圆锥滚子凸度量设计的随机有限元方法_安宗文

文章编号：１６７３－５１９６（２０１３）０３－００２６－０４圆锥滚子凸度量设计的随机有限元方法安宗文，曾　威（兰州理工大学机电工程学院，甘肃兰州　７３００５０）摘要：考虑轴承实际载荷的随机性，将轴承实际载荷视为一个随机变量，利用随机有限元法对圆锥滚子不同凸度量对应的法向接触应力分别进行计算．通过对比分析，确定最小法向接触应力所对应的凸度量为最优凸度量，形成一种圆锥滚子凸度量设计方法．以３１３１３轴承为实例，利用该方法对该圆锥滚子凸度量进行设计．结果表明：与传统设计方法相比，设计得到的凸度量在减小法向接触应力方面要优于传统的轴承凸度量设计方法．关键词：滚子轴承；凸度；随机载荷；有限元法中图分类号：ＴＨ１２２ 文献标识码：ＡＳｔｏｃｈａｓｔｉｃ　ｆｉｎｉｔｅ　ｅｌｅｍｅｎｔ　ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　ｄｅｓｉｇｎ　ｏｆ　ｃｏｎｖｅｘｉｔｙｍａｇｎｉｔｕｄｅ　ｏｆ　ｔａｐｅｒｅｄ　ｒｏｌｌｅｒＡＮ　Ｚｏｎｇ－ｗｅｎ，ＺＥＮＧ　Ｗｅｉ（Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｍｅｃｈａｎｏ－Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｌａｎｚｈｏｕ　Ｕｎｉｖ．ｏｆ　Ｔｅｃｈ．，Ｌａｎｚｈｏｕ　７３００５０，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔａｋｉｎｇ　ｉｎｔｏ　ａｃｃｏｕｎｔ　ｔｈｅ　ｒａｎｄｏｍｎｅｓｓ　ｏｆ　ａｃｔｕａｌ　ｌｏａｄ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｂｅａｒｉｎｇ，ｉｔｓ　ａｃｔｕａｌ　ｌｏａｄ　ｗａｓ　ｔａｋｅｎ　ａｓａ　ｒａｎｄｏｍ　ｖａｒｉａｂｌｅ．Ｔｈｅ　ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ　ｆｉｎｉｔｅ　ｅｌｅｍｅｎｔ　ｍｅｔｈｏｄ　ｗａｓ　ｕｓｅｄ　ｔｏ　ｃａｌｃｕｌａｔｅ　ｔｈｅ　ｖａｌｕｅｓ　ｏｆ　ｎｏｒｍａｌ　ｃｏｎｔａｃｔｓｔｒｅｓｓ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｂｅａｒｉｎｇ　ｗｉｔｈ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ　ｃｏｎｖｅｘｉｔｙ　ｍａｇｎｉｔｕｄｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｔａｐｅｒｅｄ　ｒｏｌｌｅｒ．Ｉｔ　ｗａｓ　ｃｏｎｃｌｕｄｅｄ　ｂｙ　ｃｏｍｐａｒｉ－ｓｏｎ　ａｎｄ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｃｏｎｖｅｘｉｔｙ　ｍａｇｎｉｔｕｄｅ　ｗｉｔｈ　ｍｉｎｉｍｕｍ　ｎｏｒｍａｌ　ｃｏｎｔａｃｔ　ｓｔｒｅｓｓ　ｗｏｕｌｄ　ｂｅ　ｔｈｅ　ｏｐｔｉｍａｌｃｏｎｖｅｘｉｔｙ　ｍａｇｎｉｔｕｄｅ，ｆｏｒｍｉｎｇ，ａ　ｄｅｓｉｇｎ　ｍｅｔｈｏｄ　ｏｆ　ｃｏｎｖｅｘｉｔｙ　ｍａｇｎｉｔｕｄｅ．