高一数学第五讲--函数的定义域与值域

高一值域和定义域的知识点高一数学知识点：值域和定义域解析数学中的值域和定义域是一项基本概念，特别在高一的课程中，这两个概念被频繁地引用和运用。

理解和掌握这些概念，对于高一学生来说是至关重要的。

一、定义域的概念与运用1.1 定义域的定义在函数的定义中，值域和定义域是两个至关重要的概念。

首先，定义域指的是自变量的取值范围。

也就是说，在一个函数中，自变量可以取到的所有可能值形成的集合就是该函数的定义域。

例如，在函数 y = 2x + 3 中，自变量 x 可以取到任何实数的值，所以定义域是整个实数集R。

1.2 定义域的限制在实际问题中，有时候函数并不适用于所有的自变量取值范围。

例如，对于一个表示温度的函数而言，可能只适用于自变量为正数的情况，因为负温度在实际生活中并没有意义。

所以，在这种情况下，定义域就需要做出相应的限制。

例如，函数y = √x 的定义域就是非负实数集[0, +∞)。

1.3 定义域的确定方法确定一个函数的定义域，首先要注意函数中不能出现负号下的奇次根号，因为这样的根无法在实数范围内取得。

其次，要注意有分数形式的分母，不能等于零，因为除数不能为零。

最后，要留意任何其他潜在的限制条件，如有意义性等。

二、值域的概念与运用2.1 值域的定义与定义域类似，值域也是函数的一个重要概念。

值域指的是函数的因变量所能取到的所有可能值所形成的集合。

例如，在函数 y = 2x + 3 中，对于任何实数的自变量 x ，函数的值域都是整个实数集R。

2.2 值域的限制对于某些函数而言，其值域可能受到一些限制。

例如，函数 y = x^2 的值域就是非负实数集[0, +∞)，因为平方的结果永远不会是负数。

在寻找函数的值域时，我们需要考虑是不是有潜在的限制条件。

2.3 值域的确定方法确定一个函数的值域，可以通过图像分析和数学推导等多种方法。

对于某些函数而言，我们可以通过观察函数的图像，来判断函数的值域。

例如，当一个函数的图像形状是一个开口向上的抛物线时，我们就可以确定其值域是非负实数集。

函数的定义域及值域
函数的定义域和值域是函数的两个基本概念，也是学习函数的重要内容之一。

下面将详细介绍函数的定义域和值域。

函数的定义域指函数自变量的取值范围。

也就是说，在函数中，自变量只能取定义域中的值。

定义域可以是一个数集，也可以是多个数集的交集。

对于一些函数，其定义域可能需要满足一些额外的条件，例如函数的分母不能为零。

下面是一些常见的函数定义域：
（1）多项式函数的定义域是实数集R。

（2）有理函数的定义域是除去使分母为零的实数集的补集。

（3）指数函数、对数函数、三角函数等的定义域都要满足一定条件，例如指数函数的定义域是实数集，对数函数的定义域是(0,+\infty)。

函数的值域是函数在定义域内所有可能的输出值所形成的集合。

也就是说，值域是函数的因变量的取值范围。

对于函数的值域，通常需要考虑函数的单调性、奇偶性、周期等性质。

下面是一些常见的函数值域：
（2）对于三角函数sinx和cosx，它们的值域都是[-1,1]。

（3）对于指数函数y=a^x，其中a>0且a!=1，其值域是(0,+\infty)。

需要注意的是，在求解函数的值域时，需要考虑函数的定义域。

如果函数的定义域不是实数集，那么需要剔除定义域外的值。

综上所述，函数的定义域和值域是函数的两个基本概念。

在学习函数时，我们需要认真理解它们的含义，并学会合理运用。

高一函数定义域和值域知识点在高中数学中，函数是一个非常重要的概念。

函数是一个映射关系，它将一个集合中的元素对应到另一个集合中的元素。

而函数的定义域和值域则是函数的两个基本性质，它们对于理解函数的性质和特点非常关键。

一、函数的定义域函数的定义域是指函数中所有可能输入的取值范围。

也就是说，在定义一个函数时，我们需要确定函数的输入可以采取哪些值。

例如，考虑一个简单的函数f(x) = √x。

这个函数的定义域是什么呢？我们知道平方根是一个实数运算，但是如果x取负值，那么该函数就无法定义了。

因此，这个函数的定义域是所有非负实数。

我们可以表示为：定义域D = [0, +∞)。

同样地，对于一个分式函数g(x) = 1/x，我们知道分母不能为零。

因此，该函数的定义域是除了x=0之外的所有实数。

我们可以表示为：定义域D = (-∞, 0)∪(0, +∞)。

另外，有些函数的定义域可能受到一些附加条件的限制。

比如，如果考虑一个函数h(x) = log(x)，我们知道对数运算要求x必须大于0，因此，该函数的定义域是所有正实数。

