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2020年高考试题押题卷文科数学一一、单选题(共60分)1．(本题5分)设集合{}20A x x =->，{}2320B x x x =-+<，若全集U A =，则U C B =（ ） A ．(],1-∞B ．(),1-∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞2．(本题5分)已知i 为虚数单位，复数z 满足12z zi i -=+，则z 的共轭复数z 所对应的点位于复平面内的（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．(本题5分)已知()2,4a =-r，()3,b m =-r ，若0a b a b +⋅=r r r r ，则实数m =（ ）A ．32B ．3C ．6D ．84．(本题5分)下列函数中即是奇函数又是增函数的是 A ．()2f x x =B ．()3f x x =-C ．3()f x x x =+D ．()1f x x =+5．(本题5分)sin160cos10cos 20sin10︒︒+︒︒=（ ）A ．12 B ．-12C D ．6．(本题5分)将函数3sin2y x =的图象向右平移6π个单位长度可以得到()f x 的图象C , 如下结论中不．正确．．的是( ) A ．函数()f x 的周期为πB ．图象C 关于点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．图象C 关于直线1112x π=对称 D ．函数()55,1212f x ππ⎛⎫-⎪⎝⎭在区间内是增函数 7．(本题5分)已知三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，3AB =，4BC =，15AA =，则该三棱柱的表面积是A ．15B ．30C ．60D ．728．(本题5分)设圆224470x y x y +-++=上的动点P 到直线0x y +-=的距离为d ，则d 的取值范围是（ ） A ．[]0,3 B ．[]2,4C ．[]3,5D ．[]4,69．(本题5分)有五瓶墨水，其中红色一瓶、蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取出两瓶，求取出的两瓶中有一瓶是蓝色，另一瓶是黑色的概率（ ） A ．110B ．14C ．15D ．2510．(本题5分)若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为l ，且点(1,0)到l 的距离为3，则双曲线的方程为（ ） A ．22142x y -=B ．22143x y -=C ．22124x y -=D ．2212x y -=11．(本题5分)函数32()3(21)f x x ax a x =-++既有极小值又有极大值，则a 的取值范围为（ ） A ．113-<<a B ．1a >或13a <- C ．113a -<<D ．13a >或1a <- 12．(本题5分)已知函数()2019sin ,01,log , 1.x x f x x x π≤≤⎧=⎨>⎩ 若a ，b ，c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则a b c ++的取值范围是（ ） A ．()12019， B ．()12020， C ．()22020， D ．[]22020，二、填空题(共20分)13．(本题5分)已知函数33,0()log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，若1()2f a =，则实数a = ______.14．(本题5分)已知,x y 满足2525x y x y x -≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩则z x y =+的最大值为_______.15．(本题5分)在△ABC 中，已知C ＝120°，sinB ＝2sinA ，且△ABC的面积为则AB 的长为________． 16．(本题5分)已知抛物线24y x =上一点P 到准线的距离为1d ，到直线l ：43110x y -+=的距离为2d ，则12d d +的最小值为__________．三、解答题(共70分)17．(本题12分)在综合素质评价的某个维度的测评中，依据评分细则，学生之间相互打分，最终将所有的数据合成一个分数，满分100分，按照大于或等于80分的为优秀，小于80分的为合格，为了解学生的在该维度的测评结果，在毕业班中随机抽出一个班的数据.该班共有60名学生，得到如下的列联表：已知在该班随机抽取1人测评结果为优秀的概率为3.（1）完成上面的列联表；（2）能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与测评结果有关系？（3）现在如果想了解全校学生在该维度的表现情况，采取简单随机抽样方式在全校学生中抽取少数一部分来分析，请你选择一个合适的抽样方法，并解释理由.附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++18．(本题12分)如图所示，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，AD AB ⊥，面ABCD ⊥面PAB ．求证：（1）//AD 平面PBC ； （2）平面PBC ⊥平面PAB ．19.(本题12分)已知数列{}n a 是公差大于零的等差数列，其前n 项和为n S ，且1a ， 31a a -， 4S 成等比数列，23a =.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若12n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求满足20182019n T <的最大的n 的值.。
