高中数学 椭圆 板块一 椭圆的方程完整讲义(学生版)

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考点一：椭圆的定义及其应用 (2)题型一：利用定义判断轨迹 (2)考点二：椭圆的标准方程及其几何性质 (2)题型二：椭圆的标准方程相应问题 (3)题型三：椭圆简单性质问题 (3)课后综合巩固练习 (4)考点一：椭圆的定义及其应用椭圆的定义：平面内与两个定点12F F ，的距离之和等于常数（大于12||F F ）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．依椭圆的定义，设P 是椭圆上一点，则有122PF PF a +=，（a 为常数且22)a c >题型一：利用定义判断轨迹1．（2017•天心区校级学业考试）设1F ，2F 为定点，12||6F F =，动点M 满足12||||6MF MF +=，则动点M 的轨迹是( ) A ．椭圆B ．直线C ．圆D ．线段2．（2016秋•兴庆区校级期末）点(,)M x y 与定点(4,0)F 的距离和它到直线25:4l x =的距离的比是常数45，求M 的轨迹． 考点二：椭圆的标准方程及其几何性质椭圆的标准方程：①22221(0)x y a b a b +=>>，焦点是1(0)F c -，，2(0)F c ，，且222c a b =-． ②22221(0)y x a b a b +=>>，焦点是1(0)F c -，，2(0)F c ，，且222c a b =-． 椭圆的几何性质1．范围：a x a -≤≤，b y b -≤≤；2．对称性：以x 轴、y 轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的对称中心又叫做椭圆的中心；3．椭圆的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，如图中的1212A A B B ，，，； 4．长轴与短轴：焦点所在的对称轴上，两个顶点间的线段称为椭圆的长轴，如图中线段的12A A ；另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴，如图中的线段12B B ． 5．椭圆的离心率：ce a=，焦距与长轴长之比，01e <<，e 越趋近于1，椭圆越扁； 反之，e 越趋近于0，椭圆越趋近于圆．题型二：椭圆的标准方程相应问题1．（2018秋•娄底期末）设椭圆22221(0,0)x y m n m n +=>>的一个焦点为(0,2)-，离心率为12，则(m n -= ) A．8-B．4C．8D22．（2017秋•龙岗区期末）已知ABC ∆的周长为20，且顶点B (0,4)-，C (0,4)，则顶点A 的轨迹方程是( )A ．221(0)3620x y x +=≠B ．221(0)2036x y x +=≠C ．221(0)620x y x +=≠D ．221(0)206x y x +=≠3．（2018秋•未央区校级期末）若曲线22111x y k k +=-+表示椭圆，则k 的取值范围是( )A ．1k >B ．1k <-C ．11k -<<D ．10k -<<或01k <<题型三：椭圆简单性质问题1．（2019•北京）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，则( )A ．222a b =B ．2234a b =C ．2a b =D ．34a b =2．（2019•昆明模拟）己知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>，直线l 过焦点且倾斜角为4π，以椭圆的长轴为直径的圆截l 所得的弦长等于椭圆的焦距，则椭圆的离心率为( )A B C D 课后综合巩固练习1．（2018秋•南关区校级期末）椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程为( )A ．22110084x y +=B ．221259x y +=C ．22110084x y +=或22184100x y +=D ．221259x y +=或221259y x +=2．（2019•聊城三模）若方程2244x ky k +=表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为( ) A ．4k >B ．4k =C ．4k <D ．04k <<3．（2019春•湖州期中）经过点P 且与椭圆2214x y +=相切的直线方程是( )A ．40x +-=B ．40x --=C ．20x +-=D ．20x -+=4．（2019春•惠城区校级月考）设1F 是椭圆2219x y +=的一个焦点，AB 是经过另一个焦点2F 的弦，则△1AF B 的周长是( )A ．12B ．6C ．4D ．85．（2019春•厦门期末）已知椭圆222:1(0)25x y C m m +=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P在C 上，且△12PF F 的周长为16，则m 的值是( )A ．2B ．3C ．D ．46．（2019春•雅安期末）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别是1F 、2F ，以2F 为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P ，若直线1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，则椭圆的离心率为( )A 1BC ．2D。

椭圆及其标准方程1． 我们把平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ．反思：若将常数记为2a ，为什么122a F F >？ 当122a F F =时，其轨迹为 ；当122a F F <时，其轨迹为 ． ２．焦点在x 轴上的椭圆的标准方程()222210x y a b a b +=>> 222()a b c =+ 两个焦点坐标 . 焦点在y 轴上的椭圆的标准方程222()a b c =+ 两个焦点坐标 .如何判断椭圆的焦点位置和标准方程中的系数？ 3.典型例题例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴4,1a b ==，焦点在x 轴上；⑵4,a c ==y 轴上；⑶10,a b c +==．变式：方程214x y m+=表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的范围 ． 例2 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，(2,0)，并且经过点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，求它的标准方程 ．4.练习1．平面内一动点M 到两定点1F 、2F 距离之和为常数2a ，则点M 的轨迹为（ ）．A ．椭圆B ．圆C ．无轨迹D ．椭圆或线段或无轨迹2．如果椭圆22110036x y +=上一点P 到焦点1F 的距离等于6，那么点P 到另一个焦点2F 的距离是（ ）．A ．4B ．14C ．12D ．83．如果方程222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ）．A ．(0,)+∞B ．(0,2)C ．(1,)+∞D ．(0,1)4. 已知ABC ∆的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是（ ）．A ．B ．6C ．D ．125．椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15，则椭圆的标准方程是 ．6．如果点(,)M x y 在运动过程中，10，点M 的轨迹是 ，它的方程是 ．7. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴焦点在x 轴上，焦距等于4，并且经过点(3,P -；⑵焦点坐标分别为()()0,4,0,4-，5a =；⑶10,4a c a c +=-= 8.方程219x y m-=表示焦点在y 轴上的椭圆，求实数m 的范围．椭圆及其简单几何性质1.椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的几何性质 图形：范围：x ： y ：对称性：椭圆关于 轴、 轴和 都对称；顶点：（ ），（ ），（ ），（ ）；长轴，其长为 ；短轴，其长为 ；离心率：刻画椭圆 程度．椭圆的焦距与长轴长的比c a 称为离心率，记c e a=，且01e <<． 椭圆)0(12222>>=+b a bx a y 的几何性质 图形：范围：x ： y ：对称性：椭圆关于 轴、 轴和 都对称；顶点：（ ），（ ），（ ），（ ）；长轴，其长为 ；短轴，其长为 ；离心率： c e a== ． 2.典型例题例1. 求椭圆221625400x y +=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标． 例2．求适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴焦点在x 轴上，6a =，13e =；⑵焦点在y 轴上，3c =，35e =； ⑶经过点(3,0)P -，(0,2)Q -； ⑷长轴长等到于20，离心率等于35． 3.练习1．若椭圆2215x y m+=的离心率e =，则m 的值是（ ）．A ．3B ．3或253C D 2．若椭圆经过原点，且焦点分别为1(1,0)F ，2(3,0)F ，则其离心率为（ ）．A ．34B ．23C ．12D ．143，离心率23e =的椭圆两焦点为12,F F ，过1F 作直线交椭圆于,A B 两点，则2ABF ∆的周长为（ ）．A ．3B ．6C ．12D ．244．已知点P 是椭圆22154x y +=上的一点，且以点P 及焦点12,F F 为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标是 ．5．某椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是6．设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）．A.B. C. 2 D. 1 7．已知椭圆221169x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ）．A. 95B. 3C. 94D. 8．椭圆的焦距、短轴长、长轴长组成一个等比数列，则其离心率为 ．9．比较下列每组椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？⑴22936x y +=与2211612x y += ；⑵22936x y +=与221610x y += 10．求适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴经过点(P -，Q ；⑵长轴长是短轴长的3倍，且经过点(3,0)P ；⑶焦距是8，离心率等于0.8．。

