学生用函数与方程

高中数学教案：函数与方程的关系及应用一、函数与方程的关系介绍函数与方程是高中数学中的重要内容，它们之间有着密切的关系，并且在实际问题中具有广泛的应用。

本文将对函数与方程的关系进行详细介绍，并展示它们在实际问题中的应用。

二、函数与方程的基本概念1. 函数的定义和表示方式函数是两个集合之间的某种特定规律。

常用的表示方式包括显式表达式、隐式表达式和参数方程等。

2. 方程的定义和分类方程是含有一个未知数（或变量）并且含有一个等号的表达式。

常见类型包括一元一次方程、二元一次方程等。

三、一元一次方程与线性函数1. 一元一次方程的基本形式一元一次方程是最简单也最常见的代数方程，形如ax + b = 0，其中a和b为已知实数，x为未知数。

2. 线性函数与一元一次方程的关系线性函数是指以直线作为图像的函数，其表示形式为f(x) = kx + b，其中k和b 为常数。

可以发现，线性函数就是一个描述了因变量y和自变量x之间关系的一元一次方程。

四、二元一次方程与平面直线1. 二元一次方程的基本形式二元一次方程是含有两个未知数（或变量）并且含有一个等号的表达式，形如ax + by = c。

2. 平面直线与二元一次方程的关系通过对二元一次方程进行变形，我们可以得到它的标准形式y = mx + b，其中m和b为常数。

这就是平面直线的一般表示方式。

五、函数与方程在实际问题中的应用1. 函数模型的建立与使用通过对实际问题进行分析和抽象，可以建立相关的函数模型。

例如，在物理学中，运动学方程就是描述运动过程中速度、位移和时间之间关系的函数模型。

2. 方程求解与实际问题解释利用方程求解方法，我们可以求解出实际问题中所涉及的未知量。

例如，在经济学中，利用成本、收入等相关信息构建代表企业盈亏情况的方程，并通过求解这些方程来分析企业经营状况。

六、总结通过本文对函数与方程的关系及其应用进行了全面地介绍。

函数是一种特定规律，而方程则是含有等号和未知数（或变量）的表达式。

由数引形，以形助数函数有两种主要表示方法：解析法和图像法。

解析法是通过“数（式）”的形式准确地表示出函数的自变量和应变量之间的等量关系，而图像法是从“形”的角度直观形象地刻画了函数的变化规律。

这两种表示方法是同一个函数的两种不同表现形式，这也就决定了我们对函数的研究要多从这两个角度入手，让这两者相辅相成。

而不等式和方程其实就是在不等号和等号的两侧放置不同的函数，一般出题的形式是以研究这两个函数表达式之间的关系为主，解决这类问题需要由数（式）引形，以形助数即用数形结合的方法解决这类问题。

下面就举例说明如何用这个思想方法解决函数中常见的含有参数的不等式恒成立，不等式存 在问题，以及函数的零点等相似，相通的问题。

一．不等式存有和恒成立问题例1. 已知函数x ex x f ln )(-= （1）求函数)(x f 的单调区间；（2）在区间],1[e e 内存有0x ，使不等式m x x f +<)(成立，求m 的取值范围。

【解析】该不等式有四种等价形式：①不变形：m x x ex +<-ln②参变分离：m x x e <--ln )1(③移项让不等式的一边为0：0ln )1(<---m x x e④不等号两侧均为常见初等函数：x m x e ln )1(<--不管是哪种变形形式，均是研究左侧函数图像存有．．位于右侧函数图像下方的局部。

故只要能够模拟出两函数的图像，就能解决这个问题。

上面四种变形对应的各自解法如下： 解法一：由第一问可知：当],1[e e x ∈时，x ex x f ln )(-=单调递增；m x x g +=)(是斜率为1，纵截距为m 的动直线。

由图观察可知，当动直线与)(x f y =的图像相切为临界位置。

令,11,11)(000-==-='e x x e x f 则此时1)1ln(+-=e m ；故1)1ln(+->e m 解法二：令x x e x ln )1()(--=ϕ，易求得当单调递减，)(],11,1[x e e x ϕ-∈当],11[e e x -∈，)(x ϕ单调递增；所以1)1ln()(min +-=e x ϕ，1)1ln(+->e m 解法三：参数m 在常数项上，故左侧函数的单调性与解法二中)(x ϕ相同，解法同上解法四：令x x t m x e x h ln )(,)1()(=--=，由图像观察可知当直线与对数函数相切时有临界值，同解法一。

高中数学函数与方程的综合应用函数与方程是高中数学中的重要内容，它们在现实生活中有着广泛的应用。

本文将通过具体的案例，介绍数学函数与方程在实际问题中的综合应用。

一、投资问题假设小明在银行存储了一笔10000元的本金，并根据银行的利率1.5%进行定期存款，期限为5年。

我们可以通过函数来表示存款金额的变化。

设函数P(t)表示t年后小明的存款金额，其中t为时间（单位：年）。

根据复利计算公式，我们可以得到函数的表达式：P(t) = 10000 × (1 + 0.015)^t通过计算，我们可以得出小明存款的具体金额。

此外，如果我们希望知道小明存款超过15000元的时间，可以使用方程进行求解。

10000 × (1 + 0.015)^t > 15000通过解这个方程，我们可以求得小明存款超过15000元的时间。

二、图像运动问题假设有一辆汽车以每小时60公里的速度匀速行驶，我们希望通过函数来描述汽车的位置与时间的关系。

设函数d(t)表示t小时后汽车的行驶距离，其中t为时间（单位：小时）。

由于汽车以匀速60公里/小时行驶，我们可以得到函数的表达式：d(t) = 60t通过计算，我们可以得到任意时间时汽车的行驶距离。

此外，如果我们希望知道汽车行驶了多长时间才能达到100公里的距离，可以使用方程进行求解。

60t = 100通过解这个方程，我们可以求得汽车行驶达到100公里的时间。

三、生长问题假设一朵花每天的生长速度是2厘米，并且从初始状态开始生长。

我们可以通过函数来描述花的高度与时间的关系。

设函数h(t)表示t天后花的高度，其中t为时间（单位：天）。

由于花每天生长2厘米，我们可以得到函数的表达式：h(t) = 2t通过计算，我们可以得到任意时间时花的高度。

此外，如果我们希望知道花的高度达到10厘米需要多长时间，可以使用方程进行求解。

2t = 10通过解这个方程，我们可以求得花的高度达到10厘米所需的时间。

初中数学方程与函数解题技巧数学方程与函数是初中数学中的重要内容，解题技巧的掌握对于学生来说至关重要。

在解题过程中，通过运用一些常用的解题方法和技巧，我们可以更加高效地解决各种数学方程与函数的问题。

本文将介绍一些初中数学方程与函数解题的常见技巧，帮助学生提高解题能力。

一、方程解题技巧1. 确定未知数和列方程：在解方程的时候，首先要明确问题中的未知数是什么，并及时列出方程。

对于一些实际问题，可以先尝试用文字来表述方程，然后再转化为代数方程。

2. 一元一次方程：对于一元一次方程，可以运用平衡法、凑整法或去括号法等方法进行解题。

其中，平衡法指的是保持等号两边的平衡，同时进行等式的变形操作；凑整法是指将方程化为对应的整数关系，并运用观察和逻辑推理进行求解；去括号法主要用于解决带有括号的方程，去除括号后再进行变形和化简。