Ｔｈｅｎ　ｔａｋｉｎｇ　ｔｈｅ　３１３１３ｔａｐｅｒｅｄｒｏｌｌ　ｂｅａｒｉｎｇ　ａｓ　ａｎ　ｅｘａｍｐｌｅ，ａｎｄ　ｕｓｉｎｇ　ｔｈｉｓ　ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ　ｍｅｔｈｏｄ，ｔｈｅ　ｃｏｎｖｅｘｉｔｙ　ｍａｇｎｉｔｕｄｅ　ｏｆ　ｔａｐｅｒｅｄ　ｒｏｌｌｅｒ　ｗａｓｄｅｓｉｇｎｅｄ．Ｔｈｅ　ｒｅｓｕｌｔ　ｓｈｏｗｅｄ　ｔｈａｔ，ｃｏｍｐａｒｅｄ　ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ　ｄｅｓｉｇｎ　ｍｅｔｈｏｄ，ｔｈｉｓ　ｍｅｔｈｏｄ　ｉｓ　ｂｅｔｔｅｒ　ｉｎｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ　ｗｉｔｈ　ｒｅｄｕｃｉｎｇ　ｔｈｅ　ｖａｌｕｅ　ｏｆ　ｎｏｒｍａｌ　ｃｏｎｔａｃｔ　ｓｔｒｅｓｓ．Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｒｏｌｌｅｒ　ｂｅａｒｉｎｇ；ｃｏｎｖｅｘｉｔｙ；ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ　ｌｏａｄ；ｆｉｎｉｔｅ　ｅｌｅｍｅｎｔ　ｍｅｔｈｏｄ 圆锥滚子轴承是一类重要的机械基础零件，其寿命的长短直接影响到主机的工作性能．早期设计此类轴承时，一般将滚子和滚道的母线均取为直线，以此希望载荷沿母线均匀分布．但根据弹性力学理论，线接触条件下只有在接触体为无限长或者其几何长度绝对相等时，沿接触线的载荷分布才有可能完全均匀．实际上，对于圆锥滚子轴承，“无限长圆锥体”之间的理想线接触情况并不存在，而且往往由于“边缘效应”使得接触区域呈现出复杂的变形状态，出现严重的应力集中现象．针对这种现象，工程中一般采用凸度设计，将滚子母线设计成非直线形式（如圆弧曲线、对数曲线等）以降低应力集中的程度． 收稿日期：２０１２－０９－０７ 基金项目：国家自然科学基金（５１２６５０２５） 作者简介：安宗文（１９６８－），男，甘肃景泰人，博士，教授，博导． 滚子凸度设计工作主要包括凸型的选择和凸度量的设计２个方面的内容．文献［１］将滚子分为许多切片，在忽略切片之间剪应力的基础上，利用经验公式计算出了每个切片和滚道的接触应力，同时结合无限长接触理论，提出了一种确定滚子凸型的半解析数值方法．文献［２～４］利用有限元方法，对滚动轴承滚子与内外滚道的接触应力进行分析，得到了定载荷条件下滚动轴承的最优凸型．文献［５～８］利用数值分析方法，以滚子最小接触应力为目标建立起目标函数，对滚子的凸度进行优化设计，获得了额定载荷条件下滚道轴承的最优凸度．文献［９］在线接触光弹流实验装置上针对对数凸度滚子重载变速工况进行实验分析，认为在对滚子凸度量进行设计时要考虑滚子轴向的最大接触应力．文献［１０，１１］分别对滚动轴承滚子与内外滚道接触应力算法进行了改第３９卷第３期２０１３年６月兰　州　理　工　大　学　学　报Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｌａｎｚｈｏｕ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　ＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＶｏｌ．３９Ｎｏ．３Ｊｕｎ．２０１３进，得到计算滚子接触应力的一种新方法．上述文献分别采用不同的方法对圆锥滚子轴承的凸度设计进行研究，但它们却具有一个相同的技术特征，即在凸度设计时将轴承的载荷视为一个确定性的变量额定载荷．这与轴承的实际载荷工况并不完全吻合，因为轴承服役期间的实际载荷都存在一定程度的不确定性．本文以此为切入点，用随机变量描述轴承实际载荷的不确定性，利用随机有限元方法对不同凸度量圆锥滚子的接触应力进行计算，以最小接触应力对应的凸度量为最优值，形成随机载荷条件下的圆锥滚子凸度设计方法．进而以３１３１３圆锥滚子轴承为实例，以ＡＮＳＹＳ软件的ＰＤＳ模块为工具，对该轴承进行凸度设计，验证了该方法的有效性．１　随机载荷条件下圆锥滚子凸度量设计方法１．１　随机载荷的确定在圆锥滚子轴承凸度量的设计过程中，将滚子轴承的径向载荷视作为一个随机变量．由于轴承内圈承受的载荷并不均匀，因此取其最大径向力作为其径向载荷．根据文献［１２］，轴承内圈所承受的最大径向力为Ｑｍａｘ＝４．０８ＰｒＺｃｏｓα（１）式中，Ｐｒ为轴承额定径向载荷，Ｚ为圆锥滚子数目，α为偏心角．由于在有限元分析模型建立过程中，在轴承最大径向力处进行了纵向剖分，形成了一个局部的分析模型．因此局部模型中轴承内圈承受的确定性均布载荷Ｐ－为Ｐ－＝ＱｍａｘＳ（２）式中：Ｓ为局部模型中轴承内圈承受载荷的面积．以Ｐ－为轴承随机载荷的均值，并确定其分布类型和参数，得到轴承载荷的随机模型．１．２　圆锥滚子凸度量的确定在确定圆锥滚子凸度量时，传统的设计方法直接采用Ｌｕｎｄｂｅｒｇ提出的圆锥滚子凸度量计算公式［１３］，计算得到圆锥滚子的凸度量：Ｔ＝３．８４×１０－５　Ｑ０．９ｍａｘ／Ｌｗｅ（３）式中：Ｌｗｅ为滚子的有效长度．本文设计圆锥滚子的凸度量时，以传统方法计算的凸度量为基础，在该凸度量值附近均匀的选取多个不同的Ｔ值作为圆锥滚子的凸度量，得到一组圆锥滚子凸度量的预设值．然后，设定凸度量的设计目标，以此为原则确定圆锥滚子的最优凸度量．为了提高圆锥滚子轴承的工作载荷能力，延长圆锥滚子轴承的使用寿命，将轴承工作过程中圆锥滚子与内外滚道的法向接触应力值最小作为圆锥滚子凸度量的设计目标．在利用ＡＮＳＹＳ软件的随机分析模块对圆锥滚子的法向接触应力进行分析时，以１．１节中所确定的随机载荷模型，将对应的随机参数，诸如：载荷分布类型、载荷均值μ、变异系数ｃｖ、标准差σ等输入，在软件中确定对应的随机载荷．将所确定的随机载荷分别加载到具有不同凸度量的圆锥滚子轴承上，设定与圆锥滚子轴承工况相吻合的边界条件，进行多次随机抽样，计算得到随机载荷条件下圆锥滚子与内外滚道的法向接触应力值．将随机载荷条件下不同凸度量所对应模型的法向接触应力平均值进行对比，将法向最小平均接触应力所对应的圆锥滚子凸度量作为最优凸度量，取之为设计值，即获得了随机载荷条件下圆锥滚子的凸度量．２　实例应用２．１　有限元模型的建立１）实体模型的建立某公司批量生产的３１３１３圆锥滚子轴承采用内、外滚道为直母线，滚子为圆弧修正母线的凸度设计方案．图１为圆锥滚子的主要设计尺寸，其中滚子凸度量Ｔ的设计值为１０μｍ．轴承额定径向静载荷为Ｐｒ＝２００ｋＮ，滚子数目Ｚ＝１６，偏心角α＝２８．