2013高考数学一轮同步训练(文科) 5.4数列求和

2013年全国各省市文科数学—数列1、（本小题满分10分）等差数列{}n a 中，71994,2,a a a ==（I ）求{}n a 的通项公式；（II ）设{}1,.n n n nb b n S na =求数列的前项和2、（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足30S =，55S =-。

（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列21211{}n n a a -+的前n 项和。

3、（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差不为零，125a =，且11113,,a a a 成等比数列。

（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求14732+n a a a a -++⋅⋅⋅+；4、2013山东文(20)(本小题满分12分)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且244S S =,122+=n n a a (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式(Ⅱ)设数列{}n b 满足*121211,2n n n b b b n N a a a +++=-∈ ，求{}n b 的前n 项和n T5、（本小题共13分）给定数列1a ，2a ， ，n a 。

对1,2,3,,1i n =- ，该数列前i 项的最大值记为i A ，后n i -项1i a +，2i a +， ，n a 的最小值记为i B ，i i i d A B =-。

（1）设数列{}n a 为3，4，7，1，写出1d ，2d ，3d 的值。

（2）设1a ，2a ， ，n a （4n ≥）是公比大于1的等比数列，且10a >，证明1d ，2d ， ，1n d -是等比数列。

（3）设1d ，2d ， ，1n d -是公差大于0的等差数列，且10d >，证明1a ，2a ， ，1n a -是等差数列。

6、（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分）设数列{}n a 满足：11a =，13n n a a +=，n N +∈．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（Ⅱ）已知{}n b 是等差数列，n T 为前n 项和，且12b a =，3123b a a a =++，求20T ．7、 (本小题满分12分) 在等比数列{}n a 中，212a a -=，且22a 为13a 和3a 的等差中项， 求数列{}n a 的首项、公比及前n 项和。

2013高考数学一轮强化训练 5.4数列求和 文 新人教A 版1.在等差数列{n a }中,已知32a =,则其前5项和为.答案:10 解析:55()5215352210222a a a S +⨯⨯⨯====. 2.若数列{n a }的前n 项和225n S n n =++,则567a a a ++= .答案:39解析:5677439a a a S S ++=-=.3.已知等差数列的通项公式52n a n =-+,则其前n 项和n S = .答案:25122n n -- 解析:∵52n a n =-+,∴13a =-. 即2(352)51222n n n S n n --+==--.题组一 数列求和1.设等差数列{n a }的前n 项和为n S ,若81126a a =+,则9S 等于( )A.54B.45C.36D.27答案:A 解析:∵81126a a =+,∴112(7)610a d a d +=++.∴146a d +=. ∴5959()1969542a a a S a +=,===. 2.一个等差数列共n 项,其和为90,这个数列的前10项的和为25,后10项的和为75,则项数n 为 ( )A.14B.16C.18D.20答案:C解析:1257510()n a a +=+,∴110n a a +=. 又10902n ⋅=,∴n=18.3.在等差数列{n a }中12a ,=- 008,其前n 项的和为n S .若20072005220072005SS -=,则2008S 等于( )A.-2 007B.-2 008 C .2 007 D.2 008答案:B解析:∵2007()2005()1200712005200720052222007200520072005a a a a S S d ++-=-==. ∴20082S = 008(2⨯- 20082007008)2⨯+⨯-2 008.4.设47()222f n =+++…312(n n ++∈N )*,则f(n)等于( ) A.2(81)7n- B.12(81)7n +- C.22(81)7n +- D.32(81)7n +-答案:B解析:13(1)2[12]2()(81)3712n n f n ++-==--.5.数列{(1)n n -⋅}的前2 010项的和2010S 为 ( )A.-2 010B.-1 005C.2 010D.1 005答案:D解析:2010123S =-+-+4-5+…+2 008--1)+(4-3)+(6-010-6.数列{n a }的前n 项和为n S ,若1a =1,13(1)n n a S n +=≥,则6a 等于( )A.434⨯B.4341⨯+C.54D.541+答案:A解析:由13n n a S +=,得13(2)n n a S n -=≥,相减得113()3n n n n n a a S S a +--=-=, 则14(2)n n a a n +=≥,即2n ≥时n a ,为等比数列.又1213a a =,=,则4462434a a =⋅=⨯,选A.7.数列{n a }的前n 项和为n S ,若1(1)n a n n =,+则5S 等于 .答案:56解析:∵111(1)1n a n n n n ==-,++ ∴51234511111122334S a a a a a =++++=-+-+-+ (511566)+-=.题组二 数列求和的综合应用8.等比数列前n 项和为54,前2n 项和为60,则前3n 项和为( )A.66B.64C.2663D.2603答案:D9.若等比数列的公比为2,且前4项和为1,则这个等比数列的前8项和为 . 答案:17解析:由题意可知48487651(S S a a a a q a ,-=+++=+4234)2a a a ++=,所以前8项和等于17.10.已知{n a }为等差数列,且3660a a =-,=.(1)求{n a }的通项公式;(2)若等差数列{n b }满足121238b b a a a =-,=++,求{n b }的前n 项和公式. 解:(1)设等差数列{n a }的公差d.因为3660a a =-,=,所以 112650a d a d +=-,⎧⎨+=.⎩ 解得1102a d =-,=.所以10(1)2212n a n n =-+-⋅=-.(2)设等比数列{n b }的公比为q,因为21231248b a a a b =++=-,=-.所以-8q=-24,即q=3.所以{n b }的前n 项和(1)14(13)1n n n b q S q-==--. 11.已知数列{n a }是等差数列,且1123212a a a a =,++=.(1)求数列{n a }的通项公式;(2)令(n n n b a x x =∈R ),求数列{n b }前n 项和n S .解:(1)设数列{n a }的公差为d,则123a a a ++=13a +3d=12.又12a =,得d=2.所以2n a n =.(2)令12n S b b =++…n b +,则由2n n n n b a x n x ==⋅,得224n S x x =++…2n n x +⋅. ①2324n xS x x =++…1(22)2n n n x n x ++-+⋅. ②当1x ≠时,①式减去②式,得:2(1)2(n x S x x -=++…112(1))221n n n n x x x nx nx x++-+-=-,- 所以12(1)221(1)n n n x x nx S x x +-=---. 当x=1时24n S ,=++…+2n=n(n+1).综上可得,当x=1时(1)n S n n ,=+;当1x ≠时12(1)221(1)n n n x x nx S x x +-,=---. 12.已知点13(1),是函数()(0x f x a a =>,且1)a ≠的图象上一点.等比数列{n a }的前n 项和为f(n)-c.数列{n b }(0)n b >的首项为c,且前n 项和n S满足12)n n S S n --=+≥. (1)求数列{n a }和{n b }的通项公式;(2)若数列{11b b n n +}的前n 项和为n T ,问满足10002009n T >的最小正整数n 是多少? 解:(1)f 1(1)3a ==,∴1()()3x f x =. ∴121(1)[(2)]3a f c c a f c =-=-,=--[f(1)-2]9c =-, 3[(3)][a f c =--f(2)2]27c -=-. 又数列{n a }是等比数列1248122327a a a ,===-23-=13c -,∴c=1.又公比2131a q a ==,∴121()33n n a -=-=12()3n -n ,∈N *.12)n n S S n --==≥,又00n b >>,1=;数列构成一个首项为1公差为1的等差数列,21(1)1n n n S n =+-⨯=,=,当2212(1)21n n n n b S S n n n -≥,=-=--=-.又∵11211b c ===⨯-.∴21(n b n n =-∈N )*.111(2)122334n T b b b b b b =+++ (11)b b n n ++ 111133557=+++⨯⨯⨯…1(21)(21)n n +-⨯+ 11111111(1)()()23235257=-+-+-+…+11111()(1)2212122121n n n n n -=-=-+++. 由1000212009n n T n =>+得10009n >, 满足。

