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概率统计2-3

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概率论与数理统计浙大四版 第二章3讲2

概率论与数理统计浙大四版 第二章3讲2
则X在任意区G（ 间G可以是开区,也间可以是 闭区间，或半开半间闭；区可以是有限区 也可以是无穷区间取）值上的概率为，
PXGfxdx
G
例2 某电子元件的寿命 X（单位：小时）是以
f x 1000
x2
x 100 x 100
为密度函数的连续型随机变量．求 5 个同类型的元 件在使用的前 150 小时内恰有 2 个需要更换的概率.
1
x0
0x1 1x2
x2
即
0,
x0

F(x)



x2 , 2 2x 1 x2 ,
0 x 1 1 x 2

2
1,
x2
对连续型r.v，若已知F(x)，我们通过求导 也可求出 f (x)，请看下例.
例3 设r.vX的分布函数为
0, x 0
(1) 求X取值在区间
F(x) 没意义的点处，任意规定 F(x)的值.
由于连续型 r.v唯一被它的密度函数所确 定. 所以，若已知密度函数，该连续型 r.v 的概率规律就得到了全面描述.
f (x)
o
x
下面给出几个常用连续型r.v的例子.
（1）若 r.vX的概率密度为： f ( x)
f(x)b1a, axb
例2 设r.v X 的密度函数为 f (x)
f(x)2 1x2, 1x1
0, 其它
求 F(x).
解： F(x) = P(X x) =
x
f (t)dt

f(x)2 1x2, 1x1
0, 其它
解： 对x < -1，F(x) = 0
求 F(x).
对 1x1,
0, 其它
求 F(x).

