高中奥林匹克物理竞赛解题方法之七对称法

高中物理竞赛方法集锦对称法7方法简介由于物质世界存在某些对称性，使得物理学理论也具有相应的对称性，从而使对称现象普遍存在于各种物理现象和物理规律中. 应用这种对称性它不仅能关心我们认识和探究物质世界的某些差不多规律，而且也能关心我们去求解某些具体的物理咨询题，这种思维方法在物理学中称为对称法. 利用对称法分析解决物理咨询题，能够幸免复杂的数学演算和推导，直截了当抓住咨询题的实质，出奇制胜，快速简便地求解咨询题.赛题精析例1：沿水平方向向一堵竖直光滑的墙壁抛出一个弹性小球A ，抛出点离水平地面的高度为h ，距离墙壁的水平距离为s ， 小球与墙壁发生弹性碰撞后，落在水平地面上，落地点距墙壁的水平距离为2s ，如图7—1所示. 求小球抛出时的初速度.解析：因小球与墙壁发生弹性碰撞， 故与墙壁碰撞前后入射速度与反射速度具有对称性， 碰撞后小球的运动轨迹与无墙壁阻挡时小球连续前进的轨迹相对称，如图7—1—甲所示，因此小球的运动可以转换为平抛运动处理， 成效上相当于小球从A ′点水平抛出所做的运动. 依照平抛运动的规律：⎪⎩⎪⎨⎧==2021gt y t v x 因为抛出点到落地点的距离为3s ，抛出点的高度为h代入后可解得：hg s y g x v 2320== 例2：如图7—2所示，在水平面上，有两个竖直光滑墙壁A 和B ，间距为d ， 一个小球以初速度0v 从两墙正中间的O 点斜向上抛出， 与A 和B 各发生一次碰撞后正好落回抛出点O ， 求小球的抛射角θ.解析：小球的运动是斜上抛和斜下抛等三段运动组成， 假设按顺序求解那么相当复杂，假如视墙为一平面镜， 将球与墙的弹性碰撞等效为对平面镜的物、像移动，可利用物像对称的规律及斜抛规律求解.物体跟墙A 碰撞前后的运动相当于从O ′点开始的斜上抛运动，与B 墙碰后落于O 点相当于落到O ″点，其中O 、O ′关于A 墙对称，O 、O ″关于B 墙对称，如图7—2—甲所示，因此有⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧-==0221sin cos 200y d x gt t v y t v x 落地时θθ图7—1代入可解得20202arcsin 2122sin v dg v dg ==θθ所以抛射角 例3：A 、B 、C 三只猎犬站立的位置构成一个边长为a 的正三角形，每只猎犬追捕猎物的速度均为v ，A 犬想追捕B 犬，B 犬想追捕C 犬，C 犬想追捕A 犬，为追捕到猎物，猎犬不断调整方向，速度方向始终〝盯〞住对方，它们同时起动，经多长时刻可捕捉到猎物？ 解析：以地面为参考系，三只猎犬运动轨迹差不多上一条复杂的曲线，但依照对称性，三只猎犬最后相交于三角形的中心点，在追捕过程中，三只猎犬的位置构成三角形的形状不变，以绕点旋转的参考系来描述，可认为三角形不转动，而是三个顶点向中心靠近，因此只要求出顶点到中心运动的时刻即可.由题意作图7—3， 设顶点到中心的距离为s ，那么由条件得 a s 33=由运动合成与分解的知识可知，在旋转的参考系中顶点向中心运动的速度为v v v 2330cos ==' 由此可知三角形收缩到中心的时刻为 va v s t 32='= 此题也能够用递推法求解，读者可自己试解.例4：如图7—4所示，两个同心圆代表一个圆形槽，质量为m ，内外半径几乎同为R. 槽内A 、B 两处分不放有一个质量也为m 的小球，AB 间的距离为槽的直径. 不计一切摩擦. 现将系统置于光滑水平面上，开始时槽静止，两小球具有垂直于AB 方向的速度v ，试求两小球第一次相距R 时，槽中心的速度0v .解析：在水平面参考系中建立水平方向的x 轴和y 轴.由系统的对称性可知中心或者讲槽整体将仅在x 轴方向上运动。

物理解题技巧高中对称法物理解题技巧高中自然界和自然科学中，普遍存在着优美和谐的对称现象.对称性就是事物在变化时存在的某种不变性.物理中对称现象比比皆是，对称的结构、对称的作用、对称的电路、对称的物和像等等.一般情况下对称表现为研究对象在结构上的对称性、物理过程在时间上和空间上的对称性、物理量在分布上的对称性及作用效果的对称性等.利用对称性解题时有时能一眼看出答案，大大简化解题步骤.从科学思维方法的角度来讲，对称性最突出的功能是启迪和培养学生的直觉思维能力.用对称性解题的关键是敏锐地看出并抓住事物在某一方面的对称性，这些对称性往往就是通往答案的捷径.静力学问题解题的思路和方法确定研究对象：并将“对象”隔离出来-。

必要时应转换研究对象。

这种转换，一种情况是换为另一物体，一种情况是包括原“对象”只是扩大范围，将另一物体包括进来。

分析“对象”受到的外力，而且分析“原始力”，不要边分析，边处理力。

以受力图表示。

根据情况处理力，或用平行四边形法则，或用三角形法则，或用正交分解法则，提高力合成、分解的目的性，减少盲目性。

对于平衡问题，应用平衡条件∑F＝0，∑M＝0，列方程求解，而后讨论。

认识物体的平衡及平衡条件对于质点而言，若该质点在力的作用下保持静止或匀速直线运动，即加速度为零，则称为平衡，欲使质点平衡须有∑F＝0。

若将各力正交分解则有：∑FX＝0，∑FY＝0。

这里应该指出的是物体在三个力(非平行力)作用下平衡时，据∑F＝0可以引伸得出以下结论：这三个力矢量组成封闭三角形。

任何两个力的合力必定与第三个力等值反向。

对物体受力的分析及步骤明确研究对象分析物体或结点受力的个数和方向，如果是连结体或重叠体，则用“隔离法”作图时力较大的力线亦相应长些每个力标出相应的符号(有力必有名)，用英文字母表示用正交分解法解题列动力学方程受力不平衡时一些物体的受力特征：轻杆或弹簧对物体可以有压力或者拉力。

绳子或橡皮筋可受拉力不能受压力，同一绳放在光滑滑轮或光滑挂钩上，两侧绳子受力大小相等，当三段以上绳子在交点打结时，各段绳受力大小一般不相等。

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例谈对称法在高中物理解题中的应用
作者：高耀东
来源：《理科考试研究·高中》2013年第10期
对称法是迅速解决高中物理题的一种有效手段，是学生在解题中常用的一种具体的解题方法，虽然在高考题中没有单独的正面考查，但是在高考题中经常有所渗透和体现，从侧面考查考生的直观思维能力和客观猜想推理能力。

用对称法解题有利于培养学生的应试能力和提高学生的物理素养，作为一种重要的物理思想和解题方法，笔者用例题谈对称法在高中物理解题中的应用。

一、时间对称
例1一人在离地H高度处，以相同的速率v0同时抛出两小球A和B，A被竖直上抛，B
被竖直下抛，两球落地时间差为Δt，求速率v0。

解题方法与技巧对于A的运动，当其上抛后再落回抛出点时，由于速度对称，向下的速
度仍为v0，所以A球在抛出点以下的运动和B球完全相同，落地时间亦相同，因此，Δt就是A球在抛出点以上的运动时间，根据时间对称，Δt=2v01g，所以v0=gΔt12。

二、物镜对称。

高中物理模型法解题———对称法解题模型【模型概述】物质世界存在某些对称性，使得物理学理论也具有相应的对称性，从而使对称现象普遍存在于各种物理现象和物理规律中.在高中物理模型中，有很多运动模型有对称性，如（类）竖直上抛运动的对称性，简谐运动中的对称性，电路中的对称性，带电粒子在匀强磁场中匀速圆周运动中几何关系的对称性.应用这种对称性不仅能帮助我们认识和探索物质世界的某些基本规律，而且也能帮助我们去求解某些具体的物理问题，这种思维方法在物理学中称为对称法. 利用对称法分析解决物理问题，可以避免复杂的数学演算和推导，直接抓住问题的实质，出奇制胜，快速简便地求解问题.【知识链接】一、运动学相关知识（一）竖直上抛运动1．竖直上抛运动的特点①初速度竖直向上．②只受重力作用的匀变速直线运动．③若以初速度方向为正方向，则a＝－g.2. 竖直上抛运动的两种处理方法①分步处理上升阶段为初速度不为零的匀减速直线运动，；下降阶段为自由落体运动。

