《弧长及扇形的面积》圆PPT课件

如图所示,扇形OAB的圆心角为60°,半径为1,将它向右 滚动到扇形O′A′B′的位置,点O到O′所经过的路线长
A.π B .4/3π C.5/3π D.2π
B' A
B
C' D
A
C
扇形的定义 如图，一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成 的图形叫做扇形.
弧
A B
O
探究二
1.如图，圆的半径为R，圆心角为90°， 怎样计算扇形的面积呢？
∠BAC＝60°．设⊙O的半径为2，求 B⌒C 的
长．
例2、 如图：在△AOC中，∠AOC=90°， ∠C=15°,以O为圆心，AO为半径的圆交AC于B 点，若OA=6, 求弧AB的长。
C
B
O
A
试一试：
如图：AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O 于点C，连接BC，若∠ABC=120°，OC=3，求 弧BC的长.
B●
B
B2
B1
F'
U
A
BCD的边AB=8，AD=6，现将矩形ABCD 放在直线l上且沿着l向右作无滑动地翻滚，当它 翻滚至类似开始的位置时（如图所示），则顶点 A所经过的路线长是_________．
如图，半径为5的半圆的初始状态是直径平行于桌 面上的直线b，然后把半圆沿直线b进行无滑动滚动 ，使半圆的直径与直线b重合为止，则圆心O运动路 径的长度等于______．
1 4
π×(652－152)＝1000π(cm2)
例题解析
例2 如图，正三角形ABC的边长为2，分别以A、B、C为 圆心,1为半径的圆两两相切于点O1、O2、O3，求弧O1O2、 弧O2O3、弧O3O1围成的图形的面积S（图中阴影部分）.

VS
详细描述
通过观察扇形的形状，我们可以将其分解 为三角形和其他基本图形，然后通过测量 各部分的长度来计算面积。这种方法需要 一定的几何知识，但对于一些简单的情况 非常有效。
04
弧长和扇形面积的应用
在几何图形中的应用
弧长和扇形面积是几何学中重要的概念，广泛应用于各种几何图形的研究和计算。
在圆形、椭圆、抛物线等图形中，弧长和扇形面积的计算对于确定图形的形状、大 小以及解决相关问题具有重要意义。
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扇形面积的单位
扇形面积的单位是面积单位，常用的单位有平方米、平方 厘米、平方千米等。
弧长和扇形面积的关联知识
弧长和扇形面积的关系
在同一个圆或等半径的圆中，如果圆 心角增大，则对应的弧长和扇形面积 都会增大。这是因为弧长和扇形面积 都与圆心角的大小有关。
弧长和扇形面积的应用
在实际生活中，弧长和扇形面积的应 用非常广泛，例如在几何学、工程学 、天文学等领域都有应用。
利用微积分计算弧长
总结词
通过微积分的方法，我们可以对弧长进行精确的计算，适用于复杂曲线的弧长计 算。
详细描述
微积分提供了一种积分的方法来计算曲线的长度。对于弧长，可以通过对曲线函 数进行积分来得到。具体来说，弧长 = ∫(sqrt(1 + (y')^2)) dx，其中 y' 是曲线 在 x 处的导数。
弧长和扇形面积课件
目录
• 弧长和扇形面积的基本概念 • 弧长的计算方法 • 扇形面积的计算方法 • 弧长和扇形面积的应用 • 弧长和扇形面积的扩展知识
01
弧长和扇形面积的基本 概念
弧长的定义
弧长是圆弧上任意两点间的长度，它 是圆的一部分。