3. 一元二次方程：一元二次方程的求解包括因式分解法、配方法、根的判定和求解公式等方法。

如果一元二次方程可以因式分解，就可以直接得到它的解；如果不可因式分解，可以运用配方法将一元二次方程变形为一个完全平方，从而进行求解；对于一些无法通过因式分解和配方法求解的一元二次方程，可以利用根的判定和求解公式进行求解。

4. 绝对值方程：求解绝对值方程时，需要将绝对值表达式拆分为正值和负值，并分别对两种情况进行求解。

然后，将求得的解进行检验，保证其满足原方程条件。

5. 分数方程：对于分数方程，可以运用通分法将方程中的分母相同，从而将方程化简为分子的运算表达式。

然后，根据求解得到的分子的值，进行进一步的判断和验证。

二、函数解题技巧1. 函数定义域和值域：在解函数相关的题目时，需要明确函数的定义域和值域。

定义域指的是函数自变量的取值范围，值域则是函数的因变量所能取到的值的范围。

通过确定函数的定义域和值域，可以帮助我们更好地理解和解决函数相关的问题。

2. 函数图像的初步分析：对于给定函数的图像，可以通过观察来初步分析函数的基本特征。

函数与方程在实际生活中的应用教案主题：函数与方程在实际生活中的应用引言：函数与方程作为数学的基本概念，在我们的日常生活中无处不在。

它们不仅仅存在于数学学科中，更是应用广泛于各个领域。

本教案将以实际生活中的例子为切入点，让学生深入了解函数与方程的应用，培养他们解决实际问题的能力。

一、让时间告诉你的身高我们都知道，人的身高是随着年龄的增长而不断变化的。

但是具体来说，身高与年龄之间的变化又遵循怎样的规律呢？这就需要用到函数与方程来分析。

请同学们回忆一下自己的成长过程，并绘制自己的身高增长曲线图。

然后通过观察曲线图，学生们可以发现身高的变化可以用一个函数来描述。

通过解方程，我们可以求出某一年龄对应的身高。

二、数学建模：汽车油耗问题我们平时开车时都会关注汽车的油耗，但是如何计算出每行驶一定距离所需要消耗的汽油量呢？这就需要运用函数与方程来解决。

请同学们思考一下，汽车的油耗是否与车速有关？如果有关，又如何表达二者之间的关系呢？通过实际测量，同学们可以得到一组数据，然后通过拟合曲线的方式，建立车速与油耗之间的函数关系。

