山东省潍坊市高三上学期期末考试数学(理)试题

山东省潍坊市高三上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2018·呼和浩特模拟) 已知集合，则集合的元素个数为（）A .B .C .D .2. （2分）已知向量=（cosθ，sinθ），=（1，﹣2），若∥，则代数式的值是（）A .B .C .D .3. （2分） (2016高二上·郴州期中) 已知{an}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则数列{an}的公差d=（）A . ﹣2B . ﹣1C . 2D . 14. （2分） (2020高一下·林州月考) 若曲线关于点对称，则（）A . 或B . 或C . 或D . 或5. （2分） (2016高一下·望都期中) 已知数列{an}的前n项和为Sn ，且满足Sn=2an﹣2．若数列{bn}满足bn=10﹣log2an ，则是数列{bn}的前n项和取最大值时n的值为（）A . 8B . 10C . 8或9D . 9或106. （2分）(2017·宁德模拟) 函数y= 的图象大致是（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高二上·杭州期末) 已知x＞0，y＞0，若不等式a（x+y）≥x+ 恒成立，则a的最小值为（）A .B .C . +2D .8. （2分）(2019·新宁模拟) 若实数x，y满足约束条件：，则z=x+y的最大值是（）A . 3B . 1C . -2D . 29. （2分）设，则二项式展开式中的项的系数为（）A . 20B . -20C . 160D . -16010. （2分）设a>b＞c，ac＜0,则下列不等式不一定成立的是（）。

A . ab＞acB . c(b-a)＞0C . ＜D . ac(a-c) ＜011. （2分） (2016高三上·成都期中) 若等差数列{an}的公差d≠0，前n项和为Sn ，若∀n∈N* ，都有Sn≤S10 ，则（）A . ∀n∈N* ，都有an＜an﹣1B . a9•a10＞0C . S2＞S17D . S19≥012. （2分） (2016高一下·双峰期中) 定义运算：a*b= ，如1*2=1，则函数f（x）=cosx*sinx的值域为（）A . [﹣1， ]B . [﹣1，1]C . [ ，1]D . [﹣， ]二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）等差数列{an}中，若a1+a2=5，a3+a4=7，则a5+a6=________．14. （1分） (2016高一下·枣阳期中) 已知△ABC中，向量 =（3x，2），且∠BAC是钝角，则x的取值范围是________．15. （1分）已知f（x）是定义域在（0，+∞）上的单调递增函数．且满足f（6）=1．f（x）﹣f（y）=f（）（x＞0，y＞0）．则不等式f（x+3）＜f（）+2的解集是________．16. （1分）已知f（x）的定义域为[﹣2，+∞），部分对应值如下表，f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如图，若f（x）＜1，则x的范围为________．x﹣204f（x）1﹣11三、解答题. (共7题；共55分)17. （5分） (2018高二下·北京期末) 给定实数 t，已知命题 p：函数有零点；命题 q：∀ x∈[1，＋∞)≤4 －1.(Ⅰ)当 t＝1 时，判断命题 q 的真假；(Ⅱ)若p∨q 为假命题，求 t 的取值范围．18. （10分） (2019高三上·镇江期中) 已知函数．（1）求函数的最小值，并写出取得最小值时自变量的取值集合；（2）若，求函数的单调减区间．19. （10分） (2018高二上·济源月考) 已知a,b,c分别是的三个内角A,B,C的对边，（1）若的面积 = ，c=2，A= ，求a,b的值；（2）若，且，试判断三角形的形状.20. （10分） (2016高三上·泰州期中) 设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q（q≠1）的等比数列．记cn=bn﹣an ．（1）求证：数列{cn+1﹣cn+d}为等比数列；（2）已知数列{cn}的前4项分别为9，17，30，53．①求数列{an}和{bn}的通项公式；②是否存在元素均为正整数的集合A={n1，n2，…，nk}，（k≥4，k∈N*），使得数列cn1，cn2，…，cnk等差数列？证明你的结论．21. （5分） (2015高二下·思南期中) 设f（x）=x3+ax2+bx+1的导数f′（x）满足f′（1）=2a，f′（2）=﹣b，其中常数a，b∈R．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．（Ⅱ）设g（x）=f′（x）e﹣x ．求函数g（x）的极值．22. （10分）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρsin2θ=4cosθ，直线l的参数方程：（t为参数），两曲线相交于M，N两点．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若P（﹣2，﹣4），求|PM|+|PN|的值．23. （5分）设函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|（I）若不等式f（x）≤a的解集为（﹣∞， ]．求a的值；（II）若∃x∈R．使f（x）＜m2﹣4m，求m的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题. (共7题；共55分) 17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、23-1、第11 页共11 页。