我们可以表示为：定义域D = (0, +∞)。

二、函数的值域函数的值域是指函数中所有可能输出的取值范围。

也就是说，在定义一个函数时，我们需要确定函数的输出可以采取哪些值。

例如，考虑函数f(x) = x^2，我们可以通过平方运算得到一个非负数。

因此，该函数的值域是所有非负实数。

我们可以表示为：值域R = [0,+∞)。

同样地，对于函数g(x) = sin(x)，我们知道正弦函数的取值范围是在[-1, 1]之间的所有实数。

因此，该函数的值域是[-1, 1]。

另外，有些函数的值域可能受到一些附加条件的限制。

比如，如果考虑函数h(x) = e^x，我们知道指数函数的取值范围是大于0的实数。

因此，该函数的值域是大于0的所有实数。

我们可以表示为：值域R = (0, +∞)。

总结起来，函数的定义域和值域是函数的两个基本性质。

高中数学知识点：函数的定义域、值域
定义域、值域的概念：
自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：
（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；
（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；
（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足的x的集合。

设y=f[g（x）]的定义域为P，则。

3、求函数值域的方法：
（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如（a，b为非零常数）的函数；
（2）利用函数的图象即数形结合的方法；
（3）利用均值不等式；
（4）利用判别式；
（5）利用换元法（如三角换元）；
（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；
（7）利用复合函数的单调性。

（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）。

高一数学函数的定义域和值域[高一数学必修知识点函数
的定义域]
高一网权威发布高一数学必修知识点：函数的定义域，更多高一数学必修知识点相关信息请访问高一网。

定义域
（高中函数定义）设A，B是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数某，在集合B中都有唯一确定的数f(某)和它对应，那么就称f：A--B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f(某)，某属于集合A。

其中，某叫作自变量，某的取值范围A叫作函数的定义域；
值域
名称定义
函数中，应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域，在数学中是函数在定义域中应变量所有值的集合
常用的求值域的方法
（1）化归法；（2）图象法（数形结合），
（3）函数单调性法，
（4）配方法，（5）换元法，（6）反函数法（逆求法），（7）判别式法，（8）复合函数法，（9）三角代换法，（10）基本不等式法等关于函数值域误区
“范围”与“值域”相同吗？
“范围”与“值域”是我们在学习中经常遇到的两个概念，许多同学常常将它们混为一谈，实际上这是两个不同的概念。

“值域”是所有函数值的集合（即集合中每一个元素都是这个函数的取值），而“范围”则只是满足某个条件的一些值所在的集合（即集合中的元素不一定都满足这个条件）。

也就是说：“值域”是一个“范围”，而“范围”却不一定是“值域”。

函数定义域值域及表示 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT函数定义域值域及表示(1)函数的概念设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y=f(x)，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域．注意：如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合； 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域再注意：1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。