进而，根据已知的车速求解相应的油耗。

三、轨迹规划问题在现代导航系统中，轨迹规划是非常重要的一环。

根据起始点和目标点之间的位置关系，我们需要找到一条最优的路径，来实现导航的目的。

这个问题可以用方程与函数来描述。

通过分析地理位置之间的联系，建立合适的函数模型，可以帮助我们规划最佳的行车路径。

四、医生的处方问题医生开具处方是日常生活中常见的情景。

医生会根据病人的具体情况，如体重、身高、年龄等，来制定相应的用药方案。

这里涉及到用药剂量的计算问题，可以通过函数与方程来解决。

请同学们思考一下，医生是如何根据病人的具体情况来确定用药剂量的？通过解方程，可以求得合理的用药剂量。

五、养半导体晶体的温度问题在半导体工业中，人们需要控制晶体的温度来确保产品的质量。

如何根据给定的环境温度和时间来控制晶体的温度是一个复杂的问题。

高中数学课堂教案：函数与方程的综合应用一、引言在高中数学课堂上，函数与方程的综合应用是一个重要的教学内容。

通过探究函数与方程在现实生活中的应用，学生不仅能够更好地理解抽象概念，还能培养他们的问题解决能力和创新思维。

本文将围绕函数与方程的综合应用，从数学模型、最优化、几何等多个角度进行探讨。

二、数学模型：了解函数与方程应用的基础数学模型是建立在函数与方程基础上的工具，帮助我们描述和解决各种实际问题。

例如，在经济领域中，股票价格变动可以使用函数来进行建模。

通过分析历史数据和市场趋势，确定适当的函数表达式，并利用这个模型来预测未来走势。

而在物理领域中，抛物线运动也是一个常见的研究对象。

通过观察抛出物体的轨迹并进行数据统计，可以得到它与时间、初速度、重力等因素之间的关系，并建立相应的方程。

三、最优化问题：找到最佳解在实际生活中，我们往往需要从各种选择中找到最佳解决方案。

函数与方程的综合应用帮助我们解决这类最优化问题。

例如，在投资领域，我们需要找到最佳的投资方案，以获得最大的收益。

通过建立代表不同投资方式的函数模型，并结合约束条件，可以利用数学方法求解最优解。

此外，最优化问题也广泛应用于工程和管理领域。

例如，某公司生产一种产品需要使用两种原材料A和B，并且每种原材料有一定的成本和限量。

通过建立成本模型和约束条件，并设置目标函数为最小化成本或最大化产量，可以运用函数与方程来求解最佳使用原材料的比例。

四、几何问题：探索空间关系函数与方程的综合应用也能帮助我们研究几何问题中的空间关系。

例如，在三角形中，我们常常需要寻找各边、角度之间的关系，以及各顶点坐标之间的联系。

通过利用函数与方程建立模型，并运用几何知识进行推导证明，可以揭示出许多隐藏在图形中的规律。

另一个常见的几何问题是研究曲线与曲面之间的关系。

例如，在计算机图像处理中，我们经常会遇到需要对曲线进行平滑处理的情况。

通过建立函数模型，并运用方程求解曲线上各点的导数和曲率，可以为平滑处理算法提供数学支持。

函数与方程教案一、引言函数与方程是高中数学中的重要内容，它们是解决数学问题的基本工具。

在教学中，如何生动有效地向学生介绍函数与方程的概念，引导学生理解和掌握相关的知识和技能，是每位教师都需要思考和解决的问题。

本教案旨在通过设计合理的教学活动，帮助学生全面理解函数与方程的概念，提高他们解决实际问题的能力。

二、教学目标1. 知识目标- 掌握函数与方程的基本概念和相关术语。

- 了解函数与方程在数学和实际生活中的应用。

- 理解函数与方程之间的关系。

2. 能力目标- 能够识别并解释函数与方程的特征。

- 能够应用函数与方程解决实际问题。

- 能够运用函数与方程的知识进行分析和推理。

三、教学重点和难点1. 教学重点- 函数与方程的概念和特征。

- 函数与方程的应用。

2. 教学难点- 帮助学生理解函数与方程之间的关系。

- 引导学生解决实际问题时能够正确运用函数与方程的知识。

四、教学准备1. 教师准备- 准备教学课件和教具。

- 复习函数与方程的相关知识。

2. 学生准备- 准备教学所需的教材和笔记。

- 复习与函数与方程相关的知识。

五、教学过程本教案将采用探究式教学的方法，让学生通过实际操作和思考，主动发现函数与方程的规律和应用。

具体教学过程如下：1. 概念引入- 利用实例引导学生思考：什么是函数？什么是方程？它们有什么区别和联系？- 定义函数与方程的概念，并让学生进行归纳整理。

2. 特征分析- 设计一组数据，让学生观察并分析其中的规律。

- 引导学生发现函数和方程的特征，如自变量、因变量、线性函数、非线性函数等。

3. 应用探究- 提供一些实际问题，让学生运用函数与方程的知识解决。

- 引导学生分析问题的关键词，确定函数与方程的表达式，并进行计算。

4. 总结归纳- 引导学生总结函数与方程的定义、特征和应用。

- 提供一些练习题，巩固学生对函数与方程的理解。

六、教学评价1. 自我评价- 教师观察学生的参与程度和思维能力。

- 教师记录学生在课堂上的表现和反馈，并做好评价记录。

函数与方程的综合运用一、引言在数学的学习中，函数与方程是两个核心概念。

函数是描述数值之间的关系的工具，方程则是用于解决未知数的数值的工具。

本文将探讨函数与方程的综合运用，旨在帮助读者更好地理解并应用这两个概念。

二、函数与方程的基本概念回顾1. 函数的定义函数是指一个或多个独立变量的值与相应的因变量之间的关系。

通常用符号 f(x) 表示函数，其中 x 为自变量，f(x) 为对应的因变量。

2. 方程的定义方程是描述两个表达式相等的数学陈述。

方程中包含未知数和已知数，我们需要找到使得方程成立的未知数的数值。

三、函数与方程的综合运用函数和方程是数学中最常用的工具之一，它们可以在各种数学问题中综合运用。

下面将分别探讨函数与方程的综合运用。

1. 函数的综合运用函数可以用于描述各种实际问题中的数值关系。

例如，在经济学中，我们可以使用函数来描述价格与需求之间的关系。

在物理学中，函数可以用于描述运动物体的位置随时间变化的关系。

2. 方程的综合运用方程可以用于解决各种未知数的数值问题。

例如，在几何学中，我们可以使用方程来计算未知角度的数值。

在金融学中，方程可以用于计算贷款的还款额。

四、函数与方程的综合运用案例为了更好地理解函数与方程在实际问题中的应用，下面将针对两个案例进行说明。

案例一：财务规划小明计划在未来五年内存储一笔钱，他希望每年存入的金额与前一年相比都增加10%。

设第一年存入金额为 x 元，则第二年存入金额为1.1x，第三年存入金额为 1.1(1.1x)，以此类推。

假设小明未来五年共存入金额为 5000 元，我们可以建立以下方程：x + 1.1x + 1.1(1.1x) + 1.1(1.1(1.1x)) + 1.1(1.1(1.1(1.1x))) = 5000通过求解该方程即可得到小明第一年存入的金额 x。

案例二：运动轨迹小红站在一个起始点，经过一段时间后朝北走了若干步，然后朝西走了 5 步，又继续向南行走了 10 步，最后向东行走了 a 步，回到了起始点。

用函数的观点看方程与不等式教学设计观美中学张少青函数和方程，函数与不等式，它们是几个不同的概念，但它们之间有着紧密的联系，一个函数若有解析表达式，那么那个表达式就可看成是一个方程；一个二元方程，两个变量存在着对应关系，假如那个对应关系是函数，那么那个方程能够看成是一个函数。

许多有关方程、不等式的问题能够用函数的方法解决；反之，许多有关函数的问题也能够用方程和不等式的方法解决，用函数的观点看方程与不等式，是学生应该学会的一种思想方法。

【教学目标】1、明白得一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组的关系，会依照一次函数的图象解决方程与不等式的求解问题。

2、学习用函数的观点看待方程与不等式的方法，初步感受用全面的观点处理局部问题的思想。

3、经历方程和不等式与函数关系问题的探究过程，学习用联系的观点看待数学问题的辨证思想。

【教学重点】一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、方程组的关系的明白得。

【教学难点】对应关系的明白得及实际问题的探究建模。

【教学过程】一、创设情境同学们，你们熟悉龟兔赛跑的故事吗？（请一学生简述）请看屏幕，从图象上看出这是几百米赛跑？表示兔子的图象是哪一条？兔子什么时候开始睡觉？什么时候乌龟追上了兔子？由两条直线的交点坐标来确定相应的两个解析式组成的方程组的解，实际上，一次函数是两个变量之间符合一定关系的一种互相对应，互相依存。

它与我们往常学过的一元一次方程，一元一次不等式，二元一次方程组有着必定的联系。

今天我们将研究用函数的观点看方程与不等式。

（设计意图；一、以学生熟悉的龟兔赛跑故事引入，然后用函数图象形象说明了它们赛跑的过程，把一次函数与学生之间的距离拉近了。

二、点明学习本节内容的必要性：（1）函数与方程、方程组、不等式有着必定的联系；（2）用函数的观点看待方程、方程组、不等式是我们学数学应该把握的思想方法。

）二、探讨1、我们先来看下面的两个问题有什么关系：（1）解方程2x + 20 = 0.（2）当自变量为何值时，函数y = 2x + 20的值为零？问：①关于2x + 20 = 0和y = 2x + 20，从形式上看，有什么相同和不同的地点？②从问题的本质上看，（1）和（2）有什么关系？③作出直线y = 2x + 20，看看（1）与（2）是如何样的一种关系？（设计意图：用具体的问题作对比，关心学生明白得；让学生在探究过程中理解两个问题的同一性。