８°，材料选用ＧＣｒ１５．为了对比分析不同凸度量与接触应力大小之间的关系，本文在０～２０μｍ均匀选取１１组凸度量：０、２、４、６、８、１０、１２、１４、１６、１８、２０μｍ，分别建立圆锥滚子的三维实体模型．２）有限元网格的划分选用ＳＯＬＩＤ４５单元作为网格划分单元，ＣＯＮＴ１７０、ＣＯＮＴ１７５作为接触单元．在综合考虑模型的复杂程度、计算耗时以及计算精确度等因素后，选择合适的网格尺寸，并利用局部网格加密手段，得到有限元网格模型，如图２所示．划分网格后，模型的节点数目为８　０８６个．３）材料属性３１３１３轴承内、外圈和滚子采用的材料为ＧＣｒ１５，杨氏弹性模量Ｅ＝２．０６×１０５　ＭＰａ，泊松比ν＝０．２５．·７２·第３期 安宗文等：圆锥滚子凸度量设计的随机有限元方法 图１　滚子尺寸及凸度示意图Ｆｉｇ．１　Ｓｃｈｅｍａｔｉｃ　ｄｉａｇｒａｍ　ｏｆ　ｔａｐｅｒｅｄ　ｒｏｌｌｅｒ　ｓｉｚｅ　ａｎｄ　ｃｏｎｖｅｘｉｔｙ图２　网格划分示意图Ｆｉｇ．２　Ｓｃｈｅｍａｔｉｃ　ｄｉａｇｒａｍ　ｏｆ　ｍｅｓｈｉｎｇ　ｍｏｄｅｌ２．２　随机载荷的确定轴承额定径向静载荷为Ｐｒ＝２００ｋＮ，根据式（１）和式（２），计算得到轴承内圈所承受的最大径向均布载荷Ｐ－＝１３８ＭＰａ．考虑轴承实际载荷的随机性，本文假设轴承实际载荷服从均值μ＝１３８ＭＰａ的正态分布，并设定变异系数ｃｖ＝０．０５．则该分布型中，标准差σ＝６．９ＭＰａ．根据３σ原则，进一步假设实际载荷服从截断型正态分布，得到截断上下限分别为１１７．３ＭＰａ和１５８．７ＭＰａ．即轴承实际载荷服从上、下限分别为１１７．３和１５８．７，均值为１３８，标准差为６．９的截断型正态分布，其概率密度函数ｆ（Ｐ）和分布函数Ｆ（Ｐ）如图３所示．２．３　求解计算在图２中，对轴承外圈的外表面施加固定约束，内、外圈大端面施加轴向方向的约束，在整个局部模型的纵剖面上添加对称约束．在轴承内圈内表面施加２．２中确定的随机载荷．在ＡＮＳＹＳ的ＰＤＳ模块中，利用拉丁超立方抽样方法对随机载荷进行１００次随机抽样，并分别加载到有限元模型上，便可得到不同凸度量条件下滚子与内外滚道之间法向接触应力的变化规律（见表１）．２．４　圆锥滚子凸度量的确定 分析表１数据可知，在所选１１组凸度量中，当图３　随机载荷的概率密度函数与分布函数　Ｆｉｇ．３　Ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ　ｄｅｎｓｉｔｙ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｏｆ　ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ　ｌｏａｄ表１　不同凸度量对应的法向接触应力　Ｔａｂ．１　Ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ　ｎｏｒｍａｌ　ｃｏｎｔａｃｔ　ｓｔｒｅｓｓ　ｆｏｒ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｃｏｎｖｅｘｉｔｙ　ｍａｇｎｉｔｕｄｅ凸度量／μｍ最大接触应力／ＭＰａ最小接触应力／ＭＰａ平均接触应力／ＭＰａ０　２　１２２．９０　１　６８２．６０　１　９０４．