第4讲 数列求和一、选择题1.等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项的和为( )A.120B.70C.75D.100解析 因为S n n ＝n ＋2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为10×3＋10×92＝75. 答案 C2.数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1·n ，则S 17＝( )A.9B.8C.17D.16解析 S 17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9.答案 A3.数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( )A.200B.－200C.400D.－400 解析 S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.答案 B4.(2017·高安中学模拟)已知数列5，6，1，－5，…，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前16项之和S 16等于( )A.5B.6C.7D.16解析 根据题意这个数列的前7项分别为5，6，1，－5，－6，－1，5，6，发现从第7项起，数字重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为6，前6项和为5＋6＋1＋(－5)＋(－6)＋(－1)＝0.又因为16＝2×6＋4，所以这个数列的前16项之和S 16＝2×0＋7＝7.故选C.答案 C5.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，则S 2 016＝( )A.22 016－1B.3·21 008－3C.3·21 008－1D.3·21 007－2 解析 a 1＝1，a 2＝2a 1＝2，又a n ＋2·a n ＋1a n ＋1·a n＝2n ＋12n ＝2.∴a n ＋2a n ＝2.∴a 1，a 3，a 5，…成等比数列；a 2，a 4，a 6，…成等比数列，∴S 2 016＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋…＋a 2 015＋a 2 016＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 015)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 016)＝1－21 0081－2＋2（1－21 008）1－2＝3·21 008－3.故选B. 答案 B二、填空题6.(2017·上饶模拟)有穷数列1，1＋2，1＋2＋4，…，1＋2＋4＋…＋2n －1所有项的和为________.解析 由题意知所求数列的通项为1－2n1－2＝2n －1，故由分组求和法及等比数列的求和公式可得和为2（1－2n ）1－2－n ＝2n ＋1－2－n . 答案 2n ＋1－2－n7.(2016·宝鸡模拟)数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，且a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21＝________.解析 由a n ＋a n ＋1＝12＝a n ＋1＋a n ＋2，∴a n ＋2＝a n ，则a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 21，a 2＝a 4＝a 6＝…＝a 20，∴S 21＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 20＋a 21)＝1＋10×12＝6.答案 68.(2017·安阳二模)已知数列{a n }中，a n ＝－4n ＋5，等比数列{b n }的公比q 满足q ＝a n －a n －1(n ≥2)且b 1＝a 2，则|b 1|＋|b 2|＋|b 3|＋…＋|b n |＝________.解析 由已知得b 1＝a 2＝－3，q ＝－4，∴b n ＝(－3)×(－4)n －1，∴|b n |＝3×4n －1，即{|b n |}是以3为首项，4为公比的等比数列，∴|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |＝3（1－4n ）1－4＝4n －1.答案 4n －1三、解答题9.(2016·北京卷)已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝b 4.(1)求{a n }的通项公式；(2)设c n ＝a n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项和.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，由⎩⎨⎧b 2＝b 1q ＝3，b 3＝b 1q 2＝9得⎩⎨⎧b 1＝1，q ＝3. ∴b n ＝b 1q n －1＝3n －1，又a 1＝b 1＝1，a 14＝b 4＝34－1＝27，∴1＋(14－1)d ＝27，解得d ＝2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×2＝2n －1(n ＝1，2，3，…).(2)由(1)知a n ＝2n －1，b n ＝3n －1，因此c n ＝a n ＋b n ＝2n －1＋3n －1.从而数列{c n }的前n 项和S n ＝1＋3＋…＋(2n －1)＋1＋3＋…＋3n －1＝n （1＋2n －1）2＋1－3n1－3＝n 2＋3n －12. 10.(2017·铜川一模)已知数列{a n }的前n 项和是S n ，且S n ＋12a n ＝1(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 13(1－S n ＋1)(n ∈N *)，令T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1，求T n . 解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1，由S 1＋12a 1＝1，得a 1＝23，当n ≥2时，S n ＝1－12a n ，S n －1＝1－12a n －1，则S n －S n －1＝12(a n －1－a n )，即a n ＝12(a n －1－a n )，所以a n ＝13a n －1(n ≥2).故数列{a n }是以23为首项，13为公比的等比数列.故a n ＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n (n ∈N *). (2)因为1－S n ＝12a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n . 所以b n ＝log 13(1－S n ＋1)＝log 13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1＝n ＋1， 因为1b n b n ＋1＝1（n ＋1）（n ＋2）＝1n ＋1－1n ＋2， 所以T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2＝n 2（2n ＋2）. 11.(2016·郑州模拟)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1（n ＋1）n ＋n n ＋1(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，则在数列S 1，S 2，…，S 2 016中，有理数项的项数为( )A.42B.43C.44D.45 解析 a n ＝1（n ＋1）n ＋nn ＋1＝（n＋1）n－n n＋1[（n＋1）n＋n n＋1][（n＋1）n－n n＋1]＝nn －n＋1n＋1.所以S n＝1－22＋⎝⎛⎭⎪⎫22－33＋⎝⎛⎭⎪⎫33－44＋…＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫nn－n＋1n＋1＝1－n＋1n＋1，因此S3，S8，S15…为有理项，又下标3，8，15，…的通项公式为n2－1(n≥2)，所以n2－1≤2 016，且n≥2，所以2≤n≤44，所以有理项的项数为43.答案 B12.(2017·济南模拟)在数列{a n}中，a n＋1＋(－1)n a n＝2n－1，则数列{a n}的前12项和等于()A.76B.78C.80D.82解析因为a n＋1＋(－1)n a n＝2n－1，所以a2－a1＝1，a3＋a2＝3，a4－a3＝5，a5＋a4＝7，a6－a5＝9，a7＋a6＝11，…，a11＋a10＝19，a12－a11＝21，所以a1＋a3＝2，a4＋a2＝8，…，a12＋a10＝40，所以从第一项开始，依次取两个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取两个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列，以上式相加可得，S12＝a1＋a2＋a3＋…＋a12＝(a1＋a3)＋(a5＋a7)＋(a9＋a11)＋(a2＋a4)＋(a6＋a8)＋(a10＋a12)＝3×2＋8＋24＋40＝78.答案 B13.设f(x)＝4x4x＋2，若S＝f⎝⎛⎭⎪⎫12 015＋f⎝⎛⎭⎪⎫22 015＋…＋f⎝⎛⎭⎪⎫2 0142 015，则S＝________.解析∵f(x)＝4x4x＋2，∴f (1－x )＝41－x41－x ＋2＝22＋4x ， ∴f (x )＋f (1－x )＝4x 4x ＋2＋22＋4x ＝1. S ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 015＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142 015，① S ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142 015＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0132 015＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015，② ① ＋②得，2S ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142 015＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 015＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0132 015＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142 015＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015＝ 2 014，∴S ＝2 0142＝1 007.答案 1 00714.(2015·山东卷)已知数列{a n }是首项为正数的等差数列，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n ·a n ＋1的前n项和为n 2n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(a n ＋1)·2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)设数列{a n }的公差为d ，令n ＝1，得1a 1a 2＝13， 所以a 1a 2＝3.①令n ＝2，得1a 1a 2＋1a 2a 3＝25， 所以a 2a 3＝15.②解①②得a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝2n －1.(2)由(1)知b n ＝2n ·22n －1＝n ·4n ，所以T n ＝1×41＋2×42＋…＋n ×4n ，所以4T n ＝1×42＋2×43＋…＋n ×4n ＋1，两式相减，得－3T n ＝41＋42＋…＋4n －n ·4n ＋1 ＝4（1－4n ）1－4－n ·4n ＋1＝1－3n 3×4n ＋1－43. 所以T n ＝3n －19×4n ＋1＋49＝4＋（3n －1）4n ＋19.。

数列的求和1. 在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2(n ≥1)，则该数列的通项a n ＝________． 答案：a n ＝2n －1解析：由已知{a n }为等差数列，d ＝a n ＋1－a n ＝2， ∴ a n ＝2n －1.2. 已知数列{a n }中，a 1＝1，(n ＋1)a n ＋1＝na n (n ∈N *)，则该数列的通项公式a n ＝________． 答案：a n ＝1n解析：a n a 1＝a n a n －1×a n －1a n －2×…×a 2a 1＝1n .3. (必修5P 44习题2(2)改编) 20n =å（1+2 n ）=________．答案：441 解析：20n =å(1＋2n)＝1＋(1＋2×1)＋(1＋2×2)＋…＋(1＋2×20)＝21＋2×20（1＋20）2＝441.4. (必修5P 60复习题8(1)改编)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n （n ＋1），则S 4＝________．答案：45解析：a n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，∴ S 4＝1－12＋12－13＋13－14＋14－15＝45.5. (必修5P 51例3改编) 数列112，214，318，4116，…的前n 项和是 __________．答案：S n ＝n （n ＋1）2＋1－12n解析：S n ＝(1＋2＋3＋…＋n)＋⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋12n ＝n （n ＋1）2＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝n （n ＋1）2＋1－12n.1. 当已知数列{a n }中，满足a n ＋1－a n ＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求，则可用累加法求数列的通项a n .2. 当已知数列{a n }中，满足a n ＋1a n＝f(n)，且f(1)·f(2)·…·f(n)可求，则可用迭乘法求数列的通项a n .3. (1) a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.(2) 等差数列前n 项和S n ＝n （a 1＋a n ）2，推导方法：倒序相加法． (3) 等比数列前n 项和S n ＝⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q ＝a 1（1－q n ）1－q ，q ≠1.推导方法：错位相减法．4. 常见数列的前n 项和： (1) 1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2；(2) 2＋4＋6＋…＋2n ＝n(n ＋1)； (3) 1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2；(4) 12＋22＋32＋…＋n 2＝n （n ＋1）（2n ＋1）6．5. (1) 分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．(2) 拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．(3) 错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和． (4) 倒序相加：例如，等差数列前n 项和公式的推导方法． 6. 常见的拆项公式有：(1) 1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1；(2) 1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1；(3)1n （n ＋1）（n ＋2）＝12⎣⎡⎦⎤1n （n ＋1）－1（n ＋1）（n ＋2）；(4)1a ＋b ＝1a －b(a －b).题型1 求简单数列的通项公式 例1 求下列数列{a n }的通项公式： (1) a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n ＋1； (2) a 1＝1，a n ＋1＝2n a n . 解：(1) a n ＝n 2(2) a n ＝2n （n －1）2变式训练求下列数列{a n }的通项公式： (1) a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1； (2) a 1＝1，a n ＋1＝2a n2＋a n ；(3) a 1＝2，a n ＋1＝a 2n . 解：(1) a n ＝2n －1 (2) a n ＝2n ＋1(3) a n ＝22n －1 题型2 分组转化求和例2 求下面数列的前n 项和： 112，314，518，7116， … 解：S n ＝112＋314＋518＋7116＋…＋⎣⎡⎦⎤（2n －1）＋12n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋⎝⎛⎭⎫12＋14＋18＋…＋12n ＝n[1＋（2n －1）]2＋12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝n 2－12n ＋1.备选变式（教师专享）已知a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5n ＋1，n 为奇数，2n 2，n 为偶数.(1) 求数列{a n }的前10项和S 10；(2) 求数列{a n }的前2k 项和S 2k .解：(1) S 10＝(6＋16＋26＋36＋46)＋(2＋22＋23＋24＋25) ＝5（6＋46）2＋2（1－25）1－2＝192.(2) 由题意知数列{a n }的前2k 项中，k 个奇数项组成首项为6，公差为10的等差数列，k 个偶数项组成首项为2，公比为2的等比数列．∴ S 2k ＝[6＋16＋...＋(10k －4)]＋(2＋22＋ (2))＝k[6＋（10k －4）]2＋2（1－2k ）1－2＝5k 2＋k ＋2k ＋1－2.题型3 裂项相消求和例3 求下面各数列的前n 项和： (1)11×5，13×7，15×9，17×11，… (2) 2222－1，4242－1，6262－1，8282－1，…解：(1) ∵ a n ＝1（2n －1）（2n ＋3）＝14(12n －1－12n ＋3)，∴ S n ＝14(1－15＋13－17＋15－19＋…＋12n －3－12n ＋1＋12n －1－12n ＋3)＝14(1＋13－12n ＋1－12n ＋3)＝n （4n ＋5）3（2n ＋1）（2n ＋3）. (2) ∵ a n ＝（2n ）2（2n －1）（2n ＋1）＝1＋1（2n －1）（2n ＋1）＝1＋12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1，∴ S n ＝n ＋12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝2n （n ＋1）2n ＋1. 备选变式（教师专享） 求1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n .解：∵a k ＝2⎝⎛⎭⎫1k －1k ＋1，∴S n ＝2n n ＋1.题型4 倒序相加求和例4 设f(x)＝13x ＋3，求f(－12)＋f(－11)＋f(－10)＋…＋f(0)＋…＋f(11)＋f(12)＋f(13)的值．解：∵ f(x)＋f(1－x)＝33，∴ 原式＝1333. 备选变式（教师专享）一个等差数列前4项之和为26，最末4项之和为110，所有项之和为187，则它的项数为________．答案：11解析：∵a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝26，a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝110，∴a 1＋a n ＝26＋1104＝34.又S n ＝n （a 1＋a n ）2＝187，∴n ＝11. 题型5 错位相减求和 例5 在各项均为正数的等比数列{a n }中，已知a 2＝2a 1＋3，且3a 2，a 4，5a 3成等差数列．(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 设b n ＝log 3a n ，求数列{a n b n }的前n 项和S n . 解：(1) 设{a n }公比为q ，由题意得q>0，且⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2a 1＋3，3a 2＋5a 3＝2a 4，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1（q －2）＝3，2q 2－5q －3＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝3或⎩⎨⎧a 1＝－65，q ＝－12(舍)，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3·3n －1＝3n ，n ∈N (2) 由(1)可得b n ＝log 3a n ＝n ，所以a n b n ＝n·3n . 所以S n ＝1·3＋2·32＋3·33＋…＋n·3n ，所以3S n ＝1·32＋2·33＋3·34＋…＋n·3n ＋1，两式相减得，2S n ＝－3－(32＋33＋…＋3n )＋n·3n ＋1＝－(3＋32＋33＋…＋3n )＋n·3n ＋1＝－3（1－3n ）1－3＋n ·3n ＋1＝3＋（2n －1）·3n ＋12，所以数列{a n b n }的前n 项和S n ＝3＋（2n －1）·3n ＋14.备选变式（教师专享）已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n －1. (1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 若b n ＝log 13(S n ＋1)，求数列{b n a n }的前n 项和T n .解：(1) 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n －1)－(3n －1－1)＝2×3n －1，综上所述，a n ＝2×3n －1.(2) b n ＝log 1(S n ＋1)＝log 13n ＝－n ，所以b n a n ＝－2n ×3n －1，T n ＝－2×1－4×31－6×32－…－2n ×3n －1，3T n ＝－2×31－4×32－…－2(n －1)×3n －1－2n ×3n ， 相减，得－2T n ＝－2×1－2×31－2×32－…－2×3n －1＋2n ×3n＝－2×(1＋31＋32＋…＋3n －1)＋2n ×3n ， 所以T n ＝(1＋31＋32＋…＋3n －1)－n ×3n＝1－3n1－3－n ×3n＝－（2n －1）×3n ＋12，n ∈N *.1. 数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N )．若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝________．答案：3解析：已知b n ＝2n －8，a n ＋1－a n ＝2n －8，由叠加法(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a 8－a 7)＝－6－4－2＋0＋2＋4＋6＝0a 8＝a 1＝3.2. (2013·大纲)等差数列{a n }中，a 7＝4，a 19＝2a 9. (1) 求{a n }的通项公式； (2) 设b n ＝1na n，求数列{b n }的前n 项和S n . 解：(1) 设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ，因为⎩⎪⎨⎪⎧a 7＝4，a 19＝2a 9，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋6d ＝4，a 1＋18d ＝2（a 1＋8d ）.解得a 1＝1，d ＝12.所以{a n }的通项公式为a n ＝n ＋12. (2) b n ＝1na n ＝2n （n ＋1）＝2n －2n ＋1，所以S n ＝⎝⎛⎭⎫21－22＋⎝⎛⎭⎫22－23＋…＋⎝⎛⎭⎫2n －2n ＋1 ＝2n n ＋1. 3. (2013·湖南)设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1≠0，2a n －a 1＝S 1·S n ，n ∈N(1) 求a 1，a 2，并求数列{a n }的通项公式； (2) 求数列{na n }的前n 项和．解：(1) ∵ S 1＝a 1.∴ 当n ＝1时，2a 1－a 1＝S 1·S 1a 1≠0，a 1＝1. 当n>1时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －a 1S 1－2a n －1－a 1S 1＝2a n －2a n －1a n ＝2a n －1{a n }是首项为a 1＝1公比为q ＝2的等比数列，a n ＝2n －1，n ∈N *.(2) 设T n ＝1·a 1＋2·a 2＋3·a 3＋…＋n·a n qT n ＝1·qa 1＋2·qa 2＋3·qa 3＋…＋n·qa n qT n ＝1·a 2＋2·a 3＋3·a 4＋…＋n·a n ＋1， 上式左右错位相减：(1－q)T n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －na n ＋1＝a 11－q n1－q －na n ＋1＝2n －1－n·2nT n ＝(n －1)·2n ＋1，n ∈N *.4. 已知等差数列{a n }前三项之和为－3，前三项积为8. (1) 求等差数列{a n }的通项公式；(2) 若a 2，a 3，a 1成等比数列，求数列{|a n |}的前n 项和．解：(1) 设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝－3，a 1（a 1＋d ）（a 1＋2d ）＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3.∴ a n ＝－3n ＋5或a n ＝3n －7.(2) 当a n ＝－3n ＋5时，a 2，a 3，a 1分别为－1，－4，2不成等比数列； 当a n ＝3n －7时，a 2，a 3，a 1分别为－1，2，－4成等比数列，满足条件．当|a n |＝|3n －7|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3n ＋7，n ＝1，2，3n －7，n ≥3.n ＝1，S 1＝4；n ＝2时，S 2＝5；当n ≥3时，S n ＝|a 1|＋…＋|a n |＝32n 2－112n ＋10.又n ＝2满足此式，∴ S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4（n ＝1），32n 2－112n ＋10（n ＞1）.1. 已知数列a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n －1，n 为奇数，n ，n 为偶数，求a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 99＋a 100的值．解：由题意得a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 99＋a 100＝0＋2＋2＋4＋4＋…＋98＋98＋100＝2(2＋4＋6＋…＋98)＋100＝2×49×（2＋98）2＋100＝5 000.2. 已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项的乘积T n ＝⎝⎛⎭⎫14n 2－6n (n ∈N *)，b n ＝log 2 a n ，则数列{b n }的前n 项和S n 取最大时，n ＝________．答案：3解析：当n ＝1时，a 1＝T 1＝45＝210，当n ≥2时，a n ＝T n T n －1＝⎝⎛⎭⎫14n 2－6n －（n －1）2＋6（n －1）＝⎝⎛⎭⎫142n －7＝214－4n，此式对n ＝1也成立，所以a n ＝214－4n，从而b n ＝log 2a n ＝14－4n ，可以判断数列{b n }是首项为10，公差为－4的等差数列，因此S n ＝－2n 2＋12n ，故当n ＝3时，S n 有最大值．3. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对一切正整数n ，点P n (n ，S n )都在函数f(x)＝x 2＋2x 的图象上，且在点P n (n ，S n )处的切线的斜率为k n .(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 若b n ＝2k n a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解： (1) ∵ 点P n (n ，S n )在函数f(x)＝x 2＋2x 的图象上，∴ S n ＝n 2＋2n(n ∈N *)，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3满足上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1.(2) 由f(x)＝x 2＋2x ，求导得f′(x)＝2x ＋2. ∵ 在点P n (n ，S n )处的切线的斜率为k n ， ∴ k n ＝2n ＋2，∴ b n ＝2k n a n ＝4·(2n ＋1)·4n ，∴ T n ＝4×3×4＋4×5×42＋4×7×43＋…＋4×(2n ＋1)×4n ，用错位相减法可求得T n ＝6n ＋19·4n ＋2－169.4. 已知等差数列{a n }是递增数列，且满足a 4·a 7＝15，a 3＋a 8＝8. (1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 令b n ＝19a n －1a n(n ≥2)，b 1＝13，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1) 根据题意：a 3＋a 8＝8＝a 4＋a 7，a 4·a 7＝15，知：a 4，a 7是方程x 2－8x ＋15＝0的两根，且a 4<a 7，解得a 4＝3，a 7＝5，设数列{a n }的公差为d ，由a 7＝a 4＋(7－4)·d ，得d ＝23.故等差数列{a n }的通项公式为a n ＝a 4＋(n －4)·d ＝3＋23(n －4)＝2n ＋13.(2) 当n ≥2时，b n ＝19a n －1a n ＝19⎝⎛⎭⎫23n －13⎝⎛⎭⎫23n ＋13＝1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1.又b 1＝13＝12⎝⎛⎭⎫1－13， ∴ S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1.1. a n 的两种常见变形a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)(累加法) a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…a na n －1(累乘法)2. 数列求和的方法技能① 倒序相加 ② 错位相减 ③ 分组求和 ④ 拆项相消3. 方程思想、函数思想、化归思想、整体思想、分类讨论等数学思想在数列中均得到广泛应用，尤其是运用化归的思想将问题转化为等差、等比数列问题来研究是解决数列综合问题的最基本思维方法．。