初中数学知识归纳函数与方程的实际问题应用初中数学知识归纳：函数与方程的实际问题应用数学是一门实用的学科，在我们日常生活中有着广泛的应用。

其中，函数与方程是数学的基础内容之一，它们在解决实际问题中起到了至关重要的作用。

本文将归纳整理初中数学中函数与方程的实际问题应用，帮助读者更好地理解和运用这些数学知识。

一、函数在实际问题中的应用我们生活的各个方面都涉及到了函数的应用，比如我们经常听说的速度、抛物线等等。

下面我们具体讨论几个常见的实际问题。

1.1 飞机起降问题假设一架飞机以一个恒定的速率起飞，那么它的高度将随着时间的推移而增加。

我们可以用函数来描述这个过程，假设函数为h(t)，其中t表示时间，h(t)表示飞机的高度。

如果飞机以每秒500米的速度上升，那么可以表示为h(t) = 500t。

1.2 铺设铁路在设计铁路线路时，需要考虑线路的曲线问题，而曲线正是函数的应用之一。

假设铁路是一段半径为r的圆的一部分，而这段圆弧的长度为l。

我们可以用函数来表示这段圆弧的形状，假设函数为y(x)，其中x表示横坐标，y表示纵坐标。

通过函数的性质，我们可以计算出曲线的斜率以及其他相关的信息，为铁路的设计提供便利。

1.3 注射药液问题在医学领域，注射药液的输送过程可以用函数来描述。

假设注射药液的浓度随着时间的推移而改变，我们可以用函数C(t)来表示药液的浓度，其中t表示时间。

通过分析函数的变化情况，我们可以得出药液的浓度曲线，并据此做出相关的判断和决策。

二、方程在实际问题中的应用方程在实际问题中的应用同样广泛，通过方程我们可以解决各种实际问题。

下面我们将讨论几个例子。

2.1 物体自由落体问题当一个物体自由落体时，我们可以用方程来描述其运动。

假设物体从一定高度h自由落下，时间t为0时物体的速度为0，我们可以得出以下的方程：h = (1/2)gt^2，其中g是物体自由落体的加速度，也就是重力加速度。

2.2 两个人合作完成任务在某个任务中，两个人一起合作完成，根据问题的具体情况，我们可以利用方程求解他们合作完成任务所需的时间或者速度。

小学生数学习题练习简单函数与方程题学习数学是小学生学习中的重要组成部分。

在数学学习的过程中，对于函数与方程的掌握是必不可少的。

本篇文章将帮助小学生练习一些简单的函数与方程题，在不同的情境中进行运用。

1. 函数题：函数是数学中的一种重要概念，它描述了两个变量之间的关系。

下面的函数题将帮助小学生掌握函数的基本理解及应用。

1）题目：已知函数 f(x) = 2x + 3，求当 x = 4 时的函数值。

解答：根据题目给出的函数 f(x) = 2x + 3，将 x = 4 代入函数中，得到 f(4) = 2 * 4 + 3 = 11。

因此，当 x = 4 时，函数值为 11。

2）题目：已知函数 g(x) = 3x^2 - 2x + 1，求当 x = 2 时的函数值。

解答：根据题目给出的函数 g(x) = 3x^2 - 2x + 1，将 x = 2 代入函数中，得到 g(2) = 3 * 2^2 - 2 * 2 + 1 = 9。

因此，当 x = 2 时，函数值为 9。

2. 方程题：方程是数学中的另一个重要概念，它描述了一个等式中未知数的关系。

下面的方程题将帮助小学生提升解方程的能力。

1）题目：已知方程 3x + 2 = 8，求解 x 的值。

解答：将方程 3x + 2 = 8 两边同时减去 2，得到 3x = 6。

再将方程两边同时除以 3，得到 x = 2。

因此，方程的解为 x = 2。

2）题目：已知方程 2(x - 3) = 4，求解 x 的值。

解答：将方程 2(x - 3) = 4 展开，得到 2x - 6 = 4。

将方程两边同时加上 6，得到 2x = 10。

再将方程两边同时除以 2，得到 x = 5。

因此，方程的解为 x = 5。

在数学学习中，掌握简单的函数与方程题非常重要。

通过练习这些题目，小学生将能够提升自己的数学运算能力，并增强解决实际问题的能力。

希望本篇文章能够帮助小学生更好地掌握和应用函数与方程的知识。

高中数学中函数与方程思想的研究函数与方程思想是数学学科中的两个重要思想，也是解决实际问题的重要方法。

在高中数学教学中，函数与方程思想的应用对于提高学生的数学素养和解决问题的能力具有重要意义。

本文旨在探讨函数与方程思想在普通高中教学中的实践研究，以期为优化高中数学教学提供参考。

普通高中教学的主要目标是培养学生的创新精神和实践能力，为其未来的发展奠定基础。

在这个过程中，数学学科作为一门重要的基础课程，需要着重培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。

函数与方程思想作为数学学科的基本思想，也是解决高中数学教学问题的关键。

在普通高中教学中，函数与方程思想的实践主要包括以下环节：教学准备：教师需要深入理解函数与方程思想的概念和特点，掌握其在解决问题中的应用方法。

同时，教师应结合具体的教学内容和教学目标，准备好相应的教案和学案。

教学目标制定：教师需要明确函数与方程思想的教学目标，包括知识目标、能力目标和情感目标。

同时，教师需要根据学生的实际情况和需求，制定相应的教学计划。

教学实施：教师在课堂上需要采用多种教学方法和手段，如案例教学、探究式教学等，引导学生理解和掌握函数与方程思想，并运用它们解决实际问题。

教学反思：教师需要及时反思自己的教学过程和效果，发现问题并及时改进，以便更好地提高教学质量和效果。

以高中数学中“函数”章节的教学为例，教师可以通过以下方式将函数与方程思想融入教学中：帮助学生理解函数的概念和性质，如定义域、值域、单调性等，为后续的应用奠定基础。

通过实例让学生了解函数在解决实际问题中的应用，如利用函数解析式解决行程问题、利润问题等。

引导学生通过方程或不等式的方式描述实际问题，然后利用函数的性质和相关算法求解。

例如，帮助学生理解以下题目：某公司为了营销一款产品，计划在三个方面进行投入（x1, x2, x3），已知产品总成本为C元。

试求C关于x1, x2, x3的函数关系式。

教师可以引导学生列出成本与投入之间的方程，然后通过调整方程的形式，使学生理解函数关系式的意义和应用。

作者姓名宋宁学校齐河县潘店镇中学学科数学年级/班级九年级教材版本人教版课时名称用函数观点看一元二次方程上课时间1课时学生人数45单元背景单元学习概述《用函数的观点看一元二次方程》选自义务教育课程标准试验教科书《数学》（人教版）九年级下册第二十六章，这节课是在学生学习了二次函数的概念、图象、性质及其相关应用的基础上，让学生继续探索二次函数与一元二次方程的关系。