高二选修2-3概率与统计知识点

高二选修2-3概率与统计知识点

高二选修2-3概率与统计知识点在高二数学的选修课中，学生将学习到概率与统计这一重要的数学领域。

概率与统计是数学中一门与实际生活息息相关的学科，它帮助我们了解和分析事件的可能性和数据的分布规律。

本文将介绍高二选修2-3概率与统计的知识点。

1. 随机事件与概率随机事件是指在相同的条件下，可能发生也可能不发生的事件。

概率是描述随机事件发生可能性大小的数值，通常用一个介于0到1之间的数来表示。

概率的计算可以通过频率法、古典概型和几何概型等方法进行。

2. 条件概率与独立事件条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。

条件概率的计算可以利用乘法法则得出。

如果两个事件的发生与对方无关，则称它们为独立事件。

独立事件的概率计算可以利用乘法法则简化。

3. 排列与组合排列是指从一组不同的元素中按一定的顺序选取若干个元素的方式。

组合是指从一组不同的元素中无序选取若干个元素的方式。

排列和组合的计算可以通过阶乘等方法进行。

4. 随机变量与概率分布随机变量是指随机试验结果的数值表示。

它可以分为离散型随机变量和连续型随机变量。

概率分布是描述随机变量可能取值及其对应概率的函数。

常见的概率分布有离散型概率分布如二项分布和泊松分布，以及连续型概率分布如正态分布和指数分布。

5. 期望与方差期望是随机变量取值的加权平均值，反映了随机变量的平均水平。

方差是随机变量取值与其期望值之间的差异程度的度量，用来描述随机变量的波动情况。

期望和方差的计算可以利用概率分布函数进行。

6. 统计推断与假设检验统计推断是根据样本数据对总体进行估计和推断的过程。

假设检验是通过对样本数据进行统计推断来判断对总体的某个假设是否成立。

常用的统计推断方法有点估计、区间估计和假设检验等。

以上是高二选修2-3概率与统计的主要知识点。

通过学习这些知识，学生可以更好地理解和应用概率与统计在实际问题中的作用，例如预测天气变化、分析市场需求等。

概率与统计不仅是数学领域的重要内容，也是培养学生分析问题和决策能力的重要途径。

高三数学选修2-3(B版)_专题提升：概率与统计

高三数学选修2-3(B版)_专题提升：概率与统计

概率与统计高考对本内容的考查主要有：(1)抽样方法的选择、与样本容量相关的计算，尤其是分层抽样中的相关计算，A 级要求．(2)图表中的直方图、茎叶图都可以作为考查点，尤其是直方图更是考查的热点，A级要求．(3)特征数中的方差、标准差计算都是考查的热点，B级要求．(4)随机事件的概率计算，通常以古典概型、几何概型的形式出现，B级要求.重难点：1．概率问题(1)求某些较复杂的概率问题时，通常有两种方法：一是将其分解为若干个彼此互斥的事件的和，然后利用概率加法公式求其值；二是求此事件A的对立事件A 的概率，然后利用P(A)＝1－P(A)可得解；(2)用列举法把古典概型试验的基本事件一一列出来，然后再求出事件A中的基本事件，利用公式P(A)＝mn求出事件A的概率，这是一个形象、直观的好办法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复，不遗漏；(3)求几何概型的概率，最关键的一步是求事件A所包含的基本事件所占据区域的测度，这里需要解析几何的知识，而最困难的地方是找出基本事件的约束条件．2．统计问题(1)统计主要是对数据的处理，为了保证统计的客观和公正，抽样是统计的必要和重要环节，抽样的方法有三：简单随机抽样、系统抽样和分层抽样；(2)用样本频率分布来估计总体分布一节的重点是：频率分布表和频率分布直方图的绘制及用样本频率分布估计总体分布，难点是：频率分布表和频率分布直方图的理解及应用；(3)用茎叶图优点是原有信息不会抹掉，能够展开数据发布情况，但当样本数据较多或数据位数较多时，茎叶图就显得不太方便了；(4)两个变量的相关关系中，主要能作出散点图，了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性或归方程系数或公式建立线性回归方程.考点1、抽样方法【例1】某学院的A，B，C三个专业共有1 200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本. 已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取________名学生．【方法技巧】分层抽样适用于总体由差异明显的几部分组成的情况，按各部分在总体中所占的比实施抽样，据“每层样本数量与每层个体数量的比与所有样本数量与总体容量的比相等”列式计算；在实际中这种有差异的抽样比其他两类抽样要多的多，所以分层抽样有较大的应用空间，应引起我们的高度重视．【变式探究】某校高三年级学生年龄分布在17岁、18岁、19岁的人数分别为500、400、200，现通过分层抽样从上述学生中抽取一个样本容量为m的样本，已知每位学生被抽到的概率都为0.2，则m＝________.【解析】(500＋400＋200)×0.2＝220.【答案】220考点2、用样本估计总体【例2】(2013·重庆卷改编)以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为________．【解析】由茎叶图及已知得x＝5，又因9＋15＋10＋y＋18＋245＝16.8，所以y＝8.【答案】5,8【方法技巧】由于数据过大，直接计算会引起计算错误，故要学会像解析中介绍的两种方法那样尽量简化计算；同时要理解茎叶图的特点，能够从茎叶图获取原始数据．【变式探究】某校共有400名学生参加了一次数学竞赛，竞赛成绩的频率分布直方图如图所示(成绩分组为[0,10)，[10,20)，…，[80,90)，[90,100])．则在本次竞赛中，得分不低于80分以上的人数为______ .【例3】袋中有红、黄、白3种颜色的球各1只，从中每次任取1只，有放回地抽取3次，求：(1)3只全是红球的概率；(2)3只颜色全相同的概率；(3)3只颜色不全相同的概率．解(1)记“3只全是红球”为事件A.从袋中有放回地抽取3次，每次取1只，共会出现3×3×3＝27种等可能的结果，其中3只全是红球的结果只有一种，故事件A的概率为P(A)＝1 27.(2)“3只颜色全相同”只可能是这样三种情况：“3只全是红球”(事件A)；“3只全是黄球”(设为事件B)；“3只全是白球”(设为事件C)．故“3只颜色全相同”这个事件为A＋B＋C，由于事件A、B、C不可能同时发生，因此它们是互斥事件．再由红、黄、白球个数一样，故不难得P(B)＝P(C)＝P(A)＝127，所以P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝1 9.(3) 3只颜色不全相同的情况较多，如是两只球同色而另一只球不同色，可以两只同红色或同黄色或同白色等等；或三只球颜色全不相同等．考虑起来比较麻烦，现在记“3只颜色不全相同”为事件D，则事件D为“3只颜色全相同”，显然事件D与D是对立事件．∴P(D)＝1－P(D)＝1－19＝89.【方法技巧】在求某些稍复杂的事件的概率时，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥事件的概率的和；二是先去求此事件的对立事件的概率．一个复杂事件若正面情况比较多，反面情况较少，则一般利用对立事件进行求解；对于“至少”，“至多”等问题往往用这种方法求解．【训练3】(2013·陕西卷改编)如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是________．考点预测：1．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为________．2．先后两次抛掷一枚骰子，在得到点数之和不大于6的条件下，先后出现的点数中有3的概率为________．3．某单位有职工160名，其中业务人员120名，管理人员16名，后勤人员24名．为了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为20的样本．若用分层抽样的方法，抽取的业务人员、管理人员、后勤人员的人数应分别为________．【解析】分层抽样应按各层所占的比例从总体中抽取．4．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为________．5．一个袋中有3个黑球，2个白球共5个大小相同的球，每次摸出一球，放进袋里再摸第二次，则两次摸出的球都是白球的概率为________．6．从甲、乙、丙等5名候选学生中选2名作为青年志愿者，则甲、乙、丙中有2个被选中的概率为________．7.为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了该运动员在6场比赛中的得分，用茎叶图表示如图所示，则该组数据的方差为________．【解析】平均数x ＝14＋17＋18＋18＋20＋216＝18，故方差s 2＝16[(－4)2＋(－1)2＋02＋02＋22＋32)]＝5.【答案】58．袋中装有大小相同且形状一样的四个球，四个球上分别标有“2”、“3”、“4”、“6”这四个数．现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是________．【解析】总的取法是4组，能构成等差数列的有{2,3,4}，{2,4,6} 2组；故所求概率为P ＝24＝12.【答案】129．设f (x )＝x 2－2x －3(x ∈R )，则在区间[－π，π]上随机取一个数x ，使f (x )＜0的概率为________．10．从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________．11．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a －1>0”发生的概率为________．12．从一副没有大小王的52张扑克牌中随机抽取1张，事件A 为“抽得红桃8”，事件B 为“抽得为黑桃”，则事件“A ＋B ”的概率值是________(结果用最简分数表示)．13．在集合A ＝{2,3}中随机取一个元素m ，在集合B ＝{1,2,3}中随机取一个元素n ，得到点P (m ，n )，则点P 在圆x 2＋y 2＝9内部的概率为________．【解析】由题意得到的P (m ，n )有：(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)共计6个；在圆x 2＋y 2＝9的内部的点有(2,1)，(2,2)，所以概率为26＝13.【答案】13 14．抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1,2,3,4的正四面体，其底面落于桌面，记所得的数字分别为x ，y ，则x y 为整数的概率是________．。

2-3-22三角函数、平面向量、立体几何、概率与统计型解答题

2-3-22三角函数、平面向量、立体几何、概率与统计型解答题
数学（理） 第28页 新课标· 高考二轮总复习
高考陪练
1.(2011· 北京卷)已知函数
π f(x)＝4cosxsinx＋ －1. 6
(1)求 f(x)的最小正周期； (2)求
π π f(x)在区间－ ， 上的最大值和最小值． 6 4
数学（理） 第29页 新课标· 高考二轮总复习
数学（理） 第18页 新课标· 高考二轮总复习
[解]
(1)证明：
数学（理） 第19页 新课标· 高考二轮总复习
证法一：综合法 设 G 是线段 DA 与线段 EB 延长线的交点，由于△ 1 OAB 与△ODE 都是正三角形，所以 OB 綊 DE，OG＝ 2 OD＝2.同理，设 G′是线段 DA 与线段 FC 延长线的交 点，有 OG′＝OD＝2.又由于 G 和 G′都在线段 DA 的 延长线上，所以 G 与 G′重合．
数学（理） 第25页 新课标· 高考二轮总复习
【热点例 4】
(2011· 江西)某饮料公司招聘了一名员工，
现对其进行一项测试， 以便确定工资级别，公司准备了两种不 同的饮料共 8 杯，其颜色完全相同，并且其中 4 杯为 A 饮料， 另外 4 杯为 B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从 8 杯饮 料中选出 4 杯 A 饮料， 4 杯都选对， 若 则月工资定为 3500 元； 若 4 杯选对 3 杯， 则月工资定为 2800 元； 否则月工资定为 2100 元，令 X 表示此人选对 A 饮料的杯数，假设此人对 A 和 B 两 种饮料没有鉴别能力． (1)求 X 的分布列； (2)求此员工月工资的期望．
数学（理） 第16页 新课标· 高考二轮总复习
2π (2)因为 b ＝a ＋c －2accos ， 3
2 2 2

