高中数学人教A版选修4-5练习基本不等式 Word版含解析

一、选择题1．下列结论不正确的是（ ） A ．若a b >，0c >，则ac bc > B ．若a b >，0c >，则c c a b> C ．若a b >，则a c b c +>+D ．若a b >，则a c b c ->-2．若存在实数x 使得不等式2113x x a a +--≤-成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．3317,22⎛⎡⎫+-∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭B ．(][) ,21,-∞-+∞C ．[]1,2D ．(][),12,-∞+∞3．两个正实数a ，b 满足3a ，12，b 成等差数列，则不等式2134m m a b+≥+恒成立时实数m 的取值范围是（ ） A ．[]4,3-B ．[]2,6-C ．[]6,2-D ．[]3,4-4．若不等式()()2||20x a b x x ---≤对任意实数x 恒成立，则a b +=（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．25．若a 、b 、R c ∈，且a b >，则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．11a b<B ．ac bc ≥C ．20c a b >-D ．()20a b c -≥6．已知log e a π=，ln eb π=，2e lnc π=，则（ ） A ．a b c << B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c b a <<7．若112a b <<<，01c <<，则下列不等式不成立．．．的是（ ） A ．log log a b c c < B ．log log b a a c b c < C ．c c ab ba <D ．c c a b <8．下列命题中错误．．的是（ ） A ．若,a b b c >>，则a c > B ．若0a b >>，则ln ln b a < C ．若a b >，则22a b >D ．若a b >， 则22ac bc >9．已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则（ ） A ．11x y x y->- B ．cos cos 0x y -< C ．110x y-> D ．ln x +ln y >010．不等式5310x x -++≥的解集是( )A ．[-5,7]B ．[-4,6]C ．(][),57,-∞-+∞ D ．(][),46,-∞-+∞11．已知,a b ∈R ，且2a bP +=，222a b Q +=，则P ，Q 的关系是（ ） A ．P Q ≥B ．P Q >C ．P Q ≤D ．P Q <12．若a b >，则下列不等式成立的是（ ） A ．22a b >B ．11a b< C ．a b >D ．a b e e >二、填空题13．不等式2log 5x a -<对任意[]4,16x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为____________. 14．已知平面向量a ，b ，c 满足1a =，||1b =，()c a b a b -+≤-，则||c 的最大值为___________．15．若不等式2240x x m +--≥的解集为R ，则实数m 的取值范围是_______.16．已知函数，若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是_______．17．若110a b>>有下列四个不等式①33a b <；②21log 3log 3a b ++>；b a b a -④3322a b ab +>.则下列组合中全部正确的为__________ 18．关于x 的不等式12x x m +--≥恒成立，则m 的取值范围为________19．已知正实数x ，y 满足40x y xy +-=，若x y m +≥恒成立，则实数m 的取值范围为_____________．20．若函数()f x 满足：对任意一个三角形，只要它的三边长,,a b c 都在函数()f x 的定义域内，就有函数值()()(),,f a f b f c 也是某个三角形的三边长.则称函数()f x 为保三角形函数，下面四个函数：①()()20f x x x =>；②())0f x x x =>；③()sin 02f x x x π⎛⎫=<< ⎪⎝⎭；④()cos 02f x x x π⎛⎫=<<⎪⎝⎭为保三角形函数的序号为___________．三、解答题21．已知函数()36f x x =+，()3g x x =-． （Ⅰ）求不等式()()f x g x >的解集；（Ⅱ）若()3()f x g x a +≥对于任意x ∈R 恒成立，求实数a 的最大值． 22．函数()212f x x x =-++.（1）求函数()f x 的最小值；（2）若()f x 的最小值为M ，()220,0a b M a b +=>>，求证：141213a b +≥++. 23．（1）设1≥x ，1y ≥，证明：111x y xy xy x y++≤++； （2）设1a b c ≤≤≤，证明：log log log log log log a b c b c a b c a a b c ++≤++. 24．已知()13f x x x =++-．（1）求直线8y =与函数()y f x =的图象所围图形的面积； （2）若()211f x a a ≥++-对一切实数x 成立，求a 的取值范围． 25．已知()|1||21|f x x x =+--. （1）求不等式()0f x >的解集；（2）若x ∈R ，不等式()23f x x a ≤+-恒成立，求实数a 的取值范围. 26．已知0a >，0b >，函数()|||2|f x x a x b =++-的最小值为1. （1）求2a b +的值；（2）若2a b tab +≥恒成立，求实数t 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据不等式的性质，对选项逐一分析，由此得出正确选项. 【详解】对于A 选项，不等式两边乘以一个正数，不等号不改变方程，故A 正确.对于B 选项，若2,1,1a b c ===，则c ca b<，故B 选项错误.对于C 、D 选项，不等式两边同时加上或者减去同一个数，不等号方向不改变，故C 、D 正确.综上所述，本小题选B. 【点睛】本小题主要考查不等式的性质，考查特殊值法解选择题，属于基础题.2．D解析：D 【分析】由题意可转化为()2min311a a x x -≥+--，转化为求11x x +--的最小值，解不等式，求a 的取值范围. 【详解】若存在实数x 使得不等式2113x x a a +--≤-成立，可知()2min311a a x x -≥+--当1x ≤-时，11112x x x x +--=--+-=-，当11x -<<时，11112x x x x x +--=++-=，222x -<<， 当1≥x 时，11112x x x x +--=+-+=， 所以11x x +--的最小值为-2， 所以232a a -≥-，解得：2a ≥或1a ≤. 故选：D 【点睛】本题考查不等式能成立，求参数的取值范围，重点考查转化思想，计算能力，属于基础题型，本题的关键是将不等式能成立，转化为求函数的最小值.3．C解析：C 【分析】由题意利用等差数列的定义和性质求得13a b =+，再利用基本不等式求得112ab，根据题意，2412m m +，由此求得m 的范围． 【详解】 解：两个正实数a ，b 满足3a ，12，b 成等差数列， 13a b ∴=+，123ab ∴，112ab∴，∴112ab． ∴不等式2134m m a b ++恒成立，即234a b m m ab++恒成立， 即214m m ab+恒成立． 2412m m ∴+，求得62m -，故选：C ． 【点睛】本题主要考查等差数列的定义和性质，不等式的恒成立问题，基本不等式的应用，属于基础题．4．D解析：D 【分析】可采用分类讨论法，分别讨论22x x -与x a b --的正负，确定,a b 之间的关系即可求解.【详解】当220x x -≥时，即[]02x ,∈时，||0x a b --≤恒成立，所以b a x b a -+≤≤+恒成立，所以2a b +≥且a b ≤； 当220x x -≤时，即(][),02,x ∈-∞+∞时，||0x a b --≥恒成立所以x a b ≥+或x a b ≤-恒成立，所以2a b +≤且a b ≥，综上，2a b += 故选：D 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，由含参数绝对值不等式求参数关系，分类讨论的数学思想，属于中档题5．D解析：D 【分析】利用不等式的性质证明，或者构造反例说明，即得解. 【详解】由题意可知，a 、b 、R c ∈，且a b > A ．若1,2a b ==-，满足a b >，则11a b>，故本选项不正确； B ．若1,2a b =-=-，满足,1a b c >=-，则ac bc <，故本选项不正确； C . 若0c,则20c a b=-，故本选项不成立；D ．22,0,()0a b c a b c >≥∴-≥ 故选：D 【点睛】本题考查了利用不等式的性质，判断代数式的大小，考查了学生综合分析，转化与划归的能力，属于基础题.6．B解析：B 【分析】因为1b c +=，分别与中间量12做比较，作差法得到12b c <<，再由211log e log e 22a ππ==>，最后利用作差法比较a 、c 的大小即可.【详解】解：因为1b c +=，分别与中间量12做比较，2223111ln ln e ln 022e 2eb ππ⎛⎫-=-=< ⎪⎝⎭，432211e 1e ln ln e ln 0222c ππ⎛⎫-=-=> ⎪⎝⎭，则12b c <<，211log e log e 22a ππ==>，()112ln ln 20ln ln a c ππππ-=--=+->，所以b c a <<， 故选：B . 【点睛】 本题考查作差法比较大小，对数的运算及对数的性质的应用，属于中档题.7．B解析：B 【分析】根据幂函数和对数函数的图象和性质，结合不等式的基本性质，对各选项逐一判断即可. 【详解】 对于A ：当112a b <<<，01c <<，由对数函数的单调性知，0log log a b c c <<，故A 正确； 对于B ：当112a b <<<，01c <<，设函数log c y x =为减函数，则log log 0c c a b >>，所以log log 0b a c c >>，因112a b <<<，则log b a c 与log a b c 无法比较大小，故B 不正确； 对于C ：当112a b <<<，01c <<，则10c -<，由指数函数的单调性知，11c c b a --<，将不等式11c c b a --<两边同乘ab ，得c c ab ba <，故C 正确；对于D ：当112a b <<<，01c <<，由不等式的基本性质知，c c a b <，故D 正确. 故选: B 【点睛】本题考查了幂函数和对数函数的图象和性质，不等式的基本性质，属于基础题.8．D解析：D 【分析】根据不等式的性质、对数函数和指数函数的单调性，对选项逐一分析，由此得出正确选项. 【详解】对于A 选项，根据不等式传递性可知，A 选项命题正确.对于B 选项，由于ln y x =在定义域上为增函数，故B 选项正确.对于C 选项，由于2x y =在定义域上为增函数，故C 选项正确.对于D 选项，当0c 时，命题错误.故选D.【点睛】本小题主要考查不等式的性质，考查指数函数和对数函数的单调性，属于基础题.9．A解析：A 【分析】结合选项逐个分析，可选出答案. 【详解】结合x ，y ∈R ，且x >y >0，对选项逐个分析： 对于选项A ，0x y ->，110y x x y xy--=<，故A 正确； 对于选项B ，取2πx =，3π2y =，则3cos cos cos 2cos 1002x y -=π-π=->，故B 不正确； 对于选项C ，110y xx y xy--=<，故C 错误； 对于选项D ，ln ln ln x y xy +=，当1xy <时，ln 0xy <，故D 不正确. 故选A. 【点睛】本题考查了不等式的性质，属于基础题.10．D解析：D 【分析】零点分段后分类讨论求解不等式的解集即可. 【详解】 分类讨论：当5x ≥时，不等式即：5310x x -++≥，解得：6x ≥； 当35x -<<时，不等式即5310x x ---≥，此时不等式无解； 当3x ≤-时，不等式即：5310x x -+--≥，解得：4x ≤-； 综上可得，不等式的解集为(][),46,-∞-⋃+∞. 本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．C解析：C 【解析】分析：因为P 2﹣Q 2=﹣2()4a b -≤0，所以P 2≤Q 2，则P≤Q ，详解：因为a ，b ∈R ，且P=2a b +，，所以P 2=2224a b ab ++，Q 2=222a b +，则P 2﹣Q 2=2224a b ab ++﹣222a b +=2224ab a b --=﹣2()4a b -≤0， 当且仅当a=b 时取等成立，所以P 2﹣Q 2≤0，即P 2≤Q 2，所以P≤Q ， 故选：C ．点睛：比较大小的常用方法 （1）作差法：一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差. （2）作商法：一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论.（3）函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系. （4）借助第三量比较法12．D解析：D 【解析】分析：根据不等式的性质，通过举例，可判定A 、B 、C 不正确，根据指数函数的性质，即可得到D 是正确的.详解：当1,2a b ==-时，满足a b >，此时2211,,a b a b a b<，所以A 、B 、C 不正确；因为函数x y e =是单调递增函数，又由a b >，所以a b e e >，故选D.点睛：本题主要考查了不等式的性质的应用和指数函数的单调性的应用，其中熟记不等式的基本性质和指数函数的单调性是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.二、填空题13．【分析】先去绝对值转化为再转化为求的最大值与最小值得到答案【详解】由得又由则则的最大值为的最小值为则故答案为：【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法对数函数的值域的求法还考查了将恒成立问题转化为求最值 解析：()1,7-【分析】先去绝对值，转化为22log 5log 5x a x -<<+，再转化为求2log ,[4,16]y x x =∈的最大值与最小值，得到答案. 【详解】由2log 5x a -<，得22log 5log 5x a x -<<+，又由2log ,[4,16]y x x =∈， 则[2,4]y ∈，则25log x -的最大值为1-，2log 5x +的最小值为7，则17a -<<. 故答案为：()1,7- 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，对数函数的值域的求法，还考查了将恒成立问题转化为求最值问题，转化与化归思想，属于中档题.14．【分析】只有不等号左边有当为定值时相当于存在的一个方向使得不等式成立适当选取使不等号左边得到最小值且这个最大值不大于右边【详解】当为定值时当且仅当与同向时取最小值此时所以因为所以所以所以当且仅当且与解析：【分析】只有不等号左边有c ，当||c 为定值时，相当于存在c 的一个方向使得不等式成立． 适当选取c 使不等号左边得到最小值，且这个最大值不大于右边． 【详解】当||c 为定值时，|()|c a b -+当且仅当c 与a b +同向时取最小值， 此时|()|||||||c a b c a b a b -+=-+-，所以||||||c a b a b ++-．因为||||1a b ==，所以2222()()2()4a b a b a b ++-=+=，所以22222(||||)()()2||||2[()()]8a b a b a b a b a b a b a b a b ++-=++-++-++-= 所以||||||22c a b a b ++-，当且仅当a b ⊥且c 与a b +同向时取等号．故答案为 【点睛】本题考察平面向量的最值问题，需要用到转化思想、基本不等式等，综合性很强，属于中档题．15．【分析】构造函数得出函数表示为分段函数的形式并求出函数的最小值可得出实数的取值范围【详解】构造函数由题意得当时当且仅当时等号成立；当时此时函数单调递增则所以函数的最小值为因此故答案为【点睛】本题考查 解析：3m ≤【分析】构造函数()224f x x x =+-，得出()min m f x ≤，函数()y f x =表示为分段函数的形式，并求出函数()y f x =的最小值，可得出实数m 的取值范围． 【详解】构造函数()224f x x x =+-，由题意得()min m f x ≤.当2x ≤时，()()2224133f x x x x =-+=-+≥，当且仅当1x =时，等号成立； 当2x >时，()()222415f x x x x =+-=+-，此时，函数()y f x =单调递增，则()()24f x f >=.所以，函数()y f x =的最小值为()min 3f x =，因此，3m ≤，故答案为3m ≤． 【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查参变量分离与分类讨论思想，对于这类问题，一般转化为最值来求解，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，属于中等题．16．【解析】试题分析：由题意得对任意总成立即对任意总成立而当且仅当时取=则实数的取值范围是考点：基本不等式求最值 解析：()2,π-+∞【解析】试题分析：由题意得()=()f x x a x π-<对任意0x <总成立，即a x xπ>+对任意0x <总成立，而2x xππ+≤-，当且仅当x π=-时取“=”，则实数的取值范围是()2,π-+∞考点：基本不等式求最值17．①③【分析】由条件可知利用作差或是不等式的性质或是代特殊值判断不等式是否正确【详解】则正确故①正确；但不确定和的大小关系所以的正负不确定故②不正确；即故③正确；当时当时故④不正确；故答案为：①③【点解析：①③ 【分析】由条件可知0b a >>，利用作差，或是不等式的性质，或是代特殊值，判断不等式是否正确. 【详解】1100a b a b>>⇒<<，则33a b <正确，故①正确；()()()()()()33213333log 1log 211log 3log 3log 2log 1log 2log 1a b b a a b a b +++-+-=-=++++，()()33log 20,log 10a b +>+>，但不确定1b +和2a +的大小关系，所以()()33log 1log 2b a +-+的正负不确定，故②不正确；0b a >>，0>，(()22b a b a -=+---，20a =-=<<③正确； 当1,2a b ==时，33220a b ab +-> 当2,3a b ==时，33220a b ab +-<，故④不正确；故答案为：①③【点睛】方法点睛：1.利用不等式的性质判断，把要判断的结论和不等式的性质联系起来考虑，先找到与结论相近的性质，再判断.2.作差（或作商）比较法，先作差（商），变形整理，判断符号（或与1比较），最后判断大小；3.特殊值验证的方法，运用赋值法排除选项.18．【分析】由题意得由绝对值三角不等式求出函数的最小值从而可求出实数的取值范围【详解】由题意得由绝对值三角不等式得因此实数的取值范围是故答案为【点睛】本题考查不等式恒成立问题同时也考查了利用绝对值三角不 解析：(],3-∞-【分析】 由题意得()min 12m x x ≤+--，由绝对值三角不等式求出函数12y x x =+--的最小值，从而可求出实数m 的取值范围.【详解】 由题意得()min 12m x x ≤+--， 由绝对值三角不等式得()()12123x x x x +--≥-+--=-，3m ∴≤-， 因此，实数m 的取值范围是(],3-∞-，故答案为(],3-∞-.【点睛】本题考查不等式恒成立问题，同时也考查了利用绝对值三角不等式求最值，解题时要结合题中条件转化为函数的最值来求解，考查化归与转化数学思想，属于中等题.19．【分析】由等式x+4y ﹣xy ＝0变形得将代数式x+y 与代数式相乘并展开利用基本不等式可求出x+y 的最小值从而可求出m 的取值范围【详解】由于x+4y ﹣xy ＝0即x+4y ＝xy 等式两边同时除以xy 得由基解析：9m ≤【分析】由等式x +4y ﹣xy ＝0，变形得411x y +=，将代数式x +y 与代数式41x y+相乘并展开，利用基本不等式可求出x +y 的最小值，从而可求出m 的取值范围．【详解】由于x +4y ﹣xy ＝0，即x +4y ＝xy ，等式两边同时除以xy 得，411x y+=，由基本不等式可得()414559y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥=⎪⎝⎭， 当且仅当4y x x y=，即当x ＝2y=6时，等号成立， 所以，x +y 的最小值为9．因此，m ≤9．故答案为m ≤9．【点睛】本题考查基本不等式及其应用，解决本题的关键在于对代数式进行合理配凑，考查计算能力与变形能力，属于中等题．20．②③【分析】欲判断函数是不是保三角形函数只需要任给三角形设它的三边长分别为则不妨设判断是否满足任意两数之和大于第三个数即任意两边之和大于第三边即可【详解】任给三角形设它的三边长分别为则不妨设①可作为 解析：②③【分析】欲判断函数()f x 是不是保三角形函数，只需要任给三角形，设它的三边长分别为a b c ，，，则a b c +>，不妨设a c ≤，b c ≤，判断()()()f a f b f c ，，是否满足任意两数之和大于第三个数，即任意两边之和大于第三边即可【详解】任给三角形，设它的三边长分别为a b c ，，，则a b c +>，不妨设a c ≤，b c ≤，①()()20f x x x =>，335，，可作为一个三角形的三边长，但222335+<，则不存在三角形以222335，，为三边长，故此函数不是保三角形函数②())0f x x =>，b c a +>>>())0f x x =>是保三角形函数 ③()02f x sinx x π⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，02a b c π>+>>，()()()sin sin sin f a f b a b c f c +=+>=()02f x sinx x π⎛⎫∴=<< ⎪⎝⎭是保三角形函数 ④()02f x cosx x π⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，当512a b π==，12c π=时，55 121212cos cos cos πππ+<，故此函数不是保三角形函数综上所述，为保三角形函数的是②③【点睛】要想判断()f x 是保三角形函数，要经过严密的论证说明()f x 满足保三角形函数的概念，但要判断()f x 不是保三角形函数，仅需要举出一个反例即可三、解答题21．（Ⅰ）93,,24⎛⎫⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（Ⅱ）15. 【分析】（1）两边平方，再利用一元二次不等式的解法即可求出不等式的解集；（2）转化为min (3633)x x a ++-≥对于任意x ∈R 恒成立，利用绝对值三角不等式求出min (3633)15x x ++-=，进而可得答案．【详解】（Ⅰ）由()()f x g x >，得363x x +>-，平方得()()22363x x +>-， 得2842270x x ++>，即()()29430x x ++>，解得92x <-或34x >-. 故不等式()()f x g x >的解集是93,,24⎛⎫⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （Ⅱ）若()()3f x g x a +≥恒成立，即3639x x a ++-≥恒成立. 只需min (3633)x x a ++-≥即可. 而()3639363915x x x x ++-≥+--=，所以15a ≤故实数a 的最大值为15.【点睛】不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在y g x 上方即可)；③ ()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立22．（1）52；（2）证明见解析. 【分析】 （1）采用零点分段的方法将定义域分为三段：(],2-∞-、12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭、1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，由此求解出每一段定义域对应的()f x 的值域，由此确定出()f x 的最小值；（2）由（1）确定出M 的值，采用常数代换的方法将14213a b +++变形并利用基本不等式完成证明.【详解】解：（1）()31,212123,22131,2x x f x x x x x x x ⎧⎪--≤-⎪⎪=-++=-+-<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩， 当2x -≤时，()5f x ≥； 当122x -<<时，()552f x <<； 当12x ≥时，()52f x ≥. 所以()f x 的最小值为52. （2）由（1）知52M =，即25a b +=， 又因为0a >，0b >， 所以()()141142132139213a b a b a b ⎛⎫+=++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝⎭ ()4211359213a b a b +⎛⎫+=++ ⎪++⎝⎭1519⎛ ≥+= ⎝ 当且仅当()253221a b b a +=⎧⎨+=+⎩，即1a =，3b =时，等号成立， 所以141231a b +≥++. 【点睛】本题考查绝对值函数的最值以及运用基本不等式证明不等式，难度一般.（1）求解双绝对值函数的最值常用的方法：零点分段法、图象法、几何意义法；（2）利用基本不等式完成证明或者求解最值时，要注意说明取等号的条件.23．（1）证明见详解；（2）证明见详解.【分析】（1）根据题意，首先对原不等式进行变形，()()21xy x y x y xy ++≤++，再做差，通过变形、整理化简，利用已知条件判断可得结论，从而不等式得到证明；（2）首先换元，设log ,log a b b x c y ==，利用换底公式转化为关于,x y 的式子，即为111x y xy xy x y++≤++，借助（1）的结论，可得证明． 【详解】证明：（1）由于1≥x ，1y ≥， 则111x y xy xy x y++≤++()()21xy x y x y xy ⇔++≤++， 将上式中的右边式子减左边式子得：()()21x y xy xy x y ⎡⎤++-++⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()()()111xy xy x y xy =+--+-()()11xy xy x y =---+()()()111xy x y =---，又由1≥x ，1y ≥，则1xy ≥；即()()()1110xy x y ---≥，从而不等式得到证明．（2）设log ,log a b b x c y ==，则1,1x y ≥≥， 由换底公式可得：111log ,log ,log ,log b c a c a b c xy a x y xy====， 于是要证明的不等式可转化为111x y xy xy x y ++≤++， 其中log 1,log 1a b b x c y =≥=≥，由（1）的结论可得，要证明的不等式成立.【点睛】本题主要考查了不等式的证明，要掌握不等式证明常见的方法，如做差法、放缩法；其次注意（2）证明在变形后用到（1）的结论．属于中档题.24．（1）24；（2）4433a -≤≤. 【分析】（1）利用零点分段法将()f x 表示为分段函数的形式，由此画出直线8y =与函数()y f x =的图象.根据等腰梯形面积公式求得所围图形的面积.（2）先求得()f x 的最小值，由此得到4211a a ≥++-，由零点分段法进行分类讨论，由此求得a 的取值范围.【详解】（1）因为()22,14,1322,3x x f x x x x -+≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩，如图所示：直线8y =与函数()y f x =的图象所围图形是一个等腰梯形，令228x -+=，得3x =-；令228x -=，得5x =， 所以等腰梯形的面积()1484242S =⨯+⨯=． （2）要使()211f x a a ≥++-对一切实数x 成立，只须()min 211f x a a ≥++-，而()13134f x x x x x =++-≥+-+=，所以()min 4f x =，故4211a a ≥++-．①由122114a a a ⎧<-⎪⎨⎪---+≤⎩，得4132a -≤<-； ②由1122114a a a ⎧-≤≤⎪⎨⎪+-+≤⎩，得112a -≤≤； ③由12114a a a >⎧⎨++-≤⎩，得413a <≤， 故4433a -≤≤．【点睛】本小题主要考查含有绝对值的不等式的解法，考查不等式恒成立问题的求解，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.25．（1）(0,2)；（2）[2,)+∞【分析】(1)把()|1||21|f x x x =+--分段表示，后解不等式（2）不等式()23f x x a ≤+-恒成立等价于()23f x x a -≤-恒成立，则max 23[()]a f x x -≥-，2,11()()2,12122,2x g x f x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-=-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩，求其最大值即可. 【详解】解：(1)2,11()1213,1212,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=+--=-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩当1x <-时，由20x ->得2x >，即解集为∅， 当112x ≤≤-时，由30x >得0x >，解集为1(0]2，， 当12x >时，由20x ->得2x <，解集为1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭， 综上所述，()0f x >的解集为(0,2)(2)不等式()23f x x a ≤+-恒成立等价于()23f x x a -≤-恒成立，则max 23[()]a f x x -≥-， 令2,11()()2,12122,2x g x f x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-=-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩， 则max 1()12g x g ⎛⎫==⎪⎝⎭，即2312a a -≥⇒≥ 所以实数a 的取值范围是[2,)+∞ 【点睛】考查含两个绝对值号的不等式解法以及不等式恒成立求参数的范围，中档题. 26．（1）22a b +=（2）92t ≤【分析】（1）用分段函数表示()f x ，分析单调性，得到min ()122b b f x f a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，即得解（2）原式转化为2a b t ab+≤，结合22a b +=，252a b a b ab b a +=++利用均值不等式即得解【详解】 （1）令0x a +=得x a =-，令20x b -=得2b x =， ∵0a >0b >，∴2b a -<， 则3,(),23,2x a b x a b f x x a b a x b x a b x ⎧⎪--+≤-⎪⎪=-++-<<⎨⎪⎪+-≥⎪⎩， ∴()f x 在,2b ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递减，在,2b ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， ∴min ()122b b f x f a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，22a b +=； （2）∵2a b tab +≥恒成立，∴2a b t ab +≤恒成立， ∵22a b +=，∴112a b +=， ∴1212255922222a b a b a b a b ab b a b a b a +++=+=+=++≥+=，（当且仅当a b =时取等号） ∴2a b ab +的最小值为92， ∴92t ≤. 【点睛】 本题考查了绝对值函数的最值问题和均值不等式的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题。

