7.答案：45或1解析：本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．由条件利用任意角的三角函数的定义求得x的值，即可求解．解：由题意可得cosα=x5=√x2+42，求得x=0或x=±3，当x=0时，sinα=1；当x=±3时，sinα=45．故答案为：45或1．8.答案：−13解析：解：∵α∈(−π2,0)，sinα=−√1010，∴cosα=√1−sin2α=3√1010，则tanα=sinαcosα=−13．故答案为：−13由α的范围及sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，即可确定出tanα的值．此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．9.答案：−13解析：解：∵cosθ=√33，∴cos2θ=2cos2θ−1=2×13−1=−13．故答案为：−13．利用二倍角的余弦公式，即可得出结论．本题考查二倍角的余弦公式，考查学生的计算能力，属于基础题．10.答案：34解析：本题考查由条件利用两角差的正切公式求得tanα，再利用二倍角公式求得tan2α的值，属基础题． 解：∵tan(π4−α)=1−tanα1+tanα=−2， ∴tanα=−3， tan2α=2tanα1−tan 2α=−61−(−3)2=34， 故答案为34．11.答案：−34解析：此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的正弦函数公式．将已知的等式两边平方是本题的突破点．将已知的等式两边平方，利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，即可求出sin2α的值．解：把sinα+cosα=12两边平方得：(sinα+cosα)2=14， 即sin 2α+cos 2α+2sinαcosα=1+sin2α=14， 解得：sin2α=−34． 故答案为−34．12.答案：4−3√310解析：本题主要考查了两角和与差的三角函数公式，属于基础题．利用两角和的三角函数公式求得cos (α+π3)=cos αcos π3−sin αsin π3，进而求出答案． 解： 因为sin α=35，α∈(0,π2)， 所以cosα=√1−(35)2=45，所以cos(α+π3)=cosαcosπ3−sinαsinπ3=12×45−√32×35=4−3√310．故答案为4−3√310．13.答案：−√32解析：本题考查三角函数的化简求值问题，考查诱导公式的应用，属于基础题．直接使用诱导公式即可求解．解：因为sin α=√32，所以cos (π2+α)=−sinα=−√32．故答案为：−√3214.答案：35解析：解：∵tanθ=2，则sin2θ−sinθcosθ+cos2θ=sin2θ−sinθcosθ+cos2θsin2θ+cos2θ=tan2θ−tanθ+1tan2θ+1=4−2+14+1=35，故答案为：35．由条件利用同角三角函数的基本关系求得所给式子的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．15.答案：解：(1)由sinα+cosαsinα−2cosα=2，得tanα+1tanα−2=2，解得tanα=5；(2)cos(π2−α)⋅cos(−π+α)=sinα⋅(−cosα)=−sinαcosα22=−tanαtan2α+1=−552+1=−526．解析：本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．(1)直接利用同角三角函数基本关系式化弦为切求值；(2)利用诱导公式及同角三角函数基本关系式求解．16.答案：解：(1)∵sinα+cosα=15,0<α<π，∴1+2sinαcosα=125，求得2sinαcosα=−2425，∴θ为钝角，∴sinθ>0，cosθ<0，可得sinα−cosα=√(sinα−cosα )2=√1−2sinαcosα=75，求得sinα=45，cosα=−35，∴tanα=sinαcosα=−43．(2)sin2α−3sinαcosα−4cos2α=sin2α−3sinαcosα−4cos2αsin2α+cos2α=tan2α−3tanα−4tan2α+1=1625．解析：(1)利用同角三角函数的基本关系求得sinα−cosα的值，解得sinα和cosα的值，可得tanα的值．(2)根据sin2α−3sinαcosα−4cos2α=tan2α−3tanα−4tan2α+1，求得结果．本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．17.答案：解：(1)由cosα=513,0<α<π2,得，sinα=√1−cos2α=√1−(513)2=1213得tanα=sinαcosα=12 5于是tan2α=2tanα1−tan2α=−120119.(2)由0<β<α<π2,得0<α−β<π2,又∵cos(α−β)=45，∴sin(α−β)=√1−cos2(α−β)=35由β=α−(α−β)得：cosβ=cos[α−(α−β)]=cosαcos(α−β)+sinαsin(α−β)=513×45+35×1213=5665．解析：本题考查同角三角函数关系式、二倍角公式、两角和差的三角函数公式的应用，属于中档题．(1)由同角三角函数关系得sin α=√1−cos 2α=1213， tanα=sinαcosα=125 ，由二倍角的正切公式得tan 2α=2tan α1−tan 2α代入求值；(2)由角的范围以及同角三角函数关系得sin (α−β)=√1−cos 2(α−β)=35 ，由两角差的余弦公式cos β=cos [α−(α−β)]=cos αcos (α−β)+sin αsin (α−β)，代入求值．18.答案：解：∵α，β均为锐角，，∴α<β，α−β<0，将①②分别平方得： sin 2α+sin 2β−2sinαsinβ=14，cos 2α+cos 2β−2cosαcosβ=14，相加可得， ，，．解析：本题考查两角和差的三角函数公式和同角三角函数关系式，属中档题．由条件利用同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式求得cos(α−β)的值，可得sin(α−β)的值，进而求得tan(α−β)的值．19.答案：解：(1)根据两角和与差的余弦公式，有：cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ…①cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ…②由①−②得cos(α+β)−cos(α−β)=−2sinαsinβ…③令α+β=A ，α−β=B 有α=A+B 2，β=A−B 2 代入③得cosA −cosB =−2sin A+B2sin A−B2；(2)由(1)得cos2A −cos2B =−2sin(A +B)sin(A −B)=−2sinCsin(A −B)，1−cos2C =2sin 2C由sinA +sinB =2sin A+B 2cos A−B 2，∴−2sinCsin(A −B)=2sin 2C ，即2sinC[sin(A −B)+sinC]=0，∵在△ABC 中sinC ≠0，故sin(A −B)+sinC =0，即A −B =−C ，故A +C =B ，∴B =90°，故所以△ABC 为直角三角形．解析：本小题主要考查两角和与差三角函数公式、二倍角公式、三角函数的恒等变换等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想等．(1)通过两角和与差的余弦公式，令α+β=A ，α−β=B 有α=A+B 2，β=A−B 2，即可证明结果．(2)利用(1)中的结论和二倍角公式，cos2A −cos2B =2sin 2C ，以及A +B +C =180°，推出B =90°，得到△ABC 为直角三角形．20.答案：cos2A =725，tanB =2解析：因为sinA =35，所以cos2A =1−2sin 2A =725.因为A 为锐角，所以cosA =45.所以tanA =34.因为tan(A −B)=−12，所以tanA−tanB 1+tanAtanB =−12.所以tanB =2． 21.答案：解：由题意可知，b =asinC ，c =asinB ，则由正弦定理，知：sinB =sinAsinC ，sinC =sinAsinB ，所以sinBsinC =sin 2AsinBsinC ，即sinBsinC(1−sin2A)=0，所以sin 2A =1，所以A=90°，则B=C，所以ΔABC为等腰直角三角形．解析：本题考查了利用正弦定理判断三角形的形状的问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

复旦大学附属中学2019学年第二学期高一年级数学期末考试试卷时间：120分钟 满分：150分 2020.07.06一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果．1．1-和4-的等比中项为__________．2．化简求值：1tan arccos 3⎛⎫= ⎪⎝⎭________．3．若函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的局部图像如右，则ω=_______．4．若三角式等式2cos 2cos cos x a b x c x =++（,,a b c 为常数），对于任意x R ∈都成立，则a b c -+=______． 5．lim 1n n r r →∞⎛⎫ ⎪+⎝⎭存在，则实数r 的取值范围是________． 6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12020OB a OA a OC =+（向量,OA OC 不平行），A C B 、、共线，则2020S =_________．7．123PP P 是边长为1的正三角形，则12(,1,2,3,)i j PP PP i j i j ⋅=≠取值集合为__________． 8．向量,,a b c 在正方形网格中的位置，如图所示，若,(,)c a b R λμλμ=+∈，则λμ=_____．9．{}n a 是等差数列，首项11a =，公差0,n d S ≠为其前n 项和，若125,,a a a 成等比数列，则8S =_______．10．如图是由6个宽、高分别为11,b a ；22,b a ；33,b a ；…；66,b a 的矩形在第一象限紧挨拼成()1234560a a a a a a >>>>>>．显然6个矩形面积之和为6112266S a b a b a b =+++．若记121,2,,,6i i T b b b i =+++=，则上述面积又可以写成()()()6121232565S a a T a a T a a T X =-+-++-+形式，其中代数式X =________．（用题目中元素,,i i i a b T 的最简形式表达）11．已知()f x 为偶函数，当0x 时，1cos ,02()121,2x x f x x x π⎧⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩，则不等式1(1)2f x -的解集为__________． 12．三角形蕴涵大量迷人性质，例如：若点O 在ABC 内部，用A B C S S S 、、分别代表OBC 、OCA 、OAB 的面积，则有0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=．现在假设锐角三角形顶点,,A B C 所对的边长分别为,,,a b c H 为其垂心，,,HA HB HC 的单位向量分别为123,,e e e ，则123ae be ce ++=_________．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且仅有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．对二元一次方程组1223x y c x y c -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵A 经过一系列的初等行变换，得：103~011A⎛⎫ ⎪-⎝⎭，则列向量12c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭为（ ）A ．58⎛⎫⎪⎝⎭ B ．31⎛⎫ ⎪-⎝⎭ C ．57⎛⎫ ⎪-⎝⎭ D ．51⎛⎫ ⎪-⎝⎭14．已知2sin 23α=，则2sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．16 B ．12 C ．13 D ．5615．等差数列{}n a 的公差为d ，数列{}12na a 为递减数列，则（ ） A ．0d < B ．0d > C ．10a d < D ．10a d >16．根据下面一组等式：11s =，2235s =+=，345615s =++=，47891034s =+++=，5111213141565s =++++=，6161718192021111s =+++++=，……可得21n S -=（ ）A ．324641n n n -+-B ．1413n -C ．2184023n n -+D ．(1)12n n -+ 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写岀必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知(cos ,sin ),(cos 3sin ,3cos sin ),()a x x b x x x x f x a b ==+-=⋅（1）求()f x 的解析式及其最小正周期；（2）求()f x 的单调增区间．18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在斜三角形ABC 中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、且()222sin cos cos()b a cA A ac A C --=+， （1）求角A 大小；（2）若sin cos B C>，求角C 的取值范围． 19．（本题满分14分）某水泥厂计划用一台小型卡车从厂区库房运送20根水泥电线杆，到一条公路沿着路侧架设，已知库房到该公路入口处500米，从库房出发卡车进入公路后继续行驶，直到离入口50米处时放下第一根电线杆，然后沿着该公路同一侧边每隔50米逐一放下余下电线杆，放完折返库房重新装运剩余电线杆．已知卡车每趟从库房最多只能运送3根水泥杆．问：卡车运送完这批水泥杆，并最终返回库房，至少运送几趟？最少行驶多少米？20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）设数列{}n x 各项均为正数，且满足()22221222,n x x x n n n N ++++=+∈， （1）求数列{}n x 的通项公式n x ；（2）已知12231113n n T x x x x x x ++++=+++，求n ； （3）试用数学归纳法证明：2122312(1)1n n x x x x x x n +⎡⎤+++<+-⎣⎦． 21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）借助三角比及向量知识，可以方便地讨论平面上点及图像的旋转问题．试解答下列问题．（1）在直角坐标系中，点112A ⎫-⎪⎪⎭，将点A 绕坐标原点O 按逆时针方向旋转6π到点B ，如果终边经过点A 的角记为α，那么终边经过点B 的角记为6πα+．试用三角比知识，求点B 的坐标；（2）如图，设向量(,)ABh k =，把向量AB 按逆时针方向旋转θ角得点C ，判断C 是否能够落在直线y x=上，若能，试用,,a m n 表示相应θ的值，若不能，说明理由．（3）设(,),(,)A a a B m n 为不重合的两定点，将点B 绕点A 按逆时针方向旋转θ角得点C ，判断C 是否能够落在直线y x =上，若能，试用,,a m n 表示相应θ的值，若不能，说明理由．复旦大学附属中学2019学年第二学期高一年级数学期末考试试卷时间：120分钟 满分：150分 2020.07.06一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果．1．【答案】：2± 2．【答案】： 3．【答案】：44．【答案】：1 5．【答案】：12r >- 6．【答案】：1010 7．【答案】：4 8．【答案】：4 9．【答案】：6410．【答案】：66X a T =【解析】：()()611226*********S a b a b a b a T a T T a T T =+++=+-++- ()()()12123256566a a T a a T a a T a T =-+-++-+ 故66X a T =11．【答案】：1247,,4334⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 【解析】：13|1|34x ≤-≤，解1243x ≤≤或4734x ≤≤，故不等式1(1)2f x -的解集为1247,,4334⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦12．【答案】：0【解析】：由0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=可得123111||||||||||||0222a HD HA eb HE HB ec HF HC e ⋅+⋅+⋅= 根据BHD AHE ∽可得||||||||HD HA HE HB =，同理可得||||||||HF HC HE HB =所以||||||||||||HD HA HE HB HF HC ==所以1230ae be ce ++=二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且仅有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．【答案】：A14．【答案】：D15．【答案】：C16．【答案】：A【解析】：易得第(1)n -行最后一项为2(1(1))(1)22n n n n +---=，第n 行最后一项为2(1)22n n n n ++= 故第n 行为第一项212n n -+，最后一项为22n n +，项数为n 的等差数列，故22312222n n n n n n n n S ⎛⎫-+++ ⎪+⎝⎭== 所以32214641n S n n n -=-+-，故选A三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）【答案】：（1）()2sin 2,6f x x T ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭； （2）,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦． 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）【答案】：（1）4π；（2）,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭19．（本题满分14分）【答案】：至少运送7趟，最少行驶14000米20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）【答案】：（1）*n x n N =∈； （2）48； （3）略．21．【答案】：（1）(2,1)； （2）(cos sin ,cos sin )h k k h θθθθ-+；（3）若2m n a +=，则,2k k Z πθπ=+∈，若2,tan ,arctan ,22m n m n m n a k k Z m n a m n a θθπ--+≠==+∈+-+-。

复旦大学附属中学2019学年第二学期在线教学测验（一）高一年级语文试卷日293月2020年分钟，所有答案均写在答题纸上）120120分，考试时间（满分分）37积累应用（一分）1写出下列加点词在句中的意思（31.（1）披帷西向立（2）欲立之，亟请于武公．．（3）而刀刃若新发于硎（4）不迁怒，不贰过．．（5）垂明月之珠（6）学者多称五帝，尚矣．．（7）王若隐其无罪而就死地（8）夫子矢之．．．伐功自矜（10）之而（9）浴，薄观．．项王）范增数目（1211）国中属而和者数百人（．．．可矣13）再，斯（．分）翻译下列句子（82.）姜与子犯谋，醉而遣之。