2013高考数学人教A 版课后作业1.(2011·黄冈月考)在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n(n ≥2，n ∈N *)，则a 3a 5的值是( )A.1516B.158C.34D.38 [答案] C[解析] ∵a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n， ∴a 2a 1＝a 1＋1，∴a 2＝2，； ∵a 3a 2＝a 2－1，∴a 3＝12；∵a 4a 3＝a 3＋1，∴a 4＝3； ∵a 5a 4＝a 4－1，∴a 5＝23，∴a 3a 5＝34.2．(2011·哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学联考)已知{a n }是等差数列，S n为其前n 项和，若S 21＝S 4000，O 为坐标原点，点P (1，a n )，点Q (2011，a 2011)，则OP →·OQ →＝( )A ．2011B ．－2011C ．0D ．1 [答案] A[解析] 由S 21＝S 4000得到S n 关于n ＝21＋40002＝2010.5对称，故S n 的最大(或最小)值＝S 2010＝S 2011，故a 2011＝0，OP →·OQ →＝2011＋a n ·a 2011＝2011＋a n ×0＝2011，故选A.3．(2011·佛山月考)若a ，b ，c 成等比数列，则函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．不确定 [答案] A[解析] 由题意知，b 2＝ac >0，∴Δ＝b 2－4ac ＝－3ac <0，∴f (x )的图象与x 轴无交点． 4．(2011·山西运城教学检测)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，过点P (n ，S n )和Q (n ＋1，S n ＋1)(n ∈N *)的直线的斜率为3n －2，则a 2＋a 4＋a 5＋a 9的值等于( )A ．52B ．40C ．26D ．20 [答案] B[解析]由题意得S n＋1－S nn ＋－n＝3n－2，∴S n＋1－S n＝3n－2，即a n＋1＝3n－2，∴a n＝3n－5，因此数列{a n}是等差数列，a5＝10，而a2＋a4＋a5＋a9＝2(a3＋a7)＝4a5＝40，故选B.5．(文)(2011·福建质检)在各项均为正数的等比数列{a n}中，a3a5＝4，则数列{log2a n}的前7项和等于( )A．7 B．8C．27D．28[答案] A[解析]在各项均为正数的等比数列{a n}中，由a3a5＝4，得a24＝4，a4＝2.设b n＝log2a n，则数列{b n}是等差数列，且b4＝log2a4＝1.所以{b n}的前7项和S7＝b1＋b72＝7b4＝7.(理)(2011·广东促元中学期中)已知{a n}为等差数列，{b n}为正项等比数列，公式q≠1，若a1＝b1，a11＝b11，则( )A．a6＝b6B．a6>b6C．a6<b6D．以上都有可能[答案] B[解析]a6＝a1＋a112，b6＝b1b11＝a1a11，由q≠1得，a1≠a11.故a6＝a1＋a112>a1a11＝b6.6．(2011·南昌一模)小王每月除去所有日常开支，大约结余a元．小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起来，每月初存入银行a元，存期1年(存12次)，到期取出本和息．假设一年期零存整取的月利率为r，每期存款按单利计息．那么，小王存款到期利息为________元．[答案]78ar[解析]依题意得，小王存款到期利息为12ar＋11ar＋10ar＋…＋3ar＋2ar＋ar＝＋2ar＝78ar元．7．(2010·哈尔滨模拟)已知双曲线a n－1y2－a n x2＝a n－1a n(n≥2，n∈N*)的焦点在y轴上，一条渐近线方程是y＝2x，其中数列{a n}是以4为首项的正项数列，则数列{a n}的通项公式是________．[答案]a n＝2n＋1[解析] 双曲线方程为y 2a n －x 2a n －1＝1，∵焦点在y 轴上，又渐近线方程为y ＝2x ，∴a na n －1＝2，又a 1＝4，∴a n ＝4×2n －1＝2n ＋1.8．(2011·江苏镇江市质检)已知1，x 1，x 2,7成等差数列，1，y 1，y 2,8成等比数列，点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则线段MN 的中垂线方程是________．[答案] x ＋y －7＝0[解析] 由条件得x 1＝3，x 2＝5，y 1＝2，y 2＝4，∴MN 的中点(4,3)，k MN ＝1，∴MN 的中垂线方程为y －3＝－(x －4)，即x ＋y －7＝0.1.(2011·安徽百校论坛联考)已知a >0，b >0，A 为a ，b 的等差中项，正数G 为a ，b 的等比中项，则ab 与AG 的大小关系是( )A ．ab ＝AGB ．ab ≥AGC ．ab ≤AGD ．不能确定 [答案] C[解析] 由条件知，a ＋b ＝2A ，ab ＝G 2，∴A ＝a ＋b2≥ab ＝G >0，∴AG ≥G 2，即AG ≥ab ，故选C.[点评] 在知识交汇点处命题是常见命题方式，不等式与数列交汇的题目要特别注意等差(等比)数列的公式及性质的运用．2．(2011·江西新余四中期末)在△ABC 中，sin A cos A ＝2cos C ＋cos A2sin C －sin A 是角A 、B 、C 成等差数列的( )A ．充分非必要条件B ．充要条件C ．必要非充分条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A [解析]sin A cos A ＝2cos C ＋cos A 2sin C －sin A⇒2sin A sin C －sin 2A ＝2cos A cos C ＋cos 2A ⇒2cos(A ＋C )＋1＝0⇒cosB ＝12⇒B ＝π3⇒A ＋C ＝2B ⇒A 、B 、C 成等差数列．但当A 、B 、C 成等差数列时，sin Acos A ＝2cos C ＋cos A 2sin C －sin A 不一定成立，如A ＝π2、B ＝π3、C ＝π6.故是充分非必要条件．故选A.3．(文)数列{a n }是公差d ≠0的等差数列，数列{b n }是等比数列，若a 1＝b 1，a 3＝b 3，a 7＝b 5，则b 11等于( )A ．a 63B ．a 36C ．a 31D ．a 13 [答案] A[解析] 设数列{b n }的首项为b 1，公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝a 1q 2a 1＋6d ＝a 1q4，得d ＝a 14(q 4－q 2)．∴a 1＋a 12(q 4－q 2)＝a 1q 2，∵q ≠1，∴q 2＝2，d ＝a 12，于是b 11＝a 1q 10＝32a 1.设32a 1＝a 1＋(n －1)·a 12，则n ＝63，∴b 11＝a 63.(理)设函数f (x )＝x m＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列{1f n}(n ∈N *)的前n 项和是( )A.n n ＋1B.n ＋2n ＋1 C.n n －1D.n ＋1n[答案] A[解析] f ′(x )＝mx m －1＋a ＝2x ＋1，∴a ＝1，m ＝2， ∴f (x )＝x (x ＋1)，1f n ＝1nn ＋＝1n －1n ＋1， ∴S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝n n ＋1. 4．(文)(2010·浙江杭州)如图，是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是( )A.12B.23C.34D.45[答案] C[解析]循环过程为i＝1<4→i＝2，m＝1，n＝11×2；i＝2<4→i＝3，m＝2，n＝11×2＋12×3；i＝3<4→i＝4，m＝3，n＝11×2＋12×3＋13×4；i＝4<4不成立，输出n的值．故n＝11×2＋12×3＋13×4＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝⎛⎭⎪⎫13－14＝1－14＝34.(理)(2010·吉林省调研)已知数列{a n}的各项均为正数，如图给出程序框图，当k＝5时，输出的S＝511，则数列{a n}的通项公式为( )A．a n＝2n B．a n＝2n－1 C．a n＝2n＋1 D．a n＝2n－3 [答案] B[解析]由a i＋1＝a i＋2知数列{a n}是公差为2的等差数列，由M＝1a i ai＋1及S＝S＋M知，S＝1a1a2＋1a2a3＋…＋1a i a i＋1，由条件i≤k不满足时输出S及输入k＝5，输出S＝511知，1a1a2＋1a2a3＋…1a5a6＝12[(1a1－1a2)＋(1a 2－1a3)＋…(1a5－1a6)]＝12(1a1－1a6)＝12(1a1－1a1＋10)＝5a1a1＋＝511，∵a1>0，∴a1＝1，∴a n＝2n－1.5．(文)(2010·湖北质检)若数列{a n}满足1a n＋1－1a n＝d(n∈N*，d为常数)，则称数列{a n}为调和数列．已知数列{1x n}为调和数列，且x1＋x2＋…＋x20＝200，则x5＋x16＝________.[答案]20[解析]由题意，若{a n}为调和数列，则{1a n }为等差数列，∵{1x n}为调和数列，∴数列{x n}为等差数列，由等差数列的性质可知，x5＋x16＝x1＋x20＝x2＋x19＝…＝x10＋x11＝20010＝20.故填20.(理)(2011·福州市期末、河北冀州期末)已知实数a 、b 、c 、d 成等比数列，且函数y ＝ln(x ＋2)－x 当x ＝b 时取到极大值c ，则ad 等于________．[答案] －1[分析] 利用导数可求b 、c ，由a 、b 、c 、d 成等比数列可得ad ＝bc . [解析] y ′＝1x ＋2－1，令y ′＝0得x ＝－1，当－2<x <－1时，y ′>0，当x >－1时，y ′<0，∴b ＝－1，c ＝ln(－1＋2)－(－1)＝1，∴ad ＝bc ＝－1.6．(2011·焦作模拟)已知函数f (x )＝a x的图象过点(1，12)，且点(n －1，a n n 2)(n ∈N ＋)在函数f (x )＝a x的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝a n ＋1－12a n ，若数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：S n <5.[解析] (1)∵函数f (x )＝a x的图象过点(1，12)，∴a ＝12，f (x )＝(12)x.又点(n －1，a n n 2)(n ∈N ＋)在函数f (x )＝a x的图象上，从而a n n 2＝12n －1，即a n ＝n 22n －1.(2)由b n ＝n ＋22n－n 22n ＝2n ＋12n 得， S n ＝32＋522＋…＋2n ＋12n ， 则12S n ＝322＋523＋…＋2n －12n ＋2n ＋12n ＋1， 两式相减得：12S n ＝32＋2(122＋123＋…＋12n )－2n ＋12n ＋1，∴S n ＝5－2n ＋52n ，∴S n <5.7．(文)已知数列{a n }是公差d ≠0的等差数列，记S n 为其前n 项和． (1)若a 2、a 3、a 6依次成等比数列，求其公比q .(2)若a 1＝1，证明点P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1，S 11，P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2，S 22，…，P n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，S n n (n ∈N *)在同一条直线上，并写出此直线方程．[解析] (1)∵a 2、a 3、a 6依次成等比数列， ∴q ＝a 3a 2＝a 6a 3＝a 6－a 3a 3－a 2＝3dd＝3，即公比q ＝3.(2)证明：∵S n ＝na 1＋n n －2d ，∴S n n＝a 1＋n －12d ＝1＋n －12d .∴点P n ⎝⎛⎭⎪⎫n ，S n n 在直线y ＝1＋x －12d 上．∴点P 1，P 2，…，P n (n ∈N *)都在过点(1,1)且斜率为d2的直线上．此直线方程为y －1＝d2(x －1)．即dx －2y ＋2－d ＝0.(理)(2010·广东佛山顺德区质检)在等差数列{a n }中， 设S n 为它的前n 项和，若S 15>0，S 16<0，且点A (3，a 3)与B (5，a 5)都在斜率为－2的直线l 上，(1)求a 1的取值范围； (2)指出S 1a 1，S 2a 2，…，S 15a 15中哪个值最大，并说明理由． [解析] (1)由已知可得a 5－a 35－3＝－2，则公差d ＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧S 15＝15a 1＋15×142×d ＝a 1－S16＝16a 1＋16×152×d ＝a 1－，∴14<a 1<15. (2)最大的值是S 8a 8，∵S 15＝15a 8>0，S 16＝8(a 8＋a 9)<0， ∴a 8>0，a 9<0，即S 8最大．又当1≤i ≤8时，S i a i>0；当9≤i ≤15时，S i a i<0， ∵数列{a n }递减，∴S 1a 1≤S 2a 2≤…≤S 8a 8，S 8a 8≥S 9a 9≥…≥S 15a 15⇒S 8a 8最大．1．(2011·揭阳一模)数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }中连续的三项，则数列{b n }的公比为( )A. 2 B ．4C ．2 D.12[答案] C[解析] 设数列{a n }的公差为d (d ≠0)，由a 23＝a 1a 7得(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，解得a 1＝2d ，故数列{b n }的公比q ＝a 3a 1＝a 1＋2d a 1＝2a 1a 1＝2，选C.2．(2011·枣庄质检)已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根组成以12为首项的等比数列，则mn＝( )A.32B.32或23C.23 D ．以上都不对 [答案] B[解析] 设a ，b ，c ，d 是方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根，不妨设a <c <d <b ，则a ·b ＝c ·d ＝2，a ＝12，故b ＝4，根据等比数列的性质，得到：c ＝1，d ＝2，则m ＝a ＋b＝92，n ＝c ＋d ＝3，或m ＝c ＋d ＝3，n ＝a ＋b ＝92，则m n ＝32或23. 3．(2011·北京西城期末)已知各项均不为零的数列{a n }，定义向量c n ＝(a n ，a n ＋1)，b n ＝(n ，n ＋1)，n ∈N *.则下列命题中为真命题的是( )A ．若对于任意n ∈N *总有c n ∥b n 成立，则数列{a n }是等差数列 B ．若对于任意n ∈N *总有c n ∥b n 成立，则数列{a n }是等比数列 C ．若对于任意n ∈N *总有c n ⊥b n 成立，则数列{a n }是等差数列 D ．若对于任意n ∈N *总有c n ⊥b n 成立，则数列{a n }是等比数列 [答案] A[解析] 若对任意n ∈N *，有c n ∥b n ，则a n n ＝a n ＋1n ＋1＝a n ＋2n ＋2，所以a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1，即2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，所以数列{a n }为等差数列．4．小正方形按照下图中的规律排列：每小图中的小正方形的个数就构成一个数列{a n }，有以下结论：①a 5＝15；②数列{a n }是一个等差数列；③数列{a n }是一个等比数列；④数列的递推公式为：a n ＝a n －1＋n (n ∈N *)，其中正确的为( )A ．①②④B ．①③④C ．①②D ．①④ [答案] D[解析] 观察图形可知a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋2.∴选D.5．(2010·上海松江区模考)如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．介于1到200之间的所有“神秘数”之和为______．[答案] 2500[解析] 设正整数x ＝(2n ＋2)2－(2n )2＝8n ＋4，由1≤x ≤200及n ∈Z 知，0≤n ≤24， ∴所有这样的神秘数之和为＋2＝2500.6．(2011·湖北荆门调研)秋末冬初，流感盛行，荆门市某医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{a n }，已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，则该医院30天入院治疗流感的人数共有________人．[答案] 255[解析] ∵a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n(n ∈N *)，∴n 为奇数时，a n ＋2＝a n ，n 为偶数时，a n ＋2－a n ＝2，即数列{a n }的奇数项为常数列，偶数项构成以2为首项，2为公差的等差数列．故这30天入院治疗流感人数共有15＋(15×2＋15×142×2)＝255人． 7．(2011·洛阳市高三模拟)已知函数y ＝f (x )的图象经过坐标原点，其导函数为f ′(x )＝6x －2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N *)在函数y ＝f (x )的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }和数列{b n }满足等式：a n ＝b 12＋b 222＋b 323＋…＋b n2n (n ∈N *)，求数列{b n }的前n项和T n .[解析] (1)由题意可设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ， 则f ′(x )＝2ax ＋b ＝6x －2，用心 爱心 专心 - 11 - ∴a ＝3，b ＝－2，∵f (x )过原点，∴c ＝0，∴f (x )＝3x 2－2x .依题意得S n ＝3n 2－2n .n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n )－[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5， n ＝1时，a 1＝S 1＝1适合上式．∴a n ＝6n －5(n ∈N *)．(2)∵a n ＝b 12＋b 222＋b 323＋…＋b n 2n ， ∴a n －1＝b 12＋b 222＋b 323＋…＋b n －12n －1(n ≥2)． 相减得b n 2n ＝6，∴b n ＝6·2n(n ≥2)． b 1＝2a 1＝2，∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2 n ＝，6·2nn∴T n ＝2＋6(22＋23＋…＋2n )＝3·2n ＋2－22. 8．已知f (x )＝a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n(n 为正偶数)且{a n }为等差数列，f (1)＝n 2，f (－1)＝n ，试比较f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12与3的大小，并证明你的结论． [解析] 由f (1)＝n 2，f (－1)＝n 得，a 1＝1，d ＝2. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋(2n －1)· ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ， 两边同乘以12得，12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋(2n －3)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋(2n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1， 两式相减得，12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －(2n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＝12＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12－(2n －1)12n ＋1. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3－2n ＋32n <3.。