②整体处理整体而言，竖直上抛运动为初速度不为零的匀减速直线运动，设初速度的方向为正向，则加速度为。

3．竖直上抛运动的对称性①上升的最大高度，上升到最大高度所需时间上，下降到抛出点时所需时间下。

下落过程是上升过程的逆过程，所以质点在通过同一高度位置时，上升速度与下落速度大小相等、方向相反；物体在通过同一段高度的过程中，上升时间与下落时间相等。

②v-t图象和h-t图象中的对称性，如下图所示：（二）带电粒子在匀强磁场中的运动1．带电粒子在匀强磁场中的运动的处理方法①圆心的确定方法方法一若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，则可根据洛伦兹力F⊥v，分别确定两点处洛伦兹力F的方向，其交点即为圆心，如图(a)；方法二若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，则可作出此两点的连线(即过这两点的圆弧的弦)的中垂线，中垂线与垂线的交点即为圆心，如图(b)。

② 半径的计算方法方法一 由物理方程求：半径R ＝mv qB ；方法二 由几何方程求：一般由数学知识(勾股定理、三角函数等)计算来确定。

高中物理竞赛试题解题方法：对称法针对训练1．从距地面高19.6m处的A点，以初速度为5.0m/s沿水平方向投出一小球. 在距A点5.0m处有一光滑墙，小球与墙发生弹性碰撞（即入射角等于反射角，入射速率等于反射率），弹回后掉到地面B处.求：B点离墙的水平距离为多少？2．如图7—17所示，在边长为a的正方形四个顶点上分别固定电量均为Q的四个点电荷，在对角线交点上放一个质量为m，电量为q（与Q同号）的自由点电荷。

若将q沿着对角线移动一个小的距离，它是否会做周期性振动？若会，其周期是多少？3．如图7—18所示是一个由电阻丝构成的平面正方形无穷网络，当各小段电阻丝的电阻均为R时，A、B两点之间的等效电阻为R/2，今将A，B之间的一小段电阻丝换成电阻为R′的另一端电阻丝，试问调换后A，B之间的等效电阻是多少？4．有一无限大平面导体网络，它由大小相同的正六角形网眼组成，如图7—19所示，所有六边形每边的电阻均为R0，求a，b两结点间的等效电阻。

5．如图7—20所示，某电路具有8个节点，每两个节点之间都连有一个阻值为2 的电阻，在此电路的任意两个节点之间加上10V 电压，求电路的总电流，各支路的电流以及电阻上消耗的总功率。

6．电路如图7—21所示，每两个节点间电阻的阻值为R ，求A 、B 间总电阻R AB 。

7．电路如图7—22所示，已知电阻阻值均为15Ω，求R AC ，R AB ，R AO 各为多少欧？8．将200个电阻连成如图7—23所示的电路，图中各P 点是各支路中连接两个电阻的导线上的点，所有导线的电阻都可忽略. 现将一电动势为ε，内阻为r 的电源接到任意两个P 点处，然后将任一个没接电源的支路在P 点处切断，发现流过电源的电流与没切断前一样，则这200个电阻R 1，R 2，…，R 100，r 1，r 2…，r 100应有下列的普遍关系：,100100332211r R r R r R r R ==== 这时图中AB 导线与CD 导线之间的电压等于 。

高中物理解题常用思维方法高中物理解题常用思维方法一、逆向思维法逆向思维是解答物理问题的一种科学思维方法，对于某些问题，运用常规的思维方法会十分繁琐甚至解答不出，而采用逆向思维，即把运动过程的“末态”当成“初态”，反向研究问题，可使物理情景更简单，物理公式也得以简化，从而使问题易于解决，能收到事半功倍的效果。

高中物理解题常用思维方法二、对称法对称性就是事物在变化时存在的某种不变性。

自然界和自然科学中，普遍存在着优美和谐的对称现象。

利用对称性解题时有时可能一眼就看出答案，大大简化解题步骤。

从科学思维方法的角度来讲，对称性最突出的功能是启迪和培养学生的直觉思维能力。

用对称法解题的关键是敏锐地看出并抓住事物在某一方面的对称性，这些对称性往往就是通往答案的捷径。

高中物理解题常用思维方法三、图象法图象能直观地描述物理过程，能形象地表达物理规律，能鲜明地表示物理量之间的关系，一直是物理学中常用的工具，图象问题也是每年高考必考的一个知识点。

运用物理图象处理物理问题是识图能力和作图能力的综合体现。

它通常以定性作图为基础(有时也需要定量作出图线)，当某些物理问题分析难度太大时，用图象法处理常有化繁为简、化难为易的功效。

高中物理解题常用思维方法四、假设法假设法是先假定某些条件，再进行推理，若结果与题设现象一致，则假设成立，反之，则假设不成立。

求解物理试题常用的假设有假设物理情景，假设物理过程，假设物理量等，利用假设法处理某些物理问题，往往能突破思维障碍，找出新的解题途径。

在分析弹力或摩擦力的有无及方向时，常利用该法。

高中物理解题常用思维方法五、整体、隔离法物理习题中，所涉及的往往不只是一个单独的物体、一个孤立的过程或一个单一的题给条件。

这时，可以把所涉及到的多个物体、多个过程、多个未知量作为一个整体来考虑，这种以整体为研究对象的解题方法称为整体法;而把整体的某一部分(如其中的一个物体或者是一个过程)单独从整体中抽取出来进行分析研究的方法，则称为隔离法。

高中物理竞赛方法集锦对称法72l 的绝缘细线，拴住质量为m 、带电量为q 的小球，线的上端O 固定，开始时将线和球拉成水平，松开后，小球由静止开始向下摆动，当摆过60°角时，速度又变为零. 求：〔1〕A 、B 两点的电势差U AB 多大？〔2〕电场强度多大？解析：〔1〕小球在A 、B 间摆动，依照能量守恒定律有PB PA εε=取A 点为零势能的参考点，即0=PB ε 那么 060sin =+-=BA PB qU mgl E因此 q mgl U q mgl U AB BA 2323-== 〔2〕小球在平稳位置的受力如图7—13—甲.依照共点力的平稳条件：有：60tan mg qE = 解得电场强度：qmg E 3= 例14：如图7—14所示，ab 是半径为R 的圆的一条直径，该圆处于匀强电场中，场强为E ，在圆周平面内，将一带正电q 的小球从a 点以相同的动能抛出，抛出方向不同时，小球会通过圆周上不同的点，在这些所有的点中，到达c 点时小球的动能最大.∠cab=30°，假设不计重力和空气阻力，试求： 〔1〕电场方向与直径ab 间的夹角θ？〔2〕假设小球在a 点时初速度方向与电场方向垂直，小球恰好能落在c 点，那么初动能为多少？解析：由于对a 点以相同的初动能沿不同方向抛出的小球到达圆周上的各点时其中到达c 点的小球动能最大，因此过c 点的切线一定是等势线，由此能够确定电场线的方向，至于从a 点垂直于电场线抛出的小球可按类平抛运动处理.〔1〕用对称性判定电场的方向：由题设条件，在圆周平面内， 从a 点以相同的动能向不同方向抛出带正电的小球， 小球会通过圆周上不 同的点，且以通过c 点时小球的动能最大，可知，电场线平行于圆平面. 又依照动能定理，电场力对到达c 点的小球做功最多， 为qU ac . 因此， U ac 最大. 即c 点的电势比圆周上任何一点的电势都低. 又因为圆周平面处于匀强电场中，故连接Oc ，圆周上各点的电势关于Oc 对称〔或作过c 点且与圆周相切的线cf 是等势线〕,Oc 方向即为电场方向〔如图7—14—甲所示〕，它与直径ab 的夹角为60°.〔2〕小球在匀强电场中做类平抛运动. 小球沿垂直于电场方向抛出，设其初速度为0v ，小球质量为m. 在垂直于电场线方向，有：t v x 0= ①在沿电场线方向，有：221at y = ② 由图中几何关系可得30cos R x = ③)60cos 1( +=R y ④且 m qE a = ⑤将③、④、⑤式代入①、②两式解得：m RqE v 420= 因此初动能.821200RqE mv E k == 例15：如图7—15所示，两块竖直放置的平行金属板A 、B 之间距离为d ，两板间电压为U ，在两板间放一半径为R 的金属球壳，球心到两板的距离相等，C 点为球壳上的一点，位置在垂直于两板的球直径的靠A 板的一端，试求A 板与点C 间的电压大小为多少？解析：将金属球壳放在电场中达到静电平稳后，球壳为等势体，两极板之间的电场由原先的匀强电场变为如图7—15—甲所示的电场，这时C 与A 板间电势差就不能用公式U AC =Ed AC 来运算. 我们利用电场的对称性求解.由于电场线和金属球关于球心O 对称，因此A 板与金属板的电势差U AO 和金属球与B 板的电势差U OB 相等，即U AO =U OB . 又A 、B 两板电势差保持不变为U ，即U AO +U OB =U ，由以上两式解得：U AO =U OB =U/2因此得A 、C 两点间电势差U AC =U AO =U/2例16：如图7—16所示，一静止的带电粒子q ，质量为m 〔不计重力〕，从P 点经电场E 加速，经A 点进入中间磁场B ，方向垂直纸面向里，再穿过中间磁场进入右边足够大的空间磁场B ′〔B ′=B 〕，方向垂直于纸面向外，然后能够按某一路径再由A 返回电场并回到出发点P ，然后再重复前述过程. l 为P 到A 的距离，求中间磁场的宽度d 和粒子运动的周期.〔虚线表示磁场的分界线〕解析：由粒子能〝重复前述过程〞，可知粒子运动具有周期性；又由粒子通过A 点进入磁场后能够按某一路径再返回A 点，可知的运动具有对称性.粒子从A 点进入中间磁场做匀速圆周运动，半径为R ，过C 点进入右边磁场，于做半径为R 的匀速圆周运动经点F 到点D ，由于过D 点后 还做匀速圆周回到A 〔如图7—16—甲所示〕，故DA 和CA 关于直线OA 对称，且OA 垂直于磁场的分界线. 同理可知，OA 也同时是CD 圆弧的对称轴. 因此粒子的运动轨迹是关于直线OA 对称的. 由于速度方向为切线方向，因此圆 弧AC 、CD 、DA 互相相切.〔1〕设中间磁场宽度为d ，粒子过A 点的速度为v ，由圆周运动的对称性可得 θθsin sin R R R -=⋅那么 6πθ= 带电粒子在加速电场中有 221mv qEl = ① 在中间和右边磁场中有 qB mv R = ② d=Rcos θ③ 解①、②、③得 qBqElm d 26= 〔2〕粒子运动周期T 由三段时刻组成，在电场中做匀变速直线运动的时刻为t 1， qElm t 221= 在中间磁场中运动的时刻为t 2，因为AC 所对圆心角为3π，因此 qBm qB m T t 3222322322ππππππ=⨯='⨯= 在右边磁场中运动的时刻为t 3因为CD 所对圆心角为π35因此 qBm qB m T t 3522352353ππππππ=='= 因此周期为 qB m qE lm t t t T 3722321π+=++= 〔 〔 〔〔 〔 〔 〔。