课时设计说明教材通过小球飞行这样的实际情境，创设三个问题，这三个问题对应了一元二次方程有两个不等实根、有两个相等实根、没有实根的三种情况。

这样，学生结合问题实际意义就能对二次函数与一元二次方程的关系有很好的体会；从而得出用二次函数的图象求一元二次方程的方法。

这也突出了课标的要求：注重知识与实际问题的联系。

学习目标知识与技能：理解二次函数y=a x² +bx + c与x轴有交点，则一元二次方程ax² +bx + c = 0有实数根，若与x轴无交点，则方程无实数根；知道抛物线与x轴三种位置关系，对应着一元二次方程的根的三种情况；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解过程与方法：通过对一元二次方程根的不同情况下，学生历经从函数解析式及函数图象角度探索与一元二次方程之间的关系，渗透了数形结合及转化的思想方法.情感、态度与价值观：由实际问题引入，激发学生应用数学的意识，通过师生交流、生生交流，学生养成了乐于探究、勇于探索的良好学习习惯，同时学生从中也感受了合作成功带来的喜悦.教学重难点及解决措施重点：如何让学生理解一元二次方程与二次函数之间的关系. 难点：让学生理解用图形法能求方程解的合理性及方法步骤. 解决措施：采用“主动探究、合作交流”的数学活动模式，真正为学生创设一个自主探究、合作交流的活动空间，让每个人获得有价值的数学.教学过程（环节一）情景导入球场上，一球员打出一杆球，如果球的飞行路线将是一条抛物线球的飞行高度为y(m) 与飞行时间为x(s)之间满足y= -5x²+20x问题：⑴球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？⑵球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？⑶球的飞行高度能否达到25m？为什么？活动方式：学生独立思考，列出一元二次方程并交流做出的判断.设计意图：通过实际问题的引入，列出一元二次方程，为探所二次函数与一元二次方程的的关系做铺垫，从而引出课题.（环节二）探究新知一 、从解析式探索函数与一元二次方程的关系1、从实际问题列出的三个方程出发，在解决完提出的三个问题之后，观察三个方程根的情况，并首先以第一个方程为例，剖析函数与方程的关系.y= -5x ²+20x函数值为15 根为x 1=1, x 2=3（对应自变量的值）-5x ²+20x = 152、对比上述分析，让学生结合方程根的情况，说出另外两个方程与函数之间的关系. 设计意图：通过对第一个方程与函数之间关系的探索，让学生明确方程的根为函数值为15时，对应的自变量的值（也可理解为当自变量的值为1或3是函数值为15），让学生体会它们之间的关系，并通过对另外两个方程的对比分析，让学生进一步巩固加深认识，有效渗透转化的数学思想.二、从图象探索函数与一元二次方程的关系通过对一个高度问题的探索，引出从图象角度探索函数与一元二次方程的关系，学生再次以由实际问题引出的第一个方程为例，从图象的角度说明：（1）纵坐标为15的点构成直线y=15与抛物线若有交点，则方程-5x ²+20x = 15有根，有几个交点就有几个根.（2）通过观察发现，方程的根即为交点的横坐标. （3）对比上述分析，让学生结合方程根的情况，从图象角度说出另外两个方程与函数之间的关系.1 3 o xy15设计意图：学生从图象角度出发，去探索函数值一定时，得出一元二次方程的根，即为两图象交点的横坐标，并发现交点的个数为方程根的个数，在这个环节，我并没有急于进行归纳总结，而是在接下来的环节，以例题的形式一组方程让学生巩固刚刚得出的这些结论.（环节三）应用总结一、例题讲解解方程：（1）x ²+x -2=0（2）x ²-6x +9=0（3）x ²-x +1=0 解：（1） x 1=1, x 2=-2 （2）x 1=x 2=3 （3）方程无实数根二、总结归纳函数与一元二次方程的关系1、若二次函数y=a x² + bx + c 与x 轴有交点，则一元二次方程ax² + bx + c = 0 有实数根，若与x 轴无交点，则方程无实数根.2、若二次函数y=a x² + bx + c 与x 轴有两个交点、一个交点、无交点，对应一元二次方程ax² + bx + c = 0有两个不相等的实数根、有两个不相等的实数根没有实数根.3、让学生再从方程的角度（根的情况）去判断函数图象与x 轴的交点情况. 活动方式：学生独立思考后并合作交流完成，然后师生评价共同总结.设计意图：学生通过例题解决，能较为熟练地掌握了用图象法法解一元二次方程，对二次函数与一元二次方程的关系有了更为深刻的认识，让学生体会了转化及数形结合的数学思想方法.三、能力提升将例题中的第一个方程进行变形，先让学生求其根，再让学生从图象角度 求出它的解. y= x ²+x -2 y= x ²-x +1 y= x ²-6x +9 o yxy= x ²+x1 -2 2o yxx ²+x -2=0 x ²+x =2x ²= -x +2从图象上可以看出，它们交点的横坐标都是-2和1. 活动方式：本环节要求学生小组合作，分工交流完成并，教师巡视并适时点拨.然后汇报展示.师生共同评价.设计意图：通过两种不同方程表现形式的对比，以及两种不同形式方程的相互转化，体现了转化的数学思想，发现方程变形后，根没有发生变化，并引导学生用图形的方法求方程的近似解，允许学生判断出其准确根，也在参与学生的小组活动时，说明近似根也是合理的，毕竟作图有误差，并通过画图比较后面的两种变形，在画图象求解时难易程度是有区别的，向学生渗透优化的意识.（环节四）反思总结y=ax² + bx + c若有根（根为与x 轴交点的横坐标）ax² + bx + c = 0活动方式：师生共同总结，反思提升.设计意图：通过解法流程图的演示，让学生再一次体会二次函数与一元二次方程之间的关系，让学生从函数的解析式及图象上掌握与方程的关系，期望学生通过本节课的学习，能对一元二次方程给予更深的认识，并能用图像法求的方程的根.（环节六）达标测试函数值为0 y= x ² y= -x +21-2 2 o yx1.已知抛物线y=x2－x－1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2－m＋2011值为2.若二次函数y=－x2＋3x＋m的图象全部在x轴下方，则m的取值范围为3.已知抛物线y＝x2－2x＋m与x轴有两个交点，其中一个交点是（-2，0），则方程x2－2x＋m=0的两个根分别是x1= ，x2= .（环节五）作业布置作业布置：必做:1、教科书第19页习题26.2第1题2、解方程：利用函数的图象求方程x2-2x-2 =0的实数根（精确到0.1）.选做:习题26.2第4题设计意图：第一题通过作业的布置，及时反馈学生的学习效果，通过设置课后思考试题，不仅巩固本节课所学的知识，更拓展学生的思维空间.课后反思在教学过程中，教师作为引导者，为学生创设问题情境、提供问题串、给学生提供广阔的思考空间、活动空间、为学生搭建自主学习的平台；学生则在老师的指导下经历操作、实践、思考、交流、合作的过程，其知识的形成和能力的培养相伴而行，创造“海阔凭鱼跃，天高任鸟飞”的课堂境界。