课时提升作业三十二数列求和(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.数列{a n},{b n}都是等差数列,a1=2,b1=8,且a20+b20=50.则{a n+b n}的前20项的和为()A.600B.610C.620D.630【解析】选 A.由题意知{a n+b n}也为等差数列,所以{a n+b n}的前20项和为:S20===600.2.已知函数f(x)=x2+bx的图象在点A(1,f(1))处的切线的斜率为3,数列的前n项和为S n,则S2016的值为()A.B.C.D.【解析】选D.因为f′(x)=2x+b,所以f′(1)=2+b=3,所以b=1,所以f(x)=x2+x,所以==-,所以S2016=1-+-+…+-=1-=.3.(2016·日照模拟)已知数列{a n}的通项公式是a n=,若前n项和为10,则项数n为()A.11B.99C.120D.121【解析】选C.因为a n==-,所以S n=a1+a2+…+a n=(-1)+(-)+…+(-)=-1.令-1=10,得n=120.4.(2016·枣庄模拟)数列1,3,5,7,…,(2n-1)+,…的前n项和S n的值等于()A.n2+1-B.2n2-n+1-C.n2+1-D.n2-n+1-【解析】选 A.该数列的通项公式为a n=(2n-1)+,则S n=[1+3+5+…+(2n-1)]+=n2+1-.5.(2016·广州模拟)已知数列{a n}中,a n+1+(-1)n a n=2n-1,则数列{a n}的前12项和S12=()A.76B.78C.80D.82【解题提示】计算出a n+2+a n的值后,再求解.【解析】选 B.由已知得a n+2+a n=(-1)n(2n-1)+(2n+1),取n=1,5,9及n=2,6,10,结果相加可得S12=a1+a2+a3+a4+…+a11+a12=78.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016·滨州模拟)等比数列{a n}的前n项和S n=2n-1,则++…+=.【解析】当n=1时,a1=S1=1,当n≥2时,a n=S n-S n-1=2n-1-(2n-1-1)=2n-1,又因为a1=1适合上式,所以a n=2n-1,所以=4n-1.所以数列{}是以=1为首项,以4为公比的等比数列.所以++…+==(4n-1).答案:(4n-1)7.(2016·泰安模拟)若S n=1-2+3-4+…+(-1)n-1·n,则S100=.【解析】S100=1-2+3-4+5-6+…+99-100=(1-2)+(3-4)+(5-6)+…+(99-100)=-50.答案:-508.数列{a n}的通项公式则这个数列的前2m项的和是. 【解析】数列{a n}的奇数项组成首项为6,公差为10的等差数列,偶数项组成首项为2,公比为2的等比数列,则S2m=6m+×10+=5m2+m+2m+1-2.答案:5m2+m+2m+1-2三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2016·临沂模拟)已知等比数列满足a n+1+a n=4×3n-1.(1)求数列的通项公式.(2)若b n=log3a n,T n=b1-b2b3+b3b4-b4b5+…+b2n-1b2n-b2n b2n+1,求T n.【解析】(1)设等比数列{a n}的公比为q,由a n+1+a n=4×3n-1,得解得所以a n=3n-1.(2)由(1)得b n=log33n-1=n-1,则b2n-1b2n-b2n b2n+1=b2n(b2n-1-b2n+1)=(2n-1)·(-2)=2-4n,所以T n=b1b2-b2b3+b3b4-b4b5+…+b2n-1b2n-b2n b2n+1=(b1b2-b2b3)+(b3b4-b4b5)+…+(b2n-1b2n-b2n b2n+1)=(2-4×1)+(2-4×2)+…+(2-4n)==-2n2.10.(2015·天津高考)已知是各项均为正数的等比数列,是等差数列,且a1=b1=1,b2+b3=2a3,a5-3b2=7.(1)求和的通项公式.(2)设c n=a n b n,n∈N*,求数列的前n项和.【解题提示】(1)设出公差d和公比q,列出关于q与d的方程组,通过解方程组求出q,d,即可确定通项.(2)用错位相减法求和.【解析】(1)设的公比为q,的公差为d,由题意q>0,由已知,有消去d得q4-2q2-8=0,解得q=2,d=2,所以的通项公式为a n=2n-1,n∈N*,的通项公式为b n=2n-1,n∈N*.(2)由(1)有c n=2n-1,设的前n项和为S n,则S n=1×20+3×21+5×22+…+×2n-1,2S n=1×21+3×22+5×23+…+×2n,两式相减得-S n=1+22+23+…+2n-×2n=-×2n-3,所以S n=2n+3,n∈N*.【易错警示】解答本题会出现以下错误:在用“错位相减”求和时对相减后的项处理不当,导致漏掉项或添加项.【加固训练】设数列{b n}的前n项和为S n,且b n=2-2S n;数列{a n}为等差数列,且a5=14,a7=20(n ∈N*).(1)求数列{b n}的通项公式.(2)若c n=a n·b n(n=1,2,3…),T n为数列{c n}的前n项和,求T n.【解析】(1)由b n=2-2S n,令n=1,则b1=2-2S1,又S1=b1,所以b1=,当n≥2时,由b n=2-2S n,可得b n-b n-1=-2(S n-S n-1)=-2b n,即=,所以{b n}是以b1=为首项,为公比的等比数列,于是b n=2·.(2)数列{a n}为等差数列,公差d=(a7-a5)=3,因为a5=a1+4d,所以a1=2.所以a n=3n-1.从而c n=a n·b n=2(3n-1)·,所以T n=2,T n=2,T n=--.(20分钟40分)1.(5分)(2016·威海模拟)已知数列{a n}:,+,++,…,+++…+,…,那么数列{b n}=的前10项和S10=()A. B.C. D.【解析】选B.由已知条件可得数列{a n}的通项公式为a n==,所以b n===4.S10=4=4=.2.(5分)(2016·汕头模拟)已知数列{a n}的通项公式是a n=,其前n项和S n=,则项数n 等于()A.8B.7C.6D.5【解析】选D.因为a n==1-,所以S n=++…+=n-=n-=n-=n-1+.所以n-1+==4+,解得n=5.【加固训练】S n=1+++…+=. 【解析】1+++…+==2=2-,S n=1+++…+=2-+2-+2-+ (2)=2n-=2n-2+.答案:2n-2+3.(5分)(2016·烟台模拟)对于函数y=f(x),部分x与y的对应关系如下表:数列{x n}满足x1=1,且对于任意n∈N*,点(x n,x n+1)都在函数y=f(x)的图象上,则x1+x2+ (x50)值为.【解析】由题意可知x n+1=f(x n),又x1=1,所以x2=f(1)=3,x3=f(3)=5,x4=f(5)=6,x5=f(6)=1,x6=f(1)=3.因此数列{x n}是周期为4的数列,又x1+x2+x3+x4=1+3+5+6=15,所以x1+x2+…+x50=15×12+1+3=184.答案:1844.(12分)(2015·浙江高考)已知数列{a n}和{b n}满足a1=2,b1=1,a n+1=2a n(n∈N*),b1+b2+b3+…+b n=b n+1-1(n∈N*).(1)求a n与b n.(2)记数列{a n·b n}的前n项和为T n,求T n.【解题提示】(1)根据数列递推关系式,确定数列的特点,得到数列的通项公式.(2)根据(1)问得到新的数列的通项公式,利用错位相减法进行数列求和.【解析】(1)由a1=2,a n+1=2a n,得a n=2n.当n=1时,b1=b2-1,所以b2=2;当n≥2时,b n=b n+1-b n,整理得=,所以b n=n.(2)由(1)知,a n b n=n·2n,所以T n=2+2·22+3·23+…+n·2n,2T n=22+2·23+3·24+…+(n-1)2n+n·2n+1,所以T n-2T n=-T n=2+22+23+24+…+2n-n·2n+1=(1-n)2n+1-2,所以T n=(n-1)2n+1+2.【加固训练】(2016·怀化模拟)已知等差数列的前n项和为S n,且a2=8,S4=40.数列的前n项和为T n且T n-2b n+3=0,n∈N*.(1)求数列,的通项公式.(2)设c n=求数列的前2n+1项和P2n+1.【解析】(1)设{a n}的公差为d,由题意,得所以a n=4n.因为T n-2b n+3=0,所以当n=1时,b1=3,当n≥2时,T n-1-2b n-1+3=0,两式相减,得b n=2b n-1(n≥2),数列为等比数列,所以b n=3·2n-1.(2)c n=P2n+1=(a1+a3+…+a2n+1)+(b2+b4+…+b2n)=·(n+1)+=22n+1+4n2+8n+2.5.(13分)(2016·郑州模拟)在公差为d的等差数列{a n}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.(1)求d,a n.(2)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|.【解析】(1)由题意得,5a3·a1=(2a2+2)2,即d2-3d-4=0,解得d=-1或d=4,所以a n=-n+11,n∈N*或a n=4n+6,n∈N*.(2)设数列{a n}的前n项和为S n,因为d<0,由(1)得d=-1,a n=-n+11,则当n≤11时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=S n=-n2+n;当n≥12时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=-S n+2S11=n2-n+110.综上所述,|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=【加固训练】1.(2016·邯郸模拟)等差数列{a n}是递增数列,前n项和为S n,且a1,a3,a9成等比数列,S5=.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)若数列{b n}满足b n=,求数列{b n}的前n项的和.【解析】(1)设数列{a n}的公差为d(d>0),因为a1,a3,a9成等比数列,所以=a1a9,所以(a1+2d)2=a1(a1+8d),所以d2=a1d,因为d>0,所以a1=d,①因为S5=,所以5a1+·d=(a1+4d)2,②由①②得a1=,d=,所以a n=+(n-1)×=n(n∈N*).(2)b n==·=,所以b1+b2+b3+…+b n===.2.正项数列{a n}的前n项和S n满足:-(n2+n-1)S n-(n2+n)=0.(1)求数列{a n}的通项公式a n.(2)令b n=,数列{b n}的前n项和为T n.证明:对于任意的n∈N*,都有T n<.【解析】(1)由-(n2+n-1)S n-(n2+n)=0,得[S n-(n2+n)](S n+1)=0.由于数列{a n}是正项数列,所以S n>0,S n=n2+n.于是a1=S1=2,n≥2时,a n=S n-S n-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n.综上可知,数列{a n}的通项公式a n=2n.(2)由于a n=2n,b n=,则b n==.T n==<=.。

