离散信号与系统的时域和频域分析..

时域离散信号和系统的频域分析信号与系统的分析方法有两种：时域分析方法和频域分析方法。

在连续时间信号与系统中，信号一般用连续变量时间t 的函数表示，系统用微分方程描述，其频域分析方法是拉普拉斯变换和傅立叶变换。

在时域离散信号与系统中，信号用序列表示，其自变量仅取整数，非整数时无定义，系统则用差分方程描述，频域分析方法是Z 变换和序列傅立叶变换法。

Z变换在离散时间系统中的作用就如同拉普拉斯变换在连续时间系统中的作用一样，它把描述离散系统的差分方程转化为简单的代数方程，使其求解大大简化。

因此，对求解离散时间系统而言，Z变换是一个极重要的数学工具。

2．2 序列的傅立叶变换（离散时间傅立叶变换）一、序列傅立叶变换：正变换：DTFT[x(n)]=（2.2.1）反变换：DTFT-1式（2.2.1）级数收敛条件为||= (2.2.2)上式称为x(n)绝对可和。

这也是DTFT存在的充分必要条件。

当遇到一些绝对不可和的序列，例如周期序列，其DTFT可用冲激函数的形式表示出来。

二、序列傅立叶变换的基本性质：1、 DTFT的周期性，是频率的周期函数，周期为2。

∵ = 。

问题1：设x(n)=R N(n)，求x(n)的DTFT。

====设N为4，画出幅度与相位曲线。

2、线性设=DTFT[x1(n)]，=DTFT[x2(n)]，则：DTFT[a x1(n)+b x2(n)]= = a+b3、序列的移位和频移设 = DTFT[x(n)]，则：DTFT[x(n-n0)] ==DTFT[x(n)] == =4、 DTFT的对称性共轭对称序列的定义：设序列满足下式则称为共轭对称序列。

共轭对称序列的性质：共轭对称序列的实部是偶函数，虚部是奇函数证明：=+j（实部加虚部）∵∴+j=-j∴=（偶函数）∴=－（奇函数）一般情况下，共轭对称序列用表示：共轭反对称序列的定义：设序列满足下式则称为共轭反对称序列。

共轭反对称序列的性质：共轭反对称序列的实部是奇函数，虚部是偶函数证明：=+j（实部加虚部）∵∴+j=+j∴=（奇函数）∴=（偶函数）一般情况下，用来表示一个序列可用共轭对称序列与共轭反对称序列之和表示。

一、实验目的1. 理解离散信号与系统的基本概念，熟悉离散信号与系统的特点。

2. 掌握离散信号与系统的分析方法，包括时域分析、频域分析、Z变换分析等。

3. 熟悉MATLAB软件在离散信号与系统分析中的应用，提高运用MATLAB进行实验的能力。

二、实验原理1. 离散信号与系统离散信号是指在一定时间间隔内取有限个值的信号，通常用离散时间序列表示。

离散系统是指输入输出均为离散信号的系统。

2. 离散信号与系统的分析方法（1）时域分析：通过观察信号在时域内的变化规律，分析系统的稳定性和时域特性。

（2）频域分析：通过将信号和系统从时域转换为频域，分析系统的频率响应和频谱特性。

（3）Z变换分析：将离散信号和系统从时域转换为Z域，分析系统的传递函数和频率响应。

三、实验内容1. 离散信号的时域分析（1）输入信号：f(n) = cos(2πn/3) + 0.5sin(4πn/3)，n = 0, 1, 2, ..., 15。

（2）MATLAB代码：```n = 0:15;f = cos(2pin/3) + 0.5sin(4pin/3);plot(n, f);xlabel('n');ylabel('f(n)');title('离散信号时域分析');```2. 离散系统的时域分析（1）输入信号：f(n) = cos(2πn/3) + 0.5sin(4πn/3)，n = 0, 1, 2, ..., 15。