2.1椭圆第1课时椭圆及其标准方程1．归纳总结，核心必记(1)椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．(2)椭圆的标准方程(－c，0)，(c，0)(0，－c)，(0，c)例题1（椭圆定义理解）已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，F1，F2是它的焦点．过F1的直线AB与椭圆交于A、B两点，求△ABF2的周长．解：∵|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，又∵△ABF2的周长＝|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a，∴△ABF2的周长为4a.由椭圆的定义可知，点的集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}(其中|F1F2|＝2c)表示的轨迹有三种情况：当a>c时，集合P为椭圆；当a＝c时，集合P为线段F1F2；当a<c时，集合P 为空集．在利用椭圆的定义判断有关点的轨迹问题时一定要注意所给常数与已知两定点之间距离的大小关系．因为椭圆上的点与两个焦点构成一个三角形，所以可联系三角形两边之和大于第三边来帮助记忆．案例11．已知命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a，其中a为大于0的常数；命题乙：P 点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 若点P 的轨迹是椭圆，则一定有|P A |＋|PB |＝2a (a >0，为常数)． 所以甲是乙的必要条件．反过来，若|P A |＋|PB |＝2a (a >0，为常数)，当2a >|AB |时，点P 的轨迹是椭圆；当2a ＝|AB |时，点P 的轨迹是线段AB ；当2a <|AB |时，点P 的轨迹不存在，所以甲不是乙的充分条件．综上可知，甲是乙的必要不充分条件．2．已知定点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝8，动点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝8，则动点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．圆 C ．直线 D ．线段解析：选D 因为|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|，所以动点P 的轨迹是线段F 1F 2. 例题2（求椭圆的标准方程）(1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，并且经过点⎝⎛⎭⎫52，－32，求它的标准方程；(2)若椭圆经过两点(2，0)和(0，1)，求椭圆的标准方程．解：(1) ∵椭圆的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由椭圆的定义知 2a ＝⎝⎛⎭⎫52＋22＋⎝⎛⎭⎫－322＋ ⎝⎛⎭⎫52－22＋⎝⎛⎭⎫－322＝210，∴a ＝10.又∵c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝10－4＝6. ∴所求椭圆的标准方程为x 210＋y 26＝1.(2) 设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )． ∵椭圆过(2，0)和(0，1)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧4m ＝1，n ＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14，n ＝1.综上可知，所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.案例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点坐标分别是(－3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0)；(2)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，－5)，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26. 解：(1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．因为2a ＝（5＋3）2＋02＋（5－3）2＋02＝10，2c ＝6，所以a ＝5，c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝52－32＝16.所以所求椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1.(2)因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．因为2a ＝26，2c ＝10， 所以a ＝13，c ＝5. 所以b 2＝a 2－c 2＝144.所以所求椭圆的标准方程为y 2169＋x 2144＝1.例题3（与椭圆有关的轨迹问题）已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .求C 的方程．[尝试解答] 由已知得圆M 的圆心为M (－1，0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1，0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .动圆P 与圆M 外切并且与圆 N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆定义可知，曲线C 是以M 、N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为 3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．解决与椭圆有关的轨迹问题的两种方法(1)定义法：用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可．(2)相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法．案例3 如图，圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝16及点A (1，0)，Q 为圆上一点，AQ 的垂直平分线交CQ 于M ，求点M 的轨迹方程．解：由垂直平分线性质可知|MQ |＝|MA |，∴|CM |＋|MA |＝|CM |＋|MQ |＝|CQ |. ∴|CM |＋|MA |＝4.又|AC |＝2， ∴M 点的轨迹为椭圆．由椭圆的定义知，a ＝2，c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3. ∴所求轨迹方程为x 24＋y 23＝1.例题4 （与焦点有关的三角形问题）如图所示，P 是椭圆x 24＋y 23＝1上的一点，F 1，F 2为椭圆的左、右焦点，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．[思考点拨] 由余弦定理结合椭圆的定义求出|PF 1|，再代入三角形的面积公式求解． [尝试解答] 由已知a ＝2，b ＝3， 得c ＝a 2－b 2＝4－3＝1，|F 1F 2|＝2c ＝2.在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1||F 1F 2|·cos 120°，即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|， ① 由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4， 即|PF 2|＝4－|PF 1|. ② ②代入①解得|PF 1|＝65.∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|F 1F 2|·sin 120°＝12×65×2×32＝335.即△PF 1F 2的面积是335.第2课时 椭圆的简单几何性质1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 37～P 40“探究”的内容，回答下列问题． 观察教材P 38－图2.1－7，思考以下问题：(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中x ，y 的取值范围各是什么？提示：－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b ．(2)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的对称轴和对称中心各是什么？提示：对称轴为x 轴和y 轴，对称中心为坐标原点(0，0)． (3)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)与坐标轴的交点坐标是什么？提示：与x 轴的交点坐标为(±a ，0)，与y 轴的交点坐标为(0，±b )． (4)椭圆的长轴和短轴分别对应图中的哪些线段？ 提示：长轴为A 1A 2，短轴为B 1B 2.(5)椭圆的离心率是什么？用什么符号表示？其取值范围是什么？ 提示：离心率e ＝ca；0<e <1.(6)如果保持椭圆的长半轴长a 不变，改变椭圆的短半轴长b 的值，你发现b 的变化与椭圆的扁圆程度有什么关系？提示：b 越大，椭圆越圆；b 越小，椭圆越扁． (7)根据离心率的定义及椭圆中a ，b ，c 的关系可知， e ＝c a＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2，所以e 越接近于1，则c 越接近于a ，从而b ＝a 2－c 2就越小；e 越接近于0，则c 越接近于0，从而b 越接近于a .那么e 的大小与椭圆的扁圆程度有什么关系？提示：e 越大，椭圆越扁；e 越小，椭圆越圆． 2．归纳总结，核心必记 椭圆的简单几何性质(1)借助椭圆图形分析，你认为椭圆上到对称中心距离最近和最远的点各是哪些？ 提示：短轴端点B 1和B 2到中心O 的距离最近；长轴端点A 1和A 2到中心O 的距离最远． (2)借助椭圆图形分析，你认为椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值各是何值？ 提示：点(a ，0)，(－a ，0)与焦点F 1(－c ，0)的距离分别是椭圆上的点与焦点F 1的最大距离和最小距离，分别为a ＋c 和a －c ．(3)如何用a ，b 表示离心率？提示：由e ＝c a 得e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a2， ∴e ＝ 1－⎝⎛⎭⎫b a 2. ∴e ＝ 1－b 2a2. 续表例题1 （由椭圆的标准方程研究几何性质）求椭圆4x 2＋9y 2＝36的长轴长和焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．[尝试解答] 将椭圆方程变形为x 29＋y 24＝1，∴a ＝3，b ＝2.∴c ＝a 2－b 2＝9－4＝ 5.∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a ＝6，2c ＝25， 焦点坐标为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，顶点坐标为A 1(－3，0)，A 2(3，0)，B 1(0，－2)，B 2(0，2)，离心率e ＝c a ＝53.案例1 求椭圆m 2x 2＋4m 2y 2＝1(m >0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．解：椭圆的方程m 2x 2＋4m 2y 2＝1(m >0)， 可转化为x 21m 2＋y 214m 2＝1.∵m 2<4m 2， ∴1m 2>14m2， ∴椭圆的焦点在x 轴上，并且长半轴长a ＝1m ，短半轴长b ＝12m ，半焦距长c ＝32m .∴椭圆的长轴长2a ＝2m ，短轴长2b ＝1m ，焦点坐标为⎝⎛⎭⎫－32m ，0，⎝⎛⎭⎫32m ，0，顶点坐标为⎝⎛⎭⎫1m ，0，⎝⎛⎭⎫－1m ，0，⎝⎛⎭⎫0，－12m ，⎝⎛⎭⎫0，12m . 离心率e ＝c a ＝32m 1m＝32.例题2 （由椭圆的几何性质求方程）求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)长轴长是短轴长的5倍，且过点A (5，0)； (2)离心率e ＝35，焦距为12.[尝试解答] (1)若椭圆焦点在x 轴上，设其标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5×2b ，25a 2＋0b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝1.故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 2＝1；若焦点在y 轴上，设其标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5×2b ，0a 2＋25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25，b ＝5.故所求椭圆的标准方程为y 2625＋x 225＝1.综上所述，所求椭圆的标准方程为x 225＋y 2＝1或y 2625＋x 225＝1. (2)由e ＝c a ＝35，2c ＝12，得a ＝10，c ＝6，∴b 2＝a 2－c 2＝64.当焦点在x 轴上时，所求椭圆的标准方程为x 2100＋y 264＝1；当焦点在y 轴上时，所求椭圆的标准方程为y 2100＋x 264＝1.综上所述，所求椭圆的标准方程为x 2100＋y 264＝1或y 2100＋x 264＝1.案例2 求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)长轴长是短轴长的2倍，且经过点A (2，3)；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 3. 解：(1)若椭圆的焦点在x 轴上，设标准方程为x 24b 2＋y 2b2＝1(b >0)，∵椭圆过点A (2，3)，∴1b 2＋9b 2＝1，b 2＝10.