统计、概率、随机变量及其分布(必修3、选修2-3)

统计、概率、随机变量及其分布(必修3、选修2-3)

统计、概率、随机变量及其分布 1.右面茎叶图表示的是甲、乙两人在 5次综合测评中的成绩，其中一个数 字被污损.则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为 2 7 4 9(A ) (B ) ( C ) — ( D )— 5 102 •某次测试成绩满分为 9 883 372 1 0 9 4 9 甲 乙 5 10 150分，设n 名学生的得分分别为 a-i , a 2 ,L , a n ( a i N , 1 i n ), (1 k 150 )为n 名学生中得分至少为 k 分的人数.记M 为n 名学生的平均成绩.则 (A ) M3 b 2 L So (B )Mn 3.从某地高中男生中随机抽取 数据绘制成频率分布直方图 为 _________ kg ；若要从身高在[60,70), [70 , 80) , [80,90]三组内150 n 100名同学，将他们的体重(单位： kg ) (如图) .由图中数据可知体重的平均值b 1 b 2 L Ib 150 (D ) M 3 b 2 沪 150 oLb|5Q 」一丈0.030 0 03 ag 0.015 0.030的男生中，用分层抽样的方法选取 12人参加一项活动，再从这 12人 选两人当正负队长，则这两人身高不在同一组内的概率为_____________ . 4•某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出 军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是() (A ) 8, 8 ( B ) 10, 6 ( C ) 9, 7 ( D ) 12, 4 5.对某种花卉的开放花期追踪调查，调查情况如下 ，则这种卉的平均花期为—天. 灯6人参加闿 花期(天) 11 〜13 14 〜16 17 〜19 20 〜22 个数 20 40 30 106.为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常 消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图(如图所示) ，记甲、乙、丙所 频率调 査数据的标准差分别为 频率 w 0.0008「 2, s 3则它们的大小关系为 0.0008 0.00060.00040.0002。

刘建亚概率论与数理统计课后习题第2,3章答案

刘建亚概率论与数理统计课后习题第2,3章答案
1 3
解: 知识点： P43均匀分布函数及其概率密度函数。 由题意知, X ∼ U (2, 5), 从而， X 的概率密度函数为 { 1 , x ∈ (2, 5); 3 f (x) = 0, 其他.
2 X 落在(3, 5]之间的概率为 3 ，
f (x) dx √ c dx 1 − x2
X 落在(2, 3]之间为 1 3 从而， 至少有两次观测值大于3的概率为 P = = = 19. 题目见课本P57. 解: 知识点： P24伯努利概型、 P37二项分布概念、 P45指数 分布及其概率密度函数。 X 表示顾客在某银行窗口等待服务的时间。 Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数。 由于他一个月去银行5次 1 2 2 3 2 · ( )3 C3 · ( )2 · + C3 3 3 3 4 8 + 8 27 20 27
3 从5只球中取出3只， 取出的总数为C5 。
= 1，
从而得到， a = 1。 (2)由离散概率分布的性质可知 ∑∞ a k=1 2k = 1， 因此有 a·
1− 1 2
1 2
由题知，X 表示所取出3只球中的最大号码，所以X 的可 能取值为分别为3, 4, 5。 当X = 3时， 其它两个球只能是1, 2, 故 P (X = 3) =
由于某人的成绩为78分因此高于78分人数的概率为px781???781?700276?789992002909令p1为某单位的录取率又由于某单位招聘155人有526人报名因此52602947进一步由于px7802909p102947录取率为p1155故此人能够被录取
概率论与数理统计课后习题
第 2 章
=
3 10
当X = 4时， 其它两个球只能是从1, 2, 3, 4中任取2个， 故 C2 6 P (X = 5) = 4 = 3 C5 10 因此， X 的分布列为 X P 3. 题目见课本P56。 解: 知识点：P7古典概率定义、 P35超几何分布概念。 X 表示取出四只中所含次品的只数。 由于有3件次品， 则X 可能取值为 0, 1, 2, 3， 进而由古典概 率定义和超几何分布， 得 P (X = k ) =

概率统计2.第3章作业题

概率统计2.第3章作业题

第三章作业题一. 填空：1、已知二维随机变量),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，试用),(y x F 表示概率=>>),(b Y a X P .2．已知),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，且d c b a <<,，则=≤<≤<),(d Y c b X a P3. 已知随机变量),(Y X 的联合分布密度函数如下, 则常数=K=),(y x f ⎩⎨⎧≤≤≤≤-其它。

,0;0,10),1(x y x x y K 二、选择1、设随机变量X 和Y 相互独立, 且都服从)1,0(区间上的均匀分布, 则仍服从均匀分布的随机变量是)(A Y X Z += )(B Y X Z -= )(C ),(Y X )(D ),(2Y X2、设二维随机变量(X,Y)取下列数组(-1,0)，(-1,1)，(0,0)，(1,0)的概率依次为3/(4c)，1/(2c)，3/(4c)，1/c ，其余数组概率为0，则c 的取值为( )A . 1B . 2C . 3D . 4三、综合1．已知随机变量X ，Y 的联合概率分布如下表（1）写出X 与Y 的边缘概率分布.（2）Y X ,是否相互独立？为什么？(3) 写出XY , Y X -的分布（4） 求1X =的条件下Y 的条件分布2. 已知随机变量X ，Y 的联合概率密度函数为⎩⎨⎧>>=+-其它,00,0,6),()32(y x e y x f y x（1）求X 与Y 的边缘密度)(x f X 及)(y f Y（2）判断X 与Y 是否相互独立，为什么？（3）求概率(1)P X Y +≤,(1,2)P X Y ≤≤3．设二维随机变量（X,Y ）在区域 }||,10|),({x y x y x G ≤≤≤= 上服从均匀分布。