高中物理竞赛试题解题方法：对称法例8：一无限长均匀带电细线弯成如图7—8所示的平面图形，其中AB 是半径为R 的半圆孤，AA ′平行于BB ′，试求圆心O 处的电场强度.解析：如图7—8—甲所示，左上14圆弧内的线元△L 1与右下直线上的线元△L 3具有角元△θ对称关系。

△L 1电荷与△L 3电荷在O 点的场强△E 1与△E 3方向相反，若它们的大小也相等，则左上与右下线元电场强度成对抵消，可得圆心处场强为零。

设电荷线密度为常量λ，因△θ很小，△L 1电荷与△L 3电荷可看做点电荷，其带电量λθλ321L q R q ∆=∆=当θθθλθcos cos ,2⋅∆=∆R q 有很小时又因为 ,cos cos ,2222222211RR K R R K r q K E R q K E θλθθθλ∆=⋅∆==∆=∆ 与△E 1的大小相同，且△E 1与△E 2方向相反，所以圆心O 处的电场强度为零.例9：如图7—9所示，半径为R 的半圆形绝缘线上、下14圆弧上分别均匀带电+q 和－q ，求圆心处的场强。

解析：因圆弧均匀带电，在圆弧上任取一个微小线元，由于带电线元很小，可以看成点电荷。

用点电荷场强公式表示它在圆心处的分场强，再应用叠加原理计算出合场强。

由对称性分别求出合场强的方向再求出其值。

在带正电的圆孤上取一微小线元，由于圆弧均匀带电，因而线密度2q Rλπ=。

在带负电的圆弧上必定存在着一个与之对称的线元，两者产生的场强如图7—9—甲所示。

显然，两者大小相等，其方向分别与x 轴的正、负方向成θ角，且在x 轴方向上分量相等.由于很小，可以认为是点电荷，两线元在O 点的场强为,2sin 222RhK R KR E ∆=∆⋅⋅=∆λθθλ 方向沿y 轴的负方向，所以O 点的合场强应对△E 求和。

即∑∑∑==∆=∆=∆=22224222RKqR R K h R K R h K E E πλλλ。

例10：电荷q 均匀分布在半球面ACB 上，球面的半径为R ，CD 为通过半球顶点C 与球心O 的轴线，如图7—10所示，P 、Q 为CD 轴线上在O 点两侧，离O 点距离相等的两点，已知P 点的电势为U P ，试求Q 点的电势U Q 。

高中物理学习方法之对称方法对称也是一种重要的思维方法。

对具体的物理问题而言，运用对称的方法往往可以化繁为简。

比如，竖直上抛运动和自由落体运动具有“时间反演操作”规律不变性。

时间反演就是让时间流向倒转，如同将物体的运动用录像机录下后倒过来放映，则竖直上抛就会变成自由落体。

还有，静电场和引力场的合场也可当作等效引力场处理，这对于我们处理问题可带来很大的方便。

化解过程层次：一般说来，复杂的物理过程都是由若干个简单的“子过程”构成的。

因此，分析物理过程的最基本方法，就是把复杂的问题层次化，把它化解为多个相互关联的“子过程”来研究。

探明中间状态：有时阶段的划分并非易事，还必需探明决定物理现象从量变到质变的中间状态(或过程)正确分析物理过程的关键环节。

理顺制约关系：有些综合题所述物理现象的发生、发展和变化过程，是诸多因素互相依存，互相制约的“综合效应”。

要正确分析，就要全方位、多角度的进行观察和分析，从内在联系上把握规律、理顺关系，寻求解决方法。

区分变化条件：物理现象都是在一定条件下发生发展的。

条件变化了，物理过程也会随之而发生变化。

在分析问题时，要特别注意区分由于条件变化而引起的物理过程的变化，避免把形同质异的问题混为一谈。

分清因果地位：物理学中有许多物理量是通过比值来定义的。

如R=U/R、E=F/q 等。

在这种定义方法中，物理量之间并非都互为比例关系的。

但学生在运用物理公式处理物理习题和问题时，常常不理解公式中物理量本身意义，分不清哪些量之间有因果联系，哪些量之间没有因果联系。

注意因果对应：任何结果由一定的原因引起，一定的原因产生一定的结果。

因果常是一一对应的，不能混淆。

循因导果，执果索因：在物理习题的训练中，从不同的方向用不同的思维方式去进行因果分析，有利于发展多向性思维。

原型启发法原型启发就是通过与假设的事物具有相似性的东西，来启发人们解决新问题的途径。

能够起到启发作用的事物叫做原型。

原型可来源于生活、生产和实验。

例谈对称法在物理解题中的妙用解具有对称性的问题，如果仍按照常规思维，运用一般的方法，则往往难以求解.若能恰当地运用对称法，则可以化难为易，顺利求解.例1：沿波的传播方向有距离小于1个波长的A、B两点，在t=0时刻，两点的速度相等，经过时间Δt=0.01s，两点首次变为加速度相等，已知波长为12m，求波速.分析：（1）由于A、B两点速度相等，则此时两点必然是关于处于平衡位置的质点C0对称，如图1或图1′所示.（2）当A、B两点变为加速度相等时，则此时两点必然是关于处于最大位移的质点C′对称，如图2或图2′所示.（3）综合初、末状态，可画出图3或图3′的波形，A0、B0、C0为A、B、C所对应的平衡位置，由以上对称性的分析，可知初状态（图中实线所示的波形）与末状态（图中虚线所示的波形）所经历的时间正是对称中心质点C由平衡位置运动到最大位移处所用的时间，即0.01s正是四分之一个周期.解：由以上分析可知T/4=0.01，则T=0.04s波速V=λ/T=（12/0.04）m/s=300m/s对称性是振动和波动的重要特性.本例应用了对称法使问题大为简化，此题若不从对称性入手分析，则很难求解.例2：有位牧童在回家之前，先要把牛牵到河边去饮水，然后再将牛牵回家中.如图4所示，已知家在位置B，距河岸边500m，牧童所在位置A与岸边相距200m，与家相距500m，试问牧童至少要走多少路程才能回到家中（准确到1m），怎么走用时最短？并在图中作出牧童所走过的最短路线.分析：这是一道关于路程、速度、时间三者之间关系的问题，只要求出行走最短路程，根据行走速度，可求出所需时间.如图4所示，假设牧童由A先到达河边的C1点，然后再回到家中，那么牧童走过的路程应为AC1+ C1B.我们以河岸边为对称轴，作出B点的对称点B′，由对称性可知C1B=C1B′.也就是说，牧童走过的路程相当于从A走到C1，再从C1走到B′所走的路程.至此，我们不难在图中画出最短行程路线：先把A与B′用直线相连，交岸边于C点（CB′用虚线相连），然后再将C与B用直线连接，如图4所示，牧童由A经C再到B，即为其所走路程最短的路线.在以上分析的基础上，我们利用勾股定理，不难求出牧童所走的最短路程为806m，即牧童至少要走806m的路程才能回到家中.如果牛的行走速度为2.5m/s，约需要5.4min就可到家.从以上两例可以看出，直观、便捷是对称法解题的突出特点，对具有对称性的问题，我们可以先尝试依据对称规律进行图解，巧妙转化，往往能化难为易，大大简化繁琐的计算过程。

