第24题 二次函数综合题
类型1 二次函数与特殊三角形判定
1. 已知二次函数y ＝ax 2＋bx －3a (a >0)经过点A (－1，0)、C (0，3)，与x 轴交于另一点B ，抛物线的顶点为D .
(1)求此二次函数解析式；
(2)连接DC 、BC 、DB ，求证：△BCD 是直角三角形；
(3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ，使得△PDC 为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
第1题图
(1)解：∵二次函数y ＝ax 2＋bx －3a 的图象经过点A (－1，0)、C (0，
3)，
∴根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b －3a ＝0－3a ＝3
， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝2
， ∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3；
(2)证明：由y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4得，点D 的坐标为(1，4)，点B 的坐标为(3，0)，
如解图，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点C 作CF ⊥DE 于点F ， ∵D (1，4)，B (3，0)，C (0，3)，
∴OC ＝OB ＝3，DE ＝4，BE ＝2，CF ＝DF ＝1，
∴CD 2＝CF 2＋DF 2＝2，BC 2＝OC 2＋OB 2＝18，BD 2＝DE 2＋BE 2＝20， ∴CD 2＋BC 2＝BD 2，
∴△BCD 是直角三角形；
第1题解图
(3)解：存在．
抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3对称轴为直线x ＝1.
i )如解图，若以CD 为底边，则P 1D ＝P 1C ，
设点P 1的坐标为(x ，y )，根据勾股定理可得P 1C 2＝x 2＋(3－y )2，P 1D 2＝(x －1)2＋(4－y )2，
∴x 2＋(3－y )2＝(x －1)2＋(4－y )2，
即y ＝4－x .
又∵P 1(x ，y )在抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3上，
∴4－x ＝－x 2＋2x ＋3，
即x 2－3x ＋1＝0，
解得x 1＝3＋52，x 2＝3－52<1(舍去)，
∴x ＝3＋52，
∴y ＝4－x ＝5－52，
即点P 1的坐标为(3＋52，5－52)．
ii )如解图，若以CD 为一腰，
∵点P 2在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线的对称性知，点P 2与点C 关于直线x ＝1对称，此时点P 2的坐标为(2，3)．
∴符合条件的点P 的坐标为(3＋52，5－52)或(2，3)．
2. 如图，抛物线C 1：y ＝x 2＋bx ＋c 经过原点，与x 轴的另一个交点为(2，0)，将抛物线C 1向右平移m (m >0)个单位得到抛物线C 2，C 2交x 轴于A ，B 两点(点A 在点B 的左边)，交y 轴于点C .
(1)求抛物线C 1的解析式及顶点坐标；
(2)以AC 为斜边向上作等腰直角△ACD ，当点D 落在抛物线C 2的对称轴上时，求抛物线C 2的解析式；
(3)若抛物线C 2的对称轴上存在点P ，使△P AC 为等边三角形，请直接写出m 的值．
第2题图
解：(1)∵抛物线C 1：y ＝x 2＋bx ＋c 经过原点(0，0)，与x 轴的另一个交点为(2，0)，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧c ＝04＋2b ＋c ＝0， 解得⎩
⎪⎨⎪⎧c ＝0b ＝－2， ∴抛物线C 1的解析式为 y ＝x 2－2x ，
则y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，
∴该抛物线的顶点坐标为(1，－1)；
(2)∵将抛物线C 1向右平移m (m >0)个单位得到抛物线C 2，
∴抛物线C 2的解析式为y ＝(x －1－m )2－1，
∵抛物线C 2交x 轴于A 、B 两点(点A 在点B 的左边)，与y 轴交于点C ，
∴A (m ，0)、B (m ＋2，0)、C (0，m 2＋2m )，
设抛物线C 2的对称轴与x 轴的交点为点E ，
如解图①，过点C 作CH ⊥DE 于点H ，
第2题解图①
∵△ACD 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，
∴∠CDA ＝90°，CD ＝AD ，
又∵∠CHD ＝∠DEA ＝90°，
∴∠CDH ＋∠ADE ＝∠ADE ＋∠DAE ，
∠HCD ＋∠HDC ＝∠HDC ＋∠ADE ，
∴∠CDH ＝∠DAE, ∠HCD ＝∠EDA ，
∴△CHD ≌△DEA ，
∴HD ＝ AE ＝1, DE ＝ CH ＝m ＋1，
∴EH ＝HD ＋DE ＝m ＋2，
由OC ＝HE 得m 2＋2m ＝ m ＋2，
解得m 1＝1，m 2＝－2(舍去)，
∴抛物线C 2的解析式为y ＝(x －1－1)2－1＝x 2－4x ＋3；
(3)m ＝33.
【解法提示】如解图②，连接BC 、BP ，由抛物线的对称性可知AP ＝BP ，
第2题解图②
∵△P AC 是等边三角形，
∴AP ＝BP ＝CP ，∠APC ＝60°，
∴C 、A 、B 三点在以点P 为圆心，P A 长为半径的圆上，
∴∠CBO ＝12∠CP A ＝30°，
∴BC ＝2OC ，
由勾股定理得OB ＝BC 2－OC 2＝3OC ，
∴3()
m2＋2m＝m＋2，
解得m1＝
3
3，m2＝－2(舍去)．
∴m＝
3 3.