求：边缘密度函数(),()X Y f x f y .4．设随机变量X 与Y 相互独立，X ，Y 分别服从参数为)(,μλμλ≠的指数 分布，试求Y X Z 23+=的密度函数)(z f Z .5．设二维随机向量),(Y X 的联合密度函数为2,01,(,)0,C x x y x f x y ⎧<<<<=⎨⎩其他， 试求：（1）常数C ；（2）边际密度函数(),()X Y f x f y ，并讨论X 和Y 的独立性；（3）)2(X Y P < 。

概率论与数理统计第6章参数区间估计2,3节

概率论与数理统计第6章参数区间估计2,3节


n
E(X
k
)

E(X
k)
i1
i1
二、有效性
未知参数 的无偏估计量不是唯一的.
设 ^1 和 ^2 都是参数 的无偏估计量,
θˆ 1
θˆ 2
集中
分散
蓝色是采用估^ 计量 1 , 用 14 个样本值得到的 14 个估计值. 紫色是采用估^ 计量 2 , 用 14 个样本值得到的 14 个估计值.
若limD(ˆ)0， 则ˆ是的一致估 . 计量 n
回顾例子.设总体X的概率密度为
f(x)6x3 (x),0x;
0, 其他
X1, X2,…, Xn 是取自总体X 的简单随机样本, (1) 求的矩估计量 ˆ；
(2) 求ˆ的方差D(ˆ).
解：矩估计 ˆ量 2X. D(ˆ)4D(X)4D(X)2
若滚珠直径服从正态分布X ~ N( , 2), 并且已知 = 0.16(mm),求滚珠直径均值的置信水平为95%
的置信区间.
解：由上面求解的置信水平为1- 的置信区间
Xσn 0 uα/,2 Xσn 0 uα/2
已 n 知 1,0 0 0 .1,6 0 .0,5 x110i110xi 14.92,
若进行n次独立重复抽样，得到n个样本观测值,
每个样本观测 个值 随确 机(定 ˆ1区 ,ˆ2一 )间 .那么
每个区间的 可真 能 ， 或 值 包不 含包 的含 真 , 值
根据伯努利大数定理, 在这n个随机区间中,
包含 真值1 的 0(1 0 约 )% 占 ,不包含 10 的 % 0. 约
便得 k的 到 最大似 ˆk(X 1,然 X 2, ,估 X n).计
第二节 判别估计量好坏的标准

《概率论与数理统计》课件3-2 二维离散型随机变量

《概率论与数理统计》课件3-2 二维离散型随机变量

++
(2)规范性
pij = 1
i =1 j =1
边缘分布律
+
P X = xi } = P X = xi ,Y < + } = P{X = xi , Y = yj }
j= 1
+
= pij = pi •
j= 1
(i = 1，2， )
+
} } P Y = yj = P X < + ,Y = yj = P{X = xi , Y = yj } i= 1
+
}=
j=1 P{X = xi , Y = yj } =
pij = pi • (i = 1，2，)
j= 1
+
+
P Y = yi } = P X + ,Y = yi } =
P{X = xi , Y = yj }=
pij =
p •j
(j
=
1，2， )
i =1
i =1
3.2- P63— 1 2 3
A
C
B
D
提交
P
XY
( X, Y)X xi }=P{X xi Y
},
j1
pj
pij P{Y yj } P{X
i1
i 1, 2, ,
j 1, 2, ,
Y yi },
pi p j (X,Y)
X
Y
.
Y X
y1
y2
yj
x1
p 11 p 12
x2
p 21 p 22
p1j
p2 j
xi
pp
i1
且满足P{X1X2 = 0} = 1，则 P X1 = X2 } = ( )。

《概率论与数理统计》第二章习题解答

《概率论与数理统计》第二章习题解答

第二章 随机变量及其分布1、解：设公司赔付金额为X ，则X 的可能值为； 投保一年内因意外死亡：20万，概率为0.0002 投保一年内因其他原因死亡：5万，概率为0.0010投保一年内没有死亡：0，概率为1-0.0002-0.0010=0.9988 所以X2、一袋中有5X 表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律解：X 可以取值3，4，5，分布律为1061)4,3,2,1,5()5(1031)3,2,1,4()4(1011)2,1,3()3(352435233522=⨯====⨯====⨯===C C P X P C C P X P C C P X P 中任取两球再在号一球为中任取两球再在号一球为号两球为号一球为 也可列为下表 X ： 3， 4，5P ：106,103,101 3、设在15只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X 表示取出次品的只数，（1）求X 的分布律，（2）画出分布律的图形。

解：任取三只，其中新含次品个数X 可能为0，1，2个。

3522)0(315313===C C X P3512)1(31521312=⨯==C C C X P 351)2(31511322=⨯==C C C X P 再列为下表 X ： 0， 1， 2P ： 351,3512,3522 4、进行重复独立实验，设每次成功的概率为p ，失败的概率为q =1－p (0<p <1) （1）将实验进行到出现一次成功为止，以X 表示所需的试验次数，求X 的分布律。

（此时称X 服从以p 为参数的几何分布。

）（2）将实验进行到出现r 次成功为止，以Y 表示所需的试验次数，求Y 的分布律。

（此时称Y 服从以r, p 为参数的巴斯卡分布。

）（3）一篮球运动员的投篮命中率为45%，以X 表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率。

解：（1）P (X=k )=q k －1p k=1,2,……（2）Y=r+n={最后一次实验前r+n －1次有n 次失败，且最后一次成功},,2,1,0,)(111 ===+=-+--+n p q C p p q C n r Y P r n n n r r n n n r 其中 q=1－p ，或记r+n=k ，则 P {Y=k }= ,1,,)1(11+=----r r k p p C rk r r k （3）P (X=k ) = (0.55)k －10.45 k=1,2…P (X 取偶数)=311145.0)55.0()2(1121===∑∑∞=-∞=k k k k X P 5、 一房间有3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。

新课标高中数学选修23(统计与概率)测试题

新课标高中数学选修23(统计与概率)测试题

新课标高中数学选修2—3（统计与概率）测试题命题：广东省汕头市潮阳林百欣中学 许吟裕（2006-4-8）一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的4个选项中，只有1项是符合题目要求的。

