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《直线的投影》课件

《直线的投影》课件

垂直线投影
当直线与投影面垂直时，其投影长度变为零，但角度保持不 变。
直线投影的相交与交叉
相交线投影
当两条直线相交时，它们的投影在投 影面上也相交，且交点与原直线上的 交点对齐。
交叉线投影
当两条直线在空间交叉但不相交时， 它们的投影在投影面上可能相交或平 行。
03
直线投影的应用
建筑图纸的绘制
建筑图纸是建筑设计和施工的基础，而直线的投影在建筑图 纸的绘制中起着至关重要的作用。通过正确的直线投影，建 筑师可以准确地表达建筑物的形状和结构，为施工提供准确 的指导。
斜投影是指光线与投影面不垂 直的投影方式，此时投影线与 投影面形成一定的角度。
02
直线投影的性质
直线投影的长度与角度
直线投影的长度
在投影面上，直线的投影长度等 于直线本身长度，保持不变。
直线投影的角度
直线的投影角度等于直线本身与 投影面的夹角，保持不变。
直线投影的平行与垂直
平行线投影
当直线与投影面平行时，其投影长度和角度都不变，形状也 不变。
利用作图法解题
作图法是一种直观的解题方法，通过 作图可以清晰地表达出问题中的几何 关系。在解决直线投影问题时，可以 利用作图法来帮助解题。
例如，在求解两条直线在投影面上的 夹角时，可以通过作图来表达两条直 线在空间中的位置关系和夹角，从而 推导出投影面上的夹角。
利用几何意义解题
直线的投影在几何上表示直线与投影面的交点形成的图形。利用这个几何意义，可以解决一些与直线 投影相关的问题。
使用直线连接投影点， 得到直线的投影。
判断可见性
根据直线与投影面的关 系，判断直线的投影在 可见性上是否存在变化
。
直线的截取与延长

直线的投影2课件(共21张PPT)《土木工程制图与识图》

直线的投影2课件(共21张PPT)《土木工程制图与识图》

c
n
m
【例】 点K在侧平线AB上,已知点K的正面投影k′,求k。
a′
作法一 a′
作法二 a′
a″
k′
k′
k′
b′
b′
b′
X
OX
OX
O
a
a
平行 a
k
任意角度k
b
b
b
k″ b″
作法一：根据定比性 ak/kb=a′k′/k′b′, 在H面投影上用 定比法作出;
作法二：先补出直线的侧面投影,再根据从属性，利用线上定 点的方法求出。
k
b
Y
Z
b″
k″
a″
O
YW
YH
[例] 已知线段AB的投影图，试将C点把AB分成3:2两段，求C点的
投影。
1.过AB 的任一投影的任一
端点如a, 作一条辅助直线，
c'
并在其上从a起量取3个单
位的长度得n点,再量取2个
单位的长度得m点。
2. 连接bn，过m点作bn 的平行线，交ab于点c。
3.过点c做垂直于OX轴的 投影连线，交a′b′于点c′。
d′
a d
d
c
b
c
b
垂直相交
相交(不垂直)
垂直相交
[例] 求点A到水平线BC的垂线
分析：由于BC是水平线。作BC 的垂线将在H面上反映直 角实形。
d'
步骤：（1）过点a作直线垂直 于bc，交bc于点d。
（2）根据长对正的规律， 在b′c′上求出d′ 。
（3）连接a′d′。
d
[例] 过点E作线段AB、CD的公垂线EF。
直于CD，根据直角投影定理，

