新人教版八年级数学上册导学案：12.3角平分线的性质(1)(第7课时)

八年级数学上册12.3 角的平分线的性质第1课时角的平分线的性质教案（新版）新人教版一. 教材分析《角的平分线的性质》是八年级数学上册12.3节的内容，本节课的主要内容是让学生掌握角的平分线的性质，并能够运用角的平分线解决一些简单的几何问题。

在教材中，已经给出了角的平分线的性质的定义和证明，学生在学习本节课之前，已经掌握了角的概念、角的大小比较、角的平分线定义等知识。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的几何知识，对于角的概念、角的大小比较等知识有一定的了解。

但是，对于角的平分线的性质，学生可能还没有听说过，因此，教师需要通过导入环节，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探索角的平分线的性质。

三. 教学目标1.了解角的平分线的性质，并能够运用角的平分线解决一些简单的几何问题。

2.培养学生的观察能力、推理能力、动手能力。

3.激发学生的学习兴趣，培养学生的合作意识。

四. 教学重难点1.角的平分线的性质的证明。

2.运用角的平分线解决几何问题。

五. 教学方法1.引导探究法：教师引导学生通过观察、推理、动手操作等方法，探索角的平分线的性质。

2.案例分析法：教师通过给出一些具体的几何问题，让学生运用角的平分线进行解决。

3.小组合作法：教师学生进行小组合作，共同探讨角的平分线的性质，并解决一些几何问题。

六. 教学准备1.教学PPT：教师需要准备角的平分线的性质的教学PPT，包括角的平分线的性质的定义、证明、应用等内容。

2.几何图形：教师需要准备一些几何图形，用于引导学生观察、推理。

3.练习题：教师需要准备一些练习题，用于巩固学生的学习效果。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾角的概念、角的大小比较等知识，然后引入角的平分线的概念，并提问：角的平分线有什么性质呢？2.呈现（15分钟）教师通过PPT呈现角的平分线的性质的定义和证明，让学生观察并理解角的平分线的性质。

3.操练（10分钟）教师给出一些几何图形，让学生运用角的平分线的性质进行判断和解决。

新人教版八年级上册数学导学案：12.3角平分线的性质（1）一、学习目标1、能用三角形全等的知识，解释角平分线的原理；2、会用尺规作已知角的平分线．二、温故知新如图1，在∠AOB的两边OA和OB上分别取OM=ON，MC⊥OA，NC⊥OB．MC与NC交于C点．求证：（1） Rt△MO C≌Rt△NOC（2）∠MOC=∠NOC．三、自主探究合作展示探究（一）1、依据上题我们应怎样平分一个角呢？2、思考:把上面的方法改为“在已知∠AOB的两边上分别截取OM=ON，使MC=NC，连接OC，则OC即为∠AOB的平分线。

”结论是否仍然成立呢？3、受上题的启示，我们可以制作一个如图2所示的平分角的仪器：其中AB=AD，BC=DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗？探究（二）思考：如何作出一个角的平分线呢？已知：∠AOB．求作：∠AOB的平分线．作法：（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N．（2）分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB内部交于点C．（3）作射线OC，射线OC即为所求．请同学们依据以上作法画出图形。

图2图1B OA议一议： 1、在上面作法的第二步中，去掉“大于12MN的长”这个条件行吗？2、第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？探究（三）如图3，OA是∠BAC的平分线，点O是射线AM上的任意一点.操作测量：取点O的三个不同的位置，分别过点O作OE⊥AB，OD ⊥AC,点D、E为垂足，测量OD、OE的长.将三次数据填入下表：观察测量结果，猜想线段OD与OE的大小关系，写出结论：下面用我们学过的知识证明发现：已知：如图4，A O平分∠BAC，OE⊥AB，OD⊥AC。

求证：OE=OD。

四、学习反思请你对照学习目标，谈一下这节课的收获及困惑。

图4OD OE 第一次第二次第三次。

人教版八年级数学上册12.3.1《角的平分线的性质(1)》教学设计一. 教材分析《角的平分线的性质(1)》是人教版八年级数学上册第12.3节的一部分，主要介绍了角平分线的性质。

本节内容是在学生已经掌握了角的概念、角的计算等基础知识的基础上进行学习的，为学生以后学习三角函数、解析几何等高级数学知识奠定了基础。

本节课的主要内容有：角平分线的定义、角平分线上的点到角的两边的距离相等、角平分线垂直于角的对边。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力，对角的概念和计算有一定的了解。

但是，对于角平分线的性质的理解和应用还需要加强。

因此，在教学过程中，要注重引导学生通过观察、思考、操作、交流等活动，自主探索角平分线的性质，提高他们的数学素养。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握角平分线的定义，理解角平分线上的点到角的两边的距离相等，角平分线垂直于角的对边的性质，能运用这些性质解决一些简单的问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、交流等活动，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极进取的精神。

四. 教学重难点1.重点：角平分线的性质。

2.难点：角平分线上的点到角的两边的距离相等，角平分线垂直于角的对边的证明和理解。

五. 教学方法1.引导发现法：教师引导学生通过观察、操作、交流等活动，自主探索角平分线的性质。

2.讲解法：教师对角平分线的性质进行讲解，帮助学生理解和掌握。

3.练习法：学生通过做练习题，巩固所学知识。

六. 教学准备1.教具：三角板、直尺、圆规、多媒体设备。

2.学具：学生每人准备一份学习资料，包括三角板、直尺、圆规。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾角的概念、角的计算等基础知识，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）教师利用多媒体展示角平分线的定义，引导学生观察、思考，理解角平分线的性质。