醒，以戈逐子犯。

（1（2）是以太山不让土壤，故能成其大；河海不择细流，故能就其深；王者不却众庶，故能明其德。

分）163.翻译下列句子（（3）子路率尔而对曰：“千乘之国，摄乎大国之间，加之以师旅，因之以饥馑；由也为之，比及三年，可使有勇，且知方也。

”）王说，曰：“《诗》云：‘他人有心，予忖度之。

'夫子之谓也。

（4）若入前为寿，寿毕，请以剑舞，因击沛公于坐，杀之。

不者，若属皆且为所虏。

（5）越国以鄙远，君知其难也，焉用亡郑以陪邻？邻之厚，君之薄也。

6（二阅读（43分）分））题。

（17）-（5阅读下文，完成（4.1悲剧的永恒魅力①从现实人生而言，人人拒斥悲剧；可就□□来讲，悲剧是最真实的生命底色，最为客观和朴素，也最容易触动每一个人。

人类不得不去面对悲剧，去体味、打量和权衡，或惊惧叹息，或沉默冷对，□□就这样发生了。

悲剧加入了个人关于命运的想象和价值判断，关于道德、社稷、他者等一切复杂的结构关系。

在这样的推理与辨析中，我们感受到两种长存的力量，即抵御的力量和失败的力量。

失败是从世俗层面而言，若从精神层面却不一定这样命名。

我们知道失败也是有力量的，它的力量来自警示的价值，来自客观真实，来自与生命关系的紧密性和切近性，来自那种不可更改的．宿命的启示。

它的力量会久久地训诫我们，让人冷静下来，不存一丝奢望地直面自己的生活，完成自己的一生。

2019-2020学年上海市复旦附中高一（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分48分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．已知集合A＝{2，0，1，9}，则集合A的非空真子集的个数为．2．U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A＝{x|x2﹣1≤0，x∈Z}，B＝{x|﹣1≤x≤3，x∈Z}，则（∁U A）∩B＝．3．不等式﹣2＜＜3的解集是．4．设集合T＝{∅，{∅}}，则下列命题：①∅∈T，②∅⊆T，②{∅}∈T，④{∅}⊆T中正确的是（写出所有正确命题对应的序号）．5．若集合，则实数a的取值范围是．6．如果全集U含有12个元素，P，Q都是U的子集，P∩Q中含有2个元素，∁U P∩∁U Q 含有4个元素，∁U P∩Q含有3个元素，则P含有个元素．7．已知Rt△ABC的周长为定值2，则它的面积最大值为．8．若f（x）在区间[t，t2﹣2t﹣2]上为奇函数，则实数t的值为．9．已知不等式|x﹣3|﹣|x+4|＜a解集非空，则实数a的取值范围为．10．对于集合M，定义函数，对于两个集合A，B，定义集合A*B＝{x|f A（x）•f B（x）＝﹣1}．已知集合，B＝{x|x（x﹣3）（x+3）＞0}，则A*B＝．11．若实数x，y≥0满足x+3y﹣xy＝1，求3x+4y的最小值为．12．已知a＞0，且对任意x＞0，有（x﹣a）（x2+bx﹣a）≥0恒成立，则的取值范围为．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13．命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题的等价命题是（）A．若q不正确，则p不正确B．若q不正确，则p正确C．若p正确，则q不正确D．若p正确，则q正确14．已知a，b∈R，则“|a|＜1，|b|＜1”是“不等式ab+1＞a+b”成立的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既不充分又不必要15．定义在R上的偶函数f（x）满足对任意x1，x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2），有，则当n∈N*时，有（）A．f（﹣n）＜f（n﹣1）＜f（n+1）B．f（n﹣1）＜f（﹣n）＜f（n+1）C．f（n+1）＜f（﹣n）＜f（n﹣1）D．f（n+1）＜f（n﹣1）＜f（﹣n）16．设集合P1＝{x|x2+ax+1＞0}，P2＝{x|x2+ax+2＞0}，Q1＝{x|x2+x+b＞0}，Q2＝{x|x2+2x+b ＞0}，其中a，b∈R，下列说法正确的是（）A．对任意a，P1是P2的子集，对任意b，Q1不是Q2的子集B．对任意a，P1是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集C．存在a，P1不是P2的子集，对任意b，Q1不是Q2的子集D．存在a，P1不是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集三、解答题（本大题共有5题，满分38分）17．已知集合A＝{x|x2﹣（m+3）x+2（m+1）＝0}，B＝{x|2x2+（3n+1）x+2＝0}，其中m，n∈R．（1）若A∩B＝A，求m，n的值；（2）若A∪B＝A，求m，n的取值范围．18．设a＞0，b＞0，且．求证：（1）a+b≥2；（2）a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．19．如图所示，用总长为定值l的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开．（1）设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，试用解析式将y表示成x的函数，并确定这个函数的定义域；（2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？20．已知函数，（1）判断f（x）的奇偶性，并给出理由；（2）当a＝2时，①判断f（x）在x∈（0，1]上的单调性并用定义证明；②若对任意x∈（0，+∞），不等式恒成立，求实数m的取值范围．21．设函数f（x）为定义在R上的奇函数，且当x∈[0，+∞）时，f（x）＝﹣x2+2x．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求实数a，b，使得函数f（x）在区间[a，b]⊆[1，+∞）上的值域为；（3）若函数f（x）在区间[a，b]上的值域为，则记所有满足条件的区间[a，b]的并集为D，设g（x）＝f（x）（x∈D），问是否存在实数m，使得集合{（x，y）|y＝g （x）}∩{（x，y）|y＝x2+m}恰含有2个元素？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．2019-2020学年上海市复旦附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分48分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．已知集合A＝{2，0，1，9}，则集合A的非空真子集的个数为14．【解答】解：∵集合A＝{2，0，1，9}，∴集合A的非空真子集的个数为：24﹣2＝14．故答案为：14．2．U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A＝{x|x2﹣1≤0，x∈Z}，B＝{x|﹣1≤x≤3，x∈Z}，则（∁U A）∩B＝{2，3}．【解答】解：∵A＝{x|x2﹣1≤0，x∈Z}＝{﹣1，0，1}，B＝{x|﹣1≤x≤3，x∈Z}＝{﹣1，0，1，2，3}，∴∁U A＝{x|x≤﹣2，或x≥2，x∈Z}，∴（∁U A）∩B＝{2，3}，故答案为{2，3}．3．不等式﹣2＜＜3的解集是{x|x或0＜x}．【解答】解：∵﹣2＜＜3，当x＞0时，﹣2x＜1＜3x，解可得，，∴，当x＜0时，﹣2x＞1＞3x，解可得，x，综上可得，不等式的解集为{x|x或0＜x}．故答案为：{x|x或0＜x}．4．设集合T＝{∅，{∅}}，则下列命题：①∅∈T，②∅⊆T，②{∅}∈T，④{∅}⊆T中正确的是①②③④（写出所有正确命题对应的序号）．【解答】解：∵T＝{∅，{∅}}，∴∅∈T，∅⊆T，{∅}∈T，{∅}⊆T．故答案为：①②③④．5．若集合，则实数a的取值范围是（﹣∞，3]．【解答】解：由题意可得，x2+2（a+1）x+a2﹣5≥0恒成立，∴△＝4（a+1）2﹣4（a2﹣5）≤0，解可得，a≤﹣3，故答案为：（﹣∞，3]6．如果全集U含有12个元素，P，Q都是U的子集，P∩Q中含有2个元素，∁U P∩∁U Q 含有4个元素，∁U P∩Q含有3个元素，则P含有5个元素．【解答】解：由全集U含有12个元素，P，Q都是U的子集，P∩Q中含有2个元素，∁U P∩∁U Q含有4个元素，∁U P∩Q含有3个元素，作出维恩图，图中数字代表集合中包含的元素的个数，由维恩图结合题意得：4+x+2+3＝12，解得x＝3．∴集合P中含有的元素个数为：2+x＝2+3＝5．故答案为：5．7．已知Rt△ABC的周长为定值2，则它的面积最大值为3﹣2．【解答】解：设直角边长为a，b，则斜边长为，∵直角三角形ABC的三边之和为2，∴a+b+＝2，∴2≥2+，∴≤＝2﹣，∴ab≤6﹣4，∴S＝ba≤3﹣2，∴△ABC的面积的最大值为3﹣2．故答案为：3﹣2．8．若f（x）在区间[t，t2﹣2t﹣2]上为奇函数，则实数t的值为﹣1．【解答】解：由奇函数的定义域关于原点对称可知，t+t2﹣2t﹣2＝0，且t2﹣2t﹣2＞0，∴t2﹣t﹣2＝0，解可得t＝2（舍）或t＝﹣1，故答案为：﹣1．9．已知不等式|x﹣3|﹣|x+4|＜a解集非空，则实数a的取值范围为（﹣7，+∞）．【解答】解：不等式|x﹣3|﹣|x+4|＜a解集非空，所以|x﹣3|﹣|x+4|的最小值小于a，又|x﹣3|﹣|x+4|≥﹣7，此时x≥3∴a＞﹣7故答案为：（﹣7，+∞）．10．对于集合M，定义函数，对于两个集合A，B，定义集合A*B＝{x|f A（x）•f B（x）＝﹣1}．已知集合，B＝{x|x（x﹣3）（x+3）＞0}，则A*B＝（﹣∞，1）∪（3，+∞）．【解答】解：A＝（﹣∞，1），B＝（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞），f A（x）•f B（x）＝﹣1，当f A（x）＝1，f B（x）＝﹣1，A*B＝B，当f A（x）＝﹣1，f B（x）＝1，A*B＝[﹣3，1），故A*B＝（﹣∞，1）∪（3，+∞），故答案为：（﹣∞，1）∪（3，+∞）．11．若实数x，y≥0满足x+3y﹣xy＝1，求3x+4y的最小值为．【解答】解：由x+3y﹣xy＝1，得；x+3y﹣xy＝1≥0，，，当y＞1时，；当时，设，＝在[]上单调递减，在处取得最小值，3x+4y取得最小值，综上可得3x+4y取得最小值，故答案为：．12．已知a＞0，且对任意x＞0，有（x﹣a）（x2+bx﹣a）≥0恒成立，则的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）．【解答】解：∵对任意x＞0，有（x﹣a）（x2+bx﹣a）≥0恒成立，∴x＝a是方程x2+bx﹣a＝0的根，即a2+ab﹣a＝0，又a＞0，则a+b﹣1＝0，∴（b，a）可理解为直线a+b﹣1＝0上纵坐标大于0的点，则的几何意义即为直线a+b ﹣1＝0上纵坐标大于0的点与原点连线的斜率，如图，直线a+b﹣1＝0的斜率为﹣1，由图象可知，．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13．命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题的等价命题是（）A．若q不正确，则p不正确B．若q不正确，则p正确C．若p正确，则q不正确D．若p正确，则q正确【解答】解：命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题是：“若q不正确，则p不正确”其等价命题是它的逆否命题，即“若p正确，则q正确”故选：D．14．已知a，b∈R，则“|a|＜1，|b|＜1”是“不等式ab+1＞a+b”成立的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既不充分又不必要【解答】解：∵“不等式ab+1＞a+b”成立等价于“ab+1﹣a﹣b＝（b﹣1）（a﹣1）＞0”，∴当“|a|＜1，|b|＜1时，则（b﹣1）（a﹣1）＞0成立；当（b﹣1）（a﹣1）＞0时，有a＞1且b＞1；或者a＜1且b＜1；故“|a|＜1，|b|＜1”是“不等式ab+1＞a+b”成立的充分非必要条件；故选：A．15．定义在R上的偶函数f（x）满足对任意x1，x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2），有，则当n∈N*时，有（）A．f（﹣n）＜f（n﹣1）＜f（n+1）B．f（n﹣1）＜f（﹣n）＜f（n+1）C．f（n+1）＜f（﹣n）＜f（n﹣1）D．f（n+1）＜f（n﹣1）＜f（﹣n）【解答】解：根据题意，函数f（x）是偶函数，且在（﹣∞，0]递增，（0，+∞）递减，因为0＜n﹣1＜n＜n+1，所以f（n﹣1）＞f（n）＞f（n+1），故选：C．16．设集合P1＝{x|x2+ax+1＞0}，P2＝{x|x2+ax+2＞0}，Q1＝{x|x2+x+b＞0}，Q2＝{x|x2+2x+b ＞0}，其中a，b∈R，下列说法正确的是（）A．对任意a，P1是P2的子集，对任意b，Q1不是Q2的子集B．对任意a，P1是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集C．存在a，P1不是P2的子集，对任意b，Q1不是Q2的子集D．存在a，P1不是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集【解答】解：对于集合P1＝{x|x2+ax+1＞0}，P2＝{x|x2+ax+2＞0}，可得当m∈P1，即m2+am+1＞0，可得m2+am+2＞0，即有m∈P2，可得对任意a，P1是P2的子集；当b＝5时，Q1＝{x|x2+x+5＞0}＝R，Q2＝{x|x2+2x+5＞0}＝R，可得Q1是Q2的子集；当b＝1时，Q1＝{x|x2+x+1＞0}＝R，Q2＝{x|x2+2x+1＞0}＝{x|x≠﹣1且x∈R}，可得Q1不是Q2的子集．综上可得，对任意a，P1是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集．故选：B．三、解答题（本大题共有5题，满分38分）17．已知集合A＝{x|x2﹣（m+3）x+2（m+1）＝0}，B＝{x|2x2+（3n+1）x+2＝0}，其中m，n∈R．（1）若A∩B＝A，求m，n的值；（2）若A∪B＝A，求m，n的取值范围．【解答】解：（1）集合A＝{x|x2﹣（m+3）x+2（m+1）＝0}，B＝{x|2x2+（3n+1）x+2＝0}，其中m，n∈R．解x2﹣（m+3）x+2（m+1）＝0得：x＝2，或x＝m+1，若A∩B＝A，则A⊆B，将x＝2代入2x2+（3n+1）x+2＝0得：n＝﹣2，则B＝{x|2x2+（3n+1）x+2＝0，n∈R}＝{x|2x2﹣5x+2＝0}＝{2，}．则m+1＝，则m＝﹣，当A＝{2}时，m+1＝2，解得m＝1，综上m＝﹣，n＝﹣2，或m＝1，n＝﹣2．（2）若A∪B＝A，则非空集合B⊆A，当△＝（3n+1）2﹣16＝0时，n＝﹣，B＝{1}，m+1＝1，m＝0，或n＝1时，B＝{﹣1}，m+1＝﹣1，m＝﹣2；当△＝（3n+1）2﹣16≥0，即n≤﹣，或n≥1时，则2∈B，由（1）得：m＝﹣，n ＝﹣2；当△＝（3n+1）2﹣16＜0时，即﹣时，B＝∅，对m∈R，故成立，综上，或或或．18．设a＞0，b＞0，且．求证：（1）a+b≥2；（2）a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．【解答】证明：（1）由，得ab＝1，由基本不等式及ab＝1，有，即a+b≥2．（2）假设a2+a＜2与b2+b＜2同时成立，则a2+a＜2且b2+b＜2，则a2+a+b2+b＜4，即：（a+b）2+a+b﹣2ab＜4，由（1）知ab＝1因此（a+b）2+a+b＜6①而a+b≥2，因此（a+b）2+a+b≥6②，因此①②矛盾，因此假设不成立，原结论成立．19．如图所示，用总长为定值l的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开．（1）设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，试用解析式将y表示成x的函数，并确定这个函数的定义域；（2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？【解答】解：（1）设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，它的面积y＝x（l﹣3x）；由x＞0，且l﹣3x＞0，可得函数的定义域为（0，）；（2）y＝x（l﹣3x）＝×3x（l﹣3x）≤×（）2＝，当x＝时，这块长方形场地的面积最大，这时的长为l﹣3x＝l，最大面积为．20．已知函数，（1）判断f（x）的奇偶性，并给出理由；（2）当a＝2时，①判断f（x）在x∈（0，1]上的单调性并用定义证明；②若对任意x∈（0，+∞），不等式恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）当a＝0时，f（x）＝x2，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，此时f（﹣x）＝f（x）∴f（x）为偶函数；当a≠0时，，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，此时f（1）＝1+a，f（﹣1）＝1﹣a，故f（﹣1）≠f（1），f（﹣1）≠﹣f（1），∴f（x）无奇偶性．（2），任取0＜x1＜x2≤1，则＝，∵0＜x1＜x2≤1，∴x1﹣x2＜0，x1x2＞0，x1x2（x1+x2）＜2，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，所以f（x）在区间（0，1]上是递减．（3）由题意得，由（2）知f（x）在区间（0，1]上是递减，同理可得f（x）在区间[1，+∞）上递增，所以f（x）min＝f（1）＝3，所以，即，令，则t2﹣t﹣2＜0，解得﹣1＜t＜2，故0≤t＜2即，即1≤m＜5．21．设函数f（x）为定义在R上的奇函数，且当x∈[0，+∞）时，f（x）＝﹣x2+2x．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求实数a，b，使得函数f（x）在区间[a，b]⊆[1，+∞）上的值域为；（3）若函数f（x）在区间[a，b]上的值域为，则记所有满足条件的区间[a，b]的并集为D，设g（x）＝f（x）（x∈D），问是否存在实数m，使得集合{（x，y）|y＝g （x）}∩{（x，y）|y＝x2+m}恰含有2个元素？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）因为f（x）是奇函数，令x＜0，则﹣x＞0，所以f（﹣x）＝﹣（﹣x）2+2（﹣x）＝﹣x2﹣2x＝﹣f（x），所以x＜0时，f（x）＝x2+2x，所以f（x）＝；（2）由（1）可知，当[a，b]⊆[1，+∞）时，f（x）＝﹣（x﹣1）2+1，函数f（x）单调递减，则有，解得a＝1，b＝，（3）由（2）知，函数f（x）在[1，+∞）上满足条件的区间为[1，]当区间[a，b]⊆[0，1]时，⊆[1，+∞），而函数f（x）＝﹣x2+2x在[0，1]上的值域为[0，1]，所以函数f（x）在[0，1]上不存在这样的区间，故函数f（x）在[0，+∞）上满足条件的区间为[1，]．当x∈（﹣∞，0）时，同理可知f（x）的倒值区间为[﹣，﹣1]．故g（x）＝．若集合{（x，y）|y＝g（x）}∩{（x，y）|y＝x2+m}恰含有2个元素，即函数g（x）的图象与y＝x2+m的图象有两个不同的交点，则这两个交点分别在第一、三象限，故当交点在第一象限时，方程﹣x2+2x＝x2+m即m＝﹣2x2+2x在区间[1，]内恰有一个解，此时有﹣2≤m≤0；当交点在第三象限时，方程x2+2x＝x2+m即m＝2x在区间[﹣，﹣1]内恰有一个解，有﹣﹣1≤m≤﹣2；综上可得，m＝﹣2．。

