2016-2017学年高一数学上学期课时过关检测1-10

第二章 统计2.2 用样本估计总体2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布A 级 基础巩固一、选择题1．一个容量为20的样本数据，分组及各组的频数如下：[10，20)，2；[20，30)，3；[30，40)，4；[40，50)，5；[50，60)，4；[60，70]，2.则样本在区间[20，60)上的频率是( )A ．0.5B ．0.6C ．0.7D ．0.8 解析：频率＝3＋4＋5＋42＋3＋4＋5＋4＋2＝1620＝45＝0.8.答案：D2．一个容量为32的样本，已知某组样本的频率为0.125，则该组样本的频数为( )A ．2B ．4C ．6D ．8 解析：频率＝频数样本容量，则频数＝频率×样本容量＝0.125×32＝4.答案：B3．某雷达测速区规定：凡车速大于或等于70 km/h 的汽车视为“超速”，并将受到处罚．如图是某路段的一个检测点对300辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从图中可得出将被处罚的汽车数为()A．30辆B．40辆C．60辆D．80辆解析：车速大于或等于70 km/h的汽车数为0.02×10×300＝60(辆)．答案：C4．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩(单位：分)分成6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，加以统计后得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为()A．588 B．480 C．450 D．120解析：不少于60分的学生的频率为(0.030＋0.025＋0.015＋0.010)×10＝0.8，所以该模块测试成绩不少于60分的学生人数应为600×0.8＝480.答案：B5．某校100名学生的数学测试成绩的频率分布直方图如图所示，分数不低于a即为优秀，如果优秀的人数为20，则a的估计值是()A．130 B．140 C．133 D．137解析：由已知可以判断a∈(130，140)，所以[(140－a)×0.015＋0.01×10]×100＝20.解得a≈133.答案：C二、填空题6．从某中学高一年级中随机抽取100名同学，将他们的成绩(单位：分)数据绘制成频率分布直方图(如图所示)．则成绩在[130，140]上的人数为________．答案：207．(2015·湖南卷)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是________．解析：由题意可知，这35名运动员的分组情况为，第一组(130，130，133，134，135)，第二组(136，136，138，138，138)，第三组(139，141，141，141，142)，第四组(142，142，143，143，144)，第五组(144，145，145，145，146)，第六组(146，147，148，150，151)，第七组(152，152，153，153，153)，故成绩在区间[139，151]上的运动员恰有4组，则运动员人数为4.答案：48．下面的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，若乙的总成绩是445分，则污损的数字是________．解析：设污损的叶对应的成绩是x，由题目中的茎叶图可得445＝83＋83＋87＋x＋99，解得x＝93，故污损的数字是3.答案：3三、解答题9．某篮球运动员在2015赛季各场比赛得分情况如下：12，15，24，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50.制作茎叶图，并分析这个运动员的整体水平及发挥的稳定程度．解：该运动员得分茎叶图如下：从茎叶图中可以粗略地看出，该运动员得分大多能在20分到40分之间，且分布较为对称，集中程度高，说明其发挥比较稳定．10．某班50名同学参加数学测验，成绩(单位：分)的分组及各组的频数如下：[40，50)，2；[50，60)，3；[60，70)，10；[70，80)，15；[80，90)，12；[90，100]，8.(1)列出样本的频率分布表；(2)画出频率分布直方图．解：(1)频率分布表如下图所示：(2)频率分布直方图如下图所示：B 级 能力提升1．(2014·山东卷)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )A ．6B ．8C ．12D ．18解析：志愿者的总人数为20（0.16＋0.24）×1＝50，所以第三组的人数为50×0.36＝18，有疗效的人数为18－6＝12.答案：C2．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50～350度之间，频率分布直方图如图所示：(1)直方图中x 的值为________；(2)在这些用户中，用电量落在区间[100，250)内的户数为________．解析：(1)由于(0.002 4＋0.003 6＋0.006 0＋x＋0.002 4＋0.001 2)×50＝1，解得x＝0.004 4.(2)数据落在[100，250)内的频率是(0.003 6＋0.006 0＋0.004 4)×50＝0.7.所以月用电量在[100，250)内的户数为100×0.7＝70.答案：(1)0.004 4(2)703．为了调查甲、乙两个网站受欢迎的程度，随机选取了14天，统计上午8：00～10：00各自的点击量，得到如图所示的茎叶图，根据茎叶图回答下列问题．(1)甲、乙两个网站点击量的极差分别是多少？(2)甲网站点击量在[10，40]间的频率是多少？(3)甲、乙两网站哪个更受欢迎？并说明理由．解：(1)甲网站的极差为：73－8＝65，乙网站的极差为：71－5＝66.(2)414＝27≈0.286.(3)甲网站的点击量集中在茎叶图的下方，而乙网站的点击量集中在茎叶图的上方，从数据的分布情况来看，甲网站更受欢迎．沁园春·雪 <毛泽东>北国风光，千里冰封，万里雪飘。

2016—2017学年度第一学期期末教学质量检查高一数学（A 卷）参考答案一、选择题二、填空题 13．(0,1)14．1215．π316．2三、解答题17.解：（1）当2m =时，22{|log }{|log 2}(4,)A x x m x x =>=>=+∞————2分 {|444}(0,8)B x x =-<-<=————3分 (0,),(4,8)A B A B =+∞=————5分 （2）2{|log }(2,)mA x x m =>=+∞，(,0][8,)R CB =-∞+∞————7分 因为R A C B ⊆，28m ≥，3m ≥————10分 18.解：（1）()f x 为定义在R 上的奇函数，所以(0)0,f =0a =————2分则当0x ≥时2()4f x x x =-令0x <，则0x ->，22()()4()4f x x x x x -=---=+————4分 又()f x 为定义在R 上的奇函数，2()()4f x f x x x =--=--————6分 2240()40x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩————7分（2）当0x ≥时，246x x x -=+解得6x =或1x =-（舍去）————9分当0x <时，246x x x --=+解得2x =-或3x =-————11分 综上所述6x =或2x =-或3x =-————12分19.解：（1）因为12l l ⊥，2210**()m +-=，解得4m = ————2分 所以22440:l x y -+=，即220x y -+=————3分220220x y x y -+=⎧⎨+-=⎩解得2565x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即交点为2655(,) ————5分（2）240220x my x y -+=⎧⎨+-=⎩解得212261m x m y m --⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩————7分对于直线1220:l x y +-=，当0y =时，1x =————8分 对于直线2240:l x my -+=，当0y =时，2x =- ————9分 所以1612121()||S m =+=+， ————10分 解得8m =或10m =-————12分 20.证明：(1) 因为ABCD 为正方形，所以//AB CD————1分////AB CDAB CDE AB CDE CD CDE ⎫⎪⊄⇒⎬⎪⊂⎭面面面 ————3分(2) AE CDE ⊥面，所以AE DE ⊥,,AE CD AE AB ⊥⊥ ————4分在Rt ADE 中, 2,1AD AE ==,则DE =在Rt ABE 中, 2,1AB AE ==,则BE =正方形ABCD 的边长为2，则BD =所以222BD DE BE =+,故BE DE ⊥————5分BE DE AE DE BE AE E DE ABE BE ABE AE ABE ⊥⎫⎪⊥⎪⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⎪⎪⊂⎭面面面 ————7分（3）ABCD AB AD DE ADE DE AB DE AD D AB ADE AD ADE DE ADE ⇒⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎪⎪=⇒⊥⇒⎬⎪⊂⎪⎪⊂⎭正方形面面面面AB 为三棱锥B ADE -的高 ————9分11121332B ADE ADEV AB S -=⋅=⋅⋅⋅=————10分设点A 到平面BDE 的距离为d ，111332B ADE A BDE BDEV V d Sd --==⋅=⋅= ————11分所以5d =，即点A 到平面BDE的距离为5————12分21解：（1）由提供的数据知道，描述宾馆日经济收入Q 与天数x 的变化关系的函数不是单调函数，Q 随x 的增大先增大后减小，不单调，从而用四个函数模型中的任意一个进行描述时都应有相同的单调性，而①Q ax b =+、③x Q a b =+、④log a Q b x =+三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合∴选取二次函数模型②2Q x ax b =-++进行描述最恰当．————5分（2）从表中任选两组数据3154x Q =⎧⎨=⎩和5180x Q =⎧⎨=⎩带入模型得93154255180a b a b -++=⎧⎨-++=⎩————8分解得21100a b =⎧⎨=⎩，221100Q x x =-++————10分当10x =或11x =时Q 取得最大值210 ————12分22. (1)证明：当3,0k x =<时，3()1f x x x=--在(,0)-∞上递增；————1分设任意120x x <<21212121123333()()1(1)f x f x x x x x x x x x -=-----=-+-21211221211212123()()(3)3()(1)x x x x x x x x x x x x x x x x --+=-+=-+=————2分122112120,0,0,33x x x x x x x x <<∴->>+> 21122112()(3)0()()0x x x x f x f x x x -+∴>∴->21()()f x f x ∴>————3分3()1f x x x∴=--在(,0)-∞上递增————4分（2）由(2)0xf >得(2)210|2|xxxkf ∴=+->. 由20x >，得2(2)20x xk -+>恒成立。