绝密 ★ 启用前 2020年普通高等学校招生全国统一考试文 科 数 学（一）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合1{|24}4x A x =≤≤，{|B x y ==，则A B =I （ ） A ．}2{ B ．}0{C ．[2,2]-D ．[0,2]【答案】A2．若复数z 满足(1)12z i i +=+，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A3．已知圆22:1O x y +=，直线:0l x y m ++=，若圆O 上总存在到直线l 的距离为1的点，则实数m 的取值范围为（ ）A．(,)-∞-+∞U B．[- C ．(,1][1,)-∞-+∞U D ．[1,1]-【答案】B4．《张丘建算经》是早于《九章算术》的我国另一部数学著作，在《算经》中有一题：某女子善于织布，一天比一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加（ ） A ．74尺 B ．2916尺 C ．158尺 D ．3116尺 【答案】B5．已知直线x y =与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 无公共点，则双曲线离心率的取值范围为（ ） A．)+∞ B．(1C．(-∞D ．]3,2[【答案】B6．某兴趣小组合作制作了一个手工制品，并将其绘制成如图所示的三视图，其中侧视图中的圆的 半径为3，则制作该手工表面积为（ ）A ．π5B ．π01C ．π512+D ．2412π+【答案】D7．在ABC ∆中，2=∆ABC S ，5AB =，1AC =，则BC =（ ） A ．52 B ．32C ．32或34D ．52或24【答案】D8．从某中学抽取100名学生进行阅读调查，发现每年读短篇文章量都在50篇至350篇之间，频率分布直方图如图所示，则对这100名学生的阅读量判断正确的为（ ） A ．a 的值为0.004B ．平均数约为200C ．中位数大约为183.3D ．众数约为350【答案】C9．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，且12||||PF PF λ=，若λ的最小值为21，则椭圆的离心率为（ ）A ．21 B ．22 C ．31 D ．35 【答案】C10．已知），（20πα∈，则21tan tan 2tan ααα-+取得最小值时α的值为（ ） A ．12πB ．6π C ．4π D ．2π 【答案】C11．已知函数2()f x x ax =+的图象在21=x 处的切线与直线20x y +=垂直．执行如图所示的程序框图，若输出的k 的值为15，则判断框中t 的值可以为（ ）A ．1314B ．1514 C ．1615 D ．1716【答案】B【解析】a x x f +='2)(，则()y f x =的图象在21=x 处的切线斜率a f k +='=1)21(， 由于切线与直线20x y +=垂直，则有1)1)(21(-=+-a ，则1a =， 所以2()(1)f x x x x x =+=+，所以111)(1+-=k k k f ， 所以11111(1)()()2231S k k =-+-++-+L ，由于输出的k 的值为15，故总共循环了15次，此时1111115(1)()()223151616S =-+-++-=L ，故t 的值可以为1514． 12．已知函数)(x f 为R 上的奇函数，且满足(2)()0f x f x ---=，(2019)f e =-，则(1)f =（ ） A ．e - B ．1e-C ．eD ．1e【答案】C【解析】由)(x f 为R 上的奇函数，且(2)()0f x f x ---=，得(2)()f x f x -=-， 故函数)(x f 的周期为4，所以(2019)(3)(3)(1)f f f f e ==--=-=-，所以(1)f e =．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
