函数的零点存在性定理

零点存在定理高中导数

"零点存在定理"是微积分中一个重要的概念，用于描述函数在某个区间内的连续性与导数之间的关系。在高中的导数学习中，零点存在定理通常表述为：

如果函数 ( f(x) ) 在区间 ([a, b]) 内连续，并且在开区间 ((a, b)) 内可导（即导数存在），那么在开区间 ((a, b)) 内至少存在一点 ( c )，使得函数的导数( f'(c) ) 等于零，即 ( f'(c) = 0 )。

这个定理的直观理解是，如果一个函数在某个区间内是连续的且可导的，那么它在这个区间内至少存在一个点，该点处的导数为零。这个结论在微积分中有着重要的应用，特别是在研究函数的极值点和拐点时。

在高中阶段学习导数时，了解零点存在定理有助于理解函数在某个区间内导数的性质，以及帮助解决一些相关的数学问题。

函数零点的判定定理

【知识点的知识】

1、函数零点存在性定理：

一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．

特别提醒：

（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．

（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．

（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．

2、函数零点个数的判断方法：

（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

特别提醒：

①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；

②函数的零点是实数而不是数轴上的点．

（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．

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函数零点存在定理

函数的零点存在定理在数学分析中起着重要的作用，它确保了函数在一定条件下存在零点。具体来说，这个定理可以分为两部分：罗尔定理和零点存在定理。

首先，我们来看罗尔定理。罗尔定理是数学分析中的一个基本定理，它断言了若函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，且函数的两个端点值相等，那么在(a,b)上至少存在一个点c，使得函数的导数在c 处为零。简单来说，罗尔定理保证了连续函数在一些开区间上存在导数为零的点。

零点存在定理是建立在罗尔定理的基础上的。它断言了若函数在一个闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，且函数在该区间的两个端点值异号（即一个为负数，一个为正数），那么在该区间上至少存在一个根（即函数的零点）。这是因为根据罗尔定理，可以找到一个导数为零的点c，而由于函数在该区间的两个端点值异号，所以在这个区间上函数必定穿过x轴，即存在根。

零点存在定理的证明可以用反证法来完成。假设在闭区间[a,b]上连续且可导的函数f(x)没有任何零点。那么我们可以得出以下两个结论：首先，函数在该区间上的值要么全部大于0，要么全部小于0；第二，由于函数没有零点，所以在该区间上函数的值要么一直大于0，要么一直小于0。由于函数连续，根据介值定理，这与函数的值要么全部大于0，要么全部小于0的结论相悖，所以我们的假设是错误的。因此，零点存在定理得证。

零点存在定理的应用非常广泛。它可以用于找到函数的零点，即方程

的根。这在实际问题中经常遇到，例如求解方程、寻找曲线与坐标轴的交

点等。除此之外，零点存在定理还可以帮助我们研究函数的性质。例如，

函数零点存在定理

函数零点存在定理又称为泰勒定理(Theorem of Existence of Zeroes)，是由英国数学家乔治·泰勒在1780年提出的一个定理，它宣称有限阶可导分数多项式必定存在相应的多项式上的零点，又称泰勒定理。即：

设P(x)是n（n≥1）阶可导分数多项式，则P(x)在R上必存在至少一个零点。

该定理可以用来证明空间曲线的存在性，其证明的思路是：设P(x)为n（n≥1）阶可导分数多项式，令P(x)在R上的定义域为D，构造一定义域D′（D′⊂D），1）把D′拆分为n个小闭区间，2）用代数表示多项式P(x)在小闭区间[a,b]中的一个局部极值，3）由于P(x)是可导分数多项式，即D′中存在一个可导分数多项式的最小值，4）由此和函数零点存在定理相结合，即证明P(x)在定义域D′上必存在至少一个零点。

简言之，泰勒定理是指有限阶可导分数多项式的零点必定存在。

零点存在性定理

前⾔

函数的零点

对于函数y ＝f (x )(x ∈D )，把使得f (x )=0的实数x 叫做函数y ＝f (x )(x ∈D )的零点．简⾔之，零点不是点，是实数；零点是函数对应的⽅程f (x )=0的根。有关零点的⼏个结论