（2）系统函数：H(z) = (z^2 + 0.5z - 0.25) / (z^3 + 0.75z^2 + 0.25z)。

（3）MATLAB代码：```n = 0:15;f = cos(2pin/3) + 0.5sin(4pin/3);h = (z^2 + 0.5z - 0.25) / (z^3 + 0.75z^2 + 0.25z);y = filter(h, 1, f);plot(n, f, 'b-', n, y, 'r--');xlabel('n');ylabel('f(n), y(n)');title('离散系统时域分析');```3. 离散信号的频域分析（1）输入信号：f(n) = cos(2πn/3) + 0.5sin(4πn/3)，n = 0, 1, 2, ..., 15。

离散时间信号和系统的频域分析离散时间信号与系统是研究数字信号与系统的频域分析，其中离散时间信号是对连续时间信号进行采样得到的，而离散时间系统是对连续时间系统进行离散化得到的。

频域分析是对信号与系统在频率域上的特性进行研究和分析。

对于离散时间信号，其离散化的过程是将连续时间信号在时间轴上进行均匀采样，得到指定的采样间隔，得到离散时间序列。

在频域上，其频谱是周期性的，并且频谱是以单位圆为单位周期的。

频域分析的目的是研究离散时间信号在频率域上的特性，包括频谱范围、频率分辨率、功率谱密度等。

离散时间信号的频域分析可以通过离散时间傅里叶变换（DTFT）来实现。

DTFT是信号在频域上的完全变换，将一个离散时间信号映射到一个连续的频率域函数。

DTFT是一个复数函数，表示信号在不同频率上的振幅和相位。

频谱的振幅可以表示信号在该频率上的能量大小，相位可以表示信号在该频率上的相对位置。

除了DTFT之外，还可以使用离散傅里叶变换（DFT）进行频域分析。

DFT是DTFT的一种计算方法，可以将离散时间信号转换为有限的频域信号。

DFT的计算是通过对离散时间信号进行有限长的时间窗口进行采样，并进行频域变换得到的。

DFT的结果是一个离散的频域信号，也称为频谱。

DFT通常使用快速傅里叶变换（FFT）算法来快速计算。

离散时间系统的频域分析主要是通过系统的频率响应函数来实现。

频率响应函数是系统在不同频率上对信号的响应情况的描述。

对于线性时不变系统，其频率响应函数是系统的传递函数的傅里叶变换。

频率响应函数拥有类似信号的频谱特性，可以描述系统对不同频率的信号的增益和相位。

频域分析在离散时间信号与系统中有着广泛的应用。

首先，频域分析可以帮助我们理解信号的频率构成和能量分布情况，有助于对信号进行合理的处理和分析。

其次，频域分析可以快速计算离散时间系统的响应，能够有效地评估系统的性能和稳定性。

此外，频域分析还可以进行滤波器设计、信号压缩、信号重构等应用。

《数字信号处理》 实验报告学院 专业 电子信息工程 班级 姓名 学号 时间实验一 时域离散信号与系统分析一、实验目的1、熟悉连续信号经理想采样后的频谱变化关系，加深对时域采样定理的理解。

2、熟悉时域离散系统的时域特性，利用卷积方法观察分析系统的时域特性。

3、学会离散信号及系统响应的频域分析。

4、学会时域离散信号的MATLAB 编程和绘图。

5、学会利用MATLAB 进行时域离散系统的频率特性分析。

二、实验内容1、序列的产生（用Matlab 编程实现下列序列（数组），并用stem 语句绘出杆图。

（要求标注横轴、纵轴和标题）（1）. 单位脉冲序列x(n)=δ（n ） （2）. 矩形序列x(n)=R N (n) ,N=10nδ(n )nR N (n )图1.1 单位脉冲序列 图1.2 矩形序列(3) . x(n)=e （0.8＋3j ）n ； n 取0－15。