（时间：25分，满分55分）班级姓名得分1．（5分）下列图象表示的函数中没有零点的是( )【答案】A考点：零点的存在性定理.2.（5分）函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】试题分析：∵f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)＝(x－1)(x＋5)(x－2)，∴由f(x)＝0得x＝－5或x＝1或x＝2.考点：零点的存在性定理.3.（5分）根据表格中的数据，可以断定函数f(x)＝e x－x－2的一个零点所在的区间是( )A.(－．(2,3) 【答案】C【解析】试题分析：由上表可知f(1)＝2.72－3＜0，f(2)＝7.39－4＞0，∴f(1)·f(2)＜0，∴f(x)在区间(1,2)上存在零点考点：零点的存在性定理.4.（5分）函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点所在的区间为( )A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(4,5)【解析】试题分析：f (1)＝ln 1＋2－6＝－4＜0，f (2)＝ln 2＋4－6＝ln 2－2＜0，f (3)＝ln 3＋6－6＝ln 3＞0，所以f (2)·f (3)＜0，则函数f (x )的零点所在的区间为 (2,3)．考点：零点的存在性定理.5．（5分）方程log 3x ＋x ＝3的解所在的区间为( )A ．(0,2)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4) 【答案】C 【解析】试题分析：令f (x )＝log 3x ＋x －3，则f (2)＝log 32＋2－3＝log 323＜0，f (3)＝log 33＋3－3＝1＞0，那么方程log 3x ＋x ＝3的解所在的区间为(2,3)． 考点：零点的存在性定理.6．（5分）方程log 3x ＋x ＝3的解所在的区间为( )A ．(0,2)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4) 【答案】C考点：零点的存在性定理.7．（5分）已知函数f (x )为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于________． 【答案】0 【解析】试题分析：∵奇函数的图象关于原点对称，∴若f (x )有三个零点，则其和必为0. 考点：1、零点的概念；2、函数的奇偶性.8．（5分）若函数f (x )＝ax 2－x －1仅有一个零点，则a ＝__________. 【答案】0或－14【解析】试题分析：a ＝0时，f (x )只有一个零点－1，a ≠0时，由Δ＝1＋4a ＝0，得a ＝－14.考点：零点的概念.9．（5分）设x 0是方程ln x ＋x ＝4的解，且x 0∈(k ，k ＋1)，k ∈Z ，则k ＝________.【解析】试题分析：令f (x )＝ln x ＋x －4，且f (x )在(0，＋∞)上递增，∵f (2)＝ln 2＋2－4＜0，f (3)＝ln 3－1＞0.∴f (x )在(2,3)内有解，∴k ＝2.考点：零点的存在性定理.10．（10分）已知二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋4 ，求下列条件下，实数a 的取值范围． (1)零点均大于1；(2)一个零点大于1，一个零点小于1；(3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内． 【答案】（1）2≤a ＜52；（2）a ＞52；（3）103＜a ＜174.考点：1、二次函数的图像及其性质；2、零点的存在性定理.沁园春·雪 <毛泽东>北国风光，千里冰封，万里雪飘。

第三章 直线与方程3.3 直线的交点坐标与距离公式3.3.3 点到直线的距离 3.3.4 两条平行直线间的距离A 级 基础巩固一、选择题1．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( ) A ．32 B.22 C ．3 D.322解析：点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|1－1×（－1）＋1|12＋（－1）2＝322.答案：D2．两平行线分别经过点A (3，0)，B (0，4)，它们之间的距离d 满足的条件是( )A ．0<d ≤3B ．0<d ≤5C ．0<d <4D ．3≤d ≤5解析：当两平行线与AB 垂直时，两平行线间的距离最大为|AB |＝5，所以0<d ≤5.答案：B3．与直线2x ＋y ＋1＝0的距离等于55的直线方程为( )A ．2x ＋y ＝0B ．2x ＋y －2＝0C ．2x ＋y ＝0或2x ＋y －2＝0D ．2x ＋y ＝0或2x ＋y ＋2＝0解析：根据题意可设所求直线方程为2x ＋y ＋c ＝0.因为两直线间的距离等于55，所以d ＝|c －1|22＋12＝55，解得c ＝0，或c ＝2.所以所求直线方程为2x ＋y ＝0或2x ＋y ＋2＝0.答案：D4．已知点A (a ，2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝( )A. 2 B ．2－ 2 C.2－1D.2＋1解析：由点到直线的距离公式知 d ＝|a －2＋3|2＝|a ＋1|2＝1，得a ＝－1±2.又因为a >0，所以a ＝2－1. 答案：C5．直线l 过点A (3，4)且与点B (－3，2)的距离最远，那么l 的方程为( )A ．3x －y －13＝0B ．3x －y ＋13＝0C ．3x ＋y －13＝0D ．3x ＋y ＋13＝0解析：由已知可知，l 是过点A 且与AB 垂直的直线，因为k AB ＝2－4－3－3＝13，所以k l ＝－3，由点斜式得，y －4＝－3(x －3)，即3x ＋y －13＝0. 答案：C 二、填空题6．点P (2，4)到直线l ：3x ＋4y －7＝0的距离是________． 解析：点P 到直线l 的距离d ＝|3×2＋4×4－7|32＋42＝3.答案：37．直线l 到直线x －2y ＋4＝0的距离和原点到直线l 的距离相等，则直线l 的方程是____________．解析：由题意设所求l 的方程为x －2y ＋C ＝0， 则|C －4|12＋22＝|C |12＋22，解得C ＝2，故直线l 的方程为x －2y ＋2＝0.答案：x －2y ＋2＝0.8．直线l 到x 轴上的截距为1，又有两点A (－2，－1)，B (4，5)到l 的距离相等，则l 的方程为______________．解析：显然l ⊥x 轴时符合要求，此时l 的方程为x ＝1； 设l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝k (x －1)，即 kx －y －k ＝0.因为点A ，B 到l 的距离相等，所以|－2k ＋1－k |k 2＋1＝|4k －5－k |k 2＋1.所以|1－3k |＝|3k －5|，所以k ＝1，所以l 的方程为x －y －1＝0. 综上，l 的方程为x ＝1，或x －y －1＝0. 答案：x ＝1或x －y －1＝0 三、解答题9．已知直线l 经过点P (－2，5)，且斜率为－34.(1)求直线l 的方程；(2)若直线m 与l 平行，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程．解：(1)由直线方程的点斜式，得y －5＝－34(x ＋2)，整理得所求直线方程为3x ＋4y －14＝0.(2)由直线m 与直线l 平行，可设直线m 的方程为 3x ＋4y ＋C ＝0， 由点到直线的距离公式得|3×（－2）＋4×5＋C |32＋42＝3，即|14＋C |5＝3，解得C ＝1或C ＝－29，故所求直线方程为3x ＋4y ＋1＝0或3x ＋4y －29＝0.10．已知△ABC 三个顶点坐标A (－1，3)，B (－3，0)，C (1，2)，求△ABC 的面积S .解：由直线方程的两点式得直线BC 的方程为y2－0＝x ＋31＋3，即x－2y ＋3＝0.由两点间距离公式得|BC |＝（－3－1）2＋（0－2）2＝25， 点A 到BC 的距离为d ，即为BC 边上的高， d ＝|－1－2×3＋3|12＋（－2）2＝455，所以S ＝12|BC |·d ＝12×25×455＝4，故△ABC 的面积为4.B 级 能力提升1．若动点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点距离的最小值是( )A ．3 2B ．2 3C ．3 3D ．4 2解析：由题意，结合图形可知点M 必然在直线x ＋y －6＝0上，故M 到原点的最小距离为|－6|2＝3 2.答案：A2．经过点A (1，2)且到原点的距离等于1的直线方程为________． 解析：当过点A 的直线垂直于x 轴时，原点到此直线的距离等于1，所以满足题设条件，其方程为x－1＝0.当过点A的直线不垂直于x轴时，设其方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0.由|－k＋2|k2＋1＝1得k＝34，故其方程为3x－4y＋5＝0.故所求的直线方程为x－1＝0，或3x－4y＋5＝0.答案：x＝1或3x－4y－5＝03．已知正方形ABCD一边CD所在直线的方程为x＋3y－13＝0，对角线AC，BD的交点为P(1，5)，求正方形ABCD其他三边所在直线的方程．解：点P(1，5)到l CD的距离为d，则d＝310.因为l AB∥l CD，所以可设l AB：x＋3y＋m＝0.点P(1，5)到l AB的距离也等于d，则|m＋16|10＝310，又因为m≠－13，所以m＝－19，即l AB：x＋3y－19＝0.因为l AD⊥l CD，所以可设l AD：3x－y＋n＝0，则点P(1，5)到l AD的距离等于点P(1，5)到l BC的距离，且都等于d＝310，|n －2|10＝310，n ＝5或n ＝－1， 则l AD ：3x －y ＋5＝0，l BC ：3x －y －1＝0.所以，正方形ABCD 其他三边所在直线方程为x ＋3y －19＝0，3x －y ＋5＝0，3x －y －1＝0.沁园春·雪 <毛泽东>北国风光，千里冰封，万里雪飘。

