第2课时 函数的定义域与值域

第2课时函数的定义域与值域函数的定义域求下列函数的定义域：(1)y ＝12－|x |＋x 2－1；(2)y ＝25－x 2＋lg cos x ；(3)y ＝x －12x －log 2(4－x 2)；(4)y ＝1log 0.5(x －2)＋(2x －5)0.解(1)－|x |≠0，2－1≥0，≠±2，≤－1或x ≥1.所以函数的定义域为{x |x ≤－1或x ≥1且x≠±2}．(2)－x 2≥0，x >0，5≤x ≤5，k π－π2<x <2k π＋π2(k ∈Z ).所以函数的定义域为－5，－32π－π2，5.(3)0，>0，解得－2<x <0或1≤x <2，∴函数的定义域为(－2,0)∪[1,2)．(4)0.5(x －2)>0，x－5≠0x <3，≠52，∴思维升华(1)给定函数的解析式，求函数的定义域的依据是使解析式有意义，如分式的分母不等于零，偶次根式的被开方数为非负数，零指数幂的底数不为零，对数的真数大于零且底数为不等于1的正数以及三角函数的定义域等．(2)求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题．在解不等式组时要细心，取交集时可借助数轴，并且要注意端点值或边界值．函数的值域例1(2019·长沙月考)求下列函数的值域：(1)y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)；(2)y ＝2x ＋1x －3；(3)y ＝2x －x －1；(4)y ＝x ＋1＋x －1.解(1)(配方法)y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，由x ∈[0,3)，再结合函数的图象(如图①所示)，可得函数的值域为[2,6)．(2)(分离常数法)y ＝2x ＋1x －3＝2(x －3)＋7x －3＝2＋7x －3，显然7x －3≠0，∴y ≠2.故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．(3)(换元法)设t ＝x －1，则x ＝t 2＋1，且t ≥0，∴y ＝2(t 2＋1)－t ＝2t －142＋158，由t ≥0，再结合函数的图象(如图②所示)，可得函数的值域为158，＋∞(4)函数的定义域为[1，＋∞)，∵y ＝x ＋1与y ＝x －1在[1，＋∞)上均为增函数，∴y ＝x ＋1＋x －1在[1，＋∞)上为单调递增函数，∴当x ＝1时，y min ＝2，即函数的值域为[2，＋∞)．结合本例(4)求函数y＝x＋1－x－1的值域．解函数的定义域为[1，＋∞)，y＝x＋1－x－1＝2x＋1＋x－1，由本例(4)知函数y＝x＋1＋x－1的值域为[2，＋∞)，∴0<1x＋1＋x－1≤22，∴0<2x＋1＋x－1≤2，∴函数的值域为(0，2]．思维升华求函数值域的一般方法(1)分离常数法；(2)反解法；(3)配方法；(4)不等式法；(5)单调性法；(6)换元法；(7)数形结合法；(8)导数法．跟踪训练1求下列函数的值域：(1)y＝1－x21＋x2；(2)y＝x＋41－x；(3)y＝2x2－x＋12x－1x>1 2解(1)方法一y＝1－x21＋x2＝－1＋21＋x2，因为x2≥0，所以x2＋1≥1，所以0<21＋x2≤2.所以－1<－1＋21＋x2≤1.即函数的值域为(－1,1]．方法二由y＝1－x21＋x2，得x2＝1－y1＋y.因为x2≥0，所以1－y1＋y≥0.所以－1<y≤1，即函数的值域为(－1,1]．(2)设t＝1－x，t≥0，则x＝1－t2，所以原函数可化为y＝1－t2＋4t＝－(t－2)2＋5(t≥0)，所以y≤5，所以原函数的值域为(－∞，5]．(3)y ＝2x 2－x ＋12x －1＝x (2x －1)＋12x －1＝x ＋12x －1＝x －12＋12x －12＋12，因为x >12，所以x －12>0，所以x －12＋12x －12≥＝2，当且仅当x －12＝12x －12，即x ＝1＋22时取等号．所以y ≥2＋12，即原函数的值域为2＋12，＋定义域与值域的应用例2(1)(2020·广州模拟)若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________．答案－92解析函数f (x )的定义域是不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集．不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集为{x |1≤x ≤2}，<0，＋2＝－b ，×2＝ba ，＝－32，＝－3，所以a ＋b ＝－32－3＝－92.(2)已知函数y ＝x 2＋ax －1＋2a 的值域为[0，＋∞)，求a 的取值范围．解令t ＝g (x )＝x 2＋ax －1＋2a ，要使函数y ＝t 的值域为[0，＋∞)，则说明[0，＋∞)⊆{y |y＝g (x )}，即二次函数的判别式Δ≥0，即a 2－4(2a －1)≥0，即a 2－8a ＋4≥0，解得a ≥4＋23或a ≤4－23，∴a 的取值范围是{a |a ≥4＋23或a ≤4－23}．思维升华已知函数的定义域、值域求参数问题．可通过分析函数解析式的结构特征，结合函数的图象、性质、转化为含参数的方程、不等式(组)，然后求解．跟踪训练2(1)若函数f (x )＝ax －2021在[2021，＋∞)上有意义，则实数a 的取值范围为________．答案[1，＋∞)解析由于函数f (x )＝ax －2021在[2021，＋∞)上有意义，即ax －2021≥0在[2021，＋∞)上恒成立，即a ≥2021x在[2021，＋∞)上恒成立，而0<2021x≤1，故a ≥1.(2)已知函数f (x )＝12(x －1)2＋1的定义域与值域都是[1，b ](b >1)，则实数b ＝________.答案3解析f (x )＝12(x －1)2＋1，x ∈[1，b ]且b >1，则f (1)＝1，f (b )＝12(b －1)2＋1，∵f (x )在[1，b ]上为增函数，∴函数值域为1，12(b －1)2＋1.由已知得12(b －1)2＋1＝b ，解得b ＝3或b ＝1(舍)．我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数，一般用y ＝f (x )表示，抽象函数问题可以全面考查函数的概念和性质，将函数定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图象集于一身，是考查函数的良好载体．一、抽象函数的函数值例1(1)设函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)，f (xy )＝f (x )＋f (y )，若f (8)＝3，则f (2)＝________.答案12解析因为f (8)＝3，所以f (2×4)＝f (2)＋f (4)＝f (2)＋f (2×2)＝f (2)＋f (2)＋f (2)＝3f (2)＝3，所以f (2)＝1.因为f (2)＝f (2×2)＝f (2)＋f (2)＝2f (2)，所以2f (2)＝1，所以f (2)＝12.(2)设函数f (x )的定义域为R ，对于任意实数x 1，x 2，都有f (x 1)＋f (x 2)＝2f f f (π)＝－1，则f (0)＝________.答案1解析令x 1＝x 2＝π，则f (π)＋f (π)＝2f (π)f (0)，∴f (0)＝1.二、抽象函数的定义域例2(1)(2019·皖南八校模拟)已知函数f (x )＝ln(－x －x 2)，则函数f (2x ＋1)的定义域为________．答案1解析由题意知，－x －x 2>0，∴－1<x <0，即f (x )的定义域为(－1,0)．∴－1<2x ＋1<0，则－1<x <－12.(2)若函数f (2x )的定义域是[－1,1]，则f (log 2x )的定义域为________．答案[2，4]解析对于函数y ＝f (2x )，－1≤x ≤1，∴2－1≤2x ≤2.则对于函数y ＝f (log 2x )，2－1≤log 2x ≤2，∴2≤x ≤4.故y ＝f (log 2x )的定义域为[2，4]．1．函数f (x )＝1(log 2x )2－1的定义域为()B ．(2，＋∞)(2，＋∞)，12∪[2，＋∞)解析由题意可知x 满足(log 2x )2－1>0，即log 2x >1或log 2x <－1，解得x >2或0<x <12，故所求(2，＋∞)．2．下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为()A ．y ＝1sin x B ．y ＝ln xx C ．y ＝x e x D ．y ＝sin x x答案D 解析因为y ＝13x的定义域为{x |x ≠0}，而y ＝1sin x 的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }，y ＝ln xx的定义域为{x |x >0}，y ＝x e x 的定义域为R ，y ＝sin xx 的定义域为{x |x ≠0}，故D 正确．3．函数y ＝x －1＋1的值域为()A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[0，＋∞)D ．[1，＋∞)答案D解析函数y ＝x －1＋1，定义域为[1，＋∞)，根据幂函数性质可知，该函数为增函数，当x ＝1时，该函数取得最小值1，故函数y ＝x －1＋1的值域为[1，＋∞)．4．(2019·衡水中学调研)函数f (x )＝－x 2－3x ＋4lg (x ＋1)的定义域为()A ．(－1,0)∪(0,1]B ．(－1,1]C ．(－4，－1)D ．(－4,0)∪(0,1]答案A解析要使函数f (x )x 2－3x ＋4≥0，＋1>0，＋1≠1，解得－1<x <0或0<x ≤1，故选A.5．函数y ＝1＋x －1－2x 的值域为()－∞，32D.32，＋∞解析设1－2x ＝t ，则t ≥0，x ＝1－t 22，所以y ＝1＋1－t 22－t ＝12(－t 2－2t ＋3)＝－12t ＋1)2＋2，因为t ≥0，所以y ≤32.所以函数y ＝1＋x －1－2x ∞，32，故选B.6．(2019·佛山模拟)函数f (x )＝3x3x ＋2x的值域为()A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(0,1]D ．(0,1)答案D解析f (x )＝3x3x ＋2x＝11，>0，∴1>1，∴0<11<1.7．(多选)下列函数中值域为R 的有()A ．f (x )＝3x －1B ．f (x )＝lg(x 2－2)C ．f (x )2，0≤x ≤2x ，x >2D ．f (x )＝x 3－1答案ABD解析A 项，f (x )＝3x －1为增函数，函数的值域为R ，满足条件；B 项，由x 2－2＞0得x ＞2或x ＜－2，此时f (x )＝lg(x 2－2)的值域为R ，满足条件；C 项，f (x )2，0≤x ≤2，x ，x >2，当x ＞2时，f (x )＝2x ＞4，当0≤x ≤2时，f (x )＝x 2∈[0,4]，所以f (x )≥0，即函数的值域为[0，＋∞)，不满足条件；D 项，f (x )＝x 3－1是增函数，函数的值域为R ，满足条件．8．(多选)若函数y ＝x 2－4x －4的定义域为[0，m ]，值域为[－8，－4]，则实数m 的值可能为()A ．2B ．3C ．4D ．5解析函数y ＝x 2－4x －4的对称轴方程为x ＝2，当0≤m ≤2时，函数在[0，m ]上单调递减，x ＝0时，取最大值－4，x ＝m 时，有最小值m 2－4m －4＝－8，解得m ＝2.则当m ＞2时，最小值为－8，而f (0)＝－4，由对称性可知，m ≤4.∴实数m 的值可能为2,3,4.9．(2019·江苏)函数y ＝7＋6x －x 2的定义域是________．答案[－1,7]解析要使函数有意义，则7＋6x －x 2≥0，解得－1≤x ≤7，则函数的定义域是[－1,7]．10．函数f (x )＝3x ＋2x ，x ∈[1,2]的值域为________．答案[5,7]解析令g (x )＝3x ＋2x＝x >0，易证g (x )在23，＋∴f (x )在[1,2]上为增函数，从而得f (x )的值域为[5,7]．11．(2020·石家庄模拟)若函数f (x )＝x －2＋2x ，则f (x )的定义域是________，值域是________．答案[2，＋∞)[4，＋∞)解析x －2≥0⇒x ≥2，所以函数f (x )的定义域是[2，＋∞)；因为函数y ＝x －2，y ＝2x 都是[2，＋∞)上的单调递增函数，故函数f (x )＝x －2＋2x 也是[2，＋∞)上的单调递增函数，所以函数f (x )的最小值为f (x )min ＝f (2)＝4，故函数f (x )＝x －2＋2x 的值域为[4，＋∞)．12．函数y ＝x 2＋2x ＋3x －1(x >1)的值域为________．答案[26＋4，＋∞)解析令x －1＝t >0，∴x ＝t ＋1.∴y ＝(t ＋1)2＋2(t ＋1)＋3t ＝t 2＋4t ＋6t ＝t ＋6t ＋4≥26＋4，当且仅当t ＝6t即t ＝6时等号成立．∴函数的值域为[26＋4，＋∞)．13．若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是()A ．[0,1)B ．[0,1]C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1)答案A解析函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，要使函数g (x )有意义，≤2x ≤2，－1≠0，解得0≤x <1，故选A.14．定义新运算“★”：当m ≥n 时，m ★n ＝m ；当m <n 时，m ★n ＝n 2.设函数f (x )＝(2★x )x －(4★x )，x ∈[1,4]，则函数f (x )的值域为____________．答案[－2,0]∪(4,60]解析由题意知，f (x )x －4，x ∈[1，2]，3－4，x ∈(2，4]，当x ∈[1,2]时，f (x )∈[－2,0]；当x ∈(2,4]时，f (x )∈(4,60]，故当x ∈[1,4]时，f (x )∈[－2,0]∪(4,60]．15．已知函数f (x )x 2＋2x ，0≤x ≤5，，a ≤x <0的值域为[－15,1]，则实数a 的取值范围是()A ．(－∞，－2]B ．[－2,0)C ．[－2，－1]D ．{－2}答案B解析当0≤x ≤5时，f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1，所以－15≤f (x )≤1；当a ≤x <0时，f (x )＝1－为增函数，所以1－a ≤f (x )<0，因为f (x )的值域为[－15,1]，所以≥－15，<0，故－2≤a <0，故选B.16．(多选)若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同值函数”，例如函数y ＝x 2，x ∈[1,2]与函数y ＝x 2，x ∈[－2，－1]即为“同值函数”，给出下面四个函数，其中能够被用来构造“同值函数”的是()A ．y ＝[x ]([x ]表示不超过x 的最大整数，例如[0.1]＝0)B ．y ＝x ＋x ＋1C ．y ＝1x－log 3x D ．y ＝|x ＋1x ＋1|答案AD 解析根据题意，“同值函数”需满足：对于同一函数值，有不同的自变量与其对应．因此，能够被用来构造“同值函数”的函数必须满足在其定义域内不单调．对于选项A ，y ＝[x ]，定义域为R ，在定义域内不是单调函数，有不同的自变量对应同一函数值，故A 可以构造“同值函数”；对于选项B ，y ＝x ＋x ＋1，为定义在[－1，＋∞)上的单调增函数，故B 不可以构造“同值函数”；对于选项C ，y ＝1x－log 3x ，为定义在(0，＋∞)上的单调减函数，故C 不可以构造“同值函数”；对于选项D ，y ＝|x ＋1x ＋1|，不是定义域上的单调函数，有不同的自变量对应同一函数值，故D 可以构造“同值函数”．所以能够被用来构造“同值函数”的是A ，D.。

