7下5.3《垂线》课案(教师用)
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EDC B A 2.能说出点到直线的距离的定义,并会度量点到直线的距离。
学习重点: 会用有关工具画已知直线的垂线段。
学习难点: 能作出点到直线的距离。
学习过程:一.课前预习:1. 垂线的性质:(1)过一点 一条直线与已知直线垂直;2. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中, 最短。
简单说成最短。
3. 直线外一点到这条直线 的长度,叫做点到直线的距离。
二 课堂研讨:(一).重点研讨:4.学生画图操作,得出结论.(1)画出直线m,m 外一点P;(2)过P 点出PO⊥m,垂足为O;(3)点A 1,A 2,A 3……在m 上,连接PA 、PA 2、PA 3……;(4)用叠合法或度量法比较PO 、PA 1、PA 2、PA 3……长短.总结⑴垂线的性质 . 简单说成: . ⑵. 点到直线的距离. 5.已知直线a 、b,过点a 上一点A 作AB⊥a,交b 于点B ,过B 作BC⊥b 交a 上于点C.请说出哪一条线段的长是哪一点到哪一条直线的距离? 并且用刻度尺测量这个距离(二).拓展延伸:6.判断正确与错误,如果正确,请说明理由,若错误,请订正.(1)直线外一点与直线上的一点间的线段的长度是这一点到这条直线的距离.(2)如图,线段AE 是点A 到直线BC 的距离. (3)如图,线段CD 的长是点C 到直线AB 的距离.(三)达标测试7.如图,已知△ABC :(1).过顶点C 画对边AB 的垂线CD ,垂足为D 。
(2 )量出点B 到边AC 所在的直线的距离。
(3)量出的AC 长,并计算△ABC 的面积b a C B A三.课后巩固:8.如图,AC⊥BC,C 为垂足,CD⊥AB,D 为垂足,BC=8,CD=4.8,BD=6.4,AD=3.6,AC= 6,那么点C 到AB 的距离是_______,点A 到BC 的距离是________,点B 到CD 的距离是_____,A 、B 两点的距离是_________D CB A9.如图,AB 是一条河,C 河边AB 外一点,现欲用水管从河边AB 将水引到C 处,在何处开口可使水管最短?并计算出水管至少要多少?(本图比例尺1:2000)学习收获:BA。
七年级数学垂线教案教案标题:七年级数学垂线教案教案目标:1. 理解垂线的概念及其性质;2. 能够画出给定线段的垂线;3. 能够解决与垂线相关的问题。
教案步骤:引入活动:1. 通过给学生展示一些实际生活中的垂线的例子,如建筑物的垂直线、树木的垂直分支等,引发学生对垂线的兴趣和好奇心。
概念讲解:2. 介绍垂线的定义:垂线是与给定线段相交且与该线段的两个端点连线垂直的线段。
3. 解释垂线的性质:垂线与线段相交于一点,且垂线与线段的两个端点连线相等。
示范练习:4. 给学生提供一些线段,要求他们能够画出与该线段垂直的垂线。
在练习中,教师可以提供一些提示和指导,如使用直尺、利用90度角等。
5. 让学生交换他们所画的垂线,并互相检查对方的作品,以促进学生之间的合作和互动。
应用练习:6. 给学生提供一些与垂线相关的问题,让他们运用所学知识解决。
问题可以包括:在一个矩形中,如何找到两条互相垂直的垂线;如何确定一个房间的墙壁是否垂直等。
7. 鼓励学生在解决问题的过程中思考和讨论,以培养他们的逻辑思维和合作能力。
巩固练习:8. 给学生一些练习题,让他们独立完成。
教师可以根据学生的掌握情况,提供不同难度的练习题,以巩固学生对垂线的理解和应用。
总结:9. 对本节课所学内容进行总结,强调垂线的定义和性质,并鼓励学生在日常生活中应用所学知识。
拓展活动:10. 鼓励学生在家中或校园中寻找更多的垂线例子,并进行观察和记录。
学生可以将自己找到的例子分享给全班,以促进学生对垂线的深入理解。
教学评估:11. 教师可以通过观察学生在课堂上的表现,提问学生的理解情况,以及批改学生的练习作业来评估学生对垂线的掌握程度。
教学资源:- 实物示例(如建筑物、树木等)- 直尺- 练习题和答案教学延伸:对于学习较快的学生,教师可以引导他们进一步探究垂线的性质和应用,如垂线的垂直平分性质、垂线与平行线的关系等。
对于学习较慢的学生,教师可以提供更多的练习机会,并给予更多的指导和帮助。
垂线初中教案教学目标:1. 让学生理解垂线的定义和性质,能够运用垂线解决实际问题。
2. 培养学生的观察能力、动手能力和逻辑思维能力。
教学重点:1. 垂线的定义和性质。
2. 运用垂线解决实际问题。
教学难点:1. 理解并掌握垂线的性质。
2. 运用垂线解决实际问题。
教学准备:1. 直尺、三角板、铅笔等绘图工具。
2. 课件或黑板。
教学过程:一、导入(5分钟)1. 利用课件或黑板,展示一些生活中的垂线实例,如电线、窗框等,引导学生观察并思考:这些物体有什么共同特点?2. 学生回答后,教师总结:这些物体的共同特点是与地面或其他物体垂直相交,这种线叫做垂线。
二、探究垂线的性质(15分钟)1. 教师引导学生通过观察和动手操作,探究垂线的性质。
2. 学生分组讨论,总结垂线的性质,如:垂线与所在平面垂直,垂线段最短等。
3. 每组派代表分享探究结果,教师点评并总结。
三、运用垂线解决实际问题(15分钟)1. 教师提出实际问题,如:在墙上挂一幅画,如何确定挂绳的位置?2. 学生分组讨论,运用垂线性质解决问题。
3. 每组派代表分享解题过程和答案,教师点评并总结。
四、巩固练习(10分钟)1. 教师出示练习题,学生独立完成。
2. 教师选取部分答案进行讲解和点评。
五、总结与反思(5分钟)1. 教师引导学生总结本节课所学内容,巩固垂线的定义和性质。
2. 学生分享学习收获和感悟,提出疑问。
3. 教师解答疑问,给予鼓励和指导。
教学评价:1. 学生对垂线的定义和性质的理解程度。
2. 学生运用垂线解决实际问题的能力。
3. 学生的参与程度和合作意识。
垂线(教案)1. 教学目标•了解垂线的定义与特性•掌握判断垂线的方法•能够应用垂线的性质解决相关几何问题2. 教学内容2.1 垂线的定义垂线是指与另一条线段或直线相交,且与之垂直的线段或直线。
垂线的特点是和所相交的线段或直线之间的夹角为90度。
2.2 判断垂线的方法•垂直交叉法:如果两条线段或直线相交且所成的四个角其中有一个角为90度角,则可以判断两条线段或直线互相垂直。
•垂直性质法:如果两条线段或直线互相垂直,那么它们的斜率的乘积为-1。
2.3 垂线的性质•垂线的长度等于两条垂直相交线段的乘积,并且为两条线段的中线。
•垂线的端点在所垂直的线段或直线上。
•垂线上的所有点到所垂直的线段或直线的距离相等。
3. 教学步骤3.1 导入新知引导学生回顾并复习平行线的定义和性质,进而引出垂线的概念。
通过示意图和实际生活中的例子,激发学生对垂线的兴趣。
3.2 理论讲解讲解垂线的定义和特性,重点强调垂线和所相交的线段或直线之间的角度关系。
结合示意图和具体例子,帮助学生理解并记忆垂线的性质。
3.3 案例演练通过解析具体的几何问题,引导学生运用垂线的性质解决相关问题。
提供一系列案例,让学生积极参与课堂讨论和思考,培养学生的解决问题的能力。
3.4 练习巩固布置相关练习题,让学生在课下进行巩固练习。
鼓励学生尝试不同类型的问题,提高他们的综合应用能力。
并在下节课开始前,对练习题进行详细的讲解和解答。
4. 教学资源•教科书•演示示意图•案例题•练习题集5. 课堂评估通过课堂练习和讨论来评估学生对垂线的理解和应用能力,可以使用小组讨论、个人答题等形式进行评估。
同时鼓励学生提出问题和解决问题,培养学生的思维能力和创造性思维。
6. 拓展延伸为了帮助学生进一步掌握垂线的知识,可以引导学生进行更多的拓展研究和延伸学习。
鼓励学生自主查找相关资料,探索垂线在实际生活中的应用和意义。
7. 总结通过本节课的学习,学生应该对垂线的概念、定义和特性有一定的了解,并能够独立判断和应用垂线的方法解决几何问题。
七年级数学下册《垂线》教案七年级数学下册《垂线》教案一、内容和内容解析1.内容垂线的概念,垂线的性质,以及点到直线的距离的概念.2.内容解析两条直线互相垂直作为两条直线相交的特殊情形,在理论和实践上都有特殊的用途,与它有关的概念和结论是后期学习“图形与几何”的基础,也是学习“平面直角坐标系”的直接基础.垂直的概念是一个承接了前面学段学过的概念,本节课主要从垂直的符号语言和图形语言的表示等不同的角度进一步认识垂直.垂线的两个性质,都是通过操作、探究获得的.用三角尺画垂线,学生前面学段已经学过,为了获得垂线的性质,在这里仍要让学生动手画图,还可让学生通过折纸作垂线等操作,体会垂线的存在性和唯一性,归纳出“在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”这一的性质.“垂线段最短”的性质在日常生活中有着广泛的应用,教材由实际问题引入,由解决实际问题结束.教学时,应多举一些这方面的实例,让学生体会这一性质的应用.“点到直线的距离”的概念是以“垂线段最短”为根据的,教学时,要注意结合图形,强调点到直线的距离是直线外一点到这条直线的垂线段的长度,是一个数量,而不是指图形(垂线段).基于以上分析,确定本节课的教学重点是:垂线的性质.二、目标和目标解析1.目标⑴理解垂线、垂线段等概念,能用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线;⑵理解点到直线的距离的意义,能度量点到直线的距离;⑶掌握垂线的两个性质.2.目标解析达成目标⑴的标志是:学生会用符号语言和图形语言来表示垂直关系,从不同角度来认识垂直.能过直线上或直线外一点作已知直线或线段的垂线.达成目标⑵的标志是:能理解点到直线的距离是指垂线段的长度,是一个数量,而不是一个图形.达成目标⑶的标志是:能熟记垂线的两个性质,理解它们的含义,明确条件、结论是什么;准确理解关键词的含义,如“有且只有”的含义;对“垂线段最短”能熟练应用于生活实际.三、教学问题诊断分析在前面学段的学习中,学生已经接触了垂直的定义和垂线的画法,也经历过将图形语言翻译成符号语言的过程,因此学生在此对将垂直的图形语言翻译成符号语言的理解以及作垂线并不困难.而垂线的两条性质的获得只是通过画图以及测量、比较等方法获得的,并且两条性质的文字表达极其精炼,因此学生归纳和理解起来将存在困难.基于以上分析,确定本节课的教学难点是:垂线的两条性质的探究与归纳.四、教学过程设计1.创设情境,导入新知教师自制教具,将两根木条钉在一起(如图1),固定其中一根木条a,转动木条b,请学生观察:问题1.在木条b的转动过程中,什么量也随之发生改变?师生活动:学生发言,相互补充.教师借机和学生一起回忆上节课学习的内容:对顶角和邻补角的概念和性质.教师追问⑴:当a与b所成角为90?时,其余各角分别为多少度?师生活动:教师引导学生发现,当a与b所成角为90?时,其余各角都为90°,是木条相交中最特殊的一种情况.教师追问⑵:这时木条a与b有何位置关系呢?师生活动:学生根据小学已学的知识可以知道,此时,木条a与b互相垂直,教师揭示课题.设计意图:让学生借助已有的知识发现数学问题,并解决问题,进一步提高对垂直概念的认识.2.变换角度,认识垂直问题2.仔细观察图2,当两条直线相交时所形成的4个角中,有一个角为90°,就得出这两条直线有何位置关系呢?师生活动:学生回答,并归纳概括出垂直的定义.教师补充指出垂线和垂足的概念.并给出垂直的符号表示.