章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒] 1．解决截距问题不忽略“0”的情形解决直线在两坐标轴上的截距或截距具有某种倍数关系的问题时，需注意两点：(1)截距不是距离，直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.(2)明确直线方程的截距式不能表示过原点或与坐标轴垂直的直线．因此解题时应该从截距是否为0进行分类讨论．2．弄清直线的倾斜角与斜率关系在解决由直线的斜率求其倾斜角的范围问题时，先求出直线的斜率k的取值范围，再利用三角函数y＝tan x的单调性，借助函数的图象，确定倾斜角的范围．3．不要忽视斜率不存在的情况(1)在解决两直线平行的相关问题时，若利用l1∥l2⇔k1＝k2求解，忽略k1，k2不存在的情况，就会导致漏解．(2)对于解决两直线垂直的相关问题时，若利用l1⊥l2⇔k1·k2＝－1求解，要注意其前提条件是k1与k2必须同时存在.专题一直线的倾斜角与斜率问题直线的倾斜角和斜率是直线方程中最基本的两个概念，它们从“形”与“数”两个方面刻画了直线的倾斜程度，倾斜角α与斜率k 的对应关系和单调性是解题的易错点，应引起高度重视．(1)对应关系．①当α≠90°时，k＝tan α；②当α＝90°时，斜率不存在．(2)单调性．当α由0°→90°→180°(不含180°)变化时，k由0(含0)逐渐增大到＋∞(不存在)，然后由－∞(不存在)逐渐增大到0(不含0)．经过A(x1，y1)，B(x2，y2)，(x1≠x2)两点的直线的斜率公式是k＝y 2－y 1x 2－x 1，应用时注意其适用的条件是x 1≠x 2，当x 1＝x 2时，直线的斜率不存在．[例1] 已知坐标平面内的三点A (－1，1)，B (1，1)，C (2，3＋1)．(1)求直线AB ，BC ，AC 的斜率和倾斜角；(2)若D 为△ABC 的边AB 上一动点，求直线CD 的斜率k 的取值范围．解：(1)由斜率公式，得k AB ＝1－11－（－1）＝0， k BC ＝3＋1－12－1＝3， k AC ＝3＋1－12－（－1）＝33. 因为tan 0°＝0，所以AB 的倾斜角为0°；因为tan 60°＝3，所以BC 的倾斜角为60°；因为tan 30°＝33，所以AC 的倾斜角为30°. (2)如图，当斜率k 变化时，直线CD 绕点C 旋转，当直线CD 由CA 逆时针转到CB 过程中，直线CD 与AB 恒有交点，即D 在△ABC的边AB 上，此时k 由k CA 增大到k CB ，所以k 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，3.归纳升华求直线斜率的方法1．定义法．已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k＝tan α. 2．公式法．若直线过两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1≠x2，则斜率k＝y2－y1x2－x1.3．数形结合法．已知一条线段AB的端点及线段外一点P，求过点P的直线l与线段AB有交点的情况下l的斜率，若直线PA，PB的斜率均存在，则步骤为：①连接PA，PB；②由k＝y2－y1x2－x1求出k PA，k PB；③结合图形即可写出满足条件的直线l的斜率的取值范围．[变式训练](1)如图所示，直线l1，l2，l3都经过点P(3，2)，又l1，l2，l3分别经过点Q1(－2，－1)，Q2(4，－2)，Q3(－3，2)，计算直线l1，l2，l3的斜率，并判断这些直线的倾斜角是0°、锐角还是钝角．(2)已知过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为135°，则y＝________．(1)解：由于Q 1，Q 2，Q 3的横坐标与P 点的横坐标均不相等，所以设k 1，k 2，k 3分别表示直线l 1，l 2，l 3的斜率，则k 1＝－1－2－2－3＝35，k 2＝－2－24－3＝－4，k 3＝2－2－3－3＝0. 由k 1>0知，直线l 1的倾斜角是锐角；由k 2<0知，直线l 2的倾斜角是钝角；由k 3＝0知，直线l 3的倾斜角是0°.(2)解析：直线AB 的斜率k ＝tan 135°＝－1，则y ＋34－2＝－1，解得y ＝－5. 答案：－5专题二 直线的平行与垂直问题1．两条直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2斜率都存在，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，且b 1≠b 2；l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1；斜率不存在时单独考虑，即k 1，k 2中有一个为零，另一个不存在，则两条直线垂直；若k 1，k 2均不存在，则两直线平行或重合．2．当两条直线给出一般式时，平行与垂直关系利用系数关系解决．即l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0；l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0；l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.[例2] 已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求分别满足下列条件的a ，b 的值：(1)直线l 1过点(－3，－1)，并且直线l 1与直线l 2垂直；(2)直线l 1与直线l 2平行，并且坐标原点到l 1，l 2的距离相等． 解：(1)因为l 1⊥l 2，所以a (a －1)＋(－b )·1＝0，即a 2－a －b ＝0.①又因为点(－3，－1)在l 1上，所以－3a ＋b ＋4＝0.②由①②解得a ＝2，b ＝2.(2)因为l 1∥l 2，且l 2的斜率为1－a ，所以l 1的斜率也存在，且a b ＝1－a ，即b ＝a 1－a. 故l 1和l 2的方程可分别表示为l 1：(a －1)x ＋y ＋4（a －1）a ＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋a 1－a＝0. 因为原点到l 1与l 2的距离相等，所以4⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －1a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1－a ，所以a ＝2或a ＝23. 所以⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2. 归纳升华考查两条直线的平行与垂直关系时，通常有两种方式可以选择；一是直线方程以斜截式给出，此时可通过斜率和直线在y 轴上的截距来处理；二是直线方程以一般式给出，此时可转化为斜率和直线在y轴上的截距来处理，也可直接利用系数处理．[变式训练] 已知经过点A (－2，0)和点B (1，3a )的直线l 1与经过点P (0，－1)和点Q (a ，－2a )的直线l 2互相垂直，求实数a 的值．解：l 1的斜率k 1＝3a －01－（－2）＝a . 当a ≠0时，l 2的斜率k 2＝－2a －（－1）a －0＝1－2a a . 所以l 1⊥l 2，所以k 1k 2＝－1，即a ·1－2a a＝－1，得a ＝1. 当a ＝0时，P (0，－1)，Q (0，0)，这时直线l 2为y 轴，A (－2，0)，B (1，0)，这时直线l 1为x 轴，显然l 1⊥l 2.故实数a 的值为0或1.专题三 距离问题解决解析几何中的距离问题时，往往是代数运算与几何图形直观分析相结合，三种距离是高考考查的热点，公式见下表：的直线方程．解：①当在两坐标轴上的截距相等且为0，即直线过原点时，设直线的方程为y ＝kx (k ≠0)，即kx －y ＝0.由已知，得|3k －1|k 2＋1＝2，整理得7k 2－6k －1＝0， 解得k ＝－17或1， 所以所求直线方程为x ＋7y ＝0或x －y ＝0.②当在两坐标轴上的截距相等且不为0时，直线的斜率为－1，设直线为x ＋y ＋C ＝0(C ≠0)，由已知得|4＋C |2＝2，解得C ＝－6或C ＝－2. 所以所求直线方程为x ＋y －6＝0或x ＋y －2＝0.综上，所求直线方程为x ＋7y ＝0或x －y ＝0或x ＋y －6＝0或x ＋y －2＝0.归纳升华1．求点到直线的距离时，若给出的直线方程不是一般式，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可．2．对于与坐标轴平行(或重合)的直线x ＝a 或y ＝b ，求点(x 0，y 0)到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d ＝|x 0－a |或d ＝|y 0－b |.3．若已知点到直线的距离求参数或直线方程时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解．[变式训练] 直线l 在两坐标轴上的截距相等，且P (4，3)到直线l 的距离为32，求直线l 的方程．解：①当所求直线经过坐标原点时，设其方程为y ＝kx (k ≠0)，由点到直线的距离公式可得|4k －3|k 2＋1＝32，解得k ＝－6±3214. 故所求直线的方程为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－6±3214x . ②当直线不经过坐标原点时，设所求方程为x a ＋y a＝1， 即x ＋y －a ＝0，由题意可得|4＋3－a |2＝32， 解得a ＝1或a ＝13.故所求直线的方程为x ＋y －1＝0或x ＋y －13＝0.综上可知，所求直线的方程为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－6±3214x 或 x ＋y －1＝0或x ＋y －13＝0.