2018年高考数学试题分类汇编数列

2018高考真题分类汇编：数列一、选择题1.【2018高考真题重庆理1】在等差数列}{n a 中，12=a ，54=a 则}{n a 的前5项和5S = A.7 B.15 C.20 D.25【答案】B【解析】因为12=a ，54=a ，所以64251=+=+a a a a ，所以数列的前5项和156252)(52)(542515=⨯=+=+=a a a a S ,选B. 2.【2018高考真题浙江理7】设n S 是公差为d （d ≠0）的无穷等差数列﹛a n ﹜的前n 项和，则下列命题错误的是A.若d ＜0，则数列﹛S n ﹜有最大项B.若数列﹛S n ﹜有最大项，则d ＜0C.若数列﹛S n ﹜是递增数列，则对任意*N n ∈，均有0>n S D. 若对任意*N n ∈，均有0>n S ，则数列﹛S n ﹜是递增数列【答案】C【解析】选项C 显然是错的，举出反例：—1，0，1，2，3，…．满足数列{S n }是递增数列，但是S n ＞0不成立．故选C 。

3.【2018高考真题新课标理5】已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ）()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -7【答案】D【解析】因为}{n a 为等比数列，所以87465-==a a a a ，又274=+a a ，所以2474-==a a ，或4274=-=a a ，.若2474-==a a ，，解得18101=-=a a ，，7101-=+a a ；若4274=-=a a ，，解得18110=-=a a ，，仍有7101-=+a a ，综上选D.4.【2018高考真题上海理18】设25sin 1πn n a n =，n n a a a S +++= 21，在10021,,,S S S 中，正数的个数是（ ）A ．25B ．50C ．75D ．100【答案】D【解析】当1≤n ≤24时，n a ＞0，当26≤n ≤49时，n a ＜0，但其绝对值要小于1≤n ≤24时相应的值，当51≤n ≤74时，n a ＞0，当76≤n ≤99时，n a ＜0，但其绝对值要小于51≤n ≤74时相应的值，∴当1≤n ≤100时，均有n S ＞0。

数列热点一 等差数列、等比数列的综合问题解决等差、等比数列的综合问题时，重点在于读懂题意，灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n 项和公式解决问题，求解这类问题要重视方程思想的应用.【例1】已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列，其前n 项和为S n (n∈N *)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝S n －1S n (n∈N *)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值.解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ， 因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列， 所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5，即4a 5＝a 3， 于是q 2＝a 5a 3＝14.又{a n }不是递减数列且a 1＝32，所以q ＝－12.故等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n .(2)由(1)得S n＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋12n，n 为奇数，1－12n，n 为偶数，当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小， 所以1<S n ≤S 1＝32，故0<S n －1S n ≤S 1－1S 1＝32－23＝56.当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大， 所以34＝S 2≤S n <1，故0>S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－712.综上，对于n∈N *，总有－712≤S n －1S n ≤56. 所以数列{T n }最大项的值为56，最小项的值为－712.【类题通法】解决等差数列与等比数列的综合问题，既要善于综合运用等差数列与等比数列的相关知识求解，更要善于根据具体问题情境具体分析，寻找解题的突破口.【对点训练】已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，其前n 项和为S n ，满足S 5－2a 2＝25，且a 1，a 4，a 13恰为等比数列{b n }的前三项. (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设T n 是数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前n 项和，是否存在k∈N *，使得等式1－2T k ＝1b k成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由. 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d(d≠0)， ∴⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫5a 1＋5×42d －2（a 1＋d ）＝25，（a 1＋3d ）2＝a 1（a 1＋12d ），解得a 1＝3，d ＝2，∴a n ＝2n ＋1. ∵b 1＝a 1＝3，b 2＝a 4＝9，∴等比数列{b n }的公比q ＝3，∴b n ＝3n . (2)不存在.理由如下：∵1a n a n ＋1＝1（2n ＋1）（2n ＋3）＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3， ∴T n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3， ∴1－2T k ＝23＋12k ＋3(k∈N *)，易知数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫12k ＋3为单调递减数列，∴23<1－2T k ≤1315，又1b k ＝13k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13，∴不存在k∈N *，使得等式1－2T k ＝1b k 成立.热点二 数列的通项与求和数列的通项与求和是高考必考的热点题型，求通项属于基本问题，常涉及与等差、等比的定义、性质、基本量运算.求和问题关键在于分析通项的结构特征，选择合适的求和方法.常考求和方法有：错位相减法、裂项相消法、分组求和法等.【例2】设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)当d>1时，记c n ＝a nb n ，求数列{c n }的前n 项和T n .(1)解 由题意有⎩⎨⎧10a 1＋45d ＝100，a 1d ＝2，即⎩⎨⎧2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2， 解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2或⎩⎨⎧a 1＝9，d ＝29.故⎩⎨⎧a n ＝2n －1，b n＝2n －1或⎩⎪⎨⎪⎧a n＝19（2n ＋79），b n＝9·⎝ ⎛⎭⎪⎫29n －1.(2)解 由d>1，知a n ＝2n －1，b n ＝2n －1， 故c n ＝2n －12n －1， 于是T n ＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n －12n －1，①12T n ＝12＋322＋523＋724＋925＋…＋2n －12n .② ①－②可得12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n， 故T n ＝6－2n ＋32n －1.【类题通法】用错位相减法解决数列求和的模板 第一步：(判断结构)若数列{a n ·b n }是由等差数列{a n }与等比数列{b n }(公比q)的对应项之积构成的，则可用此法求和.第二步：(乘公比)设{a n ·b n }的前n 项和为T n ，然后两边同乘以q. 第三步：(错位相减)乘以公比q 后，向后错开一位，使含有q k (k∈N *)的项对应，然后两边同时作差. 第四步：(求和)将作差后的结果求和，从而表示出T n .【对点训练】设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3，n ∈N *.(1)证明：a n ＋2＝3a n ； (2)求S 2n .(1)证明 由条件，对任意n∈N *，有a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3， 因而对任意n∈N *，n ≥2，有a n ＋1＝3S n －1－S n ＋3. 两式相减，得a n ＋2－a n ＋1＝3a n －a n ＋1， 即a n ＋2＝3a n ，n ≥2.又a 1＝1，a 2＝2， 所以a 3＝3S 1－S 2＋3＝3a 1－(a 1＋a 2)＋3＝3a 1， 故对一切n∈N *，a n ＋2＝3a n . (2)解 由(1)知，a n ≠0，所以a n ＋2a n＝3.于是数列{a 2n －1}是首项a 1＝1，公比为3的等比数列；数列{a 2n }是首项a 2＝2，公比为3的等比数列. 因此a 2n －1＝3n －1，a 2n ＝2×3n －1. 于是S 2n ＝a 1＋a 2＋…＋a 2n＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n ) ＝(1＋3＋…＋3n －1)＋2(1＋3＋…＋3n －1) ＝3(1＋3＋…＋3n －1)＝32(3n －1).热点三 数列的综合应用 热点3.1 数列与函数的综合问题数列是特殊的函数，以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点，该类综合题的知识综合性强，能很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力，因而一直是高考命题者的首选.【例3－1】 设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f(x)＝2x的图象上(n∈N *). (1)若a 1＝－2，点(a 8，4b 7)在函数f(x)的图象上，求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)若a 1＝1，函数f(x)的图象在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n b n 的前n 项和T n .解 (1)由已知，b 7＝2a 7，b 8＝2a 8＝4b 7， 有2a 8＝4×2a 7＝2a 7＋2，解得d ＝a 8－a 7＝2. 所以，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－2n ＋n(n －1)＝n 2－3n. (2)函数f(x)＝2x 在(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln 2)(x －a 2)， 它在x 轴上的截距为a 2－1ln 2.由题意知，a 2－1ln 2＝2－1ln 2，解得a 2＝2.所以，d ＝a 2－a 1＝1.从而a n ＝n ，b n ＝2n ， 所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n2n ，2T n ＝11＋22＋322＋…＋n2n －1因此，2T n －T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n＝2－12n －1－n 2n ＝2n ＋1－n －22n. 所以，T n ＝2n ＋1－n －22n.热点3.2 数列与不等式的综合问题数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种：一是判断数列问题中的一些不等关系；二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证明.在解决这些问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法等.如果是解不等式问题，要使用不等式的各种不同解法，如数轴法、因式分解法. 【例3－2】 在等差数列{a n }中，a 2＝6，a 3＋a 6＝27. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列{a n }的前n 项和为S n ，且T n ＝S n3·2n －1，若对于一切正整数n ，总有T n ≤m 成立，求实数m 的取值范围.解 (1)设公差为d ，由题意得： ⎩⎨⎧a 1＋d ＝6，2a 1＋7d ＝27，解得⎩⎨⎧a 1＝3，d ＝3，∴a n ＝3n. (2)∵S n ＝3(1＋2＋3＋…＋n)＝32n(n ＋1)，∴T n ＝n （n ＋1）2n ，T n ＋1＝（n ＋1）（n ＋2）2n ＋1，∴T n ＋1－T n ＝（n ＋1）（n ＋2）2n ＋1－n （n ＋1）2n＝（n ＋1）（2－n ）2n ＋1，∴当n≥3时，T n >T n ＋1，且T 1＝1<T 2＝T 3＝32，∴T n 的最大值是32，故实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.。

（2018年全国一·文科）17．（12分）已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设nn a b n=． （1）求123b b b ，，； （2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由； （3）求{}n a 的通项公式．（2018年全国二·文科）17．（12分） 记为等差数列的前项和，已知，． （1）求的通项公式； （2）求，并求的最小值．（2018年全国三·文科）17．（12分）等比数列中，． （1）求的通项公式；（2）记为的前项和．若，求．（2018年北京·文科）（15）（本小题13分）设{}n a 是等差数列，且123ln 2,5ln 2a a a =+=. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求12e e e n a a a +++L .（2018年天津·文科）（18）（本小题满分13分）设{a n }是等差数列，其前n 项和为S n （n ∈N *）；{b n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为T n （n ∈N *）．已知b 1=1，b 3=b 2+2，b 4=a 3+a 5，b 5=a 4+2a 6． （Ⅰ）求S n 和T n ；（Ⅱ）若S n +（T 1+T 2+…+T n ）=a n +4b n ，求正整数n 的值．n S {}n a n 17a =-315S =-{}n a n S n S {}n a 15314a a a ==，{}n a n S {}n a n 63m S =m（2018年江苏）14．已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将A B U 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为 ▲ ．（2018年浙江）10．已知1234,,,a a a a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则A ．1324,a a a a <<B ．1324,a a a a ><C ．1324,a a a a <>D ．1324,a a a a >>（2018年上海）20．（本题满分15分）已知等比数列{a n }的公比q >1，且a 3+a 4+a 5=28，a 4+2是a 3，a 5的等差中项．数列{b n }满足b 1=1，数列{（b n +1−b n ）a n }的前n 项和为2n 2+n ． （Ⅰ）求q 的值；（Ⅱ）求数列{b n }的通项公式．高考一、考试中途应饮葡萄糖水大脑是记忆的场所，脑中有数亿个神经细胞在不停地进行着繁重的活动,大脑细胞活动需要大量能量。

数列热点一 等差数列、等比数列的综合问题解决等差、等比数列的综合问题时，重点在于读懂题意，灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n 项和公式解决问题，求解这类问题要重视方程思想的应用.【例1】已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列，其前n 项和为S n (n∈N *)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝S n －1S n (n∈N *)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值.解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ， 因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列， 所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5，即4a 5＝a 3， 于是q 2＝a 5a 3＝14.又{a n }不是递减数列且a 1＝32，所以q ＝－12.故等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n .(2)由(1)得S n＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋12n，n 为奇数，1－12n，n 为偶数，当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小， 所以1<S n ≤S 1＝32，故0<S n －1S n ≤S 1－1S 1＝32－23＝56.当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大，所以34＝S 2≤S n <1，故0>S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－712.综上，对于n∈N *，总有－712≤S n －1S n ≤56.所以数列{T n }最大项的值为56，最小项的值为－712.【类题通法】解决等差数列与等比数列的综合问题，既要善于综合运用等差数列与等比数列的相关知识求解，更要善于根据具体问题情境具体分析，寻找解题的突破口.【对点训练】已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，其前n 项和为S n ，满足S 5－2a 2＝25，且a 1，a 4，a 13恰为等比数列{b n }的前三项. (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设T n 是数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前n 项和，是否存在k∈N *，使得等式1－2T k ＝1b k成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由. 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d(d≠0)， ∴⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫5a 1＋5×42d －2（a 1＋d ）＝25，（a 1＋3d ）2＝a 1（a 1＋12d ），解得a 1＝3，d ＝2，∴a n ＝2n ＋1. ∵b 1＝a 1＝3，b 2＝a 4＝9，∴等比数列{b n }的公比q ＝3，∴b n ＝3n . (2)不存在.理由如下：∵1a n a n ＋1＝1（2n ＋1）（2n ＋3）＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3， ∴T n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3， ∴1－2T k ＝23＋12k ＋3(k∈N *)，易知数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫12k ＋3为单调递减数列， ∴23<1－2T k ≤1315，又1b k ＝13k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13，∴不存在k∈N *，使得等式1－2T k ＝1b k 成立.热点二 数列的通项与求和数列的通项与求和是高考必考的热点题型，求通项属于基本问题，常涉及与等差、等比的定义、性质、基本量运算.求和问题关键在于分析通项的结构特征，选择合适的求和方法.常考求和方法有：错位相减法、裂项相消法、分组求和法等.【例2】设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)当d>1时，记c n ＝a nb n ，求数列{c n }的前n 项和T n .(1)解 由题意有⎩⎨⎧10a 1＋45d ＝100，a 1d ＝2，即⎩⎨⎧2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2， 解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2或⎩⎨⎧a 1＝9，d ＝29.故⎩⎨⎧a n ＝2n －1，b n＝2n －1或⎩⎪⎨⎪⎧a n＝19（2n ＋79），b n＝9·⎝ ⎛⎭⎪⎫29n －1.(2)解 由d>1，知a n ＝2n －1，b n ＝2n －1， 故c n ＝2n －12n －1， 于是T n ＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n －12n －1，①12T n ＝12＋322＋523＋724＋925＋…＋2n －12n .②①－②可得12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n ，故T n ＝6－2n ＋32n －1.【类题通法】用错位相减法解决数列求和的模板 第一步：(判断结构)若数列{a n ·b n }是由等差数列{a n }与等比数列{b n }(公比q)的对应项之积构成的，则可用此法求和.第二步：(乘公比)设{a n ·b n }的前n 项和为T n ，然后两边同乘以q. 第三步：(错位相减)乘以公比q 后，向后错开一位，使含有q k (k∈N *)的项对应，然后两边同时作差. 第四步：(求和)将作差后的结果求和，从而表示出T n .【对点训练】设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3，n ∈N *.(1)证明：a n ＋2＝3a n ； (2)求S 2n .(1)证明 由条件，对任意n∈N *，有a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3， 因而对任意n∈N *，n ≥2，有a n ＋1＝3S n －1－S n ＋3. 两式相减，得a n ＋2－a n ＋1＝3a n －a n ＋1， 即a n ＋2＝3a n ，n ≥2.又a 1＝1，a 2＝2， 所以a 3＝3S 1－S 2＋3＝3a 1－(a 1＋a 2)＋3＝3a 1， 故对一切n∈N *，a n ＋2＝3a n .(2)解 由(1)知，a n ≠0，所以a n ＋2a n ＝3.于是数列{a 2n －1}是首项a 1＝1，公比为3的等比数列；数列{a 2n }是首项a 2＝2，公比为3的等比数列. 因此a 2n －1＝3n －1，a 2n ＝2×3n －1.于是S 2n ＝a 1＋a 2＋…＋a 2n＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n ) ＝(1＋3＋…＋3n －1)＋2(1＋3＋…＋3n －1) ＝3(1＋3＋…＋3n －1)＝32(3n －1).热点三 数列的综合应用 热点3.1 数列与函数的综合问题数列是特殊的函数，以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点，该类综合题的知识综合性强，能很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力，因而一直是高考命题者的首选.【例3－1】 设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f(x)＝2x 的图象上(n∈N *). (1)若a 1＝－2，点(a 8，4b 7)在函数f(x)的图象上，求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)若a 1＝1，函数f(x)的图象在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n b n 的前n 项和T n .解 (1)由已知，b 7＝2a 7，b 8＝2a 8＝4b 7， 有2a 8＝4×2a 7＝2a 7＋2，解得d ＝a 8－a 7＝2.所以，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－2n ＋n(n －1)＝n 2－3n.(2)函数f(x)＝2x 在(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln 2)(x －a 2)， 它在x 轴上的截距为a 2－1ln 2. 由题意知，a 2－1ln 2＝2－1ln 2， 解得a 2＝2.所以，d ＝a 2－a 1＝1.从而a n ＝n ，b n ＝2n ， 所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n2n ，2T n ＝11＋22＋322＋…＋n2n －1因此，2T n －T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n＝2－12n －1－n 2n ＝2n ＋1－n －22n. 所以，T n ＝2n ＋1－n －22n.热点3.2 数列与不等式的综合问题数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种：一是判断数列问题中的一些不等关系；二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证明.在解决这些问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法等.如果是解不等式问题，要使用不等式的各种不同解法，如数轴法、因式分解法. 【例3－2】 在等差数列{a n }中，a 2＝6，a 3＋a 6＝27. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列{a n }的前n 项和为S n ，且T n ＝S n3·2n －1，若对于一切正整数n ，总有T n ≤m 成立，求实数m 的取值范围.解 (1)设公差为d ，由题意得： ⎩⎨⎧a 1＋d ＝6，2a 1＋7d ＝27，解得⎩⎨⎧a 1＝3，d ＝3，∴a n ＝3n. (2)∵S n ＝3(1＋2＋3＋…＋n)＝32n(n ＋1)，∴T n ＝n （n ＋1）2n ，T n ＋1＝（n ＋1）（n ＋2）2n ＋1，∴T n ＋1－T n ＝（n ＋1）（n ＋2）2n ＋1－n （n ＋1）2n＝（n ＋1）（2－n ）2n ＋1，∴当n≥3时，T n >T n ＋1，且T 1＝1<T 2＝T 3＝32，∴T n 的最大值是32，故实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.。

