§2.8用算子符号表示微分方程

第2章 线性时不变连续系统的时域分析2.1 学习要求（1）会建立描述系统激励与响应关系的微分方程；（2）深刻理解系统的完全响应可分解为：零输入响应与零状态响应，自由响应与强迫响应，瞬态响应与稳态响应；（3）深刻理解系统的零输入线性与零状态线性，并根据关系求解相关的响应； （4）会根据系统微分方程和初始条件求解上述几种响应； （5）深刻理解单位冲激响应的意义，并会求解；（6）深刻理解系统起始状态与初始状态的区别，会根据系统微分方程和输入判断0时刻的跳变情况； （7）理解卷积运算在信号与系统中的物理意义和运算规律，会计算信号的卷积。

； 2.2 本章重点（1）系统（电子、机械）数学模型（微分方程）的建立； （2）用时域经典法求系统的响应； （3）系统的单位冲激响应及其求解；（4）卷积的定义、性质及运算，特别是()t δ函数形式与其它信号的卷积； （5）利用零输入线性与零状态线性，求解系统的响应。

2.3 本章的知识结构2.4 本章的内容摘要2.4.1系统微分方程的建立电阻：)(1)(t v Rt i R R =电感：dtt di L t v L L )()(= )(d )(1)(0t i v Lt i L tL L +=⎰∞-ττ 电容：dtt dv C t i C C )()(= ⎰+=tt L C C t i i Ct v 0)(d )(1)(0ττ 2.4.2 系统微分方程的求解 齐次解和特解。

齐次解为满足齐次方程t n t t h e c e c e c t y 32121)(λλλ+⋅⋅⋅++=当特征根有重根时，如1λ有k 重根，则响应于1λ的重根部分将有k 项，形如t k t k t k t k h e c te c e t c e t c t y 111112211)(λλλλ++⋅⋅⋅++=--- 当特征根有一对单复根，即bi a +=2,1λ，则微分方程的齐次解bt e c bt e c t y at at h sin cos )(21+= 当特征根有一对m 重复根，即共有m 重ib a ±=2,1λ的复根，则微分方程的齐次解bt e t c bt te c bt c t y at m m at h cos cos cos )(121-+⋅⋅⋅++= bt e t d bt te d bt e d at m m at at sin sin sin 121-+⋅⋅⋅+++ 特解的函数形式与激励函数的形式有关。

微分方程的基本公式和应用微分方程是数学中一个重要且广泛应用的分支，它在物理、工程、经济和其他科学领域中都有着广泛的应用。

在微分方程中，我们经常会遇到一些基本公式，这些公式不仅在理论上有着非常重要的意义，同时在实际应用中也有着广泛的价值。

一、一阶常微分方程的基本公式一阶常微分方程的一般形式为：y' = f(x,y)，其中 y' 表示 y关于 x 的导数，f(x,y) 是一个已知的函数。

1. 可分离变量的一阶常微分方程如果一阶常微分方程可以写成下面的形式：dy/dx = g(x)h(y)其中 g(x) 和 h(y) 都是已知函数，则这个方程可以通过分离变量的方法来求解。

2. 齐次一阶常微分方程如果一阶常微分方程可以写成下面的形式：dy/dx = F(y/x)其中 F(z) 是关于 z 的已知函数，则这个方程可以通过齐次化的方法来解决。

3. 一阶线性常微分方程如果一阶常微分方程可以写成下面的形式：dy/dx + P(x)y = Q(x)其中 P(x) 和 Q(x) 都是关于 x 的已知函数，则这个方程可以通过积分因子的方法来解决。

4. 其他一阶常微分方程还有一些一阶常微分方程没有特殊的形式，这些方程可以通过变量代换、替换或其他方法来求解。

二、高阶常微分方程的基本公式除了一阶常微分方程，还有二阶甚至更高阶的微分方程需要求解。

1. 二阶常微分方程的基本公式二阶常微分方程的一般形式为：y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)，其中 y'' 表示 y 对 x 的二阶导数。

2. 高阶常微分方程的基本公式高阶常微分方程的一般形式为：y^(n) + p1(x)y^(n-1) + ... + pn(x)y = f(x)，其中 y^(k) 表示 y 对 x 的第 k 阶导数。

三、微分方程的应用微分方程不仅在理论上有着非常重要的意义，同时在实际应用中也有着广泛的价值，主要体现在以下几个方面：1. 物理问题的模拟微分方程可以用来模拟物理问题，如弹性碰撞问题、自由落体问题等。

