解析几何公式-大全
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解析几何知识点总结解析几何是数学中的一个分支,它研究几何图形在坐标系中的性质和变化规律。
在解析几何中,我们使用坐标系表示各种几何图形,通过运用代数的方法来研究它们的性质和关系。
本文将对解析几何的核心知识点进行总结,包括直线、圆、曲线以及相应的性质和公式。
直线是解析几何中最基本的图形之一。
在平面直角坐标系中,一条直线可以通过两点确定。
若给出直线上两点的坐标为(x₁, y₁)和(x₂, y₂),则可以得到直线的斜率 k 为:k = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)斜率表示了直线与 x 轴的夹角和斜率的大小关系。
若直线垂直于 x 轴,则斜率不存在;若直线平行于 x 轴,则斜率为零。
直线的方程可以用点斜式、斜截式和一般式等多种方式表示。
点斜式的形式为:y - y₁ = k(x - x₁)斜截式的形式为:y = kx + b一般式的形式为:Ax + By + C = 0其中 A、B、C 为常数。
圆是解析几何中的另一个重要概念。
在平面直角坐标系中,圆的方程为:(x - a)² + (y - b)² = r²其中(a,b)为圆心的坐标,r 为半径。
通过圆的方程,我们可以得到圆上任意一点(x,y)满足的条件。
解析几何还涉及到曲线的研究。
常见的曲线包括抛物线、椭圆和双曲线等。
以抛物线为例,它的一般方程为:y = ax² + bx + c其中 a、b、c 为常数。
根据 a 的正负和 a 的绝对值大小,可以确定抛物线的开口方向和形状。
在解析几何中,还有一些重要的性质和公式需要掌握。
例如,两条直线的位置关系可以通过它们的斜率来判断。
如果两条直线的斜率相等,则它们平行;如果两条直线的斜率互为倒数,则它们垂直。
此外,解析几何还涉及到点、线、圆之间的距离计算。
点(x₁, y₁)和点(x₂, y₂)之间的距离可以通过以下公式计算:d = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]同样地,点(x₁, y₁)到直线 Ax + By + C = 0 的距离可以通过以下公式计算:d = |Ax₁ + By₁ + C| / √(A² + B²)通过掌握以上基本原理和公式,我们可以进一步应用解析几何的知识,解决实际问题。
(完整版)高中数学解析几何公式大全一、直线方程1. 点斜式:y y1 = m(x x1),其中m是直线的斜率,(x1, y1)是直线上的一个点。
2. 斜截式:y = mx + b,其中m是直线的斜率,b是直线在y轴上的截距。
3. 一般式:Ax + By + C = 0,其中A、B、C是常数。
二、圆的方程1. 标准式:(x a)2 + (y b)2 = r2,其中(a, b)是圆心的坐标,r是圆的半径。
2. 一般式:x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0,其中D、E、F是常数。
三、椭圆的方程1. 标准式:((x h)2/a2) + ((y k)2/b2) = 1,其中(a, b)是椭圆的半长轴和半短轴,(h, k)是椭圆中心的坐标。
2. 一般式:((x h)2/a2) + ((y k)2/b2) 1 = 0,其中(a, b)是椭圆的半长轴和半短轴,(h, k)是椭圆中心的坐标。
四、双曲线的方程1. 标准式:((x h)2/a2) ((y k)2/b2) = 1,其中(a, b)是双曲线的实轴和虚轴,(h, k)是双曲线中心的坐标。
2. 一般式:((x h)2/a2) ((y k)2/b2) 1 = 0,其中(a, b)是双曲线的实轴和虚轴,(h, k)是双曲线中心的坐标。
五、抛物线的方程1. 标准式:y2 = 4ax,其中a是抛物线的焦点到准线的距离。
2. 一般式:y2 = 4ax + b,其中a是抛物线的焦点到准线的距离,b是抛物线在y轴上的截距。
六、直线与圆的位置关系1. 判定直线与圆的位置关系:计算直线到圆心的距离d与圆的半径r的关系。
如果d < r,直线与圆相交;如果d = r,直线与圆相切;如果d > r,直线与圆相离。
2. 直线与圆的交点:解直线方程和圆的方程,得到两个交点的坐标。
七、直线与椭圆的位置关系1. 判定直线与椭圆的位置关系:将直线方程代入椭圆方程,得到一个关于x的一元二次方程。
高中数学解析几何第一局部:直线一、直线的倾斜角与斜率1.倾斜角α(1)定义:直线l 向上的方向与x 轴正向所成的角叫做直线的倾斜角。
(2)范围:︒<≤︒1800α2.斜率:直线倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.αtan =k〔1〕.倾斜角为︒90的直线没有斜率。
〔2〕.每一条直线都有唯一的倾斜角,但并不是每一条直线都存在斜率〔直线垂直于x 轴时,其斜率不存在),这就决定了我们在研究直线的有关问题时,应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况,否那么会产生漏解。
〔3〕设经过),(11y x A 和),(22y x B 两点的直线的斜率为k , 那么当21x x ≠时,2121tan x x y y k --==α;当21x x =时,o90=α;斜率不存在;二、直线的方程 1.点斜式:直线上一点P 〔x 0,y 0〕及直线的斜率k 〔倾斜角α〕求直线的方程用点斜式:y-y 0=k(x-x 0)注意:当直线斜率不存在时,不能用点斜式表示,此时方程为0x x =;2.斜截式:假设直线在y 轴上的截距〔直线与y 轴焦点的纵坐标〕为b ,斜率为k ,那么直线方程:b kx y +=;特别地,斜率存在且经过坐标原点的直线方程为:kx y = 注意:正确理解“截距〞这一概念,它具有方向性,有正负之分,与“距离〞有区别。
3.两点式:假设直线经过),(11y x 和),(22y x 两点,且〔2121,y y x x ≠≠那么直线的方程:121121x x x x y y y y --=--;注意:①不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线;②当两点式方程写成如下形式0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时,方程可以适应在于任何一条直线。
4截距式:假设直线在x 轴,y 轴上的截距分别是a ,b 〔0,0≠≠b a 〕那么直线方程:1=+bya x ; 注意:1〕.截距式方程表不能表示经过原点的直线,也不能表示垂直于坐标轴的直线。
