五年级体积表面积综合复习

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】期末总复习重难点突破卷2棱长和、表面积、体积、容积的综合应用一、我会填。

(每空2分，共22分)1．4.07立方米＝()立方米()立方分米9.08立方分米＝()升＝()毫升2．一个正方体的表面积是72平方分米，占地面积是()平方分米。

3．一个长方体的体积是18 dm3，长是4 dm，宽是3 dm，高是()dm。

4．用一根12分米长的铁丝围成一个最大的正方体形状的框架，这个正方体的体积是()立方分米。

5．一根长方体木料的体积是4.5立方分米，横截面的面积是0.5平方分米，木料的长为()分米。

6．把两个表面积都是24 dm2的正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积是()dm2。

7．一个空的长方体容器的底面积是0.8 dm2，倒入水后，水面高5 cm，倒入了()L水。

8．把一根长2.5 m的长方体木料横截成两段后，表面积增加了100 dm2，原长方体木料的体积是()m3。

二、我会辨。

(对的画“√”，错的画“×”)(每题1分，共3分)1．用16个小正方体可以拼成一个稍大的正方体。

() 2．把一根长方体木料锯成两个小长方体，表面积增加，体积不变。

()3．把一块正方体橡皮泥捏成长方体后，体积没有变化。

() 三、我会选。

(每空1分，共6分)1．一个长方体的长、宽、高都扩大到原来的2倍，棱长总和扩大到原来的()倍，表面积扩大到原来的()倍，体积扩大到原来的()倍。

A．2B．4C．6D．82．下面4个数量，其中有一个与众不同，它是()。

A．3.76 dm3B．0.00376 m3C．3760 cm3D．3760000 cm33．用4个棱长为1 cm的小正方体，摆成一个长方体，它的表面积可能是()或()。

A．16 cm2B．18 cm2C．24 cm2D．36 cm2四、求下面立体图形的表面积和体积。

(单位：cm)(每题8分，共24分)1．(横截面是正方形)2.3.五、走进生活，解决问题。

五年级下册正方体表面积、体积应用题总汇在五年级下册数学中，学生学习了正方体的表面积和体积的计算方法，并进行了一系列的应用题练习。

以下是一份总汇，包含了一些常见的正方体表面积和体积的应用题。

问题一：礼品盒的包装问题描述。

___要制作一个立方体形状的礼品盒，边长为6厘米。

他想知道这个礼品盒的表面积和体积分别是多少？问题描述。

___要制作一个立方体形状的礼品盒，边长为6厘米。

他想知道这个礼品盒的表面积和体积分别是多少？解答：根据正方体的表面积公式：表面积 = 6 ×边长²，可以计算出礼品盒的表面积。

表面积 = 6 × 6² = 216平方厘米根据正方体的体积公式：体积 = 边长³，可以计算出礼品盒的体积。

体积 = 6³ = 216立方厘米所以，该礼品盒的表面积为216平方厘米，体积为216立方厘米。

问题二：水果盒的包装问题描述。

超市卖水果的纸箱是一个立方体，已知纸箱的体积为125立方厘米，求纸箱的边长。

问题描述。

超市卖水果的纸箱是一个立方体，已知纸箱的体积为125立方厘米，求纸箱的边长。

解答：根据正方体的体积公式：体积 = 边长³，已知体积为125立方厘米。

令边长为x，则体积表达式为：x³ = 125解方程x³ = 125，可得到x = 5.所以，纸箱的边长为5厘米。

问题三：图书盒的包装问题描述。

一个学校图书馆要订购一批放图书的纸箱，要求纸箱的体积为1000立方厘米，边长为整数。

有多少种不同边长的纸箱满足这个要求？问题描述。

一个学校图书馆要订购一批放图书的纸箱，要求纸箱的体积为1000立方厘米，边长为整数。

有多少种不同边长的纸箱满足这个要求？解答：根据正方体的体积公式：体积 = 边长³，已知体积为1000立方厘米。

令边长为x，则体积表达式为：x³ = 1000解方程x³ = 1000，可得到x = 10.所以，边长为10厘米的纸箱满足要求。

表面积1、一个长方体的长是8厘米，宽是4厘米，高是2厘米，这个长方体的表面积是多少？2、一个正方体的棱长是5厘米，它的表面积是多少平方厘米？3、用一根48厘米的铁丝扎成一个正方体，这个正方体的表面积是多少平方厘米？4、把一个棱长为5厘米的正方体，锯成3个长方体，它的表面积增加了多少平方厘米？5、把3个棱长为4厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积比原来的3个正方体的表面积之和减少了多少？6、一个无盖的长方体铁皮水桶，长是8分米，宽是6分米，高是0.5分米，做这样一个水桶至少需要多少平方米的铁皮？7、某商店制作的广告箱是长方体，长1.5米，宽1.2米，高2.5米，如果在它的四周贴一圈广告纸，贴广告纸的面积是多少平方米？8、学校要粉刷教室，已知教室的长是8米，宽是6米，高是3米，扣除门窗黑板的面积是11.5平方米，如果每平方米需要花3.5元涂料费，粉刷这个教室需要花费多少元？9、一个长为10米，宽为3米，高为6米的教室的占地面积是多少？它的右侧面的周长是多少？10、某型号洗衣机,底面长10分米,宽5分米,高12分米,要给这个洗衣机做个布罩,至少需要多大面积的布?11、一个正方体，它的一个面的周长是60厘米，这个正方体的表面积是多少？12、把四个棱长为5厘米的正方体木块排成一排后拼成一个长方体，这个长方体的表面积是多少？一、高的变化引起表面积的变化。

1、一个长方体，如果高增加2厘米就成了正方体，而且表面积要增加56平方厘米，原来这个长方体的体积是多少立方厘米？2、一个长方体，如果高减少2厘米就成了正方体，而且表面积要减少56平方厘米，原来这个长方体的体积是多少立方厘米？3、一个长方体，如果长减少2厘米就成了一个正方体，而且表面积要减少56平方厘米。

原来这个长方体的体积是多少立方厘米？4、一个长方体，长a分米，宽b分米，高h分米，如果高减少3分米，这个长方体表面积比原来减少（）平方分米？体积比原来减少（）立方分米？二、段的变化1、一个长方体长2米，截面是边长3厘米的正方形，将这个长方体木料锯成五段后，表面积一共增加了多少平方厘米？2、将一个长3米的长方体木料平均截成3段，表面积一共增加了0.36平方分米，这根木料的体积是多少立方分米？三、切1、一个正方体的表面积是48平方厘米，将它平均分成两个小长方体，每个小长方体的表面积是多少？2、一个正方体的表面积是96平方厘米，将它平均分成两个小长方体，每个小长方体的体积是多少立方厘米？3、一个正方体的体积是125立方厘米，它的表面积是多少平方厘米？四、拼。