直线的投影知识

直线的投影知识
图4-28 一般位置直线
1.2 直线上点的投影特性
1. 从属性
直线上点的投影必在该直线的同面投影上，该特性称为点的从 属性。如图4-29所示，C点在直线AB上，根据点在直线上投影的从 属性和点的三面投影规律，可知C点的三面投影c、c′、c″分别在直线 的同面投影ab、a′b′、a″b″上，并且三面投影符合点的投影规律。
1.1 空间各种位置直线的投影特性
1.1 空间各种位置直线的投影特性
投影面垂直线的投影共性为： 直线在所垂直的投影面上的投影积 聚为一点，其他两投影反映实长， 且垂直于相应的两投影轴。
1.1 空间各种位置直线的投影特性
3. 一般位置直线
一般位置直线与三个投影面都倾斜，因此在三个投影 面上的投影都不反映实长，投影与投影轴之间的夹角也不 反映直线与投影面之间的夹角，如图4-28所示。
图4-31 两直线平行
1.3 两直线的相对位置
2. 两直线相交
空间中的两条直线如果相交，则它们的同面投影都相交， 并且交点符合点的投影规律。如果两直线有一个投影面的投影 不相交，则空间的两直线不是相交关系，如图4-32所示。
图4-32 两直线相交
1.3 两直线的相对位置
3. 两直线交叉
空间中两条直线如果交叉，则它们的同面投影既不相交 又不平行，如图4-33所示。
1.1 空间各种位置直线的投影特性
1. 投影面平行线
平行一个投影面，倾斜于另外两个投影面的直线称为投影面平行 线。与H面平行的直线称为水平线，与V面平行的直线称为正平线，与 W面平行的直线称为侧平线。它们的投影特性如表4-1所示。规定直 线与H、V、W面的夹角分别用α、β、γ表示。
1.1 空间各种位置直线的投影特性
1.1 空间各种位置直线的投影特性

第四节直线的投影投影的基本知识、特定和定理

第四节直线的投影投影的基本知识、特定和定理

C
d
D
c
d
正垂线的投影 c(d)
c
d
d
c
（3）侧垂线
f
e( f )
e
Ｆ
Ｅ
f
e
侧垂线的投影
e
f
e( f )
e
f
垂直线的投影特征：
（1）直线在与其垂直的投影面上的投影积聚 为一点；
（2）其余的两个投影垂直于相应的投影轴，且 反映实长。
例题 根据投影图判断下列直线的空间位置
a'
Z
a
Z
a'
b' a"
题解：
c′〝
c
NEW
a′〝 d′〝
c″〝
a″〝 d″〝
b′〝b″〝
db
a
2、相交两直线投影特性
相交两直线同面投影都相交，且交点符合点 的投影规律
如何利用投影特性根据投影判断两直线是否 相交？
投影上交点连线垂直于投影轴 。 相交直线可能成为某一投影面的重影线
两直线相交
交点是两直
V c
a
xA
a
b k
"
b'
X
O
a（b）
b" YW X a
YH
a' Z a"
a'
O
b b'YZH
b" YW
a"（b"）
X
b' a
O
b" YW
X
O
YW
b
YH
ab YH
既然垂直线也平行于投影面，能否称它为平 行线呢？
a'

第二章直线的投影

第二章直线的投影
二、直线的复辅助投影
例2-10 求点C 到任意倾斜直线AB的距离。
§2-7 直线的辅助投影
各投影都相交，投影的交点符合点 虽然投影也相交，但投影的交点不符 的投影规律，所以AB与CD相交。 合点的投影规律，故EF和GH不相交。
§2-5 两直线的相对位置
例2-3 试判断两直线AB 和CD 是否相交。 解： 各投影的交点不符合点的投影规律， 所以两直线不相交。
§2-5 两直线的相对位置
例2-4 已知平行两直线 AB、CD，试作一直线KL与AB、CD 都相交，且该直线 距H 面为10。 解：
点击后自动演播
§2-5 两直线的相对位置
三、两直线交错
若两直线既不平行也不相交，那必然是交错两直线，也称交 叉两直线，即异面直线。 下面这些都是交错直线。
交错直线同面投影的交点是两直线上一对重影点的投影，对 此重影需进行可见性判断。
§2-5 两直线的相对位置
例2-5 试判断交错两直线AB、CD之重影的可见性。 解： zⅣ>zⅢ，所以4可见，3不可见。
§2-2 直线上的点
一、直线上的点 从属性：直线上的点其投影必在直线的同面投影上。 定比性：直线线段上一点把线段分成两段，其长度之比， 等于这两段在同一投影面上的投影长度之比。
ac∶cb=a'c'∶c'b'= a"c"∶c"b"=AC∶CB
§2-2 直线上的点
例2-1 已知线段EF的两投影，试在其上取一点K,使EK∶KF =3∶4。 解：
求任意倾斜直线段的实长和倾角的基本方法是直角三角形 法。下图表示它的原理和作图过程。
§2-3 直线的倾角和直线段的实长
例2-2 已知直线CD 的正面投影c'd'和点C 的水平投影c，且知 直线CD 对H 面的倾角α=30°，求作线段CD 的H 面投影。 解：

