江西师大附中,临川一中2014届高三期末联考文科数学试卷(带解析)

20##普通高等学校招生全国统一考试〔##卷〕数学〔文科〕第Ⅰ卷〔选择题共40分〕一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求． 〔1〕[20####,文1,5分]若复数z 满足(1i)2i z +=〔i 为虚数单位〕,则||z =〔〕〔A 〕1〔B 〕2〔C D [答案]C[解析]解法一：∵若复数z 满足(1i)2i z +=,∴()()()21i 2i 1i 1i 1i 1i i z -===+++-,∴z ==故选C ． 解法二：设i z a b =+,则()()i 1i 2i a b ++=,()()i 2i a b a b -++=,0a b -=,2a b +=,解得1a =,1b =,1i z =+,1i z =+=故选C ．[点评]本题主要考查两个复数代数形式的乘除法,虚数单位i 的幂运算性质,求复数的模,属于基础题． 〔2〕[20####,文2,5分]设全集为R ,集合2{|90},{|15}A x x B x x =-<=-<≤,则()R A C B =〔〕〔A 〕(3,0)-〔B 〕(3,1)--〔C 〕(]3,1--〔D 〕(3,3)- [答案]C[解析]{|33},{|15}A x x B x x =-<<=-<≤,所以{}()31R A C B x x =-<<-,故选C ．[点评]本题主要考查集合的表示方法、集合的补集,两个集合的交集的定义和求法,属于基础题． 〔3〕[20####,文3,5分]掷两颗均匀的骰子,则点数之和为5的概率等于〔〕〔A 〕118〔B 〕19〔C 〕16〔D 〕112[答案]B[解析]点数之和为5的基本事件有：()1,4,()4,1,()2,3,()3,2,所以概率为41369=,故选B ．[点评]本题是一个古典概率模型问题,解题的关键是理解事件"抛掷两颗骰子,所得两颗骰子的点数之和为5〞,由列举法计算出事件所包含的基本事件数,判断出概率模型,理解求解公式nN是本题的重点,正确求出事件"抛掷两颗骰子,所得两颗骰子的点数之和为5〞所包含的基本事件数是本题的难点．〔4〕[20####,文4,5分]已知函数2,0()()2,0x xa x f x a R x -⎧⋅≥=∈⎨<⎩,若[(1)]1f f -=,则a =〔〕 〔A 〕14〔B 〕12〔C 〕1〔D 〕2 [答案]A[解析](1)2f -=,(2)4f a =,所以[(1)]41f f a -==,解得14a =,故选A ． [点评]本题主要考查了求函数值的问题,关键是分清需要代入到那一个解析式中,属于基础题．〔5〕[20####,文5,5分]在ABC ∆中,内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ,若32a b =,则2222sin sin sin B AA-的值为〔〕〔A 〕19-〔B 〕13〔C 〕1〔D 〕72[答案]D[解析]222222222sin sin 2372121sin 22B A b a b A a a --⎛⎫⎛⎫==-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选D ． [点评]本题主要考查正弦定理的应用,比较基础．〔6〕[20####,文6,5分]下列叙述中正确的是〔〕〔A 〕若,,a b c R ∈,则2"0"ax bx c ++≥的充分条件是2"40"b ac -≤〔B 〕若,,a b c R ∈,则22""ab cb >的充要条件是""a c >〔C 〕命题"对任意x R ∈,有20x ≥〞的否定是"存在x R ∈,有20x ≥〞 〔D 〕l 是一条直线,,αβ是两个不同的平面,若,l l αβ⊥⊥,则//αβ [答案]D[解析]〔1〕对于选项A ：若,,a b c R ∈,当2"0"ax bx c ++≥对于任意的x 恒成立时,则有：①当0a =时,0b =,0c ≥,此时240b ac -≤成立；②当0a >时,240b ac -≤．∴2"0"ax bx c ++≥ 是2"40"b ac -≤充分不必要条件,2"40"b ac -≤是2"0"ax bx c ++≥必要不充分条件．故A 不正确． 〔2〕对于选项B ：当22""ab cb >时,20b ≠,且a c >,∴22""ab cb >是""a c >的充分条件．反之,当a c >时,若0b =,则22ab cb =,不等式22ab cb >不成立．∴""a c >是22""ab cb >的必要不充分条件． 故B 不正确．〔3〕对于选项C ：结论要否定,注意考虑到全称量词"任意〞,命题"对任意x R ∈,有20x ≥〞的否定应该是"存在x R ∈,有20x <〞．故选项C 不正确．〔4〕对于选项D ：命题"l 是一条直线,,αβ是两个不同的平面,若,l l αβ⊥⊥,则//αβ．〞是两个平面平行的一个判定定理,故选D ．[点评]本题考查独立性检验的应用,考查学生的计算能力,属于中档题．〔7〕[20####,文7,5分]某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系, 随机抽查52名中学生,得到统计数据如表1至表4,则与性别有关联的可能性最大的变量是〔〕 〔A 〕成绩〔B 〕视力〔C 〕智商〔D 〕阅读量 [答案]D[解析]表1：()225262210140.00916362032X ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯；表2：()22524201216 1.76916362032X ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯；表3：()2252824812 1.316362032X ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯；表4：()22521430616223.4816362032X ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯,∴阅读量与性别有关联的可能性最大,故选D ．[点评]本题考查独立性检验的应用,考查学生的计算能力,属于中档题．〔8〕[20####,文8,5分]阅读如下程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为〔〕〔A 〕7 〔B 〕9 〔C 〕10 〔D 〕11 [答案]B[解析]由程序框图知：135i 0lg lg lg lg 357i 2S =++++++的值,∵1371lg lg lg lg 13599S =+++=>-,而1391lg lg lg lg 1351111S =+++=<-,∴跳出循环的i 值为9,∴输出i 9=,故选B ．[点评]本题考查了循环结构的程序框图,根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．〔9〕[20####,文9,5分]过双曲线22221x y C a b-=：的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于A ．若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A 、O 两点〔O 为坐标原点〕,则双曲线C 的方程为〔〕〔A 〕221412x y -=〔B 〕22179x y -=〔C 〕22188x y -=〔D 〕221124x y -=[答案]A[解析]以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过坐标原点O ,则4c =．且4CA =．设右顶点为(),0B a ,(),C a b ,ABC ∆为Rt ∆222BA BC AC ∴+=,()22416a b ∴-+=,又22216a b c +==．得1680a -=,2a =,24a =,212b =,所以双曲线方程221412x y -=,故选A ．[点评]本题考查双曲线的方程与性质,考查学生的计算能力,属于基础题．〔10〕[20####,文10,5分]在同一直角坐标系中,函数22ay ax x =-+与()2322y a x ax x a a =-++∈R 的图像不可能的是〔〕〔A 〕〔B 〕〔C 〕〔D 〕[答案]B[解析]当0a =时,函数22ay ax x =-+的图象是第二,四象限的角平分线,而函数2322y a x ax x a =-++的图象是第一,三象限的角平分线,故D 符合要求；当0a ≠时,函数22a y ax x =-+图象的对称轴方程为直线12x a =,由2322y a x ax x a =-++可得：22341y a x ax '=-+,令0y '=,则113x a =,21x a=,即113x a =和21x a =为函数2322y a x ax x a =-++的两个极值点,对称轴12x a =介于113x a =和21x a =两个极值点之间,故A 、C 符合要求,B 不符合,故选B ．[点评]本题考查的知识点是函数的图象,其中熟练掌握二次函数的图象和性质,三次函数的极值点等知识点是解答的关键． 二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分．〔11〕[20####,文11,5分]若曲线ln y x x =上点P 处的切线平行于直线210x y -+=,则点P 的坐标是． [答案](),e e[解析]11ln ln 1y x x x x=⨯+⨯=+,切线斜率2k =,则0ln 12x +=,0ln 1x =,0x e ∴=()0f x e ∴=,所以(),P e e ． [点评]本题主要考查导数的几何意义,以与直线平行的性质,要求熟练掌握导数的几何意义．〔12〕[20####,文12,5分]已知单位向量12,e e 的夹角为α,且1cos 3α=,若向量1232a e e =-,则||a =．[答案]3[解析]()()()222221212123232129412cos 9a a e e e e e e α==-=+-⋅=+-=,解得3a =． [点评]本题主要考查两个向量的数量积的定义,求向量的模的方法,属于基础题． 〔13〕[20####,文13,5分]在等差数列{}n a 中,17a =,公差为d ,前n 项和为n S ,当且仅当8n =时n S 取最大值,则d 的取值X 围．[答案]71,8⎛⎫-- ⎪⎝⎭[解析]因为170a =>,当且仅当8n =时n S 取最大值,可知0d <且同时满足890,0a a ><,所以,89770780a d a d =+>⎧⎨=+<⎩,易得718d -<<-．[点评]本题主要考查等差数列的前n 项和公式,解不等式方程组,属于中档题．〔14〕[20####,文14,5分]设椭圆()2222:10x y Ca b a b+=>>的左右焦点为12F F ，,作2F 作x 轴的垂线与C 交于A B，两点,1F B 与y 轴交于点D ,若1AD F B ⊥,则椭圆C 的离心率等于．[答案 [解析]因为AB 为椭圆的通径,所以22b AB a=,则由椭圆的定义可知：212b AF a=-,又因为1AD F B ⊥,则1AF AB =,即2222b b a a a =-,得2223b a =,又离心率c e a=,结合222a b c =+,得到：e =． [点评]本题主要考查椭圆离心率的求解,根据条件求出对应点的坐标,利用直线垂直于斜率之间的关系是解决本题的关键,运算量较大．为了方便,可以先确定一个参数的值．〔15〕[20####,文15,5分],x y R ∈,若112x y x y ++-+-≤,则x y +的取值X 围为． [答案][]0,2[解析] 11x x +-≥,11y y +-≥,要使112x x y y +-++-≤,只能112x x y y +-++-=,11x x +-=,11y y +-=,∴01x ≤≤,01y ≤≤,∴02x y ≤+≤．[点评]本题主要考查绝对值的意义,绝对值不等式的解法,属于中档题．三、解答题：本大题共6题,共75分．解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程．〔16〕[20####,文16,12分]已知函数()()()22cos cos 2f x a x x θ=++为奇函数,且04f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,其中a ∈R ,()0,θπ∈．〔1〕求,a θ的值；〔2〕若245f α⎛⎫=- ⎪⎝⎭,,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求sin 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．解：〔1〕()()1cos 1sin 042f a a ππθθ⎛⎫⎛⎫=++=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()0θπ∈，,∴sin 0θ≠,∴10,1a a +=∴=-………2分函数()()()22cos cos 2f x a x x θ=++为奇函数()()02cos cos 0f a θθ∴=+==……………4分2πθ∴=．……………5分〔2〕有〔1〕得()()2112cos cos 2cos 2sin 2sin 422f x x x x x x π⎛⎫=-++=-=- ⎪⎝⎭……………7分 12sin425f αα⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭∴4sin 5α=………8分2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,3cos 5α∴=-……………10分413sin sin cos cos sin 333525πππααα⎛⎫∴+=+=⨯-= ⎪⎝⎭……………12分 [点评]本题主要考查了同角三角函数关系,三角函数恒等变换的应用,函数奇偶性问题．综合运用了所学知识解决问题的能力．〔17〕[20####,文17,12分]已知数列{}n a 的前n 项和232n n nS -=,*n N ∈． 〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕证明：对任意1n >,都有*m N ∈,使得1a ,n a ,m a 成等比数列．解：〔1〕当1n =时111a S ==,当2n ≥时,()22131133222n n n n n n n a S S n ---+-=-=-=-检验,当1n =时11a =,32n a n ∴=-．