数学北师大版七年级下册探索三角形全等的条件(ASA和AAS)

北师大版七年级下册探索三角形全等的条件教案Revised by Petrel at 2021探索三角形全等的条件（第二课时）北师大版试验教科书七年级下册海南文昌华侨中学叶敏◆教学目标1、知识与技能（1）探索出三角形全等的条件“ASA”和“AAS”。

（2）能熟练运用“ASA”和“AAS”来判别两个三角形是否全等以及在日常生活中的运用。

发展学生有条理的表达能力。

2、能力目标（1）培养学生动手操作、探索、观察、分析、归纳获得数学结论的能力。

（2）培养学生转化独立获取知识的方法并解决问题的能力。

3、情感、态度与价值观通过多种手段的活动过程，让学生动手操作，激发学生学习的兴趣，并能通过合作交流解决问题，体会数学在现实生活中的应用，增强学生的自信心。

◆教学重点和难点重点掌握三角形全等的条件“ASA”和“AAS”，并能利用它们判定三角形是否全等。

难点探索三角形全等的条件“ASA”和“AAS”的过程及应用。

◆学法引导让学生通过画图、观察、比较、推理、交流，逐步地掌握三角形全等的判别条件。

◆教具准备（1）学具准备：三角板，量角器，直尺（2）多媒体课件课件构思：通过动手操作法感受实践，体会三角形的判别条件。

素材准备：2008年第29届奥运会的有关画面、打碎的玻璃片的画面、演示三角形全等的画面。

◆教学设计1、情境引入（投影播放：2008年第29届国际奥林匹克运动会将在中国北京举行，这是全国人民为之欢欣鼓舞的一大盛事，为了展示北京的良好形象，北京市政府设想在体育场馆附近修建两个完全一样的三角形的草坪。

）我们除了利用前面学习三角形的全等条件“SSS”来检验以外，还能有几种有效的检验方法？要解决这个问题，我们就要继续学习“探索三角形全等的条件”。

2、导入新课提出问题：如果已知一个三角形的两角及一边，那么有几种可能的情况，每种情况下得到的三角形都全等吗？学生经过讨论交流后回答：已知两角及一边的情况有两种分别是“两角及夹边”与“两角及其中一角的对边”。