一、选择题1．若0,0,0a b m n >>>>，则a b ，b a ，b m a m ++，a n b n++按由小到大的顺序排列为（ ） A ．b b m a n a a a m b n b ++<<<++ B ．b a n b m a a b n a m b ++<<<++ C ．b b m a a n a a m b b n++<<<++ D ．b a a n b m a b b n a m++<<<++ 2．已知函数22()x x af x x-+=，若[2,)x ∈+∞，()0f x >，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．(,0)-∞ B ．(0,)+∞ C ．[0,)+∞ D ．(1,)+∞3．设0.3log 0.6m =，21log 0.62n =，则（ ） A ．m n m n mn ->+> B ．m n mn m n ->>+ C ．m n m n mn +>->D ．mn m n m n >->+4．已知x ，y ∈R ，且0x y >>，则（ ） A ．11x y> B ．11()()22xy<C ．1122x y <D ．sin sin x y >5．若a 、b 、c ，d ∈R ，则下面四个命题中，正确的命题是（ ） A ．若a >b ，c >b ，则a >c B ．若a >－b ，则c －a <c ＋b C ．若a >b ，则ac 2>bc 2 D ．若a >b ，c >d ，则ac >bd 6．下列命题中错误．．的是（ ） A ．若,a b b c >>，则a c > B ．若0a b >>，则ln ln b a < C ．若a b >，则22a b > D ．若a b >， 则22ac bc > 7．若a ＞b ，c 为实数，下列不等式成立是（）A ．ac ＞bcB ．ac ＜bcC ． 22ac bc >D ． 22ac bc8．已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则（ ） A ．11x y x y->- B ．cos cos 0x y -< C ．110x y->D ．ln x +ln y >09．不等式536x x -++≥的解集是 ( ) A ．[]5,7- B ．(),-∞+∞C ．()(),57,-∞-+∞ D ．[]4,6-10．已知a ，b R ∈，且a b >，则下列不等式恒成立的是（ ）A ．22a b >B ．lg()0a b ->C ．11()()22ab<D ．1a b> 11．若，则下列结论不正确的是A ．B ．C ．D ．12．实数,a b 满足0a b >>，则下列不等式成立的是（ ） A ．1a b< B ．1133a b<C a b a b <-．2a ab <二、填空题13．已知实数a ，b ，c 满足a ＞c ﹣2且1333abc++<，则333a bc-的取值范围是_______．14．已知不等式116a x y x y+≥+对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为_______. 15．已知R a ∈，若关于x 的方程2210x x a a -+++=有实根，则a 的取值范围是__________．16．已知,,a b c R +∈，设a b c S b c a c a b=+++++，则S 与1的大小关系是__________．(用不等号连接) 17．已知ln ln x y <，则21x y y x-++的最小值为___________________． 18．设5x >，45P x x --23Q x x --，则P 与Q 的大小关系是P ______Q .19．设()f x x a x =-+，且|()|2f x ≤在[1,1]x ∈-上恒成立，则实数a 的取值范围为_________.20．定义运算x ·y ,,1,,x x y m y x y ≤⎧=-⎨>⎩若·m=|m-1|,则m 的取值范围是_____. 三、解答题21．已知函数()|21||23|f x x x =++-. （1）求不等式()6f x ≤的解集；（2）若关于x 的不等式22()log (3)2f x a a -->恒成立，求实数a 的取值范围. 22．（1）解不等式：1|1||2|2x x --->； （2）设集合P 表示不等式121x x a -+->对任意x ∈R 恒成立的a 的集合，求集合P ； （3）设关于x 的不等式22||200ax x a +--<的解集为A ，试探究是否存在a ∈N ，使得不等式.220x x +-<与|212x x -<+的解都属于A ，若不存在，说明理由.若存在，请求出满足条件的a 的所有值.23．（1）已知a ＜b ＜c ，且a +b +c =0，证明：a a a cb c--＜． （224．已知数列{}n a 满足：12a =，1122n n n a a ++=+，*n N ∈.（1）求证2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列并求n a ； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （3）求证：2132431111112n n a a a a a a a a ++++⋅⋅⋅+<----. 25．比较log (1) n n +与()*(1)log (2),2n n n N n ++∈≥大小，并证明.26．（1）若0a >，0b >，求证：11()4a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭； （2【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】根据不等式的性质，利用怍差法求解. 【详解】()()()-++---==+++b a m b b m ba bm ab am a a m a a m a a m ， 因为0,0a b m >>>，所以()()0-<+b a m a a m ，所以b b m a a m+<+， ()()()()()()()()22b a b a b a n m b m a n b bn bm mn a am an nm a m b n a m b n a m b n +-+-++++++-----==++++++，因为0,0,0a b m n >>>>，所以()()()()()()0+-+-+<++b a b a b a n m a m b n ，所以++<++b m a na mb n， ()()()-++---==+++b a na n a ab bn ab an b n b b b n b b n ， 因为0,0>>>a b n ，所以()()0-<+b a n b b n ，所以a n ab n b+<+， 所以b b m a n a a a m b n b ++<<<++。

[课时作业][A组基础巩固]1．“x<－1”是“x2－1>0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：x2－1>0⇒x>1或x<－1，故x<－1⇒x2－1>0，但x2－1>0x<－1，∴“x<－1”是“x2－1>0”的充分不必要条件．答案：A2．下列命题中不正确的是()A．若3a>3b，则a>bB．若a>b，c>d，则a－d>b－cC．若a>b>0，c>d>0，则a d> bcD．若a>b>0，ac>bd，则c>d答案：D3．已知：M＝(x＋5)(x＋7)，N＝(x＋6)2，则M与N的大小关系为() A．M<N B．M>NC．M＝N D．M≥N解析：∵M－N＝(x＋5)(x＋7)－(x＋6)2＝－1<0，∴M<N.故选A.答案：A4．已知m，n∈R，则1m>1n成立的一个充要条件是()A．m>0>n B．n>m>0 C．m<n<0 D．mn(m－n)<0解析：∵1m>1n⇔1m－1n>0⇔n－mmn>0⇔mn(n－m)＞0⇔mn(m－n)<0.答案：D5．已知函数f(x)＝x＋x3，x1，x2，x3∈R，x1＋x2<0，x2＋x3<0，x3＋x1<0，那么f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值( )A ．一定大于0B ．一定小于0C ．等于0D ．正负都有可能解析：x 1＋x 2<0⇒x 1<－x 2，又∵f (x )＝x 3＋x 为奇函数，且在R 上递增，∴f (x 1)<f (－x 2)＝－f (x 2)，即f (x 1)＋f (x 2)<0.同理：f (x 2)＋f (x 3)<0，f (x 1)＋f (x 3)<0.以上三式相加得2[f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)]<0.即f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)<0.答案：B6．有以下四个条件：①b >0＞a ；②0>a >b ；③a >0>b ；④a >b >0.其中能使1a ＜1b 成立的有________．解析：①∵b >0>a ，∴1b >0>1a ；②∵0>a >b ，∴1a <1b <0；③∵a >0>b ，∴1a >0>1b ；④∵a >b >0，∴1b >1a >0.答案：①②④7．若－1<a <2，－2<b <1，则a －|b |的取值范围是________．解析：∵－2<b <1，∴0≤|b |<2.∴－2<－|b |≤0.而－1<a <2，∴－3<a －|b |<2.答案：(－3,2)8．已知0<a <1b ，且M ＝11＋a ＋11＋b ，N ＝a 1＋a ＋b 1＋b ，则M 、N 的大小关系是________．解析：法一：M －N ＝11＋a ＋11＋b －a 1＋a －b 1＋b＝1－a1＋a ＋1－b 1＋b ＝2(1－ab )(1＋a )(1＋b )，由已知可得，a >0，b >0且0<ab <1，∴1－ab >0，∴M －N >0，即M >N .法二：M N ＝2＋a ＋ba ＋b ＋2ab ，∵0<a <1b ，∴0<ab <1，∴2ab <2，∴a ＋b ＋2ab <a ＋b ＋2，∴2＋a ＋ba ＋b ＋2ab >1.又M >0，N >0，∴M >N .答案：M >N9．若a >0，b >0，求证：b 2a ＋a 2b ≥a ＋b .证明：∵b 2a ＋a 2b －a －b ＝(a －b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a b －b a ＝(a －b )2(a ＋b )ab ，(a －b )2≥0恒成立，且已知a >0，b >0，∴a ＋b >0，ab >0.∴(a －b )2(a ＋b )ab ≥0.∴b 2a ＋a 2b ≥a ＋b .10．已知a >0，a 2－2ab ＋c 2＝0，bc >a 2，试比较a ，b ，c 的大小．解析：∵a 2－2ab ＋c 2＝0，∴b ＝a 2＋c 22a .又∵a 2＋c 2>0，a >0，∴b >0.又∵bc >a 2>0，∴bc 同号．∴c >0.∵(a －c )2＝2ab －2ac ＝2a (b －c )≥0，又∵a >0，∴b －c ≥0.当b －c >0时，b >c .又bc >a 2，b ＝a 2＋c 22a ，∴a 2＋c 22a ·c >a 2，即(a －c )(2a 2＋ac ＋c 2)<0.∵a >0，b >0，c >0，∴2a 2＋ac ＋c 2>0，a －c <0，即a <c .∴a <c <b .当b －c ＝0时，b ＝c .∵bc >a 2，∴b 2>a 2，b ≠a .∵a 2－2ab ＋b 2＝(a －b )2＝0，∴a ＝b .∴矛盾，也就是b －c ≠0.综上可知，a <c <b .[B 组 能力提升]1．若a ，b 为实数，则“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：对于0<ab <1，如果a >0，则b >0，a <1b 成立，如果a <0，则b <0，b >1a 成立，因此“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a ”的充分条件；反之，若a ＝－1，b ＝2，结论“a <1b或b >1a ”成立，但条件0<ab <1不成立，因此“0<ab <1”不是“a <1b 或b >1a ”的必要条件；即“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a ”的充分不必要条件．答案：A2．如果a ∈R ，且a 2＋a <0，那么a ，a 2，－a ，－a 2的大小关系是( )A ．a 2>a >－a 2>－aB ．－a >a 2>－a 2>aC ．－a >a 2>a >－a 2D ．a 2>－a >a >－a 2解析：∵a 2＋a <0，即a (a ＋1)<0可得，－1<a <0，∴－a >a 2>0，∴0>－a 2>a .综上有－a >a 2>－a 2>a .答案：B3．若a ，b ∈R ，且a >b ，则下列不等式：①b a >b －1a －1；②(a ＋b )2>(b ＋1)2；③(a －1)2>(b －1)2.其中不恒成立的是________．解析：①b a －b －1a －1＝ab －b －ab ＋a a (a －1)＝a －ba (a －1).因为a －b >0，a (a －1)符号不确定，①不恒成立；②取a ＝2，b ＝－2，则(a ＋b )2＝0，(b ＋1)2>0，②不恒成立；③取a ＝2，b ＝－2，则(a －1)2＝1，(b －1)2＝9，③不恒成立．答案：①②③4．设实数x ，y 满足3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9，则x 3y 4的最大值是________． 解析：∵4≤x 2y ≤9，∴19≤y x 2≤14，∴181≤y 2x 4≤116.又∵3≤xy 2≤8，而x 3y 4＝1y 4x 3＝1xy 2·y 2x 4，且127≤xy 2·y 2x 4≤12，∴2≤x3y 4≤27.答案：275．已知a ，b ，c 均为正数，且b <c ，比较ab 与ac ＋bc 的大小．解析：法一：∵a >0，且b <c ，∴ab <ac ，∵c >0，b >0，∴bc >0，∴ac ＋bc >ac >ab ，即ab <ac ＋bc .法二：∵a >0，b >0，c >0，∴0<a <a ＋b ，∵0<b <c ，∴ab <c (a ＋b )，即ab <ac ＋bc .法三：ab －(ac ＋bc )＝a (b －c )－bc .∵b <c ，∴b －c <0，而a >0，∴a (b －c )<0.又∵b >0，c >0，∴bc >0，－bc <0，∴a (b －c )－bc <0，即ab －(ac ＋bc )<0.∴ab <ac ＋bc .6．已知f (x )＝ax 2＋c ，且－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5，求f (3)的取值范围． 解析：由－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5，得⎩⎨⎧ －4≤a ＋c ≤－1，－1≤4a ＋c ≤5.设u ＝a ＋c ，v ＝4a ＋c ，则有a ＝v －u 3，c ＝4u －v 3，∴f (3)＝9a ＋c ＝－53u ＋83v .又⎩⎨⎧ －4≤u ≤－1－1≤v ≤5，∴⎩⎪⎨⎪⎧53≤－53u ≤203，－83≤83v ≤403.∴－1≤－53u ＋83v ≤20，即－1≤f (3)≤20.∴f (3)的取值范围为[－1,20]。

