2019中考数学专题汇编全集 二次函数与特殊三角形判定

二次函数知识点汇总含二次函数-综合题一、基本概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c=++（a b ca≠）的函数，，，是常数，0叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2=++的结构特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：y axa 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c=+的性质：（上加下减）3. ()2y a x h =-的性质：（左加右减）4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法1：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法2：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k=-+与2y axbx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-． 七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异”总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y a x b x c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况.图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。

二次函数与特殊三角形-2一、 二次函数与等腰三角形1、指定一边做底或腰2、需要讨论二、 二次函数与等边三角形 三、 二次函数与直角三角形1、求证为直角三角形2、在特殊条件下存在点问题3、需要对直角讨论的类型四、 二次函数与等腰直角三角形三、 二次函数与直角三角形1、求证为直角三角形1. 【易】（直角三角形）（顺义二模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(1)y x m x m=-++（m 是常数）与y 轴交于点C ，与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），且A 、B两点在原点两侧．⑴ 求A 、B 两点的坐标（可用含m 的代数式表示）； ⑵ 若6ABC S ∆=，求抛物线的解析式；⑶ 设抛物线的顶点为D ，在⑵的条件下，试判断ACD △的形状，并求tan ACB ∠的值．【答案】解：⑴令0y = ，则 2(1)0x m x m -++=∴ 1x m = ， 21x =∵ 点A 在点B 左侧 ，且A 、B 两点在原点两侧．∴ ()0A m ，，()10B ，⑵ 抛物线与y 轴交于点()0C m ， ∵A 、B 两点在原点两侧 ∴ 0m <∴11AB m m =-=-，OC m m ==- ， ∵6ABC S ∆= ∴1(1)()62m m --= ∴3m =- ， 4m =(舍去)∴抛物线的解析式为 223y x x =+- ⑶ 抛物线的顶点()14D --，AD = ， AC =，DC = ∴ 222AD AC CD =+∴ ACD △是直角三角形 过点B 作BE AC ⊥于点E ， ∵OA OC =∴45OAC OCA ∠=∠=︒ ∵4AB =∴AE BE ==，EC AC AE =-=∴tan 2BE ACB EC ∠==2. 【中】（直角三角形）（包头市中考题）已知抛物线k kx kx y 322-+=交x 轴于A 、B 两点，（A 在B 的左边），交y 轴于C 点，且y 有最大值4.⑴求抛物线的解析式；⑵在抛物线上是否存在点P ，使PBC ∆是直角三角形？若存在，求出P 点坐标，若不存在，说明理由.【答案】⑴223y x x =--+⑵由223y x x =--+可得(30)(10)(03)()A B C P a b -，，，，，，设点，. ①如图，当PC BC PM y ⊥⊥时，作轴，垂足为M 点，因为△PMC ∽△COB ， 所以33931PM MC a b a b CO OB --===-，即，所以.（例2）因为()P a b ，在222323y x x b a a =--+=--+上，所以， 解方程组1222173903203239a a b a b b a a b ⎧=-⎪=-=⎧⎧⎪⎨⎨⎨==--+⎩⎩⎪=⎪⎩得，，（舍去）. 所以72039P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，.②当PB BC ⊥时，作PN x ⊥轴，垂足为N 点，因为△PNB ∽△BOC ，所以13113PN NB b a a b BO OC --+===+，即，所以. 因为22()2323P a b y x x b a a =--+=--+，在上，所以， 解方程组12221103113130239a a b a b b a a b ⎧=-⎪=+=⎧⎧⎪⎨⎨⎨==--+⎩⎩⎪=-⎪⎩得，，（舍去）. 所以101339P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，.综上所述，抛物线存在点P ，使得△PBC 为直角三角形，此时720 39P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，或101339P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，.3. 【中】（直角三角形）（常德市初中毕业学业考试）已知二次函数过点()02A -，，()10B -，，5948C ⎛⎫⎪⎝⎭，．⑴ 求此二次函数的解析式；⑵ 判断点112M ⎛⎫⎪⎝⎭，是否在直线AC 上？⑶ 过点112M ⎛⎫⎪⎝⎭，作一条直线l 与二次函数的图象交于E 、F 两点（不同于A ，B ，C 三点），请自已给出E 点的坐标，并证明BEF △是直角三角形．【答案】⑴ 设二次函数的解析式为()20y ax bx c a =++≠把()02A -，，()10B -，，5948C ⎛⎫⎪⎝⎭，代入得2092558164c a b ca b c⎧⎪=-⎪=-+⎨⎪⎪=++⎩， 解得2a =，0b =，2c =-， ∴222y x =-⑵ 设直线AC 的解析式为()0y kx b k =+≠， 把()02A -，，5948C ⎛⎫⎪⎝⎭，代入得29584b k b =-⎧⎪⎨=+⎪⎩， 解得52k =，2b =-， ∴522y x =- 当1x =时，511222y =⨯-=∴112M ⎛⎫⎪⎝⎭，在直线AC 上．⑶ 设E 点坐标为1322⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，则直线EM 的解析为4536y x =-由2453622y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩化简得2472036x x --=，即172023x x ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴F 点的坐标为713618⎛⎫⎪⎝⎭，．过E 点作EH x ⊥轴于H ，则H 的坐标为102⎛⎫- ⎪⎝⎭，．∴32EH =，12BH =∴2223110224BE ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，类似地可得22213131690845186324162BF ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，222401025001250186324162EF ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴2221084512504162162BE BF EF +=+==， ∴BEF △是直角三角形．4. 【中】（直角三角形）（鞍山市2013年毕业考试数学试卷）如图，已知一次函数122y x =+的图象与x 轴交于点A ，与二次函数2y ax bx c =++的图象交于y 轴上的一点B ，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴只有唯一的交点C ，且2OC =． ⑴ 求二次函数2y ax bx c =++的解析式；⑵ 设一次函数122y x =+的图象与二次函数2y ax bx c =++的图象的另一交点为D ，已知P 为x 轴上的一个动点，且PBD △为直角三角形，求点P 的坐标．x图1图2【答案】解：⑴ ∵122y x =+交x 轴于点A ， ∴4x =-，与y 轴交于点B ， ∵0x =， ∴2y =∴B 点坐标为：()02，， ∴()40A -，，()02B ，， ∵二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴只有唯一的交点C ，且2OC = ∴可设二次函数()22y a x =-，把()02B ，代入得：12a = ∴二次函数的解析式：21222y x x =-+； ⑵ （Ⅰ）当B 为直角顶点时，过B 作1BP AD ⊥交x 轴于1P 点由1Rt Rt AOB BOP △∽△∴1AO BO BO PO =，∴1422OP =，得：11OP =，∴()110P ，， （Ⅱ）当D 为直角顶点时，作2P D BD ⊥，连接2BP ， 将0.52y x =+与20.522y x x =-+联立求出两函数交点坐标：D 点坐标为：()5 4.5，，则AD ， 当D 为直角顶点时∵2DAP BAO =∠∠，2BOA ADP =∠∠， ∴2ABO AP D △∽△，∴2AB AOAP AD=2，解得：211.25AP =，则211.2547.25OP =-=，故2P 点坐标为()7.250，； （Ⅲ）当P 为直角顶点时，过点D 作DE x ⊥轴于点E ，设()30P a ， 则由33Rt OBP EP D △∽△ 得：33OP OB DE P E =，∴24.55a a =-， ∵方程无解，∴点3P 不存在，∴点P 的坐标为：()110P ，和()27.250P ，.5. 【难】（直角三角形）（2012年海南省中考题）如图，顶点为），（44-P 的二次函数图象经过原点（0，0），点A 在该图象上，OA 交其对称轴l 于点M ，点M 、N 关于P 对称，连接AN 、ON .⑴求该二次函数的关系式. ⑵若点A 的坐标是（6，-3），求ANO ∆的面积；⑶当点A 在对称轴l 右侧的二次函数图象上运动时，请解答以下问题： ①证明：ONM ANM ∠=∠；②ANO ∆能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点A 的坐标；如果不能，请说明理由.图②图①（第3题）【答案】⑴21(4)44y x =--⑵12ANO S =△.⑶①如图①，当点A x 在轴下方时，过点A AC x ⊥作轴于点C AD PE D ⊥，于点. 设 4EC a AD a OC a ===+，则，， ∴点21444A a a ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，，∴2144AC a =-.∴ME OEAC OC=，∴241444ME a a =+-. ∴4ME a =-，∴4PM PN a NE a ===+，.∵22114(4)44DM AC ME a a a a ⎛⎫=-=---=- ⎪⎝⎭，∴22112244DN a DM a a a a a ⎛⎫=-=--=+ ⎪⎝⎭.∴2441444AD a OE DNa NE a a a ===+++，，∴AD OEDN NE=. ∵90ADN OEN ∠=∠=︒，∴△ANM ∽△ONM . ∴ANM ONM ∠=∠.如图②，当点A 位于x 轴上方时，设21(4)4 4A c c ANM ONM ⎛⎫--∠=∠ ⎪⎝⎭，，同理可证. ②当90ONA ∠=︒时，此时点P A 与点重合，不合题意. 当90OAN ∠=︒时，如图①，则△AMD ∽△NAD . ∴DM AD AD DN=，∴2 AD MD DN =. ∴2221144a a a a a ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.解得0a =，此时点A P 与点重合，不合题意.当90NOA ∠=︒时，如图②，∵ONM ANM ∠=∠， ∴设8FC a OC a ==+，则. ∴218(4)44A a a ⎛⎫++- ⎪⎝⎭，，∴21(4)44AC a =+-.∵244188(4)44ME ME AC a a a ==+++-，，∵ME a =.则4PM PN a ==+，∴8NE a =+.∵90AON ∠=︒，OE MN ⊥，∴△MOE ∽△ONE ， ∴OE EN ME OE =，∴484aa +=，解得1244a a =-+=--（舍去），∴2184(4)444a a +=++-=，.()4,4A ∴+6. 【难】（三角函数+直角三角形）（2012年海南中考）如图，顶点为()44P -，的二次函数图象经过原点()00，，点A 在该图象上，OA 交其对称轴l 于点M ，点M 、N 关于点P 对称，连接AN 、ON ．⑴ 求该二次函数的关系式．⑵ 若点A 的坐标是()63-，，求ANO △的面积．⑶ 当点A 在对称轴l 右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题： ①证明：ANM ONM ∠=∠②ANO △能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点A 的坐标，如果不能，请说明理由．【答案】⑴ ∵二次函数图象的顶点为()44P -，，∴设二次函数的关系式为()244y a x =--．又∵二次函数图象经过原点()00，， ∴()20044a =--，解得14a =． ∴二次函数的关系式为()21444y x =--，即2124y x x =-． ⑵ 设直线OA 的解析式为y kx =，将()63A -，代入得36k -=，解得12k =-．∴直线OA 的解析式为12y x =-．把4x =代入12y x =-得2y =-．∴()42M -，．又∵点M 、N 关于点P 对称， ∴()46N -，，4MN =．∴164122ANO S ∆=⋅⋅=． ⑶ ①证明：过点A 作AH l ⊥于点H ，，l 与x 轴交于点D ．则设2000124A x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，则直线OA 的解析式为20000121424x x y x x x x -⎛⎫==- ⎪⎝⎭．则()048M x -，，()04N x -，，2001424H x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ，．∴4OD =，0ND x =，04HA x =-，20014NH x x =-．∴04tan OD ONM ND x ∠==， ()()()000220000000444444tan 146444x x x HA ANM NH x x x x x x x ---∠=====-+--．∴tan tan ONM ANM ∠=∠． ∴ANM ONM ∠=∠．②不能．理由如下：分三种情况讨论：情况1，若ONA ∠是直角，由①，得45ANM ONM ∠=∠=︒， ∴AHN △是等腰直角三角形． ∴HA NH =，即2000144x x x -=-． 整理，得2008160x x -+=，解得04x =．∴此时，点A 与点P 重合．故此时不存在点A ，使ONA ∠是直角． 情况2，若AON ∠是直角，则222 O A ON AN +=． ∵222222200001244OA x x x ON x ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭，，()222200001424AN x x x x ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭，∴()222222220000000011244244x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+-++=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 整理，得320008160x x x -+=，解得00x =，04x =． ∴此时，故点A 与原点或与点P 重合．故此时不存在点A ，使AON ∠是直角．情况3，若NAO ∠是直角，则AMN DMO DON △∽△∽△， ∴MD ODOD ND=． ∵4OD =，08MD x =-，0ND x =， ∴00844x x -=． 整理，得2008160x x -+=，解得04x =． ∴此时，点A 与点P 重合．故此时不存在点A ，使ONA ∠是直角．综上所述，当点A 在对称轴l 右侧的二次函数图象上运动时，ANO △不能成为直角三角形．2、在特殊条件下存在点问题7. 【易】（全等+直角三角形）（2011年西宁）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角形ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C 为()10-，．如图所示，B 点在抛物线211222y x x =+-图象上，过点B 作BD x ⊥轴，垂足为D ，且B 点横坐标为3-．⑴ 求证：BDC COA △≌△；⑵ 求BC 所在直线的函数关系式；⑶ 抛物线的对称轴上是否存在点P ，使ACP △是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．x【答案】⑴ 证明：∵90BCD ACO ∠+∠=︒，90ACO OAC ∠+∠=︒，∴BCD OAD ∠=∠．∵ABC △为等腰直角三角形， ∴BC AC =．在BDC △和COA △中，90BDC COA BCD OAC BC AC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，BDC COA △≌△（AAS ）．⑵ 解：∵C 点坐标为()10-，． ∴1BD CO ==．∵B 点的横坐标为3-，∴B 点坐标为()31-，． 设BC 所在直线的函数关系式为y kx b =+， ∴031k b k b -+=⎧⎨-+=⎩， 解得1212k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ∴BC 所在直线的函数关系式为1122y x =--．⑶ 存在∵二次函数解析式为：211222y x x =+-， ∴22111117222228y x x x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭．∴对称轴为直线12x =-．若以AC 为直角边，点C 为直角顶点，对称轴上有一点1P ，使1CP AC ⊥， ∵BC AC ⊥，∴点1P 为直线BC 与对称轴直线12x =-的交点． 由题意可得： 112212y x x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 解得：111214x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ∴11124P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 若以AC 为直角边，点A 为直角顶点，对称轴上有一点2P ，使2AP AC ⊥， 则过点A 作2AP BC ∥，交对称轴直线12x =-于点2P ．∵CD OA =，∴()02A ，．由题意得直线2AP 的解析式为122y x =-+，12212y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 解得：111294x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴21924P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．∴P 点坐标分别为11124P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，、21924P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．x8. 【易】（线段最值+直角三角形）已知矩形纸片OABC 的长为4，宽为3，以长OA 所在的直线为x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系；点P 是OA 边上的动点（与点O A 、不重合），现将POC △沿PC 翻折得到PEC △，再在AB 边上选取适当的点D ，将PAD △沿PD 翻折，得到PFD △，使得直线PE PF 、重合．⑴ 若点E 落在BC 边上，如图①，求点P C D 、、的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式；⑵ 若点E 落在矩形纸片OABC 的内部，如图②，设OP x AD y ==，，当x 为何值时，y取得最大值？⑶ 在⑴的情况下，过点P C D 、、三点的抛物线上是否存在点Q ，使PDQ △是以PD 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q 的坐标．图②【答案】解：⑴ 由题意知，POC △、PAD △均为等腰直角三角形，可得()30P ，、()03C ，、()41D ， 设过此三点的抛物线为()20y ax bx c a =++≠，则39301641c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩∴12523a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩∴过P 、C 、D 三点的抛物线的函数关系式为215322y x x =-+ ⑵ 由已知PC 平分OPE ∠，PD 平分APF ∠，且PE 、PF 重合，则90CPD ∠=︒∴90OPC APD ∠+∠=︒，又90APD ADP ∠+∠=︒ ∴OPC ADP ∠=∠．∴Rt Rt POC DAP △∽△．∴OP OCAD AP =，即34x y x =- ∵()()()2211414420433333y x x x x x x =-=-+=--+<<∴当2x =时，y 有最大值43． ⑶ 假设存在，分两种情况讨论： ①当90DPQ ∠≠︒时，由题意可知90DPC ∠=︒，且点C 在抛物线上，故点C 与点Q 重合，所求的点Q 为()03，②当90DPQ ∠=︒时，过点D 作平行于PC 的直线DQ ，假设直线DQ 交抛物线于另一点Q ，∵点()30P ，、()03C ，， ∴直线PC 的方程为3y x =-+，将直线PC 向上平移2个单位与直线DQ 重合，∴直线DQ 的方程为5y x =-+ 由2515322y x y x x =-+⎧⎪⎨=-+⎪⎩ 得16x y =-⎧⎨=⎩或41x y =⎧⎨=⎩ 又点()41D ，， ∴()16Q -，故该抛物线上存在两点()03Q ，、()16-，满足条件．9. 【易】（线段最值+直角三角形）（2010广安）如图，直线1y x =--与抛物线24y ax bx =+-都经过点()10A -，、()34C -，．⑴求抛物线的解析式；⑵动点P 在线段AC 上，过点P 作x 轴的垂线与抛物线相交于点E ，求线段PE 长度的最大值；⑶当线段PE 的长度取得最大值时，在抛物线上是否存在点Q ，使PCQ △是以PC 为直角边的直角三角形?若存在，请求出Q 点的坐标；若不存在．请说明理由．【答案】⑴ 由题知409344a b a b --=⎧⎨+-=-⎩，解得1a =，3b =-，∴抛物线解析式为234y x x =--⑵ 设点P 坐标()1m m --，，则E 点坐标()234m m m --，，()13m -≤≤ ∴线段PE 的长度为：()()2221342314m m m m m m -----=-++=--+∴由二次函数性质知当1m =时，函数有最大值4，所以线段PE 长度的最大值为4．⑶ 由⑵知()12P -，①过P 作PC 的垂线与x 轴交于F ，与抛物线交于Q ，设AC 与y 轴交于G ，则()01G -，，1OG =，又可知()10A -，，则1OA =， ∴OAG △是等腰直角三角形， ∴45OAG ∠=︒∴PAF △是等腰直角三角形，由对称性知()30F ， 设直线PF 的解析式为11y k x b =+()10k ≠，则 1111302k b k b +=⎧⎨+=-⎩， 解之得11k =，13b =-， ∴直线PF 为3y x =- 由2334y x y x x =-⎧⎨=--⎩解得1121x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩2221x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴()121Q +，()221Q - ②过点C 作PC 的垂线与x 轴交于H ，与抛物线交点为Q ，由45HAC ∠=︒，知ACH △是等腰直角三角形，由对称性知H 坐标为()70，， 设直线CH 的解析式为22y k x b =+()20k ≠，则 22227034k b k b +=⎧⎨+=-⎩， 解之得21k =，27b =-， ∴直线CH 的解析式为7y x =- 解方程组2734y x y x x =-⎧⎨=--⎩得3316x y =⎧⎨=-⎩，4434x y =⎧⎨=-⎩当()34Q -，时，Q 与C 重合，PQC △不存在，所以Q 点坐标为()16-， 综上所述在抛物线上存在点()12551Q +-，，()22551Q ---，、()316Q -，使得PCQ △是以PC 为直角边的直角三角形．A OG PF BHE C(Q )xyQ 1Q 210. 【易】（面积+面积最值+直角三角形）（甘肃定西中考）如图，抛物线22y x x k =-+与x轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点()03C -，．［图⑵、图⑶为解答备用图］ ⑴ k =____________，点A 的坐标为____________，点B 的坐标为____________； ⑵ 设抛物线223y x x =-+的顶点为M ，求四边形ABMC 的面积；⑶ 在x 轴下方的抛物线上是否存在一点D ，使四边形ABDC 的面积最大？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由；⑷ 在抛物线22y x x k =-+上求点Q ，使BCQ △是以BC 为直角边的直角三角形．图⑴图⑵ 图⑶【答案】⑴3=-k ，()10A -，， ()30B ，．⑵如图⑴，抛物线的顶点为()14M -，，连结OM ． 则 AOC △的面积32=，MOC △的面积32=， MOB △的面积6=， ∴ 四边形ABMC 的面积AOC =△的面积MOC +△的面积MOB +△的面积9=．(1)⑶如图⑵，设()223D m m m --，，连结OD ． 则 03m <<，2230m m --<． 且 AOC △的面积32=，DOC △的面积32m =， DOB △的面积()23232m m =---， ∴ 四边形ABDC 的面积AOC =△的面积DOC +△的面积DOB +△的面积 239622m m =-++ 23375228m ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭． ∴ 存在点31524D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，使四边形ABDC 的面积最大为758．(2)⑷有两种情况：(3)(4)如图⑶，过点B 作1BQ BC ⊥，交抛物线于点1Q 、交y 轴于点E ，连接1Q C ． ∵ 45CBO =︒∠，∴45EBO =︒∠，3BO OE ==．∴ 点E 的坐标为()03，． ∴ 直线BE 的解析式为3y x =-+． 由2323y x y x x =-+⎧⎨=--⎩， 解得1125x y =-⎧⎨=⎩，；2230.x y =⎧⎨=⎩， ∴ 点1Q 的坐标为()25-，． 如图⑷，过点C 作CF CB ⊥，交抛物线于点2Q 、交x 轴于点F ，连接2BQ ． ∵ 45CBO =︒∠，∴45CFB =︒∠，3OF OC ==．∴ 点F 的坐标为()30-，． ∴ 直线CF 的解析式为3y x =--． 由2323y x y x x =--⎧⎨=--⎩，解得3303x y =⎧⎨=-⎩，4414x y =⎧⎨=-⎩ ∴点2Q 的坐标为()14-，．综上，在抛物线上存在点()125Q -，、()214Q -，，使1BCQ △、2BCQ △是以BC 为直角边的直角三角形．11. 【中】（等腰直角三角形+直角三角形）(2011年绵阳)已知抛物线221y x x m =-+-与x 轴只有一个交点，且与y 轴交于A 点，如图，设它的顶点为B⑴ 求m 的值；⑵ 过A 作x 轴的平行线，交抛物线于点C ，求证：ABC △是等腰直角三角形； ⑶ 将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线C ′，且与x 轴的左半轴交于E 点，与y 轴交于F 点，如图.请在抛物线C ′上求点P ，使得EFP △是以EF 为直角边的直角三角形.【答案】⑴ ∵抛物线221y x x m =-+-与x 轴只有一个交点，∴()()224110m =--⨯⨯-=△，解得2m =⑵ 由⑴知抛物线的解析式为221y x x =-+，易得顶点()10B ，，当0x =时，1y =，得()01A ，. 由2121x x =-+解得0x =（舍），或2x =，所以()21C ，. 过C 作x 轴的垂线，垂足为D ，则1CD =，1D B BD x x =-=. ∴在Rt CDB △中，45CBD =︒∠，BC .同理，在Rt AOB △中，1AO OB ==，于是45ABO =︒∠，AB =∴18090ABC CBD ABO ∠=︒-∠-∠=︒，AB BC =，因此ABC △是等腰直角三角形．⑶ 由题知，抛物线C ′的解析式为223y x x =--，当0x =时，3y =-；当0y =时，1x =-，或3x =，∴()10E -，，()03F -，，即1OE =，3OF =. ①若以E 点为直角顶点，设此时满足条件的点为()111P x y ，，作1PM x ⊥轴于M .∵190PEM OEF EFO OEF +=+=︒∠∠∠∠， ∴1PEM EFO =∠∠，得1Rt Rt EFO PEM △∽△，于是113PM OE EM OF ==，即13EM PM =.∵11EM x =+，11PM y =，∴1113x y +=. （*） 由于()111P x y ，在抛物线C ′上，有()21113231x x x --=+， 整理得21137100x x --=，解得11x =-（舍），或1103x =. 把1103x =代入（*）中可解得1139y =.∴1101339P ⎛⎫⎪⎝⎭，. ②若以F 点为直角顶点，设此时满足条件的点为()222P x y ，，作2P N ⊥与y 轴于N .同①，易知2Rt Rt EFO FP N △∽△，得213FN OE P N OF ==，即23P N FN =. ∵22P N x =，23FN y =+，∴()2233x y =+. （**）由于()222P x y ，在抛物线C ′上，有()22223323x x x =+--，整理得222370x x -=，解得20x =（舍），或273x =. 把273x =代入（**）中可解得2209y =-.∴272039P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，. 综上所述，满足条件的P 点的坐标为101339⎛⎫ ⎪⎝⎭，或72039⎛⎫- ⎪⎝⎭，.12. 【中】（直角三角形+平移）（成都市中考）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()()210y a x c a =++>与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，其顶点为M ,若直线MC 的函数表达式为3y kx =-,与x 轴的交点为N，且cos BCO ∠ ⑴ 求此抛物线的函数表达式；⑵ 在此抛物线上是否存在异于点C 的点P ，使以N 、P 、C 为顶点的三角形是以NC 为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标：若不存在，请说明理由； ⑶ 过点A 作x 轴的垂线，交直线MC 于点Q .若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ 总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度?【答案】解：⑴ ∵直线MC 的函数表达式为3y kx =-，∴点()03C -，.∵||cos ||OC BCO BC ===∠， ∴可设()||30OC t t =>，||BC =. 则由勾股定理，得||OB t =.而||33OC t ==，∴1t =.∴||1OB =.∴点()10B ，. ∵点()10B ，、()03C -，在抛物线上， ∴403.a c a c +=⎧⎨+=-⎩，解得14.a c =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的函数表达式为()221423y x x x =+-=+-.⑵ 假设在抛物线上存在异于点C 的点P ，使以N 、P 、C 为顶点的三角形是以NC 为一条直角边的直角三角形. ①若PN 为另一条直角边.∵点()14M --，在直线MC 上，∴43k -=--，即1k =. ∴直线MC 的函数表达式为3y x =-.易得直线MC 与x 轴的交点N 的坐标为()30N ，. ∵||||ON OD =，∴45DNO =︒∠，∴90PNC =︒∠.设直线ND 的函数表达式为y mx n =+. 由303m n n +=⎧⎨=⎩，13.m n =-⎧⇒⎨=⎩，∴直线ND 的函数表达式为3y x =-+.设点()3P x x -+，，代入抛物线的函数表达式，得 2323x x x -+=+-，即2360x x +-=.解得1x ，2x =.∴1y ，2y =.∴满足条件的点为1P ⎝⎭、2P ⎝⎭. ②若PC 是另一条直角边.∵点A 是抛物线与x 轴的另一交点，∴点A 的坐标为()30-，. 连接AC .∵||||OA OC =，∴45OCA =︒∠，又45OCN =︒∠，∴90ACN =︒∠.∴点A 就是所求的点()330P -，. [或：求出直线AC 的函数表达式为3y x =--.设点()3P x x --，，代入抛物线的函数表达式，得2323x x x --=+-，即230x x +=.解得1230x x =-=，.∴ 1203y y ==-，.∴点()230P -，，()403P -，（舍去）.] 综上可知，在抛物线上存在满足条件的点，有3个，分别为：1P ⎝⎭、2P ⎝⎭、()330P -，. ⑶ ①若抛物线沿其对称轴向上平移，设向上平移()0b b >个单位.可设函数表达式为223y x x b =+-+.由2233y x x b y x ⎧=+-+⎨=-⎩，消去y ，得20x x b ++=. ∴要使抛物线与线段NQ 总有交点，必须140b =-Δ≥，即14b ≤.∴104b <≤.∴若抛物线向上平移，最多可平移14个单位长度. ②若抛物线沿其对称轴向下平移，设向下平移()0b b >个单位. 可设函数表达式为223y x x b =+--.∵当3x =-时，y b =-；当3x =时，12y b =-.易求得()36Q --，，又()30N ，. ∴要使抛物线与线段NQ 总有交点，必须6b --≥或12b -≥0，即6b ≤或612≤.∴012b <≤.∴若抛物线向下平移，最多可平移12个单位长度.[或：若抛物线沿其对称轴向下平移，设平移()0b b >个单位. 则2123y x x b =+--，23y x =-在33x -≤≤总有交点.即22122330y y x x b x x x b -=+---+=+-=在33x -≤≤总有实数根. 令221124y x x x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭.在33x -≤≤时，1124y -≤≤.∴要使20x x b +-=在33x -≤≤有解，b 必须满足1124b -≤≤.∴012b <≤，即b 的最大值为12.∴向下最多可平移12个单位长度.]综上可知，若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ 总有公共点，则向上最多可平移14个单位长度，向下最多可平移12个单位长度.13. 【易】（直角三角形）（2012杭州）在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数()21y k x x =+-的图象交于点()1A k ，和点()1B k --，． ⑴当2k =-时，求反比例函数的解析式；⑵要使反比例函数和二次函数都是y 随着x 的增大而增大，求k 应满足的条件以及x 的取值范围；⑶设二次函数的图象的顶点为Q ，当ABQ △是以AB 为斜边的直角三角形时，求k 的值．【答案】解：⑴当2k =-时，()12A -，，∵A 在反比例函数图象上， ∴设反比例函数的解析式为：my x=()0m ≠， 代入()12A -，得：21m-=， 解得：2m =-，∴反比例函数的解析式为：2y x=-，⑵∵要使反比例函数和二次函数都是y 随着x 的增大而增大，∴0k <，∵二次函数()2215124y k x x k x k ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭的对称轴为：直线12x =-，要使二次函数()21y k x x =+-满足上述条件，在0k <的情况下，x 必须在对称轴的左边，即12x <-时，才能使得y 随着x 的增大而增大，∴综上所述，0k <且12x <-；⑶由⑵可得：1524Q k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，∵ABQ △是以AB 为斜边的直角三角形，A 点与B 点关于原点对称，（如图是其中的一种情况） ∴原点O 平分AB ， ∴OQ OA OB ==，作AD x ⊥轴，QC x ⊥轴，垂足为D 、C ，∴OQ ==，∵OA解得：k =14. 【中】（面积+直角三角形）（2010郴州）如图⑴，抛物线24y x x =+-与y 轴交于点A ，()0E b ，为y 轴上一动点，过点E 的直线y x b =+与抛物线交于点B 、C .⑴求点A 的坐标；⑵当0b =时（如图⑵），ABE △与ACE △的面积大小关系如何？当4b >-时，上述关系还成立吗，为什么？⑶是否存在这样的b ，使得BOC △是以BC 为斜边的直角三角形，若存在，求出b ；若不存在，说明理由.(1)(2)【答案】⑴将0x =，代入抛物线解析式，得点A 的坐标为()04-，⑵当0b =时，直线为y x =，由24y xy x x =⎧⎨=+-⎩解得1122x y =⎧⎨=⎩，2222x y =-⎧⎨=-⎩ 所以B 、C 的坐标分别为()22--，，()22， 14242ABE S =⨯⨯=△，14242ACE S =⨯⨯=△所以ABE ACE S S =△△（利用同底等高说明面积相等亦可） 当4b >-时，仍有ABE ACE S S =△△成立. 理由如下由24y x b y x x =+⎧⎨=+-⎩，解得11x y b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，22x y b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 所以B 、C的坐标分别为()b，)b ，作BF y ⊥轴，CG y ⊥轴，垂足分别为F 、G，则BF CG == 而ABE △和ACE △是同底的两个三角形， 所以ABE ACE S S =△△.⑶存在这样的b .因为BF CG =，BEF CEG =∠∠，90BFE CGE ==︒∠∠ 所以BEF CEG △≌△，所以BE CE =，即E 为BC 的中点 所以当OE CE =时，OBC △为直角三角形，因为GE b b GC -所以CE =||OE b =||b =，解得14b =，22b =-， 所以当4b =或2-时，OBC △为直角三角形.2、需要对直角讨论的类型15. 【易】（直角三角形）（宁夏回族自治区中考）如图，抛物线21222y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点． ⑴求A 、B 、C 三点的坐标； ⑵证明ABC △为直角三角形；⑶在抛物线上除C 点外，是否还存在另外一个点P ，使ABP △是直角三角形，若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】⑴∵抛物线21222y x =-++与x 轴交于A 、B 两点，∴21202x -+=.即240x -=．解之得：1x =2x =．∴点A 、B的坐标为()0A、()0B ．将0x =代入2122y x =-++，得C 点的坐标为()02，⑵∵AC，BC =AB = ∴222AB AC BC =+，则90ACB =︒∠，∴ABC △是直角三角形． ⑶将2y =代入2122y x =-+得212222x x -++=，∴10x =，2x = ∴P点坐标为)2．16. 【易】（三角函数+直角三角形）（2011年沈阳）如图1，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点()03C -，，对称轴是直线1x =，直线BC 与抛物线的对称轴交于点D ．⑴求抛物线的函数表达式； ⑵求直线BC 的函数表达式；⑶点E 为y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交CE 于点F ，交抛物线于P 、Q 两点，且点P 在第三象限． ①当线段34PQ AB =时，求tan CED ∠的值； ②当以C 、D 、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P 的坐标．x =1图1【答案】⑴设抛物线的函数表达式为()21y x n =-+，代入点()03C -，，得4n =-． 所以抛物线的函数表达式为()221423y x x x =--=--．⑵由()()22313y x x x x =--=+-，知()10A -，，()30B ，．设直线BC 的函数表达式为y kx b =+()0k ≠，代入点()30B ，和点()03C -，，得303.k b b +=⎧⎨=-⎩，解得1k =，3b =-．所以直线BC 的函数表达式为3y x =-． ⑶①因为4AB =，所以334PQ AB ==．因为P 、Q 关于直线1x =对称，所以点P 的横坐标为12-．于是得到点P 的坐标为1724⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，点F 的坐标为704⎛⎫- ⎪⎝⎭，．所以75344FC OC OF =-=-=，522EC FC ==．进而得到51322OE OC EC =-=-=，点E 的坐标为102⎛⎫- ⎪⎝⎭，．直线3BC y x =-∶与抛物线的对称轴1x =的交点D 的坐标为()12-，． 过点D 作DH y ⊥轴，垂足为H ．在Rt EDH △中，1DH =，13222EH OH OE =-=-=，所以2tan 3DH CED EH ==∠．②()112P -，2512P ⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭．图2 图3 图417. 【中】（面积+直角三角形）（2012届九年级第一模拟试题）如图，矩形A BC O ′′′是矩形OABC (边OA 在x 轴正半轴上，边OC 在y 轴正半轴上)绕B 点逆时针旋转得到的．O ′点在x 轴的正半轴上，B 点的坐标为()13，． 如果二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象经过O 、O ′两点且图象顶点M 的纵坐标为1-．⑴求这个二次函数的解析式；⑵在⑴中求出的二次函数图象对称轴的右支上是否存在点P，使得POM△为直角三角形?若存在，请求出P点的坐标和POM△的面积；若不存在，请说明理由；MA'O'C'ABCOyx【答案】解：⑴22y x x=-⑵满足条件的点有()20P，或()33P，，13POMS=△或18.【中】（面积+直角三角形）（2013年兰州市初中毕业生数学学业考试）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分1C与经过点A、D、B的抛物线的一部分2C组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C的坐标为32⎛⎫-⎪⎝⎭，，点M是抛物线2C：223y mx mx m=--（0m<）的顶点．⑴求A、B两点的坐标；⑵“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得PBC△的面积最大？若存在，求出PBC△面积的最大值；若不存在，请说明理由；⑶当BDM△为直角三角形时，求m的值．【答案】⑴解：令0y=，则2230mx mx m--=∵0m<，∴2230x x--=解得：11x=-，23x=∴()10A -，、()30B ， ⑵存在．∵设抛物线1C 的表达式为1(3)y a x x =+-（）（0a ≠），把302C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入可得12a =∴1C ：21322y x x =-- 设21322P n n n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴23327–4216PBC POC BOP BOC S S S S n ⎛⎫=+=--+ ⎪⎝⎭△△△△∵304a =-<，∴当32n =时，PBC S △最大值为2716． ⑶ 由2C 可知：()30B ，，()03D m -，，()14M m -，2299BD m =+，22164BM m =+，221DM m =+，∵90MBD ∠<︒，∴讨论90BMD ∠=︒和90BDM ∠=︒两种情况．当90BMD ∠=︒时，222BM DM BD +=，222164199m m m +++=+解得：12m =，22m =（舍去） 当90BDM ∠=︒时，222BD DM BM +=，222991164m m m +++=+解得：11m =-，21m =（舍去）综上1m =-或2m =-时，BDM △为直角三角形．19. 【中】（面积+直角三角形）（2012年广州）如图1，抛物线233384y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ． ⑴求点A 、B 的坐标；⑵设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当ACD △的面积等于ACB △的面积 时，求点D 的坐标；⑶若直线l 过点()40E ，，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．三个时，求直线l 的解析式．图1【答案】⑴由()()2333342848y x x x x =--+=-+-，得抛物线与x 轴的交点坐标为()40A -，、()20B ，．对称轴是直线1x =-． ⑵ACD △与ACB △有公共的底边AC ，当ACD △的面积等于ACB △的面积时，点B 、D 到直线AC 的距离相等．过点B 作AC 的平行线交抛物线的对称轴于点D ，在AC 的另一侧有对应的点D ′． 设抛物线的对称轴与x 轴的交点为G ，与AC 交于点H ． 由BD AC ∥，得DBG CAO =∠∠．所以34DG CO BG AO ==． 所以3944DG BG ==，点D 的坐标为914⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．因为AC BD ∥，AG BG =，所以HG DG =．而D H DH =′，所以2734D G DG ==′．所以D ′的坐标为2714⎛⎫⎪⎝⎭，．图2 图3⑶过点A 、B 分别作x 轴的垂线，这两条垂线与直线l 总是有交点的，即2个点M ．以AB 为直径的G ⊙如果与直线l 相交，那么就有2个点M ；如果圆与直线l 相切，就只有1个点M 了． 联结GM ，那么GM l ⊥．在Rt EGM △中，3GM =，5GE =，所以4EM =．在1Rt EM A △中，8AE =，113tan 4M A M EA AE ==∠，所以16M A =． 所以点1M 的坐标为()46-，，过1M 、E 的直线l 为334y x =-+． 根据对称性，直线l 还可以是334y x =-．20. 【中】（面积+直角三角形）(丰台区2010年初三毕业及统一练习)已知抛物线22y x x =--．⑴求抛物线顶点M 的坐标；⑵若抛物线与x 轴的交点分别为点A 、B （点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点N 为线段BM 上的一点，过点N 作x 轴的垂线，垂足为点Q ．当点N 在线段BM 上运动时（点N 不与点B ，点M 重合），设NQ 的长为t ，四边形NQAC 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式及自变量t 的取值范围；⑶在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ，使PAC △为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：⑴∵抛物线21924y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∴顶点M 的坐标为1924⎛⎫- ⎪⎝⎭，． ⑵抛物线与22y x x =--与x 轴的两交点为()10A -，，()20B ，． 设线段BM 所在直线的解析式为y kx b =+()0k ≠． ∴2019.24k b k b +=⎧⎪⎨+=-⎪⎩，解得323k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴线段BM 所在直线的解析式为332y x =-．设点N 的坐标为()x t -，．∵点N 在线段BM 上，∴332t x -=-． ∴223x t =-+．∴AOC NQAC OQNC s S S =+△四边形梯形21121112(2)2322333t t t t ⎛⎫=⨯⨯++-+=-++ ⎪⎝⎭． ∴S 与t 之间的函数关系式为211333S t t =-++，自变量t 的取值范围为904t <<． ⑶假设存在符合条件的点P ，设点P 的坐标为()P m n ，，则12m >且22n m m =--．222(1)PA m n =++，222(2)PC m n =++，25AC =．分以下几种情况讨论：①若90PAC ∠=°，则222PC PA AC =+．∴222222,(2)(1) 5.n m m m n m n ⎧=--⎪⎨++=+++⎪⎩ 解得152m =，21m =-．∵12m >．∴52m =．∴15724P ⎛⎫⎪⎝⎭，．②若90PCA ∠=°，则222PA PC AC =+．∴222222,(1)(2) 5.n m m m n m n ⎧=--⎪⎨++=+++⎪⎩解得332m =，40m =．∵12m >，∴32m =．∴23524P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．当点P 在对称轴右侧时，PA AC >，所以边AC 的对角APC ∠不可能是直角．∴存在符合条件的点P ，且坐标为15724P ⎛⎫⎪⎝⎭，，23524P⎛⎫- ⎪⎝⎭，．21. 【中】（面积最值+直角三角形）已知二次函数22y ax bx =+-的图象经过点()10A ，及()20B -，两点．⑴求二次函数的表达式及抛物线顶点M 的坐标；⑵若点N 为线段BM 上的一点，过点N 作x 轴的垂线，垂足为点Q ．当点N 在线段BM 上运动时（点N 不与点B 、点M 重合）．设NQ 的长为t ，四边形NQAC 的面积为S ,求S 与t 之间的函数关系式，并写出四边形NQAC 的面积的最大值；⑶在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使PAC △为直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P 的坐标．【答案】解：⑴设抛物线的解析式为()()12y a x x =-+()0a ≠，将()02C -，坐标代入， 得：1a =，∴22y x x =+-；其顶点M 的坐标是1924⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． ⑵设线段BM 所在直线的解析式为y kx b =+， ∴029142k b k b =-+⎧⎪⎨-=-+⎪⎩.解得：32k =-，3b =-，∴线段BM 所在的直线的解析式为332y x =--．∵ 332t x -=--，∴223x t =-，点N 的坐标为223N t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，, ∴()2112111222322333AOC OCNQ S S S t t t t =+=⨯⨯++⋅-=-++梯形△．∴S 与t 间的函数关系式为211333S t t =-++．12t =时，S 的最大值为3712.⑶存在符合条件的点P ，设点P 的坐标为12P m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，如图，连接PA 、PC ，作CE MF ⊥于E ． 则222125AC =+=；222112PA m ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭；()222122PC m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．分以下几种情况讨论：①若90APC =︒∠,则222PC PA AC +=，()2222111222m m ⎛⎫⎛⎫--++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5，解得：112m =-，232m =-， ②若90ACP =︒∠,则222PC AC PA +=，()22122m ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭522112m ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，解得：74m =-. ③若90PAC =︒∠，则222AC PA PC +=，()22221151222m m ⎛⎫⎛⎫+--+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：34m =．综上所述，存在满足条件的点P ,其坐标分别是:11122P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，21322P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，31724P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，41324P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，.。