高中物理解题方法专题指导对称法一．方法介绍由于物质世界存在某些对称性，使得物理学理论也具有相应的对称性，从而使对称现象普遍存在于各种物理现象和物理规律中．应用这种对称性不仅能帮助我们认识和探索物质世界的某些基本规律，而且也能帮助我们去求解某些具体的物理问题，这种思维方法在物理学中称为对称法.物理中对称现象比比皆是，对称的结构、对称的作用、对称的电路、对称的物像等等．一般情况下，对称表现为研究对象在结构上的对称性、物理过程在时间上和空间上的对称性、物理量在分布上的对称性及作用效果的对称性等．用对称性解题的关键是敏锐地抓住事物在某一方面的对称性，这些对称性往往就是通往答案的捷径,利用对称法分析解决物理问题，可以避免复杂的数学演算和推导，直接抓住问题的实质，出奇制胜，快速简便地求解问题．二．典例分析例1如图所示，轻弹簧的一端固定在地面上，另一端与木块B相连，木块A放在木块B上，两木块质量均为m , 在木块A上施有竖直向下的力F,整个装置处于静止状态。

（1）突然将力F撤去，若运动中A、B不分离，则A、B共同运动到最高点时，B对A的弹力有多大?(2)要使A、B不分离，力F应满足什么条件?例2.如图甲所示，ab是半径为R的圆的一条直径，该圆处于匀强电场中，场强为E，在圆周平面内，将一带正电q的小球从a点以相同的动能抛出，抛出方向不同时，小球会经过圆周上不同的点，在这些所有的点中，到达c点时小球的动能最大．已知∠cab=300，若不计重力和空气阻力，试求：(1)电场方向与直径ab间的夹角θ；(2)若小球在a点时初速度方向与电场方向垂直,小球恰好能落在c点，则初动能为多少?例3.如图所示，正方形匀强磁场磁区边界长为a，由光滑绝缘壁围成．质量为m、电量为q的带正电的粒子垂直于磁场方向和边界，从下边界的正中央的A 孔射人磁区中，粒子和壁碰撞时无能量和电量损失，不计重力和碰壁时间，设磁感应强度的大小为B ，粒子在磁场中运动半径小于a ，欲使粒子仍能从A 孔射出，粒子的入射速度应多大?在磁场中的运动时间是多少?并在下面框中画出轨迹图．例4.如上图甲所示，在半径为r 的圆柱形区域内，充满与圆柱轴线平行的匀强磁场，一长为3r 的金属棒MN 与磁场方向垂直地放在磁场区域内, 棒的端点MN 恰在磁场边界的圆周上，已知磁感应强度B 随时间均匀变化，其变化率为tB∆∆＝k ，求MN 中产生的电动势为多大?三．强化训练( )1.如图所示，相对的两个斜面，倾角分别为370和530，在顶点把两个小球以同样大小的初速度分别向左、向右水平抛出，小球都落在足够长的斜面上．若不计空气阻力，则A 、B 两个小球在空中运动的时间之比(sin 370＝0.6，COS 530＝0.8)A ．1:lB ．4:3 C.16:9 D ．9:1( )2.如图所示，两块相同的竖直木板A 、B 之间有质量均为m 的四块相同的砖,用两个大小均为F 的水平力压木板，使砖静止不动，设所有接触面间的动摩擦系数为μ，则第二块砖对第三块砖的摩擦力的大小为A ．0B ． mgC ．μFD ．2mg3.如上图所示，一块均匀的半圆形薄电阻合金片，将它按图甲方式接在电极A 、B 之间，其电阻为R ，将它按图乙方式接在电极C 、D 之间，求其电阻值．(电极电阻忽略不计)4.沿水平方向向一堵竖直光滑的墙壁抛出一个弹性小球A ，抛出点离水平地面的高度为h ，距离墙壁的水平距离为s ，小球与墙壁发生弹性碰撞后，落在水平地面上，落地点距墙壁的水平距离为2s ，如图a 所示．求小球抛出时的初速度.5.如图所示，在空间中的A、B两点固定着一对等量正点电荷，有一带电微粒在它们产生的电场中运动，设带电微粒在运动过程中只受到电场力的作用，带电微粒在电场中所做的运动可能是：A.匀变速直线运动、B．匀速圆周运动、C类似平抛运动、D．机械振动．现有某同学分析如下：带电粒子在电场中不可能做匀变速直线运动与类似平抛运动，因为带电粒子在电场中不可能受到恒定的外力作用，所以A、C是错误的，也不可能做匀速圆周运动，因为做匀速圆周运动的物体所受的合外力始终指向圆心充当向心力，图示中两点电荷所产生的电场不可能提供这样的向心力，所以B也是错误的．只有D正确，理由是在AB 连线中点O两侧对称位置之间可以做机械振动。

七、对称法方法简介由于物质世界存在某些对称性，使得物理学理论也具有相应的对称性，从而使对称现象普遍存在于各种物理现象和物理规律中. 应用这种对称性它不仅能帮助我们认识和探索物质世界的某些基本规律，而且也能帮助我们去求解某些具体的物理问题，这种思维方法在物理学中称为对称法. 利用对称法分析解决物理问题，可以避免复杂的数学演算和推导，直接抓住问题的实质，出奇制胜，快速简便地求解问题.赛题精析例1：沿水平方向向一堵竖直光滑的墙壁抛出一个弹性小球A ，抛出点离水平地面的高度为h ，距离墙壁的水平距离为s ， 小球与墙壁发生弹性碰撞后，落在水平地面上，落地点距墙壁的水平距离为2s ，如图7—1所示. 求小球抛出时的初速度.解析：因小球与墙壁发生弹性碰撞， 故与墙壁碰撞前后入射速度与反射速度具有对称性， 碰撞后小球的运动轨迹与无墙壁阻挡时小球继续前进的轨迹相对称，如图7—1—甲所示，所以小球的运动可以转换为平抛运动处理， 效果上相当于小球从A ′点水平抛出所做的运动. 根据平抛运动的规律：⎪⎩⎪⎨⎧==2021gt y t v x 因为抛出点到落地点的距离为3s ，抛出点的高度为h 代入后可解得：hg s y g x v 2320== 例2：如图7—2所示，在水平面上，有两个竖直光滑墙壁A 和B ，间距为d ， 一个小球以初速度0v 从两墙正中间的O 点斜向上抛出， 与A 和B 各发生一次碰撞后正好落回抛出点O ， 求小球的抛射角θ.解析：小球的运动是斜上抛和斜下抛等三段运动组成， 若按顺序求解则相当复杂，如果视墙为一平面镜， 将球与墙的弹性碰撞等效为对平面镜的物、像移动，可利用物像对称的规律及斜抛规律求解.物体跟墙A 碰撞前后的运动相当于从O ′点开始的斜上抛运动，与B 墙碰后落于O 点相当于落到O ″点，其中O 、O ′关于A 墙对称，O 、O ″对于B 墙对称，如图7—2—甲所示，于是有 ⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧-==0221sin cos 200y d x gt t v y t v x 落地时θθ图7—1代入可解得20202arcsin 2122sin v dg v dg ==θθ所以抛射角 例3：A 、B 、C 三只猎犬站立的位置构成一个边长为a 的正三角形，每只猎犬追捕猎物的速度均为v ，A 犬想追捕B 犬，B 犬想追捕C 犬，C 犬想追捕A 犬，为追捕到猎物，猎犬不断调整方向，速度方向始终“盯”住对方，它们同时起动，经多长时间可捕捉到猎物？ 解析：以地面为参考系，三只猎犬运动轨迹都是一条复杂的曲线，但根据对称性，三只猎犬最后相交于三角形的中心点，在追捕过程中，三只猎犬的位置构成三角形的形状不变，以绕点旋转的参考系来描述，可认为三角形不转动，而是三个顶点向中心靠近，所以只要求出顶点到中心运动的时间即可.由题意作图7—3， 设顶点到中心的距离为s ，则由已知条件得 a s 33=由运动合成与分解的知识可知，在旋转的参考系中顶点向中心运动的速度为v v v 2330cos ==' 由此可知三角形收缩到中心的时间为 v a v s t 32='=此题也可以用递推法求解，读者可自己试解.例4：如图7—4所示，两个同心圆代表一个圆形槽，质量为m ，内外半径几乎同为R. 槽内A 、B 两处分别放有一个质量也为m 的小球，AB 间的距离为槽的直径. 不计一切摩擦. 现将系统置于光滑水平面上，开始时槽静止，两小球具有垂直于AB 方向的速度v ，试求两小球第一次相距R 时，槽中心的速度0v .解析：在水平面参考系中建立水平方向的x 轴和y 轴.由系统的对称性可知中心或者说槽整体将仅在x 轴方向上运动。

