2019高考数学二轮复习 专题三 三角函数、平面向量 2.3.3 平面向量学案 理

专题一 平面向量、三角函数与解三角形[全国卷3年考情分析]第一讲 小题考法——平面向量[典例感悟][典例] (1)(2018·福州模拟)如图，在直角梯形ABCD 中，DC ―→＝14AB ―→，BE ―→＝2EC ―→，且AE ―→＝r AB ―→＋s AD ―→，则2r ＋3s ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)(2019届高三·开封模拟)已知平面向量a ，b ，c ，a ＝(－1,1)，b ＝(2,3)，c ＝(－2，k )，若(a ＋b )∥c ，则实数k ＝________.[解析] (1)法一：根据图形，由题意可得AE ―→＝AB ―→＋BE ―→＝AB ―→＋23BC ―→＝AB ―→＋23(BA―→＋AD ―→＋DC ―→)＝13AB ―→＋23(AD ―→＋DC ―→)＝13AB ―→＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫AD ―→＋14AB ―→ ＝12AB ―→＋23 AD ―→.因为AE―→＝r AB ―→＋s AD ―→，所以r ＝12，s ＝23，则2r ＋3s ＝1＋2＝3，故选C.法二：如图所示，建立平面直角坐标系xAy ，依题意可设点B (4m,0)，D (3m,3h )，E (4m,2h )，其中m >0，h >0.由AE ―→＝r AB ―→＋s AD ―→，得(4m,2h )＝r (4m,0)＋s (3m,3h )，所以⎩⎪⎨⎪⎧4m ＝4mr ＋3ms ，2h ＝3hs ，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝12，s ＝23，所以2r ＋3s ＝1＋2＝3，选C.(2)由题意，得a ＋b ＝(1,4)，由(a ＋b )∥c ，得1×k ＝4×(－2)，解得k ＝－8. [答案] (1)C (2)－8[方法技巧]解决平面向量问题的常用3种方法[演练冲关]1．(2018·合肥二模)如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→，且BP ―→＝2PA ―→，则( )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14解析：选A 由题意知OP ―→＝OB ―→＋BP ―→，又BP ―→＝2PA ―→＝23BA ―→，所以OP ―→＝OB ―→＋23BA―→＝OB ―→＋23(OA ―→－OB ―→)＝23OA ―→＋13OB ―→，所以x ＝23，y ＝13.2．(2018·西安高级中学三模)在△ABC 中，AE ―→＝2EB ―→，AF ―→＝3FC ―→，连接BF ，CE ，且BF ∩CE ＝M ，AM ―→＝x AE ―→＋y AF ―→，则x －y 等于( )A ．－112B.112C ．－16D.16解析：选C 因为AE ―→＝2EB ―→，所以AE ―→＝23AB ―→，所以AM ―→＝x AE ―→＋y AF ―→＝23x AB ―→＋y AF ―→.由B ，M ，F 三点共线得23x ＋y ＝1.①因为AF ―→＝3FC ―→，所以AF ―→＝34AC ―→，所以AM ―→＝x AE ―→＋y AF ―→＝x AE ―→＋34y AC ―→.由C ，M ，E 三点共线得x ＋34y ＝1.②联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝23，所以x －y ＝12－23＝－16，故选C.3．已知A (－1,2)，B (a －1,3)，C (－2，a ＋1)，D (2,2a ＋1)，若向量AB ―→与CD ―→平行且同向，则实数a 的值为________．解析：法一：由已知得AB ―→＝(a,1)，CD ―→＝(4，a )，因为AB ―→与CD ―→平行且同向，故可设AB ―→＝λCD ―→(λ>0)，则(a,1)＝λ(4，a )，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4λ，1＝a λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，λ＝12.故所求实数a ＝2.法二：由已知得AB ―→＝(a,1)，CD ―→＝(4，a )，由AB ―→∥CD ―→，得a 2－4＝0，解得a ＝±2.又向量AB ―→与CD ―→同向，易知a ＝－2不符合题意．故所求实数a ＝2.答案：2[典例感悟][典例] (1)(2018·南宁、柳州联考)已知单位向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则a 与b －a 的夹角是( )A.π6 B.π3 C.π4D.3π4(2)(2018·福州四校联考)已知向量a ，b 为单位向量，且a ·b ＝－12，向量c 与a ＋b共线，则|a ＋c |的最小值为( )A ．1 B.12 C.34D.32(3)(2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－1[解析] (1)因为|a ＋b |＝|a －b |，所以(a ＋b )2＝(a －b )2，整理得a ·b ＝0.在平面直角坐标系中作出a ，b ，b －a ，如图，易知a 与b －a 的夹角是3π4，故选D.(2)法一：∵向量c 与a ＋b 共线，∴可设c ＝t (a ＋b )(t ∈R )，∴a ＋c ＝(t ＋1)a ＋t b ，∴(a ＋c )2＝(t ＋1)2a 2＋2t (t ＋1)a ·b ＋t 2b 2，∵向量a ，b 为单位向量，且a ·b ＝－12，∴(a ＋c )2＝(t ＋1)2－t (t ＋1)＋t 2＝t 2＋t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋34≥34，∴|a ＋c |≥32，∴|a ＋c |的最小值为32，故选D. 法二：∵向量a ，b 为单位向量，且a ·b ＝－12，∴向量a ，b 的夹角为120°，在平面直角坐标系中，不妨设向量a ＝(1,0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，则a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.∵向量c 与a ＋b 共线，∴可设c ＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32(t ∈R )，∴a ＋c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t2，32t ，∴|a ＋c |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t 22＋3t24＝t 2＋t ＋1≥32，∴|a ＋c |的最小值为32，故选D. (3)如图，以等边三角形ABC 的底边BC 所在直线为x 轴，以BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则A (0，3)，B (－1,0)，C (1,0)，设P (x ，y )，则PA ―→＝(－x, 3－y )，PB ―→＝(－1－x ，－y )，PC ―→＝(1－x ，－y )，所以PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )＝2x 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322－32，故当x ＝0，y ＝32时，PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)取得最小值，为－32.[答案] (1)D (2)D (3)B[方法技巧]解决以平面图形为载体的向量数量积问题的方法(1)选择平面图形中模与夹角确定的向量作为一组基底，用该基底表示构成数量积的两个向量，结合向量数量积运算律求解．(2)若已知图形中有明显的适合建立直角坐标系的条件，可建立直角坐标系将向量数量积运算转化为代数运算来解决．[演练冲关]1．(2018·昆明模拟)已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(1,3)，则|2a －b |＝( ) A. 2 B ．2 C.10D ．10解析：选 C 由已知，易得2a －b ＝2(－1,2)－(1,3)＝(－3,1)，所以|2a －b |＝－2＋12＝10.故选C.2．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a ，b 满足|a |＝1，a ·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．0解析：选B a ·(2a －b )＝2a 2－a ·b ＝2|a |2－a ·b . ∵|a |＝1，a ·b ＝－1，∴原式＝2×12＋1＝3.3．(2018·陕西宝鸡一模)在等腰直角三角形ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝2，M ，N (不与A ，C 重合)为AC 边上的两个动点，且满足|MN ―→|＝2，则BM ―→·BN ―→的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞解析：选C 以等腰直角三角形ABC 的直角边所在直线为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则B (0,0)，直线AC 的方程为x ＋y ＝2.设M (a,2－a )，则0<a <1.由|MN ―→|＝2，得N (a ＋1,1－a )， ∴BM ―→＝(a,2－a )，BN ―→＝(a ＋1,1－a )．∴BM ―→·BN ―→＝a (a ＋1)＋(2－a )(1－a )＝2a 2－2a ＋2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋32.∵0<a <1，∴当a ＝12时，BM ―→·BN ―→取得最小值32.当a ＝0或a ＝1时，BM ―→·BN ―→＝2. ∴BM ―→·BN ―→的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2.故选C.4．在△ABC 中，AB ―→·AC ―→＝83，AB ―→，CA ―→的夹角为150°.若M 为△ABC 内的动点，且△MAB ，△MBC ，△MCA 的面积分别为2，m ，n ，则1m ＋9n的最小值是( )A ．20B ．18C ．16D ．8解析：选D 设△ABC 的内角B ，C 所对的边分别为b ，c ，因为AB ―→·AC ―→＝83，AB ―→，CA ―→的夹角为150°，所以8 3＝bc ·cos 30°，解得bc ＝16，所以S △ABC ＝12bc sin ∠BAC＝12×16×sin 30°＝4.依题意得2＋m ＋n ＝4，解得m ＋n ＝2.因为1m ＋9n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋9n ×m ＋n 2＝5＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫n m ＋9m n ≥5＋12×2n m ×9m n ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当m ＝12，n ＝32时取等号，所以1m ＋9n 的最小值是8.故选D.[必备知能·自主补缺]依据学情课下看，针对自身补缺漏；临近高考再浏览，考前温故熟主干[主干知识要记牢]1．平面向量的两个充要条件若两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 (1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 2．平面向量的性质(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB ―→|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22. (4)|a ·b |≤|a |·|b |.[二级结论要用好]1．三点共线的判定(1)A ，B ，C 三点共线⇔AB ―→，AC ―→共线．(2)向量PA ―→，PB ―→，PC ―→中三终点A ，B ，C 共线⇔存在实数α，β使得PA ―→＝αPB ―→＋βPC ―→，且α＋β＝1.[针对练1] 在▱ABCD 中，点E 是AD 边的中点，BE 与AC 相交于点F ，若EF ―→＝m AB ―→＋n AD ―→(m ，n ∈R )，则m n＝________.解析：如图，∵AD ―→＝2AE ―→，EF ―→＝m AB ―→＋n AD ―→，∴AF ―→＝AE ―→＋EF―→＝m AB ―→＋(2n ＋1)AE ―→，∵F ，E ，B 三点共线，∴m ＋2n ＋1＝1，∴m n＝－2.答案：－22．中点坐标和三角形的重心坐标(1)设P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则线段P 1P 2的中点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22. (2)三角形的重心坐标公式：设△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则△ABC 的重心坐标是G ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33.3．三角形“四心”向量形式的充要条件设O 为△ABC 所在平面上一点，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，则 (1)O 为△ABC 的外心⇔|OA ―→|＝|OB ―→|＝|OC ―→|＝a2sin A. (2)O 为△ABC 的重心⇔OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0.(3)O 为△ABC 的垂心⇔OA ―→·OB ―→＝OB ―→·OC ―→＝OC ―→·OA ―→. (4)O 为△ABC 的内心⇔a OA ―→＋b OB ―→＋c OC ―→＝0.[易错易混要明了]1．要特别注意零向量带来的问题：0的模是0，方向任意，并不是没有方向；0与任意向量平行；λ0＝0(λ∈R )，而不是等于0；0与任意向量的数量积等于0，即0·a ＝0；但不说0与任意非零向量垂直．2．当a ·b ＝0时，不一定得到a ⊥b ，当a ⊥b 时，a ·b ＝0；a ·b ＝c ·b ，不能得到a ＝c ，即消去律不成立；(a ·b )·c 与a ·(b ·c )不一定相等，(a ·b )·c 与c 平行，而a ·(b ·c )与a 平行．3．两向量夹角的范围为[0，π]，向量的夹角为锐角(钝角)与向量的数量积大于(小于)0不等价．[针对练2] 已知向量a ＝(－2，－1)，b ＝(λ，1)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是________________．解析：依题意，当a 与b 的夹角为钝角时，a ·b ＝－2λ－1<0，解得λ>－12.而当a 与b 共线时，有－2×1＝－λ，解得λ＝2，即当λ＝2时，a ＝－b ，a 与b 反向共线，此时a与b 的夹角为π，不是钝角，因此，当a 与b 的夹角为钝角时，λ的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2∪(2，＋∞)．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2∪(2，＋∞) [课时跟踪检测] A 级——12＋4提速练一、选择题1．(2018·贵州模拟)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(m ，－1)，若a ∥b ，则实数m 的值为( ) A.12 B ．－12C ．3D ．－3解析：选B 由题意，得1×(－1)－2m ＝0，解得m ＝－12，故选B.2．(2018·福州模拟)已知a ＝(1,2)，b ＝(－1,1)，c ＝2a －b ，则|c |＝( ) A.26 B ．3 2 C.10D. 6解析：选B 因为c ＝2a －b ＝2(1,2)－(－1,1)＝(3,3)， 所以|c |＝32＋32＝3 2.故选B.3．(2019届高三·广西五校联考)设D 是△ABC 所在平面内一点，AB ―→＝2DC ―→，则( ) A ．BD ―→＝AC ―→－32AB ―→B ．BD ―→＝32AC ―→－AB ―→C ．BD ―→＝12AC ―→－AB ―→D ．BD ―→＝AC ―→－12AB ―→解析：选A BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝BC ―→－DC ―→＝AC ―→－AB ―→－12AB ―→＝AC ―→－32AB ―→.4．(2018·云南调研)在▱ABCD 中，|AB |―→＝8，|AD |―→＝6，N 为DC 的中点，BM ―→＝2MC ―→，则AM ―→·NM ―→＝( )A ．48B ．36C ．24D ．12解析：选CAM ―→·NM ―→＝(AB―→＋BM ―→)·(NC―→＋CM ―→)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB ―→＋23 AD ―→ ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB ―→－13 AD ―→ ＝12AB ―→2－29AD ―→2＝12×82－29×62＝24. 5．已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量CD ―→在AB ―→方向上的投影是( )A.322B ．－322C ．3 5D ．－3 5解析：选C 依题意得，AB ―→＝(2,1)，CD ―→＝(5,5)，AB ―→·CD ―→＝(2,1)·(5,5)＝15，|AB ―→|＝5，因此向量CD ―→在AB ―→方向上的投影是AB ―→·CD ―→|AB ―→|＝155＝3 5.6．(2019届高三·湖南五市十校联考)△ABC 是边长为2的等边三角形，向量a ，b 满足AB ―→＝2a ，AC ―→＝2a ＋b ，则向量a ，b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选C BC ―→＝AC ―→－AB ―→＝2a ＋b －2a ＝b ，则向量a ，b 的夹角即为向量AB ―→与BC ―→的夹角，故向量a ，b 的夹角为120°.7．(2018·西工大附中四模)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，点G 在△ABC 内，且满足GA ―→＋GB ―→＋GC ―→＝0，GA ―→·GB ―→＝0，若a 2＋b 2＝λc 2(λ∈R )，则λ＝( )A ．－5B ．－2C ．2D ．5解析：选D 设BC 的中点为D ，连接GD (图略)，则GB ―→＋GC ―→＝2GD ―→. 又GA ―→＋GB ―→＋GC ―→＝0，所以2GD ―→＝AG ―→， 所以A ，G ，D 三点共线，且AG ＝2GD .故AG ―→＝23AD ―→＝23×12(AB ―→＋AC ―→)＝13(AB ―→＋AC ―→)．同理可得BG ―→＝13(BA ―→＋BC ―→)．由GA ―→·GB ―→＝0，得19(AB ―→＋AC ―→)·(BA ―→＋BC ―→)＝0，所以(AB ―→＋AC ―→)·(AC ―→－2AB ―→)＝0， 即|AC ―→|2－2|AB ―→|2－AB ―→·AC ―→＝0，所以b 2－2c 2－bc ·b 2＋c 2－a 22bc＝0，化简得a 2＋b 2＝5c 2.又a 2＋b 2＝λc 2(λ∈R )，所以λ＝5.故选D.8．已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，设点P ，Q 满足AP ―→＝λAB ―→，AQ ―→＝(1－λ)AC ―→，λ∈R ，若BQ ―→·CP ―→＝－32，则λ＝( )A.12B.1±22 C.1±102D.－3±222解析：选A 以点A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，过点A且垂直于AB 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (1，3)，∴AB ―→＝(2,0)，AC ―→＝(1，3)，又AP ―→＝λAB ―→，AQ ―→＝(1－λ)AC ―→，∴P (2λ，0)，Q (1－λ，3(1－λ))，∴BQ ―→·CP ―→＝(－1－λ，3(1－λ))·(2λ－1，－3)＝－32，化简得4λ2－4λ＋1＝0，∴λ＝12.9．(2018·西安八十三中二模)称d (a ，b )＝|a －b |为两个向量a ，b 间的“距离”．若向量a ，b 满足：①|b |＝1；②a ≠b ；③对任意t ∈R ，恒有d (a ，t b )≥d (a ，b )，则( )A ．a ⊥bB ．a ⊥(a －b )C ．b ⊥(a －b )D ．(a ＋b )⊥(a －b )解析：选C 由d (a ，t b )≥d (a ，b )，可知|a －t b |≥|a －b |，所以(a －t b )2≥(a －b )2，又|b |＝1，所以t 2－2(a ·b )t ＋2(a ·b )－1≥0.因为上式对任意t ∈R 恒成立，所以Δ＝4(a ·b )2－4[2(a ·b )－1]≤0，即(a ·b －1)2≤0，所以a ·b ＝1.于是b ·(a －b )＝a ·b －|b |2＝1－12＝0，所以b ⊥(a －b )．故选C.10．(2018·河南林州检测)已知△ABC 的外接圆的圆心为O ，满足：CO ―→＝m CA ―→＋n CB ―→,4m＋3n ＝2，且|CA ―→|＝43，|CB ―→|＝6，则CA ―→·CB ―→＝( )A ．36B ．24C ．24 3D ．12 3解析：选A CO ―→·CA ―→＝m CA ―→2＋n CA ―→·CB ―→，因为O 为△ABC 的外心，所以12CA ―→2＝m CA―→2＋n |CA ―→|·|CB ―→|·cos∠BCA ，所以24＝48m ＋243n ·cos∠BCA ，因为4m ＋3n ＝2，所以24＝12(2－3n )＋243n ·cos∠BCA ，又n ≠0，即cos ∠BCA ＝32，所以CA ―→·CB ―→＝|CA ―→|·|CB ―→|cos ∠BCA ＝43×6×32＝36.11．设e 1，e 2，e 3为单位向量，且e 3＝12e 1＋k e 2(k >0)，若以向量e 1，e 2为两边的三角形的面积为12，则k 的值为( )A.32B.22C.52D.72解析：选A 设e 1，e 2的夹角为θ，则由以向量e 1，e 2为两边的三角形的面积为12，得12×1×1×sin θ＝12，得sin θ＝1，所以θ＝90°，所以e 1·e 2＝0.从而将e 3＝12e 1＋k e 2两边平方得1＝14＋k 2，解得k ＝32或k ＝－32(舍去)．12.如图所示，点A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段OC 与线段AB 交于圆内一点M ，若OC ―→＝m OA ―→＋n OB ―→(m >0，n >0)，m ＋n ＝2，则∠AOB 的最小值为( )A.π6B.π3C.π2D.2π3解析：选D 将OC ―→＝m OA ―→＋n OB ―→平方得1＝m 2＋n 2＋2mn cos ∠AOB ， cos ∠AOB ＝1－m 2－n 22mn ＝1－m ＋n 2＋2mn 2mn ＝－32mn ＋1≤－12(当且仅当m ＝n ＝1时等号成立)，∵0<∠AOB <π，∴∠AOB 的最小值为2π3.二、填空题13．(2018·汕头模拟)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(3，m )．若(a ＋2b )∥(3b －a )，则实数m 的值是________．解析：a ＋2b ＝(2,1)＋(6,2m )＝(8,1＋2m )，3b －a ＝(9,3m )－(2,1)＝(7,3m －1)，由(a ＋2b )∥(3b －a )，得8(3m －1)－7(1＋2m )＝0，解得m ＝32.答案：3214．(2018·长春模拟)已知平面内三个不共线向量a ，b ，c 两两夹角相等，且|a |＝|b |＝1，|c |＝3，则|a ＋b ＋c |＝________.解析：由平面内三个不共线向量a ，b ，c 两两夹角相等，可得夹角均为2π3，所以|a ＋b＋c |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2a ·c ＝1＋1＋9＋2×1×1×cos 2π3＋2×1×3×cos 2π3＋2×1×3×cos 2π3＝4，所以|a ＋b ＋c |＝2.答案：215．(2018·河北衡水中学三调)如图，已知平面内有三个向量OA ―→，OB ―→，OC ―→，其中OA ―→与OB ―→的夹角为120°，OA ―→与OC ―→的夹角为30°，且|OA ―→|＝|OB ―→|＝1，|OC ―→|＝2 3.若OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________．