潍坊市2023-2024学年上学期期末考试高三数学本试卷共4页.满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答题前、考生务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.2.回答选择题时，选出每小题答案后、用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束，考生必须将试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}2P x x =<，12xQ y y ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则P Q = （）A.1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B.10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()0,2 D.∅【答案】C【解析】因为12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，函数的值域为()0,∞+，所以{}0Q y y =>，又因为{}2P x x =<，所以()0,2P Q = .故选：C 2.已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为()3,4-，则43iz=+（）A.iB.i- C.1i+ D.1i-【答案】A【解析】复数z 在复平面内对应的点的坐标为()3,4-，则34i z =-+，则()()()()34i 43i 34i 25ii 43i 43i 43i 43i 25z -+--+====+++-，故选：A3.已知角ϕ的终边落在()0y x =>上，下列区间中，函数()()2sin f x x ϕ=+单调递增的区间是（）A.π,02⎛⎫-⎪⎝⎭B.π0,2⎛⎫⎪⎝⎭C.π,π2⎛⎫⎪⎝⎭D.3ππ,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】因为角ϕ的终边落在()0y x =>上，可取一点(，则sin 2ϕ=，则ϕ与π3的终边相同，可令π3ϕ=，则()π2sin 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ2π+2π,Z 232k x k k π-+≤≤+∈,所以5ππ2π2π,Z 66k x k k -+≤≤+∈，所以()f x 的单调递增区间为5ππ2π,2πZ 66k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，只有π5ππ,02π,2πZ 266k k k ⎛⎫⎡⎤-⊆-++∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故A 正确，B,C,D 错误，故选：A.4.已知圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则该圆锥的体积为（）A.B. C.3πD.9π【答案】C【解析】由圆锥的侧面展开图是半径为l =，设圆锥的底面半径为r ，则2πr ，解之得r =，则圆锥的高3h ==则该圆锥的体积为211ππ333π33r h =⨯⨯=，故选：C 5.如图，谢尔宾斯基地毯是一种无限分形结构，由波兰数学家谢尔宾斯基于1916年发明.它的美妙之处在于，无论将其放大多少次，它总是保持着相同的结构.它的构造方法是：首先将一个边长为1的正方形等分成9个小正方形，把中间的小正方形抠除，称为第一次操作；然后将剩余的8个小正方形均重复以上步骤，称为第二次操作；依次进行就得到了谢尔宾斯基地毯.则前n 次操作共抠除图形的面积为（）A.1889n⎛⎫⎪⎝⎭B.819n⎛⎫- ⎪⎝⎭C.1189n⎛⎫- ⎪⎝⎭D.111889n⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】观察图形的变化可知：图①中，第一次操作涂黑部分正方形的面积为89，图②中，第二次操作涂黑部分正方形的面积为289⎛⎫ ⎪⎝⎭，图③中，第三次操作涂黑部分正方形的面积为389⎛⎫ ⎪⎝⎭，依次类推，可得第n 次操作涂黑部分正方形的面积为89n⎛⎫ ⎪⎝⎭，故前n 次操作共抠除图形的面积为819n⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：B 6.若函数()ln e 1xf x mx =--为偶函数，则实数m =（）A.1B.1-C.12D.12-【答案】C【解析】由函数()ln e 1xf x mx =--为偶函数，可得()()11f f -=，即1ln e 1ln e 1m m --+=--，解之得12m =，则()1ln e 1(0)2x f x x x =--≠，()()111ln e 1ln e 1ln e 1222x x x f x x x x x f x --=-+=--+=--=故()1ln e 12x f x x =--为偶函数，符合题意.故选：C 7.已知甲：1x ≥，乙：关于x 的不等式()01x aa x a -<∈--R ，若甲是乙的必要不充分条件，则a 的取值范围是（）A.1a ≥B.1a > C.a<0D.0a ≤【答案】A【解析】甲：1x ≥，设此范围对应集合[)1,A =+∞；由1a a <+，则乙：()()01011x ax a x a a x a x a -<⇔---<⇔<<+--，设此范围对应集合(,1)B a a =+，若甲是乙的必要不充分条件，则B A ⊆，其中A B =必不成立；则(,1)a a +[)1,⊆+∞，所以1a ≥.故选：A.8.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，左顶点为A ，点P 在C 上，且112PF AF =，2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为（）A.2B.2C.33D.12【答案】D【解析】由题意可得1AF a c =-，则11222PF AF a c ==-，则1222PF a PF c =-=，又212F F c =，2160PF F ∠=︒，则21PF F 为等边三角形，则222a c c -=，即2a c =，故C 的离心率12c e a ==.故选：D 二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.某校举行演讲比赛，6位评委对甲、乙两位选手的评分如下：甲：7.57.57.87.88.08.0乙：7.57.87.87.88.08.0则下列说法正确的是（）A.评委对甲评分的平均数低于对乙评分的平均数B.评委对甲评分的方差小于对乙评分的方差C.评委对甲评分的40%分位数为7.8D.评委对乙评分的众数为7.8【答案】ACD【解析】选项A ，评委对甲评分的平均数7.57.57.87.88.08.017.87.8630x +++++==-<甲，评委对乙评分的平均数7.57.87.87.88.08.017.87.8660x +++++==+>乙，所以x x <甲乙，故A 正确；选项B ，由A 知，两组数据平均数均约为7.8，且纵向看，甲组数据与乙组数据仅一组数据7.5,7.8不同，其余数据相同，又甲组数据7.5与平均数的差明显大于乙组数据7.8与平均数的差，且差距较大，故与平均数比较，甲组数据波动程度明显大些，即评委对甲评分的方差大于对乙评分的方差，故B 错误；选项C ，由640% 2.4⨯=不是整数，则评委对甲评分的40%分位数为从小到大第3个数据，即：7.8，故C 正确；选项D ，评委对乙评分中最多的数据，即众数为7.8，故D 正确.故选：ACD.10.双曲线22:1E mx ny +=（0m >，0n <）的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在E 上，则（）A.12PF PF -=B.12F F =C.ED.E的渐近线方程为y =【答案】ABD【解析】221mx ny +=（0m >，0n <），所以双曲线的标准方程为22111x y m n -=⎛⎫- ⎪⎝⎭，双曲线为焦点在x 轴，所以21a m =，a =21b n =-，b =，22211c a b m n=+=-，c =122PF PF a -==A正确；122F F c ==，所以B 正确；E的离心率为e ==，所以C 错误；双曲线的渐近线方程为b y x a =±=，所以D 正确.故选：ABD 11.如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 为棱11D C 的中点，N 为棱1CC 上的动点（不与端点重合），则（）A.直线AM 与BN 为异面直线B.存在点N ，使得MN ⊥平面BDNC.当//AM 平面BDN 时，23CN =D.当N 为1CC 的中点时，点C 到平面BDN的距离为3【答案】AD【解析】如图：以D 为原点，建立空间直角坐标系.则()0,0,0D ，()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()0,1,2M ，()0,2,N t （02t <<）.对A ：假设A ，B ，M ，N 共面，则存在,,R x y z ∈，使得DA xDB yDM zDN =++，且1x y z ++=，即()()()()2,0,02,2,00,1,20,2,x y z t =++⇒2202021x x y y tz x y z =⎧⎪=+⎪⎨=+⎪⎪++=⎩，解得：1222x y z t =⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩，即()0,2,2N .故只有N ，1C 重合时，才有直线AM 与BN 共面.而条件N 不与线段1CC 端点重合，所以AM 与BN 必为异面直线，故A 对；对B ：若MN ⊥平面BDN ，则MN DB ⊥⇒()()0,1,2·2,2,00t -=⇒20=，故B 错误；对C ：当23CN =时，设平面DBN 的一个法向量(),,n x y z = ，则n DB n DN ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ⇒()()(),,·2,2,002,,·0,2,03x y z x y z ⎧=⎪⎨⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎩⇒003x y z y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取1x =可得：()1,1,3n =- ，此时()()·2,1,2·1,1,33AM n =--= ，所以AM 与n 不垂直，即AM 平面BDN 不成立，故C 错误；对D ：当N 为1CC 中点时，设C 到平面BDN 的距离为h ，则··BDC BDN S CN S h = .而·2BDC S CN = ，在BDN 中，22DB =，5DN BN ==，所以DB 523-=122362BDN S =⨯= 636h ==，故D 正确.故选：AD 12.已知函数()()2221R f x ax x x ax a =++++∈，则（）A.当1a =-时，()f x 为增函数B.若()f x 有唯一的极值点，则0a >C.当2a ≤-时，()f x 的零点为1±D.()f x 最多有2个零点【答案】ACD【解析】函数()()2221R f x ax x x ax a =++++∈，对于A 中，当1a =-时，()1f x x =+单调递增，所以A 正确；对于B 中，当0a =时，()221f x x x =++，此时函数()f x 只有一个极大值点，所以B 错误；对于C 中，当2a ≤-时，设210x ax ++=的两个根据分别为12,x x 且12x x ≤，则122x x a +=-≥，121=x x ，所以1201,1x x <≤≥，当1x x <或2x x >时，()2(1)(2)1f x a x a x =++++，此时函数()f x 的开口向下，且对称轴为()20,102(1)a x f a +=-<-=+，当12x x x <<时，()2(1)(2)1f x a x a x =-+--，此时函数()f x 的开口向下，且对称轴为()20,102(1)a x f a -=>=-，如图所示，所以C 正确；对于D 中，由选项C 可知，当2a ≤-时，函数()f x 有两个零点，当22a -<≤时，240a ∆=-<，可得()2(1)(2)1f x a x a x =++++至多有两个零点；当2a >时，设方程210x ax ++=的两个根据分别为12,x x 且12x x ≤，则122x x a +=-<，121=x x ，所以122,10x x <--<<，当1x x <或2x x >时，()2(1)(2)1f x a x a x =++++，此时图象开口向上，对称轴为()21,01,(1)02(1)2a x f f a -+=<-=-=+；当12x x x <<时，()2(1)(2)1f x a x a x =-+--，此时图象开口向上，对称轴为()2(0,1),10,(0)12(1)a x f f a -=∈==--，(1)2(2)0f a -=->，如图所示，所以D 正确.故选：ACD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.已知向量a ，b满足2a b == ，,60a b =︒ ，则a b -=r r ___.【答案】2【解析】向量a ，b满足2a b == ，,60a b =︒ ，则a b -==r r2===，14.已知函数()()()ln e ,021,0x x f x f x x ⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩，则()2f =_________.【答案】4【解析】由题意()()()221404ln e=4f f f ===.故答案为：4.15.无重复数字且各位数字之和为8的三位数的个数为__________.【答案】24【解析】分两类：第一类不含数字0，有以下几种组合125++和134++，结果为332A 12=；第二类含数字0，有以下几种组合017++、026++和035++，结果为12223C A 12=；综上，无重复数字且各位数字之和为8的三位数的个数是24.故答案是：24.16.已知1n a n=，若对任意的()*n n ∈N ，都有()()()212222n a a a kn +++ ≥，则实数k 的最大值为___.【答案】158【解析】由题意可得：()()()122222n a a a k n +++≤对*n ∈N 恒成立.设()()()122222n n a a a b n +++=，令11n n b b +≥，得()2212111n n n ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭≥+⇒331n n ≥+⇒2n ≥，又11231b +==，()2112215248b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭==，所以158k ≤.故答案为：158四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等比数列{}n a 满足112a =，246a a =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n na 的前n 项和.【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，由已知得()23511a q a q ⋅=⋅，……………………………………………………2分所以112q =，2q =，…………………………………………………………3分所以121222n n n a --=⨯=.………………………………………………………4分（2）22n n na n -=⋅设数列{}n na 的前n 项和为n S ，则10121222322n n S n --=⋅+⋅+⋅++⋅ ，①所以()012121222122n n n S n n --=⋅+⋅++-⋅+⋅ ，②……………………………6分①-②得1121121212122n n n S n ----=⋅+⋅+⋅++⋅-⋅ ，()11122212n n n --=-⋅-……………………………………………………8分()11122n n -=-⋅-……………………………………………………9分所以()11122n n S n -=-⋅+.…………………………………………………………10分18.如图，矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，点E ，F 在边BC ，AD 上，且2CE DF ==.将矩形CDFE 沿EF 折起至C D FE ''，使得60C EB '∠=︒，M ，N 分别为AB ，C D ''的中点.（1）证明：EN ⊥平面MNF ；（2）求EN 与平面C AE '所成角的正弦值.【解析】（1）在矩形C D FE ''中，2C N C E ''==，90C '∠=︒，所以45C NE '∠=︒，同理45D NF '∠=︒，故EN NF ⊥，①…………………………………………2分连结BC '、ME ，在BEC '△中，由余弦定理知：2222cos 164812BC EB EC EB EC C EB =+-⋅⋅∠=+-''=''，所以BC '=MN =，又因为NE ===ME ===所以222ME MN NE =+，所以90ENM ∠=︒，即EN MN ⊥，②………………………5分由①，②及MN NF N = ，,MN NF ⊂平面MNF ，可得EN ⊥平面MNF .………………6分（2）以E 为坐标原点，EF ，EB 所在直线为x ，y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -.则()0,0,0E，(C '，()4,4,0A，(N，(EC '= ，()4,4,0EA =，设平面C AE '的法向量(),,n x y z =，则0440n EC y n EA x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=⎪⎩'+=，令x =y =，1z =，所以)n =.…………………………………………………………9分因为(EN =，所以42cos ,14n EN n EN n EN⋅===，………………………………………………………11分所以EN 与平面C AE '所成角的正弦值为14.…………………………………………………………12分19.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，且a c +=，3A C π-=.（1）求cosB ；（2）若b =ABC 的面积.【解析】（1）因为a c +=，所以由正弦定理得sin sin A C B +=，…………………………………………………………1分因为3A C π-=，且A B C π++=，所以32B C π=-，232B A π=-，…………………………………………………………2分所以2sin sin 3232B B B ππ⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即22sin cos cos sin sin cos cos sin 32323232B B B B B ππππ-+-=，…………………………4分2B B =，所以cos4sin cos 222B B B =，因为022B π<<，所以1sin 24B =，…………………………………………………………5分所以27cos 12sin 28B B =-=；…………………………………………………………6分（2）由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，………………………………………………………7分即()27524a c ac ac =+--，得()21554ac =-，得443ac =，…………………………………………………………9分因为7cos 8B =，所以sin 8B =，………………………………………………………10分所以1sin 212ABC S ac B ==△…………………………………………………………12分20.已知函数()()()e 2ln 0x f x a a x a =+->，()f x 的导函数为()f x '.（1）当1a =时，解不等式()e xf x >；（2）判断()f x '的零点个数；（3）证明：()224ln 4a f x a ++≥.【解析】（1）当1a =时，()e 12ln e x x f x x =+->，所以1ln 2x <，所以0x <<，所以不等式的解集为(.…………………………………………………………3分（2）函数()f x 的定义域为()0,∞+，()2e 2e x xax f x a x x ='-=-.………………………………4分令()e 2x g x ax =-，则()()1e 0xg x a x =+>'，所以()g x 在区间()0,∞+上单调递增.…………………………………………………………5分又因为()020g =-<，2222e 22e 10a a g a ⎛⎫⎛⎫=-=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以存在020,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()00g x =，所以()f x '在区间()0,∞+上有且只有一个零点0x .……………………………………………………7分（3）证明：由（2）知，当()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 在()00,x 上单调递减，当()0,x x ∞∈+时，()0f x '>，()f x 在()0,x ∞+上单调递增，所以()()()000e 2ln x f x f x a a x ≥=+-.…………………………………………………………9分因为00e 20x ax -=，所以002e x a x =，00ln ln 2ln a x x +=-.……………………………………10分所以()()()0200002e 2ln 2ln 2ln x f x a a x a a x x =+-=+---22220022ln 4ln 44a a x a a x =+++++≥，所以()224ln 4a f x a ≥++.…………………………………………………………12分21.某人从A 地到B 地有路程接近的2条路线可以选择，其中第一条路线上有n 个路口，第二条路线上有m 个路口.（1）若2n =，2m =，第一条路线的每个路口遇到红灯的概率均为23；第二条路线的第一个路口遇到红灯的概率为34，第二个路口遇到红灯的概率为35，从“遇到红灯次数的期望”考虑，哪条路线更好？请说明理由.（2）已知；随机变量i X 服从两点分布，且()()110i i i P X P X p ==-==，.则11n i i n i i E X p ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑，且()2112,1,2,3,,n n i i i i i j i j E X p p p i j n ==<⎡⎤⎛⎫=+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑∑ .若第一条路线的第i 个路口遇到红灯的概率为12i ，当选择第一条路线时，求遇到红灯次数的方差.【解析】（1）应选择第一条路线，…………………………………………………………1分理由如下：设走第一、第二条路线遇到的红灯次数分别为随机变量1X 、2X ，则10,1,2X =，20,1,2X =，()2111039P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()1122141C 339P X ==⨯⨯=，()2212242C 39P X ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，所以()1484993E X =+=；…………………………………………………………3分又()212104510P X ==⨯=，()2321391454520P X ==⨯+⨯=，()233924520P X ==⨯=，所以()299272202020E X =+⨯=；……………………………………………………5分因为427320<，所以应选择第一条路线.………………………………………………6分（2）设选择第一条路线时遇到的红灯次数为X ，所以()11n n i i i i E X E X p ==⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑；()22112n n i i i j i i i j E X E X p p p ==<⎡⎤⎛⎫==+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑∑，………………………………………………8分设随机变量Y ，Y 取值为()1,2,3,,i Y i n =L ，其概率分别为i q ，且11n i i q==∑，()(){}21n i i i D Y Y E Y q ==-⎡⎤⎣⎦∑()(){}2212n i i i i i i Y q E Y Y q E Y q ==⋅-⋅+⋅⎡⎤⎣⎦∑()()()()()22111222n n ni i i i i i i i Y q E Y Y q E Y q E Y E Y ====⋅-⋅+⋅⎡⎤⎣⎦=-⎡⎤⎣⎦∑∑∑所以()()()()22D X E X E X=-2112n n i i j i i i j i p p p p =<=⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∑∑∑21122n n i i j i i j i i j i i j p p p p p p =<=<⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭∑∑∑∑()21ni i i p p ==-∑，………………………………………11分又因为12i i p =，所以()1111111111224411241124n n n n i i i i D X ==⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-=---∑∑2113342n n =+-⋅.…………………………………………………………12分22.在直角坐标系xOy 中，点P 到直线92y =的距离等于点P 到点70,2⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离，记动点P 的轨迹为C .（1）求C 的方程；（2）设A ，B 是C 上位于y 轴两侧的两点，过A ，B 的C 的切线交于点Q ，直线QA ，QB 分别与x 轴交于点M ，N ，求QMN 面积的最小值.【解析】（1）设(),P x y ，92y =-，…………………………………………………………1分整理得282x y =-；…………………………………………………………3分（2）如图：设2,42a A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2,42b B b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，不妨设0a b <<，因为242x y =-，所以y x '=-，…………………………………………………………4分所以过点A 的切线方程为()242a y a x a ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭，即242a y ax =-++，同理可得过点B 的切线方程242b y bx =-++，………………………………………………………6分联立QA ，QB 方程，得8,22a b ab Q +-⎛⎫⎪⎝⎭，令0y =，得4,02a M a ⎛⎫+⎪⎝⎭，4,02b N b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以()42a b b a MN ab --=+，…………………………………………………………8分所以QMN 的面积()4181822222a b ab b a ab S MN ab ⎡⎤----⎛⎫⎛⎫=⨯=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为0a ->，所以()()418222b a b a ab S ab ⎧⎫⎡⎤+-+--⎪⎪⎛⎫⎣⎦=+⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎪⎪⎩⎭142284822222ab ab ab ab ⎛⎛⨯--⎛⎫⎛⎫≥+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，………………………………10分t =，得234816416224t t S t t t t ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以221643164S t t ⎛⎫=+- ⎝'⎪⎭，令0S '=，得283t =由0S '>⇒22643160t t +->⇒()()223880t t -+>⇒283t >；所以当2803t <<时，()S t 单调递减，当283t >时，()S t 单调递增；所以当283t =，即3t =时，9S =为最小值.…………………………………………………12分。