复旦附中高一下在线教学测验（一）数学试卷2020.4.1一、填空题1．函数|cos |y x =的最小正周期为 ．2．已知角α的终边上有一点(3,1)，则sec α= ． 3．函数tan xy x=的定义域为 ． 4．已知某扇形的周长为2，则该扇形的面积最大为 ．5．函数21arccos 2y x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的值域为 ．6．已知21tan(),cot 544παββ⎛⎫+=+=- ⎪⎝⎭，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ．7．已知3tan 3,,22x x ππ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，则x = ．（用反正切函数表示）8．对于A BC △，若存在111A B C △，满足111sin sin sin 1cos cos cos A B CA B C ===，则称A BC △为“Λ类三角形”，则“Λ类三角形”一定满足有一个内角为定值，为 ．9．已知α是第三象限的角，比较sin(cos ),cos(sin ),cos ααα的大小关系是 ．（用“＜” 号连接）10．小明在整理笔记时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在A BC △中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知45b A =∠=︒，求边c ．显然缺少条件，若他打算补充a 的大小，并使得c 只有一解，则a 的取值范围为 ．11．定义在区间[3,3]ππ-上的函数sin |2|y x =图像与cos y x =的图像的交点个数为 ． 12．有下列命题：①函数tan y x =的对称中心是(,0)k π；②函数tan y x =和sin y x =在[,]ππ-的图像的交点个数为3；③若函数()2sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<对于任意x ∈R 都有66f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，则26f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；④已知定义在R 上的函数sin cos sin cos ()22x x x xf x -+=+，当且仅当22()2k x k k ππππ-<<+∈Z 时，()0f x >成立．则其中正确的命题有 ．（填写正确的序号）三、选择题13．已知点(sin ,cos )P αα在第二象限，则角α的终边所在的象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 14．设sin 2,cos2,04x a x b x π==<<，以下各式不等于tan 4x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的是（ ）A ．1b a -+ B ．11a b a b -++- C ．1a b - D ．11a b a b --++15．动点P 从点(1,0)出发，在单位圆上逆时针旋转α角，到点1,33M ⎛- ⎝⎭，已知角β的始边在x 轴的正半轴，顶点为(0,0)，且终边与角α的终边关于x 轴对称，则下面结论正确的是（ ）A ．12arccos ,3k k βπ=-∈Z B ．12arccos ,3k k βπ=+∈Z C ．12arccos ,3k k βππ=+-∈Z D ．12arccos ,3k k βππ=++∈Z16．设函数()sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若对于任意5,62ππα⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，在区间[0,]m 上总存在唯一确定的β，使得()()0f f αβ+=，则m 的最小值为（ ）A ．6πB ．2πC ．76πD ．π三、解答题17．用五点法作出函数2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在一个周期内的图像，并说明该函数在整个定义域上的图像可由sin y x =的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到． 18．已知3sin 4cos 2cos 2sin αααα+=+，求下列各式的值：（1）21sin cos cos ααα--；（2）23sin cos()tan tan()2sin(2)cos 2παααπαππαα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭⎛⎫-+ ⎪⎝⎭．19．已知A BC △中，3cos (cos sin )cos 04C A A B +-=．其中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ．（1）求角B 的大小（用反三角函数表示）；（2）若1ac =，求b 的取值范围．20．已如函数()cos sin 2442f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．（1）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；（2）若0()f x =，02,43x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求0cos2x 的值．21．若函数()sin()f x x ωϕ=+，0ω>，0,2πϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()f x f x +-的最大值为1．（1）求ϕ的值；（2）若函数()f x 在[1,2]内没有对称轴，求ω的取值范围；（3）若函数()f x 满足()(12)f x f x =+恒成立，且在任意两个相邻奇数所形成的闭区间内总存在至少两个零点，求ω的最小值．参考答案一、填空题1．π2．1033．,2kx x kπ⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭Z4．145．30,arccos4π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦6．322 7．2arctan3π-8．34π9．cos sin(cos)cos(sin)ααα<<10．{2}[22,)+∞U11．14 12．②④【第8题解析】∵sin,sin,sin0A B C>，∴111cos,cos,cos0A B C>，∴111A B C△为锐角三角形，若A BC△也是锐角三角形，由111111sin cos sin2sin cos sin2sin cos sin2A A AB B BC C Cπππ⎧⎛⎫==-⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫==-⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫==-⎪ ⎪⎝⎭⎩，得111222A AB BC Cπππ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，三式相加，得2A B Cπ++=（与三角形内角和定理矛盾），所以假设不成立，所以A BC△是钝角三角形，不妨设钝角为A，则111111sin()sin cos sin2sin cos sin2sin cos sin2A A A AB B BC C Cππππ⎧⎛⎫-===-⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫==-⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫==-⎪ ⎪⎝⎭⎩，得1112222A AB B BC AC Cπππππ⎧-=-⎪⎪⎪=-⇒+-=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，又B C Aπ++=，∴34Aπ=．【第9题解析】∵α为第三象限角，∴sin,cos(1,0)αα∈-，由结论“当02xπ<<时，sin tanx x x<<”及siny x=，y x=，tany x=为奇函数，可得，当02xπ-<<时，tan sinx x x<<，于是由cos(1,0)α∈-，cos sin(cos)0αα<<，而cos(sin)0α>，∴cos sin(cos)cos(sin)ααα<<．【第10题解析】由正弦定理，2sin sin sin a b B A B a =⇒=，∵c 只有一解，即3sin ,0,4y B B π⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭与2y a =有且仅有一个交点，∴22{1}0,a ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦U ，即{2}[22,)a ∈+∞U ； 或数形结合，根据题意，如图所示，以C 为圆心，a 为半径的圆与射线AB 有且仅有一个交点，观察可得，{2}[22,)a ∈+∞U ．【第11题解析】两个函数均为偶函数，只需分析[0,3]x π∈即可， 方法一：作图，数形结合可得[0,3]x π∈时，两函数图像有7个交点， ∴[3,3]x ππ∈-时，两函数图像有14个交点；方法二：[0,3]x π∈时，解方程sin |2|cos sin 2cos 2sin cos cos x x x x x x x =⇒=⇒=cos 0x ⇒=或1sin 2x =，∴2x k ππ=+或26x k ππ=+或526x k ππ=+（k ∈Z ）， 当[0,3]x π∈，3513517,,,,,,2226666x πππππππ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，∴答案为7214⨯=个．【第12题解析】①的对称中心应为,02k π⎛⎫⎪⎝⎭，①错误；解方程tan sin x x =，得sin 0x =或cos 1x =，注意到2x π≠±且[,]x ππ∈-，∴0x =或x π=±，②正确（也可数形结合分析，但是需注意“当02x π<<时，sin tan x x x <<”）；③的条件说明对称轴为6x π=，正余弦函数在对称轴处取最值，∴26f π⎛⎫=± ⎪⎝⎭，条件不够，无法进行取舍，③错误；sin ,sin cos sin cos sin cos ()cos ,sin cos 22x x xx x x x f x x x x ⎧-+=+=⎨<⎩≥，其图像如下，④正确．二、选择题13．D 14．B 15．D 16．B 【第14题解析】由半角公式sin 1cos tan21cos sin ααααα-==+可得sin 2cos22tan 41sin 211cos 22x x b xx a x πππ⎛⎫- ⎪--⎛⎫⎝⎭-=== ⎪++⎛⎫⎝⎭+- ⎪⎝⎭，A 正确；1cos 21sin 2112tan 4cos2sin 22x x a a x x b b x πππ⎛⎫-- ⎪---⎛⎫⎝⎭-==== ⎪--⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭，C 正确；tan tansin 2tan 114tan tan 1cos 2141tan 11tan tan 4x x a x a b x x x b x a b x πππ----⎛⎫==⇒-=== ⎪+++++⎝⎭+⋅，D 正确；选B ．【第15题解析】角α的终边在第二象限，由角β与角α的终边关于x 轴对称，角β的终边在第三象限，只能选D ． 【第16题解析】当5,62ππα⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，2,63ππαπ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，3(),0f α⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 于是由()()0f f αβ+=，可得3()()0,f f βα⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，结合函数图像以及β的唯一性，可得5,26m ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．三、解答题 17．23x π-2π π 32π 2π x 6π 512π 23π 1112π76π y22-方法一：将sin y x =向右平移3π单位得到sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再将sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭纵坐标不变，横坐标变为原来的12得到sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，最后将sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，即得2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；方法二：将sin y x =纵坐标不变，横坐标变为原来的12，得到sin 2y x =，再将sin 2y x = 向右平移6π单位得到sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，最后将sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，即得2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．18．3sin 4cos 2tan 2cos 2sin ααααα+=⇒=+．（1）原式22222cos sin cos cos tan 1211sin cos tan 15αααααααα÷++=-−−−−−→-=++分子、分母； （2）原式2cos cos tan (tan )tan 2sin (sin )ααααααα-⋅⋅⋅-===-⋅-． 19．（1）33cos (cos sin )cos cos()(cos sin )cos 044C A A B A B A A B +-=-++-=3sin cos sin sin 4A B A B ⇒=，∵sin 0A >，∴3cos sin 4B B =，∴3tan 4B =，∴3arctan 4B =； （2）由3cos sin 4B B =及22sin cos 1B B +=，可得4cos 5B =，∴2222218822cos 555b ac ac B a a =+-=+-=≥，当且仅当1a c ==时等号成立，∴b ． 20．（1）2()cos cos 2cos 24444f x x x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⋅-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1cos 22cos 2sin 2)cos 22sin 226x x x x x ππ⎛⎫+- ⎪⎛⎫⎝⎭=+=++=++ ⎪⎝⎭，∴()f x 的最小正周期为22T ππ==， 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴()[1y f x =∈-++，∴当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x的最大值为2，最小值为1-+（2）00()sin 26f x x π⎛⎫=⇒+= ⎪⎝⎭， ∵02,43x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴0232,632x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由于0sin 206x π⎛⎫+< ⎪⎝⎭，∴032,62x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴0cos 26x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴0000cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦21．（1）()()2sin cos f x f x wx ϕ+-=，∵()()f x f x +-的最大值为1，∴|2sin |1ϕ=， ∴1sin 2ϕ=±，又∵0,2πϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴6πϕ=； （2）()sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由62x k ππωπ+=+，可得()f x 的对称轴为2()k x k ππω+=∈Z ，由题意，对任意的k ∈Z ，2[1,2][,2]2k k ππππωωω+∉⇒+∉， 注意到0ω>，∴[,2],,22k k k ππωωππ⎛⎫⊆-+∈ ⎪⎝⎭N ，当0k =时，0,6πω⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当1k =时，2,33ππω⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当2,k k ∈N ≥时，均无解， 综上，20,,633πππω⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ； [标答]条件等价于[1,2]处在某个单调区间内．即存在整数k 使得对任意[1,2]x ∈，满足262k x k ππππωπ-+<+<+．即233k x k πππωπ-+<<+，对[1,2]x ∈恒成立．∴2233k k πππωωπ-+<<<+，得2362k k ππππω-+<<+． 由233k k ππππ-+<+，0ω>，得503k ≤≤．∴0,1k =，∴20,,633πππω⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ．（3）【说明】易错点1：最小正周期不一定是12；易错点2：不等价于任意长度为2的闭区间的情况，实际问题是根据ω的可能情况进行回代检验． [标答]由题意212,nT n n πω*==⋅∈N ，得,6n n πω*=∈N ． 又122T ≤，即1222πω⋅≤，得12ωπ≥． 又由题意，对任意k ∈Z ，存在m ∈Z ，使得,(1)(21),(21)66m m k k I ππππωω⎡⎤+∈-+++⎢⎥⎣⎦@．当12ωπ=，即3n =时，2,,33I k k k ππππ⎡⎤=-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，当0k =时，2,33I ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，不符． 当4n =，即23ωπ=时，445,,3236I k k k ππππ⎡⎤=-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，当0k =时，也不符． 当5n =，即56ωπ=时，525,,333I k k k ππππ⎡⎤=-+∈⎢⎥⎣⎦Z ． (ⅰ)当3,k t t =∈Z 时，25,5,3I t t t ππππ⎡⎤=-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，此时5,(51)t t I ππ+∈，满足； (ⅱ)当31,k t t =+∈Z 时，85,5,3I t t t ππππ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦Z ，此时(51),(52)t t I ππ++∈，满足；(ⅲ)当32,k t t =+∈Z 时，8135,5,33I t t t ππππ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦Z ，此时(53),(54)t t I ππ++∈，满足．故当5n =，即56ωπ=时，符合题意．当6n ≥时，ωπ≥，此时2T ≤，每个长度为2的区间里都至少有两个零点，符合． ∴min 56ωπ=．。