编写时间：2015年 9 月2日学期总第课时修改时间：2015年__月__日学科数学学区审核张丁龙备课人王鹏授课班级教授者课题12.3角的平分线的性质（1）课时安排 1 课型新授三维目标知识目标1、经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理．能力目标能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题.情感目标极度热情、高度责任、自动自发、享受成功。

教学重点掌握角的平分线的性质定理教学难点角平分线定理的应用教学方法合作探究教学资源多媒体课件、直尺、圆规教学步骤教学环节师生活动调整与思考教学过程设计自主学习一、自主学习1、复习思考什么是角的平分线？怎样画一个角的平分线？2．如右图，AB＝AD，BC＝DC，沿着A、C画一条射线AE，AE就是∠BAD的角平分线，你知道为什么吗3.根据角平分仪的制作原理，如何用尺规作角的平分线？自学课本后，思考为什么要用大于教师提出问题，学生解答。

教学过程设计21MN的长为半径画弧？4．OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点，操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表：观察测量结果,猜想线段PD与PE的大小关系，写出结论PD PE第一次第二次第三次命题：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.题设：一个点在一个角的平分线上结论：这个点到这个角的两边的距离相等结合第4题图形请你写出已知和求证，并证明命题的正确性解后思考：证明一个几何命题的步骤有那些？6、用数学语言来表述角的平分线的性质定理：教师就学生探究的结果做归纳总结，得出结论学生思考并回答，写出过程O A BE DC P 合作探究 小结与作业 如右上图，∵OC 是∠AOB 的平分线，点P 是∠AOB 的平分线 上一点∴ 二、合作探究1、如图所示OC 是∠AOB 的平分线,P 是OC 上任意一点,问PE=PD?为什么?2、如图：在△ABC 中，∠C=90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，BD=DF ； 求证：CF=EB 三、小结与作业 一、角的平分线的画法 二、角的平分线的性质 作业：教材习题1、2题。

12.3 角平分线的性质 12.3.1 角平分线的性质（1）学习目标:1、应用全等三角形的知识理解角平分线的原理2、会利用尺规作一个角的角平分线3、在利用尺规作图的过程中培养学生的动手操作能力。

学习重点：利用尺规作一个角的角平分线 学习难点：角平分线作图方法的提炼 课前预习阅读课本，完成下列的问题：1、角平分线的尺规作图：做∠AOB 的角平分线，并将做法补充完整。

做法：1）以＿为圆心，＿＿＿为半径，交OA 于＿＿＿OB 于 ＿＿＿2）分别以＿＿＿为圆心，大于＿＿＿为半径 画弧，两弧在∠AOB 内部交于点＿＿＿3）画＿＿＿ 2、从作图我们可猜想：角平分线的性质:角的平分线上的＿＿到角的两边的＿＿＿相等。

课内探究1、如图在△ABC 中∠C =90°，AD 平分∠CAB ，BC =8，BD =5， 那么D 到直线AB 的距离是＿＿＿。

2、 如图若点P 在∠AOB 的角平分线上，若应用角平分线的性质可 得到：PA =PB 则需要添加的条件是＿＿＿。

3、如图，∠C =90°AD 是∠BAC 的平分线，DEAB ，且DE =3cm ,BD =4cm ,则BC = cm4、如图，OP 平分AOB ∠，OA PD ⊥于D ，OB PE ⊥于E ，F 为OP 上一点，连接DF 、EF ．求证：⑴EPO DPO ∠=∠CEDBABA E OD C P⑵DF =EF【拓展延伸】1、如图所示，AD 是BAC ∠的平分线，AB DE ⊥于E ，AC DF ⊥于F ，且CD BD =，那么BE 与CF 相等吗？为什么？当堂检测1、如图所示OC 是∠AOB 的平分线,P 是OC 上任意一点,问PE =PD ?为什么?2、如图：在△ABC 中，∠C =90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于E ，F 在AC 上，BD =DF ； 求证：CF =EB第1题图DBC第2题图B 第3题图BA3、在Rt △ABC 中，BD 平分∠ABC ， DE ⊥AB 于E ，则 ⑴图中相等的线段有哪些？相等的角呢？⑵哪条线段与DE 相等？为什么？⑶若AB ＝10，BC ＝8，AC ＝6，求BE ，AE 的长和△AED 的周长。

八年级数学上册 12.3 角的平分线的性质第1课时角的平分线的性质教学设计（新版）新人教版一. 教材分析《新人教版八年级数学上册》第12.3节讲述了角的平分线的性质。

这部分内容是在学生已经掌握了角的概念、角的计算、线段的性质等基础知识的基础上进行讲解的。

角的平分线的性质是数学中的重要概念，对于学生理解和应用角的概念有重要意义。

本节课的内容包括角的平分线的定义、角的平分线的性质及其应用。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于角的概念和线段的性质有一定的了解。

但是，对于角的平分线的性质及其应用可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要注重引导学生通过观察、思考、探究来理解角的平分线的性质，并能够运用角的平分线解决实际问题。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解角的平分线的性质，能够运用角的平分线解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、思考、探究，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和勇于探究的精神。