(1).若连续不断的函数f (x )在定义域上是单调函数，则f (x )⾄多有⼀个零点，也可能没有零点，⽐如f (x )=2x 单调递增，但没有零点。

(2).连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号。⽐如函数f (x )=−(x −1)⋅(x −2)，在1<x <2时，函数值f (x )都是正值。

(3).连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，如y =x 3在零点x =0处两侧的函数值不同；也可能不变号，如y =x 2在零点x =0处两侧的函数值相同。

重要转化

函数y =f (x )=h (x )−g (x )有零点[数的⾓度]

⟺函数y =f (x )与x 轴有交点[形的⾓度]

⟺⽅程f (x )=0有实根[数的⾓度]

⟺函数y =h (x )与函数y =g (x )的图像有交点[形的⾓度]

具体应⽤时务必注意对函数f (x )的有效拆分

，⽐如函数f (x )=lnx −x +2，

拆分为①h (x )=lnx 和g (x )=x −2，或者拆分为②h (x )=lnx −2和g (x )=x ，都⽐拆分为③h (x )=ln x −x 和g (x )=2要强的多。

当拆分为①②时，我们都可以轻松的画出其图像，但是拆分为③时，要画出函数h (x )的图像，就需要导数参与。这时候，我们也就能理解有时候选择⽐努⼒更重要。

零点存在性定理

如果函数y = f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )＜0那么，函数y = f (x )在区间[a ，b ]内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c ) = 0这个c 也就是方程f (x ) = 0的根 定理的理解

（1）函数在区间[a ，b ]上的图象连续不断，又它在区间[a ，b ]端点的函数值异号，则函数在[a ，b ]上一定存在零点

（2）函数值在区间[a ，b ]上连续且存在零点，则它在区间[a ，b ]端点的函数值可能异号也可能同号

（3）定理只能判定零点的存在性，不能判断零点的个数 例：函数y = f (x ) = x 2 – ax + 2在(0，3)内，①有2个零点.

②有1个零点，分别求a 的取值范围.

解析：①f (x )在(0，1)内有2个零点，则其图象如下

则(0)0(3)00032

f f a b a >⎧⎪>⎪⎪⎨∆≥⎪⎪<-<⎪⎩⇒-<≤-②f (x )在(0，3)内有1个零点

(0)011(3)0

3f a f >⎧⇒>⎨<⎩

例1 已知集合A = {x ∈R |x 2 – 4ax + 2a + 6 = 0}，B = { x ∈R |x ＜0}，若A ∩B ≠∅，求实数a 的取值范围.

【解析】设全集U = {a |△= (–4a )2 – 4 (2a + 6)≥0} = 3{|(1)()0}2a a a +-≥ = 3{|1}2a a a ≤-≥或

零点存在定理及应用

零点存在定理（Bolzano定理）是数学分析中的一个重要定理，它指出在某个区间内，如果一个连续函数在两个端点上取不同的符号，那么在这个区间内至少存在一个零点。这个定理的发现者是卡尔·密特罗斯·博尔扎诺（Karl Mětros Bolzano），因此在他的名字之后也被称为博尔扎诺定理。

零点存在定理的形式化表述为：设f(x)是一个定义在闭区间[a,b]上的连续函数，且f(a)f(b)<0，则在开区间(a,b)内至少存在一个数x_0，使得f(x_0)=0。

这个定理的直观意义就是，如果一个连续函数在某个区间的两个端点上的取值符号不同，那么必然存在这个区间内的某个数值使得函数的值为零。也就是说，连续函数在穿越x轴时必然会有一个交点。

零点存在定理在数学分析、微积分、实变函数等领域有着广泛的应用。其中，最常见的应用之一就是用来证明方程在某个区间内存在根。而方程的根在现实生活和工程领域中有着广泛的应用。比如，在物理学中，零点存在定理可以用来证明某些物理规律下的方程存在实际物理意义的解；在工程领域中，零点存在定理可以用来解决工程设计中的方程求解问题。