五年级下册长方体表面积、体积应用题汇总1、一个长方体木箱，长5分米，宽4分米，高15分米，做一个这样的木箱至少要用木板多少平方分米？2、一个正方体铁箱，棱长3分米，这个铁箱的表面积是多少？体积是多少？3、一个长方体的纸盒，长8厘米，宽6厘米，高4厘米，做这样纸盒800个，至少要用多少平方米的硬纸板？4、一个长方形纸箱，长6分米，宽5分米，高2分米，它的体积是多少？5、一个正方体食品盒，棱长8分米，它的体积是多少立方分米？6、一块长方体石料，长4.5米，宽3.6米，高1.8米，如果一立方米石料重2.7吨，这块石料有多重？7、一列火车有40节车厢，每节车厢从里面量长13米，宽2.7米，装的煤高1.25米，平均每立方米煤重1.33吨，这列火车共可装煤多少吨？8、一个正方体的棱长之和是108厘米，求它的表面积？9、用一根48厘米的铁丝焊接成一个正方体框架，这个框架的表面积是多少？10、一个长方体的纸盒，长10厘米，宽8厘米，高6厘米，占地面积最大是多少？占地面积最小的是多少？11、一根长方体钢块，横截面是一个边长为2分米的正方形，长1米，这根长方体钢块的表面积是多少？12、工人叔叔要粉刷礼堂的顶棚和四周的墙壁，礼堂长20米，宽15米，高8米（门窗的面积为120平方米），平均每平方米用涂料0.4千克，共需要多少千克涂料？13、一个正方体的铁盒，棱长15厘米，要在它的表面喷上一层油漆（底面不喷），喷漆部分的面积是多少平方厘米？14、做一个长方体标本盒，除它的上面用玻璃外，其余各面都用木板，已知标本盒长5分米，宽4分米，高1.2分米，共需要木板多少平方分米？15、妈妈要做一个电视机罩，长60厘米，宽45厘米，高35厘米，最少要用多少布？16、做12节长120厘米，宽和高都是10厘米有通风管，至少需要铁皮多少？（接缝忽略不计）17、一只火柴盒长4.5厘米，宽2.5厘米，高1.5厘米，做这样一保火柴盒共需要纸板多少平方厘米？18、一个长方体底面积是25平方分米，高是5分米，体积是多少？19、一个长方体底面是边长8厘米的正方形，高10厘米，体积是多少？20、一个正方体的纸盒，它的底面积是36平方分米，高是6分米，它的体积是多少？21、有一个横截面是梯形的堤坝，上底是6米，下底是8米，高3米，堤坝长22米，这个堤坝的体积是多少？22、有一个直三棱柱，长25厘米，底是6厘米，高是4厘米，这个三棱柱的体积是多少？23、一段方钢，横截面面积是19平方厘米，长1.5分米，它的体积是多少？4段这样的方钢体积是多少？24、把一个棱长14厘米的正方体铁块，铸造成一个底面积是112平方厘米的长方体铁埠，这个长方体铁块的高是多少？25、制作一个长10分米，宽6分米，高5分米的无盖长方体铁皮油箱，至少需要多少平方分米的铁皮？这个长方体油箱的体积是多少？26、一段钢材长1.5米，横截面的面积是12平方分米，如果把它煅烧成一个宽为0.5分米，高为0.2分米的钢筋，求这根钢筋的长是多少？27、制作一个抽屉，长为5分米，宽为4分米，高为2分米，制作这个抽屉需要多少平方分米的木板？28、明明家的厨房长2米，宽1米，高3米，现在要在厨房的四周和地面铺边长是2分米的正方形瓷砖（除去灶台和橱柜的占用面积4平方米），那么至少需要这种磁砖多少块？29、两个体积相等的正方体叠成一个长方体，高是12厘米。

五年级数学表面积和体积的题一、题目。

1. 一个正方体的棱长为5厘米，求它的表面积和体积。

- 解析：- 正方体表面积公式为S = 6a^2（a为棱长），这里a = 5厘米，所以表面积S=6×5^2=6×25 = 150平方厘米。

- 正方体体积公式为V=a^3，所以体积V = 5^3=125立方厘米。

2. 一个长方体，长为8厘米，宽为6厘米，高为4厘米，求它的表面积和体积。

- 解析：- 长方体表面积公式S=(ab + ah+bh)×2（a为长，b为宽，h为高），这里a = 8厘米，b = 6厘米，h = 4厘米。

则S=(8×6 + 8×4+6×4)×2=(48 + 32+24)×2=(80 + 24)×2 = 104×2=208平方厘米。

- 长方体体积公式V=abh，所以体积V=8×6×4 = 192立方厘米。

3. 一个正方体的表面积是216平方厘米，求它的棱长和体积。

- 解析：- 设正方体棱长为a，由正方体表面积公式S = 6a^2，已知S = 216平方厘米，则6a^2=216，a^2=36，解得a = 6厘米。

- 正方体体积公式V=a^3，所以体积V = 6^3=216立方厘米。

4. 一个长方体的体积是360立方厘米，长是10厘米，宽是6厘米，求它的高和表面积。

- 解析：- 由长方体体积公式V = abh，已知V = 360立方厘米，a = 10厘米，b = 6厘米，则h=(V)/(ab)=(360)/(10×6)=6厘米。

- 长方体表面积公式S=(ab + ah+bh)×2=(10×6+10×6 + 6×6)×2=(60+60 + 36)×2=(120+36)×2 = 156×2 = 312平方厘米。

长方体和正方体的表面积、体积整理与复习
一、长方体和正方体的特征
二、意义：
棱长总和：12条棱长的长度之和 表面积：6个面的总面积
面 棱 顶点 意义
计算 意义
单位、进率 计算
体积：物体所占空间的大小
容积：容器所能容纳物体的体积
三、计算公式
长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4
长方体的表面积=长×宽×2 + 长×高×2 + 宽×高×2 bh
2+
2
+
=
ah
ab
S2
上下前后左右
长方体的体积=长×宽×高abh
V=
正方体的棱长总和=棱长×12
正方体的表面积=棱长×棱长×6 a
=2
S6
V=3
正方体的体积=棱长3a
体积单位：立方米、立方分米、立方厘米
四、单位（1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米）
容积单位：升、毫升（1升=1000毫升）。

长方体和正方体的表面积与体积的整理一、填空、选择1、每瓶医用酒精500毫升,装120瓶需要酒精( )升,如果有3.5立方分米的酒精,可装( )瓶。

2、一个正方体的棱长如果扩大到原来的2倍,那么表面积扩大到原来的( )倍,体积扩大到原来的( )倍。

3、一个长方体的长、宽、高分别扩大到原来的2倍,它的表面积扩大到原来的( ）倍， 体积扩大到原来的( ）倍。

4、长方体的长扩大到原来的5倍,宽缩小到原来的51，高不变,体积（ ） A.扩大到原来的5倍 B.缩小到原来的51 C.不变 5、把一个长、宽、高分别是8分米,5分米、10分米的长方体截成棱长2分米的小正方体,最多能截（ ）个．6、一个长方体，不同的三个面的面积分别是35平方厘米、21平方厘米和15平方厘米，且长、宽、高都是质数，体积是（ ）立方厘米。

7、做二节15米长的通风管，管口周长为9分米的长方形，，至少需要铁皮（ ）平方米。

8、一个长方体，如果高减少3厘米，就成为一个正方体，这时表面积比原来减少了96平方厘米，原来长方体的表面积是（ ）立方厘米。

9、一个底面积是25平方厘米的长方体容器，高10厘米，里面的水深6厘米，这个容器还可以再倒入（ ）立方厘米的水。

二、判断1.体积相等的两个正方体,棱长一定相等。

（ ）2.水箱的体积就是水箱的容积。

（ ）3.容积的单位只有升和毫升。

（ ）4.一个正方体的棱长是6分米,它的表面积和体积相等。

（ ）5.至少要4个相同的小正方体，才能拼成一个比较大的正方体。

（ ）6.两个正方体的体积相等，它们的表面积也一定相等。

（ ）三、棱长总和：1、一根铁丝可以焊接成一个棱长8厘米的正方体框架，如果焊接成一个高9厘米、宽4厘米的长方体框架，那么长方体框架长（）厘米。

2、一个长方体的长、宽、高分别是7厘米、6厘米、5厘米，它的棱长总和是（）厘米。

做这样一个无盖的长方体盒子，至少需要（）平方厘米材料。

3、一个长方体的棱长总和是56分米，已知它的底面是边长为2分米的正方形，则高是多少?4、用一根88厘米长的铁丝围成一个长方体框架，再在外面蒙一层纸。

北师大版五年级数学下册重难点突破卷2棱长和、表面积、体积、容积的综合应用一、我会填。

(每空2分，共22分)1．4.07立方米＝( )立方米( )立方分米9．08立方分米＝( )升＝( )毫升2．一个正方体的表面积是72平方分米，占地面积是( )平方分米。