四. 教学重难点1.重点：角的平分线的性质。

2.难点：角的平分线的性质的应用。

五. 教学方法采用问题驱动法、合作探究法、讲解法等教学方法。

通过问题引导学生思考，合作探究来理解角的平分线的性质，讲解法来讲解角的平分线的性质及其应用。

六. 教学准备1.准备相关的教学材料，如PPT、黑板、粉笔等。

2.准备一些实际问题，用于引导学生运用角的平分线解决实际问题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习角的概念、角的计算、线段的性质等基础知识，引导学生进入新的学习内容。

2.呈现（10分钟）讲解角的平分线的定义，角的平分线的性质。

通过PPT展示角的平分线的性质的图示和解释，让学生直观地理解角的平分线的性质。

3.操练（10分钟）讲解角的平分线的性质的应用。

通过一些实际问题，引导学生运用角的平分线解决实际问题。

让学生在解决问题的过程中，加深对角的平分线的性质的理解。

新人教版八年级数学上册导学案：12.3角的平分线的性质（1）旧知链接学过的角三形全等的判定方法课前自研自研教材P48－P49.在书上画出重点问题和疑难问题学习主题1.通过作图、观察比较等方法得出角平分线的性质定理；2、.会用角平分线的性质定理解决实际问题。

流程内容自研(9min)学法指导（内容·学法·时间）随堂笔记（成果记录·知识生成）【定理探究】认真自研教材第48页，探究角平分线的作图方法；(1)按要求画图验证(学生用几何画板)，(2)结论：。

重点是：【例题引领】1.在证明AD=AE时，先证明利用定理如图：∠AOC=∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB，垂足分别为D,E.求证：PD=PE.显示距离度量值显示角度度量值EDOABPC【定理应用】要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路、铁路的交叉点处500m。

这个集贸市场应建于何处？（比例尺1:20000）S重点识记：（1）角平分线的性质定理：。

例题：证明：说出你的思路：组研（6min）在小组长的带领下，讨论自学指导中的疑难问题及▲怎样用角平分线的性质完成设计任务组研结束时上报未解决问题。

组长明确展示主题，商讨并确定展示方案，做好人员分工及组内预演、培辅，确保人人有事做。

展研根据课件安排展示结研(10m in)同类演练:（1）如图，已知AD是△ABC的角平分线，且D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，求证：BE=CF3、你能用所学知识证明以上你发现的结论吗？已知：AD平分∠BAC，P为AD上的一点，PM⊥AB，PN⊥AC求证：证明：AB D CFEABCNMPD。

P N M C
B A D
C B A 2019-2020年(秋)八年级数学上册 12.3《角的平分线的性质》导学
案1（新版）新人教版
一、学习目标
1、会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”．
2、能应用这两个性质解决一些简单的实际问题．
3、极度热情、高度责任、自动自发、享受成功。

二、重点难点
教学重点：角平分线的性质及其应用
教学难点: 灵活应用两个性质解决问题。

三、合作探究
1、复习思考
（1）、画出三角形三个内角的平分线
你发现了什么特点吗？
（2）、如图，△ABC 的角平分线BM ，C N 相交于点P ，求证：点P 到三边AB ，BC ，CA 的距离
相等。

2、求证：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

（提示：先画图，并写出已知、求证，再加以证明）
四、精讲精练
1、精讲
例1、如图，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D ，E ，BE ，
CD 相交于点O ，OB ＝OC ，
求证∠1＝∠2
2、精练
1、50页练习题
2、能力提高(*) 如图，在四边形ABCD 中，BC>BA ，AD=DC,BD 平分∠ABC,求证：∠A+∠C=180°
五、课堂小结 这节课你有什么收获呢？与你的同伴进行交流
角平分线上的点到角两边的距离相等
到角两边距离相等的点在角的平分线上
六、作业
4、课本
教学反思：。

新人教版八年级上册数学导学稿：12.3角平分线的性质（1）【学习目标】1.会用三角形全等的知识来证明角平分线的定理.2.会用尺规作已知角的平分线.3.在利用尺规作图的过程中，培养动手操作能力与探索精神.【学习重点】会利用尺规作已知角的平分线.【学习难点】角的平分线的作图方法的叙述【学前准备】1.要求学生画几个三角形，再画出与三角形内有关的一些线段。

那么同学们在画三角形的角平分线的时候是怎么画的？2.现在只有直尺和圆规，你会画已知角的角平分线吗?想一想与我们前几节所学的知识有什么关系？能否联系前面的知识用尺规作图.【导入】【自主学习，合作交流】如图（1）刚才你画三角形的角平分线时用什么方法？再画已知∠AOB的角平分线.图（1）图(2)注意：三角形的角平分线是一条线段，而一个已知角的角平分线是一条射线，这两个概念是有区别的.【精讲点拔】1.如图（2）是一个平分角的仪器，其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE,AE就是∠DAB的平分线.你能说说这是为什么吗？2.角平分线的画法：已知：如图（3）∠AOB.求作：∠AOB的平分线.作法：（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于M，交OB于N.（2）分别以M,N为圆心，大于12MN的长为半径画弧两弧在∠AOB的内部交于点C.（3）画射线OC.射线OC即为所求.图（4）图(3)如图（3）平分平角∠AOB.通过上面的步骤得到射线OC以后，把它反向延长得到直线CD.直线CD与直线AB是什么关系？3.再动动手（见课本P20探究）你能得出什么结论？角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等下面我们证明这个性质，一般步骤如下：1．明确命题中的已知和求证；2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；3.经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.已知：求证：备注栏【当堂检测】如图，△ABC的∠B的外角平分线BD与∠C的外角平分线CE相交于点P。

