第2讲_判别式——二次方程根的检测器

2一元二次方程的判别式与求根公式满分晋级阶梯方程 10 级判别式与求根公式方程 11 级解特殊复杂方程方程 12 级特殊根问题漫画释义知识互联网寒假班第二讲春季班第七讲春季班第八讲判断风波1题型切片题型切片（两个）对应题目公式法解一元二次方程例 1；例 2；演练 1；演练 2；题型例 3；例 4；演练 3；例 5；例 6；演练 4；演练 5；目标一元二次方程的判别式例 7．编写思路本讲内容的思路把公式法和判别式放在一起，目的是让学生认识到这部分知识的联系，能快速掌握判别式和求根公式。

接下来例题首先要训练用公式法解方程，还补充了一些题目，同学们要自己判断用那种方法简单，训练学生学到知识的同时还要灵活运用，因为中考所有题不可能指出来每道题的方法，同学们要自己判断。

接下来的例题中针对不同的题型进行练习，探究总结了判别式的用法，基本上包含了所有的出题类型。

本讲的最后一部分是2017 年东城区的期中统考原题，此题不仅练习到判别式的用法，还用到了因式分解法解含参方程，综合性较强，难度不算大，适合提高班使用．2模块一公式法解一元二次方程知识导航定义示例剖析公式法的一般步骤：解方程： x23x10①把一元二次方程化为一般式；解： a 1 ，b3，c1②确定 a，b ，c 的值； b 24ac324 1 150③代入 b24ac 中计算其值，判断方程是否有实x b b24ac3 5 3 5数根；2a212④若 b 24ac ≥0 ，代入求根公式求值；否则，原∴ x135，x235方程无实数根．22（先计算 b24ac 减少计算量．另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用）夯实基础【例 1】用公式法解方程：⑴ x22x 2 0 ；⑵ 3x2 6 x 1 ；⑶ 3x 1 2 x2；⑷ x 1 x 1 2 2 x ；⑸ x 26x140；⑹323 x+2=0⑺x222x bx+2b +1=0【解析】⑴ a1，b 2 ，c 2 ， b 24ac2412120 ，2∴x1，221213．22⑵ a 3 ，b 6 ，c 1 ， b 24ac6431180 ，∴ x16 3 2，x2 6 3 2 ．6262⑶ a 2 ，b 3 ，c 1 ， b4ac 3421170 ，∴x1317， x231744．1 ， b22⑷ a 1，b 2 2 ，c4ac22411120 ，∴ x12 3 ，x223⑸ =200 ，无实根3⑹ = 15 0 ，无实根⑺ = 7b 2 4 0 ，无实根能力提升【例 2】 我们已经学习了一元二次方程的四种解法：直接开平方法、 配方法、 公式法和因式分解法． 请选择你认为适当的方法解这个方程．2； ② (x －1) 222 －2x=4．① x －3x+1=0 =3； ③ x －3x=0；④ x【解析】 ① 适合公式法， x 2－3x+1=0 ，∵ a=1， b=－3， c=1， ∴ b 2－4ac=9－4=5 ＞ 0，3+ 5x 2 352 =∴ x 1 =，2② 适合直接开平方法，(x －1) 2－± 3 ，x 1 =1+ 3 ， x 2 =1 3=3 ，x 1=③ 适合因式分解法， x 2-3x=0 ，因式分解得： x(x-3)=0，解得： x 1=0，x 2=3； ④ 适合配方法， x 2－2x=4， x 2－2x+1=4+1=5 ，即 (x －1)2 －±5，=5，开方得： x 1= x 1 =1+ 5 ， x 2 =1 5模块二 一元二次方程根的判别式知识导航定 义示例剖析设一元二次方程为 ax 2 bx c 0(a0) ，其根的 解方程： x 23x 3 0判别式为：b 2 4ac ，则解：b 22方程 ax 2bx c 0(a 0) 有两个不①4ac34 1 3 3 0 ，相等的实数根 x 1,2bb 2 4ac所以原方程无实数根．2a ．② 0 方程 ax 2bx c 0( a 0) 有两个相等的实数根x 1 x 2b ．22 a③ 0bx c0( a 0) 没有实数方程 ax根．4夯实基础【例 3】 不解方程，直接判断下列方程的解的情况：⑴ 7 x 2x 1 0⑵ 9 x 2 4 3x 1⑶ x 2 7 x 15 0⑷ 2 x 23x 2 0⑸ x 2 2 3x 3⑹ x 2m 1 xm 0 （ m 为常数）2【解析】 ⑴0 ，有两个不等实根⑵ 强调先将方程化为一般形式，再运用 ，0 ，有两个相等实根⑶0 ，无实根⑷0 ，有两个不等实根，当 a ,b, c 中存在带根号题目时学生化简 易出错⑸0 ，有两个相等实根⑹m 2 1 0 ，方程有两个不等实根， 化简结果出现参数，学生难点在判断其与0 的关系．能力提升【例 4】 ⑴已知关于 x 的一元二次方程k 2x 22k 1 x 1 0 有两个不相等的实数根，则k 的取值1 范围为 ；⑵ 若关于 x 的方程 k 1 x2x1 0 有实根，则 k 的取值范围为 __________.4【解析】 ⑴ k1且 k ≠ 1 ， 易错点：二次项系数不为零4⑵ k ≥ 0 ，易错点：二次项系数可以为零【例 5】 ⑴ 已知 a 、 b 、 c 为 △ ABC 的三边，请判断关于x 的方程 ab x 22cxa b 0 根的情况．2⑵ 已知 a 、 b 、 c 是 △ ABC 的三边，且方程2 b c xa b ca0 有两个相等的实数x 根，试判断这个三角形的形状．【解析】 ⑴ ∵ a b ≠ 0∴ 方程为一元二次方程24 c a b c a b4c 2 4 a b ∵ a 0 ，b 0，c 0，a b c∴ c a b0 ，c a b 0∴0 ， ∴ 方程无实根 .24 a b c a 4 a 2 b 2c 2 ab bc ac⑵4 b c2222a b b ca c∵ 方程有两个相等实根，∴22a c20 ，即 2 a b b c5∴ a b b c a c 0 ，即 a b c∴△ ABC 为等边三角形【探究对象】学生一般会求出根的判别式，但不会比较其与0 的大小关系，故引导学生探索如何确定一元二次方程根的判别式的符号.【探究目的】以条件变化，促使题目难度与层次差异化，从而引导学生分析理解题目条件的差异性，并总结解题方法 .【探究方式】采用增加试题层次探究，所谓增加问题层次的探究，就是抓住一个问题的条件，引导学生运用类比、联想、归纳等发散性思维，将问题的结论向横向、纵向拓展与深入，从而帮助学生发现问题的本质属性，以达到深入浅出、以点串线的学习目的.【探究 1】根的判别式为常数24.通过根的判别式确定关于x 的一元二次方程x22x 5 0 的根的情况 .分析：=22 4 1524 0 ，方程有两个不相等的实数根.【探究 2】根的判别式为 8m28.通过根的判别式确定关于x 的一元二次方程x22mx m2 2 0 的根的情况 .分析： = 2 m 2m2 2 8m280 ，方程有两个不相等的实数根 .4 1【探究 3】根的判别式为 m2 +4m+7 .通过根的判别式确定关于x 的一元二次方程x2mx m 70 的根的情况 .