解析：法一：如图所示，作平行四边形OB1CA 1，则OC ―→＝OB ―→1＋OA―→1，因为OA ―→与OB ―→的夹角为120°，OA ―→与OC ―→的夹角为30°，所以∠B 1OC ＝90°.在Rt △B 1OC 中，∠OCB 1＝30°，|OC |＝23，所以|OB 1|＝2，|B 1C |＝4，所以|OA 1|＝|B 1C |＝4，所以OC ―→＝4OA ―→＋2OB ―→，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.法二：以O 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (1,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，C (3，3)．由OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，得⎩⎪⎨⎪⎧3＝λ－12μ，3＝0＋32μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝4，μ＝2.所以λ＋μ＝6.答案：616．(2018·渭南一模)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝30°，E 为CD 的中点，若AC ―→·BE ―→＝1，则AB 的长为________．解析：因为四边形ABCD 是平行四边形，E 为CD 的中点，所以AC ―→＝AB ―→＋AD ―→，BE ―→＝BC ―→＋CE ―→＝AD ―→－12AB ―→，所以AC ―→·BE ―→＝(AB ―→＋AD ―→)·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD ―→－12AB ―→ ＝AD ―→2－12AB ―→2＋12AB ―→·AD ―→＝1，又AD ―→2＝1，AB ―→·AD ―→＝1×|AB ―→|×cos 30°＝32|AB ―→|，所以1－12AB ―→2＋34|AB ―→|＝1，解得|AB ―→|＝32或|AB ―→|＝0(舍去)．答案：32B 级——难度小题强化练1．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB ―→＝( ) A.34AB ―→－14AC ―→ B.14AB ―→－34AC ―→C.34AB ―→＋14AC ―→ D.14AB ―→＋34AC ―→ 解析：选A 法一：作出示意图如图所示．EB ―→＝ED ―→＋DB ―→＝12AD―→＋12CB ―→＝12×12(AB ―→＋AC ―→)＋12(AB ―→－AC ―→)＝34AB ―→－14AC ―→.故选A. 法二：不妨设△ABC 为等腰直角三角形，且∠A ＝π2，AB ＝AC ＝1.建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (0,1)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，14.故AB ―→＝(1,0)，AC―→＝(0,1)，EB ―→＝(1,0)－⎝ ⎛⎭⎪⎫14，14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34，－14，即EB ―→＝34AB ―→－14AC ―→.2．已知点P 是△ABC 内一点，且BA ―→＋BC ―→＝6BP ―→，则S △ABP S △ACP＝( )A.12B.13C.14D.15解析：选C 设点D 为AC 的中点，在△ABC 中，BA ―→＋BC ―→＝2BD ―→，即2BD ―→＝6BP ―→，所以BD ―→＝3BP ―→，即P 为BD 的三等分点，所以S △ABP S △APD ＝12，又S △APD S △APC ＝12，所以S △ABP S △ACP ＝14.3．(2018·嘉兴一模)设平面向量OA ―→＝(2,0)，OB ―→＝(0,1)，点P 满足OP ―→＝m2m 2＋2n2OA ―→＋2n m 2＋n 2OB ―→，其中m >0，n >0，O 为坐标原点，则点P 的轨迹的长度为( ) A.12 B.22 C.π2D.2π2解析：选D 设P (x ，y )，因为OA ―→＝(2,0)，OB ―→＝(0,1)，OP ―→＝m2m 2＋2n2OA ―→＋2nm 2＋n 2OB ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫2m2m 2＋2n2，2n2m 2＋2n 2，所以x ＝2m 2m 2＋2n 2，y ＝2n 2m 2＋2n2(其中m ，n >0)，所以x 2＋y 2＝2(其中x ，y >0)，则点P 的轨迹的长度为14×2π×2＝2π2.4．(2018·重庆模拟)已知Rt △ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，AC ＝5，I 是△ABC 的内心，P 是△IBC 内部(不含边界)的动点，若AP ―→＝λAB ―→＋μAC ―→(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2 C.⎝⎛⎭⎪⎫712，1D ．(2,3)解析：选A 以B 为原点，BA ，BC 所在直线分别为x ，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则B (0,0)，A (3,0)，C (0,4)．设△ABC 的内切圆的半径为r ，因为I 是△ABC 的内心，所以(5＋3＋4)×r ＝4×3，解得r ＝1，所以I (1,1)．设P (x ，y )，因为点P 在△IBC 内部(不含边界)，所以0<x <1.因为AB ―→＝(－3,0)，AC ―→＝(－3,4)，AP ―→＝(x －3，y )，且AP ―→＝λAB ―→＋μAC ―→，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－3λ－3μ，y ＝4μ，得⎝ ⎛λ＝1－13x －14y ，μ＝14y ，所以λ＋μ＝1－13x ，又0<x <1，所以λ＋μ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1，故选A. 5．已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3，sin 2π3，OA ―→＝a －b ，OB ―→＝a ＋b ，若△OAB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB 的面积为________．解析：因为OA ―→⊥OB ―→，所以OA ―→·OB ―→＝(a －b )·(a ＋b )＝0，化简得a 2－b 2＝0，得|a |＝|b |，又|OA ―→|＝|OB ―→|，所以|OA ―→|2＝|OB ―→|2，即(a －b )2＝(a ＋b )2，得a ⊥b ，因为a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3，sin 2π3，所以|a |＝ cos22π3＋sin 22π3＝1，所以|a |＝|b |＝1，可得a ，b 是相互垂直的单位向量，所以|OA ―→|＝|OB ―→|＝2，所以△OAB 的面积S ＝12|OA ―→|·|OB ―→|＝1.答案：16．(2018·武汉调研)在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1.边DC 上的动点P (包含点D ，C )与CB 延长线上的动点Q (包含点B )满足|DP ―→|＝|BQ ―→|，则PA ―→·PQ ―→的最小值为________．解析：以点A 为坐标原点，分别以AB ，AD 所在直线为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设P (x ，1)，Q (2，y )，由题意知0≤x ≤2，－2≤y ≤0.∵|DP ―→|＝|BQ ―→|，∴|x |＝|y |，∴x ＝－y .∵PA ―→＝(－x ，－1)，PQ ―→＝(2－x ，y －1)，∴PA ―→·PQ ―→＝－x (2－x )－(y －1)＝x 2－2x －y ＋1＝x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34，∴当x ＝12时，PA ―→·PQ ―→取得最小值，为34.答案：34第二讲 小题考法——三角函数的图象与性质主要考查三角函数的图象变换或根据图象求解析式或参数[典例] (1)(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( )A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2(2)(2019届高三·广西南宁模拟)如图，函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，|φ|<π2的图象过点(0，3)，则f (x )的函数解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 (3)(2018·石家庄模拟)若ω>0，函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象向右平移π3个单位长度后与函数y ＝sin ωx 的图象重合，则ω的最小值为( )A.112B.52C.12D.32[解析] (1)易知C 1：y ＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，把曲线C 1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的图象，再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3的图象，即曲线C 2. (2)由函数图象可知，A ＝2，又函数f (x )的图象过点(0，3)，所以2sin φ＝3，即sin φ＝32，由于|φ|<π2，所以φ＝π3，于是f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，故选B. (3)将函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象向右平移π3个单位长度，得y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ3＋π3的图象．因为所得函数图象与y ＝sin ωx ，即y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋3π2的图象重合，所以－ωπ3＋π3＝3π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝－72－6k (k ∈Z )，因为ω>0，所以当k ＝－1时，ω取得最小值52，故选B.[答案] (1)D (2)B (3)B[方法技巧]1．函数表达式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的确定方法2．三角函数图象平移问题处理的“三看”策略[演练冲关]1．(2018·陕西模拟)为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象( )A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π6个单位长度解析：选 D 函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位长度，可得到函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象．故选D.2．(2018·广州模拟)将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得图象对应的函数恰为奇函数，则φ的最小值为( )A.π6 B.π12 C.π4D.π3解析：选A 由y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 可得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，该函数的图象向左平移φ个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋φ＋2π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋2π3，因为g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋2π3为奇函数，所以2φ＋2π3＝k π(k ∈Z )，φ＝k π2－π3(k ∈Z )，又φ>0，故φ的最小值为π6，故选A.3.函数f (x )＝－4sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2，x ∈R 的部分图象如图所示，则f (16)的值为( )A ．－ 2 B. 2 C ．－2 2D ．2 2解析：选C 由图象得T 2＝8，所以T ＝16，因为ω>0，所以ω＝2πT ＝π8，当x ＝－2时，f (x )＝0，则π8×(－2)＋φ＝k π，k ∈Z ，所以φ＝k π＋π4，k ∈Z .又|φ|<π2，所以φ＝π4.所以函数f (x )的解析式为f (x )＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4.所以f (16)＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫π8×16＋π4＝－4sin π4＝－2 2.故选C.4．(2018·山东日照一模)函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<0)的部分图象如图所示，为了得到函数g (x )＝A sin ωx 的图象，只需将函数y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π6个单位长度B ．向左平移π12个单位长度C ．向右平移π6个单位长度D ．向右平移π12个单位长度解析：选B 由图可得函数的最大值为2，即A ＝2.函数的周期T ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π，所以2πω＝π，解得ω＝2，所以f (x )＝2cos(2x ＋φ)．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝2，即cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝1，所以2π3＋φ＝2k π(k ∈Z )，解得φ＝2k π－2π3(k ∈Z )．又－π<φ<0，故k ＝0，φ＝－2π3.所以f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，而g (x )＝2sin 2x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝2cos 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12－π3，所以g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12.因此把函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位长度才能得到函数y ＝g (x )的图象.[典例感悟][典例] (1)(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( )A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减 (2)(2018·全国卷Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( )A.π4 B.π2C.3π4D ．π(3)(2018·惠州模拟)函数f (x )＝A sin(2x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|≤π2，A >0的部分图象如图所示，且f (a )＝f (b )＝0，对不同的x 1，x 2∈[a ，b ]，若f (x 1)＝f (x 2)，有f (x 1＋x 2)＝3，则( )A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12，π12上是减函数B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12，π12上是增函数C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5π6上是减函数D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5π6上是增函数 [解析] (1)根据函数解析式可知函数f (x )的最小正周期为2π，所以函数的一个周期为－2π，A 正确；当x ＝8π3时，x ＋π3＝3π，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝－1，所以B 正确；f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4π3，当x ＝π6时，x ＋4π3＝3π2，所以f (x ＋π)＝0，所以C 正确；函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π上单调递增，故D 不正确．(2)法一：f (x )＝cos x －sin x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，即x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4单调递增，则f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4单调递减．∵函数f (x )在[－a ，a ]是减函数，∴[－a ，a ]⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，∴0<a ≤π4，∴a 的最大值为π4.法二：因为f (x )＝cos x －sin x ， 所以f ′(x )＝－sin x －cos x ，则由题意，知f ′(x )＝－sin x －cos x ≤0在[－a ，a ]上恒成立，即sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≥0在[－a ，a ]上恒成立，结合函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象可知有⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋π4≥0，a ＋π4≤π，解得a ≤π4，所以0<a ≤π4，所以a 的最大值为π4.(3)由题图知A ＝2，设m ∈[a ，b ]，且f (0)＝f (m )，则f (0＋m )＝f (m )＝f (0)＝3，∴2sin θ＝3，sin θ＝32， 又|θ|≤π2，∴θ＝π3，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 令－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z ，此时f (x )单调递增；令π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 解得π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z ，此时f (x )单调递减．所以选项B 正确．[答案] (1)D (2)A (3)B[方法技巧]1．求函数单调区间的2种方法(1)代换法：求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))(A ，ω，φ为常数，A ≠0，ω>0)的单调区间时，令ωx ＋φ＝z ，得y ＝A sin z (或y ＝A cos z )，然后由复合函数的单调性求得．(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间．2．判断对称中心与对称轴的方法利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质，通过检验f (x 0)的值进行判断．3．求三角函数周期的常用结论(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan ()ωx ＋φ的最小正周期为π|ω|.(2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是12个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期；正切曲线相邻两对称中心之间的距离是12个周期．[演练冲关]1．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为4解析：选B ∵f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝1＋cos 2x －1－cos 2x 2＋2＝32cos 2x ＋52，∴f (x )的最小正周期为π，最大值为4.故选B.2．(2018·西安八校联考)已知函数f (x )＝cos(x ＋θ)(0<θ<π)在x ＝π3时取得最小值，则f (x )在[0，π]上的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，πB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π 解析：选A 因为0<θ<π，所以π3<π3＋θ<4π3，又f (x )＝cos(x ＋θ)在x ＝π3时取得最小值，所以π3＋θ＝π，θ＝2π3，所以f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π3.由0≤x ≤π，得2π3≤x ＋2π3≤5π3.由π≤x ＋2π3≤5π3，得π3≤x ≤π，所以f (x )在[0，π]上的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，故选A. 3．(2018·四川宜宾二诊)先将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋3π4图象上所有点的横坐标缩短为原来的13，纵坐标不变，再向右平移π8个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，则下列说法正确的是( )A ．函数g (x )图象的一条对称轴是x ＝π4B ．函数g (x )图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0 C ．函数g (x )图象的一条对称轴是x ＝π2D ．函数g (x )图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0 解析：选C 先将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋3π4图象上所有点的横坐标缩短为原来的13，纵坐标不变，可得函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4的图象，再向右平移π8个单位长度，得到函数g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8＋3π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x 的图象．令2x ＝k π，k ∈Z ，得x ＝k π2，k ∈Z .所以函数g (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2，k ∈Z .当k ＝1时，对称轴方程为x ＝π2.显然k π2＝π4没有整数解，所以x ＝π4不是函数g (x )的对称轴．排除 A.令2x ＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π4，k ∈Z ，故函数g (x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π4，0，k ∈Z .显然k π2＋π4＝π8和k π2＋π4＝π2没有整数解，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0不是函数g (x )的对称中心．排除B ，D.故选C.4．(2018·开封模拟)已知函数f (x )＝2sin(π＋x )sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋φ的图象关于原点对称，其中φ∈(0，π)，则φ＝________.