∴方程为x 240＋y 210＝1.若椭圆的焦点在y 轴上． 设椭圆方程为y 24b 2＋x 2b2＝1(b >0)，∵椭圆过点A (2，3)，∴94b 2＋4b 2＝1，b 2＝254.∴方程为y 225＋4x 225＝1.综上所述，椭圆的标准方程为x 240＋y 210＝1或y 225＋4x 225＝1.(2)由已知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2c ，a －c ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，c ＝ 3.从而b 2＝9，∴所求椭圆的标准方程为x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.例题3（求椭圆的离心率）已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－c ，0)，A (－a ，0)，B (0，b )是两个顶点，如果F 1到直线AB 的距离为b7，求椭圆的离心率e . [尝试解答] 由A (－a ，0)，B (0，b )， 得直线AB 的斜率为k AB ＝ba，故AB 所在的直线方程为y －b ＝ba x ，即bx －ay ＋ab ＝0.又F 1(－c ，0)，由点到直线的距离公式可得 d ＝|－bc ＋ab |a 2＋b 2＝b 7，∴7·(a －c )＝a 2＋b 2.又b 2＝a 2－c 2，整理，得8c 2－14ac ＋5a 2＝0， 即8⎝⎛⎭⎫c a 2－14c a＋5＝0.∴8e 2－14e ＋5＝0.解得e ＝12或e ＝54(舍去)．综上可知，椭圆的离心率e ＝12.求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a ，c ，可直接利用e ＝ca 求解．若已知a ，b 或b ，c ，可借助于a 2＝b 2＋c 2求出c 或a ，再代入公式e ＝ca求解．(2)方程法：若a ，c 的值不可求，则可根据条件建立a ，b ，c 的关系式，借助于a 2＝b 2＋c 2，转化为关于a ，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a 的最高次幂，得到关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或范围．案例3 如图，已知F 1为椭圆的左焦点，A ，B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的一点，当PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB (O 为椭圆的中心)时，求椭圆的离心率．解：由已知可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则由题意可知P ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a .∵△PF 1O ∽△BOA ， ∴PF 1BO ＝F 1O OA . ∴b 2a b ＝ca ，即b ＝c ， ∴a 2＝2c 2， ∴e ＝c a ＝22.第3课时 直线与椭圆的位置关系(习题课)1、直线与椭圆的位置关系（重要）[思考1] 判断直线与圆的位置关系有哪几种方法？名师指津：(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 与圆的半径的大小关系判断，d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离；d <r ⇔相交．(2)代数法：联立直线与圆的方程，利用方程组解的个数判断．[思考2] 能否利用判断直线与圆的位置关系的方法判断直线与椭圆的位置关系？ 名师指津：不能采用几何法，但是可以利用代数法判断直线与椭圆的位置关系． [思考3] 已知直线l 和椭圆C 的方程，如何判断直线与椭圆的位置关系？名师指津：判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则Δ>0⇔直线与椭圆相交； Δ＝0⇔直线与椭圆相切； Δ<0⇔直线与椭圆相离．例题1 已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .问m 为何值时，直线与椭圆相切、相交、相离．[尝试解答] 将y ＝x ＋m 代入4x 2＋y 2＝1，消去y 整理得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0.Δ＝4m 2－20(m 2－1)＝20－16m 2.当Δ＝0时，得m ＝±52，直线与椭圆相切；当Δ>0时，得－52<m <52，直线与椭圆相交； 当Δ<0时，得m <－52或m >52，直线与椭圆相离．判断直线与椭圆的位置关系的方法案例1 若直线y ＝kx ＋1与焦点在x 轴上的椭圆 x 25＋y 2m＝1总有公共点，求m 的取值范围．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 25＋y 2m＝1，消去y ，整理得(m ＋5k 2)x 2＋10kx ＋5(1－m )＝0，所以Δ＝100k 2－20(m ＋5k 2)(1－m )＝20m (5k 2＋m －1)， 因为直线与椭圆总有公共点， 所以Δ≥0对任意k ∈R 都成立， 因为m >0，所以5k 2≥1－m 恒成立， 所以1－m ≤0， 即m ≥1.又因为椭圆的焦点在x 轴上， 所以0<m <5， 综上，1≤m <5，2、直线与椭圆的相交弦问题[思考1] 若直线l 与圆C 相交于点A ，B ，如何求弦长|AB |?名师指津：(1)利用r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫l 22求解；(2)利用两点间的距离公式求解；(3)利用弦长公[思考2] 若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如何求|AB |的值？名师指津例题2 已知椭圆x 236＋y 29＝1和点P (4，2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A 、B 两点．(1)当直线l 的斜率为12时，求线段AB 的长度；(2)当P 点恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程．[尝试解答] (1)由已知可得直线l 的方程为y －2＝12(x －4)，即y ＝12x .由⎩⎨⎧y ＝12x ，x 236＋y29＝1，可得x 2－18＝0，若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 则x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－18.于是|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝（x 1－x 2）2＋14（x 1－x 2）2＝52（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝52×62＝310. 所以线段AB 的长度为310.(2)法一：设l 的斜率为k ，则其方程为y －2＝k (x －4)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 29＝1，y －2＝k （x －4），消去y 得(1＋4k 2)x 2－(32k 2－16k )x ＋(64k 2－64k －20)＝0. 若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝32k 2－16k 1＋4k 2，由于AB 的中点恰好为P (4，2)， 所以x 1＋x 22＝16k 2－8k 1＋4k 2＝4， 解得k ＝－12，且满足Δ>0.这时直线的方程为y －2＝－12(x －4)，即y ＝－12x ＋4.法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则有⎩⎨⎧x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y 229＝1，两式相减得x 22－x 2136＋y 22－y 219＝0，整理得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－9（x 2＋x 1）36（y 2＋y 1），由于P (4，2)是AB 的中点， ∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4， 于是k AB ＝－9×836×4＝－12，于是直线AB 的方程为y －2＝－12(x －4)，即y ＝－12x ＋4.(1)弦长公式设直线方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，直线与椭圆的两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2， 所以|AB |＝（x 1－x 2）2＋（kx 1－kx 2）2 ＝1＋k 2·（x 1－x 2）2＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2，或|AB |＝⎝⎛⎭⎫1ky 1－1k y 22＋（y 1－y 2）2＝1＋1k 2·（y 1－y 2）2 ＝1＋1k2·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2.其中，x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y 或x 后得到关于x 或y 的一元二次方程得到．(2)解决椭圆中点弦问题的两种方法①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决．②点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的两个不同的点，M (x 0，y 0)是线段AB 的中点，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，①x 22a 2＋y22b 2＝1，②由①－②，得1a 2(x 21－x 22)＋1b 2(y 21－y 22)＝0，变形得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－b 2a 2·x 0y 0，即k AB ＝－b 2x 0a 2y 0. 案例2（1）直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 22＝1所截得线段的中点的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫23，53B.⎝⎛⎭⎫43，73C.⎝⎛⎭⎫－23，13D.⎝⎛⎭⎫－132，－172 解析：选C 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 24＋y 22＝1，消去y 得3x 2＋4x －2＝0.设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，中点M (x 0，y 0)， ∴x 1＋x 2＝－43，x 0＝x 1＋x 22＝－23，y 0＝x 0＋1＝13.∴所求中点的坐标为⎝⎛⎭⎫－23，13. （2）．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，且椭圆与直线x ＋2y ＋8＝0相交于P ，Q ，且|PQ |＝10，求椭圆方程．解：∵e ＝32，∴b 2＝14a 2.∴椭圆方程为x 2＋4y 2＝a 2. 与x ＋2y ＋8＝0联立消去y ，得2x 2＋16x ＋64－a 2＝0，由Δ>0得a 2>32，由弦长公式得10＝54×[64－2(64－a 2)]．∴a 2＝36，b 2＝9.∴椭圆方程为x 236＋y 29＝1. 例题3（与椭圆有关的最值问题）已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率e ＝63.(1)若2a 2c＝32，求椭圆方程；(2)直线l 过点C (－1，0)交椭圆于A 、B 两点，且满足：，试求△OAB 面积的最大值．[尝试解答](1)由题意知⎩⎨⎧c a ＝63，2a2c ＝32，解得a ＝3，c ＝ 2.所以a 2＝3，b 2＝1， 所以椭圆方程为x 23＋y 2＝1.(2)由e ＝c a ＝63，及a 2＝b 2＋c 2，得a 2＝3b 2，可设椭圆的方程为x 23b 2＋y 2b 2＝1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2),由题意知直线l 的斜率存在，则设l 的方程为y ＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋1），x 23b 2＋y 2b 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6k 2x ＋3k 2－3b 2＝0， 且Δ＝12(3b 2－1)k 2＋12b 2， 因为直线l 交椭圆于A 、B 两点，且，所以点C 在椭圆内部，所以a >1， 所以3b 2>1，所以Δ>0.所以x 1＋x 2＝－6k 23k 2＋1.因为，所以(x 1＋1，y 1)＝3(－1－x 2，－y 2)，所以x 1＝－4－3x 2，所以x 2＋1＝－13k 2＋1，所以|x 1－x 2|＝43k 2＋1.又O 到直线l 的距离为d ＝|k |1＋k 2，所以S △ABO ＝12|AB |d ＝121＋k 2|x 1－x 2|·d＝2|k |3k 2＋1＝23|k |＋1|k |≤33，所以当且仅当3|k |＝1|k |，即k ＝±33时，S △ABO 取得最大值33.解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想．其中应用比较多的是利用根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件．案例3 在椭圆x 24＋y 27＝1上求一点P ，使它到直线l ：3x －2y －16＝0的距离最短，并求出最短距离．解：设与椭圆相切并与l 平行的直线方程为y ＝32x ＋m ，代入x 24＋y 27＝1，并整理得4x 2＋3mx ＋m 2－7＝0，Δ＝9m 2－16(m 2－7)＝0⇒m 2＝16⇒m ＝±4，故两切线方程为y ＝32x ＋4和y ＝32x －4，显然y ＝32x －4距l 最近，d ＝|16－8|32＋（－2）2＝813， 切点为P ⎝⎛⎭⎫32，－74.。