2018--2020年⾼考数学试题分类汇编数列附答案详解2018---2020年⾼考数学试题分类汇编数列⼀、选择题.1、（2018年⾼考全国卷1理科4）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若3S 3=S 2+S 4，a 1=2，则a 5=（）A ．﹣12B ．﹣10C ．10D ．12答案：B解析：∵S n 为等差数列{a n }的前n 项和，3S 3=S 2+S 4，a 1=2，∴=a 1+a 1+d +4a 1+d ，把a 1=2，代⼊得d=﹣3 ∴a 5=2+4×（﹣3）=﹣10．故选：B ．2、（2019年⾼考全国I 卷理科9）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =- B ． 310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =- 答案：A解析：有等差数列的性质可知54,0641514=+==+=d a a d a S ，解得2,31=-=d a所以52,42-=-=n a n n S n n ，故选A 。

3、（2019年⾼考全国III 卷理科5⽂科6）已知各项均为正数的等⽐数列{a n }的前4项和为15，且a 5=3a 3+4a 1，则a 3=A ． 16B ． 8C ．4D ． 2答案：C解析：由题意有154=S ,即151)1(414=--=qq a S 由题意有a 5=3a 3+4a 1,即1214143a q a q a +=，故 (q 2-4)(q 2+1)=0因为各项均为正数,所以q>0,所以q=2将q=2代⼊151)1(414=--=qq a S .得a 1=1、所以43=a 故选C 4、（2019年⾼考全国III 卷⽂理科9）执⾏下边的程序框图，如果输⼊的ε为0.01，则输出s 的值等于 A.4122-B.5122-C.6122-D.7122-答案：C解析：等⽐数列前n 项和,0,1==s x 不满⾜01.0s x 不满⾜01.011,41+==s x 不满⾜01.01....41211,1281++++==s x 满⾜01.05、（2019年⾼考北京卷理科2⽂科4）执⾏如图所⽰的程序框图，输出的s 值为（A ）1（B ）2（C ）3（D ）4 答案：B解析：k=1，s=1， s=2212312?=?-，k<3,故执⾏循环体k=1+1=2，2222322s ?==?-；此时k=2<3，故继续执⾏循环体k=3，2222322s ?==?-，此时k=3，结束循环，输出s=2.故答案为：B.6、（2019年⾼考浙江卷10）设,a b R ∈，数列{}n a 中1a a =，21n n a a b +=+，21n n a a b +=+，则（）A.当12b =时，1010a > B.当14b =时，1010a >C.当2b =-时，1010a >D.当2b =-时，1010a > 答案：A解答：选项B ：不动点满⾜2211()042x x x -+=-=，如图，若11(0,)2a a =∈，12n a <，排除；如图若a 为不动点12，则12n a =；选项C ：不动点满⾜22192()024x x x --=--=，不动点为2x =，令2a =，则210n a =<，排除；选项D ：不动点满⾜221174()024x x x --=--=，不动点为1712x =，令1712a =，则171102n a =<，排除；选项A ：证明：当12b =时，2211122a a =+≥，2321324a a =+≥，2431171216a a =+≥≥，处理⼀：可依次迭代到n a ；处理⼆：当4n ≥时，221112n n n a a a +=+≥≥，则117117171161616log 2log log 2n n n n a a a -++>?>，则1217()(4)16n n a n +≥≥，则641022617164(64631 1114710161616210()6a ?≥=+=++?+>++>，故选A.7、（2020?北京卷）在等差数列{}n a 中，19a =-，31a =-．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T （）． A. 有最⼤项，有最⼩项 B. 有最⼤项，⽆最⼩项 C. ⽆最⼤项，有最⼩项 D. ⽆最⼤项，⽆最⼩项答案：B解：由题意可知，等差数列的公差511925151a a d --+===--，则其通项公式为：()()11912211n a a n d n n =+-=-+-?=-，注意到123456701a a a a a a a <<<<<<=<<，且由50T <可知()06,i T i i N <≥∈，由()117,ii i T a i i N T -=>≥∈可知数列{}n T 不存在最⼩项，由于1234569,7,5,3,1,1a a a a a a =-=-=-=-=-=，故数列{}n T 中的正项只有有限项：263T =，46315945T =?=.故数列{}n T 中存在最⼤项，且最⼤项为4T .故选：B.8、（2020?全国2卷）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中⼼有⼀块圆形⽯板(称为天⼼⽯)，环绕天⼼⽯砌9块扇⾯形⽯板构成第⼀环，向外每环依次增加9块，下⼀层的第⼀环⽐上⼀层的最后⼀环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层⽐中层多729块，则三层共有扇⾯形⽯板(不含天⼼⽯)（）A. 3699块B. 3474块C. 3402块D. 3339块答案：C解：设第n 环天⽯⼼块数为n a ，第⼀层共有n 环，则{}n a 是以9为⾸项，9为公差的等差数列，9(1)99n a n n =+-?=，设n S 为{}n a 的前n 项和，则第⼀层、第⼆层、第三层的块数分别为232,,n n n n n S S S S S --，因为下层⽐中层多729块，所以322729n n n n S S S S -=-+，即3(927)2(918)2(918)(99)7292222n n n n n n n n ++++-=-+即29729n =，解得9n =，所以32727(9927)34022n S S +?===. 故选：C9、（2020?全国2卷）数列{}n a 中，12a =，m n m n a a a +=，若155121022k k k a a a ++++++=-，则k =（）A. 2B. 3C. 4D. 5答案：C解：在等式m n m n a a a +=中，令1m =，可得112n n n a a a a +==，12n na a +∴=，所以，数列{}n a 是以2为⾸项，以2为公⽐的等⽐数列，则1222n nn a -=?=，()()()()1011011105101210122122212211212k k k k k k a a a a ++++++?-?-∴+++===-=---，1522k +∴=，则15k +=，解得4k =.故选：C.10、（2020?全国2卷）0-1周期序列在通信技术中有着重要应⽤.若序列12na a a 满⾜{0,1}(1,2,)i a i ∈=，且存在正整数m ，使得(1,2,)i m i a a i +==成⽴，则称其为0-1周期序列，并称满⾜(1,2,)i m i a a i +==的最⼩正整数m 为这个序列的周期.对于周期为m 的0-1序列12na a a ，11()(1,2,,1)mi i k i C k a a k m m +===-∑是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满⾜1()(1,2,3,4)5C k k ≤=的序列是（）A. 11010B. 11011C. 10001D. 11001答案：C解：由i m i a a +=知，序列i a 的周期为m ，由已知，5m =，511(),1,2,3,45i i k i C k a a k +===∑,对于选项A ，511223344556111111(1)()(10000)55555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=≤∑52132435465711112(2)()(01010)5555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满⾜；对于选项B ，51122334455611113(1)()(10011)5555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满⾜；对于选项D ，51122334455611112(1)()(10001)5555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满⾜；故选：C⼆、填空题.1、（2018年⾼考全国卷1理科14）记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n =2a n +1，则S 6= ﹣63 ．答案：63-解析：S n 为数列{a n }的前n 项和，S n =2a n +1，①当n=1时，a 1=2a 1+1，解得a 1=﹣1，当n ≥2时，S n ﹣1=2a n ﹣1+1，②，由①﹣②可得a n =2a n ﹣2a n ﹣1，∴a n =2a n ﹣1，∴{a n }是以﹣1为⾸项，以2为公⽐的等⽐数列，∴S 6==﹣63，故答案为：﹣632、（2018年⾼考北京卷理科9）设{a n }是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，则{a n }的通项公式为 a n =6n ﹣3 ．解：∵{a n }是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，∴，解得a 1=3，d=6，∴a n =a 1+（n ﹣1）d=3+（n ﹣1）×6=6n ﹣3．∴{a n }的通项公式为a n =6n ﹣3．故答案为：a n =6n ﹣3．3、（2018年⾼考浙江卷10）已知a 1，a 2，a 3，a 4成等⽐数列，且a 1+a 2+a 3+a 4=ln （a 1+a 2+a 3），若a 1＞1，则（）A ．a 1＜a 3，a 2＜a 4B ．a 1＞a 3，a 2＜a 4C ．a 1＜a 3，a 2＞a 4D ．a 1＞a 3，a 2＞a 4【解答】解：a 1，a 2，a 3，a 4成等⽐数列，由等⽐数列的性质可知，奇数项符号相同，偶数项符号相同， a 1＞1，设公⽐为q ，当q ＞0时，a 1+a 2+a 3+a 4＞a 1+a 2+a 3，a 1+a 2+a 3+a 4=ln （a 1+a 2+a 3），不成⽴，即：a 1＞a 3，a 2＞a 4，a 1＜a 3，a 2＜a 4，不成⽴，排除A 、D ．当q=﹣1时，a 1+a 2+a 3+a 4=0，ln （a 1+a 2+a 3）＞0，等式不成⽴，所以q ≠﹣1；当q ＜﹣1时，a 1+a 2+a 3+a 4＜0，ln （a 1+a 2+a 3）＞0，a 1+a 2+a 3+a 4=ln （a 1+a 2+a 3）不成⽴，当q ∈（﹣1，0）时，a 1＞a 3＞0，a 2＜a 4＜0，并且a 1+a 2+a 3+a 4=ln （a 1+a 2+a 3），能够成⽴，故选：B ．4、（2019年⾼考全国I 卷⽂科14）记S n 为等⽐数列{a n }的前n 项和.若13314a S ==，，则S 4=___________．答案：85 解析：设数列的公⽐为q ，则有43123213=++=++=q q a a a S 解得21-=q ，所以854=S 5、（2019年⾼考全国I 卷理科14）记S n 为等⽐数列{a n }的前n 项和．若214613a a a ==，，则S 5=____________．答案：3121解析：由624a a =得51621q a q a =，解得3=q ，所以31211)1(515=--=q q a S6、（2019年⾼考全国III 卷理科14）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =___________. 答案：4解析：因为,312a a =所以1a +,13a d =即d a =12，则()()4215211051101510=?+?+=a a a a S S 7、（2019年⾼考全国III 卷⽂科14）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若375,13a a ==，则10S =___________.答案：100解析：由题意得136,521713=+==+=d a a d a a ，解得2,11==d a 所以100291010110=?+=d a S8、（2019年⾼考北京卷理科10）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=-3，S 5=-10,则a 3= ________ . S n 的最⼩值为_______。