一、选择题1．若关于x 的不等式13x x m -++>的解集为R ，则实数m 的取值范围是 A ．(,4)(2,)-∞-⋃+∞ B ．(,4)(1,)-∞-+∞C ．(4,2)-D ．[4,1]-2．若0a b <<，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．11a b< B ．22a b >C ．ln()0b a ->D ．22ac bc <3．若实数a ＞b ，则下列结论成立的是（ ） A ．a 2＞b 2B ．11a b＜C ．ln 2a ＞ln 2bD ．ax 2＞bx 24．若0a <b <，则下列不等式中成立的是（ ） A ．|a |>b -B ．1a b< C ．a b -<-D ．11a b< 5．如果关于x 的不等式34x x a -+-<的解集不是空集，则参数a 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞B ．[)1,+∞C ．(),1-∞D ．(],1-∞ 6．已知a b R ∈，，且a b >，则下列不等式中恒成立的是（ ） A ．22a b >B ．()lg a b 0->C ．a b 22--<D ．a 1b > 7．已知实数,a b ，且a b >，则以下不等式恒成立的是（ ） A ．33a b > B ．22a b >C ．1133a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．11a b< 8．若，则下列结论不正确的是A ．B ．C ．D ．9．若0a b <<，则下列各式一定．．成立的是（ ） A ．a c b c +>+B ．22a b <C ．ac bc >D ．11a b> 10．已知,a b ∈R ，且2a bP +=，222a b Q +=P ，Q 的关系是（ ） A ．P Q ≥B ．P Q >C ．P Q ≤D ．P Q <11．若a b >，则下列不等式成立的是（ ） A ．22a b >B ．11a b< C ．a b >D ．a b e e >12．给出以下四个命题：（ ）①若a>b ，则 11a b<； ②若ac 2>bc 2，则a>b ； ③若a>|b|，则a>b ；④若a>b ，则a 2>b 2.其中正确的是( ) A ．②④B ．②③C ．①②D ．①③二、填空题13．不等式2log 5x a -<对任意[]4,16x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为____________. 14．若不等式21x a x a a -++≥-+对于任意实数x 恒成立，则满足条件的实数a 的取值范围______. 15．已知关于x 的不等式1+1ax ax ->在[2,5]有实数解，则实数a 的取值范围为________． 16．若关于x 的不等式215x a x x -+-≥-在R 上恒成立，则实数a 的取值范围为________． 17．已知函数，若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是_______．18．若不等式|3|4x b -<的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b 的取值范围是_____ 19．若110a b>>有下列四个不等式①33a b <；②21log 3log 3a b ++>；b a b a -④3322a b ab +>.则下列组合中全部正确的为__________ 20．全集U =R ，且2{}0|6A x x x =-++≥，}0{|34B x x =-->，则()UA B =________．三、解答题21．设函数()2|1||2|f x x x =-+-. （1）求不等式()2f x >的解集；（2）若不等式()(1)f x a x +的解集非空，求实数a 的取值范围. 22．已知()|1||1|f x x x =-++，不等式()4f x <的解集为M . （1）求集合M ；（2）当,a b M ∈时，证明：2|||4|a b ab +<+. 23．已知正实数,x y 满足21x y += （1）解关于x 的不等式52()||2x y x y ++-≤； （2）证明：22114136x y ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 24．已知函数()36f x x =+，()3g x x =-．（Ⅰ）求不等式()()f x g x >的解集；（Ⅱ）若()3()f x g x a +≥对于任意x ∈R 恒成立，求实数a 的最大值． 25．选修4-5：不等式选讲 已知函数()2f x x =-.（1）解不等式：()()124f x f x +++<；（2）已知2a >,求证：()(),2x R f ax af x ∀∈+>恒成立. 26．已知()|1||21|f x x x =+--. （1）求不等式()0f x >的解集；（2）若x ∈R ，不等式()23f x x a ≤+-恒成立，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】由于13x x m -++>表示数轴上的x 对应点到1和m -的距离之和，它的最小值等于1m +，由题意可得13m +>，解得2m >，或4m <-，故实数m 的取值范围是为()(),42,-∞-⋃+∞，故选A.2．B解析：B 【分析】取特殊值排除ACD 选项，由幂函数的单调性判断B 选项. 【详解】当2,1a b =-=-时，11112a b-=>=-；ln()ln10b a -==；则AC 错误； 当0c时，22ac bc =，则D 错误；因为函数2y x 在(,0)-∞上单调递减，0a b <<，所以22a b >故选：B 【点睛】本题主要考查了由所给条件判断不等式是否成立，属于中档题.3．C解析：C 【解析】特值法排除A,B,D,单调性判断C 【详解】 由题意，可知：对于A ：当a 、b 都是负数时，很明显a 2＜b 2，故选项A 不正确； 对于B ：当a 为正数，b 为负数时，则有11a b＞，故选项B 不正确； 对于C ：∵a ＞b ，∴2a ＞2b ＞0，∴ln 2a ＞ln 2b ，故选项C 正确； 对于D ：当x ＝0时，结果不成立，故选项D 不正确； 故选：C ． 【点评】本题主要考查不等式的性质应用，特殊值技巧的应用，指数函数、对数函数值大小的比较．本题属中档题．4．A解析：A 【解析】 【分析】对于A ，用不等式的性质可以论证，对于B ，C ，D ，列举反例，可以判断． 【详解】∵a ＜0，∴|a |＝﹣a ，∵a ＜b ＜0，∴﹣a ＞﹣b ＞0，∴|a |＞﹣b ，故结论A 成立； 取a ＝﹣2，b ＝﹣1，则 ∵21ab=＞，∴B 不正确；1==，∴∴C 不正确；112a =-，11b =-，∴11a b＞，∴D 不正确． 故选：A ． 【点睛】本题考查不等式的性质，解题的关键是利用不等式的性质，对于不正确结论，列举反例．5．A解析：A 【分析】先求|x-3|+|x-4|的最小值是1，即得解. 【详解】由题得|x-3|+|x-4|＜a 有解，由绝对值三角不等式得|x-3|+|x-4|≥|x -3-x+4|=1， 所以|x-3|+|x-4|的最小值为1， 所以1＜a,即a ＞1. 故选A本题主要考查绝对值三角不等式求最值，考查不等式的有解问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6．C解析：C 【分析】主要利用排除法求出结果． 【详解】 对于选项A ：当0a b >>时，不成立；对于选项B ：当10a b >>>时，()lg 0a b -<，所以不成立； 对于选项D ：当0a b >>时，不成立； 故选C ． 【点睛】本题考查的知识要点：不等式的基本性质的应用，排除法的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．7．A解析：A 【解析】 【分析】根据幂函数的单调性判断A ；令1a =，1b =-判断,B D ，根据指数函数的单调性判断C ．【详解】因为()3f x x =是增函数，所以由b a >可得33b a >，选项A 正确；当1a =，1b =-时，22a b >不成立，选项B 错误；因为1y ()3x =是减函数,由a b >可得11()()33a b<，选项C 错误，1a =，1b =-时，11a b<不成立，选项D 错误，故选A ． 【点睛】本题主要考查不等关系与不等式的性质，属于中档题．利用条件判断不等式是否成立主要从以下几个方面着手：（1）利用不等式的性质直接判断；（2）利用函数式的单调性判断；（3）利用特殊值判断.8．D解析：D 【分析】 不妨令 ，代入各个选项进行验证，找出符合条件的选项．【详解】由题，不妨令，可得a 2＜b 2，故A 正确； ，故B 正确；，故C 正确．故D 不正确．故选D ． 【点睛】本题主要考查不等式与不等关系，利用特殊值代入法，排除不符合条件的选项，是一种简单有效的方法，属于基础题9．D解析：D 【分析】运用不等式的可加性，可判断A ；由反比例函数的单调性，可判断D ；由0c ，可判断C ；由二次函数的单调性可判断B ． 【详解】对于A ，若0a b <<，则a c b c ++＜，故A 项错误； 对于D ，函数1y x ＝在0-∞（，）上单调递减，若0a b <<，则11a b>，故D 项正确； 对于C ，当0c时，ac bc =，即不等式ac bc >不成立，故C 项错误；对于B ，函数2y x 在0-∞（，）上单调递减，若0a b <<，则22a b ＞，故B 项错误， 故选D ． 【点睛】本题考查不等式的性质和运用，考查函数的单调性和反例法，考查推理、判断能力，属于基础题．10．C解析：C 【解析】分析：因为P 2﹣Q 2=﹣2()4a b -≤0，所以P 2≤Q 2，则P≤Q ， 详解：因为a ，b ∈R ，且P=2a b +，222a b +，所以P 2=2224a b ab ++，Q 2=222a b +，则P 2﹣Q 2=2224a b ab ++﹣222a b +=2224ab a b --=﹣2()4a b -≤0， 当且仅当a=b 时取等成立，所以P 2﹣Q 2≤0，即P 2≤Q 2，所以P≤Q ， 故选：C ．点睛：比较大小的常用方法 （1）作差法：一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差. （2）作商法：一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论.（3）函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系. （4）借助第三量比较法11．D解析：D 【解析】分析：根据不等式的性质，通过举例，可判定A 、B 、C 不正确，根据指数函数的性质，即可得到D 是正确的.详解：当1,2a b ==-时，满足a b >，此时2211,,a b a b a b<，所以A 、B 、C 不正确；因为函数x y e =是单调递增函数，又由a b >，所以a b e e >，故选D.点睛：本题主要考查了不等式的性质的应用和指数函数的单调性的应用，其中熟记不等式的基本性质和指数函数的单调性是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.12．B解析：B 【解析】分析：根据不等式的性质分别进行判断，注意结合特值法求解. 详解：①若110,a b a b>>>成立，①错误； ②22ac bc >，则a b >，②正确； ③若a b >成立，则a b >成立，③正确；④若0,1a b ==-，a b >成立，则 22a b >不成立，④错误， 正确的命题为②③，故选B.点睛：本题考查不等式的性质的应用，要求熟练掌握不等式性质成立的条件，同时注意运用特值法判断，属于简单题.二、填空题13．【分析】先去绝对值转化为再转化为求的最大值与最小值得到答案【详解】由得又由则则的最大值为的最小值为则故答案为：【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法对数函数的值域的求法还考查了将恒成立问题转化为求最值 解析：()1,7-【分析】先去绝对值，转化为22log 5log 5x a x -<<+，再转化为求2log ,[4,16]y x x =∈的最大值与最小值，得到答案. 【详解】由2log 5x a -<，得22log 5log 5x a x -<<+，又由2log ,[4,16]y x x =∈， 则[2,4]y ∈，则25log x -的最大值为1-，2log 5x +的最小值为7，则17a -<<. 故答案为：()1,7- 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，对数函数的值域的求法，还考查了将恒成立问题转化为求最值问题，转化与化归思想，属于中档题.14．【分析】首先若满足不等式恒成立即根据不等式利用含绝对值三角不等式求最小值最后解不等式求的取值范围【详解】当时等号成立若满足不等式对于任意实数x 恒成立即即或解得：或故答案为：【点睛】本题考查了不等式恒解析：(]2,2,5⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭. 【分析】首先若满足不等式恒成立，即()min12a x a x a -+≤-++，根据不等式222a ax a x a x a x x -++=-++++，利用含绝对值三角不等式求最小值，最后解不等式求a 的取值范围. 【详解】()32222222a a a a a x a x a x a x x x a x x a x ⎛⎫-++=-++++≥--+++=++ ⎪⎝⎭ 32a≥ ， 当2ax =-时，等号成立， ()min 322a x a x a ∴-++=， 若满足不等式21x a x a a -++≥-+对于任意实数x 恒成立，即312a a -+≤ ，即312a a ≥-或312a a ≤- ， 解得：25a ≥或2a ≤-. 故答案为：(]2,2,5⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查了不等式恒成立求参数的取值范围，意在考查绝对值的意义和绝对值三角不等式求最值，属于中档题型，含有两个绝对值的式子求最值时，参考公式a b a b a b -≤±≤+.15．【分析】根据题意分析可得原问题转化为在上能够成立设求出的最小值分析可得答案【详解】解：根据题意不等式在有实数解即在上能够成立又由则在上能够成立设则在区间上为减函数其最小值为若在上能够成立则；故的取值 解析：3(,)2a ∈+∞【分析】根据题意，分析可得原问题转化为11x a x +>-在[2，5]上能够成立，设1()1x f x x +=-，求出()f x 的最小值，分析可得答案．【详解】解：根据题意，不等式11ax a x ->+在[2，5]有实数解，即111x a x -⨯>+在[2，5]上能够成立，又由[2x ∈，5]，则11x a x +>-在[2，5]上能够成立， 设1()1x f x x +=-，则2()11f x x =+-，在区间[2，5]上为减函数，其最小值为()352f =，若11x a x +>-在[2，5]上能够成立，则32a >； 故a 的取值范围是3|2a a ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭； 故答案为：3,2a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查分式不等式的解法，关键是将分式不等式转化为整式不等式进行分析．16．【解析】原不等式转化为恒成立设的图像应在的上方右下图可得 解析：6a ≥【解析】原不等式转化为25-1x a x x -≥-- 恒成立，设()2,()51f x x a g x x x =-=---=62,1()4,1x x f x x -≥⎧⇒⎨<⎩的图像应在()g x 的上方，右下图可得(1)(1)6f g a ≥⇒≥ .17．【解析】试题分析：由题意得对任意总成立即对任意总成立而当且仅当时取=则实数的取值范围是考点：基本不等式求最值 解析：()2,π-+∞【解析】试题分析：由题意得()=()f x x a x π-<对任意0x <总成立，即a x xπ>+对任意0x <总成立，而2x xππ+≤-，当且仅当x π=-时取“=”，则实数的取值范围是()2,π-+∞考点：基本不等式求最值18．【详解】由得由整数有且仅有123知解得 解析：(5,7)【详解】 由|3|4x b -<得4433b b x -+<< 由整数有且仅有1，2，3知40134343b b -⎧≤<⎪⎪⎨+⎪<≤⎪⎩，解得57b <<19．①③【分析】由条件可知利用作差或是不等式的性质或是代特殊值判断不等式是否正确【详解】则正确故①正确；但不确定和的大小关系所以的正负不确定故②不正确；即故③正确；当时当时故④不正确；故答案为：①③【点解析：①③ 【分析】由条件可知0b a >>，利用作差，或是不等式的性质，或是代特殊值，判断不等式是否正确. 【详解】1100a b a b>>⇒<<，则33a b <正确，故①正确；()()()()()()33213333log 1log 211log 3log 3log 2log 1log 2log 1a b b a a b a b +++-+-=-=++++，()()33log 20,log 10a b +>+>，但不确定1b +和2a +的大小关系，所以()()33log 1log 2b a +-+的正负不确定，故②不正确；0ba >>，0>，(()22b a b a-=+---，20a=-=<<③正确；当1,2a b ==时，33220a b ab +-> 当2,3a b ==时，33220a b ab +-<，故④不正确；故答案为：①③ 【点睛】方法点睛：1.利用不等式的性质判断，把要判断的结论和不等式的性质联系起来考虑，先找到与结论相近的性质，再判断.2.作差（或作商）比较法，先作差（商），变形整理，判断符号（或与1比较），最后判断大小；3.特殊值验证的方法，运用赋值法排除选项.20．【分析】解不等式得集合根据交集和补集的定义写出【详解】解：全集或或即故答案为：【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题是基础题 解析：(,2)[1,)-∞--+∞【分析】解不等式得集合A 、B ，根据交集和补集的定义写出()UA B ．【详解】解：全集U =R ，22{|60}{|60}{|23}A x x x x x x x x =-++=--=-，{}||3|40{||3|4}{|7B x x x x x x =-->=->=>或1}x <-，{|21}AB x x =-<-，(){|2U A B x x =-∴<或1}x -,即(,2)[1,)()=UA B -∞--+∞.故答案为：(,2)[1,)-∞--+∞． 【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．三、解答题21．（1）2,(2,)3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭（2）1(,3),2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）直接分类去绝对值，即可求出()2f x >的解集；（2）去绝对值，得出()43,1,,12,34,2,x x f x x x x x -<⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩，画出图象，由于直线(1)y a x =+过定点(1,0)-，结合图象即可得出不等式()(1)f x a x +的解集非空时，a 的取值范围..【详解】解：（1）原不等式等价于1,432x x <⎧⎨->⎩或12,2x x ≤≤⎧⎨>⎩或2,342,x x >⎧⎨->⎩解得不等式()2f x >的解集为2,(2,)3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭.（2）()43,1,,12,34,2,x x f x x x x x -<⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩画出图象，如图所示，其中(1,1)A ，(2,2)B ，直线(1)y a x =+过定点(1,0)-，且绕点(1,0)-旋转时， 由图可得若不等式1()2f x a x ⎛⎫+⎪⎝⎭的解集非空，则3a <-或AC a k ≥， 故实数a 的取值范围为1(,3),2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，考查数形结合思想和计算能力. 22．（1）(2,2)M =-；（2）证明见解析. 【分析】（1）分类讨论去绝对值，将函数化为分段函数，再利用()4f x <，即可求解； （2）利用作差法，证明224()(4)0a b ab +-+<，即可证明结论. 【详解】（1）21()1121121xx f x x x x x x -<-⎧⎪=-++=-≤≤⎨⎪>⎩， 所以()4f x <等价于124x x <-⎧⎨-<⎩或1124x -≤≤⎧⎨<⎩或124x x >⎧⎨<⎩， 21x -<<-或11x -≤≤或12x <<，22,(2,2)x M ∴-<<=-；（2）当,a b M ∈时，即22,22a b -<<-<<，2222224()(4)4416a b ab a b a b +-+=+-- 22(4)(4)0a b =--<，224()(4),2|||4|a b ab a b ab ∴+<+∴+<+.【点睛】本题考查绝对值不等式求解、不等式的证明，分类讨论去绝对值是解题的关键，利用作差法证明不等式，属于中档题. 23．（1）11102x ≤<；（2）证明见解析. 【分析】（1）用x 表示y 并求得x 的取值范围，结合绝对值不等式的解法求得原不等式的解集. （2）化简221141x y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭后利用基本不等式证得不等式成立. 【详解】 （1）21x y +=，且0,0x y >>，故112,02y x x =-<<. 11005222()5122(1)3131222x x x y x y x x x x ⎧⎧<<<<⎪⎪⎪⎪∴++-≤⇔⇔⎨⎨⎪⎪-+-≤-≤+⎪⎪⎩⎩10211231222x x x x ⎧<<⎪⎪⇔⎨⎪--≤-≤+⎪⎩，解得11102x ≤<.（2）21,x y +=且 0,0x y >>，2222221114141x y x y x y ⎛⎫--⎛⎫∴--=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222(12)(12)(1)(1)(12)(1)2x x y y x y y xx y x y +-+-++⋅=⋅=⋅ 1222x y xyxy+++=⨯248844436(2)22xy x y x y =+=+≥+=+⎛⎫⎪⎝⎭. 当且仅当122x y ==时等号成立. 【点睛】解绝对值不等式，可利用公式法，如a b b a b ≤⇔-≤≤.证明不等式，可利用基本不等式22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭.24．（Ⅰ）93,,24⎛⎫⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（Ⅱ）15. 【分析】（1）两边平方，再利用一元二次不等式的解法即可求出不等式的解集；（2）转化为min (3633)x x a ++-≥对于任意x ∈R 恒成立，利用绝对值三角不等式求出min (3633)15x x ++-=，进而可得答案． 【详解】（Ⅰ）由()()f x g x >，得363x x +>-，平方得()()22363x x +>-，得2842270x x ++>，即()()29430x x ++>，解得92x <-或34x >-. 故不等式()()f x g x >的解集是93,,24⎛⎫⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （Ⅱ）若()()3f x g x a +≥恒成立，即3639x x a ++-≥恒成立. 只需min (3633)x x a ++-≥即可.而()3639363915x x x x ++-≥+--=，所以15a ≤ 故实数a 的最大值为15. 【点睛】不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在y g x 上方即可)；③ ()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立 25．（1）3522⎛⎫- ⎪⎝⎭，（2）详见解析 【解析】试题分析：（1）利用绝对值定义，将不等式等价转化为三个不等式组，它们的并集为所求解（2）证明不等式恒成立问题，实质是求对应函数()()22y f ax af x ax a x =+=-+-最值问题，利用绝对值三角不等式易得函数最小值：y 2222ax a ax a ≥-+-=-，再根据2a >，易得()()2f ax af x +> 试题（1）解：(1)(2)4f x f x +++<，即14x x -+<， ①当0x ≤时，不等式为14x x --<，即32x >-， 302x ∴-<≤是不等式的解； ②当01x <≤时，不等式为14x x -+<，即14<恒成立，01x ∴<≤是不等式的解；③当1x >时，不等式为14x x -+<，即52x <， 512x ∴<<是不等式的解． 综上所述，不等式的解集为3522⎛⎫- ⎪⎝⎭，． （2）证明：2a >，()()22f ax af x ax a x ∴+=-+-22ax ax a =-+-22ax a ax =-+-≥22222ax a ax a -+-=->，()()2x R f ax af x ，∴∀∈+>恒成立．考点：绝对值定义，绝对值三角不等式【名师点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向． 26．（1）(0,2)；（2）[2,)+∞ 【分析】(1)把()|1||21|f x x x =+--分段表示，后解不等式（2）不等式()23f x x a ≤+-恒成立等价于()23f x x a -≤-恒成立，则max 23[()]a f x x -≥-，2,11()()2,12122,2x g x f x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-=-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩，求其最大值即可.【详解】解：(1)2,11()1213,1212,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=+--=-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩当1x <-时，由20x ->得2x >，即解集为∅，当112x ≤≤-时，由30x >得0x >，解集为1(0]2，，当12x >时，由20x ->得2x <，解集为1,22⎛⎫⎪⎝⎭，综上所述，()0f x >的解集为(0,2)(2)不等式()23f x x a ≤+-恒成立等价于()23f x x a -≤-恒成立，则max 23[()]a f x x -≥-，令2,11()()2,12122,2x g x f x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-=-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩，则max 1()12g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即2312a a -≥⇒≥ 所以实数a 的取值范围是[2,)+∞【点睛】考查含两个绝对值号的不等式解法以及不等式恒成立求参数的范围，中档题.。