第八讲 圆锥曲线（椭圆）一．定义及标准方程定义：平面内与两定点21,F F 的距离的和等于常数（大于||21F F ） 的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫做焦距。

符号表示：方程：（1）焦点在x 轴上：12222=+b y a x ()0b ＞＞a（2）焦点在y 轴上：12222=+ay b x ()0b ＞＞a1.求椭圆的标准方程（1）.定义法：根据定义确定22,b a 的值，再根据焦点的位置写出标准方程。

（2）.待定系数法：1）焦点不确定可设方程为：122=+By Ax 或者设为)(1222222n m ny m x ≠=+2 )与椭圆1122222222=+++=+k b y k a x b y a x 为有共同焦点的椭圆可设 3 ）与椭圆k by a x b a b y a x =+>>=+22222222)0(1设为有相同离心率的椭圆可例1.已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为23，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为______________________.例2.若椭圆12222=+b y a x 的焦点在x 轴上，过点（1，21）做圆的切线122=+y x ，切点分别为A,B 直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程为________________. 例3.椭圆C 的中心在原点，焦点21,F F 在x 轴上，离心率为22，过1F 的直线l 交C 与A,B 两点，且2ABF ∆的周长为16，那么C 的方程为__________.例4.椭圆131222=+y x 的左右焦点分别为21,F F 点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点在y 轴上，那么的是|PF |||21PF （ ）A.7倍B.5倍C.4倍D.3倍例5 .已知1F ，2F 为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过椭圆的焦点1F 的直线交椭圆于点B A ,，若1222=+B F A F ，则=AB ________________.二．简单几何性质：项目焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形与方程标准方程12222=+b y a x 12222=+a y b x 焦点 )0,(),0,(21c F c F - ),0(),,0(21c F c F -对称性 关于x ，y 轴对称;关于原点对称顶点),0(),,0()0,(),0,(2121b B b B a A a A --)0,(),0,(),0(),,0(2121b B b B a A a A --范围b y a x ≤≤||,||b x a y ≤≤||,||轴 2bB B 2a A A 2121==短轴长轴2bB B 2a A A 2121==短轴长轴离心率 )10(<<=e ace )10(<<=e ace 渐近线 无无a,b,c 关系222c b a +=222c b a +=通径ab 22 ab 22 焦点三角形（1）12cos 212-=r r b θ；θ取最大时，222max cos a c b -=θ； （2）θsin ||||212121••=∆PF PFS F PF （3）θcos ||||2||||42122212PF PF PF PF c -+=022tany c b S •=•=θPF 2F 1xOy例1.设椭圆12222=+by a x 的焦距为2C ，以O 为圆心，a 为半径做圆M ，若过点P （c a 2,0）所做圆M 的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为_________.例2.过椭圆C ： 12222=+by a x 的左顶点A 且斜率为K 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好在右焦点F ，若2131<<k ，则椭圆离心率的取值范围是：（ ） )49,41.(A B.)1,32( C.)32,21( D.)21,0(例3.椭圆13622=+y x 中,F 1、F 2为左、右焦点,A 为短轴一端点,弦AB 过左焦点F 1,则∆ABF 2的面积为 ( )（A ）3 （B ）233 （C ）34 （D ）4 例4、已知1F ，2F 是椭圆22194x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上.如果12PF F ∆是直角三角形，求点P 的坐标.三．椭圆与其他图的位置关系 1、判断点和椭圆的位置关系设点P 的坐标为()00,y x ，把()00,y x 代入到椭圆方程，可得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=++，点在椭圆内。