教师追问⑴:如图2,如何用符号语言表示垂直的定义呢?师生活动:学生观察图形,独立完成用符号语言表示垂直定义,教师点拨,规范学生的书写过程.教师追问⑵:如何判定两条射线垂直?两条线段呢?师生活动:学生积极踊跃发言,教师做总结,提醒学生注意:两条线段垂直、两条射线垂直、射线与直线垂直、线段与射线垂直、线段与直线垂直,都是指它们所在的直线垂直.设计意图:教师引导学生用几何语言描述图形的位置关系,并学会用符号语言表示,培养学生表达几何图形的能力.教师追问⑶:你能举出一些生活中与垂直有关的实例吗?师生活动:学生举例.教师多媒体出示生活中的图片(图3).设计意图:学生例举身边的实物,能由实物的形状想象出直线垂直关系,将新知识应用到对周围环境直接感知的基础上,有利于学生建立直观、形象的数学模型.例1.如图4,三条直线相交于点o.若co⊥AB,∠1=56°,则∠2等于( ).A.30°B.34°c.45°D.56°师生活动:学生计算后作答,教师请学生口述推理过程.设计意图:角度计算题,目的是考查学生利用垂直定义以及对顶角性质解决问题的能力.3.动手操作,归纳性质问题3.用三角尺或量角器画已知直线l的垂线,这样的垂线能画几条?师生活动:学生动手尝试,得出结论:画已知直线的垂线可以画无数条.教师追问⑴:经过直线上一点画已知直线l的垂线,这样的垂线能画几条?师生活动:学生尝试动手作图,根据作图情况回答:只有一条.教师追问⑵:经过直线外一点画已知直线l的垂线,这样的垂线能画几条?师生活动:学生根据作图的实际情况作答:只有一条.教师追问⑶:通过上面的画图,你发现过一个点可以画已知直线l的垂线吗?可以画几条呢?师生活动:学生交流讨论后作答.教师引导学生归纳垂线的第一个性质,重点关注学生对“有且只有”一词的理解,体会数学语言的丰富与精练.设计意图:教师利用层层递进的提问,引导学生动手作图,并尝试自己探究、归纳出直线垂直的第一个性质,着重培养学生的逻辑推理能力和语言表达能力.例2.过点P画出射线AB或线段AB的垂线.设计意图:通过作图,让学生体会作线段、射线的垂线,其实就是它们所在的直线的垂线.反馈练习:如图,在一张透明的纸上画一条直线,在外任取一点Q并折出过点Q且与直线垂直的直线.这样的直线能折出( ).A.0条B.1条c.2条D.3条师生活动:学生通过折纸活动,直观体会“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”这一性质.设计意图:通过一道练习,让学生通过折纸作垂线,通过动手操作,体会垂线的存在性和唯一性.4.思考问题,再探性质问题4.在灌溉时,要把河中的水引到农田P处,如何挖掘能使渠道最短?思考:你能将这个实际问题转化成数学问题吗?变式:⑴在直线上有无数个点,试着取几个点与点P相连,比较一下它们的大小关系.你有什么发现?⑵你能猜想一下最短的位置会在哪儿?它唯一吗?为什么?⑶你能用一句话总结出观察得出的结论吗?师生活动:学生作图、观察、猜想,教师引导学生发现并归纳垂线的第二个性质.如有学生说法错误或者不完整,其他学生可以给予纠正、补充,在此基础上,教师揭示点到直线的距离的概念.设计意图:通过设计分层变式题,将实际问题转化成数学问题去解决,层层递进,提高思维度,使学生对问题的推理判断能力进一步深化和提高.练习:如图,Ac⊥Bc,且Bc=5,Ac=12,AB=13,则点A到Bc的距离是_______,点B到Ac的距离是_______,点B到点A的距离是__________.5.归纳小结教师与学生一起回顾本节课所学习的主要内容,请学生回答下列问题:⑴什么是垂直?垂直和相交有什么关系?我们是如何刻画两直线垂直的位置关系的?⑵垂线有哪些性质?⑶本节课的学习,你在数学思想方法方面还有哪些收获?设计意图:通过问题对本节课内容进行梳理,掌握本节课的主要内容——垂直定义和垂线的两个性质,及其中蕴含的数学思想方法.6.布置作业教科书习题5.1⑴第3、4、5题;⑵选做题:第6、7题.。
初中数学垂线优秀教案教学目标:1. 理解垂线的定义,掌握垂线的性质和应用。
2. 能够通过观察、操作、归纳概括等方法,培养空间观念和几何思维能力。
3. 激发学生学习兴趣,培养合作意识和问题解决能力。
教学重点:1. 垂线的定义和性质。
2. 垂线的应用。
教学难点:1. 理解垂线的性质。
2. 过一点画已知直线的垂线。
教学准备:1. 教学多媒体设备。
2. 垂线模型或图片。
教学过程:一、导入(5分钟)1. 利用垂线模型或图片,引导学生观察和描述垂线的特征。
2. 提问:什么是垂线?垂线有什么特点?二、自主学习(10分钟)1. 学生自学教材第3至5页,完成学生用书部分。
2. 学生通过自学,理解垂线的定义和性质。
三、合作探究(10分钟)1. 学生分组进行合作探究,通过观察、操作、归纳概括等方法,探讨垂线的性质。
2. 教师巡回指导,解答学生的问题。
四、课堂讲解(15分钟)1. 教师根据学生的探究结果,进行讲解垂线的性质。
2. 讲解垂线的性质,如:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直,垂线与已知直线的交点叫做垂足等。
五、练习巩固(10分钟)1. 学生独立完成教材中的练习题。
2. 教师选取部分学生的作业进行讲解和评价。
六、课堂小结(5分钟)1. 学生总结本节课的学习内容,分享自己的学习收获。
2. 教师对学生的总结进行评价和补充。
教学反思:本节课通过引导学生观察垂线模型,激发学生的学习兴趣。
通过自主学习和合作探究,让学生主动参与学习过程,培养学生的空间观念和几何思维能力。
在课堂讲解环节,注重对垂线性质的讲解,让学生理解和掌握垂线的基本概念和性质。
通过练习巩固,检验学生的学习效果,提高学生的应用能力。
整个教学过程中,注重学生的参与和互动,培养学生的合作意识和问题解决能力。
初中数学下册垂线教案教学目标:1. 理解垂线的概念,掌握垂线的性质和作图方法。
2. 能够运用垂线的知识解决实际问题,提高空间想象力。
3. 培养学生的观察能力、操作能力和几何语言表达能力。
教学内容:1. 垂线的概念及其性质2. 垂线的作图方法3. 垂线在实际问题中的应用教学重点:1. 垂线的概念和性质2. 垂线的作图方法教学难点:1. 垂线的作图方法2. 垂线在实际问题中的应用教学过程:一、导入(5分钟)1. 利用教室里的实物,如黑板、桌面等,引导学生观察并思考:什么是垂直?垂直有什么特点?2. 学生分享观察到的垂直现象,教师总结并板书垂直的定义。
二、新课讲解(15分钟)1. 教师演示如何用三角尺或量角器通过一点画已知直线的垂线,引导学生动手操作并观察。
2. 学生分组讨论,总结垂线的性质,如:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直等。
3. 教师通过PPT展示垂线的作图方法,引导学生掌握作图技巧。
三、练习与巩固(15分钟)1. 学生独立完成PPT上的练习题,巩固垂线的概念和性质。
2. 教师选取部分学生的作业进行点评,指出优点和需要改进的地方。
四、拓展与应用(15分钟)1. 教师提出实际问题,如:如何在墙上挂一幅画,使其垂直于地面?引导学生运用垂线的知识解决问题。
2. 学生分组讨论,提出解决方案,并动手实践。
3. 教师总结学生提出的解决方案,强调垂线在生活中的应用。
五、总结与反思(5分钟)1. 教师引导学生回顾本节课所学内容,总结垂线的概念、性质和作图方法。
2. 学生分享自己在课堂上的收获和感受。
3. 教师布置课后作业,巩固所学知识。
教学评价:1. 课后收集学生的作业,评估学生对垂线概念、性质和作图方法的掌握程度。
2. 在下一节课开始时,进行课堂提问,了解学生对垂线知识的遗忘情况。
3. 关注学生在课堂上的参与度和合作意识,鼓励积极发言和动手操作。
七年级上册数学教案《垂线》教学目标1、理解垂线的有关概念、性质以及画法。
2、指导垂线段和点列直线的距离的概念,并会应用解决问题。
教学重点垂线段最短的性质,点到直线的距离的概念及其简单应用。
教学难点对点到直线的距离的概念的理解。
教学过程一、复习导入上节课我们学习了相交线的相关内容,当相交线形成的夹角中,有一个角是90°,我们根据邻补角和对顶角可以得到其他角也是90°,这样的特殊的相交线是我们今天要学习的。
二、探究新知1、垂直在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b,当b的位置变化时,a,b 所成的∠a也会发生变化。
当∠a = 90°时,我们说a与b互相垂直,记作a⊥b。
2、垂线与垂足当两条直线所构成的四个角中有一个是直角,我们就说这两条直线互相垂直。
其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足。
3、符号记法如上图,直线AB与直线CD垂直,记作AB⊥CD,垂足是O。
直线m与直线n垂直,记作:m⊥n;“⊥”是“垂直”的符号,读作“垂直于”4、垂直的两层含义因为AB⊥CD(已知),所以∠AOD = 90°。
因为∠BOD = 90°,所以AB⊥CD。
5、日常生活中,两条直线互相垂直的情形很常见,说出图中的一些互相垂直的木条。
你能再举出其他例子吗?画报的长边和短边互相垂直、墙壁上的横线和竖线互相垂直、三角尺上的两条直角边互相垂直等。
6、探究(1)用三角尺或量角器画已知直线l的垂线,这样的垂线能画出几条?无数条。
(2)经过直线l上一点A画l的垂线,这样的垂线能画出几条?1条。
(3)经过直线外一点B画l的垂线,这样的垂线能画出几条?1条。
经过一点(已知直线上或直线外),能画出已知直线的一条垂线,并且只能画出一条垂线,即在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
三、巩固练习1、画一条线段或射线的垂线,就是画它们所在直线的垂线。
如图,请你过点P 画出射线AB或线段AB的垂线。
初中垂线的教案一、教学目标:知识与技能:1. 理解垂线的定义,掌握垂线的性质和画法。
2. 能够运用垂线的性质解决实际问题。
过程与方法:1. 通过观察、操作、想象、归纳概括等数学活动,进一步发展空间观念,用几何语言准确表达能力。
2. 培养学生准确作图的能力。
情感态度价值观:1. 激发学生学习兴趣,给学生创造成功的机会,体验成功的快乐。
二、教学重难点:教学重点:垂线的概念、性质和作图。
教学难点:垂线的作图。
三、教学过程:1. 情境引入:展示一些生活中常见的垂直关系实例,如建筑物、电线杆等,引导学生观察并思考这些垂直关系的特点。
提出问题:什么是垂直?垂直有什么特点?学生回答后,教师总结垂直的定义,并引入垂线的概念。
2. 自主探究:让学生自主学习教材,了解垂线的性质和画法。
3. 合作交流:学生分组讨论,通过观察、操作、想象、归纳概括等数学活动,进一步理解垂线的性质。
教师引导学生用几何语言准确表达能力,培养学生的空间观念。
4. 练习巩固:出示一些练习题,让学生运用垂线的性质解决问题。
5. 总结拓展:教师引导学生总结本节课所学内容,让学生体会数学与生活的联系。
四、教学反思:本节课通过生活中的垂直关系引入垂线的概念,激发学生的学习兴趣。
在教学过程中,注重让学生通过观察、操作、想象、归纳概括等数学活动,进一步发展空间观念,用几何语言准确表达能力。
同时,培养学生的合作交流意识,提高学生的数学素养。
在练习环节,及时巩固所学知识,提高学生的应用能力。
整节课下来,学生对垂线的概念、性质和作图有了较为深刻的理解,教学目标基本达成。