2023届山东省潍坊市高三上学期期末数学试题一、单选题1．设全集U =R ，集合{}21A x x =-≤，{}240xB x =-≥，则集合()UAB =（ ）A ．()1,2B ．(]1,2C ．[)1,2D ．[]1,2【答案】C【分析】解不等式化简集合A ，B ，再利用补集、交集的定义计算作答. 【详解】解不等式21-≤x 得：13x ≤≤，则[1,3]A =， 解不等式240x -≥得：2x ≥，则[2,)B =+∞，(,2)UB =-∞，所以()[1,2)UAB =.故选：C2．若复数z 满足()20232i i z -=，则z =（ ）A ．12i 55-B ．12i 55--C ．12i 55-+D ．12i 55+【答案】D【分析】首先计算2023i i =-，再利用复数的除法运算求z ，再根据共轭复数的定义求解. 【详解】2023505433i i i i ⨯+===-， 所以()()()i 2i i 12i 12i 22i 2i 555z i -+--====---+， 则12i 55z =+.故选：D3．已知函数()sin ,sin ,,sin ,x x x f x x x x ≥⎧=⎨<⎩则π6f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．6π B ．12C D ．3π 【答案】B 【分析】根据ππsin 66≥再利用分段函数定义即可求得6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值. 【详解】由题意可知，ππ1sin 662≥=，满足sin ,x x ≥所以ππ1sin 662f ⎛⎫== ⎪⎝⎭.故选：B4．若一组样本数据1x 、2x 、、n x 的平均数为10，另一组样本数据124x +、224x +、、24n x +的方差为8，则两组样本数据合并为一组样本数据后的平均数和方差分别为（ ） A ．17，54 B ．17，48 C ．15，54 D ．15，48【答案】A【分析】计算出1ni i x =∑、21ni i x =∑的值，再利用平均数和方差公式可求得合并后的新数据的平均数和方差.【详解】由题意可知，数据1x 、2x 、、n x 的平均数为10，则1110ni i x n ==∑，则110ni i x n ==∑所以，数据124x +、224x +、、24n x +的平均数为()1112244210424n ni i i i x x x n n =='=+=+=⨯+=∑∑，方差为()()()222222111114444242410104008n n n n i i i i i i i i s x x x x n x n n n n n ====⎡⎤'=+-+=-=-⨯⨯=-=⎣⎦∑∑∑∑，所以，21102ni i x n ==∑，将两组数据合并后，新数据1x 、2x 、、n x 、124x +、224x +、、24n x +的平均数为()()()1111111131243443104172222n nn n i i ii i i i i x x x x x n n n ====⎡⎤⎛⎫''=++=⨯+=+=⨯+= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭∑∑∑∑， 方差为()()222211111117241758645822n n n ni i i i i i i i s x x x x n n n ====⎡⎤⎛⎫''=-++-=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭∑∑∑∑ ()15102860458542n n n n=⨯-+=. 故选：A.5．宋代制酒业很发达，为了存储方便，酒缸是要一层一层堆起来的，形成堆垛，用简便的方法算出堆垛中酒缸的总数，古代称之为堆垛术.有这么一道关于“堆垛”求和的问题：将半径相等的圆球堆成一个三角垛，底层是每边为n 个圆球的三角形，向上逐层每边减少一个圆球，顶层为一个圆球，我们发现，当1n =，2，3，4时，圆球总个数分别为1，4，10，20，则5n =时，圆球总个数为（ ）A ．30B ．35C ．40D ．45【答案】B【分析】求出底层个数，加上前4层总数20即可.【详解】当1n =，2，3，4时，圆球总个数分别为1，4，10，20，所以当n =4时，每层圆球的个数分别为1，3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4， 可得，5n =时，底层有()155********+⨯++++==，故一共有201535+=个球. 故选：B6．已知正三棱锥-P ABC 的侧棱长为3，点E ，F 分别在线段PC ，BC （不包括端点）上，且EF PB ∥，90AEF ∠=︒，若点M 为三棱锥-P ABC 的外接球的球面上任意一点，则点M 到平面ABC 距离的最大值为（ ）A ．43B ．524C ．2D ．32【答案】C【分析】画出图形，结合图形辅助线，利用已知条件说明线面垂直，找出球心，建立直角三角形中相应的关系，建立等量关系，解出三棱锥外接球的半径，根据图形分析最大值即可. 【详解】取AC 的中点D ，连接,BD PD ，如图所示：在正三棱锥-P ABC 中，3PA PB PC === 所以PD AC ⊥， 下底面为等边ABC ， 所以BD AC ⊥， 由PD BD D ⋂=， 所以AC ⊥平面PBD ， 又PB ⊂平面PBD ， 所以PB AC ⊥，因为EF PB ∥，90AEF ∠=︒， 所以AE EF ⊥， 所以AE PB ⊥， 由AEAC A =，所以PB ⊥平面PAC ， 又AP ⊂平面PAC ，所以PB PA ⊥，所以90APB ∠=，所以AB BC AC ===设三棱锥的外接球球心为O ，ABC 外接圆的圆心为1O ， 连接11,,PO AO AO ，则在正三棱锥中，底面为正三角形， 所以1O 一定在BD 上，且O 一定在1PO 上， 同时1PO ⊥平面ABC ， 在ABC 中由正弦定理得：1162sin 603ABAO AO === 在1Rt PAO中，11PO==，在1Rt OAO 中，()22222111AO AO OO PO PO =+=+-，设球体的半径为R ，所以()22223212122R R R R R R =+-⇒=+-+⇒=， 所以1131122OO PO PO =-=-=， 所以三棱锥-P ABC 的外接球的球面上任意一点M 到平面ABC 距离的最大值为： 131222OO R +=+=， 故选：C.7．已知O 为坐标原点， ,A B 是抛物线24y x =上的动点，且OA OB ⊥，过点O 作OH AB ⊥，垂足为H ，下列各点中到点H 的距离为定值的是（ ） A ．()1,0 B ．()2,0C ．()1,2D ．()2,1【答案】B【分析】根据题意可设直线AB 的方程x my n =+，联立抛物线方程再利用OA OB ⊥，可得4n =，法一：可知H 在圆上运动进行判断，法二再由OH AB ⊥得出OH 的方程为y mx =-，解得2244,11m H m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，代入选项逐一验证是否为定值即可得出答案. 【详解】法一：设直线AB 方程为x my n =+，221212(,),(,)44y y A y B y 联立直线和抛物线方程整理得2440y my n --=， 所以12124,4y y m y y n +==-又OA OB ⊥，即0OA OB =，所以221212044y y y y ⨯+=可得1216y y =-，即4n =； 则直线AB 4x my =+过定点D （4,0）因为OH AB ⊥，则点H 在为直径的圆上（其中圆心坐标为OD 中点（2,0）），故（2,0）到H 的距离为定值 故选：B法二：设直线AB 方程为x my n =+，221212(,),(,)44y y A y B y 联立直线和抛物线方程整理得2440y my n --=， 所以12124,4y y m y y n +==-又OA OB ⊥，即0OA OB =，所以221212044y y y y ⨯+=可得1216y y =-，即4n =； 又因为OH AB ⊥，所以OH 的方程为y mx =-，解得2244,11m H m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭对于A ，()1,0到点H对于B ，()2,0到点H 2=为定值；对于C ，()1,2到点H =不是定值；对于D ，()2,1到点H =不是定值. 故选：B【点睛】方法点睛：定值问题通常思路为设出直线方程，与圆锥曲线方程联立，得到两根之和，两根之积，应用设而不求的思想，进行求解；注意考虑直线方程的斜率存在和不存在的情况.8．已知定义在R 上的函数()f x 满足()01f =，对x ∀，y ∈R ，有()()()()12f xy f x f y f y x +=--+，则()()2023111i f i f i ==+∑（ ）A ．20234050B ．20242025C ．20234048D ．20232024【答案】A【分析】由已知可推得()12f =，令1y =，得出()()12f x f x x +=-.设()*,n a f n n =∈N ，则()()1221n n a n a n +-+=-+⎡⎤⎣⎦，由12a =，可得1n a n =+.又()()111112f i f i i i =-+++，代入求和即可得出结果.【详解】令0x y ==，由已知可得()()()210022f f f =-+=.令1y =，由已知可得()()()()()11122f x f x f f x f x x +=--+=-， 设()*,n a f n n =∈N ，则12n n a a n +=-，整理可得()()1221n n a n a n +-+=-+⎡⎤⎣⎦.又12a =，所以()()12210n n a n a n +-+=-+=⎡⎤⎣⎦，所以1n a n =+. 则()()()()11111111212i i f i f i a a i i i i +===-+++++，所以()()2023111111111120231233445202420254050i f i f i ==-+-+-++-=+∑. 故选：A.【点睛】方法点睛：对于抽象函数的问题，常用赋值法：赋确定值求解函数值，赋确定值及可变值可得函数关系式.二、多选题9．关于下列命题中，说法正确的是（ ） A ．已知()B ,Xn p ，若()30E X =，()20D X =，则23p =B ．数据91，72，75，85，64，92，76，78，86，79的45%分位数为78C ．已知()N 0,1ξ，若()1P p ξ>=，则()1102P p ξ-≤≤=- D ．某校三个年级，高一有400人，高二有360人.现用分层抽样的方法从全校抽取57人，已知从高一抽取了20人，则应从高三抽取19人. 【答案】BCD【分析】根据二项分布期望和方差公式可构造方程求得13p =，知A 错误；将数据按照从小到大顺序排序后，根据百分位数的估计方法直接求解知B 正确；由正态分布曲线的对称性可求得C 正确；根据分层抽样原则可计算得到高二应抽取学生数，由此可得高三数据，知D 正确. 【详解】对于A ，()B ,Xn p ，()()()30120E X np D X np p ⎧==⎪∴⎨=-=⎪⎩，213p ∴-=，解得：13p =，A 错误；对于B ，将数据从小到大排序为64，72，75，76，78，79，85，86，91，92，1045% 4.5⨯=，45%∴分位数为第5个数，即78，B 正确； 对于C ，()N 0,1ξ，()()()()11110111121222P P P P p ξξξξ∴-≤≤=->-<-=->=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，C 正确；对于D ，抽样比为20140020=，∴高二应抽取13601820⨯=人，则高三应抽取57201819--=人，D 正确. 故选：BCD.10．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为线段1AD （包括端点）上一动点，则（ ） A ．异面直线1AD 与11A C 所成的角为60 B ．三棱锥11B PBC -的体积为定值 C ．不存在点P ，使得1AD ⊥平面PCDD ．PB PC +的最小值为3 【答案】AB【分析】证明得到11//AC AC ，求出160D AC ∠=，即可得出A 项；证明1//AD 平面11BCC B ，然后求出1111111111366P BC B BC B V AB SAB B B B C -=⨯⨯=⨯⨯⨯=，根据等积法即可求出B 项；取1AD 中点为P ，可证明1AD ⊥平面PCD ，即可说明C 项错误；将1BAD 和1CAD 展开到同一平面，当点P 为1,AD BC 交点时，PB PC +有最小值.在ABC 中，由余弦定理求出23BC =D 项错误.【详解】对于A 项，如图1，连接1,CD AC .因为11,,AD AC CD 都是正方体面对角线，所以11AD AC CD ==， 所以1ACD △是等腰三角形，所以160D AC ∠=.又11//AA CC 且11=AA CC ，所以四边形11A C CA 是平行四边形，所以11//AC AC .所以异面直线1AD 与11A C 所成的角即等于1AD 与AC 所成的角160D AC ∠=，故A 项正确；对于B 项，因为11//AB C D 且11=AB C D ，所以四边形11ABC D 是平行四边形，所以11//AD BC . 因为1BC ⊂平面11BCC B ，1AD ⊄平面11BCC B ，所以1//AD 平面11BCC B . 所以点P 到平面11BC B 的距离d 即等于点A 到平面11BCC B 的距离1AB =.111111122BC B S B B B C =⨯⨯=， 所以1111111111366P BC B BC B V AB SAB B B B C -=⨯⨯=⨯⨯⨯=，又111116P C B PBC B B V V --==是个定值，故B 项正确；对于C 项，如图2，取1AD 中点为P .因为1DA DD =，P 是1AD 中点，所以1DP AD ⊥. 又由已知可得，CD ⊥平面11ADD A ，1AD ⊂平面11ADD A ，所以1CD AD ⊥.又CD DP D =， 且CD ⊂平面PCD ，DP ⊂平面PCD ，所以1AD ⊥平面PCD ，即存在点P ，使得1AD ⊥平面PCD ，故C 项错误；对于D 项，如图3，将1BAD 和1CAD 展开到同一平面，当点P 为1,AD BC 交点时，PB PC +有最小值.因为112AD AC CD ==160D AC ∠=，又190BAD ∠=，所以150BAC ∠=.在ABC 中， 由余弦定理可得，2222cos150BC AB AC AB AC =+-⋅31221236⎛=+-⨯= ⎝⎭所以PB PC +36+D 项错误. 故选：AB.11．已知函数()()()2626a x x f x x x-+-=++-a 为实数，则（ ）A ．()f x 的图象关于2x =对称B ．若()f x 在区间[]22-,上单调递增，则0a < C ．若1a =，则()f x 的极大值为1 D ．若0a <，则()f x 的最小值为a 【答案】ACD【分析】根据题意可得函数定义域为[]2,6-，由()4()f x f x -=可得A 正确；将函数整理变形，构造函数()26226x x g x x x+-=++-求导可得其单调性，再利用函数单调性即可判断B 错误；当1a =，由()f x 的单调性可知()f x 在2x =处取得极大值为1，即C 正确；若0a <，同理可得()f x 的最小值为a ，所以D 正确；即可得出正确选项.【详解】由题意可知，函数()f x 的定义域为[]2,6-， 则[]42,6x -∈-，所以()()()()()622646226a x x a x x f x x x x x-----+--==-++++-可得对于[]()2,6,4()x f x f x ∀∈--=，所以()f x 的图象关于2x =对称，即A 正确；由()f x =()f x a ⎫==⎝ 令()g x，[]2,6x ∈-，()()212124g x '=⎛⎫ ⎪=+⎪⎪⎝⎭令()0g x '=，得2x =，当[]2,2x ∈-时，()0g x '>，函数()g x 为单调递增； 当[]2,6x ∈时，()0g x '<，函数()g x 为单调递减；根据函数单调性可知，若()f x 在区间[]22-,上单调递增，则0a >，故B 错误；当1a =，则()()f g x x ==所以()f x 在2x =处取得极大值()2211f =-=， 即()f x 的极大值为1，故C 正确；若0a <，根据函数单调性可知()f x 在区间[]22-,上单调递减，[]2,6上单调递增； 所以()f x在2x =处取得极小值，也是最小值，由()f x a ⎫=⎝得，()22(1)f a a =-=， 所以0a <，则()f x 的最小值为a ，即D 正确； 故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题关键在于通过观察函数特征，将函数()f x 改写成()f x a ⎫=⎝，再通过构造函数()g x ，结合参数a 的正负利用导数研究函数()f x 的单调性和极值即可.12．若数列{}n a 满足21321111222n n a a a a a a --<-<<-<，则称数列{}n a 为“差半递增”数列，则（ ）A ．正项递增数列均为“差半递增”数列B ．若数列{}n a 的通项公式为()1nn a q q =>，则数列{}n a 为“差半递增”数列C ．若数列{}n a 为公差大于0的等差数列，则数列{}n a 为“差半递增”数列D ．若数列{}n a 为“差半递增”数列，其前n 项和为n S ，且满足122n n n S a t +=--，则实数t 的取值范围为32,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】BCD【分析】利用数列1,4,5作为反例可判断A 选项，利用作差法结合等比数列的通项公式比较得111122n n n n a a a a -+-<-可说明B 选项，利用作差法结合等差数列的通项公式比较得111122n n nn a a a a +-⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可说明C 选项，根据,n n a S 的关系求出数列{}n a 通项公式，再根据“差半递增”数列的定义列出不等式可求t 的取值范围,从而判断D 选项. 【详解】对于A ，假设一个正项递增数列为：1,4,5， 则174,52322-=-=，则732>，不满足“差半递增”数列，A 错误； 对于B ，因为()1nn a q q =>，所以11111111,,2222n n n n n n n n a a q q a a q q -+-+-=--=-11121111111(231)22222n n n n n n n n n a a a a q q q q q q q +--+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=---=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为1q >，所以函数2231y q q =-+单调递增，所以当2310y >-+=，即111122n n n n a a a a +-⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，所以数列{}n a 为“差半递增”数列，B 正确；对于C ，设公差0d >，1(1)n a a n d =+-，11(2)n a n d a -=+-，11n a a nd +=+，所以111111111,2222222n n n n a d a a a nd a a nd -+-=+-=++，所以111122n n n n a a a a +-⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，数列{}n a 为“差半递增”数列，C 正确；对于D ，因为122n n n S a t +=--，所以11124S t a a ==--，所以14a t =+，当2n ≥时，11222n n n n n n a S S a a --=-=--，所以122nn n a a --=，所以11122n n n n a a ---=， 所以数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，公差为1，所以11(1)1222n na a n n t =+-=++， 所以12(1)2nn a n t =++，所以对任意,2n n *∈≥N ，111122n n n n a a a a +-⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即111111112(2)2(1)2(1)2()222222n n n n n t n t n t n t +-++-⋅++>++-⋅+，所以11118(2)2(1)4(1)()2222n t n t n t n t ++-++>++-+，所以6203n t -->，因为,2n n *∈≥N , 所以当2n =时6203n --有最大值为323-， 所以323t >-，D 正确； 故选:BCD.三、填空题13．如图所示，A ，B ，C ，D 是正弦函数sin y x =图象上四个点，且在A ，C 两点函数值最大，在B ，D 两点函数值最小，则()()OA OB OC OD +⋅+=______.【答案】212π【分析】由图象得出各点的坐标，进而表示出向量，根据向量以及数量积的坐标运算即可得出答案. 【详解】由图象结合正弦函数可得，π,12A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3π,12B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，5π,12C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，7π,12D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以π,12OA ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3π,12OB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，5π,12OC ⎛⎫= ⎪⎝⎭，7π,12OD ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()2π,0OA OB +=，()6π,0OC OD +=，所以()()22π6π12πOA OB OC OD +⋅+=⨯=.故答案为：212π.14．已知函数()3sin 4cos f x x x =+，且()()f x f θ≤对任意x ∈R 恒成立，若角θ的终边经过点()4,P m ，则m =______.【答案】3【分析】由辅助角公式得θ表达式，后可得答案. 【详解】()()3sin 4cos 5sin f x x x x ϕ=+=+，其中4tan 3ϕ=，π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 则()()ππ52πZ 2πZ 22，，f x f k k k k ≤=⇒+=+∈⇒=-+∈θθϕθϕ， 则1324πtan tan tan θφφ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，则3344m m =⇒=.故答案为：315．写出一个同时满足下列三个性质的函数()f x =______.①()f x 是奇函数；②()f x 在()2,+∞单调递增；③()f x 有且仅有3个零点. 【答案】()()11x x x +-（答案不唯一）【分析】根据奇函数图像关于原点对称，若函数有且仅有3个零点则原点两侧各有一个，再保证()2,+∞单调递增即可写出解析式.【详解】由()f x 是奇函数，不妨取()00f =，且函数图象关于原点对称； 又()f x 有且仅有3个零点，所以原点两侧各有一个零点，且关于原点对称， 若保证()f x 在()2,+∞单调递增，显然()()()11f x x x x =+-满足. 故答案为：()()11x x x +-（答案不唯一）16．设双曲线()2222:10x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，过点A 且斜率为2的直线与C 的两条渐近线分别交于点P ，Q .若线段PQ 的中点为M ，AM =，则C 的离心率e =______.【分析】根据题意可得出直线方程，与渐近线方程联立解得交点P ，Q 的坐标，再根据中点坐标公式求出32222242,44a ab M a b a b ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，由直线斜率为2以及AM =利用余弦定理解得2285a OM =，再利用两点间距离公式可得关于,a b 的方程，解得223b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭即可求得离心率.【详解】由题意可知(,0)A a ，双曲线的两条渐近线方程为b y x a=±过点A 且斜率为2的直线方程为2()y x a =-， 不妨设直线2()y x a =-与渐近线by x a=交于点P ，与渐近线b y x a =-交于点Q ，如下图所示：联立2()y x a b y x a =-⎧⎪⎨=⎪⎩可得222,22a ab P a b a b ⎛⎫ ⎪--⎝⎭， 同理得222,22a ab Q a b a b ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，所以PQ 的中点M 为32222242,44a ab a b a b ⎛⎫ ⎪--⎝⎭设过点A 且斜率为2的直线的倾斜角为α，即tan 2α=，可得5cos α= 所以5cos cos OAM α∠=-= 由余弦定理可得222282cos 5a OM OA AM OA AM OAM =+-⨯⨯⨯∠= 即223222222428445a ab a a b a b ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，整理可得42316120b b a a ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即223260b b a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得223b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭或26b a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（舍） 所以双曲线离心率为2225151133c b e a a ==++15【点睛】关键点点睛：求解本题离心率问题时，关键是联立直线与渐近线方程解得交点P ，Q 的坐标得出中点M 的坐标，再利用斜率以及AM 由余弦定理找出等量关系，建立关于,a b 的方程，即可求得离心率.四、解答题17．已知正项数列{}n a 满足11a =，()()212252*n n n n a a a a n ++=++∈N .(1)证明：数列{}1n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； (2)设()()41log 1nn n b a =-+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T .【答案】(1)证明见解析，*21,nn a n -∈=N(2)1,44n n n T n n --⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数，为偶数【分析】（1）根据递推公式将其分解整理可得121n n a a +=+，两边同时加1即可证明数列{}1n a +是等比数列，根据等比数列通项公式即可求出数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）可写出()12nn nb =-⋅，分别对n 是奇数和偶数两种情况进行分类讨论即可求得结果. 【详解】（1）将等式右边分解得()()()12212n n n n a a a a ++=++， 因为已知0n a >，所以121n n a a +=+， 所以()1121n n a a ++=+，所以数列{}1n a +是首项为112a +=，公比为2的等比数列， 所以111(1)22n n n a a -+=+⋅=，即21nn a =-.所以数列{}n a 的通项公式为*21,nn a n -∈=N（2）结合（1）知()()41log 212n n nn n b =-=-⋅，所以当n 为偶数时，12341111222222224n n n T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-+++-+=⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 当n 为奇数时，12342111122222222224n n n n n nn T ---+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-+++-+-=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 所以数列{}n b 的前项和1,44n n n T n n --⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数，为偶数 18．在锐角三角形ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()cos sin cos sin C A B B C A -=-.(1)求tan A 的最小值；(2)若tan 2A =，a =c .【答案】(2)c =或【分析】（1）利用两角差的正弦公式展开整理可得2cos cos cos C B A =，再利用三角形内角关系化简得tan tan 3B C =，由锐角三角形ABC 可知，利用两角和的正切公式和基本不等式即可求得tan A 的最小值；（2）根据tan 2A =可求得tan 1C =或tan 3C =，即可求出角C 的正弦值，再由a =弦定理即可求得c .【详解】（1）由已知得()()cos sin cos cos sin cos sin cos cos sin C A B A B B C A C A -=-， 整理得2cos sin cos cos sin C A B A A =， 因为sin 0A >，所以2cos cos cos C B A =，又因为()cos cos cos cos sin sin A B C B C B C =-+=-+， 所以sin sin 3cos cos B C C B =， 可得tan tan 3B C =，()tan tan tan tantan tan tan tan 12B C B CA B C B C ++=-+==-当且仅当tan tan B C == 故tan A（2）由（1）知tan 2A =，所以tan tan 4B C +=， 又因为tan tan 3B C =，所以tan 1C =或tan 3C =，8分当tan 1C =时，sin C =，由正弦定理得sin sin a c C A ==当tan 3C =时，sin C =sin sin a c C A ==综上，c =或19．一个不透明箱子中有除颜色外其它都相同的四个小球，其中两个红球两个白球的概率为23，三个红球一个白球的概率为13.(1)从箱子中随机抽取一个小球，求抽到红球的概率；(2)现从箱子中随机一次性抽取两个或三个小球，已知抽到两个小球的概率为34，抽到三个小球的概率为14，所抽到的小球中，每个红球记2分，每个白球记1-分，用X 表示抽到的小球分数之和，求X 的分布列及数学期望.【答案】(1)712(2)分布列见解析，()2716E X =【分析】（1）根据离散型随机变量的性质结合条件概率求解即可；（2）由题意先找出随机变量X 的值，分别求出各自的概率，列出分布列，求出数学期望.【详解】（1）记事件A 表示“抽取一个小球且为红球”，1B 表示“箱子中小球为两红两白”，2B 表示“箱子中小球为三红一白”，则112221137()()(|)()(|)323412P A P B P A B P B P A B =⋅+⋅=⨯+⨯=.（2）由题意得X 的取值可以为2-，0，1，3，4，6，()2311234612P X =-=⨯⨯=，()2111034212P X ==⨯⨯=，()23213111134334224P X ==⨯⨯+⨯⨯=，()2111137334234448P X ==⨯⨯+⨯⨯=，()2311315434634224P X ==⨯⨯+⨯⨯=，()1111634448P X ==⨯⨯=.随机变量X 的分布列为：所以X 的分布列及数学期望为：()()11117512720134612122448244816E X =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 20．已知三棱台111A B C ABC -中，1AA ⊥底面ABC ，2AB AC ==，1111AA A B ==，111AB AC ⊥，E ，F 分别是BC ，1BB 的中点，D 是棱11A C 上的点.(1)求证：1AB DE ⊥；(2)若D 是线段11A C 的中点，平面DEF 与11A B 的交点记为M ，求二面角M AC B --的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)21313【分析】（1）利用1AA ⊥底面ABC ，111AB AC ⊥以及棱台的几何特征即可证明AC ⊥平面11AA B B ，再利用线面垂直的判定定理证明1AB ⊥平面1A DEG 即可得出结论；（2）首先由几何关系确定M 的位置，即123A M =，再建立空间直角坐标系利用空间向量即可求得面角M ACB --的余弦值. 【详解】（1）如图所示：取线段AB 的中点G ，连接1A G ，EG ，易得1DA EG ∥，所以E ，G ，1A ，D 四点共面. 因为111AB AC ⊥，11AC AC ∥，所以1AB AC ⊥，又因为1AA ⊥底面ABC ，AC ⊂平面ABC ， 所以1AA AC ⊥，因为1AB AA A ⋂=，AB ⊂平面11AA B B ，1AA ⊂平面11AA B B ， 所以AC ⊥平面11AA B B ，因为E ，G 分别是BC ，BA 的中点，所以EG AC ∥，所以EG ⊥平面11AA B B ，因为1AB ⊂平面11AA B B ，所以1AB EG ⊥ 因为1111AA A B AG ===，11A B AG ∥，又因为1AA AG ⊥，所以四边形11AA B G 是正方形，所以11AB AG ⊥， 又因为1EGAG G =，EG ⊂平面1A DEG ，1AG ⊂平面1A DEG ； 所以1AB ⊥平面1A DEG ，因为DE ⊂平面1A DEG ，所以1AB DE ⊥. （2）延长EF 与11C B 相交于点Q ，连接DQ ，则DQ 与11A B 的交点即为M . 由F ，E 分别为1BB 和BC 的中点知M 为线段11A B 的三等分点，且123A M =， 由（1）知AC AB ⊥，所以AC 、AB 、1AA 两两垂直，以点A 为原点，AC 所在的直线为x 轴，AB 所在的直线为y 轴，1AA 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系A xyz -.()2,0,0C ，20,,13M ⎛⎫⎪⎝⎭，()2,0,0AC =，20,,13AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设平面MAC 的法向量()1,,n a b c =，则20203a b c =⎧⎪⎨+=⎪⎩取3b =-，则()10,3,2n =-易得平面ABC 的一个法向量()20,0,1n =， 设二面角M AC B --为θ，由图易知θ为锐角，所以12122cos 13n n n n θ⋅===⋅， 所以二面角M AC B --21．已知椭圆()2222:10xy C a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，焦距为12Q ⎫-⎪⎭在C上.(1)P 是C 上一动点，求12PF PF ⋅的范围；(2)过C 的右焦点2F ，且斜率不为零的直线l 交C 于M ，N 两点，求1F MN △的内切圆面积的最大值. 【答案】(1)[]2,1-(2)π4【分析】(1)结合焦距及点Q 坐标，求得椭圆C 的方程：2214x y +=，设点(),P x y ，得212324PF PF x ⋅=-，结合椭圆有界性解得范围即可；(2)设直线l的方程为x my =+联立椭圆方程结合韦达定理得12y y +，12y y ，利用等面积法求解内切圆半径，进而求得内切圆面积.【详解】（1）由题意知c =223a b =+.将点12Q ⎫-⎪⎭代入222213x y b b +=+，解得1b =，所以椭圆C 的方程为：2214x y +=. 设点(),P x y，则())222123,,324PF PF x y x y x y x ⋅=--⋅-=-+=-.又因为[]2,2x ∈-，所以12PF PF ⋅的范围是[]2,1-.（2）依题意可设直线l的方程为x my =()11,M x y ，()22,N x y .联立221,4x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得22111044m y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. 所以12y y +=12214yy m =-+，所以11212F MNS y y =⨯-==△又因为()()()()222222222111191241619161m m m mm mm ++==≤+++++++++，当且仅当m =.所以12F MN S ≤△. 又因为三角形内切圆半径r 满足1112241482F MNF MNF MNSSr L a==≤=. 所以1F MN △的内切圆面积的最大值为π4.22．已知函数()()2e cos ln 1xf x ax x x =---+.(1)若1a =，求证；函数()f x 的图象与x 轴相切于原点；(2)若函数()f x 在区间()1,0-，()0,∞+各恰有一个极值点，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）当1a =时，()()2e cos ln 1xf x x x x =---+，得到()00f =，求导后得到()00f '=，故()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为0y =，证毕；（2）先证明出e 1x x ≥-，当且仅当0x =时，等号成立，三次求导后，结合第三次求导后的函数单调性及()032h a =-，分32a ≤和32a >两种情况，结合零点存在性定理进行求解，得到实数a 的取值范围.【详解】（1）证明：因为1a =，()()2e cos ln 1x f x x x x =---+，()00f =；又()1e 2sin 1xf x x x x '=-+-+， 所以()00f '=，所以在点()()0,0f 处的切线方程为0y =， 所以函数()f x 的图象与x 轴相切于坐标原点. （2）先证明不等式e 1x x ≥+恒成立，令()e 1xx x ϕ=--，则()e 1x x ϕ'=-，当0x >时，()0x ϕ'>，当0x <时，()0x ϕ'<， 故()e 1xx x ϕ=--在0x =处取得极小值，也是最小值，故()()00x ϕϕ≥=，所以e 1x x ≥-，当且仅当0x =时，等号成立，()1e 2sin 1x f x ax x x '=-+-+，令()()g x f x '=， ()()21e 2cos 1x g x a x x '=-+++，令()()h x g x '=，()()32e sin 1xh x x x '=--+，当()1,0x ∈-时，()()32e sin 1sin 2sin 101xh x x x x x '=--<--=--<+，故()h x 在()1,0-上为减函数，因为()032h a =-，所以当320a -≥， 即32a ≤时，()0h x ≥， 所以()g x 为增函数，故()()00g x g <=，所以()f x 为减函数，故函数()f x 在()1,0x ∈-无极值点； 当32a >时，当()1,0x ∈-，因为()g x '为减函数，()0320g a '=-<，111e 2cos 12e cos 10g a a --⎛⎛⎛'-=-+-+=+-+> ⎝⎝⎝，故必存在()01,0x ∈-，使得()00g x '=，当()01,x x ∈-时，()0g x '>，()g x 为增函数，当()0,0x x ∈时，()0g x '<，()g x 为减函数，而()00f '=，故()00f x '>，又因为2112e 2221211e 2sin 1e e e e a a a a a a f a -+⎛⎫⎛⎫'-+=+-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()22111112e e 22222122eesin 11e sin 1e 0e e e aa aaa a a a a a -+-+⎛⎫⎛⎫=-+-+-+<-+-+-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以必存在()01,m x ∈-，()0f m '=，且当()1,x m ∈-，()0f x '<，()f x 为减函数， 当(),0x m ∈，0fx，()f x 为增函数，故()f x 在区间()1,0-上有一个极小值点m ，令()()()32e sin 1xt x h x x x '==--+，因为()()46e cos 01xt x x x '=-+>+，所以()h x '在()0,∞+上单调递增，又因为()00h '<，()10h '>，所以总存在()10,1x ∈使()10h x '=，且当()10,x x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，()1,x x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，当()0,x ∈+∞，()0320h a =-<，且()()()()()222112e 2cos 21cos 202121ah a a a a a a =-++>++>++，故必存在()20,x ∈+∞，使得()20g x '=，()20,x x ∈，()0g x '<，()f x '为减函数，()2,x x ∈+∞，()0g x '>，()f x '为增函数，因为()00f '=，所以当()20,x x ∈，()0f x '<，即()20f x '<，又因为()()()()4422114e 8sin 418sin 44141a f a a a a a a a a '=-+->+-+-++ ()42312441sin 4041a a a a a a =-++++->+， 故存在()2,n x ∈+∞，使得()0f n '=， 且当()2,x x n ∈，()0f x '<，()f x 为减函数， 当(),x n ∈+∞，0fx，()f x 为增函数，故()f x 在区间()0,∞+有一个极小值点n ，所以若函数()f x 在区间()1,0-，()0,∞+各恰有一个极值点，综上：实数a的取值范围是3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】隐零点的处理思路：第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.。