第4节数列求和及综合应用【选题明细表】知识点、方法题号公式法、转化法、分组法求和1,3,5,7,10裂项相消、错位相减法求和2,4,11数列的综合应用8,9,12数列的实际应用 6基础巩固(时间:30分钟)1.(2017·山西临汾适应性训练考试)已知数列{a n}的前n项和S n=2n1,则数列{}的前n项和T n等于( C )(A)(B)4n1(C) (D)解析:由a1=S1=1,n≥2时,a n=S n S n1=2n1,则=4n1,该数列{}是以1为首项,公比为4的等比数列,其前n项和T n=.故选C.2.数列{a n}满足a1=1,且对于任意的n∈N*都有a n+1=a n+a1+n,则++…+等于( D )(A) (B)(C) (D)解析:由题意a n+1a n=n+1,所以a n a n1=n,所以a n=a n a n1+a n1a n2+…+a2a1+a1=1+2+…+n=,所以==2[].所以++…+=2(1++…+)=2×=.故选D.3.(2017·东北三省四市二模)已知数列{a n}满足a n+1a n=2,a1=5,则|a1|+|a2|+…+|a6|等于( C )(A)9 (B)15(C)18 (D)30解析:因为a n+1a n=2,a1=5,所以数列{a n}是公差为2的等差数列.所以a n=5+2(n1)=2n7.数列{a n}的前n项和S n==n26n.令a n=2n7≥0,解得n≥.所以n≤3时,|a n|=a n,n≥4时,|a n|=a n.则|a1|+|a2|+…+|a6|=a1a2a3+a4+a5+a6=S62S3=626×62(326×3)=18.故选C.4.(2017·宁夏石嘴山平罗县三模)已知函数f(x)=xα的图象过点(4,2),令a n=(n∈N*),记数列{a n}的前n项和为S n,则S2 017等于( B )(A)+1 (B) 1(C) 1 (D)+1解析:由题4α=2,解得α=,f(x)=.则a n===,则S2 017=1++…+= 1.故选B.5.(2018·广东广州月考)数列{a n}满足a2=2,a n+2+(1)n+1a n=1+(1)n(n∈N*),S n为数列{a n}的前n项和,则S100等于( B )(A)5 100 (B)2 550(C)2 500 (D)2 450解析:由a n+2+(1)n+1a n=1+(1)n(n∈N*),可得a1+a3=a3+a5=a5+a7=...=0,a4a2=a6a4=a8a6= (2)所以S100=50×0+50×2+×2=2 550.故选B.6.在2016年至2019年期间,甲每年6月1日都到银行存入m元的一年定期储蓄,若年利率为q保持不变,且每年到期的存款本息自动转为新的一年定期,到2020年6月1日甲去银行不再存款,而是将所有存款的本息全部取出,则取回的金额是( D )(A)m(1+q)4元 (B)m(1+q)5元(C)元 (D)解析:2019年存款的本息和为m(1+q),2018年存款的本息和为m(1+q)2,2017年存款的本息和为m(1+q)3,2016年存款的本息和为m(1+q)4,四年存款的本息和为m(1+q)+m(1+q)2+m(1+q)3+m(1+q)4= =.故选D.7.已知数列{a n}为1,3,7,15,31,…,2n1,数列{b n}满足b1=1,b n=a n a n1,则数列{}的前n1项和S n1为.解析:由题意可得:数列{b n}的通项公式为,b n=a n a n1=(2n1)(2n11)=2n1,所以=21n.数列{}是首项为1,公比为的等比数列,其前n1项和S n1==222n.答案:222n8.(2017·广东惠州龙门模拟)设R n是等比数列{a n}的前n项的积,若25(a1+a3)=1,a5=27a2,则当R n取最小值时,n= .解析:因为a5=27a2,所以=q3=27,所以q=3.因为25(a1+a3)=1,所以25a1(1+q2)=1,所以a1=.所以a n=·3n1,若使R n取得最小值,则则a n=·3n1≤1,a n+1=·3n≥1;解得n=6;故当R n取最小值时,n=6.答案:6能力提升(时间:15分钟)9.(2017·湖南长沙市一中模拟)已知等比数列{a n}的首项为,公比为,前n项和为S n,则当n∈N*时,S n的最大值与最小值之和为. 解析:由等比数列前n项和公式可得S n=1()n,令t=S n,当n为奇数时,S n=1+()n单调递减,1<S n≤S1=,当n为偶数时,S n=1()n单调递增,S n≥S2=,即≤S n<1,则≤S n≤,且S n≠1,即≤t≤,且t≠1,令f(t)=t=S n,则≤f(t)≤,且f(t)≠0,最大值与最小值之和为+=.答案:10.(2017·四川雅安市模拟)在等差数列{a n}中,a2+a7=23,a3+a8= 29.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设数列{a n+b n}是首项为1,公比为c的等比数列,求{b n}的前n项和S n.解:(1)设等差数列{a n}的公差是d.依题意a3+a8(a2+a7)=2d=6,从而d=3.所以a2+a7=2a1+7d=23,解得a1=1.所以数列{a n}的通项公式为a n=3n+2.(2)由数列{a n+b n}是首项为1,公比为c的等比数列,得a n+b n=c n1,即3n+2+b n=c n1,所以b n=3n2+c n1.所以S n=[1+4+7+…+(3n2)]+(1+c+c2+…+c n1)=+(1+c+c2+…+c n1).从而当c=1时,S n=+n=;当c≠1时,S n=+.11.(2017·广西玉林一模)已知数列{a n}中,a1=1,a n+1=(n∈N*).(1)求证:{+}为等比数列,并求{a n}的通项公式a n;(2)数列{b n}满足b n=(3n1)··a n,求数列{b n}的前n项和T n.解:(1)因为a1=1,a n+1=,所以==1+,即+=+=3(+),则{+}为等比数列,公比q=3,首项为+=1+=,则+=·3n1,即=+·3n1=(3n1),即a n=.(2)b n=(3n1)··a n=,则数列{b n}的前n项和T n=+++…+T n=+++…+,两式相减得T n=1+++…+==2=2,则T n=4.12.(2017·天津河北区一模)设等差数列{a n}的前n项和为S n,且a2=8,S4=40.数列{b n}的前n项和为T n,且T n2b n+3=0,n∈N*.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;(2)设c n=求数列{c n}的前n项和P n.解:(1)设等差数列{a n}的公差为d,由题意,得解得所以a n=4n,因为T n2b n+3=0,所以当n=1时,b1=3,当n≥2时,T n12b n1+3=0,两式相减,得b n=2b n1,(n≥2)则数列{b n}为等比数列,所以b n=3·2n1.(2)c n=当n为偶数时,P n=(a1+a3+…+a n1)+(b2+b4+…+b n)=+= 2n+1+n22,当n为奇数时,P n=(a1+a3+…+a n2+a n)+(b2+b4+…+b n1)=+=2n+n2+2n1.所以P n=。