《直线的投影》课件

《直线的投影》课件

尺度
表示投影图与实际物体之间的比例关系，是制图时 必不可少的基本元素。例如，“1：100”表示实际长 度为1厘米的线段在图上的表示长度为1米。
直线投影的主要应用领域
1 建筑设计
投影法在建筑设计中得到广泛应用，如建筑 平面图、立面图等。
2 机械制图
机械零件的制图采用的就是正交投影法，通 过正面、侧面、后面投影图来表示三维零件 的全貌。
直线投影在电子工程中的应用
通过直线投影，电子工程师可以在不需要细节3D表示的情况下，快速精确地进行电路板的布局和定位，保证 电路板生产的全过程。
直线投影在艺术设计中的应用
直线投影在现代建筑和艺术设计中得到了广泛应用，它强调形态的简洁、准确、科技感，体现出现代艺术设计 与数学的关联性。
直线投影的优点和局限性
3 地理测量
4 电子工程
进行地图绘制时，经常采用大地坐标系，根 据这个坐标系得到的结果即为大地直线投影。
将电路板立体图像投影至平面上，方便进行 电路板生产和布线。
如何应用直线投影解决实际问题？
在物体制图时，如果要制作与该物体三维结构相关的平面图，那么使用直线投影就是比较好的选择，它可以帮 助工程师、设计师、绘图员等解决设计和生产中的问题。
《直线的投影》PPT课件
直线的投影是一种重要的工程学概念，我们将会深入研究投影原理和实际应 用。
什么是直线的投影？
直线投影是指将一个物体上各个点的坐标通过一个固定方向线投射到另一个 平面上，生成这些点在该平面上的映像。它是建筑、机械、电子、地理测量 和其他领域中最常用的绘图方式之一。
投影的定义和基本概念介绍
优点
• 概念简单 • 图形清晰整洁 • 容易取得尺寸和形状的数值信息 • 在建筑、机械、电子等领域得到广泛应用

直线的投影1课件(共20张PPT)《土木工程制图与识图》

直线的投影1课件(共20张PPT)《土木工程制图与识图》

b＇
线交点a1′，以a1′为端点在正 投影面上沿OX轴的垂线量取
a 30 °
ΔZ，确定a′；
3. 连接a′b′。a′b′即为直线
b
AB的V面投影。
△ZAB
B0
谢谢观看
AB
【例】已知直线AB的水平投影ab，B点的正面投影b′,直线 AB对H面的倾角α=30°。请完成直线AB的V面投影。
1.根据AB的水平投影ab及倾 角α=30°，作直角△abB0，则 bB0为A、B两点Z坐标之差 ΔZ；
a＇
△ZAB
2.过b′作OX轴的平行线，同
时过a点作OX轴的垂线，两直
a1 ＇
投影面平行线 仅平行于一个投影面的直线。 ( ∥H：水平线；∥V：正平线；∥W：侧平线)
直
投影面垂直线 垂直于一个投影面的直线。
线
( ⊥H：铅垂线；⊥V：正垂线；⊥W：侧垂线)
一般位 置直线
与三个投影面都倾斜的直线(简称一般线)。
2.3.1 各种位置直线
Z
c′ b′ a′
X
d′
D C
B
Ad cb
a
AB、BC、CD各 为何种位置直线？
c″(d″) b″
AB为一般位置 线
BC为侧平线
a″ CD为侧垂线
Y
1.一般位置直线
立体上的一般 位置直线 Z
一般线的投影和倾角
b′
a′
X
b″ O a″
a b
投影特性：
Y
（1）一般位置直线的三面投影都倾斜于投影轴，它们与投影 轴的夹角均不反映空间直线对投影面倾角的实际大小。
（2）直线的H投影平行OX轴，W投影平行OZ轴，均小于
实长。
投影面平行线的投影及特性：