第二章 函 数第2课时 函数定义域和值域编者：曹金凤 审核：郭红霞 班级_________第一部分 预习案 学号_________一、基本知识 姓名_________1、常见基本函数的定义域：①求分式函数定义域方法:__________；②偶次根式函数，被开方数______；③一次，二次函数的定义域为___________，0x 中的底数______； ④求对数函数的定义域方法:______________________⑤正切函数x y tan =的定义域___________________2、求实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约。

3、求函数的定义域通常通过求不等式（组）的解集得到，函数的定义域必须用集合或区间表示。

4、求函数值域常用的方法有：①直接法；②配方法；③换元法；④利用函数的性质（如函数的单调性、最值、有界性等）⑤判别式法；⑥利用基本不等式；⑦数形结合法：利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法或图像来求函数的值域；⑧反解法。

二、基础训练1．函数y ＝log 2(4－x )的定义域为__________．2．函数1062++=x x y 的值域为 _____．3．函数02)45()34lg(-++=x x x y 的定义域为__________． 4．函数2332-+=x x y 的值域为 _____． 三、我的疑惑第二部分 探究案问题1 求下列函数的定义域:（1）21)|lg(|x x x y --= （2）)1),0()(log 11≠>+-=a a a x y a 且问题2求下列函数的值域：（1）)1(11≥++-=x x x y（2）2cos 1sin ++=x x y问题 3 已知函数b a x a x a x f ++-=s in 22s in 2)(2的定义域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π，值域是[]1,5-，求实数b a ,的值。