3．一个长方体的体积是18 dm3，长是4 dm，宽是3 dm，高是( )dm。

4．用一根长12分米的铁丝围成一个最大的正方体框架，这个正方体的体积是( )立方分米。

5．一根长方体木料的体积是4.5立方分米，横截面的面积是0.5平方分米，木料的长为( )分米。

6．把两个表面积都是24 dm2的正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积是( )dm2。

7．一个空的长方体容器的底面积是0.8 dm2，倒入水后，水面高5 cm，倒入( )L水。

8．把一根长2.5 m的长方体木料截成两段后，表面积增加了100 dm2，原长方体木料的体积是( )m3。

二、我会辨。

(对的在括号里画“√”，错的画“×”。

每题1分，共3分)1．用16个小正方体可以拼成一个稍大的正方体。

( )2．把一根长方体木料锯成两个小长方体，表面积增加，体积不变。

( )3．把一块正方体橡皮泥捏成长方体后，体积没有变化。

( )三、我会选。

(把正确答案的序号填在括号里。

每空1分，共6分)1．一个长方体的长、宽、高都扩大到原来的2倍，棱长总和扩大到原来的( )倍，表面积扩大到原来的( )倍，体积扩大到原来的( )倍。

A．2 B．4 C．6 D．82．下面四个数量，其中有一个与众不同，它是( )。

A．3.76 dm3 B．0.00376 m3C．3760 cm3 D．3760000 cm33．用4个棱长为1 cm的小正方体摆成一个长方体，它的表面积可能是( )或( )。

A．16 cm2 B．18 cm2C．24 cm2 D．36 cm2四、求下面立体图形的表面积和体积。

(每题8分，共24分)1．(横截面是正方形)2．(单位：cm)3．(单位：cm)五、我会应用。

五年级几何体的表面积与体积的计算(可以直接使用，可编辑实用优秀文档，欢迎下载）空间与图形教师辅导讲义——立体图形的知识与应用知识要点长方体、正方体、圆柱体、圆锥体的表面积及体积1．表面积：物体表面面积的总和，叫做物体的表面积。

表面积通常用S 表示。

常用面积单位是平方千米、平方米、平方分米、平方厘米。

2．体积：物体所占空间的大小，叫做物体的体积。

体积通常用V 表示。

常用体积单位是立方米、立方分米、立方厘米。

3．容积：箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，叫做它们的容积或容量。

常用容积单位是升、毫升。

4．体积与容积单位之间的换算：1立方分米=l 升，1立方厘米=l 毫升。

5．体积和容积的异同点 容积的计算方法跟体积的计算方法相同，但要从容器的里面量长、宽、高，而计算体积要从物体的外面量长、宽、高。

计量体积用体积单位，计量容积除了用体积单位外，还可以用容积单位升和毫升。

6. 立体图形的表面积、侧面积和体积计算公式相同点不同点 面棱顶点面的特点 面的大小 棱长 长方体6个12条8个6个面一般都是长方形，也可能有两个相对的面是正方形相对的面的面积相等每一组互相平行的四条棱的长度相等正方体6个12条8个6个面都是相等的正方形6个面的面积都相等12条棱长的长度都相等精典题型分析1、一个零件形状大小如下图：算一算，它的体积是多少立方厘米，表面积是多少平方厘米。

（单位：厘米）练习：学校生物小组做了一个昆虫箱（如图）。

昆虫箱的上、下、左、右面是木板，前、后面装纱网。

①制作这样一个昆虫箱，至少需要多少平方厘米的木板？②制作这样一个昆虫箱，至少需要多少平方厘米的纱网？2、在一个长15分米，宽12分米的长方体水箱中，有10分米深的水。

如果在水中沉入一个棱长为30厘米的正方体铁块，那么，水箱中水深多少分米？练习1：一个长方体的玻璃缸内有一些水，水面距离上沿0.6分米（如图）。

准备在缸内放入一块体积是60立方分米的假山石（假山石能全部浸在水中），水会溢出吗？如果会溢出，溢出多少立方分米？练习2：一个正方体玻璃容器，从里面量棱长是2dm。

第6单元 整理和复习二、图形与几何第4课时 立体图形表面积和体积的整理与复习【学习目标】1．能进一步熟悉立体图形的表面积和体积的内涵，会灵活运用立体图形的表面积和体积的计算方法解决实际问题。

2．能将所学知识进一步条理化和系统化。

【学习过程】 一、知识梳理1．复习立体图形表面积和体积的意义及计算公式。

立体图形的表面积是指（ ）立体图形体积是指（ ）。

你所知道的立体图形表面积公式有：（）；你所知道的立体图形体积公式有：（）。

2.复习计算公式的推导过程。

那么，这些计算公式是怎样推导出来的？请同学们选择1-2种自己喜欢的图形，在小组里说一说。

我的收获：从立体图形的表面积和体积计算公式的推导过程中，我们不难发现有一个共同的特点：就是把新问题（ ），从而解决新问题，这种转化的方法、转化的思想，是我们数学学习中一种很常见、很重要的方法。

3．整理知识间的内在联系（1）立体图形的表面积计算公式的内在联系：长方体和圆柱体的表面积都可以用（ ）加（ ）；（2）立体图形的体积计算公式的内在联系：正方体、圆柱的体积计算公式都是在（ ）体积计算公式的基础上推导出来的；长方体、正方体、圆柱的体积都可以用底面积乘高来计算；等底等高的圆柱体的体积是圆锥体积的（ ），等体积等高的圆柱体的底面积是圆锥的（ ），等体积等底的圆柱体的高是圆锥的（ ）。