但在教学过程中,也要注意关注每一个学生,确保每个学生都能跟上教学进度,提高课堂教学效果。
《垂线》精品教案教学目标:1.理解垂线、垂线段等概念,能用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线;2.理解点到直线的距离的意义,能度量点到直线的距离;3.掌握垂线的两个性质.重点:垂线的概念、性质及作图.难点:垂线的两条性质的探究与归纳.教学流程:一、回顾旧知1.什么是邻补角?邻补角与补角有什么区别?2.什么是对顶角?对顶角有什么性质?二、探究1取两根木条a、b,将它们钉在一起,固定木条a,转动木条b.问题1:当a与b所成锐角α为30º时,其余的角分别为多少?答案:30º,150º,150º追问:当a与b所成锐角α为45º时,其余的角分别为多少?答案:45º,135º,135º问题2:当a与b所成角α为90 º时,其余角的分别为多少?答案:均为90º垂直概念:两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,叫做这两条直线互相垂直.两条直线互相垂直,其中的一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足.读作:AB⊥CD,垂足为O或AB⊥CD于点O.符号语言:∵∠A O C=900∴AB⊥CD逆用:∵AB⊥CD∴∠A O C=900想一想:(1)两条直线垂直和相交是什么关系?答案:垂直是特殊的相交(2)在同一平面内,两条直线的位置关系有几种呢?答案:两种,相交和平行练习1:日常生活中,两条直线互相垂直的情形很常见,如下图所示,你能再举出其他例子吗?练习2:如图,直线AB、CD相交于点O,O E⊥AB,∠A O D=125°,求∠C O E的度数.解:∵∠A O D=∠B O C∴∠B O C=∠A O D=125°∵O E⊥AB∴∠B O E=90°,∴∠C O E=∠B O C-∠B O E=125°-90°=35°三、探究2垂线的画法工具:直尺、三角板问题1:如图,已知直线l,作l的垂线.追问:这样画l的垂线可以画几条?答案:无数条问题2:如图,经过直线l上一点A,画l的垂线.作法:画:沿着三角板的另一直角边画出垂线.放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合;移:移动三角板到已知点靠:靠三角板,把三角板的一直角边靠在直尺上则所画直线AC是过点A的直线l的垂线.追问:这样画l的垂线可以画几条?答案:1条如图,经过直线l外一点B,画l的垂线.作法:画:沿着三角板的另一直角边画出垂线.放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合;移:移动三角板到已知点靠:靠三角板,把三角板的一直角边靠在直尺上则所画直线BD是过点B的直线l的垂线.追问:这样画l的垂线可以画几条?答案:1条规纳:垂线性质1:在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.练习3:过点P画出射线AB或线段AB的垂线.答案:四、探究3问题:在灌溉时,要把河中的水引到农田P处,如何挖掘能使渠道最短?P追问1:你能把这个问题转化为数学问题吗?画图试一试.如图P O⊥l,我们称P O为点P到直线l的垂线段.追问2:哪一条线段最短呢?你能用一句话总结出来你观察得出的结论吗?规纳:垂线性质2:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.简单说成:垂线段最短.点到直线的距离:直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫点到直线的距离.应用:(在灌溉时,要把河中的水引到农田P处,如何挖掘能使渠道最短?)如果图中的比例尺为1:1 000 000,水渠大概要挖多长?练习4:如图所示,AC⊥BC,C为垂足,CD⊥AB,D为垂足,BC=8,CD=4.8,BD =6.4,AD=3.6,AC=6,那么(1)点C到AB的距离是______,(2)点A到BC的距离是_____,(3)点B到CD的距离________.答案:4.8,6,6.4五、体验收获今天我们学习了哪些知识?1.什么是垂直?垂直和相交有什么关系?2.垂线有哪些性质?六、达标测评1.如图,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足为D,则下列结论:(1)AB与AC互相垂直;(2)AD与AC互相垂直;(3)点C到AB的垂线段是线段AB;(4)点A到BC的距离是线段AD;(5)线段AB的长度是点B到AC的距离;(6)线段AB是点B到AC的距离.其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案:B2.如图,直线AB、CD相交于点O,O E⊥AB,∠1=75°,求∠E O D的度数.解: ∵AB⊥O E(已知),∴∠E O B=90°(垂直的定义).∵∠B O D=∠1=75°(对顶角相等)∴∠E O D=∠E O B+∠B O D=90°+75°=165°3.△ABC中,∠C=90°,△ABC的三条边AB、BC、CA哪条边最长?为什么?答案:AB边七、布置作业教材8页习题5.1第5、6题.。
5.1.2 垂线教学设计(第一课时)一、设计理念在平面几何的教学中教师应该根据认知规律,设计符合学生认知水平的教学活动,通过学生的感知、思考、归纳和抽象,形成对几何图形的认识。
由于本节课的内容在理解上较为容易,因此在本教案的内容安排上,尝试利用“发现法”教学,引导学生自己观察,分析特征猜想结论,通过和同学们一起讨论探究得出垂线和垂线段的有关性质。
二、教材分析《垂线》是人教版七年级数学第五章《相交线与平行线》中的内容,包括垂直概念、垂线概念、用数学符号表示垂直、垂线的两个性质和点到直线距离等知识。
它是在学生对基本图形点、线、角有了初步认识的基础上学习的一种特殊位置关系,初步向学生参透由一般到特殊的思想。
其学习方式和研究方法,对今后认识图形、形成空间观念起到奠基的作用,特别是对今后要学习的三角形、平行四边形和圆都有举足轻重的作用,在物理的领域也不缺少垂线性质的应用。
也是培养学生观察、动手、分析、归纳能力的重要内容,对学生的探究精神、学习兴趣的培养都具有重要意义。
三、学情分析学生在小学四年级学习过垂线,对垂线图形有了最基本的认识,也了解了垂直的一些简单性质,但对垂线并没有深入的研究,没对垂线给出严格的几何定义,也没对垂线的性质作深入的探讨。
学生在七年级第三章学习了基本的图形点、线、角,这使学生学习垂线有了基础。
但是由于学生的年龄较小,学习几何的时间太短,理论性的证明往往使他们觉得枯燥无味,因此根据教材的特点,创设问题情境,让他们自己去发现事物的特性,尝试数学家发现问题的思维过程,会使学生充满极大的乐趣去参与教学活动,课堂的效果将会很好。
四、重点和难点重点:垂线的定义,用三角尺或量角器过一点画已知直线垂线。
难点:过一点画已知直线的垂线。
五、教学目标知识与技能:知道垂直是相交的特殊情况,理解垂线的概念,会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线。
过程与方法:通过操作、探究等活动,培养学生的动手能力,并通过活动使学生对知识的学习从感性认识上升到理性认识。
课堂实录5.1.2垂线(2)(新授课)【情境导入】师:如图是小凡同学在体育课上跳远后留下的脚印,他的跳远成绩是线段____ ___的长度.生:学生对身边的实例比较感兴趣,反应积极,没有举手就回答师:回答的很好,你能说出道理吗?生:(茫然)学生不知道怎么回答……师:哦,这节课我们就来一起解决这个问题生:渴望获得新知识的欲望〖评析〗通过学生熟悉的体育活动引入,自然而贴切,容易激发学生的学习兴趣.我们在教学过程中要精心设计一些学生熟悉、身边的事例来吸引学生,这样会起事倍功半的效果. 【探索新知】师:教师提出问题:(1)如图,在灌溉时需要把河AB中的水引到C处,如何挖渠能使渠道最短?CA(2)从上述探究过程中你能发现什么结论?师:教师引导学生从上一节课的内容解决,在巡视的过程中根据实际情况进行点拨生:(挠挠脑袋)部分学生开始动手操作师:鼓励学生积极思考,动手操作AB DC〖评析〗教师通过前后知识的联系,激发学生的求知欲,用所学的知识解决实际问题,从而得到新知识,让学生心中有一个完整的知识体系,有利于学生掌握新的知识。
生:部分学生通过自己的努力解决问题,表现出成就感师:(顺势说道)你们真会动脑筋,很好师:适时地给出概念:(1)垂线段:垂线上一点到垂足的线段;(2)点到直线的距离:点到直线垂线段的长度.学生可以自主探究,先在直线AB上任取一些点,连接此点和C,可以发现CD最短,此时CD⊥AB,于是找到挖渠方案.生:学生恍然大悟,哦我懂了师:从上述探究过程中你能发现什么结论?生:(小组讨论)师:进行点拨生:(摇头)不知道师:(追问)你可以动手做一做,量一量生:(想一想)学生归纳:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.即:垂线段最短.直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.〖评析〗让学生思考,体会数学来源于生活.让学生自己动手画图,测量,自己总结得出结论,体会垂线段最短的性质,结合图形指出点到直线的距离,学生通过独立思考以及观察中的情况,自主探索发现在图形中存在的规律,进而进行归纳总结,培养学生自主学习的能力,学生通过自己的劳动获得的知识印象较深.【巩固新知】师:1.下列说法正确的是()(A)线段AB叫做点B到直线AC的距离.(B)线段AB的长度叫做点A到直线AC的距离(C)线段BD的长度叫做点D到直线BC的距离(D)线段BD的长度叫做点B到直线AC的距离生:(脱口而出)师:很好师:2.如图,一辆汽车在直线形公路AB上由A地开往B地,M、N是分别位于公路两侧的村庄.○1设汽车行驶到公路AB上点P位置时,距离村庄M最近;行驶到Q点时,距离村庄N最近,请在图中的公路AB上分别画出点P和点Q的位置;○2当汽车从A出发向B行驶时,在公路AB的哪一段,距离M、N两村庄都越来越近?在哪一段路上距离村庄N越来越近,而离M越来越远?学生练习,教师巡视.生:(晕)部分学生由于题目长,不易理解师:进行点拨(学生练习,教师巡视时)生:通过点拨学生打开思维,积极探索师:由学生的回答,整理归纳得出答案〖评析〗学生在探索的过程中遇到问题,通过合作学习加以解决,本问题的解决,再一次让学生体会:数学与生活的密切联系;本设计的补充例题,让学生充分动脑动手,自主探索,合作交流,改变学生被动接受的学习方式.通过例题加深学生对知识的理解.师:最后,谈谈本节课你有哪些收获?(可以采用师生问答的方式或让学生归纳、补充,然后补充的方式进行,主要围绕下列问题:本节课我们学习了什么知识?你有什么收获?)生:部分学生积极回答,其他学生补充回答……师:同学们谈得好极了,收获真不小.在我们的现实生活中,蕴含着大量的数学问题,有许多的数字问题,图形问题,数与形之间的问题还在等着我们,我们可要主动去寻找问题,并用所学的数学知识去解决一个一个的问题.〖评析〗发挥学生的主体意识,培养学生的归纳能力.通过自己归纳小结能提高学生课堂效率(只有认真听讲才能正确归纳),从而实现高效课堂.【课堂测试】师:好!接下来我们一起做几道题.学生练习.教师批改.教师有重点讲评.1.