第三部分 解析几何常用公式、结论汇总 1. 斜率公式2121y y k x x -=-(111(,)P x y 、222(,)P x y ).2 .直线的五种方程 (1)点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ,且斜率为k ).(2)斜截式y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).(3)两点式112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)).(4)截距式 1x ya b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距,0a b ≠、) (5)一般式0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).3. 两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+,222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ⇔=≠;②12121l l k k ⊥⇔=-.(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零,①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠;②1212120l l A A B B ⊥⇔+=;4. 夹角公式 (1)2121tan ||1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+,222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan ||A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠). 直线12l l ⊥时,直线l 1与l 2的夹角是2π.5.1l 到2l 的角公式(1)2121tan 1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+,222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠). 直线12l l ⊥时,直线l 1到l 2的角是2π. 6.四种常用直线系方程(1)定点直线系方程:经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数.(2)共点直线系方程:经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l ),其中λ是待定的系数.(3)平行直线系方程:直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时,表示平行直线系方程.与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=(0λ≠),λ是参变量.(4)垂直直线系方程:与直线0Ax By C++= (A ≠0,B ≠0)垂直的直线系方程是0Bx Ay λ-+=,λ是参变量.7 .点到直线的距离d =点00(,)P x y ,直线l :0Ax By C ++=).8.0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域设直线:0l Ax By C ++=,则0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域是:若0B ≠,当B 与Ax By C ++同号时,表示直线l 的上方的区域;当B 与Ax By C ++异号时,表示直线l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.若0B =,当A 与Ax By C ++同号时,表示直线l 的右方的区域;当A 与Ax By C ++异号时,表示直线l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.9.111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域设曲线111222:()()0C A x B y C A x B y C ++++=(12120A A B B ≠),则111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域是: 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>所表示的平面区域上下两部分; 111222()()0A x B y C A x B y C ++++<所表示的平面区域上下两部分.10. 圆的四种方程(1)圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.(2)圆的一般方程 220xy Dx Ey F ++++=(224D E F +->0).(3)圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩.(4)圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ).11. 圆系方程(1)过点11(,)A x y ,22(,)B x y 的圆系方程是1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x λ--+--+-----=1212()()()()()0x x x x y y y y ax by c λ⇔--+--+++=,其中0ax by c ++=是直线AB 的方程,λ是待定的系数.(2)过直线l:Ax By C ++=与圆C:220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=,λ是待定的系数.(3) 过圆1C :221110x y D x E y F ++++=与圆2C :222220x y D x E y F ++++=的交点的圆系方程是2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=,λ是待定的系数.12.点与圆的位置关系 点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种若d=d r >⇔点P 在圆外;d r =⇔点P 在圆上;d r <⇔点P 在圆内.13.直线与圆的位置关系直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:0<∆⇔⇔>相离r d ;0=∆⇔⇔=相切r d ; 0>∆⇔⇔<相交r d .其中22BA C Bb Aa d+++=.14.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1,O 2,半径分别为r 1,r 2,d O O =21条公切线外离421⇔⇔+>r r d ; 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ; 条公切线内切121⇔⇔-=r r d ; 无公切线内含⇔⇔-<<210r r d .15.