二、重点训练1．判断。

（对的打“√” ，错误的打“×”）（1） 正方体的棱长扩大2倍，体积就扩大6倍。

（ ）（2） 一个圆柱体底面半径缩小3倍，高扩大9倍，它的体积不变。

（ ） 我们已经对立体图形的认识进行了整理和复习，今天我们来走入立体图形的表面积和体积的整理与复习。

你还有什么问题要补充吗？（3） 因为求体积与求容积的计算公式相同，所以物体的体积就是它的容积。

（ ）（4） 圆柱和圆锥等底等高，则圆锥的体积比圆柱少32，圆柱的体积比圆锥多200％。

（ ）2.解决问题。

（2）一个底面直径是40厘米的圆柱容器中，水深12厘米，把一块石头沉入水中完全浸没后，水面上升了5厘米。

《8.3 简单几何体的表面积与体积》考点讲解【思维导图】考法一多面体表面积【例1】（1）已知正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为（）A．(483B．(483+C．24D．144（2）已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为4和16，侧棱长为10，则该棱台的侧面积为（）.A．80B．240C．320D．640【一隅三反】1．已知正四棱柱(即底面是正方形的直棱柱)的底面边长为3cm ，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的表面积为( )A ．290cmB ．2C ．272cmD ．254cm2．棱长为1的正四面体的表面积为（ ）AB ．C ．D ．3．正三棱锥底面边长为a ，高为6a ，则此正三棱锥的侧面积为（ ）A ．234a B ．232a C 2D 2考法二 多面体台体积【例2】底面边长为2，高为1的正三棱柱的体积是（ ）A B ．1C ．2D ．13【一隅三反】1．如图，已知高为3的棱柱111ABC A B C -的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥1B ABC -的体积为（ ）A ．14B ．12C ．62．正四棱锥的底面边长和高都等于2，则该四棱锥的体积为（ ）A B C．83D．83．已知棱长均为4，底面为正方形的四棱锥S ABCD-如图所示，求它的体积.4．如图，正三棱锥P ABC-的底面边长为2，侧棱长为3.（1）求正三棱锥P ABC-的表面积；（2）求正三棱锥P ABC-的体积.考法三旋转体的表面积【例3】若圆锥的轴截面是顶角为120的等腰三角形，且圆锥的母线长为2，则该圆锥的侧面积为（）A B．2πC．D．【一隅三反】1．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是（）A．142ππ+B．122ππ+C．12ππ+D．142ππ+2把一个半径为20的半圆卷成圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（ ）A ．10B ．C ．D ．3．一个圆柱内接于一个底面半径为2，高为4的圆锥，则内接圆柱侧面积的最大值是（ ）A ．32π B ．3π C ．5π D ．4π考法四 旋转体的体积【例4】已知圆锥的母线长为5，底面周长为6π，则它的体积为（ ） A ．10π B ．12πC ．15πD ．36π【一隅三反】1．将半径为3，圆心角为23π的扇形作为侧面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（ ）A ．πB ．C ．3πD ．32．古代将圆台称为“圆亭”，《九章算术》中“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈，问积几何？”即一圆台形建筑物，下底周长3丈，上底周长2丈，高1丈，则它的体积为（ ）A ．198π立方丈 B ．1912π立方丈 C ．198π立方丈 D ．19π12立方丈3．已知圆锥的表面积为9π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（ ） A ．3B ．3πC ．9D ．9π考法五 球【例5】（1）已知一个正方体的8个顶点都在同一个球面上，则球的表面积与这个正方体的表面积之比为（ ）A ．3π B ．2π C D （2）．已知一个正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，且这个正三棱锥的所有棱长都为 ）A ．4πB ．8πC ．12πD ．24π【一隅三反】1．若一个球的直径为2，则此球的表面积为（ ） A ．2πB ．16πC ．8πD ．4π2．棱长为2的正方体的外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．43π C ．12πD ．3．已知一个正方体的体积为8，求此正方体内切球的表面积为（ ） A ．43π B ．8πC ．4πD ．16π4.将一个棱长为3cm 的正方体铁块磨成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积为（ ）A ．39cm πB ．39m 2c πC ．3cmD 3cm考法六 组合体的体积表面积【例6】如图，一个无盖的器皿是由棱长为3的正方体木料从顶部挖掉一个直径为2的半球而成（半球的底面圆在正方体的上底面，球心为上底面的中心），则该器皿的表面积S 为（ ）A ．54B ．542π+C ．54π+D ．543π+【一隅三反】1．某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥P EFGH -，下半部分是长方体ABCD EFGH -.正四棱锥P EFGH -，2EF =，1AE =，则该组合体的表面积为（ ）A ．20B ．12C ．16D ．82．鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的表面积为（ ）A ．8(6+B ．6(8+C ．8(6+D ．6(8+3．如图所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化后正好盛满杯子，则杯子高h =_______cm ．《8.3 简单几何体的表面积与体积》考点讲解答案解析考法一 多面体表面积【例1】（1）已知正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为（ ）A ．(483B ．(483+C ．24D ．144（2）已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为4和16，侧棱长为10，则该棱台的侧面积为（ ）.A ．80B ．240C ．320D ．640【答案】（1）A （2）B【解析】（1）由题知侧面积为664144⨯⨯=，两底面积之和为22464⨯⨯=所以表面积(483S =.故选：A.（2）由题意可知，该棱台的侧面为上下底边长为4和16，腰长为10的等腰梯形∴8= 等腰梯形的面积为：()14168802S '=⨯+⨯=∴棱台的侧面积为：3380240S S '==⨯=本题正确选项：B 【一隅三反】1．已知正四棱柱(即底面是正方形的直棱柱)的底面边长为3cm ，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的表面积为( )A ．290cmB ．2C ．272cmD ．254cm【答案】A6=．所以表面积为：224362390()S cm =⨯⨯+⨯=．故选：A.2．棱长为1的正四面体的表面积为（ ）A B ．C ．D ．【答案】A 【解析】如图由正四面体的概念可知，其四个面均是全等的等边三角形，由其棱长为1，所以13sin 6024ABCSAB AC =⋅⋅=，所以可知：正四面体的表面积为4ABCS = 故选：A3．正三棱锥底面边长为a ，高为6a ，则此正三棱锥的侧面积为（ ）A ．234a B ．232a C ．24a D ．22a 【答案】Aa 23⨯=，且，所以利用直角三角形勾股定理可得侧棱长为22632632a a a ，2221222aa a ，所以侧面积为21133224S a a a .选A.考法二 多面体台体积【例2】底面边长为2，高为1的正三棱柱的体积是（ ）A 3B ．1C D ．13【答案】A【解析】底面边长为2，高为1的正三棱柱的体积是22)1⨯= A 【一隅三反】1．如图，已知高为3的棱柱111ABC A B C -的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥1B ABC -的体积为（ ）A ．14 B ．12 C ．6【答案】C【解析】三棱锥1B ABC -的体积为：111113332ABCSh ⋅⋅=⨯⨯⨯=故选：C 2．正四棱锥的底面边长和高都等于2，则该四棱锥的体积为（ ）A B C ．83D ．8【答案】C【解析】∵正四棱锥的底面边长和高都等于2， ∴该四棱锥的体积211822333V Sh ==⨯⨯=.故选：C . 3．已知棱长均为4，底面为正方形的四棱锥S ABCD -如图所示，求它的体积.【答案】3【解析】如图所示：连接AC ，BD 交于点O ，连接SO ， 因为四棱锥的棱长均为4，所以SO ⊥平面ABCD ，即SO 为四棱锥的高，所以4,SA OA ==,所以SO ，所以114433V AB AD SO =⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=.4．如图，正三棱锥P ABC -的底面边长为2，侧棱长为3.（1）求正三棱锥P ABC -的表面积； （2）求正三棱锥P ABC -的体积.【答案】（1）；（2）3. 【解析】（1）取BC 的中点D ，连接PD ，在Rt PBD △中，可得PD ==∴12PBC S BC PD =⋅=△.∵正三棱锥的三个侧面是全等的等腰三角形，∴正三棱锥P ABC -的侧面积是3PBC S =△∵正三棱锥的底面是边长为2的正三角形，∴122sin 602ABC S =⨯⨯⨯︒=△.则正三棱锥P ABC -的表面积为；（2）连接AD ，设O 为正三角形ABC 的中心，则PO ⊥底面ABC .且133OD AD ==.在Rt POD 中，PO ==.∴正三棱锥P ABC -的体积为13ABC S PO ⋅=△考法三 旋转体的表面积【例3】若圆锥的轴截面是顶角为120的等腰三角形，且圆锥的母线长为2，则该圆锥的侧面积为（ ）A B ．2πC ．D ．【答案】C【解析】如图圆锥的轴截面是顶角为120，即60APO ∠=，2AP =，90POA ∠=,所以AO =AO PA π⨯⨯=.故选：C.【一隅三反】1．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是（ ） A ．142ππ+ B ．122ππ+ C ．12ππ+ D ．142ππ+ 【答案】B【解析】设圆柱的底面半径为r ，圆柱的高为h ， 圆柱的侧面展开图是一个正方形， 2r h π∴=，∴圆柱的侧面积为2224rh r ππ=，圆柱的两个底面积为22r π，∴圆柱的表面积为22222224r rh r r ππππ+=+，∴圆柱的表面积与侧面积的比为：22222241242r r r πππππ++=，故选：B ．2．把一个半径为20的半圆卷成圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（ ）A ．10B ．C ．D ．【答案】B【解析】半径为20的半圆卷成圆锥的侧面，则圆锥的底面圆周长为220r ππ=⨯， 所以底面圆的半径为r =10，所以圆锥的高为h ==. 故选：B3．一个圆柱内接于一个底面半径为2，高为4的圆锥，则内接圆柱侧面积的最大值是（ ）A ．32π B ．3π C ．5π D ．4π【答案】D 【解析】圆锥的底面半径为2，高为4， 设内接圆柱的底面半径为x ， 则它的上底面截圆锥得小圆锥的高为422xx ⨯=， 因此，内接圆柱的高42h x =-；∴圆柱的侧面积为()()224242S x x x x ππ=-=-(02)x <<，令()22121==-+--t x x x ，当1x =时，1max t =； 所以当1x =时，4max S π=，即圆柱的底面半径为1时，圆柱的侧面积最大，最大值为4π. 故选：D.考法四 旋转体的体积【例4】已知圆锥的母线长为5，底面周长为6π，则它的体积为（ ） A ．10π B ．12πC ．15πD ．36π【答案】B【解析】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，因为底面周长为6π，所以26r ππ=，解得3r =，又因为母线长为5，所以h =4，所以圆锥的体积是21123V r h ππ==故选：B 【一隅三反】1．将半径为3，圆心角为23π的扇形作为侧面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（ ）A ．