如图,已知ON⊥A,OM⊥A,所以OM与ON重合的理由是()A .过两点只有一条直线B .在同一平面内,经过一点有且只有一条线段垂直于已知直线C .在同一平面内,过一点只能作一条垂线D .垂线段最短2.如图,P 为直线l 外一点,点A 、B 、C 在直线l 上,且PB ⊥l ,垂足为B ,∠APC =90°,则错误的语句是( )A .线段PB 的长度叫做点P 到直线l 的距离 B .P A 、PB 、PC 三条线段中,PB 最短 C .线段AC 的长等于点P 到直线l 的距离D .线段P A 的长叫做点A 到直线PC 的距离PA B C lA FEC D B第1题 第2题 第3题3.如图所示,图中已标注了三组互相垂直的线段,那么A 到BC 的距离是________;B 到AC 的距离是_______;C 到AD 的距离是________.4.如图,点A 表示小明家,点B 表示小明外婆家,若小明先去外婆家拿鱼具,然后再去河边钓鱼,怎样走路最短,请画出行走路径,并说明理由、5.如图OB ⊥OA ,直线CD 过点O ,且∠DOB =110°,求∠AOC 的度数.A BCDO6.如图,直线AB 与直线CD 相交于O ,OE 平分∠AOD ,∠BOC =∠BOD -30°,求∠COE 的度数?OABC D E〖评析〗当堂反馈的实施不但使学生对所学的新知识得到及时巩固和提升,同时又使得还存在模糊认识的学生得到进一步澄清,这正是高效的价值所在.教师在讲评时抓住学生的易错点和模糊点讲解,这也是高效的教学手段.【课后提升】1.如图,点D 在AC 上,点E 在AB 上,且BD ⊥CE ,垂足是M ,以下说法:①BM 之长是点B 到CE 的距离;②CE 之长是点C 到AB 的距离;③BD 之长是点B 到AC 的距离;④CM 之长是点C 到BD 的距离,其中正确的是_____________(填序号). 2.如图,已知直线AB 、CD 、EF 相交于点O ,OG ⊥AB ,如果∠COE =32°,∠FOG =29°,那么∠AOC =_______________.3.如图,已知直线AB 、CD 相交于点O ,P E ⊥AB 于点E ,PF ⊥CD 于点F ,如果∠AOC =50°,那么∠EPF =__________.A BCD EMA B DCEFGOPE FO CAB D第1题 第2题 第3题4.如图,有两条高速公路L 、m ,点P 为公路L 上的一个出口,•现要经过点P 建一连接两公路的一段通道,欲使通道长最短,应沿怎样的线路施工?〖评析〗在学生充分理解的基础上,引导学生在数学知识和方法的应用中体会数学的价值,增强应用数学的意识,加深对知识的理解。
5.1.2 垂线第一课时教学目标1.了解垂直的概念,能说出垂线的性质;会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线.2.经历观察、操作、想象、归纳、概括、交流等活动,培养用几何语言准确表达的能力.教学重难点教学重点:两条直线互相垂直的概念、性质和画法.教学难点:过一点作已知直线的垂线.教学方法教学过程的设计与展开都以问题为载体,给学生提供探索的空间,引导学生积极探索.在教学过程中引导学生通过动手实践、自主探究、讨论交流、总结归纳的方式来获取知识,形成技能,发展思维,让学生学会学习.教学过程一、复习回顾,引入新课设计说明回顾邻补角、对顶角的概念及性质,为研究两直线垂直所形成的四角之间的特殊关系作准备,而相交线模型的演示,从运动的角度让学生感受两直线相交从“一般”到“特殊”再到“一般”的过程,加深对垂直特殊性的认识.问题1:回忆邻补角、对顶角的定义及性质.问题2:教师出示相交线的模型,演示模型,让学生观察思考(如图):固定木条a,转动木条b,当b的位置变化时,a,b所成的角α是如何变化的?其中会有特殊情况出现吗?当这种情况出现时,a,b所成的四个角有怎样的特殊关系?讨论结果:1.略;2.当b的位置变化时,a,b所成的角α也会发生变化.当α=90°时,a与b互相垂直.如右图,而角α从锐角变为钝角时,α是直角为特殊情况.其特殊之处还在于:当α是直角时,它的邻补角、对顶角都是直角,即a,b所成的四个角都是直角,都相等.学生对两直线相交的这种特殊情形并不陌生,在小学接触过,我们身边也存在大量的这种情形,请同学们再举一些例子.教学说明垂直是两直线相交的特殊情形,两直线垂直所形成的四角之间的关系,需要利用“邻补角和为180°”、“对顶角相等”来得出,因此通过问题1引导学生回忆有关内容是非常必要的;相交线模型的演示与有关问题的引导,使学生对垂直的认识由感性上升到理性,从而加深学生对垂直的理解.二、探索新知(一)归纳总结,得出垂直的有关概念1.引导学生给出垂直定义.问题3:根据前面的活动,你能说出什么样的两条直线互相垂直吗?鼓励学生大胆发表自己的见解,学生可能会说两条直线相交所构成的四个角都是直角时,两条直线互相垂直,这时可以引导学生认识到两线相交所构成的四个角中只要有一个角是直角就可以得出其他三个角也是直角.讨论结果:两条直线相交所构成的角中有一个角是直角时,我们就称这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足.注意引导学生分清“互相垂直”与“垂线”的区别与联系:“互相垂直”是指两条直线的位置关系;“垂线”是指其中一条直线对另一条直线的命名.如果说两条直线“互相垂直”时,那么其中一条必定是另一条的“垂线”;如果一条直线是另一条直线的“垂线”,那么它们必定“互相垂直”.2.垂直的表示法许多几何图形都可以用符号来表示,例如,角用“∠”表示,三角形用“△”表示等等,垂直也有它自己的符号,垂直用符号“⊥”来表示,“直线AB垂直于直线CD,垂足为O”,就可记为AB⊥CD,垂足为O,并在图中任意一个角处作上直角记号.我们可以借助图形将垂直的定义用符号表示出来(引导学生明确垂直定义的条件与结论,然后用符号表示出来).如下图,若直线AB,CD相交于点O,∠BOC=90°,则AB⊥CD,垂足为O,根据定义还可以得到:如下图:若AB⊥CD,垂足为O,则∠AOC=∠BOC=∠BOD=∠AOD=90°.3.初步应用判断以下两条直线是否垂直(1)两条直线相交所成的四个角中有一个是直角.( )(2)两条直线相交所成的四个角相等.( )(3)两条直线相交,有一组邻补角相等.( )(4)两条直线相交,对顶角互补.( )答案:(1)√(2)√(3)√(4)√教学说明两条直线垂直的定义在小学已经学过,因此课本没有再次给出,但是为了让学生更加系统地认识垂直,在教学中可再次明确给出垂直的定义,并且借助图形用符号语言来表示,可以让学生从文字语言、图形语言、符号语言等不同的角度来认识垂直,并且实现了三种语言之间的转化,在此过程中不仅培养了学生用几何语言表达问题的能力,同时还可以发展学生的符号感.类比其他图形的符号表示得出垂直的符号,自然贴切且便于学生理解记忆;初步应用是考查学生对垂直的掌握,通过这一问题让学生把握其实质.(二)画图实践,探究垂线的性质下面的活动,可以先让学生独立尝试,后小组交流,可以让学生到黑板演示用三角板或量角器画垂线的方法.问题1:已知直线l,能画出l的垂线吗?能画几条?讨论结果:与直线l垂直的垂线有无数多条,即存在,但有不确定性.问题2:在直线l上取一点A,过点A画l的垂线,如何画?能画几条?你从中得到什么结论?讨论结果:经过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直.问题3:经过直线l外一点B画直线l的垂线,这样的垂线能画出几条?从中你又得出什么结论?讨论结果:经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直.教师让学生通过画图操作,所得两条结论合并成一条,并板书:垂线的性质:在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.2.初步应用如图,根据下列语句画图:(1)过点P画射线MN的垂线,Q为垂足.(2)过点P画射线BN的垂线,交射线BN的反向延长线于Q点.(3)过点P画线段AB的垂线,交线段AB的延长线于Q点.画法:略.点评:画一条射线或线段的垂线,就是画它们所在直线的垂线.教学说明在本环节的教学中有两个重要的任务,除了让学生掌握垂线的性质外,还应让学生在探究性质的过程中,掌握过一点作已知直线的垂线的方法,它是几何作图中的一种常用的基本作图,需要学生熟练掌握,虽然学生在小学已经接触过垂线的画法,但要在各种情境中熟练作图,对学生来说也是一个难点,尤其是过已知点作线段的垂线,因此在这一环节的教学中给了学生充分的机会来感受、体会、总结、训练垂线的画法,教师也可以在此基础上演示总结,用三角板过一点画已知直线的垂线的方法:一靠,即三角板的一条直角边靠在已知直线也就是与已知直线重合;二过,即三角板的另一条直角边过已知点;三画,即画出垂线,使学生能够顺利突破难点.三、巩固训练,熟练技能(一)判断题1.两条直线互相垂直,则所有的邻补角都相等.( )2.在同一平面内,一条直线不可能与两条相交直线都垂直.( )3.两条直线相交所成的四个角中,如果有三个角相等,那么这两条直线互相垂直.( )(二)解答题4.已知钝角∠AOB,点D在射线OB上,(1)画直线DE⊥OB;(2)画直线DF⊥OA,垂足为F.5.如图,OA⊥OB,OD⊥OC,O为垂足,若∠AOC=35°,求∠BOD的度数.答案:1.√ 2.√ 3.√ 4.(略) 5.145°.教学说明是非判断题的特点是通过一些模糊的说法考查学生对知识的理解是否全面严谨,可以澄清学生对知识的模糊或错误理解,因此在处理时不仅要让学生判断出对错,还要对错的举出反例,对的说明理由;对于第2个判断题,学生可能很容易判断出对错,但不一定能说清理由,注意引导学生分析出其依据是过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直,还可以根据学生情况将这一说法改编,将在“同一平面内”这一条件去掉,结论又会怎样,可以借这一机会让学生认识平面内直线的位置关系与空间内直线位置关系的不同.练习3可以先让学生独立解决,写出过程,然后进行交流,发现不同的作法,以积累学生的知识经验,培养学生的发散思维.四、课堂小结1.本节主要学习了两条直线互相垂直、垂线以及垂足的概念和垂线的一条性质.2.会用三角板过一点画已知直线的垂线.3.要关注三种语言,即文字语言、图形语言、符号语言之间的转化.五、布置作业课本习题5.1 第3,4,5题.六、拓展练习1.填空题(1)如下图,AO⊥BO,O为垂足,直线CD过点O,且∠BOD=2∠AOC,则∠BOD=__________.(2)如下图,直线AB,CD相交于点O,若∠EOD=40°,∠BOC=130°,那么射线OE与直线AB的位置关系是__________.2.解答题如图,已知直线AB与射线OC交于点O,OD平分∠BOC,OE平分∠AOC,试判断OD与OE 的位置关系.答案:1.(1)60°(2)垂直 2.垂直(判断过程略).评价与反思数学教学活动必须建立在学生认知发展水平和已有的知识经验基础之上,因此,在新课的开始首先复习了研究垂直所需要的邻补角、对顶角的有关知识,为下面活动的开展做好了准备,在教的过程中通过多种形式的活动给学生提供充分参与数学活动的机会,激发学生的学习积极性,通过动手操作、合作交流、练习、反馈等各个环节,使学生掌握知识的同时,培养了学生的动手能力、表达能力以及合作的意识.教学设计上,强调自主学习,注重交流合作,让学生与学生的交流合作在探究过程中进行,使他们在自主探索的过程中理解和掌握两直线垂直的有关概念、垂线的性质,并获得数学活动的经验,提高探究、发现和创新的能力.。