12.3 角的平分线的性质第1课时角的平分线的性质1.掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质.2.掌握角平分线的画法.阅读教材P48-49“两个探究”，掌握并理解三角形的三条角平分线的性质，掌握角平分线的画法，学生独立完成下列问题：(1)把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线.(2)角的平分线的性质是角的平分线上的点到角的两边的距离相等.它的题设是角的平分线上的点，结论是到角的两边的距离相等.自学反馈(1)如图，已知∠C＝90°，AD平分∠BAC，BD＝2CD，若点D到AB的距离等于5cm，则BC的长多少？解：15cm.(2)已知：如图，∠AOB.求作：∠AOB的平分线OC.作法：略.角平分线的性质是证明线段相等的另一途径，通常能使证明过程简略.其前提条件有两条，角平分线和垂直.活动1 小组讨论例1 已知：如图，直线AB及其上一点P.求作：直线MN，使得MN⊥AB于P.作法：略.例2 已知：如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.求证：DE＝DF.证明：在△ABD与△ACD中，∵AB=A C，AD=AD，B D=CD，∴△ABD≌△ACD.∴∠BAD＝∠CAD.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.先利用等腰三角形顶角平分线、底边上的中线互相重合证得AD为顶角平分线，然后运用角平分线的性质证DE=D F.活动2 跟踪训练1.已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，试在AC上找一点P，使P到斜边的距离等于PC.(画出图形，并写出画法)解：作∠B的平分线交AC于点P.2.如图，已知△ABC内，∠ABC，∠ACB的角平分线交于点P，且PD、PE、PF分别垂直于BC、AC、AB于D、E、F三点.求证：PD＝PE＝PF.证明：∵BP是∠ABC的平分线，PF⊥AB，PD⊥BC，∴PF=PD.同理证得PE=PD.∴PD=PE=PF.角平线的性质是证线段相等的另一途径.3.已知,如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，E、F分别是AB、AC上一点，并且有∠EDF＋∠EAF＝180°.试判断DE和DF的大小关系并说明理由.解：结论：DE=DF.(提示：过点D作DM⊥AB于点M，作DN⊥AC于点N，则DM⊥DN，再证△DME≌△DNF，∴D E=DF.)在已知角的平分线的前提下，做两边的垂线段是常用辅助线之一.活动3 课堂小结在本节中，在已知角平分线的条件下，常想到过角平分线上的点向角两边做垂线段的方法.在已知角平分线的条件下，也可想到翻折造全等的方法.教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.。

