数，故/, = Jj( x2 + y1)3d(j = 2jj(x2+ y1) 3dcr.fh i)i又由于D3关于;t轴对称，被积函数(/ +r2)3关于y是偶函数，故jj(x2+j2)3dcr=2j(x2+y2)3da=2/2.Dy 1)：从而得/, = 4/2.(2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意：如果积分区域关于^轴对称，而被积函数/(x,y)关于y是奇函数，即fix, -y)= -f(x,y) ,P Jjf/(x,y)da =0；D如果积分区域D关于：K轴对称，而被积函数/(x，y)关于：c是奇函数，即/(~x,y)=-/(太，y)，则=0.D«3.利用二重积分定义证明：(1)jj da=(其中(7为的面积)；IJ(2)JJ/c/( X ,y)drr =Aj|y’(A:，y)do■(其中A：为常数)；o n(3 ) JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr + jJ/( x ,y) dcr ,其中 /) = /)! U /)2，，A 为两个I) b\ lh尤公共内点的W K域.证(丨)由于被枳函数./U,y)=1,故山二t积分定义得n"jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A<r, = lim ^ Ac,=l i m cr= a.A—0n(1)Ji/(x,j)(Ic7=lim^i)1n=A lim y/(^(,i7,)A(7-,=k \\f{x,y)Aa.A-°台•{!(2)因为函数/U，y)在闭区域/)上可积，故不论把£»怎样分割，积分和的极限总是不变的.因此在分割D时,可以使和/)2的公共边界永远是一条分割线.这样fix.y)在A U D2上的积分和就等于&上的积分和加D2上的积分和，记为^/(^, ,17,) A CT, = ^/( ^, , 17,) A CT, + ^/(^, ,17,) A CT,./)(U0, ", l)：令所有的直径的最大值A-0,上式两端同时取极限，即得Jf(x,y)i\a=j j f(x,y)d a+J J/(x f y)d a.p,un} V, n；Sa4.试确定积分区域/)，使二重积分][(1-2x2-y2)d«l y达到最大值.I)解由二重积分的性质可知，当积分区域/＞包含了所有使被积函数1 -2.v2 -V2 大于等于零的点，而不包含使被积函数1 -2/ -y2小于零的点，即当£»是椭圆2/ +y2 = l 所围的平面闭区域时，此二重积分的值达到最大.& 5.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：(1)Ju+y)2山7与J[U，其中积分区域D是由x轴、^轴与直线A+.、=D I)1所围成；(2)J(x+7)2如与■，其中积分区域0是由圆周(.r-2)2+(.v-l)2=t) n2所围成；(3)I'm A；+y)(l o r与!"[I n(X+y)]2(1(7，其中Z＞是三角形闭K域，三顶点分别为l)"(1，0)，(1，1)，(2,0);(3)J p n(:r+y)d c r与I n(:t+y)]2f W，其中/)=|(.r,.v)|3，0彡、彡1 .i) i)解(1)在积分K域0上，故有(x + j) 3 ^ (x + y) 2.根据二重积分的性质4，可得J(.r + y) \lrx ^ J (.\ + v)0D由于积分区域0位于半平面| (A:，V) | .V+ •、彡1 1内，故在/)|:&(.f + y) 2彡(A + y) 3•从『("• J( v + ＞ )：drr ^ jj ( x + y) \l f r.(1)由于积分区域D位于条形区域1U，y)|1彡1+7彡2丨内，故知区域/)上的点满足0彡InU+y)彡1，从而有[lnU+y)]2彡lnU+.y).因此j j[l n(a:+y)]2(J o-^+y)d(2)由于积分区域/)位于半平面丨(x，y) | .v+y彡e|内，故在Z)上有l n(x+y)彡1，从而：I n(-v+)')]2彡I n(:c+)').因此Jj^ 1 n(.r + y) ] 2dcr ^ Jln( x + y) da.i) a3 6.利用二重积分的性质估计下列积分的值：(1) / = |^7(文+7)心，其中/)= \ (x ,y) 1,0 1|；n(2)/=j^sin^sin^do■，其中/)=j(A:,y)|0^^^TT,0^y^TT1;i)(3)/= J*(A：+y + l)d(7,其中/>= { {x,y) |0^x^l,0^j^2[；it(4)/=J(x2 +4y2 +9)do•，其中D= \{x,y) \x2 +y2 ^ 4|.I)解(1)在积分区域D上，0矣;<:矣1,0英y矣1,从而0矣巧•(*+y)矣2•又£»的面积等于1,因此(2)在积分区域/)上，0矣sin J:矣1,0^sin1，从而0彡sin2A：sin2y彡1，又0的面积等于TT2,W此(3)在积分K域"上有\^x+y +\«4,/)的而积等于2,因此(4)W为在积分K域/>»上有0矣;t2+y2苳4,所以有9^+4r2+9^4( x2+y2)+9矣25.34I)的酣枳等于4TT，W此36TT^[[(x2+4/+9)(Ur^lOO-ir.