专题四 数形结合思想的应用数形结合是解析几何的灵魂，两点间的距离公式和点到直线的距离公式是数形结合常见的结合点，常用这两个公式把抽象的代数问题转化为几何问题来解决，也能把几何问题转化为代数问题来解决：[例4] 已知点M (3，5)，在直线l ：x －2y ＋2＝0和y 轴上各找一点P 和Q ，使△MPQ 的周长最小．解：由点M (3，5)及直线l ：x －2y ＋2＝0，可求得点M 关于l 的对称点M 1(5，1)，同理可得点M 关于y 轴的对称点M 2(－3，5)，如图所示．根据M 1，M 2两点可得直线M 1M 2的方程为x ＋2y －7＝0.令x ＝0，得直线M 1M 2与y 轴的交点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，72， 解方程组⎩⎨⎧x ＋2y －7＝0，x －2y ＋2＝0，得两直线的交点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，94. 所以点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，94与点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，72即为所求． 归纳升华利用直接求解法比较烦琐时，可从图形方面考虑，利用数形结合的方法来求解，从而使问题变得形象、直观，利于求解．[变式训练] 求y ＝x 2－x ＋1－x 2＋x ＋1的值域． 解：原式可变形为y ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34， 它表示动点P (x ，0)到点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32和点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32的距离之差，如图所示，即y ＝|PA |－|PB |.由于||PA |－|PB ||<|AB |＝1，所以|y |<1，即－1<y <1. 所以该函数的值域为(－1，1)．沁园春·雪 <毛泽东>北国风光，千里冰封，万里雪飘。

第三章 概率3.2 古典概型3.2.1 古典概型3.2.2 （整数值）随机数（random numbers ）的产生A 级 基础巩固一、选择题1．从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为( )A.12B.13C.23D ．1 解析：从甲、乙、丙三人中任选两人有：(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)共3种情况，其中，甲被选中的情况有2种，故甲被选中的概率为P ＝23. 答案：C2．小明同学的QQ 密码是由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中的6个数字组成的六位数，由于长时间未登录QQ ，小明忘记了密码的最后一个数字，如果小明登录QQ 时密码的最后一个数字随意选取，则恰好能登录的概率是( )A.1105B.1104C.1102D.110解析：只考虑最后一位数字即可，从0至9这10个数字中随机选择一个作为密码的最后一位数字有10种可能，选对只有一种可能，所以选对的概率是110. 答案：D3．同时投掷两颗大小完全相同的骰子，用(x ，y )表示结果，记A 为“所得点数之和小于5”，则事件A 包含的基本事件数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：事件A 包含的基本事件有6个：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)．答案：D4．已知集合A ＝{2，3，4，5，6，7}，B ＝{2，3，6，9}，在集合A ∪B 中任取一个元素，则它是集合A ∩B 中的元素的概率是( )A.23B.35C.37D.25解析：A ∪B ＝{2，3，4，5，6，7，9}，A ∩B ＝{2，3，6}，所以由古典概型的概率公式得，所求的概率是37. 答案：C5．掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于( ) A.118 B.19 C.16 D.112解析：掷两颗骰子，点数有以下情况：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共36种，其中点数和为5的有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，共4种，故所求概率为436＝19. 答案：B二、填空题6．(2014·广东卷)从字母a ，b ，c ，d ，e 中任取两个不同字母，则取到字母a 的概率为________．解：总的取法有：ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de ，共10种，其中含有a 的有ab ，ac ，ad ，ae 共4种．故所求概率为410＝25. 答案：257．分别从集合A ＝{1，2，3，4}和集合B ＝{5，6，7，8}中各取一个数，则这两数之积为偶数的概率是________．解析：基本事件总数为4×4＝16，记事件M ＝{两数之积为偶数}，则M 包含的基本事件有12个，从而所求概率为1216＝34. 答案：348．现有5根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9.若从中一次抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3 m 的概率为________．解析：基本事件共有(2.5，2.6)，(2.5，2.7)，(2.5，2.8)，(2.5，2.9)，(2.6，2.7)，(2.6，2.8)，(2.6，2.9)，(2.7，2.8)，(2.7，2.9)，(2.8，2.9)10种情况．相差0.3 m 的共有(2.5，2.8)，(2.6，2.9)2种情况，所以P ＝210＝15. 答案：15三、解答题9．现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：(1)所取的2道题都是甲类题的概率；(2)所取的2道题不是同一类题的概率．解：(1)将4道甲类题依次编号为1，2，3，4，2道乙类题依次编号为5，6.任取2道题的基本事件为{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，6}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{2，6}，{3，4}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，{5，6}，共有15个；并且这些基本事件的出现是等可能的，记事件A ＝“张同学所取的2道题都是甲类题”，则A 包含的基本事件有{1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，共6个．所以P (A )＝615＝25. (2)基本事件同(1)．记事件B ＝“张同学所取的2道题不是同一类题”，则B 包含的基本事件有{1，5}，{1，6}，{2，5}，{2，6}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，共8个．所以P (B )＝815. 10．(2015·天津卷)设甲、乙、丙3个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18.现采用分层抽样的方法从这3个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．(1)求应从这3个协会中分别抽取的运动员的人数．(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．①用所给编号列出所有可能的结果；②设事件A 为“编号为A 5和A 6的2名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A 发生的概率．解：(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3，1，2.(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共15种．②编号为A 5和A 6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共9种．因此，事件A 发生的概率P (A )＝915＝35. B 级 能力提升1．四条线段的长度分别是1，3，5，7，从这四条线段中任取三条，则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是( )A.14B.13C.12D.25解析：从四条长度各异的线段中任取一条，每条被取出的可能性均相等，所以该问题属于古典概型．又所有基本事件包括(1，3，5)，(1，3，7)，(1，5，7)，(3，5，7)，共四种，其中能构成三角形的有(3，5，7)一种，故概率为P ＝14. 答案：A2．(2014·课标全国Ⅰ卷)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．解析：2本不同的数学书用a 1，a 2表示，语文书用b 表示，由Ω＝{(a 1，a 2，b )，(a 1，b ，a 2)，(a 2，a 1，b )，(a 2，b ，a 1)，(b ，a 1，a 2)(b ，a 2，a 1)}．于是两本数学书相邻的情况有4种，故所求概率为46＝23. 答案：233．(2014·四川卷)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，c .求：(1)“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率；(2)“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率． 解：(1)由题意知，(a ，b ，c )所有的可能为(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共27种．设“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”为事件A ，则事件A 包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共3种．所以P (A )＝327＝19. 因此，“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率为19. (2)设“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”为事件B ，则事件B －包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3种．所以P (B )＝1－P (B －)＝1－327＝89. 因此，“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率为89.沁园春·雪 <毛泽东>北国风光，千里冰封，万里雪飘。