日间的潮热、躁动、繁喧退却，归途 路上车 少人稀 ，感觉 整个世 界都安 静下来 了；心 底有些 稀碎的 声音开 始扰动 我的神 经。 打开车窗，夜风裹着花香穿堂而过， 仿佛是 记忆深 处荟萃 的气味 。
在等红绿灯的十字路口，一对小年轻 在街灯 下闹矛 盾。男 生低头 哈腰地 哄着， 但女生 还是有 些不依 不饶， 一来二 往，有 些无奈 的男生 ，霸道 地将女 生拉进 怀里， 用一个 无法抗 拒的热 吻解决 了这场 小纷争 。 年轻真好，可以肆无忌惮地向这个世 界昭示 爱情的 甜蜜与 美好。 别过头，毫无征兆地，你，跃然纸上 。
我们已经分开三年。我早已将你变成 一本书 ，岁月 成了纸 镇，将 你牢实 地压进 了心底 ，不轻 易翻开 。 今夜你不期而至，是想让我想起什么 吗？ 02 相遇的美好，是争吵时心头上的砍 刀 我们是怎么认识的呢？
大二院校打篮球联赛。我原本是后勤 人员， 却在比 赛结束 前的几 分钟被 捉上去 做替补 。 所在的学院已经领先12分，稳操胜券 ；我只 需要老 老实实 地站在 后场呆 到完场 便可。
1°的圆心角所对的弧长是 （2）n°的圆心角所对的弧长是多少？
2R R
360 180
A
R
O
B
n°的圆心角所对的弧长是 n 2πR nπR 360 180
弧长公式
若⊙O的半径为R， n°的圆心角所对的弧长l是
l n 2πR nπR 360 180
开心一练
（1） 1°的弧长是 R ，半径为10厘米的圆60°的圆心
04 爱情的坚守终究抵不过生活的洪荒 以前是一年见一次，你回国后是一个 月见两 次。 都说相爱容易相处难。彼此的心意没 变，可 偏偏生 活中的 摩擦与 间隙慢 慢见端 倪。 我们家族有隐形遗传病，老爸已是发 病，长 期住院 ，所以 我不能 离开他 们；为 了让你 的家人 看得起 ，我努 力在事 业上与 你比肩 ；这是 我的背 负。 你要振兴家业，你要传宗接代，你的 家人希 望你的 太太是 一个健 康安稳 全心全 意的贤 内助； 这是你 的背负 。 你很忙，工作压力大；开始埋怨我不 能放弃 事业甘 心当你 背后的 女人， 计较我 不能放 下自尊 去讨好 你的家 人，让 你夹在 中间左 右为难 。 一段感情，掐头去尾，中间剩余大体 都是日 子真实 的模样 。 相遇的美好，相处的浓情，都敌不过 家人的 不支持 ，立场 的摇摆 ，以及 对这份 感情的 未知产 生的抗 拒。 我们拼命地想从对方身上求证这些年 的坚守 与笃定 都是值 得的， 却无奈 发现， 过日子 不单单 是两个 人的事 情，各 自背后 的家庭 ，成长 的背景 ，担负 的责任 ，对生 活的定 义等等 ；纵然 我们能 敌过千 山万水 ，熬过 时间的 无涯， 却依然 败给了 生活的 真实。 我们开始争吵。一次又一次地理直气 壮而又 明目张 胆地咆 哮，肆 意地宣 泄情绪 ，抗争 久了， 连神经 也变得 脆弱。 最后一次，你重重地摔门而出，震得 灰尘簌 簌而落 。 我无意间发现了墙角有一张蜘蛛网， 有一只 小飞虫 被黏在 上面， 一动不 动。 那一刻，我觉得于我们两人而言，爱 ，就是 这张网 ，不是 温床， 不是后 盾，是 裹挟， 是阻碍 。 那天我在阳台上枯坐了一整天，看着 日头西 落，终 于做了 一个决 定。

－
1353π6×0 152＝375π(cm2)．
9
能力提升
11．如图，图1是由若干个相同的图形(图2)组成的美丽图案的一部分．图2中， 图形的相关数据：半径OA＝2 cm，∠AOB＝120°，则图2的周长为 83π ________cm.(结果保留π)
10
12．如图，在△ABC中，AC＝4，将△ABC绕点C逆时针旋 转30°得到△FGC，则图43中π 阴影部分的面积为________.