二重积分的计算法.^1.计算下列二甩积分:可编辑l<3x 十2) ;dcr ，其中"是由两坐标轴及直线-X - + v = 2听围成的闭区域； b ( 3 J jj( x J + 3x 2 \ + v 3 ) da ，其中 D = ( x , v ) 0 ^ A : ^ 1 .0 ^ v ^ 1 ； u ( 4 ) jjxcas( X + Y j do ■，其中Z >是顶点分别为( 0 .0 j < 77 ,0 )和( 77 , 77 )的三角形闭区域. m (1 x 2 4- V 2 )d(T = f dxf (X 2 -h V 2 ) d V dx j fh 2 D 不等式表示为 2 r 2 -x 3xy +y 2]l~x dx =| (4+ 2x - 2x 2 ) dx 20 3(+ 3x 2y + y 3 )da = d > (文3 + 3.r 2 v +、、)ch . + x y + v " JC di (4) l )可用不等式表示为 0 ^ V ^ A ： , 0 ^ .t ^ 7T . 于是 |A :COS (JC + y ) da = I cos(.v + v )d I [ sin (.t + y ) ] Q ()^ = J V ( sin 2.v - sin .v ) <1 x x(\( cos .v —丄(.<，s 2.v ) 卜( 1X (-TT r T X cos .v - —rus TT. & 2. _出枳分ix:域，斤i 卜r): v 列m 分:x2^y^J^,0矣x矣1(图10-2).0«^^/4-y2,-2矣7矣2(图10-3),(2)J^^do■，其中/)是由两条抛物线7=v^,y=*2所围成的闭区域；D(3)jfxy2dcr,其中D是由圆周x2+J2=4及y轴所围成的右半闭区域；I)(3)JV+'dcr，其中/)=I(%，)•)||A；|+|J|^1!；D(4)|"U2+/-x)<lo•，其中D是由直线y:l、y二xh :2*所围成的闭区域.D解(1)0可用不等式表示为于是(4)D可用不等式表示为(3)如阁I()-4，W=/\U"2，其中/>1= \(x,y)\-x-\ ^y^Jc + 1,-1 ^a;^0|,I)2=\(x,y) |*-1 +因此Ea3.如果二重积分|/( .r,y)心办的被积函数/(x，v)是两个函数/](O及)的乘n积，即/(X，y) =f\(x)./“y)，积分区域/)={(.V,y)I(1^V^/>,r^,证叫这个二重积分等于两个单积分的乘枳，即|*/|U) -/2(r) fl atl y = [ J/, (.v)(l.v] - [ [/：( > )^v]-证Jj./1(x)•.,2(/)dvd V~J[f J \(v)■ ./：t^]l^x*在上式右端的第一次单枳分f/,(.V)•/2(.V)d v中,./,(A.)1J fut变招:、无关，nn见为常数提到积分5外，W此上式“端笏T可编辑fix/ = j [ dy ^/(*，y )tk .而在这个积分中，由于f/2 (y ) d y 为常数，故又可提到积分号外，从而得到• f 2<,y)^xAy= [| /2(y )dj ] - [ J n /, (x )dx ]证毕. ^4.化二重积分/ = Jf(x ，y )daI)为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分)，其中积分区域£>是:(1) 由直线及抛物线y 2 =4x 所围成的闭区域； (2) 由x 轴及半圆周/ +y 2 =r 2(y 英0)所围成的闭区域；(3) 由直线y =x ，；c = 2及双曲线：K = ^-(*>0)所围成的闭区域；X(4) 环形闭区域 IU ，y ) | 1+y 2^4(.解(1)直线y =x 及抛物线y 2 =4;c 的交点为(0,0)和(4,4)(图10-6).于是f(x,y)dy,(1)将/)用不等式表示'fyO^y^r 2 -x 2，- r ^ W /•，于是可将/化为如下的先 对y 、后对*的二次积分：r/ = J (1文Jf(x ,y)(\y ；如将0叫不等式表示为~Vr 2 -y 2^x^Vr 2 - y 2 ,0各/•，则可将/化为如卜的 先对*、后对y 的二次枳分：可编辑dr x,y) dx. (3)如图 10-7. :条边界曲线两两相交，先求得3个交点为(1 ,1 )，2,y 和(2,2).