数列求和时间:50分钟 总分：70分班级： 姓名：一、 选择题（共6小题，每题5分，共30分）1.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝－20，则－6a 4＋3a 5＝( ) A.－20 B.4 C.12 D.20【答案】C【解析】 因为S 5＝－20，所以S 5＝5a 3＝－20，∴a 3＝－4，∴－6a 4＋3a 5＝－6(a 1＋3d )＋3(a 1＋4d )＝－3(a 1＋2d )＝－3a 3＝12.2.(2012·大纲全国)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为( )A.100101 B.99101 C.99100 D.101100【答案】A【解析】 由S 5＝5a 3及S 5＝15得a 3＝3，∴d ＝a 5－a 35－3＝1，a 1＝1，∴a n ＝n ，1a n a n ＋1＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和T 100＝1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1101＝100101，故选A.3.数列{a n }满足：a 1 ＝1，且对任意的m ，n ∈N *都有：a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2 008＝( )A.2 0072 008B.2 0071 004 C.2 0082 009 D.4 0162 009【答案】D【解析】法一 因为a n ＋m ＝a n ＋a m ＋mn ，则可得a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝10，则可猜得数列的通项a n ＝n （n ＋1）2，∴1a n＝2n （n ＋1）＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2 008＝ 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋12 008－12 009＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12 009＝4 0162 009.故选D. 法二 令m ＝1，得a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ＝1＋a n ＋n ，∴a n ＋1－a n ＝n ＋1， 用叠加法：a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋2＋…＋n ＝n （n ＋1）2，所以1a n＝2n （n ＋1）＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1.于是1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 008＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12 008－12 009＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－12 009＝4 0162 009，故选D. 4.设a 1，a 2，…，a 50是以－1，0，1这三个整数中取值的数列，若a 1＋a 2＋…＋a 50＝9且(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 50＋1)2＝107，则a 1，a 2，…，a 50当中取零的项共有( ) A.11个 B.12个 C.15个 D.25个【答案】A【解析】 (a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 50＋1)2＝a 21＋a 22＋…＋a 250＋2(a 1＋a 2＋…＋a 50)＋50＝107，∴a 21＋a 22＋…＋a 250＝39，∴a 1，a 2，…，a 50中取零的项应为50－39＝11(个)，故选A.5.中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n(n ∈N ＋)，则S 100＝( ) A.1 300 B. 2 600 C.0 D.2 602【答案】B【解析】原问题可转化为当n 为奇数时，a n ＋2－a n ＝0；当n 为偶数时，a n ＋2－a n ＝2.进而转化为当n 为奇数时，为常数列{1}；当n 为偶数时，为首项为2，公差为2的等差数列.所以S 100＝S 奇＋S 偶＝50×1＋(50×2＋50×492×2)＝2 600.6.已知定义在R 上的函数f (x )、g (x )满足f （x ）g （x ）＝a x ，且f ′(x )g (x )<f (x )g ′(x )，f （1）g （1）＋f （－1）g （－1）＝52，若有穷数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f （n ）g （n ）(n ∈N *)的前n 项和等于3132，则n ＝( ) A.5 B.6 C.7 D.8【答案】A 【解析】令h (x )＝f （x ）g （x ）＝a x ，∵h ′(x )＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2<0， ∴h (x )在R 上为减函数，∴0<a <1.由题知，a 1＋a －1＝52，解得a ＝12或a ＝2(舍去)，∴f （n ）g （n ）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，∴有穷数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f （n ）g （n ）的前n 项和S n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝3132，∴n ＝5.二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）7.已知实数a 1，a 2，a 3，a 4构成公差不为零的等差数列，且a 1，a 3，a 4构成等比数列，则此等比数列的公比等于________. 【答案】 12【解析】设公差为d ，公比为q .则a 23＝a 1·a 4，即(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋3d )，解得a 1＝－4d ，所以q ＝a 3a 1＝a 1＋2d a 1＝12.8.(2013·辽宁14)已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和.若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________. 【答案】63【解析】 因为x 2－5x ＋4＝0的两根为1和4，又数列{a n }是递增数列，所以a 1＝1，a 3＝4，所以q ＝2.所以S 6＝1·（1－26）1－2＝63.9.已知数列{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它们的前n 项和S n 有最大值，则使得S n >0的n 的最大值为________. 【答案】19 【解析】 由a 11a 10<－1得a 11＋a 10a 10<0，由它们的前几项和S n 有最大值，可得公差d <0， ∴a 10>0，a 10＋a 11<0，a 11<0，∴a 1＋a 19＝2a 10>0，a 1＋a 20＝a 10＋a 11<0，使得S n >0的n 的最大值为19， 10.已知向量a ＝(2，－n )，b ＝(S n ，n ＋1)，n ∈N *，其中S n 是数列{a n }的前n 项和，若a⊥b ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n a n ＋1a n ＋4的最大项的值为________. 【答案】19【解析】 依题意得a·b ＝0，即2S n ＝n (n ＋1)，S n ＝n （n ＋1）2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n （n ＋1）2－n （n －1）2＝n ；又a 1＝1，因此a n ＝n ，a n a n ＋1a n ＋4＝n （n ＋1）（n ＋4）＝n n 2＋5n ＋4＝1n ＋4n＋5≤19，当且仅当n ＝4n，n ∈N *，即n ＝2时取等号，因此数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n a n ＋1a n ＋4的最大项的值是19.三、解答题（共2小题，每题10分，共20分）11.(2015·天津18)已知数列{a n }满足a n ＋2＝qa n (q 为实数，且q ≠1)，n ∈N *，a 1＝1，a 2＝2，且a 2＋a 3，a 3＋a 4，a 4＋a 5成等差数列. (1)求q 的值和{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a 2n a 2n －1，n ∈N *，求数列{b n }的前n 项和.【答案】见解析【解析】 (1)由已知，有(a 3＋a 4)－(a 2＋a 3)＝(a 4＋a 5)－(a 3＋a 4)， 即a 4－a 2＝a 5－a 3，所以a 2(q －1)＝a 3(q －1)，又因为q ≠1， 故a 3＝a 2＝2，由a 3＝a 1q ，得q ＝2.当n ＝2k －1(k ∈N *)时，a n ＝a 2k －1＝2k －1＝2n －12；当n ＝2k (k ∈N *)时，a n ＝a 2k＝2k＝2n2.所以，{a n}的通项公式为a n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －12，n 为奇数，2n 2，n 为偶数.(2)由(1)得b n ＝log 2a 2n a 2n －1＝n 2n －1，n ∈N *.设{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1×120＋2×121＋3×122＋…＋(n －1)×12n －2＋n ×12n －1，12S n ＝1×121＋2×122＋3×123＋…＋(n －1)×12n －1＋n ×12n . 上述两式相减得：12S n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝1－12n1－12－n 2n ＝2－22n －n2n ，整理得，S n ＝4－n ＋22n －1，n ∈N *.所以，数列{b n }的前n 项和为4－n ＋22n －1，n ∈N *.12.设函数f (x )＝23＋1x (x >0)，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1，n ∈N *，且n ≥2.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)对n ∈N *，设S n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 3a 4＋…＋1a n a n ＋1，若S n ≥3t 恒成立，求实数t 的取值范围.【答案】见解析 【解析】 (1)由a n ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫1a n －1得a n －a n －1＝23，n ∈N *，n ≥2，所以{a n }是等差数列，又因为a 1＝1，所以a n ＝1＋(n －1)×23＝2n ＋13.(2)由a n ＝2n ＋13得a n ＋1＝2n ＋33.所以1a n a n ＋1＝9（2n ＋1）（2n ＋3）＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3.∴S n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 3a 4＋…＋1a n a n ＋1＝92⎣⎢⎡13－15＋15－17＋17－19＋…⎦⎥⎤＋12n ＋1－12n ＋3＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3＝3n 2n ＋3. 由S n ≥3t 得t ≤n 2n ＋3，又⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2n ＋3递增，所以n ＝1时，n 2n ＋3有最小值为15，所以t ≤15.即t 的取值范围为1,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.。