分析：m2 4 1m 7 =m2 +4m+7=m+220 ，+3∴方程有两个不相等的实数根.【探究 4】根的判别式为 m2 +12m+4 .若 m 满足不等式10m 3 0，试讨论关于x 的方程 x2mx3m 1 0 的根的情况．分析：m2413m 1 =m2 +12m+4=m+120 ，+10 m+3∵ 10m 30 ，∴0 ，方程有两个不相等的实数根.【探究 5】根的判别式为 4 a24c2 . b已知 a ，b，c 是△ABC的三边，判断方程cx 2a b x c0 的根的情况 .2分析： 4 a b24c2 4 a b c a b c 6∵ a ，b，c 分别是三角形的三边，∴a b c，a c b∴ a b c 0 ，a b c0∴<0 ，方程无实数根.【探究 6】根的判别式为 4c2 4 ab .已知 a ，b 为直角三角形 ABC 的直角边， c 为斜边，请判断关于 x 的一元二次方程ax22cx b0根的情况．分析：2c 24c24ab 4ab直角三角形满足勾股定理 a 2b2c2∴4a24b 28ab4ab2a22b4ab 0∴方程有两个不相等的实数根.【探究 7】根的判别式什么时候需要分类讨论 .已知 a0，b a c ，判断关于 x 的一元二次方程ax 2bx c0的根的情况 .分析：①当 c0 时， a0 ， b a c ，从而b2a c 222， b4ac a c0 ，b24ac a20 c ≥ 0 ，即②当 c0时，由 a0， b a c a ，得 b0，0③当 c0时，由 a0，得 ac0 ，b24ac0 .综上可知，方程总有两个不等实根.注：其中探究 6 和探究 7 海淀统考中涉及过 .【例 6】已知关于 x 的方程 x2k 1 x2k20⑴求证：无论 k 为何值，方程总有实根；⑵若等腰△ ABC 一边 a 3 ，另两边 b、 c 恰好是此方程的两根，求△ ABC 的周长．【解析】⑴k1222≥ 04 2k k 3∴无论 k 为何值，方程总有实根.⑵当 a 3 为底，b，c为腰时， b c∴ 方程有两个相等的实根∴0 ，即k320 ，k3此时方程为 x2 4 x 40，解得： x1x22∴△ ABC 的周长为3227当 a 3 为腰，则方程有一根为3将 x 3 代入方程，得k 4 ，方程为x25x60解得 x12，x2 3 ，∴△ ABC 的周长为2338 ，综上所述，△ ABC的周长为7 或 8．7真题赏析【例 7】已知：关于 x 的方程 kx22k 3 x k 3 0⑴求证：方程总有实数根；⑵当 k 取哪些整数时，关于x 的方程 kx22k 3 x k 3 0 的两个实数根均为负整数？（ 2017 东城期中）【解析】⑴2k 32，∵ 90 ，∴0 ，故此方程总有实根；4k k 3 9⑵方程可用因式分解法求解为：x 1 kx k 3 0 ,故x1 1 ， x 3 k312k k ∴ k 1 或 k38思维拓展训练（选讲）训练 1.选择合适的方法解下列方程．⑴ 3x212x12；⑵x23x40 0 ；⑶x 1x 51【解析】⑴ x1x2 2；⑵x18， x2 5 ；⑶ x13 5 ，x2 3 5训练 2.已知关于 x 的方程 x23x3m0 .4⑴如果此方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；⑵在⑴中，若m 为符合条件的最大整数，求此时方程的根.（西城期末）【解析】⑴ a 1，b 3 ，c 3m . 4b2 4 ac 32 4 13m9 3m .4∵该方程有两个不相等的实数根，∴9 3m 0 .解得 m 3 .∴m 的取值范围是m 3 .⑵ ∵ m 3 ，∴符合条件的最大整数是m 2 .此时方程为 x23x30 ，9 3m302解得x 33. 2∴方程的根为 x133， x233. 22训练 3.等腰△ ABC中， A 、 B 、 C 的对边分别是 a 、b 、c ，已知a 3 ， b 和c是关于x的方程x2mx2 1 m0 的两个实数根，求△ABC的周长．2【解析】当 b c 时，方程有两个相等的实数根，则m2 4 2 1 m0 ，∴ m1 4 ，m2 2 ．2若 m4，原方程化为x24x40 ，则 x1x2 2 ，即b c 2 ，∴△ ABC 的周长为2237．若 m 2 ，原方程化为x2 2 x 1 0，则 x1x21，不合题意．当 a b 或a c 时，x3是方程的一个根，则 9 3m 2 1 m0 ，则 m22 ，25原方程化为 x222x210 ，解得 x1 3 ，x27 ，55737 ．5∴△ ABC 的周长为3355 937综上所述，△ ABC的周长为7或．训练 4. 已知a、b、c是三角形的边长，求证：方程【解析】∵ a、 b、 c 是三角形的边长，∴a 0，b ∴该方程是关于x 的一元二次方程，b2c2 a 22b2c2a2∵4b2c2b c 2b c2a2a2b2 x2b2c2a2 x c20 没有实数根．0 ，c 0 ， a b c ，a c b ，b c a ，2bc b2c2a22bcb c a b c a b c a b c a∴0 ，故原方程没有实数根．10实战演练知识模块一公式法解一元二次方程课后演练【演练 1】 用公式法解方程：⑴ 5x 27 x 2 0⑵ 2 x 2 3x 3 0【解析】 ⑴ x2， x 2 1 ．⑵ x 1333 ， x 2 3 33 ．1544【演练 2】 选择适当的方法解方程：⑴ x x 2x 0 ；⑵ x 2x 132 ；⑶ x x 12 1x ；【解析】 ⑴ x 11 ，x2 0 ；⑵ x 1 12 ，x 211；⑶ x 11，x 22 ；知识模块二一元二次方程根的判别式 课后演练【演练 3】 ⑴若关于 x 的方程 x 22x m 0 有两个相等的实数根，则m= __________ ；⑵ 若关于 x 的方程x 1 21k 无实根，则 k 的取值为 __________ ；【解析】 ⑴ m 1 ； ⑵ k1【演练 4】 如果关于 x 的一元二次方程a 1x 2 2bx c 1 x 2有两个相等的实根，那么以正数a ，b ，c 为边长的三角形是（）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 任意三角形【解析】 将方程化成一般形式：a c x 22bx a c∵ a c ≠ 0 ，方程有两个相等实根， ∴ 4b 2 4 a 2 c 2即 a 2b 2c 2 ， ∴ 为直角三角形，选C.【演练 5】 已知关于 x 的一元二次方程3a 1 x 2 ax 1 0 有两个相等的实数根，求代数式4a 22a11的值 .a（海淀期中）【解析】 由已知，一元二次方程3a 1 x 2ax 1 0 的判别式为 0.4即 a 23a 1 0 .所以有 a 2 1 3a .代入 a 2 2a11 22a11 a1 a 21 3a3 .，得 aaaaaa11第十六种品格：感恩感恩的回报在一个闹饥荒的城市，一个家庭殷实而且心地善良的面包师把城里最穷的几十个孩子聚集到一块，然后拿出一个盛有面包的篮子，对他们说：“这个篮子里的面包你们一人一个。