相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备)（2）区间的概念及表示法设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a xb <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞． 注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()=可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程y f x2++=，则在()0a y xb y xc y()()()0a y≠时，由于,x y为实数，故必须有2()4()()0∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．b y a yc y④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑧函数的单调性法．例题讲解[例1] 求下列函数的定义域：⑴y=⑵y=（3）x x x x f -+=0)1()( （4）g(x)=211+-++x x[例2] 求抽象函数求定义域记住两句话：地位相同范围相同，定义域是关于x 的。

函数的定义域与值域函数是数学中一个非常重要的概念，在各个数学分支中都有应用。

函数的定义域和值域是函数研究的基本内容之一。

本文将详细介绍函数的定义域与值域的概念及其应用。

一、函数的定义域函数的定义域是指函数中自变量（x）的取值范围。

简单来说，定义域就是使函数有意义的所有可能自变量值的集合。

如果自变量取值超出定义域，则函数无法计算。

下面通过几个例子来说明。

例子1：考虑函数f(x) = √x由于方根函数的自变量必须是非负实数，所以其定义域为x ≥ 0。

任何小于0的自变量将使得函数无法计算。

例子2：考虑函数 g(x) = 1/x在这种情况下，我们不能让自变量 x 等于0，因为除数不能为0。

所以函数 g(x) 的定义域为x ≠ 0。

其他所有实数都是函数的定义域。

函数的定义域可以是一个具体的数轴区间，也可以是由多个区间组成的集合。

定义域的范围可以是全体实数，也可以是局限于特定范围内。

二、函数的值域函数的值域是函数所有可能输出值的集合。

也就是说，如果我们遍历自变量的所有可能取值，函数的值域就是对应的函数值的集合。

同样地，我们使用几个例子来说明。

例子1：考虑函数 f(x) = x^2对于这个函数，自变量可以取任何实数值。

但是根据平方函数的图像，我们可以看出函数的值域是y ≥ 0。

因为平方的结果不会为负数。

例子2：考虑函数 g(x) = sin(x)由三角函数的周期性可知，对于任何自变量，都存在对应的函数值。

因此，函数 g(x) 的值域是 (-1, 1) 的闭区间。

有时候，函数的值域是一个区间，也可以是由多个不相交区间组成的集合。

三、定义域与值域的应用函数的定义域和值域在数学中广泛应用于各个领域。

例如，在微积分中，对函数进行求导和积分时，必须要考虑函数的定义域。

此外，在解方程和不等式时，也要考虑函数的定义域和值域。

在实际问题中，函数的定义域和值域还可以帮助我们理解现象的范围和取值情况。

例如，当我们研究某种物理模型时，函数的定义域可以帮助我们确定变量的有效范围，而函数的值域则可以帮助我们计算物理量的可能取值。

高一数学函数的定义域与值域一、知识归纳：（一）函数的定义域与值域的定义：函数y=f(x中自变量x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y的值叫做函数值。

函数值的集合{f(x│x∈A}叫做函数的值域。

（二）求函数的定义域一般有3类问题：1、已知解析式求使解析式有意义的x的集合常用依据如下：①分式的分母不等于0；②偶次根式被开方式大于等于0；③对数式的真数大于0，底数大于0且不等于1；④指数为0时，底数不等于02、复合函数的定义域问题主要依据复合函数的定义，其包含两类：①已知f[g(x]的定义域为x∈（a,b）求f(x的定义域，方法是：利用a 求得 g(x 的值域，则 g(x 的值域即是 f(x 的定义域。

②已知f(x的定义域为x∈（a,b）求f[g(x]的定义域,方法是：由a 求得x 的范围，即为 f[g(x] 的定义域。

3、实际意义的函数的定义域，其定义域除函数有意义外，还要符合实际问题的要求。

（三）确定函数的值域的原则1、当数y=f(x用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y的集合。

2、当函数y=f(x图象给出时，函数的值域是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合。

3、当函数y=f(x用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定。

常见函数的值域：函数y=kx+by=ax2+bx+cy=axy=logax值域R a>0 a<0 {y|y∈R且y≠0}{y|y>0}R4、当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。