2．2.1 椭圆的标准方程[对应学生用书P20]在平面直角坐标系中，已知A (－2,0)，B (2,0)，C (0,2)，D (0，－2)．问题1：若动点P 满足PA ＋PB ＝6，设P 的坐标为(x ，y )，则x ，y 满足的关系式是什么？ 提示：由两点间距离公式得 (x ＋2)2＋y 2＋(x －2)2＋y 2＝6， 化简得x 29＋y 25＝1.问题2：若动点P 满足PC ＋PD ＝6，设P 的坐标为(x ，y )，则x 、y 满足什么关系？ 提示：由两点间距离公式得x 2＋(y －2)2＋x 2＋(y ＋2)2＝6，化简得y 29＋x 25＝1.椭圆的标准方程焦点在x 轴上 焦点在y 轴上标准方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0) 焦点坐标(±c,0)(0，±c )a 、b 、c 的关系c 2＝a 2－b 21．标准方程中的两个参数a 和b ，确定了椭圆的形状和大小，是椭圆的定形条件．a ，b ，c 三者之间a 最大，b ，c 大小不确定，且满足a 2＝b 2＋c 2.2．两种形式的标准方程具有共同的特征：方程右边为1，左边是两个非负分式的和，并且分母为不相等的正值．当椭圆焦点在x 轴上时，含x 项的分母大；当椭圆焦点在y 轴上时，含y 项的分母大，已知椭圆的方程解题时，应特别注意a >b >0这个条件．[对应学生用书P20]待定系数法求椭圆标准方程[例1] 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过两点(2，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，142； (2)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同的焦点．[思路点拨] (1)由于椭圆焦点的位置不确定，故可分焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况进行讨论．也可利用椭圆的一般方程Ax 2＋By 2＝1(其中A >0，B >0，A ≠B )，直接求A ，B .(2)求出焦点，然后设出相应方程，将点(3，－5)代入，即可求出a ，b ，则标准方程易得．[精解详析] (1)法一：若焦点在x 轴上，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 2＋2b 2＝1，1a 2＋144b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ 1a 2＝18，1b 2＝14.所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.若焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧4b 2＋2a 2＝1，1b 2＋144a 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧1b 2＝18，1a 2＝14.即a 2＝4，b 2＝8，则a 2<b 2，与题设中a >b >0矛盾，舍去． 综上，所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.法二：设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )．将两点(2，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，142代入，得⎩⎪⎨⎪⎧4A ＋2B ＝1，A ＋144B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝18，B ＝14，所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.(2)因为所求椭圆与椭圆y 225＋x 29＝1的焦点相同，所以其焦点在y 轴上，且c 2＝25－9＝16.设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．因为c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2，故a 2－b 2＝16.① 又点(3，－5)在椭圆上，所以()－52a 2＋(3)2b2＝1，即5a 2＋3b2＝1.②由①②得b 2＝4，a 2＝20， 所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1. [一点通] 求椭圆标准方程的一般步骤为：1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)，(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)经过两点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12. 解：(1)由已知得：c ＝4，a ＝5.b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.故所求椭圆方程为x 225＋y 29＝1.(2)设椭圆方程为Ax 2＋By 2＝1.(A >0，B >0，A ≠B ) 由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧19A ＋19B ＝1，14B ＝1，解得：⎩⎪⎨⎪⎧B ＝4，A ＝5，故所求椭圆方程为y 214＋x 215＝1.2．求适合下列条件的椭圆的方程．(1)焦点在x 轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)；(2)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于2.解：(1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以可设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．∵椭圆经过点(2,0)和(0,1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧22a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)∵椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．∵P (0，－10)在椭圆上，∴a ＝10. 又∵P 到它较近的一个焦点的距离等于2， ∴－c －(－10)＝2，故c ＝8， ∴b 2＝a 2－c 2＝36， ∴所求椭圆的标准方程是y 2100＋x 236＝1.椭圆标准方程的讨论[例2] 已知方程x 2·sin α－y 2·c os α＝1(0≤α≤2π)表示椭圆． (1)若椭圆的焦点在x 轴上，求α的取值范围． (2)若椭圆的焦点在y 轴上，求α的取值范围．[思路点拨] (1)已知的方程不是椭圆的标准形式，应先化成标准方程．(2)对于椭圆方程x 2m ＋y 2n＝1(m >0，n >0，m ≠n )可由m ，n 的大小确定椭圆焦点的位置，列出三角不等式后求α的范围．[精解详析] 将椭圆方程x 2·sin α－y 2·cos α＝1(0≤α≤2π)化为标准形式为x 21sin α＋y 21－cos α＝1(0≤α≤2π)． (1)若方程表示焦点在x 轴上的椭圆， 则1sin α>－1cos α>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan α>－1，所以34π<α<π.即α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，2π.(2)若方程表示焦点在y 轴上的椭圆， 则－1cos α>1sin α>0，即⎩⎪⎨⎪⎧α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan α<－1，所以π2<α<3π4.即α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4.[一点通] 对于讨论椭圆方程中参数的取值范围问题，一般的解题方法是根据题设条件给出的焦点位置，结合对应的标准方程应满足的条件，建立一个含参数的不等式组，通过求解不等式组得到参数的取值范围．3．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是________．解析：由于椭圆的焦点在x 轴上，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2>a ＋6，a ＋6>0，即⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋2)(a －3)>0a >－6.解得a >3或－6<a <－2.答案：(3，＋∞)∪(－6，－2) 4．已知方程x 2k －5＋y 23－k＝－1表示椭圆，求k 的取值范围．解：方程x 2k －5＋y 23－k＝－1可化为x 25－k＋y 2k －3＝1，由椭圆的标准方程可得⎩⎪⎨⎪⎧5－k >0，k －3>0，5－k ≠k －3，得3<k <5，且k ≠4.所以满足条件的k 的取值范围是{k |3<k <5，且k ≠4}.椭圆的定义及标准方程的应用[例3] 如图所示，已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，若点P 在第二象限，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．[思路点拨] 根据椭圆的标准方程知PF 1＋PF 2＝4，结合面积公式和余弦定理找到PF 1和PF 2的关系求解．[精解详析] 由已知a ＝2，b ＝3， 所以c ＝a 2－b 2＝4－3＝1，F 1F 2＝2c ＝2，在△PF 1F 2中，由余弦定理，得PF 22＝PF 21＋F 1F 22－2PF 1·F 1F 2cos 120°，即PF 22＝PF 21＋4＋2PF 1.① 由椭圆定义，得PF 1＋PF 2＝4， 即PF 2＝4－PF 1.② ②代入①解得PF 1＝65.∴S △PF 1F 2＝12PF 1·F 1F 2·sin 120°＝12×65×2×32＝335， 即△PF 1F 2的面积是3 35.[一点通] 在椭圆中，由三条线段PF 1，PF 2，F 1F 2围成的三角形称为椭圆的焦点三角形．涉及椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义列出PF 1＋PF 2＝2a ，利用这个关系式便可求出结果，因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法．5．已知两定点F 1(－1,0)、F 2(1,0)，且F 1F 2是PF 1与PF 2的等差中项，则动点P 的轨迹方程是________．解析：∵F 1(－1,0)，F 2(1,0)，∴F 1F 2＝2. ∵F 1F 2是PF 1与PF 2的等差中项， ∴2F 1F 2＝PF 1＋PF 2，即PF 1＋PF 2＝4，∴点P 在以F 1，F 2为焦点的椭圆上， ∵2a ＝4，a ＝2，c ＝1，∴b 2＝3. ∴椭圆的方程是x 24＋y 23＝1.答案：x 24＋y 23＝16．设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且PF 1∶PF 2＝2∶1，则△F 1PF 2的面积等于________．解析：由x 29＋y 24＝1，得a ＝3，b ＝2，∴c 2＝a 2－b 2＝5.∴c ＝ 5.∴F 1F 2＝2 5. 由⎩⎪⎨⎪⎧PF 1＋PF 2＝6，PF 1∶PF 2＝2∶1，得⎩⎪⎨⎪⎧PF 1＝4，PF 2＝2.∴PF 21＋PF 22＝F 1F 22. ∴△F 1PF 2为直角三角形． ∴S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2＝4.答案：47．如图，已知F 1，F 2是椭圆x 2100＋y 236＝1的两个焦点．(1)若椭圆上一点P 到焦点F 1的距离等于15，那么点P 到另一个焦点F 2的距离是多少？ (2)过F 1作直线与椭圆交于A ，B 两点，试求△ABF 2的周长． 解：由椭圆的标准方程可知a 2＝100，所以a ＝10.(1)由椭圆的定义得PF 1＋PF 2＝2a ＝20，又PF 1＝15，所以PF 2＝20－15＝5，即点P 到焦点F 2的距离为5.(2)△ABF 2的周长为AB ＋AF 2＋BF 2＝(AF 1＋BF 1)＋AF 2＋BF 2＝(AF 1＋AF 2)＋(BF 1＋BF 2)． 由椭圆的定义可知AF 1＋AF 2＝2a ，BF 1＋BF 2＝2a ，故AB ＋AF 2＋BF 2＝4a ＝40.用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解；也可设Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的．[对应课时跟踪训练(八)]1．若椭圆x 225＋y 29＝1上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为________．解析：由椭圆定义知，a ＝5，P 到两个焦点的距离之和为2a ＝10，因此，到另一个焦点的距离为5.答案：52．椭圆25x 2＋16y 2＝1的焦点坐标是________．解析：椭圆的标准方程为x 2125＋y 2116＝1，故焦点在y 轴上，其中a 2＝116，b 2＝125，所以c2＝a 2－b 2＝116－125＝9400，故c ＝320.所以该椭圆的焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，±320.答案：⎝⎛⎭⎪⎫0，±3203．已知方程(k 2－1)x 2＋3y 2＝1是焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是________． 解析：方程(k 2－1)x 2＋3y 2＝1可化为x 21k 2－1＋y 213＝1. 由椭圆焦点在y 轴上，得⎩⎪⎨⎪⎧k 2－1>0，1k 2－1<13.解之得k >2或k <－2.答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)4．已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________.解析：由题意，知(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝2a ＋2a ，又由a ＝5，可得|AB |＋(|BF 2|＋|AF 2|)＝20，即|AB |＝8.答案：85．已知P 为椭圆x 225＋4y275＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为________．解析：在△F 1PF 2中，F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos 60°，即25＝PF 21＋PF 22－PF 1·PF 2.① 由椭圆的定义，得 10＝PF 1＋PF 2.②由①②，得PF 1·PF 2＝25，∴S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2sin 60°＝25 34.答案：25 346．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)以(0,5)和(0，－5)为焦点，且椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26； (2)以椭圆9x 2＋5y 2＝45的焦点为焦点，且经过M (2，6)． 解：(1)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．∵2a ＝26,2c ＝10，∴a ＝13，c ＝5. ∴b 2＝a 2－c 2＝144. ∴所求椭圆的标准方程为y 2169＋x 2144＝1. (2)法一：由9x 2＋5y 2＝45， 得y 29＋x 25＝1，c 2＝9－5＝4， 所以其焦点坐标为F 1(0,2)，F 2(0，－2)．设所求椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由点M (2，6)在椭圆上，所以MF 1＋MF 2＝2a ，即2a ＝(2－0)2＋(6－2)2＋(2－0)2＋(6＋2)2＝43， 所以a ＝23，又c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝8， 所以所求椭圆的标准方程为y 212＋x 28＝1. 法二：由法一知，椭圆9x 2＋5y 2＝45的焦点坐标为F 1(0,2)，F 2(0，－2)，则设所求椭圆方程为y 2λ＋4＋x 2λ＝1(λ＞0)，将M (2，6)代入，得6λ＋4＋4λ＝1(λ＞0)， 解得λ＝8或λ＝－2(舍去)． 所以所求椭圆的标准方程为y 212＋x 28＝1.7．如图，设点P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是点P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且MD ＝45PD ，当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程．解：设M 点的坐标为(x ，y )，P 点的坐标为(x P ，y P )，由已知易得⎩⎪⎨⎪⎧x P ＝x ，y P ＝54y .∵P 在圆上，∴x 2＋(54y )2＝25.即轨迹C 的方程为x 225＋y 216＝1.8．已知动圆M 过定点A (－3,0)，并且内切于定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64，求动圆圆心M 的轨迹方程．解：设动圆M 的半径为r ， 则|MA |＝r ，|MB |＝8－r ， ∴|MA |＋|MB |＝8，且8>|AB |＝6，∴动点M 的轨迹是椭圆，且焦点分别是A (－3,0)，B (3,0)，且2a ＝8， ∴a ＝4，c ＝3， ∴b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7.∴所求动圆圆心M 的轨迹方程是x 216＋y 27＝1.。