第二讲 一元二次方程根的判别式趣通引路】话说小精灵拜数学高手为师，苦练了十八般数学技艺．一日师傅韦达对小精灵道：“师傅给你一件随身法宝——“Δ”，出去闯荡一下吧！”“小精灵拜别师傅韦达，来到“方程堡”，守门将喝道：“来者何人？”小精灵拱手答道：“晚辈小精灵奉师傅之命前来方程经见识见识．”守门将道：“先要破我一方程方能进堡！“说时迟，那时快，只见守门将挥手将许多数字、字母和符号排成2x 2＋2xy ＋7y 2－10x －18y ＋19＝0，并且问道：“你能说出实数x 、y 的值吗？”小精灵取出法宝灵机一动，将上式中的y 看成已知数，把它整理成关于x 的一元二次方程2x 2＋(2y －10)x ＋(7y 2－18y ＋19)＝0．好哇！因为x 是实数，上面的方程必有实数根，所以Δ≥0，即(2y －10)2－4×2(7y 2－18y ＋19)≥0，可得(y －1)2≤0，一下子便得到了y ＝1，再将y ＝1代人原方程就可得x ＝2． 小精灵这里用的法宝“Δ”是什么呢？它就是一元二次方程根的判别式．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），当Δ＞0时，有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，有两个相等的实数根；当Δ＜0时，没有实数根，反过来也成立．知识延伸】例1 已知关于x 的二次方程x ²＋p 1x ＋q 1＝0与x 2＋p 2x ＋q 2＝0，求证：当p 1p 2＝2(q 1＋q 2)时，这两个方程中至少有一个方程有实根．证明 设这两个方程的判别式为Δ1，Δ2，则Δ1＋Δ2＝2212p p +－4(q 1＋q 2)．∵p 1p 2＝2(q 1＋q 2)，∴Δ1＋Δ2＝2212p p +－2p 1p 2＝(p 1－p 2)2≥0．∴Δ1≥0与Δ2≥0中至少有一个成立，即两个方程中必有一个方程有实根．点评：两个方程中至少有一个方程有实根，可转化为证明Δ1＋Δ2≥0；本题还可用反证法来证明，即假设Δ1＜0且Δ2＜0，则Δ1＋Δ2＜0，但Δ1＋Δ2＝(p 1－p 2)2≥0，两者矛盾，从而导出原题结论成立．例2 求函数y ＝(4－x )＋解析 设u ＝x ，则u ＞0且y ＝4＋u ． ∴(u ＋x )2＝4(x 2＋9)，即3x 2－2ux ＋36－u 2＝0． ∵x ∈R ，故以上方程有解．∴Δ＝(2u )2－4×3×(36－u 2)≥0，即u ≥27． 又u ＞0，∴u4y x =-+ 的最小值为4+x .好题妙解】佳题新题品味例 已知实数1234,,,a a a a 满足22222124213423()2()0a a a a a a a a a +-+++= ，求证：2213=a a a ⋅ 解析 把已知等式看成关于a 4的方程。

第二讲 判别式——一元二次方程的根的检测器知识纵横 在解一元二次方程有关问题时，最好能知道根的特性：如是否有实数根，有几个实数根，根的符号特点等．我们形象地说，判别式是一元二次方程根的“检测器”，在以下方面有着广泛的应用：①不解一元二次方程，判断根的情况。

②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。

③证明字母系数方程有实数根或无实数根。

④应用根的判别式判断三角形的形状。

⑤判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式。

例题求解【例1】关于x 的方程k x k kx 8)18(22-=++有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 。

（广东省竞赛题）【例2】 已知关于x 的方程02)2(2=++-k x k x ，(1)求证：无论k 取任何实数值，方程总有实数根；(2)若等腰三角形△ABC 的一边长a ＝1，另两边长b 、c 恰好是这个方程的两个根，求△ABC 的周长。

（荆门市中考题）【例3】关于x 的方程012223=-+--a ax ax x 只有一个实数根，则a 的取值范围是 。

（四川省竞赛题）【例4】若实数a 、b 满足02212=++-b ab a ，则a 的取值范围是（ ） A 、2-≤a B 、 2-≤a 或4≥a C 、 4≥a D 、 42≤≤-a（《数学周报》杯全国初中数学竞赛题）【例5】设方程42=+ax x ，只有3个不相等的实数根，求a 的值和相应的3个根． （重庆市竞赛题）学力训练1.关于x 的方程068)6(2=+--x x a 有实数根，则整数a 的最大值是 。

（芜湖市中考题）2.等腰△AB C 中，AC ,8、AB BC =的长是关于x 的方程0102=+-m x x 的两根，则=m 。

（宁波市中考题）3.关于x 的一元二次方程（m-1）x 2-mx+1=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是______．4.若关于x 的一元二次方程0132=-+x kx 有实数根，则k 的取值范围是（ ） A 、49-≤k B 、0k 49≠-≥且k C 、49-≥k D 、0k 49≠->且k （扬州市中考题）5.已知一直角三角形的三边为a 、b 、c ，∠B=90，那么关于x 的方程0)1(2)1(22=++--x b cx x a 的根的情况为（ ）。

《一元二次方程根的判别式》讲义一、一元二次方程的一般形式我们先来看一元二次方程的一般形式：＄ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0$（其中$a$、＄b$、＄c$是常数，且$a ＼neq 0$）。

在这个方程中，＄a$被称为二次项系数，＄b$是一次项系数，＄c$是常数项。

二、根的判别式的定义接下来，我们要引入一个非常重要的概念——根的判别式，通常用符号“＄＼Delta$”表示，它的计算公式是$＼Delta ＝ b^2 4ac$。

那么，这个根的判别式到底有什么用呢？它可以用来判断一元二次方程根的情况。

三、根的判别式与方程根的关系当$＼Delta ＞ 0$时，方程有两个不相等的实数根。

比如说方程$x^2 5x ＋ 6 ＝ 0$，这里$a ＝ 1$，＄b ＝－5$，＄c ＝6$，那么$＼Delta ＝（－5)＾2 4×1×6 ＝ 25 24 ＝ 1 ＞ 0$，所以这个方程有两个不相等的实数根，通过求解可以得到$x_1 ＝ 2$，＄x_2 ＝3$。

当$＼Delta ＝ 0$时，方程有两个相等的实数根。

例如方程$x^2 4x ＋ 4 ＝ 0$，其中$a ＝ 1$，＄b ＝－4$，＄c ＝4$，则$＼Delta ＝（－4)＾2 4×1×4 ＝ 16 16 ＝ 0$，所以这个方程有两个相等的实数根，即$x_1 ＝ x_2 ＝ 2$。

当$＼Delta ＜ 0$时，方程没有实数根。

像方程$x^2 ＋ x ＋ 2 ＝ 0$，其中$a ＝ 1$，＄b ＝ 1$，＄c ＝ 2$，此时$＼Delta ＝ 1^2 4×1×2 ＝ 1 8 ＝－7 ＜ 0$，所以这个方程没有实数根。

四、根的判别式的应用（一）不解方程判断根的情况在很多情况下，我们不需要求出方程的根，只需要判断根的情况。

比如给定一个方程$2x^2 ＋ 3x 5 ＝ 0$，我们可以通过计算$＼Delta ＝3^2 4×2×（－5) ＝ 9 ＋ 40 ＝ 49 ＞ 0$，就能知道这个方程有两个不相等的实数根。

一元二次方程的根的判别式的应用说课稿盂县第四中学武晓芸各位老师：你们好！我是来自盂县第四中学的数学教师武晓芸，今天我说课的内容是：人教版九年义务教育初中《数学》九年级上册第二十二章第二节公式法第二课时“一元二次方程的根的判别式的应用”。