山东省潍坊市数学高三上学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高二上·江阴期中) 不等式x2-5x+6＜0的解集是（）A . 或B . 或C . 或D .2. （2分） (2019高二下·吉林期中) 已知复数满足，则复数的共轭复数为（）A .B .C .D .3. （2分） (2017高二下·湖北期中) 为了解城市居民的健康状况，某调查机构从一社区的120名年轻人，80名中年人，60名老年人中，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中老年人抽取了3名，则n=（）A . 26B . 24C . 20D . 134. （2分）“sin=cos”是“cos2=0”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分） (2017高一下·济南期末) 如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于（）A .B .C .D .6. （2分）已知数列中，，等比数列的公比q满足且，则（）A .B .C .D .7. （2分） (2019高一下·南阳期中) 运行该程序框图，若输出的的值为16，则判断框中不可能填（）A .B .C .D .8. （2分） (2017高二下·新余期末) 抛物线y=﹣2x2的焦点坐标是（）A . （0，）B . （0，﹣）C . （，0）D . （﹣，0）9. （2分）(2017·自贡模拟) 如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为（）A . 36πB . πC . 8 πD . π10. （2分） (2018高一下·衡阳期末) 已知直线与圆相交于，两点，若，则实数的值为（）A . 或B . 或C . 9或D . 8或11. （2分） (2019高二下·杭州期中) 已知不等式对任意实数恒成立，则的最大值为（）A .B .C .D .12. （2分）方程x3-6x2-15x-10=0的实根个数是（）A . 3B . 2C . 1D . 0二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2018·内江模拟) 的展开式中，的系数是________.（用数字作答）14. （1分）(2018·如皋模拟) 已知点是边长为的正三角形内切圆上的一点，则的取值范围为________.15. （1分） (2016高二下·衡阳期中) 设变量x，y满足，则x+2y的最小值为________．16. （1分） (2019高一下·上高月考) 已知下列四个命题：①等差数列一定是单调数列；②等差数列的前项和构成的数列一定不是单调数列；③已知等比数列的公比为，若，则数列是单调递增数列．④记等差数列的前项和为，若，，则数列的最大值一定在处达到．其中正确的命题有________．（填写所有正确的命题的序号）三、解答题 (共7题；共60分)17. （5分）(2019·通州模拟) 在中，角的对边分别为，，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若为边上的点，且，求．18. （5分） (2018高二上·湖北月考) 为向国际化大都市目标迈进，沈阳市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程，20项民生类工程和10项产业建设类工程.现有来沈阳的3名工人相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设.（Ⅰ）求这3人选择的项目所属类别互异的概率；（Ⅱ）将此3人中选择的项目属于基础设施类工程或产业建设类工程的人数记为，求的分布列和数学期望 .19. （5分） (2016高二上·镇雄期中) 如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD= ．（Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD；（Ⅱ）求异面直线AB与CD所成角的余弦；（Ⅲ）求点E到平面ACD的距离．20. （10分）(2019·汕头模拟) 已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，，，过与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于两点．（1）求椭圆的方程；（2）若的中点为，在线段上是否存在点，使得？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由．21. （15分）(2017·上高模拟) 已知函数f（x）=xe2x﹣lnx﹣ax．（1）当a=0时，求函数f（x）在[ ，1]上的最小值；（2）若∀x＞0，不等式f（x）≥1恒成立，求a的取值范围；（3）若∀x＞0，不等式f（）﹣1≥ e + 恒成立，求a的取值范围．22. （10分） (2020高二下·郑州期末) 在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线的极坐标方程为，射线的极坐标方程为 .（1）写出曲线的极坐标方程，并指出是何种曲线；（2）若射线与曲线交于、两点，射线与曲线交于、两点，求面积的取值范围.23. （10分）(2019·大连模拟) 设函数 . （1）当时，求不等式的解集；（2）若在上恒成立，求实数的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共60分) 17-1、18-1、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、23-1、23-2、。