直线投影基本知识

直线投影基本知识

3 、不直接反映直线对投影面的倾角
（2）投影面平行线
水平线—
平行于水平投影面的直线
z
Z
a b
a
b
a
b
A
a
X
O
YW
X
B O
b
a
a
b
Y
投影特性：1． ab =AB
b YH
2． ab∥OX ; ab∥OZ ，且长度缩短
3．反映a、角的真实大小
（2）投影面平行线
正平线— 平行于正面投影面的直线
Z
b
Z
b
b
2、 a bOX ; a b OYW 3、 a b = a b = AB
（3）投影面垂直线
正垂线— 垂直于正面投影面的直线
Z
ab
ab
z a
A
a
B
b
X
X
O
a
a
b
Y b
投影特性： 1、 ab积聚 成一点
2 、 ab OX ; ab OZ
3 、 ab = ab =AB
O YH
b
YW
（3）投影面垂直线
V c'
d' D
b'
a'
B
CQ
X
A
P b
O
d
a
Hc
直观图
a' X
a
c' b'
b c
Z d' d"
c" b"
a"
O
YW
d
YH 投影图
例1：判断图中两条直线是否平行。
a' X
a

工程制图--直线的投影 ppt课件

工程制图--直线的投影 ppt课件

其它二投影面平行线的分析同上p。pt课件
6
投影面平行线
投影面平行线的投影特性概括为： （1）在直线段所平行的投影面上的投影反映实长，且其投影与投轴的夹角反 映直线与另两投影面的倾角； （2）另两投影面平行于相应的投影轴（构成所平行的投影面的两根轴）。
投影面平行线的辨认： （1）当直线的投影有两个平行于投影轴时； （2）第三投影与投影轴倾斜时，则该直线一定是投影面的平行线，且一定平 行于其投影为倾斜线的那个投影面。
一般位置直线。
11
求一般位置直线的实长及对投影面的倾角
一般位置直线的投影不能反应其时常及其对 投影面的倾角，因此，若求其时常及其对投影面 的倾角时有两种方法： 一是利用直角三角形法 二是利用换面法
ppt课件
12
直角三角形法
在直角三角形中，一条直角边为直线的投影长，另一 条直角边为直线的坐标差，则斜边即为该直线的真长； 真长与投影长之间的夹角为直线与该投影面的倾角。
k′
a′
X
a
Z b′
a″
O
b″
K
点
k″
在
直
YW
线
AB
上
k
b YH
ppt课件
16
【例题2】判断点K是否在直线AB上。
a′
k′ b′ X
a
k
Z a″
k″ O
K
点
不
在
直
b″
线
YW
AB
上
b
YpHpt课件
17
【例题3】试在直线AB上确定一点C，使AC:CB=2:3，求C点 的两面投影。
b′
C′
a′
X
O
a c

第三章 直线的投影 数学教学课件PPT

第三章 直线的投影 数学教学课件PPT
相交
一、平行二直线 b
d
d
b c
D
a
B
X
a
X
C
A
b
b
a
c
a
c
b
d
c
1、两平行直线的各同面投影都平行。反之，若两直线的各同面投影都平行，则 该两直线平行。
2、平行两直线段的真长比等于其同面投影长度比。
3 、垂直于某一投影面的平行二直线，则二直线 在该投影面上的投影反映二直线 的真实距离。
平行线的判别
（2）正垂线— 垂直于正面投影面V的直线
Z
ab
z a
b
ab
A
a
B
b
X
O
YW
X
O
a
a
b
Y
b
YH
投影特性： 1、 ab积聚 成一点
2 、 ab OX ; ab OZ
3 、 ab = ab =AB
（3）侧垂线— 垂直于侧面投影面W的直线
Z
a
b
a
b Z
ab
ab
A
B
X
O
YW
X
O
a
a
bY
投影特性： 1、ab 积聚 成一点
b
A
A0 a
a
Ya
YH
|XA-XB|
例题1 已知 线段的实长AB和 正面投影及B点的水平投影， 求它的水平投影。
ab
AB
|yA-yB|
a
X
a′b′
|yA-yB| a
b
|zA-zB|
b ab
直角三角形法小结：
直角三角形法是用来解决一些空间问题的一种方法，如求空间直线的 实长、倾角、以及通过求坐标差来求空间直线的投影等等。