（四）求函数值域的方法：1、观察法，2、配方法，3、判别式法，4、反函数法，5、换元法，6、图象法等二、例题讲解：【例1】求下列函数的定义域（1）（2）(3y=lg(a x-kb x (a,b>0且a,b≠1，k∈R[解析]（1）依题有∴函数的定义域为(2依题意有∴函数的定义域为（3）要使函数有意义，则a x-kb x>0，即①当k≤0时，定义域为R②当k>0时，（Ⅰ）若a>b>0,则定义域为{x|}(Ⅱ若0 ，则，定义域为 {x| }(Ⅲ若a=b>0，则当0 时定义域为 R ；当k ≥ 1 时，定义域为空集[评析]把求定义域的问题等价转化为关于x的不等式（组）的求解问题，其关键是列全限制条件(组。

数学中的函数定义域与值域一、函数定义域的概念1.函数定义域是指函数中自变量可以取的所有可能值的集合。

2.函数定义域通常用区间表示，如实数集R、有理数集Q、整数集Z等。

3.函数定义域可以是无限的，如f(x) = x^2的定义域为实数集R。

4.函数定义域可以是有限的，如f(x) = sin(x)的定义域为[-1, 1]。

二、函数值域的概念1.函数值域是指函数中因变量可以取的所有可能值的集合。

2.函数值域通常用区间表示，如实数集R、有理数集Q、整数集Z等。

3.函数值域可以是无限的，如f(x) = x^2的值域为非负实数集[0, +∞)。

4.函数值域可以是有限的，如f(x) = sin(x)的值域为[-1, 1]。

三、函数定义域与值域的关系1.函数的定义域与值域不一定相同，它们可以是不同的集合。

2.函数的定义域是函数值域的子集，即函数的所有自变量取值都在值域中。

3.函数的值域可以小于、等于或大于定义域，这取决于函数的特性。

四、确定函数定义域的方法1.对于多项式函数，定义域通常为实数集R。

2.对于三角函数，定义域通常为实数集R。

3.对于指数函数和对数函数，定义域通常为正实数集(0, +∞)。

4.对于分式函数，定义域为除数不为零的所有实数。

5.对于绝对值函数，定义域为所有实数。

五、确定函数值域的方法1.对于多项式函数，值域通常为实数集R。

2.对于三角函数，值域通常为闭区间[-1, 1]。

3.对于指数函数，值域为正实数集(0, +∞)。

4.对于对数函数，值域为实数集R。

5.对于分式函数，值域为非零实数集。

6.对于绝对值函数，值域为非负实数集[0, +∞)。

六、函数定义域与值域的应用1.函数的定义域与值域是研究函数性质的基础，如单调性、奇偶性、周期性等。

2.函数的定义域与值域可以帮助我们理解和解决实际问题，如最值问题、方程问题等。

3.函数的定义域与值域可以用来判断函数的合理性和有效性。

4.函数定义域是指函数中自变量可以取的所有可能值的集合，函数值域是指函数中因变量可以取的所有可能值的集合。

高一函数值域定义域知识点函数是数学中一种重要的概念，它描述了一种输入和输出之间的关系。

在高一阶段，学生们开始学习函数的概念和基本性质，其中包括值域和定义域的概念与计算。

本文将详细介绍高一函数值域定义域的知识点。

一、函数的定义函数是一种映射关系，它将一个集合中的每个元素唯一地对应到另一个集合中的一个元素。

通常用 f(x) 表示函数，其中 f 是函数名，x 是函数的自变量，f(x) 是函数的因变量或函数值。