3探索三角形全等的条件第1课时“边边边(SSS)”和三角形的稳定性教学目标一、基本目标1．掌握三角形全等的“边边边”条件，了解三角形的稳定性．2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用画图、操作、归纳获得数学结论的过程，初步形成解决问题的基本策略．二、重难点目标【教学重点】利用三角形全等的“边边边”条件证明两个三角形全等；三角形的稳定性．【教学难点】利用“SSS”说明三角形全等的思考和推理过程．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P97～P99的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．(教材P97“做一做”)只给一个条件(一条边或一个角)画三角形时，画出的三角形一定全等吗？略2．(教材P97“做一做”)给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况？每种情况下作出的三角形一定全等吗？分别按照下面的条件做一做．(1)三角形的一个内角为30°，一条边为3 cm；(2)三角形的两个内角分别为30°和50°；(3)三角形的两条边分别为4 cm,6 cm.略3．(教材P97“议一议”)如果给出三个条件画三角形，你能说出有哪几种可能的情况？解：三条边；三个角；两条边和一个角；两个角和一条边．4．(教材P98“做一做”)(1)已知一个三角形的三个内角分别为40°，60°和80°，你能画出这个三角形吗？把你画的三角形与同伴画出的进行比较，它们一定全等吗？(2)已知一个三角形的三条边分别为4 cm,5 cm和7 cm，你能画出这个三角形吗？把你画的三角形与同伴画出的进行比较，它们一定全等吗？解：(1)三个内角对应相等的两个三角形不一定全等．(2)三边分别相等的两个三角形全等，简称为“边边边”或“SSS”．通常写成下面的格式： 在△ABC 和△DEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝DF ，AB ＝DE ，BC ＝EF ，所以△ABC ≌△DEF (SSS)．5．2017年11月5日19时45分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，以“一箭双星”的方式成功发射第二十四、二十五颗北斗导航卫星．这两颗卫星属于中国地球轨道卫星，是我国北斗三号第一、二颗组网卫星，开启了北斗卫星导航系统全球组网的新时代．如图所示，在发射运载火箭时，运载火箭的发射架被焊接成了许多的三角形，这样做的原因是：三角形具有稳定性.环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】如图，已知AB ＝DE ，AC ＝DF ，点E 、C 在直线BF 上，且BE ＝CF .求证：△ABC ≌△DEF .【互动探索】(引发学生思考)已知两个三角形有两组对边相等，同一直线上的一组边相等，可考虑用“SSS ”证明△ABC ≌△DEF .【证明】因为BE ＝CF ，所以BE ＋EC ＝CF ＋EC ，即BC ＝EF . 在△ABC 和△DEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DE ，BC ＝EF ，AC ＝DF ，所以△ABC ≌△DEF (SSS)．【互动总结】(学生总结，老师点评)判定两个三角形全等，先根据已知条件或易证的结论确定判定三角形全等的方法，然后再根据判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．【例2】如图，已知AB ＝AD ，DC ＝BC ，∠B 与∠D 相等吗？为什么？【互动探索】(引发学生思考)要判断角相等，可考虑用三角形全等证明，需添加辅助线AC 构造三角形进行证明．【解答】∠B ＝∠D ．理由如下：连结AC ． 在△ADC 和△ABC 中，因为⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AB ，AC ＝AC ，DC ＝BC ，所以△ADC ≌△ABC (SSS)， 所以∠B ＝∠D ．【互动总结】(学生总结，老师点评)要证∠B 与∠D 相等，可证这两个角所在的三角形全等，而现有的条件并不满足，可以考虑添加辅助线证明．【例3】要使下列木架稳定，可以在任意两个点之间钉上木棍，各图至少需要钉上多少根木棍？【互动探索】(引发学生思考)三角形具有稳定性，怎样添加木棍才能使多边形具有稳定性呢？【解答】如图1，四边形木架至少需要钉上1根木棍； 如图2，五边形木架至少需要钉上2根木棍； 如图3，六边形木架至少需要钉上3根木棍．图1 图2 图3【互动总结】(学生总结，老师点评)n 边形沿一个顶点的对角线添加(n －3)条木棍后就具有稳定性．活动2 巩固练习(学生独学)1．下列实际情景运用了三角形稳定性的是( C ) A ．人能直立在地面上 B ．校门口的自动伸缩栅栏门 C ．古建筑中的三角形屋架D ．三轮车能在地面上运动而不会倒2．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB 是一个任意角，在边OA 、OB 上分别取OM ＝ON ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M 、N 重合，过角尺顶点C 作射线OC ．由做法得△MOC ≌△NOC 的依据是SSS.3．如图，AC 与BD 交于点O ，AD ＝CB ，E 、F 是BD 上两点，且AE ＝CF ，DE ＝BF . 求证：(1)∠D ＝∠B ； (2)AE ∥CF .证明：(1)在△ADE 和△CBF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝CF ，AD ＝BC ，DE ＝BF ，所以△ADE ≌△CBF (SSS)， 所以∠D ＝∠B ． (2)因为△ADE ≌△CBF ， 所以∠AED ＝∠CFB ．因为∠AED ＋∠AEO ＝180°，∠CFB ＋∠CFO ＝180°， 所以∠AEO ＝∠CFO ， 所以AE ∥CF .环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)1．“边边边(SSS)”：三边分别相等的两个三角形全等． 2．三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性．练习设计请完成本课时对应练习！第2课时 “角边角(ASA)”和“角角边(AAS)”教学目标一、基本目标1．掌握三角形全等的“ASA”“AAS”条件，并会进行简单的应用．2．经历探索三角形全等“两角一边”的过程，体会通过操作、归纳获得数学结论的趣味． 二、重难点目标 【教学重点】应用三角形全等的“ASA”“AAS”条件． 【教学难点】探索三角形全等条件“两角一边”．教学过程环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P100～P101的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA ”．通常写成下面的格式：在△ABC 与△DEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠B ＝∠E ，BC ＝EF ，∠C ＝∠F ，所以△ABC ≌△DEF .2．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS ”．通常写成下面的格式：在△ABC 与△DEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，BC ＝EF ，所以△ABC ≌△DEF .3．能确定△ABC ≌△DEF 的条件是( D ) A ．AB ＝DE ，BC ＝EF ，∠A ＝∠E B ．AB ＝DE ，BC ＝EF ，∠C ＝∠E C ．∠A ＝∠E ，AB ＝EF ，∠B ＝∠D D ．∠A ＝∠D ，AB ＝DE ，∠B ＝∠E4．如图，已知点F 、E 分别在AB 、AC 上，且AE ＝AF ，请你补充一个条件：∠B ＝∠C ，使得△ABE ≌△ACF .(只需填写一种情况即可)教师点拨：此题答案不唯一，还可以填AB ＝AC 或∠AEB ＝∠AFC ． 环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】如图，已知AD ∥BC ，BE ∥DF ，AE ＝CF ，求证：△ADF ≌△CBE .【互动探索】(引发学生思考)回忆我们学过的判定三角形全等的条件，结合已知中的平行线段，可考虑利用“ASA ”证明△ADF ≌△CBE .【证明】因为AD ∥BC ，BE ∥DF ， 所以∠A ＝∠C ，∠DF A ＝∠BEC ． 因为AE ＝CF ，所以AE ＋EF ＝CF ＋EF ，即AF ＝CE . 