课时作业（三十二)［第32讲数列求和］[时间：45分钟分值：100分]错误!1．［2011·肇庆二模] 已知数列{a n}是各项均为正整数的等比数列，a1＝3,前3项和为21，则a3＋a4＋a5＝（)A．2 B．33C．84 D．1892．［2011·海南四校二模］已知数列｛a n}的通项公式a n＝log3错误!（n∈N＊)，设其前n项和为S n，则使S n〈－4成立的最小自然数n 等于( )A．83 B．82C．81 D．803．［2011·江西卷] 已知数列｛a n}的前n项和S n满足：S n＋S m ＝S n＋m,且a1＝1.那么a10＝（)A．1 B．9C．10 D．554．数列{a n｝的通项公式是a n＝（－1)n n2,则该数列的前20项之和为________．错误!5．[2011·浙江名校联盟二模］正项等比数列｛a n}的前n项和为S n，且a4＝8，S4－S1＝38，则其公比等于( ）A。

错误! B.错误!C。

错误!D。

错误!6．[2011·吉安二模] 若{a n}为等差数列,S n是其前n项和，且S13＝错误!，则tan a7的值为( ）A。

错误!B．－错误!C．±错误!D．－错误!7．［2012·温州八校联考］已知等差数列｛a n｝的前n项和为S n，若m〉1，且a m≠0，a m－1＋a m＋1－a2，m＝0，S2m－1＝38，则m＝( )A．10 B．20C．38 D．98．[2011·安徽卷]若数列{a n}的通项公式是a n＝（－1)n（3n－2），则a1＋a2＋…＋a10＝( ）A．15 B．12C．－12 D．－159．[2011·海口调研］设等差数列{a n｝的前n项和为S n,若S9＝72，则a2＋a4＋a9的值是（）A．24 B．19 C．36 D．4010．数列{a n}的通项公式是a n＝2n＋n－1，则其前8项和S8等于________．11．[2011·洛阳三模］已知数列{a n｝的前n项和S n＝n2＋2n －1，则a1＋a3＋a5＋…＋a25＝________.12．数列错误!的前n项和为错误!，则在平面直角坐标系中，直线(n＋1)x＋y＋n＝0在y轴上的截距是________．13．若等比数列{a n｝中，a2＋a5＋a11＝2，a5＋a8＋a14＝6，则a2＋a5＋a8＋a11＋a14的值是________．14．（10分）[2012·温州十校联考］等比数列{a n}中,已知a2＝2，a5＝16。

实用文档2013届高考一轮复习 数列求和一、选择题1、(2011江西高考,理5)已知数列{n a }的前n 项和n S 满足:n S +m n m S S +=,且11a =.那么10a 等于( )A.1B.9C.10D.552、一个等差数列共n 项,其和为90,这个数列的前10项的和为25,后10项的和为75,则项数n 为( )A.14B.16C.18D.203、在等差数列{n a }中12a ,=- 008,其前n 项的和为n S .若20072005220072005S S -=,则2008S 等于( ) A.-2 007B.-2 008C.2 007D.2 0084、在公比为整数的等比数列{n a }中,如果14231812a a a a +=,+=,那么该数列的前8项和为( )A.513B.512C.510D.2258实用文档 5、设47()222f n =+++…312(n n ++∈N )*,则f(n)等于( ) A.2(81)7n - B.12(81)7n +- C.22(81)7n +- D.32(81)7n +-6、数列{(1)n n -⋅}的前2 010项的和2010S 为 ( )A.-2 010B.-1 005C.2 010D.1 0057、数列{n a }的前n 项和为n S ,若1(1)n a n n =,+则5S 等于( ) A.1B.56C.16D.1308、设等差数列{n a }的前n 项和为n S ,若81126a a =+,则9S 等于( )A.54B.45C.36D.27二、填空题9、若等比数列的公比为2,且前4项和为1,则这个等比数列的前8项和为 .10、在等差数列{n a }中,已知32a =,则其前5项和为.实用文档11、若数列{n a }的前n 项和225n S n n =++,则567a a a ++= .12、已知等差数列的通项公式52n a n =-+,则其前n 项和n S = .三、解答题13、已知{n a }是首项为19,公差为-2的等差数列n S ,为{n a }的前n 项和.(1)求通项n a 及n S ;(2)设{n n b a -}是首项为1,公比为3的等比数列,求数列{n b }的通项公式及其前n 项和n T .14、已知{n a }为等差数列,且3660a a =-,=.(1)求{n a }的通项公式;(2)若等差数列{n b }满足121238b b a a a =-,=++,求{n b }的前n 项和公式.15、已知数列{n a }是等差数列,且1123212a a a a =,++=.(1)求数列{n a }的通项公式;(2)令(n n n b a x x =∈R ),求数列{n b }前n 项和n S .实用文档16、已知点1(1)3,是函数()(0x f x a a =>,且1)a ≠的图象上一点.等比数列{n a }的前n 项和为f(n)-c.数列{n b }(0)n b >的首项为c,且前n 项和n S 满足11(2)n n n n S S S S n ---=+≥.(1)求数列{n a }和{n b }的通项公式;(2)若数列{11n n b b +}的前n 项和为n T ,问满足10002009n T >的最小正整数n 是多少?以下是答案一、选择题1、 A解析:∵n m n m S S S ++=,令n=1,m=9,有1910S S S +=. ∴112a a a +++…912a a a +=++…10a +,∴1011a a ==.2、C解析:1257510()n a a +=+,∴110n a a +=.又10902n ⋅=,∴n=18.3、B实用文档 解析:∵2007200520072005S S - 12007120052007()2005()2220072005a a a a ++=- =d=2.∴20082S = 008(2⨯- 20082007008)2⨯+⨯2=-2 008.4、 C解析:33211213(1)18()122q a q a q q q q ++=,+=,=,+q=12或q=2, 而q ∈Z ,∴122q a =,=.∴8982(12)2251012S -==-=-.5、B解析:3(1)132(12)2()81)712n n f n ++-==--.6、D解析:2010123S =-+-+4-5+…+2 008-2 009+2 010 =(2-1)+(4-3)+(6-5)+…+(2 010-2 009)=1 005.7、B解析:∵111(1)1n a n n n n ==-,++实用文档 ∴51234511111122334S a a a a a =++++=-+-+-+…511566+-=.8、 A解析:∵81126a a =+,∴112(7)610a d a d +=++.∴146a d +=. ∴195959()69542a a a S a +=,===. 二、填空题9、 17解析:由题意可知48487651(S S a a a a q a ,-=+++=+4234)2a a a ++=, 所以前8项和等于17.10、 10解析:15355()5252210222a a a S +⨯⨯⨯====.11、 39解析:5677439a a a S S ++=-=.12、25122n n -- 解析:∵52n a n =-+,实用文档∴13a =-. 即2(352)51222n n n S n n --+==--. 三、解答题13、 解:(1)因为{n a }是首项为119a =,公差d=-2的等差数列. 所以192(n a n =--1)=-2n+21.2(1)19(2)202n n n S n n n -=+⋅-=-+. (2)由题意13n n n b a --=,所以13221n n b n -=-+.(13n n T S =+++…13)n -+231202n n n -=-++.实用文档14、 解:(1)设等差数列{n a }的公差d.因为3660a a =-,=,所以112650a d a d +=-,⎧⎨+=.⎩ 解得1102a d =-,=.所以10(1)2212n a n n =-+-⋅=-.(2)设等比数列{n b }的公比为q,因为21231248b a a a b =++=-,=-.所以-8q=-24,即q=3.所以{n b }的前n 项和1(1)4(13)1n n n b q S q-==--.15、 解:(1)设数列{n a }的公差为d,则123a a a ++=13a +3d=12. 又12a =,得d=2.所以2n a n =.(2)令12n S b b =++…n b +,则由2n n n n b a x n x ==⋅,得224n S x x =++…2n n x +⋅. ① 2324n xS x x =++…1(22)2n n n x n x ++-+⋅. ② 当1x ≠时,①式减去②式,得:2(1)2(n x S x x -=++…112(1))221n n n n x x x nx nx x ++-+-=-,-实用文档 所以122(1)21(1)n n n x x nx S x x +-=---. 当x=1时24n S ,=++…+2n=n(n+1).综上可得,当x=1时(1)n S n n ,=+;当1x ≠时122(1)21(1)n n n x x nx S x x +-,=---.16、 解:(1)f 1(1)3a ==, ∴1()()3x f x =, ∴121(1)[(2)]3a f c c a f c =-=-,=--[f(1)-2]9c =-, 3[(3)][a f c =--f(2)2]27c -=-. 又数列{n a }是等比数列2213481227a a a ,===-23-=13c -, 所以c=1. 又公比2113a q a ==, 所以121()33n n a -=-=12()3n -n ,∈N *.12)n n S S n --==≥,又00n b >>,1=;数列构成一个首项为1公差为1的等差数列,21(1)1n n n S n =+-⨯=,=,实用文档 当2212(1)21n n n n b S S n n n -≥,=-=--=-. 又∵11211b c ===⨯-.∴21(n b n n =-∈N )*.122334111(2)n T bb b b b b =+++…11n n b b ++ 111133557=+++⨯⨯⨯…1(21)(21)n n +-⨯+ 11111111(1)()()23235257=-+-+-+…+111()22121n n --+ 11(1)22121n n n =-=++. 由1000212009n n T n =>+得10009n >, 满足10002009n T >的最小正整数为112.。