３０２　９１７．９４　７３１．７３　８２６．５８４　８８３．９９　７０４．１０　７９５．４９６　８４５．７２　６６６．１２　７５６．７７８　７６４．２５　５９５．７４　６８０．９４１０　８６７．３０　６９７．５７　７８０．６０１２　９４４．１１　７６３．７５　８５６．１３１４　１　０３５．３０　８２２．３０　９００．６６１６　１　０１３．９０　８０３．４５　９０９．９６１８　１　０２９．８０　８１７．２４　９２５．２８２０　２　２５６．２０　１　７６２．５０　２　０１７．８０·８２· 兰州理工大学学报 第３９卷滚子凸度量为１０μｍ时，滚子的接触应力最小，根据法向接触应力最小的凸度优化原则，确定该圆锥滚子轴承的最优凸度量为１０μｍ．３　分析与讨论利用表１中的数据绘制３１３１３轴承凸度量与接触应力之间的对应关系图（见图４），由图４可知：１）对于圆锥滚子，无凸度（凸度值为０）和凸度量太大，均会导致明显的应力集中现象．因此，对某种确定的凸型和载荷条件，圆锥滚子理论上存在一个最优凸度量，该凸度量对应的接触应力相对最小，这种特性具有普遍性．２）对于３１３１３圆锥滚子，当凸度量在２～１８μｍ变化时，对应的接触应力值相对较小，而且应力变化较为平缓，没有明显的应力集中或突变．３）相对３１３１３圆锥滚子原有设计方案中的凸度量（１０μｍ），利用本文提出的基于随机有限元法设计得到其最优凸度量为８μｍ，接触应力值减小了约１００ＭＰａ．因此，本文提出的圆锥滚子轴承凸度量设计方法优于传统的凸度量设计方法．图４　不同凸度值对应的接触应力曲线Ｆｉｇ．４　Ｃｏｎｔａｃｔ　ｓｔｒｅｓｓ　ｃｕｒｖｅｓ　ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ　ｔｏ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｃｏｎｖｅｘｉｔｙ　ｍａｇｎｉｔｕｄｅ４　结论１）基于轴承实际载荷的不确定性，用随机变量描述载荷变化规律，以接触应力值最小的凸度优化原则，形成了一种基于随机有限元法的圆锥滚子凸度量优化设计方法． ２）以３１３１３轴承滚子为实例，进行其凸度量优化设计，结果表明，相对原有设计方案中的凸度量，基于随机有限元法的圆锥滚子凸度量优化设计方法得到的凸度量能够减小轴承接触应力，从而验证了该方法的有效性．３）本文没有考虑轴向载荷对滚子凸度量的影响．后续工作将对轴向载荷与径向载荷共存时圆锥滚子凸度量的设计方法进行探讨．参考文献：［１］　ＨＡＲＲＩＳ　Ｔ　Ａ．Ｒｏｌｌｉｎｇ　ｂｅａｒｉｎｇ　ａｎａｌｙｓｉｓ［Ｍ］．３ｔｈ　ｅｄ．ＮｅｗＹｏｒｋ：Ａ　Ｗｉｌｅｙ－Ｉｎｔｅｒｓｃｉｅｎｃｅ　Ｐｕｂｌｉｃａｔｉｏｎ，１９９１．［２］　邢英杰，胡艳涛，孙　晶．对数母线圆柱滚子凸度量的有限元分析［Ｊ］．哈尔滨轴承，２０１０，３１（３）：１－５．［３］　ＷＡＮＧ　Ｚｈｉ－ｗｅｉ，ＭＥＮＧ　Ｌｉｎｇ－ｑｉｎ，ＨＡＯ　Ｗｅｎ－ｓｉ，ｅｔ　ａｌ．Ｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔ　ｍｅｔｈｏｄ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ａｎｄ　ｏｐｔｉｍａｌ　ｄｅｓｉｇｎ　ｏｆ　ｒｏｌｌｅｒ　ｃｏｎｖｅｘｉｔｙｏｆ　ｔａｐｅｒｅｄ　ｒｏｌｌｅｒ　ｂｅａｒｉｎｇ［Ｊ］．