第2讲 函数的定义域和值域1．常见函数定义域的求法 (1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0． (3)一次函数、二次函数的定义域为R ．(4)y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x ，定义域均为R ．(5)y ＝tan x 的定义域为{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }．2．基本初等函数的值域(1)y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R ． (2)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a ＞0时，值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≥4ac －b 24a ； 当a ＜0时，值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≤4ac －b 24a ． (3)y ＝kx(k ≠0)的值域是{y |y ≠0}．(4)y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的值域是{y |y ＞0}． (5)y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的值域是R ． (6)y ＝sin x ，y ＝cos x 的值域是[－1，1]． (7)y ＝tan x 的值域是R ． [做一做] 1．(2015·浙江杭州模拟)函数y ＝16－4x 的值域是( ) A ．[0，＋∞)B ．[0，4]C ．[0，4)D ．(0，4) 解析：选C.∵4x ＞0，∴0≤16－4x ＜16，∴0≤y ＜4.2．函数y ＝x ＋1＋12－x的定义域为________．答案：[－1，2)∪(2，＋∞)1．求函数定义域应注意的四点(1)如果没有特别说明，函数的定义域就是能使解析式有意义的所有实数x 的集合． (2)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化．(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．(4)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接． 2．求函数值域的六种基本方法(1)观察法：一些简单函数，通过观察法求值域． (2)配方法：“二次函数类”用配方法求值域．(3)换元法：形如y ＝ax ＋b ±cx ＋d (a ，b ，c ，d 均为常数，且a ≠0)的函数常用换元法求值域，形如y ＝ax ＋a －bx 2的函数用三角函数代换求值域．(4)分离常数法：形如y ＝cx ＋dax ＋b(a ≠0)的函数可用此法求值域．(5)单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域．(6)数形结合法：利用函数所表示的几何意义，借助于图象的直观性来求函数的值域．[做一做]3．函数y ＝1log 2（x －2）的定义域是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(2，3)∪(3，＋∞)D ．(2，4)∪(4，＋∞) 答案：C4．若x －4有意义，则函数y ＝x 2－6x ＋7的值域是________．解析：∵x －4有意义，∴x －4≥0，即x ≥4.又∵y ＝x 2－6x ＋7＝(x －3)2－2，∴y min ＝(4－3)2－2＝1－2＝－1.∴其值域为[－1，＋∞)． 答案：[－1，＋∞)考点一__求函数的定义域(高频考点)____________函数的定义域是高考的重点内容，考查时多以选择题和填空题形式出现，一般难度较小，高考对定义域的考查主要有以下四个命题角度： (1)求分式型函数的定义域； (2)求无理型函数的定义域； (3)求对数型函数的定义域； (4)求抽象函数的定义域．(1)(2015·广东惠州第二次调研)函数f (x )＝log 2(3x －1)的定义域为( ) A ．[1，＋∞) B ．(1，＋∞)C ．[0，＋∞) D ．(0，＋∞)(2)函数f (x )＝1－|x －1|x －1的定义域为____________．(3)(2015·山东莱芜模拟)已知函数f (x )的定义域为[3，6]，则函数y ＝f （2x ）log 12（2－x ）的定义域为( )A.⎣⎡⎭⎫32，＋∞B.⎣⎡⎭⎫32，2C.⎝⎛⎭⎫32，＋∞D.⎣⎡⎭⎫12，2 [解析] (1)要使函数有意义，必须满足3x －1>0，解得x >0，故选D. (2)由⎩⎨⎧1－|x －1|≥0x ≠1⇒⎩⎨⎧0≤x ≤2x ≠1⇒0≤x <1或1<x ≤2.(3)要使函数y ＝f （2x ）log 12（2－x ）有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x ≤6log 12（2－x ）>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧32≤x ≤30<2－x <1⇒32≤x <2.故选B.[答案] (1)D (2)[0，1)∪(1，2] (3)B本例(2)变为函数f (x )＝1－|x －1|a x －1(a >0且a ≠1)，结果如何？解：由⎩⎪⎨⎪⎧1－|x －1|≥0a x －1≠0⇒⎩⎨⎧0≤x ≤2x ≠0⇒0<x ≤2，故所求函数的定义域为(0，2]．[规律方法] 简单函数定义域的类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解．(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．(3)已知f (x )的定义域是[a ，b ]，求f (g (x ))的定义域，是指满足a ≤g (x )≤b 的x 的取值范围，而已知f (g (x ))的定义域是[a ，b ]，指的是x ∈[a ，b ]．1.(1)(2013·高考山东卷)函数f (x )＝1－2x ＋1x ＋3的定义域为( ) A ．(－3，0] B ．(－3，1] C ．(－∞，－3)∪(－3，0] D ．(－∞，－3)∪(－3，1](2)函数y ＝lg （2－x ）12＋x －x 2＋(x －1)0的定义域是__________． (3)(2015·广东佛山模拟)已知f (x 2－1)的定义域为[0，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为__________．解析：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－2x≥0，x ＋3>0，解得－3<x ≤0，所以函数f (x )的定义域为(－3，0]，故选A.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧2－x >0，12＋x －x 2>0x －1≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧x <2，－3<x <4，x ≠1，所以－3<x <2且x ≠1，故所求函数的定义域为{x |－3<x <2且x ≠1}．(3)∵0≤x ≤3，∴0≤x 2≤9， ∴－1≤x 2－1≤8，∴函数y ＝f (x )的定义域是[－1，8]．答案：(1)A (2){x |－3<x <2且x ≠1} (3)[－1，8] 考点二__求函数的值域________________________求下列函数的值域．(1)y ＝x 2＋2x (x ∈[0，3])；(2)y ＝1－x 21＋x 2；(3)y ＝x ＋4x (x ＜0)；(4)f (x )＝x －1－2x . [解] (1)(配方法)y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1， ∵y ＝(x ＋1)2－1在[0，3]上为增函数，∴0≤y ≤15， 即函数y ＝x 2＋2x (x ∈[0，3])的值域为[0，15]．(2)y ＝1－x 21＋x 2＝21＋x 2－1，∵1＋x 2≥1，∴0＜21＋x 2≤2.∴－1＜21＋x2－1≤1.即y ∈(－1，1]．∴函数的值域为(－1，1]． (3)∵x ＜0，∴x ＋4x＝－⎝⎛⎭⎫－x －4x ≤－4，当且仅当x ＝－2时等号成立， ∴y ∈(－∞，－4]．∴函数的值域为(－∞，－4]． (4)法一：(换元法)令1－2x ＝t ，则t ≥0且x ＝1－t 22，于是y ＝1－t 22－t ＝－12(t ＋1)2＋1，由于t ≥0，所以y ≤12，故函数的值域是⎝⎛⎦⎤－∞，12. 法二：(单调性法)f (x )的定义域为⎝⎛⎦⎤－∞，12，容易判断f (x )为增函数，所以f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫12＝12，即函数的值域是⎝⎛⎦⎤－∞，12. [规律方法] 求函数值域，应根据解析式的结构特点，选择适当的方法，而常用的方法有：(1)观察法；(2)配方法；(3)换元法；(4)分离常数法；(5)单调性法；(6)数形结合法．在求函数值域时，除了上述常用的方法外，还有很多方法，应注意选择最优的解法．总之，求函数值域的关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约．2.求下列函数的值域：(1)y ＝x －3x ＋1； (2)y ＝x 2－x x 2－x ＋1； (3)y ＝log 3x ＋log x 3－1(x ＞1)．解：(1)法一：y ＝x －3x ＋1＝x ＋1－4x ＋1＝1－4x ＋1.因为4x ＋1≠0，所以1－4x ＋1≠1，即函数的值域是{y |y ∈R ，y ≠1}．法二：由y ＝x －3x ＋1，得yx ＋y ＝x －3.解得x ＝y ＋31－y ，所以y ≠1，即函数的值域是{y |y ∈R ，y ≠1}．(2)y ＝x 2－x ＋1－1x 2－x ＋1＝1－1x 2－x ＋1，∵x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34≥34，∴0＜1x 2－x ＋1≤43，∴－13≤y ＜1，即函数的值域为⎣⎡⎭⎫－13，1. (3)y ＝log 3x ＋1log 3x －1，令log 3x ＝t ，则y ＝t ＋1t －1(t ≠0)，x ＞1，t ＞0，y ≥2t ·1t －1＝1，当且仅当t ＝1t即log 3x ＝1，x ＝3时，等号成立，故函数的值域是[1，＋∞)．考点三__与函数定义域、值域有关的参数问题__若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( )A ．(0，34]B ．(0，34)C ．[0，34]D ．[0，34)[解析] 要使函数的定义域为R ，则mx 2＋4mx ＋3≠0恒成立．①当m ＝0时，得到不等式3≠0，恒成立；②当m ≠0时，要使不等式恒成立，须⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝（4m ）2－4×m ×3<0，即⎩⎨⎧m >0m （4m －3）<0或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m <0，m （4m －3）<0.解得0<m <34.由①②得0≤m <34.故选D.[答案] D[规律方法] 求解定义域为R 或值域为R 的函数问题时，都是依据题意对问题进行转化，转化为不等式恒成立问题进行解决，而解决不等式恒成立问题，一是利用判别式法，二是利用分离参数法，有时还可利用数形结合法．3.已知函数f (x )＝4|x |＋2－1的定义域是[a ，b ](a ，b ∈Z )，值域是[0，1]，则满足条件的整数数对(a ，b )共有________个．解析：由0≤4|x |＋2－1≤1，即1≤4|x |＋2≤2，得0≤|x |≤2，满足整数数对的有(－2，0)，(－2，1)，(－2，2)，(0，2)，(－1，2)，共5个．答案：5,[学生用书P 18])考题溯源——求函数的定义域(2014·高考山东卷)函数f (x )＝1（log 2x ）2－1的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．(2，＋∞)C.⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤0，12∪[2，＋∞) [解析] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x >0，（log 2x ）2>1，解得x >2或0<x <12.故选C.[答案] C[考题溯源] 本题源于教材人教A 必修1P 73，练习第2题，“求下列函数的定义域．(2)y ＝1log 2x ，(4)y ＝log 3x ”．1.函数f (x )＝ln （x ＋1）－x 2－3x ＋4的定义域为__________．解析：要使函数有意义，必须且只需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0－x 2－3x ＋4>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－1（x ＋4）（x －1）<0，解不等式组得－1<x <1.因此函数f (x )的定义域为(－1，1)．答案：(－1，1)2．若函数f (x )＝ 2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________．解析：函数f (x )的定义域为R ，所以2x 2＋2ax －a －1≥0对x ∈R 恒成立，即2x 2＋2ax －a ≥1，x 2＋2ax －a ≥0恒成立，因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0. 答案：[－1，0]1．已知a 为实数，则下列函数中，定义域和值域都有可能是R 的是( )A ．f (x )＝x 2＋aB ．f (x )＝ax 2＋1C ．f (x )＝ax 2＋x ＋1D ．f (x )＝x 2＋ax ＋1解析：选C.当a ＝0时，f (x )＝ax 2＋x ＋1＝x ＋1为一次函数，其定义域和值域都是R . 2．函数f (x )＝10＋9x －x 2lg （x －1）的定义域为( )A ．[1，10]B ．[1，2)∪(2，10]C ．(1，10]D ．(1，2)∪(2，10] 解析：选D.要使函数有意义，则x 需满足⎩⎪⎨⎪⎧10＋9x －x 2≥0，x －1>0，lg （x －1）≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）（x －10）≤0，①x >1，x ≠2，解①得－1≤x ≤10.所以不等式组的解集为(1，2)∪(2，10]．故选D. 3．函数y ＝2－－x 2＋4x 的值域是( )A ．[－2，2]B ．[1，2]C ．[0，2]D ．[－2，2] 解析：选C.－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4≤4，0≤－x 2＋4x ≤2，－2≤－－x 2＋4x ≤0，0≤2－－x 2＋4x ≤2，所以0≤y ≤2.4．若函数y ＝f (x )的定义域是[0，2 016]，则函数g (x )＝f （x ＋1）x －1的定义域是( )A ．[－1，2015]B ．[－1，1)∪(1，2015]C ．[0，2016]D ．[－1，1)∪(1，2016] 解析：选B.令t ＝x ＋1，则由已知函数y ＝f (x )的定义域为[0，2 016]可知f (t )中0≤t ≤2 016，故要使函数f (x ＋1)有意义，则0≤x ＋1≤2 016，解得－1≤x ≤2 015，故函数f (x ＋1)的定义域为[－1，2 015]．所以函数g (x )有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2 015，x －1≠0解得－1≤x <1或1<x ≤2015.故函数g (x )的定义域为[－1，1)∪(1，2 015]．5．设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g （x ）＋x ＋4，x <g （x ），g （x ）－x ，x ≥g （x ）.，则f (x )的值域是( )A ．[－94，0]∪(1，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．[－94，＋∞)D ．[－94，0]∪(2，＋∞)解析：选D.令x <g (x )，即x 2－x －2>0，解得x <－1或x >2.令x ≥g (x )，即x 2－x －2≤0，解得－1≤x ≤2.故函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2（x <－1或x >2），x 2－x －2（－1≤x ≤2）.当x <－1或x >2时，函数f (x )>f (－1)＝2；当－1≤x ≤2时，函数f (12)≤f (x )≤f (－1)，即－94≤f (x )≤0.故函数f (x )的值域是[－94，0]∪(2，＋∞)．6．下表表示y 是x 的函数，则函数的值域是________.解析：函数值只有四个数2，3，4，5，故值域为{2，3，4，5}． 答案：{2，3，4，5}7．已知函数f (x )＝1x ＋1，则函数f [f (x )]的定义域是__________．解析：根据题意可得f [f (x )]＝11x ＋1＋1，要使函数有意义，只需⎩⎨⎧x ＋1≠0，1x ＋1＋1≠0，解得x ≠－1且x ≠－2，故函数f [f (x )]的定义域为{x |x ≠－1且x ≠－2}．答案：{x |x ≠－1且x ≠－2}8．(2015·温州模拟)若函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的值域为⎣⎡⎦⎤13，1，则a ＋b ＝________．解析：∵由题意知x －1＞0，又x ∈[a ，b ]，∴a ＞1.则f (x )＝1x －1在[a ，b ]上为减函数， 则f (a )＝1a －1＝1且f (b )＝1b －1＝13，∴a ＝2，b ＝4，a ＋b ＝6.答案：69．若函数f (x )＝12x 2－x ＋a 的定义域和值域均为[1，b ](b ＞1)，求a ，b 的值．解：∵f (x )＝12(x －1)2＋a －12，∴其对称轴为x ＝1.即函数f (x )在[1，b ]上单调递增．∴f (x )min ＝f (1)＝a －12＝1，①f (x )max ＝f (b )＝12b 2－b ＋a ＝b .②又b >1，由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝3.∴a ，b 的值分别为32，3.10．已知函数f (x )的值域为[38，49]，求函数g (x )＝f (x )＋1－2f （x ）的值域．解：∵38≤f (x )≤49，∴13≤1－2f （x ）≤12，令t ＝1－2f （x ），则f (x )＝12(1－t 2)，令y ＝g (x )，∴y ＝－12(t 2－1)＋t .∴当t ＝13时，y 有最小值79，当t ＝12时，y 有最大值78.∴g (x )的值域为⎣⎡⎦⎤79，78.1．(2015·河南漯河模拟)已知A ，B 是非空数集，定义A ⊕B ＝{x |x ∈A ∪B ，且x ∉A ∩B }．若A ＝{x |y ＝x 2－3x }，B ＝{y |y ＝3x }，则A ⊕B ＝( )A ．[0，3)B ．(－∞，3)C ．(－∞，0)∪(3，＋∞)D ．[0，3]解析：选B.分析得到A ＝(－∞，0]∪[3，＋∞)，B ＝(0，＋∞)，A ∪B ＝R ，A ∩B ＝[3，＋∞)，所以A ⊕B ＝(－∞，3)．2．设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若对任意的x ∈[a ，b ]，都有|f (x )－g (x )|≤1成立，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“亲密函数”，区间[a ，b ]称为“亲密区间”．若f (x )＝x 2＋x ＋2与g (x )＝2x ＋1在[a ，b ]上是“亲密函数”，则其“亲密区间”可以是( )A ．[0，2]B ．[0，1]C ．[1，2]D ．[－1，0]解析：选B.在同一坐标系中作出函数f (x )及g (x )的图象，如图所示．由题意作出与g (x )＝2x ＋1的距离为1的平行线y ＝2x ＋2的图象，由图并结合“亲密函数”的定义可知其“亲密区间”可以是[0，1]．3．已知函数f (x )的定义域为[0，1]，值域为[1，2]，则函数f (x ＋2)的定义域为________，值域为________．解析：由已知可得x ＋2∈[0，1]，故x ∈[－2，－1]，所以函数f (x ＋2)的定义域为[－2，－1]．函数f (x )的图象向左平移2个单位得到函数f (x ＋2)的图象，所以值域不发生变化，所以函数f (x ＋2)的值域仍为[1，2]．答案：[－2，－1] [1，2]4．若函数y ＝kx 2－6kx ＋（k ＋8）的值域为[0，＋∞)，则k 的取值范围是________．解析：当k ＝0时，原函数可化为y ＝8＝22，此时值域不是[0，＋∞)，从而k ≠0. 当k ≠0时，想满足题意，则有⎩⎪⎨⎪⎧k >0，Δ＝（－6k ）2－4×k ×（k ＋8）≥0.解得k ≥1，从而k 的取值范围为[1，＋∞)． 答案：[1，＋∞)5．已知函数f (x )＝x 2＋4ax ＋2a ＋6.(1)若函数f (x )的值域为[0，＋∞)，求a 的值；(2)若函数f (x )的函数值均为非负数，求g (a )＝2－a |a ＋3|的值域． 解：(1)∵函数的值域为[0，＋∞)， ∴Δ＝16a 2－4(2a ＋6)＝0⇒2a 2－a －3＝0⇒a ＝－1或a ＝32.(2)∵对一切x ∈R 函数值均为非负，∴Δ＝8(2a 2－a －3)≤0⇒－1≤a ≤32.∴a ＋3＞0.∴g (a )＝2－a |a ＋3|＝－a 2－3a ＋2＝－⎝⎛⎭⎫a ＋322＋174⎝⎛⎭⎫a ∈⎣⎡⎦⎤－1，32. ∵二次函数g (a )在⎣⎡⎦⎤－1，32上单调递减， ∴g ⎝⎛⎭⎫32≤g (a )≤g (－1)，即－194≤g (a )≤4. ∴g (a )的值域为⎣⎡⎦⎤－194，4. 6．(选做题)已知函数g (x )＝x ＋1，h (x )＝1x ＋3，x ∈(－3，a ]，其中a 为常数且a ＞0，令函数f (x )＝g (x )·h (x )．(1)求函数f (x )的表达式，并求其定义域；(2)当a ＝14时，求函数f (x )的值域．解：(1)f (x )＝x ＋1x ＋3，x ∈[0，a ](a ＞0)．(2)当a ＝14时，函数f (x )的定义域为⎣⎡⎦⎤0，14， 令x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2，t ∈⎣⎡⎦⎤1，32， f (x )＝F (t )＝t t 2－2t ＋4＝1t ＋4t －2，当t ＝4t时，t ＝±2∉⎣⎡⎦⎤1，32， 又t ∈⎣⎡⎦⎤1，32时，t ＋4t单调递减，F (t )单调递增，F (t )∈⎣⎡⎦⎤13，613. 即函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤13，613.。