圆的切线方程 (1)已知圆220xy Dx Ey F ++++=.①若已知切点00(,)x y 在圆上,则切线只有一条,其方程是0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=.当00(,)x y 圆外时, 0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=表示过两个切点的切点弦方程.②过圆外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-,再利用相切条件求k ,这时必有两条切线,注意不要漏掉平行于y 轴的切线.③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+,再利用相切条件求b ,必有两条切线.(2)已知圆222xy r +=.①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为200x x y y r +=;②斜率为k的圆的切线方程为y kx =±16.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩.17.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>焦半径公式)(21c a x e PF +=,)(22x ca e PF -=.18.椭圆的的内外部(1)点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ⇔+<.(2)点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的外部2200221x y a b⇔+>.19. 椭圆的切线方程(1)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y ya b+=.(2)过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b +=.(3)椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A aB b c +=.20.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式21|()|a PF e x c =+,22|()|a PF e x c=-.21.双曲线的内外部(1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->.(2)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b⇔-<.22.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1)若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程:22220x y a b -=⇔x a by ±=.(2)若渐近线方程为x aby ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x .(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线,可设为λ=-2222by a x (0>λ,焦点在x 轴上,0<λ,焦点在y 轴上).23. 双曲线的切线方程(1)双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y ya b-=.(2)过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b -=.(3)双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A aB b c -=.24. 抛物线px y 22=的焦半径公式抛物线22(0)y px p =>焦半径02p CF x =+. 过焦点弦长p x x px p x CD ++=+++=212122. 25.抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2οοy py 或或)2,2(2pt pt P P (,)x y o o ,其中 22y px =oo . 26.二次函数2224()24b ac b y ax bx c a x a a-=++=++(0)a ≠的图象是抛物线:(1)顶点坐标为24(,)24b ac b a a --;(2)焦点的坐标为241(,)24b ac b a a -+-;(3)准线方程是2414ac b y a--=. 27.抛物线的内外部 (1)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的内部22(0)y px p ⇔<>.点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的外部22(0)y px p ⇔>>.(2)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的内部22(0)y px p ⇔<->.点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的外部22(0)y px p ⇔>->.(3)点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>.点00(,)P x y 在抛物线22(0)xpy p =>的外部22(0)x py p ⇔>>.(4) 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>.点00(,)P x y 在抛物线22(0)xpy p =->的外部22(0)x py p ⇔>->.28. 抛物线的切线方程 (1)抛物线px y 22=上一点00(,)P x y 处的切线方程是00()y y p x x =+.(2)过抛物线px y 22=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00()y y p x x =+.(3)抛物线22(0)y px p =>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22pB AC =.29.两个常见的曲线系方程 (1)过曲线1(,)0f x y =,2(,)0f x y =的交点的曲线系方程是12(,)(,)0f x y f x y λ+=(λ为参数).