4n|x (n )|201321111053 陈闽焜n<x (n )/R a d图1.3 复指数序列的 模 图1.4 复指数序列的 相角（4）. x(n)=3cos （0. 25πn ＋0.3π）＋2sin （0.125πn ＋0.2π） n 取0－15。

ny (n )图1.4 复合正弦实数序列（5）. 把第（3）小题的复指数x(n)周期化，周期20点，延拓3个周期。

4m|y (m )|201321111053 陈闽焜图1.5 第（3）的20点周期延拓杆图（6）. 假设x(n)= [1，－3，2，3，-2 ]， 编程产生以下序列并绘出杆图：y(n) y(n)= x(n)－2x(n+1)+x(n-1)+x(n-3)；5201321111053 陈闽焜图1.6 y(n)序列杆图（7）、编一个用户自定义matlab 函数，名为stepshf （n0，n1，n2）实现单位阶跃序列u[n －n1]。

其中位移点数n1在起点n0和终点n2之间任意可选。

自选3个入口参数产生杆图。

1第2章时域离散信号和系统的频域分析z 2.1 引言z 2.2 序列的傅里叶变换的定义及性质z 2.4 时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系z 2.5 序列的Z 变换z 2.6 利用Z变换分析信号和系统的频域特性22.1 引言信号和系统的分析方法:时域分析方法和变换域分析方法。

频域变换（傅里叶变换->复频域拉氏变换）连续时间信号(系统微分方程)频域变换（傅里叶变换->复频域Z 变换）时域离散信号(系统差分方程)本章学习内容是本书也是数字信号处理这一领域的基础。

3第2章时域离散信号和系统的频域分析z 2.1 引言z 2.2 序列的傅里叶变换的定义及性质z 2.4 时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系z 2.5 序列的Z 变换z 2.6 利用Z变换分析信号和系统的频域特性2.2 序列的傅里叶变换的定义及性质5例2.2.1 设x(n)=R 4(n)，求x(n)的DTFT 图2.2.1 R (n)的幅度与相位曲线sin /2ω常用序列的傅立叶变换7(2)()j M nn x n eωπ∞−+=−∞=∑二、序列离散时间傅里叶变换（DTFT）的性质1. DTFT 的周期性()()j j nn X e x n eωω∞−=−∞=∑(2)()j M X eωπ+=时域离散，频域周期函数。

周期是2π。

由于DTFT 的周期，一般只分析0-2π之间的DTFT 。

2. 线性1122:()[()],()[()]j j X e DTFT x n X e DTFT x n ωω==若1212:[()()]()()j j DTFT ax n bx n aX e bX e ωω+=+则3. 时移与频移00(0:[()](),[()]()j n j nj j DTFT x n n eX e DTFT ex n X eωωωωω−−−==则:()[()]j X e DTFT x n ω=若4. 反转7. 帕斯维尔(Parseval)定理8. 频域微分序列的Fourier变换的对称性质*()x n−)n也可分解成：e−*(e对称性质•序列Fourier 变换()()j x n X e ωRe[()]()j e x n X e ωIm[()]()j o j x n X e ω()Re[()]j e x n X e ω()Im[()]j o x n j X e ω实数序列的对称性质•序列Fourier 变换Re[()]()()j j e x n X e X e ωω=Im[()]0()0j o j x n X e ω==()Re[()]j e x n X e ω()Im[()]j o x n j X e ω)j eω−变换满足共轭对称性()]j X eω−Im[()]j X e ω−)arg[结论：z序列分成实部与虚部两部分，实部对应的DTFT具有共轭对称性，虚部和j一起对应的DTFT具有共轭反对称性。