第2课时 函数的定义域与值域函数的定义域求下列函数的定义域： (1)y ＝12－|x |＋x 2－1；(2)y ＝3xx －2＋lg(3－x )； (3)y ＝1log 0.5(x －2)＋(2x －5)0.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ 2－|x |≠0，x 2－1≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠±2，x ≤－1或x ≥1.所以函数的定义域为{x |x ≤－1或x ≥1且x ≠±2}． (2)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，x －2≠0，3－x >0，解得2<x <3.所以函数的定义域为(2,3)．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧log 0.5(x －2)>0，2x －5≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧2<x <3，x ≠52，所以函数的定义域为⎝⎛⎭⎫2，52∪⎝⎛⎭⎫52，3.思维升华 (1)给定函数的解析式，求函数的定义域的依据是使解析式有意义，如分式的分母不等于零，偶次根式的被开方数为非负数，零指数幂的底数不为零，对数的真数大于零且底数为不等于1的正数等．(2)求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题．在解不等式组时要细心，取交集时可借助数轴，并且要注意端点值或边界值．函数的值域例1 求下列函数的值域： (1)y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)； (2)y ＝2x ＋1x －3；(3)y ＝2x －x －1； (4)y ＝x ＋1＋x －1.解 (1)(配方法)y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2， 由x ∈[0,3)，再结合函数的图象(如图①所示)，可得函数的值域为[2,6)．(2)(分离常数法)y ＝2x ＋1x －3＝2(x －3)＋7x －3＝2＋7x －3，显然7x －3≠0，∴y ≠2.故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． (3)(换元法)设t ＝x －1，则x ＝t 2＋1，且t ≥0，∴y ＝2(t 2＋1)－t ＝2⎝⎛⎭⎫t －142＋158， 由t ≥0，再结合函数的图象(如图②所示)，可得函数的值域为⎣⎡⎭⎫158，＋∞. (4)函数的定义域为[1，＋∞)， ∵y ＝x ＋1与y ＝x －1在[1，＋∞)上均为增函数，∴y ＝x ＋1＋x －1在[1，＋∞)上为单调递增函数，∴x ＝1时，y min ＝2，即函数的值域为[2，＋∞)．结合本例(4)求函数y ＝x ＋1－x －1的值域．解 函数的定义域为[1，＋∞)， y ＝x ＋1－x －1＝2x ＋1＋x －1， 由本例(4)知函数y ＝x ＋1＋x －1的值域为[2，＋∞)，∴0<1x ＋1＋x －1≤22， ∴0<2x ＋1＋x －1≤2， ∴函数的值域为(0，2]．思维升华 求函数值域的一般方法(1)分离常数法．(2)反解法．(3)配方法．(4)不等式法．(5)单调性法．(6)换元法．(7)数形结合法．(8)导数法．跟踪训练1 求下列函数的值域： (1)y ＝1－x 21＋x 2；(2)y ＝x ＋41－x ； (3)y ＝x 2＋x ＋1x.解 (1)方法一 y ＝1－x 21＋x 2＝－1＋21＋x 2，因为x 2≥0，所以x 2＋1≥1，所以0<21＋x 2≤2.所以－1<－1＋21＋x 2≤1.即函数的值域为(－1,1]．方法二 由y ＝1－x 21＋x 2，得x 2＝1－y1＋y .因为x 2≥0，所以1－y1＋y≥0. 所以－1<y ≤1，即函数的值域为(－1,1]． (2)设t ＝1－x ，t ≥0，则x ＝1－t 2，所以原函数可化为y ＝1－t 2＋4t ＝－(t －2)2＋5(t ≥0)， 所以y ≤5，所以原函数的值域为(－∞，5]．(3)方法一 由y ＝x ＋1x ＋1，得x 2＋(1－y )x ＋1＝0.∵方程有实根，∴Δ＝(1－y )2－4≥0. 即(y －1)2≥4，∴y －1≤－2或y －1≥2. 得y ≤－1或y ≥3.即函数的值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 方法二 令y ′＝1－1x 2＝(x ＋1)(x －1)x 2<0，得－1<x <0或0<x <1.∴函数在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，此时y ≥3；函数在(－1,0)上单调递减，在(－∞，－1)上单调递增，此时y ≤－1. ∴y ≤－1或y ≥3.即函数的值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．定义域与值域的应用例2 (1)若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________． 答案 －92解析 函数f (x )的定义域是不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集．不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集为{x |1≤x ≤2}， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a <0，1＋2＝－b ，1×2＝ba，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－3，所以a ＋b ＝－32－3＝－92.(2)已知函数y ＝x 2＋ax －1＋2a 的值域为[0，＋∞)，求a 的取值范围．解 令t ＝g (x )＝x 2＋ax －1＋2a ，要使函数y ＝t 的值域为[0，＋∞)，则说明[0，＋∞)⊆{y |y ＝g (x )}，即二次函数的判别式Δ≥0，即a 2－4(2a －1)≥0，即a 2－8a ＋4≥0，解得a ≥4＋23或a ≤4－23，∴a 的取值范围是{a |a ≥4＋23或a ≤4－23}．思维升华 已知函数的定义域、值域求参数问题．可通过分析函数解析式的结构特征，结合函数的图象、性质、转化为含参数的方程、不等式(组)，然后求解．跟踪训练2 (1)若函数f (x )＝ax －2 021在[2 021，＋∞)上有意义，则实数a 的取值范围为________． 答案 [1，＋∞) 解析 由于函数f (x )＝ax －2 021在[2 021，＋∞)上有意义，即ax －2 021≥0在[2 021，＋∞)上恒成立，即a ≥2 021x 在[2 021，＋∞)上恒成立，而0<2 021x ≤1，故a ≥1.(2)已知函数f (x )＝12(x －1)2＋1的定义域与值域都是[1，b ](b >1)，则实数b ＝________.答案 3解析 f (x )＝12(x －1)2＋1，x ∈[1，b ]且b >1，则f (1)＝1，f (b )＝12(b －1)2＋1，∵f (x )在[1，b ]上为增函数， ∴函数值域为⎣⎡⎦⎤1，12(b －1)2＋1. 由已知得12(b －1)2＋1＝b ，解得b ＝3或b ＝1(舍)．我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数，一般用y ＝f (x )表示，抽象函数问题可以全面考查函数的概念和性质，将函数定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图象集于一身，是考查函数的良好载体． 一、抽象函数的函数值例1 (1)设函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)，f (xy )＝f (x )＋f (y )，若f (8)＝3，则f (2)＝________. 答案 12解析 因为f (8)＝3，所以f (2×4)＝f (2)＋f (4)＝f (2)＋f (2×2)＝f (2)＋f (2)＋f (2)＝3f (2)＝3，所以f (2)＝1.因为f (2)＝f (2×2)＝f (2)＋f (2)＝2f (2)，所以2f (2)＝1，所以f (2)＝12. (2)设函数f (x )的定义域为R ，对于任意实数x 1，x 2，都有f (x 1)＋f (x 2)＝2f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22 f ⎝⎛⎭⎫x 1－x 22，f (π)＝－1，则f (0)＝________. 答案 1解析 令x 1＝x 2＝π，则f (π)＋f (π)＝2f (π)f (0)，∴f (0)＝1.二、抽象函数的定义域例2 (1)(2019·皖南八校模拟)已知函数 f (x )＝ln(－x －x 2)，则函数f (2x ＋1)的定义域为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－1，－12 解析 由题意知，－x －x 2>0，∴－1<x <0，即f (x )的定义域为(－1,0)． ∴－1<2x ＋1<0，则－1<x <－12.(2)若函数f (2x )的定义域是[－1,1]，则f (log 2x )的定义域为________． 答案 [2，4]解析 对于函数y ＝f (2x )，－1≤x ≤1， ∴2－1≤2x ≤2.则对于函数y ＝f (log 2x )，2－1≤log 2x ≤2， ∴2≤x ≤4.故y ＝f (log 2x )的定义域为[2，4]．1．下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为( )A ．y ＝1sin xB ．y ＝ln xxC ．y ＝x e xD ．y ＝sin xx答案 D 解析 因为y ＝13x的定义域为{x |x ≠0}，而y ＝1sin x 的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }，y ＝ln x x的定义域为{x |x >0}，y ＝x e x 的定义域为R ，y ＝sin xx 的定义域为{x |x ≠0}，故D 正确．2．函数y ＝x －1＋1的值域为( ) A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[0，＋∞)D ．[1，＋∞)答案 D 解析 函数y ＝x －1＋1，定义域为[1，＋∞)，根据幂函数性质可知，该函数为增函数，当x ＝1时，该函数取得最小值1，故函数y ＝x －1＋1的值域为[1，＋∞)．3．在下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同是( ) A ．y ＝x B ．y ＝lg x C ．y ＝2x D ．y ＝1x答案 D解析 函数y ＝10lg x 的定义域和值域均为(0，＋∞)， 函数y ＝x 的定义域和值域均为R ，不满足要求；函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足要求； 函数y ＝2x 的定义域为R ，值域为(0，＋∞)，不满足要求； 函数y ＝1x的定义域和值域均为(0，＋∞)，满足要求； 故答案为D. 4．函数f (x )＝1log 2x －1的定义域为( )A ．(1,2)B ．(1，＋∞)C ．[1,2)∪(2，＋∞)D ．[1，＋∞)答案 C解析 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ≥0，log 2x ≠1，x >0，解得x ≥1且x ≠2，故函数f (x )的定义域为[1,2)∪(2，＋∞)．5．(2020·云南曲靖模拟)函数y ＝－x2x 2－3x －2的定义域为( )A ．(－∞，0] B.⎝⎛⎦⎤－∞，－12C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎦⎤－12，0 D.⎝⎛⎦⎤－12，0 答案 C解析 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧－x ≥0，2x 2－3x －2≠0，解得x ≤0且x ≠－12.故函数f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎦⎤－12，0. 6．(2020·云南玉溪一中模拟)函数f (x )＝－x 2－3x ＋4lg (x ＋1)的定义域为( )A ．(－1,0)∪(0,1]B ．(－1,1]C ．(－4，－1)D ．(－4,0)∪(0,1]答案 A解析 要使函数f (x )有意义，应有⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ＋4≥0，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0或0<x ≤1，故选A.7．函数y ＝⎝⎛⎭⎫14－x －3·2x－4的定义域为( ) A ．[2，＋∞ ) B ．(－∞ ，2] C ．[－2，＋∞ ) D ．(－∞ ，－2]答案 A解析 由题意得⎝⎛⎭⎫14－x－3·2x－4≥0， 即22x －3·2x －4≥0.∴(2x －4)(2x ＋1)≥0，解得x ≥2.故选A.8．若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎡⎦⎤－254，－4，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0,4] B.⎣⎡⎦⎤－254，－4 C.⎣⎡⎦⎤32，3 D.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ 答案 C解析 函数y ＝x 2－3x －4的图象如图所示．因为y ＝⎝⎛⎭⎫x －322－254≥－254，由图可知，m 的取值从对称轴的横坐标32开始，一直到点(0，－4)关于对称轴对称的点(3，－4)的横坐标3，故实数m 的取值范围是⎣⎡⎦⎤32，3. 9．(2019·江苏)函数y ＝7＋6x －x 2的定义域是________． 答案 [－1,7]解析 要使函数有意义，则7＋6x －x 2≥0，解得－1≤x ≤7，则函数的定义域是[－1,7]． 10．函数f (x )＝3x ＋2x ，x ∈[1,2]的值域为________．答案 [5,7]解析 令g (x )＝3x ＋2x ＝3⎝⎛⎭⎫x ＋23x ，x >0， 易证g (x )在⎣⎡⎭⎫23，＋∞上是增函数，∴f (x )在[1,2]上为增函数， 从而得f (x )的值域为[5,7]．11．若函数f (x )＝x －2＋2x ，则f (x )的定义域是________，值域是________． 答案 [2，＋∞) [4，＋∞) 解析 x －2≥0⇒x ≥2，所以函数f (x )的定义域是[2，＋∞)； 因为函数y ＝x －2，y ＝2x 都是[2，＋∞)上的单调递增函数，故函数f (x )＝x －2＋2x 也是[2，＋∞)上的单调递增函数，所以函数f (x )的最小值为f (x )min ＝f (2)＝4， 故函数f (x )＝x －2＋2x 的值域为[4，＋∞)．12．函数y ＝x 2＋2x ＋3x －1(x >1)的值域为________．答案 [26＋4，＋∞)解析 令x －1＝t >0，∴x ＝t ＋1.∴y ＝(t ＋1)2＋2(t ＋1)＋3t ＝t 2＋4t ＋6t ＝t ＋6t ＋4≥2 6＋4，当且仅当t ＝6t 即t ＝6时等号成立．∴函数的值域为[26＋4，＋∞)．13．若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是( )A ．[0,1)B ．[0,1]C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1)答案 A解析 函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，要使函数g (x )有意义，可得⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2，x －1≠0，解得0≤x <1，故选A.14．若函数y ＝ax ＋1ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________．答案 [0,3)解析 因为函数y ＝ax ＋1ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ，所以ax 2＋2ax ＋3＝0无实数解，即函数y ＝ax 2＋2ax ＋3的图象与x 轴无交点． 当a ＝0时，函数y ＝3的图象与x 轴无交点； 当a ≠0时，Δ＝(2a )2－4·3a <0，解得0<a <3. 综上所述，a 的取值范围是[0,3)．15．(2020·贵阳一中、云南师大附中、南宁三中联考)新定义运算⎝⎛⎭⎪⎫a c bd ＝⎩⎪⎨⎪⎧ad －bc ，ad ≥bc ，bc －ad ，ad <bc ，若f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫x x －1x －2 2x ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，72时，f (x )的值域为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，94 B.⎣⎡⎭⎫0，74 C.⎝⎛⎭⎫74，94 D.⎣⎡⎦⎤0，94 答案 D 解析 由题意知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－(x －1)(x －2)，2≥(x －1)(x －2)，(x －1)(x －2)－2，2<(x －1)(x －2)，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x ，0≤x ≤3，x 2－3x ，x <0或x >3，∵x ∈⎝⎛⎭⎫0，72， ∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫32＝94，f (x )min ＝f (3)＝0， ∴f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤0，94. 16．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log ax ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1,2]解析 当x ≤2时，f (x )＝－x ＋6，f (x )在(－∞，2]上为减函数，∴f (x )∈[4，＋∞)．当x >2时，若a ∈(0,1)，则f (x )＝3＋log a x 在(2，＋∞)上为减函数，f (x )∈(－∞，3＋log a 2)，显然不满足题意，∴a >1，此时f (x )在(2，＋∞)上为增函数，f (x )∈(3＋log a 2，＋∞)，由题意可知(3＋log a 2，＋∞)⊆[4，＋∞)，则3＋log a 2≥4，即log a 2≥1，∴1<a ≤2.。