新人教八年级上册第十二章12.3角的平分线的性质第1课时角平分线性质一、新课导入1.导入课题：投影教材第48页开头的“思考”中的文字和图形，让学生说明道理后提出问题：你能从“思考”中得到的启示通过运用尺规作一个角的平分线吗？2.学习目标：（1）学会角平分线的画法.（2）探究并认知角平分线的性质.（3）熟练地运用角平分线的性质解决实际问题.3.学习重、难点：重点：角的平分线的性质.难点：运用角平分线的性质解决相关的问题.二、分层学习1.自学指导：（1）自学内容：探究“角平分线的作法”.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：阅读、作图、总结、归纳.（4）自学参考提纲：①投影中AE平分∠DAB是由什么方法得到∠DAE=∠BAE？证明△ABC≌△ADC(SSS).②由平分角的仪器尝试画∠AOB的平分线.③由导入得到作角平分线的方法：a.作法(1)能得到OM=ON；b.作法(2)能得到MC=NC；c.由SSS方法判定△OMC≌△ONC，得到∠MOC＝∠NOC，∴OC是∠AOB的平分线;d.在作法的第二步中，去掉“大于12MN的长”这个条件行吗？不行.2.自学：学生结合自学指导进行探究式学习.3.助学：(1)师助生：①明了学情：利用角平分仪悟出画角平分线的方法，由实物抽象出几何图形，应用了数学里面的建模思想，部分学生理解起来还存在一定的困难.②差异指导：a.引导学生理解角平分仪平分角的道理是证明两角相等，回忆前面证明角相等的方法是证明三角形全等.b.在尺规作图的过程中引导学生运用三角形三边关系定理，理解“大于12MN的长”这个条件.（2）生助生：学生之间相互交流帮助.4.强化：（1）让学生口述角平分线的作法步骤.（2）尝试练习：作出△ABC的三条角平分线（保留作图痕迹，写出作法）.（3）练习：平分平角∠AOB，通过作角平分线得到射线OC，然后反向延长OC得到直线CD，直线CD与直线AB存在什么样的位置关系？互相垂直.（4）给一张三角形纸片，你能不借助任何工具找到某一个角的平分线吗？能，将这个三角形沿过一个顶点的线折叠，使在该顶点的角的两边重合，则该线就是这个角的平分线.1.自学指导：（1）自学内容：探究“角平分线上的点到角的两边的距离相等”.（2）自学时间：5分钟.（3）学习方法：先通过折纸画图、测量得出角平分线的性质，再探究几何证明方法.（4）探究提纲：①如图，OC平分∠AOB，点P是OC上任一点，P点到OA、OB的距离怎么找？过点P分别向OA、OB作垂线，P点与垂足之间的线段的长就是P点到OA、OB的距离.②这两个距离可采用什么方法得到它们的大小关系？证三角形全等，然后得出这两个距离相等.③用你采用的方法，得到了什么结论？结论：角的平分线上的点到角的两边的距离相等..④将性质用图形、几何语言表示（填写下表）：图形：已知事项：已知∠AOB,OC是∠AOB的平分线，P为OC上一点，且PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D、E.由已知事项推出的事项：PD=PE⑤根据探究的内容，写出已知、求证及证明结论的过程.已知：∠AOC=∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D、E.求证：PD=PE.证明：∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO,∠AOC=∠BOC,OP=OP,∴△PDO≌△PEO(AAS),∴PD=PE.⑥由上述证明过程，总结证明一个几何命题的一般步骤：1.明确命题中的已知和求证;2.根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证;3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.2.自学：学生可结合自学指导探究式学习.3.助学：(1)师助生：①明了学情：通过第二层次的学习，学生能够理解角平分线的性质定理，但在证明过程中，大部分学生不习惯把文字语言改成几何语言，教师应了解学生在几何表述中存在的问题.②差异指导：得出结论之后，要通过证明，才能确定命题的正确性，引导学生学会证明文字语言描述的几何题的步骤.(2)生助生：学生之间相互交流帮助.4.强化：(1)用文字及几何语言表述定理；(2)证明题的基本步骤.三、评价1.学生的自我评价：学生相互交谈自己的收获和学习困惑.2.教师对学生的评价：(1)表现性评价：对学生的学习态度、方法、成果及存在的不足进行点评.(2)纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）：本节课由于采用了动手操作、直观模型的观察以及讨论交流等教学方法.从而有效地增强了学生对角以及角的平分线的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感性.所以本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的，不是之处：少数学生在尺规作图上还存在问题，需要在今后的教学与作业中进一步加强巩固和训练.一、基础巩固（第1、2、3题每题10分，第4题20分，共50分）1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.2.如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D．下列结论中错误的是(D)A.PC=PDB.OC=ODC.∠CPO=∠DPOD.OC=PO第2题图第3题图第4题图3.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，若AB=10cm，则△DBE的周长等于(A)A.10cmB.8cmC.6cmD.9cm4.如图，P是∠AOB角平分线上的点，C、D分别是OA、OB上的点，且PC=PD，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，求证：CE=DF.证明：∵OP是∠AOB的平分线，PE⊥OA,PF⊥OB,∴∠PEC=∠PFD=90°,PE=PF,在Rt△PEC和Rt△PFD中，PC=PD,PE=PF,∴Rt△PEC ≌Rt△PFD(HL),∴CE=DF.二、综合应用（第5题10分，第6题20分，共30分）5.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，DE ⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，则下列四个结论：①AD上任意一点到点C、点B的距离相等；②AD上任意一点到AB，AC的距离相等；③BD=CD，AD⊥BC；④∠BDE=∠CDF．其中，正确的个数是（D）A.1个B.2个C.3个D.4个第5题图第6题图6.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，∠B=90°，DF⊥AC，垂足为F，DE=DC，求证：BE=CF.证明：∵DF⊥AC,∴∠DFA=∠B=90°.∵AD为∠BAC的平分线，∴DB=DF.在Rt△BDE和Rt△FDC中，DE=CD,DB=DF,∴Rt△BDE≌Rt△FDC（HL）.∴BE=CF.三、拓展延伸（20分）7.如图，点D、B分别在∠MAN的两边上，C是∠MAN内一点，AB=AD，BC=CD，CE⊥AM于E，CF⊥AN于F.求证：CE =CF.证明：在△ABC和△ADC中，AB=AD,BC=DC,AC=AC,∴△ABC ≌△ADC(SSS).∴∠DAC=∠BAC.∴AC平分∠MAN.∵CE⊥AM,CF⊥AN,∴CE=CF.。