在△ADF 和△CBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠C ，AF ＝CE ，∠DF A ＝∠BEC ，所以△ADF ≌△CBE (ASA)．【互动总结】(学生总结，老师点评)在“ASA ”中，包含“边”和“角”两种元素，是两角夹一边而不是两角及一角的对边对应相等，应用时要注意区分．在“ASA ”中，“边”必须是“两角的夹边”．【例2】如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，AD 与BE 交于点F .若BF ＝AC ，求证：△ADC ≌△BDF .【互动探索】(引发学生思考)观察图形，要证△ADC ≌△BDF ，只需∠DAC ＝∠DBF 即可．由在Rt △ADC 与Rt △BDF 中，利用等角的余角相等即可得∠DAC ＝∠DBF .【证明】因为AD ⊥BC ，BE ⊥AC ， 所以∠ADC ＝∠BDF ＝∠BEA ＝∠BEC ＝90°. 又因为∠AFE ＝∠BFD ， 所以∠DAC ＝∠DBF .在△ADC 和△BDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DAC ＝∠DBF ，∠ADC ＝∠BDF ，AC ＝BF ，所以△ADC ≌△BDF (AAS)．【互动总结】(学生总结，老师点评)在解决三角形全等的问题时，要注意挖掘题中的隐含条件，如：对顶角、公共边、公共角等．活动2 巩固练习(学生独学)1．完成教材P102“习题4.7”第1～3题． 略2．如图，点B 在线段AD 上，BC ∥DE ，AB ＝ED ，∠A ＝∠E .求证：BC ＝DB ．证明：因为BC ∥DE ， 所以∠ABC ＝∠EDB ．在△ABC 和△EDB 中，⎩⎨⎧∠A ＝∠E ，AB ＝ED ，∠ABC ＝∠EDB ，所以△ABC ≌△EDB (ASA)， 所以BC ＝BD ．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)1．“角边角(ASA)”：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等．2．“角角边(AAS)”：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．练习设计请完成本课时对应练习！第3课时“边角边(SAS)”教学目标一、基本目标1．经历画图比较，得出判定三角形全等的“SAS”条件．2．能够利用“SAS”判定两个三角形全等并会用数学语言说明理由．3．在探索三角形全等及其应用的过程中，能够进行有条理地思考并进行简单推理．二、重难点目标【教学重点】通过画图比较，得出“SAS”结论的过程及应用．【教学难点】探索“边边角”能否用于判定全等．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P102～P104的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．(1)两边及夹角，三角形两边分别为2.5 cm,3.5 cm，它们所夹的角为40°，你能画出这个三角形吗？你画的三角形与同桌画的一定全等吗？(2)以2.5 cm,3.5 cm为三角形的两边，长度为2.5 cm的边所对的角为40°，情况又怎样？动手画一画，你发现了什么？解：(1)与同桌画的是全等的(如图1)．(2)与同桌画的不一定全等(如图2)．图1图2总结：(1)两边及其一边所对的角对应相等，两个三角形不一定全等；(2)三角形全等的判定方法4：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”．通常写成下面的格式：在△ABC 与△DEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DE ，∠B ＝∠E ，BC ＝EF ，所以△ABC ≌△DEF .2．如图，已知BD ＝CD ，要根据“SAS”判定△ABD ≌△ACD ，则还需添加的条件是∠ADB ＝∠ADC .环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】如图，A 、D 、F 、B 在同一直线上，AD ＝BF ，AE ＝BC ，且AE ∥BC ．求证：△AEF ≌△BCD ．【互动探索】(引发学生思考)由题意可知，如果∠A ＝∠B 就可证△AEF ≌△BCD ．由AE ∥BC 可得∠A ＝∠B ．【证明】因为AE ∥BC ，所以∠A ＝∠B ．因为AD ＝BF ，所以AD ＋DF ＝DF ＋FB ，即AF ＝BD ． 在△AEF 和△BCD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝BC ，∠A ＝∠B ，AF ＝BD ，所以△AEF ≌△BCD (SAS)．【互动总结】(学生总结，老师点评)判定两个三角形全等时，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【例2】如图，BC ∥EF ，BC ＝BE ，AB ＝FB ，∠1＝∠2，若∠1＝60°，求∠C 的度数．【互动探索】(引发学生思考)已知两组边对应相等，可考虑证明△ABC ≌△FBE ，从而得出∠C ＝∠BEF .又由BC ∥EF 可得∠BEF ＝∠1，进而解决问题．【解答】因为∠1＝∠2，所以∠1＋∠ABE ＝∠2＋∠ABE ，即∠ABC ＝∠FBE . 在△ABC 和△FBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝BE ，∠ABC ＝∠FBE ，AB ＝FB ，所以△ABC ≌△FBE (SAS)， 所以∠C ＝∠BEF . 又因为BC ∥EF ，所以∠C ＝∠BEF ＝∠1＝60°.【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)全等三角形是证明线段和角相等的重要工具；(2)学会挖掘题中的已知条件，如“公共边”“公共角”等．活动2 巩固练习(学生独学)1．如图，AB ＝AC ，AD ＝AE ，欲证△ABD ≌△ACE ，可补充条件( A )A ．∠1＝∠2B ．∠B ＝∠C C ．∠D ＝∠ED ．∠BAE ＝∠CAD2．下列条件中，不能证明△ABC ≌△DEF 的是( C )A ．AB ＝DE ，∠B ＝∠E ，BC ＝EF B ．AB ＝DE ，∠A ＝∠D ，AC ＝DF C ．BC ＝EF ，∠B ＝∠E ，AC ＝DF D ．BC ＝EF ，∠C ＝∠F ，AC ＝DF3．如图，已知AB ＝AD ，若AC 平分∠BAD ，问AC 是否平分∠BCD ？为什么？解：AC 平分∠BCD ．理由如下：因为AC 平分∠BAD ，所以∠BAC ＝∠DAC ．在△ABC 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧ AB ＝AD ，∠BAC ＝∠DAC ，AC ＝AC ，所以△ABC ≌ADC (SAS)，所以∠ACB ＝∠ACD ，所以AC 平分∠BCD ．活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】如图，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连结AE 、CG .求证：(1)AE ＝CG ；(2)AE ⊥CG .【互动探索】(1)观察图形，证明△ADE ≌△CDG ，即可得出AE ＝CG ；(2)结合全等三角形的性质和正方形的性质即可得AE ⊥CG .【证明】(1)因为四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，所以AD ＝CD ，GD ＝ED ，∠CDA ＝∠GDE ＝90°.因为∠CDG ＝90°＋∠ADG ，∠ADE ＝90°＋∠ADG ，所以∠CDG ＝∠ADE .在△ADE 和△CDG 中，⎩⎪⎨⎪⎧ AD ＝CD ，∠ADE ＝∠CDG ，DE ＝GD ，所以△ADE ≌△CDG (SAS)，所以AE ＝CG .(2)设AE 与DG 相交于点M ，与CG 相交于点N .由(1)得△ADE ≌△CDG ，所以∠CGD ＝∠AED ．因为∠GMN ＝∠DME ，∠DEM ＋∠DME ＝90°，所以∠CGD ＋∠GMN ＝90°，所以∠GNM ＝90°，所以AE ⊥CG .【互动总结】(学生总结，老师点评)正方形的四条边相等，四个角都等于90°，利用正方形的性质结合全等三角形的判定与性质即可解决问题．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)1．“边角边(SAS)”：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．2．利用全等三角形的判定和性质可以证明角或线段相等．练习设计请完成本课时对应练习！。