〔2〕使1a ,n a ,m a 成等比数列．则21n m a a a =,()23232n m ∴--=,即满足()2233229126m n n n =-+=-+,所以2342m n n =-+,所以对任意1n >,都有m N *∈,使得1n m a a a ，，成等比数列． [点评]本题考查了递推式的意义、等差数列与等比数列的通项公式、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法,考查了恒成立问题的等价转化方法,考查了反证法,考查了推理能力和计算能力,属于难题．〔18〕[20####,文18,12分]已知函数22()(44f x x ax a =++其中0a <．〔1〕当4a =-时,求()f x 的单调递增区间；〔2〕若()f x 在区间[1,4]上的最小值为8,求a 的值．解：〔1〕当4a =-时,()()()222422f x x x =-=-()f x 的定义域为[)0,+∞,()(2'242x fx x-=-,令()'0f x >得20,25x x ≤<>,所以当4a =-时,()f x 的单调递增区间为()20,2+5⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭和，．〔2〕()()22f x x a x =+,()()()()()2'22102222x a x a x a f x x a x xx+++=++=,令()'0f x =,得12,210a ax x =-=-,0a <,120x x ∴>>,所以,在区间,,,102a a ⎛⎫⎛⎫--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0上,()'0f x >,)(x f 的单调递增；在区间,102aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上,()'0f x <,)(x f 的单调递减；又易知()()220f x x a x =+≥,且02a f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．①当12a-≤时,即20a -≤<时,)(x f 在区间]4,1[上的最小值为()1f ,由()21448f a a =++=,得222a =-±,均不符合题意．②当142a<-≤时,即82a -≤<-时,)(x f 在区间]4,1[上的最小值为02a f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,不符合题意．③当42a->时,即8a <-时,)(x f 在区间]4,1[上的最小值可能为1x =或4x =处取到,而()18f ≠,()242(6416)8f a a =++=,得10a =-或6a =-〔舍去〕,当10a =-时,()f x 在区间[1,4]上单调递减,()f x 在区间[1,4]上的最小值()48f =符合题意．综上,10a =-．[点评]本题考查的是导数知识,重点是利用导数判断函数的单调性,难点是分类讨论．对学生的能力要求较高,属于难题．〔19〕[20####,文19,12分]如图,三棱柱111ABC A B C -中,111,AA BC A B BB ⊥⊥．〔1〕求证：111AC CC ⊥；〔2〕若2,3,7AB AC BC ===,问1AA 为何值时,三棱柱111ABC A B C -体积最大,并求此最大值． 解：〔1〕三棱柱111ABC A B C -中,1AA BC ⊥,1BB BC ∴⊥,又11BB A B ⊥且1BC A B C =,11BB BCA ∴⊥面,11BB CC ∥11CC BCA ∴⊥面,又11AC BCA ∴⊂面,11AC CC ⊥．〔4分〕〔2〕设1AA x =,在Rt △11Rt A BB ∆中,22111=-=4AB A B BB x -,同理,2221111C=3A AC CC x -=-,在1ABC ∆中 1cos BAC ∠=22221122112(4)(3)A B A C BC x A B A C x x +-=---，2122127sin (4)(3)x BA C x x -∠=--,〔6分〕 所以121111127sin BA C 22A BCx S A B AC -=∠=△,〔7分〕从而三棱柱111ABC A B C -的体积 1211272A BC x x V S l S AA -=⋅=⋅=△〔8分〕,因22422636127127777x x x x x -=-=--+（）〔10分〕故当42=7x 时,即142AA =7时,体积V 取到最大值377． [点评]本题考查空间直线与平面垂直的判定与应用,几何体的体积的最值的求法,考查转化思想以与空间想象能力．〔20〕[20####,文20,13分]如图,已知抛物线2:4C x y =,过点(0,2)M 任作一直线与C 相交于,A B两点,过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D 〔O 为坐标原点〕． 〔1〕证明：动点D 在定直线上；〔2〕作C 的任意一条切线l 〔不含x 轴〕与直线2y =相交于点1N ,与〔1〕中的定直线相交于点2N ,证明：2221||||MN MN -为定值,并求此定值解：〔1〕根据题意可设AB 方程为2y kx =+,代入2=4x y ,得()242x kx =+,即2480x kx --=,设()11,A x y ,()22,B x y ,则有：128x x =-,〔2分〕直线AO 的方程为11y y x x =；BD 的方程为2x x =,解得交点D 的 坐标为2121x x y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩〔4分〕,注意到128x x =-与211=4x y ,则有1121211824y x x y y x y -===-,〔5分〕 因此D 点在定直线y=-2上〔2x ≠〕〔6分〕．〔2〕依据题设,切线l 的斜率存在且不等于0,设切线l 的方程为()0y ax b a =+≠,代入2=4x y 得2=4+x ax b （）,即2440x ax b --=,由0∆=得216160a b +=,化简整理得2b a =-〔8分〕 故切线l 的可写为2y ax a =-．令2y =、2y =-得12,N N 坐标为12(,2)N a a +,22(,2)N a a-+-〔11分〕则222222122()4()8MN MN a a a a-=-+-+=,即2221MN MN -为定值8．〔13分〕[点评]本题考查抛物线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识,考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力,考查特殊与一般思想、数形结合思想、函数与方程思想,属于难题．〔21〕[20####,文21,14分]将连续正整数1,2,,(*)n n N ∈从小到大排列构成一个数123n ,()F n 为这个数的位数〔如12n =时,此数为123456789101112,共有15个数字,(12)15f =〕,现从这个数中随机取一个数字,()p n 为恰好取到0的概率． 〔1〕求(100)p ；〔2〕当2014n ≤时,求()F n 的表达式．〔3〕令()g n 为这个数字0的个数,()f n 为这个数中数字9的个数,()()()h n f n g n =-,{|()1,100,*}S n h n n n N ==≤∈,求当n S ∈时()p n 的最大值．解：〔1〕当100n =时,这个数中总共有192个数字,其中数字0的个数为11,所以恰好取到0的概率为()11100192p =．〔2分〕 〔2〕当19n ≤≤时,这个数有1位数组成,()9F n =,当1099n ≤≤时,这个数有9个1位数组成,9n -个两位数组成,则()29F n n =-,当100999n ≤≤时,这个数有9个1位数组成,90个两位数组成,99n -个三位数组成,()3108F n n =-, 当10002014n ≤≤时,这个数有9个1位数组成,90个两位数组成,900个三位数组成,999n -个四位数组成,()41107F n n =-,所以,1929,1099()3108,10099941107,10002014n n n n F n n n n n ≤≤⎧⎪-≤≤⎪=⎨-≤≤⎪⎪-≤≤⎩〔5分〕〔3〕当n b =〔+19N b b ≤≤∈，〕,()0g n =；当()1019,09,,n k b k b k N b N +=+≤≤≤≤∈∈时,()g n k =；100n =时()11g n =,即,0,19,(),n 10,19,09,,11,n 100n g n k k b k b k N b N +⎧≤≤⎪==+≤≤≤≤∈∈⎨⎪=⎩〔8分〕同理有,0,18,,n 10,19,09,,()80,8998,20,n 99,100n k k b k b k N b N f n n n +≤≤⎧⎪=+≤≤≤≤∈∈⎪=⎨-≤≤⎪⎪=⎩〔10分〕由()()()1h n f n g n =-=h,可知9,19,29,49,59,69,79,89,90n =,所以当n 100≤时,}{9,19,29,39,49,59,69,79,89,90S =〔11分〕当9n =时,()90p =,当90n =,()()()901909019g p F ==,当()10918,n k k k N +=+≤≤∈时, ()()()29209g n k k p n F n n k ===-+〔13分〕由209ky k =+关于k 单调递增,故当109n k =+〔18k ≤≤,k N +∈〕时,()p n 的最大值为()889169p =,又8116919<,所以最大植为119．〔14分〕 [点评]本题为信息题,也是本卷的压轴题,考查学生认识问题、分析问题、解决问题的能力,本题的命题新颖,对学生能力要求较高,难度较大,解决本题的关键首先在于审清题意,搞清楚()F n 、()p n 的含义,这样就可以解决前两问,同时为第三问做好铺垫,第三问在前两问的基础上再加以深入,考查学生综合分 析问题的能力．本题由易到难,层层深入,是一道难得的好题．。

一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .若复数z 满足(1i)i(i )z +=为虚数单位，则z 为（ ） A .1i 2+ B .21-i C .1i - D .1i - 2.已知集合A={}2|1,x x x R ≥∈，B={}2|log 2,x x x R <∈ 则R C A B ⋂= A .[]1,0 B .()1,0 C .()1,3- D .[]1,3-3已知函数2(0)()0)xx f x x ⎧≥⎪=< 则1x = 是()2f x = 成立的 （ ）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件4.已知1sin 3α=，则2cos ()24απ+= A . 16 B .23 C . 13 D .125 .为了解高中生平均每周上网玩微信，刷微博，打游戏享受智能手机带来的娱乐生活体验，从高三年级学生中抽取部分同学进行调查，将所得的数据整理如下，画出频率分布直方图（如图），其中频率分布直方图从左至右前3个小组的频率之比为1：3：5 ,第二组的频数为150，则被调查的人数应为 （ ）A .600B .400C .700D .5006．已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+-≤-+0101205x y x y x ,则222z x y =++的最大值( )A ．15B ．17C ．18D ．197. 某几何体的三视图如右图（其中侧视图中的圆弧是半圆），则该几何体的表面积为（ ） A .9214π+ B .8214π+C .9224π+D .8224π+8.已知m 是区间[]0,4内任取的一个数，那么函数3221()233f x x x m x =-++ 在x R ∈上是增函数的概率是（ ）A ．14B ．13C ．12D ．239 .过椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 右焦点F 斜率为1的直线交椭圆于A ，B 两点，向量31OA OB α+=-与向量（，） 共线，则该椭圆的离心率为 （ ）ABCD．310 .如图正方形ABCD 边长为4cm ，E 为BC 的中点，现用一条垂直于AE 的直线l 以0.4m/s 的速度从1l 平行移动到2l ，则在t 秒时直线l 扫过的正方形ABCD 的面积记为2()()F t m ，则()F t 的函数图像大概是 （ ）第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。

江西师大附中、临川一中高三联考化学试卷命题人：陈出新审题人：周玮2014.1可能用到的相对原子质量：H~1 C~12 N～14 O～16 Na～23 Mg～24 A1～27S～32 Cl～35.5 K～39 Ca～40 Fe~56 Cu～64第Ⅰ卷选择题（共48分）一、选择题（本题包含16个小题，每小题均只有一个选项符合题意，每小题3分，共48分）1．下列说法不正确的是（）A．浓硝酸与足量铜片反应时，先生成红棕色气体，后生成无色气体B．氧化铝的熔点很高，可用于制造熔融烧碱的坩埚C．碳单质具有还原性，高温下能将二氧化硅还原为硅D．饱和氯水既有酸性又有漂白性，加入适量NaHCO3固体，其漂白性增强2．下列说法正确的是(设N A表示阿伏加德罗常数的值) （）A．80℃时，1L pH=1的硫酸溶液中，含有0.2N A个H+B．4.6gNa完全转化成Na2O和Na2O2的混合物，生成物中阴离子总数为0.1N A C．标准状况下，2.24LCl2溶于水，转移的电子数目为0.1N AD．300mL2mol/L蔗糖溶液中所含分子总数为0.6N A3．实验装置是为达成实验目的选用的。