第五节 数列的求和1．(2013·皖北模拟)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝2，S 4＝10，则S 6等于(C )A ．12B ．18C ．24D ．42 解析：∵{a n }成等差数列，∴S 2，S 4－S 2，S 6－S 4也成等差数列． ∴2(S 4－S 2)＝S 2＋(S 6－S 4)．即2×(10－2)＝2＋S 6－10.∴S 6＝24. 故选C.2．(2013·江南十校联考)若数列{a n }为等比数列，且a 1＝1，q ＝2，则T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1的结果可化为(C ) A ．1－14n B ．1－12nC.23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14nD.23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 解析：a n ＝2n －1，设b n ＝1a n a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －1，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n .故选C.3．设{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2，且a 1，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝(A )A.n 24＋7n 4B.n 23＋5n 3C.n 22＋3n4D ．n 2＋n 解析：设数列的公差为d ，则根据题意得()2＋2d 2＝2()2＋5d ，解得d ＝12或d ＝0(舍去)，所以数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋n （n －1）2×12＝n 24＋7n4.故选A. 4．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n （n ＋1），则S 5等于(B )A ．1 B.56 C.16 D.130解析：因为a n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，所以S 5＝a 1＋a 2＋…＋a 5＝1－12＋12－13＋…－16＝56.5．数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋12n ，…的前n 项和S n 的值等于(A )A ．n 2＋1－12n B ．2n 2－n ＋1－12nC ．n 2＋1－12n －1 D ．n 2－n ＋1－12n解析：该数列的通项公式为a n ＝(2n －1)＋12n ，则S n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n ＝n 2＋1－12n .6．(2013·西安模拟)数列1，1＋2，1＋2＋4，…，1＋2＋22＋…＋2n －1，…的前n 项和S n >1 020，那么n 的最小值是(D )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：∵1＋2＋22＋…＋2n －1＝1－2n1－2＝2n －1，∴S n ＝(2＋22＋…＋2n )－n ＝2－2n ＋11－2－n ＝2n ＋1－2－n.若S n >1 020，则2n ＋1－2－n>1 020，∴n ≥10. 故选D. 7．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项的和为10，则项数为120．解析：∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴S n ＝n ＋1－1＝10， ∴n ＝120.8．(2013·苏州模拟)定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，若数列{a n }满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1 122 1＝1且⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 3a n a n ＋1＝12(n ∈N *)，则a 3＝10，数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －2．解析：由题意得a 1－1＝1，3a n ＋1－3a n ＝12即a 1＝2，a n ＋1－a n ＝4. ∴{a n }是以2为首项，4为公差的等差数列， ∴a n ＝2＋4(n －1)＝4n －2，a 3＝4×3－2＝10.9．数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n ＋1－2，数列{b n }是首项为a 1，公差为d(d ≠0)的等差数列，且b 1，b 3，b 11成等比数列．(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式； (2)设c n ＝b na n，求数列{c n }的前n 项和T n .解析：(1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2n ＝2n ，又a1＝S1＝21＋1－2＝2，也满足上式，所以数列{a n}的通项公式为a n＝2n(n∈N*)．b1＝a1＝2，设公差为d，由b1，b3，b11成等比数列，得(2＋2d)2＝2×(2＋10d)，化为d2－3d＝0.解得d＝0(舍去)或d＝3，所以数列{b n}的通项公式为b n＝3n－1(n∈N*)．(2)由(1)可得c n＝b na n＝3n－12n(n∈N*)，则T n＝221＋522＋823＋…＋3n－12n，∴2T n＝2＋521＋822＋…＋3n－12n－1，两式相减得T n＝2＋321＋322＋…＋32n－1－3n－12n，＝2＋32⎝⎛⎭⎪⎫1－12n－11－12－3n－12n＝5－3n＋52n.10．(2013·河南六市第二次联考文改编)在公差不为0的等差数列{a n}中，a1，a4，a8成等比数列．(1)若数列{a n}的前6项和为23，求数列{a n}的通项公式；(2)若b n＝1a n a n＋1，且数列{b n}的前n项和为T n，若T n＝19－1n＋9，求数列{a n}的公差．解析：设数列{a n}的公差为d，由a1，a4，a8成等比数列可得a24＝a1a8，即(a1＋3d)2＝a1(a1＋7d)，所以a21＋6a1d＋9d2＝a21＋7a1d，而d≠0，所以a 1＝9d.(1)由数列{a n }的前6项和为23， 可得S 6＝6a 1＋6×52d ＝23， 即6a 1＋15d ＝23，故d ＝13，a 1＝3，故数列{a n }的通项公式为a n ＝3＋(n －1)×13＝13(n ＋8)(n ∈N *)．(2)b n ＝1a n a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1， 则数列{b n }的前n 项和为T n ＝1d [⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1]＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫19d －19d ＋nd ＝1d 2(19－1n ＋9)＝19－1n ＋9， 所以d 2＝1，即d ＝1或d ＝－1.。

第四节 数列求和强化训练当堂巩固1.在公比为整数的等比数列{n a }中,如果14231812a a a a +=,+=,那么该数列的前8项和为( )A.513B.512C.510D.2258答案:C 解析:33211213(1)18()122q a q a q q q q++=,+=,=,+q=12或q=2, 而q ∈Z ,∴122q a =,=. ∴8982(12)2251012S -==-=-. 2.在等差数列{n a }中,已知32a =,则其前5项和为. 答案:10解析:15355()5252210222a a a S +⨯⨯⨯====. 3.若数列{n a }的前n 项和225n S n n =++,则567a a a ++= .答案:39解析:5677439a a a S S ++=-=.4.已知{n a }是首项为19,公差为-2的等差数列n S ,为{n a }的前n 项和.(1)求通项n a 及n S ;(2)设{n n b a -}是首项为1,公比为3的等比数列,求数列{n b }的通项公式及其前n 项和n T .解:(1)因为{n a }是首项为119a =,公差d=-2的等差数列.所以192(n a n =--1)=-2n+21.2(1)19(2)202n n n S n n n -=+⋅-=-+. (2)由题意13n n n b a --=, 所以13221n n b n -=-+.(13n n T S =+++…13)n -+231202n n n -=-++. 课后作业巩固提升见课后作业B题组一 数列求和1.设等差数列{n a }的前n 项和为n S ,若81126a a =+,则9S 等于( )A.54B.45C.36D.27答案:A解析:∵81126a a =+,∴112(7)610a d a d +=++.∴146a d +=. ∴195959()69542a a a S a +=,===. 2.一个等差数列共n 项,其和为90,这个数列的前10项的和为25,后10项的和为75,则项数n 为 ( )A.14B.16C.18D.20答案:C解析:1257510()n a a +=+,∴110n a a +=. 又10902n ⋅=,∴n=18. 3.在等差数列{n a }中12a ,=- 008,其前n 项的和为n S .若20072005220072005S S -=,则2008S 等于( )A.-2 007B.-2 008C.2 007D.2 008 答案:B解析:∵2007200520072005S S - 12007120052007()2005()2220072005a a a a ++=- =d=2. ∴20082S = 008(2⨯- 20082007008)2⨯+⨯2=-2 008. 4.设47()222f n =+++…312(n n ++∈N )*,则f(n)等于( ) A.2(81)7n - B.12(81)7n +- C.22(81)7n +- D.32(81)7n +- 答案:B解析:3(1)132(12)2()81)712n n f n ++-==--. 5.数列{(1)n n -⋅}的前2 010项的和2010S 为 ( )A.-2 010B.-1 005C.2 010D.1 005答案:D解析:2010123S =-+-+4-5+…+2 008-2 009+2 010=(2-1)+(4-3)+(6-5)+…+(2 010-=1 005.6.数列{n a }的前n 项和为n S ,若1(1)n a n n =,+则5S 等于( ) A.1 B.56C.16D.130答案:B解析:∵111(1)1n a n n n n ==-,++ ∴51234511111122334S a a a a a =++++=-+-+-+ (511566)+-=. 7.已知等差数列的通项公式52n a n =-+,则其前n 项和n S = . 答案:25122n n -- 解析:∵52n a n =-+, ∴13a =-. 即2(352)51222n n n S n n --+==--. 题组二 数列求和的综合应用8.(2011江西高考,理5)已知数列{n a }的前n 项和n S 满足:n S +m n m S S +=,且11a =.那么10a 等于 ( )A.1B.9C.10D.55答案:A解析:∵n m n m S S S ++=,令n=1,m=9,有1910S S S +=.∴112a a a +++…912a a a +=++…10a +,∴1011a a ==.9.若等比数列的公比为2,且前4项和为1,则这个等比数列的前8项和为 . 答案:17解析:由题意可知48487651(S S a a a a q a ,-=+++=+4234)2a a a ++=, 所以前8项和等于17.10.已知{n a }为等差数列,且3660a a =-,=.(1)求{n a }的通项公式;(2)若等差数列{n b }满足121238b b a a a =-,=++,求{n b }的前n 项和公式. 解:(1)设等差数列{n a }的公差d.因为3660a a =-,=,所以112650a d a d +=-,⎧⎨+=.⎩ 解得1102a d =-,=.所以10(1)2212n a n n =-+-⋅=-.(2)设等比数列{n b }的公比为q,因为21231248b a a a b =++=-,=-.所以-8q=-24,即q=3.所以{n b }的前n 项和1(1)4(13)1n n n b q S q-==--. 11.已知数列{n a }是等差数列,且1123212a a a a =,++=.(1)求数列{n a }的通项公式;(2)令(n n n b a x x =∈R ),求数列{n b }前n 项和n S .解:(1)设数列{n a }的公差为d,则123a a a ++=13a +3d=12.又12a =,得d=2.所以2n a n =.(2)令12n S b b =++…n b +,则由2n n n n b a x n x ==⋅,得224n S x x =++…2nn x +⋅. ① 2324n xS x x =++…1(22)2n n n x n x ++-+⋅. ②当1x ≠时,①式减去②式,得:2(1)2(n x S x x -=++…112(1))221n n n n x x x nx nx x++-+-=-,- 所以122(1)21(1)n n n x x nx S x x +-=---. 当x=1时24n S ,=++…+2n=n(n+1).综上可得,当x=1时(1)n S n n ,=+;当1x ≠时122(1)21(1)n n n x x nx S x x +-,=---. 12.已知点1(1)3,是函数()(0x f x a a =>,且1)a ≠的图象上一点.等比数列{n a }的前n 项和为f(n)-c.数列{n b }(0)n b >的首项为c,且前n 项和n S 满足12)n n S S n --=+≥.(1)求数列{n a }和{n b }的通项公式;(2)若数列{11n n b b +}的前n 项和为n T ,问满足10002009n T >的最小正整数n 是多少? 解:(1)f 1(1)3a ==, ∴1()()3x f x =, ∴121(1)[(2)]3a f c c a f c =-=-,=--[f(1)-2]9c =-, 3[(3)][a f c =--f(2)2]27c -=-. 又数列{n a }是等比数列2213481227a a a ,===-23-=13c -, 所以c=1. 又公比2113a q a ==, 所以121()33n na -=-=12()3n -n ,∈N*. 12)n n SS n --=+=≥,又00n b >>,1=;数列}构成一个首项为1公差为1的等差数列,21(1)1n n n S n =+-⨯=,=,当2212(1)21n n n n b S S n n n -≥,=-=--=-. 又∵11211b c ===⨯-.∴21(n b n n =-∈N )*. 122334111(2)n T b b b b b b =+++ (1)1n n b b ++ 111133557=+++⨯⨯⨯…1(21)(21)n n +-⨯+ 11111111(1)()()23235257=-+-+-+…+111()22121n n --+ 11(1)22121n n n =-=++. 由1000212009n n T n =>+得10009n >, 满足10002009n T >的最小正整数为。