选修4-5中的著名不等式
内蒙古赤峰市翁牛特旗乌丹一中熊明军
新课程改革推出了知识模块，把高等数学中一些领域的知识进行了简化，下放到高中。选修4-5中给出了许多著名不等式的特例，下面对课本上的这些不等式及其一般形式做一下介绍。
绝对值的三角不等式（）：
定理：若为实数，则，当且仅当时，等号成立。
绝对值的三角不等式一般形式：
，简记为。
柯西不等式（）
定理：（向量形式）设为平面上的两个向量，则。
当及为非零向量时，等号成立及共线存在实数，使。
当或为零向量时，规定零向量与任何向量平行，即当时，上式依然成立。
定理：（代数形式）设均为实数，则，当且仅当时，等号成立。
柯西不等式的一般形式（）
定理：设为实数，则
，当且仅当时，等号成立（当某时，认为）。
闵可夫斯基不等式（）
定理：设均为实数，则，当且仅当存在非负实数（不同时为0），使时，等号成立。
闵可夫斯基不等式的一般形式：
定理：设是两组正数，，则
或，当且仅当时，等号成立。
排序不等式（）
定理：设为两组实数为
的任一排列，则有。
当且仅当或时，等号成立。
排序原理可简记作：反序和乱序和顺序和。
切比晓夫不等式（）：
定理：设为任意两组实数，
①如果或，则有
②如果或，则有
①②两式，当且仅当或时，等号成立。
平均值不等式（）
定理：设为个正数，则，当且仅当时，等号成立。
当时，，当且仅当时，等号成立。
加权平均不等式（）
定理：设为正数，都是正有理数，并且，那么。
杨格不等式（）：
定理：设为有理数，满足条件（互称为共轭指标），为正数，则。
当时，，此时的杨格不等式就是熟知的基本不等式。
贝努利不等式（）：
定理：设，且，为大于1的自然数，则。
贝努利不等式的一般形式：
（1）设，且同号，则；
（2）设，则①当时，有；②当或时，有，①②当且仅当时等号，成立。