πB ．C ．3πD ．3【答案】D【解析】由扇形弧长公式可求得弧长2323L ππ=⨯=，∴圆锥底面周长为2π， ∴圆锥底面半径1r =，∴圆锥的高h =∴圆锥的体积2133V r h π=⋅=.故选：D .2．古代将圆台称为“圆亭”，《九章算术》中“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈，问积几何？”即一圆台形建筑物，下底周长3丈，上底周长2丈，高1丈，则它的体积为（ ）A ．198π立方丈 B ．1912π立方丈 C ．198π立方丈 D ．19π12立方丈 【答案】B【解析】由题意得，下底半径32R π=（丈），上底半径212r ππ==（丈），高1h =（丈），所以它的体积为()222211313113322V h R r Rr ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=⨯⨯++⨯⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以19V =12π(立方丈).故选：B. 3．已知圆锥的表面积为9π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（ ） A ．3 B ．3πC ．9D ．9π【答案】B【解析】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，则母线长为l则圆柱的侧面积为()2221122r r h ππ=+， 故表面积为()222192r h r πππ++=，得2231922r h +=①，又底面圆周长等于侧面展开半圆的弧长，故2r π=2r =得223h r =②，联立①②得：r =，3h =.故该圆锥的体积为2113333V Sh ππ==⨯⨯⨯=.故选：B.考法五 球【例5】（1）已知一个正方体的8个顶点都在同一个球面上，则球的表面积与这个正方体的表面积之比为（ ）A ．3πB ．2π CD．12（2）．已知一个正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，且这个正三棱锥的所有棱长都为 ）A ．4πB ．8πC ．12πD ．24π【答案】（1）B （2）C【解析】（1）设正方体的棱长为a ，球的半径为R，则22R R a =⇒=，球的表面积为22214432S R a a πππ⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，正方体的表面积为226S a =， ∴2122362S a S a ππ==.故选：B （2）设该正三棱锥为A BCD -，将三棱锥A BCD -补成正方体AEBF GCHD -，如下图所示：则正方体AEBF GCHD -2=，该正方体的体对角线长为所以，正三棱锥A BCD -的外接球直径为2R =R ， 该球的表面积为2412S R ππ==. 故选：C. 【一隅三反】1．若一个球的直径为2，则此球的表面积为（ ） A ．2π B ．16πC ．8πD ．4π【答案】D【解析】因为球的直径为2，即球的半径为1，所以球的表面积为2414ππ⨯=，故选：D.2．棱长为2的正方体的外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．43π C ．12πD ．【答案】C【解析】因为正方体的外接球的直径为正方体的体对角线的长，所以2R =R =所以球的表面积为：2412S R ππ==.故选：C3．已知一个正方体的体积为8，求此正方体内切球的表面积为（ ） A ．43π B ．8πC ．4πD ．16π【答案】C【解析】正方体的体积为8，故边长为2，内切球的半径为1，则表面积244S R ππ==，故选：C.4.将一个棱长为3cm 的正方体铁块磨成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积为（ ）A ．39cm πB ．39m 2c πC ．3cmD 3cm 【答案】B【解析】正方体的棱长为3cm ，所以球体最大体积的半径32r cm =， 所以球的体积：334932V r cm ππ==.故选：B考法六 组合体的体积表面积【例6】如图，一个无盖的器皿是由棱长为3的正方体木料从顶部挖掉一个直径为2的半球而成（半球的底面圆在正方体的上底面，球心为上底面的中心），则该器皿的表面积S 为（ ）A ．54B ．542π+C ．54π+D ．543π+【答案】C【解析】器皿的表面积是棱长为3的正方体的表面积减去半径为1的圆的面积，再加上半径为1的半球的表面积，即器皿的表面积()()221633141542542S πππππ=⨯⨯-⨯+⨯⨯=-+=+．故选：C ． 【一隅三反】1．某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥P EFGH -，下半部分是长方体ABCD EFGH -.正四棱锥P EFGH -，2EF =，1AE =，则该组合体的表面积为（ ）A ．20B ．12C ．16D ．8【答案】A【解析】由题意，正四棱锥P EFGH -2=，该组合体的表面积为122421422202⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=.故选：A2．鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的表面积为（ ）A ．8(6+B ．6(8+C ．8(6+D ．6(8+【答案】A【解析】由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为2+的正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，且被截去的正三棱锥的底面边长为2，则该几何体的表面积为2116(248222S ⎡=⨯+-⨯+⨯⨯⎢⎣8(6=+.故选：A.3．如图所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化后正好盛满杯子，则杯子高h =_______cm ．【答案】8【解析】由题意得半球的半径和圆锥底面圆的半径4r =， 如果冰淇淋融化后正好盛满杯子，则半球的体积等于圆锥的体积 所以()32141448233h h ππ⨯⨯=⨯⨯⇒= 故答案为：8《8.3 简单几何体的表面积与体积（精练）》同步练习【题组一 多面体表面积】1．长方体的高为2，底面积等于12，过不相邻两侧棱的截面（对角面）的面积为10，则此长方体的侧面积为( )A ．12B ．24C ．28D ．322．一个正四棱锥的底面边长为2，则该正四棱锥的全面积为 A ．8B ．12C ．16D ．203．若正三棱台上、下底面边长分别是a 和2a ，棱台的高为6a ，则此正三棱台的侧面积为（ ）A ．2aB ．212a C ．292a D ．232a 4．正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为30，则该四棱锥的侧面积（ ） A ．32B ．48C ．64D ．3235．已知正四棱锥的底面边长是2 ）AB ．12C ．8D ．6．已知一个正四棱锥的底面边长为4，以该正四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则该正四棱锥的侧面积为（ ）A ．)41B 1C ．)41D ．)817．已知,AB CD 是某一棱长为2的正方体展开图中的两条线段，则原正方体中几何体ABCD 的表面积为（ ）A ．2+B ．2+C ．2+D ．2+8．长方体一个顶点上的三条棱长分别为3，4，a ，表面积为108，则a 等于（ ） A ．2B ．3C ．5D ．69．一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2cm 的球面上，如果正四棱柱的底面边长为2cm ，那么该棱柱的表面积为（ ）A ．2(2+B ．2(4+C ．2(8+D ．2(16+【题组二 多面体台体积】1．正方体的全面积为18cm 2，则它的体积是_________ 3cm2．如图，在长方体1AC 中，棱锥1A ABCD -的体积与长方体的体积之比为（ ）A ．2∶3B ．1∶3C ．1∶4D ．3∶43．由华裔建筑师贝聿铭设计的巴黎卢浮宫金字塔的形状可视为一个正四棱锥（底面是正方形，侧棱长都相等的四棱锥），四个侧面由673块玻璃拼组而成，塔高21 米，底宽34米，则该金字塔的体积为（ ）A ．38092mB ．34046mC ．324276mD ．312138m4．《九章算术》问题十：今有方亭，下方五丈，上方四丈．高五丈．问积几何（今译：已知正四棱台体建筑物（方亭）如图，下底边长5a =丈，上底边长4b =丈．高5h =丈．问它的体积是多少立方丈？（ ）A ．75B ．3053C ．3203D ．40035．出华裔建筑师贝聿铭设计的巴黎卢浮宫金字塔的形状可视为一个正四棱锥（底面是正方形，侧楼长都相等的四棱锥），四个侧面由673块玻璃拼组而成，塔高21米，底宽34米，则该金字塔的体积为（ ）A ．38092mB ．34046mC ．32427mD ．312138m6．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，截去三棱锥1A ABD -，求（1）截去的三棱锥1A ABD -的表面积；（2）剩余的几何体1111A B C D DBC -的体积.【题组三 旋转体的表面积】1．经过圆锥的轴的截面是面积为2的等腰直角三角形，则圆锥的侧面积是（ ）A ．B ．4πC ．D ．2π2．某圆台的上、下底半径和高的比为1:4:4，母线长为10，则该圆台的表面积为（ ）A ．81πB ．100πC ．168πD ．169π3．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是1：4，且该圆台的母线长为9，则截去的圆锥的母线长为（ ）A ．94B ．3C ．12D ．364．圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面圆的半径为( )A ．3B ．5C ．6D ．75．圆柱底面半径为1，母线长为2，则圆柱侧面积为（ ）A ．4πB ．3πC ．5πD ．2π6．已知圆柱的底面半径为1，若圆柱的侧面展开图的面积为8π，则圆柱的高为________．7．已知圆锥的底面半径为2，高为4，在圆锥内部有一个圆柱，则圆柱的侧面积的最大值为______.8．将底面直径为8，高为值为______.9．若圆锥的侧面展开图是圆心角为90︒的扇形，则该圆锥的侧面积与底面积之比为___________.【题组四 旋转体的体积】1．若圆锥的底面半径为3cm ，侧面积为215cm π，则该圆锥的体积为（ ）A ．4π3cmB ．9π3cmC ．12π3cmD ．36π3cm2．现用一半径为10cm ，面积为280cm π的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为__________3cm .3．圆锥的母线与底面所成的角为60︒，侧面积为8π，则其体积为________.4．把一个棱长为2的正方体木块，切出一个最大体积的圆柱，则该圆柱的体积为（ ）A ．23πB ．πC ．2πD ．4π5．《五曹算经》是我国南北朝时期数学家甄驾为各级政府的行政人员编撰的一部实用算术书，其第四卷第九题如下：“今有平地聚粟，下周三丈，高四尺，问粟几何”?其意思为场院内有圆锥形稻谷堆，底面周长3丈，高4尺，那么这堆稻谷有多少斛？已知1丈等于10尺，1斛稻谷的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算堆放的稻谷约有多少斛（保留两位小数）（ ）A ．61.73B ．61.71C ．61.70D ．61.696．某养路处有一圆锥形仓库用于储藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12米，高4米，为存放更多的食盐，养路处拟重建仓库，将其高度增加4米，底面直径不变，则新建仓库比原仓库能多储藏食盐的体积为（ ）A ．24π米3B ．48π米3C ．96π米3D ．192π米3【题组五 球】1．在正方体1111ABCD A B C D -中，三棱锥11A B CD -的表面积为接球的体积为（ ）A ．BC ．D ．2．在长方体1111ABCD A B C D -中，22AB BC ==，若此长方体的八个顶点都在体积为92π的球面上，则此长方体的表面积为（ ） A ．16 B ．18 C ．20 D ．223的内切球，则此棱柱的体积是（ ）.A ．3B ．354cmC ．327cmD ．34．如图所示，球内切于正方体．如果该正方体的棱长为a ，那么球的体积为（ ）A ．343a π B ．3a C 3a D ．