山东省潍坊市高三上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）已知若,和夹角为钝角,则的取值范围是（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高三上·吉林月考) 已知集合，，则（）A .B .C .D .3. （2分）“a=2”是“函数f（x）=x2+2ax﹣2在区间（﹣∞，﹣2]内单调递减”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分） (2017高二下·石家庄期末) 已知回归方程为： =3﹣2x，若解释变量增加1个单位，则预报变量平均（）A . 增加2个单位B . 减少2个单位C . 增加3个单位D . 减少3个单位5. （2分）下列函数中，最小正周期为又是偶函数的是（）A . y=cos2xB . y=tan4xC . y=sin4xD . y=cos4x6. （2分） (2017高二上·汕头月考) 已知，则方程实数根的个数为（）A . 7B . 6C . 5D . 47. （2分）下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是（）A .B .C .D .8. （2分）某几何体的三视图如图，其正视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的体积是（）A . 4+ πB . 6+ πC . 6+3πD . 12+ π9. （2分）已知定义在R上的函数y=f（x）满足以下三个条件：①对于任意的x∈R，都有f（x+1）= ；②函数y=f（x+1）的图象关于y轴对称；③对于任意的x1 ，x2∈[0，1]，且x1＜x2 ，都有f（x1）＞f（x2），则，f（2），f（3）从小到大的关系是（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高一下·简阳期末) 两直线3ax﹣y﹣2=0和（2a﹣1）x+5ay﹣1=0分别过定点A、B，则|AB|等于（）A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分） (2017高三上·北京开学考) 已知双曲线C的渐进线方程为y=± x，则双曲线C的离心率为________．12. （1分） (2017高三上·东莞期末) （a+ ）（1﹣x）4的展开式中含x项的系数为﹣6，则常数a=________．13. （1分）已知，则实数x的取值范围是________．14. （1分）若x，y满足条件当且仅当x=y=3时，z=ax+y取最大值，则实数a的取值范围是________15. （1分）下列命题中，所有真命题的序号是________．⑴函数的图象一定过定点；⑵函数的定义域是，则函数的定义域为；⑶已知函数在上有零点，则实数的取值范围是．三、解答题 (共6题；共65分)16. （5分） (2017高三上·甘肃开学考) 已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若且sinC=cosA（Ⅰ）求角A、B、C的大小；（Ⅱ）函数f（x）=sin（2x+A）+cos（2x﹣），求函数f（x）单调递增区间，指出它相邻两对称轴间的距离．17. （15分） (2017高二上·湖北期末) 已知长方体A1B1C1D1﹣ABCD的高为，两个底面均为边长1的正方形．（1）求证：BD∥平面A1B1C1D1；（2）求异面直线A1C与AD所成角的大小；（3）求二面角A1﹣BD﹣A的平面角的正弦值．18. （15分） (2017高三下·静海开学考) 已知数列{an}的相邻两项an ， an+1是关于x的方程x2﹣2nx+bn=0，（n∈N*）的两根，且a1=1（1）求证：数列{an﹣×2n}是等比数列；（2）求数列{an}的前n项和Sn；（3）若bn﹣mSn＞0对任意的n∈N*都成立，求m的取值范围．19. （15分） (2016高三上·宜春期中) 为及时了解适龄公务员对开放生育二胎政策的态度，某部门随机调查了90位30岁到40岁的公务员，得到情况如表：（1）完成表格，并判断是否有99%以上的把握认为“生二胎意愿与性别有关”，并说明理由；（2）现把以上频率当作概率，若从社会上随机独立抽取三位30岁到40岁的男公务员访问，求这三人中至少有一人有意愿生二胎的概率．（3）已知15位有意愿生二胎的女性公务员中有两位来自省妇联，该部门打算从这15位有意愿生二胎的女性公务员中随机邀请两位来参加座谈，设邀请的2人中来自省女联的人数为X，求X的公布列及数学期望E（X）．男性公务员女性公务员总计有意愿生二胎3015无意愿生二胎2025总计附：P（k2≥k0）0.0500.0100.001k0 3.841 6.63510.82820. （10分） (2016高二上·重庆期中) 如图，曲线c1：y2=2px（p＞0）与曲线c2：（x﹣6）2+y2=36只有三个公共点O，M，N，其中O为坐标原点，且 =0．（1）求曲线c1的方程；（2）过定点M（3，2）的直线l与曲线c1交于A，B两点，若点M是线段AB的中点，求线段AB的长．21. （5分） (2017高二上·邯郸期末) 已知函数f（x）=（x﹣1）2﹣．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）有两个零点x1 ， x2 ，证明x1+x2＞2．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共6题；共65分)16-1、17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、。

山东省潍坊市高三上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合A={y|y=2x ，0≤x≤1}，集合B={1，2，3，4}，则A∩B等于（）A . {0，1}B . {1，2}C . {2，3}D . {0，1，2}2. （2分）若tanα=2，则等于（）A . -3B . -C .D . 33. （2分）已知sin（+θ）= ，则2sin2 ﹣1等于（）A .B . ﹣C .D .4. （2分）命题“” 的否定是（）A .B .C .D .5. （2分）已知不等式组表示的平面区域为M，若直线与平面区域M有公共点，则k的取值范围是（）A .B .C .D .6. （2分）在以下四个式子中正确的有（）+ • ，•（• ），（• ），| • |=| || |A . 1个B . 2个C . 3个D . 0个7. （2分）将函数的图像向左平移个单位，若所得图像与原图像重合，则的值不可能为（）A . 4B . 6C . 8D . 128. （2分） (2018高三上·河北月考) 已知是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为，则球的体积为（）A .B .C .D .9. （2分）如图是某程序的流程图，则其输出结果为（）A .B .C .D .10. （2分）某几何体的三视图如右图（其中侧视图中的圆弧是半圆），则该几何体的表面积为（）A .B .C .D .11. （2分） (2015高二上·大方期末) 过双曲线左焦点F1的弦AB长为6，则△ABF2（F2为右焦点）的周长是（）A . 12B . 14C . 22D . 2812. （2分）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a,b)内极值点有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个二、填空题． (共4题；共4分)13. （1分）(2012·江苏理) 如图，在矩形ABCD中，AB= ，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若 = ，则的值是________14. （1分）(2016·南通模拟) 设数列{an}满足a1=1，（1﹣an+1）（1+an）=1（n∈N+），则的值为________．15. （1分）若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________16. （1分） (2016高一上·河北期中) 已知f（x）为定义在R上的奇函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）=2x+1，则当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=________三、解答题。

潍坊高三期末考试 数学（理）本试卷分第I 卷和第n 卷两部分，共 6页.满分150分.考试用时120分钟.考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1.答卷前，考生务必用 0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、学校、准考证号填写在答题卡 和试卷规定的位置上.2 •第I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案写在试卷上无效.3. 第H 卷必须用 0. 5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂 改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.4. 填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第I 卷（共60分）一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的. 1.若集合 A -1 ：： x :：: 1 B 一x log 2 x ：： 1 二则 A 一 B 二4 .若角〉终边过点A 2,1 ,C .5A .B. (0, 1)C. (-1, 2)D . (0, 2) A . A .F 列函数中, 1y =-x图象是轴对称图形且在区间 0, •若x, y 满足约束条件B. -1 上单调递减的是C . y = 2xx-y 2 汕 x+y —4K0,贝 V z = 2x — y的最大值为C. 0 D . 4D .255 .已知双曲线2 x_ 2a2£=1 a J.b 0的焦点到渐近线的距离为' 3，且离心率为2，则该双曲线的实轴长为 A . 1B.3C. 2D . 2 36 .某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A . 4 2 3 B . 4 4 2㈱隈图图象，若y = g x 为偶函数，则的值为=4x 与直线2x -y -3=0相交A 、B 两点，0为坐标原点，设 OA , OB 的1 1斜率为k < ,k 2,则一■—的值为1111A .B . ——C.—D.-4 2 4 211. “干支纪年法” 是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、 壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”.“天 干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其 相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅…癸酉，甲戌、乙亥、丙子…癸未，甲申、乙酉、丙戌…癸巳，…， 共得到60个组成，周而复始，循环记录. 2014年是“干支纪年法”中的甲午年，那么2020年是“干支纪年法”中的 A .己亥年B .戊戌年C.庚子年D .辛丑年12 12.已知函数f X 二x 2 -3 e x ,若关于x 的方程f 2 X -mf X 2=0的不同实数根的个e数为n ,则n 的所有可能值为 A . 3B . 1 或 3C . 3 或 5D . 1 或 3 或 5第U 卷(共90分)二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，共20分.13.已知单位向量e 1,e 2，且<e 1,e^ _____________ 一，若向量a = e -2佥，贝V a =325414. __________________________________________ (1 +X +X )(1 +X )展开式中x 的系数为C. 6 2 3 D . 6 4 27 .如图，六边形 分的概率是1 A.—4 2C.—3ABCDEF 是一个正六边形，若在正六边形内任取一点，则恰好取在图中阴影部 1 B.- 3 3 D.-4&函数y =、.,3sin 2x - cos2x 的图象向右平移0 :::个单位后，得到函数y 二g x 的n C.4TtJTA .B.1269.某篮球队对队员进行考核， 规则是：①每人进行若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过•已知队员甲投篮nD .33个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮 2次,21次投中的概率为一，如果甲各3次投篮投中与否互不影响，那么甲 8 B.-3A . 33个轮次通过的次数 X 的期望是5 D.- 3C . 2210.已知抛物线y________________________________________________________ (用数字作答).15 •已知正四棱柱的顶点在同一个球面0上，且球0的表面积为12二，当正四棱柱的体积最大时，正四棱柱的高为___________ •16.在如图所示的平面四边形ABCD中，AB =1, BC二3^ ACD为等腰直角三角形，且.ACD =90：，则BD长的最大值为三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤•第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答•第据要求作答.（一）必考题：共60分.17. （本小题满分12分）若数列G ［的前几项和S n满足：S n =2a「人*「0, N” .（I）证明：数列：a n/为等比数列，并求a n；"a n n为奇数f（n ）若■ =4,b n = n・N ,求数ej的前2n项和T?..log 2 a n n为偶数18. （本小题满分12分）在L PABC中, PA =4,PC =2、、2, • P=45,D 是PA中点（如图1）.将△ PCD沿CD折起到图2中厶RCD的位置，得到四棱锥P1 —ABCD.⑴将厶PCD沿CD折起的过程中，CD丄平面RDA是否成立？并证明你的结论；（n ）若RD与平面ABCD所成的角为60°,且厶RDA为锐角三角形，求平面RAD和平面RBC 所成角的余弦值.19. （本小题满分12分）为研究某种图书每册的成本费y（元）与印刷数x（千册）的关系，收集了一些数据并作了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值.22、23题为选考题，考生根5 iois~5o~255D ~S -'40~33~57T*印刷数册ytJ1 ■二 1 ■—-y)ifI * 1■為■ ■15. 25 3.63 0b 26920U5.5-230. 3(X 787 7.049[—1 8表中 u i ,u u i .X i 8 i4d（I ）根据散点图判断：y 二a ・bx 与y=c 哪一个更适宜作为每册成本费 y （元）与印刷数x （千册）x的回归方程类型？（只要求给出判断，不必说明理由 ）（n ）根据（I ）的判断结果及表中数据，建立 y 关于X 的回归方程（回归系数的结果精确到0.01）；（III ）若每册书定价为10元，则至少应该印刷多少千册才能使销售利润不低于 78840元？（假设能够全部售出。