另外，零点存在定理还可以用来证明介值定理（Intermediate Value Theorem）。介值定理指出，如果一个连续函数在闭区间[a,b]上取不同的两个值f(a)和f(b)，那么在这两个值之间的任意数值都能在区间[a,b]内找到函数的一个对应的值。这

个定理在分析、微积分、实变函数等领域中有着重要的应用，可以用来证明和推导其他的性质和定理。

零点存在定理的理解与辨析

零点定理，也叫派索多·贾马尔定理，是指一个多项式函数等于零，零点定理

可以帮助我们知道该多项式函数的零点是什么：

1. 定义：零点定理指的是在一个函数多项式的图像中，当函数值为0时，多项式就一定有对应的零点，即若一个多项式P(x)，当且仅当P(x) = 0 时，存在x0使

得P(x0) = 0。

2. 证明：假设P(x)有n阶，则可表示为：P(x) = a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3 + … + anx^n

由泰勒公式，多项式就可以展开为如下的函数：P(x) = f(x) = f0 + f1x + f2x^2 +

f3x^3+ … + fnx^n

又由于P(x) = 0，则f也要等于0。所以零点定理也可以表达为：【假设一个n

阶多项式P(x)的展开函数f(x)的n阶项系数不为0，则当f(x) = 0时，多项式P(x)也有相应的零点】

3. 应用：零点定理经常用于求解多项式函数的零点，例如一元多项式函数P(x) = 3x^2 - 5x + 3，当P(x) = 0时，则0 = 3x^2 - 5x + 3，可得到两个实数解2/3，1。

以及一元二次方程式求解方法，二元一次方程章形式求解方法等均可使用零点定理，同理，n阶一元多项式函数也可以求出n个零点。

4. 特点：零点定理仅限于一元多项函数，不具有通用性，另外，零点定理只告诉我们多项式函数的零点是什么，但是无法给出零点的复杂度。

5. 限制：零点定理的限制在于其局限性，特别是当函数的最高项系数a_n=0时，零点定理就不能成立，另外，零点定理只可以给出实数的零点，而不能给出复数的零点。

零点存在定理

零点存在定理是微积分学中一个重要的定理，用于证明在某些特定条件下，一个连续函数在定义域内至少存在一个根（即函数曲线与X轴相交的点）。这

个定理的证明经过了漫长的发展和完善，现在已经成为微积分学中基本的工具

之一。

零点存在定理的最初形式是由17世纪法国数学家Rolles提出的，后来被

推广到更一般的情况。当然，像其它许多定理一样，不同的证明方法也相继出现。

今天，我们的证明方法按照经典传统来自Rolles的带状取值原理，这个原理，对于满足一定条件的连续函数，可以找到一个带状区域，其中的函数值就

不会变号，故其中存在至少一个零点。

首先，假设f(x)在区间[a,b]上连续。如果f(a)和f(b)符号相同，那么f(x)在[a,b]上没有根。因此，我们只考虑f(a)和f(b)符号不同的情况。

现在假设f(a) < 0且f(b) > 0。由于f(x)在闭区间[a,b]上连续，根据最大

值与最小值定理，f(x)在该区间上必有一个最小值。不妨设这个最小值为f(c)，其中a < c < b。

现在考虑分两种情况。

第一种情况，f(c) < 0。因为f(x)在区间[a,c]上连续且有限，所以根据带状取值原理，f(x)在[a,c]上的每一个值都小于f(b)，也就是说，在[a,c]上不存在

f(x) = 0的解。

但是，在[c,b]上，f(x)的取值范围为[c,b]中的一个闭区间。由于f(c) < 0

且f(b) > 0，所以这个闭区间中必须至少存在一个点，使得f(x) = 0，即f(x)在区间[a,b]上至少存在一个零点。

⾼三数学函数零点的判定定理知识点

函数零点问题是⾼等数学中的重要问题，⾼中数学课程中有基本的介绍，下⾯是店铺给⼤家带来的⾼三数学函数零点的判定定理知识点，希望对你有帮助。

⾼三数学函数零点的判定定理知识点(⼀)