·文科数学 第1页（共14页） 文科数学 第2页（共14页）绝密 ★ 启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试文 科 数 学（一）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合{|}2A x y x==-，{1,0,1,2,3}B =-，则()A B =R I ð（ ） A ．{2} B ．{1,0,1,2}-C ．{2,3}D ．{1,0,1}-【答案】C【解析】由题意得{|2}A x x =<，∴{|2}A x x =≥R ð，∴(){2,3}A B =R I ð． 2．i 是虚数单位，复数1i1iz -=+，则|1|z +=（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．2【答案】B 【解析】1i=i 1iz -=-+，|1||1i|2z +=-=． 3．31()lg cos x f x x x-=+的定义域为（ ） A ．(0,3)B ．{|3x x <且π}2x ¹C ．ππ(0,)(,3)22UD ．{|0x x <或3}x >【答案】C【解析】由题得3030π0π2π,cos 02x x x x x k k x Z ìì-<<ïïïï>ïï揶<<眄镲??镲¹镲îî或π32x <<． 4．从A 、B 等5名学生中随机选出2人，则B 学生被选中的概率为（ ） A ．15B ．25C ．825D ．925【答案】B【解析】5名学生中随机选出2人有10种，B 学生被选中有4种，42105P ==．5．若向量(2,3)=m ，(1,)λ=-n ，且(23)⊥-m m n ，则实数λ的值为（ ） A ．329-B ．329C ．32D ．32-【答案】B【解析】由题意得，23(7,63)λ-=-m n ，∵(23)⊥-m m n ，∴(23)0⋅-=m m n ，即141890λ+-=，解得329λ=． 6．若π3cos()64α-=，则πsin(2)6α+=（ ） A ．18- B ．18 C ．716-D ．716【答案】B【解析】由题意得22ππ31cos(2)2cos ()12()13648αα-=--=⨯-=， ∴πππππ1sin(2)cos[(2)]cos(2)cos(2)626338αααα+=-+=-=-=．7．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线20x y +=平行，则双曲线的方程为（ ）A ．2214x y -=B ．2214y x -=C ．221164x y -=D ．22331520x y -=【答案】B【解析】∵双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线20x y +=平行，∴5=c ，2ba=， 此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号文科数学 第3页（共14页） ·文科数学 第4页（共14页）∵222c a b =+，∴1a =，2b =，∴双曲线的方程为2214y x -=．8．某公司针对新购买的50000个手机配件的重量随机抽出1000台进行检测，右图是根据抽样检测后的重量（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中配件重量的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]．用样本估计总体，则下列法错误的是（ ）A ．这批配件重量的平均数是101.30（精确到0.01）B ．这批配件重量的中位数是在[100,101]之间C ．0.125а=D ．这批配件重量在[96,100)范围的有15000个 【答案】B【解析】易得0.125a =，C 正确； 平均数970.10990.201010.301030.251050.15101.30=?????，A 正确；中位数是累计频率为0.5的数，[96,100)的累计频率为0.3，[96,102)的累计频率为0.6， 因此中位数在[100,102)内，又[100,102)的频率为0.3，需要找到其中频率为0.2的点， 所以中位数应在[101,102)内，B 错误；这批配件重量在[96,100)范围的有50000(0.100.20)15000?=个，D 正确．9．执行如图的程序框图，如果输出的13b =，则图中判断框内应填入（ ）A ．4?i >B ．5?i >C ．6?i >D ．7?i >【答案】C【解析】输入0a =，1b =，1i =，第1次循环，1c =，1a =，1b =，2i =，第2次循环， 2c =，1a =，2b =，3i =，第3次循环， 3c =，2a =，3b =，4i =，第4次循环，5c =，3a =，5b =，5i =，第5次循环， 8c =，5a =，8b =，6i =，第6次循环， 13c =，8a =，13b =，7i =，…，因为输出13b =，所以7i =时就要输出，结合选项，故选C ．10．已知函数()2sin()(0,0π)f x ωx φωφ=+><<的部分图象如图所示，点A ，π(,0)3B ，则下列说法中错误的是（ ）A ．直线π12x =是()f x 图象的一条对称轴 B ．()f x 的图象可由()2sin 2g x x =向左平移π3个单位而得到 C ．()f x 的最小正周期为πD ．()f x 在区间ππ(,)312-上单调递增 【答案】B 【解析】由(0)f =，可得sin 2φ=， 又0πφ<<，所以π3φ=或2π3，π()03f =，·文科数学 第5页（共14页） 文科数学 第6页（共14页）①当π3φ=时，πππ3133ωk ωk +=?