2019年浙江省中考数学分类汇编专题:二次函数一、单选题1.二次函数y=（x-1）2+3图象的顶点坐标是（）A.(1，3)B.（1，-3)C.（-1，3）D.（-1，-3）【答案】A【考点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质【解析】【解答】解：∵y=（x-1）2+3，∴二次函数图像顶点坐标为：（1，3）.故答案为：A.【分析】根据二次函数顶点式即可得出顶点坐标.2.已知二次函数，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（）A.有最大值﹣1，有最小值﹣2B.有最大值0，有最小值﹣1C.有最大值7，有最小值﹣1D.有最大值7，有最小值﹣2【答案】D【考点】二次函数的最值【解析】【解答】∵由知当x=2，最小值为-2，又∵x=-1与x=3关于x=2对称故最大值为，故答案为：D。

【分析】先配方，∵对称轴x=2，在给定定义域范围内，故最小值可求。

图像张口向上，故离图像最远的点为最大值。

3.小飞研究二次函数(为常数)性质时如下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线上；②存在一个的值，使得函数图象的顶点与轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点与点在函数图象上，若，，则；④当时，随的增大而增大，则的取值范围为其中错误结论的序号是（）A.①B.②C.③D.④【答案】C【考点】二次函数与一次函数的综合应用，二次函数y=a（x-h）^2+k的性质，二次函数的实际应用-几何问题【解析】【解答】解：∵抛物线y=-（x-m）2-m+1∴顶点坐标为：（m，-m+1）∵y=-x+1当x=m时，y=-m+1∴抛物线的顶点坐标始终在直线y=-x+1上，故①正确；设抛物线的顶点坐标C（m，-m+1），与x轴的两交点坐标为B、A过点C作CD⊥x轴，当△ACB是等腰直角三角形时，则AD=DB=CD=-m+1，OD=m∴点B的横坐标为：m+（-m+1）=1∴点B（1,0）∴-（1-m）2-m+1=0解之：m1=1（舍去），m2=0当m=0时，抛物线的顶点与x轴的两交点构成等腰直角三角形，故②正确；∵A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2＞2m∴∵a=-1，对称轴为直线x=m∴当x＞m时，y随x的增大而减小，∴时，，故③错误；∵当-1＜x＜2时，y随x的增大而增大，对称轴为直线x=m∴m≥2，故④正确；故答案为：C【分析】利用抛物线的解析式，可得到顶点坐标，再将顶点坐标代入y=-x+1进行验证，就可对①作出判断；过点C作CD⊥x轴，利用等腰直角三角形的性质，可知AD=DB=CD=-m+1，OD=m，从而求出点B的坐标，再将点B的坐标代入抛物线的解析式，就可求出符合题意的m的值，可对②作出判断；利用二次函数的性质，可对③④作出判断；综上所述，可得出说法错误的结论。

2019年中考数学专题复习第十四讲 二次函数的图象和性质【基础知识回顾】一、 二次函数的定义：一般地如果y= （a 、b 、c 是常数a≠0）那么y 叫做x 的二次函数。

【名师提醒：1、二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的结构特征是：等号左边是函数，右边是 关于 自 变 量x 的 二 次 式，x 的 最 高 次 数 是 ， 按 项、 项、 项依次排列 2、强调二次项系数a 0】 二、二次函数的图象和性质：1、二次函数y=kx 2+bx+c （a≠0)的图象是一条 ,其定点坐标为 对称轴是 。

2、在抛物y=ax 2+bx+c(a≠0）中:①、当a 〉0时，开口向 ，当x 〈—2b a时，y 随x 的增大而 ，当x 时，y 随x 的增大而增大，②、当a 〈0时，开口向 ，当x〈-2b a时,y 随x 增大而增大，当x 时，y 随x 增大而减小 【名师提醒：注意几个特殊形式的抛物线的特点1、y=ax 2 ，对称轴 顶点坐标2、y= ax 2 +k ，对称轴 顶点坐标3、y=a （x —h ） 2对称轴 顶点坐标4、y=a （x-h ） 2 +k 对称轴 顶点坐标 】 三、二次函数图象的平移【名师提醒:二次函数的平移本质可看作是顶点间的平移,因此要掌握整条抛物线的平移，只需抓住关键的顶点平移即可】四、二次函数y= ax2+bx+c的同象与字母系数之间的关系：a：开口方向向上则a 0，向下则a 0 ｜a|越大，开口越b：对称轴位置，与a联系一起，用左右判断，当b=0时，对称轴是c：与y轴的交点：交点在y轴正半轴上,则c 0，在y轴负半轴上则c 0，当c=0时,抛物线过点【名师提醒：在抛物线y= ax2+bx+c中，当x=1时，y= 当x=-1时y= ，经常根据对应的函数值判断a+b+c和a—b+c的符号】【重点考点例析】考点一:二次函数图象上点的坐标特点例1 (2018•湖州)已知抛物线y=ax2+bx—3（a≠0）经过点（-1，0），（3，0），求a,b的值．【思路分析】根据抛物线y=ax2+bx-3(a≠0）经过点（—1，0），（3,0），可以求得a、b的值，本题得以解决．【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx—3（a≠0）经过点(-1,0），（3,0），∴30 9330a ba b--+-⎧⎨⎩＝＝，解得，12ab-⎧⎨⎩＝＝,即a的值是1,b的值是-2．【或左(h<0)】向右(h>0)【或左(h 平移|k|个单位【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．考点二：二次函数的图象和性质例2 （2018•德州)如图，函数y=ax2—2x+1和y=ax-a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（）A．B．C．D．【思路分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符,判断正误即可．【解答】解：A、由一次函数y=ax-a的图象可得:a＜0,此时二次函数y=ax2-2x+1的图象应该开口向下，故选项错误；B、由一次函数y=ax—a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2—2x+1的图象应该开口向上,对称轴x=—22a-＞0,故选项正确；C、由一次函数y=ax—a的图象可得:a＞0，此时二次函数y=ax2—2x+1的图象应该开口向上,对称轴x=-22a-＞0，和x轴的正半轴相交，故选项错误；D、由一次函数y=ax—a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2—2x+1的图象应该开口向上，故选项错误．故选：B．【点评】本题考查了二次函数以及一次函数的图象,解题的关键是熟记一次函数y=ax-a 在不同情况下所在的象限,以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．例3 （2018•新疆）如图，已知抛物线y 1=-x 2+4x 和直线y 2=2x ．我们规定:当x 取任意一个值时,x 对应的函数值分别为y 1和y 2，若y 1≠y 2，取y 1和y 2中较小值为M;若y 1=y 2,记M=y 1=y 2．①当x ＞2时，M=y 2；②当x ＜0时,M 随x 的增大而增大；③使得M 大于4的x 的值不存在；④若M=2，则x=1．上述结论正确的是 （填写所有正确结论的序号)．【思路分析】①观察函数图象，可知：当x ＞2时,抛物线y 1=-x 2+4x 在直线y 2=2x 的下方,进而可得出当x ＞2时，M=y 1，结论①错误；②观察函数图象，可知：当x ＜0时，抛物线y 1=—x 2+4x 在直线y 2=2x 的下方，进而可得出当x ＜0时，M=y 1，再利用二次函数的性质可得出M 随x 的增大而增大，结论②正确；③利用配方法可找出抛物线y 1=-x 2+4x 的最大值，由此可得出：使得M 大于4的x 的值不存在，结论③正确；④利用一次函数图象上点的坐标特征及二次函数图象上点的坐标特征求出当M=2时的x 值,由此可得出:若M=2，则x=1或2+2，结论④错误． 此题得解．【解答】解：①当x ＞2时,抛物线y 1=-x 2+4x 在直线y 2=2x 的下方， ∴当x ＞2时，M=y 1，结论①错误；②当x ＜0时，抛物线y 1=-x 2+4x 在直线y 2=2x 的下方, ∴当x ＜0时，M=y 1，∴M随x的增大而增大，结论②正确；③∵y1=—x2+4x=—（x—2）2+4，∴M的最大值为4，∴使得M大于4的x的值不存在,结论③正确；④当M=y1=2时，有—x2+4x=2，解得:x1=2-2（舍去)，x2=2+2；当M=y2=2时，有2x=2，解得：x=1．∴若M=2，则x=1或2+2，结论④错误．综上所述：正确的结论有②③．故答案为：②③．【点评】本题考查了一次函数的性质、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征以及二次函数图象上点的坐标特征,逐一分析四条结论的正误是解题的关键．考点三：抛物线的特征与a、b、c的关系例4 (2018•滨州）如图，若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C,与x轴交于点A、点B（—1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a—b+c＜0；③b2-4ac＜0；④当y＞0时,-1＜x＜3,其中正确的个数是（)A．1 B．2C．3 D．4【思路分析】直接利用二次函数的开口方向以及图象与x轴的交点,进而分别分析得出答案．【解答】解：①∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0)图象的对称轴为x=1，且开口向下，∴x=1时，y=a+b+c,即二次函数的最大值为a+b+c，故①正确；②当x=—1时，a-b+c=0，故②错误；③图象与x轴有2个交点，故b2-4ac＞0，故③错误；④∵图象的对称轴为x=1，与x轴交于点A、点B（-1，0),∴A（3，0)，故当y＞0时，—1＜x＜3，故④正确．故选:B．【点评】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数最值等知识，正确得出A点坐标是解题关键．考点四：抛物线的平移例5 （2018•广安）抛物线y=（x-2）2—1可以由抛物线y=x2平移而得到，下列平移正确的是（）A．先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度B．先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度C．先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度D．先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度【思路分析】抛物线平移问题可以以平移前后两个解析式的顶点坐标为基准研究．【解答】解：抛物线y=x2顶点为（0，0）,抛物线y=(x—2）2—1的顶点为（2，—1），则抛物线y=x2向右平移2个单位，向下平移1个单位得到抛物线y=（x-2）2-1的图象．故选：D．【点评】本题考查二次函数图象平移问题,解答时最简单方法是确定平移前后的抛物线顶点，从而确定平移方向．考点五：二次函数的应用例6（2018•衢州)某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高,高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；（2）王师傅在喷水池内维修设备期间,喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米,各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．【思路分析】（1）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式,代入点（8,0），求出a值，此题得解；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征,求出当y=1。

备战2019年中考数学压轴题之二次函数专题05 二次函数背景下的特殊三角形存在性判定【方法综述】特殊三角形包括直角三角形和等腰三角形，在每一种种特殊三角形的基础上，此类问题分为固定边的三角形计算与判定和三角形的分类讨论。

直角三角形的分类讨论要对三边分别为斜边的情况分类讨论，主要应用直角的存在，并以此为条件利用勾股定理和三角形相似构造等式，同时还有可能应用隐形的圆中直径所对圆周角是直角的性质或其逆定理。

等腰三角形的分类讨论主要在是当三角形的边为等腰三角形的腰和底边。

对于定长线段为腰时，为了找到相关点，可以分别以该线段的两个端点为圆心，定长线段为半径作圆，分别找到满足条件的点，再由勾股定理或相似三角形进行计算或构造方程解决问题。

当讨论某一条边为等腰三角形的底边是，往往所求第三个顶点在该边的垂直平分线上，通过做线段垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质以构造方程，以解决问题。

【典例示范】类型一固定边的直角三角形判定例1：如图所示，已知抛物线的图像经过点A(1,0),B(0,5),（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C,求出点C的坐标；并确定在抛物线上是否存在一点E,使△BCE是以BC为斜边的直角三角形？若存在，在图中做出所有的点E（不写画法，保留作图痕迹）；若不存在，说明理由；（3）点P是直线BC上的一个动点（P点不与B点和C点重合），过点P做x轴的垂线，交抛物线于点M,点Q在直线BC上，距离点P为个单位长度，设点P的横坐标为t，△PMQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式。

针对训练1．在平面直角坐标系中，抛物线与轴的两个交点分别为A（-3，0）、B（1，0），过顶点C作CH⊥x轴于点H.（1）直接填写：= ，b= ，顶点C的坐标为；（2）在轴上是否存在点D，使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；（3）若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQ⊥AC于点Q，当△PCQ与△ACH相似时，求点P的坐标.2．抛物线的顶点为（1，﹣4），与x轴交于A、B两点，与y轴负半轴交于C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为对称轴右侧抛物线上一点，以BP为斜边作等腰直角三角形，直角顶点M落在对称轴上，求P 点的坐标．3．如图，已知直线y＝x+2交x轴、y轴分别于点A、B，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣，且抛物线经过A、B两点，交x轴于另一点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是抛物线x轴上方一点，∠MBA＝∠CBO，求点M的坐标；（3）过点A作AB的垂线交y轴于点D，平移直线AD交抛物线于点E、F两点，连结EO、FO．若△EFO 为以EF为斜边的直角三角形，求平移后的直线的解析式．4．如图，已知直线y＝x+2交x轴、y轴分别于点A、B，抛物线y＝ax2+b x+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣，且抛物线经过A、B两点，交x轴于另一点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是抛物线x轴上方一点，∠MBA＝∠CBO，求点M的坐标；（3）过点A作AB的垂线交y轴于点D，平移直线AD交抛物线于点E、F两点，连结EO、FO．若△EFO 为以EF为斜边的直角三角形，求平移后的直线的解析式．5．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+1经过A（﹣1，0），B（1，1）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）阅读理解：在同一平面直角坐标系中，直线l1：y＝k1x+b1（k1，b1为常数，且k1≠0），直线l2：y＝k2x+b2（k2，b2为常数，且k2≠0），若l1⊥l2，则k1•k2＝﹣1．①若直线y＝2x﹣1与直线y＝mx+2互相垂直，则m的值是____；②抛物线上是否存在点P，使得△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）M是抛物线上一动点，且在直线AB的上方（不与A，B重合），求点M到直线AB的距离的最大值．6．如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点A（x1，0）、B（x2，0），我们把|x1﹣x2|记为d（A、B），抛物线的顶点到x轴的距离记为d（x），如果d（A，B）=d（x），那么把这样的抛物线叫做“正抛物线”．（1）抛物线y=2x2﹣2是不是“正抛物线”；（回答“是”或“不是”）．（2）若抛物线y=﹣x2+bx（b＞0）是“正抛物线”，求抛物线的解析式；（3）如图，若“正抛物线”y=x2+mx（m＜0）与x轴相交于A、B两点，点P是抛物线的顶点，则抛物线上是否存在点C，使得△PAC是以PA为直角边的直角三角形？如果存在，请求出C的坐标；若不存在，请说明理由．7．已知，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）设点M在抛物线的对称轴上，当△MAC是以AC为直角边的直角三角形时，求点M的坐标．类型二固定边的等腰三角形例2．在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P 是直线BC 下方抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在点P，使△POC 是以OC 为底边的等腰三角形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说（3）在抛物线上是否存在点D（与点A 不重合）使得S△DBC＝S△ABC，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．针对训练1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于A、B两点，交y轴于点C，点C关于抛物线对称轴的对称点为点D．(1)求线段AC的长度；(2)P为线段BC上方抛物线上的任意一点，点E为（0，﹣1），一动点Q从点P出发运动到y轴上的点G，再沿y轴运动到点E．当四边形ABPC的面积最大时，求PG+GE的最小值；(3)将线段AB沿x轴向右平移，设平移后的线段为A'B'，直至A'P平行于y轴（点P为第2小问中符合题意的P点），连接直线CB'．将△AOC绕着O旋转，设旋转后A、C的对应点分别为A''、C'，在旋转过程中直线A''C'与y轴交于点M，与线段CB'交于点N．当△CMN是以MN为腰的等腰三角形时，写出CM的长度．2．如图1，已知抛物线y=﹣x2﹣4x+5交x轴于点A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，点D 为抛物线的顶点，连接AD．（1）求直线AD的解析式．（2）点E（m，0）、F（m+1，0）为x轴上两点，其中（﹣5＜m＜﹣3.5）EE′、FF′分别平行于y轴，交抛物线于点E′和F′，交AD于点M、N，当ME′+NF′的值最大时，在y轴上找一点R，使得|RE′﹣RF′|值最大，请求出点R的坐标及|RE′﹣RF′|的最大值．（3）如图2，在抛物线上是否存在点P，使得△PAC是以AC为底边的等腰三角形，若存在，请出点P的坐标及△PAC的面积，若不存在，请说明理由。