函数与方程实际问题函数和方程在实际问题中的应用函数与方程实际问题在数学中，函数和方程是非常重要的概念。

它们不仅仅是数学的基础，也在实际生活中发挥着重要的作用。

本文将探讨函数和方程在实际问题中的应用，从中我们可以更好地理解数学知识的实际意义。

一、函数在实际问题中的应用函数是一种映射关系，它将一个或多个输入值映射为一个输出值。

在实际问题中，我们可以通过函数来描述各种现象和规律。

1.1 函数在物理问题中的应用在物理学中，很多现象可以通过函数来描述。

例如，一个自由下落物体的高度与时间的关系可以用二次函数表示。

设物体下落的时间为t，高度为h，那么函数表达式可以写为h(t) = -0.5gt^2 + v0t + h0，其中g为重力加速度，v0为初速度，h0为初位移。

通过这个函数，我们可以计算出物体在任意时刻的高度。

另外，电阻与电流的关系也可以通过函数来描述。

欧姆定律表明电阻R和电流I的关系为I = V/R，其中V为电压。

这个函数可以帮助我们计算电阻对电流的影响。

1.2 函数在经济问题中的应用经济学中也广泛使用函数来研究各种经济问题。

例如，供需关系可以用函数来表示。

假设某商品的需求函数为D(p)，供应函数为S(p)，其中p为商品的价格。

通过这两个函数，我们可以确定价格对供求关系的影响，从而做出相应的经济决策。

此外，利润函数也是经济学中常见的函数之一。

利润函数可以帮助企业家确定最大化利润的生产方式和定价策略，从而提高经济效益。

二、方程在实际问题中的应用方程是数学中的基本工具，它描述了数值之间的关系。

在实际问题中，方程常常被用于求解未知数的值。

2.1 方程在几何问题中的应用几何问题中经常需要通过方程来求解未知数。

例如，已知一个三角形的边长和角度，我们可以利用三角函数和三角方程求解其他未知数。

这在建筑、测量和航海等领域中具有重要的应用价值。

此外，曲线的方程也是几何问题中常见的应用。

通过方程，我们可以描述和分析各种曲线的性质，如直线、抛物线、圆等。

kkk2＞0，例3、答案 是5162m -<<-三、课后知能检测答案1.A2.B.3B4.B.5、由y ＝x －1＝0，得x ＝1，故交点坐标为(1,0)，零点是1.【答案】 C 6、【解析】 由题意知，Δ＝4－4a <0，∴a >1. 【答案】 B 7、【解析】 ∵f (12)＝e 12－2<0，f (1)＝e －1>0，∴f (12)·f (1)<0，∴f (x )＝e x －1x 的零点所在的区间是(12，1)．【答案】 B8、令x 2＋2x －3＝0，得x ＝－3或1，将y ＝x 2＋2x －3配方可知顶点坐标为(－1，－4)． 【答案】 D9、【解析】 由于f (2)＝ln 2－2<0，f (3)＝ln 3>0.且函数f (x )在[2,3]上连续，所以f (x )的零点x 0所属区间是(2,3)．【答案】 B10、 由于方程2x 2－4x －3＝0的Δ＝16＋24＝40>0，所以函数有两个零点．【答案】 C11、【解】 (1)当a ＝0时，函数为y ＝－x －1，显然该函数的图像与x 轴只有一个交点，即函数只有一个零点．(2)当a ≠0时，函数y ＝ax 2－x －1是二次函数．因为y ＝ax 2－x －1只有一个零点，所以关于x 的方程ax 2－x －1＝0有两个相等的实数根， 所以Δ＝0，即1＋4a ＝0，12、a<b<c13【自主解答】 (1)当a ＝0时，方程即为－2x ＋1＝0，只有一根，不符合题意． (2)当a >0时，设f (x )＝ax 2－2x ＋1，∵方程的根分别在区间(0,1)，(1,2)上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)>0，f (1)<0，f (2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧1>0，a －2＋1<0，4a －4＋1>0，解得34<a <1.(3)当a <0时，设方程的两根为x 1，x 2，则x 1·x 2＝1a <0，x 1，x 2一正一负不符合题意．综上，a 的取值范围为(34，1)．。

第7讲 函数和方程知识清单(1)函数零点的定义对于函数y=f (x )(x ∈D ),把使f (x )=0成立的实数 x 叫做函数y=f (x )的零点(zero point). (2)几个等价关系方程f (x )=0有实数根⇔函数y=f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y=f (x )有零点. (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 注意：①上述判定方法中在区间(a ，b )内的零点不一定唯一； ②逆命题不成立； ③对于()()0f a f b >，我们无法判定函数()f x 在区间),(b a )内是否有零点．3．用二分法求方程近似解 (1)二分法的定义对于在区间[a ，b ]上连续不断且的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．(2)给定精确度ε，用二分法求函数f (x )零点近似值的步骤如下： 第1步， 确定区间[a ，b ]，验证f (a )·f (b )<0，给定精确度ε； 第2步，求区间(a ，b )的中点c ； 第3步，计算f (c )；①若f (c )＝0，则c 就是函数的零点；②若f (a )·f (c )<0，则令b ＝c (此时零点x 0∈(a ，c ))； ③若f (c )·f (b )<0，则令a ＝c (此时零点x 0∈(c ，b ))．第4步，判断是否达到精确度ε.即：若|a －b |<ε，则得到零点近似值a (或b )；否则重复②③④.考点突破考点一 函数零点的求解与判断例1、(1)设函数f (x )＝13x －ln x ，则函数f (x )( )A ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)内均有零点B ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)内均无零点 C ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内有零点，在(1，e)内无零点 D ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内无零点，在(1，e)内有零点【归纳总结】函数零点的判断方法：①直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．②零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．③利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．【变式探究】(1)函数f (x )＝x 3－2x 2＋x 的零点是( )A ．0B ．1C ．0和1D ．(0，0)和(1，0) (2)函数f (x )＝3x －log 2(－x )的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3考点二 函数零点的应用例2、(1)已知f (x )＝1－(x －a )(x －b )(a <b )，m ，n 是f (x )的零点，且m <n ，则实数a ，b ，m ，n 的大小关系是( )A ．m <a <b <nB ．a <m <n <bC ．a <m <b <nD ．m <a <n <b(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >1，2|x |，x ≤1，函数g (x )＝f (x )－k 有3个零点，则实数k 的取值范围为( )A ．(0，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．(0，2)D ．(1，2]【归纳总结】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想应用．考点三 与二次函数有关的零点分布例3、关于x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0，2]上有解，求实数m 的取值范围．【特别提醒】研究二次函数的零点分布，一般情况下需要从以下三个方面考虑： ①一元二次方程根的判别式． ②二次函数区间端点函数值的正负． ③二次函数图象的对称轴x ＝－b2a与区间端点的位置关系． 【变式探究】已知函数f (x )＝8x 2－(m －1)x ＋(m －7)．问当m 取何值时，函数的零点分别满足下列条件：(1)均为正数；(2)一个零点大于2，另一个零点小于2.考点四 数形结合思想与转化化归思想在解决方程根的问题中的应用例4、方程|x |(1－x )＝a 有唯一实数解，则a 的取值范围是( )A ．a >14或a <0B ．a >14或a ≤0C ．a >12或a <0D ．a ≥12或a ≤0【变式探究】曲线|x |2－|y |＝1与直线y ＝2x ＋m 有两个交点，则m 的取值范围是( )A ．－4<m <4B ．m >4或m <－4C ．－3<m <3D ．m >3或m <－3经典考题精析（2013·安徽卷）已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有两个极值点x 1，x 2.若f(x 1)＝x 1<x 2，则关于x 的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b ＝0的不同实根个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6（2013·安徽卷）函数y ＝f(x)的图像如图1－2所示，在区间[a ，b]上可找到n(n≥2)个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得f （x 1）x 1＝f （x 2）x 2＝…＝f （x n ）x n，则n 的取值范围为( ) A ．{2，3} B ．{2，3，4} C ．{3，4} D ．{3，4，5}(2013·湖南卷) 函数f(x)＝ln x 的图像与函数g(x)＝x 2－4x ＋4的图像的交点个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3(2013·天津卷)设函数f(x)＝e x＋x－2，g(x)＝ln x＋x2－3.若实数a，b满足f(a)＝0，g(b)＝0，则() A．g(a)<0<f(b) B．f(b)<0<g(a) C．0<g(a)<f(b) D．f(b)<g(a)<0（2012·北京卷）函数f(x)＝x 12－⎝⎛⎭⎫12x的零点个数为()A．0 B．1 C．2 D．3【随堂巩固】1．若方程2ax2－x－1＝0在(0,1)内恰有一解，则a的取值范围为()A．a<－1 B．a>1 C．－1<a<1 D．0≤a<12．函数f(x)＝x3－3x＋2的零点为()A．1,2 B．±1，－2 C．1，－2 D．±1,23．已知f(x)＝1－(x－a)(x－b)(a<b)，m，n是f(x)的零点，且m<n，则实数a，b，m，n的大小关系是() A．m<a<b<n B．a<m<n<b C．a<m<b<n D．m<a<n<b4．若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是()A．(－2,2) B．[－2,2] C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)5、函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是()A．0 B．1 C．2 D．36．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________．7．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x≤1，1＋log2x，x>1，，则函数f(x)的零点为________．8．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2和3，则不等式af(－2x)>0的解集是________．9．关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m的取值范围．10．判断函数f(x)＝4x＋x2－23x3在区间[－1,1]上零点的个数，并说明理由．11．是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上与x轴有且只有一个交点．若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由．12．对于函数f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)＝x0成立，则称x0为f(x)的不动点．已知函数f(x)＝ax2＋(b ＋1)x＋(b－1)(a≠0)．(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的不动点；(2)若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围．13.定义域为R的偶函数f(x)，当x>0时，f(x)＝ln x－ax(a∈R)，方程f(x)＝0在R上恰有5个不同的实数解．(1)求x<0时，函数f(x)的解析式；(2)求实数a的取值范围．。