下面将从三个方面来汇报我是如何分析教材和设计教学环节的。

一、教材分析方面：1、本节教材的地位及作用：本节内容是在学生对b2-4ac的作用有所了解的基础上，来进一步研究根的判别式的作用的，它是前面知识的深化与总结。

它在整个中学数学中占有重要的地位，既可以根据它来判断一元二次方程的根的情况，又可以为今后研究不等式，二次函数，二次曲线等奠定基础，并且可以解决许多其它问题。

2、教学目标：依据课程标准和对教材的分析，以及结合学生已有的知识基础，确定本节课的教学目标是：（一）知识与技能1.知识目标（1）熟练运用判别式判断一元二次方程根的情况．（2）学会运用判别式求符合题意的字母的取值范围．2.能力目标：（1）培养学生思维的严密性，逻辑性和灵活性．（2）培养学生的推理论证能力．（二）过程和方法体验判别式判别一元二次方程根的个数与判别式的值的关系．（三）情感价值观：通过例题教学，渗透分类的思想．二、学情分析学生已经学会了用公式法解一元二次方程，对 b2-4ac的作用有一个初步的感知，如何利用根的判别式来解决一些综合性的问题，学生的能力还有待提高，因此，确定本节课的教学重点是运用判别式求出符合题意的字母的取值范围．教学难点是根的判别式的灵活运用．三、教法与学法：本着“以学生发展为本”的教育理念，本节课教学主要采用了引导发现、讲练结合、小组合作探究的教学方法，在教师的启发指导下，由浅入深、由易到难、循序渐进地深化教学内容，展开以教师为主导，以学生为主体的师生双边活动．课上通过师生之间、生生之间的互动，充分发挥学生的主体作用，逐步培养学生的分析问题和解决问题的能力，充分提高学生的学习兴趣，让学生在自主探索、合作交流的过程中，真正地理解和掌握知识．四、教学手段本节课采用电子白板进行教学，增大教学的容量和直观性，提高教学效率和教学质量．五、教学过程本节课设置了以下八个教学环节，展开以教师为主导，以学生为主体的师生双边活动．六、教学反思一堂课的成败好坏，归根到底要看它的教学效果，其教学效果又总是从这样两个方面来检验：①学生是不是越学越爱学，即是否在课堂中充分调动其学习积极性、自觉性和求知欲；②学生是不是越学越会学，即是否培养了他们的能力和习惯，发展了他们的智力和素质。

第2讲 一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系【学习目标】1．会用判别式判断一元二次方程的根的情况或根据方程的根的情况确定方程中待定系数的值或取值范围； 2．会利用根与系数的关系，由方程的一个根求方程的另一个根及确定方程中待定系数的值，以及求关于方程的两根的代数式的值．3．会建立一元二次方程解应用题；【教学重难点】根与系数的关系的运用考点1：判断一元二次方程的根的情况知识点与方法技巧梳理：一元二次方程根的判别式：一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可由24b ac -来判定，24b ac-叫做一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，用希腊字母“∆”表示，24b ac ∆=-．①当24b ac -＞0时，方程有两个不相等的实数根（若a ，c 异号，则必有∆＞0）； ②当24b ac -＝0时，方程有两个相等的实数根；③当24b ac -＜0时，方程没有实数根．注意：在使用根的判别式之前，应将一元二次方程化成一般形式． 【例】不解方程，判断下列方程的根的情况：（1）(1)(3)5x x x -+=- （2）01)2(2=++--x k x （k 为常数）【变式】不解方程，判断下列方程的根的情况： （1）(1)(3)5x x x -+=-（2）0)21(4)12(2=-++-k x k x （k 为常数）考点2：根据方程的根的情况确定方程中待定系数的值或取值范围知识点与方法技巧梳理：①如果方程有两个不相等的实数根，则∆＝24b ac -＞0；②如果方程有两个相等的实数根，则∆＝24b ac -＝0；③如果方程没有实数根，则∆＝24b ac -＜0．【例】1、已知关于x 的方程22(21)10k x k x +-+=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．【变式1】已知关于x 的一元二次方程2(12)10k x ---=有两个不相等的实根，求k 的取值范围．【变式2】若关于x 的方程()2421x m x m -+=-有两个相等的实数根，求m 的值和这个方程的根．【例】2、设a ，b ，c 是△ABC 三边的长，且关于x 的方程)0(02)()(22>=--++n ax n n x b n x c 有两个相等的实数根，求证：△ABC 是直角三角形．【变式】已知a ，b ，c 是一个三角形的三边长，且关于x 的方程0)()(2)(2=-+-+-b a x a b x b c 有两个相等的实数根，试判断这个三角形的形状．【例】3、已知关于x 的一元二次方程098)6(2=+--x x a 有实数根． （1）求a 的最大整数值； （2）当a 取最大整数值时，①求出该方程的根；②求118732222+---x x x x 的值．【变式】已知关于x 的一元二次方程22(1)2(2)10m x m x -+-+=有实数根． （1）求m 的最大整数值；（2）当m 取最大整数值时，①求出该方程的根；②求22365342x x x x -+++的值．【例】4、若等腰△ABC 的一边长a ＝6，另两边长b 、c 是关于x 的方程2(32)60x k x k +--=的两个根，求△ABC 的周长．【变式】已知等腰△ABC 的一边长c ＝3，另两边长a 、b 恰是关于x 的方程2(21)420x k x k -++-=的两个根，求△ABC 的周长．考点3：已知方程的一个根，求方程的另一个根及确定方程中待定系数的值知识点与方法技巧梳理：一元二次方程的根与系数的关系：如果一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根x 1，x 2，那么，x 1＋x 2＝－ba，x 1x 2＝ca，这就是一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根与系数的关系．注意：在使用根与系数的关系之前，应将一元二次方程化成一般形式．【例】已知2-240x x c -+=的一个根，求方程的另一个根及c 的值．【变式1】已知1是方程250x bx ++=的一个根，求方程的另一个根及b 的值．【变式2】已知1是方程22(1)330m x x m m +-+--=的一个根，求m 的值及方程的另一个根．考点4：已知方程，求关于方程的两根的代数式的值知识点与方法技巧梳理：把待求的代数式整理成含有x 1＋x 2及x 1x 2的式子【例】1、已知1x ，2x 是方程051022=--x x 的两个根，不解方程，求下列各式的值：（1）1211x x + （2）2212x x + （3）1221x x x x +【变式】已知1x ，2x 是方程2520x x ++=的两个根，不解方程，求下列各式的值：（1）12(2)(2)x x -- （2）21x x - （3考点5：给出两个方程的未知数不同，但结构相同，求代数式的值知识点与方法技巧梳理：两个方程的未知数不同，但结构相同，那么这两个未知数是同一个方程的两个根，由根与系数的关系可求代数式的值【例】1、如果实数a b ≠，且满足222a a +=，222b b +=，求11a b+的值．【变式】如果实数a b ≠，且满足21314a a -=，21314b b -=，求b aa b+的值．【过关检测】1．关于x 的一元二次方程02322=-+-m x x 的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实根B ．有两个相等的实根C ．无实数根D ．不能确定 2．如果一元二次方程0624)2(2=-+--m mx x m 有两个相等的实数根，则m 等于（ ） A ．－6 B ．1 C ．－6或1 D ．2 3．已知方程01222=+-+k kx x 的两实根的平方和为429，则k 的值为（ ） A ．3 B ．－11 C ．3或－11 D ．11 4．若关于x 的方程2(2)(3)10a x a x ---+=只有一解（相同的解算一解），则a 的值为（ ） A ．a ＝0 B ．a ＝1 C ．a ＝2 D ．a ＝1或a ＝25．某地区2015年投入教育经费2500万元，预计2017年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为x ，那么下面列出的方程正确的是（ ）A ．225003600x =B ．22500(1%)3600x +=C ．22500(1)3600x +=D ．22500(1)2500(1)3600x x +++=6．若一元二次方程012)1(2=---x x k 有两个相等的实根数，则k 的值是__________． 7．若方程2610kx x -+=有两个实数根，则k 的取值范围是______________． 8．当k ＝__________时，方程0)1(2=+++k x k x 的两根互为相反数． 9．关于x 的一元二次方程20x m -=的一个根为9，则另一个根为__________．10．已知2+240x x m -+=的一个根，则另一个根为__________，m 的值为__________．11．一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0若有两根1和－1，那么a ＋b ＋c ＝_________，a －b ＋c ＝_________．11．以x 1，x 2为两根的一元二次方程（二次项系数为1）是：2x -__________x +__________0=13．将一块长比宽多10cm 的矩形铁皮的四角各剪去一个边长为4cm 的小正方形，做成一个容积为800cm 3的无盖的盒子，则原铁皮的长为__________cm ，宽为__________cm ．14．长为13米的梯子斜靠在墙上，梯子顶端与地面的垂直距离是12米，如果梯子顶端沿墙面下滑，且下滑的距离与底端滑动的距离相等，则梯子顶端下滑了__________米．15．已知m ，n 是方程x 2+2x －5=0的两个实数根，则m 2－mn +3m +n 的值为__________． 16．不解方程，判断下列方程根的情况：（1）01)2(2=++--x k x （2）224(1)0y my m -+-=（m 为常数）17．已知1x ，2x 是方程2260x x +-=的两个根，不解方程，求下列各式的值： （1）1211x x + （2）2212x x + （3）1221x x x x +18．如果实数a b ≠，且满足2231a a +=，2231b b +=，求b a a b +【家庭作业】1．关于x 的一元二次方程2232x x m -+-＝0的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实根B ．有两个相等的实根C ．无实数根D ．不能确定 2．如果一元二次方程2(2)426m x mx m --+-＝0有两个相等的实数根，则m 等于（ ） A ．－6 B ．1 C ．－6或1 D ．23．已知方程2221x kx k +-+＝0的两实根的平方和为294，则k 的值为（ ）A ．3B ．－11C ．3或－11D ．11 4．若关于x 的方程2(2)(3)1a x a x ---+＝0只有一解（相同的解算一解），则a 的值为（ ） A ．a ＝0 B ．a ＝1 C ．a ＝2 D ．a ＝1或a ＝2 5．已知224x x m -+＝0的一个根，则另一个根为__________，m 的值为__________． 6．不解方程，判断下列方程根的情况： （1）01)2(2=++--x k x（2）224(1)0y my m -+-=（m 为常数）7．解下列方程：（1）2(21)60x x --=（2）2(21)10kx k x k -+++=。