离散信号与系统的时域分析实验报告1. 引言离散信号与系统是数字信号处理中的重要基础知识，它涉及信号的采样、量化和表示，以及离散系统的描述和分析。

本实验通过对离散信号在时域下的分析，旨在加深对离散信号与系统的理解。

在实验中，我们将学习如何采样和显示离散信号，并通过时域分析方法分析信号的特性。

2. 实验步骤2.1 信号的采样与显示首先，我们需要准备一个模拟信号源，例如函数发生器，来产生一个连续时间域的模拟信号。

通过设置函数发生器的频率和振幅，我们可以产生不同的信号。

接下来，我们需要使用一个采样器来对模拟信号进行采样，将其转化为离散时间域的信号。

使用合适的采样率，我们可以准确地获取模拟信号的离散样本。

最后，我们将采样后的信号通过合适的显示设备进行显示，以便观察和分析。

2.2 信号的观察与分析在实验中，我们可以选择不同类型的模拟信号，例如正弦波、方波或脉冲信号。

通过观察采样后的离散信号，我们可以观察到信号的周期性、频率、振幅等特性。

通过对不同频率和振幅的信号进行采样，我们可以进一步研究信号与采样率之间的关系，例如采样定理等。

2.3 信号的变换与滤波在实验中，我们可以尝试对采样后的离散信号进行变换和滤波。

例如，在频域下对信号进行离散傅里叶变换（DFT），我们可以将时域信号转换为频域信号，以便观察信号的频谱特性。

通过对频谱进行分析，我们可以观察到信号的频率成分和能量分布情况。

此外，我们还可以尝试使用不同的数字滤波器对离散信号进行滤波，以提取感兴趣的频率成分或去除噪声等。

3. 实验结果与分析通过实验，我们可以得到许多有关离散信号与系统的有趣结果。

例如，在观察信号的采样过程中，我们可以发现信号频率大于采样率的一半时，会发生混叠现象，即信号的频谱会发生重叠，导致采样后的信号失真。

而当信号频率小于采样率的一半时，可以还原原始信号。

此外，我们还可以观察到在频域下，正弦波信号为离散频谱，而方波信号则有更多的频率成分。

4. 结论通过本实验，我们对离散信号与系统的时域分析有了更深入的理解。

第一章时域离散信号和系统的频域分析2.1填空题（1） 双边序列z 变换的收敛域形状为 。

解：圆环或空集（2）对4()()x n R n =的Z 变换为 ，其收敛域为 。

解：411,01z z z --->-（3）抽样序列的Z 变换与离散傅里叶变换DFT 的关系为 。

解：k Nj eZπ2=（4）序列x(n)=(1，-2，0，3；n=0，1，2，3), 圆周左移2位得到的序列为 。

解：{0，3，1，-2; n=0,1,2,3}（5）设LTI 系统输入为x(n) ，系统单位序列响应为h(n)，则系统零状态输出y(n)= 。

解：)()()(n h n x n y *=（6）因果序列x(n)，在Z →∞时，X(Z)= 。

解：x(0)（7）FT[x(n)]存在的充分必要条件是 。

解：序列x(n)绝对可和（或()n x n ∞=-∞<∞∑）（8）共轭对称序列的实部是 函数，虚部是 函数。

解：偶；奇 （9）设)]([)(n x FT e X j =ω，那么)]([0n n x FT -= 。

解：0()j n j eX e ωω-（10）设)]([)(11n x FT e X j =ω，)]([)(22n x FT e X j =ω，那么)]()([21n bx n ax FT += 。

解：12()()j j aX ebX e ωω+（11）Z 变换存在的条件是 。

解：()n n x n z ∞-=-∞<∞∑（12）单位圆上的Z 变换就是序列的 。

解：傅里叶变换（13）若系统函数H( z)的所有极点均在单位圆内，则该系统为 系统。

解：因果稳定 （14）若πωω20,1)(≤≤=j e H ，则该滤波器为 。

解：全通滤波器（15）已知x(n)=IDFT[X(K)],x(n)的隐含周期为 。

解：N（16）设x(n)是长度为M(N M≤)的有限长序列，y(n)为x(n)的循环移位，即)())(()(n R m n x n y N N +=，X(k)=DFT[x(n)]N ，N k ≤≤0，则Y(k)=DFT[y(n)]= 。