选修4-5 不等式经典练习（含解析）知识点一：不等式的解法 知识点二：绝对值三角不等式例1 已知函数()()6f x x m x m R =+--∈． （1）当3m =时，求不等式()5f x ≥的解集；（2）若不等式()7f x ≤对任意实数x 恒成立，求m 的取值范围． 【答案】（1）{}|1x x ≥；（2）[]13,1-. 【解析】 试题解析：（1）当3m =时，()5f x ≥即635x x +--≥， ①当6x <-时，得95-≥，所以x φ∈；②当63x -≤≤时，得635x x ++-≥，即1x ≥，所以13x ≤≤； ③当3x >时，得95≥，成立，所以3x >． 故不等式()5f x ≥的解集为{}|1x x ≥．（2）因为666x m x x m x m +--≤++-=+， 由题意得67m +≤，则767m -≤+≤， 解得131m -≤≤，故m 的取值范围是[]13,1-．课堂练习：已知函数()13f x x x =-++．（1）解不等式()8f x ≥； （2）若不等式()23f x a a <-的解集不是空集，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{}|5,3x x x ≤≥或（2）()(),14,-∞-+∞【解析】试题解析：（1）()22,3134,3122,1x x f x x x x x x --<-⎧⎪=-++=-≤≤⎨⎪+>⎩，当3x <-时，由228x --≥，解得5x ≤-； 当31x -≤≤时，()8f x ≥，不成立；当1x >时，由228x +≥，解得3x ≥． 所以不等式()8f x ≥的解集为{}|5,3x x x ≤≥或（2）∵()134f x x x =-++≥，∴()min 4f x =，又不等式()23f x a a<-的解集不是空集，所以，234a a ->，所以41a a ><-或，即实数a 的取值范围是()(),14,-∞-+∞例2．设函数()212f x x x =+--.（1）求不等式()2f x >的解集； （2）若()211,2x R f x t t ∀∈≥-恒成立,求实数t 的取值范围. 【答案】（1）{}|15x x x ><-或；（2）1,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】试题解析：（1）由题意得()13,2131,223,2x x f x x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪=--≤<⎨⎪+≥⎪⎪⎩,当12x <-时,不等式化为32x -->,解得5x <-,5x ∴<-，当122x -≤<时,不等式化为312x ->,解得1,12x x >∴<<,当2x ≥时,不等式化为32x +>,解得1,2x x >-∴≥,综上,不等式的解集为{}|15x x x ><-或. （2）由（1）得()2min 51122f x t t =-≥-,解得152t ≤≤,综上,t 的取值范围为1,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 考点：解绝对值不等式，不等式恒成立． 课堂练习：2.设函数()235f x x x =-+-． （1）求不等式()4f x ≥的解集；（2）若()f x a <的解集不是空集，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）4|53x x x ⎧⎫≥≤⎨⎬⎩⎭或；（2）72a >. 【解析】试题分析：（1）运用分类整合的方法去掉绝对值求解；（2）借助题设条件和不等式恒成立的等价条件求解.试题解析:（1）由题意：()38,532,52383,2x x f x x x x x ⎧⎪-≥⎪⎪=+<<⎨⎪⎪-≤⎪⎩．①∴()4f x ≥解得：5x ≥或43x ≤， 所以不等式的解集为：4|53x x x ⎧⎫≥≤⎨⎬⎩⎭或． （2）由题意：()min a f x >，由（1）式可知：5x ≥时，()37,52f x x ≥<<时()72f x >，32x ≤时，()72f x ≥， ∴()min 72f x =∴a 的范围为：72a >． 考点：绝对值不等式及有关知识的运用． 例3．已知函数()2f x x a x =++-. （1）当3a =-时，求不等式()3f x ≥的解集；（2）若|4|)(-≤x x f 的解集包含[]1,2，求a 的取值范围. 【答案】（1）{x|x≤1，或x≥4}；（2）[－3，0]．【解析】试题分析：（1）当3a =-时，用分段函数的形式表示出函数)(x f 的解析式，并分三种情况对其进行讨论，得出相应的不等式的解集，最后可得出该不等式的解集即可；（2）首先将问题()4f x x ≥-的解集包含[]1,2转化为.当x∈[1，2]时，|x －4|－|x －2|≥|x＋a|，进而转化为－2－a≤x≤2－a ，由集合间的包含关系可得出证明.试题解析：（1）当a ＝－3时，25,2,()1,2325,3x x f x x x x -+≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩当x≤2时，由f （x ）≥3得－2x ＋5≥3，解得x≤1；当2<x<3时，f （x ）≥3无解；当x≥3时，由f （x ）≥3得2x －5≥3，解得x≥4.所以f （x ）≥3的解集为{x|x≤1，或x≥4}.（2）f （x ）≤|x－4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x＋a|.当x∈[1，2]时，|x －4|－|x －2|≥|x＋a|⇔4－x －（2－x ）≥|x＋a|⇔－2－a≤x≤2－a.由条件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0.故满足条件的a 的取值范围是[－3，0].考点：1.含绝对值的不等式的解法；2.集合的包含关系. 课堂练习：3.设()13f x x x =--+.（1）解不等式()2f x >；（2）若不等式()1f x kx ≤+在[]3,1x ∈--上恒成立, 求实数k 的取值范围. 【答案】（1）{}|2x x <-（2）1k ≤-【解析】 试题解析：（1）()13f x x x =--+,所以当3x ≤-时,()1342,3f x x x x =-+++=>∴≤-, 满足原不等式；当31x -<<时,()1322f x x x x =-+--=--, 原不等式即为222x -->,解得2,32x x <-∴-<<-满足原不等式；当1x ≥时,()1342,1f x x x x =---=-<∴≥ 不满足原不等式综上原不等式的解集为{}|2x x <-.（2）当[]3,1x ∈--时,()1322f x x x x =-+--=--, 由于原不等式()1f x kx ≤+在[]3,1x ∈--上恒成立,221x kx ∴--≤+, 在[]3,1x ∈--上恒成立,[]()323,1k x x∴≤--∈--, 设()32g x x=--,易知()g x 在[]3,1x ∈--上为增函数,()[]()113,1,1g x x k ∴-≤≤∈--∴≤-.例4已知函数()|2||1|f x x x =+--． （Ⅰ）若()f x b ≥恒成立，求b 的取值范围;（Ⅱ）设()233()0ax x g x a x -+=>，若对()0,s ∀∈+∞， (),t ∈-∞+∞，恒有()()g s f t ≥成立，试求实数a 的取值范围．【答案】（I ）3b <-；（II ）[3,)+∞． 【解析】试题解析：（I ）∵||2||1|||(2)(1)|3x x x x +--≤+--=，∴3|2||1|3x x -≤+--≤， ∴()f x 的值域为[]3,3-,故3b <-．（II ）若0,x>()3g x ≥，当且仅当23ax =时取得等号．又由（I ）知()f x 的最大值为3，若对(0,),(,)s t ∀∈+∞∀-∞+∞，恒有()()g s f t ≥成立，即33≥，解得3a ≥，故实数a 的取值范围是[3,)+∞．考点：1、绝对值不等式的性质；2、恒成立问题．∴949m -≤+≤，∴135m -≤≤课堂练习4．已知函数()2f x x =-. （1）解不等式：()(21)6f x f x ++≥；（2）已知1(,0)a b a b +=>，且对于41,()()x R f x m f x a b∀∈---≤+恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】(1)[)(,1]3,-∞-+∞；(2)135m -≤≤.【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用绝对值的定义分类求解；(2)借助题设条件运用绝对值的几何意义与基本不等式求解. 试题解析：（1）133,21()(21)|2||21|1,2233,2x x f x f x x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪++=-+-=+≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩，当12x <时，由336x -≥，解得1x ≤-； 当122x ≤≤时，16x +≥不成立； 当2x >时，由336x -≥，解得3x ≥．所以不等式()6f x ≥的解集为[)(,1]3,-∞-+∞．（2）∵1,0)a b a b +=>（，∴41414)()559b a a b a b a b a b +=++=++≥+=（ ∴对于x R ∀∈，41()()f x m f x a b---≤+恒成立等价于：对x R ∀∈，229x m x -----≤，即max 229x m x ⎡-----⎤≤⎣⎦∵()222(2)=4x m x x m x m -----≤---+--课后作业：1.已知函数()|21||2|f x x x =+--. （1）求不等式()0f x >的解集；（2）若不等式|1|()3|2|m f x x +≥+-有解，求实数m 的取值范围.【答案】（1）133x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或；（2）(][),64,-∞-+∞【解析】试题解析：（Ⅰ）不等式()0f x >，即2+120x x -->， 由不等式2+12x x >-两边平方化简得：()()3130x x -+> 解得：3x <-或13x >， 所以不等式()0f x >的解集为133x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或.（Ⅱ）由条件知，不等式()1+32m f x x +≥-有解，即121+24m x x +≥+-有解.设()21+24g x x x =+-，则问题可转化为()min 1m g x +≥， 而()21+2421245g x x x x x =+-≥+-+=，由15m +≥解得：6m ≤-或4m ≥ ，所以a 的取值范围是(][),64,-∞-+∞.考点：绝对值不等式的解法2.设函数|2||12|)(+--=x x x f（Ⅰ）解不等式0)(>x f ；（Ⅱ）若0x R ∃∈，使得m m x f 42)(20<+，求实数m 的取值范围。

第一讲 不等式和绝对值不等式1.1 不等式1.1.1 不等式的基本性质A 级　基础巩固一、选择题1．若m ＝2x 2＋2x ＋1，n ＝(x ＋1)2，则m ，n 的大小关系为( )A ．m ＞n B ．m ≥nC ．m ＜nD ．m ≤n解析：因为m －n ＝ (2x 2＋2x ＋1)－(x ＋1)2＝2x 2＋2x ＋1－x 2－2x －1＝x 2≥0.所以m ≥n .答案：B2．若a ＜b ＜0，则下列不等式关系中不能成立的是( )A.＞B.＞ 1a 1b 1a －b 1aC ．|a |＞|b |D ．a 2＞b 2 解析：取a ＝－2，b ＝－1，则＝－1＜－＝. 1a －b121a 所以B 不成立．答案：B3．设a ， b ∈R ，若a ＋|b |＜0，则下列不等式中正确的是( )A ．a －b ＞0B ．a 3＋b 3＞0C ．a 2－b 2＜0D ．a ＋b ＜0解析：当b ≥0时，a ＋b ＜0，当b ＜0时，a －b ＜0，所以a ＋b ＜0，故选D.答案：D4．(2015·浙江卷)设a ，b 是实数，则“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当a ＝－2，b ＝3时，a ＋b ＞0，但ab ＜0；当a ＝－1，b ＝－2时，ab ＞0，但a ＋b ＜0.所以“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的既不充分又不必要条件．答案：D5．已知实数x ，y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( )A.＞ B ．ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1) 1x 2＋11y 2＋1C ．sin x ＞sin yD ．x 3＞y 3解析：由a x ＜a y (0＜a ＜1)，可得x ＞y .又因为函数f (x )＝x 3在R 上递增，所以f (x )＞f (y )，即x 3＞y 3.答案：D二、填空题6．已知0＜a ＜1，则a ，，a 2的大小关系是________． 1a解析：因为a －＝＜0， 1a （a ＋1）（a －1）a所以a ＜. 1a又因为a －a 2＝a (1－a )＞0，所以a ＞a 2，所以a 2＜a ＜. 1a 答案：a 2＜a ＜ 1a7．若8＜x ＜10，2＜y ＜4，则的取值范围是________． x y解析：因为2＜y ＜4，所以＜＜. 141y 12又8＜x ＜10，所以2＜＜5. x y答案：(2，5)8．设a ＞0，b ＞0，则＋与a ＋b 的大小关系是________． b 2a a 2b解析：＋－(a ＋b )＝－(a ＋b )＝b 2a a 2b （a ＋b ）（a 2－ab ＋b 2）ab.（a ＋b ）（a －b ）2ab 因为a ＞0，b ＞0，所以a ＋b ＞0，ab ＞0，(a －b )2≥0.所以＋≥a ＋b . b 2a a 2b答案：＋≥a ＋b b 2a a 2b三、解答题9．判断下列各命题的真假，并阐明理由．(1)若a ＜b ，c ＜0，则＜； c a c b(2)若ac －3＞bc －3，则a ＞b ；(3)若a ＞b ，且k ∈N *，则a k ＞b k ；(4)若a ＞b ，b ＞c ，则a －b ＞b －c .解：(1)因为a ＜b ，没有指出ab ＞0，故＞不一定成立， 1a 1b因此不一定推出＜. c a c b所以是假命题．(2)当c ＜0时，c －3＜0，有a ＜b .所以是假命题．(3)当a ＝1，b ＝－2，k ＝2时，显然命题不成立．所以是假命题．(4)取a ＝2，b ＝0，c ＝－3满足a ＞b ，b ＞c 的条件，但是a －b ＝2＜b －c ＝3.所以是假命题．10．已知a ＞b ＞0，比较与的大小． a b a ＋1b ＋1解：－＝＝. a b a ＋1b ＋1a （b ＋1）－b （a ＋1）b （b ＋1）a －b b （b ＋1）因为a ＞b ＞0，所以a －b ＞0，b (b ＋1)＞0.所以＞0.a －bb （b ＋1）所以＞. a b a ＋1b ＋1B 级　能力提升1．若0＜x ＜y ＜1，则( )A ．3y ＜3xB ．log x 3＜log y 3C ．log 4x ＜log 4y D.＜ (14)x (14)y 解析：因为函数y ＝log 4x 是增函数，0＜x ＜y ＜1，所以log 4x ＜log 4y .答案：C2．实数a ，b ，c ，d 满足下列三个条件：①d ＞c ；②a ＋b ＝c ＋d ；③a ＋d ＜b ＋c .试将a ，b ，c ，d 按照从小到大的顺序排列为__________．解析：{a ＋d ＜b ＋c ⇒d －b ＜c －a ，a ＋b ＝c ＋d ⇒c －a ＝b －d ，)⇒⇒ {d －b ＜b －d ，a －c ＜c －a ){d ＜b ，a ＜c .)又由d ＞c ，得a ＜c ＜d ＜b .答案：a ＜c ＜d ＜b3．已知＞，bc ＞ad ，求证：ab ＞0. c a d b证明：⇒{c a ＞d b ，bc ＞ad ){c a －d b ＞0， ①bc －ad ＞0. ②)又bc ＞ad ，则bc －ad ＞0.由②得bc －ad ＞0.故ab ＞0.。