方程12级 特殊根问题方程11级 解特殊复杂方程方程10级 判别式与求根公式判断风波漫画释义满分晋级阶梯2一元二次方程的 判别式与求根公式题型切片（两个） 对应题目题型目标公式法解一元二次方程例1；例2；演练1；演练2；一元二次方程的判别式例3；例4；演练3；例5；例6；演练4；演练5；例7．本讲内容的思路把公式法和判别式放在一起，目的是让学生认识到这部分知识的联系，能快速掌握判别式和求根公式。

接下来例题首先要训练用公式法解方程，还补充了一些题目，同学们要自己判断用那种方法简单，训练学生学到知识的同时还要灵活运用，因为中考所有题不可能指出来每道题的方法，同学们要自己判断。

接下来的例题中针对不同的题型进行练习，探究总结了判别式的用法，基本上包含了所有的出题类型。

编写思路知识互联网题型切片本讲的最后一部分是2013年东城区的期中统考原题，此题不仅练习到判别式的用法，还用到了因式分解法解含参方程，综合性较强，难度不算大，适合提高班使用．定 义示例剖析公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式； ②确定a b c ，，的值；③代入24b ac -中计算其值，判断方程是否有实数根；④若240b ac -≥，代入求根公式求值；否则，原方程无实数根．（先计算24b ac -减少计算量．另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用）解方程：2310x x -+= 解：131a b c ==-=，， ()224341150b ac -=--⨯⨯=>()2354352212b b ac x a --±-±-±===⨯∴12353522x x +-==，【例1】 用公式法解方程：⑴ 2220x x --=；⑵ 2361x x -=； ⑶ 2312x x -=-； ⑷ ()()1122x x x +-=； ⑸26140x x ++=； ⑹ 2323+2=0x x - ⑺ 22+2+1=0x bx b - 【解析】 ⑴ 122a b c ==-=-，，，()2242412120b ac -=--⨯⨯-=>，∴1221213x ±==±，． ⑵ 361a b c ==-=-，，，()()2246431180b ac -=--⨯⨯-=>，∴12632632x x +-==，． ⑶ 231a b c ===-，，，()2243421170b ac -=-⨯⨯-=>，∴1317x -+=，2317x --=． ⑷ 1221a b c ==-=-，，，()()22422411120b ac -=--⨯⨯-=>，夯实基础知识导航模块一 公式法解一元二次方程∴122323x x =+=-， ⑸200=∆-<，无实根 ⑹150=∆-<，无实根⑺2740=b ∆--<，无实根【例2】 我们已经学习了一元二次方程的四种解法：直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法．请选择你认为适当的方法解这个方程．①x 2－3x +1=0； ②(x －1)2=3； ③x 2－3x =0； ④x 2－2x =4． 【解析】 ①适合公式法， x 2－3x +1=0，∵a =1，b =－3，c =1，∴b 2－4ac =9－4=5＞0，∴x 1=3+52，235=2x - ②适合直接开平方法，(x －1)2=3，x －1=±3，∴1=1+3x ，2=13x - ③适合因式分解法，x 2-3x =0，因式分解得：x (x -3)=0，解得：x 1=0，x 2=3； ④适合配方法，x 2－2x =4，x 2－2x +1=4+1=5，即(x －1)2=5，开方得：x －1=±5，∴1=1+5x ，2=15x -定 义示例剖析设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-，则①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根21,242b b acx a-±-=．②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122bx x a ==-．③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数解方程：2330x x -+= 解：()224341330b ac ∆=-=--⨯⨯=-<， 所以原方程无实数根．知识导航模块二 一元二次方程根的判别式能力提升根．【例3】 不解方程，直接判断下列方程的解的情况：⑴ 2710x x --= ⑵ ()29431x x =- ⑶ 27150x x ++= ⑷ 22320x x --+=⑸ 22330x x -+= ⑹ ()2102mx m x -++=（m 为常数） 【解析】 ⑴ 0∆>，有两个不等实根⑵ 强调先将方程化为一般形式，再运用∆，0∆=，有两个相等实根 ⑶ 0∆<，无实根⑷ 0∆>，有两个不等实根，当,,a b c 中存在带根号题目时学生化简∆易出错 ⑸ 0∆=，有两个相等实根⑹ 210m ∆=+>，方程有两个不等实根，∆化简结果出现参数，学生难点在判断其与 0的关系．【例4】 ⑴已知关于x 的一元二次方程()()2212110k x k x -+++=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为 ；⑵若关于x 的方程()21104k x x -+-=有实根，则k 的取值范围为__________.【解析】 ⑴14k >且1k ≠，易错点：二次项系数不为零⑵0k ≥，易错点：二次项系数可以为零【例5】 ⑴ 已知a b c 、、为ABC △的三边，请判断关于x 的方程()()220a b x cx a b ++++=根的情况．⑵ 已知a b c 、、是ABC △的三边，且方程()()()220x b c x a b c a +-+--=有两个相等的实数根，试判断这个三角形的形状．【解析】 ⑴ ∵0a b +≠ ∴方程为一元二次方程 ()()()22444c a b c a b c a b ∆=-+=++-- ∵000a b c a b c >>>+>，，， ∴00c a b c a b ++>--<， ∴0∆<，∴方程无实根.能力提升夯实基础⑵ ()()()()2222444b c a b c a a b c ab bc ac∆=----=++---()()()2222a b b c a c ⎡⎤=-+-+-⎣⎦ ∵方程有两个相等实根，∴0∆=，即()()()22220a b b c a c ⎡⎤-+-+-=⎣⎦∴0a b b c a c -=-=-=，即a b c == ∴ABC △为等边三角形【探究对象】学生一般会求出根的判别式，但不会比较其与0的大小关系，故引导学生探索 如何确定一元二次方程根的判别式∆的符号.【探究目的】以条件变化，促使题目难度与层次差异化，从而引导学生分析理解题目条件的差异性，并总结解题方法.【探究方式】采用增加试题层次探究，所谓增加问题层次的探究，就是抓住一个问题的条件，引导学生运用类比、联想、归纳等发散性思维，将问题的结论向横向、纵向拓展与深入，从而帮助学生发现问题的本质属性，以达到深入浅出、以点串线的学习目的. 【探究1】根的判别式∆为常数24.通过根的判别式确定关于x 的一元二次方程2250x x +-=的根的情况. 分析：()2=2415240∆-⨯⨯-=>，方程有两个不相等的实数根.【探究2】根的判别式∆为288m +.通过根的判别式确定关于x 的一元二次方程22220x mx m +--=的根的情况. 分析：()()222=2412880m m m ∆-⨯⨯--=+>，方程有两个不相等的实数根.【探究3】根的判别式∆为2+4+7m m .通过根的判别式确定关于x 的一元二次方程270x mx m +--=的根的情况. 分析：()()222417=+4+7=+2+30m m m m m ∆=-⨯⨯-->，∴方程有两个不相等的实数根.