七、对称法方法简介由于物质世界存在某些对称性，使得物理学理论也具有相应的对称性，从而使对称现象普遍存在于各种物理现象和物理规律中. 应用这种对称性它不仅能帮助我们认识和探索物质世界的某些基本规律，而且也能帮助我们去求解某些具体的物理问题，这种思维方法在物理学中称为对称法. 利用对称法分析解决物理问题，可以避免复杂的数学演算和推导，直接抓住问题的实质，出奇制胜，快速简便地求解问题.赛题精析例1：沿水平方向向一堵竖直光滑的墙壁抛出一个弹性小球A ， 抛出点离水平地面的高度为h ，距离墙壁的水平距离为s ， 小球与 墙壁发生弹性碰撞后，落在水平地面上，落地点距墙壁的水平距离 为2s ，如图7—1所示. 求小球抛出时的初速度.解析：因小球与墙壁发生弹性碰撞， 故与墙壁碰撞前后入射速 度与反射速度具有对称性， 碰撞后小球的运动轨迹与无墙壁阻挡时 小球继续前进的轨迹相对称，如图7—1—甲所示，所以小球的运动可 以转换为平抛运动处理， 效果上相当于小球从A ′点水平抛出所做 的运动.根据平抛运动的规律：⎪⎩⎪⎨⎧==2021gt y t v x因为抛出点到落地点的距离为3s ，抛出点的高度为h代入后可解得：hgsy g x v 2320== 例2：如图7—2所示，在水平面上，有两个竖直光滑墙壁A 和 B ，间距为d ， 一个小球以初速度0v 从两墙正中间的O 点斜向上抛出， 与A 和B 各发生一次碰撞后正好落回抛出点O ， 求小球的抛射角θ. 解析：小球的运动是斜上抛和斜下抛等三段运动组成， 若按顺 序求解则相当复杂，如果视墙为一平面镜， 将球与墙的弹性碰撞等 效为对平面镜的物、像移动，可利用物像对称的规律及斜抛规律求解. 物体跟墙A 碰撞前后的运动相当于从O ′点开始的斜上抛运动，与B 墙碰后落于O 点相当于落到O ″点，其中O 、O ′关于A 墙对称，O 、O ″对于B 墙对称，如图7—2—甲所示，于是有图7—1⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧-==0221sin cos 200y dx gt t v y t v x 落地时θθ代入可解得2202arcsin 2122sin v dgv dg ==θθ所以抛射角 例3：A 、B 、C 三只猎犬站立的位置构成一个边长为a 的正三角形，每只猎犬追捕猎物的速度均为v ，A 犬想追捕B 犬，B 犬想追捕C 犬，C 犬想追捕A 犬，为追捕到猎物，猎犬不断调整方向，速度方向始终“盯”住对方，它们同时起动，经多长时间可捕捉到猎物？ 解析：以地面为参考系，三只猎犬运动轨迹都是一条复杂 的曲线，但根据对称性，三只猎犬最后相交于三角形的中心点， 在追捕过程中，三只猎犬的位置构成三角形的形状不变，以绕 点旋转的参考系来描述，可认为三角形不转动，而是三个顶点向 中心靠近，所以只要求出顶点到中心运动的时间即可. 由题意作图7—3， 设顶点到中心的距离为s ，则由已知条 件得 a s 33=由运动合成与分解的知识可知，在旋转的参考系中顶点向中心运动的速度为v v v 2330cos =='由此可知三角形收缩到中心的时间为 vav s t 32='=此题也可以用递推法求解，读者可自己试解.例4：如图7—4所示，两个同心圆代表一个圆形槽， 质量为m ，内外半径几乎同为R. 槽内A 、B 两处分别放 有一个质量也为m 的小球，AB 间的距离为槽的直径. 不 计一切摩擦. 现将系统置于光滑水平面上，开始时槽静止， 两小球具有垂直于AB 方向的速度v ，试求两小球第一次 相距R 时，槽中心的速度0v .解析：在水平面参考系中建立水平方向的x 轴和y 轴. 由系统的对称性可知中心或者说槽整体将仅在x 轴方向上 运动。

高中奥林匹克物理竞赛解题方法七、对称法方法简介由于物质世界存在某些对称性，使得物理学理论也具有相应的对称性，从而使对称现象普遍存在于各种物理现象和物理规律中. 应用这种对称性它不仅能帮助我们认识和探索物质世界的某些基本规律，而且也能帮助我们去求解某些具体的物理问题，这种思维方法在物理学中称为对称法. 利用对称法分析解决物理问题，可以避免复杂的数学演算和推导，直接抓住问题的实质，出奇制胜，快速简便地求解问题.赛题精析例1：沿水平方向向一堵竖直光滑的墙壁抛出一个弹性小球A ， 抛出点离水平地面的高度为h ，距离墙壁的水平距离为s ， 小球与 墙壁发生弹性碰撞后，落在水平地面上，落地点距墙壁的水平距离 为2s ，如图7—1所示. 求小球抛出时的初速度.解析：因小球与墙壁发生弹性碰撞， 故与墙壁碰撞前后入射速 度与反射速度具有对称性， 碰撞后小球的运动轨迹与无墙壁阻挡时 小球继续前进的轨迹相对称，如图7—1—甲所示，所以小球的运动可 以转换为平抛运动处理， 效果上相当于小球从A ′点水平抛出所做 的运动.根据平抛运动的规律：⎪⎩⎪⎨⎧==2021gt y t v x因为抛出点到落地点的距离为3s ，抛出点的高度为h 代入后可解得：hg syg xv 2320==例2：如图7—2所示，在水平面上，有两个竖直光滑墙壁A 和 B ，间距为d ， 一个小球以初速度0v 从两墙正中间的O 点斜向上抛 出， 与A 和B 各发生一次碰撞后正好落回抛出点O ， 求小球的抛 射角θ.解析：小球的运动是斜上抛和斜下抛等三段运动组成， 若按顺 序求解则相当复杂，如果视墙为一平面镜， 将球与墙的弹性碰撞等 效为对平面镜的物、像移动，可利用物像对称的规律及斜抛规律求解.物体跟墙A 碰撞前后的运动相当于从O ′点开始的斜上抛运动，与B 墙碰后落于O点图7—1相当于落到O ″点，其中O 、O ′关于A 墙对称，O 、O ″对于B 墙对称，如图7—2—甲所示，于是有⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧-==0221sin cos 200y dx gt t v y t v x 落地时θθ 代入可解得2022arcsin2122sin vdg vdg ==θθ所以抛射角 例3：A 、B 、C 三只猎犬站立的位置构成一个边长为a 的正三角形，每只猎犬追捕猎物的速度均为v ，A 犬想追捕B 犬，B 犬想追捕C 犬，C 犬想追捕A 犬，为追捕到猎物，猎犬不断调整方向，速度方向始终“盯”住对方，它们同时起动，经多长时间可捕捉到猎物？ 解析：以地面为参考系，三只猎犬运动轨迹都是一条复杂 的曲线，但根据对称性，三只猎犬最后相交于三角形的中心点， 在追捕过程中，三只猎犬的位置构成三角形的形状不变，以绕 点旋转的参考系来描述，可认为三角形不转动，而是三个顶点向 中心靠近，所以只要求出顶点到中心运动的时间即可. 由题意作图7—3， 设顶点到中心的距离为s ，则由已知条 件得 a s 33=由运动合成与分解的知识可知，在旋转的参考系中顶点向中心运动的速度为v v v 2330cos =='由此可知三角形收缩到中心的时间为 va v s t 32='=此题也可以用递推法求解，读者可自己试解.例4：如图7—4所示，两个同心圆代表一个圆形槽， 质量为m ，内外半径几乎同为R. 槽内A 、B 两处分别放 有一个质量也为m 的小球，AB 间的距离为槽的直径. 不 计一切摩擦. 现将系统置于光滑水平面上，开始时槽静止， 两小球具有垂直于AB 方向的速度v ，试求两小球第一次 相距R 时，槽中心的速度0v .解析：在水平面参考系中建立水平方向的x 轴和y 轴. 由系统的对称性可知中心或者说槽整体将仅在x 轴方向上 运动。

高三物理对称法知识点总结一、引言在物理学中，对称法是研究物理系统的一种有效方法。

它通过寻找系统内的对称性并利用它们的性质，使得问题的求解更加简化和直观。

本文将对高三物理中的对称法知识点进行总结，帮助同学们更好地理解和应用对称法。

二、对称性及其分类1. 对称性的概念对称性是指在某种变换下，物体或物理系统的性质保持不变。

常见的对称性包括平移对称、旋转对称和镜像对称等。

2. 平移对称平移对称指的是物体在平移过程中，保持形状和结构不变。

平移对称可以应用于研究几何问题、周期波动等。

3. 旋转对称旋转对称指的是物体在某一中心旋转一定角度后，保持与原物体相同的外观。

旋转对称可用于研究刚体旋转、圆周运动等问题。

4. 镜像对称镜像对称指的是物体存在一个镜面，通过镜面将物体的两部分完全对称。

镜像对称适用于研究像反射、光学成像等问题。

5. 其他对称性除了上述常见对称性外，还存在时间反演对称和宇称对称等其他对称性。

它们在高级物理问题中具有重要应用。

三、对称法在物理问题中的应用1. 利用对称性简化计算对称法可以将物理系统的复杂度大大降低。

通过找到物体或系统中的对称中心、镜像面等，我们可以排除对称性变换下不变量为零的项，从而简化问题的计算。

2. 推导物理定律与方程对称性对于推导物理定律和方程也起到了重要作用。

例如，利用空间平移对称性，我们可以得到能量守恒定律；利用零总磁通对称性，我们可以得到安培环路定理等。

3. P、T、C对称性及其破缺粒子物理研究中，P（粒子反演）对称性、T（时间反演）对称性和C（电荷共轭）对称性是非常重要的。

通过对这些对称性的研究，可以揭示粒子物理中的一些基本定律和规律。

4. 应用于光学问题对称法在光学问题中也有广泛应用。

例如，利用面镜对称性，我们可以研究平面镜成像；利用球面镜的旋转对称性，我们可以研究球面镜成像等。

四、结论对称法是物理学中一种重要的研究方法，通过寻找并利用系统内的对称性，我们可以简化问题的计算，推导物理定律和方程，揭示粒子物理的基本规律，并应用于光学问题等。