专题4.15 探索三角形全等的条件（ASA 和AAS ）（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．如图，点B ，C ，D 在同一直线上，若A D ∠=∠，AB EC ∥，则下列选项中，不能判定≌ABC DCE 的是（ ）A ．ACB E ∠=∠B ．AB CD =C ． AC DE =D ．BC CE =2．如图，BO 、CO 分别平分∠ABC 、∠ACB ，OD ∠BC 于点D ，OD ＝2，∠ABC 的周长为28，则∠ABC 的面积为（ ）A ．28B ．14C ．21D ．73．如图，在ABC 中，过点A 作ABC ∠的平分线的垂线AD 交ABC 内部于点P ，交边BC 于点D ，连结CP ，若ABP ，CDP △的面积分别为4、2，则ABC 的面积是（ ）A ．24B ．12C ．8D ．64．如图，在ABC 与AEF △中，点F 在BC 上，AB 交EF 于点D ．AB AE =，30B E ∠=∠=︒，EAB CAF ∠=∠，80EAF ∠=︒，则FAC ∠=（ ）A ．40︒B ．60︒C ．50︒D ．70︒5．如图，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE EF =，FC AB ∥，若8AB =，6CF =，则BD 的长是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．如图，ABC 的两条高AD 和CE 交于点F ．已知7AB =，3EF EB ==，则CF 的长为（ ），A ．1B ．2C ．32D ．527．如图，在四边形ABCD 中，AB DC ∥，DAB ∠的平分线交BC 于点E ，DE AE ⊥，若12AD =，8BC =，则四边形ABCD 的周长为（ ）A ．32B ．20C ．16D ．288．如图，AB CD ⊥，且AB CD =，CE AD ⊥，BF AD ⊥，垂足分别为E ，F ，若3BF =，5CE =，52AE =，则EF 的长为（ ）A ．52B ．12C ．2D ．39．如图，甲、乙、丙三个三角形中和ABC ∆全等的图形有（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．乙和丙10．如图，ABC 中，490B C ∠=︒， AB AC =、BM 是AC 边的中线，有AD BM ⊥；垂足为点E 交BC 于点D ．且AH 平分BAC ∠交BM 于N ．交BC 于H ．连接DM ．则下列结论：∠AMB CMD ∠=∠； ∠HN HD =； ∠BN AD =； ∠BNH MDC ∠=∠； 错误的有（ ）个．A ．0B ．1C ．3D ．4二、填空题11．如图，已知AD =AE ，请你添加一个条件，能运用ASA 直接说明∠ADC ∠△AEB ，你添加的条件是 ___________．（不添加任何字母和辅助线）12．如图，在∠ABC 中，点D 为AB 延长线上一点，点E 为AC 中点，过C 作CF //AB 交射线DE 于F ，若BD ＝1，CF ＝5，则AB 的长度为_____．13．如图，在四边形ABCD 中，90A ∠=︒，连接BD ，4AD =，BD CD ⊥，ADB C ∠=∠．若P 是BC 边上一动点，则DP 长的最小值为______．14．在ABC 中，120A ∠=︒，AB AC m ==，BC n =，CD 是ABC 的边AB 的高，则ACD的面积为______(用含m ，n 的式子表示)．15．∠ABC 中，90AC BC ACB =∠=，，点D 是∠ABC 外一点，连接BD ，CD ，BD AC ∥，点F 是CD 上一点，连接AF ，若2D CAF ∠=∠，179CD CE ==，，则BD 的长为___________．16．如图，图形的各个顶点都在3⨯3正方形网格的格点上．则12∠+∠=______．17．如图，点E 是BC 的中点，AB BC ⊥，DC BC ⊥，AE 平分BAD ∠，下列结论：∠90AED ∠=︒；∠ADE AEB ∠=∠；∠ABCD S AD CE =⋅梯形；∠2AD AE =，四个结论中成立的是__________．18．如图所示，在等腰Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，点D 为射线CB 上的动点，AE AD =，且AE AD ⊥，BE 与AC 所在的直线交于点P ，若5AC PC =，则BDCD=_____．三、解答题19．如图，在四边形ABCD 中，已知AB CD ∥，连接BD ，AE AB ⊥交BD 于点E ，CF CD ⊥交BD 于点F ，DE BF =，求证：C ABE DF ≌△△．20．如图，点A 、C 、B 、D 在同一条直线上，BE DF ∥，A F ∠=∠，AB FD =．求证： (1) AE FC =．(2) 若157ACF =︒∠，45EBA ∠=︒，求A ∠的度数．21．如图，四边形ABCD 中，点F 是BC 中点，连接AF 并延长，交于DC 的延长线于点E ，且AB CE ．(1) 求证：ABF ECF △≌；(2) 若AD BC ∥，260B D ∠+∠=︒，求D ∠的度数； (3) 若B D ∠=∠，求证：AD BC =．22．在复习课上，老师布置了一道思考题：如图所示，点M ，N 分别在等边ABC 的,BC CA 边上，且BM CN =，AM ，BN 交于点Q ．求证：60BQM ∠=︒．同学们利用有关知识完成了解答后，老师又提出了下列问题：(1) 若将题中“BM CN =”与“60BQM ∠=︒”的位置交换，得到的是否仍是真命题？请你给出答案并说明理由．(2) 若将题中的点M ，N 分别移动到,BC CA 的延长线上，是否仍能得到60BQM ∠=︒？请你画出图形，给出答案并说明理由．23．如图∠，点C 在线段AB 上（点C 不与A ，B 重合），分别以AC ，BC 为边在AB 同侧作等边∠ACD 和等边∠BCE ，连接AE ，BD 交于点P ．(1) 观察猜想：1.AE 与BD 的数量关系为______；2.∠APD 的度数为______； (2) 数学思考：如图∠，当点C 在线段AB 外时，（1）中的结论∠，∠是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．24．在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E ．(1) 当直线MN 处在图1的位置时，填空： ∠ADC △和CEB 的关系是___________；∠线段DE 、AD 和BE 三者之间的大小关系是___________； (2) 当直线MN 处在图2的位置时，求证：DE AD BE =-；(3) 当直线MN 处在图3的位置时，且3BE =，1AD =，直接写出DE 的长．（不需要证明）参考答案1．A【分析】根据平行线的性质“两直线平行，同位角相等”可知B ECD ∠=∠，然后结合题意和各个选项，由三角形判定条件即可获得答案．解：∠AB EC ∥，∠B ECD ∠=∠，再结合已知条件A D ∠=∠可知： A. 若ACB E ∠=∠，不能证明两三角形全等，符合题意；B. 若AB CD =，可利用“ASA ”证明≌ABC DCE ，故不符合题意；C. 若AC DE =，可利用“AAS ”证明≌ABC DCE ，故不符合题意；D. 若BC CE =，可利用“AAS ”证明≌ABC DCE ，故不符合题意． 故选：A ．【点拨】本题主要考查了平行线的性质以及全等三角形的判定，解题的关键是明确全等三角形的判定方法．2．A【分析】连接OA ，过点O 作OE AB ⊥于点E ，作OF AC ⊥于点F ，则由角平分线的性质定理得：OE =OF =OD =2，再由ABC OAB OBC OCA S S S S =++△△△△即可求得结果．解：连接OA ，过点O 作OE AB ⊥于点E ，作OF AC ⊥于点F ，如图∠BO 平分DBA ∠，OE AB ⊥，OD BC ⊥， 在BOD 和BOE △中， 90OEB ODB OBE OBD BO BO ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∠()BOD BOE AAS △≌△， ∠OE =OD =2 同理：OF =OD =2 ∠OE =OF =OD =2∠ABC OAB OBC OCA S S S S =++△△△△ 111222AB OE BC OD AC OF =++ ()12AB BC AC OD =++ =12822⨯⨯ =28 ∠28ABC S =△ 故选：A ．