下列实验装置与实验目的相匹配的是（）A．制取干燥纯净的NH3(g) B．制取大量的CO2气体C．证明Cl2易与NaOH(aq)反应D．测量Cu与HNO3(浓)反应产生气体的体积4．下列各离子组在溶液中能共存且通入括号中相应气体后，仍能大量存在的是（）A．Na+、Ba2+、HSO3-、I-（氯气）B．Ca2+、NO3-、Na+、Cl-（二氧化硫）C．Fe3+、SO42-、CO32-、NO3- （氨气）D．Na+、K+、HCO3-、Cl-（二氧化碳）5．某溶液中除H+、OH－外，还有大量的Mg2+、Fe3+、Cl－，且这三种离子的物质的量之比为1: 1 : 6，下列有关该溶液的判断正确的是（）A．向该溶液中加入稀NaOH溶液，立即产生白色沉淀B．向该溶液中加入KI溶液后，原有的五种离子物质的量不变C．若溶液中c(Cl－) = 0.6mol/L，则该溶液的pH为1D．向该溶液中加入过量铁粉，只能发生置换反应6．下列实验过程中，始终无明显现象的是( )A．NO2通入FeSO4溶液中B．CO2通入CaCl2溶液中C．NH3通入AlCl3溶液中D．SO2通入Ba(NO3)2溶液中7．现象描述或解释下列现象的离子方程式，不正确的是A．氢氧化钠溶液中滴入紫色石蕊试液，再通入CO2，溶液颜色由蓝变红：CO2＋2OH－＝CO32-＋H2OB．漂白粉溶液中加氯化铁溶液产生大量红褐色沉淀：Fe3＋＋3ClO－＋3H2O＝Fe（OH）3↓＋3HClOC．Cl2通入FeBr2溶液中，Cl2与FeBr2物质的量之比4︰5：10Fe2＋＋6Br－＋8Cl2＝10Fe3＋＋3Br2＋16Cl－D．碳酸氢铵溶液中加足量澄清石灰水：NH4+＋HCO3-＋Ca2＋＋2OH－＝CaCO3↓＋NH3·H2O＋H2O8．金属材料有着广泛的应用。

绝密★启用前2014届江西师大附中，临川一中高三期末联考文科数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：174分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、如图，半径为1的圆切直线于点，射线从出发绕着点顺时针方向旋转到，旋转过程中交⊙于点，记为，弓形的面积，那么的大致图象是 ( )2、设是定义在上的偶函数,且当时,.若对任意的,不等式恒成立,则实数的最大值是( )A． B． C． D．23、若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,则的值为( ) A． B． C． D．4、函数的零点个数为( )A．1 B．2 C．3 D．45、设是等差数列的前项和，若，则＝( )A．1 B．－1 C．2 D．6、已知，则( )A． B． C． D．7、设集合,，则等于( )A ．B ．C ．D ．8、在复平面内，复数（是虚数单位）所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9、在直角三角形中，，，点是斜边上的一个三等分点，则( )A ．0B ．C ．D ．410、已知一个三棱锥的主视图与俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图面积为（ ）A ．B ．C ．D ．第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）11、若实数满足则的最小值为 .12、已知函数, 若, 则实数的取值范围 .13、运行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为 .14、已知函数，则.15、如图，三棱锥S-ABC 中，SA=AB=AC=2，，M 、N 分别为SB 、SC 上的点，则△AMN 周长最小值为 .三、解答题（题型注释）16、已知函数的图像过坐标原点，且在点处的切线斜率为.（1）求实数的值； （2）求函数在区间上的最小值；（Ⅲ）若函数的图像上存在两点，使得对于任意给定的正实数都满足是以为直角顶点的直角三角形，且三角形斜边中点在轴上，求点的横坐标的取值范围.17、已知椭圆C ：的一个焦点是（1，0），两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点Q （4，0）且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，设点A 关于x 轴的对称点为A 1．求证：直线A 1B 过x 轴上一定点，并求出此定点坐标．18、如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点是的中点，，交于点．（1）求证：平面平面；（2）求三棱锥的体积．19、已知数列为等差数列，且．（1）求数列的通项公式；（2）证明….20、如图所示，扇形AOB,圆心角AOB 的大小等于，半径为2，在半径OA 上有一动点C ，过点C 作平行于OB 的直线交弧AB 于点P.（1）若C 是半径OA 的中点，求线段PC 的长； （2）设,求面积的最大值及此时的值.21、城市公交车的数量若太多则容易造成资源的浪费；若太少又难以满足乘客需求.某市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示（单位：分钟）：（1）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（2）若从上表第三、四组的6人中任选2人作进一步的调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．参考答案1、A2、C3、C4、B5、A6、D7、C8、B9、D10、B11、12、13、1114、1015、16、（1）；（2）；（Ⅲ）点的横坐标的取值范围为．17、（1）；（2）定点（1，0）．18、（1）详见解析；（2）．19、（1）；（2）详见解析．20、（1）；（2）当时，取得最大值.21、（1）候车时间少于10分钟的人数为人；（2）抽到的两人恰好来自不同组的概率为．【解析】1、试题分析：由题意得，则，当和时，，取得极值，则函数在上为增函数，当和时，取得极值．结合选项，A正确．故选A．考点：函数的图象与图象变化．2、试题分析：由于是定义在上的偶函数,且当时,，，且在单调递增，，，即，可得，解得或，对任意的,不等式恒成立,即或，解得，故实数的最大值是．考点：奇偶性与单调性的综合，函数恒成立问题．3、试题分析：双曲线的右焦点坐标为，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，即，即．考点：抛物线的标准方程；双曲线的简单性质．4、试题分析：的零点，即方程的根，即，即，在同一坐标系中画出函数与图象，由图象知这两个函数图象有2个交点，即函数的零点个数为2，故选B．考点：根的存在性及根的个数判断．5、试题分析：由等差数列的运算性质可得，，答案选Ａ．考点：等差数列的运算性质．6、试题分析：．考点：三角恒等变形．7、试题分析：，，，故答案选Ａ．考点：集合的运算．8、试题分析：，故复数（是虚数单位）所对应的点位于第二象限．考点：复数的运算，复平面．9、试题分析：由题意可建立如图所示的坐标系，可得或，故可得或，，所以，故，或，故答案为：4．考点：平面向量数量积的运算．10、试题分析：由三棱锥的主视图与俯视图可知，该三棱锥的侧视图是一个两条直角边分别为的直角三角形，故它的面积为．考点：三视图．11、试题分析：由得，，，的最小值就是函数与的图像上两点间的最短距离的平方，做函数的平行线，与函数相切，此时平行线间距离，即为所求的最小值，对函数求导得，由导数的几何意义可知，，求得，得切点为，或，平行线间距离即为切点到直线的距离，由点到直线距离公式可得，，故的最小值为．考点：求最值．12、试题分析：因为函数在定义域上单调递增，且，故，得，所以，解得实数的取值范围为．考点：函数的单调性，解不等式．13、试题分析：由图知运算规则是对S=S+i，故若输入n=4，则第一次进入循环体后S=0+1=1，第二次进入循环体后S=1+1=2，第三次进入循环体后S=2+2=4，第四次进入循环体后S=4+3=7，第五次进入循环体后S=7+4=11，此时i=5，退出循环．则输出S的值为11故答案为：11．考点：算法框图．14、试题分析：，得，．考点：分段函数求值．15、试题分析：沿着侧棱把正三棱锥展开在同一个平面内，原来的点被分到两处，则线段的长度即为周长的最小值．中，，，故，∴，故答案为．考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．16、试题分析：（1）求实数的值求导数，根据函数在点处的切线的斜率是，由导数的几何意义，及当时，，对函数求导数得，，依题意，可求出，又因为图象过坐标原点，则，即可求得实数的值；（2）求函数在区间上的最小值，当时，，对函数求导函数，令，解出的值，确定函数的单调性，计算导数等零点与端点的函数值，从而可得函数在区间上的最小值；（Ⅲ）设，因为中点在轴上，所以，根据，可得，分类讨论，确定函数的解析式，利用，即可求得结论．试题解析：（1）当时，，依题意，又故 3分（2）当时，令有，故在单调递减；在单调递增；在单调递减．又,所以当时， 6分（Ⅲ）设，因为中点在轴上，所以又①（ⅰ）当时，，当时，．故①不成立7分（ⅱ）当时，代人①得：，无解 8分（ⅲ）当时，代人①得：②设，则是增函数.的值域是．10分所以对于任意给定的正实数，②恒有解，故满足条件．（ⅳ）由横坐标的对称性同理可得，当时，，代人①得：③设，令，则由上面知的值域是的值域为.所以对于任意给定的正实数，③恒有解，故满足条件。

2014—2015学年江西省师范大学附属中学高三上学期期末考试数学（文）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{|12,}A x x x N =-<≤∈，集合{2,3}B =，则A B 等于（ ）A ．{}2B ．{}1,2,3C ．{}1,0,1,2,3-D ．{}0,1,2,32．已知复数241(ii i z+-=为虚数单位），则z 等于（ ） A ．13i -B ．12i -+C ． 13i -+D ．12i -3．甲、乙两位同学，升入高三以来连续五次模拟考试数学单科成绩如下表：A ．同学甲，同学甲B ．同学甲，同学乙C ．同学乙，同学甲D ．同学乙，同学乙4．若命题p ：0log ,2>∈∀x R x ，命题q ：02,00<∈∃xR x ，则下列命题为真命题的是（ ） A. )(q p ⌝∨ B. q p ∧C. q p ∧⌝)(D. q p ∨5.已知向量,a b满足()()231,1,1a ab a b ⋅-===，且，则a b 与的夹角为( )A. 4πB. 3π C. 34πD. 23π6．对于实数a 和b ，定义运算b a *，运算原理如右图所示，则 式子321ln *41e -⎪⎭⎫⎝⎛的值为（ ） A ．6 B ．7 C ．8D ．9 7.已知O 是坐标原点，(1,1),(1,2),(1,0),(,A B C P x y --是平面内任一点，不等式组001OP OA OP OB OP OC ⎧⋅≥⎪⎪⋅≤⎨⎪⋅≤⎪⎩解集表示的平面区域为E ，若(,)x y E ∀∈，都有2x y S +≤，则S 的最小值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．38．在ABC ∆中，三个内角,,A B C 所对的边为,,a b c ，若6,ABC S a b ∆=+=cos cos a B b Ac+2cos C =，则c =（ ）A． B ． 4 C ．D．9．已知定义在R 上的函数()f x 满足如下条件：①函数()f x 的图象关于y 轴对称；②对于任意,(2)(2)0x R f x f x ∈+--=；③当[]0,2x ∈时，()f x x =.若过点()1,0-的直线l 与函数()y f x =的图象在[]0,16x ∈上恰有8个交点，在直线l 斜率k 的取值范围是( )A ．2(0,)15B ．15(0,)2C ．2(0,)17 D ．17(0,)210．一几何体的三视图如图，该几何体的顶点都在球O 的球面上，球O 的表面积是 ( ) A ．16πB ．8πC ． 4πD ． 2π11．椭圆221ax by +=与直线1y x =- 交于A 、B 两点，过原点与线段AB 中点的直线 的斜率为23，则b a 值为（ ）A. 23B. 332C. 239D.2732 12．定义域为R 的函数()f x ，满足(0)1f =，()()1f x f x '<+，则不等式()12x f x e +<的解集为( )A. {0}x R x ∈>B. {01}x R x ∈<<C. {0}x R x ∈<D. {1}x R x ∈> 二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)．13．已知 2πθ∈（0,），且sin()410πθ-=，则tan 2θ=________． 14．若双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14，则该双曲线的离心率为 ．15．观察下列等式：112=，32122-=-，6321222=+-，1043212222-=-+-，……， 以上等式推测出一个一般性的结论：对于n N ∈，=-++-+-+212222)1(4321n n ____． 16．已知点(,())88A f ππ和直线38x π=分别是函数()sin()(0)4f x x x πϖϖϖ=+>相邻的一个对称中心和一条对称轴，将函数()f x 的图象向右平移ϕ个单位得到函数()g x 的图象，若当3x π=时，()g x 取最大值，则()g x 在[,0]2π-上单调增区间为2正(主)视图左(侧)视图三、解答题：本大题共6个题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. (本小题满分12分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且12342,32.a a a a ⋅=⋅= （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 的前n 项为2n S n =()n N *Î，求数列{}n n a b ×的前n 项和.18．（本小题满分12分）近年来，我国很多城市都出现了严重的雾霾天气．为了更好地保护环境，2012年国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》,其中规定:居民区的PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米.某城市环保部门在2014年11月3日到 2015年1月31日这90天对某居民区的PM2. 5平均浓度的监测数据统计如下:（Ⅰ）在这90天中抽取30天的数据做进一步分析,每一组应抽取多少天?（Ⅱ）在(I)中所抽取的样本PM2. 5的平均浓度超过75(微克/立方米)的若干天中,随 机 抽取2天,求至少有一天平均浓度超过115(微克/立方米)的概率.19．（本小题满分12分）圆锥PO 如图1所示，图2是它的正（主）视图．已知圆O 的直径为AB ，C 是圆周上异于A 、B 的一点，D 为AC 的中点. （Ⅰ）求该圆锥的侧面积S ；（II ）求证：平面⊥PAC 平面POD ；（III ）若60=∠CAB ，在三棱锥A －PBC 中，求点A 到平面PBC 的距离．