高考文科数学押题卷(带答案)

高考押题试卷文科数学（含答案）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{|23,Z}A x x x =-<<∈，{2,1,0,1,2,3}B =--，则集合AB 为（ ）A ．{2,1,0,1,2}--B ．{1,0,1,2}-C ．{1,0,1,2,3}-D ．{2,1,0,1,2,3}-- 2．若复数i z x y =+（x ，R y ∈）满足()1i 3i z +=-，则x y +的值为（ ） A ．3- B ．4- C ．5- D ．6- 3．若1cos()43πα+=，(0,)2πα∈，则sin α的值为（ ） A.426- B ．426+ C.718D ．23 4．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件{A =两次的点数均为偶数且点数之差的绝对值为2}，则()P A =（ ） A ．19 B ．13 C ．49 D ．595．定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过90︒的正角.已知双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，当其离心率[2,2]e ∈时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（ ） A ．[0,]6πB ．[,]63ππ C.[,]43ππ D ．[,]32ππ6.某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为32π+，则它的表面积是（ ）A.313(3)2222π+ B ．3133()22242π++C.13222π+ D ．13224π+ 7．函数sin ln ||y x x =+在区间[3,3]-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知函数()()1312,2,22,2R,0,2x x x f x a x a a x +-⎧+≤⎪⎪=⎨⎪->∈≠⎪-⎩若()()()635f f f =-，则a 为（ ）A ．1B ．3425C ．22D ．34 9．执行下图的程序框图，若输入的x ，y ，n 的值分别为0，1，1，则输出的p 的值为（ ）A.81 B ．812 C.814 D ．81810．已知数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，数列{}n b 满足关系312123a a ab b b +++12n n n a b +=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，则5S 的值为（ ）A ．454-B ．450-C ．446-D ．442-11．若函数()2ln f x m x x mx =+-在区间()0,+∞内单调递增，则实数m 的取值范围为（ ）A ．[]0,8B ．(]0,8C ．(],0-∞[)8,+∞D ．(),0-∞()8,+∞12．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,||,R)2A x πωϕ>><∈的图象如图所示，令()()'()g x f x f x =+，则下列关于函数()g x 的说法中不正确的是（ ）A. 函数()g x 图象的对称轴方程为()12x k k Z ππ=-∈B ．函数()g x 的最大值为22C. 函数()g x 的图象上存在点P ，使得在P 点处的切线与直线:31l y x =-平行 D ．方程()2g x =的两个不同的解分别为1x ，2x ，则12||x x -的最小值为2π 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．向量(,)a m n =，(1,2)b =-，若向量a ，b 共线，且||2||a b =，则mn 的值为 ． 14．已知点()1,0A -，()1,0B ，若圆228x y x +--6250y m +-=上存在点P 使0PA PB ⋅=，则m 的最小值为 ．15．设x ，y 满足约束条件240,20,10,x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪-≥⎩则32x y +的最大值为 ．16．在平面五边形ABCDE 中，已知120A ∠=︒，90B ∠=︒，120C ∠=︒，90E ∠=︒，3AB =，3AE =，当五边形ABCDE 的面积[63,93)S ∈时，则BC 的取值范围为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且22cos cos B C -=2sin 3sin A A B .（1）求角C ； （2）若6A π∠=，ABC 的面积为3M 为AB 的中点，求CM 的长.18．如图所示的几何体P ABCD -中，四边形ABCD 为菱形，120ABC ∠=︒，AB a =，3PB a =，PB AB ⊥，平面ABCD ⊥平面PAB ，AC BD O =，E 为PD 的中点，G 为平面PAB 内任一点.（1）在平面PAB 内，过G 点是否存在直线l 使OE l ∥？如果不存在，请说明理由，如果存在，请说明作法；（2）过A ，C ，E 三点的平面将几何体P ABCD -截去三棱锥D AEC -，求剩余几何体AECBP 的体积.19．某校为缓解高三学生的高考压力，经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级800名学生中随机抽取100名学生进行测试，并将其成绩分为A 、B 、C 、D 、E 五个等级，统计数据如图所示（视频率为概率），根据图中抽样调查的数据，回答下列问题：（1）试估算该校高三年级学生获得成绩为B 的人数；（2）若等级A 、B 、C 、D 、E 分别对应100分、90分、80分、70分、60分，学校要求当学生获得的等级成绩的平均分大于90分时，高三学生的考前心理稳定，整体过关，请问该校高三年级目前学生的考前心理稳定情况是否整体过关？（3）以每个学生的心理都培养成为健康状态为目标，学校决定对成绩等级为E 的16名学生（其中男生4人，女生12人）进行特殊的一对一帮扶培训，从按分层抽样抽取的4人中任意抽取2名，求恰好抽到1名男生的概率..20．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为22，且过点23,22P ，动直线l ：y kx m =+交椭圆C 于不同的两点A ，B ，且0OA OB ⋅=（O 为坐标原点） （1）求椭圆C 的方程.（2）讨论2232m k -是否为定值.若为定值，求出该定值，若不是，请说明理由. 21．设函数22()ln f x a x x ax =-+-()a R ∈. （1）试讨论函数()f x 的单调性；（2）如果0a >且关于x 的方程()f x m =有两解1x ，2x （12x x <），证明122x x a +>.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线1C ：3cos ,2sin x t y tαα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0a >），在以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：4sin ρθ=.（1）试将曲线1C 与2C 化为直角坐标系xOy 中的普通方程，并指出两曲线有公共点时a 的取值范围； （2）当3a =时，两曲线相交于A ，B 两点，求||AB 的值. 23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()|21||1|f x x x =-++.（1）在给出的直角坐标系中作出函数()y f x =的图象，并从图中找出满足不等式()3f x ≤的解集；（2）若函数()y f x =的最小值记为m ，设,R a b ∈，且有22a b m +=，试证明：221418117a b +≥++.试卷答案一、选择题1-5:BCAAD 6-10:AADCB 11、12：AC二、填空题13．8- 14．16 15．22316．三、解答题17．解：（1）由22cos cos B C -=2sin sin A A B ，得22sin sin C B -=2sin sin A A B -.由正弦定理，得222c b a -=，即222c a b =+.又由余弦定理，得222cos 2a b c C ab+-===. 因为0C π<∠<，所以6C π∠=.（2）因为6A C π∠=∠=，所以ABC 为等腰三角形，且顶角23B π∠=.故21sin 2ABCSa B ==2a =4a =. 在MBC 中，由余弦定理，得222CM MB BC =+-2cos MB BC B ⋅=4162++⨯124282⨯⨯=.解得CM =.18．解：（1）过G 点存在直线l 使OE l ∥，理由如下： 由题可知O 为BD 的中点，又E 为PD 的中点， 所以在PBD 中，有OE PB ∥.若点G 在直线PB 上，则直线PB 即为所求作直线l ， 所以有OE l ∥；若点G 不在直线PB 上，在平面PAB 内，过点G 作直线l ，使l PB ∥， 又OE PB ∥，所以OE l ∥， 即过G 点存在直线l 使OE l ∥.（2）连接EA ，EC ，则平面ACE 将几何体分成两部分： 三棱锥D AEC -与几何体AECBP （如图所示）.因为平面ABCD ⊥平面PAB ，且交线为AB ， 又PB AB ⊥，所以PB ⊥平面ABCD . 故PB 为几何体P ABCD -的高.又四边形ABCD 为菱形，120ABC ∠=︒，AB a =，3PB a =，所以2ABCD S =⨯四边形223342a a =， 所以13P ABCD ABCD V S PB -=⋅=四边形23131332a a =. 又12OE PB ∥，所以OE ⊥平面ACD ，所以D AEC E ACD V V --==三棱锥三棱锥13ACD S EO ⋅=31148P ABCD V a -=， 所以几何体AECBP 的体积P ABCD D EAC V V V --=-=三棱锥333113288a a a -=.19．解：（1）从条形图中可知这100人中，有56名学生成绩等级为B ，故可以估计该校学生获得成绩等级为B 的概率为561410025=， 则该校高三年级学生获得成绩等级为B 的人数约有1480044825⨯=.（2）这100名学生成绩的平均分为1(321005690780370260)100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯91.3=（分），因为91.390>，所以该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关.（3）按分层抽样抽取的4人中有1名男生，3名女生，记男生为a ，3名女生分别为1b ，2b ，3b .从中抽取2人的所有情况为1ab ，2ab ，3ab ，12b b ，13b b ，23b b ，共6种情况，其中恰好抽到1名男生的有1ab ，2ab ，3ab ，共3种情况，故所求概率12P =. 20．解：（1）由题意可知2c a =， 所以222222()a c a b ==-，整理，得222a b =，①又点,22P 在椭圆上，所以有2223144a b+=，② 由①②联立，解得21b =，22a =，故所求的椭圆方程为2212x y +=. （2）2232m k -为定值，理由如下： 设1122(,),(,)A x y B x y ，由0OA OB ⋅=， 可知12120x x y y +=.联立方程组22,1,2y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，化简得222(12)4220k x kmx m +++-=， 由2222168(1)(12)0k m m k ∆=--+>， 得2212k m +>， 由根与系数的关系，得122412kmx x k +=-+，21222212m x x k -=+，③ 由12120x x y y +=，y kx m =+， 得1212()()0x x kx m kx m +++=，整理，得221212(1)()0k x x km x x m ++++=.将③代入上式，得22222224(1)01212m km k km m k k-+-⋅+=++.化简整理，得222322012m k k--=+，即22322m k -=. 21．解：（1）由22()ln f x a x x ax =-+-，可知2'()2a f x x a x =-+-=222(2)()x ax a x a x a x x--+-=. 因为函数()f x 的定义域为(0,)+∞，所以，①若0a >，则当(0,)x a ∈时，'()0f x <，函数()f x 单调递减，当(,)x a ∈+∞时，'()0f x >，函数()f x 单调递增；②若0a =，则当'()20f x x =>在(0,)x ∈+∞内恒成立，函数()f x 单调递增； ③若0a <，则当(0,)2ax ∈-时，'()0f x <，函数()f x 单调递减，当(,)2ax ∈-+∞时，'()0f x >，函数()f x 单调递增.（2）要证122x x a +>，只需证122x x a +>. 设()()g x f x '==-22a x a x +-， 因为()2220a g x x'=+>，所以()()g x f x '=为单调递增函数. 所以只需证()1202x x f f a +⎛⎫''>=⎪⎝⎭， 即证2121220a x x a x x -++->+，只需证122x x -++()12210x x a a+->.（*）又22111ln a x x ax m -+-=，22222ln a x x ax m -+-=，所以两式相减，并整理，得1212ln ln x x x x --+-()12210x x a a+-=.把()1221x x a a+-=1212ln ln x x x x --代入（*）式，得只需证121212ln ln 20x x x x x x --+>+-，可化为12112221ln 01x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭-+<+.令12x t x =，得只需证()21ln 01t t t --+<+. 令()()21ln 1t t t t ϕ-=-++（01t <<）， 则()()2411t t t ϕ'=-++()()22101t t t-=>+， 所以()t ϕ在其定义域上为增函数， 所以()()10t ϕϕ<=. 综上得原不等式成立.22．解：（1）曲线1C ：3cos ,2sin ,x t y t αα=+⎧⎨=+⎩消去参数t 可得普通方程为222(3)(2)x y a -+-=.由4sin ρθ=，得24sin ρρθ=.故曲线2C ：4sin ρθ=化为平面直角坐标系中的普通方程为22(2)4x y +-=.当两曲线有公共点时a 的取值范围为[1,5].（2）当3a =时，曲线1C ：33cos ,23sin ,x t y t =+⎧⎨=+⎩即22(3)(2)9x y -+-=，联立方程()2222(3)(2)9,24,x y x y ⎧-+-=⎪⎨+-=⎪⎩消去y ，得两曲线的交点A ，B 所在直线方程为23x =. 曲线22(2)4x y +-=的圆心到直线23x =的距离为23d =，所以||AB ==23. 解：（1）因为()|21||1|f x x x =-++=3,1,12,1,213,.2x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩ 所以作出函数()f x 的图象如图所示.从图中可知满足不等式()3f x ≤的解集为[1,1]-.（2）证明：从图中可知函数()y f x =的最小值为32，即32m =. 所以2232a b +=，从而227112a b +++=， 故221411a b +=++2222214[(1)(1)]()71a b a a b ++++=++2222214(1)[5()]711b a a b ++++≥++2222214(1)18[52]7117b a a b +++⋅=++. 当且仅当222214(1)11b a a b ++=++时，等号成立， 即216a =，243b =时，原式有最小值， 所以221418117a b +≥++得证.。

河南省郑州市九师联盟2023届高三考前押题卷文科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．3，6，9B ．6，7．如图，某景区为方便游客，计划在两个山头间的距离，施工单位测得以下数据：两个山头的海拔高度在BC 同一水平面上选一点A 45MAN ∠= ，则M ，N 间的距离为（A ．1002mB ．120m8．已知抛物线2:4E x y =，圆:C x 的最小值为（）A ．2B ．221-9．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长均相等，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（A ．66B ．1310．已知12,F F 分别为双曲线E ：a 与E 的左、右两支分别交于,A B 两点．若为（）A ．23B ．311．已知函数()sin cos sin cos 1x x f x x x +=+，将图像，则（）A ．π为()f x的一个周期B ．()f x 的值域为[-1，1]C ．()g x 的图像关于直线0x =对称D ．曲线()y f x =在点ππ,44f⎛⎛-- ⎝⎝12．设22e ,,2e ln 24ln 4a b c ===-A ．a b c>>B ．c b a>>二、填空题三、解答题17．无论是国际形势还是国内消费状况，经济形势，各地均出台了促进经济发展的各项政策，积极应对当前的经济形势，取得了较好的效果．某市零售行业为促进消费，开展了新一轮的让利促销的活动，活动之初，利用各种媒体进行大量的广告宣传．为了解大众传媒对本次促销活动的影响，随机抽取了6个大型零售卖场，得到其宣传费用的数据如下：卖场123456宣传费用2356812销售额303440455060(1)求y 关于x 的线性回归方程，并预测当宣传费用至少多少万元时额能突破100万元；(2)经济活动中，人们往往关注投入和产出比，传费用的比为λ，若9λ≥，则称这次宣传策划是高效的，否则为非高效的．从这卖场中随机抽取3家，求这3家卖场中至少有附：参考数据11752i i i nx y =∑=，回归直线方程分别为：122ˆˆˆn i i i n x y nx y b a y bx x nx=∑-⋅==-，．(1)求证：平面1A DE ⊥平面ABB (2)求点E 到平面11AC D 的距离．20．已知椭圆(2222:1x y E a a b +=A ，B 两点，当l 为双曲线22x a -(1)求E 的方程；(2)若过B 作x 轴的垂线，垂足为交E 于点P ，直线PB 的斜率为21．已知函数()2ln af x x x=+(1)若()f x 有两个不同的零点，求(2)若函数()()22xg x f x ax =-12ln 2ln 3x x +>.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线(1)求C 的直角坐标方程以及C (2)若直线l 与C 交于点A ，B ，与参考答案：8．B【分析】设()00,P x y ，二次函数的性质和圆的半径即可得到答案9．A【分析】先选一组基底，再利用向量加法和减法的三角形法则和平行四边形法则将两条异面直线的方向向量用基底表示，然后利用夹角公式求异面直线【详解】设1AA c = ，AB a=，AC 由题意，111cos 602a b ⋅=⨯⨯=，1a AB c =+ ，1BC b a c =-+ ，11()()AB BC b a c a c ∴⋅=+⋅-+= ()2212a c a a c c AB =+=+⋅+ ()21111BC b a c=-+=++- 1111116cos 6AB BC AB BC AB BC ⋅∴==，∴异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为故选：A.10．C【分析】由双曲线的定义可求出求出答案.【详解】由双曲线的定义，得AF故答案为：114．32【分析】由数量积的运算律求出2a b ⋅=，再由向量的模长公式即可得出答案【详解】由()()2222a b a b a a b b +⋅-=-⋅-又2AC BD AB ==,所以π2APC ∠=,设球O 与PA ,PC 的切点分别为E ,F ,连接OE ,OF ,因为OE OF =,所以OPE ∠=所以πsin24OE OP ==222⨯=.即球O 的半径2R =,所以球O 的表面积ABC 为等边三角形，O 为AB 1AA ⊥ 平面ABC ，CO ⊂平面又1AA AB A = ，1,AA AB ⊂平面,O F 分别为1,AB A D 中点，∴1111111111332D A B C A B C V S B D -=⋅=⨯ 1BD ∴=，3122OF +∴==，则∴四边形CEFO 为平行四边形，EF ⊂ 平面1A DE ，∴平面1A DE （2）取11A C 中点M ，连接1B M111A B C 为等边三角形，M 为1AA ⊥ 平面111A B C ，1B M ⊂平面1111AA A C A ⋂= ，111,AA A C ⊂11//B D CC ，1B D ⊄平面1ACC ∴点D 到平面11ACC A 的距离即为点22112222A D C D ==+= ，1112772A C D S ∴=⨯⨯= ；又1112112A C E S =⨯⨯= ，1B M =设点E 到平面11AC D 的距离为d 解得：217d =，即点E 到平面20．(1)22142x y +=(2)3【分析】（1）根据离心率、渐近线方程和点到直线距离公式即可得到相关方程，解出即可；（2）设()()1122,,,A x y P x y ,则B 与椭圆方程联立得到韦达定理式，计算【详解】（1）设E 的半焦距为【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是计算出直线到韦达定理式，再计算出1y+答案第15页，共15页。