2019-2020学年上海市复旦附中高一（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分48分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．（4分）已知集合A＝{2，0，1，9}，则集合A的非空真子集的个数为．2．（4分）U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A＝{x|x2﹣1≤0，x∈Z}，B＝{x|﹣1≤x≤3，x∈Z}，则（∁U A）∩B＝．3．（4分）不等式﹣2＜＜3的解集是．4．（4分）设集合T＝{∅，{∅}}，则下列命题：①∅∈T，②∅⊆T，③{∅}∈T，④{∅}⊆T中正确的是（写出所有正确命题对应的序号）．5．（4分）若集合，则实数a的取值范围是．6．（4分）如果全集U含有12个元素，P，Q都是U的子集，P∩Q中含有2个元素，∁U P ∩∁U Q含有4个元素，∁U P∩Q含有3个元素，则P含有个元素．7．（4分）已知Rt△ABC的周长为定值2，则它的面积最大值为．8．（4分）若f（x）在区间[t，t2﹣2t﹣2]上为奇函数，则实数t的值为．9．（4分）已知不等式|x﹣3|﹣|x+4|＜a解集非空，则实数a的取值范围为．10．（4分）对于集合M，定义函数，对于两个集合A，B，定义集合A*B＝{x|f A（x）•f B（x）＝﹣1}．已知集合，B＝{x|x（x﹣3）（x+3）＞0}，则A*B＝．11．（4分）若实数x，y≥0满足x+3y﹣xy＝1，求3x+4y的最小值为．12．（4分）已知a＞0，且对任意x＞0，有（x﹣a）（x2+bx﹣a）≥0恒成立，则的取值范围为．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13．（5分）命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题的等价命题是（）A．若q不正确，则p不正确B．若q不正确，则p正确C．若p正确，则q不正确D．若p正确，则q正确14．（5分）已知a，b∈R，则“|a|＜1，|b|＜1”是“不等式ab+1＞a+b”成立的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既不充分又不必要15．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足对任意x1，x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2），有，则当n∈N*时，有（）A．f（﹣n）＜f（n﹣1）＜f（n+1）B．f（n﹣1）＜f（﹣n）＜f（n+1）C．f（n+1）＜f（﹣n）＜f（n﹣1）D．f（n+1）＜f（n﹣1）＜f（﹣n）16．（5分）设集合P1＝{x|x2+ax+1＞0}，P2＝{x|x2+ax+2＞0}，Q1＝{x|x2+x+b＞0}，Q2＝{x|x2+2x+b＞0}，其中a，b∈R，下列说法正确的是（）A．对任意a，P1是P2的子集，对任意b，Q1不是Q2的子集B．对任意a，P1是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集C．存在a，P1不是P2的子集，对任意b，Q1不是Q2的子集D．存在a，P1不是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集三、解答题（本大题共有5题，满分38分）17．（8分）已知集合A＝{x|x2﹣（m+3）x+2（m+1）＝0}，B＝{x|2x2+（3n+1）x+2＝0}，其中m，n∈R．（1）若A∩B＝A，求m，n的值；（2）若A∪B＝A，求m，n的取值范围．18．（8分）设a＞0，b＞0，且．求证：（1）a+b≥2；（2）a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．19．（8分）如图所示，用总长为定值l的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开．（1）设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，试用解析式将y表示成x的函数，并确定这个函数的定义域；（2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？20．（6分）已知函数，（1）判断f（x）的奇偶性，并给出理由；（2）当a＝2时，①判断f（x）在x∈（0，1]上的单调性并用定义证明；②若对任意x∈（0，+∞），不等式恒成立，求实数m的取值范围．21．（8分）设函数f（x）为定义在R上的奇函数，且当x∈[0，+∞）时，f（x）＝﹣x2+2x．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求实数a，b，使得函数f（x）在区间[a，b]⊆[1，+∞）上的值域为；（3）若函数f（x）在区间[a，b]上的值域为，则记所有满足条件的区间[a，b]的并集为D，设g（x）＝f（x）（x∈D），问是否存在实数m，使得集合{（x，y）|y＝g（x）}∩{（x，y）|y＝x2+m}恰含有2个元素？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．2019-2020学年上海市复旦附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分48分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．（4分）已知集合A＝{2，0，1，9}，则集合A的非空真子集的个数为14．【分析】若集合A中有n个元素，则集合A中有2n﹣2个非空真子集．【解答】解：∵集合A＝{2，0，1，9}，∴集合A的非空真子集的个数为：24﹣2＝14．故答案为：14．【点评】本题考查集合的非空真子集的个数的求法，考查子集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（4分）U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A＝{x|x2﹣1≤0，x∈Z}，B＝{x|﹣1≤x≤3，x∈Z}，则（∁U A）∩B＝{2，3}．【分析】用列举法求出集合A和B，再根据集合的补集的定义、两个集合的交集的定义求出（∁U A）∩B．【解答】解：∵A＝{x|x2﹣1≤0，x∈Z}＝{﹣1，0，1}，B＝{x|﹣1≤x≤3，x∈Z}＝{﹣1，0，1，2，3}，∴∁U A＝{x|x≤﹣2，或x≥2，x∈Z}，∴（∁U A）∩B＝{2，3}，故答案为{2，3}．【点评】本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．3．（4分）不等式﹣2＜＜3的解集是{x|x或0＜x}．【分析】结合x的范围，去分母转化为一次不等式即可求解．【解答】解：∵﹣2＜＜3，当x＞0时，﹣2x＜1＜3x，解可得，，∴，当x＜0时，﹣2x＞1＞3x，解可得，x，综上可得，不等式的解集为{x|x或0＜x}．故答案为：{x|x或0＜x}．【点评】本题考查不等式的解法，主要考查分次不等式的解法注意转化为一次不等式，考查运算能力，属于基础题．4．（4分）设集合T＝{∅，{∅}}，则下列命题：①∅∈T，②∅⊆T，③{∅}∈T，④{∅}⊆T中正确的是①②③④（写出所有正确命题对应的序号）．【分析】根据元素与集合的关系即可判断出①③都正确，根据子集的定义即可判断出②④都正确，从而找出正确的命题序号．【解答】解：∵T＝{∅，{∅}}，∴∅∈T，∅⊆T，{∅}∈T，{∅}⊆T．故答案为：①②③④．【点评】本题考查了元素与集合的关系的判断，子集的定义，考查了推理能力，属于基础题．5．（4分）若集合，则实数a的取值范围是（﹣∞，3]．【分析】由题意可得，x2+2（a+1）x+a2﹣5≥0恒成立，结合二次不等式的恒成立问题即可求解．【解答】解：由题意可得，x2+2（a+1）x+a2﹣5≥0恒成立，∴△＝4（a+1）2﹣4（a2﹣5）≤0，解可得，a≤﹣3，故答案为：（﹣∞，3]【点评】本题主要考查了函数的定义域的应用，属于基础试题．6．（4分）如果全集U含有12个元素，P，Q都是U的子集，P∩Q中含有2个元素，∁U P ∩∁U Q含有4个元素，∁U P∩Q含有3个元素，则P含有5个元素．【分析】作出维恩图，由维恩图能求出集合P中含有的元素个数．【解答】解：由全集U含有12个元素，P，Q都是U的子集，P∩Q中含有2个元素，∁U P∩∁U Q含有4个元素，∁U P∩Q含有3个元素，作出维恩图，图中数字代表集合中包含的元素的个数，由维恩图结合题意得：4+x+2+3＝12，解得x＝3．∴集合P中含有的元素个数为：2+x＝2+3＝5．故答案为：5．【点评】本题考查集合中元素个数的求法，考查维恩图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．（4分）已知Rt△ABC的周长为定值2，则它的面积最大值为3﹣2．【分析】设直角边长为a，b，则斜边长为，利用直角三角形ABC的三边之和为2，可得a+b+＝2，利用基本不等式，即可求△ABC的面积的最大值．【解答】解：设直角边长为a，b，则斜边长为，∵直角三角形ABC的三边之和为2，∴a+b+＝2，∴2≥2+，∴≤＝2﹣，∴ab≤6﹣4，∴S＝ba≤3﹣2，∴△ABC的面积的最大值为3﹣2．故答案为：3﹣2．【点评】本题考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，正确运用基本不等式是关键，属于中档题．8．（4分）若f（x）在区间[t，t2﹣2t﹣2]上为奇函数，则实数t的值为﹣1．【分析】由奇函数的定义域关于原点对称可知，t+t2﹣2t﹣2＝0，且t2﹣2t﹣2＞0，即可求解．【解答】解：由奇函数的定义域关于原点对称可知，t+t2﹣2t﹣2＝0，且t2﹣2t﹣2＞0，∴t2﹣t﹣2＝0，解可得t＝2（舍）或t＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查了奇函数的定义域关于原点对称性质的简单应用，属于基础试题．9．（4分）已知不等式|x﹣3|﹣|x+4|＜a解集非空，则实数a的取值范围为（﹣7，+∞）．【分析】由题意，不等式|x﹣3|﹣|x+4|＜a解集非空可转化为|x﹣3|﹣|x+4|的最小值小于a，依据绝对值的几何意义求出|x﹣3|﹣|x+4|的最小值，即可得出参数a的取值范围．【解答】解：不等式|x﹣3|﹣|x+4|＜a解集非空，所以|x﹣3|﹣|x+4|的最小值小于a，又|x﹣3|﹣|x+4|≥﹣7，此时x≥3∴a＞﹣7故答案为：（﹣7，+∞）．【点评】本题考查绝对值不等式，存在问题的转化，解答的关键是理解不等式的解集非空，将其转化为最值问题．中档题．10．（4分）对于集合M，定义函数，对于两个集合A，B，定义集合A*B＝{x|f A（x）•f B（x）＝﹣1}．已知集合，B＝{x|x（x﹣3）（x+3）＞0}，则A*B＝（﹣∞，﹣3]∪[0，1）∪（3，+∞）．【分析】求出集合A，B，利用新定义求出A*B即可．【解答】解：A＝（﹣∞，1），B＝{x|x（x﹣3）（x+3）＞0}＝{x|﹣3＜x＜0或x＞3}因为f A（x）•f B（x）＝﹣1，所以当f A（x）＝1，f B（x）＝﹣1，A*B＝{x|x＞3}，当f A（x）＝﹣1，f B（x）＝1，A*B＝{x|x≤﹣3或0≤x＜1}，故A*B＝（﹣∞，﹣3]∪[0，1）∪（3，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣3]∪[0，1）∪（3，+∞）．【点评】考查集合的交并集的计算，集合概念的理解，基础题．11．（4分）若实数x，y≥0满足x+3y﹣xy＝1，求3x+4y的最小值为．【分析】将等式x+3y﹣xy＝1，转化得，代入3x+4y中，将限制条件下的二元函数最值化为一元函数最值问题，此一元函数为对勾函数模型，接下来按照对勾函数单调性的方法解题【解答】解：由x+3y﹣xy＝1，得；x+3y﹣xy＝1≥0，，，当y＞1时，；当时，设，＝在[]上单调递减，在处取得最小值，3x+4y取得最小值，综上可得3x+4y取得最小值，故答案为：．【点评】本题使用代入消元法将二元函数最值问题化为一元函数最值，在做题过程中需要注意元的取值范围，是中等难度题．12．（4分）已知a＞0，且对任意x＞0，有（x﹣a）（x2+bx﹣a）≥0恒成立，则的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）．【分析】首先分析出x＝a是方程x2+bx﹣a＝0的根，得到a+b﹣1＝0，再运用的几何意义求解．【解答】解：∵对任意x＞0，有（x﹣a）（x2+bx﹣a）≥0恒成立，∴x＝a是方程x2+bx﹣a＝0的根，即a2+ab﹣a＝0，又a＞0，则a+b﹣1＝0，∴（b，a）可理解为直线a+b﹣1＝0上纵坐标大于0的点，则的几何意义即为直线a+b ﹣1＝0上纵坐标大于0的点与原点连线的斜率，如图，直线a+b﹣1＝0的斜率为﹣1，由图象可知，．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）．【点评】本题考查不等式的解法及恒成立问题，考查数形结合思想，属于基础题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13．（5分）命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题的等价命题是（）A．若q不正确，则p不正确B．若q不正确，则p正确C．若p正确，则q不正确D．若p正确，则q正确【分析】由命题“若p不正确，则q不正确”，根据四种命题的定义，我们易求出其逆命题，进而根据互为逆否命题是等价命题，易求出结果．【解答】解：命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题是：“若q不正确，则p不正确”其等价命题是它的逆否命题，即“若p正确，则q正确”故选：D．【点评】本题考查的知识点是四种命题的逆否关系，根据四种命题的定义，求出满足条件的逆命题，及互为逆否的两个命题为等价命题是解答本题的关键．14．（5分）已知a，b∈R，则“|a|＜1，|b|＜1”是“不等式ab+1＞a+b”成立的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既不充分又不必要【分析】根据“不等式ab+1＞a+b”成立等价于“ab+1﹣a﹣b＝（b﹣1）（a﹣1）＞0”，所以“|a|＜1，|b|＜1”必有（b﹣1）（a﹣1）＞0；反之，不一定成立，即可得出结果．【解答】解：∵“不等式ab+1＞a+b”成立等价于“ab+1﹣a﹣b＝（b﹣1）（a﹣1）＞0”，∴当“|a|＜1，|b|＜1时，则（b﹣1）（a﹣1）＞0成立；当（b﹣1）（a﹣1）＞0时，有a＞1且b＞1；或者a＜1且b＜1；故“|a|＜1，|b|＜1”是“不等式ab+1＞a+b”成立的充分非必要条件；故选：A．【点评】本题考查了充分必要条件的判断，及不等式的性质，属于基础题．15．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足对任意x1，x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2），有，则当n∈N*时，有（）A．f（﹣n）＜f（n﹣1）＜f（n+1）B．f（n﹣1）＜f（﹣n）＜f（n+1）C．f（n+1）＜f（﹣n）＜f（n﹣1）D．f（n+1）＜f（n﹣1）＜f（﹣n）【分析】利用函数的奇偶性，单调性判断即可．【解答】解：根据题意，函数f（x）是偶函数，且在（﹣∞，0]递增，（0，+∞）递减，因为0＜n﹣1＜n＜n+1，所以f（n﹣1）＞f（n）＞f（n+1），故选：C．【点评】考查函数的奇偶性和单调性，基础题．16．（5分）设集合P1＝{x|x2+ax+1＞0}，P2＝{x|x2+ax+2＞0}，Q1＝{x|x2+x+b＞0}，Q2＝{x|x2+2x+b＞0}，其中a，b∈R，下列说法正确的是（）A．对任意a，P1是P2的子集，对任意b，Q1不是Q2的子集B．对任意a，P1是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集C．存在a，P1不是P2的子集，对任意b，Q1不是Q2的子集D．存在a，P1不是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集【分析】运用集合的子集的概念，令m∈P1，推得m∈P2，可得对任意a，P1是P2的子集；再由b＝1，b＝5，求得Q1，Q2，即可判断B正确，A，C，D错误．【解答】解：对于集合P1＝{x|x2+ax+1＞0}，P2＝{x|x2+ax+2＞0}，可得当m∈P1，即m2+am+1＞0，可得m2+am+2＞0，即有m∈P2，可得对任意a，P1是P2的子集；当b＝5时，Q1＝{x|x2+x+5＞0}＝R，Q2＝{x|x2+2x+5＞0}＝R，可得Q1是Q2的子集；当b＝1时，Q1＝{x|x2+x+1＞0}＝R，Q2＝{x|x2+2x+1＞0}＝{x|x≠﹣1且x∈R}，可得Q1不是Q2的子集．综上可得，对任意a，P1是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集．故选：B．【点评】本题考查集合的关系的判断，注意运用二次不等式的解法，以及任意和存在性问题的解法，考查判断和推理能力，属于基础题．三、解答题（本大题共有5题，满分38分）17．（8分）已知集合A＝{x|x2﹣（m+3）x+2（m+1）＝0}，B＝{x|2x2+（3n+1）x+2＝0}，其中m，n∈R．（1）若A∩B＝A，求m，n的值；（2）若A∪B＝A，求m，n的取值范围．【分析】（1）解x2﹣（m+3）x+2（m+1）＝0得：x＝2，或x＝m+1，若A∩B＝A，则A⊆B，将x＝2代入2x2+（3n+1）x+2＝0可得答案；（2）若A∪B＝A，则非空集合B⊆A，分当△＝0和当△＞0两种情况讨论满足条件的m，n的值，综合讨论结果，可得答案．【解答】解：（1）集合A＝{x|x2﹣（m+3）x+2（m+1）＝0}，B＝{x|2x2+（3n+1）x+2＝0}，其中m，n∈R．解x2﹣（m+3）x+2（m+1）＝0得：x＝2，或x＝m+1，若A∩B＝A，则A⊆B，将x＝2代入2x2+（3n+1）x+2＝0得：n＝﹣2，则B＝{x|2x2+（3n+1）x+2＝0，n∈R}＝{x|2x2﹣5x+2＝0}＝{2，}．则m+1＝，则m＝﹣，当A＝{2}时，m+1＝2，解得m＝1，综上m＝﹣，n＝﹣2，或m＝1，n＝﹣2．（2）若A∪B＝A，则非空集合B⊆A，当△＝（3n+1）2﹣16＝0时，n＝﹣，B＝{1}，m+1＝1，m＝0，或n＝1时，B＝{﹣1}，m+1＝﹣1，m＝﹣2；当△＝（3n+1）2﹣16≥0，即n≤﹣，或n≥1时，则2∈B，由（1）得：m＝﹣，n ＝﹣2；当△＝（3n+1）2﹣16＜0时，即﹣时，B＝∅，对m∈R，故成立，综上，或或或．【点评】本题考查实数值的求法，考查交集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论思想，是中档题．18．（8分）设a＞0，b＞0，且．求证：（1）a+b≥2；（2）a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．【分析】（1）由已知等式可得ab＝1，再由基本不等式即可得证；（2）运用反证法证明，结合不等式的性质，即可得到矛盾，进而得到证明．【解答】证明：（1）由，得ab＝1，由基本不等式及ab＝1，有，即a+b≥2．（2）假设a2+a＜2与b2+b＜2同时成立，则a2+a＜2且b2+b＜2，则a2+a+b2+b＜4，即：（a+b）2+a+b﹣2ab＜4，由（1）知ab＝1因此（a+b）2+a+b＜6①而a+b≥2，因此（a+b）2+a+b≥6②，因此①②矛盾，因此假设不成立，原结论成立．【点评】本题考查不等式的证明，注意运用基本不等式和反证法证明，考查运算能力和推理能力，属于中档题．19．（8分）如图所示，用总长为定值l的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开．（1）设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，试用解析式将y表示成x的函数，并确定这个函数的定义域；（2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？【分析】（1）由题意设长方形场地的宽为x，则长为l﹣3x，表示出面积y；由x＞0，且l﹣3x＞0，可得函数的定义域；（2）对其运用基本不等式求出函数的最值即场地的面积最大值，从而求解．【解答】解：（1）设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，它的面积y＝x（l﹣3x）；由x＞0，且l﹣3x＞0，可得函数的定义域为（0，）；（2）y＝x（l﹣3x）＝×3x（l﹣3x）≤×（）2＝，当x＝时，这块长方形场地的面积最大，这时的长为l﹣3x＝l，最大面积为．【点评】此题是一道实际应用题，考查函数的最值问题，解决此类问题要运用基本不等式，这也是高考常考的方法．20．（6分）已知函数，（1）判断f（x）的奇偶性，并给出理由；（2）当a＝2时，①判断f（x）在x∈（0，1]上的单调性并用定义证明；②若对任意x∈（0，+∞），不等式恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）当a＝0时，f（x）＝x2，判断f（x）为偶函数；当a≠0时，，用定义法判断f（x）无奇偶性．（2），利用函数的单调性的定义判断函数的单调性．（3）由题意得，求出f（x）min＝f（1）＝3，利用换元法转化求解m的范围即可．【解答】解：（1）当a＝0时，f（x）＝x2，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，此时f（﹣x）＝f（x）∴f（x）为偶函数；当a≠0时，，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，此时f（1）＝1+a，f（﹣1）＝1﹣a，故f（﹣1）≠f（1），f（﹣1）≠﹣f（1），∴f（x）无奇偶性．（2），任取0＜x1＜x2≤1，则＝，∵0＜x1＜x2≤1，∴x1﹣x2＜0，x1x2＞0，x1x2（x1+x2）＜2，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，所以f（x）在区间（0，1]上是递减．（3）由题意得，由（2）知f（x）在区间（0，1]上是递减，同理可得f（x）在区间[1，+∞）上递增，所以f（x）min＝f（1）＝3，所以，即，令，则t2﹣t﹣2＜0，解得﹣1＜t＜2，故0≤t＜2即，即1≤m＜5．【点评】本题考查函数与方程的应用，函数的极限以及函数的单调性，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．21．（8分）设函数f（x）为定义在R上的奇函数，且当x∈[0，+∞）时，f（x）＝﹣x2+2x．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求实数a，b，使得函数f（x）在区间[a，b]⊆[1，+∞）上的值域为；（3）若函数f（x）在区间[a，b]上的值域为，则记所有满足条件的区间[a，b]的并集为D，设g（x）＝f（x）（x∈D），问是否存在实数m，使得集合{（x，y）|y＝g（x）}∩{（x，y）|y＝x2+m}恰含有2个元素？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用函数奇偶性直接求解；（2）根据条件判断出f（x）在[1，+∞）上单调递减，则有，再结合1≤a＜b，即可解出a，b；（3）根据条件得到g（x）的解析式，然后由函数g（x）的图象与y＝x2+m的图象有两个不同的交点知，这两个交点分别在第一、三象限，再分别计算即可．【解答】解：（1）因为f（x）是奇函数，令x＜0，则﹣x＞0，所以f（﹣x）＝﹣（﹣x）2+2（﹣x）＝﹣x2﹣2x＝﹣f（x），所以x＜0时，f（x）＝x2+2x，所以f（x）＝；（2）由（1）可知，当[a，b]⊆[1，+∞）时，f（x）＝﹣（x﹣1）2+1，函数f（x）单调递减，则有，解得a＝1，b＝，（3）由（2）知，函数f（x）在[1，+∞）上满足条件的区间为[1，]当区间[a，b]⊆[0，1]时，⊆[1，+∞），而函数f（x）＝﹣x2+2x在[0，1]上的值域为[0，1]，所以函数f（x）在[0，1]上不存在这样的区间，故函数f（x）在[0，+∞）上满足条件的区间为[1，]．当x∈（﹣∞，0）时，同理可知f（x）的倒值区间为[﹣，﹣1]．故g（x）＝．若集合{（x，y）|y＝g（x）}∩{（x，y）|y＝x2+m}恰含有2个元素，即函数g（x）的图象与y＝x2+m的图象有两个不同的交点，则这两个交点分别在第一、三象限，故当交点在第一象限时，方程﹣x2+2x＝x2+m即m＝﹣2x2+2x在区间[1，]内恰有一个解，此时有﹣2≤m≤0；当交点在第三象限时，方程x2+2x＝x2+m即m＝2x在区间[﹣，﹣1]内恰有一个解，有﹣﹣1≤m≤﹣2；综上可得，m＝﹣2．【点评】本题考查了函数的图象与性质，关键是对新定义的理解和应用，属中档题．。