一次函数与一元一次方程、一元一次不等式知识点1．解一元一次不等式可以看作是:当一次函数值大于（或小于）0时，求自变量相应的取值范围．2．解关于x的不等式kx+b>mx+n可以转化为：（1）当自变量x取何值时，直线y=（k-m）x+b-n上的点在x轴的上方．或（2）求当x取何值时，直线y=kx+b上的点在直线y=mx+n上相应的点的上方．（不等号为“<”时是同样的道理）例：用画图象的方法解不等式2x+1>3x+4分析：（1）可将不等式化为-x-3>0，作出直线y=-x-3，然后观察：自变量x取何值时，图象上的点在x轴上方？或（2）画出直线y=2x+1与y=3x+4，然后观察：对于哪些x的值，直线y=2x+1上的点在直线y=3x+4上相应的点的上方？解：方法（1）原不等式为：-x-3>0，在直角坐标系中画出函数y=-x-3•的图象（图1）．从图象可以看出，当x<-3时这条直线上的点在x轴上方，即这时y=-x-3>0，因此不等式的解集是x<-3．方法（2）把原不等式的两边看着是两个一次函数，•在同一坐标系中画出直线y=2x+1与y=3x+4（图2），从图象上可以看出它们的交点的横坐标是x=-3，因此当x<-3时，对于同一个x的值，直线y=2x+1上的点在直线y=3x+4•上相应点的上方，此时有2x+1>3x+4，因此不等式的解集是x<-3．选择题1．直线y=x-1上的点在x轴上方时对应的自变量的范围是（）A．x>1 B．x≥1 C．x<1 D．x≤12．已知直线y=2x+k与x轴的交点为（-2，0），则关于x的不等式2x+k<0•的解集是（）A．x>-2 B．x≥-2 C．x<-2 D．x≤-23．已知关于x的不等式ax+1>0（a≠0）的解集是x<1，则直线y=ax+1与x轴的交点是（）A．（0，1） B．（-1，0） C．（0，-1） D．（1，0）填空题4．当自变量x的值满足____________时，直线y=-x+2上的点在x轴下方．5．已知直线y=x-2与y=-x+2相交于点（2，0），则不等式x-2≥-x+2•的解集是________．6．直线y=-3x-3与x轴的交点坐标是________，则不等式-3x+9>12•的解集是________．7．已知关于x的不等式kx-2>0（k≠0）的解集是x>-3，则直线y=-kx+2与x•轴的交点是__________．8．已知不等式-x+5>3x-3的解集是x<2，则直线y=-x+5与y=3x-3•的交点坐标是_________．解答题9．某单位需要用车，•准备和一个体车主或一国有出租公司其中的一家签订合同，设汽车每月行驶xkm，应付给个体车主的月租费是y元，付给出租车公司的月租费是y元，y，y分别与x之间的函数关系图象是如图11-3-4所示的两条直线，•观察图象，回答下列问题：（1）每月行驶的路程在什么范围内时，租国有出租车公司的出租车合算？（2）每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？（3）如果这个单位估计每月行驶的路程为2300km，•那么这个单位租哪家的车合算？10．在同一坐标系中画出一次函数y1=-x+1与y2=2x-2的图象，并根据图象回答下列问题：（1）写出直线y1=-x+1与y2=2x-2的交点P的坐标．（2）直接写出：当x取何值时y1>y2；y1<y2探究题12．已知函数y1=kx-2和y2=-3x+b相交于点A（2，-1）（1）求k、b的值，在同一坐标系中画出两个函数的图象．（2）利用图象求出：当x取何值时有：①y1<y2；②y1≥y2（3）利用图象求出：当x取何值时有：①y1<0且y2<0；②y1>0且y2<0一、选择题1．直线y=3x+9与x轴的交点是（）A ．（0，-3）B ．（-3，0）C ．（0，3）D ．（0，-3）2．直线y=kx+3与x 轴的交点是（1，0），则k 的值是（ ）A ．3B ．2C ．-2D ．-33．已知直线y=kx+b 与直线y=3x -1交于y 轴同一点，则b 的值是（ ）A ．1B ．-1C ．13D ．-134．已知直线AB ∥x 轴，且点A 的坐标是（-1，1），则直线y=x 与直线AB 的交点是（ ）A ．（1，1）B ．（-1，-1）C ．（1，-1）D ．（-1，1）5、已知点（-4，y 1），（2，y 2）都在直线y=- 12x+2上，则y 1 y 2大小关系是( ) （A ）y 1 >y 2 （B ）y 1 =y 2 （C ）y 1 <y 2 （D ）不能比较6.已知一次函数y=ax+4与y=bx -2的图象在x 轴上相交于同一点,则的值是( )(A)4 (B)-2 (C) 12 (D)- 127、一次函数y=ax+b,若a+b=1,则它的图象必经过点( )A 、(-1,-1)B 、(-1, 1)C 、(1, -1)D 、(1, 1)8. 如图，直线与轴交于点(－4,0)，则>0时，的取值范围是( )A 、>－4B 、>0C 、<－4D 、<09.无论m 为何实数，直线m x y 2+=与4+-=x y 的交点不可能在（ ）A.第一象限B 第二象限C.第三象限D.第四象限10．若函数y=（2m+1）x 2+（1-2m ）x （m 为常数）是正比例函数，则m 的值为（ ）A ．m>12B ．m=12C ．m<12D ．m=-1211．若一次函数y=（3-k ）x-k 的图象经过第二、三、四象限，则k 的取值范围是（ ）A ．k>3B ．0<k ≤3C ．0≤k<3D ．0<k<312．已知一次函数的图象与直线y=-x+1平行，且过点（8，2），那么此一次函数的解析式为（ ）A ．y=-x-2B ．y=-x-6C ．y=-x+10D ．y=-x-1二、填空题1．直线y=3x+6与x 轴的交点的横坐标x 的值是方程2x+a=0的解，则a 的值是______．2．已知直线y=2x+8与x 轴和y 轴的交点的坐标分别是_______、_______． 与两条坐标轴围成的三角形的面积是__________．3．已知关于x 的方程mx+n=0的解是x=-2，则直线y=mx+n 与x 轴的交点坐标是________．4．方程3x+2=8的解是__________，则函数y=3x+2在自变量x 等于_________ 时的函数值是8．5.若函数y=(2+m)x 32-m 是正比例函数，则常数m 的值是 .6.y=311-++x x 中x 的取值范围是 . 7.当x= 时，y=2x+2与y=x+1有相同的函数值。