可编辑修改精选全文完整版学生姓名 性别 男 年级 高二 学科 数学 授课教师 上课时间２0１４年12月１3日 第( )次课 共( ）次课课时: 课时教学课题椭圆教学目标教学重点与难点选修2-1椭圆知识点一：椭圆的定义ﻫ 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数(）,这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距.ﻫ 注意：若,则动点的轨迹为线段;若，则动点的轨迹无图形.讲练结合一.椭圆的定义 1.方程()()10222222=++++-y x y x 化简的结果是2.若ABC ∆的两个顶点()()4,0,4,0A B -,ABC ∆的周长为18，则顶点C 的轨迹方程是3.已知椭圆22169x y ＋＝1上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3,则P 到另一焦点距离为知识点二:椭圆的标准方程ﻫ １.当焦点在轴上时,椭圆的标准方程：,其中；2．当焦点在轴上时,椭圆的标准方程:，其中;注意:ﻫ １.只有当椭圆的中心为坐标原点,对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到椭圆的标准方程；ﻫ 2．在椭圆的两种标准方程中，都有和；ﻫ ３．椭圆的焦点总在长轴上．当焦点在轴上时,椭圆的焦点坐标为,;当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，。

讲练结合二．利用标准方程确定参数1.若方程25x k -+23y k -=１（１）表示圆，则实数ｋ的取值是 .(2)表示焦点在x 轴上的椭圆,则实数k 的取值范围是 . (3)表示焦点在y 型上的椭圆，则实数k 的取值范围是 ． (4)表示椭圆，则实数ｋ的取值范围是 ．2.椭圆22425100x y +=的长轴长等于 ,短轴长等于 ， 顶点坐标是 ,焦点的坐标是 ,焦距是 ,离心率等于 ，３.椭圆2214x y m+=的焦距为2，则m = 。

4．椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k 。

讲练结合三.待定系数法求椭圆标准方程1.若椭圆经过点(4,0)-,(0,3)-，则该椭圆的标准方程为 。

椭圆板块一椭圆的方程学生版椭圆是平面上与两个固定点F1和F2到平面上任意点P的距离之和恒等于一个常数2a的点的轨迹。

对于椭圆，首先我们需要确定椭圆的中心和两个焦点。

椭圆的中心在坐标系原点O(0,0)处，两个焦点分别在椭圆的x轴上，分别为F1(-c,0)和F2(c,0)，其中c是焦距的一半。

设椭圆的顶点沿着x轴的方向为(a,0)，则顶点之间的距离为2a。

根据椭圆的定义，椭圆上的任意点P(x,y)到焦点F1的距离PF1+到焦点F2的距离PF2等于常数2a。

根据距离公式，我们可以得到以下方程：PF1=√((x+c)^2+y^2)PF2=√((x-c)^2+y^2)根据椭圆的定义，PF1+PF2=2a将上述方程代入，我们可以得到：√((x+c)^2+y^2)+√((x-c)^2+y^2)=2a化简上述方程，我们可以得到椭圆的标准方程：((x+c)^2+y^2)+((x-c)^2+y^2)=4a^2再次化简，我们可以得到椭圆的标准方程：x^2/a^2+y^2/b^2=1其中，a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴。