-，k Z Î；②当2π3φ=时，π2ππ3233ωk ωk +=?-，k Z Î，由图可知，ππππ3(,3)432232T T ωωω<<?<尬，故π2()2sin(2)3ωf x x =?+，易知A ，C ，D 正确，B 错误．11．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知12a =，对任意p ，*q ∈N ，都有p q p q a a a +=⋅，则11(4)260n n nS S a --⋅++（1n >，*n ∈N ）取得最小值时，n =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】当1q =时，112p p p a a a a +=⋅=，∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，∴2nn a =，∴12(21)2221nn n S +-==--，∴122n n S -=-，∴211(4)(22)(22)24n n nn n S S --⋅+=-⋅+=-，∴211(4)260225625623222n nn n n nn S S a --⋅+++==+≥=， 当且仅当216n=，即4n =时，等号成立．12．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为11A D ，11C D 的中点，则过B ，E ，F 三点的平面截该正方体，所得截面的周长为（ ）A．B．CD【答案】C【解析】过B 作l AC ∥，分别交DA ，DC 的延长线于G ，H ，连接EG 交1AA 于M ，连接FH 交1CC 与N ，连接BM ，BN ，则所得截面为五边形EMBNF ．∵1A E AD ∥，∴1112A E A M AG MA ==，∴123A M =，43AM =，∴EM ==，MB ==，同理有FN =，NB =．第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知322()3f x x ax bx a =+++在1x =-时有极值0，则a b -的值为 ． 【答案】7-【解析】∵函数322()3f x x ax bx a =+++，∴2()36f x x ax b '=++， 又∵函数322()3f x x ax bx a =+++在1x =-处有极值0，∴2360130a b a b a -+=⎧⎨-+-+=⎩，∴13a b =⎧⎨=⎩或29a b =⎧⎨=⎩， 当13a b =⎧⎨=⎩时，22()363(1)0f x x ax b x '=++=+≥，函数在R 上单调递增，不满足题意； 当29a b =⎧⎨=⎩时，2()363(1)(3)f x x ax b x x '=++=++，满足题意， ∴7a b -=-．14．已知两个同底的正四棱锥的所有顶点都在同一球面上，它们的底面边长为2，体积的比值为12，则该球的表面积为________． 【答案】9π【解析】因为两个正四棱锥有公共底面且两个正四棱锥的体积之比为12， 所以两个棱锥的高之比也为12， 设两个棱锥的高分别为x ，2x ，球的半径为R ，则232x x x R +==，即32x R =， 所以球心到公共底面的距离是2x，。
2020年高考等值试卷★预测卷文科数学（全国I 卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
全卷满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。
3.考试结束，请将试题卷、答题卡一并收回。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i 为虚数单位，则i(1i)+=（A ）1i -- （B ）1i -+ （C ）1i - （D ）1i +2．已知集合{|100}A x x =>，{|}B x x a =≥，且A B =R R ð，则实数a 的取值范围是 （A ）100a < （B ）100a ≤ （C ）100a > （D ）100a ≥3．已知数列{}n a 的首项为1，且11n n n n a a a a +--=-对于所有大于1的正整数n 都成立，3592S S a +=，则612a a +=（A ）34 （B ）17 （C ）36 （D ）184．有关数据表明，2018年我国固定资产投资（不含农户，下同）635636亿元，增长5.9%．其中，第一产业投资22413亿元，比上年增长12.9%；第二产业投资237899亿元，增长6.2%；第三产业投资375324亿元，增长5.5%．另外，2014—2018年，我国第一产业、第二产业、第三产业投资占固定资产投资比重情况如下图所示．根据以上信息可知，下列说法中：①2014—2018年，我国第一产业投资占固定资产投资比重逐年增加；②2014—2018年，我国第一产业、第三产业投资之和占固定资产投资比重逐年增加；③224135%635636≈；④23789937532496.5%635636+≈．不正确的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 5．