七、对称法方法简介由于物质世界存在某些对称性,使得物理学理论也具有相应的对称性,从而使对称现象普遍存在于各种物理现象和物理规律中. 应用这种对称性它不仅能帮助我们认识和探索物质世界的某些基本规律,而且也能帮助我们去求解某些具体的物理问题,这种思维方法在物理学中称为对称法. 利用对称法分析解决物理问题,可以避免复杂的数学演算和推导,直接抓住问题的实质,出奇制胜,快速简便地求解问题.赛题精析例1：沿水平方向向一堵竖直光滑的墙壁抛出一个弹性小球A, 抛出点离水平地面的高度为h,距离墙壁的水平距离为s, 小球与 墙壁发生弹性碰撞后,落在水平地面上,落地点距墙壁的水平距离 为2s,如图7—1所示. 求小球抛出时的初速度.解析：因小球与墙壁发生弹性碰撞, 故与墙壁碰撞前后入射速 度与反射速度具有对称性, 碰撞后小球的运动轨迹与无墙壁阻挡时 小球继续前进的轨迹相对称,如图7—1—甲所示,所以小球的运动可 以转换为平抛运动处理, 效果上相当于小球从A ′点水平抛出所做 的运动.根据平抛运动的规律：⎪⎩⎪⎨⎧==2021gt y t v x因为抛出点到落地点的距离为3s,抛出点的高度为h代入后可解得：hgsy g x v 2320== 例2：如图7—2所示,在水平面上,有两个竖直光滑墙壁A 和 B,间距为d, 一个小球以初速度0v 从两墙正中间的O 点斜向上抛出, 与A 和B 各发生一次碰撞后正好落回抛出点O, 求小球的抛射角θ. 解析：小球的运动是斜上抛和斜下抛等三段运动组成, 若按顺 序求解则相当复杂,如果视墙为一平面镜, 将球与墙的弹性碰撞等 效为对平面镜的物、像移动,可利用物像对称的规律及斜抛规律求解. 物体跟墙A 碰撞前后的运动相当于从O ′点开始的斜上抛运动,与B 墙碰后落于O 点相当于落到O ″点,其中O 、O ′关于A 墙对称,O 、O ″对于B 墙对称,如图7—2—甲所示,于是图7—1有⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧-==0221sin cos 200y dx gt t v y t v x 落地时θθ代入可解得2202arcsin 2122sin v dgv dg ==θθ所以抛射角 例3：A 、B 、C 三只猎犬站立的位置构成一个边长为a 的正三角形,每只猎犬追捕猎物的速度均为v ,A 犬想追捕B 犬,B 犬想追捕C 犬,C 犬想追捕A 犬,为追捕到猎物,猎犬不断调整方向,速度方向始终“盯”住对方,它们同时起动,经多长时间可捕捉到猎物？ 解析：以地面为参考系,三只猎犬运动轨迹都是一条复杂 的曲线,但根据对称性,三只猎犬最后相交于三角形的中心点, 在追捕过程中,三只猎犬的位置构成三角形的形状不变,以绕 点旋转的参考系来描述,可认为三角形不转动,而是三个顶点向 中心靠近,所以只要求出顶点到中心运动的时间即可. 由题意作图7—3, 设顶点到中心的距离为s,则由已知条 件得 a s 33=由运动合成与分解的知识可知,在旋转的参考系中顶点向中心运动的速度为v v v 2330cos =='ο由此可知三角形收缩到中心的时间为 vav s t 32='=此题也可以用递推法求解,读者可自己试解. 例4：如图7—4所示,两个同心圆代表一个圆形槽, 质量为m,内外半径几乎同为R. 槽内A 、B 两处分别放 有一个质量也为m 的小球,AB 间的距离为槽的直径. 不 计一切摩擦. 现将系统置于光滑水平面上,开始时槽静止, 两小球具有垂直于AB 方向的速度v ,试求两小球第一次 相距R 时,槽中心的速度0v .解析：在水平面参考系中建立水平方向的x 轴和y 轴. 由系统的对称性可知中心或者说槽整体将仅在x 轴方向上 运动，设槽中心沿x 轴正方向运动的速度变为0v ,两小球 相对槽心做角速度大小为ω的圆周运动,A 球处于如图 7—4—甲所示的位置时,相对水平面的两个分速度为0sin v R v x +=θω ①θωcos R v y -= ②B 球的运动与A 球的运动是对称的.因系统在x 轴方向上动量守恒、机械能也守恒,因此22022021221)(21222mv mv v v m mvmv mv y x x ⨯=++⨯=+ 将①、②式代入③、④式得：θωsin 2230R v v -=2202002221sin 2v v v Rv R =+++θωω由此解得 v v )sin 23sin 1(3220θθ--=当两球间距离为R 时,ο30=θ,代入可解得槽中心运动的速度为v v )1011(320-=例5：用一轻质弹簧把两块质量各为M 和m 的木板连接起来,放在水平上,如图7—5所示,问必须在上面木板上施加多大的压 力F,才能使撤去此力后,上板跳起来恰好使下板离地？ 解析：此题可用能量守恒的观点求解,但过程较繁,而用弹簧 形变的“对称性”求解就显得简洁明了. 若用拉力F 作用在m 上,欲使M 离地,拉力F 至少应为 F=（M+m ）g 根据弹簧的拉伸和压缩过程具有的对称性,故要产生上述效果, 作用在m 上的向下的压力应为F=（M+m ）g 例6：如图7—6所示,长为l 的两块相同的均匀长方形砖块A 和B 叠放在一起,A 砖相对于B 砖伸出l /5,B 砖放在水平桌面上,砖 的端面与桌面平行. 为保持两砖不翻倒,B 砖伸出桌面的最大长度是 多少？ 解析：此题可用力矩平衡求解,但用对称法求解,会直观简洁. 把A 砖右端伸出B 端的l /5截去,补在B 砖的右端,则变成图 7—6—甲所示的对称形状. 伸出最多时对称轴应恰好通过桌边.所以：)5/(l x x l +=-③ ④解得B 砖右端伸出桌面的最大长度为5/2l x =.例7：如图7—7所示,OABC 是一张水平放置的桌球台面.取OA 为x 轴,OC 为y 轴,P 是红球,坐标为（x,y ）,Q 是白球,坐标为（1x ,1y ）（图中未画出Q 球在台面上的位置）.已知OA=BC=25dm,AB=OC=12dm.若P 球的坐标为：dm y dm x 8,10==处,问Q 球的位置在什么范围内时,可使击出的Q 球顺次与AB 、BC 、CO 和OA 四壁碰撞反 弹,最后击中P 球？解析：由于弹性碰撞反弹服从的规律与光线的反射定律相同,所以作P 点对OA 壁的镜像P 1,P 1对CO 壁的镜像P 2,P 2对BC 壁的镜像P 3和P 3对AB 壁的镜像P 4,则只需瞄准P 4点击出Q 球,Q 球在AB 壁上D 点反弹后射向P 3,又在BC 壁上E 点反弹后射向P 2,依次类推,最后再经F,G 二点的反弹击中P 点,如图7—7—甲所示. 但是,若反弹点E 离B 点太近, Q 球从E 点反 弹后EP 2线与CO 的交点,可能不在CO 壁的范围内 而在CO 的延长线上, 这时Q 球就无法击中CO 壁 （而击到OA 壁上）,不符合题目要求,所以,Q 球能 够最后按题目要求击中P 球的条件是：反弹点D 、E 、 F 、和G 一定要在相应的台壁范围之内. 已知P 点的坐标为（10,8）,由此可知,各个镜 像点的坐标分别为 P 1（10,－8）,P 2（－10,－8）,P 3（－10,32）,P 4（60,32） 设Q 点的坐标为),(y x ''；直线QP 4的方程为)(6032x X x y y Y '-'-'-='-①D 点在此直线上,25=D X ,由上式得：)3532800(601y x xY D '+'-'-=②直线DP 3的方程为)(6032D D x X x y Y Y -'-'--=-③E 点在此直线上,Y E =12,由 此式及②式得)3520801(32125y x y x E '-'+-'--=④直线EP 2的方程为 )(6032E E x X x y Y Y -'-'-=-F 点在此直线上,)288(601012,0y x x Y X F F '+'-'--==所以最后,直线FP 1的方程为 )(6032F F X X x y Y Y -'-'--=-⑤G 点在此直线上,Y G =0,所以 )108160(321y x yX G '-'+-'-=⑥反弹点位于相应台壁上的条件为⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫<<<<<<<<250120250120G F E D X Y X Y⑦将③、④、⑤和⑥式代入⑦,除肯定满足无需讨论的不等式外,Q 球按题目要求击中P 球的条件成为⎭⎬⎫-'<'-'<'802035:802035:x y X x y Y E D⎭⎬⎫-'<'-'<'8045:8045:x y X x y Y G F上面共两个条件,作直线802035:1-=X Y l 及8045:2-=X Y l 如图7—7—乙所示,若Q 球位于2l 下方的三角形D 0AH 0 内,即可同时满足⑧、⑨两式的条件,瞄准P 4击出,可 按题目要求次序反弹后击中P 球,三角形D 0AH 0三个顶 点的坐标如图7—7—乙所示.例8：一无限长均匀带电细线弯成如图7—8所示的平面图形,其中AB 是半径为R 的半圆孤,AA ′平行于 BB ′,试求圆心O 处的电场强度.解析：如图7—8—甲所示,左上1/4圆弧内的线元△L 1与右下直线上的线元△L 3具有角元△θ对称关系. △L 1电荷 与△L 3电荷在O 点的场强△E 1与△E 3方向相反,若它们的大 小也相等,则左上与右下线元电场强度成对抵消,可得圆心 处场强为零.设电荷线密度为常量λ,因△θ很小,△L 1电荷与△L 3电荷可看做点电荷,其带电量 λθλ321L q R q ∆=∆=当θθθλθcos cos ,2⋅∆=∆R q 有很小时又因为 ,cos cos ,2222222211R R K R R Kr q K E R q K E θλθθθλ∆=⋅∆==∆=∆ 与△E 1的大小相同,且△E 1与△E 2方向相反,所以圆心O 处的电场强度为零.例9：如图7—9所示,半径为R 的半圆形绝缘线上、 下1/4圆弧上分别均匀带电+q 和－q,求圆心处的场强. 解析：因圆弧均匀带电, 在圆弧上任取一个微小线元, 由于带电线元很小,可以看成点电荷. 用点电荷场强公式表 示它在圆心处的分场强,再应用叠加原理计算出合场强. 由 对称性分别求出合场强的方向再求出其值.在带正电的圆孤上取一微小线元,由于圆弧均匀带电,因而线密度R q πλ/2=.在带负电的圆弧上必定存在着一个与之对称的线元, 两者产生 的场强如图7—9—甲所示. 显然, 两者大小相等,其方向分别与x 轴的正、负方向成θ角,且在x 轴方向上分量相等.由于很小,可以认为是点电荷,两线元在O 点的场强为,2sin 222R hK R KR E ∆=∆⋅⋅=∆λθθλ 方向沿y 轴的负方向,所以O 点的合场强应对△E 求和.即∑∑∑==∆=∆=∆=22224222R KqR R K h R K R h K E E πλλλ. 例10：电荷q 均匀分布在半球面ACB 上,球面的半径为R, CD 为通过半球顶点C 与球心O 的轴线,如图7—10所示,P 、Q 为CD 轴线上在O 点两侧,离O 点距离相等的两点,已知P 点的 电势为U P ,试求Q 点的电势U Q . 解析：可以设想一个均匀带电、带电量也是q 的右半球,与题 中所给的左半球组成一个完整的均匀带电球面,根据对称性来解. 由对称性可知,右半球在P 点的电势PU '等于左半球在Q 点的电势U Q .即P P P P Q P Q PU U U U U U U U '+'+=+='而所以有,正是两个半球在P 点的电势,因为球面均匀带电,所以.2R q K U U PP ='+由此解得Q 点的电势P Q U RKq U -=2. 