解析：因为f (x )＝2sin(π＋x )sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋φ的图象关于原点对称，所以函数f (x )＝2sin(π＋x )sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋φ为奇函数，则y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋φ为偶函数，则π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，又φ∈(0，π)，所以φ＝π6.答案：π6[典例感悟][典例] (1)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－sin(2x ＋3π)．若将函数f (x )的图象向左平移π4个单位长度，得到函数g (x )的图象，则函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值之和为( )A ．－12B ．－1 C.12D ．1(2)(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________．(3)(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2sin x ＋sin 2x ，则f (x )的最小值是________． [解析] (1)f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－sin(2x ＋3π)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＋sin 2x ＝sin 2x cos 2π3＋cos 2x sin 2π3＋sin 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.由题意知函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3，故当2x ＋π3＝π，即x ＝π3时，函数g (x )取得最小值，且g (x )min ＝－1；当2x ＋π3＝π3，即x ＝0时，函数g (x )取得最大值，且g (x )max ＝12.所以函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值之和为－12.故选A. (2)依题意，f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －322＋1，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos x ∈[0,1]，因此当cos x ＝32时，f (x )max ＝1.(3)f ′(x )＝2cos x ＋2cos 2x ＝2cos x ＋2(2cos 2x －1)＝2(2cos 2x ＋cos x －1)＝2(2cosx －1)(cos x ＋1)．∵cos x ＋1≥0，∴当cos x <12时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当cos x >12时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．∴当cos x ＝12，f (x )有最小值．又f (x )＝2sin x ＋sin 2x＝2sin x (1＋cos x )，∴当sin x ＝－32时，f (x )有最小值，即f (x )min ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝－332.[答案] (1)A (2)1 (3)－332[方法技巧]求三角函数的值域(最值)的常见函数类型及方法[演练冲关]1．已知函数y ＝a sin 2x ＋3cos 2x 的最大值为2，则a 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．±1D ．2－ 3解析：选C 由条件知a ≠0，且y ＝a sin 2x ＋3cos 2x ＝a 2＋3sin(2x ＋φ)，其中tan φ＝3a，则a 2＋3＝4，∴a 2＝1，∴a ＝±1.2．已知函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2，则f (x )的最大值为( )A.3＋1B ．4C ．3D ．2解析：选 D ∵f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3sin x cos x cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，∵x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2.∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，2π3，∴当且仅当x ＋π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )max ＝2.3．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，m ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ∈R 且m >π6，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－32，则m 的取值范围是________．解析：由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，m ，可知5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π3，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝cos 5π6＝－32，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π9＝cos π＝－1，∴要使f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－32，需要π≤3m ＋π3≤7π6，即2π9≤m ≤5π18. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π9，5π18[必备知能·自主补缺] 依据学情课下看，针对自身补缺漏；临近高考再浏览，考前温故熟主干[主干知识要记牢]1．三角函数的图象及常用性质2．三角函数的两种常见的图象变换 (1)y ＝sin x ―――――――――→向左φ或向右φ平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ)―――――――――――→横坐标变为原来的1ω纵坐标不变 y ＝sin(ωx ＋φ)――――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)．(2)y ＝sin x ――――――――→横坐标变为原来的1ω纵坐标不变y ＝sin ωx ――――――――――――→向左φ或向右φ平移⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω个单位y ＝sin(ωx ＋φ)―――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)． [二级结论要用好]1．sin α－cos α＞0⇔α的终边在直线y ＝x 上方(特殊地，当α在第二象限时有 sin α－cos α＞1)．2．sin α＋cos α＞0⇔α的终边在直线y ＝－x 上方(特殊地，当α在第一象限时有sin α＋cos α>1)．[易错易混要明了]求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，要注意ω，A 的符号．ω<0时，应先利用诱导公式将x 的系数转化为正数后再求解；在书写单调区间时，弧度和角度不能混用，需加2k π时，不要忘掉k ∈Z ，所求区间一般为闭区间．如求函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 的单调减区间，可将函数化为f (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，转化为求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的单调增区间．[课时跟踪检测] A 级——12＋4提速练一、选择题1.函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈R ，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4B ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4C ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4 D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π4 解析：选A 由题图可知， 函数f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8－π8×4＝π，所以ω＝2，即f (x )＝sin(2x ＋φ)．又函数f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫π8，1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1，则π4＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，解得φ＝2k π＋π4(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π4，即函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，故选A.2．(2018·重庆模拟)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的图象的一个对称中心是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0B.⎝⎛⎭⎪⎫π2，0C.⎝⎛⎭⎪⎫π4，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0 解析：选C 令x －π4＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π＋π4(k ∈Z )，当k ＝0时，x ＝π4，所以函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，故选C. 3．(2018·宝鸡质检)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )B.⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) 解析：选B 由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z )得，k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )，故选B. 4．(2018·福州模拟)将函数y ＝2sin x ＋cos x 的图象向右平移12个周期后，所得图象对应的函数为( )A ．y ＝sin x －2cos xB ．y ＝2sin x －cos xC ．y ＝－sin x ＋2cos xD ．y ＝－2sin x －cos x解析：选D 因为y ＝2sin x ＋cos x ＝5sin(x ＋θ)，其中θ满足cos θ＝25，sinθ＝15，所以函数y ＝2sin x ＋cos x 的周期为2π，所以12个周期为π.于是由题设知平移后所得图象对应的函数为y ＝2sin(x －π)＋cos(x －π)＝－2sin x －cos x ．故选D.5．(2018·郑州模拟)若将函数f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象上的每一个点都向左平移π3个单位长度，得到g (x )的图象，则函数g (x )的单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z )。

第三讲 平面向量平面向量的概念及线性运算授课提示：对应学生用书第25页[悟通——方法结论]如图，A ，B ，C 是平面内三个点，且A 与B 不重合，P 是平面内任意一点，若点C 在直线AB 上，则存在实数λ，使得PC →＝λPA →＋(1－λ)PB →.该结论比较典型，由此可知：若A ，B ，C 三点在直线l 上，点P 不在直线l 上，则存在λ∈R ，使得PC →＝λPA →＋(1－λ)PB →.注意：这里PA →，PB →的系数之和等于1.特殊情形：若点C 为线段AB 的中点，则PC →＝12(PA →＋PB →)．[全练——快速解答]1．(2018·高考全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( )A.34AB →－14AC →B.14AB →－34AC →C.34AB →＋14AC → D.14AB →＋34AC → 解析：作出示意图如图所示．EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →) ＝34AB →－14AC →. 故选A. 答案：A2．如图，在直角梯形ABCD 中，DC →＝14AB →，BE →＝2EC →，且AE →＝rAB →＋sAD →，则2r ＋3s ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：根据图形，由题意可得AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(BA →＋AD →＋DC →)＝13AB →＋23(AD →＋DC →)＝13AB →＋23(AD →＋14AB →)＝12AB →＋23AD →.因为AE →＝rAB →＋sAD →，所以r ＝12，s ＝23，则2r ＋3s ＝1＋2＝3，故选C.答案：C3．(2018·西安三模)已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈[0，＋∞)，则动点P 的轨迹一定经过△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析：设BC 的中点为D ，则由OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，可得AP →＝λ(AB →＋AC →)＝2λAD →，所以点P 在△ABC 的中线AD 所在的射线上，所以动点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心．故选C.答案：C4．(2018·高考全国卷Ⅲ)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________.解析：2a ＋b ＝(4,2)，因为c ∥(2a ＋b )，所以4λ＝2，得λ＝12.答案：121．记牢2个常用结论(1)△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，则AD →＝12(AB →＋AC →)．(2)△ABC 中，O 是△ABC 内一点，若OA →＋OB →＋OC →＝0，则O 是△ABC 的重心． 2．掌握用向量解决平面几何问题的方法(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如平行、垂直和距离、夹角等问题． (3)把运算结果“翻译”成几何关系．平面向量的数量积授课提示：对应学生用书第25页[悟通——方法结论]1．平面向量的数量积运算的两种形式(1)依据模和夹角计算，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化；(2)利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题，化形为数，使向量问题数字化．2．夹角公式 cos θ＝a·b |a||b|＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. 3．模|a |＝a 2＝x 2＋y 2.4．向量a 与b 垂直⇔a·b ＝0.[全练——快速解答]1．(2017·高考全国卷Ⅱ)设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( ) A ．a ⊥b B ．|a |＝|b | C ．a ∥bD ．|a |>|b |解析：依题意得(a ＋b )2－(a －b )2＝0，即4a ·b ＝0，a ⊥b ，选A. 答案：A2．(2018·西安八校联考)在△ABC 中，已知AB →·AC →＝92，|AC →|＝3，|AB →|＝3，M ，N 分别是BC 边上的三等分点，则AM →·AN →的值是( )A.112 B.132C ．6D ．7 解析：不妨设AM →＝23AB →＋13AC →，AN →＝13AB →＋23AC →，所以AM →·AN →＝(23AB →＋13AC →)·(13AB →＋23AC →)＝29AB 2→＋59AB →·AC →＋29AC 2→＝29(AB 2→＋AC 2→)＋59AB →·AC →＝29×(32＋32)＋59×92＝132，故选B.答案：B3．(2018·山西四校联考)已知|a |＝1，|b |＝2，且a⊥(a －b )，则向量a 与向量b 的夹角为( )A.π6 B.π4 C.π3D.2π3解析：∵a⊥(a －b )，∴a·(a －b )＝a 2－a·b ＝1－2cos 〈a ，b 〉＝0，∴cos 〈a ，b 〉＝22，∴〈a ，b 〉＝π4. 答案：B4．(2018·合肥一模)已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，|a ＋b |＝3，则a 在b 方向上的投影等于________．解析：∵|a|＝1，|b|＝2，|a ＋b |＝3，∴(a ＋b )2＝|a|2＋|b|2＋2a·b ＝5＋2a·b ＝3，∴a·b ＝－1，∴a 在b 方向上的投影为a ·b |b|＝－12.答案：－12平面向量在几何中的应用授课提示：对应学生用书第26页[悟通——方法结论]破解平面向量与“解析几何”相交汇问题的常用方法有两种：一是“转化法”，即把平面向量问题转化为解析几何问题，利用平面向量的数量积、共线、垂直等的坐标表示进行转化，再利用解析几何的相关知识给予破解；二是“特值法”，若是选择题，常可用取特殊值的方法来快速破解．(1)(2017·高考全国卷Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC内一点，则PA →·(PB →＋PC →)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－1解析：如图，以等边三角形ABC 的底边BC 所在直线为x 轴，以BC的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则A (0，3)，B (－1,0)，C (1,0)，设P (x ，y )，则PA →＝(－x ，3－y )，PB →＝(－1－x ，－y )，PC →＝(1－x ，－y )，所以PA →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )＝2x 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322－32，当x ＝0，y ＝32时，PA →·(PB →＋PC →)取得最小值，为－32，选择B. 答案：B(2)(2017·高考全国卷Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，A D ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与B D 相切的圆上．若AP →＝λ AB →＋μ AD →，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．2 2 C. 5D ．2解析：以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x ，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (1，2)，D (0,2)，可得直线BD 的方程为2x ＋y －2＝0，点C 到直线BD 的距离为212＋22＝25，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝45，因为P 在圆C 上，所以P ⎝⎛⎭⎪⎫1＋255cos θ，2＋255sin θ，AB →＝(1,0)，AD →＝(0,2)，AP →＝λ AB →＋μ AD →＝(λ，2μ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋255cos θ＝λ，2＋255sin θ＝2μ，λ＋μ＝2＋255cos θ＋55sin θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3，tan φ＝2，选A.答案：A数量积的最值或范围问题的2种求解方法(1)临界分析法：结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围．(2)目标函数法：将数量积表示为某一个变量或两个变量的函数，建立函数关系式，再利用三角函数有界性、二次函数或基本不等式求最值或范围．[练通——即学即用]1．(2018·南昌调研)如图，在直角梯形ABCD 中，DA ＝AB ＝1，BC ＝2，点P 在阴影区域(含边界)中运动，则PA →·BD →的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 C ．[－1,1]D ．[－1,0]解析：∵在直角梯形ABCD 中，DA ＝AB ＝1，BC ＝2，∴BD ＝ 2.如图所示，过点A 作AO ⊥B D ，垂足为O ，则PA →＝PO →＋OA →，OA →·BD →＝0，∴PA →·BD →＝(PO →＋OA →)·BD →＝PO →·BD →.∴当点P 与点B 重合时，PA →·BD →取得最大值， 即PA →·BD →＝PO →·BD →＝12×2×2＝1；当点P 与点D 重合时，PA →·BD →取得最小值， 即PA →·BD →＝－12×2×2＝－1.∴PA →·BD →的取值范围是[－1,1]． 答案：C2．(2018·辽宁五校联考)一条动直线l 与抛物线C ：x 2＝4y 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若AB →＝2AG →，则(OA →－OB →)2－4OG 2→的最大值为( )A ．24B ．16C ．8D ．－16解析：由AB →＝2AG →知G 是线段AB 的中点，∴OG →＝12(OA →＋OB →)，∴(OA →－OB →)2－4OG 2→＝(OA →－OB →)2－(OA →＋OB →)2＝－4OA →·OB →.由A ，B 是动直线l 与抛物线C ：x 2＝4y 的交点，不妨设A (x 1，x 214)，B (x 2，x 224)，∴－4OA →·OB →＝－4(x 1x 2＋x 21x 2216)＝－4[(x 1x 24＋2)2－4]＝16－4(x 1x 24＋2)2≤16，即(OA→－OB →)2－4OG →2的最大值为16，故选B.答案：B授课提示：对应学生用书第126页一、选择题1．(2018·郑州一模)已知向量a ，b 均为单位向量，若它们的夹角为60˚，则|a ＋3b |等于( )A.7B.10C.13D ．4解析：依题意得a·b ＝12，|a ＋3b |＝a 2＋9b 2＋6a·b ＝13，故选C.答案：C2．(2018·石家庄模拟)在△ABC 中，点D 在边AB 上，且BD →＝12DA →，设CB →＝a ，CA →＝b ，则CD →＝( )A.13a ＋23bB.23a ＋13bC.35a ＋45b D.45a ＋35b 解析：CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(AC →＋CB →)＝13CA →＋23CB →＝13b ＋23a ，故选B.答案：B3．设向量a ＝(1，m )，b ＝(m －1,2)，且a≠b ，若(a －b )⊥a ，则实数m ＝( ) A.12 B.13 C ．1D ．2解析：因为a ＝(1，m )，b ＝(m －1,2)，且a ≠b ，所以a －b ＝(1，m )－(m －1,2)＝(2－m ，m －2)，又(a －b )⊥a ，所以(a －b )·a ＝0，可得(2－m )×1＋m (m －2)＝0，解得m ＝1或m ＝2.当m ＝2时，a ＝b ，不符合题意，舍去，故选C.答案：C4．(2018·南宁模拟)已知O 是△ABC 内一点，OA →＋OB →＋OC →＝0，AB →·AC →＝2且∠BAC ＝60˚，则△OBC 的面积为( )A.33 B. 3 C.32D.23解析：∵OA →＋OB →＋OC →＝0，∴O 是△ABC 的重心，于是S △OBC ＝13S △ABC .