函数也可以用一个公式或规则来表示。

例如，y = 3x + 2 就是一个函数，它表示自变量 x 的值经过一定的计算规则后得到因变量 y 的值。

二、定义域定义域是函数中自变量的取值范围。

换句话说，它表示输入可以是哪些实数。

定义域通常用符号 D(f) 表示。

对于一个简单的函数f(x) = √x，这个函数的定义域是x ≥ 0，因为平方根只有在非负实数范围内有定义。

对于复合函数，定义域需要满足所有子函数的定义域的交集。

比如对于函数 f(x) = 1/(x-2)，我们需要使得 x-2 ≠ 0，即x ≠ 2。

因此，定义域是除了 2 之外的所有实数。

三、值域值域是函数中因变量的取值范围。

换句话说，它表示输出可以是哪些实数。

值域通常用符号 R(f) 表示。

对于函数 f(x) = x^2，由于平方的结果始终为非负实数，所以该函数的值域是y ≥ 0，即非负实数。

对于含有分式的函数，我们需要特别注意分母不能为零。

例如函数 f(x) = 1/(x-1)，由于分母不能为零，所以值域是实数集合 R 除去 1。

四、计算方法在计算函数的定义域和值域时，需要遵循一些规则和技巧。

1. 对于代数函数，通常需要考虑分式、开方和对数等特殊情况。

2. 对于复合函数，需要先确定每个子函数的定义域，然后求交集作为最终的定义域。

3. 对于复合函数的值域计算，通常需要将子函数的值域作为定义域代入到父函数中进行计算。

4. 对于一些特殊函数，如反比例函数和根号函数，需要注意它们的定义域和值域的特点。

函数定义域、值域求法总结（一）求函数定义域1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；4、对复合函数y＝f［g（x）］的定义域的求解，应先由y＝f（u）求出u的范围，即g（x）的范围，再从中解出x的范围I1；再由g（x）求出y＝g（x）的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域；5、分段函数的定义域是各个区间的并集；6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；（二）求函数的值域1、函数的值域即为函数值的集合，一般由定义域和对应法则确定，常用集合或区间来表示；2、在函数f：A→B中，集合B未必就是该函数的值域，若记该函数的值域为C，则C 是B的子集；若C＝B，那么该函数作为映射我们称为“满射”；3、分段函数的值域是各个区间上值域的并集；4、对含参数的函数的值域，求解时须对参数进行分类讨论；叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述；5、若对自变量进行分类讨论求值域，应对分类后所求的值域求并集；6、求函数值域的方法十分丰富，应注意总结一、定义域是函数()y f x =中的自变量x 的范围。

求函数的定义域需要从这几个方面入手：（1）分母不为零（2）偶次根式的被开方数非负。

（3）对数中的真数部分大于0。

（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1（5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。