文科数学押题卷(二)一、选择题：本大题共12小题， 每小题5分， 共60分。

在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A ＝{x |x ≤2}， B ＝{0， 1， 2， 3}， 则A ∩B ＝( )A ．{0， 1}B ．{0， 1， 2}C ．{1， 2}D ．{0， 1， 2， 3}2．已知复数z ＝1－2i（1＋i ）2， 则z 的虚部为( )A ．－12B ．12C ．－12iD ．12i3．某商家今年上半年各月的人均销售额(单位：千元)与利润率统计表如下：月份 1 2 3 4 5 6 人均销售额 6 5 8 3 4 7 利润率(%) 12.6 10.4 18.5 3.0 8.1 16.3根据表中数据， 下列说法正确的是( )A ．利润率与人均销售额成正相关关系B ．利润率与人均销售额成负相关关系C ．利润率与人均销售额成正比例函数关系D ．利润率与人均销售额成反比例函数关系4．已知a ＝⎝⎛⎭⎫13π， b ＝⎝⎛⎭⎫1312， c ＝π12， 则下列不等式正确的是( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >a >b D ．c >b >a5．已知某空间几何体的三视图如图所示， 其中正视图和侧视图是边长为3的正三角形，则该几何体的体积为( )A ．πB ．π2C ．3π8D ．π46．已知△ABC 的内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ， 若cos A ＝－35， cos B ＝45， a ＝20， 则c ＝( )A ．10B ．7C ．6D ．5 7．函数f (x )＝ln|x |·sin x 的图象大致为( )A B C D8．执行如图所示的程序框图， 则输出的k 值为( )A ．4B ．6C ．8D ．109．已知F 1， F 2为椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点， B 为C 的短轴的一个端点，直线BF 1与C 的另一个交点为A ， 若△BAF 2为等腰三角形， 则|AF1||AF2|＝( )A ．13B ．12C ．23 D ．310．数学中有很多公式都是数学家欧拉(Leonhard Euler)发现的， 它们都叫欧拉公式， 分散在各个数学分支之中， 任意一个凸多面体的顶点数V 、棱数E 、面数F 之间， 都满足关系式V －E ＋F ＝2，这个等式就是立体几何中的“欧拉公式”。

2022～2023学年高三押题信息卷文科数学（一）（答案在最后）注意事项：1．本卷满分150分，考试时间120分钟．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑．答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．5．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{|3},{ln(1)}A x xB x y x =≤=∈=-Z ∣，则A B = （）A.{1,0}-B.{0,1}C.{2,3}D.{0,1,2}【答案】C 【解析】【分析】解绝对值不等式求得集合A ，求函数的定义域求得集合B ，由此求得A B ⋂.【详解】{|3}{33}A x x xx =≤=-≤≤∣，.{ln(1)}{1}B x y x x x =∈=-=∈>Z Z ∣∣，所以{2,3}A B = ．故选：C2.已知复数z 满足3i 2z z +=，则()1i z -=（）A.5B.5C.5D.35【答案】B 【解析】【分析】法一：根据复数运算求解可得()32i 5z +=，再代入计算()1i z -即可；法二：根据复数的模长性质可得2i 3z -=，进而可得5z =，从而求解()1i z -即可.【详解】法一：由已知得()2i 3z -=，()()()()32i 32i 32i 2i 2i 5z ++∴===--+3(2i)(1i)93(1i)i 555z +-∴-==-93|(1i)|i 555z ∴-=-=．法二：由已知得()2i 3z -=，故2i 3z -=35||3,||5z z =∴=．|(1i)||1i |||55z z -=-==.故选：B ．3.三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥面ABC ，.AB BC ⊥则下列两条直线中，不互相垂直的是（）A.1AA 和BCB.1AB 和1BCC.1A B 和BCD.AB 和1B C【答案】B 【解析】【分析】根据线面垂直的性质以及判定即可得到线线垂直，由选项即可逐一求解.【详解】对于A ，因为1AA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1AA BC ⊥；对于B ，1AB 与1BC 不一定垂直；对于C ，因为1AA BC ⊥，AB BC ⊥，且1AA AB A = ，1,AA AB ⊂平面11ABB A ,所以BC ⊥平面11ABB A ，1AB ⊂平面11ABB A ,所以1AB BC ⊥；对于D ，因为1AA ⊥平面ABC ，11//CC AA ，所以1CC ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ,所以1CC AB ⊥，又AB BC ⊥，且1BC CC C ⋂=，1,BC CC ⊂平面11BCC B ,所以AB ⊥平面11BCC B ，又1B C ⊂平面11BCC B ，所以1AB B ⊥C .故选：B ．4.抛掷一枚骰子两次，第一次得到的点数记为x ，第二次得到的点数记为y ，则平面直角坐标系xOy 中，点(),x y 到原点O 的距离不大于4的概率为（）A.16B.736C.29D.14【答案】C 【解析】【分析】根据古典概型公式计算可得.【详解】基本事件共有36个，而满足点(,)x y 到原点O 的距离不大于4的基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2)共8个，所求概率为82369=．故选:C ．5.已知tan(),tan()αβαβ+-是方程2560x x ++=的两个根，则tan 2α=（）A.1- B.1C.2- D.2【答案】B 【解析】【分析】利用两角和的正切公式计算．【详解】由于tan(),tan()αβαβ+-是方程2560x x ++=的两个根，所以tan()tan()5αβαβ++-=-，tan()tan()6αβαβ+⋅-=，所以tan()tan()5tan 211tan()tan()16αβαβααβαβ++--===-+⋅--．故选：B ．6.执行下边的程序框图，输出的n =（）A.3B.4C.5D.6【答案】B 【解析】【分析】根据框图循环计算即可.【详解】执行第一次循环，2123b b a =+=+=，312,12a b a n n =-=-==+=，222231220.0124b a -=-=>；执行第二次循环，2347b b a =+=+=，725,13a b a n n =-=-==+=，222271220.01525b a -=-=>；执行第三次循环，271017b b a =+=+=，17512,14a b a n n =-=-==+=，2222171220.0112144b a -=-=<，此时输出4n =.故选：B7.如图，在平行四边形ABCD 中，,M N 分别为,AB AD 上的点，且42,53AM AB AN AD ==，连接,AC MN 交于P 点，若AP AC λ=，则λ的值为（）A.35B.57C.411D.815【答案】C 【解析】【分析】选,AB AD 为基底分别把,AP AC 表示出来，然后代入AP AC λ=中，,AB AD 的系数对应相等即可；本题也可以用排除法，显然12AP AC <，故12λ<，只有C 选项满足，故选C.【详解】设MP kMN=则45AP AM MP AB k MN=+=+显然2435MN AN AM AD AB=-=-得()42424153535k AP AB k AD AB AD k AB ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭显然AC AD AB=+因为AP ACλ=所以有()()24135k AD k AB AD AB λ+-=+ 即()24135k AD k AB AD AB λλ+-=+ 根据向量的性质可知()23415kk λλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得611411k λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故选：C8.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 过点F 与C 交于,A B 两点，若25||||4AF BF ⋅=，则直线l 的斜率为（）A.2B.54±C.32±D.43±【答案】D 【解析】【分析】根据题意设直线:(1)l y k x =-，()()1122,,,A x y B x y ，联立直线和抛物线方程，利用韦达定理即可求解.【详解】抛物线的焦点(1,0)F ，准线方程为 1x =-，设直线:(1)l y k x =-，()()1122,,,A x y B x y ，联立2(1),4,y k x y x =-⎧⎨=⎩得()2222220k x k x k -++=．则()21212222,1k x x x xk++==，()()()()21212122222425||||1111144k AF BF x x x x x x k k +⋅=++=+++=++=+=，解得43k =±．故选：D ．9.设()f x 是定义在R 上的周期为5的奇函数，(3)0f =，则()f x 在[0,10]内的零点个数最少是（）A.4B.6C.7D.9【答案】D 【解析】【分析】利用函数的周期性、奇偶性求区间零点的个数.【详解】因为()f x 是定义在R 上的周期为5的奇函数，所以(0)(5)(10)0f f f ===，又(3)0f =，所以(3)(8)f f =，则55(3)(2)(7)0,22f f f f f ⎛⎫⎛⎫-===-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则5555222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．所以5515550,5022222f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-===+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故零点至少有5150,2,,3,5,7,8,,1022，则()f x 在[0,10]内的零点个数最少是9．故选：D10.日常生活中，我们定义一个食堂的菜品受欢迎程度为菜品新鲜度．其表达式为R Nσ=，其中R 的取值与在本窗口就餐人数有关，其函数关系式我们可简化为 5.7547018.6xy -=+，其中y 为就餐人数（本窗口），x 为餐品新鲜度()R ，则当2N =，2000σ=时，y 近似等于（）（已知.75658.6 4.2310--≈⨯）A.470B.471C.423D.432【答案】A 【解析】【分析】根据题目将数据代入公式，结合指数函数单调性求解即可.【详解】当2N =，2000σ=时，200010002x R N σ====，因为.75658.6 4.2310--≈⨯，且 5.758.6x -单调递减，所以 5.7510008.60-⨯→，所以当1000x =时47047010y ≈=+，故选：A11.若关于x 的方程sin 22cos 22x x +=-在[0,π)内有两个不同的解,αβ，则cos()αβ-的值为（）A.5-B.5C. D.5【答案】D 【解析】【分析】利用辅助角公式化简已知方程，求得αβ-，进而求得cos()αβ-.【详解】关于x 的方程sin 22cos 22x x +=-在[0,π)内有两个不同的解,αβ，即sin(2)12x θ+=-（cos ,sin 55θθ==，取θ为锐角）在[0,π)内有两个不同的解,αβ，即方程sin(2)5x θ+=-在[0,π)内有两个不同的解,αβ．不妨令0παβ≤<<，由[0,π)x ∈，则2[,2π)x θθθ+∈+，所以sin(2),sin(2)55αθβθ+=-+=-，所以sin sin(2)sin(2)θαθβθ=-+=-+．则2π,22παθθβθθ+=++=-，即22π2αβθ-=-+，所以ππ,cos()cos sin 225αβθαβθθ⎛⎫-=-+-=-==⎪⎝⎭．故选：D ．12.已知菱形ABCD 的边长为2，60BAD ∠= ，将BCD △沿对角线BD 翻折，使点C 到点P 处，且二面角A BD P --的平面角的余弦值为13-，则此时三棱锥P ABD -的外接球的体积与该三棱锥的体积比值为（）A.223 B.82π3C.4πD.【答案】C 【解析】【分析】根据菱形性质和二面角平面角定义可知1cos 3AOP ∠=-，利用余弦定理求得PA 后，结合勾股定理可知PD DA ⊥，PB BA ⊥，由此可确定三棱锥的外接球半径为12PA =，代入球的体积公式可求得外接球体积；根据BD ⊥平面AOP ，结合棱锥体积公式可求得P ABD V -，作比即可得到结果.【详解】连接BD AC ，交于O ，连接PO ，易得O 为BD 与AC 的中点，四边形ABCD 为菱形，AC BD ∴⊥，即AO BD ⊥，PO BD ⊥，∴二面角A BD P --的平面角为AOP ∠，1cos 3AOP ∴∠=-；又2AB AD ==，60BAD ∠=，AO PO ∴==，2BD =；在AOP中，由余弦定理得：PA =；2PD AD == ，2PB AB ==，22222PD AD PB AB PA ∴+=+=，PD DA ∴⊥，PB BA ⊥，∴三棱锥P ABD -的外接球球心为PA中点，半径为12PA =∴三棱锥P ABD -的外接球体积3482ππ33V =⨯=；AO BD ⊥ ，PO BD ⊥，AO PO O = ，,AO PO ⊂平面AOP ，BD ∴⊥平面AOP ，1cos ,0180,3AOP AOP ∠=-︒<∠<︒ 22sin 3AOP ∴∠=，1sin 2AOP S AO PO AOP ∴=⋅∠= 12233P ABD AOP V S BD -∴=⋅=，∴三棱锥P ABD -的外接球的体积与该三棱锥的体积之比为82π34π3P ABDV V -==.故选：C .【点睛】关键点点睛：本题考查多面体的外接球问题的求解，解题关键是能够结合二面角的大小和勾股定理确定三棱锥的侧面PDA 和PBA 为直角三角形，并且有公共斜边PA ，结合直角三角形的性质确定三棱锥外接球球心即为PA 的中点.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.椭圆2214924y x +=与双曲线22124x y -=有公共点P ，则P 与双曲线两焦点连线构成三角形的周长为_________．【答案】24【解析】【分析】根据椭圆与双曲线方程得到椭圆与双曲线具有共同的焦点()10,5F ，()20,5F -，从而得到P 与双曲线两焦点的距离之和1214PF PF +=，再根据1210F F =，求出周长.【详解】由已知得椭圆与双曲线具有共同的焦点()10,5F ，()20,5F -，由椭圆定义可知：1214PF PF +=，故P 与双曲线两焦点的距离之和为14，又1210F F =，因此P 与双曲线两焦点连线构成三角形的周长为141024+=.故答案为：2414.在ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，满足cos cos sin A B C a b c +=，则sin sin sin CA B=_______．【答案】1【解析】【分析】解法1，先用正弦定理边角互化，再用和差和诱导公式求解即可；解法2：先用射影定理化简，用正弦定理边角互化即可求解.【详解】解法1：cos cos sin cos cos sin 1sin sin sin A B C A B Ca b c A B C+=⇒+==，而()()sin sin cos cos cos sin cos sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin A B C A B A B B A CA B A B A B A B A B π+-++====，∴sin 1sin sin CA B=．解法2：由射影定理，cos cos cos cos A B b A a B ca b ab ab++==，又由题意，cos cos sin A B C a b c +=，∴sin c C ab c =，故2sin c C ab =，∴2sin sin sin sin CC A B=，∵0C π<<，∴sin 0C >，故sin 1sin sin CA B=．故答案为：115.已知2()(,)f x x ax b a b =++∈R 在(0,1)和(1,2)上各有一个零点，则(1)f -的取值范围是________．【答案】(2,6)【解析】【分析】根据函数零点的定义，结合可行域进行求解即可.【详解】2()f x x ax b =++ 在(0,1)和在(1,2)上各有1个零点，()()()00,110,2420,f b f a b f a b ⎧=>⎪∴=++<⎨⎪=++>⎩画出它的可行域，如图所示：ABC 的内部．令(1)1z f a b =-=-+，则1b a z =-+，如图，当1b a z =-+过(1,0)B -时，2z =；当1b a z =-+过(3,2)A -时，6z =，故(1)f -的取值范围是(2,6)．故答案为：(2,6)16.若0a >，0b >，且(2e )ln (2e )ln at b a b b a a +-≥-，则实数t 的取值范围是________．【答案】[)e,+∞【解析】【分析】由已知等式可得2e ln b bt a a⎛⎫-≥-⎪⎝⎭，令0b x a =>，令()()2e ln f x x x =-，其中0x >，利用导数求出函数()f x 的最小值，可得出关于t 的不等式，即可解得实数t 的取值范围.【详解】因为()()2e ln 2e ln at b a b b a a +-≥-，所以()()2e ln ln 0at b a b a +--≥，因为0a >，所以2e ln b bt a a⎛⎫-≥-⎪⎝⎭，令0bx a=>，令()()2e ln f x x x =-，其中0x >，则()2e ln 1f x x x '=+-，其中0x >，因为函数ln 1y x =+、2ey x=-在()0,∞+上为增函数，所以，函数()f x '在()0,∞+上为增函数，又()2ee ln e 10ef '=+-=，由()0f x '<可得0e x <<，由()0f x ¢>可得e x >，所以，函数()f x 的单调递减区间()0,e ，单调递增区间为()e,+∞，所以，()()()min e e 2e ln e e f x f ==-=-，所以，e t -≤-，即e t ≥.故t 的取值范围为[)e,+∞．故答案为：[)e,+∞．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.某手机商家为了更好地制定手机销售策略，随机对顾客进行了一次更换手机时间间隔的调查．从更换手机的时间间隔不少于3个月且不超过24个月的顾客中选取350名作为调查对象，其中男性顾客和女性顾客的比值为32，商家认为一年以内（含一年）更换手机为频繁更换手机，否则视为未频繁更换手机．现按照性别采用分层抽样的方法随机抽取105人，并按性别分为两组，得到如下表所示的频数分布表：时间间隔（月）[]3,6(]6,9(]9,12(]12,15(]15,18(]18,21(]21,24男性x89191284女性y25121172（1）计算表格中,x y 的值；（2）请根据频率分布表填写22⨯列联表，并判断是否有99%以上的把握认为“频繁更换手机与性别有关”？频繁更换手机未频繁更换手机合计男性顾客女性顾客合计附表及公式：()20P K k ≥0.1000.0500.0100.0010k 2.7063.8416.63510.82822()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．【答案】（1）3,3x y ==（2）表格见解析，没有【解析】【分析】（1）根据男性顾客和女性顾客的比值、分层抽样的知识求得,x y .（2）根据已知条件填写22⨯列联表，计算2K 的值，由此作出判断.【小问1详解】由题知男性顾客共有33502105⨯=人，女性顾客共有23501405⨯=人，按分层抽样抽取105人，则应该抽取男性顾客21010563350⨯=人，女性顾客14010542350⨯=人；所以63(89191284)3,42(25121172)3x y =-+++++==-+++++=．【小问2详解】由频率分布表可知，在抽取的105人中，男性顾客中频繁更换手机的有20人，女性顾客中频繁更换手机的有10人，据此可得22⨯列联表：频繁更换手机未频繁更换手机合计男性顾客204363女性顾客103242合计3075105所以22()0.778()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=≈++++．因为0.778 6.635<，所以没有99%以上的把握认为“频繁更换手机与性别有关”.18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()221,30log 1n n n n S a b S =-=-+．（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）定义,*,a a ba b b a b>⎧=⎨≤⎩，记*n n n c a b =，求数列{}n c 的前20项和20T ．【答案】（1）12n n a -=，30n b n=-（2）1048679【解析】【分析】（1）根据,n n S a 的关系可得{}n a ，再代入求解{}n b 即可；（2）由（1）可得12n n a -=，30n b n =-，再逐项列举分析可得当6n ≥时，n n a b >，当5n ≤时，n n a b <，进而求解20T 即可.【小问1详解】因为21n n S a =-，当1n =时，1121S a =-，解得11a =；当2n ≥时，1121n n S a --=-，所以()112121n n n n S S a a --=----，即122n n n a a a -=-，所以12n n a a -=，即{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，所以12n n a -=，2121n n n S a =-=-，则()230log 130n n b S n =-+=-．【小问2详解】因为12n n a -=，即数列{}n a 为递增数列，30n b n =-，即数列{}n b 单调递减．12345629,28,27,26,25,24,b b b b b b ====== ，1234561,2,4,8,16,32,a a a a a a ====== ，所以当6n ≥时，n n a b >，当5n ≤时，n n a b <，所以,5,*, 6.n n n nn b n c a b a n ≤⎧==⎨≥⎩所以2012345620T b b b b b a a =+++++++ ()()151532125212b b -+=+-201352321048679=+-=．19.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为2，圆224x y +=与椭圆C 恰有两个公共点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知结论：若点()00,x y 为椭圆22221x y a b+=上一点，则椭圆在该点处的切线方程为00221x x y y a b +=．若椭圆C 的短轴长小于4，过点(8,)T t 作椭圆C 的两条切线，切点分别为,A B ，求证：直线AB 过定点．【答案】（1）22154x y +=或22143x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设椭圆C 的半焦距为c ，再分圆224x y +=在椭圆C 的内部和外部两种情况分别求解即可；（2）由题意椭圆C 的方程为22143x y +=，再设()()1122,,,A x y B x y ，得出切线,AT BT 的方程，将(8,)T t 代入,AT BT 可得,A B 的坐标都满足方程630x ty +-=即可得定点.【小问1详解】设椭圆C 的半焦距为c ．当圆224x y +=在椭圆C 的内部时，2222,1,5b c a b c ===+=，椭圆C 的方程为22154x y +=．当圆224x y +=在椭圆C 的外部时，2222,1,3a c b a c ===-=，椭圆C 的方程为22143x y +=．【小问2详解】证明：设()()1122,,,A x y B x y ．因为椭圆C 的短轴长小于4，所以C 的方程为22143x y +=．则由已知可得，切线AT 的方程为111,43x x y y BT +=的方程为22143x x y y+=，将(8,)T t 代入,AT BT 的方程整理可得，1122630,630x ty x ty +-=+-=．显然,A B 的坐标都满足方程630x ty +-=，故直线AB 的方程为630x ty +-=，令0y =，可得12x =，即直线AB 过定点1,02⎛⎫⎪⎝⎭．20.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PBC ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，,O E 分别是,BC PA 的中点，平面α经过点,,O D E ，且与棱PB 交于点F ．（1）试用所学知识确定F 在棱PB 上的位置；（2）若2PB PC CD ===，求多面体POCDEF 的体积．【答案】（1）F 在棱PB 的靠近B 的三等分点处（2）9．【解析】【分析】（1）过P 作直线l 与BC 平行，延长DE 与l 交于点G ，连接OG ，根据线面相交于平行的性质判断即可；（2）多面体POCDEF 的体积P OCD E POD E POF V V V V ---=++，再根据锥体体积公式，结合线面垂直的判定与性质求解即可.【小问1详解】过P 作直线l 与BC 平行，则//l AD ，故,l AD 共面，延长DE 与l 交于点G ，连接,OG OG 与PB 的交点即为点F ．因为底面ABCD 是正方形，O 是BC 的中点，所以AD BC ∥，且2AD OB =．又l BC ∥，所以l AD ∥，因为E 是PA 的中点，可得PG AD =，则2PG OB =，由平行线间交叉线的性质可得，PGF BOF ，所以2PF BF =．故F 在棱PB 的靠近B 的三等分点处．【小问2详解】连接,OP OE ，多面体POCDEF 的体积P OCD E POD E POF V V V V ---=++．因为2,PB PC O ==为BC 中点，所以22,3PO BC PO PC OC ⊥=-．又平面PBC⊥平面ABCD ，平面PBC ⋂平面,ABCD BC PO =⊂平面PBC ，PO ⊥平面BC ，所以PO ⊥平面ABCD ，而OD ⊂平面ABCD ，所以PO OD ⊥，所以11131233323P OCD OCD V S PO -=⨯⨯=⨯⨯⨯=△．因为E 为PA 中点，所以111113223222323E POD A POD P OAD V V V ---===⨯⨯⨯⨯=．因为F 为PB 的靠近B 的三等分点，所以22111131323323329E POF E POB A POB V V V ---==⨯=⨯⨯⨯=，所以33333399V =++=．故多面体POCDEF 的体积为739．【点睛】21.已知函数()ln (,,0)f x a x bx a b a =-∈≠R ．（1）求证：曲线()y f x =仅有一条过原点的切线；（2）若20a b =>时，关于x 的方程2()f x m x =-有唯一解，求实数m 的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）当016b <≤时，R m ∈；当16b >时，64ln 248m ≥-.【解析】【分析】（1）求导后得出切线方程，再代入原点求解即可；（2）化简可得22ln x m x x b b +-=有唯一解，再构造函数()22ln x g x x x b =+-，求导可得()222x bx b g x bx-+'=，再讨论根的情况，数形结合分析()g x 的极值与m b 的大小关系，结合恒成立问题求解即可.【小问1详解】()f x 的定义域为()0,∞+，()af x b x'=-，设切点()000,ln x a x bx -，则切线方程为()()0000ln a y a x bx b x x x ⎛⎫--=--⎪⎝⎭，当切线过原点时有()()00000ln 0a a x bx b x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭，即000ln a x bx a bx -=-，故()0ln 10a x -=，因为0a ≠，所以0e x =，即切点有且只有一个，则曲线()y f x =仅有一条过原点的切线，即得证.【小问2详解】关于x 的方程()2f x m x =-有唯一解，即方程22ln b x bx m x -=-，22ln x mx x b b+-=有唯一解，令()22ln x g x x x b =+-，则()222221x x bx bg x b x bx-+'=+-=.因为0b >，故当2160b b -≤，即016b <≤时，()0g x '≥，函数()y g x =单调递增，且当0x →时，()g x →-∞，当x →+∞时，()g x ∞→+.易知()g x 的图象与直线my b=有且仅有一个交点，满足题意，此时R m ∈；当2160b b ->，即16b >时，设2220x bx b -+=有两个根12,x x ，12x x <，则1282bx x +=>，1216x x b =>，故120x x <<.①若1204x x <<<，则当120,x x x x <<>时()0g x '>，()g x 单调递增；当12x x x <<时()0g x '<，()g x 单调递减，且当0x →时，()g x →-∞，当x →+∞时，()g x ∞→+.故要使得22ln x mx x b b +-=有唯一解，则()1m g x b >或()2m g x b <恒成立.此时211220x bx b -+=，即()21122x b x =-，21122x b x =-，1204x x <<<.则极大值()()2111111111112ln 22ln 2ln 122x g x x x x x x x b =+-=--+=--，令()12ln 12h x x x =--，则()21422x h x x x-'=-=，故当()0,4x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增；当()4,x ∞∈+时，()0h x '<，()h x 单调递减.所以()()()1142ln 4214ln 23g x h x h =<=--=-，又()1m g x b >恒成立，故4ln 23mb≥-，()()4ln 23164ln 2364ln 248m b ≥->⨯-=-；同理，极小值()22212ln 12g x x x =--，当24x >时无最小值，此时无实数m 使得()2mg x b<恒成立.②若14x =，则224420b b ⨯-+=，16b =，不满足2160b b ->；③若124<<x x ，由①可得64ln 248m ≥-；故当16b >时，64ln 248m ≥-.综上所述：当016b <≤时，R m ∈；当16b >时，64ln 248m ≥-.【点睛】方法点睛：本题利用导数解决函数零点问题的方法：（1）参变分离构造函数；（2）求导分析函数的单调性与极值，导数中有二次函数注意讨论无根与有根的情况；（3）导函数中二次函数有根时讨论极值点与特殊点的大小关系并讨论；（4）数形结合列不等式求解.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22.已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为2x t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩，（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为1ρθρ=+．（1）求直线l 的极坐标方程以及曲线C 的参数方程；（2）若直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求2211OMON+的值．【答案】（1）3πθ=（R ρ∈），2cos 2sin x y θθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）（2）5【解析】【分析】（1）以直角坐标方程为桥梁分别求得极坐标方程和参数方程.（2）将极坐标方程联立即可得到OM 与ON 可得2211OMON+.【小问1详解】由已知2x t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩，消去参数t得，y =，将sin y ρθ=，cos x ρθ=，代入上式化简整理得：3πθ=故直线l 的极坐标方程为3πθ=（R ρ∈）由1ρθρ=+得：21cos ρθ=+所以221x y -+=，故(224x y +=曲线C的参数方程为2cos 2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）【小问2详解】将直线l 的极坐标方程代入曲线C的极坐标方程得：210ρ-=解得：2ρ=，不妨设2OM =，2ON =所以22115OMON+==选修4-5：不等式选讲23.已知正实数满足4a b ab +=．（1）求a b +的最小值；（2）当a b +取得最小值时，,a b 的值满足不等式22x a x b t t -+-≥-对任意的x ∈R 恒成立，求实数t 的取值范围．【答案】（1）9（2）[]1,3-【解析】【分析】（1）化简4a b ab +=，由基本不等式即可求得a b +的最小值（2）利用绝对值三角不等式即可化简22x a x b t t -+-≥-，进而求出实数t 的取值范围【小问1详解】由题意∵4a b ab +=，∴411b a+=，∴()4145549a b a b a b b a b a ⎛⎫+=++=++≥+=⎪⎝⎭，当且仅当4a b b a=，即b ＝2a 时，a ＋b 有最小值9，由4a ＋b ＝ab ，可求得此时a ＝3，b ＝6．【小问2详解】由题意及（1）得3x a x b x a b x b a -+-=-+-≥-=．∵满足不等式22x a x b t t -+-≥-对任意的x ∈R 恒成立，所以232t t ≥-，解得13t -≤≤∴实数t 的取值范围为[]1,3-．。