五年2018-2022高考数学真题按知识点分类汇编10-等差数列（含解析）一、单选题1．（2022·全国·统考高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，,,,AA BB CC DD ''''是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中1111,,,DD CC BB AA 是举，1111,,,OD DC CB BA 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为11111231111,0.5,,DD CC BB AA k k k OD DC CB BA ====．已知123,,k k k 成公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则3k =（ ）A ．0.75B ．0.8C ．0.85D ．0.92．（2022·北京·统考高考真题）设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2021·北京·统考高考真题）已知{}n a 是各项均为整数的递增数列，且13a ≥，若12100n a a a ++⋅⋅⋅+=，则n 的最大值为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．124．（2021·北京·统考高考真题）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长12345,,,,a a a a a (单位:cm)成等差数列，对应的宽为12345,,,,b b b b b (单位: cm),且长与宽之比都相等，已知1288a =，596=a ，1192b =，则3b =A ．64B ．96C ．128D ．1605．（2020·全国·统考高考真题）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）A ．3699块B ．3474块C ．3402块D ．3339块6．（2020·浙江·统考高考真题）已知等差数列{an }的前n 项和Sn ，公差d ≠0，11a d≤．记b 1=S 2，bn+1=S2n+2–S 2n ，n N *∈，下列等式不可能．．．成立的是（ ） A ．2a 4=a 2+a 6B ．2b 4=b 2+b 6C ．2428a a a = D ．2428b b b =7．（2019·全国·高考真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =-B ．310n a n =- C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =-8．（2018·全国·高考真题）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则5a = A ．12-B ．10-C ．10D ．12二、填空题9．（2022·全国·统考高考真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若32236S S =+，则公差d =_______．10．（2020·全国·统考高考真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若1262,2a a a =-+=，则10S =__________．11．（2020·海南·高考真题）将数列{2n –1}与{3n –2}的公共项从小到大排列得到数列{an }，则{an }的前n 项和为________．12．（2019·全国·统考高考真题）记Sn 为等差数列{an }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =___________. 13．（2019·全国·高考真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若375,13a a ==，则10S =___________.三、解答题14．（2022·全国·统考高考真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11,n n S a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭是公差为13的等差数列． (1)求{}n a 的通项公式； (2)证明：121112na a a +++<． 15．（2022·全国·统考高考真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知221nn S n a n+=+． (1)证明：{}n a 是等差数列；(2)若479,,a a a 成等比数列，求n S 的最小值．16．（2022·全国·统考高考真题）已知{}n a 为等差数列，{}n b 是公比为2的等比数列，且223344a b a b b a -=-=-．(1)证明：11a b =；(2)求集合{}1,1500k m k b a a m =+≤≤中元素个数．17．（2022·浙江·统考高考真题）已知等差数列{}n a 的首项11a =-，公差1d >．记{}n a 的前n 项和为()n S n *∈N ．(1)若423260S a a -+=，求n S ；(2)若对于每个n *∈N ，存在实数n c ，使12,4,15n n n n n n a c a c a c +++++成等比数列，求d 的取值范围．18．（2022·天津·统考高考真题）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且1122331a b a b a b ==-=-=．(1)求{}n a 与{}n b 的通项公式；(2)设{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()1111n n n n n n n S a b S b S b +++++=-；(3)求211(1)nkk k k k a a b +=⎡⎤--⎣⎦∑．19．（2021·全国·统考高考真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n b 为数列{}n S 的前n 项积，已知212n nS b +=． （1）证明：数列{}n b 是等差数列; （2）求{}n a 的通项公式．20．（2021·全国·统考高考真题）记n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，若35244,a S a a S ==．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）求使n n S a >成立的n 的最小值．21．（2021·全国·统考高考真题）设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3nn na b =．已知1a ，23a ，39a 成等差数列． （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记n S 和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和．证明：2nn S T <． 22．（2021·全国·统考高考真题）已知数列{}n a 的各项均为正数，记n S 为{}n a 的前n 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①数列{}n a 是等差数列：②数列是等差数列；③213a a =． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．23．（2021·全国·统考高考真题）已知数列{}n a 满足11a =，11,,2,.n n n a n a a n ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数 （1）记2n n b a =，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式； （2）求{}n a 的前20项和.24．（2021·全国·高考真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知210,3n a a a >=，且数列是等差数列，证明：{}na 是等差数列.25．（2021·天津·统考高考真题）已知{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．{}n b 是公比大于0的等比数列，1324,48b b b =-=． （I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（II ）记2*1,n n nc b b n N =+∈，（i ）证明{}22nn c c -是等比数列； （ii）证明)*nk n N =∈ 26．（2020·天津·统考高考真题）已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()2*21n n n S S S n ++<∈N ；（Ⅲ）对任意的正整数n ，设()21132,,,.n nn n n n n a b n a a c a n b +-+⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．27．（2020·山东·统考高考真题）某男子擅长走路，9天共走了1260里，其中第1天、第4天、第7天所走的路程之和为390里.若从第2天起，每天比前一天多走的路程相同，问该男子第5天走多少里.这是我国古代数学专著《九章算术》中的一个问题，请尝试解决.28．（2018·全国·高考真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-．（1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值．29．（2019·全国·高考真题）已知数列{an }和{bn }满足a 1=1，b 1=0，1434n n n a a b +-=+ ，1434n n n b b a +-=-.（1）证明：{an +bn }是等比数列，{an –bn }是等差数列； （2）求{an }和{bn }的通项公式.30．（2019·全国·高考真题）记Sn 为等差数列{an }的前n 项和，已知S 9=－a 5． （1）若a 3=4，求{an }的通项公式；（2）若a 1>0，求使得Sn ≥an 的n 的取值范围．31．（2019·全国·高考真题）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，1322,216a a a ==+. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和.参考答案：1．D【分析】设11111OD DC CB BA ====，则可得关于3k 的方程，求出其解后可得正确的选项. 【详解】设11111OD DC CB BA ====，则111213,,CC k BB k AA k ===， 依题意，有31320.2,0.1k k k k -=-=，且111111110.725DD CC BB AA OD DC CB BA +++=+++，所以30.530.30.7254k +-=，故30.9k =，故选：D 2．C【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，记[]x 为不超过x 的最大整数. 若{}n a 为单调递增数列，则0d >，若10a ≥，则当2n ≥时，10n a a >≥；若10a <，则()11n a a n d +-=， 由()110n a a n d =+->可得11a n d >-，取1011a N d ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，则当0n N >时，0n a >， 所以，“{}n a 是递增数列”⇒“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”； 若存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >，取N k *∈且0k N >，0k a >， 假设0d <，令()0n k a a n k d =+-<可得k a n k d >-，且k ak k d->， 当1k a n k d ⎡⎤>-+⎢⎥⎣⎦时，0n a <，与题设矛盾，假设不成立，则0d >，即数列{}n a 是递增数列.所以，“{}n a 是递增数列”⇐“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”.所以，“{}n a 是递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的充分必要条件. 故选：C. 3．C【分析】使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式求得n 可能的最大值，然后构造数列满足条件，即得到n 的最大值．【详解】若要使n 尽可能的大，则，递增幅度要尽可能小， 不妨设数列是首项为3，公差为1的等差数列，其前n 项和为，则，，所以11n ≤. 对于，，取数列各项为(1,2,10)n =⋯，1125a =,则1211100a a a ++⋅⋅⋅+=， 所以n 的最大值为11． 故选：C ． 4．C【分析】设等差数列{}n a 公差为d ，求得48d =-，得到3192a =，结合党旗长与宽之比都相等和1192b =，列出方程，即可求解.【详解】由题意，五种规格党旗的长12345,,,,a a a a a (单位:cm)成等差数列，设公差为d ， 因为1288a =，596=a ，可得519628848513a a d --===--， 可得3288(31)(48)192a =+-⨯-=， 又由长与宽之比都相等，且1192b =，可得3113a ab b =，所以3131192192=128288a b b a ⋅⨯==. 故选：C. 5．C【分析】第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，设n S 为{}n a 的前n 项和，由题意可得322729n n n n S S S S -=-+，解方程即可得到n ，进一步得到3n S .【详解】设第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，9(1)99n a n n =+-⨯=，设n S 为{}n a 的前n 项和，则第一层、第二层、第三层的块数分 别为232,,n n n n n S S S S S --，因为下层比中层多729块， 所以322729n n n n S S S S -=-+， 即3(927)2(918)2(918)(99)7292222n n n n n n n n ++++-=-+ 即29729n =，解得9n =， 所以32727(9927)34022n S S +⨯===.故选：C【点晴】本题主要考查等差数列前n 项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题. 6．D【分析】根据题意可得，21212222n n n n n b S a a S ++++=+=-，而1212b S a a ==+，即可表示出题中2468,,,b b b b ，再结合等差数列的性质即可判断各等式是否成立．【详解】对于A ，因为数列{}n a 为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由4426+=+可得，4262a a a =+，A 正确；对于B ，由题意可知，21212222n n n n n b S a a S ++++=+=-，1212b S a a ==+， ∴234b a a =+，478b a a =+，61112b a a =+，81516b a a =+． ∴()47822b a a =+，26341112b b a a a a +=+++．根据等差数列的下标和性质，由31177,41288+=++=+可得()26341112784=2=2b b a a a a a a b +=++++，B 正确；对于C ，()()()()2224281111137222a a a a d a d a d d a d d d a -=+-++=-=-， 当1a d =时，2428a a a =，C 正确； 对于D ，()()22222478111213452169b a a a d a a d d =+=+=++，()()()()2228341516111125229468145b b a a a a a d a d a a d d =++=++=++，()22428112416832b b b d a d d d a -=-=-．当0d >时，1a d ≤，∴()113220d a d d a -=+->即24280b b b ->；当0d <时，1a d ≥，∴()113220d a d d a -=+-<即24280b b b ->，所以24280b b b ->，D 不正确． 故选：D.【点睛】本题主要考查等差数列的性质应用，属于基础题． 7．A【分析】等差数列通项公式与前n 项和公式．本题还可用排除，对B ，55a =，44(72)1002S -+==-≠，排除B ，对C ，245540,25850105S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除C ．对D ，24554150,5250522S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除D ，故选A ．【详解】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，故选A ．【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断． 8．B【详解】分析：首先设出等差数列{}n a 的公差为d ，利用等差数列的求和公式，得到公差d 所满足的等量关系式，从而求得结果3d =-，之后应用等差数列的通项公式求得51421210a a d =+=-=-，从而求得正确结果.详解：设该等差数列的公差为d ， 根据题中的条件可得32433(32)224222d d d ⨯⨯⨯+⋅=⨯++⨯+⋅， 整理解得3d =-，所以51421210a a d =+=-=-，故选B.点睛：该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差d 的值，之后利用等差数列的通项公式得到5a 与1a d 和的关系，从而求得结果. 9．2【分析】转化条件为()112+226a d a d =++，即可得解.【详解】由32236S S =+可得()()123122+36a a a a a +=++，化简得31226a a a =++， 即()112+226a d a d =++，解得2d =. 故答案为：2. 10．25【分析】因为{}n a 是等差数列，根据已知条件262a a +=，求出公差，根据等差数列前n 项和，即可求得答案. 【详解】{}n a 是等差数列，且12a =-，262a a +=设{}n a 等差数列的公差d根据等差数列通项公式：()11n a a n d +-= 可得1152a d a d +++= 即：()2252d d -++-+= 整理可得：66d = 解得：1d =根据等差数列前n 项和公式：*1(1),2n n n S na d n N -=+∈ 可得：()1010(101)1022045252S ⨯-=-+=-+= ∴1025S =.故答案为：25.【点睛】本题主要考查了求等差数列的前n 项和，解题关键是掌握等差数列的前n 项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 11．232n n -【分析】首先判断出数列{}21n -与{}32n -项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.【详解】因为数列{}21n -是以1为首项，以2为公差的等差数列， 数列{}32n -是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列{}n a 是以1为首项，以6为公差的等差数列， 所以{}n a 的前n 项和为2(1)16322n n n n n -⋅+⋅=-， 故答案为：232n n -.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等差数列求和公式，属于简单题目. 12．4.【分析】根据已知求出1a 和d 的关系，再结合等差数列前n 项和公式求得结果. 【详解】因213a a =，所以113a d a +=，即12a d =，所以105S S =11111091010024542552a d a a a d⨯+==⨯+． 【点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答案． 13．100【分析】根据题意可求出首项和公差，进而求得结果.【详解】317125,613a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩得11,2a d =⎧⎨=⎩ 101109109101012100.22S a d ⨯⨯∴=+=⨯+⨯= 【点睛】本题考点为等差数列的求和，为基础题目，利用基本量思想解题即可，充分记牢等差数列的求和公式是解题的关键． 14．(1)()12n n n a +=(2)见解析【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得()121133n n S n n a +=+-=，得到()23nn n a S +=，利用和与项的关系得到当2n ≥时，()()112133n n n n n n a n a a S S --++=-=-,进而得：111n n a n a n -+=-，利用累乘法求得()12n n n a +=，检验对于1n =也成立，得到{}n a 的通项公式()12n n n a +=； （2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到121111211n a a a n ⎛⎫+++=- ⎪+⎝⎭，进而证得. 【详解】（1）∵11a =，∴111S a ==,∴111S a =, 又∵n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为13的等差数列，∴()121133n n S n n a +=+-=,∴()23n n n a S +=, ∴当2n ≥时，()1113n n n a S --+=，∴()()112133n n n n n n a n a a S S --++=-=-,整理得：()()111n n n a n a --=+, 即111n n a n a n -+=-, ∴31211221n n n n n a a a a a a a a a a ---=⨯⨯⨯⋯⨯⨯ ()1341112212n n n n n n ++=⨯⨯⨯⋯⨯⨯=--， 显然对于1n =也成立， ∴{}n a 的通项公式()12n n n a +=； （2）()12112,11n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭∴12111na a a +++1111112121222311n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦15．(1)证明见解析； (2)78-．【分析】（1）依题意可得222n n S n na n +=+，根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，作差即可得到11n n a a --=，从而得证；（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出1a ，即可得到{}n a 的通项公式与前n 项和，再根据二次函数的性质计算可得． 【详解】（1）因为221nn S n a n+=+，即222n n S n na n +=+①， 当2n ≥时，()()()21121211n n S n n a n --+-=-+-②，①-②得，()()()22112212211n n n n S n S n na n n a n --+---=+----， 即()12212211n n n a n na n a -+-=--+，即()()()1212121n n n a n a n ----=-，所以11n n a a --=，2n ≥且N*n ∈， 所以{}n a 是以1为公差的等差数列． （2）[方法一]：二次函数的性质由（1）可得413a a =+，716a a =+，918a a =+，又4a ，7a ，9a 成等比数列，所以2749a a a =⋅，即()()()2111638a a a +=+⋅+，解得112a =-，所以13n a n =-，所以()22112512562512222228n n n S n n n n -⎛⎫=-+=-=--⎪⎝⎭， 所以，当12n =或13n =时，()min 78n S =-． [方法二]：【最优解】邻项变号法由（1）可得413a a =+，716a a =+，918a a =+，又4a ，7a ，9a 成等比数列，所以2749a a a =⋅，即()()()2111638a a a +=+⋅+，解得112a =-， 所以13n a n =-，即有1123210,0a a a a <<<<=.则当12n =或13n =时，()min 78n S =-．【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出n S 的最小值，适用于可以求出n S 的表达式；法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．16．(1)证明见解析； (2)9．【分析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，根据题意列出方程组即可证出； （2）根据题意化简可得22k m -=，即可解出．【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，所以，()11111111224283a d b a d b a d b b a d +-=+-⎧⎨+-=-+⎩，即可解得，112db a ==，所以原命题得证． （2）由（1）知，112d b a ==，所以()1111121k k m b a a b a m d a -=+⇔⨯=+-+，即122k m -=，亦即[]221,500k m -=∈，解得210k ≤≤，所以满足等式的解2,3,4,,10k =，故集合{}1|,1500k m k b a a m =+≤≤中的元素个数为10219-+=．17．(1)235(N )2n n nS n *-=∈(2)12d <≤【分析】（1）利用等差数列通项公式及前n 项和公式化简条件，求出d ，再求n S ； (2)由等比数列定义列方程，结合一元二次方程有解的条件求d 的范围. 【详解】（1）因为42312601S a a a -+==-，， 所以()()46211260d d d -+--+-++=， 所以230d d -=，又1d >， 所以3d =， 所以34n a n =-， 所以()213522n na a n n n S +-==，（2）因为n n a c +，14n n a c ++，215n n a c ++成等比数列， 所以()()()212415n n n n n n a c a c a c +++=++，()()()2141115n n n nd c nd d c nd d c -+=-+-+-+++，22(1488)0n n c d nd c d +-++=，由已知方程22(1488)0n n c d nd c d +-++=的判别式大于等于0，所以()22148840d nd d ∆=-+-≥，所以()()168812880d nd d nd -+-+≥对于任意的n *∈N 恒成立，所以()()212320n d n d ----≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦对于任意的n *∈N 恒成立，当1n =时，()()()()21232120n d n d d d ----=++≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 当2n =时，由()()2214320d d d d ----≥，可得2≤d 当3n ≥时，()()21232(3)(25)0n d n d n n ---->--≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 又1d > 所以12d <≤18．(1)121,2n n n a n b -=-= (2)证明见解析 (3)1(62)489n n +-+【分析】（1）利用等差等比数列的通项公式进行基本量运算即可得解； （2）由等比数列的性质及通项与前n 项和的关系结合分析法即可得证；（3）先求得212221212122(1)(1)k k k k k k k k a a b a a b ---+⎡⎤⎡⎤--+--⎣⎦⎣⎦，进而由并项求和可得114nk n k T k +==⋅∑，再结合错位相减法可得解.【详解】（1）设{}n a 公差为d ，{}n b 公比为q ，则11(1),n n n a n d b q -=+-=，由22331a b a b -=-=可得2112121d q d q d q +-=⎧⇒==⎨+-=⎩（0d q ==舍去）， 所以121,2n n n a n b -=-=；（2）证明：因为120,n n b b +=≠所以要证1111()n n n n n n n S a b S b S b +++++=-， 即证111()2n n n n n n n S a b S b S b ++++=⋅-，即证1112n n n n S a S S ++++=-， 即证11n n n a S S ++=-，而11n n n a S S ++=-显然成立，所以1111()n n n n n n n S a b S b S b +++++=⋅-⋅；（3）因为212221212122(1)(1)k kk k k k k k a a b a a b ---+⎡⎤⎡⎤--+--⎣⎦⎣⎦2221(4143)2[41(41)]224k k k k k k k k --=-+-⨯++--⨯=⋅，所以211(1)n k k k k k a a b +=⎡⎤--⎣⎦∑2122212121221[((1))((1))]nk kk k k k k k k a a b a a b ---+==--+--∑124nk k k ==⋅∑，设124nk n k T k ==⋅∑所以2324446424nn T n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯，则2341244446424n n n T +⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯=，作差得()2341124(14)3244444242414n nn n n T n n ++⨯--=++++⋅⋅⋅+-⋅=-⨯-()126483n n +--=， 所以1(62)489n n n T +-+=，所以211(1)nkk k k k a a b +=⎡⎤--=⎣⎦∑1(62)489n n +-+. 19．（1）证明见解析；（2）()3,121,21n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥+⎪⎩. 【分析】（1）由已知212n n S b +=得221n nn b S b =-,且0n b ≠，取1n =,得132b =,由题意得1212222212121n n n b b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=---,消积得到项的递推关系111221n n n nb b b b +++=-,进而证明数列{}n b 是等差数列;（2）由（1）可得n b 的表达式,由此得到n S 的表达式,然后利用和与项的关系求得()3,121,21n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥+⎪⎩.【详解】（1）[方法一]： 由已知212n n S b +=得221n n n b S b =-,且0n b ≠，12n b ≠, 取1n =,由11S b =得132b =, 由于n b 为数列{}n S 的前n 项积， 所以1212222212121n n n b b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=---, 所以1121121222212121n n n b b b b b b b +++⋅⋅⋅⋅=---， 所以111221n n n nb bb b +++=-,由于10n b +≠ 所以12121n n b b +=-，即112n n b b +-=,其中*n ∈N 所以数列{}n b 是以132b =为首项，以12d =为公差等差数列; [方法二]【最优解】： 由已知条件知1231-⋅=⋅⋅⋅⋅n n n b S S S S S ①于是11231(2)--=⋅⋅⋅⋅≥n n b S S S S n ． ②由①②得1nn n b S b -=． ③又212n nS b +=， ④ 由③④得112n n b b --=． 令1n =，由11S b =，得132b =．所以数列{}n b 是以32为首项，12为公差的等差数列．[方法三]：由212n n S b+=，得22=-nn nS b S ，且0n S ≠，0n b ≠，1n S ≠． 又因为111--=⋅⋅=⋅n n n n n b S S S S b ，所以1122-==-n n n n b b S S ，所以()1111(2)2222212---=-==≥---n n n n n n n S S b b n S S S ．在212n n S b +=中，当1n =时，1132==b S ． 故数列{}n b 是以32为首项，12为公差的等差数列．[方法四]：数学归纳法由已知212n nS b+=，得221n n n b S b =-，132b =，22b =，352=b ，猜想数列{}n b 是以32为首项，12为公差的等差数列，且112n b n =+． 下面用数学归纳法证明． 当1n =时显然成立．假设当n k =时成立，即121,21+=+=+k k k b k S k ．那么当1n k =+时，11112++⎛⎫==+ ⎪⎝⎭k k k b b S k 331(1)1222k k k k ++⋅==+++． 综上，猜想对任意的n ∈N 都成立．即数列{}n b 是以32为首项，12为公差的等差数列．（2）由（1）可得，数列{}n b 是以132b =为首项，以12d =为公差的等差数列， ()3111222n n b n ∴=+-⨯=+, 22211n n n b n S b n+==-+,当n =1时，1132a S ==, 当n ≥2时,()121111n n n n n a S S n n n n -++=-=-=-++,显然对于n =1不成立, ∴()3,121,21n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥+⎪⎩. 【整体点评】（1）方法一从212n n S b +=得221n n n b S b =-，然后利用n b 的定义，得到数列{}n b 的递推关系，进而替换相除消项得到相邻两项的关系，从而证得结论； 方法二先从n b 的定义，替换相除得到1nn n b S b -=，再结合212n n S b +=得到112n n b b --=，从而证得结论，为最优解；方法三由212n n S b +=，得22=-n n n S b S ，由n b 的定义得1122-==-n n n n b b S S ，进而作差证得结论；方法四利用归纳猜想得到数列112n b n =+，然后利用数学归纳法证得结论． （2）由（1）的结论得到112n b n =+，求得n S 的表达式,然后利用和与项的关系求得{}n a 的通项公式；20．(1)26n a n =-；(2)7.【分析】(1)由题意首先求得3a 的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；(2)首先求得前n 项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n 的最小值. 【详解】(1)由等差数列的性质可得：535S a =，则：3335,0a a a =∴=，设等差数列的公差为d ，从而有：()()22433a a a d a d d =-+=-，()()()41234333322S a a a a a d a d a a d d =+++=-+-+++=-，从而：22d d -=-，由于公差不为零，故：2d =， 数列的通项公式为：()3326n a a n d n =+-=-.(2)由数列的通项公式可得：1264a =-=-，则：()()214252n n n S n n n -=⨯-+⨯=-，则不等式n n S a >即：2526n n n ->-，整理可得：()()160n n -->， 解得：1n <或6n >，又n 为正整数，故n 的最小值为7.【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用. 21．（1）11()3n n a -=，3n nn b =；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用等差数列的性质及1a 得到29610q q -+=，解方程即可；（2）利用公式法、错位相减法分别求出,n n S T ，再作差比较即可.【详解】（1）因为{}n a 是首项为1的等比数列且1a ，23a ，39a 成等差数列，所以21369a a a =+，所以211169a q a a q =+，即29610q q -+=，解得13q =，所以11()3n n a -=，所以33n n n na nb ==. （2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和211213333n n n n nT --=++++，012111111223333-⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭n n S ， 230121123111112333323333n n n n S n T -⎛⎫⎛⎫-=++++-++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭012111012222333---++++111233---+n n n n ．设0121111101212222Γ3333------=++++n n n ， ⑧ 则1231111012112222Γ33333-----=++++n nn ． ⑨由⑧-⑨得1121113312111113322Γ13233332313--⎛⎫--- ⎪⎛⎫⎝⎭=-++++-=-+- ⎪⎝⎭-n n n n n n n ． 所以211312Γ432323----=--=-⨯⨯⨯n n n n n n ． 因此10232323--=-=-<⨯⨯n n n n nS n n nT ． 故2nn S T <． [方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法证明：由（1）可得11(1)313(1)12313n n n S ⨯-==--， 211213333n n n n nT --=++++，① 231112133333n n n n nT +-=++++，②①-②得23121111333333n n n n T +=++++- 1111(1)1133(1)1323313n n n n n n ++-=-=---， 所以31(1)4323n n nnT =--⋅，所以2n n S T -=3131(1)(1)043234323n n n n n n ----=-<⋅⋅， 所以2nn S T <. [方法三]：构造裂项法由（Ⅰ）知13⎛⎫= ⎪⎝⎭n n b n ，令1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭nn c n ，且1+=-n n n b c c ，即1111()[(1)]333αβαβ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭nnn n n n ，通过等式左右两边系数比对易得33,24αβ==，所以331243nn c n ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．则12113314423nn n n n T b b b c c +⎛⎫⎛⎫=+++=-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，下同方法二．[方法四]：导函数法 设()231()1-=++++=-n nx x f x x x x x x，由于()()()()()()1221'111'11(1)'1(1)1n n n n nx x x x x x x x nx n x x x x +⎡⎤⎡⎤⎡⎤----⨯--+-+⎣⎦⎣⎦⎢⎥==---⎢⎥⎣⎦， 则12121(1)()123(1)+-+-+=++++='-n nn nx n x f x x x nxx ．又1111333-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n n n b n n ，所以2112311111233333n n n T b b b b n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++=+⨯+⨯++⋅=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦12111(1)11133333113n nn n f +⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⋅=⨯ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭' 13113311(1)4334423n nnn n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，下同方法二． 【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁. （2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,n n S T ,然后证得结论,为最优解；方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭nn c n ，使1+=-n n n b c c ，求得n T 的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法. 22．证明过程见解析【分析】选①②作条件证明③,n n a S 的关系求出n a ，利用{}n a 是等差数列可证213a a =；也可分别设出公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系，进行证明.选①③作条件证明②选②③作条件证明①an b +，结合,n n a S 的关系求出n a ，根据213a a =可求b ，然后可证{}n a 是等差数列；也可利用前两项的差求出公差，然后求出通项公式，进而证明出结论.【详解】选①②作条件证明③： [方法一]：待定系数法+n a 与n S 关系式(0)an b a +>，则()2n S an b =+，当1n =时，()211a S a b ==+；当2n ≥时，()()221n n n a S S an b an a b -=-=+--+()22a an a b =-+；因为{}n a 也是等差数列，所以()()222a b a a a b +=-+，解得0b =；所以()221n a a n =-，21a a =，故22133a a a ==.[方法二] ：待定系数法设等差数列{}n a 的公差为d，等差数列的公差为1d ，1(1)n d -，将1(1)2n n n S na d -=+1(1)n d -，化简得())2222211111222d d n a n d n d n d ⎛⎫+-=+-+⎪⎝⎭对于n +∀∈N 恒成立．则有21211112,240,d d a d d d ⎧=⎪⎪-=-⎨=，解得112d d a =．所以213a a =．选①③作条件证明②：因为213a a =，{}n a 是等差数列， 所以公差2112d a a a =-=， 所以()21112n n n S na d n a -=+==，)1n +所以是等差数列. 选②③作条件证明①： [方法一]：定义法(0)an b a +>，则()2n S an b =+， 当1n =时，()211a S a b ==+；当2n ≥时，()()221n n n a S S an b an a b -=-=+--+()22a an a b =-+；因为213a a =，所以()()2323a a b a b +=+，解得0b =或43a b =-； 当0b =时，()221,21n a a a a n ==-，当2n ≥时，2-1-2n n a a a =满足等差数列的定义，此时{}n a为等差数列； 当43a b =-4=3an b an a =+-03a=-<不合题意，舍去.综上可知{}n a 为等差数列. [方法二]【最优解】：求解通项公式因为213a a ===也为等差数列，所以公差1d()11n d -=21n S n a =，当2n ≥时，()()221111121n n n a S S n a n a n a -=-=--=-，当1n =时，满足上式，故{}n a 的通项公式为()121n a n a =-，所以()1123n a n a -=-，112n n a a a --=，符合题意.【整体点评】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，选①②时，法一：利用等差数列的通项公式是关于n的一次函数，直接设出(0)an b a =+>，平方后得到n S 的关系式，利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩得到{}n a 的通项公式，进而得到213a a =，是选择①②证明③的通式通法；法二：分别设出{}n a 与{}n S 的公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系1d 12d a =，进而得到213a a =；选①③时，按照正常的思维求出公差，表示出n S进行证明；选②③时，法一：利用等差数列的通项公式是关于n的一次函数，直接设出(0)an b a =+>，结合,n n a S 的关系求出n a ，根据213a a =可求b ，然后可证{}n a 是等差数1d的通项公式，利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，求出{}n a 的通项公式，进而证明出结论.23．（1）122,5,31n b b b n ===-；（2）300.【分析】(1)方法一：由题意结合递推关系式确定数列{}n b 的特征，然后求和其通项公式即可；(2)方法二：分组求和，结合等差数列前n 项和公式即可求得数列的前20项和.【详解】解：（1）[方法一]【最优解】：显然2n 为偶数，则21222212,1n n n n a a a a +++=+=+， 所以2223n n a a +=+，即13n n b b +=+，且121+12b a a ===， 所以{}n b 是以2为首项，3为公差的等差数列， 于是122,5,31n b b b n ===-． [方法二]：奇偶分类讨论由题意知1231,2,4a a a ===，所以122432,15b a b a a ====+=． 由11n n a a +-=（n 为奇数）及12n n a a +-=（n 为偶数）可知， 数列从第一项起，若n 为奇数，则其后一项减去该项的差为1， 若n 为偶数，则其后一项减去该项的差为2．所以*23()n n a a n N +-=∈，则()11331n b b n n =+-⨯=-．[方法三]：累加法由题意知数列{}n a 满足*113(1)1,()22nn n a a a n +-==++∈N ． 所以11213(1)11222b a a -==++=+=， 322433223(1)3(1)11212352222b a a a a a --==++=+=+++=++=+=，则222121222111()()()121221+n n n n n n b a a a a a a a a a ---==-+-+-+=+++++++12(1)131n n n =+-+=-⨯．所以122,5b b ==，数列{}n b 的通项公式31n b n =-． （2）[方法一]：奇偶分类讨论 20123201351924620++++++++()()S a a a a a a a a a a a a =+=+++1231012310(1111)b b b b b b b b =-+-+-++-+++++110()102103002b b +⨯=⨯-=． [方法二]：分组求和由题意知数列{}n a 满足12212121,1,2n n n n a a a a a -+==+=+， 所以2122123n n n a a a +-=+=+．所以数列{}n a 的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；同理，由2221213n n n a a a ++=+=+知数列{}n a 的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列． 从而数列{}n a 的前20项和为： 201351924260()()S a a a a a a a a =+++++++++1091091013102330022⨯⨯=⨯+⨯+⨯+⨯=． 【整体点评】(1)方法一：由题意讨论{}n b 的性质为最一般的思路和最优的解法； 方法二：利用递推关系式分类讨论奇偶两种情况，然后利用递推关系式确定数列的性质； 方法三：写出数列{}n a 的通项公式，然后累加求数列{}n b 的通项公式，是一种更加灵活的思路.(2)方法一：由通项公式分奇偶的情况求解前n 项和是一种常规的方法；方法二：分组求和是常见的数列求和的一种方法，结合等差数列前n 项和公式和分组的方法进行求和是一种不错的选择. 24．证明见解析.【分析】的公差d ，进一步写出的通项，从而求出{}n a 的通项公式，最终得证.【详解】∵数列是等差数列，设公差为d(n -=()n *∈N∴12n S a n =，()n *∈N∴当2n ≥时，()221111112n n n a S S a n a n a n a -=-=--=- 当1n =时，11121=a a a ⨯-，满足112n a a n a =-， ∴{}n a 的通项公式为112n a a n a =-，()n *∈N ∴()()111111221=2n n a a a n a a n a a --=----⎡⎤⎣⎦ ∴{}n a 是等差数列.【点睛】在利用1n n n a S S -=-求通项公式时一定要讨论1n =的特殊情况.25．（I ）21,n a n n N *=-∈，4,n n N b n *=∈；（II ）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析.【分析】（I ）由等差数列的求和公式运算可得{}n a 的通项，由等比数列的通项公式运算可得{}n b 的通项公式；（II ）（i ）运算可得2224nn n c c =⋅-，结合等比数列的定义即可得证； （ii ）放缩得21222422n n n n na n c a c +<-⋅，进而可得112n n k k k k-==，结合错位相减法即可得证. 【详解】（I ）因为{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． 所以12818782642a a a a ⨯++⋅⋅⋅+=+⨯=，所以11a =， 所以()12121,n n n n N a a *=+-=-∈；设等比数列{}n b 的公比为(),0q q >，所以()221321484q b b b q q b q ==-=--，解得4q =（负值舍去）， 所以114,n n n b q n N b -*==∈；（II ）（i ）由题意，221441n n nn n b c b =++=，所以22224211442444n n n n n nn c c ⎛⎫⎛⎫=+-+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，所以220nn c c ≠-，且212222124424n n n n nn c c c c +++⋅==⋅--， 所以数列{}22nn c c -是等比数列； （ii ）由题意知，()()22122222121414242222n n n n n n n n n a n n c c a +-+-==<-⋅⋅⋅，12n n-，所以112nn k k k-==， 设10121112322222nn k n k k n T --===+++⋅⋅⋅+∑， 则123112322222n nn T =+++⋅⋅⋅+， 两式相减得21111111122121222222212nn n n nn n n n T -⎛⎫⋅- ⎪+⎝⎭=+++⋅⋅⋅+-=-=--，所以1242n n n T -+=-，所以1112422nn k n k k n --==+⎫=-<⎪⎭【点睛】关键点点睛：最后一问考查数列不等式的证明，因为nk =错位相减法即可得证. 26．（Ⅰ）n a n =，12n n b -=；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）465421949n n n n +--+⨯.【分析】(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果；(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列{}n a 前n 项和，然后利用作差法证明即可；(Ⅲ)分类讨论n 为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算211n k k c -=∑和21nk k c =∑的值，据此进一步计算数列{}n c 的前2n 项和即可.【详解】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q . 由11a =，()5435a a a =-，可得d =1. 从而{}n a 的通项公式为n a n =. 由()15431,4b b b b ==-，又q ≠0，可得2440q q -+=，解得q =2，从而{}n b 的通项公式为12n n b -=.(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得(1)2n n n S +=， 故21(1)(2)(3)4n n S S n n n n +=+++，()()22211124n S n n +=++， 从而2211(1)(2)02n n n S S S n n ++-=-++<，所以221n n n S S S ++<.(Ⅲ)当n 为奇数时，()111232(32)222(2)2n n n n n n n n a b n c a a n n n n-+-+--===-++，当n 为偶数时，1112n n n n a n c b -+-==，对任意的正整数n ，有222221112221212121k k nnnk k k c k k n --==⎛⎫=-=- ⎪+-+⎝⎭∑∑， 和223111211352321444444nnk kn n k k k n n c -==---==+++++∑∑① 由①得22314111352321444444n k n n k n n c +=--=+++++∑ ② 由①②得22111211312221121441444444414n n k n n n k n n c ++=⎛⎫- ⎪--⎝⎭=+++-=---∑， 由于11211121221121156544144334444123414nn n n n n n n ++⎛⎫-⎪--+⎝⎭--=-⨯--⨯=-⨯-， 从而得：21565994nk nk n c =+=-⨯∑. 因此，2212111465421949n nnnk k k nk k k n c c c n -===+=+=--+⨯∑∑∑. 所以，数列{}n c 的前2n 项和为465421949n n n n +--+⨯. 【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和等，属于中等题. 27．140里.【分析】由条件确定，该男子这9天中每天走的路程数构成等差数列，根据等差数列的通项公式，和前n 项和公式，列式求解.【详解】解：因为从第2天起，每天比前一天多走的路程相同， 所以该男子这9天中每天走的路程数构成等差数列， 设该数列为{}n a ，第1天走的路程数为首项1a ，公差为d ， 则91260S =，147390a a a ++=. 因为1(1)2n n n S na d -=+，1(1)n a a n d =+-， 所以11119(91)91260236390a d a a d a d ⨯-⎧+=⎪⎨⎪++++=⎩，解得110010a d =⎧⎨=⎩，则514100410140a a d =+=+⨯=， 所以该男子第5天走140里.28．（1）29n a n =-；（2）2=8n S n n -，最小值为–16．【分析】（1）方法一：根据等差数列前n 项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式即得结果；（2）方法二：根据等差数列前n 项和公式得n S ，根据二次函数的性质即可求出. 【详解】（1）[方法一]：【通性通法】【最优解】 公式法 设等差数列{}n a 的公差为d ，由315S =-得，()3237152d ⨯⨯-+=-，解得：=2d ，所以29n a n =-．[方法二]：函数+待定系数法设等差数列{}n a 通项公式为=+n a kn b ，易得+=7k b -，由315S =-，即2315a =-，即25k b +=-，解得：=2,=9k b -，所以29n a n =-．（2）[方法1]：邻项变号法 由1(1)=+2n n n d S na -可得2=8n S n n -．当0n a <，即29<0n -，解得14n ≤≤，所以n S 的最小值为41=4+6=16S a d -， 所以n S 的最小值为16-． [方法2]：函数法 由题意知2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，即2=8n S n n -()2416n =--， 所以n S 的最小值为24=44?8=16S --，所以n S 的最小值为16-．【整体点评】（1）方法一：直接根据基本量的计算，利用等差数列前n 项和公式求出公差，即可得到通项公式，是该题的通性通法，也是最优解；方法二：根据等差数列的通项公式的函数形式特征，以及等差数列前n 项和的性质，用待定系数法解方程组求解；（2）方法一：利用等差数列前n 项和公式求n S ，再利用邻项变号法求最值； 方法二：利用等差数列前n 项和公式求n S ，再根据二次函数性质求最值． 29．（1）见解析；（2）1122nna n，1122nnb n．【分析】(1)可通过题意中的1434n n n a a b +-=+以及1434n n n b b a +-=-对两式进行相加和相减即可推导出数列{}n n a b +是等比数列以及数列{}n n a b -是等差数列；。