【点拨】本题考查了角平分线的性质定理，求三角形的面积等知识，关键是根据条件构造适合角平分线性质定理条件的辅助线．3．B【分析】根据ASA 可证ABP DBP ≅，由全等的性质可得，AP DP =，即P 是AD 中点，由等底同高可得，DBPABPS S=，APCDPCSS=，从而计算ABCABPDBPAPCDPCSSSSS=+++，故得出答案．解：由题可得：ABP DBP ∠=∠，BP AD ⊥，90BPA BPD ∴∠=∠=︒，在ABP 与DBP 中， ABP DBP BP BPBPA BPD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()ABP DBP ASA ∴≅，AP DP ∴=，4DBPABPSS∴==，2APCDPCSS==，442212ABCABPDBPAPCDPCSSSS S∴=+++=+++=．故选：B ．【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，求等底同高的面积，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．4．A【分析】根据ASA 证明C EAF BA ≌得出AF AC =，C AFC ∠=∠，再由三角形内角和定理即可推出结果．解：∠EAB CAF ∠=∠， ∠80C EAF AB ∠=∠=︒， 在EAF △与BAC 中，E B AE ABEAF BAC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∠(ASA)BA A C E F ≌， ∠AF AC =， ∠C AFC ∠=∠， ∠30,80A B C B =∠︒=∠︒，∠18070C C AFC B AB =∠=-∠-∠=︒∠︒， ∠18040C AF A C F C =-∠︒-∠=∠︒， 故选：A ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．5．B【分析】根据平行线的性质得出，A FCE ∠=∠，ADE F ∠=∠，根据全等三角形的判定，得出ADE CFE ≌，根据全等三角形的性质得出，AD CF =，根据8AB =，6CF =，即可求出线段BD 的长．解：FC AB ∥，A FCE ∴∠=∠，ADE F ∠=∠，在ADE 和CFE 中，A FCE ADE F DE FE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADE CFE AAS ∴≌,6AD CF ∴==，8AB =，862BD AB AD ∴=-=-=，故选：B ．【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质的应用，能判定ADE CFE ≌是解此题的关键．6．A【分析】先根据AEF △的面积算出AE 的长度，再根据全等三角形的知识算出CE 的长度，由CE FE -即可求出CF 的长度．解：CE AB ⊥，90AEC ∴∠=︒，734AE AB EB =-=-=，AD BC ⊥，90ADC ∴∠=︒，又AFE CFD ∠=∠，EAF ECB ∴∠=∠，在BEC 和FEA 中，EAF ECB FEA BEC BE EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠()BEC FEA AAS ≌△△4AE CE ∴==，431CF CE EF ∴=-=-=，故选：A ．【点拨】本题主要考查全等三角形的判定与性质，三角形的高，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．7．A【分析】延长AB 、DE 相交于点F ，根据得到DE EF =，AD AF =，再证明DEC FEB △≌△得到DC BF =，从而推算出四边形ABCD 的周长等于2AD BC +解：如下图所示，延长AB 、DE 相交于点F ，DAB ∠的平分线交BC 于点E ，∠DAE FAE ∠=∠，∠DE AE ⊥，90AED AEF ∠=∠=︒∴，∠AE AE =，∠AED AEF ≌△△，∠DE EF =，12AF AD ==，∠AB DC ∥，∠CDE EFB ∠=∠,∠CDE EFB DE EF DEC FEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∠DEC FEB △≌△，∠DC BF =，∠12AB DC AB BF AF +=+==，∠四边形ABCD 的周长为1212832AD AB BC DC AD AF BC +++=++=++=， 故选：A ．【点拨】本题考查全等三角形、平行线和角平分线的性质，构造辅助线、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．8．A【分析】先根据余角的性质证明C A ∠=∠，再根据AAS 证明CDE ABF ≌，得出5CE AF ==，最后根据线段的和差即可求解．解：∠AB CD ⊥，CE AD ⊥，BF AD ⊥，∠90ABD ，90CED ∠=︒，90AFB ∠=︒，∠90A D ∠+∠=︒，90C D ∠+∠=︒，CED AFB ∠=∠，∠C A ∠=∠，在CDE 和ABF △中，C A CED AFB CD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠()AAS CDE ABF ≌，∠CE AF =，又5CE =，∠5AF =， 又52AE =， ∠52EF AF AE =-=．故选：A ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，余角的性质等知识，根据AAS 证明CDE ABF ≌是解题的关键．9．D【分析】根据三角形全等的判定方法进行判断：甲图不符合三角形全等的判定方法；乙图可运用SAS 判断；丙图可以用AAS 判定．解：如图所示，甲图，不满足三角形全等的判定的条件；乙图，在ABC ∆和FED ∆中，====50?==BC ED a B E BA EF c ∠∠⎧⎪⎨⎪⎩，(SAS)ABC FED ∆∆≌；丙图，在ABC ∆和MNH ∆中，==72?==50?==M AED B N BC NH a ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩，(AAS)ABC MNH ∆∆≌．故选D ．【点拨】此题考查全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的各种方法是解题的关键．10．A【分析】作KC CA ⊥交AD 的延长线于K ．通过证明BHN AHD ABM CAK CDM CDK ≌，≌，≌即可解决问题．解：如图，作KC CA ⊥交AD 的延长线于K ．∠90AB AC BAC =∠=︒，，AH 平分BAC ∠，∠AH BC BH CH ⊥=，，∠AH BH CH ==，∠AD BM ⊥，∠90BHN AEN AHD ∠=∠=∠=︒，∠BNH ANE ∠=∠，∠HBN DAH ∠=∠，∠ASA BHN AHD ≌（）， ∠HN DH BN AD BNH ADH CDK ==∠=∠=∠，，，故∠∠正确，∠90BAM ACK ∠=∠=︒，∠90BAE CAK ∠+∠=︒，∠90BAE ABM ∠+∠=︒，∠ABM CAK ∠=∠，∠AB AC =，∠ASA ABM CAK ≌（）， ∠AMB K AM CK CM ∠=∠==，，∠45DCM DCK CD CD ∠=∠=︒=，，∠SAS CDM CDK ≌（）， ∠CDK CDM K CMD ∠=∠∠=∠，，∠AMB CMD BNH MDC ∠=∠∠=∠，，故∠∠正确．故选：A ．【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．11．∠ADC =∠AEB【分析】根据全等三角形的判定定理求解即可．解：添加条件∠ADC =∠AEB ，理由如下：在 ADC AEB 和△△中，===A A AD AE ADC AEB ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩， ∠ADC AEB ≌（ASA ），故答案为：∠ADC =∠AEB ．