概率论基础 PPT课件

连续型随机变量
取值无限的随机变 量。
方差
衡量随机变量取值 分散程度的数值。
03
数理统计基础
总体与样本
总体
研究对象的全体。
抽样方法
简单随机抽样、分层抽样、系统抽样等。
样本
从总体中随机抽取的一部分个体，用于估 计和推断总体的特性。
样本大小
样本中包含的个体数量，需要根据研究目 的和资源来确定。
参数估计
时间序列分析通常包括数据平稳性检验、季节性检验、模型选择、 参数估计、模型检验和预测等步骤。
时间序列分析的方法
时间序列分析的方法包括移动平均法、指数平滑法、ARIMA模型、 GARCH模型等，可以根据不同的数据特点和需求选择合适的方法。
08
应用案例分析
概率论在金融中的应用
风险评估
概率论可以用来评估投资风险，通过计算期望值、方差等 统计指标，对投资回报和风险进行量化分析。
02
物品推荐
贝叶斯推断可以用来实现物品之间的关联推荐，例如根据用户的历史购
买记录和物品之间的相似度，推荐用户可能感兴趣的商品。
03
动态推荐
贝叶斯推断还可以实现动态推荐，根据用户的行为和反馈实时更新推荐
结果，提高推荐的准确性和用户满意度。
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双因素方差分析
双因素方差分析的定义

06
大数定律与中心极限定 理
大数定律及其应用
大数定律
在随机试验中，当试验次数增加时，事件出 现的频率将逐渐稳定于某个常数值，这个常 数称为该事件的概率。
应用
在现实生活中，大数定律可以用于预测未来 的事件结果，例如天气预报、彩票开奖等。
中心极限定理及其应用
中心极限定理
在独立随机变量之和的情况下，随着变量个数的增加 ，它们的和将逐渐趋近于正态分布。
化学
在化学领域，概率论与数理统计被用于研究化学反应的速率和化 学物质的分布，如化学反应动力学、量子化学计算等。
生物
在生物学中，概率论与数理统计用于研究生物现象的变异和分布， 如遗传学、生态学、流行病学等。
在工程中的应用
通信工程
01
概率论与数理统计在通信工程中用于信道容量、误码率、调制
解调等方面的研究。
，判断假设是否成立。
方差分析
比较不同组数据的均值差异，判 断因素对数据的影响。
方差齐性检验
检验不同组的方差是否相等，以确 保方差分析的准确性。
05
回归分析与方差分析
一元线性回归分析
• 总结词：一元线性回归是一种基本的回归分析方法，用于研究一个因 变量和一个自变量之间的线性关系。
• 详细描述：一元线性回归分析的核心是确定因变量和自变量之间的线 性关系，即通过拟合一条直线来描述两者之间的关系。这条直线通常 由斜率和截距组成，其中斜率表示自变量每变化一个单位时因变量的 变化程度，截距表示当自变量取值为0时因变量的值。

性 质3. 若A B, 则 有
P( A1) P( A2) P( An). (有限可加性 )
P(B A) P(B) P( A);
P(B) P( A).
一般地有: P(B-A)=P(B)-P(AB).
性质4. 对任一事件 A,
P( A) 1.
性质5. 对任一事件 A, P( A) 1 P( A).
1713年<<猜 度术>> 2
棣莫佛(1667-1754): <<分析杂论>> 蒲丰(1707-1788)：蒲丰问题

中心极限定理(CLT)(1901 年), 乘法原理，正态分布等。 几何概率
拉普拉斯(1749-1827)：1812《概率分析理论》

概率的古典定义
泊松(1781-1840)：推广了大数定理，提出了Poisson分布等.
k 1 n
Ak .
k 1
Ak .

A
S
B
(2) A B
称为A与B的积，即事件A与B同时发生. A B 可简记为AB. 类似地，事件 A K 为可列个事件A1，A2， k 1 …的积事件.
A B
S
(3)A B
3.积事件： 事件A B={x|x A 且 x B}
P( A i )

两个事件的发生互不影响。
独立性
在某个事件B已经发生的条件下，另一个事件A发生的概率，记为P(A|B)。
条件概率
条件概率满足非负性、规范性、可加性和乘法定理。
条件概率的性质
01
随机变量及其分布
01
02
03
01
02
03
连续型随机变量的定义：取值范围为某个区间内的随机变量。
连续型随机变量的概率密度函数：描述连续型随机变量取值的概率分布情况。
棣莫佛-拉普拉斯定理的定义
棣莫佛-拉普拉斯定理是指对于任意实数x和正整数n，有$(1+x)^n approx 1+nx$当$x$很小时。这个定理是二项式定理的特殊情况。
棣莫佛-拉普拉斯定理的证明
可以通过数学归纳法进行证明。首先证明$n=1$时成立，然后假设$n=k$时成立，再证明$n=k+1$时成立。
概率具有非负性、规范性、有限可加性和可数可加性。
概率的性质
03
概率的取值范围是[0,1]，其中0表示事件不可能发生，1表示事件一定发生。
概率的取值范围
随机事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。
必然事件
在一定条件下，一定会发生的事件。
互斥事件
两个事件不能同时发生。
对立事件
两个事件中必有一个发生，且仅有一个发生。