例11：如图7—11所示, 三根等长的细绝缘棒连接成等边三角形,A 点为三角形的内心, B 点与三角形共面且与A 相对ac 棒 对称,三棒带有均匀分布的电荷,此时测得A 、B 两点的电势各为 U A 、U B ,现将ac 棒取走,而ab 、bc 棒的电荷分布不变,求这时A 、B 两点的电势A U '、B U '.解析：ab 、bc 、ac 三根棒中的电荷对称分布,各自对A 点电势的贡献相同,ac 棒对B 点电势的贡献和对A 点电势的贡献相同,而ab 、bc 棒对B 点电势的贡献也相同.设ab 、bc 、ac 棒各自在A 点的电势为U 1,ab 、bc 棒在B 点的电势为U 2. 由对称性知,ac 棒在B 点的电势为U 1. 由电势叠加原理得： 3U 1=U A ① U 1+2U 2=U B ② 由①、②两式得 U 1=U A /36323212A B AB B U U U U U U U -=-=-=将ac 棒取走后,A 、B 两点的电势分别为623221AB B B A A A U U U U U U U U U +=-='=-='例12：如图7—12所示为一块很大的接地导体板,在与导体板相距为d 的A 处放有带电量为－q 的点电荷. （1）试求板上感应电荷在导体内P 点产生的电场强度； （2）试求感应电荷在导体外P ′点产生的电场强度（P 与P ′点对导体板右表面是对称的）；（3）在本题情形,试分析证明导体表面附近的电场强度的方向与导体表面垂直； （4）试求导体上的感应电荷对点电荷－q 的作用力； （5）若在切断导体板与地的连线后,再将+Q 电荷置于导体板上,试说明这部分电荷在导体板上如何分布可达到静电平衡（略去边缘效应）. 解析：在讨论一个点电荷受到面电荷（如导体表面的感应电荷）的作用时,根据“镜像法”可以设想一个“像电荷”,并使它的电场可以代替面电荷的电场,从而把问题大大简化. （1）导体板静电平衡后有 E 感=E 点,且方向相反,因此板上感应电荷在导体内P 点产生的场强为2rkqE P =, r 为AP 间距离,方向沿AP,如图7—12甲所示. （2）因为导体接地,感应电荷分布在右表面,感应电荷在 P 点和P ′点的电场具有对称性,因此有2r kqE P =',方向如图 7—12—甲所示.（3）考察导体板在表面两侧很靠近表面的两点P 1和1P '.如前述分析,在导体外1P '点感应电荷产生的场强大小为211r kq E p i ='.1P i E ' 1P i E '点电荷在1P '点产生的场强大小也是211r kq p E q ='. 方向如图7—12 —乙. 从图看出,1P '点的场强为上述两个场强的矢量和,即与导体表面垂直.（4）重复（2）的分析可知,感应电荷在－q 所在处A 点的场强为224)2(dkqd kq E iA ==,方向垂直于导体板指向右方,该场作用于点电荷－q 的电场力为224d kq qE F iA -=-=,负号表示力的方向垂直于导体板指向左方. （5）切断接地线后,导体板上原来的感应电荷仍保持原来的分布,导体内场强为零.在此情况下再将+Q 电荷加在导体板上,只要新增加的电荷在导体内部各处的场强为零,即可保持静电平衡,我们知道电荷均匀分布在导体板的两侧表面时,上述条件即可满足.显然这时+Q 将均匀分布在导体板的两侧面上,才能保证板内场强为零,实现静电平衡. 例13：如图7—13所示,在水平方向的匀强电场中,用长为 l 的绝缘细线,拴住质量为m 、带电量为q 的小球,线的上端O 固 定,开始时将线和球拉成水平,松开后,小球由静止开始向下摆动, 当摆过60°角时,速度又变为零. 求： （1）A 、B 两点的电势差U AB 多大？ （2）电场强度多大？解析：（1）小球在A 、B 间摆动,根据能量守恒定律有PB PA εε= 取A 点为零势能的参考点,即0=PB ε则 060sin =+-=BA PB qU mgl E ο所以 qmglU qmglU AB BA 2323-==（2）小球在平衡位置的受力如图7—13—甲.根据共点力的平衡条件：有：ο60tan mg qE =解得电场强度：qmgE 3=例14：如图7—14所示,ab 是半径为R 的圆的一条直径,该圆 处于匀强电场中,场强为E,在圆周平面内,将一带正电q 的小球从 a 点以相同的动能抛出,抛出方向不同时,小球会经过圆周上不同的 点,在这些所有的点中,到达c 点时小球的动能最大.已知∠cab=30°,若不计重力和空气阻力,试求： （1）电场方向与直径ab 间的夹角θ？ （2）若小球在a 点时初速度方向与电场方向垂直,小球恰好能落在c 点,则初动能为多少？ 解析：由于对a 点以相同的初动能沿不同方向抛出的小球到达圆周上的各点时其中到达c 点的小球动能最大,因此过c 点的切线一定是等势线,由此可以确定电场线的方向,至于从a 点垂直于电场线抛出的小球可按类平抛运动处理. （1）用对称性判断电场的方向：由题设条件,在圆周平面内, 从 a 点以相同的动能向不同方向抛出带正电的小球, 小球会经过圆周上不 同的点,且以经过c 点时小球的动能最大,可知,电场线平行于圆平面. 又根据动能定理,电场力对到达c 点的小球做功最多, 为qU ac . 因此, U ac 最大. 即c 点的电势比圆周上任何一点的电势都低. 又因为圆周平面 处于匀强电场中,故连接Oc,圆周上各点的电势对于Oc 对称（或作过 c 点且与圆周相切的线cf 是等势线）,Oc 方向即为电场方向（如图7—14 —甲所示）,它与直径ab 的夹角为60°.（2）小球在匀强电场中做类平抛运动. 小球沿垂直于电场方向抛出,设其初速度为0v ,小球质量为m. 在垂直于电场线方向,有：t v x 0= ① 在沿电场线方向,有：221at y = ②由图中几何关系可得ο30cos R x = ③ )60cos 1(ο+=R y④ 且 mqE a =⑤将③、④、⑤式代入①、②两式解得：mRqEv 420=所以初动能.821200RqE mv E k ==例15：如图7—15所示,两块竖直放置的平行金属板A 、B 之间距离为d,两板间电压为U,在两板间放一半径为R 的金属球壳,球 心到两板的距离相等,C 点为球壳上的一点,位置在垂直于两板的球 直径的靠A 板的一端,试求A 板与点C 间的电压大小为多少？ 解析：将金属球壳放在电场中达到静电平衡后,球壳为等势体, 两极板之间的电场由原来的匀强电场变为如图7—15—甲所示的电场, 这时C 与A 板间电势差就不能用公式U AC =Ed AC 来计算. 我们利用电 场的对称性求解. 由于电场线和金属球关于球心O 对称,所以A 板与金属板的电势差U AO 和金属球与B 板的电势差U OB 相等,即U AO =U OB . 又A 、B 两 板电势差保持不变为U,即U AO +U OB =U,由以上两式解得： U AO =U OB =U/2 所以得A 、C 两点间电势差 U AC =U AO =U/2 例16：如图7—16所示,一静止的带电粒子q,质量为m （不计 重力）,从P 点经电场E 加速,经A 点进入中间磁场B,方向垂直纸 面向里,再穿过中间磁场进入右边足够大的空间磁场B ′（B ′=B ）, 方向垂直于纸面向外,然后能够按某一路径再由A 返回电场并回到出 发点P,然后再重复前述过程. 已知l 为P 到A 的距离,求中间磁场的 宽度d 和粒子运动的周期. （虚线表示磁场的分界线）解析：由粒子能“重复前述过程”,可知粒子运动具有周期性；又 由粒子经过A 点进入磁场后能够按某一路径再返回A 点,可知的运动 具有对称性. 粒子从A 点进入中间磁场做匀速圆周运动,半径为R,过C 点进入 右边磁场,于做半径为R 的匀速圆周运动经点F 到点D,由于过D 点后还做匀速圆周回到A （如图7—16—甲所示）,故DA 和CA 关于直线OA 对称,且OA 垂直于磁场的分界线. 同理可知,OA 也同时是CD 圆弧的对称轴. 因此粒子 的运动轨迹是关于直线OA 对称的. 由于速度方向为切线方向,所以圆 弧AC 、CD 、DA 互相相切. （1）设中间磁场宽度为d,粒子过A 点的速度为v , 由圆周运动的对称性可得 θθsin sin R R R -=⋅则 6πθ=带电粒子在加速电场中有 221mv qEl = ①在中间和右边磁场中有 qBmv R =②d=Rcos θ③解①、②、③得 qBqElmd 26=（2）粒子运动周期T 由三段时间组成,在电场中做匀变速直线运动的时间为t 1,qElmt 221= 在中间磁场中运动的时间为t 2,因为AC 所对圆心角为3π,所以（（（ （（（qB m qB m T t 3222322322ππππππ=⨯='⨯= 在右边磁场中运动的时间为t 3因为CD 所对圆心角为π35所以 qBm qB m T t 3522352353ππππππ=='= 所以周期为 qB m qE lm t t t T 3722321π+=++= 针对训练 1．从距地面高19.6m 处的A 点,以初速度为5.0m/s 沿水平方向投出一小球. 在距A 点5.0m 处有一光滑墙,小球与墙发生弹性碰撞（即入射角等于反射角,入射速率等于反射率）,弹回后掉到地面B 处.求：B 点离墙的水平距离为多少？2．如图7—17所示,在边长为a 的正方形四个顶点上分别固定电量均为Q 的四个点电荷,在对角线交点上放一个质量为m,电量为q（与Q 同号）的自由点电荷. 若将q 沿着对角线移动一个小的距离,它是否会做周期性振动？若会,其周期是多少？3．如图7—18所示是一个由电阻丝构成的平面正方形无穷网络,当各小段电阻丝的电阻均为R 时,A 、B 两点之间的等效电阻为R/2,今将A,B 之间的一小段电阻丝换成电阻为R ′的另一端电阻丝,试问调换后A,B 之间的等效电阻是多少？4．有一无限大平面导体网络,它由大小相同的正六角形网眼组成,如图7—19所示,所有六边形每边的电阻均为R 0,求a,b 两结点间的等效电阻.（5．如图7—20所示,某电路具有8个节点,每两个节点之间都连有一个阻值为2Ω的电阻,在此电路的任意两个节点之间加上10V 电压,求电路的总电流,各支路的电流以及电阻上消耗的总功率.6．电路如图7—21所示,每两个节点间电阻的阻值为R,求A 、B 间总电阻R AB .7．电路如图7—22所示,已知电阻阻值均为15Ω,求R AC ,R AB ,R AO 各为多少欧？8．将200个电阻连成如图7—23所示的电路,图中各P 点是各支路中连接两个电阻的导线上的点,所有导线的电阻都可忽略. 现将一电动势为ε,内阻为r 的电源接到任意两个P 点处,然后将任一个没接电源的支路在P 点处切断,发现流过电源的电流与没切断前一样,则这200个电阻R 1,R 2,…,R 100,r 1,r 2,…,r 100应有下列的普遍关系：,100100332211r R r R r R r R ====Λ这时图中 AB 导线与CD 导线之间的电压等于 .9．电路如图7—24所示的电阻丝网络中,每一小段电阻丝的电阻值都为R,试求图中A 、B 两点间的等效电阻R AB .10．如图7—25所示的四面体框架由电阻同为R 的6根电阻丝联结而成,求任意两个顶点A 、B 间的等效电阻R AB .11．一匀质细导线圆环,总电阻为R,半径为a,圆环内充满方向垂直于环面的匀强磁场,磁场以速率K 均匀的随时间增强,环上的A 、D 、C 、三点位置对称. 电流计G 连接A 、C 两点,如图7—26所示. 若电流计内阻为R G ,求通过电流计的电流大小.七、对称法1．5.0m 2．会做周期性振动,周期为KQq ma 23π 3．R R R R R AB '+'= 4．0R R ab = 5．A I 40=总 节点1~8之间支路电流I 1=5A ；其他支路电流2.5A总功率400W 6．R AB =2R 7．Ω=Ω=Ω=875,15,875AO AB AC R R R8．0 9．R R AB 3016= 10．2R R AB = 11．R Rc KRa 392+π。