半长轴a是焦点与顶点之间的距离的一半，半短轴b是焦点与椭圆上任意点与x轴的垂直距离的一半。

通过标准方程，我们可以得到椭圆的几何性质：1.椭圆的长轴在x轴上，短轴在y轴上。

2.椭圆对称于x轴和y轴。

3.椭圆的中心为原点O(0,0)。

4.椭圆的焦点到椭圆上任意点的距离之和为常数2a。

5.椭圆的离心率为c/a，其中c为焦点到中心的距离。

通过椭圆的标准方程，我们可以画出椭圆的图像。

首先确定椭圆的中心和两个焦点的位置，并确定半长轴和半短轴的长度，然后根据标准方程画出椭圆的轮廓。

板块一.椭圆的方程典例剖析【例1】已知椭圆的焦点在x轴上，焦距为8，焦点到相应的长轴极点的距离为1，则椭圆的标准方程为（）22222222A．x y1B．y x1C．y x1D．x y12592597979【考点】椭圆的方程【难度】1星【题型】选择【重点字】无【分析】2c8，ac1a5，c4，b3．【答案】A【例2】已知椭圆x2y21的离心率e10，则m的值为（）5m5A．3B．515或15C．5D．25或333【考点】椭圆的方程【难度】1星【题型】选择【重点字】2010年，北京一模【分析】5m时，e5m10m3；5m时，e m510m25．55m53【答案】D【例3】设定点F1(0，3)，F2(0，3)，动点P知足条件PF1PF2a9(a0)，则点P的a轨迹是（）A．椭圆B．线段C．不存在D．椭圆或线段【考点】椭圆的方程【难度】3星【题型】选择【重点字】无【分析】PF 1PF 2a9≥2 a96，当且仅当a 3时取等号．a a当PF 1 PF 2 6 时，点P 的轨迹是线段F 1F 2； 当PF 1PF 26 时，点P 的轨迹是椭圆．【答案】D【例4】已知椭圆的中心在原点，离心率e 1，且它的一个焦点与抛物线y 24x 的焦点2重合， 则此椭圆方程为（）A ．x 2y 2 1 B ．x 2 y 2 1 C ．x 2y21D ．x 2 y 2 1 4 38 624【考点】椭圆的方程【难度】2星 【题型】选择【重点字】2004年，全国高考【分析】∵抛物线y24x 的焦点坐标为( 1，0)，则椭圆的c1，又e1，则a2，进2 22而b 2 3，所以椭圆方程为xy 1，选A ．4 3【答案】A2 2【例5】设椭圆xy 1(ab0)的离心率为e1 ，右焦点为F(c ，0)，方程a 2b 22ax 2bx c0的两个实根分别为 x 1和x 2，则点P(x 1，x 2)（）A ．必在圆x 2 y 2 2内B ．必在圆x 2 y 2 2上C ．必在圆x 2y 22外D ．以上三种情况都有可能【考点】椭圆的方程【难度】2星【题型】选择【重点字】无1，于是x 1222【分析】由已知有ec x 22 (x 1x 2)22x 1x 2b 2 2cb212．a2a aa【答案】A2 2【例6】已知x2y1表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ）m 2 mA ．m2或m1B ．m2C ．1m2D ．m2或2m1【考点】椭圆的方程【难度】2星 【题型】选择【重点字】2009年，东城一模m2 0m2 2m 1【分析】由m解得或．m 2 2【答案】D【例7】经过点P(3，0)，Q(0，2)的椭圆的标准方程是 ；【考点】椭圆的方程【难度】1星【题型】填空【重点字】无【分析】两点都在座标轴上，故为椭圆的两个端点，又|3|| 2|，故椭圆的焦点在x 轴上，进而得椭圆的标准方程为 x 2 y 29 1；42 2【答案】xy1；94【例8】已知焦点坐标为 (4，0)，(4，0)，且a6的椭圆方程是___________；【考点】椭圆的方程【难度】1星【题型】填空【重点字】无【分析】已知椭圆的焦点在 x 轴上，且c4，又a222，6，故b6420 进而所求的椭圆方程为x 2y 21；36 202 2【答案】xy 13620【例9】巳知椭圆G 的中心在座标原点，长轴在x 轴上，离心率为3 ，且G上一点到G的2两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为．【考点】椭圆的方程【难度】1星 【题型】填空【重点字】无3，2a 22【分析】e c12，于是a6，c33，b3，则所求椭圆方程为x y1．【答案】x2ay223691369【例10】已知椭圆的中心在原点，长轴长为12，离心率为1，则椭圆的方程是____________．3【考点】椭圆的方程【难度】1星【题型】填空【重点字】无【分析】由题意知2a12，c1知：a6，c2，b236432，a3故椭圆的标准方程为：x2y21或x2y21．36323236【答案】x2y21或x2y21 36323236221的离心率为1【例11】若椭圆xy，则m．2m2【考点】椭圆的方程【难度】2星【题型】填空【重点字】无【分析】若椭圆的焦点在x轴上，则m2，a2，c2m，有2m 1，解得m3；222若椭圆的焦点在y轴上，则m2，a m，c mm212，有，解得：m2m8；3故m 3或m8．23【答案】m 3或m8．23【例12】若椭圆知足条件 a 2，e1，则椭圆的标准方程为2【考点】椭圆的方程【难度】2星【题型】填空【重点字】无2 22 2【分析】xy1或yx14343【答案】x 2y 2 1或y 2x 2 1 43 4 3【例13】已知椭圆的焦点在 x 轴上，中心在原点，长轴与短轴之和为椭圆的标准方程为 ____________．【考点】椭圆的方程【难度】1星【题型】填空【重点字】无【分析】设所求椭圆的方程为x 2y 21(a b0)．22a b由题意得2a 2b 20 ab 10 2c 45 ，即 2 b 2 ．a 20 解得a6，b4．22所以椭圆方程为x y 1．36 16【答案】x 2y 213616221，则k 的值等于【例14】若椭圆xy 1的离心率为ek 892【考点】椭圆的方程20，焦距为45，则．【难度】2星 【题型】填空【重点字】无21， 【分析】若椭圆的焦点在x 轴上，则a2k8，b29，c2k1，e 2 ck 1a 2k8 4解得k 4；若椭圆的焦点在29，c 29 (k8)121k1，y 轴上，则ak ，e94解得k5；4【答案】k4或5．4【例15】求以下圆锥曲线的焦距与极点坐标：2 22 2①xy 1②xy 1 128812【考点】椭圆的方程【难度】1星 【题型】解答 【重点字】无【分析】①a 2 12，b 28，c 12 8 2 ，椭圆的焦点在 x 轴上，故它的焦距为 4，极点坐标为 ( 23，0)、(0，22)；②a 212，b 28，c12 8 2 ，椭圆的焦点在 y 轴上，故它的焦距为4，极点坐标为 (0， 23)、(22，0)． 【答案】①焦距为4，极点坐标为(23，0) 、(0，22)；②焦距为4，极点坐标为(0，2 3)、(22，0)．【例16】求椭圆x 2y 2 1的焦距、极点坐标 1625【考点】椭圆的方程 【难度】1星 【题型】解答 【重点字】无【分析】椭圆的焦点在 y 轴上，a5，b4，c25163，故焦距为6 ，极点坐标为(0，5)和(4，0)，准线方程为y25；3【答案】焦距为6，极点坐标为(0，5)和(4，0)，准线方程为y25；316【例17】求焦点的坐标分别为 (0，3)和(0，3)，且过点P( ，3)的椭圆的方程．【考点】椭圆的方程 【难度】2星 【题型】解答 【重点字】无 【分析】法一：由椭圆的定义知 2a(16)2(33)2 (16)2(33)2 10，55进而a 5，c3，b 216，又椭圆的焦点在 y 轴上，22y x故所求的标准方程为1；25 16法二：22∵c 3，且焦点在y 轴上，故可设椭圆的方程为y x 1 ，a2a2(16)2916981，3)51，解得 a 225或 2，又椭圆过点P(，故有22a255a a9y 2x 2又a 2 9，故a 225，进而得所求的椭圆的标准方程为1；【答案】y 2x 225 1612516【例18】已知椭圆的中心在原点，且经过点 P(3，0)，a3b ，求椭圆的标准方程．【考点】椭圆的方程【难度】2星【题型】解答【重点字】无【分析】当焦点在 x 轴上时，设其方程为x 2y 21(a b 0)，22a b此时P(3，0)是长轴的一个端点， ∴a 3 ，b 1，故椭圆的方程为x 2 y 2 1．92 2当焦点在y 轴上时，设其方程为yx1(a b 0) ，22a b此时P(3，0)是短轴的一个端点， ∴b 3 ，a 9 ，22故椭圆的方程为y x1．81 9x21或y 2x 2综上知，所求椭圆的标准方程为y21．22 29819【答案】xy 2 1或yx 19819【例19】若椭圆的对称轴在座标轴上，两焦点与两短轴端点正好是正方形的四个极点， 又焦点到同侧长轴端点的距离为 2 1，求椭圆的方程．【考点】椭圆的方程【难度】3星 【题型】解答 【重点字】无【分析】若椭圆的焦点在x 轴上，由椭圆的几何意义可知，bca2b，解之得：a c 2 12a2，b 1，此时椭圆的方程为x21．2 y同理焦点也能够在 y 轴上，综上所述，椭圆的方程为x 2 y 21或y 2x 21．2222【答案】xy 21或yx 2 1．22【例20】已知常数a 0，向量c (0，a)，i (1，0)．经过原点O 以c i 为方向向量的直线与经过定点A(0，a)以i 2c 为方向向量的直线订交于点 P ，此中 R ．试问：能否存在两个定点 E ，F ，使得|PE| |PF|为定值．若存在，求出 E ，F 的坐标；若不存在，说明原因．【考点】椭圆的方程【难度】4星【题型】解答【重点字】无【分析】∵c(0，a)，i(1，0)，∴c i ( ，a)，i2c (1，2a)．所以，直线OP 和AP 的方程分别为y ax 和y a2 ax ．消去参数，得点P(x ，y)的坐标知足方程y(ya)2a 2x 2．x 2 (y a)2整理得2 1①1(a )282因为a 0，所以得：⑴当a2 时，方程①是圆方程，故不存在符合题意的定点E 和F ；2⑵当0 a2时，方程①表示椭圆，焦点E(11a 2，a)和F(11 a 2，a)为22222 2 2知足题意的两个定点；⑶当a2时，方程①1a21也表示椭圆，焦点E(0，(a))和222F(0，1(aa 2 1 ))为符合题意的两个定点．2 2注：因为向量能够用一条有向线段来表示， 有向线段的方向能够决定分析几何中直 线的斜率，故直线的方向向量与分析几何中的直线有着天然的联系． 求解此类问题的重点是：依据直线的方向向量得出直线方程，再转变为分析几何问题解决．【答案】⑴当a2时，不存在符合题意的定点E和F；2⑵当0a2时，焦点E(11a2a112a22，)和F(22a，)为知足题意的两个222定点；⑶当a2时，焦点E(0，1(a a21))和F(0，1(a a21))为符合题意的两22222个定点．