(6)0x 中x 0≠二、值域是函数()y f x =中y 的取值范围。

高一函数定义域值域知识点函数是数学中的重要概念之一。

在高一阶段，学生需要学习函数的定义、性质以及函数图像的特征等知识点。

其中，函数的定义域和值域是重要的概念，对于理解函数的整体特征和应用至关重要。

一、函数的定义域在数学中，函数是一种将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素的规则。

函数的定义域是指能够被映射的元素所组成的集合。

在表示函数时，通常用f(x)来表示函数，其中x的取值就是定义域的范围。

函数的定义域需要满足一定的条件。

对于实数函数来说，通常要求定义域中的x满足函数所涉及到的算式中的分母不能为0的限制。

例如，对于函数f(x) = 1/x，x的取值不能为0，因为在该函数中0是分母，会导致无意义的结果。

因此，该函数的定义域为所有除了0的实数。

对于函数f(x) = √x，x的取值需要满足x≥0的条件，这是因为平方根只对非负数有定义。

因此，该函数的定义域为所有大于等于0的实数。

二、函数的值域函数的值域是指函数f(x)在定义域范围内所能取到的值所组成的集合。

换句话说，值域是所有f(x)可能取到的值。

在求函数的值域时，可以通过观察函数的图像或者利用数学方法进行分析。

对于简单的函数来说，可以直接通过图像来判断它的值域。

例如，对于函数f(x) = x^2，通过观察可以发现该函数的图像是一个开口向上的抛物线，它的顶点为(0, 0)。

由于平方的结果不会小于0，所以该函数的值域为所有大于等于0的实数。

对于复杂的函数，可能需要使用一些数学方法来求解值域。

例如，对于函数f(x) = 2^x，可以通过取函数的极限值来判断值域。

当x趋近于负无穷时，2^x趋近于0，当x趋近于正无穷时，2^x 趋近于正无穷。

因此，该函数的值域为所有大于0的实数。

需要注意的是，有些函数的值域可能存在一定的限制条件。

例如，对于函数f(x) = 1/x，由于分母不能为0，所以在定义域中除了0以外的任何实数都是该函数的值域。

然而，由于0作为分母会导致无意义的结果，所以0并不属于该函数的值域。

函数的定义域与值域知识点及题型总结函数的定义域与值域知识点及题型总结知识点精讲一、函数的定义域求解函数的定义域应注意：1) 分式的分母不为零；2) 偶次方根的被开方数大于或等于零；3) 对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；4) 零次幂或负指数次幂的底数不为零；5) 三角函数中的正切$y=\tan x$的定义域是$x\neqk\pi+\frac{\pi}{2}$，其中$k\in Z$；6) 已知$f(x)$的定义域求解$f(g(x))$的定义域，或已知$f(g(x))$的定义域求解$f(x)$的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则下，括号内式子的范围相同；7) 对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域。

二、函数的值域求解函数值域主要有以下十种方法：1) 观察法；2) 配方法；3) 图像法；4) 基本不等式法；5) 换元法；6) 分离常数法；7) 判别式法；8) 单调性法；9) 有界性法；10) 导数法。

需要指出的是，定义域或值域的结果必须写成区间或集合的形式。

题型归纳及思路提示题型1 函数定义域的求解思路提示：对求函数定义域问题的思路是：1) 先列出使式子$f(x)$有意义的不等式或不等式组；2) 解不等式组；3) 将解集写成集合或区间的形式。

二、给出函数解析式求解定义域例 2.10 函数$y=\frac{\ln(x+1)-x}{-3x+4}$的定义域为（）。

A。

$(-4,-1)$ B。

$(-4,1)$ C。

$(-1,1)$ D。

$(-1,1]$分析本题考查对数、分式根式有关的函数定义域的求解。

解：$x+1>0$，$-3x+4\neq 0$，即$x\neq\frac{4}{3}$。

解不等式$\ln(x+1)>x-4$，得$-1<x<1$。

故选C。

变式1 函数$y=x\ln(1-x)$的定义域为（）。

A。

高一数学函数的定义域与值域一、知识归纳：（一）函数的定义域与值域的定义：函数y=f(x 中自变量x 的取值范围A 叫做函数的定义域，与x 的值相对应的y 的值叫做函数值。

函数值的集合{f(x│x∈A}叫做函数的值域。

（二）求函数的定义域一般有3类问题：1、已知解析式求使解析式有意义的x 的集合常用依据如下： ①分式的分母不等于0； ②偶次根式被开方式大于等于0；③对数式的真数大于0，底数大于0且不等于1； ④指数为0时，底数不等于02、复合函数的定义域问题主要依据复合函数的定义，其包含两类：①已知f[g(x]的定义域为x∈（a,b ）求f(x 的定义域，方法是：利用a 求得 g(x 的值域，则 g(x 的值域即是 f(x 的定义域。

②已知f(x 的定义域为x∈（a,b ）求f[g(x]的定义域,方法是：由a 求得x 的范围，即为 f[g(x] 的定义域。

3、实际意义的函数的定义域，其定义域除函数有意义外，还要符合实际问题的要求。

（三）确定函数的值域的原则1、当数y=f(x 用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合。

2、当函数y=f(x 图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合。

3、当函数y=f(x 用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定。

常见函数的值域：函数y=kx +b y=ax2+b x+cy=ax y=logax值域 R a>0a<0{y|y ∈R{y|y>R0}且y≠0}4、当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。

