高中数学模块综合复习课3圆锥曲线中的定点定值、最值

率之积为定值.( ) (4)抛物线的通径是所有焦点弦中的最短者.( )
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√
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专题一
专题二
专题三
专题一 直线与圆锥曲线的位置关系
【例1】
已知椭圆C:
������2 4
+y2=1,直线l经过点E(-1,0),且与椭圆C相
交于A,B两点,且|EA|=2|EB|.
故直线 l 的斜率一定存在,设为 k,则 l 的方程为 y=k(x+1).
������ = ������(������ + 1),
联立
������2 4
+
������
2
= 1,
整理得(4k2+1)x2+8k2x+4k2-4=0.
Δ=(8������2 )2-4(4k2+1)(4k2-4)=48k2+16>0.
数作为自变量,建立函数解析式,利用函数方法通过函数的最值求
得参数的最值或范围;
(4)基本不等式法:利用均值不等式求参数的取值范围或最值.
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思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的
打“×”.
(1)直线与双曲线只有一个公共点,则直线与双曲线一定相切.(
) (2)直线与抛物线相交,一定有两个公共点.( ) (3)椭圆上任意一点(非长轴端点)与两个长轴的端点的连线的斜
第3课时 圆锥曲线中的定点定值、 最值范围问题
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直线与圆锥曲线的位置关系 圆锥曲线综合问题 定点与定值问题
最值与范围问题
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1.直线与圆锥曲线的位置关系 (1)若直线方程与圆锥曲线方程联立,消去y后的方程为 ax2+bx+c=0,Δ=b2-4ac,则
相交
相切 相离
直线与 椭圆
Δ<0,没有公共 点
a≠0 且 Δ<0,没 有公共点
a≠0 且 Δ<0,没 有公共点
(2)弦长公式:l= 1 + ������2|x1-x2|.
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2.定点与定值问题
(1)在几何问题中,有些几何元素与几何量与位置或参数的值无关,
即称为定点与定值问题.
(2)解决定点与定值问题主要采用特殊化方法或消参数法.
Δ>0,有两个公共点
Δ=0,有一 个公共点
直线与 双曲线
(1)a≠0 且 Δ>0,有两个公共点; (2)a=0,直线与渐近线平行,有 一个公共点
a≠0 且 Δ=0,有一 个公共点
直线与 抛物线
(1)a≠0 且 Δ>0,有两个公共点; (2)a=0,直线与对称轴平行或重 合,有一个公共点
a≠0 且 Δ=0,有一 个公共点
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解(1)由椭圆定义得 2a=4,a=2,
所以 c=ae= 2,故 b= 2.
因此椭圆方程为������2
4
+
������2 2
=1.
(2)设
A(x1,y1),B(x2,y2),y=kx+m
代入方程������2
4
+
���2���2=1,
得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-4=0,
设 A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系可得
x1+x2=-4
8 ������2 ������2+
,
1
①
x1x2=44���������2���2+-41,
②
由于|EA|=2|EB|,所以 x1+2x2=-3,
③
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联立①②③可得 k=± 615, 因此直线 l 的方程是 y=± 615(x+1),即 15x+6y+ 15=0 或
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变式训练
1
已知
P
为椭圆������������22
+
������2 ������2
=1(a>b>0)上任一点,F1,F2
为椭
圆的焦点,|PF1|+|PF2|=4,离心率为 22.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线 l:y=kx+m(m≠0)与椭圆的两交点为 A,B,线段 AB 的中 点 C 在直线 y=12x 上,O 为坐标原点,当△OAB 的面积等于 2时,求直 线 l 的方程.
3.最值与范围问题
圆锥曲线中的最值与范围问题,常常利用以下方法进行求解
(1)定义法:结合定义,利用图形中几何量之间的大小关系求解;
(2)不等式(组)法:根据题意列出所研究的参数满足的不等式(组),
通过解不等式(组)得到பைடு நூலகம்数的取值范围或最值;
(3)函数值域法:将所研究的参数作为一个函数,另一个适当的参
=
1
+
5 12
×
-
5 4
2
-4 ×
-
7 8
=
3 8
51.
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反思感悟直线与圆锥曲线的综合问题,主要包括直线与圆锥曲线 位置关系的判断问题、弦长问题、面积问题等,求解这类问题时, 通常采用代数方法,将直线方程与圆锥曲线的方程联立,消去其中 一个未知量,通过讨论所得方程的根的情况来确定位置关系,同时, 还经常利用根与系数的关系,采取“设而不求”的办法求解弦长问题、 面积问题.
(1)求直线l的方程;(2)求弦AB的长度.
分析(1)可设直线l的斜率,然后将直线方程与椭圆方程联立,利用
根与系数的关系以及|EA|=2|EB|求出斜率即得直线的方程;(2)利用
弦长公式求解.
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解(1)若直线 l 的斜率不存在,则其方程为 x=-1,显然不满足
|EA|=2|EB|.
15x-6y+ 15=0. (2)由(1)得 x1+x2=-54,x1x2=-78,
因此弦 AB 的长度|AB|= (������1-������2)2 + (������1 -������2 )2 =
1 + ������2|x1-x2|= 1 + ������2 · (������1 + ������2)2-4������1������2
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4 6-������2
则|AB|= 2|x1-x2|= 3 , △OAB 底边 AB 的高 h=|������2|,
2· (6-������2)������2
所以△OAB 的面积 S=
3
.
2· (6-������2)������2
(*)
所以
xC=������1
+������2 2
=
-2������������ 1 +2������2
,yC=k
xC+m=1+���2���������2
,
所以1+���2���������2
=
1 2
·1-+2���2���������������2,解得
k=-1,
则(*)变为 3x2-4mx+2m2-4=0,