专题六 数列1．（2018.9）设{a n }是等差数列，且a 1＝3，a 2+a 5＝36，则{a n }的通项公式为 ． 2．（2017.10）若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝﹣1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2= ．3．（2017.20）设{a n }和{b n }是两个等差数列，记c n ＝max {b 1﹣a 1n ，b 2﹣a 2n ，…，b n ﹣a n n }（n ＝1，2，3，…），其中max {x 1，x 2，…，x s }表示x 1，x 2，…，x s 这s 个数中最大的数． （1）若a n ＝n ，b n ＝2n ﹣1，求c 1，c 2，c 3的值，并证明{c n }是等差数列； （2）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n ≥m 时，c n n＞M ；或者存在正整数m ，使得c m ，c m +1，c m +2，…是等差数列．4．（2016.12）已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝6，a 3+a 5＝0，则S 6＝ ．5．（2016.20）设数列A ：a 1，a 2，…，a N （N ≥2）．如果对小于n （2≤n ≤N ）的每个正整数k 都有a k ＜a n ，则称n 是数列A 的一个“G 时刻”，记G （A ）是数列A 的所有“G 时刻”组成的集合．（Ⅰ）对数列A ：﹣2，2，﹣1，1，3，写出G （A ）的所有元素； （Ⅱ）证明：若数列A 中存在a n 使得a n ＞a 1，则G （A ）≠∅；（Ⅲ）证明：若数列A 满足a n ﹣a n ﹣1≤1（n ＝2，3，…，N ），则G （A ）的元素个数不小于a N ﹣a 1．6. （2015.6）设{a n }是等差数列，下列结论中正确的是（ ） A ．若a 1+a 2＞0，则a 2+a 3＞0 B ．若a 1+a 3＜0，则a 1+a 2＜0C ．若0＜a 1＜a 2，则a 2＞√a 1a 3D ．若a 1＜0，则（a 2﹣a 1）（a 2﹣a 3）＞07．（2015.20）已知数列{a n }满足：a 1∈N *，a 1≤36，且a n +1={2a n ，a n ≤182a n −36，a n ＞18（n ＝1，2，…），记集合M ＝{a n |n ∈N *}．（Ⅰ）若a 1＝6，写出集合M 的所有元素；（Ⅱ）如集合M 存在一个元素是3的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数； （Ⅲ）求集合M 的元素个数的最大值．8. （2014.5）设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q ＞1”是“{a n }为递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．（2014.12）若等差数列{a n }满足a 7+a 8+a 9＞0，a 7+a 10＜0，则当n ＝ 时，{a n }的前n 项和最大．专题六 数列 答案部分1.解：∵{a n }是等差数列，且a 1＝3，a 2+a 5＝36， ∴{a 1=3a 1+d +a 1+4d =36， 解得a 1＝3，d ＝6，∴a n ＝a 1+（n ﹣1）d ＝3+（n ﹣1）×6＝6n ﹣3． ∴{a n }的通项公式为a n ＝6n ﹣3． 故答案为：a n ＝6n ﹣3．2. 解：等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝﹣1，a 4＝b 4＝8， 设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ． 可得：8＝﹣1+3d ，d ＝3，a 2＝2； 8＝﹣q 3，解得q ＝﹣2，∴b 2＝2． 可得a 2b 2=1．故答案为：1．3. 解：（1）a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，b 1＝1，b 2＝3，b 3＝5， 当n ＝1时，c 1＝max {b 1﹣a 1}＝max {0}＝0，当n ＝2时，c 2＝max {b 1﹣2a 1，b 2﹣2a 2}＝max {﹣1，﹣1}＝﹣1，当n ＝3时，c 3＝max {b 1﹣3a 1，b 2﹣3a 2，b 3﹣3a 3}＝max {﹣2，﹣3，﹣4}＝﹣2，下面证明：对∀n∈N*，且n≥2，都有c n＝b1﹣na1，当n∈N*，且2≤k≤n时，则（b k﹣na k）﹣（b1﹣na1），＝[（2k﹣1）﹣nk]﹣1+n，＝（2k﹣2）﹣n（k﹣1），＝（k﹣1）（2﹣n），由k﹣1＞0，且2﹣n≤0，则（b k﹣na k）﹣（b1﹣na1）≤0，则b1﹣na1≥b k﹣na k，因此，对∀n∈N*，且n≥2，c n＝b1﹣na1＝1﹣n，c n+1﹣c n＝﹣1，∴c2﹣c1＝﹣1，∴c n+1﹣c n＝﹣1对∀n∈N*均成立，∴数列{c n}是等差数列；（2）证明：设数列{a n}和{b n}的公差分别为d1，d2，下面考虑的c n取值，由b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，b n﹣a n n，考虑其中任意b i﹣a i n，（i∈N*，且1≤i≤n），则b i﹣a i n＝[b1+（i﹣1）d1]﹣[a1+（i﹣1）d2]×n，＝（b1﹣a1n）+（i﹣1）（d2﹣d1×n），下面分d1＝0，d1＞0，d1＜0三种情况进行讨论，①若d1＝0，则b i﹣a i n═（b1﹣a1n）+（i﹣1）d2，当若d2≤0，则（b i﹣a i n）﹣（b1﹣a1n）＝（i﹣1）d2≤0，则对于给定的正整数n而言，c n＝b1﹣a1n，此时c n+1﹣c n＝﹣a1，∴数列{c n}是等差数列；当d2＞0，（b i﹣a i n）﹣（b n﹣a n n）＝（i﹣n）d2＞0，则对于给定的正整数n而言，c n＝b n﹣a n n＝b n﹣a1n，此时c n+1﹣c n＝d2﹣a1，∴数列{c n}是等差数列；此时取m＝1，则c1，c2，…，是等差数列，命题成立；②若d1＞0，则此时﹣d1n+d2为一个关于n的一次项系数为负数的一次函数，故必存在m∈N*，使得n≥m时，﹣d1n+d2＜0，则当n≥m时，（b i﹣a i n）﹣（b1﹣a1n）＝（i﹣1）（﹣d1n+d2）≤0，（i∈N*，1≤i≤n），因此当n ≥m 时，c n ＝b 1﹣a 1n ，此时c n +1﹣c n ＝﹣a 1，故数列{c n }从第m 项开始为等差数列，命题成立； ③若d 1＜0，此时﹣d 1n +d 2为一个关于n 的一次项系数为正数的一次函数， 故必存在s ∈N *，使得n ≥s 时，﹣d 1n +d 2＞0，则当n ≥s 时，（b i ﹣a i n ）﹣（b n ﹣a n n ）＝（i ﹣1）（﹣d 1n +d 2）≤0，（i ∈N *，1≤i ≤n ）， 因此，当n ≥s 时，c n ＝b n ﹣a n n ， 此时=b n −a n n n =−a n +bn n， ＝﹣d 2n +（d 1﹣a 1+d 2）+b 1−d 2n， 令﹣d 1＝A ＞0，d 1﹣a 1+d 2＝B ，b 1﹣d 2＝C ， 下面证明：c n n=An +B +Cn 对任意正整数M ，存在正整数m ，使得n ≥m ，c n n＞M ，若C ≥0，取m ＝[|M−B|A+1]，[x ]表示不大于x 的最大整数，当n ≥m 时，c n n≥An +B ≥Am +B ＝A [|M−B|A+1]+B ＞A •M−B A+B ＝M ，此时命题成立； 若C ＜0，取m ＝[|M−C−B|A]+1，当n ≥m 时，c n n≥An +B +Cn ≥Am +B +C ＞A •|M−C−B|A+B +C ≥M ﹣C ﹣B +B +C ＝M ，此时命题成立，因此对任意正数M ，存在正整数m ，使得当n ≥m 时，c n n＞M ；综合以上三种情况，命题得证．4. 解：∵{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和． a 1＝6，a 3+a 5＝0， ∴a 1+2d +a 1+4d ＝0， ∴12+6d ＝0， 解得d ＝﹣2，∴S 6=6a 1+6×52d =36﹣30＝6． 故答案为：6．5. 解：（Ⅰ）根据题干可得，a 1＝﹣2，a 2＝2，a 3＝﹣1，a 4＝1，a 5＝3，a 1＜a 2满足条件，2满足条件，a 2＞a 3不满足条件，3不满足条件，a 2＞a 4不满足条件，4不满足条件，a 1，a 2，a 3，a 4，均小于a 5，因此5满足条件，因此G （A ）＝{2，5}．（Ⅱ）因为存在a n ＞a 1，设数列A 中第一个大于a 1的项为a k ，则a k ＞a 1≥a i ，其中2≤i ≤k ﹣1，所以k ∈G （A ），G （A ）≠∅；（Ⅲ）设A 数列的所有“G 时刻”为i 1＜i 2＜…＜i k ，对于第一个“G 时刻”i 1，有a i 1＞a 1≥a i （i ＝2，3，…，i 1﹣1），则 a i 1−a 1≤a i 1−a i 1−1≤1．对于第二个“G 时刻”i 1，有a i 2＞a i 1≥a i （i ＝2，3，…，i 1﹣1），则 a i 2−a i 1≤a i 2−a i 2−1≤1．类似的a i 3−a i 2≤1，…，a i k −a i k−1≤1．于是，k ≥（a i k −a i k−1）+（a i k−1−a i k−2）+…+（a i 2−a i 1）+（a i 1−a 1）=a i k −a 1． 对于a N ，若N ∈G （A ），则a i k =a N ．若N ∉G （A ），则a N ≤a i k ，否则由（2）知a i k ，a i k+1，…，a N ，中存在“G 时刻”与只有k 个“G 时刻”矛盾． 从而k ≥a i k −a 1≥a N ﹣a 1．6. 解：若a 1+a 2＞0，则2a 1+d ＞0，a 2+a 3＝2a 1+3d ＞2d ，d ＞0时，结论成立，即A 不正确； 若a 1+a 3＜0，则a 1+a 2＝2a 1+d ＜0，a 2+a 3＝2a 1+3d ＜2d ，d ＜0时，结论成立，即B 不正确； {a n }是等差数列，0＜a 1＜a 2，2a 2＝a 1+a 3＞2√a 1a 3，∴a 2＞√a 1a 3，即C 正确； 若a 1＜0，则（a 2﹣a 1）（a 2﹣a 3）＝﹣d 2≤0，即D 不正确． 故选：C ．7. 解：（Ⅰ）若a 1＝6，由于a n +1={2a n ，a n ≤182a n −36，a n ＞18（n ＝1，2，…），M ＝{a n |n ∈N *}．故集合M 的所有元素为6，12，24；（Ⅱ）因为集合M 存在一个元素是3的倍数，所以不妨设a k 是3的倍数，由a n +1={2a n ，a n ≤182a n −36，a n ＞18（n ＝1，2，…），可归纳证明对任意n ≥k ，a n 是3的倍数． 如果k ＝1，M 的所有元素都是3的倍数；如果k ＞1，因为a k ＝2a k ﹣1，或a k ＝2a k ﹣1﹣36，所以2a k ﹣1是3的倍数；于是a k ﹣1是3的倍数；类似可得，a k ﹣2，…，a 1都是3的倍数； 从而对任意n ≥1，a n 是3的倍数；综上，若集合M 存在一个元素是3的倍数，则集合M 的所有元素都是3的倍数 （Ⅲ）对a 1≤36，a n ={2a n−1，a n ≤182a n−1−36，a n ＞18（n ＝1，2，…），可归纳证明对任意n ≥k ，a n ＜36（n ＝2，3，…）因为a 1是正整数，a 2={2a 1，a 1≤182a 1−36，a 1＞18，所以a 2是2的倍数．从而当n ≥2时，a n 是2的倍数．如果a 1是3的倍数，由（Ⅱ）知，对所有正整数n ，a n 是3的倍数． 因此当n ≥3时，a n ∈{12，24，36}，这时M 的元素个数不超过5． 如果a 1不是3的倍数，由（Ⅱ）知，对所有正整数n ，a n 不是3的倍数． 因此当n ≥3时，a n ∈{4，8，16，20，28，32}，这时M 的元素个数不超过8． 当a 1＝1时，M ＝{1，2，4，8，16，20，28，32}，有8个元素． 综上可知，集合M 的元素个数的最大值为8．5.解：等比数列﹣1，﹣2，﹣4，…，满足公比q ＝2＞1，但{a n }不是递增数列，充分性不成立．若a n ＝﹣1⋅(12)n−1为递增数列，但q =12＞1不成立，即必要性不成立， 故“q ＞1”是“{a n }为递增数列”的既不充分也不必要条件， 故选：D ．6. 解：由等差数列的性质可得a 7+a 8+a 9＝3a 8＞0， ∴a 8＞0，又a 7+a 10＝a 8+a 9＜0，∴a 9＜0，∴等差数列{a n}的前8项为正数，从第9项开始为负数，∴等差数列{a n}的前8项和最大，故答案为：8．。