） 1．从总体中抽得的样本数据为3.8，6.8，7.4则样本平均数x 为：（ ）A. 6.5B. 6C. 5D. 5.52．高三年级有12个班，每班50人按1—50排学号，为了交流学习经验，要求每班学号为 18的同学留下进行交流，这里运用的是（ ）抽样法：A.抽签法B.系统抽样C.分层抽样D.随机数表法3．如果数据x 1,x 2,x 3,…,x n 的平均数为 ,方差为62，则数据3x 1+5,3x 2+5,…,3x n +5的平均数和方差分别是 （ ） A ． B ． C ． D ． 4．甲、乙两个水文站同时作水文预报，如果甲站、乙站各自预报的准确率为0.8和0.7，那么，在一次预报中两站都准确预报的概率为 （ ） A ．0.7 B ．0.56 C ．0.7 D ．0.85．从分别写有A 、B 、C 、D 、E 的5张卡片中，任取两张，这两张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率为 （ ）A ．B ．C ．D ．6．已知盒子中有散落的围棋棋子15粒，其中6粒黑子，9粒白子，从中任意取出2粒恰好是同一色的概率 （ ）A ．B ．C ．D ．7）A ．B ．C ．D ．8．甲、乙两人独立解答某道题，解不出来的概率分别为a 和b ，那么甲、乙两人都解出这道题的概率是 （ ） A ．1-ab B ．(1-a )(1-b ) C ．1-(1-a )(1-b ) D ．a (1-b )+b (1-a ) 9．有3个相识的人某天各自乘火车外出，假设火车有10节车厢，那么至少有两人在车厢内相遇的概率为 （ ）A ．B ．C ．D ．26和x 2653和+x 29653和+x 2363和x 51521031073517711051635342014121107200292571442918710．一患者服用某种药品后被治愈的概率是95%，则患有相同症状的四位病人中至少有3人被治愈的概率为 （ ） A ．0.86 B ．0.90 C ．0.95 D ．0.99二，填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）11．甲投篮的命中率为0.7，乙投篮的命中率为0.8，每人各投3次，每人恰好都投中2次的概率为___________。

概率统计2-3

概率统计2-3

1−p o p 1
p x
9
例题与解答
例2 甲乙两名射手在一次射击中得分(分别用 ξ,η表示)的分布律如下表所示, 试比较甲,乙两 射手的技术.
ξ
P
8
9
10
η
P
8
9
10
0.3 0.1 0.6
0.2 0.5 0.3
解 Eξ=8×0.3+9×0.1+10×0.6=9.3 Eη=8×0.2+9×0.5+10×0.3=9.1 这表明, 如多次射击, 他们得分的平均值分 别是9.3和9.1, 故甲射手较乙射手的技术好。
+ ∫ ( 55 − x )dx + ∫ ( 65 − x )dx ]
25 55
55
60
E(Y)=E(g(X))=
∫
+∞
−∞
g( x ) f ( x )dx
1 = ( 12.5 + 200 + 450 + 37.5 ) 60 =11.67(分)
21
例题与解答
*例8.假定世界市场对我国某种出口商品的需求量 X(吨)是个随机变量，它服从区间[2000,4000]上的均 匀分布，设该商品每出售一吨，可获利3万美元外汇， 但若销售不出去而压库，则每吨支付保养费1万美元， 问如何计划年出口量，可使期望获利最多。 解：设计划年出口量为y吨，年创利Y万美元，显然 X≥y 3y y∈[2000,4000],且有 Y = g( X ) = 3X − ( y − X ) X < y +∞ 4000 1 EY = ∫ g( x) f ( x)dx = 2000 g ( x ) dx −∞ 由微积分可知： 由微积分可知： 2000 4000 y 1 y=3500时 = 2000 [ ∫ ( 4 x − y ) dx + ∫ 3 ydx 当y=3500时， 2000 y EY最大 EY最大。 最大。 2

概率统计2-3

概率统计2-3
0.08 0.06 0.04 0.02
f ( x )d x
a
b
F (b) F (a)
b x
a
Ch2-51
P( X a ) P( X a) 1 F ( a )
p ( x)
0.06 0.04 0.02
-5
5
a a
x
例1 设连续型 r.v 的 d.f 为
Ch2-52
1 其分布函数 F ( x) 2
作变量代换 s
t

x

(t )2 2 2

e
d t P( X x)
x F ( x)
P(a X b) F (b) F (a)
b a P( X a) 1 F (a)

(t ) e P(T t ) P( N (t ) 0) 0!
0
1 P(T t ), t 0
t
e
t
t0 t0 0, 0, f (t ) t F (t ) t e , t 0 1 e , t 0
即
T ~ E ( )
P( X ) F ( )
Ch2-72
1 F ( ) P( X )
1 2
0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 -6 -5 -4 -3 -2 -1
Ch2-73
正态变量的条件
若 r.v. X
① 受众多相互独立的随机因素影响 ② 每一因素的影响都是微小的 ③ 且这些正、负影响可以叠加
1
x 0
对于任意的 0 < a < b, b x P(a X b) a e d x

自考 概率论与数理统计(3)

自考 概率论与数理统计(3)

例2.设连续函数变量X的分布函数为求：（1）X的概率密度f（x）;【答疑编号：10020301针对该题提问】（2）X落在区间（0.3，0.7）的概率。

【答疑编号：10020302针对该题提问】解：（1）（2）有两种解法：或者例2－1若【答疑编号：10020303针对该题提问】解：例2－2若求x~f(x) 【答疑编号：10020304针对该题提问】解：例2－3，若【答疑编号：10020305针对该题提问】解：例3.若【答疑编号：10020306针对该题提问】解：（1）x≤0时，f（x）=0，（2）0＜x＜1时，（3）1≤x时，注2.分段函数要分段求导数，分段求积分。

例4.设某种型号电子元件的寿命X（以小时计）具有以下的概率密度。

现有一大批此种元件，（设各元件工作相互独立），问：（1）任取一只，其寿命大于1500小时的概率是多少？【答疑编号：10020307针对该题提问】（2）任取四只，四只元件中恰有2只元件的寿命大于1500的概率是多少？【答疑编号：10020308针对该题提问】（3）任取四只，四只元件中至少有1只元件的寿命大于1500的概率是多少？【答疑编号：10020309针对该题提问】解：（1）（2）各元件工作相互独立，可看作4重贝努利试验，观察各元件的寿命是否大于1500小时，令Y表示4个元件中寿命大于1500小时元件个数，则，所求概率为（3）所求概率为3.2均匀分布与指数分布以下介绍三种最常用的连续型概率分布，均匀分布、指数分布和正态分布，本小节先介绍前两种。