12.3.1 角的平分线的性质【目标导引】1.掌握角平分线的性质.2.你会用角平分线的性质进行推导说理吗?【学习探究】一、铺垫导入与自主预习1.角平分线的定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫这个角的平分线．表达方式：如图12.3—1，∵OC 是∠AOB 的平分线，∴ ∠1=∠2（或∠AOB=2∠1=2∠2或 ∠1=∠2= ∠AOB ）2.角平分线的画法：你能用什么方法作出∠AOB 的平分线OC?（可由学生任选方法画出OC ）．可以用尺规作图，可以用折纸的方法．二、知识探究与合作学习3.创设探究角平分线性质的情境：对于图12.3—2来说：(1)P 是∠DOE 平分线上一点，PD 、PE 与∠DOE 的边有怎样的位置关系?(2)点P 到∠DOE 两边的距离可以用哪些线段来表示?（3）PD 、PE 有怎样的数量关系?与同伴交流并阐明理由．图12.3.1—1 图12.3.1—24.总结结论:_________________(角平分线性质)【当堂演练】1．如图12.3—3所示，在△ABC 中，∠A ＝90°，BD 平分∠ABC ，AD ＝2 cm ，则点D 到BC 的距离为________cm ．2．如图12.3—4在△ABC 中，∠ACB=90°，BE 平分∠ABC ，ED ⊥AB ，垂足为D ，若AC=5cm ，则AE+DE 等于（ ）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm3．如图12.3—5所示，P 是∠AOB 的平分线上的一点，PC ⊥OA ，垂足为C ，PD ⊥OB ，垂足为D ，写出图中一组相等的线段并说明理由．（一组即可）1. 如图12.3—6所示，在直角三角形ABC 中，∠C=90°，∠1=∠2，CD=2，AB=7，求△ABD 的面积.图12.3.1—3图12.3.1—4图12.3.1—5 图12.3.1—65．如图12.3—7，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝40，AD是∠BAC的平分线交BC于D，且DC∶DB＝3∶5，则点D到AB的距离是．6．如图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD．求证：AD平分∠BAC. 7．如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点， DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB.【拓展延伸】一、归纳反思1.角平分线上的任意一点，到角相等．2．角平分线定理与角平分线定义的区别是．3．角平分线定理的实质是利用了哪一种全等的判定?二、能力提升4．如图12.3—8，已知AB∥CD，O为∠A、∠C的角平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE=2，求两平行线间AB、CD的距离．3题图DC BA图12.3.1—7图12.3.1—85．如图12.3—9所示，已知AD为等腰三角形ABC的底角的平分线，∠C＝90°，求证：AB＝AC＋CD．图12.3.1—9。

精选教学设计角均分线的性质（1）一、学习目标1、能用三角形全等的知识，解说角均分线的原理；2、会用尺规作已知角的均分线．学习要点：会用尺规作一个已知角的均分线学习难点：会用角的均分线的性质.学习过程：一、自主学习如图 1 ，在∠AOB 的两边 OA 和 OB 上分别取OM=ON，MC⊥OA，NC⊥ OB．MC与NC交于C 点．求证：（ 1 ） Rt △MOC ≌Rt △NOC（ 2 ）∠MOC = ∠NOC ．图 11、依照上题我们应如何均分一个角呢？2 、思虑 :把上边的方法改为“在已知∠AOB 的两边上分别截取OM=ON，使MC=NC，连结OC，则 OC 即为∠AOB 的均分线。

”结论能否仍旧建立呢？3 、受上题的启迪，我们能够制作一个如图 2 所示的均分角的仪器：此中AB=AD，BC=DC．将点A 放在角的极点，AB 和 AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE，AE 就是角均分线．你能说明它的道理吗？思虑：如何作出一个角的均分线呢？图 2 已知：∠ AOB ．求作：∠ AOB 的均分线．作法：（ 1 ）以 O 为圆心，适合长为半径作弧，分别交OA 、 OB 于 M 、N ．（ 2 ）分别以 M 、N 为圆心，大于1MN 的长为半径作弧．两弧在∠AOB 内部交于点 C．2（ 3 ）作射线 OC ，射线 OC 即为所求． A请同学们依照以上作法画出图形。

O B1议一议： 1 、在上边作法的第二步中，去掉“大于MN 的长”这个条件行吗？22 、第二步中所作的两弧交点必定在∠ AOB的内部吗？二、合作沟通研究与展现如图 3 ， OA 是∠BAC 的均分线，点O 是射线 AM 上的随意一点.操作丈量：取点O 的三个不一样的地点，分别过点O 作 OE⊥ AB ， OD⊥ AC,点D、E为垂足，丈量OD 、OE 的长 .将三次数据填入下表：察看丈量结果，猜想线段 OD 与 OE 的大小关系，写出结论：OD OE第一次第二次第三次图 4 下边用我们学过的知识证明发现：已知：如图 4 ， AO 均分∠BAC ， OE⊥ AB ， OD ⊥AC 。

12.3角的平分线的性质（一）学习目标1．通过探究理解角平分线的性质并会运用2．掌握尺规作图作角平分线3. 全力以赴，激情投入，享受成功学习的快乐，感受数学严谨推理美.重点：角的平分线的性质的证明及应用.难点：角的平分线的性质的探究.预习案使用说明学法指导诵读教材P48-P49的内容，进行知识梳理；熟记基础知识.教材助读图4是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC= DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE 问题1:AE是∠DAB的平分线吗?要证明AE就是∠DAB的平分线，只需证明什么就可以?问题2:你能不能给出详细的证明步骤?可以试着写一写.探究案探究点一：用尺规作一个角的平分线已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线OC 探究点二如图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，过点P画出OA，OB的垂线，分别记垂足为D，E，测量PD，PE并作比较，你得到什么结论？在OA上再取几个点试一试。

通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？用三角形全等证明这个性质已知：求证:探究点三1．已知：△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F,求证：EB＝FC2．(一题多证)如图9，点E是∠AOB平分线上的一点，EC⊥OB，ED⊥OA，垂足分别是C，D.求证:OC=OD.探究点四3．如图14，在⊿ABC中，∠C= 90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，若AB=10 Cm，求：⊿DBE的周长.当堂检测1. 如图10所示，在Rt⊿ABC中，∠C = 90°，BD平分∠ABC，若CD=n，AB=m，贝⊿ABD的面积是（）A31mn B21mn C mn D 2mn2. 如图11，在⊿ABC中，AB=AC，AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，下面三个结论:①DA平分∠EDF;②AE=AF;③AD上的点到B，C两点的距离相等，其中正确的个数是( )A 1B 2C 3D 43.如图，在R t⊿ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，AD =BD=2CD，点D到AB的距离为 5.6 cm，求：BC的长。