第2课时函数的定义域与值域[目标] 1.了解构成函数的要素，理解函数相等的概念；2.会求简单函数的定义域与值域；3.会求形如f(g(x))的函数的定义域．[重点] 函数相等的概念，求函数的值域．[难点] 求函数的值域，求形如f(g(x))的函数的定义域.知识点一函数相等[填一填]1．条件：①定义域相同；②对应关系完全一致．2．结论：两个函数相等．[答一答]1．若两个函数的定义域和值域相同，它们是否为同一函数？对应关系和值域相同呢？提示：观察下表：对于f1(x)和f2(x)，定义域和值域虽相同，但对应关系不同，故不是同一函数；对于f3(x)和f4(x)，对应关系和值域虽相同，但定义域不同，故不是同一函数．知识点二函数的定义域[填一填]函数的定义域是使函数有意义的所有自变量的集合．求函数的定义域时，一般遵循以下原则：1．f(x)是整式时，定义域是全体实数的集合．2．f (x )是分式时，定义域是使分母不为0的一切实数的集合． 3．f (x )是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值的实数的集合． 4．零(负)指数幂的底数不能为零．5．对于含字母参数的函数，求其定义域时，需根据问题的具体情况对字母参数进行讨论．6．由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．[答一答]2．函数f (x )＝x －1x －2＋(x －1)0的定义域为( D ) A ．{x |x ≥1} B ．{x |x >1}C ．{x |1≤x <2或x >2}D ．{x |1<x <2或x >2}解析：要使函数有意义，则只需⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －2≠0，x －1≠0，解得1<x <2或x >2，所以函数的定义域为{x |1<x <2或x >2}．故选D.知识点三 函数的值域[填一填]求函数的值域是一个较复杂的问题，要首先明确两点：一是值域的概念，即对于定义域A 上的函数y ＝f (x )，其值域就是指其函数值的集合：{f (x )|x ∈A }；二是函数的定义域、对应关系是确定函数的依据．另外，在求函数的值域时，要根据所给的函数的形式，采用相应的方法．[答一答]3．已知函数y ＝x 2，x ∈{0,1,2，－1}，函数y ＝x 2的值域是什么？提示：当x ＝0时，y ＝0；当x ＝±1时，y ＝1；当x ＝2时，y ＝4.所以函数的值域是{0,1,4}．类型一 函数相等的判断[例1] 下列各组函数： ①f (x )＝x 2－xx ，g (x )＝x －1；②f (x )＝x x ，g (x )＝x x； ③f (x )＝x ＋1·1－x ，g (x )＝1－x 2； ④f (x )＝(x ＋3)2，g (x )＝x ＋3；⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f (t )＝80t (0≤t ≤5)与一次函数g (x )＝80x (0≤x ≤5)．其中表示相等函数的是____________(填上所有正确的序号)． [答案] ③⑤[解析] ①不同，定义域不同，f (x )定义域为{x |x ≠0}，g (x )定义域为R .②不同，对应法则不同，f (x )＝1x，g (x )＝x .③相同，定义域、对应法则都相同．④不同，值域不同，f (x )≥0，g (x )∈R .⑤相同，定义域、对应法则都相同．讨论函数问题时，要保持定义域优先的原则.判断两个函数是否相等，要先求定义域，若定义域不同，则不相等；若定义域相同，再化简函数的解析式，若解析式相同，则相等，否则不相等.[变式训练1] 下列各组中两个函数是否表示相等函数？ (1)f (x )＝6x ，g (x )＝63x 3； (2)f (x )＝x 2－9x －3，g (x )＝x ＋3；(3)f (x )＝x 2－2x －1，g (t )＝t 2－2t －1.解：(1)g (x )＝63x 3＝6x ，它与f (x )＝6x 定义域相同，对应关系也相同，所以是相等函数． (2)f (x )＝x 2－9x －3＝x ＋3(x ≠3)，它与g (x )＝x ＋3的定义域不同，故不是相等函数．(3)虽然自变量用不同的字母表示，但两个函数的定义域和对应关系都相同，故是相等函数．类型二 函数的定义域 命题视角1：求具体函数的定义域[例2] 求下列函数的定义域，结果用区间表示： (1)y ＝x ＋2＋1x 2－x －6；(2)y ＝(x ＋1)0|x |－x .[解] (1)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2≥0，x 2－x －6≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－2，x ≠－2且x ≠3，故函数的定义域是(－2,3)∪(3，＋∞)．(2)要使函数有意义，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，|x |－x >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1，x <0，故函数的定义域是(－∞，－1)∪(－1,0)．求函数的定义域就是求使函数式有意义的自变量的取值范围.当一个函数式由两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合.[变式训练2] 求下列函数的定义域： (1)y ＝1－x ＋1x ＋5；(2)y ＝31－1－x.解析：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ＋5≠0，解得x ≤1且x ≠－5.所求定义域为{x |x ≤1且x ≠－5}．(2)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，1－1－x ≠0，解得x ≤1且x ≠0.所求定义域为{x |x ≤1且x ≠0}．命题视角2：求抽象函数的定义域[例3] (1)已知函数f (x )的定义域是[－1,4]，求函数f (2x ＋1)的定义域． (2)已知函数f (2x ＋1)的定义域是[－1,4]，求函数f (x )的定义域．[分析] 在对应关系相同的情况下， f (x )中x 应与f (g (x ))中g (x )的取值范围相同，据此可解答该题．[解] (1)由已知f (x )的定义域是[－1,4]， 即－1≤x ≤4.故对于f (2x ＋1)应有－1≤2x ＋1≤4. ∴－2≤2x ≤3，∴－1≤x ≤32.∴f (2x ＋1)的定义域是⎣⎡⎦⎤－1，32. (2)由已知f (2x ＋1)的定义域是[－1,4]，即f (2x ＋1)中，应有－1≤x ≤4，∴－1≤2x ＋1≤9. ∴f (x )的定义域是[－1,9]．因为f (g (x ))就是用g (x )代替了f (x )中的x ，所以g (x )的取值范围与f (x )中的x 的取值范围相同.若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则函数f (g (x ))的定义域是指满足不等式a ≤g (x )≤b 的x 的取值范围；而已知f (g (x ))的定义域是[a ，b ]，指的是x ∈[a ，b ]，要求f (x )的定义域，就是求x ∈[a ，b ]时g (x )的值域.[变式训练3] 若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是( B )A ．[0,1]B ．[0,1)C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1)解析：因为f (x )的定义域为[0,2]，所以对于函数g (x )满足0≤2x ≤2，且x ≠1，故x ∈[0,1)．类型三 求函数的值域[例4] 求下列函数的值域． (1)f (x )＝3x －1，x ∈[－5,2)； (2)y ＝2x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}； (3)y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1,5)；(4)y ＝5x －14x ＋2.[解] (1)∵x ∈[－5,2)，∴－15≤3x <6，∴－16≤3x －1<5，∴函数f (x )＝3x －1，x ∈[－5,2)的值域是[－16,5)． (2)∵x ∈{1,2,3,4,5}，∴2x ＋1∈{3,5,7,9,11}，即所求函数的值域为{3,5,7,9,11}． (3)y ＝x 2－4x ＋6＝(x －2)2＋2.∵x ∈[1,5)，∴其图象如图所示， 当x ＝2时，y ＝2；当x ＝5时，y ＝11. ∴所求函数的值域为[2,11)． (4)y ＝5x －14x ＋2＝54(4x ＋2)－1－1044x ＋2＝54(4x ＋2)－1444x ＋2＝54－72(4x ＋2).∵72(4x ＋2)≠0，∴y ≠54，∴函数y ＝5x －14x ＋2的值域为{y ∈R |y ≠54}．根据函数关系式，选择恰当的方法求函数的值域.(1)对于一次函数，已知自变量的取值范围，依据简单不等式的运算，求得函数的取值范围，即为函数的值域；(2)对于二次函数，可借助图象求函数的值域；(3)通过分离常数，借助反比例函数的特征求值域.无论哪种方法求值域，都应注意定义域的限制.[变式训练4] 求下列函数的值域： (1)y ＝2x ＋1，x ∈{0,1,3,4}； (2)y ＝xx ＋1；(3)y ＝x 2－4x ，x ∈[1,4]． 解：(1)∵y ＝2x ＋1，x ∈{0,1,3,4}， ∴y ∈{1,3,7,9}．(2)∵y ＝xx ＋1＝(x ＋1)－1x ＋1＝1－1x ＋1，且1x ＋1≠0， ∴函数y ＝xx ＋1的值域为{y |y ≠1}．(3)配方，得y ＝(x －2)2－4. ∵x ∈[1,4]，∴函数的值域为[－4,0].1．函数f (x )＝x ＋1＋12－x的定义域为( A ) A ．[－1,2)∪(2，＋∞) B ．(－1，＋∞) C ．[－1,2)D ．[－1，＋∞)解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2－x ≠0，解得x ≥－1且x ≠2.故选A.2．函数f (x )＝x 2＋1(0<x ≤2且x ∈N *)的值域是( D ) A ．{x |x ≥1} B ．{x |x >1} C ．{2,3}D ．{2,5}解析：∵0<x ≤2且x ∈N *， ∴x ＝1或x ＝2. ∴f (1)＝2，f (2)＝5， 故函数的值域为{2,5}．3．若函数f (x )与g (x )＝32－x －2是相等的函数，则函数f (x )的定义域是[2,6)∪(6，＋∞)．解析：∵2－x －2≠0，∴x ≠6，又x －2≥0，∴x ≥2，∴g (x )的定义域为[2,6)∪(6，＋∞)． 故f (x )的定义域是[2,6)∪(6，＋∞)．4．已知函数f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，则函数f (2x ＋1)的定义域为{x |－1<x <0}． 解析：因为f (x )的定义域为{x |－1<x <1}， 所以－1<2x ＋1<1，解得－1<x <0.所以f (2x ＋1)的定义域为{x |－1<x <0}． 5．试求下列函数的定义域与值域： (1)f (x )＝(x －1)2＋1； (2)y ＝5x ＋4x －1；(3)y ＝x －x ＋1.解：(1)函数的定义域为R ，因为(x －1)2＋1≥1，所以函数的值域为{y |y ≥1}． (2)函数的定义域为{x |x ≠1}，y ＝5x ＋4x －1＝5＋9x －1，所以函数的值域为{y |y ≠5}．(3)要使函数式有意义，需x ＋1≥0，即x ≥－1，故函数的定义域为{x |x ≥－1}．设t ＝x ＋1，则x ＝t 2－1(t ≥0)，于是y ＝t 2－1－t ＝(t －12)2－54，又t ≥0，故y ≥－54，所以函数的值域为{y |y ≥－54}．——本课须掌握的三大问题1．两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一函数，根据它们之间的关系，判断两个函数是否为同一函数，主要看它们的定义域和对应法则是否相同．因为只要定义域相同，对应法则相同，则值域就相同．2．研究函数问题必须树立“定义域优先”原则．求函数定义域一般有三种类型：(1)函数来自实际问题的定义域；(2)已知函数解析式求定义域；(3)抽象函数求定义域．3．求值域的方法有：(1)观察法：根据定义域和对应关系求出；(2)数形结合法：作出函数的图象，然后求解；(3)配方法：配方求解；(4)分离常数法：添一项、减一项，分离出常数再求解；(5)换元法：可以将无理函数转换成有理函数再求解．学习至此，请完成课时作业7 学科素养培优精品微课堂 复合函数与抽象函数开讲啦 1.复合函数的概念如果函数y ＝f (t )的定义域为A ，函数t ＝g (x )的定义域为D ，值域为C ，则当C ⊆A 时，称函数y ＝f (g (x ))为f (t )与g (x )在D 上的复合函数，其中t 叫做中间变量，t ＝g (x )叫做内层函数，y ＝f (t )叫做外层函数．2．抽象函数的概念没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数． 3．抽象函数或复合函数的定义域理解抽象函数或复合函数的定义域，要明确以下几点： (1)函数f (x )的定义域是指x 的取值范围．(2)函数f (φ(x ))的定义域是指x 的取值范围，而不是φ(x )的范围．(3)f (t )，f (φ(x ))，f (h (x ))三个函数中的t ，φ(x )，h (x )在对应关系f 下的范围相同． [典例] 若函数f (x )的定义域为[0,1]，求g (x )＝f (x ＋m )＋f (x －m )(m >0)的定义域． [解] ∵f (x )的定义域为[0,1]，∴g (x )＝f (x ＋m )＋f (x －m )中自变量x 需满足⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ＋m ≤1，0≤x －m ≤1，解得⎩⎪⎨⎪⎧－m ≤x ≤1－m ，m ≤x ≤1＋m .当1－m ＝m ，即m ＝12时，x ＝12；当1－m >m ，即0<m <12时，如图1，m ≤x ≤1－m .当1－m <m ，即m >12时，如图2，x ∈∅.综上所述，当0<m <12时，g (x )的定义域为[m,1－m ]；当m ＝12时，g (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫12；当m >12时，函数g (x )的定义域为∅.[对应训练] 已知函数f (x ＋3)的定义域为[－4,5]，则函数f (2x －3)的定义域为⎣⎡⎦⎤1，112. 解析：∵函数f (x ＋3)的定义域为[－4,5]，∴－4≤x ≤5，∴－1≤x ＋3≤8，即函数f (x )的定义域为[－1,8]．由－1≤2x －3≤8，解得1≤x ≤112.故函数f (2x －3)的定义域为⎣⎡⎦⎤1，112.。