一、考点分析：二次函数与三角形的综合解答题一般涉及到这样几个方面：1.三角形面积最值问题 2.特殊三角形的存在问题包括等腰等边和直角三角形。

这类题目一般出现在压轴题最后两道上，对知识的综合运用要求比较高。

一解决此类题目的基本步骤与思路 1.抓住目标三角形，根据动点设点坐标2.根据所设未知数去表示三角形的底和高，一般常用割补法去求解三角形的面积从而得出面积的关系式3. 根据二次函数性质求出最大值.4.特殊三角形问题首先要画出三角形的大概形状，分类讨论的去研究。

例如等腰三角形要弄清楚以哪两条边为要，直角三角形需要搞清楚哪个角作为直角都需要我们去分类讨论。

注意事项：1.简单的直角三角形可以直接利用底乘高进行面积的表示2.复杂的利用“补”的方法构造矩形或者大三角形，整体减去部分的思想 3.利用“割”的方法时，一般选用横割或者竖割，也就是做坐标轴的垂线。

4.利用点坐标表示线段长度时注意要用大的减去小的。

5.围绕不同的直角进行分类讨论，注意检验答案是否符合要求。

6.在勾股定理计算复杂的情况下，灵活的构造K 字形相似去处理。

二、二次函数问题中三角形面积最值问题 （一）例题演示1. 如图，已知抛物线(2)(4)y a x x =+-(a 为常数，且a ＞0)与x 轴从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，经过点B 的直线33y x b =-+与抛物线的另一交点为D ，且点D 的横坐标为﹣5．(1)求抛物线的函数表达式；(2)P 为直线BD 下方的抛物线上的一点，连接PD 、PB , 求△PBD 面积的最大值．y解答：(1)抛物线(2)(4)y a x x =+-令y ＝0，解得x ＝－2或x ＝4， ∴A (－2，0)，B (4，0)． ∵直线3y x b =+经过点B(4，0)，∴34=0b +，解得43b ， ∴直线BD 解析式为：343y =+当x ＝－5时，y ＝3D (－5，3)∵点D(－5，33在抛物线(2)(4)y a x x =+-上， ∴(-52)(-54)=33a +-，∴3a = ∴抛物线的函数表达式为：23323832)(y x x x =+---． (2)设P (m ,232383- ∴2134323839(3)(23BPD S ⎡⎤=⨯+--⎢⎥⎣⎦△ 233=+10323181=)328m -+ ∴△BPD 8138【试题精炼】2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线223y ax ax a =--（0>a ）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），经过点A 的直线l ：y kx b =+与y 轴交于点C ，与抛物线的另一个交点为D ，且4CD AC =．l 的函数表达式（其中k 、b 用含a 的式子表示）. 的面积的最大值为425时，求抛物线的函数表达式；解答：1）A （－1，0）∵CD ＝4AC ，∴点D 的横坐标为4 ∴a y D 5=，∴)5,4a D （. ∴直线l 的函数表达式为y ＝ax ＋a （2）过点E 作EH ∥y 轴，交直线l 于点H 设E （x ，ax 2－2ax －3a ），则H （x ，ax ＋a ）.∴a ax ax a ax ax a ax HE 43)32()(22++-=---+= ∴a x a a ax ax S S S DEH AEH ADE 8125)23(25)43(2522+--=++-=+=△△△.yx lBC DAOEFH∴△ADE 的面积的最大值为a 8125，∴4258125=a ，解得52=a . ∴抛物线的函数表达式为5654522--=x x y .【中考链接】3.如图，直线l ：y =﹣3x +3与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，抛物线y =ax 2﹣2ax +a +4（a ＜0）经过点B ．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M 是抛物线上的一个动点，并且点M 在第一象限内，连接AM 、BM ，设点M 的横坐标为m ，△ABM 的面积为S ，求S 与m 的函数表达式，并求出S 的最大值；解答：（1）令x =0代入y =﹣3x +3，∴y =3，∴B （0，3）， 把B （0，3）代入y =ax 2﹣2ax +a +4，∴3=a +4， ∴a =﹣1，∴二次函数解析式为：y =﹣x 2+2x +3； （2）令y =0代入y =﹣x 2+2x +3， ∴0=﹣x 2+2x +3，∴x =﹣1或3，∴抛物线与x 轴的交点横坐标为﹣1和3，∴S=DM•BE+DM•OE=DM（BE+OE）=DM•OB=××3==（m﹣）2+∵0＜m＜3，∴当m=时，S有最大值，最大值为；二、二次函数问题中直角三角形问题（一）例题演示如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=-1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）设点P为抛物线的对称轴x=-1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．解答：（1）依题意得：1 20 3baa b cc⎧-=-⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩，解得123abc=-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴抛物线解析式为223y x x=--+.把B（3-，0）、C（0，3）分别代入直线y=mx+n，得303m nn-+=⎧⎨=⎩，解得13mn=⎧⎨=⎩，∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3；（2）设P（1-，t），又∵B（－3，0），C（0，3），∴BC2=18，PB2=（1-+3）2+t2=4+t2，PC2=（1-）2+（t－3）2=t2-6t+10，①若点B为直角顶点，则BC2+PB2=PC2即：18+4+t2=t2－6t+10解得：t=2-；②若点C为直角顶点，则BC2+PC2=PB2即：18+t2－6t+10=4+t2解得：t=4，③若点P为直角顶点，则PB2+PC2=BC2即：4+t2+t2－6t+10=18解得：13172t+=，23172t-=.综上所述P 的坐标为（1-，2-）或（1-，4）或（1-，3172+）或（1-，3172-）．【试题精炼】如图，二次函数y=a（x2﹣2mx﹣3m2）（其中a，m是常数，且a＞0，m＞0）的图象与x轴分别交于点A、B （点A位于点B的左侧），与y轴交于C（0，﹣3），点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD，过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE．（1）用含m的代数式表示a；（2）设该二次函数图象的顶点为F，探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．【解析】：（1）由C在二次函数y=a（x2﹣2mx﹣3m2）上，则其横纵坐标必满足方程，代入即可得到a 与c的关系式．（2）要使线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，且（2）中=，则可考虑若GF使得AD：GF：AE=3：4：5即可．由AD、AE、F点都易固定，且G在x轴的负半轴上，则易得G 点大致位置，可连接CF并延长，证明上述比例AD：GF：AE=3：4：5即可．解答：（1）解：将C（0，﹣3）代入二次函数y=a（x2﹣2mx﹣3m2），则﹣3=a（0﹣0﹣3m2），解得a=．（2）解：如图2，记二次函数图象顶点为F，则F的坐标为（m，﹣4），过点F作FH⊥x轴于点H．连接FC并延长，与x轴负半轴交于一点，此点即为所求的点G．∴以线段GF，AD，AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时G点的横坐标为﹣3m．【中考链接】如图所示，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC斜靠在两坐标轴上放在第二象限，点C的坐标为（－1，0）．B点在抛物线y＝12x2＋12x－2的图像上，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，且B点的横坐标为－3．(1)求BC所在直线的函数关系式．(2)抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解答：（1）∵C点坐标为（-1,0），∴BD=CO=1．∵B点的横坐标为-3，∴B点坐标为（-3,1）设BC所在直线的函数关系式为y=kx+b，则有，解得∴BC所在直线的函数关系式为y=x．（2）①若以为AC直角边，点C为直角顶点，如图所示，作CP1⊥AC，因为BC⊥AC，所以点P1为直线BC与对称轴直线的交点，即点P1的横坐标为-。

二次函数与特殊三角形-3一、 二次函数与等腰三角形1、指定一边做底或腰2、需要讨论二、 二次函数与等边三角形 三、 二次函数与直角三角形1、求证为直角三角形2、在特殊条件下存在点问题3、需要对直角讨论的类型四、 二次函数与等腰直角三角形1. 【中】（直角三角形）（2012年广州）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点． ⑴求点、的坐标；⑵设为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当的面积等于的面积时，求点的坐标；⑶若直线过点，为直线上的动点，当以、、为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线的解析式．【答案】：⑴令，即，解得，，∴、点的坐标为、． ⑵， 在中，， 设中边上的高为，则有，解得． 如图1，在坐标平面内作直线平行于，且到的距离，这样的直线有2条，分别是和，则直线与对称轴的两个交点即为所求的点．233384y x x =--+x A BA B y C A B D ACD △ACB △D l ()40E ，M l A B Ml 0y =2333084x x --+=14x =-22x =A B ()40A -，()20B ，192ACB S AB OC =⋅=△Rt AOC△5AC =ACD △AC h 192AC h ⋅=185h =AC AC 185h =1l 2l 1x =-D设交轴于，过作于，则，∴． 设直线的解析式为()0k ≠，将，坐标代入， 得到，解得，∴直线解析式为． 直线可以看做直线向下平移长度单位（个长度单位）而形成的，∴直线的解析式为．则的纵坐标为，∴1914D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．同理，直线向上平移个长度单位得到，可求得综上所述，点坐标为：1914D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，．图2 图1⑶如图2，以为直径作，圆心为．过点作的切线，这样的切线有2条．连接，过作轴于点．∵，，∴，半径． 又，则在中，，，． 在中，，1l y E C 1CF l ⊥F 185CF h ==18954sin sin 25CF CF CE CEF OCA ====∠∠AC y kx b =+()40A -，()03B ，403k b b -+=⎧⎨=⎩343k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩AC 334y x =+1l AC CE 921l 393334242y x x =+-=-1D ()3391424⨯--=-AC 922l 22714D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，D 22714D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1AB F ⊙F E F ⊙FM M MN x ⊥N ()40A -，()20B ，()10F -，F ⊙3FM FB ==5FE =Rt MEF△4ME 4sin 5MFE =∠3cos 5MFE =∠Rt FMN △412sin 355MN MN MFE =⋅=⨯=∠，则，∴点坐标为直线过，， 设直线的解析式为()0k ≠，则有 ，解得，所以直线的解析式为．同理，可以求得另一条切线的解析式为．综上所述，直线的解析式为或．2. 【中】（平移+直角三角形）（益阳市2013年普通初中毕业学业考试数学试卷）阅读材料：如图1，在平面直角坐标系中，A B ，两点的坐标分别为()11A x y ，，()22B x y ， ，AB 中点P 的坐标为()p p x y ，．由12p p x x x x -=-，得122p x x x +=，同理122p y y y +=，所以AB 的中点坐标为121222x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，．由勾股定理得2222121AB x x y y =-+-，所以A B ，两点间 的距离公式为AB ．注：上述公式对A B ，在平面直角坐标系中其它位置也成立．解答下列问题：如图2，直线l ：22y x =+与抛物线22y x =交于A B ，两点，P 为AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线于点C ．39cos 355FN MN MFE =⋅=⨯=∠45ON =M 41255⎛⎫⎪⎝⎭，l M 41255⎛⎫⎪⎝⎭，()40E ，l y kx b =+4125540k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩343k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩l 334y x =-+334y x =--l 334y x =-+334y x =--图2⑴ 求A B ，两点的坐标及C 点的坐标；⑵ 连结AC BC ，，求证ABC △为直角三角形；⑶ 将直线l 平移到C 点时得到直线l '，求两直线l 与l '的距离．【答案】⑴由{2222y x y x =+=，解得113x y ⎧⎪=⎨⎪=-⎩，223x y ⎧⎪⎨⎪=⎩则A B ，两点的坐标分别为：3A -⎝，3B +⎝， ∵P 是A B ，的中点，由中点坐标公式得P 点坐标为132⎛⎫⎪⎝⎭，，又PC x ⊥轴交抛物线于C 点，将12x =代入22y x =中得12y =，∴C 点坐标为1122⎛⎫⎪⎝⎭，．⑵由两点间距离公式得：图1Py 2y 1x 2x 1y p y 2y 1x p x 2x 1AB y xO图105AB =，15322PC =-=， ∴PC PA PB ==，∴PAC PCA ∠=∠，PBC PCB ∠=∠， ∴90PCA PCB ∠+∠=︒，即90ACB ∠=︒ ∴ABC △为直角三角形．⑶ 过点C 作CG AB ⊥于G ，过点A 作AHPC ⊥于H ， 则H 点的坐标为132⎛ ⎝，， ∴1122PAC S AP CG PC AH ==△××，∴12CG AH ==-= 又直线l 与l '之间的距离等于点C 到l 的距离CG ， ∴直线l 与l '．3. 【中】（圆+直角三角形）（湛江市2013年初中毕业生学业考试数学试卷）如图，在平面直角坐标系中，顶点为()34，的抛物线交y 轴于A 点，交x 轴于B C 、两点（点B 在点C 的左侧），已知A 点坐标为()05-，．⑴ 求此抛物线的解析式；⑵ 过点B 作线段AB 的垂线交抛物线与点D ，如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴l 与C 的位置关系，并给出证明．⑶ 在抛物线上是否存在一点P ，使ACP △是以AC 为直角边的直角三角形．若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：⑴ 设抛物线解析式为：()()2340y a x a =-+≠，将()05A -，代入求得：1a =-， ∴抛物线解析式为()223465y x x x =--+=-+-. ⑵ 抛物线的对称轴l 与OC 相离，证明：令0y =，即2650x x -+-=，得1x =或5x =，∴()10B ，，()50C ，. 如答图1所示，设切点为E ，连接CE ，由题意易证Rt Rt ABO BCE △∽△， ∴AB OB BC CE =1CE=，答图1求得C ⊙的半径CE ； 而点C 到对称轴3x =的距离为2，2> ∴抛物线的对称轴l 与C ⊙相离. ⑶ 存在.理由如下： 有两种情况：（Ⅰ）如答图2所示，点P 在x 轴上方.答图2∵()05A -，，()50C ，，∴AOC △为等腰直角三角形，45OCA =︒∠； ∵PC AC ⊥，∴45PCO =︒∠.过点P 作PF x ⊥轴于点F ，则PCF △为等腰直角三角形.设点P 坐标为()m n ，，则有OF m =，PF CF n ==， 5OC OF CF m n =+=+=①又点P 在抛物线上，∴265n m m =-+-②联立①②式，解得：2m =或5m =.当5m =时，点F 与点C 重合，故舍去， ∴2m =，∴3n =，∴点P 坐标为()23，； （Ⅱ）如答图3所示，点P 在x 轴下方.答图3∵()05A -，，()50C ，，∴AOC △为等腰直角三角形，45OAC =︒∠； 过点P 作PF x ⊥轴于点F ，∵PA AC ⊥，∴45PAF =︒∠，即PAF △为等腰直角三角形.设点P 坐标为()m n ，，则有PF AF m ==，5OF n OA AF m =-=+=+， ∴5m n +=- ①又点P 在抛物线上，∴265n m m =-+- ②联立①②式，解得：0m =或7m =.当0m =时，点F 与原点重合，故舍去， ∴7m =，∴12n =-， ∴点P 坐标为()712-，.综上所述，存在点P ，使ACP △是以AC 为直角边的直角三角形.点P 的坐标为()23，或()712-，.4. 【中】（等腰三角形+直角三角形）（2013年襄阳市初中毕业生学业考试数学试题）如图，已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴的一个交点A 的坐标为()10-，，对称轴为直线2x =-． ⑴求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；⑵点D 是抛物线与y 轴的交点，点C 是抛物线上的另一点．已知以AB 为一底边的梯形ABCD 的面积为9．求此抛物线的解析式，并指出顶点E 的坐标；⑶点P 是⑵中抛物线对称轴上一动点，且以1个单位/秒的速度从此抛物线的顶点E 向上运动．设点P 运动的时间为t 秒．①当t 为_______秒时，PAD △的周长最小？当t 为______秒时，PAD △是以AD 为腰的等腰三角形？（结果保留根号）②点P 在运动过程中，是否存在一点P ，使PAD △是以AD 为斜边的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】⑴由抛物线的轴对称性及()10A -，可得()30B -，．⑵设抛物线的对称轴交CD 于点M ，交AB 于点N ，由题意可知AB CD ∥，由抛物线的轴对称性可得2CD DM =． ∵MN y ∥轴，AB CD ∥， ∴四边形ODMN 是矩形． ∴2DM ON ==， ∴224CD =⨯=． ∵()10A -，，()30B -，，P E ABC DOxy∴2AB =． ∵()192ABCD S AB CD OD =+=梯形， ∴3OD =． 即3c =．∴把()10A -，，()30B -，代入23y ax bx =++得， 309330a b a b -+=⎧⎨-+=⎩， 解之，得14a b =⎧⎨=⎩∴243y x x =++．将243y x x =++化为顶点式为()221y x =+-得()21E --，．⑶①2，4或4-4②存在．∵90APD ∠=︒，90PMD PNA ∠=∠=︒，∴90DPM APN ∠+∠=︒，90DPM PDM ∠+∠=︒． ∴PDM APN ∠=∠． ∵PMD ANP ∠=∠， ∴APN PDM △∽△． ∴AN PNPM DM =． ∴132PNPN =-．∴2320PN PN -+=． ∴1PN =或2PN =．∴()21P -，或()22-，．5. 【难】（中心对称+直角三角形）（北京八中2010-2011学年度第一学期期中练习）如图，已知抛物线的顶点为，与轴相交于、两点（点在点的左边），点的横坐标是1． ⑴ 求点坐标及的值；⑵ 如图1，抛物线与抛物线关于轴对称，将抛物线向右平移，平移后的抛物线记为，的顶点为，当点、关于点成中心对称时，求的解析式；()2125C y a x =+-∶P x A B AB B P a 2C 1C x 2C 3C 3C M P M B 3C⑶ 如图2，点是轴正半轴上一点，将抛物线绕点旋转后得到抛物线．抛物线的顶点为，与轴相交于、两点（点在点的左边），当以点、、为顶点的三角形是直角三角形时，求点的坐标．【答案】⑴由抛物线得顶点的坐标为 ∵点在抛物线上，∴，解得． ⑵连接，作轴于，作轴于 ∵点关于点成中心对称， ∴过点，且∴，∴，∴顶点的坐标为 抛物线关于轴对称得到，再平移得到 ∴抛物线的解析式为 ⑶∵抛物线由绕着轴上的点旋转得到 ∴顶点关于点成中心对称由⑵得点的纵坐标为，设点坐标为 作轴于，作轴于，作于∵旋转中心在轴上，∴，∴，点坐标为，坐标为，坐标为， 根据勾股定理得，， ，①当时，，解得，∴点坐标为 Q x 1C Q 1804C 4C N x E F E F P N F Q图2图1()2125C y a x =+-∶P ()25--，()10B ，1C ()20125a =+-59a =PM PH x ⊥H MG x ⊥G P M 、B PM B PB M B =PBH MBG △≌△5MG PH ==3BG BH ==M ()45，1C x 2C 3C 3C ()25459y x =--+4C 1C x Q 180︒N P 、Q N 5N ()5m ，PH x ⊥H NG x ⊥G PK NG ⊥K Q x 26EF AB BH ===3FG =F ()30m +，H ()20-，K ()5m -，22224104PN NK PK m m =+=++22221050PF PH HF m m =+=++2225334NF =+=90PNF ∠=︒222PN NF PF +=443m =Q 1903⎛⎫⎪⎝⎭，②当时，，解得，∴点坐标为 ③∵，∴综上，当点坐标为或时，以点、、为顶点的三角形是直角三角形．6. 【难】（直角三角形）（九年级第一次质量预测）如图，经过轴上、两点的抛物线交y 轴的正半轴于点，设抛物线的顶点为． ⑴用含的代数式表示出点、的坐标⑵若90BCD ∠=︒，请确定抛物线的解析式； ⑶在⑵的条件下，能否在抛物线上找到另外的点，使为直角三角形?如果能，请求出点坐标；如果不能，请说明理由．【答案】⑴设抛物线的解析式为()0a ≠.则.则点的坐标为. 点的坐标为. ⑵过点作轴于，如图1所示，则有.90PFN ∠=︒222PF NF PN +=103m =Q 203⎛⎫⎪⎝⎭，90NPF HPK ∠<∠=︒90NPF ∠≠︒Q 1903⎛⎫ ⎪⎝⎭，203⎛⎫⎪⎝⎭，P NF 图(2)图(1) x ()10A -，()30B ，2y ax bx c =++()0a ≠C D a C D Q BDQ △Q ()()13y a x x =+-()()222314y a x x a x a =--=--D ()14D a -，C ()03C a -，D DE y ⊥E DEC COB △∽△∴.∴. ∴，（舍去）. ∴.抛物线的解析式为.⑶如图2，若90=︒，作轴于， 轴于.可证. 有，设点， . 化简得， 即.解之得或.检验略.舍去.由得点坐标：. 如图3，若90BDQ ∠=︒. 延长交轴于， 可证明.即. 则. 得，点的坐标为.所在的直线方程为.则与的解为 (舍),，得交点的坐标为. 所以满足题意的点有两个：.DE ECCO OB=1|||3|3a a =-21a =1a =±1a =1a =-223y x x =-++DBQ ∠QF x ⊥F DH x ⊥H Rt Rt DHB BFQ △∽△DH HBBF FQ=Q ()223k k k -++，242323k k k =---22390k k --=()()3230k k -+=3k =32k =-3k =32k =-Q 3924Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，DQ y M DEM DHB △∽△DE EM DH HB =142EM=12EM =M 702⎛⎫ ⎪⎝⎭，DM 1722y x =+1722y x =+223y x x =-++1x =12x =Q 11524⎛⎫ ⎪⎝⎭，Q 391152424⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，图2图2图17. 【中】（直角三角形+轴对称）（眉山市中考）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线与直线交于、两点，与轴交于、两点，且点坐标为. ⑴求该抛物线的解析式；⑵动点在x 轴上移动，当是直角三角形时，求点的坐标.⑶在抛物线的对称轴上找一点，使的值最大，求出点的坐标.【答案】⑴将、坐标代入得解得 ∴抛物线的解折式为… ⑵设点的横坐标为，则它的纵坐标为即点的坐标又∵点在直线上 ∴ 解得（舍去）， ∴的坐标为（Ⅰ）当为直角顶点时过作交轴于点，设易知点坐标为 由得即，∴ ∴ （Ⅱ）同理，当为直角顶点时，点坐标为（Ⅲ）当为直角顶点时，过作轴于，设()30P b ，，由，得112y x =+y A x D 212y x bx c =++A E x B CB ()10，P PAE △P M ||AM MC -M 01A （，）10B （，）212y x bx c =++1102c b c =⎧⎪⎨++=⎪⎩321b c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩213122y x x =-+E m 213122m m -+E 213,122m m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭E 112y x =+213111222m m m -+=+10m =24m =E 43（，）A A 1AP DE ⊥x 1P 1,0P a （）D 20（－，）Rt Rt AOD POA △△∽DO OA OA OP =211a =12a =11,02P ⎛⎫⎪⎝⎭E 2P 11,02⎛⎫⎪⎝⎭P E EF x ⊥F 90OPA FPE ∠+∠︒＝OPA FEP ∠∠＝Rt Rt AOP PFE △△∽由得 解得， ∴此时的点的坐标为（1，0）或（3，0）综上所述，满足条件的点的坐标为或或或（Ⅲ）抛物线的对称轴为 ∵关于对称 ∴ 要使最大，即是使最大由三角形两边之差小于第三边得，当在同一直线上时的值最大．易知直线的解折式为∴由 得 ∴8. 【难】（平分面积+直角三角形）（2011年徐州市中考）如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，顶点为。