§12.3 角的平分线的性质(1)教学内容本节课首先介绍作一个角的平分线的方法，然后用三角形全等证明角平分线的性质定理．教学目标1．知识与技能通过作图直观地理解角平分线的两个互逆定理．2．过程与方法经历探究角的平分线的性质的过程，领会其应用方法．3．情感、态度与价值观激发学生的几何思维，启迪他们的灵感，使学生体会到几何的真正魅力．重、难点与关键1．重点：领会角的平分线的两个互逆定理．2．难点：两个互逆定理的实际应用．3．•关键：可通过学生折纸活动得到角平分线上的点到角的两边的距离相等的结论．利用全等来证明它的逆定理．教具准备投影仪、制作如课本图11．3─1的教具．教学方法采用“问题解决”的教学方法，让学生在实践探究中领会定理．教学过程一、创设情境，导入新课【问题探究】（投影显示）如课本图11．3─1，是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线，你能说明它的道理吗？【教师活动】首先将“问题提出”，然后运用教具（如课本图11．3─1•）直观地进行讲述，提出探究的问题．【学生活动】小组讨论后得出：根据三角形全等条件“边边边”课本图11．3─1判定法，可以说明这个仪器的制作原理．【教师活动】请同学们和老师一起完成下面的作图问题．操作观察：已知：∠AOB．求法：∠AOB的平分线．作法：（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OBMN的长为半径作弧，两弧在于N．（2）分别以M、N为圆心，大于12∠AOB的内部交于点C．（3）作射线OC，射线OC•即为所求（课本图11．3─2）．【学生活动】动手制图（尺规），边画图边领会，认识角平分线的定义；同时在实践操作中感知．【媒体使用】投影显示学生的“画图”．【教学形式】小组合作交流．二、随堂练习，巩固深化课本P19练习．【学生活动】动手画图，从中得到：直线CD与直线AB是互相垂直的．【探研时空】（投影显示）如课本图12．3─3，将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？【教师活动】操作投影仪，提出问题，提问学生．【学生活动】实践感知，互动交流，得出结论，“从实践中可以看出，第一条折痕是∠AOB 的平分线OC ，第二次折叠形成的两条折痕PD 、PE 是角的平分线上一点到∠AOB 两边的距离，这两个距离相等．” 论证如下：已知：OC 是∠AOB 的平分线，点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别是D 、E （课本图11．3─4）求证：PD=PE ．证明：∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴∠PDO=∠PEO=90°在△PDO 和△PEO 中，,,,PDO PEO AOC BOC OP OP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△PDO ≌△PEO （AAS ）∴PD=PE【归纳如下】角的平分线上的点到角的两边的距离相等．【教学形式】师生互动，生生互动，合作交流．三、情境合一，优化思维【问题思索】（投影显示）如课本图11．3─5，要在S 区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，•离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20 000）？【学生活动】四人小组合作学习，动手操作探究，获得问题结论．从实践中可知：角平分线上的点到角的两边距离相等，将条件和结论互换：到角的两边的距离相等的点也在角的平分线．证明如下：已知：PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别是D 、E ，PD=PE ．求证：点P 在∠AOB 的平分线上．证明：经过点P 作射线OC ．∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB∴∠PDO=∠PEO=90°在Rt △PDO 和Rt △PEO 中，,,OP OP PD PE =⎧⎨=⎩∴Rt △PDO ≌Rt △PEO （HL ）∴∠AOC=∠BOC ，∴OC 是∠AOB 的平分线．【教师活动】启发、引导学生；组织小组之间的交流、讨论；帮助“学困生”．【归纳】到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．【教学形式】自主、合作、交流，在教师的引导下，比较上述两个结论，弄清其条件和结论，加深认识．四、范例点击，应用所学【例】 如课本图12．3─6，△ABC 的角平分线BM ，CN 相交于点P ，求证：点P•到三边AB ，BC ，CA 的距离相等．【思路点拨】因为已知、求证中都没有具体说明哪些线段是距离，而证明它们相等必须标出它们．所以这一段话要在证明中写出，同辅助线一样处理．如果已知中写明点P到三边的距离是哪些线段，那么图中画实线，在证明中就可以不写．【教师活动】操作投影仪，显示例子，分析例子，引导学生参与．证明：过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F．∴BM是△ABC的角平分线，点P在BM上．∴PD=PE同理 PE=PF∴PD=PE=PF即点P到边AB、BC、CA的距离相等．【评析】在几何里，如果证明的过程完全一样，只是字母不同，可以用“同理”二字概括，省略详细证明过程．【学生活动】参与教师分析，主动探究学习．五、随堂练习，巩固深化课本P22练习．六、课堂总结，发展潜能1．学生自行小结角平分线性质及其逆定理，和它们的区别．2．