2019-2020学年上海市复旦附中高一第二学期期中数学试卷一、填空题（共12小题）.1．一个面积为1的扇形，所对弧长也为1，则该扇形的圆心角是弧度．2．计算sin40°sin100°﹣sin50°sin10°＝．3．函数y ＝sin x ，??∈[2，]的反函数记为g （x ），则??(12)=．4．在△ABC 中，若=√??，b ＝1，A ＝60°，则B ＝．5．已知等比数列{a n }中，a 2＝4，a 6＝8，则a 10＝．6．已知等差数列{a n }，若a 1+a 5+a 9＝4π，则sin （a 2+a 8）＝．7．已知数列{a n }（n ∈N *）中，a 1＝1，a n+1=?2??+1，则a n ＝．8．把函数=(??+4??3)-??的图象向右平移θ（θ＞0）个单位，使得点(2，-??)成为图象的一个对称中心，则θ的最小值是．9．函数f （x ）=2++3-2??（x ∈R ）的最小值为．10．正整数列{a n }满足a 1＝a ，且对于n ∈N *有a n +1={+??，????是奇数2，??是偶数，若a 6＝1，则a的所有可能取值为．11．定义在R 上的奇函数y ＝f （x ）满足f （tanx ）＝sin （2x ）对任意??∈(??，2)成立，则f （x ）值域为．12．T 1是一个边长为1的正三角形，T 2是将该正三角形沿三边中点连线等分成四份后去掉中间一份的正三角形后所形成的图形，依此类推T n+1是对T n 中所含有的所有正三角形都去掉中间一份（如图），记S n 为T n 的面积，Q n ＝S 1+S 2+…+S n ，则Q n＝．二.选择题13．在△ABC 中，“sinA ＞√22”是“A ＜3??4”的（）条件．A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充要D ．既非充分又非必要14．以下哪个不是→∞2-5??2??+1可能的取值（）A ．2B ．﹣1C ．-52D ．﹣715．若等差数列{a n }首项为2，公差为2，其前n 项和记为S n ，则数列{1?}前n 项和为（）A ．2??+1B ．+1C ．1(+1)D ．2(??+1)16．已知函数f （x ）＝A sin （ωx+φ）（其中A 、ω、φ均为正的常数）的最小正周期为2，当??=3时，函数f （x ）取得最小值，则下列结论正确的是（）A ．f （1）＜f （﹣1）＜f （0）B ．f （0）＜f （1）＜f （﹣1）C ．f （﹣1）＜f （0）＜f （1）D ．f （1）＜f （0）＜f （﹣1）三.解答题17．已知cos （α+β）=2√55，tan β=17，且α、??∈(??，2)．（1）求cos 2β﹣sin 2β+sin βcos β的值；（2）求2α+β的值．18．已知函数()=(√+)．（1）求y ＝f （x ）的单调减区间；（2）当x ∈[6，??3]时，求f （x ）的最大值和最小值．19．△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知b+c ＝1，且（a+c ）（a ﹣c ）＝b （b ﹣c ）．（1）求角A 的大小；（2）求三角形面积S △ABC 的最大值．20．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且（S n ﹣1）2＝a n S n （n ∈N *），设b n ＝（﹣1）n +1（n+1）2a n a n+1（n ∈N *），数列{b n }的前n 项和T n ．（1）求S 1、S 2、S 3的值；（2）利用“归纳﹣猜想﹣证明”求出S n 的通项公式；（3）求数列{T n }的通项公式．21．已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝1，b 1＝0，4a n+1＝3a n ﹣b n +4，4b n +1＝3b n ﹣a n ﹣4．（1）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n ﹣b n }是等差数列；（2）求{a n }和{b n }的通项公式；（3）令??={??是奇数??是偶数，求数列{c n}的前n项和S n的通项公式，并求数列{1?}的最大值、最小值，并指出分别是第几项．参考答案一.填空题1．一个面积为1的扇形，所对弧长也为1，则该扇形的圆心角是12弧度．【分析】利用扇形面积公式即可算出结果．解：∵扇形面积公式为S =12，∴1=12×??×??，∴r ＝2，∴扇形的圆心角|α|==12，故答案为：12．2．计算sin40°sin100°﹣sin50°sin10°＝12．【分析】直接利用三角函数的诱导公式的应用求出结果．解：算sin40°sin100°﹣sin50°sin10°=°°-°°=(????°-°）=12．故答案为：123．函数y ＝sin x ，??∈[2，]的反函数记为g （x ），则??(12)=5??6．【分析】令函数y ＝sinx =12，解得x ，从而得出结论．解：∵函数y ＝sin x ，??∈[2，??]的反函数记为g （x ），令函数y ＝sin x =12，解得x =5??6，故g （12）=5??6，故答案为：5??6．4．在△ABC 中，若=√??，b ＝1，A ＝60°，则B ＝6．【分析】利用正弦定理即可算出结果．解：根据正弦定理，得=??，∴sin B =12，又∵B ∈（0，π），b ＜a ．∴B=6，故答案为：6．5．已知等比数列{a n }中，a 2＝4，a 6＝8，则a 10＝16．【分析】由已知结合等比数列的性质即可直接求解．解：因为等比数列{a n }中，a 2＝4，a 6＝8，∴q 4=62=2，则a 10=??????=8×2＝16．故答案为：166．已知等差数列{a n }，若a 1+a 5+a 9＝4π，则sin （a 2+a 8）＝√32．【分析】a 1+a 5+a 9＝4π，利用等差数列的性质可得：3a 5＝4π，a 5，可得sin （a 2+a 8）＝sin（2a 5）．解：a 1+a 5+a 9＝4π，∴3a 5＝4π，a 5=4??3，则sin （a 2+a 8）＝sin （2a 5）＝sin8??3=sin2??3=√32．故答案为：√32．7．已知数列{a n }（n ∈N *）中，a 1＝1，a n+1=?2??+1，则a n ＝12??-1．【分析】由a n+1=2??+1，取倒数，可得{1}是以1为首项，2为公差的等差数列，即可得出结论．解：∵a n+1=2??+1，∴1+1-1????=2，∴{1}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴1=2n ﹣1，∴a n =12??-1．故答案为：12??-1．8．把函数=(??+4??3)-??的图象向右平移θ（θ＞0）个单位，使得点(2，-??)成为图象的一个对称中心，则θ的最小值是5??6．【分析】由题意利用函数y ＝Asin （ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论．解：把函数=(??+4??3)-??的图象向右平移θ（θ＞0）个单位，可得y ＝3sin （x ﹣θ+4??3）﹣1的图象，使得点(2，-??)成为图象的一个对称中心，则3sin （2-θ+4??3）＝0，∴??2-θ+4??3=k π，k ∈Z ．故当k ＝1时，得到θ的最小正值为5??6，故答案为：5??6．9．函数f （x ）=2++3-2??（x ∈R ）的最小值为2-√24．【分析】首先利用三角函数关系式的恒等变换和关系式的恒等变换的应用和函数的最值的应用求出结果．解：函数f （x ）=2++3-2??（x ∈R ），sinx+cosx=√(??+4)，当x =-3??4时，(+)=-√??，（sin2x ）min ＝﹣1．所以(2++3-2??)=2-√23+1=2-√24．故答案为：2-√24．10．正整数列{a n }满足a 1＝a ，且对于n ∈N *有a n +1={+??，????是奇数2，是偶数，若a 6＝1，则a的所有可能取值为4、5或32．【分析】因为数列{a n }的各项都为正整数，由a 6＝1一直倒推至a 1即可解题．解：∵a 6＝1，∴a 5＝2，∴a 4＝4，∴a 3＝8 或1，①当a 3＝8时，a 2＝16，∴a 1＝32或5，②当a 3＝1时，a 2＝2，∴a 1＝4，综上所述，a 的所有可能取值为4、5或32，故答案为：4、5或32．11．定义在R 上的奇函数y ＝f （x ）满足f （tanx ）＝sin （2x ）对任意??∈(??，2)成立，则f （x ）值域为[﹣1，1]．【分析】根据题意，分析可得f （tan x ）＝sin （2x ）＝2sin xcosx=22??+2??=22??+1，进而可得f （x ）在x ＞0时的解析式，据此可得当x ＞0时，有0＜f （x ）≤1，结合奇函数的性质可得f （0）＝0，且当x ＜0时，﹣1≤f （x ）＜0，综合可得答案．解：根据题意，f （tan x ）＝sin （2x ）＝2sinxcosx=22??+2??=22??+1，若??∈(??，2)，则tan x ＞0，则当x ＞0时，f （x ）=2??2+1=2+1，又由x +1≥2，（当且仅当x ＝1时等号成立），即0＜f （x ）≤1，又由f （x ）为定义在R 上的奇函数，则f （0）＝0，且当x ＜0时，﹣1≤f （x ）＜0，综合可得：﹣1≤f （x ）≤1，即f （x ）的值域为[﹣1，1]；故答案为：[﹣1，1]．12．T 1是一个边长为1的正三角形，T 2是将该正三角形沿三边中点连线等分成四份后去掉中间一份的正三角形后所形成的图形，依此类推T n+1是对T n 中所含有的所有正三角形都去掉中间一份（如图），记S n 为T n 的面积，Q n ＝S 1+S 2+…+S n ，则Q n ＝√(-(34))．【分析】观察图形得到三角形个数的规律，边长的规律，从而得到三角形的面积S n ，发现数列{S n }是公比为(√32)=34，首项为√34的等比数列，再利用等比数列的前n 项和公式即可算出结果．解：对于T 1：三角形个数为30＝1，边长为1，对于T 2：三角形个数为31＝3，边长为（12）1=12，对于T 3：三角形个数为32＝9，边长为（12）2=14，对于T 4：三角形个数为33＝27，边长为（12）3=18，……对于T n ：三角形个数为3n ﹣1，边长为（12）n ﹣1，∴S 1＝1×√34×??=√34，S 2＝3×√34×(12)??=√34×(√32)??，????=??×√34×(12)??=√34×(√32)??，S 4＝27×√34×(12)=√34×(√32)-??，……，????=????-??×√34×(12)-??，∴数列{S n }是公比为(√32)=34，首项为√34的等比数列，∴Q n =√34×[1-(34)]1-34=√??[1﹣（34）n ]，故答案为：√[1﹣（34）n]．一、选择题13．在△ABC 中，“sinA ＞√22”是“A ＜3??4”的（）条件．A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充要D ．既非充分又非必要【分析】在△ABC 中，“sinA ＞√22”?4＜A ＜3??4，即可判断出关系．解：在△ABC 中，“sin A ＞√22”?4＜A ＜3??4?A ＜3??4，反之不成立．∴“sin A ＞√22”是“A ＜3??4”的充分非必要条件．故选：A ．14．以下哪个不是→∞2-5??2??+1可能的取值（）A ．2B ．﹣1C ．-52D ．﹣7【分析】通过q 的取值，判断表达式的极限，推出选项即可．解：当﹣1＜q ＜1时，→∞2-5??2??+1=2-02×0+1=2，所以A 正确；当q ＝1时，→∞2-5??2??+1=??→∞2-52+1=-1，所以B 正确；当|q |＞1时，→∞2-5??2??+1=??→∞2-52+1=0-52+0=-52，所以C 正确；当q ＝﹣1不存在极限．故选：D ．15．若等差数列{a n }首项为2，公差为2，其前n 项和记为S n ，则数列{1}前n 项和为（）A ．2??+1B ．+1C ．1??(??+1)D ．2(??+1)【分析】先由题设条件求出S n 与1?，再利用裂项相消法求数列{1?}前n 项和．解：由题意知：S n ＝2n +(-1)2×??=n （n +1），∴1=1??(??+1)=1??-1??+1，∴数列{1?}前n 项和为11-12+12-13+?+1??-1??+1=1-1+1=????+1．故选：B ．16．已知函数f （x ）＝A sin （ωx+φ）（其中A 、ω、φ均为正的常数）的最小正周期为2，当??=3时，函数f （x ）取得最小值，则下列结论正确的是（）A ．f （1）＜f （﹣1）＜f （0）B ．f （0）＜f （1）＜f （﹣1）C ．f （﹣1）＜f （0）＜f （1）D ．f （1）＜f （0）＜f （﹣1）【分析】首先利用函数的最小正周期为2和??=3时，函数f （x ）取得最小值，求出函数的关系式，进一步利用函数的单调性的应用求出结果．解：已知函数f （x ）＝A sin （ωx+φ）（其中A 、ω、φ均为正的常数）的最小正周期为2??=??2，∴ω＝4．∵当??=3时，函数f （x ）取得最小值，故4×??3+φ＝2k π-??2，k ∈Z ，整理得φ＝2k π-11??6，当k ＝1时，φ=6．则：f （x ）＝A sin （4x+6）．所以f （0）＝A sin6=??2＞0，f （﹣1）＝Asin （6-??）≈A sin （﹣3，48）≈A sin0.34＜6．f （1）＝Asin （4+6）≈sin （4.52）＜0．所以f （1）＜f （﹣1）＜f （0）．故选：A ．三.解答题17．已知cos （α+β）=2√55，tan β=17，且α、??∈(??，2)．（1）求cos 2β﹣sin 2β+sin βcos β的值；（2）求2α+β的值．【分析】（1）利用角的变换的应用和三角函数关系式的恒等变换求出结果．（2）利用角的恒等变换的应用求出结果．解：（1）已知cos （α+β）=2√55，tan β=17，且α、??∈(??，??2)．所以0＜α+β＜π，故(??+??)=√55，tan （α+β）=12，由于(??+??)=+1-=12，解得tan ??=13．所以cos 2β﹣sin 2β+sin βcos β＝2??-2??+2??+2??=1-2??+1+2??=1110．（2）tan （2α+β）＝tan[（α+β）+α]=(??+??)+??1-(??+??)??=12+131-16=??．所以2α+β=4．18．已知函数()=(√+)．（1）求y ＝f （x ）的单调减区间；（2）当x ∈[6，??3]时，求f （x ）的最大值和最小值．【分析】利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积．（1）利用复合函数的单调性求解函数的单调减区间；（2）由x 的范围求得相位的范围，进一步求解函数的最值．解：()=(√+)=√+??=√32+1-2??2=√32-12+12=(????-6)+12．（1）由2+≤-??6≤3??2+，解得k??+3≤x ≤k ??+5??6，k ∈Z ．∴y＝f（x）的单调减区间为[+3，+5??6]（k∈Z）；（2）当x∈[6，??3]时，2x-??6∈[6，??2]，则当2x-6=??6时，f（x）取得最小值12+12=??，当2x-6=??2时，f（x）取得最大值1+12=32．∴f（x）的最大值为32，最小值为1．19．△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b+c＝1，且（a+c）（a﹣c）＝b（b﹣c）．（1）求角A的大小；（2）求三角形面积S△ABC的最大值．【分析】（1）根据余弦定理求出cos A和A的值；（2）利用基本不等式求出bc的最大值，再求三角形面积S△ABC的最大值．解：（1）△ABC中，由（a+c）（a﹣c）＝b（b﹣c），得a2﹣c2＝b2﹣bc，b2+c2﹣a2＝bc，所以cosA=2+??2-??22=2=12；又A∈（0，π），所以A=3；（2）由b+c＝1，A=3，所以bc≤(+2)=(12)??=14，当且仅当a＝b=12时取等号，所以三角形面积S△ABC的最大值为：S max=12bcsinA=12×14×sin??3=√316．20．设数列{a n}的前n项和为S n，且（S n﹣1）2＝a n S n（n∈N*），设b n＝（﹣1）n+1（n+1）2an a n+1（n∈N*），数列{b n}的前n项和T n．（1）求S1、S2、S3的值；（2）利用“归纳﹣猜想﹣证明”求出S n的通项公式；（3）求数列{T n}的通项公式．【分析】（1）分别令n＝1，2，3计算a n，再计算S n；（2）根据（1）的结果猜想，再利用数学归纳法证明；（3）讨论n 的奇偶性，再根据裂项法求和．解：（1）当n ＝1时，（a 1﹣1）2＝a 12，解得：a 1=12，当n ＝2时，（12+a 2﹣1）2＝a 2（12+a 2），解得：a 2=16，当n ＝3时，（12+16+a 3﹣1）2＝a 3（12+16+a 3），解得：a 3=112．∴S 1＝a 1=12，S 2＝a 1+a 2=23，S 3＝a 1+a 2+a 3=34．（2）猜想：??=+1（n ∈N ×）；证明：当n ＝1时，猜想显然成立，假设n ＝k 时猜想成立，即??=+1，由（S n ﹣1）2＝a n S n （n ∈N *）可得：（S n+1﹣1）2＝a n+1S n+1，即（S n +a n +1﹣1）2＝a n+1（S n +a n +1），∴（a n+1-1+1）2＝a n +1（+1+a n+1），∴a n+1=1(??+1)(??+2)，∴S n+1＝S n +a n +1=+1+1(??+1)(??+2)=??+1??+2．∴当n ＝k+1时，猜想成立，所以：=+1（n ∈N ×）．（3）由（S n ﹣1）2＝a n S n 可得a n =(??-1)2?=1??(??+1)，b n ＝（﹣1）n+1（n+1）2?a n a n +1=(-1)+1(+2)=（﹣1）n+1?12（1??-1??+2），若n 为奇数（n ≥3），∴b 1+b 3+b 5+…+b n =12（1-13+13-15+?+1??-1??+2）=12（1-1??+2），b 2+b 4+b 6+…+b n ﹣1=-12（12-14+14-16+?+1??-1-1??+1）=-12（12-1??+1）=12（1??+1-12），∴T n =12（12+1??+1-1??+2）=12（12+1(??+1)(??+2)）．若n 为偶数，b 1+b 3+b 5+…+b n ﹣1=12（1-13+13-15+?+1??-1-1??+1）=12（1-1??+1），b 2+b 4+b 6+…+b n =-12（12-14+14-16+?+1??-1??+2）=12（1??+2-12），∴T n =12（12+1??+2-1??+1）=12（12-1(??+1)(??+2)）．综上，??=12(12+(-1)+1(??+1)(??+2))．21．已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝1，b 1＝0，4a n+1＝3a n ﹣b n +4，4b n +1＝3b n ﹣a n ﹣4．（1）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n ﹣b n }是等差数列；（2）求{a n }和{b n }的通项公式；（3）令??={??是奇数????是偶数，求数列{c n }的前n 项和S n 的通项公式，并求数列{1}的最大值、最小值，并指出分别是第几项．【分析】（1）由4a n+1＝3a n ﹣b n +4①，4b n+1＝3b n ﹣a n ﹣4②，两式相加推证{a n +b n }是等比数列，两式相减推证{a n ﹣b n }是等差数列；（2）由（1）先求出a n +b n ＝（12）n ﹣1，a n ﹣b n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1，再利用两式相加、相减求出通项公式即可；（3）由（2）先求出c n =12+（﹣1）n ﹣1（n -12），再求其前n 项和S n 的通项公式，进而求{1}的最值．解：（1）证明：∵a 1＝1，b 1＝0，∴a 1+b 1＝a 1﹣b 1＝1．又∵4a n +1＝3a n ﹣b n +4①，4b n +1＝3b n ﹣a n ﹣4②，由①+②可得：4（a n +1+b n+1）＝2（a n +b n ），即+1+????+1+????=12，∴数列{a n +b n }是首项为1，公比为12的等比数列；由①﹣②可得：4（a n+1﹣b n+1）＝4（a n﹣b n ）+8，即（a n +1﹣b n+1）﹣（a n ﹣b n ）＝2，∴数列{a n ﹣b n }是首项为1，公差为2的等差数列．（2）解：由（1）知：a n +b n ＝（12）n ﹣1③，a n ﹣b n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1④，由③+④整理得：??=??-12+12；由③﹣④整理得：????=-??+12+12??，故????=??-12+12??，??=-??+12+12；（3）解：由（2）得c n={-12+12，为奇数-??+12+12，为偶数，即c n=12+（﹣1）n﹣1（n-12）．当n为偶数时，S n=12[1-(12)]1-12+{[（1-12）﹣（2-12）]+[（3-12）﹣（4-12）]+…+[（n﹣1-12）﹣（n-12）]}＝1-2-12；当n为奇数时，S n=12[1-(12)]1-12+{[（1-12）﹣（2-12）]+[（3-12）﹣（4-12）]+…+[（n﹣2-12）﹣（n﹣1-12）]}+n-12=??2+1-12，即S n＝1﹣（12）n-(-1)2．易知：{1}的最大值为11=1，为第一项；最小值为1??2=-4，为第二项．。

2019-2020学年上海市杨浦区复旦附中高一下学期期中数学试题一、单选题1．在△ABC 中，“sin 2A >”是“34A π<”的（ ）条件A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充要D ．既非充分又非必要 【答案】A【解析】根据三角函数的性质，得到当sin A >时，34A π<是成立的，再利用反例，得出必要性不一定成立，即求解. 【详解】在ABC ∆中，由sin 2A >，因为(0,)A π∈，可得344A ππ<<，所以当sin 2A >时，34A π<是成立的，即充分性成立；反之：例如364A ππ=<，此时1sin 22A =<，即必要性不一定成立.所以“sin A >”是“34A π<”的充分不必要条件.故选：A 【点睛】本题主要考查了充分不必要条件的判定，其中解答中熟练应用三角函数的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.2．以下哪个不是25lim 21nn n q q →∞-+可能的取值（ ）A ．2B ．1-C ．52-D ．7-【答案】D【解析】对q 的取值进行分类讨论，即可得答案；【详解】（1）若12q =，则0nq →，∴25lim 221n nn q q →∞-=+； （2）若2q，则n q →+∞，∴25255lim lim 12122n nn n n nq qq q→∞→∞--==-++；（3）若1q =，则1nq =，∴25lim 121nnn q q →∞-=-+； 利用排除法可得D 选项不可能， 故选：D. 【点睛】本题考查数列极限的求解，考查分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 3．若等差数列{}n a 首项为2，公差为2，其前n 项和记为n S ，则数列1{}nS 前n 项和为（ ） A ．21nn + B ．1n n + C ．1n(n 1)+D ．2(1)nn +【答案】B【解析】根据等差数列前n 项和公式求出n S ，从而得出1{}nS 的通项公式，再用裂项相消法即可求出数列1{}nS 前n 项和. 【详解】等差数列前n 项()112n n n S na d -=+，等差数列{}n a 首项为2，公差为2，代入可得()()12212n n n S n n n -=+⨯=+，所以()111111n S n n n n ==-++，所以数列1{}nS 前n 项和为111111111122334111n n T n n n n =-+-+-++-=-=+++. 故选：B 【点睛】本题主要考查等差数列前n 项和的求法，以及裂项相消法求数列前n 项和.4．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中A 、ω、ϕ均为正的常数）的最小正周期为2π，当3x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ）A ．(1)(1)(0)f f f <-<B ．(0)(1)(1)f f f <<-C ．(1)(0)(1)f f f -<<D ．(1)(0)(1)f f f <<-【答案】A【解析】根据周期公式可得4ω=，根据当3x π=时，函数()f x 取得最小值，可得1126k ϕππ=-，k Z ∈，所以()f x sin(4)6A x π=+，再利用诱导公式以及三角函数的性质比较大小可得答案. 【详解】 依题意得22ππω=，解得4ω=，所以()sin(4)f x A x ϕ=+，因为当3x π=时，函数()f x 取得最小值，所以4232k ππϕπ⨯+=-，k Z ∈，即1126k ϕππ=-，k Z ∈， 所以11()sin(42)6f x A x k ππ=+-11sin(4)sin(42)66A x A x πππ=-=-+sin(4)6A x π=+，因为3462πππ<+<且0A >，所以(1)sin(4)6f A π=+0<，因为(1)sin(4)sin(42)sin[(42)]666f A A A ππππππ-=-+=-++=--++11sin(4)sin(4)66A A πππ=--=-，又1104662πππ<-<<，所以110sin(4)sin 66ππ<-<， 因为0A >，所以0(1)(0)f f <-<， 综上所述：(1)(1)(0)f f f <-<. 故选：A 【点睛】本题考查了根据三角函数的性质求解析式，考查了诱导公式，考查了利用正弦函数的单调性比较大小，属于中档题.二、填空题5．一个面积为1的扇形，所对弧长也为1，则该扇形的圆心角是________弧度 【答案】12【解析】设扇形的所在圆的半径为r ，圆心角为α，应用扇形的弧长公式和面积公式，列出方程组，即可求解. 【详解】设扇形的所在圆的半径为r ，圆心角为α， 因为扇形的面积为1，弧长也为1，可得21121r r αα⎧⋅=⎪⎨⎪=⎩，即221r r αα⎧⋅=⎨=⎩，解得12,2r α==.故答案为：12【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式和面积公式的应用，其中解答中熟练应用扇形的弧长公式和面积公式，列出方程组是解答的关键，着重考查了运算与求解能力. 6．计算sin40sin100sin50sin10︒︒-︒︒=________ 【答案】12【解析】利用诱导公式和两角差的正弦公式，即可得到答案； 【详解】原式1sin 40cos10cos 40sin10sin 302=︒︒-︒︒=︒=， 故答案为：12. 【点睛】本题考查诱导公式和两角差的正弦公式的应用，考查转化与化归思想，考查运算求解能力.7．函数sin y x =，[,]2x ππ∈的反函数记为()g x ，则1()2g =________ 【答案】56π【解析】点51(,)62π在原函数sin y x =的图象上，根据题意两函数图象关于直线y x =对称知点15(,)26π在反函数()g x 的图象上，得解. 【详解】因为当[,]2x ππ∈时，51sin62π=，所以点51(,)62π在原函数sin y x =的图象上，因为()g x 是函数sin y x =，[,]2x ππ∈的反函数，所以点15(,)26π在反函数()g x 的图象上，则15()26g π=. 故答案为：56π【点睛】本题考查两个互为反函数的函数图象的对称性、正弦函数的图象与性质，属于基础题. 8．在△ABC中，若a =1b =，60A =︒，则B =________【答案】6π 【解析】直接利用正弦定理，结合三角形解的个数判定，即可得到答案； 【详解】11sin sin sin sin 2a bB A BB=⇒=⇒=，a b >，∴A B >，∴6B π=，故答案为：6π. 【点睛】本题考查正弦定理\三角形解的个数，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.9．已知等比数列{}n a 中，24a =，68a =，则10a =________ 【答案】16【解析】将等比数列的通项公式代入24a =，68a =中，可得4q ，再求10a 的值。