Ａｄｖａｎｃｅｄ　Ｍａｔｅｒｉａｌｓ　Ｒｅｓｅａｒｃｈ，２０１０，１３９／１４０／１４１：１０７９－１０８３．［４］　孙立明，王大力，赵滨海，等．汽车轮毂轴承凸度有限元分析［Ｊ］．轴承，２００５（２）：１－３．［５］　张　兰，孙立明，夏新涛，等．工程机械车桥专用圆柱滚子轴承的设计［Ｊ］．轴承，２００９（１０）：５－８．［６］　ＦＵＪＩＷＡＲＡ　Ｈ，ＫＡＷＡＳＥ　Ｔ，ＫＯＢＡＹＡＳＨＹ　Ｔ，ｅｔ　ａｌ．Ｏｐｔｉ－ｍｉｚｅｄ　ｌｏｇａｒｉｔｈｍｉｃ　ｒｏｌｌｅｒ　ｃｒｏｗｎｉｎｇ　ｄｅｓｉｇｎ　ｏｆ　ｃｙｌｉｎｄｒｉｃａｌ　ｒｏｌｌｅｒｂｅａｒｉｎｇ　ａｎｄ　ｉｔｓ　ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ　ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｉｏｎ［Ｊ］．ＴｒｉｂｏｌｏｇｙＴｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ，２０１０，５３（６）：９０９－９１６．［７］　华同曙，丁璐璐，陈晓阳．修形滚子的设计计算及其在工程中的应用［Ｊ］．润滑与密封，２００９，３４（７）：５０－５３．［８］　ＳＩＮＧＨ　Ｋ　Ｐ，ＰＡＵＬ　Ｂ．Ｓｔｒｅｓｓ　ｃｏｎｃｅｎｔｒａｔｉｏｎ　ｉｎ　ｃｒｏｗｎｅｄ　ｒｏｌｌｅｒｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　ｆｏｒ　Ｉｎｄｕｓｔｒｙ，１９７５（８）：９９０－９９４．［９］　华同曙，丁璐璐，陈晓阳，等．凸度滚子重载变速工况弹流润滑的实验研究［Ｊ］．润滑与密封，２０１０，３５（１０）：４６－４８．［１０］　ＫＵＭＡＲ　Ｋ　Ｓ，ＴＩＷＡＲＩ　Ｒ，ＰＲＡＳＡＤ　Ｐ．Ａｎ　ｏｐｔｉｍｕｍ　ｄｅｓｉｇｎｏｆ　ｃｒｏｗｎｅｄ　ｃｙｌｉｎｄｒｉｃａｌ　ｒｏｌｌｅｒ　ｂｅａｒｉｎｇｓ　ｕｓｉｎｇ　ｇｅｎｅｔｉｃ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ　Ｄｅｓｉｇｎ，２００９，１３１（５）：６１－７４．［１１］　ＲＡＯ　Ｔ．Ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　ｓｉｎｇｌｅ－ｇｒｏｏｖｅｄ　ｓｌｉｄｅｒ　ａｎｄ　ｊｏｕｒｎａｌ　ｂｅａｒｉｎｇｗｉｔｈ　ｐａｒｔｉａｌ　ｓｌｉｐ　ｓｕｒｆａｃｅ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｔｒｉｂｏｌｏｇｙ，２０１０，１３２（１）：２７－３６．［１２］　日本精工株式会社．ＮＳＫ滚动轴承技术手册［Ｍ］．东京：日本精工株式会社，２００９：１１０．［１３］　ＬＵＮＤＢＥＲＧ　Ｇ．Ｅｌａｓｔｉｃ　ｃｏｎｔａｃｔ　ｂｅｔｗｅｅｎ　ｓｅｍｉ－ｉｎｆｉｎｉｔｅ　ｂｏｄｉｅｓ［Ｊ］．Ｆｕｒ　Ｓｃｈｕｎｇ　ａｕｆ　ｄｅｍ　Ｇｅｂｉｅｔｏ　ｄｅｓ　Ｅｎｇｅｎｉｅｎｓｗｅｓｅｎｓ，１９６１，１０（５）：１６５－１７４．·９２·第３期 安宗文等：圆锥滚子凸度量设计的随机有限元方法 。