第2讲 函数与映射的概念★知识梳理1．函数的概念设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为A x x f y ∈=),((2)函数的定义域、值域在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈)(称为函数)(x f y =的值域。

(2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则2．映射的概念设B A 、是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任意元素，在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，这样的单值对应叫做从A 到B 的映射，记为B A f →: ★重、难点突破重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域难点：求函数的值域和求抽象函数的定义域重难点：1．关于抽象函数的定义域求抽象函数的定义域，如果没有弄清所给函数之间的关系，求解容易出错误问题1：已知函数)(x f y =的定义域为][b a ，，求)2(+=x f y 的定义域[误解]因为函数)(x f y =的定义域为][b a ，，所以b x a ≤≤，从而222+≤+≤+b x a 故)2(+=x f y 的定义域是]2,2[++b a[正解]因为)(x f y =的定义域为][b a ，，所以在函数)2(+=x f y 中，b x a ≤+≤2， 从而22-≤≤-b x a ，故)2(+=x f y 的定义域是]2,2[--b a即本题的实质是求b x a ≤+≤2中x 的范围问题2：已知)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，求函数)(x f y =的定义域[误解]因为函数)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，所以得到b x a ≤+≤2，从而22-≤≤-b x a ，所以函数)(x f y =的定义域是]2,2[--b a[正解]因为函数)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，则b x a ≤≤，从而222+≤+≤+b x a 所以函数)(x f y =的定义域是]2,2[++b a即本题的实质是由b x a ≤≤求2+x 的范围即)(x f 与)2(+x f 中x 含义不同1． 求值域的几种常用方法（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数4cos 2sin 2+--=x x y ，可变为2)1(cos 4cos 2sin 22+-=+--=x x x y 解决（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数)32(log 221++-=x x y 就是利用函数u y 21log =和322++-=x x u 的值域来求。