2011年—2018年新课标全国卷文科数学分类汇编9．数列一、选择题(2015·新课标Ⅰ，文7)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8=4S 4，则a 10=()A ．172B ．192C ．10D ．12（2015·新课标Ⅱ，文5）设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若3531=++a a a ，则=5S （）A.5B.7C.9D.11（2015·新课标Ⅱ，文9）已知等比数列}{n a 满足411=a ，)1(4453-=a a a ，则=2a （）A.2B.1C.21 D.81（2014·新课标Ⅱ，文5）等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项S n =（）A ．(1)n n +B ．(1)n n -C ．(1)2n n +D ．(1)2n n -(2013·新课标Ⅰ，文6)设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则()．A ．S n ＝2a n －1B ．S n ＝3a n －2C ．S n ＝4－3a nD ．S n ＝3－2a n(2012·新课标Ⅰ，文12)数列{n a }满足1(1)21n n n a a n ++-=-，则{n a }的前60项和为（）A ．3690B ．3660C ．1845D ．1830二、填空题(2015·新课标Ⅰ，文13)数列{a n }中，a 1=2，a n +1=2a n ，S n 为{a n }的前n 项和，若S n =126，则n =．（2014·新课标Ⅱ，文16）数列}{n a 满足nn a a -=+111，2a =2，则1a =_________.(2012·新课标Ⅰ，文14)等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3230S S +=，则公比q =_____．三、解答题(2018·新课标Ⅰ，文17)已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设nn a b n=．（1）求123b b b ，，；（2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由；（3）求{}n a 的通项公式．(2018·新课标Ⅱ，文17)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并求n S 的最小值．(2018·新课标Ⅲ，文17)等比数列{}n a 中，15314a a a ==，．（1）{}n a 的通项公式；⑵记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ．(2017·新课标Ⅰ，文17)记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知22S =,36S =-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并判断1n S +，n S ，2n S +是否成等差数列．（2017·新课标Ⅱ，文17）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1=-1，b 1=1，a 2+b 2=2.（1）若a 3+b 3=5，求{b n }的通项公式；（2）若T 3=21，求S 3.(2017·新课标Ⅲ，文17)设数列{}n a 满足()123212n a a n a n +++-= ．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和．(2016·新课标Ⅰ，文17)已知{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n b 满足12111==3n n n n b b a b b nb +++=1，，．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求{}n b 的前n 项和．（2016·新课标Ⅱ，文17）等差数列{a n }中，a 3+a 4=4，a 5+a 7=6．（Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =[lg a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2.(2016·新课标Ⅲ，文17)已知各项都为正数的数列{}n a 满足11a =，211(21)20n n n n a a a a ++---=．（1）求23,a a ；（2）求{}n a 的通项公式．(2014·新课标Ⅰ，文17)已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根。