20．（本小题满分12分） 已知动圆过定点(1,0)F 且与直线1:1x =-相切.（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设直线1:2y x b =-+与轨迹C 交于,A B 两点,若x 轴与以AB 为直径的圆相切，求该圆的方程.21. (本小题满分12分）已知(),P x y 为函数1ln y x =+图象上一点，O 为坐标原点，记直线OP 的斜率()k f x =． (Ⅰ)若函数()f x 在区间1,3m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()0m >上存在极值，求实数m 的取值范围； (Ⅱ)设()()()[]111--+=x xf x a x x g ，若对任意()1,0∈x 恒有()2-<x g ，求实数a 的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一道．．．．作答，如果多做，则按所做的第1题计分．作答时请写清题号．22．（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲 23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知直线cos ,:sin x m t l y t αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数）经过椭圆2cos ,:(x C y ϕϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数）的左焦点.F（1）求m 的值；（2）设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，求||||FA FB ⋅的最大值和最小值.24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 设函数()313f x x ax =-++ (I )若a =1，解不等式()f x ≤5；(II )若函数()f x 有最小值，求实数a 的取值范围.江西师大附中高三年级数学（文）期末答题卷一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分)．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13. 247-14．15． 2)1(n -+ 16． [,0]6π-三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17. 解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，由已知得21251232a q a q ìï=ïíï=ïî，， 又∵10a >，0q >，解得112a q ì=ïïíï=ïî，， ∴12n n a -=；（Ⅱ）由2n S n =得，()211n S n -=-，∴当2n …时，121n n n b S S n -=-=-，当1n =时，11b =符合上式，∴21n b n =-，（n Î*N ），∴()1212n n na b n -?- ，()12113252212n n T n -=+??+- L ，()()2312123252232212n nn T n n -=???+-?- L ，两式相减得()()()21122222122323n nnn T n n --=++++--?--?L ，∴()2323n n T n =-+．18. 解：（Ⅰ）这90天中抽取30天,应采取分层抽样,第一组抽取3024890⨯=天； 第二组抽取30481690⨯=天； 第三组抽取41203016=⨯天； 第四组抽取306290⨯=天 ．(Ⅱ)设PM2.5的平均浓度在(75,115]内的4天记为4321,,,A A A A ,PM2.5的平均浓度在115以上的两天记为21,B B .所以6天任取2天的情况有:,21A A ,31A A ,41A A ,11B A ,21B A ,32A A ,42A A ,12B A ,22B A,43A A ,13B A ,23B A ,14B A ,24B A 21B B 共15种记“至少有一天平均浓度超过115(微克/立方米)”为事件A ,其中符合条件的有:,11B A ,21B A ,12B A ,22B A ,13B A ,23B A ,14B A 24B A ，12B B 共9种．所以，所求事件A 的概率93()155P A ==．19. 解：（Ⅰ）解：由正（主）视图可知圆锥的高PO =，圆O 的直径为2AB =，故半径1r =．∴圆锥的母线长PB ===∴圆锥的侧面积1S rl ππ==⨯=．（Ⅱ）证明：连接OC ，∵OA OC =，D 为AC 的中点，∴OD AC ⊥．∵PO O ⊥圆，AC O ⊂圆，∴PO AC ⊥．又ODPO O =，∴AC POD ⊥平面．又PAC AC 平面⊂，∴平面⊥PAC 平面POD(Ⅲ)︒=∠∴90ACB AB 是直径，，又60=∠CAB ,3323==∴∆V S CAB ，利用等体积法可求出距离，d =20. 解：（Ⅰ）2|1|4设（x,y ）,整理得：C x y x+=（Ⅱ）联立2124y x by x⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，消x 并化简整理得2880y y b +-=． 依题意应有64320b ∆=+>，解得2b >-．设1122(,),(,)A x y B x y ，则12128,8y y y y b +=-=-， 设圆心00(,)Q x y ，则应有121200,422x x y y x y ++===-． 因为以AB 为直径的圆与x 轴相切，得到圆半径为0||4r y ==，又||AB ． 所以||28AB r =， 解得85b =-．所以12124822224165x x b y b y b +=-+-=+=，所以圆心为24(,4)5-．故所求圆的方程为2224()(4)165x y -++=． 21. 解：（1）由题意()1ln x k f x x +==，0x >所以()21ln ln x x f x x x '+⎛⎫'==- ⎪⎝⎭ 当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<．所以()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，故()f x 在1x =处取得极大值． 因为函数()f x 在区间1,3m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（其中0m >）上存在极值，所以01113m m <<⎧⎪⎨+>⎪⎩，得213m <<．即实数m 的取值范围是213⎛⎫⎪⎝⎭，． （Ⅱ）由题可知,当0a <时, ()0g x >,不合题意.当0a >时,由()2g x <-,可得2(1)ln 01a x x x-+<+设2(1)()ln 1a x h x x x -=++,则.()()()221142x x x a x x h ++-+=' 设2()(24)1t x x a x =+-+，()()11644-22-=-=∆a a a(1)若10≤<a ,则0≤∆，()0>x t ，()0>'x h ，所以()h x 在(0,1)内单调递增，又(1)0h =所以()(1)0h x h <=.所以10≤<a 符合条件(2)若1>a ,则0>∆,(0)10t =>,(1)4(1)0t a =-<,所以存在()1,00∈x ,使得0()0t x =,对.则()h x 在0(,1)x 内单调递减,又(1)0h =,所以当∈0x 0(,1)x 时,()0h x >,不合要求. 综合(1)(2)可得10≤<a23.(1)将椭圆C 的参数方程化为普通方程，得22143x y +=所以2,1a b c ===，则点F 的坐标为(1,0)- l 是经过点(,0)m 的直线，故1m =-（2）将l 的参数方程代入椭圆C 的普通方程，并整理，得222(3cos 4sin )6cos 90t t ααα+--= 设点,A B 在直线参数方程中对应的参数分别为12,t t则1222299||||||3cos 4sin 3sin FA FB t t ααα⋅===++ 当sin 0α=，||||FA FB ⋅|取最大值3 当sin 1α=±时，||||FA FB ⋅取最小值9424解: （Ⅰ）当1a =时，不等式为3135x x -++≤当13x ≤时，不等式即1335x x -++≤，12x ≥- 1123x ∴-≤≤当13x >时，不等式即3135x x -++≤，34x ≤ 1334x ∴<≤综上，不等式的解集为1324x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭（Ⅱ）1(3)23()3131(3)43a x x f x x ax a x x ⎧++≥⎪⎪=-++=⎨⎪-+<⎪⎩当3a <-时，()f x 单调递减，无最小值；当33a -≤≤时，()f x 在区间1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 13x ∴=处取得最小值 当3a >时，()f x 单调递增，无最小值； 综上，33a -≤≤。

江西师大附中、临川一中2014届高三上学期期末联考数学试卷（文）命题人：朱红霞 审题人：邱帆一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．在复平面内，复数ii4332-+-（i 是虚数单位）所对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设集合}032|{2<--=x x x M ,{}22<=x x N ，则N C M R 等于A ．[]1,1-B ．)0,1(-C ．[)3,1D ．)1,0(3. 已知1sin 23α=，则2cos ()4πα-= A ．13- B ．23- C ．13 D ．234. 在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，2AC BC ==，点P 是斜边AB 上的一个三等分点，则CP CB CP CA ⋅+⋅=A ．0B ．49C ．49- D ．45．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若65911a a =，则119S S ＝A ．1B ．－1C ．2D ．126．已知一个三棱锥的主视图与俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图面积为（ ）ABC ．1D ．127. 函数1log 2)(5.0-=x x f x的零点个数为A ．1B ．2C ．3D ．48．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22122x y -=的右焦点重合,则p 的值为 A ．2- B ．2 C ．4D ．4-9. 设)(x f 是定义在R 上的偶函数,且当0≥x 时,xe xf =)(.若对任意的]1,[+∈a a x ,不等式)()(2x f a x f ≥+恒成立,则实数a 的最大值是第10题图A ．23-B ．32-C ．43-D ．210. 如图，半径为1的圆M 切直线AB 于O 点，射线OC 从OA出发绕着O 点顺时针方向旋转到OB ，旋转过程中OC 交 ⊙M 于点P ，记PMO ∠为x ，弓形ONP 的面积()S f x =， 那么()f x 的大致图象是二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡中的横线上.）11. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=--2,22,1)2(2x x x x f x ，则(1)f = .12．运行如图所示的程序框图，若输入4n =，则输出S 的值为 .13. 如图，三棱锥S-ABC 中，SA =AB =AC =2，30ASB BSC CSA ∠=∠=∠=︒，M 、N 分别为SB 、SC 上的点， 则△AMN 周长最小值为 .14. 已知函数xx x f 2ln )(+=, 若2)4(2<-x f , 则实数x 的取值范围 .15. 若实数d c b a ,,,满足,02,2=+=d c ab 则22)()(d b c a -+-的最小值为 .三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.（本小题满分12分）已知数列{}2log (1)()n a n N *-∈为等差数列，且133,9a a ==． （1）求数列{}n a 的通项公式；AB CSN M第13题A .B .C .D .（2）证明213211a a a a ++-- (11)1n na a ++<-.17.（本小题满分12分）如图所示，扇形AOB,圆心角AOB 的大小等于3π，半径为2，在半径OA 上有一动点C ，过点C 作平行于OB 的直线交弧AB 于点P. （1）若C 是半径OA 的中点，求线段PC 的长；（2）设COP θ∠=,求POC ∆面积的最大值及此时θ的值.18.（本小题满分12分）城市公交车的数量若太多则容易造成资源的浪费；若太少又难以满足乘客需求.某市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示（单位：分钟）：（1）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（2）若从上表第三、四组的6人中任选2人作进一步的调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．19．（本题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，1SA AD ==，点M 是SD 的中点，AN SC ⊥，交SC 于点N ． （1）求证：平面SAC ⊥平面AMN ； （2）求三棱锥S ACM -的体积．20.（本小题满分13分）已知椭圆C ：22221x y a b+=()0>>b a 的一个焦点是（1，0），两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形． （1）求椭圆C 的方程； （2）过点Q （4，0）且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，设点A 关于x 轴的对称点为A 1．