函数的定义域与值域函数是数学中常见的概念，它描述了输入和输出之间的关系。

在函数中，定义域和值域是两个重要的概念。

本文将介绍函数的定义域与值域的定义及其在数学中的应用。

一、定义域的定义在函数中，定义域表示输入的取值范围。

换句话说，对于一个函数f(x)，定义域是指在满足特定条件下x可以取值的范围。

通常情况下，定义域可以是实数集、有理数集或整数集等。

例如，对于函数f(x) = √(x - 1)，由于在实数范围内，被开方数不能为负数，所以定义域为x ≥ 1。

二、值域的定义在函数中，值域表示函数的输出结果的集合。

换句话说，对于函数f(x)，值域是指所有可能的输出值的集合。

值域可以是实数集、有理数集或整数集等。

例如，对于函数f(x) = x^2，所有的输出结果都是非负数，所以值域为y ≥ 0。

三、定义域与值域的关系定义域和值域之间存在一定的关系。

函数的定义域决定了函数的输入范围，而函数的值域决定了函数的输出结果。

在某些情况下，函数的定义域和值域可能具有一定的约束条件。

例如，对于函数f(x) = 1/x，定义域为除了x = 0之外的所有实数集。

然而，由于分母不能为零，值域为除了y = 0之外的所有实数集。

四、定义域和值域的确定方法确定函数的定义域和值域的方法主要依赖于函数的类型和特点。

以下是一些常见的方法：1. 对于基本函数，如多项式函数、指数函数、对数函数和三角函数等，定义域和值域可能由函数的特性直接决定。

2. 对于复合函数，函数的定义域和值域可以通过确定组成函数的子函数的定义域和值域，并进行合适的组合得出。

3. 对于有条件约束的函数，如分段函数和绝对值函数等，定义域和值域需要根据函数的条件进行确定。

五、应用举例以下是一些常见函数及其定义域和值域的示例：1. 函数f(x) = x^2，定义域为所有实数集，值域为y ≥ 0。

2. 函数f(x) = √(x - 1)，定义域为x ≥ 1，值域为y ≥ 0。

3. 函数f(x) = 1/x，定义域为除了x = 0之外的所有实数集，值域为除了y = 0之外的所有实数集。

第2课时函数的定义域与值域[目标] 1.了解构成函数的要素，理解函数相等的概念；2.会求简单函数的定义域与值域；3.会求形如f(g(x))的函数的定义域．[重点] 函数相等的概念，求函数的值域．[难点] 求函数的值域，求形如f(g(x))的函数的定义域.知识点一函数相等[填一填]1．条件：①定义域相同；②对应关系完全一致．2．结论：两个函数相等．[答一答]1．若两个函数的定义域和值域相同，它们是否为同一函数？对应关系和值域相同呢？提示：观察下表：12对于f3(x)和f4(x)，对应关系和值域虽相同，但定义域不同，故不是同一函数．知识点二函数的定义域[填一填]函数的定义域是使函数有意义的所有自变量的集合．求函数的定义域时，一般遵循以下原则：1．f(x)是整式时，定义域是全体实数的集合．2．f (x )是分式时，定义域是使分母不为0的一切实数的集合． 3．f (x )是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值的实数的集合． 4．零(负)指数幂的底数不能为零．5．对于含字母参数的函数，求其定义域时，需根据问题的具体情况对字母参数进行讨论．6．由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．[答一答]2．函数f (x )＝x －1x －2＋(x －1)0的定义域为( D ) A ．{x |x ≥1} B ．{x |x >1}C ．{x |1≤x <2或x >2}D ．{x |1<x <2或x >2}解析： 要使函数有意义，则只需⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －2≠0，x －1≠0，解得1<x <2或x >2，所以函数的定义域为{x |1<x <2或x >2}．故选D.知识点三 函数的值域[填一填]求函数的值域是一个较复杂的问题，要首先明确两点：一是值域的概念，即对于定义域A 上的函数y ＝f (x )，其值域就是指其函数值的集合：{f (x )|x ∈A }；二是函数的定义域、对应关系是确定函数的依据．另外，在求函数的值域时，要根据所给的函数的形式，采用相应的方法．[答一答]3．已知函数y ＝x 2，x ∈{0,1,2，－1}，函数y ＝x 2的值域是什么？提示：当x ＝0时，y ＝0；当x ＝±1时，y ＝1；当x ＝2时，y ＝4.所以函数的值域是{0,1,4}．[例1] 下列各组函数：①f (x )＝x 2－xx，g (x )＝x －1；②f (x )＝x x ，g (x )＝x x； ③f (x )＝x ＋1·1－x ，g (x )＝1－x 2； ④f (x )＝(x ＋3)2，g (x )＝x ＋3；⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f (t )＝80t (0≤t ≤5)与一次函数g (x )＝80x (0≤x ≤5)．其中表示相等函数的是____________(填上所有正确的序号)． [答案] ③⑤[解析] ①不同，定义域不同，f (x )定义域为{x |x ≠0}，g (x )定义域为R .②不同，对应法则不同，f (x )＝1x，g (x )＝x .③相同，定义域、对应法则都相同．④不同，值域不同，f (x )≥0，g (x )∈R .⑤相同，定义域、对应法则都相同．讨论函数问题时，要保持定义域优先的原则.判断两个函数是否相等，要先求定义域，若定义域不同，则不相等；若定义域相同，再化简函数的解析式，若解析式相同，则相等，否则不相等.[变式训练1] 下列各组中两个函数是否表示相等函数？ (1)f (x )＝6x ，g (x )＝63x 3；(2)f (x )＝x 2－9x －3，g (x )＝x ＋3；(3)f (x )＝x 2－2x －1，g (t )＝t 2－2t －1.解：(1)g (x )＝63x 3＝6x ，它与f (x )＝6x 定义域相同，对应关系也相同，所以是相等函数．(2)f (x )＝x 2－9x －3＝x ＋3(x ≠3)，它与g (x )＝x ＋3的定义域不同，故不是相等函数．(3)虽然自变量用不同的字母表示，但两个函数的定义域和对应关系都相同，故是相等函数．命题视角1：求具体函数的定义域[例2] 求下列函数的定义域，结果用区间表示： (1)y ＝x ＋2＋1x 2－x －6；(2)y ＝(x ＋1)|x |－x .[解] (1)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x 2－x －6≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－2，x ≠－2且x ≠3，故函数的定义域是(－2,3)∪(3，＋∞)．(2)要使函数有意义，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，|x |－x >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1，x <0，故函数的定义域是(－∞，－1)∪(－1,0)．求函数的定义域就是求使函数式有意义的自变量的取值范围.当一个函数式由两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合.[变式训练2] 求下列函数的定义域： (1)y ＝1－x ＋1x ＋5；(2)y ＝31－1－x. 解析：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ＋5≠0，解得x ≤1且x ≠－5.所求定义域为{x |x ≤1且x ≠－5}．(2)由已知得⎩⎨⎧1－x ≥0，1－1－x ≠0，解得x ≤1且x ≠0.所求定义域为{x |x ≤1且x ≠0}．命题视角2：求抽象函数的定义域[例3] (1)已知函数f (x )的定义域是[－1,4]，求函数f (2x ＋1)的定义域． (2)已知函数f (2x ＋1)的定义域是[－1,4]，求函数f (x )的定义域．[分析] 在对应关系相同的情况下，f (x )中x 应与f (g (x ))中g (x )的取值范围相同，据此可解答该题．[解] (1)由已知f (x )的定义域是[－1,4]， 即－1≤x ≤4.故对于f (2x ＋1)应有－1≤2x ＋1≤4. ∴－2≤2x ≤3，∴－1≤x ≤32.∴f (2x ＋1)的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32. (2)由已知f (2x ＋1)的定义域是[－1,4]，即f (2x ＋1)中，应有－1≤x ≤4，∴－1≤2x ＋1≤9. ∴f (x )的定义域是[－1,9]．因为f (g (x ))就是用g (x )代替了f (x )中的x ，所以g (x )的取值范围与f (x )中的x 的取值范围相同.若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则函数f (g (x ))的定义域是指满足不等式a ≤g (x )≤b 的x 的取值范围；而已知f (g (x ))的定义域是[a ，b ]，指的是x ∈[a ，b ]，要求f (x )的定义域，就是求x ∈[a ，b ]时g (x )的值域.[变式训练3] 若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是( B )A ．[0,1]B ．[0,1)C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1)解析：因为f (x )的定义域为[0,2]，所以对于函数g (x )满足0≤2x ≤2，且x ≠1，故x ∈[0,1)．类型三 求函数的值域[例4] 求下列函数的值域． (1)f (x )＝3x －1，x ∈[－5,2)； (2)y ＝2x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}； (3)y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1,5)； (4)y ＝5x －14x ＋2.[解] (1)∵x ∈[－5,2)，∴－15≤3x <6，∴－16≤3x －1<5，∴函数f (x )＝3x －1，x ∈[－5,2)的值域是[－16,5)．(2)∵x ∈{1,2,3,4,5}，∴2x ＋1∈{3,5,7,9,11}，即所求函数的值域为{3,5,7,9,11}． (3)y ＝x 2－4x ＋6＝(x －2)2＋2. ∵x ∈[1,5)，∴其图象如图所示， 当x ＝2时，y ＝2；当x ＝5时，y ＝11. ∴所求函数的值域为[2,11)． (4)y ＝5x －14x ＋2＝54(4x ＋2)－1－1044x ＋2＝54(4x ＋2)－1444x ＋2＝54－72(4x ＋2).∵72(4x ＋2)≠0，∴y ≠54，∴函数y ＝5x －14x ＋2的值域为{y ∈R |y ≠54}．根据函数关系式，选择恰当的方法求函数的值域.(1)对于一次函数，已知自变量的取值范围，依据简单不等式的运算，求得函数的取值范围，即为函数的值域；(2)对于二次函数，可借助图象求函数的值域；(3)通过分离常数，借助反比例函数的特征求值域.无论哪种方法求值域，都应注意定义域的限制.[变式训练4] 求下列函数的值域： (1)y ＝2x ＋1，x ∈{0,1,3,4}； (2)y ＝xx ＋1；(3)y ＝x 2－4x ，x ∈[1,4]．解：(1)∵y ＝2x ＋1，x ∈{0,1,3,4}， ∴y ∈{1,3,7,9}． (2)∵y ＝xx ＋1＝(x ＋1)－1x ＋1＝1－1x ＋1，且1x ＋1≠0， ∴函数y ＝xx ＋1的值域为{y |y ≠1}．(3)配方，得y ＝(x －2)2－4. ∵x ∈[1,4]，∴函数的值域为[－4,0].1．函数f (x )＝x ＋1＋12－x 的定义域为( A )A ．[－1,2)∪(2，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．[－1,2)D ．[－1，＋∞)解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2－x ≠0，解得x ≥－1且x ≠2.故选A.2．函数f (x )＝x 2＋1(0<x ≤2且x ∈N *)的值域是( D ) A ．{x |x ≥1} B ．{x |x >1} C ．{2,3}D ．{2,5}解析：∵0<x ≤2且x ∈N *， ∴x ＝1或x ＝2. ∴f (1)＝2，f (2)＝5， 故函数的值域为{2,5}．3．若函数f (x )与g (x )＝32－x －2是相等的函数，则函数f (x )的定义域是[2,6)∪(6，＋∞)．解析：∵2－x －2≠0，∴x ≠6， 又x －2≥0，∴x ≥2，∴g (x )的定义域为[2,6)∪(6，＋∞)． 故f (x )的定义域是[2,6)∪(6，＋∞)．4．已知函数f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，则函数f (2x ＋1)的定义域为{x |－1<x <0}． 解析：因为f (x )的定义域为{x |－1<x <1}， 所以－1<2x ＋1<1，解得－1<x <0.所以f (2x ＋1)的定义域为{x |－1<x <0}． 5．试求下列函数的定义域与值域： (1)f (x )＝(x －1)2＋1； (2)y ＝5x ＋4x －1；(3)y ＝x －x ＋1.解：(1)函数的定义域为R ，因为(x －1)2＋1≥1，所以函数的值域为{y |y ≥1}．(2)函数的定义域为{x |x ≠1}，y ＝5x ＋4x －1＝5＋9x －1，所以函数的值域为{y |y ≠5}．(3)要使函数式有意义，需x ＋1≥0，即x ≥－1，故函数的定义域为{x |x ≥－1}．设t ＝x ＋1，则x ＝t 2－1(t ≥0)，于是y ＝t 2－1－t ＝(t －12)2－54，又t ≥0，故y ≥－54，所以函数的值域为{y |y ≥－54}．——本课须掌握的三大问题1．两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一函数，根据它们之间的关系，判断两个函数是否为同一函数，主要看它们的定义域和对应法则是否相同．因为只要定义域相同，对应法则相同，则值域就相同．2．研究函数问题必须树立“定义域优先”原则．求函数定义域一般有三种类型：(1)函数来自实际问题的定义域；(2)已知函数解析式求定义域；(3)抽象函数求定义域．3．求值域的方法有：(1)观察法：根据定义域和对应关系求出；(2)数形结合法：作出函数的图象，然后求解；(3)配方法：配方求解；(4)分离常数法：添一项、减一项，分离出常数再求解；(5)换元法：可以将无理函数转换成有理函数再求解．学习至此，请完成课时作业7 学科素养培优精品微课堂 复合函数与抽象函数开讲啦1.复合函数的概念如果函数y ＝f (t )的定义域为A ，函数t ＝g (x )的定义域为D ，值域为C ，则当C ⊆A 时，称函数y ＝f (g (x ))为f (t )与g (x )在D 上的复合函数，其中t 叫做中间变量，t ＝g (x )叫做内层函数，y ＝f (t )叫做外层函数．2．抽象函数的概念没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数． 3．抽象函数或复合函数的定义域理解抽象函数或复合函数的定义域，要明确以下几点： (1)函数f (x )的定义域是指x 的取值范围．(2)函数f (φ(x ))的定义域是指x 的取值范围，而不是φ(x )的范围．(3)f (t )，f (φ(x ))，f (h (x ))三个函数中的t ，φ(x )，h (x )在对应关系f 下的范围相同．[典例] 若函数f (x )的定义域为[0,1]，求g (x )＝f (x ＋m )＋f (x －m )(m >0)的定义域． [解] ∵f (x )的定义域为[0,1]，∴g (x )＝f (x ＋m )＋f (x －m )中自变量x 需满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＋m ≤1，0≤x －m ≤1，解得⎩⎪⎨⎪⎧－m ≤x ≤1－m ，m ≤x ≤1＋m .当1－m ＝m ，即m ＝12时，x ＝12；当1－m >m ，即0<m <12时，如图1，m ≤x ≤1－m .当1－m <m ，即m >12时，如图2，x ∈∅.综上所述，当0<m <12时，g (x )的定义域为[m,1－m ]；当m ＝12时，g (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫12；当m >12时，函数g (x )的定义域为∅.[对应训练] 已知函数f (x ＋3)的定义域为[－4,5]，则函数f (2x －3)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，112. 解析：∵函数f (x ＋3)的定义域为[－4,5]，∴－4≤x ≤5，∴－1≤x ＋3≤8，即函数f (x )的定义域为[－1,8]．由－1≤2x －3≤8，解得1≤x ≤112.故函数f (2x －3)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，112.。