定义2.若随机变量X的概率密度为则称X服从区间[a,b]上的均匀分布，简记为X~U（a,b）容易求得其分布函数为均匀分布的概率密度f（x）和分布函数F（x）的图像分别见图2.3和图2.4均匀分布的概率密度f（x）在[a,b]内取常数，即区间长度的倒数。

均匀分布的均匀性是指随机变量X落在区间[a,b]内长度相等的子区间上的概率都是相等的。

概率论与数理统计2_3连续型随机变量

概率论与数理统计2_3连续型随机变量

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若不计高阶无穷小，有
f ( x)
f (a)1ຫໍສະໝຸດ oP{ x X x x } f ( x )x
的概率近似等于
a
x
它表示随机变量 X 取值于 ( x, x x ]
x)) x x ff ((x
在连续型随机变量理论中所起的作用与
P X xk pk
x2 , f ( x) A, 0, 0 x 1 1 x 2 其它
求 (1)常数A; ( 2) P{0 X 3};
(3)分布函数F(x).
2
解: (1)由于f(x)是一个密度函数,
由

f ( x)dx 1, 得
2 2 1
x dx
0
1
Adx 1
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例3.设随机变量X在[2，8]上服从均匀分布，求二次方程 y2+2Xy+9=0 有实根的概率.
解：由于X服从均匀分布，故X的概率密度为
1 , 2 x8 f ( x) 6 0, 其它
方程有实根等价于4X236≥0 , 即X≥3或X≤3. 从而， P{y2+2Xy+9=0 有实根}=P{X≥3}+P{X≤3}
1 f ( x) e 2
( x )2 2 2
f(x)
, x
其中μ,σ(σ>0)为常数，则称X服从参 数为μ,σ2的正态分布或高斯（Gauss） 分布,记作 X～ N（μ,σ2）
0
x
分布函数
F(x)
x 1 e 2 ( t )2 2 2
F ( x)

概率论与数理统计-第3章-第2讲-二维离散型随机变量及其分布

概率论与数理统计-第3章-第2讲-二维离散型随机变量及其分布

求分布律方法：先定值再求概率
Y
X
0
1
2
3
0
0
0
1
0
2
0
取4只球 P{X 0,Y 0} P{X 0,Y 1} P{X 1,Y 0} P{X 3,Y 2} 0
14
03 二维离散型随机变量的边缘分布律
例 盒子里装有3只黑球, 2只红球, 2只白球, 在其中任取4只球, 以 X 表示取 到黑球的只数, 以 Y 表示取到红球的只数, 求(X, Y)的联合分布律.
主讲教师 |
18
由此得 X , Y 的联合分布律为
X Y
0
1
0
0
0
6
1
0
35
1
6
2
35
35
2
3
3
2
35
35
12
2
35
35
3 0
35
16
第2讲 二维离散型随机变量及其分布
本节我们认识了二维离散型随机变量, 以及联合分布律和边 缘分布律, 要求理解它们概念和性质, 并且会求相应的概率.
17
概率论与数理统计
学海无涯, 祝你成功！
3
本讲内容
01 二维离散型随机变量 02 联合分布律 03 二维离散型随机变量的边缘分布律
4
02 联合分布律
2.联合分布律
设( X ,Y )的所有可能的取值为
(xi , y j ), i, j 1,2,
则称
P( X xi ,Y y j ) pij , i, j 1,2,
为二维随机变量( X ,Y ) 的联合概率分布, 简称概率分布或分布律.
7
02 联合分布律 已知联合分布律可以求概率

高中数学选修2-3课件

高中数学选修2-3课件
期望与方差在统计学中的应用
在统计学中，期望和方差是描述数据分布的重要参数，可以帮助我 们了解数据的集中趋势和离散程度。
THANKS.
随机变量的数字特征01 02Fra bibliotek数学期望
数学期望描述了随机变量取值的平均水平。对于离散型随机变量，数学 期望等于各个可能取值的概率加权和；对于连续型随机变量，数学期望 等于积分运算的结果。
方差
方差描述了随机变量取值与数学期望的偏离程度。方差越小，随机变量 的取值越集中；方差越大，随机变量的取值越分散。
多做练习
通过多做练习，加深对知识的 理解和掌握，提高解题能力。
归纳总结
学生应及时归纳总结所学知识 ，形成知识体系，便于复习巩
固。
积极参与课堂讨论
积极参与课堂讨论，与同学交 流学习心得，互相帮助，共同
进步。
概率论
02
概率论基础
概率的定义与性质
概率是描述随机事件发生可能性的数学工具，其值在0到1之间。概率具有可加性、有限 可加性等性质。
连续型随机变量
05
连续型随机变量及其概率分布
连续型随机变量的定义
概率密度函数
连续型随机变量是在某个区间内取值 ，并且取值具有连续性的随机变量。
概率密度函数是概率分布函数的导数 ，描述了随机变量在各个取值点上的 概率密度。
概率分布函数
连续型随机变量的概率分布函数是描 述随机变量取值概率的函数，其值域 为[0,1]。
随机变量的定义
随机变量是定义在样本空间上的一个实数函数，其取值随 样本点确定而确定。根据取值情况，随机变量可分为离散 型和连续型。
离散型随机变量的概率分布
离散型随机变量的概率分布描述了随机变量取各个可能值 的概率。常见的离散型随机变量包括二项式分布、泊松分 布等。