§2.8 卷积的性质（一）移不变性质123f f f *=如果 ， 那么10230()()f t t f f t t -*=-，20130()()f t t f f t t -*=-， 2112312()()()f t t f t t f t t t -*-=--证明：123()()()f t f t f t *=， 也就是123[()()]()f f t d f t τττ∞-∞⨯-=⎰102102()[()()]f t t f f t f t d τττ∞-∞-*=-⨯-⎰………………………(1式) 设0t ατ=-，代入（1式）积分中，可得10212030()[()()]()f t t f f f t t d f t t ααα∞-∞-*=⨯--=-⎰84214性质的应用参考教材第页－题（二）卷积代数12211.commutative law f f f f *=* 12312132.[]distributive law f f f f f f f *+=*+* 1231233.[][]associative law f f f f f f **=**（三）卷积的微分和积分1.两函数相卷积后的导数等于两函数之一的导数与另一函数相卷积.(证明见p65-67)121221[]df df d f f f f dt dt dt*=*=* 2.两函数相卷积后的积分等于两函数之一的积分与另一函数相卷积.121212[]*()[()]*tt tf f dt f f d f d f ττττ-∞-∞-∞*==⎰⎰⎰ 21112222()()t t t df d f f f f d f d dt dt ττττ-∞-∞-∞*=*=*⎰⎰⎰ 12:()f f s t *=若则有()()()12()()()m n m n f t f t s t +*=,m n 和取正整数时表示求导，为负整数时表示积分。

微分方程的解公式微分方程这玩意儿，听起来是不是有点让人头疼？但别怕，咱们一起来瞅瞅它的解公式。

咱先说说啥是微分方程。

简单来讲，就是一个方程里有导数或者微分的式子。

比如说，y' + 2y = 0 ，这就是一个简单的微分方程。

那微分方程的解公式是啥呢？这就好比是一把神奇的钥匙，能帮咱们打开这个方程的神秘大门，找到它的解。

我记得有一次，在给学生们讲这个知识点的时候，有个学生瞪着大眼睛问我：“老师，这东西有啥用啊？”我笑着跟他说：“你想想啊，咱们生活中很多变化的东西，比如温度的变化、人口的增长，都可以用微分方程来描述。

而解公式呢，就是能让咱们预测未来会怎么变。

”比如说，一阶线性微分方程 y' + P(x)y = Q(x) ，它的解公式就是 y = e^(-∫P(x)dx) [∫Q(x) e^(∫P(x)dx)dx + C] 。

这里面的∫就是积分的意思。

可别被这些符号吓到啦！咱们一点点来理解。

就拿人口增长的例子来说，如果咱们知道人口的增长率和初始人口数量，就能用微分方程和它的解公式来算出未来某个时候的人口数量。

再比如说，在物理学中，研究物体的运动。

比如一个物体在受到外力作用下的运动，咱们也能用微分方程和解公式来描述它的运动轨迹。

不过，要掌握这些解公式可不容易。

得下点功夫，多做几道题，多琢磨琢磨。

就像我当年学习的时候，那也是做了一本又一本的习题集，才慢慢搞明白的。

有时候，我看着学生们为了这些公式抓耳挠腮的样子，就想起自己当年。

但只要坚持，多思考，多练习，就一定能掌握。

总之，微分方程的解公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们有耐心，有决心，就能把它拿下，让它为我们所用，去解决生活中各种各样有趣的问题。