决胜2024年高考数学押题预测卷07数学（新高考九省联考题型）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．抛物线24x y =-的准线方程是（）A.1y =B.1y =- C.2y = D.=2y -2．已知集合{}2R 230A x x x =∈--<，集合(){}2R log 21B x x =∈+<，则A B ⋂＝（）A.()3,2- B.()2,3- C.()2,0- D.()1,0-3．已知向量a ，b 满足3a = ，b = ()a ab ⊥+ ，则b 在a方向上的投影向量为（）A.3B.3-C.3a -D.a-r4．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A.若//,//,m n αα则//m n B.若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C.若m α⊥，m n ⊥，则//n α D.若//m α，m n ⊥，则n α⊥5．设0x >，0y >，122y x+=，则1x y +的最小值为（）A.32B. C.32+ D.36．阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年），古希腊著名数学家﹐主要著作有《圆锥曲线论》、《论切触》等.尤其《圆锥曲线论》是一部经典巨著，代表了希腊几何的最高水平，此书集前人之大成，进一步提出了许多新的性质.其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，其离心率e =，从2F 发出的光线经过双曲线C 的右支上一点E 的反射，反射光线为EP ，若反射光线与入射光线垂直，则21sin F F E ∠=（）A.56B.55C.45D.2557．若3sin cos θθ+=，则π1tan π8tan 8θθ⎛⎫+-⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭的值为（）A.7- B.14- C.17D.278．已知函数()()e 2,ln 2x f x x g x x x =+-=+-，若12,0x x ∃∈>R ，使得()()12f x g x =，则12x x 的最小值为（）A.e- B.1- C.1e- D.21e-二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知复数z z-，下列说法正确的是（）A.若0z z -=，则z 为实数B.若220z z +=，则0z z ==C.若i 1z -=，则||z 的最大值为2D.若|i |||1z z -=+，则z z -为纯虚数10．已知,A B 分别为随机事件,A B 的对立事件，满足()()01,01P A P B <<<<，则下列叙述可以说明事件A ，B 为相互独立事件的是（）A.()()P B P B A =∣B.()()P B A P B A=∣∣C.()()()P A P B P A B += D.()()()P AB P AB P B A +=∣11．已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，()f x 的图象关于点(2，0)对称，(0)(2)1g g ==，()()()()++-=g x y g x y g x f y ，则（）A.()f x 为偶函数B.()g x 为偶函数C.(1)(1)--=--+g x g x D.(1)(1)g x g x -=+三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．一组数据为3，5，1，6，8，2，记这组数据的上四分位数为n，则二项式2nx ⎛- ⎝展开式的常数项为__________．13.已知ABC 的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，CD =是ACB ∠的角平分线,满足sin sin 1sin sin sin sin A b B B C b A c B +=++,若3CD =，ABC的面积为，则c 的值为__________．14.若正四棱锥的棱长均为2，则以所有棱的中点为顶点的十面体的体积为________，该十面体的外接球的表面积为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．为考察药物M对预防疾病A以及药物N对治疗疾病A的效果，科研团队进行了大量动物对照试验．根据100个简单随机样本的数据，得到如下列联表：（单位：只）药物M疾病A未患病患病合计未服用301545服用451055合计7525100（1）依据0.1α=的独立性检验，分析药物M对预防疾病A的有效性；（2）用频率估计概率，现从患病的动物中用随机抽样的方法每次选取1只，用药物N进行治疗．已知药物N的治愈率如下：对未服用过药物M的动物治愈率为12，对服用过药物M的动物治愈率为34．若共选取3次，每次选取的结果是相互独立的．记选取的3只动物中被治愈的动物个数为X，求X的分布列和数学期望．附：()()()()()22n ad bca b c d a c b dχ-=++++，n a b c d=+++.α0.1000.0500.0100.001 xα2.7063.841 6.63510.82816．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是菱形，平面ABCD ⊥平面PAD ，点M 在DP 上，且2,,120DM MP AD AP PAD ==∠=︒．（1）求证：BD ⊥平面ACM ；（2）若60ADC ∠=︒，求平面ACM 与平面ABP 夹角的余弦值．17．已知函数()21e 2xf x ax x x =--.（1）当1a =时，讨论函数()f x 的单调性；（2）若不等式2321()ln 2f x x x x x x ≤-+-在1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭上恒成立，求实数a 的取值范围.18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n ，总存在正数,,p q r ，使得1,n n n n a p S q r -==-恒成立；数列{}n b 的前n 项和为n T ，且对任意正整数,2n n n T nb =恒成立．(1)求常数,,p q r 的值；(2)证明数列{}n b 为等差数列；(3)若22b =，记311221222222422n n n n n n n n n nn b n b n b n b n b P a a a a a ---+++++=+++⋯++，是否存在正整数k ，使得对任意正整数,n n P k ≤恒成立，若存在，求正整数k 的最小值；若不存在，请说明理由．19．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为3，直线l 与Γ相切，与圆O ：2223+=x y a 相交于A ，B 两点.当l 垂直于x 轴时，||AB =.（1）求Γ的方程；（2）对于给定的点集M ，N ，若M 中的每个点在N 中都存在距离最小的点，且所有最小距离的最大值存在，则记此最大值为,()d M N .（ⅰ）若M ，N 分别为线段AB 与圆O 上任意一点，P 为圆O 上一点，当PAB 的面积最大时，求,()d M N ；（ⅱ）若,()d M N ，(,)d N M 均存在，记两者中的较大者为(,)H M N .已知(,)H X Y ，(,)H Y Z ，(,)H X Z 均存在，证明：(,)(,)(,)≥+H X Z H Y Z H X Y .决胜2024年高考数学押题预测卷07数学（新高考九省联考题型）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