第二十四章 圆
弧长和扇形面积
第一课时
知识展示
知识点 1 弧长公式 n°的圆心角所对的弧长 l 的计算公式为 l＝n1π8R0 ，其中 R 为半径． 核心提示：在弧长公式中，已知 l、n、R 中的任意两个量，都可以求出第三个 量． 知识点 2 扇形的定义 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形．
分析：先用扇形OAB的面积－三角形OAB的面积求出上面空白部分面积，再用扇形OCD的面积－三角形OCD的面积－上面空白部分的面
积7．，如即图可，求5分出．别阴以影【五部边分黑形的A龙面BC积D江．E的顶哈点尔为圆滨心，中以1考为半】径作一五个个圆，扇则图形中的阴影弧部分长的面是积之1和1为π__c___m___.，半径是18
2
知识点 3 扇形面积公式 (1)n°圆心角的扇形面积公式：S 扇形＝n3π6R02 ，其中 R 为半径． (2)弧长为 l 的扇形面积公式：S 扇形＝12lR，其中 R 为半径． 【典例】如图，半径为 12 的圆中，两圆心角∠AOB＝60°、∠COD＝120°，连接 AB、CD，求图中阴影部分的面积．
cm，则此扇形的圆心角是__________度． 71．2．如如图图，，分在别△以AB五C中边，形AACB＝CD4E，的将顶△点AB为C圆绕心点，C逆以时11为针1半旋0 径转作30五°得个到圆△，FG则C，图则中图阴中影阴部影分部的分面的积面之积和为为________________.. 一列火车以6每．小时【28 江km的苏速度泰经州过10中秒通考过弯】道．如那么图弯，道所分对的别圆心以角为正___三_____角__度形．(π的取3.3个顶点为圆心， 98．．一已段知铁扇边路形弯所长道在成圆为圆半弧 径半形为，4径，圆弧弧画长的为弧半6径π，，是则2三扇km形.段面积弧为_围_____成____.的图形称为莱洛三角形．若正三角 分 积析，：即先 可用 求形扇 出形 阴边影OA部长B的分面为的积面6－积三．c角m形，OAB则的面该积求莱出上洛面三空白角部分形6面π积的，再周用扇长形为OCD_的_面__积_－__三_角c形mOC. D的面积－上面空白部分的面

（2）弧长单位和半径单位一致.
创设情境
探究新知
应用新知
巩固新知
做一做
弧长公式
：
l=
π
180
1.在半径为24 cm的圆中，30°的圆心角所对的弧长为 4π cm，
60°的圆心角所对的弧长为 8π cm，120°的圆心角所对的弧
长为
16π cm.
2.半径为6 cm的圆中，75°的圆心角所对的弧长是 2.5π cm；
D．80°
，扇形OAB的面积为15π，则
(
巩固新知
π，半径是6，那么此扇形的
AB 所对的圆心角是（ B ）
课堂小结
布置作业
A．120°
B．72°
C．36°
D．60°
创设情境
随堂练习
3．如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m，其中水
探究新知
面高0.9 m，求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）.
线，垂足为D，交
于点C，连接
O●
巩固新知
课堂小结
布置作业
AC.
∵OC=0.6 m，DC=0.3 m，
∴OD=OC-DC=0.3（m）.
∴OD=DC.
又AD⊥DC，
∴AD是线段OC的垂直平分线.
∴AC=AO=OC.
A
D
C
B
创设情境
典型例题
【例2】如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，
探究新知
圆心角
有关，
创设情境
典型例题
【例1】制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，
探究新知
再下料，试计算图所示管道的展直长度L (结果取整数) .
A

(1)已知圆的半径为10cm,半圆的弧长为 ( 10πcm )
(2)已知圆的半径为9cm ，60°圆心角所对的弧 长为( 3πcm )
(3)已知半径为3，则弧长为π 的弧所对的圆心角 0 60 为_______ (4)已知圆心角为150°，所对的弧长为20π ，则 24 。 圆的半径为_______
1. 你还记得圆面积公式吗？ 2. 圆面积可以看作是多少度的圆心角所对 的扇形的面积？ 3. 1°的圆心角所对的扇形面积 是多少？ 4. n°的圆心角呢？ O· 1° 2 圆的面积公式： S R ， n° R 360°的圆心角所对的扇形的面积,
1 2 2 R ， 1°的圆心角所对的扇形面积是 360
4 3
例2：如图、水平放置的圆柱形排水管道的截 面半径是0.6cm，其中水面高0.3cm，求截面 上有水部分的面积。（精确到0.01cm）。
弓形的面积 = S扇- S⊿
A
D
0 B
C
解：如图，连接OA、OB，过圆心O作AB的垂线，垂足为D， 交弧AB于点C. ∵OC=0.6，DC=0.3 ∴OD=OC-DC=0.3
弧长公式
问题2.已知⊙O半径为R，求n°圆心角所对 弧长． 若设⊙O半径为R， n°的圆心角所对的弧长 为l，则
nR l 180
注意 ： 在应用弧长公式 l
要注意公式中 n的意义．n表示1°圆心角的倍数， 它是不带单位的。 应用：已知公式中的任意两个量，可以求第三个 量。
n R ， 进行计算时， 180
4.弧长相等的两段弧是等弧吗？
答：不一定，因为它们不一定 完全重合.也就是说形状不一定相同.