已知π()sin(2)3f x x =+，π()cos(2)3g x x =+，则下列说法中，正确的是（A ）x ∀∈R ，π()()2f x g x =- （B ）x ∀∈R ，π()()4f x g x =+ （C ）x ∀∈R ，π()()2g x f x =- （D ）x ∀∈R ，π()()4g x f x =+6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A）(4π+ （B）(5π （C）(5π+ （D）(5π+7．已知点P 为△ABC 所在平面内一点，且23PA PB PC ++=0，如果E 为AC 的中点，F 为BC 的中点，则下列结论中：①向量PA 与PC 可能平行； ②向量PA 与PC 可能垂直； ③点P 在线段EF 上； ④::21PE PF =． 正确的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 8．若执行如图所示的程序框图时，输出的结果是910，则程序框图的判断框中应该填入的条件是 （A ）8i = （B ）8i > （C ）9i = （D ）9i >9．已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）经过点(1,2，过顶点(,0)a ，(0,)b 的直线与圆2223x y +=相切，则椭圆的方程为（A ）2212x y += （B ）223142x y +=（C ）224133x y += （D ）228155x y += 10．已知△DEF 是一个等边三角形，在这个三角形的三条边上随机取一个点P ，记事件A 为：P 不在线段EF 上，而且△PEF 的周长大于或等于△DEF 的周长的一半．记事件A 发生的概率为()P A ，则以下选项中，正确的是（A ）1()2P A =（B ）5()9P A = （C ）11()18P A = （D ）2()3P A =11．《九章算术》是中国古典数学最重要的著作．《九章算术》的“商功”一章中给出了很多几何体的体积计算公式．如图所示的几何体称为“方亭”，其上底面1111A B C D 与下底面ABCD 均为正方形，且两者相互平行．如果“方亭”的上、下底面边长分别为1a ，2a ，且两底面之间的距离为h ，记“方亭”的体积为V ，则（A ）2212121()3V a a a a h =++ （B ）2212121()6V a a a a h =++（C）121)3V a a h =+ （D）121)6V a a h =+12．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，而且2,02()21,2x x x f x x x ⎧+≤<=⎨+≥⎩，如果()f x a =有两个不同的实数解，则a 的取值范围是（A ）65a -<≤-或56a ≤< （B ）56a ≤<（C ）65a -<≤- （D ）65a -≤<-或56a <≤第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．在了解全校学生每年平均阅读了多少本文学经典名著时，甲同学抽取了一个容量为10的样本，并算得样本的平均数为6；乙同学抽取了一个容量为15的样本，并算得样本的平均数为5．已知甲、乙两同学抽取的样本合在一起正好组成一个容量为25的样本，则合在一起后的样本的平均数为_____________．14．已知α是第四象限角，且π3sin()35α+=，则πsin()12α+=_____________．15．在平面直角坐标系xOy 中，过点(1,0)的一条直线与函数3()1f x x =-的图像交于P ，Q 两点，则线段PQ 长的最小值是 ．16．双曲线22221x y a b-=的左、右焦点分别为1F ，2F ，左、右顶点分别为1A ，2A ，P 为双曲线上一点，已知直线1PA ，2PA 的斜率之积为2425，1260F PF ∠=，1F，则：（1）双曲线的方程为_______________；（2）△12PF F 的内切圆半径与外接圆半径之比为_______________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知△ABC 中，C ∠为钝角，而且8AB =，3BC =，AB． （1）求B ∠的大小；（2）求cos 3cos AC A B +的值．18．（12分）如图，AB ，CD 分别是圆柱1OO 下底面、上底面的直径，AD ，BC 分别是圆柱的母线，E ，F 都是下底面圆周上的点，且30EAB ∠=，45FAB ∠=，点P 在上底面圆周上运动．（1）判断直线AF 是否有可能与平面PBE 平行，并说明理由； （2）判断直线BE 是否有可能与平面P AE 垂直，并说明理由．19．（12分）为了了解青少年的创新能力与性别的联系，某研究院随机抽取了若干名青少年进行测试，所得结果如图1所示．图1更进一步，该研究院对上述测试结果为“优秀”的青少年进行了知识测试，得到了每个人的知图2（1）通过计算说明，能否有95%的把握认为性别与创新能力是否优秀有关．附：22(),()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++2()0.0500.0100.001.3.841 6.63510.828P K k k ≥ （2）从上述知识测试得分和创新能力得分都超过70分的青少年中，任意抽取1人，求抽得的人的两个得分的差的绝对值不大于10的概率．