2019-2020学年上海市复旦附中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.若命题甲：，命题乙：，则命题甲是命题乙的A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分也非必要条件2.下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是A. B. C. D.3.设函数的定义域为R，有下列三个命题：若存在常数M，使得对任意，有，则M是函数的最大值；若存在，使得对任意，且，有，则是函数的最大值；若存在，使得对任意，有，则是函数的最大值．这些命题中，真命题的个数是A. 0B. 1C. 2D. 34.已知函数，记集合，集合，若，且都不是空集，则的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.函数的定义域为______．6.函数的反函数为______．7.已知，试用a表示______．8.幂函数为偶函数，且在上是减函数，则______．9.函数的递增区间为______．10.方程的解是______．11.已知关于x的方程有两个实数根，且一根大于2，一根小于2，则实数k的取值范围为______．12.若函数且的值域是，则实数a的取值范围是______．13.已知的反函数为，当时，函数的最大值为M，最小值为m，则______．14.对于函数，若对于任意的a，b，，，，为某一三角形的三边长，则称为“可构造三角形函数”，已知函数是“可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围是______．15.若关于x的方程在内恰有三个相异实根，则实数m的取值范围为______ ．16.已知函数，，若对任意的，，均有，则实数k的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知函数．若，解方程：；若在上存在零点，求实数a的取值范围．18.已知函数的图象关于原点对称，其中a为常数．求a的值；设集合，，若，求实数m的取值范围．19.近年来，雾霾日趋严重，我们的工作、生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为当今的热点问题．某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产该型号空气净化器百台，其总成本为万元，其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元总成本固定成本生产成本销售收入万元满足，假定该产品产销平衡即生产的产品都能卖掉，根据以述统计规律，请完成下列问题：求利润函数的解析式利润销售收入总成本；工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？20.若函数满足：对于其定义域D内的任何一个自变量，都有函数值，则称函数在D上封闭．若下列函数的定义域为，试判断其中哪些在D上封闭，并说明理由．，．若函数的定义域为，是否存在实数a，使得在其定义域上封闭？若存在，求出所有a的值，并给出证明：若不存在，请说明理由．已知函数在其定义域D上封闭，且单调递增．若且，求证：．21.已知函数，其中．若，解不等式；设，，若对任意的，函数在区间上的最大值和最小值的差不超过1，求实数a的取值范围；已知函数存在反函数，其反函数记为，若关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：若命题甲：，命题乙：，若命题甲：，则，，则命题甲：，能推出命题乙：，成立；若命题乙：，则，所以或，即或；命题乙：，不能推出命题甲：成立，根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断．命题甲是命题乙的充分非必要条件；故选：A．根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．2.答案：D解析：解：函数为偶函数，当时，，为减函数，不满足条件．B.函数为偶函数，当时，为减函数，不满足条件．C.函数的定义域为，定义域关于原点不对称，为非奇非偶函数，不满足条件．D.函数为偶函数且在区间上为增函数，满足条件故选：D．根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，结合常见函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．比较基础．3.答案：C解析：解：错．原因：M不一定是函数值，可能“”不能取到．因为函数最大值的定义是存在一个函数值大于其它所有的函数值，则此函数值是函数的最大值所以对故选：C．利用函数最大值的定义是存在一个函数值大于其它所有的函数值，则此函数值是函数的最大值判断出各命题的真假．本题考查函数的最大值的定义并利用最值的定义判断命题的真假．4.答案：A解析：解：设，，，即，故；故，，当时，成立；当时，0，不是的根，故，解得：；综上所述，；故选：A．由可得，从而求得；从而化简，从而讨论求得本题考查了函数与集合的关系应用及分类讨论的思想应用，同时考查了方程的根的判断，属于中档题5.答案：解析：解：由，得．函数的定义域为．故答案为：．由对数式的真数大于0求解x的范围得答案．本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．6.答案：解析：解：由，得，，x，y互换得：，函数的反函数为，故答案为：．由原函数求得x，把x，y互换求得原函数的反函数．本题考查函数的反函数的求法，注意反函数的定义域为原函数的值域，是基础题．7.答案：解析：解：，故答案为：．利用换底公式以及对数的运算性质即可求解．本题主要考查了对数的运算性质以及换底公式，是基础题．8.答案：3解析：解：幂函数，在上是减函数，，且，，，又，，1，2，又幂函数为偶函数，，，故答案为：3．先利用幂函数的定义和单调性求出a的值和m的范围，再结合偶函数确定m的值，即可求出结果．本题主要考查了幂函数的性质，是基础题．9.答案：解析：解：函数的定义域为，令，则，为增函数，在上为减函数；在为增函数，函数的单调递增区间为，故答案为：．先求出函数的定义域，然后将复合函数分解为内、外函数，分别讨论内外函数的单调性，进而根据复合函数单调性“同增异减”的原则，得到函数的单调递增区间．本题考查的知识点是复合函数的单调性，二次函数的性质，对数函数的单调性，其中复合函数单调性“同增异减”是解答本题的关键，本题易忽略真数大于零．10.答案：解析：解：，，令，则，解得或．由式子有意义可知，解得，即，．．故答案为：．利用对数运算性质解方程．本题考查了对数的运算性质，换元法解题思想，属于基础题．11.答案：解析：解：令，由题意可得，即：，整理：，解得：，所以实数k的取值范围为；故答案为：．设函数，由题意可得，解得k的取值范围．考查方程的根的分布，属于基础题．12.答案：解析：解：由于函数且的值域是，故当时，满足．若，在它的定义域上单调递增，当时，由，，，．若，在它的定义域上单调递减，，不满足的值域是．综上可得，，故答案为：．当时，检验满足当时，分类讨论a的范围，依据函数的单调性，求得a的范围，综合可得结论．本题主要考查分段函数的应用，对数函数的单调性和特殊点，属于中档题．13.答案：2解析：解：由题意可得，即函数在R上为奇函数，当，令，则为奇函数且单调递增所以反函数也是单调递增的奇函数，所以是向上平行移动1个单位也为单调递增，对称中心，由互为反函数的性质可得，故答案为：2由题意可得换元可得为奇函数在上，所以也是奇函数，且值域为，为对称中心为的函数且值域为，考查换元法求函数的定义域，及互为反函数的性质，属于中档题．14.答案：解析：解：由题意可得对于，b，都恒成立，由于，当，，此时，，，都为1，构成一个等边三角形的三边长，满足条件．当，在R上是减函数，，同理，，由，可得，解得．当，在R上是增函数，，同理，，由，可得，解得．综上可得，，故实数t的取值范围是，故答案为：因对任意实数a、b、c，都存在以、、为三边长的三角形，则恒成立，将解析式用分离常数法变形，由均值不等式可得分母的取值范围，整个式子的取值范围由的符号决定，故分为三类讨论，根据函数的单调性求出函数的值域，然后讨论k转化为的最小值与的最大值的不等式，进而求出实数k的取值范围．本题主要考查了求参数的取值范围，以及构成三角形的条件和利用函数的单调性求函数的值域，同时考查了分类讨论的思想，属于难题．15.答案：解析：解：当时，，方程，，即；．当时，，方程，，即；；当时，方程无解；当时，方程有且只有一个解；当时，方程在上有两个解；当时，方程的解为1，；综上所述，实数m的取值范围为故答案为：分类讨论以去掉绝对值号，从而利用基本不等式确定各自方程的根的个数，从而解得．本题考查了绝对值方程的解法与应用，同时考查了基本不等式的应用及转化思想的应用．16.答案：解析：解：对函数，当时，；当时，，在上的最大值；对函数，函数若有最小值，则，即，当时，，易知函数；又对任意的，，均有，，即，，，即实数k的取值范围为．故答案为：．可求得，，根据题意，由此得到，解该不等式即可求得实数k的取值范围．本题考查不等式的恒成立问题，考查函数最值的求解，考查转化思想及计算能力，属于中档题．17.答案：解：当时，．，，或舍，当时，令，则，由，得，．在上单调递减，在上单调递增，当时，；当或时，，，．解析：将代入中，然后根据，求出的值，再解出x即可；令，则由可得，再根据t的范围求出a的范围．本题考查了指数方程的解法和根据函数的零点求参数的范围，考查了整体思想和转化思想，属中档题．18.答案：解：函数的图象关于原点对称，其中a为常数．，，解得．当时，，与条件矛盾，舍去．；集合解不等式得．由知，；，且，解得；由于，所以，解得，．故m的取值范围是．解析：根据的图象关于原点对称，得是奇函数，由恒成立，解得a的值即可．先解分式不等式，求得集合A；由于，所以B有解，解得集合B；再根据集合的关系求得m的取值范围即可．本题考查了奇函数的定义，分式不等式的解法，根据交集运算求参数取值范围，考查了运算求解能力，属于中档题．19.答案：解：由题意得，则，即；当时，函数递减，即有，当时，函数，当时，有最大值，综上可知，当工厂生产12百台时，可使利润最大为60万元．解析：本题考查函数模型在实际问题中的应用，考查函数的最值问题，属于中档题．先求得，再由可得所求；分别求出各段的最值，注意运用一次函数和二次函数的最值求法，即可得到．20.答案：解：在中，对于定义域D内的任意一个自变量，都有函数值，故函数在上不封闭；在中，，在上封闭．的定义域为，对称中心为，当时，函数在上为增函数，只需，解得当时，函数在上为减函数，只需，解得综上，所求a的值等于2．证明：函数在其定义域D上封闭，且单调递增．且，根据单调函数性质，则有唯一的，．解析：根据定义域，求得函数的定义域，利用新定义，即可得到结论；分类讨论，确定函数的单调性，建立不等式组，可求a的值．函数在其定义域D上封闭，且单调递增，根据单调函数性质，则有唯一的，由此能证明．本题以新定义函数为载体，考查新定义，考查学生的计算能力，关键是对新定义的理解，有一定的难度．21.答案：解：当，，当时，，解得或，所以或；当时，，解得，所以；综上所述，不等式的解为．，，，，，由复合函数的单调判断原则，可知在上单调递减，，化简得，在上恒成立，令，则，当时，，当时，，由对勾函数性质可知，在上单调递减，，即，故实数a的取值范围为；函数存在反函数，单调，又在上单调递增，在R上必须单调递增，即，，令，，则，，在上恒成立，当即时，恒成立，，当即时，，解得，综上所述，实数a的取值范围为．解析：把代入函数，分段解不等式即可；，，，，，再由复合函数的单调判断出在上单调递减，从而得到在上恒成立，然后用换元法，令，构造新函数，再求出该函数的最大值即可；由函数存在反函数，可得且；再令，，得其最小值为，然后分类讨论解不等式即可．本题考查函数的综合应用，涉及绝对值函数、指对函数的单调性、函数的恒成立问题，在解题过程中用到换元法、构造法、分类讨论法，考查了学生灵活运用知识的能力和逻辑推理能力，属于难题．。

2019-2020学年上海市复旦大学附属中学高一下学期线上教学评估数学试题一、单选题1．在△ABC 中，“sin A >”是“34A π<”的（ ）条件A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充要D ．既非充分又非必要【答案】A【解析】根据三角函数的性质，得到当sin 2A >时，34A π<是成立的，再利用反例，得出必要性不一定成立，即求解. 【详解】在ABC ∆中，由sin 2A >，因为(0,)A π∈，可得344A ππ<<，所以当sin A >时，34A π<是成立的，即充分性成立；反之：例如364A ππ=<，此时1sin 2A =<.所以“sin 2A >”是“34A π<”的充分不必要条件.故选：A 【点睛】本题主要考查了充分不必要条件的判定，其中解答中熟练应用三角函数的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.2．以下哪个不是25lim 21nn n q q →∞-+可能的取值（ ）A ．2B ．1-C ．52-D ．7-【答案】D【解析】对q 的取值进行分类讨论，即可得答案； 【详解】（1）若12q =，则0nq →，∴25lim 221n nn q q →∞-=+； （2）若2q，则n q →+∞，∴25255lim lim 12122n nn n n nq qq q→∞→∞--==-++；（3）若1q =，则1nq =，∴25lim 121nnn q q →∞-=-+； 利用排除法可得D 选项不可能， 故选：D. 【点睛】本题考查数列极限的求解，考查分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 3．若等差数列{}n a 首项为2，公差为2，其前n 项和记为n S ，则数列1{}nS 前n 项和为（ ） A ．21nn + B ．1n n + C ．1n(n 1)+D ．2(1)nn +【答案】B【解析】根据等差数列前n 项和公式求出n S ，从而得出1{}nS 的通项公式，再用裂项相消法即可求出数列1{}nS 前n 项和. 【详解】等差数列前n 项()112n n n S na d -=+，等差数列{}n a 首项为2，公差为2，代入可得()()12212n n n S n n n -=+⨯=+，所以()111111n S n n n n ==-++，所以数列1{}nS 前n 项和为111111111122334111n n T n n n n =-+-+-++-=-=+++. 故选：B 【点睛】本题主要考查等差数列前n 项和的求法，以及裂项相消法求数列前n 项和.4．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中A 、ω、ϕ均为正的常数）的最小正周期为2π，当3x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ）A ．(1)(1)(0)f f f <-<B ．(0)(1)(1)f f f <<-C ．(1)(0)(1)f f f -<<D ．(1)(0)(1)f f f <<-【答案】A【解析】根据周期公式可得4ω=，根据当3x π=时，函数()f x 取得最小值，可得1126k ϕππ=-，k Z ∈，所以()f x sin(4)6A x π=+，再利用诱导公式以及三角函数的性质比较大小可得答案. 【详解】 依题意得22ππω=，解得4ω=，所以()sin(4)f x A x ϕ=+，因为当3x π=时，函数()f x 取得最小值，所以4232k ππϕπ⨯+=-，k Z ∈，即1126k ϕππ=-，k Z ∈， 所以11()sin(42)6f x A x k ππ=+-11sin(4)sin(42)66A x A x πππ=-=-+sin(4)6A x π=+， 因为3462πππ<+<且0A >，所以(1)sin(4)6f A π=+0<，因为(1)sin(4)sin(42)sin[(42)]666f A A A ππππππ-=-+=-++=--++11sin(4)sin(4)66A A πππ=--=-，又1104662πππ<-<<，所以110sin(4)sin 66ππ<-<， 因为0A >，所以0(1)(0)f f <-<， 综上所述：(1)(1)(0)f f f <-<. 故选：A 【点睛】本题考查了根据三角函数的性质求解析式，考查了诱导公式，考查了利用正弦函数的单调性比较大小，属于中档题.二、填空题5．一个面积为1的扇形，所对弧长也为1，则该扇形的圆心角是________弧度 【答案】12【解析】设扇形的所在圆的半径为r ，圆心角为α，应用扇形的弧长公式和面积公式，列出方程组，即可求解. 【详解】设扇形的所在圆的半径为r ，圆心角为α， 因为扇形的面积为1，弧长也为1，可得21121r r αα⎧⋅=⎪⎨⎪=⎩，即221r r αα⎧⋅=⎨=⎩，解得12,2r α==.故答案为：12【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式和面积公式的应用，其中解答中熟练应用扇形的弧长公式和面积公式，列出方程组是解答的关键，着重考查了运算与求解能力. 6．计算sin40sin100sin50sin10︒︒-︒︒=________ 【答案】12【解析】利用诱导公式和两角差的正弦公式，即可得到答案； 【详解】原式1sin 40cos10cos 40sin10sin 302=︒︒-︒︒=︒=， 故答案为：12. 【点睛】本题考查诱导公式和两角差的正弦公式的应用，考查转化与化归思想，考查运算求解能力.7．函数sin y x =，[,]2x ππ∈的反函数记为()g x ，则1()2g =________【答案】56π 【解析】点51(,)62π在原函数sin y x =的图象上，根据题意两函数图象关于直线y x =对称知点15(,)26π在反函数()g x 的图象上，得解. 【详解】 因为当[,]2x ππ∈时，51sin62π=，所以点51(,)62π在原函数sin y x =的图象上，因为()g x 是函数sin y x =，[,]2x ππ∈的反函数，所以点15(,)26π在反函数()g x 的图象上，则15()26g π=. 故答案为：56π【点睛】本题考查两个互为反函数的函数图象的对称性、正弦函数的图象与性质，属于基础题. 8．在△ABC中，若a =1b =，60A =︒，则B =________【答案】6π 【解析】直接利用正弦定理，结合三角形解的个数判定，即可得到答案； 【详解】11sin sin sin sin 22a bB A BB=⇒=⇒=， a b >，∴A B >，∴6B π=，故答案为：6π. 【点睛】本题考查正弦定理\三角形解的个数，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.9．已知等比数列{}n a 中，24a =，68a =，则10a =________ 【答案】16【解析】将等比数列的通项公式代入24a =，68a =中，可得4q ，再求10a 的值。