[课时作业][A组根底稳固] 1．以下不等式中,正确的个数是()①假设a ,b∈R ,那么a＋b2≥ab；②假设x∈R ,那么x2＋2＋1x2＋2≥2；③假设x∈R ,那么x2＋1＋1x2＋1≥2；④假设a ,b为正实数,那么a＋b2≥ab.A．0B．1 C．2 D．3解析：显然①不正确；③正确；对②虽然x2＋2＝1x2＋2无解,但x2＋2＋1x2＋2>2成立,故②正确；④不正确,如a＝1 ,b＝4. 答案：C2．x<0 ,那么y＝x＋4x－1的最|大值为()A．4 B．－4 C．3 D．－3解析：∵y＝x＋4x－1＝(x－1＋4x－1)＋1＝－[(1－x)＋41－x]＋1 ,∵x<0 ,∴1－x>0 ,∴(1－x)＋41－x≥24＝4 ,当且仅当1－x＝41－x,即1－x＝2 ,x＝－1时取等号,－[(1－x )＋41－x]≤－4即y ≤－3 ,应选D. 答案：D3．a >0 ,b >0 ,a ＋b ＝2 ,那么y ＝1a ＋4b 的最|小值是( ) A. 72 B ．4 C.92D ．5解析：∵a ＋b ＝2 ,∴a ＋b2＝1 ,∴1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＝52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a b ＋b 2a ≥52＋2 2a b ·b 2a ＝92(当且仅当2a b ＝b2a ,即b＝2a 时 , "＝〞成立) , 故y ＝1a ＋4b 的最|小值为92. 答案：C4．设a ,b ,c ∈R ＋ ,那么 "abc ＝1”是 "1a ＋1b ＋1c≤a ＋b ＋c 〞的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：当a ＝b ＝c ＝2时 ,有1a ＋1b ＋1c≤a ＋b ＋c ,但abc ≠1 ,所以必要性不成立；当abc ＝1时 ,1a ＋1b ＋1c ＝bc ＋ac ＋ab abc ＝bc ＋ac ＋ab ,a ＋b ＋c＝(a ＋b )＋(b ＋c )＋(a ＋c )2≥ab ＋bc ＋ac ,所以充分性成立 ,故 "abc ＝1〞是"1a ＋1b ＋1c≤a ＋b ＋c 〞的充分不必要条件． 答案：A5．某公司租地建仓库 ,每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比 ,而每月库存货物的运费y 2与仓库到车间的距离成正比 ,如果在距离车站10千米处建仓库 ,这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元 ,那么 ,要使这两项费用之和最|小 ,仓库应建在离车站( )A ．5千米处B ．4千米处C ．3千米处D ．2千米处解析：设仓库到车站的距离为x ,由得 ,y 1＝20x ,y 2x . 费用之和y ＝y 1＋y 2x ＋20x ≥2＝8. x ＝20x ,即x ＝5时等号成立 ,应选A. 答案：A6．函数y ＝3xx 2＋x ＋1(x <0)的值域是________．解析：∵y ＝3x x 2＋x ＋1＝3x ＋1＋1x≥3－2＋1＝－3 , 当且仅当x ＝－1时取等号． ∴函数的值域为[－3 ,＋∞)． 答案：[－3 ,＋∞)7．假设正数a ,b 满足ab ＝a ＋b ＋3 ,那么ab 的取值范围是________．解析：令ab ＝t (t >0) ,由ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3 ,那么t 2≥2t ＋3 ,所以t ≥3或t ≤－1(舍去) ,所以ab ≥3 ,ab ≥9 ,当a ＝b ＝3时取等号． 答案：[9 ,＋∞)8．某公司一年购置某种货物400吨 ,每次都购置x 吨 ,运费为4万元/次 ,一年的总存储费用为4x 万元 ,要使一年的总运费与总存储费用之和最|小 ,那么x 为____________吨．解析：每年购置次数为400x 次． 所以总费用＝400x ·4＋4x ≥2 6 400＝160. 当且仅当1 600x ＝4x ,即x ＝20时等号成立． 答案：209．(1)设0<x <32 ,求函数y ＝4x (3－2x )的最|大值； (2)设x ,y ∈R ＋ ,且2x ＋8y －xy ＝0 ,求x ＋y 的最|小值． 解析：(1)∵0<x <32 ,∴3－2x >0 ,∴y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2[2x ＋(3－2x )2]2＝92 ,当且仅当2x ＝3－2x ,即x ＝34时 ,等号成立． ∴y ＝4x (3－2x )的最|大值为92. (2)由2x ＋8y －xy ＝0得 ,y ＝2xx －8 , ∴x ＋y ＝x ＋2xx －8＝(x －8)＋2(x －8)＋16x －8＋8＝(x －8)＋16x －8＋10 ≥2(x －8)×16(x －8)＋10 ＝18 ,当且仅当x －8＝16x －8,即x ＝12时 ,等号成立 , ∴x ＋y 的最|小值为18. 10．a >0 ,b >0 ,a ＋b ＝1 ,求证：a ＋12＋b ＋12≤2.证明：∵a ＋12＝1·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12≤1＋a ＋122＝34＋a 2 , b ＋12＝ 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12≤1＋b ＋122＝34＋b 2 ,∴a ＋12＋b ＋12≤32＋12(a ＋b )＝2(当且仅当a ＝b ＝12时取等号)．[B 组 能力提升]1．设x 、y 为正实数 ,且xy －(x ＋y )＝1 ,那么( ) A ．x ＋y ≥2(2＋1) B ．x ＋y ≤2(2＋1) C ．x ＋y ≤(2＋1)2D ．x ＋y ≥(2＋1)2解析：x >0 ,y >0 ,xy －(x ＋y )＝1⇒xy ＝1＋(x ＋y )⇒1＋(x ＋y )≤(x ＋y2)2⇒x ＋y ≥2(2＋1)． 答案：A2．设正实数x ,y ,z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0 ,那么当zxy 取得最|小值时 ,x ＋2y －z 的最|大值为( ) A ．0 B.98 C ．2D.94解析：z ＝x 2－3xy ＋4y 2(x ,y ,z ∈R ＋) ,∴z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2xy＝x y ＋4y x －3≥2x y ·4yx －3＝1.当且仅当x y ＝4yx ,即x ＝2y 时 "＝〞成立 ,此时z ＝x 2－3xy ＋4y 2＝4y 2－6y 2＋4y 2＝2y 2 ,∴x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y 2＝－2y 2＋4y ＝－2(y －1)2＋2 , ∴当y ＝1时 ,x ＋2y －z 取得最|大值2. 答案：C3．点M (x ,y )在第|一象限 ,且满足2x ＋3y 32x ＋log 32y 的最|大值是________．解析：∵M (x ,y )在第|一象限 , ∴x >0 ,y >0 ,且2x ＋3y ＝6. ∴log 32x ＋log 32y ＝log 32(xy ) ,xy ＝16(2x ·3y )≤16×(2x ＋3y 2)2＝32 , ∴log 32(xy )≤log 3232＝1 ,当且仅当2x ＝3y ＝3 ,即x ＝32 ,y ＝1时 , log 32x ＋log 32y 的最|大值为1.答案：14．设x ,y ∈R ,且xy ≠0 ,那么⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2的最|小值为________． 解析：(x 2＋1y 2)(1x 2＋4y 2)＝1＋4＋4x 2y 2＋1x 2y 2≥1＋4＋24x 2y 2·1x 2y 2＝9 ,当且仅当4x 2y 2＝1x 2y 2时等号成立 ,即|xy |＝22时等号成立． 答案：95．a ,b ,x ,y ∈R ＋ ,x ,y 为变数 ,a ,b 为常数 ,且a ＋b ＝10 ,a x ＋by ＝1 ,x ＋y 的最|小值为18 ,求a ,b .解析：∵x ＋y ＝(x ＋y )(a x ＋b y )＝a ＋b ＋bx y ＋ayx ≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2 ,当且仅当bx y ＝ayx 时取等号． 又(x ＋y )min ＝(a ＋b )2＝18 , 即a ＋b ＋2ab ＝18①又a ＋b ＝10②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8b ＝2.6．设x >0 ,y >0且x ＋y ＝4 ,要使不等式1x ＋4y ≥m 恒成立 ,求实数m 的取值范围． 解析：由x >0 ,y >0 ,且x ＋y ＝4 ,得x ＋y4＝1 , ∴1x ＋4y ＝x ＋y 4·(1x ＋4y )＝14(1＋y x ＋4x y ＋4) ＝14(5＋y x ＋4x y )≥14(5＋2y x ·4x y )＝94 ,当且仅当y x ＝4xy 时等号成立 , 即y ＝2x (∵x >0 ,y >0 ,∴y ＝－2x 舍去) , 此时 ,结合x ＋y ＝4 ,解得x ＝43 ,y ＝83. 1x ＋4y 的最|小值为94. ∴94≥m ,即m ≤94.。