专题16 二次函数中三角形形状的判别及综合题型题型一、三角形形状的判别核心提示：三角形形状的判别常用方法：勾股定理确定边的关系；等角对等边；1. （2019·四川遂宁中考）如图，顶点为P（3，3）的二次函数图象与x轴交于点A（6，0），点B在该图象上，OB交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接BN、ON．（1）求该二次函数的关系式．（2）若点B在对称轴l右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：①连接OP，当OP＝12MN时，请判断△NOB的形状，并求出此时点B的坐标．②求证：∠BNM＝∠ONM．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵二次函数顶点为P（3，3），∴设顶点式y＝a（x﹣3）2+3，∵二次函数图象过点A（6，0），∴（6﹣3）2a+3＝0，解得：a＝﹣1 3∴二次函数的关系式为y＝﹣13（x﹣3）2+3＝﹣13x2+2x.（2）设B（b，﹣13b2+2b），（b＞3）∴直线OB解析式为：y＝（﹣13b+2）x∵OB交对称轴l于点M，∴当x M＝3时，y M＝（﹣13b+2）×3＝﹣b+6，即M（3，﹣b+6）∵点M、N关于点P对称，∴NP＝MP＝3﹣（﹣b+6）＝b﹣3，∴y N＝3+b﹣3＝b，即N（3，b），①∵OP＝12 MN∴OP＝MP∴＝b﹣3，解得：b＝3+∴﹣13b2+2b＝﹣13×（3+）2+2×（3+）＝﹣3，∴B（3+，﹣3），N（3，3+∴OB2＝（3+2+（﹣3）2＝，ON2＝32+（3+2＝，BN2＝（3+﹣3）2+（﹣3﹣3﹣）2＝，∴OB＝ON，OB2+ON2＝BN2∴△NOB是等腰直角三角形，点B坐标为（，﹣3）．②证明：如图，设直线BN与x轴交于点D，由①知B（b，﹣13b2+2b）、N（3，b），设直线BN解析式为y＝mx+n∴21233mb n b bm n b⎧+=-+⎪⎨⎪+=⎩，解得：132m bn b⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BN的解析式为：y＝13b-x+2b，当y＝0时，13bx+2b＝0，解得：x＝6，∴D（6，0）∵C（3，0），NC⊥x轴，∴NC垂直平分OD，∴ND＝NO，∴∠BNM＝∠ONM.题型二、求几何图形长度和为定值题型2. （2019·江苏宿迁中考）如图，抛物线y=x2+bx+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为(1,0)，与y 轴交于点C(0,-3).（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图①，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠P AB=2∠ACO. 求点P的坐标；（3）如图②.点Q为x轴下方抛物线上任意一点,点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N. 请问DM+DN是否为定值？如泉是，请求出这个定值，如果不是,请说明理由.【答案】见解析.【解析】解：（1）将A(1,0)，C（0，－3）代入y=x2+bx+c并解得：b=2，c=－3，即抛物线解析式为：y=x2+2x－3.（2）①若点P在x轴下方，如图1，延长AP 到H ，使AH ＝AB ，过点B 作BI ⊥x 轴，连接BH ，作BH 中点G ，连接并延长AG 交BI 于点F ，过点H 作HI ⊥BI 于点I∵当x 2+2x ﹣3＝0，解得：x 1＝﹣3，x 2＝1∴B （﹣3，0）∵A （1，0），C （0，﹣3）∴OA ＝1，OC ＝3，AC AB ＝4∴Rt △AOC 中，sin ∠ACO ＝OA AC =cos ∠ACO ＝OC AC =， ∵AB ＝AH ，G 为BH 中点∴AG ⊥BH ，BG ＝GH∴∠BAG ＝∠HAG ，即∠P AB ＝2∠BAG∵∠P AB ＝2∠ACO∴∠BAG ＝∠ACO∴Rt △ABG 中，∠AGB ＝90°，sin ∠BAG ＝BG AB =∴BG AB∴BH ＝2BG ＝5 ∵∠HBI +∠ABG ＝∠ABG +∠BAG ＝90°，∴∠HBI ＝∠BAG ＝∠ACO ，∴Rt △BHI 中，∠BIH ＝90°，sin ∠HBI ＝10HI BH =，cos ∠HBI ＝10BI BH =,∴HI BH ＝45，BI ＝125, ∴x H ＝115-，y H ＝125-，即H （115-，125-）,∴可得直线AH：y＝34x﹣34，联立y＝34x﹣34，y=x2+2x－3，解得：111 0x y =⎧⎨=⎩（即点A），22943916xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴P（94-，3916-）②若点P在x轴上方，如图2，在AP上截取AH'＝AH，则H'与H关于x轴对称，∴H'（115-，125），∴直线AH'：y＝﹣34x+34，联立y＝﹣34x+34，y=x2+2x－3，解得：111 0x y =⎧⎨=⎩（即点A），221545716xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴P（154-，5716），综上所述，点P的坐标为（94-，3916-）或（154-，5716）．（3）DM+DN为定值，理由如下：∵抛物线y＝x2+2x﹣3的对称轴为：直线x＝﹣1∴D（﹣1，0），x M＝x N＝﹣1设Q（t，t2+2t﹣3）（﹣3＜t＜1）设直线AQ 解析式为y ＝mx +n∴2023m n mt n t t +=⎧⎨+=+-⎩，解得：33m t n t =+⎧⎨=--⎩， ∴直线AQ ：y ＝（t +3）x ﹣t ﹣3，当x ＝﹣1时，y M ＝﹣t ﹣3﹣t ﹣3＝﹣2t ﹣6，∴DM ＝0﹣（﹣2t ﹣6）＝2t +6，同理可得直线BQ ：y ＝（t ﹣1）x +3t ﹣3，当x ＝﹣1时，y N ＝﹣t +1+3t ﹣3＝2t ﹣2，∴DN ＝0﹣（2t ﹣2）＝﹣2t +2，∴DM +DN ＝2t +6+（﹣2t +2）＝8，为定值．题型三、面积及直角的存在性3. （2019·湖北荆门中考）已知抛物线2y ax bx c =++顶点(2,1)-，经过点(0,3)，且与直线1y x =-交于B A ,两点.(1)求抛物线的解析式；(2)若在抛物线上恰好存在三点,,Q M N ,满足QAB MAB NAB S S S S ===△△△，求S 的值；(3)在A 、B 之间的抛物线弧上是否存在点P 满足∠APB =90°？若存在，求点P 的横坐标，若不存在，请说明理由.(坐标平面内两点1122(,),(,)M x y N x y 之间的距离MN =【答案】见解析.【解析】解：(1)22(2)1y ax bx c a x =++=--，将点)3,0(代入得：a =1，∴函数的解析式为243y x x =-+；（2）作直线AB 的平行线l ，当l 与抛物线有两个交点时，由对称性可知：l 位于直线AB 两侧且与l 等距离时，会有四个点符合题意，由图可知当l 位于直线AB 上方时，l 与抛物线总有两个交点M ,N 满足MAB NAB S S ∆∆=，所以只有当l 位于直线AB 下方且与抛物线只有一个交点Q 时符合题意，此时△QAB 面积最大；如图所示，设Q 2(,43)t t t -+，过点Q 作QC ⊥x 轴交AB 于点C ，则C (t ，t －1)，∴S △QAB =1()2B A QC x x - 23[(1)(43)]2t t t =---+ 3527228t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭， 当t =52时S △QAB 最大，最大面积为278； （3）若存在点P 满足条件，设2(,(2)1)(14)P t t t --<<，由P A 2+PB 2=AB 2得：即222222(1)[(2)1](4)[(2)4]18t t t t -+--+-+--=，解得： t =32+或t =32(32<1,舍去)，综上所述，存在点P 满足条件，点P . 题型四、相似三角形的存在性4. （2019·四川攀枝花中考）已知抛物线2y x bx c =-++的对称轴为直线x ＝1，其图象与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C (0，3)．（1）求b ，c 的值；（2）直线l 与x 轴相交于点P ．①如图1，若l ∥y 轴，且与线段AC 及抛物线分别相交于点E ，F ，点C 关于直线x ＝1的对称点为点D ，求四边形CEDF 面积的最大值；②如图2，若直线l 与线段BC 相交于点Q ，当△PCQ ∽△CAP 时，求直线l 的表达式．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵抛物线2y x bx c =-++的对称轴为直线x ＝1，∴()121b -=⨯-，即b =2， ∵抛物线与y 轴相交于点C (0，3)，∴c =3.（2）∵点C 关于直线x ＝1的对称点为点D ，∴CD ⊥l ，∴S 四边形CEDF =12·CD ·EF =12×2×EF ， 在223y x x =-++中，当y =0时，x =－1或x =3，即B (－1,0)，A (3,0)，设直线AC 的解析式为：y =mx +n ，∴303m n n +=⎧⎨=⎩，解得：m =－1，n =3，即直线AC 的解析式为：y =－x +3，设E (x ，－x +3)，则F (x ，223x x -++)，EF =223x x -++－(－x +3)=23x x -+， ∴S 四边形CEDF =EF =23x x -+=23924x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭， ∵－1<0，当x =32时，四边形CEDF 的面积取最大值94.（3）当△PCQ ∽△CAP 时，∠CPQ =∠ACP ，∴AC ∥l ，∴∠QPB =∠ACB ，∵OC =OA =3，OB =1，∴∠QPB =∠ACB =45°，AB =4，AC ，∵AC ∥l ， ∴PQ BP AC AB =,即BP AC PQ AB⋅=, 由△PCQ ∽△CAP ，得：2CP PQ AC =⋅, ∴22=BP AC BP AC CP AC AB AB ⋅⋅=⋅， 设P （m ，0），则BP =m +1，CP 2=9+m 2，代入求得：m =3（舍）或m =32， 即P （32，0）， ∵l ∥AC ，设直线l 的解析式为y =－x +t ，∴0=－32+t ，t =32， 即直线l 的解析式为：y =－x +32. 题型五、三角函数与线段平行存在性问题5. （2019·浙江温州中考）如图，在平面直角坐标系中，直线142y x =-+分别交x 轴、y 轴于点B 、C ，正方形AOCD 的顶点D 在第二象限内，E 是BC 中点，OF ⊥DE 于点F ，连接OE ，动点P 在AO 上从点A 向终点O 匀速运动，同时，动点Q 在直线BC 上从某一点Q 1向终点Q 2匀速运动，它们同时到达终点.（1）求点B 的坐标和OE 的长；（2）设点Q 2(m ，n )，当1tan 7n EOF m =∠时，求点Q 2的坐标； （3）根据（2）的条件，当点P 运动到AO 中点时，点Q 恰好与点C 重合.①延长AD 交直线BC 于点Q 3，当点Q 在线段Q 2Q 3上时，设Q 3Q =s ，AP =t ，求s 关于t 的函数关系式；②当PQ 与△OEF 的一边平行时，求满足条件的所有AP 的长.【答案】见解析.【解析】解：（1）当y =0时，1042x =-+，解得：x =8， 即B （8,0）.∵C （4,0），在Rt △BOC 中，由勾股定理得：BC =∵E 是BC 中点，∴OE =12BC = (2) 过E 作EM ⊥y 轴于M ，设DE 交y 轴于点N ，如下图所示，由EM ∥CD ，知∠CDN =∠NEM ，∵AOCD 为正方形，∴CD =OC =4，∵E 是BC 中点，∴EM =12OB =4，CM =OM =2，即CD =ME ， ∴△CDN ≌MEN ，∴CN =MN =1，由勾股定理得EN ， 由12EN ·OF =12ON ·EM =S △OEN ，得：OF= 在Rt △OEF 中，由勾股定理得：EF， ∵1tan 7n EOF m =∠， ∴tan ∠EOF =76， ∴16n m =，即m =6n ， 又n =12-m +4， ∴m =6，n =1，即Q 2（6,1）.（3）①由题意点P 、Q 同时作匀速直线运动，∴s 与t 是一次函数关系，设s =kt +b ，∵t =2时s=t =4时s=∴24k b k b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得：2k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即s = ②由题意知，PQ 与EF 不可能平行，分以下两种情况讨论：（I ）当PQ ∥OE 时，如下图所示，过Q 作QH ⊥x 轴于H ，∴∠QPB =∠EOB =∠OBE ，∴H 是BP 中点，即PH =BH ，BQ =s ==, ∵QH ∥OC ，∴=5BH OB BQ BC ==∴BH BQ =14－3t ，BP =28－6t ， 由AB =12，得AP +BP =12，即t +28－6t =12，解得：t =16=5BH OB BQ BC ==； （II ）当PQ ∥OF 时，过Q 作QG ⊥AD 于G ，过P 作PH ⊥DG 于H ，如下图所示，由△Q 3QG ∽△CBO ，知：Q 3G :QG :Q 3QQ 3Q =2s t =∴Q 3G =312s t =-，QG =3t －2， ∴PH =AG =AQ 3－Q 3G =6－331=722t t ⎛⎫--⎪⎝⎭， QH =QG －GH =QG －AP =2t －2，由∠HPQ =∠CDN ，知：tan ∠HPQ = tan ∠CDN =14, ∴2t －2=14372t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得：t =3019， 综上所述，当PQ 与△OEF 的一边平行时，AP 的长为165或3019。

2019中考数学试题分类汇编：考点16 二次函数一．选择题（共33小题）1．（2019•青岛）已知一次函数y=x+c的图象如图，则二次函数y=ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据一次函数图象经过的象限，即可得出＜0、c＞0，由此即可得出：二次函数y=ax2+bx+c的图象对称轴x=﹣＞0，与y轴的交点在y轴负正半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．【解答】解：观察函数图象可知：＜0、c＞0，∴二次函数y=ax2+bx+c的图象对称轴x=﹣＞0，与y轴的交点在y轴负正半轴．故选：A．2．（2019•德州）如图，函数y=ax2﹣2x+1和y=ax﹣a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（）A．B． C．D．【分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．【解答】解：A、由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向下，故选项错误；B、由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0，故选项正确；C、由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0，和x轴的正半轴相交，故选项错误；D、由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，故选项错误．故选：B．3．（2019•临安区）抛物线y=3（x﹣1）2+1的顶点坐标是（）A．（1，1） B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1） D．（1，﹣1）【分析】已知抛物线顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k）．【解答】解：∵抛物线y=3（x﹣1）2+1是顶点式，∴顶点坐标是（1，1）．故选A．4．（2019•上海）下列对二次函数y=x2﹣x的图象的描述，正确的是（）A．开口向下 B．对称轴是y轴C．经过原点 D．在对称轴右侧部分是下降的【分析】A、由a=1＞0，可得出抛物线开口向上，选项A不正确；B、根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为直线x=，选项B不正确；C、代入x=0求出y值，由此可得出抛物线经过原点，选项C正确；D、由a=1＞0及抛物线对称轴为直线x=，利用二次函数的性质，可得出当x＞时，y随x值的增大而减小，选的D不正确．综上即可得出结论．【解答】解：A、∵a=1＞0，∴抛物线开口向上，选项A不正确；B、∵﹣=，∴抛物线的对称轴为直线x=，选项B不正确；C、当x=0时，y=x2﹣x=0，∴抛物线经过原点，选项C正确；D、∵a＞0，抛物线的对称轴为直线x=，∴当x＞时，y随x值的增大而减小，选的D不正确．故选：C．5．（2019•泸州）已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而增大，且﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为（）A．1或﹣2 B．或C．D．1【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上a＞0，然后由﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，可得x=1时，y=9，即可求出a．【解答】解：∵二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），∴对称轴是直线x=﹣=﹣1，∵当x≥2时，y随x的增大而增大，∴a＞0，∵﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，∴x=1时，y=a+2a+3a2+3=9，∴3a2+3a﹣6=0，∴a=1，或a=﹣2（不合题意舍去）．故选：D．6．（2019•岳阳）抛物线y=3（x﹣2）2+5的顶点坐标是（）A．（﹣2，5）B．（﹣2，﹣5） C．（2，5） D．（2，﹣5）【分析】根据二次函数的性质y=a（x+h）2+k的顶点坐标是（﹣h，k）即可求解．【解答】解：抛物线y=3（x﹣2）2+5的顶点坐标为（2，5），故选：C．7．（2019•遂宁）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则以下结论同时成立的是（）A．B．C．D．【分析】利用抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴在直线x=1的右侧得到b＜0，b＜﹣2a，即b+2a＜0，利用抛物线与y轴交点在x轴下方得到c＜0，也可判断abc＞0，利用抛物线与x轴有2个交点可判断b2﹣4ac＞0，利用x=1可判断a+b+c＜0，利用上述结论可对各选项进行判断．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴在直线x=1的右侧，∴x=﹣＞1，∴b＜0，b＜﹣2a，即b+2a＜0，∵抛物线与y轴交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＞0，∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，∵x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0．故选：C．8．（2019•滨州）如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x 轴交于点A、点B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】直接利用二次函数的开口方向以及图象与x轴的交点，进而分别分析得出答案．【解答】解：①∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，且开口向下，∴x=1时，y=a+b+c，即二次函数的最大值为a+b+c，故①正确；②当x=﹣1时，a﹣b+c=0，故②错误；③图象与x轴有2个交点，故b2﹣4ac＞0，故③错误；④∵图象的对称轴为x=1，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），∴A（3，0），故当y＞0时，﹣1＜x＜3，故④正确．故选：B．9．（2019•白银）如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（）A．①②④B．①②⑤C．②③④D．③④⑤【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判定b与0的关系以及2a+b=0；当x=﹣1时，y=a﹣b+c；然后由图象确定当x取何值时，y ＞0．【解答】解：①∵对称轴在y轴右侧，∴a、b异号，∴ab＜0，故正确；②∵对称轴x=﹣=1，∴2a+b=0；故正确；③∵2a+b=0，∴b=﹣2a，∵当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，∴a﹣（﹣2a）+c=3a+c＜0，故错误；④根据图示知，当m=1时，有最大值；当m≠1时，有am2+bm+c≤a+b+c，所以a+b≥m（am+b）（m为实数）．故正确．⑤如图，当﹣1＜x＜3时，y不只是大于0．故错误．故选：A．10．（2019•达州）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B 在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=2．下列结论：①abc＜0；②9a+3b+c＞0；③若点M（，y1），点N（，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；④﹣＜a＜﹣．其中正确结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．【解答】解：①由开口可知：a＜0，∴对称轴x=＞0，∴b＞0，由抛物线与y轴的交点可知：c＞0，∴abc＜0，故①正确；②∵抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为x=2，∴抛物线与x轴的另外一个交点为（5，0），∴x=3时，y＞0，∴9a+3b+c＞0，故②正确；③由于＜2，且（，y2）关于直线x=2的对称点的坐标为（，y2），∵，∴y1＜y2，故③正确，④∵=2，∴b=﹣4a，∵x=﹣1，y=0，∴a﹣b+c=0，∴c=﹣5a，∵2＜c＜3，∴2＜﹣5a＜3，∴﹣＜a＜﹣，故④正确故选：D．11．（2019•恩施州）抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，部分图象如图所示，下列判断中：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c=0；④若点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2；⑤5a﹣2b+c＜0．其中正确的个数有（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据二次函数的性质一一判断即可．【解答】解：∵抛物线对称轴x=﹣1，经过（1，0），∴﹣=﹣1，a+b+c=0，∴b=2a，c=﹣3a，∵a＞0，∴b＞0，c＜0，∴abc＜0，故①错误，∵抛物线与x轴有交点，∴b2﹣4ac＞0，故②正确，∵抛物线与x轴交于（﹣3，0），∴9a﹣3b+c=0，故③正确，∵点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，﹣1.5＞﹣2，则y1＜y2；故④错误，∵5a﹣2b+c=5a﹣4a﹣3a=﹣2a＜0，故⑤正确，故选：B．12．（2019•衡阳）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标（1，n）与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①3a+b＜0；②﹣1≤a≤﹣；③对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立；④关于x的方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用抛物线开口方向得到a＜0，再由抛物线的对称轴方程得到b=﹣2a，则3a+b=a，于是可对①进行判断；利用2≤c≤3和c=﹣3a可对②进行判断；利用二次函数的性质可对③进行判断；根据抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n﹣1有两个交点可对④进行判断．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，而抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，即b=﹣2a，∴3a+b=3a﹣2a=a＜0，所以①正确；∵2≤c≤3，而c=﹣3a，∴2≤﹣3a≤3，∴﹣1≤a≤﹣，所以②正确；∵抛物线的顶点坐标（1，n），∴x=1时，二次函数值有最大值n，∴a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥am2+bm，所以③正确；∵抛物线的顶点坐标（1，n），∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n﹣1有两个交点，∴关于x的方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根，所以④正确．故选：D．13．（2019•荆门）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①4a+2b+c＞0；②5a﹣b+c=0；③若方程a（x+5）（x﹣1）=﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；④若方程|ax2+bx+c|=1有四个根，则这四个根的和为﹣4．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据二次函数的性质一一判断即可．【解答】解：∵抛物线的顶点坐标（﹣2a，﹣9a），∴﹣=﹣2a， =﹣9a，∴b=4a，c=5a，∴抛物线的解析式为y=ax2+4ax﹣5a，∴4a+2b+c=4a+8a﹣5a=7a＞0，故①正确，5a﹣b+c=5a﹣4a﹣5a=﹣4a＜0，故②错误，∵抛物线y=ax2+4ax﹣5a交x轴于（﹣5，0），（1，0），∴若方程a（x+5）（x﹣1）=﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1，正确，故③正确，若方程|ax2+bx+c|=1有四个根，则这四个根的和为﹣8，故④错误，故选：B．14．（2019•枣庄）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x=1，下列结论正确的是（）A．b2＜4ac B．ac＞0 C．2a﹣b=0 D．a﹣b+c=0【分析】根据抛物线与x轴有两个交点有b2﹣4ac＞0可对A进行判断；由抛物线开口向上得a＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴下方得c＜0，则可对B进行判断；根据抛物线的对称轴是x=1对C选项进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），所以a﹣b+c=0，则可对D选项进行判断．【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以A选项错误；∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴ac＜0，所以B选项错误；∵二次函数图象的对称轴是直线x=1，∴﹣=1，∴2a+b=0，所以C选项错误；∵抛物线过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，所以D选项正确；故选：D．15．（2019•湖州）在平面直角坐标系xOy中，已知点M，N的坐标分别为（﹣1，2），（2，1），若抛物线y=ax2﹣x+2（a≠0）与线段MN有两个不同的交点，则a的取值范围是（）A．a≤﹣1或≤a＜B．≤a＜C．a≤或a＞D．a≤﹣1或a≥【分析】根据二次函数的性质分两种情形讨论求解即可；【解答】解：∵抛物线的解析式为y=ax2﹣x+2．观察图象可知当a＜0时，x=﹣1时，y≤2时，且﹣≥﹣1，满足条件，可得a≤﹣1；当a＞0时，x=2时，y≥1，且抛物线与直线MN有交点，且﹣≤2满足条件，∴a≥，∵直线MN的解析式为y=﹣x+，由，消去y得到，3ax2﹣2x+1=0，∵△＞0，∴a＜，∴≤a＜满足条件，综上所述，满足条件的a的值为a≤﹣1或≤a＜，故选：A．16．（2019•深圳）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确是（）A．abc＞0B．2a+b＜0C．3a+c＜0D．ax2+bx+c﹣3=0有两个不相等的实数根【分析】根据抛物线开口方向得a＜0，由抛物线对称轴为直线x=﹣，得到b＞0，由抛物线与y 轴的交点位置得到c＞0，进而解答即可．【解答】解：∵抛物线开口方向得a＜0，由抛物线对称轴为直线x=﹣，得到b＞0，由抛物线与y 轴的交点位置得到c＞0，A、abc＜0，错误；B、2a+b＞0，错误；C、3a+c＜0，正确；D、ax2+bx+c﹣3=0无实数根，错误；故选：C．17．（2019•河北）对于题目“一段抛物线L：y=﹣x（x﹣3）+c（0≤x≤3）与直线l：y=x+2有唯一公共点，若c为整数，确定所有c的值，”甲的结果是c=1，乙的结果是c=3或4，则（）A．甲的结果正确B．乙的结果正确C．甲、乙的结果合在一起才正确D．甲、乙的结果合在一起也不正确【分析】两函数组成一个方程组，得出一个方程，求出方程中的△=﹣4+4c=0，求出即可．【解答】解：把y=x+2代入y=﹣x（x﹣3）+c得：x+2=﹣x（x﹣3）+c，即x2﹣2x+2﹣c=0，所以△=（﹣2）2﹣4×1×（2﹣c）=﹣4+4c=0，解得：c=1，所以甲的结果正确；故选：A．18．（2019•台湾）已知坐标平面上有一直线L，其方程式为y+2=0，且L与二次函数y=3x2+a的图形相交于A，B两点：与二次函数y=﹣2x2+b的图形相交于C，D两点，其中a、b为整数．若AB=2，CD=4．则a+b之值为何？（）A．1 B．9 C．16 D．24【分析】判断出A、C两点坐标，利用待定系数法求出a、b即可；【解答】解：如图，由题意A（1，﹣2），C（2，﹣2），分别代入y=3x2+a，y=﹣2x2+b可得a=﹣5，b=6，∴a+b=1，故选：A．19．（2019•长沙）若对于任意非零实数a，抛物线y=ax2+ax﹣2a总不经过点P（x0﹣3，x02﹣16），则符合条件的点P（）A．有且只有1个 B．有且只有2个 C．有且只有3个 D．有无穷多个【分析】根据题意可以得到相应的不等式，然后根据对于任意非零实数a，抛物线y=ax2+ax﹣2a总不经过点P（x0﹣3，x02﹣16），即可求得点P的坐标，从而可以解答本题．【解答】解：∵对于任意非零实数a，抛物线y=ax2+ax﹣2a总不经过点P（x0﹣3，x02﹣16），∴x02﹣16≠a（x0﹣3）2+a（x0﹣3）﹣2a∴（x0﹣4）（x0+4）≠a（x0﹣1）（x0﹣4）∴（x0+4）≠a（x0﹣1）∴x0=﹣4或x0=1，∴点P的坐标为（﹣7，0）或（﹣2，﹣15）故选：B．20．（2019•广西）将抛物线y=x2﹣6x+21向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为（）A．y=（x﹣8）2+5 B．y=（x﹣4）2+5 C．y=（x﹣8）2+3 D．y=（x﹣4）2+3【分析】直接利用配方法将原式变形，进而利用平移规律得出答案．【解答】解：y=x2﹣6x+21=（x2﹣12x）+21= [（x﹣6）2﹣36]+21=（x﹣6）2+3，故y=（x﹣6）2+3，向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为：y=（x﹣4）2+3．故选：D．21．（2019•哈尔滨）将抛物线y=﹣5x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（）A．y=﹣5（x+1）2﹣1 B．y=﹣5（x﹣1）2﹣1 C．y=﹣5（x+1）2+3 D．y=﹣5（x﹣1）2+3【分析】直接利用二次函数图象与几何变换的性质分别平移得出答案．【解答】解：将抛物线y=﹣5x2+1向左平移1个单位长度，得到y=﹣5（x+1）2+1，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为：y=﹣5（x+1）2﹣1．故选：A．22．（2019•广安）抛物线y=（x﹣2）2﹣1可以由抛物线y=x2平移而得到，下列平移正确的是（）A．先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度B．先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度C．先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度D．先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度【分析】抛物线平移问题可以以平移前后两个解析式的顶点坐标为基准研究．【解答】解：抛物线y=x2顶点为（0，0），抛物线y=（x﹣2）2﹣1的顶点为（2，﹣1），则抛物线y=x2向右平移2个单位，向下平移1个单位得到抛物线y=（x﹣2）2﹣1的图象．故选：D．23．（2019•潍坊）已知二次函数y=﹣（x﹣h）2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为﹣1，则h的值为（）A．3或6 B．1或6 C．1或3 D．4或6【分析】分h＜2、2≤h≤5和h＞5三种情况考虑：当h＜2时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论；当2≤h≤5时，由此时函数的最大值为0与题意不符，可得出该情况不存在；当h＞5时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论．综上即可得出结论．【解答】解：当h＜2时，有﹣（2﹣h）2=﹣1，解得：h1=1，h2=3（舍去）；当2≤h≤5时，y=﹣（x﹣h）2的最大值为0，不符合题意；当h＞5时，有﹣（5﹣h）2=﹣1，解得：h3=4（舍去），h4=6．综上所述：h的值为1或6．故选：B．24．（2019•黄冈）当a≤x≤a+1时，函数y=x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为（）A．﹣1 B．2 C．0或2 D．﹣1或2【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y=1时x的值，结合当a≤x≤a+1时函数有最小值1，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：当y=1时，有x2﹣2x+1=1，解得：x1=0，x2=2．∵当a≤x≤a+1时，函数有最小值1，∴a=2或a+1=0，∴a=2或a=﹣1，故选：D．25．（2019•山西）用配方法将二次函数y=x2﹣8x﹣9化为y=a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y=（x﹣4）2+7 B．y=（x﹣4）2﹣25 C．y=（x+4）2+7 D．y=（x+4）2﹣25【分析】直接利用配方法进而将原式变形得出答案．【解答】解：y=x2﹣8x﹣9=x2﹣8x+16﹣25=（x﹣4）2﹣25．故选：B．26．（2019•杭州）四位同学在研究函数y=x2+bx+c（b，c是常数）时，甲发现当x=1时，函数有最小值；乙发现﹣1是方程x2+bx+c=0的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当x=2时，y=4，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【分析】假设两位同学的结论正确，用其去验证另外两个同学的结论，只要找出一个正确一个错误，即可得出结论（本题选择的甲和丙，利用顶点坐标求出b、c的值，然后利用二次函数图象上点的坐标特征验证乙和丁的结论）．【解答】解：假设甲和丙的结论正确，则，解得：，∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x+4．当x=﹣1时，y=x2﹣2x+4=7，∴乙的结论不正确；当x=2时，y=x2﹣2x+4=4，∴丁的结论正确．∵四位同学中只有一位发现的结论是错误的，∴假设成立．故选：B．27．（2019•贵阳）已知二次函数y=﹣x2+x+6及一次函数y=﹣x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），请你在图中画出这个新图象，当直线y=﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是（）A．﹣＜m＜3 B．﹣＜m＜2 C．﹣2＜m＜3 D．﹣6＜m＜﹣2【分析】如图，解方程﹣x2+x+6=0得A（﹣2，0），B（3，0），再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为y=（x+2）（x﹣3），即y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3），然后求出直线•y=﹣x+m经过点A（﹣2，0）时m的值和当直线y=﹣x+m与抛物线y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时m的值，从而得到当直线y=﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围．【解答】解：如图，当y=0时，﹣x2+x+6=0，解得x1=﹣2，x2=3，则A（﹣2，0），B（3，0），将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y=（x+2）（x﹣3），即y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3），当直线•y=﹣x+m经过点A（﹣2，0）时，2+m=0，解得m=﹣2；当直线y=﹣x+m与抛物线y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时，方程x2﹣x﹣6=﹣x+m有相等的实数解，解得m=﹣6，所以当直线y=﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围为﹣6＜m＜﹣2．故选：D．28．（2019•大庆）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0）、点B（3，0）、点C（4，y1），若点D（x2，y2）是抛物线上任意一点，有下列结论：①二次函数y=ax2+bx+c的最小值为﹣4a；②若﹣1≤x2≤4，则0≤y2≤5a；③若y2＞y1，则x2＞4；④一元二次方程cx2+bx+a=0的两个根为﹣1和其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】利用交点式写出抛物线解析式为y=ax2﹣2ax﹣3a，配成顶点式得y=a（x﹣1）2﹣4a，则可对①进行判断；计算x=4时，y=a•5•1=5a，则根据二次函数的性质可对②进行判断；利用对称性和二次函数的性质可对③进行判断；由于b=﹣2a，c=﹣3a，则方程cx2+bx+a=0化为﹣3ax2﹣2ax+a=0，然后解方程可对④进行判断．【解答】解：抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∵y=a（x﹣1）2﹣4a，∴当x=1时，二次函数有最小值﹣4a，所以①正确；当x=4时，y=a•5•1=5a，∴当﹣1≤x2≤4，则﹣4a≤y2≤5a，所以②错误；∵点C（1，5a）关于直线x=1的对称点为（﹣2，﹣5a），∴当y2＞y1，则x2＞4或x＜﹣2，所以③错误；∵b=﹣2a，c=﹣3a，∴方程cx2+bx+a=0化为﹣3ax2﹣2ax+a=0，整理得3x2+2x﹣1=0，解得x1=﹣1，x2=，所以④正确．故选：B．29．（2019•天津）已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点（﹣1，0），（0，3），其对称轴在y轴右侧．有下列结论：①抛物线经过点（1，0）；②方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根；③﹣3＜a+b＜3其中，正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】①由抛物线过点（﹣1，0），对称轴在y轴右侧，即可得出当x=1时y＞0，结论①错误；②过点（0，2）作x轴的平行线，由该直线与抛物线有两个交点，可得出方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根，结论②正确；③由当x=1时y＞0，可得出a+b＞﹣c，由抛物线与y轴交于点（0，3）可得出c=3，进而即可得出a+b＞﹣3，由抛物线过点（﹣1，0）可得出a+b=2a+c，结合a＜0、c=3可得出a+b＜3，综上可得出﹣3＜a+b＜3，结论③正确．此题得解．【解答】解：①∵抛物线过点（﹣1，0），对称轴在y轴右侧，∴当x=1时y＞0，结论①错误；②过点（0，2）作x轴的平行线，如图所示．∵该直线与抛物线有两个交点，∴方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根，结论②正确；③∵当x=1时y=a+b+c＞0，∴a+b＞﹣c．∵抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点（0，3），∴c=3，∴a+b＞﹣3．∵当a=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0，∴b=a+c，∴a+b=2a+c．∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴a+b＜c=3，∴﹣3＜a+b＜3，结论③正确．故选：C．30．（2019•陕西）对于抛物线y=ax2+（2a﹣1）x+a﹣3，当x=1时，y＞0，则这条抛物线的顶点一定在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】把x=1代入解析式，根据y＞0，得出关于a的不等式，得出a的取值范围后，利用二次函数的性质解答即可．【解答】解：把x=1，y＞0代入解析式可得：a+2a﹣1+a﹣3＞0，解得：a＞1，所以可得：﹣，，所以这条抛物线的顶点一定在第三象限，故选：C．31．（2019•玉林）如图，一段抛物线y=﹣x2+4（﹣2≤x≤2）为C1，与x轴交于A0，A1两点，顶点为D1；将C1绕点A1旋转180°得到C2，顶点为D2；C1与C2组成一个新的图象，垂直于y轴的直线l与新图象交于点P1（x1，y1），P2（x2，y2），与线段D1D2交于点P3（x3，y3），设x1，x2，x3均为正数，t=x1+x2+x3，则t的取值范围是（）A．6＜t≤8 B．6≤t≤8 C．10＜t≤12 D．10≤t≤12【分析】首先证明x1+x2=8，由2≤x3≤4，推出10≤x1+x2+x3≤12即可解决问题；【解答】解：翻折后的抛物线的解析式为y=（x﹣4）2﹣4=x2﹣8x+12，∵设x1，x2，x3均为正数，∴点P1（x1，y1），P2（x2，y2）在第四象限，根据对称性可知：x1+x2=8，∵2≤x3≤4，∴10≤x1+x2+x3≤12即10≤t≤12，故选：D．32．（2019•绍兴）若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（）A．（﹣3，﹣6） B．（﹣3，0）C．（﹣3，﹣5） D．（﹣3，﹣1）【分析】根据定弦抛物线的定义结合其对称轴，即可找出该抛物线的解析式，利用平移的“左加右减，上加下减”找出平移后新抛物线的解析式，再利用二次函数图象上点的坐标特征即可找出结论．【解答】解：∵某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，∴该定弦抛物线过点（0，0）、（2，0），∴该抛物线解析式为y=x（x﹣2）=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1．将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新抛物线的解析式为y=（x﹣1+2）2﹣1﹣3=（x+1）2﹣4．当x=﹣3时，y=（x+1）2﹣4=0，∴得到的新抛物线过点（﹣3，0）．故选：B．33．（2019•随州）如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C对称轴为直线x=1．直线y=﹣x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①2a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③x（ax+b）≤a+b；④a＜﹣1．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】利用抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，利用对称轴方程得到b=﹣2a，则2a+b+c=c＞0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧，则当x=﹣1时，y＜0，于是可对②进行判断；根据二次函数的性质得到x=1时，二次函数有最大值，则ax2+bx+c ≤a+b+c，于是可对③进行判断；由于直线y=﹣x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，利用函数图象得x=3时，一次函数值比二次函数值大，即9a+3b+c＜﹣3+c，然后把b=﹣2a代入解a的不等式，则可对④进行判断．【解答】解：∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴b=﹣2a，∴2a+b+c=2a﹣2a+c=c＞0，所以①正确；∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）左侧，而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧，∴当x=﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，所以②正确；∵x=1时，二次函数有最大值，∴ax2+bx+c≤a+b+c，∴ax2+bx≤a+b，所以③正确；∵直线y=﹣x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，∴x=3时，一次函数值比二次函数值大，即9a+3b+c＜﹣3+c，而b=﹣2a，∴9a﹣6a＜﹣3，解得a＜﹣1，所以④正确．故选：A．二．填空题（共2小题）34．（2019•乌鲁木齐）把拋物线y=2x2﹣4x+3向左平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为y=2x2+1 ．【分析】将原抛物线配方成顶点式，再根据“左加右减、上加下减”的规律求解可得．【解答】解：∵y=2x2﹣4x+3=2（x﹣1）2+1，∴向左平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为y=2（x+1﹣1）2+1=2x2+1，故答案为：y=2x2+1．35．（2019•淮安）将二次函数y=x2﹣1的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式是y=x2+2 ．【分析】先确定二次函数y=x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），再根据点平移的规律得到点（0，﹣1）平移后所得对应点的坐标为（0，2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【解答】解：二次函数y=x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），把点（0，﹣1）向上平移3个单位长度所得对应点的坐标为（0，2），所以平移后的抛物线解析式为y=x2+2．故答案为：y=x2+2．三．解答题（共15小题）36．（2019•黄冈）已知直线l：y=kx+1与抛物线y=x2﹣4x．（1）求证：直线l与该抛物线总有两个交点；（2）设直线l与该抛物线两交点为A，B，O为原点，当k=﹣2时，求△OAB的面积．【分析】（1）联立两解析式，根据判别式即可求证；（2）画出图象，求出A、B的坐标，再求出直线y=﹣2x+1与x轴的交点C，然后利用三角形的面积公式即可求出答案．【解答】解：（1）联立化简可得：x2﹣（4+k）x﹣1=0，∴△=（4+k）2+4＞0，故直线l与该抛物线总有两个交点；（2）当k=﹣2时，∴y=﹣2x+1过点A作AF⊥x轴于F，过点B作BE⊥x轴于E，∴联立解得：或∴A（1﹣，2﹣1），B（1+，﹣1﹣2）∴AF=2﹣1，BE=1+2易求得：直线y=﹣2x+1与x轴的交点C为（，0）∴OC=∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=OC•AF+OC•BE=OC（AF+BE）=××（2﹣1+1+2）=37．（2019•湖州）已知抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）经过点（﹣1，0），（3，0），求a，b的值．【分析】根据抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）经过点（﹣1，0），（3，0），可以求得a、b的值，本题得以解决．【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）经过点（﹣1，0），（3，0），∴，解得，，即a的值是1，b的值是﹣2．38．（2019•宁波）已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点（1，0），（0，）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）将抛物线y=﹣x2+bx+c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式．【分析】（1）把已知点的坐标代入抛物线解析式求出b与c的值即可；（2）指出满足题意的平移方法，并写出平移后的解析式即可．【解答】解：（1）把（1，0），（0，）代入抛物线解析式得：，解得：，则抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+；（2）抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+=﹣（x+1）2+2，将抛物线向右平移一个单位，向下平移2个单位，解析式变为y=﹣x2．39．（2019•徐州）已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）①求该函数的关系式；②求该函数图象与坐标轴的交点坐标；③将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B点坐标代入，即可求出二次函数的解析式．（2）根据的函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x轴交点坐标．（3）由（2）可知：抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积．【解答】解：（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3）令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0）当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位故A'（2，4），B'（5，﹣5）∴S△OA′B′=×（2+5）×9﹣×2×4﹣×5×5=15．40．（2019•黑龙江）如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），对称轴为直线x=﹣2，平行于x轴的直线与抛物线交于B、C两点，点B在对称轴左侧，BC=6．（1）求此抛物线的解析式．（2）点P在x轴上，直线CP将△ABC面积分成2：3两部分，请直接写出P点坐标．【分析】（1）由对称轴直线x=2，以及A点坐标确定出b与c的值，即可求出抛物线解析式；（2）由抛物线的对称轴及BC的长，确定出B与C的横坐标，代入抛物线解析式求出纵坐标，确定出B与C坐标，利用待定系数法求出直线AB解析式，作出直线CP，与AB交于点Q，过Q作QH⊥y轴，与y轴交于点H，BC与y轴交于点M，由已知面积之比求出QH的长，确定出Q横坐标，代入直线AB 解析式求出纵坐标，确定出Q坐标，再利用待定系数法求出直线CQ解析式，即可确定出P的坐标．【解答】解：（1）由题意得：x=﹣=﹣=﹣2，c=2，解得：b=4，c=2，则此抛物线的解析式为y=x2+4x+2；（2）∵抛物线对称轴为直线x=﹣2，BC=6，∴B横坐标为﹣5，C横坐标为1，把x=1代入抛物线解析式得：y=7，∴B（﹣5，7），C（1，7），设直线AB解析式为y=kx+2，把B坐标代入得：k=﹣1，即y=﹣x+2，作出直线CP，与AB交于点Q，过Q作QH⊥y轴，与y轴交于点H，BC与y轴交于点M，可得△AQH∽△ABM，∴=，∵点P在x轴上，直线CP将△ABC面积分成2：3两部分，∴AQ：QB=2：3或AQ：QB=3：2，即AQ：AB=2：5或AQ：QB=3：5，∵BM=5，∴QH=2或QH=3，当QH=2时，把x=﹣2代入直线AB解析式得：y=4，此时Q（﹣2，4），直线CQ解析式为y=x+6，令y=0，得到x=﹣6，即P（﹣6，0）；当QH=3时，把x=﹣3代入直线AB解析式得：y=5，此时Q（﹣3，5），直线CQ解析式为y=x+，令y=0，得到x=﹣13，此时P（﹣13，0），综上，P的坐标为（﹣6，0）或（﹣13，0）．41．（2019•淮安）某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元．经市场调研，当该纪念品每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．（1）当每件的销售价为52元时，该纪念品每天的销售数量为180 件；（2）当每件的销售价x为多少时，销售该纪念品每天获得的利润y最大？并求出最大利润．【分析】（1）根据“当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件”，即可解答；（2）根据等量关系“利润=（售价﹣进价）×销量”列出函数关系式，根据二次函数的性质，即可解答．【解答】解：（1）由题意得：200﹣10×（52﹣50）=200﹣20=180（件），故答案为：180；（2）由题意得：y=（x﹣40）[200﹣10（x﹣50）]=﹣10x2+1100x﹣28000=﹣10（x﹣55）2+2250∴每件销售价为55元时，获得最大利润；最大利润为2250元．42．（2019•天门）绿色生态农场生产并销售某种有机产品，假设生产出的产品能全部售出．如图，线段EF、折线ABCD分别表示该有机产品每千克的销售价y1（元）、生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系．（1）求该产品销售价y1（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；（2）直接写出生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；（3）当产量为多少时，这种产品获得的利润最大？最大利润为多少？【分析】（1）根据线段EF经过的两点的坐标利用待定系数法确定一次函数的表达式即可；（2）显然，当0≤x≤50时，y2=70；当130≤x≤180时，y2=54；当50＜x＜130时，设y2与x之间的函数关系式为y2=mx+n，利用待定系数法确定一次函数的表达式即可；（3）利用：总利润=每千克利润×产量，根据x的取值范围列出有关x的二次函数，求得最值比较可得．【解答】解：（1）设y1与x之间的函数关系式为y1=kx+b，∵经过点（0，168）与（180，60），∴，解得：，∴产品销售价y1（元）与产量x（kg）之间的函数关系式为y1=﹣x+168（0≤x≤180）；（2）由题意，可得当0≤x≤50时，y2=70；当130≤x≤180时，y2=54；当50＜x＜130时，设y2与x之间的函数关系式为y2=mx+n，∵直线y2=mx+n经过点（50，70）与（130，54），。

一、选择题1. （2019山东省济宁市，8，3分）将抛物线y ＝x 2－6x ＋5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ）A ．y ＝(x －4)2－6B ．y ＝(x －1)2－3C ．y ＝(x －2)2－2D ．y ＝(x －4)2－2 【答案】D【思路分析】把抛物线y ＝x 2－6x ＋5化成顶点式，再根据“左加右减”方法进行平移．【解题过程】y ＝x 2－6x ＋5＝ (x －3) 2－4，把向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得y ＝ (x －3－1) 2－4＋2，即y ＝(x －4)2－2． 【知识点】抛物线的平移规律．2. (2019四川巴中,10,4分)二次函数y ＝ax 2+bx+c(a ≠0)的图象如图所示,下列结论①b 2>4ac,②abc<0,③2a+b －c>0,④a+b+c<0,其中正确的是( ) A.①④ B.②④ C.②③ D.①②③④第10题图 【答案】A【思路分析】根据图象信息,可得开口向下,对称轴为x ＝－1,与x 轴有两个不同的交点,与y 轴交于正半轴,x ＝－3时函数值小于零,据此即可得到有关a,b,c 的信息,从而做出判断.【解题过程】①:因为图象与x 轴有两个不同的交点,所以b 2－4ac>0,即b 2>4ac,故①正确;②:图象开口向下,故a<0,图象与y 轴交于正半轴,故c>0,因为对称轴为x ＝－1,所以12ba-=-,所以2a ＝b,故b<0,所以abc>0,②错误;③:a<0,b<0,c>0,所以2a+b －c<0,③错误;④当x ＝1时,y ＝a+b+c,由图可得,x ＝－3时,y<0,由对称性可知,当x ＝1时,y<0,即a+b+c<0,故④正确.综上所述,①④正确,选A.【知识点】二次函数的性质,二次函数与一元二次方程的关系,二次函数的对称轴及对称性3. （2019四川达州，题号9，3分）如图，边长都为4的正方形ABCD 和正三角形EFG 如图放置， AB 与EF 在一条直线上，点A 与点F 重合.现将△EFG 沿AB 方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点F 与点B 重合时停止，在这个运动过程中正方形ABCD 和△EFG 重叠部分的面积S 与运动时t 的函数图像大致是( )【答案】C【思路分析】可分两种情况，第一种情况重合部分为三角形，第二种情况重合部分为四边形，分别求出对应的函数关系式即可.【解题过程】运动过程中，当顶点G 在正方形外部时，重合部分为三角形，设运动时间为t ，面积S 与t 的函数关系式为232t y =，函数图像为开口向上的二次函数，当顶点G 在正方形内部时，重合部分为四边形，设xxx运动时间为t ，面积S 与t 的函数关系式为343423-2-+=t t y ，函数图像为开口向下的二次函数，故选C【知识点】二次函数的图形与性质4. （2019四川省凉山市，12，4）二次函数y =ax 2+bx +c 的部分图象如图所示，有以下结论：①3a –b =0；②b 2-4ac＞0；③5a -2b +c ＞0； ④4b +3c ＞0,其中错误结论的个数是（ ▲ ） A. 1 B . 2 C . 3 D . 4第12题图【答案】A 【思路分析】根据二次函数的性质和二次函数的图象可以判断题目中各个小题的结论是否成立，从而可以解答本题． 【解析】根据对称轴232-=-a b 得b =3a ，故可得3a –b =0，所以结论①正确；由于抛物线与x 轴有两个不同的交点，所以b 2-4ac ＞0，结论②正确；根据结论①可知b =3a ，∴5a -2b +c =5a -6a +c =-a +c ，观察图像可知a ＜0,c＞0，∴5a -2b +c =-a +c ＞0，结论③正确；根据抛物线的轴对称性可知抛物线与x 轴的右交点在原点与（1，0）之间（不含这两点），所以当x =1时，y =a +b +c ＜0，∵a =b 31，∴b 34+c ＜0，∴4b +3c ＜0，所以结论④错误.故选 A.【知识点】二次函数图象与系数的关系 5. （2019四川攀枝花，9，3分）在同一坐标系中，二次函数y ＝ax 2＋bx 与一次函数y ＝bx －a 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】据参数符号可排除A 、D 选项，联立两函数解析式所得方程无解，则两函数图象无交点，故选C ． 【知识点】二次函数的图象；一次函数的图象6.（2019天津市，12，3分）二次函数y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数，a≠0）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：且当21-=x 时，与其对应的函数值y>0，有下列结论：（1）abc>0;(2)-2和3是关于x 的方程ax 2+bx+c=t 的两个根；（3）0<m+n<320,其中，正确结论的个数是(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】C【解析】(1)因为当21-=x 时，与其对应的函数值y>0，由图表可知x=0时，y=-2，x=1时，y=-2,可以判断对称轴左侧y 随x 的增大而减小，图像开口向上，a>0;由图表可知x=0时，y=-2，x=1时，y=-2,可得对称轴为直线21=x ，所以b<0;x=0时，y=-2,所以c=-2<0,故abc>0（1）正确；（2）由于对称轴是直线21=x ，-2和3是关于对称轴对称的，所以（2）正确；（3）由对称轴是直线21=x 可得a+b=0,因为x=0时，y=-2，可知c=-2，当21-=x 时，与其对应的函数值y>0可得38>a ，当x=-1时，m=a -b -2=2a -2>310,因为-1和2关于对称轴对称，可得m=n ，所以m+n>320，故（3）错误，所以答案为C 【知识点】二次函数图像的性质.7. （2019浙江省衢州市，6，3分）二次函数y =（x -1）2+3图象的顶点坐标是（A ） A . （1.3） B .（1，-3） C .（-1.3） D .（-1.-3） 【答案】A【解析】本题考查二次函数顶点坐标的确定，二次函数y =a （x -h ）2+k 的顶点坐标为（h ，k ），所以y =（x -1）2+3的顶点坐标是（1.3），故选A 。

二次函数与特殊三角形判定★1.已知抛物线y＝－x2＋2x＋m－1过原点O，与x轴的另一个交点为A，顶点为D，我们称由抛物线的顶点和与x轴的两个交点组成的三角形为该抛物线的“顶点三角形”．(1)求m的值；(2)判断该“顶点△ADO”的形状，并说明理由；(3)将此抛物线平移后，经过点C(1，0)，且“顶点三角形”为等边三角形，求平移后的抛物线表达式．解：(1)∵抛物线y＝－x2＋2x＋m－1经过坐标原点，∴把(0，0)代入表达式得m－1＝0，∴m＝1；(2)该“顶点△ADO”为等腰直角三角形．理由如下：如解图①，∵m＝1，∴抛物线表达式为y＝－x2＋2x，变形为y＝－(x－1)2＋1，∴点D坐标为(1，1)，∴OD＝ 2.把y＝0代入表达式得，x1＝0，x2＝2，∴A点坐标为(2，0)，∴AD＝2，OA＝2，∴OD＝AD，OA2＝OD2＋AD2，∴∠ADO＝90°，∴△ADO为等腰直角三角形；第1题解图①第1题解图②(3)如解图②，设所求抛物线表达式为y＝－x2＋bx＋c，∵抛物线经过点C(1，0)，∴b＋c＝1，设点D′为平移后抛物线顶点，∴D′(b2，4c＋b24)，∵tan∠D′CE＝tan60°＝4c＋b24b2－1＝3，解得b＝23＋2，c＝－23－1，(b＝2，c＝－1舍去)∴平移后抛物线的表达式为y＝－x2＋(23＋2)x－1－2 3.★2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A(0，－6)和点C(6，0)．(1)求该抛物线的表达式；(2)若抛物线与x轴的负半轴交于点B，试判断△ABC的形状(钝角三角形、直角三角形还是锐角三角形)；(3)在抛物线上是否存在点P，使得△P AC为以AC为底的等腰三角形？若存在，请求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．第2题图解：(1)将A (0，－6)和C (6，0)代入y ＝x 2＋bx ＋c 中，得⎩⎨⎧=++-=06366c b c ， 解得⎩⎨⎧-=-=65c b ，∴抛物线的表达式为y ＝x 2－5x －6； (2)令x 2－5x －6＝0，解得，x 1＝－1，x 2＝6，∴点B 的坐标为B (－1，0)，即点B 在(－6，0)与原点之间， 又∵OA ＝6，OC ＝6，OB ＝1， ∴∠BAC <90°，∵△AOB 与△AOC 均为直角三角形； ∴∠OBA 与∠BCA 均为锐角， ∴△ABC 为锐角三角形； (3)存在．如解图，设M 为线段AC 的中点，则直线OM 为线段AC 的垂直平分线，直线OM 与抛物线必有两个交点都是满足条件的点P ，∵A (0，－6)，C (6，0)， ∴点M 的坐标为(3，－3)， 设直线OM 的解析式为y ＝kx ， 将点M (3，－3)代入得，k ＝－1，即直线OM 的解析式为y ＝－x ， 第2题解图 联立⎩⎨⎧--=-=652x x y x y ，得x 2－4x －6＝0， 解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=21010211y x 或⎪⎩⎪⎨⎧--=+=10210222y x ，∴点P 的坐标为(2－10，10－2)或(2＋10，－2－10)．★3.如图，抛物线y ＝ax 2－2ax ＋b 与x 轴交于A 、B 两点，点B 坐标为(3，0)，与y 轴交于点C (0，3)． (1)求抛物线对称轴及点A 的坐标； (2)求抛物线的表达式；(3)点M 、N 是抛物线上的两点(点M 在N 的左侧)，连接MN .若MN ∥x 轴，则在x 轴上是否存在一点Q ，使得△MNQ 为等腰直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．第3题图解：(1)根据抛物线的表达式y ＝ax 2－2ax ＋b ，可知其对称轴为直线x＝－aa22-＝1， 根据点A 、B 关于对称轴对称，点B 坐标为(3，0)， 可得点A 坐标为(－1，0)；(2)将点A (－1，0)、C (0，3)坐标代入抛物线表达式中，得⎩⎨⎧==++302b b a a ， 解得⎩⎨⎧=-=31b a ，∴抛物线的表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3； (3)存在．如解图，△QMN 是直角三角形，直角顶点不确定，则分以下三种情况讨论：①当点Q 是直角顶点时，根据等腰直角三角形的对称性可知点Q 1(1，0)； ②当点M 或N 是直角顶点时， 且点M 、N 在x 轴上方时， 设点Q 2(x ，0)(x ＜1)， ∴Q 1Q 2＝1－x ，∴MN ＝2Q 1Q 2＝2(1－x )， ∵△Q 2MN 为等腰直角三角形，∴y ＝2(1－x )，即－x 2＋2x ＋3＝2(1－x )， 又∵x ＜1，∴解得x1＝2－5，x2＝2＋5(舍去)，∴点Q2(2－5，0)，由抛物线的对称性可知点Q3(5，0)；③若点N或点M是直角顶点，且点M、N在x轴下方时，设点Q4(x，0)(x＜1)，第3题解图∴Q1Q4＝1－x，而MN＝2Q1Q4＝2(1－x)，∵△Q4MN为等腰直角三角形，∴－y＝2(1－x)，即－(－x2＋2x＋3)＝2(1－x)，又∵x＜1，∴解得x3＝－5，x4＝5(舍去)，∴点Q4(－5，0)，由抛物线的对称性可知点Q5(5＋2，0)，∴存在点Q，分别为：Q1(1，0)、Q2(2－5，0)、Q3(5，0)、Q4(－5，0)，Q5(5＋2，0)．★4.如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，OA ＝1，OC ＝4，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过A ，B 两点．(1)求抛物线的表达式；(2)点E 是直角△ABC 斜边AB 上一动点(点A 、B 除外)，过点E 作x 轴的垂线交抛物线于点F ，当线段EF 的长度最大时，求点E 、F 的坐标；(3)在(2)的条件下：在抛物线上是否存在一点P ，使△EFP 是以EF 为直角边的直角三角形？若存在，请求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．第4题图解：(1)∵OA ＝1，OC ＝4，AC ＝BC ， ∴BC ＝5，∴A (－1，0)，B (4，5)，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过A ，B 两点，∴⎩⎨⎧=++=+-541601c b c b ，解得⎩⎨⎧-=-=32c b ，∴抛物线表达式为y ＝x 2－2x －3； (2)设直线AB 解析式为y ＝kx ＋b ， 直线经过点A ，B 两点，∴⎩⎨⎧=+=+-540b k b k ， 解得⎩⎨⎧==11b k ，∴直线AB 的解析式为：y ＝x ＋1，设点E 的坐标为(m ，m ＋1)，则点F (m ，m 2－2m －3)， ∴EF ＝m ＋1－m 2＋2m ＋3＝－m 2＋3m ＋4＝－(m －32)2＋254，∴当EF 最大时，m ＝32， ∴点E (32，52)，F (32，－154)； (3)存在．①当∠FEP ＝90°时，点P 的纵坐标为52， 即x 2－2x －3＝52，解得x 1＝2＋262，x 2＝2－262， ∴点P 1(2＋262，52)，P 2(2－262，52)， ②当∠EFP ＝90°时，点P 的纵坐标为－154，即x 2－2x －3＝－154，解得x 1＝12，x 2＝32(舍去)， ∴点P 3(12，－154)．综上所述，P 1(2＋262，52)，P 2(2－262，52)，P 3(12，－154)．★5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (－1，0)、B 两点，与y 轴交于C (0，－3)，顶点为D . (1)求抛物线表达式；(2)点N 为抛物线对称轴上一动点，若以B 、N 、C 为顶点的三角形为直角三角形，求出所有相应的点N 的坐标．第5题图解：(1)∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 过A (－1，0)、C (0，－3)，∴⎩⎨⎧-==+-301c c b ， 解得⎩⎨⎧-=-=32c b ，∴抛物线表达式为y ＝x 2－2x －3；(2)由(1)知抛物线对称轴为x ＝－b2a ＝1，则设N (1，n )，易知B (3，0)，则BN ＝4＋n 2，NC ＝1＋（－3－n ）2，BC ＝32，如解图，连接NC 、NB ，第5题解图①若∠BNC ＝90°，则BC 2＝BN 2＋NC 2， 即18＝4＋n 2＋1＋9＋6n ＋n 2， ∴n 2＋3n －2＝0， ∴解得n ＝－3±172， ∴N (1，－3＋172)或N (1，－3－172)； ②若∠NBC ＝90°，则NC 2＝BN 2＋BC 2， 即1＋9＋6n ＋n 2＝4＋n 2＋18， ∴n ＝2， ∴N (1，2)；③若∠NCB ＝90°，则BN 2＝NC 2＋BC 2， 即4＋n 2＝1＋9＋6n ＋n 2＋18， ∴n ＝－4， ∴N (1，－4)．综上，当N (1，－3＋172)或N (1，－3－172)或N (1，2)或N (1，－4)时，以B 、N 、C 为顶点的三角形为直角三角形．。

二次函数与特殊三角形一、 二次函数与等腰三角形1、指定一边做底或腰2、需要讨论二、 二次函数与等边三角形 三、 二次函数与直角三角形1、求证为直角三角形2、在特殊条件下存在点问题3、需要对直角讨论的类型四、 二次函数与等腰直角三角形一、 二次函数与等腰三角形 1、指定一边做底或腰1. 【易】（等腰三角形）（2011年淮安）如图．已知二次函数23y x bx =-++的图象与x 轴的一个交点为()40A ，，与y 轴交于点B ． ⑴ 求此二次函数关系式和点B 的坐标；⑵ 在x 轴的正半轴上是否存在点P ．使得PAB △是以AB 为底边的等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】⑴ 把点()40A ，代入二次函数有：01643b =-++得：134b = 所以二次函数的关系式为：21334y x x =-++． 当0x =时，3y =∴点B 的坐标为()03，． ⑵如图：作AB 的垂直平分线交x 轴于点P ，连接BP ， 则：BP AP =设BP AP x ==，则4OP x =-， 在直角OBP △中，222BP OB OP =+ 即：()22234x x =+- 解得：258x = ∴257488OP =-= 所以点P 的坐标为：708⎛⎫⎪⎝⎭，2. 【易】(等腰三角形)（朝阳二模）如图，点A 在x 轴的负半轴上，4OA =，AB OB ==.将ABO △绕坐标原点O 顺时针旋转90︒，得到11A B O △，再继续旋转90︒，得到22A B O △.抛物线23y ax bx =++经过B 、1B 两点. ⑴ 求抛物线的解析式；⑵ 点2B 是否在此抛物线上，请说明理由；⑶ 在该抛物线上找一点P ，使得2PBB △是以2BB 为底的等腰三角形，求出所有符合条件的点P 的坐标；⑷ 在该抛物线上，是否存在两点M 、N ，使得原点O 是线段MN 的中点，若存在，直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】⑴ 过点B 作BE OA ⊥于点E ，∵AB OB =，∴122OE OA ==．又OB =，∴1BE ．∴()21B -，． ∴()112B ，，()221B -，． ∵抛物线23y ax bx =++经过B 、1B 两点，∴423132a b a b -+=⎧⎨++=⎩， 解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=3132b a ． ∴抛物线的解析式为331322+--=x x y ．⑵ ∵当2x =时，22112231333y =-⨯-⨯+=--≠，∴点()221B -，不在此抛物线上． ⑶ 点P 应在线段2BB 的垂直平分线上，由题意可知，12OB BB ⊥且平分2BB ， ∴点P 在直线1OB 上．可求得1OB 所在直线的解析式为2y x =．又点P 是直线2y x =与抛物线221333y x x =--+的交点，由2221333y x y x x =⎧⎪⎨=--+⎪⎩，解得{1112x y ==，22929x y ⎧⎪=-⎨=-⎪⎩．∴符合条件的点P 有两个，()112P ，即点1B 和2992P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． ⑷ 存在．⎛ ⎝⎭和⎝⎭．3. 【中】（等腰三角形）(2011年西双版纳)如图，抛物线与x 轴交于A 、B 两点，直线1y kx =-与抛物线交于A 、C 两点，其中()10A -，，()30B ，，点C 的纵坐标为3-． ⑴ 求k 的值；⑵ 求抛物线的解析式；⑶ 抛物线上是否存在点P ，使得ACP △是以AC 为底边的等腰三角形？如果存在，写出所有满足条件的点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】⑴ 由题意得，把点()10A -，代入一次函数1y kx =-，得 ∴10k --=∴1k =-∴一次函数的解析式为1y x =-- ⑵ 设抛物线的解析式为2y ax bx c =++ 把点C 的纵坐标为3-代入1y x =-- ∴13x --=- 2x =∴点()23C -，由题意得0930423a b c a b c a b c -+=⎧⎪++=⎨++=-⎪⎩解得123a b c =⎧⎪=-⎨=-⎪⎩∴抛物线的解析式为223y x x =-- ⑶ 存在过点C 作CD x ∥轴，过点A 作AD y ∥轴，则点()13D --， ∴ADC △是等腰三角形 3AD =，3CD =∴AC =∴AF∵直线1y x =--与y 轴交于点E ，则()01E -， 则1OA OE ==∴AE ==EF =过作y ⊥轴，垂足为点N ∵AOE OEF △∽△ ∴EFN △是等腰三角形 ∴12EN FN ==∴1322F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由点()13D --，和点1322F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，求出直线DF 的解析式为2y x =- ∴{2223y x y x x =-=--得2310x x --=解得，1x =2x =∴满足条件的1P ⎝⎭，2P ⎝⎭2、需要讨论4. 【易】（平移+等腰三角形）（湖北省荆门市中考）一开口向上的抛物线与x 轴交于()20A m -，，()20B m +，两点，记抛物线顶点为C ，且AC BC ⊥．⑴ 若m 为常数，求抛物线的解析式；⑵ 若m 为小于0的常数，那么⑴中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？⑶ 设抛物线交y 轴正半轴于D 点，问是否存在实数m ，使得BCD △为等腰三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】⑴ 设抛物线的解析式为：()()()2224y a x m x m a x m a =-+--=--．∵AC BC ⊥，由抛物线的对称性可知：ACB △是等腰直角三角形，又4AB =， ∴()2C m -，代入得12a =． ∴解析式为：()2122y x m =--． （亦可求C 点，设顶点式） ⑵ ∵m 为小于零的常数，∴只需将抛物线向右平移m -个单位，再向上平移2个单位，可以使抛物线 ()2122y x m =--顶点的坐标原点． ⑶ 由⑴得21022D m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，设存在实数m ，使得BOD △为等腰三角形．∵BOD △为直角三角形， ∴只能OD OB =．∴21222m m -=+，当20m +>时，解得4m =或2m =-（舍）． 当20m +<时，解得0m =（舍）或2m =-（舍）；当20m +=时，即2m =-时，B 、O 、D 三点重合（不合题意，舍） 综上所述：存在实数4m =，使得BOD △为等腰三角形．5. 【中】（面积最大+等腰三角形）(2010年厦门湖里模拟)已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB OC <）是方程210160x x -+=的两个根，且抛物线的对称轴是直线2x =-．⑴ 求A 、B 、C 三点的坐标； ⑵ 求此抛物线的表达式；⑶ 连接AC 、BC ，若点E 是线段AB 上的一个动点（与点A 、点B 不重合），过点E 作EF AC ∥交BC 于点F ，连接CE ，设AE 的长为m ，CEF △的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；⑷ 在⑶的基础上试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出S 的最大值，并求出此时点E 的坐标，判断此时BCE △的形状；若不存在，请说明理由．【答案】解：⑴解方程210160x x -+=得12x =，28x =∵点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，且OB OC <∴点B 的坐标为()20，，点C 的坐标为()08， 又∵抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线2x =- ∴由抛物线的对称性可得点A 的坐标为()60-，⑵∵点()08C ，在抛物线2y ax bx c =++ 的图象上∴8c =，将()60A -，、()20B ，代入表达式，得 036680428a b a b =-+⎧⎨=++⎩ 解得2383a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴所求抛物线的表达式为228833y x x =--+⑶依题意，AE m =，则8BE m =-， ∵6OA =，8OC =，∴10AC = ∵EF AC ∥∴BEF BAC △∽△∴EF AC =BEAB即10EF =88m∴4054mEF =过点F 作FG AB ⊥，垂足为G ，则4sin sin 5FEG CAB ∠=∠= ∴FG EF 45= ∴45FG =⋅40584mm =- ∴()()()11888822BCE BFE S S S m m m =-=-⨯---△△ ()()()211188884222m m m m m m =--+=-=-+ 自变量m 的取值范围是08m << （4）存在．理由：∵()221144822S m m m =-+=--+且102-<，∴当4m =时，S 有最大值，=8S 最大值 ∵4m =，∴点E 的坐标为()20-， ∴BCE △为等腰三角形．6. 【中】（等腰三角形+面积最大）（2012年乐山）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()m m ，，点B 的坐标为()n n -，，抛物线经过A 、O 、B 三点，连接OA 、OB 、AB ，线段AB 交y 轴于点C ．已知实数m 、n ()m n <分别是方程2230x x --=的两根． ⑴ 求抛物线的解析式；⑵ 若点P 为线段OB 上的一个动点（不与点O 、B 重合），直线PC 与抛物线交于D 、E 两点（点D 在y 轴右侧），连接OD 、BD ． ①当OPC △为等腰三角形时，求点P 的坐标；②求BOD △面积的最大值，并写出此时点D 的坐标．【答案】⑴ 解方程2230x x --=，得13x =，21x =-． ∵m n <，∴1m =-，3n =∴()11A --，，()33B -，． ∵抛物线过原点，设抛物线的解析式为2y ax bx =+． ∴{1393a ba b -=--=-解得：1212a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线的解析式为21122y x x =-+．⑵ ①设直线AB 的解析式为y kx b =+． ∴{133k b k b -=-+-=+解得：1232k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩， ∴直线AB 的解析式为1322y x =--．∴C 点坐标为302⎛⎫- ⎪⎝⎭，．∵直线OB 过点()00O ，，()33B -，， ∴直线OB 的解析式为y x =-．∵OPC △为等腰三角形，∴OC OP =或OP PC =或OC PC =．设()P x x -，，（i ）当OC OP =时，()2294x x +-=．解得1x =，2x =（舍去）．∴1P -⎝⎭． （ii ）当OP PC =时，点P 在线段OC 的中垂线上， ∴23344P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，． （iii ）当OC PC =时，由223924x x ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，解得132x =，20x =（舍去）． ∴33322P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，． ∴P点坐标为1P -⎝⎭或23344P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，或33322P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，． ②过点D 作DG x ⊥轴，垂足为G ，交OB 于Q ，过B 作BH x ⊥轴，垂足为H ． 设()Q x x -，，21122D x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，． 1122BOD ODQ BDQ S S S DQ OG DQ GH =+=⋅+⋅△△△，()12DQ OG GH =+， 21113222x x x ⎡⎤⎛⎫=+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦×， 233274216x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，∵03x <<， ∴当32x =时，S 取得最大值为2716，此时3328D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．7. 【中】（等腰三角形）(2012年临沂)如图，点A 在x 轴上，4OA =，将线段OA 绕点O 顺时针旋转120︒至OB 的位置． ⑴ 求点B 的坐标；⑵ 求经过点A ．O 、B 的抛物线的解析式；⑶ 在此抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使得以点P 、O 、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】⑴ 如图，过B 点作BC x ⊥轴，垂足为C ，则90BCO ∠=︒，∵∠120AOB ∠=︒， ∴60BOC ∠=︒， 又∵4OA OB ==，∴114222OC OB ===×，sin 604BC OB =⋅︒==×∴点B的坐标为(2--，； ⑵ ∵抛物线过原点O 和点A 、B ， ∴可设抛物线解析式为2y ax bx =+，将()40A ，，(2B --，代入，得{16442a b a b +=-=解得a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴此抛物线的解析式为2y x x = ⑶ 存在，如图，抛物线的对称轴是2x =，直线2x =与x 轴的交点为D ，设点P 的坐标为()2y ，， ①若OB OP =， 则22224y +=，解得y =±当y =Rt POD △中，90PDO ∠=︒，sin PD POD OP ∠=， ∴60POD ∠=︒，∴60120180POB POD AOB ∠=∠+∠=︒+︒=︒， 即P 、O 、B 三点在同一直线上，∴y = ∴点P的坐标为(2-，②若OB PB =，则2244y ++=，解得y =-故点P的坐标为(2-，， ③若OP BP =，则22224y y +=++，解得y =-故点P的坐标为(2-，， 综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为(2-，，x8. 【中】（等腰三角形+周长最小）（2012年扬州）已知抛物线2y ax bx c =++经过()10A -，、()30B ，、()03C ，三点，直线l 是抛物线的对称轴．⑴ 求抛物线的函数关系式；⑵ 设点P 是直线l 上的一个动点，当PAC △的周长最小时，求点P 的坐标；⑶ 在直线l 上是否存在点M ，使M A C △为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】⑴ 将()10A -，、()30B ，、()03C ，代入抛物线2y ax bx c =++中， 得09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨=⎪⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=⎨=⎪⎩ ∴抛物线的解析式：223y x x =-++． ⑵ 连接BC ，直线BC 与直线l 的交点为P ；设直线BC 的解析式为y kx b =+，将()30B ，，()03C ，代入上式， 得{303k b b +==，解得：{13k b =-=∴直线BC 的函数关系式3y x =-+； 当1x -时，2y =，即P 的坐标()12，．⑶ 抛物线的解析式为：12bx a=-=，设()1M m ，，已知()10A -，、()03C ，， 则224MA m =+，22610MC m m =-+，210AC =； ①若MA MC =，则22MA MC =， 得224610m m m +=-+， 得1m =；②若MA MC =，则22MA AC =，得2410m +=，得m =③若MC AC =，则22MC AC =，得261010m m -+=，得：0m =，6m =；当6m =时，M 、A 、C 三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去； 综上可知，符合条件的M点，且坐标为(1M(1，()11，()10，．9. 【难】（等腰三角形+面积最大）(2010年重庆市潼南县)如图, 已知抛物线212y x bx c =++与y 轴相交于C ，与x 轴相交于A 、B ，点A 的坐标为()20，，点C 的坐标为()01-，. ⑴ 求抛物线的解析式；⑵ 点E 是线段AC 上一动点，过点E 作DE x ⊥于点D ，连结DC ，当DCE △的面积最大时，求点D 的坐标；⑶ 在直线BC 上是否存在一点P ，使ACP △为等腰三角形，若存在，求点P 坐标，若不存在，说明理由.【答案】⑴ ∵二次函数c bx x y ++=221的图像经过点()20A ，，()01C -， ∴{2201b c c ++==- 解得：12b =-1c =-∴二次函数的解析式为211122y x x =-- ⑵ 设点D 的坐标为()0m ，()02m << ∴OD m =∴2AD m =-由ADE AOC △∽△得AD DEAO OC = ∴221m DE-= ∴22mDE -=∴CDE △的面积1222mm -=×× 242m m=-+()211144m =-+ 当1m =时，CDE △的面积最大∴点D 的坐标为()10， ⑶ 存在由(1)知：二次函数的解析式为211122y x x =-- 设0y =则2110122x x =-- 解得：12x =，21x =-∴点B 的坐标为()10-，，()01C -， 设直线BC 的解析式为：y kx b =+ ∴{1k b b -+==- 解得：1k =-，1b =-∴直线BC 的解析式为:1y x =--在Rt AOC △中，90AOC ∠=︒，2OA =，1OC =由勾股定理得：AC ∵点()10B -，，点()01C -， ∴OB OC =，45BCO ∠=︒①当以点C 为顶点且PC AC ==设()1P k k --，过点P 作PH y ⊥轴于H∴45HCP BCO ∠=∠=︒ CH PH k == 在Rt PCH △中222k k+=解得1k=2k=∴11P⎫⎪⎪⎝⎭，21P⎛⎫-⎪⎪⎝⎭②以A为顶点，即AC AP=设()1P k k--，过点P作PG x⊥轴于G2AG k=-，1GP k=--在Rt APG△中，222AG PG AP+=()()22215k k-+--=解得：11k=,1k=(舍)∴()312P-，③以P为顶点，PC AP=设()1P k k--，过点P 作PQ y ⊥轴于点Q PL x ⊥轴于点L∴()0L k ，∴QPC △为等腰直角三角形PQ CQ k ==由勾股定理知CP PA == ∴2AL k =-，1PL k =-- 在Rt PLA △中，)()()22221k k =-++解得：52k =∴45722P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，综上所述：存在四个点：11P ⎫--⎪⎪⎝⎭，21P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()312P -，，45722P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，10. 【难】（等腰三角形）（2012年贵州毕节中考）如图，直线1l 经过点()10A -，，直线2l 经过点()30B ，，1l 、2l 均与y轴交于点(0C ，，抛物线()20y a x bx c a =++≠经过A 、B 、C 三点．⑴ 求抛物线的函数表达式；⑵ 抛物线的对称轴依次与x 轴交于点D 、与2l 交于点E 、与抛物线交于点F 、与1l 交于点G ．求证：DE EF FG ==；⑶ 若12l l ⊥于y 轴上的C 点处，点P 为抛物线上一动点，要使PCG △为等腰三角形，请写出符合条件的点P 的坐标，并简述理由．【答案】⑴ ∵抛物线()20y ax bx c a =++≠经过()10A -，，()30B ，，(0C ，三 点，∴090a b c a c c ⎧-+=⎪+=⎨⎪=⎩，解得a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩．∴抛物线的解析式为：2y =+ ⑵ 证明：设直线1l 的解析式为y kx b =+，由直线1l 经过()10A -，，(0C ，，得∴{k b -+=，解得k b ⎧=⎨=⎩∴直线1l的解析式为：y =．直线2l 经过()30B ，，(0C ，两点，同理可求得直线2l解析式为：y =．∵抛物线)221y x x =--， ∴对称轴为1x =，()10D ，，顶点坐标为1F ⎛ ⎝⎭，．点E 为1x =与直线2:l y =-的交点，令1x =，得y =，∴1E ⎛ ⎝⎭，．点G 为1x =与直线1:l y =-1x =，得y =-∴(1G -，．∴各点坐标为：()10D ，，1E ⎛- ⎝⎭，，1F ⎛- ⎝⎭，，(1G -，，它们均位于对称轴1x =上．∴DE EF FG ==⑶ 如图，过C 点作C 关于对称轴1x =的对称点1P ，1CP 交对称轴于H 点，连接CF ，PG ．PCG △为等腰三角形，有三种情况：①当CG PG =时，如图，由抛物线的对称性可知，此时1P 满足1PG CG =．∵(0C ，，对称轴1x =，∴(12P ，． ②当CG PC =时，此时P 点在抛物线上，且CP 的长度等于CG ．如图，(1C ，，H 点在1x =上，∴(1H ，．在Rt CHG △中，1CH =，()G H HG y y =-=-=，∴由勾股定理得：2CG ==．∴2PC =．如图，12CP =，此时与①中情形重合．又Rt OAC △中，2AC =，∴点A 满足2PC =的条件，但点A 、C 、G 在同一条直线上，所以不能构成等腰三角形． ③当PC PG =时，此时P 点位于线段CG 的垂直平分线上. ∵12l l ⊥，∴ECG △为直角三角形．由⑵可知，EF FG =，即F 为斜边EG 的中点． ∴CF FG =，∴F 为满足条件的P 点，∴21P ⎛ ⎝⎭，．又cos CG CGE EG ∠==， ∴30CGE ∠=︒． ∴60HCG ∠=︒．又1PC CG =， ∴1PCG △为等边三角形． ∴1P 点也在CG 的垂直平分线上，此种情形与①重合．综上所述，P 点的坐标为(12P ，或21P ⎛ ⎝⎭，．11. 【难】（等腰三角形+面积最大）（2009年深圳市）已知：Rt ABC △的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB 与x 轴重合（其中OA OB <），直角顶点C 落在y 轴正半轴上．⑴ 求线段OA 、OB 的长和经过点A 、B 、C 的抛物线的关系式．（4分）⑵ 如图，点D 的坐标为()20，，点()P m n ，是该抛物线上的一个动点（其中0m >，0n >），连接DP 交BC 于点E ．①当BDE △是等腰三角形时，直接写出此时点E 的坐标．②又连接CD 、CP ，CDP △是否有最大面积？若有，求出CDP △的最大面的最大面积和此时点P 的坐标；若没有，请说明理由．【答案】⑴ 由Rt Rt AOC COB △∽△，易知，()2CO OA OB OA AB OA =⋅=⋅-，()OB OA AB OA =⋅， 可求1OA =，4OB =∴()10A -，，()40B ，，()02C ，可设解析式为()()14y a x x =+-，将点()02C ，代入， 可求12a =-．∴213222y x x =-++为所求．⑵ 1132E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，24855E ⎛⎫⎪⎝⎭，，34E ⎛ ⎝ 提示：直线BC 的解析式为122y x =-+设()E x y ，，利用勾股定理和点()E x y ，在直线BC 上，可得两个方程组()22212222y x x y ⎧=-+⎪⎨⎪-+=⎩ ()22212242y x x y ⎧=-+⎪⎨⎪-+=⎩分别可求2E 和3E ． ⑶ 过D 作X 轴的垂线，交PC 于M ，易求PC 的解析式为22n y x m-=+， 且2422n M m -⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，故()()12CDP CDM DMP P C M D S S S x x y y =+=--△△△ 11242222P M n x y m m n m -⎛⎫=⋅=+=+- ⎪⎝⎭2132222m m m ⎛⎫=+-++- ⎪⎝⎭21522m m =-+故，当52m =时，25=8CDP S 最大值△，52128P ⎛⎫⎪⎝⎭，．12. 【难】（平行四边形+面积+等腰三角形）（怀柔区2010年初三一模）如图，在平面直角坐标系xoy 中，抛物线21410189y x x =--与x 正半轴交于点A ，与y 轴交于点B ，过点B 作x 轴的平行线BC ，交抛物线于点C ，连结AC ．现有两动点P 、Q 分别从O 、C 点同时出发，点P 以每秒4个单位的速度沿OA 向终点A 移动，点Q 以每秒1个单位的速度沿CB 向点B 移动，点P 停止运动时，点Q 也同时停止运动，线段OC ，PQ 相交于点D ，过点D 作DE OA ∥，交CA 于点E ，射线QE 交x 轴于点F ．设动点P ，Q 移动的时间为t （单位:秒）⑴ 求A ，B ，C 三点的坐标；⑵ 当t 为何值时，四边形PQCA 为平行四边形?请写出计算过程； ⑶ 当902t <<时，PQF △的面积是否总为定值?若是，求出此定值，若不是，请说明理由；⑷ 当t 时，PQF △为等腰三角形?【答案】⑴ ()21818018y x x =--，令0y =得281800x x --=，()()18100x x -+= ∴18x =或10x =- ∴()180A ，； 在21410189y x x =--中，令0x =得10y =即()010B ，； 由于BC OA ∥，故点C 的纵坐标为10-，由2141010189x x -=--得8x =或0x =即()810C -，于是，()180A ，，()010B -，，()810C -，⑵ 若四边形PQCA 为平行四边形，由于QC PA ∥．故只要QC PA =即可∵184PA t CQ t =-=， ∴184t t -=得185t =⑶ 设点P 运动t 秒，则4OP t CQ t ==，，0 4.5t <<，说明P 在线段OA 上，且不与点O 、A 重合，由于QC OP ∥知QDC PDO △∽△，故144QD QC t DP OP t === ∴4AF t OP ==∴18PF PA AF PA OP =+=+= 又点Q 到直线PF 的距离10d = ∴1118109022PQF S PF d =⋅⋅=⨯⨯=△ ∴PQF △的面积总为90⑷当2t 时，PQF △是等腰三角形13. 【难】（线段最值+等腰三角形）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点()40B ，、()80C ，、()88D ，．抛物线2y ax bx =+过A 、C 两点． ⑴ 直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；⑵ 动点P 从点A 出发，沿线段AB 向终点B 运动，同时点Q 从点C 出发，沿线段CD 向终点D 运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t 秒．过点P 作PE AB ⊥交AC 于点E ．①过点E 作EF AD ⊥于点F ，交抛物线于点G ．当t 为何值时，线段EG 最长？②连接EQ ．在点P 、Q 运动的过程中，判断有几个时刻使得CEQ △是等腰三角形？ 请直接写出相应的t 值．【答案】⑴ 点A 的坐标为()48，将()48A ，、()80C ，两点坐标分别代入2y ax bx =+得{81640648a b a b =+=+解得142a b =-=， ∴抛物线的解析式为：2142y x x =-+⑵ ①在Rt APE △和Rt ABC △中，tan PE BC PAB AP AB ∠==，即48PE AP = ∴1122PE AP t ==，8PB t =-． ∴点E 的坐标为1482t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，． ∴点G 的纵坐标为：22111144482128t t t ⎛⎫⎛⎫-+++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．∴()21888EG t t =-+--218t t =-+．∵108-<，∴当4t =时，线段EG 最长为2．②共有三个时刻．1163t =，24013t =，3t =．14. 【中】（面积最大+等腰三角形）（郑州市2011年中考数学中招模拟考试）如图，已知抛物线2y x bx c =-++经过点()10A -，和()04C ，． ⑴ 求这条抛物线的解析式；⑵ 直线1y x =+与抛物线相交于A 、D 两点，点p 是抛物线上一个动点，点P 的横坐标是m ，且13m -<<，设ADP △的面积为S ，求S 的最大值及对应的m 值； ⑶ 点M 是直线AD 上一动点，直线写出使ACM △为等腰三角形的点M 的坐标．【答案】⑴ ()10A -，和()04C ，代入2y x bx c =-++，得{104b c c --+==，解得{34b c ==∴此抛物线解析式为：234y x x =-++⑵ 由题意得：{2134y x y x x =+=-++解得：{1110x y =-=，{2234x y ==∴点D 的坐标为()34，过点P 作PQ y ∥轴，交直线AD 与点Q ，∵点P 的横坐标是m ， 又点P 在抛物线234y x x =-++∴P 的纵坐标是234m m -++，点Q 的横坐标也是m ， ∵点Q 在直线1y x =+上， ∴Q 的纵坐标是1m +，∴()()2234123PQ m m m m m =-++-+=-++ADP APQ DPQ S S S =+△△△()()()()221123123322m m m m m m =-++--+-++-⎡⎤⎣⎦ ()212342m m =-++× 2246m m =-++ ()2218m =--+当1m =，ADP △的面积S 的最大值为8.⑶ 11M ⎝⎭，()2347171451010M M M ⎛⎛⎫- ⎪ ⎝⎭⎝⎭，，，，，．15. 【难】（全等+等腰三角形）（2009年重庆）已知：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，2OA =，3OC =，过原点O 作AOC ∠的平分线交AB 于点D ，连结DC ，过点D 作DE DC ⊥，交OA 于点E ．⑴ 求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式；⑵ 将EDC ∠绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F ，另一边与线段OC 交于点G ．如果DF 与⑴中的抛物线交于另一点M ，点M 的横坐标为65，那么2EF GO =是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；⑶ 对于⑵中的点G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ，使得直线GQ 与AB 的交点P 与点C 、G 构成的PCG △是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在成立，请说明理由．【答案】⑴ 由于OD 平分AOC ∠，所以点D 的坐标为()22，，因此2BC AD ==． 由于BCD ADE △≌△，所以1BD AE ==，因此点E 的坐标为()01，． 设过E 、D 、C 三点的抛物线的解析式为c bx ax y ++=2，那么1422930.c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，，解得56a =-，136b =，1c =．因此过E 、D 、C 三点的抛物线的解析式为2513166y x x =-++．⑵把65x =代入2513166y x x =-++，求得125y =．所以点M 的坐标为612,55⎛⎫⎪⎝⎭．如图2，过点M 作MN AB ⊥，垂足为N ，那么MN DN FA DA=，即12622552FA --=． 解得1FA =．因为EDC ∠绕点D 旋转的过程中，DCG DEF △≌△， 所以2CG EF ==．因此1GO =，2EF GO =． ⑶在第⑵中，2GC =．设点Q 的坐标为2513166x x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，．①如图3，当2CP CG ==时，点P 与点()32B ，重合，PCG △是等腰直角三角形．此时Q Q G y x x =-，因此25131166x x x -++=-。

第二部分 专题四类型1 二次函数与特殊三角形的存在性问题1．(2018·怀化)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋2x ＋c 与x 轴交于A (－1,0)，B (3,0)两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式和直线AC 的解析式；(2)请在y 轴上找一点M ，使△BDM 的周长最小，求出点M 的坐标；(3)试探究：在拋物线上是否存在点P ，使以点A ，P ，C 为顶点，AC 为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋1)(x －3)， 即y ＝ax 2－2ax －3a ， ∴－2a ＝2，解得a ＝－1，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3； 当x ＝0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝3，则C (0,3)， 设直线AC 的解析式为y ＝px ＋q ，把A (－1,0)，C (0,3)代入得⎩⎪⎨⎪⎧－p ＋q ＝0，q ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝3，q ＝3，∴直线AC 的解析式为y ＝3x ＋3. (2)∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4， ∴顶点D 的坐标为(1,4)，如答图1，作B 点关于y 轴的对称点B ′，连接DB ′交y 轴于M ，则B ′(－3,0)， ∵MB ＝MB ′，∴MB ＋MD ＝MB ′＋MD ＝DB ′，此时MB ＋MD 的值最小， 而BD 的值不变，∴此时△BDM 的周长最小， 易得直线DB ′的解析式为y ＝x ＋3， 当x ＝0时，y ＝x ＋3＝3， ∴点M 的坐标为(0,3)；答图1答图2(3)存在．过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P1，如答图2，∵直线AC的解析式为y＝3x＋3，∴直线P1C的解析式可设为y＝－13x＋b，把C(0,3)代入得b＝3，∴直线P1C的解析式为y＝－13x＋3，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y＝－x2＋2x＋3，y＝－13x＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x＝0，y＝3，或⎩⎨⎧x＝73，y＝209，则此时P点坐标为(73，209)；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P2，如答图2，直线P2A的解析式可设为y＝－13x＋d，把A(－1,0)代入得13＋d＝0，解得d＝－13，∴直线P2A的解析式为y＝－13x－13，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y＝－x2＋2x＋3，y＝－13x－13，解得⎩⎪⎨⎪⎧x＝－1，y＝0，或⎩⎨⎧x＝103，y＝－139，则此时P点坐标为(103，－139)，综上所述，符合条件的点P 的坐标为(73，209)或(103，－139)．2．(2018·泰安)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 交x 轴于点A (－4,0)，B (2,0)，交y 轴于点C (0,6)，在y 轴上有一点E (0，－2)，连接AE.(1)求二次函数的表达式；(2)若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求△ADE 面积的最大值； (3)抛物线对称轴上是否存在点P ，使△AEP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在，请说明理由．解：(1)∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A (－4,0)，B (2,0)，C (0,6)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧16a －4b ＋c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝0，c ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－34，b ＝－32，c ＝6，∴二次函数的表达式为y ＝－34x 2－32x ＋6.(2)由A (－4,0)，E (0，－2)可得AE 所在的直线解析式为y ＝－12x －2，答图过点D 作DF ⊥x 轴，交AE 于点F ，交x 轴于点G ，过点E 作EH ⊥DF ，垂足为H ，如答图，设D (m ，－34m 2－32m ＋6)，则点F (m ，－12m －2)，∴DF ＝－34m 2－32m ＋6－(－12m －2)＝－34m 2－m ＋8，∴S △ADE ＝S △ADF ＋S △EDF ＝12·DF ·AG ＋12·DF ·EH＝12×DF ·(AG ＋HE ) ＝12×4×DF＝2×(－34m 2－m ＋8)＝－32(m ＋23)2＋503，∴当m ＝－23时，S △ADE 最大，最大值为503.(3)存在，P 点的坐标为(－1,1)或(－1，±11)或(－1，－2±19)． 【解法提示】y ＝－34x 2－32x ＋6的对称轴为x ＝－1，设P (－1，n )，又E (0，－2)，A (－4,0)，可得P A ＝9＋n 2，PE ＝1＋(n ＋2)2，AE ＝16＋4＝25， 当P A ＝PE 时，9＋n 2＝1＋(n ＋2)2， 解得n ＝1，此时P (－1,1)； 当P A ＝AE 时，9＋n 2＝25，解得n ＝±11，此时P 点的坐标为(－1，±11)； 当PE ＝AE 时，1＋(n ＋2)2＝25， 解得n ＝－2±19，此时P 点的坐标为(－1，－2±19)，综上所述，P 点的坐标为(－1,1)或(－1，±11)或(－1，－2±19)．3．(2018·眉山)如图1，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过点A (0,3)，B (1,0)，其对称轴为直线l ：x ＝2，过点A 作AC ∥x 轴交抛物线于点C ，∠AOB 的平分线交线段AC 于点E ，点P 是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m .(1)求抛物线的解析式；(2)若动点P 在直线OE 下方的抛物线上，连接PE ，PO ，当m 为何值时，四边形AOPE 面积最大，并求出其最大值；(3)如图2，F 是抛物线的对称轴l 上的一点，在抛物线上是否存在点P ，使△POF 成为以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)如答图1，设抛物线与x 轴的另一个交点为D ， 由对称性得：D (3,0)，设抛物线的解析式为y ＝a (x －1)(x －3)，把A (0,3)代入，得3＝3a ，解得a ＝1， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3.答图1 答图2(2)如答图2，设P (m, m 2－4m ＋3)， ∵OE 平分∠AOB ，∠AOB ＝90°， ∴∠AOE ＝45°，∴△AOE 是等腰直角三角形， ∴AE ＝OA ＝3， ∴E (3,3)，易得OE 的解析式为y ＝x ， 过P 作PG ∥y 轴，交OE 于点G ， ∴G (m ，m )，∴PG ＝m －( m 2－4m ＋3)＝－ m 2＋5m －3， ∴S 四边形AOPE ＝S △AOE ＋S △POE ， ＝12×3×3＋12PG ·AE ， ＝92＋12×3×(－m 2＋5m －3)， ＝－32m 2＋152m ，＝－32(m －52)2＋758，∵－32<0，∴当m ＝52时，S 有最大值，最大值是758.(3)点P 的坐标是(5＋52，5＋12)或(5－52，1－52)或(3＋52，1－52)或(3－52，1＋52)．【解法提示】如答图3，过P 作MN ⊥y 轴，交y 轴于M ，交l 于N ， ∵△OPF 是等腰直角三角形，且OP ＝PF ， 易得△OMP ≌△PNF ，∴OM ＝PN . ∵P (m, m 2－4m ＋3)， 则－ m 2＋4m －3＝2－m ，解得m ＝5＋52或5－52，∴P 的坐标为(5＋52，5＋12)或(5－52，1－52)；答图3 答图4如答图4，过P 作MN ⊥x 轴于N ，过F 作FM ⊥MN 于M ， 同理得△ONP ≌△PMF ， ∴PN ＝FM ，则－m 2＋4m －3＝m －2， 解得x ＝3＋52或3－52，∴P 的坐标为(3＋52，1－52)或(3－52，1＋52)；综上所述，点P 的坐标是(5＋52，5＋12)或(5－52，1－52)或(3＋52，1－52)或(3－52，1＋52)． 4．(2018·安顺)如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为直线x ＝－1，且抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，其中A(1,0)，C (0，3)．(1)若直线y ＝mx ＋n 经过B ，C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴x ＝－1上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；(3)设点P 为抛物线的对称轴x ＝－1上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标．解：(1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－b2a＝－1，a ＋b ＋c ＝0，c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，c ＝3，∴抛物线解析式为y ＝－x 2－2x ＋3.∵对称轴为直线x ＝－1，且抛物线经过A (1,0)， ∴B (－3,0)，∴把B (－3,0)，C (0,3)分别代入直线y ＝mx ＋n ，得⎩⎪⎨⎪⎧ －3m ＋n ＝0，n ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3， ∴直线BC 的解析式为y ＝x ＋3.(2)设直线BC 与对称轴x ＝－1的交点为M ，则此时MA ＋MC 的值最小． 把x ＝－1代入直线y ＝x ＋3，得y ＝2，∴M (－1,2)，即当点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小时，点M 的坐标为(－1,2)． (3)设P (－1，t )，又∵B (－3,0)，C (0,3)，∴BC 2＝18，PB 2＝(－1＋3)2＋t 2＝4＋t 2，PC 2＝(－1)2＋(t －3)2＝t 2－6t ＋10， ①若点B 为直角顶点，则BC 2＋PB 2＝PC 2，即18＋4＋t 2＝t 2－6t ＋10，解得t ＝－2； ②若点C 为直角顶点，则BC 2＋PC 2＝PB 2，即18＋t 2－6t ＋10＝4＋t 2，解得t ＝4； ③若点P 为直角顶点，则PB 2＋PC 2＝BC 2，即4＋t 2＋t 2－6t ＋10＝18，解得t 1＝3＋172，t 2＝3－172；综上所述，使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标为(－1，－2)或(－1,4)或(－1，3＋172)或(－1，3－172)．类型2 二次函数与特殊四边形的存在性问题1．(2018·南充)如图，抛物线顶点P (1,4)，与y 轴交于点C (0，3)，与x 轴交于点A ，B ．(1)求抛物线的解析式．(2)Q 是抛物线上除点P 外一点，△BCQ 与△BCP 的面积相等，求点Q 的坐标． (3)若M ，N 为抛物线上两个动点，分别过点M ，N 作直线BC 的垂线段，垂足分别为D ，E .是否存在点M ，N 使四边形MNED 为正方形？如果存在，求正方形MNED 的边长；如果不存在，请说明理由．解：(1)设y ＝a (x －1)2＋4(a ≠0)，把C (0,3)代入抛物线解析式，得a ＋4＝3，即a ＝－1， 则抛物线的解析式为y ＝－(x －1)2＋4＝－x 2＋2x ＋3. (2)∵B (3,0)，C (0,3)，∴直线BC 的解析式为y ＝－x ＋3， ∵S △PBC ＝S △QBC ，∴PQ ∥BC ，①过P 作PQ ∥BC ，交抛物线于点Q ，如答图1所示，答图1∵P (1,4)，∴直线PQ 解析式为y ＝－x ＋5，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋5，y ＝－x 2＋2x ＋3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝3，即Q 点坐标为(2,3)；②设G (1,2)，∴PG ＝GH ＝2，点G 在直线BC 上．过H 作直线Q 2Q 3∥BC ，交x 轴于点H ，则直线Q 2Q 3解析式为y ＝－x ＋1，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋1，y ＝－x 2＋2x ＋3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋172，y ＝－1－172，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－172，y ＝－1＋172，∴Q 2(3－172，－1＋172)，Q 3(3＋172，－1－172)．综上，点Q 的坐标为(2,3)或(3－172，－1＋172)或(3＋172，－1－172)．(3)存在点M ，N 使四边形MNED 为正方形，如答图2所示，过M 作MF ∥y 轴，过N 作NF ∥x 轴，过N 作NH ∥y 轴，则有△MNF 与△NEH 都为等腰直角三角形，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，设直线MN 解析式为y ＝－x ＋b ，答图2联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋b ，y ＝－x 2＋2x ＋3， 消去y ，得x 2－3x ＋b －3＝0，∴NF 2＝|x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝21－4b . ∵△MNF 为等腰直角三角形， ∴MN 2＝2NF 2＝42－8b .∵NH 2＝(b －3)2，∴NE 2＝12(b －3)2，若四边形MNED 为正方形，则有NE 2＝MN 2， ∴12(b 2－6b ＋9)＝42－8b ， 整理得b 2＋10b －75＝0， 解得b ＝－15或5，∵正方形边长为MN ＝42－8b ， ∴MN ＝92或 2.2．(2018·自贡)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx －3过A (1,0)，B (－3，0)，直线AD 交抛物线于点D ，点D 的横坐标为－2，点P (m ，n )是线段AD 上的动点．(1)求直线AD 及抛物线的解析式；(2)过点P 的直线垂直于x 轴，交抛物线于点Q ，求线段PQ 的长度l 与m 的关系式，m 为何值时，PQ 最长？(3)在平面内是否存在整点(横、纵坐标都为整数)R ，使得P ，Q ，D ，R 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R 的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)把A (1,0)，B (－3,0)代入函数解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －3＝0，9a －3b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2， 抛物线的解析式为y ＝x 2＋2x －3.当x ＝－2时，y ＝(－2)2＋2×(－2)－3＝－3， 即D (－2，－3)．设直线AD 的解析式为y ＝kx ＋b ，将A (1,0)，D (－2，－3)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋b ＝0，－2k ＋b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝－1，直线AD 的解析式为y ＝x －1.(2)设P 点坐标为(m ，m －1)，Q (m, m 2＋2m －3)， l ＝(m －1)－(m 2＋2m －3)， 化简，得l ＝－m 2－m ＋2，即线段PQ 的长度l 与m 的关系式为l ＝－m 2－m ＋2. 配方，得l ＝－(m ＋12)2＋94，当m ＝－12时，l 最大＝94.(3)点R 的坐标为(－2，－2)或(－2，－4)或(－2，－1)或(－2，－5)或(0，－3)或(2，－1)．【解法提示】由(2)可知，0<PQ ≤94.当PQ 为边时，DR ∥PQ 且DR ＝PQ . ∵R 是整点，D (－2，－3)，∴PQ 是正整数， ∴PQ ＝1或2.当PQ ＝1时，DR ＝1，此时点R 的横坐标为－2，纵坐标为－3＋1＝－2或－3－1＝－4， ∴R (－2，－2)或(－2，－4)； 当PQ ＝2时，DR ＝2，此时点R 的横坐标为－2，纵坐标为－3＋2＝－1或－3－2＝－5， 即R (－2，－1)或(－2，－5)．当PQ 为对角线时，设点R 的坐标为(a ，b )， 则有a －22＝m ＋m 2，b －32＝m 2＋2m －3＋m －12，解得a ＝2m ＋2，b ＝m 2＋3m －1， ∴点R 的坐标为(2m ＋2，m 2＋3m －1)， ∵R 是整点，－2<m <1，∴当m ＝－1时，点R 的坐标为(0，－3)； 当m ＝0时，点R 的坐标为(2，－1)．综上所述，存在满足R 的点，它的坐标为(－2，－2)或(－2，－4)或(－2，－1)或(－2，－5)或(0，－3)或(2，－1)．3．(2018·岳阳)已知抛物线F ：y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过坐标原点O ，且与x 轴另一交点为(－33，0)． (1)求抛物线F 的解析式； (2)如图1，直线l ：y ＝33x ＋m (m >0)与抛物线F 相交于点A (x 1，y 1)和点B (x 2，y 2)(点A 在第二象限)，求y 2－y 1的值(用含m 的式子表示)；(3)在(2)中，若m ＝43，设点A ′是点A 关于原点O 的对称点，如图2.①判断△AA ′B 的形状，并说明理由；②平面内是否存在点P ，使得以点A ，B ，A ′，P 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过点(0,0)和(－33，0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝0，13－33b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝33，c ＝0， ∴抛物线F 的解析式为y ＝x 2＋33x . (2)将y ＝33x ＋m 代入y ＝x 2＋33x ，得x 2＝m ， 解得x 1＝－m ，x 2＝m ，∴y 1＝－133m ＋m ，y 2＝133m ＋m ，∴y 2－y 1＝(133m ＋m )－(－133m ＋m )＝233m (m >0)．(3)∵m ＝43，∴点A 的坐标为(－233，23)，点B 的坐标为(233，2)．∵点A ′是点A 关于原点O 的对称点， ∴点A ′的坐标为(233，－23)．①△AA ′B 为等边三角形．理由如下：∵A (－233，23)，B (233，2)，A ′(233，－23)，∴AA ′＝83，AB ＝83，A ′B ＝83，∴AA ′＝AB ＝A ′B ，∴△AA ′B 为等边三角形． ②存在．分三种情况，如答图，答图设点P 的坐标为(x ，y )．(Ⅰ)当A ′B 为对角线时，有⎩⎨⎧x －233＝233×2，y ＝23，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23，y ＝23，∴点P 的坐标为(23，23)；(Ⅱ)当AB 为对角线时，有⎩⎨⎧x ＝－233，y －23＝23＋2，解得⎩⎨⎧x ＝－233，y ＝103，∴点P 的坐标为(－233，103)；(Ⅲ)当AA ′为对角线时，有⎩⎨⎧x ＝－233，23－y ＝2＋23，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－233，y ＝－2，∴点P 的坐标为(－233，－2)．综上所述，平面内存在点P ，使得以点A ，B ，A ′，P 为顶点的四边形是菱形，点P 的坐标为(23，23)或(－233，103)或(－233，－2)．4．如图，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与直线AB 交于A (－4，－4)，B (0,4)两点，直线AC ：y ＝－12x －6交y 轴于点C ．点E 是直线AB 上的动点，过点E 作EF ⊥x 轴交AC 于点F ，交抛物线于点G .(1)求抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的表达式；(2)连接GB ，EO ，当四边形GEOB 是平行四边形时，求点G 的坐标；(3)在y 轴上存在一点H ，连接EH ，HF ，当点E 运动到什么位置时，以A ，E ，F ，H 为顶点的四边形是矩形？求出此时点E ，H 的坐标．解：(1)∵点A (－4，－4)，B (0,4)在抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －16－4b ＋c ＝－4，c ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2，c ＝4，∴抛物线的表达式为y ＝－x 2－2x ＋4. (2)设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋n ， ∵A (－4，－4)，B (0,4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝4，－4k ＋n ＝－4，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，n ＝4， ∴直线AB 的解析式为y ＝2x ＋4， 设E (m,2m ＋4)，则G (m ，－m 2－2m ＋4)， ∵四边形GEOB 是平行四边形，∴EG ＝OB ＝4， ∴－m 2－2m ＋4－2m －4＝4， 解得m ＝－2，∴G (－2,4)．(3)如答图，答图由(2)知，直线AB 的解析式为y ＝2x ＋4， ∴设E (a,2a ＋4)， ∵直线AC ：y ＝－12x －6，∴F (a ，－12a －6)，设H (0，p )，∵以点A ，E ，F ，H 为顶点的四边形是矩形，直线AB 的解析式为y ＝2x ＋4，直线AC 的解析式为y ＝－12x －6，∴AB ⊥AC ，∴EF 为对角线， ∴EF 与AH 互相平分且相等，∴2a ＝－4，(－4－p )2＋42＝2a ＋4＋12a ＋6，∴a ＝－2，p ＝－1(－7已舍)， ∴E (－2,0)，H (0，－1)．类型3 二次函数与相似三角形的存在性问题1．(2018·官度区一模)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过原点O ，顶点为A (1,1)，且与直线y ＝x －2相交于B ，C 两点．(1)求抛物线的解析式； (2)求B ，C 两点的坐标；(3)若点N 为x 轴上的一个动点，过点N 作MN ⊥x 轴与抛物线交于点M ，则是否存在以O ，M ，N 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)∵顶点坐标为(1,1)，∴设抛物线的解析式为y ＝a (x －1)2＋1. 又∵抛物线过原点，∴0＝a (0－1)2＋1，解得a ＝－1， ∴抛物线的解析式为y ＝－(x －1)2＋1， 即y ＝－x 2＋2x .(2)联立抛物线和直线解析式可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋2x ，y ＝x －2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－3，∴B (2,0)，C (－1，－3)． (3)存在．理由：假设存在满足条件的点N ， 设N (x,0)，则M (x ，－x 2＋2x )， ∴ON ＝|x |，MN ＝|－x 2＋2x |，由(2)知，AB ＝2，BC ＝32，AC ＝25， ∴AB 2＋BC 2＝AC 2，∴△ABC 为直角三角形，且∠ABC ＝90°， ∵MN ⊥x 轴于点N ，∴∠ABC ＝∠MNO ＝90°， ∴当△ABC 和△MNO 相似时，有MN AB ＝ON BC 或MN BC ＝ON AB. ①当MN AB ＝ON BC 时，|－x 2＋2x |2＝|x |32，即|x |·|－x ＋2|＝13|x |.∵当x ＝0时，M ，O ，N 三点不能构成三角形， ∴x ≠0，∴|－x ＋2|＝13，∴－x ＋2＝±13，解得x ＝53或x ＝73，此时N 点坐标为(53，0)或(73，0)；②当MN BC ＝ONAB 时，|－x 2＋2x |32＝|x |2，即|x |·|－x ＋2|＝3|x |，∴|－x ＋2|＝3， ∴－x ＋2＝±3，解得x ＝5或x ＝－1，此时N 点坐标为(－1,0)或(5,0)．综上可知，存在满足条件的N 点，其坐标为(53，0)或(73，0)或(－1,0)或(5,0)．2．(2018·达州)如图，抛物线经过原点O (0,0)，点A (1，1)，点B (72，0)．(1)求抛物线解析式；(2)连接OA ，过点A 作AC ⊥OA 交抛物线于C ，连接OC ，求△AOC 的面积； (3)点M 是y 轴右侧抛物线上一动点，连接OM ，过点M 作MN ⊥OM 交x 轴于点N .问：是否存在点M ，使以点O ，M ，N 为顶点的三角形与(2)中的△AOC 相似？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．备用图解：(1)设抛物线解析式为y ＝ax (x －72)，把A (1,1)代入，得a ·(1－72)＝1，解得a ＝－25，∴抛物线解析式为y ＝－25x (x －72)，即y ＝－25x 2＋75x .(2)延长CA 交y 轴于点D ，如答图1.答图1∵A (1,1)，∴OA ＝2，∠DOA ＝45°， ∴△AOD 为等腰直角三角形． ∵OA ⊥AC ，∴OD ＝2OA ＝2， ∴D (0,2)，易得直线AD 的解析式为y ＝－x ＋2， 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2，y ＝－25x 2＋75x ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－3，∴C (5，－3)， ∴S △AOC ＝S △COD －S △AOD ＝12×2×5－12×2×1＝4；(3)存在．如答图2，过点M 作MH ⊥x 轴于点H .答图2由(2)易得AC ＝(5－1)2＋(－3－1)2＝42，OA ＝ 2. 设M (x ，－25x 2＋75x )(x >0)．∵∠OHM ＝∠OAC ， ∴当OH OA ＝MHAC时，△OHM ∽△OAC ，即x2＝|－25x 2＋75x |42，解方程－25x 2＋75x ＝4x 得x 1＝0(舍去)，x 2＝－132(舍去)，解方程－25x 2＋75x ＝－4x 得x 1＝0(舍去)，x 2＝272，此时M 点坐标为(272，－54)；当OH AC ＝MH OA时，△OHM ∽△CAO ， 即x42＝|－25x 2＋75x |2， 解方程－25x 2＋75x ＝14x 得x 1＝0(舍去)，x 2＝238，此时M 点的坐标为(238，2332)，解方程－25x 2＋75x ＝－14x 得x 1＝0(舍去)，x 2＝－338，此时M 点坐标为(338，－3332)．∵MN ⊥OM ，∴∠OMN ＝90°，∴∠MON ＝∠HOM ，∴△OMH ∽△ONM ，∴当M 点的坐标为(272，－54)或(238，2332)或(338，－3332)时，以点O ，M ，N 为顶点的三角形与(2)中的△AOC 相似． 类型4 二次函数与面积最值问题1．(2018·东营)如图，抛物线y ＝a (x －1)(x －3)(a >0)与x 轴交于A ，B 两点，抛物线上另有一点C 在x 轴下方，且使△OCA ∽△OBC ．(1)求线段OC 的长度；(2)设直线BC 与y 轴交于点M ，点C 是BM 的中点时，求直线BM 和抛物线的解析式； (3)在(2)的条件下，直线BC 下方抛物线上是否存在一点P ，使得四边形ABPC 面积最大？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)当y ＝0时，a (x －1)(x －3)＝0， 解得x 1＝1，x 2＝3，即A (1,0)，B (3,0)， ∴OA ＝1，OB ＝3.∵△OCA ∽△OBC ，∴OC ∶OB ＝OA ∶OC ， ∴OC 2＝OA ·OB ＝3，则OC ＝ 3.(2)∵C 是BM 的中点，即OC 为Rt △OBM 斜边BM 的中线， ∴OC ＝BC ，∴点C 的横坐标为32.又∵OC ＝3，点C 在x 轴下方，∴C (32，－32)．设直线BM 的解析式为y ＝kx ＋b ， 把点B (3,0)，C (32，－32)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3k ＋b ＝0，32k ＋b ＝－32，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3，k ＝33， ∴直线BM 的解析式为y ＝33x － 3. 又∵点C (32，－32)在抛物线上，∴将C (32，－32)代入抛物线的解析式，解得a ＝233，∴抛物线的解析式为y ＝233x 2－833x ＋2 3.(3)存在．如答图，过点P 作PQ ⊥x 轴交直线BM 于点Q ，设点P 的坐标为(x ，233x 2－833x ＋23)，答图则Q (x ，33x －3)， ∴PQ ＝33x －3－(233x 2－833x ＋23)＝－233x 2＋33x －33， ∴当△BCP 面积最大时，四边形ABPC 的面积最大，∴S △BCP ＝12PQ (3－x )＋12PQ (x －32)＝34PQ ＝－32x 2＋934x －934，当x ＝－b 2a ＝94时，S △BCP 有最大值，则四边形ABPC 的面积最大，此时点P 的坐标为(94，－538)．2．(2018·盐城)如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过点A (－1,0)，B (3,0)两点，且与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的表达式；(2)如图2，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x 轴，并沿x 轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P ，Q 两点(点P 在点Q 的左侧)，连接PQ ，在线段PQ 上方抛物线上有一动点D ，连接DP ，DQ .①若点P 的横坐标为－12，求△DPQ 面积的最大值，并求此时点D 的坐标；②直尺在平移过程中，△DPQ 面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由．解：(1)将A (－1,0)，B (3,0)代入y ＝ax 2＋bx ＋3，得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋3＝0，9a ＋3b ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，∴抛物线的表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3.(2)①当点P 的横坐标为－12时，点Q 的横坐标为72，∴此时点P 的坐标为(－12，74)，点Q 的坐标为(72，－94)．设直线PQ 的表达式为y ＝mx ＋n ，将P (－12，74)，Q (72，－94)代入y ＝mx ＋n ，得⎩⎨⎧－12m ＋n ＝74，72m ＋n ＝－94，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝54，∴直线PQ 的表达式为y ＝－x ＋54.如答图，过点D 作DE ∥y 轴交直线PQ 于点E ，答图设点D 的坐标为(x ，－x 2＋2x ＋3)， 则点E 的坐标为(x ，－x ＋54)，∴DE ＝－x 2＋2x ＋3－(－x ＋54)＝－x 2＋3x ＋74，∴S △DPQ ＝12DE ·(x Q －x P )＝－2x 2＋6x ＋72＝－2(x －32)2＋8.∵－2<0，∴当x ＝32时，△DPQ 的面积取最大值，最大值为8，此时点D 的坐标为(32，154)． ②假设存在，设点P 的横坐标为t ，则点Q 的横坐标为4＋t ， ∴点P 的坐标为(t ，－t 2＋2t ＋3)，点Q 的坐标为(4＋t ，－(4＋t )2＋2(4＋t )＋3)，利用待定系数法易知，直线PQ 的表达式为y ＝－2(t ＋1)x ＋t 2＋4t ＋3.设点D 的坐标为(x ，－x 2＋2x ＋3)，则点E 的坐标为(x ，－2(t ＋1)x ＋t 2＋4t ＋3)， ∴DE ＝－x 2＋2x ＋3－[－2(t ＋1)x ＋t 2＋4t ＋3]＝－x 2＋2(t ＋2)x －t 2－4t ， ∴S △DPQ ＝12DE ·(x Q －x P )＝－2x 2＋4(t ＋2)x －2t 2－8t ＝－2[x －(t ＋2)]2＋8.∵－2<0，∴当x ＝t ＋2时，△DPQ 的面积取最大值，最大值为8.∴假设成立，即直尺在平移过程中，△DPQ 面积有最大值，面积的最大值为8. 3．(2018·新疆)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝23x 2－23x －4与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 左侧)，与y 轴交于点C ．(1)求点A ，B ，C 的坐标；(2)点P 从A 点出发，在线段AB 上以每秒2个单位长度的速度向B 点运动，同时，点Q 从B 点出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向C 点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设运动时间为t 秒，求运动时间t 为多少秒时，△PBQ 的面积S 最大，并求出其最大面积；(3)在(2)的条件下，当△PBQ 面积最大时，在BC 下方的抛物线上是否存在点M ，使△BMC 的面积是△PBQ 面积的1.6倍？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)当x ＝0时，y ＝23x 2－23x －4＝－4，∴点C 的坐标为(0，－4)； 当y ＝0时，23x 2－23x －4＝0，解得x 1＝－2，x 2＝3，∴点A 的坐标为(－2,0)，点B 的坐标为(3,0)． (2)设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，将B (3,0)，C (0，－4)代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋b ＝0，b ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝43，b ＝－4，∴直线BC 的解析式为y ＝43x －4.过点Q 作QE ∥y 轴，交x 轴于点E ，如答图1所示．当运动时间为t 秒时，点P 的坐标为(2t －2,0)，点Q 的坐标为(3－35t ，－45t )∴PB ＝3－(2t －2)＝5－2t ，QE ＝45t ，∴S ＝12PB ·QE ＝－45t 2＋2t ＝－45(t －54)2＋54.∵－45<0，∴当t ＝54秒时，△PBQ 的面积S 取最大值，最大值为54.(3)存在，如答图2，过点M 作MF ∥y 轴，交BC 于点F ，设点M 的坐标为(m ，23m 2－23m －4)，则点F 的坐标为(m ，43m －4)，∴MF ＝43m －4－(23m 2－23m －4)＝－23m 2＋2m ，∴S △BMC ＝12MF ·OB ＝－m 2＋3m .∵△BMC 的面积是△PBQ 面积的1.6倍， ∴－m 2＋3m ＝54×1.6，即m 2－3m ＋2＝0，解得m 1＝1，m 2＝2.∵0<m <3，∴在BC 下方的抛物线上存在点M ，使△BMC 的面积是△PBQ 面积的1.6倍，此时点M 的坐标为(1，－4)或(2，－83)．答图4．(2018·白银)如图，已知二次函数y ＝ax 2＋2x ＋c 的图象经过点C (0,3)，与x 轴分别交于点A ，点B (3,0)．点P 是直线BC 上方的抛物线上一动点．(1)求二次函数y ＝ax 2＋2x ＋c 的表达式；(2)连接PO ，PC ，并把△POC 沿y 轴翻折，得到四边形POP ′C ．若四边形POP ′C 为菱形，请求出此时点P 的坐标；(3)当点P 运动到什么位置时，四边形ACPB 的面积最大？求出此时P 点的坐标和四边形ACPB 的最大面积．解：(1)将点B 和点C 的坐标代入函数表达式，得⎩⎪⎨⎪⎧ 9a ＋6＋c ＝0，c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，c ＝3， ∴二次函数的表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3.(2)若四边形POP ′C 为菱形，则点P 在线段CO 的垂直平分线上，如答图1，作OC 的垂直平分线交抛物线于点P ，交y 轴于点E ，连接PP ′，则PE ⊥CO .答图1∵C (0,3)，∴E (0，32)，∴点P 的纵坐标为32，当y ＝32时，即－x 2＋2x ＋3＝32，解得x 1＝2＋102，x 2＝2－102(不合题意，舍去)，∴点P 的坐标为(2＋102，32)．(3)如答图2，过点P 作PF ⊥x 轴于点F ，交BC 于点Q .答图2设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b ， 将点B 和点C 的坐标代入函数解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3k ＋3＝0，b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝3，∴直线BC 的解析式为y ＝－x ＋3.设点P 的坐标为(m ，－m 2＋2m ＋3)，则点Q 的坐标为(m ，－m ＋3)， ∴PQ ＝－m 2＋2m ＋3－(－m ＋3)＝－m 2＋3m . 当y ＝0时，－x 2＋2x ＋3＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝3，∴A (－1,0)， ∴OA ＝1，AB ＝3－(－1)＝4， ∴S四边形ABPC ＝S △ABC ＋S △PCQ ＋S △PBQ ＝12AB ·OC ＋12PQ ·OF ＋12PQ ·FB ＝12×4×3＋12(－m 2＋3m )×3＝－32(m －32)2＋758，∴当m ＝32时，四边形ABPC 的面积最大，最大面积为758.当m ＝32时，－m 2＋2m ＋3＝154，即P 的坐标为(32，154)．综上所述，当点P 的坐标为(32，154)时，四边形ACPB 的最大面积为758.类型5 二次函数与动点问题1．(2018·菏泽)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx －5交y 轴于点A ，交x 轴于点B (－5,0)和点C (1,0)，过点A 作AD ∥x 轴交抛物线于点D ．(1)求此抛物线的表达式；(2)点E 是抛物线上一点，且点E 关于x 轴的对称点在直线AD 上，求△EAD 的面积； (3)若点P 是直线AB 下方的抛物线上一动点，当点P 运动到某一位置时，△ABP 的面积最大，求出此时点P 的坐标和△ABP 的最大面积．解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx －5交y 轴于点A ，交x 轴于点B (－5,0)和点C (1,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 25a －5b －5＝0，a ＋b －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4， ∴此抛物线的表达式是y ＝x 2＋4x －5.(2)∵抛物线y ＝x 2＋4x －5交y 轴于点A ， ∴点A 的坐标为(0，－5)．∵AD ∥x 轴，点E 是抛物线上一点，且点E 关于x 轴的对称点在直线AD 上， ∴点E 的纵坐标是5，点E 到AD 的距离是10， 当y ＝－5时，－5＝x 2＋4x －5， 解得x ＝0或x ＝－4，∴点D 的坐标为(－4，－5)，∴AD ＝4， ∴S △AED ＝12AD ·EF ＝12×4×10＝20.(3)设点P 的坐标为(p ，p 2＋4p －5)，如答图所示．答图设过点A (0，－5)，点B (－5,0)的直线AB 的函数解析式为y ＝mx ＋n ，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝－5，－5m ＋n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－5， ∴直线AB 的函数解析式为 y ＝－x －5.当x ＝p 时，y ＝－p －5. ∵OB ＝5，∴S △ABP ＝(－p －5)－(p 2＋4p －5)2·5＝52[－(p ＋52)2＋254]．∵点P 是直线AB 下方的抛物线上一动点， ∴－5<p <0，∴当p ＝－52时，S 取得最大值，此时S ＝1258，点p 的坐标是(－52，－354)．综上，当点P 的坐标是(－52，－354)时，△ABP 的面积最大，此时△ABP 的面积是1258.2．(2018·德州)如图1，在平面直角坐标系中，直线y ＝x －1与抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 交于A ，B 两点，其中A (m,0)，B (4，n )，该抛物线与y 轴交于点C ，与x 轴交于另一点D ．(1)求m ，n 的值及该抛物线的解析式；(2)如图2，若点P 为线段AD 上的一动点(不与A ，D 重合)，分别以AP ，DP 为斜边，在直线AD 的同侧作等腰直角△APM 和等腰直角△DPN ，连接MN ，试确定△MPN 面积最大时P 点的坐标；(3)如图3，连接BD ，CD ，在线段CD 上是否存在点Q ，使得以A ，D ，Q 为顶点的三角形与△ABD 相似？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)把A (m,0)，B (4，n )代入y ＝x －1， 得m ＝1，n ＝3， ∴A (1,0)，B (4,3)．∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过点A 与点B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋b ＋c ＝0，－16＋4b ＋c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝6，c ＝－5，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋6x －5. (2)∵△APM 与△DPN 都为等腰直角三角形， ∴∠APM ＝∠DPN ＝45°，∴∠MPN ＝90°， ∴△MPN 为直角三角形．令－x 2＋6x －5＝0，解得x ＝1或x ＝5， ∴D (5,0)，即DA ＝5－1＝4. 设AP ＝m ，则DP ＝4－m ， ∴PM ＝22m ，PN ＝22(4－m )， ∴S △MPN ＝12PM ·PN ＝12×22m ×22(4－m )＝－14m 2－m ＝－14(m －2)2＋1，∴当m ＝2，即AP ＝2时，S △MPN 最大，此时OP ＝3，即P (3,0)． (3)存在，易得直线CD 解析式为y ＝x －5，设Q (x ，x －5)， 由题意得∠BAD ＝∠ADC ＝45°，当△ABD ∽△DAQ 时，AB DA ＝BD AQ ，即324＝10AQ ，解得AQ ＝453，由两点间的距离公式得(x －1)2＋(x －5)2＝809，解得x ＝73或x ＝113(舍去)，此时Q (73，－83)；当△ABD ∽△DQA 时，BDAQ ＝1，即AQ ＝10，∴(x －1)2＋(x －5)2＝10，解得x ＝2或x ＝6(舍去)，此时Q (2，－3)． 综上，点Q 的坐标为(2，－3)或(73，－83)．类型6 二次函数与线段最值问题1．(2018·宜宾)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线的顶点坐标为(2,0)，且经过点(4,1)．如图，直线y ＝14x 与抛物线交于A ，B 两点，直线l 为y ＝－1.(1)求抛物线的解析式；(2)在l 上是否存在一点P ，使P A ＋PB 取得最小值？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)已知F (x 0，y 0)为平面内一定点，M (m ，n )为抛物线上一动点，且点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等，求定点F 的坐标．解：(1)∵抛物线的顶点坐标为(2,0)， ∴设抛物线的解析式为y ＝a (x －2)2.∵该抛物线经过点(4,1)，∴1＝4a ，解得a ＝14，∴抛物线的解析式为y ＝14(x －2)2＝14x 2－x ＋1.(2)联立直线AB 与抛物线解析式成方程组，得⎩⎨⎧y ＝14x ，y ＝14x 2－x ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，y 1＝14，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4，y 2＝1，∴点A 的坐标为(1，14)，点B 的坐标为(4,1)．如答图，作点B 关于直线l 的对称点B ′，连接AB ′交直线l 于点P ，此时P A ＋PB 取得最小值．答图∵点B (4,1)，直线l 为y ＝－1， ∴点B ′的坐标为(4，－3)．设直线AB ′的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)， 将A (1，14)，B ′(4，－3)代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝14，4k ＋b ＝－3，解得⎩⎨⎧k ＝－1312，b ＝43，∴直线AB ′的解析式为y ＝－1312x ＋43，当y ＝－1时，有－1312x ＋43＝－1，解得x ＝2813，∴点P 的坐标为(2813，－1)．(3)∵点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等， ∴(m －x 0)2＋(n －y 0)2＝(n ＋1)2，∴ m 2－2x 0m ＋x 20－2y 0n ＋y 20＝2n ＋1.∵M (m ，n )为抛物线上一动点， ∴n ＝14m 2－m ＋1，∴m 2－2x 0m ＋x 20－2y 0(14m 2－m ＋1)＋y 2＝2(14m 2－m ＋1)＋1， 整理，得(1－12－12y 0)m 2＋(2－2x 0＋2y 0)m ＋x 20＋y 20－2y 0－3＝0. ∵m 为任意值，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－12－12y 0＝0，2－2x 0＋2y 0＝0，x 2＋y 20－2y 0－3＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2，y 0＝1， ∴定点F 的坐标为(2,1)．2．(2018·烟台)如图1，抛物线y ＝ax 2＋2x ＋c 与x 轴交于A (－4,0)，B (1,0)两点，过点B的直线y ＝kx ＋23分别与y 轴及抛物线交于点C ，D ．(1)求直线和抛物线的表达式；(2)动点P 从点O 出发，在x 轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t 秒，当t 为何值时，△PDC 为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t 的值；(3)如图2，将直线BD 沿y 轴向下平移4个单位后，与x 轴，y 轴分别交于E ，F 两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M ，在直线EF 上是否存在点N ，使DM ＋MN 的值最小？若存在，求出其最小值及点M ，N 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)把A (－4,0)，B (1,0)代入y ＝ax 2＋2x ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧16a －8＋c ＝0，a ＋2＋c ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝23，c ＝－83，∴抛物线的表达式为y ＝23x 2＋2x －83.∵直线y ＝kx ＋23过点B ，∴将B (1,0)代入，得k ＝－23，∴直线的表达式为y ＝－23x ＋23.(2)由⎩⎨⎧y ＝23x 2＋2x －83，y ＝－23x ＋23，得交点坐标D (－5,4)．如答图1，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，作DF ⊥y 轴于点F .答图1当P 1D ⊥P 1C 时，△P 1DC 为直角三角形， 则△DEP 1∽△P 1OC ，∴DE PO ＝PE OC ，即4t ＝5－t 23，解得t ＝15±1296； 当P 2D ⊥DC 时，△P 2DC 为直角三角形， 由△P 2DB ∽△DEB 得DB EB ＝P 2B DB ，即t ＋152＝526，解得t ＝233；当P 3C ⊥DC 时，△DFC ∽△COP 3， ∴DF OC ＝CF P 3O ，即523＝103t， 解得t ＝49.∴当t 的值为49或15±1296或233时，△PDC 为直角三角形．(3)存在．由已知得直线EF 解析式为y ＝－23x －103.如答图2，在抛物线上取点D 的对称点D ′，过点D ′作D ′N ⊥EF 于点N ，交抛物线对称轴于点M ，过点N 作NH ⊥DD ′于点H ，此时，DM＋MN ＝D ′N 最小．答图2则D (2,4)，△EOF ∽△NHD ′. 设点N 的坐标为(a ，－23a －103)，∴OE NH ＝OF HD ′，即54－(－23a －103)＝1032－a， 解得a ＝－2，则N 点坐标为(－2，－2)．由N (－2，－2)，D ′(2,4)求得直线ND ′的解析式为y ＝32x ＋1，当x ＝－32时，y ＝－54，∴点M 的坐标为(－32，－54)，此时，DM ＋MN 的值最小为D ′H 2＋NH 2＝42＋62＝213.。

一、选择题1．（2019·温州）已知二次函数y=2-4+2，关于该函数在-1≤≤3的取值范围内，下列说法正确的是（ ）A ．有最大值-1，有最小值-2B ．有最大值0，有最小值-1C ．有最大值7，有最小值-1D ．有最大值7，有最小值-2【答案】D【解析】∵二次函数y=2-4+2=(-2)2-2，∴该函数在-1≤≤3的取值范围内，当=2时，y 有最小值-2；当=-1时，y 有最大值7．故选D.2．（2019·绍兴 ）在平面直角坐标系中，抛物线)3)(5(-+=x x y 经过变换后得到抛物线)5)(3(-+=x x y ，则这个变换可以是 ( )A.向左平移2个单位B.向右平移2个单位C.向左平移8个单位D.向右平移8个单位 【答案】B【解析】y ＝（+5）（﹣3）＝（+1）2﹣16，顶点坐标是（﹣1，﹣16）．y ＝（+3）（﹣5）＝（﹣1）2﹣16，顶点坐标是（1，﹣16）．所以将抛物线y ＝（+5）（﹣3）向右平移2个单位长度得到抛物线y ＝（+3）（﹣5），故选B ．3．（2019·嘉兴）小飞研究二次函数y ＝﹣（﹣m ）2﹣m +1（m 为常数）性质时如下结论： ①这个函数图象的顶点始终在直线y ＝﹣+1上；②存在一个m 的值，使得函数图象的顶点与轴的两个交点构成等腰直角三角形； ③点A （1，y 1）与点B （2，y 2）在函数图象上，若1＜2，1+2＞2m ，则y 1＜y 2； ④当﹣1＜＜2时，y 随的增大而增大，则m 的取值范围为m ≥2． 其中错误结论的序号是（ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④【答案】C【解析】二次函数y ＝﹣（﹣m ）2﹣m +1（m 为常数）,①∵顶点坐标为（m，﹣m+1）且当＝m时，y＝﹣m+1,∴这个函数图象的顶点始终在直线y＝﹣+1上,故结论①正确；②假设存在一个m的值，使得函数图象的顶点与轴的两个交点构成等腰直角三角形, 令y＝0，得﹣（﹣m）2﹣m+1＝0，其中m≤1，解得：＝m﹣，＝m+，∵顶点坐标为（m，﹣m+1），且顶点与轴的两个交点构成等腰直角三角形,∴|﹣m+1|＝|m﹣（m﹣）|,解得：m＝0或1,∴存在m＝0或1，使得函数图象的顶点与轴的两个交点构成等腰直角三角形,故结论②正确；③∵1+2＞2m,∴,∵二次函数y＝﹣（﹣m）2﹣m+1（m为常数）的对称轴为直线＝m,∴点A离对称轴的距离小于点B离对称轴的距离,∵1＜2，且﹣1＜0,∴y1＞y2,故结论③错误；④当﹣1＜＜2时，y随的增大而增大，且﹣1＜0,∴m的取值范围为m≥2．故结论④正确．故选C．4．（2019·杭州）在平面直角坐标系中，已知a ≠b ，设函数y=（+a ）（+b ）的图象与轴有M 个交点，函数y=（a+1）（b+1）的图象与轴有N 个交点，则（ ）A ．M=N-1或M=N+1B ．M=n-1或M=N+2C ．M=N 或M=N+1D ．M=N 或M=N-1【答案】A【解析】先把两个函数化成一般形式，若为二次函数，再计算根的判别式，从而确定图象与轴的交点个数，若一次函数，则与轴只有一个交点，据此解答．∵y=（+a ）（+b ）=2+（a+b ）+1，∴（a+b ）2-4ab=（a-b ）2＞0，∴函数y=（+a ）（+b ）的图象与轴有2个交点，∴M=2，∵函数y=（a+1）（b+1）=ab 2+（a+b ）+1，∴当ab ≠0时，（a+b ）2-4ab=（a-b ）2＞0，函数y=（a+1）（b+1）的图象与轴有2个交点，即N=2，此时M=N ；当ab=0时，不妨令a=0，∵a ≠b ，∴b ≠0，函数y=（a+1）（b+1）=b+1为一次函数，与轴有一个交点，即N=1，此时M=N+1；综上可知，M=N 或M=N+1．故选C ．5．（2019·烟台）已知二次函数2y ax bx c =++的y 与的部分对应值如下表：4x <时，0y >；④抛物线与轴的两个交点间的距离是4；⑤若1(,2)A x ，2(,3)B x 是抛物线上两点，则12x x <． 其中正确的个数是（ ）．A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】B【解题过程】先根据二次函数的部分对应值在坐标系中描点、连线，由图象可以看出抛物线开口向上，所以结论①正确，由图象（或表格）可以看出抛物线与轴的两个交点分别为（0,0），（4,0），所以抛物线的对称轴为直线2x =且抛物线与轴的两个交点间的距离为4，所以结论②和④正确，有抛物线的图象可以看出当04x <<时，0y <，所以结论③错误，由图象可以看出当抛物线上的点的纵坐标为2或3时，对于的点均有两个，若1(,2)A x ，2(,3)B x 是抛物线上两点，既有可能12x x <，也有可能12x x >，所以结论⑤错误． 6．（2019·绍兴 ）在平面直角坐标系中，抛物线)3)(5(-+=x x y 经过变换后得到抛物线)5)(3(-+=x x y ，则这个变换可以是 ( )A.向左平移2个单位B.向右平移2个单位C.向左平移8个单位D.向右平移8个单位 【答案】B【解析】y ＝（+5）（﹣3）＝（+1）2﹣16，顶点坐标是（﹣1，﹣16）．y ＝（+3）（﹣5）＝（﹣1）2﹣16，顶点坐标是（1，﹣16）．所以将抛物线y ＝（+5）（﹣3）向右平移2个单位长度得到抛物线y ＝（+3）（﹣5），故选B ．7．（2019·益阳）已知二次函数c bx ax y ++=2如图所示，下列结论①ae ＜0，②b-2a ＜0，③ac b 42-＜0，④a-b+c ＜0，正确的是（ ）A. ①②B.①④C.②③D.②④第10题图【答案】A【解析】∵抛物线开口向下，且与y 的正半轴相交，∴a ＜0，c ＞0，∴ac ＜0，故①正确； ∵对称轴在-1至-2之间，∴122---＜＜ab，∴4a ＜b ＜2a ，∴b-2a ＜0，故②正确； ∵抛物线与轴有两个交点，∴△=ac b 42-＞0，∴③错误； ∵当=-1时，y=a-b+c ＞0，∴④错误. ∴正确的说法是①②.故选A.8．（2019·娄底） 二次函数2y ax bx c =++的图象如图（5）所示，下列结论中正确的有（ ）① abc<0② 240b ac -<③ 2a b > ④ ()22a c b +< A ． 1个 B ． 2个C ．3个D ． 4个【答案】A【解析】解：①由抛物线的开口方向向下知a<0，对称轴在y 轴的左侧得a 、b 同号，抛物线与y 轴交于正半轴得c>0,所以abc>0 ；故结论①错误；②由抛物线与轴有两个交点得240b ac ->，故结论②错误；③由图象知对称轴12b x a =->-得12ba<；由a<0，结合不等式的性质三可得 b>2a,即2a<b ；故结论③错误；④由图象知：当＝1时，y<0即a+b+c<0；当＝－1时，y>0即a －b+c>0；∴()()0a b c a b c ++-+<，即()220a c b +-<；∴()22a c b +<．故结论④正确．故答案A 正确．9. （2019·济宁）将抛物线y ＝2－6＋5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ）A ．y ＝(－4)2－6B ．y ＝(－1)2－3C ．y ＝(－2)2－2D ．y ＝(－4)2－2 【答案】D【解析】y ＝2－6＋5＝ (－3) 2－4，把向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后， 得y ＝ (－3－1) 2－4＋2，即y ＝(－4)2－2．10、(2019·巴中)二次函数y ＝a2+b+c(a ≠0)的图象如图所示,下列结论①b2>4ac,②abc<0,③2a+b －c>0, 2. ④a+b+c<0,其中正确的是( ) A.①④B.②④C.②③D.①②③④第10题图 【答案】A【解析】①因为图象与轴有两个不同的交点,所以b 2－4ac>0,即b 2>4ac,故①正确;②图象开口向下,故a<0,图象与y 轴交于正半轴,故c>0,因为对称轴为＝－1,所以12ba-=-,所以2a ＝b,故b<0,所以abc>0,②错误;③a<0,b<0,c>0,所以2a+b －c<0,③错误;④当＝1时,y ＝a+b+c,由图可得,＝－3时,y<0,由对称性可知,当＝1时,y<0,即a+b+c<0,故④正确.综上所述,①④正确,故选A.11. （2019·达州）如图，边长都为4的正方形ABCD 和正三角形EFG 如图放置， AB 与EF 在一条直线上，点A 与点F 重合.现将△EFG 沿AB 方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点F 与点B 重合时停止，在这个运动过程中正方形ABCD 和△EFG 重叠部分的面积S 与运动时t 的函数图像大致是( )【答案】C【思路分析】可分两种情况，第一种情况重合部分为三角形，第二种情况重合部分为四边形，分别求出对应的函数关系式即可.【解题过程】运动过程中，当顶点G 在正方形外部时，重合部分为三角形，设运动时间为t ，面积S 与t 的函数关系式为232t y =，函数图像为开口向上的二次函数，当顶点G 在正方形内部时，重合部分为四边形，设运动时间为t ，面积S 与t 的函数关系式为343423-2-+=t t y ，函数图像为开口向下的二次函数，故选C.12. （2019·凉山）二次函数y=a2+b+c 的部分图象如图所示，有以下结论：①3a –b=0；②b2-4ac ＞0；③5a-2b+c ＞0； ④4b+3c ＞0,其中错误结论的个数是（ ▲ ） A. 1B. 2C. 3D. 4第12题图【答案】A【解析】根据对称轴232-=-a b 得b =3a ，故可得3a –b =0，所以结论①正确；由于抛物线与轴有两个不同的交点，所以b 2-4ac ＞0，结论②正确；根据结论①可知b =3a ，∴5a -2b +c =5a -6a +c =-a +c ，观察图像可知a ＜0,c ＞0，∴5a -2b +c =-a +c ＞0，结论③正确；根据抛物线的轴对称性可知抛物线与轴的右交点在原点与（1，0）之间（不含这两点），所以当=1时，y =a +b +c ＜0，∵a =b 31，∴b 34+c ＜0，∴4b +3c ＜0，所以结论④错误.故选 A.13. （2019·攀枝花）在同一坐标系中，二次函数y ＝a2＋b 与一次函数y ＝b －a 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】据参数符号可排除A 、D 选项，联立两函数解析式所得方程无解，则两函数图象无交点，故选C ．xxx【知识点】二次函数的图象；一次函数的图象14.（2019·天津）二次函数y=a2+b+c(a,b,c 是常数，a ≠0）的自变量与函数值y 的部分对应值如下表：且当21-=x 时，与其对应的函数值y>0，有下列结论：（1）abc>0;(2)-2和3是关于的方程a2+b+c=t 的两个根；（3）0<m+n<320,其中，正确结论的个数是A. 0B. 1C. 2D. 3 【答案】C【解析】(1)因为当21-=x 时，与其对应的函数值y>0，由图表可知=0时，y=-2，=1时，y=-2,可以判断对称轴左侧y 随的增大而减小，图像开口向上，a>0;由图表可知=0时，y=-2，=1时，y=-2,可得对称轴为直线21=x ，所以b<0;=0时，y=-2,所以c=-2<0,故abc>0（1）正确；（2）由于对称轴是直线21=x ，-2和3是关于对称轴对称的，所以（2）正确；（3）由对称轴是直线21=x 可得a+b=0,因为=0时，y=-2，可知c=-2，当21-=x 时，与其对应的函数值y>0可得38>a ，当=-1时，m=a-b-2=2a-2>310,因为-1和2关于对称轴对称，可得m=n ，所以m+n>320，故（3）错误，故选C. 【知识点】二次函数图像的性质.15. （2019·衢州）二次函数y=（-1）2+3图象的顶点坐标是（A ） A. （1.3） B.（1，-3）C.（-1.3）D.（-1.-3）【答案】A【解析】本题考查二次函数顶点坐标的确定，二次函数y =a （-h ）2+的顶点坐标为（h ，），所以y =（-1）2+3的顶点坐标是（1.3），故选A .16. （2019·重庆B 卷）物线y ＝263-2++x x 的对称轴是（ ） A.直线 2=x B.直线 2-=x C.直线 1=x D.直线 1-=x 【答案】Ｃ【解析】设二次函数的解析式是y=c bx ax ++2， 则二次函数的对称轴为直线y ＝263-2++x x 的对称轴是直线 1=x .故选Ｃ．17.（2019·自贡）一次函数y=a+b 与反比例函数y=的图象如图所示，则二次函数y=a2+b+c 的大致图象是（ ）【答案】A.【解析】∵双曲线y=经过一、三象限， ∴c ＞0.∴抛物线与y 轴交于正半轴.∵直线y =a +b 经过第一、二和四象限， ∴a ＜0，b ＞0，即−b2a ＜0.∴抛物线y =a 2+b +c 开口向下，对称轴在y 轴的右侧. 故选A.18.（2019·遂宁）二次函数y=2-a+b 的图像如图所示，对称轴为直线=2，下列结论不正确的是 ( )A. a=4B.当b= -4时，顶点的坐标为（2，-8）C.当= -1 时，b> -5D.当>3时，y 随的增大而增大 【答案】C【解析】选项A,由对称轴为直线=2可得22a--=，∴a=4，正确；选项B,∵a=4,b= -4 ∴代入解析式可得，y=2-4-4，当=2时，y=-8,∴顶点的坐标为（2，-8），正确；选项C ，由图像可知，=-1时，y=0，代入解析式得B=-5，∴错误；选项D 由图像可以看出当>3时，在对称轴的右侧，y 随的增大而增大，正确，故选C.二、填空题1、（2019·遂宁）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 落在坐标原点，点A,点C 分别在轴，y 轴的正半轴上，G 为线段OA 上一点，将△OCG 沿CG 翻折，O 点恰好落在对角线AC 上的点P 处，反比例函数xy 12=经过点B ，二次函数y=a 2+b+c(a ≠0)的图像经过C （0,3），G 、A 三点，则该二次函数的解析式为（填一般式）【答案】3411212+-=x x y 【解析】∵矩形OABC ，C （0,3）∴B 点的纵坐标为3，∵反比例函数x y 12=经过点B ，∴B(4,3），A （4,0），∴OA=4，∵C （0,3），∴OC=3，∴Rt △ACO 中，AC=5.设G （m,0)则OG=m ∵翻折∴GP=OG=m,CP=CO=3,∴AP=2，AG=4-m,∴Rt △AGP 中，m 2+22=(4-m)2,∴m=23,∴G(23,0），∵A （4,0）C （0,3）G(23,0）∴解析式为3411212+-=x x y2．(2019·广元)如图,抛物线y ＝a 2+b+c(a ≠0)过点(－1,0),(0,2),且顶点在第一象限,设M ＝4a+2b+c,则M 的取值范围是________.第15题图 【答案】－6<M<6【解析】∵y ＝a 2+b+c 过点(－1,0),(0,2),∴c ＝2,a －b ＝－2,∴b ＝a+2,∵顶点在第一象限,∴2ba- >0,∴a<0,b>0,a+2>0,a>－2,∴－2<a<0,M ＝4a+2b+c ＝4a+2(a+2)+2＝6a+6,∴－6<M<6.3．（2019·衡阳）在平面直角坐标系中，抛物线y ＝2的图象如图所示．已知点A 坐标为（1，1），过点A 作AA 1∥轴交抛物线于点A 1，过点A 1作A 1A 2∥OA 交抛物线于点A 2，过点A 2作A 2A 3∥轴交抛物线于点A 3，过点A 3作A 3A 4∥OA 交抛物线于点A 4…，依次进行下去，则点A 2019的坐标为 ．【答案】（－1010，10102）【解析】A （1，1），A 1（－1，1），A 2（2，4），A 3（－2，4），A 4（3，9），A 5（－3，9），…，A 2019（－1000，1000 2）．4．（2019·株洲）若二次函数2y ax bx =+的图像开口向下，则a 0（填“＝”或“＞”或“＜”）． 【答案】＜【解析】二次函数开口向下，则a<0。

中考数学复习考点知识归类讲解专题19 二次函数的性质与图象判断问题知识对接考点一、二次函数的概念及表达式考点二、二次函数的性质与图象2. 抛物线c bx ax y ++=2与系数a,b,c 的关系专项训练一、单选题1．抛物线y＝（x﹣5）2的顶点坐标是（）A．（0，﹣5）B．（﹣5，0）C．（0，5）D．（5，0）2．对于二次函数y＝2（x＋3）2的图象，下列说法不正确的是（）A．开口向上B．对称轴是直线x＝﹣3C．当x＜﹣3时，y随x的增大而增大 D．与x轴仅有一个交点3．如图1，在平行四边形ABCD中，60BBC AB=；动点P以每秒1个单位的速度∠=︒，2从点A出发沿线段AB运动到点B，同时动点Q以每秒4个单位的速度从点B出发，沿折线B C D--运动到点D．图2是点P、Q运动时，BPQ的面积S随运动时间t变化关系的图象，则a的值是（）A ．B ．C ．D ．4．已知二次函数2()y x h =-（h 为常数），当自变量x 的值满足1≤x ≤3时，其对应的函数值y 的最小值为1，则h 的值为（）A ．2或4B ．0或4C ．2或3D ．0或3 5．二次函数()213y x =--+图象的顶点坐标是（）A ．()1,3-B ．()1,3C ．()1,3--D ．()1,3-6．下列事件中，属于不可能事件的是（ ）A ．抛物线y ＝ax 2的开口向上B ．抛物线y ＝（x ﹣2）2+1中y 有最小值2C ．相似三角形的面积比等于相似比的平方D ．三边对应成比例的两个三角形全等7．下列函数中，y 随x 的增大而增大的函数有（）A ．32y x =--B ．3y x =-()0x < C ．23y x = D ．2y x =-8．抛物线y =(x -2) 2 +1的对称轴是（）A ．x =2B ．x =-2C ．x =1D ．x =-19．关于二次函数2y x 图象，下列叙述正确的有（）①它的图象是抛物线； ②它的图象有最低点；③它的图象经过()0,0； ④它的图象开口向上．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 10．如图，抛物线G ：24(2)3y a x =--（常数a 为正数）．下列关于G 的四个命题：①G 的最低点坐标为423⎛⎫- ⎪⎝⎭，； ②b 是任意实数，x =2+b 时的函数值大于x =2－b 时的函数值；③当a =1时，G 经过点（1，－1）；④当G 经过原点时，G 与x 轴围成的封闭区域（边界除外）内的整点（横、纵坐标都是整数）的个数为1．其中正确的是（）A ．①③B ．②③C ．②④D ．①④二、填空题11．已知点A （﹣2，y 1），B （5，y 2）为函数y ＝x 2＋a 图象上的两点，比较：y 1_____y 2．12．二次函数2(1)5y x =--的最小值是__．13．当a ＞0时，抛物线2y ax k =+的开口______，对称轴是______，顶点坐标是______，当x ＝0时，y 有最____值为k ，当x ＜0时，y 随x 的增大而___；当x ＞0时，y 随x 的增大而______．当a ＜0时，抛物线2y ax k =+的开口______，对称轴是______，顶点坐标是______，当x ＝0时，y 有最____值为k ，当x ＜0时，y 随x 的增大而_____；当x ＞0时，y 随x 的增大而_____．14．已知二次函数2()1y x m =--（m 为常数），如果当自变量x 分别取3-，1-，1时，所对应的y 值只有一个小于0，那么m 的取值范围是________．15．如图1，E 是等边ABC 的边BC 上一点（不与点B ，C 重合），连接AE ，以AE 为边向右作等边AEF ，连接CF ．已知ECF △的面积（S ）与BE 的长（x ）之间的函数关系如图2所示（P 为抛物线的顶点）．（1）当ECF △的面积最大时，FEC ∠的大小为______ ．（2）等边ABC 的边长为______ ．三、解答题16．已知二次函数y ＝ax 2﹣bx +3（a ≠0）的图象过点A (2，3)，交y 轴于点B ．（1）求点B 的坐标及二次函数图象的对称轴；（2）若抛物线最高点的纵坐标为4，求二次函数的表达式；（3）已知点(m ，y 1)，(n ，y 2)在函数图象上且0＜m ＜n ＜1，试比较y 1和y 2的大小．17．二次函数()()20=-+≠y a x h k a 的图象的对称轴为直线2x =-，最小值为3-，且函数的图象与抛物线213y x =-的形状相同、方向相反． （1）求该二次函数的表达式；（2）如果函数图象与x 轴交于A ，B （A 在B 的左边）两点，交y 轴于C 点，你能求出ABC 的面积吗？（3）利用二次函数的图象，写出x 为何值时，0y >．18．已知二次函数()()11y ax x =++，其中0a ≠．（1）当1a =-时，求二次函数顶点坐标；（2）当0a >时，记二次函数的最小值为min y ，求证：min 0y ≤；（3）当0a >时，且x 满足11x -≤≤时，函数有最大值为3，求a 的值．19．已知二次函数的顶点坐标为()1,4A -，且经过点()3,0B ．（1）求该二次函数的解析式；（2）判断点()2,3C -是否在该函数图象上，并说明理由．20．如图，抛物线L ：y 12=x 254-x ﹣3与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴交于点B ．（1）求直线AB 的解析式及抛物线顶点坐标；（2）如图1，点P 为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点P 作PC ⊥x 轴，垂足为C ，PC 交AB 于点D ，求PD 的最大值，并求出此时点P 的坐标；21．定义：关于x 轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．例如：y 1＝（x ﹣1）2﹣2的“同轴对称抛物线”为y 2＝﹣（x ﹣1）2+2．（1）请写出抛物线y 1＝（x ﹣1）2﹣2的顶点坐标；及其“同轴对称抛物线”y 2＝﹣（x ﹣1）2+2的顶点坐标；（2）求抛物线y ＝﹣2x 2+4x +3的“同轴对称抛物线”的解析式．（3）如图，在平面直角坐标系中，点B 是抛物线L ：y ＝ax 2﹣4ax +1上一点，点B 的横坐标为1，过点B 作x 轴的垂线，交抛物线L 的“同轴对称抛物线”于点C ，分别作点B 、C关于抛物线对称轴对称的点B'、C'，连接BC、CC'、B C''、BB'．①当四边形BB C C''为正方形时，求a的值．②当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出a的取值范围．22．正在建设的北京环球影城主题乐园是世界第五个环球影城乐园中既有功夫熊猫、小黄人乐园等小朋友喜欢的景区，又有过山车等深受年轻游客喜爱的游乐设施．过山车虽然惊悚恐怖，但是安全保障措施非常到位．如图所示，F E G→→为过山车的一部分轨道，它可以看成一段抛物线．其中258OE=米，12516OF=米（轨道厚度忽略不计）．（1）求抛物线F E G→→的函数关系式；（2）在轨道距离地面5米处有两个位置P和G，当过山车运动到G处时，平行于地面向前运动了158米至K点，又进入下坡段K H→（接口处轨道忽略不计）．已知轨道抛物线K H Q→→的形状与抛物线P E G→→完全相同，在G到Q的运动过程中，当过山车距地面4米时，它离出发点的水平距离最远有多远？（3）现需要在轨道下坡段→F E进行一种安全加固，建造某种材料的水平和竖直支架,,,AM CM BN DN，且要求OA AB=．已知这种材料的价格是8000元/米，如何设计支架，会使造价最低？最低造价为多少元？23．问题提出（1）如图1，在ABCD中，45AB=，6AD=，E是AD的中点，点F在DC上且∠=︒，8ADF=求四边形ABFE的面积．（结果保留根号）5问题解决（2）某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境．如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上建一个五边形河畔公园ABCDE按设计要求，要在五边形河畔公园ABCDE内挖一个四边形人工湖OPMN，使点O、P、M、N分别在边BC、CD、AE、AB上，且满足22==，BO AN CPCD=，∠=∠=∠=︒，800mA B C=．已知五边形ABCDE中，90AM OCBC=，600mAB=，1200mAE=．满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小．请900m问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖OPMN？若存在，求四边形OPMN 面积的最小值及这时点N到点A的距离；若不存在，请说明理由．。