（3）根据前述表格中的数据，可以计算出y 关于x 的回归方程为ˆ 1.2747.92yx =-： ①根据回归方程计算：当[50,70]x ∈时，ˆy的取值范围． ②在图2中作出回归直线方程，并尝试给出描述y 与x 关系的更好的方案（只需将方案用文字描述即可，不需要进行计算）．20．（12分）已知抛物线24y x =的焦点为F ，倾斜角为锐角的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，且直线l 过点(2,0)-，||AB = （1）求直线l 的方程；（2）如果C 是抛物线上一点，O 为坐标原点，且存在实数t ，使得()OC OF t FA FB =++，求||FC ．21．（12分）已知函数221()52x x a f x x ++-=-，其中a 是实常数．（1）讨论()f x 的单调性；（2）如果()f x a =在区间(1,3)内有且只有一个实数解，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）已知直线l 的参数方程为2cos 2sin x t y t θθ=-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为1ρ=，且直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点．（1）写出曲线C 与直线l 的一般方程，并求直线l 的斜率的取值范围； （2）设(2,2)P --，且::||||57PA PB =，求直线l 的斜率．23．[选修4－5：不等式选讲]（10分） 已知函数()|21||1|f x x x =+--．（1）求不等式()3f x >的解集； （2）如果“x ∀∈R ，25()2f x t t ≥-”是真命题，求t 的取值范围．2020年高考等值试卷★预测卷 文科数学（全国I 卷）参考答案及评分标准一、选择题：（每小题5分，共60分）1．B 2．C 3．A 4．B 5．D 6．D 7．C 8．D 9．A 10．D 11．A 12．A二、填空题：（每小题5分，共20分）13．275 14．10- 15． 16．（1）2241256x y -=， （2）27． 三、解答题：（一）必考题：共60分．17．（12分） （1）由三角形面积可知11838sin 22B ⨯=⨯⨯⨯， ………………………………2分sin B =，又因为B ∠是锐角，所以π3B ∠=． ………………………………5分（2）由（1）可知2222cos 6492449AC AB BC AB BC B =+-⨯⨯=+-=，所以7AC =．………………………………7分又因为2226449913cos 228714AB AC BC A AB AC +-+-===⨯⨯⨯，………………………………9分因此113cos 3cos 378214AC A B +=⨯+⨯=．………………………………12分18．（12分）（1）直线AF 不可能与平面PBE 平行，理由如下：………………………………1分假设直线AF //平面PBE ，则因为AF ⊂平面ABE ，平面ABE平面PBE BE =，所以AF //BE ，从而可知45EBA FAB ∠=∠=，但是ABE ∆是个直角三角形，而且9060EBA EAB ∠=-∠=，矛盾，因此假设不成立．………………………………5分（2）当PA 或者PE 是圆柱的母线时，直线BE 与平面PAE 垂直，理由如下：因为E 是圆周上一点，所以BE AE ⊥． 又因为PA AE A =，因此当PA 是圆柱的母线时，有PA BE ⊥，从而可知BE ⊥平面PAE ．………………………………9分类似地，因为PE EB E =，因此当PE 是圆柱的母线时，有PE BE ⊥，从而可知BE ⊥平面PAE ．………………………………12分19．（12分）（1）由题意可知22(24321624)(24241632)(2432)(1624)(2416)(3224)χ+++⨯⨯-⨯=+⨯+⨯+⨯+960.0781225=≈． ………………………………2分又因为195%5%-=，而且查表可得2( 3.841)0.05P χ≥=，因为0.078 3.841<，因此没有95%的把握认为性别与创新能力是否优秀有关．………………………………3分（2）因为知识测试得分和创新能力得分都超过70分的人只有6人，他们的得分分别是（90，71），（90，75），（91，80），（92，88），（93，83），（95，90）．得分差的绝对值不大于10的有3人，所以所求概率为12． ………………………………6分（3）○1因为1.275047.9215.58⨯-=，1.277047.9240.98⨯-=，所以ˆy 的取值范围是[15.5840.98,]．………………………………9分○2图如下．描述y 与x 关系的更好的方案之一是：借助非线性函数进行描述．………………………………12分20．（12分）（1）设直线l 的方程为2x my =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ． 则221212()()13x x y y -+-=，2212(1)()13m y y +-=．