P( A) P( ABi ) P( Bi ) P( A Bi )
i 1
n
1.2基本概念
• 意义
–分割的意义是对样本空间的分类 –不同条件下事件B发生的概率不同 –事件B的概率是所有不同条件下的条件概率的加权 平均
• 在连续情形下的推广
1.2基本概念
Bayes公式
P( ABk ) P( Bk ) P( A Bk ) P( Bk A) n P( A) P( Bi ) P( A Bi )
0 f n ( A) 1 f n ( ) 1
n
f n ( A) f n ( B)
（注：可加性可推广到有限个两两互斥事件的和事件）
ↂ可加性
)A (P )A ( n f mil
→常数
1.2基本概念
☞频率稳定性的实例： 例：投一枚硬币观察正面向上(H)的次数
试验者 蒲丰 皮尔森 皮尔森 德.摩根 罗曼诺夫斯基 总次数n 12000 12000 24000 4049 80640 正面向上nH 6019 6019 12012 2048 39699 频率fH 0.5016 0.5016 0.5005 0.5005 0.4923
乘法公式：利用条件概率求积事件的概率就是乘法公式 P( AB) P( A) PB A ( P( A) 0)
P( AB) P( B) P A B ( P( B) 0)

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PART 03
随机变量及其散布
REPORTING
随机变量的定义
随机变量
在每次实验中取一个值，并且这个取值的结 果是不确定的。
连续型随机变量
可以取任何实数值的随机变量。
离散型随机变量
只能取有限个或可数个值的随机变量。
随机变量的期望和方差
描写随机变量取值的平均水平和分散程度的 数学量。
离散型随机变量
随机进程的数学描写
通过概率散布函数、概率密度函数等数学工具，可以描写随机进程 的统计特性。
马尔科夫链
1 2
马尔科夫链的定义
马尔科夫链是一种特殊的随机进程，其未来状态 只取决于当前状态，与其他过去状态无关。
马尔科夫链的转移概率
转移概率是描写马尔科夫链状态之间转换可能性 的参数。
3
马尔科夫链的特性
马尔科夫链具有无记忆性和齐次性等特性。
本均值和比例时的误差范围。
中心极限定理
01 02
中心极限定理的定义
中心极限定理是概率论中的另一个重要概念，它表明无论随机变量的散 布是什么，当随机变量独立重复实验次数趋于无穷时，其平均值趋近于 正态散布。
中心极限定理的种类
包括棣莫佛-拉普拉斯定理、李雅普诺夫定理等。
03

习题
P56 ex26,ex29, ex33, ex35
3.8 独立事件
定义：若
则称E与F相互独立。
性质1：若P(E)>0, P(F)>0, 有
性质2：如果E与F独立，则Fra Baidu bibliotek与Fc也独立。
性质3：任何事件与S，Ø都相互独立。
3.8 独立事件
例19 抛掷两颗均匀骰子。让E7表示事件：骰 子的总和是7。用F表示第一颗骰子等于4，用T 表示第二颗骰子等于3。可以证明：E7独立于F， E7也独立于T，但E7不独立于FT。
3.6 条件概率
引例：
(1)样本空间: 点数之和为8: 概率
(2)缩减的样本空间: 点数之和为8（缩减的事件）: 条件概率
注意：
3.6 条件概率
定义：当P(F)>0, F发生的条件下E发生的条件 概率为
3.6 条件概率
例12 琼斯工作的机构正在筹备一场亲子(父子) 晚宴，参与者是至少有一个儿子的雇员。每一 个满足条件的雇员都被邀请携他们年龄最小的 儿子参加晚宴。琼斯有两个孩子，在琼斯被邀 参加晚宴的前提下，他的两个孩子都是男孩的 条件概率是多少？
东华大学《概率论与数理统计》
第3章 概率论基础
东华大学理学院
本章主要内容
3.2 样本空间和事件 3.3 文图和事件的代数表示 3.4 概率论公理 3.5 等可能样本空间 3.6 条件概率 3.7 贝叶斯公式 3.8 独立性