【点拨】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 12．4【分析】根据CF ∠AB 就可以得出∠A =∠ECF ，∠ADE =∠F ，证明△ADE ∠∠CFE 就可以求出答案．解：∠CF ∠AB ，∠∠ADE =∠F ，∠FCE =∠A ．∠点E 为AC 的中点，∠AE =EC ．∠在∠ADE 和∠CFE 中，ADE F FCE A AE EC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∠∠ADE ∠∠CFE （AAS ）．∠AD =CF =5，∠BD =1，∠AB =AD -BD =5-1=4．故答案为：4．【点拨】本题考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质，解答时证明三角形全等是关键．13．4【分析】根据垂线段最短得出当DP BC ⊥时，DP 的长度最小，求出ABD CBD ∠=∠，根据角平分线的性质得出AD DP =，即可得出选项．解：如图，过点D 作DE BC ⊥于点E ，当DP D =E 时，DP 最小，∠90BD DC A ∠⊥=︒，，∠9090DEB DEC A BDC ∠∠∠∠==︒==︒，，∠9090C CDE CDE BDE ∠∠∠∠+=︒+=︒，，∠BDE C ∠=∠，又∠ADB C ∠=∠，∠ADB BDE ∠=∠，∠在ABD △和EBD △中A DEB ADB BDE BD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∠ABD EBD △≌△，∠4DE AD ==，即DP 的最小值为4．故答案为：4．【点拨】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理和垂线段最短等知识点，能知道当DP BC ⊥时，DP 的长度最小是解此题的关键．14．8mn 【分析】过点C 作CD AB ⊥交AB 的延长线于点D ，由90ADC ∠=︒，求得30ACD ∠=︒，得到122m AD AC ==，过点A 作AE BC ⊥交BC 于点E ，证明ACE ACD △≌△，得到122n CD CE BC ===，即可求得ACD 的面积． 解：过点C 作CD AB ⊥交AB 的延长线于点D ，过点A 作AE BC ⊥交BC 于点E ，∠120A ∠=︒，AB AC m ==，∠18060CAD BAC ∠=︒-∠=︒，且CD AB ⊥，∠90ADC ∠=︒，∠9030ACD CAD ∠=︒-∠=︒， ∠122m AD AC ==， ∠120A ∠=︒，AB AC m ==，AE BC ⊥，∠30ACE ACD ∠=∠=︒，60CAE CAD ∠=∠=︒，AC AC =，∠ACE ACD △≌△， ∠122n CD CE BC ===，∠128ACD mn S AD CD =⋅=△， 故答案为：8mn ． 【点拨】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质及含30度角的直角三角形的性质，能够构造辅助线是解决问题的关键．15．8【分析】作AE 的垂直平分线交BC 的延长线于点M ，交AE 于点N ，连接AM ，则AM EM =，设CAF α∠=，则2BDC α∠=，利用AAS 求证ACM CBD ≅，根据全等三角形的性质可得17AM CD ME ===，CM BD =，进而即可求解．解：如图，作AE 的垂直平分线交BC 的延长线于点M ，交AE 于点N ，连接AM ，则AM EM =，MAE MEA ∴∠=∠，设CAF α∠=，则2BDC α∠=，90ACB ∠=︒，90AEC α∴∠=︒-，90MAE MEA α∴∠=∠=︒-，()1802902AME BDC αα∴∠=︒-︒-==∠，BD AC ∥，90ACB CBD ∴=∠=∠︒，90ACM CBD ∠=∠=︒，AC CB =，AMC CDB ∠=∠，ACM CBD ∴≅（AAS ），17AM CD ∴==，CM BD =，AM ME =，17ME MC CE ∴==+，9CE =，1798BD ∴=-=，故答案为：8【点拨】本题考查全等三角形的判定及其性质，解题的关键是作图构造全等三角形，熟练运用全等三角形的判定求证ACM CBD ≅．16．45°##45度【分析】通过证明三角形全等得出∠1=∠3，再根据∠1+∠2=∠3+∠2 即可得出答案． 解：如图所示，由题意得，在Rt △ABC 和Rt △EFC 中，∠90AB EF B EFC BC FC =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∠Rt △ABC ∠Rt △EFC （SAS ）∠∠3=∠1∠∠2+∠3=90°∠∠1+∠2=∠3+∠2=90°故答案为：45°【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，由证明三角形全等得出∠1=∠3是解题的关键．17．∠∠∠【分析】过E 作EF ∠AD 于F ，由AAS 证明△AEF ∠∠AEB ，得出BE ＝EF ，AB ＝AF ，∠AEF ＝∠AEB ；证出EC ＝EF ＝BE ，由HL 证明Rt △EFD ∠Rt △ECD ，得出DC ＝DF ，∠FED＝∠CED ，由平角定义得出∠AED ＝90°，∠正确；由直角三角形的两个锐角互余，得出∠ADE＝∠AEB ，∠正确；证出AD ＝AF ＋FD ＝AB ＋DC ，得出S 梯形ABCD ＝12（AB ＋CD ）BC ＝AD •CE ，∠正确；只有∠ADE ＝30°时，AD ＝2AE ，∠不正确；即可得出结论．解：过E 作EF ∠AD 于F ，如图，∠AB ∠BC ，DC ∠BC ，AE 平分∠BAD ，∠∠C ＝∠AFE ＝∠DFE ＝∠B ＝90°，∠F AE ＝∠BAE ，在△AEF 和△AEB 中，AE=AE AFE B FAE BAE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝，∠∠AEF ∠∠AEB （AAS ），∠BE ＝EF ，AB ＝AF ，∠AEF ＝∠AEB ；∠点E 是BC 的中点，∠EC ＝EF ＝BE ，在Rt △EFD 和Rt △ECD 中，DE DE EF EC =⎧⎨=⎩， ∠Rt △EFD ∠Rt △ECD （HL ），∠Rt △EFD ∠Rt △ECD （HL ），∠DC ＝DF ，∠FED ＝∠CED ，∠∠AEB ＋∠AEF ＋∠FED ＋∠CED ＝180°，∠∠AED ＝12×180°＝90°，∠正确；∠EF ∠AD ，∠∠AEF ＝∠ADE ，∠∠ADE ＝∠AEB ，∠正确；∠AD ＝AF ＋FD ＝AB ＋DC ，S 梯形ABCD ＝12（AB ＋CD ）BC ＝AD •CE ，∠正确； 只有∠ADE ＝30°时，AD ＝2AE ，∠∠不正确；故答案为∠∠∠【点拨】本题考查了梯形的性质、三角形全等的判定与性质、直角三角形的性质；证明三角形全等是解决问题的关键．18．27【分析】作EH AC ⊥，交AC 的延长线于H ，利用AAS 证明ACD EHA ≌△△，得AC EH =，DC AH =，再证明()AAS CBP HEP ≌，得PC HP =，从而解决问题． 解：作EH AC ⊥，交AC 的延长线于H ，∠AE AD ⊥，∠=90DAE ∠︒，∠90DAC EAH EAH AEH ∠+∠=∠+∠=︒，∠DAC AEH ∠=∠，∠90ACB H ∠=∠=︒，DA AE =∠()AAS ACD EHA ≌，∠AC EH =，DC AH =，∠AC BC =，∠BC EH =，∠CPB HPE ∠=∠，BCP H ∠=∠，∠()AAS CBP HEP ≌，∠PC HP =，∠5AC PC =，设PC x =，则5AC x =，∠5BC x =，7CD AH x ==，∠2BD x =， ∠2277x D CD x B ==， 故答案为：27．【点拨】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，余角的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形．19．见分析【分析】根据AAS 证明ABE CDF ≌．