316a π 5．一个球的体积为36π，则这个球的表面积为（ ）A ．12πB ．36πC ．108πD ．4π6．已知正方体外接球的体积是323π，那么该正方体的内切球的表面积为______． 【题组六 组合体的体积表面积】1．如图是某机械零件的几何结构，该几何体是由两个相同的直四棱柱组合而成的，且前后、左右、上下均对称，每个四棱柱的底面都是边长为2的正方形，高为4，且两个四棱柱的侧棱互相垂直．则这个几何体有________个面，其体积为________．2．如图，直三棱柱，高为6，底边三角形的边长分别为3、4、5，以上下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积.3．在底面半径为2，高为积之比为1：4，求圆柱的表面积.《8.3 简单几何体的表面积与体积（精练）》同步练习答案解析【题组一 多面体表面积】1．长方体的高为2，底面积等于12，过不相邻两侧棱的截面（对角面）的面积为10，则此长方体的侧面积为( )A ．12B ．24C ．28D ．32 【答案】C【解析】设长方体底面矩形的长与宽分别为,a b ，则12ab =.210=，解得4,3a b ==或3,4a b ==.故长方体的侧面积为()243228⨯+⨯=.故选：C.2．一个正四棱锥的底面边长为2，则该正四棱锥的全面积为A ．8B ．12C ．16D ．20 【答案】B， 所以该四棱锥的全面积为212+422=122⋅⋅⋅. 故选B3．若正三棱台上、下底面边长分别是a 和2a ，则此正三棱台的侧面积为（ ）A ．2aB ．212aC ．292aD ．232a 【答案】C 【解析】如图，1,O O 分别为上、下底面的中心，1,D D 分别是AC ，11A C 的中点，过1D作1D E OD ⊥于点E .在直角梯形11ODD O 中，123OD a ==，111326O D a a =⨯=，116DE OD O D ∴=-=.在1Rt DED 中，1D E =，则1D D =a ==. 2193(2)22S a a a a ∴=⨯+=侧.故选：C4．正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为30，则该四棱锥的侧面积（ ）A ．32B ．48C ．64D ．323【答案】A【解析】如图:正四棱锥的高PO ，斜高PE ，底面边心距OE 组成直角△POE ．∵OE =2cm ，∠OPE =30°，∴斜高h ′=PE =4sin 30oOE =， ∴S 正棱锥侧=114443222ch =⨯⨯⨯='故选：A5．已知正四棱锥的底面边长是2 ）AB ．12C ．8D ．【答案】B【解析】如图所示，在正四棱锥S ABCD -中，取BC 中点E ，连接SE ，则SBE △为直角三角形，所以2SE ===， 所以表面积1422422122SBC ABCD S S S =+⨯=⨯+⨯⨯⨯=正方形△.故选：B.6．已知一个正四棱锥的底面边长为4，以该正四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则该正四棱锥的侧面积为（ ）A ．)41B 1C ．)41D ．)81 【答案】D【解析】正四棱锥如图，设四棱锥的高OE h =，由底面边长为4，可知2OF =，斜高EF =故2142h =⨯，解得2=2h +故侧面积为(214448812h ⨯⨯==+=+， 故选：D. 7．已知,AB CD 是某一棱长为2的正方体展开图中的两条线段，则原正方体中几何体ABCD 的表面积为（ ）A ．2+B ．2+C ．2+D ．2+【答案】A 【解析】由所给正方体的展开图得到直观图，如图：则此三棱锥的表面积为：△△△△+++=BCD ABC ADC ABD S S S S11112222222222⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=+ 故选：A8．长方体一个顶点上的三条棱长分别为3，4，a ，表面积为108，则a 等于（ ）A ．2B ．3C ．5D ．6【答案】D 【解析】长方体一个顶点上的三条棱长分别为3，4，a ，则长方体的表面积为342+2423108a a ⨯⨯⨯+⨯=，解得a =6，故选：D9．一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2cm 的球面上，如果正四棱柱的底面边长为2cm ，那么该棱柱的表面积为（ ）A ．2(2+B ．2(4+C ．2(8+D ．2(16+【答案】C【解析】∵一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2cm 的球面上，正四棱柱的底面边长为2cm ， ∴球的直径为正四棱柱的体对角线∴正四棱柱的体对角线为4，正四棱柱的底面对角线长为=∴该棱柱的表面积为2×22+4×2×＋(2cm )，故选：C【题组二 多面体台体积】1．正方体的全面积为18cm 2，则它的体积是_________ 3cm【答案】【解析】设该正方体的棱长为a cm ，由题意可得，2618a =，解得a =所以该正方体的体积为3V a ==3cm .故答案为：2．如图，在长方体1AC 中，棱锥1A ABCD -的体积与长方体的体积之比为（ ）A ．2∶3B ．1∶3C ．1∶4D ．3∶4【答案】B【解析】设长方体过同一顶点的棱长分别为,,a b c 则长方体的体积为1V abc =， 四棱锥1A ABCD -的体轵为213V abc =， 所以棱锥1A ABCD -的体积与长方体1AC 的体积的比值为13. 故选：B.3．由华裔建筑师贝聿铭设计的巴黎卢浮宫金字塔的形状可视为一个正四棱锥（底面是正方形，侧棱长都相等的四棱锥），四个侧面由673块玻璃拼组而成，塔高21 米，底宽34米，则该金字塔的体积为（ ）A ．38092mB ．34046mC ．324276mD ．312138m【答案】A【解析】如图正四棱锥P ABCD -中，34AB BC ==，21PO =， 所以正四棱锥P ABCD -的体积为311343421809233ABCD S PO m ⨯⨯=⨯⨯⨯=， 故选：A4．《九章算术》问题十：今有方亭，下方五丈，上方四丈．高五丈．问积几何（今译：已知正四棱台体建筑物（方亭）如图，下底边长5a =丈，上底边长4b =丈．高5h =丈．问它的体积是多少立方丈？（ ）A ．75B ．3053C ．3203D ．4003【答案】B【解析】(()2211+=33V S S h a b h '=⋅ ()2211305545615333=+⨯=⨯⨯=. 故选:B 5．出华裔建筑师贝聿铭设计的巴黎卢浮宫金字塔的形状可视为一个正四棱锥（底面是正方形，侧楼长都相等的四棱锥），四个侧面由673块玻璃拼组而成，塔高21米，底宽34米，则该金字塔的体积为（ ）A ．38092mB ．34046mC ．32427mD ．312138m【答案】A【解析】如图正四棱锥P ABCD -中，PO ⊥底面ABCD ，21PO =，34AB =， 底面正方形的面积为234341156S m =⨯=， 则正四棱锥P ABCD -的体积为311115621809233S PO m ⨯⨯=⨯⨯=， 故选：A6．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，截去三棱锥1A ABD -，求（1）截去的三棱锥1A ABD -的表面积； （2）剩余的几何体1111A B C D DBC -的体积.【答案】（1）6+（2）203【解析】（1）由正方体的特点可知三棱锥1A ABD -中，1A BD 是边长为三角形，1A AD 、1A AB 、ABD △都是直角边为2的等腰直角三角形，所以截去的三棱锥1A ABD -的表面积(111231322642A BD A AD A AB ABDS SS S S=+++=+⨯⨯⨯=+（2）正方体的体积为328=，三棱锥1A ABD -的体积为111142223323ABD S AA ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=， 所以剩余的几何体1111A B C D DBC -的体积为420833-=.【题组三 旋转体的表面积】1．经过圆锥的轴的截面是面积为2的等腰直角三角形，则圆锥的侧面积是（ ）A ．B ．4πC ．D ．2π【答案】C【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则l =，由题可知)2122⨯=，∴2r l ==，侧面积为rl π=， 故选：C.2．某圆台的上、下底半径和高的比为1:4:4，母线长为10，则该圆台的表面积为（ ） A ．81π B ．100π C ．168π D ．169π【答案】C【解析】该圆台的轴截面如图所示.设圆台的上底面半径为r ，则下底面半径4r r '=，高4h r =则它的母线长510l r ====∴2r，8r '=.∴()(82)10100S r r l πππ'=+=+⨯=侧，22100464168S S r r ππππππ'=++=++=表侧.故选：C3．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是1：4，且该圆台的母线长为9，则截去的圆锥的母线长为（ ）A ．94B ．3C ．12D ．36【答案】B【解析】根据题意，设圆台的上、下底面的半径分别为r 、R ， 设圆锥的母线长为L ，截得小圆锥的母线长为l ， ∵圆台的上、下底面互相平行 ∴14l r L R ==，可得L=4l ∵圆台的母线长9，可得L ﹣l =9 ∴3L 4=9，解得L=12， ∴截去的圆锥的母线长为12-9=3 故选B4．圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面圆的半径为( )A ．3B ．5C ．6D ．7【答案】D【解析】设圆台较小底面圆的半径为r ，由已知有另一底面圆的半径为3r ，而圆台的侧面积公式为(3)4384,7r r l r r πππ+=⨯⨯==，选D.5．圆柱底面半径为1，母线长为2，则圆柱侧面积为（ ） A ．4π B ．3πC ．5πD ．2π【答案】A【解析】圆柱底面半径为1，母线长为2， 圆柱侧面积为224S rl =π=π⨯1⨯2=π ,故选：A6．已知圆柱的底面半径为1，若圆柱的侧面展开图的面积为8π，则圆柱的高为_____． 【答案】4【解析】设圆柱的高为h ，有28h ππ=，得4h =．故答案为：4.7．已知圆锥的底面半径为2，高为4，在圆锥内部有一个圆柱，则圆柱的侧面积的最大值为______.【答案】4π【解析】如图是圆锥与圆柱的轴截面，设内接圆柱的高为a ，圆柱的底面半径为r()02r <<，则由224r a-=，可得42a r =-，所以圆柱的侧面积()22242484(1)4S r r r r r πππππ=⋅-=-+=--+，所以1r =时，该圆柱的侧面职取最大值4π. 故答案为：4π．8．将底面直径为8，高为值为______.【答案】【解析】欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥； 设圆柱的高为h ，底面半径为r ，4r =，解得h =；所以()22242S rh r r r r ππ⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭圆柱侧；当2r时，S 圆柱侧取得最大值为故答案为：. 【点睛】本题考查了求圆柱侧面积的最值，考查空间想象能力，将问题转化为函数求最值，属于中档题.9．若圆锥的侧面展开图是圆心角为90︒的扇形，则该圆锥的侧面积与底面积之比为___________.【答案】4:1【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ， 由题意得：22l r ππ=,即4l r ，所以其侧面积是214S rl r ππ==，底面积是22S r π=，所以该圆锥的侧面积与底面积之比为4:1 故答案为：4:1【题组四 旋转体的体积】1．若圆锥的底面半径为3cm ，侧面积为215cm π，则该圆锥的体积为（ ） A ．4π3cm B ．9π3cmC ．12π3cmD ．36π3cm【答案】C【解析】设圆锥母线长为l ，则侧面积为123152S l r l πππ=⋅==，故5l =.故圆锥的高4h ==，圆锥体积为21123V r h ππ==3cm .故选：C.2．现用一半径为10cm ，面积为280cm π的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为__________3cm .【答案】128π【解析】设铁皮扇形的半径和弧长分别为R 、l ，圆锥形容器的高和底面半径分别为h 、r ，则由题意得R=10，由1802Rl π=，得16l π=， 由2lr π=得8r =.由222R r h =+可得6h =.∴()231164612833V r h cm πππ==⋅⋅=。