课题 5.L2垂线课型授新课教师教学目知识技能经历观察、操作、想像、归纳概括、交流等活动,进一步发展空间观念,用几何语言准确表达能力过程方法了解垂直概念,能说出垂线的性质“经过一点,能画出已知直线的一条垂线,并且只能画出一条垂线”,会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线情感态度了解垂直概念,能说出垂线的性质重点重点两条直线互相垂直的概念、性质和画法难点了解垂直概念,能说出垂线的性质教法学法教法:情景教学法学法:小组合作、归纳总结教学手段教具展示教学模式预习导学——精讲点拨——当堂训练——总结评价环节教师活动学生活动设计意图(-) 预习导学一、创设问题情境1.学生观察教室里的课桌面、黑板面相邻的两条边,方格纸的横线和竖线……,思考这些给大家什么印象?在学生回答之后,教师指出:“垂直"两个字对大家并不陌生,但是垂直的意义,垂线有什么性质,我们不一定都了解,这可是我们要学习的内容.学生观察课本P3图 5. 1-4思考:固定木条a,转动木条,当b的位置变化时,a、b所成的角a是如何变化的?其中会有特殊情况出现吗?当这种情况出现时,a、b所成的四个角有什么特殊关系?师生分清“互相垂直"与“垂线"的区别与联系:“互相垂直''指两条直线的位置关系;“垂线"是指其中一条直线对另一条直线的命名。
如果说两条直线“互相垂直"时,其中一条必定是另一条的“垂线”,如果一条直线是另一条直线的“垂线",则它们必定“互相垂直"。
(二)精讲点拨简单应用(1) 学生观察课本P6图5. 1-6中的一些互相垂直的线条,并再举出生活中其他实例.(2) 判断以下两条直线是否垂直:两条直线相交所成的四个角中有一个是直角;两条直线相交所成的四个角相等;两条直线相交,有一组邻补角相等;两条直线相交,对顶角互补.教师在组织学生交流中,应学生明白:当b的位置变化时,角a从锐角变为钝角,其中Na是直角是特殊情况.其特殊之处还在于:当Na是直角时,它的邻补角,对顶角都是直角,即a、b所成的四个角都是直角,都相等.(三)当堂训练1. 学生用三角尺或量角器画已知直线L的垂线.(1) 已知直线L (教师在黑板上画一条直线L),画出直线L的垂线.待学生上黑板画出L的垂线后,教师追问学生:还能画出L的垂线吗?能画几条?通过师生交流,使学生明确直线L 的垂线有无数多条,即存在,但有不确定性.教师再问:怎样才能确定直线L的垂线位置?在学生道出:在直线L上取一点A,过点A画L的垂线,并且动手画出图形.教师板书学生的结论:经过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直.(2) 经过直线L外一点B画直线L的垂线,这样的垂线能画出几条?从中你又得出什么结论?教师板书学生的结论:经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直.教师让学生通过画图操作所得两条结论合并成一条,并板书:垂线性质1 :过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.2. 变式训练,巩固垂线的概念和画法,如图根据下列语句画图:(1) 过点P画射线MN的垂线,Q为垂足;(2) 过点P画射线BN的垂线,交射线BN反向延长线于Q点;(3) 过点P画线段AB的垂线,交线AB延长线于Q点.学生画完图后,教师归结:画一条射线或线段的垂线,就是画它们所在直线的垂线(四)总结评价本节课的做法是,对教学内容进行了合理、大胆的重组、加深,通过证明推理题、计算推理题对平行线的判定进行了灵活的运用。
课案(教师用)5.1.2 垂线(1)(新授课)【理论支持】匈牙利裔英国科学家迈克尔•波兰尼被誉为“隐性知识”之父。
他认为,隐性知识就是存在于个人头脑中的、存在于某个特定环境下的、难以正规化、难以沟通的知识,是知识创新的关键部分。
根据这种知识分类观,经合组织(OECD)在《以知识为基础的经济——1996年科学技术与产业展望》中把知识型经济中重要的知识分成4类:①知道是什么的知识(Know-what),即关于事实方面的知识;②知道为什么的知识(Know-why),即自然原理和规律方面的知识;③知道怎么做的知识(Know-how),即对某些事物的技能和能力;④知道是谁的的知识(Know-who),即涉及谁知道和谁知道如何做某些事的信息。
①②类知识是归类的、明确的显性知识,可以通过读书、听讲和查看数据库而获得,③④类知识是沉默的、缄默的或默会的隐性知识,主要靠实践获得。
显性知识和隐性知识就像一座冰山的两个部分,前者浮出海面,后者在下面托起整个冰山。
从根本意义上说,只有借助隐性知识的力量,人类所有的显性知识才得以发生和发展,人类的知识创新才有根基。
“垂线”是义务教育课程标准实验教科书《数学》(人教版)七年级下册第五章第一节的主要内容,是平面几何所要研究的基本内容之一.垂线的概念、画法和性质是重要的基础知识,是进一步学习平面直角坐标系、三角形的高、切线的性质和判定、以及空间里的垂直关系等知识的基础,与其他数学知识一样,它在现实生活中有着广泛的应用.垂线的概念和性质,蕴含着“从一般到特殊”的认识规律,是培养学生思维能力的重要内容之一.垂线在生产、生活中有着广泛的应用,垂线的概念、性质是学生今后进一步学习数学的基础,在教材上起着承上启下的作用.学生在小学就有了对垂线的认识,但七年级学生归纳的能力相对薄弱,大多数学生感到数学枯燥,学习兴趣不高.我所教的班一直采用小组合作学习,学生基本养成了良好的预习习惯.这节课利用普通的多媒体教室,灵活运用现代教育技术,通过实例的展示及动画演示,让学生充分感知图形中蕴含的垂线特征,使知识的生成过程更直观更形象.对学生的认知、理解以及教学重难点突破起到了关键作用.【教学目标】【教学重难点】1.重点:使学生掌握垂线,理解垂线的性质.2.难点:用垂线定义判断两条直线是否垂直及垂线的画法. 【课时安排】垂线共两课时,本课时为第1课时 【教学设计】课前延伸一、基础知识填空1.下列说法中,不正确的是( )A .经过一点能画一条直线和已知线段垂直B .一条直线可以有无数条垂线C .过射线的端点与该射线垂直的直线只有一条D .过直线外一点并过直线上一点可画一条直线与该直线垂直 2.下列说法正确的有( )①两条直线相交,交点叫垂足;②在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;③在同一平面内,一条直线有且只有一条垂线;④在同一平面内,一条线段有无数条垂线;⑤过一点不可能向一条射线或线段所在的直线作垂线;⑥若1l ⊥2l ,则1l 是2l 的垂线,2l 不是垂线.A .2个B .3个C .4个D .5个3.过一条线段外一点,画这条线段的垂线,垂足在( )A . 这条线段上B .这条线段的端点C . 这条线段的延长线上D .以上都有可能4.如图,直线AB 与直线CD 的位置关系是__________,记作__________,此时,∠AOD =∠________=∠________=∠________=90°.5.如图,直线AB 、CD 相交于点O ,OE 为射线,若∠1=35°,∠2=55°,则OE 与AB _____(填“垂直”或“不垂直”).ABCDOADOBCE1 2第4题 第5题 〖参考答案〗1.D 2.B 3.D 4.垂直 AB ⊥CD BOD BOC AOC5.垂直〖设计说明〗心理学认为:认知从感知开始,感知是认知的门户,是一切知识的来源.让学生进行简单的模仿,可以通过预习题培养学生预习的习惯,养成良好的学习习惯.课内探究一、导入新课:活动1教师演示“垂直”.学生在观察中,感受两条相交直线所成的角的大小变化. 观察两条直线相交形成4个角,若固定木条A ,旋转木条B ,当B 的位置发生变化时,A 、B 所成的角也会随之变化,其中有一个特殊的位置: =90°在本次活动中,教师应重点关注:(1)学生从简单的具体实物抽象出垂线的能力;(2)学生认识到垂直是两条相交直线的特殊位置;(3)学生学习数学的兴趣.学生归纳:若两条直线相交成90°角,则称这两条直线互相垂直,当两条直线互相垂直时,其中一条直线就是另一条直线的垂线.〖设计说明〗让学生借助已有的几何知识从现实生活中发现数学问题,能由实物的形状想象出垂线的几何图形,使新知识建立在对周围环境的直接感知的基础上,让学生增强对生活中的垂线的认识.建立直观的,形象化的数学模型. 二、探究新知: 活动2 问题:如图(1)现有一条已知直线AB ,分别过直线外一点C 和直线上一点D ,作AB 的垂线,你能有几种方法?CADB(2)通过上述方法画出的垂线有几条?从中你能发现什么结论?学生独立思考,动手操作,自主探索.经过思考、操作,发现对于问题(1)可以有下列几种方法来画垂线:①用度量法,用量角器; ②用三角板,如图:教师在学生动手操作后演示课件“用三角板作垂线”,让学生进一步感受画垂线的过程. 学生通过思考得到:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.〖设计说明〗通过学生独立思考,动手操作,经历探索过程,发现结论,提高学生探索问题的能力. 让学生概括结论,可以培养学生的概括能力. 活动3 教师提出问题,怎样画一条线段或一条射线的垂线?CBACBACBA学生思考、分组讨论,交流,让学生经过观察发现,画已知线段、射线的垂线其实就是经过已知点作已知线段、射线所在的直线的垂线,只要理解这一点,画垂线的问题迎刃而解.〖设计说明〗主要培养学生的作图能力以及思考问题的严谨性.教师放手让学生实践,讨论解决问题,培养学生的动手能力和合作意识.三、初步应用:活动41.已知如图,直线AB、CD相交于点O,OE⊥AB,且∠DOE=3∠COE,求∠AOD的度数.OEDCBA2.如图,OA⊥OB,OC⊥OD,OE是OD的反向延长线.(1)试说明:∠AOC=∠BOD;(2)若∠BOD=32°,求∠AOE的度数.教师活动:在学生思考或表述过程中,及时提醒学生用规范的语言进行表述,以此训练学生的逻辑推理能力,同时考察学生的几何直观.在本次活动中,教师应关注:(1)学生画出两条相交线的几何图形,用语言准确描述;(2)学生参与数学学习活动的主动性,敢于发表个人观点.〖参考答案〗1.135° 2.(1)∵OA⊥OB,OC⊥OD∴∠AOC+∠BOC=90°∠BOD+∠BOC=90°.∴∠AOC=∠BOD(同角的余角相等).(2)解:∵OA⊥OB,∴∠AOB=90°∴∠AOE=180°-∠AOB-∠BOD=180°-90°-32°=58°〖设计说明〗传统教学中,教师往往通过大量的讲解,把学生变成教师“灌输”的“容器”,学生只能接受,输入并储存知识.本设计的补充例题,让学生充分动脑动手,自主探索,合作交流,改变学生被动接受的学习方式. 四、课堂反馈训练:1.如图,OB ⊥CD ,∠AOC ∶∠BOC =2∶5,则∠AOB 等于( )A .36°B .126°C .108°D .162°CDAB O ABDCOABCDO第1题 第2题 第3题 2.如图,AO ⊥BO ,CO ⊥DO ,∠AOC ∶∠BOC =1∶5,则∠BOD = ( )A .105°B .112.5°C .135°D .157.5°3.∠A 的两边分别垂直于∠B 的两边,∠A 比∠B 大60°,则∠A 是( )A .120°B .35°C .40°D .38°4.