• 解：设A ={抽到废品}，B ={抽到非一等品}，
• 显然
P A 3 50 P B 5 50 P AB P A 3 50
PA
B
P AB PB
3 5
第六章 概率论基础
乘法公式: 如果A ，B 是两个随机事件， 若 P(B)>0，则 P(AB) = P(B)P(A|B)； 若 P(A)>0，则 P(AB) = P(A)P(B|A).
若随机变量X具有概率密度
ex x 0
f (x)
0
x0
其中为常数，则称X服从参数为 的指数分布
第六章 概率论基础
例6-9 已知某电子管的寿命X服从指数分布，其概 率密度为
f
(x)
1
1000
1
e 1000
x
x0
0
x0
求这种电子管能使用1000小时以上的概率。
解：
P X 1000
1
1x
P A 0.150.05 0.200.04 0.300.03 0.350.02
3.25%
第六章 概率论基础
（二） 事件的独立性 任意两个事件 A，B，若有
P AB P A PB
成立，则称事件A 、B 是相互独立的
对于三个事件A，B，C，如果P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C) 同时成立， 则称事件A、B、C 相互独立。可以将独立的概念 推广为n个事件独立。

f(x) dxE(X)=∫−∞∞xf(x)d。
方差的定义与计算
方差是用来衡量随机变量与其期望值之间的偏差，记作D(X)。对于离散随机变量，方 差D(X)表示为D(X)=∑(x−E(X))2p(x)D(X) = sum (x - text{E}(X))^2 p(x)D(X)=x∑p(x)(x−E(X))2；对于连续随机变量，方差D(X)表示为
$0 leq P(A) leq 1$，其 中 $P(A)$ 表示事件A发生 的概率。
条件概率与独立性
条件概率的定义
在事件B已经发生的条件下，事件A发 生的概率，记作 $P(A|B)$。
条件概率与独立性的关系
如果事件A和B是独立的，那么 $P(A|B) = P(A)$。
独立性的定义
两个事件A和B是独立的，如果 $P(A cap B) = P(A) times P(B)$。
时间序列分析的应用
时间序列分析在许多领域都有应用，如金融、经济、气象 、水文等。
06 案例分析
概率论在日常生活中的应用
概率论在保险业中的应用
保险公司在制定保费和赔偿方案时，需要利用概率论来评估风险 和计算预期损失。
概率论在赌博游戏中的应用
概率论在赌博游戏中也起着重要作用，例如在扑克牌和骰子游戏中 ，玩家需要运用概率计算胜算。
01
连续随机变量是在一定范围内可以连续取值的随机变量，其取

在一定条件下必然发生 的现象称为确定性现象. 实例 “太阳不会从西边升起”, “水从高处流向低处”, “同性电荷必然互斥”,
确定性现象的特征
(2) 随机现象
条件完全决定结果
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象
称为随机现象.
实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察 正反两面出现的情况.
结果有可能出现正面也可能出现反面.
几点说明
1) 随机事件可简称为事件, 并以大写英文字母
A, B, C, 来表示事件
例如 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数. 可设 A = “点数不大于4”,
B = “点数为奇数” 等 等.
(2) 随机试验通常用 E 来表示.
实例 “抛掷一枚硬币,观 察正面、反面出现的情况”.
分析 (1) 试验可以在相同的条件下重复地进行;
(2) 试验的所有可能结果: 正面、反面;
(3) 进行一次试验之前不能 确定哪一个结果会出现.
故为随机试验.
同理可知下列试验都为随机试验. (1) 抛掷一枚骰子,观察出现的点数.
NDD, DDN, DND, DDD }.
实例4 从一批灯泡中任取 一只, 测试其寿命.
4 {t t 0}.
其中 t 为灯泡的寿命 .
实例5
记录某城市120 急 救电话台一昼夜接 到的呼唤次数.
5 { 0, 1ຫໍສະໝຸດ Baidu 2, }.

27 32
,
9
P(B∣A)
P( AB) P( A)
32 27
1 3
，故选
A.
32
2.电路从 A 到 B 上共连接着 6 个灯泡(如图)，每个灯泡断路的概率是 1 ， 3
整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路，则从 A 到 B 连通的概率是( B )
A. 10 27
B. 448 729
C. 100 243
1 5
,故甲、乙两人各投篮一次，
恰有一人投进球的概率是 3 1 7 ，故选 D. 20 5 20
4.设两个相互独立事件 A，B 都不发生的概率为 1 ， 9
则 A 与 B 都发生的概率的取值范围是(D )
A.
0,
8 9
C.
2 3
,
Fra Baidu bibliotek
8 9
B.
1 9
,
5 9
D.
0,
4 9
设事件 A，B 发生的概率分别为 P(A) x ， P(B) y ，
性质 4 如果事件 A 与事件 B 互为对立事件， 那么 P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B). 性质 5 如果 A⊆B，那么 P(A)≤P(B). 性质 6 设 A，B 是一个随机试验中的两个事件， 我们有 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B).