于是dy (i_/(^,y)+ tlj /( x ,y)dx.dx• \/4J\x y y)dy + d.vl(1%/T/(A ：,y)clr + d.vl ■ y A -x 2/(.r ,v )d > -f/(.v V v ) dv ./(.v ,v )d.v -f.\/4-、 /( \ , > ) d.v-f厂、/4 -、•'•I-v^ W"/( v , y) (l .\.| dxj[f(x,y)dy.注本题说明，将二重积分化为二次积分时，需注意根据积分区域的边界曲线 的情况，选取恰当的积分次序.本题中的积分区域/)的上、下边界曲线均分别由—个 方程给出，而左边界曲线却分为两段，由两个不同的方程给出，在这种情况下采取先 对y 、后对^的积分次序比较有利，这样只需做一个二次积分，而如果采用相反的枳 分次序则需计算两个二次积分.需要指出，选择积分次序时，还需考虑被积函数/U , y )的特点.具体例子n ]'见教 材下册第144页上的例2.(4)将D 按图10 - 8( a )和图10 - 8( 1>)的两种不同方式則分为4块，分別得x ,r) d.t.(5) (lx\ f{x,y)Ay\广2 f yix -x2(4)|叫2f{x,y)dy-,fix /-sin x(6)I Ax\J(x,y)Ay.JO J - siny图10-8,5.设/U，Y）在D上连续，其中/）是由直线;==所围成的闭区域，证明dx| f(x,y)Ay证等式两端的二次积分均等于二重积分J/U,y）d o•，因而它们相等.I）^6.改换下列二次积分的积分次序：(2) J) dj|：f(x,y)dx；解（丨）所给二次积分等于二重积分J[/U，;K）（^，其中o =丨h，y）1° ^ ^ ^r-"0 ^ j ^ I（. /> n|■改写为 | Uj） | * 矣y矣 1，0 ^ ^ I | （罔 10 - 9）,于是原式=丄<ixj/(x,y)dy.(3)所给一.次枳分等于二'Ti积分|/U,y)山，.K:中/)=I|.y2^^<2y,0 ^21. M I) njm为{u’y) I 音矣 j ^ 7^,0 ^ x 在4)( 1冬 1 1(> - I0)，W此原式=J,i\xjy/(x,y)i\y.-y 2^.V ^1$、飞 V 彡1(4) 所给二次积分等于二重积分.其中D = : (.v .v ) | - V 1UX ^ J 1 - y 2 ,0彡 >•彡 1 ; •又 D 可表示为：(JC ，)*)丨0彡 y 彡 V 1 - .r 2 , - 1 = (图10 -11)，因此f 1f V 1 -X~原式=J ^ dxj/(x , v )dy .(5) 所给二次积分等于二重积分其中D = : (.v .v ) ' 2 -hs/lx - x 1 %\ 彡.r 彡2 :.又 D 可表示为：(A :,V ) | 2 - 1彡.t •彡 1 + Y 1 — v 2,0 : (图 10 -12)，故原式=丄 d)j f(x %y)dx.(6)所给二次积分等于二重积分］|/(.10 )(1^,)1:中/)= 1(.v .v ) | 0 ^ v ^I)x 彡e | •又/)可表示为| ( A :，＞•) | e 、彡A •彡e ，0彡、彡1 i ( |劄10 - 1,故原式=L (I .、| ,./X .、，.、) (l .v .m1()-14,将积分|><:域/)丧示为/),U/)2，其中A),=j U，、)|arcsin>^可编辑/(x,y)dx. y广 1 r ir - arcsin > 原式=Idyf(x yy)c\xJO Jarcsin )T T - arcsin y ，0彡 y 彡 1 |1,D 2 = | (.r,y)一 2arcsi n , 一 1 彡)'彡0|.于是rt-x + xydrAy~d\ c\) ''i x E | o»•Y = s i n A的反闲数足A = i i r r s»My- -1 x足ih y - H in x = sin ( T T - x) "n!J TT - x ^ ar cKin y,从ifii 得反闲数 ^(子•中，TTT T - iin-Hiny.^7.设平面薄片所占的闭区域D 由直线;t = 2，y = 和;r 轴所围成，它的面密度/x (.t ,v ) = x 2 +y 2,求该薄片的质量.解 D 如图10-15所示.所求薄片的质M = jJ/Lt( x 9y) dcr = ^ dyj ( x 2 + y 2 ) dxr[+(2”)3+2,12| 冬| 10 - 158. i |灯|l |四个平而A ： = 0，y = 0，;t = I ，v = I 所闲成的柱休被平面z = 0及2.r +3y + z 6藏得的立休的体积.V - (I 6 - ^ x 2 + y 2) dx(\y6 ( 1 - x ) - x 2+——f 1\1_6"*10-17m 10 - 18解 江力一 E J .它？？芪是；c 0:. S 二苎泛7：省•。