∵AB →·AC →＝2，∴|AB →|·|AC →|·cos∠BAC ＝2，∵∠BAC ＝60˚，∴|AB →|·|AC →|＝4.又S △ABC＝12|AB →|·|AC →|sin ∠BAC ＝3，∴△OBC 的面积为33，故选A. 答案：A5．(2018·沈阳模拟)已知平面向量a ＝(－2，x )，b ＝(1，3)，且(a －b )⊥b ，则实数x 的值为( )A ．－2 3B ．2 3C ．4 3D ．6 3解析：由(a －b )⊥b ，得(a －b )·b ＝0，即(－3，x －3)·(1，3)＝－3＋3x －3＝0，即3x ＝6，解得x ＝23，故选B.答案：B6．(2018·洛阳模拟)已知向量a ＝(m,2)，b ＝(3，－6)，若|a ＋b|＝|a －b|，则实数m 的值是( )A ．－4B ．－1C ．1D ．4解析：由|a ＋b |＝|a －b |，两边平方整理得a·b ＝0，即3m －12＝0，故m ＝4，故选D. 答案：D7．已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( )A ．1B ．2 C. 2D.22解析：因为|a|＝|b|＝1，a·b ＝0，(a －c )·(b －c )＝－c·(a ＋b )＋|c|2＝－|c||a ＋b|·cos θ＋|c |2＝0，其中θ为c与a ＋b 的夹角，所以|c |＝|a ＋b |cos θ ＝ 2 cos θ≤2， 所以|c|的最大值是 2. 答案：C8．(2018·抚州二模)已知a ，b 是两个互相垂直的单位向量，且c·a ＝1，c·b ＝1，|c|＝2，则对任意的正实数t ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋t a ＋1t b 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2解析：⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋t a ＋1t b 2＝c 2＋t 2a 2＋1t 2b 2＋2t a ·c ＋2t c·b ＋2a·b ＝2＋t 2＋1t 2＋2t ＋2t≥2＋2t 2·1t 2＋22t ·2t＝8(t ＞0)，当且仅当t 2＝1t 2，2t ＝2t，即t ＝1时等号成立，∴|c ＋t a＋1tb |的最小值为2 2.答案：B9．(2018·广西五校联考)设D 是△ABC 所在平面内一点，AB →＝2DC →，则( ) A.BD →＝AC →－32AB →B.BD →＝32AC →－AB →C.BD →＝12AC →－AB →D.BD →＝AC →－12AB →解析：BD →＝BC →＋CD →＝BC →－DC →＝AC →－AB →－12AB →＝AC →－32AB →.答案：A10．在▱ABCD 中，|AB →|＝8，|AD →|＝6，N 为DC 的中点，BM →＝2MC →，则AM →·NM →＝( ) A ．48 B ．36 C ．24D ．12解析：AM →·NM →＝(AB →＋BM →)·(NC →＋CM →)＝(AB →＋23AD →)·(12AB →－13AD →)＝12AB →2－29AD →2＝12×82－29×62＝24.答案：C11．(2018·渭南瑞泉中学五模)如图，点P 在矩形ABCD 内，且满足∠DAP ＝30˚，若|AD →|＝1，|AB →|＝3，AP →＝mAD →＋nAB →(m ，n ∈R )，则m n等于( )A ．13B ．3C ．33D ． 3解析：如图，考虑特殊情况，假设点P 在矩形的对角线BD 上，由题意易知|DB →|＝2，∠ADB ＝60˚，又∠DAP ＝30˚，所以∠DPA ＝90˚.由|AD →|＝1，可得|DP →|＝12＝14|DB →|，从而可得AP →＝34AD →＋14AB →.又AP →＝mAD →＋nAB →，所以m ＝34，n ＝14，则m n＝3.故选B.答案：B12．(2018·东北四市模拟)已知向量OA →＝(3,1)，OB →＝(－1,3)，OC →＝mOA →－nOB →(m ＞0，n ＞0)，若m ＋n ＝1，则|OC →|的最小值为( )A.52B.102C. 5D.10解析：由OA →＝(3,1)，OB →＝(－1,3)，得OC →＝mOA →－nOB →＝(3m ＋n ，m －3n )，因为m ＋n ＝1(m ＞0，n ＞0)，所以n ＝1－m 且0＜m ＜1，所以OC →＝(1＋2m,4m －3)，则|OC →|＝(1＋2m )2＋(4m －3)2＝20m 2－20m ＋10＝20(m －12)2＋5(0＜m ＜1)，所以当m ＝12时，|OC →|min ＝ 5.答案：C 二、填空题13．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)．若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________.解析：因为a ＋b ＝(m －1,3)，a ＋b 与a 垂直，所以(m －1)×(－1)＋3×2＝0，解得m ＝7.答案：714．(2018·惠州模拟)在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，P 为CD 上一点，已知|AB →|＝8，|AD →|＝5，AB →与AD →的夹角为θ，且cos θ＝1120，CP →＝3PD →，则AP →·BP →＝________.解析：∵AB →＝DC →，∴四边形ABCD 为平行四边形，又CP →＝3PD →，∴AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝BC →＋CP →＝AD →－34AB →，又|AB →|＝8，|AD →|＝5，cos θ＝1120，∴AD →·AB →＝8×5×1120＝22，∴AP →·BP→＝(AD →＋14AB →)·(AD →－34AB →)＝|AD →|2－12AD →·AB →－316|AB →|2＝52－11－316×82＝2.答案：215．(2018·唐山模拟)在△ABC 中，(AB →－3AC →)⊥CB →，则角A 的最大值为________． 解析：因为(AB →－3AC →)⊥CB →，所以(AB →－3AC →)·CB →＝0，(AB →－3AC →)·(AB →－AC →)＝0，AB →2－4AC →·AB →＋3AC →2＝0，即cos A ＝|AB →|2＋3|AC →|24|AC →|·|AB →|＝|AB →|4|AC →|＋3|AC →|4|AB →|≥2316＝32，当且仅当|AB →|＝3|AC →|时等号成立．因为0＜A ＜π，所以0＜A ≤π6，即角A 的最大值为π6.答案：π616．(2017·高考天津卷)在△ABC 中，∠A ＝60˚，AB ＝3，AC ＝2.若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________．解析：AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →.又AB →·AC →＝3×2×12＝3，所以AD →·AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →＋23AC →·(－AB →＋λAC →)＝－13AB →2＋(13λ－23)AB →·AC →＋23λAC →2＝－3＋3(13λ－23)＋23λ×4＝113λ－5＝－4，解得λ＝311 .答案：3 11。

3.三角函数、解三角形、平面向量1．α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在的射线上)⇔α＝θ＋2k π(k ∈Z )，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等．任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (x ，y )是α的终边上的任意一点(异于原点)，它与原点的距离是r ＝x 2＋y 2>0，那么sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x(x ≠0)，三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关．[问题1] 已知角α的终边经过点P (3，－4)，则sin α＋cos α的值为________． 答案 －152．同角三角函数的基本关系式及诱导公式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：tan α＝sin αcos α.(3)诱导公式记忆口诀：奇变偶不变、符号看象限[问题2]cos9π4＋tan⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π6＋sin 21π的值为______________________________________． 答案22－333．正弦、余弦和正切函数的常用性质[问题3] 函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调减区间是________________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )4．三角函数化简与求值的常用技巧解答三角变换类问题要灵活地正用、逆用，变形运用和、差、倍角公式和诱导公式，进行化简、求值．常用到切化弦、降幂、拆角拼角等技巧．如： α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝12[(α＋β)＋(α－β)]．α＋π4＝(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4，α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4. [问题4] 已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝1213，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________. 答案 －56655．解三角形(1)正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为三角形外接圆的半径)．注意：①正弦定理的一些变式：(ⅰ)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(ⅱ)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R；(ⅲ)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；(ⅳ)a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝2R .②已知三角形两边及一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解，要结合具体情况进行取舍．在△ABC 中，A >B ⇔sin A >sin B .(2)余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc等，常选用余弦定理判定三角形的形状．[问题5] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝3，b ＝2，A ＝60°，则B ＝________.答案 45°6．求三角函数最值的常见类型、方法(1)y ＝a sin x ＋b (或a cos x ＋b )型，利用三角函数的值域，须注意对字母a 的讨论． (2)y ＝a sin x ＋b sin x 型，借助辅助角公式化成y ＝a 2＋b 2·sin(x ＋φ)的形式，再利用三角函数有界性解决．(3)y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 型，配方后转化为二次函数求最值，应注意|sin x |≤1的约束． (4)y ＝a sin x ＋bc sin x ＋d型，反解出sin x ，化归为|sin x |≤1解决．(5)y ＝a sin x ＋bc cos x ＋d型，化归为A sin x ＋B cos x ＝C 型或用数形结合法(常用到直线斜率的几何意义)求解．(6)y ＝a (sin x ＋cos x )＋b sin x ·cos x ＋c 型，常令t ＝sin x ＋cos x ，换元后求解(|t |≤2)．[问题6] 函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1 解析 ∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ＋122－54，又sin x ∈[－1,1]， ∴当sin x ＝－12时，y min ＝－54；当sin x ＝1时，y max ＝1.∴函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1. 7．向量的平行与平面向量的数量积(1)向量平行(共线)的充要条件：a ∥b (b ≠0)⇔a ＝λb ⇔(a·b )2＝(|a||b |)2⇔x 1y 2－y 1x 2＝0.(2)a·b ＝|a ||b |cos θ， 变形：|a |2＝a 2＝a·a ， cos θ＝a·b|a||b |.注意：〈a ，b 〉为锐角⇔a·b >0且a ，b 不同向； 〈a ，b 〉为钝角⇔a·b <0且a ，b 不反向．[问题7] 如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________．答案 22解析 由题意，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝BC →＋CP →＝BC →＋34CD →＝AD →－34AB →，所以AP →·BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋14AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－34AB →＝AD →2－12AD →·AB →－316AB →2，即2＝25－12AD →·AB →－316×64，解得AD →·AB →＝22.8．向量中常用的结论(1)OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若λ＋μ＝1，则三点A ，B ，C 共线．反之也成立． (2)在△ABC 中，若D 是BC 边的中点，则AD →＝12(AB →＋AC →)．(3)已知O ，N ，P 在△ABC 所在平面内．若|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，则O 为△ABC 的外心；若NA →＋NB →＋NC →＝0，则N 为△ABC 的重心；若PA →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·PA →，则P 为△ABC 的垂心． [问题8] 在△ABC 中，D 是边AB 的中点，E 是边AC 的中点，CD 与BE 交于点F ，设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝x a ＋y b ，则x ，y 的值分别为______________．答案 13，13解析 由题意知，点F 为△ABC 的重心， 如图，设H 为BC 的中点，则AF →＝23AH →＝23×12(AB →＋AC →)＝13a ＋13b ，所以x ＝13，y ＝13.易错点1 忽视角的范围例1 已知方程x 2＋4ax ＋3a ＋1＝0(a 为大于1的常数)的两根为tan α，tan β，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则tan α＋β2的值是________．易错分析 本题易忽略隐含条件tan α，tan β是方程x 2＋4ax ＋3a ＋1＝0的两个负根，α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，从而导致错误．解析 ∵a >1，∴tan α＋tan β＝－4a <0， tan α·tan β＝3a ＋1>0，∴tan α，tan β是方程x 2＋4ax ＋3a ＋1＝0的两个负根．又α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2， ∴α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，即α＋β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0. 由tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝－4a 1－(3a ＋1)＝43，可得tan α＋β2＝－2.答案 －2易错点2 图象变换方向或变换量把握不准例2 已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，为了得到函数g (x )＝cos 2x 的图象，只要将y ＝f (x )的图象向__________平移________个单位长度．易错分析 (1)没有将f (x )，g (x )化为同名函数；(2)平移时看2x 变成了什么，而没有认识到平移过程只是对“x ”而言．解析 g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋π4，∴y ＝f (x )的图象向左平移π8个单位长度即可得到y ＝g (x )的图象．答案 左π8易错点3 三角函数单调性理解不透例3 求函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调区间． 易错分析 对形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的函数，如果ω<0，要求其单调区间，必须先提出负号，然后去求解，否则单调区间正好相反． 解 y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8，k ∈Z .∴函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8，k ∈Z .同理，函数的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋3π8，k π＋7π8，k ∈Z .易错点4 解三角形时漏解或增解例4 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，c ＝ 3. (1)若角C ＝π3，则角A ＝________；(2)若角A ＝π6，则b ＝________.易错分析 在用正弦定理解三角形时，易出现漏解或多解的错误，如第(1)问中没有考虑c 边比a 边大，在求得sin A ＝a sin C c ＝12后，得出角A ＝π6或5π6；在第(2)问中没有考虑角C 有两解，由sin C ＝c sin A a ＝32，只得出角C ＝π3，所以角B ＝π2，解得b ＝2，这样就出现漏解的错误．解析 (1)由正弦定理a sin A ＝csin C ，得sin A ＝a sin C c ＝12， 又a <c ，所以A <C .所以A ＝π6. (2)由正弦定理a sin A ＝csin C ，得sin C ＝c sin A a ＝32，得C ＝π3或2π3， 当C ＝π3时，B ＝π2，可得b ＝2；当C ＝2π3时，B ＝π6，此时得b ＝1.答案 (1)π6(2)2或1易错点5 忽视题目中的制约条件例5 已知函数f (x )＝2cos 2x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －7π6，若在△ABC 中，满足f (A )＝32，b ＋c ＝2，求边长a 的取值范围．易错分析 本题中有两点易错：确定角A 时忽视范围；求边长a 的取值范围时，忽视三角形中两边之和大于第三边的条件． 解 f (x )＝2cos 2x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －7π6＝1＋cos 2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－32sin 2x ＋12cos 2x ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＋1＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1. 由题意，f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＋1＝32，化简得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12.因为A ∈(0，π)，所以2A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6，所以2A ＋π6＝5π6，所以A ＝π3.在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝(b ＋c )2－3bc .由b ＋c ＝2知，bc ≤⎝⎛⎭⎪⎫b ＋c 22＝1，即a 2≥1，当且仅当b ＝c ＝1时取等号． 又由b ＋c >a ，得a <2， 所以a 的取值范围是[1,2)．易错点6 忽视向量共线例6 已知a ＝(2,1)，b ＝(λ，1)，λ∈R ，a 与b 的夹角为θ.若θ为锐角，则λ的取值范围是________________________________________________________________________． 易错分析 误认为θ为锐角⇔cos θ>0，没有排除θ＝0，即两向量同向的情况．解析 由θ为锐角，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ·b >0，2≠λ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋1>0，λ≠2，∴λ的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫λ⎪⎪⎪λ>－12且λ≠2. 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫λ⎪⎪⎪λ>－12且λ≠21．已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为________．答案7π4解析 tan θ＝cos 3π4sin 3π4＝－cosπ4sinπ4＝－1，又sin 3π4>0，cos 3π4<0，所以θ为第四象限角且θ∈[0,2π)，所以θ＝7π4.2．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝3，则sin θcos θ－3cos 2θ的值为________．答案 －2解析 由题意得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝1＋tan θ1－tan θ＝3，解得tan θ＝12.∴sin θcos θ－3cos 2θ＝sin θcos θ－3cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θ－3tan 2θ＋1＝12－3⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＝－2. 3．已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan α＝________. 答案 3或－13解析 因为sin α＋2cos α＝102， 所以sin 2α＋4sin αcos α＋4cos 2α＝52，所以3cos 2α＋4sin αcos α＝32，所以3cos 2α＋4sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝32， 即3＋4tan α1＋tan 2α＝32， 即3tan 2α－8tan α－3＝0， 解得tan α＝3或tan α＝－13.4．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 解析 由对称轴完全相同知，两函数周期相同， ∴ω＝2，∴f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. 由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得－π6≤2x －π6≤5π6，∴－32≤f (x )≤3.5．在斜△ABC 中，若1tan A ＋1tan B ＋tan C ＝0，则tan C 的最大值是________．