函数零点存在性定理：

⼀般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的⼀条曲线，并且有f(a)。f(b)<o，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=O，这个c也就是f(x)=0的根。特别提醒:(1)根据该定理，能确定f(x)在(a,b)内有零点，但零点不⼀定唯⼀。

(2)并不是所有的零点都可以⽤该定理来确定，也可以说不满⾜该定理的条件，并不能说明函数在(a，b)上没有零点，例如，函数f(x) =x2-3x +2有f(0)·f(3)>0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点。

(3)若f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)。f(b)<0，则fx)在(a，b)上有唯⼀的零点。

函数零点个数的判断⽅法:

(1)⼏何法：对于不能⽤求根公式的⽅程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利⽤函数的性质找出零点。

特别提醒：①“⽅程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为⼀谈，如⽅程x2-2x +1 =0在[0，2]上有两个等根，⽽函数f(x)=x2-2x +1在[0，2]上只有⼀个零点

②函数的零点是实数⽽不是数轴上的点。

(2)代数法：求⽅程f(x)=0的实数根。

《函数的零点存在定理》一、教材内容分析

《函数的零点》第二课时，选自人教版《普通高中课程标准实验教科书》A版必修1第三章第一节。

1、教材的地位与作用

函数是中学数学的核心概念，核心的原因之一就在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链结点，它从不同的角度，将数与形，函数与方程有机的联系在一起。方程的根与函数零点的关系研究，不仅为“用二分法求方程的近似解”的学习做好准备，而且揭示了方程与函数之间的本质联系，这种联系正是中学数学重要思想方法——“函数与方程思想”的理论基础。可见，函数零点概念在中学数学中具有核心地位。

2、内容分析

本节内容有函数零点概念、函数零点与相应方程根的关系、函数零点存在性定理。

函数零点是研究当函数)

f的值为零时，相应的自变量x的取值，

(x

反映在函数图象上，也就是函数图象与x轴的交点横坐标。

由于函数)

x

f，其本身已是方程的形式，因

(=

(x

f的值为零亦即0

)

而函数的零点必然与方程有着不可分割的联系，事实上，若方程f有解，则函数)(x

x

f存在零点，且方程的根就是相应函数的零点，(=

)

也是函数图象与x轴的交点横坐标。顺理成章的，方程的求解问题，可以转化为求函数零点的问题。这是函数与方程关系认识的第一步。

零点存在性定理，是函数在某区间上存在零点的充分不必要条件。如果函数)

y=在区间[]b

f

(x

a,上的图象是一条连续不断的曲线，并

且满足0)()(<⋅b f a f ，则函数)(x f y =在区间()b a ,内至少有一个零点，但零点的个数，需结合函数的单调性等性质进行判断。定理的逆命题不成立。

函数零点存在性定理

一. 函数零点

1.零点不是点：函数y=f(x)的零点是使函数值y=0的自变量x的值。其几何意义是函数y=f(x)的图象和x轴交点的横坐标。函数零点个数就是函数与x轴交点的个数。

2.函数有零点，等价于方程y=0有解，也等价函数的图像与x轴有交点。

3.函数零点的求法：1）解方程法；2）二分法，即无限逼近法求近似解；3）超越方程用图像法。

二. 零点存在性定理

函数y=f(x)在区间（a，b）是连续不断的，且f(a)f(b)<0，则函数在区间（a,b)上至少有一解。若函数y=f(x)在上述区间上单调，则函数在上述区间有且只有一解。

三. 函数零点个数的确定方法及其应用

1.解方程法：直接求出方程的解；

2.图象法：令y=0，将式子变形到g(x)=h(x)，再作y=g(x)和y=h(x)的图象，两函数图象有几个交点就有几个零点。