小学三年级数学认识简单的函数与方程数学是一门广泛应用于生活中的学科，对于学生的学习和发展具有重要的意义。

在小学三年级，学生开始接触数学的一些基本概念，比如认识简单的函数与方程。

本文旨在介绍小学三年级数学中的函数与方程，并探讨它们的作用和用途。

一、认识函数函数是数学中的一个重要概念，它描述了两个变量之间的关系。

在小学三年级，我们常常通过一些简单的实例来认识函数。

比如，班级里的每个孩子都有一个独特的身高，我们可以用函数来描述身高与年龄之间的关系。

函数可以表示为：身高 = f(年龄)，其中 f 是函数的名称。

通过函数，我们可以很方便地得到不同年龄孩子的身高。

比如，当年龄为10岁时，我们可以通过函数计算得到身高为140厘米；当年龄为11岁时，身高为145厘米，以此类推。

函数使我们能够简洁、准确地描述变量间的关系，并且可以通过输入一个变量得到对应的输出值。

二、认识方程方程是另一个小学三年级数学中的重要概念。

方程描述了两个表达式之间的平衡关系。

在小学三年级，我们学习了一元一次方程，即只包含一个变量的一次方程。

例如，我们有一个方程：2x + 1 = 9。

在这个方程中，变量 x 的值是未知的，我们需要找到一个解来满足等式的平衡。

通过移项运算，我们可以得到 x = 4。

这意味着当 x 等于4时，方程的等式成立。

方程在数学中起着重要的作用，它可以帮助我们解决各种实际问题。

比如，通过方程可以计算购买苹果的总花费；通过方程可以计算完成作业需要多少时间。

方程既能帮助我们理解数学概念，也能在日常生活中发挥实际作用。

三、函数和方程的关系函数和方程在数学中密切相关。

实际上，函数可以看作是一种特殊类型的方程。

函数描述了变量之间的关系，而方程描述了表达式之间的平衡关系。

函数可以用来表示方程的关系。

比如，我们可以通过函数 y = 2x +1 来描述方程 2x + 1 = y。

在这个函数中，变量 x 是自变量，变量 y 是因变量。

当给定 x 的值时，通过函数可以计算出对应的 y 值，实现方程的平衡。

数学教学函数与方程的解析几何应用解析几何是数学中的一门分支学科，它研究的是几何图形和代数表示之间的关系。

在数学教学中，解析几何经常被应用于函数与方程的讲解和实际应用中。

本文将探讨数学教学中函数与方程如何应用解析几何的相关知识。

一、直线的解析几何表示在数学教学中，直线是最基本的几何图形之一。

通过解析几何的方法，我们可以用方程来表示直线。

对于平面上的直线来说，一般可以使用一般式方程或者斜截式方程来表示。

一般式方程的形式为Ax + By + C = 0，其中A、B、C是常数，x和y是变量。

而斜截式方程则是y = kx + b，其中k是斜率，b是截距。

二、函数与方程的图像在数学教学中，我们经常会涉及到函数与方程的图像。

通过解析几何的方法，我们可以画出函数与方程的图像，从而更加直观地理解其性质和特点。

例如，对于一元二次函数y = ax^2 + bx + c来说，我们可以利用解析几何的方法来画出其图像，通过图像来分析函数的增减性、极值点及对称轴等重要概念。

三、方程组的解与几何意义在解方程组的过程中，解析几何可以帮助我们理解方程组的几何意义。

对于二元一次方程组来说，我们可以通过解析几何的方法来求解方程组的几何意义，并通过几何图形来解释方程组的解。

例如，对于两个平面的交线方程组来说，我们可以通过解析几何的方法来求解交线的几何性质，如交线的方向、点的位置等。

四、函数与方程的空间表示在数学教学中，我们不仅需要掌握函数与方程的平面表示，还需要了解函数与方程在空间中的表示方法。

解析几何提供了一种有效的方法来表示函数与方程在三维空间中的图像。

例如，对于二元一次方程z = ax + by + c来说，我们可以利用解析几何的方法来画出其在空间中的图像，通过图像来分析方程的几何特性。

五、向量与几何关系的应用解析几何还可以帮助我们理解和应用向量与几何关系。

例如，在三角函数的讲解中，可以使用向量的概念来解释和证明三角函数的性质。

同时，在空间几何中，向量可以帮助我们求解平面的相交关系、角度的计算等问题，具有重要的应用价值。

数学问题解决技巧小学六年级方程与函数计算方法总结数学是一门需要灵活运用各种解题方法和技巧的学科，而在小学六年级，方程与函数的计算方法显得尤为重要。

通过解方程与函数，不仅能够培养学生的逻辑思维能力，还能提高他们的计算能力和解决实际问题的能力。

本文将总结几种小学六年级方程与函数计算方法，帮助学生更好地解决数学问题。

一、代数方程的解法代数方程是指带有未知数的等式，解方程是要找到能够使等式成立的未知数的值。

对于小学六年级的学生来说，可以使用以下几种方法解代数方程。

1.反运算法：当方程中有未知数与数字之间通过加、减、乘、除等基本运算形成的关系时，可以通过反运算的方式解方程。

比如，对于方程3x + 2 = 8，可以先将2从等式两边减去，再将结果除以3，即可得到x的值。

2.等式交换法：当方程中有两个未知数相加或相减的情况时，可以通过等式交换的方式解方程。

比如，对于方程x + y = 10，若已知x = 4，则可以通过等式交换得到y = 10 - 4 = 6。

3.凑整数法：当方程中的系数比较复杂时，可以通过凑整数的方法解方程。

比如，对于方程7x + 5 = 26，可以先通过凑整数的方式将5变为7的倍数，即凑成7x + 7 = 26，然后再进行解方程。

二、函数的计算方法函数是一种特殊的关系，在数学中用一组数对来表示。

函数的计算方法可以帮助学生更好地理解和运用函数。

1.函数的表达式表示法：函数可以使用表达式来表示，比如y = 2x+ 3。

在计算函数时，可以将所给的自变量代入函数表达式中，得到函数的值。

例如，当x = 4时，y = 2 × 4 + 3 = 11。

2.函数的图像表示法：函数的图像是一个曲线或者折线，通过观察函数的图像，可以得到函数的特性和规律。

通过读图，能够更好地理解函数的变化趋势和函数值的计算方法。

3.函数的问题解决方法：函数常用于解决各种问题，包括比例关系、面积问题和变量的计算等。

通过将问题转化为函数的形式，并使用函数计算方法，能够更好地解决实际问题。