2018年全国高考试题分类汇编免费教育资源网解析几何部分参考答案、选择题二、填空题1．22x2y2411．用代数的方法研究图形的几何性质2 152 .2x y2 112． 5 23 1 13．44．5 14．[－1，3]15．455(0,-1) 1 2 a 1 216．2x－ y+4=06．x 2+(y+1) 2=1 1－2 ≤ a≤1+ 2 17．213 18．11[ ,0) (0, ]7( ,13)10 1048．(5,0) 19．22(x 1)2 (y 1)2 259．22(x－ 2)2+(y+3) 2=520．12210． (x－ 2)2+(y+3) 2=5三、解答题1．（本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质，综合解题能力 .满分 14 分 .解：（ I）由 C 与 t 相交于两个不同的点，故知方程组x2y2 1,2y21,a x y 1.平面向量的运算等解析几何的基本思想和有两个不同的实数解 .消去 y 并整理得（1－a2）x2+2a2x－2a2=0. ① ⋯⋯ 2 分双曲线的离心率即离心率 e 的取值范围为 ( 6, 2) ( 2, ). 6分II)设 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), P 1(0,1)2. 本小题主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的关系以及解析几何的基本方法、思想和 综合解题能力。

满分 12 分。

解：(Ⅰ) C 的焦点为 F(1， 0)，直线 l 的斜率为 1，所以 l 的方程为y x 1.22将 y x 1代入方程 y 2 4x ，并整理得 x 26x 1 0.设A (x 1, y 1),B (x 2,y 2),则有 x 1 x 2 6,x 1x 2 1.OA OB (x 1, y 1) (x 2,y 2) x 1x 2 y 1y 2 2x 1x 2 (x 1 x 2) 1 3. | OA ||OB | x 12y 12x 22y 22x 1x 2[x 1x 2 4(x 1 x 2) 16] 41.OA OB 3 14 cos(OA, OB) . |OA| |OB | 41314 所以 OA 与OB 夹角的大小为 arccos3 14. 41(Ⅱ)由题设 FB AF 得 (x 2 1,y 2)(1 x 1, y 1),即x 2 1 (1 x 1), ①y2y1.②所以 21 a 20. 4 2 24a 4 8a 2(1 a 2) 0.解得 0 a 2且a 1.e1 a 212 1. 0 a 2且 a 1, a 255 PA 5 PB, (x 1,y 1 1) 5(x 2,y 2 1). 12 12由此得 x 1 152x 2. 8分 由于 x 1，x 2 都是方程①的根，且 所以 17 x 2 12 22 1a12 17.13.14分 5 x 222a 2 2a 2 2891 a2 .消去, x 2 ,得 1 a 2 60 由 a 0,所以 a2a 2y12 4x1,y22 4x2, ∴ x22x1. ③联立①、③解得x2 ，依题意有0.∴B（ ,2 ）,或B（ , 2 ）,又 F（1，0），得直线 l方程为( 1)y 2 (x 1)或( 1)y 2 (x 1),当[4,9]时，l 在方程 y轴上的截距为2或 1由②得y22 2y12，2 2 2 11 可知2在[4，9]上是递减的，4,4 23,3 134,4直线 l 在 y 轴上截距的变化范围为[ 43 3] [3,4].4] [4,3]. 以及综合. 满分 14 分 .解：（ 1）由题设有m 0,c m.设点 P的坐标为（x0,y0），由PF1 PF2，得y0x0 cy0x0 c1，化简得x02y02m. ①2 将①与x0 m1y021联立，解得 2x02m 1 2,y0由m 0,x021 0,得 m 1. 所以 m 的取值范围是1.2）准线 L 的方程为m 1.设点 Q的坐标为（x1,y1），则m x1m 1.mm1m |QF2 | x1 c m|PF| c x m x2 m1 |QF2| 22m m 1.将x0 代入②，化简得.满分 12 分 .2m1代入②，化简得由题设 |QF 2| | PF 2 |2 3 ，得 mm 21 2 3 ，无解 .将 x.满分 12 分 .m|QF 2 | 1m m 2 1.|PF 2 | m m 21由题设 ||QPF F22 || 2 3 ，得 m m 21 2 3.解得 m=2.从而 x 03, y 02,c 2, 得到 PF 2 的方程22y ( 3 2)(x 2).4．本小题主要考查导数的几何意义，两条直线垂直的性质以及分析问题和综合运算能力 满分 12 分 . 解： y ′ =2x+1.直线 l 1 的方程为 y=3 x － 3.设直线 l 2过曲线 y=x 2+x －2 上 的点 B( b, b 2+b －2),则 l 2的方程为y=(2b+1) x －b 2－2 1因为 l 1⊥ l 2，则有 2b+1= ,b 1 231 x所以直线 l 2的方程为 y2 322II )解方程组 y 3x 3,1 22yx391 x, 6 5 y2(1, 5).(6, 2).221，0)、 ( ,0).3所以直线 l 1和 l 2 的交点的坐标为 l 1、l 2与 x 轴交点的坐标分别为(2 32 125．本小题主要考查点到直线距离公式，双曲线的基本性质以及综合运算能力 解：直线 l 的方程为 x y1，即 bx ay ab 0.aba 1ly 1 2(y 2 2),∴y 1 y 24d1b(a 1)a 2b 2同理得到点(－ 1， 0) b(a 1)2到直线 l 的距离 d 2a2 bs d 1 d 22ab2aba 2b 2由 s4c,得 2ab 4c,5 c 5即 5a c 2 a 2 2c 2.于是得 5 e 2 1 2e 2,即4e 425e 225 0.解不等式，得 54 e 25.由于 e 1 0,所以 e 的取值范围是25 e 5.26．(Ⅰ)由已知条件 ,可设抛物线的方程为 y 2∵点 P(1,2) 在抛物线上 , ∴ 222p 1, 得 p =2.2故所求抛物线的方程是 y 2准线方程是 x=-- 1.(Ⅱ ) 设直线 PA 的斜率为 k PA ,直线 PB 的斜率为 k PB , ∵PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补 ,∴k PA k PB .由 A(x 1,y 1), B(x 2,y 2)在抛物线上 ,得2 y14x 1, ① 4x 2, ②2 y 2 221221 y2 14 2 y2y 1 1 4 y 1由① --②得直线 AB 的斜率y2 y1 4 4kAB1（x1 x2）. （14 分）x2 x1 y1 y2 47．本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力、满分 14 分。

一、填空题1.（北京理4改）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122．若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为__________． 1.1272f2.（北京理9）设{}n a 是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，则{}n a 的通项公式为__________． 2．63n a n =-3.（全国卷I 理4改）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a __________． 3.10-4.（浙江10改）．已知1234,,,a a a a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则13,a a 的大小关系是_____________，24,a a 的大小关系是_____________．4.1324,a a a a ><5.（江苏14）．已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将A B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为__________．5．27二、解答题6.（北京文15）设{}n a 是等差数列，且123ln 2,5ln 2a a a =+=.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求12e e e n a a a +++ . 6．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，∵235ln 2a a +=，∴1235ln 2a d +=，又1ln 2a =，∴ln 2d =.∴1(1)ln 2n a a n d n =+-=. （2）由（I ）知ln 2n a n =，∵ln2ln2ee e =2nna n n ==，∴{e }n a是以2为首项，2为公比的等比数列.∴212ln2ln2ln2e e ee e e nna aa+++=+++2=222n +++ 1=22n +-.∴12e e e n a a a +++ 1=22n +-.7.(全国卷I 文17)已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设nn a b n=． （1）求123b b b ，，； （2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由；（3）求{}n a 的通项公式．7．解：（1）由条件可得a n +1=2(1)n n a n+．将n =1代入得，a 2=4a 1，而a 1=1，所以，a 2=4．将n =2代入得，a 3=3a 2，所以，a 3=12．从而b 1=1，b 2=2，b 3=4． （2）{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得121n n a an n+=+，即b n +1=2b n ，又b 1=1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．（3）由（2）可得12n n an-=，所以a n =n ·2n -1．8.（全国卷II 理17）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并求n S 的最小值． 8. 解：（1）设{}n a 的公差为d ，由题意得13315a d +=-.由17a =-得d =2.所以{}n a 的通项公式为29n a n =-.（2）由（1）得228(4)16n S n n n =-=--，所以当n =4时,n S 取得最小值,最小值为−16.9.（全国卷III 理17）等比数列{}n a 中，15314a a a ==，．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ．9.解：（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得1n n a q -=.由已知得424q q =，解得0q =（舍去），2q =-或2q =.故1(2)n n a -=-或12n n a -=.（2）若1(2)n n a -=-，则1(2)3nn S --=.由63m S =得(2)188m -=-，此方程没有正整数解.若12n n a -=，则21n n S =-.由63m S =得264m =，解得6m =.综上，6m =.10.（天津文18）设{a n }是等差数列，其前n 项和为S n （n ∈N *）；{b n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为T n （n ∈N *）．已知b 1=1，b 3=b 2+2，b 4=a 3+a 5，b 5=a 4+2a 6． （1）求S n 和T n ；（2）若S n +（T 1+T 2+…+T n ）=a n +4b n ，求正整数n 的值．10.本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和公式等基础知识.考查数列求和的基本方法和运算求解能力.（1）解：设等比数列{}n b 的公比为q ，由b 1=1，b 3=b 2+2，可得220q q --=.因为0q >，可得2q =，故12n n b -=.所以122112nn n T -==--. 设等差数列{}n a 的公差为d .由435b a a =+，可得134a d +=.由5462b a a =+，可得131316,a d += 从而11,1a d ==，故n a n =，所以(1)2n n n S +=. （2）解：由（I ），知13112(222)2 2.n n n T T T n n ++++=+++-=--由12()4n n n n S T T T a b ++++=+ 可得11(1)2222n n n n n n ++++--=+， 整理得2340,n n --= 解得1n =-（舍），或4n =.所以n 的值为4.11.（浙江20）已知等比数列{a n }的公比q >1，且a 3+a 4+a 5=28，a 4+2是a 3，a 5的等差中项．数列{b n }满足b 1=1，数列{（b n +1−b n ）a n }的前n 项和为2n 2+n ．（1）求q 的值；（2）求数列{b n }的通项公式．11.本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力。

2018年高考数学数列分类汇编1、选择题1．【2018全国一卷4】设为等差数列的前项和，若，，则nS{}n a n3243S S S=+12a==5aA．B．C．D．12-10-10122.【2018北京卷4】“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为C D3.【2018浙江卷10】10．已知成等比数列，1234,,,a a a a且．若，则1234123ln()a a a a a a a+++=++11a>A．B．C．D．1324,a a a a<<1324,a a a a><1324,a a a a<>1324,a a a a>>2、填空题1．【2018全国一卷14】记为数列的前项和，若，则nS{}n a n21n nS a=+_____________．6S=2.【2018北京卷9】设是等差数列，且,则的通项公式为}{na36,3521=+=aaa}{na__________．3.【2018江苏卷14】已知集合，．将*{|21,}A x x n n ==-∈N *{|2,}n B x x n ==∈N 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n 项和，A B {}n a n S {}n a 则使得成立的n 的最小值为．112n n S a +>4.【2018上海卷6】记等差数列的前几项和为S n ，若,，则S 7=.{} n a 03=a 1476=+a a 5.【2018上海卷10】设等比数列{}的通项公式为（n ∈N *），前n 项和为S n .若a n 1-=n n q a ，则q=____________1Sn 1lim2n n a →∞+=三、解答题1.【2018全国二卷17】记nS 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求nS ，并求nS 的最小值．2.【2018全国三卷17】等比数列{}n a 中，15314a a a ==，．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ．3.【2018天津卷18】(18)设是等比数列，公比大于0，其前n 项和为，{}n a ()n S n *∈N 是等差数列. 已知，，，.{}n b 11a =322a a =+435a b b =+5462a b b =+（I ）求和的通项公式；{}n a {}n b（II ）设数列的前n 项和为，{}n S ()n T n *∈N （i ）求；n T （ii ）证明.221()22()(1)(2)2n nk k k k T b b n k k n +*+=+=-∈+++∑N 4.【2018江苏卷20】设是首项为，公差为d 的等差数列，是首项为，公比为{}n a 1a {}n b 1b q 的等比数列．（1）设，若对均成立，求d 的取值范围；110,1,2a b q ===1||n n a b b -≤1,2,3,4n =（2）若，证明：存在，使得对*110,,a b m q =>∈∈N d ∈R 1||n n a b b -≤均成立，并求的取值范围（用表示）．2,3,,1n m =+L d 1,,b m q 5.【2018浙江卷20】已知等比数列{a n }的公比q >1，且a 3+a 4+a 5=28，a 4+2是a 3，a 5的等差中项．数列{b n }满足b 1=1，数列{（b n +1−b n ）a n }的前n 项和为2n 2+n ．（Ⅰ）求q 的值；（Ⅱ）求数列{b n }的通项公式．6.【2018上海卷21】21.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)给定无穷数列{a n }，若无穷数列{b n }满足：对任意，都有，则称*n N ∈1||n n b a -≤ “接近”.{}{}n n b a 与（1）设{a n }是首项为1，公比为的等比数列，，，判断数列1211n n b a +=+*n N ∈是否与接近，并说明理由；{}n b {}n a （2）设数列{a n }的前四项为：a ₁=1，a ₂=2，a ₃=4，=8，{b n }是一个与{a n }接近a 4的数列，记集合M={x |x =b i ，i =1,2,3,4},求M 中元素的个数m ；（3）已知{a n }是公差为d 的等差数列，若存在数列{b n }满足：{b n }与{a n }接近，且在b ₂-b ₁，b ₃-b ₂，…b 201-b 200中至少有100个为正数，求d 的取值范围.参考答案1、选择题1.B2.D3.B2、填空题1. 2. 3. 27 4. 14 5.363-63n a n =-3、解答题1.解：（1）设{}n a 的公差为d ，由题意得13315a d +=-．由17a =-得d =2．所以{}n a 的通项公式为29n a n =-．（2）由（1）得228(4)16n S n n n =-=--．所以当n =4时，n S 取得最小值，最小值为−16．2.解：（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得1n n a q-=.由已知得424q q =，解得0q =（舍去），2q =-或2q =.故1(2)n n a -=-或12n n a -=.（2）若1(2)n n a -=-，则1(2)3n n S --=.由63m S =得(2)188m-=-，此方程没有正整数解.若12n n a -=，则21nn S =-.由63m S =得264m=，解得6m =.综上，6m =.3.解：（I ）设等比数列的公比为q.由可得.{}n a 1321,2,a a a ==+220q q --=因为，可得，故.0q >2q =12n n a -=设等差数列的公差为d ，由，可得由，{}n b 435a b b =+13 4.b d +=5462a b b =+可得 从而 故131316,b d +=11,1,b d ==.n b n =所以，数列的通项公式为，数列的通项公式为{}n a 12n n a -={}n b .n b n =（II ）（i ）解：由（I ），有，故122112nn n S -==--.1112(12)(21)22212n nnk kn n k k T n n n +==⨯-=-=-=-=---∑∑（ii ）证明：因为，11212()(222)222(1)(2)(1)(2)(1)(2)21k k k k k k+k T +b b k k k k k k k k k k k k ++++--++⋅===-++++++++所以，.324321221()2222222()((2(1)(2)3243212n n n nk k k k T b b k k n n n ++++=+=-+-++-=-+++++∑既证。