所以，别害怕，加油冲！。

微分方程数二公式
微分方程是数学中的一个重要概念，它在物理、工程和经济等领域有广泛的应用。

在考研数学二中，微分方程也是必考的内容之一。

微分方程的解法有很多种，其中最常用的是分离变量法和常数变易法。

分离变量法是将微分方程化为代数方程，然后求解代数方程得到微分方程的解。

具体步骤如下：
1. 将微分方程化为标准形式：y' = f(x, y)。

2. 寻找一个只包含x或y的函数，使得该函数与f(x, y)相乘后得到一个只包含另一个变量的函数。

3. 将微分方程化为代数方程，并求解代数方程得到微分方程的解。

常数变易法是将微分方程中的常数变为其变量，然后求解微分方程得到解。

具体步骤如下：
1. 将微分方程化为标准形式：y' = f(x, y)。

2. 设一个新的变量u = u(x)，使得u(x)与f(x, y)相乘后得到一个只包含y的函数。

3. 将微分方程化为关于u和y的微分方程，并求解该微分方程得到解。

在考研数学二中，常数变易法是重点考查的内容之一。

因此，考生需要熟练掌握常数变易法的应用，并能够灵活运用该方法求解各种类型的微分方程。

微分方程的解释微分方程是数学中经典而重要的工具，广泛应用于物理、生物、经济、工程等领域。

在实际问题中，微分方程的求解往往具有复杂性、抽象性和拟定性的特点，需要具有深厚的数学知识和创造性的思维来解决。

在此，我们将从几个方面来解释微分方程的含义和解法。

一、微分方程的含义微分方程是一种函数关系式，它描述了一个变量与它自身的导数之间的关系。

通常形式为dy/dx = f(x,y)，其中dy/dx称为方程的导数，f(x,y)称为方程的右端项。

微分方程可以分为一阶、二阶、高阶等不同类型，根据具体问题的情况选择不同类型的微分方程来求解。

二、微分方程的解法对于微分方程的求解，可以采用分离变量法、齐次法、常数变易法、变量代换法等多种方法进行求解。

以二阶非齐次线性微分方程为例，其一般形式为y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)，其中f(x)为非齐次项，可以通过以下步骤来求解：（1）求出该微分方程的齐次方程y''+p(x)y'+q(x)y=0的通解。

取形如y=e^(mx)的解代入齐次方程中，解出特征方程m^2+p(x)m+q(x)=0的根，既可以得到齐次方程的通解。

（2）根据非齐次方程的右端项f(x)，分别求其齐次方程的特解和非齐次方程的特解。

特解的求解方式因f(x)的不同而不同，可以采用待定系数法、常数变易法、拉普拉斯变换等方法。

待定系数法是一种常用的求解非齐次线性微分方程的方法，即根据f(x)的类型先猜测其解的形式，再确定系数。

（3）将通解与特解相加，即可得到非齐次方程的通解。

三、微分方程的应用微分方程在现代科学中的应用非常广泛。

以物理学为例，牛顿第二定律F=ma可以转化为二阶常微分方程F=m(d^2x/dt^2)，进而应用于运动学、力学、电学、热学等领域；生物学中的人口增长模型、化学中的反应速率等也可以用微分方程来求解。

在实际应用中，微分方程的求解不仅仅是求得解析式，而是通过对微分方程的分析来得出物理运动、变化趋势等实用信息。

第六章微分方程微分方程的基本概念微分方程：含有未知函数的导数（或微分）的等式称为微分方程。

微分方程的阶：微分方程中，所含未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶。

微分方程的通解：如果微分方程的解这中含有任意常数，且任意个不相关的常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解。

微分方程的特解：在通解中给予任意常数以确定的值而得到的解，称为特解。

初始条件：用于确定通解中的任意常数而得到特解的条件称为初始条件。

积分曲线：微分方程的特解的图形是一条曲线，叫做微分方程的积分曲线。

一阶微分方程的求解方法分离变量法可分离变量的微分方程：形如 )()(y g x f dxdy =的微分方程，称为可分离变量的微分方程。

特点：等式右边可以分解成两个函数之积，其中一个是只含有x 的函数，另一个是只含有y 的函数． 解法：当0)(≠y g 时，把)()(y g x f dxdy =分离变量为)0)((,)()(≠=y g dx x f y g dy 对上式两边积分，得通解为 ()()dy f x dx Cg y =+⎰⎰（这里我们把积分常数C 明确写出来，而把()dy g y ⎰，⎰dx x f )(分别理解为)(1y g 和)(x f 的一个确定的原函数。

） 齐次方程和可化为齐次方程的一阶方程不考。

一阶线性微分方程一阶线性微分方程：如果一阶微分方程(,,)0F x y y '=可以写为()()y p x y q x '+=则称之为一阶线性微分方程，其中()p x 、()q x 为连续函数．当()0q x ≡时，此方程为()0dy p x y dx+=，称它为对应于非齐次线性方程的齐次线性微分方程；当()0q x ≡时，称为非齐次线性微分方程。

解法：用常数变易法可得其通解为：()()(())p x dx p x dx y e q x e dx c -⎰⎰=+⎰（注：其中每个积分，不再加任意常数C 。

微分方程公式运用表一、 一阶微分方程 判断特征：(,)dy f x y dx = 类型一：()()dy g x h y dx =（可分离变量的方程） 解法（分离变量法）：()()dy g x dx h y =，然后两边同时积分。