第二讲：函数的定义域与值域一．知识梳理1. 函数的定义域(1) 函数的定义域是构成函数的非常重要的部分,若没有标明定义域,则认为定义域是使得函数解析式有意义的x的取值范围.(2) 分式中分母应不等于0;偶次根式中被开方数应为非负数,奇次根式中被开方数为一切实数;零指数幂中底数不等于0,负分数指数幂中底数应不等于0.(3) 对数式中,真数必须大于0,底数必须大于0且不等于1,含有三角函数的角要使该三角函数有意义等.(4) 实际问题中还需考虑自变量的实际意义,若解析式由几个部分组成,则定义域为各个部分相应集合的交集.2. 求函数值域主要的几种方法(1) 函数的定义域与对应法则直接制约着函数的值域,对于一些比较简单的函数可直接通过观察法求得值域.(2) 二次函数或可转化为二次函数形式的问题,常用配方法求值域.(3) 分子、分母是一次函数或二次齐次式的有理函数常用分离变量法求值域;分子、分母中含有二次项的有理函数,常用判别式法求值域(主要适用于定义域为R的函数).(4) 单调函数常根据函数的单调性求得值域.(5) 很多函数可拆配成基本不等式的形式,利用基本不等式求值域.(6) 有些函数具有明显的几何意义,可根据几何意义的方法求值域.(7) 只要是能求导数的函数常可用导数的方法求值域.（8）利用有界函数求值域3.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.二．考点突破1.已知解析式求定义域例1：函数f(x)=lg(2x-1)+(3-2x)0的定义域是.变式练习：1.函数y=log2(x-3)的定义域为.2. 设全集为R,函数f(x)=的定义域为M,则∁RM=.3.函数f(x)=+1x4+的定义域为.4.函数f(x)=3(3x-1)的定义域为.5.已知函数f(x)的定义域为(-1,0),则函数f(2x+1)的定义域为6.已知函数f(2x)的定义域为[-1,1],则f(x)的定义域为.2.求函数的值域例2：求下列函数的值域:(1) y=3x2-x+2,x∈[1,3]; (2) y=3x1x-2+；（4）281xyx+=-（5）12log,1()2,1xx xf xx≥⎧⎪=⎨⎪<⎩（6）y=；2()23f xx=+变式练习：1.函数f(x)=x2-2x的定义域为,值域为.2.已知一个函数的解析式为f(x)=2x+1,它的值域为{-1,2,5,8},则它的定义域为.3.函数y=-x(x≥0)的最大值为.4. 已知y=f(x)的图象如图所示,那么f(x)的定义域为, 值域为.5. 函数221x xyx x-=-+的值域为.6. 函数sin2cosxyx=-的值域为.3.结合函数的定义域求参数的值或范围例3：如果函数y=R,求实数m的取值范围.变式：若函数f(x)= R,则实数a的取值范围为.4.结合函数的值域求参数的值或范围例4：若函数f(x)=2ax 1x c ++(c>0)的值域为[-1,5],求实数a,c 的值.变式1.已知函数f(x)=12(x-1)2+1的定义域和值域均为[1,b](b>1),求实数b 的值.2.已知22()x x a f x x++= ,x ∈[1,+∞). (1)当a=12时,求函数f(x)的最小值. (2)若对任意x ∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,试求实数a 的取值范围.当堂检测1. (2014·芜湖模拟)函数x 的取值范围是 .2. 函数f(x)=的定义域为 .3. 已知函数y=R ,那么实数m 的取值范围为 .4. (2014·河北模拟)已知函数那么f(x)的定义域为 .5.设2(),1()1,1x a x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨++<⎪⎩若()(0)f x f ≥求a 的取值范围为课后练习（函数的定义域与值域）一、填空题1. 函数f(x)=2. 函数y=ln(1-x)的定义域为 .3. 若函数y=2x-1的定义域是(-∞,1)∪[2,5),则其值域为 .4. (2014·肇庆模拟)函数的定义域为 . 5. (2014·南京、盐城二模)函数的定义域为 .6. y=(-6≤a ≤3)的最大值为 .7. (2014·广州模拟)若函数R ,则实数a 的取值范围是 .8. 已知函数y=[0,+∞),那么实数m 的取值范围是 .二、解答题9. (2014·江苏模拟)求下列函数的定义域:(1) y=x-1+(x+2)0; (2) y=12-|x|10. (2014·镇江中学)已知函数f(x)=x 2-4ax+2a+6(a ∈R ).(1) 若函数f(x)的值域为[0,+∞),求a 的值;(2) 若函数f(x)的值域为非负数,求函数g(a)=2-a|a+3|的值域.11. 已知函数f(x)=2ax ax-3+的定义域是R ,求实数a 的取值范围.函数的定义域与值域1.1-,2∞⎛⎫⎪⎝⎭ 2. [0,1) 3. (-∞,0)∪1,22⎛⎤⎥⎝⎦解析:因为x<1或2≤x<5,所以x-1<0或1≤x-1<4,所以2x-1<0或12<2x-1≤2,即y<0或12<y≤2. 4. (-∞,-3]∪[1,+∞)解析:x2+2x-3≥0x≤-3或x≥1.5. (0,1] 解析:由题意得x0,1-x0,>⎧⎨≥⎩解得0<x≤1,故函数f(x)的定义域为(0,1].6. 92 7. [-2,2] 解析:由题意得Δ=a2-4≤0,得-2≤a≤2.8. [4,+∞) 解析:由题意得2m0,Δm-4m0,>⎧⎨=≥⎩所以m≥4.9. (1) 因为24-x0,x-10,x20⎧≥⎪≠⎨⎪+≠⎩-2x2,x1,x-2≤≤⎧⎪≠⎨⎪≠⎩ -2<x<1或1<x≤2,所以原函数的定义域为(-2,1)∪(1,2].(2) 由题意得22-|x|0,x-10,≠⎧⎨≥⎩解得x≤-1且x≠-2或x≥1且x≠2,所以原函数的定义域为(-∞,-2)∪(-2,-1]∪[1,2)∪(2,+∞).10. (1) 因为函数f(x)的值域为[0,+∞),所以Δ=16a2-4(2a+6)=0,所以2a2-a-3=0,所以a=-1或a=32.(2) 因为对一切x∈R,函数值均为非负数,所以Δ=16a2-4(2a+6)=8(2a2-a-3)≤0,所以-1≤a≤32.所以a+3>0,所以g(a)=2-a|a+3|=-a2-3a+2=-3a2⎛⎫+⎪⎝⎭2+174,a∈3-1,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.因为二次函数g(a)在3-1,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,所以g32⎛⎫⎪⎝⎭≤g(a)≤g(-1),即-194≤g(a)≤4.所以g(a)的值域为19-,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦.11. 由题意得a=0或2a0,Δa-4a(-3)0,≠⎧⎨=⨯<⎩解得-12<a≤0,即实数a的取值范围是(-12,0].。