(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程22221x y a k b k+=--,其中22max{,}k a b <.当22min{,}k a b >时,表示椭圆; 当2222min{,}max{,}ab k a b <<时,表示双曲线.30.直线与圆锥曲线相交的弦长公式AB =1212|||AB x x y y ==-=-A ),(),,(2211y x B y x ,由方程⎩⎨⎧=+=0)y ,x (F b kx y 消去y 得到02=++c bx ax ,0∆>,α为直线AB 的倾斜角,k 为直线的斜率). 31.圆锥曲线的两类对称问题(1)曲线(,)0F x y =关于点00(,)P x y 成中心对称的曲线是00(2-,2)0F x x y y -=.(2)曲线(,)0F x y =关于直线0Ax By C ++=成轴对称的曲线是22222()2()(,)0A Ax By C B Ax By C F x y A B A B ++++--=++.32.“四线”一方程 对于一般的二次曲线220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=,用0x x 代2x ,用0y y 代2y ,用002x y xy +代xy ,用02x x +代x ,用02y y+代y 即得方程 0000000222x y xy x x y yAx x B Cy y D E F ++++⋅++⋅+⋅+=,曲线的切线,切点弦,中点弦,弦中点方程均是此方程得到.。
解析几何常用公式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One11. AB →,A 为AB →的起点,B 为AB →的终点。
线段AB 的长度称作AB →的长度,记作|AB →|.数轴上同向且相等的向量叫做相等的向量.....。
零向量的方向任意。
..........在数轴上任意三点A 、B 、C ,向量AB →、BC →、AC →的坐标都具有关系:AC =AB +BC . ..AC →=AB →+2.设 AB → 是数轴上的任一个向量,则AB =OB -OA =x 2-x 1,d (A ,B )=|AB |=|x 2-x 1|. 4.. A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则两点A 、B 的距离公式d (A ,B )=x 2-x 12+y 2-y 12若B 点为原点,则d (A ,B )=d (O ,A )=x 21+y 21;5. A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),中点M(x 1+x 22,y 1+y 22). A (x ,y )关于M (a ,b )的对称点B(2x 0-x ,2y 0-y ).6. 直线倾斜角::x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角,规定,与x 轴 平行或重合的直线的倾斜角为0°.7.直线的位置与斜率、倾斜角的关系①k =0时,倾斜角为0°,直线平行于x 轴或与x 轴重合.②k >0时,直线的倾斜角为锐角,k 值增大,直线的倾斜角也增大,此时直线过第一、三象限.③k <0时,直线的倾斜角为钝角,k 值增大,直线的倾斜角也增大,此时直线过第二、四象限.④垂直于x 轴的直线的斜率不存在,它的倾斜角为90°.8. 若直线l 上任意两点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)且x 1≠x 2,则直线l 的斜率k =y 2-y 1x 2-x 1. 9.直线方程的五种形式(1)点斜式:经过点P 0(x 0,y 0)的直线有无数条,可分为两类:斜率存在时,直线方程为 y -y 0=k (x -x 0);斜率不存在时,直线方程为x =x 0.(2)斜截式:已知点(0,b ),斜率为k 的直线y =kx +b 中,截距b 可为正数、零、负数. (3)两点式:y -y 1y 2-y 1=x -x 1x 2-x 1(x 1≠x 2,y 1≠y 2)(4) 截距式:当直线过(a,0)和(0,b )(a ≠0,b ≠0)时,直线方程可以写为x a +yb =1,当直线斜率 不 存在(a =0)或斜率为0(b =0)时或直线过原点时,不能用截距式方程表示直线. (5)一般式:Ax +By +C =0的形式.(220A B +≠)10. (1)已知两条直线的方程为l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0.那么①l 1与l 2相交的条件是:A 1B 2-A 2B 1≠0或A 1A 2≠B 1B 2(A 2B 2≠0).②l 1与l 2平行的条件是:A 1B 2-A 2B 1=0且B 1C 2-B 2C 1≠0或A 1A 2=B 1B 2≠C 1C 2(A 2B 2C 2≠0).③l 1与l 2重合的条件是:A 1=λA 2,B 1=λB 2,C 1=λC 2(λ≠0)或A 1A 2=B 1B 2=C 1C 2(A 2B 2C 2≠0).2)已知两条直线的方程为l 1:y =k 1x +b 1,l 2:y =k 2x +b 2.那么①l 1与l 2相交的条件为k 1≠k 2.②l 1与l 2平行的条件为k 1=k 2且b 1≠b 2. ③l 1与l 2重合的条件为k 1=k 2且b 1=b 2.11. 直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0与直线l 2:A 2x +B 2y +C 2=0垂直________.直线l 1:y =k 1x +b 1与l 2:y =k 2x +b 2垂直________.若两直线中有一条斜率不存在时,则另一条的斜率为0,即倾斜角分别为90°和0°,也满足|α-β|=90°.12.与直线Ax +By +C =0平行的直线可表示为Ax +By +m =0(m ≠C ); 与直线Ax +By +C =0垂直的直线可表示为Bx -Ay +m =0,14. 点P (x 1,y 1)到直线Ax +By +C =0(A 2+B 2≠0)的距离为d =|Ax 1+By 1+C |A 2+B2 应用点到直线的距离公式时,若给出的直线方程不是一般式,则应先把直线方程化为一般式,然后再利用公式求解. 15.点到几种特殊直线的距离:①点P (x 1,y 1)到x 轴的距离d =|y 1| .②点P (x 1,y 1)到y 轴的距离d =|x 1|.③点P (x 1,y 1)到直线x =a 的距离为d =|x 1-a |. ④点P (x 1,y 1)到直线y =b 的距离为d =|y 1-b |.16.两平行直线l 1:Ax +By +C 1=0,l 2:Ax +By +C 2=0,C 1≠C 2,则l 1与l 2的距离为 d =|C 1-C 2|A 2+B 2. 