答案 －2 2解析 在斜△ABC 中，∵A ＋B ＋C ＝π， ∴C ＝π－(A ＋B )，∴tan C ＝tan(π－(A ＋B ))＝－tan(A ＋B ) ＝－tan A ＋tan B 1－tan A tan B，又∵1tan A ＋1tan B ＋tan C ＝0，∴tan C ＝－⎝⎛⎭⎪⎫1tan A ＋1tan B ＝－tan A ＋tan B tan A tan B ，∴－tan A ＋tan B tan A tan B ＝－tan A ＋tan B1－tan A tan B∴tan A tan B ＝1－tan A tan B ， ∴tan A tan B ＝12，∵tan A tan B ＝12>0，tan A 与tan B 同号，又∵在△ABC 中，tan A >0，tan B >0，∴tan C ＝－2(tan A ＋tan B )≤－2×2tan A tan B ＝－2×2×22＝－22， 当且仅当tan A ＝tan B ＝22时“＝”成立， ∴tan C 的最大值为－2 2.6．(2018·苏州模拟)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，(a ＋b )·c ＝52，则a ，c 的夹角大小为________．答案 120°解析 设a 与c 的夹角为θ，∵a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，则b ＝－2a ，∴(a ＋b )·c ＝－a ·c ＝52， ∴a ·c ＝－52， ∴cos θ＝a ·c |a |·|c |＝－525·5＝－12， ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.7．已知f 1(x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋x cos x ，f 2(x )＝sin x sin(π＋x )，若设f (x )＝f 1(x )－f 2(x )，则f (x )的单调增区间是____________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z ) 解析 由题意知，f 1(x )＝－cos 2x ，f 2(x )＝－sin 2x ， f (x )＝sin 2x －cos 2x ＝－cos 2x ，令2x ∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z )，得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )， 故f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )． 8．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________． 答案 27 解析 由正弦定理知，AB sin C ＝3sin 60°＝BC sin A， ∴AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A .又A ＋C ＝120°，∴AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin(120°－C )＝2(sin C ＋2sin 120°cos C －2cos 120°sin C )＝2(sin C ＋3cos C ＋sin C ) ＝2(2sin C ＋3cos C )＝27sin(C ＋α)，其中tan α＝32，α是第一象限角， 由于0°<C <120°，且α是第一象限角，因此AB ＋2BC 有最大值27.9．已知tan(α＋β)＝1，tan(α－β)＝2，则sin 2αcos 2β的值为________． 答案 1解析 tan(α＋β)＝1，tan(α－β)＝2，sin 2αcos 2β＝sin[(α＋β)＋(α－β)]cos[(α＋β)－(α－β)]＝sin (α＋β)cos (α－β)＋cos (α＋β)sin (α－β)cos (α＋β)cos (α－β)＋sin (α＋β)sin (α－β)， 分式同除以cos(α＋β)cos(α－β)，tan (α＋β)＋tan (α－β)1＋tan (α＋β)tan (α－β)＝1＋21＋1×2＝1. 10．在平行四边形ABCD 中，∠BAD ＝60°，AB ＝1，AD ＝3，P 为平行四边形内一点，且AP ＝32，若AP →＝λAB →＋μAD →(λ，μ∈R )，则λ＋3μ的最大值为________． 答案 1解析 ∵AP →＝λAB →＋μAD →，∴|AP →|2＝(λAB →＋μAD →)2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝λ2|AB →|2＋μ2|AD →|2＋2λμAB →·AD →. 又AB ＝1，AD ＝3，∠BAD ＝60°，∴AB →·AD →＝|AB →||AD →|cos 60°＝32， ∴34＝λ2＋3μ2＋3λμ， ∴(λ＋3μ)2＝34＋3λμ≤34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋3μ22， ∴(λ＋3μ)2≤1，∴λ＋3μ的最大值为1， 当且仅当λ＝12，μ＝36时取等号． 11．已知函数f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12. (1)求f (x )的最小正周期； (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，求函数f (x )的值域； (3)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的解析式． 解 f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. (1)所以最小正周期T ＝2π2＝π. (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1， 所以f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，22. (3)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位长度， 得到g (x )＝22sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π8＋π4＝22sin 2x . 12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b sin A ＝3a cos B .(1)求角B 的值；(2)若cos A sin C ＝3－14，求角A 的值． 解 (1)因为a sin A ＝b sin B，所以b sin A ＝a sin B ， 又b sin A ＝3a cos B ，所以3a cos B ＝a sin B ，即tan B ＝3，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3. (2)因为cos A sin C ＝3－14，所以cos A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝3－14， cos A ⎝⎛⎭⎪⎫32cos A ＋12sin A ＝32cos 2A ＋12sin A ·cos A ＝32·1＋cos 2A 2＋14sin 2A ＝34＋34cos 2A ＋14sin 2A ＝34＋12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝3－14， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－12，因为B ＝π3，所以0<A <2π3，所以2A ＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5π3， 所以2A ＋π3＝7π6，A ＝5π12.。

2019届高三（理科）数学二轮资料专题一 三角函数、向量、解三角形、复数 2019.4一、近三年全国I 卷三角、向量、复数考点统计考点一 三角函数基本概念和公式【例1-1】如图，以Ox 为始边作角α (0<α<π)，终边与单位圆相交于点P ，已知点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－35，45，则sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α＝________.【例1-2】 (2017·贵阳市第一中学适应性考试)已知sin α－2cos α＝102，则tan 2α等于( )A.43 B ．－34 C.34D ．－43考点二、三角函数图像与性质【例2-1】(2)(2017届安庆二模)设函数y ＝sin ωx (ω>0)的最小正周期是T ，将其图象向左平移14T 后，得到的图象如图所示，则函数y ＝sin ωx (ω>0)的单调递增区间是( )内容 2016年 2017年 2018年平面向量 向量运算13 向量的模与向量的数量积13平面向量线性运算6三角函数 与解三角形 三角函数图像和性质12 解三角形17 三角函数的图像变换9 解三角形17三角函数图像和性质16 解三角形17 复数 复数运算2 命题、复数的运算3复数代数形式的四则运算、复数的模1A.⎣⎡⎦⎤7k π6－7π24，7k π6＋7π24(k ∈Z )B.⎣⎡⎦⎤7k π3－7π24，7k π3＋7π24(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤7k π3－7π12，7k π3＋7π12(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤7k π6＋7π24，7k π6＋21π24(k ∈Z ) 【例2-2】 (2018·北京卷)已知函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为32，求m 的最小值.考点三、三角函数恒等变换【例3-1】 (1)(2017·河北省衡水中学三调)若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为( )A ．－118 B.118 C ．－1718 D.1718【例3-2】已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( )A.5π12B.π3C.π4D.π6考点四、正余弦定理【例4-1】在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,若(a-b )(sin A+sin B )=c (sin C+sin B ),则A= ( ) A .B .C .D .【例4-2】某游轮在A 处看灯塔B 在A 的北偏东75°的方向上,距A 12海里处,灯塔C 在A 的北偏西30°的方向上,距A 8海里处,游轮由A 处向正北方向航行到D 处时再看灯塔B 在南偏东60°的方向上,则此时灯塔C 与游轮的距离为 ( )A .20海里B .8海里C .23海里 D .24海里【例4-3】在平面四边形ABCD 中,DA ⊥AB ,DE =1,EC =,EA =2,∠ADC =,∠BEC =.(1)求sin ∠CED 的值; (2)求BE 的长.题型五、平面向量运算【例5－1】 (1)(2018·全国Ⅰ卷)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB→＝( ) A.34AB →－14AC → B.14AB →－34AC → C.34AB →＋14AC → D.14AB →＋34AC →【例5－2】已知a ，b 均为单位向量，且(2a ＋b )·(a －2b )＝－332，则向量a ，b 的夹角为________.题型六、平面向量应用【例6－1】已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP→＝AB →|AB →|＋4AC →|AC →|，则PB →·PC →的最大值等于( ) A.13B.15C.19D.21【例6－2】.若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5 AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比值为________.题型七、三角综合问题【例7】 (2018·苏、锡、常、镇调研)已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x 4，1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 4，cos 2x 4.(1)若m ·n ＝1，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x 的值；(2)记f (x )＝m ·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求f (A )的取值范围.考点八、复数【例8-1】[2018·全国卷Ⅰ]若z ＝1－i1＋i＋2i ，则|z|＝( )A ．0B .12C ．1D . 2【例8-2】已知i 是虚数单位，若复数z ＝－i ()a ＋i ()a ∈R 的实部与虚部相等，则z 的共轭复数z－＝( )A ．－1＋IB ．1＋IC ．1－ID ．－1－i【例8-3】已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上所对应的点分别为A 、B 、C ，若OC →＝λOA →＋μOB →(O 为坐标原点，λ，μ∈R )，则λ＋μ的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4押题专练1．(2018·山东寿光一模)若角α的终边过点A (2,1)，则sin ⎝⎛⎭⎫32π－α＝( ) A ．－255 B ．－55 C.55 D ．2552.[2018·全国卷Ⅰ]已知角α的顶点为坐标原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边上有两点A (1,a ),B (2,b ),且cos 2α=,则|a-b|= ( )A .B .C .D .13.若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5等于( )A ．1B ．2C ．3D ．44．已知复数z ＝|(3－i)i|＋i 5(i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数为( )A ．2－iB ．2＋IC ．4－iD ．4＋i5.【2016高考新课标3理数】在ABC △中，π4B ，BC 边上的高等于13BC ,则cos A（A ）31010 （B ）1010（C ）1010（D ）310106．△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若AB →＋AC →＝2AO →，且|AO →|＝|AC →|，则向量BA →在向量BC →方向上的射影的数量为( )A.32B.32 C ．3 D ．－327.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为2π3，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积是( )A ．15平方米B ．12平方米C ．9平方米D ．6平方米 8.已知c b a ,,分别为ABC ∆三个内角C B A ,,的对边，2=a ，且()C b c B A b sin )()sin (sin 2-=-+，则ABC ∆面积的最大值为( )A ． 3B ．3C ．9D ．239.(2017届山东省师大附中模拟)已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α－cos α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝_______. 10.如图所示,为测量竖直旗杆CD 的高度,在旗杆底部C 所在水平地面上选取相距4m 的两点A ,B ,在A 处测得旗杆底部C 在西偏北20°的方向上,旗杆顶部D 的仰角为60°;在B 处测得旗杆底部C 在东偏北10°的方向上,旗杆顶部D 的仰角为45°,则旗杆CD 的高度为 m .图11.已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若AE →·AF→＝1，则λ的值为__________ 12. (2017届山东潍坊市联考)设函数f (x )＝sin ωx ·cos ωx －3cos 2ωx ＋32(ω>0)的图象上相邻最高点与最低点的距离为π2＋4. (1)求ω的值；(2)若函数y ＝f (x ＋φ)(0<φ<π2)是奇函数，求函数g (x )＝cos(2x －φ)在[0,2π]上的单调递减区间.13. 在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且+=.(1)求B ;(2)若△ABC 的面积为,B 是钝角,求b 的最小值.14 (2017届湖北省稳派教育质量检测)已知函数f (x )＝cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3＋3cos 2ωx －34(ω>0，x ∈R )，且函数y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值及f (x )的对称轴方程；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分別为a ，b ，c .若f (A )＝34，sin C ＝13，a ＝3，求b 的值. 2019届高三（理科）数学二轮资料(答案)专题一 三角函数、向量、解三角形、复数 2019.4【例1-1】答案 1825解析 由三角函数定义，得cos α＝－35，sin α＝45，∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋sin αcos α＝2cos α(sin α＋cos α)sin α＋cos αcos α＝2cos 2α＝2×⎝⎛⎭⎫－352＝1825. 【例1-2】答案 C解析 ∵sin α－2cos α＝102， ∴sin 2α－4sin α·cos α＋4cos 2α＝52， 即1－cos 2α2－2sin 2α＋4×1＋cos 2α2＝52， 化简得4sin 2α＝3cos 2α， ∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝34，故选C.【例2-1】答案 A解析 由已知图象知，y ＝sin ωx (ω>0)的最小正周期是2×7π12＝7π6，所以2πω＝7π6，解得ω＝127，所以y ＝sin127x .由2k π－π2≤127x ≤2k π＋π2得到单调递增区间是⎣⎡⎦⎤7k π6－7π24，7k π6＋7π24(k ∈Z )． 【例2-2】解 (1)f (x )＝12－12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12.所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12.由题意知－π3≤x ≤m ，所以－5π6≤2x －π6≤2m －π6.要使得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为32，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为1.所以2m －π6≥π2，即m ≥π3. 所以m 的最小值为π3.【例3-1】答案 C解析 由3cos 2α＝sin(π4－α)，可得3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，于是3(cos α＋sin α)＝22，所以1＋2sin αcos α＝118，所以sin 2α＝－1718，故选C. 【例3-2】答案 C解析 因为α，β均为锐角，所以－π2<α－β<π2. 又sin(α－β)＝－1010，所以cos(α－β)＝31010.又sin α＝55，所以cos α＝255，所以sin β＝sin [α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝55×31010－255×⎝⎛⎭⎫－1010＝22. 所以β＝π4. 【例4-1】[解析] (1)∵(a-b )(sin A+sin B )=c (sin C+sin B ),∴(a-b )(a+b )=c (c+b ),∴a 2-c 2-b 2=bc ,∴由余弦定理可得cos A==-. ∵A ∈(0,π),∴A=.故选D .【例4-2】[解析] 如图所示,在△ABD 中,∠DAB=75°,∠ADB=60°,∴∠B=180°-75°-60°=45°,由正弦定理得=,∴AD===24.在△ACD 中,AD=24,AC=8,∠CAD=30°,由余弦定理得CD 2=AD 2+AC 2-2AD ·AC cos 30°=242+(8)2-2×24×8×=192,∴CD=8.故选B .【例4-3】.【答案】解：（1）设α=∠CED ，在△CDE 中，由余弦定理得EC 2=CD 2+ED 2-2CD •DE cos ∠CDE ， 即7=CD 2+1+CD ，则CD 2+CD -6=0， 解得CD =2或CD =-3，（舍去）， 在△CDE 中，由正弦定理得，则sinα=，即sin ∠CED =．（2）由题设知0＜α＜，由（1）知cosα=，而∠AEB =，∴cos ∠AEB =cos （）=cos cosα+sin sinα=，在Rt △EAB 中，cos ∠AEB =，故BE =．【例5－1】答案A解析 法一 如图所示，EB→＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →)＝34AB →－14AC →，故选A.法二 EB →＝AB →－AE →＝AB →－12AD →＝AB →－12×12(AB →＋AC →)＝34AB →－14AC →，故选A. 【例5－2】解析：乘式展开，代入单位向量解出向量a b 数量积。