第四章圆与方程4.3 空间直角坐标系4.3.1 空间直角坐标系4.3.2 空间两点间的距离公式A级基础巩固一、选择题1．在空间直角坐标系中，点P(3，1，5)关于平面yOz对称的点的坐标为()A．(－3，1，5)B．(－3，－1，5)C．(3，－1，－5) D．(－3，1，－5)解析：由于点关于平面yOz对称，故其纵坐标、竖坐标不变，横坐标变为相反数，即对称点坐标是(－3，1，5)．答案：A2．点P(2，3，4)到y轴的距离是()A.13 B．2 5C．5 D.29解析：点P在y轴的射影P′为(0，3，0)，所以|PP′|＝22＋42＝20＝2 5.答案：B3．若点P(－4，－2，3)关于坐标平面xOy及y轴的对称点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为()A．7 B．－7C．－1 D．1解析：点P关于坐标平面xOy的对称点坐标是(－4，－2，－3)，关于y轴的对称点坐标是(4，－2，－3)，从而知c＋e＝1.答案：D4．在空间直角坐标系中，已知点P(1，2，3)，过P点作平面xOy的垂线PQ，Q为垂足，则Q的坐标为()A．(0，2，0) B．(02，3)C．(1，0，3) D．(1，2，0)解析：点P(1，2，3)关于平面xOy的对称点是P1(1，2，－3)，则垂足Q是PP1的中点，所以点Q的坐标为(1，2，0)．答案：D5．点A(1，2，－1)，点C与点A关于面xOy对称，点B与点A 关于x轴对称，则|BC|的值为()A．2 5 B．4C．2 2 D．27解析：点A关于面xOy对称的点C的坐标是(1，2，1)，点A关于x轴对称的点B的坐标是(1，－2，1)，故|BC|＝（1－1）2＋（2＋2）2＋（1－1）2＝4.答案：B二、填空题6．如图所示的坐标系中，单位正方体顶点A的坐标是_________．解析：点A 在x 轴、y 轴、z 轴上的投影分别是B 1、D 1、C ，故A 点坐标为(1，－1，－1)．答案：(1，－1，－1)7．在空间直角坐标系中，正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的顶点A 的坐标为(3，－1，2)，其中心M 的坐标为(0，1，2)，则该正方体的棱长为________．解析：由A (3，－1，2)，中心M (0，1，2)所以C 1(－3，3，2)． 正方体体对角线长为|AC 1|＝[3－（－3）]2＋（－1－3）2＋（2－2）2＝213， 所以正方体的棱长为2133＝2393. 答案：23938．给定空间直角坐标系，在x 轴上找一点P ，使它与点P 0(4，1，2)的距离为30，则P 点坐标为______________________________．解析：设点P 的坐标为(x ，0，0)，由题意，得|P 0P |＝30，即（x －4）2＋12＋22＝30.所以x ＝9或x ＝－1.所以P 点坐标为(9，0，0)或(－1，0，0)．答案：(9，0，0)或(－1，0，0)三、解答题9．已知A (3，2，1)，B (1，0，4)，求：(1)线段AB 中点的坐标和A 与B 的距离；(2)到A ，B 两点距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标x ，y ，z 满足的条件，并指出方程表示什么图形．解：(1)M (x ，y ，z )是AB 的中点，则x ＝3＋12＝2， y ＝2＋02＝1，z ＝1＋42＝52， 所以M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1，52. 两点间的距离|AB |＝（1－3）2＋（0－2）2＋（4－1）2＝17.(2)由P (x ，y ，z )到A 、B 两点的距离相等． 则（x －3）2＋（y －2）2＋（z －1）2＝（x －1）2＋（y －0）2＋（z －4）2，化简得4x ＋4y －6z ＋3＝0.即到A 、B 的距离相等的点的坐标(x ，y ，z )满足的条件是4x ＋4y －6z ＋3＝0.方程表示的图形是线段AB 的垂直平分面．10.如图所示，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，|C 1C |＝|CB |＝|CA |＝2，AC ⊥CB ，D ，E 分别是棱AB ，B 1C 1的中点，F 是AC 的中点，求DE ，EF 的长度．解：以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，所以C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C1(0，0，2)，B1(0，2，2)，由中点坐标公式可得，D(1，1，0)，E(0，1，2)，F(1，0，0)，所以|DE|＝（1－0）2＋（1－1）2＋（0－2）2＝5，|EF|＝（0－1）2＋（1－0）2＋（2－0）2＝ 6.B级能力提升1．在空间直角坐标系中的点P(a，b，c)，有下列叙述：①点P(a，b，c)关于横轴(x轴)的对称点是P1(a，－b，c)；②点P(a，b，c)关于yOz坐标平面的对称点为P2(a，－b，－c)；③点P(a，b，c)关于纵轴(y轴)的对称点是P3(a，－b，c)；④点P(a，b，c)关于坐标原点的对称点为P4(－a，－b，－c)．其中正确叙述的个数为() A．3B．2C．1D．0解析：对于①，点P(a，b，c)关于横轴的对称点为P1(a，－b，－c )，故①错；对于②，点P (a ，b ，c )关于yOz 坐标平面的对称点为P 2(－a ，b ，c )，故②错；对于③，点P (a ，b ，c )关于纵轴的对称点是P 3(－a ，b ，－c )，故③错；④正确．答案：C2．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，F 是BD 的中点，G 在棱CD 上，且|CG |＝14|CD |，E 为C 1G 的中点，则EF 的长为________．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，D 为坐标原点，由题意，得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，C 1(0，1，1)，C (0，1，0)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34，0， 则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，78，12.所以 |EF |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫0－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫78－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－02＝418. 答案：4183．在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC ＝2，CB ＝CC 1＝4，E 、F 、M 、N 分别是A 1B 1、AB 、C 1B 1、CB 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系．(1)在四边形ABB1A1内找一点P，使△ABP为正三角形．(2)能否在MN上求得一点Q，使△AQB为以AB为斜边的直角三角形？若能，请求出点Q的坐标；若不能，请说明理由．解：(1)因为EF是AB的中垂线，在平面ABB1A1内只有EF上的点与A，B两点的距离相等，A(2，0，0)，B(0，4，0)，设点P坐标为(1，2，z)，由|PA|＝|AB|，得（1－2）2＋（2－0）2＋（z－0）2＝20，所以z2＝15.因为z∈[0，4]，所以z＝15，故平面ABB1A1内的点P(1，2，15)使得△ABP为正三角形．(2)设MN上的点Q坐标为(0，2，z)．因为△AQB为直角三角形，所以|QF|＝12|AB|.即（0－1）2＋（2－2）2＋（z－0）2＝1220，整理，得z2＋1＝5，所以z2＝4.因为z∈[0，4]，所以z＝2.故MN上的点Q(0，2，2)使得△AQB为直角三角形．沁园春·雪 <毛泽东>北国风光，千里冰封，万里雪飘。

第四章圆与方程4.1 圆的方程4.1.1 圆的标准方程A级基础巩固一、选择题1．已知点P(a，a＋1)在圆x2＋y2＝25内部，那么a的取值范围是()A．－4<a<3B．－5<a<4C．－5<a<5 D．－6<a<4解析：由a2＋(a＋1)2<25可得2a2＋2a－24<0，解得－4<a<3.答案：A2．圆x2＋y2＝1的圆心到直线3x＋4y－25＝0的距离是() A．5B．3 C．4D．2解析：圆x2＋y2＝1的圆心为(0，0)，所以d＝|－25|32＋42＝5.答案：A3．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2过原点，则() A．a2＋b2＝0 B．a2＋b2＝r2C．a2＋b2＋r2＝0 D．a＝0，b＝0解析：由题意得(0－a)2＋(0－b)2＝r2.即a 2＋b 2＝r 2.答案：B4．圆(x －1)2＋(y －1)2＝1上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是( )A ．2B ．1＋ 2C ．2＋22D ．1＋2 2解析：圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(1，1)，圆心到直线x －y＝2的距离为|1－1－2|1＋1＝2，圆心到直线的距离加上半径就是圆上的点到直线的最大距离，即最大距离为1＋ 2.答案：B5．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1B ．