高中数学竞赛对称式
在高中数学竞赛中，对称式的知识点是很重要的。

它的定义是什么，它有什么用，我们要怎么学习，能有效的提升自己的高数竞赛水平，让我们一一来看。

一、什么是对称式
对称式的精髓，就是它的形式是对称的，即可以用若干给定符号，把一个不定的方程变成一个完全同构的方程。

它又是什么呢？对称式就是将某个未知量之间的关系写成对称形式，根据这种对称关系求解未知量的方法。

二、对称式的用途
1、见的组合问题，比如排列组合、把持等，都可以采用对称式进行求解。

2、面几何问题，比如曲线的长度和面积，都可以通过对称式来求解。

3、学归纳法，当我们利用对称式把总结出来的公式，用来求后面的这个公式，就是数学归纳法的典型。

四、学习对称式
1、先要搞明白概念，数学用语分析，要把对称式的概念清晰的搞懂，才能后期更好的练习。

2、思考，多练习。

对称式的学习，要靠多思考、多练习的方法，才能彻底的掌握它的用法。

3、出规律，找出解决问题的规律，这样可以大大减少解决题目
的时间，有效的提升自己的解题能力。

4、学们要多结合竞赛题目，这样有利于早期掌握好使用对称式的方法。

五、总结
以上就是关于高中数学竞赛中对称式的相关介绍，对称式也就是将未知量之间的关系写成对称形式，根据这种对称关系求解未知量的方法。

学习它要多思考，多练习，找出规律，结合竞赛题目，这样能够有效的提升自己的高数竞赛水平。