一、选择题1．某单位计划今明两年购买某物品，现有甲、乙两种不同的购买方案，甲方案：每年购买的数量相等；乙方案：每年购买的金额相等，假设今明两年该物品的价格分别为1p 、2p ()12p p ≠，则这两种方案中平均价格比较低的是（ ）A ．甲B ．乙C ．甲、乙一样D ．无法确定2．已知0h >，则||2a b h -<是1a h -<且1b h -<的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 3．若2a ≠-，(21)(2)m a a =-+，(2)(3)n a a =+-，则m 、n 的大小关系是（ ） A ．m n =B ．m n <C ．m n >D ．m 、n 关系不确定4．等差数列{a n }的前n 项和S n ，且4≤S 2≤6，15≤S 4≤21，则a 2的取值范围为（ ） A ．94788⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．233388⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C ．93388⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．234788⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 5．对任意x ∈R ,不等式22|sin ||sin |x x a a +-≥恒成立,则实数a 的取值范围是（ ） A ．01a ≤≤B ．11a -≤≤C ．12a -≤≤D ．22a -≤≤6．已知实数0a b >>，R c ∈，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．ac bc <B ．11b ba a+<+ C ．11b ba a+>+ D ．ac bc ≥7．若a b c R ∈，，，则以下命题为真的是（ ） A ．若a b >，则11a b< B ．若a b >，则22ac bc > C ．若a b >，则22a b > D ．若a b >，则22a b >8．下列三个不等式中（ ）①(),,0,a m a a b m b a b m b +>>>+;②30)x x x +≥≠;③()0,0a ba b d c c d>>>>> 恒成立的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．09．若,,a b c 为实数，则下列命题错误的是( ) A ．若22ac bc >，则a b > B ．若0a b <<，则22a b < C ．若0a b >>，则11a b< D ．若0a b <<,0c d >>，则ac bd <10．已知a b R ∈，，且a b >，则下列不等式中恒成立的是（ ）A ．22a b >B ．()lg a b 0->C ．a b 22--<D ．a 1b> 11．已知0a b >>，0c >，下列不等式中不．成立的是 A ．a c b c +>+ B ．a c b c ->-C ．ac bc >D ．c ca b> 12．设1311ln,log 22a b ==，则 （ ） A ．0a b ab +<<B ．0ab a b <+<C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+二、填空题13．不等式2log 5x a -<对任意[]4,16x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为____________. 14．若关于x 的不等式()14x x a a ++->∈R 对一切实数x 都成立，则实数a 的取值范围是________．15．若对任意[]02b ∈，，当11x a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，(1)a 时，不等式214ax bx x +-≤恒成立，则实数a 的取值范围是____.16．函数11y x x =+--的最大值是___________17．若关于x 的不等式13x x m -+-<在[]0,4x ∈上有解，则m 的取值范围是_________ 18．设5x >，PQ ，则P 与Q 的大小关系是P ______Q .19．已知函数()211f x x a x =-+-，若()2f x x ≥-的解集包含1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则实数a 的取值范围是________.20．已知二次函数f （x ）=ax 2+2x+c （x ∈R ）的值域为[0，+∞），则11a c c a+++的最小值为_____．三、解答题21．正项数列{}n a 满足()223*1112,442N n n n n a a a a n +++=-=-∈. （1）求23,a a ；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并给予证明； （3）若lg nn a c n=，求证：n c 是无理数. 22．已知函数2()|1|5f x mx a x =-++．（1）当0,1m a ==时，求不等式()|2|f x x -的解集；（2）当1m =时，存在0[0,2]x ∈，使()00|1|f x a x -成立，求实数a 的取值范围．23．（1）已知关于x 的不等式2211log x x a +--≤（其中0a >），当4a =时，求不等式的解集；（2）已知x ，y 均为正数，且x y >，求证：2212232x y x xy y+≥+-+. 24．选修4-5：不等式选讲已知函数()121f x x x =--+的最大值为k . （1）求k 的值；（2）若,,a b c ∈R ， 2222a cb k ++=，求()b ac +的最大值.25．已知函数()||,f x x x a a R =-∈. （1）当(1)(1)1f f +->，求a 的取值范围；（2）若0a >，对,(,]x y a ∀∈-∞，都有不等式5()||4f x y y a ≤++-恒成立，求a 的取值范围.26．已知函数()92(3)3f x x x x =++<- （1）求函数()f x 的最大值；（2）证明：若,a b R +∈，证明：22ab a b a b +≤≤+【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】分别计算出两种方案的平均价格，然后利用作差法可得出结论. 【详解】对于甲方案，设每年购买的数量为x ，则两年的购买的总金额为12p x p x +， 平均价格为121222p x p x p p x ++=； 对于乙方案，设每年购买的总金额为y ，则总数量为12y yp p +，平均价格为12121222p p yyy p p p p =++.因为()()()()221212121212121212420222p p p p p p p p p p p p p p p p +--+-==>+++，所以，12121222p p p p p p +>+. 因此，乙方案的平均价格较低. 故选：B. 【点睛】方法点睛：比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，作差法的主要步骤为：作差——变形——判断正负．在所给不等式是积、商、幂的形式时，可考虑比商2．B解析：B 【分析】利用判断充分，必要条件的方向判断，结合绝对值的几何意义，以及绝对值三角不等式证明. 【详解】当2a b h -<，说明a 与b 的距离小于2h ，但a 与b 与1的距离可以大于或等于h ，所以2a b h -<，不能推出1a h -<且1b h -<，反过来，当1a h -<且1b h -<时，()()11112a b a b a b h -=---≤-+-<，即2a b h -<，所以1a h -<且1b h -<，能推出2a b h -<，所以||2a b h -<是|1|?a h -<且|1|b h -<的必要非充分条件. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解绝对值的几何意义，a b -表示数轴上两点间距离，以及绝对值三角不等式a b a b a b -≤±≤+.3．C解析：C 【分析】由条件可得22232,6m a a n a a =+-=--，两式作差即可得大小关系. 【详解】(21)(2)m a a =-+,(2)(3)n a a =+-,22232,6m a a n a a ∴=+-=--,2244(2)m n a a a ∴-=++=+,由2a ≠-知，2(2)0m n a -=+>，m n ∴>，故选：C 【点睛】本题主要考查了利用作差法比较不等式的大小，属于基础题.4．B解析：B 【分析】首先设公差为d ，由题中的条件可得2426a d ≤-≤和21521222a d ≤+≤，利用待定系数法可得()()222112244a a d a d =-++，结合所求的范围及不等式的性质可得 2233388a ≤≤. 【详解】设公差为d ，由246S ≤≤，得1246a a ≤+≤，即2426a d ≤-≤； 同理由41521S ≤≤可得21521222a d ≤+≤. 故可设()()22222a x a d y a d =-++，所以有()()2222a x y a y x d =++-，所以有221y x x y =⎧⎨+=⎩，解得14x y ==，即()()222112244a a d a d =-++， 因为 ()2131242a d ≤-≤，()2151212848a d ≤+≤. 所以()()22231133228448a d a d ≤-++≤，即2233388a ≤≤. 故选：B. 【点睛】本题主要考查不等式的性质及等差数列的运算，利用不等式求解范围时注意放缩的尺度，运算次数越少，范围越准确.5．B解析：B 【分析】解法一:（换元法）设sin t x =,则原不等式可化为22||||t t a a +-≥.求函数()||||||f t t t t a =++-的最小值,从而不等式2||a a ≥可得11a -≤≤.解法二:（特殊值法）代入2a =, 1a =-,排除错误选项即可. 【详解】解:解法一:（换元法）设sin t x =,则原不等式可化为22||||t t a a +-≥. 令()||||||f t t t t a =++-,则min [()](0)||f t f a ==, 从而解不等式2||a a ≥可得11a -≤≤.故选B . 解法二:（特殊值法）当2a =时,因为2|sin ||sin 2|2sin 2|sin |2|sin |2x x x x x +-=-+≥+≥, 当且仅当sin 0x =时,等号成立. 此时2|sin ||sin 2|4x x +-≥不恒成立, 所以2a =不合题意,可以排除C 、D .当1a =-时,因为2|sin ||sin 1|1sin 2|sin |1|sin |1x x x x x ++=++≥+≥, 当且仅当sin 0x =时,等号成立. 此时2|sin ||sin 1|1x x ++≥恒成立, 所以1a =-符合题意,可以排除A. 故选:B 【点睛】本题考查绝对值不等式的参数问题,属于中档题,利用函数求最值的方法或者特殊值排除法都可以解题.6．C解析：C 【分析】根据不等式性质和作差法判断大小依次判断每个选项得到答案. 【详解】当0c ≥时，不等式不成立，A 错误；()()10111b b ab a ab b a ba a a a a a ++----==>+++，故B 错误C 正确； 当0c <时，不等式不成立，D 错误； 故选：C . 【点睛】本题考查了不等式的性质，作差法判断大小，意在考查学生对于不等式知识的综合应用.7．D解析：D 【分析】A ．举例：取0,0a b ><的值，检验；B ．举例：0c ，检验；C ．举例：取0,0a b ><的值(注意大小)，检验；D ．考虑两边同时平方来证明.【详解】A ．取1,1a b ==-，所以11a b>，故错误；B ．取0c ，所以22ac bc =，故错误；C ．取1,2a b ==-，所以22a b <，故错误；D ．因为0a b >≥，所以22a b >，所以22a b >，故正确. 故选：D. 【点睛】本题考查利用不等式的性质判断命题的真假，难度一般.(1)不等号两边同时乘以一个正数，不等号的方向不会改变；(2)已知两数的大小，比较两个数平方的大小时，要注意考虑数的正负.8．B解析：B 【分析】利用作差法可判断①，利用基本不等式可判断②，根据不等式的性质及作差法可判断③. 【详解】解：对于①，由a ，b ，0m >，a b <可知，()0()a m a b a m b m b b b m +--=>++可知a m a b m b+>+恒成立，故①正确；对于②，当0x >时，3x x +≥=3x x =即x =当0x <时，()33x x x x ⎡⎤+=--+≤-=-⎢⎥-⎣⎦3x x -=-即x =②错误；对于③，0,0a b d c >>>>根据正数不等式的同向可乘性得ad bc >0ad cb d a b c d ad cbcd c cd∴-=--=>，故③正确 故正确的有①③ 故选：B 【点睛】本题主要考查了基本不等式的成立条件的判断及不等式的性质等知识的简单应用，属于基础试题9．B解析：B 【分析】由题意利用不等式的性质逐一考查所给的四个选项中的结论是否正确即可.其中正确的命题可以用不等式的性质进行证明，错误的命题给出反例即可. 【详解】对于A ，若22ac bc >，则0c ≠，2222ac bc c c>，即a b >，故正确；对于B ，根据不等式的性质，若0a b <<，不妨取2,1a b =-=-，则22a b >，故题中结论错误； 对于C ，若0a b >>，则a b ab ab>，即11a b <，故正确；对于D ，若0a b <<,0c d >>，则0a b ->->，故ac bd ->-，ac bd <，故正确. 故选B. 【点睛】本题主要考查不等式的性质及其应用，属于中等题.10．C解析：C 【分析】主要利用排除法求出结果． 【详解】 对于选项A ：当0a b >>时，不成立；对于选项B ：当10a b >>>时，()lg 0a b -<，所以不成立； 对于选项D ：当0a b >>时，不成立； 故选C ． 【点睛】本题考查的知识要点：不等式的基本性质的应用，排除法的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．11．D解析：D 【分析】本道题结合不等式的基本性质,加上减去或者乘以大于0的数,不等式依然成立. 【详解】A,B 选项,不等式左右两边同时加上或减去相同的数,不等号不改变方向,故正确;C 选项,不等式左右两边同时乘以一个大于0的数,不等号不改变方向,故正确,而D 选项,关系应该为c ca b<,故不正确. 【点睛】本道题考查了不等式的基本性质,关键抓住不等号成立满足的条件,难度中等.12．B解析：B 【解析】分析：先分析出ab<0,a+b<0，再利用作差法比较ab a b +和的大小关系得解.详解：由题得1ln2a =＜ln1=0,131log 2b =>13log 10=. 所以ab<0. 1311ln 211ln 3ln log ln 2ln 2(1)ln 2022ln 3ln 3ln 3a b -+=+=-+=-=⋅<.所以11331111ln 2ln 2()ln log ln log ln 2ln 22222ln 3ln 3ab a b ab a b -+=--=⋅--=-⋅+- 3lnln 21ln 3ln 212ln 2(1)ln 2ln 20ln 3ln 3ln 3ln 3e ---+-=⋅=⋅<，所以ab a b <+. 故答案为B.点睛：（1）本题主要考查实数大小的比较和对数函数的性质，考查对数的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本运算能力.(2)解答本题的关键是对数的运算.二、填空题13．【分析】先去绝对值转化为再转化为求的最大值与最小值得到答案【详解】由得又由则则的最大值为的最小值为则故答案为：【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法对数函数的值域的求法还考查了将恒成立问题转化为求最值 解析：()1,7-【分析】先去绝对值，转化为22log 5log 5x a x -<<+，再转化为求2log ,[4,16]y x x =∈的最大值与最小值，得到答案. 【详解】由2log 5x a -<，得22log 5log 5x a x -<<+，又由2log ,[4,16]y x x =∈， 则[2,4]y ∈，则25log x -的最大值为1-，2log 5x +的最小值为7，则17a -<<. 故答案为：()1,7- 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，对数函数的值域的求法，还考查了将恒成立问题转化为求最值问题，转化与化归思想，属于中档题.14．【分析】由绝对值的三角不等式求得最小值得到即可求解【详解】由绝对值不等式可得当且仅当时等号成立所以解得或即实数a 的取值范围是【点睛】本题主要考查了绝对值三角不等式的应用其中解答熟记绝对值的三角不等式 解析：(,5)(3,)-∞-+∞【分析】由绝对值的三角不等式，求得最小值，得到14a +>，即可求解. 【详解】由绝对值不等式可得1(1)()1x x a x x a a ++-≥+--=+， 当且仅当(1)()0x x a +-≤时，等号成立， 所以14a +>，解得3a >或5a <-， 即实数a 的取值范围是(,5)(3,)-∞-+∞.【点睛】本题主要考查了绝对值三角不等式的应用，其中解答熟记绝对值的三角不等式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.15．【分析】将不等式转化为恒成立结合函数单调性转化求解【详解】对任意当时不等式恒成立即恒成立当时单调递增只需对恒成立且解得故答案为：【点睛】此题考查不等式恒成立求参数取值范围关键在于熟练掌握不等式性质和解析：](13，【分析】将不等式转化为14ax b x-+≤恒成立，结合函数单调性转化求解. 【详解】对任意[]02b ∈，，当11x a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，(1)a 时，不等式214ax bx x +-≤恒成立， 即14ax b x-+≤恒成立， []02b ∈，，当11x a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，(1)a 时，1y ax b x =-+单调递增， []11,1ax b a b a b x-+∈-+-+，14ax b x -+≤(1)a只需14,14a b a b -+≤-+≤对[]02b ∈，恒成立， 124a -+≤且1a >，解得13a.故答案为：](13，【点睛】此题考查不等式恒成立求参数取值范围，关键在于熟练掌握不等式性质和函数单调性，结合恒成立求解参数.16．2【分析】利用表示数轴上的到的距离减去它到1的距离求得它的最大值等于2即可【详解】∵表示数轴上的到的距离减去它到1的距离最大值等于2故答案为2【点睛】本题主要考查绝对值不等式绝对值的意义函数的值域属解析：2 【分析】利用表示数轴上的x 到1-的距离减去它到1的距离，求得它的最大值等于2即可． 【详解】∵11x x +--表示数轴上的x 到1-的距离减去它到1的距离， 最大值等于2，故答案为2． 【点睛】本题主要考查绝对值不等式，绝对值的意义，函数的值域，属于中档题.17．【分析】利用绝对值三角不等式求得在上的最小值进而可求得实数的取值范围【详解】关于的不等式在上有解则由绝对值三角不等式可得当且仅当时等号成立所以当时的最小值为因此实数的取值范围是故答案为：【点睛】本题 解析：()2,+∞【分析】利用绝对值三角不等式求得13x x -+-在[]0,4x ∈上的最小值，进而可求得实数m 的取值范围. 【详解】关于x 的不等式13x x m -+-<在[]0,4x ∈上有解，则()min13m x x >-+-，由绝对值三角不等式可得()()13132x x x x -+-≥---=， 当且仅当13x ≤≤时，等号成立，所以，当[]0,4x ∈时，13x x -+-的最小值为2，2m ∴>. 因此，实数m 的取值范围是()2,+∞. 故答案为：()2,+∞. 【点睛】本题考查利用绝对值不等式在区间上有解求参数的取值范围，考查计算能力，属于中等题.18．【分析】用作差的方法比较大小对根式进行分子有理化利用不等式的性质即可得出结果【详解】故答案为：【点睛】本题考查了用作差的方法比较大小和不等式的基本性质的应用考查了运算求解能力和逻辑推理能力属于中档题目 解析：>【分析】用作差的方法比较大小，对根式进行分子有理化，利用不等式的性质即可得出结果. 【详解】-=-P Q=-==-5x >>0>>∴<<<∴->故答案为：> 【点睛】本题考查了用作差的方法比较大小和不等式的基本性质的应用，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题目.19．【分析】根据的取值范围可将题意转化为对恒成立分为和两种情形解出的范围即可【详解】当时∵的解集包含∴即对恒成立当时不等式化为即；当时为任意实数；当时不等式化为解得；综上知的取值范围是故答案为：【点睛】 解析：[)3,+∞【分析】根据x 的取值范围可将题意转化为133a x x -≥-对1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，分为112x ≤<和12x ≤≤两种情形，解出a 的范围即可.【详解】当1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦时，210x -≥，20x -≤，∵()2f x x ≥-的解集包含1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∴2112x a x x -+-≥-，即133a x x -≥-对1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，当112x ≤<时，不等式化为()133a x x -≥-，即3331x a x -≥=-；当1x =时，a 为任意实数；当12x <≤时，不等式化为()133a x x -≥-，解得3a ≥-； 综上知a 的取值范围是[)3,+∞， 故答案为：[)3,+∞.【点睛】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了转化思想，属于中档题.20．4【分析】先判断是正数且把所求的式子变形使用基本不等式求最小值【详解】由题意知则当且仅当时取等号∴的最小值为4【点睛】】本题考查函数的值域及基本不等式的应用属中档题解析：4 【分析】先判断a c 、是正数，且1ac =，把所求的式子变形使用基本不等式求最小值． 【详解】由题意知，044010a ac ac c =-=∴=＞，，，＞，则111111 2224a c a c a c c a c c a a c a c a +++=+++=+++≥+=+=（）（），当且仅当1a c ==时取等号． ∴11a c c a+++的最小值为4． 【点睛】】本题考查函数的值域及基本不等式的应用．属中档题.三、解答题21．（1）234,8a a ==；（2）2nn a =，证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）对递推公式赋值，即可容易求得结果；（2）根据（1）中所得，猜想2nn a =，用数学归纳法进行证明即可； （3）由（2）中所求，结合lg nn a c n=得到n c ，用反证法证明即可. 【详解】（1）234,8a a ==；（2）猜想：数列{}n a 的通项公式为2nn a =.下面用数学归纳法证明其成立. ①当1n =时，12a =猜想成立②假设当()*n k k N =∈时，猜想成立，即2kk a =，那么当1n k =+时，有2232231144222k k k k k k a a a +++++-=-=-，所以2232231144222k k k k k k a a a +++++-=-=-，即()()2211222k k a ++-=-，解得112k k a ++=或1142k k a ++=-，因为{}n a 是正项数列，而*k N ∈时，1420k +-， 所以112k k a ++=.这就是说，当1n k =+时猜想也成立.根据①和②可知，猜想成立，即2nn a =.（3）lg lg 2nn a c n==. 假设lg 2是有理数，则可设lg 2q p=， 其中,p q 为互素的整数，0p >， 由①式可得210q p=，即21025p q q q ==⋅，所以，25p q q -=. 又因为lg 21qp=<，即0p q ->，所以*p q N -∈， 所以②式左边为偶数，右边为奇数，产生矛盾. 所以，假设不成立，故lg 2是无理数. 因此，lg lg 2nn a c n==是无理数. 【点睛】本题考查数学归纳法证明数列的通项公式，以及用反证法证明命题，属综合中档题. 22．（1）[]2,3-（2）(,3]a ∈-∞ 【分析】（1）分区间讨论去掉绝对值号，解不等式即可；（2）分类讨论去掉绝对值号，转化为不等式有解问题，利用函数最值求解即可. 【详解】（1）当0,1m a ==时，()|1|5f x x =-++， 因为()|2|f x x -， 所以|2||1|5x x -++≤，①当2x ≥时，215x x -++≤，解得3x ≤，23x ∴≤≤②当12x -≤<时，215x x -++≤恒成立，12x ∴-≤<③当1x <-时，215x x ---≤，解得2x -≤，21x ∴-≤<-综上，23x -≤≤，即解集为[]2,3-. （2）当1m =时，()()215f x x a x =-++，[]00,2x ∈时，0x ∃使()00|1|f x a x -成立，①当12x ≤≤时，0[1,2]x ∃∈使2250x ax -+≥成立， 即52a x x≤+， 所以只需max 52()a x x≤+， 因为5y x x=+在[1,2]x ∈上单调递减， 所以max 5()156x x+=+=， 解得3a ≤，②当01x ≤<时，0[0,1)x ∃∈使252x a +≥成立， 只需2max 2(5)6a x ≤+<， 所以3a <， 综上，(,3]a ∈-∞ 【点睛】关键点点睛：存在0[0,2]x ∈，使得()00|1|f x a x -成立，为了去掉绝对值号， 需要分类讨论，转化为不等式有解问题，要注意与不等式恒成立问题的区别，搞清楚需要求最大值还是最小值. 23．（1）243x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）见解析 【分析】（1）利用已知条件，先分析2211log x x a +--≤的解集就是绝对值不等式的求解，利用三段论法得到即可； （2）根据要证结论分析可知()2221122()()2x y x y x y +x xy y x y +-=-+--+-由三元基本不等式即可证得结论成立. 【详解】（1）当4a =时，不等式为2112x x +--≤. 当12x <-时，22x --≤，解得142x -≤<-；当112x -≤≤时，32x ≤，解得1223x -≤≤； 当1x >时，0x ≤，此时x 不存在，∴原不等式的解集为243x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭. （2）因为0x >，0y >，0x y ->，()22211222()2x y x y x xy y x y +-=-+-+-21()()3()x y x y x y =-+-+≥-=，当且仅当1x y -=时等号成立， 所以2212232x y x xy y +≥+-+.【点睛】本试题主要是考查了绝对值不等式的求解，考查三元基本不等式的应用，考查推理能力与计算能力，考查了分类讨论的思想，属于中档题. 24．（1）2（2）2 【详解】试题分析：（1）根据绝对值定义，将函数化为分段函数形式，分别求各段最大值，最后取各段最大值的最大者为k 的值；（2）利用基本不等式得()()()2222222a b bc b a c +++≤+=，即得()b a c +的最大值.试题（1）由于()()31,()31(11),31,x x f x x x x x ⎧--≥⎪=---<<⎨⎪+≤-⎩当1≥x 时，()134f x ≤--=-， 当11x -<<时，()312f x <-=， 当1x ≤-时，()132f x ≤-+= 所以()max 2f x =.（2）由已知22222a cb ++=,有()()22224a b b c +++=，因为222a b ab +≥(当a b =时取等号)，222b c bc +≥(当b c =时取等号)，所以()()()222242a b b c ab bc +++=≥+，即2ab bc +≤，故()b a c +的最大值为2. 25．（1）1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭；（2）(0,5]. 【分析】（1）结合a 取不同范围，去绝对值，计算a 的范围，即可．（2）结合函数性质，计算()f x 的最大值，结合题意，建立关于a 的不等式，计算a 的范围，即可． 【详解】（1）(1)(1)|1||1|1f f a a +-=--+>，若1a ≤-，则111a a -++>，得2>1，即1a ≤-时恒成立； 若11a -<<，则1(1)1a a --+>，得12a <-，即112a -<<-； 若1a ≥，则(1)(1)1a a ---+>，得21->，此时不等式无解. 综上所述，a 的取值范围是1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭. （2）由题意知，要使不等式恒成立，只需max min5[()]||4f x y y a ⎡⎤≤++-⎢⎥⎣⎦. 当(,]x a ∈-∞时，2()f x x ax =-+，2max[()]24a af x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭.因为55||44y y a a ++-≥+， 所以当5,4y a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，min55||44y y a a ⎡⎤++-=+⎢⎥⎣⎦ 54a =+.于是2544a a ≤+，解得15a -≤≤.结合0a >，所以a 的取值范围是(0,5].【点睛】本道题考查了绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立问题，考查绝对值三角不等式．难度较大．不等式恒成立问题的关键在于转化，象本题转化为求max [()]f x 和min5||4y y a ⎡⎤++-⎢⎥⎣⎦． 26．（1）最大值1-（2）见解析 【分析】（1）根据题意，得出()935,(3)3f x x x x =+-+<-，由于3x <，得出()30x -->，根据基本不等式求得()()9363x x --≥--，从而得出9363x x +-≤--，从而得出()1f x ≤-，当且仅当()239x -=，即0x =时，取等号，即可得出函数()f x 的最大值；（2）根据0,0a b >>，利用分析法证出()20a b -≥成立，从而可证出22ab a ba b +≤+；运用作差法，结合完全平方公式，即可证出2a b +≤解：（1）由题可知，()92,(3)3f x x x x =++<-， 则()935,(3)3f x x x x =+-+<-， 3x <，30x ∴-<，则()30x -->，()()9363x x ∴--≥=--， ()()9363x x ∴--≥--，9363x x ∴+-≤--，则93513x x +-+≤--， 当且仅当()239x -=，即0x =时，取等号，()1f x ∴≤-，即函数()f x 的最大值为1-.（2）由题可知，0,0a b >>， 要证22ab a b a b +≤+，只需证：()24a b ab +≥， 需证：()240a b ab +-≥，即证：()20a b -≥， 而()20a b -≥显然成立，所以原式22ab a ba b +≤+成立；要证2a b +≤22222a b a b ++⎛⎫≤⎪⎝⎭， 则要证：222022a b a b ++⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，22222222222244a b a b a b a b ab+++++⎛⎫-=- ⎪⎝⎭()2222044a b a b ab-+-==≥，当且仅当a b =时，取得等号； 即：222022a b a b ++⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭成立，所以原式2a b +≤综上得：,a b R +∈时，22ab a b a b +≤≤+.本题考查利用基本不等式求函数最小值，以及利用分析法和作差法证明不等式，考查分析和推理能力.。

自主广场我夯基我达标1.log a b+log b a≥2成立的必要条件是（ ） Aa>1,b>1 Ba>0,0<b<1 C(a-1)(b-1)>0 D 以上都不对 思路解析：因为log a b 与log b a 互为倒数，符合基本不等式的结构.但两个数应是正数,所以a,b 同时大于1或a,b 都属于区间(0,1). 答案:C2.下列命题中:①x+x 1最小值是2;②1222++x x 的最小值是2;③4522++x x 的最小值是2;④2-3x-x4的最小值是2.其中正确命题的个数是（ ） A1个 B2个 C3个 D4个 思路解析:当x<0时,x+x1无最小值,故①错误; 当x=0时,1222++x x 的最小值是2,②正确;当44122+=+x x 时,4522++x x 取得最小值2.但此时x 2=-3,所以4522++x x 取不到最小值2,故③错误;当x>0时,2-3x-x4<0,故④错误. 答案:A3.设x,y ∈R +,且满足x+4y=40,则lgx+lgy 的最大值是（ ） A40 B10 C4 D2 思路解析：因为x,y ∈R +,∴244yx xy +≤. ∴44yx xy +≤=10.∴xy≤100. ∴lgx+lgy=lgxy≤lg100=2. 答案：D4.设x,y ∈R +，且xy-(x+y)=1,则（ ） Ax+y≥2(2+1) Bx·y≤2+1 Cx+y≤(2+1)2 Dx·y≥2(2+1) 思路解析：因为xy-(x+y)=1, ∴x+y+1=xy≤(2y x +)2所以(x+y)2-4(x+y)-4≥0. 所以x+y≥216164++=2+22,或x+y≤2-22(舍去). 答案：A5.若a>b>1，P=b a lg lg ∙，Q=21（lga+lgb ）,R=lg(2b a +),则（ ）AR<P<Q BP<Q<RCQ<P<R DP<R<Q 思路解析：∵a>b>1⇒lga>0,lgb>0, ∴Q=12(lga+lgb)>b a lg lg ∙=P, R>ab lg =21(lga+lgb)=Q ⇒R>Q>P. 答案：B6.设x,y ∈R ,且x+y=5,则3x +3y 的最小值是 ……（ ） A10 B63 C 64 D183 思路解析：3x +3y ≥31832323325===∙+y x y x . 答案：D7.已知lgx+lgy=2,则x 1+y1的最小值为__________. 思路解析：∵lgx+lgy=2, ∴lgxy=2,xy=102. ∴511001002211==≥+=+xy xy xy y x y x . 答案：158.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x=__________吨. 思路解析：设一年总费用为y 万元，则y=4×x 400+4x=x 1600+4x≥x x416002⨯=160. 当且仅当x1600=4x,即x=20时，等号成立. 答案：209.（1）求函数y=31-x +x(x>3)的最小值; (2)设x>-1，求函数y=1)2)(5(+++x x x 的最小值.解：（1）∵x>3,∴y=1x-3+x=1x-3+(x-3)+3≥5（当且仅当x-3=1x-3，即x=4时，即“=”号）. ∴y min =5.(2)因为x>-1,所以x+1>0, 设x+1=t>0,则x=t-1，把x=t-1代入y=tt t t t x x x 45451)2)(5(2++=++=+++. =5+(t+t 4)≥5+tt 42⨯=5+4=9. 当且仅当t=2即x=1时上式等号成立.所以当x=1时函数y 有最小值9. 我综合我发展10.若关于x 的不等式（1+k 2）x≤k 4+4的解集是M ，则对任意常数k ，总有（ ） A2∈M,0∈M B2∉M,0∉M C2∈M,0∉M D2∉M,0∈M思路解析：由(1+k 2)x≤k 4+4,得x≤2414kk ++, 令f(k)=2414kk ++,再令k 2+1=t(t≥1),则k 2=t-1, f(k)=tt t t t 524)1(22+-=+-=t+t 5-2≥52-2>4-2=2.(当且仅当t=5t,即t=5时“=”成立).所以2∈M,0∈M.答案：A11.已知不等式（x+y ）(x 1+ya)≥9对任意正实数x,y 恒成立，则正实数a 的最小值为（ ） A2 B4 C6 D8 思路解析：（x+y ）(ya x +1)=1+a+x yy ax +≥1+a+a 2=(a +1)2(当且仅当xy=a 时取等号). ∵(x+y)(x 1+ya)≥9对任意正实数x,y 恒成立. ∴需(a +1)2≥9.∴a≥4. 答案：B12.若a,b,c>0且a(a+b+c)+bc=4-23,则2a+b+c 的最小值为（ ）A 3-1B 3+1 C23+2 D23-2 思路解析：由a(a+b+c)+bc=4-32, 得(a+b)(a+c)=4-32. ∵a,b,c>0, ∴(a+c)(a+b)≤(22c b a ++)2(当且仅当a+c=b+a,即b=c 时取“=”号). ∴2a+b+c≥3242-=2(3-1)=32-2. 答案：D13.已知a>0,b>0,a,b 的等差中项是21，且α=a+a 1,β=b+b1,则α+β的最小值是（ ） A3 B4 C5 D6 思路解析：由题意，知a+b=1,则α+β=a+a 1+b+b1=1+ab 1≥1+2)2(1b a +=5.答案：C14.a>0,b>0,给出下列四个不等式： ①a+b+ab1≥22;②(a+b)(a 1+b1)≥4; ③abb a 22+≥a+b;④a+41+a ≥-2. 其中正确的不等式有__________（只填序号）. 思路解析：①正确.∵a>0,b>0, ∴a+b+ab1≥ab 2+ab1≥2·ab 2·ab1=22;②正确.(a+b)(a 1+b 1)≥ab 4×ab1=4; ③正确.∵2222ba b a +≥+, ∴a 2+b 2≥2(2b a +)2=(a+b)2)(b a +≥(a+b)ab ,∴abb a 22+≥a+b;④a+41+a =(a+4)+41+a -4≥41)4(2+∙+a a -4=2-4=-2. 当且仅当a+4=41+a ,即(a+4)2=1时等号成立. 而a>0,∴(a+4)2≠1,∴等号不能取得. 综上可知①②③正确. 答案：①②③15.某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年产量Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系式为Q=113++x x (x≥0).已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品需再投入32万元，若每件售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和.(1)试将利润y （万元）表示为年广告费x(万元)的函数.如果年广告费投入100万元，企业是亏损还是盈利？（2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？（注： ①“年平均每件成本”中不计广告费支出；②假定每年生产的产品当年全部售出） 解：（1）利润=年收入-年成本-年广告费，售价=Q Q 323+×150%+Qx×50%， 收入=（3+32Q ）×150%+50%x, ∴y=(3+32Q)×150%+50%x-(3+32Q)-x=21(32Q+3-x) =21(32×113++x x +3-x) =21［32×(3-2x+1)+3-x ］ =50-21(164+x +x+1).当x=100时,y=50-12(10164+101)<0,∴此时企业亏损.(2)∵64x+1+x+1≥642=16,∴y=50-21(164+x +x+1)≤50-8=42. 当且仅当164+x =x+1,即x=7时取等号.故当广告投入7万元时，企业年利润最大. y max =42.。