(x －2)2＋(y －2)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1解析：设点(x ，y )与圆C 1的圆心(－1，1)，关于直线x －y －1＝0对称，则⎩⎪⎨⎪⎧y －1x ＋1＝－1，x －12－y ＋12－1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－2，故圆C 2的圆心为(2，－2)，又知其半径为1，故圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1.答案：D二、填空题6．已知两圆C 1：(x －5)2＋(y －3)2＝9和C 2：(x －2)2＋(y ＋1)2＝5，则两圆圆心间的距离为__________．解析：C 1(5，3)，C 2(2，－1)，根据两点间距离公式得|C 1C 2|＝（5－2）2＋（3＋1）2＝5.答案：57．圆心为直线x －y ＋2＝0与直线2x ＋y －8＝0的交点，且过原点的圆的标准方程是____________．解析：由⎩⎨⎧x －y ＋2＝0，2x ＋y －8＝0，可得x ＝2，y ＝4，即圆心为(2，4)从而r ＝（2－0）2＋（4－0）2＝25，故圆的标准方程为(x －2)2＋(y －4)2＝20.答案：(x －2)2＋(y －4)2＝20.8．点(5a ＋1，a )在圆(x －1)2＋y 2＝26的内部，则a 的取值范围是____________．解析：由于点在圆的内部，所以(5a ＋1－1)2＋(a )2<26，即26a <26，又a ≥0，解得0≤a <1.答案：0≤a <1三、解答题9．求经过A (－1，4)，B (3，2)两点且圆心在y 轴上的圆的方程． 解：法一 设圆心坐标为(a ，b )．因为圆心在y 轴上，所以a ＝0.设圆的标准方程为x 2＋(y －b )2＝r 2.因为该圆过A ，B 两点，所以⎩⎨⎧（－1）2＋（4－b ）2＝r 2，32＋（2－b ）2＝r 2，解得⎩⎨⎧b ＝1，r 2＝10.所以所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.法二 因为线段AB 的中点坐标为(1，3)，k AB ＝2－43－（－1）＝－12， 所以弦AB 的垂直平分线方程为y －3＝2(x －1)，即y ＝2x ＋1. 由⎩⎨⎧y ＝2x ＋1，x ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1.所以点(0，1)为圆的圆心．由两点间的距离公式，得圆的半径r ＝10，所以所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.10．求圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y ＋1)2＝54关于直线x －y ＋1＝0对称的圆的方程．解：圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y ＋1)2＝54的圆心为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1， 半径r ＝52.设所求圆的圆心为(m ，n )， 因为它与⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1关于直线x －y ＋1＝0对称， 因为⎩⎪⎨⎪⎧n ＋1m －12×1＝－1，m ＋122－n －12＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝32. 所以所求圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，32，半径r ＝52. 所以对称圆的方程是(x ＋2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝54. B 级 能力提升1．过点P (1，1)的直线将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )A ．x ＋y －2＝0B ．y －1＝0C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝0解析：两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径．因为过点P (1，1)的直径所在直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为－1，方程x ＋y －2＝0.答案：A2．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为________．解析：两圆的圆心均在第一象限，先求|PC1|＋|PC2|的最小值．作点C1关于x轴的对称点C′1(2，－3)，则(|PC1|＋|PC2|)min＝|C′1C′2|＝52，所以(|PM|＋|PN|)min＝52－(1＋3)＝52－4.答案：52－4.3．已知圆C的圆心坐标为C(x0，x0)，且过定点P(4，2)．(1)求圆C的方程(用含x0的方程表示)；(2)当x0为何值时，圆C的面积最小？并求出此时圆C的标准方程．解：(1)由题意，设圆C的标准方程为(x－x0)2＋(y－x0)2＝r2(r≠0)．因为圆C过定点P(4，2)，所以(4－x0)2＋(2－x0)＝r2(r≠0)，所以r2＝2x20－12x0＋20.所以圆C的标准方程为(x－x0)2＋(y－x0)2＝2x20－12x0＋20.(2)因为(x－x0)2＋(y－x0)2＝2x20＋20＝2(x0－3)2＋2，所以当x0＝3时，圆C的半径长最小，即面积最小，此时圆C的标准方程为(x－3)2＋(y－3)2＝2.沁园春·雪 <毛泽东>北国风光，千里冰封，万里雪飘。

评估验收卷(三)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线x －y ＝0的倾斜角为( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°解析：因为直线的斜率为1，所以tan α＝1，即倾斜角为45°. 答案：A2．若三点A (0，8)，B (－4，0)，C (m ，－4)共线，则实数m 的值是( )A ．6B ．－2C ．－6D ．2解析：因为A 、B 、C 三点共线，所以k AB ＝k AC ，所以8－00－（－4）＝8－（－4）－m，所以m ＝－6. 答案：C3．倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是( )A ．x －y ＋1＝0B ．x －y －1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋1＝0 解析：由斜截式可得直线方程为y ＝－x －1，化为一般式即为x ＋y ＋1＝0.答案：D4．已知点A (0，4)，B (4，0)在直线l 上，则直线l 的方程为( )A ．x ＋y －4＝0B ．x －y －4＝0C ．x ＋y ＋4＝0D ．x －y ＋4＝0解析：由截距式方程可得l 的方程为x 4＋y 4＝1，即x ＋y －4＝0. 答案：A5．已知直线l 1：(a －1)x ＋(a ＋1)y －2＝0和直线l 2：(a ＋1)x ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：因为l 1⊥l 2，所以(a －1)(a ＋1)＋2a ＋2＝0，所以a 2＋2a ＋1＝0，即a ＝－1.答案：A6．和直线5x －4y ＋1＝0关于x 轴对称的直线方程为( )A ．5x ＋4y ＋1＝0B ．5x ＋4y －1＝0C ．－5x ＋4y －1＝0D ．－5x ＋4y ＋1＝0解析：设所求直线上的任一点为(x ，y )，则此点关于x 轴对称的点的坐标为(x ，－y )，因为点(x ，－y )在直线5x －4y ＋1＝0上，所以5x ＋4y ＋1＝0，故所求直线方程为5x ＋4y ＋1＝0.答案：A7．已知A (2，4)与B (3，3)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( )A ．x ＋y ＝0B ．x －y ＝0C ．x ＋y －6＝0D ．x －y ＋1＝0解析：由已知得直线l 是线段AB 的垂直平分线，所以直线l 的斜率为1，且过线段AB 中点⎝ ⎛⎭⎪⎫52，72，由点斜式得方程为y －72＝x －52，化简得x －y ＋1＝0.答案：D8．直线l 过点A (3，4)且与点B (－3，2)的距离最远，那么l 的方程为( )A ．3x －y －13＝0B ．3x －y ＋13＝0C ．3x ＋y －13＝0D ．3x ＋y ＋13＝0解析：因为过点A 的直线l 与点B 的距离最远，所以直线AB 垂直于直线l ，直线l 的斜率为－3，由点斜式可得直线l 的方程为3x ＋y －13＝0.答案：C9．过点(3，－6)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是( )A ．2x ＋y ＝0B ．x ＋y ＋3＝0C ．x －y ＋3＝0D ．x ＋y ＋3＝0或2x ＋y ＝0解析：当截距均为0时，设方程为y ＝kx ，将点(3，－6)代入得k ＝－2，此时直线方程为2x ＋y ＝0；当截距不为0时，设直线方程为x a ＋y a＝1，将(3，－6)代入得a ＝－3，此时直线方程为x ＋y ＋3＝0.答案：D10．设点A (3，－5)，B (－2，－2)，直线l 过点P (1，1)且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A ．k ≥1或k ≤－3B ．－3≤k ≤1C ．－1≤k ≤3D ．以上都不对解析：如图所示，直线PB ，PA 的斜率分别为k PB ＝1，k PA ＝－3，结合图形可知k ≥1或k ≤－3.答案：A11．若a ，b 满足a ＋2b ＝1，则直线ax ＋3y ＋b ＝0必过定点( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－16 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－16 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，16 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，16 解析：采用赋值法，令a ＝－1，b ＝1或a ＝1，b ＝0，得直线方程分别为－x ＋3y ＋1＝0，x ＋3y ＝0，其交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－16，此即为直线所过的定点．