说明本节例子实际上是证明三角形三条角平分线相交于一点的问题，•说明这一点是三角形的内切圆的圆心（为以后学习设伏）．七、布置作业，专题突破1．课本P22习题11．3第1、2、3题．2．选用课时作业设计．八、板书设计把黑板分成三部分，左边部分板书概念、定理等，中间部分板书探究，右边部分板书例题，重复使用时，中间部分和右边部分板书练习题．九、教学反思：课本上安排的知识要求比较多：有角平分线的尺规作图、过直线上的点作已知直线的垂线、角平分线的性质定理及其应用.有学生的前置学习，这几部分的内容在课上比较好的得到了实现，这是“协进课堂”优势的地方.但是，本课回想起来还是比较平淡，最强烈的感受：利用角平分线的性质定理可以优化我们的证题思路、角平分线性质定理的基本图形可以提醒学生证题思路的确定，学生没有真真切切的体验.这就使我们思考，如何在“协进课堂”模式下使学生对新知识的产生和新知识的应用有更为深刻的体验.§12.3 角的平分线的性质（巩固练习）教学内容本节课主要是对角的平分线的性质定理的应用展开讨论，让学生熟练地应用它们解决实际问题．教学目标1．知识与技能能应用角的平分线的性质定理解决一些实际的问题．2．过程与方法经历探索角的平分线性质的应用过程，领会几何分析的内涵，掌握综合法的表达思想．3．情感、态度与价值观激发学生的逻辑思维，在比较中获取知识，使学生感悟几何的简练思维．重、难点与关键1．重点：应用角的平分线性质定理．2．难点：应用“综合法”进行表达．3．关键：通过观察、操作、分析来感悟定理的内涵，•抓住问题的因果关系进行推理．教具准备投影仪、幻灯片、直尺、圆规．教学方法一、回顾交流，练中反思【概念复习】【教学提问】同学们能否从集合的观点来说明角的平分线的性质．【学生活动】在教师对“集合”的思想做初步讲解后，学生可以通过交流得出：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合．【分层练习】（投影显示）1．已知：如图1，△ABC 中，AD 是角的平分线，BD=CD ，DE 、DF 分别垂直于AB 、AC ，E 、F 是垂足，求证：EB=FC ．【思路点拨】只要证明EB 和FC 分别所在的两个三角形全等（△EBD ≌△FCD ）．【教师活动】操作投影仪，巡视，启发引导，适时提问．【学生活动】小组合作学习，寻求解题思路，踊跃上台演示自己的证明．证明：∵AD 是角的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE=DF在△EBD 和△FCD 中，90,,.BED CFD BD CD DE DF ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△EBD ≌△FCD （HL ）∴EB=FC【媒体使用】投影显示“分层练习1”和学生的练习．【教学形式】小组合作（4人小组）交流，然后全班汇报，以练促思．2．已知：如图2，河的南区有一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，并且与河上公路桥的距离为300米，在图上标出工厂的位置，并说明理由．【思路点拨】画图略，根据角的平分线性质，工厂应在河流与公路交角的平分线上．【教师活动】操作投影仪，提出问题，参与学生的思考和讨论．【学生活动】分四人小组积极地讨论，得出结论，踊跃发表自己的看法．【媒体使用】投影显示“分层练习2”．【教学形式】合作学习，生生互动交流．二、操作观察，辨析理解【操作思考】（投影显示）首先按如下步骤进行操作：（1）在一张纸上任意画一个角（角的边不要画得太短）∠AOB．（2）剪下所画的角．（3）折叠所画的角，使角的两边OA与OB重合，设折痕为Ox，如图3．（4）在折叠形成的两层纸之间放入复写纸．（5）在Ox上取一点P，并且过点P画OA的垂线．（6）拿出复写纸，并且把折叠的纸展开观察展开后的图形，并进行思考，上面的操作反映了哪条规律？是课本上一节课中的那个概念吗？【教师活动】操作投影仪，巡视，参与学生的讨论，引导启发．【学生活动】分四人小组合作学习，从操作中感悟知识和规律，得到结论：反映规律是：角的平分线上的点到角的两边距离相等．【媒体使用】投影显示“操作思考”．【教学形式】分四人小组合作学习，动手动脑，互动交流．三、课堂演练，系统跃进1．已知：如图4，AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E、F是垂足，DE=BF．求证：（1）AE=CF；（•2）AB∥CD．[提示]应用HL证Rt△ABC≌Rt△CED2．已知：如图5，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，•垂足分别是M、N，求证PM=PN．[提示]∵∠ABD=∠CBD，AB=CB，BD=BD，∴△ABD≌△CBD，∴∠ADB=∠CDB，又PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM=PN．四、课堂总结，发展潜能由学生分四人小组进行学习反思，然后各小组汇报学习情况．五、布置作业，专题突破1．课本P51习题12．3第4、5题．DB AN PM六、板书设计把黑板分成左右两份，左边板书概念和例题，右边板书学生的练习，重复使用．七、教学反思；课本上安排的知识要求比较多：有角平分线的尺规作图、过直线上的点作已知直线的垂线、角平分线的性质定理及其应用.有学生的前置学习，这几部分的内容在课上比较好的得到了实现，这是“协进课堂”优势的地方.但是，本课回想起来还是比较平淡，最强烈的感受：利用角平分线的性质定理可以优化我们的证题思路、角平分线性质定理的基本图形可以提醒学生证题思路的确定，学生没有真真切切的体验.这就使我们思考，如何在“协进课堂”模式下使学生对新知识的产生和新知识的应用有更为深刻的体验.。