2018-2019学年山东省潍坊市高三（上）期末数学试卷（理科）最新试卷十年寒窗苦，踏上高考路，心态放平和，信心要十足，面对考试卷，下笔如有神，短信送祝福，愿你能高中，马到功自成，金榜定题名。

最新试卷多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。

一、选择题：每小题5分，共50分．在四个选项中只有一项是正确的．1．复数为纯虚数，则实数a=（）A．﹣2 B．﹣C．2 D．2．设集合M={x||x﹣3|＜2}，N={x|y=}，则M∩N=（）A． D． C． D．（0，）6．二项式（2x2﹣）5的展开式中x的系数为（）A．﹣20 B．20 C．﹣40 D．407．运行如图所示程序框，若输入n=2015，则输出的a=（）A．B．C．D．8．向所示图中边长为2的正方形中，随机撒一粒黄豆，则黄豆落在图中阴影部分的概率为（）A．B．C．D．9．某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A原料3千克，B原料1千克；生产乙产品1桶需耗A原料1千克，B原料3千克．每生产一桶甲产品的利润400元，每生产一桶乙产品的利润300元，公司在生产这两种产品的计划中，每天消耗A、B原料都不超过12千克，通过合理安排生产计划，公司每天可获得的最大利润是（单位：元）（）A．1600 B．2100 C．2800 D．480010．设函数f（x）的定义域为D，若任取x1∈D，存在唯一的x2∈D，满足=C，则称C为函数y=f（x）在D上的均值，给出下列五个函数：①y=x；②y=x2；③y=4sinx；④y=lgx；⑤y=2x．则所有满足在其定义域上的均值为2的函数的序号为（）A．①③ B．①④ C．①④⑤D．②③④⑤二、填空题：每小题5分，共25分．11．若向量、的夹角为150°，||=，||=4，则|2+|= ．12．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为．13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则角A 为．14．已知F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线右支上的一点，且|PF1|=2|PF2|．若△PF1F2为等腰三角形，则该双曲线的离心率为．15．若方程x4+ax﹣4=0的各个实根x1，x2，…，x k（k≤4）所对应的点（i=1，2，…，k）均在直线y=x的同侧，则实数a的取值范围是．三、解答题：共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知函数f（x）=2sinxcosx﹣sin2x+cos2x+，x∈R．（1）求函数f（x）在上的最值；（2）若将函数f（x）的图象向右平移个单位，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到g（x）的图象，已知g（α）=﹣，α∈（，），求cos （﹣）的值．17．如图，四边形ACDF为正方形，平面ACDF⊥平面BCDE，BC=2DE=2CD=4，DE∥BC，∠CDE=90°，M为AB的中点．（1）证明：EM∥平面ACDF；（2）求二面角A﹣BE﹣C的余弦值．18．某机械厂生产一种产品，产品被测试指标大于或等于90为优等次，大于或等于80小于90为良等次，小于80为差等次．生产一件优等次产品盈利100元，生产一件良等次产品盈利60元，生产一件差等次产品亏损20元．现随机抽出高级技工甲和中级技工乙生产的这种产品各100件进行检测，结果统计如表：测试指标[70，75）[75，80）[80，85）[85，90）[90，95）[95，100）甲 3 7 20 30 25 15乙 5 15 23 27 20 10根据表中统计得到甲、乙两人生产这种产品为优、良、差等次的频率，现分别作为他们每次生产一件这种产品的等次互不受影响．（1）计算高级技工甲生产三件产品，至少有2件优等品的概率；（2）甲、乙各生产一件产品给工厂带来的利润之和记为X元（利润=盈利﹣亏损）．求随机变量X的频率分布和数学期望．19．各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，已知点（a n，a n+1）（n∈N*）在函数y=3x的图象上，且S3=26．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）在a n与a n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成公差为d的等差数列，求数列||的前n项和T n，并求使T n+≤成立的最大正整数n．20．已知焦点在y轴上的椭圆C1：+=1（a＞b＞0）经过点Q（，1），过椭圆的一个焦点且垂直长轴的弦长为1．（1）求椭圆C1的方程；（2）过抛物线C2：y=x2+h（h∈R）上一点P的切线与椭圆C1交于不同两点M，N．点A为椭圆C1的右顶点，记线段MN与PA的中点分别为G，H点，当直线CH与x轴垂直时，求h的最小值．21．设函数f（x）=lnx，g（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2f（x）．（1）当a=1时，求函数g（x）的单调区间；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y=f（x）图象上任意不同两点，线段AB中点为C（x0，y0），直线AB的斜率为k．证明：k＞f（x0）（3）设F（x）=|f（x）|+（b＞0），对任意x1，x2∈（0，2]，x1≠x2，都有＜﹣1，求实数b的取值范围．。