实验二 离散信号与系统的频谱分析一、实验目的1.掌握离散傅里叶变换（DFT ）及快速傅里叶变换（FFT ）的计算机实现方法。

2.检验序列DFT 的性质。

3.掌握利用DFT （FFT ）计算序列线性卷积的方法。

4.学习用DFT 对连续信号和时域离散信号进行谱分析的方法，了解可能出现的分析误差，以便在实际中正确应用DFT 。

5.了解采样频率对谱分析的影响。

6.了解利用FFT 进行语音信号分析的方法。

二、实验设备1.计算机2.Matlab 软件7.0以上版本。

三、实验内容1.对不同序列进行离散傅里叶变换并进行分析；DFT 共轭对称性质的应用（通过1次N 点FFT 计算2个N 点实序列的DFT ）。

2.线性卷积及循环卷积的关系，以及利用DFT （FFT ）进行线性卷积的方法。

3.比较计算序列的DFT 和FFT 的运算时间。

4.利用FFT 实现带噪信号检测。

5.利用FFT 计算信号频谱及功率谱。

6.扩展部分主要是关于离散系统采样频率、时域持续时间、谱分辨率等参数之间的关系，频谱的内插恢复，对语音信号进行简单分析。

四、实验原理1.序列的离散傅里叶变换及性质离散傅里叶变换的定义：10, )()]([)(102-≤≤==∑-=-N k en x n x DFT k X N n nk Nj π离散傅里叶变换的性质：（1）DFT 的共轭对称性。

若)()()(n x n x n x op ep +=，[])()(n x DFT k X =，则：)()]([k X n x DFT R ep =， )()]([k jX n x DFT I op =。

（2）实序列DFT 的性质。

若)(n x 为实序列，则其离散傅里叶变换)(k X 为共轭对称，即10),()(*-≤≤-=N k k N X k X 。

（3）实偶序列DFT 的性质。

若)(n x 为实偶序列，则其离散傅里叶变换)(k X 为实偶对称，即10),()(-≤≤-=N k k N X k X 。

·22· 第2章 时域离散信号和系统的频域分析2.1 引 言数字信号处理中有三个重要的数学变换工具，即傅里叶变换、Z 变换和离散傅里叶变换，利用它们可以将信号和系统在时域空间和频域空间相互转换，这大大方便了对信号和系统的分析和处理。

三种变换互有联系，但又不同。

表征一个信号和系统的频域特性用傅里叶变换；Z 变换是傅里叶变换的一种扩展，在Z 域对系统进行分析与设计更加既灵活方便。

单位圆上的Z 变换就是傅里叶变换，因此用Z 变换分析频域特性也很方便。

离散傅里叶变换是离散化的傅里叶变换，因此用计算机分析和处理信号时，全用离散傅里叶变换进行。

离散傅里叶变换具有快速算法FFT ，使离散傅里叶变换在应用中更加重要。

但是离散傅里叶变换不同于傅里叶变换和Z 变换，其优点是将信号的时域和频域都进行了离散化，便于计算机处理。

但实际使用中，一定要注意它的特点，例如对模拟信号进行频域分析，只能是近似的，如果使用不当，会引起较大的误差。

因此掌握好这三种变换是学习好数字信号处理的关键。

本章只学习前两种变换，离散傅里叶变换及其FFT 在下一章中讲述。

2.2 本章学习要点(1) 求序列的傅里叶变换—序列频率特性。

(2) 求周期序列的傅里叶级数和傅里叶变换—周期序列频率特性。

(3) 0()，()，()，1，cos()n N n a u n R n n δω，0sin()n ω和0j e n ω的傅里叶变换，02/ωπ为有理数。

(4) 傅里叶变换的性质和定理：傅里叶变换的周期性、移位与频移性质、时域卷积定理、巴塞伐尔定理、频域卷积定理、频域微分性质、实序列和一般序列的傅里叶变换的共轭对称性。

(5) 求序列的Z 变换及其收敛域。

(6) 序列Z 变换收敛域与序列特性之间的关系。

(7) 求逆Z 变换：部分分式法和围线积分法。

(8) Z 变换的定理和性质：移位、反转、Z 域微分、共轭序列的Z 变换、时域卷积定理、初值定理、终值定理、巴塞伐尔定理。