2021年全国高考数学押题试卷（文科）（一）（全国Ⅰ卷）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.若复数z满足z⋅(2−3i)=1−i，复数z的虚部是()A. 513i B. 513C. 113D. 113i2.集合A={x|y=ln(x−1)}，集合B={x||x|<2}，则B∩(∁R A)=()A. {x|−2<x≤1}B. {x|−2<x<2}C. {x|2≤x}D. {x|1<x≤2}3.重点高中对数学竞赛非常的重视，现在用茎叶图记录了甲、乙两组某次选拔赛的数学成绩，其中甲组数据的中位数恰是乙组数据的平均数，则m=()A. 1B. 2C. 3D. 44.函数f(x)=2e x的图象与函数g(x)=1x+5的图象交点所在的区间可能为()A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)5.等比数列{a n}中，a1+a2+a3=3，a4+a5+a6=6，则{a n}的前12项和为()A. 90B. 60C. 45D. 326.在四面体ABCD中，BC=BD=CD=2，AB=2√3，N是棱AD的中点，CN=√3，则异面直线AB与CN所成的角为()A. π3B. π6C. π4D. π27.排球比赛场地为长18米宽为9米的长方形，均分两个半场．现将每个半场的底线两角处分割出两个半径均是2米的四分之一圆的扇形区域(如图)，球员发球后球落在扇形区域称为“优质球”.若某名球员从一侧发球，球一定落在另一半场且落的每一个地方的可能性相同，则该名球员所发的球是“优质球”的概率是()(其中π≈3)A. 19B. 29C. 227 D. 4278. 把函数f(x)=sin(3x +φ)的图象向左平移5π12个单位后，得到函数y =g(x)的图象，若函数y =g(x)是偶函数，则下列数中可能是φ的值的为( )A. 3π4B. π3C. π6D. π49. 已知直线l ：3x +4y =15与圆O ：x 2+y 2=r 2(r >0)相离，过直线l 上的动点P做圆O 的一条切线，切点为C ，若△OPC 面积的最小值是√2，则r =( )A. 1B. 2√2C. 1或2√2D. 210. 如图在正方体ABCD −A′B′C′D′中，点M 为AB 的中点，点N 为BC 的中点，点P在底面ABCD 内，且DP//平面C′MN ，D′P 与底面ABCD 所成的角为α，则sinα的最大值为( )A. 13B. √33C. √32D. 2√2311. 已知椭圆C 1和双曲线C 2有公共焦点F 1(−c,0)，F 2(c,0)，C 1和C 2在第一象限的交点为P ，∠F 1PF 2=π3且双曲线的虚轴长为实轴长的√2倍，则椭圆的离心率为( )A. 12B. √33C. √22D. √212. 已知数列{a n }满足a n+1+a n 2+a n +1=0(n ∈N ∗)，且{a n }中任何一项都不为−1，设数列{1a n}的前n 项和为S n ，若S 2021=3a 2022+2a 2022+1，则a 1的值为( )A. 23B. 1C. 32D. −23二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,3)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−1)，|EF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−5，cos <AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，EF⃗⃗⃗⃗⃗ >=______． 14. 已知实数x ，y 满足约束条件{x −y +1≥02x −y −3≤0x +y ≥0，则z =x+y+3x+1的最大值是______．15.已知α，β为锐角，且cos(α+β)+2cos(α−β)=sinαsinβ，则tan(α−β)的最大值是______．16.已知函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f(x)为单调函数且对任意的x∈(0,+∞)都有f(f(x)−lnx)=1，若方程f(x)=tx+1有两解，则实数t的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且cosCcosB =2a−cb．(1)求证：三内角A，B，C成等差数列；(2)若△ABC的面积为3√32，2sinA=3sinC，求△ABC的周长．18.已知如图，四边形ABCD为平行四边形，BD⊥CD，EB⊥平面ABCD，EF//CD，CD=2，EB=√3，EF=1，BC=√13，且M是AD的中点．(1)求证：FM//平面BDE；(2)求三棱锥C−ABF的体积V．19.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点F在抛物线y2=8x的准线上，且椭圆C经过点A(√6,1)．(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A1，A2，过A1，A2分别作长轴的垂线l1，l2，椭圆C的一条切线l：y=kx+t与直线l1，l2分别交于M，N两点．求证：以MN为直径的圆经过定点F．20.“不忘初心、牢记使命”主题教育活动正在全国开展，某区政府为统计全区党员干部一周参与主题教育活动的时间，从全区的党员干部中随机抽取n名，获得了他们一周参加主题教育活动的时间(单位：时)的频率分布直方图，如图所示，已知参加主题教育活动的时间在(12,16]内的人数为92．(1)估计这些党员干部一周参与主题教育活动的时间的平均值；(2)用频率估计概率，如果计划对全区一周参与主题教育活动的时间在(16,24]内的党员干部给予奖励，且参与时间在(16,20]，(20,24]内的分别获二等奖和一等奖，通过分层抽样方法从这些获奖人中随机抽取5人，再从这5人中任意选取3人，求3人均获二等奖的概率．21.已知函数f(x)=x−1+ae x(a∈R,e为自然对数的底数)．(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；(2)求函数f(x)的极值．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=√2cosθy=√6sinθ(θ为参数)，曲线C2的普通方程为：x2+y2−8x=0，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；(2)在极坐标系中，射线θ=π3与曲线C1，C2分别交于A，B两点(异于极点O)，定点M(√3,0)，求△ABM的面积．23.已知函数f(x)=|2x−1|−|x+1|．(1)解不等式f(x)<2；(2)若关于x的不等式f(x)+3|x+1|<a2−2a的解集不是空集，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵z⋅(2−3i)=1−i，∴z=1−i2−3i =(1−i)(2+3i)(2−3i)(2+3i)=2+3i−2i+513=513+113i，∴复数z的虚部为113．故选：C．根据已知条件，结合复数虚部的概念和复数代数形式的乘法运算，即可求解．本题主要考查了复数虚部的概念和复数代数形式的乘法运算，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：∵A={x|x>1}，B={x|−2<x<2}，∴∁R A={x|x≤1}，B∩(∁R A)={x|−2<x≤1}．故选：A．可求出集合A，B，然后进行交集和补集的运算即可．本题考查了集合的描述法的定义，对数函数的定义域，绝对值不等式的解法，交集和补集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：由图可知甲组数据由低到高依次是：79，82，85，94，97，所以甲组数据的中位数为85即乙组数据的平均数为85，所以85═78+80+m+85+87+945，解得m=1，故选：A．由茎叶图确定各数据，然后根据中位数和平均数的定义可求解．本题考查茎叶图，茎叶图的优点是可以保存数据的原始状态，没有数据损失，从茎叶图上可以看出两组数据的稳定程度．4.【答案】B+5的图象交点的横坐标，【解析】解：函数f(x)=2e x的图象与函数g(x)=1x−5的零点，即求函数ℎ(x)=f(x)−g(x)=2e x−1x>0，由于函数ℎ(x)是连续增函数，且ℎ(1)=2e−6<0，ℎ(2)=2e²−112故ℎ(1)ℎ(2)<0，故函数ℎ(x)的零点所在区间是(1,2)，故选：B．−5的零点，根据ℎ(1)ℎ(2)<0，可得题目转化为求函数ℎ(x)=f(x)−g(x)=2e x−1x函数ℎ(x)的零点所在区间．本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，函数零点的判定定理，体现了化归与转化的数学思想，属于中档题．5.【答案】C【解析】解：∵等比数列{a n}中，a1+a2+a3=3，a4+a5+a6=6，由等比数列的性质得：a1+a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9，a10+a11+a12也成等比数列，∴由a1+a2+a3=3，a4+a5+a6=6，得a7+a8+a9=12，a10+a11+a12=24，∴{a n}的前12项和为：3+6+12+24=45．故选：C．由等比数列的性质得：a1+a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9，a10+a11+a12也成等比数列，由此能求出{a n}的前12项和．本题考查等比数列的前12项和的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】A【解析】解：取BD的中点为M，N是棱AD的中点，MN//AB，∴∠MNC(或补角)为异面直线AB与CN所成的角，在△CMN中，MN=12AB=√3，CM=CN=√3，即△CMN是等边三角形，∴∠MNC=π3，故异面直线AB与CN所成的角为π3．故选：A．取BD的中点为M，可得∠MNC(或补角)为异面直线AB与CN所成的角，在△CMN中，可解得∠MNC．本题主要考查异面直线及其所成的角，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：根据题意，两个扇形区域的面积之和S1=2×(14×π×22)≈6m2，半个场地的面积S=9×9=81m2，则该名球员所发的球是“优质球”的概率P=S1S =681=227；故选：C．根据题意，计算两个扇形区域的面积之和以及半个场地的面积，由几何概型公式计算可得答案．本题考查几何概型的计算，注意几何概型的计算公式，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：把函数f(x)=sin(3x+φ)的图象向左平移5π12个单位后，得到函数y=g(x)=sin(3x+5π4+φ)的图象，若函数y=g(x)是偶函数，则5π4+φ=kπ+π2，k∈Z，令k=1，可得φ=π4，故选：D．由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，三角函数的奇偶性，得出结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，三角函数的奇偶性，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：∵圆O：x2+y2=r2(r>0)的圆心O(0,0)，当点P与圆心的距离最小时，切线长PC最小，此时△OPC的面积最小，|PO|min=|15|√32+42=3，则|PC|min=√9−r2，此时S△OPC=12|PC|r=12⋅√9−r2⋅r=√2，解得r=1或2√2．故选：C．求出圆心O到直线l的距离，利用勾股定理求得PC的最小值，代入三角形面积公式即可求得r值．本题考查直线与圆的位置关系，明确P到圆心距离最小时△OPC的面积最小是关键，是基础题．10.【答案】D【解析】解：设AD的中点为S，CD的中点为T，因为D′S//C′N，ST//MN，且D′S∩ST=S，C′N∩MN=N，D′S，ST⊂平面D′ST，C′N，MN⊂平面C′MN，所以平面D′ST//平面C′MN，故点P在ST上时，D′P//平面C′MN，不妨设正方体的棱长为1，当点P为ST的中点时，DP取得最小值√24，此时D′P 与底面ABCD 所成的角α=∠D′PD 最大， 此时sinα=DD′D′P =√98=2√23．故选：D ．设AD 的中点为S ，CD 的中点为T ，利用面面平行的判定定理的推论，可得平面D′ST//平面C′MN ，从而得到点P 在ST 上时，D′P//平面C′MN ，设正方体的棱长为1，确定点P 为ST 的中点时，DP 取得最小值D′P 与底面ABCD 所成的角最大，在三角形中由边角关系求解即可．本题考查了空间角的求解，主要考查了线面角的求解，在使用几何法求线面角时，可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得，属于中档题．11.【答案】B【解析】解：设椭圆的半长轴为a 1，双曲线实半轴为a 2，双曲线的虚半轴长为b 2， 椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，由定义知：{|PF 1|+|PF 2|=2a 1|PF 1|−|PF 2|=2a 2，可得|PF 1|=a 1+a 2，|PF 2|=a 1−a 2，设|F 1F 2|=2c ，∠F 1PF 2=π3，由余弦定理得：4c 2=(a 1+a 2)2+(a 1−a 2)2−2(a 1+a 2)(a 1−a 2)⋅cos π3，化简得：a 12+3a 22=4c 2，∴a 12c2+3a 22c 2=4，即1e 12+3e 22=4，∵b 2=√2a 2，∴c 22−a 22=2a 22，故e 22=3， ∴1e 12+33=4，即e 1=√33．故选：B ．设椭圆的半长轴为a 1，双曲线实半轴为a 2，双曲线的虚半轴长为b 2，椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，由椭圆与双曲线的定义列式可得|PF 1|=a 1+a 2，|PF 2|=a 1−a 2，再由余弦定理得a 12+3a 22=4c 2，求得1e 12+3e 22=4，由已知求得e 2，即可得到椭圆的离心率．本题考查椭圆与双曲线的几何性质，考查余弦定理等应用，考查运算求解能力，是中档题．12.【答案】D【解析】解：由a n+1+a n 2+a n +1=0，得−a n+1−1=a n (a n +1)，所以−1an+1+1=1a n (a n +1)=1a n −1a n +1，即1a n=1an +1−1a n+1+1，所以S n =1a 1+1a 2+⋯+1a n=(1a1+1−1a 2+1)+(1a 2+1−1a 3+1)+⋯+(1a n+1−1a n+1+1)=1a 1+1−1a n+1+1，则S 2021=1a1+1−1a 2022+1=3a 2022+2a 2022+1；故1a1+1=3a 2022+2a 2022+1=3a 2022+3a 2022+1=3，解得a 1=−23．故选：D ．由a n+1+a n 2+a n +1=0可得−a n+1−1=a n (a n +1)，从而1a n=1an+1−1an+1+1，所以S n =1a 1+1a 2+⋯+1a n=(1a 1+1−1a 2+1)+(1a 2+1−1a 3+1)+⋯+(1a n +1−1a n+1+1)=1a 1+1−1a n+1+1，可得S 2021=1a 1+1−1a 2022+1=3a 2022+2a 2022+1；再结合S 2021=3a 2022+2a 2022+1即可求出a 1．本题主要考查数列的递推公式，涉及裂项相消求和法，考查学生的归纳推理和运算求解的能力，属于中档题．13.【答案】−13【解析】解：因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,3)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−1)， 所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2)， 所以|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5，|EF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3√5， 所以cos <AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|EF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5×3√5=−13． 故答案为：−13．根据平面向量的线性和数量积的坐标运算法则，即可得解．本题考查平面向量的坐标运算，熟练掌握平面向量的线性和数量积的坐标运算法则是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．14.【答案】6【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立{x +y =0x −y +1=0，A(−12,12)，由z =x+y+3x+1=y+2x+1+1，其几何意义为可行域内的动点与定点P(−1,−2)连线的斜率加1，而k PA =12+2−12+1=5，则z =x+y+3x+1的最大值是6．故答案为：6．由约束条件作出可行域，由z =x+y+3x+1=y+2x+1+1，其几何意义为可行域内的动点与定点P(−1,−2)连线的斜率加1，则答案可求．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．15.【答案】√33【解析】解：∵cos(α+β)+2cos(α−β)=sinαsinβ，∴3cosα⋅cosβ+sinα⋅sinβ=sinαsinβ，两边同时除以cosα可得，3cosβ+tanαsinβ=tanαsinβ，∴3cosβsinβ+tanαsin 2β=tanα，化简可得，tanα=3tanβ， ∵α，β为锐角，即tanα>0，tanβ>0，∴tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanα⋅tanβ=2tanβ1+tanα⋅tanβ=2tanβ1+3tan 2β=21tanβ+3tanβ≤2√1tanβ⋅3tanβ=√33，当且仅当1tanβ=3tanβ，即tanβ=√33时，等号成立，故tan(α−β)的最大值是√33．故答案为：√33．根据已知条件，运用三角函数的恒等变换，可推得tanα=3tanβ，再结合正切函数的两角差公式以及均值不等式的公式，即可求解．本题主要考查了正切函数的两角差公式以及均值不等式的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．16.【答案】(0,1e)【解析】解：令f(x0)=1，则f(x)−lnx=x0，所以f(x)=lnx+x0，因为f(x0)=1，所以lnx0+x0=1，解得x0=1，则f(x)=lnx+1，故方程f(x)=tx+1化简可得tx=lnx，则t=lnxx，令g(x)=lnxx ，则g′(x)=1−lnxx2=0时，x=e，故当x∈(0,e)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，当x∈(e,+∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，所以当x=e时，函数有最大值g(e)=1e，当x→+∞时，g(x)→0，当x→0时，g(x)→−∞，作出函数g(x)的图像如图所示：由图可知，实数t的取值范围为(0,1e)，故答案为：(0,1e).由题意可得f(x)=lnx+1，方程f(x)=tx+1可变形得t=lnxx，构造函数g(x)=lnxx(x>0)，利用导数得到该函数的单调性及最值，作出图像，数形结合即可．本题考查函数的图象与性质的综合运用问题，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，是较难的题目．17.【答案】解：(1)证明：因为cosCcosB =2a−cb，所以(2a−c)cosB=bcosC，由正弦定理可得(2sinA−sinC)cosB=sinBcosC，所以2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)=sinA，因为A∈(0,π)，sinA≠0，所以cosB=−12，因为B∈(0,π)，所以B=π3，又A+B+C=π，则A+C=2π3，所以2B=A+C，也即A，B，C成等差数列，得证．(2)因为2sinA=3sinC，由正弦定理可得2a=3c①，由S△ABC=12acsinB=12acsinπ3=3√32，可得ac=6，②，由①②可得a=3，c=2，因为b2=a2+c2−2accosB=7，所以b=√7，故△ABC的周长为5+√7．【解析】(1)由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式，结合sinA≠0，可得cosB=−12，结合范围B∈(0,π)，可得B的值，进而利用三角形内角和定理即可证明．(2)由已知利用正弦定理可得2a=3c，利用三角形的面积公式可得ac=6，联立解得a，c的值，进而根据余弦定理即可求解b的值，即可得解三角形的周长．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦公式，三角形内角和定理，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】(1)证明：取BD的中点N，连接MN，NE，在△ABD中，∵M是AD的中点，∴MN//AB，且MN=12AB，又∵EF//CD，CD//AB，CD=AB，∴EF=12AB，∴MN//EF且MN=EF，则四边形MNEF为平行四边形，∴FM//EN，又∵EN⊂平面BDE，FM⊄平面BDE，∴FM//平面BDE；(2)解：∵EB⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥BE，又∵BD⊥CD，CD//AB，∴BD⊥AB，∵AB∩BE=B，∴BD⊥平面ABEF，由于CD//平面ABEF，∴C到平面ABEF的距离为BD=√BC2−CD2=3．而S△ABF=12⋅AB⋅BE=12×2×√3=√3，∴V C−ABF=13×3×√3=√3，即三棱锥C−ABF的体积是√3．【解析】(1)取BD的中点N，连接MN，NE，证明四边形MNEF为平行四边形，可得FM//EN，再由直线与平面平行的判定可得FM//平面BDE；(2)由EB⊥平面ABCD，得BD⊥BE，再证明BD⊥AB，可得BD⊥平面ABEF，从而得到C到平面ABEF的距离为BD=√BC2−CD2=3，求出三角形ABF的面积，再由棱锥体积公式求解．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．19.【答案】解：(1)抛物线y2=8x的准线为x=−2，由于椭圆C的交点F在x=−2上，所以F点坐标为(−2,0)，又椭圆C经过点A(√6,1)，所以{6a2+1b2=1a2=b2+4，解得a=2√2，b=2，所以椭圆C的方程为x28+y24=1．(2)证明：由(1)知，l1的方程为x=−2√2，l2的方程为x=2√2，直线l：y=kx+t与l1，l2分别交于M，N两点，所以M(−a,−ka+t)，N(a,ka+t)，联立{y=kx+t x28+y24=1，得(1+2k2)x2+4ktx+2t2−8=0，因为直线l与椭圆C相切，所以△=0，即16k2t2−4(1+2k2)(2t2−8)=0，则t2=8k2+4，又MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2+a,ka −t)⋅(−2−a,−ka −t)=4−a 2+t 2+k 2a 2=−4+t 2−8k 2=0， 所以MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥NF⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以∠MFN =90°(为定值)，所以MN 为直径的圆经过定点F(−2,0)．【解析】(1)由物线y 2=8x 的方程得准线为x =−2，推出F 点坐标为(−2,0)，又椭圆C 经过点A(√6,1)，列方程组，解得a ，b ，即可得出答案．(2)由(1)知，l 1的方程为x =−2√2，l 2的方程为x =2√2，则M(−a,−ka +t)，N(a,ka +t)，联立直线l 与椭圆的方程，得关于x 的一元二次方程，由直线l 与椭圆C 相切，得△=0，化简得t 2=8k 2+4，又MF⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则∠MFN =90°(为定值)，即可得出答案． 本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交的问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)由已知可得a =1÷4−(0.0250+0.0475+0.0500+0.0125)=0.1150，所以这些党员干部一周参加主题教育活动的时间的平均值为(6×0.0250+10×0.0475+14×0.1150+18×0.0500+22×0.0125)×4=13.64． (2)因为0.1150×4×n =92，所以n =920.1150×4=200．故参与主题教育活动的时间在(16,20]的人数为0.0500×4×200=40， 参与主题教育活动的时间在(20,24]的人数为0.0125×4×200=10．则利用分层抽样抽取的人数：在(16,20]内为4人，设为a ，b ，c ，d ，在(20,24]内为1人，设为A ．从这5人中选取3人的事件空间为：{(a,b ，c)，(a,b ，d)，(a,b ，A)，(a,c ，A)，(a,d ，A)， (b,c ，d)，(b,c ，A)，(b,d ，A)，(c,d ，A)}，共10种情况， 其中全是二等奖的有4种情况， 故3人均获二等奖的概率P =410=25．【解析】(1)由频率分布直方图能求出这些党员干部一周参加主题教育活动的时间的平均值．(2)由频率分布直方图求出n =920.1150×4=200.从而参与主题教育活动的时间在(16,20]的人数为40，参与主题教育活动的时间在(20,24]的人数为10.利用分层抽样抽取的人数：在(16,20]内为4人，设为a ，b ，c ，d ，在(20,24]内为1人，设为A.从这5人中选取3人，利用列举法能求出3人均获二等奖的概率．本题考查平均数、概率的求法，考查频率分布直方图、列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．21.【答案】解：(1)由f(x)=x −1+a e x ，得f′(x)=1−ae x ，又曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x 轴， ∴f′(1)=0，即1−ae =0，解得a =e ； (2)f′(x)=1−a e x，①当a ≤0时，f′(x)>0，f(x)为(−∞,+∞)上的增函数，所以f(x)无极值； ②当a >0时，令f′(x)=0，得e x =a ，x =lna ， x ∈(−∞,lna)，f′(x)<0；x ∈(lna,+∞)，f′(x)>0； ∴f(x)在(−∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增，故f(x)在x =lna 处取到极小值，且极小值为f(lna)=lna ，无极大值． 综上，当a ≤0时，f(x)无极值；当a >0时，f(x)在x =lna 处取到极小值ln a ，无极大值．【解析】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于中档题．(1)求出f(x)的导数，依题意，f′(1)=0，从而可求得a 的值； (2)f′(x)=1−a e x，分①a ≤0;②a >0讨论f(x)的单调性，从而可求其极值．22.【答案】解：(1)曲线C 1的参数方程为{x =√2cosθy =√6sinθ(θ为参数)，转换为直角坐标方程为x 22+y 26=1；根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，转换为极坐标方程为ρ2=61+2cos 2θ．曲线C 2的普通方程为：x 2+y 2−8x =0，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2转换为极坐标方程为ρ=8cosθ．(2)由于定点M(√3,0)，所以点M 到直线θ=π3的距离d =√3sin π3=32． 故{ρ2=61+2cos 2θθ=π3，解得ρA =2，由于ρB =8cos π3=4， 所以|AB|=|ρA −ρB |=2， 所以S △ABM =12×2×32=32．【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换； (2)利用点到直线的距离公式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角形的面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】解：(1)f(x)={x −2,x ≥12−3x,−1<x <12−x +2,x ≤−1，当x ≥12时，x −2<2，解得：x <4，即12≤x <4， 当−1<x <12时，−3x <2，解得：x >−23，即−23<x <12， 当x ≤−1时，−x +2<2，解得：x >0，即不等式无解， 综上，不等式的解集是(−23,4)；(2)f(x)+3|x +1|=|2x −1|+2|x +1|=|2x −1|+|2x +2|≥3， 结合题意a 2−2a >3，解得：a <−1或a >3， 故a 的取值范围是(−∞,−1)∪(3,+∞)．【解析】(1)求出f(x)的分段函数的形式，通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可； (2)求出f(x)+3|x +1|的最小值，得到关于a 的不等式，解出即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查不等式的性质以及转化思想，是中档题．。