第一讲DIYIJIANG不等式和绝对值不等式一不等式1.不等式的基本性质课后篇巩固探究A组1.(2017广东深圳一模)已知a>b>0,c<0,下列不等关系正确的是()A.ac>bcB.a c>b cC.log a(a-c)>log b(b-c)D.c<0,∴-c>0.又a>b>0,∴a-c>b-c>0,ac<bc.故>0.即.2.(2017广东潮州二模)若a>b,则下列各式正确的是()A.a·lg x>b·lg xB.ax2>bx2C.a2>b2D.a·2x>b·2xa>b,当lg x≤0时,a·lg x>b·lg x不成立,故A错误.当x=0时,ax2=bx2,故B错误.若a=0,b=-1,则a2<b2,故C错误.∵2x>0,∴a·2x>b·2x,故D正确.3.若角α,β满足-<α<β<,则α-β的取值范围是()A.(-2π,2π)B.(-2π,0)C.(-π,0)D.(-π,π)-<β<,所以-<-β<.又α-β=α+(-β),且α<β,所以-2π<α-β<0.4.若a>1,b<1,则下列结论中正确的是()A. B.>1C.a2>b2D.ab<a+b-1a>1,b<1得a-1>0,b-1<0,所以(a-1)(b-1)<0,展开整理,得ab<a+b-1.5.已知1≤a+b≤5,-1≤a-b≤3,则3a-2b的取值范围是()A.[-6,14]B.[-2,14]C.[-6,10]D.[-2,10]3a-2b=m(a+b)+n(a-b),则所以因为1≤a+b≤5,-1≤a-b≤3,所以(a+b)≤,-(a-b)≤,故-2≤3a-2b≤10.6.已知0<a<1,则a,,a2的大小关系是.(从小到大)a-<0,∴a<.又a-a2=a(1-a)>0,∴a>a2.∴a2<a<.2<a<7.已知-3<b<a<-1,-2<c<-1,则(a-b)c2的取值范围是.0<a-b<2,1<c2<4,则0<(a-b)c2<8.8.设a>b>c>0,若x=,y=,z=,则x,y,z之间的大小关系是.(从小到大)x2-y2=a2+(b+c)2-b2-(c+a)2=2c(b-a)<0,所以x<y.同理可得y<z,故x,y,z之间的大小关系是x<y<z.9.若3<a<7,1<b<10,试求a+b,3a-2b,的取值范围.3<a<7,1<b<10,所以4<a+b<17,即a+b∈(4,17).因为9<3a<21,-20<-2b<-2,所以-11<3a-2b<19,即3a-2b∈(-11,19).因为9<a2<49,所以.又1<b<10,所以,即.10.导学号26394000在等比数列{a n}中,若a1>0,q>0,前n项和为S n,试比较的大小.q=1时,=3,=5,所以.当q>0,且q≠1时,=<0,所以有.综上可知有.B组1.(2017河北衡水模拟)已知0<a<b<1,c>1,则()A.log a c<log b cB.C.ab c<ba cD.a log c<b log ca=,b=,c=2,得选项A,B,C错误.由0<a<b<1,c>1,则>1,log c x在定义域上单调递增.故a log c<b log c.2.已知a,b∈R,则下列条件中能使a>b成立的必要不充分条件是()A.a>b-1B.a>b+1C.|a|>|b|D.3a>3b解析因为a>b⇒a>b-1,但a>b-1a>b,所以“a>b-1”是“a>b”的必要不充分条件;“a>b+1”是“a>b”的充分不必要条件;“|a|>|b|”是“a>b”的既不充分也不必要条件;“3a>3b”是“a>b”的充要条件.3.导学号26394001已知实数a,b,c满足b+c=3a2-4a+6,c-b=a2-4a+4,则a,b,c的大小关系是()A.c≥b>aB.a>c≥bC.c>b>aD.a>c>bc-b=a2-4a+4=(a-2)2≥0易知c≥b,又由已知可解得b=a2+1>a,所以c≥b>a.4.若a,b∈R,且a2b2+a2+5>2ab+4a,则a,b应满足的条件是.(ab-1)2+(a-2)2>0,则a≠2或b≠.≠2或b≠5.设x>5,P=,Q=,试比较P与Q的大小关系.P=,Q=,又,所以Q<P.6.导学号26394002已知θ∈,且a=2sin2θ+sin 2θ,b=sin θ+cos θ,试比较a与b的大小.θ∈,所以a=2sin2θ+sin 2θ>0,b=sin θ+cos θ>0.因为=2sin θ,又θ∈,所以sin θ∈,2sin θ∈(0,1),即0<<1,故a<b.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

第一讲 不等式和绝对值不等式1.1 不等式1.1.1 不等式的基本性质A 级 基础巩固一、选择题1．若m ＝2x 2＋2x ＋1，n ＝(x ＋1)2，则m ，n 的大小关系为( )A ．m ＞nB ．m ≥nC ．m ＜nD ．m ≤n解析：因为m －n ＝ (2x 2＋2x ＋1)－(x ＋1)2＝2x 2＋2x ＋1－x 2－2x －1＝x 2≥0.所以m ≥n .答案：B2．若a ＜b ＜0，则下列不等式关系中不能成立的是( )A.1a ＞1bB.1a －b ＞1aC ．|a |＞|b |D ．a 2＞b 2 解析：取a ＝－2，b ＝－1，则1a －b ＝－1＜－12＝1a. 所以B 不成立．答案：B3．设a ， b ∈R ，若a ＋|b |＜0，则下列不等式中正确的是( )A．a－b＞0 B．a3＋b3＞0C．a2－b2＜0 D．a＋b＜0解析：当b≥0时，a＋b＜0，当b＜0时，a－b＜0，所以a＋b＜0，故选D.答案：D4．(2015·浙江卷)设a，b是实数，则“a＋b＞0”是“ab＞0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：当a＝－2，b＝3时，a＋b＞0，但ab＜0；当a＝－1，b＝－2时，ab＞0，但a＋b＜0.所以“a＋b＞0”是“ab＞0”的既不充分又不必要条件．答案：D5．已知实数x，y满足a x＜a y(0＜a＜1)，则下列关系式恒成立的是( )A.1x2＋1＞1y2＋1B．ln(x2＋1)＞ln(y2＋1)C．sin x＞sin y D．x3＞y3解析：由a x＜a y(0＜a＜1)，可得x＞y. 又因为函数f(x)＝x3在R上递增，所以f(x)＞f(y)，即x3＞y3.答案：D二、填空题6．已知0＜a ＜1，则a ，1a，a 2的大小关系是________． 解析：因为a －1a ＝（a ＋1）（a －1）a ＜0，所以a ＜1a. 又因为a －a 2＝a (1－a )＞0，所以a ＞a 2，所以a 2＜a ＜1a. 答案：a 2＜a ＜1a7．若8＜x ＜10，2＜y ＜4，则x y的取值范围是________． 解析：因为2＜y ＜4，所以14＜1y ＜12. 又8＜x ＜10，所以2＜x y＜5. 答案：(2，5)8．设a ＞0，b ＞0，则b 2a ＋a 2b与a ＋b 的大小关系是________． 解析：b 2a ＋a 2b －(a ＋b )＝（a ＋b ）（a 2－ab ＋b 2）ab－(a ＋b )＝（a ＋b ）（a －b ）2ab. 因为a ＞0，b ＞0，所以a ＋b ＞0，ab ＞0，(a －b )2≥0.所以b 2a ＋a 2b≥a ＋b .答案：b 2a ＋a 2b≥a ＋b 三、解答题9．判断下列各命题的真假，并阐明理由．(1)若a ＜b ，c ＜0，则c a ＜c b； (2)若ac －3＞bc －3，则a ＞b ；(3)若a ＞b ，且k ∈N *，则a k ＞b k ；(4)若a ＞b ，b ＞c ，则a －b ＞b －c .解：(1)因为a ＜b ，没有指出ab ＞0，故1a ＞1b不一定成立， 因此不一定推出c a ＜c b. 所以是假命题．(2)当c ＜0时，c －3＜0，有a ＜b .所以是假命题．(3)当a ＝1，b ＝－2，k ＝2时，显然命题不成立．所以是假命题．(4)取a ＝2，b ＝0，c ＝－3满足a ＞b ，b ＞c 的条件，但是a －b ＝2＜b －c ＝3.所以是假命题．10．已知a ＞b ＞0，比较a b 与a ＋1b ＋1的大小． 解：a b －a ＋1b ＋1＝a （b ＋1）－b （a ＋1）b （b ＋1）＝a －b b （b ＋1）. 因为a ＞b ＞0，所以a －b ＞0，b (b ＋1)＞0.所以a －b b （b ＋1）＞0. 所以a b ＞a ＋1b ＋1.B 级 能力提升1．若0＜x ＜y ＜1，则( )A ．3y ＜3xB ．log x 3＜log y 3C ．log 4x ＜log 4y D.⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫14y解析：因为函数y ＝log 4x 是增函数，0＜x ＜y ＜1，所以log 4x ＜log 4y .答案：C2．实数a ，b ，c ，d 满足下列三个条件：①d ＞c ；②a ＋b ＝c ＋d ；③a ＋d ＜b ＋c .试将a ，b ，c ，d 按照从小到大的顺序排列为__________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋d ＜b ＋c ⇒d －b ＜c －a ，a ＋b ＝c ＋d ⇒c －a ＝b －d ， ⇒⎩⎪⎨⎪⎧d －b ＜b －d ，a －c ＜c －a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧d ＜b ，a ＜c . 又由d ＞c ，得a ＜c ＜d ＜b .答案：a ＜c ＜d ＜b3．已知c a ＞d b，bc ＞ad ，求证：ab ＞0. 证明：⎩⎪⎨⎪⎧c a ＞d b ，bc ＞ad ⇒⎩⎪⎨⎪⎧c a －d b ＞0， ①bc －ad ＞0. ②又bc ＞ad ，则bc －ad ＞0.由②得bc －ad ＞0.故ab ＞0.。

第一讲测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.若<0,给出下列不等式:①a+b<ab;②|a|>|b|;③a<b;④>2.其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个b<a<0,所以a+b<ab,|a|<|b|,>0,从而>2,因此①④正确.2.设集合A={x||x-a|<1,x∈R},B={x||x-b|>2,x∈R}.若A⊆B,则实数a,b必满足()A.|a+b|≤3B.|a+b|≥3C.|a-b|≤3D.|a-b|≥3A={x|a-1<x<a+1},集合B={x|x<b-2或x>b+2},又A⊆B,所以有a+1≤b-2或b+2≤a-1,即a-b≤-3或a-b≥3,因此选D.3.对于x∈R,不等式|x+10|-|x-2|≥8的解集为()A.[0,+∞)B.(0,2)C.[0,2)D.(0,+∞),|BC|=2-(-10)=12,|AB|=10,|AC|=2,当点P在点A右侧时|PB|-|PC|>8,故x≥0.4.下列函数中,最小值为2的是()A.y=x+B.y=x2-2x+4C.y=x2+D.y=y=x2+中,x2>0,所以y=x2+≥2=2,当且仅当x=±1时,函数的最小值为2.5.若不等式|ax+2|<4的解集为(-1,3),则实数a等于()A.8B.2C.-4D.-2-4<ax+2<4,则-6<ax<2,所以(ax-2)(ax+6)<0,其解集为(-1,3),故a=-2.6.“a=2”是“关于x的不等式|x+1|+|x+2|<a的解集非空”的()A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件|x+1|+|x+2|≥|x+1-(x+2)|=1,所以由不等式|x+1|+|x+2|<a的解集非空得a>1,故必要性不成立.又当a=2时,不等式|x+1|+|x+2|<a有解,所以充分性成立,所以“a=2”是“关于x的不等式|x+1|+|x+2|<a的解集非空”的充分不必要条件,故选C.7.已知f(x)=2x+3(x∈R),若|f(x)-1|<a的必要条件是|x+1|<b(a,b>0),则a,b之间的关系是()A.b≥B.b<C.a≤D.a>|f(x)-1|<a可得<x<,由|x+1|<b可得-b-1<x<b-1,由题意可得解得b≥.8.若x∈(0,π),则y=sincos2的最大值等于()A. B.C. D.2=sin2cos4·2sin2·cos2·cos2,所以y≤,故所求最大值为.9.若|x-1|<3,|y+2|<1,则|2x+3y|的取值范围是()A.[0,5)B.[0,13)C.[0,9)D.[0,4)2x+3y|=|2(x-1)+3(y+2)-4|≤2|x-1|+3|y+2|+|-4|<6+3+4=13.10.若不等式x2<|x-1|+a的解集是区间(-3,3)的子集,则实数a的取值范围是()A.(-∞,7)B.(-∞,7]C.(-∞,5)D.(-∞,5]x2<|x-1|+a等价于x2-|x-1|-a<0,设f(x)=x2-|x-1|-a,若不等式x2<|x-1|+a的解集是区间(-3,3)的子集,则解得a≤5,故选D.11.(2017陕西宝鸡一模)在正项等比数列{a n}中,a2 016=a2 015+2a2 014,若a m a n=16,则的最小值等于()A.1B.C.D.{a n}的公比为q(q>0),由a2 016=a2 015+2a2 014,得q2=q+2,解得q=2或q=-1(舍去).又因为a m a n=16,即·2m+n-2=16,所以m+n=6.因此(m+n)=,当且仅当m=4,n=2时,等号成立.故选B.12.导学号26394017设0<x<1,a,b都为大于零的常数,若≥m恒成立,则m的最大值是()A.(a-b)2B.(a+b)2C.a2b2D.a2x+(1-x)]=a2+b2+≥a2+b2+2ab=(a+b)2,当且仅当时,等号成立.由≥m恒成立,可知m≤(a+b)2.故m的最大值是(a+b)2.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.若x>-2,且x≠0,则的取值范围是.x>-2,且x≠0,所以当x>0时,有>0;当-2<x<0时,有<-,综上,的取值范围是∪(0,+∞).(0,+∞)14.(2017山东淄博模拟)已知f(x)=lg,若f(a)+f(b)=0,则的最小值是.(x)=lg,f(a)+f(b)=0,∴lg+lg=0,∴=1,整理,得a+b=2(a,b∈(0,2)),则(a+b)=≥.当且仅当a=2b=时,等号成立.15.若关于x的不等式|x+1|+|x-3|≥a+对任意的实数x恒成立,则实数a的取值范围是.a+≤4,所以≤0,解得a的取值范围为(-∞,0)∪{2}.-∞,0)∪{2}16.“蛟龙号”载人深潜器是我国首台自主设计、自主集成研制的作业型深海载人潜水器,“蛟龙号”如果按照预计下潜的深度s(单位:米)与时间t(单位:分)之间的关系满足关系式为s=0.2t2-14t+2 000,则平均速度的最小值是米/分.v(t)==0.2t+-14≥2-14=2×20-14=26,当且仅当0.2t=,即t=100时,取得最小值.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)设不等式|x-2|<a(a∈N+)的解集为A,且∈A,∉A.(1)求a的值;(2)求函数f(x)=|x+a|+|x-2|的最小值.因为∈A,且∉A,所以<a,且≥a,解得<a≤.又因为a∈N+,所以a=1.(2)因为|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,当且仅当(x+1)(x-2)≤0,即-1≤x≤2时取到等号.所以f(x)的最小值为3.18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=m-|x-2|,m∈R+,且f(x+2)≥0的解集为[-1,1].(1)求m的值;(2)若a,b,c∈R+,且=m,求证a+2b+3c≥9.f(x+2)=m-|x|,所以f(x+2)≥0等价于|x|≤m.由|x|≤m有解,得m≥0,且其解集为{x|-m≤x≤m},又f(x+2)≥0的解集为[-1,1],所以m=1.(1)知=1,又a,b,c∈R+,所以a+2b+3c=(a+2b+3c)=3+=3+≥3+2+2+2=3+6=9(当且仅当a=2b=3c时,等号成立).故a+2b+3c≥9.19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=|2x-a|+a.(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;(2)设函数g(x)=|2x-1|.当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围.当a=2时,f(x)=|2x-2|+2.解不等式|2x-2|+2≤6得-1≤x≤3.因此f(x)≤6的解集为{x|-1≤x≤3}.(2)当x∈R时,f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|≥|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a,当x=时等号成立,所以当x∈R时,f(x)+g(x)≥3等价于|1-a|+a≥3.①(分类讨论)当a≤1时,①等价于1-a+a≥3,无解.当a>1时,①等价于a-1+a≥3,解得a≥2.所以a的取值范围是[2,+∞).20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=|x-1|.(1)解不等式f(x)+f(x+4)≥8;(2)若|a|<1,|b|<1,且a≠0,求证f(ab)>|a|f.(x)+f(x+4)=|x-1|+|x+3|=当x<-3时,由-2x-2≥8,解得x≤-5;当-3≤x≤1时,不成立;当x>1时,由2x+2≥8,解得x≥3.所以不等式f(x)+f(x+4)≥8的解集为{x|x≤-5或x≥3}.f(ab)=|ab-1|,|a|f=|a|=|a-b|,又|a|<1,|b|<1,所以|ab-1|2-|a-b|2=(a2b2-2ab+1)-(a2-2ab+b2)=(a2-1)(b2-1)>0,所以|ab-1|>|a-b|.故所证不等式成立.21.导学号26394018(本小题满分12分)已知x,y,z∈R+,x+y+z=3.(1)求的最小值;(2)求证3≤x2+y2+z2<9.x+y+z≥3>0,>0,所以(x+y+z)≥9,即≥3,当且仅当x=y=z=1时,取最小值3.x2+y2+z2=≥==3(当且仅当x=y=z=1时,等号成立).又x2+y2+z2-9=x2+y2+z2-(x+y+z)2=-2(xy+yz+zx)<0,所以3≤x2+y2+z2<9(当且仅当x=y=z=1时,等号成立).22.导学号26394019(本小题满分12分)已知f(x)=|2x-1|-|x+1|.(1)求f(x)>x的解集;(2)若a+b=1,对∀a,b∈(0,+∞),≥|2x-1|-|x+1|恒成立,求x的取值范围.f(x)=|2x-1|-|x+1|,当x<-1时,由f(x)>x得1-2x+x+1>x,解得x<-1;当-1≤x≤时,由f(x)>x得1-2x-x-1>x,解得-1≤x<0;当x>时,由f(x)>x得2x-1-(x+1)>x,即-2>0,无解.综上,不等式f(x)>x的解集为{x|x<0}.(2)∵f(x)=如图.又a,b∈(0,+∞),且a+b=1,∴(a+b)=5+≥5+2=9,当且仅当时,等号成立,即a=,b=.∵≥|2x-1|-|x+1|恒成立,∴|2x-1|-|x+1|≤9,结合图象知-7≤x≤11,故x的取值范围是-7≤x≤11.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