第三讲 平面向量平面向量的概念及线性运算授课提示：对应学生用书第25页[悟通——方法结论]如图，A ，B ，C 是平面内三个点，且A 与B 不重合，P 是平面内任意一点，若点C 在直线AB 上，则存在实数λ，使得PC →＝λPA →＋(1－λ)PB →.该结论比较典型，由此可知：若A ，B ，C 三点在直线l 上，点P 不在直线l 上，则存在λ∈R ，使得PC →＝λPA →＋(1－λ)PB →.注意：这里PA →，PB →的系数之和等于1.特殊情形：若点C 为线段AB 的中点，则PC →＝12(PA →＋PB →)．[全练——快速解答]1．(2018·高考全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( ) A.34AB →－14AC → B.14AB →－34AC →C.34AB →＋14AC → D.14AB →＋34AC →解析：作出示意图如图所示．EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →) ＝34AB →－14AC →. 故选A. 答案：A2．如图，在直角梯形ABCD 中，DC →＝14AB →，BE →＝2EC →，且AE →＝rAB →＋sAD →，则2r ＋3s ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：根据图形，由题意可得AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(BA →＋AD →＋DC →)＝13AB →＋23(AD →＋DC →)＝13AB →＋23(AD →＋14AB →)＝12AB →＋23AD →.因为AE →＝rAB →＋sAD →，所以r ＝12，s ＝23，则2r ＋3s ＝1＋2＝3，故选C.答案：C3．(2018·西安三模)已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈[0，＋∞)，则动点P 的轨迹一定经过△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析：设BC 的中点为D ，则由OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，可得AP →＝λ(AB →＋AC →)＝2λAD →，所以点P 在△ABC 的中线AD 所在的射线上，所以动点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心．故选C.答案：C4．(2018·高考全国卷Ⅲ)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________.解析：2a ＋b ＝(4,2)，因为c ∥(2a ＋b )，所以4λ＝2，得λ＝12.答案：121．记牢2个常用结论(1)△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，则AD →＝12(AB →＋AC →)．(2)△ABC 中，O 是△ABC 内一点，若OA →＋OB →＋OC →＝0，则O 是△ABC 的重心． 2．掌握用向量解决平面几何问题的方法(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如平行、垂直和距离、夹角等问题． (3)把运算结果“翻译”成几何关系．平面向量的数量积授课提示：对应学生用书第25页[悟通——方法结论]1．平面向量的数量积运算的两种形式(1)依据模和夹角计算，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化；(2)利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题，化形为数，使向量问题数字化．2．夹角公式cos θ＝a·b |a||b|＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. 3．模|a |＝a 2＝x 2＋y 2.4．向量a 与b 垂直⇔a·b ＝0.[全练——快速解答]1．(2017·高考全国卷Ⅱ)设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( ) A ．a ⊥b B ．|a |＝|b | C ．a ∥bD ．|a |>|b |解析：依题意得(a ＋b )2－(a －b )2＝0，即4a ·b ＝0，a ⊥b ，选A. 答案：A2．(2018·西安八校联考)在△ABC 中，已知AB →·AC →＝92，|AC →|＝3，|AB →|＝3，M ，N 分别是BC 边上的三等分点，则AM →·AN →的值是( )A.112 B.132C ．6D ．7 解析：不妨设AM →＝23AB →＋13AC →，AN →＝13AB →＋23AC →，所以AM →·AN →＝(23AB →＋13AC →)·(13AB →＋23AC →)＝29AB 2→＋59AB →·AC →＋29AC 2→＝29(AB 2→＋AC 2→)＋59AB →·AC →＝29×(32＋32)＋59×92＝132，故选B. 答案：B3．(2018·山西四校联考)已知|a |＝1，|b |＝2，且a⊥(a －b )，则向量a 与向量b 的夹角为( )A.π6 B.π4 C.π3D.2π3解析：∵a⊥(a －b )，∴a·(a －b )＝a 2－a·b ＝1－2cos 〈a ，b 〉＝0，∴cos 〈a ，b 〉＝22，∴〈a ，b 〉＝π4. 答案：B4．(2018·合肥一模)已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，|a ＋b |＝3，则a 在b 方向上的投影等于________．解析：∵|a|＝1，|b|＝2，|a ＋b |＝3，∴(a ＋b )2＝|a|2＋|b|2＋2a·b ＝5＋2a·b ＝3，∴a·b ＝－1，∴a 在b 方向上的投影为a·b |b|＝－12.答案：－12平面向量在几何中的应用授课提示：对应学生用书第26页[悟通——方法结论]破解平面向量与“解析几何”相交汇问题的常用方法有两种：一是“转化法”，即把平面向量问题转化为解析几何问题，利用平面向量的数量积、共线、垂直等的坐标表示进行转化，再利用解析几何的相关知识给予破解；二是“特值法”，若是选择题，常可用取特殊值的方法来快速破解．(1)(2017·高考全国卷Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC内一点，则PA →·(PB →＋PC →)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－1解析：如图，以等边三角形ABC 的底边BC 所在直线为x 轴，以BC的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则A (0，3)，B (－1,0)，C (1,0)，设P (x ，y )，则PA →＝(－x ，3－y )，PB →＝(－1－x ，－y )，PC →＝(1－x ，－y )，所以PA →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )＝2x 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322－32，当x ＝0，y ＝32时，PA →·(PB →＋PC →)取得最小值，为－32，选择B.答案：B(2)(2017·高考全国卷Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，A D ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与B D 相切的圆上．若AP →＝λ AB →＋μ AD →，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．2 2 C. 5D ．2解析：以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x ，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (1，2)，D (0,2)，可得直线BD 的方程为2x ＋y －2＝0，点C 到直线BD 的距离为212＋22＝25，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝45，因为P 在圆C 上，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋255cos θ，2＋255sin θ，AB →＝(1,0)，AD →＝(0,2)，AP →＝λ AB →＋μ AD →＝(λ，2μ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋255cos θ＝λ，2＋255sin θ＝2μ，λ＋μ＝2＋255cos θ＋55sin θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3，tan φ＝2，选A.答案：A数量积的最值或范围问题的2种求解方法(1)临界分析法：结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围．(2)目标函数法：将数量积表示为某一个变量或两个变量的函数，建立函数关系式，再利用三角函数有界性、二次函数或基本不等式求最值或范围．[练通——即学即用]1．(2018·南昌调研)如图，在直角梯形ABCD 中，DA ＝AB ＝1，BC ＝2，点P 在阴影区域(含边界)中运动，则PA →·BD →的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 C ．[－1,1]D ．[－1,0]解析：∵在直角梯形ABCD 中，DA ＝AB ＝1，BC ＝2，∴BD ＝ 2.如图所示，过点A 作AO ⊥B D ，垂足为O ，则PA →＝PO →＋OA →，OA →·BD →＝0，∴PA →·BD →＝(PO →＋OA →)·BD →＝PO →·BD →.∴当点P 与点B 重合时，PA →·BD →取得最大值， 即PA →·BD →＝PO →·BD →＝12×2×2＝1；当点P 与点D 重合时，PA →·BD →取得最小值， 即PA →·BD →＝－12×2×2＝－1.∴PA →·BD →的取值范围是[－1,1]． 答案：C2．(2018·辽宁五校联考)一条动直线l 与抛物线C ：x 2＝4y 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若AB →＝2AG →，则(OA →－OB →)2－4OG 2→的最大值为( )A ．24B ．16C ．8D ．－16解析：由AB →＝2AG →知G 是线段AB 的中点，∴OG →＝12(OA →＋OB →)，∴(OA →－OB →)2－4OG 2→＝(OA →－OB →)2－(OA →＋OB →)2＝－4OA →·OB →.由A ，B 是动直线l 与抛物线C ：x 2＝4y 的交点，不妨设A (x 1，x 214)，B (x 2，x 224)，∴－4OA →·OB →＝－4(x 1x 2＋x 21x 2216)＝－4[(x 1x 24＋2)2－4]＝16－4(x 1x 24＋2)2≤16，即(OA →－OB →)2－4OG →2的最大值为16，故选B.答案：B授课提示：对应学生用书第126页一、选择题1．(2018·郑州一模)已知向量a ，b 均为单位向量，若它们的夹角为60˚，则|a ＋3b |等于( )A.7B.10C.13D ．4解析：依题意得a·b ＝12，|a ＋3b |＝a 2＋9b 2＋6a·b ＝13，故选C.答案：C2．(2018·石家庄模拟)在△ABC 中，点D 在边AB 上，且BD →＝12DA →，设CB →＝a ，CA →＝b ，则CD →＝( )A.13a ＋23bB.23a ＋13bC.35a ＋45b D.45a ＋35b 解析：CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(AC →＋CB →)＝13CA →＋23CB →＝13b ＋23a ，故选B.答案：B3．设向量a ＝(1，m )，b ＝(m －1,2)，且a≠b ，若(a －b )⊥a ，则实数m ＝( ) A.12 B.13 C ．1D ．2解析：因为a ＝(1，m )，b ＝(m －1,2)，且a≠b ，所以a －b ＝(1，m )－(m －1,2)＝(2－m ，m －2)，又(a －b )⊥a ，所以(a －b )·a ＝0，可得(2－m )×1＋m (m －2)＝0，解得m ＝1或m ＝2.当m ＝2时，a ＝b ，不符合题意，舍去，故选C.答案：C4．(2018·南宁模拟)已知O 是△ABC 内一点，OA →＋OB →＋OC →＝0，AB →·AC →＝2且∠BAC ＝60˚，则△OBC 的面积为( )A.33 B. 3 C.32D.23解析：∵OA →＋OB →＋OC →＝0，∴O 是△ABC 的重心，于是S △OBC ＝13S △ABC .∵AB →·AC →＝2，∴|AB →|·|AC →|·cos∠BAC ＝2，∵∠BAC ＝60˚，∴|AB →|·|AC →|＝4.又S △ABC＝12|AB →|·|AC →|sin ∠BAC ＝3，∴△OBC 的面积为33，故选A. 答案：A5．(2018·沈阳模拟)已知平面向量a ＝(－2，x )，b ＝(1，3)，且(a －b )⊥b ，则实数x 的值为( )A ．－2 3B ．2 3C ．4 3D ．6 3解析：由(a －b )⊥b ，得(a －b )·b ＝0，即(－3，x －3)·(1，3)＝－3＋3x －3＝0，即3x ＝6，解得x ＝23，故选B.答案：B6．(2018·洛阳模拟)已知向量a ＝(m,2)，b ＝(3，－6)，若|a ＋b|＝|a －b|，则实数m 的值是( )A ．－4B ．－1C ．1D ．4解析：由|a ＋b |＝|a －b |，两边平方整理得a·b ＝0，即3m －12＝0，故m ＝4，故选D. 答案：D7．已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( )A ．1B ．2 C. 2D.22解析：因为|a|＝|b|＝1，a·b ＝0，(a －c )·(b －c )＝－c·(a ＋b )＋|c|2＝－|c||a ＋b|·cos θ＋|c |2＝0，其中θ为c 与a ＋b 的夹角，所以|c |＝|a ＋b |cos θ ＝ 2 cos θ≤2， 所以|c|的最大值是 2. 答案：C8．(2018·抚州二模)已知a ，b 是两个互相垂直的单位向量，且c·a ＝1，c·b ＝1，|c|＝2，则对任意的正实数t ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋t a ＋1t b 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2解析：⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋t a ＋1t b 2＝c 2＋t 2a 2＋1t2b 2＋2t a ·c ＋2tc·b ＋2a·b ＝2＋t 2＋1t2＋2t ＋2t≥2＋2t 2·1t 2＋22t ·2t ＝8(t ＞0)，当且仅当t 2＝1t 2，2t ＝2t，即t ＝1时等号成立，∴|c ＋t a ＋1tb |的最小值为2 2.答案：B9．(2018·广西五校联考)设D 是△ABC 所在平面内一点，AB →＝2DC →，则( ) A.BD →＝AC →－32AB →B.BD →＝32AC →－AB →C.BD →＝12AC →－AB →D.BD →＝AC →－12AB →解析：BD →＝BC →＋CD →＝BC →－DC →＝AC →－AB →－12AB →＝AC →－32AB →.答案：A10．在▱ABCD 中，|AB →|＝8，|AD →|＝6，N 为DC 的中点，BM →＝2MC →，则AM →·NM →＝( ) A ．48 B ．36 C ．24D ．12解析：AM →·NM →＝(AB →＋BM →)·(NC →＋CM →)＝(AB →＋23AD →)·(12AB →－13AD →)＝12AB →2－29AD →2＝12×82－29×62＝24.答案：C11．(2018·渭南瑞泉中学五模)如图，点P 在矩形ABCD 内，且满足∠DAP ＝30˚，若|AD→|＝1，|AB →|＝3，AP →＝mAD →＋nAB →(m ，n ∈R )，则m n等于( )A ．13B ．3C ．33D ． 3解析：如图，考虑特殊情况，假设点P 在矩形的对角线BD 上，由题意易知|DB →|＝2，∠ADB ＝60˚，又∠DAP ＝30˚，所以∠DPA ＝90˚.由|AD →|＝1，可得|DP →|＝12＝14|DB →|，从而可得AP →＝34AD →＋14AB →.又AP →＝mAD →＋nAB →，所以m ＝34，n ＝14，则m n＝3.故选B.答案：B12．(2018·东北四市模拟)已知向量OA →＝(3,1)，OB →＝(－1,3)，OC →＝mOA →－nOB →(m ＞0，n＞0)，若m ＋n ＝1，则|OC →|的最小值为( ) A.52 B.102 C. 5 D.10解析：由OA →＝(3,1)，OB →＝(－1,3)，得OC →＝mOA →－nOB →＝(3m ＋n ，m －3n )，因为m ＋n ＝1(m ＞0，n ＞0)，所以n ＝1－m 且0＜m ＜1，所以OC →＝(1＋2m,4m －3)，则|OC →|＝(1＋2m )2＋(4m －3)2＝20m 2－20m ＋10＝20(m －12)2＋5(0＜m ＜1)， 所以当m ＝12时，|OC →|min ＝ 5. 答案：C二、填空题13．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)．若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________.解析：因为a ＋b ＝(m －1,3)，a ＋b 与a 垂直，所以(m －1)×(－1)＋3×2＝0，解得m ＝7.答案：714．(2018·惠州模拟)在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，P 为CD 上一点，已知|AB →|＝8，|AD→|＝5，AB →与AD →的夹角为θ，且cos θ＝1120，CP →＝3PD →，则AP →·BP →＝________. 解析：∵AB →＝DC →，∴四边形ABCD 为平行四边形，又CP →＝3PD →，∴AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝BC →＋CP →＝AD →－34AB →，又|AB →|＝8，|AD →|＝5，cos θ＝1120，∴AD →·AB →＝8×5×1120＝22，∴AP →·BP →＝(AD →＋14AB →)·(AD →－34AB →)＝|AD →|2－12AD →·AB →－316|AB →|2＝52－11－316×82＝2. 答案：215．(2018·唐山模拟)在△ABC 中，(AB →－3AC →)⊥CB →，则角A 的最大值为________．解析：因为(AB →－3AC →)⊥CB →，所以(AB →－3AC →)·CB →＝0，(AB →－3AC →)·(AB →－AC →)＝0，AB→2－4AC →·AB →＋3AC →2＝0，即cos A ＝|AB →|2＋3|AC →|24|AC →|·|AB →|＝|AB →|4|AC →|＋3|AC →|4|AB →|≥2316＝32，当且仅当|AB →|＝3|AC →|时等号成立．因为0＜A ＜π，所以0＜A ≤π6，即角A 的最大值为π6. 答案：π616．(2017·高考天津卷)在△ABC 中，∠A ＝60˚，AB ＝3，AC ＝2.若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________．解析：AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC → ＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →. 又AB →·AC →＝3×2×12＝3， 所以AD →·AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →＋23AC →·(－AB →＋λAC →) ＝－13AB →2＋(13λ－23)AB →·AC →＋23λAC →2 ＝－3＋3(13λ－23)＋23λ×4＝113λ－5＝－4， 解得λ＝311. 答案：311。

第3讲 平面向量[考情考向分析] 1.江苏高考对平面向量侧重基本概念与基本计算的考查．重点是向量的数量积运算.2.向量作为工具，常与三角函数、数列、解析几何等结合，考查向量的综合运用．解题时要注意解析法和转化思想的渗透．热点一 平面向量的线性运算例1 (1)如图，在△ABC 中，AD →＝13AB →，DE ∥BC 交AC 于点E ，BC 边上的中线AM 交DE 于点N ，设AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示向量AN →，则AN →＝____________.答案 16(a ＋b )解析 因为DE ∥BC ，所以DN ∥BM ， 则△AND ∽△AMB ，所以AN AM ＝ADAB.因为AD →＝13AB →，所以AN →＝13AM →.因为M 为BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(a ＋b )，所以AN →＝13AM →＝16(a ＋b )．(2)(2018·江苏启东中学模拟)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝3CD ，点E 是BC 的中点．若AC →＝xAE →＋yAD →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的值为________．答案 54解析 由题意得，AE →＝12(AC →＋AB →)＝12(AC →＋3DC →)＝12(AC →＋3AC →－3AD →)＝2AC →－32AD →， ∴AC →＝12AE →＋34AD →，故x ＋y ＝12＋34＝54.思维升华 (1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底，同时注意向量共线定理的灵活运用． (2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．跟踪演练1 (1)已知两点A (1,0)，B (1,1)，O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠AOC ＝135°，设OC →＝－OA →＋λOB →(λ∈R )，则λ的值为________． 答案 12解析 由∠AOC ＝135°知，点C 在直线y ＝－x (x <0)上， 设点C 的坐标为(a ，－a )，a <0，∵OC →＝－OA →＋λOB →(λ∈R )，∴有(a ，－a )＝(－1＋λ，λ)， 得a ＝－1＋λ，－a ＝λ，消去a 得λ＝12.(2)如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E ，F 两点，且交对角线AC 于点K ，其中，AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，AK →＝λAC →，则λ的值为________．答案 29解析 ∵AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，∴AB →＝52AE →，AD →＝2AF →.由向量加法的平行四边形法则可知，AC →＝AB →＋AD →， ∴AK →＝λAC →＝λ(AB →＋AD →) ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫52AE →＋2AF →＝52λAE →＋2λAF →，由E ，F ，K 三点共线，得52λ＋2λ＝1，可得λ＝29.热点二 平面向量的数量积例2 (1)(2018·江苏兴化一中模拟)在△ABC 中，点D ，E 分别在线段AC ，BC 上，AD →·BE →＝AB →·DE →，若AE ，BD 相交于点F ，且|BF →|＝3，则BE →·BF →＝________.答案 3解析 如图，由已知，得AD →·BE →－AB →·DE →＝0，∴(AB →＋BD →)·BE →－AB →·(DB →＋BE →)＝0， ∴BD →·BE →－AB →·DB →＝0，∴BD →·(BE →＋AB →)＝0，即BD →·AE →＝0，∴BD ⊥AE ，在Rt△BEF 中，BE →·BF →＝|BF →|2＝3.(2)(2018·江苏扬州中学模拟)如图，已知AC ＝BC ＝4，∠ACB ＝90°，M 为BC 的中点，D 为以AC 为直径的圆上一动点，则AM →·DC →的最小值是________．答案 8－4 5解析 以AC 的中点O 为原点，AC 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (－2,0)，C (2，0)，O (0,0)，M (2，－2)，设D (2cos α，2sin α)， ∴AM →＝(4，－2)， DC →＝(2－2cos α，－2sin α)，∴AM →·DC →＝4×(2－2cos α)＋4sin α ＝8＋45sin(α－θ)， 其中tan θ＝2，∵sin(α－θ)∈[－1,1]，∴(AM →·DC →)min ＝8－4 5.思维升华 (1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义、坐标运算、数量积的几何意义，特别要注意向量坐标法的运用．(2)求解几何图形中的数量积问题，把向量分解转化成已知向量的数量积计算是基本方法，但是如果建立合理的平面直角坐标系，把数量积的计算转化成坐标运算，也是一种较为简捷的方法．跟踪演练2 (1)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝3，CD ＝2，AM →＝2MD →.若AC →·BM →＝－3，则AB →·AD →＝________.答案 32解析 方法一 设AB →＝4a ，AD →＝3b ， 其中|a |＝|b |＝1， 则DC →＝2a ，AM →＝2b .由AC →·BM →＝(AD →＋DC →)·(BA →＋AM →)＝－3， 得(3b ＋2a )·(2b －4a )＝－3， 化简得a ·b ＝18，所以AB →·AD →＝12a ·b ＝32.方法二 以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A (0,0)，B (4,0)， 设D (3cos α，3sin α)，则C (3cos α＋2,3sin α)，M (2cos α，2sin α)． 由AC →·BM →＝－3，得(3cos α＋2,3sin α)·(2cos α－4,2sin α)＝－3， 化简得cos α＝18，所以AB →·AD →＝12cos α＝32.(2)如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，∠BAC ＝90°，D 是BC 的中点，若向量AM →＝14AB →＋mAC →，且AM →的终点M在△ACD 的内部(不含边界)，则AM →·BM →的取值范围是________．答案 (－2,6)解析 AM →·BM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14AB →＋mAC →(BA →＋AM →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14AB →＋mAC →⎝ ⎛⎭⎪⎫－34AB →＋m ·AC → ＝－316×16＋16m 2＝16m 2－3，由平行四边形法则可得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34， 所以AM →·BM →的取值范围是(－2,6)． 热点三 平面向量的综合问题例3 (1)已知正实数x ，y 满足向量a ＝(x ＋y,2)，b ＝(xy －2，1)共线，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，32，且a ·(a －c )≥0恒成立，则实数m 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，174 解析 由a ＝(x ＋y,2)，b ＝(xy －2,1)共线得x ＋y ＝2(xy －2)， 则x ＋y ＋4＝2xy ≤(x ＋y )22，即(x ＋y )2－2(x ＋y )－8≥0， 当且仅当x ＝y 时等号成立． 又由x ，y 是正实数，得x ＋y ≥4. 