【探究4】根的判别式∆为2+12+4m m .若m 满足不等式1030m +>，试讨论关于x 的方程2310x mx m +--=的根的情况．分析：()()2224131=+12+4=+1+10+30m m m m m m ∆=-⨯⨯-->，∵1030m +>，∴0∆>，方程有两个不相等的实数根.【探究5】根的判别式∆为()2244a b c --.已知a b c ，，是ABC △的三边，判断方程()220cx a b x c +-+=的根的情况. 分析：()()()22444a b c a b c a b c ∆=--=---+∵a b c ，，分别是三角形的三边， ∴a b c a c b -<+>，∴00a b c a b c --<-+>， ∴<0∆，方程无实数根.【探究6】根的判别式∆为244c ab -.已知a b ，为直角三角形ABC 的直角边，c 为斜边，请判断关于x 的一元二次方程220ax cx b -+=根的情况．分析：()222444c ab c ab ∆=--=-直角三角形满足勾股定理222a b c +=∴()22244842240a b ab ab a b ab ∆=+-+=-+> ∴方程有两个不相等的实数根.【探究7】根的判别式∆什么时候需要分类讨论.已知0a b a c >>+，，判断关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的根的情况. 分析：①当0c >时，0a >，b a c >+，从而()22b a c >+，()2240b ac a c --->，()2240b ac a c ->-≥，即0∆>②当0c =时，由0a >，b a c a >+=，得0b >，0∆> ③当0c <时，由0a >，得0ac <，240b ac ∆=->. 综上可知，方程总有两个不等实根.注：其中探究6和探究7海淀统考中涉及过.【例6】 已知关于x 的方程()21220x k x k -++-=⑴ 求证：无论k 为何值，方程总有实根；⑵ 若等腰ABC △一边3a =，另两边b c 、恰好是此方程的两根，求ABC △的周长．【解析】 ⑴ ()()()22142230k k k ∆=+--=-≥∴无论k 为何值，方程总有实根. ⑵ 当3a =为底，b c ，为腰时，b c = ∴方程有两个相等的实根∴0∆=，即()230k -=，3k =此时方程为2440x x -+=，解得：122x x == ∴ABC △的周长为3227++=当3a =为腰，则方程有一根为3将3x =代入方程，得4k =，方程为2560x x -+= 解得1223x x ==，，∴ABC △的周长为2338++=， 综上所述，ABC △的周长为7或8．【例7】 已知：关于x 的方程()22330kx k x k +-+-=⑴求证：方程总有实数根；⑵当k 取哪些整数时，关于x 的方程()22330kx k x k +-+-=的两个实数根均为负整数？（2013东城期中）【解析】 ⑴()()223439k k k ∆=---=，∵90>，∴0∆>，故此方程总有实根；⑵方程可用因式分解法求解为：()()130x kx k ++-=,故11x =-，2331k x k k-==- ∴1k =-或3k =-真题赏析训练1. 选择合适的方法解下列方程．⑴ 231212x x -=-；⑵ 23400x x +-=；⑶ ()()151x x --= 【解析】 ⑴122x x ==； ⑵ 18x =-，25x =； ⑶ 123535x x =+=-，训练2. 已知关于x 的方程23304mx x ++=.⑴如果此方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围； ⑵在⑴中，若m 为符合条件的最大整数，求此时方程的根.（西城期末）【解析】 ⑴ 3134a b c m ===，，.2234341934mb ac m ∆=-=-⨯⨯=-.∵该方程有两个不相等的实数根， ∴930m ->. 解得3m <.∴m 的取值范围是3m <. ⑵ ∵3m <，∴符合条件的最大整数是2m =.此时方程为23302x x ++=， 9330m ∆=-=>解得 x 33-±=.∴方程的根为133x -+=，233x --=.训练3. 等腰ABC △中，A B C ∠∠∠、、的对边分别是a b c 、、，已知3a =，b 和c 是关于x 的方程21202x mx m ++-=的两个实数根，求ABC △的周长．【解析】 当b c =时，方程有两个相等的实数根，则214202m m ⎛⎫∆=--= ⎪⎝⎭，∴1242m m =-=，．若4m =-，原方程化为2440x x -+=，则122x x ==，即2b c ==， ∴ABC △的周长为2237++=．若2m =，原方程化为2210x x ++=，则121x x ==-，不合题意． 当a b =或a c =时，3x =是方程的一个根， 则193202m m ++-=，则225m =-，思维拓展训练（选讲）原方程化为22221055x x -+=，解得12735x x ==，， ∴ABC △的周长为7373355++=．综上所述，ABC △的周长为7或375．训练4. 已知a b c 、、是三角形的边长，求证：方程()2222220b x b c a x c ++-+=没有实数根．【解析】 ∵a b c 、、是三角形的边长，∴000a b c >>>，，，a b c a c b b c a +>+>+>，，，∴该方程是关于x 的一元二次方程，∵()2222224b c a b c ∆=+--()()22222222b c a bc b c a bc =+-++--()()2222b c a b c a ⎡⎤⎡⎤=+-⋅--⎣⎦⎣⎦()()()()b c a b c a b c a b c a =+++--+--∴0∆<，故原方程没有实数根．知识模块一 公式法解一元二次方程 课后演练【演练1】 用公式法解方程：⑴ 25720x x -+= ⑵ 22330x x +-=【解析】 ⑴ 125x =，21x =． ⑵ 1333x -+=，2333x --=．【演练2】 选择适当的方法解方程：⑴ ()20x x x +-=； ⑵ 2132x x -=； ⑶ ()()121x x x -=-； 【解析】 ⑴ 1210x x =-=，； ⑵ 121211x x ==-，； ⑶ 1212x x ==-，；知识模块二 一元二次方程根的判别式 课后演练【演练3】 ⑴ 若关于x 的方程220x x m --=有两个相等的实数根，则m=__________；⑵ 若关于x 的方程()211x k +=-无实根，则k 的取值为__________； 【解析】 ⑴ 1m =-； ⑵ 1k >【演练4】 如果关于x 的一元二次方程()()22121a x bx c x ++=-有两个相等的实根，那么以正数a b c ，，为边长的三角形是（ ）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 任意三角形【解析】 将方程化成一般形式：()()220a c x bx a c +++-=∵0a c +≠，方程有两个相等实根，∴()222440b a c ∆=--= 即222a b c =+，∴为直角三角形，选C.【演练5】 已知关于x 的一元二次方程()213104a x ax --+=有两个相等的实数根，求代数式 2121a a a-++的值. （海淀期中）【解析】 由已知，一元二次方程()213104a x ax --+=的判别式为0. 即 2310a a -+=. 所以有213a a +=.代入2121a a a-++，得221113213a a a a a a a a a +-++=+===.实战演练第十六种品格：感恩感恩的回报在一个闹饥荒的城市，一个家庭殷实而且心地善良的面包师把城里最穷的几十个孩子聚集到一块，然后拿出一个盛有面包的篮子，对他们说：“这个篮子里的面包你们一人一个。