直线的投影公开课 ppt课件

直线的投影公开课 ppt课件

●B
α A●
a ●●
●● b
直线倾斜于投影面
投影比空间线段短
ab<AB（收缩性）
Page 5
｛ 直线倾斜于投影面，投影变短线。 直线平行于投影面，投影实长现。 直线垂直于投影面，投影聚一点。
Page 6
二、直线在三投影面体系中的投影特性
在三投影面体系中，直线相对于投影面 的位置可分为以下三类：
（1）投影面平行线 （2）投影面垂直线
情感目标： 培养学生从基础开始的脚踏实地的良好习惯。
学习重点：直线的空间位置及其投影规律。
学习难点：用投影图来区分直线的不同的空间位置。
Page 4
一、 直线对投影面的三种位置及投影特性
B
●
A●
●b a●
直线平行于投影面 投影反映线段实长
ab=AB（真实性）
A●
B●
●
a (b)
直线垂直于投影面 投影重合为一点 （积聚性）
B
b’’
a’
a’’
A
X a’’
O
Y
X
O
a
b
Y
a
b
Y
投影特性： 1、ab // OX ; a’’b’’// OZ 2、a’b’ = AB
Page 10
（3）侧平线— 平行于侧投影面（W面）的直线
Z
a’
A
a’’
a’
Z a’’
b’
b’’
b’
X
O
X
O
Y
a
a
b’’
B
b
Y
b
Y
投影特性： 1、a’b’// OZ ; ab // OY
X
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d
①垂直于投影面的直 线在该投影面上的投影， 积聚成一点（积聚性）。
②平行于投影面的直 线在该投影面上的投影， 与直线本身平行且等长。
③倾斜于投影面的直线在该投影面上的投影，短于直 线的真长。
2 直线对投影面的各种相对位置
一般位置直线：对三个投影面H、V、W都倾斜
直线
水平线（∥H面，对V、W面都倾斜）
A
影的集合。
a
H
b
确定一直线只需要两个点，故画一直线的投影，只需 知道直线上两个点的投影，再连线即可。
Z
a'
a"
如图所示，分别将两
b'
b"
点的同面投影用直线连接，
X
O
YW 就得到直线的投影。
a
b
YH
直线的投影仍为直线， 特殊情况下为一点。
a b c(d)
直线的投影特性：
B C
A
bc a
E
D F
与H面的倾角=30°。
Z b'
a' X
30° O
a
b
YH
b" a"
YW
解题思路：熟悉正平 线的投影特性，并从
反映实长和的投影
入手。
作图要点:１.做正平 线的正面投影；
２.过点a做正平线的 水平投影和侧面投影。
2.2.2 直线上的点的投影特性 可以证明：
直线上的点的水平投影，必在该 直线的水平投影上；
b YH
2． ab∥OX ; ab∥OZ ，且长度缩短
3．反映a、角的真实大小
（2）投影面平行线
正平线— 平行于正面投影面的直线
Z
b
Z
b
b
a
B
a
a
a
A
b
X
O
YW
X
O
a
b
a Y
b YH
投影特性： 1、ab OX ; a b OZ
2、a b=AB
3、反映、角的真实大小
（2）投影面平行线
侧平线— 平行于侧面投影面的直线
投影图
投影特性
1. a'b'积聚成一点 2. ab∥OYH ， a"b"∥ OYW，且反映真长
1. ab积聚成一点
1. a"b"积聚成一点
2. a'b'∥OZ，a"b"∥OZ， 2. ab∥OX，a'b'∥OX，
且反映真长
且反映真长
投影面垂直线的投影特性：
①在垂直的投影面上的投影积聚成一点。
②在另外两个投影面上的投影，平行于投影轴，且反 映真长。
Z
a
a
Z
a
A
a
b
b
b
X
O
X
O
YW
b
B
a(b)
Y
a(b)
YH
投影特性：1、a b 积聚 成一点
2、 a bOX ; a b OYW 3、 a b = a b = AB
（3）投影面垂直线
正垂线— 垂直于正面投影面的直线
Z
ab
ab
z a
A
a
B
b
X
X
O
a
a
b
Y b
投影特性： 1、 ab积聚 成一点
2 、 ab OX ; ab OZ
2.2 直线的投影
本节提要： （1）直线的投影以及直线对投影面的各种相对