如图,AO ⊥BC ,垂足为O ,且∠COD -∠DOA =34°28′,则∠BOD =________.ADO B CAEF BCD OADOCBPSTRQ第4题 第5题 第6题 第7题5.如图,直线AB 、EF 相交于点O ,OC ⊥AB ,∠DOE =2∠AOE ,∠BOF =33°,则∠AOD =________,∠DOC =_________,∠COE =__________,∠DOF =__________.6.如图,直线AB 、CD 相交于点O ,AD ⊥CD 于点D ,CB ⊥AB 于点B ,若∠A =35°,则∠C等于_________°.7.如图,∠PQR =138°,SQ ⊥QR ,QT ⊥PQ ,则∠SQT 等于____________. 8.如图,直线BC 与MN 相交于点O ,AO ⊥BC ,OE 平分∠BON ,若∠EON =21°,求∠AOM 的度数.9.如图,AB、CD、EF相交于O点,EF⊥AB,OG为∠COF的平分线,OH为∠DOG的平分线,若∠AOC∶∠COG=4∶7,求∠DOF、∠DOH的大小.EF H BACGD〖参考答案〗1.B 2.D 3.A 4.117°46′ 5.33°,57°,123°,114°6.35° 7.42°8.∵OE平分∠BON,∠EON=21°,∴∠BON=2∠EON=42°∵BC与MN相交于点O,∴∠COM =∠BON=42° ∵AO⊥BC,∴∠AOC=90°∴∠AOM=90°-∠COM=48°.9.解:设∠AOC=4x°,∠COG=7x°,∵OG为∠COF的平分线,∴∠COF=2∠COG=14x°,∴∠AOF=18x°,∵EF⊥AB,∴∠AOF=∠BOF=90°,∴18x=90,解得:x=5,∴∠AOC =20°,∠COG=35°∵AB、CD、EF相交于O点,∴∠BOD=∠AOC=20°,∠COD=180°.∴∠DOF=110°,∠DOG=180°-∠COG=160°,∵OH为∠DOG的平分线,∴∠DOH=12∠DOG=80°.〖设计说明〗为学生提供个性化发展的空间,及时了解学生的学习效果,使学生养成独立思考、反思学习过程的习惯.五、小结提高:可以采用师生问答的方式或让学生归纳、补充,然后补充的方式进行,主要围绕下列问题:(1)本节课我们学习了什么知识?(2)你有什么收获?〖设计说明〗通过学生自己归纳小结发挥学生的主体意识,培养学生的归纳能力.这样的小结对学生理解掌握所学知识起到事倍功半的效果.六、布置作业:1.必做题:教科书第8页习题5.1第3、4、5、6题 2.选做题:(1)如图,∠A =∠ABC =∠ACB =60°,延长AC •交直线MN•于E ,•作ED ⊥BC ,垂足为D ,请你找出图中5对互余的角和5对互补的角.(2)已知如图所示,直线AB ,CD ,EF 交于点O ,OG 平分∠BOF ,且CD ⊥EF ,∠AOE =70°,求∠DOG 的度数.GOFE D CBA〖参考答案〗(1)互余的角:∠DCE 与∠DEC ,∠ACB 与∠DEC ,∠A 与∠DEC ,∠ABC 与∠DBE , ∠DBE 与∠DEB 等;互补的角:∠DCE 与∠BCE ,∠ACB 与∠BCE ,∠ACB 与∠ACD ,∠A 与∠BCE ,∠AEB 与∠AEN 等.(2)∠DOG =55° 3.【预习题】1.点到直线的距离是指( )A .直线外一点到这条直线的垂线的长度B .直线外一点到这条直线上任意一点的距离C .直线外一点到这条直线的垂线段D .直线外一点到这条直线的垂线段的长度2.和一个已知点P 的距离等于3Cm 的直线可以画( )A .1条B .2条C .3条D .无数条3.P 为直线l 外一点,A 、B 、C 为直线l 上三点,PA =5Cm ,PB =3Cm ,PC =4Cm ,则点P 到直线l 的距离为( ) A .4㎝B .3㎝C .小于3㎝D .不大于3㎝4.如图,若把水渠中的水引到水池C ,挖一条沟CD 垂直于渠岸AB ,垂足为D ,这时沟CD最短,这时根据_________________________.ABCD5.如图,已知直线AD 、BE 、CF 相交于O ,OG ⊥AD ,且∠BOC =35°,∠FOG =30°.则∠DOE=________.〖参考答案〗 1.D2.D 3.D4.垂线段最短 5.25°〖设计说明〗学生可以根据自己的不同水平选择不同的作业,通过预习题培养学生预习的习惯,养成良好的学习习惯.课后提升一、课后练习题及答案:1.如图,直线PQ ⊥MN ,垂足为O ,AB 是过点O 的直线,∠1=50°,则∠2的度数为( )A .50°B .40°C .60°D .70°C30°35° A BDE FG2.如图所示AB,CD相交于点O,EO⊥AB于O,FO⊥CD于O,∠EOD与∠FOB的大小关系是()A.∠EOD比∠FOB大 B.∠EOD比∠FOB小C.∠EOD与∠FOB相等 D.∠EOD与∠FOB大小关系不确定3.如图3,当∠1与∠2满足条件________时,OA⊥OB.4.在下列各图中,分别过点P作AB的垂线.A BP ABP PA BP(1)(2)(3)(4)5.在下面的证明过程中填上理论依据:如图,已知CD⊥OA于点D,CE⊥OB于点E,CE与OA相交于点F,若∠C=20°,求∠O 的大小.ABEFCDO 解:∵CD⊥OA,CE⊥OB()∴∠CDF=∠OEF=90°()∴∠O+∠OFE=90°,∠C+∠CFD=90°∵∠OFE=∠CFD()∴∠O=∠C=20°()6.如图,直线AB,CD相交于点O,OE平分∠BOD,OF平分∠COE,∠AOD∶∠BOE=4∶1,求∠EOF的度数.〖参考答案〗1.B 2.C 3.∠1+∠2=90°4.APABP PB A BP(1)(2)(3)(4)5.已知,垂直的定义,对顶角相等,等角的余角相等6.设∠AOD=4x°,∠BOE=x°∵OE平分∠BOD∴∠BOD=2∠BOE=2x°,∵∠BOD+∠AOD =180°,∴4x+2x=180,解得x=30°,∴∠BOE=∠DOE=30°,∵∠DOE+∠COE=180°,∴∠COE=150°∵OF平分∠COE∴∠EOF=12∠COE=75°〖设计说明〗在学生充分理解的基础上,通过适当的提高加深了学生对垂线的知识理解及运用所学知识解决实际问题的能力,为后面的学习做好铺垫.。
课案(教师用)5.1.2 垂线(2)(新授课)【理论支持】美国教育心理学家霍华德•加德纳提出的多元智能理论认为,个体身上独立存在着与特定的认知领域知识范畴相对较小的多种智能,如语言智能、逻辑数学智能、空间智能、肢体运动智能、音乐智能、内省智能、自然探索智能、其他类型智能,等等.多元智能理论强调,人类智能是多元而非单一的,每个人都有独特的智能结构和智能优势,每个人的学习方式都是独特的,所以一个人不可能学会所有的东西.多元智能理论有助于转变我们的教学观,做到因材施教,有助于形成正确的评价观,注重对不同人的不同智能的培养;有助于转变我们的学生观,多方面了解学生特长,并相应地采取适合其特点的教学方法,使学生的特长达到充分的发展;有助于形成正确的发展观,让学生在接受学校教育的同时,发现自己至少有一个方面的长处,热切追求其自身内在的兴趣.垂线段的概念和垂线段最短的性质,是定义“点到直线距离”这个概念的依据.由于从直线外一点到这条直线的垂线是唯一的,又由垂线段最短,它的长度也是唯一的,因此保证了点到直线距离的唯一性.教学时要特别注意区别“垂线段”和“垂线段的长度”.前者是一个图形,而后者则是一个数量.要强调点到直线距离是一个数量,是指该点到直线的垂线段的长度,而不是垂线段.要注意纠正学生“作出点到直线的距离”这类错误.建立了点到直线的距离这个概念之后,我们可对学生指出:在几何中借助于两点间的距离,我们可以用数值(线段的长度〕精确地刻划两个点相互位置关系;借助于角,我们可以用数值(角的大小)精确地刻划两条相交直线的相互位置关系;借助于点到直线的距离,我们可以借助于数值精确地刻划一个点和一条直线相互位置关系.总之,通过本节课的研究,旨在让学生体会到数学与实际生活的密切联系,经历知识的形成过程,培养学生的应用意识.教师应激发学生的学习积极性,向学生提供充分从事数学活动的机会,帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法,获得广泛的数学活动经验,体验到数、符号和图形是有效地描述现实世界的重要手段与解决实际问题的重要工具.【教学目标】 【教学重难点】1. 重点:“垂线段最短”的性质,点到直线的距离的概念及其简单应用.2. 难点:理解点到直线的距离的概念. 【课时安排】一课时 【教学设计】课前延伸一、基础知识填空1.点到直线的距离是指( )A .直线外一点到这条直线的垂线的长度B .直线外一点到这条直线上任意一点的距离C .直线外一点到这条直线的垂线段D .直线外一点到这条直线的垂线段的长度2.和一个已知点P 的距离等于3㎝的直线可以画( )A .1条B .2条C .3条D .无数条3.P 为直线l 外一点,A 、B 、C 为直线l 上三点,PA =5㎝,PB =3㎝,PC =4㎝,则点P到直线l 的距离为( ) A .4㎝ B .3㎝ C .小于3㎝ D .不大于3㎝4.如图,若把水渠中的水引到水池C ,挖一条沟CD 垂直于渠岸AB ,垂足为D ,这时沟CD最短,这时根据_________________________.AB C D5.如图,已知直线AD 、BE 、CF 相交于O ,OG ⊥AD ,且∠BOC =35°,∠FOG =30°.则∠DOE =________.C30°35° A BDEFGABD 〖参考答案〗1.D 2.D 3.D 4.垂线段最短 5.25°〖设计说明〗心理学认为:认知从感知开始,感知是认知的门户,是一切知识的来源.让学生进行简单的模仿,从感性上初步认识垂线段最短的性质,点到直线的距离.课内探究一、导入新课:活动1如图是小凡同学在体育课上跳远后留下的脚印,他的跳远成绩是线段____ ___的长度.〖设计说明〗举出这样的实际例子,通过学生熟悉的体育活动引入,自然而贴切,容易激发学生的学习兴趣. 二、探究新知:活动2教师提出问题:(1)如图,在灌溉时需要把河AB 中的水引到C 处,如何挖渠能使渠道最短?CA(2)从上述探究过程中你能发现什么结论? 教师活动:适时地给出概念:(1)垂线段:垂线上一点到垂足的线段;(2)点到直线的距离:点到直线垂线段的长度.学生可以自主探究,先在直线AB 上任取一些点,连接此点和C ,可以发现CD 最短,此时CD ⊥AB ,于是找到挖渠方案.CBAD学生归纳:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.即:垂线段最短. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.〖设计说明〗举出这样的实际例子,让学生思考,体会数学来源于实际.让学生自己动手画图,测量,自己总结得出结论,体会垂线段最短的性质,结合图形指出点到直线的距离,学生通过独立思考以及观察中的情况,自主探索发现在图形中存在的规律,进而进行归纳总结,培养学生自主学习的能力. 三、初步应用: 活动31.下列说法正确的是( ) (A )线段AB 叫做点B 到直线AC 的距离.C (B )线段AB 的长度叫做点A 到直线AC 的距离(C )线段BD 的长度叫做点D 到直线BC 的距离(D )线段BD 的长度叫做点B 到直线AC 的距离2.如图,一辆汽车在直线形公路AB 上由A 地开往B 地,M 、N 是分别位于公路两侧的村庄.