2019-2020学年上海市复旦附中高一（上）期末数学试卷一.填空题1．（3分）函数12log (5)y x =-的定义域为 ．2．（3分）函数21(1)y x x =+-„的反函数为 ． 3．（3分）已知2log 3a =，试用a 表示9log 12= ． 4．（3分）幂函数223()(1)(,)m m f x a x a m N --=-∈为偶函数，且在(0,)+∞上是减函数，则a m += ．5．（3分）函数23log ()y x x =-的递增区间为 ． 6．（3分）方程22log (95)log (32)2x x -=-+的解是 ．7．（3分）已知关于x 的方程2240x kx k k +++-=有两个实数根，且一根大于2，一根小于2，则实数k 的取值范围为 ．8．（3分）若函数6,2()(03log ,2a x x f x a x x -+⎧=>⎨+>⎩„且1)a ≠的值域是[4，)+∞，则实数a 的取值范围是 ．9．（3分）已知1()(33)2x x f x -=-的反函数为1()f x -，当[3x ∈-，5]时，函数1()(1)1F x f x -=-+的最大值为M ，最小值为m ，则M m += ．10．（3分）对于函数()f x ，若对于任意的a ，b ，c R ∈，f （a ），f （b ），f （c ）为某一三角形的三边长，则称()f x 为“可构造三角形函数”，已知函数()1x x e t f x e +=+是“可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围是 ．11．（3分）若关于x 的方程54(4)|5|x x m x x+--=在(0,)+∞内恰有三个相异实根，则实数m的取值范围为 ．12．（3分）已知函数213,1()1,12x x k x f x log x x ⎧-++⎪=⎨-+>⎪⎩„，2()(2)()1x g x aln x a R x =++∈+，若对任意的1x ，2{|x x x R ∈∈，2}x >-，均有12()()f x g x „，则实数k 的取值范围是 ． 二.选择题13．（3分）若命题甲：10x -=，命题乙：20lg x lgx -=，则命题甲是命题乙的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．非充分也非必要条件14．（3分）下列函数中既是偶函数，又在(0,)+∞上单调递增的是( ) A ．1||y x =B ．2y x -=C ．2|log |y x =D ．23y x =15．（3分）设函数()f x 的定义域为R ，有下列三个命题：①若存在常数M ，使得对任意x R ∈，有()f x M „，则M 是函数()f x 的最大值； ②若存在0x R ∈，使得对任意x R ∈，且0x x ≠，有0()()f x f x <，则0()f x 是函数()f x 的最大值；③若存在0x R ∈，使得对任意x R ∈，有0()()f x f x „，则0()f x 是函数()f x 的最大值． 这些命题中，真命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．316．（3分）已知函数2()2x f x m x nx =++g ，记集合{|()0A x f x ==，}x R ∈，集合{|[()]0B x f f x ==，}x R ∈，若A B =，且都不是空集，则m n +的取值范围是( )A ．[0，4)B ．[1-，4)C ．[3-，5]D ．[0，7)三.解答题17．已知函数1()421x x f x a +=-+g ． （1）若1a =，解方程：()4f x =；（2）若()f x 在[1-，1]上存在零点，求实数a 的取值范围． 18．已知函数21()log 1axf x x -=-的图象关于原点对称，其中a 为常数． （1）求a 的值； （2）设集合4{|1}7A x x=-…，2{|()log (1)}B x f x x m =+-<，若A B ≠∅I ，求实数m 的取值范围．19．近年来，雾霾日趋严重，我们的工作、生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为当今的热点问题．某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产该型号空气净化器x （百台），其总成本为()P x （万元），其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入()Q x （万元）满足20.522(016)()224(16)x x x Q x x ⎧-+=⎨>⎩剟，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据以述统计规律，请完成下列问题：（1）求利润函数()y f x =的解析式（利润=销售收入-总成本）； （2）工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？20．若函数()f x 满足：对于其定义域D 内的任何一个自变量0x ，都有函数值0()f x D ∈，则称函数()f x 在D 上封闭．（1）若下列函数的定义域为(0,1)D =，试判断其中哪些在D 上封闭，并说明理由．1()21f x x =-，2()21x f x =-． （2）若函数5()2x ag x x -=+的定义域为(1,2)，是否存在实数a ，使得()g x 在其定义域(1,2)上封闭？若存在，求出所有a 的值，并给出证明：若不存在，请说明理由．（3）已知函数()f x 在其定义域D 上封闭，且单调递增．若0x D ∈且00(())f f x x =，求证：00()f x x =．21．已知函数||0()20x x a x f x x +⎧=⎨<⎩…，其中a R ∈．（1）若1a =-，解不等式1()4f x …；（2）设0a >，21()log ()g x f x=，若对任意的1[2t ∈，2]，函数()g x 在区间[t ，2]t +上的最大值和最小值的差不超过1，求实数a 的取值范围；（3）已知函数()y f x =存在反函数，其反函数记为1()y f x -=，若关于x 的不等式12(4)()|2|f a f x x a --+-„在[0x ∈，)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围．2019-2020学年上海市复旦附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（3分）函数12log (5)y x =-的定义域为 (,5)-∞ ．【解答】解：由50x ->，得5x <． ∴函数12log (5)y x =-的定义域为(,5)-∞．故答案为：(,5)-∞．2．（3分）函数21(1)y x x =+-„的反函数为2)y x =… ． 【解答】解：由21(1)y x x =+-„，得21x y =-，2)x y ∴=…， x ，y互换得：2)y x =…， ∴函数21(1)y x x =+-„的反函数为2)y x =…，故答案为：2)y x =…． 3．（3分）已知2log 3a =，试用a 表示9log 12=22a a+ ． 【解答】解：22292212342129232log log log a log log log a++===， 故答案为：22a a+． 4．（3分）幂函数223()(1)(,)m m f x a x a m N --=-∈为偶函数，且在(0,)+∞上是减函数，则a m +=3 ．【解答】解：Q 幂函数223()(1)(,)m m f x a x a m N --=-∈，在(0,)+∞上是减函数，11a ∴-=，且2230m m --<， 2a ∴=，13m -<<，又m N ∈Q ，0m ∴=，1，2， 又Q 幂函数()f x 为偶函数，1m ∴=， 3a m ∴+=，故答案为：3．5．（3分）函数23log ()y x x =-的递增区间为 (1,)+∞ ．【解答】解：函数23log ()y x x =-的定义域为(-∞，0)(1⋃，)+∞， 令2t x x =-，则3log y t =， 3log y t =Q 为增函数，2t x x =-在(,0)-∞上为减函数；在(1,)+∞为增函数，∴函数23log ()y x x =-的单调递增区间为(1,)+∞，故答案为：(1,)+∞．6．（3分）方程22log (95)log (32)2x x -=-+的解是 1x = ． 【解答】解：222log (95)log (32)2log [4(32)]x x x -=-+=-Q ，954(32)x x ∴-=-， 令3x t =，则2430t t -+=， 解得1t =或3t =．由式子有意义可知950320x x ⎧->⎨->⎩，解得3x >t >3t ∴=． 1x ∴=．故答案为：1x =．7．（3分）已知关于x 的方程2240x kx k k +++-=有两个实数根，且一根大于2，一根小于2，则实数k 的取值范围为 (3,0)- ．【解答】解：令22()4f x x kx k k =+++-，由题意可得f （2）0<， 即：222240k k k +++-<，整理：230k k +<，解得：30k -<<， 所以实数k 的取值范围为(3,0)-； 故答案为：(3,0)-．8．（3分）若函数6,2()(03log ,2a x x f x a x x -+⎧=>⎨+>⎩„且1)a ≠的值域是[4，)+∞，则实数a 的取值范围是 (1，2] ．【解答】解：由于函数6,2()(03log ,2a x x f x a x x -+⎧=>⎨+>⎩„且1)a ≠的值域是[4，)+∞， 故当2x „时，满足()64f x x =-…．①若1a >，()3log a f x x =+在它的定义域上单调递增，当2x >时，由()3log 4a f x x =+…，log 1a x ∴…，log 21a ∴…，12a ∴<„． ②若01a <<，()3log a f x x =+在它的定义域上单调递减， ()3log 3log 23a a f x x =+<+<，不满足()f x 的值域是[4，)+∞．综上可得，12a <„， 故答案为：(1，2]．9．（3分）已知1()(33)2x x f x -=-的反函数为1()f x -，当[3x ∈-，5]时，函数1()(1)1F x f x -=-+的最大值为M ，最小值为m ，则M m += 2 ．【解答】解：由题意可得1()(33)()2x x f x f x --=-=-，即函数()f x 在R 上为奇函数，当[3x ∈-，5]，令1[4t x =-∈-，4]，则1(1)()(33)2t t f x f t --==-为奇函数且单调递增所以反函数1()f t -也是单调递增的奇函数，所以1()()F x f t -=是1()y f t -=向上平行移动1个单位也为单调递增，对称中心(0,1)， 由互为反函数的性质可得352M m +=-+=， 故答案为：210．（3分）对于函数()f x ，若对于任意的a ，b ，c R ∈，f （a ），f （b ），f （c ）为某一三角形的三边长，则称()f x 为“可构造三角形函数”，已知函数()1x x e tf x e +=+是“可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围是 1[2，2] ．【解答】解：由题意可得f （a ）f +（b ）f >（c ）对于a ∀，b ，c R ∈都恒成立，由于1()111x x xe t tf x e e +-==+++， ①当10t -=，()1f x =，此时，f （a ），f （b ），f （c ）都为1，构成一个等边三角形的三边长， 满足条件．②当10t ->，()f x 在R 上是减函数，1f <（a ）11t t <+-=， 同理1f <（b ）t <，1f <（c ）t <，由f （a ）f +（b ）f >（c ），可得2t …，解得12t <„． ③当10t -<，()f x 在R 上是增函数，t f <（a ）1<， 同理t f <（b ）1<，t f <（c ）1<，由f （a ）f +（b ）f >（c ），可得21t …，解得112t >…．综上可得，122t 剟，故实数t 的取值范围是1[2，2]，故答案为：1[2，2]11．（3分）若关于x 的方程54(4)|5|x x m x x+--=在(0,)+∞内恰有三个相异实根，则实数m的取值范围为 ．【解答】解：当x 450x x-…，Q 方程54(4)|5|x x m x x+--=，54(4)(5)x x m x x ∴+--=，即9x m x -+=；m ∴„当0x <<时，450x x -<， Q 方程54(4)|5|x x m x x+--=，54(4)(5)x x m x x∴++-=，即19x m x+=； 196x x+Q …；∴当6m <时，方程19x m x+=无解； 当6m =时，方程19x m x+=有且只有一个解； 当610m <<时，方程19x m x+=在(0,1)上有两个解； 当10m =时，方程19x m x+=的解为1，19；综上所述，实数m的取值范围为．故答案为：． 12．（3分）已知函数213,1()1,12x x k x f x log x x ⎧-++⎪=⎨-+>⎪⎩„，2()(2)()1x g x aln x a R x =++∈+，若对任意的1x ，2{|x x x R ∈∈，2}x >-，均有12()()f x g x „，则实数k 的取值范围是 3(,]4-∞- ．【解答】解：对函数()f x ，当1x „时，11()()24max f x f k ==+；当1x >时，1()(1)2max f x f ==-，()f x ∴在(2,)-+∞上的最大值11(){,}42max f x max k =+-；对函数()g x ，函数()g x 若有最小值，则0a =，即2()1xg x x =+， 当(2x ∈-，0)(0⋃，)+∞时，1()1g x x x=+，易知函数1()2min g x =-； 又对任意的1x ，2{|x x x R ∈∈，2}x >-，均有12()()f x g x „， ()()(2)max min f x g x x ∴>-„，即111{,}422max k +--„，∴1142k +-„， ∴34k -„，即实数k 的取值范围为3(,]4-∞-．故答案为：3(,]4-∞-．二.选择题13．（3分）若命题甲：10x -=，命题乙：20lg x lgx -=，则命题甲是命题乙的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．非充分也非必要条件【解答】解：若命题甲：10x -=，命题乙：20lg x lgx -=， ①若命题甲：10x -=，则1x =，22110lg x lgx lg lg -=-=， 则命题甲：10x -=，能推出命题乙：20lg x lgx -=，成立；②若命题乙：20lg x lgx -=，则(1)0lgx lgx -=，所以0lgx =或1lgx =，即1x =或10x =； 命题乙：20lg x lgx -=，不能推出命题甲：10x -=成立， 根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断． 命题甲是命题乙的充分非必要条件； 故选：A ．14．（3分）下列函数中既是偶函数，又在(0,)+∞上单调递增的是( ) A ．1||y x =B ．2y x -=C ．2|log |y x =D ．23y x =【解答】解：A ．函数为偶函数，当0x >时，1()f x x=，为减函数，不满足条件． B ．函数为偶函数，当0x …时，()f x 为减函数，不满足条件． C ．函数的定义域为(0,)+∞，定义域关于原点不对称，为非奇非偶函数，不满足条件．D ．函数为偶函数且在区间(0,)+∞上为增函数，满足条件故选：D ．15．（3分）设函数()f x 的定义域为R ，有下列三个命题：①若存在常数M ，使得对任意x R ∈，有()f x M „，则M 是函数()f x 的最大值； ②若存在0x R ∈，使得对任意x R ∈，且0x x ≠，有0()()f x f x <，则0()f x 是函数()f x 的最大值；③若存在0x R ∈，使得对任意x R ∈，有0()()f x f x „，则0()f x 是函数()f x 的最大值． 这些命题中，真命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3【解答】解：①错．原因：M 不一定是函数值，可能“=”不能取到．因为函数最大值的定义是存在一个函数值大于其它所有的函数值，则此函数值是函数的最大值 所以②③对 故选：C ．16．（3分）已知函数2()2x f x m x nx =++g ，记集合{|()0A x f x ==，}x R ∈，集合{|[()]0B x f f x ==，}x R ∈，若A B =，且都不是空集，则m n +的取值范围是( )A ．[0，4)B ．[1-，4)C ．[3-，5]D ．[0，7)【解答】解：设1{|()0}{|(())0}x x f x x f f x ∈===， 11()(())0f x f f x ∴==，(0)0f ∴=，即(0)0f m ==， 故0m =； 故2()f x x nx =+，22(())()()0f f x x nx x nx n =+++=， 当0n =时，成立；当0n ≠时，0，n -不是20x nx n ++=的根， 故△240n n =-<， 解得：04n <<； 综上所述，04n m +<…； 故选：A ． 三.解答题17．已知函数1()421x x f x a +=-+g ． （1）若1a =，解方程：()4f x =；（2）若()f x 在[1-，1]上存在零点，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）当1a =时，()4221x x f x =-+g ．()4f x =Q ，42214x x ∴-+=g ， 23x ∴=或21x =-（舍)，2log 3x ∴=．（2）当[1x ∈-，1]时，令2x t =，则1[,2]2t ∈， ∴由()0f x =，得2210t at -+=，∴2112t a t t t+==+． Q 1y t t =+在1[,1]2上单调递减，在[1，2]上单调递增， ∴当1x =时，1()2min t t +=；当2x =或12时，15()2max t t +=， ∴52[2,]2a ∈，∴5[1,]4a ∈． 18．已知函数21()log 1ax f x x -=-的图象关于原点对称，其中a 为常数． （1）求a 的值；（2）设集合4{|1}7A x x=-…，2{|()log (1)}B x f x x m =+-<，若A B ≠∅I ，求实数m 的取值范围． 【解答】解：（1）Q 函数21()log 1ax f x x -=-的图象关于原点对称，其中a 为常数． ∴222111()111ax ax x f x log log log x x ax +---==-=----， ∴1111ax x x ax+-=---， 解得1a =±．当1a =时，11111ax x x x --==---，与条件矛盾，舍去． 1a ∴=-； （2）Q 集合4{|1}7A x x=-…解不等式得{|37}A x x =<„． 由（1）知，2221()log (1)log log (1)1x f x x x m x ++-=+-<-； ∴21(1)x log x m>⎧⎨+<⎩，且A B ≠∅I ，解得121m x <<-； 由于A B ≠∅I ，所以213m ->，解得，2m >．故m 的取值范围是(2,)+∞．19．近年来，雾霾日趋严重，我们的工作、生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为当今的热点问题．某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产该型号空气净化器x （百台），其总成本为()P x （万元），其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入()Q x （万元）满足20.522(016)()224(16)x x x Q x x ⎧-+=⎨>⎩剟，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据以述统计规律，请完成下列问题：（1）求利润函数()y f x =的解析式（利润=销售收入-总成本）；（2）工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？【解答】解：（1）由题意得()1210P x x =+，⋯（1分）则20.5221210,016()()()2241210,16x x x x f x Q x P x x x ⎧-+--=-=⎨-->⎩剟 即为20.51212,016()21210,16x x x f x x x ⎧-+-=⋯⎨->⎩剟（4分） （2）当16x >时，函数()f x 递减，即有()(16)21216052f x f <=-=万元6⋯ 分 当016x 剟时，函数2()0.51212f x x x =-+-20.5(12)60x =--+，当12x =时，()f x 有最大值60万元．9⋯ 分所以当工厂生产12百台时，可使利润最大为60万元．10⋯ 分20．若函数()f x 满足：对于其定义域D 内的任何一个自变量0x ，都有函数值0()f x D ∈，则称函数()f x 在D 上封闭．（1）若下列函数的定义域为(0,1)D =，试判断其中哪些在D 上封闭，并说明理由．1()21f x x =-，2()21x f x =-．（2）若函数5()2x a g x x -=+的定义域为(1,2)，是否存在实数a ，使得()g x 在其定义域(1,2)上封闭？若存在，求出所有a 的值，并给出证明：若不存在，请说明理由．（3）已知函数()f x 在其定义域D 上封闭，且单调递增．若0x D ∈且00(())f f x x =，求证：00()f x x =．【解答】解：（1）在1()21f x x =-中，对于定义域D 内的任意一个自变量0x ，都有函数值10()(1f x ∈-，11)D ∉，故函数1()21f x x =-在1D 上不封闭；在2()21x f x =-中，21(0,1)x -∈，在1D 上封闭．（2）5()2x a g x x -=+的定义域为(1,2)，对称中心为(2,5)-， 当100a +>时，函数5()2x a g x x -=+在2D 上为增函数， 只需(1)1(2)210f f a ⎧⎪⎨⎪>-⎩…„，解得2a =当100a +<时，函数5()2x a g x x -=+在2D 上为减函数， 只需(1)2(2)110f f a ⎧⎪⎨⎪<-⎩„…，解得a ∈∅ 综上，所求a 的值等于2．证明：（3）Q 函数()f x 在其定义域D 上封闭，且单调递增．0x D ∈且00(())f f x x =，∴根据单调函数性质0()f x D ∈，则有唯一的0x D ∈，00()f x x ∴=．21．已知函数||0()20x x a x f x x +⎧=⎨<⎩…，其中a R ∈． （1）若1a =-，解不等式1()4f x …； （2）设0a >，21()log ()g x f x=，若对任意的1[2t ∈，2]，函数()g x 在区间[t ，2]t +上的最大值和最小值的差不超过1，求实数a 的取值范围；（3）已知函数()y f x =存在反函数，其反函数记为1()y f x -=，若关于x 的不等式12(4)()|2|f a f x x a --+-„在[0x ∈，)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）当1a =-，|1|,0()2,0x x x f x x -⎧=⎨<⎩…， 当0x …时，1()|1|4f x x =-…，解得54x …或34x „，所以304x 剟或54x …；当0x <时，1()24x f x =…，解得2x -…，所以20x -<„； 综上所述，不等式的解为35[2,][,)44x ∈-+∞U ． （2）0a >Q ，1[2t ∈，2]，[x t ∈，2]t +，()f x x a ∴=+，2211()log ()()g x f log a x x==+， 由复合函数的单调判断原则，可知()g x 在[x t ∈，2]t +上单调递减，2211()()()(2)()()12max min g x g x g t g t log a log a t t ∴-=-+=+-++„， 化简得，2(2)t a t t -+…在1[2t ∈，2]上恒成立， 令32[0,]2m t =-∈，则22()(2)(2)(4)68t m m h m t t m m m m -===+---+， 当0m =时，()0h m =， 当3(0,]2m ∈时，1()86h m m m=+-， 由对勾函数性质可知，86m m +-在3(0,]2上单调递减，∴8316566236m m +-+-=…，即60()5h m <„， 故实数a 的取值范围为65a …； （3）Q 函数()y f x =存在反函数，()y f x ∴=单调，又()f x Q 在(,0)-∞上单调递增，()y f x ∴=在R 上必须单调递增，0021a ∴+=…即1a …，12,(),01x a x a f x log x x --⎧∴=⎨<<⎩…， 令2()()|2|F x f x x a =+-，[0x ∈，)+∞， 则222223,2()|2|,2a x a a x F x x a x a ax a a x ⎧-+⎪⎪=++-=⎨⎪-++<⎪⎩…， ∴22()()22min a a F x F a ==+， 12(4)()|2|f a f x x a --+-Q „在[0x ∈，)+∞上恒成立，∴当041a <-<即34a <<时，22(4)2a log a a -+„恒成立，34a ∴<<，当4a a -…即2a „时，242a a a a --+„32a 剟，综上所述，实数a 的取值范围为3,2](3,4)a ∈U ．。