位置 （2）直线上的点的投影特性 （3）求直线的真长及其对投影面的倾角 （4）两直线的相对位置 （5）两直线垂直
2.2.1 直线的投影以及直线对投影面的各种相对位置 1 直线的投影
B
直线可视为点的集合，
所以直线的投影就是点的投
1. a"b"反映真长和倾 角α、β 2. ab∥OYH， a'b'∥ OZ，且长度缩短
投影面平行线的投影特性：
①在平行的投影面上的投影，反映直线的真长以及 对另外两个投影面的倾角。
②在另外两个投影面上的投影，平行于相应的投影 轴，长度缩短。
例1：判断下列直线的空间位置。
a'
b'
a'
X a
O b
投影面平行线 （只平行于一个投影面）
正平线（∥V面，对H、W面都倾斜）
侧平线（∥W面，对H、V面都倾斜）
投影面垂直线
铅垂线（⊥H面，∥ V面，∥ W面）
（垂直于一个投影面， 正垂线（⊥V 面，∥ H面，∥ W面）
平行于另外两个投影面） 侧垂线（⊥W 面，∥ H面，∥ V面）
平行线——平行于一个投影面，倾斜于另两个投影面。 特殊位 垂直线——垂直于一个投影面，平行于另两个投影面。 置直线
Z
a
Z a
a
A
a
b
b
b
X
O
X
O
YW
a
a
b
B
Y
b
b
YH
投影特性： 1、ab OZ ; ab OYH
2、ab =AB
3 、反映 、 角的真实大小
（2）投影面平行线
正平线
水平线
空间 直观图
侧平线
投影图
投影 特性
1. a'b'反映真长和倾角α、γ 2. ab∥OX，a"b"∥OZ，且 长度缩短
1. ab反映真长和倾角β、γ 2. a'b'∥OX， a"b"∥ OYW，且长度缩短
b'
X
O
a
b
AB为水平线
CD为侧平线
例2：参考立体图，判断物体上的直线是属于哪一类 直线。
c'(a')
e' a
b'(d')
f' b
b"
d"
B
a"
c"
D
e" f"
A
C
F
E
c(e) d(f)
AB为 正 平 线 CD为 一般位置直 线 EF为 水 平 线
（3）投影面垂直线
铅垂线— 垂直于水平投影面的直线
直线与投影面的夹角是指空间直线与它在该投影面上 的正投影的夹角。直线对H、V、W面的倾角，分别用α、β、 γ表示。
B V b'
Hale Waihona Puke AαB b"a'
βγ
W
A0 α a
B0
b
H
αO
A
b
a"
Ha
直线平行于投影面时，倾角为0°，垂直于投影面时，
倾角为90 °，倾斜于投影面时，倾角为0~90°。
（1）一般位置直线
Z
b
Z
b
a
B b
a
b
a
X
O
YW
X
O
b
b A
a
a
Ya
投影特性：1、a b、 ab、a b均小于实长
YH
2 、a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3 、不直接反映直线对投影面的倾角
（2）投影面平行线
水平线—
平行于水平投影面的直线
z
Z
a b
a
b
a
b
A
a
X
O
YW
X
B O
b
a
a
b
Y
投影特性：1． ab =AB
3 、 ab = ab =AB
O YH
b
YW
（3）投影面垂直线
侧垂线— 垂直于侧面投影面的直线
Z
a
b
a
b Z
ab
A
B
X
X
O
a
a
bY
投影特性： 1、ab 积聚 成一点
2 、 ab OYH ; ab OZ 3 、 ab = ab =AB
O
b YH
ab
YW
（3）投影面垂直线
正垂线
铅垂线
空间直观图
侧垂线
直线上的点的正面投影，必在该 直线的正面投影上；
直线上的点的侧面投影，必在该 直线的侧面投影上。
几何形体在同一个投影面上的投影称为同面投影。
直线上的点的第一个投影特性：直线上的点的投影， 必在直线的同面投影上。即具有从属性。
例1：根据投影图，判断下列直线的空间位置。
a
b X
a
b
Z
a
侧
O平
b
线
X
O
a
铅
b
垂
YW
线
YH
c X
c
d
侧
O垂
c
线X
d
Z
d
c d 水
平
O
YW 线
YH
例2：已知AB为水平线，补画a'b'。
a'
X a
b' O
b
解题思路： 熟悉水平线的投 影特性，明确正面投 影平行于投影轴。
例3:过点A向右上方作一正平线AB，使其实长为25，