第一讲 不等式和绝对值不等式1.1 不等式1.1.2 基本不等式A 级 基础巩固一、选择题1．已知a ，b ∈R ，且ab ≠0，则下列结论恒成立的是( )A ．a ＋b ≥2abB.a b ＋b a ≥2C.⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ＋b a ≥2 D ．a 2＋b 2＞2ab解析：当a ，b 都是负数时，A 不成立；当a ，b 一正一负时，B 不成立；当a ＝b 时，D 不成立，因此只有C 是正确的．答案：C2．下列各式中，最小值等于2的是( )A.x y ＋y xB.x 2＋5x 2＋4 C ．tan θ＋1tan θ D ．2x ＋2－x解析：因为2x ＞0，2－x ＞0，所以2x ＋2－x ≥22x 2－x ＝2.当且仅当2x ＝2－x ，即x ＝0时，等号成立．答案：D3．设x ，y ∈R ，且x ＋y ＝5，则3x ＋3y 的最小值是( )A ．10B ．6 3C ．4 6D ．18 3解析：3x ＋3y ≥23x ·3y ＝23x ＋y ＝235＝183， 当且仅当x ＝y ＝52时，等号成立． 答案：D4．设x ，y 为正数，则(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y 的最小值为( ) A ．6B ．9C ．12D ．15解析：x ，y 为正数，(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝1＋4＋y x ＋4x y ≥9，当且仅当y x ＝4x y，即y ＝2x 时，等号成立，选B. 答案：B5．(2015·福建卷)若直线x a ＋y b＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：因为直线x a ＋y b ＝1过点(1，1)，所以1a ＋1b＝1.又a ，b 均大于0，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝1＋1＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b＝2＋2＝4，当且仅当a ＝b 时，等号成立．答案：C二、填空题6．设x ＞0，则函数y ＝3－3x －1x的最大值是________． 解析：y ＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x ≤3－23， 当且仅当3x ＝1x ，即x ＝33时，等号成立． 所以y max ＝3－2 3.答案：3－237．已知函数f (x )＝2x ，点P (a ，b )在函数y ＝1x(x ＞0)的图象上，那么f (a )·f (b )的最小值是________．解析：点P (a ，b )在函数y ＝1x(x ＞0)的图象上，所以有ab ＝1. 因为a ＞0，b ＞0，所以f (a )·f (b )＝2a ·2b ＝2a ＋b ≥22ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立．答案：48．当x ＞0时，f (x )＝2x x 2＋1的值域是________． 解析：因为x ＞0，所以x ＋1x ≥2，所以0＜1x ＋1x≤12.所以0＜2x ＋1x≤1. 又因为f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x， 所以0＜f (x )≤1，当且仅当x ＝1时，等号成立．故f (x )的值域是(0，1]．答案：(0，1]三、解答题9．已知x ＜0，求2x ＋1x的最大值． 解：由x ＜0，得－x ＞0，得－2x ＋1－x ≥2（－2x ）⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－x ＝22， 所以2x ＋1x≤－22， 当且仅当－2x ＝1－x， 即x ＝－22时等号成立． 故2x ＋1x取得最大值－2 2. 10．若a ，b ，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，求证：8abc ≤(1－a )·(1－b )(1－c )．证明：因为a ＋b ＋c ＝1，所以1－a ＝b ＋c ＞0，1－b ＝a ＋c ＞0，1－c ＝a ＋b ＞0.所以(1－a )(1－b )(1－c )＝(a ＋b )(b ＋c )(a ＋c )．因为a ＋b ≥2ab ＞0，b ＋c ≥2bc ＞0，a ＋c ≥2ac ＞0，三式相乘，得(a ＋b )(b ＋c )(a ＋c )≥2ab ·2bc ·2ca ＝8abc ，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立． 所以8abc ≤(1－a )(1－b )(1－c )．B 级 能力提升1．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立， 则1＋a ＋y x ＋ax y≥a ＋2a ＋1≥9， 所以a ≥2或a ≤－4(舍去)．所以正实数a 的最小值为4.答案：B2．(2015·山东卷)定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy(x ，y ∈R ，xy ≠0)，当x ＞0，y ＞0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________．解析：因为x ⊗y ＝x 2－y 2xy，所以x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋（2y ）2－x 22yx ＝x 2＋2y 22xy ≥2x 2·2y 22xy＝22xy 2xy＝ 2. 其中x ＞0，y ＞0，当且仅当x 2＝2y 2，即x ＝2y 时等号成立． 答案： 23．某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2016年法国欧洲杯期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销售量x 万件与年促销费t 万元之间满足3－x 与t ＋1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件．已知2016年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每个促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．(1)若计划2016年生产的化妆品正好能销售完，试将2016年的利润y (万元)表示为促销费t (万元)的函数；(2)该企业2016年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？解：(1)由题意可设3－x ＝k t ＋1，将t ＝0，x ＝1代入，得k ＝2. 所以x ＝3－2t ＋1. 当年生产x 万件时，年生产成本为32x ＋3＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3－2t ＋1＋3， 当销售x 万件时，年销售收入为150%×⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3－2t ＋1＋3＋12t . 由题意，生产x 万件化妆品正好销完，得年利润y ＝－t 2＋98t ＋352（t ＋1）(t ≥0)． (2)y ＝－t 2＋98t ＋352（t ＋1）＝50－⎝⎛⎭⎪⎫t ＋12＋32t ＋1≤ 50－2 t ＋12·32t ＋1＝50－216＝42， 当且仅当t ＋12＝32t ＋1，即t ＝7时，等号成立，y max ＝42， 所以当促销费定在7万元时，年利润最大．。

课时跟踪检测（二）基本不等式1下列不等式中，正确的个数是 （ ）① 若a ，b € R ，则葺卫》ab ; ② 若x € R ，贝U x 2+ 2+ 2十2》2 ； ③ 若 x € R ，贝y x 2+ 1 + T > 2;x 十1 ④ 若a , b 为正实数，则 号鼻ab.B . 1C . 2解析：选C 显然①不正确；③正确； 对于②，虽然x 2 +无解，但 x 十2④不正确，如 a = 1, b = 4.2.设正实数a , b 满足a + b = 1,则（ A.1+ £有最大值4a bC. a + .b 有最大值 2解析：选C 由于a>0, b>0 ,由基本不等式得 1 = a + b >2 ab ,当且仅当a = b 时，等b)2 — 2ab = 1 — 2ab 》1 — ? = ?, (*a + b)?= a + b + 2ab = 1 + 2\'\ ab w 1 + 1 = 2,所以a + *•； b 有最大值 2,故选C.3.已知 x>0, y>0 , x + 2y + 2xy = 8,贝U x + 2y 的最小值是()B . 4C.；解析：选B 由题意得x + 2y = 8 — x 2y > 8- x ；2y 2，当且仅当x = 2y 时，等号成立, 整理得(x + 2y)2+ 4(x + 2y)— 32>0,即(x + 2y — 4)(x + 2y + 8)>0, 又 x + 2y>0,所以 x + 2y > 4,故选 B. 4.某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货 D . 32 1 x+ 2 + 2. 2>2成立，故②正确; x 十2 ?) B J ab 有最小值- v2 D . a 2 + b 2有最小值-2号成 1 1 ab w 孑二ab w 4,1+ 1=步=丄》4 a b ab ab1 1因此a + £的最小值为4, a 2+ b 2= (a +11物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站（）不等式sinx+為> 16 可化为p> 16 —十(1 —t).解析：f(x) = 2 — 3 x 2 + x w 2— 3X 4=— 10,当且仅当x 2=乌即x = ±,2时取等号.___ .(填序号) ①ab w 1; ②・.a + b w 2;③ a 2 + b 2》2;④b3> 3；⑤ a + 討 2.2解析：两个正数，和定，积有最大值，即 ab w -a +b = 1,当且仅当a = b 时取等号, 4故①正确;（a + b ）2= a + b + 2 ab = 2+ 2 ab w 4,当且仅当 a = b 时取等号，得.a + b w 2,故②错误；由于a ；b 》a ：b = 1,故a 2+ b 2》2 成立，故③正确；a ? +b 3 = (a + b)(a ? + b ?— ab) = 2(a ?+ b ? — ab) ,T ab w 1，— — ab 》一1，又 a ? + b ?》2, a '+ b '— ab 》1 ,「・ a ? + b '》2，故④错误；1+b =1+ b 号=1+2b +2a 》1+1=2，当且仅当a =b 时取等号，故⑤成立.答案：①③⑤7.对于x €（0,寸）不等式孟+盘》16恒成立，则正数P 的取值范围为 解析：令 t = sin 2x ,贝U cosx = 1 — t. 又 x € 0,才，t € (0,1).B . 4千米处C . 3千米处D . 2千米处20解析：选A 由已知可得y 1= ―, y 2= 0.8x （x 为仓库到车站的距离 ),所以费用之和 y =『勺+ y 2= 0.8x + 20 > 2 0.8x —= 8.x当且仅当0.8x =乎，即x = 5时等号成立. 5•若“0，则f （x ）=2-3x2—x 2的最大值是,取得最大值时 x 的值是答案:—10 土 26.若 a > 0 , b > 0, a + b = 2，则下列不等式对一切满足条件的 a , b 恒成立的是不等式sinx +為 > 16 可化为 p > 16 —十(1 — t).9.已知 x>0, y>0 ,且 2x + 5y = 20. (1)求u = Ig x + Ig y 的最大值; ⑵求;+ y 的最小值. 解：⑴•/ x>0, y>0, •由基本不等式，得 2x ± 5y > 2 10xy.•/ 2x ± 5y = 20,「. 2 10xy <20 ,即卩 xy < 10,当且仅当 2x = 5y 时而 y = 16- * 1 — t) = 17 - 1 + 16t < 17 -1 1当;=16t ,即卩t = 1时取等号, t 4因此若原不等式恒成立，只需 p > 9.答案：［9,+R ）8.已知 a > 0, b >0, a + b = 1,求证: (1)1+ b + 8;a b ab9.证明：(1)T a + b = 1, a >0, b >0, • 1 + 1 + 丄=1+ 1 + 也=2 a b ab a b ab步 + a±b = 2 b + a + 4a b a b>4、岸¥+ 4= 8（当且仅当a = b = 1时，等号成立）,b =1+ b +ab +1,由⑴知a + 芽8「1 +1 1 +9.x = 5,y = 2,16t = 9,等号成立.因此有2x± 5y= 20,i 解得2x = 5y,此时xy有最大值10./• u= Ig x+ Ig y= lg(xy)w Ig 10 = 1.•••当x = 5, y= 2 时，u= lg x + Ig y 有最大值 1.⑵•/ x>0, y>0,x +y = 1+1營=20 7+沙天 > 討2驚=宵当且仅当5y=竽时等号成立.10 •某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园 ABCD ，公园由长方形 A i B i C i D i 的休闲区和环公园人行道（阴影部分）组成•已知休闲区A IB IC ID I 的面积为4 000 m 2,人行道的宽分别为 4 m 和10 m （如图所示）•（1）若设休闲区的长和宽的比 A 1B 1= x ，求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数S （x ）B 1C 1的解析式;⑵要使公园所占面积最小，休闲区 A 1B 1C 1D 1的长和宽应如何设计? 解：（1）设休闲区的宽为 a m ，则其长为ax m , 由 a 2x = 4 000,得 a = 20 10.Vx则 S(x)= (a + 8)(ax + 20)= a 2x + (8x + 20)a + 1602点 手 + 4 160= 1 600 + 4 160 = 5 760. x = 2.5时取等号，此时 a = 40, ax = 100.所以要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1应设计为长100 m ,宽40 m.=80V x + 為j + 4 160(x>1) •=4 000 + (8x + 20) 1602x + 5y = 20, 由 5y 2xx 「，x =解得J10 10— 20 20— 4,103••• x +1的最小值为7+ 2 10 20⑵由(1)知，S >当且仅当2 x =。

学业分层测评（二）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．函数f (x )＝x x ＋1的最大值为( ) A.25 B.12 C.22 D ．1【解析】 显然x ≥0.当x ＝0时，f (x )＝0；当x >0时，x ＋1≥2x ，∴f (x )≤12，当且仅当x ＝1时，等号成立，∴f (x )max ＝12.【答案】 B2．设0＜a ＜b ，则下列不等式中正确的是( )A ．a ＜b ＜ab ＜a ＋b 2B ．a ＜ab ＜a ＋b 2＜bC ．a ＜ab ＜b ＜a ＋b 2D.ab ＜a ＜a ＋b 2＜b【解析】 取特殊值法．取a ＝2，b ＝8，则ab ＝4，a ＋b 2＝5，所以a ＜ab ＜a ＋b 2＜b .故选B.【答案】 B3．已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( ) A ．最大值为54 B ．最小值为54C ．最大值为1D.最小值为1【解析】 ∵x ≥52，∴x －2≥12， ∴f (x )＝(x －2)2＋12(x －2)＝12(x －2)＋12(x －2)≥ 2x －22·12(x －2)＝1，当且仅当x －22＝12(x －2)， 即x ＝3时，等号成立，∴f (x )min ＝1.【答案】 D4．已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则(a ＋b )2cd 的最小值是( )A ．0B ．1C ．2 D.4【解析】 由题意知a ∴(a ＋b )2＝(x ＋y )2≥4xy ∴(a ＋b )2cd ≥4，当且仅当【答案】 D5．已知a ，b 则x ，y 的关系是( ) A ．x >yB ．y >xC ．x >2y D.y >2x【解析】 因为a ，b 是不相等的正数，所以x 2＝a ＋b 2＋ab <a ＋b 2＋a ＋b 2＝a ＋b ＝y 2，即x 2<y 2，故x <y .【答案】 B二、填空题6．若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________.【导学号：32750010】【解析】 x 2＋y 2＋xy ＝(x ＋y )2－xy ≥(x ＋y )2－(x ＋y )24＝34(x ＋y )2，∴(x ＋y )2≤43，∴|x ＋y |≤233，即x ＋y 的最大值为23 3.【答案】 23 37．已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________．【解析】 因为x ＞0，y ＞0，所以x 3＋y 4≥2x 3·y 4＝xy 3，即xy 3≤1，解得xy ≤3，所以其最大值为3.【答案】 38．已知a ，b ，m ，n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为________．【解析】 ∵a ，b ，m ，n ∈R ＋，且a ＋b ＝1，mn ＝2，∴(am ＋bn )(bm ＋an )＝abm 2＋a 2mn ＋b 2mn ＋abn 2＝ab (m 2＋n 2)＋2(a 2＋b 2)≥2ab ·mn ＋2(a 2＋b 2)＝4ab ＋2(a 2＋b 2)＝2(a 2＋b 2＋2ab )＝2(a ＋b )2＝2，当且仅当m ＝n ＝2时，取“＝”，∴所求最小值为2.【答案】 2三、解答题9．已知a ，b ，x ，y ∈R ＋，x ，y 为变量，a ，b 为常数，且a ＋b ＝10，a x ＋b y ＝1，x ＋y 的最小值为18，求a ，b .【解】 ∵x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y ＝a ＋b ＋bx y ＋ay x ≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2， 当且仅当bx y ＝ay x 时取等号．又(x ＋y )min ＝(a ＋b )2＝18，即a ＋b ＋2ab ＝18.① 又a ＋b ＝10，② 由①②可得⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝8或⎩⎨⎧a ＝8，b ＝2. 10．已知x 1，x 2，x 3为正实数，若x 1＋x 2＋x 3＝1，求证：x 22x 1＋x 23x 2＋x 21x 3≥1. 【证明】 ∵x 22x 1＋x 1＋x 23x 2＋x 2＋x 21x 3＋x 3≥2x 22＋2x 23＋2x 21＝2(x 1＋x 2＋x 3)＝2，∴x 22x 1＋x 23x 2＋x 21x 3≥1. [能力提升]1．设x ，y ∈R ＋，且满足x ＋4y ＝40，则lg x ＋lg y 的最大值是( )A ．40 C ．4 【解析】 因为x ，y ∈∴xy ≤x ＋4y 4＝10，∴∴lg x ＋lg y ＝lg xy ≤lg 100＝2.【答案】 D2．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( ) A ．5千米处B ．4千米处C ．3千米处D.2千米处【解析】 由已知：y 1＝20x ，y 2＝0.8x (x 为仓库到车站的距离)．费用之和y ＝y 1＋y 2＝0.8x ＋20x≥20.8x ·20x ＝8. 当且仅当0.8x ＝20x ，即x ＝5时等号成立．【答案】 A3．y ＝3＋x ＋x 2x ＋1(x ＞0)的最小值是________． 【解析】 ∵x ＞0，∴y ＝3＋x ＋x 2x ＋1＝3x ＋1＋x ＋1－1≥23－1. 当且仅当x ＋1＝3时取等号．【答案】 23－14．若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，求实数a 的取值范围. 【导学号：32750011】【解】 由x >00<1a ≤x 2＋3x ＋1x ＝x 又x >0时，x ＋1x ≥∴x ＋1x ＋3≥5，当且仅当x ＝1时，取等号．因此⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋3min ＝5， 从而0<1a ≤5，解得a ≥15.故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞.。