不等式a ·(a －c )≥0， 即a 2≥a ·c ，所以(x ＋y )2＋4≥m (x ＋y )＋3，即(x ＋y )2－m (x ＋y )＋1≥0，令x ＋y ＝t ，t ≥4， 则t 2－mt ＋1≥0，t ∈[4，＋∞)．(*) 对于方程t 2－mt ＋1＝0，当Δ＝m 2－4≤0， 即－2≤m ≤2时，(*)式恒成立；当m <－2时，相应二次函数y ＝t 2－mt ＋1的对称轴t ＝m 2<－1，(*)式恒成立；当m >2时，由相应二次函数y ＝t 2－mt ＋1的对称轴t ＝m2<4，且16－4m ＋1≥0，得2<m ≤174.综上可得，当m ≤174时，(*)式恒成立，则实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，174. (2)在△ABC 中，若BC →·BA →＋2AC →·AB →＝CA →·CB →，则sin A sin C 的值为________．答案2解析 方法一 由BC →·BA →＋2AC →·AB →＝CA →·CB →，得2bc ×b 2＋c 2－a 22bc ＋ac ×a 2＋c 2－b 22ac＝ab ×a 2＋b 2－c 22ab，化简可得a ＝2c .由正弦定理得sin A sin C ＝ac＝ 2.方法二 作AO ⊥BC ，以O 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设A (0，a )，B (b,0)，C (c,0)， 所以AC →＝(c ，－a )， AB →＝(b ，－a )，BC →＝(c －b,0)，BA →＝(－b ，a )，CA →＝(－c ，a )，CB →＝(b －c,0)，则由BC →·BA →＋2AC →·AB →＝CA →·CB →， 得b 2＋2cb ＋2a 2－c 2＝0，所以b 2－2cb ＋c 2＝(c －b )2＝2(a 2＋b 2)， 所以BC ＝2AB .由正弦定理得sin A sin C ＝BCAB＝ 2.思维升华 向量和三角函数、解析几何、不等式等知识的交汇是高考的热点，解决此类问题的关键是从知识背景出发，脱去向量外衣，回归到所要考查的知识方法．跟踪演练3 (1)若向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，且|a ＋b |≤2a ·b ，则cos(α－β)的值是________． 答案 1解析 因为|a ＋b |≤2a ·b ，所以(cos α＋cos β)2＋(sin α＋sin β)2≤2cos(α－β)， 且cos(α－β)≥0，所以2＋2cos(α－β)≤4cos 2(α－β)， 2cos 2(α－β)－cos(α－β)－1≥0，所以cos(α－β)≥1或cos(α－β)≤－12(舍去)，所以cos(α－β)＝1.(2)设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积a ⊗b ＝(a 1b 1，a 2b 2)，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，点P (x ，y )在y ＝sin x 的图象上运动，Q 是函数y ＝f (x )图象上的点，且满足OQ →＝m ⊗OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则函数y ＝f (x )的值域是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12解析 令Q (c ，d )，由新的运算，可得OQ →＝m ⊗OP →＋n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ，12sin x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，12sin x ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2x ＋π3，d ＝12sin x ，消去x ，得d ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12c －π6，∴y ＝f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6，易知y ＝f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12.1．(2016·江苏)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________．答案 78解析 设AB →＝a ，AC →＝b ，则 BA →·CA →＝(－a )·(－b )＝a ·b ＝4.又∵D 为BC 中点，E ，F 为AD 的两个三等分点， 则AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b ，AF →＝23AD →＝13a ＋13b . AE →＝13AD →＝16a ＋16b ，BF →＝BA →＋AF →＝－a ＋13a ＋13b ＝－23a ＋13b ， CF →＝CA →＋AF →＝－b ＋13a ＋13b ＝13a －23b ，则BF →·CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a ＋13b ⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －23b＝－29a 2－29b 2＋59a ·b＝－29(a 2＋b 2)＋59×4＝－1，可得a 2＋b 2＝292.又BE →＝BA →＋AE →＝－a ＋16a ＋16b ＝－56a ＋16b ，CE →＝CA →＋AE →＝－b ＋16a ＋16b ＝16a －56b ，则BE →·CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－56a ＋16b ⎝ ⎛⎭⎪⎫16a －56b＝－536(a 2＋b 2)＋2636a ·b ＝－536×292＋2636×4＝78.2．(2017·江苏)如图，在同一个平面内，向量OA →，OB →，OC →的模分别为1,1，2，OA →与OC →的夹角为α，且tan α＝7，OB →与OC →的夹角为45°.若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m ＋n ＝________.答案 3解析 如图，设OD →＝mOA →，DC →＝nOB →，则在△ODC 中，有OD ＝m ，DC ＝n ，OC ＝2，∠OCD ＝45°，由tan α＝7，得cos α＝210， 又由余弦定理知，⎩⎨⎧m 2＝n 2＋(2)2－22n cos 45°，n 2＝m 2＋(2)2－22m cos α，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－n 2＝2－2n ， ①n 2－m 2＝2－25m ， ②①＋②得4－2n －25m ＝0，即m ＝10－5n ，代入①得12n 2－49n ＋49＝0， 解得n ＝74或n ＝73，当n ＝73时，m ＝10－5×73＝－53<0(舍去)，当n ＝74时，m ＝10－5×74＝54，故m ＋n ＝54＋74＝3.3．(2018·全国Ⅲ)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________. 答案 12解析 由题意得2a ＋b ＝(4,2)，因为c ∥(2a ＋b )，所以4λ＝2，得λ＝12.4．(2018·扬州树人学校模拟)在△ABC 中，AH 是底边BC 上的高，点G 是三角形的重心，若AB ＝2，AC ＝4，∠BAH ＝30°，则(AH →＋BC →)·AG →＝________.答案 6解析 如图，在△ABC 中，AH 是底边BC 上的高，AB ＝2，∠BAH ＝30°，∴AH ＝ 3.由题意得BC →＝AC →－AB →.∵点G 是△ABC 的重心，∴AG →＝23AD →＝13(AB →＋AC →)．∴BC →·AG →＝(AC →－AB →)·13(AB →＋AC →)＝13(AC →2－AB →2)＝4. 又AH →·AG →＝|AH →||AG →|cos∠DAH ＝|AH →|×|AG →|×|AH →||AD →|＝|AH →|×|AG →|×|AH →|32|AG →|＝23|AH →|2＝2. ∴(AH →＋BC →)·AG →＝AH →·AG →＋BC →·AG → ＝2＋4＝6.5．(2018·江苏盐城中学模拟)在△ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝1t ，AC ＝t ，P 是△ABC 所在平面内一点，若AP →＝4AB→|AB →|＋AC→|AC →|，则△PBC 面积的最小值为________． 答案 32解析 以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，可得A (0,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t，0，C (0，t )，∵AP →＝4AB→|AB →|＋AC →|AC →|＝(4,0)＋(0,1)＝(4,1)，∴P (4,1)． 又|BC →|＝t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2，BC 的方程为tx ＋y t ＝1， ∴点P 到直线BC 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4t ＋1t －1t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2，∴△PBC 的面积为S ＝12·BC ·d＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪4t ＋1t －1≥12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪24t ·1t －1＝32，当且仅当4t ＝1t ，即t ＝12时取等号，∴△PBC 面积的最小值为32.6．(2017·江苏)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值． 解 (1)∵a ∥b ，∴3sin x ＝－3cos x ， ∴3sin x ＋3cos x ＝0，∴23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝0，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝0，∵0≤x ≤π，∴π6≤x ＋π6≤7π6，∴x ＋π6＝π，∴x ＝5π6.(2)f (x )＝a·b ＝3cos x －3sin x ＝－23sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3.∵x ∈[0，π]，∴x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3≤1，∴－23≤f (x )≤3，当x －π3＝－π3，即x ＝0时，f (x )取得最大值3；当x －π3＝π2，即x ＝5π6时，f (x )取得最小值－2 3.A 组 专题通关1．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝________. 答案 1解析 由|a ＋b |＝10，得|a ＋b |2＝10， 即a 2＋2a ·b ＋b 2＝10.①又|a －b |＝6，所以a 2－2a ·b ＋b 2＝6，② 由①－②，得4a ·b ＝4，则a ·b ＝1.2．在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＋y ＝________. 答案 13解析 MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →， ∴x ＝12，y ＝－16，∴x ＋y ＝13.3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a ，c 的夹角大小为________．答案 120°解析 设a 与c 的夹角为θ，∵a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，则b ＝－2a ， ∴(a ＋b )·c ＝－a ·c ＝52，∴a ·c ＝－52.∴cos θ＝a ·c |a ||c |＝－525·5＝－12，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.4．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________． 答案 －3解析 ∵a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)， ∴m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，即⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，故m －n ＝2－5＝－3.5．(2018·淮安模拟)如图，在△ABC 中，已知AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120°，D 为边BC 的中点．若CE ⊥AD ，垂足为E ，则EB →·EC →的值为________．答案 －277解析 EB →·EC →＝(EA →＋AB →)·EC →＝AB →·EC →＝(AD →＋DB →)·EC →＝CD →·EC →＝－EC →2， 由余弦定理，得BC ＝9＋4－2×3×2×cos 120°＝19， 得cos C ＝4＋19－9419＝7219，AD ＝72，S △ACD ＝334， 所以CE ＝337，所以EB →·EC →＝－277.6．在△ABC 中，已知AB →·AC →＋2BA →·BC →＝3CA →·CB →，则cos C 的最小值是________． 答案23解析 已知AB →·AC →＋2BA →·BC →＝3CA →·CB →， 可得bc cos A ＋2ac cos B ＝3ab cos C ， 由余弦定理得a 2＋2b 2＝3c 2，由cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝23a 2＋13b22ab ≥23，当b ＝2a 时取到等号，故cos C 的最小值为23. 7．已知e 1，e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a ·b ＝0，则k 的值为________．答案 54解析 因为e 1，e 2是夹角为2π3的两个单位向量，所以e 1·e 2＝|e 1||e 2|cos 〈e 1，e 2〉＝cos 2π3＝－12，又a ·b ＝0，所以(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝0，即k －12－2＋(－2k )⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0， 解得k ＝54.8．(2018·南通模拟)在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝4，且AB →·AC →＝12，设P 是平面ABC 上的一点，则PA →·(PB →＋PC →)的最小值是________． 答案 －658解析 由AB ＝5，AC ＝4，且AB →·AC →＝12，得cos A ＝35，如图，以A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则C (4,0)，B (3,4)， 设点P 的坐标为P (x ，y )，则PA →·(PB →＋PC →)＝(－x ，－y )·(7－2x,4－2y ) ＝2x 2－7x ＋2y 2－4y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －742＋2(y －1)2－658，即PA →·(PB →＋PC →)的最小值是－658.9．设向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，其中0<α<β<π，若|2a －b |＝|a ＋2b |，求β－α的值．解 因为|2a －b |＝|a ＋2b |， 所以|2a －b |2＝|a ＋2b |2，所以8a ·b ＝3(|a |2－|b |2)＝0，所以a ·b ＝0. 又因为a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)， 所以a ·b ＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(β－α)＝0， 因为0<α<β<π，所以β－α＝π2.10．(2018·苏北六市调研)在平面直角坐标系xOy 中，设向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(－sin β，cos β)，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32. (1)若|a ＋b |＝|c |，求sin(α－β)的值；(2)设α＝5π6，0<β<π，且a ∥(b ＋c )，求β的值．解 (1)因为a ＝(cos α，sin α)，b ＝(－sin β，cos β)，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32， 所以|a |＝|b |＝|c |＝1，且a ·b ＝－cos αsin β＋sin αcos β＝sin(α－β)． 因为|a ＋b |＝|c |，所以|a ＋b |2＝c 2， 即a 2＋2a ·b ＋b 2＝1，所以1＋2sin(α－β)＋1＝1，即sin(α－β)＝－12.(2)因为α＝5π6，所以a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12.故b ＋c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin β－12，cos β＋32.因为a ∥(b ＋c )， 所以－32⎝ ⎛⎭⎪⎫cos β＋32－12⎝⎛⎭⎪⎫－sin β－12＝0. 化简得，12sin β－32cos β＝12，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫β－π3＝12.因为0<β<π，所以－π3<β－π3<2π3.所以β－π3＝π6，即β＝π2.B 组 能力提高11．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，角A 的角平分线与AB 边上的中线交于点O ，若AO →＝xAB →＋yAC →(x ，y ∈R )，则x ＋y 的值为________．答案 58解析 可设AB 的中点为D ，根据条件AO 为∠BAC 的角平分线，从而可得AO →＝k 2AB →＋k 3AC →，k >0.又D ，O ，C 三点共线及D 为AB 的中点， 便可得出AO →＝λ2AB →＋(1－λ)AC →，从而由平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝λ2，k3＝1－λ，所以k ＝34，所以x ＋y ＝58.12．(2018·江苏海门中学模拟)如图，在扇形AOB 中，OA ＝4，∠AOB ＝120°，P 为弧AB 上的一点，OP 与AB 相交于点C ，若OP →·OA →＝8，则OC →·AP →的值为________．答案 4解析 由题意可知，OP →·OA →＝4×4×cos∠AOP ＝8， 则cos∠AOP ＝12，∠AOP ＝60°，结合平面几何知识可得OC ＝PC ＝12OP ，由向量的运算法则可知 OC →·AP →＝OC →·(OP →－OA →)＝12OP →·(OP →－OA →)＝12×42－12×8＝4. 13．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，其中0<α<x <π.(1)若α＝π4，求函数f (x )＝b ·c 的最小值及相应x 的值；(2)若a 与b 的夹角为π3，且a ⊥c ，求tan 2α的值．解 (1)∵b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，α＝π4，∴f (x )＝b ·c＝cos x sin x ＋2cos x sin α＋sin x cos x ＋2sin x cos α ＝2sin x cos x ＋2(sin x ＋cos x )． 令t ＝sin x ＋cos x ⎝⎛⎭⎪⎫π4<x <π，则2sin x cos x ＝t 2－1，且－1<t < 2.∴t ＝－22时，y min ＝－32，此时sin x ＋cos x ＝－22， 即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－22，∵π4<x <π，∴π2<x ＋π4<5π4， ∴x ＋π4＝7π6，∴x ＝11π12.∴函数f (x )的最小值为－32，相应x 的值为11π12.(2)∵a 与b 的夹角为π3，∴cos π3＝a ·b |a ||b |＝cos αcos x ＋sin αsin x ＝cos(x －α)．∵0<α<x <π，∴0<x －α<π，∴x －α＝π3.∵a ⊥c ，∴cos α(sin x ＋2sin α)＋sin α(cos x ＋2cos α)＝0， ∴s in(x ＋α)＋2sin 2α＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＋2sin 2α＝0. ∴52sin 2α＋32cos 2α＝0， ∴tan 2α＝－35. 14．(2018·江苏泰州中学模拟)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝2π3.(1)求AB →·BC →的值；(2)设点P 在以A 为圆心，AB 为半径的圆弧BC 上运动，且AP →＝xAB →＋yAC →，其中x ，y ∈R .求xy 的取值范围． 解 (1)AB →·BC →＝AB →·(AC →－AB →) ＝AB →·AC →－|AB →|2＝－12－1＝－32.(2)以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则B (1,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.设P (cos θ，sin θ)，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，由AP →＝xAB →＋yAC →，得(cos θ，sin θ)＝x (1,0)＋y ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.所以cos θ＝x －y 2，sin θ＝32y .所以x ＝cos θ＋33sin θ，y ＝233sin θ， xy ＝233sin θcos θ＋23sin 2θ＝33sin 2θ＋13(1－cos 2θ) ＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π6＋13.因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，2θ－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，7π6， 所以当2θ－π6＝π2，即θ＝π3时，xy 的最大值为1；当2θ－π6＝－π6或2θ－π6＝7π6，即θ＝0或θ＝2π3时，xy 的最小值为0.故xy 的取值范围是[0,1]．。