答案：B12．如图所示，已知两点A (4，0)，B (0，4)，从点P (2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( )A．210 B．6C．3 3 D．2 5解析：易得AB所在的直线方程为x＋y＝4，由于点P关于直线AB对称的点为A1(4，2)，点P关于y轴对称的点为A′(－2，0)，则光线所经过的路程即A1(4，2)与A′(－2，0)两点间的距离．于是|A1A′|＝（4＋2）2＋（2－0）2＝210.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角为45°，则m的值为________．解析：直线的斜率k＝2m2－5m＋2m2－4＝1，解得m＝2或m＝3.但当m＝2时，m2－4＝0，直线的斜率不存在，此时倾斜角为90°舍去．所以m＝3.答案：314．已知斜率为2的直线经过点A(3，5)，B(a，7)，C(－1，b)三点，则a，b的值分别为________．解析：由题意得⎩⎨⎧k AC ＝2，k AB＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧b －5－1－3＝2，7－5a －3＝2， 解得a ＝4，b ＝－3.答案：4，－3 15．已知直线l 在y 轴上的截距是－3，它被两坐标轴截得的线段的长为5，则此直线的方程为______________________________．解析：设所求的直线方程为x a ＋y －3＝1，则此直线与x 轴交于点(a ，0)，与y 轴交于点(0，－3)，由两点间的距离公式解得a ＝±4，故所求的直线方程为x ±4＋y －3＝1，即3x ＋4y ＋12＝0或3x －4y －12＝0.答案：3x ＋4y ＋12＝0或3x －4y －12＝016．已知直线l 1：mx ＋4y －2＝0与l 2：2x －5y ＋n ＝0相互垂直，且垂足为(1，p )，则m －n ＋p 的值为________．解析：因为l 1⊥l 2，所以2m ＋4×(－5)＝0，解得m ＝10； 又因为点(1，p )在l 1上，所以10＋4p －2＝0，即p ＝－2； 又因为点(1，p )也在l 2上，所以2－5×(－2)＋n ＝0，即n ＝－12.所以m －n ＋p ＝20.答案：20三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知直线l 1：ax ＋by ＋1＝0(a ，b 不同时为0)，l 2：(a －2)x ＋y ＋a ＝0，(1)若b ＝0，且l 1⊥l 2，求实数a 的值；(2)当b ＝3，且l 1∥l 2时，求直线l 1与l 2之间的距离．解：(1)当b ＝0时，直线l 1的方程为ax ＋1＝0，由l 1⊥l 2，知a －2＝0，解得a ＝2.(2)当b ＝3时，直线l 1的方程为ax ＋3y ＋1＝0，当l 1∥l 2时，有⎩⎨⎧a －3（a －2）＝0，3a －1≠0，解得a ＝3， 此时，直线l 1的方程为3x ＋3y ＋1＝0，直线l 2的方程为x ＋y ＋3＝0，即3x ＋3y ＋9＝0.故所求距离为d ＝|1－9|9＋9＝423. 18．(本小题满分12分)在△ABC 中，BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的平分线所在的直线方程为y ＝0，若点B 的坐标为(1，2)，求点A 和点C 的坐标．解：由方程组⎩⎨⎧x －2y ＋1＝0，y ＝0解得点A 的坐标为(－1，0)． 又直线AB 的斜率k AB ＝1，x 轴是∠A 的平分线，所以k AC ＝－1，则AC 边所在的直线方程为y ＝－(x ＋1)．①又已知BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，故直线BC 的斜率k BC ＝－2，所以BC 边所在的直线方程为y －2＝－2(x －1)．②解①②组成的方程组得⎩⎨⎧x ＝5，y ＝－6，即顶点C 的坐标为(5，－6)．19.(本小题满分12分)如图所示，已知点A (2，3)，B (4，1)，△ABC 是以AB 为底边的等腰三角形，点C 在直线l ：x －2y ＋2＝0上．(1)求AB 边上的高CE 所在直线的方程；(2)求△ABC 的面积．解：(1)由题意可知，E 为AB 的中点，所以E (3，2)，且k CE ＝－1k AB＝1， 所以CE 所在直线方程为：y －2＝x －3，即x －y －1＝0.(2)由⎩⎨⎧x －2y ＋2＝0，x －y －1＝0得C (4，3)，所以|AC |＝|BC |＝2， AC ⊥BC ，所以S △ABC ＝12|AC |·|BC |＝2. 20．(本小题满分12分)已知点P (2，－1)．(1)求过点P且与原点的距离为2的直线方程．(2)求过点P且与原点的距离最大的直线方程，并求出最大值．(3)是否存在过点P且与原点的距离为3的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)当斜率不存在时，方程x＝2符合题意；当直线的斜率存在时，设为k，则直线方程应为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.由题意，得|2k＋1|k2＋1＝2.解得k＝34.所以直线方程为3x－4y－10＝0.所以适合题意的直线方程为x－2＝0或3x－4y－10＝0.(2)过点P，且与原点的距离最大的直线应为过点P且与OP垂直的直线，易求其方程为2x－y－5＝0，且最大距离d＝ 5.(3)由于原点到过点P(2，－1)的直线的最大距离为5，而3>5，故不存在这样的直线．21．(本小题满分12分)设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．(1)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围；(2)证明：不论a为何值，直线恒过某定点，并求出这个定点的坐标；(3)证明：不论a为何值，直线恒过第四象限．(1)解：将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，欲使l不经过第二象限，当且仅当⎩⎨⎧－（a ＋1）>0，a －2≤0或⎩⎨⎧－（a ＋1）＝0，a －2≤0，成立． 所以a ≤－1，故所求a 的取值范围为a ≤－1.(2)证明：方程可整理成a (x －1)＋x ＋y ＋2＝0，当x ＝1，y ＝－3时方程a (x －1)＋x ＋y ＋2＝0对a ∈R 恒成立，因此，直线恒过点(1，－3)．(3)证明：由(2)知，直线恒过第四象限内的点(1，－3)，因此，不论a 为何值，直线恒过第四象限．22．(本小题满分12分)在直线l ：3x －y －1＝0上求一点P ，使得：(1)P 到A (4，1)和B (0，4)的距离之差最大；(2)P 到A (4，1)和C (3，4)的距离之和最小．解：如图①所示，设点B 关于l 的对称点为B ′，AB ′与l 的交点P 满足(1)；如图②所示，设点C 关于l 的对称点为C ′，AC ′与l 的交点P 满足(2)．图① 图②对于(1)，若P ′是l 上异于P 的点，则|P ′A |－|P ′B |＝|P ′A |－|P ′B ′|<|AB ′|＝|PA |－|PB ′|＝|PA |－|PB |；对于(2)，若P ′是l 上异于P 的点，则|P ′A |＋|P ′C |＝|P ′A |＋|P ′C |>|AC ′|＝|PA |＋|PC ′|＝|PA |＋|PC |.(1)设点B 关于l 的对称点B ′的坐标为(a ，b )，则k BB ′·k l ＝－1，即3×b －4a＝－1，所以a ＋3b －12＝0①. 又由于线段BB ′的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 2，b ＋42，且中点在直线上， 所以3×a 2－b ＋42－1＝0，即3a －b －6＝0②. 联立①②得，a ＝3，b ＝3，所以B ′(3，3)．于是直线AB ′的方程为y －13－1＝x －43－4，即2x ＋y －9＝0. 解⎩⎨⎧3x －y －1＝0，2x ＋y －9＝0，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝5，即此时所求点P 的坐标为(2，5)．(2)设点C 关于l 的对称点为C ′，同理可求出C ′的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，245. 所以直线AC ′的方程为19x ＋17y －93＝0，解⎩⎨⎧3x －y －1＝019x ＋17y －93＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝117，y ＝267，故此时所求点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫117，267.沁园春·雪 <毛泽东>北国风光，千里冰封，万里雪飘。

第四章 圆与方程4.1 圆的方程4.1.2 圆的一般方程A 级 基础巩固一、选择题1．若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．－3解析：因为圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心为(－1，2)， 所以3x ＋y ＋a ＝0过点(－1，2)，即－3＋2＋a ＝0，所以a ＝1.答案：B2．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为( ) A ．－2或2B.12或32 C ．2或0 D ．－2或0解析：由圆心(1，2)到直线的距离公式得|1－2＋a |2＝22，得a ＝0或a ＝2.答案：C3．方程x2＋y2＋2ax－b2＝0表示的图形是()A．一个圆B．只有当a＝0时，才能表示一个圆C．一个点D．a，b不全为0时，才能表示一个圆解析：(2a)2＋4b2＝4(a2＋b2)，当a＝b＝0时，方程表示一个点；当a≠0或b≠0时方程表示一个圆．答案：D4．若圆O：x2＋y2＝4和圆C：x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线l对称，则直线l的方程是()A．x＋y＝0 B．x＋y－2＝0C．x－y－2＝0 D．x－y＋2＝0解析：因为两圆的圆心坐标为O(0，0)和C(－2，2)，直线l为线段OC的垂直平分线，所以直线l的方程是x－y＋2＝0.答案：D5．