长方体和正方体的表面积与体积的整理一、填空、选择1、每瓶医用酒精500毫升,装120瓶需要酒精( )升,如果有3.5立方分米的酒精,可装( )瓶。

2、一个正方体的棱长如果扩大到原来的2倍,那么表面积扩大到原来的( )倍,体积扩大到原来的( )倍。

3、一个长方体的长、宽、高分别扩大到原来的2倍,它的表面积扩大到原来的( ）倍，体积扩大到原来的( ）倍。

14、长方体的长扩大到原来的5倍,宽缩小到原来的，高不变,体积（）51A.扩大到原来的5倍B.缩小到原来的C.不变55、把一个长、宽、高分别是8分米,5分米、10分米的长方体截成棱长2分米的小正方体,最多能截（）个．6、一个长方体，不同的三个面的面积分别是35平方厘米、21平方厘米和15平方厘米，且长、宽、高都是质数，体积是（）立方厘米。

7、做二节15米长的通风管，管口周长为9分米的长方形，，至少需要铁皮（）平方米。

8、一个长方体，如果高减少3厘米，就成为一个正方体，这时表面积比原来减少了96平方厘米，原来长方体的表面积是（）立方厘米。

9、一个底面积是25平方厘米的长方体容器，高10厘米，里面的水深6厘米，这个容器还可以再倒入（）立方厘米的水。

二、判断1.体积相等的两个正方体,棱长一定相等。

（）2.水箱的体积就是水箱的容积。

（）3.容积的单位只有升和毫升。

（）4.一个正方体的棱长是6分米,它的表面积和体积相等。

（）5.至少要4个相同的小正方体，才能拼成一个比较大的正方体。

（）6.两个正方体的体积相等，它们的表面积也一定相等。

（）三、棱长总和：1、一根铁丝可以焊接成一个棱长8厘米的正方体框架，如果焊接成一个高9厘米、宽4厘米的长方体框架，那么长方体框架长（）厘米。

2、一个长方体的长、宽、高分别是7厘米、6厘米、5厘米，它的棱长总和是（）厘米。

做这样一个无盖的长方体盒子，至少需要（）平方厘米材料。

3、一个长方体的棱长总和是56分米，已知它的底面是边长为2分米的正方形，则高是多少?4、用一根88厘米长的铁丝围成一个长方体框架，再在外面蒙一层纸。

课前热身：如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱．①在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等． (叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．) ②长方体的表面积和体积的计算公式是： 长方体的表面积：2()S ab bc ca =++长方体； 长方体的体积：V abc =长方体．③正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形． 如果它的棱长为a ，那么：26S a =正方体，3V a =正方体．立体图形的体积计算常用公式： 立体图形 示例 体积公式 相关要素长方体V abh =V Sh = 三要素：a 、b 、h 二要素：S 、h 正方体3V a =V Sh =一要素：a 二要素：S 、h知识精讲：【例 1】 将几个大小相同的正方体木块放成一堆，从正面看到的视图是图（a ），从左向右看到的视图是图（b ），从上向下看到的视图是图（c ），则这堆木块最多共有___________块。