2019年高考数学二轮复习专题二第3讲平面向量案文高考定位 1.以选择题、填空题的形式考查向量的线性运算，多以熟知的平面图形为背景，难度中低档；2.以选择题、填空题的形式考查平面向量的数量积，多考查角、模等问题，难度中低档；3.向量作为工具常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何等结合，以解答题形式出现.真 题 感 悟1.(2017·全国Ⅱ卷)设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( ) A.a ⊥b B.|a |＝|b | C.a ∥bD.|a |>|b |解析 由|a ＋b |＝|a －b |两边平方，得a 2＋2a·b ＋b 2＝a 2－2a·b ＋b 2，即a·b ＝0，故a ⊥b . 答案 A2.(2017·全国Ⅰ卷)已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(m ，1).若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________. 解析 由题意得a ＋b ＝(m －1，3)，因为a ＋b 与a 垂直，所以(a ＋b )·a ＝0，所以－(m －1)＋2×3＝0，解得m ＝7. 答案 73.(2017·天津卷)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2，若BD → ＝2DC → ，AE → ＝λAC → －AB → (λ∈R )，且AD → ·AE →＝－4，则λ的值为________. 解析 AB → ·AC → ＝3×2×cos 60°＝3，AD → ＝13AB → ＋23AC → ，则AD → ·AE → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB → ＋23AC → ·(λAC → －AB →)＝λ－23AB → ·AC → －13AB → 2＋2λ3AC → 2＝λ－23×3－13×32＋2λ3×22＝113λ－5＝－4，解得λ＝311. 答案3114.(2017·江苏卷)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]. (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值. 解 (1)∵a ∥b ，∴3sin x ＝－3cos x ，∴3sin x ＋3cos x ＝0，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝0.∵0≤x ≤π，∴π6≤x ＋π6≤76π，∴x ＋π6＝π，∴x ＝5π6.(2)f (x )＝a·b ＝3cos x －3sin x ＝－23sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3.∵x ∈[0，π]，∴x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3≤1，∴－23≤f (x )≤3，当x －π3＝－π3，即x ＝0时，f (x )取得最大值3；当x －π3＝π2，即x ＝5π6时，f (x )取得最小值－2 3.考 点 整 合1.平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理：向量a (a ≠0)与b 共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b ＝λa . (2)平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底. 2.平面向量的两个充要条件若两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 (1)a ∥b ⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 3.平面向量的三个性质(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2.(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|A B → |＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.4.平面向量的三个锦囊(1)向量共线的充要条件：O 为平面上一点，则A ，B ，P 三点共线的充要条件是OP → ＝λ1OA → ＋λ2OB →(其中λ1＋λ2＝1).(2)三角形中线向量公式：若P 为△OAB 的边AB 的中点，则向量OP → 与向量OA → ，OB → 的关系是OP →＝12(OA → ＋OB →). (3)三角形重心坐标的求法：G 为△ABC 的重心⇔GA → ＋GB → ＋GC → ＝0⇔G ⎝ ⎛⎭⎪⎫x A ＋x B ＋x C 3，y A ＋y B ＋y C 3.热点一 平面向量的有关运算【例1】 (1)(2016·全国Ⅰ卷)设向量a ＝(m ，1)，b ＝(1，2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________.(2)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ， BE ＝23BC .若DE → ＝λ1AB → ＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________. 解析 (1)由|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，得a ⊥b ， 所以a ·b ＝m ×1＋1×2＝0，得m ＝－2. (2)DE → ＝DB → ＋BE → ＝12AB → ＋23BC →＝12AB → ＋23(AC → －AB → )＝－16AB → ＋23AC → ， ∵DE →＝λ 1AB → ＋λ2AC →，∴λ1＝－16，λ2＝23，因此λ1＋λ2＝12.答案 (1)－2 (2)12探究提高 对于平面向量的线性运算，首先要选择一组基底，同时注意共线向量定理的灵活运用.其次运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系.【训练1】 (2017·衡阳二模)如图，正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，若AC → ＝λAM→＋μBN →，则λ＋μ＝( )A.2B.83C.65D.85解析 法一 如图以AB ，AD 为坐标轴建立平面直角坐标系，设正方形边长为1，AM → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，BN → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，AC →＝(1，1).∵AC → ＝λAM → ＋μBN → ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－μ2，λ2＋μ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－12μ＝1，λ2＋μ＝1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝65，μ＝25，故λ＋μ＝85.法二 以AB → ，AD →作为基底，∵M ，N 分别为BC ，CD 的中点， ∴AM → ＝AB → ＋BM → ＝AB → ＋12AD → ， BN → ＝BC → ＋CN → ＝AD → －12AB →， 因此AC → ＝λAM → ＋μBN → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－μ2AB → ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋μAD → ， 又AC → ＝AB → ＋AD →， 因此⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ2＝1，λ2＋μ＝1，解得λ＝65且μ＝25.所以λ＋μ＝85.答案 D热点二 平面向量的数量积 命题角度1 平面向量数量积的运算【例2－1】 (1)(2017·浙江卷)如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记I 1＝OA → ·OB → ，I 2＝OB → ·OC → ，I 3＝OC → ·OD →，则( )A.I 1＜I 2＜I 3B.I 1＜I 3＜I 2C.I 3＜I 1＜I 2D.I 2＜I 1＜I 3(2)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE → ·CB → 的值为________；DE → ·DC →的最大值为________.解析 (1)如图所示，四边形ABCE 是正方形，F 为正方形的对角线的交点，易得AO <AF ，而∠AFB ＝90°，∴∠AOB 与∠COD 为钝角，∠AOD 与∠BOC 为锐角，根据题意，I 1－I 2＝OA → ·OB → －OB → ·OC→＝OB → ·(OA → －OC → )＝OB → ·CA → ＝ |OB → ||CA →|·cos∠AOB <0，∴I 1<I 2，同理I 2>I 3，作AG ⊥BD 于G ， 又AB ＝AD ，∴OB <BG ＝GD <OD ，而OA <AF ＝FC <OC ， ∴|OA → ||OB → |<|OC → ||OD →|， 而cos∠AOB ＝cos∠COD <0，∴OA → ·OB → >OC → ·OD →，即I 1>I 3.∴I 3<I 1<I 2.(2)法一 如图，以AB ，AD 为坐标轴建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (1，0)，C (1，1)，D (0，1)， 设E (t ，0)，t ∈[0，1]，则DE → ＝(t ，－1)，CB →＝(0，－1)， 所以DE → ·CB →＝(t ，－1)·(0，－1)＝1.因为DC → ＝(1，0)，所以DE → ·DC →＝(t ，－1)·(1，0)＝t ≤1，故DE → ·DC →的最大值为1. 法二 如图，无论E 点在哪个位置，DE → 在CB → 方向上的投影都是CB ＝1，所以DE → ·CB → ＝|CB →|·1＝1，当E 运动到B 点时，DE → 在DC →方向上的投影最大，即为DC ＝1，所以(DE → ·DC → )max ＝|DC →|·1＝1.答案 (1)C (2)1 1探究提高 1.求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.2.进行向量的数量积的运算，首先要有“基底”意识，关键用基向量表示题目中所求相关向量.其次注意向量夹角的大小，以及夹角θ＝0°，90°，180°三种特殊情形. 命题角度2 平面向量数量积的性质【例2－2】 (1)(2016·山东卷)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13.若n ⊥(t m＋n )，则实数t 的值为( ) A.4 B.－4 C.94D.－94(2)(2017·哈尔滨模拟)平面向量a ，b 满足|a |＝4，|b |＝2，a ＋b 在a 上的投影为5，则|a －2b |的模为( ) A.2 B.4 C.8D.16解析 (1)∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0，即t ·m ·n ＋n 2＝0， ∴t |m ||n |cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0，由已知得t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4.(2)|a ＋b |cos 〈a ＋b ，a 〉＝|a ＋b |·（a ＋b ）·a |a ＋b ||a |＝a 2＋a ·b |a |＝16＋a ·b4＝5；∴a ·b ＝4.又(a －2b )2＝a 2－4a ·b ＋4b 2＝16－16＋16＝16. ∴|a －2b |＝4. 答案 (1)B (2)B探究提高 1.求两向量的夹角：cos θ＝a ·b|a |·|b |，要注意θ∈[0，π].2.两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a －b |＝ |a ＋b |.3.求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： (1)a 2＝a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a . (2)|a ±b |＝（a ±b ）2＝a 2±2a ·b ＋b 2. (3)若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2.【训练2】 (1)(2015·福建卷)已知AB → ⊥AC → ，|AB → |＝1t ，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP → ＝AB→ |AB → |＋4AC→|AC →|，则PB → ·PC →的最大值等于( )A.13B.15C.19D.21(2)(2017·郴州二模)已知a ，b 均为单位向量，且(2a ＋b )·(a －2b )＝－332，则向量a ，b的夹角为________.解析 (1)建立如图所示坐标系，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，C (0，t )，AB → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，AC → ＝(0，t )，则AP → ＝AB→ |AB → |＋4AC→|AC →| ＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t，0＋4t(0，t )＝(1，4). ∴点P (1，4)，则PB → ·PC → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －1，－4·(－1，t －4) ＝17－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t＋4t ≤17－21t·4t ＝13，当且仅当4t ＝1t ，即t ＝12时取等号，故PB → ·PC →的最大值为13. (2)设单位向量a ，b 的夹角为θ， 则|a |＝|b |＝1，a ·b ＝cos θ. ∵(2a ＋b )·(a －2b )＝－332，∴2|a |2－2|b |2－3a ·b ＝－3cos θ＝－332，∴cos θ＝32，∵0≤θ≤π，∴θ＝π6.答案 (1)A (2)π6热点三 平面向量与三角的交汇综合【例3】 (2017·郑州质检)已知向量m ＝(2sin ωx ，cos 2ωx －sin 2ωx )，n ＝(3cos ωx ，1)，其中ω＞0，x ∈R .若函数f (x )＝m ·n 的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)在△ABC 中，若f (B )＝－2，BC ＝3，sin B ＝3sin A ，求BA → ·BC →的值.解 (1)f (x )＝m ·n ＝23sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －sin 2ωx ＝3sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6. ∵f (x )的最小正周期为π，∴T ＝2π2|ω|＝π.∵ω＞0，∴ω＝1.(2)设△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .∵f (B )＝－2，∴2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝－2， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝－1，解得B ＝2π3(B ∈(0，π)).∵BC ＝3，∴a ＝3，∵sin B ＝3sin A ，∴b ＝3a ，∴b ＝3. 由正弦定理，有3sin A ＝3sin2π3，解得sin A ＝12.∵0＜A ＜π3，∴A ＝π6.∴C ＝π6，∴c ＝a ＝ 3.∴BA → ·BC → ＝ca cos B ＝3×3×cos 2π3＝－32. 探究提高 1.破解平面向量与“三角”相交汇题的常用方法是“化简转化法”，即先活用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、倍角公式、辅助角公式等对三角函数进行巧“化简”；然后把以向量共线、向量垂直形式出现的条件转化为“对应坐标乘积之间的关系”；再活用正、余弦定理，对三角形的边、角进行互化.2.这种问题求解的关键是利用向量的知识将条件“脱去向量外衣”，转化为三角函数的相关知识进行求解.【训练3】 (2017·山东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝3，AB → ·AC→ ＝－6，S △ABC ＝3，求A 和a .解 因为AB → ·AC →＝－6，所以bc cos A ＝－6，又因为S △ABC ＝3，所以bc sin A ＝6， 因此tan A ＝－1，又0<A <π，所以A ＝3π4.又因为b ＝3，所以c ＝2 2. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得a 2＝9＋8－2×3×22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝29， 所以a ＝29.1.平面向量的数量积的运算有两种形式：(1)依据模和夹角计算，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化；(2)利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题，化形为数，使向量问题数量化.2.根据平行四边形法则，对于非零向量a ，b ，当|a ＋b |＝|a －b |时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|a ＋b |＝|a －b |等价于向量a ，b 互相垂直.3.两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线.一、选择题1.(2016·全国Ⅲ卷)已知向量BA → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A.30°B.45°C.60°D.120°解析 |BA → |＝1，|BC → |＝1，cos∠ABC ＝BA → ·BC→|BA → |·|BC →|＝32.∵0°≤∠ABC ≤180°，∴∠ABC ＝30°. 答案 A2.(2017·北京卷)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析 存在负数λ，使得m ＝λn ，则m ·n ＝λn ·n ＝λ|n |2<0，因而是充分条件，反之m ·n <0，不能推出m ，n 方向相反，则不是必要条件. 答案 A3.(2017·汉中模拟)已知向量a ＝(2，－4)，b ＝(－3，x )，c ＝(1，－1)，若(2a ＋b )⊥c ，则|b |＝( )A.9B.3C.109D.310解析 向量a ＝(2，－4)，b ＝(－3，x )，c ＝(1，－1)， ∴2a ＋b ＝(1，x －8)，由(2a ＋b )⊥c ，可得1＋8－x ＝0，解得x ＝9. 则|b |＝（－3）2＋92＝310. 答案 D4.如图，BC ，DE 是半径为1的圆O 的两条直径，BF → ＝2FO → ，则FD → ·FE →等于( )A.－34B.－89C.－14D.－49解析 ∵BF → ＝2FO → ，圆O 的半径为1，∴|FO → |＝13，∴FD → ·FE → ＝(FO → ＋OD → )· (FO → ＋OE → )＝FO → 2＋FO → ·(OE → ＋OD → )＋OD → ·OE → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋0－1＝－89. 答案 B5.(2017·安徽江淮十校联考)已知平面向量a ，b (a ≠0，a ≠b )满足|a |＝3，且b 与b －a 的夹角为30°，则|b |的最大值为( ) A.2 B.4 C.6D.8解析 令OA → ＝a ，OB → ＝b ，则b －a ＝AB → －OA → ＝AB →，如图.∵b 与b －a 的夹角为30°， ∴∠OBA ＝30°.∵|a |＝|OA →|＝3，∴由正弦定理得|OA → |sin∠OBA ＝|OB → |sin∠OAB ，|b |＝|OB →|＝6·sin∠OAB ≤6.答案 C 二、填空题6.(2017·全国Ⅲ卷)已知向量a ＝(－2，3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ，则m ＝________. 解析 由题意，得－2×3＋3m ＝0，∴m ＝2. 答案 27.(2017·德州模拟)已知平面向量a 和b 的夹角为60°，a ＝(2，0)，|b |＝1，则 |a ＋2b |＝________.解析 ∵〈a ，b 〉＝60°，a ＝(2，0)，|b |＝1， ∴a ·b ＝|a ||b |·cos 60°＝2×1×12＝1，又|a ＋2b |2＝a 2＋4b 2＋4a ·b ＝12， 所以|a ＋2b |＝12＝2 3. 答案 2 38.若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5 AM → ＝AB → ＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比值为________.解析 设AB 的中点为D ，由5AM → ＝AB → ＋3AC → ，得3AM → －3AC → ＝2AD → －2AM → ，即3CM → ＝2MD →.如图所示，故C ，M ，D 三点共线， 且MD → ＝35CD →， 也就是△ABM 与△ABC 对于边AB 的两高之比为3∶5， 则△ABM 与△ABC 的面积比值为35.答案 35三、解答题9.设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值. 解 (1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ， |b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1， 及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6.(2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，当x ＝π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6取最大值1.所以f (x )的最大值为32.10.(2017·贵阳调研)已知向量a ＝⎝ ⎛cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ，⎭⎪⎫sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋x ，b ＝(－sin x, 3sin x )，f (x )＝a ·b .(1)求函数f (x )的最小正周期及f (x )的最大值；(2)在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝1，a ＝23，求三角形ABC 面积的最大值.解 (1)∵a ＝(－sin x ，cos x )，b ＝(－sin x ，3sin x )， 则f (x )＝a ·b ＝sin 2x ＋3sin x cos x＝12(1－cos 2x )＋32sin 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12， ∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，当2x －π6＝π2＋2k π，k ∈Z 时，即x ＝π3＋k π(k ∈Z )，f (x )取最大值是32.(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＋12＝1，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12，∴A ＝π3.∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴12＝b 2＋c 2－bc ，∴b 2＋c 2＝12＋bc ≥2bc ，∴bc ≤12(当且仅当b ＝c ＝23时等号成立). ∴S ＝12bc sin A ＝34bc ≤3 3.∴当三角形ABC 为等边三角形时面积取最大值是3 3. 11.已知函数f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x (x ∈R ).(1)当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，f (C )＝2，若向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线，求a ，b 的值.解 (1)f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1，令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，因为x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6. (2)由f (C )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＋1＝2，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝12，而C ∈(0，π)，所以2C ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6，所以2C ＋π6＝56π，解得C ＝π3.因为向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线， 所以sin A sin B ＝12.由正弦定理得a b ＝12，①由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3，即a 2＋b 2－ab ＝9.②联立①②，解得a ＝3，b ＝2 3.。