方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是半径为r(r>0)的圆，则该圆圆心在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：因为方程表示的图形是圆，所以a2＋(－2a)2－4(2a2＋3a)>0，即－4<a<0.所以圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，a ，在第四象限． 答案：D二、填空题6．圆x 2＋y 2－6x ＋4y ＝0的周长是________．解析：(x －3)2＋(y ＋2)2＝13，r ＝13，l ＝2πr ＝213π.答案：213π7．已知点P 是圆C ：x 2＋y 2＋4x ＋ay －5＝0上任意一点，P 点关于直线2x ＋y －1＝0的对称点也在圆C 上，则实数a ＝________．解析：由题意圆心⎝⎛⎭⎪⎫－2，－a 2应在直线2x ＋y －1＝0上，代入解得a ＝－10，符合D 2＋E 2－4F >0的条件．答案：－108．已知圆x 2＋y 2＋kx ＋2y ＝－k 2，当该圆的面积取最大值时，圆心坐标为________．解析：由x 2＋y 2＋kx ＋2y ＝－k 2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝－34k 2＋1. 所以当－34k 2＝0，即k ＝0时，圆的面积最大，此时圆心坐标为(0，－1)．答案：(0，－1)三、解答题9．求经过两点P (－2，4)，Q (3，－1)，并且在x 轴上截得的弦长等于6的圆的方程．解：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将P (－2，4)，Q (3，－1)代入圆的方程得⎩⎨⎧2D －4E －F ＝20，3D －E ＋F ＝－10.令y ＝0得x 2＋Dx ＋F ＝0.设x 1，x 2为方程x 2＋Dx ＋F ＝0的两根．由|x 1－x 2|＝6有D 2－4F ＝36，解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0. 所以圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.10．若A (5，0)、B (－1，0)、C (－3，3)三点的外接圆为⊙M ，点D (m ，3)在⊙M 上，求m 的值．解：设过A (5，0)、B (－1，0)、C (－3，3)的圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.依题意有⎩⎪⎨⎪⎧52＋02＋5D ＋E ×0＋F ＝0，（－1）2＋02－D ＋E ×0＋F ＝0，（－3）2＋32－3D ＋3E ＋F ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝－253，F ＝－5，即所求圆的方程为x 2＋y 2－4x －253y －5＝0.因为点D (m ，3)在⊙M 上，所以m 2＋32－4m －253×3－5＝0， 解得m ＝－3或m ＝7.B 级 能力提升1．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为( ) A.5 B ．5 C ．25 D ．10解析：圆M 的圆心为(－2，－1)，由题意知点M 在直线l 上，所以－2a －b ＋1＝0，所以b ＝－2a ＋1，所以(a －2)2＋(b －2)2＝(a －2)2＋(－2a ＋1－2)2＝5a 2＋5≥5.答案：B2．由方程x 2＋y 2＋x ＋(m －1)y ＋12m 2＝0所确定的圆中，最大面积是________．解析：r 2＝1＋（m －1）2－4×12m 24＝－m 2－2m ＋24， 所以当m ＝－1时，r 2max ＝34，所以S max ＝34π. 答案：34π 3．在△ABC 中，|BC |＝4，|AB |＝3|AC |.(1)建立适当的直角坐标系，求A 的轨迹方程，并说明是何种曲线；(2)求△ABC 面积的最大值．解：(1)以BC 所在的直线为x 轴，B 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系．则B 、C 的坐标分别为B (0，0)，C (4，0)．设A 的坐标为(x ，y )，(y ≠0)．由|AB |＝3|AC |，得x 2＋y 2＝ 3（x －4）2＋y 2， 化简得x 2＋y 2－9x ＋18＝0，即A 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －922＋y 2＝94(y ≠0)． 所以A 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫92，0为圆心，半径为32的圆[除去点(3，0)与(6，0)]．(2)由(1)知，当点A 到BC 的距离的最大值为半径r ＝32时，△ABC 的面积最大，最大值为12|BC |·r ＝12×4×32＝3.沁园春·雪 <毛泽东>北国风光，千里冰封，万里雪飘。

第三章 直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率3.1.1 倾斜角与斜率A 级 基础巩固一、选择题1．给出下列说法，正确的个数是( )①若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等；②一条直线的倾斜角为－30°③倾斜角为0°的直线只有一条；④直线的倾斜角α的集合{α|0°≤α＜180°}与直线集合建立了一一对应关系．A ．0B ．1C ．2D ．3解析：若两直线的倾斜角为90°，则它们的斜率不存在，①错；直线倾斜角的取值范围是[0°，180°)，②错；所有垂直于y 轴的直线倾斜角均为0°，③错，不同的直线可以有相同的倾斜角，④错．答案：A2．过两点A (4，y )，B (2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y ＝( )A ．－32 B.32C ．－1D ．1 解析：tan 45°＝k AB ＝y ＋34－2，即y ＋34－2＝1，所以y ＝－1. 答案：C3．经过两点A (2，1)，B (1，m )的直线的倾斜角为锐角，则m 的取值范围是( )A ．m ＜1B ．m ＞－1C ．－1＜m ＜1D ．m ＞1或m ＜－1 解析：k AB ＝m －11－2＝1－m ，因为直线AB 的倾斜角为锐角，所以k AB ＞0，即1－m ＞0，所以m ＜1.答案：A4．如图所示，设直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 1，k 2，k 3的大小关系为( )A ．k 1＜k 2＜k 3B ．k 1＜k 3＜k 2C ．k 2＜k 1＜k 3D ．k 3＜k 2＜k 1解析：根据“斜率越大，直线的倾斜程度越大”可知选项A 正确．答案：A5．斜率为2的直线经过点A (3，5)、B (a ，7)、C (－1，b )三点，则a 、b 的值分别为( )A ．4，0B ．－4，－3C ．4，－3D ．－4，3 解析： 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧k AC ＝2，k AB ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧b －5－1－3＝2，7－5a －3＝2.解得a ＝4，b ＝－3.答案：C二、填空题6．直线l 的斜率为k ，倾斜角是α，－1＜k ＜1，则α的取值范围是________． 解析：由题意即已知－1＜tan α＜1，0°≤α＜180°，求出α即可．答案：⎣⎡⎭⎫0，π4∪⎝⎛⎭⎫3π4，π 7．若经过点P (1－a ，1＋a )和Q (3，2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是________．解析：因为k ＝a －1a ＋2且直线的倾斜角为钝角，所以a －1a ＋2＜0，解得－2＜a ＜1. 答案：(－2，1)8．直线l 过点A (1，2)，且不过第四象限，则直线l 的斜率的取值范围是________． 解析：如图，当直线l 在l 1位置时，k ＝tan 0°＝0；当直线l 在l 2位置时，k ＝2－01－0＝2，故直线l 的斜率的取值范围是[0，2]．答案：[0，2]三、解答题9．已知两点A (－3，4)，B (3，2)，过点P (2，－1)的直线l 与线段AB 有公共点．求直线l 的斜率k 的取值范围．解：如图所示，由题意可知：k PA ＝4－（－1）－3－2＝－1，k PB ＝2－（－1）3－2＝3. 要使l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是k ≤－1或k ≥3.10．求经过A (m ，3)，B (1，2)两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围． 解：当m ＝1时，直线斜率不存在，此时直线的倾斜角为α＝90°.当m ≠1时，由斜率公式可得k ＝3－2m －1＝1m －1. ①当m ＞1时，k ＝1m －1 ＞0，所以直线的倾斜角的取值范围是0°＜α＜90°. ②当m ＜1时，k ＝1m －1＜0，所以直线的倾斜角的取值范围是90°＜α＜180°. B 级 能力提升1．已知直线l 1的斜率为1，l 2的斜率为α，其中α为实数，当两直线的夹角在(0°，15°)内变动时，α的取值范围是( )A ．(0，1)B.⎝⎛⎭⎫33，3C.⎝⎛⎭⎫33，1∪(1，3) D ．(1，3)解析：因为l 1的倾斜角为45°，所以l 2的倾斜角的取值范围为(30°，45°) ∪(45°，60°)，所以α的取值范围为⎝⎛⎭⎫33，1∪(1，3)． 答案：C2．若直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是________．解析：设P (a ，b )为l 上任一点，经过平移后，点P 到达点Q (a －3，b ＋1)，此时直线PQ 与l 重合，故l 的斜率k ＝k PQ ＝（b ＋1）－b （a －3）－a＝－13. 答案：－133．点M (x 、y )在函数y ＝－2x ＋8的图象上，当x ∈[2，5]时，求y ＋1x ＋1的取值范围． 解：y ＋1x ＋1＝y －（－1）x －（－1）的几何意义是过M (x ，y )，N (－1，－1)两点的直线的斜率． 因为点M 在函数y ＝－2x ＋8的图象上，且x ∈[2，5]，所以设该线段为AB 且A (2，4)，B (5，－2)，如图．因为k NA ＝53，k NB ＝－16所以－16≤y ＋1x ＋1≤53. 所以y ＋1x ＋1的取值范围为⎣⎡⎦⎤－16，53.。