类型二：()()dy P x y Q x dx +=（一阶线性方程）解法（常数变易法）：()()(())P x dx P x dx y e C Q x e dx -⎰⎰=+⎰ 类型三：(,)(,)dy f x y f tx ty dx ==（一阶齐次性方程） 解法（换元法）：y u x =⇒令类型一 类型四：P()y=Q(x)y ndy x dx +（伯努利方程） 解法（同除法）：1()()n n dy y P x y Q x dx --+=⇒类型二 二、 可降阶的高阶微分方程类型一：()()n y f x = 解法（多次积分法）：(1)()()n du u y f x f x dx -=⇒=⇒令多次积分求 类型二：''(,')y f x y = 解法：'(,)dp p y f x p dx =⇒=⇒令一阶微分方程类型三：''(,')y f y y =解法：'(,)dp dp dy dp p y p f y p dx dy dx dy =⇒==⇒⇒令类型二三、线性微分方程类型一：''()'()0y P x y Q x y ++=（二阶线性齐次微分方程） 解法：找出方程的两个任意线性不相关特解：12(),()y x y x 则：1122()()()y x c y x c y x =+类型二：''()'()()y P x y Q x y f x ++=（二阶线性非齐次微分方程） 解法：先找出对应的齐次微分方程的通解：31122()()()y x c y x c y x =+ 再找出非齐次方程的任意特解()p y x ，则：1122()()()()p y x y x c y x c y x =++ 类型三：'''0y py q ++=（二阶线性常系数齐次微分方程）解法（特征方程法）：21,20p q λλλ++=⇒= （一）122121240x x p q y c e c e λλλλ∆=->⇒≠⇒=+ （二）12120()x y c c x e λλλλ∆=⇒==⇒=+ （三）12120,(cos sin )x i i y e c x c x αλαβλαβββ∆<⇒=+=-⇒=+ 类型四：'''()y py q f x ++=(二阶线性常系数非齐次微分方程) 解法（待定系数法）：（1）()()x m f x P x e α=型：先找出对应齐次微分方程的通解3()y x0()()12k x p m k y x x e Q x k k αααα=⎧⎪⇒==⎨⎪=⎩不是特征方程的根，是特征方程的单根，是特征方程的二重根， 其中令1()m m m Q x Ax Bx -=++，将()p y x 带入方程求出A,B,C3()()p y y x y x ⇒=+ （2）[]()()cos ()sin x m l f x e P x x P x x αββ=+型：先找出对应齐次微分方程的通解3()y x[]{}max ,()()()()cos ()sin 01k x nn p n n n m l Q x R x y x x e Q x x R x x i k i k αββαβαβ=⎧⎪⎪⇒=+⎨±=⎪⎪±=⎩与是待定的n 次多项式若不是特征方程的根，若是特征方程的根, 利用待定系数求出()p y x ，则：3()()p y y x y x =+。

微分方程的公式一、引言微分方程是研究函数与其导数之间关系的数学工具。

它的形式通常可以写作：dy/dx = f(x, y)其中，y是未知函数，x是自变量，f(x, y)是已知的函数。

这个公式表示了y关于x的导数与x和y的函数关系。

微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两类，常微分方程只涉及一个自变量，而偏微分方程涉及多个自变量。

二、常微分方程的解法对于一阶常微分方程，我们可以通过分离变量、一阶线性微分方程、变量替换等方法求得其解析解。

例如，对于dy/dx = x^2，我们可以将方程分离变量，然后积分求解，得到y = x^3/3 + C，其中C为常数。

对于高阶常微分方程，可以通过变量替换、特征方程、级数展开等方法求得其解析解或近似解。

三、偏微分方程的应用偏微分方程在物理学和工程学中有广泛的应用。

以热传导方程为例，它描述了物体内部的温度分布随时间的变化。

热传导方程可以写作∂u/∂t = k∇^2u，其中u是温度场，t是时间，k是热导率，∇^2是拉普拉斯算子。

通过求解热传导方程，可以预测物体内部温度分布的演化过程，从而指导工程实践。

四、微分方程的数值解法对于复杂的微分方程，往往难以求得解析解。

这时，数值方法成为一种有效的求解手段。

常见的数值解法包括欧拉法、龙格-库塔法、有限差分法等。

这些方法通过将微分方程转化为差分方程，然后利用计算机进行迭代计算，逼近微分方程的解。

数值解法在科学计算和工程实践中具有重要的应用价值。

五、微分方程的应用案例微分方程的应用广泛涉及自然科学和社会科学的各个领域。

在物理学中，微分方程常被用于描述质点的运动、电磁场的变化等。

在生物学中，微分方程可以描述种群的增长、化学反应的动力学等。

在经济学中，微分方程可以描述市场供求关系、经济增长等。

这些应用案例进一步展示了微分方程在解决实际问题中的重要性和实用性。

六、结语微分方程作为数学的重要分支，在科学研究和工程实践中发挥着重要作用。

通过求解微分方程，我们可以揭示自然界和社会现象的规律，预测未来的变化趋势，为人类提供更好的生活和工作环境。