2020年全国普通高等学校统一招生考试（新课标II 卷）押题猜想卷数 学（文）第I 卷 选择题（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}16,M x x x N =<<∈，{}1,2,3N =-，那么M N =I （ ）A ．{}1,2,3,4B ．{}1,2,3,4,5C ．{}2,3D ．{}2,3,4 【答案】C【解析】 {}{}16,2,3,4,5M x x x N =<<∈=Q ，因此，{}2,3M N =I ，故选：C.2. 复数i i 1z =-的虚部为（ ） A ．12 B ．12- C ．1i 2 D ．1i 2- 【答案】B【解析】i i 1z =-(1)(1)(1)i i i i --=-+--111222i i -==-, 所以复数z 的虚部为12-. 故选：B3．函数()3cos x x f x x x -=+在-22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，的图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】因为()33()()()cos cos()x x x x f x f x x x x x ----==-=--+-+- 又定义域关于原点对称，故该函数为奇函数，排除B 和D. 又21124f ππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，故排除C . 故选：A.4．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．现齐王与田忌各出上等马、中等马、下等马一匹，共进行三场比赛，规定：每一场双方均任意选一匹马参赛，且每匹马仅参赛一次，胜两场或两场以上者获胜．则田忌获胜的概率为（ ）A ．13B ．16C ．19D ．136【答案】B【解析】设齐王的上等马、中等马、下等马分别为A ，B ，C ，设田忌的上等马、中等马、下等马分别为a ，b ，c ，每一场双方均任意选一匹马参赛，且每匹马仅参赛一次，胜两场或两场以上者获胜．基本事件有：(Aa ，Bb ，)Cc ，(Aa ，Bc ，)Cb ，(Ab ，Bc ，)Ca ，(Ab ，Bc ，)Ca ，(Ac ，Bb ，)Ca ，(Ac ，Ba ，)Cb ，共6个，田忌获胜包含的基本事件有：(Ac ，Ba ，)Cb ，只有1个，∴田忌获胜的概率为16p =． 故选：B. 5.已知向量,a b v v 满足5,4,61a b b a ==-=v v v v ,则a v 与b v 的夹角θ=( )A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°【答案】B【解析】由||b a -=r r ()2226126125254cos 1661b a a a b b θ-=⇒-⋅+=⇒-⨯⨯+=r r r r r r . 解得1cos 2θ=-.因为[]0,180θ∈︒,故θ=120°. 故选：B6．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线为y =，则双曲线的离心率为（ ）A B ．2 C D 【答案】D【解析】∵双曲线2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线为y =，∴b a=∴双曲线的离心率为e c a === 故选：D ．7．已知ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，ABC ∆的外接圆的面积为3π，且222cos cos cos A B C -+1sin sin A C =+，则ABC ∆的最大边长为（ ）A ．2B ．3CD ．【答案】B【解析】ABC ∆的外接圆的面积为23R R ππ=∴=222cos cos cos 1sin sin A B C A C -+=+则2221sin 1sin 1sin 1sin sin A B C A C --++-=+222sin sin sin sin sin 0A B C A C -++=，根据正弦定理：2220a c b ac +-+=根据余弦定理：22212cos cos 1202a c b ac B ac B B +-==-∴=-∴∠=︒故b 为最长边：2sin 3b R B ==故选B .8．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是34，则判断框中应填入的条件是（ ）A ．i>5B ．i<5C ．i>4D ．i<4【答案】D【解析】经判断此循环为“直到型”结构，判断框为跳出循环的语句，第一次循环：110112122S i =+==+=⨯，；第二次循环：1122132233S i =+==+=⨯，；第三次循环：2133143344S i =+==+=⨯，，此时退出循环，根据判断框内为跳出循环的语句，4i ∴<？，故选D ．9．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为（ ）A ．22 B 3C 5D ．72【答案】C【解析】在正方体1111ABCD A B C D -中，//CD AB ，所以异面直线AE 与CD 所成角为EAB ∠，设正方体边长为2a ，则由E 为棱1CC 的中点，可得CE a =，所以5BE a =， 则55tan 22BE a EAB AB a ∠===.故选C.点睛：求异面直线所成角主要有以下两种方法：（1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角；（2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.10．关于函数()sin cos f x x x =+有下述四个结论：①()f x 是周期函数；②()f x 的最小值为2-；③()f x 的图象关于y 轴对称；④()f x 在区间42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增.其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④【答案】B【解析】①()()()2sin 2cos 2sin cos f x x x x x πππ+=+++=+ ()()2f x f x π∴+=，()f x ∴是周期为2π的周期函数，故①正确；②()f x Q 的周期是2π，所以分析[]0,2x π∈时函数的值域，当[)0,x Îp 时，()sin cos 24f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ ，5,444x πππ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭Q ，sin 42x π⎛⎤⎛⎫∴+∈- ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦， ()f x ∴的值域是(-，当[],2x ππ∈时，()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭，59,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，cos 42x π⎡⎤⎛⎫∴+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦， ()f x ∴的值域是⎡-⎣，综上可知函数()f x 的值域是⎡-⎣，最小值是-1，故②不正确；③()()()()sin cos sin cos f x x x x x f x -=-+-=+=()f x ∴是偶函数，关于y 轴对称，故③正确；④由②知，当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ， 3,424x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ ，而sin y x =在423,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故④不正确. 综上可知，正确编号是①③.故选：B11．已知1F ，2F 为椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左右焦点，在椭圆E 上存在点P ，满足212PF F F =且2F 到直线1PF 的距离等于b ，则椭圆E 的离心率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】B【解析】 由已知得2122PF F F c ==，根据椭圆的定义可得121222PF PF a PF a c +=⇒=-，又2F 到直线1PF 的距离等于b ，即2F H b =，由等腰三角形三线合一的性质可得：21F H PF ⊥，可列方程：()()22222220a c b c a ac c -+=⇒--=()()120202a c a c a c e ⇒-+=⇒-=⇒=，故选：B. 12.已知是定义在R 上的奇函数，满足()()20f x f x -+=，且当[)0,1x ∈时，()1x f x x =-，则函数()()2sin g x f x x π=+在区间()3,5-上的所有零点之和为（ ）A ．13B ．18C ．15D ．17【答案】C【解析】由()()20f x f x -+=知()f x 关于()1,0成中心对称.又()f x Q 为奇函数，则()f x 周期为2.易知，()()()()10,350,10===-=f f f f作出函数()f x 在区间()3,5-图像如图所示.所以()2sin x x ϕπ=-在()3,5-间，所有零点之和为()()()8404210123415+++-+-+-+++++=.故选C第II 卷 非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13．曲线C ：2()ln f x x x =+在点(1,(1))f 处的切线方程为__________．【答案】320x y --=【解析】 由题可得：1'()2f x x x =+(),1f =1，'(1)3,f ∴=∴切线方程为：y-1=3（x-1） 即320x y --=，故答案为：320x y --=14．已知实数,x y 满足1,20,1,x y x y y +≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩则y x 的最小值为（ ） A ．3-B ．3C ．13-D ．13【答案】C【解析】如图所示：画出可行域 00y y k x x -==-，看作点到原点的斜率 根据图像知，当31,22x y ==-时，有最小值为13-15．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且4tan 23α=，则tan 4tan 4παπα⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭的值等于________. 【答案】9-【解析】由(0,)2πα∈，且4tan 23α=， 得22tan 413tan αα=-，解得tan 2α=-（舍)，1tan 2α=． ∴22tan 11tan()1tan 11tan 42()()9tan 111tan tan()141tan 2απαααπαααα++++-==-=-=-----+． 故答案为：9-．16．已知长方体1111ABCD A B C D -中，11132AA AB AD ===，，，则直线1AA 与平面1A BD 所成的角为______.【答案】60o【解析】设A 到平面1A BD 的距离为h ，在长方体1111ABCD A B C D -中，11132AA AB AD ===，， 则()221113322A D ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，312BD =+=，115142AB =+= 在1A BD ∆中，由余弦定理15134cos 22BA D +-∠==，所以1sin BA D ∠=所以111sin 1222A BD S BA D =⋅∠= 因为11A ABD A A BD V V --=，即111133ABD A BD S AA S h ∆⋅⋅=⋅⋅，解得h = 设直线1AA 与平面1A BD 所成的角为θ，则1sin h AA θ== 所以60θ=o .故答案为：60o 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17—21题为必考题，每个考生都必须作答.22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．已知数列{}n a 是一个公差为()0d d ≠的等差数列，前n 项和为245,,,n S a a a 成等比数列，且515=-S ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{n S n}的前10项和． 【答案】（1）6n a n =-；（2）552-. 【解析】（1）由a 2、a 4、a 5成等比数列得：()()2111(3)4a d a d a d +=++，即5d 2=-a 1d ， 又∵d ≠0，可得a 1=-5d ； 而51545152S a d ⨯=+=-，解得d =1，所以a n =a 1+（n -1）d =n -6， 即数列{a n }的通项公式为a n =n -6． （2）因为()2111122n n n n n S na d ⋅--=+=，所以112n S n n -=， 令n n S c n =，则112n n c c +-=为常数，∴{c n }是首项为-5，公差为12的等差数列，所以n S n⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为109155510222⨯-⨯+⨯=-． 18．2019年9月24日国家统计局在庆祝中华人民共和国成立70周年活动新闻中心举办新闻发布会指出，1952年~2018年，我国GDP 从679.1亿元跃升至90.03万亿元，实际增长174倍；人均CDP 从119元提高到6.46万元，实际增长70倍.全国各族人民，砥砺奋进，顽强拼搏，实现了经济社会的跨越式发展.特别是党的十八大以来，在以习近平同志为核心的党中央坚强领导下，党和国家事业取得历史性成就、发生历史性变革，中国特色社会主义进入新时代.如图是全国2012年至2018年GDP 总量y （万亿元）的折线图. 注：年份代码1~7分别对应年份2012~2018.（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与年份代码t 的关系，请用相关系数加以说明； （2）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2019年全国GDP 的总量. 附注：参考数据：71492.01i i y ==∑，70.29y =，712131.99i i i t y ==∑()()271172165.15iii i t t y y ==--≈∑∑.参考公式：相关系数()()()()12211niii nniii i t t y y r t t y y ===--=--∑∑∑回归方程y a bt =+$$$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121niii nii tty y b tt==--=-∑∑$，$ay bt =-$. 【答案】（1）详见解析（2）y 关于t 的回归方程为$46.85 5.86y t =+;预测2019年全国GDP 总量约为93.73万亿元【解析】（1）由折线图中的数据和附注中参考数据得4t =，()72128ii tt=-=∑，()()777111iii iii i i t t y y t y t y===--=-∑∑∑2131.994492.01163.95=-⨯=，所以163.950.99165.15r =≈，因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系.（2）由70.29y =及（1）得()()()71721163.955.8628iii ii tty y btt===≈--=-∑∑$， $70.29 5.86446.85ay bt ≈-⨯==-$， 所以y 关于t 的回归方程为$46.85 5.86y t =+.将2019年对应的代码8t =代入回归方程得$46.85 5.86893.73y =+⨯=. 所以预测2019年全国GDP 总量约为93.73万亿元. 19. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，，平面，分别是的中点. （Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若与平面所成的角为，求线段的长.【答案】（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）连接交与，连接.因为为的中点，，所以.又因为，所以四边形为平行四边形， 所以为的中点，因为为的中点， 所以. 又因为，，所以平面.（Ⅱ）由四边形为平行四边形，知，所以为等边三角形，所以， 所以，即，即.因为平面，所以. 又因为，所以平面，所以为与平面所成的角，即，所以.20．已知抛物线22(0)y px p =>，过点(2,0)C -的直线l 交抛物线于,A B 两点，坐标原点为O ，12OA OB ⋅=u u u r u u u r.（1）求抛物线的方程；（2）当以AB 为直径的圆与y 轴相切时，求直线l 的方程. 【答案】（1）24y x =；（2）320x y ++=或320x += 【解析】（Ⅰ）设l ：x ＝my －2，代入y 2＝2px ，得y 2－2pmy ＋4p ＝0．（*）设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝4p ，则221212244y y x x p==． 因为12OA OB ⋅=u u u r u u u r，所以x 1x 2＋y 1y 2＝12，即4＋4p ＝12， 得p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x ． …5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）（*）化为y 2－4my ＋8＝0． y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝8． …6分设AB 的中点为M ，则|AB|＝2x m ＝x 1＋x 2＝m(y 1＋y 2)－4＝4m 2－4， ① 又222121(1)(1632)AB m y m m =+-=+- ② 由①②得(1＋m 2)(16m 2－32) ＝(4m 2－4)2，解得m 2＝3，m =所以，直线l 的方程为20x ++=，或20x -+=． …12分21．已知函数3211()1(,)32f x x ax bx a b =+++∈R ，其导函数设为()g x . （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，试用,a b 表示()()12f x f x +；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若()g x 的极值点恰为()f x 的零点，试求()f x ，()g x 这两个函数的所有极值之和的取值范围.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）()()31226a f x f x ab +=-+；（Ⅲ）(,0)-∞ . 【解析】（Ⅰ）()2g x x ax b =++，24a b ∆=-.若0∆≤，()0g x ≥，()f x 在(),-∞+∞上单调递增；若>0∆，方程()0g x =有两个不等实根12a x -=，22a x -=()f x 在()1,x -∞上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增 ；（Ⅱ）因()f x 有两个极值点1x ，2x ，由（Ⅰ）知240a b ∆=->，且12x x a +=-，222122x x a b +=-，()()120g x g x ==.于是，()()()()()()221212121212223363x x a b f x f x g x g x x x x x +=++++++ ()()322222636a b a a b a ab =-+-+=-+. （Ⅲ）由()22224a a g x x ax b x b ⎛⎫=++=++- ⎪⎝⎭，则()g x 的极值点为2a x =-.于是，02a f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即33102482a a ab -+-+=.显然，0a ≠，则226a b a=+.由（Ⅱ）知，240a b ∆=->，24a b <，则22264a a a +<，解得0a <或a > 于是，()()321222066a a f x f x a a ⎛⎫+=-++= ⎪⎝⎭. 故()f x ，()g x 的所有极值之和为()22222246412a a a a b h a a a-=+-=-+=，因()226a h a a-'=-，若a >()0h a '<，()h a在)+∞上单调递减，故()0h a h<=.若0a <，知a >时有()0h a '<，则()h a在(,-∞上单调递增，在()上单调递减，故()(h a h ≤=. 因此，当0a <时，所求的取值范围为,2⎛-∞- ⎝⎦.当a >时，所求的取值范围为(),0-∞， 综上，()f x ，()g x 这两个函数的所有极值之和的取值范围是(),0-∞ .（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为2sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），将直线621=0x y --上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标缩短到原来的13倍得到直线l '. （1）求直线l '的普通方程；（2）设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l '的距离的最小值及此时点P 的坐标. 【答案】（1）直线l '的普通方程为7x y -=； （2）点P 到直线l '的距离的最小值为2，此时点P 的坐标为(3,1)-. 【解析】(1)设直线l '上的点为(,)x y '',由题可知212133x x x x y y y y =⎧⎧=⎪⎪⇒⎨''⎨='⎪=⎩'⎪⎩,又621=0x y --,所以33210x y ''--=,即70x y ''--=, 因此直线l '的普通方程为:70x y --=;(2)点,2sin )P αα到直线l '的距离d ==, 所以当2()6k k Z παπ=-+∈时,min 2d ==,此时(3,1)P -. 23．已知函数()|3|2f x x =+-. （1）解不等式|()|4f x <；（2）若x R ∀∈，2()|1|41f x x t t ≤--+-恒成立，求实数t 的取值范围. 【答案】(1)()9,3-;(2)[1,3] 【解析】(1)函数()|3|2f x x =+-,不等式||()4f x ＜即为()44f x -<< 即4324x -<+-<,即有2|3|6x -<+<.因为|3|0x +>恒成立 所以|3|6x +<,即636x +﹣＜＜,可得93x ﹣＜＜ 则原不等式的解集为()9,3-.(2)若x R ∀∈,2()|1|41f x x t t ≤--+-恒成立,可得2|3||1|41x x t t +--≤-++恒成立 由|3||1||(3)(1)|4x x x x +--≤+--=,可得2414t t -++≥,即2430t t -+≤. 解得13t ≤≤.则实数t 的取值范围是[1,3].。

2023年高考考前押题密卷（全国甲卷）
数学（文科）参考答案
123456789101112
C B
D C D A D B B B D D
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分．
因为ABFH 是平行四边形，所以在AHD V 中，EG 为中位线，故（2）设1C 到平面BEF 的距离为在BEF △中，5,BE BF EF ==同理11BC F S =V ，由三棱锥1C -
（2）①证明：设(4,)(0)P t t ≠，则PA k =分）
联立方程2262x y t x y ⎧
=-⎪⎪⎨⎪，得21827C t y t =+，
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
[选修4-5：不等式选讲]。

2024年新高考数学押题试卷（二）注意事项：1．答卷前，考生务必要填涂答题卷上的有关项目．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动、先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．4．请考生保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回．第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知i ⋅z =5-2i ，则z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．设 的取值范围为（）A ={x ∈-2<x <3}，Z B ={x 4x -a ≥0}，且A B ={12}，则，a A ．(0,1]C ．(0,4B ．(0,1)]D ．(0,4) 3．为了了解小学生的体能情况，抽取了某小学四年级100名学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，绘制如下频率分布直方图.根据此图，下列结论中错误的是（）A ．x =0.015B ．估计该小学四年级学生的一分钟跳绳的平均次数超过125C ．估计该小学四年级学生的一分钟跳绳次数的中位数约为119D ．四年级学生一分钟跳绳超过125次以上优秀，则估计该小学四年级优秀率为35%ππ24．若α∈4⎫⎛-,- ⎪⎝⎭3π12，且cos 2α+cos 2⎛+2α⎫=- ⎪⎝，则tan α=（⎭）C ．-B ．-A ．23D ．-5．设，为双曲线C ：的左、右焦点，Q 为双曲线右支上一点，点P （0，2）．当1F 2F 2213xy -=1QF PQ+取最小值时，的值为（ ） 2QFA B CD22+6．安排5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，则大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．153103256257．对于数列，若存在正数，使得对一切正整数，都有，则称数列是有界的.若这样{}n a M n n a M ≤{}n a 的正数不存在，则称数列是无界的.记数列的前项和为，下列结论正确的是（ ） M {}n a {}n a n n S A ．若，则数列是无界的 B ．若，则数列是有界的 1n a n={}n a sin n a n n ={}n a C ．若，则数列是有界的D ．若，则数列是有界的 ()1nn a =-{}n S 212n a n =+{}n S8．如图，中，，为的中点，将沿折叠成三棱锥ABC A 90BAC ∠=︒AB AC ==D BC ABC A AD ，则当该三棱锥体积最大时它的外接球的表面积为（ ）A BCD -A ．B ．C ．D ．π2π3π4π二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

试卷类型：A2024年普通高等学校招生全国统一考试 押题密卷2数学 新高考I 卷注意事项：1． 答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2． 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3． 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4． 考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 设集合A ＝{3,2a }，B ＝{a ,b }，若A ∩B ＝{2}，则A ∪B ＝A ．{1,2,3}B ．{2,3,4}C ．{1,2,4}D ．{2,3,5}2． 设复数z 的共轭复数为 z ，则下列一定为纯虚数的是A ．z ＋zB ．z －zC ．z ·zD ．zz̅3． 设α，β是两个不同平面，直线m ⊂α，直线n ⊂β，则A ．m ⊥β是m ⊥n 的充分条件B ．m //n 是α//β的必要条件C ．m ⊥β是m ⊥n 的必要条件D ．m ⊥n 是α⊥β的必要条件4． 已知随机变量ξi 的分布列如表所示（i ＝1,2）．若0＜p 1＜12＜p 2＜23，则A ．E (ξ1)＜E (ξ2)，D (ξ1)＜D (ξ2)B ．E (ξ1)＜E (ξ2)，D (ξ1)＞D (ξ2)C ．E (ξ1)＞E (ξ2)，D (ξ1)＜D (ξ2)D ．E (ξ1)＞E (ξ2)，D (ξ1)＞D (ξ2)5． 已知sin(θ＋π)＜0，cos(θ－π)＞0，则A ．tan θ2＜cot θ2B ．tan θ2＞cot θ2C ．sin θ2＜cos θ2D ．sin θ2＞cos θ26． 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且对于任意n ∈N *，都有a n a n +1＜0，a n S n 恒为定值c（c ＞0），则A ．|a 2|＜|a 3|＜|a 4|B ．|a 3|＜|a 2|＜|a 4|C ．|a 3|＜|a 4|＜|a 2|D ．|a 4|＜|a 3|＜|a 2|7． 设非负实数x ,y ，2x ＝3y ，则A ．2x ＝3yB ．2x ＞3yC ．2x ＜3yD ．无法比较2x 与3y 的大小8． 已知F 1，F 2是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且|PF 1|＜|PF 2|，PF 1的垂直平分线经过点F 2，若椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，则 e 12－2e 2的最小值是 A ．2 B ．－2 C ．6D ．－6二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9． 掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据这5次的统计结果，下列选项中有可能出现点数1的是 A ．中位数：3，众数：2 B ．平均数：4，中位数：5 C ．极差：4，平均数：2D ．平均数：4，众数：510．已知函数f (x )＝x 4－x 2＋x －1，则A ．f(x)有两个零点B ．f(x)有唯一极值C ．过坐标原点可作曲线y ＝f (x )的一条切线D ．曲线y ＝f (x )上存在三条互相平行的切线11．如图，与圆柱底面成60°的平面α截此圆柱，其截面图形为椭圆．已知该圆柱底面半径为2，则 A ．椭圆的离心率为√32B ．椭圆的长轴长为 8√33C ．椭圆的面积为32πD ．椭圆内接三角形面积的最大值为 6√3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．在△ABC 中，C ≠π2，若cos A ＝sin B ，则A 的取值范围是_________．13．已知a ，b ，c 成等差数列，点P （－1,0）到直线l ：ax ＋by ＋c ＝0的距离为 2√2 ，则直线l 的倾斜角是_________．14．设点P 是边长为2的正△ABC 的三边上的动点，则 P A ⃗⃗⃗⃗ ·（PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC⃗⃗⃗⃗⃗ ）的取值范围是_________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（满分13分）已知△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，a ＝6，b ＋12cos B ＝2c ． （1）求A 的大小；（2）请在下列三个条件中选择一个作为已知条件，使△ABC 存在，并解决问题： M 为△ABC 内一点，AM 的延长线交BC 于点D ，求△ABC 的面积.①M 为△ABC 的外心，AM ＝4； ②M 为△ABC 的垂心，MD ＝√3 ； ③M 为△ABC 的内心，AD ＝3√3 ．16．（满分15分）图形的被覆盖率是指，图形被覆盖部分的面积与图形的原面积之比．通常用字母C 表示．如图所示，边长为1的正三角形被n （n ∈N *）层半径相等的圆覆盖，最下面一层与正三角形底边均相切，每一层相邻两圆外切，层与层相邻的圆相外切，且每一层两侧的圆与正三角形两边相切．记覆盖的等圆层数为n 时，等圆的半径为a n ．图中已给出n 等于1，2，10时的覆盖情形．（1）写出a 1，a 2的值，并求数列{a n }的通项公式；（2）证明：此正三角形的被覆盖率低于91%．（参考数据：π≈3.14，√3≈1.73）17．（满分15分）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1．（1）求概率P(ξ＝0)；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ)．18．（满分17分）如图，已知抛物线E：y2＝x与圆M：(x－4)2＋y2＝r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．（1）求r的取值范围；（2）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．19．（满分17分）已知函数f(x)＝(x－a)(e x－a)，a≥0．（1）当a＝0时，讨论f(x)的单调性；（2）证明：f(x)有唯一极小值点x0，并求f(x0)的最大值．2024年普通高等学校招生全国统一考试 押题密卷2数学 参考答案单项选择题 1．A 2．B 3．A 4．D 5．B6．C7．C8．B多项选择题 9．BCD对于A ，中位数是3，则这5个数从小到大排列后，第3个数是3，第1、2个数是2才能使众数为2，故第1个数不是1，故A 不正确，对于B ，有可能出现点数1，例如1,2,5,6,6； 对于C ，有可能出现点数1，例如1,1,1,2,5； 对于D ，有可能出现点数1，例如1,4,5,5,5； 故选BCD.10．ACD对于A ，()32()(1)1f x x x x =−++，对于函数322()1,()32g x x x g x x x +=′=++， 令gg ′(xx )<0⇒−23<xx <0，令gg ′(xx )>0⇒xx <−23或xx >0，所以函数gg (xx )在(−23,0)上单调递减，在(−∞,−23)和(0,+∞)上单调递增，则函数gg (xx )在xx =−23，xx =0处分别取极大值和极小值， 由gg (0)>0，知gg (xx )只有一个零点，所以ff (xx )有两个零点，故A 正确；对于B ，假设B 成立，设切点坐标为�xx 0,ff (xx 0)�，切线方程为()()342000004211y xx x x x x x =−+−+−+−，即()34200042131y xx x x x =−+−+−，∴4200310x x −+−=，但显然4200310x x −+−<，故B 错误； 对于C ，32()421,()122f x x x f x x ′=′+′=−−， 令ff ″(xx )<0⇒−√66√6，令ff ″(xx )>0⇒xx <−√66或xx >√66，所以函数()f x ′在(上单调递减，在(−∞,−√66)和(√66,+∞)上单调递增，∴函数()f x ′在x =处分别取到极大值和极小值，由0f >′知()f x ′只有一个零点，ff (xx )有一个极值点，故C 正确； 对于D ，若D 正确，则存在实数m 使得3()421f x x x m ′=−+=有三个不同的根， 即函数yy =4xx 3−2xx +1mm 3个交点，由选项C 可知，,m f f∈ ′′，故D 正确.故选ACD. 11．AD对于A ，bb =rr =2，aa =rrcccccc 60°=2124，所以cc =√aa 2−bb 2=√16−4=2√3，所以离心率ee =ccaa =2√34=√32，所以A 正确；对于B ，长轴长2248a =×=，所以B 不正确；对于C ，椭圆的面积SS =ππaabb =2×4ππ=8ππ，所以C 不正确； 对于D ，椭圆方程为xx 2aa 2+yy 2bb 2=1，椭圆内接三角形一个顶点在长轴左顶点，另两点在直线xx =mm (mm >0)上，此时另两点的距离为：2bb �1−mm 2aa2，三角形的面积为：12(aa +mm )⋅2bb �1−mm 2aa 2=bb ⋅�(aa +mm )(aa +mm )�1−mm aa ��1−mm aa�=aabb √3⋅��1+mmaa��1+mm aa ��3−3mm aa ��1+mm aa � ≤aabb √3��1+mm aa +1+mm aa +3−3mm aa +1+mm aa 4�4=aabb√3×94=3√3bbcc4 当且仅当1+mm aa=3−3mm aa，即mm =aa2时，取等号．∴SS3√3aabb 43√3×4×24√3△mmaaxx，所以D 正确，故选AD ． 填空题 12．�0,ππ4�因为ssss ss BB >0，ccccss AA =ssss ss BB ，所以ccccss AA >0，所以AA <ππ2. 若BB <ππ2，由ccccss AA =ssss ss BB ，可得ssss ss (ππ2−AA )=ssss ss BB ，由正弦函数在(0,ππ2)的单调性可得，BB =ππ2−AA ，则CC =ππ2，原题设不成立； 若π2B >，同理可得BB =AA +ππ2，由AA +BB <ππ，解得π(0,)4A ∈．故答案为(0,ππ4)．13．ππ4∵a ，bb ，cc 成等差数列，2b a ∴=+，即cc =2bb −aa ，点PP (−1,0)到直线ll :aaxx +bbyy +cc =0，=，两边平方化简可得(aa +bb )2=0，即bb =−aa ，则直线ll 的斜率为1ab−=，故直线的倾斜角是ππ4，故答案为ππ4．14．�−98,2�根据题意，以AABB 中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标： 正三角形AABBCC 的边长为2，则AA (−1,0),BB (1,0),CC�0,√3�，点PP 是AABBCC 三边上的动点，�����⃗=(−1−tt,0),PPBB�����⃗=(1−tt,0),PPCC�����⃗=�−tt,√3�则PPAA�����⃗⋅�PPBB�����⃗+PPCC�����⃗�所PPAA=(−1−tt,0)⋅�(1−tt,0)+�−tt,√3��=(−1−tt)⋅(1−2tt)=2�tt+14�2−98,(−1≤tt≤1)所以当tt=−14时取得最小值为−98；当tt=1时取得最大值为2. ②，当PP在线段CCBB上时，直线CCBB的方程为yy=−√3xx+√3，设PP�mm,−√3mm+√3�,(0≤mm≤1)，�����⃗=�−1−mm,√3mm−√3�,PPBB�����⃗=�1−mm,√3mm−√3�,PPCC�����⃗=�−mm,√3mm�，则PPAA�����⃗⋅�PPBB�����⃗+PPCC�����⃗�所PPAA=�−1−mm,√3mm−√3�⋅��1−mm,√3mm−√3�+�−mm,√3mm��=�−1−mm,√3mm−√3�⋅�1−2mm,2√3mm−√3�=8�mm−12�2,(0≤mm≤1)所以当mm=12时取得最小值为0；当mm=1或mm=0时取得最大值为2. ③，当PP在线段AACC上时，直线AACC的方程为yy=√3xx+√3，设PP�ss,√3ss+√3�,(−1≤ss≤0)，�����⃗=�−1−ss,−√3ss−√3�,PPBB�����⃗=�1−ss,−√3ss−√3�,PPCC�����⃗=�−ss,−√3ss�，则PPAA�����⃗⋅�PPBB�����⃗+PPCC�����⃗�，所PPAA=�−1−ss,−√3ss−√3�⋅��1−ss,−√3ss−√3�+�−ss,−√3ss��，=�−1−ss,−√3ss−√3�⋅�1−2ss,−2√3ss−√3�，=8�ss+58�2−98,(−1≤ss≤0)，所以当ss=−58时取得最小值为−98；当ss=0时取得最大值为2.�����⃗⋅�PPBB�����⃗+PPCC�����⃗�的取值范围为�−98,2�，综上可知，PPAA解答题15．（1）在△AABBCC 中，由余弦定理得ccccss BB =aa 2+cc 2−bb 22aacc，又因为aa =6，12cos 2b B c +=， 所以2221222a c b b c ac+−+⋅=，整理得2236b c bc +−=.在△AABBCC 中，由余弦定理得22362cos b c bc A +−=，所以bbcc =2bbcc ccccss AA ， 即ccccss AA =12又因为AA ∈(0,ππ)，所以AA =ππ3.（2）选①，设△AABBCC 的外接圆半径为R ，则在△AABBCC 中，由正弦定理得62sin sin 3BCR A π===，即R =因为MM 为外心，所以AAMM =2√3，与AAMM =4盾，故不能选①. 选②，因为MM 为△AABBCC 的垂心，所以222BMDMBD ACB ACB πππ∠=−∠=−−∠=∠， 又MMMM =√3，所以在△MMBBMM中，tan BD MD BMD ACB =⋅∠=∠，同理可得CDABC =∠，又因为6BD CD +=6ABC ACB ∠∠=，即tan tan ABC ACB ∠+∠又因为在△AABBCC中，tan()tan ABC ACB BAC ∠+∠=−∠=所以tan tan 1tan tan ABC ACBABC ACB∠+∠=−∠∠tan tan 3ABC ACB ∠∠=，故ttaass ∠AABBCC ，tan ACB ∠为方程xx 2−2√3xx +3=0两根，即tan tan ABC ACB ∠=∠因为∠AABBCC ，∠AACCBB ∈(0,ππ)，所以3ABC ACB π∠=∠=，所以△AABBCC 为等边三角形， 所以SS △AAAAAA =12×62×√32=9√3.选③，因为MM 为△AABBCC 的内心，所以∠BBAAMM =∠CCAAMM =12∠BBAACC =ππ6， 由SS △AAAAAA =SS △AAAAAA +SS △AAAAAA ， 得111sin sin sin 232626bc c AD b ADπππ=⋅+⋅， 因为AAMM =3√3，所以1()2b c =+，即3bc b c +=，由（1）可得2236b c bc +−=，即(bb +cc )2−3bbcc =36，所以2()33609bc bc −−=， 即(9)409bc bc+−=， 又因为bbcc >0，所以bbcc =36，所以SS ΔΔAAAAAA =12bbcc ssss ss ππ3=12×36×√32=9√3.16．（1）由题意得，1a =，2a =当覆盖的等圆有ss 层时，最下面一层的圆有ss 个，相邻两圆的圆心距为2aa nn ，最左边与最右边的两圆的圆心距为()21n n a −．又最左边与最右边的两圆的圆心在三角形底边上投影与底边最近顶点距离之和为n ，则()211n n n a −+=，∴n a =．（2）证明：被覆盖面积()211π2n n n S a +==2S =．被覆盖率120.9050.91S C S =<≈<， ∴对任意的层数ss ，此正三角形的被覆盖率CC 低于91%．17．（1）若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8C 32对相交棱，因此P(ξ＝0)＝232128C C ＝8×366＝411.（2）若两条棱平行，则它们的距离为1或√2，其中距离为√2的共有6对，故P(ξ＝√2)＝2126C ＝111， 于是P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝√2)＝1－411－111＝611， 所以随机变量ξ的分布列是 ξ1√2P(ξ)411611111因此E(ξ)＝1×611＋√2×111＝6+√211.18．（1）联立方程组与，可得，所以方程由两个不等式正根由此得到解得，所以r的范围为（2）不妨设E与M的四个交点坐标分别为设直线AC,BD的方程分别为，解得点p的坐标为设t=，由t=及（1）可知由于四边形ABCD为等腰梯形，因而其面积将代入上式，并令，得求导数，令，解得当时，，当，；当时，当且仅当时，由最大值，即四边形ABCD的面积最大，故所求的点P的坐标为（）19．（1）当aa=0时，()e x=，f x x则ff′xx，令ff ′(xx )=0，得xx =−1， 则ff (xx )在(−∞,−1)上单调递减，在(−1,+∞)上单调递增.（2）由ff (xx )=(xx −aa )(ee xx −aa )，得()f x ′=e ()e (1)e x x x a x a x a a −+−=−+−， 令()(1)e x G x x a a =−+−，得()G x ′=(2)e x x a −+. 令()0G x ′=，则xx =aa −2， 所以()f x ′在(−∞,aa −2)上单调递减，在(aa −2,+∞)上单调递增， 易知()e a f a a ′=−，设函数()e x H x x =−， 令()e 10x H x ′−，可得xx =0，则()e x H x x =−在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增， 又HH (0)=1>0，故()e 0x H x x =−>在RR 上恒成立，故()e 0a f a a ′=−>，又2(2)e 0a f a a −′−=−−<， 所以存在0(2,)x a a ∈−，使得()00f x ′=. 又当(,2)x a ∈−∞−时，易知()0f x ′<，故ff (xx )有且仅有一个极小值点xx 0.因为()00f x ′=，所以()0001e 0e 1x x x a +≥+，即xx 0≥−1， 则ff (xx 0)=�xx 0−(xx 0+1)ee xx 0ee xx 0+1��ee xx 0−(xx 0+1)ee xx 0ee xx 0+1�=−ee xx 0(ee xx 0−xx 0)2(ee xx 0+1)2设()()22e e ()e 1x x x x g x −=−+，求导得()g x ′=()()23e e e (1)e 2e 1x x x x x x x x −++−− −+. 设2()e (1)e 2x x h x x x =++−−，求导得2()2e (2)e 1x x h x x ′=++−，注意到ℎ′(xx )在[−1,+∞)上单调递增，且�ℎ′(−1)=2ee −2+ee −1−1<0ℎ′(0)=3>0， 所以存在cc ∈(−1,0)，使得()0h c ′=，从而()h x 在(−1,cc )上单调递减，在(,)c +∞上单调递增， 又(0)0h =，2(1)e 10h −−=−<，ee xx −xx >0，所以当−1≤xx <0时，gg′(xx )>0；当xx >0时，()0g x ′<. 所以gg (xx )在(−1,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减，则()01(0)4f x g ≤=−， 即ff (xx 0)的最大值为−14.。

2024年新高考数学押题试卷（一）注意事项：1．答卷前，考生务必要填涂答题卷上的有关项目．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动、先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 4．请考生保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回．第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．己知全集U =R ，集合A ={x∣x ≤-1或x ≥3}，B ={x ∣y =log 2(3-x )}，则如图中阴影部分表示的集合为（）A ．(-1,3)B ．(3,+∞)D ．(-1,3]C ．(-∞,3]2．已知i ⋅z =5-2i ，则z 的虚部是（）．C ．-B ．-5A ．5i 5D ．-1）)2,1a2x x -⎨3．函数f (x )=+1,x ≤1⎧(x ->是定义在R ⎩上的减函数的一个充分不必要条件是（A ．a ∈[0,2]C ．a ∈[1,2B ．a ∈[0,1)]D ．a ∈[2,+∞)4．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题．已知该数列{a }的前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，n 记b n =(-1)n ⋅a n ，n ∈N *，则数列{b }的前20项和是（）nA ．110B ．100C ．90ππ25．函数f (x )=A cos (ωx +φ)（ω>0，2-D ．80）的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与f (x )<φ<的图 象交于M ，N 两点，且M 在y 轴上，则下列说法中正确的是（）A ．函数f (x )单调递减的最小正周期是3π2π7,21B ．函数f (x )在2⎛π⎫ ⎪⎝1⎭后得到关于y 成中心对称轴对称5C ．函数f (x )的图象关于点3⎛π,0⎫ ⎪⎝D ．将函数f (x )⎭的图象向左平移π36．已知正方形ABCD 的边长为2,MN是它的外接圆的一条弦，点P 为正方形四条边上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM ⋅PN 的取值范围是（）A ．[-1,0]B ．⎡⎣D ．[-1,1C ．[1,2]]28x -y 2=1的左焦点与抛物线C 2:y 2=ax 的焦点F 重合，Q 为抛物线C 27．已知双曲线C 1:上一动点，定点 的最小值为（A (-5,2)），则QAQF +D ．C ．B ．348A ．58．已知函数f (x )=+a ln x ，存在两条过原点的直线与曲线y =f (x )相切，则实数a 的取值范围是（） B ．(-∞,-e A ．(-e 2,0))3)C ．(32⎛⎫D ． -∞,-e ⎪⎝⎭二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023年高考考前押题卷（四川适用）文科数学第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知U Z =，集合2{|230}A x x x =--≤，{|15,}B x x x Z =<<∈，则()U AB =（ ）A.{1,0,1}-B.{1,0}-C.{2,3}D.{1,2,3}2.已知()()24a i b i i ++=+，其中a ，b 均为实数，则||a bi +=（ ）C.D.103.已知a ，b ，c 均为正数，则“a b c >>”是b c ba c a-<-的（ ） A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件4.在空间中，已知,,l m n 为不同的直线，,,αβγ为不同的平面，且l αβ=，m αγ=，n βγ=，则下列判断不正确的是（ ）A.若,,l m n 两两垂直，则,,αβγ两两垂直B.若l m ⊥，l n ⊥，则αγ⊥且βγ⊥C.若l m ⊥，则n l ⊥或n m ⊥D.若//l m ，则//n α5.()()1tan82.51tan 52.5-︒-︒的值是（ ）A.3B.1D.26.“垛积术”在我国古代早期主要用于天文历法，元代数学家朱世杰在《四元玉鉴》中利用了“三角垛”求一系列重要的高阶等差数列的和.记{}n a 前n 项和为(1)n S ，数列{(1)}n S 的前n 项和为(2)n S …数列{(1)}n S k -的前n 项和为()n S k ，则()n S k 称为数列{}n a 的k 阶和，已知公差不为0的等差数列{}n a 的某个k 阶和为1()(1)(2)(3)6n S k n n n n =+++，则该等差数列的公差d 为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 47.超市促销活动，制作了一套奖券共3种花色，顾客每次消费满额都会随机奖励一张某种花色的奖券，集齐3种花色即可兑换礼品.假设每种每次得到每种花色的概率相同，某顾客消费满额3次后，恰好能集齐兑换奖品的概率为（ ）A. 19B. 29C.13D. 388.已知函数1()xx f x e +=，过点(0,)A b 能作3条函数()f x 曲线的切线，则b 的取值范围是（ ） A.11b e<< B.1b >或1b e< C.31b e<< D.3b e>9.集合S 有6个元素，A 和B 分别是S 的两个子集满足A B S =，则集合{,}Q A B =（A B =时{}Q A =）有（ ）种情况.A.256B.300C.365D.51210.定义在[0,2]上的函数()f x 满足(0)0f =，(1)1f =，1()()32x f f x =，且图象关于点(1,1)对称，且12x x ∀≤，有12()()f x f x ≤，则2()2023f =（ ） A.132 B.164 C.1128 D.125611.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F 作倾斜角为60︒的直线交双曲线右支于1122(,),(,)A x y B x y 两点，若1260y y +=，则双曲线的离心率为（ ）A.32 B.107 C.53 D.9512.某房屋开发商出售一套70万元的商品房，若分期付则需要首付10万元，以后每年付6万元，10年后共11次分期付完，也可以全款买下，享受%r 的优惠，为促进客户全款买房，已知银行的1年定期存款利率为2%，按复利计算，问r 应不低于多少？（ ）（答案取整数，已知：101.02 1.219≈，111.02 1.243≈，121.02 1.268≈）A.9B.10C.12D.15第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13. 设变量,x y 满足约束条件22,22,1,x y x y x y -≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩，则3z x y =-的最大值是_________.14.已知向量||2|||2|a b a b ==+，则cos ,a b 〈〉=________.15.标有数字15-的卡片五张，小明有放回的抽取4次，问4次中抽到最大数字为4的概率是________. 16.在边长6,4AB BC AC ===的ABC ∆沿着三条中位线折叠成一个四面体，则该四面体外接球的表面积为________.三、解答题：本大题共5个大题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.已知向量(3sin ,cos())3m x x π=+，5(cos ,sin())6n x x π=+，记函数()f x m n =⋅. （1）求不等式1()4f x >的解集； （2）在ABC ∆中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3()24A f =且sin A 、sin B 、sin C 成等差数列，1b =，求ABC ∆的面积S 的值.18.从2015年开始，某镇市场调查员甲和乙对某鱼塘的产量进行记录一直到2023年，甲提供了该鱼塘养殖产量（单位：万斤）与对应年份的数据表.记2015~2023年序号x 为1~9，每年产鱼量为y . （1）根据表中的数据和所给统计量，求y关于x 的线性回归方程（参考统计量：91()()12iii x x y y =--≈∑；（2）乙提供了该镇鱼塘的个数z （单位：个）关于x 的回归方程ˆ385.5z x =-+. 试估计：哪一年开始，该镇产鱼量开始下降？附：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()ˆ()()niii nii x x y y x x b==-=--∑∑，ˆˆa y bx=-. 19.如图，在四棱锥P ABCD -中//AD BC ，AD AB⊥，AP ⊥平面ABCD ，22AB AD AP BC ====，M 是棱PD 上的一点，(01)PMPDλλ=<<.（1）若13λ=，求证：//PB 平面MAC ； （2）λ为何值时，直线CM 与平面PAD 的夹角最大？求该夹角的余弦值.20.已知实数0,a x R >∈.（1）若x a ax ≥恒成立，求a 的取值范围. （2）若xa a x ≥恒成立，求a 的取值范围.21.已知椭圆1C ：22221x ya b+=的离心率为12，过1C 的右焦点且垂直于x 轴的直线被椭圆1C 截得的线段长为3.（1）求椭圆的标准方程；（2）椭圆2C 与椭圆1C 的离心率相同，若直线1:1)l y x =-与椭圆1C 、2C 在x 轴上方的交点为A 、B ，向左平移直线1l 到直线2l 在x 轴上方交椭圆1C 、2C 于C 、D 两点且满足，CD AB =，若四边形ABCD 2C 的标准方程. 四、选做题（二选一）22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为12cos 22cos x y ϕϕ=+⎧⎨=-⎩（ϕ为参数），以原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为)4πρθ=+.（1）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设,P Q 点分别是曲线1C 与2C 的交点，求||PO 及||QO .23.已知0a >，0b >，且1a b +=. （1）若ab m ≤恒成立，求m 的取值范围； （2）若关于a ，b 的不等式41|21||2|x x a b+≤--+有解，求实数x 的取值范围.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 答案： A 解析：{|1UB B x x ==≤或5,}x x Z ≥∈，[1,3]A =-，∴(){1,0,1}U A B =-.故选A.2. 答案： B 解析：()()1()24a i b i ab a b i i ++=-++=+，∴12,3,4,1,ab a a b b -==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩或1,3,a b =⎧⎨=⎩||a bi +==故选B.3. 答案： B 解析：∵0a b c >>>，∴0b a -<，()()()0b c bb c a a c b c b a a c a-<⇔-<-⇔-<-，充分性成立， 若取1a =，2b =，3c =，则23121321b c ba c a--==<=--，但0c b a >>>，故必要性不成立，所以是充分不必要条件.故选B. 4. 答案： C 解析：对于A 选项，因为l m ⊥，l n ⊥，根据线面垂直的判定定理即可得出l γ⊥，由面面垂直的判定定理得αγ⊥，βγ⊥，同理可证αβ⊥，A 正确；对于B 选项，若l m ⊥，l n ⊥，则l γ⊥，则αγ⊥且βγ⊥，B 正确； 对于C 选项，一组线线垂直无法得出结论，故不正确；对于D 选项，若//l m ，则//l γ，由线面平行的性质定理可得//l n ，由线面平行的判定定理得出//n α，故D 正确.5. 答案： D 解析： 已知tan 82.5tan 52.5tan13511tan 82.5tan 52.5︒+︒=︒=--︒⋅︒tan82.5tan52.5tan82.5tan52.51⇒︒+︒=︒⋅︒-，1tan82.51tan52.51tan82.5tan52.5tan82.5tan52.52()()()-︒-︒=-︒+︒+︒⋅︒=.6. 答案： D 解析： 由题意得2n ≥时，111(1)()()(1)(2)(3)(1)(1)(2)66n n n S k S k S k n n n n n n n n --=-=+++--++1(1)(2)[(3)(1)](1)2)(263n n n n n n n n =+++--=++， 1(2)(1)(1)(1)(2)(1)(1)2(1)2323n n n S k S k S k n n n n n n n n --=---=++--+=+1(3)(2)(2)4n n n S k S k S k n --=---=，该式符合等差数列的通项，即4n a n =，4d =. 7. 答案： B 解析：设三种花色分别为,,A B C ，3次正好集满序列有,,,,,ABC ACB BAC BCA CAB CBA 共6种情况，集卡共有27种情况，故由古典概型可知62279P ==. 8. 答案： C 解析：由()x f x xe -=-'， 设切点为00(,)x y ，由题意000000020(1)0x x x y bx e x e b x e x ----=-⇒+-=--，00021()x b x x e -=++， 令00002)()(1x g x x x e -=++，000000021()()()x x g x x x e x x e ----=+=-'，0()g x 在00x =处取极小值(0)1g =，在01x =处取极大值3(1)g e=， 0x →-∞时0()(1)g x g →+∞>，0x →+∞时0()0(0)g x g →<， ∴当(0)(1)g b g <<时00021()x b x x e -=++有3个解，过点(0,)A b 能作3条函数()f x 曲线的切线.故选C. 9. 答案： C 解析： 由AB S =，任何一个元素x S ∈有三种情况：x A ∈且x B ∈；x A ∈且x B ∉；x A ∉且x B ∈；当A B =时，必有A S =，由分步乘法计数原理：A ，B 组合共有63，集合Q 不计顺序，除A B S ==这种情况每种组合重复了一次，故共有6313652+=. 10. 答案： B 解析：∵(0)0f =，图象关于点(1,1)对称，令2x =得：(2)2f =，又1()()32x f f x =，得21(2)()32n n f f =，∴令7n =，7211()(2)2187264f f ==； 令1x =，11()(1)32n n f f =，6n =，则有6111()(1)729264f f ==， 故211()()218772964f f ==，1202x x ≤≤≤时12)()(f x f x ≤， 而2210221872023729<<<<，所以有221()()2023218764f f ≥=， 且211()()202372964f f ≤=；故21()202364f =.故选B.11. 答案： B解析：设双曲线C 的左焦点为F '，连结AF '，BF '，因为1260y y +=， 设||BF t =，则||6AF t =，所以||26AF a t +'=，||2BF a t '=+.在FF A ∆'中，由余弦定理得222(26)(6)(2)2(6)2cos120a t t c t c ︒+=+-⨯⨯⨯， 在FF B ∆'中，由余弦定理得222(2)(2)22cos 60a t t c t c ︒+=+-⨯⨯⨯， 化简消去t ，可得2014a c =，解得107c e a ==.故选：B. 12. 答案： B 解析： 由题意可得10981070(1%)1.026 1.02 1.02 1.021101.(02)r -≤⋅+++++⋅101.0216112.191.021-=⋅⋅+-，1010300(1.021)12.191%0.9128701.02r -+-≤≈⋅，故选B. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13. 答案：4解析：【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数3z x y =-,由22322x y z x y x y -=⎧⇒=-⎨+=⎩在点62(,)55-处取得最大值，且最大值为182()455z =--=.14. 答案：21-解析：2222221|2|||4||48||8||cos ,4||cos ,2,a b a b a b b b a b b a b +=++⋅=+〈〉=〈〉=- 222222|2|||4||48||8||cos ,4||a b a b a b b b a b b +=++⋅=+〈〉=.15.答案：725解析：4次中抽到数字不超过4的事件A 共有44种情况，抽到数字不超过3的事件B 共有4381=种情况，可知B A ⊆，则抽到最大数字为4共有4443-种情况，故有444437525P -==. 16. 答案：11π解析：如图假设折叠后,,A B C 三点重合于P 点，则3,2PE PD EF FD PF ED ======, 连接PF 与ED 的中点,G H ,由对称性可知GH 中点O 为外接球球心，22222223117GH FH GF FD HD GF =-=--=--=,222711144OE HE OH =+=+=, OE 为外接球半径，外接球表面积为2411R ππ=.三、解答题：本大题共5个大题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 答案：见解析解析：（1）由(3sin ,cos())3m x x π=+，5(cos ,sin())6n x x π=+得：()(3sin ,cos())(cos ,cos())33f x m n x x x x ππ=⋅=+⋅+（2）估计第x 年鱼产量为2ˆˆ(0.22)(85.53)0.611.1171yz x x x x ⋅=+-=-++， ()(0.22)(85.53)f x x x =+-两根分别为1210,28.5x x =-=，二次函数在129.252x x x +==达到最大值，x N *∈且109.259.259->-，在第10年产量小于第9年产量，在第10年开始下降. 故预估计在20151012024+-=年该镇鱼产量开始下降.19.答案：见解析解析：（1）连接BD 交AC 于点O ，连接MO ，∵//AD BC ，∴BCO DAO ∆~∆，∵2AD BC =，2DO BO =，13λ=，∴2DM MP =，//PB MO ， PB ⊄平面MAC ，MO ⊂平面MAC ，∴//PB 平面MAC .（2）34λ=时线面角最大,余弦值为13，过C 点作AD 的垂线CE ，连接CE∵PA ⊥面ABCD ， C E ⊆面ABCD ，∴PA CE ⊥，AD CE PA CE PA PAD CE AD PAD PA AD A⊥⎧⎪⊥⎪⎪⊆⇒⊥⎨⎪⊆⎪⎪=⎩面面面PA ∴CME ∠为所求线面角α 22 5AC AB BC CD +==，∴E 是AD 的中点tan CE ME α=，当ME PD ⊥时(M '位置)，ME 取最小值，122222DE ME PA PD =⋅=⋅=，此时α最大，131144DM PD λ=-'=-=，2 tan 2222CE M E α==='，所以1cos 3α=. 20.答案：见解析解析： （1）①当0x ≤时，∵0x a >，0a >故不等式x a ax ≥恒成立②当0x >时，0ax >， 不等式等价于)l l (n )n (x aax ≥ 即ln ln ln x a a x ≥+令ln k a =,则ln kx k x ≥+,令)()1ln (f x k x x =--，则等价于()0f x ≥恒成立 0(1)f =,直线(1)y k x =-与曲线ln y x =交于(1,0)点，由题意得1x =为()f x 的极小值点，1()f x k x'=-, (1)10f k '=-= ,1k = 故k a e e == (2) ①当0x ≤时，0x a a >,故不等式x a a x ≥恒成立②当0x >时, 不等式等价于l )ln(ln n x a x a a a x =≥ln ln ln ln ln ln ln ln x a x a x a e x x a e x x x e ⇒⋅≥⇒⋅≥=⋅令函数()t g t t e =⋅,0)(,t ∈+∞时 10()()t g t t e '=+>,在()g t 单调递增，上述不等式即(ln n (l ))g x a g x ≥ln ln ln ln x x a x a x ≥⇒≥令ln ()x h x x= 21ln ()x h x x'-=,在(0,)e 上()0h x '>，()h x 单调递增，在(),e +∞上()0h x '<，()h x 单调递减，()h x 最大值为()1h e e=,∴11ln e a a e e≥⇒≥ 故1e a e ≥.21.答案：见解析解析：（1）由题意得椭圆过3(,)2c ，将其代入1C 方程中得222914c a b +=，又离心率为12， 所以12c a =，222a b c =+，所以24a =，23b =，故1C ：22143x y +=. （2）设1l 与1C 、2C 截得弦长分别为1d 、2d ，222158043x y x x y ⎧+=⎪⇒-=⎨⎪=⎩，1280,5x x ==，112162||5d x x =-=. ∵椭圆2C 与椭圆1C 的离心率相同，故设方程为2243x y λ+=，222,5844043x y x x y λλ⎧+=⎪⇒-+-=⎨⎪=-⎩， 1285x x +=，12445x x λ-=，12||x x -==22d ==，两弦的中点重合，2118||()25AB d d =-=， CD 平行且等于AB ，由对称性可知，2l 与1l 关于原点对称，原点到1l的距离2d ==，2l 与1l的距离为2d =， 平行四边形ABCD面积825S AB d =⋅== 2λ=，故2C ：22186x y +=. 四、选做题（二选一）22.答案：见解析解析：(1)由12cos 22cos x y ϕϕ=+⎧⎨=-⎩，消去参数ϕ可得3x y +=， ∵1cos 1ϕ-≤≤，∴13,04x y -≤≤≤≤，1:3(13)C x y x +=-≤≤.∵)2sin 2cos 4πρθρθρθ=+=+，两边同时乘ρ，2sin()2sin 2cos 4πρθρθρθ=+=+， ∴222222(1)(1)2x y x y x y +=+⇒-+-=.（2）由（1）得曲线1:3(13)C x y x +=-≤≤，其极坐标方程为cos sin 3ρθρθ+=，联立2:)2sin 2cos 4C πρθθθ=+=+，两边同时乘ρ：22sin 2cos 2(cos sin )6ρρθρθρθρθ=+=+=，||||PO QO ρ===23.答案：见解析解析：（1）∵0a >，0b >，且1a b +=.由基本不等式得21()24a b ab +≤=，当且仅当12a b ==时等号成立，由ab m ≤恒成立，14m ≥. （2）∵,(0,)a b ∈+∞，且1a b +=，∴41414()()559b a a b a b a b a b +=++=++≥+=，要使41|21||2|x x a b +≤--+有解，则min 41|21||2|()x x a b--+≥+，即|21||2|9x x --+≥， ①当2x ≤-时，不等式化为1229x x -++≥，解得6x ≤-；②当122x -<<时，不等式化为1229x x ---≥，无解； ③当12x ≥时，不等式化为2129x x ---≥，解得12x ≥； 综上：6x ≤-或12x ≥.。

一、选择题1. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在区间[0, 1]上单调递增，则下列哪个选项正确？A. a > 0, b > 0, c > 0B. a > 0, b < 0, c > 0C. a < 0, b > 0, c < 0D. a < 0, b < 0, c > 02. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 2，公差d = 3，则第10项an等于多少？A. 29B. 30C. 31D. 323. 若等比数列{bn}的首项b1 = 2，公比q = 3，则第5项bn等于多少？A. 243B. 27C. 81D. 94. 若复数z = a + bi（a, b ∈ R）满足|z - 2i| = 3，则z的实部a等于多少？A. -1B. 1C. 2D. 35. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，则f'(x)等于多少？A. 3x^2 - 3B. 3x^2 - 2C. 3x^2 + 3D. 3x^2 + 2二、填空题6. 若等差数列{an}的首项a1 = 3，公差d = 2，则第10项an等于多少？7. 若等比数列{bn}的首项b1 = 4，公比q = 1/2，则第5项bn等于多少？8. 若复数z = a + bi（a, b ∈ R）满足|z - 2i| = 3，则z的虚部b等于多少？9. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，则f(1)等于多少？10. 若直线l：y = kx + b与圆C：x^2 + y^2 = 4相交于点A、B，且AB的中点为点M(1, 1)，则直线l的斜率k等于多少？三、解答题11. （1）已知等差数列{an}的首项a1 = 2，公差d = 3，求第10项an。

（2）已知等比数列{bn}的首项b1 = 4，公比q = 1/2，求第5项bn。

12. （1）若复数z = a + bi（a, b ∈ R）满足|z - 2i| = 3，求z的实部a和虚部b。

2023年高考考前押题密卷（全国乙卷）文科数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一7．《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦图（含乾、坤，巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有5根阳线和1根阴线的概率为（ ）1333A ．0.5a =，2b =B ．2a =，2b = A ． B ．C ．D ．10．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑A BCD -中AB ⊥第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．．已知向量(4,),(1,2)a m b =-=-，且(2)a b b -⊥，则m =三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，:4310l x y ++=的距离等于1．(1)求C 的标准方程；(2)设M 为C 在第一象限的一个点，1F ，2F 为C 的焦点，如果线段1MF ，12F F ，2MF 的长度（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．2023年高考考前押题密卷（全国乙卷）文科数学·参考答案）2n b n a =+21,n n n a a a +=1n a +∴+2log (n a +∴112n n --+++12n n -+++122n ++-所以，当()00,x x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，所以，只需()()()()000000000min e ln e 1ln 0x xh x h x x a x x x x x ==-+=--≥即可；所以，001ln 0x x --≥，001ln x x ≥+，因为00e xx a -=，所以00ln ln x a x =-，所以00ln ln 1ln e x x a ==+≤，解得0e a <≤， 所以，(]0,e a ∈，综上，实数a 的取值范围为[]0,e ……………………………………………12分（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．则a 的取值范围为3a ≤．……………………………………………10分。