一元二次方程是我们在数学学习中经常遇到的问题之一，对于学习者来说，了解如何使用计算器求解一元二次方程的判别式是非常必要的。

因此，今天我来为大家讲解一下如何使用计算器来求解一元二次方程的根的判别式。

让我们一起来看看如何做到这一点吧。

一、什么是一元二次方程根的判别式在解一元二次方程时，根据求解根的情况可以将方程分成三种情况：1、若方程的判别式 D=b^2-4ac>0，则方程有两个不相等的实数根；2、若方程的判别式 D=b^2-4ac=0，则方程有唯一的实数根；3、若方程的判别式 D=b^2-4ac<0，则方程无实数根。

在解一元二次方程时，我们首先需要求解它的判别式 D。

因此，了解如何使用计算器来求解一元二次方程的判别式是非常必要的。

二、如何使用计算器求解一元二次方程根的判别式下面我们来具体介绍一下如何使用计算器来求解一元二次方程的根的判别式，步骤如下。

1、打开计算器我们需要打开计算器。

计算器可以是手持式计算器，也可以是电子计算器，或者是计算机上的计算器软件。

无论是哪种计算器，只要支持乘、加、减、除等基本运算，就可以求解一元二次方程的根的判别式。

2、输入一元二次方程的系数接着，我们需要在计算器上输入一元二次方程的系数。

对于一元二次方程，系数有三个，分别是 a、b、c。

在输入时，我们可以用“=”或“≠”来区分系数的正负。

3、计算方程的判别式在输入方程系数后，我们需要输入计算公式，即求解方程判别式的公式。

根据判别式的公式，我们可以写出计算公式为：b^2-4ac。

在输入计算公式后，按下计算符号，计算器就可以自动运行，计算出方程的判别式 D 的值。

4、判断方程的根的情况在计算出方程判别式的值后，我们需要根据判别式的大小判断方程的根的情况。

根据我们之前所提到的方程判别式的定义，当 D>0 时，方程有两个不相等的实数根；当 D=0 时，方程有唯一的实数根；当 D<0 时，方程无实数根。

因此，我们可以通过判别式的大小得出方程的根的情况。

二次方程的根的判别方法是一个重要的数学概念，用于确定二次方程实根的性质和数量。

这一概念在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。

本文将详细阐述二次方程的根的判别方法及其相关知识和应用。

一、二次方程的定义和形式二次方程是一种常见的代数方程，其一般形式为ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）。

其中，a、b 和c 是已知数，x 是未知数。

这个方程表示一个二次函数等于0的情况。

二、根的判别方法——判别式为了判断二次方程的根的性质和数量，我们引入了判别式（Discriminant）的概念。

判别式Δ = b² - 4ac，其中 b 是二次项系数，a 和 c 分别是一次项系数和常数项。

根据判别式的值，我们可以判断二次方程的根的情况。

1. 当Δ > 0 时，二次方程有两个不相等的实根。

这是因为方程的图形（抛物线）与x轴有两个交点，对应着两个不同的实根。

2. 当Δ = 0 时，二次方程有两个相等的实根（即一个重根）。

这是因为方程的图形（抛物线）与x轴相切，只有一个交点，对应着一个重根。

3. 当Δ < 0 时，二次方程没有实根，而是有两个共轭复数根。

这是因为方程的图形（抛物线）与x轴没有交点，而是在复数域内有根。

三、判别式的应用判别式在二次方程的求解和性质分析中具有重要意义。

通过判别式，我们可以快速判断二次方程的根的情况，从而采取不同的求解方法。

例如，在求解二次方程时，我们可以先计算判别式的值，然后根据判别式的正负情况选择相应的求解方法。

此外，判别式还可以用于判断二次函数的图像与x轴的交点情况，进而分析函数的单调性、极值等性质。

四、二次方程的求根公式对于一般形式的二次方程ax² + bx + c = 0（a ≠ 0），我们可以使用求根公式（Quadratic Formula）来求解根。

求根公式为：x = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a)这个公式直接给出了二次方程的两个根，其中Δ = b² - 4ac 就是判别式。