求证：直线A 1B 过x 轴上一定点，并求出此定点坐标． 21．（本小题满分14分）已知函数32,1()ln ,1x x bx c x f x a x x ⎧-+++<=⎨≥⎩ 的图像过坐标原点O ，且在点(1,(1))f --处的切线斜率为5-. (1) 求实数,b c 的值；(2) 求函数()f x 在区间[1,1]-上的最小值；(3) 若函数()y f x =的图像上存在两点,P Q ，使得对于任意给定的正实数a 都满足POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形，且三角形斜边中点在y 轴上，求点P 的横坐标的取值范围.江西师大附中、临川一中2014届高三上学期期末联考 数学答案（文）一、1—5 B C D D A 6—10 B BC C A二、11.10 12.11 13. 14. )5,2()2,5( -- 15.516三、解答题16.解析：（1）设等差数列的公差为d ，由133,9a a ==得2222(log 2)log 2log 8d +=+即d =1； …………3分 所以2log (1)1(1)1n a n n -=+-⨯=即21n n a =+． …………6分 （2）证明：nn n n n a a 21221111=-=-++ …………8分 所以213211a a a a ++-- (12311111)222n n a a ++=++-…111112*********n n n-⨯+==-<- …12分 17.解析:(1)在POC ∆中，32π=∠OCP ,1,2==OC OP ,由 32cos 2222πPC OC PC OC OP ⋅-+=032=-+⇒PC PC2131+-=⇒PC ··············5分 （2）CP 平行于OB θπ-=∠=∠⇒3POB CPO在POC ∆中，由正弦定理得θsin sin CPPCD OP =∠，即θπsin 32sin2CP= θsin 34=∴CP ，又32sin )3sin(πθπOP OC =-,)3sin(34θπ-=OC . ··············8分 记POC ∆的面积为)(θS ，则32sin21)(πθOC CP S ⋅=)3sin(34sin 342321θπθ-⋅⋅⋅=)3sin(sin 34θπθ-=332cos 332sin -+=θθ=33)62sin(332-+πθ， ·············10分 ∴当6πθ=时，)(θS 取得最大值33. ··············12分18.解:（1）候车时间少于10分钟的概率为2681515+=， ………………4分 所以候车时间少于10分钟的人数为8603215⨯=人． ………………………6分（2）将第三组乘客编号为1234,,,a a a a ，第四组乘客编号为12,b b ．从6人中任选两人有包含以下基本事件：1213141112(,),(,),(,),(,),(,)a a a a a a a b a b ，23242122(,),(,),(,),(,)a a a a a b a b ，343132(,),(,),(,)a a a b a b ，4142(,),(,)a b a b ，12(,)b b ， (10)分其中两人恰好来自不同组包含8个基本事件,所以,所求概率为815． …………12分 19.证明：（1）∵SA ⊥底面ABCD ，∴SA CD ⊥又AD CD ⊥∴CD ⊥面SAD∴CD AM ⊥······①··········3分又1SA AD ==，且M 是SD 的中点，∴AM SD ⊥·········② 由①②得AM ⊥面SDC ∴AM SC ⊥ 又AN SC ⊥ ∴SC ⊥面AMN∴平面SAC ⊥平面AMN ····················6分（2）∵M 是SD 的中点，∴S ACM D ACM M DAC V V V ---==.·······9分1111113232212S ACM ACD V S SA -∆∴=⋅=⋅⋅= ······12分20.·················5分（2）设直线l ：4x my =+与22143x y +=联立并消去x 得：22(34)24360m y my +++=.记11,A x y （），22,B x y （），1222434my y m -+=+，1223634y y m =+. ························8分由A 关于x 轴的对称点为1A ，得111(,)A x y -，根据题设条件设定点为T （t ，0）， 得1TBTA k k =，即2121y yx t t x =--. 所以212121121212(4)(4)x y y x my y my y t y y y y ++++==++121224431my y y y =+=-=+即定点T （1 ， 0）.……………13分21．解：（1）当1x <时，32()f x x x bx c =-+++，2()32f x x x b '∴=-++依题意(1)5f '-=-，23(1)2(1)5,0b b --+-+=-∴=又(0)0,0f c =∴= 故0,0b c == ...............3分（2）当1x <时，322(),()32f x x x f x x x '=-+=-+令()0,f x '=有1220,3x x ==，故()f x 在(1,0)-单调递减；在2(0,)3单调递增；在2(,1)3单调递减．又(0)0,f =0)1(=f , 所以当[1,1]x ∈-时，min ()(0)0f x f == ……………………6分 （3）设11(,())P x f x ，因为PQ 中点在y 轴上，所以11(,())Q x f x -- 又1111()(),1f x f x OP OQ x x -⊥∴⋅=-- ① （ⅰ）当11x =时，1()0f x =，当11x =-时，1()0f x -=．故①不成立……7分（ⅱ）当11x -<<时，3232111111(),()f x x x f x x x =-+-=+代人①得：323232322111111111111,()()x x x x x x x x x x x -++⋅=-∴-++=-， 421110x x ∴-+=无解 ………8分 （ⅲ）当11x >时，3211111()ln ,()f x a x f x x x =-=+代人①得：321111111ln 11(1)ln a x x x x x x x a+⋅=-⇒=+- ②设111111111()(1)ln (1)()ln 0x g x x x x g x x x +'=+>⇒=+>，则1()g x 是增函数.1(1)0,()g g x =∴的值域是(0,)+∞．………………………………………10分 所以对于任意给定的正实数a ，②恒有解，故满足条件．（ⅳ）由,P Q 横坐标的对称性同理可得，当11x <-时，32111()f x x x =-+ 11()ln()f x a x -=-，代人①得：321111111ln()11(1)ln()a x x x x x x x a--+⋅=-⇒=-+-- ③设1111()(1)ln()(1)h x x x x =-+-<-，令t x =-，则()(1)ln ,1t t t t ϕ=+>由上面知()t ϕ的值域是(0,)+∞1()h x ∴的值域为(0,)+∞.所以对于任意给定的正实数a ，③恒有解，故满足条件。

2014年江西省师大附中高考数学三模试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.设复数z=-1-i（i为虚数单位），z的共轭复数为，则|（1-z）•|=（）A. B.2 C. D.12.已知集合A={x||x+1|＜1}，B={x|（）x-2≥0}，则A∩∁R B=（）A.（-2，-1）B.（-2，-1]C.（-1，0）D.[-1，0）3.等差数列{a n}中，若a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，则前9项的和S9等于（）A.66B.99C.144D.2974.下列命题中错误的是（）A.如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥γB.如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC.如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD.如果平面α⊥平面β，过α内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于β5.将函数y=sin（4x-）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A. B.x= C.x= D.x=-6.如图所给的程序运行结果为S=35，那么判断框中应填入的关于k的条件是（）A.k=7B.k≤6C.k＜6D.k＞67.下列命题正确的个数是（）①命题“∃x0∈R，x02+1＞3x0”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”；②函数f（x）=cos2ax-sin2ax的最小正周期为π”是“a=1”的必要不充分条件；③x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立⇔（x2+2x）min≥（ax）min在x∈[1，2]上恒成立；④“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“•＜0”．A.1B.2C.3D.48.双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2，过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2⊥x轴，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.9.设函数f（x）的定义域为R，f（x）=，且对任意的x∈R都有f（x+1）=f（x-1），若在区间[-1，5]上函数g（x）=f（x）-mx-m，恰有6个不同零点，则实数m的取值范围是（）A.（，]B.（，]C.（0，]D.（0，]10.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2，AB=1，M、N分别在AD1，BC上移动，并始终保持MN∥平面DCC1D1，设BN=x，MN=y，则函数y=f（x）的图象大致是（）A. B. C. D.二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.将参加夏令营的100名学生编号为001，002，…，100．先采用系统抽样方法抽取一个容量为20的样本，若随机抽得的号码为003，那么从048号到081号被抽中的人数是______ ．12.如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为______ ．13.若目标函数z=kx+2y在约束条件下仅在点（1，1）处取得最小值，则实数k的取值范围是______ ．14.已知点O是△ABC的外接圆圆心，且AB=3，AC=4．若存在非零实数x、y，使得=x+y，且x+2y=1，则cos∠BAC= ______ ．15.观察下列等式：+=1；+++=12；+++++=39；…则当n＜m且m，n∈N表示最后结果．++…++= ______ （最后结果用m，n表示最后结果）．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.已知函数f（x）=sin（2x-）+2cos2x-1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且a=1，b+c=2，f（A）=，求△ABC的面积．17.某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组；第一组[13，14），第二组[14，15），…，第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；（2）设m，n表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知m，n∈[13，14）∪[17，18]，求事件“|m-n|＞1”的概率．18.如图，四边形ABCD为矩形，四边形ADEF为梯形，AD∥FE，∠AFE=60°，且平面ABCD⊥平面ADEF，AF=FE=AB==2，点G为AC的中点．（Ⅰ）求证：EG∥平面ABF；（Ⅱ）求三棱锥B-AEG的体积；（Ⅲ）试判断平面BAE与平面DCE是否垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由．19.已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=t，且a n+1=2S n+1，n∈N*．（Ⅰ）当实数t为何值时，数列{a n}是等比数列？（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，设b n=log3a n+1，数列{}的前n项和T n，证明T n＜．20.设函数f（x）=x2-2x+1+alnx有两个极值点x1，x2，且x1＜x2．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）证明：f（x2）＞．21.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+=0相切．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点，且k OA•k OB=-，判断△AOB的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．。