两条平行线间的距离公式要求:l 1、l 2这两条直线的一般式中x 的系数相等,y 的系数也必须相等;当不相等时,应化成相等的形式,然后求解.17. 圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2;18.点到圆心的距离为d,圆的半径为r.则点在圆外d>r;点在圆上d=r;点在圆内0≤d<r. 20.规律技巧圆的几何性质:①若直线与圆相切,则圆心到直线的距离等于半径,过切点与切线垂直线的直线过圆心;②若直线与圆相交,圆心、弦的中点及弦的一个端点组成的三角形是直角三角形,弦的垂直平分线经过圆心.④以A(x1,y1)、B(x2,y2)为直径的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.21. 形如Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0的方程表示圆的等价条件(1)A=C≠0;x2、y2的系数相同且不等于零;(2)B=0;不含xy项.(3)(DA)2+(EA)2-4FA>0,即D2+E2-4AF>0.23.圆的一般方程形式为x2+y2+Dx+Ey+F=0,配方为 (x+D2)2+(y+E2)2=D2+E2-4F4.(1)当D2+E2-4F>0时,它表示以 (-D2,-E2)为圆心,D2+E2-4F2为半径的圆.(2)当D2+E2-4F=0时,它表示点 (-D2,-E2).(3)当D2+E2-4F<0时,它不表示任何图形24.直线与圆的位置关系(1)直线与圆相交,有两个公共点;(2)直线与圆相切,只有一个公共点;(3)直线与圆相离,没有公共点.25.直线与圆位置关系的判定有两种方法(1)代数法:通过直线方程与圆的方程所组成的方程组,根据解的个数来判断.若有两组不同的实数解,即Δ>0,则相交;若有两组相同的实数解,即Δ=0,则相切;若无实数解,即Δ<0,则相离.(2)几何法:由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断:当d<r时,直线与圆相交;当d=r时,直线与圆相切;当d>r时,直线与圆相离.26.直线与圆相切,切线的求法(1)当点(x0,y0)在圆x2+y2=r2上时,切线方程为x0x+y0y=r2;(2)若点(x 0,y 0)在圆(x -a )2+(y -b )2=r 2上,切线方程为(x 0-a )(x -a )+(y 0-b )(y -b )=r 2; 27.若弦长为l ,弦心距为d ,半径为r ,则(l2)2+d 2=r 2.28.判断两圆的位置关系设圆C 1:x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1=0, ① 圆C 2:x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0. ② ①-②得(D 1-D 2)x +(E 1-E 2)y +F 1-F 2=0. ③若圆C 1与C 2相交,则③为过两圆交点的弦所在的直线方程.求两圆的公共弦所在直线方程,就是使表示圆的两个方程相减即可得到. 31.空间直角坐标系中的对称点点P (x ,y ,z )的对称点的坐标 11112222|P 1P 2|=x 2-x 12+y 2-y 12+z 2-z 12.到定点(a ,b ,c )距离等于定长R 的点的轨迹方程为(x -a )2+(y -b )2+(z -c )2=R 2,此即以定点(a ,b ,c )为球心,R 为半径的球面方程. 33..空间线段的中点坐标公式在空间直角坐标系中,已知点P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2),则线段P 1P 2的中点P 的坐标为(x 1+x 22,y 1+y 22,z 1+z 22).。
解析几何知识点总结高中几何学是数学的一部分,涵盖了从平面到空间的所有形状和大小的研究。
解析几何是几何学的一个分支,它利用代数运算和坐标系来描述各种形状和位置。
在高中数学的学习中,解析几何是一个重要的知识点。
在本文中,将详细介绍一些高中解析几何的知识点。
1. 二元一次方程二元一次方程是运用解析几何的基本方法之一。
我们可以通过它来描述到两个物体之间的空间位置关系。
下面是二元一次方程的一般式子:ax + by + c = 0。
其中,a、b、和c是常数,x和y是未知数。
在解析几何中,二元一次方程代表一条直线。
该直线的斜率(k)和截距(b)可以得出如下公式:k = -a/b,b = -c/b。
直线的一般式子可以根据两个点或点与斜率之间的关系来确定。
如果已知直线上的两个点A(x1, y1)和B(x2, y2),可以通过计算斜率和截距来得出该直线的一般式子:k = (y2 – y1) / (x2 – x1),b = y – kx。
其中,k为直线的斜率,b为直线的截距。
另一种方法是给定点和斜率的值。
如果直线上有一个点P(x0, y0)和斜率k,可以使用如下公式:y – y0 = k(x – x0)。
这种表示形式称为点斜式。
2. 圆的方程在解析几何中,圆的方程描述了圆的位置和半径。
标准方程如下:(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2。
其中,a和b是圆心的坐标,r是圆的半径。
通过对圆的方程进行简单的变形,可以从常数中得出圆的标准方程。
该变形将方程写成如下形式:x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0。
其中,D、E和F是常数。
该表达式描述的圆方程称为一般圆方程。
3. 空间几何解析几何不仅适用于平面几何,还可以用于空间几何。
在空间几何中,一个点由三个坐标表示。
直线可以通过两点或点和向量表示,而平面可以通过三个点或点和两条直线表示。
空间几何中的一些重要概念包括向量,对称和距离。
向量是大小和方向的量,可以使用两点之间的差值来描述。
解析几何中的基本公式1、两点间距离:若 A (x 1,y 1), B (X 2,y 2),则 AB=J(X 2 — X i )2+(y 2 — yj 22、平行线间距离:若 l 1 : AX By C^ 0, 12 : AX By C 0注意点:X ,y 对应项系数应相等。
则P到—S BJ4、直线与圆锥曲线相交的弦长公式: 丿y一 kX + bJ z (x ,y) =0消y : ax 2∙ bx ∙ c = 0 ,务必注意 厶∙0. 若l 与曲线交于A (x 1, y 1), B (X 2 ,y 2) 贝 V : AB = (1一k 2)(x2=xj 25、若A (X 1,y 1), B (X 2,y 2) , P (X , y )。