（四）求函数值域的方法：1、观察法，2、配方法，3、判别式法，4、反函数法，5、换元法，6、图象法等二、例题讲解：【例1】求下列函数的定义域（1）（2）(3y=lg(a x-kb x (a,b>0且a,b≠1，k∈R[解析]（1）依题有∴函数的定义域为(2依题意有∴函数的定义域为（3）要使函数有意义，则a x-kb x>0，即①当k≤0时，定义域为R②当k>0时，（Ⅰ）若a>b>0,则定义域为{x|}(Ⅱ若0 ，则，定义域为 {x| }(Ⅲ若a=b>0，则当0 时定义域为 R ；当k ≥ 1 时，定义域为空集[评析]把求定义域的问题等价转化为关于x的不等式（组）的求解问题，其关键是列全限制条件(组。

函数定义域函数值域高一数学知识点总结函数定义域函数值域高一数学知识点总结「篇一」一：函数及其表示知识点详解文档包含函数的概念、映射、函数关系的判断原则、函数区间、函数的三要素、函数的定义域、求具体或抽象数值的函数值、求函数值域、函数的表示方法等1. 函数与映射的区别：2. 求函数定义域常见的用解析式表示的函数f(x)的.定义域可以归纳如下：①当f(x)为整式时，函数的定义域为R。

②当f(x)为分式时，函数的定义域为使分式分母不为零的实数集合。

③当f(x)为偶次根式时，函数的定义域是使被开方数不小于0的实数集合。

④当f(x)为对数式时，函数的定义域是使真数为正、底数为正且不为1的实数集合。

⑤如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合，即求各部分有意义的实数集合的交集。

⑥复合函数的定义域是复合的各基本的函数定义域的交集。

⑦对于由实际问题的背景确定的函数，其定义域除上述外，还要受实际问题的制约。

3. 求函数值域(1)、观察法：通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域;(2)、配方法;如果一个函数是二次函数或者经过换元可以写成二次函数的形式，那么将这个函数的右边配方，通过自变量的范围可以求出该函数的值域;(3)、判别式法：(4)、数形结合法;通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域;(5)、换元法;以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域;(6)、利用函数的单调性;如果函数在给出的定义域区间上是严格单调的，那么就可以利用端点的函数值来求出值域;(7)、利用基本不等式：对于一些特殊的分式函数、高于二次的函数可以利用重要不等式求出函数的值域;(8)、最值法：对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域;(9)、反函数法：如果函数在其定义域内存在反函数，那么求函数的值域可以转化为求反函数的定义域。