解：证明：∠BF DE =，∠BF EF DE EF +=+，即BE DF =，∠AE AB ⊥，CF CD ⊥，∠90BAE DCF ∠=∠=︒，又∠AB CD ∥∠ABD CDB ∠=∠在ABE 和CDF 中，BAE DCF ABD CDB BE DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠()ABE CDF AAS △△≌． 【点拨】本题考查了三角形全等的判定，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．20．(1) 证明见分析 (2) 112︒【分析】（1）通过条件可证()ASA ABE FDC ≌△△，根据全等三角形的性质得到AE FC =；（2）根据三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和即可得解．解：（1）证明：∠BE DF ∥∠ABE D ∠=∠在ABE 和FDC △中∠A F AB FD ABE D ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∠()ASA ABE FDC ≌△△ ∠AE FC =（2）解： 由（1）知ABE D ∠=∠∠45EBA ∠=︒∠45D ∠=︒∠ACF ∠是CDF 的一个外角，∠15745112F ACF D =-=︒-︒=︒∠∠∠∠A F ∠=∠∠112A ∠=︒【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形外角的性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题关键．21．(1) 见分析 (2) 130︒ (3) 见分析【分析】（1）由点F 是BC 中点得到BF CF =，由AB CE ，则BAF E ∠=∠，根据根据AAS 即可判定ABF ECF △≌；（2）由AB CE 得到B BCE ∠=∠，由AD BC ∥得到D BCE ∠=∠，则B D ∠=∠，又由260B D ∠+∠=︒，即可得到D ∠的度数；（3）连接AC , 证明()AAS ABC CDA △≌△即可．解：（1）证明：∠点F 是BC 中点，∠BF CF =∠AB CE ，∠BAF E ∠=∠，在ABF △和ECF △中，BAF E AFB EFC BF CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠()AAS ABF ECF ≌△△． （2）∠AB CE ，∠B BCE ∠=∠，∠AD BC ∥，∠D BCE ∠=∠，∠B D ∠=∠，∠260B D ∠+∠=︒，∠130D B ∠=∠=︒，即D ∠的度数为130︒；（3）连接AC ，∠AB CE ，∠BAC ACD ∠=∠，∠B D ∠=∠，AC CA =，∠()AAS ABC CDA △≌△，∠AD BC =．【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．22．(1) 仍是真命题，证明见分析 (2) 仍能得到60BQM ∠=︒，作图和证明见分析【分析】（1）由角边角得出ABM 和BCN △全等，对应边相等即可．（2）由（1）问可知BM =CN ，故可由边角边得出BAN 和ACM △全等，对应角相等，即可得出60BQM ∠=︒．解：(1)∠60BQM ∠=︒∠60QBA BAM ∠+∠=︒∠60QBA CQN ∠+∠=︒∠BAQ CQN ∠=∠在ABM 和BCN △中有BAQ CQN AB BC ABM BCN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∠ABM BCN ASA ≅△（）∠BM CN =故结论仍为真命题．(2)∠BM =CN∠CM =AN∠AB =AC ，18060120ACM BAN ∠=∠=︒-︒=︒，在BAN 和ACM △中有BA AC BAN ACM AN CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠BAN ACM SAS ≅△（）∠BNA CMA ∠=∠∠60BQM BNA NAQ CMA CAM ACB ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒故仍能得到60BQM ∠=︒，如图所示【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边角迅速、准确地确定要补充的边角，有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路．23．(1) ∠AE＝BD；∠60°(2) 上述结论成立．∠APD＝60°，证明见分析【分析】（1）根据已知条件只要证明∠DCB∠∠ACE，即可证明出AE于BD的数量关系，以及∠APD的角度；（2）根据∠ACD，∠BCE均为等边三角形，可知＝AC，BC＝EC，∠DCA＝∠BCE＝60°，进而可知∠DCA＋∠ACB＝∠ACB＋∠BCE，即∠DCB＝∠ACE，从而可证∠DCB∠∠ACE（SAS），则DB＝AE，∠CDB＝∠CAE，根据∠DCA＝∠DP A＝60°可证∠APD＝60°．解：（1）解：∠∠ACD和∠CBE都是等边三角形，∠AC=DC，CE=CB，∠ACD=∠ECB=60°，∠∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠DCB=∠DCE＋∠ECB，∠∠DCB=∠ACE，∠∠DCB∠∠ACE，∠AE=BD，∠BDC=∠CAE，又∠∠DOP=∠COA，∠∠APD=∠ACD=60°，故答案是：AE=BD，60°；（2）上述结论成立，∠∠ACD，∠BCE均为等边三角形，∠DC＝AC，BC＝EC，∠DCA＝∠BCE＝60°，∠∠DCA＋∠ACB＝∠ACB＋∠BCE，即∠DCB＝∠ACE，在∠DCB和∠ACE中，DC ACDCB ACE CB CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠DCB∠∠ACE（SAS），∠DB＝AE，∠CDB＝∠CAE，如图，设BD与AC交于点O，易知∠DOC＝∠AOP（对顶角相等），∠∠CDB＋∠DCA＝∠CAE＋∠DP A，∠∠DCA＝∠DP A＝60°，即∠APD＝60°．【点拨】本题考查全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，能够熟练掌握全等三角形的性质与判定是解决本题的关键．24．(1) ∠ADC CEB ≅；∠DE AD BE =+ (2) 见分析 (3) 2【分析】（1）∠根据同角的余角相等得到CAD BCE ∠=∠，利用AAS 定理证明ADC CEB ≅；∠根据全等三角形的性质得到CE AD =，BE CD =，结合图形得出结论；（2）证明ADC CEB ≅，根据全等三角形的性质得到CE AD =，BE CD =，结合图形证明结论；（3）仿照（2）的作法分别求出CD 、CE ，计算即可．（1）解：∠90ACB ∠=︒，90ACD BCE ∴∠+∠=︒，AD MN ⊥，BE MN ⊥，90ADC CEB ∴∠=∠=︒，90ACD CAD ∴∠+∠=︒，CAD BCE ∴∠=∠，在ADC 和CEB 中，ADC CEB CAD BCE AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ADC CEB ∴≅（AAS ），故答案为：ADC CEB ≅；∠由∠可知：ADC CEB ≅，CE AD ∴=，BE CD =，DE DC CE AD BE ∴=+=+，故答案为：DE AD BE =+；（2）证明：90ADC CEB ACB ∠=∠=∠=︒，ACD CBE ∴∠=∠，在ADC 和CEB 中，ADC CEB CAD BCE AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ACD CBE ∴≅（AAS ），CE AD ∴=，CD BE =，DE CE CD AD BE ∴=-=-；（3）解：由（2）可知：ACD CBE ≅，3CD BE ∴==，1CE AD ==，312DE CD CE ∴=-=-=．【点拨】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．。