P 在直线AB 上,且P 分有向线段AB 所成的比为入,X I HL X 2 1 ■ W 丁2 1 ■X 2 -Xy 2 一 y6、若直线l 1的斜率为k 1,直线l 2的斜率为k 2,则l 1到l 2的角为 二很三(0,二)则:CI - C 2..A 2 B 23、点到直线的距离:P(X , y ), l: AXByC=O,特别地:变形后:X-X ly 一 y 1'=1时,P 为AB 中点且X 1 X 22 y 「y 22或适用范围:k ι, k 2都存在且k ιk 2= — 1 ,若I i 与12的夹角为R 则tan ,=k1^k 2, —(0,上]1 + k 1k 22IIJmnJnJ注意:(1) ∣1到∣2的角,指从∣1按逆时针方向旋转到∣2所成的角,范围(0,二)∣1到∣2的夹角:指 丨1、∣2相交所成的锐角或直角.(2)∣1 _12时,夹角、到角 =—。
tan _1 + k k― 28、直线的倾斜角:'与斜率k的关系a)每一条直线都有倾斜角-,但不一定有斜率。
(2)斜率存在时为 y - y = k (x — X ) y - y 1 _ X - X 1 y ? 一 y 1 χ2 F其中I 交X 轴于(a,0),交y 轴于(0,b)当直线I 在坐标轴上,距相等时应分: (1) 截距=0 设y=kxb)若直线存在斜率k ,而倾斜角为:■,则k=tan :•。
高中数学解析几何第一部分:直线一、直线的倾斜角与斜率1.倾斜角α(1)定义:直线l 向上的方向与x 轴正向所成的角叫做直线的倾斜角。
(2)范围:︒<≤︒1800α2.斜率:直线倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.αt a n =k(1).倾斜角为︒90的直线没有斜率。
(2).每一条直线都有唯一的倾斜角,但并不是每一条直线都存在斜率(直线垂直于x 轴时,其斜率不存在),这就决定了我们在研究直线的有关问题时,应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况,否则会产生漏解。
(3)设经过),(11y x A 和),(22y x B 两点的直线的斜率为k , 则当21x x ≠时,2121tan x x y y k --==α;当21x x =时,o90=α;斜率不存在;二、直线的方程1.点斜式:已知直线上一点P (x 0,y 0)及直线的斜率k (倾斜角α)求直线的方程用点斜式:y-y 0=k(x-x 0)注意:当直线斜率不存在时,不能用点斜式表示,此时方程为0x x =;2.斜截式:若已知直线在y 轴上的截距(直线与y 轴焦点的纵坐标)为b ,斜率为k ,则直线方程:b kx y +=;特别地,斜率存在且经过坐标原点的直线方程为:kx y =注意:正确理解“截距”这一概念,它具有方向性,有正负之分,与“距离”有区别。
3.两点式:若已知直线经过),(11y x 和),(22y x 两点,且(2121,y y x x ≠≠则直线的方程:121121x x x x y y y y --=--;注意:①不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线;②当两点式方程写成如下形式0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时,方程可以适应在于任何一条直线。
4截距式:若已知直线在x 轴,y 轴上的截距分别是a ,b (0,0≠≠b a )则直线方程:1=+bya x ; 注意:1).截距式方程表不能表示经过原点的直线,也不能表示垂直于坐标轴的直线。
平面解析几何公式 1、 直线的斜率坐标公式:2121y y x x -- 2、直线方程点斜式:00(x x )y y k -=- 斜截式:y kx b =+ 两点式:112121y y x x y y x x --=-- (1212,x x y y ≠≠) 截距式:1x y ab+=一般式:0ax by c ++= (,a b 不同时为0) 3、两点之间的距离公式:A (11,x y )B (22,x y )两点的距离公式:4点到直线的距离公式:点P (00,x y )到直线0ax by c ++=的距离为:d =5、两平行直线的距离公式:直线1L :10Ax By C ++= 直线2L :20Ax By C ++=的距离公式为:d =6、圆的标准方程:222(x a)(y b)r -+-=圆心是:(a,b)o ,半径是:r 7圆的一般方程:220x y Dx Ey C ++++=圆心是:(,)22D E o --,半径是:r =8、椭圆的标准方程焦点在x 轴上的标准方程:22221x y a b+= (a b 0)>> 焦点坐标:12(a,0),(a,0)F F -准线方程:2a x c=±焦点在y 轴上的标准方程:22221y x a b+= (a b 0)>> 焦点坐标:12(0,b),(0,b)F F -准线方程:2a y c=±a,b,c 三者之间的关系:222a b c =+离心率:c e a=两准线之间的距离:22a d c =焦点到相应的准线的距离:2b d c=9、双曲线的标准方程:焦点在x 轴上的标准方程:22221x y a b-= (a 0,b 0)>>焦点坐标:12(a,0),(a,0)F F -准线方程:2a x c=±焦点在y 轴上的标准方程:22221y x a b-= (a 0,b 0)>>焦点坐标:12(0,b),(0,b)F F -准线方程:2a y c=±a,b,c 三者之间的关系:222c a b =+离心率:c e a=两准线之间的距离:22a d c =焦点到相应的准线的距离:2b d c=10、抛物线的标准方程:(1)焦点在x 轴的正半轴时:22y px = (0p >)焦点坐标:(,0)2p F 准线方程:x 2p=-(2)焦点在x 轴的负半轴时:22y px =- (0p >)焦点坐标:(,0)2p F -准线方程:x 2p=(3)焦点在y 轴的正半轴时:22x py = (0p >)焦点坐标:(0,)2p F 准线方程:2py =-(4)焦点在y 轴的负半轴时:22x py =- (0p >)焦点坐标:(0,)2p F -准线方程:2p y =。
一、倾斜角和斜率:1.倾斜角的范围: .2.已知倾斜角α求斜率 ⎧=⎨⎩k ;已知斜率k 求倾斜角⎧=⎨⎩α.1.00(,)P x y 到直线l :220,0ax by c a b ++=+≠的距离为 . 2.直线221122:0,:0,0l ax by c l ax by c a b ++=++=+≠间的距离为 .注:在研究多点到直线的距离的问题时,通常要分点在直线的 或 两类.3.弦长公式:若直线y kx b =+(倾斜角为α)被曲线截得弦AB ,其中1122(,),(,)A x y B x y ,则弦长d ====四.两直线的夹角公式:1.两直线的夹角范围 .2.2222111122221122:0,:0,0,0l a x b y c l a x b y c a b a b ++=++=+≠+≠对应斜率分别为12,k k ,夹角为θ,则有cos θ=或者tan θ=.五.