○1设汽车行驶到公路AB 上点P 位置时,距离村庄M 最近;行驶到Q 点时,距离村庄N 最近,请在图中的公路AB 上分别画出点P 和点Q 的位置;○2当汽车从A 出发向B 行驶时,在公路AB 的哪一段,距离M 、N 两村庄都越来越近?在哪一段路上距离村庄N 越来越近,而离M 越来越远?〖参考答案〗1.D 2.对于问题○1,当汽车距离M 最近时,相当于过M 画直线AB 的垂线,垂足就是P 点,同理,过N 点画直线AB 的垂线,垂足就是Q 的位置;对于问题○2,可以通过图形观察发现,当处于AP 路段时距离两村都越来越近,在处于PQ 路段时距离M 越来越远、距离N 越来越近.〖设计说明〗学生在探索的过程中会遇到困难出现问题,通过合作学习加以解决,本问题的解决,再一次让学生体会:数学与生活的密切联系;学生的作图能力的训练;垂线段最短的知识;两点之间距离的定义;解决实际问题的能力.本设计的补充例题,让学生充分动脑动手,自主探索,合作交流,改变学生被动接受的学习方式. 四、课堂反馈训练:1.如图,已知ON ⊥A ,OM ⊥A ,所以OM 与ON 重合的理由是( )A .过两点只有一条直线B .在同一平面内,经过一点有且只有一条线段垂直于已知直线C .在同一平面内,过一点只能作一条垂线D .垂线段最短2.如图,P 为直线l 外一点,点A 、B 、C 在直线l 上,且PB ⊥l ,垂足为B ,∠APC =90°,则错误的语句是( )A .线段PB 的长度叫做点P 到直线l 的距离 B .PA 、PB 、PC 三条线段中,PB 最短 C .线段AC 的长等于点P 到直线l 的距离D .线段PA 的长叫做点A 到直线PC 的距离P A B C l A F EC DB第1题 第2题 第3题3.如图所示,图中已标注了三组互相垂直的线段,那么A到BC的距离是________;B到AC 的距离是_______;C到AD的距离是________.4.如图,点A表示小明家,点B表示小明外婆家,若小明先去外婆家拿鱼具,然后再去河边钓鱼,怎样走路最短,请画出行走路径,并说明理由、5.如图OB⊥OA,直线CD过点O,且∠DOB=110°,求∠AOC的度数.ABCD O6.如图,直线AB与直线CD相交于O,OE平分∠AOD,∠BOC=∠BOD-30°,求∠COE的度数?OABCDE〖参考答案〗1.B 2.C 3. 线段AD的长,线段BF的长,线段CD的长4. 如图,连AB,再作BM⊥河边于点M.折线A-B-M即为所求. 5.20°6.142.5°〖设计说明〗为学生提供个性化发展的空间,及时了解学生的学习效果,使学生养成独立思考、反思学习过程的习惯.五、小结提高:可以采用师生问答的方式或让学生归纳、补充,然后补充的方式进行,主要围绕下列问题:(1)本节课我们学习了什么知识?(2)你有什么收获?〖设计说明〗发挥学生的主体意识,培养学生的归纳能力.通过自己归纳小结能提高学生课堂效率(只有认真听讲才能正确归纳),从而实现高效课堂.六、布置作业:1.必做题:教科书第9页习题5.1第8、9、10、11、12题2.选做题:1.如图,直线AB,CD相交于点O,OE平分∠BOD,OF平分∠COE,∠AOD∶∠BOE=4∶1,求∠EOF的度数.2.随意画一个锐角∠MON和一个钝角∠M′O′N′,画出∠MON的角平分线OP和∠M′O′N′的角平分线O′P′,如图所示.(1)在OP上任取一点A,画AB⊥OM,AC⊥ON,垂足分别为B,C两点.(2)在O′P′上任取一点A′,画A′B′⊥O′M′,A′C′⊥O′N′,垂足分别是B′,C′两点.(3)通过度量线段AB,AC,A′B′,A′C′的长度,发现AB_____AC,A′B′_____A′C′.(填“=”或“≠”)(4)通过上面的画图和度量,和同学们交流一下,有什么猜想,请用一句话表述出来.〖参考答案〗1.设∠AOD=4x°,∠BOE=x°∵OE平分∠BOD∴∠BOD=2∠BOE=2x°,∵∠BOD+∠AOD=180°,∴4x+2x=180,解得x=30°,∴∠BOE=∠DOE=30°,∵∠DOE+∠COE=180°,∴∠COE=150°∵OF平分∠COE∴∠EOF=12∠COE=75°2.(1)(2)画图略(3)==(4)角平分线上的点到角两边的距离相等.3.预习题;1.两条直线被第三条直线所截得的8个角中共有()A.4对同位角,2对内错角,2对同旁内角B.2对同位角,4对内错角,2对同旁内角C.2对同位角,2对内错角,4对同旁内角D.2对同位角,2对内错角,2对同旁内角2.在图中,∠1与∠2不是同旁内角的是()21121212A B C D3.下列4个图形中,∠1与∠2是同旁内角的是( )12121212A B C D 4.如图,下列四个图形中的∠1和∠2不是同位角的是( )12121212A B C D5.如图,直线AB 、CD 、EF 相交,构成八个角,找出图中所有的同位角:_____________;所有的内错角:________________;所有的同旁内角:__________________.ABC DEFG H 13 2456 8 9〖参考答案〗1.A 2.D 3.A 4.C 5.∠1与∠5、∠2与∠6、∠3与∠7、∠4与∠8 ;∠3与∠6、∠4与∠5 ;∠3与∠5、∠4与∠6 〖设计说明〗学生可以根据自己的不同水平选择不同的作业,通过预习题培养学生预习的习惯,养成良好的学习习惯.课后提升一、课后练习题及答案:1.如图,点D 在AC 上,点E 在AB 上,且BD ⊥CE ,垂足是M ,以下说法:①BM 之长是点B到CE 的距离;②CE 之长是点C 到AB 的距离;③BD 之长是点B 到AC 的距离;④CM 之长是点C 到BD 的距离,其中正确的是_____________(填序号).2.如图,已知直线AB 、CD 、EF 相交于点O ,OG ⊥AB ,如果∠COE =32°,∠FOG =29°,那么∠AOC =_______________.3.如图,已知直线AB 、CD 相交于点O ,P E ⊥AB 于点E ,PF ⊥CD 于点F ,如果∠AOC =50°,那么∠EPF =__________.AB CDEMA BDCEFGOPE FOCABD 第1题第2题第3题4.如图,有两条高速公路L、m,点P为公路L上的一个出口,•现要经过点P建一连接两公路的一段通道,欲使通道长最短,应沿怎样的线路施工?〖参考答案〗1①④.2.29°3.50° 4.解:过点P作PQ⊥m,垂足为Q(如答图).应沿线路PQ施工.〖设计说明〗在学生充分理解的基础上,引导学生在数学知识和方法的应用中体会数学的价值,增强应用数学的意识,加深对知识的理解.。
5.1.2 垂线1.理解垂线、垂线段的概念,会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线;(重点) 2.掌握点到直线的距离的概念,并会度量点到直线的距离;3.掌握垂线的性质,并会利用所学知识进行简单的推理.(难点)一、情境导入大家都看到过跳水比赛,下面几幅图片中是几种不同的入水方式,你知道哪个图片中运动员获得的分数最高吗?在获得分数最高的图片中你知道运动员的身体和水面之间的关系吗?这节课我们将要学习有关这种关系的知识.二、合作探究探究点一:垂线的概念【类型一】利用垂直的定义求角的度数如图,已知点O在直线AB上,CO⊥DO于点O,若∠1=150°,则∠3的度数为()A.30°B.40°C.50°D.60°解析:先根据邻补角关系求出∠2=180°-150°=30°,再由CO⊥DO得出∠COD =90°,最后由互余关系求出∠3=90°-∠2=90°-30°=60°.故选D.方法总结:两条直线垂直时,其夹角为90°;由一个角是90°也能得到这个角的两条边是互相垂直的.变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题【类型二】垂直与对顶角、邻补角结合求角的度数如图,∠1=30°,AB⊥CD,垂足为O,EF经过点O.求∠2、∠3的度数.解析:首先根据垂直的概念得到∠BOD=90°,然后根据∠1与∠3是对顶角,∠2与∠3互为余角,从而求出角的度数.解:由题意得∠3=∠1=30°(对顶角相等).∵AB⊥CD(已知),∴∠BOD=90°,(垂直的定义),∴∠3+∠2=90°,即30°+∠2=90°,∴∠2=60°.方法总结:解决本题的关键是根据垂直的概念,得到度数为90°的角,然后根据对顶角、邻补角的性质解决.变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题探究点二:垂线的画法(1)如图①,过点P画AB的垂线;(2)如图②,过点P分别画OA、OB的垂线;(3)如图③,过点A画BC的垂线.解析:分别根据垂线的定义作出相应的垂线即可.解:如图所示.方法总结:垂线的画法需要三步完成:一落:让三角板的一条直角边落在已知直线上,使其与已知直线重合;二移:沿直线移动三角板,使其另一直角边经过所给的点;三画:沿此直角边画直线,则这条直线就是已知直线的垂线.变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题探究点三:垂线的性质(垂线段最短)如图,是一条河,C是河边AB外一点.现欲用水管从河边AB将水引到C处,请在图上画出应该如何铺设水管能让路线最短,并说明理由.解析:根据垂线的性质可解,即过C作CE⊥AB,根据“垂线段最短”可得CE最短.解:如图所示,沿CE铺设水管能让路线最短,因为垂线段最短.方法总结:在利用垂线的性质解决生活中最近、最短距离的问题时,要依据“两点之间,线段最短”和“垂线段最短”来解决.变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题探究点四:点到直线的距离如图,在△ABC中,过点C作CD⊥AB,垂足为D,则点C到直线AB的距离是()A.线段CA的长B.线段CDC.线段AD的长D.线段CD的长解析:根据点到直线的距离的定义:直线外一点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离,可得点C到直线AB的距离是线段CD的长.故选D.方法总结:点到直线的距离是直线外一点到直线的垂线段的长度,而不是垂线段.变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题三、板书设计垂线⎩⎪⎨⎪⎧垂线的定义⎭⎪⎬⎪⎫垂线的作法⎩⎪⎨⎪⎧一落二移三画垂线的性质:垂线段最短求最短距离本节课主要研究两条直线相交时的特殊情况——垂直,可类比前面两条直线相交时的一般情况学习新知识.经历合作探究过程获得新知,并能用所学的新知识来解决实际问题.这样教学更能激发学生学习数学的兴趣,使每个学生在数学的学习上都能得到不同的发展。