概率论与数理统计2-3

概率论与数理统计2-3
∆x → 0 ∆x → 0
P ( x1 < X ≤ x2 ) = F ( x2 ) − F ( x1 ) = ∫ x 2 f ( x )dx 1
x
3) 对任意 P(X=x)=0. 从而对任意实数 b, (a<b), 对任意x, 从而对任意实数a, P (a ≤ X ≤ b) = P (a < X <与数理统计
第二章
随机变量及其概率分布
定理 : 设F ( x ), f ( x )分别为连续随机变量 X的分布函数 和密度函数 .若f ( x )在点x处连续 , 那么 f ( x ) = F ' ( x ). 由该定理和注8可知 可知,若 注9 由该定理和注 可知 若F(x)除至多可数个点外有连续 除至多可数个点外有连续 导数, 导数 那么密度函数 F ' ( x ) 在F ( x )有连续导数处 f ( x) = 任意取值 其他 由注9给出的密度函数可能会有一定差异 给出的密度函数可能会有一定差异,但不影响 注10 由注 给出的密度函数可能会有一定差异 但不影响 分布函数的表示和事件概率的计算. 分布函数的表示和事件概率的计算 这种现象是概率论研 究中的一种特色, 而称这样的密度函数是几乎处处相等的, 究中的一种特色 而称这样的密度函数是几乎处处相等的 对其简单说明如下: 设有随机变量X及函数 及函数g(x),h(x),若 对其简单说明如下 设有随机变量 及函数 若 P ( X ∈ { x : g( x ) = h( x )}) = 1, 几乎处处相等. 称g(x),h(x)几乎处处相等 几乎处处相等
华东师范大学统计系
概率论与数理统计
第二章
随机变量及其概率分布
3 几个常用的连续型分布 1) 均匀分布 设连续型随机变量X具有密度函数 设连续型随机变量 具有密度函数 1 b− a − 1 b− a , a ≤ x ≤ b, f ( x) = 其他 , 0, a b 则称X在区间 在区间[a, 上服从均匀分布 上服从均匀分布. 则称 在区间 b]上服从均匀分布 记作X ~ U (a , b ) F ( x) 分布函数为： 分布函数为： 0 , 1 x < a,

概率统计实验指导书2,3

概率统计实验指导书2,3

概率统计实验指导书理学院实验中心数学专业实验室编写2009.12实验二 统计分析1 引1. 问题：湖中有鱼，其数不知。

现在请你想一个办法，能将湖中的鱼数大致估计出来。

2. 分析：有两种方法。

[方法一] 设湖中有N 条鱼。

先捕出r 条鱼，做上记号后放回湖中（设记号不会消失）。

让湖中的鱼充分混合后，再从湖中捕出s 条鱼，设其中有T 条鱼标有记号，则T 是随机变量，且服从超几何分布{}(0)t s tr N rsNC C P T t t r C --==≤≤。

应用极大似然估计思想，寻找N,使{}P T t =达到最大，得sr N t ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦。

于是取sr N t ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦作为湖中鱼数的一种估计，其中[]x 表示不超过x 的最大整数。

[方法二] 用矩估计法.因为T 服从超几何分布，其数学期望是()srE T N=，此即捕s 条鱼得到有标记的鱼的总体平均数。

而现在只捕一次，出现t 条有标记的鱼。

由矩估计法，令总体一阶原点矩等于样本一阶原点矩，即srt N =，也得sr N t ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦。

3. 问题的解决：由上面的分析，要想估计出湖中的鱼数，首先需要取到样本数据，然后利用样本数据，采用统计中的点估计法对总体进行估计，其属于统计分析中的一部分。

本节重点进行与统计分析相关的实验。

2 实验目的1、利用常用的统计量描述样本数据的集中和分散程度，并对总体特征进行归纳和分析。

2. 学习用MATLAB 对总体均值、方差进行估计。

3. 学习用MATLAB 处理假设检验的相关问题。

4. 解决“引”中的实际问题。

3 实验内容1.使用MATLAB 对样本数据进行处理MATLAB 提供了若干对数据进行统计分析的命令，这些命令作用到一个矩阵上会对各列分别作用，得到一个行向量，现将这些命令列举如下：max 最大分量； mean 平均值； std 标准差； sum 分量和； product 分量积； cumsum 元素累和； min 最小分量； median 中位数； sort 按不增次序排序； hist 直方图； diff 差分函数； cumprod 元素累计积此外，命令corrcoef计算相关系数矩阵，格式为R=corrcoef(X),X为输入矩阵，它的行元素为观测值，列元素为变量，返回相关系数矩阵R，矩阵R的元素为R(i,j);命令cov计算协方差矩阵，格式为C=cov(X)，X若为单个向量，cov(X)返回包含方差的标量；X若为矩阵，X的每一列表示一个变量而行元素为观测值。

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p1
x2
p2
x3
p3
7
例题与解答


例1 若x服从0-1分布, 其概率函数为 P{x=k}=pk(1p)1k (k=0,1), 求Ex 解 Ex=0(1p)+1p=p
1p o p
p
1
x
8
例题与解答

例2 甲乙两名射手在一次射击中得分(分别用 x,h表示)的分布律如下表所示, 试比较甲,乙两 射手的技术.
60
25-X
55-X 65-X
5<X≤25,
25<X≤55, 55<X≤60.
( 55 x )dx ( 65 x )dx ]
25 55
55
60
1 ( 12.5 200 450 37.5 ) 60
=11.67(分)
19
E(Y)=E(g(X))=



g( x ) f ( x )dx
计算上例中平均年龄的方法之一是： 将这个班的学生的每个人的年龄加起来, 再除以 这个班的人数20人(即6个18岁, 10个19岁, 4个 20岁加起来),得平均年龄为
6 18 10 19 4 20 EX 20 6 10 4 18 19 20 20 20 20 18 p18 19 p19 20 p20
则
aX ax1
ax2 ... axn ...



一元随机变量X的函数g(x)的期望

可以证明:随机变量X的密度为f (X)，则随机 变量X的函数g(X)的数学期望为

g ( xk ) p k 当X为离散型 k E[ g ( X )] g ( x) f ( x)dx 当X为连续型 因为求g(X)的分布经常是不容易的, 这两个关于 随机变量函数g(X)的数学期望计算式无须求g(X) 的分布,因此极大地简化了数学期望的计算。

定义 2.7设连续型随机变量X有概率密度f(x), 若积分 xf ( x)dx 绝对收敛，则称：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

EX

xf ( x)dx
为连续型随机变量X的数学期望。
14
例题与解答


例5 计算在区间[a,b]上服从均匀分布的随机变 量X的数学期望. 1 x [ a ,b ] 解 依题意, X ~ f ( x ) b a
n 1
则称该级数为X的数学期望，记作EX，即
EX xn pn
n 1

形式上EX是X的各可能取值的加权平均，实 质上也确实刻画了X取值的真正“平均”。
6
数学期望的力学解释
在坐标轴上的x1,x2,...,等点处放置质量为p1,p2,... 的质点, 则数学期望处为整个质点体系的重心.
EX
x1
1 x [ 0 ,60 ] 解:由题意得:X~ f ( x ) 60 0 其它
设Y表示旅客候车时间, 5-X 则 Y=g(X)=

0<X≤5,
1 g( x )dx 0 60 25 1 5 [ ( 5 x )dx ( 25 x )dx 5 60 0
0 其它

b
则
EX= xf ( x )dx

a
1 x dx ba
1 1 2b ab x a ba 2 2
数学期望反映了连续型随机变量的平均取值.
15
数学期望的性质
(1)E(c)=c; (2)E(aX)=aE(X); (3)E(X+b)=EX+b;
X

c
(4)E(aX+b)=aEX+b
4
续上页
上面计算平均值的方法很准确，但有时却不方便使用 (如人数很多，近似“无穷”时)。(加权平均不能解决“无穷” 问题) 另一种是计算统计平均值的实用方法，通过对随机变 量X进行重复地试验(抽查一个个学生年龄), 假设这 试验一共做了n次, 而获得了18,19,20这三个年龄的次 数(频数)分别为n18, n19, n20次, 则将这n次试验所获得 频 的总年龄数除以n就是统计平均的年龄。 18 n18 19 n19 20 n20
所以, EY=0× (1-e-0.5)+10 × (e-0.5-e-1 )+30×( e-1-e-1.5 )+40× e-1.5
=15.65(元)
11
连续型随机变量的离散化

假设连续型的随机变量X的概率密度为f(x), 现 在我们将整个实数轴划分成同样的宽度为x 的无穷多个小区间, 当试验的结果是落在第k 个小区间里时, 我们干脆近似认为是x等于此 小区间的中点xk的事件发生了, 这样就将x转化 成为了一离散型的随机变量, 它等于xk的概率 近似为f(x)x, 如果x的值越小, 这样的近似越 准确. f(x )x
...
k
x
...
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xk2 xk1 xk xk+1 xk+2
离散后的期望计算
在这种情况下我们计算X的数学期望, 可得:
EX
k
x

k
f ( xk ) x
当x0时，我们相信得到的X的数学期望值 是准确的。
EX

xf ( x)dx
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连续型随机变量的数学期望
注意: 方差反映了随机变量相对其均值的偏离程度.
结合随机变量函数的数学期望可得:
(1)若P(X=xn)=pn,n=1,2,...,则 DX= (2)若X为连续型,X~f(x),则 DX=

E(X-EX)2
( xn EX ) p n
2 n
E(X-EX)2
2
( x EX ) f ( x )dx
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§2.3随机变量的数字特征


数学期望的概念 数学期望的简单性质 方差 切贝绍夫不等式* 矩
通常求出随机变量的分布并不是一件容易的事, 而人 们更关心的是用一些数字来表示随机变量的特点, 这 些与随机变量有关的数字, 就是随机变量的数字特征. 最常用的数字特征为数学期望, 方差等。
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x 1 1000 e f ( x ) 1000 例4.某种电子元件使用寿命X~ 规定:使用寿命在500小时以下为废品,0
例题与解答
x0 x0

产值为0元;在500到1000小时之间为次品,产值为10元; 在1000到1500小时之间为二等品,产值为30元;1500小时 以上为一等品,产值为40元,求该种产品的平均产值. 分析:平均产值即为产值的数学期望,故先求产值的概率
例题与解答


*例8.假定世界市场对我国某种出口商品的需求量 X(吨)是个随机变量，它服从区间[2000,4000]上的均 匀分布，设该商品每出售一吨，可获利3万美元外汇， 但若销售不出去而压库，则每吨支付保养费1万美元， 问如何计划年出口量，可使期望获利最多。 解：设计划年出口量为y吨，年创利Y万美元，显然 Xy 3 y y[2000,4000],且有 Y g ( y) 3 X ( y X ) X y 4000 1 EY g ( x) f ( x)dx 2000 g ( x)dx 由微积分可知：
EX=c 证明:(1)离散型 P 1 x1 x2 ... xn ... (2)离散型 X
P p1 p2 ... pn ... P p1 p2 ... pn ... E(aX)= ax1 p1+ax2 p2+ ...+axn pn+... =aE(X) 1 y 连续型:X~fX(x),Y=aX,则,Y~ f X ( ) ,不妨设a>0, |a| a y y y 1 y EY= f X ( )d ( ) yf Y ( y )dy y f X ( )dy a a a a a a y 令 z a zf X ( z )dz =aEX (3)自证 16 a
数学期望

数学期望——描述随机变量取值的平均特征 例：假设一个班共20人, 其中18岁的有6人, 19 岁的有10人, 20岁的有4人, 现任取一人观察其 岁数, 则观察到的岁数x为一随机变量, 不难求 出x的分布律如下表所示： X P 18 6/20 19 10/20 20 4/20
3
计算平均值
作业

及时交作业 格式完整 补充知识:泰勒(Taylor)公式
( x x0 ) ' ( x x0 ) 2 '' y f ( x) f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 ) 1! 2! ( x x0 )3 ''' ( x x0 ) n ( n ) f ( x0 ) f ( x0 ) 3! n! xk x x 2 x3 xn 利用级数e x 1 1! 2! 3! n! k 0 k !
x
P

1
2
3
h
P
1
2
3
0.4 0.1 0.5
0.1 0.6 0.3
解 Ex=10.4+20.1+30.5=2.1 Eh=10.1+20.6+30.3=2.2 这表明, 如多次射击, 他们得分的平均值分 别是2.1和2.2, 故乙射手较甲射手的技术好。
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例题与解答


例3 一批产品中有一,二,三等品,等外品及废品 5种, 相应的概率分别为0.7, 0.1, 0.1, 0.06, 及 0.04, 若其产值分别为6元,5.4元,5元4元及0元. 求产品的平均产值. 解产品产值X是一个随机变量,其分布如下表: X 6 5.4 5 4 0 P 0.7 0.1 0.1 0.06 0.04 故, EX =60.7+5.40.1+50.1+40.06+00.04 =5.48(元)

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