2019-2020学年上海市复旦大学附属中学高一下学期期末数学试题一、单选题1．对二元一次方程组1223x y c x y c -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵A 经过一系列的初等行变换，得：103~011A ⎛⎫⎪-⎝⎭，则列向量12c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭为（ ）A ．58⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．31⎛⎫ ⎪-⎝⎭C ．57⎛⎫ ⎪-⎝⎭D ．51⎛⎫ ⎪-⎝⎭【答案】A【解析】首先根据题意得到3x =，1y =-，再代入方程组即可得到答案. 【详解】 二元一次方程组1223x y c x y c -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵A 经过一系列的初等行变换，得：103~011A ⎛⎫⎪-⎝⎭，所以3x =，1y =-，所以1232331c c +=⎧⎨⨯-=⎩，即1258c c =⎧⎨=⎩. 列向量12c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭为58⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：A 【点睛】本题主要考查方程组的增广矩阵，属于简单题. 2．已知2sin 23α=，则2sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．16B ．12C ．13D ．56【答案】D【解析】利用二倍角降幂公式和诱导公式可求得2sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 【详解】由二倍角的降幂公式可得221cos 211sin 2523sin 42226παπαα⎛⎫-++⎪+⎛⎫⎝⎭+==== ⎪⎝⎭. 故选：D. 【点睛】本题考查利用二倍角降幂公式和诱导公式求值，考查计算能力，属于基础题. 3．设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a 为递减数列，则（ ） A ．0d < B ．0d > C ．10a d < D ．10a d >【答案】C【解析】试题分析：因为{}n a 是等差数列，则2111(1)1(1)22n a a a a n dn a a n d +-=+-∴=，又由于{}12na a 为递减数列，所以1111-01221202nn a a a d a a a d +=>=∴<，故选C.【考点】1.等差数列的概念；2.递减数列.4．根据下面一组等式：11s =， 2235s =+=，345615s =++=， 47891034s =+++=， 5111213141565s =++++=， 6161718192021111s =+++++=，……可得21n S -=（ ）A ．324641n n n -+-B ．1413n -C ．2184023n n -+D ．(1)12n n -+【答案】A【解析】求出第()1n -行最后一项，可得第n 行为第一项，求出第n 行最后一项，根据第n 是等差数列求出n S ，即可求出21n S -. 【详解】易得第()1n -行最后一项为[]21(1)(1)22n n n n +---=，则第n 行第一项为212n n-+， 第n 行最后一项为2(1)22n n n n++=， 故第n 行为第一项212n n -+，最后一项为22n n+，项数为n 的等差数列， 故22312222n n n n n n n n S ⎛⎫-+++ ⎪+⎝⎭==， 所以32214641n S n n n -=-+-.故选：A. 【点睛】本题考查对数列的理解，以及等差数列的前n 项和的求法，属于中档题.二、填空题5．1-和4-的等比中项为__________． 【答案】2±【解析】根据等比中项定义直接求解. 【详解】1-和4-的等比中项为2=±故答案为：2± 【点睛】本题考查等比中项，考查基本分析求解能力，属基础题. 6．化简求值：1tan arccos 3⎛⎫= ⎪⎝⎭________．【答案】【解析】设1arccos3α=，求出α的正弦值、余弦值，利用商数关系可得到答案．【详解】由反余弦函数定义得1 arccos(0,)32π∈，11cos(arccos)33=，∴2211122sin(arccos)1cos(arccos)1()3333=-=-=，1sin(arcsin)13tan(arccos)2213cos(arccos)3==故答案为：22．【点睛】本题考查反余弦函数的定义，考查平方关系，属于基础题.7．若函数()sin()(0)f x xωϕω=+>的局部图像如下图，则ω=_______．【答案】4【解析】根据图象确定周期，解得ω.【详解】由图得0022()442T x xTπππω=+-=∴==故答案为：4【点睛】本题考查函数周期，考查数形结合思想方法，属基础题.8．若三角式等式2cos2cos cosx a b x c x=++（,,a b c为常数），对于任意x∈R都成立，则a b c-+=______．【答案】1【解析】利用特值法，分别取2xπ=，xπ=，0x=，代入三角等式即可得到答案. 【详解】因为三角式等式2cos2cos cosx a b x c x=++（,,a b c为常数），对于任意x ∈R 都成立， 所以当2x π=时，2cos coscos 22πππ=++a b c ，解得：1a =-.当x π=时，2cos 2cos cos πππ=++a b c ， 即：1=-+a b c .当0x =时，2cos0cos0cos 0=++a b c ， 即：1a b c =++.所以1111b c b c =--+⎧⎨=-++⎩，解得02b c =⎧⎨=⎩. 所以1021-+=-++=a b c . 故答案为：1 【点睛】本题主要考查特殊三角函数值得用法，特值法为解决本题的关键，属于简单题.9．lim 1nn r r →∞⎛⎫ ⎪+⎝⎭存在，则实数r 的取值范围是________． 【答案】12r >-【解析】根据数列极限存在的条件求解.， 【详解】因为lim 1nn r r →∞⎛⎫ ⎪+⎝⎭存在，所以011<<+rr ， 解得12r >-故答案为：12r >- 【点睛】本题主要考查数列极限的定义和性质，属于基础题.10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12020OB a OA a OC =+（向量OA 、OC 不平行），A 、C 、B 共线，则2020S =_________． 【答案】1010【解析】先证明当A 、C 、B 共线且OB mOA nOC =+，则1m n +=，根据题意可求得12020a a +的值，然后利用等差数列求和公式可求得2020S 的值. 【详解】当A 、C 、B 共线时，则AB 、AC 共线，可设AB AC λ=， 所以，()OB OA OC OA λ-=-，()1OB OA OC λλ∴=-+， 又OB mOA nOC =+，则()11m n λλ+=-+=，由于12020OB a OA a OC =+（向量OA 、OC 不平行），A 、C 、B 共线，则120201a a +=， 由等差数列的求和公式可得()120202020202020201101022a a S +⨯===.故答案为：1010. 【点睛】本题考查等差数列求和，同时也考查了三点共线结论的应用，考查计算能力，属于中等题.11．123PP P 是边长为1的正三角形，则12(,1,2,3,)i j PP PP i j i j ⋅=≠取值集合为__________． 【答案】111,,,122⎧⎫--⎨⎬⎩⎭【解析】根据数量积的定义，分别求2112PP PP ⋅、1122PP P P ⋅、1213PP PP ⋅、1132PP P P ⋅、3122PP P P ⋅、2132PP P P ⋅，即可得12(,1,2,3,)i j PP PP i j i j ⋅=≠取值集合. 【详解】 如图：由向量数量积的定义得：11212122cos01111PP PP PP PP ⋅==⨯⨯=；()12122121cos1801111PP P P PP P P ⋅==⨯⨯-=-； 1212131311cos601122PP PP PP PP ⋅==⨯⨯=； 3112123111cos1201122PP P P PP P P ⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭； 2312122311cos1201122PP P P PP P P ⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭； 1212323211cos601122PP P P PP P P ⋅==⨯⨯=. 故构成的集合为：111,,,122⎧⎫--⎨⎬⎩⎭ 【点睛】本题主要考查了向量数量积的定义，属于基础题.12．向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R)，则λμ=___________.【答案】4 【解析】【详解】以向量a ，b 的交点为原点，建立直角坐标系，则a =(-1,1)， b =(6,2)， c = (-1,-3)，由c =λa ＋μb ，得()()()1,31,16,2λμ--=-+，即61,{23,λμλμ-+=-+=-解得12,2λμ=-=-，4λμ=.【考点定位】本小题考查了平面向量的线性运算、坐标运算和平面向量基本定理.13．已知{}n a 是等差数列, 11a =,公差0d ≠,n S 为其前n 项和,若1a ,2a ,5a 成等比数列,则8S =_____. 【答案】64【解析】利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出． 【详解】解：因为{}n a 为等差数列,且1a ,2a ,5a 成等比数列,所以()()21114a a d a d +=+,解得122d a ==,所以()()818818818826422S a d ⨯-⨯-=+=+⨯=. 故答案为：64 【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 14．如图是由6个宽、高分别为1b ，1a ；2b ，2a ；3b ，3a ；…；6b ，6a ，的矩形在第一象限紧挨拼成()1234560a a a a a a >>>>>>．显然6个矩形面积之和为6112266S a b a b a b =+++．若记12i i T b b b =+++，1,2,,6i =，则上述面积又可以写成()()()6121232565S a a T a a T a a T X =-+-++-+形式，其中代数式X =________．（用题目中元素i a ，i b ，i T 的最简形式表达）【答案】66a T【解析】根据题中条件，找出规律，进而可得出结果. 【详解】由题意，()()611226*********S a b a b a b a T a T T a T T =+++=+-++-()()()12123256566a a T a a T a a T a T =-+-++-+故66X a T =. 故答案为：66a T . 【点睛】本题主要考查合情推理的简单应用，属于基础题型.15．已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，1cos ,[0,]2()121,(,)2x x f x x x π⎧∈⎪⎪=⎨⎪-∈+∞⎪⎩，则不等式1(1)2f x -≤的解集为__________． 【答案】4712{|}3443x x x ≤≤≤≤或【解析】当102x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，由()1 2f x =，即1 2cos x π= 则 3x ππ=，即13x =当12x >时，由()1 2f x =，得121?2x -=，解得3 4x =则当0x ≥时，不等式()12f x ≤的解为1334x ≤≤ 则由()f x 为偶函数∴当0x <时，不等式()12f x ≤的解为3143x -≤≤- 即不等式()12f x ≤的解为1334x ≤≤或3143x -≤≤-则由13134x ≤-≤或31143x -≤-≤-解得：4734x ≤≤或1243x ≤≤即不等式()112f x -≤的解集为4712{|}3443x x x ≤≤≤≤或点睛：本题是一道关于分段函数的应用的题目，考查了不等式的求解以及函数的图象问题．先求出当0x ≥时，不等式()12f x ≤的解，然后利用函数的奇偶性求出整个定义域()12f x ≤的解，即可得到结论． 16．三角形蕴涵大量迷人性质，例如：若点O 在ABC 内部，用A B C S S S 、、分别代表OBC 、OCA 、OAB 的面积，则有0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=．现在假设锐角三角形顶点,,A B C 所对的边长分别为,,,a b c H 为其垂心，,,HA HB HC 的单位向量分别为123,,e e e ，则123ae be ce ++=_________．【答案】0【解析】由0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=可得112a HD HA e ⋅+212b HE HB e ⋅+3102c HF HC e ⋅=，根据相似三角形可得HD HA HE HB =，HF HC HE HB =，即HD HA HE HB =HF HC =，即可得1230ae be ce ++= 【详解】由0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=可得1231110222a HD HA eb HE HB ec HF HC e ⋅+⋅+⋅= 根据BHD AHE ∽可得HD HA HE HB =，同理可得HF HC HE HB =，所以HD HA HE HB =HF HC =， 所以1230ae be ce ++= 故答案为：0 【点睛】本题以三角形中的结论为载体，考查了垂心的性质，涉及三角形面积公式、相似三角形的性质，属于难题.三、解答题17．已知(cos ,sin ),(cos 3sin ,3cos sin ),()a x x b x x x x f x a b ==+-=⋅（1）求()f x 的解析式及其最小正周期； （2）求()f x 的单调增区间． 【答案】（1）()2sin 2,6f x x T ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭；（2）,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦． 【解析】（1）利用数量积的坐标表示，将()f x a b =⋅表示出来，再利用二倍角公式、辅助角公式即可化简()f x ，由周期公式即可得周期. （2）令222262k x k πππππ-+≤+≤+，()k Z ∈，解得x 的范围即为()f x 的单调增区间. 【详解】（1）())()cos cos sin sin f x a b x x x xx x =⋅=+-22cos sin cos cos 22x x x x x x =-+=+ 2sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭最小正周期22T ππ== （2）令222262k x k πππππ-+≤+≤+，()k Z ∈解得：36k x k ππππ-+≤≤+，()k Z ∈所以()f x 的单调增区间为：,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈【点睛】本题主要考查了三角公式的二倍角公式、辅助角公式，考查了求解三角函数的周期和单调区间，涉及了向量数量积的坐标表示，属于中档题.18．在斜三角形ABC 中，角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、且()222sin cos cos()ba c A A ac A C --=+，（1）求角A 大小； （2）若sin cos BC>，求角C 的取值范围． 【答案】（1）4π；（2）,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】（1）根据正弦定理与余弦定理化简条件，解得角A ；（2）将B 化为C ，再根据两角和正弦公式化简，最后根据正切函数性质解不等式得结果. 【详解】 （1）()222sin cos cos()ba c A A ac A C --=+()2cos sin cos cos()ac B A A ac B π∴-=- ()2cos sin cos cos ac B A A ac B ∴-=-因为斜三角形ABC 中cos 0,B ≠2sin cos 1sin 212,24A A A A A ππ∴=∴=∴==；（2）sin()sin 4cos cosC B C Cπ+>>cos 22tan 1(,)cos 42C CC C C ππ+∴>>∴∈ 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、两角和正弦公式、正切函数性质，考查综合分析求解能力，属中档题.19．某水泥厂计划用一台小型卡车从厂区库房运送20根水泥电线杆，到一条公路沿着路侧架设，已知库房到该公路入口处500米，从库房出发卡车进入公路后继续行驶，直到离入口50米处时放下第一根电线杆，然后沿着该公路同一侧边每隔50米逐一放下余下电线杆，放完折返库房重新装运剩余电线杆．已知卡车每趟从库房最多只能运送3根水泥杆．问：卡车运送完这批水泥杆，并最终返回库房，至少运送几趟？最少行驶多少米？【答案】至少运送7趟，最少行驶14700米.【解析】根据每趟从库房最多只能运送3根水泥杆确定运送趟数，再根据等差数列求和公式计算行驶路程. 【详解】因为每趟从库房最多只能运送3根水泥杆，20362=⨯+，所以至少运送7趟， 第一趟运送2根，后6趟每次运送3根时行驶路程最少，后6趟行驶路程构成以为(500505)2+⨯⨯首项，(5032)⨯⨯为公差的等差数列，最少行驶16(500505)2(5032)65(500502)2147002+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯++⨯⨯=米 【点睛】本题考查数列在实际问题中应用、等差数列求和公式，考查基本分析求解能力，属中档题.20．设数列{}n x 各项均为正数，且满足()22221222,n x x x n n n N ++++=+∈，（1）求数列{}n x 的通项公式n x ；（2）已知122311113n n x x x x x x ++++=+++，求n ；（3）试用数学归纳法证明：2122312(1)1n n x x x x x x n +⎡⎤+++<+-⎣⎦．【答案】（1）*n x n N =∈；（2）48；（3）证明见解析． 【解析】（1）先根据和项与通项关系求得2n x ，解得n x ； （2）利用裂项相消法化简条件，解得结果；（3）先证明1n =成立，再根据n k =成立推导1n k =+成立即可. 【详解】 （1）当2n ≥时222222221212122,2(1)2(1),n n x x x n n x x x n n -+++=++++=-+-所以222222(1)2(1)4n n n n n xn =+----=当1n =时221224,40n n n x x nx x =+=∴=>∴=（2）111(1)2221n n n n x x n n +==+-+++所以122311111111(21)(32)(1)(11)32222n n n n n x x x x x x ++++=-+-+++-=+=+++解得48n =；（3）①当1n =时, 212222232[(11)1]x x =⨯<⨯=+-，即1n =时,结论成立； ②假设当,(1,)n k k k Z =≥∈时,结论成立，即2122312(1)1k k x x x x x x k +⎡⎤+++<+-⎣⎦当1n k =+时, 21212122312(1)1k k k k k k x x x x x x x x x k x ++++++⎡⎤+++<+⎣⎦+-因为21224122(2(1)12(212)3)k k x k x k k k k ++⎡⎤⎡⎤+-+-+=++⎣-⎦++⎣⎦22222(41282(2)12(2)14129)k k k k k k =+++-+⎡⎤⎡⎤+-+-+⎣<⎦⎣⎦即当1n k =+时, 结论成立； 由①②得，2122312(1)1n n x x x x x x n +⎡⎤+++<+-⎣⎦【点睛】本题考查根据和项求通项、裂项相消法求和、数学归纳法证明不等式，考查综合分析论证与求解能力，属中档题.21．借助三角比及向量知识，可以方便地讨论平面上点及图象的旋转问题．试解答下列问题．（1）在直角坐标系中，点133,122A ⎫-⎪⎪⎭，将点A 绕坐标原点O 按逆时针方向旋转6π到点B ，如果终边经过点A 的角记为α，那么终边经过点B 的角记为6πα+．试用三角比知识，求点B 的坐标；（2）如图，设向量(),AB h k =，把向量AB 按逆时针方向旋转θ角得向量AC ，试用h 、k 、θ表示向量AC 的坐标；（3）设(),Aa a 、(),B m n 为不重合的两定点，将点B 绕点A 按逆时针方向旋转θ角得点C ，判断C 是否能够落在直线y x =上，若能，试用a 、m 、n 表示相应θ的值，若不能，说明理由．【答案】（1）()2,1；（2）()cos sin ,cos sin AC h k k h θθθθ=-+；（3）能，()(),22arctan ,22k k Z m n a m n k k Z m n am n a ππθπ⎧+∈+=⎪⎪=⎨-⎪+∈+≠⎪+-⎩.【解析】（1）计算出OA 以及sin α、cos α的值，利用两角和的正弦和余弦公式可求得cos 6πα⎛⎫+⎪⎝⎭和sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，进而可得点B 的坐标； （2）记AB r =，cos h r β=，sin krβ=，可得出()()()cos ,sin AC r r βθβθ=++，利用两角和的正、余弦公式可求得向量AC 的坐标； （3）求得点C 的坐标，由点C 在直线y x =上可得出()()2sin cos m n a m n θθ+-=-，分20m n a +-=与20m n a +-≠两种情况讨论，结合反三角函数可得出角θ. 【详解】（1）由于点1,122A ⎫-⎪⎪⎭，则OA ==根据三角函数的定义可得1cos 10α==，1sin α-==所以，1cos cos cos sin sin 6661021025πππααα⎛⎫+=-=-⨯=⎪⎝⎭，1sin sin cos cos sin 6661021025πππααα⎛⎫+=+=+⨯=⎪⎝⎭，由旋转可知，OB OA == 所以，点B 的横坐标为cos 26B x OB θα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，纵坐标为sin 16B y OB πα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，因此，点B 的坐标为()2,1； （2）记AB r =，cos h r β=，sin krβ=，则()()()cos ,sin AC r r βθβθ=++， 其中()cos cos cos sin sin cos sin r r r h k βθβθβθθθ+=-=-，()sin sin cos cos sin cos sin r r r k h βθβθβθθθ+=+=+，因此，()cos sin ,cos sin AC h k k h θθθθ=-+； （3）(),AB m a n a =--， 由（2）可知()()()()()cos sin ,cos sin AC m a n a n a m a θθθθ=----+-，()()()()()cos sin ,cos sin O a m a n a C OA A b n a m a C θθθθ=+---++=+--，即点()()()()()cos sin ,cos sin C a m a n a a n a m a θθθθ+---+-+-， 由于点C 在直线y x =上，可得()()()()cos sin cos sin a m a n a a n a m a θθθθ+---=+-+-， 整理得()()2sin cos m n a m n θθ+-=-.①当20m n a +-=时，即当2m n a +=时，cos 0θ=，此时()2k k Z πθπ=+∈；②当20m n a +-≠时，即当2m n a +≠时，可得tan 2m nm n aθ-=+-，此时，()arctan2m nk k Z m n aθπ-=+∈+-.综上所述，()(),22arctan ,22k k Z m n a m n k k Z m n am n a ππθπ⎧+∈+=⎪⎪=⎨-⎪+∈+≠⎪+-⎩. 【点睛】本题考查三角恒等变换与平面向量的综合问题，考查了两角和的正弦、余弦公式以及反三角函数的应用，考查推理能力与计算能力，属于难题.。