高三理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2230A x x x =+-≥，{}22B x x =-≤≤，则A B =（ ）A. [2,1]--B. [1,1]-C. [1,2]-D. [1,2]2. 已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，21()f x x x =-，则(2)f -=（ ） A.72B.32C. 72- D. 92-3.若cos()23πα+=-，则cos2=α（ ） A. 23-B. 13-C.13D.234. 双曲线C ：22(0)916x y λλ-=≠，当λ变化时，以下说法正确的是（ ）A. 焦点坐标不变B. 顶点坐标不变C. 渐近线不变D. 离心率不变5. 若实数x ，y 满足0,20,320,x y x y x y -≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =-的最大值是（ ）A 2B. 1C. 1-D. 4-6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）主视图 左视图俯视图 A.803B. 16C.403D.3257. 若将函数1sin 22y x =的图象向右平移6π个单位长度，则平移后所得图象对应函数的单调增区间是（ ）.A. 5[,]1212k k ππππ-++()k ∈Z B. [,]63k ππππ-++()k ∈ZC. 511[,]1212k k ππππ++()k ∈Z D. 5[,]66k k ππππ++()k ∈Z 8. 已知函数()21,02log ,0xx f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩,则不等式()1f x ≥的解集为（ ）A. 1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B. ][(),02,-∞⋃+∞C. ][10,2,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭D. ][1,2,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭9. 四色猜想是世界三大数学猜想之一，1976年数学家阿佩尔与哈肯证明，称为四色定理.其内容是：“任意一张平面地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家涂上不同的颜色.”用数学语言表示为“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4四个数字之一标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字.”如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线围城的各区域上分别标有数字1，2，3，4的四色地图符合四色定理，区域A 和区域B 标记的数字丢失.若在该四色地图上随机取一点，则恰好取在标记为1的区域的概率所有可能值中，最大的是（ ）A.115B.110C.13D.113010. 已知抛物线24y x =焦点为F ，P 为抛物线上一点，(1,1)A ，当PAF ∆周长最小时，PF 所在直线的斜率为（ ） A. 43-B. 34-C.34D.4311. 由国家公安部提出，国家质量监督检验检疫总局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验标准（/195222010GB T -）》于2011年7月1日正式实施.车辆驾驶人员酒饮后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阀值见表.经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图，的喝1瓶啤酒的情况且图表示的函数模型()0.540sin 13,0239014,2x x x f x e x π-⎧⎛⎫+≤<⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪⋅+≥⎩，则该人喝一瓶啤酒后至少经过多长时间才可以驾车（时间以整小时计算）？（参考数据：ln15 2.71≈，ln30 3.40≈） （ ）车辆驾车人员血液酒精含量阀值 A. 5B. 6C. 7D. 812. 已知偶函数()f x 的定义域为R ，且满足(2)()f x f x +=-，当[0,1]x ∈时，12()f x x =，()422x x g x =--.①方程()1g x =有2个不等实根； ②方程(())0g f x =只有1个实根；③当(,2]x ∈-∞时，方程(())0f g x =有7个不等实根； ④存在0[0,1]x ∈使00()()g x g x -=-. A. ①②B. ①③C. ①④D. ②④二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13 设向量(3,2)a =，(1,1)b =-，若()a b a λ+⊥，则实数λ=__________． 14. 二项式25(x +的展开式中，7x 的系数为__________．（用数字填写答案） 15. 已知圆台的上、下底面都是球O 的截面，若圆台的高为6，上、下底面的半径分别为2，4，则球O 的表面积为__________．16. 锐角ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若22a c bc -=，则11tan tan C A-的取值范围是__________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）.17. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2，n a ，n S 成等差数列. （1）求数列{}n a 通项公式；（2）数列{}n b 满足21222log log log n n b a a a =++⋅⋅⋅+，求数列的1{}nb 前n 项和n T . 18. 如图，正方形CDEF 所在平面与等腰梯形ABCD 所在平面互相垂直，已知//AB CD ，2AB AD =，60BAD ∠=.（1）求证：平面ADE ⊥平面BDE ；（2）求平面ABF 与平面BCE 所成锐二面角的余弦值.19. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F .椭圆C，过2(3,0)F 的直线l 与C 交于A 、B 两点.（1）当l 的斜率为1时，求1F AB ∆的面积；（2）当线段AB 的垂直平分线在y 轴上的截距最小时，求直线l 的方程. 20. 某钢铁加工厂新生产一批钢管，为了了解这批产品质量状况，检验员随机抽取了100件钢管作为样本进行检测，将它们的内径尺寸作为质量指标值，由检测结果得如下频率分布表和频率分布直方图：的（1）求a ，b ；（2）根据质量标准规定：钢管内径尺寸大于等于25.75或小于25.15为不合格，钢管内径尺寸在[25.15,25.35]或[25.45,25.75]为合格，钢管内径尺寸在[25.35,25.45]为优等.钢管的检测费用为2元/根，把样本的频率分布作为这批钢管的概率分布.（i ）若从这批钢管中随机抽取3根，求内径尺寸为优等钢管根数X 的分布列和数学期望； （ii ）已知这批钢管共有(100)m m >根，若有两种销售方案：第一种方案：不再对该批剩余钢管进行检测，扣除100根样品中的不合格钢管后，其余所有钢管均以50元/根售出；第二种方案：对该批钢管进行一一检测，不合格钢管不销售，并且每根不合格钢管损失20元，合格等级的钢管50元/根，优等钢管60元/根.请你为该企业选择最好的销售方案，并说明理由. 21. 已知()sin ()f x a x a R =∈，()x g x e =.（1）若01a <≤，判断函数()(1)ln G x f x x =-+在(0,1)的单调性； （2）证明：222111sinsin sin 234+++⋅⋅⋅21sin ln 2(1)n +<+，()n N +∈； （3）设2()()2(1)F x g x mx x k =--++()k R ∈，对0x ∀>，0m <，有()0F x >恒成立，求k 的最小值.22. 已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos 1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），以x 轴的非负半轴为极轴，原点O 为极点建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，若直线3πθ=和56πθ=()R ρ∈分别与曲线C 相交于A 、B 两点（A ，B 两点异于坐标原点）.（1）求曲线C 的普通方程与A 、B 两点的极坐标； （2）求直线AB 的极坐标方程及ABO ∆的面积. 23. 设函数4()f x x a x a=-++(0)a >. （1）证明：()4f x ≥； （2）若不等式4()4f x x x a-+≥的解集为{2}x x ≤，求实数a 的值.高三理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2230A x x x =+-≥，{}22B x x =-≤≤，则A B =（ ）A. [2,1]--B. [1,1]-C. [1,2]-D. [1,2]【答案】D 【解析】 【分析】本道题计算集合A 的范围,结合集合交集运算性质,即可.【详解】()(){}{}31013A x x x x x x =+-≥=≥≤-或,所以{}12A B x x ⋂=≤≤,故选D. 【点睛】本道题考查了集合交集运算性质,难度较小.2. 已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，21()f x x x =-，则(2)f -=（ ） A.72B.32C. 72- D. 92-【答案】C 【解析】 【分析】本道题结合奇函数满足()()f x f x -=-,计算结果,即可.【详解】()()21722222f f -=-=-+=-,故选C. 【点睛】本道题考查了奇函数的性质,难度较小. 3.若cos()2πα+=cos2=α（ ） A. 23-B. 13-C.13D.23【答案】C 【解析】 【分析】本道题化简式子,计算出sin α,结合2cos 212sin αα=-,即可.【详解】cos sin 3ααπ⎛⎫+=-=- ⎪2⎝⎭,得到sin 3α=,所以 211cos 212sin 1233αα=-=-⋅=,故选C.【点睛】本道题考查了二倍角公式,难度较小.4. 双曲线C ：22(0)916x y λλ-=≠，当λ变化时，以下说法正确的是（ ）A. 焦点坐标不变B. 顶点坐标不变C. 渐近线不变D. 离心率不变【答案】C 【解析】 【分析】本道题结合双曲线的基本性质，即可．【详解】当λ由正数变成复数,则焦点由x 轴转入y 轴，故A 错误．顶点坐标和离心率都会随λ改变而变，故B,D 错误．该双曲线渐近线方程为43y x =±，不会随λ改变而改变，故选C ． 【点睛】本道题考查了双曲线基本性质，可通过代入特殊值计算，即可．难度中等．5. 若实数x ，y 满足0,20,320,x y x y x y -≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =-的最大值是（ ）A. 2B. 1C. 1-D. 4-【答案】B 【解析】【分析】结合不等式，绘制可行域，平移目标函数，计算最值，即可． 【详解】结合不等式组，建立可行域，如图图中围成的封闭三角形即为可行域，将2z x y =-转化成1122y x z =-从虚线处平移，要计算z 的最大值，即可计算该直线截距最小值，当该直线平移到A(-1,-1)点时候，z 最小，计算出 z=1,故选B ．【点睛】本道题考查了线性规划计算最优解问题，难度中等． 6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）主视图 左视图俯视图 A.803B. 16C.403D.325【答案】C 【解析】 【分析】结合三视图，还原直观图，计算体积，即可．【详解】结合三视图，还原直观图，得到是一个四棱柱去掉了一个角，如图该几何体体积1140224224233V =⋅⋅-⋅⋅⋅⋅=，故选C. 【点睛】本道题考查了三视图还原直观图，难度较大． 7. 若将函数1sin 22y x =的图象向右平移6π个单位长度，则平移后所得图象对应函数的单调增区间是（ ）A. 5[,]1212k k ππππ-++()k ∈Z B. [,]63k ππππ-++()k ∈ZC. 511[,]1212k k ππππ++()k ∈Z D. 5[,]66k k ππππ++()k ∈Z 【答案】A 【解析】 【分析】结合左加右减，得到新函数解析式，结合正弦函数的性质，计算单调区间，即可． 【详解】结合左加右减原则11sin2sin 22623y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调增区间满足 5222,,,2321212k x k k Z k x k k Z πππππππππ-+≤-≤+∈-+≤≤+∈，故选A ． 【点睛】本道题考查了正弦函数平移及其性质，难度中等．8. 已知函数()21,02log ,0xx f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩,则不等式()1f x ≥解集为（ ）A. 1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B. ][(),02,-∞⋃+∞C. ][10,2,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭D. ][1,2,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】将()f x 解析式代入不等式，计算x 的范围，即可．【详解】当0x ≤，()f x 满足条件，解不等式2log 1x ≥，解得22log 1log 1x x ≥≤-或 解得122x x ≥≤或，所以解集为[)1,2,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦，故选D ．【点睛】本道题考查了对数函数不等式计算方法，难度中等．9. 四色猜想是世界三大数学猜想之一，1976年数学家阿佩尔与哈肯证明，称为四色定理.其内容是：“任意一张平面地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家涂上不同的颜色.”用数学语言表示为“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4四个数字之一标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字.”如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线围城的各区域上分别标有数字1，2，3，4的四色地图符合四色定理，区域A 和区域B 标记的数字丢失.若在该四色地图上随机取一点，则恰好取在标记为1的区域的概率所有可能值中，最大的是（ ）A.115B.110C.13D.1130【答案】C 【解析】 【分析】令B 为1，结合古典概型计算公式，得到概率值，即可．【详解】A,B 只能有一个可能为1，题目求最大，令B 为1，则总数有30个，1号有10个，则概率为13，故选C ．【点睛】本道题考查了古典概型计算公式，难度较小．10. 已知抛物线24y x =的焦点为F ，P 为抛物线上一点，(1,1)A ，当PAF ∆周长最小时，PF 所在直线的斜率为（ ） A. 43-B. 34-C.34D.43【答案】A 【解析】 【分析】的本道题绘图发现三角形周长最小时A,P 位于同一水平线上，计算点P 的坐标，计算斜率，即可． 【详解】结合题意，绘制图像要计算三角形PAF 周长最小值，即计算PA+PF 最小值，结合抛物线性质可知，PF=PN ，所以PF PA PA PN AN AG +=+≥≥，故当点P 运动到M 点处，三角形周长最小，故此时M 的坐标为1,14⎛⎫⎪⎝⎭，所以斜率为1041314k -==--，故选A ． 【点睛】本道题考查了抛物线的基本性质，难度中等．11. 由国家公安部提出，国家质量监督检验检疫总局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验标准（/195222010GB T -）》于2011年7月1日正式实施.车辆驾驶人员酒饮后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阀值见表.经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图，喝1瓶啤酒的情况且图表示的函数模型()0.540sin 13,0239014,2x x x f x e x π-⎧⎛⎫+≤<⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪⋅+≥⎩，则该人喝一瓶啤酒后至少经过多长时间才可以驾车（时间以整小时计算）？（参考数据：ln15 2.71≈，ln30 3.40≈） （ ）车辆驾车人员血液酒精含量阀值 A. 5 B. 6C. 7D. 8【答案】B 【解析】 【分析】由题意知车辆驾驶人员血液中的酒精小于20/100mg mL 时可以开车，此时2x >，令()20f x <，解出x 的取值范围，结合题意求出结果.【详解】由图知，当02x ≤<时，函数()y f x =取得最大值，此时()40sin 133f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； 当2x ≥时，()0.59014xf x e-=⋅+，当车辆驾驶人员血液中酒精小于20/100mg mL 时可以开车，此时2x >.由0.5901420x e -⋅+<，得0.5115xe -<，两边取自然对数得10.5ln 15x -<，即0.5ln15x -<-， 解得ln15 2.715.420.50.5x >≈=，所以，喝啤酒需6个小时候才可以合法驾车，故选B. 【点睛】本题考查了散点图的应用问题，也考查了分段函数不等式的应用问题，解题的关键就是将题中的信息转化为不等关系，利用分段函数来进行求解，考查分析问题的能力，属于中等题. 12. 已知偶函数()f x 的定义域为R ，且满足(2)()f x f x +=-，当[0,1]x ∈时，12()f x x =，()422x x g x =--.①方程()1g x =有2个不等实根； ②方程(())0g f x =只有1个实根；③当(,2]x ∈-∞时，方程(())0f g x =有7个不等实根； ④存在0[0,1]x ∈使00()()g x g x -=-. A. ①② B. ①③C. ①④D. ②④【答案】B 【解析】【分析】本道题一个一个分析，结合换元思想和二次函数单调性，即可．【详解】1号得到:4221xx--=.令2x t =,0t >代入原式,得到210t t --=或230t t --=,解得两个方程各有一个根,故正确;2号建立方程4220x x --=,解得1x =,所以()f x 为偶函数,而()()()2f x f x f x +=-=,()()131f f ==,故不止一个实根,故错误.3号()0,f x =解得x=2，0,-2.-4,…..而令2x t =，故()g x 的范围 为()9104g x -≤≤，因而()2,0,2,4,6,8,10g x =-，一共有七个根，故正确．4选项 当[]1,0x ∈-，()0g x <，而当[]()0,1,0x g x ∈≤，根本就不存在这样的点，故错误． 【点睛】本道题考查了二次函数的性质和偶函数的性质，难度较大．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设向量(3,2)a =，(1,1)b =-，若()a b a λ+⊥，则实数λ=__________． 【答案】13- 【解析】 【分析】结合向量垂直满足数量积为0，计算λ的值，即可．【详解】()3,2,a b λλλ+=+-因而()()33220λλ⋅++-⋅=，则13λ=- 【点睛】本道题考查了向量垂直的坐标表示，难度较小． 14. 二项式25()x x +的展开式中，7x 的系数为__________．（用数字填写答案） 【答案】10 【解析】 【分析】本道题利用二项式系数rn rr n C ab -,代入,计算,即可.【详解】利用二项式系数公式()3102522155r rr rr r TC xx C x--+==,故7x 的系数为3107,22r r -==,所以为2510C =【点睛】本道题考查了二项式系数公式,难度较小.15. 已知圆台的上、下底面都是球O 的截面，若圆台的高为6，上、下底面的半径分别为2，4，则球O 的表面积为__________．【答案】80π 【解析】 【分析】本道题结合半径这一条件，利用勾股定理，建立等式，计算半径，即可．【详解】设球半径为R ，球心O 到上表面距离为x ，则球心到下表面距离为6-x,结合勾股定理，建立等式()222224+6x x +=-，解得4x =，所以半径222220R x =+=因而表面积2480S R ππ==【点睛】本道题考查了球表面积计算方法，难度中等．16. 锐角ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若22a c bc -=，则11tan tan C A-的取值范围是__________．【答案】(1,3【解析】 【分析】本道题结合余弦定理处理22a c bc -=,结合锐角这一条件,计算出角A 的大小,化简11tan tan C A-,计算范围,即可. 【详解】运用余弦定理,2222cos a b c bc A =+-,代入22a c bc -=,得到2cos b c A c -=,结合正弦定理,可得2sin 2sin cos sin B C A C -=所以()sin sin A C C -=,而02A C π<-<,所以A C C -=,2A C =而32A C C ππ<+=<,解得63C ππ<<,所以32A ππ<<11cos cos 1tan tan sin sin sin C A C A C A A -=-=,sin 1A <<所以111,tan tan 3C A ⎛-∈ ⎝⎭【点睛】本道题考查了余弦定理和三角值化简,难度较大.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且2，n a ，n S 成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足21222log log log n n b a a a =++⋅⋅⋅+，求数列的1{}nb 前n 项和n T . 【答案】（1）2nn a =;（2）21nn +. 【解析】 【分析】(1)利用1n n n a S S -=-,计算通项,即可.(2)将数列{}n a 通项代入,利用裂项相消法,即可. 【详解】解：（1）因为2，n a ，n S 成等差数列， 所以2+2n n a S =，当1n =时，1122a a =+，所以12a =， 当2n ≥时，22n n S a =-，1122n n S a --=-， 两式相减得122n n n a a a -=-， 所以12nn a a -=， 所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，所以2nn a =.（2）21222log log log n n b a a a =++⋅⋅⋅+()1122n n n +=++⋅⋅⋅+=，所以()121n b n n =+ 1121n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， 所以12111n nT b b b =++⋅⋅⋅+ 1112[1223⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 11]1n n ⎛⎫⋅⋅⋅+- ⎪+⎝⎭1211n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭21n n =+.【点睛】本道题考查了等比数列通项计算方法以及裂项相消法,难度中等.18. 如图，正方形CDEF 所在平面与等腰梯形ABCD 所在平面互相垂直，已知//AB CD ，2AB AD =，60BAD ∠=.（1）求证：平面ADE ⊥平面BDE ；（2）求平面ABF 与平面BCE 所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）7【解析】 【分析】(1)分别证明BD 垂直DE 和AD,结合直线与平面垂直判定,即可.(2)建立坐标系,分别计算两个平面的法向量,结合向量数量积公式,即可.【详解】证明：（1）因为平面CDEF ⊥平面ABCD ，平面CDEF ⋂平面ABCD CD =，DE CD ⊥，所以DE ⊥平面ABCD ，所以DE BD ⊥.在ABD ∆中，2AB AD =，60BAD ∠=，由余弦定理可得BD =，所以222AB AD BD =+， 所以90ADB ∠=，即BD AD ⊥，又因为AD ⊂平面ADE ，DE ⊂平面ADE ，AD DE D ⋂=， 所以BD ⊥平面ADE ，又因为BD ⊂平面BDE ，所以平面ADE ⊥平面BDE . （2）因为四边形ABCD 是等腰梯形，60BAD ∠=，又由（1）知90ADB ∠=，所以30CBD CDB ∠=∠=，所以AD BC CD ==.以D 为坐标原点，分别以DA ，DB ，DE 所在直线作为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的坐标系，设1AD =，则DB =，可得()1,0,0A，()B ，由CD CB =，30CBD CDB ∠=∠=，可得，12C ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，由此可得1,,122F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，3,22AF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，1,22BF ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面ABF 的法向量为(),,n x y z =，则00AF n BF n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可得302102x y z x y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，令1z =，则1x =，3y =，所以31,,1n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， 由（1）知，DA DB ⊥，DA DE ⊥，所以()1,0,0DA =是平面BDE 的一个法向量.cos ,n DA n DA n DA⋅=⋅7==所以所求锐二面角的余弦值为. 【点睛】本道题考查了直线与平面垂直判定和二面角计算方法,难度中等.19. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b ab +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F .椭圆C ，过2(3,0)F 的直线l 与C 交于A 、B 两点.（1）当l的斜率为1时，求1F AB ∆的面积；（2）当线段AB 的垂直平分线在y 轴上的截距最小时，求直线l 的方程..【答案】（1）12（2）30x +-= 【解析】 【分析】（1）结合椭圆性质，得到椭圆方程，联解直线与椭圆方程，结合1121212F AB S F F y y ∆=⨯⨯-，计算面积，即可．（2）设出直线l 的方程，代入椭圆方程，利用1DH AB k k ⋅=-，建立关于k ，m 的式子，计算最值，即可．【详解】解：（1）依题意，因22a c =3c =，得a =，29b = 所以椭圆C 的方程为221189x y +=，设()11,A x y 、()22,B x y ，当1k =时，直线l ：3y x =-将直线与椭圆方程联立2211893x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去x 得，2230y y +-=，解得13y =-，21y =，124y y -=，所以1121212F AB S F F y y ∆=⨯⨯- 164122=⨯⨯=. （2）设直线l 的斜率为k ，由题意可知0k <，由()2211893x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y 得()()222212121810k x k x k +-+-=， 0∆>恒成立，21221212k x x k+=+， 设线段AB 的中点， 设线段的中点()00,H x y ，则212026212x y k x k+==+，()0023312k y k x k -=-=+， 设线段AB 的垂直平分线与y 轴的交点为()0,D m ，则1DH ABk k ⋅=-，得222312612km k k k --++.1k =-，整理得：()2213m k k +=，2331212k m k k k==++4≥-，等号成立时2k =-. 故当截距m最小为4-时，2k =-，此时直线l的方程为30x +-=.【点睛】本道题注意考查了直线与椭圆位置关系等综合性问题，难度较大．20. 某钢铁加工厂新生产一批钢管，为了了解这批产品的质量状况，检验员随机抽取了100件钢管作为样本进行检测，将它们的内径尺寸作为质量指标值，由检测结果得如下频率分布表和频率分布直方图：（1）求a ，b ；（2）根据质量标准规定：钢管内径尺寸大于等于25.75或小于25.15为不合格，钢管内径尺寸在[25.15,25.35]或[25.45,25.75]为合格，钢管内径尺寸在[25.35,25.45]为优等.钢管的检测费用为2元/根，把样本的频率分布作为这批钢管的概率分布.（i ）若从这批钢管中随机抽取3根，求内径尺寸为优等钢管根数X 的分布列和数学期望；（ii ）已知这批钢管共有(100)m m >根，若有两种销售方案：第一种方案：不再对该批剩余钢管进行检测，扣除100根样品中的不合格钢管后，其余所有钢管均以50元/根售出；第二种方案：对该批钢管进行一一检测，不合格钢管不销售，并且每根不合格钢管损失20元，合格等级的钢管50元/根，优等钢管60元/根.请你为该企业选择最好的销售方案，并说明理由.【答案】（1）3a =, 1.8b =（2）（i ）分布列见解析，期望为0.9（ii ）当750m >时，按第一种方案，750m =时，第一、二种方案均可， 100750m <<时，按第二种方案.【解析】 【分析】（1）结合列联表和频率直方图运用，计算b 、a 值，即可．（2）（i ）分别计算X=0,1,2,3对应的概率，列出分布列，计算期望，即可．（ii ）分别计算每种方案对应的利润，然后相减，计算出m 的范围，即可． 【详解】（1）由题意知：1810 1.8100b =⨯=， 所以( 2.3 1.8 1.41a ++++ 0.30.2)0.11++⨯=， 所以3a =.（2）（i ）由（1）知，钢管内径尺寸为优等的概率为0.3，X 所有可能的取值为0，1，2，3，()03300.70.343P X C ==⨯=， ()12310.70.30.441P X C ==⨯⨯=， ()22320.70.3=0.189P X C ==⨯⨯， ()33330.30.027P X C ==⨯=，故X 的分布列为()30.30.9E X =⨯=（ii ）按第一种方案：()1502200y m =--= 50300m -，按第二种方案：20.6850y m =⨯⨯+ 0.36020.022049.6m m m m ⨯⨯--⨯⨯=，()125030049.6y y m m -=-- 0.4300m =-，若750m >时，12y y >，则按第一种方案，若750m =时，12y y =，则第一、第二方案均可，若100750m <<时，12y y <，则按第二种方案，故当750m >时，按第一种方案，750m =时，第一、二种方案均可，100750m <<时，按第二种方案.【点睛】本道题考查了离散型随机变量分布列，难度中等．21. 已知()sin ()f x a x a R =∈，()x g x e =.（1）若01a <≤，判断函数()(1)ln G x f x x =-+在(0,1)的单调性；（2）证明：222111sin sin sin 234+++⋅⋅⋅21sin ln 2(1)n +<+，()n N +∈； （3）设2()()2(1)F x g x mx x k =--++()k R ∈，对0x ∀>，0m <，有()0F x >恒成立，求k 的最小值.【答案】（1）()G x 在(0,1)单调递增（2）见解析（3）2【解析】【分析】(1)计算()G x 导函数,结合导函数与原函数单调性关系,即可.(2)利用()11ln sin x x-<,得到()()()2211sin ln 21k k k k +<++ 12ln ln 1k k k k ++=-+,采用裂项相消法,求和,即可.(3)计算()F x 导函数,构造新函数()t x ,判断()F x 最小值,构造函数()Z x ,计算范围,得到k 的最小值，即可．【详解】解：（1）()()sin 1ln G x a x x =-+. ()()1'cos 1G x a x x =--+ ()1cos 1a x x =-- 又()0,1x ∈，因此11x>，而()cos 11a x -≤， 所以()'0G x >，故()G x 在()0,1单调递增.（2）由（1）可知1a =时，()()10G x G <=，即()11lnsin x x -<， 设()2111x k -=+，则()()()2221111k k x k k +=-=++ 因此()()()2211sin ln 21k k k k +<++ 12ln ln 1k k k k ++=-+ 即()222111sin sin sin 231n ++⋅⋅⋅++ 2334ln ln ln ln 1223<-+-+⋅⋅⋅+ 12ln ln 1n n n n ++-+ 2ln2lnln21n n +=-<+. 即结论成立.（3）由题意知，()()221x F x e mx x k =--++ ()'22x F x e mx =--，设()22xt x e mx =--， 则()'2xt x e m =-， 由于0m <，故()'0t x >，()0,x ∈+∞时，()t x 单调递增，又()01t =-，()ln22ln20t m =->，因此()t x 在()0,ln2存在唯一零点0x ，使()00t x =，即00220xe mx --=， 且当()00,x x ∈，()0t x <，()'0F x <，()F x 单调递减；()0,x x ∈+∞，()0t x >，()'0F x >，()F x 单调递增；故()()0min F x F x == ()0200210x e mx x k --++>， 故()0020002212x x e k e x x x ->-+⋅++ 000122x x e x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭， 设()122x x Z x e x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭()0,ln2x ∈ ()1'12x x Z x e -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又设()112x x k x e -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()'02x x k x e =⋅> 故()k x 在()0,ln2上单调递增，因此()()1002k x k >=>， 即()'0Z x >，()Z x 在()0,ln2单调递增，()()1,2ln2Z x ∈，又12ln2ln42<=<，所以2k ≥，故所求k 的最小值为2.【点睛】本道题考查了导数与原函数单调性关系，以及裂项相消法，利用导函数研究最值，难度较大．22. 已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos 1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），以x 轴的非负半轴为极轴，原点O 为极点建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，若直线3πθ=和56πθ=()R ρ∈分别与曲线C 相交于A 、B 两点（A ，B 两点异于坐标原点）.（1）求曲线C 的普通方程与A 、B 两点的极坐标；（2）求直线AB 的极坐标方程及ABO ∆的面积.【答案】（1）)3A π，5(1,)6B π.（2）2【解析】【分析】（1）消参，即可得到曲线C 的普通方程，结合cos x ρθ=，sin y ρθ=，得到曲线C 的极坐标方程，计算A,B 坐标，即可．（2）结合cos x ρθ=，sin y ρθ=，即可得到直线AB 的极坐标方程，分别计算OA,OB 的长，结合三角形面积计算公式，即可． 【详解】解：（1）曲线C 的参数方程为1x cos y sin αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）， 所以消去参数α得曲线C 的普通方程为2220x y y +-=， 因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，代入曲线C 可得C 的极坐标方程：2sin ρθ=.将直线3πθ=，56πθ=代入圆的极坐标方程可知:1ρ=，21ρ=，故A 、B 两点的极坐标为3A π⎫⎪⎭，51,6B π⎛⎫ ⎪⎝⎭. （2）由cos x ρθ=，sin y ρθ=得：32A ⎫⎪⎪⎝⎭，12B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，根据两点式可知直线AB 的方程为：， 所以的极坐标方程为：1y x =+. 所以AB的极坐标方程为sin 6πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭可知直线AB 恰好经过圆的圆心，故ABO ∆为直角三角形，且OA =1OB =，故12ABO S ∆== 【点睛】本道题考查了参数方程，极坐标方程，普通方程互相转化，难度中等．23. 设函数4()f x x a x a=-++(0)a >. （1）证明：()4f x ≥；（2）若不等式4()4f x x x a-+≥的解集为{2}x x ≤，求实数a 的值. 【答案】（1）见解析（2）10a =【解析】【分析】 (1)利用+≥-a b a b ,同时结合基本不等式,即可.(2)针对a 取不同范围讨论，去绝对值，即可．【详解】（1）证明：()4f x x a x a =-++ 4x a x a≥---44a a =+≥=， 所以()4f x ≥.（2）由()44f x x x a-+≥可得4(0)x a x a -≥>， 当x a ≥时，4x a x -≥，3a x ≤-， .这与0x a ≥>矛盾，故不成立，当x a <时，4a x x -≥，5a x ≤， 又不等式的解集为{2}x x ≤， 所以25a =， 故10a =. 【点睛】本道题考查了基本不等式以及不等式证明，难度偏难．。

