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11.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,
第3小题满分8分.
如果数列 同时满足:(1)各项均为正数,(2)存在常数k, 对任意 都成立,那么,这样的数列 我们称之为“类等比数列” .由此各项均为正数的等比数列必定是“类等比数列” .问:
(1)若数列 为“类等比数列”,且k=(a2-a1)2,求证:a1、a2、a3成等差数列;
11.(1)详见解析,(2) 或 ,(3)
12.(1)详见解析,(2) ( ).
13.(1) , ;(2)证明见解析, ;(3) .
14.(1) ;(2) ;(3) 的最小值是7.
15.(1) ;(2) ;(3) .
16.(1)证明过程见试题解析(2)当 时, ;当 时, (3)
4.(Ⅰ) ;
(Ⅱ) ;
(Ⅲ) , .
5.(1) ,(2) (3)
6.(Ⅰ) ;(Ⅱ)①③是真命题;②是假命题
7.(1) (2)① , ②详见解析
8.(Ⅰ) ;(Ⅱ) 时, ;当 时, ;
9.(1) 是无理数(2) (或 等).则对 ,均有 成立.证明略.
10.(1)19,(2) ,(3)详见解析.
(2)若数列 为“类等比数列”,且k= , a2、a4、a5成等差数列,求 的值;
(3)若数列 为“类等比数列”,且a1=a,a2=b(a、b为常数),是否存在常数λ,使得 对任意 都成立?若存在,求出λ;若不存在,说明理由.
12.各项均为正数的数列{an}中,设 , ,且 , .
(1)设 ,证明数列{bn}是等比数列;
①存在数列 使得 ;②如果数列 是等差数列,则 ;
③如果数列 是等比数列,则 。
7.已知数列 是等差数列,其前n项和为Sn,若 , .
(1)求 ;
(2)若数列{Mn}满足条件: ,当 时, - ,其中数列 单调递增,且 , .
①试找出一组 , ,使得 ;
②证明:对于数列 ,一定存在数列 ,使得数列 中的各数均为一个整数的平方.
2.(本小题满分16分)设数列 的前 项和为 ,满足 .
(1)当 时,
①设 ,若 , .求实数 的值,并判定数列 是否为等比数列;
②若数列 是等差数列,求 的值;
(2)当 时,若数列 是等差数列, ,且 , ,
求实数 的取值范围.
3.(本小题满分13分)已知二次函数 的图象的顶点坐标为 ,且过坐标原点 .数列 的前 项和为 ,点 在二次函数 的图象上.
14.设 ,用 表示 当 时的函数值中整数值的个数.
(1)求 的表达式.
(2)设 ,求 .
(3)设 ,若 ,求 的最小值.
15.已知数列 中,
(1)求 , ;
(2)求证: 是等比数列,并求 的通项公式 ;
(3)数列 满足 ,数列 的前n项和为 ,若不等式 对一切 恒成立,求 的取值范围.
16.我们把一系列向量 排成一列,称为向量列,记作 ,又设 ,假设向量列 满足: , 。
(2)设 ,求集合 .
13.一个三角形数表按如下方式构成(如图:其中项数 ):第一行是以4为首项,4为公差的等差数列,从第二行起,每一个数是其肩上两个数的和,例如: ; 为数表中第 行的第 个数.
(1)求第2行和第3行的通项公式 和 ;
(2)证明:数表中除最后2行外每一行的数都依次成等差数列;
(3)求 关于 ( )的表达式.
(Ⅰ)求数列 的通项公式;
(Ⅱ)设 ,数列 的前 项和为 ,若 对 恒成立,求实数 的取值范围;
(Ⅲ)在数列 中是否存在这样一些项: ,这些项都能够构成以 为首项, 为公比的等比数列 ?若存在,写出 关于 的表达式;若不存在,说明理由.
4.(本小题满分13分)设数列 满足:
① ;
②所有项 ;
③ .
设集合 ,将集合 中的元素的最大值记为 ,即 是数列 中满足不等式 的所有项的项数的最大值.我们称数列 为数 的伴随数列.例如,数列1,3,5的伴随数列为1,1,2,2,3.
(1)求数列 的通项公式;
(2)证明:点 在同一直线 上,并求出直线 方程;
(3)若 对 恒成立,求 的最小值.
6.(本题满分13分)已知函数 ,各项均不相等的有限项数列 的各项 满足 .令 , 且 ,例如: .
(Ⅰ)若 ,数列 的前n项和为Sn,求S19的值;
(Ⅱ)试判断下列给出的三个命题的真假,并说明理由。
绝密★启用前
学科题库数列题选
难度:0.8~1.0
注意事项:
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
1.(本小题满分14分)已知数列 ( , )满足 , 其中 , .
(1)当 时,求 关于 的表达式,并求 的取值范围;
(2)设集合 .
①若 , ,求证: ;
②是否存在实数 , ,使 , , 都属于 ?若存在,请求出实数 , ;若不存在,请说明理由.
10.若数列 满足条件:存在正整数 ,使得 对一切 都成立,则称数列 为 级等差数列.
(1)已知数列 为2级等差数列,且前四项分别为 ,求 的值;
(2)若 为常数),且 是 级等差数列,求 所有可能值的集合,并求 取最小正值时数列 的前3 项和 ;
(3)若 既是 级等差数列 ,也是 级等差数列,证明: 是等差数列.
8.(本题满分10分)已知数列{an}中,a1= ,an+1= (n∈N*).
(1)求证:数列{ }是等差数列,并求{an}的通项公式;
(2)设bn+an=l(n∈N*),S=b1b2+b2b3+…+bnbn+1,试比较an与8Sn的大小.
9.给定Байду номын сангаас列
(1)判断 是否为有理数,证明你的结论;
(2)是否存在常数 .使 对 都成立?若存在,找出 的一个值,并加以证明;若不存在,说明理由.
(1)证明数列 是等比数列;
(2)设 表示向量 间的夹角,若 ,记 的前 项和为 ,求 ;
(3)设 是 上不恒为零的函数,且对任意的 ,都有 ,若 , ,求数列 的前 项和 .
参考答案
1.(1) ;(2)①证明见解析;②不存在实数 .
2.(1)① ,数列 是等比数列;②3;(2)
3.(Ⅰ) ;(Ⅱ) (Ⅲ)存在,
(Ⅰ)若数列 的伴随数列为1,1,1,2,2,2,3,请写出数列 ;
(Ⅱ)设 ,求数列 的伴随数列 的前30项之和;
(Ⅲ)若数列 的前 项和 (其中 常数),求数列 的伴随数列
的前 项和 .
5.(本题满分16分)本题共3小题,第(1)小题4分,第(2)小题4分,第(3)小题8分.
已知数列 是公差不为 的等差数列, 数列 是等比数列,且 , ,数列 的前 项和为 ,记点 .