江西省重点中学协作体2014届高三第二次联考数学（文）试卷命题人：临川一中 邹全飞 审题人 九江一中 江俊【试卷综析】本卷注重基础知识考查与基本技能训练，重点考查考纲要求的知识与能力，全面的考查了学生的综合能力，对常用方法，解题技巧，解题思路全面考查，侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查，侧重于知识交汇点的考查.在函数、三角函数、数列、立体几何、导数、圆锥曲线、概率统计等是整份试卷的主体内容，注重通性通法，避开偏题、难题、怪题.完全符合高考题型和难度,本卷具有一定的综合性.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 复数z 满足(2)i z i -⋅=，则复数z 在复平面内对应的点所在的象限是( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【知识点】复数；复数的坐标. 【答案解析】B 解析：解：设()()()2212z a bi i a bi i a b a i i =+∴-+=⇒++-=11,24a b ∴=-=故Z 在第二象限.【思路点拨】可先设出复数Z ，按复数的运算法则运算后，根据复数的定义可知实部与实部，虚部与虚部对就相等，即可求出正确结果. 2.设集合{}23,log P a =，{},Q a b =，若{}0P Q =，则P Q = ( )A.{}3,0B.{}3,0,1C.{}3,0,2D.{}3,0,1,2【知识点】集合的性质；对数的运算；交集、并集的关系. 【答案解析】B 解析：解：{}{}20log 01,03,0,1P Q a a b P Q =∴=∴==∴⋃=.【思路点拨】根据交集的意义可知0是两集合的公式元素，所以P 中的对数等于0，可求出a=1,Q 集合中的b 应该为0.3. 在等差数列}{n a 中，16122=+a a ，则1532a a +的值是（ ） A ．24 B ． 48 C ．96 D ．无法确定 【知识点】等差中项的性质；等差数列的定义. 【答案解析】A 解析：解：()()21273157771682248324a a a a a a d a d a +=∴=+=-++==【思路点拨】可先求出数列中的78a =，然后找出所求项与已知项的关系即可. 4. 执行如图所示的程序框图，若输入2x =，则输出y 的值为( )A.2B.5C.11D.23 【知识点】程序框图；各种语句的应用.【答案解析】D 解析：解：第一次循环后5y =，25-不大于8，第二次循环后11y =，511-不大于8，第三次循环后23y =，11238->∴输出23.【思路点拨】根据循环的语句可找出x 与y 的赋值关系，按循环过程可求.5. 下列命题中的假命题．．．是（ ） A ．0,3<∈∃x R x B ．“0>a ”是“0>a ”的充分不必要条件C ．,20xx R ∀∈> D ．若q p ∧为假命题，则p 、q 均为假命题 【知识点】命题；真假命题；逻辑关系.【答案解析】D 解析：解：A 表示存在实数x, 30x <正确工，B 中0a >时0a >，而0a >时a 可能小于0.C 表示任意的实数x,都有20x >，是指数函数所以正确，D 中当p,q 有一个为假命题时则p q ⋂为假命题，所以D 的说法错误. 【思路点拨】逐项分析命题的真伪性即可.6. 将函数()()sin 2f x x ϕ=+()0ϕ<<π的图象上所有点向右平移6π个单位后得到的图象关于原点对称，则ϕ等于（ ） A.0 B.6πC.3πD.2π【知识点】三角函数的图象；平移；三角变换. 【答案解析】C 解析：解()()sin 2f x x ϕ=+向右平移6π个单位后为()sin 2sin 263f x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又因为它以原点为对称中心，所以过原点()00f =，sin 022333k k πππϕϕπϕπ⎛⎫∴-+=∴-=∴=+⎪⎝⎭03πϕπϕ<<∴=【思路点拨】可按函数的变换方法对函数进行变换，然后按中心对称的方法进行求解. 7. 一个四棱锥的三视图如图所示，其左视图是等边三角形，该四棱锥的体积等于（ ）B.C.【知识点】三视图；棱锥的体积公式.【答案解析】A 解析：解：根据四棱锥的三视图可知底面为梯形，上底为1，下底为2，底面的高为2，所以()1112232V =⨯⨯+⨯= 【思路点拨】根据三视图的性质求出棱锥高的值，和底面梯形的值，按体积公式代入可求.8. 设变量x ，y 满足约束条件10401(1)y x y y k x -≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤-⎩，其中0k >.若y x 的最大值为1，则实数k 的取值范围是（ ）A.(1,)+∞B.[1,)+∞C.(0,1]D.(0,1) 【知识点】可行域；目标函数的最值；斜率问题.【答案解析】C 解析:解：由可行域可知()11y k x -≤-是过定点()1,1的直线，依据题意可知y x =经过的点的斜率为1，即1yx=，由图可知()11y k x -≤-应该表示右下方时最大值为1，所以k 的取值为(]0,1【思路点拨】根据不等式表示的平面区域可先作出部分图形，目标函数为到原点的斜率，最大值为1时可作出相应直线，由图可知斜率k 的取值范围.9.2014年3月8日发生的马来西亚航空公司MH370失联事件，引起了全世界人们长达数周的密切关注.为了消除人们对航空安全的担忧，某航空公司决定对该公司所属的波音777-200，波音777-300，空客A350，空客A380四架客机进行集中安全大检查.若检测人员分两周对客机进行全方位的检测，每周检测两架客机，则波音777-200，波音777-300两架客机在同一周被检测的概率为( )A ．21 B.31 C.41 D.6110. 下列四个图中，哪个可能是函数10ln 11x y x +=+的图象( )A. B. C. D.【知识点】函数的性质；函数的奇偶性；函数的平移变换. 【答案解析】C 解析：解：∵y ＝10ln x y x=x是奇函数，向左平移一个单位得10ln 11x y x +=+∴10ln 11x y x +=+图象关于（-1，0）中心对称，故排除A 、D ， 当x ＜-2时，y ＜0恒成立，排除B ． 故选：C【思路点拨】可先考虑函数的奇偶性，根据函数的性质进行平移变换，结合选项即可求出结果.第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11. 某协会有200名会员，现要从中抽取40名会员作样本，采用系统抽样抽取样本，将全体会员随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组（1—5号，6—10号，…，196—200号）.若第5组抽出的号码为22，则第3组抽出的号码是 . 【知识点】系统抽样.【答案解析】12解析：解：系统抽样抽取的间隔为20040=5 ∵在第5组抽取的号码为22，∴在第3组抽取的号码为22-10=12， 故答案为：12．【思路点拨】主要考查系统抽样的方法，求出区间间隔，由第5组的号码可推出其它组的号码.12. 一个平面截一个球得到直径是6的圆面，球心到这个平面的距离是4，则该球的体积是 .【知识点】球体的体积公式；球半径、球心距、截面半径之间的关系.【答案解析】5003π=350053π=. 【思路点拨】可先求出球的半径，然后代入球的体积公式即可.13. 在公比大于1的等比数列{}n a 中，3772a a =，2827a a +=，则10a = . 【知识点】等比中项的性质；等比数列的定义.【答案解析】48解析：解：由等比数列的性质可知37282882722727a a a a a a a a ⋅=⋅=+=∴=-()28222227723,24a a a a a a ⋅=⋅-=∴==28324a a ∴==28243a a ∴==因为公比大于123a ∴=，824a =22108224248q a a q ∴=∴==⨯=【思路点拨】可按等比中项的性质，先求出等比数列的项，按题意可排除不成立的项，按定义表示出10a .14．在ABC ∆中，点D 是BC 中点,若 60=∠A ， 21=∙AC AB 是 .【知识点】向量的数量积；向量的模；重要不等式的应用.22AB AC AB ACAD AD ++=∴=()22221224AB AC AD AB AC AB AC+∴==++⋅()22111cos1432AB AC AB AC AB AC AB AC π=++⋅==∴=2222AB AC ABAC ∴+≥=∴()2213144AB AC =++≥3AD ∴≥【思路点拨】根据已知条件可求出向量模长的乘积，再求出模的平方，利用重要不等式可求值.【典型总结】一般求向量的模长问题，若不通过向量坐标的方法求解时，即可通过求向量模长平方，然后再开方的方法来解决此类问题. 15.已知实数1≠m ，函数⎩⎨⎧≥--<+=2,22,2)(x m x x m x x f ，若)1()3(m f m f +=-，则m 的值为________．【知识点】函数的性质；函数的定义域；分类讨论.【答案解析】54-解析：解：由题意可分析（1）当32m -<时1,12m m >+>则()()()()731232122f m f m m m m m m -=+⇒-+=-+-∴=-与1m >矛盾所以舍去，（2）132m m ≠∴->时1,12m m <+<代入相应解析式()()53221454m m m m m m ---=++⇒=-∴=-1m <54m ∴=-成立. 【思路点拨】本题可对函数的定义域进行分类讨论，按相应定义范围代入求解，最后找出能成立的情况.三、解答题:本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题12分）已知数列{}n a 是公比不为1的等比数列，11=a ，且231,,a a a 成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项;（2）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，试求n S 的最大值. 【知识点】等差数列；等比数列；极限思想.【答案解析】(1) 112n n a -⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭(2)1解析：解：(1)设等比数列的公比为q132,,a a a 成等差数列3122a a a ∴=+又211121112a q q q =⨯⨯=+⨯∴=-即或()1q =舍112n n a -⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭(2)由等比数列的求和公式111221113212n nn S ⎡⎤⎛⎫⨯--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==--⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭当n 为奇数时，2121211111323232n nn S ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=+≤+=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦当n 为偶数时，212121132323n nn S ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-≤⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以n S 的最大值为1.【思路点拨】(1)根据等差中项与等比数列的定义求出数列的通项；(2)数列的求和方法分析n 为奇数与偶数时的不同结果，列出最大值. 17. （本小题12分）已知函数)0(,cos 3sin )(>+=m x x m x f 的最大值为2． （1）求函数()f x 在[]0,π上的值域； （2）已知ABC ∆外接圆半径2=R ，B A B f A f sin sin 8)3()3(=-+-ππ，角,A B 所对的边分别是,a b ，求b a 11+的值． 【知识点】三角函数的值域；三角函数的诱导公式；正弦定理. 【答案解析】(1) 2⎡⎤⎣⎦(2)111a b+= 解析：解：（1）由题意，()max 201f x m m ==>∴=()sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭∴]34,3[3πππ∈+x ，则 ]1,23[)3sin(-∈+πx ()f x 在[]0,π上的值域为2⎡⎤⎣⎦. （2）化简B A B f A f sin sin 8)3()3(=-+-ππ，得sin sin 4sin sin A B A B +=⋅由正弦定理，44sin sin 4444a b a b a b a b a b A B ==∴+=⋅⋅∴+=⋅即111a b+=.【思路点拨】（1）按三角公式把函数化成一个三角解析式的形式，根据角的取值范围可求出值域 ；（2）化简方程式，利用正弦定理把角化成边即可求解.【典型总结】三角求值问题一般是利用两角和与差的公式把函数化成一个三角函数的形式，根据角的范围可求出值域；在三角中有角与边混合的问题一般都利用正余弦定理对角或边进行转化.18. （本小题12分）如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，BC AB ⊥1，AB ∥CD ， AB BC ⊥且21===AD AB AA , 601=∠=∠DAB AB A ．（1）求证：⊥1AB 平面BC A 1；（2）求该四棱柱的体积.A 1B 11CDD 1【知识点】线面垂直；棱柱的体积公式. 【答案解析】(1)略(2)92解析：解：（1）证明：在四棱柱1111ABCD A B C D - 中四边形11ABB A 为平行四边形，1AA AB =∴ 四边形11ABB A 为菱形，11AB A B ∴⊥1AB BC ∴⊥而1A B BC 和都属于平面11A BC ，且1A B BC B ⋂=所以11AB A BC ⊥平面. (2) 1,AB BC AB BC ⊥⊥ ,∴⊥BC 平面11A ABB ,所以 平面⊥ABCD 平面11A ABB 过1A 作AB H A ⊥1 ,垂足为H 所以⊥H A 1平面ABCD ,∴ 29323)21(=⋅⋅+=V . 【思路点拨】本题（1）可按直线与平面垂直的判定定理找出条件，然后说明垂直关系；(2)找出棱柱的底面积和高，利用体积公式即可求出体积. 19. （本小题12分）小乐星期六下午从文具超市买了一套立体几何学具，他发现学具袋里有三组长度相等的塑料棒，长度分别为1，2，2，而且每组恰有三根，于是想利用它们拼出正三棱锥.设拼出的正三棱锥的侧棱长为l ，底面正三角形的边长为s ． （1）若小乐选取2,1==s l ，现从该正三棱锥的六条棱中随机选取两条，求这两条棱互相垂直的概率；（2）若小乐随机地选取s l ,，可以拼出m 个不同的正三棱锥.设从每个正三棱锥的六条棱中随机选取两条，这两条棱互相垂直的概率为X ，请分别写出其相应的X 的值（不用写出求解X 的计算过程）.