函数的定义域和值域知识点总结1.函数的定义域：2.函数的值域：函数的值域是指函数的所有可能输出的集合，也就是因变量的取值范围。

值域是函数输出的范围，表示函数的所有可能结果。

3.定义域的确定方法：在定义一个函数时，常常需要确定函数的定义域。

一般来说，常见的函数的定义域有以下几种确定方法：-首先，需要考虑自变量存在的实值范围。

对于多项式函数和有理函数而言，一般情况下定义域为实数集。

-其次，需要考虑函数中出现开方运算、对数运算、分式运算等，这些运算存在定义范围的限制。

-最后，需要考虑函数中的分母是否为零。

当分母为零时，函数的定义域将受到限制。

4.常见函数的定义域和值域：-多项式函数的定义域为实数集，值域也是实数集。

-幂函数的定义域和值域根据指数的奇偶性来确定，如果指数为偶数，定义域为非负实数集，值域为非负实数集；如果指数为奇数，定义域和值域为实数集。

-指数函数的定义域为实数集，值域为正实数集。

-对数函数的定义域为正实数集，值域为实数集。

-三角函数的定义域为实数集，值域在[-1,1]之间。

5.确定函数的定义域和值域的方法：-对于一次函数、二次函数和绝对值函数，可以直接通过函数的图像来确定定义域和值域。

-对于有更复杂形式的函数，可以通过对函数进行分析，将函数表达式中存在定义域限制的部分找出来，确定函数的定义域。

-对于一些特殊的函数，可以通过函数性质和运算性质推断其定义域和值域。

-同时，也可以通过计算等式的解或者不等式的解来确定定义域和值域。

总结起来，函数的定义域和值域是数学中对于函数输入和输出范围的描述，了解它们对于理解函数的性质和应用具有重要意义。

确定函数的定义域和值域需要考虑函数中各个运算的定义范围，分析函数表达式的性质和图像，并可以利用计算等式和不等式的解来确定。

函数的定义域和值域的确定对于函数的应用具有重要的指导意义。

函数的定义域与值域函数是数学中常见的概念，它在实际问题中起到了非常重要的作用。

而函数的定义域与值域是函数的两个重要属性，它们决定了函数的输入与输出的范围。

本文将详细讨论函数的定义域与值域的概念、计算方法以及应用。

一、函数的定义域函数的定义域指的是函数中所有可能的输入值所构成的集合。

通俗地说，定义域就是函数的自变量（输入）的取值范围。

对于一元函数，我们可以通过分析函数的解析式来确定其定义域。

例如，对于函数f(x) = √(x + 1)，我们可以发现根号下的被开方数必须大于等于0，所以函数的定义域为x ≥ -1。

对于多元函数，定义域的确定更为复杂，需要考虑各个自变量之间的约束关系。

以二元函数f(x, y) = √(x + y)为例，需要满足x + y ≥ 0，因此定义域为x + y ≥ 0的平面区域。

二、函数的值域函数的值域指的是函数中所有可能的输出值所构成的集合。

通俗地说，值域就是函数的因变量（输出）的取值范围。

对于简单的函数来说，我们可以通过分析函数的图像来确定其值域。

例如，对于函数f(x) = x²，我们可以发现函数的图像是一个开口向上的抛物线，因此它的值域为y ≥ 0的区间。

对于复杂的函数，我们通常需要借助数学工具来计算其值域。

例如，对于函数f(x) = 1 / x，在无穷大、无穷小附近的值都可以取得，因此其值域为除了0以外的所有实数。

三、定义域与值域的应用函数的定义域与值域在实际问题中具有广泛的应用，下面以几个具体例子说明其用途。

1. 对于自然科学中的物理问题，函数的定义域和值域可以帮助我们确定问题的合理范围和可能结果。

例如，对于自由落体运动的位移函数，定义域可以告诉我们物体下落的时间范围，值域可以告诉我们物体的落地位置范围。

2. 在经济学中，函数的定义域和值域可以帮助我们理解和分析经济问题。

例如，对于需求曲线和供给曲线，定义域可以表示价格的取值范围，值域可以表示商品的数量范围。

高一数学必修一函数的定义域和值域资料
函数的定义域和值域是高一数学中的重要概念。

它们是相关函数与变量之间的关系，关系到函数求值。

因此，学习高一数学，必须深入了解它们。

定义域：定义域也称为函数的定义区域，是指给定函数f ←→y=f(x)（其中x,y为实变量）的实变量x的取值范围的集合，也就是为了使f(x)的值确实存在，z取值范围的集合。

一般而言，x的取值范围通常为数轴上的所有实数或部分实数，也就是x∈R。

而如果有些函数涉及有理数，那么定义域x取值范围为:x∈Q，也就是定义域只能取到有理数。

值域：函数值域就是函数在给定定义域上可能出现的值集合，称为函数值域。

记f ←→y=f(x)（其中x,y为实变量），则值域Df={y：y=f(x)，x∈Df }，其中，Df为定义域。

举例说明：
1. 不等式f(x)<2的值域
当x∈R时，函数f(x)的定义域就是R，而值域为｛y:y<2,x∈R｝=｛y:y<2｝。

以上就是函数的定义域和值域的概念及其具体的表示方法的介绍，希望小伙伴们能够更好的理解这些概念，为学习数学提供助力。