5.有一段弯道是圆弧形的，道长是12m，弧 所对的圆心角是81°，求这段圆弧的半径R.

R
B
创设情境 出示目标
如图,某传送带的一个转动轮的半 径为10cm. (1)转动轮转一周,传送带上的物品 A被传送多少厘米? 20πcm
(2)转动轮转1o,传送带上的物品A 被传送多少厘米? cm
18
(3)转动轮转no,传送带上的物品A 被传送多少厘米? n cm
18
创设情境 出示目标
知识 目标
能力 目标 情感 目标
经历探索弧长计算公式和扇形面积计算公 式的过程；了解弧长计算公式和扇形面积 计算公式，并运用公式解决问题。
了解弧长和扇形面积公式后，能运用公 式解决问题，训练学生的数学运用能力 。
体验教学活动充满着探索与创造，感受 数学的严谨性以及数学结论的确定性 。
小组讨论 探索新知 （1）已知⊙O的半径为R，1o的 圆心角所对的弧长是多少？ 1o的圆心角所对的弧长是 2R
1、再长的路一步一步得走也能走到终点，再近的距离不迈开第一步永远也不会到达。 2、从善如登，从恶如崩。 3、现在决定未来，知识改变命运。 4、当你能梦的时候就不要放弃梦。 5、龙吟八洲行壮志，凤舞九天挥鸿图。 6、天下大事，必作于细；天下难事，必作于易。 7、当你把高尔夫球打不进时，球洞只是陷阱；打进时，它就是成功。 8、真正的爱，应该超越生命的长度、心灵的宽度、灵魂的深度。 9、永远不要逃避问题，因为时间不会给弱者任何回报。 10、评价一个人对你的好坏，有钱的看他愿不愿对你花时间，没钱的愿不愿意为你花钱。 11、明天是世上增值最快的一块土地，因它充满了希望。 12、得意时应善待他人，因为你失意时会需要他们。 13、人生最大的错误是不断担心会犯错。 14、忍别人所不能忍的痛，吃别人所不能吃的苦，是为了收获别人得不到的收获。 15、不管怎样，仍要坚持，没有梦想，永远到不了远方。 16、心态决定命运，自信走向成功。 17、第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力的。 18、励志照亮人生，创业改变命运。 19、就算生活让你再蛋疼，也要笑着学会忍。 20、当你能飞的时候就不要放弃飞。 21、所有欺骗中，自欺是最为严重的。 22、糊涂一点就会快乐一点。有的人有的事，想得太多会疼，想不通会头疼，想通了会心痛。 23、天行健君子以自强不息；地势坤君子以厚德载物。 24、态度决定高度，思路决定出路，细节关乎命运。 25、世上最累人的事，莫过於虚伪的过日子。 26、事不三思终有悔，人能百忍自无忧。 27、智者，一切求自己；愚者，一切求他人。 28、有时候，生活不免走向低谷，才能迎接你的下一个高点。 29、乐观本身就是一种成功。乌云后面依然是灿烂的晴天。 30、经验是由痛苦中粹取出来的。 31、绳锯木断，水滴石穿。 32、肯承认错误则错已改了一半。 33、快乐不是因为拥有的多而是计较的少。 34、好方法事半功倍，好习惯受益终身。 35、生命可以不轰轰烈烈，但应掷地有声。 36、每临大事，心必静心，静则神明，豁然冰释。 37、别人认识你是你的面容和躯体，人们定义你是你的头脑和心灵。 38、当一个人真正觉悟的一刻，他放弃追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。 39、人的价值，在遭受诱惑的一瞬间被决定。 40、事虽微，不为不成；道虽迩，不行不至。 41、好好扮演自己的角色，做自己该做的事。 42、自信人生二百年，会当水击三千里。 43、要纠正别人之前，先反省自己有没有犯错。 44、仁慈是一种聋子能听到、哑巴能了解的语言。 45、不可能！只存在于蠢人的字典里。 46、在浩瀚的宇宙里，每天都只是一瞬，活在今天，忘掉昨天。 47、小事成就大事，细节成就完美。 48、凡真心尝试助人者，没有不帮到自己的。 49、人往往会这样，顺风顺水，人的智力就会下降一些；如果突遇挫折，智力就会应激增长。 