《探索三角形全等的条件》习题一、选择题1．如图，AE∥DF，AE=DF，要使∥EAC∥∥FDB，需要添加下列选项中的（）A．AB=CD B．EC=BF C．∠A=∠D D．AB=BC2．如图，已知∥ABC=∥DCB，下列所给条件不能证明∥ABC∥∥DCB的是（）A．∥A=∥D B．AB=DC C．∥ACB=∥DBC D．AC=BD3．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：①AC∥BD；②AO=CO=AC；③∥ABD∥∥CBD，其中正确的结论有（）A．0个B．1个C．2个D．3个4．如图，点E，F在AC上，AD=BC，DF=BE，要使∥ADF∥∥CBE，还需要添加的一个条件是（）A．∠A=∠C B．∠D=∠B C．AD∥BC D．DF∥BE5．如图，在下列条件中，不能证明∥ABD∥∥ACD的是（）A．BD=DC，AB=AC B．∥ADB=∥ADC，BD=DCC．∥B=∥C，∥BAD=∥CAD D．∥B=∥C，BD=DC6．如图，已知∥1=∥2，则不一定能使∥ABD∥∥ACD的条件是（）A．BD=CD B．AB=AC C．∥B=∥C D．∥BAD=∥CAD二、填空题7．如图，在∥ABC和∥BAD中，BC=AD，请你再补充一个条件，使∥ABC∥∥BAD．你补充的条件是（只填一个）．8．如图，AD=AB，∥C=∥E，∥CDE=55°，则∥ABE=．9．如图，有一个直角三角形ABC，∠C=90°，AC=8，BC=3，P、Q两点分别在边AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，且PQ=AB．问当AP=时，才能使∥ABC和∥PQA全等．10．如图，∥1=∥2．（1）当BC=BD时，∥ABC∥∥ABD的依据是；（2）当∥3=∥4时，∥ABC∥∥ABD的依据是．三、解答题11．已知，如图，B、C、D三点共线，AB∥BD，ED∥CD，C是BD上的一点，且AB=CD，∥1=∥2，请判断∥ACE的形状并说明理由．12．已知：如图，AB=CD，AD=CB．求证：∥ABC∥∥CDA．13．已知：如图，AD为∥BAC的平分线，且DF∥AC于F，∥B=90°，DE=DC．试问BE与CF的关系，并加以说明．14．已知：如图，点E、C、D、A在同一条直线上，AB∥DF，ED=AB，∥E=∥CPD．求证：∥ABC∥∥DEF．15．如图，点A、C、D、B 四点共线，且AC=DB，∥A=∥B，∥E=∥F．求证：DE=CF．参考答案一、选择题1．答案：A解析：【解答】∥AE∥FD，∥∥A=∥D，∥AB=CD，∥AC=BD，在∥AEC和∥DFB中，，∥∥EAC∥∥FDB（SAS），故选：A．【分析】添加条件AB=CD可证明AC=BD，然后再根据AE∥FD，可得∥A=∥D，再利用SAS 定理证明∥EAC∥∥FDB即可．2．答案：D解析：【解答】A、可利用AAS定理判定∥ABC∥∥DCB，故此选项不合题意；B、可利用SAS定理判定∥ABC∥∥DCB，故此选项不合题意；C、利用ASA判定∥ABC∥∥DCB，故此选项不符合题意；D、SSA不能判定∥ABC∥∥DCB，故此选项符合题意；故选：D．【分析】本题要判定△ABC∥∥DCB，已知∥ABC=∥DCB，BC是公共边，具备了一组边对应相等，一组角对应相等，故添加AB=CD、∥ACB=∥DBC、∥A=∥D后可分别根据SAS、ASA、AAS能判定∥ABC∥∥DCB，而添加AC=BD后则不能．3．答案：D解析：【解答】在∥ABD与∥CBD中，，∥∥ABD∥∥CBD（SSS），故③正确；∥∥ADB=∥CDB，在∥AOD与∥COD中，，∥∥AOD∥∥COD（SAS），∥∥AOD=∥COD=90°，AO=OC，∥AC∥DB，故①②正确；故选D【分析】先证明△ABD与△CBD全等，再证明△AOD与△COD全等即可判断．4．答案：B解析：【解答】当∥D=∥B时，在∥ADF和∥CBE中∥，∥∥ADF∥∥CBE（SAS），故选：B．【分析】利用全等三角形的判定与性质进而得出当∠D=∠B时，△ADF≌△CBE．5．答案：D解析：【解答】A、∥在∥ABD和∥ACD中∥∥ABD∥∥ACD（SSS），故本选项错误；B、∥在∥ABD和∥ACD中∥∥ABD∥∥ACD（SAS），故本选项错误；C、∥在∥ABD和∥ACD中∥∥ABD∥∥ACD（AAS），故本选项错误；D、不符合全等三角形的判定定理，不能推出∥ABD∥∥ACD，故本选项正确；故选D【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．6．答案：B解析：【解答】A、∥∥1=∥2，AD为公共边，若BD=CD，则∥ABD∥∥ACD（SAS）；B、∥∥1=∥2，AD为公共边，若AB=AC，不符合全等三角形判定定理，不能判定∥ABD∥∥ACD；C、∥∥1=∥2，AD为公共边，若∥B=∥C，则∥ABD∥∥ACD（AAS）；D、∥∥1=∥2，AD为公共边，若∥BAD=∥CAD，则∥ABD∥∥ACD（ASA）；故选：B．【分析】利用全等三角形判定定理ASA，SAS，AAS对各个选项逐一分析即可得出答案．二、填空题7．答案：AC=BD（或∥CBA=∥DAB）解析：【解答】欲证两三角形全等，已有条件：BC=AD，AB=AB，所以补充两边夹角∥CBA=∥DAB便可以根据SAS证明；补充AC=BD便可以根据SSS证明．故补充的条件是AC=BD（或∥CBA=∥DAB）．【分析】根据已知条件在三角形中位置结合三角形全等的判定方法寻找条件．已知给出了一边对应相等，由一条公共边，还缺少角或边，于是答案可得．8．答案：125°解析：【解答】∥在∥ADC和∥ABE中∥∥ADC∥∥ABE（AAS）∥∥ADC=∥ABE∥∥CDE=55°∥∥ADC=125°∴∠ABE=125°【分析】在∥ADC和∥ABE中，由∠C=∥E，∥A=∥A和AD=AB证明∥ADC∥∥ABE，得到∥ADC=∥ABE，由∥CDE=55°，得到∥ADC=125°，即可求出∥ABE的度数．9．答案：8或3．解析：【解答】①当P与C重合时，AC=AP=8时，△BCA≌△QAP，在Rt△BCA和Rt△QAC中，，∴Rt△BCA≌Rt△QAC（HL）；②当AP=BC=3时，△BCA≌△PAQ，在Rt△BCA和Rt△QAC中，，∴Rt△BCA≌Rt△PAQ（HL）【分析】此题要分情况讨论：①当P与C重合时，AC=AP=8时，△BCA≌△QAP；②当AP=BC=3时，△BCA≌△PAQ．10．答案：SAS、ASA解析：【解答】（1）∵∠1=∠2，AB=AB，BC=BD∴△ABC≌△ABD（SAS）；（2）∵∠1=∠2，AB=AB，∠3=∠4∴△ABC≌△ABD（ASA）．【分析】（1）因为∠1=∠2，AB共边，当BC=BD时，能根据SAS判定△ABC≌△ABD；（2）因为∠1=∠2，AB共边，当∠3=∠4时，能根据ASA判定△ABC≌△ABD．三、解答题11．答案：见解答过程．解析：【解答】∵∠1=∠2，∴AC=CE，∵AB⊥BD，ED⊥CD，在△ABC与△CDE中，，∴△ABC≌△CDE，∴∠ACB=∠CED，∵∠CED+∠ECD=90°，∴∠ACD+∠ECD=90°，∴∠ACE=90°，∴△ACE是等腰直角三角形．【分析】由∠1=∠2可得AC=CE，再加上AB=CD，AB⊥BD，ED⊥CD，可直接证明三角形ABC与三角形CDE全等，从而易得三角形ACE是等腰直角三角形．12．答案：见解答过程．解析：【解答】证明：在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA（SSS）．【分析】根据“SSS”可判断△ABC≌△CDA．13．答案：BE=CF．解析：【解答】BE=CF．理由：∵∠B=90°，∴BD⊥AB．∵AD为∠BAC的平分线，且DF⊥AC，∴DB=DF．在Rt△BDE和Rt△FDC中，，∴Rt△BDE≌Rt△FDC（HL），∴BE=CF．【分析】先由角平分线的性质就可以得出DB=DF，再证明△BDE≌△FDC就可以求出结论．14．答案：见解答过程．解析：【解答】证明：∵AB∥DF，∴∠B=∠CPD，∠A=∠FDE，∵∠E=∠CPD．∴∠E=∠B，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA）．【分析】首先根据平行线的性质可得∠B=∠CPD，∠A=∠FDE，再由∠E=∠CPD可得∠E=∠B，再利用ASA证明△ABC≌△DEF．15．答案：见解答过程解析：【解答】证明：∵AC=DB，∴AC+CD=DB+CD，即AD=BC，在△AED和△BFC中，∴△AED≌△BFC．∴DE=CF．【分析】根据条件可以求出AD=BC，再证明△AED≌△BFC，由全等三角形的性质就可以得出结论．。