核心考点解读——数列考纲解读里的I，II的含义如下：I：对所列知识要知道其内容及含义，并能在有关问题中识别和直接使用，即了解和认识.II：对所列知识要理解其确切含义及与其他知识的联系，能够进行叙述和解释，并能在实际问题的分析、综合、推理和判断等过程中运用，即理解和应用.(以下同)1．（2017高考新课标I，理4）记错误！未找到引用源。

为等差数列错误！未找到引用源。

的前错误！未找到引用源。

项和．若错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

的公差为A．1 B．2C．4 D．82．（2017高考新课标Ⅲ，理9）等差数列错误！未找到引用源。

的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则错误！未找到引用源。

前6项的和为A．错误！未找到引用源。

B．错误！未找到引用源。

C．3 D．83．（2017高考新课标II，理15）等差数列错误！未找到引用源。

的前错误！未找到引用源。

项和为错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

____________．4．(2016高考新课标I，理3)已知等差数列错误！未找到引用源。

前9项的和为27，错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

A．100 B．99 C．98 D．975．(2016高考新课标II，理17)错误！未找到引用源。

为等差数列错误！未找到引用源。

的前n项和，且错误！未找到引用源。

记错误！未找到引用源。

，其中错误！未找到引用源。

表示不超过x的最大整数，如错误！未找到引用源。

.（Ⅰ）求错误！未找到引用源。

；（Ⅱ）求数列错误！未找到引用源。

的前1000项和.6．(2016高考新课标III，理17)已知数列错误！未找到引用源。

的前n项和错误！未找到引用源。

，其中错误！未找到引用源。

．（I）证明错误！未找到引用源。

是等比数列，并求其通项公式；（II）若错误！未找到引用源。

，求错误！未找到引用源。

2018年高考试题分类汇编（数列）考法1 等差数列1.（2018·全国卷Ⅰ理科）记n S 为等差数列数列{}n a 的前n 项的和.若323S S =4S +，12a =,则5a =A.12-B.10-C.10D. 12 2.（2018·北京卷理科）设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通 项公式为_____．3.（2018·上海卷）记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若30a =，6714a a +=，则7S = .4.（2018·全国卷Ⅱ文理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项的和,已知17a =-,315S =-.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求n S ，并求n S 的最小值. 考法2 等比数列1.（2018·全国卷Ⅰ理科）记n S 为数列{}n a 的前n 项的和，若21n n S a =+，则6S = .2.（2018·北京卷文理） “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为C.D.3.（2018·上海卷）设等比数列{}n a 的通项公式为1n n a q +=（n N *∈），前n 项和为n S .若11lim2n n n S a →∞+=，则q =_______.4.（2018·浙江卷）已知1234,,,a a a a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++， 若11a >，则 A.1324,a a a a <<B.1324,a a a a ><C.1324,a a a a <>D.1324,a a a a >>5.（2018·全国卷Ⅰ文科）已知数列{}n a 满足11a =， 12(1)n n na n a +=+，设nn a b n=. （Ⅰ）求1b ，2b ，3b .（Ⅱ）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由； （Ⅲ）求数列{}n a 的通项公式.6.（2018·全国卷Ⅲ文理）等比数列{}n a 中，11a =，534a a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记n S 为{}n a 的前n 项的和.若63m S =，求m . 考法3 等差数列与等比数列综合1.（2018·北京卷文科）设{}n a 是等差数列，且1ln 2a =,235ln 2a a +=. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求12n a a a e e e +++.2.（2018·浙江卷）已知等比数列{}n a 的公比1q >，且34528a a a ++=，42a +是3a ，5a 的等差中项．数列{}n b 满足11b =，数列{}1()n n n b b a +-的前n 项和为22n n +． （Ⅰ）求q 的值；（Ⅱ）求数列{}n b 的通项公式．3.（2018·天津卷理科）设{}n a 是等比数列，公比大于0，其前n 项和为n S （n N *∈），{}n b 是等差数列. 已知11a =，322a a =+，435a b b =+，5462a b b =+.（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n S 的前n 项和为n T （n N *∈）， （1）求n T ；（2）证明221()22(1)(2)2n nk k k k T b b k k n ++=+=-+++∑（n N *∈）.4.（2018·天津卷文科）设{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S （n N *∈）；{}n b 是 等比数列，公比大于0，其前的前n 项和为n T （n N *∈）．已知11b =，322b b =+，435b a a =+，5462b a a =+. （Ⅰ）求n S 和n T ； （Ⅱ）若12()4n n n n S T T T a b ++++=+，求正整数n 的值．。

2018年高考数学真题专题汇编----数列一、填空题1.（北京理4改）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为__________．1.2.（北京理9）设{}n a 是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，则{}n a 的通项公式为__________． 2．63n a n =-3.（全国卷I 理4改）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a __________． 3.10-4.（浙江10改）．已知1234,,,a a a a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则13,a a 的大小关系是_____________，24,a a 的大小关系是_____________．4.1324,a a a a ><5.（江苏14）．已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将A B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为__________．5．27二、解答题6.（北京文15）设{}n a 是等差数列，且123ln 2,5ln 2a a a =+=.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求12e e e n a a a +++. 6．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，∵235ln 2a a +=，∴1235ln 2a d +=，又1ln 2a =，∴ln 2d =.∴1(1)ln 2n a a n d n =+-=. （2）由（I ）知ln 2n a n =，∵ln 2ln 2ee e =2nna n n ==，∴{e }n a是以2为首项，2为公比的等比数列.∴212ln 2ln 2ln 2e e e e e e nn a aa+++=+++2=222n +++1=22n +-.∴12e e e n a a a +++1=22n +-.7.(全国卷I 文17)已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设nn a b n=． （1）求123b b b ，，； （2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由；（3）求{}n a 的通项公式．7．解：（1）由条件可得a n +1=2(1)n n a n+．将n =1代入得，a 2=4a 1，而a 1=1，所以，a 2=4．将n =2代入得，a 3=3a 2，所以，a 3=12．从而b 1=1，b 2=2，b 3=4． （2）{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得121n n a an n+=+，即b n +1=2b n ，又b 1=1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．（3）由（2）可得12n n an-=，所以a n =n ·2n -1．8.（全国卷II 理17）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并求n S 的最小值． 8. 解：（1）设{}n a 的公差为d ，由题意得13315a d +=-.由17a =-得d =2.所以{}n a 的通项公式为29n a n =-.（2）由（1）得228(4)16n S n n n =-=--，所以当n =4时,n S 取得最小值,最小值为−16.9.（全国卷III 理17）等比数列{}n a 中，15314a a a ==，．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ．9.解：（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得1n n a q -=.由已知得424q q =，解得0q =（舍去），2q =-或2q =.故1(2)n n a -=-或12n n a -=.（2）若1(2)n n a -=-，则1(2)3n n S --=.由63m S =得(2)188m-=-，此方程没有正整数解.若12n n a -=，则21nn S =-.由63m S =得264m =，解得6m =.综上，6m =.10.（天津文18）设{a n }是等差数列，其前n 项和为S n （n ∈N *）；{b n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为T n （n ∈N *）．已知b 1=1，b 3=b 2+2，b 4=a 3+a 5，b 5=a 4+2a 6． （1）求S n 和T n ；（2）若S n +（T 1+T 2+…+T n ）=a n +4b n ，求正整数n 的值．10.本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和公式等基础知识.考查数列求和的基本方法和运算求解能力.（1）解：设等比数列{}n b 的公比为q ，由b 1=1，b 3=b 2+2，可得220q q --=.因为0q >，可得2q =，故12n n b -=.所以122112nn n T -==--. 设等差数列{}n a 的公差为d .由435b a a =+，可得134a d +=.由5462b a a =+，可得131316,a d += 从而11,1a d ==，故n a n =，所以(1)2n n n S +=.（2）解：由（I ），知13112(222)2 2.n n n T T T n n ++++=+++-=--由12()4n n n n S T T T a b ++++=+可得11(1)2222n n n n n n ++++--=+，整理得2340,n n --= 解得1n =-（舍），或4n =.所以n 的值为4.11.（浙江20）已知等比数列{a n }的公比q >1，且a 3+a 4+a 5=28，a 4+2是a 3，a 5的等差中项．数列{b n }满足b 1=1，数列{（b n +1−b n ）a n }的前n 项和为2n 2+n ．（1）求q 的值；（2）求数列{b n }的通项公式．11.本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力。