50、想像力比知识更重要。不是无知，而是对无知的无知，才是知的死亡。 51、对于最有能力的领航人风浪总是格外的汹涌。 52、思想如钻子，必须集中在一点钻下去才有力量。 53、年少时，梦想在心中激扬迸进，势不可挡，只是我们还没学会去战斗。经过一番努力，我们终于学会了战斗，却已没有了拼搏的勇气。因此，我们转向自身，攻击自己，成为自己最大的敌人。 54、最伟大的思想和行动往往需要最微不足道的开始。 55、不积小流无以成江海，不积跬步无以至千里。 56、远大抱负始于高中，辉煌人生起于今日。 57、理想的路总是为有信心的人预备着。 58、抱最大的希望，为最大的努力，做最坏的打算。 59、世上除了生死，都是小事。从今天开始，每天微笑吧。 60、一勤天下无难事，一懒天下皆难事。 61、在清醒中孤独，总好过于在喧嚣人群中寂寞。 62、心里的感觉总会是这样，你越期待的会越行越远，你越在乎的对你的伤害越大。 63、彩虹风雨后，成功细节中。 64、有些事你是绕不过去的，你现在逃避，你以后就会话十倍的精力去面对。 65、只要有信心，就能在信念中行走。 66、每天告诉自己一次，我真的很不错。 67、心中有理想 再累也快乐 68、发光并非太阳的专利，你也可以发光。 69、任何山都可以移动，只要把沙土一卡车一卡车运走即可。 70、当你的希望一个个落空，你也要坚定，要沉着！ 71、生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。 72、只要路是对的，就不怕路远。 73、如果一个人爱你、特别在乎你，有一个表现是他还是有点怕你。 74、先知三日，富贵十年。付诸行动，你就会得到力量。 75、爱的力量大到可以使人忘记一切，却又小到连一粒嫉妒的沙石也不能容纳。 76、好习惯成就一生，坏习惯毁人前程。 77、年轻就是这样，有错过有遗憾，最后才会学着珍惜。 78、时间不会停下来等你，我们现在过的每一天，都是余生中最年轻的一天。 79、在极度失望时，上天总会给你一点希望；在你感到痛苦时，又会让你偶遇一些温暖。在这忽冷忽热中，我们学会了看护自己，学会了坚强。 80、乐观者在灾祸中看到机会；悲观者在机会中看到灾祸。

4 ， 3
3、已知半径为2的扇形，面积为 4 ． 则这个扇形的弧长=____ 3
4 ， 3
4.如图所示，把边长为2的正方形ABCD的一边放 在定直线L上，按顺时针方向绕点D旋转到如图 的位置，则点B运动到点B′所经过的路线长度为 ________
B
C (A/)
B/ C/ L
A
D
课堂小结
这节课你有什么收获?
n0
（３）n°圆心角所对弧长是多少？ nR
180
弧长公式
若设⊙O半径为R， n°的圆心角所对的弧长 为L，则
注意：
（1 ）在应用弧长公式 L 180 ， 进行计算 时，要注意公式中 n 的意义． n 表示 1°圆心 角的倍数，它是不带单位的；
nR l 180 nR
（2）区分弧、弧的度数、弧长三概念．度数 相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧 也不一定是等孤，而只有在同圆或等圆中， 才可能是等弧．
2
扇形面积
若设⊙O半径为R，圆心角为n°的扇形的面积
nR 2 S扇形= 360
注意:
nR 2 在应用扇形的面积公式S扇形= 360
进行计算时，要注意公式中n的意义．
n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的
比较弧长公式与扇形面积公式
l
n 弧 ＝ 180 πR
n S扇形 ＝ πR2 360
1 lR 2
拓展提高
3．已知如图所示，扇形所在圆的半径为R， AB的长为R，⊙O′和OA、OB分别相切 于点C、E，且与⊙O内切于点D，求 ⊙O′的周长．
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •