八年级数学如果两条直线平行同步练习1

华师大新版八年级下学期《18.1 平行四边形的性质》同步练习卷一．选择题（共23小题）1．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于O，α=60°．若AB=OD=2，则▱ABCD 的面积是（）A．8B．C．2D．42．如图，▱ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，BF平分∠ABC交AD于F点，CE平分∠BCD交AD于E点，则EF的长为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm3．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于O，∠BCD的平分线CE与边AB相交于E，若EB=EA=EC，那么下列结论正确的个数有（）①∠ACE=30°②OE∥DA ③S▱ABCD=AC•AD ④CE⊥DBA．1B．2C．3D．44．如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB 上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是（）①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③S△BEC ＜2S△CEF；④∠DFE=4∠AEF．A．①②③④B．①②③C．①②D．①②④5．如图，平行四边形纸片ABCD和CEFG上下叠放（G在CD上），CE∥AD且CE=AD，连结AF、CF．已知▱ABCD的面积为10，▱CEFG的面积为4，则图中阴影部分△AFC的面积为（）A．4B．6C．7D．86．如图，已知△ABC的面积为12，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BC=4CF，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）A．2B．3C．4D．67．如图，四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，BE、CF 相交于点G．下列结论错误的是（）A．∠BAD=2∠DFC B．若BC=4EF，则AB：BC=3：8C．AF=DE D．∠BGC=90°8．如图，已知点M为▱ABCD边AB的中点，线段CM角BD于点E，S△BEM=1，则图中阴影部分的面积为（）A．2B．3C．4D．59．如图，▱ABCD中，AD=2AB，F是BC的中点，作AE⊥CD，垂足E在线段CD=S△AEF；④∠上，连接EF、AF，下列结论：①2∠BAF=∠C；②EF=AF；③S△ABF BFE=3∠CEF中，一定成立的是（）A．只有①②B．只有②③C．只有①②④D．①②③④10．如图，在▱ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连结EF、BF，下列结论：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S四边形DEBC=2S△EFB；④∠CFE=3∠DEF，其中正确结论的个数共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE平分∠DCB交BD 于点F，且∠ABC=60°，AB=2BC，连接OE，下列结论：①∠ACD=30°②S▱ABCD=AC•BC③OE：AC=1：4④S=2S△OEF△OCF其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．已知▱ABCD中，AD=2AB，F是BC的中点，作AE⊥CD，垂足E在线段CD上，连结EF、AF，下列结论：①2∠BAF=∠BAD；②EF=AF；③S△ABF ≤S△AEF．中一定成立的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③13．如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，E是AB上一点，连接CF、EF、EC，且CF=EF，下列结论正确的个数是（）①CF平分∠BCD；②∠EFC=2∠CFD；③∠ECD=90°；④CE⊥AB．A．1个B．2个C．3个D．4个14．如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，且AB=AE，延长AB与DE的延长线交于点F．下列结论中：①△ABC≌△EAD；②△ABE是等边三角形；③AD=AF；④S△ABE=S△CEF其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④15．如图所示，在▱ABCD中，BC=6，∠ABC的平分线与CD的延长线交于点E，与AD交于点F，且点F为边AD的中点，AG⊥BE于点G，若AG=2，则BE的长度是（）A．10B．8C．4D．416．如图，在▱ABCD中，AB=8，BC=5，以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AD、AB于点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠DAB内交于点M，连接AM并延长交CD于点E，则CE的长为（）A．3B．5C．2D．6.517．如图，已知□ABCD的对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，交AC于点F，且∠BCD=60°，BC=2CD，连结OE．下列结论：①OE∥AB；=BD•CD；②S平行四边形ABCD③AO=2BO；④S=2S△EOF．△DOF其中成立的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个18．如图，点P是▱ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论：①S1+S3=S2+S4②如果S4＞S2，则S3＞S1③若S3=2S1，则S4=2S2④若S1﹣S2=S3﹣S4，则P点一定在对角线BD上．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．419．如图，E是平行四边形内任一点，若S平行四边形ABCD=8，则图中阴影部分的面积是（）A．3B．4C．5D．620．如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于E，AF⊥DE，垂足为F，已知∠DAF=50°，则∠B=（）A．50°B．40°C．80°D．100°21．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，∠ADC=30°．①四边形ACED是平行四边形；②△BCE是等腰三角形；③四边形ACEB的周长是5+；④四边形ACEB的面积是16．则以上结论正确的是（）A．①②B．②④C．①②③D．①③④22．如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD 于F，DE、BF相交于H，直线BF交线段AD的延长线于G，下面结论：①BD= BE；②∠A=∠BHE；③AB=BH；④∠BHD=∠BDG；其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．423．如图，F是▱ABCD的边AD上一点，连接BD，BF，BF的延长线与CD的延长线交于点E．若∠E=∠A，∠BDC=90°，则下列结论中不正确的是（）A．2DF=BC B．BE=BCC．∠ADE=∠CBE D．D是CE的中点二．填空题（共4小题）24．如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、DC边上的点，AF与DE交于点P，BF 与CE交于点Q，若S=20cm2，S△BQC=30cm2，则图中阴影部分的面积为△APDcm2．25．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OE⊥BD交边AD于点E，若平行四边形ABCD的周长为20，则△ABE的周长等于．26．已知平行四边形ABCD中，AB=4，BC=6，BC边上的高AE=2，AF⊥DC于F，则DF的长是．27．如图，平行四边形ABCD中，AB：BC=3：2，∠DAB=60°，E在AB上，如果AE：EB=1：2，F是BC的中点，过D分别作DP⊥AF于P，DQ⊥CE于Q，那么DP：DC等于．三．解答题（共23小题）28．如图，在平行四边形中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF=60°，BE=2，DF=3，求AB，BC的长及平行四边形ABCD的面积？29．如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交CD于点F，交BC的延长线于点E，连结BF．（1）求证：BE=CD；（2）若点F是CD的中点．①求证BF⊥AE；②若∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积．30．如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四边形BCDE是平行四边形，E 为AC的中点，BD平分∠ABC，点F在AB上，且BF=BC．求证：DF=AE．31．如图，在▱ABCD中，分别以边BC，CD作等腰△BCF，△CDE，使BC=BF，CD=DE，∠CBF=∠CDE，连接AF，AE．（1）求证△ABF≌△EDA；（2）延长AB与CF相交于G．若AF⊥AE，求证BF⊥BC．32．在▱ABCD中，∠ADC的平分线交直线BC于点E、交AB的延长线于点F．（1）求证：BE=BF；（2）若∠ADC=90°，G是EF的中点，连接AG、CG．求证：AG=CG；AG⊥CG．33．如图1，在平行四边形ABCD中，E，F分别在边AD，AB上，连接CE，CF，且满足∠DCE=∠BCF，BF=DE，∠A=60°，连接EF．（1）若EF=2，求△AEF的面积；（2）如图2，取CE的中点P，连接DP，PF，DF，求证：DP⊥PF．34．如图，在▱ABCD中，BD⊥BC，∠BDC=60°，∠DAB和∠DBC的平分线相交于点E，F为AE上一点，EF=EB，G为BD延长线上一点，BG=AB，连接GE．（1）若▱ABCD的面积为9，求AB的长；（2）求证：AF=GE．35．如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AF交CD于点E，交BC的延长线于点F．（1）求证：BF=CD；（2）连接BE，若BE⊥AF，∠F=60°，BE=2，求AB的长．36．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线与CD的延长线交于点E，与AD交于点F，且点F恰好为边AD的中点．（1）求证：△ABF≌△DEF；（2）若AG⊥BE于G，BC=4，AG=1，求BE的长．37．已知，在平行四边形ABCD中，E为AD上一点，且AB=AE，连接BE交AC 于点H，过点A作AF⊥BC于F，交BE于点G．（1）若∠D=50°，求∠EBC的度数；（2）若AC⊥CD，过点G作GM∥BC交AC于点M，求证：AH=MC．38．如图，在▱ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，∠AND=90°，连结CM交DN于点O．（1）求证：△ABN≌△CDM；（2）猜想：四边形CDMN是什么特殊四边形？并证明你的猜想；（3）过点C作CE⊥MN于点E，交DN于点P，若PE=1，∠1=∠2，求AN的长．39．已知如图，▱ABCD，AD=a，AC为对角线，BM∥AC，过点D作DE∥CM，交AC的延长线于F，交BM的延长线于E．（1）求证：△ADF≌△BCM；（2）若AC=2CF，∠ADC=60°，AC⊥DC，求四边形ABED的面积（用含a的代数式表示）．40．如图所示，在▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE=CD，点F为CE的中点，点G为CD上的一点，连接DF、EG、AG，∠1=∠2．（1）求证：CG=CD；（2）若CF=2，AE=3，求BE的长．41．如图，在▱ABCD中，E为AB中点，EF与CF分别平分∠AEC与∠DCE，G为CE中点，过G作GH∥EF交CF于点O，交CD于点H．（1）猜想四边形CGFH是什么特殊的四边形？并证明你的猜想；（2）当AB=4，且FE=FC时，求AD长．42．已知E为平行四边形ABCD中AB边上一点，且BE=AB，连接DE交BC于F，交AC于G．（1）求证：△BEF≌△CDF；（2）试探究OF与AB有什么位置关系和数量关系，并说明理由．43．已知：如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，联结DE．（1）求证：DE⊥BE；（2）设CD与OE交于点F，若OF2+FD2=OE2，CE=3，DE=4，求线段CF的长．44．如图，在▱ABCD中，点E是BC边的中点，连接AE并延长与DC的延长线交于F．（1）求证：CF=CD；（2）若AD=2AB，连接DE，试判断DE与AF的位置关系，并说明理由．45．如图，在▱ABCD中，∠BCD=120°，分别以BC和CD为边作等边△BCE和等边△CDF．求证：AE=AF．46．已知：如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长BC至E，使CE=BC，连接AE交CD于点F．（1）求证：CF=FD；（2）若AD=DC=6，求：∠BDE的度数和OF的长．47．在平行四边形ABCD中，E是BC上任意一点，延长AE交DC的延长线与点F．（1）在图 中当CE=CF时，求证：AF是∠BAD的平分线．（2）根据（1）的条件和结论，若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图‚），请求出∠BDG的度数．（3）如图 ，根据（1）的条件和结论，若∠BAD=60°，且FG∥CE，FG=CE，连接DB、DG，求出∠BDG的度数．48．在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于E，交直线DC于F．（1）在图1中证明CE=CF；（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），讨论线段DG与BD的数量关系．49．在▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．（1）在图1中证明CE=CF；（2）若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连结DB、DG（如图2），求∠BDG 的度数．50．如图，已知平行四边形ABCD中，DE⊥BC于点E，DH⊥AB于点H，AF平分∠BAD，分别交DC、DE、DH于点F、G、M，且DE=AD，CE=3，AB=5．（1）求线段CF的长度；（2）求证：AB=DG+CE．华师大新版八年级下学期《18.1 平行四边形的性质》同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共23小题）1．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于O，α=60°．若AB=OD=2，则▱ABCD 的面积是（）A．8B．C．2D．4【分析】根据等边三角形的判定得出△DOC是等边三角形，再根据平行四边形的性质和的面积公式即可求解．【解答】解：∵在▱ABCD中，∴AB=DC，∵α=60°．AB=OD=2，∴△DOC是等边三角形，∴△DOC的面积=，∴▱ABCD的面积=4△DOC的面积=4，故选：D．【点评】本题考查了平行四边形的性质和面积，解此题的关键是熟练掌握平行四边形的性质．2．如图，▱ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，BF平分∠ABC交AD于F点，CE平分∠BCD交AD于E点，则EF的长为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【分析】根据平行四边形的性质可知∠AEB=∠EBC，又因为BE平分∠ABC，所以∠ABE=∠EBC，则∠ABE=∠AEB，则AB=AE=3，同理可证FD=3，继而可求得EF=AE+DE﹣AD．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠AEB=∠EBC，AD=BC=5cm，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，则∠ABE=∠AEB，∴AB=AE=3cm，同理可证：DF=DC=AB=3cm，则EF=AE+FD﹣AD=3+3﹣5=1cm．故选：A．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．3．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于O，∠BCD的平分线CE与边AB相交于E，若EB=EA=EC，那么下列结论正确的个数有（）①∠ACE=30°②OE∥DA ③S▱ABCD=AC•AD ④CE⊥DBA．1B．2C．3D．4【分析】想办法证明∠ACB=90°，△BCE是等边三角形即可解决问题；【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，OD=DB，∴∠DCA=∠CEB，∵∠DCA=∠BCE，∴∠BCE=∠CEB，∴BC=EC，∵EB=EA=EC，∴∠ACB=90°，EC=BC=EB，∴△BEC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∴∠CAB=30°，故①正确，∵OD=DB，AE=EB，∴OE∥AD，故②正确，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB=90°，∴AD⊥AC，∴S▱ABCD=AC•AD，故③正确，假设CE⊥BD，则推出四边形ABCD是菱形，显然不可能，故④错误，故选：C．【点评】本题考查平行四边形的性质、直角三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．4．如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB 上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是（）①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③S△BEC ＜2S△CEF；④∠DFE=4∠AEF．A．①②③④B．①②③C．①②D．①②④【分析】分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF（ASA），得出对应线段之间关系进而得出答案．【解答】解：①∵F是AD的中点，∴AF=FD，∵在▱ABCD中，AD=2AB，∴AF=FD=CD，∴∠DFC=∠DCF，∵AD∥BC，∴∠DFC=∠FCB，∴∠DCF=∠BCF，∴∠DCF=∠BCD，故①正确；延长EF，交CD延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A=∠MDF，∵F为AD中点，∴AF=FD，在△AEF和△DFM中，，∴△AEF≌△DMF（ASA），∴FE=MF，∠AEF=∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°，∵FM=EF，∴CF=EF，故②正确；③∵EF=FM，∴S=S△CFM，△EFC∵MC＞BE，∴S△BEC ＜2S△EFC故③正确；④设∠FEC=x，则∠FCE=x，∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，∴∠EFC=180°﹣2x，∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，∵∠AEF=90°﹣x，∴∠DFE=3∠AEF，故④错误．故选：B．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△AEF≌△DMF是解题关键．5．如图，平行四边形纸片ABCD和CEFG上下叠放（G在CD上），CE∥AD且CE=AD，连结AF、CF．已知▱ABCD的面积为10，▱CEFG的面积为4，则图中阴影部分△AFC的面积为（）A．4B．6C．7D．8【分析】作EN⊥AB，延长DC交EN与M，由S阴影=S四边形FEBA﹣S△EFC﹣S△ABC可求阴影部分面积．【解答】解：如图作EN⊥AB，延长DC交EN与M∵AB∥CD，AN⊥EN∴CM⊥EN∵AB∥CD∴且EC=AD=BC ∴EM=MN∵S阴影=S四边形FEBA﹣S△EFC﹣S△ABC=﹣EF×EM﹣AB×MN∴S阴影=（EF+AB）×EM﹣﹣EF×EM﹣AB×MN=EF×EM+AB×MN=S四边形EFGC +S四边形ABCD且S四边形EFGC=4，S四边形ABCD=10∴S阴影=7故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的性质，关键是作出平行四边形的高，用已知面积表示阴影部分面积．6．如图，已知△ABC的面积为12，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BC=4CF，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）A．2B．3C．4D．6【分析】想办法证明S阴=S△ADE+S△DEC=S△AEC，再由EF∥AC，可得S△AEC=S△ACF解决问题；【解答】解：连接AF、EC．∵BC=4CF，S△ABC=12，∴S△ACF=×12=3，∵四边形CDEF是平行四边形，∴DE∥CF，EF∥AC，∴S△DEB=S△DEC，∴S阴=S△ADE+S△DEC=S△AEC，∵EF∥AC，∴S△AEC=S△ACF=3，∴S阴=3．故选：B．【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形的面积、等高模型等知识，解题的关键是熟练掌握等高模型解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．7．如图，四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，BE、CF 相交于点G．下列结论错误的是（）A．∠BAD=2∠DFC B．若BC=4EF，则AB：BC=3：8C．AF=DE D．∠BGC=90°【分析】求出AB=CD，AD∥BC，根据平行线性质和角平分线性质求出∠ABE=∠AEB，推出AB=AE，同理求出DF=CD，求出AE=DF可知选项C正确，由∠A=∠BCD=2∠FDC，可知选项A正确，由∠GBC=∠ABC，∠GCB=∠BCD，又∠ABC+∠BCD=180°，推出∠GBC+∠GCB=90°，可知D正确；【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD∥BC，∠A=∠BCD，∴∠AEB=∠EBC，∠BCF=∠DFC，∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，∴∠ABE=∠CBE，∠BCF=∠DCF，∴∠ABE=∠AEB，∴∠BAD=2∠DFC，故A正确∴AB=AE，同理DF=CD，∴AE=DF，即AE﹣EF=DF﹣EF，∴AF=DE．故C正确∵∠GBC=∠ABC，∠GCB=∠BCD，又∠ABC+∠BCD=180°，∴∠GBC+∠GCB=90°，∴∠BGC=90°，故D正确，故选：B．【点评】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．8．如图，已知点M为▱ABCD边AB的中点，线段CM角BD于点E，S△BEM=1，则图中阴影部分的面积为（）A．2B．3C．4D．5【分析】由四边形ABCD是平行四边形，推出AB=CD，AB∥CD，由AM=BM，推=2S△EBM，S△EBC=2S△EBM，由此即可解决问题；出===，可得S△DEM【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∵AM=BM，∴===，=2S△EBM，S△EBC=2S△EBM，∴S△DEM=1，∵S△BEM=S△EBC=2，∴S△DEM=2+2=4，∴S阴故选：C．【点评】本题考查平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．9．如图，▱ABCD中，AD=2AB，F是BC的中点，作AE⊥CD，垂足E在线段CD=S△AEF；④∠上，连接EF、AF，下列结论：①2∠BAF=∠C；②EF=AF；③S△ABF BFE=3∠CEF中，一定成立的是（）A．只有①②B．只有②③C．只有①②④D．①②③④【分析】利用平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，再由全等三角形的判定得出△MBF≌△ECF，利用全等三角形的性质得出对应线段之间关系进而得出答案．【解答】解：①∵F是BC的中点，∴BF=FC，∵在▱ABCD中，AD=2AB，∴BC=2AB=2CD，∴BF=FC=AB，∴∠AFB=∠BAF，∵AD∥BC，∴∠AFB=∠DAF，∴∠BAF=∠FAB，∴2∠BAF=∠BAD，∵∠BAD=∠C，∴∠BAF=2∠C故①正确；②延长EF，交AB延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠MBF=∠C，∵F为BC中点，∴BF=CF，在△MBF和△ECF中，，∴△MBF≌△ECF（ASA），∴FE=MF，∠CEF=∠M，∵CE⊥AE，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠BAE=90°，∵FM=EF，∴EF=AF，故②正确；③∵EF=FM，∴S△AEF=S△AFM，∴S△ABF ＜S△AEF，故③错误；④设∠FEA=x，则∠FAE=x，∴∠BAF=∠AFB=90°﹣x，∴∠EFA=180°﹣2x，∴∠EFB=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，∵∠CEF=90°﹣x，∴∠BFE=3∠CEF，故④正确，故选：C．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解决本题的关键是得出△AEF≌△DME．10．如图，在▱ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连结EF、BF，下列结论：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S四边形DEBC=2S△EFB；④∠CFE=3∠DEF，其中正确结论的个数共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．想办法证明EF=FG，BE⊥BG，四边形BCFH是菱形即可解决问题；【解答】解：如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．∵CD=2AD，DF=FC，∴CF=CB，∴∠CFB=∠CBF，∵CD∥AB，∴∠CFB=∠FBH，∴∠CBF=∠FBH，∴∠ABC=2∠ABF．故①正确，∵DE∥CG，∴∠D=∠FCG，∵DF=FC，∠DFE=∠CFG，∴△DFE≌△FCG，∴FE=FG，∵BE⊥AD，∴∠AEB=90°，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBG=90°，∴BF=EF=FG，故②正确，=S△CFG，∵S△DFE=S△EBG=2S△BEF，故③正确，∴S四边形DEBC∵AH=HB，DF=CF，AB=CD，∴CF=BH，∵CF∥BH，∴四边形BCFH是平行四边形，∵CF=BC，∴四边形BCFH是菱形，∴∠BFC=∠BFH，∵FE=FB，FH∥AD，BE⊥AD，∴FH⊥BE，∴∠BFH=∠EFH=∠DEF，∴∠EFC=3∠DEF，故④正确，故选：D．【点评】本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．11．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE平分∠DCB交BD 于点F，且∠ABC=60°，AB=2BC，连接OE，下列结论：①∠ACD=30°②S▱ABCD=AC•BC③OE：AC=1：4=2S△OEF④S△OCF其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由四边形ABCD是平行四边形，得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，根据角平分线的定义得到∠DCE=∠BCE=60°推出△CBE是等边三角形，证得∠ACB=90°，求出∠ACD=∠CAB=30°，故①正确；由AC⊥BC，得到S▱ABCD=AC•BC，故②正确，根据直角三角形的性质得到AC=BC，根据三角形的中位线的性质得到OE=BC，于是得到OE：AC=：6；故③错误；根据相似三角形的性=2S△OEF；故④正确．质得到=2，求得S△OCF【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，∵CE平分∠BCD交AB于点E，∴∠DCE=∠BCE=60°∴△CBE是等边三角形，∴BE=BC=CE，∵AB=2BC，∴AE=BC=CE，∴∠ACB=90°，∴∠ACD=∠CAB=30°，故①正确；∵AC⊥BC，∴S▱ABCD=AC•BC，故②正确，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，∴AC=，∵AO=OC，AE=BE，∴OE=BC，∴OE：AC=，∴OE：AC=：6；故③错误；∵AO=OC，AE=BE，∴OE∥BC，∴△OEF∽△BCF，∴=2：1，∴S△OCF ：S△OEF==2，∴S△OCF=2S△OEF；故④正确．故选：C．【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得△BCE是等边三角形，OE 是△ABC的中位线是关键．12．已知▱ABCD中，AD=2AB，F是BC的中点，作AE⊥CD，垂足E在线段CD上，连结EF、AF，下列结论：①2∠BAF=∠BAD；②EF=AF；③S△ABF ≤S△AEF．中一定成立的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【分析】利用平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，再由全等三角形的判定得出△MBF≌△ECF，利用全等三角形的性质得出对应线段之间关系进而得出答案．【解答】解：①∵F是BC的中点，∴BC=2BF，∵在▱ABCD中，AD=2AB，∴BC=2AB，∴BF=AB，∴∠AFB=∠BAF，∵AD∥BC，∴∠AFB=∠DAF，∴∠BAF=∠FAB，∴2∠BAF=∠BAD，故①正确；②延长EF，交AB延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠MBF=∠C，∵F为BC中点，∴BF=CF，在△MBF和△ECF中，，∴△MBF≌△ECF（ASA），∴FE=MF，∵CE⊥AE，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠BAE=90°，∵FM=EF，∴EF=AF，故②正确；③∵EF=FM，∴S△AFE=S△AFM，∴S△ABF ≤S△AEF，故③正确；故选：D．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解决本题的关键是得出△MBF≌△ECF．13．如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，E是AB上一点，连接CF、EF、EC，且CF=EF，下列结论正确的个数是（）①CF平分∠BCD；②∠EFC=2∠CFD；③∠ECD=90°；④CE⊥AB．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】①只要证明DF=DC，利用平行线的性质可得∠DCF=∠DFC=∠FCB；②延长EF和CD交于M，根据平行四边形的性质得出AB∥CD，根据平行线的性质得出∠A=∠FDM，证△EAF≌△MDF，推出EF=MF，求出CF=MF，求出∠M=∠FCD=∠CFD，根据三角形的外角性质求出即可；③④求出∠ECD=90°，根据平行线的性质得出∠BEC=∠ECD，即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD∥BC，∵AF=DF，AD=2AB，∴DF=DC，∴∠DCF=∠DFC=∠FCB，∴CF平分∠BCD，故①正确，延长EF和CD交于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A=∠FDM，在△EAF和△MDF中，，∴△EAF≌△MDF（ASA），∴EF=MF，∵EF=CF，∴CF=MF，∴∠FCD=∠M，∵由（1）知：∠DFC=∠FCD，∴∠M=∠FCD=∠CFD，∵∠EFC=∠M +∠FCD=2∠CFD ；故②正确，∵EF=FM=CF ，∴∠ECM=90°，∵AB ∥CD ，∴∠BEC=∠ECM=90°，∴CE ⊥AB ，故③④正确，故选：D ．【点评】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．14．如图，在平行四边形ABCD 中，AE 平分∠BAD ，交BC 于点E ，且AB=AE ，延长AB 与DE 的延长线交于点F ．下列结论中：①△ABC ≌△EAD ；②△ABE 是等边三角形；③AD=AF ；④S △ABE =S △CEF 其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④【分析】由平行四边形的性质得出AD ∥BC ，AD=BC ，由AE 平分∠BAD ，可得∠BAE=∠DAE ，可得∠BAE=∠BEA ，得AB=BE ，由AB=AE ，得到△ABE 是等边三角形，②正确；则∠ABE=∠EAD=60°，由SAS 证明△ABC ≌△EAD ，①正确；由△FCD 与△ABD 等底（AB=CD ）等高（AB 与CD 间的距离相等），得出S △FCD =S △ABD ，由△AEC 与△DEC 同底等高，所以S △AEC =S △DEC ，得出S △ABE =S △CEF ．④正确．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠EAD=∠AEB，又∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠BEA，∴AB=BE，∵AB=AE，∴△ABE是等边三角形；②正确；∴∠ABE=∠EAD=60°，∵AB=AE，BC=AD，∴△ABC≌△EAD（SAS）；①正确；∵△FCD与△ABC等底（AB=CD）等高（AB与CD间的距离相等），=S△ABC，∴S△FCD又∵△AEC与△DEC同底等高，=S△DEC，∴S△AEC∴S=S△CEF；④正确．△ABE若AD与AF相等，即∠AFD=∠ADF=∠DEC即EC=CD=BE即BC=2CD，题中未限定这一条件∴③不一定正确；∴①②④正确，故选：B．【点评】此题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质．此题比较复杂，注意将每个问题仔细分析．15．如图所示，在▱ABCD中，BC=6，∠ABC的平分线与CD的延长线交于点E，与AD交于点F，且点F为边AD的中点，AG⊥BE于点G，若AG=2，则BE的长度是（）A．10B．8C．4D．4【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义可求出AB=AF，再根据等腰三角形的性质可求出BG的长，进而可求出BF的长，根据全等三角形的性质得到BF=EF，所以BE=2BF，问题得解．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABF=∠E，∵点F恰好为边AD的中点，∴AF=DF，在△ABF与△DEF中，，∴△ABF≌△DEF，∴BF=EF，BE=2BF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC=6，∵∠AFB=∠FBC，∵∠ABC的平分线与CD的延长线相交于点E，∴∠ABF=∠FBC，∴∠AFB=∠ABF，∴AB=AF，∵点F为AD边的中点，AG⊥BE．∴BG==，∴BF=2，∴BE=2BF=4．故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质、勾股定理的运用，题目的综合性较强，难度中等．16．如图，在▱ABCD中，AB=8，BC=5，以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AD、AB于点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠DAB内交于点M，连接AM并延长交CD于点E，则CE的长为（）A．3B．5C．2D．6.5【分析】根据作图过程可得得AE平分∠DAB；再根据角平分线的性质和平行四边形的性质可证明∠DAE=∠DEA，证出AD=DE=5，即可得出CE的长．【解答】解：根据作图的方法得：AE平分∠DAB，∴∠DAE=∠EAB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，AD=BC=5，∴∠DEA=∠EAB，∴∠DAE=∠DEA，∴AD=DE=5，∴CE=DC﹣DE=8﹣5=3；【点评】此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定．熟练掌握平行四边形的性质，证出AD=DE是解决问题的关键．17．如图，已知□ABCD的对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，交AC于点F，且∠BCD=60°，BC=2CD，连结OE．下列结论：①OE∥AB；=BD•CD；②S平行四边形ABCD③AO=2BO；=2S△EOF．④S△DOF其中成立的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】①证明BE=CE，OA=OC，根据三角形中位线定理可得结论正确；②证明BD⊥CD，可得结论正确；③设AB=x，分别表示OA和OB的长，可以作判断；④先根据平行线分线段成比例定理可得：DF=2EF，由同高三角形面积的比等于对应底边的比可作判断．【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OA=OC，∴∠ADC+∠BCD=180°，∵∠BCD=60°，∴∠ADC=120°，∵DE平分∠ADC，∴∠CDE=60°=∠BCD，∴△CDE是等边三角形，∴CE=CD，∵BC=2CD，∴BE=CE，∴OE∥AB；故①正确；②∵△DEC是等边三角形，∴∠DEC=60°=∠DBC+∠BDE，∵BE=EC=DE，∴∠DBC=∠BDE=30°，∴∠BDC=30°+60°=90°，∴BD⊥CD，∴S=BD•CD；平行四边形ABCD故②正确；③设AB=x，则AD=2x，则BD=x，∴OB=，由勾股定理得：AO==x，故③不正确；④∵AD∥EC，∴=，∴DF=2EF，=2S△EOF．∴S△DOF故④正确；故选：C．【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得△BCE是等边三角形，OE 是△ABC的中位线是关键．18．如图，点P是▱ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论：①S1+S3=S2+S4②如果S4＞S2，则S3＞S1③若S3=2S1，则S4=2S2④若S1﹣S2=S3﹣S4，则P点一定在对角线BD上．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据平行四边形的对边相等可得AB=CD，AD=BC，设点P到AB、BC、CD、DA的距离分别为h1、h2、h3、h4，然后利用三角形的面积公式列式整理即可判断出①正确；根据三角形的面积公式即可判断②③错误；根据已知进行变形，求出S1+S4=S2+S3=S△ABD=S△BDC=S平行四边形ABCD，即可判断④．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，设点P到AB、BC、CD、DA的距离分别为h1、h2、h3、h4，则S1=ABh1，S2=BCh2，S3=CDh3，S4=ADh4，∵ABh1+CDh3=AB•h AB，BCh2+ADh4=C•h BC，又∵S=AB•h AB=BC•h BC平行四边形ABCD∴S2+S4=S1+S3，故①正确；根据S4＞S2只能判断h4＞h2，不能判断h3＞h1，即不能得出S3＞S1，∴②错误；根据S3=2S1，能得出h3=2h1，不能推出h4=2h2，即不能推出S4=2S2，∴③错误；∵S1﹣S2=S3﹣S4，∴S1+S4=22+S3=S平行四边形ABCD，此时S1+S4=S2+S3=S△ABD=S△BDC=S平行四边形ABCD，即P点一定在对角线BD上，∴④正确；故选：B．【点评】本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积，以及平行四边形对角线上点的判定的应用，用平行四边形的面积表示出相对的两个三角形的面积的和是解题的关键，也是本题的难点．19．如图，E 是平行四边形内任一点，若S 平行四边形ABCD =8，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【分析】根据三角形面积公式可知，图中阴影部分面积等于平行四边形面积的一半．所以S 阴影=S 四边形ABCD ．【解答】解：设两个阴影部分三角形的底为AD ，CB ，高分别为h 1，h 2，则h 1+h 2为平行四边形的高，∴S △EAD +S △ECB=AD•h 1+CB•h 2=AD （h 1+h 2）=S 四边形ABCD=4．故选：B ．【点评】本题主要考查了三角形的面积公式和平行四边形的性质（平行四边形的两组对边分别相等）．要求能灵活的运用等量代换找到需要的关系．20．如图，在平行四边形ABCD 中，DE 平分∠ADC 交BC 于E ，AF ⊥DE ，垂足为F ，已知∠DAF=50°，则∠B=（ ）A ．50°B ．40°C ．80°D ．100°【分析】由平行四边形的性质及角平分线的性质可得∠ADC 的大小，进而可求解∠B 的度数．【解答】解：在Rt △ADF 中，∵∠DAF=50°，∴∠ADE=40°，又∵DE平分∠ADC，∴∠ADC=80°，∴∠B=∠ADC=80°．故选：C．【点评】本题主要考查平行四边形的性质及角平分线的性质，应熟练掌握，并能做一些简单的计算问题．21．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，∠ADC=30°．①四边形ACED是平行四边形；②△BCE是等腰三角形；③四边形ACEB的周长是5+；④四边形ACEB的面积是16．则以上结论正确的是（）A．①②B．②④C．①②③D．①③④【分析】证明AC∥DE，再由条件CE∥AD可证明四边形ACED是平行四边形；根据线段的垂直平分线证明AE=EB可得△BCE是等腰三角形；首先利用三角函数计算出AD=4，CD=2，再算出AB长可得四边形ACEB的周长是10+2，利用△ACB和△CBE的面积和可得四边形ACEB的面积．【解答】解：①∵∠ACB=90°，DE⊥BC，∴∠ACD=∠CDE=90°，∴AC∥DE，∵CE∥AD，∴四边形ACED是平行四边形，故①正确；②∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴EC=EB，∴△BCE是等腰三角形，故②正确；③∵AC=2，∠ADC=30°，∴AD=4，CD=2，∵四边形ACED是平行四边形，∴CE=AD=4，∵CE=EB，∴EB=4，DB=2，∴CB=4，∴AB==2，∴四边形ACEB的周长是10+2故③错误；④四边形ACEB的面积：×2×4+×4×2=8，故④错误，故选：A．【点评】本题主要考查了平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、特殊角三角函数、勾股定理、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法．等腰三角形的判定方法，属于中考常考题型．22．如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD 于F，DE、BF相交于H，直线BF交线段AD的延长线于G，下面结论：①BD= BE；②∠A=∠BHE；③AB=BH；④∠BHD=∠BDG；其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】通过判断△BDE为等腰直角三角形，得到BE=DE，BD=BE，则可对①进行判断；根据等角的余角相等得到∠BHE=∠C，再根据平行四边形的性质得到∠A=∠C，则∠A=∠BHE，于是可对②进行判断；根据“AAS”可证明△BEH≌△DEC，得到BH=CD，接着由平行四边形的性质得AB=CD，则AB=BH，运算可对③进行判断；因为∠BDH=90°+∠EBH，∠BDG=90°+∠BDE，由∠BDE＞∠EBH，推出∠BDG＞∠BHD，所以④错误；【解答】解：∵∠DBC=45°，DE⊥BC，∴△BDE为等腰直角三角形，∴BE=DE，BD=BE，所以①正确；∵BF⊥CD，∴∠C+∠CBF=90°，而∠BHE+∠CBF=90°，∴∠BHE=∠C，∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠A=∠C，∴∠A=∠BHE，所以②正确；在△BEH和△DEC中，∴△BEH≌△DEC，∴BH=CD，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB=CD，∴AB=BH，所以③正确；∵∠BDH=90°+∠EBH，∠BDG=90°+∠BDE，∵∠BDE＞∠EBH，∴∠BDG＞∠BHD，所以④错误；故选：C．。

一、选择题1.如图，直线a，b被直线c所截．在下列条件中，不能判定a∥b的是( )A．∠3=∠4B．∠3+∠5=180∘C．∠2=∠3D．∠1=∠42.如图，a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1=36∘，那么∠2=( )A．54∘B．56∘C．44∘D．46∘3.下列语句：①两点之间，线段最短；②不许大声讲话；③连接A，B两点；④鸟是动物；⑤不相交的两条直线是平行线；⑥ n为任意自然数，n2−n+11的值都是质数吗？其中不是命题的有( )A．2个B．3个C．4个D．5个4.下列命题是真命题的是( )A．同位角相等B．两直线平行，同旁内角相等C．同旁内角互补D．平行于同一条直线的两条直线平行5.如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠BAE等于( )A．12∘B．15∘C．30∘D．45∘6.下列命题中是真命题的个数是( )①同位角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③若a∥b，b∥c，则a∥c；④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑤三条直线两两相交，总有三个交点．A．1个B．2个C．3个D．4个7.如图，点E在BC的延长线上，下列条件不能判断AB∥CD的是( )A．∠5=∠B B．∠1=∠2C．∠B+∠BCD=180∘D．∠3=∠48.如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且AD=AE，设∠BAD=α，∠CDE=β，则α，β之间的关系为( )A．β=12αB．β=23αC．β=90∘−12αD．β=90∘−23α9.下列命题中，属于真命题的是( )A．三角形的一个外角大于内角B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等C．无理数与数轴上的点是一一对应的D．对顶角相等10.下列命题中是真命题的为( )A．两锐角之和为钝角B．直角三角形的两锐角互余C．若a⊥b，a⊥c，则b⊥c D．内错角相等二、填空题11.下列命题：①两直线平行，内错角相等；②如果m是无理数，那么m是无限小数；③同旁内角相等，两直线平行；④如果a是实数，那么√a是无理数；⑤ 64的立方根是8，其中真命题是．12.△ABC中，∠B=65∘，∠A比∠C小35∘，则∠C的外角=．13.“两个全等的三角形必成轴对称或中心对称”是命题．（填“真”或“假”）14.如图，已知直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1=30∘，则∠2=度．15.命题“如果两条平行线被第三条直线所截，那么同位角相等”的结论是．16.如图，AB∥EF，∠ABC=30∘，∠DEF=120∘，则∠BCD+∠CDE=．17.如图将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1的大小为度．三、解答题18.如图所示：(1) 若DE∥BC，∠1=∠3，∠CDF=90∘，求证：FG⊥AB．(2) 若把（1）中的题设“DE∥BC”与结论“FG⊥AB”对调，所得命题是否是真命题？说明理由．19.如图，根据直线平行的判定方法填空：(1) 因为∠1=∠2（已知），所以∥( )．(2) 因为∠3=∠4（已知），所以∥( )．20.已知：如图，DB平分∠ADC，∠1+∠2=180∘．(1) 求证：AB∥CD．(2) 若ED⊥DB，∠A=50∘，求∠EDC的大小．21.根据题意，完成推理填空：如图，AB∥CD，∠1=∠2，试说明∠B=∠D．证明：∵∠1=∠2（已知），∴（内错角相等，两直线平行），∴∠BAD+∠B=180∘（两直线平行，同旁内角互补），∵AB∥CD（已知），∴+=180∘（，），∴∠B=∠D（等量代换）．22.补全下列的推理依据：如图，(1) ∵∠1=∠2（已知），∴a∥b( )．(2) ∵∠3=∠4（已知），∴a∥b( )．23.指出下列命题的题设和结论，并把下列命题改写成“如果⋯⋯，那么⋯⋯”的形式．面积相等的两个三角形全等．24.已知：如图，m∥n，∠2=∠4=∠1，求证：∠2+∠3=180∘．25.如图，已知AD∥BE，∠1=∠2．试说明∠A=∠E的理由解：因为∠1=∠2（已知），所以∥（），所以∠E+∠=180∘（），因为AD∥BE（已知），所以∠A+∠=180∘（），所以∠A=∠E（）．答案一、选择题1. 【答案】D【知识点】内错角2. 【答案】A【解析】∵AB⊥BC，∠1=36∘，∴∠3=90∘−∠1=54∘．∵a∥b，∴∠3=∠2=54∘．【知识点】平行线的性质3. 【答案】B【解析】判断一件事情的句子叫做命题．故不是命题的有②③⑥，故选B．【知识点】命题的概念4. 【答案】D【知识点】命题的真假5. 【答案】B【解析】由题意得：∠ECD=90∘，∠D=30∘，∴∠DEC=60∘，∵∠B=45∘，∴∠1=∠DEC−∠B=15∘．【知识点】三角形的外角及外角性质6. 【答案】B【解析】①两直线平行，同位角相等，故错误，是假命题；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故错误，是假命题；③若a∥b，b∥c，则a∥c，正确，是真命题；④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确，为真命题；⑤三条直线两两相交，总有三个或一个交点，故错误，为假命题．【知识点】命题的真假7. 【答案】D【知识点】同旁内角、内错角8. 【答案】A【解析】设∠ABC=x，∠AED=y，∵AB=AC，AD=AE，∴∠ACB=∠B=x，∠AED=∠ADC=y，在△DEC中，y=β+x，在△ABD中，α+x=y+β=β+x+β，∴α=2β．【知识点】等腰三角形的性质、三角形的外角及外角性质9. 【答案】D【知识点】命题的真假10. 【答案】B【知识点】命题的真假二、填空题11. 【答案】①②【解析】①两直线平行，内错角相等，是真命题；②如果m是无理数，那么m是无限小数，是真命题；③同旁内角互补，两直线平行，是假命题；④如果a是实数，那么√a不一定是无理数，如a=4，是假命题；⑤ 64的立方根是4，是假命题．【知识点】命题的真假12. 【答案】105∘【知识点】三角形的外角及外角性质13. 【答案】假【知识点】命题的真假14. 【答案】30【知识点】平行线的性质15. 【答案】同位角相等【知识点】命题的概念16. 【答案】270°【知识点】平行公理的推论、内错角相等、同旁内角互补17. 【答案】75【知识点】三角形的外角及外角性质三、解答题18. 【答案】(1) ∵DE∥BC（已知），∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等），∵∠1=∠3（已知），∴DC∥FG（同位角相等，两直线平行），∴∠BFG=∠FDC=90∘（两直线平行，同位角相等）∴PG⊥AB（垂直定义）；(2) 是真命题．理由：∵FG⊥AB（已知），∴∠BFG=90∘=∠FDC，∴DC∥FG（同位角相等，两直线平行），∴∠2=∠3（两直线平行，同位角相等），∵∠1=∠3（已知），∴∠1=∠2（等量代换），∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）．【知识点】平行线的性质、命题的真假、平行线及其判定19. 【答案】(1) AB；CD；内错角相等，两直线平行(2) AD；BC；内错角相等，两直线平行【知识点】内错角20. 【答案】(1) ∵∠1+∠DCB=180∘，∠1+∠2=180∘，∴∠DCB=∠2，∴AB∥CD（内错角相等两直线平行）．(2) ∵AB∥CD，∴∠A+∠ADC=180∘，∴∠ADC=180∘−50∘=130∘，又∵DB平分∠ADC，∠ADC=65∘，∴∠ADB=∠CDB=12又∵ED⊥DB，∴∠EDB=90∘，又∵∠EDC=∠EDB−∠CDB，∴∠EDC=90∘−65∘=25∘，∴∠EDC=25∘．【知识点】内错角、同旁内角互补21. 【答案】AD∥BC；∠BAD；∠D；两直线平行；同旁内角互补【知识点】平行线的性质、平行线及其判定22. 【答案】(1) 同位角相等，两直线平行(2) 内错角相等，两直线平行【知识点】内错角23. 【答案】题设：面积相等的两个三角形．结论：全等．如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等．【知识点】命题的概念24. 【答案】∵∠2=∠4，∴l∥m，∵m∥n，∴l∥n，∴∠3+∠1=180∘，∵∠2=∠1，∴∠2+∠3=180∘．【知识点】平行公理的推论、同旁内角互补、内错角25. 【答案】∵∠1=∠2，∴DE∥AC（内错角相等，两直线平行），∴∠E+∠ABE=180∘（两直线平行，同旁内角互补），∵AD∥BE，∴∠A+∠ABE=180∘（两直线平行，同旁内角互补），∴∠A=∠E（同角的补角相等）．【知识点】内错角相等、内错角。

两条直线的平行与垂直 同步练习(一)一、选择题：1. 下列命题中正确的是（ ）A ．平行的两条直线的斜率一定相等B ．平行的两条直线的倾斜角相等C ．斜率相等的两直线一定平行D ．两直线平行则它们在y 轴上截距不相等2.已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0,且在y 轴上的截距为31，则m,n 的值分别为（ ）A ．4和3B ．-4和3C ．-4和-3D ．4和-33. 直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则a=（ ） A ．-3 B ．-6 C ．23 D ．32 4. 直线1 :kx+y+2=0和2 :x-2y-3=0, 若21|| ,则1 在两坐标轴上的截距的和（ ） A ．-1 B ．-2 C ．2 D ．6 5. 两条直线mx+y-n=0和x+my+1=0互相平行的条件是（ ） A. m=1 B ．m= 1 C ．11n m D ． 11n m 或11n m6.过点A （1，2）和B （-3，2）的直线与直线 y=0的位置关系是（ ）A ．相交B ．平行C ．重合D ．以上都不对7.如果直线ax+(1-b)y+5=0和(1+a)x-y-b=0同时平行于直线x-2y+3=0,则a 、b 的值为（ ） A ．a=21, b=0 B ．a=2, b=0 C ．a=-21, b=0 D ． a=-21, b=2 8.若直线ax+2y+6=0与直线x+(a-1)y+(a 2-1)=0平行但不重合，则a 等于（ ）A ．-1或2B ．-1C ．2D ．32 二.填充题 ：（每小题5分，共20分）9． 直线3x+4y-5=0关于原点对称的直线是________________.10．两直线x-2y+k=0(k R)和3x-6y+5=0的位置关系是 __________ . 11． 过点M （3，-4）且与A （-1，3）、B （2，2）两点等距离的直线方程是__________________. 12．当直线 ：（2+m ）x-y+5-n=0与x 轴相距为5时，m= ____________,n=__________________. 三.解答题：（每小题10分，共40分） 13. 求证:依次连结A(2,-3),B(5,-27),C(2,3),D(-1,27)是平行四边形.14. 当A 和C 取何值时，直线Ax-2y-1=0和直线6x-4y+C=0互相平行？15.平行于直线2x+5y-1=0的直线 与坐标轴围成的三角形面积为5，求直线 的方程。

一、选择题1．下列命题中，为真命题的是（ ）A ．13是13的算术平方根B ．三角形的一个外角大于任何一个内角C ．13是最简二次根式 D ．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 2．如图，将ABC 绕点C 顺时针旋转90︒得到EDC △，点A 、D 、E 在同一条直线上．若20ACB ∠=︒，则ADC ∠的度数是（ ）A ．60︒B ．65︒C ．70︒D ．75︒3．下列命题是真命题的是（ ）A ．平行于同一直线的两条直线平行B ．两直线平行，同旁内角相等C ．同旁内角互补D ．同位角相等4．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）．A ．3的平方根是3B ．5是无理数C ．1的立方根是1D ．全等三角形的周长相等 5．下列命题中，真命题的是（ ）A ．同旁内角互补，两直线平行B ．相等的角是对顶角C ．同位角相等D ．直角三角形两个锐角互补 6．下列语句正确的有（ ）个．①“对顶角相等”的逆命题是真命题．②“同角（或等角）的补角相等”是假命题．③立方根等于它本身的数是非负数．④用反证法证明：如果在ABC 中，90C ∠=︒，那么A ∠、B 中至少有一个角不大于45°时，应假设45A ∠>︒，45B ∠>︒．⑤如果一个等腰三角形的两边长分别是2cm 和5cm ，则周长是9cm 或12cm ． A ．4 B ．3 C ．2 D ．17．如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A′处，折痕为CD ，则∠A′DB=（ ）A ．15°B ．30°C ．10°D ．20°8．如图，下列条件中，不能判断直线a ∥b 的是（ ）A ．∠1＝∠3B ．∠2＝∠3C ．∠4＝∠5D ．∠2+∠4＝180° 9．下列命题中，逆命题是真命题的是（ ）A ．全等三角形的对应角相等；B ．同旁内角互补，两直线平行；C ．对顶角相等；D ．如果0,0a b >>，那么0a b +> 10．下列各命题中，属于假命题的是（ ）A ．若0a b -＞，则a b ＞B ．若0a b -=，则0ab ≥C ．若0a b -＜，则a b ＜D ．若0a b -≠，则0ab ≠ 11．在△ABC 中，∠A ＝80°，∠B ＝50°，则∠C =（ ） A ．130°B ．50°C ．40°D ．20° 12．下列命题中，假命题是（ ） A ．负数没有平方根B ．两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等C ．对顶角相等D ．内错角相等 二、填空题13．证明“若a b >，则22a b >．”是假命题，可举出反例：_________．14．若一个三角形三个内角度数的比为1:3:6，则其最大内角的度数是________． 15．如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点A 落在F 处，折痕为BC ，FBD ∠的角平分线为BE ，将FBD ∠沿BF 折叠使BE ，BD 均落在FBC ∠的内部，且BE 交CF 于点M ，BD 交CF 于点N ，若BN 平分CBM ∠，则ABC ∠的度数为_________．16．命题“若a 2＞b 2则a ＞b ”是_____命题（填“真”或“假”），它的逆命题是_____． 17．用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”第一步应假设___________ 18．如图，AE 平分,BAC BE AE ∠⊥于,//E ED AC ，,BAC a ∠=则BED ∠的度数为________________．(用含α的式子表示)19．如图，木工师傅用角尺画平行线的依据是_________________________.20．如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，使点B 落在图中的B '处，设∠B 'EC ＝∠1，∠B 'DA ＝∠2．若∠B ＝25°，则∠2﹣∠1＝_____°．三、解答题21．如图，在ABC 中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点P ，根据下列条件，求BPC ∠的度数．（1）若40ABC ∠=︒，60ACB ∠=︒，则BPC ∠=______；（2）若110ABC ACB ∠+∠=︒，则BPC ∠=______；（3）若90A ∠=︒，则BPC ∠=______；（4）从以上的计算中，你能发现已知A ∠，求BPC ∠的公式是：BPC ∠=______（提示：用A ∠表示）．22．如图，MN ，EF 分别表示两面镜面，一束光线AB 照射到镜面MN 上，反射光线为BC ，此时12∠=∠；光线BC 经过镜面EF 反射后的反射光线为CD ，此时34∠=∠，且//AB CD ．求证∶//MN EF ．23．如图，已知：∠DGA=∠FHC ，∠A=∠F ．求证：DF ∥AC ．（注：证明时要求写出每一步的依据）24．如图，有如下四个论断：①//AC DE ，②//DC EF ，③CD 平分BCA ∠，④EF 平分BED ∠．（1）若选择四个论断中的三个作为条件，余下的一个论断作为结论，构成一个数学命题，其中正确的有哪些？不需说明理由．（2）请你在上述正确的数学命题中选择一个进行说明理由．25．在ABC 中，ABC ∠与ACB ∠的平分线相交于点P ．（1）如图①，如果80A ∠=︒，求BPC ∠的度数；（2）如图②，作ABC 外角MBC ∠，NCB ∠的角平分线，且交于点Q ，试探索Q ∠，A ∠之间的数量关系；（3）如图③，在图②中延长线段BP ，QC 交于点E 若BQE △中存在一个内角等于另一个内角的2倍，求A ∠的度数．26．已知：如图，//AB CD ，BD 平分ABC ∠，CE 平分DCF ∠，90ACE ︒∠=．（1）请问BD 和CE 是否平行？请你说明理由；（2）AC 和BD 的位置关系怎样？请说明判断的理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】根据算术平方根、三角形外角定理、最简二次根式定义、平行线性质逐项判断即可求解．【详解】解：13的算术平方根”，判断正确，符合题意；B. “三角形的一个外角大于任何一个内角”，应为“三角形的一个外角大于和它不相邻的任意一个内角”，判断错误，不合题意；”，不是最简二次根式，判断错误，不合题意；D . “两条直线被第三条直线所截，内错角相等”，两条直线不一定平行，判断错误，不合题意．故选：A【点睛】本题考查了命题、算术平方根、三角形外角定理、最简二次根式定义、平行线性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键，注意：题设成立，结论一定成立的命题是真命题；题设成立，结论不一定成立的命题是假命题．2．B解析：B【分析】根据全等三角形的性质和三角形内角和定理解答即可；【详解】∵将ABC 绕点C 顺时针旋转90︒得到EDC △，∴ABC EDC ≅△△，∴20DCE ACB ∠=∠=︒，90BCD ACE ∠=∠=︒，AC CE =，∴902070ACD ∠=︒-︒=︒，∵点A 、D 、E 在同一条直线上，∴180ADC EDC ∠+∠=︒，∵180EDC E DCE ∠+∠+∠=︒，∴20ADC E ∠=∠+︒，∵90ACE ∠=︒，AC CE =，∴90DAC E ∠+∠=︒，45E DAC ∠=∠=︒，∴65ADC ∠=︒； 故选：B ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形的外角性质，准确计算是解题的关键． 3．A解析：A【分析】对照平行线的性质和定理，逐一判断即可.【详解】∵平行于同一直线的两条直线平行，∴选项A 正确；∵两直线平行，同旁内角互补，∴选项B 错误；∵两直线平行，同旁内角互补，∴选项C 错误；∵两直线平行，同位角相等，∴选项D 错误；故选A.【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，熟记性质和判定的条件和结论是解题的关键. 4．C解析：C【分析】根据把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，先得出逆命题，再进行判断即可．【详解】A 3的逆命题是：3的平方根，是假命题；BC 、1的立方根是1的逆命题是：1是1的立方根，是真命题；D 、全等三角形的周长相等的逆命题是：周长相等的三角形全等，是假命题； 故选：C ．【点睛】此题考查了命题的真假判断及互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，判断命题的真假关键是要熟悉各知识点的性质定理．5．A解析：A【分析】利用平行线的判定、对顶角的定义及互补的定义分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A 、同旁内角互补，两直线平行，正确，是真命题；B 、对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故错误，是假命题；C 、只有当两直线平行时，同位角才会相等；两直线不平行时，同位角不会相等，故错误，是假命题；D 、直角三角形两锐角互余，不会互补，故错误，是假命题．故选：A ．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的判定、对顶角的定义及互补的定义，难度不大．6．D解析：D【分析】先写出逆命题，进而即可判断；根据补角的性质，即可判断②；根据立方根的性质，即可判断③；根据反证法的定义，即可判断④根据等腰三角形的定义和三角形三边长关系，即可判断⑤．【详解】①“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，是假命题，故该小题错误；②“同角（或等角）的补角相等”是真命题，故该小题错误；③立方根等于它本身的数是0，±1，故该小题错误；④用反证法证明：如果在ABC 中，90C ∠=︒，那么A ∠、B 中至少有一个角不大于45°时，应假设45A ∠>︒，45B ∠>︒，故该小题正确；⑤如果一个等腰三角形的两边长分别是2cm 和5cm ，则周长是12cm ，故该小题错误． 故选D ．【点睛】本题主要考查补角的性质，真假命题，反证法以及等腰三角形的定义，掌握反证法的定义，等腰三角形的定义是解题的关键．7．C解析：C【分析】由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠A′DB=∠CA'D-∠B ，又由于折叠前后图形的形状和大小不变，∠CA'D=∠A=50°，易求∠B=90°-∠A=40°，从而求出∠A′DB 的度数．【详解】解：∵Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=50°，∴∠B=90°-50°=40°，∵将其折叠，使点A 落在边CB 上A′处，折痕为CD ，则∠CA'D=∠A ，∵∠CA'D 是△A'BD 的外角，∴∠A′DB=∠CA'D-∠B=50°-40°=10°．故选：C ．【点睛】本题考查图形的折叠变化及三角形的外角性质．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．解答此题的关键是要明白图形折叠后与折叠前所对应的角相等．8．B解析：B【分析】根据平行线的判定定理逐项判断即可．【详解】A 、当∠1＝∠3时，a ∥b ，内错角相等，两直线平行，故正确；B 、∠2与∠3不是同位角，也不是内错角，无法判断，故错误；C 、当∠4＝∠5时，a ∥b ，同位角相等，两直线平行，故正确；D 、当∠2+∠4＝180°时，a ∥b ，同旁内角互补，两直线平行，故正确．故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的判定，熟记判定定理是解题的关键．9．B解析：B【分析】先分别写出各命题的逆命题，再分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【详解】解：A.全等三角形的对应角相等的逆命题为对应角相等的三角形全等是假命题，所以A 选项不符合题意；B.同旁内角互补，两直线平行的逆命题为两直线平行，同旁内角互补是真命题，所以B 选项符合题意；C.“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”是假命题，所以C 选项不符合题意；D. 如果0,0a b >>，那么0a b +>的逆命题为如果0a b +>，那么0,0a b >>是假命题，所以D 选项不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．10．D解析：D【分析】根据不等式的性质对各选项进行逐一判断即可．【详解】A、正确，符合不等式的性质；B、正确，符合不等式的性质．C、正确，符合不等式的性质；D、错误，例如a=2，b=0；故选D．【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解不等式的性质，难度不大．11．B解析：B【分析】直接利用三角形内角和定理得到∠C的度数即可．【详解】解：∵在△ABC中，∠A=80°，∠B=50°，∴∠C=180°-80°-50°=50°，故选：B．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，正确把握定义是解题的关键．12．D解析：D【分析】根据平方根的概念、平行线的性质、对顶角相等判断即可．【详解】A、负数没有平方根，本选项说法是真命题；B、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，本选项说法是真命题；C、对顶角相等，本选项说法是真命题；D、两直线平行，内错角相等，本选项说法是假命题；故选：D．【点睛】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．二、填空题13．答案不唯一例如当但【分析】可根据的正负性来考虑即可例如用来进行判断即可【详解】反例：取有但故答案为：但【点睛】本题考查了命题与定理举反例说明说明命题是假命题时在选取反例时要注意遵循这一原则：反例的选 解析：答案不唯一，例如当1,1,a b a b ==->，但22a b <【分析】可根据a 、b 的正负性来考虑即可，例如用1a =、1b =-来进行判断即可．【详解】反例：取1a =，1b =-，有a b >，但22a b =．故答案为：1a =，1b =-，a b >，但22a b =．【点睛】本题考查了命题与定理，举反例说明说明命题是假命题时，在选取反例时要注意遵循这一原则：反例的选取一定要满足所给命题的题设要求，而不能满足命题的结论． 14．108°【分析】已知三角形三个内角的度数之比可以设一份为x°根据三角形的内角和等于180°列方程求三个内角的度数确定最大的内角的度数【详解】解：设一份为x°则三个内角的度数分别为x°3x°6x°根据解析：108°【分析】已知三角形三个内角的度数之比，可以设一份为x °，根据三角形的内角和等于180°列方程求三个内角的度数，确定最大的内角的度数．【详解】解：设一份为x °，则三个内角的度数分别为x °，3x °，6x °，根据三角形内角和定理，可知x +3x +6x ＝180，解得x ＝18．所以6x °＝108°，即最大的内角是108°．故答案为108°【点睛】此题考查三角形的内角和定理，利用三角形内角和定理和列方程求解可简化计算． 15．5°【分析】根据角平分线的定义可得再根据折叠的性质可得再根据平分可得进而可得【详解】解：∵的角平分线为∴又∵与关于对称∴∵与关于对称∴又∵平分∴又∵为折痕∴∵∴又∵∴∴又∵∴故答案为：675°【点睛 解析：5°．【分析】根据角平分线的定义可得1FBE ∠=∠，再根据折叠的性质可得1MBF FBE ∠=∠=∠，NBF FBD ∠=∠，CBA CBF ∠=∠， 再根据BN 平分CBM ∠可得CBN NBM ∠=∠，进而可得318067.58ABC ∠=⨯=． 【详解】解：∵FBD ∠的角平分线为BE ，∴1FBE ∠=∠，又∵BM 与BE 关于BF 对称，∴1MBF FBE ∠=∠=∠，∵BN 与BD 关于BF 对称，∴NBF FBD ∠=∠FBE EBD =∠+∠11=∠+∠21=∠，又∵BN 平分CBM ∠，∴CBN NBM ∠=∠，又∵BC 为折痕，∴CBA CBF ∠=∠CBN NBF =∠+∠21NBM =∠+∠，∵NBM NBF MBF ∠=∠-∠211=∠=∠1=∠，∴31CBA ∠=∠，又∵180CBA CBF FBD ∠+∠+∠=，∴3112121180∠+∠+∠+∠=，∴81180∠=，又∵31ABC ∠=∠， ∴318067.58ABC ∠=⨯=， 故答案为：67.5°．【点睛】 本题考查了折叠的性质，角平分线的定义，平角的定义，解题的关键是理解题意，找到31808ABC ∠=⨯． 16．假若a ＞b 则a2＞b2【分析】a2大于b2则a 不一定大于b 所以该命题是假命题它的逆命题是若a ＞b 则a2＞b2【详解】①当a ＝－2b ＝1时满足a2＞b2但不满足a ＞b 所以是假命题；②命题若a2＞b2则解析：假 若a ＞b 则a 2＞b 2【分析】a 2大于b 2则a 不一定大于b ，所以该命题是假命题，它的逆命题是“若a ＞b 则a 2＞b 2”．【详解】①当a ＝－2，b ＝1时，满足a 2＞b 2，但不满足a ＞b ，所以是假命题；②命题“若a 2＞b 2则a ＞b ”的逆命题是若“a ＞b 则a 2＞b 2”；故答案为：假；若a ＞b 则a 2＞b 2．【点睛】本题主要考查判断命题真假、逆命题的概念以及平方的计算，熟记相关概念取特殊值代入是解题关键．17．一个三角形中有两个角是直角【分析】根据反证法的第一步是从结论的反面出发进而假设得出即可【详解】用反证法证明命题一个三角形中不能有两个角是直角第一步应假设一个三角形中有两个角是直角故答案为一个三角形中 解析：一个三角形中有两个角是直角.【分析】根据反证法的第一步是从结论的反面出发进而假设得出即可．【详解】用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”第一步应假设一个三角形中有两个角是直角.故答案为一个三角形中有两个角是直角.【点睛】此题考查反证法，解题关键在于掌握其证明过程.18．【分析】由ED//AC 可以得到所以由三角形内角和定理可以得到的值再次利用三角形内角和定理就可以得到的度数【详解】解：由已知得：又ED//AC ∴∴∴∠BED=故答案为【点睛】本题考查三角形内角和定理和 解析：1902a + 【分析】由ED//AC 可以得到EDB C ∠=∠，所以由三角形内角和定理可以得到EDB EBD ∠+∠的值，再次利用三角形内角和定理就可以得到BED ∠的度数．【详解】 解：由已知得：1909022a ABE BAC ∠=︒-∠=︒-， 又ED//AC ，∴EDB C ∠=∠， ∴180180909022a a EDB EBD BAC ABE a ⎛⎫∠+∠=︒-∠-∠=︒--︒-=︒- ⎪⎝⎭ ∴∠BED=180909022a a ⎛⎫︒-︒-=︒+ ⎪⎝⎭ 故答案为902a ︒+．【点睛】本题考查三角形内角和定理和角平分线的综合应用，灵活运用三角形内角和定理是解题关键．19．在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行或根据同位角相等两直线平行【分析】在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行或根据同位角相等两直线平行【详解】解：在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行解析：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行或根据同位角相等两直线平行.【分析】在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行或根据同位角相等两直线平行.【详解】解：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行或根据同位角相等两直线平行.故答案为在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行或根据同位角相等两直线平行【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定方法是解答此题的关键20．50【分析】由折叠性质求得∠B′由三角的外角性质用∠1表示∠2进而求得∠2﹣∠1【详解】如图：∵∠B＝25°∴∠B′＝∠B＝25°∵∠3＝∠1+∠B′＝∠1+25°∵∠2＝∠3+∠B＝∠1+25°+解析：50【分析】由折叠性质求得∠B′，由三角的外角性质，用∠1表示∠2，进而求得∠2﹣∠1．【详解】如图：∵∠B＝25°，∴∠B′＝∠B＝25°，∵∠3＝∠1+∠B′＝∠1+25°，∵∠2＝∠3+∠B＝∠1+25°+25°，∴∠2﹣∠1＝50°，故答案为：50．【点睛】本题主要考查了三角形的外角性质，折叠的性质，关键是根据三角形的外角性质表示出∠1与∠2的关系式．三、解答题21．（1）130°；（2）125°；（3）135°；（4）1902A ︒+∠． 【分析】 （1）依据∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点P ，可得∠2+∠4的度数，依据三角形内角和定理，即可得到∠BPC 的度数；（2）依据∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点P ，可得∠2+∠4的度数，依据三角形内角和定理，即可得到∠BPC 的度数；（3）依据∠A=90°，可得∠ABC+∠ACB 的度数，依据∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点P ，可得∠2+∠4的度数，依据三角形内角和定理，即可得到∠BPC 的度数；（4）根据三角形的内角和定理可得∠ABC+∠ACB 的度数，依据∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点P ，可得∠2+∠4的度数，依据三角形内角和定理，即可得到∠BPC=90°+12∠A ． 【详解】解：如下图所示，（1）∵∠ABC=40°，∠ACB=60°，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点P ，∴∠2+∠4=20°+30°=50°，∴△BCP 中，∠P=180°-50°=130°，故答案为：130°；（2）∵∠ABC+∠ACB=110°，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点P ，∴∠2+∠4=12×110°=55°， ∴△BCP 中，∠P=180°-55°=125°，故答案为：125°；（3）∵∠A=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点P ，∴∠2+∠4=12×90°=45°， ∴△BCP 中，∠P=180°-45°=135°，故答案为：135°；（4）∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A ，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点P ，∴124(180)2A ∠+∠=⨯︒-∠， ∴△BCP 中，11180(180)9022P A A =︒-⨯︒-∠=︒+∠∠．故答案为：1902A ︒+∠． 【点睛】 本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义的运用，解题时注意：三角形内角和是180°．22．证明见解析【分析】利用//AB CD 推出ABC BCD ∠=∠，利用1234180ABC BCD ∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒，得到23∠∠=，即可得到结论．【详解】解：证明：∵//AB CD ，∴ABC BCD ∠=∠，又∵1234180ABC BCD ∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒，∴1234∠+∠=∠+∠，又∵12∠=∠，34∠=∠，∴23∠∠=，∴//MN EF ．【点睛】此题考查平行线的判定及性质，正确理解判定及性质定理并应用解决问题是解题的关键． 23．见解析．【分析】先根据∠DGA=∠EGC 证出AE ∥BF ，再根据平行证明出∠F=∠FBC 即可求证出结论．【详解】证明：∵∠DGA=∠EGC(对顶角相等)又∵∠DGA=∠FHC （已知）∴∠EGC=∠FHC （等量代换）∴AE ∥BF (同位角相等，两直线平行）∴∠A=∠FBC (两直线平行，同位角相等)又∵∠A=∠F （已知）∴∠F=∠FBC (等量代换)∴DF ∥AC (内错角相等,两直线平行)．【点睛】此题考查平行线的判定与性质：同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行．24．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）选择四个论断中的三个作为条件，余下的一个论断作为结论，即可得到结论；（2）根据平行线的性质和角平分线的定义即可得到结论．【详解】解：（1）如果①②③，那么④，正确；如果①②④，那么③，正确；如果①③④，那么②，正确；如果②③④，那么①，正确；（2）已知：AC ∥DE ，DC ∥EF ，CD 平分∠BCA ，求证：EF 平分∠BED ．证明：∵AC ∥DE ，∴∠BCA =∠BED ，即∠1+∠2=∠4+∠5，∵DC ∥EF ，∴∠2=∠5，∵CD 平分∠BCA ，∴∠1=∠2，∴∠4=∠5，∴EF 平分∠BED ．【点睛】本题考查了命题与定理，平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．25．（1）130︒；（2）1902Q A ∠=︒-∠；（3）A ∠的度数是90°或60°或120° 【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠PBC+∠PCB ，进而求出∠BPC 即可解决问题；（2）根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC 与∠BCN ，再根据角平分线的性质可求得∠CBQ+∠BCQ ，最后根据三角形内角和定理即可求解；（3）在△BQE 中，由于∠Q=90°12-∠A ，求出∠E=12∠A ，∠EBQ=90°，所以如果△BQE 中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：①∠EBQ=2∠E=90°；②∠EBQ=2∠Q=90°；③∠Q=2∠E ；④∠E=2∠Q ；分别列出方程，求解即可．【详解】（1）∵80A ∠=︒，∴100ABC ACB ∠+∠=︒，又∵点P 是ABC ∠和ACB ∠的平分线的交点，∴50PBC PCB ∠+∠=︒，∴()180********P PBC PCB ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒；（2）∵外角MBC ∠，NCB ∠的角平分线交于点Q ， ∴12QBC MBC ∠=∠，12QCB NCB ∠=∠， ∵180ABC MBC ∠+∠=︒，180ACB NCB ∠+∠=︒，∴180MBC ABC ∠=︒-∠，180NCB ACB ∠=︒-∠，∴()12QBC QCB MBC NCB ∠+∠=∠+∠ ()13602ABC ACB =︒-∠-∠ ()1360180-2A =︒-︒∠⎡⎤⎣⎦ ()11802A =︒+∠ 1902A =+∠︒， ∴()180Q QBC QCB ∠=︒-∠+∠1180902A ⎛⎫=︒-︒+∠ ⎪⎝⎭1902A =︒-∠； （3）延长BC 至F ，∵CQ 为△ABC 的外角∠NCB 的角平分线，∴CE 是△ABC 的外角∠ACF 的平分线，∴∠ACF=2∠ECF ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABC=2∠EBC ，∵∠ECF=∠EBC+∠E ，∴2∠ECF=2∠EBC+2∠E ，即∠ACF=∠ABC+2∠E ，又∵∠ACF=∠ABC+∠A ，∴∠A=2∠E ，即∠E=12∠A ， ∵∠EBQ=∠EBC+∠CBQ =12∠ABC+12∠MBC =12（∠ABC+∠A+∠ACB ） =90°． 如果△BQE 中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：①∠EBQ=2∠E=90°，则∠E=45°，∠A=2∠E=90°；②∠EBQ=2∠Q=90°，则∠Q=45°，∠E=45°，∠A=2∠E=90°；③∠Q=2∠E ，则∠E=30°，解得∠A=2∠E=60°；④∠E=2∠Q ，则∠E=60°，解得∠A=2∠E=120°．综上所述，∠A 的度数是90°或60°或120°．【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键．26．（1）平行，理由见解析；（2）垂直，理由见解析【分析】（1）根据平行线性质得出ABC DCF ∠=∠，根据角平分线定义求出24∠∠=，根据平行线的判定推出即可；（2）根据平行线性质得出180DGC ACE ∠+∠=︒，根据90ACE ∠=︒，求出90DGC ∠=︒，根据垂直定义推出即可．【详解】解：（1）//BD CE ．理由：//AB CD ，ABC DCF ∴∠=∠，BD ∴平分ABC ∠，CE 平分DCF ∠，122ABC ∴∠=∠，142DCF ∠=∠， 24∴∠=∠，//BD CE ∴（同位角相等，两直线平行）；（2）AC BD ⊥，理由：//BD CE ，180DGC ACE ∴∠+∠=︒，90ACE ∠=︒，1809090∴∠=︒-︒=︒，DGC⊥．即AC BD【点睛】本题考查了角平分线定义，平行线的性质和判定，垂直定义等知识点，注意：①同位角相等，两直线平行，②两直线平行，同旁内角互补．。

第七章 平行线的证明 单元测试卷一、选择题（本大题共10小题，共30分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.如图，直线a，b被直线c，d所截.下列条件能判定a/¿b的是( )A. ∠1=∠3B. ∠2+∠4=180∘C. ∠4=∠5D. ∠1=∠22.如图所示，过点P画直线a的平行线b的作法的依据是( )A. 两直线平行，同位角相等B. 同位角相等，两直线平行C. 两直线平行，内错角相等D. 内错角相等，两直线平行3.如图，在下列给出的条件中，不能判定AB/¿DF的是( )A. ∠A+∠2=180°B. ∠A=∠3C. ∠1=∠4D. ∠1=∠34.如图，点E在BC的延长线上，下列条件中能判断AB/¿CD的是( )A. ∠DBC=∠DACB. ∠ABC=∠DCEC. ∠ADC=∠DCED. ∠ADC+∠BCD=180°5.将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，如果∠CDE=40°，那么∠BAF的大小为( )A. 10°B. 15°C. 20°D. 25°6.如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2=37∘时，∠1的度数为( )A. 37∘B. 43∘C. 53∘D. 54∘7.如下图，BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，BF与CE交于点G，若∠BDC=130∘，∠BGC=100∘，则∠A的度数为( )A. 60∘B. 70∘C. 80∘D. 90∘8.等腰三角形的一个内角是100°，它的另外两个角的度数是( )A. 50°和50°B. 40°和40°C. 35°和35°D. 60°和20°9.如图要判断一块纸带的两边a，b相互平行，甲、乙、丙三人的折叠与测量方案如下：下列判断正确的是( )A. 甲、乙能得到a ¿/¿ b，丙不能B. 甲、丙能得到a ¿/¿ b，乙不能C. 乙、丙能得到a ¿/¿ b，甲不能D. 甲、乙、丙均能得到a ¿/¿ b10.如图：①②③中，∠A=42°，∠1=∠2，∠3=∠4，则∠O1+∠O2+∠O3=¿度．( )A. 84B. 111C. 225D. 201二、填空题（本大题共8小题，共24分）11.如图，a，b，c三根木条相交，∠1=50°，固定木条b，c，转动木条a，当木条a转到与b所成的∠2为__________时，a ¿/¿ c，理由是_____________________________________．12.将一副三角板(∠A=30∘)按如图所示方式摆放，使得AB/¿EF，则∠1 ．13.如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个论断：①AB=AC;②AD=AE;③∠B=∠C;④BD=CE.请以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题 .¿用序号⊗⊗⊗⇒⊗的形式写出¿14.如图，点E在AD的延长线上.若添加一个条件，使BC/¿AD，则可添加的条件为 .¿任意添加一个符合题意的条件即可¿15.如图，在△ABC中，∠A=60∘，BM，CM分别是∠ABC，∠ACB的平分线，BN，CN是外角的平分线，则∠M−∠N=¿ ．16.如图，AB/¿CD，∠BED=110°，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，则∠BFD=¿______．17.如图所示，AB/¿CD，EC⊥CD.若∠BEC=30°，则∠ABE的度数为______．18.如图，已知直线EF⊥MN，垂足为F，且∠1=140°，则当∠2=¿ (1) 时，AB/¿CD．三、解答题（本大题共8小题，共66分。

初中数学同步练习八年级上册答案2021求学的三个条件是：多观察、多吃苦、多研究。

每一门科目都有自己的学习方法，但其实都是万变不离其中的，也是要记、要背、要讲练的。

下面是小编给大家整理的一些初中数学同步练习八年级上册的答案，希望对大家有所帮助。

初中八年级上册数学同步练习答案§18.1变量与函数(一)一、选择题. 1.A 2.B二、填空题. 1. 2.5，x、y 2. 3. 三、解答题. 1. 2. §18.1变量与函数(二)一、选择题. 1.A 2.D二、填空题. 1. 2. 5 3. ，三、解答题. 1. ，的整数 2. (1) ，(2)810元§18.2函数的图象(一)一、选择题. 1.B 2.A二、填空题. 1. x ，三，四 2. (-1，-2) 3. -7，4三、解答题. 1. 作图(略)，点A在y轴上，点B在第一象限，点C 在第四象限，点D在第三象限; 2. (1)A(-3，2)，B(0，-1)，C(2，1) (2)6§18.2函数的图象(二)一、选择题. 1.A 2.B二、填空题. 1. 5.99 2. 20 3. (1)100 (2)甲 (3) ，三、解答题. 1.(1)40 (2)8，5 (3) ， 2. (1)时间与距离 (2)10千米，30千米 (3)10点半到11点或12点到13点§18.2函数的图象(三)一、选择题. 1.C 2.D二、填空题. 1. 3 2. 12分钟 3.时间t(h)6121824体温(℃)39363836三、解答题1. (1)体温与时间(2)：2.(1) ， (2)作图略初中八年级上册数学同步练习册答案§18.4反比例函数(二)一、选择题. 1.D 2.D二、填空题. 1. 第一、三;减小 2. 二，第四 3. 2三、解答题.1. (1)-2 (2) 2. (1) ，§18.5实践与探索(一)一、选择题. 1.A 2.B二、填空题. 1. 2. (1，-1) 3. (4，3)三、解答题. 1. 2.(1)①.甲，甲，2 ②.3小时和5.5小时(2)甲在4到7小时内，10 个§18.5实践与探索(二)一、选择题. 1.A 2.B二、填空题. 1. 2. 3. 三、解答题. 1.(1) (2) (作图略)2. (1)1000(2) (3)40§18.5实践与探索(三)一、选择题. 1.B 2.C二、填空题. 1. 7 ， 2. 3. 三、解答题. 1. (1) (2) 27cm第19章全等三角形§19.1命题与定理(一)一、选择题. 1.C 2.A二、填空题. 1.题设，结论 2.如果两条直线相交，只有一个交点，真 3. 如：平行四边形的对边相等三、解答题. 1.(1)如果两条直线平行，那么内错角相等(2)如果一条中线是直角三角形斜边上的中线，那么它等于斜边的一半; 2.(1)真命题;(2)假命题，如：，但 ; 3.正确，已知：，求证：b∥c ，证明(略) §19.2三角形全等的判定(一)一、选择题. 1. A 2.A二、填空题. 1.(1)AB和DE;AC和DC;BC和EC (2)∠A和∠D;∠B和∠E;∠ACB和∠DCE; 2.2 3. 三、解答题. 1. (1)△ABP≌△ACQ, AP和AQ, AB和AC, BP和QC，∠ABP和∠ACQ, ∠BAP和∠CAQ,∠APB和∠AQC, (2)90°人教版初二年级数学上册同步练习题答案1.答案：B2.解析：∠α=30°+45°=75°.答案：D3.解析：延长线段CD到M，根据对顶角相等可知∠CDF=∠EDM.又因为AB∥CD，所以根据两直线平行，同位角相等，可知∠EDM=∠EAB=45°，所以∠CDF=45°.答案：B4. 解析：∵CD∥AB，∴∠EAB=∠2=80°.∵∠ 1=∠E+∠EAB=120°，∴∠E=40°，故选A.答案：A5.答案：B6.答案：D7. 答案：D8. 答案：D9.解析：根据四个选项的描述，画图如下，从而直接由图确定答案.答案：①②④10.答案：如果两个角是同一个角或相等角的余角，那么这两个角相等11.答案：40°12.答案：112.5°13.解：(1)如果一个四边形是正方形，那么它的四个角都是直角，是真命题;(2)如果两个三角形有两组角对应相等，那么这两个三角形相似，是真命题;(3)如果两条直线不相交，那么这两条直线互相平行，是假命题，如图中长方体的棱a，b所在的直线既不相交，也不平行.14. 解：平行.理由如下：∵∠ABC=∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠DBC=∠ECB.∵∠DBF=∠F，∴∠ECB=∠F.∴EC与DF平行.15.证明：∵CE平分∠ACD(已知)，∴∠1=∠2(角平分线的定义).∵∠BAC>∠1(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)，∴∠BAC >∠2(等量代换).∵∠2>∠B(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)，∴ ∠BAC>∠B(不等式的性质).16.证明：如图④，设AD与BE交于O点，CE与AD交于P点，则有∠EOP=∠B+∠D，∠OPE=∠A+∠C(三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和).∵∠EOP+∠OPE+∠E=180°(三角形的内角和为180°)，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.如果点B移动到AC上(如图⑤)或AC的另一侧(如图⑥)时，∠EOP，∠OPE仍然分别是△BOD，△APC的外角，所以可与图④类似地证明，结论仍然成立.17.解：(1)∠3=∠1+∠2;证明：证法一：过点P作CP∥l1(点C在点P的左边)，如图①，则有∠1=∠MPC .图①∵CP∥l1，l1∥l2，∴CP∥l2，∴∠2=∠NPC.∴∠3=∠MPC+∠NPC=∠1+∠2，即∠3=∠1+∠2.证法二：延长NP交l1于点D，如图②.图②∵l1∥l2，∴∠2=∠MDP.又∵∠3=∠1+∠MDP，∴∠3=∠1+∠2.(2)当点P在直线l1上方时，有∠3=∠2-∠1;当点P在直线l2下方时，有∠3=∠1-∠2.。

《11.3 多边形及其内角和》同步训练题基础题训练（一）：限时30分钟1．如图，AC，BD为四边形ABCD的对角线，∠ABC＝90°，∠ABD+∠ADB＝∠ACB，∠ADC＝∠BCD．（1）求证：AD⊥AC；（2）探求∠BAC与∠ACD之间的数量关系，并说明理由．2．将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在点A'处【感知】如图①，点A落在四边形BCDE的边BE上，则∠A与∠1之间的数量关系是；【探究】如图②，若点A落在四边形BCDE的内部，则∠A与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？并说明理由．【拓展】如图③，点A落在四边形BCDE的外部，若∠1＝80°，∠2＝24°，则∠A的大小为．3．【知识回顾】：如图①，在△ABC中，根据三角形内角和定理，我们知道∠A+∠B+∠C＝180°．如图②，在△ABC中，点D为BC延长线上一点，则∠ACD为△ABC的一个外角．请写出∠ACD与∠A、∠B的关系，直接填空：∠ACD＝．【初步运用】：如图③，点D、E分别是△ABC的边AB、AC延长线上一点．（1）若∠A＝70°，∠DBC＝150°，则∠ACB＝°．（直接写出答案）（2）若∠A＝70°，则∠DBC+∠ECB＝°．（直接写出答案）【拓展延伸】：如图④，点D、E分别是四边形ABPC的边AB、AC延长线上一点．（1）若∠A＝70°，∠P＝150°，则∠DBP+∠ECP＝°．（请说明理由）（2）分别作∠DBP和∠ECP的平分线，交于点O，如图⑤，若∠O＝40°，求出∠A和∠P 之间的数量关系，并说明理由．（3）分别作∠DBP和∠ECP的平分线BM、CN，如图⑥，若∠A＝∠P，求证：BM∥CN．4．如图，已知四边形ABCD中，∠D＝∠B＝90°，AE平分∠DAB，CF平分∠DCB．试判断∠AEF与∠CFE是否相等？并证明你的结论．5．如图，在四边形ABCD中，∠C+∠D＝210°（1）∠DAB+∠CBA＝度；（2）若∠DAB的角平分线与∠CBA的角平分线相交于点E，求∠E的度数．基础题训练（二）：限时30分钟6．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE∥DF，∠1＝∠2．求证：∠3＝∠4．7．“转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题．（1）请你根据已经学过的知识求出下面星形图（1）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数；（2）若对图（1）中星形截去一个角，如图（2），请你求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数；（3）若再对图（2）中的角进一步截去，你能由题（2）中所得的方法或规律，猜想图3中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N的度数吗？只要写出结论，不需要写出解题过程）8．（1）如图1，在△ADC中，∠ADC的平分线和∠ACD的外角平分线交于点P，若∠ADC＝70°，∠ACD＝50°，求∠P的度数．（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ADC的平分线和∠BCD的外角平分线交于点P，∠A＝90°，∠B＝150°，求∠P的度数．（3）如图3，若将（2）中“∠A＝90°，∠B＝150°”改为“∠A＝α，∠B＝β”，其余条件不变，直接写出∠P与α+β之间的数量关系．9．三角形的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，叫做三角形的外角．如图1，点D为BC延长线上一点，则∠ACD为△ABC的一个外角．求证：∠ACD＝∠A+∠B证明：过点C作CE∥AB（过直线外一点）∴∠B＝∠A＝∵∠ACD＝∠1+∠2∴∠ACD＝∠+∠B（等量代换）应用：如图2是一个五角星，请利用上述结论求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的值为10．如图1，在∠A内部有一点P，连接BP、CP，请回答下列问题：①求证：∠P＝∠1+∠A+∠2；②如图2，利用上面的结论，在五角星中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝；③如图3，如果在∠BAC间有两个向上突起的角，请你根据前面的结论猜想∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠A之间有什么等量关系，直接写出结论即可．基础题训练（三）：限时30分钟11．观察每个正多边形中∠α的变化情况，解答下列问题：（1）将下面的表格补充完整：正多边形边数3 4 5 6 …∠a的度数…10°（2）根据规律，是否存在一个正n边形，使其中的∠α＝21°？若存在，直接写出n的值；若不存在，请说明理由．12．阅读材料：如图1，点A是直线MN上一点，MN上方的四边形ABCD中，∠ABC＝140°，延长BC，2∠DCE＝∠MAD+∠ADC，探究∠DCE与∠MAB的数量关系，并证明．小白的想法是：“作∠ECF＝∠ECD（如图2），通过推理可以得到CF∥MN，从而得出结论”请按照小白的想法完成解答：拓展延伸保留原题条件不变，CG平分∠ECD，反向延长CG，交∠MAB的平分线于点H（如图3），设∠MAB＝α，请直接写出∠H的度数（用含α的式子表示）．13．（1）思考探究：如图①，△ABC的内角∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线相交于P 点，请探究∠P与∠A的关系是．（2）类比探究：如图②，四边形ABCD中，设∠A＝α，∠D＝β，α+β＞180°，四边形ABCD的内角∠ABC与外角∠DCE的平分线相交于点P．求∠P的度数．（用α，β的代数式表示）（3）拓展迁移：如图③，将（2）中α+β＞180°改为α+β＜180°，其它条件不变，请在图③中画出∠P，并直接写出∠P＝．（用α，β的代数式表示）14．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，延长BA至点E，连接CE，且CE交AD 于点F，∠EAD和∠ECD的角平分线相交于点P．（1）求证：①AB∥CD；②∠EAD+∠ECD＝2∠APC；（2）若∠B＝70°，∠E＝60°，求∠APC的度数；（3）若∠APC＝m°，∠EFD＝n°，请你探究m和n之间的数量关系．15．如图1，在四边形ABCD中，∠A＝∠C，点E在AB边上，DE平分∠ADC，且∠ADE＝∠DEA．（1）求证：AD∥BC；（2）如图2，已知DF⊥BC交BC边于点G，交AB边的延长线于点F，且DB平分∠EDF．若∠BDC＜45°，试比较∠F与∠EDF的大小，并说明理由．参考答案1．解：（1）∵在△ABC中，∠ABC＝90°，∴∠ACB+∠BAC＝90°，在△ABD中，∠ABD+∠ADB+∠BAD＝180°，∵∠ABD+∠ADB＝∠ACB，∴∠ACB+∠BAD＝180°，即∠ACB+∠BAC+∠CAD＝180°，∴∠CAD＝90°，∴AD⊥AC．（2）∠BAC＝2∠ACD；∵∠ABC＝90°，∴∠BAC＝90°﹣∠ACB＝90°﹣（∠BCD﹣∠ACD），∵∠DAC＝90°，∴∠ADC＝90°﹣∠ACD，∵∠ADC＝∠BCD，∴∠BCD＝90°﹣∠ACD，∴∠BAC＝90°﹣（90°﹣∠ACD﹣∠ACD）＝2∠ACD．2．解：（1）如图①，∠1＝2∠A．理由如下：由折叠知识可得：∠EA′D＝∠A；∵∠1＝∠A+∠EA′D，∴∠1＝2∠A．（2）如图②，2∠A＝∠1+∠2．理由如下：∵∠1+∠A′DA+∠2+∠A′EA＝360°，∠A+∠A′+∠A′DA+∠A′EA＝360°，∴∠A′+∠A＝∠1+∠2，由折叠知识可得：∠A＝∠A′，∴2∠A＝∠1+∠2．（3）如图③，∵∠1＝∠DFA+∠A，∠DFA＝∠A′+∠2，∴∠1＝∠A+∠A′+∠2＝2∠A+∠2，∴2∠A＝∠1﹣∠2＝56°，解得∠A＝28°．故答案为：∠1＝2∠A；28°．3．解：【知识回顾】∵∠ACD+∠ACB＝180°，∠A+∠B+∠ACB＝180°，∴∠ACD＝∠A+∠B；故答案为：∠A+∠B；【初步运用】（1）∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠A＝70°，∠DBC＝150°，∴∠ACB＝∠DBC﹣∠A＝150°﹣70°＝80°；故答案为：80；（2）∵∠A＝70°，∴∠ABC+∠ACB＝110°，∴∠DBC+∠ECB＝360°﹣110°＝250°，故答案为：250；【拓展延伸】（1）如图④，连接AP，∵∠DBP＝∠BAP+∠APB，∠ECP＝∠CAP+∠APC，∴∠DBP+∠ECP＝∠BAP+∠APB+∠CAP+∠APC＝∠BAC+∠BPC，∵∠BAC＝70°，∠BPC＝150°，∴∠DBP+∠ECP＝∠BAC+∠BPC＝70°+150°＝220°，故答案为：220；（2）∠A和∠P之间的数量关系是：∠P＝∠A+80°，理由是：如图⑤，设∠DBO＝x，∠OCE＝y，则∠OBP＝∠DBO＝x，∠PCO＝∠OCE＝y，由（1）同理得：x+y＝∠A+∠O，2x+2y＝∠A+∠P，2∠A+2∠O＝∠A+∠P，∵∠O＝40°，∴∠P＝∠A+80°；（3）证明：如图，延长BP交CN于点Q，∵BM平分∠DBP，CN平分∠ECP，∴∠DBP＝2∠MBP，∠ECP＝2∠NCP，∵∠DBP+∠ECP＝∠A+∠BPC，∠A＝∠BPC，∴2∠MBP+2∠NCP＝∠A+∠BPC＝2∠BPC，∴∠BPC＝∠MBP+∠NCP，∵∠BPC＝∠PQC+∠NCP，∴∠MBP＝∠PQC，∴BM∥CN．4．解：∠AEF＝∠CFE．证明：∵∠D＝∠B＝90°，∴∠DAB+∠DCB＝180°，又∵AE平分∠DAB，CF平分∠DCB，∴∠DAE＝∠DAB，∠DCF＝∠DCB，∴∠DAE+∠DCF＝（∠DAB+∠DCB）＝90°，∵∠D＝90°，∴∠DAE+∠DEA＝90°，∴∠DEA＝∠DCF，∴AE∥CF，∴∠AEF＝∠CFE．5．解：（1）∵∠DAB+∠CBA+∠C+∠D＝360°，∴∠DAB+∠CBA＝360°﹣（∠C+∠D）＝360°﹣210°＝150°．故答案为：150；（2）∵∠DAB与∠ABC的平分线交于四边形内一点E，∴∠EAB＝∠DAB，∠EBA＝∠ABC，∴∠E＝180°﹣（∠EAB+∠EBA）＝180°﹣（∠DAB+∠CBA）＝180°﹣（360°﹣∠C﹣∠D）＝（∠C+∠D），∵∠C+∠D＝210°，∴∠E＝（∠C+∠D）＝105°．6．证明：∵∠A＝∠C＝90°，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵BE∥DF，∴∠2＝∠5，∠AEB＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠5，∴∠AEB＝∠4，∴∠3＝∠4．7．解：（1）∵∠1＝∠2+∠D＝∠B+∠E+∠D，∠1+∠A+∠C＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°；（2）∵∠1＝∠2+∠F＝∠B+∠E+∠F，∠1+∠A+∠C+∠D＝360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°；（3）根据图中可得出规律∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，每截去一个角则会增加180度，所以当截去5个角时增加了180×5度，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝180°×5+180°＝1080°．8．解：（1）如图1，在射线DC上取一点E，∵∠ADC的平分线和∠ACD的平分线交于点P，∴，，∴∠P＝∠PCE﹣∠PDC＝30°；（2）如图2，在射线DC上取一点E，∵∠ADC的平分线和∠BCD的外角平分线交于点P，∴，，∴∠P＝∠PCE﹣∠PDC＝＝＝＝＝＝30°；（3）．9．证明：过点C作CE∥AB（过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行）∴∠B＝∠2（两直线平行，同位角相等），∠A＝∠1（两直线平行，内错角相等），∵∠ACD＝∠1+∠2，∴∠ACD＝∠A+∠B（等量代换）应用：对于△BDN，∠MNA＝∠B+∠D，对于△CEM，∠NMA＝∠C+∠E，对于△ANM，∠A+∠MNA+∠NMA＝180°，∴∠A+∠B+∠D+∠C+∠E＝180．故答案为：有且只有一条直线与已知直线平行；∠2（两直线平行，同位角相等）；∠1（两直线平行，内错角相等）；A；180°10．解：①连接AP并延长，则∠3＝∠2+∠BAP，∠4＝∠1+∠PAC，故∠BPC＝∠1+∠A+∠2；②利用①中的结论，可得∠1＝∠A+∠C+∠D，∵∠2＝∠B+∠E，∵∠1+∠2＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．③连接AP、AD、AG并延长，同①由三角形内角与外角的性质可求出∠4+∠5＝∠1+∠2+∠3+∠BAC．故答案为：180°．11．解：（1）填表如下：正多边形的边数 3 4 5 6 (18)∠α的度数60°45°36°30°…10°故答案为：60°，45°，36°，30°，18；（2）不存在，理由如下：假设存在正n边形使得∠α＝21°，得∠α＝（）°＝21°，解得：n＝8，又n是正整数，所以不存在正n边形使得∠α＝21°．12．解：阅读材料：延长CB交MN于点T，∵∠ECF＝∠ECD，2∠DCE＝∠MAD+∠ADC，∴2∠ECD＝∠MAD+∠ADC＝360°﹣∠CTA﹣∠DCT＝360°﹣（180°﹣∠MTC）﹣（180°﹣∠ECD）＝∠MTC+∠ECD，∴∠ECD＝∠MTC，∴∠ECF＝∠MTC，∴CF∥MN，∵∠ABC＝140°，∴∠ABT＝40°，∴∠MTC＝∠MAB+40°，即∠DCE＝∠MAB+40°；拓展延伸：∠H＝360°﹣∠CDA﹣∠MAB﹣∠DAB﹣∠HCD＝180°﹣[360°﹣（180°﹣∠ECD）﹣∠MAB﹣（180°﹣∠ECD）]＝180°﹣（∠ECD﹣∠MAB），∵∠DCE＝∠MAB+40°，∴∠H＝180°﹣（∠MAB+60°），∵∠MAB＝α，∴∠H＝120°﹣α．13．解：（1）如图1中，结论：2∠P＝∠A．理由：∵∠PCD＝∠P+∠PBC，∠ACD＝∠A+∠ABC，∵P点是∠ABC和外角∠ACD的角平分线的交点，∴2∠PCD＝∠ACD，2∠PBC＝∠ABC，∴2（∠P+∠PBC）＝∠A+∠ABC，2∠P+2∠PBC＝∠A+∠ABC，2∠P+∠ABC＝∠A+∠ABC，∴2∠P＝∠A；（2）如图2中，解法一：由四边形内角和定理得，∠BCD＝360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC，∴∠DCE＝180°﹣（360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC）＝∠A+∠D+∠ABC﹣180°，由三角形的外角性质得∠PCE＝∠P+∠PBC，∵BP、CP分别是∠ABC和∠DCE的平分线，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCE＝∠DCE，∴∠P+∠PBC＝（∠A+∠D+∠ABC﹣180°）＝（∠A+∠D）+∠ABC﹣90°，∴∠P＝（∠A+∠D）﹣90°，∵∠A＝α，∠D＝β，∴∠P＝（α+β）﹣90°；解法二：延长BA交CD的延长线于F．∵∠F＝180°﹣∠FAD﹣∠FDA＝180°﹣（180°﹣α）﹣（180°﹣β）＝α+β﹣180°，由（1）可知：∠P＝∠F，∴∠P＝（α+β）﹣90°；②如图3，延长AB交DC的延长线于F．∵∠F＝180°﹣α﹣β，∠P＝∠F，∴∠P＝（180°﹣α﹣β）＝90°﹣α﹣β．故答案为：2∠P＝∠A；90°﹣α﹣β．14．解：（1）证明：①∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠B，∵∠B＝∠D，∴∠EAD＝∠D，∴AB∥CD；②过点P作PQ∥AB，则∠EAP＝∠APQ，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠DCP＝∠CPQ，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠DCP＝∠CPQ，∵∠EAP＝∠EAD，∠DCP＝，∴；（2）由（1）知AD∥BC，AB∥CD，∴∠EAD＝∠B＝70°，∠ECD＝∠E＝60°，由（1）知∠EAD+∠ECD＝2∠APC，∴∠APC＝；（3）过点F作FH∥AB，则∠EAD＝∠AFH，∵AB∥CD，∴FH∥CD，∴∠ECD＝∠CFH，∴∠EAD+∠ECD＝∠AFH+∠CFH＝∠AFC＝∠EFD，由（1）知∠EAD+∠ECD＝2∠APC，∴∠EFD＝2∠APC，∵∠APC＝m°，∠EFD＝n°，∴．15．解：（1）证明：∵DE平分∠ADC，∴∠CDE＝∠ADE，又∵∠ADE＝∠DEA，∴∠CDE＝∠DEA，∴CD∥AB，∴∠B+∠C＝180°，又∵∠A＝∠C，∴∠B+∠A＝180°，∴AD∥BC；（2）∵DF⊥BC，∴∠BGF＝90°，又∵AD∥BC，∴∠ADF＝∠BGF＝90°，∵CD∥AB，∴∠CDF＝∠F．设∠EDB＝∠BDF＝x°，∠CDF＝∠F＝y°，则∠EDF＝2x°，∠ADE＝∠EDC＝（2x+y）°，由∠ADF＝∠ADE+∠EDF，得2x+y+2x＝90，∴y＝90﹣4x，∴∠F﹣∠EDF＝y°﹣2x°＝90°﹣4x°﹣2x°＝90°﹣6x，∵∠BDC＜45°，∴x+y＜45°，x+90﹣4x＜45，解得x＞15，∴6x＞90．∴∠F﹣∠EDF＝90°﹣6x°＜0，∴∠F＜∠EDF．。

《2.1.2 两条直线平行和垂直的判定》教案【教材分析】本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习两条直线平行和垂直的判定。

直线的平行和垂直是两条直线的重要位置关系，它们的判定在初中运用几何法已经进行了学习，而在坐标系下，运用代数方法即坐标法，是一种新的观点和方法，需要学生理解和感悟。

两直线平行和垂直都是由相应的斜率之间的关系来确定的，并且研究讨论的手段和方法也相类似，因此，在教学时采用对比方法，以便弄清平行与垂直之间的联系与区别.值得注意的是，当两条直线中有一条不存在斜率时，容易得到两条直线垂直的充要条件，这也值得略加说明.【教学目标与核心素养】课程目标学科素养A. 理解两条直线平行与垂直的条件.B.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.C.能利用两直线平行或垂直的条件解决问题.1.数学抽象：两条直线平行与垂直的条件2.逻辑推理：根据斜率判定两条直线平行或垂直3.数学运算：利用两直线平行或垂直的条件解决问题4.直观想象：直线斜率的几何意义，及平行与垂直的几何直观【教学重点】：理解两条直线平行或垂直的判断条件【教学难点】：会利用斜率判断两条直线平行或垂直【教学过程】教学过程教学设计意图一、情境导学过山车是一项富有刺激性的娱乐项通过生活中的现实情境，提出问题，明确研究问题运用代数方法探究两直线判断两直线是否平行的步骤例2(1)直线l 1经过点A (3,2),B (3,-1),直线l 2经过点M (1,1),N (2,1),判断l 1与l 2是否垂直;(2)已知直线l 1经过点A (3,a ),B (a-2,3),直线l 2经过点C (2,3),D (-1,a-2),若l 1⊥l 2,求a 的值.思路分析:(1)若斜率存在,求出斜率,利用垂直的条件判断;若一条直线的斜率不存在,再看另一条直线的斜率是否为0,若为0,则垂直. (2)当两直线的斜率都存在时,由斜率之积等于-1求解;若一条直线的斜率不存在,由另一条直线的斜率为0求解.解:(1)直线l 1的斜率不存在,直线l 2的斜率为0,所以l 1⊥l 2.(2)由题意,知直线l 2的斜率k 2一定存在,直线l 1的斜率可能不存在. 当直线l 1的斜率不存在时,3=a-2,即a=5,此时k 2=0,则l 1⊥l 2,满足题意.当直线l 1的斜率k 1存在时,a ≠5,由斜率公式,得k 1=3-aa -2-3=3-a a -5,k 2=a -2-3-1-2=a -5-3.由l 1⊥l 2,知k 1k 2=-1,即3-aa -5×a -5-3=-1,解得a=0. 综上所述,a 的值为0或5.两直线垂直的判定方法两条直线垂直需判定k 1k 2=-1,使用它的前提条件是两条直线斜率都存在,若其中一条直线斜率不存在,另一条直线斜率为零,此时两直线也垂直.跟踪训练1 已知定点A (-1,3),B (4,2),以AB 为直径作圆,与x 轴有交点P ,则交点P 的坐标是 . 解析:设以AB 为直径的圆与x 轴的交点为P (x ,0).∵k PB≠0,k PA≠0,∴k PA·k PB=-1,即0-3x+1·0-2x -4=-1,∴(x+1)(x-4)=-6,即x 2-3x+2=0,解得x=1或x=2.故点P 的坐标为(1,0)或(2,0). 答案:(1,0)或(2,0)例3 如图所示,在平面直角坐标系中,四边形OPQR 的顶点坐标按逆时针顺序依次为O (0,0),P (1,t ),Q (1-2t ,2+t ),R (-2t ,2),其中t>0.试判断四边形OPQR 的形状.思路分析:利用直线方程的系数关系,或两直线间的斜率关系,判断两直线的位置关系.解:由斜率公式得k OP =t -01-0=t ,k RQ =2-(2+t )-2t -(1-2t )=-t -1=t ,k OR =2-0-2t -0=-1t , k PQ =2+t -t 1-2t -1=2-2t =-1t .所以k OP =k RQ ,k OR =k PQ ,从而OP ∥RQ ,OR ∥PQ.所以四边形OPQR 为平行四边形. 又k OP·k OR=-1,所以OP ⊥OR ,故四边形OPQR 为矩形.延伸探究1 将本例中的四个点,改为“A (-4,3),B (2,5),C (6,3),D (-3,0),顺次连接A ,B ,C ,D 四点,试判断四边形ABCD 的形状.” 由斜率公式可得k AB =5-32-(-4)=13,k CD =0-3-3-6=13,k AD =0-3-3-(-4)=-3,k BC =3-56-2=-12. 所以k AB=k CD,由图可知AB 与CD 不重合,所以AB ∥CD ,由k AD≠k BC,所以AD 与BC 不平行.又因为k AB ·k AD =13×(-3)=-1,所以AB ⊥AD ,故四边形ABCD 为直角梯形.解:由题意A ,B ,C ,D 四点在平面直角坐标系内的位置如图, 延伸探究2 将本例改为“已知矩形OPQR 中四个顶点按逆时针顺序依次为O (0,0),P (1,t ),Q (1-2t ,2+t ),试求顶点R 的坐标.” 解:因为OPQR 为矩形,所以OQ 的中点也是PR 的中点.设R (x ,y ),则由中点坐标公式知{0+1-2t2=1+x 2,0+2+t2=t+y 2,解得{x =-2t ,y =2.所以R 点的坐标是(-2t ,2).利用两条直线平行或垂直来判断图形形状的步骤 描点→在坐标系中描出给定的点 ↓猜测→根据描出的点，猜测图形的形状 ↓求斜率→根据给定点的坐标求直线的斜率 ↓结论→由斜率之间的关系判断形状点睛：利用平行、垂直关系式的关键在于正确求解斜率，特别是含参数的问题，必须要分类讨论；其次要注意的是斜率不存在并不意味着问题无解．金题典例 已知点A (0,3),B (-1,0),C (3,0),且四边形ABCD 为直角梯形,求点D 的坐标.思路分析:分析题意可知,AB 、BC 都不可作为直角梯形的直角边,所以要考虑CD 是直角梯形的直角边和AD 是直角梯形的直角边这两种情况;设所求点D 的坐标为(x ,y ),若CD 是直角梯形的直角边,则BC ⊥CD ,AD ⊥CD ,根据已知可得k BC=0,CD 的斜率不存在,从而有x=3;接下来再根据k AD=k BC即可得到关于x 、y 的方程,结合x 的值即可求出y ,那么点D 的坐标便不难确定了,同理再分析AD 是直角梯形的直角边的情况.解:设所求点D 的坐标为(x ,y ),如图所示,由于k AB=3,k BC=0,则k AB·k BC=0≠-1,即AB 与BC 不垂直,故AB 、BC 都不可作为直角梯形的直角边.①若CD 是直角梯形的直角边,则BC ⊥CD ,AD ⊥CD ,∵k BC=0,∴CD 的斜率不存在,从而有x=3.又∵k AD =k BC ,∴y -3x=0,即y=3.此时AB 与CD 不平行.故所求点D 的坐标为(3,3).②若AD 是直角梯形的直角边,则AD ⊥AB ,AD ⊥CD ,k AD =y -3x,k CD =yx -3.由于AD ⊥AB ,则y -3x·3=-1.又AB ∥CD ,∴y x -3=3.解上述两式可得{x =185,y =95,此时AD 与BC 不平行.故所求点D 的坐标为185,95.综上可知,使四边形ABCD 为直角梯形的点D 的坐标可以为(3,3)或185,95.反思感悟：先由图形判断四边形各边的关系,再由斜率之间的关系完成求解.特别地,注意讨论所求问题的不同情况.四、小结【教学反思】本课通过探究两直线平行或垂直的条件，力求培养学生运用已有知识解决新问题的能力,以及数形结合能力.通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养了学生的成功意识，合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣.组织学生充分讨论、探究、交流，使学生自己发现规律，自己总结出两直线平行与垂直的判定依据，教师要及时引导、及时鼓励. 教师的授课的想办法降低教学难度，让学生能轻易接受《2.1.2 两条直线平行和垂直的判定》导学案【学习目标】1.理解两条直线平行与垂直的条件.2.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.3.能利用两直线平行或垂直的条件解决问题. 【重点和难点】重点：理解两条直线平行或垂直的判断条件 难点：会利用斜率判断两条直线平行或垂直 【知识梳理】 一、自主导学（一）、两条直线平行与斜率之间的关系设两条不重合的直线l 1,l 2,倾斜角分别为α1,α2,斜率存在时斜率分别为k 1,k 2.则对应关系如下:前提条件 α1=α2≠90° α1=α2=90°对应关系l 1∥l 2⇔k 1=k 2l 1∥l 2⇔两直线斜率都不存在图 示点睛：若没有指明l 1,l 2不重合,那么k 1=k 2⇔{l 1∥l 2,或l 1与l 2重合,用斜率证明三点共线时,常用到这一结论.（二）、两条直线垂直与斜率之间的关系对应关系l 1与l 2的斜率都存在,分别为k 1,k 2,则l 1⊥l 2⇔k 1·k 2=-1l 1与l 2中的一条斜率不存在,另一条斜率为零,则l 1与l 2的位置关系是l 1⊥l 2.图示点睛：“两条直线的斜率之积等于-1”是“这两条直线垂直”的充分不必要条件.因为两条直线垂直时,除了斜率之积等于-1,还有可能一条直线的斜率为0,另一条直线的斜率不存在.二、小试牛刀1.对于两条不重合的直线l 1,l 2,“l 1∥l 2”是“两条直线斜率相等”的什么条件?2.已知直线l 1经过两点(-1,-2),(-1,4),直线l 2经过两点(2,1),(x ,6),且l 1∥l 2,则x= .3．思考辨析(1)若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行．( ) (2)若l 1∥l 2，则k 1＝k 2.( )(3)若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直．( )(4)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行．( )4.若直线l 1,l 2的斜率是方程x 2-3x-1=0的两根,则l 1与l 2的位置关系是 .【学习过程】 一、情境导学过山车是一项富有刺激性的娱乐项目.实际上,过山车的运动包含了许多数学和物理学原理.过山车的两条铁轨是相互平行的轨道,它们靠着一根根巨大的柱形钢筋支撑着,为了使设备安全,柱子之间还有一些小的钢筋连接,这些钢筋有的互相平行,有的互相垂直,你能感受到过山车中的平行和垂直吗?两条直线的平行与垂直用什么来刻画呢?二、典例解析例1 判断下列各小题中的直线l 1与l 2是否平行:(1)l 1经过点A (-1,-2),B (2,1),l 2经过点M (3,4),N (-1,-1);(2)l 1的斜率为1,l 2经过点A (1,1),B (2,2);(3)l 1经过点A (0,1),B (1,0),l 2经过点M (-1,3),N (2,0);(4)l 1经过点A (-3,2),B (-3,10),l 2经过点M (5,-2),N (5,5).延伸探究 已知A (-2,m ),B (m ,4),M (m+2,3),N (1,1),若AB ∥MN ,则m 的值为 . 判断两直线是否平行的步骤例2(1)直线l 1经过点A (3,2),B (3,-1),直线l 2经过点M (1,1),N (2,1),判断l 1与l 2是否垂直;(2)已知直线l 1经过点A (3,a ),B (a-2,3),直线l 2经过点C (2,3),D (-1,a-2),若l 1⊥l 2,求a的值.两直线垂直的判定方法条直线垂直需判定k 1k 2=-1,使用它的前提条件是两条直线斜率都存在,若其中一条直线斜率不存在,另一条直线斜率为零,此时两直线也垂直.跟踪训练1 已知定点A (-1,3),B (4,2),以AB 为直径作圆,与x 轴有交点P ,则交点P 的坐标是 .例3 如图所示,在平面直角坐标系中,四边形OPQR 的顶点坐标按逆时针顺序依次为O (0,0),P (1,t ),Q (1-2t ,2+t ),R (-2t ,2),其中t>0.试判断四边形OPQR 的形状.延伸探究1 将本例中的四个点,改为“A (-4,3),B (2,5),C (6,3),D (-3,0),顺次连接A ,B ,C ,D 四点,试判断四边形ABCD 的形状.”延伸探究2 将本例改为“已知矩形OPQR 中四个顶点按逆时针顺序依次为O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),试求顶点R的坐标.”利用两条直线平行或垂直来判断图形形状的步骤描点→在坐标系中描出给定的点↓猜测→根据描出的点，猜测图形的形状↓求斜率→根据给定点的坐标求直线的斜率↓结论→由斜率之间的关系判断形状点睛：利用平行、垂直关系式的关键在于正确求解斜率，特别是含参数的问题，必须要分类讨论；其次要注意的是斜率不存在并不意味着问题无解．金题典例已知点A(0,3),B(-1,0),C(3,0),且四边形ABCD为直角梯形,求点D的坐标.反思感悟：先由图形判断四边形各边的关系,再由斜率之间的关系完成求解.特别地,注意讨论所求问题的不同情况.【达标检测】1．下列说法正确的是( )A．若直线l1与l2倾斜角相等，则l1∥l2B．若直线l1⊥l2，则k1k2＝－1C．若直线的斜率不存在，则这条直线一定平行于y轴D．若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行2.若直线l1的斜率为a,l1⊥l2,则直线l2的斜率为()A.1a B.a C.-1aD.-1a或不存在3.已知直线l1的倾斜角为45°,直线l1∥l2,且l2过点A(-2,-1)和B(3,a),则a的值为.4.已知△ABC的三个顶点分别是A(2,2),B(0,1),C(4,3),点D(m,1)在边BC的高所在的直线上,则实数m= .5.顺次连接A (-4,3),B (2,5),C (6,3),D (-3,0)四点,判断四边形ABCD 形状. 【课堂小结】【参考答案】 知识梳理 二、小试牛刀1.答案:必要不充分条件,如果两不重合直线斜率相等,则两直线一定平行;反过来,两直线平行,有可能两直线斜率均不存在.2.解析:由题意知l 1⊥x 轴.又l 1∥l 2,所以l 2⊥x 轴,故x=2. 答案:23．答案： (1)× 也可能重合．(2)× l 1∥l 2，其斜率不一定存在． (3)× 不一定垂直，只有另一条直线斜率为0时才垂直．(4)√ 4.解析:由根与系数的关系,知k 1k 2=-1,所以l 1⊥l 2. 答案:l 1⊥l 2 学习过程例1 思路分析: 斜率存在的直线求出斜率,利用l 1∥l 2⇔k 1=k 2进行判断,若两直线斜率都不存在,可通过观察并结合图形得出结论.解:(1)k 1=1-(-2)2-(-1)=1,k 2=-1-4-1-3=54,k 1≠k 2,l 1与l 2不平行. (2)k 1=1,k 2=2-12-1=1,k 1=k 2, 故l 1∥l 2或l 1与l 2重合.(3)k 1=0-11-0=-1,k 2=0-32-(-1)=-1,则有k 1=k 2.又k AM =3-1-1-0=-2≠-1,则A ,B ,M 不共线.故l 1∥l 2.(4)由已知点的坐标,得l 1与l 2均与x 轴垂直且不重合,故有l 1∥l 2.延伸探究 解析:当m=-2时,直线AB 的斜率不存在,而直线MN 的斜率存在,MN 与AB 不平行,不合题意;当m=-1时,直线MN 的斜率不存在,而直线AB 的斜率存在,MN 与AB 不平行,不合题意; 当m ≠-2,且m ≠-1时,k AB =4-mm -(-2)=4-mm+2,k MN =3-1m+2-1=2m+1.因为AB ∥MN ,所以k AB =k MN , 即4-m m+2=2m+1,解得m=0或m=1.当m=0或1时,由图形知,两直线不重合. 综上,m 的值为0或1. 答案:0或1例2思路分析:(1)若斜率存在,求出斜率,利用垂直的条件判断;若一条直线的斜率不存在,再看另一条直线的斜率是否为0,若为0,则垂直.(2)当两直线的斜率都存在时,由斜率之积等于-1求解;若一条直线的斜率不存在,由另一条直线的斜率为0求解.解:(1)直线l 1的斜率不存在,直线l 2的斜率为0,所以l 1⊥l 2.(2)由题意,知直线l 2的斜率k 2一定存在,直线l 1的斜率可能不存在.当直线l 1的斜率不存在时,3=a-2,即a=5,此时k 2=0,则l 1⊥l 2,满足题意.当直线l 1的斜率k 1存在时,a ≠5,由斜率公式,得k 1=3-a a -2-3=3-a a -5,k 2=a -2-3-1-2=a -5-3.由l 1⊥l 2,知k 1k 2=-1,即3-aa -5×a -5-3=-1,解得a=0.综上所述,a 的值为0或5.跟踪训练1 解析:设以AB 为直径的圆与x 轴的交点为P (x ,0).∵k PB≠0,k PA≠0,∴k PA·k PB=-1,即0-3x+1·0-2x -4=-1,∴(x+1)(x-4)=-6,即x 2-3x+2=0,解得x=1或x=2.故点P 的坐标为(1,0)或(2,0). 答案:(1,0)或(2,0)例3 思路分析:利用直线方程的系数关系,或两直线间的斜率关系,判断两直线的位置关系.解:由斜率公式得k OP =t -01-0=t ,k RQ =2-(2+t )-2t -(1-2t )=-t -1=t ,k OR =2-0-2t -0=-1t , k PQ =2+t -t 1-2t -1=2-2t =-1t .所以k OP =k RQ ,k OR =k PQ ,从而OP ∥RQ ,OR ∥PQ.所以四边形OPQR 为平行四边形. 又k OP·k OR=-1,所以OP ⊥OR ,故四边形OPQR 为矩形. 延伸探究1 由斜率公式可得k AB =5-32-(-4)=13,k CD =0-3-3-6=13,k AD =0-3-3-(-4)=-3,k BC =3-56-2=-12. 所以k AB=k CD,由图可知AB 与CD 不重合,所以AB ∥CD ,由k AD≠k BC,所以AD 与BC 不平行.又因为k AB ·k AD =13×(-3)=-1,所以AB ⊥AD ,故四边形ABCD 为直角梯形.解:由题意A ,B ,C ,D 四点在平面直角坐标系内的位置如图, 延伸探究2 解:因为OPQR 为矩形,所以OQ 的中点也是PR 的中点.设R (x ,y ),则由中点坐标公式知{0+1-2t2=1+x 2,0+2+t2=t+y 2,解得{x =-2t ,y =2.所以R 点的坐标是(-2t ,2).金题典例 思路分析:分析题意可知,AB 、BC 都不可作为直角梯形的直角边,所以要考虑CD 是直角梯形的直角边和AD 是直角梯形的直角边这两种情况;设所求点D 的坐标为(x ,y ),若CD 是直角梯形的直角边,则BC ⊥CD ,AD ⊥CD ,根据已知可得k BC=0,CD 的斜率不存在,从而有x=3;接下来再根据k AD=k BC即可得到关于x 、y 的方程,结合x 的值即可求出y ,那么点D 的坐标便不难确定了,同理再分析AD 是直角梯形的直角边的情况. 解:设所求点D 的坐标为(x ,y ),如图所示,由于k AB=3,k BC=0,则k AB·k BC=0≠-1,即AB 与BC 不垂直,故AB 、BC 都不可作为直角梯形的直角边.①若CD 是直角梯形的直角边,则BC ⊥CD ,AD ⊥CD ,∵k BC=0,∴CD 的斜率不存在,从而有x=3.又∵k AD =k BC ,∴y -3x=0,即y=3.此时AB 与CD 不平行.故所求点D 的坐标为(3,3).②若AD 是直角梯形的直角边, 则AD ⊥AB ,AD ⊥CD ,k AD =y -3x,k CD =yx -3.由于AD ⊥AB ,则y -3x·3=-1.又AB ∥CD ,∴y x -3=3.解上述两式可得{x =185,y =95,此时AD 与BC 不平行.故所求点D 的坐标为185,95.综上可知,使四边形ABCD 为直角梯形的点D 的坐标可以为(3,3)或185,95.达标检测1． 解析：A 中，l 1与l 2可能重合；B 中，l 1，l 2可能存在其一没斜率；C 中，直线也可能与y 轴重合；D 正确，选D.答案 D2. 解析:若a ≠0,则l 2的斜率为-1a ;若a=0,则l 2的斜率不存在.答案:D3.解析:由题意,得a -(-1)3-(-2)=1,即a=4. 答案:44.解析:设直线AD ,BC 的斜率分别为k AD ,k BC ,由题意,得AD ⊥BC , 则有k AD ·k BC =-1,所以有1-2m -2·3-14-0=-1,解得m=52. 答案:525.解:k AB =13,k BC =-12,k CD =13,k AD =-3, 所以直线AD 垂直于直线AB 与CD ,而且直线BC 不平行于任何一条直线,所以四边形ABCD 是直角梯形.《2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 -基础练》同步练习一、选择题1．下列说法中正确的是( ) A ．若直线与的斜率相等，则 B ．若直线与互相平行，则它们的斜率相等C ．在直线与中，若一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则与定相交D ．若直线与的斜率都不存在，则2．过点和点的直线与轴的位置关系是（ ） A ．相交但不垂直B ．平行C ．重合D ．垂直3．已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，那么与（ ） A ．垂直B ．平行C ．重合D ．相交但不垂直4．已知的三个顶点坐标分别为，，，则其形状为( ) A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．无法判断5．（多选题）下列说法错误．．的是（ ） A ．平行的两条直线的斜率一定存在且相等 B ．平行的两条直线的倾斜角一定相等 C ．垂直的两条直线的斜率之积为一1 D ．只有斜率都存在且相等的两条直线才平行6．（多选题）已知A(m ，3)，B(2m ，m+4)，C(m+1，2)，D(1，0)，且直线AB 与直线CD 平行，则m 的值为 ( )A ．1B ．0C ．2D ．-1 二、填空题7．已知直线l 1的斜率为3，直线l 2经过点A (1,2)，B (2，a )，若直线l 1∥l 2，则a ＝_____；若直线l 1⊥l 2，则a ＝_______1l 2l 12l l //1l 2l 1l 2l 1l 2l 1l 2l 12l l //(1,2)A ()3,2B -x 1l ()3,4A -()8,1B --2l 1351l 2l ABC ∆()5,1A -()1,1B ()2,3C8．直线的倾斜角为，直线过，，则直线与的位置关系为______.9.已知点A （－2，－5），B （6,6），点P 在y 轴上，且∠APB ＝90°，则点P 的坐标为 . 10．已知，，，点满足，且，则点的坐标为______ 三、解答题11．判断下列各小题中的直线l 1与l 2的位置关系． (1)l 1的斜率为－10，l 2经过点A (10,2)，B (20,3)；(2)l 1过点A (3,4)，B (3,100)，l 2过点M (－10,40)，N (10,40)； (3)l 1过点A (0,1)，B (1,0)，l 2过点M (－1,3)，N (2,0)； (4)l 1过点A (－3,2)，B (－3,10)，l 2过点M (5，－2)，N (5,5)． 12．已知在平行四边形ABCD 中，. （1）求点D 的坐标；（2）试判断平行四边形ABCD 是否为菱形.《2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 -基础练》同步练习答案解析一、选择题1．下列说法中正确的是( ) A ．若直线与的斜率相等，则 B ．若直线与互相平行，则它们的斜率相等C ．在直线与中，若一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则与定相交D ．若直线与的斜率都不存在，则 【答案】C【解析】对于A, 若直线与的斜率相等，则或与重合；对于B ，若直线与互相平行，则它们的斜率相等或者斜率都不存在；对于D ，若与的斜率都不存在，则1l 452l ()2,1A --()3,4B 1l 2l 1,0A ()3,2B ()0,4C D AB CD ⊥//AD BC D (1,2),(5,0),(3,4)A B C 1l 2l 12l l //1l 2l 1l 2l 1l 2l 1l 2l 12l l //1l 2l 12l l //1l 2l 1l 2l 1l 2l 12l l //或与重合.2．过点和点的直线与轴的位置关系是（ ） A ．相交但不垂直 B ．平行C ．重合D ．垂直【答案】B【解析】两点的纵坐标都等于 直线方程为：直线与轴平行.3．已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，那么与（ ） A ．垂直 B ．平行C ．重合D ．相交但不垂直【答案】A 【解析】直线经过，两点 直线的斜率： 直线的倾斜角为 直线的斜率：，，.4．已知的三个顶点坐标分别为，，，则其形状为( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．无法判断【答案】A【解析】由题意得：；,, , 为直角三角形.5．（多选题）下列说法错误．．的是（ ） A ．平行的两条直线的斜率一定存在且相等 B ．平行的两条直线的倾斜角一定相等 C ．垂直的两条直线的斜率之积为一1 D ．只有斜率都存在且相等的两条直线才平行 【答案】ACD【解析】当两直线都与轴垂直时，两直线平行，但它们斜率不存在．所以A 错误．由直线倾斜角定义可知B 正确，当一条直线平行轴，一条平行轴，两直线垂直，但斜率之积不为-1，所以C 错误，当两条直线斜率都不存在时，两直线平行，所以D 错误，故选B ． 6．（多选题）已知A(m ，3)，B(2m ，m+4)，C(m+1，2)，D(1，0)，且直线AB 与直线CD 平行，1l 2l (1,2)A ()3,2B -x ,A B 2∴AB 2y =∴AB x 1l ()3,4A -()8,1B --2l 1351l 2l 1l ()3,4A -()8,1B --∴1l 141138k +==-+2l 135∴2l 2tan1351k ==-121k k ∴⋅=-12l l ∴⊥ABC ∆()5,1A -()1,1B ()2,3C 111152AB k +==--31221BC k -==-1AB BC k k ∴⋅=-AB BC ∴⊥ABC ∆∴x x y则m 的值为 ( )A ．1B ．0C ．2D ．-1 【答案】AB【解析】 当AB 与CD 斜率均不存在时， 故得m=0，此时两直线平行；此时AB ∥CD ，当k AB =k CD 时，，得到m=1，此时AB ∥CD.故选AB ． 二、填空题7．已知直线l 1的斜率为3，直线l 2经过点A (1,2)，B (2，a )，若直线l 1∥l 2，则a ＝_____；若直线l 1⊥l 2，则a ＝_______ 【答案】5；. 【解析】直线l 2的斜率k==a ﹣2．（1）∵l 1∥l 2，∴a ﹣2=3，即a ＝5 （2）∵直线l 1⊥l 2，∴3k=﹣1，即3（a ﹣2）=﹣1，解得a=．8．直线的倾斜角为，直线过，，则直线与的位置关系为______.【答案】平行或重合【解析】倾斜角为， 的斜率，过点， ， 的斜率，， 与平行或重合. 9.已知点A （－2，－5），B （6,6），点P 在y 轴上，且∠APB ＝90°，则点P 的坐标为 . 【答案】（0，－6）或（0,7）【解析】设点P 的坐标为（0，y ）．因为∠APB ＝90°，所以AP ⊥BP ，又k AP ＝，k BP ＝，k AP ·k BP ＝－1，所以·＝－1，解得y ＝－6或y ＝7.所以点P 的坐标为（0，－6）或（0,7）．10．已知，，，点满足，且，则点的坐标为______ 【答案】2,11m m m =+=12m m m+=53221a --531l 452l ()2,1A --()3,4B 1l 2l 1l 451l ∴11k =2l ()2,1A --()3,4B 2l ∴241132k +==+12k k =1l ∴2l 1,0A ()3,2B ()0,4C D AB CD ⊥//AD BC D ()10,6-【解析】设，则，，， ，，解得：，即： 三、解答题11．判断下列各小题中的直线l 1与l 2的位置关系． (1)l 1的斜率为－10，l 2经过点A (10,2)，B (20,3)；(2)l 1过点A (3,4)，B (3,100)，l 2过点M (－10,40)，N (10,40)； (3)l 1过点A (0,1)，B (1,0)，l 2过点M (－1,3)，N (2,0)； (4)l 1过点A (－3,2)，B (－3,10)，l 2过点M (5，－2)，N (5,5)． 【解析】 (1)k 1＝－10，k 2＝＝，∵k 1k 2＝－1，∴l 1⊥l 2.(2)l 1的倾斜角为90°，则l 1⊥x 轴，k 2＝＝0，则l 2∥x 轴，∴l 1⊥l 2. (3)k 1＝＝－1，k 2＝＝－1，∴k 1＝k 2.又k AM ＝＝－2≠k 1，∴l 1∥l 2.(4)∵l 1与l 2都与x 轴垂直，∴l 1∥l 2.12．已知在平行四边形ABCD 中，. （1）求点D 的坐标；（2）试判断平行四边形ABCD 是否为菱形.【解析】(1)设D (a ，b )，∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴k AB ＝k CD ，k AD ＝k BC ，∴，解得.∴D (－1,6)．(2)∵k AC ＝＝1，k BD ＝＝－1，∴k AC ·k BD ＝－1.∴AC ⊥BD .∴▱ABCD 为菱形．(),D x y 2131AB k ==-422033BC k -==--4CD y k x -=1AD y k x =-AB CD ∵⊥//AD BC 411213AB CD AD BCy k k xy k k x -⎧⋅=⨯=-⎪⎪∴⎨⎪===-⎪-⎩106x y =⎧⎨=-⎩()10,6D -(1,2),(5,0),(3,4)A B C《2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 -提高练》同步练习一、选择题1．下列各对直线不互相垂直的是 ( )A ．l 1的倾斜角为120°，l 2过点P(1，0)，Q(4)B ．l 1的斜率为-，l 2过点P(1，1)，QC．l 1的倾斜角为30°，l2过点P(3，Q(4，D ．l 1过点M(1，0)，N(4，-5)，l 2过点P(-6，0)，Q(-1，3)2．已知，过A (1,1)、B (1，－3)两点的直线与过C (－3，m )、D (n,2)两点的直线互相垂直，则点(m ，n )有 ( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个3．过点和点的直线与过点和点的直线的位置关系是（ ）A ．平行B ．重合C ．平行或重合D ．相交或重合4．已知的顶点，，其垂心为，则其顶点的坐标为( )A ．B ．C ．D ．5．（多选题）下列命题中正确的为( ) A.若两条不重合的直线的斜率相等，则它们平行； B.若两直线平行，则它们的斜率相等； C.若两直线的斜率之积为，则它们垂直； D.若两直线垂直，则它们的斜率之积为.6.（多选题）设点，给出下面四个结论，其中正确结论的是（ ）A. B. C. D. 二、填空题7．已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (2，4)，B (1，2)，C (－2，3)，则BC 边上的高AD2310,2⎛⎫- ⎪⎝⎭(1,1)E (1,0)F -,02k M ⎛⎫- ⎪⎝⎭0,(0)4k N k ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭ABC ∆()2,1B ()6,3C -()3,2H -A ()19,62--()19,62-()19,62-()19,621-1-(4,2),(6,4),(12,6),(2,12)P Q R S --//SR PQ PQ PS ⊥//PS QS RP QS ⊥所在直线的斜率为________．8．已知直线l 1经过点A (0，－1)和点B (－，1)，直线l 2经过点M (1,1)和点N (0，－2)，若l 1与l 2没有公共点，则实数a 的值为________．9．（1）已知点M(1，-3)，N(1，2)，P(5，y)，且∠NMP=90°，则l og 8(7+y)=_________. （2）若把本题中“∠NMP=90°”改为“log 8(7+y)=”，其他条件不变，则∠NMP=_____. 10．若点，，点C 在坐标轴上，使，则点C 的坐标为__________．三、解答题11．已知，，三点，若直线AB 的倾斜角为，且直线，求点A ，B ，C 的坐标．12．已知四边形ABCD 的顶点A (m ，n )、B (5，－1)、C (4,2)、D (2,2)，求m 和n 的值，使四边形ABCD 为直角梯形.《2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 -提高练》同步练习答案解析一、选择题1．下列各对直线不互相垂直的是 ( )A ．l 1的倾斜角为120°，l 2过点P(1，0)，Q(4) B ．l 1的斜率为-，l 2过点P(1，1)，QC．l 1的倾斜角为30°，l2过点P(3，Q(4，D ．l1过点M(1，0)，N(4，-5)，l 2过点P(-6，0)，Q(-1，3) 【答案】C【解析】A ．l 1的倾斜角为120°，l 2过点P(1，0)，Q(4，，k PQ =B ．l 2过点P(1，1)，Q ，k PQ =。

苏科版八年级上册期末专项复习：一次函数之两条直线平行或相交问题（二）1．直线y＝kx﹣2与y＝﹣5x+1平行，则k＝．2．已知直线l平行于直线y＝2x，且在y轴上的截距为5，那么直线l的表达式是．3．如图，直线l1：y＝﹣2x+2交x轴于点A，交y轴于点B，直线l2：y＝x+1交x轴于点D，交y轴于点C，直线l1、l2交于点M．（1）点M坐标为；（2）若点E在y轴上，且△BME是以BM为一腰的等腰三角形，则E点坐标为．4．若直线y＝x﹣2与y＝﹣x+2m的交点在第四象限，则m的取值范围为．5．一次函数y＝2x﹣3与y＝﹣x+1的图象的交点坐标为．6．若函数y＝﹣x+3与y＝2x+b的图象相交于x轴上的一点，则b的值为．7．已知函数y＝|x+1|+|x﹣5|和一次函数y＝kx+5k+1的图象有公共点，则k的取值范围是．8．已知直线l1：y＝x+4与y轴交于点B，直线l2：y＝kx+4与x轴交于点A，且直线l1与直线l2相交所形成的角中，其中一个角的度数是75°，则线段AB长为．9．若直线y＝kx+b平行直线y＝5x+3，且过点（2，﹣1），则b＝．10．若直线y＝kx+b经过点（2，0），且与直线y＝﹣2x相交于点（1，a），则两直线与y轴所围成的三角形面积是．11．作图判断直线y＝3x+4与y＝3x﹣4的位置关系是．12．如图，直线y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点D，将线段AD沿x轴向右平移4个单位长度得到线段BC，若直线y＝kx﹣4与四边形ABCD有两个交点，则k的取值范围是．13．如果直线y＝kx+b经过点A（2，0），且与直线y＝﹣4x平行，则实数b＝．14．一次函数y＝2x﹣3与y＝x+1的图象的交点坐标为．15．如图，正比例函数y＝2x的图象与一次函数y＝﹣3x+k的图象相交于点P（1，m），则两条直线与x轴围成的三角形的面积为．16．一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图所示，则下列结论：①k＜0；②a＜0，b ＜0；③当x＝3时，y1＝y2；④不等式kx+b＞x+a的解集是x＜3，其中正确的结论有．（只填序号）17．直线y＝﹣2x+m与直线y＝2x﹣1的交点在第四象限，求m的取值范围．18．一条直线过点（﹣2，5），且平行于直线y＝3x，则此函数的解析式为．19．若直线y＝mx+1与直线y＝2x﹣1的交点在x轴上，则m＝．20．如果一次函数y＝mx+3与y＝nx﹣6的图象相交于x轴上一点，那么m：n＝．参考答案1．解：∵直线y＝kx﹣2与直线y＝﹣5x+1平行，∴k＝﹣5．故答案为：﹣5．2．解：∵直线l与直线y＝2x平行，∴设直线l的解析式为：y＝2x+b，∵在y轴上的截距是5，∴b＝5，∴y＝2x+5，∴直线l的表达式为：y＝2x+5．故答案为：y＝2x+5．3．解：（1）解得，∴点M坐标为（，），故答案为（，）；（2）∵直线l1：y＝﹣2x+2交x轴于点A，交y轴于点B，∴B（0，2），∴BM＝＝，当B为顶点，则E（0，）或（0，）；当M为顶点点，则MB＝ME，E（0，），综上，E点的坐标为（0，）或（0，）或（0，），故答案为（0，）或（0，）或（0，）．4．解：联立，解得，所以，交点坐标为（m+1，m﹣1），∵交点在第四象限，∴，解得﹣1＜m＜1，所以，m的取值范围是﹣1＜m＜1．故选：﹣1＜m＜1．5．解：联立两个一次函数的解析式有：，解得；所以两个函数图象的交点坐标是（，﹣），故答案为（，﹣）．6．解：∵y＝﹣x+3与x轴的交点是（3，0），y＝2x+b与x轴的交点是（﹣，0），∴﹣＝3解得：b＝﹣6．故答案为：﹣67．解：根据函数的表达式得到函数的图象如下：利用一次函数和分段函数图象的特点，x＞﹣5时，直线表达式中的k为为；x≤﹣5时，直线的k值为﹣3，故k的取值范围是k≥或k＜﹣3．故答案为k≥或k＜﹣3．8．解：令直线y＝x+4与x轴交于点C，令y＝x+4中x＝0，则y＝4，∴B（0，4）；令y＝x+4中y＝0，则x＝﹣4，∴C（﹣4，0），∴∠BCO＝45°，当∠ABC＝75°时，如图1所示．∵∠BCO+∠BAO+∠ABC＝75°，∴∠BAO＝60°，∴AB＝；当∠ABC的邻补角为75°时，如图2所示，∵∠BCO+∠BAO＝75°，∴∠BAO＝30°，∴AB＝2OB＝8，故答案为：8或．9．解：若直线y＝kx+b平行于直线y＝5x+3，则k＝5，且过点（2，﹣1），当x＝2时y＝﹣1，将其代入y＝5x+b 解得：b＝﹣11．故答案为：﹣11．10．解：把（1，a）代入y＝﹣2x中，得a＝﹣2，把点（1，﹣2），B（2，0）代入y＝kx+b中得，解得，∴一次函数的解析式是y＝2x﹣4；∴直线y＝kx+b与y轴的交点为（0，﹣4）∴两直线与y轴所围成的三角形面积是：＝2，故答案为2．11．解：∵直线y＝3x+4与直线y＝3x﹣4的斜率相同，∴y＝3x+4与y＝3x﹣4的位置关系是平行．12．解：直线y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点D，令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝﹣2，∴D（0，3），A（﹣2，0），将直线AD向右平移4个单位长度，点A平移后的对应点为点B为（2，0）；把A（﹣2，0）代入y＝kx﹣4中得﹣2k﹣4＝0，∴k＝﹣2，把B（2，0）代入y＝kx﹣4中得2k﹣4＝0，∴k＝2，把C（4，3）代入y＝kx﹣4中得4k﹣4＝3，∴k＝，∴k＞或k＜﹣2，故答案为k＞或k＜﹣2．13．解：∵直线y＝kx+b与直线y＝﹣4x平行，∴a＝﹣4．∴直线y＝kx+b的解析式为y＝﹣4x+b．将A（2，0）代入得：﹣4×2+b＝0．解得：b＝8．故答案为：8．14．解：联立两个一次函数的解析式有：，解得；所以两个函数图象的交点坐标是（4，5），故答案为（4，5）．15．解：∵正比例函数y＝2x的图象与一次函数y＝﹣3x+k的图象相交于点P（1，m），∴m＝2×1＝2，m＝﹣3+k∴k＝5，∴一次函数解析式为y＝﹣3x+5，∴一次函数y＝﹣3x+5的图象与x轴的交点坐标为（，0）∴两条直线与x轴围成的三角形的面积＝×2×＝16．解：①∵y1＝kx+b的图象从左向右呈下降趋势，∴k＜0正确；②∵y1＝x+b，与y轴的交点在正半轴上，∴b＞0，故②错误；③两函数图象的交点横坐标为3，∴当x＝3时，y1＝y2正确；④当x＞3时，y1＜y2正确；故正确的判断是①，③，④．故答案为：①③④．17．解：联立，解得，∵交点在第四象限，∴，解不等式①得，m＞﹣1，解不等式②得，m＜1，所以，m的取值范围是﹣1＜m＜1．故答案为：﹣1＜m＜1．18．解：∵直线y＝kx+b与直线y＝3x平行，∴k＝3，∵直线过点（﹣2，5），∴3×（﹣2）+b＝5，解得b＝11．故一次函数的解析式为y＝3x+11．故答案为：y＝3x+11．19．解：设两直线交于点（a，0），且a≠0∴把（a，0）代入y＝2x﹣1中，∴2a﹣1＝0，解得a＝，∴把（，0）代入y＝mx+1中，得∴m＝﹣2，故答案为：﹣2．20．解：因为两一次函数的图象都为直线且交点在x轴上，分别令y＝0，由y＝mx+3得x＝﹣，由y＝nx﹣6得x＝，即﹣＝，可得m：n＝﹣1：2．故答案为：﹣1：2．。

2021-2022学年北师大版八年级数学上册《第7章平行线的证明》期末综合复习训练1（附答案）1．若P，Q是直线AB外不重合的两点，则下列说法不正确的是（）A．直线PQ可能与直线AB垂直B．直线PQ可能与直线AB平行C．过点P的直线一定与直线AB相交D．过点Q只能画出一条直线与直线AB平行2．两条直线相交所成的四个角都相等时，这两条直线的位置关系是（）A．平行B．相交C．垂直D．不能确定3．下列说法：（1）两点之间的距离是两点间的线段；（2）如果两条线段没有交点，那么这两条线段所在直线也没有交点；（3）邻补角的两条角平分线构成一个直角；（4）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（5）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行．其中正确的是（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，下列四组条件中，能判断AB∥CD的是（）A．∠1＝∠2B．∠BAD＝∠BCDC．∠ABC＝∠ADC，∠3＝∠4D．∠BAD+∠ABC＝180°5．如图，“因为∠1＝∠2，所以a∥b”，其中理由依据是（）A．同位角相等，两直线平行B．内错角相等，两直线平行C．同旁内角互补，两直线平行D．对顶角相等，两直线平行6．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，且∠ACB＝∠BAD，AE平分∠CAD，交BC 于点E，过点E作EF∥AC，分别交AB、AD于点F、G．则下列结论：①∠BAC＝90°；②∠AEF＝∠BEF；③∠BAE＝∠BEA；④∠B＝2∠AEF，其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个7．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E．若∠A＝60°，∠B＝48°，则∠CDE的大小为（）A．72°B．36°C．30°D．188．若一个三角形三个内角度数的比为1：2：3，那么这个三角形是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，AD是∠BAC的平分线，则∠ADC的大小为（）A．25°B．50°C．65°D．70°10．甲、乙、丙、丁4人进行乒乓球单循环比赛（每两个人都要比赛一场），结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙胜的场数相同，则丁胜的场数是（）A．3B．2C．1D．011．在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a与c的位置关系是．12．在同一平面内，与已知直线a平行的直线有条；而经过直线外一点P，与已知直线a平行的直线有且只有条．13．“有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等”是命题（填“真”或“假”）．14．如图，要得到AB∥CD，只需要添加一个条件，这个条件可以是．（填一个你认为正确的条件即可）15．如果△ABC的两条高线BE和CF所在的直线相交于点O，且∠A＝50°，那么∠BOC ＝．16．如图所示，∠ABC的内角平分线与∠ACB的外角平分线交于点P，已知∠A＝50°，∠P＝．17．学校开展象棋大赛，A、B、C、D四队进入决赛，赛前，甲猜测比赛成绩的名次顺序是：从第一名开始，依次是B、C、D、A；乙猜测的名次依次是D、B、C、A，比赛结果，两人都只猜对了一个队的名次，已知第四名是B队，则第一名是队．18．某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人“项目比赛，该项目只设置一个一等奖，在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下：小张说：“甲或乙团队获得一等奖”；小王说：“丁团队获得一等奖”；小李说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”；小赵说：“甲团队获得一等奖”．若这四位同学只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是．19．（原创题）如图所示，在∠AOB内有一点P．（1）过P画l1∥OA；（2）过P画l2∥OB；（3）用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的大小有怎样关系？20．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，AD⊥BC于D，AE平分∠DAC，∠B＝60°；求∠AEC的度数．21．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，试说明AB∥CD．22．如图，∠A＝64°，∠B＝76°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC外，若∠AEC'＝22°，求∠BDC'的度数．23．如图，有三个论断：①∠1＝∠2；②∠B＝∠C；③∠A＝∠D，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．参考答案1．解：PQ与直线AB可能平行，也可能垂直，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故A、B、D均正确，故C错误；故选：C．2．解：两条直线相交所成的四个角都相等时，则每一个角都为90°，所以这两条直线垂直．故选：C．3．解：（1）两点之间的距离是两点间的线段长度，故（1）错误；（2）如果两条线段没有交点，那么这两条线段所在直线不一定没有交点，故（2）错误；（3）邻补角的两条角平分线一定构成一个直角，故（3）正确；（4）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故（4）正确；（5）同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故（5）错误．其中正确的是2个．故选：B．4．解：A、∵∠1＝∠2，∴AD∥CB，故本选项错误；B、∵∠BAD＝∠BCD，不能得出AB∥CD，故本选项错误；C、∵∠ABC＝∠ADC，∠3＝∠4，∴∠ABD＝∠BDC，∴AB∥CD，故本选项正确；D、∵∠BAD+∠ABC＝180°，∴AD∥BC，故本选项错误；故选：C．5．解：因为∠1＝∠2，所以a∥b（内错角相等，两直线平行），故选：B．6．解：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠C+∠CAD＝90°，∵∠BAD＝∠C，∴∠BAD+∠CAD＝90°，∴∠CAB＝90°，故①正确，∵∠BAE＝∠BAD+∠DAE，∠DAE＝∠CAE，∠BAD＝∠C，∴∠BAE＝∠C+∠CAE＝∠BEA，故③正确，∵EF∥AC，∴∠AEF＝∠CAE，∵∠CAD＝2∠CAE，∴∠CAD＝2∠AEF，∵∠CAD+∠BAD＝90°，∠BAD+∠B＝90°，∴∠B＝∠CAD＝2∠AEF，故④正确，无法判定EA＝EC，故②错误．故选：B．7．解：∵∠A＝60°，∠B＝48°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝72°，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ACB＝36°，∵DE∥BC，∴∠CDE＝∠BCD＝36°；故选：B．8．解：设三角形的三角的度数是x°，2x°，3x°，则x+2x+3x＝180，解得x＝30，∴3x＝90，即三角形是直角三角形，故选：A．9．解：由三角形的内角和定理可知：∠CAB＝50°，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAC＝25°，∴∠ADC＝90°﹣∠DAC＝65°故选：C．10．解：四个人共有6场比赛，由于甲、乙、丙三人胜的场数相同，所以只有两种可能性：甲胜1场或甲胜2场；若甲只胜一场，这时乙、丙各胜一场，说明丁胜三场，这与甲胜丁矛盾，所以甲只能是胜两场，即：甲、乙、丙各胜2场，此时丁三场全败，也就是胜0场．答：甲、乙、丙各胜2场，此时丁三场全败，丁胜0场．故选：D．11．解：∵a⊥b，b⊥c，∴a∥c．故答案为a∥c．12．解：在同一平面内，与已知直线a平行的直线有无数条；而经过直线外一点P，与已知直线a平行的直线有且只有1条．13．已知：△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A'，∠B＝∠B′，∠B、∠B′的角平分线，BD＝B′D′，求证：△ABC≌△A′B′C′．证明：∵∠B＝∠B'且∠B、∠B′的角平分线分别为BD和B′D′，∴∠ABD＝∠A′B′D′＝∠B，∵BD＝B'D'，∠A＝∠A′，∴△ABD≌△A′B′D′，∴AB＝A′B′，∵∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∴△ABC≌△A′B′C′．∴“有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等”是真命题，故答案为：真．14．解：可以添加条件∠B＝∠DCN（答案不唯一）．理由如下：∵∠B＝∠DCN，∴AB∥CD．故答案为：∠B＝∠DCN（答案不唯一）．15．解：本题要分两种情况讨论如图：①当交点在三角形内部时（如图1），在四边形AFOE中，∠AFC＝∠AEB＝90°，∠A＝50°，根据四边形内角和等于360°得，∠EOF＝180°﹣∠A＝180°﹣50°＝130°，故∠BOC＝130°；②当交点在三角形外部时（如图2），在△AFC中，∠A＝50°，∠AFC＝90°，故∠1＝180°﹣90°﹣50°＝40°，∵∠1＝∠2，∴在△CEO中，∠2＝40°，∠CEO＝90°，∴∠EOF＝180°﹣90°﹣40°＝70°，即∠BOC＝50°，综上所述：∠BOC的度数是130°或50°．故答案为：130°或50°．16．解：∵∠PCD＝∠P+∠PBC，∠ACD＝∠ABC+∠A，BP平分∠ABC，PC平分∠ACD，∴∠ACD＝2∠PCD，∠ABC＝2∠PBC，∴2∠P+2∠PBC＝∠ABC+∠A，∴2∠P＝∠A，即∠P＝∠A．∵∠A＝50°，∴∠P＝25°．故答案为：25°．17．解：由于甲、乙两队都猜对了一个队的名次，且第四名是B队．可得甲只有可能猜对了C，D的名次，当D的名次正确，则乙将全部猜错，故甲一定猜对了C的名次，故乙猜对了D的名次，那么甲、乙的猜测情况可表示为：甲：错、对、错、错；乙：对、错、错、错．因此结合两个人的猜测情况，可得出正确的名次顺序为：D，C，A，B．故答案为：D．18．解：①若获得一等奖的团队是甲团队，则小张、小李、小赵预测结果是对的，与题设矛盾，即假设错误，②若获得一等奖的团队是乙团队，则小张预测结果是对的，与题设矛盾，即假设错误，③若获得一等奖的团队是丙团队，则四人预测结果都是错的，与题设矛盾，即假设错误，④若获得一等奖的团队是丁团队，则小李、小王预测结果是对的，与题设相符，即假设正确，即获得一等奖的团队是：丁．故答案为：丁．19．解：（1）（2）如图所示，（3）l1与l2夹角有两个：∠1，∠2；∠1＝∠O，∠2+∠O＝180°，所以l1和l2的夹角与∠O相等或互补．20．解：∵AD⊥BC，∠B＝60°，∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，∵∠BAC＝80°，∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝80°﹣30°＝50°，∵AE平分∠DAC，∴∠DAE＝∠DAC＝×50°＝25°，∴∠BAE＝30°+25°＝55°，∴∠AEC＝∠BAE+∠B＝55°+60°＝115°．21．解：∵∠1＝∠2，∴CE∥BF，∴∠4＝∠AEC，又∵∠3＝∠4，∴∠3＝∠AEC，∴AB∥CD．22．解：如图设AE交DC′于F．在△ABC中，∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣64°﹣76°＝40°，由折叠可知∠C'＝40°，∴∠DFE＝∠AEC'+∠C＝22°+40°＝62°，∴∠BDC'＝∠DFE+∠C＝62°+40°＝102°．23．已知：∠1＝∠2，∠B＝∠C求证：∠A＝∠D证明：∵∠1＝∠3又∵∠1＝∠2∴∠3＝∠2∴EC∥BF∴∠AEC＝∠B又∵∠B＝∠C∴∠AEC＝∠C∴AB∥CD∴∠A＝∠D。

2022-2023学年北师大版八年级数学上册《第7章平行线的证明》单元同步练习题（附答案）一．选择题1．如图，下列条件中不能判定AB∥CD的是（）A．∠3＝∠4B．∠1＝∠5C．∠4+∠5＝180°D．∠3+∠5＝180°2．如图，若∠1＝∠2，∠3＝48°22'，则∠4的度数为（）A．131°38'B．129°22'C．128°38'D．125°22'3．如图，已知△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高，BD与CE交于O点，如果设∠BAC＝n°，那么用含n的代数式表示∠BOC的度数是（）A．45°+n°B．90°﹣n°C．90°+n°D．180°﹣n°4．若三角形三个内角度数之比为1：3：5，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形5．如图，在△ABC中，AD和BE是角平分线，其交点为O，若∠BOD＝70°，则∠ACB 的度数为（）A．10°B．20°C．30°D．40°6．在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是（）A．平行B．相交C．平行或相交D．平行、相交或垂直7．下面说法正确的个数为（）（1）在同一平面内，过直线外一点有一条直线与已知直线平行；（2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（3）两角之和为180°，这两个角一定邻补角；（4）同一平面内不平行的两条直线一定相交．A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，将直角三角形ABC折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，若∠C＝90°，∠A ＝35°，则∠DBC的度数为（）A．40°B．30°C．20°D．10°9．下列四个命题是真命题的是（）A．同位角相等B．互补的两个角一定是邻补角C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行D．相等的角是对顶角10．如图，AB∥CD，用含α，β，γ的式子表示θ，则θ＝（）A．α+γ﹣βB．β+γ﹣αC．180°+γ﹣α﹣βD．180°+α+β﹣γ二．填空题11．如图，共有组平行线段．12．如果直线a∥b，b∥c，那么直线a与c的位置关系是．13．如图，△ABE和△ACD是△ABC分别以AB、AC为对称轴翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3＝29：4：3，则∠α的度数为．14．一个三角形的最大角不会小于度．三．解答题15．写出下列命题的条件和结论，并指出它是真命题还是假命题：（1）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；（2）等腰三角形底边上的高和底边上的中线、顶角的平分线互相重合．16．写出下列命题的逆命题，并判断其真假：（1）若a＝b，则a3＝b3；（2）个位数是0的数能被2整除．17．如图所示，在长方体中．（1）图中和AB平行的线段有哪些？（2）图中和AB垂直的直线有哪些？18．如图，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，且∠1+∠2＝90°．试判断AD与BC的位置关系，并说明理由．19．已知：△ABC，∠A、∠B、∠C之和为多少？为什么？解；∠A+∠B+∠C＝180°理由：作∠ACD＝∠A，并延长BC到E∵∠ACD＝∠（已作）AB∥CD（）∴∠B＝（）而∠ACB+∠ACD+∠DCE＝180°∴∠ACB++＝180°（）20．如图，在△ABC中，∠B＝24°，∠ACB＝104°，AD⊥BC交BC的延长线于点D，AE 平分∠BAC．（1）求∠DAE的度数．（2）若∠B＝α，∠ACB＝β，其它条件不变，请直接写出∠DAE与α、β的数量关系．21．对于同一平面内的三条直线a，b，c，给出下列五个判断：①a∥b；②b∥c；③a⊥b；④a∥c；⑤a⊥c，以其中两个判断为条件，一个判断为结论组成一个真命题，这样的命题有哪些？试写出来．22．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．试解答下列问题：（1）在图1中，写出∠A、∠B、∠C、∠D之间关系为；（2）如图2，在（1）的结论下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于点M、N．①仔细观察，在图2中有个以线段AD为边的“8字形”；②若∠D＝40°，∠B＝36°，试求∠P的度数；③∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试直接写出∠P与∠D、∠B之间数量关系，不需说明理由．参考答案一．选择题1．解：A、∵∠3＝∠4，∴AB∥CD，故本选项能判定AB∥CD；B、∵∠1＝∠5，∴AB∥CD，故本选项能判定AB∥CD；C、根据∠4+∠5＝180°不能推出AB∥CD，故本选项不能判定AB∥CD；D、∵∠3+∠5＝180°，∴AB∥CD，故本选项能判定AB∥CD；故选：C．2．解：∵∠1＝∠2，∴a∥b，∴∠3＝∠5，∵∠3＝48°22'，∴∠5＝48°22'，∴∠4＝180°﹣∠5＝131°38'，故选：A．3．解：∵BD、CE分别是边AC，AB上的高，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，又∵∠BAC＝n°，∴∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠A＝180°﹣90°﹣n°＝90°﹣n°，∴∠BOC＝∠EBD+∠BEO＝90°﹣n°+90°＝180°﹣n°．故选：D．4．解：设三角分别为x，3x，5x，依题意得x+3x+5x＝180°，解得x＝20°．∴三个角的度数分别为20°，60°，100°，∴这个三角形是钝角三角形．故选：C．5．解：∵∠BOD是△ABO的外角，∴∠ABO+∠BAO＝∠BOD＝70°，又∵AD和BE是角平分线，∴∠ABC+∠BAC＝2（∠ABO+∠BAO）＝2×70°＝140°，∴∠ACB＝180°﹣140°＝40°，故选：D．6．解：在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系，是平行或相交，所以在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是：平行或相交．故选：C．7．解：在同一平面内，过直线外一点有一条直线和已知直线平行，故（1）正确；只有在同一平面内，过一点有且只有一条直线和已知直线垂直，故（2）错误；如图：∠ABC＝∠DEF＝90°，且∠ABC+∠DEF＝180°，但是两角不是邻补角，故（3）错误；同一平面内不平行的两条直线一定相交正确，因为不特别指出时，一般认为，两条直线重合就是同一条直线，所以所提出的命题是正确的，故（4）正确．即正确的个数是2个．故选：B．8．解：∵∠C＝90°，∠A＝35°，∴∠ABC＝55°，由折叠可得，∠A＝∠ABD＝35°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝55°﹣35°＝20°．故选：C．9．解：两直线平行、同位角相等，A是假命题；互补的两个角不一定是邻补角，B是假命题；在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，C是真命题；相等的角不一定是对顶角，D是假命题；故选：C．10．解：过点E作EM∥AB，过点F作FN∥CD，由平行线的传递性得，AB∥EM∥NF∥CD，∵EM∥AB，∴∠α＝∠AEM，∵FN∥CD，∴∠β＝∠CFN，∵EM∥FN，∴∠MEF+∠EFN＝180°，又∠θ＝∠AEM+∠MEF＝∠α+180°﹣（∠γ﹣∠β）＝180°+∠α+∠β﹣∠γ．故选：D．二．填空题11．解：图中的平行线段有AD∥EF；BD∥EF；DE∥FB；DE∥FC；DF∥AE；DF∥EC；DE∥BC；DF∥AC；EF∥AB．共有9对．故答案为：9．12．解：∵在同一平面内，直线a∥b，直线b∥c，∴直线c与直线a的位置关系是：a∥c．故答案为：a∥c．13．解：由题可得，∠ACB＝∠ACD，∠ABC＝∠EBA，∵∠1：∠2：∠3＝29：4：3，∴∠2+∠3＝180°×＝35°，∴∠α＝∠EBC+∠DCB＝2（∠2+∠3）＝2×35°＝70°，故答案为：70°．14．解：由分析可知：如果三角形的最大角小于60°，那么此三角形的内角和小于180度，与三角形的内角和是180度矛盾．所以三角形的最大角不小于60度；故答案为：60．三．解答题15．解：填表如下：题号题设结论真假性（1）等腰三角形有一个角是60°这个三角形是等边三角形真真（2）三角形是等腰三角形底边上的高、中线、顶角的平分线互相重合16．解：（1）若a＝b，则a3＝b3的逆命题为若a3＝b3，则a＝b，是真命题；（2）个位数是0的数能被2整除的逆命题为能被2整除的数的个位数是0，是假命题．17．解：（1）AB∥A1B1∥C1D1∥CD，即和AB平行的线段有A1B1、C1D1、CD；（2）AB⊥BB1，AB⊥BC，AB⊥AA1，AB⊥AD，AB⊥C1C，AB⊥B1C1，AB⊥A1D1，AB ⊥D1D，即和AB垂直的直线有BB1、BC、AA1、AD、C1C、B1C1、A1D1、D1D．18．解：BC∥AD．理由如下：∵DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，∴∠ADC＝2∠1，∠BCD＝2∠2，∵∠1+∠2＝90°，∴∠ADC+∠BCD＝2（∠1+∠2）＝180°，∴AD∥BC．19．解；∠A+∠B+∠C＝180°．理由：作∠ACD＝∠A，并延长BC到E∵∠ACD＝∠A（已作）∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）∴∠B＝∠DCE（两直线平行，同位角相等）而∠ACB+∠ACD+∠DCE＝180°∴∠ACB+∠A+∠B＝180°（等量代换）故答案为：A，内错角相等，两直线平行，∠DCE，两直线平行，同位角相等，∠A，∠B，等量代换．20．解：（1）∵在△ABC中，∠B＝24°，∠ACB＝104°，∴∠BAC＝180°﹣24°﹣104°＝52°．∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠BAC＝26°，∴∠AEC＝∠B+∠BAC＝24°+26°＝50°．∵AD⊥BC，∴∠D＝90°，∴∠DAE＝90°﹣∠AED＝90°﹣50°＝40°．（2）∵AD⊥BC，∴∠D＝90°，∴∠AED＝90°﹣∠DAE，在△ABE中，∠BAE＝∠AED﹣∠B，在△ACD中，∠ACB＝∠CAD+∠D＝∠DAE﹣∠CAE+90°，∴∠CAE＝∠DAE+90°﹣∠ACB，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∴90°﹣∠DAE﹣∠B＝∠DAE+90°﹣∠ACB，∴∠ACB＝∠B+2∠DAE，即∠DAE＝（∠ACB﹣∠B），∴∠DAE＝（β﹣α）．21．解：（1）如果a∥b，b∥c，那么a∥c；（2）如果a∥b，a∥c，那么b∥c；（3）如果b∥c，a∥c，那么a∥b；（4）如果b∥c，a⊥b，那么a⊥c；（5）如果b∥c，a⊥c，那么a⊥b；（6）如果a⊥b，a⊥c，那么b∥c．22．解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝180°，∠C+∠D+∠BOC＝180°，而∠AOD＝∠BOC，∴∠A+∠D＝∠B+∠C；（2）①3；②∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠1+∠D＝∠3+∠P，∠2+∠P＝∠4+∠B，∴∠D﹣∠P＝∠P﹣∠B，即∠P＝（∠D+∠B），∵∠D＝40°，∠B＝36°∴∠P＝（40°+36°）＝38°；（4）∠P＝（∠B+∠D）．。

1.2 定义与命题第1课时定义与命题知识点1.定义1．已知下列语句：①天是蓝的；②两点之间线段的长度，叫做这两点间的距离；③2是无理数；④对顶角相等．其中是定义的有(A)A．1个B．2个C．3个D．4个2．下列命题中，属于定义的是(D)A．两点确定一条直线B．同角或等角的余角相等C．两直线平行，内错角相等D．点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度知识点2.命题3．下列语句表示命题的是(D)A．作∠A的平分线B．直角都相等吗C．画一条直线D．内错角不相等4．“等角的补角相等”改为“如果…那么…”的形式是(D)A．如果是等角，那么补角相等B．如果是等角的补角，那么相等C．如果两个角相同，那么这两个角相等D．如果两个角相等，那么这两个角的补角也相等5．(1)命题“两锐角之和一定是钝角”的题设：__两个角是锐角__，结论：__两个角的和为钝角__；(2)命题“内错角相等，两直线平行”的题设：__内错角相等__，结论：__两直线平行__．6．写出下列命题的条件和结论：(1)两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；(2)如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形一定是直角三角形．解：(1)条件：两条直线被第三条直线所截，结论：同旁内角互补；(2)条件：三角形中有一个角是直角，结论：这个三角形是直角三角形．7．把下列命题改写成“如果…那么…”的形式．(1)两直线平行，同位角相等；(2)在同一个三角形中，等角对等边；(3)同角的补角相等；(4)两个无理数的积仍是无理数．解：(1)如果两条直线互相平行，那么同位角相等；(2)在同一个三角形中，如果两个角相等，那么它们所对的边相等；(3)如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等；(4)如果两个数是无理数，那么这两个数的积仍是无理数．8．把下列命题改为“如果…那么…”的形式．(1)垂直于同一直线的两直线互相平行；(2)末位数是偶数的整数能被2整除．解：(1)在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行；(2)如果一个整数的末位数是偶数，那么这个数能被2整除．【易错点】对条件和结论不明显的命题改写为“如果…那么…”容易出现错误．9．将下列命题改写成“如果…那么…”的形式．(1)末尾数字是5的整数都能被5整除；(2)直角三角形的两个锐角互余．解：(1)如果一个整数的末尾数是5，那么这个数就能被5整除；(2)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余．第2课时真命题与假命题知识点1.真命题与假命题1．[2017秋·即墨区期末]下列命题是真命题的是(A)A．如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角B．两个互补的角一定不是对顶角C．如果a2＝b2，那么a＝bD．如果两个角是同位角，那么这两个角一定相等2．下列命题是假命题的是(D)A．同角的余角相等B．同角的补角相等C．同位角相等，两直线平行D．邻补角相等3．对于△ABC，下列命题中是假命题的为(B)A．若∠A＋∠B＝∠C，则△ABC是直角三角形B．若∠A＋∠B＞∠C，则△ABC是锐角三角形C．若∠A＋∠B＜∠C，则△ABC是钝角三角形D．若∠A＝∠B＝∠C，则△ABC是正三角形4．下列命题中，假命题的个数为(C)①若x2＝4，则x＝2；②若|y|＝3，则y＝±3；③若a＞b，则a2＞b2；④内错角的平分线互相平行．A．1个B．2个C．3个D．4个5．[2018秋·香坊区期末]在下列命题中：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②平方根与立方根相等的数有1和0；③在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则a⊥c；④直线c外一点A与直线c上各点连结而成的所有线段中，最短线段的长是5 cm，则点A到直线c的距离是5 cm；⑤无理数包括正无理数、零和负无理数．其中真命题的个数是(A)A．1个B．2个C．3个D．4个6．判断下列命题是真命题还是假命题，并说明理由．(1)如果a＝－b，那么a3＝b3；(2)内错角相等．解：(1)如果a＝－b，那么a3＝b3，是假命题，当a＝－b时，a3＝－b3；(2)内错角相等，是假命题，只有当两直线平行时，内错角才相等．7．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例．(1)等角的余角相等；(2)平行线的同旁内角的平分线互相垂直；(3)和为180°的两个角叫做邻补角．解：(1)等角的余角相等，正确，是真命题；(2)平行线的同旁内角的平分线互相垂直，正确，是真命题；(3)和为180°的两个角叫做邻补角，错误，是假命题，如不同顶点的两个和为180°的角．知识点2.定理8．[2018秋·松桃校级期中]“两点确定一条直线”这句话是(B)A．定理B．基本事实C．结论D．定义【易错点】不会通过举反例证明一个命题是“假命题”．9．对错误的命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举一个反例并画出图形，说明其错误．解：如答图，α为钝角，其补角β小于α.第9题答图。

2.3 两条直线的位置关系2.3.1 两条直线平行与垂直的判定A级必备知识基础练1.下列各组直线中,互相垂直的一组是()A.2x-3y-5=0与4x-6y-5=0B.2x-3y-5=0与4x+6y+5=0C.2x+3y-6=0与3x-2y+6=0D.2x+3y-6=0与2x-3y-6=02.(多选题)下列各直线中,与直线2x-y-3=0平行的是()A.2ax-ay+6=0(a≠0,a≠-2)B.y=2xC.2x-y+5=0D.2x+y-3=03.(多选题)(2022山东五莲高二期中)已知直线l:x-2y-2=0,()A.直线x-2y-1=0与直线l平行B.直线x-2y+1=0与直线l平行C.直线x+2y-1=0与直线l垂直D.直线2x+y-2=0与直线l垂直4.(2022四川成都七中高二入学测试)已知A(3,1),B(1,-2),C(1,1),则过点C且与线段AB平行的直线方程为()A.3x+2y-5=0B.3x-2y-1=0C.2x-3y+1=0D.2x+3y-5=05.如果直线l1的斜率为a,l1⊥l2,则直线l2的斜率为()A. B.aC.-D.-或不存在6.(2022河北唐山五十九中高二月考)已知△ABC三个顶点坐标分别为A(-2,-4),B(6,6),C(0,6),则AB边上的高所在直线的斜率为.7.若直线l1,l2的斜率是一元二次方程x2-7x+t=0的两根,若直线l1,l2垂直,则t= .8.在平面直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A(1,2),B(n-1,3),C(-1,3-n).(1)若∠A是直角,求实数n的值;(2)求过坐标原点,且与△ABC的高AD垂直的直线l的方程.B级关键能力提升练9.已知点M(1,-2),N(m,2),若线段MN的垂直平分线的方程是+y=1,则实数m的值是()A.-2B.-7C.3D.110.(2022广州大学附属中学高二月考)已知直线l1过点A(-2,m)和点B(m,4),直线l2为2x+y-1=0,直线l3为x+ny+1=0.若l1∥l2,l2⊥l3,则实数m+n的值为()A.-10B.-2C.0D.811.(多选题)(2022山东济南山师附中高二期中)已知直线l1:x+my-1=0,l2:(m-2)x+3y+1=0,则下列说法正确的是()A.若l1∥l2,则m=-1或m=3B.若l1∥l2,则m=-1C.若l1⊥l2,则m=-D.若l1⊥l2,则m=12.(多选题)(2022湖北荆州高二期末)已知直线l1:3x+y-3=0,直线l2:6x+my+1=0,则下列表述正确的有()A.直线l2的斜率为-B.若直线l1垂直于直线l2,则实数m=-18C.直线l1倾斜角的正切值为3D.若直线l1平行于直线l2,则实数m=213.点M(1,2)在直线l上的射影是H(-1,4),则直线l的方程为,线段MH的垂直平分线的方程为.14.已知A(1,0),B(3,2),C(0,4),点D满足AB⊥CD,且AD∥BC,试求点D的坐标.15.若△ABC的顶点A的坐标为(2,3),三角形其中两条高所在的直线方程为x-2y+3=0和x+y-4=0,试求此三角形的边AB,AC所在直线的方程.C级学科素养创新练16.已知直线l1:x cos2α+y+2=0,若l1⊥l2,则直线l2的倾斜角的取值范围是()A. B.C. D.17.(多选题)(2022河北高二学情监测)已知直线l1:x sin α+y=0与直线l2:x+3y+c=0,则下列结论中正确的是()A.直线l1与直线l2可能相交B.直线l1与直线l2可能重合C.直线l1与直线l2可能垂直D.直线l1与直线l2可能平行参考答案2.3两条直线的位置关系2.3.1两条直线平行与垂直的判定1.C对于A,k1k2=≠-1,因此l1与l2不垂直;对于B,k1k2==-≠-1,因此l1与l2不垂直;对于C,k1k2==-1,因此l1⊥l2;对于D,k1k2==-≠-1,因此l1与l2不垂直.故选C.2.ABC与直线2x-y-3=0平行的直线都可以化为2x-y+m=0(m≠-3)的形式,因此选项A,B,C符合,故选ABC.3.ABD直线l:x-2y-2=0的斜率k=,在y轴上截距为-1.对于A,直线x-2y-1=0的斜率为,在y轴上截距为-,∴直线x-2y-1=0与直线l平行,故A正确;对于B,直线x-2y+1=0的斜率为,在y轴上截距为,∴直线x-2y+1=0与直线l平行,故B正确;对于C,直线x+2y-1=0的斜率为-,∴直线x+2y-1=0与直线l不垂直,故C错误;对于D,直线2x+y-2=0的斜率为-2,∴直线2x+y-2=0与直线l垂直,故D正确.故选ABD.4.B由题可知,k AB=,则过点C且与线段AB平行的直线的斜率为.又该直线过点(1,1),则该直线方程为y-1=(x-1),整理得3x-2y-1=0.5.D当a≠0时,由l1⊥l2得k1·k2=a·k2=-1,解得k2=-;当a=0时,l1与x轴平行或重合,则l2与y 轴平行或重合,故直线l2的斜率不存在.故直线l2的斜率为-或不存在.6.-由题可得k AB=.设AB边上高线的斜率为k,则k·k AB=-1,即k·=-1,解得k=-.所以AB边上的高所在直线的斜率为-.7.-1设直线l1,l2的斜率分别是k1,k2.因为k1,k2是一元二次方程x2-7x+t=0的两根,则k1·k2=t.又直线l1,l2垂直,所以k1·k2=-1.故可得t=-1.8.解(1)当n=2时,∠A不是直角,不合题意;当n≠2时,∵∠A是直角,∴k AB·k AC=-1,即=-1,解得n=.综上所述,实数n的值为.(2)∵直线l与△ABC的高AD垂直,∴直线l与直线BC平行或重合.∵B,C不重合,∴n≠0,∴直线l的斜率k=k BC==1,又直线l过坐标原点,∴直线l的方程为x-y=0.9.C由题知直线+y=1的斜率为-,则直线MN的斜率为2,即k MN==2,解得m=3.10.A由题意可得直线l1,l2,l3的斜率存在,分别设为k1,k2,k3.因为l1∥l2,所以k1=k2,即=-2,解得m=-8.因为l2⊥l3,所以k2·k3=-1,即(-2)×-=-1,解得n=-2.所以m+n=-8+(-2)=-10.故选A.11.AD若l1∥l2,则1×3-m(m-2)=0,解得m=3或m=-1,故A正确,B不正确;若l1⊥l2,则1×(m-2)+m×3=0,解得m=,故C不正确,D正确.故选AD.12.BD当m=0时,直线l2的斜率不存在,故A错误;当直线l1垂直于直线l2,则有3×6+1×m=0,解得m=-18,故B正确;由题知,直线l1的斜率为-3,故倾斜角的正切值为-3,故C错误;当直线l1平行于直线l2,则-3=-,且3≠-,解得m=2,故D正确.故选BD.13.x-y+5=0x-y+3=0由题得,k MH==-1.又点M在直线l上的射影是点H,则直线l与直线MH垂直,所以直线l的斜率为k=1.故直线l的方程为y-4=x+1,整理得x-y+5=0.由于线段MH的垂直平分线过MH的中点.由题知,线段MH的中点为(0,3),且垂直平分线的斜率等于直线l的斜率,所以垂直平分线的方程为y-3=x,整理得x-y+3=0.14.解设D(x,y),则k AB==1,k BC==-,k CD=,k DA=.因为AB⊥CD,AD∥BC,所以k AB·k CD=-1,k DA=k BC,即解得故点D的坐标为(10,-6).15.解因为点A的坐标不满足所给的两条高所在直线的方程,所以所给的两条直线方程是过顶点B,C的高所在直线的方程.又所给两条直线的斜率分别为,-1,若k AB=-2,则k AC=1,则直线AB的方程为y-3=-2(x-2),整理得2x+y-7=0,直线AC的方程为y-3=x-2,整理得x-y+1=0.同理,若k AC=-2,则k AB=1,则直线AC的方程为2x+y-7=0,直线AB的方程为x-y+1=0.16.C当cos2α≠0时,k1=-.∵l1⊥l2,∴k1·k2=-1,∴k2=.∵0<cos2α≤1,∴k2=.设l2的倾斜角为θ,θ∈[0,π),则tanθ≥,∴≤θ<;当cos2α=0时,直线l1的斜率为0,倾斜角为0.∵l1⊥l2,∴l2的倾斜角θ=.综上,直线l2的倾斜角的取值范围为.故选C.17.ABD由题知,直线l1:x sinα+y=0的斜率为k1=-sinα,过定点(0,0),直线l2:x+3y+c=0斜率为k2=-,过点(-c,0).若直线l1与直线l2相交,则sinα≠,而-1≤sinα≤1,即sinα≠成立,故选项A正确;若直线l1与直线l2重合,则c=0,且sinα=,而-1≤sinα≤1,故选项B正确;若直线l1与直线l2垂直,则k1k2=sinα=-1,则sinα=-3,与-1≤sinα≤1矛盾,则直线l1与直线l2不可能垂直,故选项C错误;若直线l1与直线l2平行,则sinα=且c≠0,而-1≤sinα≤1,可以有sinα=,故选项D正确.故选ABD.。

新北师大版八年级下学期《第一章三角形的证明》同步测试题一、选择题1、用反证法证明“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设【】A、a不垂直于cB、a，b都不垂直于cC、a⊥bD、a与b相交2、有下列四个命题：①等腰三角形两腰上的中线相等，②等腰三角形两腰上的高相等，③等腰三角形两底角的平分线相等，④等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等. 正确的命题的个数有【】 A、1个B、2个C、3个D、4个3、如图，△A BC中，∠B=∠BAD，∠ADC=∠C，BD=5，DC=m，则AC是【】A、4B、m-5C、5D、m+54、下列图形中，两个三角形一定全等的是【】A、含80°角的两个锐角三角形 B、边长为20cm的两个等边三角形 C、腰长对应相等的两个等腰三角形 D、有一个钝角对应相等的两个等腰三角形5、在证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”时，第一步应假设【】A、三角形中至少有一个直角或钝角B、三角形中至少有两个直角或钝角C、三角形中没有直角或钝角D、三角形中三个角都是直角或钝角6、下列命题中正确的个数是【】①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两底角相等；③等腰三角形底边上的中线与底边上的高重合；④只有两条边相等的等腰三角形是轴对称图形，对称轴有1条.A、1个B、2个 C、3个 D、4个7、等腰三角形的一个外角是120°，一边长为acm，那么它的周长是【】A、3acmB、2acmC、acmD、无法确定8、如图，在∠AOB的两边上截取AO=BO,CO=DO，连接AD,BC交于点P，则下列结论正确的是：(1)△AOD≌△BOC；(2)△APC≌△BPD；(3)点P在∠AOB的平分线上【】A、只有(1) B、只有(2)C、只有(1)(2)D、(1)(2)(3)9、如图，∠AOB和一条定长线段a，在∠AOB内找一点P，使P到OA，OB的距离都等于a，作法如下：(1)作OB的垂线NH，使NH=a，H为垂足.(2)过N作NM∥OB.(3)作∠AOB的平分线OP，与NM交于P.(4)点P即为所求.其中(3)的依据是【】A、平行线之间的距离处处相等 B、到角的两边距离相等的点在角的平分线上 C、角的平分线上的点到角的两边的距离相等 D、到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上10、△ABC中，若，则此三角形为【】三角形. A、等腰B、直角C、等腰直角 D、等边11、如图，已知△ABC是等边三角形，点O是BC上任意一点，OE、OF分别与两边垂直，等边三角形的高为1，则OE+OF的值为【】 A、B、1 C、2 D、不确定12、已知等边三角形的面积是，则它的高是【】A、cmB、cmC、cmD、cm13、Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论：①BE+CF=BC；②；③=AD·EF；④AD≥EF；⑤AD与EF可能互相平分，其中正确结论的个数是【】A、1个B、2个C、3个D、4个14、如图所示，AD平分∠BAC，AD=BD，AC=AB，则【】A、AC⊥CDB、AC=2CDC、AC=BDD、BD=2CD15、如图，等边三角形ABC的边长为3，N为AC的三等分点，三角形边上的动点M从点A出发，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止.设点M运动的路程为x，，则y关于x的函数图象大致为【】A、B、C、D、二、填空题16、等边三角形的每个内角都等于______________________.17、如图，已知∠A=∠D=90°，若要依据“HL”证明△ABC≌△DCB，应添加条件_________ ___________ _____；若要依据“AAS”证明△ABC≌△DCB，应添加的条件是_________________________________.18、等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是__________________.19、如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=40°，则∠A=____________.20、如图，在△ABC中，AB=AC，D、E、F分别为边BC、AB、AC上的点，且BE=CD，CF=BD.若∠A=40°，则∠EDF=______°.21、在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，则∠B 等于_______________度．22、△ABC中，AB=AC，若BC=CD=DE=EF=FA，则∠A=______°．23、如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，且2AE=AB+AD，∠ADC=146°，则∠BCE=___________°.三、解答题24、(1)小丽同学说“每一个定理不一定都有逆定理，因为逆命题不一定正确.”你认为她的说法正确吗？如果不正确，应如何改正？25、写出命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”的逆命题，并判定这对互逆命题的真假.26、如下图所示，在△ABC中，∠ACB=120°，CD平分∠ACB，AE∥DC，交BC的延长线于点E，试说明△ACE是等边三角形.27、如图，△ABC中，∠A=60°，高BD、CE交于M，MD=5，ME=7. 求BD、CE的长.28、如图，△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD平分∠ABC交AC于D.求证：AD+BD=BC.四、证明题29、求证：在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等．30、如图所示，AB=AC，DB=DC，AD的延长线交BC于点E.求证：BE=EC.31、写出下列命题的已知、求证，并完成证明过程．命题：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称：“等角对等边”)．已知：如图，____________________________________．求证：______________________________________________________．证明：32、如图所示，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.求证：∠B=∠C.33、如图，△ABC中，从点C向∠BAC的平分线引垂线，垂足为点E，设AE交BC于点D，且AB=AD.求证：.五、应用题34、如图是某市部分街道示意图，AB=BC=AC，CD=CE=DE，A、B、C、D、E、F、G、H为“公共汽车”停靠点，“公共汽车甲”从A站出发，按照A、H、G、D、E、C、F的顺序到达F站，“公共汽车乙”从B站出发，沿F、H、E、D、C、G的顺序到达G站.如果甲、乙分别从A、B 站同时出发，在各站耽误的时间忽略不计，两车的速度一样，试问哪一辆汽车先到达指定站？为什么？35、有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m，8m.现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长.参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 D D C B B D A D B C B C C A B题号16 17 18 19 20 21 22 23答案60AB=DC或AC=DB；∠ABC=∠DCB或∠ACB=∠DBC顶角平分线所在直线100°7070或2020 5624)、解：她的说法正确，理由如下：命题有真假命题之分，而定理是经过证明后得出的正确的命题，命题正确时逆命题不一定正确，即定理的逆命题不一定是真命题，所以虽然每个命题都有逆命题，但每个定理不一定存在逆定理，只有当原定理的逆命题是真命题时，原定理的逆命题才能称为逆定理.25)、【解答】1、逆命题：“如果两条直线互相平行，那么这两条直线都与第三条直线平行”，该命题是假命题；而原命题是真命题.26)、【解答】1、因为CD平分∠ACB，∠ACB=120°，所以∠ACE=180°-∠ACB=60°，且.因为AE∥DC，所以∠ACD=∠CAE，∠BCD=∠E.所以∠CAE=∠E=∠ACE=60°.所以△ACE是等边三角形.27)、【解答】解：∵BD⊥AC，∴∠ADB=90°.又∵∠A=60°，∴∠ABD=90°-60°=30°，同理可得∠ACE=30°，在Rt△BEM中，∠EBM=30°，∠BEM=90°，∴BM=2ME.∵ME=7，∴BM=14.同理由MD=5，得CM=2MD=10，∴BD=BM+MD=19，CE=CM+EM=10+7=17. CE取点F，使DE=DF.∵AB=AC，∠A=100°，∴∠ABC=∠C==40°.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBE=20°.∵在△ABD和△EBD中，AB=EB，∠ABD=∠DBE，BD=BD，∴△ABD≌△EBD，∴∠BED=∠A=100°，∴∠DEF=180°-100°=80°.∵DE=DF，∴∠DFE=∠DEF=80°，∴∠BDF=180°-80°-20°=80°，∴BD=BF，∠DFC=180°-80°=100°，∴∠FDC=180°-100°-40°=40°，∴DF=FC，∴DF=FC=DE=AD，∴BC=BF+FC=BD+AD.29)、【解答】1、证明：假设在一个三角形中，这两个不等的角所对的边相等，根据等边对等角，它们所对的两个角也相等，这与已知条件相矛盾，说明假设不成立，所以在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等．30)、【解答】1、证明：因为AB=AC，BD=DC，AD=AD，所以∠BAE=∠CAE.又因为AB=AC，所以BE=EC.31)、【解答】解：在△ABC中，∠B=∠C，求证：AB=AC.证明：过点A作AD⊥BC于D，∴∠ADB=∠ADC=90°，在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD(AAS)，∴AB=AC．32)、【解答】1、∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF.又∵BD=CD，∠DEB=∠DFC=90°，∴(Rt)△DEB≌(Rt)△DFC(HL).∴∠B=∠C.33)、【解答】1、分别延长AB，CE交于点F.∵AE平分∠FAC，∴∠FAE=∠CAE.∵∠FAE=∠CAE，∠AEF=∠AEC=90°，AE=AE，∴△AEF≌△AEC(AS A)，∴AF=AC，EF=EC.又过点E作EG∥AF，交BC于点G，∴，∠ABD=∠DGE.∵AB=AD，∠ABD=∠ADB=∠GDE=∠DGE，∴DE=EG，∴AE=AD+DE=AB+EG====. 所以△ABC与△ECD均为等边三角形，且∠ACE=60°.在△ACD和△BCE中，AC=BC，∠ACD=∠BCE=120°，CD=CE，所以△ACD≌△BCE(SAS).所以AD=BE，∠1=∠2.在△BCF和△ACG中，∠1=∠2，BC=AC，∠BCF=∠ACG=60°，所以△BCF≌△ACG(ASA).所以CF=CG.又因为DE+EC=ED+CD，所以AD+DE+EC+CF=BE+ED+CD+CG.即甲、乙两车同时到达指定站.35)、【解答】1、解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，由勾股定理有AB=10.扩充部分为Rt△ACD，扩充成等腰△ABD，应分以下三种情况：①如图1，当AB=AD=10时，可求CD=CB =6.得△ABD的周长为32m.②如图2，当AB=BD=10时，可求CD=4.由勾股定理，得.得△ABD的周长为m.如图③，当AB为底时，设AD=BD=x，则CD=x-6，由勾股定理，得.得△ABD 的周长为m.====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====。

北师大版八年级上册数学7.3《平行线的判定》说课稿一. 教材分析北师大版八年级上册数学7.3《平行线的判定》这一节的内容，是在学生已经掌握了直线、射线、线段的基本概念，以及垂线的性质和判定基础上进行讲解的。

本节课的主要内容是让学生掌握平行线的判定方法，通过判定两个直线是否平行，从而进一步理解和掌握平行线的性质。

教材通过大量的生活中的实例，引导学生探究并发现平行线的判定方法，培养学生的观察能力、思考能力和动手能力。

二. 学情分析学生在学习这一节内容时，已经具备了一定的数学基础，对直线、射线、线段等基本概念有一定的了解，同时，他们也已经学习了垂线的性质和判定，这些都为本节课的学习打下了基础。

然而，学生对于平行线的判定方法可能还没有直观的认识，因此，在教学过程中，我将会以学生已知的知识为基础，引导学生通过观察、思考、动手等方式，去发现和理解平行线的判定方法。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握平行线的判定方法，能够运用判定方法判断两条直线是否平行。

2.过程与方法目标：通过观察、思考、动手等方式，培养学生的观察能力、思考能力和动手能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养他们积极思考、勇于探索的精神。

四. 说教学重难点教学重点：平行线的判定方法。

教学难点：如何引导学生发现和理解平行线的判定方法。

五. 说教学方法与手段在这一节课中，我将采用讲授法、引导发现法、动手操作法等教学方法。

同时，我还会运用多媒体课件、实物模型等教学手段，帮助学生更好地理解和掌握平行线的判定方法。

六. 说教学过程1.导入：通过展示一些生活中的实例，让学生观察并思考，这些实例中的直线是否平行。

从而引出本节课的主题——平行线的判定。

2.探究：引导学生分组讨论，让他们通过观察、思考、动手操作等方式，去发现和总结平行线的判定方法。

3.讲解：在学生探究的基础上，我对平行线的判定方法进行讲解，让学生理解并掌握判定方法。

两条直线平行和垂直的判定学习目标 1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件.2.会运用条件判定两直线是否平行或垂直3.运用两直线平行和垂直时的斜率关系解决相应的几何问题．知识点一两条直线(不重合)平行的判定类型斜率存在斜率不存在前提条件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°对应关系l1∥l2⇔k1＝k2l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在图示知识点二两条直线垂直的判定图示对应关系l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2思考两直线的斜率相等是两直线平行的充要条件吗？答案不是，垂直于x轴的两条直线，虽然平行，但斜率不存在．1．若l1∥l2，则k1＝k2.( ×)2．若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直．( ×)3．若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行．( √)一、两条直线平行的判定例1 已知四边形ABCD 的四个顶点分别为A (0,0)，B (2，－1)，C (4,2)，D (2,3)，试判断四边形ABCD 是否为平行四边形，并给出证明． 解 四边形ABCD 是平行四边形，证明如下：AB 边所在直线的斜率k AB ＝－12，CD 边所在直线的斜率k CD ＝－12， BC 边所在直线的斜率k BC ＝32，DA 边所在直线的斜率k DA ＝32.因为k AB ＝k CD ，k BC ＝k DA ，所以AB ∥CD ，BC ∥DA . 因此四边形ABCD 是平行四边形．反思感悟 判断两条不重合的直线是否平行的方法跟踪训练1 (1)已知l 1经过点A (－3,2)，B (－3,10)，l 2经过点M (5，－2)，N (5,5)，判断直线l 1与l 2是否平行．解 ∵l 1与l 2都与x 轴垂直，且l 1与l 2不重合， ∴l 1∥l 2.(2)试确定m 的值，使过点A (m ＋1,0)，B (－5，m )的直线与过点C (－4,3)，D (0,5)的直线平行．解 由题意直线CD 的斜率存在，则与其平行的直线AB 的斜率也存在．k AB ＝m －0－5－m ＋1＝m－6－m ，k CD ＝5－30－－4＝12，由于AB ∥CD ，所以k AB ＝k CD ，即m －6－m ＝12，得m ＝－2.经验证m ＝－2时直线AB 的斜率存在，所以m ＝－2.二、两条直线垂直的判定例2 已知△ABC 的顶点为A (5，－1)，B (1,1)，C (2，m )，若△ABC 为直角三角形，求m 的值． 解 若∠A 为直角，则AC ⊥AB ，∴k AC ·k AB ＝－1， 即m ＋12－5·1＋11－5＝－1，解得m ＝－7； 若∠B 为直角，则AB ⊥BC ，∴k AB ·k BC ＝－1， 即1＋11－5·m －12－1＝－1，解得m ＝3； 若∠C 为直角，则AC ⊥BC ，∴k AC ·k BC ＝－1，即m ＋12－5·m －12－1＝－1，解得m ＝±2. 综上所述，m ＝－7或m ＝3或m ＝±2. 反思感悟 判断两条直线是否垂直在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与x 轴垂直，另一条直线与x 轴平行或重合时，这两条直线也垂直． 跟踪训练2 判断下列各题中l 1与l 2是否垂直． (1)l 1的斜率为－10，l 2经过点A (10,2)，B (20,3)；(2)l 1经过点A (3,4)，B (3,10)，l 2经过点M (－10,40)，N (10,40)． 解 (1)k 1＝－10，k 2＝3－220－10＝110，k 1k 2＝－1，∴l 1⊥l 2.(2)l 1的倾斜角为90°，则l 1⊥x 轴；k 2＝40－4010－－10＝0，则l 2∥x 轴，∴l 1⊥l 2.垂直与平行的综合应用典例 已知A (－4,3)，B (2,5)，C (6,3)，D (－3,0)四点，若顺次连接A ，B ，C ，D 四点，试判定图形ABCD 的形状．解 由题意知A ，B ，C ，D 四点在坐标平面内的位置，如图所示，由斜率公式可得k AB ＝5－32－－4＝13，k CD ＝0－3－3－6＝13，k AD ＝0－3－3－－4＝－3， k BC ＝3－56－2＝－12. 所以k AB ＝k CD ，由图可知AB 与CD 不重合， 所以AB ∥CD .由k AD ≠k BC ， 所以AD 与BC 不平行．又因为k AB ·k AD ＝13×(－3)＝－1，所以AB ⊥AD ，故四边形ABCD 为直角梯形．[素养提升] 用代数运算解决几何图形问题(1)利用直线的斜率判定平面图形的形状一般要运用数形结合的方法，先由图形作出猜测，然后利用直线的斜率关系进行判定．(2)明确运算对象，探究运算思路，是对逻辑推理与数学运算核心素养的考查．1．若过点P (3,2m )和点Q (－m ，2)的直线与过点M (2，－1)和点N (－3,4)的直线平行，则m 的值是( )A.13 B ．－13 C ．2 D ．－2 答案 B解析 由k PQ ＝k MN ，即2m －23－－m ＝4－－1－3－2，得m ＝－13.经检验知，m ＝－13符合题意．2．已知直线l 1的斜率为a ，l 2⊥l 1，则l 2的斜率为( ) A.1aB ．－1aC ．aD ．－1a或不存在答案 D解析 当a ≠0时，由k 1·k 2＝－1知，k 2＝－1a，当a ＝0时，l 2的斜率不存在．3．已知两条直线l 1，l 2的斜率是方程3x 2＋mx －3＝0(m ∈R )的两个根，则l 1与l 2的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．可能重合 D ．无法确定答案 B解析 由方程3x 2＋mx －3＝0，知Δ＝m 2－4×3×(－3)＝m 2＋36>0恒成立． 故方程有两相异实根，即l 1与l 2的斜率k 1，k 2均存在． 设两根为x 1，x 2，则k 1k 2＝x 1x 2＝－1，所以l 1⊥l 2，故选B.4．(多选)若l 1与l 2为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是α1，α2，斜率分别为k 1，k 2，则下列命题正确的是( )A ．若l 1∥l 2，则斜率k 1＝k 2B ．若k 1＝k 2，则l 1∥l 2C ．若l 1∥l 2，则倾斜角α1＝α2D ．若α1＝α2，则l 1∥l 2 答案 ABCD5．若不同两点P ，Q 的坐标分别为(a ，b )，(3－b ，3－a )，则线段PQ 的垂直平分线的斜率为________． 答案 －1解析 若a ＝3－b ，则P ，Q 两点重合，不合题意．故PQ 斜率存在．由k PQ ＝3－a －b3－b －a ＝1，得线段PQ 的垂直平分线的斜率为－1.1．知识清单：两直线平行或垂直的条件．2．方法归纳：分类讨论，数形结合． 3．常见误区：研究两直线平行、垂直关系时忽略直线斜率为0或斜率不存在的情况．1．过点A (2,5)和点B (－4,5)的直线与直线y ＝3的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．重合 D ．以上都不对 答案 B解析 斜率都为0且不重合，所以平行．2．已知过A (－2，m )和B (m ，4)的直线与斜率为－2的直线平行，则m 的值是( ) A ．－8 B ．0 C ．2 D ．10 答案 A解析 由题意可知，k AB ＝4－mm ＋2＝－2，所以m ＝－8.3．直线l 1的斜率为2，l 1∥l 2，直线l 2过点(－1,1)且与y 轴交于点P ，则P 点坐标为( ) A ．(3,0) B ．(－3,0) C ．(0，－3) D ．(0,3)答案 D解析 设P (0，y )，因为l 1∥l 2，所以y －10＋1＝2，所以y ＝3.即P (0,3)．4．若直线l 经过点(a －2，－1)和(－a －2,1)，且与斜率为－23的直线垂直，则实数a 的值为( )A ．－23B ．－32 C.23 D.32答案 A解析 易知a ＝0不符合题意．当a ≠0时，直线l 的斜率k ＝2－a －2－a ＋2＝－1a ，由－1a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－1，得a ＝－23，故选A.5．(多选)设点P (－4,2)，Q (6，－4)，R (12,6)，S (2,12)，下面四个结论正确的是( ) A ．PQ ∥SR B ．PQ ⊥PS C ．PS ∥QS D ．PR ⊥QS答案 ABD解析 由斜率公式知，k PQ ＝－4－26＋4＝－35，k SR ＝12－62－12＝－35，k PS ＝12－22＋4＝53，k QS ＝12＋42－6＝－4，k PR ＝6－212＋4＝14， ∴PQ ∥SR ，PQ ⊥PS ，PR ⊥QS .而k PS ≠k QS ， ∴PS 与QS 不平行，故ABD 正确．6．若经过点(m ，3)和(2，m )的直线l 与斜率为－4的直线互相垂直，则m 的值是________． 答案145解析 由题意可知k l ＝14，又因为k l ＝m －32－m，所以m －32－m ＝14，解得m ＝145.7．直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2是关于k 的方程2k 2－4k ＋m ＝0的两根，若l 1⊥l 2，则m ＝________，若l 1∥l 2，则m ＝________. 答案 －2 2解析 由一元二次方程根与系数的关系得k 1·k 2＝m2，若l 1⊥l 2，则m2＝－1，∴m ＝－2.若l 1∥l 2，则k 1＝k 2，即关于k 的二次方程2k 2－4k ＋m ＝0有两个相等的实根，∴Δ＝(－4)2－4×2×m ＝0，∴m ＝2.8．已知点A (－3，－2)，B (6,1)，点P 在y 轴上，且∠BAP ＝90°，则点P 的坐标是________． 答案 (0，－11)解析 设P (0，y )，由∠BAP ＝90°知，k AB ·k AP ＝1－－26－－3×y ＋23＝y ＋29＝－1，解得y ＝－11.所以点P 的坐标是(0，－11)．9．当m 为何值时，过两点A (1,1)，B (2m 2＋1，m －2)的直线： (1)倾斜角为135°；(2)与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直； (3)与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行． 解 (1)由k AB ＝m －32m2＝tan 135°＝－1， 解得m ＝－32或m ＝1.(2)由k AB ＝m －32m 2，且－7－20－3＝3， 则m －32m 2＝－13，解得m ＝32或m ＝－3. (3)令m －32m 2＝9＋3－4－2＝－2，解得m ＝34或m ＝－1. 经检验，当m ＝34或m ＝－1时，均符合题意．10．已知▱ABCD 中，A (1,2)，B (5,0)，C (3,4)． (1)求点D 的坐标；(2)试判定▱ABCD 是否为菱形？解 (1)设D 点坐标为(a ，b )，因为四边形ABCD 为平行四边形，所以k AB ＝k CD ，k AD ＝k BC ，所以⎩⎪⎨⎪⎧0－25－1＝b －4a －3，b －2a －1＝4－03－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝6.所以D (－1,6)．(2)因为k AC ＝4－23－1＝1，k BD ＝6－0－1－5＝－1，所以k AC ·k BD ＝－1，所以AC ⊥BD ，所以▱ABCD 为菱形．11．(多选)已知点A (m ，3)，B (2m ，m ＋4)，C (m ＋1,2)，D (1，0)，且直线AB 与直线CD 平行，则m 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2答案 BC解析 当m ＝0时，直线AB 与直线CD 的斜率均不存在且不重合，此时AB ∥CD . 当m ≠0时，k AB ＝m ＋4－32m －m ，k CD ＝2－0m ＋1－1，则k AB ＝k CD ，即m ＋1m ＝2m，得m ＝1，∴m ＝0或1. 12.如图所示，在平面直角坐标系中，以O (0,0)，A (1,1)，B (3,0)为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是( )A ．(－3,1)B ．(4,1)C ．(－2,1)D ．(2，－1)答案 A解析 如图所示，因为经过三点可构造三个平行四边形，即▱AOBC 1，▱ABOC 2，▱AOC 3B .根据平行四边形的性质，可知B ，C ，D 分别是点C 1，C 2，C 3的坐标，故选A. 13．若点P (a ，b )与Q (b －1，a ＋1)关于直线l 对称，则l 的倾斜角为( ) A ．135° B．45° C．30° D．60° 答案 B解析 若a ＝b －1，则P ，Q 重合，不合题意，故直线PQ 斜率存在．k PQ ＝a ＋1－bb －1－a＝－1，k PQ ·k l＝－1，∴l 的斜率为1，倾斜角为45°.14．下列直线l 1与直线l 2(l 1与l 2不重合)平行的有________．(填序号) ①l 1经过点A (2,1)，B (－3,5)，l 2经过点C (3，－3)，D (8，－7)；②l 1的斜率为2，l 2经过点A (1,1)，B (2,2)；③l 1的倾斜角为60°，l 2经过点M (1，3)，N (－2，－23)； ④l 1经过点E (2,6)，F (2,3)，l 2经过点P (－3，－3)，Q (－3，－6)． 答案 ①③④解析 ①∵k AB ＝5－1－3－2＝－45，k CD ＝－7＋38－3＝－45，∴k AB ＝k CD ，∴l 1∥l 2. ②∵2l k ＝2－12－1＝1≠1l k ＝2，∴l 1不平行于l 2. ③∵1l k ＝tan 60°＝3，2l k ＝3＋231＋2＝3，∴12l l k k ＝，∴l 1∥l 2.④l 1，l 2的斜率均不存在，∴l 1∥l 2.15．直线l 的倾斜角为30°，点P (2,1)在直线l 上，直线l 绕点P (2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l 1的位置，此时直线l 1与l 2平行，且l 2是线段AB 的垂直平分线，其中A (1，m －1)，B (m ，2)，则m ＝________.答案 4＋ 3解析 如图，直线l 1的倾斜角为30°＋30°＝60°，∴直线l 1的斜率k 1＝tan 60°＝ 3. 由l 1∥l 2知，直线l 2的斜率k 2＝k 1＝ 3. ∴直线AB 的斜率存在，且k AB ＝－1k 2＝－33.∴m －1－21－m ＝m －31－m ＝－33， 解得m ＝4＋ 3.16．已知△ABC 三个顶点坐标分别为A (－2，－4)，B (6,6)，C (0,6)，求此三角形三边的高所在直线的斜率．解 由斜率公式可得k AB ＝6－－46－－2＝54，k BC ＝6－66－0＝0，k AC ＝6－－40－－2＝5.由k BC ＝0知直线BC ∥x 轴，∴BC 边上的高线与x 轴垂直，其斜率不存在． 设AB ，AC 边上高线的斜率分别为k 1，k 2， 由k 1·k AB ＝－1，k 2·k AC ＝－1， 即k 1·54＝－1，k 2·5＝－1，解得k 1＝－45，k 2＝－15.∴BC 边上的高所在直线的斜率不存在；AB 边上的高所在直线的斜率为－45； AC 边上的高所在直线的斜率为－15.。

AB E P DC F平行线的证明知识点复习知识点1:命题（1）判断一件事情的句子，叫_____________. _______的命题是真命题，不正确的命题是___________.（2）公认的真命题称为____________,经过证明的真命题称为_____________.典型练习：1：判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例：①．若a>b ，则ba 11 ． ②．两个锐角的和是锐角．③．同位角相等，两直线平行． ④．一个角的邻补角大于这个角． ⑤．两个负数的差一定是负数．2．甲、乙、丙、丁四个小朋友在院里玩球，忽听“砰”的一声，球击中了李大爷家的窗户.李大爷跑出来查看，发现一块窗户玻璃被打裂了.李大爷问:“是谁闯的祸?”甲说:“是乙不小心闯的祸.” 乙说:“是丙闯的祸.”丙说:“乙说的不是实话.” 丁说:“反正不是我闯的祸.”如果这四个小朋友中只有一个人说了实话,请你帮李大爷判断一下,究竟是谁闯的( )A.甲B. 乙C.丙D.丁知识点2：平行线（1）.平行线的判定：公理:____________相等,两直线平行. 判定定理1:___________相等,两直线平行.判定定理2:_______________,两直线平行. 定理：平行于同一直线的两直线___________.（2）.平行线的性质公理:两直线平行,同位角___________. 性质定理1:两直线平行,内错角_________.性质定理2:两直线平行,同旁内角__________.典型练习：1、已知如图∠1=∠2，BD 平分∠ABC ，求证：AB//CD2.已知：BC//EF ，∠B=∠E ，求证：AB//DE 。

3、小明到工厂去进行社会实践活动时，发现工人师傅生产了一种如图所示的零 件，要求AB ∥CD ，∠BAE=35°，∠AED=90°．小明发现工人师傅只是量出∠BAE=35°，∠AED=90°后，又量了∠EDC=55°，于是他就说AB 与CD 肯定是平行的，你知道什么原因吗？4．如图，某湖上风景区有两个观望点A，C和两个度假村B，D．度假村D在C的正西方向，度假村B在C的南偏东30°方向，度假村B到两个观望点的距离都等于2km．（1）求道路CD与CB的夹角；（2）如果度假村D到C是直公路，长为1km，D到A是环湖路，度假村B到两个观望点的总路程等于度假村D到两个观望点的总路程．求出环湖路的长；（3）根据题目中的条件，能够判定DC∥AB吗？若能，请写出判断过程；若不能，请你加上一个条件，判定DC∥AB．5.与平行线有关的探究题（1）、利用平行线的性质探究：如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC，BD及线段AB把平面分成①②③④四个部分，规定线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA、PB，构成∠PAC、∠APB、∠PBD三个角．当动点P落在第①部分时，小明同学在研究∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的数量关系时，利用图1，过点P 作PQ∥BD，得出结论：∠APB=∠PAC+∠PBD．请你参考小明的方法解决下列问题：（1）当动点P落在第②部分时，在图2中画出图形，写出∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的数量关系；（2）当动点P落在第③、第○4部分时，在图3、图4中画出图形，探究∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系，写出结论并选择其中一种情形加以证明．知识点三：三角形的内角和外角(1)三角形内角和定理：三角形的内角和等于__________.(2) 定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的____________________.(3) 定理：三角形的一个外角大于任何一个和它____________________.典型练习：1.如下几个图形是五角星和它的变形．（1）图（1）中是一个五角星，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E；（2）图（2）中的点A向下移到BE上时，五个角的和（即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E）有无变化？说明你的结论的正确性；（3）把图（2）中的点C向上移到BD上时，如图（3）所示，五个角的和（即∠CAD+∠B+ ∠ACE+∠D+∠E）有无变化？说明你的结论的正确性．2.．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题.探究1：如图1，在△ABC 中，O 是∠AB C 与∠ACB 的平分线BO 和CO 的交点，通过分析发现∠BOC =90°+21∠A,理由如下: ∵BO 和CO 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，∴∠1=21∠ABC ，∠2=21∠ACB ∴∠1+∠2=21(∠ABC+∠ACB)又∵∠ABC+∠ACB=180°—∠A∴∠1+∠2=21（180°—∠A ）=90°—21∠A ∴∠BOC=180°—（∠1+∠2）=180°—（90°—21∠A ） ∴∠BOC=90°+21∠A 探究2：如图2,O 是∠ABC 与外角∠ACD 的平分线BO 和CO 的交点，试分析∠BOC 与∠A 有怎样的关系？ 请说明理由.探究3：如图3，O 是外角∠DBC 与外角∠ECB 的平分线BO 和CO 的交点，则∠BOC 与∠A 有怎样的关系？（只写结论，不需证明）综合测试题：一、填空题1.如上图，AD ∥BC ，AC 与BD 相交于O ，则图中相等的角有_____对.2.如上右图，已知AB ∥CD ，∠1=100°，∠2=120°，则∠α=_____.3.如右图，DAE 是一条直线，DE ∥BC ，则∠BAC =_____.4.“一次函数y=kx-2，当k>0时，y 随x 的增大而增大”是一个_______命题（填“真”或“假”）二、选择题1.下列命题正确的是( )A.内错角相等B.相等的角是对顶角C.三条直线相交 ，必产生同位角、内错角、同旁内角D.同位角相等，两直线平行2.两平行直线被第三条直线所截，同位角的平分线( )A.互相重合B.互相平行C.互相垂直D.相交3. 下列句子中,不是命题的是( )A.三角形的内角和等于180度;B.对顶角相等;C.过一点作已知直线的平行线;D.两点确定一条直线.4.如右图，已知∠1=∠B ，∠2=∠C ，则下列结论不成立的是( )A.AD ∥BCB.∠B =∠CC.∠2+∠B =180°D.AB ∥CD5.如右图，若AB∥CD，则∠A、∠E、∠D之间的关系是( )A.∠A+∠E+∠D=180°B.∠A－∠E+∠D=180°C.∠A+∠E－∠D=180°D.∠A+∠E+∠D=270°三、解答题1.如图，已知AB∥CD，∠B=65°，CM平分∠BCE，∠MCN=90°，求∠DCN的度数.2.如图，CD∥AB，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠EFB=130°，问直线EF与AB有怎样的位置关系，为什么？3.如图，如图，在三角形ABC中，∠C=70°，∠B=38°，AE是∠BAC的平分线，AD⊥BC于D．（1）求∠DAE的度数；（2）判定AD是∠EAC的平分线吗？说明理由．（3）若∠C=α°，∠B=β°，试猜想∠DAE与∠C—∠B有何关系，并证明你的猜想.∠DAE的度数．（∠C＞∠B）4.如图，y轴的负半轴平分∠AOB，P为y轴负半轴上的一动点，过点P作x轴的平行线分别交OA、OB 于点M、N．（1）如图1，MN⊥y轴吗？为什么？（2）如图2，当点P在y轴的负半轴上运动到AB与y轴的交点处，其他条件都不变时，等式∠APM=（∠OBA﹣∠A）是否成立？为什么？（3）当点P在y轴的负半轴上运动到图3处（Q为BA、NM的延长线的交点），其他条件都不变时，试问∠Q、∠OAB、∠OBA之间是否存在某种数量关系？若存在，请写出其关系式，并加以证明；若不存在，请说明理由．。

苏教版八年级上册数学《平面直角坐标系》一、本章的主要知识点(一）有序数对:有顺序的两个数a 与b 组成的数对。

1、记作（a ,b ）；横坐标写在前,纵坐标写在后 2、注意：a 、b 的先后顺序对位置的影响. （二）平面直角坐标系 简称直角坐标系1、历史：法国数学家笛卡儿最早引入坐标系,用代数方法研究几何图形 ;2、构成坐标系的各种名称；3、各种特殊点的坐标特点。

（三）坐标方法的简单应用1、用坐标表示地理位置；2、用坐标表示平移。

二、平行于坐标轴的直线的点的坐标特点：平行于x 轴（或横轴）的直线上的点的纵坐标相同； 平行于y 轴(或纵轴)的直线上的点的横坐标相同。

三、各象限的角平分线上的点的坐标特点：第一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相同； 第二、四象限角平分线上的点的横纵坐标相反。

四、与坐标轴、原点对称的点的坐标特点：关于x 轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数 关于y 轴对称的点的纵坐标相同,横坐标互为相反数 关于原点对称的点的横坐标、纵坐标都互为相反数 五、特殊位置点的特殊坐标：六、用坐标表示平移：见下图平面直角坐标系 同步练习题 一、判断题（1）坐标平面上的点与全体实数一一对应（ ）（2)横坐标为0的点在轴上( )（3）纵坐标小于0的点一定在轴下方（ ）（4）到轴、轴距离相等的点一定满足横坐标等于纵坐标（ ） (5）若直线轴，则上的点横坐标一定相同（ )坐标轴上 点P （x ，y ） 连线平行于 坐标轴的点 点P （x ，y ）在各象限 的坐标特点 象限角平分线上 的点 X 轴 Y 轴 原点平行X 轴平行Y 轴 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 第一、 三象限 第二、四象限 （x ，0）（0,y ）(0,0) 纵坐标相同横坐标不同横坐标相同纵坐标不同x ＞0 y ＞0x ＜0 y ＞0x ＜0 y ＜0x ＞0 y ＜0(m,m ）(m,-m)P （x ，y ）P （x ，y －a ）P （x －a ，y ）P （x ＋a ，y ）P （x ，y ＋a ）向上平移a 个单位向下平移a 个单位向右平移a 个单位向左平移a 个单位(6)若，则点P(）在第二或第三象限（ ）（7)若，则点P （)在轴或第一、三象限（ ）二、选择题1、若点P ()n m ,在第二象限，则点Q ()n m --,在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2、点P 的横坐标是-3，且到x 轴的距离为5，则P 点的坐标是（ ）A. （5，-3）或(—5，—3）B. (—3，5）或（—3，—5) C 。