2.3.3 平面向量
1．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a ，b 满足|a |＝1，a ·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．0
[解析] 因为|a |＝1，a ·b ＝－1，所以a ·(2a －b )＝2|a |2
－a ·b ＝2×12
－(－1)＝3.故选B.
[答案] B
2．(2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD
相切的圆上．若AP →
＝λAB →
＋μAD →
，则λ＋μ的最大值为( )
A ．3
B ．2 2 C. 5 D ．2
[解析] 分别以CB 、CD 所在的直线为x 轴、y 轴建立直角坐标系，则A (2,1)，B (2,0)，
D (0,1)．
∵点P 在以C 为圆心且与BD 相切的圆上， ∴可设P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
25cos θ，25sin θ. 则AB →＝(0，－1)，AD →
＝(－2,0)，
θ＋1，
＝2－sin(θ＋φ)，
＝2，∴max [答案] A
3．(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________.
[解析] 由已知得2a ＋b ＝(4,2)．又c ＝(1，λ)，c ∥(2a ＋b )，所以4λ－2＝0，解得λ＝1
2
.
[答案] 1
2
4．(2018·上海卷)在平面直角坐标系中，已知点A (－1,0)、B (2,0)，E 、F 是y 轴上的
两个动点，且|EF →
|＝2，则AE →·BF →
的最小值为________．
[解析] 设E (0，m )，F (0，n )， 又A (－1,0)，B (2,0)， ∴AE →＝(1，m )，BF →
＝(－2，n )．
∴AE →·BF →
＝－2＋mn ，
又知|EF →
|＝2，∴|m －n |＝2.
①当m ＝n ＋2时，AE →
·BF →
＝mn －2＝(n ＋2)n －2＝n 2
＋2n －2＝(n ＋1)2
－3.
∴当n ＝－1，即E 的坐标为(0,1)，F 的坐标为(0，－1)时，AE →·BF →
取得最小值－3.
②当m ＝n －2时，AE →
·BF →
＝mn －2＝(n －2)n －2＝n 2
－2n －2＝(n －1)2
－3.
∴当n ＝1，即E 的坐标为(0，－1)，F 的坐标为(0,1)时，AE →·BF →
取得最小值－3.
综上可知，AE →·BF →
的最小值为－3. [答案] －3
5．(2017·天津卷)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2.若BD →
＝2DC →，AE →
＝λAC →－AB
→
(λ∈R )，且AD →·AE →
＝－4，则λ的值为________．
[解析] 解法一：如图，由BD →
＝2DC →得AD →
＝13AB →
＋2
3
AC →，
所以AD →·AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13
AB →＋23AC →·(λAC →－AB →)＝13λAB →·AC →－13AB →2＋23λAC →2
－23AB →·AC →
，
又AB →·AC →
＝3×2×cos60°＝3，AB →
2＝9，AC →
2
＝4，所以AD →·AE →
＝λ－3＋83λ－2＝113λ－
5＝－4，解得λ＝3
11
.
解法二：以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图，因为AB ＝3，
AC ＝2，∠A ＝60°，所以B (3,0)，C (1，3)，又BD →
＝2DC →
，所以D ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
53，
233，
所以AD →
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
53，233，
而AE →
＝λAC →－AB →
＝λ(1，3)－(3,0)＝(λ－3，3λ)，因此AD →·AE →
＝53(λ－3)＋233
×3λ ＝113λ－5＝－4，解得λ＝311
.
[答案]
3
11
1.平面向量是高考必考内容，每年每卷均有一个小题(选择题或填空题)，一般出现在第3～7或第13～15题的位置上，难度较低．主要考查平面向量的模、数量积的运算、线性运算等，数量积是其考查的热点．
2．有时也会以平面向量为载体，与三角函数、解析几何等其他知识相交汇综合命题，难度中等．