17.3一元二次方程根的判别式（第2课时）一．选择题（共1小题）1．（2022秋•徐汇区校级期末）若方程x2﹣3x+m＝0有一根是1，则另一根是（ ）A．1B．2C．﹣1D．﹣2二．填空题（共10小题）2．（2022秋•徐汇区校级期末）已知关于x的方程x2+x﹣m＝0的一个根为2，那么它的另一个根是 ．3．（2022秋•黄浦区校级月考）方程x2﹣3x+2＝0两个根的和为 ，积为 ．4．（2022秋•闵行区期中）已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一个根是3，则该方程的另一个根是 ．5．（2022秋•浦东新区期中）等腰△ABC的一边长为4，另外两边的长是关于x的方程x2﹣6x+m＝0的两个实数根，则m的值是 ．6．（2022秋•宝山区校级期中）已知关于x的方程x2+mx﹣6＝0的一个根为2，那么它的另一个根是 ．7．（2021秋•嘉定区期末）阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2＝﹣，x1•x2＝．根据该材料填空：已知x1、x2是方程x2+6x+3＝0的两实数根，则x12+x22的值为 ．8．（2022秋•静安区校级期中）已知关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1＝2，x2＝3，则方程a （x+1）2+b（x+1）+c＝0的两根为 ．9．（2021秋•虹口区校级期末）若a、b满足a2﹣4a+2＝0，2b2﹣4b+1＝0且ab≠1，则＝ ．10．（2022秋•青浦区校级期中）若关于x的方程x2﹣x+m＝0的一个根是2，则该方程的另一个根为 ．11．（2022秋•黄浦区期中）写出一个一元二次方程，使它的一个根为1，另一个根为，这个方程的一般式是 ．三．解答题（共4小题）12．（2022秋•虹口区校级期中）已知方程x2﹣6x+m2﹣2m+5＝0的一个根为2，求另一个根和m的值．13．（2022秋•奉贤区期中）已知△ABC的两边是关于x的方程x2﹣10x+m＝0的两根，第三边的长为4，当m为何值时，△ABC是等腰三角形？并求出这两边的长．14．（2022秋•浦东新区校级月考）已知：设三角形ABC的三边a，b，c为方程4x2+4x+2b﹣c＝0有两个相等的实数根，且a，b，c满足3a﹣2c＝b．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）若a，b为方程x2﹣2kx+（﹣2k+3）＝0的两根，求k的值．1．（2022秋•杨浦区期中）已知α、β是方程x2﹣7x+8＝0的两个根，且α＞β，不解方程，利用根与系数的关系，求的值．2.已知关于x 的方程22242320x ax a a -++-=．（1）若方程有两个不相等的实根，求a 的取值范围；（2）若方程有两个相等的实根，求a 的值，并求出此时方程的根；（3）若方程有实根，求a 的最大整数值．3.已知12x x ，是方程20x px q ++=的两个实数根，且2211225x x x x ++=，求q 的最大值4.求证：关于x 的方程()()1x a x a b ---=一定有实数根，且一个大于a ，一个小于a ．5.已知实数a 、b 满足221a ab b ++=且22t ab a b =--，求t 的取值范围．6.要使关于x 的方程22244450440x mx m m mx x -+--=-+=和的根以及系数m 都是整数，求满足这样的条件的m 的值．7.若k 为正整数，且关于x 的方程22(1)6(31)720k x k x ---+=有两个不相等的正整数根，求k 的值．8.已知12x x ，是关于x 的方程：24410kx kx k -++=的两个根：（1）当k 为何值时，12123(2)(2)2x x x x --=-成立，如果存在，求出k 的值；不存在，说明理由？（2）当12212x x x x +-的值为整数的实数k 的值．9.已知：方程221x x k +=-没有实数根，求证：方程212x kx k +=-一定有两个不相等的实数根 ．10.已知系数k 是整数，方程2(3)230x k x k ++++=有一个正根、一个负根，且负根的绝对值较大，求k 的值．11.设m 为有理数，是否存在实数k ，使方程22443240x mx x m m k -++-+=的根是有理数．12.已知5n <，且关于x 的方程2220x x n --=两根都是整数，求n 的值．13.已知a 、b 、c 是三角形ABC 的三边：求证：关于x 的方程222222()0b x b c a x c ++-+=没有实数根．14.已知关于x 的方程222(1)20x n x n n --+-=：（1）求证：无论n 取何值，这个方程一定有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根为12x x ，，若1224x x -£<£，求n 的取值范围．。

一元二次方程的公式法，因式分解法，判别式一、用公式法解一元二次方程1、概念：当240b ac -≥时，一元二次方程()200ax bx c a +=≠+的实数根可写为2b x a-=的形式，这个式子叫做一元二次方程20ax bx c +=+的求根公式．利用求根公式解一元二次方程的方法，叫做公式法．已知一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，其求根公式推导过程如下： （1）移项得2ax bx c +=-；（2）二次项系数化为1得2b c x x a a +=-； （3）配方得22222b b c b x x a a a a ⎛⎫⎛⎫++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （4）整理得222424b b ac x a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭；（5）直接开平方得2b x a +=；——注意是否可以开方呢？故当0∆≥时，一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的实数根可写为x = 2、用公式法解一元二次方程的一般步骤：(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式20ax bx c +=+；(2)正确确定出a ，b ，c 的值；(3)求出24b ac -的值；(4)若240b ac -≥，则方程有实数根，代入公式2b x a -=求解；若240b ac -<，则方程无实数根．例1.用公式法解下列方程：(1)22410x x -=- (2)()()2351x x -=-练习1.用公式法解下列方程：(1)22810x x -=+ (2)2523x x += (3)24310x x +=-二、用因式分解法解一元二次方程1．因式分解法解一元二次方程的理论依据如果两个因式的积等于零，那么这两个因式至少有一个等于零．即如果0a b ⋅=，那么0a =或0b =．2．因式分解法的概念先通过因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．3．因式分解法解一元二次方程的一般步骤(1)将方程的右边化为0；(2)将方程的左边化为两个一次因式的积；(3)令每个因式都等于0；(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．因式分解法是解一元二次方程的常用方法，在用因式分解法解一元二次方程时不要盲目的用约分的方法约掉含字母的代数式，这样容易丢掉方程的某个解.例2.用因式分解法解下列方程：(1)()()21321t t t =-- (2)()()2111x x -=-(3)269x x -=- (4)2760y y +=+练习2.用因式分解法解下列方程：（1）230x x -= （2）()()53210x x --=（3）()()2311x x x -+=+ （4）x 2﹣5x ﹣6＝0（5）26120x x -=- （6）6x 2+19x ﹣36＝0三、一元二次方程的根的个数的判别已知一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，其判别式为24b ac ∆=-，其根的个数的情况如下：(1)当042>-=∆ac b 时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等；(2)当042=-=∆ac b 时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写为ab x x 221-==； (3)当042<-=∆ac b 时，方程无实数根.方程20ax bx c ++=有实根的处理 1、一元二次方程有实根⇔00a ≠⎧⎨∆≥⎩， 2、方程有实根——需要分类讨论（1）0a =，是一元一次方程；（2）0a ≠，0∆≥.3、方程有两个实根⇔00a ≠⎧⎨∆≥⎩.要想判断一元二次方程的根的个数，只需求出其判别式，根据判别式的正负性来判断即可，需要注意的问题是在求判别式之前，一定要将已知的一元二次方程化为标准的一般式，这样才能准确找到a ，b ，c 的值，防止出错.例3. 一元二次方程214204x x +=-的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．无法判断 练习3. 一元二次方程22520x x -=-的根的情况是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根下列题型考查一元二次方程的判别式．要记住：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）0∆>△方程有两个不相等的实数根；（2）0∆=△方程有两个相等的实数根；（3）0∆<△方程没有实数根．上述关系是一种等价关系，可以互相推导.例4.若关于x 的方程210x mx ++=有两个不相等的实数根，则m 的值可以是（ ）A ．0B ．﹣1C ．2D ．﹣3练习4. 若关于x 的一元二次方程()2450x x m +-=-有实数根，则m 的取值范围是（ ）A ．1m >B ．1m ≥C ．1m <D ．1m ≤与上一类求字母的取值范围型的问题相比，区别在于本类题型中二次项系数中含有字母，所以对于一个一元二次方程，必须保证二次项系数不为零！所以在求字母的取值范围时，又多了一个二次项系数不为零这一不等式.例5. 关于x 的一元二次方程()21320a x x -+-=有实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．18a >- B ．18a ≥- C ．18a >-且1a ≠ D ．18a ≥-且1a ≠ 练习5.1 若关于x 的一元二次方程2210kx x -=-有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1k >-B ．1k >-且0k ≠C ．1k <-D ．1k <-或0k ≠练习5.2已知关于x 的一元二次方程2210mx x +-=有两个实数根，则m 的取值范围是（）A ．1m >B ．1m ≥-C ．1m >-且0m ≠D ．1m ≥-且0m ≠与前两类求字母的取值范围型的问题相比，区别在于本类题型中二次项系数的位置中含有字母，并且通过已知条件无法确认已知的方程是否是一个一元二次方程，故需要进行分类讨论，主要分成两类：第一类，二次项系数为零，则方程为一个一元一次方程；第二类，二次项系数不为零，则方程为一个一元二次方程.两种情形下分别探究是否符合要求，再将两个答案进行合并即可.例题6.已知方程()2210mx m x m -+=-有实数根，求m 的取值范围。