2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全1 . （ 2018全国新课标I 理）记S n 为等差数列a n 的前n 项和若3Ss S 2B ， a 12 "25()A . 12B .10 C . 10 D . 12答案: B解答：..4 3 d 4q3(3a 1 3 2 d) 2a 1 d 9q 9d 6a 1 7d3q 2d 02 26 2d 0 d3 ,••• a 5a 4d 2 4(3)10.2. （ 2018北京理）设 a n 是等差数列， 且 a 1=3，a 2+a 5=36，贝Ua n 的通项公式为【答案】a n 6n 3【解析】Q Q 3，3 d 3 4d36， d6， a 36 n 1 6n 33.（2017全国新课标I 理） 记S n 为等差数列｛a n ｝的前n 项和•若a 424 , S e48，则｛a .｝的公差为A . 1B . 2C . 4D . 8【答案】C【解析】设:公差为 d ，84a 5a 1 3d a 1 4d 2a-i 7d 24，6 52a 1 7d 24得d 4，故选CS 6 6a 1d 6a 1 15d 48，联立15d ,26a 1 48秒杀解析：因为S66(a 1 a 6)2 3(a3 a 4)48 ，即a 3 a 4 16，则(a 4 a 5)(a 3 a 4) 24 16 8，即 a 5 ; a 3 2d 8，解得d 4，故选C. 4. （ 2017全国新课标n 理） 我国古代数学名着《算法统宗》中有如下问题： 远望巍巍塔七层，红光点点 倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？ ”意思是：一座7层塔共挂了 381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2倍，则塔的顶层共有灯（）A . 1盏B . 3盏C . 5盏D . 9盏【答案】B5. （2017全国新课标皿理） 等差数列a n 的首项为1，公差不为0.若a 2， a 3，a 6成等比数列，则a n 前6项的和为（）A . 24B .3C.3D . 8【答案】A【解析】•/ a n为等差数列, 且a 2,a 3,a6成等比数列，设公差为d .则a 3a 2 a s ，即 a 1 2d2a 1 d a5d又•/ a 1 1，代入上式可得 d 2 2d又••• d 0，则d 2_ 6 5 6a 1 d1 6 6 5224，故选A.226 . （ 2017全国新课标I 理） 记S n 为等差数列 {a n } 的前n 项和•若a 4a 524 ，S648，则｛ an｝的公差为A . 1 .2C . 4D . 8【答案】C【解析】设公差为d ， a 4a 5a 1 3d a 14d 2a 1 7d 24，6 52a 1 7d 24S 6 6印d 6a 1 15d 48，联立… _,解得d 4，故选 C.26a 1 15d 48【答案】C考点：等差数列及其运算【名师点睛】我们知道，等差、等比数列各有五个基本量 这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程 运算题可看作方程应用题 ，所以用方程思想解决数列问题是一10. （ 2016四川理）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入 130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%， 200万元的年份是（）(参考数据:Ig 1.12 ~ 0.05，Ig 1.3 ~ 0.11，lg2 ~ 0.30)【答案】B【解析】 试题分析：设第n 年的研发投资资金为 a n ，a 1 130，则a n 130 1.12n 1，由题意，需n 1a n 130 1.12 200，解得n 5，故从2019年该公司全年的投入的研发资金超过200万，选B.考点：等比数列的应用. 11.（ 2018全国新课标I 理） 记S n 为数列 a n 的前n 项和.若S n 2务1，则S 6 ___________________________________ .答案：63A .24 B . 3C . 3D . 8【答案】 A【解析】••• a n 为等差数列，且a 2, a 3, a6成等比数列，设公差为 d .则a 3 a 2 a 6，即 a 122da 1 d a 15d又•/印 1，代入上式可得d 2 2d 0又•••d0，则 d 2二 S 66 5 6a 1d 16 65 —224，故选 A.22.（2016全国I 理）已知等差数列 a n 前9项的和为27, a 10 8,则a 100(D ) 979 99 (C ) 98(A ) 100 ( B)秒杀解析：因为 s 66(aia 6)2 (a 4 a s ) (a3 a 4)24 163(a 38，即 a 4) 48，即 a 3a 4 16，则a s a 3 2d 8，2x px q p解得4，故选C.f x也可适当排序后成等比数列，则 7. （ 2015福建文）若a,b 是函数三个数可适当排序后成等差数列， 【答案】98. （2017全国新课标皿理） 等差数列 a n 的首项为1，公差不为a n 前6项的和为（）o,q0. 的两个不同的零点，且a,b, 2这的值等于 _________ .右a 2a 3 a 6成等比数列，则【解析】：由已知9a i 36d a 1 9d278，所以臼1，d1,a 100 a 1 99d 99 98,故选 C.，两组基本公式，而这两组公式可看作多元方程，利用（组），因此可以说数列中的绝大部分.若该公司2015年全年投入研发资金则该公司全年投入的研发资金开始超过 (A) 2018 年 (B) 2019 年 (C) 2020 年 (D) 2021 年因为a i 12.(2017 S n 2a n 1,S n 1 2a n 11作差得an12a n ，所以｛a n ｝为公比为2的等比数列，又S i 2a i 1,所以 a i 1，所以a n丫 1，所以S 6 61(1 2) 63. 北京理）若等差数列 a n 和等比数列b n 满足 a i =b i =-, a 4=b 4=8, a 2 则匸 【答案】 【解析】试题分析：设等差数列的公差和等比数列的公比为 3d q 3 8，求得 q 2,d 3，那么亚 b 2 13.（2017 江苏） 等比数列 ｛a n ｝的各项均为实数 ，其前n 项的和为S n ,已知S 3 63，则 a 8 = 4【答案】32【解析】当q 1时，显然不符合题意;印（1 q 3） 当q 1时, 1 q a 1(1 q 6) 1 q 【考点】等比数列通项 74 ，解得 63 ~4 a 1 1 4，则 2a 8 1 27 32.4 14. （ 2017全国新课标n 理） 等差数列 a n 的前n 项和为S n , 3 , S 4 10,则n 1 k 1 S k 【答案】2n n 1 【解析】试题分析:设等差数列的首项为 d ，公差为d , 由题意有: 数列的前 裂项有:k 1 S k 15. 【答案】 a 14印 2d 3 4 3d 2 10 ，解得 a 1 d n 项和S n 据此: 2n（2017全国新课标皿理） 8 设等比数列 a n 满足a a 2a 1 a 3 【解析】 a n 为等比数列, 设公比为 q a 1 a 3 a 1 a 1①3②，显然q② ②得1 ①得a 1 代入①式可得a 4 aq 3 1 2 3 8.16. （ 2016北京理）已知｛a n ｝为等差数列，S n 为其前 n 项和，若a 1 6， a 3 a 50，则 S 6 =【答案】6【解析】试题分析：••'｛a n ｝是等差数列，二 a 3 a 5 2a 4 0， a 4 0， a 4 a 13d 6，d 2，…S s 6 a 15d6 6 15 ( 2)6故填：6.考点：等差数列基本性质.【名师点睛】在等差数列五个基本量 a 1, d , n , a n , S n 中，已知其中三个量，可以根据已知条件结合 等差数列的通项公式、前 n 项和公式列岀关于基本量的方程 （组）来求余下的两个量，计算时须注意整体代 换及方程思想的应用.17. （ 2016江苏） 已知｛a n ｝是等差数列，｛S n ｝是其前n 项和.若a i a ； 3,是=10，则a 9的值是【答案】20.【解析】由 S 5 10 得 a 3 2，因此 2 2d （2 d ）2 3 d 3,a 9 2 3 6 20.考点：等差数列性质【名师点睛】本题考查等差数列基本量，对于特殊数列，一般采取待定系数法，即列岀关于首项及公差的 两个独立条件即可.为使问题易于解决，往往要利用等差数列相关性质，如S na n )n ^am ―,(m t 1 n, m 、t 、n N )及等差数列广义通项公式 a n a m (n m)d.2 218. （2016全国I 理）设等比数列 a n 满足a 什a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2 -a n 的最大值为 __________________【答案】64 【解析】1巴n 卫 In 2人8n (―) 2 2 2 2 ,于是当n 3或4时,a 1a 2L a n 取得最大值 26264 .考点：等比数列及其应用高考中数列客观题大多具有小、巧、活的特点 ，在解答时要注意方程思想及数列相关性质的应用 ，尽量避免 小题大做.19. （2016上海文、理）无穷数列a n 由k 个不同的数组成，S n 为a n 的前n 项和.若对任意n N ,S n 2,3，贝U k 的最大值为 ________ ,【答案】4试题分析：设等比数列的公比为a 3 10a" q 2) 10a 1 q ,由得，解a 2 a 45 2ae(1 q )5 qa nn 1 2 L (n 1)【解析】试题分析：当n 1时，耳 2或a , 3；当n-2时，若S n 2，则S n , 2，于是 a n 0,若S n 3，则S n i 3，于是a * 0.从而存在k N ，当n …k 时，a k 0 .其中数列a n : 2,1, 1,0,0,0, 满足条件，所以 k max 4. 考点：数列的求和. 【名师点睛】从研究 同的数组成”的不同和S n 与a n 的关系入手，推断数列的构成特点，解题时应特别注意“数列 .本题主要考查考生的逻辑推理能力、基本运算求解能力等 k 的最大值” 20. ( 2016浙江理)设数列｛a n ｝的前 n 项和为 S n 若 S 2=4, a n+i =2S n +1, n € N ，贝U ai= a n 由 ,S 5= k 个不 【答案】1 121 【解析】试题分析: a 1 4,a 2 2a 1 1 a 1 1,a 2 再由 a n 1 2S n 1,a n 2S n 1 1(n 2) a n 1 a n 2a n a n 1 3a n (n2)，又 a 2 3a 1 , 所以 a n 1 3a n (n 1),S 5 — 1 35121. 3考点：1、等比数列的定义; 2、等比数列的前 n 项和. 【易错点睛】由a n 1 2S n 否则很容易岀现错误. 1转化为a n 1 3a n 的过程中，一定要检验当 n 1时是否满足a n 13a n,a 221.（2017北京理）若等差数列 a n 和等比数列b n 满足a 仁b 1=-, a 4=b 4=8 ,则 b2 =【答案】1 【解析】试题分析：设等差数列的公差和等比数列的公比为3dq 3 8 ,求得q 2,d 3 ,那么 a 2 b 21 3 —— 12 22.（2017江苏） 等比数列｛a n ｝的各项均为实数 ，其前n 项的和为S n ,已知S 3 &匚，则a8 =【答案】32【解析】当q 1时，显然不符合题意; 印（1 q 3） 当q 1时, 1 q 印(1 q 6) 74 ，解得 634 a 1 1 q 【考点】等比数列通项 23. （ 2017全国新课标H 理） 等差数列 a 8 1 27 32. 4 a n 的前n 项和为S n , a 3 3, S 4 10,则n 1 k 1 S k【答案】 2n【解析】试题分析: 设等差数列的首项为a ,公差为d ,2a i 2d 3 由题意有:4ai 43d 2，解得i0数列的前 n 项和S nn n i d 2 裂项有：i 22i i S kk k i k k iniiii2 ik i S k2 2 324. ( 2017全国新课标皿理) 【答案】 8【解析】Q a n 为等比数列，设公比为 q .(i )求｛a n ｝的通项公式;(2 )设C na nb n ,求数列｛唧的前n 项和.【答案】(i ) a n 2n i ( n i , 2 , 3,a i i d in n i n n i n ii2 2，据此：i ii 2n 2 in n in in i1a i a s25. 3Ia ?ia i即a i aq i ① a ia 33 , 2aq3②，显然q i ,3I 0 ,②②得i q ①3 ，即q2 , 代入①式可得a i3a 4 aq i 328 .(2016北京文)已知｛a n ｝是等差数列, ｛b n ｝是等差数列，且b 2 3, b s b i ,a i4b 4.设等比数列3n 满足日323，则 a 4);(2) n 2【解祈】试题分析：< 1）求出菩比*洌$｝的公比，求出务二站，叫斗二打的宦根据等差数冽的逋项公式咖C II）根1®等差数列和等比数列的前越项和公武求数列上：｝的前并项和.试题解析:<1）尊比麴列仮.｝的公比厂刍斗4玄3所臥7 二虽■二1』^4 - = *7 *设等差数列｛氐｝的公差为乩因为斫二y a l4= &4 = 27 ,所以1十1孑川=2了丿艮卩d^l・所叹$二2^—1 （丹二1, 2, 3,…》.（II ）由（I）知，a n 2n 1, b n 3n 1.因此c n a n b n 2n 1 3n 1.从而数列c n的前n项和n .2 3 1.2考点：等差、等比数列的通项公式和前n项和公式，考查运算能力.【名师点睛】1.数列的通项公式及前n项和公式都可以看作项数n的函数，是函数思想在数列中的应用.数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前n项和S n可视为数列｛S n｝的通项.通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一； 2.数列的综合问题涉及到的数学思想：函数与方程思想（如：求最值或基本量）、转化与化归思想（如：求和或应用）、特殊到一般思想（如：求通项公式）、分类讨论思想（如：等比数列求和，q 1或q 1）等.3的等差数列，数列0 满足b=1，b2=-，a n b n 1 b n 1 nb n,.326. （2016全国I文）已知a n是公差为（I ）求a n的通项公式；（II ）b n 的前n项和.【答案】(I) a n 3n 1 (II)1 2 3n1.试題分析匸(I)由已知聚件束出首项为乙根將公差豹$貝网确定等差数列的通项公式！(II)先判斷｛比｝是竽比数列再求出通顷公式最后:再刑用竽比数列求和公式求血｝的前M页和.试题解析：＜】)由已知;旳込+^2 =^A =1^2 +i2 =^A =1：冬=1得盘1 =：：所以数列｛叫｝是首项为2公差为3的等差数列•通顷公式为込二务-1 •b 1(11)由(I)和a n b n1 b n 1 nb n,得b n 1 ，因此b n是首项为1,公比为—的等比数列.记b n的前n3 3项和为S n，则27. (2016 全国n文) 等差数列｛a n｝中，a3 a 4 4,a5 a 7 6 .(i)求｛a n｝的通项公式；(D) 设b n ［a n］，求数列｛b n｝的前10项和，其中［X］表示不超过X的最大整数，如［0.9］=0,［2.6］=2.【答案】(I)2n 3a n ; (n) 24.5【解析】试题分析珂I)题目已知数列©｝是等差数列，根提通页公式0吐关于殆，日的方程，解方程求得％d , 从而求得％(II)根据条件［力表示不超过兀的最犬整数，求瓦，需要对农二分类讨论』再求数列血｝■的前10项和.2试题解析：(i)设数列a n的公差为d，由题意有2a1 5d 4,a1 5d 3，解得a1 1,d所以a n的通项公式为a n 2n3 5(n)由(i)知b n2n35当n1,2,3 时，12n 352,b n1;当n4,5 时，22n 33,b n 2 ; 5当n6,7,8 时，32n 34,bn3; 5所以数列b n的前10项和为1 3223342 24.当n9,10 时，42n 355,b n4，28. （2016全国n 理）S n 为等差数列 a n 的前n 项和，且a i =1, S 7 28.记b n = lg a n ，其中x 表示 不超过x 的最大整数，如0.9 =0, Ig99 =1 .（1）求 b i ， b n ， b l0l ； （H ）求数列b n 的前1 000项和.【答案】（I ） b | 0，b 11 1， 001 2 ； （n ） 1893.【解析】试题分析：（I ）先用等差数列的求和公式求公差d ，从而求得通项 a n ，再根据已知条件 x 表示不超过x 的最大整数，求 b 1，b 11， 001 ； （n ）对n 分类讨论，再用分段函数表示b n ，再求数列 0的前1 000项和.试题解析：（I ）设 ｛a n ｝的公差为d ，据已知有7 21d 28，解得d 1. 所以｛a .｝的通项公式为a n n. 考点：等差数列的的性质，前n 项和公式，对数的运算.【名师点睛】解答新颖性的数学题，一是通过转化，化“新”为“旧”；二是通过深入分析，多方联想, 以“旧”攻“新”；三是创造性地运用数学思想方法，以“新”制“新”，应特别关注创新题型的切入 点和生长点(I )求 a 2,a g ；（ii ）求a n 的通项公式【答案】（i ） a 21 1 ,a 3 ； (n) a n2 41 2* 1 .【解析】试题分析：（I ）将 a 1 1代入递推公式求得 a 2，将a 2的值代入递推公式可求得a 3； （n ）将已知的递 推公式进行因式分解，然后由定义可判断数列｛a n ｝为等比数列，由此可求得数列 ｛a n ｝的通项公式.1 1 试题解析：（i ）由题意得a 2 1a 3 丄 (5)2 4考点：1、数列的递推公式； 2、等比数列的通项公式.【名师点睛】求解本题会岀现以下错误：①对x 表示不超过x 的最大整数”理解出错;29. （ 2016全国皿文）已知各项都为正数的数列2a n 满足 a 1 1 ， an(2 a n 1 1)a n 2 a n 1 0.30 （2016全国皿理）已知数列｛a n ｝的前n 项和S n 1 a n ，其中（I ）证明｛a n ｝是等比数列，并求其通项公式;31 （“）若 $32，求a n 宀一7）n1【答案】（I ）11； （n ）比数列的走义可证；（n ）刹用（I ）前刊项和£化为乂的表达式，结合爲的值「建立方程可求得*的值* 试題解析：〔】〉宙题青得阿二易=1+加-故2工匚冈=丄，1 — X由= 1十知e > S* = 1 +加n+1 18 4*1 =去瞎4 —!卩卩4+1 (丄—b —肋皿-231.（ 2016山东文）已知数列 a n 的前n 项和S n 3n 8n ,b n（I ）求数列 0的通项公式;由 a 1 0，0得an，所以a n 1a n因此｛a n ｝是首项为1 ，公比为 1的等比数列，于是 a n 1 (n)S n 由（I ）得 1 r,由S 5 31 5 32 得1「31 32，即 丄32 解得 考点: 1、数列通项a n 与前n 项和为S n 关系; 2、等比数列的定义与通项及前 n 项和为 S n 1）定义法，即证明 【方法总结】等比数列的证明通常有两种方法：（ 2 即证明％ 1 2•根据数列的递推关系求通项常常要将递推关系变形, 来求解. a n 1a nq （常数） ；（2 ）中项法, 转化为等比数列或等差数列【方法总结】等比数列的证明通常有两种方法：（1）定义法，即证明 邑 q （常数）；（2 ）中项法,2即证明a n 1 a n a n 2 •根据数列的递推关系求通项常常要将递推关系变形, 来求解.a n转化为等比数列或等差数列 试题分析八I ）首先利用公式心二,「得到数列細J 的递推公式P 然后通过变换结盲等是等差数列，且 a n b n b n 1.(a 1)n 1 (II )令C nn-.求数列C n 的前n 项和T n . (bn 2)【答案】(i) b n 3n 1； (n) T n 3n 2n 2 试题分析：（I ）依题意建立碁彳的方程俎，即得. 并 + 61⑴由⑴s 冷"*打从而 Z : = 3[2x2--3 试题解析：（i ）由题意当 n 2时, a n S nS n 1 6n 5，当 n1 时，a 1 S 111; 所以 a n6n 5；设数列的公差为 d ，由 a 2bi b 2b2，即b 31117 2b 1 2b 1 d，解之得 3d b 14,d3，所以bn3n 1。

2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全一、选择题1．（2018北京文、理）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率f ，则第八个单音频率为（ ）A B C ． D ． 【答案】D【解析】因为每一个单音与前一个单音频率比为，()12n n a n n -+∴=≥∈N ，，又1a f =，则7781a a q f ===，故选D ．2．（2018浙江）已知1234,,,a a a a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则（ ） A ．1324,a a a a << B ．1324,a a a a >< C ．1324,a a a a <> D ．1324,a a a a >>答案：B解答：∵ln 1x x ≤-，∴1234123123ln()1a a a a a a a a a a +++=++≤++-，得41a ≤-，即311a q ≤-，∴0q <.若1q ≤-，则212341(1)(1)0a a a a a q q +++=++≤，212311(1)1a a a a q q a ++=++≥>，矛盾.∴10q -<<，则2131(1)0a a a q -=->，2241(1)0a a a q q -=-<.∴13a a >，24a a <.3．（2018全国新课标Ⅰ理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若3243S S S =+，12a =，则=5a （ ） A ．12-B ．10-C ．10D ．12答案：B 解答：11111132433(3)24996732022a d a d a d a d a d a d ⨯⨯+⨯=+++⨯⇒+=+⇒+=6203d d ⇒+=⇒=-，∴51424(3)10a a d =+=+⨯-=-.二、填空1．（2018北京理）设{}n a 是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，则{}n a 的通项公式为__________． 【答案】63n a n =-【解析】13a =Q ，33436d d ∴+++=，6d ∴=，()36163n a n n ∴=+-=-．2．（2018江苏）已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将A B 的所有 元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为 ▲ ． 【答案】27 【解析】设=2k n a ， 则()()()12211+221+221+222k k n S -⎡⎤⎡⎤=⨯-⨯-+⋅-+++⎣⎦⎣⎦()()1122121221212222212k k k k k ---++⨯--=+=+--，由112n n S a +>得()()()22211122212212202140k k k k k -+--+->+-->，，1522k -≥，6k ≥，所以只需研究5622n a <<是否有满足条件的解， 此时()()()25251211+221+21+22222n S m m +⎡⎤=⨯-⨯-+-+++=+-⎡⎤⎣⎦⎣⎦，+121n a m =+，m 为等差数列项数，且16m >．由()251221221m m ++->+，224500m m -+>，22m ∴≥，527n m =+≥， 得满足条件的n 最小值为27．3．（2018上海）记等差数列{} n a 的前几项和为S n ，若87014a a a =+=₃，，则S 7= 。