【考点】长方体与正方体 【难度】2星 【题型】填空cb a H GFE D CBA【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】选择【关键词】2008年，清华附中，入学测试【解析】图中A、C、D项展开后的图形均为下图，只有B项展开后的图形与题中左边图形相符，所以答案为B．【答案】B【例 16】图1是下面的表面展开图①甲正方体；②乙正方体；③丙正方体；④甲正方体或丙正方体．甲乙丙【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】选择【解析】从展开图可以看出，每个面上至少有一块阴影，从而排除丙；又每个面上没有相邻的两块阴影，从而排除乙．故选甲答案为①．【答案】①【例 17】如图，一个有底无盖圆柱体容器，从里面量直径为10厘米，高为15厘米．在侧面距离底面9厘米的地方有个洞．这个容器最多能装毫升水（π取3.14）．【考点】长方体与正方体【难度】4星【题型】填空【关键词】2006年，第4届，走美杯，6年级，决赛，第10题，10分【解析】 现在要求这个容器尽可能的多装一些水，则将圆柱适当的倾斜，可得新的圆柱的体积为：221963009422πππ⨯⨯+⨯⨯⨯==55毫升水。

一、填空题。

１、长方体的12条棱，每相对的（）条棱算作一组，12条棱可以分为（）组。

２、一个正方体棱长5厘米，它的棱长和是（），表面积是（），体积是（）。

３、一个长方体木箱的长是6分米，宽是5分米，高是4分米，它的棱长和是（），占地面积是（），表面积是（），体积是（）。

４、一个长方体方钢，横截面积是12平方厘米，长2分米，体积是（）立方厘米。

５、一个长方体水箱，从里面量，底面积是25平方米，水深1.6米，这个水箱能装水（）升。

６、一块正方体的钢锭，棱长是10分米，如果1立方分米的钢重7.8千克，这块钢锭重（）千克。

７、正方体的棱长扩大3倍，棱长和扩大（）倍，表面积扩大（）倍，体积扩大（）倍。

８、用棱长5厘米的小正方体拼成一个大正方体，至少需这样的小正方体（）块。

９、一个长方体的长、宽、高分别是a米、b米、h米。

如果高增加2米，体积比原来增加（）立方米。

10、一个长方体的棱长总和是64厘米，已知长8厘米，宽5厘米，高是( )厘米，表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。

11、一个正方体的棱长扩大5倍，它的表面积扩大( )，体积扩大( )。

12、4.5平方米＝（）平方分米 6立方米40立方分米=（）立方米6.08升＝（）升（）毫升 2.4立方米＝（）立方米（）立方分米0.083立方米=（）毫升 10.8立方分米=（）立方厘米3450立方厘米=（）升 1.2立方分米=（）升（）毫升3240平方分米=（）平方厘米 2.5平方分米=（）平方厘米7504克=（）千克 5立方分米180立方厘米＝（）立方分米13、一个长方体的长8厘米，宽2厘米，高3厘米，这个长方体的棱长总和是( )厘米，它的表面积是( )平方厘米。

14、一个正方体的棱长总和是108分米，这个正方体的表面积是( )平方分米，体积是( )立方分米。

15、把2个棱长3厘米的正方体拼成一个长方体，表面积比原来两个正方体减少( )平方厘米，这个长方体的体积是( )立方厘米。

1、一个面的面积是36平方米的正方体,它所有的棱长的和是多少厘米？2、用一根铁丝刚好焊成一个棱长8厘米的正方体框架,如果用这根铁丝焊成一个长10厘米、宽7厘米的长方体框架，它的高应该是多少厘米?3、天天游泳池，长25米，宽10米,深1。

6米,在游泳池的四周和池底砌瓷砖，如果瓷砖的边长是1分米的正方形，那么至少需要这种瓷砖多少块?4、把棱长12厘米的正方体切割成棱长是3厘米的小正方体,可以切割成多少块?5、一种长方体硬纸盒，长10厘米，宽6厘米，高5厘米,有2平方米的硬纸板210张,可以做这样的硬纸盒多少个?(不计接口）6、一个长方体的棱长和是72厘米,它的长是9厘米，宽6厘米，它的表面积是多少平方厘米？7、制做一个无盖的长方体鱼缸，长1。

2米,宽0。

6米，高0。

8米,制做这样一个鱼缸至少需要玻璃多少平方米？8、把一个棱长15分米的正方体木块，平均分成三个长方体后，木块的表面积增加多少平方厘米?9、一个长方体，如果高增加3厘米，就成为一个正方体。

这时表面积比原来增加了96平方厘米。

原来的长方体的体积是多少立方厘米?10、把一个棱长6分米的正方体钢锭熔铸成一个长方体钢锭,这个长方体长9分米,宽4分米,求这个长方体钢锭高多少分米？11、一块9。

6平方米的木板，把它锯开，钉成棱长是2分米的正方体木盒，最多能钉多少个？12、一块长1。

2米，宽6分米，厚3分米的长方体木块,可以截出多少块棱长为3分米的正方体？13、一节烟囱长1米，口径是一个正方形,边长是2分米,做6个这样的烟囱要多少平方米的铁皮？14、在一个长20米，宽10米，深2米的长方体游泳池内贴瓷砖，每块瓷砖是边长0。

2米的正方形，一共需要多少块这样的瓷砖?15、一间教室长8米,宽6米,高3米，要粉刷教室的墙壁和天花板。

（1）要粉刷的面积是多少平方米？(2）如果门窗和黑板的面积是22平方米，并且每平方米要涂0。

25千克，要多少千克？(3)每千克要涂料25元,一共要多少元?16、给某大厦大厅的4根柱子刷油漆，每跟柱子的横截面都是0.5米的正方形,柱高5米.（1）要刷的面积是多少平方米?(2）每平方米的油漆费是4元，共需要多少元？17、把三个完全相等的正方体拼成一个长方体,这个长方体的表面积是350平方米。

13 1026 10 525二、先判断给出的物体是长方体还是正方体，在计算表面积和体积。

三、一块长方体肥皂，长13cm、宽5cm、高9cm。

它的体积是多少？四、一根长方体木料，长14m,横截面的面积是0.12平方米。

这根木料的体积是多少？五、建筑工地要挖一个长60m,宽35m，深71cm的大坑。

一共要挖出多少方土？六、一块棱长37cm的正方体冰块。

它的体积是多少立方厘米？七、算一算。

13＝1×3＝1＋1＋1＝182＝18×2＝18＋18＝11 648 6 220二、先判断给出的物体是长方体还是正方体，在计算表面积和体积。

三、一块长方体肥皂，长10cm、宽9cm、高7cm。

它的体积是多少？四、一根长方体木料，长14m,横截面的面积是0.2平方米。

这根木料的体积是多少？五、建筑工地要挖一个长90m,宽40m，深53cm的大坑。

一共要挖出多少方土？六、一块棱长16cm的正方体冰块。

它的体积是多少立方厘米？七、算一算。

83＝8×3＝8＋8＋8＝162＝16×2＝16＋16＝11 846 9 820二、先判断给出的物体是长方体还是正方体，在计算表面积和体积。

三、一块长方体肥皂，长12cm、宽9cm、高9cm。

它的体积是多少？四、一根长方体木料，长8m,横截面的面积是0.11平方米。

这根木料的体积是多少？五、建筑工地要挖一个长100m,宽33m，深80cm的大坑。

一共要挖出多少方土？六、一块棱长9cm的正方体冰块。

它的体积是多少立方厘米？七、算一算。

13＝1×3＝1＋1＋1＝202＝20×2＝20＋20＝11 715 7 721二、先判断给出的物体是长方体还是正方体，在计算表面积和体积。

三、一块长方体肥皂，长12cm、宽9cm、高7cm。

它的体积是多少？四、一根长方体木料，长10m,横截面的面积是0.04平方米。

这根木料的体积是多少？五、建筑工地要挖一个长50m,宽49m，深52cm的大坑。