两条直线的位置关系:2222111122221122:0,:0,0,0l a x b y c l a x b y c a b a b ++=++=+≠+≠,则1l 与2l 分别满足下列情况时,相应地求系数满足的条件:①相交 ;②平行 ;③重合 ;④垂直 ; 六.对称问题:1.点00(,)A x y 关于点(,)P m n 对称的点的坐标为 ;2.直线0ax by c ++=关于点(,)P m n 对称的直线方程为 ;3.曲线(,)0f x y =关于点(,)P m n 对称的曲线方程为 ;4.点00(,)A x y 关于直线2y x =-+对称的点的坐标为 ;5.直线0ax by c ++=关于直线3y x =-对称的直线方程为 ;6.曲线(,)0f x y =关于直线4y x =--对称的曲线方程为 ; 七.直线系方程:1.直线(1)(3)(11)0m x m y m --+--=恒过定点 .2.方程30x y n +-=表示两条平行线,则实数n 的取值范围是 . 八.曲线与方程:1.已知曲线C 的方程不是(,)0f x y =,则下列选项正确的是( )A .曲线C 上至少存在一点00(,)P x y ,使得00(,)0f x y ≠;B .方程(,)0f x y =至少有一组解为坐标的点00(,)P x y 不在曲线C 上;C .曲线C 上至少存在一点00(,)P x y ,使得00(,)0f x y ≠,且方程(,)0f x y =至少有一组解为坐标的点11(,)Q x y 不在曲线C 上;D .曲线C 上至少存在一点00(,)P x y ,使得00(,)0f x y ≠,或者方程(,)0f x y =至少有一组解为坐标的点11(,)Q x y 不在曲线C 上.2.“以方程(,)0f x y =的解为坐标的点都在曲线C 上”是“曲线C 的方程为(,)f x y0=”的 条件?3.方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的充要条件 ?4.24D F =是曲线220x y Dx Ey F ++++=与x 轴相切的 条件? 5.若点(,)P m n 在圆222x y R +=上,则过此点的圆的切线方程为 .6.(,)P m n 是圆222x y R +=外一点,过此点向圆引切线,切点分别为,A B ,则过,A B 两点的直线方程为 .7.圆221111:0C x y d x e y f ++++=与圆222222:0C x y d x e y f ++++=相交,则过两圆交点的直线方程为 .8.若圆221111:0C x y d x e y f ++++=与圆222222:0C x y d x e y f ++++=的半径相等,则两圆的对称轴方程为 .9.圆222x y R +=的参数方程:x y =⎧⎨=⎩练习1:圆心在原点,半径为1的圆交x 轴的正半轴于A 点,,P Q 分别是圆上的两个动点,它们同时从A 点出发,沿圆作匀速圆周运动,点P 绕逆时针方向每秒钟转3π,点Q 绕顺时针方向每秒钟转6π.(1)当,P Q 第一次相距最远时,求,P Q 的坐标;(2)当它们出发后第五次相遇,试求相遇时该点的位置.练习2:设实数,x y 满足221x y +=,(1)求13y x +-的取值范围;(2)求2x y -的取值范围;九.椭圆、双曲线、抛物线1.①到定点距离等于定值的点的轨迹是 ? ②到定直线距离等于定值的点的轨迹是 ? ③到两条平行直线距离相等的点的轨迹是 ? ④到两条相交直线距离相等的点的轨迹是 ? ⑤到两个定点距离之和等于定值的点的轨迹是 ? ⑥到两个定点距离之差的绝对值等于定值的点的轨迹是 ? ⑦到定点的距离等于到定直线的距离的点的轨迹是 ?2.12,F F 为椭圆22221x y a b +=的焦点,P 为椭圆上的点,且有12F PF θ∠=,则12PF F S ∆= .3.12,F F 为双曲线22221x y a b -=的焦点,P 为椭圆上的点,且有12F PF θ∠=,则12PF F S ∆= .4.12,F F 分别为椭圆22221x y a b+=的左右焦点,P 为椭圆上的点,记12F PF θ∠=,当θ达到最大值时,点P 的坐标为 .5.椭圆22221x y a b +=与双曲线22221x y m n-=共焦点,P 为二者在第一象限的交点,12,F F 分别为它们的左右焦点,用,b n 表示①12cos F PF ∠=②12sin F PF ∠=③12PF F S ∆=. 6.对直线,0y kx m m =+≠与双曲线22221x y a b-=来说,若||b k a >,那么直线与双曲线有三种可能①② ③ ;若||b k a =,则直线与双曲线 ;若||bk a<,则直线必然 .7.若直线与抛物线22,0y px p =>只有一个公共点,则有 .8.过抛物线22,0y px p =>的焦点F 作倾斜角为θ的直线交抛物线于,A B 两点,线段AB 的中点为M点,,,A M B 在准线2px =-上的射影分别为111,,A M B . ①11A FB ∠= ②1AM B ∠= ③ 三点共线④||AB =9.抛物线22,0y px p =>上两点,A B 满足90AOB ∠=,则直线AB 恒过定点 . 10.研究曲线上的点到直线的最短距离时,通常利用 的方法.。
解析几何中的基本公式
平行线间距离:若0C By Ax :l ,0C By Ax :l 2211=++=++
则:2
2
21B
A C C d +-=
注意点:x ,y 对应项系数应相等。
点到直线的距离:0C By Ax :l ),y ,x (P =++ 则P 到l 的距离为:2
2
B
A C
By Ax d +++=
直线与圆锥曲线相交的弦长公式:⎩⎨
⎧=+=0
)y ,x (F b
kx y
消y :02
=++c bx ax ,务必注意.0>∆ 若l 与曲线交于A ),(),,(2211y x B y x 则:2122))(1(x x k AB -+=
若A ),(),,(2211y x B y x ,P (x ,y )。
P 在直线AB 上,且P 分有向线段AB 所成的比为λ,
则⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧λ+λ+=λ+λ+=112121y y y x x x ,特别地:λ=1时,P 为AB 中点且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
+=+=222
121y y y x x x 变形后:y
y y y x x x x --=λ--=
λ21
21或 若直线l 1的斜率为k 1,直线l 2的斜率为k 2,则l 1到l 2的角为),0(,π∈αα 适用围:k 1,k 2都存在且k 1k 2≠-1 , 2
11
21tan k k k k +-=
α
若l 1与l 2的夹角为θ,则=
θtan 2
1211k k k k +-,]2,0(π
∈θ
注意:(1)l 1到l 2的角,指从l 1按逆时针方向旋转到l 2所成的角,围),0(π l 1到l 2的夹角:指 l 1、l 2相交所成的锐角或直角。
(2)l 1⊥l 2时,夹角、到角=