【例21】离心率为4的椭圆C∶x 5a2y2221ab0上有一点M到椭圆两焦点的距离和为b10，以椭圆C的右焦点F c，0为圆心，短轴长为直径的圆有切线PT（T为切点），且点P知足PT PB（B为椭圆C的上极点）．⑴求椭圆的方程；⑵求点P所在的直线方程l．【考点】椭圆的方程【难度】4星【题型】解答【重点字】无【分析】⑴依题意有：a2b2c2a54c，解得：b35ac42a102y 2所以椭圆方程为：x1．259⑵设点P x，y．由⑴得F5，0，所以圆F的方程为：x529．y2PT2PF r PF r PB2，2PFrPFr 2r2222x22PT PF x5y9，PB y3，所以2y29x2y32x5，化简得：10x6y70．【答案】⑴x2y21；⑵10x6y70．25922【例22】已知椭圆xy1(m n0)上一点P(6，8)，F1、F2为椭圆的两个焦点，且m nPF1PF2，求椭圆的方程．【考点】椭圆的方程【难度】3星 【题型】解答 【重点字】无【分析】∵PF 1PF 2，PO1 22 2，∴c10．F 1F 2，∴c68100236 64法一：于是有m1nmn100法二：在RtF 1PF 2中，∵2即10 m6mm 18022，∴椭圆的方程为xy．n80 1801802PF 222，∴(mex) 2(mex)24c 2，PF 1 F 1F 210 2m 64 102．m∴m180（m20舍去），nm 280 ．c22∴椭圆的方程为 x y 1．180 80法三：于是椭圆的焦点为 (10，0)，(10，0) ，由椭圆的定义知： 2 m (106)2 82(106)2 82 125，故m(65)2180，n 180 100 80，22∴椭圆的方程为 x y 1．180 80x2y 2【答案】180 1802 2【例23】设椭圆C ：xy的左焦点为F ，上极点为 A，过点 A 作垂直于AFa 2b 21(ab0)的直线交椭圆C 于此外一点P ，交x 轴正半轴于点Q ，且AP8PQ5⑴求椭圆C 的离心率；⑵若过A 、Q 、F 三点的圆恰巧与直线l ：x3y50相切，求椭圆C 的方程．【考点】椭圆的方程【难度】3星【题型】解答【重点字】无【分析】⑴设Q(x 0，0)，由F(c ，0)，A(0，b)知FA(c ，b)，AQ(x 0，b)y A PFO Q x∵FAAQ ，∴FAAQcx 0b 2 0，x 0b 2 ．c设P(x 1，y 1)，由AP8PQ ，得x 18b 2，y 1 5b513c138b225213cb因为点P 在椭圆上，所以131，a2b2整理得 2b 23ac ，即2(a 2c 2)3ac ，2e 2 3e 20，解得椭圆的离心率 e12⑵由⑴知2b23ac ，又c eaa，进而b23ac 3a 2，于是F(a，0)，Q(3a ，0)224 2 2△AQF 的外接圆圆心为(a，，半径r1 a ，0)|FQ|22| a5|2由圆心到直线l 的距离为a ，可得a ，解得a 2，222所以所求椭圆方程为xy 1．4 3【答案】⑴e1；⑵x 2 y 2 1．243x2 2y1(ab 0)的左、右焦点，点P(2，1)在椭圆上，【例24】已知F 1，F 2是椭圆C ：2b2a线段PF 2与y 轴的交点M 知足PM F 2M0．⑴求椭圆C 的方程．⑵椭圆C 上任一动点M(x 0，y 0)对于直线y2x 的对称点为M 1(x 1，y 1)，求3x 14y 1的取值范围．【考点】椭圆的方程【难度】3星【题型】解答【重点字】无【分析】⑴由已知，点P(2，1)在椭圆上，∴有211①22ab又∵PMF 2M0 ，M 在y 轴上，∴M 为P 、F 2 的中点，∴ 2 c 0，c 2．∴a 2b 2 2，②解①②，得b22（b 2 1舍去），a 2 4故所求椭圆C 的方程为x 2y 2 1．42⑵∵点M(x 0，y 0)对于直线y 2x 的对称点为M 1(x 1，y 1)，y 0 y 121x 1 4y 03x 0 x 0 x 15∴，解得，yyxx3y 04x 01 2 01y 1225∴3x 14y 15x 0．x22∵点P(x 0，y 0) 在椭圆 y1上，C:24∴ 2≤x 0≤2，即有10≤5x 0≤10 ．即3x 1 4y 1的取值范围为[10，10]．22【答案】⑴xy 1；42⑵ 3x 1 4y 1的取值范围为[10，10]．2 2【例25】过椭圆C ：yx上一点 P 引圆O 22 2PA 、b 0)：xyb 的两条切线a 2b 21(aPB ，切点为A 、B ，直线AB 与x 轴、y 轴分别订交于M 、N 两点⑴设P(x 0，y 0)，且x 0y 00，求直线AB 的方程；⑵若椭圆C 的短轴长为8，且 a 2 b 2 25|OM| 2 2，求此椭圆的方程；|ON| 16⑶试问椭圆C 上能否存在知足PAPB0的点P ，说明原因．【考点】椭圆的方程【难度】4星【题型】解答【重点字】无【分析】⑴直线AB 的方程：x 0xy 0y b 2(x 0y 00)；y P A N B O M x⑵由题设有b4 ，b 2b 2，由直线AB 的方程可得M，，，N0y 0x 0于是a 2b 2a 22y 02a 2 x 02y 02a 22522b 4xb 2b 222b 2，|OM||ON|ba16解得a 5 ，故椭圆C 的方程为x 2y 2 1．1625⑶假定存在点P(x 0，y 0)知足PAPB 0，连接OA 、OB ，由|PA||PB|，知四边形PAOB 为正方形，|OP|2|OA|．∴x 02 y 02 2b 2①又P 在椭圆上，∴a 2x 02b 2y 02a 2b 2②由①②得x 0 2 2 22 2b(a2b)，y 0ab2 2a 2b 2 a 2 b 2∵a b0，∴a 2 b 2∴当a 2 ≥2b 2 0即a ≥ 2b 时，椭圆C 上存在点P 知足题设条件；当a 2 2b 2即b a2b 时，椭圆C 上不存在知足题设的点P ．【答案】⑴直线 AB 的方程：x 0xy 0yb 2(x 0y 00)；22⑵xy 1 ； 1625⑶当a 2 ≥2b 2 0即a ≥ 2b 时，椭圆C 上存在点P 知足题设条件；当a 2 2b 2即b a2b 时，椭圆C 上不存在知足题设的点 P ．【例26】已知A ，B ，C 均在椭圆M:x2y 221(a1)上，直线AB 、AC 分别过椭圆的左右a焦点F 1、F 2，当ACF 1F 2 0时，有9AF 1AF 22AF 1 ．⑴求椭圆M 的方程；EF 为圆N:x 22)2⑵设P 是椭圆M 上的任一点，(y 1的任一条直径，求PEPF 的最大值．【考点】椭圆的方程【难度】4星【题型】解答【重点字】无【分析】⑴∵ACF 1F 2 0，∴ACF 1F 2 ，即△AF 1F 2为直角三角形，∴|AF 1|cosF 1AF 2|AF 2|．于是9AF 1 AF 2 9|AF 1||AF 2|cosF 1AF 29|AF 2|22AF 1|AF 1|2，∴|AF 1| 3|AF 2 |．又|AF 1||AF 2|2a ，∴|AF 1|3a ，|AF 2|a．22在Rt △AF 1F 2中，|AF 1|2|AF 2|2 |F 2F 1|2，22即3 a 4(a 21)，解得 2，a2a22故所求椭圆M 方程为x 2y 2 1 ．2yENFPAB F1OF 2 xC⑵PE PF (NENP) (NF NP)(NFNP)(NFNP)(NP)22 21NFNP2进而只要求NP 的最大值．P 是椭圆M 上的任一点，设P(x 0，y 0)，则有x 02y 0 2 1，即x 022 2y 0 2．22x 02 (y 02)222y 02(y 02)2(y 02)2 10．又N(0，2)，所以NP而y 0 [1，1]，所以当y 02取最大值9，1 时，NP故PE PF 的最大值为 8 ．2【答案】⑴xy 2 1；2⑵PE PF 的最大值为 8 ．【例27】设椭圆x2y21(a b0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e2，M、a2b222N是直线l：xa上的两个动点，且F1M F2N0．c（1）若|F1M||F2N|25，求a、b的值．（2）证明：当|MN|取最小值时，F1M F2N与F1F2共线．【考点】椭圆的方程【难度】4星【题型】解答【重点字】2008年，四川高考【分析】（1）由已知，F1(c，0)，F2(c，0)．yMF1O F2xN2，c21，∴a22c2．由e22a2又a 2222222．b c，∴b c，a2b∴l：x a22c22c，c c所以M(2c，y1)，N(2c，y2)．法一：延伸NF2交MF1于P，记l交x轴于Q．yMPF1O F2QxN∵F1MF2N0，∴F1MF2N．F1MF2N由平面几何知识易证RtMQF1≌Rt F2QN，∴QN FQ3c，QM FQc y c，y23c．12，即1∵F1M F2N25，2222，b 22∴9cc20，c2，a4．∴a2，b2．法二：∵F1M F2N0，∴(3c，y1)(c，y2)0，y1y23c20．又F1M F2N25，yy23c21联立9c2y1220，消去y1、y2得：(209c2)(20c2)9c4，解得c22．c2y2220∴a2，b2．（2）∵F1M F2N(3c，y1)(c，y2)0，∴y1y23c20．2y1y22y22y1y2≥2y1y22y1y24y1y212c2．MN y122当且仅当y1y23c或y2y13c时，取等号．此时MN取最小值23c．此时F1M F2N(3c，3c)(c，3c)(4c，0)2F1F2．∴F1M F2N与F1F2共线．另解：∵F1M F2N0，∴(3c，y1)(c，y2)0，y1y23c2．设MF1，NF2的斜率分别为k，1．ky k(x c)y 1c)y13kc；由(xc；由2c k y2x x2c kMN y1y2c3k 1≥23c．当且仅当3k1即k21，k3时取等号．k k33即当MN最小时，k3，3此时F1M F2N(3c ，c，c=(3c，3c)(c，3c)(4c，2F1F2 3kc)k0)∴F1M F2N与F1F2共线．【答案】（1）a2，b2．（2）∵F1M F2N(3c，y1)(c，y2)0，∴y1y23c20．2212c2．MN y1y2y22y1y2≥2y1y22y1y24y1y2y122当且仅当y1y23c或y2y13c时，取等号．此时MN取最小值23c．此时F1M F2N(3c，3c)(c，3c)(4c，0)2F1F2．∴F1M F2N与F1F2共线．另解：∵F1M F2N0，∴(3c，y1)(c，y2)0，y1y23c2．设MF1，NF2的斜率分别为k，1．ky k(x c)y 1c)y13kc；由(xc；由2c k y2x x2c kMN y1y2c3k 1≥23c．当且仅当3k1即k21，k3时取等号．k k33即当MN最小时，k3，3此时F1M F2N(3c ，，c=(3c，3c)(c，3c)(4c，2F1F2 3kc)c k0)∴F1M F2N与F1F2共线．。