小乐再从拼出的m 个正三棱锥中任选两个，求他所选的两个正三棱锥的X 值相同的概率．【知识点】概率的定义；列举法；分类讨论.【答案解析】(1) 52156)(==A P （2）()42105P B ==解析：解：(1) 如图，设小乐所拼的正三棱锥ABC P -的三条侧棱分别记为c b a ,,，底面正三角形ABC 的三边分别记为f e d ,,， 从该正三棱锥的六条棱中随机选取两条， 共有15种选法，分别为：),(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,)(,(),,(),,(),,(),,(f e f d e d f c e c d c f b e b d b c b f a e a d a c a b a 因为2,1==s l ，由勾股定理可知 90=∠=∠=∠BPC APC APB ，又易证正三棱锥的对棱互相垂直，所以其中两条棱互相垂直的选法共有6种，分别为：),(),,(),,(),,(),,(),,(f c e b d a c a c b b a ，记事件“两条棱互相垂直”为A , 所以所求概率为52156)(==A P . （2）依题意可知，当小乐所选塑料棒L=1，s=2时不能拼出正三棱锥，所以共可能拼出5个正三棱锥，依次为①当1,2l s ==时25X =②当1l s ==，15X =③当2l s ==时25X =④当2l s ==，15X =⑤当2,l s ==15X =，从中任选两个，共有10种选法，分别为(①,②)( ①,③)( ①,④)( ①,⑤)( ②,③)其中所选两个正三棱锥的X 值相同的情况共有4种选法，分别为：（①，③）（②，④）（②，⑤）（④，⑤），记事件“两个正三棱锥的X 值相同”为B 所以所求概率为()42105P B == 【思路点拨】(1)根据概率的求法可列举出总的基本结果数与所求事件的结果数可得; （2）按分类讨论的方法可分别求出相应的概率，最后按情况求解. 20. （本小题13分）在平面直角坐标系xoy 中，已知12,F F 分别是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x G 的左、右焦点，椭圆G 与抛物线x y 82-=有一个公共的焦点，且过点)2,2(-. （1）求椭圆G 的方程 ；（2）设直线l 与椭圆G 相交于A 、B 两点,若OB OA ⊥ (O 为坐标原点),试探讨直线l 与图形362≤+y x 的公共点的个数，并说明理由. 【知识点】椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系；分类讨论思想.【答案解析】(1) 14822=+y x (2)略 解析：解：(1) 由题意知，422=-b a ，12422=+ba ，解得 4,822==b a 。

2014年江西省师大附中、临川一中联考高考数学模拟试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.已知集合A={x||x+1|＜1}，B={x|y=，y∈R}，则A∩∁R B=（）A.（-2，1）B.（-2，-1]C.（-1，0）D.[-1，0）【答案】C【解析】解：A={x||x+1|＜1}={x|-2＜x＜0}，B={x|y=，y∈R}={x|}={x|x≤-1}，∴∁R B={x|x＞-1}，即A∩∁R B={x|-1＜x＜0}，故选：C．先求出集合A，B的对应元素，然后根据集合的基本运算即可得到结论．本题主要考查集合的基本运算，根据条件求出集合A，B是解决本题的关键．2.复数z=在复平面上对应的点的坐标为（）A.（1，-3）B.（，-）C.（3，-3）D.（，-）【答案】B【解析】解：由复数=．∴复数在复平面上对应的点的坐标为（，）．故选：B．直接由复数的除法运算化简复数z为a+bi（a，b∈R）的形式，求得实部和虚部，则复数z对应的点的坐标可求．本题考查了复数的除法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.下列命题中正确的是（）A.若p：∃x∈R，x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1＜0B.若p∨q为真命题，则p∧q也为真命题C.“函数f（x）为奇函数”是“f（0）=0”的充分不必要条件D.命题“若x2-3x+2=0，则x=1”的否命题为真命题【答案】D【解析】解：对A选项，￢P为：∀x∈R，x2+x+1≥0，故A错误；对B选项，若p∨q为真命题，则命题p、q至少一个为真命题；而p∧q为真命题，则命题p、q都为真命题，故B错误；对C选项，∵奇函数f（x）的定义域不包括0，则f（0）=0不成立，∴不满足充分性，故C错误；对D选项，∵命题“若x2-3x+2=0，则x=1”的否命题是：“若x2-3x+2≠0，则x≠1”，又x2-3x+2≠0⇒x≠1且x≠2，故D正确．故选：D．根据特称命题的否定是全称命题来判断A是否正确；根据复合命题真值表判断B的正确性；利用函数是否在0上有定义来判断C是否正确；写出命题的否命题，判断真假，可得D是正确的．本题考查了四种命题的定义及命题真假的判定，要注意区别命题的否定与命题的否命题，特称命题的否定是全称命题．4.已知变量x，y满足约束条件，则z=x+2y-1的最大值（）A.9B.8C.7D.6【答案】B【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x+2y-1得y=x+，平移直线y=x+，由图象可知当直线y=x+经过点A时，直线y=x+的截距最大，此时z最大，由，得，即A（1，4）此时z=1+8-1=8，故选：B．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，结合数形结合是解决本题的关键．5.若直线l1：x+ay-1=0与l2：4x-2y+3=0垂直，则二项式（ax2-）5展开式中x的系数为（）A.-40B.-10C.10D.40【答案】A【解析】解：∵直线l1：x+ay-1=0与l2：4x-2y+3=0垂直，∴-•2=-1，a=2．二项式（ax2-）5展开式的通项公式为T r+1=•a5-r•（-1）r•x10-2r•x-r=•x10-3r，令10-3r=1，求得r=3，可得二项式（ax2-）5展开式中x的系数为-40，故选：A．根据两条直线垂直的性质求得a的值，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于1，求出r的值，即可求得展开式中x的系数．本题主要考查两条直线垂直的性质，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．6.已知函数f（x）=cos，根据下列框图，输出S的值为（）A.670B.670C.671D.672【答案】C【解析】解：由程序框图知：第一次运行f（1）=cos=，S=0+．n=1+1=2；第二次运行f（2）=cos=-，S=，n=2+1=3，第三次运行f（3）=cosπ=-1，S=，n=3+1=4，第四次运行f（4）=cos=-，S=，n=4+1=5，第五次运行f（5）=cos=，S=1，n=6，第六次运行f（6）=cos2π=1，S=2，n=7，…直到n=2016时，程序运行终止，∵函数y=cos是以6为周期的周期函数，2015=6×335+5，又f（2016）=cos336π=cos（2π×138）=1，∴若程序运行2016次时，输出S=2×336=672，∴程序运行2015次时，输出S=336×2-1=671．故选：C．根据框图的流程，依次计算前六次的运算结果，判断终止运行的n值，再根据余弦函数的周期性计算，本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键．7.已知点P（3，4）和圆C：（x-2）2+y2=4，A，B是圆C上两个动点，且|AB|=2，则•（+）（O为坐标原点）的取值范围是（）A.[3，9]B.[1，11]C.[6，18]D.[2，22]【答案】D【解析】解：设线段AB的中点为D，∵|AB|=2，∴|AD|=，则|CD|=1，即D的轨迹以C为圆心半径为1的圆，即点D在圆（x-2）2+y2=1上，可设点D（2+cosα，sinα），则•（+）==（6，8）•（2+cosα，sinα）=12+6cosα+8sinα=12+10sin（α+θ），其中，sinθ=，cosθ=，∴•（+）的最小值为12-10=2，最大值为12+10=22，∴•（+）的范围是[2，22]．故选：D．设线段AB的中点为D，可得=|CD|，即点D在圆：（x-2）2+y2=1上，可设点D（2+cosα，sinα），求得•（+）==12+10sin（α+θ），可得•（+）的范围．本题主要考查直线和圆相交的性质，辅助角公式的应用，两个向量的数量积的运算，属于中档题．8.把函数f（x）=sinx（x∈[0，2π]）的图象向左平移后，得到g（x）的图象，则f（x）与g（x）的图象所围成的图形的面积为（）A.4B.2C.2D.2【答案】D【解析】解：把函数f（x）=sinx（x∈[0，2π]）的图象向左平移后，得到g（x）=sin（x+），联立可得交点为（，），（，-），∴f（x）与g（x）的图象所围成的图形的面积为=[-cosx+cos （x+）]=2．故选：D．先确定g（x）=sin（x+），联立可得交点为（，），（，-），确定积分上下限，再由定积分的几何意义，将图形面积问题转化为上下两函数差的定积分问题，最后利用微积分基本定理求值即可．本题主要考查了积分的求解，解题的关键是积分基本定理及积分的几何意义的应用．9.已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q是面对角线A1C1上的两个不同动点．①存在P，Q两点，使BP⊥DQ；②存在P，Q两点，使BP，DQ与直线B1C都成45°的角；③若|PQ|=1，则四面体BDPQ的体积一定是定值；④若|PQ|=1，则四面体BDPQ在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值．以上命题为真命题的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】解：当P与A1点重合，Q与C1点重合时，BP⊥DQ，故①正确；当P与A1点重合时，BP与直线B1C所成的角最小，此时两异面直线夹角为60°，故②错误；设平面A1B1C1D1两条对角线交点为O，则易得PQ⊥平面OBD，平面OBD将四面体BDPQ可分成两个底面均为平面OBD，高之和为PQ的棱锥，故四面体BDPQ的体积一定是定值，故③正确；四面体BDPQ在上下两个底面上的投影是对角线互相垂直且对角线长度均为1的四边形，其面积为定值，四面体BDPQ在四个侧面上的投影，均为上底为，下底和高均为1的梯形，其面积为定值，故四面体BDPQ在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值，故④正确；故为真命题的有3个．故选：C令P与A1点重合，Q与C1点重合，可判断①；根据BP与直线B1C所成的角最小值为45°，可判断②；根据平面OBD将四面体BDPQ可分成两个底面均为平面OBD，高之和为PQ的棱锥（其中O为上底面中心），可判断③；根据四面体BDPQ在该正方体六个面上的正投影的面积不变，可判断④．本题考查的知识点是棱柱的几何特征，是空间异面直线关系，棱锥体积，投影的综合应用，难度较大．10.已知椭圆C1：+=1（a1＞b1＞0）与双曲线C2：-=1（a2＞0，b2＞0）有相同的焦点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，a1，a2又分别是两曲线的离心率，若PF1⊥PF2，则4e12+e22的最小值为（）A. B.4 C. D.9【答案】C【解析】解：由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a1，双曲线实轴为2a2，令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF1|-|PF2|=2a2，①由椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a1，②又∵PF1⊥PF2，∴=4c2，③①2+②2，得=，④将④代入③，得，∴4e12+==+=≥=．故选：C．由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a1，双曲线实轴为2a2，令P在双曲线的右支上，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推志出，由此能求出4e12+e22的最小值．本题考查4e12+e22的最小值的求法，是中档题，解题时要熟练掌握双曲线、椭圆的定义，注意均值定理的合理运用．二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.在等差数列{a n}中，a1+a2+a3=3，a18+a19+a20=87，则该数列前20项的和为______ ．【答案】300【解析】解：在等差数列{a n}中，∵a1+a2+a3=3，a18+a19+a20=87，∴a1+a2+a3+a18+a19+a20=3（a1+a20）=3+87=90，解得a1+a20=30，∴S20==10×30=300．故答案为：300．由已知条件，利用等差数列的通项公式推导出a1+a20=30，由此能求出该数列前20项的和．本题考查等差数列的前20项和的求法，是基础题，解题时要注意等差数列的通项公式的灵活运用．12.把甲、乙、丙、丁、戊5人分配去参加三项不同的活动，其中活动一和活动二各要2人，活动三要1人，且甲，乙两人不能参加同一活动，则一共有______ 种不同分配方法．【答案】24【解析】解：由题意把甲、乙、丙、丁、戊5人分配去参加三项不同的活动，其中活动一和活动二各要2人，活动三要1人共有=30种方法，其中甲，乙两人参加同一活动+=6种方法，故符合题意得方法共30-6=24种，故答案为：24．间接法：先求出活动一和活动二各要2人，活动共有三要1人的方法种数，去掉甲，乙两人参加同一活的方法种数即可．本题考查排列组合的应用，间接法是解决问题的关键，属基础题．13.已知正三棱锥P-ABC中，E、F分别是AC，PC的中点，若EF⊥BF，AB=2，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为______ ．