预应力混凝土梁桥徐变次内力计算方法的探讨
黄祖华 房贞政
（福州大学土建学院，福州 350002）
摘 要 本文介绍了狄辛格（Dischinger ）方法、Tröst -Bazant 方法、采用位移法的有限元逐步分析法等三种目前常用的预应力混凝土桥梁结构徐变次内力分析方法；并通过一个实例，针对三种分析方法的计算结果作了比较，说明应用我国现有规范的徐变系数计算模型进行徐变分析是符合实际的。
关键词 预应力砼梁桥 徐变 次内力 分析方法
混凝土徐变效应分析，是预应力混凝土桥梁结构设计和大跨度悬臂施工控制的一项重要内容。混凝土的徐变对结构的变形、结构的内力分布和结构截面（在组合截面情况下）的应力分布都会产生很大的影响，徐变产生的变形甚至可以高达持续荷载产生的瞬时变形的3～5倍。预应力混凝土超静定结构，由于混凝土徐变变形受到结构多余约束的制约，因而导致结构产生徐变次内力。预应力混凝土超静定结构徐变次内力的分析方法主要可分为三类：（1）狄辛格（Dischinger ）
方法；（2）Bazant st o Tr - 方法；（3）采用位移
法的有限元逐步分析法。
1 狄辛格（Dischinger ）方法[1]
应用老化理论，徐变系数变化规律采用狄辛格公式，不考虑徐变的滞后弹性效应。狄辛格方法就是在时间增量τd 内建立增量变形协调微分方程求解结构徐变次内力。
狄辛格（Dischinger ）微分方程为：
()
τϕσσεττ
τ,t d E
E
d d +
=
(1)
式1的物理意义是，在τd 时间增量内，总应
变增量等于应力增量
τσd 引起的弹性应变增量与
应力状态τσ引起的徐变应变增量。式中，τσ可
分解为τ时刻的初始应力值0σ与因徐变引起的
变化量()τσc
。
()()τϕ,0t d dx EI M M dx EI M t dM d l K l K
kp ⋅+=∆⎰⎰
+()()τϕ,t d dx EI M t M k
⋅⎰ …………（2） 式2即为在时间增量dt 内结构总变形增量的计算公式。其中，
0M 为结构的初始内力，
p k k M M X M +=00，0
k X 为结构k 点的初始内
力，
p
M 为外荷载p 在基本结构上产生的内力；
k M 为赘余力kt X =1在基本结构上引起的弯矩，
()k kt M X t M =。
沿任一多余约束方向的变形协调条件为：
=∆kp d (3)
即：
()()τϕ,0t d dx EI M M dx EI M t dM l K l K
⋅+⎰⎰
+()()τϕ,t d dx EI M t M k
⋅⎰=0 (4)
式3就是狄辛格（Dischinger ）增量变形协调微分方程，表示在时间增量内，沿多余约束方向（一般为外部支座）的变形协调条件。
狄辛格法当采用老化理论时，对后期加载的长期徐变效应估计过低，而对递减荷载的长期徐变效应又估计过高，但比较符合初期加载的情况。狄辛格法当采用先天理论时，则比较符合后期加载的情况。因而在实际工程中，可综合采用两种理论，即混凝土初期加载时采用老化理论，后期加载时采用先天理论。在计算上，由于该法应用
微分方程，使得计算求解比较复杂。但从另外一个角度说，狄辛格法使我们能够直接估计体系转换后的徐变影响，因此对初步设计很有好处。
2 Tröst -Bazant 方法[2]
设桥梁结构各构件的徐变特性相同，后期结构为n 次超静定，则从体系转换时刻τ至以后的任一时刻t ，因徐变产生于第i 个赘余力方向相对变位的相容条件表达为： ()()()()[]
τϕτρδττϕ,,1,,1
1
,t t t X t ij
n
j j i ++∆∑
==0
),,2,1(n i = …………（5） 式中,
1
,i ∆为由荷载及前期结构继承下来的
初内力产生于基本静定结构第i 个赘余力方向的变位；
()
τ,t X j 为从τ至t 的时间内，产生于第i 个
赘余力方向的截面徐变次内力；
ij
δ为当
1
=j X 时产生于基本静定结构第i 个赘余力方向的变位。
时效系数()τρ,t 可根据老化理论的狄辛格
（Dischinger ）公式推导而得，即：
()()
()τϕτρτϕ,111,,t e
t t -
-=
-
Tröst 指出()τρ,t 的取值范围在0.5～1之间，一般可以取为0.8。在实用分析中，不必过分追求时效系数()τρ,t 的精确程度，因为徐变计算误差最大方面还在于徐变系数的选择[3]
。
Tröst -Bazant 代数方程解法只能适用于下列条件之一：（1）外加约束是突然发生的；（2）外加约束施加的速度与徐变发展的速度相同。但该法使超静定结构徐变次内力问题可以用代数方程代替微分方程求解，并且可以选择合乎实际情况的徐变系数表达式，既简化了计算，又提高了精度。
3 采用位移法的有限元逐步分析法[3]
用有限元法计算超静定结构徐变内力重分布的关键是将弹性体系的单元刚度矩阵转变为徐变体系的单元刚度矩阵，引入换算弹性模量
()()[]
τϕτρφ,,1t t E E +=，则有：
{}[]{}()[]{}c
c
K t K F δτγδφ
φ
,== (6)
式中：[]K 为杠件弹性模量为E 时杠件单元刚度矩阵，即弹性刚度矩阵；]
[φK 为杠件徐变等效
弹性模量为φ
E 时的杠件单元刚度矩阵，即徐变刚
度矩阵。
其中
()()()τϕτρτγφ,,11
,t t E
E t +=
=
徐变效应分析的位移法基本方程为：
{}()[]{}()(){}0,,,F t t K t F c τϕτγδτγ-= （7）
式中：{}F 为由徐变引起的总杆端力（实际
节点力增量）；{}c δ为徐变位移； {}0F 为初始内
力产生的初始弹性杆端力，{}[]{}e K F δ=0
，{}e δ为结构初始弹性位移。
该基本方程表明由徐变引起的单元杆端力由
两部分组成：第一部分为由徐变位移{}c δ产生的
杆端力；第二部分为与初始弹性杆端力{}0F 引起
的徐变位移{}0δ产生的杆端力。 取{}[]{}00δφK F -=*，视为徐变等效固端力，
则上式也可表示成：
{}[]{}{}*+=0F K F δφ (8)
由此可看出,徐变分析是以结构初始内力为基础的，所经历的时间段除约束反力发生变化外,并不增加新的外荷载，因此将各单元在单元坐标系内由徐变引起的杆端力列阵转换到结构坐标系内，进行叠加，便可得到结构的总体平衡方程，引入边界条件便可解得徐变引起的单元杆端位移
{}c δ，进而得到徐变引起的单元杆端力{}F 和徐
变约束反力。
根据以上的理论和公式，第i 个时间间隔的结构分析步骤如下：
（1）在第i 个时间间隔开始时，锁定结构的全部节点，求出该时间间隔内各单元的节点锁定力。
从而形成节点力增量{}*
∆i
e F ,。
（2）在第i 个时间间隔终了时，即时刻i t
，解除所有节点的锁定，对各单元施以反锁定节点