2
π。
(3)当l 1与l 2中有一条不存在斜率时,画图,求到角或夹角。
(1)倾斜角α,),0(π∈α; (2)]0[,π∈θθ→
→,,夹角b a ;
(3)直线l 与平面]2
0[π∈ββα,,的夹角;
(4)l 1与l 2的夹角为θ,∈θ]2
0[π,,其中l 1//l 2时夹角θ=0; (5)二面角,θ],0(π∈α; (6)l 1到l 2的角)0(π∈θθ,,
直线的倾斜角α与斜率k 的关系
每一条直线都有倾斜角α,但不一定有斜率。
若直线存在斜率k ,而倾斜角为α,则k=tan α。
直线l 1与直线l 2的的平行与垂直
(1)若l 1,l 2均存在斜率且不重合:①l 1//l 2⇔ k 1=k 2 ②l 1⊥l 2⇔ k 1k 2=-1
(2)若0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l
若A 1、A 2、B 1、B 2都不为零 l 1//l 2⇔
2
1
2121C C B B A A ≠
=; l 1⊥l 2⇔ A 1A 2+B 1B 2=0;
l 1与l 2相交⇔
2
121B B A A ≠ l 1与l 2重合⇔
2
1
2121C C B B A A =
=; 注意:若A 2或B 2中含有字母,应注意讨论字母=0与≠0的情况。
直线方程的五种形式
名称 方程 注意点
斜截式: y=kx+b 应分①斜率不存在 ②斜率存在
点斜式: )( x x k y y -=- (1)斜率不存在: x x =
(2)斜率存在时为)( x x k y y -=- 两点式:
1
21
121x x x x y y y y --=--
截距式:
1=+b
y
a x 其中l 交x 轴于)0,(a ,交y 轴于),0(
b 当直线l 在坐标轴上,截距相等时应分:
(1)截距=0 设y=kx (2)截距=0≠a 设1=+a
y a x 即x+y=a 一般式: 0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为零) 11、直线0=++C By Ax 与圆2
2
2
)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种 若2
2
B
A C Bb Aa d +++=
,0<∆⇔⇔>相离r d
0=∆⇔⇔=相切r d 0>∆⇔⇔<相交r d 13、圆锥曲线定义、标准方程及性质
(一)椭圆
定义Ⅰ:若F 1,F 2是两定点,P 为动点,且21212F F a PF PF >=+ (a 为常数)则P 点的轨迹是椭圆。
定义Ⅱ:若F 1为定点,l 为定直线,动点P 到F 1的距离与到定直线l 的距离之比为常数e (0<e<1),则P 点的轨迹是椭圆。
标准方程:122
22=+b
y a x )0(>>b a
定义域:}{a x a x ≤≤-值域:}{b y b x ≤≤- 长轴长=a 2,短轴长=2b
焦距:2c
准线方程:c
a x 2
±=
焦半径:
)
(2
1c
a x e PF +=,
)
(2
2x c
a e PF -=,
2
12PF a PF -=,c a PF c a +≤≤-1等(注意涉及焦半径①用点P 坐标表示,②第一定义。
)
注意:(1)图中线段的几何特征:=11F A c a F A -=22,=21F A c a F A +=12 =11F B a F B F B F B ===122221 ,222122b a B A B A +==等等。
顶点与准线距离、焦点与准线距
离分别与c b a ,,有关。
(2)21F PF ∆中经常利用余弦定理....、三角形面积公式.......将有关线段1PF 、2PF 、2c ,有关角21PF F ∠结合起来,
建立1
PF +2PF 、1
PF •
2PF 等关系
(3)椭圆上的点有时常用到三角换元:⎩⎨
⎧θ
=θ
=sin cos b y a x ;
(4)注意题目中椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上,请补充当焦点在y 轴上时,其相应的性质。
二、双曲线
(一)定义:Ⅰ若F 1,F 2是两定点,21212F F a PF PF <=-(a 为常数),则动点P 的轨迹是双曲线。
Ⅱ若动点P 到定点F 与定直线l 的距离之比是常数e (e>1),则动点P 的轨迹是双曲线。
(二)图形:
(三)性质
方
程
:
12
2
22=-b y a x
)0,0(>>b a 122
22=-b
x a y )0,0(>>b a
定义域:}{a x a x x ≤≥或; 值域为R ; 实轴长=a 2,虚轴长=2b
焦距:2c
准线方程:c
a x 2
±=
焦半径:
)(21c a x e PF +=,)(2
2x c
a e PF -=,a PF PF 221=-;
注意:(1)图中线段的几何特征:=1AF a c BF -=2,=2AF c a BF +=1
顶点到准线的距离:c a a c a a 22+-或;焦点到准线的距离:c a c c a c 22+-或;两准线间的距离=c a 2
2 (2)若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程:⇒=-02222b y a x x a
b
y ±=
若渐近线方程为x a b
y ±=⇒0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x
若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线,可设为λ=-22
22b
y a x
(0>λ,焦点在x 轴上,0<λ,焦点在y 轴上) (3)特别地当⇔=时b a 离心率2=e ⇔两渐近线互相垂直,分别为y=x ±,此时双曲线为等轴双曲线,
可设为λ=-2
2
y x ;
(4)注意21F PF ∆中结合定义a PF PF 221=-与余弦定理21cos PF F ∠,将有关线段1PF 、2PF 、2
1F F 和角结合起来。
二、抛物线
(一)定义:到定点F 与定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线。
即:到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比是常数e (e=1)。
(二)图形:
(三)性质:方程:焦参数-->=p p px y ),0(,22;
焦点: )0,2
(
p
,通径p AB 2=; 准线: 2
p
x -=;
焦半径:,2p x CF += 过焦点弦长p x x p
x p x CD ++=+++=21212
2
注意:(1)几何特征:焦点到顶点的距离=2
p
;焦点到准线的距离=p ;通径长=p 2
顶点是焦点向准线所作垂线段中点。
(2)抛物线px y 22
=上的动点可设为P ),2(2
y p
y 或或)2,2(2pt pt P P px y y x 2),(2
=其中。