【答案】6π【解析】解：∵E、F分别是AC，PC的中点，∴EF∥PA，∵P-ABC是正三棱锥，∴PA⊥BC（对棱垂直），∴EF⊥BC，又EF⊥BF，而BF∩BC=B，∴EF⊥平面PBC，∴PA⊥平面PBC，∴∠APB=∠APC=∠BPC=90°，以PA、PB、PC为从同一点P出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的体对角线就是外接球的直径，又AB=2，∴PA=，∴2R=，∴R=，∴三棱锥P-ABC的外接球的表面积为：4πR2==6π．故答案为：6π．证明以PA、PB、PC为从同一点P出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的体对角线就是外接球的直径，求出半径即可求解球的表面积．本题考查几何体的外接球的表面积的求法，判断几何体与球的关系，求出球的半径是解题的关键．14.已知下列等式：12=112-32+52=1712-32+52-72+92=4912-32+52-72+92-112+132=97观察上式的规律，写出第n个等式______ ．【答案】12-32+52-72+…-（4n-5）2+（4n-3）2=8n2-8n+1【解析】解：观察下列等式：12=112-32+52=1712-32+52-72+92=4912-32+52-72+92-112+132=97…归纳可得第n个等式为：12-32+52-72+…-（4n-5）2+（4n-3）2=1+2（3+5）+2（7+9）+…+2[（4n-5）+（4n-3）]=1+2[3+5+7+9+…+（4n-5）+（4n-3）]=1+2×=8n2-8n+1．故答案为：12-32+52-72+…-（4n-5）2+（4n-3）2=8n2-8n+1等式的左边是正奇数的平方和或差，根据这一规律得第n个等式左边为12-32+52-72+…-（4n-5）2+（4n-3）2．利用平方差公式展开后，结合数列求和的方法，可得答案．本题考查规律型中的数字变化问题，找等式的规律时，既要分别看左右两边的规律，还要注意看左右两边之间的联系．15.对于函数y=f（x）的定义域为D，如果存在区间[m，n]⊆D同时满足下列条件：①f（x）在[m，n]是单调的；②当定义域为[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]，则称区间[m，n]是该函数的“H区间”．若函数f（x）=＞存在“H区间”，则正数a的取值范围是______ ．【答案】（，1]∪（2e，e2]【解析】解：当x＞0时，f（x）=alnx-x，f′（x）=，f′（x）≥0，得得0＜x≤a，此时函数f（x）为增函数，当x=n时，取得最大值，当x=m时，取最小值，即，即方程alnx-x=x有两个解，即方程有两个解，做出的图象，由图象以及函数的导数可知，当x＞1时，y=在x=e处取得最小值2e，在x=a时，故方程有两个解．，即a≤e2，正数a的取值范围是（2e，e2]．当x＞a时，函数f（x）为单调减函数，则当x=m时，取得最大值，当x=n时，取得最小值，即，两式相减可得，alnm-alnn=0，即m=n，不符合；当x≤0时，函数f（x）为减函数，则当x=m时取最大值，当x=n时，取得最小值，即，两式相减，可以得到，回代到方程组的第一个式子得到1-，整理得到1-，由图象可知，方程由两个解，则a，，综上正数a的取值范围是（，1]∪（2e，e2]故答案为：（，1]∪（2e，e2]．通过x大于0，小于等于0，利用好的导数盆函数的单调性，利用分段函数结合函数的图象函数的最值求出a的范围即可．本题主要考查函数单调性的应用以及函数的最值考查数形结合，综合性较强．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若向量=（cos B，2cos2-1）与向量=（2a-b，c）共线．（1）求角C的大小；（2）若c=2，S△ABC=2，求a，b的值．【答案】解：（1）∵向量=（cos B，2cos2-1）与向量=（2a-b，c）共线，∴ccos B=（2a-b）cos C，根据正弦定理得sin C cos B=（2sin A-sin B）cos C，∴sin C cos B+sin B cos C=2sin A cos C，即sin A═2sin A cos C，∴cos C=，即C=．（2）∵c2=a2+b2-2abcos C，∴a2+b2-ab=12，①∵S△ABC=2=，∴ab=8，②，由①②得或．【解析】（1）根据向量共线建立条件关系，利用三角函数的关系式，即可求角C的大小；（2）根据三角形的面积公式，以及余弦定理建立方程组，即可得到结论．本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，要求熟练掌握相应的定理和公式．17.某商家推出一款简单电子游戏，弹射一次可以将三个相同的小球随机弹到一个正六边形的顶点与中心共七个点中的三个位置上（如图），用S表示这三个球为顶点的三角形的面积．规定：当三球共线时，S=0；当S最大时，中一等奖，当S最小时，中二等奖，其余情况不中奖，一次游戏只能弹射一次．（Ⅰ）求甲一次游戏中能中奖的概率；（Ⅱ）设这个正六边形的面积是6，求一次游戏中随机变量S的分布列及期望值．【答案】解：（Ⅰ）由题意知，弹射一次可以将三个相同的小球随机弹到一个正六边形的顶点与中心共七个点中的三个位置上有种方法，当S最大时它的方法数有2种，当S最小时有3种方法，∴甲中奖的概率为P==．（Ⅱ）由题设知S的可能取值为0，1，2，3，P（S=0）=，P（S=1）=，P（S=2）=，P（S=3）=，∴S的分布列为：ES=0×+1×+2×+3×=．【解析】（Ⅰ）由题意知这是随机变量的等可能事件的概率问题，弹射一次可以将三个相同的小球随机弹到一个正六边形的顶点与中心共七个点中的三个位置上有种方法，当S最大时它的方法数有2种，当S最小时有3种方法，由此能求出结果．（Ⅱ）高驼个正六边形的面积是一次游戏中随机变量S的可能值为0，1，2，3，分别求出它们的概率，得分布列，进而可求出期望值．本小题主要考查相古典概率、随机变量的分布列与均值（数学期望）等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识18.已知平行四边形ABCD（如图1）中，AB=4，BC=5，对角线AC=3，将三角形△ACD沿AC折起至△PAC位置（图2），使二面角P-AC-B为60°，G，H分别是PA，PC的中点．（Ⅰ）求证：PC⊥平面BGH；（Ⅱ）求平面PAB与平面BGH夹角的余弦值．【答案】（Ⅰ）证明：过C作CE∥AB，且CE=AB，连结BE，PE，∵AC2+AB2=BC2，∴AC⊥AB，∴四边形ABCD是矩形，AC⊥CE，∵PC⊥AC，∴AC⊥平面PEC，∴∠PCE=60°，∵PC=CE=4，∴△PCE是正三角形，∵BE∥AC，∴BE⊥平面PEC，∴BE⊥PE，∴PB==5=BC，而H是PC的中点，∴BH⊥PC，∵G，H是△PAC的中位线，∴GH∥AC，∴GH⊥PC，∵GH∩BH=H，∴PC⊥平面BGH．（Ⅱ）解：以CE的中点O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知A（3，-2，0），B（3，2，0），P（0，0，2），C（0，-2，0），∴，，，=（3，2，-2），，，，设平面PAB的法向量=（x，y，z），则，，∴，取x=2，得y=0，z=3，∴，，，平面BGH的法向量，，，设平面PAB与平面BGH所成的角为θ，则cosθ=|cos＜，＞|=||=．【解析】（Ⅰ）证明线面垂直，只需证明线和平面内两条相交线垂直即可，由于G，H是△PAC 的中位线，所以GH∥AC，由已知AB=4，BC=5，对角线AC=3，能求出GH⊥PC，只需再找出一条垂线即可，只要证得PB=BC，便可得到BH⊥PC，从而问题得证．（Ⅱ）以CE的中点O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出平面PAB与平面BGH夹角的余弦值．本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．19.已知正项数列{a n}中，a1=1，且log3a n，log3a n+1是方程x2-（2n-1）x+b n=0的两个实根．（Ⅰ）求a2，b1；（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）若c n=，A n是{c n}前n项和，B n=，当n∈N+时，试比较A n与B n的大小．【答案】解：（1）∵正项数列{a n}中，a1=1，log3a n，log3a n+1是方程x2-（2n-1）x+b n=0的两个实根，∴log3a n+log3a n+1=2n-1，log3a n•log3a n+1=b n，∴a n a n+1=32n-1，当n=1时，a1a2=3，∵a1=1，∴a2=3．∴b1=log3a1•log3a2=log31•log33=0．（Ⅱ）∵==9，∴，∴{a n}的奇数项和偶数项分别是公比为9的等比数列，∴a2k-1==32k-2，a2k==32k-1，（k∈N*）∴a n=，为奇数，为偶数=3n-1，n∈N*．（Ⅲ）∵b n=log3a n•=（n-1）n，n∈N*，∴，当n=1时，A1=c1=0，，A1=B1，当n≥2时，c n=＜，＜==B n．综上，当n=1时，A n=B n；当n≥2时，A n＜B n．【解析】（Ⅰ）log3a n，log3a n+1是方程x2-（2n-1）x+b n=0的两个实根，由根与系数的关系和对数的运算性质能求出a2，b1的值．（Ⅱ）由已知条件推导出数列{a n}的奇数项和偶数项分别是公比为9的等比数列，分别写出奇数项和偶数项和通项公式，从而能求出数列{a n}的通项公式．（Ⅲ）此题的关键是求数列{b n}的通项公式，求出这个通项公式后利用基本不等式能推导出A n＜B n．本题考查数列的通项公式的求法，考查前n项和的比较，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．20.已知抛物线C：x2=2py（p＞0），定点M（0，5），直线l：y=与y轴交于点F，O为原点，若以OM为直径的圆恰好过l与抛物线C的交点．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过点M作直线交抛物线C于A，B两点，连AF，BF延长交抛物线分别于A′，B′，求证：抛物线C分别过A′，B′两点的切线的交点Q在一条定直线上运动．【答案】（Ⅰ）解：∵定点M（0，5），直线l：y=与y轴交于点F，O为原点，以OM为直径的圆恰好过l与抛物线C的交点，∴，∴p=2，∴抛物线C的方程为x2=4y；（Ⅱ）证明：由题意，直线AB的斜率一定存在，设方程为y=kx+5，设A（x1，y1），B（x2，y2），A′（x0，y0），则∵A，F，A′共线，∴x1（y0-1）+x0（1-y1）=0，（x0-x1）（x0x1+4）=0，∵x0≠x1，∴x0=-，∴A′（-，），同理B′（-，）．∵y′=，∴过点A′的切线的斜率为-，切线方程为y=-x-，同理过点B′的切线的方程为y=-x-，联立得y Q=．由可得x2-4kx-20=0，∴x1x2=-20，∴y Q==-，即Q在一条定直线y=-上运动．【解析】（Ⅰ）利用定点M（0，5），直线l：y=与y轴交于点F，O为原点，以OM为直径的圆恰好过l与抛物线C的交点，建立方程，求出p，即可求抛物线C的方程；（Ⅱ）求出过点A′的切线方程、过点B′的切线的方程，可得y Q=，直线y=kx+5代入抛物线方程，利用韦达定理可得结论．本题考查抛物线的方程，考查抛物线的切线方程，考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题．21.已知函数f（x）=4lnx+x2-ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=6时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1∈（0，1]，求证：f（x1）-f（x2）≥3-4ln2；（Ⅲ）设g（x）=f（x）+2ln，对于任意a∈（2，4）时，总存在x∈[，2]，使g （x）＞k（4-a2）成立，求实数k的取值范围．【答案】解：（I）当a=6时，f′（x）=，令f′（x）＞0⇒0＜x＜1或x＞2，f′（x）＜0⇒1＜x＜2，∴f（x）的递增区间为（0，1）和（2，+∞），递减区间为（1，2）．（II）由于f（x）有两个极值点x1，x2，则2x2-ax+4=0有两个不等的实根，由题意，得＞＜ ⇒∴f（x1）-f（x2）=8lnx1-x12+-4ln2（0＜x≤1）设F（x）=8lnx-x2+-4ln2（0＜x≤1）F′（x）=-2x-=-＜，∴F（x）在（0，1]上递减，∴F（x）≥F（1）=3-4ln2，即f（x1）-f（x2）≥3-4ln2．（III）∵g（x）=2ln（ax+2）+x2-ax-2ln6，∴g′（x）=-a=（a∈（2，4））∵=-＞-，x，∴x+＞0，∴g′（x）＞0，g（x）在x∈[，2]递增，g（x）max=g（2）=2ln（2a+2）-2a+4-2ln6，∴2ln（2a+2）-2a+4-2ln6＞k（4-a2）在a∈（2，4）上恒成立令h（a）=2ln（2a+2）-2a+4-2ln6-k（4-a2）则h（a）＞0在a∈（2，4）上恒成立．∵h′（a）=-2+2ka=，又h（2）=0当k≤0时，h′（a）＜0，h（a）在（2，4）递减，h（a）＜h（2）=0，不合；当k＞0时，h′（a）=0⇒a=，①＞2⇒0＜k＜时，h（a）在（2，）递减，存在h（a）＜h（2）=0，不合；②≤⇒k≥时，h（a）在（2，4）递增，h（a）＞h（2）=0，满足综上，实数k的取值范围为[，+∞）．【解析】（Ⅰ）当a=6时代入到原式中进行求导，再分别令导函数大于零，小于零来确定单调区间，计算时注意到定义域的范围；（Ⅱ）函数f（x）有两个极值点x1，x2可以转化为2x2-ax+4=0有两个不等的实根，即满足不等式组＞＜，从中解出a，x2分别用x1表示，即f（x1）-f（x2）=8lnx1-x12+-4ln2（0＜x≤1）；再令F（x）=8lnx-x2+-4ln2（0＜x≤1），对其求导研究，算出其在（0，1]上的最小值，从而证明不等式．（Ⅲ）对于任意a∈（2，4）时，总存在x∈[，2]，使g（x）＞k（4-a2）成立，即＞恒成立，因此求出g（x）max=2ln（2a+2）-2a+4-2ln6，这样，问题转化为2ln（2a+2）-2a+4-2ln6＞k（4-a2）在a∈（2，4）上恒成立，构造函数h（a）=2ln（2a+2）-2a+4-2ln6-k（4-a2），通过求导讨论的方式对其进一步研究．本题是对导数知识的综合考查，解决本题的关键是不断将题意转化成我们更为熟悉的类型，从而使得题目可解，转化的方法是高中数学，尤其是代数的基本方法，将未知转化成已知的思想也是解题的“一把好剑”．。