………………………………2分由242y xx my ⎧=⎨=-⎩可得2480y my -+=，因此 222121212()()4=1632y y y y y y m -=+--，因此22(1)(1632)13m m +-=，421616450m m --=，22(49)(45)0m m -+=，294m =，解得32m =．从而所求直线方程为322x y =-，即2340x y -+=． ………………………………5分（2）设AB 的中点为M ，则由()OC OF t FA FB =++可知2FC tFM =，因此F ，C ，M 三点共线．………………………………7分设00(,)M x y ，则由（1）知12032y y y +==，0353222x =⨯-=． ………………………………9分因此直线FC 的方程为3(1)2(1)512y x x =-=--．由242(1)y x y x ⎧=⎨=-⎩可得2310x x -+=，因此x =||1FC == ………………………………12分21．（20分）（1）显然25x ≠．又因为 2222(22)(52)5(21)5415()(52)(52)x x x x a x x af x x x +--++--+-'==--，………………………………2分因此，令()0f x '>，可得254150x x a -+->且25x ≠． ○1当2420(15)10040a a ∆=--=-≤，即125a ≤时，()0f x '≥恒成立，此时()f x 在2(,)5-∞和2(,)5+∞内递增． ………………………………3分○2当2420(15)10040a a ∆=--=->，即125a >时，由254150x x a -+-=可得x ==，因此由254150x x a -+->可得x <或x >此时，()f x在(,-∞和)+∞内递增，在2)5和22(,55内递减．………………………………5分（2）因为()f x a =时，221(52)x x a a x ++-=-，即221(53)x x a x +-=-，因此()f x a =在区间(1,3)内有且只有一个实数解等价于22153x x a x +-=-在区间(1,3)内有且只有一个实数解．………………………………7分设221()53x x g x x +-=-，则2222(22)(53)5(21)561()(53)(53)x x x x x x g x x x +--+---'==--．由25610x x --=可知63105x ±==，因此()g x 在区间3[1,]5+上递减，在3[3]5+递增． ………………………………9分又因为2(1)12g ==，147(3)126g ==，213()5g +-+==1625+==所以由条件可知716a ≤<或a =………………………………12分（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．（10分）（1）曲线C 的一般方程为221x y +=．………………………………2分又因为直线l 过点(2,2)--且与圆C 相交，因此直线l 的斜率一定存在，因此其一般方程为2tan (2)y x θ+=+．………………………………3分设直线的斜率为tan k θ=，则直线方程为2(2)y k x +=+1<可知23830k k -+<k <<． ………………………………5分（2）设A ，B 两点对应的参数分别为1t ，2t ，由P 在圆C 外可知这两个参数均为正数，且12::57t t =．………………………………6分由2cos 2sin x t y t θθ=-+⎧⎨=-+⎩与221x y +=可得22(2cos )(2sin )1t t θθ-++-+=，24(cos sin )70t t θθ-++=，因此12124(cos sin )7t t t t θθ+=+⎧⎨=⎩………………………………7分从而121124(cos sin )5775t t θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因此cos sin θθ+=可解得sin θ==………………………………9分因此12k =或2k =，即所求斜率为12或2．………………………………10分23．（10分）（1）因为2,11()3,1212,2x x f x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪=-<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩………………………………2分当1x ≥时，由()3f x >可得23x +>，1x >，此时1x >． 当112x -<<时，由()3f x >可得33x >，1x >，此时无解． 当12x ≤-时，由()3f x >可得23x -->，5x <-，此时5x <-． ………………………………4分综上可知所求解集为(,5)(1,)-∞-+∞．………………………………5分（2）由（1）可算出()f x 的最小值为13()22f -=-. ………………………………7分因此23522t t -≥-． ………………………………8分22530t t -+≤，(23)(1)0t t --≤，解得312t ≤≤． ………………………………10分。