课案(教师用)5.1.2 垂线(2)(新授课)仇湖初中袁昌进【理论支持】美国教育心理学家霍华德•加德纳提出的多元智能理论认为,个体身上独立存在着与特定的认知领域知识范畴相对较小的多种智能,如语言智能、逻辑数学智能、空间智能、肢体运动智能、音乐智能、内省智能、自然探索智能、其他类型智能,等等.多元智能理论强调,人类智能是多元而非单一的,每个人都有独特的智能结构和智能优势,每个人的学习方式都是独特的,所以一个人不可能学会所有的东西.多元智能理论有助于转变我们的教学观,做到因材施教,有助于形成正确的评价观,注重对不同人的不同智能的培养;有助于转变我们的学生观,多方面了解学生特长,并相应地采取适合其特点的教学方法,使学生的特长达到充分的发展;有助于形成正确的发展观,让学生在接受学校教育的同时,发现自己至少有一个方面的长处,热切追求其自身内在的兴趣.垂线段的概念和垂线段最短的性质,是定义“点到直线距离”这个概念的依据.由于从直线外一点到这条直线的垂线是唯一的,又由垂线段最短,它的长度也是唯一的,因此保证了点到直线距离的唯一性.教学时要特别注意区别“垂线段”和“垂线段的长度”.前者是一个图形,而后者则是一个数量.要强调点到直线距离是一个数量,是指该点到直线的垂线段的长度,而不是垂线段.要注意纠正学生“作出点到直线的距离”这类错误.建立了点到直线的距离这个概念之后,我们可对学生指出:在几何中借助于两点间的距离,我们可以用数值(线段的长度〕精确地刻划两个点相互位置关系;借助于角,我们可以用数值(角的大小)精确地刻划两条相交直线的相互位置关系;借助于点到直线的距离,我们可以借助于数值精确地刻划一个点和一条直线相互位置关系.总之,通过本节课的研究,旨在让学生体会到数学与实际生活的密切联系,经历知识的形成过程,培养学生的应用意识.教师应激发学生的学习积极性,向学生提供充分从事数学活动的机会,帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法,获得广泛的数学活动经验,体验到数、符号和图形是有效地描述现实世界的重要手段与解决实际问题的重要工具.【教学目标】 【教学重难点】1. 重点:“垂线段最短”的性质,点到直线的距离的概念及其简单应用.2. 难点:理解点到直线的距离的概念. 【课时安排】一课时 【教学设计】课前延伸一、基础知识填空1.点到直线的距离是指( )A .直线外一点到这条直线的垂线的长度B .直线外一点到这条直线上任意一点的距离C .直线外一点到这条直线的垂线段D .直线外一点到这条直线的垂线段的长度2.和一个已知点P 的距离等于3㎝的直线可以画( )A .1条B .2条C .3条D .无数条3.P 为直线l 外一点,A 、B 、C 为直线l 上三点,P A =5㎝,PB =3㎝,PC =4㎝,则点P到直线l 的距离为( ) A .4㎝ B .3㎝ C .小于3㎝ D .不大于3㎝4.如图,若把水渠中的水引到水池C ,挖一条沟CD 垂直于渠岸AB ,垂足为D ,这时沟CD 最短,这时根据_________________________.AB C D5.如图,已知直线AD 、BE 、CF 相交于O ,OG ⊥AD ,且∠BOC =35°,∠FOG =30°.则∠DOE =________.C30°35° A B DE FGAD 〖参考答案〗1.D 2.D 3.D 4.垂线段最短 5.25°〖设计说明〗心理学认为:认知从感知开始,感知是认知的门户,是一切知识的来源.让学生进行简单的模仿,从感性上初步认识垂线段最短的性质,点到直线的距离.课内探究一、导入新课:活动1如图是小凡同学在体育课上跳远后留下的脚印,他的跳远成绩是线段____ ___的长度.〖设计说明〗举出这样的实际例子,通过学生熟悉的体育活动引入,自然而贴切,容易激发学生的学习兴趣. 二、探究新知:活动2教师提出问题:(1)如图,在灌溉时需要把河AB 中的水引到C 处,如何挖渠能使渠道最短?CBA(2)从上述探究过程中你能发现什么结论? 教师活动:适时地给出概念:(1)垂线段:垂线上一点到垂足的线段;(2)点到直线的距离:点到直线垂线段的长度.学生可以自主探究,先在直线AB 上任取一些点,连接此点和C ,可以发现CD 最短,此时CD ⊥AB ,于是找到挖渠方案.BAD学生归纳:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.即:垂线段最短. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.〖设计说明〗举出这样的实际例子,让学生思考,体会数学来源于实际.让学生自己动手画图,测量,自己总结得出结论,体会垂线段最短的性质,结合图形指出点到直线的距离,学生通过独立思考以及观察中的情况,自主探索发现在图形中存在的规律,进而进行归纳总结,培养学生自主学习的能力. 三、初步应用: 活动31.下列说法正确的是( ) (A )线段AB 叫做点B 到直线AC 的距离.C (B )线段AB 的长度叫做点A 到直线AC 的距离(C )线段BD 的长度叫做点D 到直线BC 的距离(D )线段BD 的长度叫做点B 到直线AC 的距离2.如图,一辆汽车在直线形公路AB 上由A 地开往B 地,M 、N 是分别位于公路两侧的村庄.○1设汽车行驶到公路AB 上点P 位置时,距离村庄M 最近;行驶到Q 点时,距离村庄N 最近,请在图中的公路AB 上分别画出点P 和点Q 的位置;○2当汽车从A 出发向B 行驶时,在公路AB 的哪一段,距离M 、N 两村庄都越来越近?在哪一段路上距离村庄N 越来越近,而离M 越来越远?〖参考答案〗1.D 2.对于问题○1,当汽车距离M 最近时,相当于过M 画直线AB 的垂线,垂足就是P 点,同理,过N 点画直线AB 的垂线,垂足就是Q 的位置;对于问题○2,可以通过图形观察发现,当处于AP 路段时距离两村都越来越近,在处于PQ 路段时距离M 越来越远、距离N 越来越近.〖设计说明〗学生在探索的过程中会遇到困难出现问题,通过合作学习加以解决,本问题的解决,再一次让学生体会:数学与生活的密切联系;学生的作图能力的训练;垂线段最短的知识;两点之间距离的定义;解决实际问题的能力.本设计的补充例题,让学生充分动脑动手,自主探索,合作交流,改变学生被动接受的学习方式. 四、课堂反馈训练:1.如图,已知ON ⊥A ,OM ⊥A ,所以OM 与ON 重合的理由是( )A .过两点只有一条直线B .在同一平面内,经过一点有且只有一条线段垂直于已知直线C .在同一平面内,过一点只能作一条垂线D .垂线段最短2.如图,P 为直线l 外一点,点A 、B 、C 在直线l 上,且PB ⊥l ,垂足为B ,∠APC =90°,则错误的语句是( )A .线段PB 的长度叫做点P 到直线l 的距离 B .P A 、PB 、PC 三条线段中,PB 最短 C .线段AC 的长等于点P 到直线l 的距离D .线段P A 的长叫做点A 到直线PC 的距离OP ABC l A F EC DB第1题 第2题 第3题3.如图所示,图中已标注了三组互相垂直的线段,那么A 到BC 的距离是________;B 到AC 的距离是_______;C 到AD 的距离是________.4.如图,点A 表示小明家,点B 表示小明外婆家,若小明先去外婆家拿鱼具,然后再去河边钓鱼,怎样走路最短,请画出行走路径,并说明理由、5.如图OB ⊥OA ,直线CD 过点O ,且∠DOB =110°,求∠AOC 的度数.A BCDO6.如图,直线AB 与直线CD 相交于O ,OE 平分∠AOD ,∠BOC =∠BOD -30°,求∠COE 的度数?OABC D E〖参考答案〗1.B 2.C 3. 线段AD 的长,线段BF 的长,线段CD 的长 4. 如图,连AB ,再作BM ⊥河边于点M .折线A -B -M 即为所求. 5.20°6.142.5°〖设计说明〗为学生提供个性化发展的空间,及时了解学生的学习效果,使学生养成独立思考、反思学习过程的习惯. 五、小结提高:可以采用师生问答的方式或让学生归纳、补充,然后补充的方式进行,主要围绕下列问题: (1) 本节课我们学习了什么知识?(2) 你有什么收获?〖设计说明〗发挥学生的主体意识,培养学生的归纳能力.通过自己归纳小结能提高学生课堂效率(只有认真听讲才能正确归纳),从而实现高效课堂. 六、布置作业:1.必做题:教科书第9页习题5.1第8、9、10、11、12题2.选做题: 1.如图,直线AB ,CD 相交于点O ,OE 平分∠BOD ,OF 平分∠COE , ∠AOD ∶∠BOE =4∶1,求∠EOF 的度数.2.随意画一个锐角∠MON 和一个钝角∠M′O′N′,画出∠MON 的角平分线OP 和∠M′O′N′的角平分线O′P′,如图所示.(1)在OP 上任取一点A ,画AB ⊥OM ,AC ⊥ON ,垂足分别为B ,C 两点.(2)在O′P′上任取一点A ′,画A ′B ′⊥O′M′,A ′C ′⊥O′N′,垂足分别是B ′,C ′两点. (3)通过度量线段AB ,AC ,A ′B ′,A ′C ′的长度,发现AB _____AC ,A ′B ′_____A ′C ′.(填“=”或“≠”)(4)通过上面的画图和度量,和同学们交流一下,有什么猜想,请用一句话表述出来.〖参考答案〗1.设∠AOD =4x °,∠BOE =x °∵OE 平分∠BOD ∴∠BOD =2∠BOE =2x °, ∵∠BOD +∠AOD =180°,∴4x +2x =180,解得x =30°,∴∠BOE =∠DOE =30°,∵∠DOE +∠COE =180°,∴∠COE =150°∵OF 平分∠COE ∴∠EOF =12∠COE =75° 2.(1)(2)画图略 (3)= =(4)角平分线上的点到角两边的距离相等. 3.预习题;1.两条直线被第三条直线所截得的8个角中共有( )A .4对同位角,2对内错角,2对同旁内角B .2对同位角,4对内错角,2对同旁内角C .2对同位角,2对内错角,4对同旁内角D .2对同位角,2对内错角,2对同旁内角2.在图中,∠1与∠2不是同旁内角的是( )21 121212A B C D3.下列4个图形中,∠1与∠2是同旁内角的是( )12121212A B C D 4.如图,下列四个图形中的∠1和∠2不是同位角的是( )12121212A B C D5.如图,直线AB 、CD 、EF 相交,构成八个角,找出图中所有的同位角:_____________;所有的内错角:________________;所有的同旁内角:__________________.ABC DEFG H 13 2456 8 9〖参考答案〗1.A 2.D 3.A 4.C 5.∠1与∠5、∠2与∠6、∠3与∠7、∠4与∠8 ;∠3与∠6、∠4与∠5 ;∠3与∠5、∠4与∠6 〖设计说明〗学生可以根据自己的不同水平选择不同的作业,通过预习题培养学生预习的习惯,养成良好的学习习惯.课后提升一、课后练习题及答案:1.如图,点D 在AC 上,点E 在AB 上,且BD ⊥CE ,垂足是M ,以下说法:①BM 之长是点B 到CE 的距离;②CE 之长是点C 到AB 的距离;③BD 之长是点B 到AC 的距离;④CM 之长是点C 到BD 的距离,其中正确的是_____________(填序号). 2.如图,已知直线AB 、CD 、EF 相交于点O ,OG ⊥AB ,如果∠COE =32°,∠FOG =29°,那么∠AOC =_______________.3.如图,已知直线AB 、CD 相交于点O ,P E ⊥AB 于点E ,PF ⊥CD 于点F ,如果∠AOC =50°,那么∠EPF =__________.A BCD EMA B DCEFGOPE FO CAB D第1题 第2题 第3题4.如图,有两条高速公路L 、m ,点P 为公路L 上的一个出口,•现要经过点P 建一连接两公路的一段通道,欲使通道长最短,应沿怎样的线路施工?〖参考答案〗 1①④.2.29° 3.50° 4.解:过点P 作PQ ⊥m ,垂足为Q (如答图).应沿线路PQ 施工.〖设计说明〗在学生充分理解的基础上,引导学生在数学知识和方法的应用中体会数学的价值,增强应用数学的意识,加深对知识的理解.。