高三数学（理）本试卷共5页，分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟.第I 卷（选择题 共50分）注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上。

2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数为纯虚数，则实数A. B. C.2 D.2.设集合{}{32,M x x N x y M N =-<==⋂=，则 A. B. C. D.3.下列说法中正确的是A.命题“若”的逆否命题是“若，则”B.若命题22:,10:,10p x R x p x R x ∀∈+>⌝∃∈+>，则C.设l 是一条直线，是两个不同的平面，若,//l l αβαβ⊥⊥，则D.设，则“”是“”的必要而不充分条件4.定义在R 上的偶函数的部分图象如图所示，则在上，下列函数中与的单调性不同的是A. B.C. D. 00x x e x y e x -⎧≥⎪=⎨<⎪⎩ 5.若过点的直线与圆有公共点，则该直线的倾斜角的取值范围是A. B. C. D.6.二项式的展开式中x 的系数为A. B.20 C. D.407.运行右面的程序框图，若输入，则输出的A.B.C.D.8.向右图中边长为2的正方形中，随机撒一粒黄豆，则黄豆落在图中阴影部分的概率为A. B.C. D.9.某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A 原料3千克，B 原料1千克；生产乙产品1桶需耗A 原料1千克，B 原料3千克.每生产一桶甲产品的利润400元，每生产一桶乙产品的利润300元.公司在生产这两种产品的计划中，每天消耗A 、B 原料都不超过12千克，通过合理安排生产计划，公司每天可获得的最大利润是（单位：元）A.1600B.2100C.2800D.480010.设函数的定义域为D ，若任取，存在唯一的()()1222f x f x x D C +∈=满足，则称C 为函数在D 上的均值.给出下列五个函数：①；②；③；④；⑤.则所有满足在其定义域上的均值为2的函数的序号为A .①③B .①④C .①④⑤D .②③④⑤第II 卷（非选择题 共100分）注意事项：将第II 卷答案用0.5mm 的黑色签字笔答在答题卡的相应位置上.二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.11.若向量a ，b 的夹角为150,42a b a b ==+=，则___________.12.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为__________.13.在中，角A ，B ，C 的对边分别为.已知22,sin 2sin a b bc C B -==，则角A 为__________. 14.已知分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左，右焦点，P 为双曲线右支上的一点，且.若为等腰三角形，则该双曲线的离心率为_________.15.设方程的各实根为.若点均在直线的同侧，则实数的取值范围是_________.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知函数()211cos sin cos 2,.22f x x x x x x R =-++∈ （I ）求函数上的最值；（II ）若将函数的图象向右平移个单位，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象.已知()6411,,.cos 53626g ππαπαα⎛⎫⎛⎫=-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求的值. 17.（本小题满分12分）如图，四边形ACDF 为正方形，平面平面BCDE,BC=2DE=2CD=4,DE//BC ，，M 为AB 的中点. （I ）证明：EM//平面ACDF ；（II ）求二面角的余弦值.18.（本小题满分12分）某机械厂生产一种产品，产品按测试指标分为：指标大于或等于90为优等次，大于或等于80小于90为良等次，小于80为差等次.生产一件优等次产品盈利100元，生产一件良等次产品盈利60元，生产一件差等次产品亏损20元.现随机抽查高级技工甲和中级技工乙生产的这种产品各100件进行检测，结果统计如下:根据上表统计得到甲、乙两人生产这种产品为优，良，差等次的频率，现分别作为他们每次生产一件这种产品为优，良，差等次的概率，且每次生产一件产品的等次互不受影响.（I ）计算高级技工甲生产三件产品，至少有2件优等品的概率；（II ）甲、乙各生产一件产品给工厂带来的利润之和记为X 元（利润=盈利-亏损），求随机变量X 的概率分布和数学期望.19.（本小题满分12分）各项均为正数的数列的前项和为，已知点在函数的图象上，且（I ）求数列的通项公式；（II ）在之间插入个数，使这个数组成公差为的等差数列，求数列的前项和，并求使成立的最大正整数20.（本小题满分13分）已知焦点在轴上的椭圆()2212210y x C a b a b +=>>：经过点Q ⎫⎪⎪⎝⎭，过椭圆的一个焦点且垂直长轴的弦长为1.（I ）求椭圆的方程；（II ）过抛物线()22:C y x h h R =+∈上一点P 的切线与椭圆交于不同两点M ，N ，点A 为椭圆的右顶点，记线段MN 与PA 的中点分别为G 、H 点，当直线GH 与x 轴垂直时，求h 的最小值.21.（本小题满分14分）设函数()()()()()ln ,212.f x x g x a x f x ==---（I ）当时，求函数的单调区间；（II ）设是函数图象上任意不同两点，线段AB 中点为C ，直线AB 的斜率为k.证明：；（III ）设()()()01b F x f x b x =+>+，对任意，都有，求实数b 的取值范围.。

山东省潍坊市振华中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设满足约束条件，则的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：D2. 已知集合，，则（）A. B. C.D.参考答案：B3. 在复平面内，复数对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：B4. 已知函数且则（）A. 0B. 1C.4 D.参考答案：A略5. 观察下列各式：，，，…．若，则A.43 B．57 C．73D．91参考答案：C6. 设f（x）=3x+3x﹣8，用二分法求方程3x+3x﹣8=0在x∈（1，2）内近似解的过程中得f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间( )A．（1，1.25）B．（1.25，1.5）C．（1.5，2）D．不能确定参考答案：B【考点】二分法求方程的近似解．【专题】计算题．【分析】由已知“方程3x+3x﹣8=0在x∈（1，2）内近似解”，且具体的函数值的符号也已确定，由f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，它们异号．【解答】解析：∵f（1.5）?f（1.25）＜0，由零点存在定理，得，∴方程的根落在区间（1.25，1.5）．故选B．【点评】二分法是求方程根的一种算法，其理论依据是零点存在定理：一般地，若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f（a）f（b）＜0，则函数y=f（x）在区间（a，b）上有零点．7. 已知集合，则( )参考答案：C8. 已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|y=log2（x﹣1）}，则（?R A）∩B=（）A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（3，5）D．（﹣1，5）参考答案：A【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合的等价条件，结合集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：A={x|x2﹣2x﹣3≥0}={x|x≥3或x≤﹣1}，B={x|y=log2（x﹣1）}={x|x﹣1＞0}={x|x＞1}，则?R A={x|﹣1＜x＜3}，则（?R A）∩B={x|1＜x＜3}，故选A【点评】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．9. 已知实数a，b满足：，则A．B．C．D．参考答案：B10. 已知当，时，，则以下判断正确的是（）A. B.C. D. m与n的大小关系不确定参考答案：C【分析】设，利用导数求得函数在单调递增，再根据，即可求解，得到答案．【详解】由题意，设，则，当时，，单调递增，又由，所以，即，故选C．【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及其应用，其中解答中设出新函数，利用导数求得函数的单调性是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 下列命题中，真命题的有。

【高三】山东省潍坊市届高三上学期期末考试理科数学 Word版含答案试卷说明：高三数学(理). 01 本试卷共4页，分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共150分,考试时间120分钟，第I卷（选择题共60分）注意事项： 1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号，一、选择题：本大墨共12小题．每小恿5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.则(A) (B) (C) (D)2．下列命题中的假命题是 (A) (B) (C) (D)3．“”是“直线与直线互相垂直”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件4．函数的零点个数是 (A)0 (B)l (C)2 (D)45．某学校从高二甲、乙两个班中各选6名同掌参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是 85，乙班学生成绩的平均分为81，则x+y的值为(A)6 (B)7(C)8 (D)96．函数的图象大致是7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 (A) (B) (C) (D)8．函数的最小正周期为，若其图象向右平移个单位后关于y轴对称，则 (A) (B) (C) (D) 9．已知双曲线的顶点恰好是椭圆的两个顶点，且焦距是，则此双曲线的渐近线方程是 (A) (B) (C) (D) 10．等差数列的前n项和为，且，则 (A)8 (B)9 (C)1 0 (D) 1111．已知不等式的解集为，点在直线上，其中，则的最小值为 (A) (B)8 (C)9 (D) 1212．已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是 (A) (B)(C) (D)第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项 1．将第Ⅱ卷答案用0. 5mm的黑色签字笔答在答题纸的相应位置上． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．已知，则=____________.14．在边长为1的正方形ABCD中,E、F分别为BC、DC的中点，则__________.15．过抛物线的焦点且倾斜角为的直线被圆截得的弦长是__________．16．已知正四棱柱的外接球直径为，底面边长，则侧棱与平面所成角的正切值为_________。